Рис. 6

Рис. 7

иы k, горизонтальных деформаций ерс определялись по формулам (6), (7) и (9) —
<(11). Отмечается сравнительно близкая сходимость полученного по результатам наб-
людений и рассчитанного £ графиков горизонтальных сдвижений. График £ рас-
считан на момент полного прекращения сдвижения и тем не менее полученные значе-
ния горизонтальных сдвижений оказались несколько меньше, чем по По-видимому,
при полной консолидации массива уже в период после наблюдений имеются горизон-
тальные сдвижения с обратным знаком, хотя для утверждения такого явления необ-
ходимо иметь данные наблюдений всего периода сдвижения вплоть до достижения q,
равного единице.	'

Графики наблюдавшихся деформаций на рис. 7 отсутствуют из-за больших погреш-
ностей их определений.

Применение выведенных формул позволяет представить конечную картину сдви-
жения, наступающую через длительный период полного восстановления первоначаль-
ной плотности пород после прекращения наблюдений, устанавливаемых правилами.
При этом мы не пользуемся многочисленными эмпирическими данными, устанавлива-
емыми с большими условностями и требующими уточнений.

С теоретической стороны описанный метод представляет интерес как метод, осно-
ванный на реально существующем свойстве среды — фигурах выпуска.

Область применения метода — пластовые месторождения полезных ископаемых со
слабоустойчивыми породами покрывающей толщи типа Подмосковного буроуголыюго
бассейна.

Для упрощения практических расчетов автором составлены таблицы применительно
к Подмосковному бассейну.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

I.	Малахов Г. М. Теория и практика выпуска руды. М., 1968.

2.	Муллер Р. А. Расчет сдвижений горных пород под влиянием подземных разработок при к»
;ризонтальном и наклонном залегании.—Труды ВНИМИ, Ю57, 31.

3.	Колбенков С. П. и др. Сдвижение горных пород и земной поверхности. М., 1958.

4.	Шалагинов Н. Ф. К расчету сдвижений пород. — Изв. вузов. Горный журнал. 1980, 5.

5.	Авершин С. Г. Сдвижение горных пород при подземных разработках. М., 1947.

1111|1»Ш1В111И1ИгасЧЕ.тЬ>

НА HGTOHHHBOCTblilllllil

УДК 624.073.1.075.04

Б. М. БРОУДЕ, д-р техн, наук (ЦНИИСК им. Кучеренко, Москва),
В. И. МОИСЕЕВ, канд. техн, наук (филиал МИСиС, Электросталь)

Устойчивость прямоугольных пластинок
с упругим защемлением продольных сторон

Рассматривается упругая прямоугольная пластинка со сторонами а п b толщиной
t (рис. 1) при совместном действии внецентренного сжатия и сдвига.

Влияние упругого защемления части контура пластинки исследовано в [1], где
предложен простой приближенный метод решения задачи при известных критических
параметрах для пластинок с шарнирным закреплением и жесткой заделкой части кон-
тура. В работе [2] предложен более общий метод учета упругого защемления гибких
пластинок, однако полученные уравнения очень громоздки. В [2] указан только путь
решения и нет численных результатов.

Рассмотрим случай, когда упругое защемление обусловлено сопротивлением кру-
чению поясов, примыкающих к продольным сторонам пластинки. Тогда граничные ус-
ловия на сторонах у —а и у — Ь имеют вид:

39

Строительная механика и расчет сооружений, 1982, №1, стр. 39-42
д2 w	д3 w

w — 0: -------— — v о ------------.

д у2	д х2 д у

(1>

где w^w(x, у) — перемещение точек срединной Поверхности при выпучивании плас-
тинки; у — GI-^bD, GIk—жесткость пояса при кручении; D — цилиндрическая жест-
кость пластинки.

При шарнирном опирании поперечных сторон и упругом защемлении продольных
сторон пластинки принимаем

V1 V1	iл х

w=^ ZdZd Ац sin-- Yj (у), i, / = 1, 2, 3, ..

i i	a	1

(2>

где Yj(y)—функции, удовлетворяющие геометрическим и статическим условиям.
Второе из уравнений (1) получает вид

У'/ — УЬ (г2л2/а2) rj = O; t, /=1, 2, 3, ...

Принимаем Y, в виде двух слагаемых, одно из которых соответствует шарнирному
опиранию, а второе — жесткому защемлению

У/ = sin / л ylb 4- С [cos (/ — 1) л y(b — cos (/ + 1) л у/b].	(3)

Условия (1) удовлетворяются, если положить

С = уГ2л/4Р2, ₽ =	(4)

Таким образом, получается, что Yj зависит также от i.

Поскольку удовлетворены статические условия на контуре, можно применить метод
Бубнова—Галеркина. Тогда бифуркационная задача сводится к решению системы урав-
нений вида

d*w d*w cAw t I d2w

dx* +2 дхгду* + ду1 +’Б’V* дхг + T

i л у

X sin----- Y! (y, i) dxdy = 0,

d2 w

d x д у

(5)

где w определяется выражениями (2) — (4).

Выполнив необходимые преобразования, получим систему линейных однородных
уравнений относительно Aji. Критическому состоянию пластинки соответствует ра-
венство нулю характеристического определителя, члены которого имеют вид

JV"=*’('2p’Si+T S2+’2-S3)“(^rS4~7i;Ss)’ (6)

где X = [л2£/12 (1 — v2) <т0] (t/b)2;

Е — модуль Юнга; v — коэффициент Пуассона; <т0 —значение <тж при «/=0; Sb S2,..,
Ss — выражения, соответствующие подынтегральным слагаемым в (5).

Вычисления выполнялись на ЭВМ М-220, при этом удерживалось 20 членов ряда
(2), что обеспечивает точность, достаточную для практических расчетов (увеличение
числа членов до 30 дает поправку, не превышающую 2%). Из спектра значений Л
интерес представляет лишь Хшах, соответствующее наименьшим критическим напря-
жениям (для заданного их отношения). В этом случае рационально применение ите-
рационного метода вычисления максимального собственного значения матрицы В в
уравнении В—ХЕ=0 путем последовательного умножения-В справа на некоторый
вектор-столбец (здесь Е— единичная матрица).
Сходимость процесса вычисления ХШах достаточно быстрая, и при относительной
разности между результатами предыдущей и последующей итераций 0,1% требуется
не более десяти приближений.

Влияние упругого защемления продольных сторон пластинки представлено в виде
значений коэффициента %, полученного для различных видов напряженного состояния
и изменения величин ||3, т/а0 и у.

х = ка/< = кт/<,

где Ко = 1/Х; Кх =т/сгоХ — критические параметры, вычисленные для упругозащсм-

ленной пластинки; Ка, Кх— аналогичные значения при у = 0.

Рассмотрим влияние указанных выше факторов’ на критическое состояние пластин-
ки. Совместное действие компонентов внешней нагрузки характеризуется кривой взаи-
модействия, построенной в координатах (KG /Као, Кх /КХо), где индекс 0 означает
наличие лишь одного из компонентов. Эти кривые слабо зависят от степени защем-
ления продольных сторон. На рис. 2 приведены кривые взаимодействия при комби-
нации чистого изгиба со сдвигом для различных значений £ и у (обозначения: кру-
жочки соответствуют 0=у=1, звездочки— р=1, у==4, треугольники —^=5, у=4).

Как видно, в практических расчетах допустимо применение кривых взаимодейст-
вия для шарнирно опертых пластинок.

При изменении у значение % наиболее существенно меняется, когда 0=Су^30, даль-
нейшее увеличение у практически не влияет на величину %.

В работе [1] учет влияния упругого защемления при !т = 0 оценивается отношени-
ем минимальных значений KG и KG, которым соответствуют различные значения р.
Значения х, полученные для минимальных величин и К* в <[1], и результаты
данной работы приведены в табл. 1 для различных a=(v0—KTi)/<To (первая строка—
по [I], вторая — по данной статье).

Предложенный в [1] метод вполне пригоден для определения эффекта упругого за-
щемления при одноосном напряженном состоянии.

Отметим, что оценка эффекта защемления как отношения минимальных значений
критических параметров (х') при внецентренном сжатии не дает нижней границы ве-
личины х» так как с увеличением у уменьшается длина полуволны выпучивания пла-
стинки и эффект защемления может снижаться даже при увеличении )р. Так, напри-
мер, в условиях чистого изгиба для у = 2 получаем при ;р=1 значение х=1>48, тогда
как х,==1>58.

В табл. 2 приведены значения коэффициента х ПРИ чистом сдвиге для различных
величин £ и у.

Как видно, значения х возрастают при увеличении у и отношения сторон пластин
ки |3. Локальное снижение значений х для некоторых значений |£ объясняется следу
ющими причинами.

Характеристический определитель (6) при чистом сдвиге распадается на определи
тели с четной и нечетной суммой индексов Н-/. В зависимости от отношения сторон
пластинки и величины у значения Хшах или К х вычисляются из одного либо другой»
определителя. На рис. 3 представлены графики KT=f(P) для определителей с чеиюй
суммой t+j (сплошные линии) и нечетной суммой i-j-/ (штриховые линии) для шар
нирно опертой пластинки у = 0 и с упругозащемленными продольными сторонами
при /=1. Так как точки пересечения кривых соответствуют различным значениям р.
это приводит к| снижению х для некоторых интервалов значений р. С ростом у лак »ф
фект смягчается, так как возрастают абсолютные значения Кх. Обычно в качсснн- ра«
четных используют гладкие кривые Кх =|f(|P) [3], соответствующие минимальным ши

Таблица 1

a	У			
	1	2	4	10
0	1,493  1,493	1,605  1,613	1,67 1,675	1,715  1,723
1'	1,48  1,486	1,59  1,602	1,659  1,663	1,7 1,718
2	1,46  1,492	1,55 1,584	1,60 1,640	1,63  1,666

3	V					
	0,8	1		L.4 _	10	50
0,5	1,014	1,0146	1,016	1,0168	1,0169	1,0171
1	1,232	1,258	1,290	1,321	1,340	1,351
1,5	1,291	1,325	1.421	1,490	1,541	1,572
1,75	1,274	1,310	1,412	1,489	1,546	1,580
2	1,252	1,286	1,388	1,466	1,522	1,556
2,5	1,276	1,312	1,418	1,504	1,572	1,614
3	1,277	1,315	1,431	1,522	1,587	1,623
чениям Л\ , игнорируя наличие точек излома. При оценке эффекта защемления такое
допущение приводит к увеличению значений % по сравнению с истинными.

Полученные результаты позволяют учитывать эффект защемления стенок балок и
колонн при совместном действии внецентренного сжатия и сдвига, а также более пол-
но характеризуют этот эффект при действии отдельных силовых факторов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

k	Б' ^.Устойчивость пластинок в элементах стальных конструкций. М., 1949.

2.	Разоольскии А. Г., Григоренко Г. И. Решение уравнения совместности , деформаций для
гибких упруго защемленных пластинок. — В сб.: Проектирование металлических конструкций,
вып. б (33).

3.	Прочность, устойчивость, колебания. Справочник под ред. И. А. Биргера и Я. Г. Пановко,
том 3. М., 1968.

УДК 624.075.04

А. Я. ДРИВИНГ, канд. техн, наук (ЦНИИСК им. Кучеренко, Москва)

Метод перемещений в задачах устойчивости
плоской формы деформирования стержневых конструкций

Интерес к исследованию устойчивости плоской формы деформирования элементов
прямоугольного сечения практически исчез после фундаментальной работы Прандтля
и последовавших затем ее уточнений [1].

В настоящее время исследователям вновь пришлось обратиться к «забытой», но
хорошо поставленной задаче. В первую очередь это связано с широким внедрением в
проектирование и строительство клееных деревянных конструкций. Сама природа по-
ставила ограничение ширины элемента (имеется в виду средний размер диаметра ство-
ла дерева). С другой стороны, стремление к экономической эффективности заставляет
проектировщиков развивать сечения конструкций по высоте поперечного сечения при
практически неизменной ширине. А это, с точки зрения расчета, все ближе подводит
натуру к модели Прандтля.

Вместе с тем оказывается, что современная теория устойчивости плоской формы
деформирования не может удовлетворить возросшие к ней требования. Действитель-
но, модели решенных классических задач, к сожалению, далеки от расчетных схем
современных конструкций.

В какой-то мере благодаря фундаментальной работе В. 3. Власова [2] теория ус-
тойчивости плоской формы деформирования приобрела ряд изящных решений, кото-
рые могут служить практическими ориентирами при расчете реальных конструкций,
хотя они и относятся к отдельному элементу.

В последние годы предпринят ряд попыток заполнить пробелы в теории устойчи-
вости плоской формы деформирования путем решения некоторых частных задач как
в аналитической форме [3], так и численными методами [4]. Полученные в этих ра-
ботах результаты весьма полезны, но проблему в целом не решают. Назрела необ-
ходимость в разработке единого метода расчета не только отдельного элемента, но
и сложной системы в целом.

Здесь напрашивается одна полезная аналогия. Расчет на устойчивость сложной
стержневой системы был весьма затруднителен, пока !не появились работы Н. В. Кор-
ноухова, А. Ф. Смирнова и др. В упомянутых работах, в частности, был сформули-
рован метод перемещений применительно к задаче устойчивости системы в ее собст-
венной плоскости. Учитывая родство задач устойчивости системы как в плоскости,
так и около нее, напрашивается и единый метод решения задач — метод перемещений.

В настоящей статье делается попытка сформулировать основные положения мето-
да перемещений в задачах устойчивости плоской формы деформирования.

1. Задача устойчивости плоской формы деформирования отдельного стержня сво-
дится к выявлению условия нетривиальное™ решения системы двух дифференциаль-
ных однородных уравнений [2]