Text
                    Логические
основы
метода
А.и.уемов моделирования
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МЫСЛЬ»
Москва .1971


16 У32 ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 72—71
ПРЕДИСЛОВИЕ В процессе познания и практического овладения миром огромная роль принадлежит методу моделирования. Осознание этого факта относится далеко не к самому последнему времени. Еще Н. А. Умов писал, что «все наше миросозерцание, от своего наиболее обыденного до наиболее возвышенного содержания, представляет собою собрание моделей, образующих более или менее удачный отклик существующего, соответствующих или не соответствующих тем вещам, которые имелись в виду при их построении» К Резко усилившийся в последние годы интерес к методу моделирования связан с усилением интереса к логике науки вообще, со все большим пониманием того, что анализ тех методов, которыми пользуется ученый, не является чем-то внешним по отношению к науке, а представляет собой необходимое условие ее развития. «Овладеть тайнами науки — значит понять законы развития научного знания, создания новых теоретических построений, вскрывающих законы природы и общества. А это невозможно сделать без анализа мышления, что и входит в задачи логики»2. Не все научные методы в равной мере являлись предметом внимания методологии науки. Так, Аристотель в своих естественнонаучных работах широко применял как дедукцию, так и метод моделей. 1 Н. Умов. Эволюция мировоззрений в связи с учением Дарвина. —- Предисловие к кн.: К. Штерне. Эволюция мира, т. I. М., 1911, стр. 30. 2 П. В. Копнин. Логика научного познания. — «Вопросы философии», 1966, № 10, стр. 38. 3
У него же можно найти немало примеров рассуждений индуктивного типа. Тем не менее в качестве методолога он подверг детальному исследованию лишь дедуктивный метод, создав теорию силлогизма, сохранившую свое значение вплоть до последнего времени. Что же касается индукции и моделирования, то он ограничился отдельными замечаниями по поводу тех форм умозаключений, которые связаны с этими методами. Последователи Аристотеля опять-таки главное внимание обращали на дедукцию. Индуктивная логика Ф. Бэкона и Д. С. Милля создавалась в качестве антитезы силлогистике Аристотеля. Но это была антитеза не тому, что применял Аристотель, а тому, что он разработал. Современная формальная логика, получившая название символической, вновь сосредоточилась на дедукции, значительно обогатив здесь наследие Аристотеля. Такая сосредоточенность внимания на дедукции, которая имела до сих пор место в логике, не означает такой же исключительности этого метода в реальном процессе развития науки. Наиболее развитая форма применения дедуктивного метода — аксиоматическое построение теории — встречается не как правило, а скорее как исключение даже на современном уровне развития науки. Вне пределов формальных наук пока можно указать лишь на постановку проблемы аксиоматизации К Причина преимущественного развития логической теории дедукции заключается не в том, что этот метод играет роль в развитии науки несравненно большую, чем другие методы. Эта причина связана с тем, что «дедуктивный принцип организации знания является одним из простейших методов построения науки. Дедуктивная система есть всегда система однопорядковых элементов, а движение внутри ее сводится к комбинаторным преобразованиям элементов»2. 1 См. Ю. В. Петров. Значение аксиоматического метода в учении о направлениях изменений живых систем. — «Применение логики в науке и технике». М., 1960; А. А. Фурман. Основные проблемы аксиоматического построения физических теорий. Томск, 1966; Г. П. Дишкант. О формализации физических теорий. Днепропетровск, 1968. 2 В. Н. Садовский. Дедуктивный метод как проблема логики науки. — «Проблемы логики научного познания». М., 1964, стр. 197. 4
Это делает понятным, почему логика начала с анализа дедуктивного метода. В дальнейшем же вступают в силу закономерности имманентного развития науки. Логика, будучи прежде всего вспомогательной дисциплиной, средством для развития других наук, подобно всякому иному средству имеет тенденцию превратиться в самоцель. Механизм такого превращения связан с тем, что логик начинает свое исследование обычно не с анализа процесса развития других наук, а с разбора того теоретического материала, который накоплен в процессе развития самой логики. Если этот материал — комбинаторные преобразования, то такие преобразования постепенно становятся все более сложными. Время от времени имманентное развитие логики прерывается под влиянием запросов практики. Последние связаны прежде всего с повышением требований к строгости научных результатов. Такое повышение приводит к тому, что те методы, применение которых раньше происходило без какого-либо обоснования, считается необходимым обосновывать. Это приводит к развитию соответствующего раздела логики. С другой стороны, может меняться и сравнительная значимость различных методов. Так, индуктивный метод имел особенно большое значение на самых первых этапах развития науки. В период средних веков его значимость упала, поскольку на первый план выступила дедукция из канонизированных текстов. Затем потребности возникающего опытного знания вызвали к жизни «Новый Органон» Ф. Бэкона. Необходимость логического анализа метода моделирования в настоящее время связана как с тем, так и с другим из отмеченных выше моментов. Период «революций» в науке, в ходе которых, казалось бы, совершенно несомненные, абсолютные истины были опровергнуты, сделал чрезвычайно острой проблему обоснования научных положений. Это в особенности относится к положениям, полученным с помощью метода моделирования, поскольку крах очень многих из них был связан с выяснением несостоятельности тех механических моделей, на которых они были основаны. Вместе с тем можно говорить о возрастании роли метода моделирования в современную эпоху. Быстрый рост темпов развития отдельных наук привел во многих 5
случаях к их разобщенности К Это создает затруднения, начинающие тормозить дальнейшее развитие. Восстановление единства науки становится важнейшей задачей. Однако эта интеграция не может быть произведена методами прежней натурфилософии, стремящейся свести многообразие наук к одной науке, например к механике, с помощью дедукции из небольшого числа общих принципов. Сейчас кажется наивной идея объединения всего многообразия физических явлений в одну-единственную формулу, о которой писал еще М. Планк2. Неопозитивисты сделали попытку восстановить единство науки с помощью создания единого языка3. Такое единство имеет главным образом внешний характер, не выражает единства содержания. Методом, позволяющим учитывать как единство содержания научных знаний, так и их различие, является метод моделирования. Модель может браться из одной науки, а ее прототип, то есть тот предмет, который исследуется с помощью модели,— из другой науки. Так создаются механические модели химических или физических объектов, электрические модели механических, химических, биологических или даже социальных явлений. Экономическая деятельность предприятия исследуется с помощью модели, представляющей собой живой организм4. Это ни в коем случае не означает, что предприятие «сводится» к живому организму. И вместе с тем использование таких моделей дает возможность вскрыть довольно существенные общие черты в развитии организма и функционировании предприятия, позволяя таким образом в известной мере унифицировать биологию и политическую экономию. Такая «унификация» коренным образом отличается от попытки биологизировать экономические явления, которые делались в свое время эмпириокритиками5. Математика поставляет модели для самых различных наук, в частности для лингвистики. Это также не 1 См. «Философские проблемы современного естествознания». М., 1959, стр. 5—6. 2 См. М. Планк. Единство физической картины мира. Сб. статей. М, 1966, стр. 23. 3 International Encyclopaedia of Unified Science, vol. 1. New York, 1934. 4 См. С. Вир. Кибернетика и управление производством. Μ., 1965. 5 См. В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 18, стр. 348. 6
означает «сведения» лингвистики к математике, чего опасались некоторые консервативно настроенные лингвисты. Усиление значимости исследования метода моделирования уже породило довольно обширную литературу как у нас, так и за рубежом. Можно назвать многие монографии и сборники, специально посвященные анализу метода моделирования К Еще больше отдельных статей и разделов книг, относящихся к этому вопросу2. Можно назвать также специальные сборники, диссертации, монографии и статьи, трактующие применение метода моделей в отдельных науках3. Однако почти вся имеющаяся литература посвящена или рассмотрению математического аппарата и технической стороне моделирования или же — в противоположность этому — общефилософским проблемам, связанным с методом моделирования. Собственно логическая проблематика метода, к которой относятся прежде всего 1 «The Concept and the Role of the Models in Mathematics and Natural and Social Sciences». Dordrecht, 1961; см. также: В. А. Штофф. Роль моделей в познании. Л., 1963; его же. Моделирование и философия. М.— Л., 1966; Б. А. Глинский и др. Моделирование как метод научного исследования. М., 1963; И. Б. Новик. О моделировании сложных систем. М., 1965; В. В. Чавчанидзе, О. Я. Гельман. Моделирование в науке и технике. М., 1966; Л. С. Эйгенсон. Моделирование. М., 1952; В. А. Веников, Теория подобия и моделирование применительно к задачам электроэнергетики. М., 1966; К. Е. Морозов. Математическое моделирование в научном познании. М., 1969. 2 См. А. И. Уемов. Аналогия и модель. — «Вопросы философии», 1962, № 3; И. Б. Новик. Моделирование и его роль в естествознании и технике. — «Диалектика в науках о неживой природе». М., 1964; Н. Stachowiak. Gedanken zu einer allgemeinen Theorie der Modelle.— «Studium Generale», 1965, H. 7. 3 См. «Теория подобия и моделирование». Μ., 1951; «Моделирование в биологии». М., 1963; «Моделирование в биологии и медицине». Киев, 1965; Ц. С. Сарангов, Б. И. Спасский. О методе моделей и аналогий в развитии физики. — «Вестник МГУ», серия III, физика, астрономия, 1963, № 5; И. Т. Фролов. Гносеологические проблемы моделирования биологических систем. — «Вопросы философии», 1961, № 2; JI. Б. Ительсон. Математическое моделирование в психологии и педагогике. — «Вопросы философии», 1965, № 3; Б. С. Грязное и др. Гносеологические проблемы моделирования. — «Вопросы философии», 1967, № 2; «Тезисы докладов и выступлений на симпозиуме «Метод моделирования в естествознании»». Тарту, 1966; «Методологические проблемы военной теории и практики». М., 1966, гл. 12; «Основные философские вопросы современной биологии и медицины». Л., 1967, гл. 10. 7
ЁЫйСйениё логической структуры форм мысли, реализуемых в процессе применения этого метода, и определение условий их правомерности, разрабатывается пока еще очень слабо. Из известных автору исследований специально посвящена этой проблеме лишь работа М. Хесс К А между тем анализ логических основ метода моделирования имеет определяющее значение как для раскрытия общефилософской проблематики этого метода, так и для развития математического аппарата и практических приложений. 1 М. Hesse. Models and Analogies in Science. London, 1963.
ПОНЯТИЕ Глава I МОДЕЛИ § 1. Многозначность термина «модель» и общие методы его унификации Как отмечалось выше, модели в качестве средства познания стали употребляться уже на заре развития науки. Вместе с тем общая теория моделирования в отличие, например, от теории силлогизма создается лишь в последнее время. Поэтому, если в каждом случае употребления умозаключений их можно было называть силлогизмами в соответствии с тем достаточно строгим определением, которое давалось в теории, такое ограничение отсутствовало применительно к моделированию. Отсюда — возможность использования термина «модель» в различных смыслах и, наоборот, применение различных слов для обозначения по сути дела одного и того же содержания. Разнообразие значений термина «модель» в современной науке бросается в глаза. В связи с этим возникает сомнение в том, можно ли говорить о моделях и моделировании вообще, а не о моделях и моделировании в определенной науке. Однако и в рамках одной науки, например лингвистики, зачастую нет единства мнений по поводу употребления термина «модель». Поэтому авторы, говоря о моделях, обычно определяют тот смысл, в котором они употребляют этот термин. Это тем более важно в том случае, когда речь идет о моделировании вообще, безотносительно к той или иной науке. 9
Дискуссия между теоретиками моделирования связана теснейшим образом с вопросом о том, какое значение термина «модель» следует взять в качестве «законного» и дакие из них являются «неудачными». В. А. Штофф относит к моделям, в частности, так называемые демонстративные модели, применяемые в педагогической практике, отмечая, что функции таких моделей имеют много общего с ролью мысленного эксперимента К Б. А. Глинский, Б. С. Грязнов, Б. С. Дынин и Е. П. Никитин критикуют за это В. А. Штоффа, полагая, что объекты такого рода необходимо исключить из числа моделей2. В свою очередь В. А. Штофф отбрасывает другие значения термина «модель», которые многими учеными рассматриваются в качестве основных. Так, он пишет: «Одним из таких неудачных применений термина «модель» является использование его как синонима теории, причем имеется в виду даже не изоморфизм разных теорий, не то обстоятельство, что данная теория обладает одной и той же или сходной логической структурой с другой теорией, а некоторые другие особенности теории»3. В связи с этим критикуется употребление термина «модель» В. Гейзенбергом и А. Эйнштейном. «Другим близким, но не менее неудачным применением термина «модель» является его использование в качестве синонима любой количественной теории, математической схемы или вообще математического описания4. На этом основании критикуется понимание модели в биологических и экономических науках, психологии и социологии, где оно встречается наряду с другими истолкованиями этого термина. Автор не согласен с названием известной книги Р. Буша и Ф. Мостеллера «Стохастические модели обучаемости» 5. «Третьим широко распространенным, главным образом в логике, но неудачным употреблением термина «модель» является употребление его в смысле формальной или формализованной системы»6. 1 См. В. Л. Штофф. Роль моделей в познании, стр. 69. 2 См. Б. Л. Глинский и др. Моделирование как метод научного исследования, стр. 12. 3 В. А. Штофф. Моделирование и философия, стр. 10. 4 Там же, стр. 11. 5 См. там же, стр. 11—12. 6 Там же, стр. 12. 10
На каком же основании указанные употребления термина «модель», несмотря на их широкую распространенность, рассматриваются как «неудачные»? Это основание у В. А. Штоффа связано с его методом унификации понятия модели. Отмечая многозначность термина «модель», он пишет: «По-видимому, выход из этого положения должен состоять в том, чтобы исключить из научного языка такие значения термина «модель», для выражения которых существуют другие прочно установившиеся термины, и сохранить этот термин для таких специфических гносеологических ситуаций, которые не покрываются понятиями «теория», «гипотеза», «формализм» и т. п.». Итак, В. А. Штофф отбрасывает ряд значений термина «модель» на том основании, что в этих случаях могут быть применены другие устоявшиеся термины. Аналогичным образом поступают и авторы книги «Моделирование как метод научного исследования». Но основание отбрасывания несколько иное, а именно несоответствие той функции моделей (исследовательской), которую они считают основной. Разобранный метод унификации понятия «модели» (его можно рассматривать как один из методов унификации понятий вообще) назовем методом отбрасывания. Его логическую структуру выразим следующим образом: А(Р)(аи..., ап) >(а/,..., ak), где 1</, k<n. Здесь А(Р) будет означать оператор, который выражает собой отбрасывание всего того, что не соответствует требованию Р. Символы аи...,ап выражают множество исходных понятий; α*,..., а*, стоящие в правой части соотношения, представляют собой те понятия, которые остались после применения к множеству αϊ,..., αη оператора А (Ρ). Символ >· выражает собой переход от исходных данных к результату операции. Это некоторый аналог импликации, используемый в исчислении высказываний. Преимущество указанного метода уточнения терминов заключается прежде всего в том, что он обеспечивает достаточно богатое содержание выделенных таким образом понятий. Во всяком случае это содержание не может быть более бедным, чем содержание беднейшего из исходных понятий ab...,an. В том же случае, если требование Ρ предполагает выделение богатейших по coll
Держанию Понятий, то в результате операций А(Р) происходит как бы обогащение исходных понятий, поскольку «средняя» содержательность аг·,..., ак окажется выше «средней» содержательности аь ... ап. Однако содержание каждого из понятий аг·,..., ak в результате А(Р) остается неуточненным. Это содержание остается после операции А(Р) таким же, как и до нее. Поэтому для того, чтобы добиться точности, процедуру выделения аг·,..., ак необходимо дополнить процедурой определения каждого из них. Таким образом будет получен набор определений, оперировать с которым далеко не всегда просто. Упростить этот набор можно с помощью повторения операции отбрасывания вплоть до того, когда останется лишь одно понятие ак. Это сделано, например, в статье М. Бродбек, которая довела отбрасывание «неудачных» значений термина «модель» до того, что осталось лишь одно понятие — «изоморфизма законов или теорий» К В таком случае сфера применения понятия модели оказывается узкой, относящейся только к той отдельной области знания, где было сформулировано понятие ак, и философский анализ, ценность которого всегда заключалась главным образом в объединении результатов различных областей знания, оказывается в значительной мере беспредметным. Другой, более всего бросающийся в глаза недостаток изложенного метода унификации понятий связан с трудностью найти объективное основание отбрасывания понятий. Чаще всего Ρ отражает субъективное предпочтение понятий сії,..., ak. С другой стороны, представителям науки, использующей понятие аг·, трудно согласиться с тем, что единственно законным понятием, которое должно связываться с тем или иным термином, скажем с термином «модель», является понятие ак(кфг), не находящее широкого применения там, где под моделью понимается именно аг·. Трудно было бы убедить, например, Эйнштейна, Гейзенберга или других физиков в том, что они термин «модель» понимают неправильно. Вряд ли бы Р. Буш и Ф. Мостеллер согласились с тем, что название их книги «Стохастические модели обучаемости» ошибочно. И им было бы нетрудно подобрать такое Λ 1 Μ. Brodback. Models Meaning and Theories. — «Symposium on Sociological Theory». New York, 1959, p. 378. 12
что применение оператора А(Р) к множеству понятий й\, ·.·, сіп имело бы своим результатом понятия аІ9..., ah, в число которых входят те значения термина «модель», которые подразумеваются ими, и не входят такие значения, которые оставлены в качестве «подлинных», например, В. А. Штоффом. Как отмечалось выше, в качестве Ρ у В. А. Штоффа выделяется требование отсутствия синонимических терминов, таких, как «теория», «гипотеза», «формализм» и т. д. Такое требование может быть обосновано лишь соображениями удобства. Но те, кто употребляет термин «модель» иным, «неудачным» образом, делают это тоже из соображений удобства. Во многих случаях действительно удобно называть теорию, гипотезу или формализм моделью. Философский анализ должен выяснить причины того, почему то или иное словоупотребление оказывается удобным. Можно заметить, что физика не всегда может заменить термин «теория» термином «модель». Так, например, все говорят о теории относительности, но никто о модели относительности. И тем не менее иногда теорию называют моделью. Это бывает в тех случаях, когда хотят сказать, что теория выполняет функции модели не только по отношению к другой теории, но и по отношению к отражаемой ею действительности. Когда хотят выразить мысль о том, что верблюд в пустыне выполняет функции корабля, его удобно назвать кораблем пустыни. Тогда мы получаем метафору. Метафора может быть противопоставлена прямому словоупотреблению на том основании, что корабль, с одной стороны, и верблюд — с другой, определяются не только функционально. Для корабля существенно не только то, что он является единственным видом транспорта, с помощью которого человек преодолевал огромные безлюдные пространства, но также и то, что он является искусственным сооружением, имеет двигатель, передвигается по воде и т. д. Для того чтобы понять, что такое верблюд, необходимо знать, что это животное, что оно травоядное, имеет горб и т. д. Всем этим верблюд отличается от корабля. Поэтому верблюдов без оговорки на метафоричность словоупотребления нельзя просто зачислить в класс кораблей. Иное дело тот случай, когда тот или иной тип функционирования определяет сущность сопоставляемых объектов. Например, физик называет силой некоторую 13
меру взаимодействия тел, и ему не приходит в голову считать это метафорой на том основании, что эти тела неживые, а слово «сила» первоначально связывалось лишь с живыми организмами. То, что разные вещи могут обладать определенным функциональным, структурным и прочим сходством и в связи с этим обозначаются одним термином, общеизвестно. И стакан — цилиндр, и котел — цилиндр, и шляпа на голове может быть цилиндром. И есть еще цилиндр, выступающий лишь в функции цилиндра,— это тот цилиндр из картона, который педагог приносит на занятие для того, чтобы показать, что такое цилиндр. Предложение В. А. Штоффа, его принцип отбрасывания представляется аналогичным требованию называть цилиндрами только цилиндры, как таковые, но не все прочие вещи, имеющие форму цилиндра, поскольку там есть синонимичные слова, такие, как «стакан», «шляпа» и т. д. Но если мы откажемся от этого принципа и признаем общность функционирования в качестве основы применения термина «модель», то тем самым встанем на другой путь уточнения этого понятия. Этот другой путь предполагает анализ всех случаев употребления термина «модель» и выделение общих для всех этих случаев признаков. По сути дела это тот путь, который типичен для образования понятий на основе представлений, только здесь исходным материалом являются не представления, а понятия, уже сформировавшиеся в различных областях знания. Обозначим эти понятия, так же, как и раньше, через ab...,an. Для формализации операций уточнения понятия введем два one- ратора. Один из них — оператор расчленения, который мы обозначим латинской буквой В, другой — оператор вычленения, который обозначим как С. В результате операции В понятия аь...,ап будут представлены как наборы признаков, образующих их содержание: В(аи..., ап) >[(aj,..., a}),..., (a*,..., aj)]. Здесь нижний индекс при α означает номер понятия, а верхний — номер признака в составе содержания данного понятия. Применяя к результату расчленения или анализа по- 14
нятий оператор вычленения, получим набор признаков, общих для всех исходных понятий: С[(а\,...9 «{),.... К,..., а')] их,,..., аЛ. Соединяя последовательно действия обоих операторов, получим схему С В (аи ..., ап) >αζ,..., aft. Обозначим понятие, содержание которого представляет собой набор а«,..., ал, через а. Тогда будем иметь С В (ах,..., ал) >-а. При этом все исходные понятия будут включаться в а, что выразим как aLcza,..., ancza. Абстракция, которой мы пользовались, носит название традиционной. В последнее время такая абстракция подвергается довольно резкой критике в литературе1. В противовес ей выдвигается иной тип абстракции, исследованный С. А. Яновской. Здесь предполагается, что между исходными элементами устанавливается отношение типа равенства. «То общее, что существует между предметами, вступившими в данное отношение, и будет тем содержанием (общим свойством), которое нами отыскивается и отвлекается»2. Обозначив новый тип абстракции — через эквивалентность— символом Сі и отношение эквивалентности через Ri, получим Cl[Rl(au..., ая)] >a/f..., ak. При всем различии традиционного типа абстрагирования и абстракции с помощью отношения типа эквивалентности 3 их результаты должны соответствовать друг другу. Здесь речь идет не о разных целях, а о разных средствах. Там, где неприменимо одно из средств, * Си, Д. П. Горский. К вопросу об образовании и развитии понятий. — «Вопросы философии», 1952, № 4; Ч. Новиньский. Единичное и общее. — «Мировоззренческие и методологические проблемы научной абстракции». М., 1960. * Д. П. Горский. К вопросу об образовании и развитии понятий. — «Вопросы философии», 1952, № 4, стр. 74. 3 Анализ обоих типов абстракций с помощью категорий «вещи», «свойства» и «отношения» см.: А. И. Уемов Вещи, свойства и отношения. М., 1963, стр. 90—92. 15
может быть применимо другое. Но в ряде случаев могут быть применены оба. Иногда оба метода переплетаются так, что трудно определить, какой именно из методов применен. В этих случаях можно считать, что оба они применены одновременно. В качестве примера использования метода обобщения в процессе уточнения понятия модели можно привести статью X. Стаховяка К Автор предпринимает эмпирический анализ употребления слова Modell в немецкой, Model в английской, Modele во французской и «модель» в русской литературе. Он отмечает, что такой анализ может производиться лишь на основе случайных выборок, но его результат может быть улучшен статистическими и теоретико-информационными методами. Согласно автору, сначала должен определяться объем понятия — перечисляться отдельные виды моделей и затем с помощью абстракции раскрываться содержание общего понятия модели. С помощью указанного метода им были выделены три главных признака модели: а) модель всегда модель чего-то, представитель естественных или искусственных «оригиналов», которые сами в свою очередь могут быть моделью. Поскольку как оригинал, так и модель всегда системы, дается определение системы как упорядоченного в определенном отношении целого или множества, которое характеризуется указанием на его элементы и их свойства, а также существующие между этими элементами и свойствами отношения. В частном случае система может состоять и из одного элемента (несобственная система); б) модели охватывают не все свойства оригинала, а только те, которые существенны для того, кто применяет модель; в) модели однозначно соответствуют оригиналу; это соответствие устанавливается для определенных субъектов внутри определенных промежутков времени. Аналогичный метод, использованный в докладе на симпозиуме «Метод моделирования в естествознании», дает возможность выделить в качестве общей черты модели в любом ее понимании то, что ее исследование мо- 1 Я. Stachowiak. Gedanken zu einer allgemeinen Theorie der Mo- delle. — «Studium Generate», 1965, H. 7, S. 438. 16
жет в известной мере заменить исследование другого объекта — прототипа — независимо от физической природы того и другого К Интересный пример применения метода обобщения представляет статья Чжао Юань-женя2. Он дает список из 30 различных употреблений термина «модель» в англо-американской литературе. Среди них такие значения, как описание, теория, план, абстракция, теория структуры и т. д. Им противопоставляется девять значений понятий, коррелятивных понятию модели. Исследование Чжао Юань-женя обычно приводится как доказательство многозначности термина «модель», с которым якобы не связано определенное значение3. Однако результат этого исследования заключается в сведении всего этого многообразия значений к единству. Такое единство достигается с помощью обобщения понятия вещи, перехода к ее «качественному»4 пониманию. «Следующий шаг,— пишет Чжао Юань-жень,— состоит в том, чтобы обобщить понятие вещи таким образом, чтобы оно, помимо соотнесенной с определенным временем чувственной информации, охватывало физические факты, материальные объекты, произвольные классы вещей с тем, чтобы моя вещь могла пониматься как любая вещь. При таком подходе модели могут быть конкретными или абстрактными в различных степенях и различных смыслах... Вообще говоря, то, с чем более удобно работать, т. е. то, что легче увидеть, услышать, запомнить, записать, обработать, передать, наследовать, с чем легче экспериментировать и пр., есть модель, а то, относительно чего мы надеемся получить соответствующую информацию, работая (в широком смысле) с моделью, есть вещь»5. Таким образом, термин «модель» оказывается многозначным не более, чем термин «цилиндр». Многообразие относится здесь лишь к носителям того комплекса 1 См. А. И. Уемов. О логических основаниях метода моделирования.— «Тезисы докладов и выступлений на симпозиуме «Метод моделирования в естествознании»», стр. 35. 2 См. Чжао Юань-жень. Модели в лингвистике и модели вообще.— «Математическая логика и ее применения». М., 1965. 3 См. С. К. Шаумян. Структурная лингвистика. М., 1965, стр. 80— 81; В. А. Штофф. Моделирование и философия, стр. 6. 4 См. А. И, Уемов. Вещи, свойства и отношения, стр. 19—28. 5 Чжао Юань-оюень. Модели в лингвистике и модели вообще. — «Математическая логика и ее применения», стр 291. 17
свойств, которые объединяются в едином понятии модели. В качестве вырожденного случая метода обобщения можно отметить метод редукции. Здесь содержание обобщенного понятия совпадает с содержанием одного из исходных, к которому, таким образом, «сводятся», редуцируются остальные. В качестве примеров можно указать статью Саппса, в которой несколько разных понятий модели сводятся к тому, которое определено А. Тарским !, и послесловие к книге Г. Клауса, где противопоставляемые автором понятия модели сводятся к тому, которое определено в Философской энциклопедии Ю. Гастевым2. Отметим, что, несмотря на то что конечный результат — некоторое понятие — может быть получен как путем редукции, так и путем отбрасывания, эти пути и в этом случае остаются существенно различными. Везде выше шла речь об использовании абстракции традиционного типа. Но для уточнения понятия «модель» можно также применить абстракцию, основанную на установлении отношения типа эквивалентности. В качестве такого отношения допустимо рассматривать отношение аналогичности, имеющее место между различными случаями употребления термина «модель»3. Поскольку отношение аналогичности здесь рефлексивно, симметрично и транзитивно, оно относится к отношениям типа эквивалентности. Общим, что имеет место для всех случаев аналогичного употребления термина «модель», будет то, что модель является непосредственно исследуемым объектом, служащим для получения некоторой информации о другом объекте. Метод обобщения, так же как метод отбрасывания, имеет свои достоинства и недостатки. Преимущества этого метода заключаются прежде всего в том, что он обеспечивает высокий уровень строгости, поскольку все признаки, определяющие содержание итогового понятия, перечисляются как результат абстракции. 1 P. Suppes. A Comparison of the Meaning and the Uses of Models in Mathematics and the Empirical Sciences. — «The Concept and the Role of the Models in Mathematics and Natural and Social Sciences». 2 См. Л. Б. Баженов и др. О философских аспектах кибернетики.— Послесловие к кн.: Г. Клаус. Кибернетика и философия. М., 1963. 3 См. Л. И. Уемов. Аналогия и модель. — «Вопросы философии», 1962, № 3. 18
Далее, не менее важным достоинством является широта сферы применения итогового понятия. Эта сфера представляет собой сумму всех сфер применения исходных понятий. Снимается вопрос о субъективизме в выборе отдельных значений термина, поскольку речь идет об анализе всех этих значений. Вместе с тем широта объема итогового понятия означает известную бедность его содержания, в состав которого входит лишь незначительное число перечисленных в определении признаков. Однако этот недостаток может быть преодолен в том случае, если оставшиеся признаки суть такого рода, что они могут служить основой дедуктивного развития, как это имеет место в математических теориях, исходные понятия которых также бедны по содержанию. Далее, необходимо отметить опасности ошибок в самом процессе обобщения. Эти ошибки могут иметь двоякий характер. Прежде всего может случиться так, что признаки, включенные в содержание обобщенного понятия, не охватывают всех исходных понятий. Некоторые из последних, таким образом, будут отброшены. Здесь мы будем иметь слишком узкое обобщение. Более вероятной является опасность противоположной ошибки, когда результат обобщения охватывает не только исходные понятия аь...,ап, но и другие понятия сверх этого. Таким образом, будет иметь место чрезмерно широкое обобщение. Выше мы говорили о методе отбрасывания и методе обобщения в их чистой форме. Однако в практике исследования чаще всего имеет место комбинация обоих методов. Например, можно отбросить отдельные значения термина, резко отличающиеся от других значений, и обобщить оставшиеся. Тогда получим метод обобщения с элементами отбрасывания. Если же отбрасывается не отдельное более или менее случайное значение, а целый ряд значений и обобщаются остальные, то можно говорить о методе отбрасывания с элементами обобщения. Разумеется, может быть и такой случай, когда отбрасывание и обобщение играют примерно одинаковую роль. Комбинированный метод — метод отбрасывания с обобщением оставшегося — можно выразить следующим образом: А(Р)(а19...щ ап) ►a,,..., ak; 19
Я (я/..... а*) ►[(*/»···» «{),.... К> — > *£)]; С[(а),..., aj),..., (αϊ,..., α£)] •αχ,..., ar или в сокращенной форме СВА(Р)(аг,...9 ап) >alf..., ar. В своем докладе на симпозиуме в Тарту В. А. Штофф высказал мысль, которую можно истолковать как предложение дополнить метод отбрасывания обобщением того, что осталось в его результате. «Нам представляется, что предложение П. Саппса использовать понятие модели (в смысле А. Тарского) как возможной реализации, которой удовлетворяют все истинные утверждения теории (т. е. как некоторой нелингвистической сущности, в которой теория выполняется), является хорошей основой для объединения всех тех значений термина «модель», которые выявляют специфику этого понятия в отличие от других гносеологических категорий» 1. Очень наглядно соединение методов отбрасывания и обобщения проявляется в статье Вюстнека. Вюстнек начинает с того, что отбрасывает как раз то понимание модели как содержательной интерпретации аксиом2, которое считают основным П. Саппс и В. А. Штофф. Оставшиеся значения тщательно анализируются и подвергаются обобщению. В результате такого обобщения дается следующее определение: «Модель есть система, которая используется, выбирается или создается третьей системой в качестве представителя сложного оригинала на основе общности с ним существенных для той или иной определенной задачи свойств для того, чтобы сделать возможным или облегчить понимание или овладение оригиналом или же чтобы его заменить»3. Соединение методов означает вместе с тем и соединение опасностей, связанных с каждым из них. В данном случае может иметь место и произвольность выбора и соответственно сужение или расширение понятий. При 1 В. А. Штофф. К уточнению методологического значения и содержания понятий модели и моделирования. — «Тезисы докладов и выступлений на симпозиуме «Метод моделирования в естествознании»», стр. 7—8. 2 К. D. Wiistneck. Ζην philosophischen Verallgemeinerung und Bestimmung des Modellbergriffs. — «Deutsche Zeitschrift fur Philosophies 1963, N 12, S. 1505—1506. 3 Там же, стр. 1522—1523. 20
этом неадекватное обобщение может охватить те понятия, которые были первоначально отброшены. На наш взгляд, это имеет место в статье Вюстнека. Интерпретация системы аксиом, несомненно, является системой, которая выбирается третьей системой (людьми, чаще всего математиками и логиками) в качестве представителя сложного оригинала (система аксиом вполне может быть сложной) на основе общности существенных для данной задачи (например, определения непротиворечивости) свойств для того, чтобы облегчить понимание оригинала (понимание его непротиворечивости) или же заменить его. Таким образом, отброшенное значение термина «модель» вполне удовлетворяет итоговому определению этого понятия. Это означает, что в таком отбрасывании не было никакой необходимости. Поскольку же это было произведено, то нельзя определение считать адекватным. Оно оказывается слишком широким, поскольку охватывает и то, что не считается моделью. Аналогичная трудность возникает и у В. А. Штоффа. Он дает следующее определение модели: «Под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте» К В. А. Штофф подчеркивает, что его определение охватывает модели, понимаемые как интерпретации формализованных систем. С этим нельзя не согласиться. Но оно охватывает, на наш взгляд, и все то, что первоначально было отброшено. Разве теория не является такой мысленно представляемой системой, которая, отображая предмет исследования—реальность, способна замещать ее так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте? С точки зрения принципов теории отражения это, несомненно, так. В противном случае теория будет произвольным набором утверждений, ничего не отображающим. Математическая схема или вообще математическое описание также отображает объект, хотя и очень односторонне. Но они для того и создаются, чтобы по ним В. А. Штофф. Моделирование и философия, стр. 19. 21
можно было в какой-то мере судить об объекте. То же самое можно сказать о всех формальных или формализованных системах. Имея в виду отмеченные трудности для уточнения понятия модели, мы предпочтем метод обобщения. На базе полученного обобщенного понятия модели и выделенных в процессе обобщения признаков логического характера можно построить классификацию логических типов моделей и поставить вопрос о логических основах метода моделирования. § 2. Основные логические типы моделей Соответственно изложенному выше методу уточнения понятия «модель» мы начнем с перечисления различных понятий модели, которые имеют место у разных авторов. В основном мы будем использовать отечественную литературу последнего периода. Поэтому перечень понятий ab...,an, которые должны подвергаться анализу, неминуемо будет неполным. Однако мы будем стремиться обеспечить выполнение условий правомерности индуктивного вывода путем подбора более типичных и разнообразных примеров. Недостаток зарубежной литературы в известной мере компенсируется использованием ее обобщений, содержащихся в статьях Стаховяка, Чжао Юань-женя, Саппса и др. Признаки, входящие в содержание соответствующего понятия модели, будем обозначать символами Pk\ где k — номер понятия модели, а / — номер признака, входящего в содержание этого понятия. Символами Qkl обозначается то, чем модель не является. Пусть а\ — понятие модели, выраженное В. А. Штоф- фом в цитированной выше книге «Моделирование и философия»; а2 — понятие модели, как оно выражено в также цитированной выше монографии Б. А. Глинского и др.; аъ — результат обобщения понятий модели, приведенный в статье Стаховяка (см. выше); а4 — результат обобщения понятия модели, приведенный в статье Чжао Юань-женя (см. выше); 22
a$— дюгемианское понятие модели, разбираемое в монографии М. Хесс1 (Modeb); аб — кемпбеллианское понятие модели по монографии М. Хесс (Model2); а7 — алгебраическое понятие модели, как оно выражено в статье Л. Апостеля2; as — семантическое понятие модели по той же статье Л. Апостеля; а9 — синтаксическое понятие модели по той же статье; аю — формально-прагматическое общее понятие модели по тому же источнику; α,η — понятие модели в микрофизике, как оно выражено в статье Ж. Л. Детуша3; #12 — репрезентативные модели в физике по статье Гроневольда^4; Яіз — субститутные модели в физике по той же статье; #14 — учебные модели по тому же источнику; 015 — модели, используемые для анализа древнеиндийской логики по Шталю5; 016 — модели в математике и в эмпирических науках, какими они должны быть по Саппсу6; 017 — модели в генетике по А. Эдвардсу7; 018 — понятие модели в технике по монографии Л. С. Эйгенсона8 и В. А. Веникова9; 019 — понятие модели по статье А. А. Зиновьева и И. И. Ревзина 10; 1 М. Hesse. Models and Analogies in Science. 2 L. Apostel. Towards the Formal Study of Models in the Non-Formal Sciences. — «The Concept and the Role of the Models in Mathematics and Natural and Social Sciences». 3 /. L. Destouches. Sur la notion de modele en microphysique. — Там же. 4 Η. I. Groenewald. The Model in Physics. — Там же. 5 I. F. Staal. Formal Structures in Indian Logic. — Там же. 6 P. Suppes. A Comparison of the Meaning and Uses of Models in Mathematics and the Empirical Sciences. — Там же. 7 См. А. Эдварде. Модели в генетике. — «Моделирование в биологии». 8 См. Л. С. Эйгенсон. Моделирование. 9 См. В. А. Веников. Теория подобия и моделирование применительно к задачам электроэнергетики. 10 См. А. А. Зиновьев, И. И. Ревзин. Логическая модель как средство научного исследования. — «Вопросы философии», 1960, № 1. 23
Яго — модели в кибернетике по Г. Клаусу1; 021 — модели в науке и технике по работам В. В. Чав- чанидзе и О. Я. Гельмана2; а22 — понятие модели по У. Р. Эшби, а также у Ю. А. Гастева, Л. Б. Баженова, Б. В. Бирюкова и А. Г. Спиркина3; 023 — модели языка по И. И. Ревзину4; 024 — модели в эмпирических науках по С. К. Шаумяну5; 025 — понятие модели у Г. П. Щедровицкого и др.6; 026 — понятие модели в работах И. Б. Новика7; 027 — понятие модели, используемое в военном деле8; 028 — понятие модели по Η. М. Амосову9; 029 — понятие модели в современной алгебраической «теории моделей» 10; 1 См. Г. Клаус. Кибернетика и философия, стр. 261—310. 2 См. В. В. Чавчанидзе. Модели науки и кибернетики. — «Кибернетика, мышление, жизнь». М., 1964; В. В. Чавчанидзе, О. Я. Гельман. Моделирование в науке и технике. 3 См. У. Р. Эшби. Введение в кибернетику. М., 1959, стр. 157— 158; Ю. Гастев. Модель, г—Философская энциклопедия, т. 3. М., 1964; Л. Б. Баженов и др. О философских аспектах кибернетики. — Послесловие к кн.: Г. Клаус. Кибернетика и философия. 4 См. И. И. Ревзин. Модели языка. М., 1962. 5 См. С. К. Шаумян. Структурная лингвистика. 6 См. Г. П. Щедровицкий. О различных планах изучения моделей и моделирования. — «Тезисы докладов и выступлений на симпозиуме «Метод моделирования в естествознании»»; И. С. Алексеев. Модели и онтология. — Там же; О. И. Генисаретский. Логический смысл моделей и моделирования. — Там же; В. М. Розин. Логический анализ происхождения функций моделей, употребляемых в естественных науках. — Там же; А. С. Москаева. Об одном способе исследования употребления моделей. — Там же. 7 См. И. Б. Новик. Наглядность и модели в теории элементарных частиц. — «Философские проблемы физики элементарных частиц». М., 1963; его же. Моделирование и его роль в естествознании и технике. — «Диалектика в науках о неживой природе»; его же. О моделировании сложных систем. 8 См. А. П. Дмитриев. Моделирование и его применение в военном деле.—'«Методологические проблемы военной теории и практики», гл. XII. 9 См. Η. М. Амосов. Моделирование мышления и психики. Киев, 1965; его же. Моделирование — орудие прогноза и управления.— «Наука и жизнь», 1967, № 7. 10 См. А. И. Мальцев. Алгоритмы и рекурсивные функции. М., 1965, стр. 288; А. Робинсон. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. М., 1967; его же. Последние достижения в теории моделей. — «Математическая логика и ее применения». 24
изо — понятие Модели в геологии по работам Л. Б. Розовского *; азі — обобщенное определение модели по А. Н. Ко- чергину2; а32 — понятие научной модели в исследовании операций3; а3з — математическая модель в естествознании по статье И. А. Акчурина, М. Ф. Веденова, Ю. В. Сачкова4; а34 — математическая модель в психологии и педагогике по статье Л. Б. Ительсона5; а35 — модели биологических систем по И. Т. Фролову6; α36 — информационные модели по В. М. Глушкову7; а37 — модели в органической химии по Ю. А. Жданову 8. Перейдем к анализу перечисленных понятий, то есть к той операции расчленения, которая выше была обозначена знаком В. а,\. Начнем с тех признаков, которые включены автором в приведенное выше определение понятия модели. Pi1 — «мысленно представляемая или материально реализованная система». Поскольку третьей возможности, кроме «материальной реализованное™» или «мысленной представляемости», нет, то можно, упрощая этот признак, говорить о том, что модель должна быть си- стемой; 1 См. Л. Б. Розовский. Опыт применения теории физического подобия в инженерной геологии. — «Известия высших учебных заведений», серия «Геология и разведка», 1964, № 4; его же. Введение в теорию геологического подобия и моделирования. М., 1969. 2 См. А. Н. Кочергин. К обобщенному определению моделирования.— «Проблемы моделирования психической деятельности». Новосибирск, 1967. 3 См. Ч. У. Черчмен и др. Введение в исследование операций. М., 1968. 4 См. И. А. Акчурин и др. Методологические проблемы математического моделирования в естествознании. — «Вопросы философии», 1966, № 4. 5 См. Л. Б. Ительсон. Математическое моделирование в психологии и педагогике. — «Вопросы философии», 1965, № 3. 6 См. И. Т. Фролов. Гносеологические проблемы моделирования биологических систем. — «Вопросы философии», 1961, № 2. 7 См. В. М. Глушков. Гносеологическая природа информационного моделирования.— «Вопросы философии», 1963, № 10. 8' См. Ю. А. Жданов. Моделирование в органической химии. — «Вопросы философии», 1963, № 6. 25
/V V Λ3 — «отображает Ρ χ1 или воспроизводит /V объект исследования»; Pi4 — средство изучения прототипа. Модель способна замещать прототип так, что ее изучение дает новую информацию о нем. К этому смыслу необходимо добавить те признаки, которые хотя и не включаются в определение, но тем не менее рассматриваются как необходимые черты любой модели. Pi5 — специфический способ отображения материального мира; Pi6V/Y — создается человеком Pi6 или по крайней мере1 сознательно выбирается /V среди других объектов 2; Pi8 — гносеологически вторична по отношению к объекту, который она имитирует3; Pi9 — является абстракцией особого рода4; Pi10 — истинна или ложна5; Pi11 — наглядна6. Мы не отмечаем в качестве признаков, входящих в аи «быть средством экспериментального исследования», «быть средством интерпретации и научного объяснения», «быть орудием мысленного эксперимента», анализу которых посвящены 3, 6 и 7-я главы книги В. А. Штоффа, поскольку в них выясняется необходимость использования моделей для выполнения соответствующих функций, но не доказывается, что это необходимые черты любых моделей. Qi1 — теория7; Qi2 — гипотеза; Qi3 — идеализация; Qi4 — описание; Qi5 — формальная или формализованная система. Я2Р21 — воспроизводит объект8. Это условие совпа- 1 См. В. А. Штофф. Моделирование и философия, гл. 4. 2 См. там же, стр. 133. 3 См. там же, стр. 134. 4 См. там же, гл. 5. 5 См. там же, гл. 8. 6 См. там же, гл. 9. 7 См. там же, гл. 9, стр. 9—16 и др. 8 См. Б. А. Глинский и др. Моделирование как метод научного исследования, стр. И—14. 26
дает со вторым членом дизъюнкции P\2WР\ъ Штоффа (Ρ21 = Ρι3). Что же касается первого члена — «отображения объекта», то авторы выступают против того, чтобы включить этот признак в содержание понятия модели; Р22— используется особым образом в исследовании1. По-видимому, Р22 = Р2А\ Р23 — находится в социально обусловленном отношении соответствия (сходства) к оригиналу2. Это означает, что хотя бы одно из свойств модели сходно с соответствующим свойством оригинала3; Р24— отлична от оригинала хотя бы одним из своих свойств. Авторы рассматривают Р24 как противоречащее (диалектически) Р23. Но это на их совести. Теперь выделим те комплексы признаков, которыми не может, по мнению авторов, обладать модель. Q2l—тип конструкции (например, модель станка, автомашины) 4; Q22— «идеальный» образец, с которого копируются другие изделия того же типа5; Q23— воспроизведение, имеющее чисто практические, прикладные функции (например, перцептрон) 6; Q24 — воспроизведение с целью обучения (демонстративная модель) 7; Q25 — образ оригинала. «Мы стремились показать лишь то, что модель не является образом оригинала и что образ не может быть моделью того самого объекта, образом которого он является»8. агРг1 — система (Р31 = Я41); Рз2— модель существует лишь постольку, поскольку существует прототип; Рз3— модель сама может стать прототипом; Р34 — охватывает не все свойства прототипа (Р34= = /¥); Р35 — соответствие модели прототипу устанавливается 1 См. Б. Л. Глинский и др. Моделирование как метод научного исследования, стр. 13—17. 2 См. там же, стр. 19—20. 3 См. там же, стр. 21. 4 См. там же, стр. 10. 5 См. там же. 6 См. там же, стр. 11. 7 См. там же, стр. 12. 8 См. там же, стр. 30—31. 27
субъектом при определенных условиях, а не существует по природе -. a4/V— соотносится с прототипом разными степенями соответствия от нуля до единицы. В последнем случае вещь является моделью самой себя2. Очевидно, что /V отрицает Р24 и Р34; Р42 — более удобно работать с моделью, чем с ее прототипом 3. а5^У — совокупность положительных аналогий, то есть свойств, сходных со свойствами моделируемого объекта4; Ръ2 — имеет значение мнемонического правила5; Р£— допускает одновременное использование противоречащей модели6. а6Р61 — система7; Р62 — включает в себя как признаки, о которых известно, что они сходны с признаками оригинала (положительные аналогии), так и признаки, относительно которых это неизвестно (нейтральные аналогии); Рб3 — средство, с помощью -которого осуществляется эмпирическая интерпретация теоретических терминов8; Ре4 — обеспечивает для теории возможность предсказания9. α7Ρ7λ — система или структура, так же как и прототип 10; Р72 — находится к прототипу в отношении изоморфизма или в одном из отмеченных шести типов приближений к этому отношению 10. tMV—элемент области, на которой интерпретируется (хотя бы приблизительно) язык10; 1 Н. Stachowiak. Gedanken zu einer allgemeinen Theorie der Mo- delle. — «Studium Generate», 1965, H. 7. 2 См. Чжао Юань-жень. Модели в лингвистике и модели вообще. — «Математическая логика и ее применения», стр. 287. 3 См. там же, стр. 291. 4 М. Hesse. Models and Analogies in Science, p. 28. 5 См. там же, стр. 39. 6 См. там же. 7 См. там же, стр. 21. 8 См. там же, стр. 33. 9 См. там же, стр. 21. 10 L. Apostel. Towards the Formal*Study of Models in the Non-Formal Sciences. — «The Concept and the Role of the Models in Mathematics and Natural and Social Sciences», p. 23—27. 28
Ps2 — отношение к прототипу антирефлексивно; Р83 — отношение к прототипу антисимметрично; Р84 — отношение к прототипу транзитивно; Qs1—то, что находится в отношении изоморфизма к прототипу1. clqPq1 — язык, так же как прототип2; Рд2 — полная или частичная формализация2. d\oP\ol — система3; Рю2 — используется с целью получения информации о прототипе 4; Qio1 — система, прямо или косвенно взаимодействующая с прототипом4. ЛцРц1 — механическая система, подчиняющаяся законам классической механики5; Р\\2 — конкретный образ микрофизической системы 5; Рп3 — ее структура находится в отношении гомоморфизма к математической структурной теории5; Qn1 — то, что составляет теорию. йпРп1 — используется для демонстрации или экспериментального исследования6; Pi22— уравнения движения формально подобны уравнениям движения прототипа6; Рпъ — большая легкость или дешевизна варьирования параметров, чем в прототипе6. ЯізАз1 — упрощение прототипа7; Різ2 — промежуточная стадия между явлением и более фундаментальной теорией7. о>цРих — отвлекается от одних черт реальности, чтобы сосредоточить внимание на других8; Рі42 — дает возможность варьировать различные аспекты теории8. 1 L. Apostel. Towards the Formal Study of Models in the -Non- Formal Sciences. — «The Concept and the Role of the Models in Mathematics and Natural and Social Sciences», p. 24—28. 2 Там же, стр. 28—36. 3 Там же, стр. 36. 4 Там же. 6 /. L. Destouches. Sur la notion de modele en microphysique, p. 56. 6 #. /. Groenewold. The Model in Physics, p. 98—99. 7 Там же, стр. 99—100. 8 Там же, стр, 100—101. 29
flis^is1 —лингвистическое выражение l; Р\ъ2 — его смысл является прототипом *. й\бР\б1 —теоретико-множественный объект определенного логического типа2; Р\62 — удовлетворяет всем положениям, законным (valid) в теории Т3. d\iPnx— активна, то есть помогает рассуждениям и способствует пониманию проблемы4; Рп2— указывает направление поисков5; Qi7! — описание. flis^is1 — физическое явление6; Pis2 — находится в отношении подобия к своему прототипу6; Pis3 — дает возможность распространить результаты, полученные при исследовании модели на прототип 6. я^эЛэ1 — сложный объект7; Ρΐ92 — описывается некоторым множеством суждений, из конъюнкции которых с множеством суждений, сопоставляющих модель и прототип, выводится знание о прототипе 7; Ρΐ93 — наглядно в том смысле, что она воспринимается как особый объект7; Qig1—отражение прототипа в сознании в форме чувственных образов, понятий и суждений7; Qi92 — наглядный аналог прототипа в философском смысле слова7; Qi93 — теория прототипа7. ЯгоЛю1 — система8; Р%о2 — абстрактное8; Р2о3 — проще прототипа8; ^2о4 — нагляднее прототипа8; Р2<о5 — аналогична прототипу8; 1 Н. StaaL Formal Structures in Indian Logic. — «The Concept and the Role of the Models in Mathematics and Natural and Social Science», p. 255. 2 P. Suppes. A Comparison of the Meaning and Uses of Models in Mathematics and the Empirical Sciences. — Там же, стр. 166. 3 Там же, стр. 163. 4 См. А. Эдварде. Модели в генетике. — «Моделирование в биологии», стр. 31. 5 См. там же, стр. 33. 6 См. Л. С. Эйгенсон. Моделирование, стр. 70. 7 См. А. А. Зиновьев, И. И. Ревзин. Логическая модель как средство научного исследования. — «Вопросы философии», 1960, № 1. 8 См. Г. Клаус. Кибернетика и философия, стр. 262. 30
Ого1— конкретная интерпретация системы (модель β математическом и логическом смысле). 021^21* — система мыслей 1; Р2\2 — единство модели как системы обусловлено взаимосвязью свойств и отношений в прототипе; Ρ2ι3 — теория прототипа; Ρ2ι4 — максимально полное математическое описание прототипа2. Ягг^гг1 — система3; Р222— имеет гомоморфный образ, изоморфный некоторому гомоморфному образу прототипа. Ягз^гз1 — гипотетическое научное построение; Ргз2 — ее интерпретация дает прототип4; Ргз3 — имеет дискретный характер5; Ргз4 — аппроксимация данных конкретной действительности 6. 02 А41 — теория7; Р242 — имеет наглядное содержание в виде образов, служащих аналогии ненаблюдаемых объектов; Р243 — орудие познания, имеющее психологическое и эвристическое значение; Q241—орудие познания, имеющее логическое значение. Я25Л251—знаковая конструкция8; £*252 — операционализирует мышление8; Р253 — конструкция структуры модели демонстрирует структуру прототипа8; ^254 — способна воплощать в единой конструкции разрозненные, эмпирически невыявленные содержания8. йгб^гб1 — вещественный агрегат или знаковая система 9; 1 См. В. В. Чавчанидзе. Модели науки и кибернетика. — «Кибернетика, мышление, жизнь», стр. 382. 2 См. там же, стр. 388. 3 См. У. Р. Эшби. Введение в кибернетику, стр. 157—158. 4 См. И. И. Ревзин. Модели языка, стр. 9. 5 См. там же, стр. 10. 6 См. там же. 7 См. К. С Шаумян. Структурная лингвистика, стр. 77. 8 См. О. И. Генисаретский. Логический смысл моделей и моделирования. — «Тезисы докладов и выступлений на симпозиуме «Метод моделирования в естествознании»», стр. 44. 9 См. И. Б. Новик. О моделировании сложных систем, стр. 42. 31
P26* — находится в некотором объективном соответствии с прототипом *; Р2бг — способна замещать прототип на определенных этапах познания, давая в процессе исследования допускающую опытную проверку информации, переводимую по установленным правилам в информацию о прототипе К #27^27* — непосредственно исследуемое явление2; ^272 — средство получения знаний о прототипе2; Р273 — имеет сходство в определенных отношениях с прототипом2; Лет4 — отношение к прототипу устанавливается через моделирующую систему2. «28^281VP282VP283 —система, структура или программа деятельности3; Яге4 — отражающая в той или иной степени другую систему, структуру или программу3. (I29P291 — непустое множество4; /W — интерпретирует прототип путем фиксирования значений его предметных, предикатных и функциональных символов4. Язо^зо1 — имеется приближенное подобие прототипу5; ^Рзо2 — допускается трансформация свойств модели на прототип5. Язі^зі1 — находится в отношении аналогии к прототипу 6; Рзі2 — способность замещать прототип, дающая возможность получить о нем новое знание6; Qz\l — идеальный образ6; <3зі2 — теория6; Q3i3 — описание6; Q3i4 — тождественное воспроизведение прототипа6. 1 См. Я. Б. Новик. О моделировании сложных систем, стр. 42. 2 См. «Методологические проблемы военной теории и практики», стр. 221—222. 3 См. Я. М. Амосов. Моделирование мышления и психики, стр. 240. 4 См. А. И. Мальцев. Алгоритмы и рекурсивные функции, стр. 288. 5 См. Л. Б. Розовский. Введение в теорию геологического подобия и моделирования. 6 См. А. Н. Кочергин. К обобщенному определению моделирования. — «Проблемы моделирования психической деятельности», стр. 10—15. 32
а>г2Ръ2{ — отображение прототипа *; Рг22 — объясняет прототип ]; /)323VP324 — используется в целях управления и предсказания К Язз^зз1 — вариант создания математических теорий2; Рзз2 — неоднозначность определения элементарных объектов2. Я3А41— имеет формальный характер, то есть образуется из некоторого набора знаков3; Рг*2— знаки образуют систему; Р343 — сочетания и преобразования знаков интерпретируются как отношения и преобразования величин; Р344 — абстрактные величины и их отношения, фигурирующие в модели, допускают реальную интерпретацию; они могут быть соотнесены по определенным правилам с высказываниями некоторой содержательной теории о свойствах и связях изучаемых ею объектов и явлений. йгьРзь1 — имитирует реально существующую систему4; Р352 — служит исследовательским целям, имея эвристический характер4; Рз53 — средство, с помощью которого создается теория4; РзьА — упрощение прототипа4; ^Рз55 — условно адекватна прототипу; Рз56 — квазиобъяснение прототипа4; Яз57 — система особого рода5; Q351 — теория5. Язб^зб1 — описание строения и закономерностей поведения прототипа6; Рзб2 — совокупность научных гипотез6; Рге3 — позволяет предсказывать новые факторы6; (Эзб1 — копирование прототипа6. 1 См. Ч. У. Черчмен и др. Введение в исследование операций, стр. 134. 2 См. И. А. Акчурин и др. Методологические проблемы математического моделирования в естествознании. — «Вопросы философии», 1966, № 4. 3 См. Л, Б. Ительсон. Математическое моделирование в психологии и педагогике. — «Вопросы философии», 1965, № 3, стр. 58—59. 4 См. Я. Т. Фролов. Гносеологические проблемы моделирования биологических систем. — «Вопросы философии», 1961, №2, стр. 39—42. 5 См. там же, стр. 44. 6 См. В. М. Глушков. Гносеологическая природа информационного моделирования. — «Вопросы философии», 1963, № 10, стр. 13—16. 2 А. И. Уемов 33
&ъ7Ръ1Х — реальный объект *; Р372— средство познания *; Р373 — идеализация К Приведенный выше анализ различных понятий модели дает возможность приступить к построению сводной таблицы. Предварительно необходимо сделать ряд уточнений и разъяснений. Словесные формулировки тех или иных признаков, входящих в содержание соответствующих понятий, могут быть различными. Мы будем принимать во внимание лишь логическую природу признака и отождествлять признаки, тождественные по их логической сущности независимо от словесной формулировки. Например, будут тождественны Р21 и Pi3, Р22 и Pi4, Р31 и Pi1, Рз5иР23, Р34иР24ит. д. Признаки, тождественные другим, ранее отмеченным, отмечаться не будут. Таким образом, в этой таблице не будут приведены Рз1, Рг4, Р$1, Лз1, /V и т. д. За счет этого сокращается число колонок сводной таблицы. В том случае, когда один из признаков Pih имеет более общий или более частный характер, чем тот, который был ранее приведен в списке как Р^, ему будут соответствовать две колонки. Если Pik — частный случай РД то в ячейке, находящейся в ряду с номером і и колонке, соответствующей Pf знак + ставится тонким шрифтом, и второй знак + жирным шрифтом ставится в колонке, соответствующей Pih. Если же, наоборот, Pih представляет собой обобщение Р^, то в ячейке на і-том ряду и в колонке, соответствующей Р{% ничего не ставится. Зато знак + жирным шрифтом ставится в колонке, соответствующей РД и затем тонким шрифтом в ряду с номером / в колонке, соответствующей РД Знак — ставится в том случае, если в содержание понятия включается отрицание данного конкретного признака, то есть предполагается, что ни один объект, обладающий данным признаком, не входит в объем понятия. Вообще говоря, не всегда известно, делится ли объем понятия по данному признаку на два непустых подкласса фактически. Такое деление считается возможным, но не исключается и тот случай, когда фактически все вещи, входящие в объем понятия, обладают данным признаком. Сведения о том, что среди предметов, входящих 1 См. Ю. А. Жданов. Моделирование в органической химии. — «Вопросы философии», 1963, № 6, стр. 64. 34
I ai as 1 аз | a4 | as | ae | a7 1 as 1 аэ a ίο 1 an J ai2 аіз I а и ais Гаїв ai7 1 аш 1 аш 1 аго 1 a 2i 1 a 22 Ι α 23 І a 24 1 a 25 1 a 26 1 a 27 1 a 28 1 a 29 1 а зо 1 азі 1 a 32 1 a 33 1 a 34 1 a ae 1 азе 1 a 37 p; + + + + + + + • + + p; • — + — - + + p; • + — р/р: + + — P4 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + PB 1 + — — — — P6 1 • • + + + + + + • + — • + + • + + + • + • • + + + + P7 1 • • — — — — — • — + • - - • - — - • — • • — — — — р/р; + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Pa 1 + • P9 1 + + 1 + P" 1 + • — + — - + • o; + - + + — — - q; + + q; + — + °: — q; + — + ~ + + pJ, + + к + + • • — q: — I o; — Q ^2 — qJ • - • p;l + p; + p; + + + + + + p; + p-1 + p; + p; + • p; + + + p: + — p; + p; + + - — + p: + к + к + Ρ' 10 — Ρ1 11 + Ρ3 11 + Ρ' 12 - + — + - — Ρ2 12 + + Ρ' 13 + + • + Ρ2 13 + + Ρ2 16 + + + Ρ1 16 + — + + Ρ2 16 + — — ρ] —- + — Ρ5] 17 [+ — ρ2! 18 \ + ΐ+ 19 • • • + FT 19 + • • Γ" 19 + + + + + + Ρ2 21 + — .. .?Ί + F] 22І + ρ3 24 + ο7 24 — Ρ2 2β + 26І + ρ] 26 + 27 + 27 + L F1 28 • FI 28 • • F1 18 + ΡνΡ2νΡ3 28 28 28 + 1 ρ' 29 + Ρ2 29 + — ~ — + Ρ3 32 • ρ] 32 • + pXF "32 32І + F1 33 + 33 + Π 34 + ρ*] 34І | + Зак. 2236
в объем анализируемого понятия, есть такие, которые обладают данным признаком, и есть такие, которые не обладают им, представляют собой сведения дополнительного характера. В нашем случае многие авторы специально отмечают существование тех или иных собственных подклассов моделей, обладающих или не обладающих тем или иным признаком. Например, И. С. Алексеев подчеркивает, что есть такие модели, которые первичны по отношению к прототипу, поскольку последний получается путем онтологизации первых, не отрицая, что есть модели вторичного характера1. Сведения такого рода можно включить в сводную таблицу. Для факультативных признаков будем использовать, два типа обозначений. Если известно (от автора), что одна часть объектов обладает, а другая не обладает данным признаком, то в соответствующей ячейке будет помещена жирная точка. В противном случае, т. е. если факультативность признака определена для данного понятия нами, будет использована тощая точка. Разумеется, тот или иной автор может иметь более конкретную точку зрения по данному вопросу, однако, поскольку она осталась невыраженной, мы имеем право полагаться на свое исследование. Дополнительных ссылок на работы для обоснования того или иного знака факультативности признака приводить не будем во избежание чрезмерной громоздкости изложения. Сделаем еще замечание о комбинациях признаков. Если тот или иной автор полагает, что модель должна обладать признаком, представляющим собой конъюнктивную комбинацию более простых признаков, то мы будем стремиться к тому, чтобы отмечать более простые признаки по отдельности, не отмечая в таком случае их комбинацию в качестве особого признака. Иначе будет обстоять дело в том случае, когда тот или иной автор включает в содержание понятия модели один из двух или трех признаков. В таком случае вся дизъюнктивная комбинация будет отмечена в качестве отдельного признака наряду с ее компонентами, поскольку разные авторы могут признать или отвергать разные компоненты дизъюнктивной комбинации и^я же ее в целом. 1 См. И. С. Алексеев. Модели и лтология. — «Тезисы докладов и выступлений на симпозиуме «Мет*-4*; моделирования в естествознании»», стр. 25—26. 2* 35
Если автор признает лишь комбинацию в целом, то в ячейках, соответствующих ее компонентам, будут зафиксированы знаки факультативности: точки или пустые места. Более сложным является вопрос о взаимозависимости между комбинациями отдельных признаков. Может случиться так, что тот или иной набор признаков является логическим следствием других наборов. На доказательстве существования такой логической связи основан метод редукции как один из способов унификации понятия модели, примененный в статье Саппса и в других работах, о которых говорилось выше. Но чтобы поставить знак +, — или тощую точку, мы для заполнения строк нашей матрицы должны проделать исследовательскую работу во всяком случае не меньшую, чем та, которую провел Саппс для установления того, что признак, указанный в определении модели по А. Тарско- му, предполагается признаками, содержащимися в других определениях. Поэтому мы ограничимся установлением лишь некоторых связей. Для того чтобы отличить информацию о признаках моделей, данных авторами приведенных выше определений, от информации, полученной нами путем установления связи между признаками, будем использовать два типа шрифтов. Жирный знак +, жирный знак — и жирная точка · будут обозначать основную информацию, полученную от авторов. Тощие +, — и · будут обозначать сведения производного характера. Пустая клетка (нулевой знак) будет обозначать отсутствие сведений. Первый взгляд на построенную сводную матрицу1 может дать основание для пессимизма. Ни одного признака, общего для всех понятий модели, не прослеживается. Существенные трудности связаны также с образованием общих для всех понятий дизъюнктивных комбинаций признаков, поскольку такие комбинации получились бы слишком длинными. Трудности усугубляются тем, что многие признаки в нашем списке сами имеют недостаточно определенный характер. Так, первый признак — «быть системой» относит нас к понятию «система». Но здесь мы встречаемся с ignotum per ignotius, поскольку понятие «система» ничуть не более ясно, чем понятие «модель». Разные ав- 1 См. таблицу на стр. 34. 36
торы могут понимать понятие «система» в разных смыслах, и поэтому общность утверждений о том, что модель— это система, еще не дает гарантии в том, что в содержание понятий действительно включается общий признак. Однако эти трудности могут быть в значительной мере преодолены и общее понятие модели сформулировано, если учесть, что общность ряда признаков может быть установлена с помощью дедукции из зафиксированных признаков и из тех, которые обычно предполагались слишком банальными для того, чтобы их фиксировать. Так, только в статье А. А. Зиновьева и И. И. Ревзина отмечается, что модель — это какая-то вещь1, но никто не пишет, что эта вещь используется для какой-то цели. Первый признак обозначается символом Ρι93, а второй обозначим символом 5Ь Отсутствие этих признаков в том раскрытии содержания понятия «модель», которое предпринималось различными авторами, и, следовательно, их отсутствие в нашей сводной таблице не означает, что они на самом деле не мыслятся в этих понятиях. Напротив, нетрудно показать, что они предполагаются теми признаками, которые включаются в содержание понятий. Так, все они в качестве genus proximum для модели указывают какую-то «вещь», будь то лингвистическое выражение, теоретико-множественный объект или физическое явление. Термин «вещь» здесь используется как синонимичный термину «предмет» и понимается в достаточно широком смысле в качестве одного из членов триады: «вещь» — «свойство» —«отношение»2. Все авторы указывают на то или иное целевое назначение модели, то есть утверждают признак Si. Но вещь удовлетворяет тому или иному целевому назначению в том случае., если обладает свойствами, находящимися в определенном отношении к этой цели. Таким образом, здесь прежде всего задается это отношение (обозначим его l/?), затем формулируются некоторые свойства, удовлетворяющие этому отношению,— Р, после чего находится или конструируется объект, обладающий этими свойствами,— т, который и является моделью. 1 См. А. А. Зиновьев, И. Я. Ревзин. Логическая модель как средство научного исследования. — «Вопросы философии», 1960, № 1. 2 См. А. И. Уемов. Вещи, свойства и отношения; А. А. Зиновьев. Основы логической теории научных знаний. М.э 1967, стр. 14. 37
Другой способ описания построения модели как вещи, удовлетворяющей определенному назначению, заключается в том, что это назначение выступает в виде требования того, чтобы отношение (R) в вещи (т) удовлетворяло определенному свойству (Р). Если в первом случае развитие мысли идет по схеме \R-*P-+m, то во втором — по схеме P->-R-+m. В обоих случаях на основе двух двойственных друг другу определений этого понятия 1 мы приходим к выводу о том, что модели рассматриваются не иначе как системы. Поскольку во всех случаях мы исходим из одного и того же определения системы, можно утверждать, что признак /у является общим признаком для всех анализируемых понятий. Соотношение между рассмотренными признаками можно записать в следующем виде: Yx[(x)PSi9&(x)S1^(x)P\]. Замечание может быть сделано и в связи с α28· По мнению Η. М. Амосова, модель может быть не только системой, но также структурой или программой. Очевидно, что понятие системы здесь понимается в более узком смысле. В нашем понимании и структуру и программу можно рассматривать как системы. Рассмотрим следующие признаки, отмеченные в сводной таблице. Р\2 не может быть включен в содержание обобщающего понятия, поскольку а2 и αχ$ отрицают этот признак. Что касается Pi3, то в ах этот признак является факультативным, он заведомо не относится ко всем моделям, поскольку признается существование таких моделей, которые только отражают прототип. Трудно также говорить о том, что модель в смысле α,ιβ воспроизводит свой прототип — теорию. Теоретико-множественный объект и не отражает теории. Поэтому PX2V Рх3 также не является всеобщим. Однако если /YVPi3 понимать в более широком смысле, как то, что модель является некоторым аналогом прототипа, то тогда мы перейдем к Р205, о котором будет речь ниже. Р\4 имеет quasi всеобщий характер, так же как и Рхх. 1 См. А. И, Уемов. К вопросу об определении понятия системы. — «Теоретические проблемы коммунистического строительства в СССР». Одесса, 1967; его же. Системы и системные исследования.— «Проблемы методологии системного исследования». М., 1970. 38
Этот признак в качестве входящего в содержание понятия «модель» отмечается в десяти рядах нашей матрицы. Покажем, что он предполагается также и в других понятиях. Здесь мы распространим на новые случаи то, что было сделано в ранее опубликованной работе1. В ряду, соответствующем а3, признак Р\А не отмечен. Но там не отмечена и какая-либо альтернатива этому признаку. Стаховяк не нашел признака, общего различным понятиям модели, который бы имел функциональный характер. Но он не может утверждать, что такой признак вообще отсутствует. Мы имеем полное право восполнить указанный пробел. Чжао Юань-жень отмечает, jito с моделью работать более удобно, чем с прототипом (/V). Это означает, что модель замещает прототип. Но очевидно, что модель представляет интерес не сама по себе. Результат работы над нею должен быть перенесен на прототип. Это означает реализацию Pi4. Содержание аь как будто бы исключает Pi4. Однако это не так. Последователи Дюгема недооценивали роль моделей в познании. Эта недооценка проявляется в том, что модели приписывается лишь роль мнемонического правила. Однако, поскольку хотя бы такая роль признается, ео ipso признается, что модель выступает заместителем прототипа, по которому можно судить о прототипе, то есть переносить на него информацию, хотя бы и не являющуюся, по мнению дюгемистов, новой. Перейдем к следующей строчке. Осуществляя эмпирическую интерпретацию теоретических терминов, модель дает возможность делать предсказания. Но это означает, что информация переносится с модели на прототип. Можно утверждать, что конъюнкция (х) Р63& (х) РеА имплицирует (л:) Pi4. Что касается αγ, то очевидно, что установление отношения изоморфизма или одного из приближений к нему необходимо для того, чтобы по модели можно было судить о прототипе, то есть здесь предполагается Pi4. Интерпретация языка на некоторой области (а8) необходима для того, чтобы решить те или иные проблемы, относящиеся к языку на базе исследования модели. И здесь предполагается Pi4. 1 См. А. И. Уемов. Аналогия и модель. — «Вопросы философии», 1962, №> з.
То же можйо сказать об исследовании одного языка с помощью другого (а9). Эти положения подтверждаются тем, что в а\о, которое является функциональным обобщением а7—я<ь признак Р\4 фиксируется explicite. ап и ct\2 могут быть сведены к #5 или 06, применительно к которым уже показано имплицитное использование Pi4. Упрощение, о котором говорится в α,χζ и Ян, имеет то же назначение, о котором говорилось выше в связи с а,\. Упрощенная модель необходима для того, чтобы получить информацию о более сложном прототипе. Очевидно, что в αΐ5 анализ лингвистических выражений используется для постижения их смысла, то есть для того, чтобы по модели судить о прототипе. Нахождение теоретико-множественных объектов, удовлетворяющих теории, служит для исследования этой теории (αι6). Опять-таки вывод о прототипе делается на основании того, каковы модели. Специфика такого понятия модели (по сути дела оно совпадает с а%) в том, что одному прототипу соответствует множество моделей. Р\71 и Р\72 представляют собой по сути дела ослабленное Pi4. Модель может указывать направление поисков именно потому, что с нее на прототип переносится информация, хотя бы и крайне ненадежная. Анализ контекста, в котором определялись признаки а20, легко позволяет установить, что среди них подразумевался Pi4 как само собой разумеющийся, относительно которого нет необходимости специально говорить. Р215 имеет значение лишь постольку, поскольку по математическому описанию можно судить о действительности, то есть о прототипе. Таким образом, в а2\ признак Pi4 входит implicite. Аргументация в пользу включения Pi4 в содержание а22 такова же, как и в случае а7. Что касается а23, то на него mutatis mutandis распространяется та аргументация, которая приводилась выше в связи с α4, αι3, αϊ4. α25 такого же типа, как а9. Признак Р253 предполагает перенос информации на прототип, то есть (х)Р253->· Контекст, в котором определено а28, позволяет сказать, что Р284 служит для того, чтобы обеспечить Pi4. 40
Сказанное об aJ6 распространяется на а2д> которое можно рассматривать как обобщение аіб. Трудно возразить против того, что управление прототипом и предсказание может иметь место лишь при условии получения информации о прототипе. Поэтому модель, которая позволяет осуществлять управление прототипом и предсказание о нем, должна прежде всего обеспечить получение информации об этом прототипе. Отсюда (x)Pz23V(x)Pz2*-*(x)Pi4· Приходится признать известную трудность в связи с а3з. Неясно, будет ли вариант создания математических теорий при отсутствии однозначности определения элементарных объектов выполнять функции теории в том смысле, чтобы быть отражением ее предмета. В случае положительного ответа на этот вопрос в содержании а3з предполагается Pi4. В противном случае модель будет выступать в виде «лесов», применяемых при создании теории, но которые не имеют самостоятельного значения и впоследствии убираются. Такие «леса» вообще могут ничего не отражать. Но примеры, приведенные авторами, свидетельствуют скорее всего в пользу первого варианта. К случаям (аи) и (а3б) применимо то, что выше уже было сказано о знаковых системах, являющихся особым способом изучения тех объектов, которые они обозначают. Таким образом, Р\А может быть включен в содержание нашего обобщенного понятия модели. Pi5, очевидно, не проходит, поскольку в ряде случаев, как, например, в a8, a16, а18, а2э, под моделями понимаются сами элементы материального мира, а не их хранение в сознании. В качестве отражения в сознании здесь выступает прототип. Pi6 и Р\7 не проходят, поскольку в колонках, им соответствующих, имеются производные знаки, противоречащие друг другу. Во многих случаях допускаются как такие модели, которые созданы человеком, так и такие, которые найдены в природе. Что касается признака P\6V Р27, то можно установить, что он имеет место всюду хотя бы потому, что в сфере науки (в отличие от религии и обыденного мышления) не мыслится третьей возможности. Поэтому этот признак является не только всеобщим, но и избыточным. 41
Pi8 не проходит, поскольку в некоторых случаях (а2б) модель понимается как гносеологически первичное по отношению к прототипу. Модель не всегда понимается как абстракция (а8), (#іб), (#2э) в узком смысле этого слова. Если же выражение «особого рода» понимать в самом широком смысле, тогда абстрактными являются все объекты науки и Pi9 становится тривиальным. Pi10 противоречит Р\7 и Pi1, поскольку истинность — ложность является свойством мыслей, а материальный объект не может быть ни истинным, ни ложным. В. А. Штофф признает, что определение истинности (и соответственно ложности) модели не должно отличаться от традиционного для материалистической гносеологии. Он полагает, что следует этому определению, когда пишет: «Если истинность вообще есть соответствие наших знаний объективной действительности, то истинность модели означает соответствие модели объекту, а ложность модели — отсутствие такого соответствия» 1. Но в гносеологии речь идет не только о соответствии, но и о знаниях. Если мы ограничимся только соответствием, то можно будет говорить об истинности ботинок, соответствующих ноге, и о ложности тех, которые не соответствуют. Здесь есть отличие от гносеологического понятия истины, и весьма существенное. Фактически В. А. Штофф, отмечая, что его определение имеет особое значение для класса мысленных моделей2, в применении понятия истинности ограничивается именно такими моделями, несмотря на то что в начале книги говорится прежде всего о материальных моделях3, хотя, разумеется, и предполагается, что эти модели являются средством познания. Во многих случаях модель не является наглядной (яэ)> (яіб), (#19). Поэтому Pi11 также не включается в содержание нашего понятия. Отрицательные признаки Q\l—Qi5 не проходят, поскольку для каждого из них найдется понятие, в содержание которых они включаются даже в- качестве основных. 1 В. А. Штофф. Моделирование и философия, стр. 229. 2 См. там же, стр. 235. 3 См. там же, стр. 23. 42
/V рассмотрим ниже вместе с группой других признаков, характеризующих отношение между моделью и прототипом. Рг4, несмотря на кажущуюся очевидность, не проходит, поскольку не рассматривается в качестве всеобщего в (#4) и (as). Об отрицательных признаках Q21 и Q24 речь будет идти ниже. Признак Q25 является положительным в αϊ и поэтому исключается из рассмотрения. Рз2 проходит через все понятия. Некоторая неясность имеет место в απ и Язз- Во всяком случае здесь нет достаточно четкого определения прототипа. Но если вспомогательное средство при построении модели понимать как хотя бы плохонькую, но теорию, теориту, по выражению Брайтвейта, то такой теорите можно сопоставить прототип — ту часть явлений действительности, которую она отражает. Р33 проходит не везде. Так, например, в случае #8, #11, #іб, #24, #29 модель сама не может выступать в качестве прототипа. Р42 проходит всюду при достаточно широком понимании термина «удобство» — в смысле наличия какого-то преимущества. Признаки Рб2, Рб3, Рб2, Рб3, очевидно, связаны со спецификой содержаний соответствующих понятий. Р72 будет рассмотрен ниже вместе с Р23. Что касается Р82 и Р83, то они не всеобщи. Р82 отсутствует в тех вырожденных случаях, когда модель и прототип совпадают, возможность чего предполагается в а4 и а5. #22, #is, #зо предполагают симметричность отношения между моделью и прототипом. Здесь прототип в случае необходимости может быть использован для исследования своей модели. Более сложен вопрос с Р84. Всегда ли модель модели является моделью прототипа второй модели? Прежде всего следует отметить, что не всегда понятие модели модели будет иметь смысл. Так, например, он будет отсутствовать в #29. Неясно, допускается ли в а3з возможность создания теориты о теорите. Понятие модели о модели будет осмыслено в том случае, если в содержание понятия модели входит Рз3. В этом случае, поскольку во все понятия входит Pi4, можно говорить о транзитивности отношения модели к прототипу в том случае, 43
если модель относится к классу, который мы назовем классом свободных моделей. Под свободной — в противоположность фиксированной — будем понимать такую модель, которая дает возможность переносить на прототип любую информацию, полученную с помощью модели. Фиксированная же модель дает возможность переносить на прототип лишь информацию строго фиксированного типа. В том случае, если модель является фиксированной, может случиться так, что со второй модели на прототип будет переноситься не та информация, которую разрешается переносить с первой модели. Такая ситуация хорошо иллюстрируется с помощью введенного Л. Виттенштейном понятия «семейное сходство», которому придается большое значение его последователями. Если два объекта каждый в отдельности обладают общими чертами с третьим, то в том случае, если эти общие черты разные, у них может не оказаться общих черт. Пусть Джон похож на Питера формой уха, а Питер на Тома — формой носа. При этом Джон может оказаться совсем непохожим на Тома. Но если модели (по крайней мере одна из них) относятся к классу свободных, то перенос информации от первой модели к прототипу второй оказывается правомерным. Обозначим свойство «свободное™» символом L\. Тогда можно сформулировать утверждение V* [(х) РІ & (х) P\&{x)Lx-* (χ) Pi]. В этом смысле Р84 является универсальным признаком. Назовем его в таком случае ослабленной транзитивностью и будем обозначать (/V). /У, очевидно, не всеобщ. Qio1 в качестве обязательного для всех моделей включать не имеет смысла, так как прямое или косвенное взаимодействие обычно не мешает функционированию системы в качестве модели. Ριι1 специфичен для физики. Рц3 не имеет смысла в тех случаях, когда прототипом не является теория. То же можно сказать о Ρι22. Р\21 не всеобщ, поскольку ряд понятий предполагает использование модели не для демонстрации и не для эмпирического исследования, а для исследования, имеющего теоретический характер [например, (а9), (аі5)9 (а2г), (Ml· 44
Різ1, несмотря на кажущуюся очевидность, в действительности также не является всеобщим. Л. Б. Розовский подчеркивает, что в отличие от лабораторных и логических моделей натурная модель не «беднее» моделируемого объекта, а «богаче» его. Різ2, очевидно, не всеобще. То же можно сказать о Р^2. П. Саппс настаивает на всеобщности Р^1 и Ріб2, стремясь, как отмечалось выше, распространить определение А. Тарского на другие понятия модели. Можно согласиться с тем, что все понимания модели — не только те, о которых пишет Саппс, но и все отмеченные в нашей таблице в качестве модели — предполагают теоретико- множественный объект определенного логического типа, то есть Ріб1. Это следует уже из того, что, как было показано выше, модель при всем разнообразии трактовок всегда понимается как система. Система же образуется некоторым множеством объектов. Таким образом, можно записать γχ[(χ)Ρ\^(χ)Ρ\6]. Это означает, что понятие модели в смысле А. Тарского действительно может быть использовано в процессе анализа моделей при других пониманиях этого термина. Однако оно — этого не хочет сказать и Саппс — не исчерпывает другие понимания. Это связано с тем, что Ріб2 применимо лишь там, где можно без натяжки говорить о теории как прототипе. Во многих случаях это условие отсутствует. Поэтому Ріб2 не может быть признан всеобщим. Ріу1 и Рі72 можно рассматривать как некоторую конкретизацию Pi4, его частные случаи. В качестве таковых эти признаки не являются всеобщими, поскольку модель может быть использована для изучения прототипа и иным способом, то есть вне проблемы и поиска, то есть не только в плане эвристики (а2д) и т. д. Что же касается выражения «помогать рассуждениям», то взятое само по себе оно может обозначать Pi4. Pis1 не всеобще и Р82 тоже. Понятие подобия во всяком случае в таком виде, как оно определено в известной теории подобия, применимо далеко не во всех случаях, отмеченных в нашей таблице. Pig1 термин «сложность» может пониматься в разных смыслах. Однако в любых случаях нет резкой грани 45
между «сложным» и «простым» объектом. «Сложность»— свойство линейное !, в то же время свойство «быть моделью»— точечное. Во многих случаях, например, при (#δ), (#ΐδ), (#29), модель не перестанет быть моделью, если будет состоять, скажем, из одного объекта. При раскрытии содержания аъ эта возможность специально отмечается. Pig2 относится, не к модели, а к ее логическому описанию, которое во многих случаях может отсутствовать, как, например, при α25· Суждения, сопоставляющие модель и прототип, чаще всего вообще не формулируются. Необходимость в них возникает чаще всего лишь тогда, когда ставится вопрос о правомерности использования модели. Pig3 — наглядность в таком смысле свойственна всему, ибо все можно рассматривать как особый предмет2. Поэтому Pig3 является избыточным. Однако включение его в рассмотрение является полезным, поскольку, как было показано выше, оно дает возможность сделать вывод о том, что всякая модель рассматривается как система. Р2\2 не выполняется в том случае, когда модель предшествует прототипу, который формулируется, например, лишь в процессе онтологизации модели (α2δ) 3. Ρ2ι4 — математическое описание в модели не перестанет функционировать в качестве модели, если оно и не будет полным. В качестве моделей могут рассматриваться и не специально математические описания. Р222 имеет избыточный характер. У многих произвольно взятых объектов можно найти гомоморфные образы, изоморфные друг другу. Например, можно рассматривать тривиальный гомоморфизм каждой системы на множество, состоящее из одного элемента4. Р243 — частный случай Pi4. Почти совпадает с Рп1 и по таким же основаниям не может рассматриваться в качестве всеобщего признака. 1 См. ниже о классификации свойств. 2 См. А. А. Зиновьев. Основы логической теории научных знаний, стр. 14. 3 См. И. С. Алексеев. Модели и онтология. — «Тезисы докладов и выступлений на симпозиуме «Метод моделирования в естествознании»», стр. 24—26. 4 См. Ю. Гастев. Модель. — Философская энциклопедия, т. 3. 4$
Q241 — отрицание модели как орудия познания, имеющего логическое значение, не соответствует (αΐδ), (ягэ) и т. д. ^252> Р253 и Р254 имеют, очевидно, специфический характер, не соответствующий многим другим трактовкам термина «модель». Р271 проходит во всех случаях, если термин «явление» заменить более общим термином «система» и выражение «непосредственно исследуется» относить лишь к заключительной фазе исследования, когда на прототип переносится информация, ранее полученная в модели. Это не исключает, что прототип нам может быть дан ранее; мы начинаем с него, ищем модели и уже затем используем ПОЛучеННуЮ С ИХ ПОМОЩЬЮ ИНфОрМаЦИЮ (#29). Р274 — речь будет идти ниже, при анализе группы признаков, связанных с отношением между моделью и прототипом. Ргв2 и Р283, очевидно, имеют частный характер. ^W V Р282 V Р283 всеобщи, являясь следствием Pi1, поскольку Р281 и Pi1 тождественны друг другу. Р29! всеобщ, является частным случаем более общего Ріб1, который в свою очередь следствие Pi1. Можно также утверждать, что νχ[(χ)Ρ\ι-*(χ)Ρ291]> поскольку система всегда определяется на непустом множестве объектов. Р292 конкретизирует Ріб2, но в другом плане Р292 имеет более общий характер, поскольку не предполагает теории в качестве прототипа. Тем не менее Р292 не является всеобщим, не будучи характерным для многих понятий, например для (αι8), (Я25), (^27)· Цели использования модели в Р321 и Р322, так же как и в дизъюнкции Р321 V Р322, определены слишком узко, чтобы эти признаки можно было рассматривать в качестве всеобщих. Остальные признаки, отмеченные в нашей таблице, Рзз1, Рзз2, Рз43, Рз44, Рз45 и Рз56, очевидно, не являются всеобщими. Итак, в содержание понятия модели, являющегося обобщением тех понятий, которые указаны в сводной матрице, можно включить следующие признаки: Pig3 — вещь; S\ — имеет целевое назначение; Pi1 — система; 47
/V — средство получения новой информации о прототипе; 7V — предполагает некоторый прототип; Р42 — исследование модели обладает некоторым преимуществом перед непосредственным исследованием прототипа; Р84 — отношение к прототипу ослабленно транзитивно; Pie1—теоретико-множественный объект определенного логического типа; £W — непустое множество. К этому списку можно присоединить еще два признака, признанных избыточными: Pi6V/Y — создается человеком или сознательно отыскивается им в природе; Р221 — имеет гомоморфный образ, изоморфный гомоморфному образу прототипа. Но содержание понятия и его определение — вещи разные. Не все признаки, входящие в содержание понятия, необходимо включать в его определение. В частности, не следует включать в определение те признаки, которые являются следствиями других. Отмеченные выше признаки не являются независимыми. Среди них, как это видно из вышесказанного, можно отметить следующие связи: γχ ρ) р\ .+ (*) р?9 & (*) р\6 & (*) pl9]. Yx[(x)Pl29^(x)Ple]; γχ[(χ)Ρί->(χ)Ρί&(χ)Ρΐ]. Имея в виду эти связи, можно сказать, что определение системы только через признаки Pi1 и Р\А, то есть как системы, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе, охватывает почти все признаки, которые могут рассматриваться как общие для любых понятий модели, исключая ослабленную транзитивность и некоторые признаки, признанные избыточными. Вместе с тем такое определение охватывает объемы всех рассмотренных выше понятий модели. Таким образом, мы построили понятие, которое можно назвать «охватывающим», — П0. Объем охватываю- 48
щего понятия не обязательно совпадает с общей суммой объемов охватываемых понятий. Вообще говоря, следует предполагать существование предметов, не удовлетворяющих полностью ни одному набору признаков, указанных в таблице, и тем не менее обладающих Pi1 и Pi4. Например, ознакомление с моделью машины используется для того, чтобы получить представление о том автомобиле, который некто собирается купить. Здесь имеет место /V, а также Pi1. Однако данный объект, обладая Q2l> исключается тем самым из объема а2. Может быть, он не войдет и в объемы других понятий, рассмотренных выше. Тем не менее, имея Pi1 и Р4Г, он будет включен в объем охватывающего понятия. То же самое относится к тем вещам, которые обладают Q22. Сведения об идеальном образце используются в конечном счете для познания образцов реальных. Могут сказать, что объекты, являющиеся Q2l или Q22, не обязательно используются для целей познания и именно это обстоятельство является причиной их исключения из объема понятия модели. Однако то же самое можно mutatis mutandis отнести и к другим объектам, специально созданным в качестве средств познания других объектов. Так, модель электростанции сама может быть использована практически — для получения энергии. Каждый предмет полифункционален, то есть может быть использован самым различным образом. Для нас важно не то, как еще может быть использован предмет, а то, что он может быть использован для познания другого объекта. Поэтому и перцептрон будет моделью в нашем смысле, поскольку независимо от его прочих использований он является великолепным средством для познания механизма чувственного восприятия. Следует отметить, что сами авторы приведенных ограничений в дальнейшем признали модельный характер объектов, обладающих Q21—Q24 в качестве вырожденных случаев К Таким образом, Q2l, Q22, Q23 могут быть признаками предметов, входящих в объем нашего обобщенного понятия модели в том случае, если они кроме этого обладают Pi4. Наша модель может обладать любыми признаками, кроме тех, которые исключают Pi4 или Pi1· 1 См. Б. С. Грязное и др. Гносеологические проблемы моделирования. — «Вопросы философии», 1967, № 2, стр. 67. 49
Следующей после формулировки охватывающего понятия фазой упрощения понятийной системы является образование на основе признаков сводной таблицы видовых понятий, взаимно исключающих и совместно исчерпывающих охватывающее понятие. Построение такой системы различных понятий модели представляло бы теоретический и практический интерес. Особое значение имела бы формулировка различных критериев ценности, с помощью которых можно было бы производить отбор наиболее ценных в том или ином отношении понятий. В частности, можно применить к понятиям, рассматриваемым как системы признаков, критерии целостности систем. Однако все эти интересные вопросы выходят за рамки настоящей работы. Наша задача заключается лишь в определении логических основ метода моделирования вообще, поэтому мы можем ограничиться охватывающим понятием, определяя виды модели не по их гносеологической, а прежде всего по логической природе. Переходя к выяснению этой природы, обратим внимание на признаки, определяющие отношение между моделью и прототипом, рассмотрение которых при анализе сводной таблицы было отложено. Это признаки: Р23 — находится в социально обусловленном отношении соответствия (сходства) к прототипу. Это означает требование того, чтобы хотя бы одно из свойств модели было сходно с соответствующим свойством оригинала; Р72 — находится к прототипу в отношении изоморфизма или в одном из шести типов приближений к этому отношению; Р205 — модель — «аналог» прототипа; Р274 — отношение к прототипу устанавливается через моделирующую систему. К этому списку следует присоединить и рассмотренный выше в качестве избыточного Р222 — иметь гомоморфный образ, изоморфный некоторому гомоморфному образу прототипа. Признак Р23 следует расчленить на два, поскольку в первом предложении говорится о социальной обусловленности соответствия, а во втором — о его конкретном характере. Первый признак будет обозначать (Р£)\ а второй (/V)"· 50
Очевидно, что можно установить соотношение γχ[{χ){ΡΐΥ —*[x)Pii]. Признак Р274 имеет более общий характер, поскольку здесь не предполагается, что моделирующий объект — обязательно общество. Можно показать, что если не (/V)', то Р274 имеет всеобщий характер, предполагаясь implicite или во всяком случае допу- скаясь всеми рассмотренными выше понятиями. Но это не означает невозможности самостоятельного рассмотрения отношения между моделью и прототипом. Отношения к третьему моделирующему объекту и отношения между моделью и прототипом различны по своей природе. Первые выходят за рамки логики в область гносеологии и психологии. В плане определения специфически логических оснований метода моделирования интерес представляют признаки (Р23)", Р72, Р222, ^2о5. Изоморфизму как характеристике отношения между моделью и прототипом иногда придается такое большое значение, что само понятие модели определяется через изоморфизм1 или через ту или иную его модификацию. Выше было отмечено, что Р222 имеет избыточный характер. То же можно сказать и о признаке (/V)". Любые два произвольно взятых объекта имеют какие-то общие и тем более сходные свойства. Например, яхта и латинский язык имеют то общее свойство, что состоят из разнородных элементов. Поскольку наличие общего свойства рассматривается как некоторое основание использования объектов в качестве модели, из сказанного вытекает, что любая вещь может быть использована в качестве модели любой другой вещи. Такой же вывод может быть получен и на основе Р222· По-видимому, можно указать еще некоторое количество избыточных признаков, каждый из которых может служить основанием для использования одного объекта в качестве модели любого другого. Полученный результат в плане логики научного исследования не является абсурдным. Несмотря на то что указанные выше признаки могут быть использованы как основание для определения любой вещи в качестве модели любой другой, сказанное не означает, что эти при- 1 М. Brodback. Models, Meanings and Theories. — «Symposium on Sociological Theory». 51
знаки действительно используются таким образом. Поэтому если иметь в виду фактическое использование признаков в качестве оснований моделирования, то, несмотря на избыточность, (/V)" и Р222 не являются всеобщими. Однако Р222 можно рассматривать как некоторое приближение к изоморфизму. Вместе с тем Р72 естественно обобщить как наличие изоморфизма или любого приближения к нему, то есть не обязательно тех шести типов приближения, о которых шла речь в статье Лео Апостеля. Обозначим такой обобщенный изоморфизм символом /. Вместо громоздкого символа (/V)", обозначающего признание общих свойств у модели и прототипа, будем использовать символ Г. Вспомним введенное выше свойство модели быть свободной, которое было обозначено символом L. По указанным трем свойствам можно построить логическую классификацию моделей. Модели, обладающие свойством /, можно назвать реляционными, а не обладающие этим свойством — соответственно нереляционными. По другому признаку Τ модели можно разделить на атрибутивные (обладающие Т) и неатрибутивные (не обладающие Г). Выше уже приводилось деление моделей по признаку L на свободные и фиксированные. Модель может быть одновременно реляционной и атрибутивной. Вместе с тем возможны модели реляционные и неатрибутивные или атрибутивные, но нереляционные. Это не означает, что возможны модели, не имеющие никаких общих свойств или соответственно никаких общих отношений с прототипом. Речь идет о том, что именно — общие свойства или общие отношения — используется в модели. Всего возможно шесть различных комбинаций наличия и отсутствия свойств /, Г, L в модели. Каждая из этих комбинаций определяет соответствующий логический тип модели. Их удобно выразить в виде таблицы (на стр. 53). Здесь в каждой строчке записаны характеристики модели по отношению к выбранным свойствам /, Г, L. Наличие соответствующих свойств обозначается единицами, отсутствие — нулями. Например, четвертая строка 52
№ 1 2 3 4 5 6 / 1 1 1 1 0 0 τ 1 1 0 0 1 1 L 1 0 1 0 1 0 соответствует классу моделей, которые являются реляционными, неатрибутивными и фиксированными. Шестая строка соответствует нереляционным, атрибутивным, фиксированным моделям. В нашей таблице учтены не все комбинаторно возможные сочетания. У нас нет строчек, соответствующих нулевым значениям одновременно / и Г, поскольку любая модель или реляционная, или атрибутивная, или то и другое вместе, но нет моделей, которые были бы и нереляционными и неатрибутивными. Многообразие логических типов моделей означает многообразие оснований, по которым объекты могут быть использованы в качестве моделей. Не означает ли признание подобного многообразия оснований отрицание возможности говорить о какой-то общности логической основы метода моделирования вообще? Формулировка «охватывающего» понимания модели, приведенная выше, на наш взгляд, дает возможность избежать подобного пессимистического вывода. Было выяснено, что понятие моделирования предполагает существование двух объектов — модели и прототипа, таких, что исследование одного дает возможность делать выводы о другом. Эти признаки можно рассматривать в качестве ограничительных условий для используемых умозаключений. Логическими основаниями мето- 53
Да Моделирования могут служить любые выводы, в которых посылки относятся к одному объекту, а заключение— к другому. Такие выводы представляют собой класс умозаключений, охватывающих традиционные выводы по аналогии. Термины «аналогия» и «выводы по аналогии» в историй логики и науки употреблялись в различных смыслах. Анализируя только историю развития физики и некоторых разделов математики, можно выделить около 50 существенно различных логических структур, которые применявшими их учеными рассматривались как выводы по аналогии К Обобщение всех этих структур в точности соответствует «охватывающему» понятию модели. Выводы по аналогии вообще — это выводы, в которых посылки относятся к одному объекту, а заключение — к другому. Таким образом, можно сказать, что признак Р2о5 (быть аналогом прототипа) является объединяющим для всех остальных, устанавливающих отношение между моделью и прототипом. И реляционные и атрибутивные модели являются аналогами своих прототипов. Перенос информации с модели на прототип будет выводом по аналогии. Поэтому часто встречающиеся утверждения о том, что выводы по аналогии не всегда являются логической основой моделирования2, основаны на узком понимании этих выводов, чаще всего на том, которое было характерно для учебников традиционной логики. Для того чтобы выяснить логические основания метода моделирования, необходимо, следовательно, определить логическую структуру умозаключения по аналогии как выводов от одного объекта к другому и сформулировать условия их правомерности. Здесь прежде всего возникает вопрос о строении умозаключений вообще и о соотношении между различными типами умозаключений. Без ответа на этот вопрос не- 1 А. И. Уемов. Аналогия в практике научного исследования. М, 1970. 2 См. Б. С. Грязное и др. Гносеологические проблемы моделирования. — «Вопросы философии», 1967, № 2, стр. 68—69; Л. Я. Ильин, В. Н. Свинцицкий. Рецензия на книгу А. Н. Кочергина «Моделирование мышления». — «Вопросы философии», 1970, № 9. 54
возможно выяснить специфику выводов по аналогии и тем самым логическую природу оснований метода моделирования. Это тем более важно, если у читателя уже сложились некоторые представления о типах вывода, что будет наталкивать его на безапелляционные суждения типа «Это не аналогия, а дедукция», «Это не аналогия, а индукция» или «Это вообще не вывод», «Автор путает основания с посылками» и т. д. Все это дает основание автору на привлечение внимания читателя к проблемам следующей главы, несмотря на то что там не на каждой странице употребляются термины «модель» и «моделирование».
СТРОЕНИЕ ВЫВОДОВ ОТ МОДЕЛИ Глава II К ПРОТОТИПУ § 1. Сущность умозаключений, их строение и классификация Умозаключение является основным предметом изучения логики. Исследование таких форм мысли, как понятия и суждения, в логике имеет значение лишь постольку, поскольку от этого так или иначе зависит трактовка умозаключений. Что же такое умозаключение? Д. П. Горский определяет его следующим образом: «Умозаключение есть процесс мысли, в ходе которого из одного, двух или более суждений мы получаем такое суждение, которое извлекается нами из содержания исходных суждений» К Определение такого типа оставляет много неясного. Если из содержания суждений «Петр I был императором» и «Швейк любил сосиски с капустой» мы, присоединяя предикат второго суждения к субъекту первого, извлечем, что «Петр I любил сосиски с капустой», то будет это умозаключением, хотя бы и неправильным? Не каждое же преобразование суждения следует считать суждением?! Более точное, хотя, на наш взгляд, излишне усложненное определение дается в логическом словаре Н. И. Кондакова: «Умозаключение — форма мышления, процесс мысли, или логическое действие, 1 Д. П. Горский. Логика. М, 1963, стр. 144—145. 56
в результате которого из одного или нескольких определенным образом связанных суждений, отображающих связи и отношения предметов объективного мира, получается новое суждение, в котором содержится новое знание о предметах» 1. Приведенный выше пример здесь, по-видимому, исключается из умозаключений, поскольку в определении говорится об определенной связи между суждениями, возможно отсутствующей в нашем случае. Мы говорим здесь лишь о возможности, поскольку характер этой связи не уточняется. Определение Кондакова, так же и Горского, на наш взгляд, имеет тот недостаток, что оно в духе господствующей в логике Їрадиции ограничивает умозаключения выводами из посылок, имеющих форму суждения, отрицая тем самым возможность выводов из понятий2. Указанных недостатков лишено определение, данное В. Ф. Асмусом: «Умозаключение есть извлечение новой истины из истин, уже признанных ранее и уже известных» 3. Несмотря на то что в других местах той же работы В. Ф. Асмус говорит о посылках умозаключения только как о суждениях, в приведенном определении сохраняется возможность трактовать форму посылок и по-другому. В определении В. Ф. Асмуса подчеркивается, что умозаключение обязательно должно давать новую истину. Мы бы воздержались вводить указанный признак в само определение умозаключения, поскольку в этом случае вопросы типа «Дает ли силлогизм новое знание?» были бы эквивалентны вопросу «Является ли силлогизм умозаключением?». Нам представляется, что и для Милля, который отрицал, что силлогизм может давать новое знание, силлогизм все же оставался умозаключением. Таким образом, оказывается достаточным сказать, что «умозаключение есть извлечение истины из истин». Но если мы делаем вывод от истинности суждения, скажем, «Земля вращается вокруг Солнца» к ложности суждения «Земля не вращается вокруг Солнца», то здесь в выводе истина относится к признанию определенного суждения в каче- 1 Н. И. Кондаков. Введение в логику. М., 1967, стр. 389. 2 См. А. И. Уемов. Выводы из понятий. — «Логико-грамматические очерки». М., 1961. 3 В. Ф. Асмус. Логика. М., 1947, стр. 150. 57
отве ложного. Она как бы повышает свой уровень. Если же брать один и тот же уровень, то оказывается, что из знания об истинности извлекается знание о ложности. Учитывая эту возможность, мы можем определить умозаключение как процесс определения валентного1 значения одной мысли — заключения на основе валентных значений других мыслей — посылок. Валентные значения посылок иногда могут быть точно известными, иногда лишь предполагаемыми (косвенное доказательство). Если заключение известно заранее, то имеет место умозаключение со строго фиксированным направлением — в составе доказательства. Такое умозаключение превращает простую мысль в знание, поскольку придает ей валентную оценку. В другом случае заранее не известна ни валентная оценка заключения, ни сама мысль. Это умозаключение в том смысле,;в каком оно в рамках традиционной логики противопоставлялось доказательству. Будем исходить из многоступенчатой концепции строения умозаключений. Поскольку она изложена нами подробно в другом месте2, дадим здесь лишь краткий ее очерк. Пусть символ В обозначает посылки умозаключения, а символ А — его вывод. Можем записать —. Напри- А мер, можно в качестве В рассматривать посылки силлогизма «Все люди смертны» и «Кай человек». Тогда А будет представлять собой вывод «Кай смертен». Однако можно поставить вопрос о том, откуда следует, что если все люди смертны и Кай человек, то Кай смертен. Ответом на этот вопрос в традиционной логике будет ссылка на аксиому силлогизма: Dictum de omni et de nullo. Эту аксиому обозначим символом Сі. Тогда вывод в целом будет иметь вид ClH А ' Однако можно поставить и следующий вопрос: на каком основании мы полагаем, что аксиома силлогизма действительно является таким основанием, которое обе- 1 Термин «валентность» используется как обобщающий применительно к таким характеристикам мысли, как «истина» и «ложь». 2 См. А. И. Уемов. Строение умозаключений как проблема логики научного познания. — «Вопросы философии», 1966, № 7. 58
спечивает правомерность вывода от посылок к заключению? Поскольку имела место дискуссия по вопросу о том, какое именно положение является основанием силлогизма, такой вопрос вполне законен. Указав на некоторое положение Сг, будем иметь 21 А Здесь С\ выступает в функции посылки наряду с В. Это говорит о том, что принципиальной разницы между посылкой и основанием вывода не существует. То, что в одном случае выступает как основание, в другом является посылкой. Все дело в уровне логического анализа. В качестве исходного материала для логического анализа в логике научного исследования должно выступать умозаключение в том его составе, в каком оно имеет место в сознании применяющего его исследователя. Такой психологический уровень можно считать нулевым. Начали ли мы действительно с нулевого уровня? Принято считать, что человек обычно не мыслит полными силлогизмами, прибегая к сокращенным силлогизмам— энтимемам. Например, Кай человек, значит, он смертен. Здесь пропущена посылка «Все люди смертны». Однако сама возможность пропуска посылки означает, что она не выступает именно в качестве посылки. Здесь посылка играет роль основания вывода. Разобьем В на две части: В = Ви В2. На нулевом уровне анализа применительно к человеку, использующему энтимему, будем иметь: — . В результате логического анализа на первом уровне получим: »2 I /?,' ^ А Второй уровень даст В, |- *· *2 А И так далее, в принципе ad infinitum. Бесконечность нас смущать не должна, поскольку она в данном случае отражает бесконечный процесс углубления познания человеком логических форм. Разумеется, в каждом отдельном случае мы не должны идти в бесконечность и можем остановиться на том 59
уровне анализа, который диктуется практическими потребностями. Сказанное относится к умозаключениям любого типа. Чем же отличаются одни типы выводов от других? Для того чтобы сравнивать типы выводов друг с другом, выявлять их общие и различные свойства, необходимо, на наш взгляд, придерживаться принципа единства уровня логического анализа. То или иное свойство умозаключения может принадлежать ему на одном уровне логического анализа и отсутствовать на другом. Поэтому сравнивать нужно лишь одинаковые уровни. Это требование не вполне соблюдалось в традиционной классификации умозаключений, в которой все они делились на дедукцию (вывод от общего к частному), индукцию (вывод от частного к общему) и традукцию (вывод, в котором заключение сохраняет степень общности посылок). Примером умозаключений последнего типа являются выводы по аналогии. Если взять нулевой уровень, то для аналогии имели бы, например, Земля обитаема Марс обитаем для индукции — Медь электропроводна, цинк электропроводен Металлы электропроводны В этих случаях критерий, по которому мы отделяем основание от вывода, вполне ясен. Но в случае силлогизма есть две возможности: Все люди смертны Кай человек и Кай смертен Кай смертен Более естественным является второй вариант. Даже в традиционной логике, которая анализировала силлогизм как вывод из двух посылок — большей и меньшей, высказывалась мысль о том, что большая посылка представляет своего рода формулу, сообразно которой, а не из которой делается вывод1. Тем не менее вывод от «общего к частному» будет иметь место лишь в случае вывода из большей посылки, при котором меньшая игра- 1 См. Д. С. Милль. Система логики силлогистической и индуктивной. М., 1899, стр. 152. 60
ет роль основания. Мы уже не говорим о других модусах и фигурах силлогизма, укладывание которых в схему «от общего к частному» встречается с еще большими трудностями. Это обстоятельство явилось одним из главных оснований критики традиционной классификации умозаключений, итоги которой подведены в работах В. Н. Садовского *. Однако недостатки традиционной классификации умозаключений, на наш взгляд, не были преодолены в современной логике. Здесь принято дихотомическое деление: все умозаключения являются либо дедуктивными, либо недедуктивными. Всякое недедуктивное умозаключение считается индуктивйым. Дедуктивное умозаключение определяется как «достоверный вывод, в котором заключение логически следует из посылок2, или же, еще более определенно, как «выведение следствий из посылок в соответствии с законами логики»3. При таком подходе оказывается, что дедукция — это единственный законный с логической точки зрения тип умозаключений. Стоит нам допустить логическую ошибку, например взять в качестве посылок в силлогизме второй фигуры утвердительные суждения, как дедукция превращается, по определению, в индуктивный вывод. С другой стороны, никакое индуктивное умозаключение, опять- таки по определению, не может быть сделано доказательным. Тем самым любые исследования по обоснованию тех или иных типов индуктивных умозаключений заранее обречены на неудачу. Как только данный тип индуктивных выводов будет обоснован, он окажется дедукцией. Недостатки современного подхода к делению умозаключений в плане логики научного исследования связаны прежде всего с игнорированием той структуры вывода, которая имеет место в сознании умозаключающего субъекта. Именно эту структуру логика должна оценить. Применительно к ней должны быть сформулированы ус- 1 См. В. Н. Садовский. Проблемы методологии дедуктивных теорий. — «Вопросы философии», 1963, № 3; его же. Дедуктивный метод как проблема логики науки. — «Проблемы логики научного познания», ϊ 2 В. Н. Садовский. Дедуктивный метод как проблема логики науки. — «Проблемы логики научного познания», стр. 159. 3 Д. П. Горский. Дедукция. — Философская энциклопедия, т. 1. М., I960, стр. 440. 61
ловия правомерности. Характеристика умозаключения как достоверного не определяет логическую структуру вывода безотносительно к уровню логического анализа. Вывод может быть недостоверным на одном уровне и достоверным на другом, когда учитываются те основания умозаключения, которые лишь предполагаются мыслящим субъектом. Разумеется, в плане абстрактнологическом 1 мы имеем право рассматривать выведение следствий по определенным правилам как специальный предмет логического исследования, но в этом плане, то есть чисто синтаксически, не может быть определено понятие истинности вывода и тем самым не может быть определена досто* верность как гарантия перехода от истинности посылок к истинности вывода. В предыдущей работе автора2 сделана попытка модернизации традиционной схемы деления умозаключений таким образом, чтобы выполнялось требование соотнесения трех типов вывода к одному и тому же уровню логического анализа. Дедукция здесь определяется не как вывод от общего к частному, а как умозаключение, в котором вывод относится к тем же предметам, о которых уже шла речь в посылках. Индукция означает расширение круга предметов, к которым относится вывод, сравнительно с тем, о которых идет речь в посылках. Аналогия же предполагает, что заключение относится, вообще говоря, к совсем иному предмету, чем тот, о котором шла речь в посылке. Указанная модификация дает возможность отнести все три типа умозаключений к одному и тому же — нулевому уровню логического анализа. Отмеченная выше применительно к традиционной классификации трудность преодолевается. Умозаключения «Все люди смертны, значит, Кай смертен» и «Кай человек, значит, Кай смертен» относятся к дедукции, поскольку в обоих случаях вывод относится только к тем предметам, о которых уже шла речь в посылках. Знание о том, что это действительно те же са- 1 О различении абстрактнологического, психологического и плана логики научного познания см.: А. И. Уемов. Строение умозаключений как проблема логики научного познания. — «Вопросы философии», 1966, № 7, стр. 88—89. 2 См. А. И. Уемов. Аналогия в практике научного исследования. 62
мые предметы, может быть сформулировано на первом уровне логического анализа как основание правомерности сделанного вывода, но все равно оно относится к тому, что выделено как посылка и заключение на нулевом, психологическом уровне. Тем не менее разобранная классификация нам представляется сейчас не вполне удовлетворительной. Можно показать, что в тех случаях, когда предметная переменная не выделена, как это имеет место в исчислении высказываний, вывод по правилам такого исчисления не противоречит приведенному определению дедукции. Это следует из того, что если включить в рассмотрение первый уровень логического анализа, то есть включить в число посылок те-основания, которые предполагаются на нулевом уровне, то получится, что вывод не выводит за рамки суждений, являющихся посылками. Признавая предметную соотнесенность суждений, мы получим частный случай дедукции по приведенному выше определению. Однако остается неясным, зачем нужно такое умозаключение. Логическая природа новизны того знания, которое мы имеем в выводе в сравнении с посылками, применительно к дедуктивному умозаключению остается неясной. Для выяснения этой природы необходимо отказаться от определения дедукции как вывода о тех же предметах. В выводе должно быть нечто иное, чем в посылках, хотя, вообще говоря, этим иным могут быть необязательно предметы. Нечто новое может быть получено относительно самого исходного знания. Если мы имеем умозаключение, вы- a(b\Jc) ражаемое схемой — , то новизна вывода здесь аЬ V ас представляется не новым предметом, а новой формой того знания, которое фиксировано в посылках. В результате дедуктивного умозаключения мы получаем новые знания не о новых предметах, а о старом знании. Определяя с помощью силлогизма, что Кай смертен, мы приобретаем знание о большей или меньшей посылке в зависимости от того, как выглядит умозаключение на нулевом уровне (то есть в той форме, которая обычно называется энтимемой). Таким образом, можно дать определение дедукции как такого умозаключения, в котором вывод представ- 63
ляет собой знание о том знании, которое заключено в посылках. Используя приведенную выше схему вывода на нулевом уровне, специфику дедуктивного вывода можно выразить следующим образом: В (В)Л ' Здесь А означает то знание, которое получено в результате умозаключения относительно знания В. Иные типы вывода связаны с переходом от одного класса объектов к другому. Кажется очевидным, что переход от класса к подклассу всегда означает достоверный характер вывода в отличие от перехода от подкласса к классу. Но здесь требуются некоторые уточнения. Рассмотрим два умозаключения (на нулевом уровне): «Среди студентов есть математики, следовательно, среди студентов Шуйского педагогического института есть математики» и «Среди студентов Шуйского педагогического института есть математики, следовательно, среди студентов есть математики». Первый вывод — от класса к подклассу, и он недостоверен в отличие от второго, достоверного вывода — от подкласса к классу. Выводы первого типа оказались вне классификации и поэтому не исследованы в логике, несмотря на то что в ряде случаев они имеют большое практическое значение. Поскольку термин «дедукция» у нас занят, заимствуем у Л. В. Рутковского термин «субдукция», который он употреблял в ином смысле1. Индукция будет пониматься в обычном смысле, то есть как вывод от частного к общему и аналогия как умозаключение, в котором посылка относится к одному пред- мету, а вывод — к другому. На нулевом уровне анализа этим формам умозаключений можно сопоставить следующие схемы: Субдукция: — . А {у) {у αχ) Индукция: — . J A(y)(xdy) 1 См. JI. В. Рутсовский. Основные типы умозаключений.— «Избранные труды русских логиков XIX века». М., 1956, стр. 322. 64
Аналогия: —^- . A(b) Здесь индексы означают предметную соотнесенность мыслей. В случае субдукции заключение относится к классу у, являющемуся подклассом х, в индукции — к классу г/, который включает в себя х. Применительно к выводам по аналогии В (а) означает отнесенность посылки к объекту а, в то время как А (Ь) означает отнесенность заключения к предмету Ь. §2. Применяемая символика и ее .интерпретация Логический анализ метода моделирования предполагает выявление разного типа соотношений между вещами, их свойствами и отношениями. Мы будем исходить из того понимания вещей, свойств и отношений, которое излагается в нашей работе К Поскольку для наших целей существенно символическое выражение логических структур, рассмотрим проблему обозначения вещей, свойств и отношений в языке современной логики. Прежде всего рассмотрим проблему обозначения вещи, как таковой, независимо от приписывания ей каких бы то ни было свойств. Согласно Л. Витгенштейну, понятие о вещи, как таковой, является чисто формальным или псевдопонятием. Сказать, что χ есть объект,— значит ничего не сказать. С этим связан способ обозначения объектов, как таковых, с помощью переменных. «Переменное имя «я» есть собственно знак псевдопонятия объект»2. Употребление переменных в этом смысле соответствует употреблению указательных местоимений в натуральном языке. В обоих случаях имеются в виду объекты, как таковые, независимо от их свойств. Более важной представляется проблема обозначения объектов, обладающих теми или иными свойствами. Для того чтобы переменная могла обозначать объект, как та- 1 См. А. И. Уемов. Вещи, свойства и отношения. 2 Л. Витгенштейн. Логико-философский трактат. М., 1958, стр. 53. 3 А. И. Уемов 65
ковой, выражать чисто формальное понятие, на нее не должно накладываться никаких ограничений. «Но, — как отмечает Б. Рассел, — логик в те моменты, когда он не стоит на своей профессиональной точке зрения, может интересоваться вопросом, какие постоянные могут быть подставлены иод его переменные» К Точнее было бы сказать, что логик не может не интересоваться этим вопросом, даже когда стоит и на своей, профессиональной точке зрения. «Так как обычно,— пишет А. Чёрч,— необходимо ограничивать значения, которые может принимать переменная, то мы будем считать, что с переменной связана непустая область ее возможных значений. Поэтому к содержанию переменной относится в некотором смысле и содержание собственного имени области ее значений»2. Ограничение области возможных значений переменной подразумевается, но не символизируется. Оно обычно выражается словесно, с помощью натурального языка или с помощью так называемых ограниченных кванторов3. С помощью кванторов, даже квантора существования, единичная вещь не выделяется. Однако в символической логике существуют специальные методы обозначения единичных вещей. Прежде всего "используются аналоги собственных имен, так называемые индивидные постоянные. Каждая такая постоянная представляет собой символ, специально выбранный для обозначения того или иного индивидуального предмета. Обычно в качестве таких символов используются начальные буквы латинского алфавита: а, Ь, с, d и т. д. Очевидно, что количество отдельных буквенных символов, которые можно использовать для обозначения отдельных предметов, не идет ни в какое сравнение с числом собственных имен в любом естественном языке. Если же в качестве символов собственных имен брать не отдельные буквы, а их комбинации, то язык символов 1 Б. Рассел. Человеческое познание, его сфера и границы. М., 1957, стр. 108. 2 А. Чёрч. Введение в математическую логику, т. I. М., 1960, стр. 20. 3 См. Э. Слупецкий, Л. Борковский. Элементы математической логики и теории множеств. М., 1965, стр. 97. 66
станет столь же сложным, как и язык слов, по существу не отличаясь от последнего. Стрейясь преодолеть недостатки символического языка имен, Р. Карнап предлагает использовать язык, в котором каждый объект определяется его положением в ряду символов, которые переходят друг в друга по определенным правилам (язык координат). Такой способ позволяет обозначать неограниченное число индивидуальных объектов. Типичным примером использования координатного языка является изображение натурального ряда чисел в виде О, О', 0", О'", где каждый штрих означает переход к следующему числу. Мы будем применять координатный язык в перечнях предметов, например а\,..., ап. Координатный язык можно рассматривать как особый случай языка дескрипций. В общем виде дескрипция может быть определена как имя, которое одновременно идентифицирует объект с помощью своей структуры К Например, обозначение числа е не дескрипция, поскольку разные люди могут понять его по-разному. Другое имя — е — lim ( 1 -| ) — уже дескрипция, л-*-оо \ П I так как однозначно определяет свой объект. Мы рассмотрели обозначения предметов. Как же обозначаются свойства? Для обозначения свойств со времен Г. Фреге пользуются математическим понятием функции. Фреге отождествлял свойства с понятиями2. Показать, что предмет имеет свойство, — это то же самое, что показать подпадение его под соответствующее понятие. С другой стороны, понятие рассматривается как частный случай функции. Сущность всякой функции заключается в законе, по которому одним предметам, поставлены в соответствие другие предметы. Аргументами понятия как функции являются предметы, а значениями функции — истина или ложь. Истинность и ложность рассматриваются как особого рода логические предметы. Функции такого типа получили название пропозициональных или логических функций или предикатов. 1 I. В. Rosser. Logic for Mathematicians. New York, 1953, p. 181. 2 См. Б. В. Бирюков. О работах Фреге по философским вопросам математики. — «Философские вопросы естествознания», т. II. М., 1959, стр. 146—148. 3* 67
Поскольку понятие отождествляется со свойством, оказывается возможным выразить свойство с помощью пропозициональной функции от одной переменной. Аргумент функции записывается в скобках, тип функции — в виде особого символа слева от скобки. Так, например, Р(х) может означать л: — город. Для различных конкретных значений переменной Р(х) будет истинной или ложной. Например, Ρ (Львов) — истина. Ρ (Поречье) — ложь. Метод Фреге в настоящее время широко распространен в логико-математической литературе. Однако он вызывает ряд возражений К В плане настоящей работы недостаток метода Фреге заключается в следующем. С помощью общего понятия предиката как пропозициональной функции выражается отношение как частный случай свойства, но здесь утрачивается особый, вырожденный характер этого частного случая. Обычно ограничиваются определением отношения как многоместного предиката, считая, что тем самым проблема различия свойств и отношений решается автоматически в зависимости от числа мест предиката. Так, Ρ в выражении Р(х, г/, ζ) будет отношением, а в выражении Р(х) —свойством. Но пусть χ обозначает мужчин, у — женщин и ζ — детей. Это — аргументы. Пусть Ρ — смертность. Значением этой функции будет истина, а число аргументов равно трем. Тем не менее это с интуитивной точки зрения, несомненно, свойство, а не отношение. Могут возразить, что предикат смертности будет выражать свойство потому, что он может быть приписан х, у, ζ по отдельности. Однако из самой формы записи Р(х, у, ζ) не следует, что предикат Ρ не может быть определен на меньшем числе аргументов, например что невозможно Ρ (χ, у) у Ρ (у, ζ), Ρ (χ, ζ). Отношение «ровесник» существует между х, г/, г именно потому, что оно имеет место между х, у; χ, ζ\ уу ζ по отдельности. Таким образом, для того чтобы исключить возможность для Ρ в выражении Ρ (χ, у, ζ) обозначать свойство, необходимо исключить возможность существования См. А. И. Уемов. Аналогия в практике научного исследования. 68
одноместных предикатов Р(х), Ρ (у), Ρ(ζ):_Ηο мы не мо_жем воспользоваться записью Р(х, г/, ζ) &Р (χ) &Р (у) & &Ρ(ζ), поскольку Р(х), Ρ {у), Ρ(ζ) не просто ложны. Они должны быть абсурдны, причем этот абсурд как раз и заключается в рассмотрении многоместного предиката как одноместного. Следовательно, необходимо вводить специальную символику для обозначения этого абсурда; что, несомненно, привело бы к крайнему усложнению формул логики предикатов. Трактовка свойств и отношений, принятая в современной символической логике, не может считаться экспликацией тех понятий о свойстве и отношении, которыми мы пользуемся в науке и жизни. Мы показали это на примере возможности для многоместного предиката выражать свойства. С другой стороны, можно показать, что и отношения могут быть одноместными. Сюда относятся рефлексивные отношения типа «Петр любит самого себя». Здесь мы имеем не двух людей, любящих друг друга, а именно одного. Могут сказать, что этот один рассматривается как два. Однако такое рассмотрение является результатом установления данного отношения, а не предшествует ему. Вначале у нас нет двух Петров даже и тождественных друг другу. Изложенные соображения дают основание отказаться от метода Фреге или во всяком случае существенно видоизменить его. Если не связывать выражение свойств и отношений с помощью функций с определениями этих понятий, то использование функций для такого выражения может быть сохранено. Но это не должны быть пропозициональные функции. Фреге пользовался универсальным классом. У него была по существу единственная, ничем не ограниченная переменная, истинные значения которой определяли в свою очередь классы объектов. В современной символической логике пользуются конкретными переменными х, у, ζ и т. д., каждая из которых определена в своей области. Это дает возможность выражать область определения одной переменной в качестве функции области определения другой. Например, область переменности у — «квадрат» является функцией равносторонности Ρ от области χ — «прямоугольник». В этом смысле можно записать, что у = Р(х). Здесь функция Ρ является выра- 69
жением свойства, ограничивающего область переменности х. В отличие от пропозициональной функции аргумент и значение функции в нашем случае однородны, то есть принадлежат объектам одной и той же природы. Как уже отмечалось, области переменности обозначаются обычно не .символически. Здесь используются слова естественного языка. Но символизация, во всяком случае частичная, возможна с помощью ограниченных кванторов. Пусть Φ обозначает область прямоугольников; у— определено на области квадратов. Тогда νχφ^Χ)Ρ {χ)== У будет означать, что всякий χ из области Ф, обладающий свойством Ρ (равносторонность), будет одним из квадратов. С нашей точки зрения, имеет место существенная разница между функциями, выражающими свойства, с одной стороны, и отношения — с другой. Свойство в качестве функции, вообще говоря, лишь ограничивает область переменности своих аргументов, то есть число объектов, которым приписывается данное свойство, в результате этой операции становится меньшим, чем число объектов до нее. Но новых объектов при этом не образуется. Так, приписывая #-м, взятым из области прямоугольников, свойство равносторонности, мы ограничиваем область значений, которые может принимать х, однако не образуем новых объектов, поскольку все х, обладающие Р, входят в имевшуюся раньше область значений х. Отношение же всегда образует новые объекты. Аргументы, даже если они являются переменными, будучи связаны отношением, превращаются в отдельные элементы целого — новой вещи. В приведенном выше примере Р(х, у, г), где χ — мужчины, у — женщины, ζ — дети, если Ρ — генетическое отношение, то связанные этим отношением х, у, ζ дают один объект — человеческое общество. Этот объект не был ни в области переменности х, ни в области переменности у, ни в области переменности ζ. Вообще говоря, свойство также может ограничить тот или иной класс настолько, что он будет состоять из одного объекта. Кроме того, значение функции будет всегда единично, если единичны аргументы. Однако всегда существует различие между единичным объектом и классом, состоящим из одного объекта. 70
Для того чтобы отразить разницу между свойствами и отношениями в обозначающих их формулах, используем следующее соглашение. Функция, изображающая свойство, будет записываться всегда справа, а функция, изображающая отношение,— слева от символов, обозначающих аргументы. Так, в (х, у, ζ) Ρ символ Ρ обозначает свойство, в Р(х, у, ζ) символ Ρ обозначает отношение. Необходимо также ввести соглашение, уточняющее использование терминов «выражает» и «обозначает». Будем говорить, что функция выражает свойство и отношение. Но символ функции обозначает свойство или отношение. В записи пропозициональной функции всегда имеют место символы, обозначающие аргументы и саму функцию. Но значения функции — истинность и ложность — обычно не выражаются. Они лишь подразумеваются. Таким образом, запись функции имеет вид: (х)Р — для свойств и Р(х, у), Р(х, у, ζ) и т. д. — для отношений. Аналогичным образом мы также можем не записывать значений функции и выражать функции в виде: (Хи х2, ..., хп)Р — ДЛЯ СВОЙСТВ И Р(Хи *2, ···> Хп) —Для отношений. В дальнейшем это будет основной способ обозначения свойств и отношений в связи с вещами — их носителями. Рассмотренные выше выражения по своей роли аналогичны прилагательным и глаголам естественного языка. В естественном языке свойства и отношения могут выражаться существительными. Это имеет место в тех случаях, когда свойства и отношения рассматриваются самостоятельно, в отвлечении от их носителей, в качестве особых вещей. В символической логике также имеются средства для выражения того факта, что отношение рассматривается в отвлечении от предметов. Для этой цели используется так называемый оператор абстракции. Часто он обозначается в виде крышечки, находящейся над символами предметов, от которых отвлекаются. Например, х, у, zR(x, у, ζ) будет обозначать отношение R 1. 1 A. MostowskL Logica matematyczna. Warszawa — Wroclaw, 1948, str. 91.
отношение, абстрагированное от одни* предМеЇоЕ, может иметь место в других предметах. Так что πσ определению подставляя вместо R его значение, будем, например, иметь [(*, у, z)R{x, у, z)]{u, ν, w) = R(u, ν, w). Другими авторами для обозначения оператора абстракции используется менее наглядный символ λ. Оператор абстракции можно использовать для выражения не только отношений, но и свойств. Учитывая наше соглашение о записи предиката, обозначающего свойство, будем иметь х, у, ζ(χ, у, ζ) R. Здесь R будет обозначать свойство, взятое отдельно, независимо от его носителей х, у, г. Использование оператора абстракции обычно приводит к довольно громоздким формулам. Однако оно необходимо для обозначения того факта, что отношения, существующие в разных предметах, тождественны друг другу. Понимаемое в этом смысле выражение а1э..., anR(au..., aj =21?..., bnR{bu.... bn) будет широко применяться ниже. Отметим, что если речь идет о том, что разные предметы αϊ, ..., ап обладают тождественными свойствами, то для обозначения этого оператор абстракции совершенно не нужен. Этот факт выражается самой формой записи (аь ..., ап)Р. В частности, выражение (а, Ь)Р ниже широко будет применяться для того, чтобы показать, что сравниваемые предметы — модель и прототип — обладают общим свойством Р. Если же они обладают рядом общих свойств Рь ..., Рт, то естественна запись (а, Ь)Р\, · · ·> Рт- Для обозначения отдельных свойств и отношений самих по себе, независимо от вещей использование оператора абстракции, вообще говоря, не является необходимым. Если свойства и отношения рассматриваются самостоятельно, как отдельные предметы, то обозначать их можно так же, как и все прочие вещи,— с помощью особых символов, играющих роль имен собственных. Например, символы R, Q, 5 могут обозначать отношения, символы α, β, γ — свойства. Для того чтобы отличить свойства и отношения от других вещей и друг от друга, 72
для их обозначения можно подобрать особые алфавиты. Как правило, мы будем обозначать отношения прописными буквами центральной части латинского алфавита, свойства — буквами греческого алфавита или строчными буквами последней части латинского, прочие единичные вещи — строчными буквами начальной части латинского алфавита. Поскольку различия между латинским и греческим алфавитом, прописными и строчными буквами используются нами для выражения различия между вещами, свойствами и отношениями, а различие между частями алфавитов лишено должной наглядности и может послужить источником путаницы, особенно при большом числе употребляемых символов, необходимы другие способы отражения в символике различий между постоянными и переменными. Мы будем отличать постоянные от переменных с помощью точки, стоящей над символом. Так, /?, ά, α будут константами, R, а, а — переменными. Такое применение точек аналогично применению прописных букв для выделения имен собственных в русском языке. Использование символов J?, R, Q, S, α, α, β, χ, у и т. д. для обозначения отношений и свойств, рассматриваемых как самостоятельные объекты, вполне аналогично использованию для этой цели существительных в естественных языках. Кроме буквенных символов мы будем применять для обозначения отношений специальные знаки типа « = », «=7^=», «<»,«>» и т. д., а также числа. § 3. Основные типы выводов по аналогии Как было показано выше, общему определению выводов по аналогии соответствует следующая общая схема вывода ——. Здесь В (а) означает посылки, отно- А(Ь) сящиеся к модели (а),А(Ь) —заключение о прототипеЬ. Эта схема дана на нулевом уровне, поскольку не определено никаких оснований, делающих возможным переход от посылки к заключению. Наша задача будет заключаться в определении структуры выводов по аналогии, реально используемых 73
в практике моделирования. Такое определение предполагает прежде всего выяснение оснований, дающих возможность переносить информацию от модели к прототипу. Таким образом будет осуществлен переход к первому уровню логического анализа. Обозначим основание первого уровня, дающее возможность делать вывод по аналогии, латинской буквой С. Таким образом, на первом уровне логического анализа общая схема вывода по аналогии будет иметь следующий вид: А(Ь) Здесь предполагается, что ни один из символов В (а), А (6), С не обозначает пустого класса1. Черта отделяет посылки от заключения. То и другое вместе будем называть «ядром» аналогии. Символ f- служит для отделения основания вывода от его «ядра». Многообразие форм выводов по аналогии будет определяться прежде всего характером той информации, ко- торая переносится с модели на прототип. В одних случаях с модели на прототип переносится информация, представляющая собой приписывание предмету свойства. В других случаях речь идет о переносе отношений. Соответственно этому различается аналогия свойств и аналогия отношений. Это разделение полностью соответствует приведенному в главе I делению моделей на реляционные и атрибутивные. Поэтому можно считать, что аналогия свойств является логической основой использования атрибутивных моделей, а аналогия отношений — логической основой реляционного моделирования. Обозначим информацию о присущности свойства символом Р, стоящим, как мы уже условились; справа от скобки с обозначением предмета, которому приписывается свойство. Отношение обозначим символом R слева от скобки с обозначением того объекта, в котором оно существует. Тогда схема аналогий свойств будет иметь вид Ch-^F- 1 Подробнее см.: Л. И. Уемов. Обобщение структуры выводов по аналогии. — «Ученые записки ИГПИ», т. 36. «Логика. Этика. Эстетика». Ярославль, 1966. 74
Аналогию отношении можно выразить как С ι — Приведенные формулы недостаточно точны, поскольку неясно, идет ли речь о переносе одного определенного, фиксированного свойства или отношения или же допускается перенос любого свойства и отношения, обнаруженного в модели, на прототип. Первый тип вывода можно назвать аналогией констант, второй — переменных. Отличая константу от переменной с помощью точки, стоящей сверху символа, обозначающего свойство или отношение, получим следующие разновидности аналогии свойств и отношений: с | (д)Ρ . с | Rid) m (Р)Р ' Rib) Выше, в главе I, проводилось различие между свободными и фиксированными моделями. Аналогия констант выражает отношение между фиксированной моделью и ее прототипом, аналогия переменных — отношение к прототипу свободной модели. Логической основой использования каждой из указанных типов модели является соответствующий тип выводов по аналогии. В аналогии отношений существенно различие двух случаев. В одном из них переносимое отношение не предполагает общности в модели и прототипе каких-либо элементов, между которыми устанавливается это отношение («чистая» аналогия отношений). В другом случае такая общность предполагается («смешанная» аналогия). Одинаковые элементы, входящие в число коррелятов отношения, переносимого с модели на прототип, могут иметь различный характер. В одном случае это элементы, общие модели и прототипу. Во втором — посылку и заключение объединяют те объекты, которые, будучи вне сравниваемых систем, привлекаются тем не менее для того, чтобы характеризовать эти сравниваемые системы. Существует группа выводов по аналогии, когда на прототип переносится известная модификация свойств и отношений, обнаруженных в модели. Классифицируя выводы по аналогии, следует учитывать не только характер информации, переносимой с модели на прототип, но также и характер тех оснований, которые делают такой перенос возможным. В подавляющем большинстве случаев в качестве оснований вывода 75
по аналогии берутся некоторые отношения. Отношения в свою очередь могут иметь место между вещами, их свойствами или отношениями иного порядка. В соответствии с этим будем иметь три типа выводов по аналогии, которые, таким образом, условно можно назвать реальными, атрибутивными и релятивными. Реальные аналогии можно разбить на два класса в зависимости от того, охватывает или нет объем понятия: «вещи, между которыми устанавливается отношение, являющееся основанием вывода», все «элементы сравниваемых систем». Если корреляты отношения, являющегося основанием вывода («фундаментальное» отношение), не выходят за рамки элементов сравниваемых систем, то аналогию такого типа назовем внутренней. В противном случае, когда фундаментальное отношение устанавливается не только между элементами сравниваемых систем, будем иметь внешнюю аналогию. Далее, фундаментальное отношение может быть однозначно определенным, то есть символ, представляющий его, будет константой, и, с другой стороны, можно допустить существование некоторого множества фундаментальных отношений, когда символ, их представляющий, будет переменной. В свою очередь константа может иметь чисто логический или же фактический, содержательный характер. Логическая константа чаще всего выражает отношение тождества, но это может быть также отношение включения или импликации. Тогда, когда фундаментальное отношение является отношением тождества, существует различие между двумя случаями. В одном из них отождествляются отношения, каждое из которых охватывает только одну из сравниваемых систем — или модель, или прототип. В другом случае отождествляются отношения, каждое из которых соединяет элементы модели и прототипа. Первый из рассматриваемых случаев, естественно, подразделяется на два подкласса. В одном из них отождествляемые отношения определены только на элементах сравниваемых систем (внутренняя реляционная аналогия). Во втором подклассе в число коррелятов отождествляемых отношений входят не только элементы сравниваемых систем (внешняя реляционная аналогия). 76
Рассмотренные характеристики в различных комбинациях друг с другом дают возможность определить богатое многообразие выводов по аналогии. Те умозаключения, которыми школьная логика ограничивала по сути дела выводы по аналогии, оказываются особым случаем аналогии свойств. Его можно выразить следующей схемой: (а, *)/>„..., Pn\-f^- Это аналогия переменных, поскольку Рп+\ обозначает здесь любое свойство, обнаруженное на модели сверх свойств Р\, ..., Рп, общность которых модели и прототипу является основанием вывода. Фундаментальным отношением является, таким образом, отношение тождества. Выражение (а, Ь)Р\, ..., Ρ η означает, чхо свойства Ри ..., Рп присущи как предмету а, так и предмету Ь. Поскольку основанием вывода является тождество свойств, такая аналогия будет атрибутивной. Выводы такого типа впервые были исследованы Аристотелем, который называл их парадейгмой — выводами через пример 1. Парадейгма как логическое основание моделирования допускается при понимании модели в смысле а\. При формулировке а2 специально отмечается сходство хотя бы одного свойства модели и прототипа, то есть здесь парадейгма предполагается как логическое основание всякого моделирования. То же можно сказать об а2, поскольку здесь говорится об охвате моделью свойств прототипа. Сюда же относятся а^ и ае с той особенностью, что а$ представляет собой вырожденный случай парадейгмы, когда все свойства модели и прототипа оказываются одинаковыми. В остальных же случаях либо ничего нельзя сказать о тех логических основаниях, которые предполагаются понятием модели, либо эти основания имеют другой характер. Термин «аналогия» Аристотель, Платон и другие античные мыслители применяли не к парадейгме, а к иному типу выводов — к равенству отношений2. «Аналогией я называю такой случай, когда второе слово относится к первому так же, как 1 См. Аристотель. Аналитики. 68 b 38—69 а 19. М., 1952, стр. 169. 2 См. Аристотель. Этика, кн. 5, § 6. СПб., 1908, стр. 88. 77
четвертое к третьему»1. Конкретный пример из биологии поясняет суть такого вывода: «Я разумею под аналогом следующее: одним присуще легкое, другим оно не присуще; но то, что для имеющих его представляет собой легкое, то для других нечто иное, взамен него...»2. Схематически это можно выразить следующим образом: R (легкие, воздух) R (жабры, вода) Предполагаемым основанием вывода здесь служит наличие отношения взаимно-однозначного соответствия между элементами модели и прототипа: легкие — жабры, воздух — вода. Вывод по аналогии рассматриваемого типа в целом будет иметь вид «і, *іРц(Яь *ι) = α2, b#22(a29 *а) Ь ^Т^ТТ · R(bb ь2) В левой части схемы выражено тождество отношений между соответствующими друг другу элементами модели и прототипа. Крышечки над знаками этих элементов (символы абстракции) означают, что речь идет о тождестве не предметов, а отношений между ними. Античные мыслители в модели и прототипе рассматривали обычно лишь бинарные отношения. Современная наука имеет дело, как правило, с многоместными отношениями. В таком случае мы получаем аналогию через изоморфизм. Ее схема будет иметь вид R(bh...t Ьп) С точки зрения изложенной выше классификации такое умозаключение можно охарактеризовать следующим образом. Прежде всего это аналогия отношений, поскольку речь идет о переносе отношения из модели на прототип. Так как переносится не какое-либо одно заранее определенное отношение, а различные отношения, обнаруженные в модели, то это аналогия переменных. Корреляты отношения R в модели и прототипе, вообще говоря, не имеют никаких общих элементов. Поэтому мы 1 Аристотель. Поэтика. 1457 b 9. Л., 1927, стр. 67. 2Аристотель. О частях- животных. 645а — 646а. М., 1937, стр. 51. 78
имеем здесь дело с чистой аналогией отношений. Фундаментальное отношение, являющееся основанием вывода по аналогии, представляет собой отношение между отношениями, то есть это релятивная аналогия. Фундаментальное отношение однозначно определено, являясь не чем иным, как отношением тождества. При этом отождествляются отношения, каждое из которых соединяет элементы модели и прототипа. Аналогии через изоморфизм находят широчайшее применение в самых различных областях современной науки и техники. Это находит свое отражение в том, что различные понятия модели в-качестве логического основания моделирования чаще всего предполагают именно аналогию через изоморфизм. Как уже отмечалось выше, ссылка на изоморфизм как на отношение между структурой модели и прототипа иногда является даже основой определения понятия модели. Так, аналогия через изоморфизм Предполагается ПОНЯТИЯМИ а7, #8, #9, 012» #16, #23, ^29- В понятиях а7, а\и о>22 имеются в виду различного рода обобщения изоморфизма. Ряд других понятий допускают аналогию через изоморфизм в качестве единственного логического основания моделирования или во всяком случае в качестве одного из таких оснований. В связи с аналогией через изоморфизм естественно возникает вопрос о способах установления одинаковости корреляторов pi,..., рп, то есть отношений, сопоставляющих элементы модели и прототипа друг с другом. Часто это можно сделать в том случае, если известно, что в модели и прототипе имеет место одно и то же отношение Q, то есть на основе вывода, обратного аналогии через изоморфизм. Соединяя обратный и прямой вывод через изоморфизм друг с другом и исключая промежуточный результат о взаимно-однозначном соответствии, получим схему вывода по аналогии следующего типа: αχ,..., anQ(au..., ап) = Здесь наличие в модели и образце одного и того же отношения Q является основанием для переноса на прототип другого отношения — R, обнаруженного в модели. 79
Поскольку такой тип вывода чаще всего применяется в эмпирических исследованиях, его условно можно назвать эмпирико-реляционной аналогией. Согласно приведенной выше классификации, это будет аналогия отношений. Далее, это аналогия переменных, поскольку в качестве R могут выступать различные отношения. Так же как и в аналогии через изоморфизм, корреляты отношения R, вообще говоря, не имеют общих элементов, фундаментальное отношение есть отношение тождества между отношениями. Однако в отличие от аналогии через изоморфизм в основании отождествляются отношения, каждое из которых имеет место не между элементами модели и прототипа, а внутри сравниваемых систем. Эмпирико-реляционная аналогия находит широкое применение в техническом моделировании и в таких науках, как кибернетика 1. В нашем списке различных понятий модели эмпирико-реляционная аналогия в качестве основы моделирования предполагается понятиями а\ъ, Язо- Из близких к изоморфизму отметим еще два типа выводов по аналогии. В истории развития науки весьма часто можно встретиться с такими случаями, когда одна модель усиливает результат использования другой. Например, обнаружение волновой природы звука усиливает аналогию между волнами на поверхности воды и светом2. Аналогию такого типа, которую можно назвать вспомогательной, дополняющей или усиливающей, можно выразить в виде следующей схемы: Рассмотренная форма аналогии находит применение в выводах от модели к прототипу, если модель понимать В СМЫСЛе й\, #2, #4> #5, #7, #8, #12» #16> ^17, #18, #22 И В ДруГИХ случаях. В том случае, когда часть элементов модели, прототипа и вспомогательной модели, данные о которой образуют основание вывода, совпадают, а место остальных 1 См. А. И. Уемов. Реальный смысл проблем кибернетики и их извращение в буржуазной науке. — «Ученые записки ИГПИ», т. 8. Иваново, 1955. 2 См. Ф. Розенбергер. История физики, ч. 3, вып. 1. М. — Л., 1935, стр. 162. 80
элементов вспомогательной модели занимают перемен^ ные, мы приходим к иному типу выводов — интерпретационной аналогии. Ее схема будет иметь вид /С№»...»лл, си...,ст)\ —— —— —. (#(01 9...,bn, сь...,ст) Использование вариационных принципов, на наш взгляд, можно привести в качестве примера аналогии подобного типа К Отметим еще четыре формы, которые служат логическими основами использования моделей в целом ряде важных для практики моделирования случаев. И. Ньютон, формулируя второе из трех его знаменитых «правил философствования», писал: «Поэтому, поскольку возможно, должно приписывать те же причины того же рода проявлениям природы. Так, например, дыханию людей и животных, падению камней в Европе и в Америке, свету кухонного очага и солнца, отражению света на земле и на планетах»2. Основываясь на этой аналогии, Ньютон приписал одну и ту же причину падению камня и движению Луны, что сыграло важную роль в открытии закона всемирного тяготения. Здесь причина падения камня послужила моделью для объяснения движения Луны. Термин «модель» при этом может пониматься не только в смысле нашего «охватывающего понятия», но также в смысле 01» 02, 03, 04, 032, 035· Аналогии подобного типа назовем каузальными. В прошлом ряд логиков понимали умозаключения по аналогии вообще только в таком смысле3. Каузальные аналогии находят довольно широкое применение в современной науке. Так, Г. А. Тихов создавал астробиологию на основе каузальной аналогии между цветом поверхности Марса и цветом поверхности неко- 1 Подробнее см.: А. И. Уемов. Аналогия в практике научного исследования. 2 И. Ньютон. Математические начала натуральной философии, т. II. Пг., 1916, стр. 450. 3 См. Д. Локк. Опыт о человеческом разуме. — В кн.: Д. Локк. Избранные философские произведения, т. I. М., 1960; Д. Дидро. Индукция. —В кн.: Д. Дидро. Собр. соч., т. VII. М., 1939; Д. Гер- шель. Философия естествознания. СПб., 1868; М, Владиславлев. Логика. СПб., 1872. 81
торых участков Земли, покрытых растениями известных видов 1. Основная философская проблема кибернетики — вопрос о том, может ли машина обладать сознанием, — решается на основе каузальной аналогии2. Каузальная аналогия является логической основой дифференциальной диагностики в медицине3. Выразим структуру каузальной аналогии. Ее ядро (α) Ρ п „ л можно представить в виде -^—. Ρ — свойство особого (Ь)Р рода, которое представляет собой отношение к объекту С, являющемуся причиной а. Пусть С — отношение каузальной зависимости, так что С(а, с) будет значить: «а имеет в качестве причины с». Таким же образом С представляет собой каузальное отношение Ь к с, то есть имеет место С(Ь, с). Это не означает, что посылку аналогии можно рассматривать как непосредственное выражение отношения. Выделение Сие явилось результатом анализа свойства Р. Непосредственно они не даны в посылках. Известно лишь, что а имеет такую-то причину и в выводе утверждается, что причина Ь та же самая. Основанием вывода служит утверждение об однородности модели и прототипа. Выразим это отношение символом Я. Точки над символом Р, Я и С означают, согласно принятому выше условию, что речь идет не об отношениях вообще, а о вполне определенных отношениях, то есть символы Р, С и Я являются константами. Будем иметь следующую структуру вывода по аналогии каузального типа. С{Ь, с) Каузальную аналогию можно рассматривать двояко — и как аналогию свойств, и как аналогию отношений. В качестве аналогии свойств она выступает в том случае, если свойство Ρ не подвергается анализу. Как аналогия 1 См. Г. А. Тихое. Астробиология. М., 1953. 2 См. А. И. Уемов. Аналогия как метод решения проблемы соотношения машины и мышления. — «Кибернетика, мышление, жизнь». 3 См. А. С. Попов. Логическая структура диагностического процесса. — «Основные философские вопросы современной биологии и медицины», стр. 207—208. 82
отношений — в противном случае. В обоих планах это аналогия констант. Переносится не любое свойство или отношение, а одно — строго определенное. Используя введенный выше термин, можно сказать, что модель в этом случае не является свободной. Корреляты отношения С в модели и прототипе имеют общий элемент с. Поэтому в отличие от аналогии через изоморфизм каузальная аналогия является смешанной аналогией отношений. Фундаментальное отношение, являющееся основанием вывода по аналогии, является отношением между вещами а и Ь, то есть в принятой нами терминологии — реальная аналогия. Это отношение однозначно определено, поскольку символ, его выражающий, является константой. В каузальной аналогии на основе однородности явлений а и Ь с одного из них на другое переносилось свойство иметь данную причину. Но возможен и противоположный процесс, когда основанием является однородность причин, а вывод заключается в переносе информации об одном из действий причины на другое. Если в каузальной аналогии одна и та же причина приписывается сходным явлениям, то здесь речь идет о том, чтобы приписывать сходные следствия сходным причинам. В логике такая аналогия следствий отмечалась наряду с каузальной аналогией К Рассмотрим логическую структуру аналогии следствий. В «ядре» вывода имеет место перенос «сходства» — признака Ρ с одного явления — модели а на прототип — Ъ. Основанием является утверждение о сходстве, в важнейшем частном случае — тождестве, причин а и Ь. Поскольку эта общая причина может быть и неизвестной, ее обозначим через х. Модель а и прототип b обладают общим свойством — причинным отношением к х. Это выразим как (ab)Cx. Таким образом, структура аналогии следствий будет иметь вид к J (Ρ) ρ Не разбирая проблем аналогии следствий в общем виде, рассмотрим один из важнейших частных случаев, См. М. Владиславлев. Логика. 83
когда переносимый предикат Ρ представляет собой фиксированное свойство «быть истинным». В таком случае модель и прототип должны относиться к сфере мышления, ибо только мысли допускают валентную оценку. При этом χ должен представлять собой логическое основание модели и прототипа, а С — отношение логического следования. Указанный случай будем называть логической аналогией следствий. Такая аналогия относится к классу аналогии свойств. Это аналогия констант, поскольку значение предиката Ρ фиксировано. Фундаментальное отношение установлено между вещами. Значит, это «реальная» аналогия. Логическая аналогия свойств довольно часто выступает в качестве основания метода моделирования особенно в математике. Так, Д. Пойа определяет структуру умозаключения по аналогии следующим образом: А следует из Я В следует из Η В истинно А более правдоподобно При этом делается оговорка: у нас нет Я, мы только надеемся на его существование К Здесь одна теорема выступает в качестве модели для другой теоремы. Термин «модель» при этом может пониматься в смысле аи а2, αζ, а4> #9, Яю> #26, #27, #зі и, разумеется, в смысле нашего «охватывающего» понятия. В современной науке, особенно в кибернетике и связанных с ней дисциплинах, существенную роль играет моделирование, основанное на аналогиях, которые можно назвать функционально-структурной и структурно- функциональной. В первом из этих типов отношения в модели и прототипе, то есть структуры этих систем, отождествляются на основе тождества их функций. Такова логическая основа раздела кибернетики, называемого бионикой. Функционирование системы можно представить как ее отношение к некоторым объектам, называемым средой. Пусть для модели — системы (аь ..., αη) такой средой будет а. Среду для прототипа (Ьи ..., Ьш) обозначим 1 См. Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения. Μ 1957, стр. 275. 84
Ь. Функциональное тождество означает тождество отношений сравниваемых систем к соответствующим средам. Обозначим эти отношения буквой F. Структурные отношения, то есть отношения, существующие между элементами в сравниваемых системах, пусть будут S. В таком случае схема функционально-структурной аналогии будет иметь вид (αϊ,..., an)aF[{ax,..., ап\а] = = (l.Jj^[(»i Utlb ^Т'^ьІ ' S(blt..., bm) В другом из рассматриваемых типов аналогии — структурно-функциональном — структурное тождество является основанием для отождествления функций, что можно выразить схемой av..., aaS(al,...,an) = m Κ m) F[(bl9..., bm), b] Функционально-структурную аналогию можно охарактеризовать как аналогию отношений. Поскольку с модели на прототип переносится любое отношение, это аналогия переменных. Очевидно также, что это «чистая» аналогия отношений. Фундаментальное отношение, которым здесь является отношение тождества, сопоставляет в свою очередь отношения, а именно отношения элементов к своим средам. По принятой терминологии функционально-структурная аналогия должна быть отнесена к классу релятивных. При этом фундаментальное отношение выражается константой. Корреляты отождествляемых отношений охватывают не только элементы модели и прототипа, но также и внешние по отношению к ним объекты — среды. Поэтому здесь мы имеем дело с внешней реляционной аналогией. В отличие от этого структурно-функциональная аналогия будет представлять собой внутреннюю реляционную аналогию. Моделирование, основанное на структурно-функциональной аналогии, находит столь же широкое применение в кибернетике, как и моделирование, предполагающее функционально-структурную аналогию. 85
Понятие модели при этом может пониматься в смысле аи а2, аъ, а4, #ю, о>\ъ βΐ9, #20, #22, #26, #27, #зо- Кроме того, все понятия, предполагающие изоморфизм структур модели и прототипа как логическое основание моделирования, допускают также и структурно-функциональную аналогию. Однако функционально-структурная аналогия не может быть использована там, где изоморфизм предполагается в качестве предпосылки, поскольку в такого типа аналогии установление изоморфизма является не предпосылкой, а результатом вывода.
понятийный аппарат теории Глава III ВЫВОДОВ ПО АНАЛОГИИ Рассматривая структуру выводов по аналогии, мы отделяли основания от посылок. Теперь мы должны перейти ко второму уровню логического анализа. Здесь определяется логическая значимость выделенных на первом уровне оснований. Для этого необходимо сформулировать основания второго уровня, с точки зрения которых может быть осуществлена указанная оценка. Эти основания должны связывать посылки и основания первого уровня с заключением. По отношению к основаниям второго уровня как посылки, так и основания первого уровня имеют характер посылок. Традиционная логика дает далеко не полный анализ выводов по аналогии на первом уровне. Что касается второго уровня, то здесь этот анализ по сути дела вообще отсутствовал. Лишь в самое последнее время ряд авторов в разных странах поставил вопрос об условиях правомерности отдельных типов выводов по аналогии. Разработка этих проблем, несмотря на их чрезвычайно большое значение для науки, встречает сопротивление со стороны тех ученых, которые полагают, что строгие правила вывода могут относиться лишь к умозаключениям дедуктивного типа, а выводы по аналогии по самой своей природе навсегда должны остаться догадками, причем их правомерность определяется фактическим успехом. Так, П
например, Б. Югош пишет, что применение термина «аналогия» к умозаключению, дающему достоверный вывод, вводит в заблуждение. Подлинный вывод по аналогии представляет собой гипотезу, которая не может быть логически обоснована 1. С другой стороны, Б Фогараши ограничивает возможные условия правомерности выводов по аналогии четырьмя положениями: «1. Умозаключение по аналогии должно основываться не на поверхностных свойствах (признаках) сравниваемых друг с другом явлений, а на их существенных свойствах. 2. Всякое умозаключение по аналогии имеет задачу установить действительное сходство между различными предметами в определенном отношении... 3. ...Умозаключение по аналогии составляет только одно звено в общем процессе познания, цель которого состоит в том, чтобы установить как сходство, общие черты, так и различия. 4. ...Чем теснее связь между известными свойствами предмета А и известными свойствами предмета В, с одной стороны, и между известными свойствами предмета А, которые сходны со свойствами предмета В, и дополнительными свойствами, известными только в отношении предмета А, — с другой, тем больше вероятность того, что заключение о неизвестном свойстве в отношении предмета В будет правильным» 2. Б. Фогараши отмечает, что последнее правило «насколько мне известно, впервые дано мною» 3. По-видимому, сюда можно отнести также по крайней мере третье правило. Если эти правила не формулировались кем-либо ранее, то не вследствие трудности этих формулировок, а вследствие их чрезмерно общего характера. Не беда, если приведенные условия правомерности выводов по аналогии оказались излишне общими. Беда в том, что принципиально отрицается возможность формулирования каких-либо других, более конкретных условий. Б. Фогараши категорически заявляет: «Логические 1 В. Iuhos. Uber Analogieschliisse. — «Studium Generate», Marz 1956, H. 3, S. 128. 2 Б. Фогараши. Логика. Μ., 1959, стр. 341—342. 3 Там же, стр. 343. 88
условия правильности умозаключений по аналогий быЛй даны в приведенном выше изложении. Но эти логические условия суть условия самого общего характера. Правомерно или нет какое-либо умозаключение по аналогии в данном конкретном случае, может быть решено только на основе фактического рассмотрения вопроса. Схема, скелет этого рассмотрения даны в формулировках и правилах в нашем тексте. Они предостерегают от известных заблуждений и помогают находить конкретные предметные условия аналогии. Большего от логики требовать нельзя» 1. И это очень распространенная точка зрения. Однако наука требует от логики большего. Пессимизм в отношении возможности выяснения условий правомерности вывода по аналогии в значительной мере обусловлен тем, что исследовалась лишь одна из наиболее слабых форм этого вывода — парадейгма. Однако даже применительно к этой форме, не говоря уже об остальных, возможно сформулировать более конкретные правила, чем те, о которых говорит Фогараши. Мы не претендуем на формулировку правил, относящихся ко всем возможным формам выводов по аналогии. Число таких форм, как и соответствующих им типов моделей, слишком велико. Однако если мы ограничимся •выяснением условий правомерности хотя бы тех форм, которые были проанализированы выше, то тем самым будет охвачена значительная, если не большая часть тех выводов, которые используются в качестве логической основы применения моделей в практике научного исследования. § 1. Классификация свойств, отношений и вещей Для того чтобы сформулировать условия правомерности выводов по аналогии, нам потребуются некоторые дополнительные понятия, связанные с категориями вещи, свойства и отношения. Прежде всего выясним, какими бывают вещи, свойства и отношения. Удобнее всего начать со свойств. 1 Б. Фогараши. Логика, стр. 343. 89
1. Классификация свойств Свойства можно классифицировать прежде всего по наличию интенсивности и характеру ее изменения. Точечные, линейные и многомерные свойства. Такие свойства, как «быть ректором», «быть электроном», «состоять из водорода и кислорода» и т. д., не имеют никакой интенсивности. Например, человек может быть или не быть ректором, но не может быть в большей или меньшей степени ректором, если только понимать эти слова в буквальном смысле. Назовем такие свойства, не имеющие интенсивности, по аналогии с точкой точечными или свойствами нулевого измерения. Другие, линейные свойства, присущие предмету, всегда имеют определенную интенсивность, причем могут изменяться лишь в направлении уменьшения или увеличения этой интенсивности. Таковы масса, упругость, вязкость, мощность, температура, физическая сила человека, его рост и т. д. Между отдельными линейными свойствами имеются, несомненно, качественные различия. Например, свойство «масса» качественно отлично от свойства «объем». Никакое количественное изменение одного из свойств не может перевести его в другое свойство·. Как отмечает Аристотель, «белое не переходит в образованное иначе как по совпадению, а переходит в небелое и не в любое небелое, а в черное или промежуточное...» К Поэтому линейное свойство нельзя рассматривать как чистое количество. Оно обладает также качественной определенностью. Однако различия между предметами в отношении этих свойств являются количественными. Например, один предмет может иметь меньший вес, чем другой, но не может иметь качественно отличного веса. Для характеристики объекта в отношении его линейного свойства, поскольку известно, что он обладает им, достаточно указать, во сколько раз интенсивность свойства, характеризующего данный объект, больше или меньше некоторой интенсивности, принятой за единицу измерения. Таким образом, интенсивность одномерного свойства в предмете представляется как некоторое количество единиц, т. е. элементарных интенсивностей. 1 Аристотель. Физика. 188а — 188в. М., 1937, стр. 17. 90
Для дальнейшего изложения нам понадобится понятие интервала (диапазона) интенсивности, под которым будет пониматься всякая совокупность интенсивностей данного свойства. Если разбиение интенсивности свойства на определенные заранее единицы не всегда возможно так, чтобы получилось целое число таких единиц, то всегда возможно произвести разложение на целое число некоторых интервалов интенсивности. Зависимости между интенсивностями линейных свойств часто имеют довольно простой вид и легко допускают математическую обработку. Поэтому они изучены значительно лучше других свойств. В физике такие свойства называются скалярами. К двухмерным (плоскостным) свойствам можно отнести свойства, которые могут изменяться в двух отношениях. Задание (количественное или качественное) одной интенсивности не определяет полностью предмет в отношении данного свойства. Примерами таких свойств могут служить сила, ускорение, скорость и т. д. В физике применительно к таким свойствам употребляется термин «векторная величина». Для характеристики вектора на плоскости недостаточно указать только на его абсолютную величину (модуль). Векторная величина может изменяться в двух отношениях — по модулю и по направлению. Двухмерные свойства можно разложить на комбинацию одномерных свойств. Например, вектор в плоскости можно представить как комбинацию одного линейного свойства—угла и другого — длины отрезка. Разложение же вектора на компоненты будет представлять собой разложение двухмерного свойства на двухмерные же, поскольку компоненты представляют собой векторы. Трехмерные и, вообще говоря, n-мерные свойства можно определить по аналогии с двухмерными как способные изменяться соответственно в трех, четырех или, вообще говоря, η отношениях. Примеры трехмерных свойств представляют собой свойства, выражаемые в физике пространственными векторами, ^-мерные свойства математика выражает тензорами различных рангов. Другим примером /г-мерного свойства может служить обладание цветом. Цвет нельзя характеризовать какой-нибудь одной интенсивностью. Он может изменяться в различных отношениях — в отношении светлоты, яркости и положе- 91
ния в спектре, n-мерные свойства разлагаются на некоторые комбинации других свойств. В частности, многомерное свойство может быть разложено на совокупность линейных. Далее, поскольку каждая определенная интенсивность линейного свойства сама является свойством, причем точечным, линейное свойство тем самым разлагается на некоторое множество точечных свойств. Наоборот, многие точечные свойства можно рассматривать как состояния линейных и их набор — как своего рода псевдолинейное свойство. Деление свойств по числу измерения нашло известное признание в литературе. Оказалось возможным применить его при решении ряда логических проблем, например при определении условий правомерности выводов через ограничение 1. Е. К- Войшвилло, говоря о точечных, линейных и многомерных свойствах, сопоставляет им различение «свойств-термов» и «свойств-понятий»2. «Свойства-термы»— это точечные свойства. Лишь они, по мнению Е. К. Войшвилло, являются определенными свойствами предметов. Что же касается линейных и вообще многомерных свойств, то они представляют собой свойства свойств (именно точечных свойств) предметов. ««Цвет» есть определенное свойство зеленого, желтого и других цветов и переменная для свойств (цветов) материальных предметов. Аналогично для свойств «форма», «положение», «национальность», «гражданство», «склонение» (существительных), «спряжение» (глаголов) и т. п., а также величин «масса», «скорость», «расстояние», «стоимость» и прочее»3. Можно согласиться с тем, что в некоторых случаях это действительно так. Например, если мы имеем некоторое множество объектов, один из которых красный, другой — фиолетовый, третий — цвета бордо, четвертый — синий, пятый — малиновый и т. д., то мы можем, абстра- 1 См. А. И. Уемов. О выводах через ограничение и условиях их правильности. — «Ученые записки ИГПИ», т. 8; А. Л. Субботин. Алгебраическая полуструктура и традиционная формальная логика.— «Логическая семантика и модальная логика». М., 1967; его же. Традиционная и современная формальная логика. М., 1969, стр. 150—154. 2 См. Е. К. Войшвилло. Понятие. М., 1967, стр. 254—255. 3 Там же, стр. 255. 92
гируя эти свойства и рассматривая их как самостоятельные объекты, выявить свойство этих свойств (здесь — «быть цветом»), которое окажется линейным или, как в данном случае, многомерным свойством. Однако цвет может быть определен не только как нечто общее ряду свойств, но и как нечто присущее непосредственно объекту, например макротелам в отличие, например, от силлогизмов. Когда мы говорим, что данное животное быстрое, то хотим этим сказать не то, что оно обладает некоторой переменной, принимающей ряд значений, а только то, что животное обладает определенным качеством — быстро- той; способным изменяться в двух направлениях. Таким образом, многомерное или линейное свойство может быть первичным в смысле непосредственной присущности предметам. С другой стороны, точечное свойство может быть свойством свойств. Например, «точечность», «линейность» или «многомерность» сами представляют собой точечные свойства, но по крайней мере второго порядка, то есть свойства свойств. Логические и нелогические свойства. Во многих случаях существенное значение имеет выделение особой группы логических свойств. Термин «логическое свойство» широко применяется Б. Расселом, который определяет его следующим образом: «Мы скажем, что предложение, имеющее некоторую составную часть а, приписывает «логическое свойство» а, когда, будучи заменено переменной х, дает пропозициональную функцию, которую можно выразить средствами логики. Критерий определения логического свойства очень- прост: кроме- константы а, не должно включаться никаких констант, кроме чисто формальных, таких, как «несовместимость» и «для всех значений х», которые не должны быть составными частями тех предложений, в вербальное или символическое выражение которых они входят»1. Например, свойство «внутренне противоречивое», приписываемое суждению а, будет, согласно определению Рассела, логическим, поскольку его можно определить без помощи каких-либо констант, кроме логических, например как а—*а. С другой стороны, свойство «широко распространенное», приписываемое тому же суждению уже нельзя 1 В. Russel. The Analysis of Matter. New York, 1954, p. 250. 93
определить подобным же образом. Здесь требуются константы фактического характера. 2. Классификация отношений Классификация отношений между вещами. Широко известно деление отношений по признакам рефлексивности, симметричности и транзитивности. В случае бинарных отношений эти свойства выражаются простыми формулами. yxR(x, χ) означает, что отношение R рефлексивно; yx~\R(x, x) — R антирефлексивно (~| — знак отрицания); yxyy[R(x, y)-+R{y, x)] — R симметрично; "IV^V^l^C*» У)~*%(У> X)\ — R асимметрично; Yxyy[R(x, y)-> ~~}R(y, x)] — R антисимметрично; yxyyyz[R(x, y)&R(y, z)-+R(x, z)] — R транзитивно; Ί Y*YyYz[R(x, y)&R{y, z)->R{x, z)] — R нетранзи- тивно; yxYyyz[R(x, y)&R(y, -г)-* Π R{x, z)] — R антитранзи- тивно. Особое значение для нас имеет свойство функциональности. Бинарное отношение им обладает в том случае, если дает возможность однозначно определить один коррелят отношения через другой. Например, функциональным будет отношение «мать». Если известно, что χ мать Ь, то тем самым χ однозначно определен. Это можно выразить в виде формулы yxyyyz{R(x, y)-+[R{z, y)->(x=z)]}. Функциональность может иметь место лишь в одном или же в обоих направлениях. В последнем случае отношение называется взаимно-функциональным, например «быть матерью единственного ребенка». Изложенная классификация в настоящее время детализирована. В частности, в работах Н. Гудмена вводится 94
ряд типов рефлексивности К Отношение (как его синоним употребляется термин «предикат») рефлексивное, согласно приведенному выше определению, называется тотально рефлексивным. Здесь отношение может быть применено к любым тождественным друг другу элементам. Однако только ли к тождественным элементам может быть применено отношение? Если это так, то отношение будет называться избыточным (redundant). Ему можно сопоставить формулу VXVy[R(x, У)-+{Х = *)\- Примером такого R может служить отношение абсолютной тождественности. Далее вводятся понятия левой, правой и встречной рефлексивности, которые не представляют, однако, особого интереса в плане нашей темы. Свойства избыточности и тотальной рефлексивности легко распространяются на случай многоместных отношений. Здесь достаточно пары заменить на я-ки. Однако применительно к нерефлексивным отношениям необходимо ввести дальнейшие уточнения, я-местный предикат будет неограниченно up рефлексивным, если все элементы во всех его я-ках различны. Однако могут быть последовательности, в которых некоторые элементы тождественны, а другие нет, например может иметь место R(x, у, z, х, х). По числу k различных компонент можно выделить ^-вариантные (&-va- rigated) последовательности. Соответственно числу k выделяются различные типы иррефлексивности. При k — η для всех последовательностей предикат становится неограниченно иррефлексивным. Переход от двухместных к многоместным отношениям приводит к многообразию форм симметричности. Если для двухместного предиката R(x, у) есть только одна возможность перестановки объектов R(y, χ), то уже для трехместного предиката R(x, у, ζ) таких перестановок три: R{y} χ, г), R(x, ζ, у), R(z, у, χ). Если возможна только первая перестановка, предикат можно назвать (1) (2) симметричным символически—(1) (2) Sy), соответст- 1 N. Goodman. Axiomatic Measurement of Simplicity. — «The Journal of Philosophy», November 1955, vol. LII, N 24. 95
бёйно гїрй возМояснобти только второй или третьей подстановки будем иметь (2) (3) Sy, (1) (3) Sy. При возможности всех трех перестановок будем иметь полную или (1) (2) (3) Sy, Рассмотренные типы симметричности относятся к первому уровню, поскольку здесь рассматриваются перестановки отдельных предметов. Можно перейти к более высоким уровням симметричности, когда отношение сохраняется при перестановках пар, троек, вообще т-к предметов, взятых из тех последовательностей, к которым применяется я-местный предикат. Например, отношение, имеющее место в пропорции x/y = z/u, дает возможность менять местами пары (х, у) и (ζ, и), а также (х, и) и (у, ζ). Такой тип симметричности может быть обозначен как (1,2) (3,4) Si/и (1,4) (2,3) Sy. Транзитивность не дает возможности подобного раскрытия многообразия типов отношений при переходе от двухместных к многоместным отношениям. Это свойство Н. Гудмен обобщает в понятии самополноты (self- compleatness). Для двухместных отношений самополнота-определяет- ся формулой (предполагается, что все предметные переменные различны) YXYyYzyu[R(x, у) &R(z, u)-+R (χ, и)}. В случае многоместных отношений самополнота означает, что если есть несколько последовательностей предиката, то мы можем построить новую последовательность того же предиката, если возьмем первый элемент из одной последовательности, второй из другой и т. д. Например: Н\Хъ -*-2> -*-3> *^4/ #(#1> У» У ν У а) R\ZV z2> ^3> Z4J f\[Xli Z2, Уз, X4) На первый взгляд кажется, что это свойство абсурдно, но на самом деле мы довольно часто встречаемся с ним. Любая стандартизация предполагает самополноту соответствующих отношений. Например, если у нас есть пять однотипных приемников, то благодаря свойству самопол- 96
йоты Мы можем построить новый, беря одну деталь ИЗ одного приемника, другую из другого и т. д. Понятие самополноты может иметь довольно широкую сферу применения к Изложенные способы классификации отношений могут быть обобщены различными способами. Данный в предшествующей работе способ, связанный с использованием понятий полугруппы и группы2, нам не кажется сейчас удачным, поскольку многие формально возможные в такой классификации типы отношений фактически не реализуются. Более целесообр; ;ным представляется путь обобщения и дополнения рассмотренных выше свойств отношений. Так, наряду с тотальной рефлексивностью и избыточностью в понимании Н. Гудмена можно ввести понятие слабой рефлексивности как противопоставления сильной рефлексивности, охватывающей тотальную рефлексивность и избыточность. Слабую рефлексивность можно определить как применимость к тождественным парам. С помощью кванторов это выразится как g xR{x, χ). Понятие слаборефлексивного отношения будет контрадикторным по отношению к антирефлексивному отношению. Другой путь развития понятия рефлексивности заключается в следующем. Согласно тому пониманию отношений, которое было развито выше, каждое отношение, будучи установлено между η объектами, образует новый п+ 1-й объект. Можно поставить вопрос об отношении между этим новым объектом и исходными. Различные варианты, которые при этом будут иметь место, образуют некоторое многообразие типов отношений. Пусть у нас имеется отношение параллельности. Пару линий, объединенных этим отношением, можно рассматривать как один объект. И этот объект будет находиться в том же отношении параллельности к любому из объектов, входящих в его состав. Такое свойство отношения, назовем его суммативной рефлексивностью, можно выразить следующей формулой: У*. УУ {/?(*> ίΟ-*#[(«*. У\ x]&R[(x, у\ у]}- 1 См. А. И. Уемов и др. К вопросу об измерении простоты. — «Методологические проблемы теории измерений». Киев, 1966. 2 См. А. И. Уемов. Вещи, свойства и отношения, стр. 110—112. 4 А. И. Уемов 97
Указанную характеристику отношения можно использовать для экспликации различия между тождеством и сходством, что имеет особое значение для логического анализа проблем моделирования. Отношение тождества является суммативно-рефлексивным. Два тождественных друг другу объекта дают новый объект, тождественный с каждым из исходных. Однако пара сходных предметов не обязательно сходна с каждым из них, взятым по отдельности. Отношение сходства не является суммативно-рефлексивным, хотя оно рефлексивно согласно обычному определению этого термина и тотально-рефлексивно в смысле Гудмена. Ослабляя условие суммативной рефлексивности, приведенное выше, мы получим частичную суммативную рефлексивность. Для бинарного отношения последняя может быть двух типов. Левая суммативная рефлексивность определяется формулой yxyy{R(x, y)^R[(*> У)> х\- Правой суммативной рефлексивности соответствует формула yxyy{R{x, у)-+Я[(х> у), у]· Очевидно, что просто суммативная рефлексивность (в случае необходимости ее можно называть полной суммативной рефлексивностью) является одновременно левой и правой суммативной рефлексивностью. Понятие суммативной рефлексивности легко может быть обобщено на случай многоместных отношений. Здесь множество различных вариантов, например таких, которые определяются следующими формулами: yxyyyz{R(x, у, z) — R[(x, у), z]&R[(y, ζ), χ] & &R[(x, ζ), у}}; Yxyyyz{R(x, ί/, z)-+R[(x, y\ z]&R[(y, ζ), z]& &/?[(*, ζ), ζ]}; yxyyyz{R(x, у, *)-*/?[(*, у), z]&R[(y, ζ), y]& &R[(x, ζ), χ]}. В качестве примера отношения, удовлетворяющего первой из приведенных формул, можно привести отношение подчинения меньшинства большинству. Примером 98
отношения, соответствующего второй формуле, служит отношение параллельности линий на плоскости. И наконец, третий тип отношений может иллюстрировать отношение «Из каждого подмножества можно взять по элементу», существование которого постулируется известной в теории множеств аксиомой Цермело. Более подробное рассмотрение типов многоместных отношений, выделяемых по рассматриваемому признаку, выходит за рамки настоящей работы. Обобщение понятия симметричности многоместных отношений в работе Н. Гудмена, на наш взгляд, допускает одно дополнение. Согласно Гудмену, симметричность означает возможность перестановки подпоследовательностей «одинаковой длины». Однако такое ограничение не является необходимым. Если R(x, у, ζ, и, t) означает торговые отношения, такие, что х, у, ζ каждое по отдельности торгует как с и, так и с t, то это будет означать и то, что г, t каждое по отдельности торгует с х, у, ζ. Таким образом, тройку предметов в последовательности, к которой применяется это отношение, можно менять на двойку и наоборот. Иными словами, отношение R будет обладать свойством, которое в символике Н. Гудмена можно было бы обозначить как (1, 2, 3) (4, 5) Sy. Соответственно тому, одинаково или нет число объектов в переставляемых подпоследовательностях, можно говорить о равночисленной и не равночисленной симметричности. Понятие самополноты может быть обобщено следующим образом. Гудменовское условие R(x, у) -R(z, и)-+ -*R (χ, и) эквивалентно, как отмечает сам автор, утверждению, что пары самополного отношения образуют декартово произведение его области и противообласти. В самом деле, декартово произведение области и противообласти R(x, у) и R(z, и) будет выглядеть следующим образом: X ζ У х, У *. У а х, и ζ, и 1 4* 99
В этом декартовом произведении четыре элемента. Из них на двух — х, у к ζ, и — отношение R выполняется согласно антецеденту условия. На {х, и) отношение выполняется согласно консеквенту условия. Что же касается ζ, у, то выполнимость отношения и на этой паре следует из возможности менять местами компоненты конъюнкции и переименовывать переменные. Однако ограничение рассмотрения всех возможных комбинаций элементами декартова произведения области и противообласти отношения не представляется оправданным. Для того чтобы учесть все возможные комбинации объектов, на которых может выполняться то или иное отношение, необходимо взять логическую сумму области и противообласти и рассмотреть декартово произведение этой логической суммы само на себя. Такое декартово произведение будет иметь следующий вид: X У ζ и X X, X у, * ζ, X и, X У х> У У, У ζ, у и, У ζ χ, ζ у, ζ ζ, ζ α, ζ и I χ, и г/, и z, а а, и Не будем рассматривать диагональные элементы матрицы и элементы, лежащие ниже диагонали, поскольку их учет связан с понятиями рефлексивности и симметричности, об обобщении которых речь шла выше. Выше диагонали мы имеем шесть комбинаций, из которых только три входят в рассмотренное выше декартово произведение области и противообласти. Три комбинации χ, ζ; у, и\ г/, ζ не входят в это произведение и, следовательно, не имеют, по Гудмену, значения для определения свойства самополноты. Между т£м каждая из них, будучи взята как пара, на которой реализуется предикат, если он реализован на парах х, у и ζ, щ определяет свойство, совер- 100
шенно равноправное тому, которое Н. Гудмен называет самополнотой. Таким образом, имеем три условия, определяющие соответствующие свойства: γχγυγζγιι[ΙΪ(χ, y)-R(z, u)-*R(x, ζ)] YXYyYzYu[R{x, y)-R(z, u)-+R{y, a)] YXYyYzYu[R(x, y)-R(z, u) + R(y> z)\ Приведем примеры. Если буксир X может тянуть баржу У, а буксир Ζ — баржу U, то понятно, что один буксир может тянуть другой буксир. Огонь, который корабли могут вести по берегам, может быть направлен ими и друг против друга. Отношения, о которых здесь идет речь, удовлетворяют первому из приведенных выше условий. / Второму условию удовлетворяет, например, отношение «презирает презираемого». Если X презирает У, а Ζ презирает ί/, то У презирает U именно потому, что последний является объектом презрения со стороны Ζ. Если отношения между начальниками и подчиненными таковы, что тот, кто может быть начальником одного, может быть подчиненным другого и, наоборот, подчиненный одного — начальником другого, то мы будем иметь отношение, соответствующее третьей формуле. Указанные свойства, сформулированные применительно к бинарным отношениям, нетрудно распространить на многоместные отношения. Так, аналогом первого из определенных выше свойств для трехместных отношений будет свойство отношения, определяемое следующей схемой: a(^i» x<i, х%) R(yu Уъ Уз) R(zx, z<2, z3) R(*v Уъ Z\) В словесной формулировке: если отношение R реализуется на тройках предметов, то оно реализуется и на любых тройках, взятых из их первых элементов. В общем случае вместо троек нужно брать п-ш элементов. 101
Соответственно для аналога второго свойства будем иметь RiUv Уъ Уз) R(xv Уъ-> zz) Или в обобщенной словесной формулировке: если R реализуется на я-ках предметов, то оно реализуется и на любой /г-ке, образованной из последних элементов рассматриваемых п-к. И наконец, последнему свойству в трехместном варианте будет соответствовать схема #С*1, л:2, х3) R(y\* Уъ Уъ) R(zli z2, zs) R(x3' Уъ zv В словесной формулировке: если R реализуется на я-ках предметов, то оно реализуется и на любой я-ке, образованной из взятых в обратном порядке элементов из рассматриваемых п-к. Может показаться, что это свойство эквивалентно самополноте + симметричности на нулевом уровне. Однако наше свойство слабее, чем самополнота + симметричность. Оно следует из указанных свойств, однако из него не следуют ни самополнота, ни симметричность и тем более то и другое вместе. Нетрудно заметить, что в многоместном варианте можно сформулировать еще я—2 свойств, разрешая образовывать я-ки из вторых, третьих и т. д. до я—1-го элемента, однако они, по-видимому, имеют меньшее значение, чем свойства, определенные с помощью комбинаций «экстремальных» элементов. Рассмотрим вопрос об обобщении свойства функциональности. Функциональность в обычном смысле предполагает тождественность всех объектов, находящихся в данном отношении к заданному. Но по аналогии с тождественностью могут быть рассмотрены и другие типы отношений. Важно, чтобы это отношение было фиксировано заранее. Обозначим его константой Q. Тогда условие 102
обобщенной функциональности будет иметь следующий вид: V*V0V*{tfO*i y) — [R(z> y) — Q(x, ζ)]}. Если в качестве Q взять отношение «быть братом», то отношение «быть сыном» будет в этом смысле функциональным, несмотря на то что оно не будет функциональным по отношению к тождеству. Разложимые и неразложимые, композиционные и некомпозиционные отношения. Отношения, существующие в данном множестве, скажем, аь ..., ап элементов часто можно представить как совокупность других отношений (компонент). Например, а\ = а2 разлагается на совокупность отношений а<£Ь и a1p>b. Назовем отношения такого типа разложимыми. Отношения, не являющиеся разложимыми, отнесем к классу неразложимых. Разложимые отношения можно дальше разделить по двум основаниям. В одном случае, как в приведенном выше примере, данное отношение между элементами множества аи ..., ап разлагается на совокупность отношений между элементами того же множества. Такие отношения можно назвать внутренне разложимыми. Другие отношения разлагаются на совокупность отношений между объектами, в число которых входят элементы других множеств. Например, а\ отец аг можно разложить на два отношения: а\ муж Ь и Ь мать а%. Здесь элемент Ь не входит в число коррелятов первоначального отношения «отец». Назовем отношения такого типа внешне разложимыми. С другой стороны, разложимые отношения можно подразделить в зависимости от того, в какой мере первоначально заданное отношение определяет результат разложения. Существуют такие отношения, которые могут разлагаться на компоненты единственным способом. Назовем такие отношения однозначно-разложимыми или композиционными. Например, отношение «внук по мужской линии» композиционное. Оно разлагается на компоненты единственно возможным способом. «Быть внуком по мужской линии» — это значит быть сыном сына. Но «быть в шесть раз. больше» — это значит и «быть в два раза больше того, что втрое больше», и «быть втрое больше того, чт(? вдвое больше», и т. д. Ясно, что такое отношение не композиционное. Оно будет относиться к 103
классу многозначно разложимых или некомпозиционных отношений. Классификация отношений свойств к вещам. Разобранная выше классификация свойств и отношений рассматривает свойства и отношения как самостоятельные предметы. Отношение к вещам здесь предполагается, но лишь в общем, абстрактном плане. Наряду с такой классификацией во многих случаях имеет значение выделение различных форм отношений свойств и отношений к вещам, которые являются их носителями. Одно и то же свойство или отношение может находиться в разных отношениях к той же самой вещи. Эти различия оказываются решающими при анализе многих проблем, связанных с выяснением условий правомерности выводов по аналогии. В традиционной логике существует различие между употреблением понятия в разделительном и собирательном смысле. Говоря о том, что все моря и океаны имеют соленую воду, мы имеем в виду каждое море и океан в отдельности (разделительный смысл). Но в утверждении о том, что все моря и океаны составляют 2/3 земной поверхности, мы имеем в виду все моря и океаны, вместе взятые. На наш взгляд, здесь имеют место различные отношения между вещью, выражаемой субъектом суждения «Все S суть Р», и свойством, выражаемым ее предикатом. В первом случае свойство Ρ распределено между всеми элементами вещи S. Предикат, относящийся к субъекту именно таким образом, будем обозначать символом Р1. Второй случай имеет три варианта: предикат присущ по крайней мере большинству элементов S, вместе взятых,— обозначим его Ри (библиотека сгорела); существуют в S такие элементы, которым присуще Ρ (часы золотые), — обозначим этот случай Рш, и, наконец, тот случай, когда предикат присущ только всем элементам S, вместе взятым, и его нельзя представить как совокупность предикатов, относящихся к отдельным элементам субъекта. Примером последнего случая — обозначим так понимаемый предикат символом Ρ1Υ — является вышеприведенное суждение «Все моря и океаны занимают 2/з поверхности земного шара». Классификация отношений отношений к вещам. Ука- 104
заниє вещей, между которыми существует отношение, в общем случае не определяет однозначно это отношение. Между двумя вещами могут существовать одновременно самые различные отношения. Так, Одесса больше Иванова и находится южнее Иванова. У вещи много свойств, каждое из которых раскрывает ее не полностью, а лишь с какой-то одной стороны. Если же мы будем понимать свойство как всестороннюю характеристику вещи, позволяющую выделить ее из всех остальных вещей, иными словами, если мы отождествим свойство с самой вещью и назовем это качеством, то каждая вещь будет обладать лишь одним качеством. Это качество, будучи специфичным именно для данной вещи, не может быть присуще никакой иной вещи. Аналогично обстоит дело и в случае отношений. Между двумя вещами существует множество отношений потому, что в каждом из них соотносящиеся вещи участвуют не целиком, а только отдельными своими частями, отдельными свойствами. Таким образом, задавая то или иное отношение, необходимо указать не только те вещи, между которыми оно существует, но и те свойства этих вещей, по которым оно установлено. У соотносящихся вещей могут быть различные свойства, по которым устанавливаются отношения. Это имеет своим следствием то, что между одними и теми же вещами существуют различные отношения. С другой стороны, те же самые свойства могут встретиться не только у одной совокупности вещей, но и у какой-то иной совокупности. Так как остальные свойства несущественны для данного отношения, то же самое отношение R может существовать между другими вещами. Например, отношение «больше» существует как между Одессой и Ивановом, так и между футбольным мячом и бильярдным шариком. Возникает вопрос о том, не является ли отношение вещей по свойствам тем же самым, что и отношение этих свойств. Можно привести аргументы в пользу отрицательного ответа на этот вопрос1. Если увеличивать число свойств вещей, непосредственно участвующих в данном отношении У?, то круг вещей, См. Л. И. Уемов. Вещи, свойства и отношения, стр. 114, 105
между которыми возможно данное отношение, будет сужаться. Если же свойства, по которым установлено данное отношение, будут охватывать полностью все системы свойств, образующих соотносящиеся вещи, это отношение станет специфическим для данных вещей. Именно такое отношение имеет в виду Л. Кутюра, когда он пишет: «Приведем в заключение одну важную аксиому. Между двумя данными индивидами существует единственное в своем роде отношение, которое никогда не встречается между какими бы то ни было двумя другими индивидами. Эта аксиома очевидна с точки зрения объема, потому что для этой точки зрения рассматриваемая пара сама собою определяет отношение, отличное от всех других. С точки же зрения содержания можно сказать, что если рассматривается ансамбль всех существующих между двумя данными индивидами отношений, то этот ансамбль не имеет места ни для какой другой пары индивидов; иначе говоря, если одна пара имеет все отношения другой пары, то обе эти пары тождественны...» 1 Кутюру можно уточнить в том смысле, что специфическое для одних вещей отношение будет возможно между какими-либо другими вещами в том случае, если последние содержат данные^ вещи в качестве своих частей и именно по этим частям в них устанавливается соотношение. Отношения такого типа мы будем называть полными отношениями в отличие от отношений, установленных лишь по части свойств соотносящихся вещей, которые мы назовем частичными. Пусть отношение >/? имеет место между объектами Хи .··, Хп- Можно поставить вопрос о том, достаточно ли существования объектов Х\9 ..., хп для того, чтобы между ними имело место данное отношение R. В зависимости от положительного или отрицательного ответа на поставленный вопрос имеют место два случая, каждый из которых определяет соответствующий тип отношения R к своим коррелятам Х\, ..., хп. В первом случае будем иметь соотношение (хг) Е,..., (хп) E-+R (хъ..., хп). 1 Л. Кутюра. Философские принципы математики. СПб., 1913, стр. 32—33. 106
Здесь символ Ε означает факт существования соответствующего объекта. Назовем отношение, удовлетворяющее приведенному условию, внутренним для соотносящихся объектов. Примером внутреннего отношения может служить отношение «вдвое больше», имеющее место между числами 8 и 4. Числа 8 и 4 не могут не иметь данного отношения. Изменение данного отношения может иметь место лишь в том случае, если будут изменены сами соотносящиеся предметы. Иной характер будет иметь отношение «написано раньше». 8 было написано раньше, чем 4, но из самой сути 8 и 4 это никак не следует. Различие между внутренними и внешними отношениями играет, как мы увидим ниже, особенно' большую роль при выяснении условий правомерности некоторых типов выводов по аналогии. Вне этой сферы оно может быть использовано для определения таких понятий, как «закон»1 и «связь» 2. Пусть некто утверждает, что прямые а, Ь, с взаимно параллельны. Предположим, что мы не понимаем смысла такого утверждения... По-видимому, мы были бы удовлетворены, если бы получили разъяснение такого рода: взаимная параллельность ау Ь, с означает, что отношение параллельности имеет место между любыми двумя объектами из множества {а, Ьу с}. Указанное удовлетворение является следствием того факта, что бинарное отношение параллельности нам было уже понятно и поэтому сведение трехместного отношения к набору бинарных означало определенный способ понимания трехместного отношения. Методы сведения трехместных и, вообще говоря, многоместных отношений к бинарным могут быть самыми разнообразными, и поэтому можно говорить о различных способах понимания многоместных отношений. То же самое отношение параллельности между а, 6, с можно понять и как наличие отношения параллельности между каждым из элементов {а, Ь, с} и парой остальных или 1 A. Ujotnov. Gesetz und innere Relation. — «Der Gesetzesbegriff in der Philosophie und den Einzelwissenschaften». Berlin, 1968. 2 Cm. А. І. Уйомов. Відношення і зв'язок. — «Філософська думка», 1969, № 3. 107
как отношение параллельности между любой парой элементов и оставшимся. Могут возразить, что, поскольку мы отношение понимаем как-то по-иному, это будет уже не то же самое отношение. Тождественность отношения должна как будто бы предполагать тождественность его понимания. Отвечая на это возражение, обратим внимание на то, что все логические свойства отношения, понимаемого указанными выше различными способами, остаются одинаковыми. Поэтому если рассматривать отношение как особый предмет, как некоторую систему его логических свойств, то этот предмет будет одним и тем же при тех преобразованиях, о которых шла речь. Иное дело в случае отождествления отношений с множеством его коррелятов, то есть при чисто экзистенциальном понимании отношения. Тогда сказанное выше можно понять как сведение трехместного отношения к разным, экзистенциально различным бинарным отношениям. Последнее может рассматриваться как основание для соответствующей дифференциации трехместных отношений. Однако последнее решение связано с той трудностью, что корреляты трехместного отношения рассмотренными истолкованиями не меняются. Поэтому с точки зрения принципа экстенсиональности тождественность отношения ими не нарушается. Получается, что, различая трехместные отношения в зависимости от характера их разложения на бинарные, мы подходим чисто экстенсионально к бинарным отношениям и не делаем этого применительно к тернарным. Указанные трудности легко преодолеваются, если истолковать различные способы разложения многоместных отношений на бинарные как разные отношения отношений к вещам, то есть к своим коррелятам. Одно и то же отношение — один предмет может иметь разные отношения к другим предметам — своим же коррелятам. Для решения многих задач достаточно знать, какое это отношение. Но существует класс задач, для решения которых необходимо также уточнить, как именно относится отношение к своим коррелятам, чтобы не смешивать различные отношения такого типа друг с другом. Для выражения указанных способов соотношения отношений и коррелятов будем употреблять технический термин «смысл, в каком понимается отношение». 108
Поскольку в других местах эти «смыслы» подробно проанализированы \ ограничимся перечислением некоторых из них. Если отношение R (х\, ··, х<п) понимается как существующее между парами объектов х^ Хк из множества Χι, ..., хп, то будем говорить об итеративном понимании отношения R на множестве Х\,..., хп. Итеративное понимание допускает различные варианты. Если в качестве пар можно брать любые, как это имеет место в случае параллельных линий, то будем говорить о неупорядоченно итеративном понимании. Для того чтобы отметить, что отношение понимается именно в таком смысле, будем употреблять индекс Ru. В другом случае, когда отношение R соотносит каждый элемент не с любым другим, а по крайней мере с одним, будем говорить об упорядоченной итеративности. Этот случай будем обозначать символом Ri2. С помощью кванторов различные между указанными случаями итеративности можно выразить следующим образом: Rn{xu..., xn)=ViVkR(xi* xk) (і<л *<Ό; Rt2(xi,..., xn) = ^i^kR{xh *k) (1<Л *<л). Примером отношения, которое можно понять в смысле Ri2, может служить отношение «ровесник» на множестве объектов, составляющих человечество. Отметим, что понимаемое в смысле неупорядоченной итеративности отношение «ровесник» не реализуется на множестве «человечество», но может быть реализовано на некотором его подмножестве. Можно сказать, что отношение «ровесник» имеет упорядоченно итеративное отношение к человечеству и не имеет неупорядоченного. Оказывается, что неупорядоченность в нашем смысле можно рассматривать как вырожденный частный случай порядка, что, впрочем, и не так уж плохо с философской точки зрения. В качестве другого, противоположного случая итеративности можно рассматривать круговую итеративность, 1 См. Л. И. Уемов. Вещи, свойства и отношения, стр. 127—134; его же. О достоверности выводов по аналогии. — «Философские вопросы современной формальной логики». М., 1962, стр. 199—200. 109
когда отношение представляет собой повторение отношения R лишь к одному предмету. Этому случаю можно сопоставить формулу Если для каждого элемента найдется ровно два других элемента, которые соотносятся отношением R, то такой случай упорядоченной итеративности можно назвать цепной итеративностью. Отношения в обыкновенной замкнутой цепи, где каждое звено непосредственно скреплено с двумя другими, могут служить примером отношений, которые можно истолковать указанным образом. Если многоместное отношение выражает отношения не между отдельными элементами, а между их группами, можно говорить о групповом итеративном понимании jDmi Для нас более существенным является случай, когда отношение истолковывается как имеющее место между совокупностью всех элементов, кроме одного к этому одному— R11, и как имеющее место между каждым и всеми остальными, рассматриваемыми вместе — R111. Выше разобранный пример с параллельными линиями иллюстрирует все эти случаи. Мы видим, что указанное отношение допускает понимание во всех отмеченных смыслах. Другие отношения — мы видим это на примере ровесников — могут быть поняты в определенном смысле на одном множестве и не допускают этого на другом. Существуют и такие отношения, которые на любом множестве допускают только одно понимание. Выше, говоря об итеративном понимании отношения, мы рассматривали бинарную итерацию, то есть понимание многоместного отношения как повторяющегося бинарного. Это имеет определенные основания, но основания чисто психологического характера, поскольку именно бинарные отношения обычно представляются нам наиболее ясными и понятными. Но в чисто логическом плане можно рассматривать также тернарную и т. д. итерацию, что, однако, выходит за рамки наших задач. К сожалению, далеко не всякое многоместное отношение понимается в итеративном смысле. Чаще прихо- 110
дится иметь дело с целостным пониманием, когда отношение если и представимо как набор отношений меньшего числа мест, то эти отношения могут быть разными и, самое главное, такое разложение должно быть результатом специального анализа, а не вытекать из смысла, в котором понимается отношение. Будем называть такое понимание отношения целостным и обозначать R* или R1Y. Примером может служить обычное понимание трехместного отношения «лежать между». Классификация отношений свойств к отношениям. Внутренние и внешние свойства отношений. Возьмем совокупность отношений R1R2 в вещах а\а2. Пусть этим отношениям присуще некоторое свойство а. Здесь возможны два случая. В одном из них α определяется исключительно самими отношениями Ru R2 и не зависит от конкретных особенностей тех вещей αϊ, α2, между которыми эти отношения установлены. Назовем такое α внутренним свойством отношений Ru R2- В другом случае α будет зависеть не только от самих отношений Ru R2, но и от специфики вещей, в которых они существуют. Такие свойства назовем внешними по отношению к Ru R2. Если будет показано, что свойство α является внутренним для Ru R2, то его можно приписывать этим отношениям во всех случаях, где они будут обнаружены. С внешними свойствами так поступать нельзя. Их нельзя будет приписать отношениям Ru R2 в объектах Ьи Ь2, отличных от аь а2, так как отношения Ru R2, обладающие внешним свойством α в аь а2, могут не обладать им в Ьи Ь2. Например, свойство транзитивности является внутренним свойством отношений типа равенства. Где бы мы ни встречали эти отношения, они всегда будут обладать свойством транзитивности, будь то равноценность товаров или параллельность линий, равенство углов или рав- номощность множеств. Применительно к таким отношениям будут иметь внутренний характер также свойства рефлексивности и симметричности всех тех типов, о которых говорилось выше. Однако применительно к таким отношениям, как, например, «любить», свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности могут иметь место на одних мно- Ш
жествах объектов и не иметь на других. По отношению к данным отношениям указанные свойства оказываются внешними. Свойства, которые могут быть внутренними для одних отношений и внешними для других, можно назвать амбивалентными. Очень интересным и важным для выявления логических основ метода моделирования является вопрос о неамбивалентных свойствах, то есть таких свойствах, которые для многих отношений будут либо всегда внутренними, либо всегда внешними. Их можно так и называть — всегда внутренние и всегда внешние свойства отношений. Примером всегда внутренних свойств может служить минимальное и максимальное число мест отношения. Как было отмечено ранее, число мест отношения не всегда является определенным 1. Однако существует минимальное число предметов, которые могут быть сопоставлены данным отношением. Например, минимальное число предметов, на которых реализуется отношение «больше», равно двум. Если в известную карточную игру могут играть два, три, четыре, но не больше человек, то максимальное число мест отношения между играющими в эту игру будет равно четырем. Минимальное, очевидно, равно двум. Часто минимальное и максимальное числа мест совпадают, тогда можно говорить просто о числе мест как свойстве данного отношения. Будем употреблять термин «экстремальное число мест» как объединяющий для минимального и максимального числа мест. Существуют отношения, которые на одном множестве могут иметь одно, на другом— другое число мест. Но экстремальное число мест всюду должно быть одно и то же. Если бы, например, на каком-то множестве отношение имело большее число мест, чем максимально возможное, это означало бы, что максимально возможное число мест для данного отношения было определено неправильно. Таким образом, для всех отношений экстремальное число мест будет внутренним свойством. Разумеется, это не означает, что каждое отношение будет обязательно обладать этим свойством. Речь идет о том, что если оно обладает им на одном множестве, то обязательно будет обладать им и на всех остальных. 1 См. Л. И. Уемов. Вещи, свойства и отношения, стр. 118—119, иг
Это можно выразить в виде следующей схемы: Pimm=defYR (Η т [R (т)]Р-+ ym [R (т)} Р}. Здесь Pimm означает, что свойство Ρ имеет всегда внутренний для отношения R характер. Кванторы относятся к переменной /п, пробегающей различные множества объектов. Выражение [R(m)]P означает, что свойство Ρ приписывается отношению R на множестве т. Противоположными по отношению к всегда внутренним являются всегда внешние свойства отношений. Примером таких свойств являются самополнота и все три коррелятивные ей свойства, о которых шла речь выше. Самополнота может быть внутренним свойством предикатов, но лишь в том случае, если эти предикаты будут выражать свойства, а не отношения. Пусть, например, предикат Р(х, у) означает, что все объекты, входящие в область определения первой переменной, являются докторами, а входящие в область определения второй переменной— пациентами. Тогда очевидно·, что Я (л:, у)-Р{и, ν)->Ρ{χ, ν). Но эта очевидность является следствием того, что предикат обозначает набор свойств предметов. Если же под Ρ понимать именно отношение, то условие самополноты кажется вообще не реализующимся. Тем не менее можно найти такие объекты т, на которых это условие будет реализовываться и применительно к отношениям. Такого рода примеры приводились выше как иллюстрации свойств, коррелятивных свойству самополноты. Обозначим символом Рех всегда внешнее свойство отношения. Содержательным соображениям можно сопоставить следующую схему определения этого понятия: Pex=defVRternlR{m)]P.am[R(m)]P}. Собственные и несобственные по отношению к данному множеству свойства отношений. Вообще говоря, свойства отношений выражаются в виде того или иного типа зависимости истинности высказывания, содержащего это отношение, от валентных значений других высказываний. Эти высказывания могут относиться к той же самой системе объектов, что и рассматриваемое отношение, или же к некоторому расширению этой системы. В первом слу- 113
чае будем говорить о собственных по отношению к данной системе свойствах отношения, во втором — о несобственных. Например, свойство симметричности отношения «ровесник» по отношению к системе, состоящей из Петра и Семена, будет собственным, поскольку мы, не выходя за пределы этой системы, можем выразить свойство симметричности как эквивалентную зависимость истинности того положения, что Петр ровесник Семена, от высказывания «Семен ровесник Петра». Иное дело в данном случае свойство транзитивности. Для его определения мы должны расширить данную систему, найдя, например, Николая, который будет ровесником Семена. Отношение «ровесник» будет транзитивным, если истинность положения «Петр ровесник Николая» будет определяться истинностью того, что· Петр ровесник Семена и Семен ровесник Николая. Поскольку для определения свойства транзитивности потребовалось расширение первоначальной системы, по отношению к ней данное свойство будет считаться несобственным. Соответственно будут несобственными для множеств, состоящих не более чем из трех элементов, самополнота и другие коррелятивные ей свойства отношений. Классификация отношений отношений к отношениям. Два и больше отношений могут находиться в различных отношениях друг к другу. В зависимости от того, зависит ли отношение R между отношениями R\ и R2 от того, на каких именно коррелятах берутся Rx и R2, можно говорить о внутренних и внешних отношениях Д. Если отношение R определено только самими R\ и R2 независимо от коррелят последних, то R будет внутренним для RiR2. Примером внутренних отношений являются отношения сосуществования отношений отцовства и старшинства. Если а\ отец а2, то а\ старше а2 независимо от любых конкретных особенностей а\ и а2. С другой стороны, такие свойства, как свойство симметричности отношения «любит», будут внешними для этого отношения, так как они зависят от конкретных особенностей объектов, находящихся в этом отношении. Сосуществование отношений отцовства и любви также будет внешним отношением данных отношений. У одних людей тот факт, что ах отец а2, будет означать также, что а\ любит а2, а в других такая связь может отсутствовать. И4
Нетрудно заметить, что понятие внутреннего и соответственно внешнего отношения отношений является частным случаем понятий внутреннего и внешнего отношений вообще, которые имеют место, когда в качестве предметов рассматриваются отношения. Отношения будут называться однотипными или, в терминологии Р. Карнапа, «принадлежащими к одному семейству» \ если они не могут одновременно существовать между одними и теми же предметами. Например, отношения «быть отцом» и «быть дедушкой» однотипны, так как нельзя быть одновременно отцом и дедушкой одного и того же человека. В отличие от этого «быть отцом» и «быть учителем» — разнородные отношения. Можно быть одновременно отцом Феди и учителем Феди. Однотипные отношения имеют общие родовые характеристики, например «отец» и «дед» — родственные отношения по прямой линии. Отношения «отец» и «учитель» нельзя обобщать таким образом. «Вдвое больше» и «втрое меньше» — мультипликативные отношения. «На единицу больше» и «на две меньше» — аддитивные отношения и т. д. Все мультипликативные отношения однотипны. Однотипны также аддитивные отношения. Но отношения, одно из которых является мультипликативным, а другое — аддитивным, не являются однотипными. Применительно к двум функциональным отношениям R и S определим понятие коммутативности. С помощью отношения R к объекту а можно однозначно определить некоторый объект b=Ra. Дальше с помощью отношения S определим c = Sb. Подставляя вместо Ъ его значение, получим c = SRa. Таким образом, мы определим с через а с помощью последовательного применения, то есть композиции отношений R и S. Можно поступить иначе. Сначала применить к а отношение 5, а затем R. Если, таким образом, мы вновь получим с, то есть c=RSa, то это будет означать, что результат композиции отношений не зависит от их порядка RS = SR. Такие отношения назовем коммутативными. Например, будут коммутативными отношения «быть отцом» и «быть дедушкой» (по мужской линии). Отец дедушки — тот же самый человек, что и дедушка отца. Напротив, отношения «быть отцом» и «быть матерью», очевидно, не коммутативны. Отец матери — 1 R. Carnap. Logical Foundation of Probability. Chicago, 1951. 115
это совсем не то, что мать отца, хотя оба результата Композиции вполне осмыслены. В частном случае некоммутативных отношений лишь одна из композиций приводит к осмысленному результату. Например, если в качестве R возьмем отношение «владелец», а в качестве S — «мать», то применительно к а— «велосипеду» — c = SRa будет обозначать «мать владельца велосипеда» — иполне осмысленное понятие. Но c=RSa— «владелец матери велосипеда»— лишено смысла К Мы определили понятие коммутативных и некоммутативных отношений как отношений между функциональными— в обычном смысле — отношениями. Но можно воспользоваться также введенным выше понятием обобщенной функциональности. Тогда коммутативными — в обобщенном смысле — будут отношения R и S в том случае, если объекты x=SRa будут находиться к y=RSa в отношении Q, через которое определена обобщенная функциональность. Например, коммутативными в этом смысле будут отношения «наклонено под углом 45°» и «равнонаклонно». Пусть с — некоторая прямая линия. Множество прямых линий, находящихся под углом 45° и равнонаклонных с, будут параллельны тем, которые рав- нонаклонны к находящимся под углом 45° к с. Здесь в качестве Q выступает отношение параллельности. 3, Классификация вещей Всякая классификация означает распределение объектов по группам в зависимости от тех свойств, которыми они обладают. Поэтому классификация вещей имеет производный от классификации свойств и отношений характер. Не рассматривая проблему классификации вещей в общем плане, остановимся на двух возможных подходах в связи с приведенным выше выделением различных форм отношений свойств и отношений к вещам. В зависимости от того, в каком отношении находится данное свойство к вещи, то есть идет ли речь о предикации Р1, Рп, Рш или PIV, можно выделить четыре типа вещей. Если свойство Ρ присуще каждому элементу вещи ау то вещь представляет собой класс вещей. Каждый элемент вещи будет соответственно элементом класса. 1 См. X. Фрейденталь. Язык логики. М., 1969, стр. 19. 116
Если Же свойство относится к предмету не как Р\ а как PIV, то мы имеем тот тип вещей, который М. И. Карийский называл агрегатами. «Итак, мы имеем два случая соединения предметов в группы: в первом мы смотрим на группу предметов как на простой агрегат, и в этом случае предикат суждения принадлежит целой группе, предметам, взятым в их совокупности, но не относится к каждой особи порознь, и во втором случае соединение предметов не рассматривается как в агрегате, а представляет виды одного рода, и суждение, произнесенное относительно такой группы, будет относиться к каждой составной части этой группы, к каждому виду» 1. Различение групп, то есть классов и агрегатов, играло большую роль в логической системе М. Карийского. Наряду с классами и агрегатами можно выделить еще два типа вещей, различение которых имеет существенное значение для логики. Один из них, соответствующий предикации Рп, можно было бы назвать квазиклассом, так как здесь свойство принадлежит если не всем, то большинству элементов вещи. Другой, предполагающий предикацию Рш, можно было бы соответственно назвать квазиагрегатом, так как здесь большинство элементов вещи не обладают свойством целого. Вне отношения к определенному свойству приведенная классификация не имеет смысла. Например, нельзя сказать, что собой представляет совокупность всех людей на земле. Однако если мы говорим, что все люди смертны, то будем иметь класс; если скажем, что люди страдают,— псевдокласс] что люди изобрели паровоз, — псев- доагрегат\ наконец, что численность людей на земле в середине XX века составила около 3 млрд., будем иметь дело с чистым агрегатом. Мы рассмотрели деление вещей в зависимости от их отношения к приписываемому свойству. Однако такое деление предполагает и определенные различия к отношениям. Отношения в классе всегда 'понимаются в итеративном смысле. Отношение между объектами как элементами класса не зависит от порядка, в каком берутся эти 1 М. И. Каринский. Отрывок из литографированного издания «Логика». — «Избранные труды русских логиков XIX века», стр. 188—189. 117
элементы. Все элементы класса эквивалентны в отношении к тому свойству, которое им приписывается. Иная картина в псевдоклассе. Здесь могут быть элементы, которым не присуще приписываемое псевдоклассу как целому свойство. Таких элементов может и не быть, но они мыслятся как возможные. Отношения в псевдоклассе могут быть представлены как множество отношений совокупностей элементов, обладающих данным свойством, к тем (мысленным или реальным) элементам, которые данным свойством не обладают, то есть такое отношение понимается в смысле R11. В нашем примере «Люди страдают» мыслится совокупность отношений людей к идеалу «невозмутимо счастливого человека». В псевдоагрегате, наоборот, предполагаются отношения отдельных элементов к совокупности всех остальных. У нас — это отношения тех людей, которые действительно изобрели паровоз, ко всем остальным людям. Такие отношения понимаются в смысле RU1. И наконец, чистый агрегат предполагает отношение /?IV, объединяющее все его элементы. Такое отношение всегда определенно-местно, так как существует между определенным числом элементов данной системы. В частных случаях отношение R1Y можно представить в виде совокупности бинарных отношений, соединяющих отдельные элементы системы. Особенно важным является тот случай, когда множество элементов системы является вполне упорядоченным, то есть когда их можно расположить в таком порядке, что каждый из элементов может иметь только один предыдущий и один последующий элемент. В таком случае мы будем иметь ряд аи ..., ап. Выше, при рассмотрении различных форм выводов по аналогии, всегда предполагалось, что элементы сопоставляемых систем могут быть представлены в виде рядов. Мы рассмотрели типы вещей соответственно определенным способам приписывания им свойств. Понимание отношений между их элементами представляло собой уже следствие определенного типа предикации. Но можно идти и противоположным путем, выделяя типы вещей по тому или иному способу установления отношений. Так, если отношение понимается в итеративном смысле, то вещь образует систему, которую в отличие от 118
класса можно было бы назвать группой. В связи с различными типами итерации мы будем иметь различные типы групп. В плане настоящей работы наибольшее значение имеют группы, образованные с помощью неупорядоченной итерации, например, группы разнообъ- емных тел. Рассмотрим более подробно, чем такие группы отличаются от класса. Отличительной особенностью класса является то, что наличие у того или иного объекта признака, по которому образован класс, можно определить в принципе без соотнесения с какими-либо представителями этого класса. Этот признак может рассматриваться сам по себе, независимо от объектов, входящих в класс. Поэтому, определив, что им обладает тот или иной объект, последний можно отнести к классу даже и в том случае, если неизвестны никакие другие представители этого класса. Вхождение же тела в группу равнообъемных можно определить, лишь имея другие члены этой группы. С помощью дополнительных ограничений из класса всегда можно выделить отдельный элемент. В группе это можно сделать лишь тогда, когда отношение, с помощью которого создается группа, является рефлексивным, как в вышеприведенном случае. Но из группы тел разного объема нельзя выделить один элемент, не выводя его тем самым за пределы данной группы. Неитеративное, целостное поиимание отношения даст нам чистые агрегаты, то есть объекты такого рода, как и те, которые образованы с помощью «целостного» приписывания свойств. Возможно, здесь можно выделить различные аспекты, но это выходит за пределы нашей задачи. § 2. Проблема отождествления свойств и отношений Выше было показано, что в выводах по аналогии имеет место перенос свойств или отношений с одного объекта — модели на другой — прототип. Иными словами, имеет место отождествление свойств или отношений. Ответ на вопрос о правомерности отождествления свойств и отношений различных предметов является ответом на вопрос о правомерности соответствующих выво- дов по аналогии. П9
Когда ставится вопрос о тождественности или нетождественности некоторых свойств или отношений самих по себе, то тем самым свойства и отношения рассматриваются как вещи. Использование существительных для обозначения сравниваемых свойств и отношений обязательно. Поскольку свойства и отношения рассматриваются как вещи, к ним применимы принципы отождествления вещей, в частности принцип Лейбница в его различных формулировках. Разные формулировки этого принципа не вполне согласуются друг с другом. С ними связаны известные трудности, преодоление которых требует перехода к новым, более общим положениям. Поскольку эти вопросы подробно рассмотрены в другом месте *, мы на них останавливаться не будем. Подчеркнем, что, если рассматривать проблему отождествления в логическом плане, отождествление одних объектов всегда уже предполагает знание о тождественности других. Выход из этого круга дает практическая деятельность человека, анализ которой выходит за пределы інашей темы. Логика может дать лишь способы перехода от одного тождества к другому. При этом особое значение имеет использование тождества объектов одной категории из трех (вещей, свойств или отношений) для определения тождества объектов других категорий. Принцип Лейбница и возможные его обобщения 2 определяют тождественность вещей на основе тождественности свойств. Когда мы говорим о том, что достаточно совпадения границ вещей для их отождествления, то здесь для определения тождественности вещей используется тождество отношений к другим вещам. При отождествлении свойств и отношений они в свою очередь рассматриваются как вещи, и мы будем здесь предполагать, что известны способы отождествления вещей. С нашей точки зрения, свойства и отношения — это вырожденный случай вещей. Существует стремление идти в этом отношении дальше и отождествлять свойства и отношения с обычным, регулярным случаем множества 1 См. А. И. Уемов. О принципе тождества. — «Вопросы философии», 1969, № 6. 2 См. там же, стр. 91. 180
бещей. Отсюда экстенсиональное понимание свойстё й отношений. В ряде случаев пространственные границы между телами могут быть определены особенно легко. Если отождествить всякую вещь с телом, то проблема отождествления свойств и отношений легче всего решается на основе их экстенциального понимания. Однако аїри экстенциальном понимании исчезают свойства и отношения. Остаются одни вещи. Можно совместить относительную самостоятельность свойств и отношений с преимуществами их экстенцио- нального понимания в том случае, если при определении тождественности свойств и отношений пользоваться не только категорией вещи, но и третьей из тройки соотносительных категорий. Если свойства задаются вещами, то они должны считаться тождественными лишь в том случае, когда тождественны не только вещи, но и отношения, в которых они рассматриваются. Соответственно если отношения задаются вещами, то сни должны считаться тождественными лишь в том случае, когда тождественны не,только вещи, но и свойства, по которым эти отношения установлены. Например, свойства «иметь форму» (пространственную) и «иметь размер» присущи одному и тому же классу вещей. Но это не одно и то же свойство. Как справедливо отмечает А. Пап, слова «форма» и «размер» не являются синонимами, так как иметь одинаковую форму еще не значит иметь одинаковый размер 1. Форма и размер как свойства определены в различных отношениях. Если мы зададим это отношение, например, как отношение к эталону длины и свойство, проявляющееся в этом отношении, будет иметь место у одного и того же класса вещей, то это будет то же самое свойство. С другой стороны, разные отношения могут существовать в одних и тех же вещах. Например, для любой пары чисел χ и у, если одно из них больше другого, скажем х>у, будет существовать также отношение х~1<у-1. Но это различные отношения. Конкретизируя определенным способом одно из них, мы не всегда можем таким 1 A. Pap. Synonymity and Logical Equivalence. — «Analysis», vol. 9, N. 4, p. 56—57. 121
же образом конкретизировать другое. Если χ вдвое больше г/, то х~х вдвое меньше у~1. Но при χ большем, чем у, на два, мы не будем иметь х~х меньше у~х тоже на два. Это связано с тем, что отношения х>у и х~1<у1 установлены по различным свойствам чисел. Все люди знают свойства, по которым установлено х>у. Но знание тех свойств, которые проявляются в х~1<у~\ предполагает уже некоторое математическое образование. Для отождествления отношений необходимо задать свойства, по которым они устанавливаются. Тогда тождественность вещей, между которыми существуют отношения, будет означать тождественность самих отношений. С нашей точки зрения, этому требованию удовлетворяют, например, отношения х=гу и ax=zay, поскольку то и другое отношение установлено по мультипликативным свойствам чисел. Таким образом, отождествление классов вещей, в которых существуют свойства їй отношения, само по себе недостаточно для отождествления этих свойств и отношений. Однако такого тождества достаточно для отождествления некоторых свойств второго порядка. В самом деле, если форма и размер всегда присущи одним и тем же вещам, то это значит, что некоторое свойство этих свойств одинаково, а именно одинаково свойство, представляющее их отношение к вещам. Форма приписывается тем же вещам, что и размер. То же самое mutatis mutandis можно сказать и об отношениях. х>у и х~1<у-1 обладают тем общим свойством, что они .присущи тем же самым вещам. До сих пор мы говорили о характеризующих свойствах свойств и отношений 1. Но всякое характеризующее свойство имеет свой коррелят в виде образующего свойства. Иными словами, если свойство Ρ характеризует свойства Pi и Р^ то в качестве образующего свойства оно является составной частью этих свойств и наоборот. Это можно выразить в виде формулы (Pl9 pjp^PcPMPcPJ. Таким образом, можно считать, что общность вещественного носителя всегда обусловливает общность некоторого свойства, которое, однако, составляет лишь 1 См. А. И. Уемов. Вещи, свойства и отношения, стр. 122. 122
часть сопоставляемых свойств этого носителя и представляет собой отношение к нему самому. Такие же соображения mutatis mutandis применимы и к отношениям. Отношениям х>у и х~1<у~1 обще то свойство, что они существуют в одних и тех же вещах. Данное свойство представляет собой часть отношений. Поэтому его само можно истолковать как отношение. В таком случае будем иметь следующую схему: (Ru RJR=(RczRiHRc:RJ. Например, установление того факта, что некоторые свойства отношений (Ru R2), скажем логические, функциональные и т. д.,-одинаковы, можно .истолковать как включение отношений Ru R2 в одно и то же, более широкое по объему логическое, функциональное и прочее отношение. В большинстве случаев для того, чтобы однозначно определить свойство или отношение, нет необходимости устанавливать тождество всех предметов, в которых имеет место данное свойство или отношение. Когда точно сформулировано то отношение, в котором определяется данное свойство, и те свойства, по которым устанавливается отношение, бывает достаточно использовать предметы л-ишь в качестве примеров. Скажем, можно определить хрупкость как свойство, которым обладает, например, чугун в отношении к удару. Отношение «вдвое больше» соответственно определяется как отношение, существующее между числами 6 и 3 по их мультипликативным свойствам. Не может быть двух различных свойств одного и того же объекта — чугуна в отношении к удару. Не может быть двух различных отношений между числами 6 и 3 по мультипликативным свойствам. Что касается свойств, то положение о том, что один и тот же объект в одном и том же отношении не может обладать различными свойствами, составляет содержание одной из важнейших аксиом логики — закона противоречия (обычная оговорка «в одно и то же время» здесь, очевидно, подразумевается). Закон противоречия, на наш взгляд, необходимо дополнить соответствующим положением об отношениях: одна и та же система объектов не может одновременно обладать различными отношениями, установленными по одним и тем же свойствам (в одно и то же время). 123
Во всяком случае это положение не менее очевидно, чем закон противоречия. Основная трудность в применении изложенных принципов заключается в том, что далеко не всегда удается explicite определить отношение, в котором существует свойство или свойства, по которым устанавливаются отношения. Однако не всегда есть необходимость в этом. Во многих случаях отношение, в котором существует свойство, implicite заключено в родовом понятии этого свойства. Например, отношение, в котором существует «голубое», «синее», «бордо», такое же, как и отношение, в котором существует цвет вообще. Поэтому можно задать свойство, указав на его родовое понятие и предмет. «Голубой» — это цвет неба (для точности нужно указать также, где и в какое время смотреть это небо). Такой метод является основным методом точного определения свойств вплоть до самого последнего времени. Именно так определяются основные физические единицы: килограмм массы — это масса некоторого предмета, который называется международным прототипом и хранится в Париже. 1 метр — до недавнего времени — длина другого прототипа. В последнее время рекомендовано другое определение метра — через длину волны излучения атома крил- тона-86. Но это опять-таки определение через указание предмета, который обладает данным свойством. Могут возразить, что указание одного предмета не всегда определяет свойство однозначно. Цвет неба не только голубой, но, скажем, светлый, нежный и т. д. Однако все это не отдельные цвета, а характеристики голубого цвета или соответственно его образующие — компоненты. Светлость, нежность, мягкость тона и т. д. — все это в совокупности и составляет голубой цвет. Несколько сложнее случай, когда в одном предмете как бы соединяются характеристики разных цветов — синего и зеленого, черного и белого и т. д. Однако такое соединение определяет новый цвет — сине-зеленый или серый. И мы можем определить этот цвет опять-таки указанием на отдельный предмет — эталон. Совершенно аналогично обстоит дело и в случае отношений. Во многих случаях свойства, по которым устанавливается отношение, заключено в родовом понятии этого отношения. Например, свойства, по которым уста- 124
новлено отношение «брат», «шурин», «свояченица» и т. д., такие же, как и свойства, ιπο которым устанавливаются «родственные отношения» вообще. Поэтому можно задать отношение, указав на его родовое понятие и предмет. «Брат» — это родственное отношение, существующее между хорошо знакомыми нам Петром и Сидором. «Свояченица»— это родственное отношение, например, Елены к Павлу. «Вдвое больше» — это мультипликативное отношение, например, между 6 и 3 и т. д. Такой метод также применяется для точного опреде- ления физических величин, если эти величины представляют собой отношение. В частности, единицу силы можно определить как такое взаимодействие, которое имеет место между двумя данными телами — эталонами массы. Так определяется сила, например, в работе Б. Н. Юрьева: «В качестве технической единицы силы (1 кг) принимается действие земного шара на эталонную гирю в 1 кг массы, определенное в пустоте, на географической широте 45° и на уровне моря» К Иначе определяет единицу силы С. Э. Хайкин: «Возьмем какую-то вполне определенную пружину, растянутую (или сжатую) до известной величины. Эталоном силы мы будем считать ту силу F0, с которой эта пружина при фиксированном растяжении действует на прикрепленное к любому из ее концов тело, и считать, что направлена эта сила вдоль оси пружины»2. Но и в этом случае выбирается в качестве примера система двух предметов — пружина и прикрепленное к ней тело, в которой имеет место определяемое отношение. Могут возразить, что указание одной системы предметов не всегда определяет отношение однозначно. «Быть братом» не единственное родственное отношение между Петром и Сидором. Петр и Сидор — родственники. Один из них сын по крайней мере одного из людей, сыном которого является другой, и т. д. Однако все это компоненты отношений «быть братом». «Быть братом» — это и означает быть родственником, быть сыном одного из родителей другого и т. д. Поэтому данное возражение ни в коей мере не опровергает нашего утверждения. 1 Б. Н. Юрьев. Опыт новой формулировки основных законов механики Ньютона. М., 1952, стр. 45. 2 С. Э. Хайкин. Механика. М. — Л., 1948, стр. 76. 125
Более сложен случай, когда между данными объектами одновременно существует комбинация родственных отношений разных типов. Например, в среде египетских фараонов жена обычно бывала также и сестрой. В качестве курьеза можно отметить, что одна и та же женщина может оказаться и сестрой и теткой, если она выйдет замуж за своего дядю. Однако такие случаи можно просто не брать в качестве эталонов простых родственных отношений. Но они пригодны в качестве эталонов сложных отношений, являющихся комбинациями простых. Мы не хотим сказать, что указанный метод является универсальным. Это лишь один из способов определения границ свойств и отношений. Существуют и другие способы. В частности, те родовые понятия, знание которых выше предполагалось известным, далеко не всегда могут быть определены изложенным способом. «Цвет» и «родственное отношение» нужно определить иначе. Здесь необходимо explicite выразить отношение, в котором существует свойство, и свойства, по которым определено отношение. Цвет обычно понимается как отношение длин электромагнитных волн в определенном интервале частот к сетчатке глаза. Родственные отношения можно определить как отношения между людьми по общности происхождения (в обоих направлениях времени). Следует отметить, что в общем виде задачи обычно решаются проще. Отношение, в котором существует общее свойство «цвет», легче определить, чем это же отношение для отдельных цветов — «голубого», «розового», «беж» и т. д. Соответственно свойства, по которым определены «родственные отношения», легче определяются, чем свойства, по которым определяются «брат», «кузен» и т. д. Однако следует иметь в виду, что не всякое родовое обобщение полезно для решения поставленной задачи. Для наших целей можно использовать только такие родовые понятия, обобщения в которых относятся к предметной области. Например, в понятии «цвет» обобщение цвета самых различных предметов. Но отношения, в которых мыслятся эти цвета, не обобщаются. Иной характер имеет, например, обобщение «приятные свойства растений». Сюда попадут и цвета, и звуки, и ароматы. Все они определены в отношении к разным органам чувств, хотя общее отношение — к человеку — сохраняет- 126
ся. Ясно, что такое обобщение будет для нас 'бесполезно. Нельзя, например, определить «голубое» как такое приятное свойство, которым обладает незабудка. Сказанное mutatis mutandis применимо и к отношениям. Нельзя пользоваться обобщениями типа «отношения в рабовладельческом обществе», «прогрессивные отношения» и т. д. Здесь обобщение относится не к предметной области, а к тем свойствам, по которым устанавливаются отношения. Поэтому выделение отдельной системы объектов в качестве эталона ничего не может дать для однозначного определения отношения. Мы рассмотрели проблему отождествления свойств и отношений в общем ©иде. Применительно к отдельным частным случаям, -то есть отдельным разновидностям свойств и отношений, ее решение значительно упрощается. Рассмотрим функциональные отношения в узком смысле. С помощью таких отношений устанавливается однозначное соответствие между предметами. Различия между отдельными отношениями такого типа в рамках заданной предметной области заключаются прежде всего в том, какие предметы с помощью этих отношений сопоставляются данным предметам. Например, с помощью функционального отношения «мать» Ивану сопоставляется Мария, а с 'помощью отношения «отец» тому же Ивану сопоставляется другой объект, скажем Петр. Отношения «вдвое больше» и «втрое больше» также различны, поскольку одному їй тому же числу 2 в одном случае сопоставляется число 4, а во втором 6. Однако отношения, выражаемые словами «кузен» и «двоюродный брат», одним и тем же лицам сопоставляют одни и те же лица. То же самое можно сказать об отношениях между числами, выражаемыми формулами у=х+1 и r/=sin2^+x+€os2A:. Строго говоря, две последние формулы выражают различные отношения. Это следует уже из того, что оба отношения установлены по различным свойствам чисел. Очевидно, что они будут иметь различное применение в зависимости от того, какие свойства чисел исследуются. Формула у=1+х находит применение при построении аксиоматизированной теории натуральных чисел. Для этой цели нельзя использовать отношение y=sin2x+x+ + cos2x. Если кто-либо не понимает смысла соотношения, 127
ЁУраЖаеМого последней формулой, то еМу мало поможет указание на то, что ее можно заменить на у=х+1. И наоборот, смысл выражения у = х+1 никто не будет раскрывать с помощью тригонометрических функций. Однако замена одной формулы другой вполне оправданна в тех случаях, когда речь идет о вычислении, то есть об определении числа у, соответствующего данному х. Обе формулы дадут одинаковый результат. С точки зрения данного результата указанные отношения эквивалентны. Это означает тождественность ряда свойств отношений, которые могут быть выделены с помощью определения через абстракцию 1. Согласно сказанному выше, совокупность таких свойств можно рассматривать как новое отношение, которое является составной частью эквивалентных друг другу отношений. Назовем такое отношение функциональным в узком смысле этого слова. Условие тождественности таких отношений будет иметь простой вид: функциональные отношения тождественны, если, будучи применены к одним и тем же объектам данной области, они определят одинаковые объекты. Здесь для определения тождественности отношений используются их экстенциональные свойства. Однако это не означает возврата к экстенциональному пониманию отношений. Экстелциональное понимание означает, что отношение задается предметами; иными словами, надо иметь предметы, определяющие отношение, прежде чем говорить об отношении. Мы же определяем предмет с помощью других предметов и заданного независимо от них отношения. Это предполагает относительную самостоятельность отношения. Еще легче, чем для функциональных, проблема отождествления решается применительно к совокупности однородных отношений. Согласно определению, различные однородные друг другу отношения не могут существовать между одними ή теми же предметами. Следовательно, если найдется хотя бы один предмет, в котором имеет место совокупность однородных отношений Ri, ..., Rn, то все эти отношения тождественны друг другу. 1 См. С. А. Яновская. О так называемых «определениях через абстракцию». — «Сборник статей по философии математики». М., 1936. 128
Однако во всех разобранных выше случаях определение тождественности свойств и отношений проводилось так или иначе на основе тождественности предметов. Значительно труднее определение тождественности свойств и отношений, характеризующих различные 'предметы. Именно это является целью выводов по аналогии. Ниже будут изложены разные способы перехода от тождественности свойств и отношений в одних и тех же вещах к тождественности свойств и отношений, характеризующих различные предметы. § 3. Принцип размерности для отношений между свойствами 1. Общий принцип размерности Мы видели, что для некоторых типов отношений проблема тождественности решается особенно легко. Поэтому принадлежность отождествляемых в процессе вывода по аналогии отношений к этим типам может в ряде случаев оказаться полезной при определении условий правомерности вывода. Однако простота решения проблемы тождества не является единственным требованием к отношениям, которое может предполагаться правилами вывода. В этом плане особенно большое значение имеет требование внутреннего характера отношений. Во многих разновидностях аналогии, в частности в той, которая используется в техническом моделировании, для выяснения правомерности вывода требуется определение внутреннего характера отношений между -свойствами сравниваемых объектов. Пусть в объекте а даны свойства Х\ и х% например в газе — объем и давление. Каждое из этих свойств определено в известном отношении. Эти отношения для разных свойств будут различны. Так, одно отношение определяет объем, а другое — давление. Если мы будем определять отношение между Х[ и #2, то это означает, что Х\ и х2 рассматриваются как самостоятельные объекты. В качестве таковых они должны обладать определенными свойствами, по которым и устанавливается отношение. 5 А. И. Уемов 129
В техническом моделировании сопоставляемые свойства Χι и х2 обычно бывают линейными или многомерными. При построении модели эти свойства уточняются. Модель не может обладать объемом и давлением вообще. Она в каждый данный момент имеет определенный объем и определенное давление. Иными словами, в каждый данный момент ее свойства являются точечными. Переход от линейных и вообще многомерных свойств к точечным предполагает рассмотрение этих свойств как отношений к определенным объектам. В технических науках, где важно определение численного значения точечных свойств, в качестве таких объектов обычно берутся единицы измерения и системы координат. Но можно пользоваться и другими системами референции. Таким образом, имеем следующую картину: Х\ и Х2 могут быть определены как отношение объекта а к системам референции Лі и соответственно А2. Выяснение такого отношения является 'предметом философии науки- и находится вне компетенции инженера, который при (построении конкретной модели принимает Х\ и Х2 как непосредственно данные. Зато он интересуется теми отношениями, в которых Х\ и Х2 проявляются как точечные свойства., то есть как χι и х2. Эти проявления различны в зависимости от выбора систем референции, которые мы обозначим как х0\ и Хо2. х\ в качестве точечного свойства представляет собой отношение Х\ к Xqi так же, как само Х\ в качестве линейного или многомерного свойства представляет собой отношение а к А\. Соответственно х2 представляет собой отношение х2 к х02. В техническом моделировании отношение между линейными свойствами Χι и х2 устанавливается по точечным свойствам χι и х2. Но £\ и х2 различны в зависимости от выбора Χοΐ Ή Χθ2. Таким образом, отношение R между χχ и х2 зависит от *οι и #02 їй поэтому, вообще говоря, не всегда является внутренним отношением. Для решения же проблемы правомерности выводов по аналогии в большинстве случаев требуется определение внутреннего характера отношений между свойствами. Сказанное об отношении между двумя свойствами mutatis mutandis применимо к отношению между многими свойствами х\, ..., хп. 130
Методы определения внутреннего характера отношений между х\, ·.., Хп рассмотрены в другой работе К Остановимся на важнейшем из них. Все системы референции для соотносимых объектов необходимо взять одинаковыми: Хоі = ... = *оп, то есть >все объекты χι, ..., Хп нужно установить в одном и том же отношении. В таком случае отношение R не может иметь различных значений, согласно закону противоречия. Однако при изменении этой единой системы референции в целом отношение R может, вообще говоря, изменяться даже при условии сохранения соотношения Яоі = ... = *оп. Поэтому для выявления внутреннего характера отношения R необходимо специальное доказательство того, что указанное изменение систем референции сохранит это отношение. Соблюдения указанных двух условий достаточно для того, чтобы считать отношение R внутренним для ±и .·., хп, поскольку это отношение оказывается независимым от прочих объектов, фиксированных в понятии системы референции. Таким образом, отношение будет внутренним в том случае, если: 1) все корреляты определены в качестве таковых в одних и тех же системах референции; 2) изменение систем референции не влияет на отношение между коррелятами. Это положение названо общим принципом размерности. 2. Частный принцип размерности Рассмотрим случай отношений, определенных количественно. Отношение между числовыми значениями ин- тенсивностей хи ..., хп, вообще говоря, зависит не только от самих интенсивностей, но и от того, в отношении к каким системам референции #0ь ···> #оп эти интенсивности установлены. Применительно к интенсивности системы референции Хи ·.., *?г обычно бывают двоякого рода. С одной стороны, это системы координат. Из общего принципа размерности следует, что внутренние отношения могут быть определены в том случае, если они рассматриваются в од- 1 См. А. И. Уемов. Вещи, свойства и отношения, стр. 137—138. 5* 131
ной и той же системе координат и не зависят от конкретного выбора этой системы. С другой стороны, системы референции будут представлять из себя различные интервалы интенсивностей, выбранные в качестве единицы, и из общего принципа размерности будет следовать, что внутренние отношения между интенсивностями будут установлены в том случае, если все соотносящиеся интенсивности будут определены по отношению к одинаковым единицам измерения, причем будет показано, что абсолютная величина этих единиц не оказывает влияния на данное соотношение. Назовем это положение частным принципом размерности. Это 'положение состоит из двух независимых частей. Вторая часть, заключающаяся в требовании,· чтобы количественные изменения разных единиц не оказывали влияния на соотношение интенсивностей, совпадает по своему содержанию с тем постулатом теории размерностей, который носит название принципа «абсолютного значения относительного количества» К Соблюдение этого требования необходимо для выявления внутреннего характера отношения, но недостаточно. Например, если длину стола мы измеряем в метрах, а ширину — в сантиметрах, то соотношение может остаться неизменным в случае уменьшения или увеличения этих единиц в одно и то же число раз. Но отношение между длиной и шириной стола, измеренными таким образом, не будет внутренним до тех пор, пока мы не измерим то и другое в одних и тех же единицах. Выполнение требования равенства единиц не встречает никаких затруднений в том случае, когда сравниваемые интенсивности относятся к величинам одной и той же физической природы. Любые два отрезка времени, две массы, температуры и т. д. могут быть выражены одной мерой. Но как выразить одной мерой, например, массу и время? Ответ на этот вопрос связан с тем, что даже самые различные по своей физической природе величины представляют собой функции одних и тех же величин. Допустим, что изменение интенсивностей свойств χ и у зависит от изменения интенсивности некоторого свойства и. Единицу интенсивности и определим произвольно, 1 П. В. Бриджмен. Анализ размерностей. М. — Л., 1934, стр 26. 132
а отношение к этой единице и будет тем отношением, которое должно быть одинаковым для интенсивностей X и у. Можно определить единицу как такое значение интенсивности хо, которое существует при ы=1, а единицу у о — как соответствующее значение у при и=1. Единица и0 называется в этом случае основной, независимой единицей измерения, а λ;0, Уо — производными единицами. Единицы, определяющиеся одинаковым образом ос- новной единицей, будем считать одинаковыми. Здесь мы отвлекаемся от качественной стороны величин, имея в виду лишь их количественную сторону. Количественные же характеристики могут быть одинаковыми у самых различных качеств в том случае, если у этих качеств есть общее отношение. В качестве примера количественного приравнивания качественно разнородных величин можно привести формулировку закона сохранения энергии. Этот закон утверждает численное равенство качественно различных видов энергий, которые превращаются друг в друга в замкнутых системах. Но если речь идет о численном приравнивании качественно различных величин, то тем самым приравниваются и соответствующие единицы. Положение о количественной тождественности единиц измерения качественно различных величин подвергается критическому анализу в работе О. А. Мельникова !. Автор согласен с существованием общей единицы измерения разнокачественных видов энергии, но ставит под сомнение распространение данного утверждения в отношении равенства единиц до всеобщего принципа 2. , Разные виды энергии можно измерять одной единицей, поскольку у всех источников энергии, несмотря на их качественное разнообразие, есть одно общее свойство— производить работу. «Как мы видим, количественное равенство единиц действительно существует не только между различными видами энергий, но и между величинами, никак не подходящими под одно понятие» 3. Однако мощность, по мнению автора, уже нельзя приравнять к работе, поскольку в этом случае необходимо 1 См. О. А. Мельников. О роли измерений в процессе познания. Новосибирск, 1968. 2 См. там же, стр. 30. 3 Там же, стр. 30—31. 133
учитывать ή время. «Следует заметить, — пишет он далее,— что определение какой-нибудь величины через измерение других величин и указание способа измерения величины в прямом измерении еще не означают определения во всем объеме понятия, связанного с какой-то конкретной величиной. Можно определить массу тела как силу, деленную на ускорение; это делают уже два века, но понятие массы достаточно полно еще не определено. Следовательно, ни в коем случае нельзя, как предлагает А. И. Уемов, считать одинаковыми единицами Хо и У0 величин X и У на том основании, что можно определить Xq и У0 через произвольно установленную единицу ί/ο величины U... В каждом случае нужен конкретный анализ. Если определять единицы энергии и работы через основную единицу массы, то полученные единицы действительно одинаковы. А если определять единицу электрического заряда и единицу силы через единицу длины из уравнения закона Кулона, то эти величины настолько разные по своей физической природе, что об одинаковой единице и говорить невозможно» г. Можно согласиться с тем, что указания способа измерения величины самого по себе еще недостаточно для выявления ее качественной специфики. Нечего возразить и против того, что при определении тождественности величин в каждом случае необходим конкретный анализ. Однако как совместить признание существования количественного равенства единиц величин, «не подходящих под одно понятие», с категоричностью утверждения о том, что заряд, сила и расстояние настолько различны по физической природе, что невозможно говорить об одинаковых единицах? Все зависит «от конкретной физической задачи, от состояния измерительной техники, от степени развития науки в данный момент»2. Раньше никому не приходило в голову измерять температуру вольтами, амперами или омами, а сейчас это делается в промышленности, имеющей дело с высокими температурами. К этому можно добавить, что сейчас фраза «Антракт в 15 килограмм», сказанная клоуном в цирке, воспринимается как нечто бессмысленное, но, по-видимому, она не показалась бы 1 О. А. Мельников. О роли измерений в процессе познания, стр. 32. 2 Там же, стр. 33. 134
бессмысленной древнему греку, привыкшему использовать для измерения времени песочные часы. Определение общей единицы в приведенных примерах можно истолковать как следствие выявления общего свойства разнородных величин, проявляющихся в их отношении к третьей величине. Не только качественно различные виды энергии, но и другие качественно различные величины имеют общие свойства. Однако теоретическая возможность нахождения количественно одинаковых величин еще не означает, что это мы умеем делать практически. Методы определения равенства величин подробно разработаны нами в другом месте \ поэтому мы на них здесь останавливаться не будем. Другая часть общего принципа размерности связана с вопросом о независимости соотношения между величинами от выбора основной единицы и тем самым от абсолютного значения единиц соотносящихся величин. Отношение между единицами не должно меняться при изменениях абсолютной величины этих единиц. В частности, равные друг другу единицы должны остаться равными и после таких преобразований. Необходимые и достаточные условия соблюдения этого принципа рассматриваются в теории размерностей. Здесь показывается, что «каждое вторичное количество, удовлетворяющее условию абсолютного значения относи- тельной величины, должно выражаться как некоторая постоянная, умноженная на первичные величины в некоторых степенях»2. Эти степенные показатели и представляют собой размерности вторичных величин в отношении к первичным. Принцип абсолютного значения относительной величины будет соблюдаться в том случае, если размерности величин в обеих частях уравнения будут совпадать друг с другом. Требование равенства размерностей (иначе оно называется «принципом размерной однородности») в конечном счете говорит о том, каким образом должны изменяться единицы вторичных величин при изменении первичных, чтобы их равенство осталось неизменным. 1 См. А. Я. Уемов. Вещи, свойства и отношения, стр. 145—150. 2 П. В. Бриджмен. Анализ размерностей, стр. 28. 135
Поэтому при условии соблюдения указанного требования различные размерности величин не могут служить аргументом против возможности установления одинаковых единиц К Размерная однородность является необходимым їй достаточным условием соблюдения принципа абсолютного значения абсолютного количества. Размерная однородность по-разному проявляется при суммировании и перемножении величин. В случае многочленных уравнений все члены, соединенные друг с другом знаком 'ПЛЮС ИЛИ минус, должны иметь одинаковую размерность (теорема Фурье). Физический смысл этого требования вполне очевиден. Теорема Фурье связана с тем, что суммы и разности выражают отношения величин, характеризующие различные объекты. Разные же объекты могут соотноситься лишь по одному свойству. Иная картина имеет место, когда величины, входящие' в уравнение, характеризуют один и тот же объект. Тогда они соединяются друг с другом не плюсом или минусом, а знаками других математических действий. Все они должны быть измерены количественно одной и той же единицей, но при этом они могут быть качественно совершенно различными и иметь различную размерность. Эти величины неоднородны, представляют собой раз- личные функции от основной величины, и поэтому для того, чтобы сохранилось равенство единиц, они должны изменяться различным образом, на что и указывает различие размерностей. В частности, при увеличении размеров одной из единиц другие необязательно должны увеличиваться. Напротив, в случае обратной пропорциональности величин увеличение единицы одной из них при сохранении равенства единиц влечет за собой соответствующее уменьшение единицы другой величины. Это кажущееся парадоксальным положение представляет собой необходимое следствие из определения равенства единиц. 1 См. О. А. Мельников. О роли измерений в процессе познания, стр. 33. 136
§ 4. Принцип размерности для свойств отношений В предыдущем параграфе речь шла о методах определения внутренних отношений между свойствами. Для нахождения условий правомерности выводов по аналогии часто бывает необходимо решить другую задачу — определить, является ли то или иное свойство отношений внутренним для них. Как уже указывалось (см. стр. 111), внутреннее свойство отношений определяется самими отношениями независимо от того, в каких вещах имеют место эти отношения. Как формулировки, так и методы решения задач, связанных с определением внутреннего характера свойств отношений, можно получить из формулировки и методов решения задач, связанных с выяснением внутреннего характера отношений свойств. Для этого достаточно воспользоваться принципом двойственности, согласно которому в положениях, содержащих термины «свойство» и «отношение», можно одновременно заменить термин «отношение» термином «свойство» и термин «свойство» — термином «отношение» К Так, если верен закон противоречия, согласно которому одна и та же вещь не может обладать разными свойствами в одном и том же отношении, то верно и двойственное утверждение о том, что одна и та же вещь не может обладать разными отношениями, установленными по одному и тому же свойству. Отметим во избежание иногда имеющих место недоразумений, что принцип двойственности для свойств и отношений не означает возможности замены свойств отношениями и наоборот. Речь идет о взаимной замене терминов «свойство» и «отношение». Иными словами, по отношению к свойствам и отношениям принцип двойственности выступает как метапринцип. Рассмотрим принцип размерности для свойств отношений, имеющий двойственный характер по отношению к принципу размерности для отношений свойств. Будем предполагать, что свойства отношений множества Ru ..., Rn представляют собой отношения к другим 1 См. Л. И. Уемов. Вещи, свойства и отношения, стр. 172; его же. К анализу двойственности понятий пространства и времени. — «Пространство и время в современной физике». Киев, 1966, 137
элементам того же множества отношений. Пусть Ρ — свойство отношений /?i, R2 сосуществования отношения отцовства Ri с обладанием большим возрастом R2. Подчеркнем, что Ρ является именно свойством отношений /?ι, R2, а не отношением между ними. Отношение сосуществования симметрично. Оно в равной мере относится к обоим коррелятам. Мы же имеем в виду, что R\ сосуществует с R2, но не .наоборот. /?2 лишь может сосуществовать с Ru но необязательно сосуществует. Таким образом, предикат Ρ понимается в смысле RIY. Он разлагается на свойство, присущее Ru — «сосуществует с R2» и свойство, присущее R2, — «может сосуществовать с У?і». Каждое из этих свойств отношений представляет собой отношение к другому отношению. Для выяснения внутреннего характера свойства необходимо прежде всего установить, связаны ли отношения Ru #2 со свойствами одной и той же вещи. Однако установление того, что оба отношения определены в одних и тех же вещах, еще не означает, что сосуществование одного отношения с другим будет внутренним свойством этого отношения. Возможно, что в других вещах эти отношения не будут сосуществовать друг с другом. Для доказательства внутреннего характера свойства Ρ необходимо показать, что Ρ сохраняется при любых заменах одних вещей другими. Таким образом, Ρ будет внутренним свойством отношения У?і в том случае, если: 1) все отношения Ru R2 определены в качестве таковых по свойствам одних и тех же вещей; 2) изменение последних, замена одних вещей другими не влияет на свойство отношений. Выше рассматривался пример определения внутреннего характера свойства двух отношений. Такие же рассуждения, естественно, распространяются на случай многих отношений. Однако здесь нужно учитывать, в каком смысле будет пониматься отношение между отношениями. Свойство каждого отношения должно представлять собой отношение по всем остальным отношениям, вместе взятым, то есть это отношение следует понимать в смысле Rm. С другой стороны, если нам дамо одно отношение, то его свойства .можно рассматривать как отношение к самому себе. Например, транзитивность выразится как 138
тождество самому себе результата композиции с самим собой: RxR=R, симметричность — как тождество самому себе независимо от порядка, в котором берутся соотносящиеся элементы, и т. д. Таким образом, изложенный выше метод определения внутренних свойств отношения может быть применен и тогда, когда речь идет о свойстве одного отношения. Од- нако в этом вырожденном случае первое условие выполняется автоматически, так как отношение не может существовать в иных объектах, нежели те, в которых оно существует. Но требуются доказательства выполнения второго условия. Мы видим, что методы определения внутренних отношений между свойствами с помощью двойственного преобразования превращаются в методы определения внутренних свойств отношений. При этом двойственность позволяет выявить 'предпосылки, неявно используемые в одном случае с помощью другого случая. Например, применяя принцип размерности для внутренних свойств отношений, мы предполагали, что свойство каждого отношения можно представить в виде отношения отношений той же системы. Двойственное этому положение для внутренних отношений в системе свойств будет означать, что эти отношения выражают собой свойства свойств данной системы. Это положение считалось само собой разумеющимся при изложении принципа размерности для внутренних отношений между свойствами. Например, отношение, представленное в уравнении F(xh ..., χη)=09 выражает свойство каждого из свойств Х\9 ..., Χγι»
ОБОСНОВАНИЕ ПРАВОМЕРНОСТИ РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ ВЫВОДОВ Глава IV ОТ МОДЕЛИ К ПРОТОТИПУ § 1. Правила вывода по аналогии типа парадейгмы 1. Полемика эпикурейцев со стоиками Проблема правомерности вывода по аналогии, структура которого более или менее точно выражается формулами парадейгмы, была поставлена в полемике двух важнейших философских направлений Древнего Рима — эпикурейцев и стоиков. Этой полемике посвящен открытый β развалинах Геркуланума трактат эпикурейца Филодема «Περί σημείων και σημειώσεων» («Об означающем и обозначаемом») 1. Филодем доказывает, что знание о вещах, недоступных непосредственному восприятию, приобретается главным образом по аналогии. В противовес эпикурейцам стоики утверждают, что умозаключение по аналогии логически несостоятельно. Вывод от одного предмета к другому, например от смертности Сократа к смертности Платона, возможен лишь в том случае, если нам заранее, a priori известна общая посылка о том, что в данном отношении все 1 Греческий текст и английский перевод трактата см. в кн.: Р. Н. Lacy and Ε. A. De Lacy. On Methods of Inference. A. Study in Ancient Empiricism. Philadelphia, 1941. Подробное изложение трактата см. в статье К. Лесняка «Трактат Филодема об индукции» («Studia Logica», t. II. Warsza- wa, 1955). 140
предметы рассматриваемого рода одийакбвь! & йашем примере, то, что все люди смертны. Но в таком случае вывод о смертности Платона может быть получен путем дедукции. Если же нет такой общей посылки, то и вывод по аналогии ничем не может помочь. «Нельзя ли утверждать по сходству, что так как у нас растут яблоки и фиги, то растут они также всюду? Ведь одни и другие не воспринимаются в данный момент, и не является необходимостью то, что, так как они существуют в нашем опыте, они должны существовать также и в местах, нами не воспринимаемых, и существует ли необходимость умозаключать обо всех растениях, в каких бы ни росли они местах, что если они не существуют в нашем опыте, то не существуют нигде?» 1. Применение аналогии в таких случаях приводит к явно ошибочным выводам. Это является аргументом против самого метода. «Метод, который позволяет заключать <на основании факта, что если что-нибудь не существует в нашем опыте, то не существует также и в местах, не наблюдаемых нами, не принуждает нас к признанию его» 2. Но даже если вывод по аналогии подтверждается в ряде случаев, всегда может найтись предмет, обладающий настолько специфичной природой, что применительно к нему вывод, полученный по аналогии с другими -предметами, оказывается ложным. «Если среди многих и разнообразных камней один только род камней, называемый магнитом, или камнем Геркулеса, притягивает железо; если также один только янтарь способен притягивать мякину и если квадрат числа четыре является единственным квадратом, периметр которого равняется поверхности, то на каком же основании мы будем утверждать, что не существует какого-нибудь единственного рода людей, который не умирает после пронзения сердца? Поэтому, исходя из факта, что люди в нашем опыте умирают после пронзения сердца, нам нельзя заключать то же самое относительно всех людей»3. Стоик Дионисий из Кирены приводит целый ряд, по его мнению, совершенно достоверных особенных случаев. Среди них — мужчина ростом в поллоктя, девушка, ставшая после замужества мужчиной, а мужчина с такой 1 «Studia Logica», t. II, str. 135. 2 Там же. 3 Там же, стр. 136. 141
крепкой головой, что по ней можно было бить молотом без вреда для владельца. Далее, стоики утверждают, что эпикурейцы противоречат сами себе, когда говорят о неразрушимых и бесцветных атомах. Если об атомах рассуждать по аналогии с видимыми телами, то необходимо перенести на них свойства видимых тел — разрушимость и наличие того или иного цвета. Мы видим, что стоики выдвинули целый ряд довольно серьезных возражений против использования умозаключений по аналогии. Как же отвечают на них эпикурейцы в лице Филодема? Филодем оспаривает положение о том, что умозаключение по аналогии предполагает заранее данную общую посылку. «Если мы переходим от предложения «Люди в нашем опыте смертны» к предложению «Люди всюду смертны», то мы раньше не предполагаем того, что люди, о которых мы заключаем, похожи в отношении смертности на людей, данных нам в опыте, и что они похожи на них в каком бы то ни было отношении, за исключением смертности; но из факта, что все люди в нашем опыте похожи и в отношении смертности, мы индуктивно умозаключаем, что все люди вообще подвержены смерти, так как ничто не мешает нашему заключению и не повлекло нас нисколько ко взгляду, что люди не подвержены смерти. Опираясь на это сходство, мы объявляем, что люди вне пределов нашего опыта в отношении смертности похожи на людей в нашем опыте» К Здесь Филодем действительно опровергает положение о том, что умозаключение по аналогии основано на общем положении. Из этого положения не исходят, но к нему приходят в результате аналогии. Однако Филодем не может объяснить, почему вывод по аналогии дает ,нам право на это. Он ссылается лишь на очень слабый аргумент отрицательного характера: до сих пор, то есть в рамках опыта, ничто не препятствовало общему выводу. Отвечая на возражение стоиков о неправомерности вывода о том, что фиги растут всюду, по аналогии с тем, что они растут у нас, Филодем ссылается на различный характер связи признаков с предметами. Это различие хорошо выражено у Лукреция: 1 «Studia Logica», t. II, str. 134. 142
Свойство есть то, что никак отделить иль отнять невозможно Без разрушенья того, чему оно будет присуще: Вес у камней, у огня теплота, у воды ее влажность. Тел ощущаемость всех и неощутимость пустого. Рабство, напротив того, иль бедность, или богатство, Как и свобода, война, и согласье, и все, что природу При появленьи своем иль уходе отнюдь не меняет, Все это мы, как и должно, явлением здесь называем 1. Переносить с помощью аналогии признаки с одного предмета на другой можно лишь в том случае, если они являются свойствами, то есть существенными свойствами— в современной терминологии, а не явлениями, не случайными сходствами. Поэтому вывод о смертности одних вещей на основании смертности других будет правомерен, так как смертность — существенное свойство, а вывод о том, что фиги растут и в других местностях, не будет правомерным, поскольку связь растения с данной местностью случайна, зависит от внешних условий. Большое внимание уделяли эпикурейцы проблеме «особых случаев». Они пытались показать, что существование таких особых случаев служит аргументом не против, а в 'пользу умозаключений по аналогии. «Никто из нашей школы, — пишет Филодем, — не отрицает особенных случаев, но и умозаключение <по аналогии не утратит характера необходимости по той причине, что один ряд камней притягивает железо. Ведь в нашем мире существует одно только Солнце, одна Луна и некоторое количество постоянных свойств в каждом классе предметов, и нет такого класса предметов, который имел бы все свойства, общие с другим классом. Если бы другие камни были похожи или тождественны с камнями, которые притягивают железо, и если бы некоторые из этих камней притягивали железо, а другие не притягивали, то метод умозаключений по аналогии был бы поколеблен. Но так как этого нет и среди многих видов камней магнит обладает этим особенным свойством специального рода и если камень проявляет таким образом своеобразную натуру, то все остается ненарушимо»2. Магнит, Солнце, Луна и т. д. — все это предметы особого -рода, поэтому применительно к ним нужно говорить об особых закономерностях. Существование таких пред- 1 Лукреций. О природе вещей. М. — Л., 1936, стр. 16 (Кн. I, 452—459). 2 «Studia Logica», t. II, str. 139. 143
метов не опровергает выводов по аналогии. Выводы по аналогии опровергались бы лишь в том случае, если бы часть предметов одного и того же рода обладала одними существенными свойствами, а часть другими. Тогда были бы ошибки при переносе признаков с одного предмета, на другой того же рода. Магнит, Солнце, Луна и т. д.— предметы особых родов, поэтому на них и нельзя переносить признаки, свойственные предметам других родов, например на магнит — свойства обычных камней или на Солнце — свойства обычных предметов казаться меньшими на большом расстоянии. Отсюда вывод о том, что Солнце в действительности такое, каким нам кажется. Значит ли это, что эпикурейцы в данном случае отступают от эмпиризма и совершенно отказываются от метода аналогии? К. Лесняк в своей статье о трактате Филодема пишет: «Стоики, которые в полемике с эпикурейцами пользуются слабой и наивной аргументацией, в данном случае совершенно правы, если упрекают эпикурейцев в непоследовательности. Это, несомненно, самый слабый момент в эпикурейской канонике. Эмпирически ориентирующиеся эпикурейцы знают по опыту, что предметы с расстоянием соответственно уменьшаются. В этом случае они, однако, необоснованно решили не 'принимать во внимание умозаключение по аналогии и признать Солнце особенностью, к которой этот метод не применяется» 1. Нужно сказать, что аргументация стоиков отнюдь не слаба и не наивна даже с современной точки зрения. Но в данном случае они не правы. Не прав и К. Лесняк. Эпикурейцы вполне последовательны, ибо исключают Солнце из числа обычных предметов нашего опыта на эмпирическом основании. Об этом говорит и та цитата из Филодема, которую приводит К. Лесняк в подтверждение своих слов: «У всех предметов нашего опыта мы видим меньшую степень окраски, если наблюдаем их с некоторого расстояния, так как колорит представляется замазанным и туманным; но Солнце имеет очень ясный диск и не может являться основанием для 'принципа, что по большей части расстояние естественно уменьшает размеры и что далекие предметы во много раз больше, чем кажутся» 2. 1 «Studia Logica», t. II, str. 137. 2 Там же, стр. 138. 144
Но, исключая Солнце и другие «особенности» из тех родов, к которым на первый взгляд они относятся, эпикурейцы не отказывались от применения к ним умозаключения по аналогии. Однако эта аналогия проводится с предметами иного рода — выбирается другая модель. Применительно к Солнцу отбрасывается аналогия с обычными предметами — на указанном выше основании, но на том же основании устанавливается аналогия с огнями— они, так же как и Солнце, на расстоянии не являются «замазанными и туманными». Вывод о величине Солнца получен на основе именно этой аналогии. Эпикур в письме к Пифоклу, говоря о величине Солнца, Луны и остальных светил,-ссылается на то, что «и огни у нас {на Земле], наблюдаемые с некоторого расстояния, рассматриваются на основании чувственного восприятия» 1. Эту же мысль в поэтической форме развивает Лукреций: Солнечный диск, как и жар, исходящий от солнца, не могут Больше значительно быть или меньше, чем кажется чувствам. Ибо, с какого огни расстояния свет ни бросали б И ни вдыхали бы жар раскаленный во все наши члены, Пламя в составе своем ничего не теряет при этом, И отдаленность огня не являет его уменьшенным 2. Таким образом, и применительно к особенностям применяется умозаключение по аналогии, но в данном случае это умозаключение ошибочно. Последнее из приведенных «выше возражений стоиков относится к противоречию, якобы имеющему место между методом аналогии и эпикурейской физикой. Филодем отвечает на это следующим образом: «...нельзя умозаключать на основании случайных общих признаков. Примером может служить то, что тела в нашем опыте подвергаются разрушению не потому, что это тела, а потому, что они принимают участие в противотелесной и легко уступающей натуре. Точно так же тела в нашем опыте имеют цвет, но не как тела; так как осязаемые предметы, поскольку они сопротивляются прикосновению, являются телами, но по той причине, что они ощущаемы, они не выявляют цвета. Ведь предметы в темноте не имеют никакого цвета, однако остаются телами. 1 «Материалисты древней Греции». М., 1955, стр. 199. 2 Лукреций. О природе вещей, стр. 153 (Кн. V, 564—570). І45
Поэтому на основании этих свойств мы не выводим заключения обо всех телах; со стороны других сходств, таких, как легкость и тяжесть, мы не будем встречать препятствий в умозаключениях по аналогии с условием, что будем пользоваться надлежащим образом индуктивным методом» 1. Здесь выражена интересная мысль, понять которую можно только в плане качественного понимания вещи. Далее Филодем выясняет, что он понимает под правильным использованием метода умозаключений по аналогии. «Надо переходить от вещей близких и как можно более похожих, а не следует употреблять обширных сходств, за исключением свойств наиболее общих. Например, от этих вот индивидуальных людей к людям наиболее на них похожим; от рода людей к роду свойств, сопутствующих всему людскому роду, .причем ничто не может даже в малейшей степени увлекать в противоположную сторону; от этих живущих существ к существам наиболее на них похожим; от рода к принадлежностям рода; от тела некоторого рода к иному телу того же рода; от родового к родовому; от сущности некоторой натуры к тому, что на нее особенно похоже». Здесь мы видим довольно отчетливую формулировку правила умозаключения по аналогии: число свойств, общих сравниваемым предметам, должно быть возможно большим. Выше говорилось и о другом правиле этого умозаключения: свойства, общие сравниваемым предметам, должны быть существенными для этих предметов. Кроме того, можно сформулировать в виде особого правила результат анализа проблемы «особенных случаев». Вывод по аналогии будет более надежным, если один особый случай сопоставляется с другим особым случаем, чем если особый случай сопоставляется с обычным. Мы остановились на теории эпикурейцев так подробно по той причине, что здесь проблема условий .правомерности вывода по аналогии типа парадейгмы ставится более конкретно, чем в последующие периоды развития логики. Однако эпикурейцы не формулируют в явном 1 «Studia Logica», t. II, str. 139. І46
Виде то основание, исходя из которого можкґо было бы обосновывать правила вывода по аналогии. Решающим аргументом здесь является очевидность, здравый смысл. 2. Концепция Д. С. Милля Основываясь на одной только очевидности, трудно было бороться со скептиками, отрицавшими логическую состоятельность, а иногда даже познавательную ценность выводов по аналогии. Приведем несколько примеров. Один из крупнейших ученых средневековья, Ибн-Сина (Авиценна), в своей «Логике» дает логическую критику умозаключения по аналогии. Его аргументация заслуживает внимания и с современной точки зрения. «Это (за- ключение по аналогии] не является необходимым, потому что утверждение по сходству может противоречить утверждению по другому сходству (курсив мой.—А. У.), так как есть много вещей, которые >в одном отношении схожи, а в тысяче других отношений различны. В отношении одного из них суждение будет правильным или может быть правильным, а в отношении другого неправильным» 1. Не меньший скептицизм в отношении к аналогии обнаруживают столь различные мыслители, как Н. Маль- бранш и А. И. Герцен. «Та легкость, с какою разум воображает и предполагает сходства везде, где он не видит ясно различия, вводит также большинство людей в очень опасные в отношении морали заблуждения... Монах какого-нибудь ордена совершает проступок: этого достаточно, чтобы большинство тех, кто знает о нем, осудило безразлично всех отдельных лиц в этом ордене. Они все носят одну и ту же одежду, одинаково называются, в этом они походят друг на друга: этого достаточно, чтобы большинство людей вообразило, что они походят друг на друга во всем... Клеветники, изощрившиеся в способах чернить репутацию своих врагов, пользуются обыкновенно этим средством, и .опыт показывает нам, что оно почти всегда удается»2. «...Никто не прибегает к аналогии, если может ясно и просто высказать свою мысль. Недаром французы го- 1 Ибн-Сина. Даниш-намэ. Сталинабад, 1957, стр. 116—117. 2 Н. Мальбранш. Разыскания истины, т. II. СПб., 1906, стр 57—58. 147
ворят: comparaison n'est pas raison (Сравнение — не Доказательство.— Ред.). В самом деле, строго-логически ни предмету, ни его понятию дела нет, похожи ли они на что-нибудь или нет: из того, что две вещи похожи друг на друга известными сторонами, нет еще достаточного права заключать о сходстве неизвестных сторон (курсив мой.—А. У.). В какие грубые ошибки, например, впадала геология, желая обобщать факты, выведенные изучением Альпийских гор, к другим полосам! Когда известен общий закон, то вы ищете его в частном случае не по одной аналогии с другими явлениями, но по логической необходимости» К Что же отвечала этим скептикам логика? Д. С. Милль признает, что сходство в одних свойствах может быть связано с различиями в других. «Помимо столкновения между аналогией и различиями может оказаться также столкновение между противоречащими одна другой аналогиями»2. Это снижает степень правдоподобия вывода, полученного с помощью аналогии. Однако не все аналогии одинаковы в этом отношении. Например, вывод об обитаемости Земли к обитаемости Луны менее правомерен, чем вывод об обитаемости Земли к обитаемости других небесных тел, более похожих на Землю. Поэтому логика может сформулировать условия, соблюдение которых повышает логическую значимость вывода по аналогии. «...Ценность доказательства по аналогии,— пишет Д. С. Милль,— т. е. умозаключения относительно одного сходства на основании других, при отсутствии какой-либо доказанной связи между ними,— зависит от количества черт, признанных сходными,— сравнительно, во-первых, с количеством установленных черт различия, а затем — с размерами области еще не исследованных свойств. Отсюда следует, что, когда сходство очень велико, когда различий установлено очень мало, а наше знакомство с предметом довольно полно, тогда доказательство по аналогии может весьма близко подходить по своей силе к настоящей индукции»3. 1 А. И. Герцен. Письма об изучении природы.— В кн.: А. И. Гер- цен. Избранные философские произведения, т. I. М., 1946, стр. 103. 2 Д. С. Милль. Система логики силлогистической и индуктивной, стр. 450. 3 Там же. 148
Но почему это так, почему вывод по аналогий может быть не менее строгим, чем «настоящая индукция», остается неясным. То положение, которое Милль приводит в качестве основания вывода по аналогии, не делает его заключение убедительным: «Отбрасывая все те свойства Л, которые, как нам известно, не имеют никакого отношения к т (переносимому свойству.—А. У.), мы получаем в остатке несколько свойств, между которыми мы не в состоянии сделать выбора; из этих свойств В обладает одним или более. Это последнее обстоятельство мы и рассматриваем как более или менее сильное основание для того, чтобы заключить по аналогии, что В обладает и свойством т» К Что касается конкретного содержания правил вывода по аналогии, отмеченных Миллем, то в целом они не выходят за пределы того, о чем говорили уже эпикурейцы. Последующее развитие традиционной логики в этом отношении остается в рамкам концепции Милля2. Отмечается, правда, такое требование, как существенность общих свойств для сравниваемых предметов, но это предполагается и Миллем и эпикурейцами. Основания же, которые должны определять правила, не формулируются. 3. Вероятностная логика. Д. М. Кейнс Новый подход к проблеме установления условий повышения вероятности вывода по аналогии связан с возникновением вероятностной логики. Кейнс выражает парадейгму средствами символической логики и применяет к выяснению условий, повышающих вероятность вывода, методы теории вероятностей3. Выражение g((p, /) означает, что если сравниваемые предметы обладают свойством φ, то они обладают также и /. Формула g(<p, f)/h используется для обозначения вероятности справедливости обобщения g((p, /) при наличии опытных данных h. Кейнс формулирует и доказывает на основе теоретико-вероятностных соображений следующее правило: 1 Д. С. Милль. Система логики силлогистической и индуктивной, стр. 448. 2 См. «Логика». М., 1956, стр. 203—209, и приведенные выше правила Б. Фогараши. 3 /. М. Keynes. A Treatise on Probability. London, 1952. 149
Чем более исчерпывающим является условие φ й менее исчерпывающим заключение /, тем большей априорной вероятностью обладает обобщение g. Приведенное положение можно интерпретировать как традиционное условие повышения вероятности,— вывода по аналогии — увеличение числа сходных признаков. Свойство φ будет, естественно, тем более исчерпывающим, чем больше отдельных признаков оно включает в свой состав. Но условие Кейнса говорит о большем, чем традиционное правило,— вывод будет тем более вероятен, чем беднее по своему содержанию переносимый признак. В качестве простейшего случая Кейнс рассматривает совершенную аналогию, когда мы имеем полное знание относительно каждого случая: везде φ сопровождается / и при этом охватывает собой все общее, что имеется между сравниваемыми вещами. Такая аналогия практически мало полезна, но все же применима, поскольку позволяет переносить признак на уже исследованные предметы в других пространственно-временных областях. Здесь Кейнс ссылается на закон единообразия природы. В другом типе аналогии φ охватывает лишь часть общих свойств вещей. Кроме них имеются еще большие признаки φι, не охваченные обобщением. Обобщение тем более правомерно, чем более исчерпывающим является φ и чем менее исчерпывающим φι. Это ясно из того, что обобщение £(φ, /) является ошибочным, если / связано не с φ, а с φι. «В целом процесс усиления основания в пользу обобщения g(cp, /) с помощью накопления новых эмпирических данных, по моему мнению, состоит в том, чтобы сделать аргументацию как можно более близкой к условиям совершенной аналогии путем уменьшения количества тех сходств φι между предметами, которые не охватываются нашим обобщением. Таким образом, значение дополнительных инстанций данных в опыте определяется не их числом, как таковым, а их тенденцией ограничивать и уменьшать полноту, или, другими словами, увеличивать отрицательную аналогию» 1. Если наше знание исследуемых предметов не является полным, мы должны исходить лишь из их числа, поскольку большое количество, подчеркивает Кейнс, благоприятствует отрицательной аналогии. Но чем более 1 /. М. Keynes. A Treatise on Probability, p. 228. 150
полно знание каждого случая, тем меньшую роль играет их число. В качестве итога своего исследования Кейнс формулирует три условия, усиливающих правомерность распространения сделанного обобщения на неисследованные случаи: 1) уменьшение числа известных сходств между всеми инстанциями, которые игнорируются как несущественные при обобщении; 2) увеличение различий φ', существующих между инстанциями; 3) уменьшение субаналогий или несущественных черт, общих некоторым-инстанциям, но, быть может, различных у других К Изложенные рассуждения Кейнса не решают проблему построения вероятностной теории парадейгмы. Кейнс не выявляет специфику выводов по аналогии в отличие от индукции. Между тем и другим зачастую вообще не усматривается какой-либо разницы. В связи с этим далеко не все, что он говорит о выводах по аналогии, можно применить к анализу этих умозаключений. К выводам по аналогии по существу относится лишь обоснование и дополнение традиционного правила увеличения числа сходных черт сравниваемых предметов. Однако условия 1)—3) противоречат данному правилу, поскольку требуют того, чтобы эти предметы возможно больше отличались друг от друга. Эти условия имеют смысл, когда аналогия имеет место не между двумя, а сразу между достаточно большим количеством различных предметов. В таком случае аналогия утрачивает свою специфику и превращается в начальную фазу индукции. Поэтому условия 1)—3) —это не условия правомерности аналогии, а по сути дела условия, повышающие степень правдоподобия вывода по неполной индукции. 4. Трудности вероятностной трактовки выводов по аналогии Из работы Кейнса видна возможность применения к анализу выводов по аналогии формального аппарата вероятностной логики. Однако создание вероятностной тео- 1 /. М. Keynes. A Treatise on Probability, p. 231—232. 151
рий аналогии, которую можно было бы широко использовать в практике научного познания, встречается с рядом серьезных трудностей. Важнейшая из них связана с применением к выводам по аналогии понятия вероятности. Аналогия представляет собой вывод от одного единичного объекта к другому. В посылках и заключении речь идет об индивидуальных событиях. Что же такое вероятность индивидуального события? Для ответа на этот вопрос обратимся к общему определению вероятности. В нашей литературе авторитетна точка зрения А. Н. Колмогорова, который пишет: «Вероятность математическая — числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях (курсив мой. — А. У.), т. е. характеристика объективно существующей связи между этими условиями и событием» 1. Но может ли идти речь о повторении неограниченного числа раз условий индивидуального явления, например высадки Цезаря в Британии? Как определить численное значение вероятности этого события? Как отмечает А. Н. Колмогоров, «в некоторых случаях численное значение вероятности получается из классического определения вероятности: «Вероятность равна отношению числа случаев, «благоприятствующих» данному событию, к общему числу «равновозможных» случаев»» 2. Очевидно, что найти равновозможные случаи в нашем примере невозможно, и классический метод определения вероятности оказывается, таким образом, бесполезным. Остается другой метод — статистический, связанный с понятием частоты. «При конечном числе η повторений заданных условий доля числа случаев т, в которых данное событие появится, т. е. так называемая m частота — лишь, как правило, мало отличается от ве- п роятности р»г. Это дает основание многим статистикам отождествлять вероятность с частотой, если частота яв- 1 А. Н. Колмогоров. Вероятность. — БСЭ, т. 7. Мм 1951, стр. 508. 2 Там же. 3 Там же, стр. 509. 152
лйется устойчивой, то есть при неограниченном повторении заданных условий стремится к некоторому пределу (концепция Мизеса). Казалось бы, невозможность применения частотного понимания вероятности к определению вероятности единичного события является очевидной. Однако X. Рей- хенбах делает такую попытку. Он рассматривает несколько интерпретаций вероятности индивидуального события. Первая из них основана на понимании этой вероятности как степени ожидания (degree of expectation) данного события К В такой интерпретации вероятность оказывается зависящей от психологической характеристики субъекта и не имеет логического значения. Другая связана с применением классического принципа равно- возможных событий. Третья рассматривает вероятность индивидуального события как простое, неопределяемое понятие. Понимая несостоятельность подобных интерпретаций, Рейхенбах отказывается от них и рассматривает утверждения о вероятностях единичных событий как сокращенный способ выражения2. Им придается, таким образом, фиктивный смысл. Этот смысл отождествляется со статистическим весом предположения о данном событии (weight of a posit) 3. По мнению Рейхенбаха, такой статистический вес может быть определен с помощью понятия частоты. «Например, утверждение о том, что Юлий Цезарь был в Британии, должно рассматриваться как предположение, имеющее определенный вес, переводимый в частотное утверждение. Когда мы обращаем внимание на методы, с помощью которых устанавливается вес, мы обычно обнаруживаем его статистическое происхождение. Так, для того чтобы сделать приемлемым утверждение о том, что Цезарь был в Британии, мы исследуем число хроникеров, которые сообщали об этом факте, и мы измеряем надежность данного хроникера числом его сообщений, согласующихся с сообщениями других писателей»4. Однако таким образом определенная вероятность индивидуального события не соответствует обычным пред- 1 Н. Reichenbach. The Theory of Probability. Berkley — Los Angeles, 1949, p. 367—372. 2 Там же, стр. 376—377. 3 Там же, стр. 378—379. 4 Там же, стр. 379. 153
ставленням, связанным с этим понятием. Рейхенбах ЭТО понимает, но отмахивается от обычных представлений следующим образом: «Могут возразить, что частотная интерпретация вероятности единичного события не соответствует тому, что тот или иной человек подразумевает, когда рассматривает индивидуальное событие как вероятное... это возражение мне кажется не относящимся к делу, так как логический анализ не связан с описанием субъективных образов и намерений, связанных со словами» К «Использованию слова «вероятный» применительно к индивидуальным событиям или как обозначению валентности предложений об индивидуальных событиях может быть придан смысл в терминах частоты; если этот смысл принят, наши слова будут соответствовать нашим действиям. Этот результат кажется мне бесспорно установленным. Поскольку нет другого пути определения смысла, чем нахождение интерпретаций, делающих язык соответствующим поведению, я не вижу оснований, по которым универсальная применимость частотной интерпретации вероятности может быть подвергнута сомнению» 2. Рейхенбах здесь исходит из прагматическо-бихевио- ристского понимания смысла предложений. Однако понятие поведения настолько неопределенно, что оно не обладает никакими преимуществами для уточнения смысла предложений в сравнении с теми представлениями, которые имеются у людей, говорящих о вероятностных единичных событиях. В частности, замена единичного события совокупностью данных об этом событии лишает понятие вероятности его объективного основания и может вызвать лишь отрицательное отношение к такому пониманию вероятности единичных событий, что тоже является своего рода поведением. Чисто частотное понимание вероятности вызывает сомнение даже у логиков, близких по своим философским воззрениям к Рейхенбаху, в частности у Карнапа. Кар- нап различает две формы вероятности — вероятности — Pi и вероятности — F)2· Под вероятностьюі понимается некоторое логическое отношение между предложениями — степень подтверждения (degree of confirmation). Вероятности — относи- 1 Я. Reichenbach. The Theory of Probability, p. 378—379. 2 Там же, стр. 381—382. 154
тельная частота. В качестве представителей понимания вероятности в смысле Pi называются Кейнс и Джефф- рис, в качестве представителей частотного понимания Р2— Рейхенбах. Вероятность ι может быть применена и в том случае, когда на основании некоторой гипотезы Я предсказывается единичное событие, например то, что завтра будет дождь К Как же можно эмпирически проверить, что вероятность дождя действительно, скажем, 75» а не какое-нибудь другое число? Завтра мы можем проверить, будет дождь или нет, но не сможем выяснить, что его вероятность была именно 7s. По мнению Карнапа, утверждение, приписывающее вероятность Р\ единичному событию, вовсе не нуждается в эмпирической проверке. Оно устанавливает чисто логическое отношение, например, между предсказанием дождя и метеорологическими фактами. Положение разъясняется с помощью примера из дедуктивной логики. Пусть h — предложение «Завтра будет дождь», / — «Завтра будет дождь и ветер»; h логически следует из /, и для проверки этого нет никакой необходимости в фактическом знании. Понятие вероятности может быть количественно уточнено тремя различными способами. Первый из них — истолкование вероятности Pi как меры подкрепления очевидности (Evidential Support). Например, если 1) эта мера измеряется неотрицательными числами ^1 и если 2) две гипотезы h\ и к2 логически исключают друг друга, то мера подкрепления, данная фактом е гипотезе h\V h2, может быть определена как сумма чисел, которыми измеряется подкрепление, данное е гипотезам h\ и h2 по отдельности. Пусть h и отрицание этой гипотезы соЯ одинаково подкрепляется е. Поскольку hV сяк истинно при всех условиях, никакое утверждение не может быть более достоверным. Следовательно, подкрепление е для hVcnh имеет максимальное значение, то есть равно 1. Отсюда, согласно предположению 2), значения величин подкрепления для h и сюЯ = 72. Соответственно если η взаимоисключающих гипотез одинаково поддерживаются е, то вероятность каждой из них равна 1/п. Гипотеза Л, представляющая совокупность 1 R. Carnap. Logical Foundations of Probability, p. 30. 155
tn из названных выше η гипотез, будет иметь вероятность ш/п. «Таким путем мы получаем интерпретацию для рациональных чисел интервала (0, 1) как значений величины поддержки (strength of support), а в некоторых случаях тем самым и вероятности Р\ как количественного понятия» 1. Другой способ — истолкование вероятности как справедливого коэффициента пари (Fair Betting Quotient). В широком смысле пари (bet) может рассматриваться как договор между двумя партнерами Х\ и х2, согласно которому Χι обещает вознаградить соответствующим образом х2 при условии выполнения предсказания h и, наоборот, х2 обещает вознаградить Х\ в случае соЛ. Допустим, что вознаграждения представляют собой некоторые количества денег, называемые ставками (stakes), одна из которых обозначается щ, а другая — и2. Величина и\-\-и2 всегда положительна, хотя по отдельности h или соЛ могут быть равны нулю. Отношение — со- отношение ставок (betting relation). Отношение —— коэффициент пари (betting quotient). Если u\ + г/2 коэффициент пари задан и равен q, то очевидно, что со- U\ q отношение ставок равно —- = —-— . Представим себе, что Х\ и х2 обменяются информацией прежде, чем они заключат соглашение, относящееся к е. Пусть е выражает общее количество информации, которым они располагают. Предположение о том, что вероятности h в отношении к е имеет значение q, может быть теперь интерпретировано как утверждение, согласно которому пари относительно h с коэффициентом q для обоих спорящих, знающих е, является справедливым (fair). Такое пари не дает преимуществ ни одному из партнеров. Эта интерпретация вероятностиі согласуется с изложенной выше, поскольку, чем в большей мере h подтверждается е, тем выше может быть коэффициент пари. Но каким же образом можно определить численно значение вероятности!,' понимаемой таким образом? Рассмотрим наиболее важный случай, когда гипотеза h 1 R. Сагпар. Logical Foundations of Probability, p. 165. 156
утверждает, что некоторый предмет Ь имеет свойство М. Для того чтобы судить о том, имеют ли место в пари преимущества для той или иной стороны, будем рассматривать его как элемент множества пари относительно η предметов класса /С, один из которых Ь. Предполагается, что е не дает основания решить для каждого предмета из /С, обладает ли он данным свойством. Пусть хг заключает η одновременных пари с х2. Для каждого предмета χ из К Х\ ставит щ против и2, что χ имеет свойство Μ·η= —. Допустим, что в действительности из η UI+U2 предметов К только т обладает М. Следовательно, относительная частота Μ в К есть г. Каков будет результат после того, как реальная ситуация будет обнаружена и все долги выплачены? Х\ выиграет т пари и получит /тш2, проиграет -(1—г)η пари и потеряет (1—г)пи\. Общий баланс ти2 — (1 — г)ппх = п(и\ + и2) (г — q). Поскольку щ-\-и2 всегда положительно, χ останется в барыше, если г — q будет положительным, то есть q<r, и в убытке при q>r. Если бы Х\ и х2 определяли свои шансы с помощью рациональных индуктивных методов, могло ^ли между ними быть пари? Рассмотрим вначале случай, когда е представляет собой информацию о том, что в' точности т из η элементов К обладают М, хотя неизвестно, какие именно. В этом случае никто не захочет спорить, если q отлично от г. При q>r пари неблагоприятно для Х\. При q<r — для х2. Единственная возможность рационального пари — при q = r. Таким образом, «если относительная частота Μ в классе, к которому принадлежит 6, известна и равна г, то «fair betting quotient» для гипотезы, что Ъ есть Μ и тем самым вероятность ι этой гипотезы есть г» 1. В качестве третьего метода уточнения вероятности Р\ Карнап рассматривает ее выражение как оценки относительной частоты (Estimate of Relative Frequency). Пусть наши спорщики ничего не знают об относительной частоте г свойства Μ в К. В таком случае каждый из них может попытаться дать оценку этой величине на основе знания е и рассматривать эту оценку как fair betting quotient. Тогда выражение «Вероятность Pi предположения, что Ъ есть Μ в отношении к е, есть д» будет 1 R. Сагпар. Logical Foundations of Probability, p. 168. 157
эквивалентно выражению «Оценка относительной частоты в классе К относительно е есть q». Поскольку в достаточно длинной последовательности относительная частота совпадает с вероятностью, она «в некоторых случаях может рассматриваться как оценка вероятности» К Из сказанного ясно, что понятие логической вероятности во всех ее интерпретациях в конечном счете опирается либо на классическую концепцию равновозмож- ных событий, либо на концепцию относительной частоты. В том и другом случае применение понятия вероятности к описанию единичных явлений встречается с большими затруднениями. Остается справедливым положение о том, что плодотворное понятие вероятности «может применяться лишь к массовым явлениям, случающимся очень много раз»2. 5. Концепция М. Хесс Как уже отмечалось выше, монография М. Хесс3 принадлежит к числу тех немногих работ по методу моделирования, в которых разбирается вопрос о его логических основаниях. В качестве такого основания М. Хесс выделяет четыре формы выводов по аналогии, в том числе парадейгму и изоморфизм, которые, однако, в процессе выявления условий их правомерности по существу все сводятся к парадейгме. Задачу логического обоснования метода моделирования, то есть логическую проблему аналогии, М. Хесс расчленяет на три компонента, располагаемых по степени трудности. (/) Должно быть показано, что из двух гипотез — произвольной и такой, которая основана на модели,— более разумно выбрать последнюю. Например, если в модели имеем признаки BCD, а в прототипе есть ВС, то более вероятно, что в прототипе есть признаки D, чем какой-либо другой признак X. В более сложных вариантах обе гипотезы основаны на моделях. Но одна модель обладает большим сходст- 1 R. Carnap. Logical Foundations of Probability, p. 173. 2 А. Яглом. Вероятность. — Философская энциклопедия, т. I, стр. 244. 3 М. Hesse. Models and Analogies in Science. 158
вом с прототипом, чем другая. Требуется показать, ч+о разумно выбрать гипотезу, основанную на модели с большим сходством. Здесь возможны два случая, образующих соответственно второй и третий вариант логической проблемы аналогии. (и) Факторы подобия одной модели включают в себя факторы подобия другой. Например, одна модель обладает признаками прототипа ΒλΒ2, а вторая — только признаками В\. (iii) Обе модели, вообще говоря, могут не иметь общих признаков. Например, пусть одна модель обладает A\B\D\, а другая — А2В2ВЪЪ2 при общем прототипе ВіВ2ВгС. Требуется показать, что гипотеза B\B2BZCD2 предпочтительнее' гипотезы В\В2ВЪСВ\, поскольку вторая модель обладает большим сходством с прототипом, чем первая. Далее рассматриваются четыре точки зрения, с которых можно решать поставленные проблемы. Первая из них — индуктивное обоснование. В этом плане аналогия рассматривается как вырожденный случай индукции — обобщение на основе единственного примера. Пусть в модели есть признаки ABD, а в прототипе — ВС. На основе модели получаем обобщение «Все АВ есть D». При этом возможны три гипотезы: Все А есть D и все В есть D. Все Л есть Ζλ Все β есть D. Лишь третья гипотеза имеет отношение к прототипу, содержащему β и С, но не Л. Эта гипотеза имеет индуктивное обоснование в отличие от гипотезы, не основанной на модели. Однако такое обоснование является чрезвычайно слабым, поскольку общий вывод делается всего лишь из одного случая. Кроме того, и такое обоснование может исчезнуть, если станет известно, что Л и S производят D вместе, а не по отдельности. Пусть теперь имеются две модели с признаками A\BxDx и A2B\B2D2 и общим прототипом ВХВ2С. Первая модель предполагает: «Все В\ есть Ζ>ι». Вторая модель это отвергает, поскольку в ней при наличии В\ нет D\. Из второй модели следует: «Все ΒχΒ2 есть Д2», и это не отвергается первой моделью. Поэтому гипотеза B\B2CD2 имеет преимущество перед B\B2CDX. Таким об- 159
разом Дается положительный ответ йа (it). Однако задачу (Hi) нельзя решить таким же образом. Здесь обе модели не противоречат гипотезам, созданным на основе другой модели. Далее М. Хесс рассматривает метод установления вероятности гипотез с помощью понятия степени подтверждения, развитый в работах Кейнса, Броуда, Кар- напа и Райта. Вывод здесь сугубо отрицательный. Этот метод ничего не добавляет к методу индуктивного обоснования и к тому же основан на предпосылках, большинство из которых не более ясны, чем сама аналогия. Метод, основанный на понятии фальсифицируемости, который предлагает К. Поппер, дает еще меньше, чем метод индуктивного обоснования, поскольку неприменим к случаям (и) и(ш). Такой же негативный результат получен при рассмотрении структурной простоты в качестве критерия для отбора гипотез. Отсюда общий вывод М. Хесс о неразрешимости проблем (и) и (Hi) с помощью какого-либо конвенционального критерия отбора гипотез. Не разбирая все четыре критерия отбора гипотез, остановимся на индуктивном обосновании, которому М. Хесс придает наибольшее значение. На наш взгляд, отрицательный результат, к которому она приходит, связан с неправильным способом редукции проблемы аналогии к проблеме индукции. При всех вариантах, вывод от одного случая с индуктивной точки зрения неприемлем. Индуктивное обоснование аналогия может получить лишь в том случае, если будет идти речь о многих явлениях, относящихся к одному классу. Далее, для установления правомерности вывода по аналогии нет необходимости прибегать к общим суждениям типа «Все В есть D». Объектов, обладающих признаком β, может оказаться бесконечно много, в то время как модель и прототип могут быть объединены значительно более узким классом. 6. Правила парадейгмы как вырожденного случая индукции Мы видели, что плодотворное применение вероятностной логики к проблеме выводов по аналогии от одного единичного предмета к другому может иметь место лишь 160
в том случае, если удается представить единичные явления как массовые. Конечно, путь, по которому шел Рейхенбах, пытаясь применить понятие частоты к единичным событиям, здесь не годится, поскольку Рейхенбах заменял по сути дела событие знанием об этом событии. Но возможен и другой путь. Он связан с концепцией качественного понимания предметов. Когда говорится о переносе признаков с одного предмета на другой, необязательно имеются в виду два тела, отграниченные в пространстве и времени от других тел. Например, можно переносить свойство правильности от одного умозаключения к другому. Можно проводить аналогию и между свойствами, скажем между свойством истинности и свойством правильности умозаключений. Свойство является особым частным случаем предмета в широком смысле этого слова, принятом в логике К С другой стороны, всякий предмет можно представить как сумму свойств2, например, предмет а — как сумму свойств Ρι,...,Ρη; предмет Ь — сумму свойств Qi,..., Qm. Для каждого из свойств Pb...,Pn определено свойство второго порядка α «быть свойством предмета а», соответственно для Qi,..., Qm свойство β — «быть свойством предмета 6». Некоторые из свойств предметов а и Ъ могут быть общими. Делая такое утверждение, мы встречаемся с одной трудностью. Согласно широко распространенным представлениям, свойства разнородных предметов, какими являются модель а и образец Ьу не могут быть совершенно одинаковыми. Они не одинаковы, но лишь сходны. Такой взгляд, с нашей точки зрения, неправомерен, поскольку в основе всякого сходства лежит тождество. Этого соображения было достаточно для обоснования общего понятия аналогии, содержание которого предполагает, таким образом, тождество некоторых сторон сравниваемых предметов. Однако для решения проблемы определения условий правомерности того или иного типа аналогии недостаточно общих соображений. Здесь необходимо дать какие- 1 См. А. И. Уемов. Вещи, свойства и отношения, стр. 59—61. 2 См. там же, стр. 19—28. 6 А. И. Уемов 161
то указания для нахождения тождественных элементов в сходном. Мы сопоставляем друг с другом свойства Pb...,Pn предмета а и Qb..., Qm предмета Ь. Такое сопоставление означает, что каждое из этих свойств рассматривается в данном плане как самостоятельный предмет. Это порождает свои трудности. Например, мы пишем, что Марс и Земля имеют много общих свойств — наличие свободного кислорода в атмосфере, смена времен года, дня и ночи и т. д. Придирчивый критик сразу же замечает, что содержание свободного кислорода в атмосфере Марса менее 0,1% такового в земной атмосфере. Он мог бы заметить также, что смена времен года, дня и ночи на Марсе происходит в другие сроки, чем на Земле. Приведенное выше деление свойств на точечные, линейные и многомерные, на наш взгляд, дает возможность преодолеть эти трудности. Они возникают лишь в том случае, если сопоставляемые свойства понимаются как линейные или многомерные. Такие свойства имеют различные количественные вариации, что и является причиной неопределенности в результатах сравнения. Но точечные свойства не могут иметь количественных градаций. Предмет либо обладает ими, либо не обладает и не может обладать в большей или меньшей степени. Разные предметы обладают либо одним и тем же, либо разными точечными свойствами. Выражение «Наличие свободного кислорода в атмосфере» можно понимать двояко. В одном смысле это процентное содержание кислорода по отношению к другим газам. Такое содержание может меняться в направлении увеличения или уменьшения. Здесь будет иметь место линейное свойство. Приписывая такое линейное свойство Земле и Марсу, мы получаем довольно неопределенные суждения: «Марс и Землю характеризует процентное содержание кислорода в атмосфере». Сразу же возникает вопрос: каково это процентное содержание? Отвечая на него, мы уточняем свойство, превращаем его в точечное путем указания на те конкретные градации, которые имеет данное свойство применительно к Земле и Марсу, и получаем разные градации, то есть разные точечные свойства. Но выражение «Наличие свободного кислорода в ат- 162
мосфере» можно понять и сразу в смысле точечного свойства, то есть как сам факт присутствия этого элемента в атмосфере независимо от его процентного содержания. Такое точечное свойство будет одинаковым у обоих сравниваемых предметов. Точно так же будет одинаковым факт смены дня и ночи, времени года независимо от длительности того и другого. Таким образом, если мы приписываем сравниваемым предметам одинаковые линейные (или многомерные — все равно) свойства, то их уточнение может привести к различным точечным свойствам. Если же сравниваемые свойства являются точечными с самого начала, то процедура уточнения является излишней и утверждение о тождественности зїих свойств не будет связано ни с какими трудностями. Таким образом, мы можем приступить к формулировке правил вывода по аналогии. 1) В качестве первого общего условия правомерности вывода по аналогии типа парадейгмы является требование того, чтобы сопоставляемые друг с другом свойства сравниваемых предметов были точечными. Пусть среди исследованных свойств Рь ..., Pk I свойств оказались общими обоим предметам. Иными словами, из k свойств, обладающих а, / свойств обладают β. Поскольку свойство понимается как предмет, можно сказать, что из k предметов, обладающих а, / обладают также β. Это дает возможность определить относительную частоту Ilk. Если с увеличением числа k отношение Ilk не будет меняться заметным образом, то есть частота окажется устойчивой, ее можно принять за вероятность того, что при наличии α будет иметь место и β. Будем обозначать такую вероятность формулой Ρ (β, α). Здесь Ρ — символ вероятности. В скобках на первом месте, перед запятой стоит обозначение того явления, вероятность которого определяется, а на втором, после запятой — условие, при котором определяется вероятность. Такой порядок противоположен порядку символов в приведенных выше формулах Кейнса. Вывод по аналогии заключается в том, что некоторое свойство, обладающее а, обладает и β. Чем больше Ρ (β, α), тем более надежен этот вывод. В пределе при Ρ (β, α) = 1 его можно считать достоверным, а при Ρ (β, α)=0 — ложным, хотя теоретически, вопреки мнению авторов рецензии в журнале «Вопросы филосо- 6* 163
фии» \ вообще говоря, возможно событие, имеющее вероятность, равную нулю2. Таким образом, Ρ (β, α) можно считать характеристикой степени правдоподобия, надежности аналогии. При таком подходе аналогия становится частным случаем индукции. Однако, если у Кейнса и М. Хесс аналогия превращалась в обычную индукцию, в которой вывод делается на основе исследования многих предметов, каждый из которых может быть отграничен от другого в пространстве и времени, мы имеем особый, вырожденный случай индукции — индукцию свойств. Изложенный здесь индуктивный подход ничего не говорит о структуре вывода по аналогии, так как относится ко второму уровню логического анализа, имеющему дело с уже данной структурой. Преимущество такого подхода заключается в том, что мы можем использовать в качестве основания аналогии (второго уровня) те положения, которые являются основаниями индукции (первого уровня). Правомерность аналогии является следствием правомерности индукции. Поэтому становится понятным, почему аналогия может обеспечить не меньшую надежность вывода, чем индукция. Изложенные соображения дают возможность вывести следующие правила аналогии из соответствующих правил индукции. 2) Прежде всего вероятность индуктивного вывода тем больше, чем длиннее ряд исследованных случаев. Чем больше этот ряд, тем больше оснований для отождествления вероятности с наблюдаемой относительной частотой. Применительно к аналогии это будет означать, что вывод тем правомернее, чем больше общих свойств имеют сравниваемые предметы. Это традиционное правило аналогии. Однако при индуктивном истолковании этого правила возникает трудность. В индукции через перечисление, в результате которого получается общий вывод типа «Все 5 есть Р», все исследованные случаи" S должны обладать свойством Р. Обнаружение хотя бы одного слу- 1 См. Л. Б. Баженов и др. О проблемах логики научного познания.— «Вопросы философии», 1965, № 8, стр. 165. 2 См. А. Н. Колмогоров. Основные понятия теории вероятностей. М. —Л., 1936, стр. 13. 164
чая 5 и не-Р считается · опровержением индуктивного вывода. Это нашло отражение в традиционном названии данного способа рассуждения — «Inductio per enumera- tionem simplicem, ubi non reperitur instantia contra- dictoria». В таком случае относительная частота Ρ среди наблюдавшихся 5 должна быть равна 1. В то же время среди признаков сравниваемых предметов наверняка есть различные, поскольку это разные предметы. Таким образом, «instantia contradictoria» наверняка рано или поздно встретится. Поэтому рассмотрение вероятности того, что всякое свойство одного предмета принадлежит другому, обычно отвергается как бессмысленное1. На наш взгляд, это связано с забвением природы логической вероятности. Вероятность того или иного события зависит от объективных условий, а не от наших сведений о том, произойдет оно или нет. Осуществление или неосуществление события само по себе не может изменить его вероятности. Событие с вероятностью, равной 0, может осуществляться, и, наоборот, вероятность, равная 1, еще не значит, что событие обязательно будет. Например, на основании данных опыта, исследуя миллионы людей, мы можем определить, что вероятность того, что каждый человек ниже какого-нибудь другого человека, равна 1. И этого вывода не может поколебать то, что мы a priori знаем, что рано или поздно найдется такой-человек, для которого это окажется ложным. Относительно данных, выраженных в нашем предшествующем опыте, вероятность остается равной 1 и в том случае, если мы найдем этого человека. Точно так же и в случае аналогии. Совпадение всех признаков из достаточно большого числа их, исследованных нами, дает возможность определить вероятность совпадения вообще всех признаков сравниваемых предметов как равную 1, несмотря на то что мы a priori знаем, что это не так. Вероятность совпадения всех признаков, равная 1, обеспечивает максимум правдоподобия выводов по аналогии. Но для того чтобы убедиться в том, что эта вероятность действительно равна 1, необходимо сопоставление возможно большего числа признаков. Таким 1 /. Lindenbaum-Hosiasson. Induction et Analogic — «Mind: October 194І, vol. 1, N 200. 165
образом, первое правило аналогии имеет индуктивное обоснование. Приведенных выше двух правил, разумеется, недостаточно для обоснования аналогии. Разные свойства в этом отношении могут иметь совершенно различное значение. Общность некоторых свойств вообще не увеличит доверия к данному выводу. Но это не уничтожает доверия к правилу, которое остается применимым в подавляющем большинстве случаев. 3) Важным требованием, предъявляемым к индуктивному выводу, является требование случайности в подборе предметов, данные о которых выражены в посылках. Исследованные предметы должны представлять собой то, что Рейхенбах называет Fair sample (подходящий образец) К Очень большое внимание этому требованию уделяется в статистике. Для того чтобы обеспечить случайный характер выборки, используются специальные приемы, например применяются таблицы случайных чисел2. Применительно к аналогии получаем отсюда требование, согласно которому модель и прототип должны сравниваться по любым случайно выбранным свойствам. Мы совершим ошибку в том случае, если проявим склонность к определенному типу свойств или предубеждение против другого. В случае аналогии, по-видимому, опасность ошибки такого рода будет больше, чем в обычной индукции,· где исследуемые предметы легче обозримы. Тем большее внимание следует уделить обеспечению случайности — рандомизации выбора свойств, по которым сопоставляются предметы. 4) Условие случайности в отборе посылок может быть улучшено. Ситуация выглядит несколько парадоксальной, поскольку для того, чтобы добиться действительно случайного характера отбора посылок, меньше всего можно полагаться на волю случая. Всякое наблюдение происходит в определенных условиях. Эти условия, не всегда осознаваемые, накладывают определенный отпечаток на выбор предметов. В статистике широко известен поучительный пример с выбором «наугад» фамилий из 1 Я. Retchenbach. The Theory of Probability, p. 429—430. 2 См. Д. Э. Юл, Μ. Д. Кендэл. Теория статистики. М, 1960, стр. 417—434, 166
Справочника. Оказывается, что здесь случайности не получается, поскольку открываются чаще именно те страницы, которые уже открывались, бросаются в глаза прежде всего наиболее длинные фамилии и т. д.1 Для того чтобы избежать влияния определенной ситуации, в статистике применяется так называемая расслоенная выборка, при которой разбивают исследуемые предметы на классы и берут выборку из каждого класса. Сущность этого приема можно понять как стремление сделать условия, в которых производятся наблюдения, возможно более разнообразными. Иными словами, должны быть возможно более разнообразны предметы, данные о которых фиксируются в посылках. Применительно к аналогии mutatis mutandis получаем требование о том, чтобы признаки, общность которых дана основанием, максимально отличались друг от друга, были возможно более разнообразными. Например, применительно к сравнению Земли и Марса это должны быть не только геометрические или кинематические, но и физические, химические и т. д. свойства. 5) Другим средством осуществления надлежащего отбора посылок является исследование наиболее типичных, характерных для соответствующего класса предметов. Если число элементов класса, к которому относится заключение, вообще невелико и нет возможности обеспечить достаточное разнообразие и многочисленность исследуемых предметов, то берутся наиболее типичные. Нетипичные, характерные предметы при этом отбрасываются. Например, при изучении жирности молока новой породы коров стараются отобрать и в дальнейшем не учитывать данные по больным и смешанно-породным особям2. Применительно к выводам по аналогии mutatis mutandis получаем требование о том, чтобы признаки, общность которых сравниваемым предметам дана основанием, были возможно более характерными для этих предметов. Например, проводя аналогию между животными и людьми, не следует акцентировать внимание на каких-либо случайных признаках, проявляющихся лишь в определенных ситуациях. Это не означает, что вообще 1 См. Д. Э. Юл, М. Д. Кендэл. Теория статистики, стр. 423—424. 2 См. £. И. Пустыльник. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. М, 1968, стр. 253. 167
йбльзя учитывать таких признаков. Чем больше учтено всяких признаков, тем лучше. Но если нет возможности учитывать много признаков существенных, типичные признаки caeteris paribus предпочтительнее. 6) В качестве одного из условий повышения качества индуктивного вывода Рейхенбах отличает гомогенность, однородность исследуемого класса 1. Чем меньше различий между элементами этого класса, тем более обоснован относящийся ко всем ним вывод. Распространяя это условие на аналогию, получаем требование, согласно которому свойства сравниваемых предметов — те, общность которых дана основанием, и те, о которых говорится в ядре вывода,— должны быть возможно более однородными, однотипными. Так, нельзя устанавливать общность между человеком и животным по биологическим признакам и затем переносить на животных признаки социальные или, наоборот, социальные закономерности человеческого общества истолковывать в плане биологических законов животного мира, как это делается в социальном дарвинизме. 7) Степень правдоподобия индуктивного вывода зависит также от того, каким образом образован тот класс предметов, к которому относится заключение. Мы имеем, например, класс млекопитающих, в который объединены животные, обладающие многими существенными общими качествами. Но мы можем также объединить людей по первой букве их фамилий или даже образовать совершенно искусственный класс, называемый альфа, куда включим звезду Сириус, мою автоматическую ручку, Парфенон, красный цвет, число 5 и букву ζ2. Очевидно, что индуктивный вывод будет тем более правомерен, чем в большей мере содержание понятия, охватывающего класс исследуемых предметов, отражает их сущность. Применительно к аналогии данное требование будет означать существенность α и β для общих свойств. Другими словами, для свойств, о которых говорится в посылках, должно быть существенно то, что они принадлежат именно сравниваемым предметам. Эти свойства должны быть специфичными для сравниваемых предметов, а не 1 Н. Reichenbach. The Theory of Probability, p. 443. 2 R. Bambrough. Universals and Family Resemblances. — «Proceedings of the Aristotelian Society», June 1961. 168
такими, которые могут быть присущи чему угодно. Кар- нап в этом случае говорит о «силе свойства» как противоположности его «логической ширине» 1. Например, при сравнении человека и животных свойства способности к размножению, развитию и т. д. логически «уже» и потому несравненно более важны, чем «обладают массой», «состоят из молекул» и т. д. Чем более специфический характер имеет данный факт, тем менее он вероятен. В настоящее время значение этого положения становится особенно ясным в связи с теорией информации. Чем менее вероятен факт, описываемый данным утверждением, тем большее количество информации оно в себе содержит. Поэтому рассмотренное условие повышения степени правдоподобия вывода по аналогии по сути дела эквивалентно требованию о том, чтобы посылки содержали в себе возможно больше информации о сравниваемых предметах. В этом плане можно обосновать эпикурейскую трактовку роли «особых случаев» в процессе вывода по аналогии. Каждый из «особых случаев» сам по себе маловероятен. Поэтому утверждение о наличии у них общих свойств несет больше информации, чем утверждение о наличии этих свойств у каких-либо обычных, тривиальных предметов. 8) Применительно к заключению дело обстоит как раз наоборот. Выше уже приводилось рассуждение Кейнса, показавшего, что вывод по аналогии будет тем более правомерен, чем менее всеобъемлющим является переносимое качество. Но меньшее количество свойств, входящих в состав данного качества, означает, что оно будет распространяться на большее количество предметов, будет менее специфичным. В этом случае становится более вероятным, что произвольно выбранный предмет будет обладать данным свойством. Вывод, таким образом, для того, чтобы быть более правдоподобным, должен заключать в себе меньшую информацию. Изложенные правила повышения правдоподобия выводов по аналогии носят сугубо качественный характер. С их помощью невозможно дать точную количественную оценку степени правдоподобия. Они имеют лишь значение требований, которые нужно стремиться удовлетво-' рить, поскольку это возможно. 1 R. Сагпар. The Logical Foundation of Probability. Chicago, 1951, p. 369. 169
Однако отсутствие точной количественной оценки не означает невозможности сравнения различных случаев использования выводов по аналогии с точки зрения их правдоподобия. Если ряд условий примерно в равной мере выполняется в обоих сравниваемых умозаключениях, то различие в выполнении следующего условия часто дает возможность предпочесть одну аналогию другой *. В частности, на основе приведенных правил можно показать крайне низкую вероятность вывода в тех примерах, которые Н. Мальбранш и другие приводили против использования аналогий вообще. Количественная оценка степени правдоподобия в конечном счете имеет значение не сама по себе, не непосредственно, а лишь постольку, поскольку позволяет делать выбор. Это по сути дела относится ко всем количественным оценкам вообще. Преимущество количественных оценок в том, что они во многом облегчают этот выбор. Оставляя в стороне вопрос о принципиальной возможности дать точную количественную оценку степени правдоподобия выводов по аналогии, отметим, что решение такой _задачи в плане изложенных выше соображений встречается с большими трудностями. Эти трудности связаны прежде всего с невозможностью при существующем уровне развития техники логического анализа четко отграничить один признак от другого и таким образом точно определять количество признаков. Поэтому здесь приходится довольствоваться качественными характеристиками «много», «мало», «меньше», «больше» и т. д. Мы разобрали проблему степени правдоподобия вывода по аналогии типа парадейгмы. Выполнение приведенных выше условий может повысить эту степень, но не сделает вывод достоверным. Однако в некоторых случаях парадейгма дает вполне достоверный результат. И здесь, попросив извинения у серьезного читателя, нам хочется привести не совсем серьезный, но весьма поучительный пример. «Однажды, когда осел Абу-Нуваса захотел пить и не из чего было дать ему воды, Абу-Нувас отправился к соседу попросить горшок. Взяв горшок, он вернулся домой и напоил осла. Горшок оставался у Абу- Нуваса три дня. А на четвертый день он положил в него 1 См. А. И. Уемов. Задачи и упражнения по логике. М., 1961, стр. 233—237. і 70
маленький горшок и отнес соседу. Сосед взял горшок, заглянул внутрь, увидев маленький горшок, воскликнул: — Это не мой! — Но я не вор, я не хочу брать чужого,— ответил Абу-Нувас,— твой горшок родил у меня, и это его ребенок. Сосед очень обрадовался... Когда на третий день Абу-Нувас снова пришел за горшком, сосед дал ему его, но Абу-Нувас не вернул горшка. Тогда сосед пришел к нему сам: — Горшок твой умер,— сказал Абу-Нувас. — Как, разве горшок может умереть? — воскликнул сосед. — А разве может он рожать? — спросил Абу-Нувас. — Да, — ответил сосед. — Так вот, все, что рождается,— умирает,— сказал Абу-Нувас. Сосед спросил у ученых людей, и они подтвердили это. Так горшок и остался у Абу-Нуваса» *. В этом примере явно прослеживается парадейгма. Котел и животное имеют одно общее свойство — могут рожать, значит, они должны иметь и другое общее свойство — могут умирать. Необходимая связь между этими признаками устанавливается на следующем, более глубоком уровне логического анализа, для чего привлекается авторитет ученых мужей. § 2. Правила каузальной аналогии Перейдем к рассмотрению условий правомерности каузальной аналогии. Как уже отмечалось, ряд философов, в частности Локк и Дидро, сводили всякую вообще аналогию именно к каузальной аналогии. При этом вопрос об условиях правомерности такого типа выводов по аналогии вообще не ставился. Вывод считался правомерным уже вследствие самой формы умозаключения. «В физике,— пишет Д. Дидро,— все наши знания основываются только на аналогии; если бы сходство следствий не давало нам права заключать о тождестве их причин, что сталось бы с этой наукой?»2. 1 «70 сказок народов мира». Донецк, 1961, стр. 159. 2 Д. Дидро. Индукция. — В кн.: Д. Дидро. Собр. соч., т. VII, стр. 192. 171
Д. Гершель в какой-то мере йамечает проблему условий правомерности каузальной аналогии, но лишь с помощью таких туманных терминов, как «теснота» и «наглядность», да и то скорее в риторическом, чем в логическом плане. «Если аналогия между двумя явлениями крайне тесна и наглядна, между тем как причина одного из них очевидна,— нам едва ли возможно не признать действие аналогической причины и в другом случае» К Русский логик М. Владиславлев подчеркивает рискованность аналогии типа парадейгмы, выделяя каузальную аналогию как наиболее достойный доверия случай. «От сходных явлений мы заключаем к сходству причин. Известно, что Ньютон таким образом был наведен на мысль о всеобщем тяготении»2. Однако является историческим фактом, что применение аналогий, построенных на основе второго правила философствования как самим Ньютоном, так и другими учеными, приводило не только к успеху, но и к грубым ошибкам. Это говорит о важности выявления условий, обеспечивающих правомерность вывода. Для того чтобы подойти к формулировке этих условий, обратим внимание на следующее обстоятельство. Когда говорится о причине того или иного явления, не имеется в виду, что причина обусловливает собой все свойства этого явления. Например, кухонных очагов много, и свет каждого из них чем-то отличается от света другого. Но Ньютон говорит о причине света кухонного очага, очевидно, имея в виду то, что обще всем кухонным очагам. Когда падает человек, то это значит, что падает и его мыслящая голова. Но для выяснения причин падения существенно только то, что обще человеку и камню. Несмотря на то что между европейским человеком и европейским камнем несравненно больше различий, чем между европейским и американским камнями, Ньютон считает тождество причин падения человека и камня, по-видимому, совершенно очевидным фактом и ставит вопрос лишь о тождестве причины падения камней в Европе и Америке. Итак, выражение «d вызывает а» означает фактически, что d определяет лишь некоторые свойства а, на- 1 Д. Гершель. Философия естествознания, стр. 146. 2 М. Владиславлев. Логика, стр. 295. 172
йример ai,...,(Xft, то есть имеет место (ai,...,afe)Cd. В за- ключении под «d вызывает а» может подразумеваться (a\',...,ai)Cd. Теперь можно сформулировать условия достоверности вывода по аналогии этого типа. 1) Для того чтобы вызвать явление а, достаточно обусловить возникновение некоторого комплекса свойств ось ..., (X/t, то есть любая причина, вызывающая αϊ,..., α&, вызывает тем самым а. 2) Те свойства, которые вызывает в предмете Ь его причина, совпадают со свойствами, вызываемыми в предмете а причиной d. Однородность а и Ь означает, таким образом, что по крайней мере свойства αι,...,·α& у сравниваемых предметов общие. Общность других свойств не имеет никакого значения для правомерности вывода, чем каузальный тип аналогии и отличается от аналогии типа парадейгмы, где требовалось совпадение как можно большего количества самых разнообразных свойств. Символически условия достоверности каузальной аналогии можно выразить следующим образом: 1) γχ [(αϊ,..., a)) Сх -* bCx]; 2) (a) Cd-+{*»..., «k)Cd; 3) ab. . ., a/ = a1,. . ., ak. Вывод по аналогии — при выполнении этих условий — будет иметь вполне достоверный характер. В самом деле, на основании соотношения (3) мы можем в консеквенте импликации (2) заменить αϊ,..., a^ на a/,..., а{. Получим (a)Cd-+(a\',...yai')Cd. Поскольку (a)Cd является посылкой аналогии, по правилу отделения будем иметь (ai'9...,ai')Cd. Произведя подстановку d вместо χ в условие (1), придем к (а/,..., a{)Cd-+bCd. Но антецендент этой импликации истинен. Значит, будет истинен и кон- секвент bCd, являющийся заключением вывода по аналогии. Приведенное обоснование достоверности вывода имеет, несомненно, дедуктивный характер. Однако это не означает, что сам вывод утрачивает свои специфические для умозаключения по аналогии черты, становясь таким образом простой разновидностью дедукции. Основная ха- 173
рактерная чёрта аналогии — перенос данных исследования с одного предмета на другой — остается без изменения. Аналогия типа парадейгмы, как мы видели выше, обосновывается с помощью индукции. Однако это не означает, что она становится индукцией. Индукция применяется на более высоком уровне абстракции — в качестве метаязыка, который служит для анализа умозаключения по аналогии. С помощью схемы вывода по аналогии непосредственно исследуется мысль. С помощью схемы индукции исследуется вывод по аналогии. Точно так же обстоит дело и в рассмотренном случае каузальной аналогии. Дедуктивный аппарат узкого исчисления предикатов не используется непосредственно для анализа процесса мысли, он применяется на более высоком уровне — для исследования умозаключения по аналогии. Применение дедукции к анализу умозаключения не превращает это умозаключение в дедукцию, так же как и применение индукции не превращает его в индукцию. Мы видим, что каузальная аналогия допускает дедуктивное обоснование, делающее ее вывод достоверным. Но в какой мере можно считать достоверными те основания, которые при этом использовались? Сущность основания каузальной аналогии можно было бы выразить словами: «Одинаковость действий свидетельствует об одинаковости причин». Это как будто бы противоречит хорошо известным фактам, когда одно и то же действие вызывается совершенно различными причинами. Однако при анализе этих фактов вывод о множественности причин делается в результате смешения понятия причины и ее носителя К Условия правомерности каузальной аналогии могут быть применены к решению ряда сложных философских проблем, в частности к знаменитой проблеме «Может ли машина мыслить». В этой связи хотелось бы возразить авторам рецензии на сборник «Проблемы логики научного познания». Рецензенты отмечают, что «анализ вывода о возможности или невозможности появления сознания у машины дол- 1 См. А. И. Уемов. Основные формы и правила выводов по аналогии.— «Проблемы логики научного познания», стр. 269—271. 174
жен быть связан не столько с каузальной аналогией, сколько с выявлением того, что такое сознание» К Определенному типу вывода, каким является каузальная аналогия, может быть противопоставлен лишь другой тип вывода, а не выяснение того, что такое сознание. Такое выяснение необходимо лишь для того, чтобы правильно построить умозаключение, здесь умозаключение по схеме каузальной аналогии. Никакой другой схемы рецензенты не предлагают. Поэтому противопоставление каузальной аналогии выяснению природы сознания, с нашей точки зрения, совершенно неоправданно. Однако верно то, что приведенные выше правила каузальной аналогии не являются единственно возможными 2. Сказанное о каузальной аналогии mutatis mutandis применимо к другим, родственным ее формам выводов по аналогии, например к субстанциальной аналогии3. § 3. Правила логической аналогии следствий 1. Метод Я. Линденбаум-Хосьяссон Проблемы логической аналогии рассматриваются в работах Пойа4 и Я. Линденбаум-Хосьяссон5. Однако Пойа ограничивается лишь описанием этого вывода, как он имеет место в сознании человека. Он констатирует тот факт, что наличие общего основания двух положений считается основанием для вывода от истинности одного из них к истинности другого. В отличие от Пойа Я. Линденбаум дает логическую оценку значимости этого основания. При этом, она, естественно, опирается на новое основание, в нашей терминологии— основание второго уровня. Таким основанием является принцип, согласно которому истинность следст- 1 Л. Б. Баженов и др. О проблемах логики научного познания. — «Вопросы философии», 1965, № 8, стр. 165. 2 О каузальной аналогии см. А. И. Уемов. Аналогия как метод решения проблемы соотношения машины и мышления. — «Кибернетика, мышление, жизнь». 3 См. А. И. Уемов. Основные формы и правила выводов по аналогии. — «Проблемы логики научного познания», стр. 272—273. 4 См. Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения. 5 /. Lindenbaum-Hosiasson. Induction et analogie. — «Mind», October 1941, vol. 1, N 200. 175
вия повышает степень доверия к истинности основания. Линденбаум называет вывод от следствия к основанию индукцией. Однако в последнее время применительно к таким выводам более употребителен термин «редукция». Основным понятием, которым пользуется Я. Линденбаум при оценке правомерности умозаключений, является понятие степени доверия (le degre de croyance) или субъективной достоверности (certitude subjective) факта а относительно Ь. Для обозначения этой степени достоверности используем символ Η (а, Ь). Для степени субъективной достоверности Я. Линденбаум формулирует такие же аксиомы, какие можно сформулировать для условной вероятности: I. Если а—>Ь, то Η {b, а)=1. II. Еслиа->&£, ίοН(Ь V с, а) = И(Ь,а)-\-Н(с,а). III. H{bc, а)=Н{Ь, а)-Н{с, Ьа). IV. Если α ξ= b, то Η (с, а) = Н{с, Ь). Однако Я. Линденбаум отказывается решать вопрос о том, тождественно ли понятие степени доверия или субъективной достоверности понятию вероятности. Приведенные аксиомы дают ей возможность, не решая этого вопроса, определить зависимость степени достоверности заключения от априорной достоверности посылки. В дальнейшем степень достоверности мы будем условно называть вероятностью. Вначале автор обосновывает правомерность индуктивного (редуктивного) вывода, что выражается формулой Я(Л, fiS)>H(h, S). Здесь и в дальнейшем 5 обозначает «прочие обстоятельства». Далее ставится задача выяснения условий правомерности аналогии, выражаемой формулой H(f2, f\S)> >H(f2S) при hS^f\f2. Эта формула значит: вероятность истинности f2 при прочих равных условиях S выше в том случае, если известна истинность f{. Простейший способ, который обычно предлагают для обоснования правомерности вывода по аналогии, заключается в следующем. Поскольку /ι истинно, то на основе индукции можно сказать, что h более вероятно. Но так как А-^/г, то отсюда следует большая вероятность f2. m
Таким образом, если индукция обоснована, то обоснование аналогии получается a fortiori. Линденбаум решительно возражает против такого способа обоснования выводов по аналогии. Такой метод был бы применим в том случае, если бы индукция давала достоверный вывод. Но поскольку h может быть только вероятно, повышение его вероятности после обнаружения истинности./ι ничего не дает для знания о вероятности /2, поскольку вероятность следствия больше или равна вероятности основания (а не просто равна ему). Поэтому Я. Линденбаум предлагает другой метод обоснования правомерности вывода по аналогии. Поскольку символ Η означает не просто вероятность, а некоторый аналог 'вероятности, Линденбаум приходится сформулировать ряд, впрочем, совершенно очевидных допущений: a) H(h, 5)>0; b) H(U S)<i; с) Я(/2, /,5)< 1. Для того чтобы был более ясен ход дальнейших рассуждений, будем иметь в виду конкретный пример. Пусть /ι—сумеет читать, /2— сумеет писать; h означает, что χ студент, S — χ — человек. Несомненно, что в данном случае hS-^fu /2· Нам нужно доказать, что если известно, что χ умеет читать, то вероятность того, что χ пишет, больше, чем в том случае, когда о его способности читать ничего не известно. Вероятность H(f2, S), согласно закону исключенного третьего, можно представить как H(f2hV f2h, S). Поскольку дизъюнктивные компоненты f2h и f2h исключают друг друга, то есть конъюнкция h&h невозможна, имеет место S^f2hVf2h- Таким образом, на основании аксиомы II мы имеем право записать: Я(/2, S) = H(fJi\/f& S)=//(/2ft, S) + //(M S). Теперь применим к обоим слагаемым аксиому III: //(/aft, S) = Η (А, 5)Я(/2, AS) Но hS-+f2. Отсюда по аксиоме I: H(f2, hS) = L Таким образом, H(f2h, S)=H(h,S). С другой стороны, H(f2h, S)=H{h, S) -H(f2, hS). Отсюда H(f2, S)=H(f2h, S)+H(f27i9 S)=H{h, S) + + H(R9S)-H(f297iS). 177
Аналогичным образом получим "(Л. fxS)=H{h, AS)+H(h, as)·нν» h/tS) Введем следующие обозначения: H{h, S) = bl; H(f3, hS) = ci; H{h, flS) = b2- Я(/2, hfxS^Ct. Вероятность того, что при данном условии будет иметь место h или Ъ, равна достоверности, то есть единице. Поэтому H(R,S)+_H(h, 5) = 1. Отсюда H(h, S) = l—bt. Соответственно H(h, fiS) = 1 — b2; Я (Л, 5) = *, + (1-*1)-с1; Я(/2, /,5) = *2 + (1-*2)с2. Нам нужно выяснить условия, при которых &2 + + (1 —&2)^2>6ι+ (1 — bi)c\. Преобразуем это неравенство следующим образом: Ь2—Ь2С2 - *! > ^ — ί ^l — £2; #2 — *2*2 — ^l + V2 > ^l ~ Vl ~ ^2 + ЬгС2; (1 - *2) № -^iL > (1 — ^i) (^i — c2) . (l-^Hl-*!) " (1 — C2) сі — ^l) > 1 — ^1 1 — ^2 На основании соотношений (а) — (с) &ι>0; ci<\. Поэтому знаменатели обеих частей неравенства не равны нулю. Подставляя в неравенство значения символов, приходим к выражению Η (К fiS) -H(h, S) Η (/2, Us) - Η (/2> Д/^) β Η (Λ, 5) H(J2,hfiS) Предполагаемая правомерность индуктивного вывода дает основание считать числитель левой части неравенства положительным. Поскольку знаменатели обеих частей неравенства положительны, достаточным условием 178
его справедливости будет отрицательность числители правой части, то есть (1) H(f2,hfiS)>H(f2thS); В частности, (Г) Я(/2, A/iS) = //(/3, A S). Это и есть выражение достаточных условий правомерности вывода по аналогии рассматриваемого типа. Оно будет заключаться в том, чтобы вероятность (степень достоверности) вывода о факте /2 яе уменьшалась после констатации аналогичного факта /і в предположении того, что общая гипотеза h является ложной. Я. Линденбаум показывает применение этого условия на примере из «Принципов науки» Джевонса. Вероятность наблюдения f2, того, что 60 спектральных линий железа совпадают с линиями солнечного спектра равна (V2)60, если гипотеза (h) о том, что на Солнце есть железо, ложна, то есть если совпадение носит чисто случайный характер. Пусть такое совпадение уже наблюдалось (/ι). Наблюдение в прошлом совпадения fi не изменит вероятности совпадения в будущем /2, во всяком случае не сделает ее меньше. Следовательно, изложенное условие правомерности вывода по аналогии соблюдается, и можно сказать, что вероятность второго совпадения /2 (теперь уже независимо от ложности или истинности К) будет больше после того, как первое совпадение имело место. Условие правомерности аналогии не будет соблюдаться, если первое совпадение сделает невозможным второе или по крайней мере уменьшит его вероятность. Например, тот факт, что человек вчера нашел много грибов в данном месте (fi), может уменьшить вероятность того, что сегодня он найдет там столько же грибов (/2). Таким образом, вывод от истинности f\ к истинности /2 не будет соответствовать приведенному выше условию правомерности умозаключения по аналогии. Такое же несоответствие будет иметь место и в том случае, если мы на основании того, что N болел корью в прошлом году (/ι), сделаем предположение о том, что он будет болеть корью и в этом году. Напротив, в примере с выводом от умения читать и умения писать условие Линденбаум соблюдается. 179
Я. Линденбаум формулирует и другое, более тривиальное достаточное условие правомерности аналогии. Им является соотношение /гЗ-^/ь которое вытекает из правомерности индукции при замене h на f2. Следующим важным вопросом является определение вероятности вывода в зависимости от априорной вероятности посылки. Для индукции эта зависимость является очень простой: В случае выводов по аналогии такая зависимость является гораздо более сложной. Выше уже приводилась формула "(Λ. fiS)=H{h, Л5)+Я(а, AS)-H(U hAS). Учитывая, что Η (Л, fiS) = l—Η (h, fiS), и используя формулу (2), получим # (Λ. f1S)=H(h'S) +Г 1-Я(й'^1-Я(/2, A/XS)= = ^7г4ч11-Я^, ЛД5)]+Я (/2, ΑΛ5). Я (/і, 5) Если Я(/2, hf\S) не зависит от Я(/ь 5), приведенная формула будет означать, что вероятность вывода по аналогии Я(/2, f\S) будет уменьшаться с ростом банальности факта /ь то есть вероятности Я(/ь 5). Маловероятный сам по себе факт f\ будет, наоборот, обеспечивать большую вероятность вывода /2. Вопрос ставится сложнее, если Я(/2, hfiS) зависит от H(fi, 5). В таком случае_условие ^необходимо дополнить условием l'":H(f2, hS)=H(fh hS). На основании условий V и l'"iH(f2, hfiS) = Я(/2, hS) =Я(/Ь US) = = Я(/ь hS)—Я(Л, hS) (поскольку Я(/г, hS) очевидно =0). Используем соотношение 2. Получим Щ/2, hfLS) = H(fhS) H^S) = V(fi,S)-H(h,S) β H(h9 S) И (h, S) 1 - Я (A, 5) Введем следующие обозначения; 180
H(h, $) = a; Я (Λ, S)=X. Используя ранее известное соотношение, получим «a,/,«=f+(.-f)f5f-=f+ . χ— а а(х — а) 1 / а — а^ . __ а (х — а)\ 1-а л: (1-а) 1 — а\ χ ' χ ) 1-я\ ' χ) Будем рассматривать χ как переменную и продифференцируем полученное выражение dH(f2, fxS) = 1_/ χ ^\ β dx 1 — а \ χ<ι) Отсюда видно, что при а>х2, то есть Я(Л, S)>[H(fiS)]2, H{J2i f\S) уменьшается, поскольку ее производная по χ делается отрицательной. При H(h, S)'<[H(fiS)]2 вероятность вывода по аналогии растет. Как уже отмечалось выше, Я. Линденбаум рассматривала логическую аналогию следствий как универсальную форму аналогии — аналогию «в самом широком смысле» этого слова, к которой должны быть сведены другие, частные формы аналогии. В качестве такой частной формы Я. Линденбаум рассматривала парадейгму. Не следует думать, что парадейгма действительно является простым частным случаем логической аналогии следствий. В логической аналогии с модели на образец переносится валентная характеристика мысли. В пара- дейгме речь идет о переносе признаков предметов. Эти признаки не сводятся к логической валентности, и предметы не являются частным случаем мысли. Я. Линденбаум получает в качестве частной формы аналогии следствий не парадейгму, а логический аналог, эквивалент парадейгмы. Иными словами, она получает интерпретацию схемы парадейгмы с точки зрения аналогии следствий. Применительно к такой интерпретации можно использовать метод обоснования правомерности вывода по аналогии, разработанный для общего случая логической аналогии следствий. Для простоты будем полагать, что число общих свойств сравниваемых предметов 181
(с) = 2. Задача заключается в том, чтобы обосновать соотношение А: Н[х2 ЄСТЬ С3, (х2 ЄСТЬ С\С2) (Х\ ЄСТЬ CiC2C3)S]> >Я[л:2 есть С3» (*2 ЄСТЬ Сі) (Χι ЄСТЬ CiC2C3)S]. Будем исходить из того, что свойство с2 независимо от с\, то есть а) Н[х2 есть с2у (х2 есть С\) (хх есть CiC2c3)S)<l. Воспользоваться условием b [Η (всякое качество Х\ принадлежит х2, S)>0], по мнению Линденбаум, нельзя. Если бы каждое качество Х\ принадлежало х2, то эти объекты были бы идентичными. Мы же предполагаем различие Х\ и х2. С другой стороны, условия (&') Н[Х2 ЄСТЬ С3, (Х2 ЄСТЬ СіС2)(Х\ есть C{C2C3)S]>0 явно недостаточно. Нельзя обосновывать возможность смерти в течение года (с3) человека х2 в возрасте 75 лет (сі) тем, что х2 так же здоров (с2), как и другой человек (^i), который умер в течение года, после того как ему исполнилось 75 лет. Рассмотрим условие промежуточного характера — слабее 6, но более сильное, чем (bf): (Ь") Н[(Х) X ЄСТЬ C\C2ZDX ЄСТЬ Сз, (х есть CiC2C3)S]>0, то есть допускается конечная вероятность того, что при условии χ есть С\С2съ любой предмет, обладающий свойствами с\ и с2, будет обладать также с3. Применительно к 6" требование независимости СВОЙСТВ будет ИМеТЬ ВИД Н[Х2 ЄСТЬ С2, (Х2 ЄСТЬ С\Сг) (х\ есть CiC2c3)S]<l. Подставим в br вместо χ—х2. Будем иметь: Н[(Х2 ЄСТЬ C\C2ZDX2 есть с$, (χχ есть CiC2C3)S]>0. ОтмеТИМ, ЧТО Х2 ЄСТЬ C{C2ZDX2 ЄСТЬ Сз = *2 ЄСТЬ CiC2 или х2 есть с3=*2 есть или не-с^ или не-с2 или сз. С другой СТОРОНЫ, Х2 ЄСТЬ С2=ЭХ2 ЄСТЬ £3^*2 есть или не-с2, или Сг. Поскольку первая логическая сумма включает в себя все слагаемые второй, ее вероятность больше. На этом основании мы можем записать: Н[Х2 ЄСТЬ CiC2ZDX2 ЄСТЬ Сз, (Хі ЄСТЬ CiC2C3) S] > (3) >Н[Х2 ЄСТЬ C\ZDX2 ЄСТЬ Сз, (Х\ есть CiC2C3)S]. С помощью соотношения (3) как будто бы можно 182
обосновать Л, то есть правомерность вывода по аналогии. Но таким же образом можно, как показывает Лин- денбаум, ее и опровергнуть. В самом деле, принимая условие (&"') Н[Х2 ЄСТЬ C\C2ZDX2 есть С3, (Х\ есть CiC3)S]>0, мы получим (3') Н{х2 есть C\C2zdx2 есть с3, (*ι есть CiC3)S]> >Н[х2 есть Ci=DX2 есть Сз, (*ι есть CiC3)5]. Здесь тот факт, что х2 обладает признаком си не играет никакой роли. Мало того, принимая условие независимости признаков (а") Н[х2 есть не с2, {Х2 есть с{ (не сз)) (^i есть CiC2C3)S]<l тем же методом, который применялся при доказательстве (3), можно доказать, что (З") Н[Х2 ЄСТЬ С\ (НЄ С2)=)Х2 ЄСТЬ CZ{X\ ЄСТЬ CiC2C3)5]> >Н[Х2 ЄСТЬ Ci=DX2 ЄСТЬ С3| (*1 ЄСТЬ C\C2C3)S]. Если считать (3) обоснованием аналогии, то соотношение (3") будет ее опровержением. По мнению Линденбаум, соотношения типа (3) не могут рассматриваться в качестве обоснования аналогии ввиду различия выражений H(a,\ZDb, c)>H(a2ZDb) с), с одной стороны, и #(αι, bc)>H(a2y be) —с другой. Между соответствующими выражениями имеет место следующая связь: Я(а=э&, с) = 1—Η (а, с)-\-Н(а, с)Х ХЯ(6, ас). Отсюда ясно, что Я(&, ас) увеличивается с увеличением Я(а=)&, с), если Η (а, с) не меняется. Этого нет в нашем случае, поскольку Я(аь с)кЯ(а2, с), то есть Я|[л:2 есть С\С2, (л: есть C\C2c3)S\<H[x2 есть С\ (х\ ЄСТЬ CiC2C3)S]. Линденбаум предлагает иной путь обоснования правомерности выводов по аналогии. Обозначим через S\ утверждение: (х) (х есть c3zdx есть с2), то есть для всех х9 если χ есть с3, то χ есть с2. Принимая (а) и (6), будем иметь: (4) Н[х2 есть С3, (*2 есть CiC2)Si, ^] >#[*2 есть С3 (*2 есть Ci)SivS]. 183
Приведенное утверждение является частным случаем формулы обоснования индукции. Для того чтобы это показать, достаточно h заменить через «х2 есть с3», /ι — через «Х2 ЄСТЬ С2» И S — Через «Х2 ЄСТЬ CiS\S». Поскольку справедливо Sb утверждение «х2 есть сг» представляет собой логическое основание для «х2 есть с2». Иначе говоря, наличие с2 в объекте является необходимым условием для наличия в нем с3. Например, если мы знаем, что умеренная температура необходима для жизни, тот факт, что Марс обладает такой температурой, увеличивает вероятность существования жизни на нем. Допустим, что мы имеем blY: Я(5Ь 5)>0. Тогда наблюдение того факта, что Х\ есть с2, если мы уже знаем, что χ есть с3, увеличивает вероятность того, что с2 необходимо для с3, то есть вероятность Si. И мы получаем (5): H{Si(х{ есть CiC2c3)S]>H[Si(xi есть CiC3)S]. Это соотношение опять-таки можно получить из формулы обоснования индукции, заменяя h через 5Ь / — через «Х\ ЄСТЬ С2» И 5 — Через «(Χι ЄСТЬ C\Cs)S». Таким образом, путь обоснования правомерности аналогии, по мнению Я. Линденбаум, заключается в уточнении условий (4) и (5). Изложенные соображения Я. Линденбаум представляют несомненный интерес. Однако их значение имеет главным образом негативный характер. Они показывают неправомерность чисто количественного подхода к определению условий правомерности парадейгмы. Количественный подход всегда должен сопровождаться качественным анализом. 2. Обобщение метода Л инденбау м-Хосьяссон Я. Линденбаум в своих рассуждениях предполагает, что утверждения /ι и f2 аналогичны, поскольку имеют общее основание. Но является ли тождественность оснований f\ и f2 единственно возможным основанием их аналогичности? Иногда положения аналогичны на различных, даже противоположных основаниях. Например, молодой человек уступает место старику (/ι) потому, что следует уступать место пожилым людям (hi). В то же время молодой 184
человек уступает Место ребенку (/г), потому что следует уступать место детям (/г2). Одно основание — hi связано со старостью, другое — с ее противоположностью — крайней молодостью. Но явления /ι и ^, несомненно, аналогичны. Если имело место /і, то мы вправе ожидать и f2. В таком случае аналогичность утверждений определяется не по общему основанию, а по общему характеру явлений, fi и /2 описывают независимо от того, какие основания они имеют, однотипные явления — уступить место. Различия между ними относятся лишь к частностям — кому именно уступается место. Символы аналогичных явлений обведем рамкой. В таком случае изложенная ситуация будет выражаться схемой 1. hiS h2S \ / /Ь /2 Схема 1 Аналогичные положения, как мы видим, могут иметь различные основания. Но можно идти дальше и поставить вопрос о том, не являются ли различные основания аналогичных положений сами в свою очередь аналогичными в смысле Я. Линденбаум? Иными словами, имеют ли основания аналогичных утверждений общее основание? В случае положительного ответа на этот вопрос получим схему 2. Sh fu h Схема 2 В нашем примере можно найти общее основание для h\ и /*2· Этим основанием является нравственный принцип, согласно которому нужно уступать слабому. Старику и ребенку нужно уступать именно потому, что они 185
Слабы. Это основание опосредованное. Уступая ребенку или старику, мы исходим непосредственно не из их слабости, а из того, что это старик или соответственно ребенок. Вполне может случиться так, что уступающий слабее, чем старик, которому он уступает. Поскольку Shi и Sh2 аналогичны в смысле Я. Лин- денбаум, на них можно распространить ее метод обоснования правомерности аналогии. Предполагая, что h является ложным, мы должны показать, что осуществление Sh\ не делает Sh2 менее вероятным. Применительно к нашему примеру это могло бы иметь место в том случае, когда человек, не желающий признать принципа, согласно которому нужно уступать слабому А, тем не менее соглашается уступать старикам (Αι). Такая уступка общественному мнению (hi) вполне может повышать вероятность другой уступки (А2). Изложенные соображения позволяют обобщить определение логической аналогии следствий, данное Я. Лин- денбаум: Умозаключением по аналогии (конечно, не в самом широком смысле) будет называться такое умозаключение, которое на основе некоторых утверждений (фактов) fu имеющих логическое основание Аь приводит к усилению убеждения (вероятности), относящегося к утверждению (факту) /2 с основанием А2, в том случае, если основания hi и А2 или одинаковы, или аналогичны, то есть в свою очередь имеют общее основание h. Применительно к такому более общему случаю вывода по аналогии можно обобщить условие правомерности, выведенное Я. Линденбаум. Согласно данному только что определению, имеем SAi-i/i; Sh2->/2; Sh-^ShvSh2\ H{h» hxS)>H{h* S) (I) Сделаем также следующие очевидные допущения: Я(А2, S)< 1 (а) Я(/2, hJiS)<\ (b) Я (Λ, 5)>0 (с). Нам нужно выяснить достаточное условие истинности соотношения Я(/2, /і5)>Я(/2,5). Аналогично тому, как это имело место в рассуждении Я. Линденбаум, выразим Я(/2, 5) в виде 186
Я(/2, S) = H(f2h2, S)i-H(f2h2, S) = H(h2, S) + + Я(А2, 5)-Я(/2, /725). Mutatis mutandis получим Я(/2, fiS) = H(hl9 AS) + H(hu /χ5)-//(/2ι Al/xS). Введем обозначения: Я(Л2, 5) = *ι; Я(/2, Α25) = <γ, Я (A, /15) = ft2; Я(/2, hlflS) = c2. Так же как и раньше, приходим к следующей формулировке условия правомерности вывода по аналогии: Ьч — Ь\ . Со — Со -* > — илд 1 — 6Х 1 — с2 Я№, fiS)-H(h2,S) > H(f2,T2S)-H(f2ihifiS) β qj, Я(7Г2, S) Я(/2,Ль /ι5) Знаменатели обеих частей неравенства в соответствии со сделанными допущениями (а), (6) положительны. Но положительный характер числителя левой части уже не представляет собой выражения правомерности индукции в смысле Я. Линденбаум. Я(АЬ f\S)>H(h2, S) вместе с тем не является следствием предполагаемого соотношения (1) и принципа индукции Я(АЬ f\S)> >H(huS). Чтобы убедиться в этом, приравняем H(h2, S) к 0,7. Пусть Я(А2, AiS)=0,8; H(hlflS)=0fi; H(hu S) =0,4. В таком случае Я(А2, hxS)>H(h2, S) и H(hu fiS)> >H(hlS), однако H(hu fxS) >Я(А2, 5). Но при некотором условии соотношение Η(h[, f\S)> >Я(А2, 5) необходимо будет иметь место. Выясним это условие. Представим H(abc, d) в виде Я (be, d)-H(a, bed) = = Н(с,а)-Н(Ь, cd)-H(a, bed). С другой стороны, H(cba, d)=H(ba, d) *H(c, bad) = = H(a,d) -Я(6, ad)-Η(с, bad). Но вероятность не зависит от того, в каком порядке мы рассматриваем явления. Поэтому H(abc, d)=H(cba, d). 187
Отсюда Η {с, d)-H(b, cd)-H(a, bcd)=-H(a, d)-H{b, ad)X H(c, d)-H(by cd).H(a, bed) XH(c,bad)KH{b,ad) = - H(a, tf)-#(c, bad) Пусть a = f\\ b = hi\ c = h2\ d=S. Тогда будем иметь H{fu h\h2S) = l, поскольку по нашему условию Sfo\->fi. Отсюда ясно, что достаточным условием неравенства Η (hi, f\S)>H(h2, S) будет равенство H(hu h2S)=H(h2i hifiS). В самом деле, при этом условии H(hu f,S)=-^g-. Поскольку 0<H(fu S)<1, H(hu fiS)>H(h2,S). Обратим внимание, что H(h2, h\S)=H(h2fu h{S) + -\-H(h2fu h\S). Поскольку h\S-^fu второе слагаемое будет равно 0. Отсюда H(h2, h{S)=H(fu hiS)-H(h2, fih, S). Первый сомножитель равен единице. Следовательно, H(h2, fihS)=H(h2y hiS). Это дает нам возможность выразить достаточное условие неравенства H(h\, fiS)>H(h2t S) в виде H(hu h2S)=H(h2, hxS) (III). Это значит, что вероятность одной гипотезы при наличии другой не должна зависеть от порядка, в каком мы берем эти гипотезы. В случае выполнения этого условия левая часть неравенства (II), являющегося формулой правомерности вывода по аналогии, будет положительна. Поскольку /г, h\f\S>0, достаточным условием осуществления неравенства будет неположительность числителя левой части, то есть соотношение H(f2, h\f\S)^H{f2y h2S) (IV). В частном случае H(f2, hifiS) = #(/2, h2S) (IV7). Это значит, что в случае ложности обеих гипотез h{ и h2 осуществление /і не должно уменьшать вероятность осуществления /2. В рассмотренном выше примере можно предположить, что вероятность того, что человек, принимающий принцип, согласно которому следует уступать место старикам (Лі), будет принимать и принцип уступать место детям (h2), такова же, как и, наоборот, вероятность того, что принимающий h2 примет h\. Иными словами, здесь 188
будет выполняться условие (III). В таком случае вывод о том, что человек, уступающий место старику fu уступит его в аналогичном случае и ребенку (/2), будет правомерен в том случае, если допущение, что у этого человека нет нравственных принципов h\ и Л2, не означает, что сам факт /ι уменьшает вероятность /2. Иными словами, нужно исключить тот случай, когда «благородства» человека хватает лишь на один поступок. Другой пример. Дождь (h2) —основание, приемлемое для объяснения большого сбора грибов некоторое время тому назад на данном месте f\. Другой дождь h2— основание для вывода и возможности большого сбора сегодня /2· Умозаключение будет правомерным, если: 1) вероятность одного Дождя зависит от наличия другого так же, как и вероятность другого от наличия первого; 2) безотносительно к дождям, то есть предполагая, что никаких дождей не было, сам факт большого сбора в один момент времени не уменьшает вероятности большого сбора там же в другой момент времени. Последнее предположение явно неверно, то есть вывод по аналогии здесь неправомерен. Конечно, фактически может случиться так, что благодаря дождю (fo2) успеют вырасти новые грибы и новый сбор будет также обильным (/2). Но это не следует, даже если говорить только о вероятности, из самого факта (/ι). Нетрудно видеть, что условия, сформулированные Я. Линденбаум, можно рассматривать в качестве частного случая наших условий при h\=h2=h. Первое условие (III) дает #(/i, hS)=H(h, hS), то есть тавтологию. Понятно, почему об этом нет речи в работе_Я. Линденбаум. Но второе условие приводит к #(/2, hf\S)^H{f2, hS), то есть к тому достаточному условию, о котором пишет Я. Линденбаум. Обратим особое внимание на то обстоятельство, что в наших рассуждениях мы фактически не использовали соотношения (I), являющегося следствием положения об аналогичности h{ и h2, то есть о том, что имеется общее основание оснований. Вывод может быть правомерным при наличии (III) совершенно независимо от какой бы то ни было общности оснований. Изложенный выше метод Я. Линденбаум, так же как и его обобщение, предполагает знание априорных веро- 189
ятностей одних событий относительно других. Поэтому здесь возникают те же трудности, что и вообще при применении понятия вероятности к единичным событиям. Об этих трудностях подробно говорилось в связи с проблемой индуктивного обоснования парадейгмы. Я. Лин- денбаум не использует термина «вероятность». Вместо этого говорится о степени субъективной достоверности. Однако такое изменение терминологии не решает реальную проблему количественного определения меры того логического свойства, которым характеризуется вывод, независимо от того, как мы его называем — вероятностью, степенью субъективной достоверности или как- нибудь иначе. Соображения, которые приводились выше в связи с выводами типа парадейгмы, свидетельствуют о том, что указанная проблема не является неразрешимой. Приведенный там метод ее решения, по-видимому, можно дополнить иными методами. Однако вероятностный анализ не является единственно возможным путем определения условий правомерности логической аналогии. Могут быть определены такие условия, выполнение которых сделает вывод по аналогии рассматриваемого типа вполне достоверным. Простейший, тривиальный случай таких условий заключается в том, что общее основание h является не только достаточным, но и необходимым условием /і. В этом случае h является единственно возможным основанием f\. Поэтому если истинно fu то истинно и /г. Но поскольку h является достаточным основанием также /^, из его истинности следует истинность /2. Приведенное условие правомерности можно рассматривать как основание второго уровня. В таком случае будем иметь следующую схему: (/ι-λ)η[(λ-»/γΛ)ι-^·]. Но это не схема реального процесса умозаключения, а схема его обоснования. Такое обоснование в отличие от обоснования, данного Я. Линденбаум, имеет дедуктивный характер. Если мы соединим основания первого и второго уровня с посылкой аналогии — /ь то отсюда необходимым образом будет следовать ее заключение — f2. Основаниями такого вывода (это уже будет основа- 190
ниє третьего уровня) являются принципы дедуктивного вывода, в данном случае аксиомы и правила вывода исчисления высказываний. §4. Правила функционально-структурной и структурно-функциональной аналогии Отождествление функций на основании тождества структур, то есть структурно-функциональная аналогия как форма умозаключения, довольно часто рассматривается как форма вывода, порочная сама по себе. Так, французский физиолог П. Косса, опровергая вывод математика Куффиньяля, протестует против использования в процессе этого вывода структурно-функциональной аналогии. «Такая манера рассуждать вызывает удивление: из морфологического сходства делать заключение о функциональном тождестве — это поистине означает перейти границы экстраполяции... Доводя до карикатуры этот способ рассуждения, мы могли бы также сказать: «Клетка Пуркинье мозжечка с ее специфическими древовидными отростками походит на семисвечник древнееврейской литургии. Следовательно, клетка Пуркинье является органом, в котором помещаются религиозные наклонности человека»» 1. Иронию Косса можно распространить и на функционально-структурную аналогию, то есть на отождествление структур на основе тождества функций. С ее помощью наряду с ценными результатами также было получено много ошибочных выводов. Однако это не означает, что следует отбросить саму форму вывода. Нужно выяснить условия, снижающие вероятность ошибок или даже исключающие их. По крайней мере в простейших случаях определение таких условий вполне возможно. 1. Правила функционально-структурной аналогии Рассмотрим вначале функционально-структурную аналогию. Предположим, что отношение 5, определяю- 1 П. Косса. Кибернетика. М., 1958, стр. 54. 191
Щее структуру модели (αι,...,αη), понимается в смысле /?IV, причем его можно разбить на совокупность отношений между парами элементов: ощ(аі, ak) (Ι^'^Ξ^), (1<*<д). Допустим, что таким же образом можно разбить отношение F, характеризующее функционирование модели. F представляет собой отношение модели к среде, которую применительно к модели мы будем обозначать символом а, а применительно к прототипу — Ь. Компоненты отношения і7, согласно нашему допущению, представляют собой отношения того или иного элемента модели йі V к среде а и, наоборот: (рг(аг·, #) и φ2·(α, аг). Пусть в^ прототипе мы имеем также совокупность отношений между парами оін(Ьі9 bk) (l^i, k^m). Предположим, что все отношения между элементами как модели, так и прототипа являются внешне разложимыми. Функционирование прототипа, то есть его, отношение F к среде 6, будет представлять собой совокупность отношений «Pi(ft/. *) Ъ{Ь,*д (1<'<л). Введем понятие центра множества относительно заданной совокупности отношений на нем. Множество Χι,..., хп с отношениями Р/*0*/. xk) (!<*» £<#) будет иметь центр — элемент х, возможно не принадлежащий к заданному множеству, в том случае, если для любой пары элементов этого множества х^ Хи найдутся такие функциональные отношения р<(я<, х) и рн(х, Хъ), что pik(Xi, Xk) можно будет представить в виде композиции этих отношений Р/*С*/. *а) = Р/(*/. x)-Pk(*> xk) Например, множество чисел (32, 16, 24, 8) относительно совокупности мультипликативных отношений на нем будет иметь бесконечно большое количество центров. Одним из таких центров будет число 8. Отношение 2 (32, 16) можно выразить как композицию отношений 4 (32, 8)-V2 (8, 16). Соответственно 2/3 (16, 24) =2 (16, 8) · 7з (8, 24) и т. д. Напротив, то же множество чисел не будет 192
иметь центра относительно совокупности отношений «больше»— «меньше». Достаточное условие достоверности вывода функционально-структурной аналогии будет заключаться в том, чтобы в обоих сравниваемых системах среды а и Ь представляли собой центры этих систем относительно совокупности отношений, определяющих их структуры 1. Пусть, например, в качестве модели рассматривается совокупность чисел (32, 16, 24, 8). Прототипом будут числа (24, 12, 18, 6). Функционирование модели в отношении числа 4 такое же, как и функционирование прототипа в отношении числа 3. Поскольку 4 для модели и 3 для прототипа являются центрами относительно совокупности мультипликативных отношений, то мультипликативные отношения модели можно распространить на прототип. Если, например, в модели первый элемент в два раза больше, чем второй, то то же самое будет иметь место и в прототипе. Приведенное достаточное условие правомерности функционально-структурной аналогии, естественно, не является единственно возможным. В том случае, когда отношения, образующие структуры сравниваемых систем, понимаются не в целостном, а в итеративном смысле R1, условия правомерности функционально-структурной аналогии приобретают простой вид. Воспользуемся введенным выше (стр. 102) понятием обобщенной функциональности. Если отношения элементов модели ab...,an к среде а будут удовлетворять условию обобщенной функциональности, то отношения между элементами модели /?(аь..., ..., ап) и соответственно прототипа \R(bb...,bn) будут одинаковыми. В самом деле, поскольку отношения элементов модели а\,...,ап к среде а являются обобщенно функциональными относительно Q, между любыми из них будет иметь место отношение Q. Можно записать V/V* {#(*/» я)-*[/?(аЛ, a)->Q(a„ а*)Ъ где (1^/, ίζζζη). Но если отношение S, образующее структуру модели, понимается в итеративном смысле JR1, то есть как отно- 1 Доказательство см.: «Проблемы логики научного познания: стр. 289—290. 7 А. И. Уемов 193
шение любого элемента к любому, то это отношение можно отождествить с Q. Согласно основанию функционально-структурной аналогии, будем иметь: av..., ап, aF [(а1э..., ап), а] = = £i,..., Вп9 6F[[bu...%bm\ b]. Тождество отношений будет означать тождество свойств этих отношений. Поэтому если F[(a\,...fan)a] является функциональным относительно Q, то то же можно сказать об отношении F[(bi,...,bm),b]. Отсюда будем иметь: V/V* (Ж*/. *)-[№· ft)->$(*„ bk)l где (l^/, k^sm). Значит, отношение, образующее структуру прототипа, так же как и отношение, образующее структуру модели, сводится к итерации Q. Следовательно, мы имеем право отождествить эти структуры. аи..., anS(al9..., а„)=Ъи..., bmS(bu..., bm) Обратим внимание на то, что различие числа элементов в модели и прототипе при итеративном понимании структурных отношений не является препятствием для их отождествления. Таким образом можно сформулировать как достаточное условие правомерности функционально-структурной аналогии функциональность в обобщенном смысле — отношения элементов модели к среде. Поскольку обычная функциональность является частным случаем функциональности в обобщенном смысле, для обеспечения правомерности функционально-структурной аналогии было бы достаточно функциональности в обычном смысле. Но в таком случае модель оказалась бы редуцированной к одному элементу. В качестве простейшего примера применения сформулированного правила рассмотрим следующий. Пусть элементы модели а\9 ··., #п представляют собой линии, расположенные под углом 30° к линии а. Элементы прототипа δι,..., &т расположены соответственно под углом 30° к линии Ь. Согласно сказанному, мы имеем право перенести отношение параллельности с модели на прототип. 194
2. Правила структурно-функциональной аналогии Правила структурно-функциональной аналогии можно установить с помощью соответствующей модификации правил аналогии функционально-структурной. Так, вместо условия разложимости отношения необходимо воспользоваться более сильным условием однозначной разложимости или композиционности. Достаточные условия достоверности структурно-функциональной аналогии в таком случае можно сформулировать следующим образом: 1) элементы а и 6, в отношении к которым определяется функционирование сравниваемых систем S(#i,..., ...,αη), S(b\,..., bm)y являются центрами этих систем относительно структурных отношений; 2) ОТНОШеНИЯ pjy [Х{, (Хи ...,#i-b *г+Ь .·.,*/)] ДЛЯ ЛЮ- бой /-ки элементов в обоих множествах являются композиционными к Заметим, что в приведенной формулировке мы не предполагаем, что структурное отношение в сравниваемых системах понимается обязательно в смысле 7?ш, то есть как отношение каждого элемента ко всем остальным. Такое понимание имело бы место, если бы отношения р^ γ для любого k были бы тождественны, что вовсе не обязательно. Речь здесь идет о понимании структурного отношения в целостном смысле — JR*. Однако это отношение предполагается возможным разбить на совокупность, вообще говоря, различных бинарных отношений между отдельным элементом и совокупностью остальных в каждой произвольной /-ке элементов. В частном случае в качестве /-к можно брать пары элементов. Рассмотрим пример. Пусть аи...,ап — братья. Центром будет а — их отец. Если в прототипе b\,...,bn будут находиться в том же отношении «быть братом», то их отношения к «центру» — b — будет такое же, как и в модели. Во избежание недоразумений отметим, что сформулированные условия достоверного вывода при функционально-структурной и структурно-функциональной ана- 1 Доказательство см.: «Проблемы логики научного познания: стр. 291. 7* 195
логиях будут нарушены, если структура модели определяется на основе чисто пространственных отношений, а функционирование представляет собой отношения иного типа, композиция которых не приводит к отношениям, определяемым в модели. Можно, например, обосновать необходимость аналога машинной памяти в нервной системе, но отсюда не следует, что этот аналог должен пониматься в чисто пространственном смысле. Этим можно ответить на вышеприведенную критику разбираемых типов аналогии со стороны П. Косса. 3. Правила вспомогательной и интерпретационной аналогии Как отмечалось выше, при классификации типов аналогии вспомогательная аналогия представляет собой такой вывод от модели к прототипу, в котором в качестве основания выступает дополнительная модель. Достаточное условие достоверности выводов такого типа можно сформулировать с помощью понятия самополноты и введенных выше коррелятивных ей понятий. Рассмотрим вначале простейший случай бинарных отношений. Соединяя данные, имеющиеся в обеих моделях, знаком конъюнкции и присоединяя к ней с помощью импликации результат, относящийся к прототипу, будем иметь R(du d2)&R(au a2)^R(bu b2). При b\ = d\ и b2 = a2 будем иметь условие самополноты по Гудмену. При bi=du b2 = au а также при b\ = d2, b2 = ct\ и b\ = a2y b2 — d2 будем иметь условия, при которых отношения обладают свойствами, коррелятивными свойству самополноты. Если бы самополнота и коррелятивные ей свойства имели всегда внутренний характер, то проблема установления правомерности рассматриваемого типа выводов от модели к прототипу решалась бы очень просто. Чтобы убедиться в правомерности вывода, достаточно было бы знания о самополноте или другом коррелятивном ей свойстве отношения и выполнения соответствующих этому свойству тождеств. При амбивалентном характере свойства самополноты необходимо было бы еще знать, что отношение R относится к такому классу отношений, для которых свой- 196
ство самополноты и коррелятивные ей свойства являются внутренними. Но, как было показано выше, рассматриваемые свойства являются всегда внешними. Это означает, что говорить об этих свойствах можно лишь применительно к тому или иному множеству. Если множество Μ таково, что отношение на нем са- мополно, то достаточными условиями достоверности вывода по аналогии по схеме R ibu h) будет вхождение элементов du d2; аь а2\ bu Ь2 в множество Μ и тождества b\ = du b2 = a2. Рассмотрим в качестве примера вывод от модели «Деталь а\ подходит к детали а2» к прототипу «Деталь Ъ\ подходит к детали Ь2». Основанием для вывода будет служить то, что на другой модели будем иметь «Деталь d\ подходит к детали d2». Согласно приведенному выше правилу, вывод будет правомерным в том случае, если отношение «подходить» на множестве деталей М, охватывающем аь а2, bu Ь2, du d2, будет самополным, то есть будет разбиваться на два подмножества, так что каждая деталь одного подмножества будет подходить к любой детали второго подмножества. Например, множество Μ может состоять из болтов и гаек. Однако вывод все же может оказаться ошибочным, если Ь\ и Ъ2 обе относятся к одному и тому же подмножеству, например обе представляют собой болты или гайки. Однако это исключается приведенными выше условиями отождествления. Имеем, что второй элемент прототипа тождествен со вторым элементом модели; значит, если в модели а2, например, гайка, то и в прототипе Ъ2 будет гайкой. Но первый элемент прототипа тождествен первому элементу некоторой модели, данные о которой фиксированы в основании вывода. Значит, это не гайка, а болт. Вывод о том, что Ъ\ подходит к Ь2, оказывается вполне достоверным. Рассмотрим другой случай. Пусть множество Μ состоит из людей, разбитых на два подмножества Мг и М'\ так, что в каждое из них включаются только союзники, тогда отношение «союзник», первые элементы которого берутся из одного, а вторые из второго подмно- 197
жества, не будет самополным. Если χ союзник у, a ζ союзник и, то вполне может случиться так, что χ и и окажутся лютыми врагами. Но в этом случае отношение «союзник» будет обладать первым из приведенных выше свойств коррелятивных свойству самополноты. Если отношение R обладает этим свойством на множестве Μ и соблюдаются тождества b\ = d\, Ь2 = а2, то вывод от R(au 0,2) KiR(bu b2) будет вполне достоверным. Соответствующим образом mutatis mutandis формулируются правила с использованием второго и третьего свойств, коррелятивных свойству самополноты. Распространение всех этих правил на многоместный случай не представляет принципиальных затруднений. Но здесь необходимо иметь в виду, что если в основании вывода имеются данные лишь относительно одной модели, то уже для трехместного случая свойство самополноты становится несобственным для множества, объединяющего элементы моделей и прототипа. Однако это не является препятствием для формулирования соответствующих свойств, поскольку множество Μ является достаточно мощным для того, чтобы по отношению к этому множеству свойства самополноты и коррелятивного ей свойства являлись собственными. Проблема условий правомерности интерпретационной аналогии в принципе не отличается от рассмотренной выше проблемы условий правомерности вспомогательной аналогии. Поскольку в интерпретационной аналогии часть элементов модели, вспомогательной модели и простота предполагается одинаковой, это предполагает дальнейшую дифференциацию свойства самополноты и коррелятивных ей свойств. Поскольку это привело бы к использованию формального аппарата более сложного, чем развитый выше, мы ограничимся сделанными замечаниями. §5. Правила вывода по аналогии типа изоморфизма Выше мы имели возможность убедиться в том, что аналогия типа изоморфизма является одной из наиболее древних и вместе с тем имеющей наибольшее значение в современной науке формой вывода по аналогии. Поэто- 198
My представляет большой интерес проблема определений условий правомерности такого вывода. Иногда можно встретиться с мнением, согласно которому изоморфного соотношения между элементами сравниваемых систем достаточно для того, чтобы считать отношения в этих системах тождественными друг другу. К этому делается оговорка, что эта тождественность «с точностью до изоморфизма», то есть что тождественные отношения в разных смыслах могут иметь место между качественно различными элементами. Если бы это было так, то формулировать особые условия достоверности вывода по аналогии рассматриваемого типа не было бы необходимости. Достоверность вывода была бы обусловлена самой структурой умозаключения. Некоторые примеры как будто бы соответствуют такой оптимистической точке зрения. Так, основываясь на изоморфном соответствии между картой и местностью, мы переносим пространственные отношения между изображениями карты на местность. Однако далеко не всегда при этом мы будем иметь достоверный результат. Несмотря на то что каждой точке поверхности соответствует определенная точка карты, отношения между соответствующими точками могут быть различными. Это совпадение очевидно, если взять карты больших участков земли, например карту полушарий. Такие карты значительно искажают направления, то есть углы. Можно взять карту, не искажающую углов,— мер- каторскую. Но в такой карте будут резко изменены расстояния. Можно взять другой пример. Имеет место изоморфное соответствие между изображением человека в прямом и кривом зеркале. Но кто скажет, что отношения в обоих случаях одинаковы! Из сказанного следует, что для обоснования правомерности переноса отношений из одной системы в другую одного изоморфизма недостаточно. Здесь требуются дополнительные условия. Решение проблемы нахождения этих условий в общем виде связано с очень большими трудностями. Мы остановимся на ряде частных случаев. Выше проводилось различие между полными и частичными отношениями. Последние в отличие от первых 199
устанавливаются лишь по некоторым свойствам соотносящихся элементов. И сами они представляют собой комбинации немногих точно определенных свойств. Естественно начать рассмотрение с таких выводов по аналогии типа изоморфизма, в которых переносимое отношение является частичным. 1. Б. Рассел о тождестве логических отношений в изоморфных системах Для логики, в частности теории аналогии, наиболее существенны отношения, представляющие собой комбинации так называемых логических свойств. Их будем называть логическими отношениями. Если логические свойства полных отношений Ri и R2 одинаковы, что можно выразить как (Rh R2)Re, то, согласно приведенным выше соображениям, можно считать, что оба отношения R\ и R2 содержат в себе некоторое отношение Re, то есть RiCiRe и R2czRe. Таким образом, являются синонимичными выражения: 1) полные отношения R\{au ...,ап) и R2(bu...9bn)[ обладают одинаковыми логическими свойствами; 2) логические отношения Re, имеющие место в системах аи ..·, а>п и Ъ\,..., Ъп, одинаковы. Проблема тождества логических свойств отношений в изоморфных системах поставлена Б. Расселом. Термин «изоморфизм» Рассел не употребляет. Он говорит с* подобии (similarity) отношений или подобии структур. Понятие структуры относится к отношению, или, что то же самое, к классу предметов, связанных этим отношением. Как отмечает X. Мак Лендон, термин «структура» в философии Б. Рассела употребляется в четырех различных смыслах 1. Основным является понимание структуры как способа соотнесения различных составляющих элементов чего бы то ни было друг к другу. В этом смысле любая сущность, поскольку она состоит из некоторого множества частей, имеет структуру. Следовательно, описание совокупности отношений, имеющих место среди элементов, составных частей сложного целого является описанием его структуры. 1 Н. I. McLendon. Uses of Similarity of Structure in Contemporary Philosophy. — «Mind», 1955, vol. 64, N 253, p. 79—80. 200
Подобие структур Б. Рассел определяет следующим образом: «Предположим, что мы имеем два отношения R и R', каждое из которых /г-местное; предположим, что имеется взаимно-однозначное отношение S, которое соотносит все элементы в поле R всем элементам в поле R'; пусть Хи ...,хп будут η элементами, которые имеют отношение R, и пусть х/, ..., Хп будут элементами, соотнесенными с ними отношением S. Тогда R и R' будут подобными, если имеется взаимно-однозначное отношение S такое, что при выполнении вышеприведенных условий Х\'9..., Хп имеют отношение R' и наоборот. Два отношения, которые подобны, имеют ту же самую структуру, или «реляционное число» 1. В качестве примеров Рассел приводит географическую карту, которая подобна соответствующей части земной поверхности, граммофонную пластинку, подобную записанной на ней музыке, и т. д. Сформулировав понятие подобия структур и логических свойств, Рассел выдвигает следующее важное утверждение: «Если два отношения имеют одинаковую структуру (или реляционное число), все их логические свойства тождественны»2. Рассел не обосновывает этого положения, считая, по- видимому, что оно непосредственно вытекает из его определений логических свойств и подобия отношений. Расселовская концепция подобия отношении подвергнута резкой критике X. Мак Лендоном3. Мак Лендон, анализируя определение Рассела, показывает, что оно является чрезмерно широким. Ссылаясь на замечание У. Квайна (W. V. Quine), он отмечает, что любые два класса с одним и тем же числом членов удовлетворяют определению «подобия структур». Можно пойти на автомобильную стоянку, произвольно выбрать дюжину автомобилей и, оставив их на своих местах, рассматривать их как класс элементов, обладающий структурой. Простейший способ определения структуры заключается в фиксировании пространственных отношений между выбранными автомобилями. Придя домой, возьмем дюжину детских кубиков и разбросаем их в беспорядке по 1 В, Russet. The Analysis of Matter. New York, 1954, p. 250. 2 Там же, стр. 251. 3 Η. I. McLendon. Uses of Similarity of Structure in Contemporary Philosophy. — «Mind», 1955, vol. 64, N 253. 201
полу. Фиксируя расстояния между ними, определим структуру этого множества кубиков. Структура обеих систем, автомобилей и кубиков, по вышеприведенному определению оказывается подобной. В самом деле, очевидно, что элементы в каждой из систем имеют определенные пространственные отношения друг к другу. Далее, возможно установить взаимно-однозначное соответствие элементов одной системы с элементами другой. И наконец, очевидно, что, если, например, а\ имеет пространственное отношение к а,\2 каким бы ОНО НИ быЛО, Ь\ Имеет СООТВеТСТВуЮЩее ОТНОШеНИе К 612« То же самое справедливо для любых двух членов каждо* го класса и их коррелятов в другом классе. Таким же образом можно применить понятие подобия структур не только к классам, но и вообще ко всяким единичным объектам. Каждое целое может быть разделено на произвольное число частей — физически или мысленно. Любая хозяйка знает, что, когда придут нежданные гости, семейный паштет можно разрезать иначе. Но этот факт, отмечает автор, легко просматривается философами. Всегда можно выделить такие части, чтобы их общее число в сравниваемых предметах было одинаковым. Таким образом, оказывается, что любые два целых предмета имеют подобные структуры. Отсюда Мак Лендон делает вывод о том, что знание о подобии структур в определенном выше смысле не имеет никакой ценности в информационном отношении. В плане теории аналогии можно сказать, что вышеприведенные условия, выдвигаемые Б. Расселом, описывают структуру вывода по аналогии типа изоморфизма. Мы говорили о тождестве корреляторов, сопоставляющих элементы одной системы элементам другой. Эти корреляты в каждом отдельном случае могут быть различными по своей физической природе. Важно лишь, чтобы они всегда одному элементу одной системы сопоставляли один элемент другой. Б. Рассел, как и другие современные авторы, это свойство корреляторов рассматривает как особое отношение — коррелятор. Коррелятором, сопоставляющим элементы одной системы элементам другой, у них является само отношение взаимно-однозначного соответствия. Это отношение должно быть одним и тем же для любых элементов, что 202
соответствует определению структуры вывода по аналогии типа изоморфизма. Однако критика Мак Лендона показывает, что Б. Рассел не определяет достаточные условия правомерности такой аналогии или во всяком случае определяет их неточно, что порождает недоразумения. Согласно определению Рассела, можно выделить два условия правомерности вывода по аналогии типа изоморфизма — одно из них будет касаться характера переносимой информации, то есть посылки и заключения вывода, а другое будет относиться к структуре основания. Первое заключается в том, что переносимые отношения должны быть логическими, или, что то же самое, переноситься должны логические свойства отношений. Второе требует, что если в модели имеет место отношение R, то в прототипе должно быть R' и наоборот. Здесь-то и находится источник недоразумений. Выражение «если — то» в логике формализуется в виде различных типов импликаций. В исчислении высказываний, являющемся основой современной логики, импликация понимается в смысле материальной импликации. Истинность такой импликации всецело определяется истинными значениями антецедента и консеквента независимо от содержательной связи между ними. «Если 2X2=4, то Нью-Йорк — большой город» — истина. «Если Петр любит Наташу, то Николай — старше Федора» — тоже истина. Петр взаимно-однозначно соответствует Николаю, а Наташа — Федору. Петр и Николай — первые, а Наташа и Федор — вторые элементы отношений. В абстрактной форме имеем a\Ra2 и b\Rfb2. Если между а,\ и а2 имеет место отношение R, то между Ь\ и Ь2 — соответствующее ему отношение R'. По буквальному смыслу слов все условия подобия отношений выполняются. Асимметричность и антисимметричность, несомненно, логические свойства, и, однако, R — асимметрично, а ^ — антисимметрично. Логические свойства подобных отношений оказываются различными. Могут возразить, что отношение R недостаточно определено, поскольку ничего не известно об ответных чувствах Наташи к Петру. Отношение «старше» задано в обоих направлениях: Николай старше Федора и Федор моложе Николая, то есть оно задано полностью. 203
Отношение же, имеющее место в суждении «Петр любит Наташу», определено лишь в одном направлении, и поэтому к таким отношениям нельзя применить определение Б. Рассела. Однако: 1) Неверно, что отношение «любит» не задано, если оно установлено в одном направлении. Для того чтобы понять смысл выражения «Петр любит Наташу», нам совершенно ненужно знать об ответных чувствах Наташи. «Наташа любит Петра» — это будет уже другое отношение. Наташа и Петр взаимно любят друг друга — третье отношение. «Обратным» отношением для «любит» будет «любима». И это отношение не совпадает с отношением «любит» так же, как «выше» не совпадает с «ниже». 2) Неверно, что задание отношения «старше» в суждении «Николай старше Федора» предполагает известным, что Федор моложе Николая. Если бы это было так, то знание логических свойств отношения не имело бы никакого практического значения. То, что Федор моложе Николая, должно быть выведено на основе знания логических свойств отношения «старше». Зная, что отношение «старше» антисимметрично, мы отсюда получим, что Федор моложе Николая, и затем, с помощью вывода по аналогии отождествляя логические свойства соответствующих друг другу отношений, — что Наташа ненавидит Петра. Таким образом, при понимании связки «если — то» в смысле материальной импликации утверждение о том, что если в модели имеет место отношение R, то в прототипе должно быть R', приобретает в нашем примере тривиальный характер, являясь следствием уже установленного соответствия между элементами. Мало того, его здесь можно даже рассматривать просто как следствие самого факта существования сравниваемых систем, отношения в которых не могут не соответствовать друг другу. Определение Б. Рассела не дает никаких оснований для исключения подобных систем из сферы его применения. Быть может, следует понимать «если — то» в ином смысле, не как материальную импликацию? Однако использование других известных форм импликации в рассматриваемом нами примере вряд ли возможно. Формальная импликация Рассела или «условная в собствен- 204
ном смысле» (conditional proper) связь Пирса в том случае, когда берутся во внимание только две пары сравниваемых предметов, совпадает с материальной, фи- лоновской импликацией К Применение строгой импликации Льюиса, в которой имеет место использование модальных категорий, выглядело бы следующим образом: «Невозможно, чтобы Петр любил Наташу без того, чтобы Николай был старше Федора» и наоборот. Очевидно, что в нашем случае строгая импликация не имеет места. Однако ее вообще очень трудно использовать в выводах по аналогии, где сравниваются различные по своему характеру отношения в разнородных системах. Необходимый характер связи между R и R\ вообще говоря, установить труднее, чем тождество логических свойств этих отношений. Для этого нужен содержательный смысловой анализ. Возможность исходя из содержания R вывести необходимость R' и наоборот является слишком сильным требованием для установления правомерности вывода по аналогии. Не исключена возможность формулирования такого типа импликации, с помощью которого можно было бы избежать отмеченных трудностей. Однако определение такого типа импликации как раз и явилось бы дополнительным условием правомерности вывода по аналогии. Без этого условия, как мы видим, по крайней мере в ряде простейших случаев, требование соответствия отношений в сравниваемых системах превращается либо в тривиальное следствие других условий изоморфизма, либо выходит за рамки практической применимости. Во всяком случае оно недостаточно ясно и порождает недоразумения. О том, что указанное условие не имеет большого значения в формулировании понятия изоморфизма, свидетельствует тот факт, что в то время, как условие взаимнооднозначного соответствия элементов является основой любого определения изоморфизма, требование соответствия отношений нередко опускается как очевидное. Например, И. Бохенский считает достаточным следующее определение: «Два отношения R и S изоморфны, если между ними есть коррелятор Q. Коррелятор пред- 1 Л. N. Prior. The Theory of Implication. — «Zeitschrift fur Mathe- matische Logik und Grundlagen der Mathematik», 1963, B. 9, H. 1, S. 9. 205
ставляет собой однозначное отношение, которое каждому элементу в поле отношения R сопоставляет только один элемент в поле другого отношения S и наоборот» 1. Здесь ничего не говорится о том, что отношения R и S должны соответствовать друг другу. Формулируется лишь требование соответствия элементов. В качестве другого примера приведем определение изоморфизма отношений, данное в работе Г. Клауса. «Мы говорим о наличии между двумя предикатами, одинаковыми по числу мест, отношения изоморфизма, когда налицо двухместное отношение С0 со следующими свойствами. Отношение Со(х, у) таково, что каждому χ однозначно соответствует у и обратно. Оно, выражаясь математическим языком, взаимно-однозначно. Далее, индивидуумы, между которыми имеет место первый предикат, должны быть предшествующими членами отношения (то есть занимать место х), а индивидуумы второго предиката — последующими членами этого отношения (то есть должны занимать место у). Если в /г-местный предикат S\ входят индивидуумы а\, #2, аз,..., ап> а в я-местный предикат Si — индивидуумы &ь Ь2, Ъъ,...,Ъп, то С0(х, у) должно соотносись щ с 6г, то есть должно быть истинным С0(аи bu ..., С0(ап, bn), а также обратное соотношение»2. Г. Клаус обращает большое внимание на соответствие порядков, в которых берутся элементы сравниваемых систем, но он тоже не выделяет специально требования о соответствии отношений. Однако большинство авторов, определяя понятие изоморфизма, все же выделяют это требование. Например, такое же определение, как Б. Рассел, дает в одной из своих работ Р. Карнап3. Определение изоморфизма в формулировке Р. Карнапа С. К- Шаумян использует в качестве основы для экспликации понятия структуры в языкознании4. Определения изоморфизма множеств в математике 1 /. М. Bochenski. Gedanken zur mathematischlogischer Analyse der Analogie. — «Studium Generate», Marz 1956, H. 3, S. 124. 2 G. Klaus. Einfuhrung in die Formate Logik. Berlin, 1958, S. 274. 3 R. Carnap. Symbolische Logik. Wien, 1960, S. 74—76. 3 См. С. К. Шаумян. Структурная лингвистика как имманентная теория языка. М., 1958, стр. 9—10. 206
обычно также по существу не отличаются от разобранного определения Рассела. Математические определения поэтому также дают основание считать множества в разобранном выше примере изоморфными. Таким образом, мы видим, что возникшая проблема связана не со спецификой взглядов Рассела, а с той концепцией изоморфизма, которая является широко распространенной в современной логике, математике и других науках. Нельзя сказать, чтобы эта концепция была неплодотворной. Она с успехом применяется к решению ряда важнейших проблем науки. Однако ее плодотворность, на наш взгляд, связана с тем, что в ней предполагается то, что не нашло четкой формулировки в приведенных выше определениях. Наша задача заключается в том, чтобы выяснить дополнительные условия, подразумеваемые в понятии изоморфизма, выполнение которых делает соответствующий вывод по аналогии правомерным. Очевидно, что речь должна идти об усилении приведенных выше определений, но, разумеется, не таким образом, чтобы при этом предполагалась тождественность всех отношений модели и прототипа. Если заранее известно, что отношения в сравниваемых системах тождественны, то вопрос об условиях правомерности вывода по аналогии, отождествляющего эти отношения, лишается смысла. 2. Условия правомерности переноса логических отношений с модели на прототип Может сложиться впечатление, что в известной мере более сильным, чем обычно, является вышеприведенное определение, данное Г. Клаусом. Клаус подчеркивает условие равночленности изоморфных отношений. Однако это условие не обогащает понятия изоморфизма, поскольку уже предполагается требованием взаимной однозначности коррелятора. Что касается того, чтобы первому элементу одной системы соответствовал именно первый элемент другой, то следует иметь в виду возможность изменения нумерации. Мы можем определить первый элемент, охватываемый отношением Si, как тот, который соответствует первому элементу отношения S2, второй — как соответствующий второму элементу и т. д. Таким образом, любые отношения, изоморфные по обыч- 207
ному определению с помодцью соответствующего выбора нумерации охватываемых ими индивидуумов, могут быть сделаны изоморфными и по определению Г. Клауса. Положение меняется в том случае, если нумерация индивидуумов связана с определением самого отношения и дана вместе с самими отношениями заранее, еще до их сравнения. Тогда класс изоморфных отношений резко сужается. Изоморфными могут быть лишь такие отношения, поля которых образуют вполне упорядоченное множество объектов. Однако если само определение отношения полной упорядоченности дается путем перечисления логических свойств этого отношения, то оно малопригодно для решения поставленной здесь задачи. Бела Югош, критикуя точку зрения И. Бохенского, делает следующее примечание по поводу его определения изоморфизма: в некоторых формах изоморфизма кроме взаимной однозначности коррелятора требуются еще другие свойства, такие, как транзитивность и симметричность 1. Однако такое уточнение мало что меняет. Неясно, нужно ли обогащать понятие коррелятора в тех случаях, которые были разобраны выше. Пусть Петр — единственный сын Николая и Наташа — единственная дочь Федора. Если мы заменим в разобранном выше примере нетранзитивный и несимметричный коррелятор «отец» транзитивным и симметричным «единственный брат», то вывод о тождественности формальных свойств изоморфных отношений не станет более убедительным. Если мы абстрагируемся от конкретного характера коррелятора и будем понимать под коррелятором само отношение взаимно-однозначного соответствия, то по самому смыслу этого отношения оно будет и симметричным и транзитивным. Поэтому добавление свойств симметричности и транзитивности будет при любой форме изоморфизма в'этом случае совершенно излишним. На наш взгляд, уточнение определения изоморфизма и тем самым условий правомерности соответствующего вывода по аналогии должно идти в другом направлении, 1) Прежде всего, поскольку сравниваемые системы состоят не обязательно из двух, но, вообще говоря, из многих элементов, необходимо уточнить отношения отно- 1 В. Juhos. Uber Analogieschlusse. — «Studium Generate», Marz 1956. 208
шений к соотносящимся предметам. Очевидно, что эти отношения — второго порядка — должны быть одинаковыми в обеих сравниваемых системах. В противном случае установление взаимно-однозначного соответствия между элементами модели и прототипа утрачивает свое значение. Например, для обоснования вывода по аналогии не имеет смысла выяснять однозначность соответствия Ивана, Петра и Сидора, с одной стороны, и трех точек, лежащих на окружности, — с другой, если в первом случае отношение «быть братом» понимается в смысле R\ а во втором — «лежать между» — в смысле \Rm. Соответствие здесь имеет случайный характер и ничего не говорит о свойствах соотносимых отношений. 2) Существует множество различных типов отношений к соотносящимся элементам. Одинаковость этих типов в сравниваемых системах еще ничего не говорит о том, какой именно тип выбран. Например, можно понимать отношения в смысле Riy. Однако, как уже отмечалось, отношение, понимаемое в таком смысле, не всегда допускает разбиение на совокупность отношений между подмножествами элементов сравниваемых систем. С рассмотрением же отношений R и R' как целостных, неделимых образований связаны те трудности, о которых говорилось выше: любые отношения \R и R' всегда будут соответствовать друг другу. Логические свойства отношений обнаруживаются, как и вообще всякие свойства, лишь в отношениях к другим вещам, в данном случае к другим отношениям. Это предполагает, что наряду с множеством элементов модели αϊ,..., ап и прототипа 6Ь ..., Ьп мы должны также иметь множество отношений на них — αϊ,..., а& и соответственно βι,..., βζ. Сказанное означает возможность представления отношения R в модели αϊ,..., ап как совокупности отношений множества αϊ,..., ак и отношения R' в прототипе δι,..., Ьп как совокупности отношений множества βι,..., βζ. Представление отношений в системе в виде совокупности отношений между подмножествами ее элементов, в частном случае между отдельными элементами, осуществляется автоматически в случае итеративного понимания отношений, например в случае R1, Ru, R111. Понимание отношений в смысле RIY можно использовать лишь в том случае, когда это отношение можно разложить на 209
совокупность отношений между подмножествами. Но это, по-видимому, самый важный случай. Минимальное число «элементарных» отношений, на которые должны быть разбиты отношения в сравниваемых системах, зависит от того логического свойства, которое исследуется. Для выражения свойства рефлексивности, например, достаточно одного отношения и двух предметов, которые рассматриваются как тождественные друг другу. Но это исключение, представляющее собой вырожденный случай свойств отношений. Для выражения даже таких простых свойств, как симметричность, требуются по крайней мере два отношения, существующие между тремя предметами, два из которых рассматриваются как тождественные друг другу. Для транзитивности требуются уже три отношения — между тремя предметами, каждый из которых отличен от остальных. Заменяя одно интегральное отношение в системе множеством элементарных, мы по сути дела заменяем логические свойства целого логическими свойствами частей. Такая замена вполне правомерна лишь в том случае, когда интегральное отношение понимается в итеративном смысле, то есть отождествляется со своей многократно повторяющейся частью. Изложенные соображения дают основание для включения в число условий правомерности аналогш%рассмат- риваемого типа требование, согласно которому отношения в модели и прототипе должны быть разбиты на такое количество отношений между подмножествами элементов сравниваемых систем, чтобы оказалось возможным выявить логические свойства этих отношений. Мы предполагаем, что непосредственно заданные отношения в сравниваемых системах являются интегральными, то есть относятся к системам в целом. В связи с этим рассматривалась проблема анализа отношений, их разложение на множество элементарных отношений. Однако во многих случаях предполагается заданным именно множество отношений. Поэтому задача анализа интегральных отношений здесь не возникает. Тем не менее приведенное выше условие не оказывается излишним. Оно сводится к требованию, чтобы множество заданных отношений было достаточно мощным для того, чтобы можно было определить логические свойства его элементов. 210
3) Итак, мы имеем множества однозначно соответствующих друг другу элементов αϊ,..., ап и 6Ь..., Ьп. В них определены множества отношений αϊ,..., α& и соответственно βι,..., β/. Одно из этих отношений отличается от другого теми элементами, которым оно присуще. Таким образом, каждое из отношений αϊ,..., аи определяется некоторым подмножеством множества αϊ,..., ап. Совокупность таких подмножеств обозначим как Αι,..., В/і. В прототипе им будут соответствовать подмножества Ai,..., Bj. В обычном определении изоморфизма, когда говорится о соответствии отношений в модели и прототипе, имеется в виду по сути дела соответствие Аь ..., Ак и Βι,..., Bz. .Иными словами, можно сформулировать следующее требование: подмножества элементов модели и прототипа, на которых определены элементарные отношения сравниваемых систем, должны взаимнооднозначно соответствовать друг другу. 4) Но означает ли взаимно-однозначное соответствие- указанных выше подмножеств тем самым взаимно-одно-- значное соответствие отношений αϊ,..., αι и βι,..., ${? Если отождествить отношения с их объемами, то есть понимать их в чисто экстенциональном смысле, то это так. Взаимно-однозначное соответствие подмножеств, на которых определены отношения, будет означать взаимнооднозначное соответствие отношений. Однако, если отношение понимать интенционально, как особые объекты, положение изменится. Среди множества отношений αϊ,..., щ и соответственно βι,..., βι могут оказаться такие отношения, которые, несмотря на то что они определены на различных элементах, тождественны друг другу. При итеративном понимании исходных интегральных отношений даже все элементарные отношения в подмножествах элементов сравниваемых систем одинаковы. Например, если Иван, Петр и Сидор братья, то это значит, что одно и то же отношение — брат — существует как между Иваном и Петром, так и между Петром и Сидором и т. д. Как уже отмечалось, логические свойства отношений проявляются в их отношениях друг к другу. Поэтому совершенно естественным является сопоставление этих отношений второго порядка. Вообще говоря, может случиться так, что тождественным отношениям одной системы будут соответствовать различные отношения другой. Усиление определения 211
изоморфизма, устанавливающее достаточные условия правомерности вывода по аналогии, должно исключить эту возможность. Таким образом, мы приходим к важному требованию, согласно которому тождественным элементарным отношениям прототипа должны соответствовать тождественные элементарные отношения модели и наоборот. Иными словами, если какие-либо два отношения, определенные на различных подмножествах прототипа, тождественны друг другу, то отношения, определенные на соответствующих подмножествах модели, также должны быть тождественны друг другу и наоборот. Однако, давая такую формулировку, мы использовали импликацию, характер которой также требует своего уточнения. 5) Согласно определению материальной импликации, она будет истинна не только в том случае, когда антецедент и консеквент истинны, но также всегда, когда антецедент ложен независимо от истинности консеквен- та. Соответственно материальная эквивалентность будет истинна как при одновременной истинности, так и при одновременной ложности соединяемых суждений. Это значит, что если в модели и образце на разных подмножествах нет тождественных друг другу отношений, то вышеприведенное условие выполняется тривиальным образом. Однако существует большое различие в информационной ценности совпадения положительных и отрицательных фактов. Материальной эквивалентности «Если и только если данное млекопитающее слон, то оно имеет большие размеры и большой хобот» в равной мере соответствует обнаружение слона с большим хоботом и, например, белки, которая не слон и не имеет хобота. Поэтому %ля того, чтобы приспособить материальную импликацию и соответственно эквивалентность к обобщению данных опыта, необходимо ее модифицировать. На наш взгляд, целесообразно сформулировать особую, эмпирическую импликацию как модификацию материальной 1. Ее также можно определить как функцию истинности своих компонентов. Истинность антецедента и консек- вента означает истинность импликации. Истинность антецедента и ложность консеквента означает ложность 1 См. А. И. Уемов. Импликация и реальность. — «Тезисы докладов на научной конференции ИГПИ по итогам научной работы в 1958—1959 учебном году». Иваново, 1959, стр. 20—21. 212
импликации. В остальных случаях (ложность антецедента и истинность консеквента, ложность того и другого) импликацию следует считать неопределенной. Неопределенность нужно рассматривать в данном случае не как особую валентность наряду с истинностью и ложностью, а как отсутствие знания о валентности. Соответственно эмпирическая эквивалентность будет истинной в случае одновременной истинности обоих ее компонент; ложной — при наличии различных валентностей и неопределенной — в том случае, если обе компоненты оказываются ложными. Именно в таком смысле следует понимать эквивалентность в вышеприведенной формулировке требования соответствия тождества отношений. Отсутствие тождественных элементарных отношений в различных подмножествах элементов сравниваемых систем означает не выполнение приведенного требования, а неопределенность, отсутствие знания об этом. С другой стороны, было бы неправомерно в определении изоморфизма заменить требование соответствия тождества отношений конъюнкцией двух положений, одно из которых требовало бы наличия тождественных элементарных отношений в сравниваемых системах, а другое — их соответствия. В этом случае отсутствие тождественных друг другу отношений в сравниваемых системах делало бы ложной всю конъюнкцию, то есть по определению системы были бы неизоморфными. Это слишком сильное ограничение. Мы рассматриваем наше условие лишь как одно из достаточных условий правомерности соответствующего вывода по аналогии. Но мы не хотим сказать, что это необходимое условие. Адекватным выражением сущности приведенного требования является именно эмпирическая импликация. Отметим, что применять эмпирическую эквивалентность к истолкованию соответствия отношений в обычных определениях изоморфизма не имеет смысла. Здесь говорится, что если в модели имеет место отношение R, то в прототипе — і?' и наоборот. Но в модели всегда имеет место какое-то отношение ι/?. Следовательно, возможность ложности антецедента исключена. Применимость эмпирической импликации и соответственно эквивалентности является, таким образом, существенной чертой, отличающей излагаемое понимание 213
изоморфизма от традиционного определения этого понятия. Определенный характер логической связки, используемой при формулировке условия правомерности вывода по аналогии, должен предполагаться этой формулировкой. С этой точки зрения вопрос об эмпирической импликации не следует выделять в особый пункт. Однако в данном случае условия правомерности аналогии выясняются с помощью уточнений, которыми необходимо дополнить традиционное определение. В этом плане можно различать уточнение соответствующих объектов и уточнение характера соответствия. Если включить изложенные выше дополнения в определение понятия изоморфизма, то оно будет свободно от критики, направленной Мак Лендоном против^ концепции Рассела. Замечание Квайна о том, что все равно- мощные множества оказываются изоморфными, перестает быть справедливым. Оно правомерно лишь в том случае, если отношения понимать в экстенсиональном смысле. Тогда равномощность множеств отношений будет являться следствием равномощности множеств элементов, на которых определены эти отношения. Иное положение будет иметь место в том случае, если отношения понимать интенсионально как относительно самостоятельные объекты. В списках аи ..., ап\ Ьи ·.., Ьп все тождественные друг другу элементы обозначаются одной буквой. То же самое правило следует принять и для списков элементов множеств отношений. В таком случае очевидно, что из равенства числа элементов сравниваемых множеств а\, ..., ап и 6Ь ..., Ьп не следует равенство числа элементов множества отношений между ними. При равномощности аи .. ·, о>п и δι, ..., Ьп множества αϊ, ..., α& и βι, ..., βζ могут быть неравномощными. Это связано с тем, что некоторые отношения между элементами αϊ, ..., ап могут оказаться тождественными друг другу. Такая тождественность уменьшит число элементов множества отношений. Но вообще говоря, тождественным отношениям одной системы не обязательно соответствуют тождественные отношения другой. Поэтому в указанном случае в множестве βι, ..., βζ окажется большее число элементов. Соответственно, это число может быть меньшим (вообще говоря, кфї). Это означает отсутствие 214
взаимно-однозначного соответствия между элементами множества отношений. Таким образом, далеко не каждые равномощные множества оказываются изоморфными. Изоморфными могут быть лишь такие системы, у которых равномощны не только множества элементов, но и множества отношений на них, которые сами в свою очередь рассматриваются как самостоятельные элементы. Десять машин, стоящих на стоянке, и десять кубиков, разбросанных ребенком, оказываются, по Расселу, изоморфными системами, поскольку налицо соответствие элементов и пространственных соотношений. Но согласно приведенным выше уточнениям, у нас нет оснований считать их изоморфными, поскольку неизвестно, соответствуют ли одинаковым расстояниям между автомобилями одинаковые расстояния между кубиками. Точно так же нет основания говорить об изоморфизме систем в тех случаях, когда в каждой из них определено только одно элементарное отношение. Поэтому вышеприведенный пример «Петр любит Наташу», «Николай старше Федора» не свидетельствует об изоморфизме сравниваемых систем, несмотря на взаимно-однозначное соответствие Петра и Николая, Федора и Наташи. Но вместе с тем нельзя определенно утверждать, что здесь нет изоморфизма. Изложенные выше соображения связаны с уточнением понятия изоморфизма. Однако такое уточнение имеет значение лишь для вполне определенной цели — выяснения условий правомерности отождествления логических свойств отношений. Вне рамок этой проблемы, для других целей могут иметь смысл более широкие концепции изоморфизма, в том числе и та, которая выражена в определении Б. Рассела. На наш взгляд, определение Рассела, так же как и другие определения такого типа, выясняет структуру вывода по аналогии. Любые изоморфные, по определению Б. Рассела, системы являются аналогичными друг другу. Мы исследуем одну из них для того, чтобы получить информацию о другой. Утверждение о том, что при этом должны отождествляться именно логические свойства отношений, уже представляет собой некоторое правило. Уточняя понятие изоморфизма, мы сформулировали ряд дополнительных правил. Первые два относятся 215
к посылке и заключению. Остальные правила уточняют основание вывода. Но действительно ли соблюдение всех этих правил обеспечивает достоверность вывода по аналогии данного типа? Рассмотрим одно из обоснований положительного ответа на поставленный вопрос. Для этого используем введенное выше различие собственных и несобственных по отношению к данному множеству свойств отношений. Докажем следующее утверждение. Если два множества изоморфны в рассмотренном выше смысле, то собственные для этих множеств логические свойства определенных на них отношений будут одинаковыми. Пусть множество А состоит из элементов аь..., ап, на которых определены отношения αϊ, ..., α&. На другом множестве В из элементов ·&!,..., 6ft определены отношения βι, ..., β&. Возьмем произвольное отношение ai(l^i^k). Внутреннее свойство выразится в виде зависимости высказывания <ц(ац, .. ·, 0«)» [где а«, ..., а« — совокупность элементов, входящих в поле отношения CLi] от множества высказываний, содержащих другие отношения данной системы, то есть α,(αη,..., α/ί)=/[α1(α1,..., αΐ5),..., ..., α/_1(α(/_ΐ)ΐ,.. ., Я(/_ад),. . ., α/+ι(α(/+ΐ)ΐ>. . ., ..., αα+ΐ)*),..., α*Κι>··.> akr)\. (1) Согласно условию изоморфизма, в системе В этому будет соответствовать выражение Ρ/(*/ι..... */,) = ψ[β/(*ι..... */,).■·.. . . ., Р/-і(*(/-1)Ь. . .6)£—1)л), . . .»β/+ΐ(*/ + ΐ)ΐ,. . ·> .-.. *(! + і)Д.-., P(*w...·. Μ· (2) Поскольку мы рассматриваем логические свойства щ и β2·, то, согласно определению логических свойств Б. Расселом, мы можем заменить все постоянные в выражениях (1) и (2) переменными. Всегда можно сделать так, чтобы соответствующие друг другу элементы и отношения множеств охватывались областью изменения 216
одной и той же переменной. Таким образом, выражения (1) и (2) превращаются в гДлГд,..., Хи)=/[гг{Х1и..., Хи),..., Γ^ι^ί-ΐ)!,..., . . ., X(i—1)Л)> . . . , ri + x (.£(/ + 1)1, . . . , Χ(ί + 1)ν)ι · · ·» • · ·> Γ*(·%>· · ·' xkr)]· 0·') rt{xiU...9 λ://)=Ψ[γι(λ:11,..., x1s),..., . . . ,Г/_! (ЛГ(/_і)і, . . . , .£(/ —1)л)э· · ·> Γ/+ι («*α + ΐ)/>· · ·» . . ., АГ(/ + і)г,),. . ., rk(XkU. . ., Xkr)]. (2') Мы видим, что аргументы и значения логических функций ψ и / в обоих полученных выражениях совпадают. Поскольку в этих выражениях нет внелогических констант, отмеченное совпадение будет иметь место при любых конкретных значениях переменных. Будем исходить из принятого в современной логике положения о том, что логическая функция всецело определяется валентными значениями ее аргументов. Так как эти значения во всех случаях одинаковы, можно говорить о тождественности самих функций ψ = /\ Таким образом, мы видим, что соответствующие друг другу отношения аг· и β* одинаково зависят от других соответствующих друг другу отношений сравниваемых систем. Это дает основание говорить о тождественности логических свойств а* и β*. Проиллюстрируем сказанное на примере. Пусть сц обладает свойством транзитивности. Это означает, что в том случае, если а* существует между какими-либо элементами щ и щ+и с одной стороны, и αζ+ι и щ+2 — с другой, то оно существует также между щ и αι+2. Следовательно, если diaidi+i и аща^+г, то щепаю- Поскольку существует взаимно-однозначное соответствие между элементами сравниваемых систем и тождественным отношениям одной системы соответствуют тождественные отношения другой, мы получим также **PA+i; */+ιΡΑ+2; */РА+2· Если в первом случае будет иметь место зависимость, выражающаяся в виде логической функции [«/(я„ в/+і)-а/(я/+і, Я/+2)]-►*/(<*/> Я/+2), 217
то такай же зависимость окажется и для другой системы: №/(*/. */ + ΐ)·β/(*/ + !■ */ + 2И^Рі(*І. »142). Заменяя постоянные переменными, получим тождественные выражения для логического свойства отношения [/"ДАТ/, Χι+ι)·Γι(Χι + ι, %2)ΗΓΐ№' Xl + 2J' В случае транзитивности рассматривается зависимость отношения Ти существующего между данными элементами, от того же самого отношения, существующего между другими элементами. Свойство транзитивности имеет наибольшее практическое значение. Более сложные зависимости— между разными отношениями — обычно не используются. Мы рассмотрели вопрос о собственных для данного множества логических свойствах, для определения которых не требуется расширения сравниваемых систем. В противном случае логические свойства изоморфных отношений будут одинаковы, если полученные в результате расширения множества также будут изоморфными. Это непосредственно очевидно, поскольку для новых множеств логические свойства отношений будут собственными и тем самым одинаковыми. В рассмотренном выше примере множества из двух человек свойство транзитивности отношения «ровесник» несобственное. Таким же оно будет в случае «линия а параллельна линии 6». Оба множества изоморфны друг другу. Изоморфизм сохранится и в том случае, если мы к первой системе добавим еще одного ровесника, а ко второй — еще параллельную линию. По отношению ко вновь полученным системам свойство транзитивности будет собственным. Поэтому можно сделать вывод о том, что если это свойство есть в одной из сравниваемых систем, то оно имеет место и в другой. Одинаковость логических свойств отношений еще не означает тождественности их остальных свойств. Например, отношения «больше» и «меньше» тождественны по своим логическим свойствам, но это, несомненно, разные отношения. Поэтому наши правила не могут рассматриваться как общие условия правомерности переноса отношений с одного предмета на другой. 218
3. Условия правомерности переноса функциональных отношений Мы рассмотрели проблему отождествления отношений, установленных по логическим свойствам. На практике, особенно в математике, изоморфизм часто связан с отождествлением функциональных отношений, или, что то же самое, с отождествлением функциональных свойств отношений. Можно сформулировать различные комплексы условий, выполнение которых делает вывод по аналогии этого типа правомерным. В основу одного из методов установления правомерности такой аналогии можно положить некоторые идеи Рассела, высказанные в его «Введении в математическую философию». Здесь Рассел дает два определения подобия отношений. Одно из них заключается в следующем: «Мы можем определить два отношения или как «подобные» (similar), или как имеющие «сходство» (likeness), когда имеется взаимно-однозначное отношение S, чьей областью (domain) является поле Ρ и чьей противообластью (converse domain) — поле Q, и которое таково, что, если один элемент (term) имеет отношение Ρ к другому, коррелят первого имеет отношение Q к корреляту другого и наоборот» *. Это определение вполне соответствует тому, которое уже было разобрано выше. Но вторая формулировка имеет одну особенность. «Отношение 5 называется «коррелятором» или «порядковым» (ordinal) коррелятором двух отношений Ρ и Q, если S взаимно-однозначно, имеет поле в качестве своей противообласти (converse domain) и таково, что Ρ является относительным произведением S, Q и обратного (converse) 5 (курсив мой.— Л. У.). Два отношения Ρ и Q называются «подобными», или имеющими «сходство», когда имеется хотя бы один коррелятор Ρ и Q»2. В последнем определении выделяется то обстоятельство, что Ρ можно представить как относительное произведение S · Q и S. Значение этого обстоятельства выясняется лишь в связи с анализом понимания сущности отношения вообще. 1 В. Russel. Introduction to Mathematical Philosophy. London. 1924, p. 54. 2 Там же, стр. 54—55. 219
С точки зрения экстенсионального понимания отношений большой разницы между обеими формулировками Рассела нет. Если мы говорим, что отношению Р(аи а2) соответствует отношение Q(b\, b2), то это означает, что переход от ах к «соответствующему во второй системе» элементу Ьи затем к другому элементу второй системы — Ь2 и возврат к «соответствующему в первой системе» приведет нас к элементу а,2. Таким образом, относительное произведение S· Q-S существует между теми же элементами аи а2) что и отношение Р. Это значит, что их можно приравнять: P = S· Q*S. С другой стороны, если существует такое равенство, то имеет место и соответствие между Ρ и Q. В такой интерпретации вторая формулировка по сути дела ничего не дает для обогащения понятия подобия отношений. Однако, как уже отмечалось, Рассел неоднократно высказывался против экстенсионального понимания отношений. По его мнению, отношение следует рассматривать как самостоятельное первоначальное понятие. В таком случае мы можем говорить об отношениях самих по себе, независимо от тех предметов, между которыми они существуют. Отношения сами рассматриваются как особые предметы. Это дает совершенно иное понимание равенства P=S*Q'S. Исходя из этого равенства, зная S-Q-5, мы можем определить Р. Например, зная, что Q — брат и S — отец, можно определить отношение P=jS«Q«S— двоюродный брат. Таким образом, нет необходимости в том, чтобы Ρ нам было дано заранее, если известно Q. Когда между отцами есть отношение «брат», мы можем без какой-либо дополнительной информации сказать, что между их сыновьями имеет место отношение «двоюродный брат». Это обстоятельство имеет значение для выводов по аналогии, поскольку позволяет переносить отношения с соответствующими изменениями из одной системы в другую. В некоторых случаях возможно переносить отношение из одной системы в другую без какого бы то ни было изменения. Для доказательства такой возможности необходимо учесть еще одно условие, а именно коммутативность отношений Q и S или S и Q. Относительное произведение Q · 5, вообще говоря, не тождественно произведению SQ. Если же эти отношения взаимно-коммута- 220
ν ν тивны, то имеет место равенство Q'S = S*Q. По определению, произведение отношения S на обратное ему S будет равно отношению тождества S-S=l. Отсюда условие P = S-Q*S может быть преобразовано в Р = = S-S -Q = Q. Иными словами, при выполнении указанных условий подобия отношений, функциональные отношения в сравниваемых системах оказываются тождественными. Рассмотрим пример. Пусть один ученик старше другого на два года (Q). Каждый из них на 20 лет моложе своего отца (S). Если S — «быть старше на 20 лет» и мы имеем, что произведение «быть старше на 20 лет»; «быть старше на 2 года»; «быть моложе на 20 лет» = быть старше на 2 года, то отсюда легко выводится, что R = Q, то есть «быть старше на 2 года». Оче- видно, что в этом случае соблюдается условие коммутативности, поскольку быть старше на 20 лет того, кто старше на 2 года,— это то же самое, что быть на 2 года старше того, кто старше на 20 лет. Из сказанного очевидно, что перечисленные выше требования можно рассматривать как достаточные условия правомерности вывода по аналогии. Несомненно, что это не единственные условия, которые могут быть достаточными. Условие, относящееся к относительному произведению, состоящему из трех компонент, является очень громоздким и практически мало удобным. Сформулируем другие условия, выполнение которых дает возможность переносить отношение из одной системы в другую, то есть обеспечивает достоверность вывода по аналогии. Для этого рассмотрим общий случай систем, состоящих из многих элементов. Пусть между элементами аи ·.., ап существует отношение Ru соответственно между Ьи ..·, Ьп — отношение R2. Предположим, что отношение R\(au ..., ап) разлагается на совокупность отношений αϊ, ..., ап между парами элементов #ι — α2,..., αη — а\. Таким же образом разлагается R2(b\,...,bn) на совокупность βι,..., βη между Ь\ — Ь2у ..., Ьп — Ь\. Коррелятор в свою очередь разобьется на совокупность г и ·. ·, г<п> так что каждое Гі(і^і^п) имеет МеСТО Между CLi И Ь{. Применительно к R\ и R2 выдвинем следующие требования: 221
1) Каждое из отношений щ, β*, функционально. Каждый последующий член — аш и bi+\ однозначно определяется с помощью отношений аг· и соответственно β* к предыдущим членам. 2) Отношения β2· коммутативны с коррелятами Гг и ri+i так же, как и отношения сц коммутативны соответственно с обратными коррелятами, то есть корреляторами, взятыми в обратном направлении — не от аг· к £>г·, а от bi к αι — і/*г·, ri+\. Как было показано выше, одинаковость функциональных отношений в данной системе объектов означает, что, будучи применены к одноМу и тому же произвольному объекту системы, они дают тот же самый результат, то есть определяют один и тот же объект. Отношения α2·, βί, т% первоначально определены через указание объектов, между которыми они существуют. Может существовать множество различных отношений между теми же объектами. У нас речь идет о любых отношениях, удовлетворяющих всем перечисленным выше требованиям. Тот факт, что отношения первоначально были выделены по их экстенсиональным свойствам, не означает, что их нельзя понимать интенционально, то есть независимо от тех конкретных элементов, между которыми они существуют в данной системе. Докажем предварительно следующую лемму. Пусть: 1) отношения α*, β* функциональны, г ι к тому же взаимно-функциональны, то есть функциональны в обоих направлениях; 2) отношения г і взаимно-коммутативны с β; и β2·+ι; 3) соответствующие друг другу отношения аг· и β* одинаковы. В таком случае будут одинаковы и корреляторы Г{=* Возьмем произвольный элемент а{ и изобразим его отношения к другим элементам с помощью следующей диаграммы: #/ ч Д/+1 Гі β/ '/+1 bi bi+i 222
Сформулированные выше условия позволяют нам записать следующие равенства: Ь^грс (1) */41 = ΡΛ· (2) Делая подстановку первого равенства во второе, получим ft/+i = P/'V*/· (3) С другой стороны, *z+i = rz+1az+1; (4) ai+1 = aiah (5) что дает .&z+1 = r/+1azaz. (6) На основе условия коммутативности изменим порядок отношений в равенстве (3). Будем иметь *z+i = rz+1azaz. (7) Поскольку аг= βζ, по определению тождественности функциональных отношений можем сделать вывод о том, что <ХгЯ=РгЯг· Таким образом, сравнивая (6) и (7), мы видим, что отношения т\ и iTf+i тождественные элементы преобразуют в тождественные. Но будет ли то же самое иметь место относительно любого другого элемента, скажем aft Согласно сказанному выше, отношения г* и Гг+ь будучи вначале определены как отношения аг· к bi и α<+ι к Ьг+и могут существовать и между другими элементами сравниваемых систем. Отсюда возникает необходимость проверить, будут ли они всегда тождественные элементы преобразовывать в тождественные. Иными словами, нужно установить справедливость соотношения riaj=\ri+iaj для любого /. Для } = i+l положение Гіа$ = Гі+\а} следует считать доказанным. Покажем, что в таком случае оно будет справедливым и для ι/+1. Исходя из наших допущенний полученных результатов, мы можем записать riajJrl = riajaj=ri^laj^jriaj=^jri^aj=ri+^jaj= = rz+1aya/ = rz+1a/+1. Таким образом будет доказано, что отношения г\ и U+i любой объект в рамках сравниваемых систем преобразует в один и тот же объект. Это будет означать, 223
что, согласно принятому определению тождества функциональных отношений в системах элементов йи . · ·, #п и Ьи . ·., Ьп, корреляторы Гі и Гі+і являются одинаковыми. Но мы можем придавать і различные значения от 1 до /г. Это означает, что все корреляторы тождественны друг другу. Теперь нетрудно доказать теорему, определяющую возможность переноса отношений α из одной системы в другую. Это будет обратная теорема по отношению к только что доказанной. Вывод леммы берется в качестве одного из условий. В качестве других условий рассматриваются те требования функциональности и коммутативности отношений, о которых шла речь выше. Образуем системы Гі(аи b\) и r2(a2i Ь2), в каждую из которых включим соответствующие друг другу элементы сравниваемых систем. Пусть в одной системе это будут первые элементы, а в другой — вторые. Согласно основанию вывода по аналогии типа изоморфизма, отношения гх и г2 одинаковы. Это значит, что применительно к системам Г\(а\Ъ\) и r2(a2, Ь2) выполняется условие леммы об одинаковости отношений в сравниваемых системах. Другие условия, относящиеся к функциональности и коммутативности отношений, обеспечиваются условиями теоремы, в частности коммутативностью а* с отношениями π+1 и Г{. Таким образом, лемма дает возможность определить тождественность корреляторов, связывающих а\ с а2 и Ь\ с Ь2. Этими корреляторами являются отношения αϊ и βι. Таким образом, можно сделать вывод о том, что αϊ = βι. Переходя к рассмотрению систем r2(a2, Ь2) и г3(а3,<&з), можно доказать, что а2=$2. Продолжая эту процедуру, докажем последовательно аз=Рз, α4=β4 и т. д. вплоть до αη=βη· Это означает, что все соответствующие друг другу отношения в сравниваемых системах оказываются тождественными. Так что мы можем говорить и о тождестве комплексов этих отношений. Таким образом, мы определили условия, которые делают вывод от наличия отношения Rx в системе а\, ..., ап к наличию JRi в системе Ьи -.., Ьп вполне достоверным. Изложенное выше доказательство значительно упрощается для таких отношений, которые не только функциональны, но и однородны. Применительно к этому случаю можно сформулировать следующий вариант до- 224
статочных условий правомерности выводов по аналогии типа изоморфизма: 1) соответствующие друг другу отношения между соседними элементами сравниваемых систем αϊ и ct2 однородны; 2) а* и βί функциональны по крайней мере в одну сторону (но оба отношения — в одну и ту же). 3) корреляторы Τχ коммутативны с отношениями (Хг и βΐ, ТО ЄСТЬ ГгОЦ=\агГг И Гфі= β;^. ПрИ ЭТОМ ЄСЛИ ОТНОШЄ- ния а; и βί функциональны от предыдущего элемента к Последующему, ТО ДОСТатОЧНО СООТНОШеНИЯ Гфі=$іГі. В противном случае можно ограничиться первым из приведенных условий коммутативности *. В качестве примера применения доказанных положений ц выводам от модели к прототипу можно привести выводы от отношений, исследованных на одной фигуре, к отношениям к другой, полученной из первой путем однородной деформации2. Если карта получена в результате однородной деформации поверхности Земли с соблюдением перечисленных условий, то отношения на карте будут совпадать с теми, которые они изображают. Это может иметь место в том случае, когда карта нанесена на поверхность глобуса. 4. Условия правомерности переноса отношений между линейными свойствами В приведенных выше рассуждениях изоморфизм рассматривался как соотношение между отношениями в разных системах. Эти системы были представлены как совокупности элементов — вещей αχ, ..., ап и соответственно Ь\, ..., Ьп. Таким образом, для описания систем непосредственно использовались две категории — вещи и отношения. Категория свойства выступала лишь опосредованно— через отношения, которые устанавливались по определенным свойствам. Но, как было уже показано, во многих случаях, особенно в физике и технических науках, те вещи, отношения между которыми исследуются, сами представляют собой свойства. Любое уравнение устанавливается между величинами, то есть между свойствами. 1 Доказательство см.: «Проблемы логики научного познания»» стр. 284—285. 2 См. там же, стр. 265—266. 8 А. И. Уемов 225
Свойства здесь выступают как вещи, но имеют свою специфику, проявляющуюся в характере отношений между ними. Наибольшую роль в физико-технических науках играет такая форма изоморфизма, в которой отождествляются отношения между линейными свойствами. Такие отношения могут быть выражены качественно, но обычно стремятся выразить их количественно, в виде чисел. Пусть хи ..., хп, и соответственно у и '..,Уп представляют собой линейные свойства, характеризующие сопоставляемые системы. Можно считать хи ..., хп и г/ь ..., уп элементами этих систем. Каждое из указанных свойств может изменяться в направлении увеличения и уменьшения своей интенсивности. При этом отношении Ri(xu ..., хп) и /?г(#ь ···> Уп) могут быть одинаковыми или различными. Согласно определению структуры вывода типа изоморфизма, все корреляторы, то есть отношения, сопоставляющие элементы одной системы элементам другой, должны быть одинаковыми, то есть Хи уг\(х\, У\) = · · · = =#п, Упґп(Хп, Уп)- Такая одинаковость является основанием вывода по аналогии, переносящего отношение из одной системы в другую. Однако корреляторы могут иметь различный характер. Мы уже видели, что в качестве корреляторов зачастую рассматривается само отношение взаимно-однозначного соотношения между элементами сравниваемых систем. В данном случае это было бы СООТВеТСТВИе МеЖДу Хі И у і (l^f^Al). Однако вывод при таком соответствии далеко не всегда был бы правомерным. Пусть, например, одна система описывается уравнением Хі=Х2+Хг2, а вторая у\ = У2—Уз. Здесь можно установить взаимно-однозначное соответствие Х\—уи Х2—Уч и Хъ—Уз- Но очевидно, что отношения между элементами сравниваемых систем здесь, вообще говоря, совершенно различны. Следовательно, необходимо уточнить понятие соответствия и сделать другие уточнения таким образом, чтобы обеспечить тождество отношений в сравниваемых системах. Эти уточнения составят содержание условий правомерности соответствующего вывода по аналогии. В тех случаях, когда сравниваемые системы описываются уравнениями, условие тождественности корреляторов может быть уточнено следующим образом: 226
1) Все переменные обоих уравнений должны взаимно-однозначно соответствовать друг другу. 2) Все постоянные, относящиеся к соответствующим друг другу переменным, должны быть ' одинаковыми в обоих уравнениях. В приведенном выше примере выполняется первое из этих условий и не выполняется второе. Если же мы возьмем две системы, одна из которых описывается законом тяготения Ньютона F = k mim2, а другая — законом Ку- лона F = k -^Ц то будут выполнены оба условия в том случае, если коэффициент k в обоих случаях соответствующим выбором единиц измерения сделан одинаковым, например равным 1. Выполнение указанных условий является достаточным основанием переноса результатов исследования системы, описываемой одним уравнением, на систему, описываемую другим. В частности, переносятся методы решения уравнений. Выше мы уже встречались с многочисленными примерами этого из области физики, математики и техники. Уравнения, отличающиеся друг от друга лишь физическим смыслом входящих в их состав переменных, обычно называются уравнениями «одной и той же формы». Можно ли говорить без дальнейших уточнений, что уравнения одной и той же формы содержат одни и те же отношения? Несмотря на кажущуюся очевидность положительного ответа, этот вопрос не так прост. Рассмотрим пример: пусть две системы описываются уравнениями не только одной формы, но даже просто одним и тем же уравнением, скажем законом Ньютона F = ma. Предположим, что в одной из этих систем модели jF = 6, m = 2, α = 3. В прототипе же будем иметь Ζ7 = 6, m=12, α = 0,5. Обе системы описываются одним и тем же уравнением, но отношения между числами 6 и 2, 6 и 12, так же как между 2 и 3, 12 и 0,5, несомненно, различны. Тем не менее в известном смысле одинаковость форм уравнения свидетельствует об одинаковости отношения. Точнее, эти отношения следует понимать в определенном смысле. Выше говорилось о различных типах связи отношений с соотносящимися элементами. В частности, различалось понимание отношений в смысле R1, -7?1П, >Riy. В смысле 8* 227
R1 можно понимать отношения в уравнениях лишь чрезвычайно специального типа: Х\= ... =хп. В смысле R11 понимаются отношения, выражаемые уравнениями типа Х\п...хпш или nxi+ ... -\-тхп. Вообще говоря, уравнения выражают отношения, понимаемые в смысле R1Y, но при этом исключается возможность представления этого отношения в виде совокупности отношений между парами элементов. Иными словами, отношения, выражаете уравнениями, которые связывают η переменных при /г>2, це разлагаются на совокупность бинарных отношений. Однако эти отношения разлагаются на совокупность отношений каждого из элементов по всем остальным, вместе взятым. Форма объединения «остальных» элементов определяется константами уравнения. Таким образом, одинаковость формы уравнений свидетельствует об одинаковости отношений, понимаемых или непосредственно в смысле R111, или в смысле R1Y, когда его можно разложить на совокупность отношений каждого из элементов по всем остальным, вместе взятым. Изложенное положение относится к характеру информации, переносимой с модели на прототип. Его мож: но рассматривать как дополнительное, третье условие правомерности вывода по аналогии рассматриваемого типа. Все три условия, вместе взятые, составляют достаточное основание для того, чтобы считать полученный вывод вполне достоверным. Перейдем к рассмотрению того случая, когда элементы системы представляют собой линейные свойства, но уравнение, их связывающее, не предполагается известным. Сразу же введем сильное ограничение на характер переносимой информации — отождествляемые отношения являются: а) мультипликативными, Ь) внутренними. Здесь вывод будет правомерным в том случае, когда наряду со взаимно-однозначным соответствием элементов, то есть линейных свойств, для любого уточнения этих свойств, характеризующих сравниваемые системы, будет иметь место однородность соответствия интервалов интенсивности. Последнее требование можно сформулировать следующим образом: Любым равным интервалам интенсивностей свойств, характеризующих элементы одной системы, соответствуют равные интервалы интенсивностей свойств, характеризующих элементы другой системы. 228
Для доказательства выдвинутого положения (теоремы соответствия) рассмотрим первоначально тот случай, когда сравниваемые системы состоят только из двух элементов. Имеем X\R\X2 и \)\КчУ2· Свойства Х\ и х2 имеют определенную интенсивность х\ и х2, выражаемую числами, показывающими, сколько в них заключается единиц интенсивности. Пусть вії — η единиц, а в х2 — т единиц, пит представляют действительные числа самого общего вида, то есть они могут быть как рациональными, так и иррациональными. Требование однородности соответствия диапазонов интенсивности означает, что КаЖДОЙ еДИНИЦе ИЗМереНИЙ ИНТеНСИВНОСТеЙ СВОЙСТВ Χχ и х2 соответствуют единицы измерения интенсивности свойств у\ и у2, каждой десятой части единицы хи х2 — десятая часть единицы г/ь й и т. д. Это ведет к тому, что количество равных интервалов интенсивностей в Х\, х2 и г/ь у2 одинаково, то есть интенсивности свойств хи Χ2 и соответственно у\ и г/2 имеют одинаковое числовое выражение, у\, как и Х\, выражается через /г, г/2, как и Х2 — через т. Это ясно и из того, что множества диапазонов интенсивностей свойств элементов сравниваемых систем по условию равномощны, а равномощные множества выражаются одним и тем же кардинальным числом. Отношение Ru по условию являющееся внутренним, определяется интенсивностями свойств Χι и х2. Численное значение JRi определяется численными значениями Χι и х2, то есть η и. т. Ri также внутреннее отношение по условию, и его численное значение в свою очередь определяется численными значениями интенсивностей г/і и г/2· Поскольку эти значения также равны пит, то i?2 имеет то же самое численное значение, что и Ri. Равенство числовых значений отношений при тех или иных конкретных единицах измерения интенсивностей соотносящихся свойств само по себе, конечно, не является ни необходимым, ни достаточным условием равенства самих отношений. Оно может исчезнуть при замене единиц измерения. Для того чтобы можно было говорить о равенстве отношений, вообще нужно, чтобы оно существовало не в одном столь узкоспециальном отношении, как отношение к определенным единицам измерения, а в достаточно широком отношении, то есть в большом числе частных отношений. В этом случае равенство чисел будет свидетельствовать о равенстве отношений, поскольку чи- 229
ело выражает отношение. То обстоятельство, что R% представляет внутреннее отношение, говорит о том, что» оно, характеризуя непосредственно соотносящиеся объекты Χι и Х2, не изменяется при перемене единиц измерения. Данное доказательство, естественно, распространяется и на тот случай, когда в обеих сравниваемых системах рассматриваются соотношения интенсивностей одних и тех же линейных свойств. Тогда количественное равенство единиц измерения интенсивностей приобретает характер также качественной одинаковости. С другой стороны, качественное различие свойств не является препятствием для отождествления отношений между ними. Вопрос о соблюдении принципа размерности не связан с трудностями в этом случае, поскольку интенсивности ^Х\ и у и несмотря на все их качественное отличие от х^ и #2, все же могут быть выражены в единицах, связанных некоторой зависимостью с единицей, являющейся основной для выражения интенсивностей Х\ и уі. Возможность этого для всех физических величин подробно разбиралась выше. Рассмотрим случай, когда сравниваемые системы состоят не из двух элементов, как предполагалось выше, а вообще из η элементов: R\(xu...,xn) и /?2(#ь —,Уп)- Пусть R\ и R2 представляют отношения такого типа, что возможно их понимание в смысле R1. Тогда R\ и Rr автоматически разбиваются на совокупность отношений пар элементов. Согласно доказанному, поскольку соблюдаются условия теоремы соответствия, отношения в соответственных парах обеих систем будут одинаковы. Отсюда следует, что отношения Ri и /?2 также будут одинаковы, поскольку они представляют простые совокупности разного количества равных отношений. Случай, когда R\ и R2 понимаются в смысле Ru nR1II> отличается от рассмотренного большей сложностью. В этом случае Χι,...,χη и #ι,...,ζ/η разбиваются на совокупность η пар, в которых один из коррелятов представляет совокупность всех элементов системы, вместе взятых, кроме одного. Очевидно, что получившиеся пары одной системы будут находиться во взаимно-однозначном соответствии с парами другой системы. Такое соответствие будет существовать как между элементами пар, так и между отно- 230
тениями внутри их. Если удастся показать, что все отношения внутри коррелятов одной системы равны соответствующим отношениям внутри коррелятов другой системы, то есть если «остальные элементы» сгруппированы одинаковым образом, то поскольку Ri и R2 понимаются в смысле R11 или R111, то есть как простые совокупности таких отношений, то этого будет достаточно, чтобы говорить о равенстве отношений R\ и jR2. Для этого нужно выяснить, что соответствие интервалов интенсивности свойств, характеризующих элементы пары, является однородным при том условии, что хотя бы в одной из сравниваемых систем все интенсивности свойств выражены в одной и той же системе единиц измерения, то есть при условии соблюдения принципа размерности. По условию дано, что однородность соответствия существует между интенсивностями элементов систем, но отсюда непосредственно не вытекает, что интенсивности свойств совокупностей этих элементов, являющихся элементами пар, также будут находиться в таком же соответствии. Свойства элементов могут при их объединении в совокупности переходить в свойства этих совокупностей различным образом, в зависимости от различия своей природы. Если этот переход происходит одинаково в обеих системах, то соответствие сохраняется. В противном случае оно исчезает. Таким образом, при применении теоремы соответствия к отношениям между многими элементами, рассматриваемыми в с^"оле '^11 и Яттт> "обходимо специаль^°° ггръовйрительное доказательство того, «то свойства элементов связаны со свойствами их совокупностей одинаково в обеих системах. Такое доказательство во многих случаях удобно производить при помощи аналогии. Для довольно широкого класса свойств оно осуществляется сравнительно легко, например в том случае, когда эти свойства в обеих системах выражаются аддитивными величинами (объем, масса). Вполне возможно, что существует общее правило, при помощи которого можно определить одинаковость закона переноса свойств с элементов на их совокупности. Открытие такого правила избавило бы от необходимости специальных доказательств в каждом отдельном случае. Пусть, наконец, отношения R\ и R2 понимаются в смысле R1Y. Здесь возможны два случая. В первом случае Ri и i?2 разлагаются на совокупности отношений пар 231
отдельных элементов сравниваемых систем друг к другу. Тогда, применяя теорему соответствия для соответствующих пар, получим при соблюдении условий этой теоремы, что отношения внутри этих пар одинаковы. Отсюда можно сделать вывод об одинаковости совокупностей этих отношений, то есть отношений R\ и R2. Во втором случае отношения \R\ и R2 не разлагаются на совокупности отношений отдельных пар. Тогда спра-' ведливость теоремы соответствия для Ri и R2 нельзя обосновать справедливостью ее для их элементарных отношений. Однако теорему соответствия можно доказать прямо, непосредственно для отношений многих элементов. В самом деле, отношения Ri и R2 представляют соотношения интенсивностей свойств элементов Χι,.,.,χη и соответственно Уи...,уп. Поскольку по условию между ними существует взаимно-однозначное соответствие, значения отношений Ri и R2 при некоторой системе единиц измерения Χοι,.,.,Χοη и уо\У...,Уоп равны. Но это равенство будет соблюдаться и при любой другой системе единиц измерения, поскольку отношения Ri и R2 являются внутренними, то есть Rx = R2. Доказательство теоремы соответствия для случая отношений многих элементов, понимаемых в смысле R1Y, точно такое же, как и доказательство ее для случая отношений между двумя элементами. Число элементов не имеет никакого значения для этого доказательства. таким образом, резк>мИруЯ можно сказать, что теорема соответствия выполняется, безуслиьпо, также для случая отношений между многими элементами, понимаемых в смысле R1 и R1V, а при некотором дополнительном условии, о котором говорилось выше, и для отношений, понимаемых в смысле Rn и R111. В случае отношений между многими элементами наличие указанного соответствия также позволяет отождествить внутренние отношения, понимаемые в смысле R1 или R1Y. В частности, если в модели отношение каждого последующего элемента к предыдущему выражается формулой xk+i = 2xk, то и в образце оно будет выражаться той же формулой Ук+і = 2ук· Теорема соответствия сформулирована для случая внутренних отношений. Однако иногда возможно применение ее также в тех случаях, когда непосредственно не дано, что те или иные 232
отношения внутренние, но это вытекает из данных условий при некоторых дополнительных ограничениях. Например, существует следующая разновидность теоремы соответствия. Если между сравниваемыми системами имеет место соответствие такого типа, что будут выполняться следующие условия: 1) все элементы обеих систем и отношения между ин- тенсивностями их свойств находятся во взаимно-однозначном соответствии друг с другом; 2) любым равным интервалам интенсивностей свойств, характеризующих элементы одной системы, соответствуют равные интервалы интенсивностей свойств, характеризующих элементы другой системы (требование однородности соответствия); 3) по крайней мере в одной из сравниваемых систем выполняется общий принцип размерности, то соответствующие отношения в сравниваемых системах одинаковы. Для доказательства этого утверждения покажем, что в случае выполнения условий теоремы отношения в сравниваемых системах являются внутренними. Для одной из сравниваемых систем, а именно той, в которой выполняется общий принцип размерности, это не представляет труда, поскольку выполнение этого принципа для интенсивностей свойств свидетельствует о том, что отношения между ними являются внутренними. Задача заключается в том, чтобы показать, что в случае соблюдения принципа размерности в системе S' оно будет также соблюдаться в системе S" при наличии однородности соответствия диапазонов "интенсивностей. Допустим противное, то есть что в S" принцип размерности не соблюдается. Тогда единицы измерения у{ и у2 представляют различные функции основных единиц, то есть и количественно, а не только качественно эти единицы различны. Однако по условию любым равным интервалам интенсивностей, то есть, в частности, любым единицам интенсивностей, свойств одной системы соответствуют равные интервалы, равные единицы в другой системе (принцип однородности). При несоблюдении принципа размерности в S" равным интервалам интенсивностей свойств Х\ могут соответствовать равные интервалы интенсивностей в уи а интервалами — интервалы в ί/2> но равным интервалам, из которых один — ин- 233
тервал интенсивностей х\, а другой — интервал интенсив- ностей х2, при соблюдении взаимной однозначности соответствия интервалов будут соответствовать неравные (в отношении основных единиц) интервалы интенсивностей г/і и г/г- Это следует из того, что единицы интенсивностей г/і и г/2 будут неравными, а в Х\, х2 равными, поскольку, по предположению, в первом случае не соблюдается, а во втором — соблюдается принцип размерности. Таким образом, предположение о том, что в системе S" может не соблюдаться принцип размерности, ведет к противоречию с требованием однородности соответствия интервалов интенсивностей свойств элементов сравниваемых систем. Поэтому соблюдение всех условий теоремы соответствия влечет за собой выполнение принципа размерности также и в другой системе. Следовательно, отношение R2 между интенсивностями г/i и г/2 не будет зависеть от выбора той или иной специальной системы единиц измерения, так же как и отношение R\ в системе S'. Числовое значение этого отношения, так же как и значение i?i, будет инвариантно по отношению к изменениям единиц измерения при условии, что единицы для г/і и г/2 изменяются одинаково. Поэтому равенство отношений Ri и R2, имеющее место в некоторой системе единиц измерения, сохраняется и в любой системе единиц, ПОСКОЛЬКУ ВЫПОЛНЯЮТСЯ УСЛОВИЯ ТеореМЫ. R\=R2, что и требовалось доказать. Доказанный вариант теоремы соответствия легко распространяется на случай отношений в системах с многими элементами, понимаемых в смысле R1 и R1Y. В случае же R11 и Rm необходимо сделать ограничения, аналогичные сделанным в общей теореме соответствия. Естественно возникает вопрос о том, можно ли применить эту теорему для исследования также и заведомо внешних отношений. Непосредственное применение в этом случае исключено, поскольку в силу независимости свойств внешнего отношения от свойств объектов, находящихся в этом отношении, установление соответствия между этими свойствами объектов не будет свидетельствовать о равенстве или хотя бы соответствии внешних отношений между ними. Например, внешними отношениями между силами будут пространственные отношения м^жду ними, в частности расстояния между точками приложения этих 234
сил. Ясно, что эти расстояния в сравниваемых системах не зависят от интенсивностей сил и не будут равны, если между ними будет установлено соответствие. Однако в том случае, когда число элементов сравниваемых систем больше двух и, следовательно, число внешних отношений между ними не меньше двух, возможно рассматривать эти отношения в качестве объектов. Тогда если удастся, установить взаимно-однозначное соответствие интервалов интенсивностей свойств, выражающих эти отношения, и выполнить другие условия теоремы соответствия, то, применяя эту теорему, можно заключить о равенстве внутренних отношений между ними, что имеет большое значение для изучения внешних отношений. В приведенном' примере свойством, выражающим внешнее пространственное отношение, будет длина. Если в каждой из сравниваемых систем будет η элементов, η — сил, то в них будет и η—1 расстояний между точками приложения сил. Тогда при п>3 и, следовательно, при η—1>2 возможно рассматривать внутренние отношения расстояний друг к другу. При выполнении условий теоремы соответствия эти отношения в сравниваемых системах будут равны. Представляет интерес выяснение вопроса о том, в каких случаях выполнение этих условий для свойств, выражающих внешние отношения, может быть обусловлено самим наличием выполнения их для элементов сравниваемых систем, находящихся в этих внешних отношениях. Тогда можно было бы говорить — при наличии однородного взаимно-однозначного соответствия свойств элементов систем — о тождестве не только внутренних, но и внешних отношений между элементами. Одним из таких случаев является тот, когда внешнее отношение, не завися от объектов, находящихся в этом отношении, определяется тем не менее внутренними отношениями между другими элементами той же системы, причем эта зависимость одинакова в обеих системах. В самом деле, согласно теореме соответствия, соответствующие внутренние отношения в сравниваемых системах должны быть одинаковыми. Соответствующие внешние отношения представляют одинаковые функции внутренних. Следовательно, они также должны быть одинаковыми. Применительно к этому случаю можно усилить формулировку теоремы соответствия так, чтобы она оказа- 235
лась применимой как к внутренним, гак и к внешним отношениям. Такая усиленная формулировка будет иметь следующий вид: Если: 1) все элементы одной системы находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами другой системы; 2) все отношения, как внутренние, так и внешние, между элементами одной системы поставлены во взаимно-однозначное соответствие с отношениями между соответствующими элементами другой системы; 3) установлено взаимно-однозначное соответствие между интервалами интенсивностей свойств, характеризующих элементы, причем это соответствие является однородным, то есть равным интервалам одной системы соответствуют равные интервалы другой системы; 4) в каждой из систем соответствующие внешние отношения зависят от соответствующих внутренних отношений, вообще говоря, других элементов систем, причем эта зависимость одинакова в обеих системах, то все соответствующие мультипликативные отношения, как внутренние, так и внешние, в обеих сравниваемых системах одинаковы. Важное следствие теоремы соответствия связано с проблемой перехода от элементов одной системы к соответствующим элементам другой системы. Теорема соответствия имеет дело с соответствием не качественных, а лишь чисто количественных сторон сравниваемых элементов. Отношения количеств представляют некоторое число. Это означает, что одно количество может быть получено из другого количества путем преобразования с помощью этого числа. Таким образом, зная правила преобразования, можно при сравнении двух систем ограничиться исследованием лишь одной системы, поскольку, применяя правила преобразования к характеристикам этой системы, мы получим количества, равные количествам, описывающим элементы другой системы. Из теорем соответствия следует определенное ограничение, налагаемое на правила преобразования соответствующих интервалов друг в друга в тех случаях, когда эти правила имеются. Это ограничение будет заключаться в требовании, чтобы равные интервалы интенсивно- 236
стей преобразовывались одинаковым образом, то есть при помощи одного и того же числа. В противном случае будет нарушено условие однородности соответствия, поскольку при преобразовании с помощью разных чисел одинаковые величины приведут к различным величинам, то есть одинаковым интервалам интенсивностей свойств элементов одной системы будут соответствовать различные интервалы интенсивностей свойств элементов другой системы. Отсюда вытекает более общее требование, а именно все интервалы интенсивностей должны преобразовываться одинаковым образом. В самом деле, если какой-нибудь интервал преобразуется тем или иным способом, то это будет означать, что все элементы этого интервала, то есть все меньшие интервалы, входящие в его состав, будут преобразовываться тем же способом, и, наоборот, способ преобразования, целого интервала определяется способом преобразования его частей. Но любые два неравных интервала можно представить как сумму неодинаковых количеств равных интервалов. Равные же интервалы преобразуются одинаковым образом, следовательно, одинаковым образом должны преобразовываться и целые этих интервалов, то есть те интервалы, в состав которых они входят. Таким образом, все интервалы интенсивностей при соблюдении условий теоремы соответствия должны преобразовываться одинаковым образом. Назовем эту особенность однородностью правил преобразования. Очевидно, что такая однородность не является условием применения теоремы соответствия, а представляет следствие ее условий, имеющее место всегда, когда существуют определенные правила преобразования. Необходимо отметить, что доказанная теорема справедлива лишь для того случая, когда преобразуемые величины являются качественно одинаковыми. При преобразовании разнородных величин условием того, чтобы равным интервалам после преобразования соответствовали равные интервалы, является именно неоднородность правил преобразования.
ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И ДРУГИХ МЕТОДОВ УСТАНОВЛЕНИЯ ПРАВОМЕРНОСТИ ЭМПИРИЧЕСКОЙ АНАЛОГИИ Глава V ОТНОШЕНИЙ В предыдущей главе рассмотрены правила аналогии типа изоморфизма, когда отношения в сравниваемых системах отождествляются на основе тождества отношений, существующих между соответствующими элементами разных систем. Не меньшее значение в современной науке и особенно технике имеет тот тип умозаключения по аналогии, который выше был назван эмпирической аналогией отношений. Здесь вывод о тождестве некоторого отношения (иногда свойства) в сравнимых системах делается на основании тождества другого отношения в тех же системах. § 1. Теория подобия 1. Краткий исторический экскурс Как отмечалось выше, использование эмпирической аналогии отношений лежит в основе технического моделирования. Развитие практики моделирования привело поэтому к необходимости решения ряда логических проблем этих умозаключений. Поскольку традиционная логика игнорировала эти проблемы, как и саму форму вывода, инженеры взялись за их решение сами. Важнейшей из них является проблема условий правомерности использования такой аналогии. Уже Галилей, обобщая 238
практику итальянских инженеров, заметил, что выводы, полученные с помощью моделей геометрически подобных прототипу, зачастую приводят к грубым ошибкам. Один из собеседников в диалоге Галилея «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки», Сагредо, говорит: «...Вся механика имеет своею основою геометрию; и мы знаем, что круги, треугольники, а также цилиндры, конусы и другие формы твердых тел не только отличаются друг от друга •большей или меньшей величиной, но и изменяются одни по одним, а другие по другим законам. Если поэтому большая машина сделана во всех своих частях пропорционально малой, оказавшейся прочною и пригодной для употребления, то я не вижу, почему мы все же не можем считать себя обеспеченными от какого-либо несчастия или опасности» 1. Другой собеседник, Сальвиати, возражает: «Смею утверждать, что если мы, отвлекшись от всякого несовершенства материи и предположив таковую неизменяемой и лишенной всяких случайных недостатков, построим большую машину из того же самого материала и точно сохраним все пропорции меньшей, то в силу самого свойства материи мы получим машину, соответствующую меньшей во всех отношениях, кроме прочности и сопротивляемости внешнему воздействию; в этом отношении, чем больше будет она по размерам, тем менее будет она прочна»2. Далее следуют убедительные примеры этого: «...если деревянный брус выдерживает тяжесть, скажем, десяти равных ему брусьев, то подобная ему, но больших размеров балка не сможет выдержать веса десяти одинаковых с нею балок... Кто не знает, что лошадь, упав с высоты трех-четырех локтей, ломает себе ноги, тогда как собака при этом не страдает, а кошка остается невредимой, будучи брошенной с высоты восьми—десяти локтей, точно так же как сверчок, упавший с верхушки башни, или муравей, упавший на Землю хотя бы из лунной сферы...»3. Если Галилей показал ошибки, к которым приводит использование моделей, то И. Ньютон математически доказал, что в механике при известных условиях можно 1 Г. Галилей. Соч., т. I. М. — Л., 1934, стр. 48—49. 2 Там же, стр. 49—50. 3 Там же, стр. 52. 239
делать вывод от тождества одних отношений к тождеству других. Вот его теорема: «Пусть две материальные системы подобны между собою и состоят из одинакового числа подобным образом расположенных частиц, причем каждая частица одной системы подобна, и масса ее пропорциональна массе частицы ей соответствующей другой системы, и плотности частиц находятся в постоянном отношении; пусть эти частицы по прошествии пропорциональных промежутков времени начинают двигаться подобным образом (принадлежащие одной системе друг по отношению к другу и принадлежащие другой также друг относительно друга); если при этом частицы той же системы не касаются друг друга, за исключением моментов соударений, взаимно не притягиваются и не отталкиваются ни с какими силами, за исключением ускорительных сил, обратно пропорциональных линейным размерениям соответствующих частиц и прямо пропорциональных квадратам их скоростей, то я утверждаю, что частицы каждой из этих систем будут продолжать находиться в конце пропорциональных промежутков времени в подобном друг относительно друга движении» 1. Говоря о подобии, Ньютон имеет в виду геометрическое подобие, то есть тождество пространственных отношений. Подобие же движений определяется им следующим образом. «Я называю движения подобных и, по прошествии пропорциональных промежутков времени, подобным образом расположенных тел подобными, когда в конце любых таковых промежутков времени относительное расположение этих тел подобно, предполагая, что частицы одной системы сопоставляются с соответствующими частицами другой» 2. Таким образом, Ньютон уточняет понятие равенства отношений в случае механического движения. Сущность его теоремы заключается в том, что при определенных точно сформулированных им условиях из равенства отношений в механических системах в данный момент вытекает равенство их в последующие, пропорциональные отрезки времени. 1 И. Ньютон. Математические начала натуральной философии, кн. II и III. Пг, 1916, стр. 376. 2 Там же. 240
2. Задачи и основные понятия теории подобия Теорема, доказанная Ньютоном, сыграла важную роль в дальнейших исследованиях проблемы правомерности выводов по аналогии рассматриваемого типа К Эти исследования привели — около середины прошлого века— к созданию так называемой теории подобия в работах Ж. Бертрана, Фруда, Рейнольдса и др. Существенный вклад в развитие теории подобия был внесен трудами академика М. В. Кирпичева и его школы. В настоящее время, как отмечает М. В. Кирпичев, «теория подобия стала основой эксперимента, и ни одно исследование как в области физики, так и в технике не может ее игнорировать» 2. Задачи, которые решает теория подобия, определяются следующим образом: «Шрвым по времени направлением является приложение теории подобия к изучению разнообразных технических сооружений на моделях. Моделирование стало мощным средством для обнаружения различных недостатков, имеющихся в существующих технических устройствах, и для изыскания путей к их устранению. Далее моделирование уже стало широко применяться для проверки вновь конструируемых объектов, так что до их выполнения, в процессе проектирования, моделирование позволяет совершенствовать новые, еще не опробованные на практике конструкции. Теория подобия нашла также применение при обобщении рабочих показателей целых групп однотипных машин и устройств, так что на основании обработки данных многочисленных испытаний оказывается возможным создавать новые, основанные на критериях подобия способы расчета различных технических объектов, которые приводят к установлению рациональных, связанных с экономией энергии режимов. Теория подобия стала научной основой обобщения данных физико-технических испытаний, своего рода тео- 1 См. М. В. Кирпичев. Ньютон о подобии. — «Исаак Ньютон. К 300-летию со дня рождения». М., 1943. 2 М. В. Кирпичев. Теория подобия как основа эксперимента. — «220 лет АН СССР. Юбилейная сессия». М. — Л., 1947, стр. 527. 241
рией эксперимента, указывающей во всех тех случаях, когда решение дифференциальных уравнений физики наталкивается на трудности, путь к такой постановке опытов, что их результаты могут быть распространены на всю область изучаемых явлений» К Решение всех этих задач возможно именно потому, что в теории подобия были по существу сформулированы условия правомерности умозаключений, позволяющих признаки, обнаруженные у одного объекта, переносить на другой объект, то есть условия правомерности умозаключений по аналогии. Эта проблема решена в специальной инженерно-математической теории, и, естественно поэтому, инженерно-математическими методами. Исходным понятием теории подобия, как указывает само название теории, является понятие подобия. Простейшей формой подобия является пространственное, то есть геометрическое, подобие. Вообще говоря, геометрические фигуры считаются подобными, если между ними установлено соответствие такого типа, что при надлежащем расположении можно добиться их совпадения с помощью однородной деформации линейных размеров, то есть изменений всех их в одно и то же число раз (преобразования подобия). Такое соответствие означает, что в подобных фигурах некоторые величины будут одинаковыми— именно те, которые зависят не от абсолютных размеров фигур, а от соотношения этих размеров. Деформацию, переводящую один геометрический объект в другой, подобный первому, можно рассматривать двояко: или как изменение количества отрезков, являющихся единицами длины и укладывающихся в линейных размерах объектов (при этом масштаб сохраняется, меняется лишь число, выражающее длину), или же, при сохранении неизменным этого числа, как соответствующее изменение масштабов. Последнее истолкование позволяет оперировать подобными объектами как тождественными в отношении числового выражения величин, характеризующих их элементы. Различие остается лишь в масштабах, в абсолютных значениях единиц измерения. Такие преобразования, при которых меняются масштабные единицы при сохранении отношения соответствующих величин к масштабным единицам, носят назва- 1 М. В. Кирпичев. Теория подобия. М., 1953, стр. 92—93. 242
ниє масштабных преобразований. Они выражаются в виде формул: alo = klui0 где щ—преобразуемые единицы, а и'. —единицы, получившиеся в результате преобразования. Таким образом, свойства, в отношении которых производятся выводы на основании подобия объектов, должны быть инвариантами масштабных преобразований. Поскольку при масштабных преобразованиях в качестве единиц измерения берутся обычно величины, связанные с самим объектом, то характеристики объекта выражаются не в виде именованных чисел, при которых необходимо указывать единицы, принадлежащие к той или иной общеупотребительной системе единиц измерения, а в виде чисел отвлеченных. Отношения, таким образом, приобретают безразмерный характер, то есть они не зависят ни от выбранной системы единиц измерения, ни от абсолютной величины элементов объекта, выраженной в этой системе. Вообще говоря, понятие безразмерности относительно, то есть речь может идти лишь о безразмерности, независимости от общеупотребительных систем единиц измерения. Однако такая независимость достигается тем, что вводится новая, специально приспособленная к данному случаю система. Поэтому, строго говоря, отвлеченные числа, о которых идет речь, являются в некотором отношении именованными. Только единицей измерения здесь является не взятая независимо от данного объекта величина, например не метр, сантиметр и т. д., а величина, характеризующая сам объект, например, большая полуось эллипса. Приведение уравнений к безразмерному виду позволяет полностью выявить тождественные элементы подобных объектов. В качестве иллюстрации такого приведения рассмотрим следующий пример. Имеем два эллипса, выражаемых уравнениями: 243
Пусть эллипсы будут подобны друг другу, то есть в обоих эллипсах отношение малой полуоси к большой будет выражаться одним и тем же числом 6. Поскольку величина параметров аь а2, Ъ\, Ь2 выражается именованными числами, указывающими на ту или иную определенную систему единиц, уравнения являются размерными. Приведем их к безразмерному виду. Для этого выберем в качестве единицы измерения величину большой полуоси — а. Тогда оба уравнения запишутся совершенно одинаково, если параметр Ъ в обоих уравнениях находится в одном и том же отношении к а, поскольку параметр а в обоих случаях по определению равен единице. Для обеих систем будем иметь одно и то же уравнение: Теория подобия занимается исследованием признаков, с одной стороны, необходимых, а с другой — достаточных для подобия физических явлений. Физические явления обычно описываются дифференциальными уравнениями, которые, будучи составлены на основе анализа дифференциальных соотношений, дают представление о принципиальной стороне вопроса; однако для технических целей непосредственно они неприменимы, так как для такого применения необходимо иметь уравнение, куда входили бы конечные величины. Дифференциальное уравнение описывает не одно физическое явление, а целый класс таких явлений, зачастую весьма различных с технической стороны. Для решения практической задачи, касающейся того или иного конкретного явления, необходимо выделить его из целого класса явлений, описываемых дифференциальным уравнением. » Такое выделение можно производить при помощи задания так называемых условий однозначности. В эти условия входят: 1) геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором происходит процесс; 2) граничные условия, которые определяются взаимодействием данного физического явления с другими явлениями на его «границах»; 3) начальные условия— условия существования при начале процесса и оказывающие влияние на его протекание; 4) значение 244
физических параметров, характеризующих физические свойства среды. Задание условий однозначности позволяет при интегрировании дифференциального уравнения выделить из класса явлений, описываемых им, одно-единственное индивидуальное явление. Как отмечает П. К. Конаков, «система уравнений и условия однозначности, описывающие единичное явление, представляют собой математическую формулировку единичного суждения» К Однако интегрирование дифференциального уравнения, переводящее дифференциальные отношения в отношения между конечными величинами, при современном уровне развития математического анализа — операция, далеко не всегда выполнимая, мало того, случай интегрируемости их нужно рассматривать как исключение. Поэтому в технике большее применение имеют приближенные методы интегрирования, дающие не точное значение интеграла, а лишь приближенное. Но методы приближенного интегрирования также имеют свои недостатки, ограничивающие область их применения, важнейшим из которых является тот, что часто неясно, с какой степенью точности произведено вычисление, и неясен физический смысл допускаемых погрешностей. Вследствие этих недостатков уравнений, описывающих классы, в технике приходится заменять дедуктивное знание знанием, полученным на основе анализа отдельных конкретных явлений — индивидуумов. Но результаты такого анализа можно переносить на другие единичные явления без риска сделать крупную ошибку только в том случае, если явления окажутся друг другу подобными, то есть если они, как принято говорить в теории подобия, составляют группу. 3. Условия подобия систем Необходимые условия подобия. Выше уже были выяснены признаки, входящие в определение понятия подобия, наличие которых у явлений делает последние подобными. Естественно возникает вопрос: всегда ли эти признаки совместимы друг с другом? Не противоречит ли 1 П. К. Конаков. Теория подобия и ее применение в теплотехнике. М. — Л., 1959, стр. 7. 245
в некоторых случаях требование тождественности основ- ного уравнения, описывающего оба явления, требованию наличия преобразований подобия? Иными словами, всякое ли уравнение способно описывать подобные явления,, то есть иметь одну и ту же форму для целой группы их? * Этот вопрос связан с проблемой выбора констант подобия, и поэтому ответ на него связан с определением конкретной формы ограничений, накладываемых на этот выбор. Для решения его рассмотрим условия инвариантности функции по отношению к масштабным преобразованиям. , Гомогенность функций. Пусть функция имеет вид F{uu.,.,un)=0. Такое уравнение описывает целый класс явлений. Выберем из них два явления, для которых имеют место масштабные преобразования: F (ии..., «л) = 0; F (и"и..., и"п) = 0. Здесь u\y..., ип'\ u\\...,un" — различные значения величин U\, ..., ип. Если два выбранных нами явления лодобны, то имеют место масштабные преобразования: Un = KnUn. Согласно определению подобия, для того чтобы два явления были подобны, требуется сосуществование уравнений: Z7 («!,..., ип)=0; F(klul9..., knun)=-0. Для этого необходимо, чтобы F(kiU\,..., kniin) тождественно обращалось в нуль при значениях переменных, удовлетворяющих F(tl\, ..., ип) =0. Это возможно лишь при F{kxul%..., kniin) = y(k1,..., kn)F(uu..., ип), 1 См. А. Л. Гухман. Введение в теорию подобия. М, 1963„ стр. 185—186. 246
когда равенство нулю правой части неминуемо влечет за собой равенство нулю левой. Таким образом, в том случае, если F описывает подобные явления при умножении всех величин, стоящих под знаком функции, на постоянные множители, все постоянные выносятся из-под знака функции, образуя некоторый множитель для функции в целом. Это значит, что масштабное преобразование отдельных переменных приводит к масштабному преобразованию всей функции в целом. Функции, обладающие таким свойством, носят название гомогенных. Уравнение же, которое при переносе всех его членов в левую часть принимает вид #=0, где Я — гомогенная функция, называется гомогенным уравнением. Итак, чтобы функция могла описывать подобные явления, необходимо, чтобы она, так же как и соответствующее уравнение, была гомогенной. Существует класс функций, которые являются гомогенными независимо от выбора множителей k\. Это — степенные функции. В самом деле, пусть имеем уравнение, в левой части которого находится степенное выражение F («!,..., иЛ) = аЇ\..., иапп = 0- Подставляя Ui = kiUh получим: f(Mi MJ = 0Mif. . .(kntinT" = 0 или F(klul,...sknun) = (k?,..., kann)(*#,..., ι#) = 0, то есть, полагая kf* ... kan =k, получим F(kitiu..., knun) = kF(uu..., u-n) = 0. Функции такого рода можно назвать безусловно гомогенными. Они остаются инвариантными по отношению к любым масштабным преобразованиям. Такая инвариантность— следствие самой структуры функции. Все остальные функции могут быть инвариантными лишь по отношению к определенным типам масштабных преобразований— при выборе множителей преобразования, удовлетворяющих тем или иным условиям. Такие функции называются условно гомогенными. К ним относится по- 247
давляющее большинство функций, с которыми приходится встречаться при решении практических задач. Индикатор подобия. Теория подобия исследует ограничения (обусловливающие уравнения), накладываемые на множители преобразования для того, чтобы та или иная функция получила свойство гомогенности относительно их. Найти такие ограничения можно следующим способом. Записывается уравнение системы, например формула 2-го закона Ньютона F = m—. Пусть сосущест- dt вуют две системы с характеристиками F', m\ v\ f и соответственно F'\ т", υ'\ t". Характеристики обеих систем связаны друг с другом подобными преобразованиями: F" = kfF'; mf/ = kmm/; v"=kOv'; t"=kttr. Эти системы будут подобны в том случае, если уравнение Ньютона будет инвариантно относительно этих пре- образовании, то есть если г =т , то г" = т r dt1 dt" и наоборот, то есть f т dktt' Перенесем все коэффициенты в левую часть: kfk* 1с·/ ~, dv' \J*L-\F' = m' L kmkv J dt' Как мы видим, для того чтобы наше уравнение представляло собой гомогенную функцию, достаточно связать множители преобразования соотношением kfkt ι=1 Г *f*t 1 = Относительно преобразований, определенных такими множителями, данная функция будет инвариантной, а явления, описываемые ею, при условии, что их характеристики различаются лишь этими множителями, будут подобными. Выражение | I, поскольку его равенство едини- 248
це помогает обнаружить подобие явлений, носит название индикатора подобия К Критерии подобия. В индикатор подобия входят коэффициенты преобразований, то есть величины, характеризующие не ту или иную отдельную систему, а скорее их взаимоотношение. Преобразуем это выражение таким образом, чтобы получить зависимости между характеристиками отдельных систем. Для этого вспомним (см. выше), что коэффициент преобразования можно рассматривать двояко. Если величины, характеризующие подобные явления, измеряются при помощи одной и той же системы единиц измерения, то коэффициент преобразования представляет отношение количества единиц в одной системе к соответствующему количеству их в другой. Но можно ввести для каждой системы свои собственные единицы измерения, так, чтобы их число, характеризующее соответствующие величины подобных систем, было одинаковым. В таком случае подобные системы будут различаться лишь масштабами и коэффициенты преобразования будут равны отношениям соответствующих единиц измерения: η nun k -А. ъ -Α. ь —^-· k —^ F0 t0 v0 m0 (символами с индексом «О» обозначены единицы измерения) . Тогда kfkt kmkO л. щ А. η Л)'*0 Л)'*0 m0v0 _ η η m0v0 m0-v0 _/У*о__ m0 v0 m0-vQ Следовательно, условие равенства единице индикатора подобия эквивалентно условию [_п η -щ щ m0v0 J F't' mQv0 1 См. А. Г. Касаткин, В. В. Кафаров. Основные принципы теории подобия и теории размерности. М., 1947, стр. 11. 9 А. И. Уемов 249
Выражения в квадратных скобках, представляющие комбинации величин, принятых за единицы измерения в отдельных системах, носят название критериев подобия и играют в теории подобия исключительно важную роль. Они так же, как и индикаторы подобия, входят в необходимые условия инвариантности функции по отношению к масштабным преобразованиям. Эти условия заключаются в равенстве всех одноименных критериев в системах, получаемых одна из другой путем таких преобразований. Равенства критериев подобия представляют связи между масштабами, ограничивающие произвольность их выбора. Так, разобранное здесь равенство критериев механического подобия позволяет выбрать произвольно лишь три единицы измерения. Четвертая определяется как функция этих трех. Важнейшая особенность критериев подобия — ихбез- размерность — обусловлена тем, что величина критериев остается одинаковой в различных подобных системах. Она не зависит от абсолютной величины принятой единицы измерения, то есть от величины ее, выраженной в той или иной общеупотребительной1 системе единиц. Критерий определяется лишь взаимоотношением единиц измерения. Безразмерность и тождественность критериев для подобных систем связаны с возможностью приведения уравнения к безразмерному виду, одинаковому для обеих систем с их инвариантностью в отношении масштабных преобразований, дающей возможность рассматривать уравнения, описывающие различные подобные системы, как одно уравнение не только по форме, но и по численным значениям входящих в него величин. Для иллюстрации этой связи приведем разобранное выше уравнение Ньютона для двух систем: с/ / dv' г?» it dv" dt' dt" к безразмерному виду2. Для этого выберем единицы измерения /У', mo", vo", Uf и т0', iV, vQf, U таким обра- 1 То есть употребляющейся не только при исследовании данного явления, но вообще при исследовании всех явлений, где имеются соответствующие величины. 2 См. В. Л. Лоссиевский. Применение теории подобия и динамических аналогий к задачам моделирования объектов ή процессов регулирования. М. — Л., 1951, стр. 21—22. 250
зом, чтобы выраженные с их помощью численные значения величин в соответствующих системах были одинаковыми. Умножая и деля соответствующие величины уравнений на выбранные единицы, получим: \?ο) \т») to JJL\ ν" U/ [ml) ίΰ /^ Введем обозначения: \= φ — относительная сила; τη' » , ... » χ ' χ = η —относительная масса; τη* г)-(-4) (-^— \ = /—- \ = ξ — относительная скорость; \ vo 1 \v'o I (—1=(—|=т—относительное время. U/ U/ Теперь уравнения движения приобретают вид для одной системы: t dx о что можно представить как di ^Vo dz v0 di и для другой системы —/70?=^ογ1 > /" di то есть Vo Ί dj «of0 I dz 9* 251
Равенство правых частей полученных уравнений, то есть равенство относительных значений, характеризующих системы величин, означает равенство левых частей, из чего следует равенство критериев подобия Г К*'о 1Г № 1 L movo J L тУо J Таким образом, равенство критериев подобия является следствием возможности приведения уравнения к безразмерному виду, одинаковому для обеих систем. 1-я теорема подобия. Подобными могут быть только те системы, которые обладают одинаковыми критериями подобия. Равенство критериев подобия играет роль необходимого условия сосуществования признаков, входящих в определение подобия. Утверждение, что подобные явления имеют одинаковые критерии подобия, составляет содержание 1-й теоремы подобия. В общем виде эта теорема формулируется следующим образом: «Если совокупность явлений, определяемых системами дифференциальных уравнений и условий однозначности, образует группу подобных явлений, то величины, входящие в определяющую дифференциальную систему, должны образовывать комплексы, сохраняющие одно и то же числовое значение для заданной совокупности явлений» Ч Значение этой теоремы заключается в том, что она, вскрывая необходимые признаки подобия, дает ответ на вопрос, который интересует экспериментатора в первую очередь,— какие величины необходимо измерять в опыте для того, чтобы иметь возможность воспользоваться данными исследованиями единичного явления для переноса их на всю группу подобных ему явлений. Ответ, даваемый этой теоремой, говорит о том, что для этой цели необходимо измерять все величины, из которых составлены критерии подобия2. В отношении этих величин каждое из явлений выступает как представитель всей группы. Поэтому результаты его исследования могут быть перенесены на все группы. 1 М. В. Кирпиче в и П. К. Конаков. Математические основы теории подобия. М. — Л., 1949, стр. 38. 2 См. М. В. Кирпичев. Теория подобия как основа эксперимента.—«220 лет АН СССР. Юбилейная с'ессия», стр. 219—220. 252
Достаточные условия подобия. Другой важный вопрос, интересующий экспериментатора, заключается в том, какие явления можно считать подобными. Конечно, можно для ответа на этот вопрос проверить, выполняются ли для данных явлений те требования, которые входят в определение подобия, в частности проверить, являются ли преобразования величин, характеризующих эти явления, преобразованиями подобия, то есть имеют ли место равенства: и] ~r=ci (1<*<и). их Однако, как отмечает М. В. Кирпичев, этот путь — фактически нереализуемый. Для того же, чтобы метод подобия дал практически ценные результаты, необходимо определить достаточные условия подобия, наличие которых можно было бы легко устанавливать в опыте. До работ В. Л. и М. В. Кирпичевых и А. А. Гухмана теория подобия не ставила этого вопроса, ограничиваясь лишь изучением необходимых условий подобия, то - есть тех следствий, которые вытекают из уже данного подобия. В. Л. Кирпичев впервые определил достаточные условия подобия для случая упругих явлений. В общем виде обратная теорема подобия, называемая также основной — иногда третьей или второй теоремой подобия,— сформулирована М. В. Кирпичевым и А. А. Гухманом: подобны те системы, условия однозначности которых подобны, а критерии, составленные из условий однозначности, численно одинаковы К Доказательство этой теории основано на логическом анализе условий подобия. Его идея заключается в следующем 2. Условия однозначности, как указывалось, позволяют выделить из класса явлений, описываемых дифференциальным уравнением, одно-единственное явление. Для того чтобы установить условия, выделяющие из этого класса целую группу подобных явлений, необходимо условия однозначности выразить не в абсолютных, а в 1 См. М. В. Кирпичев и А. А. Гухман. Приложение теории подобия к опыту. — «Сборник работ физико-технического отдела ЛОТИ», 1931, вып. 1. 2 См. М. В. Кирпичев, М. А. Михеев. Моделирование тепловых устройств. М — Л., 1936, стр. 26—28. 253
относительных масштабах. Таким образом, задача о подобии сводится к установлению условий однозначности, выделяющих единственное явление, описанное в относительных координатах. Ограничения, накладываемые на константы преобразования, в этом случае сводятся к требованию равенства критериев подобия, состоящих из тех величин, которые входят в условия однозначности. Таким образом, подобны системы, условия однозначности которых подобны, а критерии, составленные из условий однозначности, численно одинаковы. Можно уточнить число критериев подобия, достаточных для установления подобия. Оказывается, что «достаточным условием подобия двух систем является равенство любых двух соответствующих критериев подобия этих систем, составленных из их основных параметров и начальных (граничных) условий»1. Существуют формулировки достаточных условий подобия, в которых исключено понятие о критериях. «Та$ как условия однозначности относятся тоже к некоторой системе, составляющей часть рассматриваемой системы, то понятие подобия условий однозначности уже должно содержать в себе и условие инвариантности их критериев. Поэтому можно сказать: системы подобны, если их условия однозначности подобны»2. При этом все время предполагается, что уравнения, описывающие оба явления, имеют одну и ту же форму. Таким образом, обратную теорему подобия можно сформулировать еще и так: Подобие условий однозначности при тождественности основной системы уравнений есть достаточное основание для утверждения подобия явлений3, то есть для подобия явлений кроме тождественности уравнений достаточно: 1) геометрического подобия, 2) временного подобия, 3) физического подобия констант и 4) подобия начальных и граничных условий. Геометрическое подобие разобрано выше. Временное подобие определяется аналогично геометрическому. Момент времени численно определяется величиной интерва- 1 П. М. Алабужев и др. Теории подобия и размерностей. Моделирование. М., і 968, стр. 25. 2 М. В. Кирпшев, М. А. Михеев. Моделирование тепловых устройств, стр. 185. 3 См. А. А. Гухман. Физические основы теплопередачи, т. I. М, — Л., 1934, стр. 51. 254
Ла Между ним и другим моментом, принятым за начало отсчета. Отрезок времени, в течение которого происходит явление, состоит из бесконечного множества таких моментов— временных «точек». Два явления будут подобными во временном отношении в том случае, если все временные точки одного из них можно получить при помощи умножения в одно и то же k число раз чисел, выражающих соответственные временные точки другого явления. Такое преобразование во времени аналогично однородной деформации в пространстве, при помощи которой определяется геометрическое подобие. Его можно рассматривать как масштабное преобразование. Тогда, как и в случае пространственного подобия, соответственные временные точки подобных явлений будут эквивалентны в числовом отношении, отличаясь друг от друга лишь масштабом. Поскольку для любых двух пар соответственных точек t г η t η г ti Тл τ1==£τι и τ2 = £τ2 , то — 7~ = ki τί-τ2 то есть отношение любого временного отрезка явления к соответственному отрезку подобного ему явления есть величина постоянная. Она, как и в случае пространственного подобия, носит название множителя преобразования. Группы подобных во временном отношении явлений отличаются друг от друга лишь абсолютной величиной множителя преобразования. Временное подобие носит название гомохронии. В частном случае при k=l оно переходит в синхронию, так же как пространственное подобие при &=1 превращается в равенство. О физическом подобии систем, то есть о подобии их параметров, определяющих физические свойства тел, можно говорить лишь в том случае, если эти параметры не являются величинами постоянными. В противном случае любые две системы были бы физически подобны, так как отношение двух постоянных есть величина постоянная. В действительности параметры (например, коэффициент теплопроводности, электропроводности и т. д.),как 255
Правило, изменяются в пространстве и Ёремени, хоти й очень медленно. Поэтому законно выделение подобных систем, к которым будут относиться такие системы, отношение параметров которых при таком изменении сохраняет постоянное значение. Вследствие аналогии, существующей между физическим и пространственным и временным подобием, к первому mutatis mutandis применимы выводы, полученные при анализе последних. Подобие граничных и начальных условий заключается в подобии всех характеристик (распределение сил, ускорений, скоростей, масс и т. д.), определяющих состояние систем в первоначальный момент (начальные условия) и на их границах (граничные условия), вследствие чего все характеристики одной системы могут быть получены путем умножения на определенные численные коэффициенты — множители преобразования — характеристик другой, подобной ей системы. Когда говорится о подобии граничных и начальных условий, то предполагается подобие в соответственных точках пространства, занимаемого системами. Пусть эти условия заданы векторными величинами. Подобие систем предполагает, что векторы одной системы ориентированы относительно границ так же, как соответственные векторы другой. Поскольку поверхности, проходящие через точки, являющиеся началами векторов, геометрически подобны, то поверхности, соединяющие концы параллельных векторов, различающихся по величине лишь постоянными коэффициентами, также будут подобны. Таким образом, подобие граничных и начальных условий в этом случае формально сводится к геометрическому подобию. Если же условия заданы скалярами φ, то введением, когда это возможно, соответствующих векторных функций— градиентов φ — их подобие также можно свести к геометрическому. Такое сведение, впрочем, можно осуществить и непосредственно, не прибегая к градиентам. Кроме подобия условий однозначности при подобии явлений предполагается, что описывающие их уравнения тождественны по форме. Это означает, что эти уравнения, выражающие отношения характеризующих систему величин, зависят только от этих отношений и не изменяются при умножении числовых значений величин на постоянные коэффициенты, то есть они определяются тем, 256
что есть общего у подобных систем, и не зависят от того, чем эти системы отличаются друг от друга. Таким образом, они являются инвариантными по отношению к масштабным преобразованиям, следовательно, не зависят от абсолютных значений величин, принятых за единицы измерения, то есть могут быть приведены к безразмерному виду, одинаковому для обеих систем. 4. Использование подобия систем для обобщения данных опыта Как уже отмечалось, результаты единичного опыта, выраженные в форме зависимостей между размерными величинами, не могут быть распространены на другие явления. Такие результаты характеризуют лишь единичное. Иначе будет обстоять дело в том случае, если мы будем выражать результаты опытов не в форме зависимостей между размерными величинами, а пользуясь критериями подобия. Тогда записанный в таком виде результат будет характеризовать уже не единичное явление, а целую группу явлений, то есть все явления, подобные друг другу. Пусть удастся показать, что n = k, где π — критерий подобия, k — определенное число. Данное равенство соответствует различным условиям опыта со всевозможными численными результатами. Оно утверждает, что при всем разнообразии числовых данных определенные их комбинации, составляющие критерии подобия, подчинены соотношению, выраженному в данном равенстве. Поскольку таких комбинаций множество, устанавливается связь между разнообразными явлениями, которые, однако, все должны принадлежать к одной группе, то есть быть подобными друг другу. Таким образом, установив эмпирически зависимость π = &, мы получим право переносить результаты опытов с одними явлениями на другие явления, существенно отличающиеся от первых. Например, результаты, полученные при наблюдении движения определенной жидкости в канале определенного размера, могут быть прямо перенесены на движение жидкости с другими физическими свойствами при других определяющих размерах системы. Этого нельзя сделать без риска совершить ошибку при записи результатов единичных наблюдений в форме связи между размерными величинами, так как в этом случае 257
у нас не будет никакой гарантии того, что эта связь не определяется специфическими физическими свойствами жидкости или определяющими размерами системы. Определение величины критерия подобия позволяет на основании дифференциального уравнения находить зависимости между конечными величинами, не прибегая к аналитическому интегрированию этого уравнения. В качестве примера возьмем рассмотренное уже выше дифференциальное уравнение, выражающее 2-й закон Ньютона,— F=m . Считая силу F величиной постоянной, получим аналитическое решение этого уравнения: Г Fdt3=*[mdv; Ft=mv-\-c. Это решение описывает целый класс явлений, отличающихся друг от друга значением произвольной постоянной с. Отдельное явление выделяется из этого класса заданием начальных и граничных условий, то есть значением to и v0. Значение с определяется этими условиями. Поскольку to и Όο удовлетворяют уравнению Ft = mv + c, получим Ft0 = mv<o+c. Отсюда c=Ft0— mv0, в частности при υ0=0 и t0 = 0, с = 0, то есть Ft=mv. Этот же результат можно получить при помощи критериев подобия. Выше было показано, что необходимым условием подобия описываемых этим уравнением явлений является равенство соответствующих критериев подобия Μ 1 г ы 0*0 0^0 Допустим, что в какой-либо системе S' нам удалось определить критерий подобия —;-£- ■ k.B таком слу- mQv0 чае в этой системе F0to/=kmo/Vo/, Если k равно 1, то для данной системы справедлив тот же самый закон связи импульса силы и количества движения, который только что был получен аналитическим путем при помощи интегрирования. Без помощи теории подобия мы не имели бы оснований переносить этот результат на другие системы. Он мог быть обусловлен специфическими особенностями именно данной системы. 258
Теория подобия дает возможность распространить этот результат на все системы, подобные данной, поскольку все они имеют одинаковые критерии подобия» р j- Если для одной системы —^^ = 1, то и для любой дру- m0OQ η η ГОИ, ЄИ ПОДОбнОИ, 7ΊΓ= 1· Таким образом, при помощи теории подобия можно путем исследования единичного явления получить закон, справедливый если не для класса, то по крайней мере для группы подобных между собой явлений, что может служить иллюстрацией применения теории подобия как метода обобщения данных опыта. В разобранном примере в каждой системе определялся лишь один критерий. В общем случае результаты опыта обрабатываются в виде связи между различными критериями. Вопрос о связи между критериями в общем виде может быть поставлен следующим образом. Известно, что критерии подобия определяются на основании инвариантного уравнения и состоят из величин, входящих в это уравнение. Равенство всех одноименных критериев необходимо для подобия явлений. Однако для этого, согласно обратной теореме подобия, достаточно равенства лишь некоторых. Для того чтобы совместить подобное преобразование с инвариантностью основного уравнения, достаточно наложить ограничение на те характеристики, которых достаточно для выделения данного явления из всего класса явлений, описываемых уравнением, то есть на величины, входящие в состав условий однозначности. Однако в условия однозначности могут не входить все величины, составляющие основное уравнение, поскольку среди последних возможны величины, либо одинаковые для всего класса явлений (константы π, сит. д.), либо зависящие от величин, входящих в условия однозначности. Нет необходимости накладывать ограничение на эти величины, прежде чем говорить о подобии явлений, поскольку первые из них — константы — одинаковы для всех подобных явлений, а необходимые комбинации вторых выделяются автоматически, как только будут при- 259
равнены критерии подобия, состоящие исключительно из величин, входящих в состав условий однозначности. Поэтому критерии такого рода носят название «определяющих критериев». Равенства именно этих критериев наряду с подобием условий однозначности достаточно для осуществления подобия явлений, то есть равенство определяющих критериев — предпосылка подобия. Равенство же всех остальных критериев (назовем их критериями II группы) необходимо для подобия, то есть его можно рассматривать как следствие существования подобия. Таким образом, поскольку подобие явлений обусловливает равенство критериев II группы и обусловливается равенством определяющих критериев, между первыми и вторыми должна существовать связь, а именно критерии 2-й категории представляют некоторые функции определяющих критериев. Таким образом, открывается возможность обрабатывать результаты опыта в форме связи между этими критериями. Термины «определяющий» и «неопределяющий» критерии введены А. А. Гухманом. В последнее время А. А. Гухман решительно высказывается против использования этих терминов. Сужая понятие критерия подобия, он предлагает вместо термина «неопределяющий критерий» пользоваться названием «число» 1. Однако этот вопрос, несмотря на все его значение, остается терминологическим. Термин «число» в таком узком значении, на наш взгляд, может привести к недоразумениям. Поэтому мы пользуемся традиционной терминологией, тем более что она еще применяется в самых капитальных исследованиях2. Обычно зависимости между критериями проставляются в виде степенных функций. Например3, AfM = ■=cRinPrm, где [Ri и Ρ г — определяющие критерии Рей- нольдса и Прантля, a Nu — определяемый критерий Нус- сельта. с, п, m — постоянные отвлеченные числа. Опре- 1 См. Л. Л. Гухман. Выступление на пленарном заседании межвузовской конференции по теории подобия и ее применению в теплотехнике.— «Теория подобия и ее применение в теплотехнике». Труды МИИТ, вып. 139. М., 1961, стр. 36—37. 2 См. И. И, Новиков, К. Л. Воскресенский. Прикладная термодинамика и теплопередача. М., 1961, стр. 334—335. 3 См. М. Л. Михеев. Основы теплопередачи. М. — Л., 1949, стр. 68—71. 260
деление такой зависимости (критериального уравнения) может быть произведено исключительно эмпирически. Критериальное уравнение может быть легко представлено в виде зависимости между непосредственно измеряемыми размерными величинами, путем подстановки в уравнение значений критериев. Например, найденная при изучении теплоотдачи во время движения жидкости внутри трубы зависимость Nu~0,023/?/°'8«Рг0'4 при подстановке значений критериев превращается в следующее ad соотношение между размерными величинами: —- = λ = 0,023 (—- J ·(—) ι где d обозначает диаметр трубы, а — коэффициент теплоотдачи, λ — коэффициент теплопроводности, ω — скорость течения жидкости, ν — коэффициент кинематической вязкости. Вопрос о связи между критериями рассматривается во второй теореме теории подобия, так называемой π-теоре- ме, которую можно формулировать следующим образом: «Функциональная зависимость между характеризующими процесс величинами может быть представлена в виде зависимости между составленными из них критериями подобия» К Критерии подобия обычно определяются по форме исходного уравнения, однако интересно отметить,· что, вообще говоря, при применении π-теоремы нет необходимости знать это уравнение. Можно ограничиться лишь утверждением о существовании некоторой функциональной связи между величинами. В этом случае критерии подобия определяются при помощи теории размерности. Разумеется, такое определение возможно лишь тогда, когда известны размерности всех величин, находящихся в функциональной связи. Необходимо подчеркнуть, что π-теорема, утверждая существование зависимости между критериями, не дает абсолютно никаких указаний для определения вида этой зависимости. Как отмечает А. А. Гухман, «возможность определения вида функции, входящей в уравнение связи между критериями, с помощью методов теории подобия исключена по самому существу их»2. 1 Я. М. Алабужев и др. Теории подобия и размерностей. Моделирование, стр. 32. 2 А. А. Гухман. Физические основы теплопередачи, т. I, стр. 77. 261
Эти зависимости могут быть определены лишь при помощи эксперимента. Теория подобия представляет не орудие дедукции, позволяющее делать новые выводы путем анализа уравнений, а именно метод обобщения данных опыта, обладающего тем преимуществом, что применение его — обработка эмпирических результатов в виде зависимости между критериями — позволяет рассматривать каждое единичное наблюдение как представителя целой группы подобных явлений, как модель каждого ее члена. 5. Теория подобия и анализ размерностей Теория подобия обычно применяется вместе с теорией размерности. Методы и задачи этих теорий во многом сходны. Так же как и теория подобия, теория размерностей, иногда говорят также «анализ размерностей», ставит перед собой задачу помочь исследователю в тех случаях, когда у него слишком мало данных, из которых можно было бы дедуцировать интересующие его сведения о том или ином явлении. Анализ размерностей дает возможность определить зависимости между величинами в том случае, если известно, что все эти величины находятся в некоторой зависимости, и если известны их размерности. Сущность метода анализа размерностей лучше всего показать на примере. Пусть необходимо определить зависимость периода колебания маятника от длины маятника, его массы, ускорения тяжести и амплитуды колебаний К Эти величины будут иметь следующие размерности: Название величин Символ Формула размерности Время колебания ,*«...*... t Τ Длина маятника . t * I L Масса маятника , . , т Μ Ускорение силы тяжести g LT-ъ Угловая амплитуда колебаний * . . Θ без размерности Согласно основному положению теории размерности, которое П. В. Бриджмен называет принципом «абсолютного значения относительного количества»2, вид функ- 1 См. /7. В. Бриджмен. Анализ размерностей, стр. 7—9. 2 Там же, стр. 26. 262
ции, связывающей эти переменные, t—f(U т> ё> 6) Должен остаться неизменным при перемене размера основных единиц измерения, в данном случае массы и длины. Но масса не входит в размерность остальных величин, то есть их единицы не изменяются при изменении единицы массы. Значит, это изменение не может быть компенсировано изменением других переменных. Поэтому масса не может входить в функциональное соотношение, которое в таком случае будет иметь вид t = f(l, g, θ), / и θ должны входить в эту функцию так, чтобы выполнялся принцип абсолютного значения абсолютного количества, что возможно при / = /(— , Θ). g Изменение основных единиц не может влиять на числовую величину угловой амплитуды, поскольку она не имеет размерности, и, следовательно, θ может входить в функцию любым способом. — должно быть представле- g но в функции так, чтобы размерности обеих частей урав- пенил были одинаковы, согласно общему требованию теории размерности — принципу размерной однородности. Поскольку в левой части имеем t, размерность правой должна быть также Г. Это возможно лишь в том случае, когда — будет находиться под знаком корня, то есть g л Π искомая функция будет иметь вид t=W ~φ(θ), где(р(9), еще требует определения. Итак, как нетрудно заметить из этого примера, определение неизвестной функции-основано на том требовании, что при изменении размера основных единиц функция должна остаться неизменной. Зависимость между новой и старой единицами измерения выражается формулой а0 = сао', где а0' — новая единица, а0 — старая, г с — коэффициент преобразования. Вследствие такого преобразования" меняется численное значение измеряемых величин а=—а' или af=ca. Сама же величина при этом с остается неизменной, поскольку при перемене единицы измерения не происходит какого-либо реального физического изменения величины. Такое изменение численного значения путем изменения единиц называется формалъ- 263
ным преобразованием. Эренфест-Афанасьева1 отметила аналогию, которая существует между формальным преобразованием и изменением численного значения величины вследствие реального изменения самой величины, то есть «материальным изменением». Последнее также выражается формулой af = ca. Формулы формального и материального преобразования совершенно идентичны. Различие между ними заключается лишь в их истолковании. В одном случае а, аг — «материальные переменные», а с — «материальный множитель», а в другом а, а' — формальные переменные и с — формальный множитель. Но формула а'=са является исходной как в теории размерностей, так и в теории подобия. Отсюда можно сделать вывод, что между обеими теориями имеется формальная связь, и многие выводы одной из них можно получить при помощи другой теории. Рассмотрим следствия, которые вытекают из основного положения теории размерностей — принципа абсолютного значения относительного количества. Этот принцип налагает определенное ограничение на вид функций, выражающих связи между вторичными величинами (Ь) и первичными (а). Эти функции не должны меняться при умножении входящих в них величин на постоянные множители, то есть должны быть гомогенными. Такими безусловно гомогенными функциями будут, как показано выше, степенные функции. Следовательно, 6 = α?Ι,...,α^α/7ϊ . В этом случае подстановка вместо а величин са приведет к выделению множителей с в один сомножитель: Коэффициент преобразования Съ должен выражаться через коэффициенты преобразования с*1,..., с*т следующим образом2: с*=сї.-.сїт> т. е. ^ =1. с1 (1) 1 Г. Ehrenfest-Afanassjewa. Der Dimensionbegriff und der analy- tische Bau physikalischer Gleichungen. — «Math. Ann.», 1916, Bd. LXXVII, H. 2, S. 260. См. также: Μ. В. Кирпичев. Теория размерности и теория подобия. — «Теория подобия и моделирование», стр. 9—10. 2 См. М. В. Кирпичев. Теория размерности и теория подобия. — «Теория подобия и моделирование», стр. 12. 264
Условие гомогенности записывается в виде φ(*ι....»**;0ι,..., ат) = П{Ьи..., bk; Яі,.. .»ада)=0, (2) где символ Я обозначает гомогенную функцию, k—число вторичных, am — первичных величин. Из ограничений, налагаемых на вид функции φ, вытекает дальнейшее следствие. Пусть уравнение типа (2) состоит из суммы членов, являющихся степенными комплексами одинаковой размерности. Каждый член, содержащий одну вторичную величину 6, имеет вид Аьг а\\ .. · ..., а%*,.. ·. Пусть размерность Ъ есть [δ]=[α"'..., ат ат]. Приведем все члены уравнения к безразмерному виду делением их на один из членов уравнения. Представим каждый из членов в виде произведения безразмерного комплекса, содержащего вторичную величину, на остальные входящие в него величины: А / ЬЛ \ (α;+Ρ... .α;Ά) =Aka\\. .α>. (3) Но это произведение не будет иметь размерности либо в том случае, когда γι= ... =ут=0, либо в том случае, когда уравнение содержит одноразмерные величины, образующие однородные множители типа αχ =S, назы- ваемые симплексами, в отличие от комплексов — комбинаций величин различной размерности. В обоих этих случаях размерности сократятся. Таким образом, приводя уравнение (2) к безразмерному виду, мы обнаружили, что оно может быть представлено в виде зависимости между безразмерными комплексами и симплексами. Ф(*и,..., АЛ/, 5ь..., S*,..., 5?,..., Sfe)=0. (4) Нетрудно заметить, что полученные соотношения являются точными аналогами основных теорем теории подобия. Так, соотношения (1), (2), если рассматривать коэффициенты Cial, ...,сташ как множители материального преобразования, приводят к первой теореме подобия. Равенство (1) означает равенство единице индикатора подобия, а последнее, как было показано выше, означает инвариантность критериев подобия. Возможность пред- 265
ставлення уравнения (2) в виде зависимости между безразмерными комплексами и симплексами в интерпретации теории подобия означает возможность преобразования уравнения зависимости между критериями подобия, то есть вторую теорему подобия. Различие между теорией размерности и теорией подобия прежде всего не формальное, а содержательное. Теория подобия исследует различные явления, описываемые лишь формально тождественными уравнениями, в ^которых выражены отношения между объективно различными явлениями. Выводы теории подобия позволяют переносить данные исследования одного явления на другие явления. Теория размерности, наоборот, исследует одно явление, причем уравнение, его описывающее, неизвестно. Установление этого уравнения не начальный пункт исследования, как было в теории подобия, а конечная цель его. Достижение этой цели возможно именно потому, что исследуется объективно одно и то же явление, что проявляется в ограничениях, накладываемых на формальные преобразования единиц, из чего выводится форма искомого уравнения. Теория подобия в сравнении с анализом размерности имеет преимущества в содержательном плане, благодаря чему ей обычно отдается предпочтение. «Сравнение метода подобия и анализа размерностей,— пишет С. Д. Клайн,— показывает, что возможности этих методов, грубо говоря, одинаковы, но метод подобия, возможно, обладает некоторым преимуществом. Именно метод подобия дает информацию о физическом смысле найденных комплексов π и о влиянии качественных изменений в этих комплексах, что нельзя непосредственно получить на основе анализа размерностей. Кроме того, метод подобия можно существенно расширить, дополняя его сведениями, полученными из основных общих уравнений» \ 1 С. Д. Клайн. Подобие и приближенные методы. М., 1968, стр. 278; о соотношении теории подобия и анализа равномерностей см. также: П. К. Конаков. Теория подобия и анализ размерностей. — «Теория подобия и моделирование», стр. 20—26; Б. М. Якуб. Теория подобия и теория размерности. — «Теплоэнергетика», 1955, № 1; Я. А. Спундэ. К вопросу о теории подобия и теории размерностей. — «Теплоэнергетика», 1955, № 5. 26Є
6. Теория нелинейного подобий Разобранные выше принципы теории подобия и соответствующего ей анализа размерностей относятся к мультипликативным отношениям между величинами. Иными словами, понятие отношения в теории подобия всегда рассматривается как такое отношение, которое выражается путем деления. Выяснить отношение одной величины к другой — это значит определить, во сколько одна из них больше другой. В процессе развития теории подобия наблюдается тенденция к обобщению ее понятий. Интенсивно разрабатываются методы, позволяющие анализировать неполное, приближенное подобие1. Вместе с тем поставлен вопрос о создании «неклассической» теории подобия, которая может применяться и в том случае, когда переменные, характеризующие элементы сравниваемых систем, преобразуются друг в друга иным, более сложным образом2. В противоположность обычному, линейному подобию, основанному на мультипликативных отношениях между величинами, предлагается, например, следующее определение нелинейного подобия. Рассматриваются η переменных величин *ц, #2ι,..., ...,Χηΐ, которые находятся в функциональных зависимостях С ПеремеННЫМИ Х\2, ..., ХП2- #12 = /l2#li; #22 = /22*21; —ί #η2 = /η2#η1· 1 См. В. А. Веников. Теория подобия и моделирование применительно к задачам электроэнергетики. 2 V. М. Breitmann. Investigating Time — Temperature Effects upon Properties of Reactants. — «Industrial and Engineering Chemistry», October 1937, vol. 29, p. 1202; В. M. Брейтман. Критерии интегрального подобия. — «Журнал технической физики», 1952, т. XXII, вып. 4; его же. К теории интегрального подобия. — «Журнал технической физики», 1953, т. XXIII, вып. 7; его же. Основные представления, лежащие в основании теории интегроформ и методов обобщенного моделирования. — «Доклады пятой Межвузовской конференции по физическому и математическому моделированию. Секция общие вопросы метода моделирования». М., 1968; В. Б. Герони- мус. Нелинейное подобие и его применение к моделированию.-^ «Труды Новосибирского института инженеров железнодорожного транспорта», 1961, вып. XXIV; А. И. Уемов. О некоторых принципах нелинейного обобщения понятия физического подобия. — «Доклады пятой Межвузовской конференции по физическому и математическому моделированию. Секция общие вопросы метода моделирования»; Я. М. Алабужев и др. Теории подобия и размерностей. Моделирование, § 13. 267
Каждая из функций /ггО^^я) рассматривается как функция от переменных Ян, *2ь—ι*πΐ· На них накладывается ряд ограничений: они должны быть непрерывными и дифференцируемыми, однозначными или конечно многозначными (в последнем случае предполагается особое соглашение о выборе однозначной ветви соответствующей функции), иметь непрерывные и дифференцируемые частные производные. Функции fi2,—,fn2j удовлетврряющие приведенным условиям, называются функциями нелинейного преобразования переменных хп ,...,хп\. Пусть две пространственные области ограничиваются замкнутыми поверхностями S\ и *S2. «Поверхности Si и S2 назовем нелинейно подобными, если для любой точки Ах исходной поверхности Si с координатами Х\Ц\ и z\ на второй поверхности можно указать такую точку А2 с координатами Х2,У2 и z2> что координаты этих точек будут СВЯЗаНЫ Между СОбОЙ СООТНОШеНИЯМИ #2 = /х2 ·*1, У2== = Л, Уи *2 = /г% · *Ъ ГДЄ fXi, fy„ /г— фуНКЦИИ НЄЛИ- нейного геометрического преобразования» К Соответственно нелинейно подобными называются пространственные области, ограниченные нелинейно подобными поверхностями. Точки, координаты которых удовлетворяют приведенным выше соотношениям, называются нелинейно сходственными. Далее формулируются положения, являющиеся аналогичными обычным положениям «классической теории подобия». Например, аналогом первой теоремы теории подобия будет следующее утверждение: «Если два явления нелинейно подобны, то искомые нелинейно относительные величины явлений удовлетворяют тождественным замкнутым системам уравнений, выраженных в нелинейно относительной форме»2. Разработка теории нелинейного подобия значительно расширяет сферу применения математических условий правомерности выводов от модели к прототипу по схеме эмпирической аналогии отношений. 1 77. М. Алабужев и др. Теории подобия и размерностей. Моделирование, стр. 150. 2 Там же, стр. 159. 268
§ 2. Логические методы установления правомерности эмпирической аналогии отношений 1. Отождествление логических отношений. Концепция Р. Карнапа Как мы видели, теория подобия дает точные критерии правомерности перехода от тождества одних отношений к тождеству других. Однако эти критерии носят слишком специальный характер. Они предполагают, что отношения, тождество которых является основанием аналогии, должны быть выражены в форме математических уравнений. Это препятствует распространению методов теории подобия на такие области, где отношения выражаются иными способами. Даже в сфере технического моделирования далеко не все отношения можно выразить математическими уравнениями. Поэтому естественно возникает задача поисков иных, общих методов, которые можно было бы применить к более широкому кругу явлений. С помощью этих методов можно было бы выяснить логическое содержание самой теории подобия. В этой связи представляют интерес некоторые идеи Р. Карнапа, высказанные^ им в работе «Логические основания вероятности». Здесь рассматривается проблема тождества логических отношений в системах, которые Карнап называет изоморфными. Выше уже говорилось о постановке проблемы тождества логических свойств отношений в изоморфных системах Б. Расселом и давалась критика его концепции. Изложенный в связи с этим метод уточнения понятия изоморфизма не является единственно возможным способом установления условий правомерности вывода, переносящего логические свойства одной системы на другую. Этой цели можно добиться с помощью различных модификаций как понятия изоморфизма, так и понятия логических свойств. Расселовское определение понятия логического свойства имеет тот недостаток, что предполагает уже известными такие понятия, как логическая константа, которая в свою очередь, очевидно, характеризуется чисто логическими свойствами. Этого недостатка избегает Р. Карнап. Уточняя понятие логического свойства и со- 269
ответствующим образом определяй изоморфизм, Карнап формулирует достаточные условия правомерности вывода по аналогии рассматриваемого нами типа, хотя сам термин «аналогия» Карнап в этом случае не употребляет. Термин «аналогия» им применяется к структурам типа парадейгмы К В отличие от Рассела Карнап не просто высказывает идею тождества логических свойств в общем виде, но стремится дать строгое доказательство этого положения применительно к тому случаю, который он анализирует. Рассматривая рассуждения Карнапа, мы видим, что в них определяются достаточные условия правомерности вывода по аналогии. Однако это не аналогия типа изоморфизма. В аналогии типа изоморфизма отождествление отношений в модели и прототипе является результатом, но отнюдь не основанием вывода. В основании предполагается не тождество, а лишь соответствие отношений. Карнап же исходит именно из тождества отношений. В определении изоморфизма, которое он приводит в рассматриваемой работе, в отличие от обычных определений, в том числе и от того, которое в других местах дает сам Карнап, ничего не говорится о соответствии отношений. Коррелятор здесь связывает лишь элементы сравниваемых систем — индивидуальные константы. И дело здесь не в том, что соответствие отношений рассматривается как следствие соответствия элементов, а в том, что формулируется гораздо более сильное условие — соответствующие друг другу выражения, то есть корреляты Аі и Aj и соответственно классы выражений отличаются друг от друга только индивидуальными константами. В этом случае такие выражения, как «Юпитер больше Земли» и «Киев больше Ярославля», будут коррелятами. Но «Юпитер больше Земли» и «Киев южнее Ярославля» уже не корреляты, поскольку здесь мы заменяли не только индивидные константы, но и предикаты. Что же в таком случае нам может дать такого типа изоморфизм? Ведь очевидно, что если отношения в сравниваемых системах одинаковы, то a priori будут одинаковы их логические свойства. Однако где критерии того, что данные логические свойства являются именно свой- 1 R. Carnap. Logical Foundation of Probability, p. 71—72. 270
ствами отношений самих по себе, а не отношений именно в данных объектах? Пусть, например, мы имеем, что Николай отец Ивана и Николай любит Ивана. Поскольку то и другое истинно, мы имели право на материальную импликацию: «Если Николай отец Ивана, то Николай любит Ивана». Переходя к другой системе с помощью замены индивидных констант, получим, например: «Если Семен отец Сидора, то Семен любит Сидора». Но эта импликация может оказаться ложной в том случае, если Семен, будучи отцом Сидора, не любит его. Но импликация «Если Николай отец Ивана, то Николай старше Ивана» не может стать ложной при замене одних индивидных констант другими, ибо эта импликация, в терминологии Карнапа, имеет логический характер. Область, в которой истинен антецедент, включена в ту область, в которой имеет место консеквент. И мы можем определить это, основываясь исключительно на анализе значения этих выражений и не обращаясь к фактам. Логическая импликация, по Карнапу, имеет место в любых описаниях состояния. То же самое относится к любым L-истинным предложениям. В таком случае вывод Карнапа совершенно очевиден: если предложение имеет место в любых описаниях состояния, то оно, естественно, имеет место в том числе и в тех описаниях состояния, которые получаются из данного заменой одних индивидных констант другими. Соответственно предложение, не имеющее места ни при каких описаниях состояния, естественно, не может иметь место и в том описании состояния, к которому мы приходим с помощью корреляции. Все логические отношения инвариантны по отношению к тем преобразованиям, которые рассматривает Карнап. Умозаключение, которое при этом рассматривается, представляет собой вывод от тождества одних отношений в сравниваемых системах к тождеству других, то есть это, в нашей терминологии, эмпирическая аналогия отношений. Замена индивидных констант в данных выражениях— это то же самое, что отождествление отношений между различными, но соответствующими друг другу индивидами. Исходные отношения, отождествляемые в основании вывода, не носят специально логического характера. Это вообще любые отношения. Но результат 271
умозаключения состоит в переносе с модели на прототип только логических отношений. Это ограничение можно рассматривать как правило умозаключения, соблюдение которого делает полученный вывод вполне достоверным. 2. Применение принципа размерности для свойств отношений Изложенной выше концепции Карнапа можно сопоставить использование принципа размерности для свойств отношений. С помощью этого принципа можно определить внутренний характер тех или иных свойств отношений. В нашем случае задача заключается в выяснении внутреннего характера свойства сосуществования — одного из двух отношений с другим. Одним из этих отношений является то, тождественность которого в сравниваемых системах является основанием умозаключения, другим — то, которое переносится с модели на прототип в процессе вывода. Разобранный в связи с принципом размерности пример можно выразить в виде следующего умозаключения по аналогии: Петр обучает Павла и Иван обучает Сидора. Петр знает больше Павла. Иван знает больше Сидора. Применение принципа размерности для свойств отношений позволяет выяснить условия правомерности этого умозаключения. Этими условиями будут: 1) Оба отношения — «обучает» и «знает больше» — определены по свойствам одних и тех же вещей. Иными словами, в качественном смысле Петр обучающий и Петр, знающий больше,— это одно и то же: оба представляют собой один и тот же комплекс свойств. То же самое соответственно относится к Павлу. 2) Свойство отношения «обучает» сосуществовать с отношением «знает больше» не зависит от того, в каких именно вещах рассматриваются эти отношения, то есть это свойство не меняется при замене одних вещей другими. Практически, конечно, выполнимость обоих условий в большинстве случаев может быть установлена лишь с известной степенью приближенности. Но на наш взгляд, еще большие трудности возникают при нахождении всех 272
Возможные состояний описаний ё концепции Карнапа. Естественно возникает вопрос о том, является ли понятие внутренних свойств отношений, определяемых с помощью принципа размерности, тождественным понятию логических свойств, находимых путем рассмотрения всех возможных состояний описания. На первый взгляд кажется, что это так. Однако между обоими понятиями есть существенные различия в содержании, которые приводят к тому, что они лишь частично совпадают по своему объему. Карнап ничего не говорит о том, что логические отношения должны быть определены в одних и тех же, в качественном смысле, вещах. Для него логическое свойство вообще не связано с вещами. Оно относится лишь к высказываниям и классам высказываний. При этом высказывания могут, вообще говоря, относиться к совершенно различным вещам. Рассмотрим пример: «Если Иван и Петр —родные братья, то их сыновья являются двоюродными братьями». Согласно Карнапу, импликация здесь является, несомненно, логической, поскольку ее истинность имеет место во всех описаниях состояния. Но сосуществование отношений «родные братья» и «двоюродные братья» не является внутренним их свойством. Принцип размерности здесь неприменим, поскольку эти отношения не могут быть в одних и тех же вещах. Сосуществование не внутреннее свойство данных отношений, а внешнее свойство, зависящее от другого отношения — «быть сыном». С другой стороны, выполнение второго требования принципа размерности не является еще, вообще говоря, выполнением требования о том, чтобы класс описаний состояния, в которых имеет место данное предложение, был универсальным. Описание состояния определяется не только предметами, но вообще всеми свойствами и отношениями, которые этим предметам могут быть присущи. В связи с этим возникают серьезные трудности, на которые обратили внимание Дж. Кемени и Й. Бар- Хиллел К Таким образом, применение метода Р. Карнапа и принципа размерности для свойств отношений можно рассматривать как разные способы установления правомерности вывода по аналогии. См. Р. Карнап. Значение и необходимость. М, 1959, стр. 327. 273
3. Теорема переноса В рассмотренном выше примере «Петр обучает Павла», «Петр знает больше Павла» отношения «обучает» и «знает больше» существуют между одними и теми же предметами. То же самое можно сказать в случае абстрактных предметов: «Обучающий обучает обучаемого», «Обучающий знает больше обучаемого». «Обучающий» представляет собой незначительную часть свойств конкретного Петра и «обучаемый» — конкретного Павла. Между этими абстрактными предметами возможно установить полное отношение, охватывающее все их свойства. «Обучает» и «знает больше» — части такого полного отношения. И это разные части, то есть разные отношения. Даже логические их свойства существенно различны. «Знает больше» — транзитивное, а «обучает» — нетранзитивное отношение. Различие в данном случае объясняется тем, что даже в абстрактных предметах сравниваемые отношения установлены по различным свойствам. «Знать больше» предполагает статический, «обучает»— динамический аспект соотносящихся вещей. Различие между отношениями многих элементов может быть связано и с тем, что одно из них понимается в одном смысле, а другое — в другом. Иными словами, здесь различны отношения отношений к соотносящимся вещам. Например, можно с известной степенью приближения сказать, что вся вода в озере Байкал одинакового цвета. Но с другой стороны, зачерпнув из озера кружку воды, нетрудно убедиться в существенной разнице цвета воды в кружке и в озере. Здесь одни и те же предметы и одни и те же свойства, по которым устанавливаются отношения. Но различие в том, что отношение одноцветности понимается в смысле jR1, как совокупность отношений между отдельными элементами системы, а отношение разноцветности берется в смысле R111, как совокупность отношений каждого элемента ко всем остальным, вместе взятым. Меркурий движется быстрее Венеры, и Венера движется быстрее Земли. Однако космонавт, облетающий Венеру, может заметить, что, наоборот, Земля движется быстрее Венеры. Здесь различие отношений определяется различием систем референции. В одном случае берется система референции, то есть система отсчета, тесно связанная с Солнцем, а во втором — с космическим ко- 274
раблем. Отношение «двигаться быстрее» поэтому не является здесь внутренним для соотносимых предметов. Таким образом, вообще говоря, отношение зависит от тех предметов, между которыми оно существует; от тех свойств этих предметов, по которым оно установлено; от того, в каком смысле понимается само отношение, и еще от различных внешних объектов — систем референции. Примем постулат, по которому отношение зависит только от этого. Пусть отношения в данной системе предметов а\,..., ап установлены по одним и тем же свойствам и понимаются в одном и том же смысле. Тогда если отношения не зависят от внешних условий, определяясь самими соотносящимися объектами, то, согласно нашему постулату, это будут одинаковые отношения. Иными словами, не может быть двух различных внутренних отношений, существующих в одной и той же системе по одним и тем же свойствам и понимаемых в одном и том же смысле. Отсюда непосредственно следует условие правомерности выводов по аналогии, которое мы условно назовем теоремой переноса. Пусть в двух системах S' и S" имеет место общее отношение R\ и в системе S' обнаружено новое отношение R2, установленное между теми же элементами, по тем же свойствам и понимаемое в том же смысле, что и отношение Ri. Тогда вывод по аналогии о существовании R2 также в системе S" будет правомерным в том случае, если Ri и R2 будут внутренними отношениями для обеих сравниваемых систем. В самом деле, согласно сказанному выше, выполнение условий теоремы переноса будет означать, что Ri и R2 в этом случае будут представлять собой одно и то же отношение. Различие здесь может иметь место не по существу, а лишь по форме выражения этого отношения. Поэтому если Ri существует в системе S", то там же существует и R2 как другая форма выражения того же самого отношения. Можно подумать, что поскольку R{ и R2 оказываются тождественными, это лишает вывод по аналогии познавательной ценности. Однако это не так. В дедуктивных умозаключениях вывод также является переформулировкой того, что уже дано в посылках с возможным опусканием части данных. Однако вопреки мнению Д. С. Милля это не лишает дедукцию познавательной 275
ценности. То, что является тождественным логически, далеко не всегда тождественно в познавательном плане. Выясняя, что те или иные положения логически тождественны, мы приобретаем новые, зачастую поражающие нас знания. В частности, анализ умозаключений, с которыми имеет дело практика преподавания, показывает, что логическая тавтологичность вполне совместима с познавательной новизной1. Таким образом, тождественность R\ и R2 не является источником логической трудности. В качестве примера применения теоремы переноса можно привести установление правомерности использования геометрической аналогии при решении задачи Вен- на2, в которой требуется определить все возможные следствия из положения: «Члены правления финансового общества суть или владельцы облигаций или владельцы акций (но не то и другое вместе). Все владельцы облигаций являются членами правления». Теорема переноса рассматривалась выше как следствие постулата, выражающего условия однозначного определения отношения. Однако в ряде случаев теорему переноса можно обосновать и без этого постулата. Для этой цели можно воспользоваться уже известными условиями правомерности выводов по аналогии типа изоморфизма. Выше было показано, что при известных условиях изоморфизм дает право на перенос внутренних отношений из одной системы в другую. Обозначим эти отношения R2. Если бы удалось доказать, что одинаковость в модели и прототипе внутренних отношений 7?i обеспечивает выполнение указанных условий правомерности вывода по аналогии типа изоморфизма, то тем самым было бы обосновано положение о том, что вывод по схеме эмпирико-реляционной аналогии будет правомерным в том случае, если R\ и R2 являются внутренними отношениями для обоих сравниваемых систем, то есть если выполняются условия теоремы переноса. Для случая мультипликативных отношений между интенсивностями линейных свойств достаточны условия 1 См. Л. И. Уемов. Развитие логического мышления учащихся при решении задач. — «Физика в школе», 1956, № 2, стр. 38—39. 2 См. Л. Я. Уемов. О достоверности выводов по аналогии.— «Философские вопросы современной формальной логики», стр. 202, 276
правомерности вывода по аналогии типа изоморфизма, которые были даны выше в форме теоремы соответствия. Решение поставленной задачи требует доказательства обратной теоремы соответствия. Такую теорему можно сформулировать в следующем виде: если соответствующие внутренние отношения между интенсивностями линейных свойств соответствующих элементов сравниваемых систем будут равны, то любым равным интервалам интенсивностей свойств, характеризующих элементы одной системы, соответствуют равные интервалы интенсивностей свойств, характеризующих элементы другой системы (однородность соответствия интервалов интенсивности). Рассмотрим доказательство этого утверждения для случая двух элементов в каждой из систем S' и S". Имеем Х\, R, Х2 (система S') и уи R, у2 (система S"). Отношения между элементами в обеих системах πα условию равны, то есть они выражаются одним и тем же числом. Следовательно, интенсивность каждого из отношений разбивается на равное количество равных элементарных диапазонов интенсивностей — единиц. Но так как по условию R\ является также внутренним в обеих системах и его интенсивность определяется интенсивностью соотносящихся объектов, каждой такой единице будут соответствовать некоторые интервалы интенсивностей соотносящихся объектов. Обозначим их как Ах\, A#2, Ay и Δί/2· Каждой единице интенсивности отношения будут, очевидно, соответствовать равные интервалы интенсивностей соотносящихся свойств. Но первые одинаковы в обеих системах. Следовательно, равным интервалам интенсивностей свойств элементов одной системы соответствуют равные интервалы интенсивностей свойств другой системы. Увеличение числа элементов не изменит сущности доказательств при условии, что отношение будет приниматься в смысле R1Y точно так же, как это имело место при доказательстве прямой теоремы. Существенным моментом, различающим сферы применения прямой и обратной теорем, является неприменимость обратной Теоремы к случаю отношений между многими элементами, понимаемыми в смысле R11 и /?ш. Наличие равенства отношений в смысле R11 или R111 еще не свидетельствует об однородности соответствия диапазо- 277
нов интенсивности соотносящихся свойств. В случае R11 и R111 отношение между многими элементами в принципе невозможно свести к отношениям пар отдельных элементов. Они разлагаются на отношения между отдельными элементами и совокупностями всех остальных элементов. Свойства отдельных элементов, входящих в эти совокупности, могут меняться и таким образом нарушать соответствие со свойствами элементов другой системы без изменения отношений совокупности всех элементов к каждому из них. Это будет в тех случаях, когда изменение одних элементов будет скомпенсировано соответствующим изменением других элементов. Например, усиление одного из феодальных герцогов может быть компенсировано усилением централизующей королевской власти, так что отношение в целом между враждующими силами, то есть отношение всех феодалов к одному (то есть отношение, понимаемое в смысле R11) останется неизменным. Отношение, понимаемое в другом смысле, например, в смысле RlY, связанном с возможностью разложения на отношения пар отдельных элементов, изменится, поскольку изменится отношение отдельного феодала к усилившемуся герцогу. Таким образом, одинаковость отношения не будет свидетельствовать о наличии соответствия в сравниваемых системах, если только не будет доказано отсутствие «компенсации». Поэтому обратную теорему соответствия в случае с