В.Р. Дуров В.Р.
Боевое
применение
и боевая
эффективность
истребителей-
перехватчиков
Воениздат1972
ВВЕДЕНИЕ
Боевое применение истребителей-перехватчиков связано с раз-
личными областями науки и техники. Для успешного использова-
ния своего оружия авиаторы изучают конструкцию летательных
аппаратов и вооружения, динамику полета, теорию боевой эффек-
тивности, тактику воздушного боя и другие дисциплины. Как по-
казывает обзор открытой зарубежной литературы, часть из кото-
рой указана в конце книги, наиболее подробно к настоящему вре-
мени описаны общие принципы действия самолетов и ракет. Значи-
тельно меньше, причем разрозненно в различных источниках,— ко-
личественные методы оценки боевого применения авиации.
Динамика маневрирования истребителя в воздушном бою об-
стоятельно рассмотрена в известной книге В. А. Булинского
[1]* *. Однако в этой книге не рассматриваются последний этап
перехвата воздушной цели — наведение ракеты нацель — и вопросы
эффективности перехвата. Общие положения и методы расчета
боевой эффективности оружия описаны в книгах [3, 4, 8], а вопро-
сы боевой эффективности летательных аппаратов в [3, 14, 15].
В литературе [9—21] излагаются принципы управления, кинема-
тика и динамика полета ракет, методы наведения летательных
аппаратов на воздушные цели. Многие вопросы боевого примене-
ния истребителей-перехватчиков излагаются в виде статей в от-
крытой отечественной [22—24] и особенно в зарубежной печати
[25—28], хотя большинство этих материалов носит описательный
характер, а количественные соотношения не доводятся до простых
расчетных формул. Таким образом, хотя боевое применение истре-
бителей-перехватчиков и является предметом рассмотрения во
многих источниках, тем не менее в настоящее время нет книги, по
которой можно было бы составить достаточно полное представле-
ние о применении аналитических методов при исследовании бое-
вого применения истребителей-перехватчиков.
* Номер в квадратной скобке в данном случае и в последующем тексте
означает порядковый номер использованной литературы, список которой приве-
ден в конце книги,
• 1* 8
Настоящая работа является попыткой хотя бы частично вос-
полнить этот пробел.
В предлагаемой читателю книге в какой-то мере обобщены
математические методы и приемы исследования в целях использо-
вания их при решении задач боевого применения и организации
боевых действий, количественного определения боевых возможно-
стей и боевой эффективности истребителей-перехватчиков в раз-
личных условиях.
Понятие боевые возможности включает все свойства,
определяющие способность перехватчика выполнять различные
боевые задачи, В зависимости от условий боевого применения ис-
требителю-перехватчику могут быть поставлены разнообразные
задачи:
—	перехватить цель на заданном рубеже или в заданной по-
лосе;
—	перехватить цель из состояния «дежурство на аэродроме»
или с барражирования в зоне, удаленной от аэродрома на задан-
ном расстоянии;
—	уничтожить максимально возможное число целей;
—	уничтожить с максимальной вероятностью головную цель;
—	выйти в боевое соприкосновение с целью за минимально
возможный промежуток времени и т. д.
Если боевые задачи определены, то всегда возникают такие
вопросы: в какой области пространства, как быстро во
времени и с каким качеством могут быть выполнены эти
задачи.
Пространственные возможности по выполнению боевых задач
количественно характеризуются областями боевого при-
менения (по рубежам перехвата, по высотам и скоростям пере-
хватываемых целей, по высотам и скоростям маневрирования
перехватчика в воздушном бою), областями возможных атак, об-
ластями возможных пусков ракет. Временные возможности по вы-
полнению боевых задач количественно характеризуются показа-
телями боеготовности: временем перевода из одного со-
стояния готовности в другое, временем взлета по команде
с командного пункта, временем достижения заданного рубежа.
Качество, степень или уровень выполнения перехватчиком функ-
ций и задач, для которых он предназначен, характеризуются его
боевой эффективностью. Для количественной оценки эф-
фективности выполнения боевых задач применяются различные
критерии, численные показатели боевой эффективно-
сти.
Выбор и обоснование конкретного показателя боевой эффектив-
ности есть логическая задача и определяется целиком поставлен-
ной боевой задачей или целью проводимого исследования.
Впервые четкую классификацию показателей боевой эффектив-
ности дал академик Колмогоров А. Н., рассмотрев два пре-
дельных случая боевых действий [37]. Первый случай характери-
4
зуется тем, что необходимо решать вполне определенную задачу
или достичь вполне определенного результата (например, поразить
цель, уничтожить все цели в налете). В этом случае результат
может быть только достигнут или не достигнут. Успех оценивается
по схеме «да — нет». Поэтому эффективность боевого воздействия
по противнику в этом случае оценивается вероятностью выполне-
ния боевой задачи: вероятностью поражения цели, вероятностью
уничтожения всех целей в налете. Второй случай характеризуется
тем, что количественно конкретная задача не ставится, а все дей-
ствия направлены на то, чтобы нанести противнику максимально
возможный ущерб, по принципу «чем больше, тем лучше» (напри-
мер, уничтожить максимально возможное число целей, добиться
максимально возможного предотвращения ущерба). В данном
случае эффективность боевого воздействия на противника оцени-
вается математическим ожиданием ущерба, наносимого противни-
ку: математическим ожиданием числа уничтоженных целей, мате-
матическим ожиданием предотвращенного ущерба.
Для истребителя-перехватчика можно привести следующие ти-
повые примеры боевых условий, вытекающие из них боевые зада-
чи и соответствующие им показатели боевой эффективности:
Условия боевого применения	Боевая задача	Показатель эффективности
Одиночная воздушная цель прорывается через систему ПВО	Сбить цель	Вероятность сбития цели
Групповая воздушная цель прорывается через систему ПВО	Сбить максимально возможное число целей. Сбить все цеди. Сбить не менее задан- ного числа целей	Математическое ожида- ние числа сбитых целей. Вероятность сбития всех целей. Вероятность сбития не менее заданного числа це- лей
Налет в виде случай- ного потока воздушных целей проходит через рубеж (полосу) ПВО, обороняемый л-каналь- ной системой	Математическое ожи- дание числа сбитых це- лей на заданном рубеже (в полосе)	Математическое ожида- ние числа сбитых целей на заданном рубеже (в по- лосе). Вероятность того, что за- няты все п каналов и оче- редная цель проходит через рубеж (полосу) безнака- занно
На эффективность групповых действий перехватчиков влияют
не только эффективность и тактико-технические характеристики
одиночных перехватчиков, но и качество организации боевых дей-
ствий и управления ими, а также тактические приемы и способы
решения поставленных задач. Имеется также возможность косвен-
5
кого увеличения эффективности боевых действий путем уменьше-
ния затрат сил и средств для выполнения боевых задач. Таким
образом, возникает необходимость в исследовании путей оптими-
зации боевых действий, изыскания методов обеспечения
заданного уровня эффективности при минимуме стоимости.
При выборе решения командиром речь обычно идет о рацио-
нальном использовании предоставленных ему боевых средств.
Одинаковые боевые задачи могут выполняться по эффективно-
сти, по области боевого применения и по времени тождественно
различными перехватчиками, отличающимися между собой как
тактико-техническими характеристиками, так и экономическими
показателями. Поэтому возникает необходимость привлечения для
оценки боевых действий перехватчиков критерия, представляюще-
го собой удельную эффективность, которая равна отно-
шению суммарной целевой отдачи (боевой эффективности при вы-
полнении поставленной задачи) к суммарным затратам для ее до-
стижения. Такой комплексный критерий эффективности характери-
зует максимально возможный ущерб, нанесенный противнику с уче-
том ограничивающих условий, например минимума сил и средств,
отведенных на выполнение поставленной задачи. Поэтому оценку
боевой эффективности всегда следует связывать с оценкой стои-
мости или затрат сил и средств на выполнение боевой задачи.
Основой боевого применения истребителей-перехватчиков, как
известно, является перехват воздушной цели. Под перехватом воз-
душной цели понимается способ действия истребителя-перехват-
чика по уничтожению средств воздушного нападения противника,
состоящий из установления боевого соприкосновения перехватчи-
ка с целью и последующего уничтожения ее. Процесс перехвата
условно можно разделить на два основных этапа:
1) наземное наведение, т. е. вывод перехватчика на воздуш-
ную цель наземными средствами в такое положение, из которого
обеспечивается обнаружение и атака цели;
2) атака цели (воздушный бой), состоящая из самостоятель-
ного сближения перехватчика с целью после обнаружения или за-
хвата ее бортовой РЛС, занятия выгодного для пуска ракет поло-
жения, пуска ракет, обеспечения управления ракет при их полете
к цели, срабатывания неконтактного взрывателя, выхода пере-
хватчика из атаки.
Успешность выполнения перехватчиком уничтожения средств
воздушного нападения противника характеризуется боевой эф-
фективностью перехвата, которая определяется прежде всего так-
тико-техническими характеристиками самолета, бортовой £М1С,
ракет класса «воздух — воздух», точностью системы наземного
наведения.
Основным количественным критерием боевой эффективности
перехвата одиночного перехватчика при действии его против оди-
ночной воздушной цели является вероятность перехвата,
которая определяется вероятностью успешного наземного наведе-
6
ния, вероятностью поражения цели ракетами, надежностью пере-
хватчика.
При групповых боевых действиях истребителей-перехватчиков по
групповым целям критериями боевой эффективности являются м а-
тем этическое ожидание числа сбитых целей,
вероятность сбития всех целей в налете, ве-
роятность сбития не менее заданного числа
целей. Эти показатели зависят от соотношения сил сторон (чис-
ла перехватчиков и целей), эффективности одиночного воздейст-
вия, качества управления боем, организации и обеспечения боевых
действий, исправности самолетного парка, боевой готовности
и т. д.
На основании сказанного задачи по исследованию боевого при-
менения истребителей-перехватчиков можно условно разделить на
следующие разделы: наземное наведение, рубежи перехвата, са-
монаведение перехватчика, атака цели, самонаведение ракеты «воз-
дух— воздух», боевая эффективность одиночного перехватчика,
боевая эффективность групповых боевых действий перехватчиков,
боевая готовность и надежность перехватчиков. Соответственно
с таким подразделением изложены главы книги. Чтобы сделать
книгу более полезной для непосредственного практического ис-
пользования, стиль изложения выбран в виде постановки отдель-
ных задач с последующим изложением их решений.
Решения излагаются, как правило, сначала в общем виде,
а затем подставляются численные данные задачи. Это позволяет
выведенные формулы использовать непосредственно при тактиче-
ских и оперативных расчетах. Решение сложных задач, сопряжен-
ных с громоздкими вычислениями, дается в виде графиков и номо-
грамм, многие из которых справедливы для всего диапазона рас-
сматриваемых характеристик. К числу таких решений относятся:
—	зависимости между характеристиками перехватчика и цели,
определяющие области возможных атак цели;
—	зависимости между характеристиками перехватчика, ракеты
и цели, служащие для построения зон возможных пусков;
—	зависимости, определяющие диапазон (области) боевого
применения перехватчика;
—	номограмма, связывающая основные тактико-технические
характеристики перехватчика;
—	зависимости вероятности наземного наведения от случайных
и допустимых ошибок наведения и зависимости ошибок наведения
от тактико-технических характеристик самолета, системы воору-
жения, точности радиолокационного поля наземного наведения;
—	зависимости математического ожидания числа сбитых целей
от количества целей, назначаемого наряда перехватчиков, вероят-
ности сбития одиночной цели, вероятности поражения перехват-
чика, качества целераспределения;
—	зависимости пропускной способности многоканальной си-
стемы наземного наведения от количества каналов наведения,
7
времени наведения, интенсивности налета целей, ширины полосы
перехвата целей;
—	зависимости коэффициента боевой готовности группы пере-
хватчиков от надежности, восстанавливаемости авиационной тех-
ники и количества обслуживающего персонала.
Краткую характеристику задач и результатов их решений чита-
тель найдет в начале каждой главы.
Автор пользуется случаем, чтобы выразить свою искреннюю
признательность кандидату технических наук Невзоровой В. Г.,
высказавшей критические замечания по рукописи книги.
Автор сознает, что его попытка изложить основные аналитиче-
ские методы исследования боевого применения истребителей-пере-
хватчиков в пределах книги ограниченного объема не лишена
недостатков. Поэтому он будет весьма благодарен всем читателям
за указание недостатков и предложений по улучшению книги.
Глава 1
НАЗЕМНОЕ НАВЕДЕНИЕ. РУБЕЖИ ПЕРЕХВАТА.
СБЛИЖЕНИЕ С ЦЕЛЬЮ
Основой для решения задач по наземному наведению истре-
бителя-перехватчика на воздушную цель служат определяющие
выбранный метод наведения аналитические соотношения между
параметрами движения перехватчика и цели. Поэтому в начале
главы рассматриваются известные методы наземного наведения и
приводятся основные кинематические зависимости между пара-
метрами движения перехватчика и цели в процессе наведения (за-
дача 1.1).
Затем следует группа задач (задачи 1.2—1.8), посвященная
расчету удаления рубежей перехвата. Решение этих задач позво-
ляет определить, как изменяется удаление рубежей перехвата:
—	при изменении скоростей перехватчика и цели, дальности
оповещения, пассивного времени;
—	в зависимости от направления атаки цели;
—	в зависимости от применяемого метода наземного наве-
дения;
—	при изменении пролета цели относительно аэродрома выле-
та перехватчика;
—	в зависимости от запаса и расхода топлива, аэродинамиче-
ских характеристик и режимов полета.
Другая группа задач (задачи 1.9—1.23) посвящена процессу
самонаведения перехватчика, т. е. сближению перехватчика с воз-
душной целью от момента обнаружения (или захвата) ее борто-
вой РЛС до момента пуска ракет. Решение этих задач позволяет
определить:
—	потребный для выхода в точку пуска ракет маневр перехват-
чика;
—	потребные характеристики перехватчика и бортовой РЛС,
обеспечивающие реализацию необходимых траекторий сближения
перехватчика с целью;
—	выполнимость необходимых условий пуска ракет;
9
—	зоны возможных атак в зависимости от условий боевого
применения;
—	траектории сближения перехватчика с целью;
—	траектории перехватчика при выходе из атаки.
Основой для анализа возможности установления боевого со-
прикосновения перехватчика с целью служат области возможных
атак. При оценке боевых возможностей перехватчиков и исследо-
вании рациональных методов боевого применения важно уметь
определить предполагаемое положение перехватчика относительно
цели при переходе с наземного наведения в режим самонаведе-
ния. Для обеспечения успешного перехвата цели перехватчик в мо-
мент перехода с наземного наведения на самонаведение должен
находиться в пределах зоны возможных атак, размеры которых
определяются тактико-техническими характеристиками самолета,
бортовой РЛС, системы вооружения и характером полета цели.
Зона возможных атак — это область пространства, из которого
возможно самонаведение перехватчика с последующим успешным
пуском ракет. Анализ зон возможных атак и зон возможных пу-
сков позволяет выявить оптимальные методы атаки воздушной
цели.
Возможность полета перехватчика по траектории самонаведе-
ния определяется соотношением между потребной для этого поле-
та уГЛОВОИ СКОрОСТЬЮ Шп. потр И располагаемой Шц. расп- Под Шп, расп
понимается располагаемая угловая скорость установившегося ви-
ража перехватчика. Если %. расп шп. потр, то полет по кривой
атаки возможен. В противном случае перехватчик переходит на
траекторию полета с постоянной угловой скоростью шп. расп, что вы-
зывает появление ошибок наведения. Поэтому для выявления
начальных условий атаки, обеспечивающих безошибочное самона-
ведение перехватчика в процессе всей атаки, возникает необходи-
мость в определении расположенных около цели зон, при попада-
нии в которые перехватчик не сможет выполнить требуемый полет.
Эти зоны называются зонами <оп. расП а>п.потр, т. е. зонами, для ко-
торых располагаемая угловая скорость перехватчика не больше
потребной для данного метода самонаведения. Размеры этих зон
определяются условиями боевого применения (скоростями и курсо-
выми углами перехватчика и цели) и зависят от метода самонаве-
дения перехватчика. В задачах данной главы рассматриваются два
метода самонаведения перехватчика: «погоня» и «погоня с упреж-
дением».
Задача 1.1. Вывести основные кинематические уравнения, ха-
рактеризующие известные методы наведения: «параллельное сбли-
жение», «перехват», «прямое сближение», «погоню», «трехточку»,
«маневр».
Решение. Для получения искомых уравнений рассмотрим ки-
нематику движения цели и перехватчика.
1.	Метод «параллельное сближение» (рис. 1.1). При наведении
по данному методу перехватчик летит прямолинейно в точку ветре-
10
чи с целью и угловая скорость линии визирования равна нулю:
>=о.	(1)
Как видно из рис. 1.1, метод описывается уравнением
sin <?п = sin <рц>	(2)
г п
где Гп и Гц— скорости, а <рп и —курсовые углы перехватчика
и цели.
Время полета перехватчика до точки встречи с целью
п Vncos срп + Уцсоз <рц •	4 ’
2.	Метод «перехват» (рис. 1.2). Этот метод отличается от мето-
да «параллельное сближение» заданием конечной дальности до
цели Л/, которая задается в зависимости от характеристик систе-
мы вооружения перехватчика. Аналитически метод описывается
следующими уравнениями:
.	Гц/., sin Фп.	/А\
31П	°	+ А/ ;	<4>
/ ______& Мcos Yn	/кх
п Гпсо8 9П + cos	‘	>
3.	Метод «прямое сближение» (рис. 1.3). По этому методу пе-
рехватчик летит прямолинейно в упрежденную точку встречи ра-
кеты с целью. Аналитические зависимости метода очевидны из
рис. 1.3:
Ги*п sin сри
Sln?n —	+	(6)
Время полета перехватчика
/ =	&	C0S	(7\
П Ип cos ¥п + Гц cos 9ц ’	* >
где
ДД = (Ур.Ср + Уп)/,;	(8)
t = ___________ __________________ /АХ
р /п cos 9П + Гц cos 9ц + Гр. ср cos <}>п ’	v 7
где Л — время полета ракеты до встречи ее с целью;
Дд — расстояние «перехватчик — цель» в момент встречи ра-
кеты с целью;
Ур — абсолютная скорость ракеты
^р-^р,ср +Vn;	(10)
Vp. Ср—собственная скорость ракеты, усредненная за время
управляемого полета.
Н
Рис, 1.2
Рис. 1.3
12
4.	Метод «погоня» (рис. 1.4). Метод характеризуется тем, что
вектор скорости перехватчика в каждый момент времени направ-
лен на цель. Как видно из рис. 1.4, курс перехватчика
Q = arctg^iL.	(11)
Ун Уп
Таким образом, для определения курса
буется знания параметров движения цели,
координаты. Это является преимуществом
перехватчика не тре-
достаточно знать ее
метода. Недостатком
метода является тот факт, что атака цели возможна лишь с зад-
ней полусферы, что при малой скорости сближения приводит к зна-
чительной потере рубежа перехвата.
Рис. 1.4
5.	Метод «трехточка» (рис. 1.5). Метод характеризуется тем,
что в процессе наведения перехватчик, цель и наземная станция
наведения находятся на одной прямой. Азимут перехватчика ра-
вен азимуту цели:
₽п = ₽« = ₽.	(12)
Для выполнения этого условия необходимо, чтобы угловые ско-
рости перехватчика и цели были равны друг другу;
шп = шц-	(13)
Так как
__ Vji sin <рц
=-----7---
(15)
то, приравняв правые части уравнений (14) и (15), получим сле-
13
дующее выражение для определения курсового угла перехват-
чика фл:
фп = arcsin

(16)
Определив <рп. находим курс перехватчика
г у /£______________________________________£)\
Q = 3 + срп= р + arcsin	J sin ?ц
(17)
Все перечисленные методы наземного наведения выводят пере-
хватчик в произвольное положение относительно цели.
Ограниченные возможности системы вооружения перехватчика
приводят к необходимости выводить перехватчик в конце назем-
ного наведения во вполне определенную зону, из которой произво-
дятся обнаружение и захват цели бортовой радиолокационной
станцией, а затем пуск ракеты. Требованию вывода перехватчика
в заданное относительно цели положение отвечает метод наземного
наведения «маневр».
6.	Метод «маневр» (рис. 1.6). Цель и перехватчик находятся
в одной горизонтальной плоскости, их скорости постоянны и рав-
ны соответственно и Кд. На рис. 1.6 точки О и А — положения
цели и перехватчика в момент времени, с которого перехватчик
начинает наводиться на цель. Точка С — предполагаемая точка
перехвата.
Введем обозначения:
Do — дальность «перехватчик — цель» в начале наземного на-
ведения;
6 — заданный угол перехвата;
14
/?п— радиус разворота перехватчика для выхода к линии
движения цели под заданным углом 6;
Л2С = / — участок заданной длины после разворота, предназна-
ченный для исправления ошибок наземного наведения;
— часть траектории перехватчика до разворота;
?п — курсовой угол перехватчика в начале наземного наве-
дения;
?ц — курсовой угол цели в начале наземного наведения;
—путь, проходимый целью от начала наземного наведе-
ния до точки перехвата;
t — балансное время наведения.
Поскольку предполагается, что точка перехвата С существует,
то фигура на рис. 1.6 представляет собой замкнутый многоуголь-
ник, который может быть представлен в виде векторного много-
угольника. Проектируя векторный многоугольник OAA]OiA2CO на
ось х, а затем на линию ОС, получим два основных уравнения
метода наведения «маневр»:
cos ?ц = L cos ?п + sRu [sin (<рц + 0) —
— sin <рп] +/соз(<?ц + е)— Ро;	(18)
VJ: = Dg cos срц — L cos (<рц + <рп) +1 cos 6 +
+ sRn [sin (<рц + <рд) — sin &].	(19)
15
Путь, проходимый перехватчиком за балансное время наведе-
ния, можно выразить следующим образом:
= L + <$ (Q —6)/?п +	(20)
где
s~sign (Q— 0) = sign (180° — <рп — — G) (21)
характеризует знак выражения Q — 6 (сигнатура): когда Q>6,
вместо s в формулах (18) и (19) ставится знак « + », когда
Q<0, ставится знак «—».
Подставим в (18) и (19) получаемое из (20) выражение для
участка траектории перехватчика до разворота
Z = Vn/-s(Q-6)/?n-Z,	(22)
отношение скоростей
Р = ^	(23)
и путь цели до точки перехвата. Тогда получим:
D
н
д^п[8гп(фц4-упН81п&+(1800-уц-фп-А)соз(ч;ц+фп)]+4соа9+с08(срц+?п)]4-Р0созфц
1 + Р cos (фц + <?п)
: (24)
s/?n[sin (?ц+9)—sinyn—(180°—уц—уп—fl)cosynl—Z[cos(yu + fi) + cosyn]—£>0
— (COS уц + р cos <рп)	' ' J
Уравнения (24) и (25) связывают восемь переменных:
Рц, *?Ц> А Тп» Р>
шесть из которых могут быть выбраны независимыми и тогда
система (24) и (25) может быть решена однозначно относительно
двух оставшихся неизвестных. Например, если известны взаимное
положение и скорости перехватчика и цели (DOt <рц, р), задан ра-
диус разворота перехватчика /?п, требуемый курсовой угол пере-
хватчика ?л и рубеж перехвата £>ц, то система (24) и (25) позво-
ляет определить угол перехвата О и длину последнего участка
траектории перехватчика Z, при которых возможен перехват цели.
Если приравнять правые части уравнений (24) и (25), то кур-
совой угол перехватчика, а следовательно, и курс перехватчика
определяются по известным или задаваемым величинам
<РЦ1 Яп, Ц 9) Р‘
Задача 1.2. Определить удаление рубежа перехвата воздушной
цели, летящей прямолинейно по направлению на аэродром базиро-
вания перехватчиков со скоростью Уц —900 км/ч, если дальность
оповещения Ро=1ООО км, скорость перехватчика Уп=1000 км/ч и
взлетает он через так называемое пассивное время /Пасс = 2 мин
после первой засечки цели. Атака цели осуществляется строго
с передней полусферы. Как изменится удаление рубежа перехвата
цели, если при тех же условиях скорости перехватчика и цели
увеличатся в 2 раза и если ZnaCc увеличить вдвое?
16
Решение. Условие баланса времени к моменту встречи пере-
хватчика с целью дает нам следующее соотношение:
D„ = (/пасс + 0 +	(1)
где t — время полета перехватчика до момента встречи с целью.
Удаление рубежа перехвата от аэродрома вылета перехватчика
равно
Найдем t из (1) и
^р. п * пь*
подставим в (2). Тогда
Г) ___Упасс
~'р. п
~ 510 км.
+ -i-1 * 3-
+ УП
вдвое
км.
(3)
скоростей
£)р.п=463
при постоянной
Р.п —495 КМ. Если /пасс увб'
При увеличении
личить в 2 раза, то
Таким образом,
стоянием пассивном времени удаление рубежа перехвата цели
определяется в основном не абсолютными значениями скоростей
перехватчика и цели, а их отношением.
Задача 1.3. Для условий задачи 1.2 определить, на какую ве-
личину приблизится рубеж перехвата цели к аэродрому вылета,
если перехватчик атакует цель с задней полусферы, выполняя раз-
ворот на 180° с радиусом /?п = 20 км. Сравнить два случая:
1) перехватчик после вывода из разворота находится точно на
дальности пуска £)п=20 км;
2) после разворота дальность до цели 30 км.
Решение. Удаление рубежа перехвата определяется по фор-
муле
дальности оповещения и по-
1
1-'р( П г П*’	\ 7
где t—время полета перехватчика до начала разворота, которое
найдем из соотношения, получающегося по балансу времени:
М) “Ь	(/пасс “Ь / 4* ^180°) “У	(2)
где /180О —время разворота перехватчика на 180°. Таким обра-
зом,
р. п
А
Уп
180° у — 16,7 —МИН,
(3)
(4)
Z)pt п = 472 км.
Для второго случая рубеж сдвинется по направлению к аэро-
дрому вылета на расстояние, которое пройдет цель в процессе
догона ее перехватчиком до дальности пуска ракеты. Так как ско-
рость сближения 1,67 км/мин, то время догона равно 6 мин и цель
пройдет расстояние 90 км. Следовательно, Рр.п —362 км.
2-384	17
Задача 1.4. Прямолинейно летящая цель перехватчиком может
перехватываться двумя методами: параллельным сближением и
погоней. Необходимо определить разницу в удалении рубежей
перехвата, если взаимное положение перехватчика и цели в мо-
мент начала сближения характеризуется следующими параметра-
ми: дальность «перехватчик — цель» Z)o=100 км, скорость пере-
хватчика Vn=1000 км/ч, скорость цели Кц=900 км/ч, курсовой
угол цели фц = 90°. Курсовой угол перехватчика при параллельном
сближении <рп = 20°, а при погоне срп = О°-
Решение. Разность в удалении рубежей перехвата можно оце-
нивать по разности расстояний, проходимых целью при перехвате
ее указанными двумя методами.
Для метода параллельного сближения (рис. 1.1) согласно тео-
реме синусов имеем
sin 6
sin <pn Г)п ’
где Рц — расстояние, которое проходит цель от начала сближения
до момента встречи с перехватчиком;
g—угол встречи.
Таким образом, при перехвате цели методом параллельного
сближения имеем
, Г)о sin ?П 100 sin 20° л
1 = ------—------ ~	~ <Jb,4 КМ.
ц sin Q	sin 70°	’
(2)
При использовании метода погони цель проходит расстояние
= v^nor(	(3)
где ^пог — время полета перехватчика по кривой погони, равное
ПОГ
-Г?----COS <рц
\ V!l_________
/К2	\
ц I у2	/
\ v ц	7
Следовательно,
2jl_
п - П	= 100<1Л1 ~cos 90°) = 465 км
zJu — Dq , Уп у	1,24 — 1
\ V- / — 1
Решение разобранной задачи наглядно показывает, как резко
уменьшается удаление рубежа перехвата при методе наведения
«погоня».
Задача 1.5. Перехватчик наводится на цель, летящую с по-
стоянным курсом, имея пролет на уровне аэродрома, равный х =
= 250 км. Рубеж перехвата назначен па удалении £>Р.П“Ю0 км от
линии аэродрома. Перехватчик наводится методом прямого пере-
хвата (с постоянным курсом). Система вооружения позволяет вы-
полнить атаку с передней полусферы под курсовым углом цели
18
<?ц^40°. Проверить, может ли быть обеспечен перехват цели на
заданном рубеже, если перехватчик взлетает по первой засечке
цели наземным радиолокатором, дальность обнаружения которого
£>обн = 500 км. Скорости цели и перехватчика постоянны и соответ-
ственно равны: Уц=1300 км/ч, Уп—1500 км/ч; время наведения
перехватчика (время от взлета до рубежа перехвата) ^н~15 мин.
Определить максимально возможный пролет х, на котором возмо-
жен перехват цели (рис. 1.7).
Рис. 1.7
Решение. Согласно условиям задачи угол встречи 6 должен
удовлетворять соотношению
6 < arccos (дгд-),	(1)
\ * п*н /
где Dp.n — удаление рубежа перехвата от линии аэродрома.
Так как
D^VD^-^-V^	(2)
ТО
( у X2—Рц/Н 1
6 arccos (-------у---------I.	(3)
При соблюдении условий задачи угол встречи 6 при х=250 км со-
гласно формуле (3) равен 77,2°.
Таким образом, по углу 0 условия перехвата цели не выпол-
няются. При этом удаление рубежа перехвата от линии аэродрома
Ьавно 107 км. Чтобы угол 0 был не более 40°, необходимо увеличить
обн (например, увеличить дальность оповещения за счет исполь-
зования радиолокационной информации соседних РЛС),
Из неравенства
cos40°>——
2*
19
имеем, что при
Ябн > 550 км 0 < 40°.
Обеспечить перехват цели на максимально возможном пролете
согласно (3) можно при 6 = 90°. Тогда
^обн X2 н ______р.
и х находим из соотношения
| Z ^обн “ ^дАг
Если £Обн”550 км, то при VyH=325 км х = 445 км.
Задача 1.6. Перехватчик наводится в переднюю полусферу
цели. Необходимо определить максимальное удаление рубежа пе-
рехвата по топливу, если запас топлива равен GT—10 т, а профиль
полета на перехват состоит из участков (рис. 1.8), характеризуе-
мых соответствующими длинами в горизонтальной плоскости и ки-
лометровыми Ch или общими расходами топлива (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Участок маршрута	Длина участка	Расход топлива
Набор высоты и разгон до Vn, макс	/н р = 40 км	GH. р = юоо кГ
Горизонтальный полет на Vn. макс	^Г. П	Ск. г. п = 7 кГ/км
Исправление ошибок наземного	/и = 60 км	GM = 500 кГ
наведения и атака Разворот на 180°	ZP	Gp = 100 кГ
Возвращение на аэродром накрей-	Zb	Ск. в = 2 кГ/км
сер.ском режиме Снижение и аэродромный маневр	ZCH = 50 км	GCH = 200 кГ
При расчете необходимо учесть аварийный запас топлива
«=800 кГ,
20
Решение. Удаление рубежа перехвата по топливу опреде-
ляется выбором участков горизонтального полета /г.п и возвраще-
ния /в. Обозначим разность этих участков через
Zr< п.	0)
Согласно рис. 1.8 имеем
Ан 4” А =а“ А. р + А Ч~ А. П>	(2)
а с учетом (1)
А=А + А. п + А. р Ан=+ А. п>	(3)
откуда
ж А. р + А Ан-	(4)
Общий баланс топлива
(?т-<?н.р + бг.д + Ои + ОР + бв4-ССЙ + От.а.	(5)
Расход топлива на участках /г.п и А соответственно равен:
^Г. п	Ск. г. п А, п>
GB = Ск в А.	(6)
Суммарный расход топлива на этих двух участках с учетом (3)
равен
^г. п + Ga == CKf п п А. п 4~ ^к. в + А. п)>	(7)
откуда длина горизонтального пути на Романс равна
/	— @г- п	^К- в
Г* П Ск, г. П + Ск, в
Определив величину /г.и, находим максимальное удаление ру-
бежа перехвата по топливу
Аакс == А. р “Ь А. п “Ь А-	(9)
Подставив численные данные нашей задачи в (4), (5), (8) и
(9), получим:
/=50 км; Gr п + Ga = 7400 кГ; Zr п —609 км; /накс = 709 км.
Таким образом, максимальное удаление рубежа перехвата по
топливу составляет 709 км.
Аналогично определяется /Макс при атаке цели с задней полу-
сферы. В этом случае, как правило, после разворота имеется еще
один небольшой участок горизонтального полета на Уп.макс-
Удаление рубежа перехвата по топливу при полете на крейсер-
ском режиме определяется по формуле
/ =In,	(10)
где О* и (?к — вес самолета в начале и конце крейсерского уча-
стка, К—аэродинамическое качество, С — удельный расход топ-
лива.
21
Задача 1.7. Оповещение о налете воздушных целей обеспечивает
реализацию максимально возможного по запасу топлива удале-
ния рубежей перехвата. Процесс перехвата цели осуществляется
в горизонтальной плоскости и с постоянной скоростью истребите -
ля-перехватчика. Показать, как для истребителя F-4C «Фантом»
изменяется удаление рубежей перехвата в зависимости от высоты
и скорости горизонтального полета, если известны аэродинами-
ческие характеристики (рис. 1.9), запас топлива для горизонталь-
ного полета GT, удельный расход топлива в зависимости от режи-
ма полета и степени задросселированности двигателя (рис. 1.10
и 1.11), средний полетный вес <5ср= 17600 кГ и площадь крыла
5=49,2 м2.
Решение. Удаление рубежей перехвата при постоянном за-
пасе топлива, предназначенного для горизонтального полета, одно-
значно определяется километровым расходом топлива, который в
свою очередь зависит от режима полета и степени задросселиро-
ванности двигателя. Оптимальный режим, обеспечивающий макси-
мальную дальность полета, имеет место при минимальном кило-
метровом расходе топлива. Самолеты с турбореактивными двига-
телями, как правило, имеют два оптимальных по расходу топлива
режима полета — дозвуковой и сверхзвуковой. Для определения,
какой из этих режимов лучше, необходимо учитывать тяговоору-
женность, весовую отдачу топлива, аэродинамическое качество на
этих режимах. Для сравнительных оценок удаления рубежей пе-
рехвата удобно ввести в рассмотрение величину, обратную киломе-
тровому расходу топлива Ск — расстояние в километрах, проходи-
мое перехватчиком при израсходовании одного килограмма топ-
лива:
L
Г. п
(1)
22
Рис. 1.11
23
Выразим километровый расход топлива Ск через часовой рас-
ход топлива и истинную воздушную скорость перехватчика:
(2)
Поскольку
С, = РСУД,	(3)
п	г,	„	/ кГ топлива X
где Р —тяга, Суд— удельный расход топлива ( ~кТ'тяги-ч /»
то
7
г*« РСУД ““ QC^ ОСул •
Здесь Суд — удельный расход топлива задросселированным дви-
гателем при горизонтальном полете с постоянной
скоростью, когда выполняется условие равенства ло-
бового сопротивления Q и тяги Р
Q = P = ^-,	(5)
G — вес самолета;
—аэродинамическое качество;
а — скорость звука.
Для учета влияния аэродинамических характеристик и скорост-
ного напора раскроем величину Q.
С учетом параболической зависимости для поляры самолета
(рис. 1.9)
= см + Ас}	(6)
и условий равновесия сил при горизонтальном полете
Y^G = Kq	(7)
получим
Q = (^ + 4c20)^.	(8)
Далее учтем зависимость относительного расхода топлива от
степени задросселированности двигателя (рис. 1.11). Подставив
(7) и (8) в (4), получим формулу для введенной относительной
дальности горизонтального полета:
4. „ =-------------•	(9)
(схо 4-	^^^уд. макс I у; )
Результаты расчета по этой формуле удобно представить в виде
графика /7=/(М) для фиксированных значений Дг.п. Тогда полу-
чаем совокупность режимов полета М, И, для которых дальность
полета перехватчика на постоянной скорости и постоянной высоте
имеет одинаковую величину при заданном для горизонтального по-
лета запасе топлива.
24
Алгоритм расчета названных графиков следующий:
—	задаемся числом М и высотой Н горизонтального полета;
—	по рис. 1.9 определяем для данного значения М аэродинами-
ческие коэффициенты сх0 и А;
—	рассчитываем величину скоростного напора
где р — плотность воздуха (находится из таблицы MCA*);
—	рассчитываем коэффициент веса
c° = ~qs‘'
С
—	из рис. 1.10 и 1.11 определяем величины Суд и	;
J ^уд. макс
— по формуле (9) находим относительную дальность горизон-
тального полета.
Рис. 1.12
* MCA — Международная стандартная атмосфера.
26
Поскольку график	для_ЛГ.Ц —const получается при не-
которой совокупности целых чисел £г.п (например, 0,10; 0,15; 0,20;
0,25; 0,30; 0,35; 0,40; 0,45; 0,50), то указанный порядок расчета по-
вторяется методом итераций до получения заданного целого чис-
л a Z-r,n-
Результаты расчетов для заданных условий задачи приведены
на рис. 1.12.
Задача 1.8. Определить ширину возможного воздействия по воз-
душным целям в направлении на аэродром, если скорости целей
лежат в диапазоне Уц= (900ч-1800) км/ч, дальность обнаружения
целей наземной РЛС £> = 300 км, скорость удаления перехватчика
от аэродрома находится в пределах Vn== (1450 ± 150) км/ч, время
от момента обнаружения цели до взлета перехватчика /дасс==(2ч-
ч-4) мин, а минимально допустимый рубеж воздействия цели по
объекту находится на удалении ПМин=Ю0 км от аэродрома. При-
нимаем, что наземная РЛС совмещена с точкой стояния аэро-
дрома.
Решение. Для наглядности представим решение графически
(рис. 1.13), В системе координат «дальность D (км)—время t
(мин)» проводим из точки 0 прямые линии, соответствующие ско-
ростям цели Уц = 900 и 1800 км/ч. Угол наклона этих прямых чис-
ленно определяется из соотношения
« = arctg == arctg (Иц).	(1)
26
Аналогичным образом из точек с координатами /) = 300 км (точ-
ка стояния аэродрома) и /Пасс = (24-4) мин под углом р проводим
линии, соответствующие Гп~ (1450± 150) км/ч. Далее на заданном
удалении £>мин от аэродрома проводим линию минимально допу-
стимого рубежа воздействия цели по объекту. Очевидно, что за-
штрихованная на рис. 1.13 область характеризует искомую ши-
рину ПОЛОСЫ ВОЗДеЙСТВИЯ В ЗаВИСИМОСТИ ОТ 1/ц, 1/п, D, Омин, /Пасс-
В нашем примере ширина полосы воздействия не превышает
73 км, а перехват цели при Уц = 1800 км/ч возможен лишь в полосе
~ 14 км, если Гц—1600 км/ч и /Пасс = 2 мин.
Графическое решение подобных задач особенно просто и на-
глядно, когда скорости цели и перехватчика изменяются во вре-
мени и тогда соответствующие углы наклона, подсчитываемые по
формуле (1), строятся по участкам профилей полета, где Уц и Уп
постоянны или могут приниматься равными средним значениям.
Задача 1.9. Перехватчик наводится на цель методом парал-
лельного сближения. Скорость перехватчика постоянна и равна
Уп=1800 км/ч, максимальное значение угла визирования борто-
вого радиолокатора фп = 120°, максимальный угол встречи пере-
хватчика с целью 9 = 40° (9 — это угол между векторами Уп и
в момент пуска ракеты). С указанными параметрами перехватчик
летит до момента захвата цели головкой самонаведения. Угол ав-
томатического сопровождения цели головкой также равен ^„^120°,
Определить предельную скорость перехватываемой цели Гц. Чему
должна быть равна дальность обнаружения цели бортовым радио-
локатором £>обн> если дальность захвата цели головкой самонаве-
дения Dr = 20 км, а необходимое летчику для выполнения операций
с бортовым радиолокатором время от момента обнаружения цели
до ее захвата головкой / — 60 с?
Решение. На основании теоремы синусов имеем (рис. 1.1):
V == V _______ ?п_____	ГВ
vnsin(180o_<Pn_Q) •	кН
Подставив заданные значения фц. 9 и Гп, получим искомую пре-
дельную скорость перехватываемой цели:
V„ = 1800 ™ 120о° = 4560 км/ч.
ц	sin 20°	1
Далее из условия пропорциональности имеем
^обн ____________________________ Уг/	/п\
Dr ~ г 1
откуда
Г) ___ Г)	+ z
иобн — и1 -------•
Отрезок
_ Dr sin (180° — 6 — уп)	/оч
27
Подс1йвйё выражёййе (3) в формулу (е2), получим, что йбтребййй
дальность обнаружения цели бортовым радиолокатором
ГЛ	Г) I___sin 6______ / Л \
Ь*обн == М- + sin (f80O-- 9^ (pn) •
Для заданных численных значений нашей задачи получим /Абн —
— 76 км-
Таким образом, рассмотренная задача позволяет сделать важ-
ный вывод: для перехвата целей, скорость которых превышает
скорость перехватчика, при методе параллельного сближения бор-
товая радиолокационная станция должна обладать большой даль-
ностью обнаружения и должна позволять измерять большие ази-
мутальные углы, т. е. иметь большие значения предельных углов
автоматического сопровождения цели.
Задача 1.10. Перехватчик со скоростью Уп=2000 км/ч атакует
с задней полусферы воздушную цель, летящую со скоростью Кц—
= 1600 км/ч. В момент обнаружения цели взаимное положение пе-
рехватчика и цели характеризуется курсовым углом цели <рц= 140°
и курсовым углом перехватчика <рп = 20°. Дальность обнаружения
цели £)Обп = 40 км. С момента обнаружения в течение времени t—
= 1 мин летчик осуществляет опознавание цели, ее захват, а затем
пуск ракеты. Метод наведения перехватчика — прямой перехват,
метод самонаведения ракеты — погоня. Для уверенного поражения
цели дальность пуска должна быть не более £>п—35 км, а угловая
ошибка пуска не должна превышать 15°. Необходимо проверить,
выполняются ли эти условия пуска ракеты.
Решение. Кинематические соотношения, приведенные на
рис. 1.14, позволяют получить расчетные формулы для текущей
дальности D и текущего курсового угла перехватчика <рц:
D = /A2 + B2,	(1)
= ± (180° — ?ц„ — — arctg -HL),	(2)
где
А = ЛЛн sin (180° — фц0) — Vnt cos (срп0 + <рц0 — 90°);	(3)
В = Ро6я cos (180°- ¥ц0) + Vat - VJ cos (180° -	- ?ц0). (4)
Здесь <рп>0, когда упрежденная точка левее вектора Кп, <рц<0,
когда она правее.
Подставив численные данные задачи для момента пуска, по-
лучим:
Д = 14,3 км, В = 26,1 км, £> = 29,8 км.
Таким образом, дальность «перехватчик — цель» через 60 с
после обнаружения равна 29,8 км, что меньше максимальной даль-
ности разрешенного пуска £>п = 35 км. Следовательно, по дальности
условия пуска выполняются. Найдем теперь курсовой угол пере-
хватчика срп, который в момент пуска не должен превышать до-
28
пустимую угловую ошибку пуска ракеты. Для наших данных имеем
<рп——8°45', т. е. и по углу условия пуска выполняются.
Задача 1.11. Перехватчик атакует скоростную воздушную цель,
причем скорость цели значительно превышает скорость перехват-
чика. Атака выполняется таким образом, что в момент обнару-
жения цели перехватчик находится в развороте, несколько впереди
цели и по мере того, как цель догоняет перехватчика, последний
выполняет все необходимые операции по опознаванию и захвату.
При этом угол визирования не должен превышать предельного
значения угла автоматического сопровождения цели бортовым ра-
диолокатором. Когда после обгона перехватчика цель займет по-
ложение впереди перехватчика и будут удовлетворяться условия
пуска ракеты по дальности и углу, летчик осуществляет пуск.
Необходимо проверить, выполняются ли условия пуска через
одну минуту после обнаружения цели, если:
—	дальность обнаружения £)обв = 35 км;
—	курсовой угол перехватчика <рп0 = 45°;
—	курсовой угол цели <р 0 = 125°;
—	скорость цели 1^—2000 км/ч;
—	скорость перехватчика 1/п = 1600 км/ч;
—	радиус разворота перехватчика Яп — 30 км;
—	максимальная дальность разрешенного пуска £>и=15 км,
— максимальный угол автоматического сопровождения цели
<рп=100°.
Определить, через сколько минут после обнаружения цели даль-
ность «перехватчик — цель» будет минимальна и чему при этом
равен угол визирования цели.
29
Решение. Задача может быть решена графическим методом,
путем построения кинематических линий полета цели и перехват-
чика. Однако точность решения при этом низкая. В целях повы-
шения точности необходимо вывести формулы для текущих значе-
ний дальности «перехватчик — цель» и угла визирования цели.
С этой целью радиус разворота перехватчика А*п и дальность «пе-
рехватчик— цель» в момент обнаружения £)ОбН проектируются на
линию полета цели и на перпендикуляр к этой линии. Тригономе-
трические соотношения рис. 1.15 позволяют получить следующие
расчетные формулы:
— текущая дальность «перехватчик — цель»
0 = 1/ Д2 + В2;	(1)
— текущий угол визирования цели
?п = 90° — (?о — ?по) +	+ arctg-рр.	(2)
Формула (2) справедлива для случая, когда линия визирования
находится правее перпендикуляра А. Когда линия визирования ле-
вее перпендикуляра Л, то
<Р„ = 90° — (Ео —?„») + “V —arctg-13-.	(3)
Здесь
% = 180° — <рц0;
А = £>обн sin ©ц0 + /?п [cos (е0 — <pn0) — cos (£0 — <pn0 — a)nZ)];	(4)
В = V^t — Do6a cos срц0 — R„ [sin Go — <pn0) — sin — <?n0 - wnZ)]; (5)
30
шп — угловая скорость разворота перехватчика:
vn
в радианах за секунду.
За время /=1 мин угол разворота перехватчика, выраженный
в градусах, равен
= 51°.
Подставив численные значения в формулы (4) и (5), получим А =
= 7,63 км, В = 1,67 км.
Дальность «перехватчик — цель» через £=60 с после обнаруже-
ния цели согласно формуле (1) равна £) = 7,8 км, т. е. условия пу-
ска по дальности удовлетворяются.
Угол визирования цели через / = 60 с после обнаружения со-
гласно формуле (2) равен 9П=73°20\ т. е. срп<9макс“ 100° и условия
пуска по углу также выполняются. Для определения момента вре-
мени, при котором дальность «перехватчик — цель» будет мини-
мальна, необходимо продифференцировать функцию D по £, при-
равнять производную нулю и решить это уравнение.
Минимум функции D=f(t) находится при £=90 с.
Искомый угол визирования (рп согласно формуле (3) равен
68,5°, что меньше максимального угла автоматического сопрово-
ждения цели бортовой радиолокационной станцией.
Задача 1.12. В момент обнаружения скоростной воздушной цели
положение перехватчика относительно цели характеризуется даль-
ностью обнаружения £)Обн = 23 км, курсовым углом цели <рц0 — 83°,
курсовым углом перехватчика спо = 76°. С момента обнаружения
цель в течение £1 = 30 с совершает противоистребительный маневр
с радиусом /?ц= 15 км в сторону перехватчика, затем продолжает
полет с постоянным курсом. Перехватчик при этом все время вы-
полняет разворот с радиусом /?п=20 км. Определить дальность
«перехватчик — цель» и угол визирования цели через £=80 с после
обнаружения, если скорость перехватчика Vn = 660 км/ч, а скорость
цели Уц=1650 км/ч. Проверить, выполняются ли в этом случае
условия пуска ракет, если максимальная дальность разрешенного
пуска не должна превышать Рп.макс==Ю км и максимально допу-
стимый угол визирования цели при пуске срп должен быть не бо-
лее 30°.
Решение. Расчетные формулы по аналогии с задачей 1.11 по-
лучаются из кинематических соотношений, показанных на рис. 1.16.
Дальность «перехватчик — цель» в момент обнаружения 7)Обн и ра-
диусы разворотов перехватчика и цели Rn, /?ц проектируются на
вертикальную и горизонтальную оси. Горизонтальная ось совпа-
дает с направлением вектора Гц в момент £=0. Текущая даль-
ность «перехватчик — цель» согласно рис. 1.16 определяется по
формуле
Z) = А2 2?3,
(1)
31
Текущее значение угла визирования цели определяется по фор-
муле
?n = — 5o + ?no + “n^ + arctg-gl-,	(2)
когда
(3)
1 wa
Рис, 1J6
32
Здесь
*0 = 180° - «
Фш — угол, на который за время маневра t\ цель отворачивает от
прежнего курса;
А = В>об„ cos (Ео — 90°) + R„ [cos (Е„ — ?„0) — cos (Е„ — <рп0 — ">„0] —
— /?„ (1 — cos <»„/,) —	(/ — /,) sin <рц1;	(4)
В = Dq6„ cos (180° — Е») + /?ц sin <рц1 +	(* — Л) cos <рц1 —
— R„ [sin (Ео — ?ll0) — sin (Ео — <рцо — “uOL	(5)
Угловая скорость разворота цели
“>ц = 57рУ“ град/с.	(6)
Угловая скорость разворота перехватчика
57,ЗУП .
»>п =* -	• град/с.	(7)
Подставим численные данные задачи. Тогда о)Ц= 1,75 град/с,
а Шп = 0,526 град/с.
При /==80 с «^ = 42,08°, шц/—140°, £0 = 97°, <рц1 = 52,5°,
Д = —ЦЗ км, 5 = 8,9 км, D — 8,98 км, <рп = 14°.
Так как D и <рп меньше заданных значений, то условия пуска
выполняются.
Задача 1.13. Перехватчик наводится на неманеврирующую цель
с задней полусферы под ракурсом 0/4 методом прямого перехвата
(прямого сближения). Взаимное расположение в начале назем-
ного наведения характеризуется следующими параметрами: даль-
ность «перехватчик — цель» РОбн~150км, курсовой угол цели
9цо=1ОО0, курсовой угол перехватчика <рпо = 50\ Скорости пере-
хватчика и цели постоянны и равны: Уд—2200 км/ч, Уц —2000 км/ч.
Определить, через сколько минут перехватчик выходит на даль-
ность пуска 5п = 20 км.
Решение. Как известно, в отличие от метода параллельного
сближения при прямом перехвате истребитель выводится не в
точку встречи с целью, а в точку пуска ракеты. Поэтому имеем
Уп^ + Mi __ Уц*	/ 1 \
sin <рц0 sin ¥п0 ’	' >
откуда
If = V ™D" Sin V ° in = 3.2 мин.	(2)
У„ sin Yuo ~ Уп sin <Рпо	7
Таким образом, перехватчик выходит на дальность пуска через
3,2 мин.
Задача 1.14. Взаимное положение прямолинейно летящих пе-
рехватчика и цели в начале сближения характеризуется дально-
33
стью £>обн = 500 км, курсовым углом перехватчика <рпо = 45° и курсо-
вым углом цели срцо = 9О°. Для выхода на кривую атаки перехват-
чику разворотом в сторону цели необходимо уменьшить свой кур-
совой угол до <рп = 5° (рис. 1.14). Определить, в какой момент вре-
мени и на каком удалении от цели перехватчику следует начинать
разворот. 14 = 30 км/мин; Кц~25 км/мин.
Решение. Проекция искомой дальности D на ось, совпадаю-
щую с начальной дальностью £>Обн, равна
Z) cos (<рп0 — <РП) = 7)обн — (Уцсозфц0 + Ув cos ?п0)/.	(1)
Проекция D на перпендикуляр к £>Обн равна
D sin (<рп0 — <рп) = (Уц sin <рц0 — sin <р„0) t.	(2)
Разделив (2) на (1), получим
(VgsinTuo-VnSinTnoX	№
glfno frj £>о8„— (V,; cos <р„0 + V’„ cos ¥n0) Z •	>
Подставив в (3) численные данные нашей задачи, найдем из урав-
нения
tg (45° — 5°)
(25 sin 90° — 30 sin 45°) t
500 — (25 cos 90° + 30 cos 45°) t ’
7^1,8 мин.
Таким образом, разворот необходимо начинать через 1,8 ми-
нуты от момента начала сближения. При этом согласно (2) даль-
ность «перехватчик — цель» равна
3—107 км.
Задача 1.15. Перехватчик со скоростью Уп = 2000 км/ч атакует
цель, имеющую скорость Кц —1700 км/ч, с задней полусферы под
ракурсом 0/4. После пуска ракеты с тепловой головкой самонаве-
дения перехватчик с максимально допустимой перегрузкой выхо-
дит из атаки. Дальность пуска 7)п = 30 км. Время полета ракеты
до встречи с целью /р = 60 с. Определить необходимый для выхода
из атаки угол крена, если отворот осуществляется в одной плоско-
сти, с постоянной скоростью, а минимально допустимый пролет
перехватчика от точки разрыва в целях безопасности £>Мин=Ю км.
Решение. Кинематическая схема выхода из атаки (рис. 1.17)
позволяет выразить минимально возможный радиус виража /?п,
обеспечивающий безопасный пролет перехватчика относительно
точки разрыва:
откуда
о ___ 04 + ^рУц)2 7)уИН
*
Подставив численные значения, получим /?п= 12,85 км
34
(2)
Радиусу /?п= 12,85 км соответствует угол крена у, который опреде-
ляется по известному соотношению:
V2
tgT = ?/^ = 2,46;	(3)
Задача 1.16. Показать, как величина области возможных атак
воздушной цели зависит от располагаемой перегрузки пу перехват-
чика, скоростей перехватчика и цели.
Решение. Центростремительная сила, искривляющая траек-
торию перехватчика в горизонтальной плоскости, направлена по
нормали к этой траектории и численно равна
(1)
где m— масса, ап — ускорение, шп — угловая скорость перехват-
чика.
С другой стороны:
F. = У Г2-б2 = mg(2)
где У— подъемная сила, G — вес перехватчика, g— ускорение
силы тяжести.
Из (1) с учетом (2) получим формулу для расчета располагае-
мой угловой скорости атакующего перехватчика:
шп. расп “ туп — уп •	(б)
35
Потребная угловая скорость перехватчика для полета по кривой
атаки (кривой погони) в горизонтальной плоскости равна
ц)	Zajfo..	(4\
П. потр	£)	•
Приравняв потребную и располагаемую угловые скорости пере-
хватчика, находим уравнение границы области возможных атак в
горизонтальной плоскости
£) - п^ц	(5)
расп
Согласно (5) граница области возможных атак представляет
Собой окружность, касающуюся вектора скорости цели, при измене-
нии курсового угла цели <рц от 0 до 180°, а при изменении в диапа-
зоне 180—360° получаем вторую окружность, симметричную пер-
вой.
Уравнение для границы области возможных атак в вертикаль-
ной плоскости получается аналогичным образом. Когда кривая
атаки лежит в вертикальной плоскости, то располагаемая угловая
скорость перехватчика
g(ny — cos¥u)
(|)п. расп	у -	\б)
Потребная угловая скорость перехватчика для полета по кривой
атаки в вертикальной плоскости равна
_ Уц s*n Уа
фп. потр™ /)	v)
Приравняв располагаемую и потребную угловые скорости пере-
хватчика, находим формулу для определения границы области воз-
можных атак перехватчика в вертикальной плоскости:
УпУц si*1 Ти
g (Пу + cos <?ц)
(8)
Очевидно, что уравнение (8) представляет собой также пару ок-
ружностей, но несимметричных относительно вектора скорости
цели. В формуле (8) необходимо подставлять знак «+», когда
перехватчик атакует сверху, и знак «—», когда перехватчик ата-
кует снизу.
Задача 1.17. Определить условия, определяющие положение
точки касания кривой атаки с границей области возможных атак.
Показать, от чего зависит расположение кривой атаки относитель-
но границы области возможных атак.
Решение. Кривая атаки определяется уравнением
sin !рц
D
(1)
36
Скорость сближения равна
4г------V„-yHcos?a.	(2)
Разделив (1) на (2), найдем зависимость между приращениями D
и 9ц вдоль кривой атаки:
___<^п —Цц
dD	Vn + Гц cos <рЛ'	V5)
С другой стороны, имеем
dD cos Уц	/4.
^Уц wn. расп ’	' '
что получается дифференцированием уравнения
D = ^sinyu
wn. расп
В точке касания кривой атаки с границей области возможных
атак должно быть выполнено условие
^Уц __ Ф?а	/к\
dD ~~ dD >	У )
т. е.
I'n + УцCos Уц УцСОЗуд*	v '
Решая (7), находим, что для точки касания должно выполняться
условие
cos^=^rzr	(8)
шп
где
При шц—0, когда цель летит прямо, имеем
c°s <рц А => —0,5р.	(9)
Из полученного уравнения (9) можно сделать следующие важ-
ные практические выводы: 1) точка касания кривой атаки с гра-
ницей зоны возможных атак может быть только в задней полу-
сфере цели; 2) при р>2 касания кривой атаки вообще не сущест-
вует, т. е. все кривые атаки начинаются внутри области возмож-
ных атак и заканчиваются на ее границах.
Кривая атаки, имеющая касание с границей области возмож-
ных атак, называется предельной кривой атаки. Область
возможных атак определяется границей области возможных атак.
Границы областей возможных атак при полете перехватчика по
кривой погони определяются однозначно располагаемыми предель-
37
ными перегрузками. По перегрузкам рассчитываются соответст-
вующие предельные угловые скорости.
Для горизонтальной плоскости
ZTT
V -•	<10)
к п
Для вертикальной плоскости:
—	при атаке сверху
(0	=	("у пред”1) .	(11'|
Hi
•	— при атаке снизу
ш _ ^^уПред+ 0	,12ч
шп. пред	у		K1Z7
Далее по формуле (8), задаваясь маневром цели (соц), нахо-
дим точку касания кривой погони с границей области возможных
атак по предельным перегрузкам.
Задача 1.18. Определить зоны возможных атак и траекторию
самонаведения перехватчика по методу «погоня». Принимаем, что
цель не маневрирует, скорости цели и перехватчика постоянны и
движение происходит в плоскости, определяемой векторами скоро-
стей Vn и Гц. Задано: Уп = 930 км/ч, Уц=800 км/ч, /?п=10, 15 и
20 км.
Решение. Согласно рис. 1.4, показывающему взаимное поло-
жение перехватчика и цели при выполнении метода «погоня», для
атаки с задней полусферы цели имеем следующие уравнения:
—	скорость сближения
COS - Vn;	(1)
— угловая скорость линии визирования
Уц sin срц
(2)
Из уравнения (2) получаем уравнение зоны wn. расп соп. потр:
[) ~ sln Til
фп. расп
где (0п. расп по перегрузке перехватчика определяется известным со-
отношением
£ V Пп. расп 1
п> —---------------------
п. расп
Выведем теперь уравнение траектории самонаведения
чика. Разделим (1) на (2). Тогда
dD
D	sin <fa	й тиу dt 
(4)
перехват-
(5)
38
После интегрирования (5) получим
D=C
(1 + СОБ<рц)Р
п = А
Г — ]г >
v ц
(6)
где С — постоянная интегрирования, которая определяется по на-
чальным условиям самонаведения, характеризующимся параметра-
ми Dq> <рцо, и вычисляется по формуле
_ Д. (1 + cos ?Цо)Р
?«.)"- •
Подставив (7) в (6), получим расчетную формулу для траектории
самонаведения перехватчика по методу «погоня»:
_ Др (1 + CQS Уя-у (sin <p^~‘
(1 + COS ?Il)P (sin	'
Для построения зон возможных атак важно уметь определять
курсовые углы цели фцд и <рцв, при которых траектория самонаведе-
ния перехватчика касается и пересекает зоны рзсП/С 11игр
на заданной дальности, например на максимальной дальности раз-
решенного пуска ракет. Координаты этих точек вычисляются по
формулам:
С08?цА = —(9)
.	7^шп. расп
81п?цв =----—-
Для атаки цели с передней полусферы кинематические соотноше-
ния несколько изменяются. В этом случае имеем
cos фи — Уп;	(10)
__	__ Kl sin ?ц	n
rff шп. рам-' D *
Разделив (10) на (И), получим
dD
=	+	(12)
После интегрирования получим следующее уравнение самонаведе-
ния для встречно-пересекающихся атак:
_ Р. (sin Тцу+1 (1 4- cos ?Ц)Р.
и (1 + cos <рЦо)Р (sin ¥ц)Р-ы ’
39
Построив уравнения (3), (8), (9) и (13) в полярной системе ко-
ординат £>, фц, получим наглядное изображение зон возможных
атак. Решение для численных условий задачи приведено на
рис. 1.18.
Задача 1.19. Определить зоны возможных атак и траекторию
самонаведения перехватчика по методу «погоня с упреждением»
при допущениях и условиях задачи 1.18. Угол упреждения s равен
10 и 40°.
Решение. Метод самонаведения перехватчика «погоня с упре-
ждением» иллюстрируется рис. 1.19, согласно которому имеем сле-
дующие уравнения:
— для скорости сближения
4г = VacosT„— l^cose;	(1)
— для угловой
угловой скорости перехватчика)
^Уп _	—Иц sin уц + Ип sine
dt п' Расп ~
скорости линии визирования (располагаемой
(2)
Из (2) получим уравнение для зон о)П. расп < «>п. пОтР:
п —Иц sin уц + Ип sin S
40п. расп
Далее разделим (1) на (2). Тогда
dD
dt __ / cos уц — р cos е
D \ —sin уц + р sin е
Проинтегрируем уравнение (4)
d <ри
f dD
J D
(3)
—р COS в
’а
COS Уц rfyu____f COS 8	t
(—sin уц + p sin s) ’ ” J	(—p sin в -|~ sin уц) ’
^a0
. D i siny — psine
In — == In—-------5-----;----h
Do sm ya — p sin s
1	1 P s*n 6 sin Уц 4- cos уц j/"l — p2 sin2 s
—p sin e + sin yIK
'Рц
(5)
<4
D
сле-
При p2sin2£<l, что практически всегда имеет место, получим
дующее уравнение для расчета траектории самонаведения пере-
хватчика по методу «погоня с упреждением»:
__ £>о (1 — С sin уц0 — A cos y[l0)B (sin уц — С)в~т
(1 — С sin уц — Л cos yn)B (sin уп0 — С)в-1
Dq и D — дальности начала и конца самонаведения;
и фц — курсовые углы цели в начале и конце самонаве-
дения;
С = р sin е;
(6)
где
(7)
40
Рис. 1.18
s — постоянный угол упреждения;
4 = |Т — С2;
(8)
р COS е
А
(9)
Курсовые углы цели, соответствующие точкам касания и пере-
сечения зоны (Оп. расп < «п. потр с траекторией самонаведения на
заданной дальности, определяются по формулам
cos ?ЦА =
Vn cos е
(10)

(11)
.	расп Н" Гп s'ns
Sln?«B =----------IT-------
По уравнениям (3) и (6) строятся в полярных координатах D,
зоны возможных атак. Практически часто достаточно иметь зоны
возможных атак в относительной системе координат, связанной с
целью, как это показано на рис. 1.20 и 1.21. Чтобы построить тра-
екторию самонаведения в абсолютных координатах, необходимо
выразить время t через D и <рц. Можно показать, что
* Гц (^ - 1) со~ + COS + е)] —° Ip + COS (<Рц + е)]}. (12)
Задача 1.20. Перехватчик на скорости Уп —930 км/ч методом
погони атакует в горизонтальной плоскости цель, летящую с по-
стоянным курсом со скоростью Кц —800 км/ч. Взаимное располо-
жение перехватчика и цели в начале самонаведения перехватчика
характеризуется начальной дальностью Z)o —20 км и начальным
курсовым углом цели срцо = 8О°. Минимальный радиус разворота пе-
рехватчика #п=10 км. Область разрешенного пуска ракет с задней
42
полусферы ограничена углами ±50° и диапазоном дальностей
(5-4-15) км (допускаем, что дальность пуска от ракурса атаки не
зависит). Оборонительное оружие цели не позволяет подходить к
ней ближе 5 км. Определить, возможна ли в данных условиях
успешная атака цели. На какой дальности и при каком курсовом
угле цели возможен пуск ракет? Как изменятся возможности ата-
ки, если радиус разворота перехватчика будет не менее 20 км?
Решение. Воспользуемся графиком, рассчитанным при реше-
нии задачи 1.18 (рис. 1.18).
Рис. 1.20
Траектория самонаведения, соответствующая нашим исходным
данным, £>о = 20 км, ?цо = 8О° (точка А на графике), не пересекается
с границей зоны возможных атак для /?п= 10 км. Следовательно,
по располагаемой перегрузке перехватчика атака цели методом
погони в данных условиях возможна. Сближаясь с целью по траек-
тории самонаведения, перехватчик находится на максимальной
дальности разрешенного пуска D= 15 км, когда курсовой угол цели
равен 94° (точка В). Поскольку 0>5О°, то пуск невозможен. Как
видно из рисунка, пуск ракет становится возможным с дальности
£>=8,75 км, когда 6 = 50° (точка С). Б точке G пуск снова стано-
вится невозможным из-за оборонительного огня противника. Если
область возможных атак ограничивается окружностью, соответст-
вующей радиусу разворота перехватчика /?ц = 20 км, то, как видно
из рис. 1.18, траектория самонаведения, начинающаяся в точке А,
пересекает эту окружность. Следовательно, самонаведение пере-
хватчика методом погони в этом случае невозможно.
43
Задача 1.21. Под каким курсовым углом цели <рц необходимо
вывести перехватчик наземной системой наведения, если с момен-
та обнаружения цели бортовой радиолокационной станцией пере-
хватчик реализует такую траекторию погони, которая обеспечивает
выход на дальность разрешенного пуска £>п=10 км в минималь-
ное время. Скорость перехватчика равна 930 км/ч, скорость цели —
800 км/ч. Дальность обнаружения цели бортовой РЛС 7)обн — 40 км.
НО0	1000	90°	80*	70 •	600
180*	7 6 6 4 8 8	1 Уц 1 2	346 678 fylW
Рис. 1.21
Пуск ракет возможен только в пределах углов 9—±40° с задней
полусферы цели. Располагаемая перегрузка перехватчика равна
пп—2. Курсовыми ошибками наземного наведения пренебрегаем,
т. е. считаем, что система наведения выводит перехватчик так, что
в момент обнаружения цели вектор скорости перехватчика направ-
лен строго на цель.
Решение. Как было показано в задаче 1.17, предельная тра-
ектория погони касается окружности, соответствующей располагае-
мой перегрузке перехватчика. Следовательно, на этой кривой са-
монаведения и необходимо найти точку, куда на дальность обна-
ружения цели бортовой РЛС нужно вывести перехватчик с по-
мощью наземной системы. Искомая точка — это точка Е на
44
рис. 1.18. Ей соответствует курсовой угол цели срц—бб0. Далее по
мере сближения с целью перехватчик оказывается в точке F, в ко-
торой выполняются условия разрешенного пуска ракет: £) = 10 км,
9—30°. Раньше условия пуска по углу выполняются (9<40°), но не
выполняются условия пуска по дальности, ибо Z>> 10 км.
Задача 1.22. Каков должен быть угол упреждения е, чтобы обес-
печить самонаведение перехватчика по методу «погоня с упрежде-
нием» из точки конца наземного наведения, характеризующейся
начальной дальностью £>о=1О км и курсовым углом цели срцо —90°.
Перехватчик должен выйти на дальность разрешенного пуска ра-
кет D = 5 км с курсовым углом цели 9Ц=70°. Минимальный радиус
разворота перехватчика А*п= 10 км. Как изменятся условия выпол-
нимости атаки методом погони с упреждением, если радиус разво-
рота перехватчика будет равен 20 км?
Решение. Воспользуемся решением задачи 1.19. При угле
упреждения е—10° (рис. 1.20) атака не обеспечивается: траектория
самонаведения пересекает границу области возможных атак, соот-
ветствующую значению /?п = 10 км. При г=20° перехватчик из точ-
ки начала самонаведения выходит на дальность разрешенного пу-
ска D — 5 км при курсовом угле цели срц = 64°. Атака при заданных
условиях возможна и при минимальном радиусе разворота пере-
хватчика, равном /?п=20 км. В этом случае необходимо только
увеличить угол упреждения е до 40°.
Задача 1.23. Перехватчик атакует на малой высоте неманеври-
рующую цель по методу погони. Задано: Уц=600 км/ч, Кп=
=800 км/ч, располагаемая перегрузка перехватчика пп,расп=1,41,
120 °	110°	100 °	90°	80°	70° GO9
Рис. 1.22
45
ограничиваемая условиями безопасности маневрирования на малой
высоте перегрузка перехватчика пп.огр = 1,15. Показать, возможна
ли атака цели, если в начале самонаведения дальность «перехват-
чик— цель» равна 6 км, а курсовой угол цели срц= 115°. Каков дол-
жен быть маневр перехватчика, чтобы выйти на дальность пуска
ракет, которая равна 3,1 км?
Решение. Построенные границы зон возможных атак и кри-
вая атаки (траектория самонаведения по методу погони) показы-
вают (рис. 1.22), что при перегрузке 1,15 перехватчик пересекает
границу шп. огр шп. пот₽> т. е- полет по кривой погони без ошибок
невозможен. Для выхода на дальность пуска ракет необходимо
увеличить перегрузку: уже при ци=1,25 сближение с целью по кри-
вой погони для выхода на Dn— 3,1 км возможно.
Глава 2
АТАКА ЦЕЛИ, САМОНАВЕДЕНИЕ РАКЕТЫ
В данной главе выводятся соотношения между характеристи-
ками перехватчика, ракеты и цели, расчетные формулы для по-
требных перегрузок и времени управляемого полета ракеты, яв-
ляющиеся основой для построения зон возможных пусков ракеты,
которые позволяют наглядно исследовать боевые возможности и
оптимальные условия атаки воздушной цели.
При решении задач мы ограничимся кинематикой самонаведе-
ния ракеты, т. е. ракету, перехватчик и цель рассматриваем как
геометрические точки, совпадающие с центром масс этих тел.
Естественно, что реальная траектория ракеты отличается от
кинематической: надо учитывать инерционность ракеты, системы
автоматического управления полетом ракеты, возмущающие воз-
действия на движение ракеты и цели, приборные ошибки элемен-
тов замкнутой системы управления и т. д. Решение задач боевого
применения ракет класса «воздух — воздух» с учетом перечислен-
ных факторов приводит к необходимости использования математи-
ческих моделей, реализуемых на электронно-цифровых вычисли-
тельных машинах. Эти методы исследования выходят за рамки
данной книги.
Сближение ракеты с целью осуществляется по траекториям,
которые определяются используемым методом самонаведения. По-
этому задачи, посвященные атаке воздушной цели, начинаются с
вывода в общем виде уравнений, описывающих сближение ракеты
с целью (задачи 2.1, 2.2). Далее сравниваются различные методы
самонаведения ракет, находятся зависимости потребных для вы-
полнения заданного метода самонаведения перегрузок, времени
управляемого полета ракеты от скоростей цели, перехватчика, ра-
кеты и курсового угла цели в момент пуска. Рассматриваются
следующие методы самонаведения ракеты: «трехточка» (задачи
2.3—2.9), «погоня» (задачи 2.10 и 2.11), «параллельное сближение»
(задачи 2.12—2.17), «пропорциональное сближение» (задачи 2,18—
47
2.20). Полученные зависимости позволяют анализировать возмож-
ности перехватчика по атаке воздушной цели при различных усло-
виях боевого применения, определить оптимальные дальности и
ракурсы пуска, построить зоны возможных пусков для заданных
характеристик ракеты, перехватчика, цели и условий боевого при-
менения (задачи 2.6—2.10). Под зоной возможных пусков пони-
мается геометрическое местоположение перехватчика относительно
цели (по дальности и ракурсу), из которых обеспечивается успеш-
ное наведение ракеты на цель.
Определенный практический интерес представляют в этой главе
и другие задачи, решение которых позволяет определить:
—	оптимальные ракурсы атак маневрирующей цели, потребные
перегрузки ракеты и перехватчика (задачи 2.13, 2.16, 2.20);
—	дальности пуска с учетом ошибок наведения ракеты в упреж-
денную точку в момент пуска (задача 2.14);
—	ограничения, при которых рассматриваемый метод самона-
ведения уже не может выполняться (задачи 2.11, 2.12, 2.14, 2.19);
— промах ракеты в зависимости от условий боевого примене-
ния и пуска (задача 2.17).
Задача 2.1. Вывести в общем виде кинематические уравнения,
характеризующие сближение ракеты с целью в горизонтальной
плоскости.
Рис. 2.1
Решение. Взаимное положение цели и ракеты (рис. 2.1) в
любой момент времени после пуска характеризуется дальностью/?,
курсовым углом цели срц и курсовым углом ракеты фр. Сближение
ракеты с целью полностью характеризуется скоростью изменения
дальности D и курсовых углов цели <рц и ракеты <рр во времени.
Очевидно, что уменьшение D на Д/? за промежуток времени А/
равно сумме проекций скоростей Уц и Vp на линию визирования,
умноженной на Д/:
—ДО (IZp cos срр + Уц cos <?ц) Д/.
48
Переходя к пределу, получим дифференциальное уравнение сбли-
жения ракеты с целью:
4г = — <Урcos ?Р + COS ?«)
(1)
Так как между угловой и линейной скоростями существует извест-
ная зависимость
V
где /? —радиус вращения, то угловая скорость линии визирования
определяется уравнением
__ — И Я sin Vn + Рр Sin ¥р
шв—	7)	•	</)
Для случая, когда цель маневрирует с угловой скоростью шц,
угловая скорость ракеты относительно цели равна сумме шц и ско-
рости изменения курсового угла цели во времени:
—Рц sin уц + Рр sin 9Р
%
(3)
dt
Уравнения (1), (2) и (3) являются
наведения ракеты.
Естественно, что для выполнения
уравнений движения при конкретных
ных начальных условиях необходимо
ростей |/ц и Vp н курсовых углов срц
Задача 2.2. Для неманеврирующей цели и постоянных скоро-
стей ракеты и цели сравнить по потребному времени самонаведе-
ния ракеты tp два метода: «параллельное сближение» и «погоня».
Показать, как время tp зависит от отношения скоростей и ра-
курса атаки.
Решение. Используя формулу (1) задачи 2.1 и учитывая, что
при параллельном сближении
9р — const и ~ const,
в результате интегрирования получим
г ср
= (Vpcos<pp+ Уц cos ?ц) tZf,
D
общими для любого метода
интегрирования полученных
методах наведения и задан-
знать законы изменения ско-
и (рр во времени.
(1)
откуда время полета ракеты от момента пуска до столкновения с
целью
Z)n
р. пар	cos + cos ,
(2)
где Dn — дальность пуска.
3—384
49
Для метода «погоня» в течение всего времени самонаведения
ракеты курсовой угол ракеты равен нулю: <рр = 0, поскольку вектор
скорости ракеты направлен всегда на цель. Таким образом, на ос-
новании формул (1) и (3) задачи 2.1 уравнения движения ракеты
по методу «погоня» для случая неманеврирующей цели принимают
следующий вид:
*0	_ (ур + уц соз Тц);	(3)
... __ sin
р — dt ~~ D
(4)
,	I иР \
Умножив уравнение (3) на величину соэрц-----гг~ , а уравне-
ние (4) на sin <рц и вычтя один результат из другого, получим
(cos ?ц - -р-)	—Psin¥a —= -рЛ-^ц.	(5)
Введем обозначение
тогда
(cos рц — If) dD — D sin рц d^ = 1/ц (Л2 — 1) dt. (7)
Проинтегрируем уравнение (7) по частям:
d	та
J (cos <рц — b) dD — J Z) sin рц t/pa = V\(£2 — l)f,
Dn	TI10
(8)
D
f (cos рц — b) dD ~uv — § vdu\
и = cos рц — b\ du = — sin рц^рц;
dv = dD = Ddt\ v = D\
D *ц
wv — j vdu, = (cos <рц — b) D + J D sin рц(/рц.
Dn no
Подставляем полученный результат в уравнение (8). Тогда по-
лучим
D (cos рц — b) — Dn (cos рц0 — b) +
*ц	Тц
+ J D sin рц йГрц — j D sin рц tZpu = — D (b — cos рц) +
'РцО	^LLO
+	(Z- - cos Тц0) = /ц - 1) t.	(9)
50
Из уравнения (9) получим расчетную формулу для времени поле-
та ракеты с дальности £>п до дальности D:
z	~cus — W -• cos уд)
^(ба — 1)	*
Время полета ракеты от пуска до встречи с целью, когда D = 0,
определится по формуле
f ____	сое ^по)	/1 1 \
^р. пог“ M’-l)	U '
Для сравнения методов самонаведения «погоня» и «параллель-
ное сближение» лучше всего построить отношение
. tp. пог
л = —-
‘р. пар
и безразмерную разность времен
В = “Щ" (^р. ПОГ tp. пар)
в зависимости от курсового угла цели уц в момент пуска при раз-
личных отношениях скоростей b = После несложных преобра-
v ц
зований получим
4 ~ ip‘пог __	~~ cos (cos Уц +	—51112 ?ц) .
^р. пар
(12)
^—1 ’
__ , ч _ Ь — cos Уц_______________1________
р. пог *р. пар/ ~ b2 __ 1 cos ?ц +
Графики этих функций
приведены на рис. 2.2.
Для практики важно от-
метить, что разность во
временах полета ракеты,
а следовательно, и раз-
ность в проходимых ею
расстояниях и в соответ-
ствующих удалениях ру-
бежей перехвата цели ма-
ксимальна, когда пуск
осуществляется при <рц=
— 90°. Отношение же вре-
мен А имеет максимум
при курсовом угле цели в
момент пуска, равном 60°.
С приближением скорости
ракеты к скорости цели
разность и отношение вре-
мен полета ракеты рез->
<ко увеличиваются. Чем
•(13)
3*
51
больше отношение скоростей Л = ~™, тем меньше отличаются
методы самонаведения друг от друга. При 1,7 разница практи-
чески сводится к нулю.
Задача 2.3. Перехватчик атакует неманеврирующую цель, ле-
тящую с постоянной скоростью, на одной с ним высоте. Скорость
перехватчика также постоянна. После захвата цели бортовой РЛС
осуществляется пуск ракеты «воздух — воздух». Ракета наводится
на цель методом совмещения, т. е. в любой момент времени
перехватчик, ракета и цель находятся на прямой линии, в равно-
сигнальной зоне бортовой РЛС. Принимаем, что в процессе само-
наведения ракеты курс перехватчика не изменяется, а поражение
цели происходит только от прямого попадания ракеты. Угол авто-
матического сопровождения бортовой РЛС ограничений на атаку
не накладывает. Требуется показать, как зависят потребная для
выполнения метода самонаведения перегрузка ракеты и ее время
полета от момента пуска до столкновения с целью от скоростей
цели, перехватчика и ракеты (Уп, Рр) и от курсового угла
цели ср* в момент пуска. Заданы:
<?„ = 90 4- 180°; Ха- = 1; А = 1 4- 3;	= 0 -г-15°.
Собственную скорость ракеты Кр.ср считаем постоянной и рав-
ной среднему значению за время управляемого полета:
V = V -4- V
v р кр.Ср~гП'
Решение. Кинематические соотношения при наведении ракеты
на цель методом совмещения («трехточки») для условий задачи
выводятся из рис. 2.3. Введем обозначения:
£)П“ дальность «перехватчик — цель» в момент пуска;
dp — текущая дальность «перехватчик — ракета»;
d—текущая дальность «перехватчик — цель»-
Тогда согласно рис. 2.3 имеем следующие уравнения:
х = dp sin <Р„;	(1)
y = rfpcos<p„+у„;	(2)
;	(3)
^ = ^ + (уц-уп)2;	(4)
у2	I	(5\
vp { dt ) dt / *
yn = VV;	(6)
Хц = V^t sin срц;	(7)
Уц s cos <Ри +	(8)
* <₽ц=Фцо —для простоты в данной задаче опустим индекс 0.
52
Продифференцировав скорость Vp по t, получим формулу для
расчета бокового (нормального) ускорения ракеты
л ху-;*У
а>
В целях решения задачи в наиболее общем виде целесообразно
ввести безразмерные, относительные характеристики. Для этого
разделим все расстояния на величину дальности пуска Ьл, все ско-
рости— на скорость перехватчика Еп, а время /р умножим на ве-
м
X
Рис. 2.3
личину Vn/Dn- Тогда уравнения (1)~(9) становятся безразмерны-
ми. Так, например, для безразмерных координат ракеты имеем:
sin фп = Z) sin <рп;	(10)
--п
rfp	vnt
cos <рп + -д- «8 Dp cos <РП + s	(11)
i-'n	О	г
где -« — безразмерное время.
53
Безразмерная скорость ракеты выразится так!
^=.^+Р=/(т),
К0«р
(12)
Продифференцировав функцию (12) по т, получим
/ dDp .	cftpn \2
= (-57-SIn + °р cos f" ~ЗГ) +
, / aDp	, П 	d<pn 1	1?
+ (i-S-C0S'Fn + £,pStn<pI1-j;- + ^ =
____L _i_ n
dz ) (p
JDn	rf<Pn
^rcos<p„ + 2£>psin<p„-5r+1. (13)
Решение
квадратного уравнения
rfVn у
dz J
-2Opsin¥„4^-®’p+l=0	(14)
дает нам для безразмерной текущей дальности «перехватчик — ра-
кета» £)р следующее нелинейное дифференциальное уравнение пер-
вого порядка:
dDp
— cos ?п 4-
+ У cos3 <р„ - ( Др + 2Dp sin + ^р - 1.	(15)
Безразмерное боковое ускорение ракеты подсчитывается по фор-
муле
л _ 1 / dX	d*X dy X	f
vp t dz ‘ dz* dz*	dz J >
где X и У — относительные координаты ракеты;
_____ sin уп .
dz ~	pD2 ’
_	dz dz
dz* “	D *	V )
Здесь
(18)
54
Из (9) и (12) имеем для относительного ускорения ракеты
л___________________________ йр^п
Л— 2 .
г п
(19)
Получить численные значения потребных для выполнения зако-
на самонаведения величин ускорения А и времени т можно, если
решить уравнения (16) и (12) при начальном условии Z)(0)~0 и
варьировать заданными значениями <рц, Vp, Vq. Дифференциальное
уравнение (15) решается численным интегрированием (естествен-
но, лучше всего для этого использовать ЭЦВМ).
Результаты расчетов при условии выполнения атаки с задней
полусферы приведены на рис. 2.4 и 2.5.
Результаты расчетов А и т для случая атаки с передней полу-
сферы цели при курсовых, углах цели срц = О4-15°,	— 1 и ОД
v п
у
-тД = 1-р-3 приведены на рис. 2.6 и 2.7.
V п
Задача 2.4. Как изменяется потребная перегрузка ракеты в ус-
ловиях атаки цели, описанных в задаче 2.3, если отношение ско-
уц	у
ростей -гЛ изменяется в пределах от 0,5 до 1,2, -г?.-от 1 до 3,
курсовой угол цели в момент пуска от 150 до 180°? Определить
для заданной скорости цели Кц, при каких соотношениях скоростей
-/-потребная перегрузка ракеты минимальна. Как изменяется при
указанных условиях боевого применения относительное время «с по-
лета ракеты от пуска до столкновения с целью, если пуск ракеты
осуществляется при курсовом угле цели срц=160°.
Решение. Используя полученные в задаче 2.3 формулы, рас-
ж	л Л	Vp М	D
считывают функции А =	-у-, -у-l. Результаты расчетов
приведены на рис. 2.8, 2.9 и 2.10. Интересным является тот факт,
что при малых скоростях цели Рц*= (0,5-н 0,6) Рп во всем диапазоне
курсовых углов цели от 150 до 180° имеется оптимальное значение
скорости ракеты, при котором потребная перегрузка ракеты мини-
мальна. Начиная со скоростей цели Рц=0,7 Рп и выше, минималь-
ная потребная перегрузка имеет место при минимальной скорости
ракеты.
Результаты расчетов относительного времени т в зависимости
у	уц
от и -тг~ при 9ц=160° приведены на рис. 2.11.
У и	'п
Задача 2.5. Для условий атаки цели, описанных в задаче 2.3,
заданы абсолютная средняя скорость ракеты Vp = 900 м/с, скорость
перехватчика 1/п=400 м/с, скорость цели Гц = 400 м/с, курсовой
угол цели в момент пуска ракеты (рц=120°, располагаемая пере-
грузка ракеты пр = 5. Требуется:
1.	Определить, на какой дальности может быть осуществлен
пуск ракеты.
55
Рис. 2.5
56
Рис. 2.6
Рис. 2.7
57
° 1,0 1,2 1,4 1,6- 1,8 2,0 2,2 2,4 2,0 2,8 %0Ур/¥п
- K(/i4is^7
------
Рис. 2.9
58
Рис. 2.10
59
2.	Проверить, можно ли пускать ракету на дальности 15 км
при курсовом угле цели <рц~ 120°, если располагаемое время управ-
ляемого полета ракеты /р = 20 с, Vp=800 м/с, Иц = 300 м/с, Ец =
= 300 м/с. Если пуск невозможен, то определить тот курсовой угол
цели или дальность пуска для <рц=120°, при которых располагае-
мое время полета ракеты равно времени от пуска до столкновения
ракеты с целью.
3.	Определить, на какой минимальной дальности можно осуще-
ствить пуск ракеты, если курсовой угол цели в момент пуска <рц=
= 150°, Сц = 250 м/с, Vn = 250 м/с, Ер = 500 м/с, располагаемая пере-
грузка ракеты Пр =10. Как изменится минимальная дальность пу-
ска ракеты, если скорость перехватчика увеличить до 500 м/с?
у	Уи
Решение. 1. На рис. 2.4 для-р^- = 2,25 и -рА = 1 при <рц = 120о
определяем относительное ускорение 4 = 3,4, а затем по формуле
(19) задачи 2.3 находим дальность пуска
AV2
О„ = -Г1-=11.3км.
2. При ~ ~ 1,	= 2,66 и Фц —120° согласно рис. 2.5
тр = 0,49. Абсолютная величина потребного времени полета ракеты
до столкновения с целью по формуле (12) задачи 2.3 равна
/р = -^- = 24,5 с.
Так как это погребное время больше располагаемого, то пуск
на дальности 15 км при <рц= 120° невозможен. Потребное время
уменьшить в этом случае возможно, если пуск осуществлять при
меньших курсовых углах цели. Легко убедиться, что и при срц=90°
потребное время /р=18,5 с, т. е. меньше располагаемого. Следова-
тельно, атаку необходимо выполнять с передней полусферы цели,
при малых курсовых углах цели, либо пускать ракету с меньшей
дальности, если курсовой угол цели уменьшать невозможно. При
9ц=120° разрешенная дальность пуска
£>„ = ^ = 12,2 км.
11	у
3. Согласно рис. 2.4 при <рц = 150°,	= 1, -рД = 2, -j-- == 1,1,
П	П	I п
откуда £)п= 1,75 км, а при увеличении Vn вдвое £>п=6,1 км.
Задача 2.6. Построить зоны возможных пусков для случая са-
монаведения ракеты, описанного в задаче 2.3, если располагаемая
перегрузка ракеты «р = 7, располагаемое время управляемого по-
лета /р = 20 с, скорость цели Ец=1500 км/ч, скорость перехватчика
Еп = 1500 км/ч, средняя собственная скорость ракеты Vp.cp =
= 500 м/с.
60
ГА	Vn 1 ИР 500 +417 о и
Решение. Определим для = 1 и	— = 2,2 при
Рп
разных курсовых углах цели <рц относительные величины t= р 
и Д — ар^п (рис. 24—2.7), а затем по формулам (12) и (19)
задачи 2.3 — соответствующие максимальные и минимальные даль-
ности пуска.
Построенные по Da. макс и 7)п. мин зоны возможных пусков при-
ведены на рис, 2,12.
Рис. 2,12
Задача 2.7. Перехватчик атакует неманеврирующую цель, осу-
ществляя пуск ракеты при постоянном курсовом угле цели <рц —
= 150°. Ракета наводится на цель методом «трехточка». Заданы
скорости цели 1Ц, перехватчика Рп и ракеты Рр, которые прини-
маются постоянными. Показать, как изменяется диапазон дально-
стей пуска £>п. мин-ь-Оп.макс, если при неизменных других характе-
ристиках увеличить: 1) Уп с 200 до 600 м/с;
К
2) с 1,3 до 2,4.
К п
«рПп
Решение. Используя графики для определения 4 =  -j— и
*л
Р"р Рц ,	0,1 о П
— при заданных значениях -р-, <рц (рис. 2.4, 2.5), рас-
п	К П К и

61
считывают для каждого фиксированного значения —L и /’
Гп Гп
по величинам Л и т соответствующие минимальные и максимальные
дальности пуска:
V2
Г) — А — •
*-^п. МИН	п >
ар
D =
^п. макс «.
Варьируя в указанных диапазонах и Уп> строим обобщен-
ный график изменения диапазона дальностей пуска для заданных
значений <рц и График для (рц=150° и -р2-—! приведен на
рис. 2.13. График показывает, что при неизменных других характе-
ристиках увеличение Гп сокращает зону возможных пусков по даль-
ности, а увеличение ~тг~ расширяет эту зону. При увеличении Vn
•п
с 200 до 600 м/с диапазон дальностей пуска уменьшается с 600 м
до 0 при -у = 1,3. При увеличении у- с 1,3 до 2,4 диапазон даль-
ностей пуска увеличивается с 600 до 2800 м при Гп~200 м/с.
Задача 2.8. Ракета наводится на неманеврирующую цель мето-
дом «трехточка» (см. задачу 2.3). Показать, как зависит потребная
перегрузка ракеты в точке встречи с целью от курсового угла
цели 9ц и отношения скорости ракеты к скорости цели-у-. Опре-
делить, в каких пределах изменяется минимальная дальность пу-
ска, определяющаяся располагаемой перегрузкой ракеты. Допу-
62
щение: скорости ракеты и цели постоянны. Задано: Ур=1000 м/с;
Уц=500 м/с; ар=49 м/с2; фЦ—60°.
Решение. Для выполнения метода «трехточка» потребное
нормальное (боковое) ускорение ракеты (ускорение, направленное
перпендикулярно к кинематической траектории) в точке встречи
с целью определяется по формуле
sin 2уц
ао — “гГ* 2 -Т7- Sin Фц 4- “п-----
р Da \ Уц ц £>п cos ур
Рис. 2.14
Угол фр определяется из соотношения
81Пфр = -^^-81п<рц,	(2)
так как
sin ур __ Уц _ dn
sin yu ““ Ур “ Da ’	' )
где с?п—пройденное ракетой с момента пуска расстояние;
£>ц — дальность пуска.
При идеальном протекании процесса самонаведения потребное
ускорение для выполнения кинематической траектории точно рав-
но величине (1). В действительности потребное ускорение больше,
ибо движение ракеты в условиях воздействия на нее флюктуацион-
ных возмущений имеет колебательный характер и при стремлении
выполнять заданный закон реальные ускорения должны превос-
ходить ускорения, необходимые для точного движения по кинема-
тической траектории, не учитывающей эти колебательные про-
цессы.
63
Для определения Е>п. мин используется рис. 2.14, где для различ-
ных отношений Ир/Уд в зависимости от курсового угла цели срцпри-
ведено
V2
ц
гаемое
a За-
относительное (безразмерное) потребное ускорение ракеты
в точке встречи с целью. Зная скорость цели Ец и распола-
нормальное ускорение ар, определяется по графику рис. 2.14
для заданных условии боевого применения величина 2
^11
тем рассчитывается минимальная дальность пуска ракеты
Для условий нашей задачи имеем:
ар = 49 м/с2, <рц = 60°,
По графику рис. 2.14
H. мин-
— = 2
IL
= 4,4.
5003
равна 22,4 км.
скоростей -Гт-
МИН
ар^п
V2
v и
Умножим эту величину на
V2
ц _	__
49
Тогда минимальная дальность пуска £)д.
Расчеты показывают, что при отношении
Гц
атака ограничивается по курсовому углу цели величиной порядка
юц»60°. Это объясняется тем, что при 1,2 согласно фор-
муле (2) возникают большие углы между вектором скорости ра-
кеты и линией визирования, особенно на участке траектории перед
встречей с целью, когда Л~-^1. Таким образом, график
рис. 2.14 в первом приближении дает минимальные дальности пу-
ска ракеты для широкого круга условий боевого применения. Ис-
пользуя эти данные и определив по располагаемому времени уп-
равляемого полета максимальную дальность пуска, строятся зоны
возможных пусков.
Задача 2.9. Ракета наводится на иеманеврирующую цель мето-
дом «трехточка». Заданы скорости цели Уц = 500 м/с, перехватчика
Уп = 500 м/с и собственная скорость ракеты Vp.cp = 500 м/с, распо-
лагаемая перегрузка ракеты пр=5 и располагаемое время управ-
ляемого полета ракеты /р —20 с. Определить для этих исход-
ных данных зоны возможных пусков и показать, как они изменя-
ются, если при неизменных других характеристиках:
—	скорость цели уменьшится в два раза;
—	скорость ракеты увеличится в два раза;
—	скорость перехватчика увеличится в два раза.
Решение. По аналогии с задачей 2.7 находим с помощью гра-
фиков рис. 2.4—2.11 для задаваемых курсовых углов цели <рц соот-
64
«Р^п	'pVn
ветствующие значения я =	3 • ит=—а затем по фор-
мулам (12) и (19) задачи 2.3 рассчитываем минимальные и макси-
мальные дальности пуска [в км]:
Л	Л	R1 Л. л	ZPVn 10
^п.мин 1=2	”7	5,1/1, /?п. макс г) Z •
"р	/7н	т
Зоны возможных пусков показаны на рис. 2.15.
Рис. 2.15
Задача 2.10. Определить зону возможных пусков ракет для слу-
чая, когда с момента пуска ракеты до встречи ракеты с целью
перехватчик осуществляет полет по кривой погони, а ракета наво-
дится на цель по равносигнальной зоне, создаваемой бортовой ра-
диолокационной станцией в режиме автоматического сопровожде-
ния цели.
Решение. Взаимное расположение перехватчика, цели и раке-
ты после пуска иллюстрируется рис. 2.16. В любой текущий момент
времени ракета находится на линии «перехватчик — цель». Соглас-
65
но рис. 2.16 можно записать следующие кинематические уравнения
для угловой скорости линии визирования:
Vp sin (ув — у)
—.......-л-------
(2)
7Ц sin ср в
Da
(знак «минус» означает, что угол <рв уменьшается).
Скорость удаления ракеты от перехватчика равна:
Продифференцируем уравнение (1) по /. Тогда
увД +	+ УР cos (срп — у) ув + Ур sin (уа — ср)
=	cos (ув — у)
(3)
Учитывая, что практически разность срв — мала, а следовательно,
cos (<рв —<р)« 1;
sin(?B — ?) —'?в — ?;	(5)
п ~ у	у
-- *р	v п>
получаем
Vp<p = iD +	+ ?в Vu + Vp (<рв — <р).	(6)
Ускорение ракеты, перпендикулярное D, с одной стороны, равно
—(pbD, с другой стороны, оно равно изменению касательной скоро-
сти
Vp sin (<?в — <р)
66
во времени, т. ё.
г Kin (?в —?).
Итак, поскольку
(?. — ?)	(7)
ТО
Vp? = ?B(2Vp-yn).	(8)
Кинематическая перегрузка ракеты определяется по формуле
Подставив (8) в (9), получим
¥в (2Ур Уп)
„ ---------£------
р £
Решая (10) совместно с (2), получим формулу для определения
полярных координат <рв, Рц перехватчика:
sin <р„ — Уц (27р _ Vn) .	(11)
При маневре цели с угловой скоростью шц соотношение (11)
принимает следующий вид:
(£пр — шцУц) п	/ 1
SIn ?в “ Уц(2Ур—Уп)
Далее зоны возможных пусков определяются в такой последо-
вательности. Задаемся несколькими значениями полетного времени
ракеты Zp и по характеристикам ракеты определяем соответствую-
щие величины скорости ракеты Ур, располагаемой перегрузки чр
и дальности £>ц. Затем по (11) вычисляем соответствующие углы <рв,
которые характеризуют угловое положение перехватчика в момент
встречи ракеты с целью: точки 1, 2, 3, .. на рис. 2.17. Из точек 1,
2, 3,.. строятся кривые погони 1 — 1', 2—2', 3—3',.. для каждого
времени Zp- Очевидно, точки Г, 2', 3', ... определяют положение пе-
рехватчика в момент пуска ракеты. Соединив эти точки и учтя
необходимые ограничения (например, по минимальной и ма-
ксимальной дальностям), получим зону возможных пусков
ракет.
Задача 2.11. Перехватчик и цель находятся на одной высоте
и сближаются с постоянными скоростями. После захвата цели
бортовой РЛС перехватчик пускает ракету, которая наводится
на цель методом погони. Взаимное положение перехватчика и цели
в момент пуска характеризуется дальностью пуска £>п = 0,9 км и
курсовым углом цели <рц=155°. Скорость ракеты в процессе по-
лета ее к цели принимаем постоянной: Ур—1500 км/ч. Определить,
возможно ли прямое попадание ракеты в цель, если скорость цели
67
1/ц—1000 км/ч» располагаемая перегрузка ракеты пр = 10, распола-
гаемое время управляемого полета ракеты ?р=20 с. Возможно ли
попадание ракеты в цель, если при указанных условиях пуска
ракеты скорость цели будет вдвое меньше?
Решение. Метод погони, как известно, заключается в том, что
вектор скорости ракеты непрерывно направляется па цель и кур-
совой угол ракеты равен нулю. Общие формульные зависимости
для метода погони получены в задачах 2.1 и 2.2.
3'
Рис. 2.17
Для определения возможности попадания ракеты в цель необ-
ходимо рассчитать потребные для выполнения метода перегрузки
ракеты в процессе сближения с целью и сравнить их с располагае-
мой Пр=10. Затем требуется вычислить время догона цели по
кривой погони и также сравнить это время с располагаемым вре-
менем управляемого полета ракеты /р = 20 с. Согласно формуле (3)
задачи 2.1 потребная для выполнения метода погони угловая ско-
рость ракеты
Зная шр, легко определить соответствующую перегрузку ракеты лр.
Так как нормальное ускорение ракеты ар через угловую и линей-
ную скорости ракеты определяется известной формулой
=	(2)
68
а с перегрузкой /?р центростремительное ускорение связано соот-
ношением
«р1,
(3)
g Hip  i
(4)
откуда потребная для метода погони перегрузка ракеты равна
(5)
Для условий нашей задачи в первом случае, когда Кц= 1000 км/ч —
= 278 м/с; Vp = 1500 км/ч = 416 м/с, для момента пуска имеем:
шр = 0,131 рад/с; лр = 5,5.
Время полета ракеты по кривой погони согласно формуле (11)
задачи 2.2 равно
278 (1.52 —1)
За это время цель проходит путь, равный 6,4-278=1780 м, а ра-
кета— 6,4-416 = 2680 м. Построив для исходных данных задачи вза-
имное положение перехватчика и цели в момент пуска, а затем в
виде эпюр потребные для выполнения метода погони перегрузки
ракеты вдоль ее траектории полета, получим графическое решение
задачи (для наглядности на рис. 2.18 масштаб по осям разный).
Построение на рис. 2.18 показывает, что в рассмотренном случае
ракета встречается с целью на удалении ~3 км от точки пуска,
а потребная для выполнения метода погони перегрузка ракеты в
начале траектории максимальна, но меньше располагаемой
лр= 10, и затем но мере перехода на догон под курсовым углом
цели (рц=180° плавно уменьшается до нуля в момент встречи с
целью.
Во втором случае, когда скорость цели вдвое меньше, Уц =
= 500 км/ч = 139 м/с, £ =	= о)р = 0,0655 рад/с, пр==2,55,
V п
За это время цель проходит путь, равный 3,2- 139 = 445 м, а ра-
кета - 3,2 • 416= 1330 м.
Дальнейшие расчеты показывают, что в этом случае потребная
перегрузка ракеты в момент пуска наименьшая, но со временем
непрерывно возрастает и в точке А достигает бесконечно большой
величины. Так, например, через 2,5 с расстояние «ракета — цель»
100 м, '-fu^17Uo,	= 0,24 рад/с, лр = 10(3.
69
Так как располагаемая перегрузка ракеты ограничена величи-
ной пр=10, то в этом случае ракета проходит мимо цели с левым
промахом.
Решение задачи интересно тем, что доказывает необходимые
граничные условия выполнимости метода погони. Оказывается, что
метод реализуется только в тех случаях, когда выполняется сле-
дующее необходимое условие реализации метода: отношение аб-
ИЛ*
- Точка встречи
2(&
Рис. 2.18
солютной скорости ракеты к скорости цели должно находиться в
пределах от единицы до двух (больше 1 необходимо, чтобы до-
гнать цель, а меньше 2, чтобы перегрузка не превышала распо-
лагаемую).
Задача 2.12. Ракета наводится на находящуюся с ней в одной
плоскости цель методом параллельного сближения. Заданы: кур-
совой угол цели фЦ, отношение средней абсолютной скорости ра-
кеты к скорости цели Рр/Уц. Определить курсовой угол ракеты <рр,
при котором выполняется метод самонаведения. Какие соотноше-
70
ния скоростей должны иметь место, чтобы метод самонаведения
выполнялся при маневре цели курсом?
Решение. Для метода параллельного сближения (рис. 2.19)
необходимо, чтобы линия визирования оставалась параллельно
самой себе, т. е. угловая ско-
рость вращения линии визирова-
ния должна быть равной нулю.
Следовательно, проекции векто-
ров скоростей Сц и Ср на перпен-
дикуляр к линии визирования
должны быть равны друг другу.
Для случая самонаведения раке-
ты в плоскости должно выпол-
няться условие
(sin <p.t \
—V  - | .
кр I
У, /
Очевидно, что для неманеврирую-
щей цели и постоянных скоро-
стей цели и ракеты курсовой угол
ракеты постоянен: <pp = const. При
маневре цели курсом и скоростью
Рис. 2.19
попадание ракеты в цель воз-
можно только тогда, когда проекции скорости ракеты на линию
визирования и перпендикуляр к ней больше соответствующих
проекций скорости цели:
Vpsin?p> Уц sin
и
Ур cos > Уц | cos |.
Задача 2.13. Ракета наводится на цель методом параллельного
сближения. Атака выполняется с задней полусферы цели, под кур-
совым углом цели (рц=150°. Средняя абсолютная скорость раке-
ты Ср в 1,5 раза больше скорости цели Сц. Цель маневрирует с
поперечным ускорением ац — 40 м/с2. Какой должна быть рас-
полагаемая перегрузка ракеты, чтобы противодействовать такому
маневру? Под каким ракурсом с точки зрения противодействия ма-
невру выгоднее атаковывать цель? Как будет изменяться потреб-
ная перегрузка ракеты, если:
1) соотношение скоростей Ср/Сц будет меняться от 1 до оо?
2) курсовой угол цели будет изменяться от 0 до 180°?
Решение. Так как при методе параллельного сближения и
при маневре цели линия визирования перемещается параллельно
самой себе, то в любой момент времени проекции векторов ско-
ростей Ср и Сц на перпендикуляр к линии визирования равны
друг другу:
ypsin<pp== УцШпсрц.
(1)
71
При выполнении условия (1) для равенства нулю угловой ско-
рости линии визирования при маневре цели должно иметь место
еще следующее равенство:
Пр cos <рр == ац cos
где ац — ускорение цели;
ар— ускорение ракеты.
Из уравнения (2) получим расчетную формулу требуемого для
выполнения метода «параллельное сближение» ускорения ракеты
в случае,
(2)
когда маневр цели характеризуется ускорением ац:
COS <рц
Я — л ------
Р ц COS срр
Значение
Согласно
cos 9р выразим через и соотношение скоростей —
уравнению (1) имеем
(81П Фн \	/ л \
I	(4)
и, вспомнив свойства обратных тригонометрических функций, по-
лучим
COS
sin2
рг?
, получим
ц
ракеты для проти-
Подставив заданные численные значения <рц и
cos срр = 0,943.
Потребное ускорение ракеты согласно (3)
ар = 36,7 м/с2,
а соответствующая перегрузка ракеты
«р = ^ = 4,15.
Естественно, что располагаемая перегрузка
водействия маневру, т. е. для выполнения метода параллельного
сближения с учетом маневра цели, должна быть не менее 4,15.
Чтобы выбрать наиболее выгодный ракурс атаки маневрирую-
щей цели, т. е. определить, при каком ракурсе потребная пере-
грузка ракеты минимальна, построим зависимость отношения ус-
корений Цр/Яц от курсового угла цели <рц для соотношения скоро-
стей Ур/Уц —1,5. Подставив (5) в (2), получим
Др	COS срц
1	81118 Та
/ V
vj
(6)
72
График этой функции показан на рис. 2.20. Очевидно, что манев-
рирующую цель выгоднее атаковывать при курсовых углах цели,
близких к 90°, при этом потребная от ракеты перегрузка для про-
Рис. 2.20
тиводействия маневру и выполнения закона самонаведения мини-
мальна. На рис. 2.20 видно, как изменяется потребная перегрузка
ракеты при изменении соотношения скоростей Гр/Уц от 1 до оо.
Задача 2.14. Пуск ракеты осу-
ществляется с передней полусфе-
ры цели. Метод самонаведения —
параллельное сближение. Угол
встречи ракеты с целью <7—150°
(рис. 2,21). Определить мини-
мально допустимую дальность пу-
ска £)п. мин, если допустимая ошиб-
ка наведения ракеты в упрежден-
ную точку в момент пуска ДГ =
= 10°, скорость цели Уц=500 м/с,
средняя абсолютная скорость ра-
кеты Ур= 1000 м/с, максимальная
располагаемая перегрузка раке-
ты Пр = 20,
Решение. Минимальная
дальность пуска согласно теоре-
ме косинусов равна
- 2 (РУ) (УЦ) cos?. (1)
Рис. 2.21
Определим расстояние РУ, проходимое ракетой от пуска до столк-
новения с целью. Так как угол ДГ мал, то длина дуги РУ незна-
чительно отличается от прямой и тогда по формуле определения
длины хорды имеем
№2/?p.u„„sin-^.
73
Угол равен углу ЛГ, как углы со взаимно перпендикулярными
сторонами. Заменяя синус малого угла самим углом, выра-
женным в радианах, получим
РУ»2/?р.мяиДГ.	(2)
Определим теперь расстояние УЦ, проходимое целью от момента
пуска до встречи ее с ракетой в упрежденной точке. Так как для
метода параллельного сближения
УЦ _ РУ
Уц Ур *
то
УЦ=У^,
а, подставив значение для РУ согласно (2), получим
УЦ=2^_К„.т„ЬГ.	(3)
Далее определим минимальный радиус виража ракеты по задан-
ной максимальной располагаемой перегрузке
У2
^р. мин “ gn?	КМ.
Подставив (2) и (3) в (1), получим расчетную формулу для иско-
мой минимально допустимой дальности пуска ракеты
Для данных нашей задачи имеем /)п.мин—2,63 км.
Задача 2.15. Полет ракеты по методу параллельного сближения
при постоянных скоростях цели и ракеты характеризуется отсут-
ствием боковой перегрузки ракеты (пр = 0). При изменении скоро-
сти ракеты на траектории (в условиях прстоянства других пара-
метров: Уц, (рц, срр) возникает тангенциальная перегрузка ракеты,
необходимая для восстановления метода параллельного сближе-
ния. Выразить величину этой перегрузки в зависимости от скоро-
стей и курсовых углов цели и ракеты. Рассчитать эту перегрузку,
если Уц = 375 м/с, Ур = 750 м/с; срц = 30°, тангенциальное ускорение
арт ™ 100 м/с2.. Как изменяется перегрузка п]У, если курсовой угол
цели изменяется от 0 до 90°?
Решение. Величина боковой перегрузки находится реше-
нием системы следующих уравнений, характеризующих кинема-
74
тические соотношения между параметрами ракеты и цели при от-
клонении движения ракеты от метода параллельного сближения:
Ир sin <рр =« Уц81п<Рц,	(1)
---S V «р - 1 - —(2)
? = Тр + ?ц.	(3)
Продифференцируем уравнение (1) по времени
sin ?p + Vf cos <PP = Vu cos ?e	Sin <рц. (4)
Для метода параллельного сближения имеем
________________________л
dt ~ '
Следовательно, уравнение (4) принимает следующий вид:
— sin <рр 4- V, cos <f„ — = 0.	(5)
Продифференцируем теперь по времени уравнение (3)
Из уравнения (2) имеем		g	rfp dt »	(7)
	лр =			
а с учетом (6)		g	dt *	(8)
Подставим в (8)	выражение		- согласно (5). Тогда	
	1 /гр==~.	dt	sin ?p COS ffp *	(9)
Обозначим ускорение ракеты через
rfVp
ар— dt »
у
отношение скоростей -у- через Ь. Тогда из уравнения (1) имеем
sin<Pp==-~sin<Fu-	(Ю)
Так как
cos??«B‘j/'l — sins?p = ]/* 1 — тг81п2?ч»
(U)
75
то, подставив (10) и (И) в (9), получим расчетную формулу для
искомой тангенциальной перегрузки ракеты
др sin <рц
Т r^-"5in4a~'
Для численных данных нашей задачи имеем:
£ — 2; tip — 100 м/с3;	= 30°; пр —2,64.
Пусть теперь ?ц — 60°.
Тогда лр — 4,9. При <рц = 90° /гр = 5,9.
Таким образом, при увеличении курсового угла цели <рц с 30 до
90° боковая перегрузка ракеты возрастает в ^^-—2,25 раза.
Заметим, что при наличии скоростных характеристик ракеты
Vp—f(Z) легко может быть найден закон изменения ускорения ра-
rflzp
кеты (1 v = -а затем с помощью формулы (12)—закон изме-
нения боковой перегрузки ракеты в зависимости от времени по-
лета.
Задача 2.16. Ракета наводится на цель методом параллельного
сближения. В процессе установившегося метода самонаведения
цель начинает выполнять маневр путем разворота с перегрузкой
пу = 4. Через /—10с цель выходит из разворота и продолжает в
дальнейшем прямолинейный полет. Определить, какова должна
быть перегрузка ракеты, чтобы парировать описанный маневр.
Допущения: Уц — const, V,, — const. Заданы следующие условия:
= 400 м/с, К = 800 м/с, фц0 — 30°.
Решение. Используем формулы (1), (2) и (3) задачи 2.15.
Продифференцируем (1) по времени t:
~ЗГ Sln?p+ ^pCOS<pp^r = ^r-Sln?u+ 1/ц COS срц —, (1)
а с учетом Vp=const, Уц—const получим
cos Ъ ~зг = Кц cos <рц •	(2)
Скорость изменения скорость цели:	курсового угла цели по времени есть угловая (3)
С учетом (3) получим
== COS Срц
dt Vp cos tpp ц‘
Далее продифференцируем (3) задачи (2.15) по времени t
dfi _ dtp ।
"tfF ~di । dt~ ’
76
Из (2) задачи 2.15 получим
УР
g dt ’
а подставив (5),
Ур 7	rfcpa \
"p g \ dt dt /•
Далее с учетом (3) получим
Vp /
"p— g (, dt
(6)
(7)
(8)
Так как
cos <pp = УI — sin2 c?p =
г ц
V2
р
то расчетная формула для искомой перегрузки ракеты принимает
следующий вид:
(9)
cos (уц0 4- о»ц0
У b2 — sin2 (уц0 + o>4) _
Для численных данных нашей
задачи имеем
1
£

ц
У
COS (у ц0 + ЦцО
У Ь2 — sin2 (<рц0 4-
COS (уцо 4" *^ц7)
У b2 — sin2 (уп0 4- *>а*) .
cos (30° 4- 0,095-10)
У22— sin2 (30° 4- 0,095-10) _
(Ю)
(11)
Задача 2.17. Определить величину промаха ракеты относитель-
но цели, если на конечном участке управляемого полета перед
встречей с целью ракета отклонилась от кинематической траекто-
рии метода «параллельное сближение», который она выполняла.
Заданы скорости и курсовые углы цели и ракеты: Уц=«500 м/с,
Ур—1000 м/с, —30°, <рр“30°, дальность «ракета — цель», начиная
с которой ракета не выполняет закон параллельного сближения,
продолжая прямолинейный полет, D = 100 м.
Решение. Равенство нулю угловой скорости линии визиро-
вания является необходимым условием для выполнения метода са-
монаведения «параллельное сближение». В случае когда метод
нарушается, появляется угловая скорость линии визирования
wB 0 и вектор относительной скорости УСбл направлен уже не
по линии визирования, как это было при точном выполнении ме-
тода, а составляет с ней некоторый угол р (рис. 2.22). Несоблю-
дение метода самонаведения на участке перед встречей с целью
и приводит к появлению промаха л величина которого равна крат-
чайшему расстоянию между ракетой и целью. Из рис. 2.22 видно,
что промах г, перпендикулярный к вектору скорости сближения
Усбл, равен
r = D sin р.	(1)
Скорость сближения в этом случае будет определяться из соот-
ношения
= Vt cos (<рр — [i) + Уц cos (<рц + (1).	(2)
Рис. 2.22
Составляющая УСбЛ51Пр есть линейная скорость, связанная с уг-
ловой скоростью линии визирования известной формулой
VC6JI sin I* = 4>,D,	(3)
откуда
sm и = -rr— >	(4)
v свл
а с учетом того, что угол р мал,
^свл ® cos <рр + Va cos = Ь,	(5)
Тогда
sinp. = -^.	(6)
Подставив (6) в (1), получим следующую формулу для промаха
ракеты:
(?)
78
где
t> — Vp cos <pp + V;i cos ?ц;
Va sin <рц — Ур sin fp
(8)
(9)
Таким образом, промах ракеты при невыполнении метода па-
раллельного сближения прямо пропорционален квадрату расстоя-
ния «ракета — цель», начиная с которого ракета сходит с кинема-
тической траектории метода параллельного сближения.
Для численных значений задачи имеем:
500 sin 30° — 1000 sin 30° о с
шв =-------------inn-----------= 2,5
100
рад/с;
Ь = 1000 cos 30° + 500 cos 30° = 1297 м/с;
1002- 2,5
1297
= 19,3 м.
Рассмотрим упрощенный метод расчета промаха ракеты при
маневре цели. В этом случае, когда расстояние «ракета — цель»
становится соизмеримым с величиной промаха г, формула (7) не
может быть использована. Погрешность формулы (7) можно оце-
нить, предположив, что начиная с этого момента ракета и цель
движутся с постоянными нормальными перегрузками и скоро-
сти Ур и Уц постоянны. Если D не очень велико, то D/Ь с доста-
точной точностью равно времени А/, оставшемуся до встречи ра-
кеты с целью. Следовательно, промах
г — №£>&*.
Далее оценим скорость изменения мгновенного промаха г(/) во
времени, полагая r = const. Продифференцируем (7) по t. Тогда
получим
Г =	+ 20»,) = - М (1Лр?р - Уц?ц).	(10)
Если St мало, то за это время мгновенный промах r(t) при ма-
невре цели и ракеты с постоянными перегрузками изменится на
величину
^=-+(^<рр-кЛ).	(11)
Таким образом, оценив скорость изменения промаха, можно за-
писать более общую формулу для расчета промаха, учитывающую
маневр ракеты и цели:
г+Дг= />«>, + -2-(Уц?ц—Кр?р) Д/2.	(12)
79
Задача 2.18. Ракета наводится на цель методом пропорциональ-
ной навигации. Навигационная константа £ = 4. Построить траек-
торию полета ракеты для случая, когда цель летит прямолинейно
и с постоянной скоростью Уц=1500 км/ч. Абсолютная средняя
скорость ракеты Vp —3000 км/ч. Взаимное положение перехват-
чика и цели в момент пуска характеризуется следующими параме-
трами: дальность «перехватчик — цель» Da, курсовой угол цели
<рц = 90°. Построить траектории полета ракеты для курсовых углов
перехватчика в момент пуска ?и=30 и 60°. Для каждого случая
показать, как изменяется потребная для выполнения метода само-
наведения перегрузка ракеты в процессе сближения ракеты с
целью.
Решение. Наведение по методу пропорциональной навигации
(рис. 2.23) характеризуется тем, что ракета летит таким образом,
что ее угловая скорость в k раз больше угловой скорости пе-
ремещения линии визирования, т. е. закон управления имеет та-
кой вид:
t da
ИГ-к-аГ-
Другими словами, скорость изменения курсового угла ракеты
пропорциональна скорости изменения угла визирования. Коэффи-
циент пропорциональности k называется навигационной
константой. В частном случае, когда k=\, метод пропорцио-
нальной навигации превращается в метод погони. Построение ки-
нематической траектории полета ракеты для условий задачи при-
ведено на рис. 2.24. Характер изменения потребной для выполне-
ния метода самонаведения перегрузки ракеты в зависимости от
расстояния «ракета — цель» для различных курсовых углов пере-
хватчика tpn в момент пуска приведена на рис. 2.25. Решение за-
дачи иллюстрирует преимущество метода пропорциональной на-
вигации перед другими методами самонаведения: потребная пе-
регрузка ракеты к концу управляемого полета уменьшается.
80
Рис. 2.25
4—384
81
-a
+a
Рис. 2.26
Задача 2.19. Перехватчик выполняет атаку неманеврирующей,
летящей с ним на одной высоте и с постоянной скоростью цели.
В момент пуска ракеты курсовой угол цели <рц=90°, курсовой угол
перехватчика «рп^О, дальность «перехватчик — цель» Z)n=lO км,
скорость перехватчика 1400 км/ч, скорость цели Рц—1960 км/ч,
собственная средняя скорость ракеты Vp—700 м/с. Ракета наводит-
«	ся методом пропорциональной
ц	Точка встречи навигации. Построить графиче-
ски траектории полета ракеты
для случаев, когда навигацион-
ная константа k изменяется от
1 до 20. Показать для этих
значений k характер измене-
ния потребной для выполнения
метода самонаведения пере-
грузки ракеты от времени уп-
равляемого полета ракеты.
Решение. Очевидно, чем
больше навигационная кон-
станта, тем больше искривле-
ние траектории ракеты сразу
после пуска, а следовательно,
и больше в этот момент потреб-
ная перегрузка ракеты. Как
видно из графического построе-
ния траекторий полета раке-
ты (рис. 2.26), при любом k
после начального искривления
траектории в процессе сближе-
ния ракеты с целью траекто-
рия выпрямляется и потребная перегрузка уменьшается до нуля.
Решение задачи показывает (рис. 2.27 и 2.28), что k практически
может быть не более 10, ибо для всех k от 10 до оо характер
траектории полета один и тот же.
Эта и последующая задачи наглядно показывают, что метод
пропорциональной навигации позволяет с успехом реализовать
атаку цели на больших ракурсах.
Задача 2.20. Ракета методом пропорциональной навигации на-
водится на маневрирующую по курсу цель. Показать, как изме-
няется соотношение между потребной для парирования маневра
цели перегрузкой ракеты и перегрузкой цели в зависимости от
расстояния «ракета — цель» для различных навигационных кон-
стант k. Найти зависимость промаха ракеты от маневра цели.
Допущение: скорости цели и ракеты постоянны.
Решение. Согласно рис. 2.23 уравнение пропорционального
наведения запишется следующим образом:
» da
sr=k^r-
(1)
82
Кинематические уравнения движения ракеты и цели можно запи-
сать в виде проекции скорости сближения на линию визирования
Ь = COS (Ф - а) - V9 COS (<?р - а)	(2)
и проекции скорости сближения на перпендикуляр к линии визиро-
вания
Da = sin (ф — а) — Vp Sin (<Рр — ’)•	(3)
Продифференцировав (3) по t с учетом заданного условия
const и Vp —const, получим
ab Vp cos (<РР— о) L ( Д(т
D	D	D ’
(4)
где ац—проекция ускорения цели на перпендикуляр к линии ви-
зирования: Яц^УцСОЗ (Ф — а)Ф.
Уравнение (4) с учетом (I) дает дифференциальное уравне-
ние первого порядка относительно угловой скорости вращения ли-
нии визирования а.
На основании условия Vp = const можно допустить, что ско-
рость сближения «ракета — цель» D и проекция скорости ракеты
на линию визирования Vpcos(<pp — □) постоянны. Тогда интегриро-
вание дифференциального уравнения (4) при const дает
4*	83
следующее решение относительно угловой скорости разворота ра-
кеты (скорости изменения курсового угла цели <рц):
где
Vpcos (<f>p — <т)
(5)
(6)
Х = — k
б
есть так называемая эффективная навигационная по-
стоянная. Согласно (5) при Х = 2 ускорение ракеты в процессе
Рис. 2.29
всего полета постоянно.
При уменьшении X потребные пере-
грузки ракеты к концу полета увели-
чиваются, что может привести к увели-
чению промахов. При Х>3 потребные
перегрузки ракеты по мере сближения
с целью уменьшаются.
Второе слагаемое (5) характери-
зует потребную для парирования ма-
невра цели перегрузку ракеты-
На рис. 2.29 приведены зависимо-
сти отношения потребной перегрузки
ракеты к перегрузке цели от относи-
тельного расстояния «ракета — цель»
для различных X. Эти зависимости по-
казывают, что при Х = 2 для перехвата
маневрирующей цели потребная пере-
грузка возрастает до бесконечности в
момент встречи с целью. Очевидно, что оптимальное значение X
находится в пределах 4—8.
Найдем теперь, как зависит от маневра цели величина промаха
ракеты при наведении ее методом пропорциональной навигации.
Потребную для парирования маневра цели перегрузку ракеты на
основании формулы (5) можно записать следующим образом:
X
Лр — Кц __2
(П
Согласно формуле (7) задачи 2.17 промах ракеты для нашего при-
мера выражается формулой
Г	-
D
Для безынерционного контура управления перегрузкой ракеты
потребная для выполнения метода пропорциональной навигации
84
перегрузка связана с угловой скоростью линии визирования а и
скоростью сближения О зависимостью
=	(9)
Подставив выражение (9) в
г
формулу (8), получим
AD2 '
(10)
а с учетом соотношения (7) формула для расчета промаха в за-
висимости от перегрузки цели принимает следующий вид:
Л2 (X — 2)
(11)
При очень больших дальностях пуска (Dn->oo) потребная
перегрузка ракеты на конечном этапе самонаведения для париро-
вания маневра цели, характеризующегося перегрузкой пЦ) опреде-
ляется предельным значением
^р. макс“^ц д_2 ’	(12)
а промах
(Л —2)Z>	Л —2»
где — время самонаведения ракеты.
(13)
Глава 3
ТАКТИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ИСТРЕБИТЕЛЯ-ПЕРЕХВАТЧИКА
В данной главе изложены задачи, решение которых позволяет
количественно определить боевые возможности и боевые характе-
ристики одиночного истребителя-перехватчика. Сначала выводят-
ся общие уравнения маневрирования в бою, даются методы рас-
чета диапазонов (областей) боевого применения по высотам и
скоростям полета (задачи 3.1—3.5). Затем устанавливаются вза-
имосвязи между основными тактико-техническими характеристи-
ками (задачи 3.6—3.13). Важнейшие маневренные характеристики
(удельная избыточная мощность, располагаемые перегрузки, ра-
диус и время разворота, скороподъемность) рассчитаны для ши-
роко известного истребителя F-4C «Фантом».
В результате решения названных задач получены достаточно
общие графики и номограммы зависимостей между:
—	аэродинамическими и прочностными ограничениями обла-
стей боевого маневрирования, скоростью и высотой полета;
—	дальностью полета, взлетным весом, весом топлива, к. п. д.
двигателя, теплотворной способностью топлива, аэродинамическим
качеством;
—	скоростью, высотой полета, взлетным весом, тяговооружен-
ностью, коэффициентами подъемной силы и лобового сопротивле-
ния, площадью крыла;
—	основными тактико-техническими характеристиками борто-
вой радиолокационной станции, системы вооружения и самолета.
Задача 3.1. Составить в общем виде уравнения пространствен-
ного маневрирования истребителя-перехватчика.
Допущения:
—	истребитель-перехватчик рассматривается как материальная
точка;
—	сила тяги Р совпадает с продольной осью самолета и с
хордой крыла (составляющей тяги в перпендикулярном к траек-
тории направлении можно пренебречь);
—	угол атаки крыла мал и им можно пренебречь.
86
Рассмотреть задачу для двух случаев: 1) при отсутствии сколь-
жения; 2) при наличии скольжения.
Решение. Выбираем связанную с истребителем-перехватчи-
ком систему координат (рис. 3.1): начало координат 0 поместим
в центр тяжести самолета, ось Ох направим по вектору скоро-
сти Vn» ось Оу — перпендикулярно Ох в проходящей через Ох вер-
тикальной плоскости, а ось Oz— перпендикулярно плоскости хОу.
Рис. 3.1
Пространственное маневрирование истребителя-перехватчика мож-
но описать системой уравнений сил, действующих вдоль осей вы-
бранной системы координат. Сумма проекций всех внешних сил
на любую из осей равняется силе инерции, действующей вдоль
соответствующей оси.
Рассмотрим согласно условиям задачи первый случай, т. е.
когда угол скольжения [3 (угол между вектором Рд и плоскостью
симметрии самолета) равен нулю. Тогда аэродинамическая сила
может быть представлена двумя векторными составляющими:
подъемной силой У и лобовым сопротивлением Q (боковая сила
Z*=0). Для этого случая с учетом заданных допущений получим
следующие уравнения проекций сил:
на ось Ох
= P—Q—G sin 0;	(1)
на ось Оу
тУпЬ == Ycos J — G cos 0;	(2)
87
на ось Ог
— mVny cos 6 = У sin у,
(3)
где
у = AYjl о = и й = _^L	(4)
Кп dt ' dt ‘ dt 	v '
Здесь m — масса самолета; G — вес самолета; 9 — траекторный
угол (угол между вектором скорости Vn и горизонтом); у — угол
крена; ср — курсовой угол (угол между горизонтальной проекцией
вектора скорости Рц и выбранным направлением отсчета, напри-
мер северным направлением).
Во втором случае, т. е. при наличии скольжения самолета
(р =# 0), возникает боковая сила Z #= 0. В этом случае уравнения
сил, действующих по осям выбранной системы координат 0xyzt
запишутся так:
m,Vn~{P—Q)cosp + Zsinp — OsinO;	(5)
mV^={P—Q)sinpsinTH- У cos — Z cos 3 sin у— GcosO; (6)
—wVncos	= — Psin p cos у 4- Qsin ₽ cos у +
+ У sin у + Z cos p cos y-	(7)
Система уравнений (5), (6) и (7) характеризует самый общий
случай пространственного маневрирования истребителя-перехват-
чика. Методами интегрирования составленных систем дифферен-
циальных уравнений движения могут быть рассчитаны любые па-
раметры и пространственные координаты боевого маневрирования
истребителя-перехватчика.
Задача 3.2. С учетом допущений, приведенных в задаче 3.1, вы-
вести основные уравнения, характеризующие боевой разворот, из-
менение курса при горизонтальном полете и разгон по скорости
при прямолинейном горизонтальном полете.
Решение. 1. Для расчета параметров боевого разворота не-
обходимо выразить характер изменения скорости полета Рп и тра-
екторного угла 9 при изменении курса ср. Используем систему урав-
нений (1), (2) и (3) задачи 3.1. Разделив (1) и (2) на (3), по-
лучим дифференциальные уравнения боевого разворота:
= _ V COS 6----------;------ :	(1)
dy	п	Gny sin 7	’	4 1
ny cos у cos 9 — cos3 9
dt?	ny sin у ‘	(2)
Заметим, что при интегрировании уравнений (1) и (2) нужно
задаться зависимостью 7 = f(<p), т- е- характером изменения угла
крена в процессе выполнения боевого разворота,
88
2. При изменении курса в горизонтальном полете имеем 0 = 0.
Тогда система уравнений (1), (2) и (3) задачи 3.1 принимает сле-
дующий вид:
mVn^P~Q\	(3)
mg ~ Y cos у;	(4)
— /sin7.	(5)
3. Для характеристики разгона истребителя-перехватчика при
прямолинейном горизонтальном полете необходимо рассчитать за-
висимости:
У„=/(П и Л=/(О,
где х—расстояние, проходимое истребителем-перехватчиком по
оси х. Текущее значение скорости Кц находится интегрированием
уравнения (1) задачи 3.1:
t
(6)
О
t
х - [ Уп (0 di.	(7)
При ведении воздушного боя движение истребителя-перехват-
чика характеризуется, как правило, сложной пространственной
траекторией и неустановившимся режимом полета с непрерывны-
ми изменениями высоты, скорости, курса. Однако особо важное
практическое значение имеют характеристики установившихся дви-
жений в одной плоскости. Количественной оценке этих характери-
стик и посвящены следующие задачи.
Задача 3.3. Рассчитать границы области боевого маневрирова-
ния истребителя-перехватчика, определяющиеся располагаемой тя-
гой двигателей, аэродинамическими и прочностными ограничения-
ми. Границы построить по скоростям и высотам горизонтального
полета, т. е. в координатах «М— Известны: средний полетный
вес Gcp, площадь крыла S, характеристики располагаемых тяг в
зависимости от М и Н (рис. 3.2), зависимость аэродинамических
коэффициентов схо и А от М (рис. 1.9). Вместе с семейством гра-
ниц боевого маневрирования построить зависимость предельно воз-
можной энергетической высоты от числа М для различных нагру-
зок на крыло.
Решение. На основании общих уравнений движения (см. за-
дачу 3.1) для горизонтального полета из условия прямолинейно-
сти траектории имеем
Y + Р sin а — G = 0.	(1)
Из условия равновесия, обеспечивающего йостоянство скорости по-
лета, имеем
Q —Pcosa = 0.	(2)
89
Поскольку угол атаки а~0°, то практически
y = G; Q = P.	(3)
Введем обозначения для коэффициентов подъемной силы, лобового
сопротивления, веса и тяги:
Y Q	G . Р	/лх
СУ~ qS * qS ’ С°~ qS ’ Ср~ qS '
Р,кГ
18000
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
। Форсажный режим
—-----Бесфорса&снътй режим
Рис. 12
Здесь скоростной напор
? — 2 ’
(5)
(6)
плотность воздуха
2?
V2 *
и
90
Известно, что при полетах на высотах от 0 до 11 км тяга при
постоянной скорости зависит от высоты несколько меньше, чем р.
Поэтому для высот #<11 км коэффициент тяги может быть
рассчитан по формуле
_______	, (сря-и срн-о)Н
срп<и срн-о “г	и
(7)
Для высот #>11 км тяга уменьшается почти пропорционально р,
и, следовательно, коэффициент тяги практически от высоты не за-
висит, а является только функцией скорости Vn. Таким образом,
при Ёп=const
срн> и “ срн-и “ const.	(8)
Сказанное позволяет заключить, что для расчета области боевого
маневрирования достаточно знать характеристики располагаемых
тяг в зависимости от М для двух высот (Н — 0 и #=11 км), а
формулы (7) и (8) справедливы для всего диапазона высот. Это
допущение существенно упрощает расчеты, не влияя практически
на точность результатов.
Поляра самолета представляется параболической зависимостью
G = Go + Ас*,	(9)
где А и сх0 задаются графиком (рис. 1.9).
Подставим Су из (9) в (4). Тогда получим следующую формулу
для скоростного напора:
G — °
q CyS S
(Ю)
С помощью формулы (10) находим границы области боевого ма-
неврирования по располагаемой тяге.
Порядок расчета следующий:
—	задаемся скоростью полета перехватчика в числах М;
—	по характеристикам располагаемых тяг (рис. 3.2) находим
тягу Р;
—	по графику (рис. 1.9) определяем коэффициенты А и
—	по формуле (10) рассчитываем величину скоростного напо-
ра
—	по формуле (4) рассчитываем коэффициент тяги сР;
—	по формуле (6) находим соответствующее величинам q и Уп
значение плотности воздуха р;
—	по таблице международной стандартной атмосферы соглас-
но значению р определяем высоту полета #.
Наряду с ограничениями по располагаемой тяге область бое-
вого маневрирования определяется еще ограничениями по устой-
чивости и управляемости, а также прочностными характеристика-
ми самолета.
91
Аэродинамическое ограничение для равномерного горизонталь-
ного полета определяется предельным значением коэффициента
подъемной силы супред, которое находится из формулы
G
2 пре#
(11)
Для расчетов в первом приближении можно принять супред — 1.
Тогда, подставив в (11) суПред=1 и задаваясь значениями Н, нахо-
дим из таблицы MCA соответствующие значения р, а затем Н.
Ограничения по прочности конструкции самолета выражаются
предельно допустимым скоростным напором <?Пред и предельно
допустимой температурой нагрева Ги. Зная q, находим соответст-
вующие границам области боевого маневрирования величины Н
и М по формуле
Ма = Уп = ]/^.	(12)
92
Ограничения по нагреву определяются из формулы
оз)
где Гн — искомая температура при предельном скоростном на-
поре;
Го — температура внешней среды.
На рис. 3.3 приведены результаты расчетов ограничений по вы-
сотам и скоростям горизонтального полета с помощью формул
(12), (13) и (11) при <7пРед = 5ООО, 10000, 15000, 20000 и
30 000 кГ/м2; Гн-100, 150, 200, 250 и 300° С; суПред=1 для
=200, 400, 600 и 800 кГ/м2.
Там же приведено семейство линий постоянных энергетических
высот:
Уп
2^ '
(И)
Вдоль линии Нэ перехватчик имеет постоянный энергетический
уровень, по которому можно судить о запасе энергии, что важно
при оценках пространственного маневрирования, когда один вид
энергии переходит в другой.
Внутри полученных областей истребитель-перехватчик, исполь-
зуя располагаемую тягу, может выполнять различные маневры.
Количественную оценку маневренных возможностей внутри обла-
стей боевого маневрирования рассмотрим в последующих задачах.
Задача 3.4. Для истребителя-перехватчика типа F-4C «Фантом»
рассчитать диапазон скоростей и высот боевого применения, ха-
рактеризующий его маневренные возможности при ведении воз-
душного боя. Заданы: аэродинамические и тяговые характеристи-
ки (рис. 1.9 и 3.2), средний полетный вес G —17600 кГ, площадь
крыла 5 = 49,2 м2. Учесть ограничения по предельному значению
числа М (Мпред = 2,1), скоростному напору (7пРед=98бО кГ/м2) и
УСТОЙЧИВОСТИ (СуПред“1)>
Решение. В качестве наиболее общего критерия, количест-
венно характеризующего маневренные возможности истребителя-
перехватчика, принимаем удельную избыточную мощность #уд, т. е.
отношение скорости изменения результирующей энергии самолета
к его весу. Истребитель-перехватчик на заданной высоте и скоро-
сти только тогда превзойдет своего противника по маневренности,
если у него на заданном режиме удельная избыточная мощность
больше.
Запишем уравнение энергетического уровня самолета, т. е. об-
щую энергию, равную сумме потенциальной и кинетической энер-
гий;
2
(1)
93
где G, tn, H, Vn — вес, масса, высота и скорость истребителя-пере-
хватчика. Поделив (1) на G — mg, получим
(2)
При маневрировании в воздушном бою величины Н, Уп и Е не-
прерывно изменяются. Продифференцируем (2) по t. Тогда со-
гласно определению удельная избыточная мощность выражается
формулой
^=4(4)="+^-	с3)
С другой стороны, уравнение (3) получается из условия равнове-
сия сил при полете под углом 9 к горизонту:
Р—Q— GsinG = /nVn,	(4)
где Р — тяга силовой установки;
Q — лобовое сопротивление.
Умножив обе части уравнения (4) на величину получим
_ynSino = ZA	(5)
Слагаемое VnsinO — это изменение высоты во времени, т. е. скоро-
подъемность:
м =:/?—1/п sin 0.	(6)
Следовательно, получаем
^(P-0). = /7+ZA.	(7)
Сравнив (7) с (3), можно записать удельную избыточную мощ-
ность следующим образом:
N„ = —•	(8)
Далее воспользуемся следующими известными соотношениями:
лобовое сопротивление
pVj
Q — c^—^-S,	(9)
коэффициент лобового сопротивления
с^сл + Ас2.	(10)
С учетом (9) и (10) получим
Vn р’— (СЛО + Лс£)
^уд —	а
94
Найдем расчетное выражение для коэффициента подъемной
силы Су. Поскольку для полета по траектории с углом 6 к гори-
зонту
r = Gcos6,	(12)
то
Су = Са COS 0.	(13)
На основании (13) и (6) имеем
==со c°s2 6 = c2g (1 — sin29) = c2?fl-(14)
Подставим в уравнение
Р= Q 4- G sin 0	(15)
выражение (10). Тогда
4- Ac2 -Cp~[-cQ sin 6 = 0;	(16)
Сх0 + ^Cg	V2”)	Ср + CG “7^" — Ф
j4c2	с
- tv “+с> -	- А 4=°;
откуда
и = -2^7 I1 - Vl-^A^-c^-Acl)].	(17)
Следовательно,
|1 - ^4 11 “ П-4Л(Ср-^-^0)]2|.
(18)
На основании полученных соотношений можно предложить сле-
дующий алгоритм расчета искомых зависимостей Н~f(M) для
различных значений #уд=const:
—	задаемся числом М;
—	по М находим сжо и А (рис. 1.9);
— перебираем все возможные значения Н, при которых по
уравнению (11) получаются заданные значения Nyn=0,25, 50, 100,
150,.. кГм/скГ, для чего:
—	по Н находим с помощью таблиц соответствующие величи-
ны р и а;
—	по М и Н находим из графика (рис. 3.2) тягу Р;
—	вычисляем:
рУ2	г
с0 = -^; V„ = Ma;
— с помощью формул (7) и (8) задачи 3.3 рассчитываем ср;
— рассчитав с2 по формуле (18) и подставив все полученные
промежуточные величины в формулу (11), находим ЛуД.
95
Если найденное значение Л/уд не равно заданному, то методом
итераций алгоритм расчета Л\д, изложенный выше, повторяется
при других величинах высоты Н до получения заданного целого
значения #уд, после чего полученные пары чисел Ми//, при ко-
торых уравнение (11) дает точно заданное значение Л/уд, записы-
ваются. Далее алгоритм расчета повторяется при другом зна-
чении М. Получив все пары чисел М и Н для заданного зна-
чения Л\-д, переходим к расчету той же совокупности Ми// для
следующего заданного значения Л/уд. В такой последовательности
описанный алгоритм повторяется для всего диапазона Ми// бое-
вого маневрирования рассматриваемого истребителя-перехват-
чика.
Результаты расчетов для исходных данных нашей задачи при-
ведены на рис. 3.4. Ограничения по ^пред и супред берутся
из рис. 3.3. Накладывая графики //=/(М) для одинаковых зна-
чений Л/уд двух сравниваемых истребителей друг на друга,
можно наглядно выявить области М — //, в которых один истре-
битель превосходит другого по маневренности в воздушном
бою.
96
Задача 3.5. Рассчитать в координатах М — Н области боевого
маневрирования для различных значений нормальной перегруз-
ки пу, продольной перегрузки лх, радиуса виража /?п, времени раз-
ворота на 180° в горизонтальной плоскости /]а0О) вертикальной ско-
рости набора высоты и при форсажном и бесфорсажном режимах
работы двигательной установки. В качестве исходных данных при-
нять данные задачи 3.4.
Решение. Рассмотрим вираж перехватчика в горизонтальной
плоскости. Нормальная перегрузка пу — это отношение подъемной
силы У к весу G. Она действует в плоскости симметрии самолета,
перпендикулярна вектору скорости Еп и равна
Для располагаемой нормальной перегрузки имеем
^pacn	NpJj£-	(2\
/£,урасп Q	q	г GypaenJ1 q >
где Расп — располагаемое значение коэффициента подъемной
силы;
Рв — давление воздуха.
Для сверхзвуковых истребителей-перехватчиков в первом при-
ближении
Подставив (3) в (2), получим
«у расп-Ч/ Gj/др^Т ’
Из поляры самолета
+ Ас}	(5)
находим которое подставим в (1). Тогда расчетная формула
для располагаемой нормальной перегрузки при криволинейном по-
лете в горизонтальной плоскости примет следующий вид:
(6)
Именно эта перегрузка, создаваемая тягой двигателя, является од-
ной из основных характеристик маневренных возможностей пере-
хватчика.
Алгоритм расчета границ областей боевого маневрирования в
координатах М — Н для различных значений пу следующий:
— задаемся значением М;
«— по графикам рис. 3.2 и 1.9 находим соответствующую тягуР
и коэффициенты сх0 и А;
— по формуле (4) задачй 3.3 рассчитаем коэффициент тягисР;
97
— для фиксированного значения перегрузки пу рассчитаем
коэффициент веса cG по формуле
СО --
Ср Схй
— зная Cg, находим из соотношения cG =
ности воздуха р;
— по таблице находим соответствующей
полета //.
(7)
а
величину плот-
плотности p высоту
Рассчитанные по описанному алгоритму границы областей бое-
вого маневрирования самолета типа F-4C «Фантом», соответствую-
щие различным значениям перегрузки пу, для форсажного и бес-
форсажного режимов работы двигателей приведены на рис. 3.5.
Аналогичным методом рассчитываются границы областей бое-
вого маневрирования для различных значений продольной пере-
грузки пх, радиуса виража /?п, времени разворота на 180° /180О
и скороподъемности и. Результаты этих расчетов для самолета F-4C
приведены на рис. 3.6—3.9. Основой этих расчетов являются следую-
щие количественные соотношения. По определению продольной
перегрузки имеем

(8)
98
99
Рис. 3.9
100
Следовательно,
^хй
— А^а
(9)
ИЛИ
=	(10)
Каждой величине перегрузки пу соответствует вполне определен-
ный радиус виража Rn и время /180о, потребное для разворота на
180°. Найдем эти соотношения.
Условия равновесия сил при криволинейном полете в горизон-
тальной плоскости запишутся так:
Z^/siny; Y cos у,	(11)
где j —угол крена.
Для центробежной силы из механики известно соотношение
GV2
>7______________________п
откуда радиус виража
GV2
^=-±-	(13)
о
Подставив выражения для G и Z в формулу (13), получим
/? = Y cos Y _ (Мд)2
п gY sin т g tg т	g у ^2 _ j
Здесь согласно (11) и (1) имеем
cos 7 = -у- = J-; sin т =Кя’— 1; tgT = V«J —1.
J	fly	f£y	7	л
Далее находим время, потребное для разворота на 180°:
/ ___
*180° V '
г п
(14)
(15)
(16)
Подставив выражение для перегрузки пу согласно (6), получим
окончательные расчетные формулы:
(17)
(18)
При построении границ областей боевого маневрирования для
различных значений пу, Ra и /180О необходимо учитывать аэроди-
101
йамическое ограничение по величине еУДоп, которое согласно опре-
делению
определяется неравенством
^y^G < ДОП-	(19)
В этом случае граница области боевого маневрирования рас-
считывается с помощью формулы
Gfty
с_Р_с
° 2 *-тиоп
М=^-
(20)
Задаваясь величинами пу и М, находим из (20) плотность воз-
духа р, а затем по таблице — соответствующую высоту полета Н.
Рассматривая в качестве параметра для области боевого ма-
неврирования скороподъемность w, можно записать следующие со-
отношения:
ДР __ -и
G ~ Vn
__ и
Ъ\а ’
sin 0 =
(21)
(22)
(23)
(24)
где и —скорость набора высоты, т. е. проекция скорости Vn на
вертикальную ось;
ДР—разность между тягой, потребной для набора высоты,
и тягой, потребной для горизонтального полета.
Поскольку из (21)
»	Q I
а нормальная перегрузка
Y
ny = -Q^ cos о,
то для а~0 и Р — Рмакс получим
и
Использовав эти соотношения и формулу (17) задачи 3.4, итера-
ционным методом, аналогичным описанным выше, рассчитываем
функции	при «=const
Задача 3.6. Исходя из тактических требований дальность гори-
зонтального полета истребителя-перехватчика должна быть равна
£г.п. Определить потребный относительный вес топлива, если из-
вестны коэффициент полезного действия двигательной установки
rj=0,4, теплотворная способность топлива 5= 10 000 ккал/кГ и аэро-
динамическое качество самолета К. Показать, как зависит относи-
тельный вес топлива от аэродинамического качества для трех
значений дальности полета £г.п=1000; 2500 и 4500 км. Как изме-
102
няется зависимость £т — /(/(), если к. п. д. двигателя изменится
от 0,4 до 0,6? Допускаем, что весь запас топлива расходуется в
горизонтальном полете.
Решение. При горизонтальном полете совершается работа,
равная работе по переносу среднего полетного веса GCp на рас-
стояние £г.п- Эта работа численно равна GcpLr.n и уравновеши-
вается работой двигательной установки при сжигании G? кило-
граммов топлива, которая в свою очередь равна GTK8r). Таким об-
разом, имеем
GcpAr.n = G^4	(1)
Поскольку средний вес связан со взлетным весом соотношением
ср
взл
*
то относительный вес топлива равен
t __ GT ___ GT
Gcp “ G +
^взл n 2^
Но согласно формуле (1)
(2)
(3)
(4)
103
где
Г. п
(6)
Следовательно, расчетная формула примет следующий вид:
“ ТТодГ-
.	L
Подставляя в формулу (6) величину 3, необходимо сначала
ккал преобразовать в кГм, помня, что 1 ккал = 427 кГм. Варьируя
величиной К от 2 до 9, находим искомую зависимость Ъ=!(К)
для исходных данных задачи (сплошные линии на рис. 3.10). При
iq — 0,6 решение дано пунктиром.
Задача 3.7. Для перехватчика по тактическим требованиям
дальность горизонтального полета на крейсерском режиме должна
быть равна 2000 км. Определить вес топлива, если взлетный вес
перехватчика <?Взл = 20 т, коэффициент полезного действия дви-
гателя т]=0,4, теплотворная способность топлива 8 = 10000
коэффициенты подъемной силы и лобового сопротивления су=0,45
и сх=0,1. На какую величину уменьшится дальность полета, если
относительный вес топлива уменьшить в два раза?
Решение. Обозначим дальность горизонтального полета пе-
рехватчика через Lr.n. Тогда энергия, которая тратится двигателем
при перелете перехватчика на расстояние £г.п, равна работе по пе-
реносу веса перехватчика на это расстояние. Так как вес пере-
хватчика в процессе полета изменяется в значительных пределах,
то будем пользоваться понятием среднего веса 6ср, считая его
постоянной величиной и равной
Сер =	4^’	О)
(2)
где GT —вес топлива.
С учетом такого вполне допустимого упрощения работа, выпол-
няемая при полете перехватчика на дальность Лг.п, равна
^ср^г. п
СУ
сх
Относительный вес топлива согласно (1) определяется соотноше-
нием
GT
^взл
^ср
^взл
(3)
Из (2) имеем
, _ _ ^г. п^ср
г “ /Оч »
(4)
где
(5)
104
Подставив величину Gcp из (1), получим
^Г. П \ _ Gfl3fl^T. п
2/(Ц / “ КН
(6)
(7)
Таким образом, расчетная формула для относительного веса
топлива принимает следующий вид:
Д». п
S _
2/^8т]
Для численных значений нашего примера имеем £т = 0,23.
Следует помнить, что в формулу (8) необходимо подставлять Дг.п
. кГ м
в метрах, а & в   кГ -, т. е. учесть, что
1 ккал = 427 кГм.
Итак, получив относительный вес топлива, определим его абсо-
лютный вес:
GT — 4,6 т.
Далее определим, во сколько раз изменится Дгль если $т умень-
шится в два раза.
Из соотношения (8) имеем
ir.n=№/)—(9)
1 Г
П	г	Г	2000 П 1 О
Если уменьшить 5т в два раза, Ьг.п уменьшится в =2,13 раза,
так как
£г.п=4,5-427-10<-0,4—=940 км.
1	~2~
Практическая дальность полета перехватчика на крейсерском ре-
жиме будет несколько меньше, так как следует учесть еще допол-
нительный расход на взлет, а также аварийный запас топлива.
Задача 3.8. Определить потребную относительную тягу пере-
хватчика для горизонтального полета на высоте Н при скоро-
сти Vn, если известны взлетный вес 6ВЭл, коэффициент лобового
сопротивления сх, площадь крыла S, взлетная тяговооружен-
ность Е.
Решение. Потребная тяга для горизонтального полета опре-
деляется по известной формуле
р _____с <?	(п
'потр — ‘'л 2 °’
где р— плотность воздуха на рассматриваемой высоте.
105
Введем понятие относительной тяги:
Ль ^*потр ____________________	£
ВЗЛ
(2)
Гвц,
где в =	---взлетная тяговооруженность.
С^ВЗЛ
Чтобы наглядно проследить взаимосвязь между ф, взлетным
(рис. 3.11), охватывающую практически весь возможный диапа-
зон изменения рассматриваемых характеристик.
Задача 3.9. Показать, в каких пределах изменяется потребная
для горизонтального полета тяга перехватчика, если аэродинами-
ческое качество самолета увеличивается в два раза. Определить
потребную тягу горизонтального полета, если известны аэродина-
106
мическое качество Л=5, взлетный вес <?Взл=20 т, вес топлива
GT = 4,6 т, а взлетная тяга составляет 0,8 от взлетного веса.
Решение. Выведем сначала в общем виде формулу зависи-
мости между относительной тягой ф, аэродинамическим качест-
вом К, относительным весом топлива ет. По аналогии с введенным
в задаче 3.7 понятием среднего полетного веса Gcp можно в пер-
вом приближении пользоваться понятием средней потребной тяги
горизонтального полета и средним значением аэродинамического
качества /Сср.
Тогда
или, подставив выражение для Gcp из задачи 3.7, получим
Р ________ 2ОВЗЛ	/Л\
^потр. ср ~ 2АСср	’	W
(3)
а вводя понятие относительного веса топлива
Е ____________________________, GT
т СВЗЛ ’
получим следующую формулу для расчета средней тяги, потребной
для горизонтального полета перехватчика:
Р _______ GвЗЛ (2	5т)
^потр. ср —	2/(Ср
Обозначим взлетную тяговооруженность через
Т'вЗЛ
@взя
(5)
тогда
е =
(6)
107
Таким образом, средняя тяговооруженность
Ф =	(7)
Г ВЗЛ	-^Аср6
Зависимость ф—f ($т, X) представлена на рис. 3.12. Для числен-
ных данных нашего примера при Х=5, $т = 0,23 и е=0,8 потребная
относительная тяга горизонтального полета составляет ф =
о 0 23
= ”2.57^8" ~ 0,22* Если Кср увеличить в два раза, то потребная
средняя тяговооруженность горизонтального полета уменьшится
в два раза.
Задача ЗЛО. Установить основные соотношения между характе-
ристиками перехватчика при разбеге. Показать, как зависит длина
разбега от взлетного веса, тяговооруженности, аэродинамического
качества, плотности воздуха, коэффициента трения колес.
Решение. Длина разбега £р— это пройденный путь при рав-
ноускоренном движении перехватчика от скорости 17=0 до скоро-
сти отрыва Ротр за время разбега /р. Следовательно,
/	17 /	1/°тр^р	,	/п
где аср — среднее ускорение, величину которого принимаем по-
стоянной.
Выразим теперь V0Tp и аСр через основные характеристики пе-
рехватчика и силы, действующие при разбеге.
В момент отрыва подъемная сила уравновешивается взлетным
весом 0взл за вычетом проекции силы тяги двигателя Р на вер-
тикальную ось:
pV2
- Р sin «стр = с,отр -4IL s,	(2)
откуда
,r	2 (О3зл Р sin «отр)
у -----------------' <3>
где с>отр— коэффициент подъемной силы в момент отрыва;
р—плотность воздуха;
£ — площадь крыла;
аотр — угол атаки в момент отрыва.
Ускорение аср определяется из уравнения движения перехват*
чика при разбеге;
==	тр>	(4)
т—(5)
S
где т— масса перехватчика,
Q — сила лобового сопротивления,
FTp —сила трения колес.
108
Из (4) с учетом (5) получаем
g (Р — Q — Fгр)
(6)
flCp	Q
Так как силы Р, Q и fTp в процессе разбега изменяются, то в фор-
мулу (6) необходимо подставлять их средние величины.
Известно, что средняя тяга при взлете составляет порядка 0,95
от стендовой тяги Рст (когда V=0) с учетом потерь во входных
каналах двигателя:
Средняя суммарная
Рср = 0,95РС1.	(7)
сила сопротивления перехватчика равна
(Q + Лр)сР Г<зв,„.	(8)
коэффициент сопротивления движению пере-
где f' — суммарный
хватчика при разбеге.
Известно, что
/'= 0,5 (/Ч--U—
\ Лотр
где f— коэффициент трения колес;
/Сотр — аэродинамическое качество перехватчика при отрыве.
Подставив (7), (8) и (9) в (6), получим
-	_ S	-/ ^ВЗл) _ / __
°ср —	~	g vs-
(9)
^в3л
(Ю)
где в —0,95-^-----средняя эффективная тяговооруженность пере-
е^взл	*
хватчика при разбеге.
С учетом (3) и (10) получим расчетную формулу для длины
разбега:
GB„-Psinaoip
----с,oipRS? (•-/') '	1 >
Полученные формулы позволяют: рассчитать скорость отрыва в
зависимости от температуры и давления наружного воздуха (опре-
делив р), взлетного веса, тяги; определить длину разбега в зави-
симости от этих величин, а также от наклона взлетно-посадочной
полосы, скорости и направления ветра.
В расчетах можно использовать следующие величины }':
для бетонного покрытия 0,065—0,07;
для твердого грунта 0,075—0,08;
для сырого вязкого грунта 0,2—0,26.
Задача 3.11. Обосновать тактико-технические требования к ос-
новным характеристикам бортовой радиолокационной станции пе-
рехвата и прицеливания, если известны: скорость перехватчика
14—2000 км/ч, скорость цели 14=1800 км/ч, диапазон возможных
пусков ракет 7)п.макс = 7)п.МИц = 50 ч-15 км, максимальное превыше-
ние цели над перехватчиком ДЯр-5 км, суммарное время выпол-
109
нения всех операций по обнаружению, опознаванию, захвату цели,
самонаведению перехватчика и подготовке ракет к пуску =
= 30 с, метод самонаведения перехватчика на цель — параллельное
сближение.
Решение. Основными тактико-техническими характеристика-
ми бортовой РЛС перехватчика являются максимальная даль-
ность обнаружения, сектор обзора по азимуту и углу места, точ-
ность измерения координат цели, разрешающие способности по
дальности и азимуту.
Поскольку от момента обнаружения цели бортовой РЛС до мо-
мента пуска ракет .необходимо иметь время не менее /s = 30 с, а
скорость сближения достигает максимального значения при атаке
строго на встречных курсах, то максимальная дальность обнару-
жения цели должна удовлетворять требованию
макс ^п. макс “Ь (	(1 )
Потребный сектор обзора по азимуту фп определяется макси-
мальным углом визирования цели при выполнении заданного ме-
тода самонаведения перехватчика. Так как для параллельного
сближения курсовой угол перехватчика
<РП = arcsin-Xй-sin срц,	(2)
* л
а для всеракурсного оружия курсовой угол цели срц=О4-18О0, то,
учитывая, что <рп достигает максимума при <рц = 90°, получаем
 Ki
Тп. макс ^С Sin у	(о)
к п
Это потребный угол визирования цели, который, естественно, дол-
жен быть симметричным относительно продольной оси самолета.
Следовательно,
фп> 2 arcsin-^-.	(4)
Для данных нашей задачи имеем: -^- = 0,9; сц.макс^згс sin 0,9 =
= 64°; сектор обзора по азимуту должен удовлетворять требова-
нию 128°. Заметим, что при уменьшении скорости цели или
Ki
увеличении скорости перехватчика, т. е. при уменьшении , по-
требный сектор обзора по азимуту уменьшается. Так, при —0,7
фп> 2-44,5 = 89°.
Максимальный потребный сектор обзора по углу места опре-
деляется из условий перехвата цели с максимальным превыше-
нием Д/7Р, обеспечивающим поражение цели ракетой при пуске ее
с минимально возможной дальности. Для горизонтального полета
S'
перехватчика этот угол места равен arcsin—й------.Считая сектор
ип- мин
110
обзора по углу места симметричным относительно продольной оси
самолета и учитывая ошибку в определении высоты цели ДЯЦ, по-
лучаем, что сектор обзора по углу места должен удовлетворять
требованию
фв > 2 arc sm —р-----.	(5)
^П. МИН
Для численных данных задачи и при Д//ц — 1 км получаем
фв > 2 arc sin 5 +-1 = 47°.
Потребная точность измерения координат цели может быть
обоснована исходя из условий расчета угла упреждения ф при
пуске ракет с дальности £>п в упрежденную точку встречи с целью.
Для параллельного сближения
sin ф ~	,	(6)
где % — угловая скорость перемещения линии визирования цели;
Vp — средняя скорость ракеты.
Продифференцируем уравнение (6). Тогда
~ Tn COS Ф Дф
ДО„-----	(7)
Максимальная ошибка в измерении дальности имеет место при
соэф=1. Если допустить ошибку в расчете угла упреждения
Дф=1°, принять ц)В = 5 град/с, то при Ер = 3000 км/ч Д£>п 167 м,
при о)В = 50 град/с Д£>п =С 16,7 м. Для обоснования требуемой раз-
решающей способности бортовой РЛС рассмотрим нахождение в
секторе обнаружения двух целей, летящих па удалении D от пере-
хватчика с дистанцией d и интервалом /. Тогда, очевидно, разре-
шающая способность по дальности должна удовлетворять требо-
ванию ДР < а разрешающая способность по азимуту — соотно-
шению
Д?аз •	(8)
Задача 3.12. Перехватчик наводится методом «прямой пере-
хват» на неманеврирующую цель, находящуюся с ним на одной
высоте (рис. 3.13). Скорости перехватчика и цели постоянны. Опре-
делить потребный угол автоматического сопровождения цели бор-
товой радиолокационной станцией по азимуту, если атака должна
обеспечиваться под любым ракурсом, а скорость перехватывае-
мых целей изменяется в диапазоне от 1000 до 3000 км/ч. Заданы:
скорость перехватчика Уп~ 1700 км/ч, скорость ракеты Ур =
— 500 м/с, дальность захвата цели бортовой РЛС D3axB = 70 км,
дальность пуска ракет Dn=20-j-50 км.
Ш
Решение. Согласно кинематической схеме перехвата
(рис. 3.13) имеем:
4Л _	__ Vn .
FC ЕС Кц ’
fC = DpXa-;
• v п
Vn _ sin Ур	(1)
sin <рр '	V }
Путь, проходимый ракетой до встречи с целью, равен
=	(2)
Путь, проходимый целью от момента пуска до встречи с ракетой,
определяется формулой
DE == D„ — 	sin %.	(3)
Ц sin (ур + 9р) тр	4 7
Курсовой угол цели в момент захвата цели бортовой РЛС равен
f ц ==« т + ₽,
где
sin (ур + 9Р)
р = arc tg-----*---Ц- ;	(4)
COS (Ур + <Рр) + ~~
7 = arcsin-4^(p-^ — D^\,	(5)
На рис. 3.13 угол сопровождения или визирования цели есть
угол, заключенный между вектором относительной скорости пере-
хватчика Vn.oTB и вектором абсолютной скорости перехватчика
Кц.абс-
112
Потребный угол автоматического сопровождения цели по ази-
муту зависит, естественно, от ракурса атаки. Для заданного зна-
чения курсового угла цели фц имеем
фп = 180° — а — <рц =	— ?ц.	(6)
Таким образом, для ответа на поставленный в задаче вопрос
необходимо задаваться в диапазоне от 0 до 180° различными зна-
 Лп-50кл|
— — — 20км
Рис. 3.14
чениями срц и рассчитать по известным значениям 1/ц, £>захв, Dn,
Ей, Vp с помощью формул (1) -г- (6) искомый угол фп. Результаты
расчетов для заданных в нашей задаче условий приведены на
рис. 3.14.
Как показывает зависимость фп=^(фц) (рис. 3.14), при сравни-
тельно небольших скоростях перехватываемых целей потребный
азимутальный угол автосопровождення достигает максимума при
курсовом угле цели фЦ=90°. При скоростях цели 2000 км/ч
угол фп с увеличением курсового угла цели непрерывно возрастает,
и если фп ограничен конструкцией антенной системы или фюзе-
ляжа перехватчика, то атака цели ограничивается определенным
небольшим диапазоном курсовых углов цели с передней полу-
сферы.
Задача 3.13. Определить потребный угол автоматического со-
провождения цели бортовой РЛС по углу места, если необходимо
перехватывать цели с передней полусферы с превышением. Счи-
таем, что ракета должна «подсвечиваться» с момента пуска до
встречи с целью. Заданы: скорость перехватчика Vn —1700 км/ч,
скорость ракеты Vp==500 м/с, дальность пуска £>п = 50 км, превы-
шение цели над перехватчиком в момент захвата цели БРЛС
АН—8 км, а скорость перехватываемых целей изменяется в диапа-
зоне =( 1000-ь3000) км/ч. Как изменяется потребный угол авто-
5—384	113
сопровождения цели по углу места, если перехватчик перед пу-
ском выполняет «горку»? При этом известна потеря скорости пере-
хватчика на «горке» ДУп=500 км/ч.
Решение. Согласно 1 на рис. 3.15 имеем, что потребный угол
автосопровождения цели по углу места без выполнения «горки»
равен
Фв = агс1а4г>	(О
где
ДА = £-(£>„ + £•„);	(2)
(3)
D„ = VJ,	(4)
t— время от пуска до встречи ракеты с целью.
С учетом наклона траектории перехватчика при выполнении
«горки» имеем (положение 2 на рис. 3.15)
К = Фв-«.	(5)
где а — угол кабрирования перехватчика.
Набор высоты при выполнении «горки» определяется из соот-
ношения между кинетической и потенциальной энергией:
mV2
(6)
Продифференцируем (6). Тогда
Д# =	(7)
Таким образом, высота «горки» прямо пропорциональна скорости
перехватчика Vu и потере скорости за время выполнения «гор-
ки» ДУП.
114
Дальность пуска определяется соотношением
= Уя*СО8?д + (Уп+ Vp)/cos«,
откуда
/==___________
Уц cos срц 4- (Уп + Vp) cos« '
(8)
(9)
Далее имеем]
<рп = arc sin
ДЯпр
е — arc sin
KTVpSin?-
(Ю)
(И)
п
Полученные формулы (1), (2), (5), (8) и (9) позволяют рас-
считать искомый угол фв в зависимости от скорости цели Уц и за-
данных величин Уп, Ур, Д/7, Da. Результаты расчетов приведены на
рис. 3.16. График фв=7(Уц) показывает, что выполнение «горки»
позволяет значительно снизить требования к углу места сопрово-
ждения цели бортовой РЛС.
5*
________________ ☆ _______________
Глава 4
ОЦЕНКА БОЕВОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ С ПОМОЩЬЮ
ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Поскольку исход боя истребителя-перехватчика с целью зави-
сит от множества факторов и в общем случае является случайным
событием, качество выполнения боевой задачи количественно наи-
более полно оценивается вероятностными показателями, например
вероятностью уничтожения (сбития) цели.
В данной главе приводятся задачи, показывающие возможные
методы применения основных теорем и правил теории вероятно-
стей для оценки различных аспектов боевой эффективности пере-
хватчика при ведении им воздушного боя.
События «попадание в цель» и «поражение (сбитие) цели» во
всех задачах главы считаются эквивалентными.
При необходимости до разбора этих задач вспомнить основ-
ные положения и определения теории вероятностей следует обра-
титься к книге [2].
Задача 4.1. В результате неточного наземного наведения пере-
хватчик достоверно попадает либо в область разрешенного пуска ра-
кет, либо в область действия пушек. Определить вероятность того,
что воздушная цель будет сбита, если перехватчик осуществляет
одну атаку, применяя либо ракеты, либо пушечный огонь. Вероят-
ность сбития цели при попадании перехватчика в область разре-
шенного пуска ракет равна 0,5, а вероятность сбития цели при
попадании в область прицельного пушечного огня — 0,3.
Решение. Событие А — «перехватчик попал в область разре-
шенного пуска ракет» и событие В — «перехватчик попал в об-
ласть возможного ведения прицельного огня из пушек» — несовме-
стны (попадание в одну область исключает попадание в другую).
Поэтому применяем теорему сложения вероятностей: вероятность
того, что наступит одно из двух (или нескольких) взаимно исклю-
чающих друг друга (несовместных) событий, равна сумме вероят-
ностей рассматриваемых событий. Искомая вероятность
Р (А + В) = Р (4) + Р {В) = 0,5 + 0,3 = 0,8.
Задача 4.2. Перехватчик, вооруженный двумя ракетами с полу-
активными головками самонаведения, наводится на воздушную
116
цель. При безотказном функционировании наземной и бортовой
систем наведения перехватчик оказывается выведенным в зону раз-
решенного пуска с вероятностью 0,9. При условии безотказной
работы систем пуска, самонаведения и подрыва ракеты одна вы-
пущенная ракета поражает цель с вероятностью Pi = 0,8. Пере-
хватчик выпускает по цели обе ракеты, каждая из которых наво-
дится независимо. Надежность наземной системы наведения Р2 =
=0,9, надежность бортовой РЛС в процессе управления ракетами
Р3=0,95, надежность системы пуска и самонаведения ракеты
Р4=0,8 и надежность системы подрыва боевой части ракеты
Ps=0,9. Определить вероятность сбития цели с учетом заданных
показателей надежности.
Решение. Вероятность сбития цели равна произведению трех
независимых вероятностей: вероятности вывода в зону разрешен-
ного пуска, вероятности безотказной работы наземной системы
наведения Р2 и вероятности поражения цели двумя ракетами. По-
следняя вероятность с учетом заданных показателей надежности
равна
1-(1-РЛР4Р5)г = 0,794.
Следовательно, вероятность сбития цели равна 0,643.
Задача 4.3. При наземном наведении на скоростной бомбарди-
ровщик перехватчик оказывается на некоторой случайной даль-
ности и случайном ракурсе относительно цели, в результате чего
обнаружение бомбардировщика происходит случайным образом.
Вероятность обнаружения бомбардировщика на дальности больше
100 км Pi =0,6, вероятность обнаружения на дальности меньше
100 км Р2 = 0,4- Если обнаружение цели происходит на дальности
меньше 100 км, то перехватчик выводится в заднюю полусферу с
вероятностью Р3=0,9 и сбивает бомбардировщик с вероятностью
Р4 = 0,8. Если бомбардировщик обнаружен на дальности больше
100 км, то перехватчик выводится в переднюю полусферу с ве-
роятностью Ps — 0,8 и сбивает бомбардировщик с вероятностью
pe=Qji Определить вероятность поражения бомбардировщика.
Решение. Используя теоремы сложения и умножения вероят-
ностей, получим вероятность поражения бомбардировщика:
Р=Р,Р5Р5^Р2Р,Р^ 0,624.
Задача 4.4. Определить вероятность поражения цели, если пе-
рехватчик пускает ракету на одной из трех дальностей:
D2 и D3. Вероятность поражения цели при пуске ракеты на даль-
ности Di равна 0,4, при пуске на дальности D2— 0,5 и при пуске
на дальности D3 — 0,3.
Решение. Событие 41 — «пустить ракету на дальности D]» —
равносильно событию Bi =AiA2A3 (ракета пущена на дально-
сти Di и не пущена на дальностях D2 и D3). Аналогично собы-
тие А2— «пустить ракету на дальности 1)2»— это B2—A2AiA3. На-
конец, событие В3=А3А\А2 (ракета пущена на Р3 и не пущена
117
на и Di). Вероятность поражения цели равна вероятности пора-
жения при пуске только на одной из трех дальностей, т. е. это ве-
роятность P(Bi+B2+B3) появления одного, безразлично какого
из событий Bi, В2, В3. Поскольку события Bi, В2, В3 несовместны,
применима теорема сложения вероятностей
Р (в, + В2 + В,) = Р (ВО + Р (В,) + Р (В,).
Найдем теперь вероятности каждого из событий Вь В2, В3. Со-
бытия Лц Л2, Дз и противоположные им события Ль Л2, Л3 неза-
висимы. Следовательно, к ним применима теорема умножения ве-
роятностей:
Р(В0 = Р(ДАА) = PW Р (А) ^0») = 0,4 (1 — 0,5) (1 -0,3) =
_ =0,14;
р (В2) = р (аАА) = р (А) р (А) р (д) =
= 0,5 (1-0,4) (1-0,3) =0,21;
р (Bs) = Р (АЛА) = Р (А) Р (А) р (А) =
= 0,3 (1 — 0,4) (1 — 0,5) = 0,09.
Таким образом, вероятность поражения цели равна
р (Вх + в2 + Bs) = 0,14 + 0,21 + 0,09 -= 0,44.
Задача 4.5. Перехватчик в процессе сближения с целью осу-
ществляет на трех различных дальностях три независимых пуска
по одной ракете в каждом пуске. Вероятность поражения цели при
пуске с дальности £>макс равна Pi==0,7, с дальности £>ср — Р2—0,8,
с дальности £>Мин — Р3=0,6. Для поражения цели достаточно попа-
дания хотя бы одной ракеты. Определить вероятность поражения
цели.
Решение. Событие Ai— «попадание ракеты, пущенной с
дальности £Макс», событие Л2 — «попадание ракеты, пущенной с
дальности Вер», событие Лз — «попадание ракеты, пущенной с даль-
ности Рмин» — независимы в совокупности. На основании следст-
вий теорем сложения и умножения вероятностей получаем, что
вероятность хотя бы одного из событий 41, Д2, Дз равна разности
между единицей и произведением вероятностей противоположных
событий. Вероятность событий, противоположных событиям Ai,
А2, А3 (вероятность промахов), соответственно равны;
1-^ = 1-0,7 = 0,3;
?2=1-Р2 = 1-0,8 = 0,2;
^8= 1 —Р8 = I — 0,6 = 0,4.
Следовательно, вероятность поражения цели
Pfiop 1 Я = 0,976,
Задача 4.6. В целях уменьшения рубежа перехвата воздушная
цель атакуется одновременно, но независимо друг от друга не-
118
сколькими перехватчиками. Вероятность сбития цели одним пере-
хватчиком Р 1=0,4. Сколько потребуется перехватчиков, чтобы по-
разить цель с вероятностью не менее 0,9?
Решение. Обозначим через А событие: при атаке п пере-
хватчиками в цель попадает хотя бы один. Так как события, со-
стоящие в попадании первого, второго, третьего и т. д. перехват-
чиков, независимы в совокупности и имеют одинаковую вероят-
ность Рь то
Р(Д) = 1-^
где
^^=1 — ^ = 1—0,4 = 0,6.
По условию задачи Р(А) 0,9. Следовательно, 0,9	1 — 0,6п
или 0,1	0,6п. Прологарифмировав последнее неравенство, полу-
чим
Таким образом, для поражения цели с вероятностью не менее 0,9
при Pi = 0,4 потребуется не менее пяти перехватчиков.
Задача 4.7. При атаке одиночной воздушной цели перехватчик
сбивает ее с вероятностью Pi = 0,9. Перехватчик атакует по одному
разу три одиночные цели. Какова вероятность того, что все три
цели будут сбиты?
Решение. Поскольку все три атаки независимы, то искомая
вероятность равна
0,93 = 0,729.
Задача 4.8. Воздушная цель атакуется двумя перехватчиками.
Вероятность поражения цели первым перехватчиком равна Pj = 0,8,
а вторым«— Рг = 0,6. Какова вероятность того, что цель будет
поражена только одним перехватчиком?
Решение. Поразить цель только одним перехватчиком — это
означает: либо первый перехватчик успешно атакует цель при ус-
ловии, что атака второго будет неудачна, либо второй атакует
успешно, а первый — нет. Вероятность такого события равна:
Р = 0,8 (1 - 0,6) + 0,6 (1 — 0,8) = 0,44.
Задача 4.9. Имеются два перехватчика разных типов. Вероят-
ность поражения воздушной цели первым перехватчиком равна
Pi =0,7, вторым Р2=0,8. Какова вероятность поражения цели при
одновременной атаке цели обоими перехватчиками?
Решение. Искомая вероятность равна вероятности Р(4-ЬВ)
поражения цели хотя бы одним из двух перехватчиков. Вероят-
ность поражения каждым перехватчиком не зависит от результа-
та атаки другого, поэтому события А («поражение цели первым
перехватчиком») и В («поражение цели вторым перехватчиком»)
независимы. Согласно теореме сложения вероятностей совместных
119
событий вероятность Р(Л+В) равна сумме вероятностей собы-
тий А и В без вероятности их совместного появления:
Р (Л + В} = Р (Л) 4- Р (В) — Р (ЛВ) =- 0,7 + 0,8 — 0,7 - 0,8 0,94.
Решение этой задачи может быть получено также применением
формулы
Р(Л + В)=1	= 1 — (1 —О — ^2) ==
= 1 — (1 — 0,7) (1 — 0,8) — 0,94.
Задача 4.10. Перехватчик осуществляет по воздушной цели по-
следовательно на разных дальностях и независимо друг от друга
пуск четырех ракет (например, при четырех независимых после-
довательных атаках). Успешность самонаведения ракетхарактери-
зуется вероятностями 0,3; 0,4; 0,5; 0,3, а вероятности поражения
цели при подрыве боевой части у одной, двух, трех или четырех
ракет при этом соответственно равны 0,4; 0,7; 0,8; 0,9. Определить
вероятность поражения цели.
Решение. Для решения необходимо использовать формулу
полной вероятности. Если некоторое событие Л наступает с рядом
событий Hif называемых гипотезами и составляющих полную груп-
пу несовместных событий, то вероятность наступления события Л
равна сумме произведений вероятности каждой гипотезы на ве-
роятность наступления события Л при данной гипотезе:
п
Рассмотрим следующие пять несовместных гипотез, составляю-
щих полную группу: Но — у цели не разорвалась ни одна из четы-
рех ракет; //j — у цели разорвалась одна ракета; Н2 — у цели ра-
зорвались две ракеты; Нъ — у цели разорвались три ракеты; Н4 —
у цели разорвались все четыре ракеты.
Пользуясь теоремами сложения и умножения вероятностей,
определим вероятности этих гипотез:
РШ = (1-0,3) (1 -0,4) (1 - 0,5) (1-0,3) =0,147;
Р (ТА) = 0,3 (1 - 0,4) (1 - 0,5) (1 - 0,3) +
+ (1 -0,3) 0,4(1 - 0,5) (1 -0,3) + (1 -0,3) (I -0,4) 0,5(1 -0,3) +
+ (1 — 0,3) (1 — 0,4) (1 — 0,5) 0,3 = 0,351;
Р (Я2) = 0,3 • 0,4 (1 — 0,5) (1 — 0,3) + 0,3 (1 — 0.4) 0,5 (1 — 0,3) +
+ 0,3 (1—0,4) (1 —0,5) 0,3 + (1—0,3) 0,4-0,5 (1 —0,3) +
+ (1 — 0,3) 0,4 (1 — 0,5) 0,3 + (1 — 0,3) (1 - 0,4) 0,5 • 0,3 = 0,335;
Р (Я,) = 0,3 • 0,4 • 0,5 (1 - 0,3) +
+ 0,3 • 0,4 (1 — 0,5) 0,3 + 0,3 (1 — 0,4) 0,5 • 0,3 +
+ (1—0,3) 0,4-0,5-0,3 = 0,129;
Р (Я4) = 0,3  0,4 • 0,5 • 0,3 = 0,018.
120
Условные вероятности события А (поражение цели) при
выполнении рассмотренных гипотез равны: Р(4///о)=0;
Р (А/Н,) = 0,4; Р (A/HJ = 0,7; Р (А/Н3) = 0,8; Р (А/Н<) = 0,9.
Определив вероятности гипотез и соответствующие условные
вероятности поражения цели при этих гипотезах, рассчитаем по
формуле полной вероятности искомую вероятность поражения
цели
Р (Л) = Р (Но) Р (Л/Яо) + Р Р (А/Н.) +
+ р (Н2) Р (А/Нг) + Р (Я3) Р (А/Нй) +
+ Р (Н4) Р (А/Н4) = ОД 47  0 + 0,351 -0,4 +
+ 0,335-0,7 + 0,129-0,8 + 0,018-0,9 =0,4943.
Задача 4.11. Два перехватчика независимо один от другого пу-
скают по воздушной цели по одной ракете. Вероятность пораже-
ния цели ракетой первого перехватчика равна 0,9, ракетой вто-
рого— 0,6. В результате атаки перехватчиков в цель попала одна
ракета. Какова вероятность того, что цель сбита первым перехват-
чиком?
Решение. Решение задачи находится с помощью формулы
Бейеса (теоремы гипотез). Если А может наступить с любой из
п гипотез Hi, составляющих полную группу несовместных событий,
и в результате опыта событие А наступило, то вероятность того,
что событие А наступило при заданной гипотезе ЯД/—1, 2, ..., п),
равна
где Р(Н(1А) — так называемая апостериорная вероят-
ность (вероятность после опыта), т. е. вероятность того, что
гипотеза Н[ имела место при условии наступления события А;
Р (ИЦ) — вероятность гипотезы до опыта (априорная ве-
роятность);
P^AjHi) —вероятность наступления события А при условии, что
имеет место гипотеза Я<;
Р(Д) -вероятность наступления события А, вычисленная по
формуле полной вероятности.
До поражения цели (до опыта) возможны следующие несовме-
стные гипотезы, составляющие полную группу событий:
Hi — обе ракеты в цель не попадают;
Нг — в цель попадает ракета первого перехватчика, а ракета
второго не попадает;
Н3— в цель попадает ракета второго перехватчика, а ракета
первого не попадает;
Н4— в цель попадают обе ракеты.
Вероятности этих гипотез равны:
Р (Я,) = (1 - 0,9) (1 - 0,6) = 0,04; Р (Я2) = 0,9 (1 - 0,6) = 0,36;
Р (Я,) = 0,6 (1 — 0,9) = 0,06; Р(Н^ = 0,9 • 0,6 = 0,54.
121
Условные вероятности наблюденного события А (в цель попала
одна ракета) при этих гипотезах равны:
Р(А///1)=0;	=	Р(Д/Я4)-0.
После того как событие А состоялось (после опыта), гипотезы Hi
и Н4 становятся невозможными. Следовательно, искомая вероят-
ность гипотезы Н2 по формуле Бейеса равна
Р(Н 1А\ - р (Н2) Р (Л//72)	 _
— р т р {А/Н^ + р (Нз} р (А/Нз)
______°’36 • 1	__. л яд?
~ 0,36*1 + 0,06-1 —
Вероятность гипотезы Н$ равна
р(н / лч,...	Р(Н3)Р(Л/Н3)
— р (//2) р {А/Из) + р {Нз} р {А/Иъ} —
—	0,06,1	__0 143
“ 0,06-1 + 0,36-1 ~
Задача 4.12. Попав в зону возможного пуска ракет, перехват-
чик пустил ракету, в результате чего сбил цель. Протяженность
зоны возможного пуска по дальности составляет 2—10 км. Вероят->
ность того, что пуск осуществлялся в диапазонах 2—4 км — 0,2;
4—6 км — 0,3; 6—8 км — 0,4; 8—10 км — 0,1. Вероятность пораже-
ния цели при пуске ракеты с дальностей 2—4 км — 0,3, 4—6 км —
0,7, 6—8 км — 0,8, 8—10 км — 0,5. Определить вероятность того,
что пуск был осуществлен в диапазоне дальностей 6—8 км *.
Решение. Сначала определим вероятности возможных гипо-
тез и условные вероятности поражения цели при этих гипотезах.
До поражения цели (до опыта) возможны четыре гипотезы:
Н2, Н3 и Hit т. е. пуск ракеты осуществлен соответственно в диа-
пазоне 2—4, 4—6, 6—8, 8—10 км.
Вероятности этих гипотез соответственно равны:
Р (Я,) = 0,2; Р№)-0,3;
Р(Я3)=0,4; Р(Я4) = 0,1.
После поражения цели (после опыта, в результате которого
наблюдено событие А) условные вероятности поражения цели при
рассматриваемых гипотезах равны:
P(AjHi) =0,3; Р(А/Я2)=0,7; Р (Д/Я8) = 0,8; Р(Д/Я4)-0,5.
Теперь, используя формулу Бейеса, рассчитаем искомую ве-
роятность гипотезы //8:
Р	= 0,2-0,3 + 0,3-0,7 + 0,4-0,8 + 0,1-0,5 = °’5’
* Эта вероятность представляет практический интерес в случае, когда лет-
чик величину дальности пуска не запомнил и необходим^ проанализировать
стрельбу после полету.
122
Задача 4.13. Перехватчик осуществляет по маневрирующей воз-
душной цели пуск четырех ракет независимо друг от друга. Ве-
роятность попадания каждой ракеты в область надежного сраба-
тывания радиовзрывателя равна 0,6. Определить вероятность того,
что у цели сработают радиовзрыватели ровно у двух ракет и они
разорвутся, а две остальные ракеты пролетят мимо, не разо-
рвавшись.
Решение. Обозначим события «срабатывание радиовзрыва-
теля первой, второй, третьей и четвертой ракет» соответственно
через Ai, А2, А3 и А4, а противоположные события через Дь А2,
Дз и Д4. Тогда событие В2 — «у цели сработают радиовзрыватели
ровно двух ракет» — может произойти следующими шестью спо-
собами:
Дъ Д2,	Д3,	А4;	Дь	Д2,	Д3,	А4,
Ау Д2,	А3,	Д4,	Д|,	Д2,	Д8,	Д4;
Д}, Д2,	Дд,	Д4,	Дь	Д2,	Дд,	Д4.
Поскольку эти способы несовместны, а события
Дъ Д2, Д3, Д4, Дь Д2, Д3> Д4
статистически независимы, то
В2~ A4A2ASA4 4- Д1Д2Д3Д4 4- А4А2А3А4 4-
4~ А]А2А3А4 А4А2А3А4 4- А4А2А2А4.
Так как
Р (А) = Р (ДД = Р (Дд) = Р (ДД = Р (Д) = 0,6;
р(д) = р(А) = Р(л,) = р(л4) = р(л) =
= 1 — Р(Л)=1 — 0,6 = 0,4,
ТО
р(В2) = 6 [Р(Л)]2 [Р(Л)]2 = 6  0,62  0,42 = 0,346.
Здесь мы использовали только теоремы сложения и умножения
вероятностей. Однако удобнее находить решение с помощью фор-
мулы Бернулли (теоремы о повторении опытов), согласно которой
вероятность того, что событие В появится ровно т раз, если осу-
ществляется п независимых опытов, в каждом из которых собы-
тие В появляется с вероятностью Р, равна
Л„.„ = С™Р'"(1-Р)^га,
где CJ1 —число сочетаний из п по т;
f'm _____п’___
п т\(п— ги)! '
Для нашего примера
Р(В2) = q-0,62 (1 - О,6)<-2 = 2!-^ о,б2 (1 - О,6)2 = 0,346.
123
Напомним, что сойокупносФь вероятностей Рт, п называется б и-
номинальным законом распределения вероятно-
стей, ибо численно вероятности Pmi п равны коэффициентам
при хт в разложении бинома
(q + Рх)п
по степеням х, где	1—Р.
Биномиальные коэффициенты C"z могут быть получены из
треугольника Паскаля:
1
1	1
1	2	1
13	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
И т, д.
В треугольнике Паскаля каждое число равно сумме двух бли-
жайших чисел, стоящих косо над ним (например, 10 = 4 + 6).
Задача 4.14. Два перехватчика ведут огонь по одной и той же
цели. Первый делает 9 выстрелов в секунду и попадает в цель с
вероятностью 0,8, второй перехватчик делает 10 выстрелов в секун-
ду и попадает в цель с вероятностью 0,7. В результате стрельбы
цель сбита. Определить вероятность того, что она сбита вторым
перехватчиком *.
Решение. Обозначим через и А2 события, когда соответ-
ственно первый и второй перехватчики делают по выстрелу. По-
скольку отношение скорострельности равно -^ = 0,9, то
Р(Д)=0,9Р(А).
Обозначим через В событие «попадание при выстреле». Тогда
согласно условию задачи имеем:
и
Р(В/А2) =0,7.
Искомая вероятность находится по формуле Бейеса:
/Дч „________Р(Д2)Р(В/Д2)	_
Р (Лх) Р (B/AJ + Р (Д2) Р (В/Д2) —
________0»7Р (Л2)____________ 0,7  q 404
0,9Р (А 2) 0,8 + 0,7Р (А 2)_1,42 “ >
Задача 4.15. Вероятность перехвата воздушной цели перехват-
чиком за один боевой вылет /^ = 0,45. Совершено /! = 100 вылетов
* Эта вероятность представляет практический интерес при разборе воздуш-
ных стрельб из пушек разной скорострельности.
124
на перехват. Какова вероятность Р что перехват состоялся
меньше 51 раза, но больше 29 раз и меньше 51 раза, но больше
39 раз?
Решение. Используя формулу Бернулли, находим искомую
вероятность
50
р	2 сйорГ (1 - А)100-"1 =
W--30
50
= S 0’45“ И - °’45)1“’"'В • W
т=30
Непосредственный подсчет этого выражения очень громоздок.
Поэтому используем известную для большого п аппроксимацию
биномиального распределения нормальным с теми же математи-
ческим ожиданием и дисперсией:
Ж И = nPt = 100-0,45 = 45;
02 = nPt (1 — Л) = 100-0,45 (1 — 0,45) = 24,75.
Тогда, заменяя суммирование интегрированием, получим
50 _
dm — 1<-1 . . С е 49)5 dm.
У л49,5 J
зо
Введя новую переменную интегрирования
т — 45
x-w
(2)
(3)
находим
5
Р =	f e-^dx.	(4)
j/49,5
С помощью таблицы функции Лапласа Ф(х) для аргумента
ху 2 и -^-=0 окончательно получим
р=4- ® (,-тМ + ф (77=1]=°>8386-
2	L 1У49Д/	\K49,5/J
Для второго условия задачи аналогично получим
5
)/4^5
Р=-Л=- С е-л‘^ = ф (0,71) = 0,68.
У Л J
5_
~/4^б
125
Данная задача поучительна прежде всего с методической точ-
ки зрения. Показано, что при большом количестве независимых
опытов (при большом л) вместо громоздких расчетов по формуле
Бернулли целесообразно аппроксимировать выражение (1) через
интеграл вероятностей и решение находить с помощью таблиц.
Приведенное решение справедливо и для других, представляющих
практический интерес задач, например:
1. По мишени выпущено 100 снарядов. Вероятность попадания
в мишень при одном выстреле Pi = 0,45. Определить вероятность
того, что мишень получила менее 51, но более 29 попаданий.
2. На складе хранятся 100 ракет в течение года. За это время
у каждой ракеты параметры могут выйти за пределы допусков
с вероятностью Pi = 0,45. Определить вероятность того, что за это
время потребуется регулировка параметров менее, чем у 51, но
более, чем у 29 ракет.
Задача 4.16. Перехватчик вооружен двумя ракетами. Пуск ра-
кет может быть осуществлен в пределах от £>макс до при-
чем максимальная вероятность поражения имеет место где-то в
промежутке между £>МакС и Рмип, на некоторой оптимальной даль-
ности D0WI. Перехватчик может выбрать одну из двух тактик:
1) пускать ракеты последовательно на £>макс и Дшт!
2) пускать ракеты залпом на Р0Пт-
Во втором случае цель применяет противоистребительный ма-
невр, чтобы сорвать атаку. Определить, как выгоднее осуществлять
пуск ракет: залпом или последовательно, если вероятность Р&т2
выполнения второй атаки равна 0,5, вероятность поражения цели
при пуске с £>макс равна Pi = 0,2, вероятность поражения цели при
пуске на дальности £>опт равна Р2 = 0,6.
Решение. Ответ на задачу получается решением неравенств:
Р1 +Рпл (1 - Pt) + РЛР^ § 1 - (1 - Р^Рпг.	(2)
Неравенства (1) и (2) записываются на основании применения
теорем сложения и умножения вероятностей. Результирующая ве-
роятность поражения цели при последовательном пуске двух ракет
и при условии, что вероятность выполнения второй атаки РаТ2=1,
равна сумме вероятностей трех несовместных событий:
1)	вероятности Pi того, что цель будет поражена первой ра-
кетой;
2)	вероятности (1 — Pi)Pz того, что цель не будет поражена
первой ракетой (1 —Pi), а будет с вероятностью Р2 поражена вто-
рой ракетой;
3)	вероятности Р\Р2 того, что цель будет поражена совместным
попаданием Обеих ракет.
Результирующая вероятность поражения цели при залповом
пуске обеих ракет, считая попадания независимыми событиями,
126
равна 1 — (1—Р2)2. Когда вероятность выполнения второй атаки
^ат2 =# 1, аналогичным рассуждением получается неравенство (2).
Для численных данных нашей задачи имеем
0,2 + (1 — 0,2) 0,6 + 0,2-0,6 < 1 — (1 — 0,6)2;
0,8 <0,84,
т. е. при Рат2=1 выгоднее пуск осуществлять залпом на оптималь-
ной дальности.
Для случая, когда — имеем
0,2 + 0,5 • 0,6 (1 — 0,2) + 0,2 • 0,6 • 0,5 > [ 1 — (1 — 0,6)2] 0,5,
т. е. 0,5 >0,42, и, следовательно, последовательный пуск становит-
ся выгоднее.
Заметим, что неравенства (1) и (2) справедливы и при нали-
чии более одной цели. Тогда результирующие вероятности, т. е.
обе части неравенств, представляют собой математические ожи-
дания числа сбитых целей и решение соответствующего неравен-
ства дает ответ на вопрос, что выгоднее: пускать все ракеты по
первой цели или атаковать две цели.
Задача 4.17. Перехватчик осуществляет последовательно друг
за другом пуск четырех ракет. Каждая последующая ракета пу-
скается без анализа результата попадания предыдущей, поэтому
цель может быть поражена любой ракетой. Вероятность попада-
ния ракеты в цель зависит от дальности пуска и равна Р2,
Р3 и Р4 соответственно для 1-й, 2-й, 3-й и 4-й ракет. Определить
результирующую вероятность уничтожения цели если для
ее поражения достаточно одного попадания. Обобщить решение
для п ракет.
Допущения: пуски статистически независимы, накоплением
ущерба можно пренебречь.
Решение. По условиям задачи вероятность поражения цели
есть не что иное, как вероятность попадания хотя бы одной ра-
кеты в цель, которая определяется как сумма вероятностей того,
что в цель попадет любая из четырех, а три остальные не попадут,
попадут любые две из четырех, а две остальные не попадут, по-
падут любые три из четырех, а какая-то одна не попадет и, на-
конец, что попадут все четыре ракеты. В целях выявления опреде-
ленной закономерности в расчетных формулах напишем сначала
выражения для вероятностей Р%2 и Ps3 поражения цели при
пуске двух и трех ракет:
Рг2 = Р, (1 - Р2) + (1 - Р,) Р2 + Р,Р2 = Р, + Р2 - Р,Р2;	(1)
ра = Л (I - Рг) (I - Р3) + Р2 (I - Л) (I - Р,) +
+ Рз (1 - Л) (1 - Р2) + РЛ (1 - PJ + РЛ (1-Р2) +
+ргр, (1 - р,)+Р,Р2Р,=р,+р2+р, - р,р2 - р,р, -
РА +	(2)
127
Очевидно, аналогично структуре формул (1) и (2) можно запи-
сать формулу для определения вероятности поражения цели при
пуске четырех ракет последовательно одна за другой:
^Z4 ~ Т Л Н- ^3 + ^4 Р^2 Р-Л А Р%Р$
- РзР< ~	+ Р&Рз + P^Pi + Р2Р3Р4 +
^-РзРЛ-РЛРЛ-	(3)
Для любого количества последовательных пусков, когда вероят-
ности попадания при каждом пуске отличаются друг от друга, из
сравнения формул (1), (2) и (3) получаем следующую общую
формулу для расчета вероятности поражения цели:
Р.п ~ А + Р% + • • • + Рп — Р\Рг — РЛ — Рп^Рц +
+ PtP,P, + PtP2Pt + ... + (- I)"-1 Р&Р, ---Рп.	(4)
где Р\Ръ, Р\Рз и т. д. ~ вероятности двойных попаданий;
PiPJ\, P\PJ\ и т. д. — вероятности тройных попаданий;
PiP2... Рп—вероятность попадания всех п ракет.
Легко убедиться, что при равенстве всех вероятностей попада-
ния каждой ракеты
P1==P2=PS==...=PB
получаем известную формулу
Р1л = 1-(1-Л)”.	(5)
Задача 4.18. Рассчитанный на две атаки перехватчик, сблизив-
шись с бомбардировщиком на максимальную дальность возмож-
ного пуска, одной ракетой сбивает его с вероятностью Pi = 0,4.
В процессе самонаведения ракеты перехватчик попадает в зону
оборонительного огня бомбардировщика и может быть сбит им с
вероятностью, равной РП=ОЛ- В случае непоражения перехват-
чика во второй атаке он выходит на оптимальную дальность пу-
ска и сбивает бомбардировщик с вероятностью P2 = 0J- Каковы ве-
роятности сбития цели и перехватчика?
Решение. Поражение бомбардировщика происходит либо при
первой атаке, либо при второй. Вероятность второго события опре-
деляется произведением трех совместных событий:
1)	бомбардировщик остался невредимым после первой атаки,
эта вероятность равна 1 —Pi — 0,6;
2)	перехватчик остался невредимым после ответного огня бом-
бардировщика, эта вероятность равна 1—Рп=0,9;
3)	бомбардировщик поражается во второй атаке.
Таким образом, вероятность сбития бомбардировщика пере-
хватчиком равна
р6 = 0,4 4- 0,6 • 0,9 • 0,7 == 0,778.
Вероятность Рп сбития перехватчика бомбардировщиком равна
вероятности двух совместных событий:
1) бомбардировщик остался невредим после первой атаки;
128
2) перехватчик сбит ответным огнем бомбардировщика.
Следовательно:
Рп = 0,6 -0,1 =0,06.
Задача 4.19. Для поражения цели достаточно попадания одной
ракеты. По цели осуществляют последовательные атаки, пуская
следующую ракету только после анализа результата предыду-
щего пуска. Определить, сколько в среднем потребуется перехват-
чиков Nn для поражения цели, если вероятность поражения при
попадании любой из пущенных ракет равна Р и каждый перехват-
чик имеет тр ракет.
Решение. Количество пусков W до получения одного попада-
ния является случайным числом, принимающим значения N— 1, 2,
3, ..., i и т. д. до оо. Полной характеристикой этого случайного
числа является плотность распределения, ордината Pi которой
равна вероятности получить попадание в цель при Z-м пуске при
условии, что на всех предыдущих пусках попаданий не было.
Обозначим:
Pi — вероятность того, что в цель попадает 1-я ракета;
Р2 — вероятность того, что в цель попадает 2-я ракета при ус-
ловии, что 1-я ракета в цель не попала;
Рз~~-вероятность того, что в цель попадает 3-я ракета при ус-
ловии, что 1-я и 2-я ракеты в цель не попали, и т. д.
Искомое количество перехватчиков согласно определению ма-
тематического ожидания равно
ЛЭ
М ш = м [-£] = ± 2 iP‘=i +2Р* + зр’+ -И1)
Вероятность Pi равна вероятности (1—ру-i того, что в
(Z—1)-м пусках попаданий не было, умноженной на вероят-
ность Р того, что в t-м пуске ракета попала в цель, т. е.
р[ = Р(1 — Р)1-\	(2)
Согласно (2)
Рг = Р; Р2=Р(1-Р)! Р,=Р(1-Р)’..
Следовательно,
Af[W„]=—[Р+2Р(1—Р) + ЗР(1—Р)’ + ...] =
Пр
- 1  1
Wp [1-(1-Р)]2
Задача 4.20. Необходимо перехватить маловысотную цель,
сильно прикрытую радиопомехами. Для перехвата назначается на-
ряд из трех перехватчиков, причем один, идущий с превышением
относительно пары, служит ретранслятором команд наведения для
пары, наводящейся на одной высоте с целью. Цель с вероятно-
стью 0,3 может сорвать возможность атаки каждому перехват-
129
чику, забивая помехами либо бортовые РЛС, либо радиолинии
передачи команд наведения. В случае успешного выхода любого
перехватчика на дальность пуска он сбивает цель с вероятно-
стью 0,5. С какой вероятностью будет сбита цель?
Решение. Вероятность сбития цели рассчитывается с по-
мощью формулы полной вероятности. Сбитие цели может про-
изойти только вместе с одним из трех событий (гипотез), образую-
щих полную группу несовместных событий:
1)	цель атакуется всеми тремя перехватчиками;
2)	цель атакуется ретранслятором и любым из ведомых;
3)	цель атакуется только перехватчиком-ретранслятором.
В случае забития помехами ретранслятора срываются атаки
всех трех перехватчиков.
Вероятности перечисленных благоприятных (по отношению к
событию «сбитие цели») гипотез равны:
р1 = 0,7s = 0,343; Р2 = 2 • 0,72 • 0,3 -= 0,294;
Р3 = 0,7 * 0,32 = 0,063.
Условные вероятности сбития цели при этих гипотезах равны:
Л,оР1 = 1 - 0,5’ = 0,875; Рпор2 = 1 - 0,52 = 0,75;
-^порЗ ===
Вероятность сбития цели равна
3
Лор = 2 Л Лор/ = 0,343-0,875 + 0,294-0,75 + 0,063-0,5 = 0,54.
1^1
Задача 4.21. Перехватчик наводится на воздушную цель, кото-
рая может применять или не применять помехи против бортовой
РЛС, «забивая» ее канал дальности. Команда «пуск разрешен» вы-
дается летчику только в том случае, если для расчета угла упре-
ждения до момента пуска ракет будет определена дальность до
цели хотя бы один раз за п циклов пространственного разверты-
вания луча бортовой РЛС. Если цель не применяет помехи, то за
один цикл дальность определяется с вероятностью — 0,6, если
применяет — с вероятностью Р2=0,1- Вероятность применения
целью поме^ Постоянна для любого цикла и равна Рп — 0,4. Ка-
кова вероятность того, что за п — 3 цикла обзора бортовой РЛС
выработается команда «пуск разрешен».
Решение. Полная вероятность определения дальности до
цели за один цикл обзора бортовой РЛС равна
Л1 = (1 - Л) Л + ЛЛ = (1 - 0,4) 0,6 + 0,4 • 0,1 = 0,4.
Искомая вероятность выработки команды «пуск разрешен» —
это вероятность того, что дальность до цели определится хотя бы
один раз за п циклов обзора бортовой РЛС. Эта вероятность
равна
Л. р = I - (1 - Л0" = I - (1 - 0.4)’ = 0,784.
I3Q
Задача 4.22. Группа перехватчиков «прочесывает» область ве-
роятного нахождения цели. Каждому перехватчику задан марш-
рут полета, который он выдерживает со средней квадратической
ошибкой о=5 км. Сектор обзора бортовой РЛС каждого перехват-
Рис. 4.1
чика позволяет обнаруживать цель по фронту на участке шириной
2 в = 50 км (рис. 4.1). В целях уменьшения вероятности пропуска
цели на стыке секторов обзора двух соседних перехватчиков не-
обходимо обеспечить определенное перекрытие. Требуется опреде-
лить потребную величину перекрытия соседних секторов обзора,
131
если допустимая вероятность возникновения разрыва за счет не-
точного выдерживания маршрута не должна превышать Рр 0,04,
Решение. Согласно рис. 4.1 разрыв между двумя соседними
секторами наступает в двух случаях: 1) точка А сектора левого
перехватчика находится в области 7, а точка В сектора правого
перехватчика при этом не выходит за область 2; 2) точка А нахо-
дится в области 4, а точка В — в области 3. Вероятность того, что
будет разрыв на стыке секторов, равна вероятности двух совмест-
ных независимых событий, характеризующих два названных слу-
чая, которые в свою очередь несовместны. Следовательно, исполь-
зуя теоремы об умножении и сложении вероятностей, получим
Рр - 2 [0,5 - Ф (Z)] 0,5 = 0,5 - Ф (/),
где / -ширина перекрытия секторов обзора.
Так как по условию «С 0,4, то Ф(/)	0,46. По таблицам
функции Лапласа находим, что Ф(/) =0,46 при / = 2а.
Таким образом, если перекрытие секторов обзора бортовых
РЛС будет равно 10 км, то вероятность разрыва, а следовательно,
и вероятность пропуска цели не превысят величины 0,04.
Глава 5
ЭФФЕКТИВНОСТЬ НАЗЕМНОГО НАВЕДЕНИЯ,
ПОИСКА И ПОРАЖЕНИЯ ЦЕЛИ
Для оперативно-тактических расчетов особо важное значение
имеют такие количественные показатели боевой эффективности
истребителей-перехватчиков, как вероятность наземного наведения,
вероятность обнаружения цели при поиске, вероятность поражения
атакуемой цели. Данная глава посвящена методам расчета этих
вероятностей.
Для оценки эффективности наземного наведения устанавли-
вается зависимость между вероятностью успешного наземного на-
ведения, тактико-техническими характеристиками перехватчика,
точностью радиолокационного поля наземной системы (задачи
5.1—5.7).
Под вероятностью наземного наведения пони-
мается вероятность того, что ошибки в положении вектора скоро-
сти перехватчика в конце наземного наведения относительно на-
правления в расчетную упрежденную точку встречи с целью не
превышают допустимых значений. Таким образом, вероятность на-
земного наведения определяется соотношением между допустимы-
ми и случайными ошибками наведения. Поэтому в ряде задач
показано, как рассчитываются допустимые ошибки наземного на-
ведения по курсу и случайные курсовые ошибки наземного наве-
дения, возникающие вследствие ошибок в определении коорди-
нат, скорости, курса цели и перехватчика наземной системой.
В задаче 5.8 показано, как от двумерных ошибок наведения
по курсу и высоте перейти к эквивалентной одномерной ошибке
наведения.
В задаче 5.9 показано, как функционально изменяется вероят-
ность наземного наведения при изменении дальности обнаружения
цели бортовой РЛС и скорости перехватчика. Предлагаемый ме-
тод решения может быть распространен на определение зависи-
мостей между относительными изменениями любого параметра,
133
влияющего на эффективность, и относительными изменениями ве-
роятности наведения.
В задаче 5.10 получены расчетные формулы для определения
вероятности обнаружения цели при поиске в заданной области.
Показаны возможные методы расчета боевой эффективности,
если определяющим показателем качества выполнения боевой за-
дачи перехватчиком является минимум проникновения цели в
глубь района ответственности ПВО (задача 5.11).
В задаче 5.12 показано, как определяются область вероятного
нахождения цели при отсутствии информации о ней и район по-
иска при автономных боевых действиях перехватчиков.
Зависимость вероятности поражения атакуемой цели от ее
размеров и величины промаха ракеты устанавливается при реше-
нии задачи 5.13.
Задача 5.1. Наземное наведение перехватчика на цель осуще-
ствляется в горизонтальной и вертикальной плоскостях путем пе-
редачи команд курса и набора высоты. Наведение считается со-
стоявшимся по высоте, если на дальности обнаружения РОбн цель
попала в сектор обзора бортовой радиолокационной станции по
углу места ±«в. Для наведения по курсу необходимо попасть в
область, ограниченную допустимыми ошибками по курсу ±AQnon>
которые перехватчик и ракета могут исправить в процессе само-
наведения. Наземная система наводит перехватчик со случайны-
ми ошибками, распределенными по нормальному закону и харак-
теризующимися средними квадратическими ошибками по курсу и
высоте ад и од.
В результате маневра цели по курсу при наведении возникает
некоторая динамическая ошибка в курсе перехватчика тц, пред-
ставляющая собой математическое ожидание закона распределе-
ния ошибки наведения по курсу. Необходимо выразить в общем
виде вероятность наземного наведения перехватчика через назван-
ные ошибки.
Решение. Вероятность наземного наведения — это вероят-
ность того, что результирующая ошибка наведения, состоящая из
случайной и динамической ошибок, не превысит величины допу-
стимой ошибки. Так как наведение осуществляется независимо
друг от друга в двух плоскостях, то вероятность наведения можно
представить как произведение условных вероятностей наведения в
горизонтальной и вертикальной плоскостях:
(1)
С другой стороны, наземное наведение можно интерпретировать
как попадание случайной точки (перехватчика), распределенной
на плоскости Q — Н (курс — высота) по нормальному закону, в
прямоугольник, ограниченный допустимыми ошибками по курсу и
высоте (рис. 5.1).
134
Рис. 5.1
В общем случае плотность распределения нормального закона
на плоскости Q — Н запишется следующим образом [2]:
(Л/—
1 Ч 2’й
где ар, О// — средние квадратические ошибки наведения по кур-
су и высоте;
/Пр, тн — динамические ошибки (постоянные составляющие)
в результате маневра цели по курсу и высоте.
Ошибки и тн определяют сдвиг центра нормального закона
относительно центра прямоугольника, образованного допустимыми
ошибками наведения. Измеренные в градусах допустимые ошибки
наведения — это допустимые углы отклонения истинных траекто-
рий перехватчика от расчетной в положительном и отрицательном
направлениях осей координат Q, Н. В нашем примере цель манев-
рирует только по курсу и тн — 0. Для получения расчетной фор-
мулы вероятности наведения Рн.н необходимо функцию плотности
распределения проинтегрировать в пределах допустимых ошибок:
+д<?доп +Д"доп
Рн.н= J J f(QtH)dQdH =
dH- (3)
'ДОП доп
+Д"Д0П
+ДСдОп

= е
а
Неопределенный интеграл Je dt через-элементарные функции
це выражается и вычисляется с помощью таблиц. Таблицы этой
135
функции (называемой функцией Лапласа или интегралом вероят-
ностей) приводятся, например, в литературе [2, 3]. Таким образом,
в общем случае расчетная формула для вероятности наземного на-
ведения принимает следующий вид:
где
X
Фи)=утр““л-	(5)
В нашем примере /пн = 0; + ДЯдоп = + а„О0бя.
Тогда
/ АфдОП ~Ь	\
\	У
где £>оби — дальность обнаружения бортовой РЛС.
При расчете Рн.н удобно пользоваться графиком рис. 5.2, где
дана зависимость вероятности Р попадания случайной точки, рас-
пределенной по нормальному закону со средней квадратической
ошибкой о и систематической /п, на линейный участок ±Д.
Рис. 5.2
136
Задача 5.2. Вывести формулу для расчета средней квадратиче-
ской ошибки в курсовом угле перехватчика, возникающей за счет
ошибок в определении координат перехватчика и цели.
Решение. Ошибку в курсовом угле перехватчика за счетоши-
бок в определении координат перехватчика и цели, как показано
на рис. 5.3, можно найти из следующего очевидного соотноше-
ния:
(1)
Возведя в квадрат Дсрп и взяв математическое ожидание от ква-
драта этой величины, получим
д/2
V2
v п
„2
v2 *
г п
м
= о2
(2)
137
Вектор скорости перехватчика по координатам хк начала и
конца отрезка, проходимого перехватчиком за время Гн, опреде-
ляется соотношением
•		 ---ЛН
п	т ~
* н
(3)
Ошибка в скорости за счет ошибок в определении координат на-
чала и конца проходимого за Тн отрезка равна
ду =	.	(4)
* н
АД-^К ~ь
т
ип
Возведем эту ошибку в квадрат и возьмем от результата матема-
тическое ожидание. Это будет дисперсия в определении скорости
перехватчика:
—2ЛхнДхк
2	~
н
*	* К **Н	к
J н
Так как в силу независимости ошибок Лхн и Ахк корреляционный
момент Rr г =0, а а — а ==а„, то
Подставив (6) в выражение (2), получим искомую расчетную
формулу для средней квадратической ошибки в курсовом угле
перехватчика:
_ ___с-г V"
?п т п
Определив а и зная допустимые ошибки наведения по курсу,
можно с помощью формулы (6) задачи 5.1 подсчитать вероят-
ность наземного наведения перехватчика по курсу. Результаты
расчетов по формуле (7) для ож= (0,5 + 5) км, 7^= (5 + 20) с и
Уп— (500 + 3000) км/ч приведены на рис. 5.4.
Задача 5.3. Определить, как зависит средняя квадратическая
ошибка в определении потребного курса перехватчика от ошибок
в определении скорости цели Уц, скорости перехватчика Уп, кур-
сового угла цели срц и местоположения перехватчика и цели. Пе-
рехватчик наводится на неманеврирующую цель методом «парал-
лельное сближение».
Решение. Как показывают кинематические соотношения
(рис. 5.3), угол упреждения, или курсовой угол перехватчика, од-
нозначно определяет потребный курс перехватчика, который дол-
жен вырабатываться в процессе решения задачи встречи пере-
138
хватчика с целью и передаваться на борт в виде команды наведе-
ния. Согласно методу наведения «параллельное сближение»
имеем
sin <Рп =-yr-sin <рц.	(1)
г п.
Расчетные значения Кц, Кп и <рц, которые используются для
определения угла упреждения, являются случайными величинами
и отличаются от действительных значений этих параметров на
величины соответствующих случайных ошибок в измерении ДКЦ,
ДКП и Дсрц. Кроме того, ошибку в определении курса перехватчика
вносит неточное определение местоположений перехватчика и цели.
С учетом названных ошибок ДКЦ, ДКП и Д<рц имеем
sin (<РП + д<рп) = уа + sin (?ц + Д<рц).	(2)
* П I г п
Полагая ошибки Д величинами малыми и пренебрегая величи-
нами второго порядка малости, после преобразований тригоно-
метрических выражений в формуле (2) получим
?п Vncos¥n	Vn
ДУ 4- cos Ди	ГЪ
‘	«> ¥п “ ‘ Кд COS ¥д	W
139
Так как при выработке курсовой команды наведения исполь-
зуется уравнение (1), то ошибка в определении курсового угла
перехватчика определяется только теми слагаемыми формулы (3),
куда входят ошибки АКП и ДУЦ в определении скоростей перехват-
чика и цели и ошибка Лец в определении курсового угла цели.
Следовательно,
Д?п = Д Уд + Р1-- ?-Ч Д?д -	Д Уд.	(4)
ТП У п COS Ц V П cos Фп ц *п и	'
Здесь ошибка в определении скорости
ду=А^К2>	(5)
а ошибка в определении курсового угла цели
Д?ц = Д?ц.ед + ДТц.Х,	.(6)
где Ах—ошибка в определении координат;
Т—время наблюдения, в течение которого определяет-
ся скорость (дискретность измерения координат);
Д?ц.£ц—ошибка в определении курсового угла цели вслед-
ствие ошибки в курсе цели Q4;
Д<Рц. х—ошибка в определении курсового угла цели из-за
ошибки в определении координат цели.
Для определения дисперсии курсового угла перехватчика необ-
ходимо возвести обе части уравнения (4) в квадрат и найти от
результата по известным правилам [2] математическое ожидание.
Выполнив эти операции, получим
°? = ,/2 \ ' [Sin2 Wv ~ 2 3‘П Sin V„ +
”< Vp COSS <pn 1	H.	П*Ц
+ sin8 <p„4 + 2 Уц cos sin —
— 2У cos <рц sin <f„R v + У’ cos2 cpua2 ].	(7)
Ч1П	U	TUJ
Определим теперь входящие в формулу (7) средние квадратиче-
ские ошибки , av И а .
ц II
1.	Средняя квадратическая ошибка в определении скорости
цели —	.
к
Как видно из рис. 5.5, ошибка в скорости цели обусловлена
ошибками в определении координат двух отметок цели, по кото-
рым вычисляется величина Уц. Обозначим расстояние между точ-
ками Ц] и ц2 буквой d, время наблюдения — буквой Т, а случайные
ошибки в определении координат — Ал^ и Ах?. Тогда измеренное
значение скорости цели
У, + АУЦ = у- + A*‘ I -,	(8)
140
а абсолютная ошибка в определении скорости цели
ДУЦ =
д*! + Д*2
(9)
Для нахождения дисперсии этой ошибки необходимо возве-
сти (9) в квадрат и взять от результата математическое ожида-
ние. Тогда
(10)
Рис. 5.5
В силу статистической независимости ошибок Axi и Лх2 кор-
реляционный момент R Равен нулю. Случайные ошибки в
измерении координат постоянны:
а = а — а
(12)
(11)
Следовательно, для дисперсии в определении скорости цели
получим следующую расчетную формулу:
2ох
9	л
Д* = ---
ч л•
2.	Дисперсия в определении скорости перехватчика определяет-
ся в результате аналогичных рассуждений, т. е.
„	2С2
Т2 '
3.	Дисперсия в определении курсового угла цели равна
(13)
(И)
о2 =а2 -р +2/?
поскольку на основании (6) ошибка в определении курсового угла
цели складывается из ошибки курсового угла цели вследствие
ошибки в курсе цели Д(рц(? и ошибки курсового угла цели из-за
ошибки в измерении координат цели Дсрцх. Определим расчетные
выражения для слагаемых в формуле (14). Согласно рис. 5.6
141
ошибка в определении курсового угла цели вследствие неточного
измерения курса цели
(15)
(16)
(17)
Следовательно, дисперсия этой ошибки
4
О2 =
•
Подставив значение сф согласно (12), получим
’пОц T2V2 ‘
Согласно рис. 5.7 ошибка в определении курсового угла цели
вследствие ошибок в измерении координат цели
(18)
а дисперсия этой ошибки равна
(19)
(20)
Корреляционный момент между величинами и срЦд.
(j2	“
Итак, после подстановки (17), (19) и (20) в (14) получим
следующую расчетную формулу для дисперсии в определении кур-
сового угла цели:
2<jJ	а2
°ти = "у&гг + 77 + TVnD'	(2')
Аналогичными методами определим корреляционный момент
между курсовым углом цели и скоростью цели
= 2oi (j)f +	(22)
и корреляционный момент между курсовым углом цели и скоро-
стью перехватчика
^Л = —й-	(23)
Так как скорости Vn и статистически независимы, то корре-
ляционный момент между этими величинами равен нулю:
ЯИЛ = 0.	(24)
142
i
Рис. 5.6
Рис. 5.7
143
Подставив (12), (13), (21), (22) и (23) в (7), получим следую-
щую расчетную формулу для дисперсии курсовой ошибки назем-
ного наведения перехватчика:
==а2 __-----J___[J s]n2 ,а2 ।
^расч ®п У"2 cos2 <рп	х
+ sin2 ?п<*ип + 2Уц cos <рц sin ?ц	4-
1 \ .
“Ь у2Vn/ °* с°з <рц sin +
—u Ъ^2 cos2 ср	 х — —I-~ -I-——
-г Уцси»	//= Г УаТГ)
(25)
Подчеркнем, что формула (25) получена при предположении,
что ошибка в определении потребного курса равна ошибке в опре-
делении угла упреждения, а ошибкой в определении положения
линии визирования «перехватчик — цель» пренебрегаем.
Можно показать, что формула (25) справедлива и для слу-
чая, когда перехватчик наводится на цель методом «прямой пе-
рехват». Результаты расчетов, выполненных по формуле (25) для
широкого диапазона исходных данных, приведены на рис. 5.8—5,10,
144
Рис. 5.9
Рис. 5.10
Рассчитанные значения средних квадратических ошибок в кур-
се перехватчика являются исходными для определения вероятно-
сти наземного наведения, если для заданных условий боевого
применения известны допустимые ошибки наведения перехватчика
по курсу.
Методы определения допустимых ошибок наведения изложены
в последующих задачах.
Задача 5.4. Показать, как допустимые ошибки наведения по
курсу зависят от характеристик перехватчика и ракеты. Допуще-
ния: перехватчик наводится на встречных или догонных курсах
под малыми ракурсами. Ошибка в курсе исправляется методом
разворота перехватчика и ракеты с постоянными радиусами. За-
паздыванием перехватчика и ракеты в отработке команд наведе-
ния пренебрегаем.
Решение. Обозначим через Дх линейную допустимую ошибку
наведения, а через D — расстояние от перехватчика в момент за-
хвата до точки встречи ракеты с целью. Тогда при наведении пе-
рехватчика под небольшими ракурсами в переднюю и заднюю
полусферы допустимая курсовая ошибка наведения
дРлоп==“7Т' в радианах.	(1)
Линейная допустимая ошибка Дх должна быть равна сумме
проекций расстояний, проходимых перехватчиком, ракетой и целью
в процессе сближения, на перпендикуляр к направлению «пере-
хватчик— цель» в момент захвата. При развороте перехватчика
возникает боковое ускорение, направленное в сторону уменьшения
Дх. Движение перехватчика в этом направлении — равноускорен-
ное и проходимое расстояние равно—. Аналогично расстояние,
Vp
проходимое в этом направлении ракетой, равно —а целью —
яц (^п + ^р)2 3
Следовательно,
д ___ ап^п Яр'р	(^п + *p)S
Х ~ 2	~2	2
(2)
где
п ‘ V -	„ ’
v сбл. п—п
___ .
Р V -	’
к сол. р-а
в—Т;
(3)
146
/п— время самонаведения перехватчика до пуска
ракеты;
/р—время полета ракеты до встречи с целью;
£)эахВ, Du—дальности захвата и пуска;
^сбл. п-ц,	соответствующие скорости сближения;
R — радиус разворота.
Результаты расчетов для нескольких значений характеристик
приведены на рис. 5.11.
Рис. 5.11
Задача 5.5. Перехватчик наводится на воздушную цель мето-
дом «погоня». Метод самонаведения ракеты — тоже «погоня».
Найти зависимость допустимых курсовых ошибок наземного на-
ведения Дрдоп от скоростей цели, перехватчика и ракеты, дально-
стей захвата и пуска, радиусов разворотов перехватчика и ракеты.
Рассмотреть два случая: 1) ошибка пуска равна нулю и вся допу-
стимая ошибка наземного наведения исправляется самим пере-
хватчиком; 2) ошибки наземного наведения исправляются пере-
хватчиком и ракетой.
Допущения: 1) скорости и радиусы разворотов постоянны;
2) инерционностью и запаздыванием пренебрегаем.
Решение. Для случая, когда ошибки наземного наведения ис-
правляются только перехватчиком, в момент пуска ошибка равна
нулю и перехватчик строго выполняет метод «погоня», а ракета
на этапе самонаведения до встречи с целью также с метода «по-
гоня» не сходит.
Согласно рис. 5.12, где показана кинематическая схема ис-
правления ошибок наземного наведения, время полета перехват-
чика с дальности захвата Аахв до пуска ракеты равно
, ^Рдоп + ?Ц Г) Афдоп +
----5Г---->	(I)
6*	147
где <Рц — курсовой угол цели в момент пуска ракеты;
шп="ра' —угловая скорость перехватчика.
Запишем проекции на оси х и у.
cos f ц = Z)saxB	sin Афдоп sin 9ц>	(2)
Z)n sin ?ц === /?п cos <рц /?п cos Дфдоп*	(3)
Подставив в уравнение (2) значение времени ^п, получим
/?п Sin Дфдоп “ ^захв (^Рдоп 4“ fu) Яп Sin *Рц — Dn COS <рц; (4)
/?п COS Д (?доп = /?п cos срц — Da sin <рц,	(5)
где
Р 
Введем обозначения:
-4= Z?9axB ~ ?ц /?п sin <рц cos Фц,	(6)
в = /?п cos <?ц — Da sin <рц.	(7)
Тогда уравнения (4) и (5) запишутся следующим образом:
/?в81пД(?доп = Л-^Д(?дои;	(8)
/?„ cos Д(?м„ = В.	(9)
148
Возведем два последних уравнения в квадрат и сложим. Тогда
относительно допустимой курсовой ошибки наземного наведения
получим следующее квадратное уравнение:
^»4>-2Д^Д(?„п + -^Д(?„п + В>	(10)
ИЛИ
А2 4- В2_R?
- 2Д Д(?доп +-------= 0.	(11)
Решение квадратного уравнения (11) дает нам искомую зависи-
мость
Д<?д<,п = -£[Д± KSR*].	(12)
Остается выразить угол <рц через заданные величины. Для метода
«погоня», когда цель не маневрирует, имеем следующее выраже-
ние для угловой скорости разворота ракеты, которая в данном
случае равна угловой скорости линии визирования:
Гц sin	Гр
—
£>п
(13)
где радиус разворота ракеты
ношения
определяется из известного соот-
(14)
Таким образом,
arcsin-^-^-.	(15)
В частном случае, когда ^р=Уп,
рВл
(рц — arc sin
Рассмотрим теперь случай, когда часть курсовой ошибки на-
земного наведения исправляется ракетой. В этом случае перехват-
чик разворачивается, как это показано на рис. 5.13, на угол
Афдоп 4“ ?ц Д<?Р.
(16)
Угловая скорость разворота ракеты запишется при этом сле-
дующим образом:
Гц51п<рг1 TpSinApp Гр
шр = -5^ + -Т7- = ^-
(17)
149
Максимально возможный курсовой угол цели в момент пуска
ракеты
?ц. макс = arc sin -g- -уЛ.	(18)
Курсовой угол цели в момент пуска ракеты с учетом ошибки,
исправляемой ракетой, равен
Время полета перехватчика с момента захвата до момента
пуска им ракеты
= V®- (AQ„n + ?Ц - Д<?р).	(20)
у п
Подставив (19) в (17), получим
Уц sin (?ц. макс AQp) + Ур 81П AQp Ур	rot \
К	= ^7 •	'
Для малых углов А<?доц, как это дано в условиях задачи, полу-
чаем
Б * и s*n макс
дл„ = -yt.... -----------.	(22)
Ур"” Уц COS Та. макс
Задача 5.6. Перехватчик наводится на неманеврирующую цель
строго с передней полусферы. Скорости перехватчика и цели по-
150
стоянии и соответственно равны: Рп=1200 км/ч и Рц=1900 км/ч.
Наземная система обеспечивает точность наведения перехватчика
со средней квадратической ошибкой по курсу а(? = 5°. Определить
вероятность наведения, если перехватчик начинает исправление
ошибок наведения с дальности захвата цели бортовой РЛС, рав-
ной £>захв — 35 км, маневрируя с постоянным радиусом разворота
/?п= 10 км до дальности пуска £>п~12 км. Принимаем, что ошибка
пуска равна нулю, т. е. перехватчик сам исправляет все ошибки
наземного наведения. Допускаем, что ошибки наземного наведе-
ния Д<?доп малы и Vp'—Vu. При условии состоявшегося наземного
наведения задана вероятность поражения цели ракетой, которая
равна 0,9.
Решение. Согласно кинематической схеме исправления оши-
бок наземного наведения (рис. 5.12) имеем
^Эахв __ -У X
^сбл пcos ^Сдоп
Проектируя на ось х, получим
х =	= оп cos #П sin ? + sin до	(2)
У гп .п
г п
^сбл
Возведем (2) в квадрат. Тогда
У D‘L» = Dlcos2 % + sin2 ?ц +
+ R„ sin2 aQ,0„ 4- 2DnR„ cos <pB sin <?ц + cos <рц sin +
+ 2R2n sin <рц sin	(3)
Для случая, когда ошибка пуска равна нулю, имеем
sin <?ц « 0; cos 9Ц 1.	(4)
Тогда с учетом того, что
Sin Д^доп = ДРдоП)
COS ДРдоп == 1,
a sin2 Дрдоп “ бесконечно малая второго порядка, получим
(ф-)2 О2аи = + 2О„/?П • AQ«on,	(5)
\ и СОЛ /
откуда находим искомую зависимость допустимой ошибки назем-
ного наведения по курсу от скоростей Уц, Рп, V'p, дальностей за-
хвата и пуска Раахв, £п и радиуса разворота перехватчика /?ц:
Дфдоп —
Jjz-Yd2 —D2
у « / захв п
v сбл /
(6)
151
Для данных задачи имеем Д0доп = 9,8°.
Таким образом, вероятность наведения Ph.h=0,85.
Задача 5.7. Расчетный курс перехватчика, обеспечивающий
встречу с воздушной целью под нулевым ракурсом, равен 70°.
В результате случайных возмущений в контуре наведения и оши-
бок пилотирования перехватчик выдерживает расчетный курс со
средней квадратической ошибкой ар —5°. Закон распределения
ошибок наведения — нормальный. Определить допустимые пре-
дельные курсы перехватчика, гарантирующие вероятность наведе-
ния не менее Рн —0,95.
Решение. Вероятность наведения перехватчика на цель чис-
ленно определяется вероятностью попадания случайного курса Q,
распределенного по нормальному закону с математическим ожи-
данием mQ = 70Q и средней квадратической ошибкой ар = 5°, в угло-
вой интервал допустимых ошибок наведения по курсу, располо-
женный симметрично относительно расчетного курса /Пр:
Р„ = Р{т<?-ДРдоп<Р<«о+Д(2доп) = ф(^),	(1)
где Ф—• функция Лапласа.
По условию задачи имеем
Ф (“Т22’) = °-95-	(2)
Из таблиц функции Лапласа находим значение аргумента, ко-
торое удовлетворяет соотношению (2).*
= 1,96,
°0
откуда допустимые курсовые ошибки наведения
= 1,96-5 = 9,8°.
Таким образом, искомые предельные курсы перехватчика нахо-
дятся в пределах 60,2—79,8°.
Задача 5.8. По известным допустимым ошибкам наведения по
курсу Д<2доп и высоте АТ/доп найти такую эквивалентную одно-
мерную допустимую ошибку наведения, которая определяет гра-
ницу области, вероятность наведения в которую равна вероятности
попадания перехватчика в прямоугольник, ограниченный величи-
нами А^ДОП И А//доп-
Решение. Как видно из рис. 5.14 эквивалентная одномерная
ошибка наведения АдОП является некоторым усреднением отрезков
ДФдоп и Д//доп. Вероятность наведения перехватчика в элементар-
ный сектор rffpQ пропорциональна площади этого сектора. Поэтому
152
усредненное значение одномерной допустимой ошибки наведе-
ния Хдоп находится из соотношения
к	тг
~2	~2
J rQd'?Q + j rHd4J
у ____ W	VOH
т
Здесь деление на производим потому, что усреднение осу-
£
ществляем
др анте.
из соображений симметричности только в первом ква-
Так как
то
Решение
трала
^С^доп
Гп :-----------J
v	sin
sin ср„ *
Гж
ft
С dfQ ,
(2)
(3)
sin 1 1'доп J sin н
(3) получается с помощью известного табличного инте-
• _JL
доп ~ _
J Sin X (
Таким образом, искомая величина
2 ‘
(4)
 —Л
доп _
%
2
доп In tg
ft
"2
?0(?

153
Далее имеем
. ^ОдОп
^=arct^;
ЛНдОп
= arc tg Д55—;
а</ДОп '
<р _ 1 — COS <Р _ (1 — COS <r)	+ tg2 у _.
’2 sin tp	tg 9
I - 1Z< i V1 + tg2 T ,,
И 1 + tgg у /__________]/
tg?
tg?
что tg-£- = l,
Подставив выражение (7) в (5) и учитывая,
после несложных преобразований получим
Рис. 5.15
(8)
154
График зависимости Хдоп от Лфдоп и Д//доп показан на рис. 5.15.
Описанным методом можно также показать, что формула (8)
справедлива и для систематических, а также для среднеквадрати-
ческих ошибок наведения.
Задача 5.9. Показать, как изменяется вероятность наземного
наведения Рн.н при изменении дальности /)Обн обнаружения цели
бортовой РЛС, если известно, что допустимые и систематические
ошибки наведения прямо пропорциональны, а случайные ошибки
наземного наведения обратно пропорциональны дальности обнару-
жения £>обн. Найти зависимость между изменениями Рн>н и скоро-
стью перехватчика Рп при тех же условиях, но при обратной про-
порциональности допустимых ошибок от Рп.
Решение. В целях уменьшения числа аргументов в общей
формуле для вычисления вероятности наземного наведения (зада-
ча 5.1) переходим от ошибок по курсу и высоте к соответствую-
щим эквивалентным ошибкам, которые подсчитываются по фор-
муле (8) задачи 5.8. С учетом сказанного и на основании форму-
лы (6) задачи 5.1 вероятность наземного наведения можно запи-
сать следующим образом:
где Хдоп, и сэкп — соответствующие эквивалентные допустимые,
систематические и случайные ошибки наземного наведения.
По условиям задачи имеем
V — Ъ Г) .
ДОП
%т — ^2-^обн» .	(2)
______
СТЭКВ Г) >
л>обн
где Й1, и kz — коэффициенты пропорциональности.
Подставив (2) в (1), получим зависимость абсолютного зна-
чения вероятности наземного наведения от абсолютного значения
дальности обнаружения цели бортовой РЛС:
р (Г) \ = J_ ф /	\ Гф /	4 fe2) ДР \
'н.в'Л'обн? 2	\ А3 )	й3 ^обн/
(3)
Для нахождения зависимости между относительными величи-
нами	и у?рбн необходимо выражение (3) продифферен-
пировать по Робн и результат поделить на Рн.н- Однако это диф-
ференцирование приводит к очень громоздким выражениям вслед-
ствие наличия в формуле (3) интеграла вероятностей Ф(х). Для
получения более простых расчетных формул необходимо аппрокси-
мировать интегральную функцию Лапласа Ф(х) более удобными
155
X —
для дифференцирования функциями. Возможные аппроксимации
Ф(х) приведены на рис. 5.16, где Ф(х) заменяется на концах диа-
пазона изменения х рядом Маклорена, а во всем диапазоне
гиперболическим тангенсом thx. Используя приближение
Ф (х) ж th х,
получим
Р„. „ (£>«(,)=4th |~th
__+h ( (Ад — Ад) П2 \
1 \ А3	обк / J *
Сравнение формул (1) и (4) показано на рис.
Далее продифференцируем (4) по £>ОбК. Тогда
1 + Аз)
Аз
5.17.
(4)
Н. Н (^Обн) __ ^1^обн |
. b2 I ^!^Обн\
А3 ch2—---------------------
\	лз	/
. ...	/	ь	£)2
\ Ч .	(	^^обн
4-th —т—
/ J	\	«3
А£\)бн
(А,-АО
Аа
обн
П /А2 —А,
обн
ch2
г\ / А] + А2
I k3
ch2 Г .(A1 +	О2.
L ъ йбн
(5)
Поделив производную (5) на абсолютное значение вероятности
Рн.п (Д)бн) и использовав в промежуточных преобразованиях
симости
зави-
получим
АД1. н _____
Аь н
sh 2х = 2 sh х ch х\
sh (х — у)
th х — th у — . \	,
z ch X ch у ’ ,
i обн
+ А2) ch
(6)
, и n • Обн
А3 sh 2 ——
«з
2Л1 ch
(Ай —AQ 2
А3	06 н
(А2 + А]) г2
А3 °бм
v	—J
А3
АТ^обн
^обн
^обн
(7)
А3 обн
(А2 — Ai) ch —
9А ch i	, у
tn h ^обн
I	J
График функции /С^обн) для различных значений коэффициен-
тов Ab k% и приведен на рис. 5.18. Как видно из графика, всегда
выполняется неравенство
/(^бн)<4.
(8)
156
157
При малых дальностях обнаружения цели изменения Do6a
влияют на эффективность очень сильно: при изменении £>Обн на 10%
Рн.н уменьшается на 40%.
Для скорости перехватчика Vn по условиям задачи имеем
(9)
F	*
дип = 777 ’
к п
' п>
Продифференцируем Р„.и по Vn, тогда
др„, „	/2	а У„
Рн. н	k$abc V’tI *
(10)
где
a =ch
Ь = ch
(11)
(12)
(13)
158
Задача 5.10. Цель находится в некоторой случайной точке рай-
она, площадь которого равна 5Ц. Перехватчик осуществляет само-
стоятельный поиск цели в этом районе. Определить, как вероят-
ность обнаружения зависит от ширины 2 6 сектора просмотра
пространства бортовой радиолокационной станцией, скорости пе-
рехватчика Vn и времени поиска /п, если допустить, что за время
поиска площадь Ац остается постоянной и цель может находиться
в каждой точке района несколько раз, т. е. цель маневрирует та-
ким образом, что в течение всего времени поиска она равнове-
роятно распределена на площади 5Ц.
Решение. Обозначим через Q вероятность того, что до мо-
мента t цель не была обнаружена. Вероятность обнаружения цели
за элементарный промежуток времени А/, непосредственно приле-
гающий к моменту /, определяется отношением просмотренной
за А/ площади ASn ко всей площади 5Ц. Таким образом, вероят-
ность обнаружения цели за Л/ при условии, что до этого проме-
жутка цель не была обнаружена, равна:
=-tf1Q;
Д (1 - Q) = Q;	(1)
dQ ____ Q
Решение этого дифференциального уравнения первого порядка
при выполнении начального условия Q = l, когда / = 0, выражается
очевидным уравнением
Q = exp(—g-).	(3)
Следовательно, вероятность обнаружения цели
обн ---
j

(4)
где Уп —скорость перехватчика;
tn — время поиска.
Задача 5.11. Цель, проходя по зоне ПВО, осуществляет фото-
графирование объектов, нанося при этом ущерб, который числен-
но прямо пропорционален времени безнаказанного нахождения
цели в зоне ПВО. Для сбития цели перехватчики выполняют по
ней п атак. Вероятность сбития цели за одну атаку равна =0,4.
Время, потребное для подъема и наведения перехватчика, равно
/и=15 мин. Время между последовательными атаками /а = 1 мин.
159
Размеры зоны ПВО 100X300 км. Скорость цели Уц~1000 км/ч.
Ширина полосы, охватываемой фотоаппаратом цели, равна 25 км.
Показателем эффективности действия перехватчика выбираем от-
носительное время нахождения цели в зоне ПВО. Определить за-
кон изменения этого показателя эффективности в зависимости от
времени t.
Решение. Время безнаказанного действия цели в зоне ПВО
является случайной величиной, математическое ожидание которой
равно
п
т—1
где Рт — Pm-i — вероятность сбития цели в m-й атаке;
1 — Рп — вероятность сбития цели за п атак;
Т — максимально возможное время пребывания цели
в зоне ПВО.
После переноса постоянной величины Т в левую часть и ввода
члена РпТ под знак суммы получим
п
Т-Т=^({т„-(т)Рт.	(2)
m-1
Показатель эффективности принимает следующий вид:
Т __ р tfn—\ — tm	/пх
у	Т '
m — 1
Промежуток между последовательными атаками
^=-^Ег.	(4)
и тогда
(5)
Таким образом, расчетная формула для показателя эффектив-
ности принимает следующий вид:
Т-Г ,	(Рп-Л) _ (T-U U - Л,)
Т	Т Г\Т (п— 1)	Т »	V3/
где Pt — вероятность сбития цели за одну атаку:
tx — минимальное время безнаказанного действия цели в
зоне ПВО, равное потребному времени для взлета
и полета первого перехватчика до встречи с целью;
——время, потребное для выполнения п последователь-
ных атак;
Т — tn — запас времени до последней атаки,
160
Формула (6) показывает, что даже при Pi = l эффективность
всегда меньше 1, т. е.
Для условий нашей задачи общая длина маршрута цели для пол-
ного фотографирования всего района ПВО равна -^- 300 —
= 1200 км и предельное время безнаказанного нахождения цели
в районе ПВО равно Т =	— 1,2 ч.
т__Г
Следовательно, эффективность —— зависит от времени сле-
дующим образом:
Т—Г— 1	0,25	(0,25 + 4-0,0167 — 0,25) (1 —0,4) _07fi4
у1 * lt2	л л. 1 9.3	Ч' °4’
0,4-1,2-3
когда выполняются /1 = 4 атаки с анализом результатов каждой
предыдущей и Рп = 1- Если в этом случае и = 2, то Рп»0,8 и эф-
фективность равна
7 — Г 1	0,25	(0,25 + 2-0,0167—0,25)
Т ~ 1	1,2	0,41,2-1
_ (1.2 — 0,25 — 2-0,0167) (1 —0,8) Q
1 >2
Задача 5.12. Определить глубину области /, в которой нахо-
дится воздушная цель с вероятностью 0,96, и удаление рубежа на-
чала поиска Дн.гь если после момента пропадания информации о
цели прошло ^=50 мин.
Задано:
— удаление рубежа оповещения Doa — 2000 км;
— точность измерения координат цели аж=30 км;
—	скорость цели Уц=900 км/ч;
—	пределы маневра цели скоростью ДУц=±150 км/ч;
—	пределы маневра цели курсом Дрц=±0-е30°.
Принимаем, что координаты положения цели вследствие ма-
невра скоростью и курсом распределены по треугольному закону
(закону Симпсона), как это показано на рис. 5.22.
Решение. 1. Определяем пределы вероятного отклонения ко-
ординаты положения цели вследствие маневра скоростью:
а = Дргц^=+125 км.	(1)
2.	Определяем пределы вероятного отклонения координаты по-
ложения цели вследствие маневра курсом:
? = V*t —	(2)
₽i = 0; ₽2 = 1СЮ км.
3.	Определяем среднее квадратическое отклонение и математи-
ческое ожидание суммарного закона распределения координаты
161
положения цели вследствие совместного маневра скоростью и кур-
сом. Композиция двух законов Симпсона [2] дает суммарный закон
распределения, близкий к нормальному. Среднее квадратическое
отклонение этого закона равно
Рис. 5.19
(3)
а математическое ожидание определяется решением квадратного
уравнения
т2 Ч- 2/пцр +	= 0.
(4)
Для нашего примера имеем ащ —42 км; ац2 = 58 км.
Решение уравнения (4) дает тц=171 км.
4.	Определяем среднее квадратическое отклонение результи-
рующего закона распределения координаты положения целивслед-
162
ствие маневра курсом и скоростью и из-за неточного измерения
координат цели:
°ЦЕ = V °ц +	(5)
°ци = 52 км;
°uS2 = 65 км.
5.	Если цель не маневрирует скоростью и курсом, то через t=
— 50 мин она будет находиться на удалении
Dou - V*t -= 1250 км
от аэродрома.
6.	Если цель не маневрирует курсом, но осуществляет маневр
скоростью в сторону ее увеличения, то через t—50 мин она будет
находиться на удалении от аэродрома
Аж — У? — 2ацп = 1146 км.
7.	Если цель осуществляет маневр скоростью в сторону ее уве-
личения и курсом до предельного значения, то через 50 мин она
будет находиться на удалении от аэродрома
Don — Уц/ +	+ 2?цИ =1551 км.
Эта величина является предельно возможной тыльной границей
области вероятного нахождения цели при времени старения ин-
формации 50 мин и является, таким образом, конечным рубежом
поиска Як.п.
Следовательно, глубина области вероятного нахождения цели
== DK. п “ Рн. п = 405 км.
Поэтому в нашем примере поиск цели следует начинать на уда-
лении £>нп—1146 км. Глубина области вероятного нахождения
цели в момент начала
поиска равна 405 км. В
пределах этой глубины
цель находится с вероят-
ностью 0,96.
Зависимость глубины
области вероятного нахо-
ждения цели I от време-
ни старения информации
приведена на рис. 5.23.
Задача 5.13. Пораже-
ние воздушной цели раке-
той «воздух — воздух»
происходит после сраба-
тывания радиовзрывателя
в момент достижения
ракетой любой точки кар-
тинной плоскости цели,
163
удаленной от центра тяжести цели не более /? = 7 м. Ошибки са-
монаведения ракеты характеризуются промахом — расстоянием
случайных координат пролета ракеты в картинной плоскости от
центра тяжести цели. Пытаясь сорвать атаку перехватчика, цель
равновероятно применяет шесть различных видов маневра, при
которых промах ракеты характеризуется следующими величинами
средней и среднеквадратической ошибок самонаведения:
Численные характеристики промаха, м	Виды маневра цели					
	1	2	3	4	5	6
Математическое ожидание	2	3,5	2,6	3,7	0,2	3,8
Среднеквадратическое отклонение	4,7	5,9	5,1	4,3	3,3	4.9
Показать, как зависит вероятность поражения цели от ее раз-
меров, от величин систематической и случайной ошибок самона-
ведения ракеты. Определить вероятность поражения цели для
заданных условий и показать, как можно рассчитать вероятность
поражения для случая, когда у промаха отсутствует систематиче-
ская, а имеется лишь случайная составляющая.
Решение. Согласно условиям задачи зона поражения — это
круг, ограниченный окружностью радиуса R = 7 м, плоскость кото-
рого перпендикулярна направлению полета ракеты и центр кото-
рого совмещен с центром тяжести цели. Вероятность поражения
цели можно интерпретировать как вероятность попадания в этот
круг.
Процесс полета ракеты к цели сопряжен с непрерывным ис-
правлением возникающих от различных причин ошибок самона-
ведения ракеты. Когда цель маневрирует, то система автоматиче-
ского управления ракетой из-за инерционности элементов системы
исправляет ошибки с опозданием, в результате чего возникают
систематическая ошибка самонаведения, систематический промах
ракеты. Случайные внешние возмущения (шумовые помехи, флюк-
туационные процессы в элементах системы, случайные изменения
условий полета) являются причиной возникновения случайных
ошибок самонаведения, случайного промаха. Рассеивание ракеты
обусловлено действием множества независимых друг от друга при-
чин и поэтому промах — это случайная величина, распределенная
по нормальному закону, а в силу симметричности системы управ-
ления распределение промаха в первом приближении круговое.
Когда же рассеивание по осям координат х, у характеризуется
неодинаковыми, но одного порядка средними квадратическими
ошибками (ох^оу)» то эквивалентная круговая средняя квадрати-
ческая ошибка определяется по формуле
(1)
Вывод точной формулы для расчета эквивалентной круговой
средней квадратической ошибки по известным значениям средних
164
квадратических ошибок ол и ау приведен в решении задачи 5.8.
Таким образом, промах ракеты относительно центра тяжести цели
можно характеризовать круговым нормальным распределением
модуля случайного радиус-вектора, среднее значение которого
равно расстоянию центра рассеивания от начала координат, со-
вмещенного с центром тяжести цели (с центром круга). Следова-
тельно, вероятность поражения цели численно равна вероятности
того, что ракета, координаты которой в картинной плоскости цели
статистически независимы и распределены по круговому нормаль-
ному закону, попадает в круг радиуса R и с центром, совмещен-
ным с центром тяжести цели.
Если начало координат совместить с центром круга, то на-
правление осей декартовых координат всегда можно выбрать та-
ким образом, что одна из составляющих промаха не будет содер-
жать систематическую ошибку. Тогда, принимая, что ошибки само-
наведения ракеты статистически независимы и распределены по
круговому нормальному закону с математическим ожиданием т
и средним квадратическим значением а, двумерную плотность рас-
пределения координат х и у промаха ракеты можно представить
в следующем виде:
(х-тУ + у3
/(*. У)=
Чтобы найти распределение промаха как распределение модуля
радиус-вектора, преобразуем декартовые координаты х, у в поляр-
ные координаты р, <р с помощью уравнений:
х ~ р cos 9;
У = р sin
(3)
где о —модуль случайного радиус-вектора промаха.
Найдем якобиан преобразования при переходе от переменных
декартовых координат к переменным				полярным координатам
	дх	дх		
д (х, у}	д?		cos 9 —р sin ?	
'	1 у' /	- -	 д <Р» 9)	ду	ду	sin <р р cos 9	= Р (cos2 9 4- sin2 9) = р.
	<?Р			
(4)
Поскольку двумерная плотность распределения в полярной си-
стеме координат определяется через двумерную плотность распре-
деления в декартовых координатах соотношением
f (р. ?) = Р/ (х, У) -= р/ (р cos <?, р sin 9),	(5)
где р>0 и 0<9 <2ти, то одномерную плотность распределения
промаха — модуля радиус-вектора найдем по формуле
2тс	2-ге р3—2tnp cos tp-f-m3
/(р) =pj/(pcos<p, рsin?)	= 2^2-J e 231	=
Ра-рия 2n mp cos
= 2S5’e	(6)
165
Интеграл в уравнении (6) сводится к функции Бесселя нулевого
порядка от мнимого аргумента, так как в общем виде функция
Бесселя n-го порядка представляется интегралом
тс
Л, СО =4 i‘ ^cos’ cos tvtd4,	(7)
л 6
а когда получаем функцию Бесселя нулевого порядка:
«
<8>
о
Следовательно, уравнение (6) можно переписать в следующем
виде:
/(Р)=4-е 2”	(9)
Интегральная функция распределения F(p) промаха р и дает
нам искомую вероятность попадания ракеты в круг радиуса R при
смещении центра рассеивания кругового нормального закона от
центра круга на величину tn. Таким образом, имеем
2’ 4	(10)
о	х '
Введем новые переменные — относительные величины
/?=— ит = —. (И)
Тогда расчетная формула для вероятности поражения выразится
так:
R
P^=\Re 2 /a(m,R)dR.	(12)
О
Результаты расчетов по формуле (12) приведены на рис. 5.24.
Когда т<\ (небольшая систематическая ошибка самонаведе-
ния ракеты), то вероятность поражения с достаточной точностью
может быть рассчитана по формуле
_ R
п _ 1	0	2(14-0,5^)	(13)
пор - 1	°
Когда	систематическая ошибка	самонаведения	ракеты	равна
нулю, а случайные ошибки распределены по круговому нормаль-
ному закону со средним квадратическим отклонением о, вероят-
ность поражения как вероятность попадания ракеты в круг радиу-
са равна
=	(14)
о
166
Это так называемый закон Релея. В этом случае РПор опреде-
ляется по кривой -— — 0 из графика рис. 5.24.
Для условий задачи с помощью формулы (12) или графика ри-
сунка получим следующие вероятности попадания ракеты в круг
радиуса R — 7 м: 0,64; 0,46; 0,57; 0,60; 0,89; 0,54 соответственно
для видов маневра цели 1—6.
Рис. 5.21
Результирующая вероятность поражения цели определяется по
формуле полной вероятности
6
^пор S Р Wl) Лор	(15)
/-1
где Р(^) —вероятность того, что цель избирает г-й вид ма-
невра (гипотеза Я4);
Люр U6) — условная вероятность поражения цели при гипо-
тезе Hi.
Так как по условию задачи все шесть видов маневра цели рав-
новероятны, то
Р(Я,)=Р№) = ...=Р(Яе)»^-
и результирующая вероятность поражения цели РпОр2 »0,617.
Глава 6
БОЕВАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ГРУППОВЫХ ДЕЙСТВИЙ
ИСТРЕБИТЕЛЕЙ-ПЕРЕХВАТЧИКОВ
Показатели боевой эффективности при действии группы пере-
хватчиков против групповой цели могут быть рассчитаны лишь по
известным показателям одиночного воздействия по одиночной
цели. Поэтому, прежде чем разбирать задачи данной главы, целе-
сообразно ознакомиться с задачами третьей главы.
Кроме того, предполагается, что читатель знаком с основами
общей теории эффективности, теории игр, теории массового об-
служивания. В противном случае рекомендуется основные поло-
жения и методы указанных дисциплин изучить по имеющейся ли-
тературе [3—8; 29—32; 39].
Так как основным назначением перехватчика является уничто-
жение воздушных целей, то основным критерием боевой эффек-
тивности при групповых боевых действиях перехватчиков является
число уничтоженных (сбитых) целей. Число сбитых целей при
групповых боевых действиях есть число случайное, а следователь-
но, наиболее полная характеристика его — это закон распределе-
ния этого случайного числа. Основные и чаще всего используемые
на практике количественные показатели боевой эффективности
групповых действий перехватчиков — это числовые характеристи-
ки закона распределения числа сбитых целей, а именно его мате-
матическое ожидание (математическое ожидание числа сбитых це-
лей), вероятность сбития всех целей в налете, вероятность сбития
не менее заданного числа целей. Определению этих характеристик
и посвящено большинство задач этой главы.
В задаче 6.1 определяется закон распределения вероятностей
уничтожения групповой цели группой перехватчиков.
Наиболее универсальными задачами следует считать задачи 6.2,
6.3 и 6.4, решение которых дает нам зависимости математического
ожидания относительного числа сбитых целей от количества воз-
действий по каждой цели, вероятности уничтожения цели при оди-
ночном воздействии по ней и при заданном качестве решения за-
дач управления боем. Последнее учитывается путем рассмотрения
165
трех моделей воздушного группового боя, которые определяют
предельные границы боевой эффективности.
1.	Модель боя при отсутствии целераспределения, т. е. когда
каждый перехватчик может атаковать любую цель в налете, в ре-
зультате чего возможно перепутывание целей и неравномерное
распределение целей между перехватчиками (задача 6.3).
2.	Модель боя с идеальным целераспределением, т. е. когда
цели равномерно распределяются между перехватчиками, а воз-
действия по каждой цели осуществляются независимо друг от дру-
га без анализа результатов предыдущих атак (задача 6.2).
3.	Модель боя с идеальным целераспределением, анализом ре-
зультата каждой атаки и перенацеливанием на другую цель в
случае сбития предыдущей (задача 6.4).
Очевидно, что любой практически возможный случай группо-
вых боевых действий может быть оценен одной из перечисленных
моделей. Это иллюстрируется решением ряда задач (6.5—6.7).
Большой общностью характеризуются также задачи, решение
которых дает нам зависимость относительной пропускной способ-
ности многоканальной системы наземного наведения от количест-
ва каналов наведения, среднего времени наведения одиночного
перехватчика, интенсивности налета целей, глубины полосы, в ко-
торой осуществляется перехват. Используя аппарат теории массо-
вого обслуживания, здесь рассматривают две модели боевых
действий перехватчиков:
1. Перехват целей на заданном рубеже, или модель Эрланга
(задачи 6.8-6.10).
2. Перехват целей в заданной полосе, или модель Баррера (за-
дача 6.11).
Классическая теория массового обслуживания дает аналити-
ческие формулы для расчета пропускной способности многока-
нальных систем только для случая, когда интенсивность потока
целей постоянна. Для расширения условий нами рассматриваются
задачи 6.13 и 6.14, которые показывают пути возможного расчета
показателей эффективности для самого общего случая, когда
интенсивность потока целей изменяется во времени случай^
ным образом и характеризуется заданным законом распреде-
ления.
Ряд задач посвящен определению боевой эффективности при
автономных боевых действиях, когда группа перехватчиков осу-
ществляет самостоятельный поиск групповой цели с последующим
ее уничтожением, определению потребного наряда перехватчиков,
обеспечивающего заданную эффективность (задачи 6.15—6.18).
Задача 6.1. На целей наводится перехватчиков. Каждая
цель атакуется одним перехватчиком, в результате чего с вероят-
ностью, равной Pi, каждая цель сбивается. Число сбитых целей,
естественно, является числом случайным. Необходимо дать пол-
ную характеристику этому случайному числу, Заданы: Л^п=10;
Мц~10; Р^О.7,
169
Решение. Исчерпывающей характеристикой числа сбитых це-
лей Л+ц является закон распределения вероятностей этой случай-
ной величины. Если на каждую из Nn целей наводится по одному
перехватчику, который при этом сбивает цель с вероятностью Pi,
то плотность Pd распределения числа сбитых целей определяется
через коэффициенты разложения бинома Ньютона. Обозначим че-
рез Qi вероятность, противоположную вероятности Р[. Тогда иско-
мые ординаты закона распределения определяются из разложения
следующего вида:
(Л + Q.)"“ =	+ N^N*-r> pyty +...
Здесь	—вероятность сбития всех целей; Pia NxPi^Qi—
вероятность сбития не менее /Уц—1, три первых слагаемых — это
вероятность того, что сбито не менее — 2 и т. д.
С помощью такого приема получаем, что в случае наведения
на каждую из 10 целей по одному перехватчику и при Pi =0,7
вероятности того, что будут сбиты не менее 10, 9, 8, ..., 1, 0 целей
соответственно равны 0,03; 0,15; 0,39; 0,63; 0,85; 0,96; 0,99; 0,995;
0,997; 0,998; 0,999. По формуле определения математического ожи-
дания подсчитаем теперь математическое ожидание числа сбитых
целей:
10
(“1
где PCi — вероятность сбития равно I целей; £=0-И0.
Л4 [7VCiU] = 10-0,03 + 9-0,12 + 8-0,24 + 7  0,24 + 6-0,22 +
+ 5*0,11 +4-0,03 + 3-0,005 + 2-0,002+ 1-0,001 =7,
что совпадает с очевидным подсчетом по формуле 0,7-10 = 7. В от-
личие от функции распределения, которая дает вероятности того,
что будет сбито не менее заданного числа целей, плотность распре-
деления дает вероятность того, что будет сбито ровно столько-то
целей. Для нашего примера вероятности того, что будут сбиты
ровно 10, 9, 8,	1, 0 целей, соответственно равны: 0,03; 0,12;
0,24; 0,24; 0,22; 0,11; 0,03; 0,005; 0,002; 0,001.
Задача 6.2. В налете на объект участвуют целей. Для пере-
хвата этих целей назначается наряд, состоящий из перехват-
чиков. На командном пункте осуществляется равномерное распре-
деление всех перехватчиков по всем целям, ибо все цели равно-
ценны. Каждый перехватчик имеет тр ракет, которые пускаются
по целям независимо друг от друга. Накопление ущерба отсут-
ствует, каждая ракета поражает цель с одинаковой вероятно-
стью Pj. Показать, как зависит математическое ожидание числа
сбитых целей Л1[Л7с.ц] от количества атак по каждой цели и ве-
роятности Pi сбития одиночной цели при пуске одной ракеты,
170
Решение. Результирующая вероятность Р£ поражения каж-
тЛп
дой цели после —— воздействий равна вероятности события,
состоящего в том, что каждая цель поражается после любого из
—~— пусков ракет по ней. Она поражается или первой ракетой,
или первой не поражается, а поражается второй, или первыми
двумя не поражается, а третьей поражается и т. д. Следовательно,
1 — о ц
р,=р, +чл + <^Р|+...= А2 Qr=i-Q, -=
т—О
mpNn
= 1-(1-р1) ",	(1)
где ZSQf1 —есть сумма геометрической прогрессии, первый член
т
которой единица, а знаменатель На практике удобно вместо
абсолютного значения математического ожидания числа сбитых
целей использовать относительное значение:
- 1 - (1 - Л) “,1 	(2)
График этой функции приведен на рис. 6.1.
В случае когда невозможно равномерно разделить все воздей-
ствия по всем целям, то по некоторой части целей осуществляется
на одно воздействие больше, чем по всем остальным. В этом слу-
чае	Г	|
= L1 - (1 - Р,) ""](!- «РД	(3)
Рнс. 6.1
171
где
mrV" r^i л • 1
= “ТТГ “ =0“ 11
(4)
[а] —целая часть от деления на ЛГЦ.
Можно пользоваться также такой формулой:
ЛН*е.ц]
Ml
[1 - (1 - А)'01] + «[1 - (1 -
(5)
однако расчеты по (3) проще.
Задача 6.3. Группа из Лгп перехватчиков ведет воздушный бои
с Мц бомбардировщиками. Взаимное расположение перехватчиков
и целей таково, что каждый перехватчик может атаковать любую
цель и сбить ее с одинаковой вероятностью Р\. Показать, какой
возможен максимальный выигрыш в эффективности, если перейти
от свободного воздушного боя, т. е. от тактики в условиях пол-
ного отсутствия целераспределения, к тактике в условиях идеаль-
ного целераспределения, когда все цели равномерно распределя-
ются между перехватчиками. Критерием боевой эффективности яв-
ляется математическое ожидание числа сбитых целей.
Решение. Так как при идеальном целераспределении по каж-
дой цели осуществляется воздействий, то вероятность сбития
каждой цели, как это показано в задаче 6.2t равна
Л
1 _ (1 _ р,) "a	(1)
т. е. математическое ожидание относительного числа сбитых це-
лей
1Уе-я1 = 1 - (1 - pt)V	(2)
Когда целераспределение полностью отсутствует, вероятность
того, что некоторый перехватчик будет действовать против вполне
определенной цели, равна Вероятность того, что из всех Уп
перехватчиков будут действовать v перехватчиков по одной опре-
деленной цели, рассчитывается по формуле члена разложения би-
нома Ньютона:
.V	!
*П ” М № — 4)!
Вероятность того, что выбранная цель окажется непораженной
после v атак, равна
172
Однако цель атаковывается необязательно v раз, а атаковы-
вается или 0 раз, или 1 раз, или 2 раза, .или Nn раз. Следова-
тельно, результирующая вероятность непоражения цели равна
сумме вероятностей всех благоприятных событий:
П	/ г> \ JV„
(4)
у—О
Математическое ожидание относительного числа сбитых целей
при отсутствии всякого целераспределения равно вероятности про-
тивоположного события:
М^С.п! Г. _ Л _ Л \"«1	/гч
Л'ц “L1 V* Na) J-	w
Таблицы функции (5) приведены в приложении 1. Таким об-
разом, выигрыш в эффективности выражается формулой
Л'
П	 •
д-^ д!. = (1-Р,)"и - (1--^-) °.	(6)
Функция (6) зависит от Мп> Mi, и в общем виде построить
ее в зависимости от аргумента ~ нельзя, ибо необходимо фикси-
ровать ЛГц. Однако при больших значениях Nn
(1(7)
так как согласно определению числа Эйлера
е = lim (1 + —)
И— ЛЛ \	**	/
имеем
/ Р XNn	/
lim (1	= lim /14-
Лц Z	Л'ц-ее I
Ml
1	\ (-РЛ Л7Ц
(-Л) )
N„pt
Расчеты по формуле (5) для Л = 0.2 ч-0,95 приведены на
рис. 6.2. Используя графики рис. 6.1 и 6.2, можно построить для
любого Pi функцию выигрыша эффективности. Для величин Р}~
= 0,2-ь0,95 эта функция приведена на рис. 6.3. При малых значе-
ниях Nn, для построения функции Д М необходимо поль-
за
зоваться непосредственно формулой (6). Расчеты, приведенные в
таблицах приложения 1, позволяют судить о быстрой сходимости
(5) к (8) и определять границы справедливости построения функ-
173
174
ции выигрыша Д	по формуле (6). Эффективность при
отсутствии целераспределения может быть оценена еще и другим
методом. В данном случае количество воздействий которое
осуществляется по каждой цели, есть число случайное, подчиняю-
щееся закону Пуассона. Вероятность того, что по каждой цели
будет сделано ровно k воздействий, рассчитывается по формуле
"...	(9)
Используя формулу полной вероятности, получим вероятность сби-
тия каждой цели:
Задача 6.4. Определить выигрыш в боевой эффективности (раз-
ность в математическом ожидании числа сбитых целей) при пе-
реходе от тактики в условиях отсутствия всякого организованного
целераспределения к тактике в условиях идеального (равномер-
ного) целераспределения, а затем к тактике с перенацеливанием,
когда каждая последующая атака выполняется только после ана-
лиза результата предыдущей атаки. Показать, как искомая раз-
ность зависит от вероятности перехвата одиночной цели при пуске
перехватчиком одной ракеты.
Решение. Так как число пораженных целей есть число слу-
чайное, то наиболее общей характеристикой этого числа является
закон его распределения. Следовательно, общий метод при опре-
делении эффективности групповых действий перехватчиков по
групповым целям заключается в нахождении закона распределе-
ния числа пораженных целей, по которому затем вычисляются та-
кие характеристики, как математическое ожидание числа пора-
женных целей, вероятность поражения всех целей, вероятность по-
ражения не менее заданного числа целей. Ордината функции плот-
ности распределения числа пораженных целей есть вероятность
поражения ровно I целей Pi. При 1<N4 вероятность определяет-
ся биномиальным законом распределения:
Таким образом, для этого случая вероятность поражения всех
целей определится по формуле
Л'ц-1
„ = 1 - У Ъ,	(2)
175
ибо вероятность противоположного события — вероятность пораже-
ния хотя бы одной цели — равна

т. е, равна вероятности поражения или одной цели, или двух, Или
трех и т. д. до ЛГЦ— 1 целей, но не всех целей. Используя тео-
рему о разбиении сумм (интеграла), формулу (2) можно запи-
сать следующим образом:
Поскольку

как сумма вероятностей полной группы событий, то расчетная
формула для вероятности поражения всех целей принимает сле-
дующий вид:
Аналогично для вероятности поражения не менее заданного
числа целей имеем следующую формулу:
J—m
где т — заданное число целей, которое необходимо поразить, т. е.
число пораженных целей может быть tn или больше. Математиче-
ское ожидание числа пораженных целей получаем, использовав
формулу расчета математического ожидания как суммы всех воз-
можных случайных чисел пораженных целей, умноженных на ве-
роятности появления этих чисел. Для этого необходимо каждое
случайное число пораженных целей i умножить на ординату плот-
ности распределения (I) и просуммировать эти произведения от 1
до #ц:
i=i
Далее к сумме (5) необходимо добавить сумму, учитывающую
возможность, что общее количество воздействий Nu, осуществляе-
мое всеми перехватчиками, может быть больше количества це-
176
лей /Уц. Тогда расчетная формула для математического ожидания
числа пораженных целей принимает следующий вид:
/vn-i
п
<=1
Л'п

ц
(6)
u1
Графики функций (3) и (6) приведены на рис. 6.4 и 6.6. Вы-
игрыш в эффективности при перенацеливании приведен на рис. 6.5.
Как показывает сравнение зависимостей ЛфУс.ц] = /(Р1, А/ц, Мп)
для случаев идеального целераспределения, отсутствия
пределения и перенацеливания, наибольшие разности ДЛфУс.ц]
имеют место при /\>0,5 и	1 -4-2. Зависимости ДАфУс.ц]
могут быть широко использованы для оценки влияния качества
управления боем и
на эффективность.
Зависимости
целерас-
степени целераспределения и перенацеливания
М №. ц]

а также номограмма для определения PN являются универсаль-
ными при назначении наряда перехватчиков, если задан количе-
ственно уровень эффективности. Ими можно также решить обрат-
ную задачу: определить эффективность	если из-
вестны количество целей Мц, назначенный наряд перехватчиков Nu
и вероятность поражения цели при одиночном воздействии
Следует напомнить, что в задачах 6.2—6.4 при выводе рас-
четных формул принимали, что перехватчик осуществлял одну ата-
ку. В случае когда каждый перехватчик может осуществить
одиночных атак, то всюду в формулах этих задач необходимо под-
ставлять вместо А/п величину трА^п- Аналогичную подстановку не-
обходимо иметь в виду и при использовании графиков рис. 6.1,
6.2 и 6.4 и номограммы рис. 6.6.
Добавим еще, что расчеты по формуле (6) данной задачи в
зависимости от величин и Nn становятся менее громоздкими,
если пользоваться формулами:
A1|W,U]=P1A'„- 2	(7)
Al [Ne. Ц] = АГц - У (М, - о C‘NP‘ (1 - Р,Л~'.	(8)
1^0	П
Таблица функции (6) приводится в приложении 2.
7—384	177
178
Рис. 6.6
Задача 6.5. Определить средний процент сбитых целей в зави-
Nn
симости от соотношения -гЛ между количеством перехватчиков и
количеством целей в налете, если воздушный бой состоит из эле-
ментарных боев, в которых независимо друг от друга цель сби-
вается с вероятностью Рь а перехватчик — с вероятностью Рц.
Принимаем, что реализуется идеальное целераспределение для
обеих противодействующих сторон.
Задано: Pi*=0,3; 0,5; 0,7;
Л=0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9;	=» 0-4-3.
Решение. Математическое ожидание относительного числа
сбитых целей определяется по формуле
р	.	(1)
179
7*
где Рц —вероятность сбития каждой цели;
Рпор. п—вероятность поражения каждого перехватчика.
Для расчета этих вероятностей воспользуемся формулой (2)
задачи 6.2. Для модели воздушного боя с идеальным целераспре-
делением имеем:
Рц = 1-(1-Р1)^;	(2)
"а
Р„ор.п=1-(1-Я2) "" .	(3)
Следовательно, искомая эффективность находится по формуле
	Г	
м [Nc, ц| _		(4)
Результаты расчетов для исходных данных задачи приведены на
рис. 6.7.
Задача 6.6. В групповом воздушном бою количество целей
равно количеству перехватчиков Na. Каждый перехватчик воору-
жен тр ракетами и может выполнить несколько атак, поражая в
каждой атаке одиночную цель с вероятностью В свою оче-
редь от огня противника перехватчики в каждой атаке поражаюу-
18Q
ся с постоянной вероятностью Р%. Определить математическое ожи
й	- М ц]
дание относительного числа сбитых целей —v • для трех
О'ц
моделей боя: отсутствие целераспределения, идеальное целерас-
пределение и идеальное перенацеливание. Определить оптималь-
ное число атак, которое должен выполнить каждый перехватчик,
обеспечивая максимум эффективности, оставаясь при этом с мак-
симально возможной вероятностью непораженным.
Задано: Р|—0,7; Р2 = 0,1; 0,2; 0,3.
——Отсутствие целераспре-
деления
Рис. 6.8
Решение. По аналогии с задачей 6.5 имеем
М ц] __ р /1 _ Р \
дгц	“пор. пЛ
(1)
где Рц — вероятность сбития каждой цели, которая в соответ-
ствии с моделью боя рассчитывается по формулам
(2) задачи 6.2, (5) задачи 6.3 и (6) задачи 6.4;
Рпор.п~ вероятность поражения каждого перехватчика.
Поскольку А/ц=А/ш то возможное количество атак по каждой
цели при равномерном целераспределении равно
тр^п
^ат ~	~	(2)
И, следовательно,
1 пор. П
=[I — (1 — ^2)"aT],
(3)
181
Таким образом, расчетная формула для эффективности в рассма-
триваемых условиях принимает следующий вид:
Л1[^--д3--Ря(1-Р2)Д°т-	(4)
Результаты расчетов для исходных данных задачи и Pi = 0,7
приведены на рис. 6.8. Анализ графиков показывает, что при рас-
сматриваемых условиях всегда имеется некоторое оптимальное ко-
личество атак, при котором эффективность, т. е. вероятность сби-
тия каждой цели при условии непоражения каждого перехватчика,
максимальна. Это объясняется тем, что с увеличением количества
атак по цели прирост вероятности сбития каждой цели умень-
шается, а вероятность поражения каждого перехватчика при этом
возрастает.
Задача 6.7. Состоящую из Л/ц самолетов групповую цель мож-
но атаковать группой из Лгп перехватчиков следующими двумя
способами:
1) цель атакуется поочередно всеми Nn перехватчиками; по-
следующие атаки осуществляются после анализа результата пре-
дыдущих атак; каждый одиночный перехватчик сбивает любой са-
молет противника с вероятностью Рь перехватчик при этом пора-
жается каждым самолетом противника с вероятностью Рг;
2) все перехватчики атакуют цель одновременно; вероятности
поражения цели и перехватчика при одиночном воздействии по
ним также равны и Р2.
Рис. 6.9
Определить зависимость математического ожидания числа сби-
тых целей M'VC J от величин Рь Р2, и 2Vn- Учитывая, что эф-
фективность зависит от соотношения сил , определить опти-
мальный количественный состав групповой цели, действуя против
которой заданным числом перехватчиков, эффективность
182
максимальна. Показать, какой выигрыш в эффективности мо-
жет быть получен, если от одиночных действий перейти к груп-
повым.
Задано:	— 0,5, Р2=0,5 и 0,1,	1 4-5, Л/п=14-5, модель боя
с идеальным целераспределением.
Решение. Используя формулу (4) задачи 6.5, находим за-
висимость М^с.ц] от заданных значений Р2, А^ц и /Уп (рис. 6.9).
Эта зависимость показывает, что всегда имеется оптимальный ко-
личественный состав групповой цели, действуя против которой
заданным числом перехватчиков эффективность с учетом огневого
противодействия максимальна. Так, например, при Pi —0,5 и
Р3=0,5 группу из пяти перехватчиков рационально применять про-
тив 3—4 самолетов противника, но не против двух или пяти: в пер-
вом случае эффективность мала из-за малого числа целей, во вто-
ром— вследствие большой вероятности поражения каждого пере-
хватчика. Используя эту же формулу, находим разность между
эффективностями для двух заданных способов атаки.
Задача 6.8. Противник осуществляет воздушный налет с интен-
сивностью, равной X— 10 ц/ч. Цели пересекают рубеж ответствен-
ности района ПВО в случайные моменты времени, образуя при
этом простейший поток. Для организации перехвата выделены
две станции наведения, каждая из которых одновременно наводит
одиночного перехватчика на одиночную цель, затрачивая на одно
наведение в среднем мин. Если в момент пересечения целью
рубежа ПВО обе станции заняты наведением на предыдущие цели,
то данная цель окажется неперехваченной. Сколько целей пройдет
неперехваченными, если противник осуществляет налет в течение
10 ч? Принимаем, что количество перехватчиков достаточно боль-
шое и только занятость станций наведения приводит к частичному
пропуску целей. Определить математическое ожидание числа сби-
тых целей для X —10 ц/ч, Тн~5 мин, если вероятность сбития цели
при состоявшемся наведении равна Р\ = 0,9.
Решение. Определим вероятность Рп того, что случайно вы-
бранная из потока цель при пересечении границы ПВО найдет
обе станции наведения занятыми. Для этого используем формулу
Эрланга [3, 39]:
р
^п— п
k\
Л=0
Расчеты, выполненные по формуле Эрланга, для широкого кру-
га условий приведены на рис. 6.10 и 6.11, где вероятность Рп за-
нятости всех п каналов приведена как функция количества кана-
лов и приведенной плотности:
183
184
Для нашего примера имеем
Так как в условиях указано, что цель, заставшая обе станции на-
ведения занятыми, остается неперехваченной, то Рп = 0,16 выра-
жает процент неперехваченных целей. Всего за налет длительно-
стью 10 ч проходит 10Х=100 целей, из них 100-0,16=16 целей
окажутся неперехваченными.
Данная задача интересна тем, что показывает, на сколько слу-
чайный характер появления целей может снизить эффективность
системы ПВО. В самом деле, если бы цели пересекали границу
ПВО через равные промежутки времени с той же интенсивностью
Х = 10 ц/ч, т. е. за каждые 6 мин 1 цель, то при времени наведения
ta = 5 мин все цели оказались бы перехваченными даже при ис-
пользовании одной станции наведения. При £ = 5/6 и п = 2 по фор-
муле Эрланга вероятность того, что все каналы заняты РП==Р2 —
= 0,16. Следовательно, вероятность того, что хотя бы один канал
свободен, равна 1 — 7\ = 0,84.
Вероятность того, что на каждую цель было наведение и при
этом цель сбита, равна
(1-Р„) Л = 0,84-0,9 =0,756,
а математическое ожидание числа сбитых целей
(1 - Р„) Ру = 0,84-0,9-100 — 75,6.
Для нашего примера, когда относительная пропускная способ-
ность системы равна единице (т. е. имеем регулярный поток с про-
межутками между целями, равными 6 мин, и время наведения по-
стоянное и равно 5 мин), число сбитых целей равно 100-0,9 = 90.
Таким образом, случайный характер потока целей и случайное
время наведения уменьшают эффективность на 16%.
Задача 6.9, Налет представляет собой простейший поток оди-
ночных целей. Все цели перехватываются на одном заданном ру-
беже. Время занятости каналов наведения перехватчиков — слу-
чайная величина, распределенная по показательному закону. Сред-
ний промежуток между последовательными целями 5 мин, среднее
время занятости каналов тоже 5 мин. Количество каналов наве-
дения 5.
Каковы вероятности того, что занято ровно 0, 1, 2, 3, 4 или
5 каналов? Как изменяются эти вероятности, если среднее время
занятости каналов увеличится до 10 мин?
185
Решение. Ответ получается с помощью формулы Эрланга.
Результаты расчетов приведены в табл. 6.1.
Таблица 6.1
й	₽ — 1	р = -'
0	0,36810	0.13761
1	0,36810	0,27523
2	0,18405	0,27523
3	0,06135	0,18349
4	0,01534	0,09174
5	0,00307	0,03670
Таблица показывает, что вероятность занятости всех пяти ка-
налов при 3 = 2 составляет ~0,04, т. е. каждая 25-я цель проходит
рубеж перехвата безнаказанной; при £ — 1 не перехватывается
лишь каждая 300-я цель.
Задача 6.10. Налет целей представляет собой простейший поток
с интенсивностью Х = 10 ц/ч. Перед авиационной группировкой по-
ставлена задача перехватить не менее 90% целей. В целях исклю-
чения взаимного влияния и обеспечения безопасности между ата-
кующими перехватчиками назначается несколько рубежей для од-
новременного воздействия по целям, Количество одновременных
воздействий не превышает числа назначенных рубежей. Если це-
лей будет больше, чем рубежей, то они проходят район ПВО без-
наказанно. Среднее время перехвата цели на любом рубеже равно
/и — 5 мин. Вероятность поражения цели РПор —0,96. Сколько дол-
жно быть назначено рубежей перехвата, чтобы вероятность пропу-
ска цели не превышала 0,1? Принимаем, что потребное количество
боеготовых перехватчиков не ограничивает процент сбитых целей
и длительность боевых действий достаточно большая (по крайней
мере, не менее 10 /н) и для такого установившегося процесса при-
менимы формулы Эрланга.
Решение. Обозначим искомое число потребных рубежей пе-
рехвата через Пр.п. Так как количество одновременных наведений
равно количеству назначенных рубежей, то при использовании
формул Эрланга число каналов — это число рубежей. Следова-
тельно, вероятность того, что все каналы наведения заняты, равна
вероятности безнаказанного пропуска цели:
рлр.п
рп	? =	(1)
р-п
2d
fe-0
186
Вероятность того,
того, что перехват
что занято ровно k каналов, т. е. вероятность
целей осуществляется ровно на k рубежах:
* Л1 П»
когда
0<А</гр.
(2)
ft	.	n °*
ПР- п' "р. п р'
к > Пр.	(3)
что ни один канал не используется, т. е. ве-
когда
Вероятность того,
роятность того, что ни на одном из назначенных рубежей целей
нет, равна
1
0 „-1
р. п
(4)
k\
рлр. п / Пр. п
Пп.п!
р.п‘ \ ,(р. п
ни на одном из
Используя формулы (1), (2) и (4), рассчитаем
Ри Рг» Ръ •того, что целей нет
бежей, что цели есть на одном, на двух, на трех
а затем находим сумму
р. п
вероятности Pq,
назначенных ру-
и т. д. рубежах,
(5)
А=0
равную вероятности того, что воздействия по целям имеют место
на рубежах, количество которых не превышает числа пр,п.
Результаты расчетов сводим в табл. 6.2.
Таблица 6.2
Яр.П	₽ЛР'П«Р.П	лр. п-*1 у JL Л1 k=0	P,	p,	Pt	Р»	лр. n V p fe-0
	лр.п ! (лр.п — Р)						
1	5	1	0,167	0,139	0	0	0,306
2	0,595	1.83	0,412	0,343	0,113	0	0,874
3	0.134	2,18	0,432	0,360	0,150	0,010	0,942
Таким образом, если назначить 3 рубежа, то будет перехвачено
0,942-0,96 = 0,905 целей и задача, стоящая перед перехватчиками,
будет выполнена.
Задача 6.11. Для условий задачи 6.8 определить математическое
ожидание числа сбитых целей, если цели перехватываются не на
рубеже, а в полосе, ширина которой равна D. Скорость, цели по-
стоянна и равна
187
Решение. Непосредственное решение этой задачи дается фор-
мулой Баррера [40], по которой можно подсчитать вероятность за-
нятости всех каналов многоканальной системы для случая «нетер-
пеливых» заявок, распределенных по пуассоновскому закону. Под
«нетерпеливой» целью в данном случае понимается такая цель,
которая, застав все каналы наведения занятыми, ожидает в по-
лосе ПВО в течение времени /ож , после чего покидает си-
Г ц
стему обслуживания. Если же цель принята на обслуживание, то
она остается в системе до тех пор, пока не будет обслужена.
Для нашего примера при
°	Иц » Г [Л	н
согласно формуле Баррера имеем
(0 — и) еа
(1)
п
(3 - п) и! 2	+ ?"+1 [e“cfs-л> - 1 ]
й=0
Анализ формул Эрланга и Баррера (рис. G.10 6.14) показы-
вает, что отличие от простых формул регулярного потока имеет
место, когда Р =	~т. е. когда приведенная плотность цели р
примерно равна количеству каналов наведения. Когда {3=(2-^3)п,
то в системе наступает насыщение и Р = п$, а при Зп всегда
можно пользоваться формулами регулярного потока:
’ =1- —
п 0	1 Ч, ’
(2)
которые численно совпадают с формулами Эрланга и Баррера.
Формулу Баррера необходимо обязательно применять при и
лг<10н-15, в остальных случаях она совпадает с формулой (2).
188
189
Задача 6.12. Воздушный налет представляет собой случайный
поток одиночных целей, промежутки Т между которыми подчиня-
ются закону Пуассона с математическим ожиданием Гц = 5 мин.
Время, в течение которого заняты каналы наведения,— случайные
величины, распределенные по экспоненциальному закону с мате-
матическим ожиданием Тп~ 10 мин. Система наведения работает
таким образом, что любая цель поступает на «обслуживание»
(на нее начинается наведение перехватчика) любому свободному
каналу наведения. Боевая задача по уничтожению целей на задан-
ном рубеже поставлена таким образом, что цель, приходящая на
рубеж в момент занятости всех пк каналов, может «ждать» осво-
бождения какого-либо канала не более двух минут. В противном
случае она проходит рубеж неперехваченной. Необходимо опреде-
лить потребное количество каналов наведения пк, обеспечиваю-
щее среднее время «ожидания» Гож не более двух минут. Чему в
этом случае будет равно общее среднее число целей в системе и
среднее число целей, ожидающих начала обслуживания? Сравнить
описанную систему наведения с системой, работающей в усло-
виях, когда Тц и Тн — постоянные величины и также равны Гц~
=5 мин, 7'н=10 мин.
Решение. Общее число целей, находящихся в системе, равно
сумме числа целей Nn.OiKi ожидающих начала наведения, и числа
целей 2Уц.н, на которые осуществляется наведение перехватчиков:
(1)
Из теории массового обслуживания известно, что для описан-
ной многоканальной системы наведения вероятность того, что в
системе находится Nn целей, подсчитывается по формулам:
r^u
р —_Р_______р
Mi!
(2)
когда

(3)
когда

Здесь
(4)
Из условия
(5)
190
получается, что вероятность того, что не занят ни один из кана-
лов наведения, равна
(6)
По определению математического ожидания среднее число целей,
находящихся в системе, равно
00
М[ЛГЦ]=
Математическое ожидание числа целей, ожидающих начала на-
ведения, равно
«о
^[^Ц.ож]= 2	~ Р^а-	(8)
С другой стороны
д; =	(д\
1 ¥ц. ож т >	v*/
откуда
ц. ож 1 Ц
(10)
С помощью приведенных формул можно показать, что
Т —
ож («к- 1)! («к- № ’
(И)
Отношение Гож/Т'н по заданным значениям цк, Тя и Tq опреде-
ляется по рис, 6.15. Известно также, что для нормального функ-
ционирования системы, когда цели поступают через случайные
промежутки времени и время наведения есть также случайная ве-
личина, необходимо выполнение условия
(12)
В противном случае, когда число каналов меньше приведенной
плотности р, очередь в системе неограниченно возрастает. Следо-
вательно, в нашем примере надо рассматривать пн>2, так как
1 и
Пусть пк —3, тогда для {3 = 2 согласно (6) имеем
пк=4 Ро—0,13. Соответственно из (11) получаем
для
лк = 3 Гож = 0,45; Т„ = 4,5 мин,
Ро = О,11. При
и для
пк~ 4	= 0,073; 7^ —0,73 мин.
191
Итак, для удовлетворения условия Т(ГМ 2 мин необходимо иметь
хотя бы четыре канала наведения.
Определим теперь, сколько в среднем целей 7Vq будет находить-
ся в системе и сколько в среднем целей Мьож будет ожидать на-
чала наведения. Чтобы воспользоваться формулами (7) и (8), не-
обходимо сначала рассчитать с помощью формул (2) и (3) ве-
роятности PNn того, что в системе будет находиться 1, 2, 3, ..., 10
и т. д. целей. Эти вероятности соответственно равны:
0,26; Р2 = 0,26; Р.= 0,174; Р^ 0,087; Р5 = 0,044;
Р6 = 0,022; Р7 = 0,011; Л>8 = 0,005; Р9 = 0,003; Р10 = 0,001; Рп « 0.
Среднее число целей, находящихся в системе, согласно (7) рав-
но М[Л/ц] — 2,16.
Среднее число целей, ожидающих начала наведения, согласно
(8) равно ЛфУц.ож] = 0,162.
При регулярном потоке, когда цели поступают через равные
интервалы Тц = 5 мин и время наведения также постоянно и равно
/„^10 мин, два канала наведения обеспечивают относительную
192
пропускную способность, равную единице, т. е. в этом случае все
цели будут перехватываться, причем оба канала все время заняты.
В условиях случайного поступления целей и случайного времени
наведения необходимо иметь уже четыре канала наведения, хотя
средние величины Тц и Тн остались неизменными. При этом в сред-
нем будет занято 1,65 канала наведения, а вероятность того, что
будут заняты все четыре канала, равна 0,348, т. е. в течение почти
65% общего времени функционирования системы имеются свобод-
ные каналы. И в это же время цели в среднем ожидают начала
наведения в течение 0,73 мин. Причина всему этому — случайные
скопления и разрежения целей в общем потоке.
Задача 6.13. Показать, как показатели эффективности многока-
нальной системы наведения, подсчитанные по формулам Эрланга
и Баррера, могут быть распространены на случай, когда интенсив-
ность X входного потока целей в процессе противовоздушной опе-
рации изменяется по случайному закону, который характеризуется
функцией распределения G(X).
Решение. Вероятности, вычисленные по формулам Эрланга и
Баррера для случая, когда поток целей простейший (X — const),
это не что иное, как среднее относительное время пребывания си-
стемы наведения в некотором состоянии Например, формула
(ЦН)Я
Рп (X=const) = х	(1)
1 + ЛГ + Т + - + —
определяет среднее относительное время, когда при данной интен-
сивности налета целей X и среднем времени наведения /п все п ка-
налов заняты.
Очевидно, что в процессе ведения противовоздушной операции
интенсивность налета X может меняться случайным образом. По-
скольку описать изменение X детерминированной функцией вре-
мени принципиально невозможно, то наиболее полной характери-
стикой интенсивности как случайной величины внутри рассматри-
ваемого промежутка Т противовоздушной операции является функ-
ция распределения G(X). Обозначим теперь для потока целей с
интенсивностью X через F(X) среднее относительное время, в те-
чение которого система наведения находится в состоянии Eh. Так
как согласно определению функции распределения интенсивность
принимает значение X внутри промежутка Т в течение времени
T-AG(X), то за это время система наведения находится в состоя-
нии Ек в среднем в течение времени, равного
5(Х)7--Д0(Х).	(2)
В процессе всей противовоздушной операции состояние £к имеет
место в среднем в течение времени, равного
Tf F(X)dG(X).	(3)
193
Поделив (3) на Г, получим вероятность того, что система наве-
дения находится в состоянии Ek-
Таким образом, чтобы рассчитать вероятность того, что все ка-
налы заняты и цель проходит рубеж без воздействия, в условиях,
когда интенсивность потока целей есть случайная величина с
функцией распределения G(X), необходимо вместо формулы (1)
использовать следующее соотношение:
^2
ми , (»„)» ,	, (Ц„)” 
1!	21	"• я!
Р.[О(1)] =

Формула Баррера
ха
в этом случае принимает такой вид:
(Х/|{ —
(Мн п)	л) dQ (Л)
п
(5)
k\
fe-.fl
Задача 6.14. Предложить универсальное выражение для плот-
ности распределения интенсивности входного потока целей #(Х),
характеризующей случайную величину интенсивности X в процессе
противовоздушной операции. Универсальность определим таким
образом, что простейший поток целей, для которого X = const, дол-
жен являться частным случаем вводимого универсального закона,
а средние их значения должны совпадать.
Решение. Указанным в условиях задачи признакам универ-
сальности отвечает следующее выражение:
/ х \( *ср Л - —
8Г
\ в
(1)
где ХСр и 8 — параметры закона, а Г—гамма-функция. Действи-
тельно:
1)	площадь под кривой, описываемой функцией (1), равна еди-
нице, т. е. выражение g(X) отвечает свойству нормировки, как
это требуется для плотности распределения:
J^(X)rfX = l;
6
(2)
2)	математическое ожидание интенсивности налета целей равно
со
fxg-(X)dX = Xcpl	(3)
194
3)	дисперсия закона (1) равна
00
Je-AP)W)^=M-	W
о
При 3—>0 дисперсия интенсивности налета стремится к нулю*
как это показывает выражение (4). Это означает, что вероятность
любого другого значения 1, кроме 1Ср, равна нулю. Следовательно,
при 8-*-0 получаем плотность распределения интенсивности про-
стейшего потока: g(X) — это дельта-функция приХ = 1ср. Таким об-
разом, параметр 8 закона (1) является характеристикой нестацио-
нарности потока целей. Итак, если необходимо определять показа-
тели эффективности и пропускной способности системы наведения
в условиях случайного характера изменения интенсивности налета
целей, то следует сначала определить искомые показатели для про-
стейшего потока целей, когда интенсивность постоянна и равна
1Ср, затем задаться предполагаемым уровнем нестационарности и
с помощью универсального закона (1) рассчитать искомые пока-
затели.
Задача 6.15. Авиационная группировка, состоящая из Nn пе-
рехватчиков, обороняет рубеж ПВО шириной В = 1000 км. Поло-
сой оповещения получена информация о воздушном налете, со-
стоящем из /Уц=20 целей. Это позволяет организовать взлет пе-
рехватчиков. В дальнейшем из-за отсутствия радиолокационного
поля между полосой оповещения и обороняемым объектом пере-
хватчики организуют автономный поиск целей, барражируя в по-
лосе шириной В. Вследствие маневра скоростью и курсом в по-
лосе В цели распределены случайным образом по равновероятному
закону. Сколько будет в среднем уничтожено целей на обороняе-
мом рубеже шириной В, если ширина обнаружения цели бортовой
РЛС 25 = 50 км, а вероятность поражения цели при обнаружении
ее одним перехватчиком Pi = 0,8?
Решение. Вероятность обнаружения целей на обороняемом
рубеже определяется соотношением между просматриваемыми
бортовыми РЛС участками и общей шириной рубежа В. Пусть в
некоторый случайный момент времени t на рубеже В получаем
элементарное приращение просматриваемого участка Д6. Вероят-
ность того, что участком Д6 обнаружится цель, равна . Обо-
значим через Q (0, Ь) вероятность того, что до момента t не было
ни одной обнаруженной цели. Тогда вероятность того, что до мо-
мента t не было обнаружений, равна
dQ(O,*) = -^-Q(O,Z>).	(1)
Это дифференциальное уравнение первого порядка удовлетво-
ряет следующему начальному условию: вероятность того, что нет
195
обнаружений при Дб = 0, равна 1. С учетом этого условия решение,
т. е. вероятность необнаружений, определится по формуле
Q (О, Ь) = <Г4ВД.	(2)
Следовательно, вероятность обнаружения цели одним пере-
хватчиком равна
1 - е-и!В-	(3)
Вероятность обнаружения целей перехватчиками равна
(4)
Вероятность уничтожения целей Afn перехватчиками равна
1 _	(5)
Математическое ожидание числа сбитых целей
Л1 [Wo. „] = Na [ 1 -е-к«21,р-'ву].	(6)
Подставив численные данные нашей задачи, получим
Ж [ЛГС. ц] = 20 [1 - ^.-20-50.0.8/1000^ J = J t
Таким образом, из 20 целей в среднем будет сбито только И.
За счет случайного характера поражения обнаруженной цели
можно было бы уничтожить в среднем 20-0,8 = 16 целей. Однако
ограниченные поисковые возможности бортовых радиолокацион-
ных станций и большая протяженность обороняемого рубежа сни-
жают математическое ожидание числа сбитых целей с 16 до 11.
Задача 6.16. Определить выигрыш в математическом ожидании
числа сбитых целей за счет оптимального назначения наряда при
автономных боевых действиях перехватчиков, когда необходимо
сначала осуществлять поиск целей в некотором пространстве 5Ц,
а после обнаружения уже организовывать атаки для уничтожения
этих целей. Рассматриваем случай, когда цели в течение всего
времени поиска /д распределены внутри области, площадь которой
равна Sq, равновероятно. Для определения выигрыша необходимо
сравнить две тактики: 1) каждый перехватчик самостоятельно
осуществляет поиск и самостоятельно атаковывает обнаруженную
цель; 2) поиск целей осуществляется специально выделенной по-
исковой группой, а после обнаружения целей в их уничтожении
принимают участие наряду с поисковыми перехватчиками вызван-
ные в район обнаруженных целей ударные перехватчики. В по-
следнем случае назначается оптимальный наряд, определяемый
исходя из требуемой эффективности — вероятности сбития каждой
цели с заданным уровнем.
196
Оценить выигрыш для случая» когда обороняется полоса шири-
ной В = 200 и 400 км, 26 = 50 км.
Решение. При первой тактике математическое ожидание чис-
ла сбитых целей согласно задаче 6.15 равно
^[^с. ц!1 =4 U

при второй тактике
Г
^[Л'с.ц]гр = ЛГц
так как вероятность сбития каждой цели равна
Отношение
Л4 [jVc. ц]гр
(1)
(2)
(3)
(4)
.S'
дает нам искомый выигрыш в эффективности за счет оптимального
назначения наряда. Функция А в зависимости от наряда Nn имеет
максимум, который и определяет оптимальное решение. Расчеты
показывают, что тактика автономного поиска с последующим вы-
зовом ударной группы в район обнаружения групповой цели поз-
воляет получить значительный выигрыш в эффективности. При
отношении площади, просматриваемой одним перехватчиком, к
площади всей области вероятного нахождения целей, равном т] =
= 0,24-0,05, выигрыш А достигает величины 1,5—2 по сравнению
со случаем, когда поиск и атака каждым перехватчиком осуще-
ствляются независимо друг от друга во всей области Зц равнове-
роятно.
Зависимость (4) для 26 = 50 км, ширины обороняемой полосы
В = 200 и 400 км для различных значений Р\ приведена на рис. 6.16.
Задача 6.17. В зону ответственности ПВО последовательно друг
за другом поступает Л7Ц= 10 целей. Определить потребный наряд
перехватчиков для уничтожения всех целей с вероятностью, рав-
ной Л<7ц=0,9, если атаки по одной и той же цели перехватчиками
осуществляются с задней полусферы последовательно с соблюде-
нием минимально возможных по безопасности расстояний. Глуби-
на проникновения целей не должна превышать Z)np = 150 км. Ве-
роятность перехвата цели одиночным перехватчиком равна Р\ =0,5.
Скорость цели равна Гц—1000 км/ч, скорость перехватчика Гп —
= 1200 км/ч.
197
Рис. 6.16
Решение. При последовательных воздействиях по целям,
когда из условия обеспечения безопасности необходимо соблю-
дать минимально возможную дистанцию между атакующими пере-
хватчиками с/безоп, а глубина проникновения цели не должна пре-
вышать РПр, максимально возможное количество последователь-
ных атак
когда
Т^пр (Рп + Рп) . «
^ат у х,	Г 1 >
v ц “безоп
атака осуществляется с передней полусферы, и
_ Onp(V„-/„)
"*т— Vn<z6e3on +*
(2)
когда
(3)
атака осуществляется с задней полусферы,
первом приближении можно считать, что
^безоп 2=1
где Рр — средняя скорость ракеты, /р— максимальное время упра-
вляемого полета ракеты. Принимаем £/безоп=30 км. Тогда /гат = 2.
Для обеспечения —= 0,95 согласно рис. 6.4 необходимо,
wp N г,
чтобы при £*1—0,5 иметь —г,—
jVu
Таким образом, для выпол-
198
нения задачи потребный наряд перехватчиков равен
— 2,3-30 = 69.
Если среднеквадратическая ошибка в определении координат
цели и перехватчика равна ах, то в целях повышения гарантии в
безопасности при последовательных атаках нескольких перехват-
чиков величину t/безоп следует увеличить на Зо^. Пусть, например,
qx==3 км. Тогда с(безоп = 30 + 9 = 39 км и при V„ = 1000 км/ч, У„ =
= 1200 км/ч, /Эпр=150км лат=1,77. Тогда —ж 0,83, т. е.
задача перехватчиками не может быть выполнена.
Задача 6.18. По неманеврирующей цели, состоящей из плот-
ного, неразрешаемого РЛС строя в 5—8 самолетов, воздействия
осуществляются в полосе шириной, равной В = 160 км. Траектория
полета этой групповой цели составляет с перпендикуляром к по-
лосе угол 0. В целях анализа результата попадания в цель пущен-
ных перехватчиками ракет каждая последующая атака выпол-
няется через время, равное сумме времен самой атаки (исправле-
ние ошибок наземного наведения, прицеливание, пуск и полет
ракеты до встречи с целью) и нахождения пораженной цели в
поле видимости перехватчика.
Определить количество последовательных атак, которое можно
выполнить, если скорость цели Уц = 900 км/ч, среднее время вы-
полнения одной атаки /ат = 2 мин, среднее время существования
цели ^Су1ц = 0,5 мин, а угол 6 изменяется в пределах от 0 до 80°.
Как изменится искомое возможное количество атак, если при не-
изменных других данных скорость цели увеличится до 1500 и
1800 км/ч, что приведет к соответствующему сужению полосы воз-
действия до 120 и 100 км?
Определить также потребный наряд перехватчиков для уни-
чтожения 90% целей и рациональный режим пуска ракет, если
каждый перехватчик оснащен четырьмя ракетами, а вероятность
поражения одиночной цели при одновременном пуске двух ракет
в зависимости от скорости цели приведена в табл. 6.3.
Таблица 6.3
Уп, км/ч	900	1500	1800
Л	0,85	0,8	0,7
Решение. Время нахождения цели в полосе равно
В
Ун cos 6 ’
Время одного интервала между двумя последовательными пу-
сками ракет равно /ат + /сущ- Следовательно, количество последо-
199
вательных атак, которое можно выполнить по цели в полосе S,
равно
в 11
VrI cos 0 + суа*
и —------U-----------
ат	/	4- /
►ат > *"суш
Результаты расчетов по этой формуле для численных данных
нашей задачи приведены на рис. 6.17. Как видно из графика, ко-
личество возможных атак в пределах углов 9=04-50° изменяется
слабо, при дальнейшем возрастании 9>50° значение пат резко уве-
Для определения рационального режима пуска ракет сравним
три тактики боя:
1)	ракеты пускаются залпами по две с интервалом между зал-
пами
ict -4-1
* ^ат ~ 'суно
2)	ракеты пускаются залпами по две с интервалом
'ат ~ ‘"сушл
3)	осуществляется пуск только одиночных ракет с анализом
результатов каждого пуска.
При первой тактике происходит неравномерное распределение
воздействий по целям. Следовательно, для расчета математиче-
ского ожидания относительного числа сбитых целей М не-
обходимо использовать формулу (5) задачи 6.3. При залпах с вы-
держкой во времени />/ат + £сущ и при одиночных пусках стано-
вится возможным распределять ракеты по целям равномерно и
после анализа результата предыдущей атаки перенацеливать на
200
неун и итоженные цели. Следовательно,	подсчитывается по
;Vii
формуле (6) задачи 6.4. Результаты расчетов приведены в табл. 6.4.
Таблица 6.4
Условия боя	Тактики боя								
	1. Независимые залпы по две ракеты			2. Залпы по две ракеты через ' > 'ат + 'сущ			3. Одиночные пуски с анализом резуль- татов		
1/ц, км/ч	900	1500	1800	900	1500	1800	900	1500	1800
Л	0,85	0,8	0.7	0,98	0,96	0,91	0,61	0,55	0,45
Потребное коли- чество	воздей- ствий ио каждой цели	2,7	3	3,4	0,91	0,94	0,98	1,48	1,7	2,2
Потребный на- ряд перехватчи- ков при Л’ц = 5	6,75	7,5	8,5	4,5	4,7	4,9	1,85	2,22	2,75
Потребный на- ряд перехватчи- ков при	— 8	10,8	12	13,6	7,2	7,5	7,83	2,96	3,4	4,4
Сравнение графиков пат.потр —f(Рц) и Яат.возм—/(0) показывает,
что для обеспечения эффективности	= 0,9 целесообразно
применять тактику одиночных пусков с анализом результата каж-
дой атаки. При 1/ц	1500 залповый пуск по две ракеты с
интервалами />/аТ + /Сущ целесообразен только при 9>60°.
Глава 7
БОЕВАЯ ГОТОВНОСТЬ И НАДЕЖНОСТЬ
Наряду с областью боевого применения, рубежами перехвата
и боевой эффективностью боевые возможности истребителей-пере-
хватчиков характеризуются еще боевой готовностью, т. е. вероят-
ностью того, что к заданному времени перехватчик будет готов
для выполнения боевой задачи. В данной главе и рассматриваются
различные количественные критерии боевой готовности и методы
их расчета.
Наиболее общими показателями боевой готовности одиночного
перехватчика являются коэффициенты боеготовности к первому
и к последующему вылетам, методам расчета которых посвящены
задачи 7.1 и 7.2.
Боевую готовность группы перехватчиков (эскадрильи, полка)
можно характеризовать вероятностью того, что из имеющегося ко-
личества перехватчиков будет боеготово не менее заданного числа.
Этот показатель рассчитывается с учетом надежности, восстанав-
ливаемости авиационной техники и количества обслуживающего
персонала и метода обслуживания (задачи 7.3—7.6). Задачи
7.7.—7.10 рассматривают вопрос, как следует учитывать возмож-
ный отказ авиационной техники при назначении наряда перехват-
чиков для выполнения боевого задания и несения дежурства.
Задача 7.11 посвящена методам обоснования объема мате-
риально-технического обеспечения боевых действий, гарантирую-
щего заданный уровень боевой готовности.
Задачи 7.12 и 7.13 устанавливают зависимость между вероят-
ностью выживания и боевой готовности при непрерывных и на-
пряженных боевых действиях и математическим ожиданием числа
самолето-вылетов, которое может выполнить каждый перехватчик
в условиях воздействия противника. Полученные зависимости поз-
воляют планировать пополнение самолетного парка во времени,
определять боевые возможности авиационных частей по количе-
ству самолето-вылетов в единицу времени.
Задача 7.14 устанавливает зависимость между временем под-
готовки техники и эффективностью.
202
В задаче 7.15 найдена зависимость между вероятностью пора-
жения перехватчика в условиях воздействия противника по аэро-
дрому базирования, радиусом поражения и вероятным отклоне-
нием и радиусом рассредоточения перехватчиков относительно точ-
ки прицеливания противника (эпицентра взрыва). Полученная
номограмма позволяет по допустимому избыточному давлению во
фронте ударной волны, которое выдерживает авиационная техника
при взрыве, и тротиловому эквиваленту взрыва определить соот-
ветствующий радиус поражения, а затем по известному вероят-
ному отклонению определить однозначно такой радиус рассредото-
чения, который обеспечивает вероятность поражения перехватчи-
ков не более допустимого уровня.
Задача 7.16 посвящена оценке живучести, а задача 7.17—кон-
тролю боеготовности ракет (или других элементов самолета).
Задача 7.1. Боеготовность при выполнении предполетной под-
готовки характеризуется вероятностью того, что к заданному вре-
мени на перехватчике будут выполнены все операции по проверке
оборудования и систем самолета. Назовем эту вероятность коэф-
фициентом боеготовности к первому вылету и обозначим через
Рб. гь Вероятность Р$. ri есть функция времени: вначале, когда под-
готовка перехватчика только начинается, она равна нулю, а после
выполнения всего перечня обязательных работ и если за время
предполетной подготовки не возникнет отказов Рб.г1=1- Так
как время выполнения каждой операции зависит от многих
случайных факторов (обученности специалистов, климатиче-
ских условий), то общее время /ПЛ] подготовки перехватчика к
первому вылету также является величиной случайной. Функция
/Зб.г1(^п.п) как раз и характеризует это случайное время, т. е.
Рб.п(^п.п)—это функция распределения случайного времени пред-
полетной подготовки перехватчика. Ставится задача выразить
Льг1(/п.п) через:
1)	вероятность Рт.г того, что за отведенное время будут выпол-
нены все обязательные работы предполетной подготовки;
2)	вероятность ЛДбг.п) того, что за время подготовки не воз-
никнет отказов;
3)	вероятность Рв(/п.п) того, что в случае обнаружения отказа
он будет устранен за время, отведенное на предполетную подго-
товку.
Решение. Вероятность (6i.ii) определяется вероятностями
двух благоприятных и несовместных событий:
1) либо перехватчик не отказывает за время подготовки 6i.n и
на нем будут выполнены все положенные работы;
2) либо перехватчик в процессе подготовки оказывается не-
исправным, но его за отведенное время восстановят и выполнят
на нем все работы.
Следовательно
Р(^И.п) в л) Г (бьц) 4" U ^0 (^йл)]	(А»л)	(6цл)* (1)
203
Если известны средние времена безотказной работы Го и восста-
новления Тъ, то
_ *п.п
РЛ(Ч. п)=е г"
Задача 7.2. Критерием боеготовности перехватчика к повтор-
ному и последующим вылетам является вероятность того, что за
отведенное время t перехватчик будет заправлен и подготовлен к
боевому вылету. Назовем эту вероятность коэффициентом боего-
товности к последующим вылетам и обозначим ее через Рб.г2(0*
Найти зависимость Рб.гй от вероятностей, определяющих успеш-
ность выполнения обязательных операций по подготовке к вылету.
Учесть при этом также возможность выявления отказов и их
устранение.
Решение. Вероятность Рб.г2(0 определяется суммой вероят-
ностей трех благоприятных и несовместных событий:
1)	перехватчик вернулся из полета исправным, был за время
?повт подготовлен к последующему вылету и за это время не от-
казал;
2)	перехватчик вернулся из полета исправным, но отказал в
процессе подготовки к вылету, однако был восстановлен за время
/повт и за это же время заправлен и подготовлен к вылету;
3)	перехватчик вернулся из полета неисправным, но за вре-
мя /Повт был восстановлен и подготовлен к последующему вылету.
Следовательно,
Вероятности и Рв рассчитываются по формулам (2) и (3)
задачи 7.1, только вместо времени /д.п подставляется соответст-
венно /цовт или время полета ^пол-
Задача 7.3. Авиаэскадрилья, состоящая из /Vn—12 перехватчи-
ков, участвует в непрерывных, интенсивных боевых действиях.
В любой момент времени каждый перехватчик может находиться
только в трех возможных состояниях: 1) перехватчик боеготов;
2) перехватчик небоеготов, но восстанавливается; 3) перехватчик
небоеготов и не восстанавливается, а ожидает очереди на восста-
новление.
Вышедшие из строя перехватчики восстанавливаются специаль-
ными бригадами восстановления, куда входят специалисты всех
служб. Восстановление осуществляется в порядке очереди: в пер-
вую очередь восстанавливается ранее отказавший, причем работу
производит любая из освободившихся бригад. Время безотказной
работы и время восстановления перехватчиков — случайные вели-
чины, подчиняющиеся показательному закону распределения.В ка-
204
честве критериев боеготовности эскадрильи выбраны вероятность
того, что в любой момент времени все 12 перехватчиков боеготовы,
и вероятность того, что в любой момент времени боеготовы не ме-
нее 11 из 12 (т. е. небоеготов или 1 или 0).
Показать, как изменяются эти критерии для отношений сред-
него времени восстановления к среднему времени между отка-
зами То, равных 0,01; 0,025, 0,5; 0,1, если количество бригад вос-
становления изменяется в пределах от 1 до 10. Какими дополни-
тельными количественными показателями можно еще характеризо-
вать боеготовность самолетного парка и занятость специалистов?
Решить задачу для Л/п —40.
Решение. Так как число небоеготовых перехватчиков есть
величина случайная, то наиболее полную характеристику боеготов-
ности дает закон распределения этого случайного числа. Зная за-
кон распределения числа небоеготовых перехватчиков, можно с
помощью его определить любой показатель боеготовности. Наш
искомый критерий боеготовности в общем виде определяется как
вероятность Ро.г того, что из Л/п перехватчиков эскадрильи боего-
товы не менее k (в частном случае не менее 12). Другими слова-
ми, необходимо определить сначала вероятности PNn (k) того, что
из Nn небоеготовы ровно k (А = 0, 1, 2, ..., /V„ — k), а затем про-
суммировать эти вероятности до заданного значения — k (в на-
шем случае до 12— 1 = 11). Вероятности PNn(k) —это есть орди-
наты закона распределения числа небоеготовых перехватчиков. Та-
ким образом,
N-h
В теории массового обслуживания известна классическая зада-
ча обслуживания несколькими приборами ограниченного источ-
ника заявок, которая может являться основой для решения нашей
задачи. Согласно теории массового обслуживания для определе-
ния вероятности того, что из перехватчиков в любой момент
времени вышли из строя и находятся в процессе восстановления
ровно k перехватчиков, можно применить следующие формулы:
= ЩЛГП —А)! (“) Pnu
когда 1 Л
\	(°)'	(3)
когда k>r,
где	г—количество бригад восстановления;
А и р—интенсивности отказов и восстановления.
Для показательных законов распределения времени имеем
1 1 1
То ’ 11 ~ Т,	(4)
205
Очевидно, прежде чем подсчитывать вероятности Р/уДА) по фор-
мулам (2) и (3), необходимо определить величину Р^д(0). Ока-
зывается, что
2- pN to)
ft-0 1 п
ибо
N	N
pN (k)	I	ЖП	1
pN" (0)	P"„	~P„ (0) ’	(6)
в п	n	feTo	u
так как
(*)=1
как достоверное событие (сумма вероятностей всех возможных со-
стояний боеготовности равна 1), а вероятность PN (0) в (6) вы-
носится за знак суммы как постоянное число.
Таким образом, вероятность PN (0), которая необходима для
/vn
расчета вероятностей PN (£), определяем с помощью формул
п
(2) и (3) путем вычисления сумм
и взяв затем согласно (5) обратную величину. Определив вероят-
ность PN (0), находим для всех значений k от 1 до г отношения
вероятностей
PN
pNn т ’
п
а затем умножением этих отношений на величину PN (0) —иско-
мые вероятности PN (k) для всех k — Получив величины
ii
Р (&), вычисляем коэффициент боеготовности Р^г по форму-
ле (1).
Результаты расчетов для данных нашей задачи приведены на
рис. 7.1. Зависимости P6.t=sj(ri показывают, что для наших
данных целесообразно иметь не более трех бригад восстановления,
так как при г>3 Р$х полностью определяется только отноше-
нием Го к Гв, т. е. для повышения боеготовности в этом случае су-
ществует только два пути: увеличивать надежность (Tq) или
206
уменьшать время восстановления Гв. Увеличением количества
бригад восстановления свыше гОпт повышения боеготовности до-
стичь невозможно*
На основании формул (2) и (3), представляющих наиболее
полную характеристику — плотность распределения количества
восстанавливаемых перехватчиков, получаем другие, частные ко-
личественные показатели боеготовности самолетного парка и за-
нятости бригад восстановления.
Рис. 7.1
Вероятность
того, что все г групп восстановления свободны:
г г
у	/ И* , V Nn'- П V
A — *)! k р /	* A, rh~r(Nn — A)!r! \ Р /
_№*и	л=Г*Т"*1
Среднее количество перехватчиков, ожидающих начала восста-
новления:
2"	(k-r)Nni
1 (ЛГП-Й)!
(10)
Среднее количество перехватчиков, находящихся в процессе
восстановления;
207
Среднее относительное число небоеготовых перехватчиков
All 4- Afj
МГ"-
(12)
Среднее число свободных групп восстановления?
„ <«>
Коэффициент простоя групп восстановления
Вероятность того, что число перехватчиков, ожидающих начала
восстановления, больше некоторого числа
(14)
Задача 7.4. Определить боеготовность самолетного парка эска-
дрильи, если имеются три бригады восстановления, среднее время
между моментами выхода перехватчиков из строя Го = 33 ч, а
среднее время восстановления Гв = 4,5 ч. В остальном выполняют-
ся условия задачи 7.3. Определить среднее число Л^п.б.г боеготовых
перехватчиков и вероятность того, что из 12 перехватчиков будут
в любой случайный момент времени боеготовы не менее 11. Как
изменятся искомые показатели боеготовности, если количество
бригад восстановления уменьшить или увеличить? Если увеличить
количество перехватчиков Nn до 20?
Решение. Воспользуемся расчетными формулами, приведен-
ными в задаче 7.3. По определению математического ожидания
имеем из функции плотности распределения Рм (Л) для г=3:
п
12
(*) = 1,5.
А-0 п
Это среднее число небоеготовых перехватчиков. Среднее число
боеготовых перехватчиков Л^п.б.г= 10,5.
Вероятность того, что из 12 перехватчиков будут боеготовы
не менее 11, равна вероятности того, что будут небоеготовы или I,
или 0. Используя тот же закон, имеем, что вероятность Рб.г того,
что из 12 будут не менее 11 перехватчиков боеготовы, равна сумме
ординат при k — 0 и й = 1, т. е. равна 0,54.
Задача 7.5. Необходимо сравнить два метода поддержания бое-
готовности группы перехватчиков. При первом методе к каждому
самолету прикреплен один специалист, который в случае отказа
и устраняет неисправность, в восстановлении же других самоле-
тов он участия не принимает. При втором методе группа специа-
листов обслуживает группу перехватчиков без жесткого закреп-
ления за самолетами, т. е. в момент отказа любого перехватчика,
если имеется хотя бы один свободный от восстановления специа-
208
лист, то к восстановлению этого перехватчика приступают немед-
ленно. В противном случае отказавший перехватчик ожидает до
тех пор, пока не освободится любой из г специалистов. Задано,
что надежность и восстанавливаемость перехватчиков характери-
А Т
зуются отношением — == -у5- = 0,1. В первом случае 1 специалист
обслуживает /Vn~6 самолетов, во втором случае 3 специалиста об-
служивают Л\г=20 самолетов. Показать, какой метод обслужива-
ния лучше.
Решение. Используем расчетные формулы задачи 7.3. Когда
один специалист обслуживает п перехватчиков (вместо г специа-
листов, обслуживающих Л/п перехватчиков), причем
тогда
Математическое ожидание числа перехватчиков, ожидающих вос-
становления, равно
A=A’„-^(i-р0).	(3)
г
Когда один специалист обслуживает 6 самолетов, согласно(1)
при у = 0,1 А, = 0,48.
Математическое ожидание числа небоеготовых перехватчиков
Na
равно '\kPN (А)—0,85, а математическое ожидание числа боего-
о п
товых
6 — 0,85 = 5,15.
Относительное время простоя одного перехватчика
= 0,14.
Относительное время простоя специалиста при г=1 равно
Ро = О,48. Теперь, когда три специалиста обслуживают 20перехват-
20
чиков, а —по-прежнему равно 0,1,	= 2,74, а число боего-
к=1
товых перехватчиков равно 17,26,
i/28—384	209
Относительное время простоя одного перехватчика равно
^- = 0,135; Рб.г = 0,865.
Относительное время простоя одного специалиста
-^- = 0,401.
О
Таким образом, решение показывает преимущество группового
метода обслуживания перед обслуживанием с закреплением спе-
циалистов за конкретными самолетами.
Вследствие более рационального использования специалистов
при одинаковых силах групповой метод обслуживания обеспечи-
вает более высокий уровень боеготовности.
Задача 7.о. Для ремонта вышедших из строя в процессе бое-
вых действий перехватчиков необходимо создать группы восста-
новления. Поступление неисправных перехватчиков для восстанов-
ления носит характер случайного потока со средним промежутком
между последовательными поступлениями То = 2 часа. Время вос-
становления— также случайная величина, она подчинена показа-
тельному закону и математическое ожидание ее Тв = 5 часов. Не-
обходимо определить, сколько потребуется бригад восстановле-
ния г, чтобы среднее время небоеготового состояния перехватчиков,
т. е. сумма времен ожидания начала восстановления Т0Н{ и самого
восстановления Тв, не превышало ТПеб.г==6 часов. Продолжитель-
ность планируемых боевых действий равна 10 суткам. Для круг-
лосуточного функционирования системы восстановления на каж-
дом рабочем месте необходимо иметь по две бригады, каждая из
которых работает по 12 часов в сутки. Восстановление неисправ-
ных перехватчиков организуется следующим образом. Любая осво-
бодившаяся группа приступает к восстановлению любого ожидаю-
щего в очереди перехватчика. Когда число перехватчиков в си-
стеме восстановления меньше числа групп, то все перехватчики
восстанавливаются одновременно и не все бригады заняты. Если
число перехватчиков №п больше или равно г, то все бригады одно-
временно заняты и часть неисправных перехватчиков ожидает на-
чала своего восстановления.
Решение. Вероятность иметь в установившемся режиме ров-
но АГП перехватчиков в системе обслуживания (ожидающих вос-
становления и восстанавливающихся) вычисляется по формулам:
г> г>
когда
(1)
(2)
210
когда
Здесь
Р TQr ’
Среднее число перехватчиков, находящихся в очереди на восста-
новлении, равно
М. неб. г =	Л)-	(4)
/-./If 1-—
\ г /
Частное от деления среднего числа перехватчиков в системе об-
служивания М.неб.г на среднее число восстановлений в единицу
времени дает нам время восстановления и ожидания пере-
хватчиков:
=(5)
r-rl [1 — )
\	r /
Среднее относительное время нахождения перехватчиков в. си-
стеме обслуживания в режиме ожидания начала обслуживания
рассчитывается по формуле
Т'неб. г—Л	Тож   pr/J0
——-----------------------(б)
в /в r-rl (1--------М
\ г !
Рассчитав по (3) величину Ро и зная То, Тъ и г, находим по (6)
а затем, умножив на Тв, получаем абсолютное время небое-
в
готового состояния перехватчиков Гнеб.г- Для наших данных р =
= -р- = -|- = 2Д Так как при 0>г очередь неограниченно возра-
стает (время ожидания конечно только при 80), то задаемся
т
г—3. Тогда согласно графику рис. 6.15 —1,4. Далее Тнеб.г =
я» 1,4-5 + 5 = 12 ч.
При г = 4 X =	= 0,625	= 0,2; Т„,б. г = 0,2-5 + 5 = 6 ч.
Таким образом, количество бригад должно быть не менее 4.
Оценим занятость бригад. За 10 суток поступает на восстанов-
ление —2 — 120 перехватчиков. На их восстановление тратится
120-5 = 600 часов, т. е, каждая бригада работает == 15 /часов
в сутки.
Ч88«
211
Задача 7.7. Для выполнения боевой задачи необходимо назна-
чить наряд из Л\т.бг— Ю перехватчиков. Известно, что в случае
взлета перехватчиков без выполнения предполетной подготовки
вероятность отказа системы вооружения равна РОтк —0,1. Сколько
перехватчиков следует поднять в воздух, чтобы выполнить боевую
задачу даже в случае возможных отказов на некоторой части пе-
рехватчиков?
Решение. Обозначим число поднимаемых в воздух перехват-
чиков через Если вероятность отказа каждого перехватчика
равна Ротк, то вероятность появления отказов точно на k пере-
хватчиках из всех #п равна
(А) = С‘„Р*те(1-Р0„Г""‘	(1)
п	п
где CkN —число сочетаний из по k>
14п
ГЛ-------______
А!^п —А)! •	U)
Для гарантийного выполнения боевой задачи необходимо, чтобы
вероятность того, что откажут в воздухе более Nn — УУп.бг (в на-
шем примере Nn—10), была достаточно мала, например 0,05.
Тогда с вероятностью, равной 0,95, можно утверждать, что для вы-
полнения задачи будет не менее Ю перехватчиков. Выраже-
ние (1) есть не что иное, как ордината функции плотности рас-
пределения случайного числа отказавших перехватчиков. Очевид-
но, что практически могут иметь место или А = 0 отказов, или
А==1, 2, 3 и до k — Nu отказов. Нас интересует, какова же вероят-
ность P(fe<JVn — Мт.бг) того, что будет не более ЛГД—ЛГП# бг отка-
завших перехватчиков. Следовательно, для нахождения этой ве-
роятности необходимо просуммировать все ординаты плотности
распределения (1) от & = 0 до k — Nn — Afn.6r:
P(A<M,-Wn.6r)
(3)
Приравняв эту вероятность величине 0,95, можно при извест-
ных значениях Л/П>бг и Л>тк с помощью формулы (3) рассчитать
искомое число Nn. Для данных нашей задачи при Ротк^0,1 тре-
буемое число подымаемых в воздух перехватчиков равно 14. Тогда
с вероятностью, равной 0,95, боевая задача будет выполняться не
менее десятью перехватчиками.
Задача 7.8. На передовом аэродроме рассредоточения несут
круглосуточное боевое дежурство пять перехватчиков. По усло-
виям выполнения боевой задачи требуется, чтобы из пяти пере-
хватчиков в любой момент времени были боеготовы не менее чем
четыре. В случае отказа одного из перехватчиков его заменяют
исправным с основного базового аэродрома. Сколько Замен необ-
ходимо планировать на месячное дежурство рассматриваемой пя-
212
терки, если надежность каждого из перехватчиков характеризует-
ся средним временем между последовательными отказами, равным
Го —75 ч? Поток отказов принимаем простейшим.
Решение. Из теории надежности известно, что для простей-
шего потока вероятность отказов подчиняется закону Пуассона,
для которого математическое ожидание количества отказов, возни-
кающих за время /, вычисляется по формуле
лг[^отк] = 4--
1 о
В нашем примере Го —75 ч и в течение одного месяца среднее
число ожидаемых отказов на каждый перехватчик равно
Далее по функции распределения пуассоновского закона опре-
деляем максимально возможное число отказов, возникающих на
одном перехватчике в течение одного месяца при условии, что
математическое ожидание этого закона распределения Л1[7/Отк] =
= 9,6. При гарантии 83% максимальное число отказов на один
дежурящий перехватчик за месяц составляет 12. Таким образом,
на каждый перехватчик, находящийся на аэродроме рассредоточе-
ния, следует планировать 12 замен, а на пять перехватчиков —
всего 12*5 = 60 замен. Так как при требовании иметь не менее
4 боеготовых самолетов из пяти можно не каждый отказавший са-
молет заменять, то при планировании 60 замен гарантия увели-
чивается до 90%.
Задача 7.9. Перехватчик вооружен двумя ракетами с радио-
локационными головками полуактивного самонаведения, которые
он по цели пускает залпом. Вероятность поражения цели одной
ракетой Рь Кроме Р\ на эффективность атаки влияют надежность
системы вооружения и системы радиоуправления и надежность
ракет Рр. Определить, на сколько уменьшается результирующая
вероятность поражения цели с учетом надежности по сравнению
со случаем, когда перехватчик абсолютно надежен. Принимаем
Ро=0,9; Рр = 0,9. Как изменится разность в эффективностях с учетом
и без учета надежности, если Pi изменяется в пределах от 0,2
до 0,99?
Решение. Эффективность с учетом надежности
=	- (1 - РрР.)2]-	(1)
без учета надежности
^ = [1-(1-^)4.	(2)
а их отношение
	рр	2~ррр'.......................(Зч
Pj.....................................° р	2-Р, •	W
При Ро = Г,р = О,9 имеем (табл. 7.1):
9—384	213
Таблица 7.1
Р1	0,2	0,4	0,6	0,8	1.0
Р1 Pi	0,819	0,830	0,845	0,864	0,891
0,9-Р, *•	0,265	0,478	0,637	0,746	0,802
Задача 7.10. Два перехватчика осуществляют автономный поиск
цели по фронту шириной 180 км. Цель может появиться в любой
случайный момент времени с равной вероятностью на любом уча-
стке фронта. Перехватчики расположены по фронту так, что сек-
торы обнаружения бортовых радиолокационных станций перекры-
ваются: первый перехватчик просматривает область по фронту
0—110 км, второй — 70—180 км. Эффективность поиска зависит
от степени перекрытия диаграмм направленности. Вероятность об-
наружения цели одним перехватчиком Ли = 0,9, а в области пере-
крытия Л)2= 1 — (1 —Poi)2=O,99.
Определить результирующую вероятность обнаружения цели
при описанном автономном поиске цели, если вероятность безот-
казной работы обеих радиолокационных станций равна Pi = P?=
= 0,95. Надежность всех остальных систем перехватчиков прини-
маем равной 1.
Решение. Эффективность поиска, т. е. вероятность обнаруже-
ния цели, зависит от надежности сложной системы обнаружения,
которая состоит из двух бортовых радиолокационных станций и
может находиться в следующих четырех состояниях, составляющих
полную группу несовместных событий:
— безотказно работают обе станции;
—первая станция отказала, вторая работает;
S2—вторая станция отказала, первая работает;
5Ь2— отказали обе станции.
Из четырех состояний только три первых состояния благо-
приятные.
Согласно формуле полной вероятности вероятность обнаруже-
ния цели равна сумме вероятностей всех благоприятных событий:
Ро - Ф#о + ФЛ + ф2н2)
где Ф/ (Z = 0,1,2) — вероятность обнаружения цели при условии,
что цель находится в зоне действия Z-го со-
стояния системы;
— вероятность пребывания системы в произволь-
ный момент времени в одном из указанных со-
стояний.
Вероятность нахождения системы в состоянии So
214
Условная вероятность того, что цель будет обнаружена, когда
обе станции работают безотказно, Фо = О,92.
Умножив Но на Фо, получим первое слагаемое в формуле пол-
ной вероятности: /70Фо = 0,828.
Для состояния аналогично имеем:
= Л>2(1 — ^) = 0,05;
Ф1==0,55 и Ф^^ 0,028.
Так как состояния и S2 идентичны, то
Ф2Н2 = 0,028.
Таким образом, искомая вероятность обнаружения цели Ро —
= 0,884.
Данная задача показывает, что возможные отказы бортовых
радиолокационных станций, работающих в данном случае как
единая система, в значительной степени снижают эффективность
автономного поиска цели.
Задача 7.11. В зависимости от напряженности боевых действий
для восстановления боеготовности авиаэскадрильи в течение ме-
сяца могут потребоваться либо 1, либо 2 двигателя. Вероятность
того, что потребуется 1 двигатель, равна 0,5, вероятность того, что
потребуются 2 двигателя, равна 0,3, а с вероятностью 0,2 вообще
двигателей не потребуется. Эскадрилье ежемесячно отпускается
один двигатель. Определить вероятности в возникновении потреб-
ности любого количества двигателей, если считать процесс по-
ступления заявок на двигатели и процесс пополнения запасов до-
статочно большими по длительности (например, несколько меся-
цев). Задано, что максимально возможное число заявок на дви-
гатели не превышает четырех в месяц.
Решение. Математическое ожидание числа потребных двига-
телей равно Л4[ндв]==1 • 0,5+2 • 0,3= 1,1, т. е. больше, чем в среднем
поступает за месяц. Очевидно, при длительных боевых действиях,
характеризующихся указанными темпами потребной замены и по-
полнения, боеготовность самолетного парка эскадрильи может ха-
рактеризоваться вероятностями того, что потребуются 0, 1, 2, 3
или 4 двигателя. Обозначив через пдв количество неудовлетворен-
ных заявок на двигатели, рассмотрим состояние заявок в любые
текущие А-й и (£+1)-й месяцы. Переход от £-го к (А+1)-му ме-
сяцу характеризуется следующей матрицей вероятностей Р в по-
требном количестве двигателей (табл. 7.2).
Матрица заполняется на основе следующих логических рассу-
ждений. Пусть, например, к &-му месяцу количество неудовлетво-
ренных заявок Пдв —0 (последний столбец матрицы). Так как в те-
чение месяца один двигатель поступит, то к началу (А + 1)-го ме-
сяца количество неудовлетворенных заявок может быть равно 1
или 0 (ибо заявок поступает илиО, или 1, или 2), кроме того, 1 дви-
гатель может оказаться ненужным (двигатель поступил, а заявок
не было). Вероятности этих событий равны соответственно 0,3, 0,5
9*	215
и 0,2. Аналогично заполняются остальные столбцы матрицы. По
матрице уже легко написать формулы для расчета искомых ве-
роятностей того, что непосредственно перед &-м месяцем число
заявок Пдв = —4 (или имеется пдв — 4 невостребованных двигате-
лей) :
Р_4 (Л + 1) =0,8Р-4 (k) + 0,ЗР_3 (Л) = 0,8-0,8 4- 0,3-0,3 = 0,73.
Для всех — 3 имеем:
Р„ (*=+1) = 0,2Р„	(А) + 0,5Р (А) + 0,ЗР„	(А);
дв	дв	‘дв	дв‘
+ 1) = °.2 ‘ °,2 + °.5  °>5 + °>3 • °>3 = °.38-
Задача 7.12. Боевые действия группировки истребительной авиа-
ции носят следующий характер. Каждый перехватчик может нахо-
диться только в двух состояниях, составляющих полную группу
несовместных событий: 1) перехватчик выполняет боевую задачу
по перехвату воздушной цели; 2) перехватчик находится на аэро-
дроме и подготавливается к последующим вылетам. Оба эти со-
стояния связаны с некоторым противодействием противника.
В первом случае в воздушном бою перехватчик подвергается огне-
вому воздействию противника, во втором случае на земле пере-
хватчик подвергается поражению в результате действия противни-
ка по аэродрому. Оба состояния характеризуются вполне опреде-
ленной вероятностью выживания перехватчика после каждого воз-
действия противника. Случайный характер выживания приводит
к тому, что количество самолето-вылетов, которое совершает в про-
цессе боевых действий каждый перехватчик, есть величина слу-
чайная.
Требуется определить математическое ожидание этой случай-
ной величины, если известно, что вероятность выживания перед
первым вылетом (вероятность выживания перехватчиков при уда-
ре противника по аэродрому перед первым вылетом) равна Pit
вероятность выживания в воздушном бою равна Р2 и вероятность
выживания и боеготовности на земле между любыми следующими
216
друг за другом последующими вылетами равна Рз. Чему равно
математическое ожидание числа самолето-вылетов, которое совер-
шает каждый перехватчик, если вероятность выживания после лю-
бого вылета постоянна и равна РВыж=0,95?
Решение. По определению математического ожидания слу-
чайного числа, каким является число самолето-вылетов, совершае-
мых каждым перехватчиком, имеем
Ai [MU = ЛРг + Р^Рз +... +	(1)
где п — максимально возможное число вылетов, которое вообще
может быть осуществлено одним перехватчиком при рассматривае-
мых условиях боевых действий. Первое слагаемое в формуле
(1) — это вероятность выживания после первого вылета, второе
слагаемое—вероятность выживания после второго вылета и т. д.,
последнее слагаемое — это вероятность выживания после n-го вы-
лета. Вынося за скобку величину Р[Р2, получим
А4[^ыл]=/’А(1+Л/’5 + ... + /’Г1^з”).	(2)
Выражение в скобках формулы (2) представляет собой сумму
геометрической прогрессии со знаменателем Р2Рз и первым чле-
ном, равным 1.
Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, полу-
чим
Ail^^-T^^r-^ri.	(3)
Если считать, что каждый перехватчик участвует в боевых дей-
ствиях до уничтожения, то вероятность выживания после п выле-
тов равна нулю и выражение
[1- (РЛИ	(4)
тождественно равно 1, как сумма вероятностей несовместных со-
бытий, образующих полную группу.
Следовательно,
М [	] = Т'—р’р, •	(б)
Для данных нашего примера задано, что
Р^Р2 Р2Р3 — 0,95.
Если вероятность выживания к любому предстоящему вылету
постоянна, т. е. конфликтная ситуация с непрерывным противо-
действием противника циклически повторяется, то
Р1Р2 == Р2Р$ — Лыж = const.	(6)
Тогда
(7)
217
При РВыж “ 0,95 каждый перехватчик совершает в среднем
м РУВЫЛ] == -f j^95' = 19 вылетов.
В результате решения рассмотренной задачи можно сделать
один очень важный вывод: при непрерывном противодействии про-
тивника как в воздухе, так и на земле даже при высокой выжи-
ваемости между последовательными вылетами математическое
ожидание числа самолето-вылетов, совершаемых каждым пере-
хватчиком, сравнительно мало.
Рис. 7.2
Задача 7.13. Математическое ожидание М[МВыл] числа самолето-
вылетов перехватчиков определяется согласно модели боевых дей-
ствий, описанной в задаче 7.12. Зная величину М[Д^ВЬ1Л], опреде-
лить, какова вероятность того, что перехватчик окажется непора-
женным и боеготовым после любого случайного (заданного) числа
вылетов.
Решение. По условиям задачи очевидно, что перед началом
боевых действий, когда ЛфУвыл]=0, />Выж = 1- Вероятность пораже-
ния перехватчика в процессе выполнения им некоторого числа
вылетов ДА^выл равна	. Вероятность того, что перехват-
чик будет поражен в процессе выполнения им Д^выд вылетов при
218
условии, что к началу этого момента состояние его характери-
зуется некоторой величиной вероятности выживания РВыж, равна
Д/’ПОр = Д(1-Р,ыж)=Р,»ж-щ7^	О)
или
>	__________ANBblJ[	р
выж	Л4[Т/ВЬ1Л] ВЬ|Ж’
dPВЫЖ     р ________1____
“ выж А1^выл] ’
(2)
откуда искомая вероятность выживания после любого Л^выл-го вы-
лета получается как решение последнего дифференциального
уравнения первой степени:
N
__ выл	(О\
р _______ р ЛЦА7 J	' >
'выж. N	ВЬ1Л
График зависимости (3) приведен на рис. 7.2.
Задача 7.14. При длительных и напряженных боевых действиях
боевая эффективность группы перехватчиков определяется не
только вероятностью перехвата одиночной цели одиночным пе-
рехватчиком, но и количеством самолето-вылетов, которое может
быть выполнено перехватчиками в единицу времени. Необходимо
сравнить по критерию интенсивности вылетов две авиаэскадрильи,
состоящие каждая из Afn==12 перехватчиков, но разных типов и
характеризующихся следующими временами нахождения пере-
хватчиков в различных состояниях (табл. 7.3).
Таблица 7.3
Временные характеристики боеготовности	1-й тип перехват- чиков	2-й тип перехват- чиков
Znp — среднее время пребывания не-	По 5 ч в каждые	По 4 ч в каждые
рехватчнков на предваритель-	четверо суток	трое суток
ной подготовке G. п—среднее время пребывания пе-	По 1 ч в сутки	По 1 ч 10 мин
рехватчнков на предполетной подготовке повт — среднее время подготовки пере-	30 мин	в сутки 40 мин
хватчиков к последующим вы- летам /пол— среднее время боевого вылета	1 ч	1 ч 20 мин
Кроме того, задана общая длительность боевых действий: /б.д =
= 10 суткам. Принимаем, что к началу боевых действий предвари-
тельная подготовка выполнена на всех перехватчиках, и в даль-
нейшем в течение /и.ц=Ю суток все перехватчики круглосуточно
участвуют в боевых вылетах.
219
Сравнить предельные боевые возможности эскадрилий по мате-
матическому ожиданию числа сбитых целей, если вероятность пе-
рехвата одиночной цели одиночным перехватчиком соответственно
для 1-го и 2-го типов равна Р{ =0,7 и Р2~0,8.
Решение. Среднее время цикла между двумя последователь-
ными боевыми вылетами равно сумме средних времен полета и
подготовки к последующему вылету:
=: ^Пол ^ПОВТ*	(1)
Если общее время, в течение которого перехватчики не заняты
на предварительных и предполетных подготовках, равно
^б. д ^лр п>	(2)
то деление 4 на £ц дает нам выражение для среднего числа вы-
летов, которое может выполнить каждый перехватчик:
^б. д ^пр ^п. п
—t—Т7---------•	(3)
*ПОЛ Ч" *повт	v z
Среднее число самолето-вылетов эскадрильи равно
'бГ^~<ПП^,	(4)
1 ПОЛ т 4 ПОИТ
а интенсивность вылетов, т. е. количество самолето-вылетов за еди-
ницу времени:
„ — ^б-д ~~	~ п) ЛГП
Л (t 4- t 1	V5)
Эскадрилья, вооруженная первым типом перехватчика, в час
может выполнить следующее количество самолето-вылетов: nt =
= 7,35, а эскадрилья, вооруженная вторым типом, — п? = 5,4-
Математические ожидания числа сбитых целей за время бое-
вых действий:
^1^с.ц]1 = 1240;
тИ|Л/с.ц]2 = 1030.
Таким образом, хотя по вероятности перехвата второй тип пе-
рехватчика значительно превосходит первый, однако по среднему
числу сбитых целей за весь период боевых действий эскадрилья,
вооруженная первым типом перехватчика, добивается в 1,2 раза
большего успеха, нежели эскадрилья, вооруженная вторым типом
перехватчика, у которого вероятность перехвата значительно
выше.
Задача 7.15. По местам базирования перехватчиков противник
применяет ядерное оружие. Требуется определить необходимый
радиус рассредоточения /?расср, если известны радиус поражения
применяемого оружия вероятное отклонение рассеивания этого
оружия Е (или радиус рассеивания /?р) и задана допустимая ве-
роятность поражения перехватчиков Рпор. Принимаем, что пере-
хватчики распределяются равномерно по площади круга с радиу-
220
сом 7?Paccp и центр этого круга служит точкой прицеливания для
противника.
Решение. Используя методику оценки эффективности пора-
жения площадной цели, можно записать следующую формулу для
расчета вероятности поражения до заданного уровня перехватчи-
ков, находящихся на удалении /?раСср от эпицентра взрыва:
р =____________________ (П
пор р2 . р2 , р2 
"пор +	+ трасер
Радиус поражения, как известно, либо определяется по настав-
лениям, либо рассчитывается по заданным величинам тротилового
эквивалента 7 применяемого оружия и избыточного давления ДРф
во фронте ударной волны, которое способен выдерживать самолет
рассматриваемой конструкции:
з_______
[км] =/<7 [кт].
Определив по q и ДРф радиус поражения /?п и задаваясь раз-
личными значениями вероятных отклонений Е=0,477/?р, подсчиты-
ваем по формуле (1) вероятность поражения. Результаты расче-
тов для большого диапазона исходных данных приведены на
рис. 7.3. По этой номограмме и можно определить потребный ра-
диус рассредоточения для любых конкретных условий.
Если площадь рассредоточения имеет форму прямоугольника,
то удобно по известным сторонам прямоугольника определить экви-
валентный радиус круга, пользуясь формулой (8) задачи 5.8, а
затем по номограмме рис. 7.3 определить вероятность поражения.
При сложной конфигурации площади рассредоточения необхо-
димо пользоваться сеткой рассеивания [2].
Задача 7Л6. На аэродроме имеется 18 перехватчиков. Для
обеспечения высокой боеготовности и выживаемости при воздей-
ствии противника по аэродрому базирования все перехватчики рас-
средоточиваются равномерно по всей площади аэродрома и, кроме
того, создается 18 макетов — ложных перехватчиков. Противник
осуществляет налет на аэродром и наудачу обстреливает половину
всех самолетов, считая, что их 36. При обстреле каждый обстрели-
ваемый перехватчик поражается с вероятностью, равной 0,2.
Определить математическое ожидание числа пораженных пере-
хватчиков. На сколько уменьшается это число, если количество
макетов-перехватчиков удвоить?
Решение. Противник равновероятно выбирает для обстрела
из 36 любые 18 целей. Число таких случаев равно числу сочетаний
из 36 по 18:
С™ =_____361	(1
зб 18! (36—18)1*	V'
Настоящих перехватчиков при этом может быть 0, 1, 2, ... или 18.
Для подсчета искомого математического ожидания числа пора-
221
рлор b
Рис. 7.3
222
женных перехватчиков необходимо знать вероятности Рт того,
что среди выбранных 18 будет ровно т настоящих перехватчиков.
Вероятности Рт определяются отношением числа благоприятных
для противника случаев к общему числу случаев, равному
Число благоприятных случаев равно
Гт ,	(9}
°18 ^36-18’	W
ибо при выборе т перехватчиков из 18 макеты могут выбираться
различными способами. Следовательно,
/->18—
D ___ G18 g36- 18	/ох
—	r]8	w)
G36
Подсчитав величины вероятностей Pm для m=l<-18, находим
математическое ожидание числа обстрелянных перехватчиков по
формуле
18
Al[Wn.oe] = VwPm,	(4)
W=1
а умножив это число на 0,2, находим математическое ожидание
числа пораженных перехватчиков.
Здесь при подсчете факториалов больших чисел удобно пользо-
ваться асимптотической формулой Стирлинга
nlaV ппе~п.
(5)
Результаты расчетов сводим в табл. 7.4.
Таблица 7.4
т	0—3	4	5	6	7	8	9	10	И	12	13	14	14—18
* tn	0	0,001	0,008	0,038	0,112	0,211	0,260	0,211	0,112	0,038	0,008	0,001	0
Таким образом, среднее число потерь перехватчиков состав-
ляет
18
0,2 V щРт = 0,2 (4  0,001 + 5 • 0,008 + 6 • 0,038 + 7 • 0,112 +
т—\
4-8-0,211 + 9-0,260 4- 10-0,211 + 11-0,112+ 12-0,038 +
+ 13-0,008+ 14-0,001) = 1,8.
Если количество макетов — ложных целей для противника удвоить,
то получим следующие результаты (табл. 7.5).
223
Таблица 7.5
т	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Н	12—18
рт * т	0	0,002	0,012	0,047	0,12	0,204	0,24	0,197	0,115	0,047	0,014	0,002	0
Математическое ожидание числа пораженных перехватчиков
равно
0,2 (1  0,002 + 2• 0,012 + 3-0,047 + 4 -0,12 + 5 • 0,204 + 6 • 0,24 +
+ 7 • 0,197 + 8 • 0,115 + 9 • 0,047 + 10 • 0,014 + 11  0,002) == 1,2,
1,8	1 к
т. е. уменьшилось в “j f раза.
Задача 7.17. Проверяется боеготовность хранящихся на скла-
де ракет. По опыту предыдущих проверок известно, что вероят-
ность неисправности ракеты равна 0,03. Из проверяемой партии
наугад (случайно) выбирают 100 ракет. Какова вероятность того,
что неисправными окажутся ровно три ракеты? Какова вероят-
ность того, что неисправными окажутся не более трех ракет?
Решение. Применяя формулу для биномиального распреде-
ления, имеем для вероятности того, что из 100 ракет окажутся
неисправными ровно три:
Р («₽. „ = 3) = С’ю 0,03’ (1 - О.ОЗ)1»»-’ =	0,03’  0,97” =
= 161 700 • 0,03s • 0,9797 = 0,227.
Вероятность того, что из 100 ракет окажутся неисправными не
более трех, равна
+ Р (т,. „ = 2) + Р (тр. „ = 3) = С“м0,03° (1 -0.03)1»»-» +
+ С^Р.ОЗ1 (1—0,ОЗ)100-1 + Су),03’ (1-0,ОЗ)1»»-’ +
+ С’^0,03’ (1-0,ОЗ)1»»-’ = 0,0475 + 0,147 + 0,2251 + 0,2274 = 0,647.
Глава 8
ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
Определение боевых возможностей и боевой эффективности ни-
когда не является самоцелью, а служит лишь базой для отыска-
ния оптимальных решений. Так, например, при проектировании
истребителя-перехватчика выполняют оптимальный синтез его ос-
новных тактико-технических характеристик, получая при мини-
мальной стоимости самолета заданную эффективность. Расчет эф-
фективности заданного истребителя-перехватчика в различных бое-
вых условиях, как правило, преследует цель обоснования
оптимальных тактик и методов боевого применения.
Использование ограниченного количества средств для выпол-
нения конкретной боевой задачи приводит также к необходимости
отыскания оптимальных решений. Одинаковые боевые задачи мо-
гут выполняться с одной и той же эффективностью, но при разных
затратах сил и средств. Поэтому оптимальные решения находятся
методами использования комплексных критериев эффективности,
представляющих собой совместный учет качества выполнения бое-
вой задачи и стоимости сил и средств, необходимых для ее выпол-
нения.
Примером комплексного критерия эффективности может слу-
жить отношение математического ожидания числа уничтоженных
целей к общей стоимости затраченных на рассматриваемую опера-
цию средств. Такой критерий называется удельной боевой эф-
фективностью. Можно использовать также обратную величину
удельной эффективности — стоимость уничтожения одной цели.
Критерий отношения эффективности к стоимости позволяет из
нескольких типов истребителей-перехватчиков, предназначенных
для выполнения одной и той же задачи, выбрать оптимальный ва-
риант. Это решение дается в задаче 8.1.
Выбору оптимального типа перехватчика по критерию стоимо-
сти уничтожения цели посвящена задача 8.2.
Практический интерес представляют задачи, решение которых
позволяет определить рациональный состав комбинированного бое-
225
комплекта, оптимальный режим и последовательность пуска ракет,
распределение боекомплекта по дальностям пуска и последова-
тельным атакам (задачи 8.3 и 8.4).
Определению оптимального состава авиационной группировки,
состоящей из разнотипных перехватчиков и обеспечивающей за-
данную эффективность при минимальной стоимости, посвящены
задачи 8.5 и 8.6.
Обоснование оптимальных тактик перехватчика и цели рассма-
тривается в задачах 8.7—8.9.
Метод назначения оптимального наряда в условиях, когда ко-
личественный состав групповой цели неизвестен, показан в зада-
че 8.10.
В задаче 8.11 определяется оптимальный вариант вооружения
перехватчика.
В задаче 8.12 оптимизируется пропускная способность системы
обнаружения и наведения.
Задачи 8.13—8.17 находят оптимальные решения при опреде-
лении состава самолетного парка разнотипной авиационной груп-
пировки, размещения его по зонам боевых действий и местам ба-
зирования. Оценивается выигрыш в эффективности за счет опти-
мального назначения наряда разнотипных перехватчиков против
разнотипной групповой цели.
Задача 8.18 показывает, как определить оптимальный радиус
рассредоточения, если увеличение радиуса уменьшает поражае-
мость перехватчиков от воздействия противника, но увеличивает
время вылета.
Задача 8.19 позволяет обосновать оптимальный запас ракет
или любых других агрегатов и деталей, обеспечивающий заданный
уровень боевой готовности перехватчиков.
Задача 8.1. На модели боевых действий перехватчиков с истре-
бителями-бомбардировщиками на малой высоте выявлены опреде-
ляющие боевую эффективность характеристики Xi и их коэффи-
циенты важности ш(‘, показывающие, во сколько раз изменится эф-
фективность перехватчика, если данную характеристику Xi изме-
нить на ДХр Определяющими характеристиками оказываются:
Vn — боевая скорость у земли в числах М;
— уменьшение числа М на ДМ при уменьшении дальности
полета на Д£> за счет установки на перехватчике пушек
и аппаратуры радиопротиводействия противнику;
5nop— эффективная площадь поражения перехватчика при
огневом противодействии истребителей противника;
Й — площадь, ограниченная графиком зависимости «ско-
рость—высота» полета перехватчика при перегрузке
л = 1;
п — максимальная перегрузка перехватчика;
/р — время разгона от крейсерской скорости до максималь-
ной на малой высоте;
226
dx— относительное изменение дальности полета у земли на
режиме максимальной дальности по сравнению с режи-
мом максимальной скорости у земли;
d2—относительное изменение дальности полета на опорной
высоте на режиме максимальной дальности по сравне-
нию с режимом максимальной скорости у земли;
i6 — относительное изменение времени барражирования у
земли на крейсерском режиме по сравнению с режимом
минимальной скорости;
Д/'Р
— относительное изменение длины разбега от взлетного
веса.
Разработаны 5 типов перехватчиков, определяющие характери-
стики которых приведены в табл. 8.1. Все характеристики заданы
в виде относительных величин, за единицу которых приняты соот-
ветствующие характеристики перехватчика № 5. В таблице ука-
заны также коэффициенты важности для каждой определяющей
характеристики.
Таблица 8.1
Я!	Характеристики										
пере- хват- чика		дм	5 пор	Й	п	<7	Лг	Ч	до		с
1	1,08	0,87	0.85	0,54	0,58	0,92	0,85	0,67	0,85	1.51	0,87
2	0,93	0,80	1.0	0,79	0,74	0,91	0,94	0,71	0,87	1,09	0,89
3	0,99	0,69	0,97	0,98	0,77	0,91	0,92	0,67	1.0	1,05	0,95
4	0,94	0.68	1,28	0,92	0,93	0,97	1,13	0,79	1.0	1,09	0,98
5	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0
mi	1.0	1.0	0.45	0,1	1.0	1.0	0,1	0,15	1.5	0,5	1.0
Требуется определить по критерию удельной эффективности
(отношению эффективности к стоимости), какой перехватчик из
сравниваемых является лучшим.
Решение. Рассмотрим какую-нибудь одну из названных ха-
рактеристик х. Если сравнить два типа перехватчиков по этой ха-
рактеристике и соответствующим значениям эффективности а/ж, то
можно записать
(1)
227
Используя формулу бинома Ньютона, имеем
(1 +	—(1 + М” = 1 + m  Дх + т (т2Г ° 4л'! +
(2)
где Дх — разность между характеристиками х этих перехватчиков,
отнесенная к величине характеристики х одного из сравниваемых
перехватчиков. На практике наибольшая сложность при сравнении
возникает в случае, когда сравниваемые характеристики Xi и х2 не-
значительно отличаются друг от друга. В этом случае величина Дх
по сравнению с Xj и х2 мала и в первом приближении можно огра-
ничиться первыми двумя членами разложения бинома. Тогда
w..
—L = 1 + т • Дх,	(3)
* 2
что как раз и отражает физическую суть коэффициента важности:
т показывает, на сколько изменяется эффективность w, если опре-
деляющую характеристику х изменить на Дх. Например, если
/п=3, то это означает, что эффективность увеличится на 30%,
когда х увеличивается на 10%, поскольку
“ wx. С1 + /и4%) =	(1 + з  0,1) = 1,3®Ж1.
Так как улучшение одной характеристики перехватчика может
быть в показателе эффективности скомпенсировано ухудшением
другой, то сравнение перехватчиков с учетом всех определяющих
боевую эффективность характеристик выполняется по формуле
От*»т* ,	- / Д1п
w п dmidmdm* I_______—
й2 VI ДО
(6)
р
так как результирующая эффективность
... =	...	(5)
Показатель сравнения w однозначно показывает, во сколько раз
один перехватчик лучше или хуже другого.
Формула удельной целевой отдачи (это отношение результи-
рующей эффективности к стоимости) для указанных в условиях
задачи характеристик принимает следующий вид:
™ 1 Г V"‘
ту = — —------------
С /ДАТ Х^1 т
Качественно характер влияния характеристик на эффектив-
ность w очевидец,- а количественная зависимость определяется ве-
личинами коэффициентов важности которые найдены с по-
мощью модели боевых действий и приведены в табл. 8.1, Объеди-
ненные прямыми скобками характеристики условно могут быть
названы соответственно относительными живучестью Ж, манев-
228
ренностыо В и эффективностью 7? по рубежам перехвата. Напри-
мер, маневренность перехватчика № 1 составляет
д   0.5'4°^1  0,58  (q j
1,51о.Б	— 0,4.
от маневренности перехватчика № 5, т. е. маневренность 1-го хуже
в 0^4 ==2>28 Раза-
Результаты расчетов сводим в таблицу 8.2, по которой и можно
сделать однозначный вывод по задаче.
Таблица 8.2
перехватчика	Характеристики				
	Ж	в		жв/г	жв/? с
1	1,33	0,44	0,67	0,392	0,45 »
2	1,16	0,69	0,70	0,560	0,63
3	1,23	0,75	0,85	0.785	0,825
4	1,24	0,85	0,713	0,745	0,76
5	1	1	1	1	1
Итак, лучшим перехватчиком является 5-й, затем 3-й, худ-
шим— 1-й.
Задача 8.2. Необходимо уничтожить каждую из 10 воздушных
целей с вероятностью =0,99. В распоряжении командира име-
ются три типа перехватчиков, способных действовать в заданных
условиях и характеризующихся вероятностью Р\ сбития цели од-
ним перехватчиком и стоимостью С] одной атаки (табл. 8.3).
Таблица 8.3
Тип перехватчика	Л	С1
1	0,6	96
2	0,7	110
3	0,8	175
* Стоимость выражается в условных единицах.
В стоимость Ci входит стоимость одного вылета и стоимость
выпущенных ракет. Определить, какой перехватчик выгоднее ис-
пользовать с точки зрения обеспечения заданной вероятности уни-
чтожения целей при минимальных затратах. Принимаем, что
229
каждый перехватчик за один вылет делает одну атаку по одиноч-
ной цели.
Решение. Чтобы уничтожить каждую цель с более высокой
вероятностью Pz в сравнении с вероятностью Р\ сбития цели
при одной атаке одним перехватчиком, необходимо осуществить
независимо друг от друга п атак по каждой цели. Тогда
р£ = 1 —(1-Р,)"	(1)
После логарифмирования выражения (1) получим формулу для
определения потребного количества самолето-вылетов при извест-
ных Р] и Р'
ig(l-Px)
и -...—-----
lg (1- Pl)
Результирующая стоимость уничтожения одной цели, если из-
вестны п и Ci, определяется по формуле
ig(i—
1g (1“ Л) *
Cs =
(3)
Результаты расчетов сводим в табл. 8.4.
Таблица 8,4
Тип перехватчика	Потребное количество вылетов для уничтоже- ния одной цели с ве- роятностью 0,99	Стоимость уничто- жения одной цели ct	Потребное количе- ство вылетов для уничтожения 10 целей
1	5,025	482,4	50,25
2	3,83	422	38,3
3	2,8	490	28
Сравнение результатов расчетов позволяет заключить, что в
данных условиях наиболее рациональным является второй тип пе-
рехватчиков, хотя для него Pj не самая высокая.
Интересным в данной задаче является тот факт, что в случае,
когда каждому более высокому значению Pj соответствует более
высокая стоимость, всегда имеется некоторое значение Pi, являю-
щееся оптимальным, При Рюдт результирующая вероятность сби-
тия цели Pz достигается при минимальной стоимости. В общем
виде эта задача решена на рис. 8.1, где зависимость между эф-
фективностью и стоимостью одной атаки выражается формулой
где а, b и с — постоянные.
Эта формула наглядно отражает то положение, что даже при
Pi~Q имеется некоторая начальная стоимость Cj, а при больших
230
231
значениях Л требуются большие затраты, чтобы повысить эффек-
тивность.
Задача 8.3. Перехватчик, вооруженный четырьмя ракетами, мо-
жет атаковать две цели за один вылет. Вероятность того, что со-
стоится атака первой цели, равна Ли—0,7. Вероятность осуще-
ствления второй атаки Л^ —0,3. Условная вероятность поражения
цели одной ракетой при состоявшейся атаке равна Л = 0,6. В слу-
чае несостоявшейся атаки первой цели перехватчик расходует
весь боекомплект по второй цели. Необходимо определить опти-
мальный режим ведения огня по цели, т. е. сколько ракет должно
быть в залпе по первой цели, чтобы математическое ожидание
числа сбитых целей в двух атаках было максимальным.
Решение. Вероятность сбития первой цели равна
Plf = Pal[i-(1-Р,)']-	(1)
Условная вероятность сбития второй цели при условии, что
атака первой цели состоялась, равна
(2)
Условная вероятность сбития второй цели при условии, что
атака первой цели не состоялась, равна
%=рй|1-(1-А)Ч	О)
В формулах (1), (2) и (3) /пр —число ракет в боекомплекте;
i—искомое число ракет, расходуемых по первой цели.
Математическое ожидание числа сбитых целей в двух атаках
Мг=ри [1 - (1 - р,)'[ + ра1ра211 - (1 - /Л)"1»-'! +
+ (1 - Л1) Лг [1 - (1 - АУЧ	(4)
Максимум функции достигается при условии, когда
dMt _ П
di
а
dWi
d?
Найдем первую производную
= ра1 in (1 - Р.) [- (1 - р,)' + Ра2 (1 - РОМ = о,
откуда
(5)
Вторая производная
= -Ра1 [1П (1 - Р,)р[(1 - Р,)' + Ра2(1 - Р,)и₽-']
232
имеет отрицательный знак, следовательно, выражение (5) соответ-
ствует максимуму математического ожидания М^ Подставляя чис-
ленные данные задачи, согласно (5) получим
1
2
1g 0,3
_ 1g (1-0,6)
= 2,65.
+ 4
Округляя до целого числа, имеем 1 = 3. Для проверки можно
подставить численные значения непосредственно в формулу (4).
В этом случае для значений Z=l, 2, 3 и 4 получим Mi — 0,704;
= 0,853; М3 = 0,853; /И4 = 0,77.
Таким образом, и в этом случае максимум достигается при
1=3.
Задача 8.4. Боекомплект, состоящий из т ракет, может вклю-
чать тр ракет с радиолокационными головками самонаведения и
тТ ракет с тепловыми головками самонаведения. Вместо любой
ракеты с ТГС может быть подвешена одна ракета с РГС. Вероят-
ность поражения цели ракетой с РГС равна Рр, с ТГС — Рт. Ра-
кеты с РГС могут применяться всегда, а ракеты с ТГС — лишь с
вероятностью Ра. Величина вероятности Рл зависит от ракурса
атаки, высоты полета, метеорологических условий. Требуется опре-
делить оптимальное соотношение ракет с РГС и ТГС, при кото-
ром вероятность поражения цели Р комбинированным боеком-
плектом была бы максимальной. Определить, при каких значе-
ниях Ра применение ракет с ТГС становится нецелесообразным.
Найти оптимальное отношение т^Шр для двух случаев:
1) Ра = 0,9 и Рр = 0,4 4-0,5,
2) Л = 0,7 и Рр = 0,3 4-0,4.
Решение. Вероятность поражения цели комбинированным
боекомплектом ракет при независимых пусках равна
р= 1 - (1 ~Ppfp |1 - Ра 11 _ (1 - Рт)-г||.	(1)
Следовательно, задача сводится к нахождению максимума функ-
ции (1) при соблюдении условий:
тТ 4- f?v. )
т >о- т >0	™
Продифференцируем (1) no mp и приравняем производную
нулю:
_ I- (1 - Рр)гар ра (1 - Рт)т-гар 1Л (1 _ рт)+
+ [(1- Р.) + р. (1 -	(1 - р,)"^ (1 - Рр)1=0. (3)
Из уравнения (3) получим
,g I - ’] -lg (х- ’) + mlg (1 “Л)
/ПР“	lg(l— PT)
233
Аналогичным образом получим формулу для расчета количе-
ства ракет с ТТС
тт —
ig (1-Л)
(5)
Из соотношений (4) и (5) вытекает, что при выполнении усло-
вия
(1-Pp)p-
Рис. 8.2
(6)
применение ракет с ТГС стано-
вится нецелесообразным, т. е. в
этом случае эффективность будет
выше, если использовать только
ракеты с РГС.
Решение показано на рис. 8.2.
Задача 8.5. Полку назначена
полоса ответственности, ширина
которой по фронту равна 300 км.
Необходимо отразить налет из
30 целей, следующих колонной
на предельно малых высотах в
условиях отсутствия наземного
радиолокационного поля наведе-
ния. Метод боевого применения
перехватчиков заключается в том,
что по команде оповещения вы-
летает поисковая группа, которая
после обнаружения цели вызы-
вает на себя ударную группу для
совместного уничтожения целей
(рис. 8.3). Имеются два типа пе-
рехватчиков со следующими ха-
рактеристиками (табл. 8.5).
Таблица 8.5
Характеристики	Тип перехватчика	
	1	2
Количество ракет	4	2
Вероятность поражения одиночной цели при пуске одной ракеты	0,5	0.3
Ширина полосы возможного обнаружения и атаки (26), км	50	20
Затраты на один самолето-вылет, усл. ед.	2.5	0,5
234
В условиях взаимодействия обоих типов перехватчиков, когда
каждому перехватчику 2-го типа дается целеуказание с борта об-
наружившего цель перехватчика 1-го типа, эффективность пере-
хватчиков 2-го типа возрастает до величины Р^ =0,5.
2-ой случай
♦ I Ударная группа из
II а перехватчиков 2-го типа
Рис. 8.3
Требуется определить оптимальный состав авиационной груп-
пировки ПВО, состоящей из перехватчиков 1-го и 2-го типов и
обеспечивающей уничтожение 90% целей в налете при минималь-
ной стоимости. Необходимо сравнить два возможных варианта
боя:
1) цели разрешаются бортовой РЛС и осуществляется анализ
результата пуска каждой ракеты с последующим перенацелива-
нием на неуничтоженные цели;
2) осуществляется пуск по плотным, не разрешаемым бортовой
РЛС, боевым порядкам противника.
Допускаем, что из поисковой группы в атаке участвуют либо
только три перехватчика 1-го типа, либо только пять перехватчи-
ков 2-го типа. Остальные перехватчики поисковой группы из-за
большого удаления от места обнаружения колонны целей и скоро-
течности налета в атаках участвовать не могут.
Решение. Поставленная перед авиационной группировкой за-
дача может быть выполнена при различном сочетании перехватчи-
ков обоих типов. Если использовать только перехватчики 1-го
. ,	А/ [А% «1
типа, то для получения заданного уровня эффективности •—=»
235
=0,9 необходимо согласно рис. 6.4 задачи 6.4 иметь при реализа-
ции перенацеливания  ?, п- — 2, откуда Лгп=15. К этому числу
надо добавить 3 перехватчика из поисковых, тогда суммарная
стоимость составит Cs—18-2,5 = 45 усл. ед. Аналогично при ис-
пользовании только перехватчиков 2-го типа имеем —— — 3,оо,
Afn=55,5 и затраты равны Cj. = (55,5 4- 10) 0,5 == 32,75.
График зависимости СЕ = f (Afni) приведен на рис. 8.4. Оче-
видно, что оптимальное решение заключается в том, чтобы в по-
исковой группе использо-
вать перехватчики 1-го типа,
а в ударной — перехватчики
2-го типа. Оптимальное со-
отношение числа перехват-
чиков равно 1 :4, когда осу-
ществляется перенацелива-
ние после анализа результа-
та каждой одиночной атаки,
и 1 : 10 в случае модели боя
с перепутыванием целей, ко-
гда атакуется неразрешае-
мая бортовой РЛС группо-
вая цель.
Задача 8.6. Перед группировкой ПВО поставлена задача из
массированного налета, состоящего из Л?ц—100 целей, уничтожить
не менее 75%. Для решения этой задачи имеются две системы
управления, отличающиеся различной степенью оснащенности сред-
ствами обнаружения и наведения, а следовательно, различным ка-
чеством управления, в частности качеством целераспределения.
Первая система указывает каждому перехватчику свою цель,
все цели обстреливаются в одинаковой степени, равномерно, т. е.
осуществляется идеальное целераспределение. Во второй системе
каждый перехватчик сам выбирает себе цель, никакого целерас-
пределения система не осуществляет, она выводит лишь перехват-
чики в район нахождения целей, предоставляя им возможность
действовать самостоятельно. При использовании первой системы
стоимость одного воздействия по цели возрастает в два раза по
сравнению с использованием второй системы.
Необходимо по критерию минимума стоимости сбития цели
определить, какую систему управления целесообразно использо-
вать. Вероятность перехвата одиночной цели одним перехватчиком
равна Г1 = 0,5 и 0,4 при использовании соответственно первой и
второй систем.
Решение. Для обеспечения математического ожидания отно-
сительного числа сбитых целей —м	= 0,75 при использовании
236
первой системы управления необходимо, чтобы при Pi = 0,5	—2,
т. е. заданная эффективность обеспечивается, если задействовать
Afn=200 перехватчиков. При использовании второй системы управ-
ления заданная эффективность обеспечивается при -тЛ = 3. Следо-
вательно, отношение количества воздействий, потребных для до-
2
стижения заданного уровня эффективности, равно-j-, а отноше-
4
ние стоимостей равно
Таким образом, выгоднее использовать вторую систему, хотя
она и менее оснащена оборудованием для решения задач целе-
распределения и обеспечивает меньшую эффективность перехват-
чиков. Зато малая стоимость второй системы позволяет иметь
большее количество перехватчиков на одинаковую суммарную
стоимость и обеспечить меньшую стоимость сбития цели.
Задача 8.7. Перехватчик осуществляет в некотором районе по-
иск цели. Чем больше время поиска /ц, тем меньше вероятность
выживания РВыж перехватчика (например, вероятность выживания
от воздействия противника, если поиск происходит над террито-
рией, досягаемой средствами поражения противника). С другой
стороны, чем больше время поиска, тем больше вероятность РОбП
того, что перехватчик обнаружит цель. Определить оптимальное
значение времени поиска, зная, что
'п
гвыж 1 1	,
а РОбн зависит от ta по закону, полученному в задаче 5.12.
Решение. Вероятность успешного выполнения боевого зада-
ния Р равна произведению вероятностей РВыж и РОбн- Очевидно,
что при оптимальном времени поиска вероятность Р должна быть
максимальной. Решив, уравнение
(Рвыж^обн) __ Q	/ j X

относительно получим
^п.опт
1П Л — k
In Л
(2)
где
(3)
ИЛИ
2^п
п. опт
5ц In Pt

237
Максимум эффективности при /п.опт
/	- " ОПТА /т опт
^макс33^ (^"обн-^вынОмакс = V	11 /	(5)
Задача 8.8. Перехватчик ведет воздушный бой с истребителем-
бомбардировщиком, используя две возможные тактики: атаку с
передней полусферы и атаку с задней полусферы (ni и п2). Истре-
битель-бомбардировщик использует три возможные тактики проти-
водействия: ставит помехи бортовой РЛС, ставит помехи головкам
самонаведения ракет, ведет огонь из пушек (соответственно ць ц2
и Цз). Эффективность перехватчика в зависимости от применяе-
мых тактик приведена в табл. 8.6 (в условных единицах).
Табл н ц а 8.6
		П!	п2
	1*1	3	10
	Чз	4	5
	Из	8	2
Определить оптимальную тактику перехватчика и оптимальную
тактику противодействия истребителя-бомбардировщика.
Решение. Имеем типичную конфликтную ситуацию, рассма-
тривающуюся в теории игр [29].
Трем возможным тактикам истребителя-бомбардировщика со-
ответствуют три уравнения прямых в системе координат v, £, где
v — цена игры, $ — число, определяющее вероятностное сочетание
чистых тактик перехватчика.
Для тактики истребителя-бомбардировщика Ц]
v + 10(1 — £) = 10 — 7£;	(1)
для тактики ц2
v = 4£ + 5(l -£) = 5-£;	(2)
для тактики ц3
v = 8£ + 2 (1 - £) - 2 + 61	(3)
Построив прямые (рис. 8.5), получим область возможных ре-
шений игры (заштрихована на рисунке). Жирная линия соответ-
ствует минимальной эффективности. Гарантированная эффектив-
ность для перехватчика определяется значением максимума при
£ = 0,43.
Таким образом, перехватчику следует случайно чередовать свои
тактики с такими частотами: атаковать с передней полусферы с
частотой £i = 0,43 и атаковать с задней полусферы с частотой
£2 = 0,57. Тогда эффективность при любой тактике истребителя-бом-
бардировщика будет не менее v = 4,57 усл, ед.
238
Решая систему уравнений:
Зуц + 4у]2 + 8у]3 — 4,57;
1 Оу^ + 5у)2 + 2^3 = 4,57; ►
vii 4- тПз Ч- тПз = !>
находим
П1 =0, v;2 = 0,86 и v)8 = 0,14,
(4)
(5)
т. е. истребитель-бомбардировщик может препятствовать увеличе-
нию эффективности перехватчика, если он свои тактики будет слу-
чайно чередовать с частотами (5). Эта смешанная тактика истре-
Рис. 8.5
бителя-бомбардировщика (помехи бортовой РЛС перехватчика с
частотой т]1 - 0, помехи головкам самонаведения ракет с частотой
7^2 — 0,86, огонь из пушек с частотой т$ — 0,14) оптимальна для него
потому, что она гарантирует ему ущерб не более v=4,57.
Задача 8.9. Перехватчик, предназначенный для борьбы с бом-
бардировщиками, применяющими три вида противодействия, мо-
жет быть вооружен управляемыми ракетами «воздух — воздух»,
неуправляемыми реактивными снарядами и пушками.
Математическое ожидание числа сбитых бомбардировщиков за
один вылет одним перехватчиком в зависимости от противодей-
ствия бомбардировщика и боекомплекта перехватчика задано в
табл. 8.7.
Определить наилучший вариант вооружения перехватчика и
наивыгоднейщий вид противодействия бомбардировщика.
239
Таблица 8,7
Противодействие бомбардировщика	Вооружение перехватчика		
	управляемые ракеты „воздух-воздух*	пушки	неуправляемые реактивные снаряды
Маневр на большой дальности	2	0	1
Резкий маневр на малой даль- ности	1	2	0
Радиопомехи бортовой РЛС	0	1	2
Решение. Имеем игру двух игроков с нулевой суммой. Обо-
значим для краткости чистые тактики перехватчиков буквами пь
п2 и п3 и чистые тактики бомбардировщика щ, ц2 и ц3. Тогда пла-
тежная матрица запишется так (табл. 8.8):
Таблица 8.8
Выбор хода щ означает выбор Лго столбца, а выбор хода ц$
означает выбор l-й строки в матрице А. Решение игры — это сме-
шанные тактики обоих игроков. Решение находим методом ите-
раций.
Метод определения результата такой игры заключается в том,
что проигрывается ряд шагов (итераций) с чистыми тактиками.
При этом каждый игрок замечает себе тактики, которые исполь-
зовались противником в прошлом (при шагах противника № 1,
2, 3, п— 1) и выбирает при шаге № п такую тактику, которая
была бы наилучшей с учетом всех предшествующих ходов против-
ника.
Тактика первого хода может быть выбрана произвольно. Выби-
раем, например, щ и щ. При втором ходе перехватчик действует
так, как будто бомбардировщик вновь избирает тактику ць Так
как перехватчик стремится результат игры максимизировать, то
он снова выбирает тактику щ, поскольку наибольшее число первой
строки матрицы А стоит в первом столбце. Соответственно этому
ходу бомбардировщик выбирает тактику цз, поскольку наименьшее
число первого столбца стоит в последней строке.
Для определения хода № 3 перехватчика подсчитывается сред-
нее значение из строк № 1 и 3 (соответственно выбранным в
24Q
прошлом тактикам бомбардировщика щ и Цз). Максимум этого
среднего значения стоит в третьем столбце. Таким образом, пз —
это та тактика, которая в данном случае для перехватчика наи-
лучшая. Бомбардировщик соответственно отвечает теперь такти-
кой Цз,
Допустим, что бомбардировщик в первых (п—1) ходах выби-
рал тактики ц/л (й = 1, 2, 3, ...» п—1). Для перехватчика рассчи-
тывается тогда среднее значение из строк t\, выбирается наиболь-
шее из этих средних значений и используется номер этого макси-
мума для следующего хода. Бомбардировщик далее поступает
аналогично. Вместо средних значений строк (или столбцов) можно
брать также их суммы.
В табл. 8.9 приведены 30 итераций (ходов) игры. Первая ко-
лонка таблицы — это номер итерации. Столбец, соответствующий
тактике перехватчика, записан в виде трехзначного числа в чет-
вертой колонке таблицы. В пятой колонке записана сумма всех
предшествующих столбцов и выделен жирной цифрой минимум,
который определяет очередную тактику бомбардировщика. Шестая
колонка в таблице указывает выбранную строку, а последняя
(седьмая) колонка — это сумма всех предшествующих строк. Вы-
деленный, жирной цифрой максимум показывает очередную так-
тику перехватчика.
Цена игры v после п ходов находится между минимумом сумм
столбцов и максимумом сумм строк:
0,8<v10<l,5;
Л- = 0,85<720<1,35 = |^;
30 ~ ^7 < vs0 ИЗ — эд-.
Оптимальная тактика определяется частотами, с которыми вы-
браны отдельные чистые тактики. Для числа итераций м = 10 опти-
мальная тактика перехватчика определяется частотами 5 = 0,1; 0,4;
0,5; оптимальная тактика бомбардировщика — частотами т]=0;
0,7; 0,3; для и = 20: 5 = 0,3; 0,45; 0,25; iq —0,5; 0,35; 0,15; для п—30:
5=0,466; 0,3; 0,233; ^ = 0,4; 0,233; 0,366.
Таким образом, наилучший вариант вооружения перехватчика
состоит в том, чтобы применять ракеты, пушки и неуправляемые
реактивные снаряды с частотами 0,466; 0,3 и 0,233 соответственно.
Наивыгоднейший вид противодействия бомбардировщиков заклю-
чается в случайном чередовании видов противодействия (маневр
на большой дальности, резкий маневр на малой дальности и ра-
диопомехи бортовой РЛС) с частотами 0,4; 0,233 и 0,367 соответ-
ственно.
241
Таблица 8.9
Xi хода	Тактики		Столбец	Сумма столбцов	Строка	Сумма строк
	перехват- чик	бомбарди- ровщик				
1	2 '	3	4	5	6	7
1	1	1	210	2	1	0	201	2 0	1
2	1	3	210	4	2 0	012	2	1 3
3	3	3	102	5	2	2	012	2 2 5
4	3	3	102	6	2	4	012	2 3 7
5	3	2	102	7 2 8	120	3 5 7
6	3	2	102	8 2 10	120	4	7	7
7	3	2	102	9 2 12	120	5 9 7
8	2	2	021	9 4 13	120	6 117
9	2	2	021	9 6 14	120	7 13 7
10	2	2	021	9 8 15	120	8 15	7
11	2	2	021	9 10 16	120	9 17	7
12	2	1	021	9 12 17	201	11 17	8
13	2	1	021	9 14 18	201	13 17	9
14	2	1	021	9 16 19	201	15 17 10
15	2	1	021	9 18 20	201	17 17 11
16	2	1	021	9 20 21	201	19 17 12
17	1	1	210	11 21 21	201	21 17 13
18	1	1	210	13 22 21	201	23 17 14
19	1	1	210	15 23 21	201	25 17 15
20	1	1	210	17 24 21	201	27 17 16
21	1	1	210	19 25 21	201	29 17 17
22	1	1	210	21 26 21	201	31 17 18
23	1	3	210	23 27 21	012	31 18 20
24	1	3	210	25 28 21	012	31 19 22
25	1	3	210	27 29 21	012	31 20 24
26	1	3	210	29 30 21	012	31 21 26
27	1	3	210	31 31 21	012	31 22 28
28	1	3	210	33 32 21	012	31 23 30
29	1	3	210	35 33 21	012	31 24 32
30	3	3	102	36 33 23	012	31 25 34
242
Задача 8.10. Противник в налете может применять в произ-
вольном чередовании три типа бомбардировщиков; командир авиа-
ционного соединения этим целям может противопоставить два
типа перехватчиков, каждый из которых способен успешно дейст-
вовать против каждой цели. Эффективность перехватчиков харак-
теризуется матрицей (табл. 8.10), в которой буквой щ выражается
тактика противника, а буквой пч-— тактика ПВО.
Таблица 8,10
Ц/ П;			Из
П)	0,1	0,3	0,5
п2	0,5	0,3	0,1
Определить оптимальный вариант назначения наряда перехват-
чиков для уничтожения бомбардировщиков и оптимальный ва-
риант использования бомбардировщиков противником.
Решение. ПВО имеет две чистые тактики (щ и п2), а про-
тивник имеет три чистые тактики (ць ц2 и ц3). Какая тактика для
ПВО выгоднее? Если бы ПВО заранее знала тактику противника,
то ответ был бы очень простым. Однако тактика противника за-
ранее неизвестна: ПВО не знает, какой тип цели будет применен.
Поэтому для ПВО выгоднее использовать не чистую, а смешан-
ную тактику, которая представляет собой вероятностное распреде-
ление (вероятностную смесь) чистых тактик.
Для определения смешанной тактики ПВО выбирается некото-
рое число (0<Е- < 1) и чистая тактика щ выбирается с ве-
роятностью у а чистая тактика п2— с вероятностью 1—у Вы-
игрыш в этом случае определяется по формуле расчета математи-
ческого ожидания. Если противник выбирает тактику ць то вы-
игрыш для ПВО равен
v = 0,1^ + 0,5 (1 - У =0,5 - 0,4у	(1)
если же противник выбирает тактику ц2, то
v-0,3^+ 0,3(1 - у = 0,3,	(2)
а при тактике ц3
v = 0,5^ + 0,1 (1 - у = 0,1 + 0,4у	(3)
Выражения (1), (2) и (3) представляют собой уравнения пря-
мых (рис. 8.6). Толстая линия показывает, сколько ПВО выигры-
вает в любом случае при выбранной тактике у если даже про-
тивник знает величину у При у =0,5 имеем максимум выигрыша
ПВО (максимум математического ожидания числа сбитых целей):
v = 0,3.
243
Этот максимум имеет следующие свойства: никакой тактикой
ПВО не может выиграть больше v=0,3 и при любой тактике, отли-
чающейся от $1 — 0,5, ПВО выигрывает v<0,3.
Определим теперь оптимальную тактику противника. Смешан-
ная тактика противника определяется тремя числами тд и т]2>
где
При использовании чистой тактики щ имеем следующий вы-
игрыш для ПВО:
7 = ОДЕ, + О.Зт;, + 0,5Чг = ОДЕ, + 0,3т], + 0,5 (1 - Е, - Ч1) =
= 0,5 - ОДЕ, - 0,2т),	(4)
Для чистой тактики п2 соответственно
V = 0,5!;, + 0,3^ + ОД (1 - - 7)0 = ОД + 0,4^ + 0,2Tjt.	(5)
Выражения (4) и (5) —это уравнения плоскостей, которые изо-
бражены на рис. 8.7. Найдем уравнение прямой, по которой эти
плоскости пересекаются. Вычтем уравнение (5) из (4). Получим
2^-4 7h = l.	(6)
Подставив выражение (6) в уравнение (4), находим
v = 0,5 - 0,2 (2$! + 7)0 = 0,5 — 0,2  1 = 0,3.
Это удаление прямой (6) от плоскости $i, тр. Любая смешан-
ная тактика противника, для которой не выполняется условие (6),
дает проигрыш противнику v>0,3. Такой проигрыш будет иметь
место, когда ПВО эту тактику знает. Итак, цена игры v=0,3.
Тактика $1=0,5 — это оптимальная тактика ПВО, а тактика $ь
гр, т]2 при 2$i+v]i = 1 — это оптимальная тактика противника.
Задача 8.11. При отражении массированного налета бомбар-
дировщиков, прикрытых истребителями сопровождения, использу-
ются перехватчики двух типов, вооруженные управляемыми раке-
тами класса «воздух — воздух», неуправляемыми реактивными
244
Рис. 8.7
245
снарядами и пушками. Для выполнения боевого задания потре-
буется не менее 40 ракет, 100 неуправляемых снарядов и 1000 сна-
рядов для пушек.
Боевой комплект одного перехватчика заданного типа харак-
теризуется табл, 8.11.
Таблица 8.11
Боекомплект	Тип перехватчика	
	1	2
Снаряды для пушек	200	50
Неуправляемые реактив- ные снаряды	4	20
Ракеты	2	4
Стоимость применения перехватчика первого типа Ci—2 условным
единицам, стоимость применения перехватчика второго типа С2 —
= 5 единицам.
Определить оптимальное количество перехватчиков обоих ти-
пов, при котором боевая задача выполняется при минимальных
затратах. Показать, как изменяется оптимальное решение при из-
менении отношения стоимостей С1/С2-
Решение. Обозначим количество перехватчиков первого типа
через A^ni, а количество перехватчиков второго типа через ДОп2.
Тогда затраты для выполнения боевого задания
С = 27Vп1 + 5Nn2.	(1)
Для выполнения боевого задания согласно условию задачи
должны удовлетворяться следующие неравенства:
200ЛГп1 + 50ЛГп2 >1000;
 4JVnl + 2(Wn2> 100;	(2)
27Vnl+ 4ЛГпг> 40.
Таким образом, в терминах теории линейного программирова-
ния задача формулируется следующим образом: необходимо мини-
мизировать линейную форму (1) при выполнении ограничений (2),
накладываемых на искомые переменные Afni и Afn2, где 7Vn1>0
И > 0.
Благодаря малому количеству переменных задача может быть
решена графически. Все возможные варианты сочетания и Nn2
изображены на рис. 8.8, где построены уравнения прямых (2).
Прямую (1) для получения минимума затрат необходимо переме-
щать как можно левее и ниже по рис. 8.8, но так, чтобы она име-
ла хотя бы одну точку в области возможных значений и
246
Полученная таким образом пунктирная линия в точке пересечения
прямых
( 47Vnl + 2O7Vn2 = 100;
12^+ 47Vn2 = 40	(3)
дает оптимальное решение задачи: Л+ “ 16,75 и ^ = 1,6. Затраты
при этом минимальны: С = 2-16,75+5* 1,6=41,5 усл. ед. Практиче-
ски Мн = 17;	С=44 усл. ед.
По рис. 8.8 можно определить, как влияет отношение стоимо-
стей на оптимальное решение. Если крутизна прямой
-С7ЛГВ1 + ЛГВ,	(4)
больше крутизны прямой
47УП1 + 207Vn3 = 100,	(5)
то целесообразно использовать для выполнения боевой задачи
одни перехватчики первого типа. Если же крутизна прямой (4)
находится в пределах между крутизной прямой (3) и крутизной
прямой
2Л'„, + 4Л\,2 = 40,
то всегда имеется некоторое оптимальное соотношение между Af01
и Л/Д2’ Так, например, оптимум имеет место:
для
+ > у- = 4 при Nal = 0 и — 20;
247
ДЛЯ
4>-§7>^Г = 4- п₽и 41 = 2,79 и 742 = 8,28;
ДЛЯ
4->Т7>4- п₽и 41 = 16,75 и 7V„2 = 1,58;
ДЛЯ
-^->-^-^0 при 7Vnl=25 и Л/с2 = 0.
Задача 8.12. Колонна бомбардировщиков, осуществляющих на-
лет на малой высоте, прикрывается колонной истребителей со-
провождения, летящих на большой высоте. Отражение налета
обеспечивается работой двух наземных радиолокационных стан-
ций обнаружения целей и двух вычислительных машин, решающих
задачи наведения перехватчиков. Обе РЛС стоят в направлении
налета друг за другом, и информация о воздушных целях с первой
РЛС передается на вторую РЛС, с выхода которой координаты
бомбардировщиков вводятся в первую вычислительную машину, а
координаты истребителей сопровождения — во вторую вычисли,
тельную машину.
РЛС обладают разными секторами обзора в вертикальной пло-
скости, и их пропускные способности зависят от угла места оси
диаграммы направленности антенн.
В зависимости от подъема сектора обзора первая РЛС может
одновременно выдавать координаты не более чем по 40 бомбар-
дировщикам или по 20 истребителям сопровождения, или по не-
которому сочетанию количества бомбардировщиков и истребите-
лей сопровождения. Вторая РЛС в зависимости от подъема сек-
тора обзора может одновременно выдавать координаты не более
чем по 30 бомбардировщикам, или по 25 истребителям сопрово-
ждения, или по некоторому их сочетанию.
Абсолютные пропускные способности вычислительных машин
также ограничены: первая машина решает задачи наведения не
более чем на 23 бомбардировщика; вторая машина — не более чем
на 18 истребителей сопровождения.
Нанесенный противнику ущерб от сбития одного бомбардиров-
щика оценивается в 2 условные единицы, ущерб от сбития истре-
бителя сопровождения — в 1 условную единицу.
Необходимо определить оптимальную абсолютную пропускную
способность системы обнаружения и наведения, обеспечивающую
максимальный ущерб противника. Принимаем, что вероятность на-
ведения перехватчиков на воздушные цели равна единице.
Решение. Оптимальная абсолютная пропускная способность
системы обнаружения и наведения обеспечивается такой установ-
кой антенны РЛС, при которой в системе одновременно будут
248
обслуживаться Л7ц1 бомбардировщиков и Мц2 истребителей сопро-
вождения, а ущерб противника, равный
2^ + ^,	(1)
будет максимальный. Требуется определить величины Л/щ и
Поскольку для определения координат одного бомбардировщика
будет задействована часть пропускной способности первой
РЛС, то на ДОщ бомбардировщиков потребуется частей про-
пускной способности первой РЛС. Соответственно на Мд2 истре-
бителей сопровождения потребуется 4^- частей пропускной спо-
собности первой РЛС. Так как относительная пропускная способ-
ность не может быть больше единицы, то
40 + 20	V*)
или
^ц1 + 2^2<40.	(3)
Аналогично находим для пропускной способности второй РЛС сле-
дующее неравенство;
^Ц1 I М12	1	/Ах
"ЗЁ) “25~1	w
или
+ 3^2 < 75.	(5)
Для пропускной способности первой	вычислительной машины
согласно условию задачи имеем
Мц < 23,	(6)
для пропускной способности второй вычислительной машины
Л^2<18.	(7)
Имеем типичную задачу линейного программирования:
необходимо максимизировать линейную форму (функцию
цели)
L = 2Afnt + /Уц2	(8)
при ограничениях, накладываемых на искомые переменные Мщ
и Л/д2, вида
АГщ + 2Лц2 < 40;
2,5А'ц1 + ЗА;, < 75;
А'ц1<23;	(9)
Л7а2< 18;
ЛГц1>0; /Уц2>0.
Задача решается графически. Суть решения заключается в том,
чтобы на плоскости в координатах #цЬ /Уцг построить область,
10—384
249
ограниченную неравенствами (9), и найти в этой области те зна-
чения /Ущ и Л^ц2, которые определяют максимум линейной формы
(8). Построение выполнено на рис. 8.9, Заштрихованная область
на рисунке представляет собой множество вариантов решения. Оп-
тимальное решение находится следующим образом. Запишем ли-
нейную форму (8) в таком виде:
NП1 I М*2 __
Л/2 "r L
Эта прямая пересекает ось Л^щ в точке £/2 и ось Уц2 в точке Lt
Задаемся, например, £ = 60. Тогда координаты точек пересече-
ния осей Л^щ и Л/Ц2 соответственно 30 и 60, т. е. прямая (10), как
видно по рисунку, выходит за пределы заштрихованной области
и однозначного решения нет. При £=40 прямая проходит через
заштрихованную область, но требования оптимальности не вы-
полняются. Для нахождения оптимума необходимо прямую (10)
перемещать параллельно самой себе вверх и вправо до тех пор.
пока она не коснется заштрихованной области в одной точке (на
рис. 8.9 точка Л). Эта точка и определит оптимальное решение:
вел'ичины Лц1=23 и /УЦ2 = 5,83, при которых линейная форма (8)
максимальна.
Итак, если антенны РЛС будут поставлены таким образом, чтс
одновременно могут «обслуживаться» 23 бомбардировщика г
250
5,83 истребителей сопровождения, то ущерб противника будет мак-
симальный, равный 2*23 + 5,83 —51,83 усл. ед.
При этом интересен тот факт, что пропускные способности ис-
пользуются неодинаково. При оптимальном решении пропускная
способность первой РЛС равна
ДГЦ1 + 27% = 23 + 2 • 5,83 = 34,67,
т. е. пропускная способность первой РЛС используется только на
^100 = 86,8%.
Для второй РЛС имеем
2,5Na, + 3Nm = 2,5 • 23 + 3 • 5,83 = 75
75
и занятость ее равна 100=100%.
Первая вычислительная машина используется на
^-100=100«/0,
а вторая — на
—- 100 = 32,4%.
Задача 8.13. Противник в налете через полосу ПВО может ис-
пользовать 4 типа целей. Обороняющая полосу ПВО авиационная
группировка имеет 4 типа перехватчиков. Эффективность каждого
перехватчика против каждой цели характеризуется матрицей эф-
фективности, в которой обозначена тактика противника, а п< —
тактика ПВО (табл. 8.12).
Таблица 8.12
ц/	Hi	ц2	Из	
П1	4	—2	-1	—2
п2	0	2	3	2
ПЯ	3	0	0	1
П*	2	2	1	1
Функция платежа — это математическое ожидание числа сби-
тых целей одним перехватчиком за один вылет. Отрицательные
числа означают потерю перехватчика («—2» — полная, безвоз-
10*	251
\ Ц/ пг	\	IXj	цг	Пэ		04 II ч		еч II	4-		4=2		| = 1.в	1,67	1.71		1,625
П1	4	—2	—1	—2	-2		—4	—6		—2		—4	—6	—2		—4
п2	0	2	3	2	2		4	6		6		8	10	10		12
П3	3	0	0	1	0		0	0		3		4	5	8		9
П4	2	2	1	1	2		4	6		8		9	10	12		13
	4	—2	—1	—2		а;										
ю| о II о	4	0	2	0		1,23			22		30		29		21	
9 4 = 0,667 О	4	2	5	2		1,22			24		32		30		22	
т=’	4	4	8	4		1,26			24		34		33		24	
II ю |ю	6	6	9	5		1,25			27		34		33		25	
1—1 II to Io	8	8	10	6		1,24			30		34		33		26	
4=1.14	8	10	13	8		1,27			30		36		36		28	
1,125	10	12	14	9		1.3			30		38		39		30	
1,111	12	14	15	10		1,29			33		38		39		31	
1.2	12	! 16	18	12												
						1,32			33		40		42		33	
1,18	14	18	19	13												
						1,31			36		40		42		34	
1,165	16	20	20	14												
						1,29			39		40		42		35	
1,23	16	22	23	16												
1,215	18	24	24	17		1,285			42		40		42		36	
1,21	20	26	25	18		1.31			42		42		45		38	
1,25	20	28	28	20		1,333			42 		44		48		40	
Аф	-ц 8/30	3/30	0/30	19/30
252
Таблица 8.13
1,55	1,6	1,54	1,5	1,54	1,5	1,47	1,5	1,47	1,44	1,47	1,45	1,43
—6	—2	—4	—6	—2	—4	—6	—2	—4	—6	—2	—4	-8
14	14	16	18	18	20	22	22	24	26	26	28	30
10	13	14	15	18	19	20	23	24	25	28	29	30
14	16	17	18	20	21	22	24	25	26	28	29	30
	1,45	1,48	1,46	1.44	1,5	1,48	1,46	1,45	1,47	
	—10	—6	—8	—10	—6	—8	—10	—12	—14	0/30
в	32	32	34	36	36	38	40	42	44	13/30
	31	34	35	36	39	40	41	42	43	7/30
	32	34	35	36	38	39	40	41	42	10/30
1,33	< 1,43
253
вратная потеря, «—1> — временный выход из строя с последую-
щим восстановлением). Требуется определить, каких типов и
сколько перехватчиков необходимо иметь, чтобы обеспечить мак-
симально гарантированный уровень эффективности при любой так-
тике противника, т. е. при использовании им типов целей в произ-
вольном, случайном для ПВО сочетании.
Решение. Применим метод итераций. На основе платежной
матрицы проигрываем игру с достаточно большим числом шагов.
В каждой итерации противники хотят получить максимальные вы-
игрыши при условии, что противная сторона в последнем ходе
будет стараться уменьшить свой проигрыш, отвечая противнику
ходом, наиболее худшим для него. Начало итераций может быть
произвольным. Например, выбираем строку щ. Переписываем эту
строку вниз под матрицу и выделяем жирным шрифтом первый
минимум — 2. Поскольку этот минимум во втором столбце, пере-
писываем второй столбец справа от матрицы и также выделяем
первый максимум 2. Так как этот максимум во второй строке,
складываем вторую строку со строкой под матрицей и выделяем
первый минимум 0. Далее, раз этот минимум находится во вто-
ром столбце, складываем второй столбец со столбцом, написанным
справа от матрицы, и выделяем максимум 4. Этот максимум дает
нам указание складывать вторую строку с результирующей стро-
кой, написанной под матрицей. И так процесс итераций продол-
жается до тех пор, пока не обнаружится наглядная сходимость
верхней и нижней границ цены игры р и q (р — q -> 0).
Для исключения неоднозначности в выборе следующей итера-
ции в случае, когда строка или столбец содержит несколько оди-
наковых чисел, необходимо установить определенное правило вы-
бора. Условимся, что в случае, когда в строке или в столбце по-
являются одинаковые числа, выбираем первую по порядку: в
строке — первый минимум, а в столбце — первый максимум. Опи-
санным методом итераций решение нашего примера выполнено в
табл. 8.13.
Обычно для получения достаточно точных решений, т. е.
до малых разностей между нижней и верхней границами, внутри
которых лежит цена игры, необходимо выполнить 20—30 ите-
раций.
После каждой Л-й итерации выделенное жирным шрифтом
значение в строке или в столбце делится на k, что и дает величину
верхней и нижней границ цены игры р и q, а деление числа выде-
ленных цифр на — соответствующие статистические частости ц
и 5, являющиеся приближенными значениями оптимальных тактик
сторон. Очевидно, чем больше А, тем точнее ответ. После 10 шагов
в нашем примере получается, что цена игры лежит в пределах
1,20	1,43. Так как приближенное решение для тактик щ
и ц3 дает нулевые частости (^ = 0, т]з = 0), то эти тактики могут
быть отброшены. Тогда матрица становится вида 3X3 и ее реше-
ние может быть найдено уже точным методом (табл. 8.14).
254
Таблица 8.14
Ц,	IZJ		«з
Пг	0	2	2
П3	3	0	1
П4	2	2	1
Вычтем из первой строки вторую и третью, тогда
У1 Уз Уз
-3 2 1
—2 0	1
Вычеркивая поочередно столбцы последней матрицы, подсчитав
разность произведений чисел по диагонали и поделив эту разность
на общую сумму, получим искомые частоты оптимальных тактик
2	14
для противника: 7h = ^; yj2 = -y~; y)3==^-.
Аналогичным методом находим оптимальные тактики ПВО:
3	2	2
== —;	^з = “7“- Таким образом, если ПВО будет при-
держиваться своих оптимальных смешанных тактик, стараясь
максимизировать свой минимально возможный выигрыш, т. е. при-
менять типы перехватчиков с частотами
Si -= 0; £а == 0,43; £3 = 0,285; =- 0,285,
то обеспечивается гарантированная эффективность, численно рав-
ная цене игры
независимо от того, какую тактику предпочтет противник.
Найденные оптимальные смешанные тактики и являются ре-
шением задачи: они определяют, какой тип перехватчика и с ка-
кой частотой следует при назначении наряда выбирать имеющиеся
в распоряжении перехватчики, чтобы получить максимум матема-
тического ожидания минимально возможного числа сбитых целей.
Для противника наиболее выгодными являются оптимальные
смешанные тактики, характеризующиеся следующими частотами
случайного чередования четырех типов целей:
0,285; '/1г = 0,143; у)8 = 0; tj4 = 0,572.
255
С этими частотами чередования типов целей противник гаран-
тирует себе минимальный ущерб согласно теореме минимакса. При
назначении наряда перехватчиков необходимо исходить именно из
того положения, что противник применяет свои средства (бом-
бардировщики) с относительными частотами тдь 1Q3 и 114-
Задача 8.14. Массированный налет носителей ракет класса
«воздух -- земля» должен быть отражен авиационной группиров-
кой ПВО. Поскольку пуск ракет «воздух — земля» может быть осу-
ществлен на удалении 1000—2000 км от мест базирования пере-
хватчиков, то могут применяться два типа перехватчиков (А и В).
Перехватчик типа А предназначен для уничтожения носителей на
рубежах, отстоящих от аэродрома вылета на 1500—2000 км, при
этом вероятность уничтожения цели от одиночного воздействия
Pai —0,835. Перехватчик типа В действует только на удалении
1000—1500 км от аэродрома, а вероятность уничтожения им носи-
теля при одиночном воздействии Рв1 = 0,75.
Каждый носитель с вероятностью Pi = 0,6 может находиться в
зоне действия перехватчиков типа Лис вероятностью Рп~0,4-~
в зоне действия перехватчиков типа В.
Каждый перехватчик осуществляет по целям два воздействия,
при этом перехватчики типа А эти воздействия осуществляют ста-
тистически независимо друг от друга, а перехватчики типа В —
после анализа результата предыдущей атаки. Стоимость одного
перехватчика типа А равна Сд = 3 усл. ед., а потребное количество
обслуживающего персонала на один перехватчик равно тл = 1,5.
Соответственно для перехватчика типа В известны аналогичные ха-
рактеристики: Св— I и rB = 1.
Определить оптимальный состав авиационной группировки
ПВО, состоящей из перехватчиков типа А и В, обеспечивающий
уничтожение 90% из налета в Л/ц=40 целей при выполнении за-
данных ограничений по суммарной стоимости перехватчиков и по-
требному количеству обслуживающего персонала, соответственно
равных С = 75 усл. ед. и г = 65.
Решение. В общем виде решение может быть представлено
графиком в координатах Na, Nb (рис. 8.10), где Na — число пере-
хватчиков типа A, NB — число перехватчиков типа В,
Сначала строятся кривые равной эффективности группировки,
состоящей из различного сочетания чисел NA и NB. Эффектив-
ность одиночных перехватчиков при действиях по одиночным це-
лям характеризуется вероятностями РА и Рв уничтожения цели
при условии, что она будет в одной из соответствующих полос. По
условиям задачи имеем:
РА = 0,835 • 0,6 = 0,5 и Рв = 0,75 • 0,4 = 0,3.
Поскольку по условиям задачи относительное математическое ожи-
дание числа уничтоженных целей	~ 0,9, то необходимо
определить такие пары чисел NA и NB, при которых из 40 целей
будут уничтожены 36, из 20 целей—18 и т. д,
256
Построив кривые равной эффективности, необходимо нанести
на график ограничения по стоимости и количеству обслуживаю-
щего персонала.
Стоимость перехватчиков выражается уравнением
c=cana + cbnb,	(1)
а количество обслуживающего персонала
г = rANA + rBNB.	(2)

Рис. 8.10
По условиям задачи имеем:
3JVA + NB < 75;	(3)
1,5ЛГА +	< 65.	(4)
Неравенства (3) и (4) графически представляют собой полу-
плоскости, проходящие через оси координат NA, NB и ограничен-
ные справа прямыми:
С + С
сл Св
Г ' Г
—
Таким образом, записав (3) и (4) как уравнения прямых в от-
резках, получаем координаты точек пересечения этих прямых с
осями координат NA, NB (с учетом знака).
257
Перемещая прямые (1) и (2) по семейству кривых равной эф-
фективности до их пересечения в одной точке с кривой заданной
эффективности, находим оптимальное решение, т. е. ту пару чи-
сел Уд и NBt при которой обеспечивается заданный уровень эф-
фективности и выполняются ограничения (3) и (4) по стоимости
и числу обслуживающего персонала.
Задача 8.15. Два типа перехватчиков используются против двух
типов целей. Показать, какой выигрыш в эффективности при ис-
пользовании оптимальных тактик может быть получен по сравне-
нию с равновероятным чередованием всех возможных тактик.
Определить выигрыш для двух следующих матриц эффективно-
стей:
Решение. Пусть матрица эффективности имеет следующий об-
щий вид:
«н
«21
al2	а Ь
а22	с а
Для нашего примера «ц = «22 = «; а12 = Л; а21 — с. Как из-
вестно, если нет седловой точки, то цена игры равна
V = Д11Дв2 — Д12а21	(2)
Г Де 2V ==== Иц Ф «22	«12	«21*
Оптимальная тактика применения перехватчиков — это сме-
шанные тактики 52), где
t   ДЯ2 Д21 .
4“ /V I
с   аи а12 ,
<2— N ,
^+?2=L	(3)
Оптимальная тактика противника — это тоже смешанная так-
тика Т]2)( где
_ ____________________________ Л22-й12 .
41------$---,
ди — flat .
N

41 + 4з = 1-
(4)
258
Если все тактики равновероятны, то математическое ожидание
числа сбитых целей равно среднему значению элементов матрицы:
. Д11 + °:2 flal °22	^5)
4
Теперь, предполагая, что противник будет чередовать свои так-
тики наихудшим для нас образом, определим тот выигрыш в цене
игры относительно значения vcp, который нами может быть гаран-
тирован, применяя свои оптимальные тактики. Выигрыш выразим
через относительную разность
Введем обозначения
а
а
с ’
Подставив а и 0 в общую формулу для цены игры, получим
С (аа — Р)
2« — р — 1 1
(7)
Среднее значение матрицы равно
__ с (2« 4- Р + 1)
*ср	Г
Для
имеем
Так как vcp=l и v—2,12, то ш=1,12, т. е. для противника ПВО та-
кая матрица невыгодна, ибо применение оптимальных тактик по
сравнению с равновероятными дает выигрыш, равный 12%.
Матрица
-1	6
Л2==	2 -1
для противника ПВО выгодна, так как
« = ~4; ₽ = 3; ш = -0,266<0,
хотя цена игры
v = 1,1 > 0.
259
Зависимость выигрыша эффективности от параметров матри-
цы а и р приведена на рис. 8.11.
Задача 8.16. Авиационная группировка состоит из перехват-
чиков трех типов: щ, П2 и п3. Противник в налете использует три
типа истребителей-бомбардировщиков: ць Иг и ц3. Перехватчик
каждого типа может бороться с каждым типом истребителей-бом-
бардировщиков, поражая его с вероятностью, указанной в матри-
це эффективности (табл. 8.15).
Uz	41	ц2	
	0,8	0,3	0.4
П2	0,5	0,7	0,6
П3	0,4	0,3	0,9
В свою очередь истребители-бомбардировщики поражают пере-
хватчики соответственно с вероятностями, указанными в матрице
поражения перехватчиков (табл. 8.16),
260
Таблица 8.16
Ц/ Л/	Hi	ц2	Чз
(11	0.4	0,2	0,3
Л2	0,5	0,4	0,7
П3	0,3	0,5	0,2
Экономические затраты при использовании перехватчиков пь
п2 и п3 характеризуются величинами (независимо от типа цели),
указанными в табл. 8.17.
Необходимо определить, в каком соотношении целесообразно
использовать перехватчики, чтобы обеспечить максимальную эф-
фективность (максимальное математическое ожидание числа сби-
тых целей) при выполнении следующих условий:
1) вероятность поражения перехватчиков должна быть не бо-
лее 0,4;
2) экономические затраты должны быть не более 10 условных
единиц.
Решение. В случае когда успешность операции характери-
зуется не одним, а несколькими критериями, то из всех критериев
выбирается один наиболее важный и требуется его обращение
в максимум. Вспомогательные критерии при этом должны удовлет-
ворять ограничивающим условиям. В результате такого представ-
ления задача сводится к задаче линейного программирования.
В нашем случае необходимо максимизировать математическое
ожидание числа сбитых целей при одновременном выполнении
ограничивающих условий по поражению перехватчиков и по за-
тратам.
261
Преобразуем матрицы U и С, вычитая из них соответственно
£/о = О,4 и Cq= 10. Тогда матрица поражения перехватчиков прини-
мает следующий вид (табл. 8,18):
Таблица 8.18
	Ill	ц2	Из
П1	0	—0.2	—0,1
п2	0,1	0	0,3
п3	—0,1	0,1	—0.2
Матрица экономических затрат представится табл. 8.19.
Таблица 8.19
Ц/ П/	Un U2) Дз
П1	-1
	4
Пв	-6
Ограничивающее условие по критерию поражения перехватчи-
ков тогда можно записать в таком виде:
О-%! + 0,1х2 — 0,1х3 — — 0;
~0,2xi 4~ 0 • х2 4~ 0,1х3 — ^2 — Oj
(1)
~0Дхх 4- 0,Зх2 — 0,2х8 — и8 = 0.
Ограничивающее условие по экономическим затратам предста-
вится следующим образом:
%! — 4х2 4- 6х8 + = 0.	(2)
Условия по критерию математического ожидания числа сбитых
целей запишутся так:
0,8X1 0,5х2 4- 0,4х8 — ^i = lj
0,3xi 4- 0,7 х2 4" 0,Зх3 — #2 = 1;
0,4X1 4~ 0,6х2 4- 0,9ха — г8 = 1.
(3)
262
При этом необходимо, чтобы минимизировалась линейная фор-
ма £>
(4)
Таким образом, задача сводится к отысканию чисел Хь х2 и х3,
удовлетворяющих уравнениям (1), (2) и (3).
Опуская довольно громоздкие, но несложные расчеты, приве-
дем окончательный результат решения задачи. Оптимальная так-
тика авиационной группировки, заключающаяся в оптимальном ко-
личественном соотношении между тремя типами перехватчиков,
является смешанной тактикой — перехватчики должны применять-
ся с частотами: =0,146; £2 = 0,527; $з = 0,327. Другими словами, в
группировке необходимо иметь 14,6% перехватчиков 1-го типа,
52,7% —2-го типа и 32,7% —3-го типа. При выполнении этого ус-
ловия цена игры (минимум гарантированного уровня вероятности
перехвата любой цели в налете) равна у — 0,511. Таким образом,
применяя смешанную тактику ($ь $2, £з)> мы обеспечиваем макси-
мальную боевую эффективность при соблюдении ограничивающих
условий по поражению перехватчиков и экономическим затратам.
Задача 8.17. Для отражения массированного налета на малых,
средних и больших высотах необходимо поднимать в воздух одно-
временно 50 перехватчиков типа 1, 30 перехватчиков типа 2 и
45 — типа 3. Для размещения потребного количества перехватчи-
ков используются два аэродрома 1 и 2. Среднее время взлета в
секундах одного перехватчика данного типа с соответствующего
аэродрома приведено в табл. 8.20.
Таблица 8.20
Л: аэродрома	Тип перехватчика		
	1	2	3
1	4	10	10
2	6	8	20
Как следует разместить перехватчики по аэродромам, чтобы
время последовательного взлета всего потребного для выполне-
ния боевого задания наряда было минимальным?
Решение. Обозначим через — искомое количество пере-
хватчиков z-ro типа, размещенных на /-м аэродроме.
В нашем примере 1 = 1, 2 и 3; / = 1 и 2. Так, 7Vni,i — это количе-
ство перехватчиков 1-го типа на 1-м аэродроме, Л7П1,я—количе-
ство перехватчиков 1-го типа на 2-м аэродроме, Л^д количе-
ство перехватчиков 2-го типа на 1-м аэродроме и т. д.
263
По условиям задачи имеем:
Mi2,i + ;Vn2,s= 30;
+ ^3 2 = 45.
Время взлета перехватчиков, размещенных на 1-м
равно
^-WnU4-102VnU + l(Wn8>1,
а время взлета перехватчиков, размещенных на 2-м
равно
/2 = 67VI|I 2 + 8Л7п2 3 4- 20Wn8>2.
Очевидно, что минимум результирующего времени
(1)
аэродроме,
(2)
аэродроме,
(3)
последова-
тельного взлета всех перехватчиков имеет место при выполнении
условия /1 = ^2. Таким образом, необходимо найти такие величи-
ны + 0, при которых минимизируется линейная форма
L = 4ЛГП1>1 4- 10ЛГп2>1 4- l(Wn3>1 = 6ЛГП1>2 + 8Nn3>3 4- 2(Wn3i2 (4)
при ограничениях (1), накладываемых на искомые перемен-
ные A^nij-
Задача решается методами линейного программирования. Ре-
шение дается оптимальным планом размещения перехватчиков по
аэродромам (табл. 8.21).
Таблица 8.21
As аэродрома	Тип перехватчика		
	1	2	3
1	9	0	45
2	41	30	0
Время взлета всех перехватчиков при их оптимальном разме-
щении по аэродромам равно
4-9+ 1 -0+ 10-45 = 6-41 +8-30 + 20-0 = 486 с.
Любые другие варианты размещения перехватчиков по аэро-
дромам увеличивают результирующее время взлета, потребного
для выполнения боевого задания наряда.
Задача 8.1-8. В условиях воздействия противника по аэродрому
базирования перехватчиков увеличение радиуса рассредоточе-
ния Ярасср, с одной стороны, уменьшает вероятность поражения пе-
рехватчиков Рпор, с другой — увеличивает время /о.п, потребное на
буксировку из зон рассредоточения и -вылет.
Определить оптимальный радиус рассредоточения, которому
соответствует максимум интенсивности вылета сохранившихся и
боеготовых перехватчиков. Поражение перехватчиков определяет-
ся воздействием противника по аэродрому ракетой класса «воз-
264
дух — земля», носящей ядерный заряд с тротиловым эквивалентом
q —100 кт. Вероятное отклонение, характеризующее рассеивание
ракеты, равно £ = 1 км. После удара противника перехватчики из
зон рассредоточения буксируются к ВПП со скоростью Ебукс =
= 0,5 км/мин.
Решение. Интенсивность вылетов сохранившихся после уда-
ра противника перехватчиков определяется выражением
(1 -^пор)	( . .
Р.=------Г------.	(Ч
1б. в
где величины РПор и /о.в есть функции радиуса рассредоточения
Трасер- Для нахождения максимума функции рв — Ц^расср) строим
сначала с помощью номограммы рис. 7.3 зависимость (1 — РПОр) =
=f (Трасер) > затем на этом же рисунке проводим линии потребного
времени для буксировки и взлета перехватчиков в зависимости
от Ррасср. Далее строим по формуле (1) зависимость интенсивно-
сти вылетов ОТ /?расср-
Расчеты показывают, что для исходных данных оптимальное
значение /?расср, при котором интенсивность вылетов достигает
максимального значения, равно ~4 км.
Задача 8.19. Для обеспечения боеготовности бортовых РЛС
эскадрильи необходимо иметь запас блоков А. При большом за-
пасе часть блоков окажется лишней. Стоимость каждого лишнего
блока Ci = 500 ед. Если запас мал, то при отказе нескольких бло-
ков потребуется их срочная доставка самолетом, что повышает
стоимость каждого блока до величины С2—10 000 ед.
Требуется определить:
1) оптимальное количество запасных блоков 4, если по извест-
ной частоте отказов рассчитана вероятность Р(г) того, что за пе-
риод планируемых боевых действий потребуется ровно г блоков А
(табл. 8.22);
Таблица 8.22
г	0	1	2	3	4	5	
S	0	1	2	3	4	5	6 и >
Р(г)	0,9	0,05	0,02	0,01	0,01	0,01	0
Р(г < S)	0,9	0.95	0,97	0.98	0,99	1,0	1,0
2) какова может быть максимальная стоимость блока А при
срочной доставке его самолетом, чтобы запас в s = 3 блока был
оптимальным?
265
Решение. При запасе в s блоков, когда этот запас больше
фактически требуемых блоков г, затраты равны Ci(s— г). Когда
же блоков не хватает, т. е. r<s, затраты равны С2(г — з). Хотя
нам неизвестно заранее, сколько точно потребуется блоков А для
восстановления РЛС, вероятности Р(г) по статистическим дан-
ным надежности работы РЛС известны точно. Очевидно, что ре-
зультирующие затраты C(s) при постоянном запасе блоков, рав-
ном s, подсчитываются как сумма частных затрат для каждого г,
умноженных на соответствующие вероятности Р(г):
С (s) = С, 2 Р (И (« - г) + с, V Р (г) (г - s).	(1)
Г=0	Г-54-1
Оптимальный запас з0 блоков А, при котором ожидаемые за-
траты минимальны, должен удовлетворять следующим неравен-
ствам [31]:
P(r<So-l)<-c-^s-<P(r<So).	(2)
'-'1 I ^2
Для нашего примера
Сд ___	10 000	_ Q Q ГА
Ct + С2 “ 500 4- 10 ООО “
Из табл,. 8.22 находим такое значение з, которое удовлетворяет ус-
ловию
P(r<s- 1)<0,952<Р(г<з).
Таким значением будет s = 2. Таким образом, затраты минималь-
ны, если количество запасных блоков А равно двум.
Определим, какова может быть стоимость блока при срочной
доставке, чтобы запас в три блока был оптимальным. Подста-
вим в (2) з0=3.
Тогда
р^<2)<сГТс7<р(г<3)-
°-97<ТооТс7<°.98.
Минимальное значение стоимости С2 равно
^£^- = 0,97; С,= 16167.
Максимальное значение стоимости С2 равно
35^ = 0,98; С, = 24 500.
Следовательно, запас в три блока будет оптимальным, если за«
траты на один блок при срочной доставке будут лежать в пре-
делах
16167 < С2 < 24500.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Були некий В. А. Динамика маневрирования самолета-истребителя
в воздушном бою. Воснизда г, 1957.
2,	Вентцель Е. С. Теория вероятностей. ГИФМЛ, 1962.
3.	В е н т ц е л ь Е. С. Введение в исследование операций. Изд-во «Сов.
радио», 1964.
4.	М о р о з Ф. М., К и м б е л л Д. Е. Методы исследования операций.
Изд-во «Сов. радио», 1956.
Б. Мери л л Г. и др. Исследование операций. ИИЛ, 1959.
6.	Ч е р ч м е и У. и др. Введение в исследование операций. Изд-во «Наука»,
1968.
7.	К о ф м а н А. Методы и модели исследования операций. Изд-во «Мир»,
1966.
8.	Ч у е в Ю. В. и др. Основы исследования операций в военном деле.
Воениздат, 1965.
9.	Марисов В. И., Кучеров И. К. Управляемые снаряды. Воениздат,
1959.
10.	П е т р о в Б. Н., С о ч и в к о А. А. Управление ракетами. Воениздат,
1959.
11.	Ф е д о с ь е в В. И., С и и я р е в Г. В. Введение в ракетную технику.
Оборонгиз, 1956.
12.	Б а р р е р М. и др. Движение ракет. ИИЛ, 1959.
13.	Б о г д а н о в А. П., Виноградов Р. И. Сверхзвуковые крылатые
летательные аппараты. Воениздат, 1961.
14.	Типу тин В. Н., Вейцель В. А. Радиоуправление. Изд-во «Сов. ра-
дио», 1962.
15.	Локк А. С. Управление снарядами. Гостехиздат, 1957.
16.	Коой И., Ютенбогарт И. Динамика ракет. Оборонгиз, 1950.
17.	Нилсен Дж. Аэродинамика управляемых снарядов. Оборонгиз, 1962.
18.	Вермишев Ю. С. Основы управления ракетами. Воениздат, 1968.
19.	Бургесс Э. Управляемое реактивное оружие. ИИЛ, 1958.
20.	Кочетков В. П. и др. Теория систем телеуправления и самонаведения
ракет. Изд-во «Наука», 1958.
21.	Доу Р. В. Основы теории современных снарядов. Изд-во «Наука»,
1964.
22.	Воздушный бой пары и звена истребителей. Воениздат, 1958.
23.	Журнал «Вестник воздушного флота», № 5, 1965.
24.	Журнал «Вестник противовоздушной обороны», № 10, 1968.
25.	Interavla, 11, 1961; 7, 9, 1968.
26.	Flugwehr und Technik, 2—5, 7—11, 1963; 6—7, 1965.
27.	Wehrwissenschaftllche Monatshefte, 1, 12, 1962; 8, 9, 1965; 1, 1964.
28.	Luftfahrttechnik, 10, 1962; 12, 1963; 10, 1966.
29.	Вентцель E. С. Элементы теории игр. ГИФМЛ, 1960.
30.	Применение теории игр в военном деле. Изд-во «Сов. радио», 1961.
31.	Гуд Г. X., Макол Р. Э., Системотехника, введение в проектирование
больших систем. Изд-во «Сов. радио», 1962.
32,	Карош С. Математические методы в теории игр. Изд-во «Мир», 1964.
267
33.	Л е б е д е в Н. Я., Терешин Ю. С., Ч а л ы й С. М. Самолетовождение.
Воениздат, 1967.
34.	Остославский И. В., Стражева И. В. Динамика полета. Обо-
ронгиз, 1963.
35.	Горощенко В. Т. Динамика полета самолета. Оборонгиз, 1954.
36.	Зимин Г. В. Пособие по практической аэродинамике. Воениздат, 1965.
37,	Колмогоров А. Н. Число попаданий при нескольких выстрелах и
общие принципы оценки эффективности системы стрельбы. Труды математиче-
ского института им. В. А. Стеклова, т. 12, 1945.
38.	К р ы с е и к о Г. Д. Современные системы ПВО (методы и средства
управления боевыми действиями). Воениздат, 1966.
39.	Розенберг В. Я., Прохоров А. И. Что такое теория массового
обслуживания. Изд-во «Сов. радио», 1962.
40.	Ваггег D. A Waiting Line Problem. Operation Research, № 4, 1955.
41.	Бронштейн И. H. и Семендяев К. А. Справочник по математи-
ке. Гостехиздат, 1948.
42.	Справочник авиационного штурмана. Воениздат, 1959.
43.	Действия ядерпого оружия. Воениздат, 1960.
44,	Проблемы надежности радиоэлектронной аппаратуры. Оборонгиз, 1960.
45.	К у т и н М. А. Конкурсные задачи для офицеров истребительной авиа-
ции. «Вестник ПВО», № 4, 1965.
46.	Д у р о в В. Р. Конкурсные задачи для офицеров истребительной авиа-
ции. «Вестник ПВО», № 2, 9, 1965.
47.	Aviation Week, 4, 6, 1959; 5, 8, 9, 1962; 22, 1964.
48.	В. В. Гр и горин-Рябо в. Радиолокационные устройства Изд-во
«Сов. радио», 1970.
49.	Laidlaw W. R. Fighter Aircraft Criteria, Technical Review, 3, 1969.
50.	Space Aeronautics, XII, 1969.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ТАБЛИЦЫ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ЧИСЛА
УНИЧТОЖЕННЫХ ЦЕЛЕЙ ПРИ СЛУЧАЙНОМ ЦЕЛЕРАСПРЕДЕЛЕН ИИ
Л = 0,1
	Л'и \	1	2	। 3	4	5	6	7	8	9	10	15	20	30	40	50	100
	1	0,100	0,050	0,033	0.025	0,020	0,017	0,014	0,012	0,011	0,010	0,007	0,006	0,005	0.003	0,002	0,001
	2	0,190	0,098	0,066	0,050	0,039	0,033	0,028	0,025	0,022	0,020	0,013	0,010	0,007	0,005	0,004	0,002
	3	0,271	0,143	0,097	0,073	0,059	0,049	0,042	0,037	0,033	0,030	0,020	0,015	0,010	0,007	0,006	0,003
	4	0,344	0,185	0,127	0,096	0,078	0,065	0,056	0,049	0,044	0,039	0,026	0,020	0,013	0,010	0,008	0,004
	5	0,410	0,226	0,156	0,119	0,096	0,081	0,069	0,061	0,054	0,049	0,033	0,025	0.017	0,012	0,010	0,005
	6	0,469	0,265	0,184	0,141	0,114	0,096	0,083	0,073	0,065	0,059	0,039	0,030	0,020	0,015	0,012	0,006
	7	0,522	0,302	0,211	0,162	0,132	0,111	0,096	0,084	0,075	0,068	0,046	0,034	0,023	0,017	0,014	0,007
	8	0,570	0,337	0,238	0,183	0,142	0,126	0,109	0,096	0,086	0,077	0,052	0,039	0,026	0,020	0,016	0,008
	9	0,613	0,370	0,263	0,204	0,166	0,140	0,121	0,107	0,096	0,086	0.058	0,044	0,080	0,022	0,018	0,009
	10	0,651	0,401	0,288	0,224	0,183	0,155	0,134	0,118	0,106	0,096	0,065	0,049	0,083	0,025	0,020	0,010
	15	0,794	0,537	0,399	0,316	0,261	0,223	0,194	0,172	0,154	0,140	0,095	0,072	0,049	0,037	0,030	0,015
	20	0,878	0,642	0,492	0,397	0,332	0,285	0,250	0,222	0,200	0,182	0,125	0,095	0,065	0,049	0,039	0,020
	30	0,958	0,785	0,638	0,532	0,455	0,396	0,350	0,314	0,285	0,260	0.182	0,140	0,095	0,072	0,058	0,030
	50	0,995	0,923	0.816	0,713	0,636	0,568	0,513	0,468	0,428	0,395	0,284	0,222	0,154	0,118	0,095	0,049
	60	0,998	0,954	0,869	0,781	0,702	0,635	0.578	0,530	0,488	0,453	0,331	0,260	0,182	0.139	0,113	0,058
ю о ю	100	1.0	0,994	0,966	0,920	0,867	0,814	0,763	0,716	0,673	0,634	0,488	0,394	0,284	0,221	0,181	0,095
tS	Pt = 0,3
\ M, Mt \	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15	20	30	40	50	100
1	0,300	0,150	0,100	0,075	0,060	0,050	0,042	0,087	0,033	0,030	0.020	0,015	0,010	0,008	0,006	0,003
2	0,510	0,278	0,190	0,144	0,116	0,097	0,083	0,074	0,066	0,059	0,040	0,030	0,020	0,015	0,012	0,006
3	0,657	0,386	0,271	0,209	0,169	0,143	0,123	0,108	0,097	0,087	0,059	0,044	0,030	0,022	0,018	0,009
4	0.760	0,478	0,344	0,268	0,219	0,185	0,161	0,142	0.127	0,115	0,078	0,059	0,039	0,030	0,024	0,012
5	0,832	0,556	0,409	0,323	0,266	0,226	0,197	0,174	0,156	0,141	0,096	0,073	0,049	0,087	0,030	0,015
6	0,882	0,623	0,469	0,374	0,310	0,264	0,231	0,205	0,184	0,167	0,114	0,087	0,059	0,044	0,035	0,018
7	0,918	0,679	0,522	0,421	0,352	0,302	0,264	0,235	0,211	0,192	0,132	0,100	0,068	0,051	0,041	0,021
8	0,942	0,728	0,570	0,464	0,390	0,337	0,296	0,263	0,238	0,216	0,149	0.114	0,077	0,058	0,047	0,024
9	0,960	0,768	0,613	0,504	0,427	0.370	0,326	0,291	0,263	0,240	0,166	0,127	0,086	0,066	0,053	0,027
10	0,972	0,803	0,651	0,541	0,461	0,401	0,355	0,318	0,288	0,263	0,183	0,140	0,096	0,073	0,058	0,030
15	0,995	0,913	0,794	0,689	0,605	0,537	0,482	0,436	0,399	0,367	0,261	0,203	0,140	0,107	0,086	0,044
20	0,999	0,961	0,878	0,790	0,710	0,642	0,584	0,534	0,492	0,456	0,332	0,261	0,182	0,140	0,113	0,058
30	1,0	0,992	0,958	0,904	0,844	0,783	0,731	0,682	0,638	0,599	0,455	0,365	0,260	0,202	0,165	0,086
50	1.0	0,999	0,995	0,980	0,955	0,923	0,888	0,852	0,816	0,782	0.636	0,530	0,395	0,314	0,260	0,139
60	1.0	1.0	0,998	0,991	0,976	0,954	0,928	0,899	0,869	0,839	0,702	0,596	0,453	0,363	0,303	0,165
100	1,0	1.0	1.0	1.0	0,998	0,994	0,987	0,978	0,966	0,952	0,867	0.779	0.634	0,529	0,452	0,260
= 0,5
1
2
3
4
Б
6
7
8
9
10
15
20
30
50
60
100
2
3
1
4
5
6
7
8
10
15
20
30
50
100
9
40
0,500	0,250	0,167	0.125	0,100	0,083	0,071	0,062	0,055	0,050	0.033	0.025	0,017	0,012	0,010	0,005
0,750	0,437	0,306	0,234	0.190	0,140	0,138	0.121	0.108	0,097	0,066	0.049	0,033	0,025	0,020	0.010
0,875	0,576	0,421	0,330	0,271	0,221	0,199	0.176	0,158	0.140	0,097	0.073	0,049	0,037	0,030	0,015
0,938	0,684	0,518	0,414	0.344	0,294	0,234	0,228	0,204	0,185	0,127	0.096	0,065	0,049	0,039	0,020
0,969	0,760	0,598	0,487	0,409	0,353	0.300	0.276	0,249	0.226	0.156	0.119	0,081	0,061	0,049	0,030
0,984	0,822	0,665	0,551	0,469	0,407	0,360	0,321	0,290	0,265	0,184	0,141	0,096	0,073	0,059	0,025
0,992	0,867	0,721	0,607	0,522	0,456	0,405	0,363	0,330	0,302	0,211	0,162	0,111	0,084	0,068	0,034
0,996	0,900	0,767	0,656	0,570	0,501	0,447	0,403	0,367	0,337	0,238	0,183	0,126	0,096	0,077	0,039
0,998	0,925	0,806	0,699	0,613	0,543	0,487	0,440	0,402	0,370	0,263	0.204	0,140	0,107	0,086	0.044
0,999	0,944	0,838	0,737	0,651	0,581	0,523	0,476	0,435	0,401	0,287	0,224	0,155	0,118	0,096	0,049
1,0	0,987	0,935	0,863	0,794	0,729	0,671	0,620	0,576	0.537	0,399	0,316	0,223	0,172	0,140	0,072
1.0	0.997	0.974	0,931	0,878	0,825	0,773	0,725	0,681	0,642	0,492	0,397	0,285	0,222	0,182	0,095
1.0	1.0	0,996	0,982	0,958	0,926	0,892	0,856	0,820	0,785	0,638	0,532	0,396	0,314	0,260	0,140
1.0	1,0	1.0	0,996	0,995	0,987	0,975	0,959	0,943	0,923	0,816	0,718	0,568	0,467	0,395	0,222
1.0	1,0	1.0	1.0	0.998	0,995	0,988	0,979	0,968	0,954	0,869	0,781	0,635	0,530	0,453	0,260
1,0	1,0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	0,998	0,997	0,994	0.966	0,920	0,814	0,716	0,634	0.394
to
Р, = 0,7
ЛГл \	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15	20	30	40	50	100
1	0,700	0.350	0,233	0,175	0,140	0,117	0,100	0,087	0,078	0.070	0,047	0,035	0,023	0,018	0,014	0,007
2	0,910	0,577	0,412	0,319	0,260	0,220	0,190	0.167	0,150	0,135	0,091	0,069	0,046	0,035	0,028	0,014
3	0,973	0,725	0,547	0,438	0,364	0,311	0,271	0,240	0,216	0,196	0,134	0.101	0,068	0,052	0,041	0,021
4	0,992	0,821	0,655	0,537	0,453	0,391	0,323	0,307	0,277	0,252	0,174	0,133	0,090	0,068	0.055	0,028
5	0,997	0,884	0.735	0.618	0,530	0,462	0,410	0,367	0,333	0,304	0,213	0.163	0,111	0,084	0,068	0,035
6	0.999	0,925	0,797	0,685	0.595	0,525	0,469	0.423	0,385	0,353	0,230	0,192	0,132	0,101	0,081	0,041
7	1.0	0,952	0,844	0,740	0,652	0,580	0,522	0,473	0,433	0,398	0,249	0,221	0,152	0,116	0,094	0,048
8	1.0	0,968	0,881	0,785	0,701	0,629	0,570	0,519	0,477	0,440	0,318	0.248	0,172	0,132	0,107	0,055
S	1,0	0,979	0.908	0,823	0,743	0,673	0,613	0,561	0,517	0,480	0,350	0,274	0,191	0,147	0,119	0,061
10	1,0	0,987	0,929	0,854	0,779	0,711	0,651	0.599	0,555	0,516	0,380	0,300	0.210	0,162	0,132	0,068
15	1,0	0,998	0,981	0,944	0,896	0,844	0,794	0,747	0,703	0,663	0,512	0,414	0,298	0,233	0,191	0,100
20	1,0	1.0	0,995	0,979	0,951	0,916	0,878	0,840	0,802	0,766	0,616	0,509	0,376	0,297	0,246	0,131
30	1,0	1.0	1.0	0,997	0,989	0,976	0,958	0,936	0,912	0,887	0.762	0,657	0,508	0,411	0,345	0,190
50	1.0	1,0	1,0	1,0	0,999	0,998	0,994	0,989	0,983	0,973	0,908	0,831	0,693	0,586	0,506	0,296
60	1,0	1.0	1.0	1.0	1.0	0,999	0,998	0,996	0,992	0,987	0.943	0,882	0,757	0,653	0,571	0,344
ТОО	1,0	1.0	1.0	1.0	1.0	1,0	1,0	1,0	1,0	0,999	0,992	0,972	0,906	0,829	0,756	0,505
Р. = 0,9
Afn \	1	2	3	4	5	6	7	8		10	15	20	30	40	50	100
1	0,900	0,450	0,300	0,225	0,180	0,150	0,129	0,112	0,100	0,090	0,060	0,045	0,030	0,022	0,018	0,009
2	0,990	0,698	0,510	0,399	0,328	0,278	0,241	0,212	0,190	0,172	0,116	0,088	0.059	0,044	0,036	0,018
3	0.999	0,834	0,657	0,535	0,449	0,386	0,338	0,301	0,271	0,246	0,169	0,129	0,087	0,066	0,053	0,027
4	1.0	0,908	0,759	0,639	0,548	0,478	0,423	0,380	0,344	0,314	0,219	0,168	0.115	0,087	0,070	0.036
5	1.0	0,950	0,832	0,720	0,629	0,556	0,497	0,449	0,410	0.376	0,266	0,206	0,141	0,108	0,087	0,044
6	1,0	0,972	0,882	0,783	0,696	0,623	0,562	0,511	0,469	0,432	0,310	0,241	0.167	0,128	0,103	0,053
7	1.0	0,985	0,918	0,832	0,751	0,679	0,618	0,566	0,522	0.483	0,352	0,276	0,192	0,147	0,119	0,061
8	1.0	0,992	0,942	0,870	0,796	0,728	0,667	0.615	0,570	С 75-30	0,390	0,308	0,216	0,166	0,135	0.070
9	1.0	0,995	0,960	0,899	0,832	0.768	0,710	0,652	0,613	0,572	0,427	0,339	0,240	0,185	0,151	0,078
10	l.o	0,997	0,972	0,913	0,863	0,803	0,747	0,697	0,651	0,611	0,461	0,369	0,263	0,204	0,166	0.086
15	1,0	1.0	0,995	0,978	0.949	0,913	0,873	0,833	0,794	0,757	0,605	0,499	0,367	0,289	0,238	0,127
20	1.0	1.0	0.999	0,994	0,981	0,961	0,936	0.908	0,878	0,848	0,710	0,602	0,456	0,366	0,305	0,165
30	1.0	1.0	1,0	1.0	0,997	0,992	0,984	0,972	0,958	0,941	0,844	0,749	0,599	0,495	0,420	0,2-38
50	1.0	1.0	1.0	1,0	1.0	0.999	0,998	0,997	0,995	0,991	0,955	0,900	0,782	0,679	0,597	0,364
60	1,0	1.0	1.0	1,0	1,0	1,0	0,999	0,999	0.998	0,997	0,975	0,937	0,839	0,745	0,664.	0,419
100	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1.0	1.0	1,0	1.0	1,0	0,998	0,990	0,952	0,897	0,837	0,595
ЬЭ	ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ТАБЛИЦЫ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ЧИСЛА УНИЧТОЖЕННЫХ ЦЕЛЕЙ
ПРИ РАВНОМЕРНОМ ЦЕЛЕРАСПРЕДЕЛЕН ИИ С ПОСЛЕДУЮЩИМ АНАЛИЗОМ РЕЗУЛЬТАТА
КАЖДОЙ АТАКИ И ПЕРЕНАЦЕЛИВАНИЕМ
Pi = 0.1
Nn \	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15	20	30	40	50
1	0,100														
2	0,190	0,100													
3	0,271	0,149	0,100												
4	0.344	0,198	0,133	0,100											
5	0,410	0,245	0,167	0,125	0,100										
6	0,469	0,291	0,200	0,150	0,120	0,100									
7	0,522	0,336	0,232	0.175	0,140	0,117	0,100								
8	0,570	0,378	0,265	0,200	0,160	0,133	0.114	0,100							
9	0,613	0,419	0,297	0,225	0,180	0,150	0,129	0,112	0,100						
10	0,651	0,459	0,328	0,250	0,200	0,167	0.143	0,125	0,111	0,100					
15	0,794	0,623	0,476	0,371	0,299	0,250	0,214	0,187	0.167	0,150	0,100				
20	0,878	0,743	0,603	0,486	0,397	0,333	0,256	0,250	0,222	0,200	0,133	0.100			
30	0,958	0,887	0,788	0,679	0,578	0,494	0,427	0,375	0,333	0,300	0,200	0.150	0,100		
50	0,995	0,981	0.950	0,900	0.834	0,759	0,683	0,613	0,551	0,500	0,333	0,250	0,167	0,100	
60	0.998	0,992	0,977	0,948	0,905	0,848	0,783	0,716	0,652	0,594	0,400	0,300	0,200	0.150	0,100
л = 0,3
*п\	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15	20	30	40	50
1	0,300														
2	0,510	0,300													
3	0,657	0,436	0,300												
4	0,760	0,554	0.397	0,300											
5	0,832	0,652	0,489	0,374	0,300										
6	0,882	0,731	0,573	0,447	0,360	0,300									
7	0,918	0,794	0.647	0,517	0,419	0,350	0,300								
в	0,942	0,844	0.712	0,582	0,477	0,400	0,343	0,300							
9	0,960	0,882	0,767	0,643	0,534	0,449	0,386	0,337	0,300						
10	0,972	0,911	0,813	0,698	0,588	0,498	0,428	0,375	0,333	0,300					
15	0,995	0,980	0,944	0,884	0,804	0,717	0,633	0,560	0,500	0,450	0,300				
20	0,999	0,996	0,985	0,962	0,922	0,866	0,798	0,727	0,659	0,598	0,400	0,300			
30	1,0	0,999	0,999	0,997	0,992	0,980	0,960	0,930	0,890	0,842	0,599	0,400	0,300		
50	1.0	1.0	1.0	1.0	0,999	0,999	0,999	0,999	0,997	0,993	0,914	0,745	0,500	0,300	
60	1.0	1,0	1.0	1.0	1,0	1,0	1,0	0,999	0,999	0,999	0,975	0.868	0,600	0,450	0,300
to	Pt = 0,5
\ Mi Wn \	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15	20	30	40	50
1	0,500														
2	0,750	0,500													
3	0,875	0,687	0,500												
4	0,937	0,812	0,646	0,500											
5	0,969	0,891	0,760	0,617	0.500										
6	0,984	0.937	0,844	0,719	0,597	0,500									
7	0,992	0,965	0,901	0,801	0,685	0,582	0,500								
8	0,996	0,980	0,939	0,863	0,763	0,660	0,571	0,500							
9	0,998	0,990	0,963	0,909	0.827	0,731	0,640	0,562	0,500						
10	0,999	0,994	0,978	0,940	0,877	0,794	0,702	0,^24	0,555	0,500					
15	1,0	0,999	0,998	0,995	0,984	0,961	0,923	0,870	0,808	0,742	0,500				
20	1.0	1.0	0,999	0,999	0,999	0,995	0,988	0,973	0,948	0,912	0.667	0,500			
30	1,0	1.0	1.0	0,999	0,999	0,999	0,999	0,999	0,999	0,997	0,928	0,748	0,500		
50	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	0,0	1.0	1.0	1.0	1,0	0,994	0,829	0,500	
60	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1,0	1.0	0,949	0,750	0,500
/>, = 0,7
Xn\	1	2	3	4	( 5	6	7	8	9	10	15	20	30	40	50
1	0,700														
2	0,910	0,700													
3	0,973	0,879	0.700												
4	0,992	0.954	0,853	0,700											
5	0,998	0,983	0,935	0,833	0,700										
6	0,999	0,994	0,973	0,916	0,816	0.700									
7	1.0	0,998	0,989	0,960	0,898	0,803	0,700								
8	1,0	1.0	0,996	0,982	0,947	0,881	0,792	0,700							
9	1,0	1.0	0,998	0.992	0,974	0,933	0,866	0,782	0,700						
10	1.0	1,0	0,999	0.997	0,988	0,965	0,919	0.853	0,775	0,700					
15	1.0	1.0	1,0	1.0	1,0	0,999	0,997	0,991	0,978	0,952	0,700				
20	1.0	1.0	1,0	l.o	1,0	1.0	1.0	1.0	0,999	0,908	0,907	0,700			
30	1.0	1.0	1,0	1,0	1,0	1.0	1.0	1.0	1,0	1,0	0,999	0,971	0,700		
50	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1.0	0,997	0,700	
60 Jo	1.0	1.0	l.o	l.o	1,0	1,0	1.0	1.0	1,0	1.0	1,0	1,0	1.0	0,984	0,700
006'0	0'1	O'l	O'l	0'1	O'l	n	O'l	0'1	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	09
	006‘0	0'1	O'!	0'1	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	09
		006'0	O'l	0’1	0'1	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	OS
			006'0	666'0	0'1	0'1	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	OS
				006'0	666'0	0*1	O'l	0'1	O'l	O’l	O'l	O'l	O'l	O'l	91
					006'0	196'0	686'0	866'0	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	0'1	01
						006'0	M6'0	186'0	866'0	O'l	O'l	O'l	O'l	O'l	6
							006'0	£96'0	066'0	666'0	O'l	O’l	O'l	O'l	8
								006'0	0£6’0	^66'0	666'0	O'l	0'1	O'l	£
									006'0	H6'0	966'0	O'l	O'l	O'l	9
										006’0	££6‘0	£66'0	0’1	O’l	9
											006'0	186‘0	866‘0	O’l	V
												006'0	886'0	6fj6'0	e
													006*0	066'0	3
														006'0	i
vs	01	os	05	91	01	6	8	L	9	9		e	z	I	\ nN
6*0 = 'rf
Стр.
Введение	.................................................. 3
Глава 1. Наземное наведение. Рубежи перехвата. Сближение с целью 9
Глава 2. Атака цели, самонаведение ракеты............................  47
Глава 3, Тактико-технические характеристики истребителя-перехватчика 86
Глава 4. Оценка боевой эффективности с помощью основных теорем
теории	вероятностей ...................................... 116
Глава 5. Эффективность наземного наведения, поиска и поражения
цели................................................................ 133
Глава	6.	Боевая	эффективность групповых действий истребителей-пере-
хватчиков .......................................................... 168
Глава	7.	Боевая	готовность и	надежность.......................... 202
Глава	8.	Задачи	оптимизации ...................................   225
Литература.....................г,	................................ 267
Приложения:
1. Таблицы для определения относительного математического ожи-
дания числа уничтоженных целей при случайном целераспреде-
лении........................................................... 269
2, Таблицы для определения относительного математического ожи-
дания числа уничтоженных целей при равномерном целераспре-
делении с последующим анализом результата каждой атаки и
перенацеливанием............................................... 274
Дуров Владимир Романович
Боевое применение и боевая эффективность
истребителей-перехватчиков
Редактор Шорин А. М.
Технические редакторы Коновалова Е. К. и Со колова Г. Ф.
Корректор Заикина 3, И.
* * *
Сдано в набор 20.1.71 г. Г-83212. Подписано
к печати 6.9.71 г. Формат бумаги 60Х90‘/и п. л.
17,5 усл. п. л. 16,153 уч. изд. л. Бумага типографская №2
Тираж 8000 экз. Цена 1 р, 04 к.
Изд. № 7/2314	Зак. № 384
* # #
Ордена Трудового Красного Знамени
Военное издательство Министерства обороны СССР
103160. Москва, К-160
2-я типография Воениздата
Ленинград, Д-65, Дворцовая пл., 10