М. Я. ВЫГОДСКИЙ
СПРАВОЧНИК
по
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
ИЗДАНИЕ ДВЕНАДЦАТОЕ, С1 F-РРОТИПНОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЙРА'1 УРЫ
МОСКВА 5977

517@83)
В 92
УДК 510 @83)
20203 - 002
В БЗ-77
053 @2)-77

ОГЛАВЛЕНИЕ
Что можнв найтИ в справочнике 15
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
S Т. Понятие о предмете аналитической геометрии 17
4 2. Координаты 18
§ 3. Прямоугольная система координат 18
§ 4. Прямоугольные координаты 19
§ 5. Координатные углы 20
| R. Косоугольная система координат 21
§ 7. Уравнение линии 21
$ 8. Взаимное расположение линии и i очки 22
5 9. Взаимное расположение двух линий 23
§ 10. Расстояние между двумя точками 23
§11. Деление отрезка в данном отношении 24
$ 11а. Деление отрезка пополам 25
5 12. Определитель второго порядка 25
jt 13. Площадь треугольника 25
§ 14. Прямая линия, уравнение, разрешенное относительно орди-
ординаты ((С угловым коэффициентов-) 2S
S 1 г>. Прямая, параллельная оси 28
§ 16. Общее уравнение прямой 29
§ 17, Лостроенир прямой по ее уравнению 30
§ 18. Условие параллельности прямых , 30
5 19. Пересечение прямых 32
§ 20. Условие перпендикулярности двух прямых 33
§21. Угол между двумя прямыми . 34
§ 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой 37
§ 23 Уравнение прямой, проходящей через две точки 37
S 24. Пучок прямых 39
§ 25 Уравнение пряч^й, проходящей через данную точку парал-
параллельно данной прямой 40
5 2R, Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпен-
перпендикулярно к данной прямой .,,...... 4'
§ 27. Взаимное расположение прямой и пары точек 42
$ 2Я Расстояние от точки до прямой , 42
$ 20 Полярные параметры прямой 4°,
§ 30. Нормальное уравнение прямой 45
jj 31. Приведение уравнения прямой к нормальному виду 46
§ 32. Отрезки на осях , 47
§ 33. Уравнение прямой в отрезках , 48
§ 34. Преобразование координат (постановка вопроса) 48
I 35. Перенос начала координат 49
5 36. Поворот осей 50
§ 37. Алгебраические линии и их порядок 52
§ 38. Окружность 53
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
5 39 Разыскание центра и радиуса окружности R4
§ 40 Эллипс как сжатая окружность 56
S 41 Другое определение эллипса 58
S 42. Построение эллипса по его осям 60
§ 43. Гипербола 61
§ 44. Форма гиперболы; вершины и оси 63
§ 45 Построение гиперболы по ее осям 64
§ 46 Асимптоты гиперболы 64
§47 Сопряженные гиперболы 65
g 48 Парабола 66
§ 49 Построение параболы по данному параметру р 67
5 50. Парабола как график уравнения у = ах^+Ьх+с ., ... 67
g 51 Директрисы эллипса и гиперболы 70
$ 52 Общее определение эллипса, гиперболы и параболы 71
§ КЗ Конические сечения , 74
§ 54 Диаметры конического сечения 75
| 55. диаметры эллипса 76
g 56. Диаметры гиперболы ,,, 77
jj 57. Диаметры параболы ,.,, 79
§ 58. Линии второго порядка , 80
§ 59 Запись общего уравнения второй степени 81
§ 60. Упрошение уравнения второй степени общие замечания 82
5 61 Предварительное преобразование у равнения второй степени 82
§ 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени 85
§ 63. О приемах, облегчающих Упрощение уравнения второй сте-
степени ■ 91
§ 64. Признак распадения линий второго порядка • 02
§ 65. Разыскание прямых, составляющих распадающуюся линию
второго порядка .. . . 93
§ 66 Инварианты > равнения второй степени Об
§ 67. Три типа линий второго порядка ... чя
<5 68 Центральные и нецентральные линии второго порядка . . 101
§64 Разыскание центра централ! ной линии второго порядка .. Т02
§ 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка 103
§ 71. Равносторонняя гипербола как график уравнения у и —,, 105
§ 72, равносторонняя гипербола как график уравнения у
§ 73 Полярные координаты , 10S
S 74 Связь между полярными координатами и прямоугольными ПО
g 75 Архимедова спираль , 113
§ 76 Полярное уравнение прямой ,, 114
§ 77. Пспяоное уравнение конического сечения 115
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 7S, Понятие о векторах и скалярах ,, 116
§ 79 Пектор в геометрии 116
§ 80 Векторная алгебра 117
$81 Коллинеарные векторы ., ... 117
5 82 Нуль-вектор 118
§ 83 Равенство векторов 118
? 84 Приведение векторов к общему началу 119
§ 85 Противоположные векторы 119,
g 86 Сложение векторов 119
Ц 87 Сумма нескольких векторов , 121
5 88. Вычитание векторов 122
5 S9. Умножение и деление вектора ^а число 123

ОГЛАШЕНИЕ 5
§ 90 Вэшмная связь ноллннсариих векторов Деление вп тора
нт ве <тор) . _ U4
§ 91 Проекция ючки на ось ' 124
9 92 Проекция вектора на ось 125
^ ЧЧ Основные теоремы о проекциях векюра 127
^ 04 ПрячоУГольп ш система коор (ино1 п простртнет tie 129
J» 9т Координаты точки .... . .... ., 110
§ 96 Координат! t Eei Topi , 13]
5 97 Выражения пеьтора черсч компоненты и через координаты П2
6 Q8 ДейС1ВИянчд векторами, зтпнннми споими координатами 132
§ ЧЭ Выражение вектор i череч радиь-сы Векторы его нач.ша и
конш ... . J33
^ 100 Длина вектора Расстояние л-ежду двумя точками ' 133
§ 101 Vron между oci да координат и вет тором 134
J) 102 Признак коллинеарности (м.фаллетьпостн) вечтпров C5
(, )C1J Деление отрезка в ланноч отношении , # C5
1, 104 Скалярное проил!едсни(. двух векторов ' I3fi
5 104а Физический смыст екчлярно! о проипиедспия . 147
5 105 Свойства скалярного произведения ' 138
^ Юб Скялярныл лроизасдения основных вецторов , J39
^ 107 Выражение скалярно! о произведения через коорлинагы
сомножителей . . 140
S 108 Условие перпещцтулярлести векторов '. ' . HI
g 100 Угот между векторъчи . '..'. 141
4^ 110 Пр шая и левая системы трех векторов *** 142
5 111 Векторное произведение Двух векторов . 144
5 112 Свойства векторного проп'гпедения ' . ]45
5 1И Векторные произведения основные пектор >в ' ]46
§ 114 Выражение пекторпого проичветеиия через коор ишатн
сомножителей ■ . 147
5 114 Компланарине векторы ... __ 14<э
^ 116 Смешанное гроизве ieHnc . ' ' j40
? 117 Свойства смишанного произведения 1г,о
5 118 Опретелитель третьего порядк.1 ]^\
§119 Выражение смешанного произве {ения череч коорлинагы
сомножителей ... . J54
S 120 Признак компланарности в коор!инатной форме ' 144
$ 121 Объем парателепипела . # ^д
5 122 Двойное векторное произведение , , 156
5 123 Уравнение глоскости . ,. ' 156
§ 124 Особые случаи положения плоскости относительно си-
системы координат .... . . # , , , 157
Ц 125 Услопие параллельности плоскостей I5R
5 126 Условие перпридикул? риоегч плоскостей ,. 154
$127 Угол чежду двумя плоскостями 159
§ 128 Плоъкость, проходтщя через данную точку парал1елыю
данной плоскости . 160
$ 129 ТНоскость рроходяппя через три точки . lfi()
? НО Отрезки hi осях .. . . ]61
S !Ч1 Уравнение плос! ос~и в отрезках . 1RI
g 132 Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно
к дтнной плоскости IG2
g 133 Плоскость прохояяппя череч дшпио точку герпен \h-
КУЛЯрНО К TRVM ПЛОСКОСТЯМ . . .... 163
? 1 "ЭД Точка Пересечения трех плоскостей \ 163
!j П5 Взаимное расположение плоскости и тары точек .... . . 165
4 Пб DiccTOflHHe от точки ч<> плоскости 16^
5 137 Полярные параметры плоскости . .... . 166
5 1Ч8 Нормальное уравнение плоскости . ., 167
§ 139 Приведение уравнения плоскости у нормальному вид> 163

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 140. Уравнения Прямой в пространстве ПО
§141. Условие, при котором два уравнения первой степени
представляют прямую , 171
в 142. Пересечение прямой с нлоскостью 172
5 143. Направляющий вектор , 174
§ 144. Углы между прямой и осями координат 175
§ 145. Угол между двумя прямыми 175
§ 146. Угол между прямой и плоскостью , 176
§ 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой
и плоскости 177
§ 148. Пучок плоскостей 177
§ 14Э. Проекции прямой па координатные плоскости 179
§ 150. Симметричные уравнения прямой 180
§ 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду .., 182
§ 132. Параметрические уравнения прямой 183
6 153 ПересечениеплоскостиспрямоЙ.заданпойпарамстрнчески 184
& 151. Уравнения прямой, проходящей черел две данные точки . 1S5
S 135. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно к данной прямой " 185
$ 136- Уравнение прямой, проходящей 4epej данную точку пер-
перпендикулярно к данной плоскости 185
5 157. Уравнение плоскости, проходящей через д.чнпую точку и
данную прямую 18G
§ 158, Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и
параллельной двум данным прямым ,. 187
§ 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую
и параллельной другой данной прямой 1S7
§ 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую
и перпендикулярной к данной плоскости 188
§ 101, Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки
на данную прямую 1SS
§ 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на
данную прямую 190
§ 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат
в одной плоскости ., , 191
§ 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным пря-
прямым , 192
§ 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми 194
g 165а. Правые и левые пары прямых 195
g 166. Преобразование координат 197
§ 167. Уравнение поверхности 198
5 16S. Цилиндрические поверхности, у которых образующие па-
параллельны одной из осей координат 198
§ 164. Уравнения линии 200
§ 170. Проекция линии на координатную плоскость , 201
в 171. Алгебраические поверхности и их порядок 203
§ 172. Сфера 204
8 173. Эллипсоид 204
| 174. Однополостпый гиперболоид , 208
§ 175. Двуполостный гиперболоид .., , 210
6 176. Конус второго порядк.1 , 211
S 177. Эллиптический параболоиц , 213
§ 178. гиперболический параболоид 214
§ 179. Перечень поверхностей второго порядка 216
§ 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго по-
порядка 219
§ 181. Поверхности вращения 220
g 182. Определители второго и третьего порядка 221
§ 183. Определители высших порядков 224
jj.184. Свойства определителей 22«

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 185. Практический прием вычисления определителей 229
§ 186. Применение определителей к исследованию и решению си-
системы уравнений 231
J 187 Два уравнения с двумя неизвестными 232
§ 1MB. Два уравнении с гремя неизвестными 233
jj' 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными 233
t) 190. Три уравнения с тремя нейjbестиыми , 237
| 190а. Система и уравнений с п неизвестными 240
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§101. Сводные замечания ..•,.....• 243
^ 192. Рациональные числа 244
Й 193. Действительные (вещественные) числа 244
§ 194. Чистопая ось 246
§ 195. Переменные и постоянные величины 24б
S 196. Функция 247
§ 197. Способы задания функции , 249
S 198, Область определения функции 251
5 199. Промежуток , 253
f, 200. Классификация функций 254
§ 201, Основные элементарные функции 255
6 202. Обозначение функции 256
§ 203. Предел последовательности 257
% 204, Предел функции 259
& 205. Определение предела функции , 260
§ 206. Предел постоянной величины , 261
I 207. Бесконечно малая величина 2G1
$ 208. Бесконечно большая величина 262
tj 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми
величинами , , 263
§ 210. Ограниченные величины 263
g 211. Расширение понятия предела 264
§ 212. Основные свойства бесконечно малых величин 265
Й 213. Основные теоремы о пределах ..,.,....., 26S
§214. Число е 268
i
§ 215. Предел-Sllii при х-э- О 269
§ 216. Эквивалентные бесконечно малые величины 269
g 217. Сравнение бесконечно мплых пеличип ,.. 271
§ 217а. Приращение переменной величины 273
§ 218. Непрерывность функции в точке 273
g 219. Спойства функций, непрерывных в точке , 274
g 219а.-Односторонний предел; скачок функции 275
jj 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке .... 276
§221, Свойства функций, непрерывных на замкнутом проме-
промежутке 276
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 222. Вводные замечания 279
§ 223, Скорость , 280
§ 224. Определение производной функции 281
§ 22.1 Касательная 282
g 226 Производные нскот орых простейших функций 284
I 227. Свойства производной 2S5

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 228. Дифференциал 2S5
g 229. Механическое истолкование дифференциал.i 287
g 230. Геометрическое истолкование дифференциал.! 287
g 231. Дифференцируемые функции 288
g 232. Дифференциалы некоторых простейших функций 290
| 233. Свойства дифференциала 291
§ 234. Инвариантность выражения /' (х) dx 291
!} 235. Выражение производной через дифференциалы 292
§ 236. Функция от функции (сложная функция) 293
S 237. Дифференциал сложной функции 293
§ 233. Производная сложной функции 294
§ 239. Дифференцирование произведения 295
§ 240. Дифференцирование частного (дроби) 296
§ 241, Обратная функция 297
§ 242. Натуральные логарифмы 298
| 243. Дифференцирование логарифмической функции 300
§ 244. Логарифмическое дифференцирование 301
g 245. Дифференцирование показательной функции 302
| 246. Дифференцирование тригонометрических функций 303
§ 247. Дифференцирование обратных ;ригонометрических
функций 304
§ 247а. Некоторые поучительные примеры 305
5 24<S. Дифференциал в приближенных вычислениях 307
§ 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул 309
§ 250. Дифференцирование неявних функций 311
£ 251. Параметрическое задание лиегии 313
5 252. Параметрическое задание функции 315
^ 253. Циклоида 310
§ 254. Уравнение касательной к плоской линии ЗГ8
§ 254а. Касательные к кривым второго порядка 319
Й 255. Уравнение нормали 320
g 256, Производные высших порядков 32 1
jj 257. Механический смысл второй производной 322
£ 258. Дифференциалы щлсших порядков 322
§ 259. Выражение высших прои^одных через дифференциалы . 325
8 2G0. Высшие производные от функций, заданных параметри-
параметрически ,, , 326
§201. Высшие производные неявных функций 326
§ 262. Правило Лейбница 328
$ 263. Теорема Ролл я 329
g 2R4. Теорема Лагранжа о среднем значении , 330
S 265. Формула конечных приращения 333
§ 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коша) 334
§ 267. Раскрытие неопределенностей вида -— 33G
§ 268. Раскрытие неопределенности вида ~ 339
§ 269. Неопределенные выражения других видов 340
§ 270- Исторические сведения о формуле Тейлора 342
S 271. Формула Тейлора 346
§ 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений
функции 348
§ 273. Возрастание и Убывание функции 356
§ 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке . .., 357
g 274а. Признаки возрастания и убывания функции в проме-
промежутке 358
g 27j. Максимум и минимум , 359
§ 276. Необходимое условие максимума и минимума 360

ОГЛАВЛЕНИЕ 9
j 277. Первое лопаточное условие максимума и минимума .... 3SI
5 278. Правило разыскания максимумов и минимумов 362
: 279. Второе- достаточное условие максимума и минимума 365
} 280. Раллсклпис наибольших и наименьших значений функции 368
| 281. Выпуклость гпшских Кривых, точка перегиба 374
} 282. Сторон.1 погнутости 375
5 283. Правило для разыскания i очек перегиба 376
| 284. Асимптоты „ 377
| 28Г». Отыскание .кимнгот, параллелышх коордипатым осям 378
| 286. Разыскание асимптот, не параллельных оси ординат .... 380
| 287. Приемы not трос ния графики» 383
; 288 Решение уравнений Общие .имечапия 386
| 289 Решение уравнений. Способ хорд 388
, 290. Решение уравнений Способ касательпнх 390
; 241. Комбинированны!! метод хорд и касательных 392
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
i 292, Вводные замечании 395
г 293. Первообразная функция 397
■ 291 Неопределенный интеграл 39S
29Г> Геометрическое истолкование интегрирования 400
290. Вычисление постоянной интегрирования по начальным
данным 403
297- Свойства неопределенного интеграла 404
248. Таблица интегралов 4О.т
299. Непосредственное интегрирование 407
300. Способ подстановки (интегриронапиа через вспомогатель-
вспомогательную переменную) 40S
301. Интегрирование по частям 412
302. Интегрирование некоторых тригонометрических выра-
выражений 415
303. Т рнгонометрические подилповкп 418
304. Рациональные функции 420
304а Исключение лд'лой члеш 420
305 О приемах интегрирования рациональных лробей ....... 421
306. Интегрирование простейших рациональных дробей 422
307. Интегрирование рациональных (Ьункцнй (общий метод) . . 426
: 308, О р.иложениц миги очлепа на множители 433
309. Об ичтегрирусмоа и в элементарных фу нкииях 434
310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов 435
311. Интеграл от биномиального дифференциала 436
312. Интегралы пила Г Л (х, Ya\Z-\ fee-FT) dx 438
313. Интегралы вида R (ыи х, cos x) iix 440
314 Определенный интеграл 441
315. Свойства определенного интеграла 445
316. Геометричс( кое истолкование определенного интеграла . . 447
3 I 7. Механическое истолкоп„ние определенного интеграла . . . 448
318 Оценка определенного интеграла 450
318а Неравенство Пуннкоиского 451
310. 1 сорг ма о cpf'jniejn интеграл:.hoi о исчисления 451
320 Определенный интеграл как ф^ннция верхнего предела . . 453
321. Дифференциал интеграла , 455
322. Интегрлл дифференциала. Формула Ныотопа—Лейбница 457
323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопре-
неопределенного ,, ,, , 459

10 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 324. Определенное интегрирование по чистим 461
§ 325. Способ подстановки в определенном интеграле 462
§ 326. О несобственных интегралах 466
§ 327. Интегралы с бесконечными пределами 467
§ 328. Интеграл от функции, цмеюшсй разрыв 472
§ 329. О приближенном вычислении интеграла 475
§ 330. Формулы прямоугольников 478
§ 331. Формула трапеций 480
§ 332. Формуле Симпсона (параболических трапеций) 481
§333. Плошали фигур, отнесенных к прямоугольным координатам 483
§ 334. Схема применения определенного интеграла , 485
§ 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам . .. 487
§ 336. Объем тела но поперечным сечениям 489
§ 337. Объем тела вращения 490
§ 338. Длина дуги плоской линии 491
§ 339. Дифференциал дуги 493
§ 340. Длина дуги и ее дифференциал и полярных координатах 494
§ 341. Площадь поверхности вращения 496
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ
И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ
342. Кривизна 498
343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии 499
344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плос-
плоской линии 500
345. Эполюта плоской линии " 504
346. Свойства эволют:.! плоской линии . . 505
347. Развертка (эвольвента) плоский линии 506
348. Параметрическое аадание пространственной линии 507
349. Винтовая линия 509
350. Длина дуги пространственной линии . 510
351. Касательная к пространственной линии 511
352. Нормальная плоскость 513
353. Вектор-функция скалярного аргумента 514
354. Предел вектор-функции 515
355. Производная вектор-функция 516
356. Дифференциал вектор-функции '. 517
357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции 518
358. Соприкасающаяся плоскость 520
359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник , , . 522
360. Взаимное расположение линии и плоскости 523
361. Основные векторы сопутствующего трехгранника 024
362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии . 525
363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны про-
пространственной линии 526
364. О знаке кривизны , 528
365. Кручение 529
РЯДЫ
366. Вводные замечания .' 532
367. Определение ряда , 532
368. Сходящиеся и расходящиеся ряды 533
369. Необходимое условие сходимости ряда , 535
370. Остаток ряда ,.,.,,,,.,.,,,,., i.. • 11, (, t ■ i., ■. ■. 537

ОГЛАВЛЕНИЕ 11
§ 371. Простейшие действия над рядами 5 39
§ 372. Положительные рлды 540
§ 373. Сравнение положительных рядов 541
§ 374. Признак Даламбера для положительного ряда 543
§ 375. Интегральный признак сходимости 545
§ 376. Знакопеременный ряд. Пцизнак Лейбница 547
§ 377. Абсолютная и условная сходимость 548
§ 378. Признак Даламбера для произвольного ряда 550
§ 379. Перестановка членои ряда , 550
§ 380. Группировка членов ряда 551
§ 381. Умножение рядои 553
§ 382. Деление рядов 556
§ 383. Функциональный ряд 557
§ 384. Область сходимости функционального ряда , 558
§ 385. О равномерной и неравномерной сходимости 560
§ 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости 562
§ 387. Геометрическое истолкование равномерной и неравномер-
неравномерной сходимости 563
g 3SS. Признак равномерной сходимости; правильные ряды .... 564
й 389. Непрерывность суммы ряда 5У5
Й 390. Интегрирование рядов 56И
S 391. Дифференцированно рядои 570
S 392. Степенной ряд .571
§ 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда 572
§ 394. Разыскание радиуса сходимости 573
§ 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням
х—х0 575
§ 396. Теорема Абеля 576
§ 397. Действия со степенными рядами 576
5 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда 579
S 399. Ряд Тейлора 581
§ 400. Разложение функции в степенной ряд 582
§ 401. Разложение элементарных функций и степенные ряды , .. 585
§ 402. Применение рядов к вычислению интегралов 589
§ 403. Гиперболические функции , 591
§ 404. Обратные гиперболические функции 594
§ 405. Происхождение наименонаннй гиперболических функций 596
§ 406. О комплексных числах 597
§ 407. Комплексная функция действителыюго'аргумента 598
S 408. Производная комплексной функции 600
§ 409. Возведение положительного числа в комплексную сте-
степень 601
§ 410. Формула Эйлера . 602
§411, Тригонометрический ряд 603
§ 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах .... 604
§ 413. Ортогональность системы функций cos nx, sin nx .'. 605
S 414. Формулы Эйлера—Фурье 607
$ 415, Ряд Фурье 609
§ 416. Ряд Фурье для непрерывной функции 610
S 417. Ряд Фурье дня четной и нечетной функции 614
§ 418, Ряд Фурье для разрывной функции 61S
дифференцированней интегрирование функций
нескольких аргументов
§ 419. Функция двух аргументов .,.., 622
§ 420. Функция трех и большего числа аргументов 623
§ 421, Способы задания функций нескольких аргументов 624

12 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 422. Предел функции нескольких аргументов 627
§ 423. О порядке малости функции нескольких аргументов .... 628
§ 424, Непрерывность функции нескольких аргументов 630
5 425. Часшие производные 631
§ 426. Геометрическое истолкование частнмх производных для
случая дйух аргументов 632
§ 427, Полное и частное приращение 632
8 428. Частный дифференциал . .. , (Ш
§ 429. О выражении частной производной через дифферен-
дифференциал 634
§ 430. Полный дифференциал 635
§ 431. Геометрическое истолкование полного дифференциала
(случай двух аргументов) 636
§ 432. Инвариантность выражения i'xdx-\-j'dy+f'tdz полного
дифференциала 637
§ 433. Техника дифференцирования , 63S
§ 434. Дифференцируемые функции 639
§ 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 640
S 436. Уравнение касательной плоскости 641
§ 437. Уравнения нормали 642
§ 438. Дифференцирование сложной функции 64;i
{? 439. Замена прямоугольных координат полярными 644
S 440. Формулы для производных сложной функции 644
S 441. Полная производная 645
§ 442. Дифференцирование неяиной функции нескольких пере-
переменных 646
§ 443. Частные производные инших порядков 649
§ 444. Полные Дифференциалы высших порядков 651
S 445. Техника повторного дифференцирования 653
§ 446. Условное обозначение дифференциалов 653
§ 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов 654
§ 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких
аргументов 6Л0
g 449. Правило разыскания экстремума 657
§ 450. Достаточные условия окстрему.ча (случай двух аргумен-
аргументов) 659
§ 451. Днойной интеграл 660
§ 452. Геометрическое истолкование двойного интеграла ...... 661
§ 453. Свойства двойного интеграла 662
§ 4Г>4. Оценка лпойноГо интеграла В61.5
§ 455. Вычисление двоЯно''о интеграла (простейший случай). , . . 663
§ 456. Вычисление двойного интеграла (общий случай) 667
S 457. Функция точки 670
§ 458. Выражение двойного интеграла через полярные коорди-
координаты 1O1
§ 459. Площадь куска поперяностн 67">
I 460. Тройной интеграл E77
§ 4С1. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) , . . 678
§ 462. Вычисяение'тройпого интеграла (общий случай) 679
§ 463. Цилиндрические координаты 68]
§ 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические ко-
координаты 681
§ 465. Сферические координаты .'. 682
§ 466. Выражение тройного интеграла через сферические коор-
координаты 682
§ 467. Схема применения двойного и тройного интеграла 684
§ 468. Момент инерции ." 685
§ 469. Выражение некоторых, физических и геометрических вели-
величин через двойные нптстралм 687

ОГЛАВЛЕНИЕ 13
470. Выражение некоторых физических и геометрических вели-
величин через тройные интегралы 689
471. Криволинейный интеграл 691
412. Механический смысл криволинейного интеграла 693
473. Вычисление криволинейного интеграла ВОЗ
474. Формула Грина , 695
475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зави-
зависит от пути 696
476. Другая форма условия Предыдущего параграфа .,..;.. 698
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
477. Основные понятия 701
478. Уравнение первого порядка 703
479. Геометрическое истолкование уравнения первого порядка 703
480. Изоклины 70G
481. Частное и общее решение уравнения первого порядка ... 707
482. Уравнения и разделенными переменными 708
483. Разделение переменных. Особое решение 710
4S4. Уравнение в полных дифференциалах 711
484а. Инте'грирующий множитель 712
485. Однородное уравнение 713
486. Линейное уравнение первого порядка 715
487. Уравнение Клеро ~' 8
488. Огибающая 719
489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений 721
490. Приближенное интегрирование уравнений первого поряд-
порядка по метолу Эйлера ■ 721
491. Ингегриропание дифференциальных уравнений с помощью
рядов 723
492. О составлении дифференциальных уравнений 725
493. Уравнение нторого порядка 729
494. Уравнение л-го порядка 731
495. Случаи понижения порядка 732
496. Линейное урапнение второго порядка 733
497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными ко-
коэффициентами 735
498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными ко-
коэффициентами без правой iiiiCTn '3G
498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 739
499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными ко-
коэффициентами с праной частью 740
500. Линейные уравнения любого порядка 746
501. Метод вариации постоянных ■ ?48
502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы 749
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
503. Строфоида . , 751
504. Циссоида Диокла 753
505. Декартов лист ' 755
506. Верзьера Лньези .. 758
507. Конхоида Никомеда ' 760
508. Улитка Паскаля; кардиоида 765

Н ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 509. Линия Кассини , , 770
§ 510. Лемниската Бернулли .,., , 776
§ 511. Архимедова спираль 777
§ 512. Эвольвента (развертка) круга 781
§513. Логарифмическая спираль 784
§ 514. Циклоиды 791
§ 515, Эпициклоиды и гипоциклоиды 805
§ 516. Трактриса ,...., 822
§ 517. Цепная линия ,., , 829
ТАБЛИЦЫ
I, Натуральные логарифмы 834
Л. Таблица для перехода от натуральных логарифмов к деся-
десятичным S38
Ш, Таблица для перехода- от десятичных логарифмов к нату-
натуральным • ,,,....... 83S
IV. Показательная функция сх 839
V. Таблица неопределенных интегралов 841
Алфавитный Указатель , , , 852

ЧТО МОЖНО НАЙТИ В СПРАВОЧНИКЕ
Эта кншй составляет продолжение Справочника по эле-
элементарной математике того же автора и включает весь мате-
материал, входящий в программу основного курса математики
высших технических Учебных заведений (механико-маши-
(механико-машиностроительных, строительных, авиационных, транспорт-
транспортных, электротехнических, энергетических и горнометал-
лургических).
Книга имеет двоякое назначение.
Во-первых, она дает фактическую справку: что такое
векторное произведение, как ьайтн поверхность тела вра-
вращения, как разложить функцию в тригонометрический ряд
и т. п. Соответствующие определения, теоремы, правила и
формулы, сопровождаемые примерами и практическими
указаниями, находятся быстро; этой цели служат детальная
рубрикация и подробный алфавитный указатель.
Во-вторых, книга предназначена для систематического
чтения. Она не претендует на роль учебника, и потому
доказательства проводятся здесь полностью лишь в исклю-
исключительных случаях. Однако она может служить пособием
для первого ознакомления с предметом. С этой целью
здесь подробно разъясняются основные понятия, как-то:
понятие скалярного произведения {§ 104), предела (§§ 203-
206), дифференциала (§§ 228 - 235), бесконечного ряда
(§§ 270, 366 — 370). С этол же целью все правила иллюстри-
иллюстрируются большим числом примеров, которые составляют в
этой книге органическую ее часть (см. §§ 50 — 62, 134, 149,
264-266, 369, 422, 498 и др.). Они уясняют, как надо при-
применять правила, когда правило теряет силу, каких ошибок
надо избегать (§§ 290, 339, 340, 379 и др.).
Теоремы и правила сопровождаются также различного
рода пояснениями". Иногда имеется в виду наглядно вы-
выявить содержание теоремы, чтобы учащийся мог по-настоя-
по-настоящему1 усвоить доказательство. Иногда пояснение сопрово-
сопровождает частный пример и содержит такое рассуждение.

16 ЧТО МОЖНО НАЙТИ В СПРАВОЧНИКЕ
которое явится полным доказательством теоремы, если его
применить к общему случаю (см, §§ 148, 149, 369, 374).
Иногда пояснение ограничивается указанием тех парагра-
параграфов, на которых основывается доказательство. Мелким
шрифтом выделен тот материал, который можно опустить
при первом чтении, что вовсе не всегда означает его мало-
маловажность.
Сознательное усвоение математических идей чрезвычайно
облегчается при ознакомлении с обстоятельствами их за-
зарождения и развития. Вот почему большое внимание уде-
уделено здесь историческим сведениям. Так, §§ 270, 366 в
связи с §§ 271, 383, 399, 400, надеюсь, позволят уяснить
теорию ряда Тейлора лучше, чем при обычном формаль-
формальном изложении. Наряду с историческими сведениями даны
биографические справки об ученых, имена которых связаны
с излагаемым материалом.
Других методических особенностей, книги нет смысла
касаться: учащийся будет судить о них по степени доход-
доходчивости, преподавателю же достаточно указания на ряд
характерных параграфов: 28,60 - 62,92,184-190,203 - 200,
228-234, 237, 258-260, 271, 343-347, 430-438, 459.
Настоящее издание печатается без существенных
изменений по сравнению с предыдущим изданием.
Исправлены лишь замеченные опечатки.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Понятие о предмете аналитической геометрии
В школьной (элементарной) геометрии изучаются свой-
свойства прямолинейных фигур и окружности. Основную роль
играют построения, вычисления же, хотя практическое зна-
значение их и велико, в теории играют подчиненную роль.
Выбор того или иного построения обычно требует изо-
изобретательности. Это и составляет главную трудность при
решении задач методами элементарной геометрии.
Аналитическая геометрия возникла из потребности
создать единообразные средства для решения
геометрических задач с тем, чтобы применить их к изуче-
изучению важных для практики кривых линий различной
формы.
Эта цель была достигнута созданием координатного
метода (см. ниже §§ 2-4). В нем ведущую роль играют
вычисления, построения же имеют вспомогательное значе-
значение. Вследствие этого решение задач методом аналитиче-
аналитической геометрии требует гораздо меньшей изобретатель-
изобретательности.
Создание координатного метода било подготовлено
трудами древнегреческих математиков, в особенности
Аполлония .C — 2 в. до и. э.). Систематическое развитие
координатный метод получил в первой половине 17 века
в работах Ферма1) и Декарта2), Они, однако,
]) П ь е р Ф е р м а A601 -1655)-знаменитый французский мате-
математик, один цз предшестпенников Ньютона и Лейбница в разработке
дифференциального нечисления; внес большой вклад и теорию чисел.
Большинство раПст Ферма (в том лисле по аналитической геометрии)
не публиковалось при жизни автора.
!) Репе Дек эрг A536 — i6fiO)-знаменитый французский фило-
философ и математик. Опубликование его «Геометрии» (одно из приложе-
приложений к философскому трактату «Рассуждение о методе») в 1637 г. счита-
считается (условно) fl;iToft рождения аналитической геометрии.
2 М. ft, Выгодский

18 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
рассматривали только плоские линии. К систематическому
изучению пространственных линии и поверхностей коорди-
координатный метод был применен впервые Л. Эйлером1).
§ 2. Координаты
Координатами точки называются такие величины, кото-
которые определяют положение этой точки (в пространстве, на
плоской пли на кривой поверхности, на прямой или кри-
, вон линии). Так, если, например, точ-
0 м ка Л! должна лежать где-иибудь иа
—. ' '—J" прямой линии Х'Х (черт. 1), то ее
положение можно определить одним
Черт, i числом, например, следующим обра-
образом: выбрав на Х'Х какую-либо иа-
чалыгую точку О, измерим отрезок ОМ, скажем, в сантимет-
сантиметрах. Мы получим число х, положительное или отрицатель-
отрицательное, смотря по тому, куда направлен отрезок ОМ (вправо
или влево, если прямая горизонтальна). Число х есть ко-
координата точки М,
Значение координаты х зависит от выбора начальной
точки О, от выбора положительного направления на пря-
прямой и от того, какой отрезок принят за единицу масштаба.
§ 3. Прямоугольная система координат
Положение точки на плоскости определяется двумя
координатами. Простейший способ таков.
Проводятся дн^заимно перпендикулярные прямые Х'Х,
Y'Y (черт. 2). (ЯИ называются осями координат. Одна
из них Х'Х (обычно ее проводят горизонтально) назы-
называется осью абсцисс, другая Y'Y - осью ординат. Точка О
их пересечения называется началом координат, или,
короче, началом. Для измерения отрезков иа осях коорди-
координат выбирается некоторая единица масштаба, произволь-
произвольная, но одна и та же для обеих осей.
На каждой оси выбирается положительное иаправлсиис
(обозначаемое стрелкой). На черт. 2 луч ОХ даст аоло-
жительное направление на оси абсцисс, а луч OY — на
оси ординат.
*)Леонард Эйлер A707-1783) родился в Швейцарии.
В 1727 г. прибыл в Россию; работал сначала в качестве адъюнкта
(научного сотцудника) Петербургской академии наук, «затем (с 1733 г.)
в качестве ее академика. Написал свыше 800 работ. Во всех физико-
математических науках сделал важнейшие открытия. Много содейство-
содействовал развитию русской науки.

4. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
19
Принято выбирать положительные направления так,
чтобы (черт. 3) положительный луч ОХ после поворота
на 90° против часовой стрелки совмещался с положитель-
положительным лучом ОУ
Черт. 2.
f
Черт. 3.
Оси координат Х'Х, У' У (с установленными положи-
положительными направлениями н выбранным масштабом) обра-
образуют прямоугольную систему координат.
§ 4, Прямоугольные координаты
Положение точки М иа плоскости в прямоугольной
системе координат (§ 3) определяется следующим образом.
Проводим МРЦУ'У до пересечения с осью Х'Х в точке р
(черт. 4) и MQNX'X до пере-
пересечения с осью У' х в точке Q, Чис-
Числа х и у, измеряющие отрезки
ОР и OQ в избранном масштабе
(а иногда и сами эти отрезки),
называются прямоугольными
координатами (короче, коор-
координатами) точки М. Эти числа
берем положительными или от-
отрицательными в зависимости от
направления отрезков OP, OQ.
Число х называется абсциссой точ-
точки М, число у-ее ординатой.
На черт. 4 точка М имеет абсциссу з:=2и ординату
у = 3 (при единице масштаба 0,4 ел). Это записывается
так: М B; 3). Вообще запись М (а; Ь) означает, что точка М
имеет абсциссу
х — а
и ординату
X'
Г
Черт. 4.
2*

20 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Примеры. Отмеченные на черт. 5 точки регистри-
регистрируются так; ЛД+2; +4), А,{~2; -1-4), Л3(+-2; -4),
А (-2; -4), Вг{ + 5;0), Вй@;~~6), О @; 0).
Замечание. Координаты данной точки М будут
иными в иной прямоугольной системе координат.
5
Г
Черт. 5.
ft
Ш
Черт. б.
§ 5. Координатные углы
Четыре Угла, образованные осями координат, носят
название координатных углов. Они нумеруются, как
показано на черт, 6. Следующая таблица показывает,
какие знаки имеют координаты точки в различных коор-
координатных углах:
~—-~—^Координатные
Ко ординатьг1^^^
Абсцисса
Ордината
I
+
+
II
-
+
III
-
IV
+
-
На черт. 5 точка Д лежит в первом координатном
углу, точка Л2-во втором, точка Aj~B третьем и точка
А3 — в четвертом.
Если точка лежит на оси абсцисс (например, точка Вх
на черт, 5), то ее ордината у равна нулю. Если точка
лежит на оси ординат (например, точка В2 на черт. 5), то
ее абсцисса равна нулю.

S 7. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
§ 6. Косоугольная система координат
21
ж'
г1/
Кроме прямоугольном системы координат, употребля-
употребляются и другие системы. Косоугольная система (она наиболее
сходна с прямоугольной) строится так: проводятся (черт. 7)
дпе иеперпенднкулярпые прямые Х'Х
и У У (оси координат) и дальше по-
поступают так же, как при построении
прямоугольной системы (§ 3). Коор-
Координаты х - ОР (абсцисса) и у ^- РМ
(ордината) определяются так же, как
объяснено и § 4.
Прямоугольная и косоугольная
системы объединяются под назва-
названием декартовой системы коор-
координат.
Наряду с декартовой применяются и другие системы
координат (наиболее Употребительна полярная система;
см. § 73).
§ 7. Уравнение линии
Рассмотрим уравнение х + у — 3, связывающее абсцис-
абсциссу х и ординату у. Ему удовлетворяет множество пар
значений х, у, например, х = 1 и у - 2, х ~ 2 и у = 1,
х=Зиу = 0,х^4иу= -1 и т. д. Каждой паре коор-
координат (о данной системе координат) соответствует одна
Черт. 7.
JC
\
0
Y
\
\
Д,
a,
\
~x P
/
/s
/
/
Y
/
U
r
I
/
Черт, в..
точка (§ 4). На черт. 8, а изображены точки А, A; 2),
Аг B; 1), А3{3; О), А4 D; ~1). Они лежат на одной пря-
прямой UV. На той же прямой лежит всякая другая точка,
координаты которой удовлетворяют уравнению х+у = 3.
Обратно, у любой точки, лежащей на прямой UV, коор-
координаты х, у удовлетворяют уравнению х+у = 3.

22 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Сообразно с этим говорят: уравнение х-}-у = 3 есть
уравнение прямой линии UV. Говорят также: уравнение
х+у = 3 представляет прямую UV. В аналогичном
смысле надо понимать вы-
выражения: «уравнение пря-
й5Т(^ )
1
\
/
\
/
к-
К.
I
У
,'
Y
i
-^
/
й
s
\
/
X
Черт. 9.
у = 2х», уравнение х2+у2 =
= 49 представляет окруж-
окружность (черт. 9), радиус кото-
которой содержит 7 масштабных
единиц, а центр совмещается
с началом координат
(см. § 38).
Вообще уравнение, свя-
связывающее координаты х, у,
называется уравнением ли-
линии L, если соблюдены два
условия*. 1) коорди)шты х, у
всякой точки М линии L
удовлетворяют этому урав-
уравнению, 2) координаты х, у всякой точки, не лежащей
на линии L, не удовлетворяют зтому уравнению.
Координаты точки М, взятой иа линии L произвольным
образом, называют текущими к оординатами, так как линия/-
может быть образована перемещением («течением»)точки М.
Пусть Ми М%, М3,„. (черт. 10) --последовательные положения
точки М на линии L, Построим ряд перпендикуляров Л1,Р,, AJaPSl
МЯР*1 ■•■ к оси ОХ. Получим идущие друг
за другом отрезки Р^Ми РгМ~, Р^М^... На
оси ОХ отсекш^кя при этом отрезки ОР,,
ОР%> ОР3,... С^Лудут абсциссами. С этим
связано происхождение терминов «абсцисса»
и «ордината». Латинское слоло «абсцисса»
(abscissa) в переводе означает «отсеченная»;
слово «ордината» есть сокращение термина
*ординатим дукта» (ordinatim ducta), что оз-
означает «подряд проведенная».
Представляя каждую точку плоскости ее
координатами, а каждую линию-уравне-
Черт, 10.
иием, связывающим текущие координаты, мы сводим геометричес-
геометрическую задачу к «аналитической» (т. е. вычислительной). Отсюда наз-
название «аналитическил геометрия.*
§ 8. Взаимное расположение линии и точки
Чтобы ответить на вопрос, лежит ли точка М на неко-
некоторой линии L, достаточно знать координаты точки М и
уравнение линии L. Если координаты точки М удовлетво-
удовлетворяют уравнению линии L, то М лежит на L; в противном
случае ие лежит.

§ 10. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ 23
При м е р. Лежит ли точка М E; 5) на окружности
х* + у* = 49 (§ 7)?
Р е ш е п и с. Подставим значения х =- 5, у = 5 в уравне-
уравнение х-+у2 = 49. Так как уравнение ие удовлетворяется,
то точка М не лежит на рассматриваемой окружности.
§ 9, Взаимное расположение двух линий
Чтобы очистить иа вопрос, есть ли у двух линий общие
точки и если да, то сколько, достаточно знать уравнении
зтих линий. Если уравнения совместны, ю общие точки
есть, в противном случае их нет. Число общих точек равно
числу решений системы уравнений.
Пример 1. Прямая линия х + у = 3 (§ 7) и окруж-
окружность гЧу* - 49 имеют две общие точки, ибо система
х + у = 3, Xs + у» = 49
имеет два решения:
y - з+Узд _ fi ™ з-УШ _ ,, 99
3
Пример 2, Прямая линия x-i-y = 3 н окружность
х2+у2 = 4 не имеют общих точек, так как система
x-i-y = 3, х2 + ys - 4
ис имеет решений (действительных).
§ 10. Расстояние между двумя точками
Расстояние d между точками А1(х1; yj и Аг{х«\ ув)
выражается формулой
Пример. Расстояние между точками М{-2,Ъ; 4,0)
и N (8,5; 0,7) составляет
d = ^(875 + 2,3)» + @,7"^4F - /10,8а + зЖ^ 1 ЬЗ
(масштабных единиц).
Замечание 1. Порядок точек М и N не играет
роли; можно N считать первой, а М-второй.
Замечание 2. Расстояние d считается положитель-
положительным; поэтому в формуле A) корень берется с одним знв-
ком (плюс).

24 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 11. Деление отрезка в данном отношении
Даны точки A(*i> Ур. Az(xi> b) (чеРт- И)- Требуется
найти координаты х, у точки К.,
У ^й; делящей отрезок А, А. в отношении
0)
Решение дается формулами
х - т"*1-
Черт. П.
тгу,
1^ (
Если отношение /7^ : тг ооозначить буквой X, то фор-
формулы A) примут несимметричный вид
П-римср 1. Даны точка В F;-4) и точка О, совпа-
совпадающая с началом координат. Найти точку К, делящую ВО
в отношении 2 : 3-
Решение. В формулы A) ладо подставить:
тг = 2, тг = 3, Xi = б, у, -- -A, xs = 0, yt = О.
Получае^М
х = 4т = 3,6, у = -~ = - 2,4.
Это — координаты искомой точки К.
Замечание 1. Выражение «точка К делит отре-
отрезок А. А; в отношении тх: т.2о означает, что отношение
т, : тг равно отношению отрезков AtK. : KA2, взятых
именно в этом (а не- в обратном) порядке, В примере 1
точка /<C,6; -2,4) делит отрезок ВО в отношении 2:3,
а отрезок Ой -в отношении 3 : 2.
Замечание 2. Пусть точка К делит отрезок Л,А2
внешним образом, т. е. лежит на продолжении отрезка
А А; тогда формулы A) и B) сохраняют силу, если вели-
величине т,: пи -= X приписать отрицательный знак.
Пример 2. Даны точки АО; 2) " Л C; 3). Найги
на продолжении отрезка АХА2 точку, отстоящую от А
вдвое дальше, чем от А.
\

f 13. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
25
Р е in е и и е. Имеем "X = т,: пи = -2 (так что можно
положить т, = -2, т., = 1 или т1 -2, тг ^- -1). По
формулам A) находим;
х =
-2+1
= 5, y =
-2 + 1
- = 4.
§ 11a. Деление отрезка пополам
Координаты середины отрезка АХА.Л равны полусуммам
соответственных координат его концов:
х -=
Эти формулы получаются из формул A) и B) § 11, если
положить т, = т,, = 1 или \ - 1.
§ 12. Определитель второго порядка >)
а Ь
Запись
с d
Примеры.
обозначает то же, что ad-be.
2 7
3 5
3 -4
6 2
а Ь
с d
= 2-5-3-7 = -11;
- 3-2-6-(-4) - 30.
[
называется определителем второго
Выражение
порядка.
§ 13. Площадь треугольника
Пусть точки А1 (х,; у}), Ая(х,; у2), А,(х3; у3) - вер-
вершины треугольника, тогда его площадь выражается *~
мул ой
в правой части стоит определигель второго порядка (§ 12).
Площадь треуюльника мы считаем положительной. По-
Поэтому перед определителем Gepcw знак плюс, если значе-
значение определителя положительно, и минус, если оно отри-
отрицательно.
Подробнее об определителях см. §§ 182—185.

26
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример. Найти площадь треугольника с вершинами
АA;3), Б B; -5) и С (-8; 4).
Решение. Принимая А за пероую вершину, В за
вторую, С за третью, находим:
3-4
-*з Уь-Уа
-5-4
71.
-|lO Ze[- -81
В формуле A) надо взять знак минус; получаем:
S= -~(-7l) *= 35,5.
Если же счшать первой вершиной А, второй С и
третьей В, то
= 71.
1-2 3+5 - 1 8
-8-2 4+5 ^ -10 9
В формуле A) теперь нужно взять знак плюс; получим
снова S = 35,5.
Замечание. Если вершина А, совпадает с началом
координат, то площадь треугольника представляется фор-
формулой
B)
2
(частный случай формулы A) при х3 = Уа — 0).
§ 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное
относительно ординаты («с угловым коэффициентом»)
Всякую прямую, не параллельную оси ординат, можно
представить уравнением вида
у = ах+ Ъ; A)
здесь а есть тангенс угла а (черт. 12), образованного
прямой с положительным направлением оси абсциссJ)
э) Начальным лучом угла а считается луч ОХ. На прямой SS'
можно взятьлюбой из лучей l,S, LS'. Угол Xl^S считается положите it-
ным, если попорот, совмещающий луи LX с лучом LS, совершается и
том же направлении, что поворот на 90° olh ОХ, совмещающий ее с
осью ОУ (т. е. при обычном расположении — против часовой стрелки).

g 14. ПРЯМАЯ; УРАВНЕНИЕ СУГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ 27
(а = tg а ~ tg ^ XLS), а число & по абсолютному значению
равно длине отрезка ОК, отсекаемого прямой на осн
ординат; число Ь положительно или отрицательно в зави-
зависимости от направления отрезка ОК- Если прямая прохо-
проходит через начало, то Ь = О.
Величину а называют угловым коэффициентом, вели-
величину Ь —начальной ординатой.
Пример 1. Написать уравнение прямой (черт. 13),
образующей с осью ОХ угол а — —45° и отсекающей на-
начальную ординату Ь = — 3.
Решение. Угловой коэффициент а — tg (- 45°) = -1.
Искомое уравнение есть у = ~х~3.
v ■* -
1 1 3
Черт. 12.
Черт. 13,
Пример 2. Какую линию представляет уравнение
Зх - ^3 >■?
Решение. Разрешив уравнение относительному, на-
находим, у = f3x. По угловому_ коэффициенту а = УЗ най-
найдем угол а: так как tg а = 1^3, то а = 60° (или а = 240").
Начальная ордината b ~ 0; поэтому данное уравнение
представляет прямую UV (черт. 14), проходящую через
начало и образующую с осью ОХ угол 60° (или 240°).
Замечание 1. В отличие от дрУ1 нх видов уравнения
прямой (си. ниже §§ 30, 33) уравнение A) называется
разрешенным относительно ординаты или уравнением
с угловым коэффициентом1).
*) Первое название предпочтительно, так как уравнение вида
х = ay-t-b' (разрешенное относительно абсциссы) тоже представляет
прямую (не параллельную осн абсцисс); так как координаты х, у равно-
равноправны, то число а' можно было бы назвать угловым коэффициентом
с тем же правом, что и число а.

28 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Замечание 2, Прямую, параллельную оси ординат,
нельзя представить уравнением, разрешенным относи-
относительно ординаты. Ср. § 15.
§ 15. Прямая, параллельная оси
Прямая, параллельная оси абсцисс (черт. 15), предста-
представляется уравнением1)
у = ъ, A)
где величина Ъ по абсолютному значению
равна расстоянию от оси абсцисс до
прямой. Если Ъ > 0, то прямая лежит
«над» осью абсцисс (см. черт. 15); если
Ь ■< О, — то «под» ней. Сама ось абсцисс
представляется уравнением.
у =* 0. Aа)
Прямая, параллельная оси ординат (черт. 16), пред-
представляется уравнениемг)
х = /. B)
Абсолютное значение / дает расстояние от оси ординат
до прямой. Если / =- О, прямая лежит «справа» от оси
.
ь
0
Y
X
Черт. 15.
черт. J6.
Черт. 17.
Черт. 18.
ординат (см. черт. 16); если / -с 0, - «слева» от нее. Сама
ось ординат представляется уравнением
х = 0. Bа)
Пример 1. Написать уравнение прямой, отсекающей
начальную ординату Ь ^ 3 н параллельной л"
(черт. 17).
О т в е т. v = 3.
оси ОХ
') Уравнение A) есть частный вид урявнения у^ах + Ь, разре-
разрешенного относительно ординаты (§ И). Угловой коэффициент о=0.
*) Уравнение B) есть частный вид уравнения х=а'у+Ь', разре-
разрешенного относительно абсциссы (см. § 14, сноска). Угловой коэффи-
коэффициент а' = 0.

5 16. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ 29
Пример 2. Какую линию представляет уравнение
Зх+5 = О?
Решение. Разрешая данное уравнение относи-
относительно х, получаем, х = ~ ~. Уравнение представляет
прямую, параллельную оси OY н лежащую «слева» от нее
на расстоянии ~ (черт. 18). Величину / = --^ можно
назвать «начальной абсциссой».
§ 16. Общее уравнение прямой
Уравнение
Ах+Ву+С = О A)
(где А, В, С могут иметь любые значения, лишь бы ко-
коэффициенты А, В ие были нулями оба сразу *)) предста-
представляет прямую линию (ср. §§ 14, 15). Всякую прямую можно
представить уравнением этого вида. Поэтому его назы-
называют общим уравнением прямой.
Если А = О, т, е. уравнение A) не содержит ,г, то оно
представляет прямую, параллельную 2) оси ОХ (§ 15).
Если В = 0, т. е, уравнение A) не содержит у, то оно
представляет прямую, параллельную 2) оси OY.
Когда В не равно нулю, уравнение A) можно разре-
разрешить относительно ординаты у; тогда оио преобразуется
к виду
у=ах+б(где а= -™, *--£)• B)
Так, уравнение 2х-4у+5 = О (А = 2, В = -4, С = 5)
преобразуется к виду
у = 0,5х+1,25
^а _ _^__. _- од b = -^4- = 1>2б), разрешенному относи-
относительно ординаты (начальная ордината Ь = 1,25, угловой
коэффициент а = 0,5, так что a =s 2бс34'; см. § 14).
1) При А=В=0 получается либо тождество 0=0 (если С=»0),
либо бессмыслица вроде 5 =0 (при С ^0).
*) К прямым, параллельным оси ОХ, причисляется и сама эта ось.
Точно так же к прямым, параллельным оси ОУ, причисляется сама
ось О У.

30 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Аналогично, при А * 0 уравнение A) можно разре-
разрешить относительно х.
Если С = 0, т. е. уравнение A)не содержит свободного
члена, то оно представляет прямую, проходящую через
начало (§ 8). ,
§ 17. Построение прямой по ее уравнению
Для построения прямой достаточно отметить две ее
точки. Например, можно взять точки пересечения с осями
(если прямая ие параллельна нн одной оси и ис проходит
через начало; в случае, когда пря-
прямая параллельна одной из осей
или проходит через начало, мы
имеем только одну точку пересе-
пересечения). Для большей точности
лучше найти еще одну-две кон-
контрольные точки.
Пример. Построить прямую
Ах + Зу = 1. Положив у = 0, най-
найдем (черт. 19) точку пересечения
прямой с осью абсцисс: aJ—; о).
Положив х = 0, найдем точку
пересечения с осью ординат:
Черт. 19, ^(°'з")- ^ТИ точки СЛИШКОМ
близки друг к другу. Поэтому
дадим абсциссе еще два значения, например х = -3
и х= +3. Найдем точки Д,(-3; I3n * /п U
водим прямую AiAlA3Ai.
, ААC; -~). Про-
Про§ 18. Условие параллельности прямых
Условием параллельности двух прямых, заданных Урав-
Уравнениями
y=alx+b1, A)
у = агх+Ь21 B)
служит равенство угловых коэффициентов
C)

§ 18. УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ 31
т. е. прямые A) и B) параллельны, если угловые коэффи-
коэффициенты равны, и не параллельны, если угловые коэффици-
коэффициенты ие равны1).
Пример 1, Прямые у = Зх-5 и у — Зх+4 парал-
параллельны, так как у ннх угловые коэффициенты равны
(ах ^ аг « 3).
Пример 2. Прямые у — Зх-5 и у = 6х-8 ие па-
пааллельны, так как у них угловые коэффициенты не равны
=*г,а2т= 6).
Пример 3. Прямые 2у = Зх-5 и 4у = 6х-8 парал-
параллельны, так как у них угловые коэффициенты равны
(«j «"j» «г = -4: = -г)"
Замечание 1. Если уравнение одной из двух пря-
прямых ие содержит ординаты (т. е, прямая параллельна оси
О У), то эта прямая параллельна другой прямой при условии,
что уравнение последней также ие содержит у, Напри-
Например, прямые 2х+ 3 — О и х = 5 параллельны, а прямые
х-3 = О и х—у ~ О не параллельны.
Замечание 2. Если две прямые представлены урав-
уравнениями
/ U
то условие их параллельности есть
A\Bt-AtBk^ 0 E)
или в другом обозначении (§ 12)
А
= о.
Пример 4. Прямые
2х-7у+12 = О
И
Х-3,5у+10 = О
I) Две совпадаюшие прямые здесь, как и всюду в дальнейшем, счи-
считаются параллельными.

32 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
параллельны, так как
Ах
В2
2 -7
1 -3,5
= 2.(-3,5)-1.(-7)«0.
П р и м е р 5. Прямые
2x-7y+12 = О
и
Зх+2у-6 - о
ие параллельны, так как
2 ~7 = 25 * О,
3 2
ЗамечанисЗ, Равенство E) можно записать в виде
т. е. условием параллельности прямых D) является про"
порциональношь коэффициентов при текущих коорди"
патах1). Ср. примеры 4 и 5, Если сверх того н свободные
члены пропорциональны, т. е. если
& - Ё1 - £i /7\
At Щ С%> w
то прямые D) ис только параллельны, но н совпадают.
Так, уравнения
ЗлН-2у-6 s о
и
6х+4у-12 = О
представляют одну и ту же прямую,
§ 19. Пересечение прямых
Для разыскания точки пересечения прямых
О
(О
B)
') Может оказаться, что одна из величин Ай, Б2 (но не обе вместе;
см. § 1E) равна нулю. Тогда пропорцию (С) нужно понимать в том смыс-
смысле, что соотоетс!пугощий числитель тоже равен нулю. Тот же смысл
имеет пропорция GJ при С2 5=0.

f SO. УСлбВИЁ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ 33
надо решить систему уравнений A) и B). Эта система,
как правило, даст единственное решение, н мы получим
искомую точку (§ 9). Исключение возможно лишь при ра-
равенстве отношений - ^ и •£-, т. е. в случае параллельно-
сти данных1 прямых (см. § 18, замечания 2 и 3).
Замечание. Если данные прямые параллельны и не
совпадают, то система A)-B) не имеет решений, а если
совпадают, то решений бесконечно много.
Пример 1. Папти точки пересечения прямых
у = 2х~3 и у = -Зх+2. Решая систему уравнений, на-
находим х= 1, у= -1. Прямые пересекаются в точке
A; -1).
П р и м е р 2. Прямые
2х-7у+12= 0, х-3,5у+10 = О
параллельны н не совпадают, так как отношения 2; 1 и
(-7): (-3,5) равны между собой, ни не равны отноше-
отношению J2 : 10 (ср. пример 4 § 18). Дайнам система уравнений
не имеет решения.
Пример 3. Прямые Зхч-2у-6 = 0, 6х + 4у-12 = 0
совпадают, так как отношения 3:6, 2:4 н (-6); (-12)
равны друг другу. Второе уравнение получается из пер-
первого умножением на 2, Данная система имеет бесчислен-
бесчисленное множество решений.
§ 20. Условие перпендикулярности двух прямых
Условием перпендикулярности двух прямых, заданных
уравнениями
у « axx-Ybly A)
у = агх+Ь2, B)
служит соотношение
-1, C)
т. с. две прямые перпендикулярны, если произведение нх
угловых коэффициентов равно - 1, и не перпендикулярны.
если оно не равно — 1.
3 М. Я- Выгодский

34 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример 1. Прямые у = Зх и у = --% х перпендику-
перпендикулярны, так как ахал - 3-(- у) = -1
П р и м е р 2. Прямые у = Зх и у ~ у х не перпендику-
перпендикулярны, так как'сод = 3-~ = 1.
Замечание 1. Если уравнение одной из двух пря-
прямых ис содержит ординаты (т. ,е. прямая параллельна
осн OY), то эта прямая перпендикулярна к другой прямой
при условии, что уравнение последней не содержит абсцис-
абсциссы (тогда вторая прямая параллельна осн абсцисс). В про-
противном случаепрямые не перпендикулярны. Например, пря-
прямые х=5иЗу + 2 = 0 перпендикулярны, а прямые х = 5
и у — 2х не перпендикулярны.
Замечание 2. Если две прямые представлены урав-
уравнениями
Агх+ Bjy + Ct - 0, А2х+ Bty+C* = О, D)
то условие их перпендикулярности есть
Л1А2+В1В3 = 0. E)
Пример 3. Прямые 2х+5у = 8 и 5х-2у = 3 пер-
перпендикулярны; действительно, здесь Лх = 2, Л2 « 5, Вх = 5,
В2 ~ ~2, значит, A1A2+B1BZ = 10- 10 = О.
Пример 4. Прямые ~ х—^ у = 0 и 2х~-3у = 0 не
перпендикулярны, так как здесь АуА^В^о » 2.
§ 21. Угол между двумя прямыми
Пусть две неперпенднкулярные прямые Lu h% (взятые
в данном порядке) представляются уравнениями
A)
у = o3x-f bz. B)
Тогда формула')
1) О применимости ее в случае, когда прямые £д, £а перпендику-
перпендикулярны, см. нижб замечание 1,

§ 21. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ
35
дает угол, на который надо повернуть первую прямую,
чтобы она стала параллельной второй.
Пример 1. Найти угол между прямыми у = 2х-3 и
у = -Зх + 2(черт. 20).
Здесь ах -1,az~ -3. По формуле C) находим;
в
отсюда 6 = +45°. Это значит, что прямая у =* 2#-3
(АВ на черт. 20), повернутая на угол +45° около точки
пересечения МA; -1) Данных пря-
прямых (пример 1 § 19), совместится с
прямойу = -3x+2(CD на черт. 20),
Можно взять также 6 = 180°+45° =
- 225°, 0 = -180° + 45п = —135°
и т. д. (Эти углы обозначены 61д 02
на черт. 20.)
Пример 2. Найти угол между
прямыми у — -Зх + 2 и у ~ 2х-3.
Прямые здесь - те же, что в
примере 1, но теперь прямая CD
(см. черт. 20)-первая, а прямая
АВ — вторая. Формула C) дает
tg 8 — -1, т. е о = -45а (или
6 -= 135°, или 6 = -225° и т. Д.).
На этот угол надо повернуть пря-
прямую CD до совмещения с АВ.
П р и м с р 3. Найти прямую, проходящую через начало
координат и пересекающую прямую
у = 2Х-3 под углом 45°.
Решение. Искомая прямая пред-
представляется уравнением у = ах (§ 14).
Угловой коэффициент а можно найти
из C), взяв вместо at угловой коэффи-
коэффициент дайной прямой (т. е. положив
с/, = 2); вместо а2 возьмем угловой коэф-
коэффициент а искомой прямой, а вместо
О-угол +45° или -45°, Получаем:
Черт. 21. _ <?~2,. _ . -
1+2а ~ ^ **
Задача имеет два решения: у = — Зх (прямая АВ
па черт. 21) и у = -g-x (прямая CD).
Замечание 1. Если прямые A) и B) перпендику-
перпендикулярны @= + 90°), то выражение 1 + ахаг, стоящее в
3*

36 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
знаменателе C), обращается в нуль (§ 20) и частное -?2~-а'-
перестает существовать*). Одновременно перестает суще-
существовать («обращается в бесконечностью) tg 0. Формула C),
понимаемая буквально, теряет смысл; но в этом случае ее
нужно понимахь условно. Именно, всякий раз, как в зна-
знаменателе C) появляется нуль, угол 8 надо .считать равным
± 90° (как поворот на +90°, так и поворот на -90° сов-
совмещает любую из перпендикулярных прямых с другой).
П р и м е р 4. Найтн угол между прямыми у ^ 2х-3 н
у = — — x+7(«i = 2, я2 = — тг). Если предварительно
поставить вопрос: перпендикулярны лн этн прямые, то по
признаку C) § 20 получим утвердительный ответ, так что
и без формулы C) получаем 6 = ± 90°, То же дает и фор-
формула C). Мы получаем:
-L 1
44)'
В соответствии с замечанием 1 это равенство нужно по-
понимать в том смысле, что 0 = ± 90".
Замечание 2, Если хотя бы одна из прямых Lu L2
(или обе) параллельна оси OY,1 то формула C) вовсе
неприменима, ибо тогда одну из прямых (или обе) нельзя
представить (§ 15) уравнением вида A). В этом случае
угол 0 определяется следующим образом:
а) когда прямая L2 параллельна оси OY, a l^ не парал-
параллельна, применяем формулу
;
б) когда прямая 1^ параллельна осн OY, a hz ие парал-
параллельна, применяем формулу
tge--i;
в) когда обе прямые параллельны оси OY, они парал-
параллельны и между собой, так что tg 6 = 0.
Замечание 3. Угол между прямыми, заданными
уравнениями
ДхХ+Bjy+Ci-O D)
И
Q, E)
*) Числитель й£— «! не равен нулю, так как только у параллель-
параллельных прямых угловые коэффициенты alt as равны (§ 18),

8 23.УРАВ. ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ТОЧКИ 37
можно найти по форлшге
При 4X/Vf-fijtf., = О формула F), понимаемая услов-
условно (см. замечание 1), дает 0 ~~ ± 90°. Ср. § 20, фор-
формула E).
§ 22. Условие, при котором три точки
лежат на одной прямой
Три точки Ах (хх; yt), Л2 (х2; уг), А3 (х3; у3) лежат на
одной прямой в том и только в том случае, когдах)
Ч У г-Ух
- 0.
A)
Эта формула выражает также (§ 13), что площадь «тре-
«треугольника» А2А3А-, равна нулю.
Пример 1. Точки Ai(-2; 5), Д.. D; 3), ЛэAб; -1)
лежат на одной прямой, так как
4+2 3-5
16 + 2 -1-5
б -2
18 -6
« 6-(-6) - (-2)-18 = 0.
Пример 2. Точки Ах (-2; 6), ДгB;5), Л3E; 3) не
лежат на одной прямой, так как
Уи-yi
Хз~Хг
2-1-2 5-0
5+2 3-6
-1
— 3
= -5.
§ 23, Уравнение прямой, проходящей
через две точки
Прямая, проходящая через две точки Аг (х^ yt) н
Аг (х2; уа), представляется уравнением1)
= 0.
(I)
1) Левая часть равенства A) записана в риле определителя
(см. § 12).

38
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Оио выражает, что данные точки Аъ Л2 и «текущая»
точка А (х; у) лежат иа одной прямой (§ 22).
Уравнение A) можно представить (см, ниже замечание)
в виде
Это уравнение выражает пропор-
пропорциональность катетов в прямоуголь-
прямоугольных треугольниках A^RA и A^Az,
изображенных иа черт. 22, где
xj = ОР^ х2 = ОР2> х = ОР,
у, = рГаь к'= *РгАл, у = РА,
у~У1 = RA, у3 ~yL = SA2
Пример 1, Составить уравнение прямой, проходящей
через точки A; 5) и C; S).
Решение. Формула A) дает:
Р, Р
Черт. 22.
9-5
у-Ъ
= 0, т. е.
2
х-1
4
у-Ъ
= О.
т.е. 2(у-5)-4(х-1) = 0или2х--у + 3 = О.
Формула B) дает -~~ = -^т^-. Отсюда снова нахо-
дим 2х-у+ 3 = 0.
Замечание. В случае, когда х» = xY (или у, = у,),
один из знаменателей равенства B) равен нулю; тогда
уравнение B) надо понимать в юм смысле, что соответ-
соответствующий числитель равен пулю. См. ниже пример 2 (а так-
также сноску на c-ip. 32).
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей
через точки Л1(А; -2) и Аа D; 5). Уравнение A) дает:
О
х-4 у+2
= 0,
C)
D)
т. е. 0(у + 2)-7(х-4) - 0, т. е. х-4 = 0.
Уравнение B) запишется в виде
зс-4 _ у + 2 .
О ~ 7 >
здесь знаменатель левой части равен пулю. Понимая урав-
уравнение D) в вышеуказанном смысле, полагаем числитель
левой части равным нулю. Получаем прежний результат
#-4 = 0.

S 24. ПУЧОК ПРЯМЫХ
39
§ 24. Пучок прямых
Через одну точку А1 (xi, yt) (черт. 23) проходит множе-
множество прямых, именуемое центральным пучком (или про-
просто пучком). Точка Д[ называется
центром пучка. Каждую из пря-
прямых пучка (кроме той, которая
параллельна оси ординат; см. за-
замечание 1) можно представить
уравнением
Черт. 23
Здесь fc— угловой коэффициент
рассматриваемой прямой (ft = tg a).
Уравнение A) называют уравне-
уравнением пучка. Величина к (па-
(параметр пучка) характеризует
направление прямой; она меняется от одной прямой
пучка к другой.
Значение параметра к можно иайти, если дано еще
какое-либо условие, которое (вместе с условием принадлеж-
принадлежности прямой данному пучку) определит положение пря-
прямой; см. пример 2.
Пример 1. Составить уравнение пучка с центром
в точке Д, (-4; -8).
Решение. Согласно A) имеем:
Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей
через точку ДхA; 4) и перпендикулярной к прямой
Зх-2у = 12.
Решение. Искомая прямая принадлежит пучку с цен-
центром A; 4). Уравнение этого пучка у-4 = к(х-1).
Чтобы найтн значение параметра к, учтем, что искомая
прямая перпендикулярна к прямой Зх-2у = 12; угловой
коэффициент последней есть -^. Имеем (§ 20) -^ к = ~ I,
т, е. к = —у. Искомая прямая представляется уравнением
у-4 = _-j-(x-l) ИЛИ у = —з^+4"з *
Замечанием Прямая, принадлежащая пучку с цен-
центром в Лх^; ух) и параллельная оси 0Y, представляется
уравнением х-хх = 0; это уравнение не получается

40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
из A) ни при какомзначснии к. В с е б е з и с к л ю ч е н и я
прямые пучка можно представить уравнением
. '(y-yiV^mCx-Xj), B)
где I и /п-произвольные числа (не равные нулю одно-
одновременно). Когда I ?* О, мы можем разделить уравнение B)
на I, Тогда, обозначив ~- через к, получим A). Еслн же по-
положить I = 0, то уравнение B) принимает вид х-хх = 0.
Замечание 2. Уравнение пучка, в состав Которого входят дпе
пересекающиеся прямые Llt Ьг, заданные уравнениями
AiX + Btf + Ci^Q, А>*+вгУ-[-Сг=0,
имеет вид
tn^AjX + Bty + Ct) -f т2(Агх + B£y -f С3) -0. C)
В нем mi, ms —произвольные числа (не равные нулю одновременно),
В частности, при nil к0 получаем прямую Lit при т. ^0 —прямую J.J,
Вместо C) можно написать уравнение
Atx + Й!у + Cj -f \ (Л2х + В2у + Си) =0, D)
й котором всевозможные значения даются только одной букве )., но из
D) нельзя получить уравнение прямой L»,
Уравнение A) есть частный вид уравнения D), когда приямые Ц И
L2 даны уравнениями. y=yj, x=Xx (тогда они параллельны осям
координат).
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку пересечения прямых 2х-3у —1=0, Зх-у-2=0 и перпенди-
перпендикулярной к прямой у =у.
Решение. Искомая прямая (она запедомо не совпадает с пря»
мой Зх~у~-2=О) принадлежит пучку
2к-Зу-1+х(Зх->'-2)=0. E)
ЗХ+2
Угловой коэффициент прямой E) есть к м -,~r-vr * Та1! как искомая
прямая перпендикулярна к прямой у=эс, то (g 20)к = —I. Следова-
Следовательно, -—-■;;- = -I, т. е. \ = --г , Подстаалян J. в - — и E), находим
после упрощений:
7+7б с= О,
Замечание 3. Если прямые Llt Z.2 параллельны (но не со-
совпадают), то уравнение C) при всевозможных значениях mlf m2 пред-
представляет все прямые, параллельные двум данным. Множество пря-
прямых, параллельных между соСой, именуется параллельным пучком.
Таким образом, уравнение C) представляет либо центральный, лиоо
параллельный пучок.
§ 25. Уравнение прямой, проходящей через данную
точку параллельно данной прямой
1. Прямая, проходящая через точку Мх (хх; ух) н парал-
параллельная прямой yzzQx+b, представляется уравнением
y-yi = а(х-х,). A)
Ср. § 24.

S26. УРАВ.ПРЯМОЙ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙКДАННОЙ 41
Пример!. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку ( — 2; 5) н параллельной прямой
5х-7у-4 = о.
Р е ш е н и с. Данную прямую можно представить Урав-
Уравнением у = ^ х"у (здесь а = ~\. Уравнение искомой
прямой есть у-5 = у [х-(-2)], т. с. 7 (у-5)- 5(х+2)
нлн 5х—7у + 45 = О.
2. Прямая, проходящая через точку Ml (x^ уг) и парал-
параллельная прямой Ах+Ву-\-С — Oj представляется урав-
уравнением
A(x-xl)+B(y-yl) = 0. B)
Пример 2. Решив пример 1 (Л = 5, В= -7) по
формуле B), найдем 5(х+2)~7(у-Ь) — О.
П р н м с р 3. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку (-2; 5) и параллельной прямой 7x4-10 = 0.
Решение. Здесь А = 7, В = 0. Формула B) дает
7(х+2) = 0, т. е. х+ 2 = 0. Формула A) неприменима,
так как данное уравнение нельзя разрешить относительно у
(данная прямая параллельна оси ординат, ср. § 15).
§ 26. Уравнение прямой, проходящей через данную
точку перпендикулярно к данной прямой
1. Прямая, проходящая через точку Мг (хг; yL) н перпен-
перпендикулярная к прямой у = ахл-b, представляется уравне-
уравнением
У-У1= -Trfr-xx). A)
Ср. § 24, пример 2.
Пример!. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку B; -1) и перпендикулярной к прямой
4х-9у к 3.
Решение. Данную прямую можно представить урав-
уравнением у = -Q- х — тг (а — -д-) . Уравнение искомой прямой
есть у+1 = —|(х-2), т. е. 9х + 4у-14 = 0.
2. Прямая, проходящая через точку Mt (x^ ух) и пер-
перпендикулярная к прям01Ч Ах+Ву + С = 0, представляется
уравнением
4(y-yi)-B(x-Xi)«0. B)

42 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
П р и м е р 2, Решая пример 1 (Л - 4, В = - 9) по фор-
формуле B), найдем 4(у+1) + 9(х-2) = О, т. е. 9х+4у-
-14 « О.
ПримерЗ. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку (~-3; -2) перпендикулярно к прямой
2у+1 = О.
Решение. Здесь А = О, В = 2. Формула B) дает
-2(х+3) = О, т. е. л: + 3 = 0. Формула A) неприменима,
нбо а = О (ср. § 20, замечание 1).
§ 27. Взаимное расположение прямой и пары точек
Взаимное расположение точек M^Xi; уД Мг(х<>; уг) и прямой
Ах + Ву + С = О A)
можно определить по следующим признакам:
а) точки Л-fj il M2 лежат по одну сторону от прямой A), когда
числа Axt + Byi + С,, Ах2 + Ву2 + С2 имеют одинаковые знаки;
G) ЛГХ и М2 лежат по разные стороны от прямой A), когда эти
числа имеют противоположные знаки;
в) одна из точек Ми Мг (или обе) лежит на прямой A), если одно
из этих чисел (или оба) равно пулю.
Пример 1. Точки B; -6), ( -4; -2) лежат по одну сторону от
прямой
З 51 = О,
так как числа З-2+5-t)" I = — 25 и 3-(-4)+5.(-2)-1**
= —23 оба отрицательны,
Пример 2. Начало координат @; 0) и точка E"г 5) лежат по раз-
разные стороны от прямой х + У — 8=0, так как числа 0 + 0— 8"=— 8
н 5 +5 -8 = -12 имеют разные знаки.
§ 28. Расстояние от точки до прямой
Расстояние d от точки Мх (xv yL) до прямой
Ах+Ву + С~О A)
равно абсолютному значению величины
g ~
Пример, Найти расстояние от точки (-1; +1) до
прямой
З45 0
1) Формула C) обычно выводится с помощью искусственного по-
построения; ниже (а«. замечание 2) указан чисто аналитический вывод.

6 29. ПОЛЯРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПРЯМОЙ
Решение,
43
Замечание I. Пусть прямая A) не проходит через начало О и,
значит, С ^0 (§ 16). Если при этом знаки в и С одинаковы, то точки
А^иОлежатпо одну сторону отпрямойA); если противоположны, —
то но разные стороны (ср. § 27); если же 6=0 (что возможно лишь
при Ахх -J- Byi+C —0), то Мг лежит на данной прямой (§ 8).
Величина S называется ориентированным, расстоянием от
точки А1Д до прямой A). В рассмотренном примере ориентированное
расстояние 8 равно -а/5. а С =5. Знаки В и С противоположны; зна-
значит, точки Ali( —lj +1)иО лежат по разные
стороны от прямой Зх~4у+5 =0.
Замечание 2. ФормулаC)выводится
проще всего следующим образом.
Пусть А1^(^; У<) (черт. 24) — основание
перпендикуляра, опущенного из точки Му
(Xj; y{) на прямую A). Тогда
d = Y^x-i-Xi)'14-(у2-У1J' D)
Координаты ха, Уз найдем как решение си-
Лх+ By + C =0,
A)
черт. 24.
где второе уравнение преде гаиляет прямую MtM2 (§ 2G). Для облегче-
облегчения выкладок преобразуем первое уравнение системы к виду
А (х -х,} + В (у ~Ух) + Ахх + Byt -f С = 0. t^)
Решая E) и (б) относительно (ж-х,), (у-И), находим:
А ' ' " " ■ С), G)
В
Подставив G) и (8) в D), найдем:
(8)
§ 29. Полярные параметры прямой1)
Положение прямой на плоскости можно задать двумя
числами; такие числа называются параметрами прямой.
Так, числа Ь (начальная ордината) н а (угловой коэффи-
коэффициент) являются (ср. § 14) параметрами прямой. Но пара-
параметры b к а пригодны не для всех прямых; прямую, па-
параллельную ОУ, нельзя имн задать (§ 15). В противопо-
противоположность этому полярными параметрами (см. ниже) можно
задать положение всякой прямой.
Этот параграф является вводным для §§ 30 н 31,

44 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Полярным расстоянием прямой UV (черт. 25) на-
называется длина р перпендикуляра ОК, проведенного
к прямой нз начала О. Полярное рас-
расстояние положительно или равно ну-
нулю (р £= 0).
Полярным углом прямой UV на-
называется угол а = Л. ХОК между
лучами ОХ и ОХ (взятыми в дан-
данном порядке; ср. § 21). Если прямая
UV не проходит через начало (как
на черт. 25), то направление вто-
рого луча вполне определено (от О
черт. 2j. k ^j. если же jjy црОХодит через
О (тогда О и К совпадают), то луч,
перпендикулярный к UV, проводится в любом из двух
возможных направлений.
Полярное расстояние и полярный угол называются по-
полярными параметрами прямой.
Еслн прямая UV представляется уравненнем
Ах+Ву-1-С == О,
то ее полярное расстояние определяется по формуле
а полярный угол а-по формулам
А . _ В ,т
cos а = т -т^ ■"> sin а = Т- -/ -.. -■-, Ы)
где верхние знаки берутся, когда С ?- О, а нижние — когда
С •< 0; еслн же С = 0, то по произволу берутся либо
только верхние, либо только нижние знаки').
') Формула U) получается из C) % 28 (при xt =yj =0), Формулы
B) получаются так: из черт. 25
Oh х LK у „.
cos ««.—...-, в,п « = -OK-J- О)
Согласно G), (8) g 23 (при xt =ух =0) имеем:
АС ^ _ ВС .„
Из A), C) и D) следует:
С А
COS (С *а *--—
ы E) совпадают с B), ибо -" = +1 при С^Ои -p^j- *= -1
приС<0.

g 30. НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Пример 1. НаЙтн полярные параметры прямой
Зх~4у-\-10 = 0.
45
Решение. Формула A) дает р =
ю
+ 42
= 2. фор-
мулы B), где нужно взять верхние знаки (ибо С = +
дают
cos a = - -;™
-1- 43
Следовательно, а ^ 127° (или с? ^ 487° н т. д.).
Пример 2. Найтн полярные параметры прямой
Зх-4у = 0.
Формула A) даьт р---0; в формулах B) можно взять либо
только верхние знаки, либо только нижние. В первом
случае cos а = - —, sin а =-g-n, значит, а ^ 127°; во вто-
втором случае cos а - у, sin а ~ --^ и, значит, а *= -53°.
§ 30. Нормальное уравнение прямой
Прямая с полярным' расстоянием р (§ 29) и полярным
угжш а представляется уравнением
X cos к + у sin cL — p = 0.
A)
Оно называется нормальным уравнени-
уравнением примой.
Пример. Пусть прямая UV отсто-
отстоит от начала на расстояние
Черт. 26.
(черт. 26) и пусть луч ОК составляет
с лучом ОХ угол а-225°. Тогда нормальное уравнение
прямой UV есть
т. с.
х cos 225° +у sin 225°-/2"^ О,

46 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Помножив на — ^2. получим уравнение прямой UV в
виде х + у+2 ~ О, но ато уравнение уже не является
нормальным.
Вывод уравнения A). Обозначим координаты точки К
(черт, 27) через х-, fa. Тогда x»—OL^p cos a, y± = LK—p sin а.
Прямая OK, проходящая через точки О @; 0) и К (х2; у.), предста-
представляется C 23) уравнением ^ ^ = 0, т. с. (sin«) X - (cos a) y=0.
Прямая UV проходит через К (х2; ys) и перпендикулярна к прямой
0/0 Значит (§ 26, п. 2), ока представляется у равнением sin *{у-~у--) —
—(— cos a)(x~xa) =0. Подставляя сюда
xs = р cos а и у, = р sin в, получаем
. X COS a+y sin a-jj=O.
§ 31. Приведение
уравнения прямой
К нормальному виду
Чтобы найти нормальное ура-
вненне прямой, заданной уравне-
Черт- г1- нием Лх-ЬЛу+С-О, доста-
достаточно разделить данное уравне-
уравнение на + У А2 + в-', причем верхний знак берется, когда
С >■ 0, и нижний — когда С -= 0; если же С = 0, то можно
взять любой знак. Получим уравнение
у- ■
Оно будет нормальным1).
Пример 1. Принести уравнение Зх-4у+10 = 0
к нормальному виду.
Здесь_Л=3, В~~4 и С=10 ?- 0. Поэтому делим на
-)/32 + 4г - -5. Получаем
Это - уравнение вида х cos а+У sin а-р = 0, Именно
р = 2, cos а L- --|, sina -= + ~ (значит, а * 127°).
Пример 2. Привести уравнение Зл:-4у = 0 к нор-
нормальному виду.
1) Ибо коэффициенты при х, у соответственно равны cos в, sin a
В силу B) § 29, а свободный член равен ( —р) я силу A) § 29,

§ 32, ОТРЕЗКИ НА ОСЯХ 47
Так как здесь С=0, то можно разделить либо на 5,
либо на —5. В первом случае получаем
з 4 „
(р=0, а. ^ 307°), во втором случае имеем
(р=0, а да 127°). Двум значениям а. соответствуют два
способа выбора положительного направления на луче ОК
(см. §29).
§ 32. Отрезки на осях
Для разыскания отрезка OL-a (черт. 28), отсекаемого
прямой UV на оси абсцисс, достаточно в уравнении пря-
прямой положить у~ 0 н решить уравнение относительно х.
Аналогично ищется отрезок
ON=b на оси ординат. Значе-
Значения anb могут быть как положи-
положительными, так и отрицательны-
отрицательными^ Если прямая параллельна
одной из осей, то соответствую-
соответствующий отрезок не существует
(«обращается в бесконечность»),
Если прямая проходит через на-
чало, то каждый отрезок вы-
рождается в точку (а= b — 0).
Пример 1. Найти отрезки а, Ь, отсекаемые прямой
3x-2y-s-l2 = Она осях.
Решение. Полагаем у = 0 и из уравнения Зх +12 = О
находим х=~4. Полагая я=0, из уравнения
— 2у+12 = 0 находим у = 6. Итак, a=-At b = 6.
Пример 2. Найти отрезки а, Ь, отсекаемые на осях
прямой
5y-f 15 = 0.
Решение. Эта прямая параллельна оси абсцисс (§ 15).
Отрезок й не существует (положив у = 0, получим про-
противоречивое соотношение 15 = 0), Отрезок b равен —3.
Пример 3. Найтн отрезки а, Ь, отсекаемые на осях
прямой
Зу-2х = 0.
Решение. По изложенному способу найдем а=0,
b = Q. Конец каждого из «'отрезков* совпадает с его на-
началом, т. е. отрезок вырождается в точку. Прямая прохо-
проходит через начало {ср. § 14).

48 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 33. Уравнение прямой в отрезках
Если прямая отсекает на осях отрезки а, Ь (не равные
нулю), то ее можно представить уравнением
' S+S-i- (•>
Обратно, уравнение A) представляет прямую, отсекаю-
отсекающую на осях (считая от начала О) отрезки а, Ь.
Уравнение A) называется уравнением прямой в от-
отрезках.
Пример. Найти уравнение прямой
Зх-2у+12 = 0 B)
в отрезках.
Решение. Находим (§ 32, пример 1) а=-4, Ь = б.
Уравнение в отрезках есть
Оно рапиосилыш уравнению B).
Замечание 1. Прямую, отсекающую на осях отрез-
отрезки, рапные пулю (т. е. проходящую через начало; см. при-
пример 3 § 32), нельзя представить уравнением в отрезках.
3 a jw е ч а н и е 2, Прямую, параллельную оси ОХ (§ 32, пример 2),
у
можно предстапить уравнением — = 1, где Ь-отрезок па оси OY,
Аналогично, прямую, параллельную оси ОУ, можно представить
уравнением — «1. Считать ли эти уравнения «уравнениями в отрезках»
или нет—дело соглашения (общепринятого соглашения в литературе
нет) 1).
§ 34. Преобразование координат (постановка вопроса)
Одна и та же линия представляется различными урав-
уравнениями в разных системах координат. Часто требуется,
зная уравнение некоторой линии в одной системе коор-
координат («старой»), найти уравнение той лее линии в дру-
другой системе (шовош). Этой цели служат формулы прсоб~
разования координат. Они устанавливают связь между
старымн и новыми координатами какой-либо точкн М.
ос у
*) Существенно то, что уравнение — = 1 или-г-= I можно по-
rt v а
лучить из уравнения — + ~ = I, ио не как частный его случай, а с
помощью предельного перехода (при Бесконечно большом 6 или а),

5 35. ПЕРЕНОС НАЧАЛА КООРДИНАТ
49
Любую новую систему прямоугольных координат Х'О' У
можно получить из любой старой системы XOY (черт. 29)
с помощью двух движений: 1) сначала совмещаем начало О
сточкой О1, сохраняя неизменными исправления осей; по-
лучасм ■вспомогательную систему ХО' Y (обозначенную
пунктиром); 2) затем поворачиваем вспомогательную
систему около точки О' до совмещения с новой си-
системой Х'О' V".
Y
О\
Черт. 29.
Черт. 30.
Эти же два движения можно выполнить и в обратном
порядке (сначала поворот около О, дающий вспомогатель-
вспомогательную систему XOY, затем перенос
начала в точку О', дающий новую си-
систему Х'О' Y", черт. 30).
В соответствии с этим достаточно
зн.чть формулы преобразования коор-
координат при переносе начала (§ 35) н
при попорото осей (§ 30).
О'
Р'\
OR P X
§ 35. Перенос начала координат
Черт. 31.
Обозначения (черт. 31):
старые координаты точки М: х=ОР, у~РМ;
новые координаты точки М: х' = О'Рг, y=*P'JVf;
координаты нового начала О' в старой системе XOY:
Формулы переноса:
л: =-- X' ■
нлм
X' = X-
\-хп, у~
-х0, у ■■
У'+Уо,
= У-Уч-
О)
B)
4 М. Я. Выгодский

50 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Словами: старая координата равна новой, сложенной с
координатой нового начала (в старой системеI).
Пример 1. Начало координат перенесено в точку
B; -5). Найти новые координаты точки М(-3; 4).
Решение. Имеем:
По формулам B) находим:
Х'=-3-2=-5, у = 4+5 = 9.
Пример 2. Уравнение некоторой линии есть
xs + ys-4x-l-6y - 36.
Каково будет уравнение той же линии после переноса
начала координат в точку О' B; - 3)?
Решение. Согласно формулам A) имеем:
х = х' + 2 и у = у' - 3.
Подставим эти выражения в данное уравнение. Получим:
(х' +2L (У - ЗK - 4 (х-+ 2) + 6 (у - 3) = 36,
нли после упрощений
x'- + ys = 49.
Это - нопое уравнение нашей линии. Из него видно,
что эта лннип есть (§ 38) окружность радиуса R = 7 с цент-
центром в точке О'.
§ 36. Поворот осей
Обозначения (черт. 32):
старые координаты точки М:х = ОР, у = РМ;
новые координаты точки М:х'-ОР', у-Р'М;
угол поворота осей 2) а - ^- ХОХ' = ^ УОУ.
Формулы поворота а):
X = х' cos «-у sin a, "(
( к*)
у = X' sin а + у cos к, ;
') Для запоминания правила не чшайте слов н скобках; они суще-
существенны, но легко восстапашжпаются по смыслу,
2) О знаке угла а см. § 14, подстрочное примечание.
3) Для запоминания формул A) заметьте, что в выражении для х
имеем шолный беспорядок- (косинус стоит раньше синуса, между чле-
членами правой части—знак минус). Напротив, в выражении для умы
имеем «полный порядою (сначала синус, потом косинус, а межлу чле-
членами—знак плюс).
Формулы B) получаются из A), если заменить а на -* и поменять
обозначения х, у на х' ,У\ и наоборот.

или
36. ПОВОРОТ ОСЕЙ
ia+ysiria, ^
Jin a+У Cos a. /
51
B)
X' = X COS
у' = -xsin ct+y
Пример 1. Уравнение 2xy = 49 представляет лииню,
состоящую из двух ветвей LAN il VAN' (черт. 33) (она
р
Черт. 32.
называется равнобочной гиперболой). Найти уравнение
этой линии после поворота осей на угол 45°.
Решение. Формулы A) при а-=45° принимают вид
^2
х = х -%—
Подставим этн выражения в данное уравнение. Получим;
нли после упрощений
-уг = 49.
П р и м. е р 2, До поворота осей на угол —20е точка М
имела абсциссу х=6 и ординату у = 0. Найти коорди-
координаты точки М после поворота осей.
Решение. Новые координаты х1, у точки М найдутся
по формулам B), где надо положить х~6, у = 0, a = -20°.
Получим:
X' = б cos (-20°) w 5,64,
у = -б sin (-20°) » 2,05,
4*

52 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 37. Алгебраические линнн и их порядок
Уравнение вида
Ах+Ву + С^О, A)
где по крайней мере одна из величин Л, В не равна пулю,
есть алгебраическое уравнение первой степени (с двумя
неизвестными х, у). Оно всегда представляет прямую
линию.
Алгебраическим уравнением второй степени называется
всякое уравнение вида
Ах- + Вху + Су- + Dx + Еу Л- F = О, B)
где по крайней мере одна из величин А, В, С не равна
НУЛЮ.
Уравнение, равносильное уравнению B), также назы-
называют алгебраическим.
Пример 1. Уравнение у = 5х2, равносильное уравне-
уравнению Ъх2~у = О, - алгебраическое уравнение второй сте-
степени (А = 5, В=0, С = О, 0 = 0, Е= -1, Fs=O).
Пример 2. Уравнение ху=1, равносильное уравне-
уравнению ху-1 = 0, есть алгебраическое уравнение второй
степени (Л-О, В^1, С = 0, D = 0, E = 0, F = -1).
Пример 3. Уравнение (х+у-1-2)г-(х+у+ IJ = О
есть уравнение первой степени, так как оно равносильно
уравнению 2х+2у + 3 = 0.
Аналогично определяются алгебраические уравнения
третьей, четвертой, пятой и т. д. степеней. Величины Л,
В, С, D и т. д, (в том числе свободный член) называются
коэффициентами алгебраического уравнения.
Нсли некоторая линия L представляется в какой-либо
одной декартовой системе координат алгебраическим урав-
уравнением п-й степени, то и во всякой другой декартовой
системе она представится алгебраическим уравнением той
же степени. При этом, однако, коэффициенты уравнения
(все или некоторые) изменят свои значения; в частности»
некоторые могут обратиться в нуль.
Линия L, представляемая (в декартовой системе) урав-
уравнением п-й степени, называется алгебраической линией
п-го порядка.
Пример 4. Прямая линия представляется в прямо-
прямоугольной системе координат алгебраическим уравнением
первой степени вида Ах+Ву+С = 0 (§ 16). Поэтому пря-
прямая есть алгебраическая линия первого порядка. Для одной

§ 38. ОКРУЖНОСТЬ 53
и -гой же прямой коэффициенты А, В, С имеют различные
значения в различных системах координат. Так, пусть
в «старой» системе прямая представляется уравнением
2х + Зу-5 = О (А=2, В = 3, С= -5). Если повернуть
осп па угол 45°, то (§ 36) в «новой* системе та же прямая
представится уравнением
т. е.
--б).
Пример5. Если начало координат совпадает с цент-
центром окружности радиуса R='i, то окружность представ-
представляется уравнением (§ 38) х'л+у2-9 - 0. Это -~ алгебраи-
алгебраическое уравнение второй степени (Д=1, В = 0, C~l, D = 0,
Е г= 0, !•' — -9). Значит, окружность есть линия
второго порядка. Если начало координат перенести в точку
( — 5; -2), то п повои системе та же окружность предста-
представится (§35) уравнением (г-5)г-|-()"-2)г-9 - 0, т. е.
X'z-\.y2~ Шх'-4у' + 20 = 0. Это уравнение тоже лтороН
степени; коэффициенты Л, В и С остались прежними,
но О, Е и F изменились.
П р и м с р 6. Линия, представляемая уравнением
у = sin х (синусоида), - не алгебраическая.
§ 38. Окружность
Окружность радиуса R с центром в начале координат
представляется уравнением
Оно выражает, что квадрат расстоя- ' -^ *
ния О А (см. черт. 9 на стр. 22) от на-
начала координат до любой точки А,
лежащей на окружности, равен /?2.
Окружность раднуса R с цен-
центром в точке С (а; Ь) представляется
уравнением Черт. 34.
(.t-fl)s + (y-&)s-/?2. A)
Оно выражает, что квадрат расстояния МС (черт. 34)
между точкалш М (х; у) н С (о; Ь) (§ 10) равен R2.
Уравнение A) можно переписать в виде
^2 = 0. B)

54 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Уравнение B) можно помножить па любое число А;
тогда оно примет вид
Ах*+Ау*-2Аах-2АЬу+ А((Г- + Ь2-Я2) = 0. C)
Пример 1. Окружность радиуса R = 7 с центром
С D; — б) представляется урапнением
(х-4)*+(у I-6)8 = 49илиха + уг-8х-М2уч-3 = О
или (после умножения на 3)
9 = О.
3 а м е чан и е. Окружность есть линия второго порядка
(§ 37), так как представляется урапнением второй степени.
Однако уравнение второй степени представляет окружность
далеко не всегда. Для этого необходимо:
1) чтобы в нем не было члена с произведением ху;
2) чтобы коэффициенты при х2 и у- были равны (ср.
уравнение C)).
Но эти условия не вполне достаточны (см. § 39),
П р и м с р 2. Уравнение второй степени х2 + 3ху+у5 = 1
не представляет окружность: в нем есть член Зху,
Пример 3. Уравнение второй степени 9х*-\-4у2 - 49
не представляет окружность; коэффициенты при х- и при
у- не равны.
П р и м е р 4. Уравнение
5.x- - 1 Ох -Ь by- + 2Оу - 20 = О
удовлетворяет условиям 1) и 2). В § 39 показано, что оно
представляет окружность.
§ 39. Разыскание центра и радиуса окружности
Уравнение
АхЧВх+ Ayt + Cy+D = О A)
(оно удовлетворяет условиям 1 и 2 § 38) представляет
окружность при условии, что коэффициенты А, В, С, D
Удовлетворяют неравенству
B*+C!-4AD P- 0. B)
Тогда центр {а; Ъ) и радиус ^ окружности можно найти
по формулам!)
Ё h Л DJ
Нет нужды их запоминать; ср, пример I (второй способ),

§ 39. РАЗЫСКАНИЕ ЦЕНТРА И РАДИУСА ОКРУЖНОСТИ 55
Замечание. Неравенство B) выражает, что квадрат
радиуса должен быть положительным числам; ср. послед-
последнюю формулу C). Если неравенство B) не выполняется,
то уравнение A) не представляет никакой линии (см. ниже
пример 2).
Пример 1, Уравнение
Ч20у~20 = 0 D)
подходит под вид A); здесь
А « 5, В = -10; С = 20, D = - 20.
Неравенство B) выполняется. Значит, уравнение D) пред-
представляет окружность. По формулам C) находим:
а= \,Ь= -2, 1?*= 9,
т. е. центр есть A; -2), а радиус R = 3.
Другой способ. Разделив уравнение D) па коэф-
коэффициент при членах второй степени, т. е, па о, получим:
х'-2х + у* + 4у>-4 = 0.
Дополним суммы х--2х и у2 + 4у до квадратов. Для
этого прибавим к первой СУм.ме \, а ко второй 4. Для
компенсации прибавим те >ке числа к правой части урав-
уравнения. Получим;
(xs-2x+l)H-()'3 + 4v+4)-4 = 1 + 4,
Пример 2, Уравнение
х*-2х f-y* + 2 = о E)
подходит под вид A), но неравенство B) не выполняется.
Значит, уравнение E) не представляет никакой линии.
К этому выводу можно придти и так (ср. пример 1):
Дополним сумму х- - 2х до квадрата, прибавив к ней 1.
Для компенсации прибавим 1 также и к правой части.
Получим (х-1K \-у2+2 =* 1, т. е. (х-1K+у8 = -1.
Но сумма квадратов (действительных) чисел не может
равняться отрицательному числу. Поэтому нет ни одной
точки, координаты которой удовлетворяли бы данному
уравнению.

56 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ -.
§ 40. Эллипс как сжатая окружность
Через центр О окружности раднуса а (черт. 35) проис-
дем взаимно перпендикулярные диаметры A'A, D'D. На
радиусах OD, ,OD' отложим от точки О равные отрезки
О В, ОБ' длиной Ь (меньшей, чем я).
Из каждой точки N окруж-
окружности опустим перпендикуляр NP
на диаметр А' А н на этом перпен-
перпендикуляре отложим от его осно-
основания Р отрезок РМ так, чтобы
PM-.PN = Ъ\а.
A)
Эго построение преобразует
каждую точку N в другую
соответственную ей точку М,
лежащую на том же пер-
перпендикуляре NP, причем РМ
получается из PN уменьшением
в одном н том же отношении к = -•«. Такое преобразо-
преобразование называется равномерным сжатием. Прямая А'А
называется осью сжатия.
Линия АВА'В', в которую преобразуется окружность
после равномерного сжатия, называется эллипсом1).
Отрезок AM = 2а (а часто и прямая А'А, т. е. ось
сжатия) называется большой осью эллипса.
Отрезок В-В *= 2b (а часто и прямая В'В) называется
малой осью эллипса (по построению 2а > 2Ь). Точка О
называется центром эллипса. Точки А, А', В, В' назы-
называются вершинами эллипса.
Отношение к — Ь : а называется коэффициентам сжа-
сжатия эллипса. Величина l — k=^-~— (т. е. отношение
BD ; OD) называется сжатием эллипса. Она обозначается
буквой а.
Эллипс симметричен относительно большой и малой
осей, а значит, и отпоетелыю центра.
Окружность можно рассматривать как эллипс с коэф-
коэффициентом сжатия к — 1.
Каноническое уравнение эллипса. Если
оси эллипса принять за оси координат, то эллипс
Другое определение эллипса см. и § 41,

§ 40. ЭЛЛИПС КАК СЖАТАЯ ОКРУЖНОСТЬ
представляется уравнением1)
B)
Оно называется каноническим2) уравнением эллипса.
Пример 1. Окружность радиуса о = 10 см подверг-
подвергнута равномерному сжатию с коэффициентом сжатия 3 ; 5.
После преобразования получится эллипс с большой осью
2д = 20 см и .малой осью
2Ъ = 12 см (полуоси a = 10 см,
b =я 6 см). Сжатие этого эл-
эллипса а = 1 -k = -yj~ = ОД
Каноническое уравнение его
есть
ха у*
Too" + аз"
= 1.
Пример 2. При проекти-
проектировании окружности на какую-
нибудь плоскость Р диаметр
AiAt (черт. 36), параллельный
ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ, прОСКТИруеТСЯ Черт. 36.
в натуральную величину, а все
хорды, перпендикулярные к диаметру, сокращаются в
отношении, равном cos <p, где ср—угол между плоскостью
окружности Pi н плоскостью Р. Поэтому проекция окруж-
окружности есть эллипс с большой осью 2а = Л'А и коэффици-
коэффициентом сжатия А »* cos а.
*) Мы имеем:
В силу A) имеем:
Подставляя в C), находим;
PN т ~ РМ.
т, с.
х»+•
а".
C)
<4>
Ф)
F)
Разделив на аг, получим равносильное уравнение B). Итак, если
М(х, у) лежит на эллипсе АБА'В', то х,у удовлетворяют уравнению
B). Если же М не лежит на этом эллипсе, то равенство D), a
значит, и урапнеиие (Ь) не удовлетворяются (ср. § 7).
I) От греческого слова «канош-образец. Таким образом, назва-
название «каноническое) равнозначно названию «типовое».

58 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример 3. Земной мерндиан точнее принять не за
окружность, а за эллипс. Земная ось есть малая ось этого
эллипса. Длина ее (округленно) 12 712 км. Длина большой
оси равна (округленно) 12 754 км. Найти коэффициент
сжатия к и сжатие а этого эллипса.
Решение.
а~ь _ 2а-2Ь 12 754- 12712 _ п пао
ОС —
2а
к = 1-а
12 754
0,997,
§ 41. Другое определение эллипса
Определение. Эллипс есть геометрическое место
точек (М), сумма расстоянии которых до двух данных
точек F', F (черт. 37) имеет одно и ю же значение 2а:
F'M+FM -2a. A)
Точкн PhF называются фокусамиJ) эллипса, а расстоя-
расстояние F'F-фокусным расстоянием; оно обозначается 2с:
F'F = 2с. B)
Так как F'F < F'M + FM, то 2с -< 2а, т. е.
с ^ а. C)
Определение настоящего параграфа равнозначно с опре-
определением § 40 [ср. уравнение G) с уравнением B) § 40J.
я —i—№у)
Черт. 37.
Черт. 38.
Каноническое уравнение эллипс а. При-
Примем прямую F'F (черт. 38) за ось абсцисс и середину О отрез-
отрезка F-F-за начало координат. Согласно определениюэллип-
саиA)§ 10имеемР'(~с, 0), F (с, 0). Согласно § 10
-V2 + Y(x^7j*+y* = 2a. D)
*) Фокус —латинское слово; означает «очаг». Если в точке F
(или F') поместить источник света, то после отражения отэлллпеавсе
лучн соберутся в точке F' (или F) и помещенное там воспламеняющее-
воспламеняющееся вещество загорится. Это зрелище поражало зрителей; поэтому сло-
слово «фокус» получило тот смысл, в котором его употребляют ныне
р обиходе.

§ 4i. другое определение эллипса 59
Освободившись от радикалов1), получим равносильное
уравнение
(а2-с2)хЧя2У3 = а2(а3-с2) E)
или
Вследствие C) величина а2-с2 положительна. Поэтому
F) можно написать в виде
3£.л Л - 1 m
да "г fcs ~ х> \Ч
где
Ь2^а2-с3. (8)
Уравнение G) совпадает с B) § 40.
Значит, линия, названная в на-
настоящем параграфе эллипсом, дей-
действительно тождественна с линией, Черт. 39.
названной эллипсом в § 40. При
этом оказывается, что центр О эллипса (черт. 39) совпадает
с серединой отрезка F'F, т. е. OF = с. Большая ось 2а = А'А
эллипса, согласно равенству A), оказывается равной неиз-
неизменной сумме расстояний F'M+FM (черт. 38). Малая
полуось Ь — ОВ (черт. 39) и отрезок с = OF являются
катетами прямоугольного треугольника BOF; гипотенуза BF
этого треугольника равна а. Это видно из равенства (8),
а также из того, что равные отрезки F'B и FB составляют
в сумме 2а (по определению эллипса). Таким образом,
расстояние от фокуса до конца малой оси равно длине
большой полуоси.
Отношение -g,-g фокусного расстояния к большой оси,
т. е. величина ™, называется эксцентриситетом эллипса.
Эксцентриситет обозначается греческой буквой s («эпси-
(«эпсилон»):
.-■£. О)
Вследствие C) эксцентриситет эллипса меньше единицы.
Эксцентриситет е и коэффициент сжатия к эллипса (§ 40)
в силу (8) связаны соотношением
**=1-е2. A0)
1) Один из радикалов переносим п правую часть и возводим урав-
уравнение в квадрат; в новом уравнении будет только один радикал.
Уединив его, снова возведем в квадрат. После упрощений получим E),

60 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример. Пусть фокусное расстояние эллипса 2с=8 см,
а сумма расстояний произвольной его точки до фокусов
составляет 10 см, Тогда большая ось 2а ■= 10 см, эксцентри-
эксцентриситет s^-= ОД Коэффициент сжатия к ~ ^1 — sa — 0,6.
6 см. Каноническое
a
Малая ось 2Ь — 2ак = 2
уравнение эллипса есть
jf4- g" = I.
Замечание. Если окружность рассматривать как
частный вид эллипса Ь — а, то с = О, т. е. фокусы F' и F
нужно считать совпавшими. Эксцентриситет окружности
равен нулю,
§ 42. Построение эллипса по его осям
Первый способ. На перпендикулярных прямых
Х'Хи У У (черт. 40) откладываем отрезки О А' = О А = аи
ОВ' ~ ОВ = Ь [половины данных осей 2а, %Ь (а > Ъ)\.
Точки А', А, В', В будут вершинами эллипса.
Y
Л'
Черт. 40. Черт. 41.
Из точки В радиусом а описываем дугу uv; она пере-
пересечет отрезок А'Л я точках F't F; это будут фокусы эллипса
[согласно (8) §41J. Разделим отрезок А' А = 2а произвольно
на две части: А'К = г и К А = г, так что г'-\-г = 2а.
Из точки F описываем окружность радиуса г, а из
F'~ окружность радиуса г. Эти окружности пересекутся
в двух точках М и М', причем по построению F'M~\-FM =
= 2а н F'M'+FM' = 2я. Согласно определению § 41 точки
М и М' лежат на эллипсе. Меняя г, будем получать новые
точки эллипса.
Второй способ". Проводим две концентрические
окружности радиуса О А ■= а и ОВ — Ъ (черт. 41). Через
центр О проводим произвольный луч ON. Через точки К и

43. ГИПЕРБОЛА
61
Mu в которых ON встречает две окружности, проводим пря-
прямые, соответственно параллельные осям Х'Х, У' У. Эти пря-
прямые пересекутся в точке М. Ее ордината РМ (~ KD) короче
ординаты РМХ точки Ми лежащей на окружности радиуса а,
причем РМ: PMt = Ь : а. Значит (§ 40), точка М лежит
на искомом эллипсе. Меняя направление луча ON, получим
новые точки эллипса.
§ 43. Гипербола
Определение. Гипербола (черт. 42) естг» геометри-
геометрическое место точек (М), разность расстояний которых до
Черт. 42,
Черт, 43.
двух данных точек F't F имеет одно и то же абсолютное
значение (ср. определение эллипса § 41);
\F'M-FM\ = 2а. ' A)
Точки F' n F называются фокусамиJ) гиперболы, рас-
расстояние F'F-фокусным расстоянием; оио обозначается
через 2с:
F'F ** 2с B)
Так как F'F > 1 F'M-FM\, то [ср, формулу C) § 41]
с > а. C)
Если М ближе к Фокусу F', чем к фокУСУ F, т, е, если
F'M ■< FM (черт. 43), то вместо A) можно написать:
FM-F'M* 2а. Aа)
Если же М ближе к F, чем к F', т. е. F'M >- FM (черт. 42),
то мы имеем:
2a. A6)
1) Если в одном из фокусов поместить источник света, то после
отражения от гиперболы лучи образуют расходящийся пучок с цент-
центром в другом фокусе. Ср. сноску иа стр. 58.

62 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Те точки, для которых F'M-FM = 2а, образуют одну
ветвь гиперболы (при обычном расположении чертежа -
«правую*); тс точки, для которых FM-F'M = 2а, обра-
образуют другую ветвь («левую»).
Каноническое уравнение гиперболы.
За ось ОХ принимаем (черт, 44) прямую F'F, за начало ко-
координат-середину О отрезка F'F. Согласно B) имеем
F(c; О), F'(~c; О). Правая ветвь
у согласно A6) и § 10 представ-
представляется Уравнением
fMix-у)
- У(х-с)*+у* = 2а. Dа)
Для левой же ветви согласно
Aа) и § 10 имеем уравнение
Черт, 44.
- Цх+су+у* = 2а. D6)
Освобождаясь от радикалов, получим в обоих случаях:
31x24-asv1 = a2 fa3 — cB1 Cil
Х I У2 _ 1 ((л\
пЗ f /J_ rZ " *' Vu/
или
Это уравнение равносильно паре уравнений Dа), D6) и
вредставляет оое ветви гиперболы сразу1).
Уравнение F) имеет тот же внешний вид, что уравне-
уравнение эллипса [ср. F) § 41], но это сходство обманчиво, так
как теперь вследствие C) величина а2 —с* отрицательна,
так что Уа2-с2—мнимая величина. Поэтому обозначим
через Ь величину +]fc*-a?, так что 2)
Ъ* = с*-а\ G)
Тогда нз F) получаем каноническоеа) уравнение гиперболы
J) Две ветви гиперболы можно быпо бы считать не за одну линию,
а за две. Но тогда ни одна из этих линий и отдельности не представ-
представлялась бы алгебраическим уравнением шорой степени.
г) О геометрическом смысле величины b см. § 46.
3) См. сноску *) на стр. 67,

§ 44. ФОРМА ГИПЕРБОЛЫ; ВЕРШИНЫ И ОСИ
63
Пример. Если разность расстояний F'M-FM по
абсолютной величине равна 2а = 20 см, а фокусное рас-
15 (см). Канони-
1.
стояние 2с = 25 см, то Ь = /с2-а* =
ческос уравнение гиперболы есть
100
2
225
4
§ 44. Форма гиперболы; вершины и оси
Гипербола симметрична относительно точки О-сере-
О-середины отрезка F'F (черт. 45); она симметрична относительно
прямой F'F и относительно прямой У'У, проведенной
через О перпендикулярно к F'F. Точка О называется
центром гиперболы. Прямая F'l{
пересекает гиперболу в двух точках
А( + а; 0) и А'(-а; 0). Эти точки
называются, вершинами гиперболы.
Отрезок А'А = 2а (а часто и прямая
Л'Л) называется действительной
осью гиперболы.
Прямая У'У не пересекает гипер-
гиперболу. Тем не менее принято откла-
откладывать на ней отрезки В'О = OB cs Ь
и называть отрезок В'В = 2& (а так-
также и прямую У У) мнимой осью ги-
гиперболы.
Так как АВг = 0А* + 0В* =
= а*+Ьг, то из G) § 43 следует,
что АВ = с, т. е. расстояние or вершины гиперболы до
конца мнимой оси равно полуфокУсиому расстоянию.
Черт,
Д' О
У'
Черт, 46.
■г •
ч
Черт. 47.
Мнимая ось 2Ь может быть больше (черт. 45), меньше
(черт. 46) или равна (черт. 47) действительной оси 2а. Если

64 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЙ НА ПЛОСКОСТИ
действительная и мнимая оси равны (а — ft), то гипербола
называется раеностороннеи (или равнобочной).
Отношение -тгт - 4 Фокусного расстояния к действи-
тельной оси называется эксцентриситетом гиперболы и
обозначается е [ср. (9) § 41]. Вследствие C) § 43 эксцен-
эксцентриситет гиперболы больше единицы, Эксцентриситет рав-
равносторонней гиперболы равен у!Г.
Гипербола лежит целиком сие полосы, ограниченной
прямыми PQ и RS, параллельными У'У и отстоящими от
Y' У на расстояние О А - А'О = а (черт. 45,46,47). Вправо
и влево от этой полосы гипербола простирается неогра-
неограниченно.
§ 45. Построение гиперболы по ее осям
На перпендикулярных прямых Х'Х и Y'Y (черт. 48)
откладываем отрезки О Л = О А' = а иОВ ~ OB' = ft (дей-
(действительные и мнимые полуоси).
Затем откладываем отрезки OF
и OF', равные АВ. Точки ir' и
F-фокусы (согласно G) § 43).
На продолжении отрезка А'А за
точку А берем произвольно точ-
точку К. Из точки F радиусом г = АК
онисываемокружность. Из точки t'f
описываем окружность радиусом
г' = А'К = 2а+г. Эти окружно-
окружности пересекутся в двух точках М,
М', причем по построению F'M—
-FM=.2a и F'M'-FM' ~ 2a.
Согласно определению (§ 43) точки
МпМ' лежат на гиперболе. Меняя
г, получим новые точки «право-»
ветви. Аналогично строятся точки
«левой» ветви.
§ 46. Асимптоты гиперболы
Прямая у = кх (она проходит
через центр гиперболы О) при
| к j -= — пересекает гиперболу в двух точках D', D
(черт, 49), симметричных относительно О. Если же

S 47. СОПРЯЖЕННЫЕ ГИПЕРБОЛЫ 65
[ ft j s> —, то прямая у = kx (E'£ иа черт. 50) ие имеет
общих точек с гиперболой.
Прямые у - — х и у - -— л: (U'U и V'V на черт. 51),
для которых |л| = —, обладают следующим (только им
Черт. 50.
Черт. 51.
присущим) свойством; при неограниченном продолже-
продолжении каждая из них неограниченно сближается с гипер-
гиперболой.
Точнее: если прямую Q'Q, параллельную оси ординат,
неограниченно удалять от центра О (вправо или влево),
то отрезки QS, QS' между гиперболой и каждой из
прямых U'U, V'V неограниченно уменьшаются.
Прямые У = — х и у = - — л: называются асимпто-
асимптотами гиперболы 1).
Асимптоты равносторонней гиперболы взаимно пер-
перпендикулярны.
Геометрический смысл мнимой оси. Че-
Через вершину А гиперболы (черт. 51) проведем прямую L'L,
перпендикулярную к действительной оси. Тогда отрезок
L'L этой прямой, заключенный между асимптотами гипер-
гиперболы, равен мнимой осп гиперболы В'В = 2Ь.
§ 47. Сопряженные гиперболы
Две гиперболы называются сопряженными (черт. 52),
селн они имеют общий центр О и общие осп, но действи-
действительная ось одной из них являечея мнимой осью другой.
*) t Асимптот а» —греческое слово; означает «не попадающая»
5 М. Я. Выгодский

66
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
На черт, 52 А'А-действительная ось гиперболы / и
мнимая ось гиперболы 11, В' В -действительная ось
гиперболы 11 и мнимая ось
гиперболы /.
Если
£l_It - i
fl2 ft*
есть уравнение одной из сопря-
сопряженных гипербол, то другая
представляется уравнением
U'
1
Сопряженные пшерболы имеют общие асимптоты {U'U
и V'V на черт. 52).
§ 48. Парабола
Определение. Парабола (черт. 53) есть геометри-
геометрическое место точек (М), равноудаленных отданной точки F
и данной прямой PQ:
FM = КМ. A)
Точка F называется фокусом1), а
прямая PQ - директрисой параболы.
Расстояние FC = р от фокуса до дирек-
директрисы называется параметром параболы.
Примем за начало координат сере-
середину О отрезка FC, так что
СО ^ OF = f-.
B)
к
с
Q
0
р
Y
D .._.
/
((
F
У
/
За oci. абсцисс примем прямую CF;
положительным направлением будем черт. 53.
считать направление от О к F.
Тогда имеем: F(-f; 0),КЛ1= KD + DM = |-+хи(§10)
FM = v(tt-x) +у3. Вследствие A) имеем:
Р \ 2 Р {*%\
Освободившись от радикала, получим равносильное урав-
уравнение
уз = 2рх. D)
I) Параллельный пучок лучей, перпендикулярных к директрисе,
после отражения от параболы обратится в центральный пучок с
центром в фокусе. Ср. сноску на стр. 58.

§ 50. ПАРАБОЛА
67
Это - каноническое1) уравнение параболы.
Уравнение директрисы PQ (в той же системе координат)
есть х +1г = 0.
Парабола симметрична относительно прямой FC (ось
абсцисс при пашем выборе системы координат). Эта прямая
называется осью параболы. Парабола проходит через се-
середину О отрезка FC. Точка О называется вершиной
параболы (ее мы приняли за начало
координат).
Парабола лежит целиком по одну
сторону от прямой У' У (касательная в
вершине) и простирается в эту сторону
неограниченно.
§ 49. Построение параболы
во данному параметру р
Проведем (черт. 54) прямую PQ (ди-
(директрису параболы) и на данном расстоя-
расстоянии р = CF от нес возьмем точку F
(фокус). Середина О отрезка CF будет
вершиной, а прямая CF-осью параболы. На луче OF
возьмем произвольную точку R и через нее проведем
прямую RS, перпендикулярную к оси. Из фокуса Р, как из
центра, опишем окружность радиусом, равным CR. Она
пересечет RS в двух точках М, М-. Точки М и М' при-
принадлежат искомой параболе, так как по построению
FM — CR ■= КМ (см. определение, § 48). Меняя положение
точки R, будем находить новые точки параболы.
§ 50. Парабола как график уравнения у~вх" + Ьх + е
Уравнение
х« = 2ру A)
представляет ту же параболу, что и уравнение у2 = 2рх
(ср. § 48), только теперь ось параболы совпадает с осью
ординат; начало координат по-прежнему совпадает с вер-
вершиной параболы (черт. 55). Фокус находится в точке
f@;-|). Директриса PQ представляется Уравнением
черт.
') См. сноску г) иа стр. 57.
5*

68 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
- Если за положительное направление на оси ординат
О
Черт.
Черт. 56.
принять не направление OF, а направление FO (черт. 56),
то уравнение параболы будет:
-х2 = 2ру B)
(см. черт. ЪЪ, где осям координат приданы o6i.i4in.ie на-
направления). Сообразно с
этим графиками функций
у - ах2
C)
служат параболы, обра-
обращенные ВОГНУТОСТЬЮ
вверх, когда а > 0, и
вниз, когда а -= О. Чем
меньше абсолютное зна-
значение а (на черт. 57 име-
имеем а = 2, а =з ± I, а =
- ± о", о = -g), тем бли-
ближе Фокус от вершины,
тем больше «раствор»
параболы.
Всякое уравнение
у = ах2 + Ьх + с D)
графически изображает-
изображается той же параболой,
что и уравнение у = ах3
(для обеих парабол рас-
стояние ~ от вершины до фокуса равно
Обе об-
обращены вогнутостью в одном и том же направлении. Но

§ 50. ПАРАБОЛА
69
вершина параболы D) лежит ие и начале, а в точке Л
(черт, 58) с координатами
Пример. Уравнение
= РА =
__ 1 „ з 1
У ~ -ТХ'+ 4 Х" 
E)
Dа)
= -(;= -у) представляет (черт. 59)ту же
параболу, что и уравнение у = - — Xs. Вершина лежит в
точке А с координатами
Eа)
_
6 *
Фокус находится снизу от вершины на расстоянии
р. _
?■ ~
|4а
Следовательно, координаты фокуса суть
16
16 '
Замечание 1. Нет нужды запоминать формулы E).
Для вычисления хА, уА можно применить следующий
прием. Уравнение Dа) перепишем в виде
F)

70
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Дополним выражение в скобках до полного квадрата, при-
прибавив -£. Для компенсации прибавим --^--^ = ~-jq к
левой части. Получим:
Уравнение G) примет вид
у' = -~х'\
если выполнить преобразоваиие пере-
переноса осей (§ 35):
(8)
у = у-
16
(9)
Черт. 60. „
Вершина параболы (т. е. точка
х' = 0, у = 0) имеет координаты х = -^ • >' = "W
Замечание 2. Общие формулы E) можно вывести из D) тем
же приемом, какой был применен в замечании 1 к уравнению Dа).
Замечание 3. Уравнение
X = ay* + by + С
представляет параболу (черт. 60) с вершиной н точке
Лас - 6»
V 4а р 2а/.
Ось ее параллельна оси абсцисс; вогнутость обращена «вправо*, если
а =-0, и «влево», если а-«:0.
§ 51. Директрисы эллипса и гиперболы
а) Директрисы эллипса. Пусть дай эллипс
(черт. 61) с большой осью А'А = 1а и эксцентриситетом
(§ 41) 5^=-j = е- Пусть г ^ О
(т. е. эллипс не является окруж-
окружностью). Отложим от центра
О эллипса на его большой оси
отрезки OD = OD1, равные
~ (т. е. 0D:OA =-- О A: OF).
Прямые PQ, P'Q', проходящие
соответственно через D, D' и
параллельные малой оси, назы-
называются директрисами эллипса.
Каждой из директрис поставим в соответствие тот фо-
кус эллипса, который лежит по ту же сторону от центра,
т. е. директрисе PQ-фокУС F, а директрисе P'Q'-фокус
Черт. 61.

S S2. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА
71
F'. Тогда для любой точки М эллипса отношение ее рас-
расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей
директрисы равно эксцентриситету е, т. е.
MF-.MK = MF". МК' = е-
0)
\
У
a'
—-
& 0
p'
Y
U
a
w
\F X
P
Так как для эллипса е -= 1, то всякая точка эллипса ближе
к фокусу, чем к соответствующей директрисе.
Если большая осьэллипса остается неизменной, а эксцен-
эксцентриситет стремится к нулю (т. е. эллипс все меньше отли-
отличается от окружности), то ди-
директрисы пео1 раниченно удаля-
удаляются от центра.
У окружности директрис нет.
б) Д и р е к т р и с ы гипер-
гиперболы. Пусть А А (черт. 62) есть
действительная ось гиперболы, а
OF с
е = тгт = —ее эксцентриситет
(§ 44). Откладываем
OD = OD' = £ Черт. 62.
(т. е. OD.0A = О A: OF). Пря-
Прямые PQ, P'Q1, проходящие соответственно через D,
D' и параллельные мнимой оси, называются директрисами
гиперболы. Для любой точки М гиперболы отношение
се расстояния до фокуса к расстоянию до соответст-
соответствующей директрисы [см. пункт а)] равно эксцентриситету
е, т. с.
MF ; МК = MF': МК' = •. B)
Так как для гиперболы г > 1, то всякая точка гиперболы
ближе к директрисе, чем к соответствующему Фокусу.
§ 52. Общее определение эллипса, гиперболы
и параболы
Все эллипсы]), гиперболы и параболы обладают следующим свой-
свойством: для каждой из этих линий остается неизменным отношение
(черт. 63)
FM : МК, (»)
где FM - расстояние произвольной ее точки М до данной точки F (фо-
куса), а МК~расстояние точки М до данной прямой PQ (директрисы).
Кроме окружности.

72
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Для эллипса (черт. 64) ото отношение меньше единицы (оно равно
эксцентриситету эллипса —; ср. §§ 41, 51). Для гиперболы (черт. 65)
оно больше единицы (оно равно эксцентриситету гиперболы — ;
ср. §§ 43, 51); для параболы (черт. 66) оно равно I (§ 48).
Обратно, всякая линия, обладающая указанным свойством, есть
либо эллипс (если FM : МК -=1), либо гипербола (если FM : МК =-1),
Черт. 63.
Черт. 64.
либо парабола (если FM: МК =1). Поэтому упомянутое свойство
можно принять эл общее определение эллипса, гиперболы и параболы,
а неизменное отношение FM : МК = е назвать эксцентриситетом.
Эксцентриситет е параболы равен единице, для эллипса е-;1, для ги-
гиперболы :>1.
Заданием эксцентриситета £ и расстояния FC^d от фокуса до ди-
директрисы полностью определяются величина и форма эллипса, гипер-
гиперболы и параболы. Если при данном
е изменять d, то все получаемые кри-
Dbie будут подобны друг другу.
Черт. 05.
Черт. 66.
Хорд;» RR'эллипса, гиперболы или параболы (черт. 64,65,66), про-
проходящая через фокус F и перпендикулярная к оси FC, называехся <£о-
кальной хордой и обозначается 2р:
RR' = 2р. B)
Величина р а= FR = FR' (т. е. дли^а фокальной полухорды) называется
параметром эллипса, гиперболы или параболы. Она связана с d соотно-
соотношением
р « rf«, C)
так что для параболы (s =1)
р = (I. (За)

§ 52. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА
73
Вершины эллипса, гиперболы и параболы (а на черт. 64, 65, Об)
делят отрезок FC в отношении FA : АС = е. Вторая вершина эллипса
и гиперболы (Л'на черт. 64,65) делит FCn том же отношении внешним
образом (§ 11).
В соответствии с новым определением эллипс, гипербола и пара-
болч представляются единым уравнением. Если за начало принять
вершину А (черт. 67) и ось направить по лучу AF, то это уравнение
будет:
Я=2рх-A -е*)Х*; D)
здесь р -параметр, а е-эксцентриситет.
Вблизи от вершины парабола и по форме мало отличается от эл-
эллипсов н гипербол, имеющих эксцентриситет, близкий к 1. На черт. 68
С
х-с
Р
А
у
к'
Черт, 67.
Черт. 68.
изображены эллипс с эксцентриситетом е ч=0,9, гипербола ') с эксцен-
эксцентриситетом е*=1,1 н парабола (s = l), имеющие общий фокус F и об-
щую вершину А.
Полуоси а, Ь и полуфокусное расстояние с эллипса и гиперболы
выражаются через е следующим образом:
Эллипс
Гипербола
а =
1
£
Р
Р
г _
■"
1
Ъ s=
Ь ~
VI
р
~
р
2 _
Е«
1
С
с
= ЦЕ
- р
= р
1
е
Е
е
Е-
1
Расстояние 8 =AF от фокуса F до вершины А во всех трех слу-
случаях выражается формулой
1) Вторая йершина эллипса и гиперболы (а вместе с тем и вся вторая
ветвь гиперболы) тем дальше от первой вершины, чем е ближе к 1,

74 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 53. Конические сечения
Эллипс, гиперболу и параболу называют коническими сечениями,
так как их можно получить на поверхности круглого') конуса в пере-
пересечении с плоскостью F, не проходя-
проходящей через вершину конуса. При
этом поверхность конуса мыслится
неограниченно продолженной в обе
стороны от вершины.
Черт. 70.
Черт. 71.
Если плоскость Р не параллельна цч одной образующей конуса
(черт. 69), то коническое сечение есть эллипс s).
Если плоскость Р параллельна только одной из образующих ко-
кому са (КК' на черт. 70), то коническое сечение е(.ть парабола.
Если плоскость Р параллельна двум образующим конуса (КК' и
I.L' на черт. 71), то коническое сечение есть гипербола.
Если плоскость Р проходит через вершину конуса, то вмесю эл-
эллипса мы получим точку, вместо гиперболы —пару пересекающихся
прямых (черт. 72), а вместо параболы —прямую касания плоскости Р
с конусом (черт. 73). Эту прямую можно рассматривать как две слив-
слившиеся в одну.
') Л также на поверхности некруглого кругового конуса.
-) В частности, эллипс может быть окружностью. На круглом ко-
иУсе круговые сечения образуются только плоскостями, параллель-
параллельными основанию; некруглый же конус имеет еще одно семейство кру-
круговых сечений.

§ 54, ДИАМЕТРЫ КОНИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ
Черт. 72.
Черт. 73.
§ 54. Диаметры конического сечения
Середины параллельных хорд всякого конического сечения лежат
на одной прямой; эта прямая называется диаметром конического
сечения. Каждому направлению параллельных хорд соответствует
свой диаметр (<сопряженпый* с данным направлением). На черт. 74
(/ '
Черт. 74.
Черт. 75,
изображен один из диаметров U'U эллипса. На нем лежат середины
К1( Къ... параллельных хорд MtMi, МгМ'г, ... Геометрическое место
этих середин есть отрезок L L диаметра U'U.
На черт. 75 изображен диаметр U'U гиперболы, соответствующий
параллельным хордам AIjAIJ, MtM't к т. д. На нем лежат середины

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Ki,Ki,... этих хорд. Геометрическое место точек К|,К2(... есть пара
лучей L'W и LU.
Замечание. В элементарной геометрии диаметром окружности
называется отрезок (наибольшая хорда). В аналитической гео-
геометрии слово 'диаметр» иногда тоже употребляется для обозначения
отрезка LL' (черт. 74, 75). Но чаще этим словом называют всю
Прямую LL'.
§ 55. Диаметры эллипса
Все диаметры эллипса проходят через его центр.
Диаметр, соотлетстпуюшнй хордам, параллельным милой оси, есть
большая ось (черт. 7В). Диамел рр соответствующий хордам, параллель-
параллельным большой оси, есть малая ось.
Черг. 76.
Черт. 77.
Хордам с угловым коэффициентом к (к^О) отвечает диаметр у-
где ki определяется из соотношения
т.е.
Пример I. диаметр U'U эллипса
A)
A3)
1
(черт. 77), отвечающий хордам с угловым коэффициентом А » — -^- ,
представляется уравнением у = ft1x; значение hx определяется из соот-
ношения — -q- fti = —ц , так что уравнение диаметра U'U есть
у =
Пример 2. Диаметр VV (черт, 77)того же эллипса, соответ-
соответствующий хордам с угловым коэффициентом fr = —, представляет-
представляется уравнением у = — ~^х.
Если диаметр U'U эллипса делит пополам хорды, параллельные
диаметру VV, то диаметр v'V всегда делит пополам хорды, параллель-
параллельные диаметру U'U

56. ДИАМЕТРЫ ГИПЕРКОЛЫ
77
8 х2 Vs
Пример 3. Диаметр у — — -х-х эллипса —-+-£- = 1 (ср. при-
примеры 1 и 2) делит пополам хорды, параллельные диаметру у~ - - х.
В свою очередь диаметр у = -=-х делит пополам хорды, параллельные
8
диаметру у = —-^ х.
Диаметры, из которых каждый делит пополам хорды, параллель-
параллельные другому, называются взаимно сопряженными.
Два диаметра, сопряженных друг с другом и вместе с тем взаимно
перпендикулярных, называются главными диаметрами. У окруж-
окружности всякий диаметр —главный. У эллипса, отличного от окружнос-
окружности, есть лишь одна пара главных диаметров—большая и малая оси.
Угловые коэффициенты неглавных сопряженных направлений
имеют со1ласно (la) противоположные знаки, г. е. два сопря-
сопряженных диаметра эллипса принадлежат раз-
различным парам вертикальных углов, образуе-
образуемых осями (на черт. 77 диаметр VV лежи г ^о И и IV четверш,
а U'U —а I и Ш четверти). При врашенни диаметра U'U сопряжен-
сопряженный диаметр W врашаеюя а ту же сторону, чго и U'U.
§ 56. Диаметры гиперболы
Все диаметры гиперболы проходят через ее центр.
Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси
(черт, 75), есть действительная ось (геометрическое место середин хорд
есть пара лучсн А'Х' и АХ); диаметр, соответствующий хордам, па-
параллельным действительной оси (черт. 79), есть мнимая ось (середины
хорд заполняют ось Y'Y целиком).
Г
V
S.
/
s.
\
/
/
У
Y
d
\
\
/
У
X
\
\
х Л' №'-0
Черт. 78. Черт.
Для гиперболы, как и для эллипса, угловой коэффициент к парал-
параллельных хорд (А^О) и угловой коэффициент kL соответствующего
диаметра связаны соотношением
ftft, « e»-l. A)
Но соотношение Aа) § 55 заменяется соотношением
62
= +-
A6)

78
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример 1. Диаметр U'U гиперболы-^—~ = 1 (черт. 80), coot-
** 4 10
ветствующий хордам с угловым коэффициентом h я-<г> представляется
.у уравнением y=kjx; значение ki
1 *v . определяется из соотношения
4
кк± = -Q-, так что уравнение
диаметра U'U есть у = -=• X.
О
Пример 2. Диаметр V'V
(черт. 80) той же гиперболы,
соответствующий хордам с угло-
о
вым коэффициентом ft = — , пред-
10
ставляется уравнением у= -<г- х.
Ксли диаметр U'U делит по-
пополам хорды, параллельные диа-
диаметру VV, то диаметр и^всегдаделитпополамхорды,параллельные
диаметру (J'U.Такие два диаметра называются взаимно сопряженными.
У всякой гиперболы есть лишь одна пара главных (т. е. соп-
сопряженных и вместе с тем взаимно перпендикулярных) диаметров —
действительная и мнимая оси.
Если угловой коэффициент параллельных хорд по абсолютному
значению больше, чем угловой коэффициент асимптоты, т. е.
1 ' а
(см, пример 1, где — = - ), то геометрическое место середин хорд
есть пара лучей (I.'W и LU), Если же
(см. пример 2), то середины хорд заполняют диаметр (W па черт. 80)
целиком. Из двух сопряженных диаметров один всегда принадлежит
к первому типу, другой—ко второму.
Замечание 1. Угловой коэффициент параллельных хорд не
может по абсолютному значению равняться —, ибо прямые у ==
= ± — х (асимптоты) не пересекают гиперболы, а прямые, параллель-
параллельные асимптоте, пересекают гиперболу лишь в одной точке.
Угловые коэффициенты неглавных сопряженных направлений име-
имеют согласно AС) одинаковые знаки, т. е. два сопряженных диа-
диаметра гиперболы принадлежат одной и той же
паре верти к а ль ныхугло в, образованных осями.
Напротив, по отношению к асимптотам два сопряженных диа-
диаметра принадлежат различным парам вертикальных углов.
Замечание 2. При вращении диаметра U'U гиперболы сопря-
сопряженный диаметр VV вращается в противоположную сторону. При
этом, когда U'U неограниченно приближается к одной из асимптот,
VV неограниченно приближается к той оке асимптоте. Поэтому об
асимптоте говорят, что она является диаметром, сопряженным самому
себе. Это выражение условно, ибо асимптота не является диаметром
(ср. замечание 1). Кроме асимптот, всякая другая прямая, проходя-
проходящая через центр гиперболы, является одним из ее диаметров.

§ 57. ДИАМЕТРЫ ПАРАБОЛЫ
§ S7. Диаметры параболы
79
Все диаметры параболы параллельны ее оси; см. черт. 81 и 82 (гео-
(геометрическое место середин параллельных хорд параболы есть луч LU).
Диаметр, соответствующийхордам, перпендикулярным к оси пара-
параболы, есть сама ось (черт. 83).
Черт. 81.
Черт. 82.
Диаметр параболы у&-=2рх, соответствующий хордам с угловым
коэффициентом к (ft ^0), представляется уравнением
У =
(чем больше наклон хорды к оси, тем диаметр дальше от оси *)).
Пример. Диаметр параболы у* =2рх, соответствующий хордам,
наклоненным к оси под углом а 45° (А = 1), представляется урав-
уравнением у*р, т. е. его расстояние от оси АХ (черт. 84) равно фокаль-
Черт. 83-
Черт. 84.
ной полухорде FR <§ 52). Значит, диаметр пересекает параболу в точ-
точке R, лежащей над фокусом F.
Все прямые, параллелыше какому-либо диаметру параболы, пере-
пересекают параболу только в одной точке. Поэтому взаимно сопряжен-
сопряженных диаметров у параболы нет.
1) Угловой коэффициент всякого диаметра параболы равен нулю,
т. е. удовлетворяет ураанениго к!с,_ = е3 — Т, которое имеет место
(§§ 55, 56) для эллипса и гиперболы (для параболы с = 1).

80 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 58. Линии второго порядка
Эллипс (в частности, окружность), гипербола и пара-
парабола являются линиями второго порядка, т. е. во всякой
системе декартовых координат представляются уравне-
уравнениями второй степени. Но не всякое уравнение второй
степени представляет одну из упомянутых линий. Может,
например, случиться, что уравнение второй степени пред-
представляет пару прямых.
Пример 1, Уравнение
4х!-9у3 = 0, A)
распадаюшееся на два уравнения 2х~3у - 0 и 2х+3у = О,
представляет пару прямых, пересекающихся в начале коор-
координат.
П р и м е р 2. Уравнение
x2-2xy+y*-Q = 0, B)
распадагошееся на уравнения х-у + 3 = 0и х-у-3 - О,
представляет пару параллельных прямых.
Пример 3. Уравнение
ха-2ху+у2 = 0, C)
т. е. (х-уУ = 0, представляет одну прямую х—у = 0;
ио ввиду того, что в левую часть C) двучлен х-у вхо-
входит множителем дважды, принято считать, что C) пред-
представляет две слившиеся прямые.
Может случиться, что уравнение второй степени пред-
представляет только одну точку.
П р и м е р 4. Уравнение
хйч4уй = 0 D)
имеет только одно действительное решение, именно х — О,
у = 0. Оно представляет точку @; 0). Впрочем, D) распа-
распадается на два уравнения х+-^ iy = 0, x-^iy = 0 с мни-
мнимыми коэффициентами. Поэтому говорят, что D) пред-
представляет «пару мнимых прямых, пересекающихся в дей-
действительной точке».
Наконец, может оказаться, что уравнение второй сте-
степени не представляет никакого геометрического места.
П р и м е р 5. Уравнение
-э ^ — ie *- '

§ 59. ЗАПИСЬ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ 2-Й СТЕПЕНИ 81
не представляет ни линии, ни даже точки, так как вели-
чина -^g-+-zrnr ие М0Жет иметь положительного значения.
Однако ввиду внешнего сходства уравнения E) с уравне-
уравнением эллипса говорят, что уравнение E) представляет
«мнимый эллипс».
Примерб. Уравнение
хи-2ху+уя + 9 = 0 (б)
тоже ие представляет ни линии, ни даже точки. Но так
как оио распадается на уравнения x-y+3i = 0 и х-у-
-3( = 0, то говорят (ср. пример 2), что F) представляет
«пару мнимых параллельных прямых».
Коническими сечениями и парами прямых исчерпыва-
исчерпываются все линии, которые могут представляться уравнением
второй степени в декартовой системе координат. Иными сло-
словами, имеет место следующая теорема.
Теорема. Всякая линия второго порядка есть либо
эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо пара пря-
прямых {пересекающихся, параллельных или совпавших).
План доказательства. С помошью преобразо-
преобразования координат данное уравнение второй степени приво-
приводится к более простому виду, и тогда мы либо получаем
одно из канонических уравнений
■^г+-^- = ± 1 (эллипс, действительный или миимый),
"fr""^" ~ * * (гипербола), у- = 2рх (парабола),
либо обнаруживаем, что уравнение второй степени разла-
разлагается на два уравнения персон степени. Вместе с тем мы
находим размеры линии второго порядка и расположение
ее относительно первоначальной системы координат (на-
(например, для эллипса —длины осей, их уравнения, положе-
положение центра и т. п.).
В §§ 01-02 упомянутые преобразования проведены
полностью.
§ 59. Запись общего уравнения второй степени
Общее уравнение второй степени обычно пишут в виде
Ax* + 2Bxy + Cy°- + 2Dx+2Ey+F = 0. A)
Обозначения 2В, 2D, 2Е (а ие В, D, Е) введены потому,
что во многие формулы входят половины коэффициентов
при ху, при х и при у. Пользуясь обозначениями 2В, 2D,
2Е, мы устраняем дробные выражения.
6 М. Я. Вьн одский

82 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Примерь Для уравнения
хЧху-2уг + 2х-ь4у + 4 = О
имеем:
А=\, В = ±, С ~ -2, D=l, £=2, F = 4.
Пример 2. Для уравнения 2ху±х+5 - 0 имеем:
Л = О, В = 1, С = О, D = 4- £ = °' F=5-
Замечание. Величины А, В, С, D, E, F могут иметь
любые значения, лишь бы величины Л, В, С ие были равны
нулю все вместе, ибо тогда A) есть уравнение первой
степени.
§ 60. Упрощение уравневия второй степени;
общие замечания
Преобразование уравнения второй степени
А& + 2Вхуь Cy2+2Dx+2Ey±F = 0 A)
к одному из простейших видов (см. § 58) мы выполним по
следующему плану2).
а) Предварительное преобразование.
С его помощью мы освободимся от члена, содержащего
произведение координат (это достигается поворотом осей;
см. § 61).
б) Завершающее преобразование. С его
помощью мы затем освободимся от членов, содержащих
первые степени координат (это достигается переносом на-
начала; см. § 62).
§ 61. Предварительное преобразование
уравнения второй степени
(Если В = 0, то это преобразование становится не-
ненужным-)
Поворачиваем оси координат на угол а, удовлетворяю-
удовлетворяющий условию *)
tg2* = :^. B)
1) Излагаемый здесь способ-не самый быстрый, но он не требует
никаких вспомогательных теорем. Другой способ, ведущий к цели
быстрее, объяснен а §§ 69, 70.
*) Если A SB С (величина \ _г «обращается в бесконечность) 1,
то (§ 21, замечание) 2« = ± 90е, т. е. «. » ± 45°.

S 61. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 83
Формулы преобразования будут (§ 36):
х = х' cos а - у" sin а, у = х' sin а + у' cos а. C)
Члены с ху взаимно уничтожатся *), и новое уравнение
будет иметь вид
Ах'2 + Су2 + 2D'x' + 2Е'у' + F' = 0. D)
Пример 1. Дано уравнение
2х2 — 4ху + 5у2 — х+5у-4 = 0. Aа)
Здесь Л = 2, В = -2, С = 5, D =-^, Е = ~, F = -4.
Из условия B) находим:
t? 9а = —— — — BaJ
Если угол 2а взять в первой четверти Ba ^ 53°8',
а « 26°34'), то получим:
COS 2а = :/^_1-,_ = 4 ,
. _ i/l-cos 2я _ _1_
_ |/"l+CQs2ac _ _Н_
"• Г 2 ~ Кб
COS Я
Формулы C) принимают вид
Подставляя в Aа), находим новое уравнение
зг*+6у'| + -р:Х/ + —у-4 = 0, Dа)
где
А = 1, В' = О, С = 6, D' = -—=, £' а ~~=. F' = -4.
Коэффициент при х'у' имеет вид
2В' = (С - А) 2 sin *COS a+2B(C0S* я -sin' «)
(C4>I2+2BOS2
В силу B) этот коэффициент равен нулю,
6*

84 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ"
Если взять угол 2а в третьей четверти Bя w 233°8',
а^= П6°34'), то аналогично получим уравнение
где
2^ 2YT'
Пример 2. Дано уравнение
=. 0. A6)
Здесь
Л=1, В=1, С = 1, D=l, Я=4» F => 0.
Так как Л = С, то (см. сноску '-) на стр. 82) можно взять
а = 45°. Подставив в A6) выражения
х = X' cos45° -у sin45° = ~{х'~у), \
i C6)
у = х' sin 45° +у cos 45° = ~7=z(x' + y),
находим:
Здесь
А' = 2, В' = О, С = О, D- = ~, Ь' = 1-=, F' = 0.
' ' ' 2У2' 2/2'
Если взять а = —45°, то получим:
2y»+^x' + JLy «0. D6')
Здесь
Д' = 0, В' = О, С =2, D' = -i=, Е' = -3-z, F' = 0.
П р и м е р 3. Даио уравнение
-8у-17 = 0. Aв)

§ 62. ЗАВЕРШАЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 85
Так как А= С, то можно взять а = 45°. Подставив в Aв)
выражения C6), найдем:
17 = 0. Dв)
Взяв а = -45°, получим:
4х'2 + 8^г-17 = 0. Dв')
§ 62. Завершающее преобразование
уравнения второй степени
Здесь нужно различать два случая:
1) ни один из коэффициентов Л', С' в уравнении
Л'х'* + Су'+2О'х' + 2Е>у + Р' = 0 D)
не рлпен нулю (так было в примере 1);
2) один из коэффициентов А', С' равен нулю (так было
ч примерах 2 и 3)*).
Случай 1. Уравнение
= 0 D)
преобразуем так. Сумму A'x>2+2D'x' - Л'(х'г + 2~хЛ
дополняем членом ~; получаем А' (х' + -^-У. Сумму
Су* + 2Е'у' дополняем членом -^-; получаем С' (уЧ-т^У*
К правой, части D) для компенсации прибавляем -тт+-гг.
Получаем уравнение вида
*(*+%у+с-(у+§у = к: E)
где
Переносим начало в точку (~д-,\ -яг)» т- е- преобра-
преобразуем координаты (§ 35) по формулам
х-=х-%, У = У~^. (б)
!) Коэффициенты А' и С не могут оба вместе равняться нулю
(иначе уравнение D) будет первой степени).

86 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Получаем уравнение
А'Г- + Су* = К' (А' * О, С* 0). G)
Если К' ? 0, то разделим это уравнение на К'. Получим:
А' С'~
а) Если оо~с величины-Д7, Q- положительны, то имеем
эллипс,
б) Если обе величины ^р, ^т- отрицательны, то имеем
миимый эллипс (ср. пример 5 § 58).
в) Если одна из этих величин (вес равно какая) поло-
положительна, а другая отрицательна, то имеем гиперболу.
Если же К' = 0, то уравнение G) имеет вид
А'жЧС'Я = О. G')
Возможны два случая:
г) Если А' и С' имеют различные знаки, то А'хг + С'уа
разлагается на множители первой степени, как разность
квадратов. В обоих множителях коэффициенты действи-
действительны, и мы имеем пару пересекающихся прямых (ср.
пример 1 § 58).
д) Если А и С имеют одинаковые знаки, то А'$*+С'у*
тоже разлагается иа множители первой степени, ио оба
множителя содержат члены с мнимыми коэффициентами,
и мы имеем пару мнимых пересекающихся прямых, т. е.
одну действительную точку (ср. § 58, пример 4).
Пример 1. Уравнение (U) примера 1§ 61 после пово-
поворота осей преобразовалось к виду
+ ^x- + j±y-4 = 0. Dа)
Это уравнение запишем в виде
46(r+
у/" у + 4) Eа)
u
у
2YT)
+б
/ u у

S 62. ЗАВЕРШАЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
87
Переходя к новой системе с началом координат в точке
(—?=; -—Ц=Л по формулам
л — л ™~
получаем:
или
1/' ^ V ■_■
у — j ^
131
11
}_
24
-+■
24
= 1.
Fа)
Gа)
(8з)
_
Н4
Исследуемое уравнение представляет эллипс с полуосями
" = f'ic * 2'3' Ь = /Иг ** 1'°" На ЧСРТ" 85 (г^е 0Е-
единица масштаба) а = О' Л, Ь = О' В.
Центр эллипса находится в точке О' с координатами
х = о, у = 0. С помощью
формул Fа) найдем коорди-
координаты центра в промежуточ-
промежуточной системе X'OY".
х- —
На черт.
*' =
--
85
ОР
2 ^5 W
II
12^5" ^
', v' =
-0,7,
-0,4.
Р'О:
По формулам (За) § 61 иайдем координаты центра в перво-
первоначальной системе XOY:
и
12
2
3
-0,4,
-0,7.
На черт. 85 хц = ОР, уп = РО'.
Найдем уравнеиия_осей эллипса в первоначальной си-
системе. Б системе XO'Y большая ось предстарляется ураз-

88 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
пением у = 0, в системе X'OY' та же ось в силу второго
уравнения Fа) представляется уравнением у' = ~.
\л у о
Решив систему (За) относительно х1, у, найдем:'
Нам нужно только второе из этих уравнений; положив в
нем у' = -=., получим уравнение большой оси в си-
стеме XOY; имеиио
_2_ 1- п_
У 5"^ ft ~ 12 /б
ИЛИ
12х-24у-11 = 0.
Тем же способом найдем уравнение малой оси
4x+2y±S = 0.
С л у ч а и 2, Один из коэффициентов Л', С равен нулю.
Уравнение D) имеет вид
F' = 0 (9)
или
Cy'- + 2D'x' + 2Ey±F> = 0. (9')
Рассмотрим уравнение вида (9) [для уравнения вида (9')
вычисления те же, только х' и у меняются ролями].
а) Если Е'^0, то уравнение (9) можно разрешить
относительно у; получим:
Имеем параболу. Координаты вершины определяются фор-
формулами E) § 50 при
D'
б) Если Е' = 0, то уравнение (9) примет вид
= 0.

62. ЗАВЕРШАЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Разложив левую часть A1) на множители перпой степени,
получим *):
==O. A2)
Уравнение A2) [а значит, и A1)] при D's~ A'F' =- О пред-
представляет пару параллельных прямых, при DrS— A' F' ■< О —
пару мнимых параллельных прямых, при DrS- A'F' ~ О -
две слившиеся прямые (§ 58, примеры 2, 6 и 3).
Пример 2. Уравнение A6) примера 2 § 61 после по-
поворота осей иа угол 45° преобразовалось к виду
-~у' = О.
D6)
Разрешив относительно у, получим:
у = 2^2~х
A06)
Уравнение (Юб) [а значит, и A6)] представляет параболу
(черт. 86); координаты х', у
ее вершины Л находим по
формулам E) § 50:
х'. - - —~ - - 0 й
Черт. 86.
Координаты вершины
можно найти и без помощи
формул E) § 50 (см. § 50,
замечание 1).
По формулам C6) § 61 находим координаты вершины
в первоначальной системе:
- Ш.{ ' лЛ ~ У~2 ( 3 i _Н_\ - А ~ ПО
Хд — 2 \Х ~ У ) ~ 2 \ ■ •'"- --'~ 1 ^ 1R "" и> >
- "з"^ +У ) -
f) 16
~ ~\i-^- \ — "~ 1 ft *" О, J.
*) Величины '-
Уравнения (П).
суть корни

90
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Найдем уравнение оси AU параболы. В новой системе эта
ось представляется уравнением
4^2"'
Разрешив уравнения C6) относительио х-, у, найдем:
х> = Ц-(х+у),
Подставив в первое из этих уравнений (второе нам не
нужно) х' — ~, получим:
или
** 4х+4у+3 *= 0.
Это ~ уравнение оси параболы в
х первоначальной системе.
Пример 3. Уравнение Aв)
примера 3 § 61 после поворота
осей на угол -4,5° преобразова-
преобразовалось к виду
4r2 + 3J/2V-17 = 0. Dв')
Разложив левую часть уравнения Dв') на множители, по-
получим; _ _
B|£i)(it|ll)o. A2.)
т. е. имеем пару параллельных прямых (UV и U'V' на
черт. 87):
5р^2 5+2У2 A3)
Найдем уравнения этих прямых в системе ХОУ. Так как
система ХОУ получается из X'OY' поворотом на +45°,
то
х>
A4)

S 63. О ПРИЕМАХ УПРОЩЕНИЯ УРАВНЕНИЯ 2-Й СТЕПЕНИ91
Подставляя в первое из этих уравнений сначала одно, а
потом другое значение A3), находим:
5+2/2- _Уг ,
2 ~ 2 ^
ИЛИ
= О.
Это - уравнения прямых UV, U'V в первоначальной си-
системе.
§ 63. О приемах, облегчающих упрощение
уравнения второй степени
Способ упрощения уравнения второй степени, изложен-
изложенный в §§ 61 -62, имеет перед другими способами два пре-
преимущества: 1) он дает полную классификацию линий вто-
второго порядка (теорема § 58); 2) он единообразен и прост
по идее. Однако этот способ требует довольно утомитель-
утомительных выкладок.
Во многих случаях выкладки можно облегчить.
1. Для линий второго порядка, распадающихся иа пару
прямых (§ 58, примеры 2, 3, 4, 6), можно легко иайти
уравнения обеих прямых, не прибегая к преобразованию
координат. Этот способ излагается в § 65; предварительно
(§ 64) дается признак распадения.
2. Нераспадающаяся линия второго порядка может
быть или эллипсом, или гиперболой, или параболой. Эллипс
н гипербола имеют центр, а парабола не имеет. Поэтому
упрощение уравнений эллипса и гиперболы удобно начать
с переноса начала в центр. Можно заранее узнать, к ка-
какому нз этих трех типов принадлежит линия второго по-
порядка. Соответствующий признак дай в § 67, в § 68 уточ-
уточняется понятие центра и в § 69 объяснено, как найти
координаты центра. В § 70 объяснен способ упрощения
уравнений эллипса и гиперболы.
3. Что касается параболы, то для нее способ упро-
упрощения, изложенный в § 61, остается наилучшим. Впрочем,
размеры параболы (т. е. величину параметра р) можно
легко найти при помощи так называемых инвариантов.
О них сказано в § 66.

92
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 64. Признак распадения линий второго порядка
Если линия второго порядка
Axz±2Bxy+Cy2 + 2Dx-h2by+ F = О A)
распадается на две (различные или совпадающие) прямые
(оии могу г бьпь и мнимыми), то определитель третьего
порядка (§ 118)
Л В D
Д « В С Е B)
D E F
(«большой дискриминант» *)) обращается в нуль. Обратно,
если Д = о, то линия A) распадается на две прямые.
Доказательство см. в g 65 (замечание 2).
Пример 1. В § 61 (пример 3) была рассмотрена ли-
линия второго порядка
2х2-4ху+2у*+8х-8у- 17 = О
(А=2, В = -2, С-2, D = 4, h = -4, F = -17).
В § 62 (пример 3) было установлено, что эта линия рас-
распадается на две параллельные прямые:
№x-f2y-5±2f2 = 0 C)
и
^2x~f2y+5+2f2 = 0. D)
В соответстпии с этим большой дискриминант Д равен
нулю. Действительно,
Д =
2 -:
г 4
-2 2-4
4 -4 -17
— 2
2 -
-4 -
=
4
17
+ 2
• 2-4
4 -17
+ 4
-2 2
4 -4
■» 2-(-50)+2-50+0 = 0.
П р и м е р 2. Линия второго порядка
2х2-4хи+5уг-х+5у-4 = 0
не распадается, так как большой дискриминант
Д =
— 2
--L И _4
131
4
]) Дискриминант —латинский термин, дословно «различитель».
Дискриминант Д называется большим в отличие от мадого, о котором
№. § 66,

§ 65. РАЗЫСКАНИЕ ПРЯМЫХ РАСПАДАЮЩЕЙСЯ ЛИНИИ 93
ис равен нулю. В §§ б], 62 (пример 1) было показано, что
эта линия — эллипс.
Правило для запоминания выраже-
выражения B). Впервой строке выписываются подряд тебуквы,за
которыми следует х в уравнении A), во второй — те, за
которыми (непосредственно или после х) следует у, в
третьей — три последние буквы.
\
§ 65. Разыскание прямых, составляющих
распадающуюся линию второго порядка
Чтобы найти уравнения двух прямых, вместе составляю-
составляющих распадающуюся линию второго порядка
Ax2±2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey+ F = 0 A)
(условие распадения см. § 64), достаточно разложить ле-
вуго часть A) на множители первой степени. Когда хотя
бы один из коэффициентов А, С не равен нулю, лучше
всего прямо решить уравнение A) относительно той из букв
х, у, которая входит туда во второй степени. Два решения
(оии могут и совпадать) представят две искомые прямые.
Пример 1. Линия второго порядка
-8у-17 = О B)
является распаддющейся, так как большой дискриминант
Д =
2-2 4
-2 2 -4
4 -4 -17
равен нулю. Уравнение B) можно решать относительно
любой из букв х, у (обе входят do второй степени). Пред-
Представив B) в виде
решаем его относительно у; получаем:
У =
т. е.

94
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Одна из прямых представляется уравнением у =
+ -^L, другая - уравнением y=x+2--|L. Эти пря-
прямые параллельны (ср. пример 3 §§ 61-62).
П р и м е р 2. Линия второго порядка
2хЧ-7ху-15у2-10х4-54у-48 = О
C)
распадается, так как
д =
2
Л
2
-5
i -5
-15 27
27 -48
= 0.
Представив C) в виде
находим:
У
-1Qx-4S)
30
Подкоренное выражение равно 1б9х3+15бх+3б =
= A3x+6)s. Следовательно, у = ?*±5*_±^±^. Одна из
прямых представляется Уравнением у = Щг^, другая -
уравнением у = ~"*5+8 . Эти прямые пересекаются в точке
V 13' 13/'
П р и м е р 3. Линия
10ху-14х+15у-21 « О
распадается, так как
0 5-7
D)
Д =
-7
О
— -21
2 *1
= 0.
В уравнение D) как х, так и у входят только в первой
степени. Поэтому разлагаем левую часть D) на множи-
множители, группируя члены. Получаем:
Юху- 14х+15у-21 = 2хEу-7) + 3Eу-7) =
B
Линия D) распадается на прямые: 2х+3 = 0 и 5у-7 = 0.

S 65. РАЗЫСКАНИЕ ПРЯМЫХ РАСПАДАЮЩЕЙСЯ ЛИНИИ 95
Замечание 1.В случае А = С = 0 можно тоже ре-
решать данное уравнение относительно х или у; так, в при-
примере 3 получим (Юх+15)у = Н.г+21, но дальше делить
обе части на 10х+ 15 можно лишь в том случае, когда
14 21
10х+15 ис равно нулю. Тогда получаем у =
7 Bх + 3> 7 7
= -г-Уо—тоТ ~ т> и Уравнение одной из прямых есть у = —
т. е. 5у-7 = 0. В случае, когда 10*+15 = 0, т. е.
X = -:k, уравнение A0х+15)у = 14х+21 удовлетво-
удовлетворяется при любом значении у; таким образом, получаем
другую прямую х = -g-, т. с. 2х + 3 = 0.
Замечание 2. Вычисления, проделанные в приме-
примерах 1 и 2, можно выполнить для любого уравнения вида A),
если только С^О. Проделав эти выкладки в общем виде,
получим под радикалом квадратный трехчлен
CF. E)
Он будет полным квадратом в том и только в том случае,
если
(BE-CDy-(B*-AC) (Ea"-CF) = 0. (б)
После простых преобразовании увидим, что левая часть
равенства F) равна С'Д, где Д-большой дискриминант.
Так как, по предположению, С * 0, то признак распадения
есть Д = О, В случае, когда С = 0, но А * 0, мы прихо-
приходим к тому же выводу, иименяв ролями х и у. Так дока-
доказывается признак § G4 для общего случая. В исключитель-
исключительном же случае, когда А = С = О (и, стало быть, В ^ 0),
левая часть уравнения A) принимает вид
Представим этот многочлен в виде 2х (y)
+ BEy+F). Это выражение разлагается на множители
первой степени только в том случае, когда у двучленов
By+D и 2£y-i-F соответственные коэффициенты равны
или пропорциональны (см. пример 3), т. е. когда 2DE—
- BF = 0. Но в рассматриваемом случае большой дискри-
О В D
мииант Д имеет вид
ВОЕ
а отсюда следует, что
D E F
2DE- BF — -g-. Так доказывается признак § 64 в исклю-
исключительном случае.

56 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 66. Инварианты уравнения второй степени
При переходе от одной системы прямоугольных коор-
координат к другой мы заменяем уравнение
Ax* + 2Bxy+Cyn- + 2Dx + 2Ey+F = 0 A)
линии второго порядка другим уравнением
которое получается из A) с помощью формул преобразо-
преобразования координат (см. примеры §§ 01 и 62). При этом зна-
значения Л', В', С', D', E', F' (все илн некоторые) отличаются
от значений одноименных величин А, В, С, D, E, F.
Однако три нижеприведенных выражения, составлен-
составленных из величин А', В', С', Dr, E', F1, всегда остаются
равными одноименным выражениям, составленным из
величин А, В, С, D, E, F. Эти три выражения называются
инвариантами*) уравнения второй степени.
а) Первый инвариант А±С.
А В
б) Второй инвариант S =
В С
(малый дискриминант).
в) Третий инвариант
А В D
А = ВСЕ (большой дискриминант).
D E F
Пример 1. Уравнение
-4 = О
(Д я 2, В = -2, С = 5, D = -1, Я = |, F = -4)
мы преобразовали в § 61 (пример 1) к виду
соответственно повороту осей на угол arcsin — ^ 26°34\
а) Выражение А + с в старой системе равнялось
2+5 = 7, в новой системе одноименное выражение
А' + С' равняется 1 + 6 = 7, так что
Инвариант-латинский термин, а переводе-«неизменный..

S бб. ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ 2-Й СТЕПЕНИ 97
б) Малый дискриминант в старой системе был равен
&
2 -2
-2 5
в новой системе имеем:
так что
= 2-5-(-2)-(-2) = б,
= 6,
1 О
О 6
S = $'.
в) Большой дискриминант в старой системе был равен
в новой
так что
Д =
2
-2
системе
Д' =
1
6
3
-2
5
1
О
6
И
2 У 5
2
-4
= -
3
'и
Vlf
4
131
4
>
131
4
Д = Д'.
Пример 2. Уравнение
мы затем преобразовали в § 62 (см. пример 1) к сиду
131
= 0 соответственно переносу начала в точку
X' =:
будет;
24
3
Д =
12У5
1 О
О 6
. Большой дискриминант теперь
о о -£
131
4
т. е.
Д = Д' = Д.
7 М. Я. Выгодский

98 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Два других инварианта, очевидио/гоже сохранили преж-
прежние значения.
Для доказательства неизменности каждой из величин
а), б), в) достаточно составить выражения величии Л', В',
С',... через Л, В, С, ... (эти выражения будут содержать
также угол поворота я п координаты нового начала). Под-
Подставив их, например, в выражение А' + С', мы после упро-
упрощений найдем Ал~С н т. д. Однако эти выкладки очень
громоздки*),
Замечание. Если обе части уравнения A) помно-
помножить (или разделить) па какое-нибудь число к, то новое
уравнение представляет ту же линию второго порядка.
Однако теперь величины а), 6"), в) изменяются: первая по-
помножится на к, вторая на к2, третья ш к\ Вот почему вели-
величины а), б), в) называются инвариантами уравнения вто-
второй степени, а не инвариантами линии второго порядка.
§ 67. Три типа линий второго порядка
Л1алый дискриминант 8 (§ бб) для эллипса положителен
(см. пример 1 § 66), для гиперболы отрицателен, для лара-
болы равен иулго.
Доказательство. Эллипс представляется уравне-
уравнением ~+^-1 = О. У этого уравнения малый дискрими-
дискриминант S = ^«^ > О. Прн преобразовании координат S
сохраняет свою величину, а при умножении обеих частей
уравнения иа какое-либо число к дискриминант умножается
на ks (§ 66, замечание). Следовательно, дискриминант эл-
эллипса положителен в любой системе координат. В случае
гиперболы и в случае параболы доказательство анало-
аналогично.
Сообразно с этим различают три типа линий второго
порядка (и уравнений второй степени):
а) Эллиптический тип, .характеризующийся условием
S= АС-В* > О.
К нему относятся, кроме действительного эллипса, также
мнимый эллипс (§ 58, пример 5) н пара миимых прямых,
пересекающихся в действительной точке (§ 58, пример 4).
1) Существуют искусственные приемы, облегчающие доквза-»
тельство.

§ 67. ТРИ ТИПА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 99
б) Гиперболический тип, характеризующийся условием
S= АС-В2 * О.
К нему относится; кроме гиперболы, пара действитель-
действительных пересекающихся прямых (§ 58, пример 1).
в) Параболический пит, характеризующийся условием
S = АС - В*- =г. О.
К нему относится, кроме параболы, пара параллельных
(действительных или мнимых) прямых (они могут сов-
совпадать).
Пример 1, Уравнение
=*0 A)
принадлежит к параболическому типу, ибо
Так как большой дискриминант
1 1 1
1 1 Д
1 4- о
не равен нулю, то уравнение A) представляет нераспада-
нераспадающуюся линию, т. е. параболу (ср. §§ 61-62, пример 2).
П р и м е р 2. Уравнение
принадлежит к гиперболическому типу, нбо
$ = АС-В* = 8-1-12* ~ -136 < 0;
так как
д =
8 12 -28
12 1 9
28 9 -55
то уравнение B) представляет пару пересекающихся пря-
прямых. Их уравнения можно найти по способу § 65,
Пример 3. Уравнение
4«о

100 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
принадлежит к эллиптическому типу, ибо
S = АС-В* = 5-2-2' ^ б > 0.
Так как
Д =
2 -2 --£
-2 5 4
/О,
то линия ие распадается и, значит, является эллипсом.
Замечание. Однотипные
*" линии геометрически связаны
так: пара пересекающихся мни-
мнимых прямых (т. е. одна дей-
действительная точка) есть прс-
.дельный случай эллипса, «стя-
*гиваюшегося в точку» (черт. 88);
пара пересекающихся действи-
действительных прямых- предельный
случай гиперболы, приблнжаю-
Черт. 88. шейся к своим асимптотам
(черт. 89); пара параллельных
прямых - предельный случай параболы, у которой ось и
одна пара точек М, М', симметричных относительно оси
Черт. 89.
Черт. 90.
(черт. 90), неподвижны, а вершина Удаляется в бесконеч-
бесконечность.

g 68. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И НЕЦЕНТРАЛЬНЫЕ ЛИНИИ 101
§ 68. Центральные и нецентральные линии
второго порядка
Определение. Точки А и В (черг. 91) называются
симметричными относительно точки С, если С делнт по-
пополам отрезок АВ. Точка С называется центром симмет-
симметрии (короче, центром) фигуры, если у фигуры наряду
с каждой ее точкой М имеется
также точка N, симметричная с ^ у,, „ J\
М относительно С.
Точка, названная нами (§ 40) Черт. 91.
центром эллипса, а также точка,
названная {§ 44) центром гиперболы, очевидно, подходят
под определение настоящего параграфа. Центром линии
второго порядка, распадающейся на две пересекающиеся
Черт. 92,
прямые (§ 58), является, согласно определению настоя-
настоящего параграфа, точка пересечения этих прямых (L на
черт. 92).
Каждая из рассмотренных выше линий второго по-
порядка обладает единственным центром. Если же линия
второго порядка состоит из дпух параллельных прямых
(Ав и CD на черт, 93), то иод определение центра подхо-
подходит любая точка прямой MN, равноотстоящей от АВ
и CD.
Парабола вовсе не имеет центра.
Линии второго порядка, имеющие единственный центр
(эллипс, гипербола, пара пересекающихся прямых), назы-
называются центральными; линии второго порядка, имеющие
множество центров или вовсе их ие имеющие (парабола,
пара параллельных прямых), называются нецентральными.
Замечание. Мнимые эллипсы и пары мнимых пря-
прямых, пересекающихся н действительной точке (см, § 58),

102 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
причисляются к центральным линиям. По отношению к
мнимому эллипсу это причисление условно, фигура же,
состоящая из одной действительной точки, подходит под
определение центральной «линии» (эта точка сама является
центром). Пары мнимых параллельных прямых (§ 58) при-
причисляются к нецентральным линиям.
Таким образом, линии второго порядка, принадлежа-
принадлежащие к эллиптическому и гиперболическому типам (для них
АС-В2 ?* 0; см. § 67),-центральные; линии параболиче-
параболического типа {Ас-В2 = 0)-нецентральные.
§ 69. Разыскание центра центральной лннни
второго порядка
Чтобы найти координаты х0, у0 центра центральной
линии
= 0,
надо решить систему уравнений
Вхо+Суо+Е
= 0. /
О)
B)
Эта система совместна и имеет единственное решение
(§ 187)
Лп — ~*
D
Е
А
В
В
С
в
с
C)
А В
В С
0 (это-условие центральности; § 68).
так как
Пример 1. Центр линии (пример 2 § 67)
8х* + 24ху+у2~5$х+1$у~55 *= О
найдем, решив систему
D)
Получим:
0-2S = О,
+9 = 0.
-28
9
8
12
12
1
12
1
-1, У* = —
8 -28
12 9
8 12
32 1

§16, упрощение уравнения центральной линии 103
Так как D) есть распадающаяся лниия гиперболического
типа, то точка (-1; 3) есть точка пересечения прямых,
составляющих линию D).
Л р и м е р 2. Центр лилии (пример 1 § 61)
2xs-4xy + 5y3-x+5y-4 « 0 E)
иаЙдеМ; решив систему
2хч—2у0 — -% — 0,
оуо ~ 0.
Получим:
Линия E) есть эллипс (так как S ^ 0 и Д ^ 0).
Вывод уравнений B). Если перенести начало в
искомый центр С(х0; yQ), то уравнение A) с помощью
формул переноса
(б)
преобразуется к виду
Ах'*+2Вх'у'+Cy's+2 (Ахо+ Вуо+П) xf+
+ 2(Bx+Cy+B)'+F<=0, G)
где для краткости положено
Если й«, уа будут удовлетворять уравнениям B); то G)
примет вид
Ax's+2Вх'у'+Су'3 + F' ■= 0. (8)
Эго уравнение можно переписать в виде
F = 0.
Поэтому наряду с каждой точкой М (х1; у), принадлежа-
принадлежащей лииин (8), эта линия содержит н точку N (—х'; —у')»
симметричную с М относительно нового начала С. Сле-
Следовательно (§ 68), С есть центр линии (8).
§ 70, Упрощение уравнения центральной линии
второго порядка
Преобразоваиие уравнения центральной линии к про-
простейшему виду можно выполнить быстрее, чем по общему
способу § 60j если сначала совершить перенос начала в
центр (вследствие чего исчезнут члены первой степени;

104 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
см. § 69), а затем поворот осей (вследствие чего исчезнет
член, содержащий ху). Угол а этого поворота заранее
известен (§ 61); он определяется из уравнения
A)
Замечание. Этот способ применим ко всякой цен-
центральной линии второго порядка, но для распадающейся
линии лучше применить способ § 65.
Пример. Даио уравнение (пример 1 §§ 61 - 62)
Переносим начало в центр хи = -~, у0 = --| (§ 69,
пример 2).
С помощью формул переноса
X = X 4-Х' V = V -4-V C}
получаем [ср. (8) § 69]:
2к'х—4xy' + 5y's—24* = ^' №
Из A) находим tg 2а — -$, и если взять*утол а в первой
четверти (ср. § 61), получаем формулы поворота
Подставляя в D), находим:
Щ- F)
или
? у*
24 144
Данная линия есть эллипс с полуосями а = U~- w 2,3
и 6 — jl'iii ** Ь0* ^ первоначальной системе его центр

§ 71. РАВНОСТОРОННЯЯ ГИПЕРБОЛА
105
имеет координаты ха= --^, у0 = -у, большая ось
(она является осью абсцисс в системе х, у) представляется
уравнением у-у0 = t£a (x-Xq) или У + -3 = Tv^H/'
т. е. 12х-24у-П = О (ср. § 62, пример 1).
Замечание. Размеры эллипса можно найти и ие
выполняя преобразования координат. Мы знаем заранее,
что в результате преобразования должно полупиться урав-
уравнение вида Axz + Cp+F = О. Величины А, С и F
можно найти с помощью инвариантов (§ 66). В первона-
первоначальном уравнении они равны
А + С = 2+5 = 7. 8 = АС-В* ^ 2-5-(-2J = б.
Ш-
4
Те же значения они должны иметь в Упрощенном урав-
уравнении. Следовательно,
А+С = 7, АС = 6,
А
В
D
В
С
Е
D
Е
F
А
0
0
0
С
О
0
0
F
откула
А = 1, С = 6,
131
и мы снова получаем уравнение F).
§ 71. Равносторонняя гипербола как график
уравнения у — —
Уравнение
У =
A)
(к * О) представляет равностороннюю гиперболу (§ 44);
ее асимптоты совпадают с осями координат. Полуоси ее
а= Ь = ЩЦ.
B)

1CS АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Если к >■ 0, то ветви гиперболы расположены одна в
первой, другая в третье}* четверти; сслн же я ~* О, — то
во второй и четвертой {черт. 94), В первом случае дей-
действительная ось гиперболы со-
составляет с осью абсцисс угол
45°, во втором-угол-45°.
Bee это выводится по спо-
способу § 61, если уравнение A)
записать в виде
ху = к. C)
Замечание. В случае, когда
h =0, уравнение C) представляет
пару прямых у = 0 {ось абсцисс) и
х=0 (ось ординат). Когда | к \ неог-
неограниченно уменьшается, гиперболы
C) все теснее примыкают к этим пря-
прямым (так что пару перпендикуляр-
Черт. 94. ных прямых можно рассматривать
как вырожденную равностороннюю
гиперболу).
Уравнение (I) при Л = 0 представляет только одну прямую у=0
(ось абсцисс) и притом не всю целиком, а без начала координат, ибо
при й=о и х*=0 выражение у ■= — становится неопределенным.
Если же этой неопределенной величине давать всеаозможпые значе-
значения, то мы и получим «пропавшую» ось ординат.
§ 72. Равносторонняя гипербола как график
уравнения ?/
р
Расслштрнм уравнение
A)
при р * 0 (при р - 0 имеем прямую у = ~,
Если определитель
т п
Р Ч
« mq-np
не равен нулю, то уравнение A) представляет ту же
равностороннюю гиперболу, что и уравнение A) § 71:
где А = ""' с той лишь разницей, что центр смещается

§ 72. РАВНОСТОРОННЯЯ ГИПЕРБОЛА 16?
из начала косшдинат в точку г (—■§-' ^) (upjst од Qfi,\
-Знячит (§ 71), полуоси равны а — & = Г^1.
В случае, когда Z) ^ 0 (тогда к =- О), действительная
ось составляет с осью абсцисс угол +45° (черт. 95),
если же D ^ 0, — to угол - 45° (черт. 96).
П р и м е р 1. уравнение
(здесь т^4, л= -9, р=2, ^= -б, D =*
предегаоляет раиностороннюю гиперболу'
4 -9
2 -6
(черт.
)
95) с
■
V
Y
-^
-С
Л
11
г
-
/
0
п
1
1
Y
ё
Черт. 95.
Черт. 98.
центром СC;2) и с полуосями а=6=
1,73.
Ось А'А образует с ОХ угол 45°, так как D ■< 0. Коорди-
Координаты вершины А будут;
= хо+а cos 45° = 3+
Ул -
Так же найдем:
4,2,
3,2.
Л р и м с р 2. Уравнение
х-М

108 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
(здесь m=l, n~ -1, p=\f g=1f D=2) представляет
равностороннюю гиперболу (черт. 96) с центром с (-1; 1)
и с полуосями а = Ь = У-^- = 2, Ось А'А составляет
с ОХ угол -45°, так как D > 0.
т п
Замечание 1. Если определитель D =
Р Я
равен нулю, то
величины т, пкр, д пропорциональны (— = —\ так что тх + п де-
делится на рх + д; частное равно —. Уравнение (I) представляет в этом
т в г в
случае прямую у = —, лишенную точки х — ~—(при х = ——
выражениеA) неопределенно; см, §7^заме-
§7^замечание).
Зх + 6/
Например, уравнение у= -—-т^- ("i=3,
3 6
л=6, n = l, ?=2,j
V
и'
п
И
к
V
0
Y
и
X
1 2
-)
пред-
Черт. 97.
ставляет прямую у=3. лишенную точки
х = ~2. Сели неопределенной величине у
давать всевозможные значения, то, кроме
прямой у =3, получим сше прямую х = —2.
Замечание 2. <Выпаление> точки
х <= —2 иэ прямой у—3 можно наглядно
представить себе следующим образом. Рас-
Зх + бВ
смотрим уравнение у =— ^-: здесь
х + £
D
1 2
= СA~р), так что при
мы имеем гиперболу с
асимптотами х = -2 и у=3. Но когда величина р близка к I, эта
гипербола (черт. 97, где р —1,1) очень тесно примыкает к своим асимп-
асимптотам U'U и VV, пересекающимся в точке К ( -2; 3), Можно было бы
ожидать, что При р = 1 мы получим пару прямих U'U (y=3) и
VV {х = —2). Однако прямая VV выпадает, так как она параллель-
параллельна оси OY и,значит (g 14, замечание 2), ее нельзя представить урапие-
иием, разрешенным относительно ординаты. Вместе с прямой V'V
выпадает и лежащая на ней точка /<.
§ 73. Полярные координаты
Возьмем па плоскости (черт. 08) произвольную точку О
(полюс) и проведем луч ОХ (полярная ось). Примем
какой-либо отрезок ОА за единицу длины и какой-либо
угол (обычно берется радиан) за единицу измерения углов.
Тогда положение любой точки М на плоскости можно за-
задать двумя числами: 1) положительным числом р, выра-
выражающим длину отрезка ОМ (полярный радиус), 2) чис-
числом ф, выражающим величину угла ХОМ (полярный угол).
Числа р и ^ называются полярными координатами точки М.

§ 73. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 109
Пример 1. Полярные координаты р = 3, 9 = -—■
определяют точку N (черт. 98), полярные координаты
р=3, ф = -£■ - ту же точку N, полярные координаты
р=1, 9 = 0 (а также р=1, 9 = 2^ или р=1, 9-~2л
и т. д.) — точку Д.
«^ _
ЧУ
Черт. 98. - " Черт. 99.
Каждой паре значений р. 9 отвечает только одна точка,
ио одной и той же точке М отвечает бесчисленное множество
значений полярного Угла, отличающихся друг от друга
на число, кратное 2~ (ср. пример 1). Если же точка М
совпадает с полюсом, то значение полярного Угла остается
совершенно произвольным.
Можно условиться выделять только одно из значений
полярного угла, например брать 9 в пределах
Такое значение полярного угла называется главным.
Пример 2. Точке N (черт. У») соответствуют поляр-
полярные координаты р = 3, 9 = -^- + 2^тг; главное значение
полярного угла есть -~.
Точке L отвечают полярные координаты р = 2, ф=*
= ти + 2йти; главное значение 9 согласно условию A) есть я
(а не -ти).
При введении главных значений каждой точке (кроме
полюса) отвечает одна пара полярных координат. Для по-
полюса же р = 0, а 9 остается произвольным.
Замечание 1. Когда точка М, описывая окружность с
ром в полюсе О (черт. 99). пересекает в точке К продолжение поляр-
полярной оси, главное значение полярного угла изменяется скачком (в точке
Mi оно близко к it, в точке Л1г—к —я). Поэтому во многих случаях
нецелесообразно ограничиваться только глшшыми значениями 9.

1Ш АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Замена и ме2. Когда точкам, описывая прямую PQ (черт. 100),
проходит через полюс О, значение <? изменяется скачком. Напри-
Например, если <d ХОР=-~, то для точки М, (на луче OP) <f=~-i-2kit, а для
точки Мг (на луче OQ) f = --д- + 2тг (к и л-целые числа). Во из-
избежание этого можно приписать всем точкам прямой PQ одно и то же
О
Р
Д X
с
Черт. 101.
значение у, например f~^ ХОР, а полярные радиусы считать поло-
положительными на луче ОР и отрицательными на jivte OQ. Например,
полярные координаты
тг 1
определят точку М,, а полярные координаты
я 1
-точку Mt.
Те и<е точки можно задать координатами
3 1
¥ » - Т *. ? = 2"
(точка Мл и
■' 3 1
*-~4 "• «- -
(точка М,). При этом мы приписываем всем точкам прямой PQ значе-
значение <f — js; XOQ, так что о положительно на луче OQ и отрицательно
на ОР.
Пример 3. Построить точку М о полярными координатами
Q ~ ~3> ? = ~-|
Полярному углу ?=-—• отвечает луч ОС (черт. 101). На его про-
продолжении OD откладываем ОМ =3 О А, Получаем искомую точку М,
Той же точке соответствуют полярные координаты рг=3, ер *= '.у •
§ 74. Связь между полярными координатами
и прямоугольными
Пусть полюс О (черт. 102) полярной системы соипадает
с началом прямоугольной* системы и полярная ось ОХ
совпадает с положительно направленной осью абсцисс.

S 74. ПОЛЯРНЫЕ И ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ Ш
Пусть М - произвольная точка плоскости, х и у — ее пря-
прямоугольные координаты, а р, <р - полярные. Тогда
х = р cos tp, у = р sin <p.
Обратно *),
cos tp = --—
У
sin m =
A)
B)
C)
*B» = J. D)
Но одной формулы D) [а также только одной из формул C)]
недостаточно для определения угла <р (см.
пример 1).
Пример 1. Прямоугольные коорди-
координаты точки равны х = 2, у = -2. Найти
ее полярные координаты (при указанном
выше взаимном расположении обеих си-
систем).
Решение. По формуле B)
р =
2)"* = 2
Черт" 102-
по формуле D) tg 9=-^-= -1. Значит, либо <р= ~-|
либо <р = ~+2кт:. Так как точка лежит в четвертой чет-
четверти, то лишь первое значение правильно. Главное зна-
значение <р есть — -г •
Если воспользоваться формулой cos 9 - -s-^=r-, то
получим cos<p =
& f А
1^2
= —. Следовательно, либо у —
r, либо 9 = -^-+2ft7r. Только нторое значение
правильно.
i) В формулах B) и C) предполагается, что полярный радиус е
всегда положителен. Если рассматривать и отрицательные значения g
(§ 73, замечание 2), то вместо B) и C) нужно написать е = ±Ух*+уг,
cos <р — — х ■ ■, sin 9 - — (знаки либо все верхние»
либо все нижние). Формулы A) и D) остаются неиаменными,

112 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМСТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример 2. в прямоугольной системе XOY окруж-
окружность, изображенная на черт. 103, представляется урав-
уравнением <§ 38) (x-R)M у* = R2. Фирмули A) и B)
позволяют найти се уравнение в полярной системе
(О- полюс. 0Л -полярная ось). Получаем рг — 2/?р cos у — О.
Это уравнение распадас1сн на два: 1)р = 0,2)р -2R cos tp = O.
Первое представляет (при любом значении tp) полюс О,
Второе дает все точки
окружности, в том числе
полюс (при tp = ~ и
9 -- ^v)- Поэтому пер-
первое уравнение можно
отпросить; получаем:
р = 2R ^ ^ E)
Черт. ЮЗ.
Это уравнение получается непосредственно из треуголь-
треугольника 0-ViK с прямым углом при вершине M {OK-2R,
ОМ KOAJ)
Замечание. Сели не вводить отрицательных значений с, то в
уравнении E) угол □ можно брать в четвертой и первой четвертях,
3
а во второй и третьей—нельзя. Так, при <р =* — ^уравнение E) дает
с = — R\2. Действительно, луч ON (черт. 103), кроме полюса, не
имеет точек, общих с окружностью. Если же ппести отрицательные
значения с> (§ 73, замечание 2), то координаты р =— R\T2, q> =-^- it
дают точку L иа продолжении прямой ON.
Пример 3. Определить, какую линию представляет
уравнение
р = 2а sin 9- F)
Р е ш е н и е. Переходя к прямоугольной системе, на-
находим:
т. е.
или
х- + у2-2ау = О
х2+(у-ау - а*.
Уравнение F) представляет окружность радиуса а
(черт. 104), проходящую через полюс О и касающуюся
полярной оси ОХ.

S 75. АРХИМЕДОВА СПИРАЛЬ
§ 75. Архимедова спираль1)
ИЗ
1. Определение. Пусть прямая UV (черт. 105),
исходя из начального положения Х'Х, равномерно враща-
вращается около неподвижной точки О, а точка М, исходя из
начального положения 0, равномерно движется вдоль UV.
Линия, описываемая точкой М, называется архимедовой
спиралью — в честь великого древнегреческого ученого
А р х и м е д а C в. до н. э.), впервые изучившего эту линию.
Замечание. Входящие в определение кинематиче-
кинематические понятия можно устранить, заменив их условием, чтобы
расстояние р = ОМ было пропорционально углу поворота у
прямой UV.
Повороту прямой UV из любого ее положения на дан-
данный угол соответствует одно и то же приращение
■ V
Черт. 105.
Черт. 106.
расстояния р. В частности, полному обороту соответствует
одно н то же смешение ММ1=а. Отрезок а называется
шагом архимедовой спирали.
Данному шагу а соответствуют две архимедовы спиралн,
различающиеся друг от друга направлением вращения пря-
прямой UV. При вращении против часовой стрелки получаег-
ся правая спираль (черт. 106, жирная линия); при враще-
вращении по часовой стрелке ~ левая (черт. 106, пунктирная
линия).
Правую и левую спирали с одним и ткм же шагом
можно совместить, но для этого надо у одной из иих лице-
лицевую сторону сделать оборотной.
Как видно из черт. 106, правую и левую спирали одного
и того же шага можно рассматривать как две ветви линии,
*) Более подробные сведения оО архимедовой спирали см. на
стр.777.
8 М. Я. Выгодский

114 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
описываемой точкой М, когда последняя пробегает нею
прямую UV, проходя точку О попутно.
2. П о л я р н о е уравнение (О - полюс; направле-
направление полярной оси Ох совпадает с направлением движения
точки М, когда она проходит через точку О; а - шаг
спирали):
Положительным значениям <р соответствует правая
ветвь; отрицательным значениям — левая.
Уравнение A) можно записать в виде
где ft {параметр архимедовой спирали) есть смещение "-
точки М по прямой UV при повороте последней на угол
в один радиан.
§ 76. Полярное уравнение прямой
Прямая АВ (черт. 107), не проходящая через полюс,
представляется в полярных координатах Уравнением
р
СОЬ (<р — а) ' > '
где р = ОК н а = ^ ХОК - полярные параметры прямой
АВ (§ 29).
Уравнение (I) получается из треугольника ОКМ (где
ОМ-р и ^ КУМ = ф-а).
\
Черт. 107.
Черт. 108,
Прямую CD (черт. 108), проходяшую через полюс,
нельзя представить уравнением вида A) [для такой пря-
прямой р = 0 и tp — а -= ±-|, так что сез (ф - &/ — 0]. Ее

177. полярное Уравнение конического Сечейия 115
луч OD представляется уравнением tp - tp0 (где 90= -^ XQD),
л луч ОС - уравнением 9=9i (где tp, = ^: XOC), Каждое
из этих уравнение! может представить всю прямую, если
ввести отрицательные значения р (§ 73, замечание 2).
§ 77. Полярное уравнение конического сечення
Поместим полюс в фокусе F (черт, 109) конического
сечения (эллипса, гиперболы или параболы), а полярную
ось совместим с осью Ь'Х конического сечения, напра-
направив се в сторону, противоположную той,
где лежит соответствующая директриса
PQ. Тогда коническое сечение предста-
представится уравнением
р
1 ~ t COS
(О
Черт. 109.
где р - параметр, as- эксцентриситет
конического сечения (§ 52).
Замечание. Если рассматривать
только положительные значения р, то в
случае гиперболы (е =- 1) уравнение A)
представляет лишь одну ветвь - ту,
внутри которой лежит фокус. При этом для 9 должно вы-
выполняться неравенство 1-е cos 9 > О. Если же рассмат-
рассматривать и отрицательные значения р, то q> может иметь
любое значение, и при 1-е cos <p -= О получаем вторую
ветвь.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 78. Понятие о векторах и скалярах
Векторной величиной, илн вектором (в широком смысле),
называется всякая величина, обладающая направлением.
Скалярной величиной, или скаляром, называется величина,
ие обладающая направлением.
Пример 1. Сила, действующая на материальную точ-
точку, есть вектор, так как она обладает направлением. Ско-
Скорость материальной точки - тоже вектор.
Пример 2. Температура тела есть скаляр, так как
с этой величиной ие связано никакое направление. Масса
тела и плотность его — тоже скаляры.
Если отвлечься от направления векторной величины,
то ее, как и скалярную величину, можно измерить, выбрав
соответствующую единицу измерения. Но число, получен-
полученное после измерения, характеризует скаляр-
скалярную величину полностью, а векторную -
частично.
Векторную величину можно полностью
охарактеризовать направленным о т -
„i /w|jV резком, предварительно задав линейный
1 ' масштаб.
черт. по. Примерз. Направленный отрезок Ав
иа черт. 110 при масштабе MN, изобра-
изображающем единицу силы A кГ), характеризует силу в
3,5 кГ, направление которой совпадает с направлением
отрезка АВ (указанным стрелкой).
§ 79. Вектор н геометрии
В геометрии вектором (в узком смысле) называется
всякий направленный отрезок.
Вектор, началом которого служит точка А, а концом -
точка В, обозначается АВ (черт. 110).

S 81. КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ 117
Вектор обозначается также одной буквой, как показано
на черт. Ц1. Эту букву печатают жирным шрифтом (а),
а в письме ставят над буквой черту (о).
Длина вектора называется также его моду-
модулем. Модуль есть скалярная величина.
Модуль вектора обозначается двумя верти-
кальными чертами — слева и справа: \АВ[, или
\а\> или \а\ Черт. ш.
При двуоуквснном обозначении вектора
его модуль иногда обозначается теми же .—^
буквами, но без стрелки (АВ — модуль вектора А§), при
однобУквенном обозначении — той же буквой, напечатан-
напечатанной светлым шрифтом (Ь~ модуль вектора Ь).
§ 80. Векторная алгебра
Над векторами производят действия, называемые сло-
сложением, вычитанием и умножением векторов (см. ниже).
Эти действия имеют много общих свойств с алгебраиче-
алгебраическими действиями сложения, вычитания и умножения.
Поэтому Учение о действиях над векторами называется
векторной алгеброй.
§ 81. Коллинеарные векторы
Векторы, лежащие иа параллельных прямых (или на
одной и тон же прямой), называются коллинеарнылш.
Векторы а, Ь, с па черт. 112 коллинеариы. Векторы
AC, BD и СВ на черт. ИЗ коллинеарны.
Черт. 112. Черт. ИЗ.
Коллицеарггые векторы могут иметь одно и то же
направление (равнонапра&мпные векторы) или противопо-
противоположные. Так, векторы он** (черт. 112) равнонаправлены,
векторы а и b (а_также b и «;) противоположно направ-
направлены. Векторы АС и BD иа черт. 113 равнопзправлепы,
векторы АС и С В противоположно направлены.

118 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЙ & ПРОСТРАНСТВЕ
§ 82. Нуль-вектор
Если начало Л и конец В отрезка АВ совпадают, то
отрезок, АВ обращается в точку и теряет направление.
Но для общности правил векторной алгебры пару совпа-
совпадающих точек надо тоже причислить к векторам. Этот
особый вектор называется нуль-вектором и считается
ко л линеарным с любым вектором.
Нуль-вектор обозначается так же, как число нуль
(знаком 0).
§ 83. Равенство векторон
Определение. Два (ненулевых) вектора аиЪ рав-
равны, если они равнонаиравлеиы и имеют один и тот же мо-
модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех
остальных случаях векторы не равны.
Пример!. Векторы АВ и CD (черт. 114) равны.
Пример 2. Векторы ОМ и ON (черт. 115) не равны
(хотя у иих длины и одинаковы), ибо их направления раз-
различны. Векторы ON uJ£L тоже
Н ие равны, а лекторы ОМ н KL
J* В fy* M равны,
/^ Предостережение.
fr jfL Нельзя смешивать понятие «ра-
0 ^00^ венство векторов* с понятием
к «равенство отрезков*. Говоря:
чевт in чеЭТ И", *0ТРез*<и ON и Kt равны», мы
черт. ич. черт, п.». утверЖДЭСМ, ЧТО ОДИН ИЗ НИХ
можно совместить с другим.
Но для этого может понадобиться поворот совмещаемого
отрезка (как в расположении черт 115). В таком случае
согласно определению векторы ON u KL не равны^ Два
вектора будут равны лишь в том случае, когда нх можно
совместить без поворота.
Обозначения. Запись о — ъ выражает, что век-
векторы а и Ъ равны. Запись а^Ъ выражает, что векторы
а и Ь не равны. Запись \а\ =\Ь\ выражает, что модули
(длины) векторов оиЬ равны; при этом сами векторы а
и Ъ могут равняться, а могут и не равняться друг другу.
Примерз. AB=CD (черт. 114), ON^KL (черт. 115),
\ON\ = \KL\ (черт. 115), ОМ = KL (черт. 115).

g 86. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ 119
§ 84. Приведение векторов к общему началу
Всякие векторы (в любом числе) можно «привести к
общему началу?, т. е. построить век-
векторы, соответственно равные дан-
данным и имеющие общее начало в не-
некоторой точке О. Такое приведение
показано иа черт. 116. Чс ъ>*
§ 85. Противоположные \d дг "■»' \
векторы
П-
Определение. Два вектора, *
имеющие равные модули и противо- р1' '
положив направленные, называются
противоположными.
Вектор, противоположный векто-
вектору а, обозначается ~ я. __
Пример 1. Векторы LM и NK
на черт. 117 - противоположные^^ Че ,,?
Пример 2, Если вектор LM
(черт. 117) обозначить буквой а, то NK — ~a, ML = -a,
KN = о.
Из определения следует: ~(-о) = а, |-а|*=|а|.
§ 86. Сложение векторов
Определение. Суммой векторов а и Ь называется
третий вектор с, получаемый следующим построением:
из произвольного начала О
(черт. 118) строим вектор OlT,
равный о (§ 83); из точки L, как
из начала, строим вектор LM~,
равный Ь. Вектор с=ОМ есть
сумма векторов а и Ь («пра-
Черт. 118. Черт. 119. вшю треуг0ЛЬННка&).
— Запись: а+Ь s= с.
Предостережение. Нельзя смешивать понятие
«сумма отрезков* с понятием «сумма векторов*. Сумма
отрезков OL и LM получается следующим построением:
продолжив прямую Oh (черт. П9), откладываем отрезок
LN, равный отрезкУ 1-М. Отрезок ON есть сумма отрез-
отрезков OL и LM. Сумма еешоров OL и LM строится иначе
£см. определение).

120 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
При сложении векторов имеют место неравенства
\а+Ь\-*\а\+\Ь\, A>
I«+b|s-||o[-|b||, B)
выражающие, что сторона ОМ треугольника 0ML (черт. 118)
меньше суммы и больше разности двух других сто-
сторон. В формуле A) знак равенства имеет место только
Черт. 120. Черт. 121.
для равноиаправленных векторов (черт. 120), в формуле
B) - только для противоположно направленных векторов
(черт. 121).
Сумма противоположных в е к т о р о в. Из
определения следует, что сумма противоположных век-
векторов равна нуль-вектору:
а+(-а) = 0.
Свойство переместительности. От пере-
перестановки слагаемых сумма векторов не меняется:
а+ Ь = Ь+а.
Правило параллелограмма. Если слагае-
слагаемые о и Ь не коллинеарны, то сумму а+Ь можно наПти
следующим построением: из любого начала О (черт. 122)
строим векторы 0А = а и ОВ = Ь; на отрезках ОА, ОВ
строим параллелограмм О АС В. Вектор диагонали ОС^ч
есть сумма векторов о и Ь (так - как АС = ОВ = 1> и
ОС = ОА\аЪ).
К коллинеарным векторам (черт. 120 и 121) это постро-
построение неприменимо.
Замечание. Определение сложения векторов уста-
установлено в соответствии с физическими законами сложения
векторных величин (например, сил, приложенных к мате-
материальной точке).

§ 87. СУММА НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ
121
§ 87. Сумма нескольких векторов
Определение. Суммой векторов а1( аг, а3, ... , а„
называется вектор, получающийся после ряда последо-
последовательных сложений:
к вектору ах прибав-
прибавляется вектор а2, к
полученному вектору
прибавляется вектор
оа и т. д.
Из определения
вытекает такое по-
строение {правило о аг
многоугольника или черт.23.
правило цепи).
Из произвольного начала О (черт. 123) строим вектор
QAt - aJf из точки Av как из начала, строим вектор
AtAu = а2, из точки А2 стронм вектор А2А3 = ая и т. д.
Вектор ОАЛ (на черт. 123 п = А) есть сумма векторов аи
Щ, • ■ • , <V
Сумма векторов «i, as, a3l at обозначается
Свойство сочетательности. Слагселые век-
векторы можно группировать как угодно. Так, если найти
сначала сумму векторов аг+а3-\-аЛ (оиа равна век-
вектору А^Аь не изображенному на черт. 123) и к ней
прибавить вектор щ ( = ОАг), то получим тот же вектор
(a2-\-as-\-at) =
Правило параллелепипеда. Если три век-
вектора а, Ъ, с после приведения к общему начала (§ 84) не ле-
лежат в одной плоскости, то сумму a-\-h-\-c можно иайти
таким построением. Из любого начала О (черт. 124) строим
векторы ОЛ =-■ а, ОВ = Ь, ОС = с. На отрезках О А, ОБ,
ОС, как на ребрах, стронм параллелепипед. Вектор диа-
диагонали OD есть с^лша векторов а, Ь н с (так как ОА- а,
АК = ОЙ = Ь, KD = ОС = с и OD = ОА+ АК+ KD),
К векторам, которые (после приведения к общему
началу) лежат в одной плоскости, это построение непри-
менимо.

122 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕбМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 88. Вычитание векторов
Определение. Вычесть вектор «i (пычитаемое) из
вектора а2 (уменьшаемое) значит иайти новый вектор х
(разность), который в сумме с вектором щ дает век-
вектор а2.
Короче: вычитание векторов есть действие, обратное
сложению.
Обозначение: а2~а1г
Из определения вытекает такое построение: из произ-
произвольного начала О (черт. 125, 126) строим векторы
ОД = av ОАг - а... Вектор ДД (проведенный из конца
вычитаемого вектора к концу уменьшаемого) есть раз-
ИОСТЬ Oa!*-
ДД = ОД-ОД.
Действительно, сумма ОД + ДД равна ОД.
Замечание. Модуль разности (длина вектора АуАг) может
быть меньше модуля «уменьшаемого», но может быть и больше и равен
ему. Эти три случая показаны на черт. 125, 126, 127.
Черт. 125.
Черт. 126.
Черт, 127. Черт. 128.
Другое построение. Чтобы построить разность
а2- ах векторов а2 и «1, -можно взять сумму векторов
а2 и -аи т. е.
Пример. Пусть требуется найти разность «v-a,
(черт. 128). Согласно первому построению а,-^ = ДД.
Построим теперь вектор A%L = -вх и сложим векторы
ОД = а2 и A2L = -at. Получим (§ 8fi, определение) век-
вектор Oh. Из чертежа видно, что OL = ДД-

§ 89. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО 123
§ 89. Умножение и деление вектора иа число
Определение 1. Умножить нектор а (множимое)
на число х (множитель) значит построить новый вектор
(произведение), модуль которого получается умножением
модуля вектора а на абсолютное значение числа х, а
направление совпадает с направлением вектора а или
противоположно ему, смотря по тому, положительно
число х или отрицательно. Если же х = О, то произведе-
произведение есть нуль-вектор.
Обозначе и и е: ах или ха,
П римеры. О В = ОА-А или Ов = АО А (черт. 129),
ОС = З-j О A, OD = -20 А, ОЕ = -1,50А (черт. 130).
Черт. 129.
Определение 2. Разделить вектор а иа число х
значит найти такой вектор, который, будучи умножен
на число х, даст в произведении вектор а.
Обозначение: а;х или ~,
Вместо деления ~ можно выполнить умножение «■■£-•
Умножение вектора иа число подчиняется тем же за-
законам, что и умножение чисел:
1. (x-f у) а = ха-\-уа (свойство распределительности
по отношению к числовому
множителю),
2. х(а-\-Ь) s= xa+xb (свойство распределительности
по отношению к векторному
множителю),
3. х(уа) — (ху)а (свойство сочетательности).
В силу этих свойств можно составлять векторные
выражения, имеющие тот же внешний вид, что и много-
многочлены первой степени в алгебре; эти выражения можно
преоразовывать так же, как преобразуются соответствую-
соответствующие алгебраические выражения (приводить подобные члены,
раскрывать скойш, выносить за скобки, переносить члены

124 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
из одной части равенства в другую с обратным знаком
и т. д.).
Примеры. 2а+3а = 5а (в силу свойства 1),
2(«+Ь) = 2д-\-2Ь (в силу свойства 2),
5-12с = 60с (в силу свойства 3);
4Bо-ЗЬ) « 4[2а+(-ЗЬ)] = 4[2«+(-3)Ь] =
= 4-2а + 4(-3)Ь = 8а+(-12)Ь = 8а-126,
-3Bо+Ь-Зс) = б«-8Ь-f 2с-6а-ЗЬ + 9с =
= -11Ь+Пс = \Цс-Ь).
§ 90. Взаимная связь коллинеариых векторов
(делеиие вектора на вектор)
Если вектор а - не нулевой, то всякий вектор Ь,
колли неарный с ним, можно представить в виде х«,
где х-число, получаемое так: оно имеет абсолютное
ь.
У
Черт. 131. Черт. 132.
значение\Ь\: |а\(отношениемодулсй);'оио положительно,
если вектор & райионаправлен с вектором а, отрицательно,
если Ь и а противоположно направлены, и равно нулю,
если Ь — иуль-вектор.
Примеры. Для векторов а и Ь на черт. 131 имеем
Ъ = 1а {х = 2), на черт. 132 имеем Ь = -1а.
Замечание. Разыскание числа х называют делением
вектора I* на вектор а. Иеколлинеарные векторы делить
друг на друга нельзя.
9
§ 9]. Проекция точки на ось
Осью называется всякая прямая, иа которой выделено
одно из двух ее направлений (все равно какое). Это
направление называется положительным (на чертеже оно
обозначается стрелкой); противоположное направление
называется отрицательным.

§ 92, ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ 125
Каждую ось можно задать любым вектором, лежащим
на ней и имеющим то ж ена правление. Так, ось черт. 133
можно задать вектором АН или АС (но ие вектором в А).
Пусть дана ось ОХ (черт. 134) и некоторая точка М
(вне оси или на ней). Проведем через М плоскость, пер-
перпендикулярную к оси; она пересечет ось в некоторой
точке М'. Точка М' называется проекцией точки М на
2L
Черт. 133. Черт. 134.
ось ОХ (если точка М лежит на оси, то она сама является
своей проекцией).
Замечание. Иными словами, проекция точки М на
ось ОХ есть основание перпендикуляра, проведенного из
точки М к оси ОХ. Данное выше определение подчерки-
подчеркивает, что построение выполняется в пространстве.
§ 92. Проекция вектора на ось
Выражение «проекция вектора Л В на ось ОХ» упо-
употребляется и двух разных смыслах: геометрическом и
алгебраическом (арифметическом).
1. Проекцией (геометрической) вектора АВ на ось ОХ
называется вектор А'В' (черт. 135),
начало которого Л' есть проекция
начала Л на ось ОХ. а конец В'-
проекция конца В на ту же ось.
Обозначение: Про^ЛВ или,
короче, Пр АВ.
Если ось ОХ задана вектором с, черт. 135.
то вектор А'В' называется также
проекцией вектора^ А В на направление вектора с и обо-
обозначается Прс А В.
Геометрическая проекция вектора на осг, ОХ называется
также компонентой вектора по оси ОХ.
2. Проекцией (алгебраической) вектора АВ на ось ОХ
(или на направленне вектора с) называется длина вектора

126 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
А'В', взятая со знаком + или -. смотри по тому, имеет
ли вектор А'В' то же направление, что ось ОХ (вектор <-■).
нли противоположное.
Обозначение:
пр0ХАВ или ирсАВ.
Замечание, Геометрическая проекция (компонента)
вектора есть вектор, а алгебраическая проекция вектора
есть число,
П р и м е р 1. Геометрическая проекция-вектора OK - a
(черт. 136) на ось ОХ есть вектор OL. Его направ-
направление противоположно направлению осп, а длина (при
единице масштаба Oh) равна 2. Значит,
алгебраическая проекция вектора ОК
на ось ОХ есть отрицательное ч и с-
ло -2:
О С
Черт. 136.
ПрОК = Oh, пр ОК = -2.
Если векторы АВ и CD (черт. Ш)
равны, то нх алгебраические проекции
но одной и той же оси тоже равны (пр АВ = пр СО ~ -~п-
То же для геометрических проекций.
Черт. 137.
Черт. 138.
Алгебраические проекции одного и того же вектора на
две разнонаправленные оси (ОЛ и ОСХ2 на черт. 138)
равны 2) (про^ЛШ = npOiXiNM ?=■ - 2). То же для гео-
геометрических проекций.
1) Если оси параллельны, -ко противоположно направлены, то
алгебраические проекции не равны; они отличаются знаком.

§ 93. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ ВЕКТОРА 12?
3. Связь между компонентой (геометриче-
(геометрической проекцией)«алгебраической проекцией
вектора. Пусть гд есть вектор, разнонаправленный с
осью ОХ и имеющий длину 1. Тогда геометрическая проек-
проекция (компонента) какого-либо вектора а по оси ОХ равна
произведению вектора ct на алгебраическую проекцию
вектора а по той же оси:
Пр а = пр «-Cj.
Пример 2. При обозначениях черт. 136 имеемс^ОЕ.
Геометрическая проекция вектора Ок = а иа ось ОХ
есть вектор OL, алгебраическая проекция того же век-
вектора есть число-2 (см. пример 1). Имеем 01, — —20Е.
§ 93. Основные теоремы о проекциях вектора
Теорема!. Проекция суммы векторов па какую-либо
ось равна сумме проекций слагаемых векторов пату же ось.
Теорема справедлива при обоих
смыслах термина «проекция вектора»
и при любом числе слагаемых; так,
при трех слагаемых
ПГ>(а1 + а,,-\-а3) =
^-Пра., A)
с в' х
нр(а1+оа + «3)= ч ,39.
= пр а, + нр щ + пр а3. B)
Формула {1) вытекает из определения сложения векторов, форму-
формула B) -из правила сложения положительных и отрицательных чисел,
Пр име р 1. Вектор АС (черт. 139) есть сумма векто-
векторов АВ и ВС. Геометрическая проекция вектора АС на
ось ОХ есть вектор АС\ а геометрические проекции век-
торои АВ и ВС суть АВ' и В'С', При ЭТОМ
~АС' = AB'4-iFc',
так что
Пр (АВ-\-ВС) = Пр АВ + Щ ВС.
Пример 2. Пусть О£ (черт. 139) есть единица мас-
масштаба; тогда алгебраическая проекция вектора АВ на ось

128 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ОХ равна 4 (длина АВ', взятая со знаком плюс), т. е.
пр АВ = 4. Далее пр ВС = -2 (длина В'С', взятая со
знаком минус) и пр АС ~ -\-2 (длина АС1, взятая со зна-
знаком плюс). Имеем
пр АВ+пр~ВС = 4-2 = 2;
с другой стороны,
пр (АВ+~ВС) = пр ~АС = 2,
так что
пр(ЛВ+ВС)= пр~АВ + прВ~С,
Теорема 2, Алгебраическая проекция вектора на
какую-либо ось равна произведению длины вектора на
косинус угла между осью и вектором:
праь = | Ь | cos (<О»), C)
Пример 3. Вектор Ь = MN (черт. 140) образует с
осью ОХ (она задана вектором а) угол в 60°. Если ОЕ
есть единица масштаба, то | Ь \ = 4, так что
прйЬ = 4-cos6G0 = 4-|-= 2.
Действительно, длина вектора M'N' (геометрической проекции
вектора Ь) равна 2, а направление совпадает с направлением оси ОХ
(ср. S 92, п. 2).
у\
ОЕ tS N' X ОЕ V U X
Черт. Т40. Черт. 141.
Пример 4. Вектор Ь = UV на черт. 141 образует
с осью ОХ (с вектором о) угол (а, Ь) — 120°. Длина ( b \
вектора Ь равна 4. Поэтому пр„Ь = 4-cos 120" = -2.
Действительно, длина вектора UV равна 2, а направление проти-
противоположно направлению оси.

94. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 129
Черт, 142.
§ 94. Прямоугольная система координат
в пространстве
Основные векторы. Три взаимно перпендику-
перпендикулярные оси ОХ, ОУ, OZ (черт. 142), проходящие через неко-
некоторую точку О, образуют прямоугольную систему коор-
координат. Точка О на-
называется началом ко-
координат, прямые ОХ,
ОУ, OZ-осями ко-
координат (ОХ-ось
абсцисс ОУ-ось
ординат, OZ- ось
апликат *)), а пло-
плоскости XOY, YOZ,
ZOX — координатны-
координатными плоскостями. Ка-
Какой-либо отрезок UV
принимается за единицу масштаба для всех
трех осей.
Отложив на осях ОХ, ОУ, OZ в положительном на-
направлении отрезки О А, ОВ, ОС, равные единице масштаба.
получим три вектора О А,
ОВ, ОС. Они называются
основными секторами и
обозначаются соответствен-
соответственно /, з, к.
Положительные направ-
направления на осях принято выби-
выбирать так, чтобы поворот на
90°, совмещающий положи-
положительный луч ОХ с лучом ОУ (черт. 142), казался происходя-
происходящим против часовой стрелки, если наблюдать его со сто-
стороны луча OZ. Такая система координат называется правой.
Иногда пользуются и левой системой координат. В ией
упомянутый поворот совершается по часовой стрелке
(черт. 143).
Замечание 1. Трехгранные углы, образованные лучами ОХ,
OY, OZ в правой и левой системе, нельзя совместить так, чтобы совпали
соответственные оси.
Замечание 2. Названия «правая» и «левая» происходят от
того, что большой, указательный и средний пальцы правой руки, если
их расположить наподобие осей ОХ, ОН, OZ (черт. 144), образуютпра-
вую систему. На левой же руке (черт. 145) получаем левую систему.
Черт. 144.
Черт. 143.
1) О происхождении термина «апликата» см. $ S5.
9 М. Я. Выгодский

130 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В
проводим плоскости МР
ветственно параллельные
У
§ 95. Координаты точки
Положение любой точки М в пространстве можно Опре-
Определить тремя координатами следующим образом. Через М
MQ, MR (черт. 146), соот-
плоскостям YOZ, ZOX, ХОУ.
В пересечении с осями по-
получаем точки Р, Q, R.
Числа х (абсцисса), у (орди-
(ордината), z (аплпкага)*), изме-
измеряющие отрезки OP, OQt OR
в избранном масштабе, на-
называются (прямоугольными)
координатами точки М.
Они берутся пиложитель-
иыми или отрицательными,
смотря по тому, имеют ли
векторы OP, OQ, OR соот-
соответственно те же направле-
направления, что и основные векто-
векторы i, з, 'ej или протицопо-
ложные.
Пример. Координаты точки М на черт. 146 суть:
абсцисса
х= 2,
ордината
У= -3,
апликата
г = 2.
Запись:
МB; -3;2).
Вектор ОМ, идушнй от иачала О к некоторой точке М,
называется радиусом-вектором точки М и обозначается
буквой г; чтобы отличать друг от друга радиусы-векторы
разных точек, при букве г ставят значки: так, радиус-вектор
точки М обозначается гм. Радиусы-вскторы точек Аи
At, ..., А, обозначаются
Черт. 146,
*) Латинское слово «апликата» (appHcata) в переводе означает «при-
ложениая» (точку М можно построить так: сначала взять »а плоскости
XOY точку L с координатами х=гОР, у—PL, а затем «приложить»
ртрезок LM~z, перпендикулярный к плоскости ХОУ).

S 96. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА 131
§ 96. Координаты вектора
Определение. Прямоугольными координатами
вектора т называются алгебраические проекции (§ 92)
сектора т иа осп координат. Координаты вектора обозна-
обозначаются большими буквами X. У, Z (координаты точки -
малыми).
Запись:
т{Х, Y,Z] или т = {X, Y,Z}.
Вместо того чтобы проектировать вектор т на осн
ОХ, ОУ, OZ, можно проектировать его на оси М^А, МХВ,
М^ (черт. 147), проведенные че-
через начало Л1, вектора m и равно-
направлеииые с осями координат
(§ 92, п. 2).
Приме р 1. Найти коорди-
координаты вектора МХМ, (черт, 147) от-
относительно системы координат
OXYZ.
Через точку М1 проводим оси
MtA, MIB, MjC, соответственно
равнонаправленные с осями ОХ
OY,OZ.
Через точку Mz проводим
плоскости М2Р, M..Q, M2Rt па-
параллельные координатным пло-
плоскостям. Плоскости М<.Р, MnQ,
M3R пересекут оси МХА, Л^Д.*'МХС соответственно а точ-
точках Р, Q, /?. Абсцисса X вектора МхМ.г есть длина вектора
МХР, взятая со знаком минус (§ 92, п. 2); ордината V вектора
«I есть длина вектора MXQ, взятая со знаком минус; апли-
ката Z - длина вектора М,/?, взятая со знаком плюс.
При масштабе черт. 147 X *= -4, У = ~3,Z=2.
Запись: _____
М4М,{-4; -3; 2}
ИЛИ* ^
AM?,- {-4; -3; 2}.
Еслн два вектора ntt и тг равны, то их координаты
соответственно равны
ipepr, 147
(ср. § 92, п. 2>,

132 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Координаты вектора не меняются при парал-
параллельном перенесении системы координат. Напротив, ко-
координаты точки при параллельном перенесении системы
координат меняются (см. ниже § 166, п. 1).
Если начальная точка О вектора ОМ совпадает с па-
чалом координат, то координаты вектора ОМ соответ-
соответственно равны координатам конечной его точки М (§ 95).
Пример 2. У вектора ОМ на черт. 146 абсцисса
Х=2, ордината К = -3, апликата Z = 2. Те же коорди-
координаты имеет точка М.
Запись: ОМ {2; -3; 2} или ОМ = {2; -3; 2}.
§ 97* Выражения вектора через компоненты
и через координаты
2. Каждый вектор равен сумме tro компонент (геоме-
(геометрических проекций) по трем осям координат:
m = Пр(,хт+Прогт-ьПрО2т. A)
Пример 1. При обозначениях черт. 147 имеем:
2. Каждый вектор т равен сумме произведений трех
основных векторов на соответствующие координаты век-
вектора т:
т = Xi+ Yj+Zk. B)
Пример 2. При обозначениях черт. 147 имеем:
§ 98. Действия над векторами, заданными
своими координатами
2. При сложении векторов их координаты склады-
складываются, т. е. если о = «h+a^ то X = X^Xj, У = V^-l- Ys,
z = zt+zt.
2. Аналогичное правило для вычитания векторов: если
a = щ-щ, то X = Х,-Хъ Y = Ys~ Yu Z = £г-гх.
3. При умножении вектора на число все координа-
координаты множатся на то же число, т. е. если т% и хт,, то
Х| = ХХ„ У, = XVi, Z% = XZ[.

g 100. ДЛИНА ВЕКТОРА 133
4. Аналогичное правило для деления вектора на число:
если тг = ~, то Х2 = -j~, Уъ = -£-, Zs = ~,
§ 99. Выражение вектора через радиусы-векторы
его начала и конца
Следует заметить важную формулу
— ДД = *•=-»!, A)
где rl-OA1 (черт. 148) есть радиус-вектор (§ 95) начала Д
вектора ДД, а гг=ОДг — радиус-
нектор его конца Д.
Из A) в силу § 9~8, п. 2 вытекают
формулы
B)
Здесь X, У, Z - координаты век-
вектора ДД, xv ylt гх - координа-
координаты точки Д (они соответствеиио Черт. 148.
равны координатам радиуса-вектора
г(=ОД) и xs, уг, гг - координаты точки Д (онн jcoot-
встственно равны координатам радиуса-сектора г„ = ОА2).
Словами: чтобы найти абсциссу вектора, надо из
абсциссы конца вычесть абсциссу начала вектора.
Аналогичные правила для ординаты и апликаты.
Пример. Найти координаты вектора ДД, если
ДО; -2; 5) иД (-2; 4; 0).
Решение. X = -2-1 = -3, У = 4-(-2) ** б,
Z = 0-5 = -5, так что ДД = {-3, 6, -5}.
§ 100' Длина вектора. \
Расстояние между двумя точками
Длина вектора а{Х, У, Z) выражается через его ко-
ордниаты формулой
J а ] = ^Х2+ У*+'£*, (I)
Пример 1, Длина вектора а {-А, -3, 2} равна
(ср. черт. 147)
| о | = ^(_4р + (-3L-2' = |/29 а* 5,4.

134 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Расстояние d между точками Al(txl; yt; zx), А2(х3; Уг1 ze)
представляется формулой
(/ - K(A'2-Jfi)s + (>la->'i)a+(za-2'i)i!' B)
Она получается из A) в силу формул B) § 99 (ср. § 10).
Пример 2. Расстояние между точками Л, (Н^_3; ,8),
Л, F; -1; 9) есть d~ ^(ё^8)я + < - 1 + 3)» +~(9 - 8)" - 3.
§ 101. Угол между осью координат
и вектором
Углы V, р, у (черт, 149), образуемые ппложительпими
направлениями ОХ, ОУ, OZ с пек-
тором а {X, Y, Z}, можно найти по
формулам')
^^ ! COS « « 7—4= Г- -у^А, (О
Черт. 149. COS Y = ^Г. ' . • ( = ТТГ 1 ■ <3)
Если вектор а имеет длину, равную единице масштаба,
т. е, если | а [= I, то
ccsa=X, ccsP-У, ccsy = Z.
Из A), B), C) следует:
a + ccsap+ccs- у = 1. D)
Пример. Найти углы, образуемые осями координат
с вектором {2, -2, - 1}.
2 2°
Решение, cos a = .__^__ _ cos е = - ~ ,
К2* + ( - 2)= + 1 3 Г 3 '
cos у => -4-, откуда a ъ 48°11', р эд 13149', у *■ 109°28'
1) Из прямоугольного треугольника OMR имеем:
ОД Z Z
C0ST " \Ш\ " !а1
Аналогично получаются формулы (I) и B),

£ 1(Й. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ 135
§ 102. Признак коллинеарности (параллельности)
векторов
Если векторы а, {X,, Y,, Z,}, щ {Х2, У„, Z2] кол-
линеарны, то их соответственные координаты пропорцио-
пропорциональны
Хг:Х, = Y2:Yl = Z,:Z1 A)
и обратно.
X Y Z
Если коэффициент пропорциональности X - •]~ = -^=-^
положителен, то векторы аГ и а., равнопаправлены;
если отрицателен - противоположно направлены. Абсо-
Абсолютное значение X выражает отношение длин | я, | ; | а, |.
Замечание. Если одна из координат вектора щ
равна нулю, то пропорцию A) надо понимать и том смысле,
что соответствующая координата вектора ай тоже равна
НУЛЮ.
Пример I. Векторы {-2, 1, 3} и {4, -2, -6}
коллииеарны и противоположно дапрашижы (X = -2).
Второй вектор вдвое длиннее первого.
Пример 2. Векторы {4, 0, 10} н {б, 0, 15 } колли-
неарны н равнонаправлеиы (х = -^) ■ Второй вектор в пол-
полтора раза длиннее первого.
Пример 3. Векторы {2, 0, 4} и {4, 0, 2} не кол-
линеарны.
§ ЮЗ. Деление отрезка в данном отношении
Радиус-вектор г точки А, делящей отрезок AtAt в отно-
отношении AtA : AAS — m,: т.2, определяется формулой
_ m-
где i"j и г., - радиусы-векторы точек At и Да.
Координаты точки А находятся по формулам
(ср. § П).
В частности, координаты середины отрезка A As суть

136 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Замечание. Точка А может быть взята и иа про-
продолжении отрезка AtA2 в ту или, другую сторону, тогда
одно из чисел т,, тг иужио взять со знаком минус.
Пример. Найти координаты точки А, делящей отре-
отрезок А, А2 в отношении А.А : АА„ =2:3, если Д B; 4; — 1),
Лг(-3; -1;6).
Ло формулам B) находим;
v _ з.а+а-(-з) _ г, „ _ з-4 + 2-c-i) _
2+3
§ 104. Скалярное произведение двух векторов
Определение. Скалярным произведением вектора
а иа вектор Ъ называется произведение их модулей иа
косинус угла между ними.
Обозначение: а-Ъ или аЬ.
Согласно определению
аЬ = \а\ • [ Ь | cos (<Сь). A)
В силу теоремы 2 § 93
| b I cos (а, ь) = пр„ь,
так что вместо A) можно написать:
аЬ = | а | пр„Ь. B)
Аналогично
аЬ = [ Ь [ пр4а.
Словами: скалярное произведение двух векторов равно
модулю одного из них, помноженному на алгебраическую
проекцию другого вектора на направление первого.
Если угол между векторами аиЬ острый, то аЬ > 0;
если тупой, то аъ -=: 0; если прямой, то аЬ — 0.
ВытекаеГ из формулы A).
Пример. Длины векторов аиЬ соответственно равны
2 м и 1 м, а угол между ними 120°. Найти скалярное про-
произведение аЬ.
По формуле A) аЬ = 2-1 • cos 120° = -1

§ 104а. ФИЗИЧ. СМЫСЛ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 137
Вычислим ту же величину но формуле B). Алгебраи-
Алгебраическая проекция вектора Ь (черт. 150) на направлении
вектора а равна \ ОВ { cos 120° = - ^ (длине вектора ОВ',
взятой со знаком минус). Имеем: 3
аЬ = | а 1 пр.Ь = 2- (-1) = - 1 (л1). |
Замечание 1. В термине «екнляр-
иос произведение» первое слово ука-
указывает на то, что результат депстия
есть скаляр, а не вектор (в противоположность вектор-
векторному произведению; см. ниже § 111). Второе слово под-
подчеркивает, что для рассматриваемого действия имеют силу
основные свойства обычного умножения (§ 105).
3 а м е ч а и и е 2. Скалярное умножение нельзя распро-
распространить па случай трех сомножителей.
Действительно, скалярное произведение двух векторов
оиЬ есть число; если это число помножить из вектор с
(§ 89), то в произведении получим вектор
(аЬ) с = | а | ■ ] Ь | cos (а, Ь) с,
коллннеарнып с вектором с.
§ 104а. Физический смысл скалярного произведения
Если вектор а = ОА (черт. 151) изображает смещение
материальном точки, а вектор F—OF — силу, действую-
действующую на эту точку, то скалярное произведе-
произведение aF численно равно работе силы Р.
Действительно, работу совершает только ком-
компонент;! OF', Значит, работа по абсолютному зна-
знамению равна произведению длин векторов а и OF'.
При этом она считается положительной, если век-
векторы OF' а а раннонаправлены, и отрицательной в
противном случае, Стало быть, работа раина мо-
модулю вектора а, помноженному на алгебраическую
проекцию выпори У по направлению вектора а, т. е. работы раина ска-
скалярному произведению «F,
Пример. Вектор силы /•' имеет модуль, равный 5 кг.
Длина вектора смещения а равна 4 м. Пусть сила F дей-
действует под углом « = 45° к смещению а. Тогда работа
силы F есть
Fa= IFHalcosa = 5-4-*?= 10/2"* 14,1 (кГм).

138 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 105. Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение аЪ обращается в куль, если
одни из сомножителей есть нуль-вектор пли если всморы
а и Ь перпендикулярны.
Вытекает из A) § 104.
Пример. 3i-2j = 0, так как основные векторы *', j,
а значит, и векторы 3*\ 2J перпендикулярны.
Замечание, В обычной алгебре из равенства ab = О
следует, что либо с=0, либо Ь = 0. Для скалярного про™
доведения это свойство не имеет силы.
2. ab = ba (свойство переместительности).
Вытекает иэ (I) § 104,
3. («j-i-a^b = ajb + tfjjb (свойство распределитель-
распределительности).
Это свойство имеет место для любого числа слагаемых;
, при трех слагаемых
+Og) Ь s
Вытекает из B) § 104 и из C) § 93.
4, (та) Ъ sss га (аь) (свойство сочетательности относи-
относительно скалярного множителя) х)«
Примеры.
Bа)Ь = 2аЬ, (~За)Ь » ~ЗаЬ, 2>(-б^) -
Сяойство 4 выводится из A) § 104 (удобно рассмотреть отдельно
случаи т>0ит<0),
4а. (та) (ЛЬ) = (тп) аЬ.
Примеры.
Bа) (-36) = - (| )
Свойство 4a вытекает из предыдущего свойства.
Свойства % 3, 4а позволяют применять к скалярным
произведениям те н<е преобразования, какие выполняются
в алгебре над произведениями многочленов.
*) Относительно векторного множителя свойство сочетательности
не имеет места: выражение (сЬ) а есть вектор, коллицеарный с а (§ 104,
замечание 2), а о A»о) есть вектор, коллинеарный с е, так что
{сЪ}а? с{Ьа}.

§ toe. скалярные произведения
Пример 1.
(в силу свойств 3 и 4).
Пример 2.
(в силу свойств 3 н -4а).
Пример 3. Вычислить выражение (i+k) (j-k), где
i, j, к — основные векторы.
Решение. Так как векторы i, $, к взаимно перпен-
перпендикулярны, то ij = ik=jkt=O; кроме того,
кк s | к | j к I CDS (О*) = I * I2 cos 0 « 1
(модуль основного вектора равен единице). Поэтому
(J+ft)(J-ft) = ij-ik+kj-kk = -1.
5. Если векторы а и Ь коллинсарпы, то аЪ = ± j о j ■ [ Ь |;
(знак +, если щ Ь имеют одно и то же направление,
знак —, если противоположное).
5а. В частности, аа = | а \К
Скалярное произведение аа обозначается а2 (скалярный
кеадрат вектора а), так что
а» ш, J а |* A)
(скалярный квадрат вектора есть кеадрат его модуля),
3 а м е ч а п н е 1. Скалярного куба (и тем более высших
степеней) в векторной алгебре нет (ср. § 104, замечание 2).
Замечание 2. а3 есть положительное число (квадрат
длины вектора); из него можно извлечь_коревь любой
степени, в частности, квадратный корень }fas (длина век-
вектора а). Однако нельзя вместо 1^ писать а,
так как а - вектор, a fa* - число, Правильный результат
будет:
^!«I. B)
106, Скалярные произведения основных векторов
Из окределеиия § 104 вытекает, что
ц=&=1, jj-p-\t ftfc^fci-^
ij=ji=Q, jfe=fc,/=0, fci=ifc=0
ср. § 105, пример 3).

140 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Б ПРОСТРАНСТВЕ
Эти соотношения можно представить в виде «таблицы
скалярного умножения*:
"~~~~—-_^^^ Множимое
Множитель "~~""~*-~^__^^
i
S
ь
i
1
0
0
i
0
1
0
h
0
0
1
§ 107* Выражение скалярного произведения
через координаты сомножителей
Если at = {Хи Ylt ZJ и «а « {Хя, Yt1 Z»}, то ')
В частности, если т = (X, У, Z), то
откуда
A)
С2)
Ba)
(ср. § 105, замечание 2 и § 100).
Пример 1, Найти длины векторов «^{З, 2, 1},
о2{2, —3, 0} и скалярное приизведеиие этих векторов.
Решение. Искомые длины суть
Скалярное произведение
atas = 3-2+2(-3}+l-0 = 0.
Значит (§ 105, п. 1), векторы ях и as перпендикулярны.
») Имеем в, о X,* + V,i + Z1fc, ог = Xzi+ Y"Ei+Zaft. Перемно-
гкаем, учитывая свойства 3, 4 § 105 ч таблицу § 106,

8 109. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ 141
П р и м е р 2. Найти угол между векторами
ах{-2, 1, 2}и«г{-2, -2,1}.
Решение. Длины векторов суть
1^1= /(-2L14-2^3,
Скалярное произведение aLaz~ (-2)(-2)+1(-2}+
+2 Л = 4. Так как «yi- = | щ | | а31 cos (g^ аг), то
т. е. ^
(а^а,) ^ 63°37
§ 108. Условие перпендикулярности векторов
Если векторы ai{Xlf Ylt Zx}, a2{Xz, У», Zt} взаимно
перпендикулярны, то
Обратно, если ХгХа+ Y1YS + Z1ZS = 0, то векторы а,
и аг перпендикулярны или один нз них (например, щ)
есть нуль-векторх} (тогда Хх- ^l = ^ = О).
выводится из п. 1 S 105 и A) § Ю7.
§ 109. Угол между векторами
z {X2, YSf
)
П)
Угол ? между векторами щ {Хи Yv Z,}, az {X2, YSf Zt}
можно найти по формуле (ср. пример 2 § 107)
+z
Выводится из A) и Bа) § 107.
Пример 1. Найти угол между секторами П. 1, 1} н
2, 0, 3).
Р С Ш С II И С.
... m
COS ш = —
откуда 9 » 36°50'.
i) Нуль-всктор можно считать перпендикулярным к любому век-
вектору; ср. | 82.

Ш АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 2. Вершины треугольника ЛВС суть
ЛA;2; -3);£@; I; 2); С B; 1; 1}.
Найти длины сторон АВ и АС н угол А.
Решение.
fS = (@-1), A-2), B+3)} « {-1, -1, 5},
j4C « {B-1), A-2}, A+3)} = {1, -1, 4),
^(-ty + (-l)'+5a = 3 ft,
«з у%
cos Д
д
Замечание. Формулы A)-C) § 101 являются ча-
частными случаями формулы A) настоящего параграфа.
§ ПО. Правая и левая системы трех векторов
Пусть а, ь, е-три (ненулевые) вектора, пе парал-
параллельные одной плоскости и взятые в указанном порядке
(т. с. а-первый вектор, b-второй и с —третий.) При-
Приведя их к общему началу О
(черт. 152), получим трн век-
вектора О А, ОВ, ОС, не лежа-
лежащие в одной плоскости.
Система трех векторов
а, Ь, с называется правой
(черт. 152), если поворот
Черт. 153. вектора О А, совмещающий
его по кратчайшему пути с
вектором OS, совершается против часовой стрелки для
наблюдателя, глаз которого помещается в точке С.
Если же упомянутый поворот совершается по часовой
стрелке (черт. 153), то система трех векторов а, Ь, с на-
называется левой1).
Пример 1. Основные векторы %, j, к в правой си-
системе координат (§ 94) образуют правую систему. Си-
Система же^, i, к (векторы те же, но порядок нх другой) —
левая.
Если имеем две системы трех векторов и каждая из
них правая или каждая левая, то говорят, что эта системы
*) О происхождении иазваний шравая> и «левая» см. § 94, заме-
замечание 2.

§ 111. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ ИЗ
имеют одинаковую ориентацию; если же одна система
правая, а другая левая, то говорят, что системы имеют
противоположную ориентацию.
При однократной перестановке двух векторов система
меняет ориентацию (ср. пример I),
Система сохраняет ориентацию при круговой переста-
перестановке векторов, показанной на черт. 154 (второй вектор
становится первым, третий — вторым, а первый - третьим,
т. е. вместо системы а, ь, с получаем систему Ь, с, а).
Пример 2. Из правой системы /, j, ft круговой пе-
перестановкой получаем правую систему j, k, г, из послед-
последней-правую систему А\ i,j.
Пример 3. Если векторы а, Ь, с
образуют правую систему, то следующие
три системы —правые:
a, Ь, с, Ь, с, а, с, а, Ь,
остальные же три системы
b, а, с, а, с, Ъ, с, Ь, а,
составленные из тех же векторов,—левые.
Правую систему трех векторов нельзя совместить ии
с какой лепой.
При зеркальном изображении правая система становится
левой и наоборот.
§ III. Векторное произведение двух векторов
Определение. Векторным произведением вектора
а (множимое) на не коллинеарный с ним вектор Ь (мно-
(множитель) называется третий век-
вектор с (произведение), который
строится следующим образом:
1) его модуль численно равен
площади параллелограмма (AOBL
на черт. IS5), построенного на
векторах а и Ь, т. е. он равен
| « I ■ | Ь 1 sin (а, Ь);
Че т 155 2) его направление перпепдн-
КУЛярно к плоскости упомянутого
параллелограмма;
3)-при этом направление вектора с выбирается (из двух
возможных) так, чтобы векторы а, Ь, с составляли пря-
систему (§ 110),

144 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Обозначение: с = ахЪ или с = [аЬ].
Дополнение к определению. Если векторы а
и Ъ коллинеарны, то фигуре AOBL, считая ее (условно)
параллелограммом, естественно приписать нулевую пло-
площадь. Поэтому векторное произведение коллинеарных век-
векторов считается равным нуль-вектору.
Поскольку нуль-вектору можно приписать любое направление)
это соглашение не противоречит пунктам 2 и 3 определения.
Замечание 1. В термине «векторное произведение»
первое слово указывает на то, что результат действия есть
вектор (в противоположность скаляр-
скалярному произведению; ср. § 104, замеча-
замечание 1).
Пример I. Найти векторное про-
произведение г х j, где ir i — основные
J~7 У векторы правой системы координат
"% (черт. 156).
Решение. I) Так как длины осноа-
черт. 156. иых векторов равны единице масштаба,
то площадь параллелограмма (квадрата)
AOBL численно равна единице. Зиачнт, модуль вектор-
векторного произведения равен единице.
2) Так как перпендикуляр к плоскости AOBL есть
ось OZ, то искомое векторное произведение есть вектор,
коллинеарный с вектором ft; а так как оба они имеют
модуль 1, то искомое векторное произведение равно
либо к, либо -к.
3) Из этих двух возможных векторов надо выбрать
первый, так как векторы i, j, к образуют правую систему
(а векторы г, j, -к -левую).
Итак,
i х j = к.
Пример 2. Найти векторное произведение j х».
Решение. Как в примере I, заключаем, что вектор
j х i равен либо к, либо -к. Но теперь надо выбрать
— к, ибо векторы у, i, -fe образуют правую систему
(а векторы j, г, к- левую).
Итак,
j х г = -к.
Пример 3. Векторы а и Ь имеют длины, соответ-
соответственно равные 80 см и 50 см, и образуют угол в 30°.
Прннян за единицу длины метр, иайти длину векторного
произведения а х Ь,

§ 112. СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 145
Решение. Площадь параллелограмма, построенного
на векторах а н 6, равна 80-50 sin 30° = 2000 (см*), т. е.
0,2 м*. Длина иском ого векторного произведения равна 0,2 м.
Пример 4. Найти длину векторного произведения
тех же векторов, приняв за единицу длины сантиметр.
Решение. Так как площадь параллелограмма, по-
построенного на векторах а н Ь, равна 2000 смх, то длина
векторного произведения равна 2000 см, т. е. 20 м.
Из сравнения примеров 3 н 4 видно, что длина вектора
а х Ь зависит не только от длин сомножителей а и Ь, но
также и от выбора единицы длины.
Физический смысл векторного проиэведе-
н и я. Из многочисленных физических величин, изображаемых вектор-
векторным произведением, рассмотрим только момент силы.
Пусть А есть точка приложения силы F. Моментом силы Р отно-
относительно точки О называется векторное произведение fM X F Тлккак
модульэтого векторного произведения численно pa- U
вен площади параллелограмма AFLO (черт. 157), у* ,
то модуль момента равняется произведению осно- * i
вання AF на высоту ОК, т. е. силе, помноженноина *' ■
расстояние от точки о до прямой, вдоль которой *
действует сила.
В механике доказывается, что для равновесия
твердого тела необходимо, чтоОы равнялась нулю
не только сумма векторов F,, Ft, Ft представ-
представлявших силы, приложенные к телу, но также н
сумма моментов сил. В том случае, когда все силы
параллельны одной плоскости, сложение векторов, Черт. 157.
представляющих моменты, можно заменить сложе-
сложением и вычитанием их модулей. Но при произвольных направлениях
сил такая замена невозможна. В соответствии с этим векторное про-
произведение определяется именно как вектор, а не как число.
§ 112. Свойства векторного произведения
1. Векторное произведение а х Ъ обращается в нуль
лишь тогда, когда векторы а и Ь коллннеарны (в частно-
частности, если один из них или оба — нуль-некторы).
Вытекает из первого пункта определения § 111.
la. а х а = 0.
Равенство а х а = 0 исключает необходимость вводить
понятие «векторного квадрата» (ср. § 105, п. 5а).
2. При перестановке сомножителей векторное произве-
произведение умножается на -1 («меняет знак на обратный*):
Ъ х а = -(а х Ь)
(ср. примеры 1 и 2 § 111).
Таким образом, векторное произведение не обладает
свойством переместительности (ср. § 105, п. 2).
10 м, я. Выгодский

146 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3. (а+Ь) xl = а х I + Ь х I (свойство распредели-
распределительности).
Это свойство имеет место для любого числа слагаемых;
например, при трех слагаемых имеем:
(а + 6 + е) х I = а х l+Ъ х l+c x /.
4. (та) xb-ffl(exb) (свойство сочетательности от-
относительно скалярною мно-
множителя).
4а. (то) х (nb) = тп (а х Ь).
Пр и ме ры: I) -За х Ъ = -3 (а х Ъ),
2) 0,3а х 4Ь = 1,2 (а х Ъ).
3) Bа-ЗЬ) х (c + 5'J) =
= 2 (а х с)+10(а X d)-3(b x с)-15(Ь xd) =
= 2 (а х с)+10(а х d) + 3(c х Ь)+15(<1 х Ь) -=
= 2 (а х с)-10 (а" х а) + 3(с х Ь)+15(Д х Ъ).
4) (а4-Ь)х(а-Ь) = аха-а
Первое и четвертое слагаемые раины нулю (п. 1). Кроме
того, Ь X а = -а X Ь (п. 2). Значит,
(а+Ь) х (а-Ь) » -2 (а X Ь) « 2 (^ х а).
Стало быть, площадь OCK.D (черт. 158) вдвое больше
площади О ЛСВ.
§ 113. Векторные произведения основных векторов
Из определения § Ш вытекает, что
г х i = 0, i X j = к, i х к ~ -j,
j х i = -/г, j х j = 0. j xk = i,
ftx*=i, fcxj= -»', fe x ft = 0,

§ 114. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ Ш
Чтобы не ошибаться в знаках, полезно держать в уме
следующую схему (черт. 159), Пользоваться сю надо так:
Если направление кратчайшего пути от первого век-
вектора (множимого) ко второму (множителю) совпадает
с направлением стрелки, то произведение равно третьему
сектору; если не совпалает, то третий век-
вектор берется со знаком минус.
Пример 1. Найти к х i. На схеме
направление кратчайшего пути от It к i
совпадает с направлением стрелки. Поэто-
Поэтому ft х i = j.
Пример 2. Найти h x j. Теперь на-
направление кратчайшего пути противопо-
противоположно направлению стрелки. Поэтому
к X j => -i.
Пример 3. Упростить выражение B1—3J+6&) х
х Di-6/+12Ai). Раскрывая скобки и пользуясь таблицей
или схемой, находим:
х Dl-6i+l2fc) = 8(i x i) -
-12 (i x J) + 24(i x ft)-12(J xi)+\8(j xib
-36 (j x h) }-24(fc x *)-36(ft x j)+72(fc x ft) =
= -12fc-24i+12fc-36l+24j+3Cf = 0.
Так как векторное произведение обращается в нуль
только в случае коллинеарности сомножителей (§ 112,
п. 1), то векторы 2(-3j+6fc и 4i-6j-f-12fe коллинеар<
ны. Это показывает и признак § 102,
§ 114. Выражение векторного произведения
через координаты сомножителей
Если ад = {Xv Ylt Z,} и «2 = {Х2, У„ ZJ, то1)
\
|
) * 2 2
2 Я
2 й
\
Выражения, окаймленные вертикальными чертами, —
определители второго порядка (§ 12).
1) Нахолим векторное произведение (Xtt , ,) {г
+ y;i-^Zift), пользуясь таблицей § НЗ и свойствами 2, 3, 4 §112 (ср.
пример 3 § 113),
10*

148 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Практическое правило. Чтобы получить ко-
координаты вектора щ х аг, составим таблицу
Л» У т Z»
B)
Закрыв в ней первый столбец, находим первую коор-
координату
YtZx
Закрыв второй столбец н взяв оставшийся определи-
X Z
1 1 нли, что то же,
тель с обратным знаком I-
zx x
X, Z,
)
находим вторую координату.
Закрыв третий столбец (оставшийся определитель бе-
берется снова со своим знаком), находим третью координату.
Пример I. Найти векторное произведение векторов
Ol{3, -4, -8}Hof{-5,2. -1}.
Решение. Составляем-таблицу
3 -4 -8
-5 2 -1
Закрыв первый столбец, получаем первую координату
-4 -8
2 -I
Закрыв второй столбец, находил; определитель
3 -8
-5 -1
Переставляя в нем столбцы (при этом знак меняется на
-8 3
обратный), получаем вторую координату =43.
— I — о
Закрыв третий столбец, получаем третью координату
3 -4
« -14.
-5 2
Итак, я, х о, = {20, 43, - \А}.

S 116. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 149
Замечание. Чтобы не ошибиться Б знаке при вы-
вычислении второй координаты, можно вместо таблицы B)
пользоваться таблицей
Хх У г Zt X, Yx
получаемой из B) приписыванием первых двух столбцов.
Закрыв в C) первый столбец, берем подряд следующие
два. Затем, закрыв еще и второй столбец, берем подряд
следующие два. Наконец, закрыв н третий столбец, берем
последние два. Ни в одном нз трех полученных опреде-
определителей не надо переставлять столбцы.
Пример 2. Найти плошадь 5 треугольника, задан-
заданного вершинами А, C; 4; -1). Лг B; 0; 4), Ла(-3; 5; 4).
Решение. Искомая плошадь равна половине пло-
площади параллелограмма, построенного на векторах АхАа и
ДЛ3. Находим (§ т^А1А2= (B-3), @-4), D+ I)} «
= {-1, -4. 5} и АХАЯ*= (-6. I, 5}. Плошадь парал-
параллелограмма' равна модулю векторного произведения
AjA2 х AlA.i, а последнее равно {-25, -25, —25}. Сле-
Следовательно,
S = 11 ЛХ2 х ЛД31 = ~ |/(-25L(-25)=+(~25F=
« ~ ^1875 » 21,7.
§ 115, Компланарные векторы
Три вектора (или большее число) называются компла-
компланарными, если они, будучи приведены к общему началу,
лежат в одной плоскости.
Если хотя бы один из трех векторов - нулевой, то три
нектора тоже считаются компланарными.
Признак компланарности см. в §§ И6, 120.
§ 116. Смешанное произведение
Смешанным (или векторно-скаллрным) произведением
трех векторов а, Ь, с (взятых в указанном порядке) назы-
называется скалярное произведение вектора а на векторное
произведение Ъ х с, т. е. число а (Е> х с), или, что то же,
(Ъ х с) а.
Обозначение: abc.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В
Признак компланарности. Если система1 а,
Ь, г-правая, то abv ^ 0; если левая, то abc -= 0.
Если же векторы а, Ь, г, компланарны (§ 115), то ofrc = 0.
Иными словами, обращение в нуль
смешанного произведения иЪс
есть признак компланарности
векторов а, Ь, с.
Геометрическое ис-
истолкование с.мешан но г о
произведения. Смешанное
произведение abc трех некомпла-
некомпланарных векторов а, Ь, с равно объ-
объему параллелепипеда, построен-
построенного иа секторах а, Ь, с,взятому со
знаком плюс, если система а, Ь,
с -правая, и со знаком минус,
если эта система левая.
Пояснение. Построим (черт. 160,
1G1) вектор
05"=аХЬ. A)
Тогда площадь основания OAK, В равна
О о А
черт. 160.
S = | оН"|.
B)
о
Высота Н (длина вектора ОМ), взятая со
знаком плюс или минус, есть (§ 92, п. 2)
алгебраическая проекция вектора с по
Черт. 161. направлению 0D, т. е.
Н = ± пр—-»-е. C)
Знак плюс берется, когда ОМ и OD равнонапразлены (черт. 160),
а это будет в случае правой системы о, Ь, с. Знак минус отвечает
левой системе (черт. 161). Из B) и C) получаем;
V - SH = ± ™*
но ] OD | пр
Значит.
OJJ\ пр-^- с>
есть скалярное произведение OD-c (§ 104), т, е.
§ 117. Свойства смешанного произведения
1. При круговой перестановке (§ ПО) сомножителей
смешанное произведение не меняется, при перестановке
двух сомножителей-меняет знак на обратный:
abc = bca =s cab = — (buc) = -(cba) = ~(«cb).
Вытекает из геометрического истолкования (§ 116) и из 5 110.

§ 118. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 151
2. («+b)cd = aed+bed (свойство распределитель-
распределительности).
Распространяется па любое число слагаемых.
Вытекает из определения смешанного произведения и 5 112, п. 3.
3. (ma) be = щ (abc) (свойство сочетательности отно-
относительно скалярного множителя).
Вытекает из определения смешанного произведения и g 112, п. 4.
Эти свойства позволяют применять к смешанным про-
произведениям преобразования, отличающиеся от обычных
алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножи-
сомножителей можно только с учетом знака произведения (п. 1).
4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два рав-
равных сомножителя, равно нулю:
aab = 0.
Пример I.
abCo + 2b —5c) s= 3aba+2abb-5abc г= -5abe.
Пример 2.
(о + Ь) (Ь+с) (с + а) =
(x + I)(f)
= abc-j-aec + aco-i-aba+bec+bca.
Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того,
Ьса = abc (свойство 1). Поэтому
= 2abc.
§ 118. Определитель третьего порядка1)
Во многих случаях, в частности при вычислении сме-
смешанного произведения, удобно пользоваться записью вида
Она представляет сокращенное обозначение выражения
а.
Ья ся
B)
Подробнее об определителях си.

152 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Выражение A) называется определителем третьего
порядка.
Определители второго порядка, входящие в B), со-
составлены следующим образом. Вычеркнем из таблицы A)
ту строку и тот столбец, где стоит я,, как показан» на
схеме:
Остающийся определитель входит в B) множителем при
нычеркнутой букве av Аналогично получаются два других
определителя формулы B):
Яг--fa--
а2 h
а2
а3
Ъ2
b3
Надо помнить: средний член в формуле B) снабжен
знаком минус]
Пример I. Вычислить определитель
-2 -I -3
Имеем:
~2 -1
-I 4
I 5
-1
1
= -2
4
5
6
9
+ L
„1
1
6
9
-3
-1
г
4
5
Замечание 1. Так как
= _2-6+Ь(~15)-3-(-9) = 0.
£
то оп-
определитель третьего порядка можно представить еще так:
C)
«i h ех
О3 Ь-> С,
Ь3с3
сг а2
с, а,
а2 Ь2
й3 Ь3

5 ИЗ. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 153
Здесь все определители второго порядка снабжены зна-
знаком плюс.
Замеч а н и е 2. Вычисление по формуле C) можно механизиро-
механизировать следующим образом. Припишем к таблице A) два первых ее
столбца; получим таблицу
al &1 cl "l b,
аг Ьг Ci at bt
a9 Ь9 с3 а3 Ьа
D)
Берем из первой строки букву а, и спускаемся от нее по диаго-
диагонали направо, как показано стрелкой на тайлице E):
\
a, l\
E)
Определитель второго порядка, на который указывает стрелка, мно-
множится на а,. Получаем а±
Ьа са
Затем закрываем первый столбец, берем нэ первой строки букву fci.
(первую из оставшихся) и поступаем аналогично, как показано на
таблице F):
\
Ь,
(G)
Получаем:
«я
Наконец
Приме
гавляем т
закрываем
второй
столбец
р 2. Вычислить определитель
аблицу D)
\
D =
1
-I
2
2
3
5
I
]
■Л
3
4
2
2 3
3 4
5 2
1
л получаем
1
-1 3
2
3
и находим:
О =
3
5
4
2
+ 2
4
2
-I
2
+ 3
™ 1
2
3
5
-14+20-33 = -27.

lj>4 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 119. Выражение смешанного произведения
через координаты сомножителей
Если векторы щ, а3, «3 даны нх координатами
„ /V" V V \ *• /V V  \ п {V V ? 1
то смешанное произведение щам^ вычисляется по фор-
формуле
х\ y\ z\'. A)
v v 7
Вытекает из формул A) § 107 и A) § 114.
Пример 1. Смешанное произведение щщ^ векто-
векторов tfi{ -2, -1, -3}, «2( -1, 4, 0}, «3{1, 5, 9} равно
-2 -1 -3
-1 4 6=0
1 5 9
(ср. § 118, пример 1). Значит (§ 116), векторы о, Ь, с ком-
компланарны.
П Р н м е р 2. Векторы {1,2,3}, {-1,3,4}, {2,5,2}
образуют левую систему, ибо нх смешанное произведение
(§ 118, пример 2)
1 2 3
• 1 3 4 = -27
2 5 2
отрицательно (см. § 116).
§ 120. Признак компланарности
в координатной форме
Условие (необходимое и достаточное) компланарности
векторов о, {Хи Yt, ZJ, щ (Xtl Y2, Zt}, щ {Хя, Ya, Zd}
есть (см. § 119, пример 1)
2£
X»
Za
= 0.
Вытекает из g 116.

§ 121. ОБЪЕМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
§ 121. Объем параллелепипеда
Объем параллелепипеда, построенного на векторах
а, {Хи Ylt Z,}, щ {Xit Yt, Zx), щ {Х3, Ys, Zs),
равен
153
V = ±
У ч Li-i
где знак плюс берется, когда определитель третьего по-
порядка положителен, и минус - если определитель отрица-
отрицателен (ср. § 13).
Вытекает из 55 110, 119.
Пример \. Найти объем параллелепипеда, построен-
построенного на векторах { 1, 2, 3 }, { - 1, 3, 4 }, { 2, 5, 2 }.
Р е ш е и и е. Имеем;
V = ±
1 2 3
-13 4
2 5 2
--. ±(-27).
Так как определитель отрицателен, берем перед ним знак
минус. Находим V = 27.
Пример 2. Найти объем V треугольной пирамиды
ABCD с вершинами ЛB; -1; 1), ВE; 5; 4), СC; 2; -1),
D D; 1; 3).
Решение. Находим (§ 99):
АВ = {E-2), E+ 1), D- 1)} - {3, 6, 3}.
Таким же образом АС- {1, 3, -2}, Ло"= {2, 2, 2}. Ис-
Искомый объем равен -g- объема параллелепипеда, построен-
построенного на ребрах АВ, AC, AD, Поэтому
± ±
3 6 3
X 3 -2
2 2 2
Отсюда получаем V = 3,

156 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 122. Двойное векторное произведение
Двойным векторным произведением называется выра-
выражение вида
ах(Ьхс).
Двойное векторное произведение есть вектор, компла-
компланарный с векторами Ь н с; оно выражается через векторы
Ъ н с следующим образом:
ах(Ьхс)= Ь(ас)-с(аЬ}. A)
§ 123. Уравнение плоскости
А. Плоскость (черт. 162), проходяшая через точку
М>(*«; Уо> 2о) н перпендикулярная к вектору N {А, В, С},
представляется уравнением первой
степени *)
А(х-хо)+В(у-у0)+
+ СB-20) = 0, A)
или
Ax+By+Cz+D = 0, B)
где через D обозначена величина
Вектор N{A, В, с) называется нор-
нормальным вектором плоскости Р.
Замечание 1. Выражение «плоскость Р представ-
представляется уравнением A)в означает, что: 1) координаты х, у, z
всякой точки М плоскости Р удовлетворяют уравнению A);
2) координаты х, у, z всякой точки, не лежащей иа пло-
плоскости Р, ие удовлетворяют этому уравнению (ср. § 8).
Б. Всякое уравнение первой степени Ax+By + Cz+
+D «= О (А, В и С ие равны нулю все сразу) представляет
плоскость.
Уравиения A) и B) в векторной форме имеют вид
JV(r-n) = O, (la)
Nr+D = O Ba)
(г0 и г - радиусы-векторы точек Af0 и Af; D s= -A>0).
») Уравнение A) есть условие перпендикулярности векторов
"{А В, С) и А<|Л1 ■ {*-»(. y-yor z-Zo). См. SS 103 И 99.

§ 124. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ 157
Пример. Плоскость, проходящая через точку B; 1; — I)
и перпендикулярная к вектору {-2, 4, 3}, представ-
представляется уравнением
или
= 0.
Замечание 2. Одну и ту же плоскость можно представить мно-
множеством уравнений, у которых все коэффициенты и свободный член
соответственно пропорциональны (см. ниже § 125, замечание).
§ 124* Особые случаи положения плоскости
относительно системы координат
1. Уравнение Ах+By I-Cz = 0 (свободный член D = 0)
представляет плоскость, проходя-
проходящую через начало.
2. Уравнение Ax+By+D - О
(коэффициент С = 0) представляет
плоскость, параллельную оси OZ,
уравнение Ax + Cz+D = 0 - пло-
плоскость, параллельную оси OY, урав-
уравнение By+Cz + D = О — плоскость,
параллельную оси ОХ.
Полезно запомнить: если в урав-
уравнении нет буквы z, то плоскость
параллельна оси OZ и т. п.
Пример. Уравнение
х+у-1 => О
представляет плоскость Р (черт. 163), параллельную оси OZ.
Замечание. В аналитической геометрии на плоскости уравне-
уравнение x+j>-1e=0 изображает прямую (KL, на черт. 163). Разъясним,
почему в пространстве то же уравнение представляет плоскость.
Возьмем на прямой KL. какую-либо точку М. Так как М лежит на
плоскости XOY. то для неег=О. Пустьв системе XOY точкам имеет
координаты x="o"i У *—% (они удовлетворяют уравнению X +у — 1 -0).
Тогда в пространственной системе OX YZ координаты точки М будут
**—5" • У— -п1* *=0. Эти координаты удовлетворяют уравне-
уравнению х + у — 1 =0 (для большей ясности запишем его в виде 1х+ 1у +
+ 0.2-1=0).
1 1
Рассмотрим теперь точки, для которых Х=тг, у = -^> но 2^0,
Z Z
например, точки Mt (у; — ; —^V Мг (-^; -^ ; -^\ Мш (-^ J -^; 1 j

158 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
и т. п. (см. черт. 103). Координаты их тоже удовлетворяют уравнению
х+у + О-г —1 =0. Эти точки заполняют «вертикальную» прямую* UV,
проходящую через М. Такие же вертикальные прямые можно постро-
построить для всех точек прямой KL. В совокупности они заполнят плос-
плоскость Р.
О том, как представить и пространственной системе координат пря-
прямую KL, сказано ниже (§ 140, пример 4).
3. Уравнение Ax-i-D = О (£=О, С=0) представляет
плоскость, параллельную как оси О У, так и оси QZ (см. п. 2),
т. с. параллельную координатной плоскости YOZ.
Аналогично уравнение By + D = 0 представляет пло-
плоскость, параллельную плоскости XOZ, а уравнение Сг +
+ D = 0 - плоскость, параллельную ХОУ (ср. § 15).
4. Уравнения .Х = 0, У-0, Z=0 представляют соот-
соответственно плоскости yOZ, XOZ, ХОУ,
§ 12S. Условие параллельности плоскостей
Если плоскости
Ax+B^+CiZ+DjL = 0 и A2x+B2y + C2z+D2 = О
параллельны, то нормальные векторы Лг, {Ли В,, С,} и
Л'3{А2, Ва, CJ коллинеарны (и обратно). Поэтому (§ 102)
условие параллельности (необходимое и достаточное) есть
^i — Si — £l
At ~ Вх Сг *
Пример 1. Плоскости
2х-Зу-4г+11 « 0 и -4x+6y-l-82-f-36 = О
параллельны, так как^- = -^ = --j.
Пример 2. Плоскости 2х-Зг-12 = 0 (^i = 2,
ВХ=О, Ci^-З) и 4x+4y-6z+7 = 0 (At*=4, В2~4,
Сг = -6) не параллельны, так как /^=0, а В2^0 (§ 102,
замечание).
Замечание. Если lie только коэффициенты при
координатах, но и сверх того и сбоСодныс члены пропор-
пропорциональны, т. е. если
л* - ё* - СЛ. _ В*
Ai Bi Ct-'Di'
ТО плоскости совпадают. Так, уравнения
бг+4 = 0 и 6х+14у-102+8^ О
npeflctao^iHKJT одну и ту же плоскость, Ср. § 18, замечание 3,

& lh. УГОЛ МЕЖДУ ДЙУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ 159
§ 126, Условие перпендикулярности плоскостей
Если плоскости
Aix+Bxy~\-C1z+Dl - 0 и Л2х+Вгу+Спг+£>2 = О
перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные
векторы ЯЗг{Ах% Вь С\}, М2{А2, В2, С,} (и обратно).
Поэтому (§ 108) условие перпендикулярности (необходимое
и достаточное) есть
A^3+Bji^+qca :--■ о.
Л р и м е р 1. Плоскости
3x-2y-2z+7 - О и
перпендикулярны, так как 3-2 + (-2)-2-И-2)-1 — 0.
Л р и м е р 2. Плоскости
перпендикулярны.
§ 127. Угол между двум* плоскостями
Две плоскости
Лхх-{- Bjy+C^-!- D^ « о A)
и
A2x+B2y+Czz+D2 » 0 B)
образуют четыре двугранных угла, равных попарно.
Один из них равен углу между нормальными векторами
л^{ль ви cj и х£{А2, в2, cs}. Обозначая лрбон из
двугранных углов через <р, имеем;
COS q> - ± -.-■ ^^+Д-Д£±С»С» . C)
Выбирая верхний знак, получаем cos (Д^, Лт2), выбирая ниж-
нижний, - получаем cos [180°- (a£V*)L

160 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример. Угол между плоскостями
х-у+У2г+2 = 0 и х + у+^г-З = О
определится из равенства
со8ф в ± _ь^(-1)-1+^_^^_ = ± 1
П+1+tfS)' Kltf2 *
Получаем ф = 60° или ф=120°
Еслн вектор NL образует с осями OX, 0Y. 02 угли о^
Pi, fv а вектор JVjj - углы аг, ра, у2, то
cos <р = ± (cos <xx cos aa+ cos pt cos p2+ cos Ti tQs y2) D)
Вытекает из C) и формул A)-C) § 101
§ 128. Плоскость, проходящая через данную точку
параллельно данной плоскости
Плоскость, проходящая через точку Мг {xi} y\, г,) и
параллельная плоскости Ax-bBy+Cz+D = 0. предста-
представляется уравнением
A(x-x1)-{-B(y-yi)-\-C{z-~zl) = О
Вытекает н3 §§ 123 и 125.
Пример. Плоскость, проходящая через точку
B; -1; 6) н параллельная плоскости Л.-+У-22+5 = О,
представляется Уравнением (х-2)+(у-И)-2(г-0) = о.
т. е. x+y-2z+H = О.
§ 129. Плоскость, проходящая через три точки
Еслн точки M0(x,t; уа; г0), М,(^ь Ун* «О, Л1,(х,; у2; га)
не лежат на одной прямой, то проходящая через ннх пло-
плоскость (черт. 164) представляется
уравнением
-Уо Z-V
У г ~
(/)
Оно выражает компланарность векторов МлМ, М0М,, М0М, (см.
SS 120 и 99).

g 131 УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ОТРЕЗКАХ Ш
Пример. Точки МоA; 2; 3), М,B; 1; 2).[М2C; 3; 1)не
лежат на одной прямой, так как векторы МпМ1 { 1, - 1, - 1 }
и ~MVM*{2, 1, -2} не коллинеарны. Плоскость М^МцМ*
представляется уравнением
-1 у-2 2-3
1 -1 -1=0,
2 i -2
т. е.
x+z~4 = 0.
Замечание. Если точки MQ, Mlt M3 лежат на одной
прямой, то уравнение A) становится тождеством.
§ 130. Отрезки на осях
Если плоскость Ax+By + Cz + D = О не параллельна
оси ОХ (т. ei если Л^О; § 124), то она отсекает на этой
оси отрезок о — —-д-. Аналогично, отрезки на осях О У,
OZ Судут Ь= —£(если Д^О) и с= —£■ (если С^О)
(ср. §32).
Пример. Плоскость Зх-ь5у-4г~-3 = 0 отсекает на
осях отрезки а = -|- = 1, ft = -g-, с = --^-.
§ 131. Уравнение плоскости в отрезках
Если плоскость отсекает на осях отрезки а, Ъ, с (не
равные нулю), то ее можно представить уравнением
которое называется «уравнением плоскости в отрезках*.
УравнениеA) можно получить какуравнение плоскости, проходя-
проходящей через три точки (а; 0; 0), @; Ъ\ 0) и @; 0; с) (см. § 129).
Пример. Написать уравнение плоскости
Зх-бу + 22-12 ^ О
в отрезках.
11 1Л. я. Выгодский

162 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Находим (§ 130) а-А, Ь - -2, с^б. Уравнение в от-
отрезках есть
Замечание 1. Плоскость, проходящую через начало коорди-
координат, нельзя предстапить уравнением в отрезках (ср. §33, замечание 1),
Замечание 2. Плоскость, параллельную оси ОХ, но не парал-
параллельную двум другим осям можно представитьу равнением—+—=1,
ос
где Ь и с-отрезки на осях OY и 07,. Плоскость, параллельную оси
аСсцисс и оси ординат, можно представить уравнением — п 1. Анало-
Аналогично представляются плоскости, параллельные другим осям, одной
или двум (ср. § 33, замечание 2).
§ 132. Плоскость, проходящая через две точки
перпендикулярно к данной плоскости
Плоскость Р (черт. 165). проходящая через две точки
JH (хо! У\', 20) и Mi (хх; ус, Zj) перпендикулярно к плоскости
Q, заданной уравнением Дх-ь By-bCz-l-D ^ 0, представ-
представляется уравнением
7
х-хй у~у0 z-zv
ABC
= 0.
A)
Черт. 165.
Оно выражает (§ 120) компланарносп.
векторов МВМ, М^К?! и N{A, П,С) = М„К.
Пример. Плоскость, проходящая через две точки
A; 2; 3) и М1B; 1; 1) перпендикулярно к плоскости
-6 ь- 0, представляется уравнением
х-1 у-2 z~3
2-1 1-2 1-3
3 4 1
= О,
т. е. х-у + 2-2 = 0.
Замечание. В случае, когда прямая М,^ перпен-
перпендикулярна к плоскости Q, плоскость Р неопределенна.
В соответствии с этим уравнение A) обращается в тож-
тождество.

§ 134. ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ 163
§ 133. Плоскость, проходящая через данную точку
перпендикулярно к двум плоскостям
Плоскость Р, проходящая через точку М„ (х„; у0; г„) н
перпендикулярная к двум (непараллельным) плоскостям
QQ
A]X \
федстав
BiV + C
iZ+Dj
= 0,
ляется уравнением
л,
A
У-J
в,
B,
- 0,
= 0.
Оно выражает (черт. 166) компланарность векторов
МцМ, A'j{Ai , Bit CjJ, A'j^A», Вц С;} J).
П р и м е р. Плоскость, проходящая через точку A; 3; 2)
и перпендикулярная к плоскостям х-f2у + г-4 = О и
2х+у + Зг+5 = О, представляется
уравнением
т. с.
-1
1
2
5х
У
~У
-
2
1
3 z
-32 +
-
1
3
4
2
О.
Черт. 166.
3 а м с ч а и и е. В случае параллельности плоскостей Q,,
Q2 плоскость Р неопределенна; в соответствии с этим
уравнение (I) обращается в тождество.
§ 134. Точка пересечения трех плоскостей
Три плоскости могут не иметь пи одной общей точки
(если по крайней мере две из них параллельны, а также
если прямые их пересечения параллельны), могут иметь
бесчисленное множество общих точек (если все они про-
') Векторное произведение N, ХА'2 (черт. 166) служи г нормальным
вектором плоскости Р. Значит [§ 123, Aа)], уравнение плоской кР есть
(JVj X'Vj) (»■-»•„) =0, что снова даст уравнение A).
И*

164 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ходят через одну прямую) или иметь только одну общую
точку В первом случае система уравнений
1 = О,
= о,
= О
не имеет решений, во втором имеет бесчисленное множе-
множество решений, в третьем - только одно решение. Для
исследования удобнее всего применить определители (§ 183,
190), но можно обойтись н средствами элементарной алгебры.
Пример 1. Плоскости
7x-3y + z-6 = О, A)
14x-6y+2z-5 - 0, B)
х ьу-5г --= О C)
не имеют обшнх точек, так как плоскости A) и B) парал-
параллельны (§ 125). Система Уравнений несовместна [уравне-
[уравнения A) и B) противоречат друг другу].
Пример 2. Исследовать, есть ли общие точки у грех
плоскостей
х-i-y + z = 1, _ D)
X - 2у - Зг - 5, E)
2x~y-2z = 8. (б)
Ищем решение системы D)-(б). Исключив г из D) и
E), получаем 4х-ьу = 8; исключив z из D) и (О), получаем
4х+у = Ш. Эти два уравнения несовместны. Значит, трн
плоскости не имеют общих точек. Так как среди ннх нет
параллельных плоскостей, то три прямые, по которым
плоскости попарно пересекаются, параллельны.
Примерз. Исследовать, есть ли общие точки у пло-
плоскостей
x+y + z = 1, x-2y~3z = 5, 2x~y-2z = 6.
Поступая, как в примере 2, получим оба раза 4лч
4- у = 8, т. е. фактически не два, а одно уравнение. Оно
имеет бесчисленное множество решений. Значит, три пло-
плоскости имеют бесчисленное множество общих точек, т. е.
проходят через одну прямую.
П р н м е р 4. Плоскости
0, х|-2у-1 = 0, .xi-y-z+2-O
имеют одну общую точку (-1; 1; 2), ибо система уравне-
уравнений имеет единственное решение х "== -1, у— 1, 2 = 2.

§ 136. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ 165
§ 135. Взаимное расположение плоскости
и парад точек
Взаимное расположение точек ML (jq; .ViJ гА Mt (-V2! Ух', Zs) и пло-
плоскости
Ax+By + Cz+ D = 0 A)
можно определить по следующим прнлнакам (ср. § 27):
а) Точки Мк и Л1И лежат по одну сторону от плоскости A), когда
числа Ax1-\-ByI +Czl+D и Ах^ + Ву2+Сг^ + В имеют одинаковые
знаки.
б) Мг и М2 лежат по разные стороны от плоскости (I), когда эти
числа имеют противоположные знаки.
в) Одна из точек ЛТЬ Л!* (или обе) лежит на плоскости, если одно
из эзих чисел (или оба) раппо нулю.
Пример I, Точки B; 3; 3) и A; 2; — 1) лежат по одну сторону от
плоскости 6x + 3y + 2z-C>=iO, ибо числа 6.2 + 3-3+2.3-6=21
ч 6-1+3-2 + 2 ( — 1)— G--4 оба положиiелынл.
П р и м £ р 2, Начало координат @; 0; 0) и точка B; 1; ]) лежат По
разные стороны от плоскости 5x+-3v — 2z— 5=0, так как числа
5-0 + 3.0-2.0-5= -5 и 5-2+3.1-2-1-5 «= 6 имеют про-
противоположные знаки.
§ 136. Расстояние от точки до плоскости )
Расстояние с/ от точки Мк (х^, у,; гх) до плоскости
Ax-1-By + Cz+D - О A)
равно (ср. § 28) абсолютному значению величины
S - Л.У|+£>■,+С?!+i3 ,<у.
т. е.
П р и м е р. Найти расстояние от точки C; 9; 1) до пло-
плоскости .х - 2у ■+■ 2г - 3 — 0.
Решение.
S У1-2>',+2г,-3 ЬЗ-2-0+2.1-3 _ gj
-2J +2Е
'3'
Замечание 1. По знаку величины S можни судить о взаим-
взаимном расположении точки Мх и начала О относительно плоскости A)
(ср. § 28, замечание 1).
Замечание 2. Формулу C) можно вывести аналитически, рас-
рассуждая, как » замечании 2 § 28. Ураинения прямой, проходящей через
точку Mv перпендикулярно к плоскости A), удобно взять» параметри-
параметрической форме (см. §{* 153, 156),

166 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 137. Полярные параметры плоскости1)
Полярным расстоянием плоскости UVW (черт. 167)
называется длина р перпендикуляра ОК, проведенного
К плоскости из начала О. Полярное расстояние положи-
положительно или равно нулю.
Если плоскость UVW не проходит через начало, то на
перпендикуляре ОК за положительное направленне прини-
принимается направление вектора ОК. Если же UVW проходит
через начало, то положительное направление на перпенди-
перпендикуляре выбирается по произволу.
Полярными углами плоскости
UVW называются углы
а = ^ ХОК, р = ^ YOK,
Y - ^ ZOK
между положительным направле-
направлением прямой ОК и осями коорди-
координат (эти углы считаются поло-
положительными н ие превосходящими
180°). Углы а, р, y связаны (§ 101)
соотношением
Черт. 167.
Y -
Полярное расстояние р н полярные углы а, р, у назы-
называются полярными параметрами плоскости UVW.
Если плоскость UVW дана уравнением Ах+Ву+
-ЬСг+Я = О, то ее полярные параметры определяются
формулами
р »
COS « =
cos C =
cos y =
A)
У А* + S» + С* '
где верхние знаки берутся, когда D > 0, и нижние, когда
D -с 0. Если же D — 0, то по произволу берутся только,
верхние илн только нижние
Ср. 5

§ 138. НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ 167
Пример 1. Найти полярные параметры плоскости
-2y + 2z-3=0 (Д=1, В =-2, С = 2, D - -3).
Решение. Формула A) дает
I -з
Р -
Формулы B), где нужно взять нижние знаки (ибо D =
3 «= 0), дают;
1 i
cos a = -т====== = ~,
-2 _ _ 2
cos ^ ~ Vim (-2)'+ 2! ~ з '
2 2
cos у = ■ д=^ = — ,
Следовательно,
а к 70°32', р « 131°4i)', y « 48°Н'.
Пример 2, Найти полярные параметры плоскости
ФopмУJIa A) дает р — О (плоскость проходит через на-
начало); в формулах B) можно взять либо только верхние
знаки, либо только нижние. В первом случае
следовательно,
a ** 109°28'; C » 48°1I'; y « I31°49'7
во втором случае
a и 70°32', р«131°49'; y*48°11'.
§ 138. Нормальное уравнение плоскости
Плоскость с полярным расстоянием р (§ 137) и поляр-
полярными углами а, р, у (cos2a-bcossp + cosay = 1; § 101)
представляется уравнением
xcos a + y cos p. f-scos у-р = 0. A)
Оно называется нормальным уравнением плоскости.

16& АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 1. Составить нормальное уравнение пло-
плоскости, у которой полярное расстояние равно -р, а все
полярные углы — тупые и ратшы между собой.
Решение. Прн а -^ р = у Условие cosa« -f cos2p +
+ cos2 у = 1 дает cus а = cos р — cos у — ±—, а так как
КЗ
углы а, р, у-тупые, то надо взять знак минус. Искомое
уравнение есть —~х—~у—^z—~ - 0.
г Уз УзJ Уз Уз
3 а м е ч а н и е. Та же плоскость представляется урав-
уравнением
x+y + z+l = О
(обе части предыдущего уравнения помножены на — у'З),
но это уравнение - не нормальное, ибо коэффициенты
при координатах не являются косинусами полярных углов
(сумма их квадратов не равна 1) и к тому же свободный
член положителен.
Пример 2, Уравнение ~х+-|-у-|-г-ь5 = 0 - на
нормальное, так как хотя (у)"+ (■§■)"+ (-■§■)" = ^ но
свободный член положителен.
Пример 3. Уравнение --jX+^y-^z-5 ~ 0-нор»
мальное; cos я = -~, cos р - -р cos у = -«-, р — Ь (а ^
» 109Q2S', р » 48°П', у ~ Ш°49').
Вывод уравнения A). Рассматриваемая плоскость (UVW
на черт. 107) проходит через точку К (pcos a, pc&sp,pcos у) перпенди-
перпендикулярно к вектору ОК. Вместо ОК можно взять вектор а того же
направления с длиной, равной единице масштаба, Координаш вектора
а суть cos a, cos p, cos у (§ ]01)- Прнмешо уравнение A) § 101,
получаем нормальное уравнение A).
§ 139. Приведение уравнения плоскости
К нормальному виду
Чтобы найти нормальное уравнение плоскости, задан-
заданной уравнением Ax-bBy-\-Cz+D = 0, достаточно раз-
делить обе части данного уравнения иа т у^-Ь-^ + С^
причем верхний знак берется, когда D>0, и нижний,
когда D •=: 0; если же D = 0, то можно взять ;шбой знак.

§ 139. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ 169
ПолУчаем уравнение
у а3 + ва + с* V дм- н* +с*
= о.
Оно нормально, ибо коэффициенты при х, у, г в силу B) § 137 соот-
соответственно равны cos a, cos p, cosyj а свободный член в силу (I) § 137
равен -;).
Пример 1. Привести к нормальному виду уравнение
x-2y+2z-6 = 0. A)
Делим обе части уравнения на + /13+(-2)г + 2* = 3
(перед радикалом-плюс, так как свободный член -б
отрицателен). Получаем;
т§4
1 2 2
Следовательно, р = 2, cosa ~ -j, cos p = --у, cos у = ■=•
(а м 70°32', р « 131°49', у « 48е 11').
Пример 2, Привести к нормальному виду уравнение
O. B)
Свободный член положителен. Поэтому делим на
/it + (-2L:2*= -3. Получаем:
Ч|у1
Следовательно, р — 2, cos <х = - у, cos Р = -§-, cos г = - -3-
(« « 109^28', Р «* 4841% г * 131 °49').
Пример 3. Принести к нормальному виду уравнение
z= 0.
Так KSA' D — 0 (плоскость лроходиг через начало), то
можно разделить либо па +3, либо на —3. Получаем
либо Лх—|у + |-г = 0, либо —jx+-|y-|-z = 0.
В обоих случаях р = 0. Величины а, р, у в первом слу-
час-те же, что в примере 1, во втором-те же, что в
примере 2.
Замечание. Если в уравнении Дх+Ву+С2+О = О
свободный член отрицателен и Д2+ В2 + С2 = 1, то это
ураииение нормальное (§ 138, пример 3) и преобразовы-
преобразовывать его не надо,

170 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 140. Уравнения прямой в пространстве
Всякая прямая линия UV (черт. 168) представляется
системой двух уравнений:
= О,
= 0,
A)
B)
представляющих (если их рассматривать по отдельности)
какие-либо две (различные) плоскости Рх и Р,,, проходя-
проходящие через UV. Уравнения A) и B) (взятые s совокупности)
называются уравнениями прямой UV.
Черт. 168.
Черт. 169.
3 а м с ч а н и с. Выражение «прямая UV представляется
системой A)-B).> означает, что 1) координаты х, у, z
всякой точки М прямой W Удовлетворяют обоим урав-
уравнениям A) и B); 2) координаты всякой точки, не лежашей
на UV, не удовлетворяют сразу обоим уравнениям A), B),
хотя могут удовлетворять одному нз них.
Пример 1. Написать уравнения прямойО/С (черт. 169),
проходящей через начало О и точку К D; 3; 2).
Р е ш е н и с. Прямая OR есть пересечение плоскостей
KOZ и КОХ. Взяв на оси OZ какую-либо точку, напри-
например L(O; (>; 1), составляем уравнение плоскости KOZ (как
проходящей через три точки О, К, L; § 129). Получаем:
X
4
0
У
3
0
2
2
1
=> 0, т, е. Zx-Ay = 0.
C)

g 14Г. ДВА УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 171
Таким же образом найдем уравнение
2y-3z = O D)
плоскости КОХ. Прямая ОК представляется системой
уравнений C)-D).
Действительно, всякая точка М прямой ОК. лежит и в плоскости
KOZ и в плоскости КОХ; значит, ее координаты удовлетворяют сразу
обоим уравнениям C) и D). С другой стороны, точка N, не лежащая
на ОК, не может принадлежать сразу обеим плоскостям KOZ и КОХ;
значит, ее координаты не могу г удовлетворять сразу обоим уравне-
уравнениям C)-D).
Пример 2. Прямую ОК примера 1 можно предста-
представить также системой уравнений
f Зх-4у = 0, C)
\ 2x-4z = 0. E)
Первое нз них представляет плоскость KOZ, второе -
плоскость KOY.
Ту же прямую ОК можно представить системой
2у-3г ■= 0, 2х-4г = 0.
Пример 3. Определить, лежат ли точки Мх B; 2; 3),
ЛГ2(-4; -3; -3), Л1я(-8; -G; -4) на прямой О/С, рас-
рассмотренной в примере 1.
Координаты ючкп Мх не удовлетворяют ни Уравие-
нпш C), ни уравнениюD);точка Mv не лежит на прямой UV.
Координаты точки М% удовлетворяют C), но не Удовле-
Удовлетворяют D); точка ЛС лежит в плоскости KOZ, по не ле-
лежит в плоскости КОХ; значит, М2 не лежит на ОК.
Точка М3 лежит на ОК, ибо удовлетворяются оба уравне-
уравнения C) и D).
П р и м е р 4. Уравнение z = 0 представляет плоскость
А'ОУ. Уравнение х+у—1 = 0 представляет плоскость Р,
параллельную оси OZ (§ 124, пример). Прямая, по которой
пересекаются плоскости АО У и Р (KL на черт. 163), пред-
представляется системой
х + у-1 = 0, г- 0.
§ 141. Условие, при котором два уравнения
первой степени представляют прямую
Система
/ AiX+Bty + dz+Di^ 0, A)
\ Дгх+В2у-}-С2г+О2 = 0 B)
представляет прямую линию, сслн коэффициенты Ах, BlfCt

172 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
не пропорциональны коэффициентам А«, В2, C2 [а этом
случае плоскости A) н B) не параллельны (§"l25)J.
Если коэффициенты Ли Biy Ct пропорциональны коэф-
коэффициентам Аг, В2, С,, но свободные члени не подчинены
той же пропорции
Аг ■ А - В2: В, - С2: Сх * Da: Dlt
то система несовместна и не представляет никакого гео-
геометрического образа [плоскости (l) if B) параллельны и
не совпадают].
Если все четыре величины Аи Ви С,, D, пропорцио-
пропорциональны величинам А2, В2, С2, D2:
Az: А1= Ва: Bt= С3; Сх = D,: D,,
то одно ил уравнений (I), B) есть следствие другого и
система представляет плоскость [плоскости A) и B) сов-
совпадают].
Пример 1. Система
2х-7у+12г-4 = 0, Ах- 14у + Збг-8 = О
представляет прямую линию (во втором уравнении коэф-
коэффициенты А и В вдвое больше, чем п первом, а коэффи-
коэффициент С —втрое).
Пример 2. Система
12г-4 = 0, 4x-l4y + 24z-8 ^ О
представляет плоскость (все четыре величины А, В, С, D
пропорциональны).
П риме р.З. Система
2х-7у+12г-4 - 0, 4х-14у-ь24г-12 = О
не представляет никакого геометрического образа (вели-
(величины А, В, С пропорциональны, a D не подчинена той же
пропорции; система несовместна).
§ 142. Пересечение прямой с плоскостью
Прямая L
( ^JM-B^ + Cjz + Di = 0, A)
\ A2x-\-B2y-\-C2z-\ D2 - 0 B)
н плоскость Р
Ax+By + Cz+D - 0 C)

g 142. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ 173
могут нс иметь ни одной общей точки (если L \\ Р), могут
иметь бесчисленное множество общих точек (если L ле-
лежит на Р) или иметь только одну общую ч'ичку. Вопрос
сводится1) к разысканию общих точек трех плоскостей
A), B), C) (см. § 134).
Пример 1. Прямая
х+y+z-l = О, x-2y-3z-5 - О
не имеег общих точек с плоскостью
2x-y-2z-8 = О
(они параллельны) (см. пример 2 § 134).
11 р и м с р 2. 11ряман
x-2y-3z-5 = О, 2х-у~2г =■ 6
лежит в плоскости „v-i-y-t 2 = 1 (см. пример 3 § 134).
Пример 3. Прямая x' + y-z+2 = O, х-у + 2 = О
пересекается с плоскостью х+2у — 1 =0 в точке
(-1; 1; 2) (см. пример 4§ 134).
П р и м с р 4, Определить координаты какой-либо точки
на прямой L:
( 2л:-3>'-2+3 = О,
\ -8 = 0.
Дадим координате х какое-либо значение, например
х = 3. Получим систему -Зу-г + 9 ^ 0, -y + z + 7 = 0.
Решив ее, найдем: у = 4, z = -3. Точка C; 4; —3) лежит
на прямой L (в пересечении ее с плоскостью х = 3, парал-
параллельной YOZ). Таким же образом, взяв х = 0, найдем
точку (о; --^-; —т\ в пересечении L с плоскостью YOZ
и т. д. Можно также давать различные значения коорди-
координате у пли г.
П'р и м е р 5. Определить координаты какой-либо точки
на прямой L:
( 5х-Зу + 2г-4 = О,
\ 8х-6у+4г-3 = О,
R противоположность предыдущему примеру коорди-
координате х здес!. нельзя дать произвольного значения. Так, прн
") Выкладки облегчаются, когда уравнения прямой пзятЫ в пара-
параметрической форме (§ 152 и замечание в § 153J.

174 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
х = 0 получаем несовместную систему — Зу + 2г~4 — О,
-6у4-42-3 = 0, Прямая L параллельна плоскости ZOY.
Координате у (или г) можно давать произвольные значе-
значения; например, положив 2=0, получим точку fe -g~; о) .
Для х будет получаться всегда одно и то же значение
х - -2-, так что прямая L лежит в плоскости х = i>, парал-
параллельной ZOY.
§ 143. Направляющий вектор
А, Всякий (ненулевой) вектор о {/, т, л}, лежащий на
прямой UV (или параллельный ей), называется направляю-
направляющим сектором этой прямой. Координаты /, т, п напра-
направляющего вектора называются направляющими коэффици-
коэффициентами прямой.
3 а м с ч а н и е. Помножив направляющие коэффициен-
коэффициенты /, т, п на одно и то же число К (не равное нулю),
получим числа Ik, mk, nk, которые том;е будут направля-
направляющими коэффициентами (это кс-
ifjf^^-^A/ ординаты вектора ак, коллннсар-
Б. За направляющий вектор
прямой UV
Черт, 170.
= 0, A)
= 0 B)
можно принять векторное произведение Л^ х NZl где
-^1 = {^ь -6ц ci) и iV3 = {А2, Bs, С2) - норл1альные
векторы плоскостей Рх и Р2 (черт. 170), представляемых ура-
уравнениями A) и B). Действительно, прямая UV перпендику-
перпендикулярна к нор.чальным векторам Л\, N2.
При м е р. Найти направляющие коэффициенты прямой
2x~2y-z\-8 = 0; х+2у-2г+1 = 0.
Решение. Имеем Л7, « {2, - 2, - 1}, Nz - {I, 2, - 2),
Примем а = Nt х ЛГ2 за направляющий ве1<тор данной пря-
прямой. Находим:
2^1
*~* J.
2 -2
-1 2
-2.1
= {6, 3, 6}.
Направляющие коэффициенты будут / ~ б, т = 3, п = 6.

S 145. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ 175
Замечание. Помножив эти числа на -у, найдем на-
направляющие коэффициенты V = 2, т'= 1, п' —2. За на-
направляющие коэффициенты можно также принять числа
-2; -I; -2ИТ.Д.
§ 144. Углы между прямой и осями координат
Углы а, 0, у, образуемые прямоЦ L (в одном из дцух ее
направлений) с осями координат, находятся из соотношений
cos a =
cos 0 = -=^=
п
COS у = - . Ч
\Р + тз + па
где 1,1X1,71- направляющие коэффициенты прямой L.
Вытекает из g 101.
Величины cos a, cos p, cos у называются направляющими
коитусами прямой L.
Пример. Нантн углы, образуемые прямой
2x-2y-Z+8 s= О, x+2y-2z-H = О
с осями координат.
Решение. За направляющие коэффициенты данной
прямой (§ 143, пример) можно принять 1=2, т=1, п-2.
2 2 1 2
Значит, cos а — ■-- — — - -, cos 0 = —, cos у = —; от-
V22 + 12+22 3 3 3
сюда а м 48°П', C » 7О°32', у ге 48°11'.
§ 145. Угол между двумя прямыми
Угол ср между прямыми L и V (точнее, одни из углов
между нимн) находится но формуле
Cos 9 = tf + mm + nn^ j.
где /, иг, п ч V, т.', пг - направляющие коэффициенты пря-
прямых L и V, или по формуле
cos <p = cos« cos a' + cos 0 cos P' + cos y cos у'. B)
Вытекает из @ 109,

176 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример. Найти угол между прямыми
2x-2y-z+8 = 0, I 4х + у+Зл-21 - О,
=- 0, \ 2х + 2у-Зг+15 ^ 0.
Решение. Направляющие коэффициенты первой пря-
прямой (§ 143, пример) равны 1^2, т=1, п=2. Если за
направляющий вектор второй прямой принять векторное
произведение {4, 1, 3}х{2, 2, -3}, то направляющие
коэффициенты ее равны -9, 18, б. Помножив их (чтобы
иметь дело с меньшими числами) на -^ (§ 143, замечание),
получим / = -3, т = 6, п~2. Имеем:
COS 9 « 2-(
V23 + la+2aV{-3)*+6«+2* 21
отсюда ср ^ 79°0Г.
§ 146. Угол между прямой и плоскостью
Угол ф между прямой L (с направляющими коэффи-
коэффициентами I, т, п) и плоскостью Ах+ By+Cz + D = 0 на-
находится по формуле
sin ф = \Ai+Bm+Cn\__
У A* + BS+ с- fp + т* +13
Вытекает из § 145 (если <р есть угол между Прямой L u нормальным
вектором {Л, В, С}, то ?= 90°± ф).
Пример, Найти угол между прямой
Зх-2у = 24, Зх-z = -4
н плоскостью бх+15у-10г+31 =0. Имеем 1 = 2, т = 3,
п = 6(§143). Находили
sin а, =
откуда f и 101§',

§ 148. ПУЧОК ПЛОСКОСТЕЙ 177
§ 147. Условия параллельности и перпендикулярности
прямой и плоскости
Условие параллельности прямой с на-
направляющими коэффициентами I, m, n и плоскости
Ах+ By-hCz + D - О сеть
Al-vBm + Cn = 0. A)
Оно выражает перпендикулярность прямой и
нормального вектора {А, В, С}.
Условие перпендикулярности прямой и
пло скости (обозначения те же) есть
1 — Л1 — SL о\
А~ я ~ с W
Оно выражает параллельность прямой и нормаль-
нормального вектора.
§ 148. Пучок плоскостей1)
Множество всех плоскостей, проходящих через одну
и ту же прямую UV, называется пучком плоскостей. Пря-
Прямая UV называется осью пучка.
Если известны уравнения двух различных плоскостей
Г Р
^ 0, A)
А»х + В2у + Czz + Ds = 0, B)
принадлежащих пучку (т. е. уравнения оси пучка; см. § 140),
то каждую плоскость пучка можно представить уравне-
уравнением вида
= 0. C)
Обратно, уравнение C) при любых значениях ти т2
(не равных нулю одновременно) представляет плоскость,
принадлежащую пучку с осью UV2). В частности, при
тх=0 получаем плоскость Р3, а при mg —0 — плос-
плоскость Рг. Уравнение C) называется уравнением пучка
плоскостей 3).
Когда ту и 0, мы можем разделить уравнение C) на mv
Обозначив m3: mt через Л, получим уравнение
= 0. D)
») ср. s 24.
*) См. ниже пояснение к примеру 1.
э) Если плоскости A) и B) параллельны {но не совпадают), то урав-
уравнение C) при всевозможных значениях ти ms представляет все пло-
плоскости, параллельные двум данным {параллельный пучок плоскостей),
J2 М. Я- ВыгодскиЦ

178 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Здесь всевозможные значения даются только одной букве
?.; но из D) нельзя получить уравнения плоскости Р2.
Пример 1. Пуст1. даны уравнения
5х-Зу = О, E)
Зг-4х - 0 F)
двух плоскостей пучка, т. е. уравнения оси пучка. Урав-
Уравнение пучка есть
mtE;t-3y)+m,Cz-4x) =- 0. G)
Например, ваяв mj = 2, m2 = -3, будем иметь:
Уравнение (8) нли
22х-6у-9г = 0 (8а)
представляет одну из плоскостей пучка.
Пояснение. Возьмем на пряной UV какую угодно точку
М(х; у; z). Ее координаты х, у, г удовлетворяют уравнениям E) и F),
а следовательно, и уравнению (8). Значит, плоскость (8) проходит
через всякую точку М прямой UV, т. е. принадлежит пучку.
Пр н м е р 2. Найти уравнение плискости, проходящей
через прямую UV примера 1 и через точку A; 0; 0).
Решение. Искомая гглоскость представляется уравне-
уравнением вида G). Последнее должно удовлетворяться при
х— 1, у-0, 2 = 0. Подставляя эти значения в G), находим
5т1-4т2 = 0, т. с. т1: т2 ~ 4 ; 5. По-
Получаем уравнение
4 1 ^tv — ^tu\ _т_ ^Я f л ■?'_-. A. y\ — О
т. е.
5г-4у - О.
Пример 3. Найти уравнения про-
проекции прямой L:
2х+Зу+4г+5- 0, 1
Зг-7 = 0 / U
на плоскость Р
Черт. 171.
* " г+15 = 0. A0)
Решение. Искомая проекция V (черт. 171) естг.
прямая, по которой плоскости Я пересекается с пло-
плоскостью Q (проведенной через L перпендикулярно к Я).
Плоскость Q принадлежит пучку с осью L и представ-
представляется уравнением вида
7) = 0, A1)

S 149. ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ 179
Чтобы найти X, представим A1) в biuc
B + >)х+C-6Х)у+D+ЗХJ + 5-7Х = 0 (Па)
и запишем условие перпендикулярности плоскостей A0)
и A1а):
2B+Х) + 2C-бХ)+1 -D-1 ЗХ) = 0.
Отсюда Х=2, Подставляя в A1а), получим уравнение пло-
плоскости Q. Искомая проекция представляется уравнениями
4x-9y+10z-9 = О,
2л.- + 2у + г+15 = 0.
§ 149. Проекции прямой на координатные плоскости
Пусть прямая представляется уравнениями
/ ДдХ+Лду+CiZ | D, = 0, A)
\ A3x+Bsy + C&+D2 = 0, B)
где Ct и С2 не равны нулю одновременно (случай С^
= CS = O рассмотрен ниже в примере 3). Чтобы найтн
проекцию прямой на плоскость XOY, достаточно исклю-
исключить z из уравнений A) —B). Полученное уравнение (вме-
(вместе с уравнением г —0) будет представлять искомую про-
проекцию '). Аналогично находятся проекции на плоскости
YOZ н ZOX.
Пример 1. Найти проекцию прямой L
( 2х+4у-32-12 = 0, C)
\ х-2у + 4г-10 - 0 D)
на плоскость XOY.
Решение. Чтобы исключить z, помножим первое из
данных уравнений на 4, а второе — на 3 н сложим. Полу-
Получим:
4Bx + 4y-3z~12) + 3(;t-2y-j-4z~10) = 0, E)
т.-е.
11х+10у-78 = 0. F)
Это уравнение ]вместе с уравнением
' г = 0 G)
представляет проекцию V прямой L на плоскость ХО Y.
1) См. ниже пояснение к примеру 1.
12*

180 аналитическая Геометрия В пространстве
* Пояснение. Плоскость (Г») проходит через прямую L (§ 148).
С другой стороны, как видно из @) (где не содержится г), эта пло-
плоскость (§ 124, п. 2) перпендикулярна к плоскости ХОУ. Значит, пря-
прямая, по которой плоскость F) пересекается с плоскостью G), есть
проекция прямой L на плоскость G) (ср. § 148, пример 3).
П р и .ч е р 2. Проекция прямой L
| H.Y-5y-| 4г- 12 = О,
\ 2х-5у- 4-0
(8}
(9)
на плоскость г = 0 представляется (в плоской системе
координат ХОУ) уравнением (!)). Исключать координату z
не требуется, так как п уравнении @) она уже не содер-
содержится. Плоскость (9) перпендику-
перпендикулярна к плоскости ХОУ; она
проектирует прямую L на ХОУ.
П р и м е р 3. Найти проекции
примой L
2х-3у - 0,
x-l-V-4 = о
A0)
(П)
на координатные плоскости.
Р с щ е [I и е. В обоих уравне-
черт. 172. ниях г отсутствует, так что обе
плоскости Р, п Р2 (чьрт. 172) пер-
перпендикулярны к плоскости ХОУ. Прямая L перпендику-
перпендикулярна к ХОУ и проектируется на плоскость ХОУ в т о ч-
ку N с координатой zA- = Q. Из епаемы A0)-A1) нахо-
12 S
ДИМ Ху = — , ys = -5-.
Уравнение проекции V па плоскость У О'/, можно найти
по общему способу, исключая х из A0 п (П). Получим
о
У~ —, т. е. то же равенство, которое выше найдено
для уN (из чертежа видно, что прямая V отстоит от OZ
на расстояние ОВ, равное уя~-AN). Уравнение проек-
проекции L" па плоскость ХОТ есть х = -'Г2-.
§ 150. Симметричные уравнения прямой
Прямая L, проходящая через точку Ма (х„; у0; г0) и
имеющая направляющий вектор а {[, т, п} (§ 143), пред-
представляется уравнениями

$ 150. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ. 161
выражающими коллинеарность векторов а {I, т, п} и
МиМ {х — х0, у— }'(,, z-z0} (черт. 173). Они называются
симметричными (или каноническими)
уравнениями прямой.
Замечание 1. Так как за
точку Мо можно взять любую из то-
точек прямой L, а направляющий пек-
тор а можно заменить направляющим
вектором ка (§ 143), то каждой из ве-
величин х0, у0, г„, I, m, n по отдельности
можно дать произвольное значение.
Пример 1. Написать симметрич-
симметричные уравнения прямой, проходя-
проходящей через точки Л E; -3; 2) и ДC; 1; -2). В ка-
качестве Мо можно взять точку Л, за вектор а можно при-
принять АВ = {-2, 4, -4}. Симметричные уравнения будут:
зс-5 _ у + 3 _ z-2
-2 ~ 4 "" -4~ '
Черт. 173.
B)
Если же в качестве Мо взять В, а за « принять вектор
- - АВ = {1, -2, 2}, то симметричные уравнения будут:
у-\
2+2
2
I -2
Замечание 2. Из трех уравнений
х-5 у + 3 г-5 z-2 у + 3 _ z-2
-2
-2
-4
C)
D)
содержащихся в B), только два (какие угодно) независимы, а третье
является их следствием; например, вычтя из первого уравнения вто-
второе, найдем третье. Каждое из уравнений D) представляет плоскость,
проходящую через прямую А В перпендикулярно к одной из координат-
ных плоскостей; вместе с тем оно представляет проекцию прямой АП
па соответствующую координатную плоскость (§ 149).
П р и м е р 2. Симметричные уравнения прямой, прохо-
проходящей через точки Мо E; 0; 1), Mt E; 6; 5), будут:
х-В _ у-0 __ z-1 ,сч
"О 6~ ~ ~~4~ ' W
Выражение ~~ условно; оно означает (§ 102, замечание),
что х-5 = 0, так что емссто E) надо написать систему
х ~ °' 6" ~ ^~ " \ >
Прямая МйМ1 перпендикулярна к оси ОХ (так как 1=0)-

182 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ПримерЗ. Симметричные уравнения прямой, прохо-
проходящей через точки А B; 4; 3) и В B; 4; 5), будут:
х-2 _ у~ 4 _ 2-3
О ~ " О " ~ 2
Эта запись означает, что х=2 и у = 4.
Величина г принимает различные (любые) значения для
различных точек прямой ЛЯ. Прямая АВ параллельна оси
OZ (так как* = т-0).
§ 151. Приведение уравнений прямой
К симметричному виду
Для того чтобы привести уравнения прямой
AxX+Biy + e^+D! = О, A)
Asx+Bty+Csz+Ds = 0 B)
к симметричному пиду (§ 150), надо определить координаты
*о> Уи< 2<) какой-либо точки, .чежашей па прямой (примеры
4 и Г) § 142) и направляющие коэффициенты [t m, n (§ 143).
П р им с р 1. Привести уравнения прямой
2х-3>'~г+3 = 0, 5x~y + z~S = О
к симметричному виду.
Решение. Как в § 142 (пример 4), найдем на данной
прямой точку МоC; 4; -3), л-,,-3. уо = 4, г0 = -3. Вы-
Вычислив направляющие коэффициенты
— о — 1
-1 1
= -4; т =
-1 2
1 5
= -7 п =
2 -3
5 -1
получаем симметричные уравнения
х-З _ у-4 _ г + З
-4 ~ -7 ~ 13 *
П р и м е р 2. Привести к симметричному виду уравнения
х+2у~Зг-2 = 0, -Зх+4у-6г+21 = 0.
Зададим координате у или г какое-либо значение (ко-
(координате х произвольиое значение задать нельзя; ср. § 142,
пример 5); например, положим у = 0. Получим точку

§ 152. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ 183
Мо E; 0; 1). Направляющие коэффициенты будут /= 0,
т=\5, п=10 или (помножая иа ~) 1=0, т = 3, п = 2.
Получаем симметричные уравнения
х -5 __ у_ ___ z-1
О ~ 3 ~ 2
(ср. § 150, пример 2).
Пример 3. То же для прямой
х+у~6 = 0, х-у + 2 = О. C)
Значения х^ и у0 вполне определяются уравнениями C):
хо = 2, уо = 4. Координате z0 можно дать любое значение,
например го = 3. Далее находим направляющие коэффици-
коэффициенты 1=0, т = О, п = 2. Получаем симметричные уравнения
(ср. § 150, пример 3):
х-2 _ у-4 __ г^з
О "~ 0 2 '
§ 152. Параметрические уравнения прямой
Каждое из отношений ^\ ^>, ~» (§ \щ равно
частному (§ 90) от деления вектора
М0М(х-х0, у~Уа, z-z0)
на (коллинеариый) вектор а{1, т, п}. Обозначим это
частное через t. Тогда
х =
у = yt + mt, } A)
Эти уравнения называются параметрическими уравне-
уравнениями прямой; когда величина / (параметр) принимает
различные значения, точка М(х; у; z) движется по прямой.
При /=0 она совпадает с Мо; положительным н отрица-
отрицательным значениям t отвечают точки, расположенные на
прямой по разные стороны от Ми-
В векторной форме трн уравнения A) заменяются
одним;
г - ro+at B)

184 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 153. Пересечение плоскости с прямой,
заданной параметрически
Общая точка (если таковая существует) плоскости Р
Ах | By л Cz+D = 0 A)
it прямой L
x = xo[tt, y = yu+mt, z = zu + nt B)
находится по формулам B), если туда подставить значе-
значение t, определяемое нз уравнения 1)
Axo+ByQ+Czo+D -- 0. C)
Последнее получается, если выражения B) подставить и A),
Пример 1. Найти точку пересечения плоскости
+ y+-8 - О
с прямой
Р с ш е п п е. Параметрические уравнения прямоп будут:
х - -5 + 3/, у--=3-1, 2=-3 + 2/. D)
Подставив в уравнение 2x-f Зу-тЗг-8 - 0, получим
Ш-18= 0, откуда t = 2. Подставляя это значение в D),
получаем х=1, у=\, г-1. Искомая точка есть A; 1; 1).
II р и м е р 2. Найти точку пересечения плоскости Зх-ь
+ y-4z-7 = 0 с прямой примера 1.
Реше и и е. Таким же образом получаем O-f-7 - 0;
это уравнение не имеет решения. Точки пересечения иьт
(прямая параллельна плоскости).
При м е р 3. Найти точку пересечения плоскости Зх-ь
-j-y-4z _0c прямой примера 1.
Решение. Таким же образом получаем О-М-0 - 0;
это уравнение имеет бесчисленное множество решений
(прямая лежит в плоскости).
Замечание. Воспользовавшись параметрическими
уравнениями D), мы ввели четвертое неизвестное f и по-
получили четыре уравнения (вместо данных трех). Это услож-
усложнение окупается большей легкостью решения системы.
*) Уравнение C) в исключительных случаях может не иметь реше-
решения (см. ниже пример 2) или иметь бесчисленное цчющеазо решений
(см, ниже пример 3),

§ 156. прямая, прбходятля через точку 185
§ 154. Уравнения прямой,
проходящей через две данные точки
Прямая, проходящая через точки М1 (х^, уй; г±) и
; (xs'> Уг> *2)> представляется уравнениями
,*-*! = У-Ут _ z-*i /i\
x---xl y»_-yt -2-?i ' х '
Примеры см. в § 150.
§ 155. Уравнение плоскости,
проходящей через данную точку
перпендикулярно к данной прямой
Плоскость, проходящая через точку Мо (х0; )'„; 20) и
перпендикулярная к прямой
h mL n, »
имеет нормальный вектор {[„ mv, л2} и, значит, предста-
представляется уравнением
'1(ж-зсо) + '(у-уо) + Л1(г-г0) - О
или в векторной форме
ex(r-r0) = 0.
Пример. Плоскость, проходящая через точку
(-1; -5; 8) и перпендикулярная к прямой -^ = ~ = ~-,
представляется уравнением 2 (у+ 5) +5 (г-8) = 0, т. с.
5г-30 - 0.
§ 156. Уравнения прямой,
проходящей через данную точку
перпендикулярно к данной плоскости
Прямая, проходящая через точку Мо (х0; у0; г0) и перпен-
перпендикулярная к плоскости Ах+ By + Cz+D = 0, имеет
направляющий вектор {Л, В, С} и, значит, представляется
симметричными (§ 150) уравнениями
У-Уо

186 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример. Прямая, проходящая через начало коорди-
координат и перпендикулярная к плоскости 3x + 5z-5 = О,
представляется симметричными уравнениями -^ = ~ = —■
или параметрическими (§ 152) уравнениями х — 31, у = О,
2 - 5Л
§ 157. Уравнение плоскости, проходящей
через данную точку н данную прямую
Плоскость, проходящая через точку Мо (х0; у0; г0) и
через прямую L
? > (D
У-У1
т
не проходящую через Мо, представляется уравнением
— V 11—11 7—7 — П /СЛ
/ т п
или в векторной форме
черт. 174. (г _ г0) (гх - г0) а = 0. Bа)
Уравнение B) или Bа) выражает компланарность векторов
(черт. 174) М0М, М^Ми и а { /, т, П ).
Пример. Плоскость, проходящая через точку
Мо E; 2; 3) и прямую
х + 1 _ y + i _ г-5
2 ~ i ~ з »
представляется уравнением
х-5 у-2 г-3
-6 ^3 2
2 1 3
= 0,
т. е.
ж-2у-1 = 0.
Замечание. Если прямая A) проходит через точку
Мо, то уравнение B) становится тождеством и задача
имеет бесчисленное множество решений (получаем пучок
плоскостей с осью I; § 148).

§ 159. ПЛОСКОСТЬ ЧЕРЕЗ ПРЯМУЮ
187
§ 158. Уравнение плоскости,
проходящей через данную точку
и параллельной двум данным прямым
Плоскость, проходящая через точку М„ (хо\ у0; г„) и
параллельная данным (непараллельным между собой)
прямым LL н L» (или векторам t^ и аг), представляется
уравнением
x—x0
к
к
У-Уо г-;
m,
= 0,
A)
где lv mlf щ и 1г, тг, пг-направляюшие коэффициенты
данных прямых (или коордииаты данных векторов). В век-
векторной форме
(г-го)«!«г = о. Aа)
Уравнение (I) или Aа) выражает компланарность векторов М0М,
«I, аг (М —произвольная точка искомой плоскости).
Замечание. Если прямые Lt и Lz параллельны, t. e.
щ и щ коллннеарны, то уравнение A) становится тожде-
тождеством, и задача имеет бесчисленное множество решений
(получаем пучок плоскостей с осью, проходящей через
точку Мо лараллельно данным прямым).
§ 159. Уравнение плоскости,
проходящей через данную прямую
и параллельной другой данной прямой
Пусть Lx и Lz-непараллельные прямые. Тогда пло-
плоскость, проходящая через прямую 1Х и параллельная пря-
прямой L2 представляется уравнением
х~х±
к
h
Z-Z!
= 0,
где xv Уц tx-координаты какой-либо точки Мх прямой Lv
Здесь имеемчастиыйслучай § 158 (ролыочки №циграетМх).
ЗйМ-ечание к § 158 тоже остается в силе.

188 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 160. Уравнение плоскости,
проходящей через данную прямую
и перпендикулярной к данной плоскости
Плоскость Р, проходящая через данную прямую
х-х, v-Vi z-z.
"(I)
и перпендикулярная к дайной плоскости Q
Ax+By + Cz+D = О B)
(не перпендикулярной к Ьк), представляется уравнением
■ Л1 У Ух *
к
А
В
= 0.
В векторной форме
{r~Tx)axN = 0.
C)
(За)
Пояснение. Плоскость р проходит через прямую £.j ц парал-
параллельна нормали N{ А, В, С } плоскости Q (ср. § E9).
Замечание. Если плоскость B) перпендикулярна
к прямой A), то уравнение C) становится тождеством и
задача имеет бесчисленное множество решений (см, § 158,
замечание).
Проекция прямой на любую плоскость.
Плоскость C) проектирует прямую Lx на плоскость Q.
Стало быть, прямая L', являющаяся проекцией прямой 1^
на плоскость Q, представляется системой уравнений
B)-C)(ср.§ 149).
§ 161. Уравнения перпендикуляра,
опущенного нз данной точки на данную прямую
Перпендикуляр, опущенный из точки М„(х0; у„; г0) иа
прямую Lx
не проходяшую через Мо), представляется уравнениями
о У >о *
Уь zi — ги
и
т.
^ О-
C)

§161. УР-НИЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ИЗ ТОЧКИ НЛ ПРЯМУЮ 189
или в векторной форме уравнениями
( <h(r-ro) = O, Bа)
\ (^-*'„)('-1-П)«1 = 0. (За)
Взяток отдельно, уравнение B) представляет плоскость
Q (черт. 175), проведенную через Мо перпендикулярно
к t-i (§ 155), а уравнение C)-плоскость /?, проведенную
через точку Мо и пря.чую Ii (§ 157),
Замечали е. Если прямая Lt про-
проходит через точку Л1„, то уравнение C)
обращается (§ 120) в тождество (через
точку, взятую па прямойLy,можно про-
провести бесчисленное множество перпеп-
дикуляроп kL,).
Приме р. Найти уравнение перпен-
перпендикуляра, опущенного из точки A; 0; 1)
на прямую
х = Зг+2, у = 2г. Aа)
Черт. 175.
Найти также основание перпендикуляра.
Решение. Уравнения Aа) можно записать в симме-
симметричном виде (§ 151) так:
х-2
з
A6)
Искомый перпендикуляр представляется уравнениями
3(х-1)+2(у-О)+1(г-1) -О,
х-\ у z-
2-1
3
0-1
1
= О
или после упрощений
Зх+2у+2-4 = О,
x_2y+z-2 = 0.
B6)
C6)
Bв)
(Зв)
Координаты основания К перпендикуляра найдем, решив
систему трех уравнений A6), Bв). Уравнение (Зв) должно
удовлетворяться само собой. Получаем К (~; -у; -у)-
Замечание. Система трех урапнений A б), (Зп) имеет бесчислен-
бесчисленное множество решений (ибо плоскость R прхиодит через прямую I.lt
а не пересекает ее).

190 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 162. Длина перпендикуляра, опущенного
из данной точки на данную прямую
Дань; течка Мо (х0> у0, г0) и прямая Lu рцставлсМ
наи уравнением A) § 161. Требуется найти расстояние от
точки Мо до прямой Llt т. е, длину перпендикуляра М0К
(черт. 17.ri), опущенного из точки Мо на прямую 1Д.
Можно сначала найти основание К перпендикуляра
(§ 161, пример), затем длину отрезка М„/<. Проще приме-
применить формулу (при обозначениях § 161)
A)
(la)
т. е.
/
Уо~У1 ^>—*i
/л, щ
В
+
в векторной форме
У
+
(го-г,)Хй,3*
m,
Числитель выражения Aа) есть (g 111) площадь параллелограмма
МгМ0ВА (черт. 176, где М1Л=я1), а знаменатель -длина основания
М\А. Следовательно, дробь р;шни высоте М0К параллелограмм;!.
Пример. Найти длину перпендикуляра, опущенного
из точки МоA; 0; 1) иа прямую х - Зг + 2, у = 2г.
Решение. В примере § 161 мы
а —
В
нашли
Значит,
Черт. 176. =
Прнмеинм теперь формулу A). Согласно A6) § 161 имеем
xi = 2, ух = О, ?! = 0, /i = 3, тг = 2, nt = I, так что
V1
Z
1
1
-1
3
=
0
= 4
1
1
=
-*i
i
— 2
Уо"
-yi
2*
xv
— 1
3
-хх
0
2

§163.ДВЕГГРЯМЫЁ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ 101
Получаем:
d — —— ——— = 2 1/ — .
УЗ* +2= 4-12 ' 7
§ 163. Условие, при котором две прямые пересекаются
или лежат в одной плоскости
A)
B)
Если
те жат в
прямые
h
х~х*
U
ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ,
Х2 — Х1 У 2
у-у,
т1
Л72
ТП
г
г
Л,
-г,
-*,
«г
Z '
= О
или в векторной
C)
(За)
('r*i)"A = 0.
Ооратио, если выполняется условие C), то прямые лежат
и одной плоскости.
П о я с и е и и е. Ксли прямые A) и B) лежат в одной плоскости,
то в последней лежит прямая М,Л1а(черт. 177), т, е. век'горь( MjM^,
а,, о2 компланарны (и обратно). Это и выражает уравнение C)
(см. g 120).
Замечание. Если J- = — - — [при отом C) обяза-
li mi "г
телыю удовлетворяется], то прямые параллельны. В про-
противном случае прямые, удовлетворя-
удовлетворяющие условию C), пересекаются.
При м е р. Определить, пересека-
пересекаются ли прямые
х _ у _ z
Т ~ ~2 ~~ " '
х + 1 __ у-1 __ z+l
2 ~ 1 ~ 4
A)
B)
Черт, 177,
Л если да, то в какой точке.
Решение. Прямые A) и B) лежат в одной плоскости,
-11-1
так как определитель C), равный
оора-

102 аналитическая Геометрия в Пространстве
щается в нуль. Эти прямые ис параллельны (направляющие
коэффициенты не пропорциональны). Чтобы найти точку
пересечения, надо решить систему четырех уравнений A),
B) с тремя неизвестными. Как правило, подобная система
не имеет решений, но в данном случае [вследствие выпол-
выполнения условия C)] решение есть. Решив систему каких-
либо трех уравнений, получим х = 1, у = 2, г — 3. Четвер-
юс уравнение удовлетворяется. Точка пересечения есть
A; 2; 3).
§ 164. Уравнения общего перпендикуляра
к двум данным прямым
Прямая UV, пересекающая две непараллельные прямые
(L, и L, на черт, 178)
и перпендикулярная к ним, пред-
представляется (в векторной формо)
уравнениями
Черт. 178.
(r-v^OjU = О,
(г-г2)а2а = О,
A)
B)
где щ = {[и mlt п^}, щ = {lz, т2, п..} на- в^хщ.
Взятое и отдельности, уравнение A) представляет пло-
плоскость Рь проведенную через прямую 1г параллельно
вектору а = а^у.а^ (§ 159). Аналогично B) представляет
плоскость Р2, проведенную через L2 пара^шлыю а.
Точка Ki, тде UV пересекает Lu найдется в пересе-
пересечении Lx с плоскостью Р2. Аналогично найдется точка /С2,
после чего можно найти длину общего перпендику-
перпендикуляра KiKv
Замечание. В случае параллельности Lt и 12 (тогда
а = 0 иуравиения (i), B) становятся тождествами) имеется
б"есчнслеииое множество прямых UV. Чтобы получить
уравнение одной из них, берем па Lj (черт, 179) произ-
произвольную точку Кх и составляем уравнение прямой, про-
проходящей через Кг по направлению вектора «^хЬ, где

S 164. ОБЩИЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ДВУМ ПРЯМЫМ 193
Пример!. Найти уравнения общего перпендикуляра
К прямым
#=2+2/, у=1 + 4/, z^ -l~i, C)
х=-31 + 3/', у = б + 2/', z = 3 + 6/'. D)
Р е щ е н н е. Имеем *h = { % 4, -1 }, «г = { 3, 2, 6 },
._я у- _.ifi —15 —81.
Искомый перпендикуляр представляется уравнениями
Х-2 у-1 24-1
2
26
4
■15
-1
-8
х+31 у-6 2-3
6
= 0,
«О,
3 2
26 -15 -8
нлн после упрощений
/ 47х+ 10у+1342+ 30 = О,
\-74х+ ХЮу- 972+ 1505 = О,
Точку Kt пересечения общего перпендикуляра с прямой C)
Найдем из системы C)-F). Получим /Ci(-2; -7; 1).
Аналогично получим /С2(-28; 8; 9). Длина d общего пер-
пеидикуляра равна
E)
(б)
П р и м е р 2. Найти уравнения общего перпендикуляра
к прямым
х = 5+2/', у = 4+2/', 2= l+t'. (8)
Прямые параллельны: а1==а2={2) 2, 1}, г^-гх =
= {3, 1, 1}, ъ =* «! x^a-^i) = О, 1, -4}. Направляю-
Направляющий вектор общего перпендикуляра % х 6 — {-9, 9, 0}
нли, помножая на -^-, {-1,1, 0}. За начальную точку при-
примем произвольную точку K"iB + 2/; 3 + 2/; i) прямой G).
Получим уравнение общего перпендикуляра
У-B+20. __ y-C+2Q , ,Q,
13 М. Я. Выгодский

Ш АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТЙЙ
где /-произвольное число. Чтобы найти точку Кг пере-
пересечения общего перпендикуляра (9) с прямой (8), надо
подставить выражения (8) в уравнение (9), Получим;
-1
Любое нз содержащихся здесь уравнений дает V « /-1;
подставляя в (8), находим 2CsC + 2f; 2+2/; t), так что
§ 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми
Кратчайшее расстояние между прямыми Lx H Х2 есть
длина d их общего перпендикуляра. Ее можно иайти, со-
составив уравнения общего перпендикуляра (§ 164, при-
примеры 1 и 2). Но проще найти d непосредственно.
1) Если прямые Li н Lz не параллельны (черт. 180), то
**2-радиусы-векторы точек
т^ 180.
Черт. 181,
Мя; «j, oa-Hanpa-
вляющие векторы
прямых Li, Lz).
Числитель дроби
A) есть (§ 121) объем
параллелепипеда, по-
построенного на ве1?го-
рах М1М2, щ, at. Зна-
Знаменатель — площадь
его основания (§ П1).
Следовательно, вся
дробь есть высота
g
Для пересекающихся прямых (векторы KxKi, %. oj компланарны)
формула (I) дает d=о. Для параллельных прямы* (векторы at, ог кол-
линеарны) оианепригодна [дает -?А.
2) Если прямые l^, t% параллельны (черт. 181), то
ri_
B)
(вместо i^ можно взять «а).

§ 165а- ПРАВЫЕ И ЛЕВЫЕ ПАРЫ ПРЯМЫХ
195
Числитель дроби B) есть площадь параллелограмма МуМгОС, зна-
знаменатель-длина осноиания MtC. вся дробь есть высота KiKtf
Пример 1. Найти кратчайшее расстояние между пря-
прямыми примера 1 § 164 [rt ~ {2, 1, - \\, гг = {-31, 6. 3}.
^ = {2,4, -1},«3 = {3,2,6}].
Решение. Данные прямые не параллельны, имеем:
X «2 =
-J
4 -
-1 2
6 3
24
3 2
1Ь
= {26, -15, -8},
OWaK^ = -3
Формула A) дает:
=r -965.
965
П р и м е р 2. Найти кратчайшее расстояние между пря-
прямыми примера 2 § 164 [ах = аг = {2, 2, 1}, »I2~ri —
ешение. Прямые параллельны; формула B) дает;
1
2
1
1
2
''
1
1
3
2
''
3
2
1
2
K2" +2» +1
Замечание. Кратчайшему расстоянию между пря-
прямыми (если они ие перпендикулярны н не параллельны)
можно приписать знак (см. § 165а).
§ 165а. Правые и левые пары прямых
Определение. Пара скрещивающихся неперпенди-
КУЛярных прямых L±, L2 (черт. 180) называется правой,
если для наблюдателя, помещающегося на продолжении
какой-либо секущей К±Кг за прямую L2, кратчайший по-
поворот прямой Li в положение, параллельное L2, совер-
совершается против часовой стрелки. В противном случае пара
Llt L% называется левой.
Замечание 1. Правая пара остается правой, а ле-
левая-левой вне зависимости не только от выбора точек
Дь Кг йа прямых 1^, L2, но также и от обозначения этих
прямых (первую можно назвать L2i а вторую Lx). Дей-
Действительно, хотя Ирн этом вращение будет происходить
13*

196 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
d обратном направлении, но наблюдатель поместится те-
теперь на продолжении секущей за прямую Lu так что для
него направление вращения остается прежним.
3 а м е ч а и и е 2. Для прямых Li, L2, лежащих d одной
плоскости, а также для перпендикулярных прямых поня-
понятия правой н левой пары теряют смысл.
Пример. Если при ввинчивании или вывинчивании
штопора его ручка поворачивается на угол 60°, то началь-
начальное и конечное положения оси ручки образуют правую
пару прямых (если па прямую 1Л принять ось ручки в ее
верхнем положении, то наблюдатель, о котором говорится
в определении, должен смотреть снизу; в противном слу-
случае—сверху). При повороте ручкн штопора иа угол 120°
начальное и конечное положения ее оси образуют левую пару.
Признак п р а в и з н ы и левизны. Пусть аи а2 —
какие-либо (ненулевые) векторы, коллииеариые с пря-
прямыми Llt L.,. Если смешанное произведение KiK-fl^ имеет
тот же знак, что и скалярное произведение а^щ, то пара
Llt L2~ правая; если знаки противоположны, то-левая.
Когда КгК^Щ = 0, прямые Lb I2 лежат в одной
плоскости; когда а,аг = 0, прямые Lu I2 перпендикулярны.
В обоих отих случаях пара l^, h% не является ни правой,
ни левой (см. замечание 2).
Знак кратчайшего расстояния между
двумя прямыми. Кратчайшему расстоянию между
скрещивающимися неперпендикулярными прямыми можно
приписать знак, считая это расстояние положительным,
если пара-правая, и отрицательным, если она —левая.
Обозначая буквой § кратчайшее расстояние между
прямыми с учетом его знака, имеем вместо A) § 165 сле-
следующую формулу:
Она пригодна также для пересекающихся (но не перпен-
перпендикулярных) прямых и дает в этом случае 8=0. Для
перпендикулярных прямых формула A) непригодна, так
как первый сомножитель -Я[Ягг становится неопределен-
1 °1а2 I
ным, принимая внд q- (если прямые не перпендикулярны,
то первый сомножитель равен либо +1, либо — 1).
Для параллельных прямых формула A) также непригодна,
так как второй сомножитель становнтся неопределенным,
См, замечание 2.

§ |66. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 197
§ 166. Преобразование координат
1. Перенос начала координат. При замене системы
Координат ОХ У\2новойсистемой O'X'K'Z' с равнонаправленными ося-
осями старые координаты (х; у; г) точки выражаются через новые(х';у'; г1)
формулами
х=а + х', у=Ь+у, г^с+г', • (I)
где а, Ь, с—координаты нового начала О' в старой системе (ср. § 35).
Координаты всякого вектора при этой замене остаются неизмен-
неизменными,
2. Поворот о с е й, ПризаменесистемыОХУг Новой системой
O'X'y'Z'c тем же началом старые координаты точки, выражаются
через новые формулами
X = X' COS ((', () + }>' COS Q', i) +2' COS (ft', i),
y = x' cos (i',S) +y' cos {i',i) +z' cos (ft',i)j
z = x' cos (i', ft) +y cos W> ft) +2' cos (ft', ft),
где (i't i) есть угол между векторами i' и i, т. е, между новой и ста-
старой осью абсцисс, {У, *)-угол между новой осЬю ординат и старой
осью абсцисс и т. д,)').
Координаты всякого вектора при этой замене преобразуются по
тем же формулам.
Замечание. Из девяти величин cos ({', i), cos (Jr, j) и т. д.
любые три можно задать произвольно, остальные шесть удовлетво-
удовлетворяют соотношениям
cos* (*, С) + cos2 (*, JO f соьз (*, ft') = 1
cos2 (ft, {') +cos= (ft,iO +coss (h, ft') = 1
cos (ijr) cos(jjr) + cos (ijO cos (J\f) -I- cos (£fc') cos (£%') к 0,
cos(f, i') cos (kfir) + cos (ijr) cos (k,f) + cos(i, ft') cos (ft, ft') = 0,
cos (i, i') cos (ft, i') + cos (i, y) cos (ft, i') + cos (i, ft') cos (.ft. fe1) = 0..
Соотношения (З) вытекают из D) § 101, соотношения D) -из B)
§ 145,
]) Каждый из коэффициентов при новых координатах есть коси-
косинус угла между соотпетствуюшей новой осью и той старой осью, кото-
которой отвечает координата, записанная р левой части.

198 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
г § 167. Уравнение поверхности
Уравнение, связывающее координаты х, у, z, назы-
называется уравнением поверхности S, если соблюдены сле-
следующие два условия: 1) координаты х, у, z всякой точки
поверхности S удовлетворяют этому уравнению, 2) коор-
координаты х, у, г всякой точки, ие лежащей иа поверхности S,
не удовлеизоряют этому уравнению (ср. § 7).
Замечание. Если изменить систему координат, из-
изменится и уравнение поверхности (новое уравнение полу-
получится из старого с помощыо формул преобразования
координат, § 166).
Пример 1. Уравнение x+y+z—l ~ О есть уравне-
уравнение плоской поверхности. Ту же поверхность при надле-
надлежащем выборе прямоугольной системы координат можно
представить любым другим уравнением первой степени.
Пример 2. Поверхность шара (сфера) радиуса Я с
центром в начале координат представляется уравнением
x*+y4z2 = R3, (О
ибо 1) если точка М(х, у, z) лежит на этой поверхности,
то расстояние ОМ = Ух2+у2+г2 равно радиусу /?, стало
быть, уравнение A) удовлетворяется; 2) если М не лежит на
поверхности, то ОМ * R, и уравнение A) не удовлетворяется.
Пример 3. Сфера радиуса R с центром в точке
С (а; Ъ; с) представляется уравнением
&)ЧB-с>а == К2- B)
Уравнение, связывающее координаты х, у, г, может представлять
не поверхность, а другие геометрические образы, или не представлять
никакого геометрического образа (ср. § 58).
Пример 4. Уравнение x*+y*+z* + lt=Q не представляет ни-
никакого геометрического образа, ибо оно не имеет (действительных) ре-
решении.
Пример 5. Уравнение хг+у*+г< =0, имеющее единственное
действительное решение х=0, у = Ъ, 2 = 0, представляет одну точку.
Пример 6. Уравнение (х-У)а+(г-у)з=О удовлетворяется
лишь тогда, когда одновременно х-у = 0 и z—y = O; оно предста-
представляет прямую линию х =у =2.
§ 168, Цилиндрические поверхности, у которых
образующие параллельны одной из осей координат
Поверхность, порождаемая движением прямой ли-
линии (образующей), параллельной неподвижной прямой,
называется цилиндрической. Всякая линия, которую обра-
образующая пересекает в любом своем положении, называется
направляющей.

§ 168. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ 109
Всякое уравнение, не содержащее координаты г и пред-
представляющее на плоскости XOY некоторую линию L,
представляет в пространстве цн-
линдрическую поверхность, у
Черт. 182.
Черт. 183.
коюрой образуют ая параллельна оси QZ, а направляющей
служит линия L.
Пример 1. Ур«„яение
представляет на плоскости ХОУ эллипс АВА'В' (черт. 182)
с полуосями а=ОА, Ь=ОВ. В про-
пространстве оно представляет цилиндри-
цилиндрическую поверхность S, у которой обра-
образующие параллельны оси OZ, а направ-
направляющей служит эллипс АВА'В' (эллип-
(эллиптический цилиндр).
Пример 2. Уравнение f^f
представляет цилиндрическую поверх-
поверхность (черт. 183), у ко горой образующие
параллельны оси ОТ., а направляющей
служит гипербола CDOD' (гиперболи-
(гиперболический цилиндр).
Пример 3. Уравнение у*=2рх.
представляет параболический цилиндр
(черт. 184).
!,• — * »г -
черт. 184.
Уравнение, не содержащее координаты х (или у), пред-
представляет цилиндрическую поверхность, у которой обра-
образующая параллельна сси ОХ (или OY).

200 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 4, Уравнение у- = 2pz представляет параболи-
параболический цилиндр, расположенный, как показано на черт. 185.
Замечание. Если направляющая - прямая линия,
то цилиндрическая поверхность - плоская. В соответствии
с этим уравнение Ах+ By + D = О представляет в про-
пространстве плоскость, парал-
kZ лсльную оси OZ (ср, § 124,
\ , ] замечание),
§ 169. УраЕнення линии
Линию можно рассматри-
рассматривать как пересечение двух по-
поверхностей и соответственно с
этим представлять системой
дпух уравнений.
Два (взятых вместе) урав-
уравнения, связывающие коорди-
координаты х, у, z, называются уравнениями лшши L, если со-
соблюдены следующие два условия: 1) координаты всякой
точки М линии L удовлетворяют обоим уравнениям;
2) координаты всякой точки, не лежащей на линии L, не
удовлетворяют обоим уравнениям
сразу (хотя могут Удовлетворить
одному из них; ср. § 140).
Пример 1. Два уравнения
y — z = О, х-г ~ О представляют
прямую линию как пересечение двух
плоскостей (ср. пример 1 § 140).
П р и м е р 2. Два уравнения
x2+y2-\-z2 = о?, y = z
представляют в отдельности: пер-
первое - сферу радиуса а (черт. 186) с черт. ise.
центром в точке О, второе — пло-
плоскость LOX (прямая OL делит пополам угол YOZ). Взя-
Взятые вместе, эти уравнения представляют окружность боль-
большого круга ALK.
Замечание 1. Одна и та же линия может предста-
представляться различными (равносильными друг другу) систе-
системами уравнений, ибо ее можно получить как пересечение
различных пар поверхностей.
Замечание 2. Система дв^х уравнений может представлять не
только линию, но и другие геометрические образы; она может также
не представлять никакого геометрического образа.

§па проекция линии на плоскость 201
Пример 3. Система уравнений х* 4-^3+2* ^25, г*= 5 пред-
представляет точку @; 0; 5), в которой плоскость я = 5 касается сферы
*2-hv2+23 -25,
Пример 4. Система уравнений хЕ+уг+2' = О, x+y+z = 1
не представляет никакого геометрического образа, ибо первому уран-
нению удовлетворяют только значения х=* 0, у=0, а они не
удовлетворяют второму уравнению.
§ 170. Проекция линии иа координатную плоскость
1. Пусть линия L представляется двумя уравнениями,
из которых одно содержит г, а другое не содержит 1).
Тогда второе представляет «вертикальную» цилиндриче-
цилиндрическую поверхность, а на плоскости ХОУ — направляю-
направляющую Lj этой поверхности (§ 168); проекция линии Ь на
плоскость ХОУ лежит на линии Lx (покрывая ее всю или
частично).
П р и м с р 1. Уравнения
■представляет (черт. 187) линию АВАХВХ (эллипс), по ко-
которой пересекаются плоскость z~y-\-~ (плоскость Р на
Черт. IS 7.
черт. 187) и круглая цилиндрическая поверхностьx2+yz = 1.
На,плоскости ХОУ уравнение х"+у2 = 1 представляет
окружность A'B'AiB'j,. Проекция линии ABAs.Bt совпадает
с линией А'В'А'ХВ'Х,
*) Если оба уравнения не содержат г, то линия £~-ве()тикальная
прямая (или несколько такнхпрямых); она проектируетсяНаЛОУ точ-
точкой (ср. § 149, пример 3),

202 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В TIP OCTPAHCtBE
П р и м е р 2. Уравнения
[■ xs+j-2+22-а2, у = тх
представляют (черт. 188) большой круг («меридиан») ЛРА'Р*
сферы О как пересечение этой сферы с плоскостью у=тх
(плоскость R на черт. 188). Уравнение у~тх представ-
представляет на плоскости XOY прямую иу. Проекция мери-
меридиана АРА'Р' на плоскость
XOY лежит на прямой UV, но
покрывает лишь ее часть,
именно отрезок А А'.
2. Пусть оба уравнения,
представляющие линию L, со-
содержат г; тогда для разыскания
проекции линии L на плоскость
XOY надо исключить z из
данных уравнений х). Уравне-
Уравнение, полученное в результате
исключения, представляет на
Черт, 188,
Черт, 189.
плоскости XOY линию V, на которой лежит искомая
проекция (покрывая ее всю или частично). Аналогично
находятся проекции линии на плоскости XOZ и YOZ.
Вытекает из п. 1,
Пример 3. Рассмотрим окружность (ALK. на
черт.. 189), представляемую (ср. § 169, пример 2) уравне-
уравнениями
ХЧ уЧ z* = а\ A)
, . У* B)
1) Исключить z из двух уравнений-значит найти третье уравие,
ние, не содержащее z и удовлетворяющееся при всех тех значениях X
у, которые удовлетворяют системе двух данних уравнений.

§ 171. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ 203
Для разыскания ее проекции на плоскость XOY исклю-
исключим z из A) и B). Получим уравнение
*Ч^ав», C)
Оно представляет иа плоскости XOY эллипс AL'K' с по-
полуосями О А = a, OL' = ф=. Проекция окружности ALK
покрывает эллипс AL'K' целиком.
Длят разыскания проекции окружности ALK на пло-
плоскость XOZ надо нз A) и B) исключить у. Получим урав-
уравнение
о2, D)
представляющее на плоскости XOZ эллипс тех же раз-
размеров, что AL'K'. Проекция окружности покрывает этот
эллипс целиком.
Для разыскания проекции окружности ALK на пло-
плоскость YOZ нет иужды выполнять исключение х, нбо
одно из данных уравнений (y=z) и без того не содер-
содержит х. Уравнение у=г представляет на плоскости YOZ
всю прямую UV, но искомая проекция покрывает лишь
ее отрезок (JVL).
- А
§ 171. Алгебраические поверхности и их порядок
Алгебраическим уравнением второй степени (с тремя
неизвестными х, у, г) называется всякое уравнение вида
где по крайней мере одага из шести величин А, В, С, D,
Е, F не равна нулю. Аналогично определяется алгебраи-
алгебраическое уравнение любой степени (ср. § 37).
Если некоторая поверхность S представляется в какой-
либо прямоугольной системе координат уравнением л-Й
степени, то и во всякой другой прямоугольной системе она
представится уравнением той же степени (ср. § 37).
Поверхность, представляемая уравнением л-й степени,
называется алгебраической поверхностью л-го порядка.
Всякая поверхность первого порядка есть плоскость. По-
Поверхности второго порядка рассмотрены в нижеследующих
параграфах.

204 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 172. Сфера
Уравнение второй степени
xt+yi+z'r-.R* A)
представляет (§ 167, пример 2) сферу радиуса R с цент-
центром в начале координат. Если начало iie совпадает с цент-
центром сферы, то последняя представится тоже уравнением
второй степени, именно
(х- аJ + (у - Ь)~ + (z - сJ = R2, B)
где а,Ь,с- координаты центра сферы (ср. § 38).
Уравнение второй степени
Axs+ Byz-\-Cz2-\- Dxy+Eyz+ Fzx-l- Gx-f
представляет сферу только при условиях
А = В = С, D)
D « О, В = О, F = О, E)
G4#2-f Кг-4ЛГ s- О F)
(ср. § 39). При этих условиях имеем:
— О . _ И _ К D2 _°2 ь№+К*-4Д£ /7ч
а- -2Д, О 2А» С~ ~2А» * ~" 4А« '^^
Пример, Уравнение
(Д = В = С « 1, D = К = F = О, G ^ -2, Я » -4,
^ _ О £, = — 4)
Представляет сферу, Дополнив выражения хг~2х и
уа-4у до полных квадратов и прибавив для компенсации
числа Р, 22 к правой части, получим уравнение
т. е. а = 1, 6 = 2, с = О, Я = 3,
То же найдем по формулам G).
§ 173. Эллипсоид
Поверхность, представляемая уравнением%)
я*
*) Здесь и в дальнейшим буквами а, Ь, с обозначены длины неко-
некоторых отрезков, так что числа о, й, с положительны,

§ 173. ЭЛЛИПСОИД
205
называется эллипсоидом *) (черт, 190), Линия перссеченит
ABA'В'эллипсоида A) с плоскостью KOY представляется
(§ 169) системой
Она равносильна системе
а*
~ О,
так что АВА'В' есть эллипс с полуосями ОА=а, ОВ = Ь.
Сечеиия эллипсоида A) плоскостями YOZ, XOZ суть
эллипсы М'СМВ с полуосями г)
ОВ = Ь, ОС~с и JL'CLA с по-
полуосями ОА-а, ОС = с.
Сечение эллипсоида пло-
плоскостью z=h (LML'M' иа
черт. 190) представляется си-
системой
C)
lso-
Однако если \ h \ =- с, то
уравнение B) не представляет
никакого геометрического места («мнимый эллиптический
цилиндр»; ср. § 58, пример 5). В этом случае плоскость
не пересекает эллипсоида. При | h \ =с уравнение B)
представляет ось OZ{x~O, y = 0; ср. § 58, пример 4),
Значит, плоскость z=c имеет с эллипсоидом одну общую
точку С @; 0; с) (точка касания); таким же образом пло-
плоскость z = -с касается эллипсоида в точке С @; 0; -с)
(иа чертеже не показана).
*) Греческое слово *эллипсонд» означает «эллипсовидный, Оно
мало подходит для называния поверхности, но очень укорени-
укоренилось. Древнегреческие геометры именовали эллипсоиды вращения
(других они не рассматривали) сфероидами (т, е. *сферовидны«и>). Это
наименование употребляется и ныне.
2) Прежде (§41) буквой с обозначалась половина фокусного рас-
расстояния [с = Ya* — b2, так что с ■< а]. Здесь с имеет иной смысл и
«ожет иметь любое значение.

206 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Если же 1 h 1 ■< с, то искомое сечение есть эллипс с
полуосями
, Mvn**btfl^, D)
пропорциональными anb.
По мере удаления от плоскости XOY размеры сеченнй
уменьшаются (причем все они подобны).
Та же картина для сеченнй. параллельных плоскостям
YOZ, ZOX.
Точка О есть центр симметрии эллипсоида A). Плоско-
Плоскости XOY, YOZ, XOZ - плоскости симметрии, осн OX, OY,
OZ — оси симметрии *).
Трехосный эллипсоид. Если все три величины
а, Ь, с различны (т. е. ни один из эллипсов АСА, В'СВ,
ABA' не обращается в окружность), то эллипсоид A) на-
называется трехосным. Эллипсы АСА, В'СВ, А'ВА назы-
называются главными; нх вершины [А(а; 0; 0), А'(~-а; О; О),
В(О; Ь; О), В'(О; -Ь; О), С (О; 0; с), С @; 0; -с)] на-
называются вершинами трехосного эллипсоида. Отрезки
АЛ', ВВ', СС (оси главных эллипсов), а также их длины
называются осями эллипсоида.
Если а г- Ъ ?- с, то 2а — большая
ось, 2Ъ-средняя и 2с - малая.
Эллипсоид вращения. Если какие-либо две из
величин а, Ь, с, например an Ъ, равны между собой, то
соответствующий главный эллипс А'ВА и все параллель-
параллельные ему сечения обращаются в окружности. Любое сечение
CS проходящее через ось OZ, можно получить поворо-
1) О центре симметрии н плоскости симметрии см. «Справочник по
элементарной математике», IV, В, § 16.

§ 173. ЭЛЛИПСОИД
том эллипса CLA около оси OZ, т. е. эллипсоид есть по*
верхность вращения (эллипсы CLA, CRS, СМВ и т, д. —
меридианы, окружность А'В А — экватор). Такой эллип-
эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Его уравнение
имеет вид
Если в *• с, то эллипсоид вращения называется сжа-
сжатым (черт. 191, о), если а •< с, то вытянутым (черт. 191,6),
У эллипсоида вращения положение двух его осей неопре-
неопределенно.
Если а=Ь~с} эллипсоид обращается в сферу, и
положение всех трех осей становится неопределенным.
Замечание 1. Эллипсоид вращения можно определить как по-
поверхность, получаемую равномерным сжатием сферы к ее экватору
(ср. § 40). Сжатый эллипсоид вращения получается, когда коэффици-
коэффициент сжатияЛ: -= I, вытянутый— когда ft =- 1.
Трехосный эллипсоид можно определить как поверхность, полу-
получаемую равномерным сжатием эллипсоида вращения к его меридиану.
Замечание 2. Эллипсоид представляется уравнением A), если
оси координат совпадают с осями эллипсоида, В других случаяхэллип*
соид представляется иными уравнениями.
Пример t. Определить, какую поверхность пред-
представляет Уравнение
Решение. Данное уравнение приводится к виду
Оно представляет нытянутый эллипсоид вращения с полу-
полуосями а=с=][з1ь~4. Осью вращения служит Оу.
Пример 2. Определить, какую поверхность представляет
уравнение я»- 6х+ 4y* + 9z* + 36z-99 = О.
Решение. Приведем данное уравнение К ВИДУ
(X-3)!-H^+9<z+2)s ^ 144,
Перенесем начало координат в точку C; 0: -2); тогда (§ 166) полу-
получим уравнение х'г+4у'а+9г'а « 144 или
Данное уравнение представляет трехосный эллипсоид с полуося-
полуосями а =12, &«6,с=4; центр его лежит я точке C; 0; -2), оси парап-
лельнь*.осям координат.

208 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 174, Однополостный гиперболоид
Поверхность, представляемая уравнением
называется одпополостным гиперболоидом (черт. 192).
Наименование «гиперболоид» г) происходит от того, что
среди сечений этой поверхности есть гиперболы. Таковы,
в частности, сечения плоскостями х=0 (MNN'M' на
черт. 192) и у=0 (KLL'K.1)- Эти сечеиня представляются
(в своих плоскостях) уравнениями
Название «однополостиый» подчер-
подчеркивает, что поверхность A) в противо-
противоположность поверхности двуполостного
гиперболоида (см, § 175) не разорвана
на две «полости», а представляет сплош-
сплошную бесконечную трубку, вытянутую
вдоль оси 0Z.
Плоскость
z = h D)
при любом значении h (ср.
§ 173) дает в сечении с поверхностью A)
эллипс3)
5 + S- = 1 + Щ' E)
с полуосями ау 1+-£, by Ц—L Все оллипсы E) по-
добиы, вершины их лежат на гиперболах B) и C); раз-
размеры эллипсов увеличиваются по мере удаления сечения
от плоскости XQY. Сечение плоскостью XOY есть эллипс
—■ J.
E')
эллипс АВА'В').
Д) То есть чгиперболовидный». См. сноску *) на стр. 205,
>> Здесь предполагается, что а^Ъ, В случае а=Ь эллипсы E)
обращаются в окружности; см. ниже уравнение F),

g 174. ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД 209
Гиперболы B) и C), а также эллипс E') называются
главными сечениями, их вершины А (а; О; 0), Л' ( — а; О; 0),
В @; Ь; 0), В' @; — Ь; 0)- вершинами однополостного ги-
гиперболоида. Отрезки АА' = 2а, ВВ' — 2Ъ (действительные
оси главных гипербол), а часто и прямые АА', ВВ' назы-
называются поперечными осями. Отрезок СС' = 2ОС = 2с, от-
откладываемый иа оси OZ (мнимая ось каждой из главных
гипербол), называется продольной осью одиополостного
гиперболоида.
Точка О есть центр симметрии однополостиого гипер-
гиперболоида A), плоскости ХОУ, YOZ, Z0X-плоскости сим-
симметрии, оси OX, OY, OZ—оси симметрии.
Однополостный гиперболоид враще-
вращения. Если а — Ь, то уравнение A) принимает вид
5* + S "~ 3* ~ *' ^
Горловой эллипс АВА'В' обращается в горловую окруж-
окружность радиуса а. Вес сечения, параллельные АОУ,-тоже
окружности. Сечения KLL'K' и MNN'M' (и вообще все
сечения через продольную ось) становятся равными гипер-
гиперболами, и поверхность F) можно образовать вращением
гиперболы KLL'K' около продольной оси. Поверхность F)
называется одпополостным гиперболоидом вращения. По-
лсжение двух ее (поперечных) осей становится неопреде-
неопределенным, третья (продольная) ось совпадает с мнимой осью
вращающейся гиперболы, В отлнчие от гиперболоида вра-
вращения (а = Ь) однополостный гиперболоид A) при а ^ Ъ
называется трехосным.
Замечание. Однополостный гиперболоид вращения можно оп-
определить как поверхность, порожденную вращением гиперболы около
ее мнимой оси, трехосный однополостный гиперболоид—как поверх-
поверхность, получаемую равномерным сжатием однополостпого гипербо-
гиперболоида вращения к плоскости какого-либо меридиана.
Пример. Определить вид поверхности
= о.
Решение. Данное уравнение приводится к виду
4а 2s *** 2s
Оно представляет однополостный гиперболоид вращения
с центром в точке @; 0; 0), осью врашення служит ОХ
(так как отрицательный коэффициент стоит при ха). Ра-
Радиус горлового круга г = 2, продольная полуось равна 4.
14 К, Я. Выгодский

210 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 175. ДвуполостныЙ гиперболоид
Поверхность, представляемая уравнением ***'
ца т № ' с' * * *
называется двуполостным гиперболоидом (черт, 193).
Сечення плоскостями XOZ н YOZ представляются урав-
уравнениями
-Л5-1 i"-*j~-*>«v1,-;е« р __ _^ 1 -, ■_ ,- J2|
; ■ С* О* ' » - . ' * *
'"* *' ■ '' ■"' ' ** 3я — 1 ■ ~ *-'- " /ч\
^ ^ с, — 6Я — i. *■- ■-> \о}
Это-гиперболы (KK'L'L и MM'N'N на черт. 193). Для
каждой из них ось OZ является дей-
действительной осью (ср, § 174).
Плоскости z = h не встречаются
с гиперболоидом A) при ] h \ -* с (ср.
§ 174). Прн К— ±с они касаются
гиперболоида в точках С@; 0; с) и
С @; 0; -с). При | h \ >■ с в сечеини
получаются эллипсыJ
У»
са
D)
Черт. 193.
подо бные друг другу {КМ К'М'г
LNL'N' и др.)> Размеры их увеличи-
увеличиваются по мере удаления от пло-
плоскости XOY.
Таким образом, поверхность A)
состоит из двух разобщенных поло-
полостей, откуда и название д в у п о-
лостный гиперболоид.
Гиперболы B) н C) называются главными сечениями,
их общие вершины С и С' — вершинами двуполостного
гиперболоида, нх действительная ось СС' —продольной
осью двуполостного, гиперболоида, мнимые осн А А' ~ 2а
н ВВ' => 2&-поперечными осями симметрии.
ДвуполостныЙ гиперболоид имеет центр О, оси симмет-
симметрии OX, QY, 0Z и плоскости симметрии XOYt YOZf
*) См, подстрочное примечание иа стр, 208,

$ 1?6. КбнУС ВТОРОГО ПОРЯДКА Ш
ZOX. Две полости гиперболоида симметричны друг другу
относительно плоскости XOY.
Двуполостный гиперболоид нращеиня.
Уравнение A) при а = Ь принимает внд
?£ X ^! — ~ = —1
и представляет поверхность, порождаемую вращением
гиперболы около ее действительной оси. Она называется
двуполостным гиперболоидом вращения. Двуполостный
гиперболоид с неравными поперечными полуосями а н Ь
называется трехосным. т
Пример 1. Определить внд поверхности \
3x!-5ys-22B-30= 0.
Решение. Данное уравнение преобразуем к виду
б т 15 10 х'
Имеем двуполостный гиперболоид (трехосный). Продоль-
Продольная ось равна /Ю и_ совпадает с осью ОХ, одна попе-
поперечная ось равна У& н направлена по осн 0Y, другая
равна fl5 и направлена по осн 0Z.
Пример 2, Уравнение !
представляет оЬпополостный (а не двуполостный) гипер-
гиперболоид (хотя в правой части стоит — t, а не +1, но в
левой части два отрицательных слагаемых). Представив
данное уравнен-ie в виде y2+zz-x* = 1, видим, что ги-
гиперболоид порожден вращением равносторонней гиперболы
около ее мнимой оси (совпадающей с осью ОХ).
§ 176. Конус второго порядка
Конической поверхностью называется нсякая поверх-
поверхность, порождаемая движением прямой линии (образующей),
проходящей через неподвижную точку (вершина кониче-
конической поверхности). Всякая (не проходящая через вершину)
линия, которая пересекает образующую в любом положе-
положении последней, называется направляющей.
Поверхность

212 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
которая, как показано ниже, является конической, назы-
называется конусом второго порядка (черт. 194).
Сеченне ее плоскостью XOZ (у = 0) представляется
уравнением -f-
т. е.
Это-пара прямых (KL и K'V), проходящих через начало
(§ 58). В сечении плоскостью YOZ
*L получаем пару прямых (MN н M'N'):
И
Сечеиие всякой другой плосксстью
у = кх, проходящей через ось OZ,
представляется (§ 169) системой
У-*, S + ^-5-o. D)
Это-тоже пара прямых-.
У-
-О E)
Черт.194.
l + g-i^O, (б)
проходящих через начало. Значит, поверхность A)-кони-
A)-коническая; точка О-ее вершина.
Сечение конуса A) всякой плоскостью г = h (прн Л и 0)
есть эллипс
*! 4- ^ — — *
он обращается в точку О @; 0; О) при h = О, Все эллипсы
G) подобны, вершины нх лежат на сечениях B) и C),
Прн а = Ь эллипсы G) обращаются в окружности и
конус второго порядка-в круглый конус
'Та т л1 7Г — ^* % /

§ 177. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД
213
Коиус второго порядка можно определить как псперх-
ность, полученную равномерным сжатием круглого конуса
К плоскости особого сечения.
Сечения конуса A) плоскостями, параллельными пло-
плоскости XOZ (или плоскости YOZ), суть гиперболы.
Замечание. Сечения всякого конуса второго порядка плоско-
плоскостями, не проходящими через иершину, являются окружностями i),
эллипсами, гиперболами и параболами. Каждая из этих линий может
Сыть принята за направляющую. Ввиду этого целесообразно называть
конус второго порядка «эллиптическим».
Пример 1. Уравнение хг + у- = z- представляет круг-
круглый коиус; сечение плоскостью XOZ есть пара прямых
х = ±z. Образующие составляют с осью угол 45°.
Пример 2. Уравнение - х2 + 9у2 + Зг2 = 0 предста-
представляет (иекруглый) конус второго порядка. Сеченне всякой
плоскостью 2 = h (ftp*0) есть гипербола х2-9у3 = 3ft2;
при h ~ О она обращается в пару образующих. Та же
картина для сечений у = /. Сече-
Сечения х ~ d(d ?* 0)-эллипсы,
§ 177. Эллиптический
параболоид
Поверхность, представляе-
представляемая Уравнением
2 = * + У1 П)
2р т 2q \ '
(р =~ О, q > 0), называется эл-
эллиптическим параболоидом
(черт. 195).
Сечения плоскостями XOZ
и YOZ (главные сечения) —
параболы {АОА', БОН)
Ха = 2PZ, B) Черт. 195.
Г - 2qz; C)
обе/обращены вогнутостью в одну сторону («вверх»).
Плоскость г — 0 касается параболоида в точке О, пло-
плоскости z - h при h > 0 пересекают параболоид по подоб-
подобным между собой эллипсам
— 1
2р + 2Я
D)
1) У круглого конуса - одна система параллельных круговых сече-
сечений, У некруглого -две,

214 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
с полуосями \[2ph, Y2qk. При А -« 0 зтн плоскости не
всгречаюг параболоида.
Эллиптический параболоид не имеет пентра симметрии;
он симметричен относительно плоскостей XQZ и YOZ и
относительно оси OZ, Прямая OZ называется осью эллип-
эллиптического параболоида, точка О-его вершиной, величины
р н q-параметрами.
При р = q параболы B) и C) становятся равными, эл-
лнпсы D) обращаются в окружности и параболоид A) ста-
становится поверхностью, порождаемой вращением параболы
около ее оси {параболоид вращенияI).
Эллиптический параболоид можно определить как по-
поверхность, получаемую равномерным сжатием параболоида
вращения к одному из его меридианов.
Пример, Поверхность z = л;а+уг есть параболоид
вращения, образованный вращением параболы г — ха около
ее оси (ось OZ). Поверхность х = уъ+гг есть тот же
параболоид, иначе расположенный (ось вращении совпа-
совпадает с ОХ).
Замечание. В сечении эллиптического параболоида
плоскостью у = / получаем лииию Z = ~ +. ^ (CDC);
это-парабола, равная (§ 50) параболе АО А' (я-|§);
ось ее тоже направлена «вверх*, а вершиной является
точка D (о; /; ^\. Координаты точки D удовлетворяют
уравнениям х = 0, у2 = 2qz, т. е. D лежнг иа пара-
параболе ВОВ'. Значит, эллиптический параболоид есть по-
поверхность, порождаемая параллельным перенесением пара-
параболы (ЛОЛ')» при котором ее вершина движется по другой
параболе (ВОВ')- При этом плоскости подвижной и не-
неподвижной парабол перпендикулярны, а оси равнона-
правлеиы. ^
/
§ 178. Гиперболический параболоид
Поверхность, представляемая уравнением
(р s-J0, q *■ 0), называется гиперболическим параболоидом
(черт. 196).
») Форму параболоида вращения имеют зеркала рефлекторов (они
обращают пучок лучей, исходящих из фокуса, в параллельный пучок).

g 178, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД
215
Сечения плоскостями XOZ и YOZ (главные сеченая)
суть параболы {АОА', ВОВ1)
х2 = 2pz,
у2 = - Iqz,
B)
C)
В противоположность главным сечениям эллиптического
параболоида (§ 177) параболы B) и C) обращены вогну-
вогнутостью в противоположные стороны (пара-
(парабола АО А' - «вверх», пара-
бола ВОВ' - «вниз»). По-
верхность (I) имеет седло-
седлообразный вид.
Сечение гиперболическо-
гиперболического параболоида A) пло-
плоскостью XOY (г = 0) пред-
представляется уравнением
2р
D)
Это -пара прямых1) Черт, 196.
OD, ОС (§ 58, пример 1).
Плоскости г = ft, параллельные XOY, пересекают ги-
гиперболический параболоид по гиперболам
2р
Л-А
z = Л.
E)
При Л ;- 0 действительная ось v этих гипербол (на-
(например, у гиперболы UW'U') параллельна оси ОХ; при
h < 0 (гипербола LNN'L1) действительная ось парал-
параллельна 07. Все гиперболы E), лежащие по одну сторону
от плоскости XOY, подобны друг другу; они попарно со-
сопряжены (§ 47) с гиперболами E), лежащими по другую
сторону от XOY.
Гиперболический параболоид не имеет центра; ои сим-
симметричен относительно плоскостей XOZ и YOZ н отно-
относительно осн 0Z, Прямая 0Z называется осью гиперболи-
гиперболического параболоида, точка О —его вершиной, величины
р и q-параметрами.
Замечание!, Ни при каких значениях р и q гипер-
гиперболический параболоид (в отличие от вышерассмотренных
1) На гиперболическом параболоиде имеется бесчисленное мно*
жество прямых линий; см. § 180,

216 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
поверхностей второго порядка) не является поверхностью
вращения.
Замечание 2. Гиперболический параболоид, как и
эллиптический, можно образовать параллельным перене-
перенесением одного главного сечения (например, BOB ) вдоль
другого (ЛОЛ'). Но теперь подвижная и неподвижная
параболы обращены погнутостями в противоположные
стороны.
Пример. Поверхность z — х- —у'* есть гиперболиче-
гиперболический параболоид; оба главных сечения суть параболы,
равные между собой, но обращенные в противоположные
стороны. Поверхность можно образовать параллельным
смещением одной из этих парабол вдоль другой. Сечение
плоскостью z = h (h ^0) — разносторонняя гипербола с
полуосями а = f\h~\, b^tf\h\. При h = 0 она обра-
обращается в пару перпендикулярных прямых (х+у = О,
х-у = 0). Если эти прямые принять за координатные оси
ОХ', О У', то рассматриваемый гиперболический параболоид
представится (§ 36) уравнением z = 2ху.
XV
Вообще Уравнение г = — представляет т(,т же гипер-
гиперболический параболоид, что и уравнение г = -^ ~- ,
только в первом случае оси OX, OY совпадают с прямо-
прямолинейными образующими (§ 180), проходящими через вер-
вершину,
§ 179. Перечень поверхностей второго порядка
Всякое уравнение второй степени
Ах2 + By2 + Сг- + Dxy + Eyz -\- Fzx + Gx+
= О
можно с помощью формул преобразования координат
(§ 166) преобразовать в одио из нижеперечисленных
17 уравнений, называемых каноническими. При этом урав-
уравнение — + ~ = 0 (№ 14) представляет не поверхность, а
прямую линию (х — 0, у = 0). Однако говорят, что оно
представляет пару мнимых плоскостей (пересекающихся
по действительной прямой) (ср. § 58, пример 4). Уравнс-
ние § + S + % = ° Сш 13) представляет только одну
точку @; 0; 0). Однако (по сходству с уравнением № 4)

g 179. ПЕРЕЧВНЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ 2-ГО ПОРЯДКА 217
№
п/п
Каноническое IСхематическое
уравнение изображение
а* Ы с=
i. f У--1- = 0
*
31
2,/
i
2p
Название
поверхности
Пара-
Параграф
Эллипсоид(в
частности,эл-
частности,эллипсоид враще-
вращения и сфера)
Однополостный
гиперболоид
Дву полост ный
гиперболоид
Конус второго
порядка
Эллиптический
параболоид
Гиперболический
параболоид
Эллиптический
цилиндр
Гиперболический
ЦИЛИНДР
173
174
175
176
177
178
168
168

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Продолжение
П/п
9
10
Н
12
13
14
13
16
17
Каноническое
уравнение
у* = 2рх
fll ~" &Й ~
х*
— = 1
а* й* "с^" ""
а* + ь*' ""
Схематическое
изображение
§
с Г
Г1 -
]
п
Название
поверхности
Параболический
цилиндр
Пара пересекаю-
пересекающихся плоско-
плоскостей
Пара параллель-
параллельных плоскостей
Пара совпадаю-
совпадающих плоскостей
Мнимый конус
второго поряд-
порядка сдействнтель-
ной вершиной
@; 0; 0)
Пара мнимых
плоскостей (пе-
(пересекающихся
по действитель-
действительной прямой)
Мнимый эллип-
эллипсоид
Мнимый эллип-
эллиптический ци-
цилиндр
Пара мнимых
параллельных
плоскостей
Пара-
Параграф
16S

§ 180. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ
219
говорят, что уравнение № 13 представляет мнимый конус
второго порядка (с действительной вершиной).
Уравнения ЭД 15, 16, 17 не представляют никакого
геометрического образа. Однако говорят, что онн пред-
представляют соответственно мнимый эллипсоид (ср. ЛЬ I),
мнимый эллиптический цилиндр (ср. Ж 7) н пару мни-
мнимых параллельных плоскостей (ср, № 11).
Пользуясь этой условной терминологией, можно ска-
сказать, что всякая поверхность второго порядка является
одной из 17 перечисленных иа стр, 217-218 поверхностей.
§ 180. Прямолинейные образующие поверхностей
второго порядна
Поверхность называется линейчатой^ если ее можно
образовать движением прямой линии (образующей). Из
поверхностей второго порядка линейчатыми являются ци-
цилиндры и конус второго порядка и, сверх того, однопо-
лостный гиперболоид м гипербо-
лнческий параболоид.
Как на однополостном гипер-
гиперболоиде (черт. 197), так н на
Черт. 197.
Черт, 198.
гиперболическом параболоиде (черт, 198) через каждую
точку проходят две прямолинейные образующие. Так, на
черт, 197 через точку А проходят образующие UU' и УУ',
через точку V-образующие VA и vB.
У эллипсоида, двуполостного гиперболоида н эллипти-
эллиптического параболоида прямолинейных образующих (дей-
(действительных) нет.
Пример. Сеченне однололостиого гиперболоида

220 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
плоскостью х = а (плоскость Р на черт. 197) предста-
представляется уравнением ~ + ^ - -*,■ — 1, т. е.
Это-пара прямых (UV и VV1). Они проходят через
вершину А (а; 0; 0) горлового эллипса. Точно так же через
вершину /3@; Ь; 0) проходит пара нрялюлипейных обра-
образующих
? - £ = о, у = 6. C)
Однонолостньш гиперболоид вращения {а = Ь) можно
образовать'1) вращением прямой UU' (или
VV) около оси OZ.
Замечание, Линейчатость одно пол ости ого
гиперболоида использована инженером!В. Г. Шухо-
Шуховым л ля строительпой конструкции, называемой
«башней Шухова». Она строится из железных полос,
располагающихся по прямолинейным образующим
однополостного гиперболоид:^ Полосы склепыва-
склепываются в местах пересечения даух систем образую-
образующих. При малой затрате материала конструкция
В, Г. Шухопа обладает большой прочностью.
§ 181. Поверхности вращения
Пусть L есть линия, лежащая в плоско-
плоскости XOZ. Тогда уравнение поверхности,
порождаемой вращением линии L около
черт. 199. оси OZ, получается из уравнения линии L
заменой х иа Ух* + у3.
Пример 1. Пусть прямая г = 2х, лежащая в плоско-
плоскости у = О (прямая РР' на черт, 199), вращается около OZ,
Тогда уравнение конической поверхности, порождаемой
вращением прямой РР', имеет вид г = 2 Ухг+У^ т. е.
Аналогичные правила имеют места, когда линия L ле-
лежит в другой координатной плоскости н осью вращения
Является другая ось координат.
П р и м е р 2. Найти уравнение поверхности, порождае-
порождаемой вращением параболы уа = 2рх (LOL' на черт. 200)
около оси ОХ.
') Если проколоть булавкой две спички, не лежащие в одной пло-
плоскости, и, взяв одну из спичек за ее конец, быстро вращать около лее
всю модель, то другая спичка явственно начертит однополостный ги-
гиперболоид.

§ 182. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА 221
Решение. Заменяя у на Уу2 + Л т- е- У1 на У
получаем y* + zs = 2рх (параболоид вращения с осью ОХ).
Пример 3. Найти уравнение поверхности, порождае-
порождаемой вращением параболы z* = 2px (КОК' иа черт. 201)
около оси Z.
Черт. 200.
Черт. 201.
Решение. Заменяя х на Yx2 + ys, получаем урав-
уравнение гг = 2р Ух2 + у3 или z* = 4p2(xs+y2) (поверх-
(поверхность четвертого порядка).
§ 182. Определители второго и третьего порядка
1 1
Определителем второго порядка
(§ 12) выражение
Определителем третьего порядка
Д =
называется (§ 118) выражение
или, что то же,
называется
h
h
ч
1
1
Ч
а3
h
A)
B)
C)

222 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Буквы щ, blt clt аъ bit с.,, а3, Ьм са называются эле-
элементами определителя.
М и и о р ы. Определители
К
входящие в формулу C), называются минорами х) эле-
элементов аъ ьи q.
Вообще минором какого-либо элемента называется
определитель, получаемый из данного определителя вы-
вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении
которых стоит элемент.
Примеры. Мииор элемента Ьг определителя (I) есть
определитель
а3 cs
схема:
а3
Минор элемента ЪЛ ecib
«1 Сг
а,, с.
мииор элемента сЛ
есть
Замечание. В определителе второго порядка
минором элемента оА является элемент Ьа; его
можно" считать «определителем первого порядка*. Элемент
Ь2 получится из определителя второго порядка вычерки-
вычеркиванием верхней строки и левого столбца. Аналогично ми-
минором элемента аа является элемент Ъг и т. д.
Алгебраическое дополнение. В формуле C)
Ь2 е%\ _ а% с2
&я Ся\' «а С3
элементы аи bv ct множатся на
а2
. Этн выражения называются алгебраическими
дополнениями элементов aD bu с1ш
Вообще алгебраическим дополнением элемента назы-
называется его минор, взятый со своим или с противополож-
противоположным знаком согласно следующему правилу:
Если сумма номеров столбца и строки, на пересечении
которых стоит элемент, есть число четное, то минор бе-
берется со своим знаком, если нечетное, — то с противопо-
противоположным.
*) От латинского «лова minor-меньший,

§ №. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА 223
Алгебраические дополнения элементов о,, 6lt съ а2
и т. д. будем обозначать соответственно Av Въ Сь Л*
и т. д.
Пример 1. Элемент й, определителя (I) стоит на
пересечении первой строки и второго столбца. Так как
1 + 2 = 3 есть нечетное число, то Вх = - 2 2
Пример 2. Нанти алгебраическое дополнение эле-
элемента сг.
Решение. Вычеркивая вторую строку и третий стол-
столбец, находим мииор 1 * элемента с2. Номер строки
этого элемента есть 2, номер столбца -3. Сумма 2+3
нечетное число. Поэтому Са = — 1 *
Пример 3. В определителе A) алгебраическое допол-
дополнение Bs элемента Ьг есть +j 1 x B+2-четное
число).
Теорема I. Определитель (J) равен сумме произведе-
произведений элемеитов какой-либо строки на их алгебраические до-
дополнения, т. е.
Д = GiAl+b1B1 + clCi, D)
Д = а3А3+Ь3В3±с3С3'. (б)
Формула D) тождественна с C), формулы E) и (б) про-
проверяются непосредственным вычислением.
Теорема 2. Определитель (I) равен сумме произведе-
произведений элементов какого-либо столбца на их алгебраические
дополнения, т. е.
ii ЕЗ? Д| *rli -4- Mo -rig "Г" О.'к **%% \ ' /
Д = qCt +c»Cs +СзС3.' (9)
Эти две теоремы облегчают вычисление определителя,
когда среди элементов есть нули.
П р и м е р 4. Для вычисления определителя
2 5-2
Д = 3 8 0
1 3 5
удобно применить E) или (9),

224 АНАЛИТИЧЕСКАЯ TFOMETPHfl В ПРОСТРАНСТВЕ
Формула E) даст:
д = -з " -J +з
6 о
Формула (9) дает:
3 8
Д = -2
I 3
+ 5
2 -2
I 5
2 5
3 8
= -3-31+8-12 = 3.
1+5- 1 = 3.
П р и м е р 5. Для вычисления определителя
4-3 2
Д
6 II 1
0 3 0
лучше всего применить F):
4 2
Д = -3
6 1
= - 3 - - 8 - 24.
§ 183. Определители высших порядков
Определителем четвертого порядка '-
д =
«3
называется выражение
Д = 01Al-\-blBl-\-CiC1+diD1