/
Text
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ В. А. Вознесенский СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА В ТЕХНИКО- ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
•МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ* В. А, Вознесенский СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА В ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ Издание второе, переработанное и дополненное МОСКВА «ФИНАНСЫ И СТАТИСТИКА» 1981
ББК 22.172 В64 Редколлегия серии «Математическая статистика для экономистов»: А. Я. Боярский, И. Г. Венецкий, Н. К. Дружинин, А. М. Дубров, Ю. Н. Тюрин Вознесенский В. А. R64 Статистические методы планирования экспери- мента в технико-экономических исследованиях.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Финансы и статисти- ка, 1981.— 263 с., ил.— (Мат. статистика для эконо- мистов) . В пер.: 1 р. Книга посвящена статистическому планированию экспериментов для получения полиномиальных моделей поведения объектов и их оп- тимизации. В данном издании шире представлен справочный материал, приведены новые примеры моделей. Для экономистов, статистиков, специалистов, занимающихся опти- мизацией качества продукции, преподавателей и аспирантов. 10805—055 В 010(0Т)-81 21~81 1702060000 ББК 22.172 517.8:519.2 © Издательство «Статистика», 1974 © Издательство «Финансы и статистика», 1981
Тебе бы опыт сделать не мешало; Ведь он для вас — источник всех наук. Данте Алигьери «Божественная комедия» ВВЕДЕНИЕ С каждым годом все более актуальной ста- новится проблема повышения эффективности научных исследований. Большинство научных работников в той или иной мере связано с такими этапами исследования, разработки и внедрения в производство прогрессив- ных технико-экономических решений как эксперименты и другие опытные работы, качество и эффективность которых зависит не только от улучшения материаль- ной базы науки, но и от совершенствования организа- ции таких работ. Именно организация эксперимента в первую очередь требует оптимизации на основе ис- пользования достижений фундаментальных наук. Из математической теории эксперимента, доказав- шей За последнее двадцатилетие эффективность своих рекомендаций практически во всех областях науки и техники, следует, что опытные работы могут быть оп- тимизированы двумя путями без привлечения допол- нительных капитальных вложений. Во-первых, путем сокращения числа опытов (без потери достоверности технико-экономической информации, а лишь за счет исключения ее «излишков») можно получить эконо- мию материальных ресурсов и высвободить время вы- сококвалифицированных кадров для дополнительных исследований. При этом чем сложнее и новее иссле- дуемая система, тем выше получаемый эффект. Во-вто- 3
рых, можно при сохранении затрат на данное научное исследование намного увеличить объем новой научной технико-экономической информации. При этом сокра- щается вероятность ошибочных выводов по эмпириче- ским данным, что особенно важно, поскольку исправ- ление ошибок экспериментатора на стадии проектирова- ния стоит в десятки раз больше, чем на лабораторной стадии, а исправление их на стадии опытно-промыш- ленного внедрения — уже в сотни раз дороже. Книга, как и в первом издании, обращена к спе- циалистам по прикладным технико-экономическим ис- следованиям, причем работающим не только в научных учреждениях и вузах, но и непосредственно в отраслях народного хозяйства, потому что в настоящее время значительная часть экспериментальных работ прово- дится при активном участии работников производст- ва— экономистов, инженеров, управленческого персо- нала, передовых рабочих и др. При переработке автор старался учесть пожелания, полученные от работав- ших с этой книгой специалистов различных отраслей науки и техники. Книга сохранила рецептурное изло- жение идей и методов математической теории экспери- мента; для более глубокого их изучения лучше обра- титься к фундаментальной литературе. Большинство общеметодических положений и математических реко- мендаций автор стремился раскрыть при анализе при- меров решения конкретных технико-экономических за- дач. Дополнена книга, в частности, описанием в гл. 1 достаточно полной блок-схемы исследования, полезной даже тем читателям, которые не хотят применять ма- тематическое моделирование. В гл. 2 отражены новые планы, в том числе эффективные насыщенные для построения квадратичных моделей с числом факторов до 9. Введена новая гл. 4, целиком посвященная глав- ной проблеме — принятию технико-экономических реше- ний по моделям, хотя элементы этой методики автор стремился ввести по всему тексту. Книга ограничена рамками задач, связанных с полиномиальными квадра- тичными моделями. Автор считает своим приятным долгом поблагода- рить канд. техн, наук Т. А. Чемлеву (МГУ) за ценные указания, способствующие улучшению книги.
ГЛАВА 1. НАБЛЮДЕНИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТ КАК ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ 1.1. ПРИКЛАДНЫЕ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ СИСТЕМ НА ЭМПИРИЧЕСКОМ УРОВНЕ Во всех отраслях производства и науки не- обходимость прогресса, объективно обусловленная ма- териальными и духовными потребностями общества или внутренним механизмом развития науки, ставит перед исследователями те или иные проблемы. В некотором смысле научная проблема есть «знание и незнание», но «некоторое затруднение принимает характер проб- лемы в науке тогда, когда по масштабу и глубине оно таково, что не может быть преодолено непосредственно и моментально путем использования уже достигнутых знаний» [44, с. 90]. Существенной чертой научной проб- лемы является ее последовательное возобновление. Для ее решения привлекаются и специально получае- мая для этого новая информация и прошлый опыт че- ловечества (в форме проверенных практикой теорий, научных фактов, обобщений эмпирических знаний, оп- равдавших себя методик и расчетов, неформализован- ного опыта индивидуумов и т. п.). На некотором огра- ниченном историческом отрезке времени проблему мож- но считать решенной, если удается, образно говоря, ответить на вопросы: что? как? чем? почему? где? когда? кто? Однако значение ответа на каждый из этих вопросов различно в зависимости от того, перед какой областью науки поставлена проблема. Временной ре- сурс для ответа на вопросы также весьма различен. В большинстве случаев нет необходимости ждать объяснения всех причин принятия технико-экономичес- кого решения до его использования в практике, что 5
подтверждается всем ходом развития производства. Потребность в решении, интенсифицирующем процесс или повышающем качество готовой продукции, должна удовлетворяться быстрее, чем будет найдено полное его обоснование, включающее объяснение явлений на основе познания внутреннего их механизма. Это не умаляет роли фундаментальных исследований, объяс- няющих и предсказывающих будущие технико-экономи- ческие решения, а лишь проводит некоторую условную границу между ними и прикладными исследованиями. Последнее абсолютно необходимо для того, чтобы можно было рационально совершенствовать методы ис- следований и формы их организации, что само по себе является актуальной народнохозяйственной пробле- мой. Как в фундаментальных, так и в прикладных нау- ках познание объективного мира может быть достиг- нуто на двух относительно самостоятельных уров- нях— теоретическом и эмпирическом. В эмпирическом знании объект отражен со стороны его внешних связей и проявлений, доступных живому созерцанию. На эмпирическом уровне решение любой задачи всегда опирается на информацию о конкретной техни- ко-экономической ситуации. Информация может быть получена при наблюдении (изучении объекта без вме- шательства в его нормальное функционирование) и эк- сперименте (изучении объекта при целенаправленном воздействии на его параметры). Эта информация на первой ступени знания представляет собой эмпириче- ские данные, т. е. непосредственную фиксацию на оп- ределенном языке (естественном, математическом или ином семантическом коде) единичных результатов ис- следования поведения объекта. Сами эти данные в сос- тав науки не входят [62] — они на второй ступени должны быть обобщены в научный факт, который представляет собой полученное на основании множест- ва единичных данных единственное высказывание—, статистическое резюме эксперимента, характеризую- щееся определенной величиной вероятности. Как в фундаментальных, так и в прикладных иссле- дованиях, проводимых и на теоретическом, и на эмпи- рическом уровнях познания, для современной науки характерен системный подход к изучаемому явлению [57]. Диалектический материализм определяет систему 6
как ограниченное, взаимосвязанное противоречивым взаимодействием единство тел и предметов. В опреде- лениях понятия «система», используемых при исследо- вании и конструировании сложных объектов, проявля- ется целевая ориентация этого понятия, рассчитанная на конкретное применение в рамках определенной сис- темной теории. Система определяется заданием сис- темных объектов, их свойств и отношений между ними. Некоторые принципы такого определения можно пояс- нить на примере технологии композиционных материа- лов как сложной технико-экономической системы. Функцией такой системы является производство ис- кусственного материала с таким комплексом свойств (качеством), в котором не только реализуются лучшие свойства компонентов, но возникают новые свойства, обусловленные взаимодействием этих компонентов. Цель функционирования можно определить, в частнос- ти, как достижение материалом оптимального качест- ва и поддержание его на этом уровне с максимальной стабильностью при заданном объеме производства ма- териала на время т. Цель достигается при ряде огра- ничений на функционирование системы. Так, приведен- ные затраты на выпуск единицы продукции не должны превышать нормативной величины и т. п. Поведение системы оценивается по величине ее вы- ходов Yj (уровни показателей качества, объем произ- водства, величина себестоимости, вероятность появле- ния брака и др.), образующих поле поведения системы в пределах У^ш^У^У/тят. Границы поля поведения определяются пределами объективного существования даннрго выхода или его нормативным уровнем. Если поведение системы оценивается по Ny выходам, то каждому моменту времени т соответствует вектор. [YB] размерности IXVr, a >NX моментам времени — матрица [YBt] размерности Nx%Ny- Поле поведения можно считать стационарным, если вектор [YB] за вре- мя т изменяется в «допустимых» (с технико-экономиче- ской точки зрения) пределах. Целенаправленное изменение поля поведения [YB], так же как и поддержание его стационарным при ме- шающих воздействиях внешней (по отношению к сис- теме) среды, осуществляется за счет управления уров- нями входов Xi или факторов, образующих факторное пространство в пределах XiminC-YiC-^tmax, границы
которого также определяются или объективными воз- можностями существования данного фактора или нор- мативом. Число факторов влияющих на [Уд] сис- темы, весьма велико (в принципе Nx-^-oo), но управле- ние ведется по ограниченному их числу К. Остальные • (Nx—К) неуправляемых факторов вместе с мешающи- ми воздействиями внешней среды образуют группу случайно изменяющихся факторов £. Каждому моменту времени т в управляемой системе соответствует век- тор [X] размерности 1ХК, a моментам времени — матрица [Хт] размерности МТХ-К- Каждый из выходов системы У,- связан с [X] объ- ективно существующей зависимостью, называемой урав- нением состояния системы ф{У3, Хь Х2,.... Хь ..., Хк, т, = 0, v(l.1). для которого, к сожалению, в технологических, техни- ко-экономических и других реальных системах неиз- вестны ни виды функций ф, ни граничные условия. Уравнение состояния отражает, вообще говоря, и пря- мые, и обратные связи в системе, поскольку величиной, определяемой из (1.1), может быть и выход Yj и лю- бой из входов Xi. Кроме того, ясно, что изменение любого из Xi должно повлечь за собой изменение дру- гих факторов, если y3=const. При анализе реальных систем целесообразно выде- лять группы однородных факторов и выходов. Так, в технологии композиционных материалов как систейе на первом этапе было выделено шесть групп факторов [8], влияющих на комплекс свойств материала: пара- метры качества исходных компонентов, соотнощение между компонентами, режимы перемешивания смеси, формования, переходных процессов и эксплуатации. В настоящий момент в связи с развитием общей теории композиционных материалов, а также в связи с извест- ными предложениями об анализе цепи «технология — структура — свойства» представляется методически це- 'лесообразным расширить данную блок-схему, выделив в ней следующие группы факторов и выходов-пара- метров оптимизации показателей качества объекта: . Хик— группа «исходные компоненты»; в нее входят факторы, характеризующие качество сырьевых компо- нентов (Хс) и соотношение между компонентами, т. е. рецептуру композита (Хр); 8
-Хтр — группа «технологические режимы»; в нее вхо- дят факторы, характеризующие технологию компози- ционного материала: режимы смешивания (ХСм), фор- мования (Хф), переходных процессов (Хш) и моди- фикации (Хм) (под последней понимается отжиг, из- мельчение готового продукта, сепарация, рекристалли- зация и т. п.); Хуэ — группа «условия эксплуатации»; в нее вхо- дят факторы, характеризующие условия эксплуатации или' потребления композиционного материала: методы измерения показателей качества (Хи), конструктивные особенности изделий из композитов (Хк), условия эксплуатации (Ху); Ут— показатели качества, характеризующие техно- логичность композита (главным образом, реологичес- кие свойства «жидких» композиционных смесей (Утж) и их однородность ( УТу) ); Уо — показатели качества, характеризующие вы- полнение композитом основного назначения: еди- ничные (Уод), комплексные (Уок) и интегральные (Уои) (т. е. включающие экономические соотношения); У8 — показатели, характеризующие структуру ком- позита (количество новообразований при переходных процессах, средний диаметр пор, прочность контактных зон, градиенты полей распределения компонентов и т. п.); Уа — показатели однородности качества и надеж- ности композиционного материала. Иерархическая взаимосвязь между факторами (вхо- дами) X и параметрами оптимизации (выходами) У показана на рис. 1.1. Следует отметить, что нередко целесообразны такие варианты анализа систем, когда выходы — показатели качества нижнего уровня иерар- хии — используются как факторы для оптц’мизации более высокого уровня. В технологии композиционных материалов весьма перспективны работы, в которых анализируются последовательно соединенные подсис- темы, причем выходы подсистемы нижнего уровня иерархии (типа Ут и Уд) служат входами подсистемы верхнего уровня (с выходами типа Уо и Уо) [11]. При изучении конкретной системы всегда приходится абстрагироваться от ряда происходящих в ней явлений. Такая научная абстракция позволяет выделить и анали- зировать наиболее важные для данного исследования 9
характеристики системы (структуру, взаимосвязи меж- ду элементами, свойства, черты поведения и т. д.) из множества реально существующих у данной системы. Поскольку научная абстракция оставляет для анализа у исследуемой системы «О» только те ее характеристи- ки, которые необходимы для достижения ограничен- ной цели исследования, то можно заменить систему «О» на нетождественную систему «Л4», но аналогичную ей только по исследуемым характеристикам [66]. Такая замена целесообразна, конечно, в том случае, когда но- вая система «Л!» требует для своего создания и анали- за существенно меньше ресурсов, чем система «О». Но- вая система «ЛЬ является моделью системы «О»; мо- дель характеризуется как мысленно представляемая или материально реализуемая система, которая, отражая или воспроизводя объект исследования, способна дать новую информацию об этом объекте'[74]. Наиболее существенной с технико-экономической точки зрения является классификация моделей в зави- симости от того, какие стороны объекта представлены в модели. По такой классификации модели могут быть субстанциональными, структурными и функциональными [8, 66, 74]. В современной науке резко возросла роль функциональных моделей, имитирующих способы пове- Рис. 1.1. Иерархическая взаимосвязь между факторами Xi и параметрами выхода Yj в це- пи «исходные компоненты» — «технология» — «структура» — «качество» — «надежность» 10
дения оригинала. Функция как некоторый стабильный для данной системы способ поведения является одной из важнейших сторон сущности системы. Функциональ- ный подход характеризуется как бы двойной абстрак- цией: абстрагированием сначала от вещественного сос- тава системы с вычленением ее внутренней структуры и последующим абстрагированием от последней с выде- лением функциональных связей системы со средой. Сложная материальная система рассматривается как единство трех объективных начал: вещества, структуры внутренних отношений и функциональных связей со сре- дой. Функциональный подход к системам не исчерпы- вает полностью существа последних, но позволяет при- близиться к раскрытию их природы. Обобщенным абстрактным образом функциональной модели, получившим широкое распространение и тео- ретическую разработку в кибернетике, является «чер- ный ящик». Под ним понимается система, внутреннее устройство которой не известно наблюдателю, но он мо- жет исследовать входы [X] и выходы [YB] этой сис- темы. Функциональная модель «черного ящика» долж- на ему соответствовать по входам [X] и выходам [YB], т. е. при тех же входных воздействиях обнаруживать аналогичную с объектом реакцию на выходах [57]. Следует отметить, что понятие «не известно наблюда- телю» нужно рассматривать хотя бы на двух ступенях. Во-первых, могут исследоваться системы, внутреннее устройство и механизм функционирования которых по- ка не известны достоверно никому из исследователей. Во-вторых, принцип «черного ящика» можно применять в исследованиях, результатом которых должно быть не объяснение функционирования объектов, а достижение некоторого заданного состояния по [X] и [YB]; послед- нее, как было показано выше, характерно именно для прикладных исследований с ограниченным ресурсом вре- мени. Такой подход позволяет временно отвлечься от не- которых сложных явлений (физико-химических, техни- ко-экономических, психологических и др.), происходя- щих в исследуемой системе, и значительно ускорить решение ряда практических задач (управления, опти- мизации и т. д.). Конечно, этот подход не отрицает не- обходимости дальнейших исследований причин явлений, , структуры и субстанции системы; более того, такие ис- следования стимулируются конкретными (нередко вы- 11
дающимися) результатами изучения материальных сис- тем по модели «черного ящика». Как и модели других классов, функциональные мо- дели могут быть физическими и абстрактно-знаковы- ми. К числу последних относятся функциональные ма- тематические модели, которыми можно назвать фор- мальные описания системы (в виде набора чисел, гра- фиков, уравнений, неравенств, логических выражений, блок-схем алгоритмов и т. п.), позволяющие выносить суждение о некоторых чертах поведения этой системы с помощью формальных процедур над ее описаниями. В общем виде математическая модель системы для каж- дого выхода Y3- записывается как уравнение состояния (1.1), которое, как указывалось выше, обычно неизве- стно. Однако наблюдение за поведением системы позво- ляет собрать исследователю информацию о соответст- вии в каждый момент времени т вектора выходов [Ye] вектору ее входов [X]. На основе такой информации можно аппроксимировать [57] уравнение состояния другой функцией <₽{Ь, [Х],тЛ,4ьЛ2,...}=0, (1.2). в которой некоторые параметры 41, А2,... подбирают- ся так, чтобы во всем поле поведения системы уклоне- ние функции ф (1.2) от функции ф (1.1) было мини- мальным, в результате чего реализуется принцип соот- ветствия, или адекватности, модели [38]. Вопрос о том, какова должна быть функция ф, не имеет однозначного ответа. Последний зависит от целей, рабочих гипотез, априорной информации, профессиональной подготовки исследователя и других неформализуемых элементов научного творчества. Более того, равноправными мо- гут быть несколько функций (1.2), образующих «веер» моделей [26,29]. Если модель (1.2) необходима для описания поведе- ния системы (но не для объяснения механизма явлений) и у исследователя нет более мощных гипотез, основан- ных на фундаментальных законах природы, то он может удовлетвориться гипотезой, выбранной из принципа простоты [38], а именно взять в качестве аппроксими- рующей функции (1.2) полином (многочлен), степенной ряд, ряд Фурье, тригонометрический многочлен и т. п. Для решения большинства реальных прикладных тех- нико-экономических задач целесообразно применять 12
полиномиальные модели порядка т, которые для К г факторов записываются, как к к g К=Ао+ А«Х<+ 23 A.ijXiXj+ A-uXi +••• (1.3) i=l i<j i—i Коэффициенты полинома Ao, At, Aij, Ан,... эквива- лентны [28] частным производным кратного ряда Тей- лора [54, с. 142] для явной относительно У функции фу (1.1), если она имеет все непрерывные частные произ- водные порядка в окрестности точки разложения а (т включено в [X]): dipy 1 д2,фу Ао=фт{а1......ак}, А»= —Aij= — -у uXi 2! uAidXj _ 1 21 dX\ ' ’ ‘ ’ По экспериментальным данным, т. е. по матрицам [Ybt] и [Хт], можно рассчитать только статистические оценки До, at, ац, ан,... истинных коэффициентов поли- номиальной модели Ao, A,, Ajj, Ан,... и получить ,мо- Л дель для расчетного значения выхода У: А к К 2 V У=а0+ 2 aiXi-V S aijXiXj-^- aaXi +•••4-8. (1.5) t=l i<j i=l В модели (1.5) добавлено слагаемое 8, которое от- ражает влияние случайных факторов в системе а также последствия расчета оценок коэффициентов мо- дели по экспериментальным данным. Величина 8 — случайная; она распределена с математическим ожида- f, нием равным нулю и отличной от нуля дисперсией о1 2{У} (см. гл. 2). Если модель (1.3) является детер- ч минированной, то модель (1.5), по нашему мнению, следует считать стохастической (по Химмельблау — первого типа [70]). V Полиномиальные модели (1.5) весьма удобны для решения практических прикладных задач’: 1 Это утверждение, по-видимому, относится не только к техни- ко-экономическим задачам в областях науки с недостаточно разви- тым теоретическим фундаментом (технология искусственных компо- зиционных материалов, управление качеством продукции и т. п.), но и областям с традиционным применением физико-математическо- го аппарата. Так, в £29] отмечается, что при описании химических 13
описание поведения объекта легко уточнить, по- вышая степень полинома т, для построения мо- дели в единообразной форме (1.5) вне зависимости от класса объектов (технико-экономические, технологи- ческие, социальные, медико-биологические и др.) ис- пользуется стандартный алгоритм с набором типовых программ. Однако полиномиальное моделирование не лишено и ряда недостатков; зная числовые оценки ко- эффициентов do, Ui, ац, ан,... нельзя восстановить ана- литические выражения для уравнения состояния (1.1); механизм явлений, происходящих в системе, можно оце- нить лишь приближенно при логико-профессиональном анализе соотношений между коэффициентами модели (см. гл. 3). То, что математические модели являются не пред- метно-физическими, а абстрактно-знаковыми, не умаля- ет их объективности при условии, что они с достаточной точностью описывают поведение системы. 1.2. СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД КАК МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ИССЛЕДОВАНИЯ Принципы анализа сложных систем с вычле- нением основных элементов и взаимосвязей между ни- ми [67, 71] необходимо применять не только к изучаемо- му объекту, но и к самому процессу научного иссле- дования. Такой анализ позволяет обеспечить четкую логику исследования, обосновать его процедуру, вы- делить как эвристические (требующие существенного интеллектуального напряжения от исследователя), так и формализируемые до уровня стандарта его этапы (тре- бующие не знания, а умения и допускающие с теми или иными затратами передачу функций исследователя автоматизированным системам). Последнее обстоятель- ство может принести немаловажный народнохозяйст- венный эффект, так как позволяет резко повысить про- изводительность и эффективность труда ученых, скон- центрировать их усилия именно на эвристических эле- ментах исследования, а не на многократно повторя- процессов простые полиномиальные модели могут дать больше, чем модели нелинейные по параметрам, претендующие на описание ме- ханизма явления. 14
емых и хорошо разработанных (иногда в смежной от- расли) процедурах. Рассмотрим достаточно полную блок-схему приклад- ных эмпирических исследований, включающих полино- миальное математическое моделирование систем. Эта схема, разработанная автором в 1968—1970 гг. {8, 9] г и дополненная рекомендациями, вытекающими как из опыта ее применения, так й из результатов исследова- ний других авторов '[2, 6, 16, 31, 33, 46, 58 и др.], по- казана на рис. 1.2. Любое научное исследование прово- дится по циклической схеме, причем каждый новый его цикл в силу накопления новой научно-технической ин- формации и появления новых идей и методов решения задач проходит на более высоком качественном уров- » не. Таким образом, реализуется известный в диалекти- ческом материализме процесс развития науки как сис- темы по спирали. Объективная необходимость ставит на повестку дня некоторую проблему (этап I), ее решение (полное или частичное) происходит в несколько после- < довательных этапов (II—X), после обсуждения резуль- татов с научной, технической и экономической точек зрения принимается решение (этап XI) об их реали- зации. Тем самым «ответ» на вопрос, поставленный от- раслью науки или производства, возвращается «заказ- >.• чику». На первом этапе формулируется проблема [44, 65], , причем формулировку можно считать законченной, ког- да в ней определены причины постановки проблемы (определены потребности) и сформированы идеи ее раз- решения. Например, ставится проблема «разработать на основе высокомолекулярных соединений новые мно- гокомпонентные химические добавки-регуляторы, позво- ' ляющие интенсифицировать процессы производства из- делий из композиционных материалов и повысить их надежность в сложных условиях эксплуатации». Проб- лема координируется высшими научными организация- ми (АН СССР, ГКНТ и т. п.) и решается комплексно. ' На втором этапе на основе формулировки проблемы выбираются или назначаются объекты исследования, > причем внутри одной проблемы они могут быть разные для некоторых научных подразделений. Третий этап предполагает сбор, систематизацию и анализ информации (/о), накопленной к началу работ. Анализ такой информации, называемой нередко апри- 1 15
к ЕУ. ПЛАНИРОВАНИЕ, ПРОВЕДЕНИЕ И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТА \~А. Эксперимент для выделения | ОСНОВНЫХ ФАКТОРОВ Xi и по- । иска зоны оптимума Yj (линей- • ные модели) с 7 шагами I ° ноли за._________________ | Т/7.7. Оценка параметров рас-У i пределения случайных I величин Yj I I а. 2. Корреляция между Yj j I а 3. Оценки коэффициентов I 1 моделей* и их ошибок i | а. й. Последовательный рее- I i рессионный анализ и j I I проверка адекватности I | i моделей 1 t 1/7 5. Поиск оптимальных ус- I I i ловий работы объекта ; I I по КАЖДОМУ критерию] j качества Yj : I \а В Поиск компромиссных | j решений по всем кри-: • териям Yj I I \а 7.Построение графиков для ; I оперативного управления] j объектом J И бланки „Предпланирование ” ---------1---------- _______jz.__________________ Рис. 1.2. Циклическая блок-схема исследований 16
с применением математических моделей 2 Заказ 6525 17
орной, необходим для ответа на ряд важных вопросов, в частности: — каковы теоретические взгляды на решение по- ставленной технико-экономической проблемы, какие «смежные» теории можно привлечь к прогнозированию результатов ее решения, какие рабочие гипотезы ха- - рактерны для аналогичных исследований; — на каких исходных методических предпосылках (методы сбора и обработки информации, обеспечение точности измерений, инструменты, организация работ и т. д.) строить дальнейшее эмпирическое исследова- ние, что можно использовать в исследовании из методик . «смежных» (а может быть, и «далеких») областей и т. д.; — каковы общие совпадающие выводы в -ранее вы- полненных исследованиях и каковы (что наиболее важ- но) противоречия в этих выводах и у разных авторов, в чем возможные причины таких противоречий при сравнении работ ряда научных школ, как учесть досто- инства и недостатки предыдущих работ и т. п.; — какие факторы Х{ и в каких пределах исследова- ны ранее, какие выходы Yj исследовались и какой луч- ший уровень для них уже достигнут, какие уровни ка- чества можно считать «отличными», «хорошими» ит. д., какие формы взаимосвязи между Xi и Xj+i, между У3- и Yj+i, между Yj и Xi известны из теоретических пред- посылок и эмпирических исследований и др. Результаты анализа априорной информации /0 по- зволяют начать заполнение специальных бланков «Предпланирование» (приложение 5). Таким образом, на основе информации 10 формируется новая информа- ция 71, которая позволяет перейти к четвертому и пято- му этапам — научно-методическим. Цель конкретного исследования (IV.A) представляет собой достаточно четко определенное состояние объекта, в которое он должен быть переведен; например, «за счет введения многокомпонентных химдобавок снизить энергоемкость производства композиционных материалов на 10—15%, обеспечить при этом стабильность механических пара- метров качества и снижение уровня брака изделий на 20—25%». Задачи (IV.B) исследования (обычно оттрех до десяти формулировок) конкретизируют возможный результат каждого из этапов работы. Выделение фун- даментальных принципов (запись конкретных форм за- 18
конов сохранения вещества и энергии, основных реак- ций и т. и.) и формирование рабочих гипотез как ру- ководящих идей всего исследования, предсказывающих возможные его результаты, составляют содержание под- этапа IV.C. Далее составляется техническая и инстру- ментальная методики, определяющие процедуры отбора образцов, создания физических моделей, исключения влияния внешней среды, измерений, фиксации резуль- татов и т. п. (IV.D). Тесно связан с предыдущим пятый этап исследования. Подэтап V.A — выбор выходов системы Yj или кри- териев ее оптимизации, в число которых помимо основ- ных, включенных в задание на исследование, могут вхо- дить промежуточные критерии (например, определяемые экспрессными методами на поисковом этапе работ вы- ходы; перспективные для будущих разработок, парамет- ры качества и т. п.). Весьма важно достаточно полно учесть (V.B) факторы часть из них должна быть закреплена на определенном количественном уровне (стабилизированные факторы), а другая часть вклю- чена в исследование как переменные; причем по мере перехода от поискового этапа работ к уточняющему ко- личество переменных факторов уменьшается за счет стабилизации некоторых на оптимальных уровнях, най- денных в ходе работ. Следует особо отметить, что во всем цикле исследования факторы должны иметь сплошную индексацию, постоянную на всех этапах, а не изменяющуюся в зависимости от столбца плана в дан- ной частной задаче. Так, например, температура тер- мообработки композита при априорном ранжировании обозначена Х5, следовательно, и в трехфакторном плане она обозначается Л5, а не Х\ или Хг, или Хз. На под- этапе V.C необходимо записать технико-экономические формулировки задач в математических терминах и вы- брать методы их решения в зависимости от целей ги- потез и исследования. Обязательным, хотя и нечасто встречающимся в прикладных работах, является под- этап N.D, на котором исследователь должен оценить метрологическую обеспеченность исследований (может быть, даже за счет постановки специальной серии опы- тов), определить ошибки измерений и воспроизводимос- ти, рассчитать повторяемость измерений и опытов для обеспечения требуемой точности результатов, В резуль- 2* 13
тате разработки четвертого и пятого этапов исследо- ватель имеет качественно новую информацию Ц, что на шестом этапе позволяет окончательно заполнить спе- циальный бланк «Предпланирование» (приложение 5), концентрирующий все формализованные сведения о предстоящих экспериментах. Основным является седьмой этап исследований —1 планирование, проведение и анализ эксперимента, — построенный по ступенчатому принципу: ступень А — эксперимент для отбора из гипотетически влияющих на выходы Yj системы множества факторов тех Xi, вклад которых в изменение Yj наиболее ощутим, и поиск почти стационарной зоны оптимума по линей- ным моделям (наиболее полно этот этап описан в [1, 2 и др.]); ступень В — эксперимент для описания поведения объекта и оптимизации его функционирования по нели- нейным (в частности, квадратичным) моделям; нередко состоит из нескольких последовательных ступеней: В-I, В-П,...; ступень С — заключительная (желательная, но не обязательная, если среди задач исследования нет не- обходимости в объяснении результатов) ступень опытов для раскрытия сущности изучаемого явления; именно на этой ступени требуется применение дорогостоящей спе- циальной аппаратуры с повышенной точностью измере- ний и увеличение числа дублирующих опытов. Каждая из ступеней состоит из семи шагов статисти- ческого анализа, указанных в блоке А. В зависимости от цели и задач исследования они могут на каждой сту- пени выполняться лишь частично (более подробно они описаны далее). После каждой ступени эксперимен- тального исследования получается новая информация /з, которая используется двояко. Во-первых, она позво- ляет немедленно в соответствии с принципами про- граммно-целевого управления наукой перейти к этапу VIII — технико-экономическому анализу результатов для их практического использования. Во-вторых, она позволяет перейти к следующей ступени эксперимента (информация Ца, Ць и т. д.) для его совершенствования за счет частичного пересмотра стратегии исследования; при этом используется и получаемая из блока VIII по каналу обратной связи информация ha’b о результатах технико-экономического анализа предыдущих исследо- 20
ваний. На восьмом этапе производится обратный пере- вод математических символов (числовых результатов, моделей и т. п.) в термины данной отрасли с расшиф- ровкой полученных выводов и их тщательной профес- сионально-логической проверкой. Математический ре- зультат служит для того, чтобы экспериментатор на его основании воссоздал в своем мышлении необходимые технико-экономические понятия и принял правильное решение, отвечающее целям и задачам исследования. Важнейшим этапом исследования является девя- тый — экспериментально-производственная проверка ре- зультатов моделирования. На этом этапе происходит перенос по аналогии [66] всех выводов, полученных на модели в лабораторных условиях, на основной объект. Можно вновь проверить адекватность модели, но уже по отношению к ошибкам, допустимым на данном про- изводственном объекте. Обычно требуется некоторая корректировка моделей, поскольку в них невозможно учесть все факторы X,-, действующие на крупномас- штабный объект, после чего подготавливается отчетная документация об исследовании (необходимая информа- ция 7в Для увеличения накапливаемого в отрасли объе- ма информации /о) и принимается решение об исполь- зовании результатов исследования в данной отрасли науки или производства. Следует подчеркнуть, что полезность моделирования зависит от качества разработки всех этапов (II—IX) и что нередко исследователю при получении отрица- тельного результата на некотором этапе (IV—IX) не- обходимо вернуться к предыдущим этапам и откоррек- тировать принятое ранее решение. Как показывает поч- ти двадцатилетний опыт [3], внедрение практически во все отрасли науки и производства методов математичес- кой теории эксперимента поднимает эмпирические при- кладные исследования на качественно новый, более вы- сокий уровень познания. 1.3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ИХ ОСОБЕННОСТИ .При системном анализе важно определить, к какому классу относится данная система: к детерми- нированным или стохастическим (вероятностным). Раз- витие (движение) детерминированной системы полно-
стью обусловлено и не подвержено случайностям. Изме- нение одного из факторов системы Х{ на некоторую ве- личину ДХ$ всегда вызовет изменение выхода У3- на строго определенную величину ДУ;. Детерминированные системы (особенно в технико-экономической проблема- тике) встречаются достаточно редко. В вероятностных (стохастических) системах наряду с необходимостью действует случайность. В них измене- ние фактора Xi на величину AXi вызывает изменение выхода У (или другого связанного с ним фактора Xf+i) на величину ДУ + е{У), где е{У) —случайная ве- личина. Поскольку в стохастической системе помимо детерминированных факторов Xi действуют случайные то выход У также будет случайной величиной (вели- чина У может складываться из детерминированной и случайной компонент). Более того, в соответствии с ре- комендациями математической теории эксперимента программа эксперимента составляется так, чтобы ран- домизировать (т. е. сделать случайными) те система- тически действующие факторы, которые трудно подда- ются учету и контролю, с тем, чтобы можно было рас- сматривать их как случайные величины и, следователь- но, учитывать статистически. Так как g и У — случайны, то целесообразно напом- нить некоторые основные положения теории вероятнос- тей [37, 42 и др.]. Под случайным событием понимает- ся факт, который в результате испытания (осуществле- ния правил) может произойти или не произойти. Мерой объективной возможности случайного события А явля- ется вероятность Р {4} (0<Р {4}«С1). Случайной величиной У называется величина, значе- ния которой подвержены некоторому неконтролируемому разбросу при повторении данного процесса (наблюде- ния, эксперимента). Поведение случайной величины полностью описывается функцией распределения веро- ятностей Р{У} (или интегральным законом распределе- ния), которая показывает вероятность того, что случай- ная величина У примет значения меньше уа- F{Y}=P{Y<ya}; ( — oo<Y<ya). (1.6) Для непрерывных случайных величин может быть записана функция плотности вероятности (или диффе- ренциальный закон распределения), которая связана с Р{У} соотношениями 22
F{y>= Sko-'I'. (и» —oo Для дискретной случайной величины закон распре- деления задается перечнем ее возможных значений и со- ответствующих им вероятностей; для событий, не сво- дящихся к системе случаев, можно записать, что р {yu}=vu = mu:n, (1.8) где ти — частота, или абсолютная численность появле- ния случайной величины среди п испытаний; vu — частость, или относительная частота появления. Во многих технико-экономических задачах вместо за- конов распределения достаточно знать основные чис- ловые характеристики, или параметры распределения 0j. Центром группирования случайной величины У явля- ется математическое ожидание или генеральная средняя 01==ц, характеристикой рассеяния случайной величины у — дисперсия 02=|ст2, форма кривой распределения ха- рактеризуется коэффициентами асимметрии 0з=4 и островершинности (эксцесс) i04=£: оо оо Т)= §Yf{Y}dY; <?= $ (У-Т))2.Г{У}</У; (1.9)-(1.10) —оо —ОО оо л= ± $ (Y-^f{Y}dY-, (1.11) —со оо £=-3+-^ $. (F-tiWlW. (1-12) —оо Характеристикой рассеяния (в этом случае ее рад- мерность будет совпадать с размерностью У) является также среднеквадратическое отклонение (стандарт) о или безразмерная характеристика у, которая называется коэффициентом вариации: о=+У^’; у=о:т]. (1.-13)—(1.14) Хорошее представление о форме и свойствах диф- ференциального закона распределения дают такие чис- ловые характеристики, как квантили [49]. Это прону- мерованные по порядку (М—1) точек, т. е. 1-й кван- тиль,..., о-й квантиль,..., (М—1)-й квантиль, разгра- 23
ничивающие распределение на М равных частей. Кван- тили относятся к непараметрическим (независимым от информации о параметрах распределения т], о2, А, Е) порядковым или ранговым числовым характеристикам. Для каждого квантиля указывается соответствующее ему значение случайной величины У. При М—2 единст- венный квантиль называется медианой, при Л4=4 три квантиля называются квартилями, при М— 10 — деци- лями, а при М—100 — перцентилями. Наиболее распространенным (но не универсальным) теоретическим законом распределения является нор- мальный, плотность которого задается двумя парамет- рами т) и о: ’ ‘ 1 (у-л)2 /{У}=—=е 202 • (1.15) а]/2л; Кривая распределения f{7} имеет колоколообраз- ную форму с максимумом в точке У=т] и двумя точ- ками перегиба при У=т]±о; кривая становится более пологой с ростом о; кривая симметрична (4=0), а по островершинности принята за норму (Е=0). Табулиру- ется функция (1.15) для безразмерной нормированной случайной величины Если одновременно фиксируются факты появления двух случайных величин У] и Уч, то говорят о системе случайных величин. Плотность нормального распределе- ния двумерной случайной величины имеет форму коло- колообразной поверхности с экстремумом в точке с ко- ординатами т)1 и т|2, которые по своему вероятностному смыслу представляют значения частных средних случай- ных величин У] и Уч, имеющих частные дисперсии со- ответственно oi и о2- Такая поверхность при проекти- ровании на плоскость может быть изображена изове- роятностными эллипсами, называемыми эллипсами рас- сеяния. Уравнение поверхности f { У1У2} ---------1 ехр 23X0102 yi — р2 (У1 1 . 2(1-рЧК1Ъ» А2 , (1.17) 24
где -2р{У1у2} . (1.18) В формуле (1.17) есть новый параметр |р{У, У2} | «С 1, характеризующий в некотором смыс- ле зависимость Yi и У2 друг от друга; равенство его ну- лю означает отсутствие связи между Yt и У2, а ±1 — наличие линейной функциональной связи; параметр р{У, У2} называется коэффициентом корреляции. Он вы- числяется на основе такой числовой характеристики, как ковариация двух величин cov {У, У2} — первого смешанного центрального момента: Р {У1У2} = соу{У, У2}: (о, • о2) • (1.19). Целесообразно отметить, что (1.18) есть уравнение эллипса рассеяния для заданной вероятности, площадь которого пропорциональна величине . S= 0,0,71-р2{У1У2}. (1.20) При экспериментах и наблюдениях исследователь практически всегда имеет для случайной величины У информацию не обо всей генеральной совокупности1 объемом NT, а лишь о некоторой ее части — выборке всегда конечного объема п. По результатам такого ограниченного наблюдения можно определить точечные оценки 0* параметров генеральной совокупности. В от- личие от истинных параметров они обозначаются ла- тинскими буквами или символами со звездочкой. Для вычисления оценок среднего у, дисперсии s2, коэффици- ента вариации о, коэффициента асимметрии А* и эксцесса £*, ковариации cov* {У,У2} и коэффициента корреляции г{У,У2) удобно пользоваться оценками четы- рех первых начальных т* (1-21) и центральных момен- тов р* (1.22): 1 Генеральная совокупность — все мыслимые наблюдения, кото- рые Могли бы быть сделаны при данном комплексе условий [37]. Она может быть конечной и бесконечной. 25
* 1 » , * 1 « * 1 " 2 ms =— 2 Уи ; mi =— 21 yu; m2 =— 2 ; u=l U=1 U=1 * 1 « 3 * 1 ” 4 m3 =— 22 yu ; mi =— 22 yu ; u=l u=i (1.21) * 1 n * * 1 gs =—22 (Уи-miY', p.1 =°; " U=1 * 1 n * * * {12 =— 22 (Уи-mi y=m2 — пц; u=l {13 =4~ 22 (Уи-mi )3=m3 -3m2m1 +2(mt )3= U—i = m3 — 3p,2 mt — (mi)3; И4 =^- 2 (Уи-т*у=т4 -4m3mi + U=1 +6m2 (tni )2-3(/ni )4= = mt-4{i3mi -6p2 (mi )2- (mx )*. Таким образом, = J. £ yu ; ц 23) > П u=i n * 1 n — S2=0*{o2} = —-И2 = —— 2} (y-yuY ; (1.24) Д “ 1 1 U=1 s=0*{a} = +yF; v = 0*{y)=s;^ (1.25) —(1.26) Л*=0*{Л} = рз :s3; (1.27) £* = 0*{E} = (p4 :s4) —3; (1.28) соу*{У]У2}= (yiXy2)u-mi {Y} mi{Y2}; (1.29) /•{У1У2}=0*{р{У1^}}=соу*{У1У2}:(51.32). (1.30) Эмпирические частость события А и частость попа- дания случайной величины У в 1-й интервал (если об- ласть ее наблюдения разделена на L частей) вычисля- ются подобно (1.8) соответственно как рА=^тА:п; pi=mr.n. (1.31)—(1.32) 26
Эмпирический v-и квантиль для заданной частости р=— вычисляется [42] по формуле М / v 1 Ди / о 1 \ Чр = Ч { ТГ > = У1 mind-I ’ТГ ’п+ mi )’ (1.33) I м I т \ 1Yl / ’ / г=1 где t/ftnm — минимальная граница /-го интервала, со- держащего о-й квантиль; Дг/ — интервал группирования ранжированного ряда У из п измерений уи‘, mi — частота, соответствующая интервалу, в ко- торый входит о-й квантиль; 2/zii —накопленные частоты в интервале, предше- ствующем тому, который содержит о-й квантиль. При работе с выборкой объемом п вводится понятие «степени свободы», учитывающее связи, ограничиваю- щие возможности независимого измерения случайных величин. Число степеней свободы / определяется как число независимых измерений (п) минус число тех связей (Л), которые наложены на ряд измерений при его обра- ботке. Так, после вычисления оценки среднего как t/=(t/i + «/H-|-«/п) : п совокупность результатов изме- рений лишается одной степени свободы, поскольку, если у известно, то (п—1) измерений могут быть любыми, но одно, например уп,.детерминировано как уп = —у{— —У2-------Уп-i+n-y. Используя у при расчете диспер- сии (1.24), экспериментатор располагает лишь числом степеней свободы f=n—1, что и учтено в знаменателе формулы. В дальнейшем значение f приводится для каж- дого конкретного случая вычисления оценок 0*. К оценкам 0* любых параметров генеральной сово- купности 0 предъявляются следующие требования [26, 37]. Желательно, чтобы оценка была состоятельна (с ростом объема выборки п стремилась по вероятности к истинному значению 0), несмещена (ее математиче- ское ожидание т){0*} при любом п асимптотически стремится к истинному значению 0) и эффективна (оцен- ка 0а* обладает наименьшим рассеянием по сравне- нию с любыми оценками 0*в,0*с и т. д. того же парамет- ра 0). Выполнение этих требований обеспечивает наи- лучшие условия для правильного суждения о свойствах генеральной совокупности. Для данной выборки точеч- 27
ные оценки — детерминированные числа, но для гене- ральной совокупности любая выборочная оценка 0* — величина случайная (в отличие от оцениваемого пара- метра 0), даже если оценки состоятельны, несмещены и эффективны. Перенос наших знаний от выборочной совокупности к генеральной может быть осуществлен лишь с некото- рой вероятностью Р{0), т. е. суждение о свойствах гене- ральной совокупности носит вероятностный характер и содержит элемент риска (1—Р{0}). Любые суждения о свойствах генеральной совокупности называются стати- стическими гипотезами (Н). Их проверка осуществляет- ся с помощью статистических критериев Сг, назначае- мых в зависимости от формулировки Н. Все эти крите- рии по своей природе отрицательны. Если значение изу- чаемого параметра 0 попадает в область «принятия» ги- потезы, то это значит лишь, что гипотеза не противоре- чит экспериментальным (выборочным) данным и ее с риском (1—Р{0}) можно признать правомерной (бу- дем говорить, что «гипотеза допущена») по крайней мере до тех пор, пока исследования по расширенной информации или с помощью более мощных критериев не приведут к противоположному результату. Кроме того, неотрицательный результат проверки Н не означа- ет, что эта гипотеза лучшая или единственная (свойст- вом непротиворечивости могут обладать и другие гипо- тезы) , — ее следует рассматривать лишь как одно из правдоподобных (а не абсолютно достоверных) ут- верждений. Основная выдвинутая гипотеза называется нуль-ги- потезой (Но). Весьма часто она формулируется как ги- потеза о том, что оценки 0*д и 0ib, полученные из двух выборок А и В, принадлежат к одной генеральной сово- купности с истинным параметром 0ь т. е. разница между 0!аи 0гв фактически равна нулю и возникла в силу случайности отбора элементов в выборку. Противореча- щие ей гипотезы Н, называют альтернативными, или конкурирующими. Поскольку проверка гипотез ведется при ограниченной информации (по выборке), то могут возникнуть ошибки двух родов. Если будет отвергнута .правильная гипотеза, то совершается ошибка первого рода; если будет допущена неправильная гипотеза, то совершается ошибка второго рода. Все четыре возмож- ные при этом ситуации показаны в табл. 1.1. 28
Таблица 1.1 ВОЗМОЖНОСТЬ ОШИБОК ПРИ ПРОВЕРКЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ (на примере проверки равенства двух генеральных дисперсий и а|) Критерий Сг рекомендует допустить нуль-гипотезу Критерий Сг рекоменду- ет отклонить нуль-гипо- тезу (т. е. допустить альтернативную . гипотезу Hi) Фактически истин- на нуль-гипотеза Но : (Tj Фактически истин- на альтернативная гипотеза Н,: решение правомерно: до- пущена гипотеза Но решение ложно: совер- шена ошибка второго рода, так как допуще- на ложная гипотеза Но вместо истинной Hi решение ложно: со- вершена ошибка пер- вого рода, так как отклонена верная ги- потеза Но решение истинно, так как допущена гипо- теза Hi Вероятность допустить ошибку первого рода назы- вается уровнем значимости и обозначается а. Область, отвечающая вероятности а, называется критической, а дополняющая ее область, вероятность попадания в кото- рую Р{6О} = 1—а, называется областью естественных (правдоподобных) значений Сг (рис. 1.3). Вероятность ошибки второго рода обозначается р, а величина Р{0р} = 1—р называется мощностью критерия. Чем больше мощность критерия, тем меньше вероят- ность совершить ошибку второго рода (однако при этом может возрастать риск а, особенно при малых фиксиро- Рис. 1.3. К пояснению ошибки первого рода 29
ванных выборках). В работах по контролю качества величина (а называется риском производителя (отвергая правильную гипотезу, он бракует годную продукцию), а величина 0 — риском потребителя (допуская ложную ги- потезу, он принимает и использует фактически непригод- ную продукцию). Выбор значений а и 0 в таких усло- виях производится по взаимной договоренности между производителем и потребителем и зависит от технико- экономической тяжести последствий, возникающих от совершения ошибок первого и второго рода. В задачах статистического моделирования обычно устанавливают некоторое значение а, а статистический критерий Сг вы- бирают так, чтобы минимизировать 0 [37]. По нашему мнению, для поисковых работ при двусторонних крите- риях можно рекомендовать а=0,05—0,10 (а в ряде слу- чаев и 0,20), а для окончательных решений^-а= =0,01—0,05. Гипотеза о равенстве двух независимых дисперсий, например, может проверяться по F-критерию, выбороч- ное значение которого подчиняется ^-распределению Фишера (см. приложение 2). 2 2 F=si :s2 • (1.34) где Si2 — большая из оценок дисперсий в двух выборках (если не сделано специальных оговорок; см. § 2.3 о регрессионном анализе). Если выборочное значение критерия (1.22) попадает при заданном а в критическую область (т. е. Г>/'’табл), то нуль-гипотеза Цо : Oi2=022 отклоняется; если Ё<Ёта5л, то нуль-гипотеза признается правомерной и допускает- ся, что О12=1(Т22 (ход проверки гипотезы дан в примере 1.1). К числу других часто проверяемых в технико-эко- номических задачах гипотез относятся следующие. а) Гипотеза о равенстве выборочной оценки среднего у и истинного среднего Щтр1 (нуль-гипотеза Н0:т){У} = =т]тр)> проверяемая по /-критерию, принимается как правдоподобная, если /</Табл при [=п—1: t= Г**. -fa (1.35) 1 В технико-экономических задачах «истинное среднее» — ча- сто требуемое нормативом значение показателя качества системы *Птр* * 30
б) Гипотеза о равенстве двух выборочных средних У1 и ^2 (нуль-гипотеза H0:r|i = ri2), проверяемая по /-критериям: — если по критерию (1.34) проверено, что Sj не от- личается статистически значимо от S2, то при f=ni+ -}-Г12——2 t= I 2^ I /ZET (1.36) • Vs2 I т Л1+Л2 где s2= [ («! -1)Si + (n2-1) S2 ]: («1+n2- 2); (1.37) — если no (1.34) гипотеза <Ti2=(T22 отклонена, то возможно применение приближенных критериев [49, 50, 68 и др.], из которых рассмотрим случай ni=n2=n, до- пускающий проверку по критерию 1-7^1 1", (138) IV 21 2 I ' Si -f-S2 । где f= (п-1) (si2+s22) : (st +4). (1.39) в) Гипотеза о равенстве двух коэффициентов вариа- ции (Но:у1=уг) проверяется по f-критерию с преобра- зованием Мак-Кэя [4] при /{=П1—1: V1 / П1 2 I «1+1 1+^1 \ 2 V2 / П2 2 I И2+1 14-112 (1.40) г) Гипотеза о равенстве двух частостей Vi и v2 по г-критерию (см. приложение 1 для /-распределения при /=оо), если П1Г>50, Пг>50, ntpi>5, n<(pi—1)>5, 2=|Pi-p2|: ]/p(l-p)(nI1+n;‘), (1.41) где = p2=m2:n2; p= (mi + m2):(ni+n2). (1.42) Вероятность P{0} = 1—а того, что истинное значение параметра 0 окажется в интервале от 0Н (нижняя гра- ница) до 0В (верхняя граница), определяется как Р{0нС0<0в} = 1-«. (1.43) Параметр 0—детерминированная величина, а слу- чайны границы интервала 0Н и 0В, которые должны 31
быть связаны с оценкой 6*. Поэтому уравнение (1.43) следует понимать как вероятность того, что случайный интервал 0В—0Н накроет точку в. Вероятность 1—а на- зывается доверительной вероятностью. Границы 0Н и0в, а также образуемый ими интервал называются довери- тельными. Они образуют систему интервальных оценок, связанных с точечными. Построение интервальных оце- нок по сути есть один из видов проверки статистических гипотез. Так, при построении доверительных интервалов для параметра ц можно исходить из критерия Сг=/ (см. (1.35)). Действительно, допустимая область принятия гипо- тезы Но:т)у=т)тр с вероятностью 1—а заключена в ин- тервале Р ( I уТГ] = 1 —а. (1.44) I I s > Поэтому то значение ц, при котором Но не будет отвергнута с уровнем значимости а, заключено в интер- вале > Р { | I yn^-t } =1-« (1.45) ИЛИ р( у—t—У+t—=1 — a. (1-46) l yn yn > Из (1.45—1.46) следуют важные для эксперимента- тора метрологические выводы. При заданной вероятно- сти (1—а) точность определения области существова- ния Т1 будет возрастать, во-первых, по мере уменьшения оценки рассеяния s (ошибки эксперимента; см. § 1.4), во-вторых, по мере увеличения числа измерений п. Пример 1.1. После 100 испытаний материала на прочность было установлено, что «л =15 МП а и Si= =2 МПа. Технологическим отделом завода предложено ввести некоторые изменения в рецептуру для увеличения однородности материала (для снижения величины з). По новым рекомендациям было изготовлено и испытано 5 образцов материала, которые дали результаты: #2.1=16, #2.2=15, #2:з=14, #2:4=15,5 и #2.5=17 МПа. В ка- ком доверительном интервале находится среднее ц2? Можно ли на основании этих результатов утверждать, что нововведение дает ожидаемый эффект? 32
Определим оценки: Уг= — У, уи— — -77,5=15,5 МПа; п 5 и—1 «2 = —— Е (Уи-7)2=4-: «2=1,12 МПа. п-1 , 4 u=i Доверительный интервал для среднего при двусто- роннем риске а=0,05 (значение 1=2,78 для числа степе- ? ней свободы /=5—1 = 4 по приложению 1) определим по (1.45) как Р I 15,5-2,78—^.т]2< 15,5+2,78^l] =1-0,05; I у5 у5 ' Р{ 14,1 <Т12< 16,9} =0,95. Основные этапы проверки гипотезы Но: <Т12=<Г22 по- казаны в табл. 1.2. В результате (гипотеза H0:cri2=<T22 не отклонена) приходится признать, что данные выбор- ки «2» не дают оснований считать новый материал более однородным. .. Таблица 1.2 ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ Но: а2=а2 к св £ Цель Решение Пример 1.1. Определить нуль-гипотезу и альтернативу 5 3 с* р Установить уровень значи- мости Выбрать крите- рий Сг для проверки гипо- тезы Но и оп* ределить выбо- рочное распре- деление Сг, ко- гда гипотеза Но допускается Установить критическую область для проверки гипо- тезы Но Нуль-гипотеза: «дисперсия в Но : первой выборке Oi2 равна дис- Hi:o12>o22 Персии во второй о22, т. е. Qi2—о22=0». Альтернатива: «О12>о22». Для принятия решения достаточно а=0,05 Если случайные величины У1 и У2 распределе- ны по нормальному закону, то случайная ве- личина $i2: $22 подчиняется Г-распределению с числом степеней свободы fi и f2; можно вы- брать Сг=Г Допустимая Критичес- обпасть кая область При fi=99 и /2=4 для од- ностороннего риска а=0,05 /?кр = /?табл = =5%66 (см. приложение 2) 3 Заказ 6525 33
Продолжение | Этап Цель Решение Пример 1.1 5 Вычислить кри- терий Сг по данным выбо- рок объемом П\ И П2 F = Si2 : 522 Г=202:125= =3,20 6 Сравнить Сг и Сгтабл и ре- шить, отклоня- ется ли гипоте- за а) Если Г<ГТаблл то гипоте- за Но не противоречит опыт- ным данным и допустимо счи- тать, ЧТО = б) Если Г>Гтабл, то Но от- клоняется И О12>О22 Поскольку /=’<Г1абл, Но допускается и приходится признать, что данные выбор- ки <2» не дают оснований счи- тать новый ма- териал более однородным 1.4. НЕКОТОРЫЕ МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ АНАЛИЗА И МОДЕЛИРОВАНИЯ В ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ Анализ особенностей поведения выхода систе- мы Yj как случайной величины позволяет рассмотреть некоторые метрологические проблемы, связанные с ре- шением технико-экономических задач (блоки V.A, IV.D, V.D и др. в блок-схеме на рис. 1.2). Математическое моделирование системы возможно, если значение выхода У (впрочем, как и значения фак- торов Xi) будет измерено или хотя бы количественно упорядочено. Измерение — познавательный процесс, в котором на основе эксперимента получается информация о численном значении изучаемой величины. При этом физический процесс сравнения одной величины Q,u с другой однородной величиной Ej, значение которой из- вестно (последняя может быть по общему согласию при- нята за единицу измерения), приводит к результату измерения у&: yju—Qju‘Ej • (У47) Измерение отличается от количественного упорядо~ чения. Если свойства некоторого класса таковы, что к 34
ним можно применить понятия «больше» или «меньше», то такие свойства называются интенсивностями; если большей интенсивности поставить в соответствие боль- шее число, то установление таких правил приведет к количественному упорядочению. Это количественное упорядочение перейдет в измерение, если будет выпол- нено требование о равенстве промежутков между после- довательными интенсивностями (в этом случае они на- зываются экстенсивности). Система чисел или иных элементов, принятая для оценки или измерения величин, называется шкалой1 [56]. Шкалы можно разделить на номинальные (назыв- ные, классификационные), порядковые (ранговые) и ко- личественные (метрические). Самые простейшие и слабые — номинальные шкалы, допускающие только взаимно-однозначные преобразова- ния. Они позволяют разделить объекты на классы без указания их взаимного порядка (например, классифика- ция научных работников по специальностям), но с воз- можностью замены названия класса кодом (например, 01.01.09 «Математическая кибернетика», 05.13.01 «Тех- ническая кибернетика и теория информации» и т. д.). Числовые оценки по таким шкалам могут быть исполь- зованы для математического моделирования. Если число классов всего два (например, в § 3.6 рассматриваются два возможных социальных статуса женщины: «рабо- тающая», «домашняя хозяйка»), то они нумеруются по ^двоичной системе «0», «1» или «—1», «+1», причем вы- бор класса для начала отсчета, вообще говоря, значения не имеет; моделирование можно вести непосредственно по выходу в виде номера класса, но значительно коррект- нее и удобнее в качестве выхода системы использовать оценки вероятности рА появления события А (1.31). Для того чтобы расчетные значения рА, полученные по моде- лям, находились в. интервале 0^рА*£Л, вводится (гл. 3) преобразование x = ln[pA: (1—Рд)]. Если число классов более двух, то моделируется вероятность попадания вы- хода в заданный класс (например, в «В», а не в «Л», «С», ...). 1 Проблему шкалирования информации нельзя считать решен- ной. Полное изложение рекомендаций по шкалированию, в том чис- ле и при планировании эксперимента, можно найти 'в [16, 40, 53 и др.]. 3* 35
Порядковые шкалы упорядочивают объекты в опре- деленной последовательности, иными словами, ранжиру- ют их, однако без четкой единицы измерения. Нам изве- стно лишь, что А «больше» В, а В «больше» С и т. д. («больше» можно интерпретировать как более сильное развитие изучаемого признака), т. е. свойства А, В, С,... — интенсивности (им могут быть условно присвое- ны порядковые номера). Примерами порядковых шкал являются: шкалы педагогических оценок, балльности качества тортов или виртуозности исполнения танцев на льду и др. [10]. Роль порядковых шкал в современной науке и технике огромна, и от методов их совершенст- вования зависит успех решения задач во многих отрас- лях народного хозяйства. Хотя, как видно, порядковые шкалы не дают возможности установить точные количе- ственные соотношения между элементами (так как не ясно, «сколь далеко» отстоит первый элемент А от вто- рого В и «на сколько дальше» отстоит третий С и т. д.), числовые оценки по этим шкалам можно использовать для математического моделирования и даже для поиска оптимума по таким моделям. Особенно успешно будут решаться задачи, если шкалы (и комментарий к ним) будут создаваться высококвалифицированными экспер- тами по научно обоснованным методикам [36, 53] с привлечением современного математического аппарата, в частности методов непараметрической статистики [22,48]. По нашему мнению, это уменьшит отрицатель- ные свойства таких шкал (психологически для человека расстояния между соседними баллами по краям шкалы более значимы, чем расстояния в середине шкалы; дис- кретность системы баллов приводит к неестественным скачкам в измерениях, хотя непосредственно это свойст- во не принадлежит объекту и др.) и_позволит получить не только разумные оценки среднего у, но и других чис- ловых характеристик. Количественные, или метрические, шкалы наиболее полно соответствуют процессу измерения по (1.47), так как содержат единицу измерения Ej. Их применение в математическом моделировании не нуждается в прин- ципиальных пояснениях. Результаты измерения уи содержат погрешности — ошибки измерения, которые возникают, в частности, вследствие того, что условия измерений не остаются по- стоянными в течение физического процесса измерения. 36
Важным условием малой погрешности результата изме- рения любого параметра является учет максимального по возможности количества факторов Хи (см. рис. 1.1), влияющих в ходе эксперимента на достоверность добы- ваемой информации. За этим, собственно говоря, и скрыт субъективный фактор, называемый обычно искус- ством экспериментатора. Совершенно естественно, что самый опытный экспериментатор не в состоянии учесть абсолютно все такие факторы. Абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения Ди называется разность между результатом измерения уи и действительным значением Аи измеряемой вели- чины: Au=f/u Аи • (1.48) Относительной погрешностью (ошибкой) измерения би называется отношение (в том числе процентное) аб- солютной ошибки Ди к результату измерения уи'- би — Аи'.уи (1.49) Ошибки измерения можно классифицировать на пять (условных в силу взаимозаменяемости понятий в конк- ретной измерительной ситуации) групп [4, 40, 60 и др.]: 1) ошибки, вызванные объектом исследования: из- менением объекта во времени (старение материала, раз- ложение катализатора, увеличение возраста или уровня знаний в исследуемой социальной группе и т. п.); неод- нородностью объекта в пространстве (влияние струк- турной неоднородности в месте контакта измерительно- го датчика, переход от образца к образцу прн разрушаю- щем контроле и т. д.); влиянием процесса измерения на состояние объекта (ряд измерений в атомной физике и микромире, биофизические измерения с вживленными датчиками, изменение поведения и ответов на вопросы в исследуемой социальной группе под влиянием психиче- ского напряжения или целевой установки и т. п.); 2) ошибки оператора, связанные с уровнем его ква- лификации (обучение, опытность, сознание ответствен- ности и т. п.) и психофизиологическим состоянием (уста- лость — болезнь, возбуждение — торможение; реакция на шумы и другие внешние раздражители и т. п.); 3) инструментальные ошибки, связанные с погреш- ностями измерительных приборов и испытательных ма- шин; 37
4) методические ошибки, связанные, с одной сторо- ны, с неправильными или упрощенными представления- ми о закономерностях проявления некоторого свойства объекта (или о закономерностях взаимодействия объек- та с измерительным комплексом), а с другой стороны, со степенью разработки методики проведения измери- тельных операций (отбор образцов, порядок операций, обоснованность допусков, полнота учета факторов ХИ и ограничений на них и т. д.); 5) ошибки, обусловленные влиянием внешней среды (температура, загазованность и т. п.) на исследуемый объект и измерительную систему. Качество исследования существенно определяется тем, насколько исследователю удается устранить (или компенсировать) воздействие вышеуказанных источни- ков ошибок на результат измерения. Погрешность измерения можно условно1 разделить на две части: систематическую h{yu} и случайную МЫ- Систематическими ошибками h{yu} можно назвать такие ошибки, величина которых во всех измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же приборов, одинакова или изменяется по некоторому детерминированному закону в зависимости от источников возникновения ошибок Хи [60]. Знание закона h{yu}—f{Xa} (в частном случае h{yu} = const) позволяет устранить систематическую ошибку из резуль- тата измерения уи- Однако на практике и после такой процедуры результат измерения весьма часто может содержать остаточную систематическую ошибку. Случайными ошибками | {уи} можно назвать такие ошибки, величина которых во всех измерениях, проводя- щихся одним и тем же методом и с помощью одних и тех же приборов, изменяется, причем вероятность появ- ления £{«/„} меньше некоторой величины £{Уа} подчи- няется закону распределения F{g} = Р{1<%А}- Ошибка отражает объективный закон действия случайности и связана, в частности, с действием всех неучтенных факторов измерения Хи. Можно принимать [60], что 1 Грань между случайными и систематическими ошибками, вообще говоря, провести достаточно сложно, так как последние могут в соответствующих условиях рассматриваться как случай- ные величины [60]. Способом включения систематических ошибок в число случайных является рандомизация (см. § 2.3). 38
случайные ошибки независимых измерений подчиняются нормальному закону распределения, что и определяет их свойства. Необходимо различать понятия правильности и точ- ности результатов измерения [60]. Правильность изме- рения характеризуется систематической ошибкой, а точ- ность — оценкой среднеквадратического отклонения s, характеризующего случайную ошибку (точность в гаус- совском смысле — отношение yu-s). По результатам эксперимента (см. этот параграф далее) вычисляется оценка среднеквадратической ошибки эксперимента яэ, которую мы далее для краткости будем называть «ошиб- кой эксперимента». Перед вычислением sa необходимо исключить из ряда измерений yi, у2, ..., уи, ..., Уп аномальные измерения (грубые ошибки, «промахи»), если они допущены. По- скольку даже опытному экспериментатору трудно толь- ко на логическом уровне решить вопрос об аномально- сти того или иного результата, то следует использовать статистические критерии для проверки такой гипотезы [37, 39]. Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда экспериментатору известны лишь оценки у и s2, а нужно проверить, не является ли результат z/min или {/max (так как обычно настороженность вызывают край- ние величины ряда измерений) грубой ошибкой. Если s2 определено по анализируемой группе измерений, то можно, например, вычислить критерий . £ {У, «'} = (У~ Умп): s', (1.50) где s' — оценка, связанная с s соотношением s'= = s 1/ n~1 г п Измерение z/mm признается аномальным и исключает- ся из дальнейших расчетов (обычно с риском а=0,05), если Цу, $'}>£табл (табл. 1.3). В технико-экономических исследованиях конечный результат V весьма часто представляет собой функцию одного или нескольких выходов Yj. Например, абсолют- ный прирост параметра качества материала с добавкой по сравнению с эталонным материалом — разность (Уд—Уэ), а относительный прирост — частное (УД:УЭ) и т. д. Поскольку выходы измерены с ошибками 5{У;}> то и конечный результат есть величина случайная, 39
Таблица 1.3 ПРОЦЕНТНЫЕ ТОЧКИ НАИБОЛЬШЕГО ПО АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЕ НОРМИРОВАННОГО ВЫБОРОЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ КРИТЕРИЯ £ (у, s’) ПРИ ОДНОСТОРОННЕМ РИСКЕ а=0,05 п с п ' с п с 3 1,412 6 1,996 30 2,792 4 1,689 10 2,294 40 2,904 5 1,869 20 2,623 50 2,987 ошибка s{V} которой вычисляется по «закону сложения ошибок» [40, 60 и др.]: / dv \г / av \2 s2(|/>= FF •s!{1'l>+ FT »!{Ч + - + I dV \! dV \ + 2г{У!У2} -- —) s{y1}s{y2}+ •••, (1.51) \ и I 1 / \ и 12 ' dV A. где — частная производная функции V по каждому из выходов Yj (для наиболее распространен- ных функций одного выхода значения част- ных производных приведены в табл. 1.4, где у — численное значение оценки среднего ве- личины У в диапазоне изучения V; а, Ь, с — константы). Таблица 1.4 ОШИБКИ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО И=/{Г ) Оценка V j 1=/{Г ) Оценка V } аУ±Ь bY“ а ybY с аУ±Ь as {У} ab-y<a-V-s{Y} [(]/by):(ay)}-s{Y} [ас: (ау±6)]-«{У} ЬаТ In У logor а-ЬаУ Anb-s{Y} о-еа^5{У} 2_.5{П=б{У} У ~ 5{У}=6{У}:1па у Ina 40
Таблица 1.5 ОШИБКИ ФУНКЦИИ МНОГИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ У»,... } Оценка V } Число степеней свободы V} 61У1 + &2У2-63Уз... 2 bf sf (2 b- Sj2)’:2b‘s‘f7l bY\Y2 Уз- 3 i i 4 2 ~ 2 2 Р2(^:й) = р.2«, i i ( 262)2: 2 б) ff* 3 3 Ь1 ь2. У) -у2 ... 7’2 (bf-sf:y2) — 3 =T2s bfdj 3 (26-б2)2:2Ь/-б‘ ./7* 3 3 Если все выходы У, статистически независимы, т. е. коэффициенты корреляции г{У}Ул-1} = 0, то вторая груп- па слагаемых отсутствует и расчеты по (1.51) упрощают- ся. Для некоторых функций V значения дисперсий - s2{V} приведены в табл. 1.5. Дополнительные све- дения о значениях s2{V) для более сложных функций даны в § 2.2 и [4, 43 и др.]. Определение числа степеней свободы f{V} оценки дисперсии s2{V), рассчитываемой по оценкам Sj2= = з2{У3), каждая из которых имеет число степеней сво- боды fj=n.j—1, производится по формуле Уэлча: / ду .2 12 / av V S? КП- 2 :2 (^г )-р (1.52) \ dYj / । \ аг} / Ц з з Следует обратить внимание на то, что для расчета оценки среднеквадратической ошибки s{V) нужно скла- дывать не сами ошибки эксперимента зэ=${У]}, а их квадраты з2{У)}. Нарушение этого правила, к сожале- нию, весьма часто встречается в технико-экономических задачах, что может привести к неверным общим вы- водам. Если Уь Уз, .... Уп интерпретировать как п незави- симых наблюдений одной и той же величины У со сред- ним значением у, то можно считать, что «2{У1} =«2{Уг} = — ... =з2{Уп} =s и, следовательно, оценка дисперсии 41
среднего s2{«/} будет обратно пропорциональна измерений: числу s2{«/} =s2 ( у1+у2+... + у п Д 5 В Г Рис. 1.4. Схема организации эксперимента из N опытных точек (а), в каждой из кото- рых (б) проводится: А — один опыт с одним измерени- ем, Б — один опыт с m измерени- ями, В — п опытов с одним измере- нием в каждом, Г — п опытов с tn измерениями в каждом При этом число степеней свободы оценки s2{«/} равно числу степеней свободы оценки s2, т. е. f=n—1. Методы определения среднеквадратической ошибки эксперимента s3 зависят от схемы организации этого эксперимента. В качестве примера рассмотрим простей- ший эксперимент по определению значения у при трех разных значениях х (рис. 1.4), однако предварительно введем общие понятия, определения и нумерацию: — опытные точки (все они отличаются друг от друга хотя бы одной компонентой х,, что в /(-факторной задаче дает каждый раз новую комбинацию {хь ..., х,-, ..., ,..., Хк}) пронумеруем 1,2 ..., и,.... N; — дублирующиеся опыты, образующие серию опы- тов (все опыты в серии соответствуют неизменной опыт- ной точке, но представляют собой полное воспроизведе- ние эксперимента: изготовление новой партии техноло- гической смеси, изготовление образцов при повторении технологического режима, испытание на дублируемых приборах и т. п.), пронуме- руем 1,2,..., v, ...,п; — серию измерений в од- ной опыте (под этим пони- мается или несколько изме- рений одного образца, если он не меняет своих свойств под воздействием процесса измерения, или однократное испытание нескольких раз- рушаемых образцов, изго- товленных одновременно в одном опыте) пронумеруем 1, 2, ..., w, ..., ш. В каждой u-й опытной точке могут быть поставле- ны (см. рис. 1.4 и табл. 1.6): 42
Таблица 1.6 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ и-й ОПЫТНОЙ ТОЧКИ Код Результат Расчетная величина Дисперсия измерения опыта серии опытов измерения в опыте измерения серии опытов* воспроизво- димость в се- рии опытов среднего в серии опытов по измерениям uq воспроизво- димости А Уи Уи нет Уи нет нет нет нет нет Б Уип У и/W нет Уи{ W S2u/w нет нет S2u/w{y} нет f=m— 1 f=m~l В Уиъ Уиъ У и/V Уи/ъ нет нет S2u/v нет S2и!v {у} f==n—l f=n—l Г Уиъю Уиъ/w Уи/vw Уи/xtw S2uv/w S2u/vw S2u/t> S2u/vw{y} s?u(v{y} f=m—\ f=n- (m-Ч) f—n— 1 f=n—l 00 * После проверки однородности s2uVfw по С-критерию.
Л) один опыт с одним измерением, в результате чего будет получена одна величина выхода уи, но не будут получены никакие характеристики рассеяния; Б) один опыт с т измерениями, в результате чего будет получено т значений yUw со средним ~yutw и дис- персией s2u/w, характеризующей рассеяние в серии изме- рений, но никак не характеризующей воспроизводимость опытов: Уи/w— Уинн (1.54) и>=1 S2u/w= 23 {Уи!ц> yuw)2 \ (1.55) w=i В) серия из га дублирующих опытов с одним измере- нием в каждом, в результате чего будет получено п зна- чений yUv со средним yu/v и дисперсией s2ulv, характе- ризующей рассеяние в серии опытов, т. е. их воспроиз- водимость (при этом в какой-то степени учитывается и ошибка измерения, однако выделить ее нельзя, посколь- ку /п = 1): — 1 п Уи/ъ=~~~ 2 Уиъ'г (1.56) " i>=i s2u/к— г 2Z (!/«/» Уиъ)2; (1.57) г==1 Г) серия из п дублирующих опытов с т=const изме- рений в каждом, в результате чего будет получено тп значений yUvw\ в каждом v опыте можно найти значения среднего yUv!w и дисперсии Suvlw, характеризующей рас- сеяние измерений в этом опыте: __ 1 т yuv/w = '~~^ 22 yuvw'i ( 1 .€>8) W=1 2 Im — Suv/w~ m—\ (yuvfw — yuvw)2 » (1.59) w—l по всей u-й серии измерений можно найти значения среднего yulvw и дисперсии s2ulv, характеризующей вос- производимость опытов: Уи/ш> = ~^' S Ую1и>=— S yuvw< (1.60) г=1 Г=1 W=1 44
1 n _ _ S2u./v = {Уи/vw Duv/w)2 • (1.61) c=l кроме того, в u-й серии опытов можно оценить среднюю дисперсию измерений s2ulvw: S2u/vw — ~ S"uvlw' (1-62) v=l после того как по G-критерию Кохрена будет проверена гипотеза об однородности ряда дисперсий (она допуска- ется как правдоподобная, если 0<0табл при заданном риске а и числе степеней свободы fi=m—1 и f2=--n (см. приложение 3): 71 G= (s2wv/w)max ’ ^uv/w > (1.63) v—1 где (s2 uv/w)max — максимальная дисперсия в рассматри- ваемом ряду из пг величин; Д) серия из п дублирующих опытов с неравномер- ным числом измерений tnv, в результате чего будут по- лучены те же величины, что и по схеме Г, но проверка однородности дисперсий должна быть проведена по В-критерию Бартлетта {39, 60 и др.]. По схеме Б, В и Г можно определить дисперсию среднего результата (по формуле (1.53)) в серии опытов по измерениям: s2u/w{y}=s2u/w-т (схема Б), (1.64) s2u/vw{y} =s2u/vw-(тп) (схема Г) (1.65) и в серии опытов по воспроизводимости: s2u/i>{«/}=s2u/t>:n (схемы В и Г). (1.66) Таким образом, из анализа схем А, Б, В и Г ясно, что среднеквадратическая ошибка эксперимента зэ мо- жет быть двух видов: ошибка эксперимента по измере- ниям — «эй и ошибка эксперимента по воспроизводимо- сти— s3V. Вероятно, в некоторых случаях при схеме Г целесообразно проверять гипотезу Но : o23w=o23v, и, если она будет признана по F-критерию правдоподобной, рас- считывать общую дисперсию s230 [8]. Рассмотрим метрологические характеристики экспе- римента из N опытных точек на примере #=3 45
Таблица 1.7 МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА ИЗ N ОПЫТНЫХ ТОЧЕК (W=3) I. Без дублирующихся опытов (»Г1) 11. Во всех N точках серии из п опытов 111. Дублирование опытов в одной точке (и=1) Номер схемы экспери- мента 1/1 1/2 1/3 II/1 П/2 II/3 Ш/1 Ш/2 ш/з Код эксперимента А—А—А Б—Б—Б Б—А—А в—в—в Г—Г—Г r—B—В В—А—А Г—Б—Б Г—A—A Дисперсия эксперимента по измерениям s?9W Дисперсия эксперимента по воспроизводимости Общее число опытов нет sw f=N(m— -1) нет N S2l/w f=m— 1 нет Sw2* f=(m— —1)-Nn Sv2 f=N(n—l Nn f=n(m— -1) ) нет Гг* о w /=(т— -1)Х Х^Н- +«-1) s2i/« f=n—1 N+n—1 S2i/uw f=n(m— -1) Общее число измерений mN N+m—1 Nn mNn n(N+m— -1) N+n— 1 Ь ч m(N+ +«—1) N+nm— —1 После проверки однородности соответствующих дисперсий по G-критерию.
(табл. 1.7), комбинируя вышеизложенные схемы А, Б, В и Г так, чтобы охватить наиболее часто встречаю- щиеся схемы организации эксперимента. При этом не будем рассматривать неравномерное дублирование m#= const и n#=const, за исключением того случая, когда «неравномерность» сосредоточена в одной опытной точке (без потери общности это будет точка и= 1 — ле- вая на рис. 1.4). Организация эксперимента при /n#=const и ny=const во всех точках встречается не ча- сто и рассматривается в работе [16]. I. Эксперимент без дублирующих опытов. Ошибку воспроизводимости опытов определить нельзя. Ошибка измерений определяется в зависимости от комбинации схем А и Б: 1) схема «Л—А—А» (во всех точках одно измерение) не позволяет определить sgw; 2) схема «Б—Б—Б» (во всех точках по пг измерений) позволяет определить среднюю по всем N точкам дисперсию по — 1 ЛГ измерениям s2w =—Ss2u/W, если допущена гипотеза об N и=\ однородности ряда дисперсии1; 3) схема «В—А—А» (се- рия измерений во второй точке) позволяет определить s2i/w, которая условно распространяется на весь экспери- мент. II. Эксперимент с сериями опытов в каждой точке. Средняя дисперсия воспроизводимости по всем опытам — 1 N s2v— — 2s2u/v при числе степеней свободы f=N(n—1). N u=l Ошибка измерений s28w: 1) при схеме «В—В—В» не оп- ределяется; 2) при схеме «Г—Г—Г» определяется как 1 n s 2= —Ss2u/w; 3) при схеме «Г—В—В» определяется N и=1 s2ilvw, которая -распространяется на весь эксперимент. III. Эксперимент с дублированием опытов в одной точке. Дисперсия воспроизводимости по первой опытной точке s2i/® с числом степеней свободы f=n—1 распрост- раняется на весь эксперимент. Ошибка измерений s29w'- 1) при схеме «В—А—-А» не определяется; 2) при схеме - 1 /" «Г—В—В» определяется средняя s2w=—---------- S s2lc/w-|- л N —1 \ z/=l +2s2u/w); 3) при схеме «Г—A—А» по первой опытной w=2 1 Далее таких оговорок при введении дисперсии s2 мы делать не будем, считая, что гипотеза об однородности проверена. 47
точке определяется s2\!vw, которая распространяется на весь эксперимент. Сводка метрологических характеристик эксперимента дана в табл. 1.7, там же указано общее число опытов и общее число измерений в зависимости от схемы его ор- ганизации. Эти характеристики оказывают существенное влияние на регрессионный анализ полиномиальных ста- тистических моделей (см. § 2.3). Примеры их определе- ний и применения даны в гл. 3. В заключение следует отметить, что решение метрологических проблем экспе- римента с позиций статистического моделирования пока нельзя признать полным и законченным. 1.5. АНАЛИЗ, ИНТЕРПРЕТАЦИЯ И ПОИСК ОПТИМУМА ПО ОДНОФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ Ряд недостатков полиномиального моделиро- вания, отмеченных в § 1.1, снижает познавательную цен- ность таких моделей, однако по каждой из моделей можно принять несколько ценных технико-экономических решений [12]. Изложение процедуры принятия решений целесообразно начать с анализа однофакторной полино- миальной модели второго порядка У=Ьо+&1-£1+&и*п ’ (1-67) в которой (без потери общности) фактор изменяется непрерывно в диапазоне от —1 до +1; приведение лю- бого фактора Xi к таким условиям возможно за счет его центрирования и масштабирования (см. § 2.1), т. е. перевода в «кодированные» переменные. Можно рас- сматривать параболу (1.67) как переменную часть мно- гофакторной модели (1.5), в которой К—1 факторов зафиксированы на некоторых уровнях. Как отмечалось при анализе аппроксимирующей мо- дели (1.3), коэффициенты полинома эквивалентны част- ным производным ряда Тейлора (1.4), поэтому можно интерпретировать: л а) свободный член Ьо как значение выхода У в сере- дине диапазона изменения фактора Х\, т. е. при Xi = 0; б) коэффициент bi, так называемый линейный эф- фект (иногда это название относят к 2|Ьг |, что целесо- образно при анализе линейных моделей), как скорость изменения выхода dY/dxi, усредненную в диапазоне —1<Х1С+1; 48
a) &i>0, 6ii<0 (показаны все элементы образа); б) 6i<0, 6ц<0; в) bi>0, бн>0; г) bi<0, Ьц>0 в) коэффициент Ьц, так называемый квадратичный эффект, как ускорение изменения выхода Y при измене- нии Xi на единицу. Однофакторная модель (1.67) геометрически пред- ставляет собой параболу с экстремумом yext в точке Xiext, изображенную на рис. 1.5: yext=&o-&? :4feu; xlext=-bi:2&n. (1.68) —(1.69) Поскольку известны координаты вершины параболы л Uiext и Yext), направление главной оси (вертикально через точку xlext) и точка, принадлежащая параболе Л (например, У при Xi = + 1), то параболу легко построить по известным геометрическим правилам. При этом она обязательно проходит при Xi = 0 через координату Л Y=b0. В зависимости от знаков коэффициентов bt и fen форма кривой изменяется (см. рис. 1.5); если fen=0, то парабола превращается в прямую, проходящую через 4 Заказ 6525 49
л Y=b0 при Xi=O и через У=&0+&1 при Xi = + 1. Чем боль- ше абсолютное значение тем островершиннее пара- бола, а следовательно, тем чувствительнее (с технико- л экономической точки зрения) выход Y к изменению хь тем точнее должно осуществляться управление этим фактором особенно в зоне экстремума. На рис. 1.5 ука- заны также два угла у и у', характеризующие степень л изменения выхода У в каждую сторону от экстремума xlext до границ экспериментально изученной области Xi = ±l. Точное значение градиента для параболы есть ФУНКЦИЯ Хр vy=-^-=b1+2&11x1, (1.70) поэтому использовать ее для числовой оценки изменения выхода У затруднительно. Предложено [11] приближен- но оценивать максимальный усредненный1 градиент у У как Vy= (Ущах—Уш1п) • (Xjmax Jflmin)’ (1-71) • Численно у У равен котангенсу минимального угла ctgy и для однофакторной модели может быть рассчи- тан как vy=(&i+61i-0,i25'fe12:6i1):(l-0,5&1:&1i). (1.72) По модели (1.67) можно решить из полного списка типовых технико-экономических задач [12] следующие. I. Интерполяционные. Определение У внутри области Х1 = ±1. II. Экстраполяционные. Определение числовых зна- Л чений У вне области эксперимента подстановкой |xi [ > 1; при этом по мере удаления от границ |xi| = l будет рез- ко увеличиваться [72] ошибка предсказанного значения s{ У} (см. §2.3). л III. Максимизация выхода У. Л IV. Минимизация выхода У. 1 Максимальный не усредненный градиент можно получить подстановкой Хцпш в (1.70). 50
Таблица 1.8 ПОИСК ОПТИМАЛЬНОГО Xi ПО ОДНОФАКТОРНОИ МОДЕЛИ Поиск решения для Положение *^ех* в зоне mln Y max Y внуари зоны вне зоны Ьп bt b\\ bi l&il<2|6,i| I6il>2|dnl >0 <0 а) —1 —Ьг >0 0 <0 0 2*n — <0 >0 б) +1 >0 <0 — —1 0 0 0 0 любое х/<|1| — <0 >0 — +1 >0 <0 В) -1 г) -1 <0 0 >0 0 —1 или +1 — <0 >0 +1 + 1 СИ
Рис. 1.6. Изменение положения xlext и выбор Xjopt в зависимости от числовых оценок Ь\ и 6ц (варианты а) —г) см. в табл. 1.8)
Рис. 1.7. Принятие решений по однофакторной модели: а) управление при фиксированном УТр, минимизация ресурса Ximin и попа- дание в «коридор> да при &п<0; б) то же при Ьц>0 (решение х'1 Тр исполь- зоваться не может); в) зона компромиссных решений Д * для У| тах и ^2 max » а также дтр Для У1 тр и ^2 тр Решение задач типа III и IV представлено в табл. 1.8 и на рис. 1.6. Следует обратить внимание на то, что по соотношению коэффициентов требуется проверить попадание Xiext в зону эксперимента Xi=±l. Если будет получено числовое значение вне этой зоны, то следует использовать граничное условие X]Opt=±l (по знаку при bi). V. Управление при фиксированном Y = const. Если некоторым нормативом задано требуемое значение У.гр, можно найти координаты х!Тр (рис. 1.7,а, б) как корни квадратного уравнения йцХ1 +&1Х1 + (Ьо— Утр) =0. (1-73) Целесообразно обратить внимание на то, что значе- ния корней этого уравнения за границами эксперимен- та (см. рис. 1.7,6) не следует использовать (хцр< <-1)- VI. Минимизация расхода ресурса при фиксирован- л ном У. При анализе решения задачи V можно найти корень уравнения (1.73), минимизирующий расход ре- сурса Ximin (см. рис. 1.7, а и б). 52
VII. Управление выходом в заданной полосе Уатр^ л ^У^УЬтр. Задача возникает в связи с необходимостью обеспечить значение выхода системы в некоторых фик- сированных пределах (например, вязкость технологиче- ской смеси, собственные деформации отливки [12] и др.). Решается уравнение (1.73) для двух Утр; ответ записывается в виде неравенств Х|атр^Х1^Х|Ьтр (см. рис. 1.7,а). VIII. Оценка влияния фактора Х\. Описание влияния л Xi на У ведется с использованием графиков (см. рис. 1.5) и эффектов факторов, в некоторых случаях целесооб- разно [8] проводить оценку по отношениям (в том чис- ле процентным) bt/b0 и Ьц/bo, которые указывают, на- сколько изменение фактора Xi влияет на среднее зна- л чение выхода Y/bo. Если число моделей две и более, то могут быть ре- шены компромиссные задачи, являющиеся важнейшими и наиболее сложными технико-экономическими задача- ми. По моделям типа (1.67) для нескольких критериев оптимизации Yj (см. рис. 1.7,в) всегда можно найти зону компромисса Дорь в которой лежат все плезиопти- мальные1 решения. В то же время зону компромисса Дтр для сочетания заданных значений Узтр можно в ря- де случаев и не обнаружить (например, на рис. 1.7,в до- статочно при сохранении У1Тр назначить У2Тр=У2тах, как Дтр исчезнет!), что говорит о несовместимости У^тр (их нужно либо изменить, либо ввести в модели дополнительные факторы Хк). Вышеизложенное позволяет сформулировать неко- торые общие требования к выходу Yj как критерию оп- 7 тимизации. Записанный как функция У;=/{хг}, он об- разует целевую функцию моделируемой системы [56, 57]. Очевидно требование единственности критерия. По- этому неверны выражения типа «достигнуть максималь- ного выпуска продукции при минимальном расходе сырья». Корректны иные формулировки, например: «до- стигнуть максимального выпуска продукции при усло- вии, что компонент А не превысит величины Лтр, ком- понент В — величины Втр и т. д.» или «достигнуть уров- ня выпуска Q при минимальном расходе компонента А». 1 В переводе с греческого «плезиос» означает «близкий». 53
Для уменьшения числа выходов У как критериев опти- мальности рекомендуется [1,5,12] ряд приемов. В ча- стности, выделение важнейших выходов на основе ап- риорной информации (лучший способ, по нашему мне- нию, в достаточно изученных технико-экономических си- туациях), в том числе с помощью метода экспертов с обработкой результатов методами ранговой корреляции [2,8 и др.]; построение графа корреляционных связей между выходами для выделения тех Yj, которые за счет высокой корреляции несут информацию и о. мно- жестве других выходов [5,12]; разделение глобальной задачи на ряд последовательно связанных частных за- дач с индивидуальными критериями оптимальности [5,6,11]; построение интегральных критериев оптималь- ности [36], в частности функции желательности [2], и т. д. (часть этих приемов детально рассмотрена в [12]). К критерию оптимальности в технико-экономических задачах, кроме требования единственности, предъявля- ется еще ряд дополнительных требований [1,2,5,16]. Он должен быть количественным, однозначным и ста- тистически эффективным, т. е. измеряться с малой ошиб- кой, характеризовать систему с точки зрения конечной цели ее функционирования, иметь физический смысл и учитывать экономические стороны явления. Следует от- метить, что нередко приходится идти на выполнение только части вышеизложенных требований, так как в конкретных задачах они могут вступать в существенные противоречия друг с другом. 1.6. АНАЛИЗ, ИНТЕРПРЕТАЦИЯ И ПОИСК ОПТИМУМА ПО ДВУХ- И МНОГОФАКТОРНЫМ МОДЕЛЯМ Двухфакторная модель второго порядка в за- висимости от наличия коэффициентов bi, Ьц и пред- ставляет собой одну из поверхностей второго порядка (на рис. 1.8. изображены фрагменты плоскости, пара- болического цилиндра, эллиптического параболоида и гиперболического параболоида — «седла»): У= bo+b\Xi + &цЛ;12+1,22'^22_Ь^12'^1л-2. (1.74) л Проекция поверхности У на плоскость факторов xt и Хг изображается в виде линий равного выхода (изо- 54
Рис. 1.8. Геометрические образы поверхностей второго порядка: а) плоскость (6neb»e6i2e0)*, б) параболический цилиндр (Ьп—&»=0); в) эллиптический параболоид (6ц<0, &22<0); г) гиперболический парабо- лоид (Ьм>0, 622>0); д) гиперболический параболоид (^и—&12#=0) 55
л линий), во всех точках которых выход У имеет постоян- ное значение Ус независимо от координат Xi и Хг. Та- ким образом, если заданному набору координат Xi и Хг соответствует одно значение Ус, то одному заданному Ус может соответствовать множество Xi и хг, лежащих на изолинии. Построение изолиний (см. рис. 1.8,а) ана- логично построению горизонталей на географических картах. Для построения изолиний на факторной плоско- сти (Xi, хг) можно рекомендовать следующий прием, обеспечивающий высокую точность изображения: а) выбирается несколько сечений факторного про- странства (обычно достаточно 6 сечений при Xi = 0; Хг= = ±1; х2=0; Хг=±1); б) рассчитывается (вместо одного Xj подставляется О или ± 1 и приводятся подобные члены) уравнение каж- дого сечения типа У {xj = b'o+b'iXt + buXi2; k( 1.75) 56
в) решение квадратного уравнения (1.75) получает- ся в виде х^ = -£-± ]} (1-76) Л г) подставляется в формулу (1.75) значение У{х2} = = УС для заданной изолинии, определяются координаты соответствующих ей точек пересечения с сечением хр, д) точки изолинии во всех сечениях соединяются плавной кривой; для удобства построения иногда целе- сообразно рассмотреть дополнительные сечения за об- ластью эксперимента, например Xj—±2 и т. д., а также определить центр поверхности и направление главных осей. Менее точный, но значительно более быстрый гра- фоаналитический способ построения изолиний показан Л на рис. 1.9 на примере построения изолинии У=4 по модели У=7+2xj+x2—2Х]2—2x22+2xjx2. (1.77) При втором способе пункты «а» и «б» выполняются как и в первбм, но вместо решения уравнения (1.76) строится каждая из шести парабол: У{х2 = 0)=7 + 2х1-2Х12 (xiext=+0,5); (1.77а) У{х2= + 1) = 6+4х1-2х12 (xlext= + l,0); (1.776) У{х2=-1}=4±0х1-2х12 (Xiext= ±0,0); (1.77в) У{х1 = 0)=7+х2—2х22 (x2ext=+0,25); (1.77г) У{Х1 = + 1} = 7 + Зх2—2х22 (x2ext=+0,75); (1.77ц) У{Х[= — 1} =3—х2—2х22 (x2ext=-0,25) (1.77е) л и точки их пересечения с У=Ус=сопз1 переносятся на двухфакторную диаграмму (на рис. 1.9 для Ус=4— это точки 1—5). Сами параболы лепко построить по изве- стным значениям коэффициентов и координате точки экстремума (1.69), что показано на рис. 1.9 для моде- ли (1.77а). Помогает построению и свойство симметрии ветвей параболы (точка 6 получена по расчету, а точка 6' — найдена графически). Построение самой изолинии также облегчается за счет симметрии поверхностей вто- 57
рого порядка (точки 1 и 1', 2 и 2' ... — симметричны) по отношению к главным осям поверхности. Направле- ние главных осей и другие важные характеристики по- л верхностей У (см. рис. 1.8) можно найти методами ана- литической геометрии [47,54]. л Действительно, при У = Уд = const полином (1-74) представляет собой общее уравнение линии второго по- рядка, если записать его в виде /6, ь2 \ (Ьо~ Ул)+2 ——Xi+ — X2J + + (bn^i2+^22^22+2-g—Х12) =0. (1.78) Относительно преобразования декартовой системы координат, необходимого для получения канонической формы уравнения линии второго порядка, существуют инварианты Л уравнения (1.74). /1 = Ьц + &22; h—bllb22-—Ь212 ’ (1.79) —(1.80) /3=(&о-Ул)/2+Д; (1.81) д=—/>1б1+-2~/>2б2; (1.82) bl=-^-b2bi2--2"&1/>22’> (1.83) 62=— bibi2—2~Ь2Ьц. (1-84) В зависимости от величины инварианта /2 линия яв- ляется либо центральной кривой (эллипс при /2>0, вы- рождающийся при /з = 0 в точку, или гипербола при /2<0, вырождающаяся при /з=0 в пару пересекающих- ся прямых), либо нецентральной — параболой при /2=0 (вырождается в пару параллельных прямых). Центральные кривые имеют каноническое уравнение У—Ув=Х12+ХгХ22 • (1.85) в котором коэффициенты являются корнями характе- ристического уравнения Х2-7Д+72=0. (1.86) 58
Центр кривой S имеет координаты xis и x2s, в которых значение критерия оптимизации равно Ks: Xis=6i:/2; x2s = 62:/2 (1-87) Если полином содержит эффект &i2, то новые оси Xi и х2 не только перенесены в точку S, но и повернуты по отношению к осям Xi и х2 на угол у, который определя- ется из соотношения hi о tg2y=——— • (1.88) —022 Нецентральная кривая (парабола) имеет канониче- ское уравнение Главная ось параболы определяется уравнением / 2 1 2 \ 1 ^ЬцЧ---— &12 j Х1+— &12(&11 + &22)Х2 + Ч—— (2&ц&1 + 61262) • (1.90) 4 Эта ось повернута по отношению к оси координат Х\ на угол у, если Ьц^=0. В модели (1.74) по сравнению с однофакторной мо- делью (1.67) есть принципиально новый эффект Ьц, но- сящий название эффект взаимодействия. По нашему убеждению, именно наличие эффектов взаимодействия в полиномиальных моделях позволяет описывать реаль- ные сложные технико-экономические системы и прини- мать решения, учитывающие диалектические противоре- чия в таких системах. Последнее обычно не доступно исследователю, анализирующему поведение систем с помощью однофакторных зависимостей (так называе- мый подход «при прочих равных условиях»). Роль эффекта взаимодействия в полиномиальном моделировании можно проанализировать, используя по- нятие квазиоднофакторных [12] моделей вида Г<=У{х^}-^= (bt+^bijX^Xi+buXi , (1.91) i где bQj — свободный член, отражающий влияние на вы- ход всех членов полинома, кроме включенных в квази- 59
однофакторную модель (1.91). Для двухфакторной мо- дели получаются две квазиоднофакторных: 2 Wi = (&i + &i2^2)Xi + fenXi *, (1.92) Л 2 1^2= (&2+&12-^1)-^2 + ^22^2 ’ (1.93) Из анализа этих моделей видно, что: а) эффект взаимодействия bij (в моделях (1.92) и (1.93) эффект 612) меняет значение линейного эффекта bi (в модели (1.92) эффекта bit а в модели (1.93) — Ь2); следовательно, скорость изменения У зависит от уров- ней (К—1) факторов Xj и не является стабильной ха- рактеристикой влияния фактора х,; единственной чис- ловой оценки степени влияния х, на выход У дать нель- зя до тех пор, пока не будут указаны уровни стабили- зации остальных (К—1) факторов; изменения значе- ния bi хорошо иллюстрирует рис. 1.9, на котором пока- зана модель (1.77е) с наклоном прямой вообще в дру- гую сторону по сравнению с остальными моделями; б) эффект взаимодействия передвигает неизменную1 параболу вдоль оси х» (см. рис. 1.9), что описывается линейной функцией dWt = (bi+Xi bijXj) +2buXi=0, (1.94) * j вытекающей из условия существования экстремума ква- зиоднофакторной модели (1.91) или модели (1.74): %iext= 0,5Ьц (Ь{-{- Xibij Xj) • (1.95) „ i Таким образом, экстремум xtext для каждого из факторов зависит от уровней остальных, что делает бессмысленным однозначный ответ на вопрос «каково лучшее значение х,?»; можно предполагать лишь, что в каждом конкретном наборе уровней других факторов Xj будет свое собственное значение х,ехь что и отража- ет дцалектичностъ реальных систем. Точное значение градиента для К-факторной модели определяется как 1 Парабола будет не только передвигаться по плоскости У—х,, но и изменять свою форму только в том случае, если полиномиаль- ная модель будет содержать элементы типа х,2х, или Xj2Xj2. В та- ких моделях квазиоднофакторная парабола может вырождаться в прямую и менять направление ветвей на противоположное. 60
|vrl-j/2 /• (1.96) причем в окрестностях точки с координатами Хг = О и для моделей, содержащих только линейные эффекты, модуль градиента — константа: . |VK|= bi -, (1.97) усредненный максимальный градиент в зоне экспери- мента рассчитывается по следующей приближенной формуле, аналогичной (1.71): УУ=(Ута1-Ут1П): f (Ximax-Xi nun)2 • (1.98) По К-факторной полиномиальной модели (напри- мер, по двухфакторной—(1-74)) можно решить сле- дующие технико-экономические задачи, поясняемые только в том случае, если процедура их решения суще- ственно отличается от описанной в § 1.5 для однофак- торных: I—II. Интерполяционные и экстраполяционные. л III—IV. Максимизация или минимизация выхода У. Все варианты решения задач типа III и IV для ква- зиоднофакторных моделей представлены в табл. 1.9 и на рис. 1.10. Так же как и для однофакторных моделей, в табл. 1.9 предусмотрена проверка попадания Xiext в зо- ну эксперимента х,^±1. Переход к многомерной модели от квазиоднофактор- ных при поиске координат оптимума x,Opt осуществля- ется диссоциативно-шаговым методом [12], блок-схема которого приведена на рис. 1.11. Метод поясняется (без потери общности) для случая поиска максимума выхо- да У. Блок А. Последовательным регрессионным анализом (ом. § 2.3) из модели удаляются все коэффициенты, статистически неотличимые от нуля, что существенно упрощает процедуру поиска оптимума. Блок Б. Из системы квазиоднофакторных моделей (1.91) выбираются все модели, для которых Ьц^0. Для таких моделей, описывающих параболу (при Ьц>0) или прямую (при Ьц — 0), максимум может достигаться только на границах области эксперимента, т. е. х, мо- 61
Таблица 1.9 ПОИСК ОПТИМАЛЬНЫХ Xi ПО К-ФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ Поиск решения для Положение mln Y max Y min Y max Y |6г1+21Ьг/1< + I|6zy| > 2|*zzj ьи bi bu bi *blj' l*zl - >2|*n|' Ity - *1М< <2:*{/ а) -1 |&г|<2|&о| б) —1 или +1 <0 0 >0 0 6ij=0 при ba^Q —1 или +1; при Ьц=0 любое в) —1 или +1 <0 >0 Pi|>S|bU| Г) +1 IM<s|*ol д) —1 ИЛИ +1 >0 >0 <0 <0 е) Xfext находится в зоне экспери- мента —1 з) Xiext пе- реходит че- рез границы экспери- мента 0 0 — <0 >0 ж) +1 жет принимать одно из двух значений: +1 или — 1. Единственное значение будет получено (см.рис. 1.10,а,г), если выполняется условие |йг|>12^1- (1-99) 3 Ясно, что знак при bt определяет знак граничного решения ±1. После подстановки в полиномиальную модель или в кваэиоднофакторные модели (1.91) значений х,= 1 раз- мерность факторного пространства уменьшится от К до (д—dE); соответственно сократится и количество ква- зиоднофакторных моделей (1.91). Блок В. Если при условие (1.99) не выполня- ется, то для Xi могут быть два конкурирующих решения 62
Рис. 1.10. Изменение положения квазиоднофакторной параболы в Л координатах {У, в зависимости от суммы (см. табл. 1.9) и положение Xi opt: а), г), ж) постоянное на границах эксперимента; б), а), д) два конкурирую- щих на п>аницах; е) переменное в зоне эксперимента; з) переменное, выходя- щее за зону эксперимента на границе эксперимента (см. рис. 1.10,б,в,д). После подстановки в квазиоднофакторные модели (1.91) зна- чений х,= ±1 размерность факторного пространства со- кратится до (К — dB— dB), а число моделей может уве- личиться до 2 (К — dB— dB). Решение удобно искать по ветвящейся блок-схеме, пример которой приведен в § 3.9. 63
я ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ МОДЕЛИ с удалением всех статистически незначимых (при риске d) оценок 6S ВТ ВТ 6Tj ’ В* *i< $ Б ВВЕДЕНИЕ Jofopt = ±1 (по знаку коэффициента в{), СТАБИЛЬНО НАХОДЯЩИХСЯ НЯ ГРАНИЦЕ ЭКСПЕРИМЕНТА % f? Bfi % При услобии управления и6 факторами, стабилизирован- ными на границе 1 Л6Ь л« Л' В РЯСЩЕПЛЕНИЕ МОДЕЛИ НЛ КОНКУРИРУЮЩИЕ ПРИ или +1 4? &i Вц &<] [ При услобии упрабления I I I I I de факторами, сто би ли - 11 1 I ] зированными на конку- < Лв ’в \в рирующих границах 1 Ли Лу (-1U + 1_______ Г ВВЕДЕНИЕ xTopt = Xi м , ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ В ЗОНЕ ЭКСПЕРИМЕНТ -1<x[opt^^1 ВТ Bf вт / лЧ лгу При условии управления dr факторами на пере- менных оптимальных уровнях д ГРНФИЧЕСКЯЯ ИНТЕРЛРЕТЯЦИЯ И НОМОГРЛФИРОВЯ- НИЕ МОДЕЛЕЙ Y {xeopt} Е ПРИНЯТИЕ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ПО МОДЕЛЯМ И ИХ ПРОВЕРИЛ Рис. 1.11. Блок-схема поиска оптимума (в зоне эксперимен- та |хг| = 1) по К-факторной модели 64
Блок Г. Для факторов с квадратичными эффектами Ьц<_0 положение экстремума (вне зависимости от зоны эксперимента) определяется линейной функцией (1.95). Для того чтобы Xi ext находился при любом наборе —i^x^ + 1 в зоне эксперимента (|xiext|cjl), необхо- димо, чтобы выполнялось условие (см. рис. 1.10,е) (|*<| + 21М)^2|*н|. (1.100) 3 Найденное в этом случае решение подставляется в полиномиальную модель (или оставшиеся после блоков Б и В квазиоднофакторные модели), и условие (1.100) проверяется для оставшихся факторов. После подстановки xtext в модель все ее коэффици- енты изменяются на следующие величины: Д60= — 0,256? :Ьц; ^bj=—0,5bibij:ba-, &bgs « 0,5&ie bislbiif &bjj= — 0,25fefj: б,,-. (1.101) Формулы (1.101) существенно облегчают вычисления при введении в полиномиальные модели х,ехь Если имеет место неравенство, противоположное (1.100), то необходима проверка дополнительных усло- вий: (|fei|-Z|&ij|)>2|&ii|; (1.102) i (IM-E |^|)<2|&н|.' (1.ЮЗ) з В случае выполнения условия (1.102) x,ext всегда на- ходится вне зоны эксперимента, и тогда xl Opt равно гра- ничному значению ±1, определяемому по знаку bt (см. рис. 1.10,дас). • Если при невыполнении условия (1.100) выполняет- ся условие (1.103), то x,ext проходит через границы эк- сперимента (см. рис. 1.10,в) и должен быть описан ку- сочно-линейной функцией (см. [12] и пример в § 3.9). Следует особо отметить, что в ходе реализации бло- ка Г полиномиальная модель переходит из оптимальной при постоянных уровнях в оптимальную при перемен- ных (по функции (1.95)) уровнях, что инструментально 5 Заказ 6525 65
Рис. 1.12. Графическое решение двухфакторных задач: л Л с) исследование одного параметра Ув <в точке Мв — максимум Yq , в точках Л Л Л Л и В соответственно xj mjn и ^2 mln ПРИ Гв >6); б) исследование двух пара- АЛЛ АЛ метров У# и (пРи в) исследование трех параметров Ур и У а СпРи Уа >4) соответствует введению в систему специальных регуля- торов. Задачи типа V (управление при фиксированном Y), типа VI (минимизация расхода ресурса по одному или двум факторам при y=const), типа VII (управление выходом в заданной полосе) и компромиссные решения иллюстрируются рис. 1.12 для двухфакторной модели. На рис. 1.12 показаны основные типы таких задач на примере поверхностей отклика, проанализированных Л на рис. 1.8; в качестве основной принята модель Ув с изолиниями в виде семейства эллипсов. Для конкрети- зации примера будем считать, что фактор Xi — время технологического процесса, а х2— содержание дефицит- ного компонента смеси. Рассмотрим пять случаев. л 1. Абсолютный максимум Ув в исследованном поле факторов Xi и х2 находится в точке Мв (см. рис. 12,а). Л Следует отметить, что истинное значение оптимума У'в лежит не в одной точке с координатами х[м и х2м, а внутри эллипса с центром в точке Мв и главными радиусами размером RiM, зависящими от риска а и точности опи- сания поверхности отклика моделью [12]. Л 2. Если задано ограничение по выходу Ув^б, то все множество допустимых решений лежит внутри прост- 66
ранства, ограниченного соответствующей кривой, вне этого пространства — запрещенная зона (концентриче- ская штриховка). В этом случае можно минимизировать время процесса по фактору Х\ (точка Л) или содержа- ние дефицитного компонента по фактору х2 (точка В). Множество компромиссных решений при минимизации одновременно по факторам Xi и х2 лежит на дуге АВ эллипса. 3. Если задано ограничение не только по выходу Л Л Ув^б, но и по второму выходу Уг^З (см. рис. 1.12,6), то множество допустимых решений лежит уже в умень- шенной зоне, распавшейся на два сегмента (незаштри- хованная зона). В нашем примере координаты мини- мального времени процесса (точка Л) не изменились от введения дополнительного ограничения, но координаты минимального содержания дефицитного компонента В' изменились в сторону его увеличения (при одновремен- ном увеличении времени Xi). Множество компромиссных решений при минимизации по Xi и х2 лежит на дуге от точки А вверх до .изолинии Уг=3. Следует отметить, что при отсутствии ограничений компромисс при максимиза- л л ции одновременно двух выходов Ув и Уг лежит на пря- мой МвМг. л 4. Если введено третье ограничение Уд^4, остав- ляющее для допустимого множества решений лишь верхний правый угол (см. рис. 1.12,в), то изменяются минимальное время процесса (точка А') и максималь- л ный выход Ув (М'в — точка касания эллипса и прямой Л Уд >4). Компромиссное решение при минимизации фак- торов X] и х2 соответствует точкам прямой А'В'; ком- л л промисс при максимизации выходов YB и Уг при огра- Л ничении Уд ^4 следует искать внутри треугольника М'вМгт. 5. Возможен такой неблагоприятный вариант, когда при введении К-го ограничения (К=1,2, ...) не оста- нется зоны допустимых решений. В этом случае нужно переформулировать задачу — уменьшить число требо- ваний или снизить уровень некоторых требований, или ввести в исследование новые факторы х, (в надежде, 4TQ зона допустимых решений может расшириться). 67
Для аналогичного решения задач типа V, VI, VII и компромиссных по трехфакторным моделям можно или использовать трехмерные пространственные диаграм- мы [12], или приводить решение к двухфакторным за- дачам, стабилизируя один из факторов на некотором уровне, например оптимальном по выходу У,- или по эко- номии ресурсов. Для решения задач по моделям при /<>3 принцип стабилизации ряда факторов на плезиоп- тимальных уровнях можно считать наиболее рацио- нальным в технико-экономических исследованиях. При его использовании для принятия компромиссного реше- ния по Ny моделям методика складывается из четырех шагов с циклами [12, § 1.10]: 1) построено Ny полиномиальных моделей для К факторов (реализован блок А в схеме на рис. 1.11); 2) для каждой из Ny моделей найден вектор коор- динат оптимума [xopt] размерности /СХ 1 (реализованы блоки Б, В и Г в схеме рис. 1.11); если модель допуска- ет конкурирующие решения, отличающиеся от опти- л мального на величину <-з{У,}, пропорциональную ди- сперсии предсказанного значения выхода (§ 2.3), то за- писываются и векторы плезиоптимальных координат [xpi-opt]; 3) составляется матрица координат оптимумов [xopt/Ny] для Ny моделей размерности KXNY- Xiopt/l X2opt/1 • • • XKopt/l \ •Xlopt/2 X2opt/2 • • • XKopt/2 I ....................... I; (1.104) Xiopt/w yXaopt/Wy.... Xjropt/wr J размерность матрицы (1.104) по числу строк возра- стет, если в нее включить и плезиоптимальные индиви- дуальные векторы (целесообразно составлять обе мат- рицы сразу); 4) по матрице [xopt/Nr] (или расширенной матрице [xpi.opt/Nr]) находится вектор-столбец [xiOpt] с совпа- дающими значениями факторов Xfopt/l =Xiopt/2= • • • =Xiopt/Ny — Xfopt (1.105) и значение XjOpt подставляется во все Ny моделей, размерность их при этом уменьшается на единицу. После шага 4 происходит возврат к шагу 3 или 2 (если использовались плезиоптимальные уровни) ипро- {XoptOVy] = 63
цедура повторяется для Ny моделей с числом факторов К — 1 до получения двух-трех-факторных моделей, ре- шение по которым принимается в соответствии с реко- мендациями к задачам типов V—VII (см. рис. 1.12). К сожалению, далеко не всегда удается найти точ- ное равенство (1.105). В таких случаях принятие реше- ния формализовано пока слабо, однако опыт решения практических задач позволяет рекомендовать следую- щее: а) обеспечить точное выполнение равенства (1.105) для части моделей с учетом приоритетов критериев ка- чества [12, с. 162] и уже достигнутых уровней по всем критериям; б) после подстановки выбранных общих уровней проверить степень технико-экономических по- терь, возникающих от замены индивидуальных опти- мальных уровней на плезиоптимальные (см. § 3.9). Существенным достоинством метода плезиоптималь- ной стабилизации факторов является возможность сле- дить (с логико-профессиональной точки зрения экспе- риментатора), за ходом поиска компромиссного решения после каждого цикла по всем Yj критериям качества объекта. При этом не происходит довольно частое при применении обобщенных критериев качества [2 и др.] бесконтрольное уменьшение одного частного критерия при усиленном росте другого, что в обобщенном крите- рии может вести и к увеличению последнего. Задача типа VIII об оценке роли каждого фактора (об их ранжировании) в многофакторной модели систе- мы не может иметь единственного решения (кроме слу- чая линейных моделей с независимыми оценками &j[l, 2,16 и др.]). Такое «пессимистическое» заключение сле- дует из анализа формул (1.91) — (1.95) и иллюстриру- ется рис. 1.13, на котором изображены две передвигае- мые под влиянием остальных факторов х,>2 параболы (для удобства изображения передвигается начало коор- динат, что равнозначно передвижению парабол). Даже при слабом допущении о двух возможных положениях каждой параболы будут получены четыре сочетания отрезков кривых А, В, С, D, сравнение которых допуска- ет противоположные заключения: А — С) ранжирование: Xt влияет сильнее, чем х%; увели- чение факторов вызывает разнонаправленное изменение У; с ростом х% падает У; А—D) ранжирование: Xi влияет сильнее, чем х2; уве- личение факторов Xi и Хг вызывает увеличе- ние У; 69
Рис. 1.13. Неоднозначность заключений о роли факторов jq и х2, обусловленная эффектами взаимодействия X\Xj и x2xj: а)—б) «перемещение> неизменных парабол Y=»fi{xi} и УвЫхг} по отношению к началу координат под влиянием Xi Ху и х2 Ху ; в) четыре возможных ситуа- ции, допускающие противоположные заключения о роли факторов Xi и х2 В — С) ранжирование: Xi влияет гораздо сильнее, чем Xi; увеличение фактора Xi мало влияет на вы- , ход У; с ростом Хг падает У; В — D) .ранжирование: Хг влияет гораздо сильнее, чем Xi; увеличение фактора Х\ мало влияет на вы- ход У; с ростом Хг увеличивается выход У. «Что есть истина?» Неоднозначность возможного ответа отражает диалектичность в поведении реальных систем: в одной зоне факторного пространства [х] на поле по- ведения [Y] больше влияют одни факторы, а в другой зоне — иные (ситуация, известная каждому и в повсе- дневной жизни). Нередко исследователи ограничиваются сравнением функций У=ф{х4 при условии Xj=O (т. е. в плоскостях, 70
проходящих через середину эксперимента). Такой под- ход является весьма слабым, хотя бы потому, что вы- бор середины факторного пространства (см. § 2.1) — неформализованная задача, решаемая на интуитивном уровне. Опыт интерпретации большого числа многофак- торных моделей позволяет, однако, дать некоторые ре- комендации по задаче типа VIII. Так, целесообразно сравнивать функции Y=fi{xi} в следующих вариантах: л а) в расчетной точке Утах с координатами Xi max,.. •, хгтах,.. •, хк max, последовательно назначая один фактор переменным, а остальные — постоянными Хдпах=const; л б) то же, в расчетной точке Ут1п! в) то же, в точке лучшего экспериментального выхо- дя Уи maxi г) то же, в точке худшего экспериментального выхо- дя Уи mini д) при переменных по линейной функции (1.95) оп- тимальных урОВНЯХ Xi. При этом для технико-экономических выводов ис- пользуется не только сравнительный анализ внутри ва- риантов, но и сравнение функций У=Д{х,} между ва- риантами (см. § 4.2). 1.7. ИНТУИТИВНОЕ И АЛГОРИТМИЗИРОВАННОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА Статистическое моделирование поведения си- стемы проводится исследователем только на основе фактических данных, л1, е. сведений о состоянии кон- кретного объекта технико-экономического исследования. Так как эти данные будут способствовать изменению наших знаний об объекте, то они представляют собой информацию о нем, причем тем большую, чем новее для нас содержание этих сведений. В результате для каждого из Ny выходов системы всегда будет получена информационная таблица (табл. 1.10), фиксирующая данные и результаты ихпер- вичной статистической обработки. В нее входят: а) но- мера опытов 1,..., и,..., N (иногда важно и их взаимо- расположение); б) матрица значений факторов [х] раз- мерности NxK; в) число измерений ти в каждом опы- те (удобнее, если /nu=m=const); г) матрица экспери- ментальных значений выходов [уи] размерности #Хт; 71
Таблица 1.10 ИНФОРМАЦИОННАЯ ТАБЛИЦА О ПОВЕДЕНИИ СИСТЕМЫ Входные характеристики системы (план эксперимента) Выходные характеристики системы (результаты эксперимента) Номер опыта Значения факторов Число парал- лельных измерений Значения У в каждом измерении Среднее выхода "у и Дисперсия выхода и Xi. . . Xj . . -x K 1 Хп ... xtl . . . XK\ mi УН • • • У\и> ♦ • • У\т t У\ S21 и ‘X[u • • • Xiu • • • Хк u mu Уи\ • • • Уию • • • Уити ~Уи S2u N *1# . . . XiN . • • Xkn mtf Ух\ • • • УЯи • • • Унт д Ух S2n д) вектор наблюдений [у] размерности WX1, состав- ленный из средних значений уи (1.23); е) вектор ди- сперсий [s2] размерности А^Х1, составленный из рас- считанных по результатам каждой строки оценок su2 (1.24). Существуют два основных метода эмпирического ис- следования: наблюдение и эксперимент. Наблюдение — целенаправленное восприятие объек- та без активного вмешательства в его поведение. Ис- следователь вынужден пассивно ожидать естественного проявления необходимых эффектов в поведении объекта, что значительно удлиняет ожидаемое время сбора ин- формации. Примерами технологических наблюдений являются фиксация температуры, давления, химических продуктов реакции в агрегате при нормальном режиме работы; пример технико-экономических наблюдений — изучение структуры рабочего времени определенной ка- тегории трудящихся и т. п. Чтобы наблюдение было плодотворным оно должно быть: а) преднамеренным, т. е. вестись для решения четко поставленной задачи; б) целенаправленным и активным — фиксировать толь- ко интересующие наблюдателя черты объекта, причем включать активный розыск этих черт; в) планомерным и систематическим — вестись по плану, учитывающему задачи исследования и возможность восприятия объекта в разнообразных условиях. Однако сколь удачно небы- 72
ло бы организовано наблюдение, оно как опыт не мо- жет преодолеть своей ограниченности, вытекающей из пассивности наблюдателя по отношению к объекту ис- следования. Один из крупнейших физиков нашего времени Луи де Бройль говорит об опыте, что он не должен сводить- ся к простому пассивному наблюдению. Он должен вся- кий раз, когда это возможно, вмешиваться в реальность, изменяя условия возникновения явлений, вопрошая при- роду строго определенным образом, так, чтобы видеть, каков будет ее ответ. Строго определенным образом вопрошает природу эксперимент, под которым понима- ется вид деятельности, предпринимаемой в целях науч- ного познания, открытия объективных закономерностей и состоящей в воздействии на изучаемый объект (про- цесс) посредством специальных инструментов и прибо- ров, благодаря чему удается: 1) устранить, изолировать изучаемое явление от влияния побочных, несуществен- ных и затемняющих его сущность явлений и изучать его в чистом виде; 2) многократно воспроизводить ход процесса в строго фиксированных, поддающихся кон- тролю условиях; 3) планомерно изменять, варьировать, комбинировать различные условия в целях получения искомого результата [74, с. 89]. Наиболее сложной проблемой остается формулиров- ка цели эксперимента как вопроса природе. «Характер- ной особенностью современной науки все же является то, что ученый стремится получить ответ на четко по- ставленный вопрос, сформулированный на основе преж- них знаний... Математика — это язык, который позволя- ет задавать вопросы в удивительно компактной форме, используя абстрактно-символическую форму записи» [29, с. 1250^1251]. Исследованию эксперимента как одной из основных форм практики посвящена обширная философская и ме- тодологическая литература [43, 46, 62—65 и др.]. Боль- шинство авторов отмечают, в частности, методологиче- скую специфику эксперимента в зависимости от класса объекта, масштабности исследования и целей экспери- мента. По классу объекта можно различить экспери- мент с неживой и живой природой (в естествознании, технике, медицине, сельском хозяйстве) и эксперимент с социальными явлениями (в общественных и гумани- 73
тарных науках). По масштабности можно различать ла- бораторный эксперимент (натурный, модельный и мыс- ленный) и «полевой» (рассматривая понятие «поле» как широкую категорию, включающую все градации произ- водства и социальных групп). По целям проведения эк- сперимент может быть фундаментальным, в котором ведущую роль играет познание, и «прикладным», в ос- нове которого лежит необходимость достижения опре- деленной производственной или социальной цели. В реальных условиях такая классификация экспери- мента может оказаться условной и неоднозначной, что хорошо видно из простейшего примера. Если бригаде рабочих предложить проверить влияние новой конструк- ции резца на производительность труда, то объектом эк- сперимента можно считать неживую природу (новый инструмент или обрабатываемая деталь) и социальную группу (бригаду), по масштабности эксперимент явля- ется лабораторным (по отношению ко всему заводу) и производственным (по отношению к конструкторскому бюро, создавшему резец) и т. п. Эксперимент всегда должен планироваться исследо- вателем (как, вообще говоря, и правильно организуемое наблюдение)^ причем рассматриваются все этапы, ука- занные на блок-схеме рис. 1.2. Некоторые из них (этапы V—IX) могут быть достаточно формализованы и даже стандартизированы на основе математической теории эксперимента, которая различает два принципа поста- новки экспериментов: пассивный и активный1. При пассивном эксперименте расположение опытных точек в факторном пространстве ведется на интуитив- ном уровне без предварительного учета методов даль- нейшей математической обработки информации. Однако интуитивно не значит антинаучно. Рассматривая соот- ношение между интуицией и наукой, философ-материа- лист М. Бунге пишет: «Мы говорим, что... сужде- 1 Термин «пассивный эксперимент» мало удачен, так как объе- диняет противоречивые понятия: всякий эксперимент по своей сущ- ности — активное воздействие на объект исследования. По нашему мнению, его следовало бы назвать «эксперимент по интуитивному плану» в отличие от «эксперимента по алгоритмизированному пла- ну», который сейчас называют «активным». Однако по традиции в работе используются термины «пассивный» и «активный» в описан- ном далее смысле. 74
ния «рассудительны», «разумны» или «здравы», если они .соответствуют основному содержанию наших зна- ний или нашего опыта (которое должно бы включать признание того, что «нездравые» идеи могут оказаться правильными)... Для планирования экспериментов здра- вое суждение не менее необходимо, чем для юридиче- ской практики... Ученый постепенно вырабатывает «нюх» или «прозорливость» в отношении выбора проб- лем, направлений исследования, методов и гипотез. Этот «нюх» теряется в результате недостаточной трени- ровки, потери интереса и затяжного сосредоточения на шаблонных задачах или на слишком узкой области»1. Естественно, что интуитивный план технико-эконо- мического эксперимента в той или иной степени отра- жает предшествующий опыт, однако по мере роста чис- ла К факторов Хг задача интуитивного планирования настолько усложняется, что экспериментальные точки располагаются лишь по некоторым сечениям простран- ства, выбранным 'весьма бессистемно. Эта особенность интуитивного планирования экспериментов (и наблюде- ний) резко усложняет вычислительные процедуры, а также затрудняет практическое использование моде- лей и их технико-эконом1ичеакую интерпретацию. Информация, собранная при активном эксперименте по математически обоснованному (см. гл. 2) плану, учитывающему цели эксперимента и методы обработки его результатов, имеет большую информационную цен- ность. При этом практически всегда меньше и затраты ресурсов (материальных и временных), чем на пассив- ный эксперимент. Интуитивное расположение точек в факторном пространстве заменяется алгоритмизирован- ным, которое в некотором смысле оптимально. Опти- мальность планирования обеспечивается предшествую- щим проведению эксперимента исследованием свойств матрицы входных факторов [х] (см. табл. 1.10). Особенно важно для инженеров и экономистов то, что число «активных» экспериментов сокращается по сравнению с традиционными методиками в 2—10 раз, причем достоверность информации не уменьшается, а в ряде случаев и увеличивается. Преимущества актив- ных экспериментов обсуждены и сформулированы на 1 Бунге М. Интуиция и наука. Пер. с англ. М., Прогресс, 1967, с. 122, 139, 141. 75
основе большого опыта в работах [1—2, 10—12, 26—33 и др.]. Кроме минимизации количества экспериментов, в частности, отмечаются следующие преимущества: — оптимальное использование факторного простран- ства; — введение четкой логики для всех процедур, по- следовательно совершаемых экспериментатором; — рандомизация условий опытов, когда многочис- ленные мешающие факторы превращаются в случайные величины; — выполнение исходных предпосылок регрессионно- го анализа, а это зачастую исключено при пассивном эксперименте (в результате числовые оценки коэффи- циентов в моделях оказываются смещенными); — оценку элемента неопределенности, связанного с экспериментом, что дает возможность сопоставить ре- зультаты, полученные разными исследованиями. Двадцатилетний опыт применения математической теории эксперимента в самых разнообразных областях науки и техники [3] подтверждает ее научную состоя- тельность и народнохозяйственную эффективность.
Г Л А В A 2. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА 2.1. ФАКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО И КОДИРОВАНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ Понятие факторное пространство как область существования входов исследуемой системы в конкрет- ном эксперименте проанализировано в § 1.1. Границы факторного пространства определены как ^Х{ max! вообще говоря, оно может иметь любую кон- фигурацию, однако далее мы ограничимся только слу- чаем, когда факторное пространство представляет со- бой /(-мерный параллелепипед или эллипсоид (описан- ный вокруг параллелепипеда или вписанный в него). Так, вышеуказанное ограничение факторного простран- ства при изучении однофакторной зависимости приво- дит к отрезку прямой на числовой оси фактора Xlt при изучении двухфакторной — к прямоугольнику, трехфак- торной—к прямоугольному параллелепипеду и т. д. При /(>3 графическое изображение факторного прост- ранства невозможно, кроме некоторых особых случаев исследования многокомпонентных смесей [6,18,19,21, 30 и др.], когда пространство при /(=4 ограничено те- траэдром, призмой и другими фигурами. При планировании эксперимента факторы Хг из на- туральных переменных (именованные величины с раз- мерностью кг, м, руб. и т. п.) переводятся в кодирован- ные Хг обычно с ограничением —l^Xj^ + l, которое превращает /(-мерный параллелепипед в Х-мерный куб, а эллипсоид — в сферу1. С алгебраической точки зрения 1 В каталоге планов, разработанном в МГУ [15], рассматрива- ются только вписанные сферы с единичным радиусом, что упрощает анализ планов и их применение по сравнению с планированием на описанных вокруг куба сферах с радиусом большим, чем полусто- рона куба (так называемое звездное плечо плана) [1, 28, 32 и др.]. 77
введение кодированных переменных |х$| = 1 отражает стремление к ортогонализации систем функций [31, гл. 4], с вычислительной — к упрощению расчетов оце- нок коэффициентов полиномиальных моделей, с обще- методической— к созданию стандартизированного на- бора оптимальных планов, независимых от субстанции и структуры объекта исследования. Переход от нату- ральных переменных к кодированным можно осущест- вить, в частности, двумя операциями: центрированием и масштабированием. Центрирование—перенос начала координат системы кодированных факторов xt в центр эксперимента с координатами в натуральных перемен- ных: •^0i = 0>5 (Ximax + ^imln) • (2-1) Масштабирование — изменение центрированных чис- ловых значений факторов в С раз: С=1/ДХ<, (2.2) где AXj — полудиапазон- изменения (так называемый диапазон варьирования)1 i-ro фактора, вычис- ляемый по формуле ДА< — 0,5 (-Vimax -Xi'mln). (2*3) Кодированные переменные вычисляются по формуле (2.4), а возврат от них к натуральным осуществляется по (2.5): Хг=(Хг-Хйг)-ЛХг ; (2.4) Xi—Xi AXj+Xoi • (2.5) Введение кодированных переменных х,- изменяет ап- проксимирующий полином (1.5) на полином вида л к к 2 Y, = b0+ S biXi+ S bijXiXj+ У, baXi +..., (2.6) i—i i<j г=1 в котором коэффициенты b0, bi, Ьц, Ьц,... являются оценками истинных коэффициентов 0О, ₽i, ₽ъ’> ₽«>••• со- ответственно. Коэффициенты моделей (1.5) и (2.6) свя- заны между собой соотношениями: 1 В ряде руководств ДХ, названо «диапазоном варьирования», хотя в действительности это лишь полудиапазон; такую терминоло- гическую неясность целесообразно устранить. 78
По = ^О"1" .S "1“ (A^iO • Д-^г) X i=l i<j X(Xj0:A^)+ 1 bu(Xi0:AAi)2; (2.7) ' cii = bi(Xi()‘.&Xi) + 2 bij(Xjo’.^Xi^Xj) + i<i +2Ьц(ЬХ^:ДХ?); dij—bij. (AXjAAj); Оц~Ьц* (AXi)^ । Однако не рекомендуется переводить модель (2.6), полученную для кодированных переменных, в модель (1.5), содержащую натуральные Xi. Не касаясь мате- матической и статистической стороны такого перевода, разрушающего оптимальность планов, отметим, что рез- ко ухудшаются возможности интерпретации модели и принятия по ней технико-экономических решений. Так, свободный член а0 характеризует выход системы, когда все факторы Х{ находятся на нулевом уровне по нату- ральной шкале, т. е., например, нет ни связующего, ни наполнителя, ни времени твердения композита, а в мо- дели фигурирует реальная прочность материала. Это легко объяснимо тем, что модель (2.6) строится для ограниченного факторного пространства, что видно и из самой записи кодированного фактора (2.4), а для модели (1.5) такие ограничения в явном виде не запи- саны. Ссылки на удобство использования моделей (1.5) в практической работе экономистов и инженеров по меньшей мере наивны. При планировании экспериментов факторы Xi варьи- руют обычно на двух (принимают значения +1 и — 1) или трех уровнях (значения +1, 0, —1) через равные интервалы. Однако в целом ряде задач необходимо мно- гоуровневое варьирование xj. Если при этом сохраняет- ся принцип равенства интервалов, обеспечивающий сим- метричность их изменения по отношению к центру пла- на, то будут получены х,, показанные в табл. 2.1. Преобразование натуральных переменных Xi в коди- рованные Х{ по (2.4) является линейным. Однако в це- лом ряде технико-экономических задач целесообразно использовать нелинейные преобразования. В [20, с. 247] рассматривается алгоритм случайного поиска для рас- чета преобразований переменных, когда нужно устра- 79
Таблица 2.1 ЗНАЧЕНИЯ xi В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЧИСЛА УРОВНЕЙ т{ mi Значения х^ 2 3 —1 +1 —1 0 +1 4 —1 —1/3 +1/3 +1 5 —1 —1/2 0 +1/2 +1 6 —1 —2/5 —1/5 +1/5 +2/5 +1 7 —1 —2/3 —1/3 0 +1/3 +2/3+1 нить неадекватность модели по уже полученной экспе- риментальной информации. Значительно проще вводить нелинейное преобразование Xi по априорной информа- ции при планировании нового эксперимента. Если из- вестны однофакторные зависимости Y = f{Xj}, то можно подобрать такую функцию Vi = Fi{Xi}, чтобы сложная функция y=<p{Vi} при минимальном уклонении описы- валась отрезком прямой или параболы (т. е. соответст- вовала возможностям описания системы полиномиаль- ной моделью т^.2). Например, при исследовании влия- ния на материал агрессивных сред (см. § 3.4) рассмат- риваются концентрации: £'=0,1%, £"=1% и £'"=10%, которые можно представить как £'=10-1, £"=10° и £'"=10+1, что обеспечивает равенство интервалов варьи- рования показателей степени при константе 10 или 1g £. Некоторые полезные методы преобразования пере- менных по априорной информации даны в § 2.2. 2.2. ОСНОВНАЯ ИДЕЯ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Для численной оценки коэффициентов полиномиаль- ной модели, описывающей поведение исследуемой си- стемы, используется метод наименьших квадратов. При гипотезе линейного влияния на У одного кодированного фактора X] рассматривается модель Y=b0+biXi, (2.8) при аналогичной гипотезе для К факторов—.модель Y=bo + biXi + &2Х2+' ” (2-9) 80
наиболее общим видом локально-интегральной мо- дели является полином степени т от К факторов (2.6). При решении технико-экономических задач (кроме изучения диаграмм «состав — свойство») часто достаточ- но ограничиться полиномом второй степени; значительно реже (обычно при малом К) используются неполные ку- бические полиномы с добавлением взаимодействий H,biijX2iXj и 'ZbijKXiXjXK. Общее число эффектов L в мо- делях при 10 показано в табл. 2.2. Полином (2.6) является линейным по параметрам (но нелинейным по факторам х,), поэтому можно заме- нить все х? на К дополнительных линейных членов о г хк+t до х2к, а все сочетания XiXj — еще на С2К линей- ных членов. В результате получается аналогичный (2.9) Таблица 2.2 ЧИСЛО ЭФФЕКТОВ В ЛИНЕЙНЫХ, КВАДРАТИЧНЫХ _____И НЕПОЛНЫХ КУБИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ________ К 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Линейная модель £лм=К+1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Число взаимодействий (bij) : LiJ=0,5K(K-l) Неполная квадратичная мо- дель £нкм=1+К+ 0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 +0,5К (К-1) 2 4 7 11 16 22 29 37 46 Число квадратичных эффек- тов (ba):Lii=K 1 2 3 4 5. 6 7 8 9 10 Квадратичная модель Акм=0,5(К+2) (К+1) 3 6 10 15 21 28 36 45 55 65 Число взаимодействий с квадратичным эффектом 56 72 0 2 6 12 20 30 42 90 Число тройных взаимодей- ствий (Ьцк): т k(k—\)(k—2) 0 0 1 4 10 20 35 56 84 120 6 " Неполная кубическая мо- дель Анкбм 3 8 17 31 .51 78 113 157. 211 275 6 Заказ 6525 81
полином первой степени, но теперь с L «факторами» При анализе информационной табл. 1.10 указыва- лось, что ее левая часть образует матрицу значений факторов [х] размерности NX К. Для удобства даль- нейших вычислений введем в эту матрицу еще .одну пе- ременную, она называется «'фиктивной»1 и во всех опы- тах равна хОи= + 1. В результате будет получена мат- рица (2.10) размерности NX(K+1)- При этом обяза- тельным условием является различие хотя бы в одном элементе строки Хщ у L строк этой матрицы Из информационной табл. 1.10 известен и вектор наблю- дений [у] размерности УХ 1 (см. (2.11)): Для однбфакторной линейной модели (2.8) матрица [х] содержит лишь два столбца. На примере этой мо- дели мы и рассмотрим идеи метода наименыпих'квадра- тов, обобщая их на случай К. факторов или L эффектов модели (2.6). Нам необходимо подобрать такие значе- ния Ьо и Ь\ (или так провести прямую на графике в ко- ординатах Xi и У), чтобы модель (2.8) наилучшим об- разом удовлетворяла данным табл. 1.10. Провести пря- мую через все точки с координатами {хщУи}, как пра- вило, невозможно. Это объясняется тем, что: а) или из- мерения уи весьма точны, но гипотеза о линейном влия- нии Xi на У не соответствует истине; б) или влияние Xi на У действительно линейно, но уи измерено со значив тельной среднеквадратической ошибкой s3; в) или одно- временно несовершенна гипотеза линейности и сущест- вует ошибка измерения s8 (случай, наиболее часто встре- чающийся в технико-экономических задачах). Следова- тельно, всегда между наблюдаемым значением уи и рас- л четным значением уи возможна разница Ди (иногда на- зываемая «невязкой»): &и=Уи Уи (2.12) 1 В планах полного и дробного факторного эксперимента (см. § 2.5) оценка свободного члена вычисляется как среднее по всем опытам; введение «фиктивной» переменной позволяет унифи- цировать структуру расчетных формул для всех оценок [2]. 82
Необходимо свести общую невязку к минимуму. При этом наименее громоздкие вычислительные схемы получаются в том случае, если минимизируется не сум- N ма абсолютных отклонений по всем опытам 2|Ди|, а Й=1 сумма квадратов отклонений (такой метод обладает и рядом ценных свойств со статистических позиций [37, 45, 50, 51 и др.]): 22 д« = 22 (f'«“Ma=-*'min- (2.13) и=1 и=1 Д При подстановке в (2.13) значений уи из модели (2.8) для каждого опыта и получим1: 22 (yu-bo-biXiu)2^->min. (2.14) и Напомним, что для нахождения минимума функции (2.14) необходимо [54] приравнять нулю частные про- изводные по всем неизвестным, т. е. по Ьо и bi. Получа- ем систему так называемых нормальных у равнений, при решении которой и будут вычислены неизвестные коэф- фициенты модели: ду!дЬ0=-2 2 (!/и-6о-&1Х1и)=О; и ду!дЬ\— -2 У, (уи — bQ—feiXiu)xi = 0. (2.15) и Алгебраические преобразования приводят (2.15) к виду Nb0+(Xixiu)bi = ^уи- и и ( xlu)^o + ( 2 х1и)Ь1= 2 Х\иУи> I систему (2-16) гь и и Введем обозначения, упрощающие запись системы нормальных уравнений: W=(00); Z xiu= (i0) = (0i); и 22 XiUxju = (ij) = (ji) (при u I 22 Уи= (0Y); 22 xiuyu-= (iY). и и _______ ) 1 Здесь и далее знак S означает суммирование по всем опытам. и (2.17) 6* 83
В новых обозначениях система нормальных уравне- ний запишется для однофакторной модели в виде: (OO)bo+(Ol)bi=(OY); 1 (2.18) (1О)&о+(П)^= UY); / для /(-факторной модели в виде (ОО)6о+(О1)&1+--+ (0К)6к=(0У); (КО) b0+ (К1 )*! + ••+ (КК) Ьк= (KY). (2.19) Как в системе (2.18) для однофакторной модели, так и в системе (2.19) для К-факторной модели можно выде- лить три упорядоченных множества: — составленную из сумм (00), (i0), (ii) и (ij), оп- ределяемых только уровнями факторов Xi, квадратную матрицу [М'] размерности (К+1)Х(К+1), называе- мую информационной: [М'] = гМЯ=/(00) (01) \ . L J ^j(lO) (11) ) ’ / (00) (01) ••• (0j) ••• (OK) I (ioj (ii) (ij) (ik) \(K0) (KI) ••• (Kj) ••• (kk) (2.20) эту же матрицу можно получить [54] из матрицы [х], j если последнюю умножить слева на транспонированную матрицу [хг], получаемую заменой строк на столбцы j в матрице [х]; в математической теории эксперимента 1 удобно пользоваться нормированной по числу опытов .1 информационной матрицей [М]: j [М'] = [хг] [х]; [М]=4-{М']; (2.21)- (2.22) ' — составленный из сумм (0Y) и (iY), включающих _j результаты эксперимента, вектор [ум] размерности ] (К+1) XI: 4 (0Y) \ (iY) (223)~ (KY) / (2 24) I [Ум1=( ((i°Y) ) : [умЬ 84
который можно получить из вектора наблюдений [у] как [Ум] = [хг] [у]; (2.25) — составленный из неизвестных оценок коэффици- ентов вектор [В] размерности (Л+1)Х1: / Ьо \ [В]- (»,)• [В]= Ьг • (2.26) \ Ьк / В матричной форме система нормальных уравнений имеет вид (2.27) или с учетом матрицы факторов [х] (2.28): [М'][В] = [Ум]; (2.27) ([хг] [х])'[В] = [хт] [у]. (2.28) Вектор неизвестных коэффициентов определяется как [В] = [М']-‘[Ум] = ([хт] [х])-*[хЧ [у] = [хт]‘[у] ={D] [хт] [у], (2.29) где [D] = ([хЧ [х] )-1 = ЛН[М]-1 — ковариационная мат- рица (или матрица ошибок) размерности (/(4-1) X Х(К+1). / Неизвестные в системе линейных уравнений (2.18) или (2.19), т. е. оценки коэффициентов Ьо,..., bi,..., Ьк, можно рассчитать [54] по определению |ЛГ|=Д' мат- рицы [М'] и определителям 1М',1=А'{ матриц [М'<], образуемым из матрицы [М'] путем замены i-ro столбца на вектор-столбец [ум]: &<= |Л1/|: |Af'| =Л/:4'• (2.30) Таким образом, для однофакторной модели находим: |(0Y) (Ю) 1 1 1 Ьо = X 1 (IY) (И) । (0Y) (11) —(ГУ) (10) А' 1 (00) (Ю) I (00) (11)-(10) (10) ’ 1 (10) (Н) । (2-31) 1(00) (0Y) 1 bi — а! 1(Ю) (1Y) 1 _ (00) (1Y) — (10) (0Y) А' I (00) (Ю) - (00)(11)-(10)(10) 1(Ю) (И) । 85
При анализе системы (2.31) можно показать вычис- лительные преимущества введения кодированных пере- менных Xi (2.4). Если соблюдается принцип равенства интервалов (см. табл. 2.1), то сумма Х{ равна нулю, т. е. (10) =0. Последнее приводит к тому, что в системе (2.31) матрицы ГМ'], [М'о] и [M'i] (и их. определите- ли) становятся диагональными и получаются простые формулы: £»о= (0Y): (00) = (0Y):jV; &,= (1Y): (11). (2.32) —(2.33) Ковариационная матрица [D] для однофакторной модели имеет вид [Db Р00 С°‘ U ( ООИ')"1 ~(01)(Л')-*\ (234) LJ cj ^-(10)(Л')-‘ (00)G4')-JM ’ а для Кофакторной: Cqq . . . Cqi . . • Q)j • • . Cqk [D] = CiQ . . • Cii • • • Cij . . . CiK (2.35) CjO • • • Cji • • • Cjj • • • CjK CKQ> • • Cku • . CKj- • • CKK Матрица [D] —квадратная симметричная, т. е. dj= = Cji.' По элементам ковариационной матрицы сц и вы- числяются оценки коэффициентов &<=£с«(/У) (/ = 0,1,..., К); (2.36) 3=0 &o=Coo(OY) +coi(1Y) = [(11) (0Y) - (10) (1Y)] :Л;; 1 _ 6i = Oo(OY) +cu(lY) = [- (10) (0Y) + (00) (1Y) ]: Л' j и важнейшие статистические характеристики модели. Вычисление матриц [М], [D], [В] при большой раз- мерности К или L осуществляется на ЭЦ^М по стан- дартным программам. Вышеизложенный аппарат метода наименьших квад- ратов может быть применен и к определению коэффи- циентов в нелинейных зависимостях типа V=f{Z} [37, 42 и др.], если возможно такое преобразование V и Z, при котором будет получено линейное уравнение (2.8). Рассмотрим процесс линеаризации некоторых однофак- торных зависимостей типа V=f{Z), приводимых к пря- 86
Таблица 2.3 ОДНОФАКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ V=f{Z}, ПРИВОДИМЫЕ К ПРЯМОЙ Y=aQ+aiXl № н/п Функция } Преобразования линеаризации Область существования r=/{Z } Характерные точки 2121 .{Z} У «0 ax 1 V=KoZK' log V log Ko K1 1 logZ ) 0<Z<oo V>0 (Ko>O) C{1, Ко} Ko-Ki-Z^.-1 2 V=KoKiz log V log Ko log Ki z — OO<Z<OO V>0 (Ko>O) С{0, Ко} Ко-In Ki-Ktz 3 V=KoeKiz In V In Ko Ki z — oo<Z<oo, V>0 (Ko>0) С{0, Ко} KoKie^.z 4 V=Koe*i/* In V In Ko Ki 1 z 0<Z<oo, V>0 (Ko>0) С{О,Ко} Л к, ^0} лг~ vl КоК>— ZJ 5 V=Ko+KilnZ V Ko K1 InZ 0<Z<OQ OO< V<OO С{1,Ко} z со
№ п/л Функция V=/{Z} . Преобразования линеаризации Y , a0 at Xi 6 V=Ko+K! — z V Ko Ki 1 Z 7 1 v= /Со+^G^ 1 V Ko Ki z 8 Z v= Ko+KiZ 1 V Kt Ko 1 z 9 1 v= KjnZ 1 V 0 Ki InZ 10 - 1 V= Tz Ko+Kie 1 V Ko Ki e~z
Продолжение С бласть существования } Характерные точки V-/{Z } i{z} — oo<Z<oo Ко< V<oo (Ко>О, К1>0) С{0,Ко} К. 2? A<Z<oo 0< V<OO (№>0, К1>0) Д=-К0:К1 Kt (Ko+KtZ)’ A<Z<oo Д'< У<ОО (Ко>оА<О) КЛ A = -Ki;Ko, Д'=1:Ко Ко (Ко+KtZ)* 1<Z<OO 0<У<оо(К1>0) С{1, 0} 1 KiZ(lnZ)2 — oo<z<oo О<У<Ко-'(Ко>О) А{0, (Ko+Ki)-1} в{1п Y- Ло Z/10 Kie~z (,K0+Kie~zF
мой y=a0+aiXi, и типа V=<p{Z}, приводимых кплоско- сти У=а0+йЛ + а2Х2. Такие зависимости становятся особенно полезными в тех случаях, когда из анализа априорной информации ясно, что многофакторная по- линомиальная модель, дающая в каждом однофактор- ном сечении параболу (или прямую, см. § 1.4), не смо- жет достаточно точно описать исследуемое факторное пространство, и требуется преобразование входов и вы- ходов системы. В табл. 2.3 и на рис. 2.1 приведены 10 однофактор- ных зависимостей типа V=f{Z), здесь же указаны не- обходимые преобразования для V, Ко, Kt и Z, а также область существования V=f{Z), ее характерные точки и среднеквадратическая ошибка функции V случайной величины Z (см. § 1.4). Наиболее часто для преобразо- вания входов используются степенная (1), показатель- ная (2), экспоненциальная (3,4), логарифмическая (5) и гиперболическая (6) функции, а для преобразования выходов — гиперболические (7—9) функции и логисти- ческая кривая (10). Неизвестные коэффициенты ао и at легко найти по формулам (2.31), а функции (2,3,7) при условии равноинтервального изменения |Z|^1—по формулам (2.32) — (2.33). Неизвестные коэффициенты уравнения плоскости У= =a0+atXt + a2X2 определяются по формулам: а0 = А'о: А'; ах = А', : А'; а2 = А'2: Д', (2.38) где (20)(12)(22) (00)(0У)(20) А' = (10)(1У)(12) ; Л3' = (20)(2У)(22) (00)(10)(20) (0У)(10)(20) Л' = (10)(11)(12) ; Ло'= (1У)(11)(12) ; (20)(12)(22) (2У)(12)(22) !ioj(ll)(iy) I . (20)(12)(2У) I (2.39) Числовые значения определителей (2.39) легко вы- числить по правилу Крамера [54]. Например, До' = (0У)(11)(22) +(10)(12)(2У) + (20)(12)(1У) - -(20)(11)(2У) - (12)(12)(0У) - (10)(22)(1У). (2.40) При равноинтервальном измерении |xi|^l и |хг|^1 формулы упростятся, так как для кодирован- ных переменных (10) = (20) = (12) =0, и будут получены определители диагональных матриц: 90
Таблица 2.4 ОДНОФАКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ V=<p{Z}, ПРИВОДИМЫЕ К ПЛОСКОСТИ У=а0+а1Х1+а2Х2 м Функция Преобразования линеаризации Некоторые осоЗенности функций И=<Р{2 } п/п } Y a0 X. I a2 x2 1 V^K9+KtZ+KiZ2 V Ko Kt z Ki Z2 —oo<Z<oo; — oo<V<oo; I K2a | < | К2Ь | • о V^Kf>ZK'eK-‘z In V In Ko Kt InZ Ki Z>0; V>0 (Ko>O) ' |К1а | < |Kit> | • 3 V=Ko+KtZ+K2Z-' V Ko K1 Z Ki 1 z Z>0: —oo<v< + oo; |K1«|<|K11,|. 4 V=K0+KtZ+K2ez V Ko K1 z Ki ez —oo<Z<oo; —оо<У< + °°; |K2a|<|K2&|« 5 V=До+К i e z+Л2 e “ z V Ko K1 e~z Ki e.z — oo<Z<oo; —oo<V<-|-oo; |K2«|>|K2o|. 6 |/ = eK0+K,Z + K2Z2 In V Ko K1 Z Ki Z2 — oo<Z<oo; V>0; |Kt«|>|Klb|. 7 v= 1 K^K.Z + K^Z2 1 V Ko K1 Z Ki z2 — oo<Z<oo; — oo<V<4-oo; A A. *2 * « До=~2К2’ Д =До ’Tg 8 V Ko Kt 1 Z Ki 1 z2 — oo<Z<oo; — oo<V<4-oo 2Я2 Я21 A{0,0}; C{--A, Ko--/} /11 4/12
Рис. 2.2. Однофакторные функции V=<p{Z}, проводимые к плоскости У=00+0^+02X2 (номера соответствуют табл. 2.4)
A' = (00)(ll)(22), Ao' = (0У)(11)(22); | Л/ = (1У)(00)(22), Д2' = (2У)(00)(11).| (2.41) В табл. 2.4 и на рис. 2.2 приведены 8 однофактор- ных зависимостей V=q>{Z} и указаны необходимые преобразования для V, Ко, Kt, К2 и Z. Параболическая зависимость (1) приведена для сравнения. Зависимости (6) и (7) наиболее характерны для преобразования выходов системы. Для определения неизвестных коэф- фициентов используются формулы (2.38) — (2.41). При применении метода наименьших квадратов ве- личиной, характеризующей степень неадекватности (не- Л соответствия) значений уи, рассчитываемых по моделям (2.8) — (2.9), экспериментальным данным уи, является минимизируемая сумма квадратов SA2U (2.13). Эта ве- и личина используется для статистического регрессионно- го анализа моделей. Следует подчеркнуть, что при преобразовании вхо- дов и выходов системы (см. табл. 2.3 и 2.4) по методу наименьших квадратов минимизируется не сумма квад- л ратов отклонений S(VU—Vu)2, а сумма квадратов Л и ^(Уи — Уи)2- С этим недостатком, вообще говоря, при- и ходится мириться, а при необходимости особо точного описания зависимостей по эмпирическим данным прово- дить специальное «усовершенствование» оценок К< [37, 45, 50, 51 и др.]. 2.3. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА Метод наименьших квадратов как алгебраи- ческий инструмент построения полиномиальных моделей позволяет определить точечные оценки коэффициентов bo, bi, bi,, Ьц, ... по экспериментальным данным (с точ- ностью до любой значащей цифры). Однако оценивае- мые по результатам измерения случайной величины [У] коэффициенты полиномиальной модели сами становятся .случайными величинами, интервал распределения кото- рых с известным риском а накрывает значения истин- ных коэффициентов 0 в модели (2.6). Из этого следует важнейший методический вывод: по- строение модели можно считать законченным, а саму модель использовать для принятия технико-экономиче- 93
ских решений только после того, как алгебраический расчет оценок коэффициентов &о> bi, by, by и невязок Ди будет дополнен статистическим анализом как от- дельных коэффициентов, так и модели в целом. Если характеризующая выход системы случайная ве- личина У зависит от неслучайных факторов Х{ (а имен- но такая ситуация складывается в эксперименте, по- скольку исследователь меняет факторы целенаправлен- но и старается удержать их на заданном уровне), то применяется регрессионный анализ1. На первом этапе целесообразно оценить среднеквад- ратические ошибки s{fe} определения коэффициентов модели. Ковариационная матрица [D] (2.35) задает матрицу дисперсий-ковариаций вектора оценок коэф- фициентов [В] (2.26), независимую от вектора {у] (2.11). Действительно, матрица математических ожида- ний т) вектора ([В]—[р]) с учетом истинной средне- квадратической ошибки эксперимента оэ определяется как [28, с. 43] Л{([В]-[р])([В]-[Р1)г) = =п Ьо —фо bi -₽1 Ьг — Рз (6о—Ро, bi—Pi, bi—р2......Ьк — Рк) - Ьк—рк- (Ьо-ро)2 (Ьо -ро )(61-р1)...(6о-Ро)(6к-рк) " (bi -р, ) (бо-рэ) (61-Р02 . -(&1—pl) (Ьк-рк) (Ь2 -р2 ) (6о-Ро) (bi -Рг ) (&1—Pi)...(&2 — Ра) (6к-Рк) - (6к-Рк)(&о-Ро) (6к-рк)(61-р1)... (6к-рк)2 - а2{6о} cov{i>o bi} ... соу{Ь0Ьк} cov{bt bo} a2{Z>i) . . . cov{6i6k) ___ cov{62 bo} cov{i>2 6i) ... cov{626k) -cov{6k6o) cov{£>k6i) ... o2{6k} - 1 В этом случае применение корреляционного анализа [37, 45, 50, 51 и др.], в частности вычисление оценок коэффициентов корре- ляции как множественных, так и частных, не корректно, поскольку Xt не есть случайные величины. S4
£оо Coi . . • Сок " £10 £11 • • • £1к £20 £21 г • • £2 к С ко £к1 • • •Скк _ а2а = [О]а2э • (2.42) Таким образом, диагональные элементы Си матри- цы [D] при известной оценке sa2 задают значения дисперсий оценок коэффициентов $2{М=сн-«э2 • (2.43) а внедиагональные Cij — ковариации коэффициентов bi и bj, позволяющие определить коэффициент корреля- ции p{&j Ь,} между bi и bf. p{bibj} =cov{bibj} : (a{Z>4-о{Ь,}) =Сц:^Сц-Сц; (2.44) оценки независимы, т. е. коэффициент корреляции p{bi&j} равен нулю, если равны нулю внедиагональные элементы сц. Индивидуальные доверительные интервалы для каждой из оценок коэффициентов регрессии можно оп- ределить [37, 45 и др.] с помощью /-распределения при Р= 1 — а и числе степеней свободы f9: 1 P{bi — ts3icu<^i^.bi—ts^cu} = \ — a. (2.45) Можно определить критическое значение коэффи- циента (&,кр), ниже которого расчетные значения bi целесообразно считать равными нулю: ' bi Kp=tSgj/Cu • (2.46) Если матрица [D] диагонально (все p{bibj} =0), то вышеизложенная процедура корректна для всех коэф- фициентов модели. Поскольку p{bibj} = 0, то из моде- ли можно удалять статистически незначимые коэффи- циенты (для них bi<biKp) без пересчета числовых оце- нок остальных коэффициентов. Если p{bibj} для некоторого коэффициента bj не равны нулю, то индивидуальные оценки интервалов по (2.45) являются полезными, но не достаточными для характеристики статистической модели [45, с. 75]. Корректно можно оценить лишь совместную довери- тельную (при Р=1—а) область для всех L парамет- ров ,0 из выражения 95
([В]-[₽]Й[хт][х] ([В]-[₽])^ ^Lsl-F{L, f3, 1 —а}, (2.47) где F{L, fa, 1 — а} — квантиль F-распределения Фише- ра. Неравенство (2.47) приводит к уравнениям эллип- соподобных контуров в пространстве, размерность ко- торого равна числу параметров полиномиальной моде- ли L. Ограниченное таким контуром пространство, центр которого совпадает с координатой 0, в матема- тической теории эксперимента носит название «эллип- соида рассеяния оценок» параметров [27]. Для линейной модели У=0о+01х1 эллипсоид рас- сеяния превращается в эллипс, который удобно анали- зировать в координатах Ьо и Ь\. При его построении осуществляется переход к новым ортогонально преоб- разованным координатам v и л [60] с началом в точ- ке Ьо и bi. Ось v совпадает с большой полуосью кон- турного эллипса, образующей угол S2 с осью хь кото- рый определяется с учетом (2.20) уравнением tg2Q= [2p{Mi} s{b0} -«{£>!}]:{s2{60} -$2{6,}] = = —2(10):[(11)—(10)]. (2.48). Уравнение эллипса, отнесенное к новым осям, за- писывается в виде v2cr^+n<J~2=x2. (2.49) где х2 — квантиль распределения Пирсона [39] для двух степеней свободы (£,=2) и заданной вероятности Р= 1 —юс. Дисперсии Ov2 и оя2, определяющие размер большо- го и малого диаметров эллипса, определяются уравне- ниями, в которых учтены элементы матрицы (2.20): (Ov+On)2«s2{M +s2{&1}+2s{M ${6.} Vl-pWi} = =s32[(l 1) + (10) + 2/4'] -.A'; _____ (av-(b)2~s2{M +s2{6i} -2s{60) ${6i} /1 -p2{6oM = =s3a[(ll) + (10) —2/4'] :4'. (250) Площадь контурного эллипса (2.49) пропорцио- нальна (см. (1.20)) величине S: 5=s{60} $ Pi}/1 — P2{606i} =s2a/(4')-i. (2.51) 96
Формулы (2.47) —(2.51) будут необходимы для фор- мулировки и объяснения критериев оптимальности пла- нов (см. § 2.4). Таким образом, доверительные границы (2.47) можно устанавливать только после того, как выбра- ны некоторые фиксированные значения для всех остальных коэффициентов регрессии [28, с. 20], что значительно усложняет анализ полиномиальных моде- лей. Кроме того, исключение из модели (по каким-ли- бо соображениям) коэффициента bi при р{Ь,- bj} У=0 приведет к пересчету всех связанных с ним оценок bj. Однако в связи с тем, что недиагональные матрицы [D] встречаются весьма часто не только в «пассив- ном», но и в планируемом эксперименте, мы допускаем и в этом случае применение /-критерия (2.45) для уда- ления статистически незначимых эффектов. Ход так называемого последовательного регрессионного анали- за следующий: рассчитываются L оценок коэффициен- тов модели, по формуле (2.46) рассчитываются L зна- чений &кр, удаляется тот эффект bj, для которого ми- нимально отношение bj: bj кр, вновь рассчитываются L — 1 оценок коэффициентов модели. Процедура про- должается до тех пор, пока не останется Л значимых эффектов bj при заданном уровне а*. Последователь- ный регрессионный анализ весьма полезен и для уда- ления статистически незначимых квадратичных эффек- тов Ьц в моделях, построенных на основе некоторых планов второго порядка (см. § 2.6), так как способ- ствует их упрощению. На втором и третьем этапах проверяются гипотезы об информационной способности и адекватности полино- миальной модели (со всеми значимыми коэффициен- тами регрессии). При этом используется минимизиру- емая методом наименьших квадратов остаточная сум- ма квадратов S Д2М, которая обозначается далее SS0Ct, и другие характеристики рассеяния случайных вели- чин. Остаточную сумму квадратов SS0CT мы рекоменду- ем вычислять непосредственно по соотношению (2.12), . 1 Существуют и иные критерии для остановки процесса после- довательного регрессионного анализа, например максимум Ги или минимум Fa (см. далее). 7 Заказ 6525 97
потому что анализ значений Ди в каждой строке плана нередко позволяет определить ту «узкую» область фак- торного пространства, в которой, в общем-то, точная модель может давать неудовлетворительные результа- ты (например, из-за локальной несимметричности вет- вей параболы). Существует и обобщенный метод вы- числения SSoct по соотношению N К К SS0CT= Е Уи - Е MiY) = (YY) - Е MiY)- (2.52) и—1 г—1 г=1 Если полиномиальная модель строилась по N опыт- ным точкам, содержащим дублирующие опыты (гаи>1) и измерения (7ии>1), то можно показать [16, 28идр.], что SSoct является суммой двух величин: SSocT = SSHa"bSSa, (2.53) где SSHa — сумма квадратов отклонений средних экспе- риментальных значений выходов уи от предсказыва- л емых моделью значений уи', она характеризует неадек- ватность модели эксперименту; SSa — сумма квадратов отклонений, связанная с пов- торением экспериментов; она характеризует точность измерений и воспроизводимость опытов. Число степеней свободы величин SSoct, SSHa и SS8 зависит от общего числа измерений Л/общ (см. § 1.4), числа различных опытных точек N и числа значимых коэффициентов регрессии Л (включая Ьо): /ост = Л^общ—Л; /на=Л^—Л; /э=Мобщ—N. (2.54) — (2.56) Зная величины SS, и соответствующие ft, можно рассчитать оценки дисперсий: $oct=SSoct‘fact; sHa=SSHa :[на> sa=SSa:fa (2.57)—(2.59) и проверить по F-критерию Фишера гипотезы об инфор- мационной способности и адекватности модели. Для проверки информационной способности модели [4, 28 и др.] формулируется нуль-гипотеза Но: а20бщ{#} = =о2на (где о2общ {у}—общее рассеяние результатов измерений yUVw по отношению к общему среднему «/общ по всему эксперименту). Если такая гипотеза по крите- рию Еи: Ей—$вбщ{^/} :sHa (2.60) 98
будет отклонена (FH>FTa6n) обычно при а=0,05, то наша модель (имеющая s2Ha) описывает результаты л - эксперимента лучше, чем простейшая модель У=«/обпх= =const, в которой при любом наборе значений вы- ход есть константа, равная среднему значению уОбщ- Если ГиС^табл, то такая модель, несмотря на сложный вид и затраты на ее построение, не имеет информаци- онной ценности. Следует, правда, обратить внимание на необходимость технико-экономического осмысливания результата в случае, если гипотеза Но: о20бщ {у} =о2на отклонена. Тонкость статистического анализа заключа- ется в том, что при большом числе измерений N такая гипотеза будет отклоняться при малых Fa (так, дляа= =0,05 при МОбщ=130 и /(=10 величина Fat 1,3). Одна- ко ее технико-экономическая ценность весьма сомни- тельна, так как снижение ошибки прогноза по. сравне- нию с моделью У=const составит всего еи=юо(уК-1)=п,4%. (2.61) Трудно указать минимальную величину 0И, при ко- торой следует считать проверяемую модель полезной, но, по нашему мнению, разумно не пользоваться моделями при 0И<ЗО—50% (в зависимости от постановки зада- чи). Такой подход позволяет избежать неоправданного энтузиазма по поводу получения сложных полиномиаль- ных моделей. Для проверки адекватности модели формулируется нуль-гипотеза Но: <72На = о2э- Если она по критерию Fa: Fa=sL:sa (2.62) будет признана правдоподобной (ГаСЕтабл’» приложе- ние 2) обычно при а=0,05, то анализируемая модель адекватно описывает экспериментальные результаты, поскольку о?на=ст2э — предсказываемые моделью ре- л зультаты уи будут по точности не хуже эксперименталь- ных уи. Если модель предназначена для предсказания средних У по группе из q единиц (такие задачи воз- никают, например, при приемке партии промышленных изделий), то применяют «приведенную» [16] дисперсию неадекватности s 2*: Зна —Sm’.q. (2.эЗ) 7* 99
Однако при этом s92 должна быть заменена Has82 {у}, также уменьшенную в q раз (см. § 1.4), поэтому чис- ловые значения Fa и соответствующие числа степеней свободы не изменяются. Проверка адекватности по критерию . (2.62) абсо- лютно корректна со статистической точки зрения; одна- ко к ее результатам следует относиться разумно с тех- нико-экономических позиций. Возможна такая ситуация, в которой модель неадекватна (/7а>/?табл.) из-за малой ошибки опыта (проводился прецизионный лабораторный эксперимент). В этом случае, по нашему мнению, необ- ходим следующий подход: если s2Ha (как характеристи- ка точности модели) по величине удовлетворяет техни- ко-экономическим требованиям, то допустимо заменить 82э.лаб в (2.62) на величину з2э.пр, характеризующую про- изводственные испытания (она обычно больше, чем ла- бораторная), и после этого вновь проверить адекват- ность модели. Возможна и противоположная ситуация, когда из-за большой величины sa2 (грубый эксперимент) модель адекватна по критерию (2.62), но не может удовлетворить, исследователя по величине дисперсии не- адекватности з2на- В этом случае к использованию та- кой модели лучше относиться осторожно. Следует отметить, что проверки (2.60) и (2.62) прин- ципиально отличны и невзаимозаменяемы (использова- ние в обоих случаях критерия Фишера вводит ряд ав- торов в заблуждение): адекватность модели не гаранти- рует ее информационной способности, и наоборот. На четвертом этапе статистического анализа необхо- димо определить дисперсию предсказанного значения А выхода по полиномиальной модели s2 {YJ и доверитель- А ные интервалы для предсказанного значения Y. Запишем полиномиальную модель (2.6) в матрич- ной форме с учетом (2.29) как [Y] = [х] [В] = [х] [D] [xT]<[Y]. (2.64) А Для предсказания параметра выхода Ур в точке хр, координаты которой заданы строкой плана [хр] (или иным набором хгр), необходимо в уравнение (2.64) под- ставить вектор [х£] (транспонированную строку) размерности 1ХК, т. е. 100
Ур= [xp] [D] [xr] [Y], (2.65) A Оценка дисперсии предсказанного значения s2{ У} для модели (2.6) определяется на основе общей теории ошибок функций случайных величин (см. § 1.4), как Л Л л л к I дУ ,2 / дУ \/ дУ\ 5ЧП- S «7 *’(»<) +2SC0V-M) к- К - г=0 \ \ ' \ 3 / = [хг] [D] [х]5э2 • (2.66) Выражение (2.66) правомерно в силу того, что оцен- ки коэффициентов регрессии суть случайные величины, определенные выражением (2.42) с дисперсиями $2{£>о}, S2{M> $2{&ij} И поэтому s2{F}=s2{60}+ Z sz{bi}x2i + 2 s2{bij}x2x2 + г=1 i<j + 2 s2{ba}xt + 2Zcov* {bi bj}XiXj+... + г=1 i<j +2Z cov* {ba bjjjxtxf • (2.67) i<j Для наиболее распространенных симметричных пла- нов второго порядка (см. § 2.6) линейные эффекты и эффекты взаимодействия определяются с постоянными дисперсиями и независимо, т. е. cov{bi bj} = cov{i>ij bjK} =cov{b0bi} =cov{b0bij} = =cov{&i bjK} =0, и формула (2.67) упрощается: s2{y}=s2{&0}+s2{6i) Z*i+s2{M + 2=1 £<] +s2{bu} £ x-+2cov* {b0 bu} S Xi 4- г=1 +2cov {bubjj} £x?xf • (2.68) i<3 Если учесть, что дисперсии и ковариации коэффици- ентов суть произведения дисперсии эксперимента s32 на элементы Сц и сц матрицы [D] (2.43) — (2.44), то из анализа (2.68) следует важный методический вывод о том, что точность расчетов по полиномиальным моде- •Л лям, характеризуемая s2{7}, зависит от трех парамет- 101
ров: точности эксперимента (зэ), координат точки пред- сказания (вектор [xj ], составленный из XiP, х2р,..., xtp, • • Хкр), влияющих нелинейно (каждая координата входит как х2<р и х\р), и свойств плана (сц и сц), свя- занных с координатами точек, в которых ставился эксперимент ([D] = ([xt][x])->). Величина [хт] [£>] [х] в (2.66) используется при построении и анализе планов как мера точности пред- сказания выхода d (см. § 2.4). л Доверительный интервал для Ур в точке с коорди- натами хр определяется [16,45] по формуле (2.69), а в матричной форме как (2.70): P(Yp-t{a/2, М${Ур}<т)р^р+*{’/2, MsW) = l-a; (2.69) - y±f{<V2,Msay[^]^ (2.70) В заключение необходимо обратить внимание на то, что регрессионный анализ является содержательным и корректным, если выполняется ряд предпосылок (подробно изложены в [37, 45, 60 и др.]), в частности: случайная величина выхода У должна быть распреде- лена по нормальному закону; величина дисперсии хэ2 должна оставаться неизменной или быть пропорцио- нальной некоторой известной функции от xt-; разности л Уи — Уи должны быть стохастически независимыми. По- следствия нарушения этих предпосылок изложены в [32, с. 47]. 2.4. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА На основании вышеизложенного описания ме- тода наименьших квадратов и регрессионного анализа можно сделать ряд важных методических выводов. Во-первых, при обработке технико-экономических на- блюдений методом наименьших квадратов с использо- ванием регрессионного статистического анализа может наблюдаться (причем весьма часто) такая ситуация, когда все внедиагональные элементы ковариационной матрицы [D] не равны нулю. Это приводит к тому, что все оценки коэффициентов регрессии оказываются взаи- 102
мосвязанными, поскольку p{bibj}^0, и, следовательно: а) трудно оценить доверительные интервалы для каж- дого в отдельности теоретического коэффициента 0; б) добавление или удаление некоторого члена в поли- номиальной модели (2.6) для уточнения формы связи между выходом Y и входами х, системы приводит к пе- ресчету всех оставшихся оценок коэффициентов регрессии; в) трудно оценить роль каждого из факторов Xi для управления системой, ориентируясь по эффектам моде- ли, и др. '[28]. Кроме того, можно отметить как недос- таток то, что коэффициенты модели оцениваются с раз- ной ошибкой $2{&} (2.43), если диагональные элементы матрицы [D] не равны между собой. Во-вторых, важным свойством ковариационной мат- рицы [D] является то, что она не зависит от вектора наблюдений [у], т. е. от свойств технико-экономичес- кой информации, по которой строится модель. Следо- вательно, свойства матрицы [D] могут быть исследо- ваны до того, как собирается технико-экономическая информация. Поскольку ковариационная матрица ID] есть обращенная: информационная матрица {М'] = ={D]-1, а информационная матрица [М7] связана с матрицей [х] соотношением [М7] =1[хт]'[х], то и мат- рица [х] может быть исследована и сконструирована некоторым оптимальным (с точки зрения целей иссле- дователя) образом до проведения опытов. В-третьих, независимой от результатов эксперимен- та оказывается и мера точности предсказания выхода d= [хт] [D] [x], связанная только с расположением точек плана в факторном пространстве, а значит, до- пускающая априорное конструирование планов для по- строения моделей с повышенной точностью. В-четвертых, из системы нормальных уравнений (2.19) следует, что для определения L неизвестных оценок bi в полиномиальной модели необходимо и до- статочно, чтобы матрица [х] содержала L разных строк (2.10), т. е. минимальное число опытов в плане (насыщенный план) и «излишек» опытов N—Njain может быть полезен не с алгебраической, а лишь со статистической точки зрения. Исследование ковариационных матриц >[D], мер точности d и других статистических характеристик с целью конструирования матриц планов [х] и есть од- но из основных направлений оптимального алгоритма- ми
зированногд планирования экспериментов. Для обес- печения оптимальности планов используется система специальных критериев, представляющих собой фор- мализованные требования к свойствам моделей. Эти критерии в абстрактной математической записи обоб- щают ту массу пожеланий, которую квалифицирован- ный исследователь выдвигает к результатам своих ис- следований на профессионально-логическом уровне («Хочу как можно точнее найти координаты макси- мальной прочности!», «Хочу оценить роль каждого, фактора в системе независимо от других!» и т. п.). Оптимальность планов оценивается по большому ко- личеству критериев, каждый из которых приобретает особую ценность для экспериментатора в зависимости от целей его исследовательской работы. Ниже рассмотрены некоторые из критериев, наибо- лее важные для решения прикладных технико-экономи- ческих задач. Так, из анализа формул (2.42) — (2.51) следуют кри- терии, связанные с определением и минимизацией дис- персии оценок коэффициентов модели '[27 и др.]: а) Оценки коэффициентов модели будут независи- мыми только при р {bibj}= 0, что приводит к диагональ- ности матрицы [D]. При этом угол поворота £2=0 и на- правление главных осей эллипсоида рассеяния (v и л в линейной однофакторной модели) совпадает с направ- лением координатных осей пространства параметров, а размеры его большого и малого диаметров могут оп- ределяться как индивидуальные доверительные интерва- лы оценок bt (2.45). План, обеспечивающий p{bibj} =0, называется ортогональным. В таком плане суммы (2.71) по всем N опытам равны нулю, а для двухуровневых планов (см. § 2.5), кроме того, действительно соотноше- ние (2.72): N N 2 S XiuXju=0 (»</); = (2.71) —(2.72) u=l u=I б) Для минимизации обобщенной дисперсии, про- порциональной объему эллипсоида рассеяния опенок па- раметра (2.47), а для линейной однофакторной моде- ли— площади эллипса 52ЭУ(Л')-1 (2.51), необходимо минимизировать определитель ковариационной матри- цы или максимизировать определитель информационной матрицы [М], в частности Л'=[(00)(11) — (Ю)2] (см. 104
(2.31)). План, соответствующий требованию mindet [М]-1 на множестве планов, отвечает критерию D-опти- мальности (determinant). Этот критерий наиболее тесно связан с центральными идеями математической статис- тики (с теорией эффективных оценок, см. § 1.3) и явля- ется одним из важнейших в современной математиче- ской теории эксперимента [12, 22, 26, 27 и др.]. в) Минимальная средняя дисперсия оценок коэф- фициентов связана с поиском суммы квадратов длин осей эллипсоидов рассеяния (для эллипса из (2.50) : : o2v+cr2n~ (Л)_1-э2а V[(l 1) 4- (10)]2—4А' ) или минимума длины диагонали (Ую\+<т2я) многомерного прямоуголь- ника, описанного вокруг эллипсоида. Для этого мини- мизируется след матрицы tr[D] (или [.(11) + (00)]—*- ->min). Такой критерий носит название А-оптималь- ность (average variance). г) Для минимизации максимальной оси эллипсоида рассеяния (ov) необходимо найти минимакс собствен- ного значения (eigenvalue) матрицы [D]—критерий Е-оптимальности. В этом случае отдельные оценки па- раметров модели не будут обладать слишком больши- ми дисперсиями и ковариациями. С оценками коэффициентов модели связаны и такие критерии оптимальности планов, как минимакс дисперсии оценок коэффициентов (minmax Си) и минимум суммы л к относительных ошибок оценок minS (s{&i) .•&*)= min Udi. Из анализа меры точности d (2.66) следуют крите- рии, связанные с ошибкой модели в целом [27, 31 и др.]: а) если необходимо обеспечить минимум средней - Л дисперсии оценки выхода_mins2{У), то должна быть минимальна функция mind=S [хП [М]-1[хр], что со- * р р ответствует критерию Q-оптимальности; б) минимуму максимального значения дисперсии Л оценки min(s2{y})max соответствует minmax d, а крите- рий называется G-оптимальность (general variance); в) постоянство дисперсии предсказания на равных расстояниях от центра эксперимента—ротатабельность— обеспечивается при к?=/{р}, где р= (S х2г),/2; 105
г) если в пределах эксперимента (|р|^1), жела- тельно обеспечить (постоянство дисперсии предсказания л s2{y) «const, униформность, то должно обеспечивать- ся, кроме ротатабельности, и условие d«'const, что достигается повторением опытов, в частности в центре плана. К числу критериев, облегчающих процедуру экспе- риментов и построение моделей, можно отнести сле- дующие: а) Минимизация числа опытов, т. е. близость числа опытов N к числу оцениваемых параметров модели L. По-видимому, особый интерес этот критерий будет вызывать у экспериментатора на первом поисковом этапе исследования, когда можно получить даже не очень точное представление об объекте, но при минимуме затрат временных и материальных ресурсов. б) Простота вычислений коэффициентов модели, что важно для экспериментатора, не имеющего возможности оперативно обращаться к ЭВМ. в) Композиционность плана — возможность исполь- зовать точки плана первого этапа в плане второго эта- па в случае, если модель первого этапа (полином сте- пени пг, например, линейный) неадекватно описывает поведение системы (требуется описание полиномом сте- пени /п+1, например, квадратичным). Наличие такого большого числа, часто 'несовмести- мых критериев оптимальности, с одной стороны, ус- ложняет принятие решения о выборе плана эксперимен- татором, с другой стороны, дает ему возможность пост- роить (или выбрать) план в соответствии с целями дан- ного этапа исследований. Следует отметить, что в ре- зультате развития общей методологии математической теории эксперимента теперь нет необходимости выби- рать один какой-нибудь критерий и вести нескончаемые споры в его защиту, появйлась возможность построе- ния компромиссных планов достаточно хороших с по- зиций разных критериев [29, с. 1248]. Основные принципы построения и выбора планов для эксперимента можно пояснить на примере анализа большинства известных и практически применяемых планов размерности К=3. Двенадцать таких планов при- ведены в табл. 2.5 и на рис. 2.3. Кроме названия и схемы плана, для него приведены: общее число опытов 106
N (включая число повторений в центре эксперимента по); коэффициенты экономичности kN=N: L, D-опти- мальности &d='| Af | : |Л11 {£>} (отношение приведенно- го определителя информационной матрицы данного пла- на к приведенному определителю непрерывного D-опти- мального плана той же размерности [12]), А-оптималь- ности &A=tr:tr{A} (отношение приведенных следов tr ковариационных матриц; основанием служит непре- рывный А-оптимальный план), Q-оптимальности kq= =dCp: rfcp{Q} (отношение мер точностиdcp; основание — непрерывный Q-оптимальный план); информация о ротатабельности; абсолютные величины наибольших коэффициентов корреляции в матрице [D] и коэффи- циенты среднеквадратических ошибок оценок ks= =s{6} :зэ. Эти сведения, собранные из большого чис- ла источников [2, 12, 14, 15, 21, 27, 31 и др.], позволя- ют выбрать план в соответствии с целями данного исследования. 1. План 3X3X3 — традиционный план технико-эко- номических экспериментов, получаемый при исследова- нии воздействия отдельно каждого из" трех факторов на трех уровнях («при прочих равных условиях»). План обладает хорошими статистическими характеристика- ми1 и лучшими по точности оценками всех коэффи- циентов регрессии ks. Недостаток — максимальный пе- рерасход ресурса км=2,7. План состоит из 27 точек (1—центр, 8 — вершин, 6 — центров граней и 12 — середин сторон куба). 2. Для построения неполных квадратичных моделей (Dhkm=7) применяется полный факторный эксперимент (ПФЭ) 23. Восемь точек расположены в вершинах ку- ба— полный перебор всех комбинаций из трех двух- уровневых факторов Х{. План ортогонален и ротатабе- лен (кроме того, планы типа 2К всегда D-, А-, Q-и D-оптимальны). 3. Для построения линейных моделей (ЬЛм=4) мож- но взять любую полуреплику (см. § 2.5) плана 2 из четырех точек по схеме, указанной на рис. 2.3. План насыщен и ортогонален. 4. Для построения квадратичной модели можно отобрать из плана 1 любые точки в количестве 107
НЕКОТОРЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Номер плана Название и тип плана N *N kD кА I Полный факторный 3х3х3=33 27 2,7 1,03 1,03 2 Полный факторный 2х2х2 = 23 8 1,1 — — 3 Дробный факторный 23-1 4 (нкм)* 1,0 4 Симметричный квази-Р-оптималь- ный 13 (лм)** 1,3 1,12 1,22 5 Бокса — Бенкина ВВ3 (Ло=3) 15 1,5 1,14 1,07 6 Бокса Вз 14 1,4 1,01 1,03 7 Хартли Яа3 11 1,1 1,29 1,39 8 Несимметричный квази-Р-опти- мальный 10 1,0 1,09 1,32 9 Рехтшафнера /?3 10 1,0 1,09 1,39 10 Насыщенный точный Р-оптималь- ный 10 1,0 1,06 1,13 11 Ротатабельный РЦКП-3 (п0=6, 1/со = 0,59) 20 2,0 1,92 1,91 12 Ортогональный ОЦКП-3 (1/0 = 0,82) 15 1,5 1,28 1,29 ♦ Неполная квадратичная модель. ** Линейная модель. Рис. 2.3. Схема образования трехфакторных планов из 2/ точек полного факторного эксперимента З3 (0—центр куба, 0 — восемь вершин, Н----шесть центров граней, О — двенадцать середин ре- бер); номера планов указаны в табл. 2.5 108
ПЛАНОВ ПРИ А=3 И ИХ ОПЫТНЫЕ ТОЧКИТабЛИЦЭ 25 k Q Рота- та- бель- ность Коэффициенты корреляции оценок *sl *sli ^<7 "о ьа ь. .ь.. ii JJ 1 blbij М;* 1,06 0,53 0 0 0 0,23 0,43 0,29 — + — — 0 0,35 — 0,35 — — — — — 0,50 — — 1,21 (+) 0,75 0,43 0 0 0,35 0,66 0,50 1,05 (+) 0,55 0,07 0 0 0,35 0,52 0,50 1,05 0,38 0,23 0 0 до 0,32 0,64 0,35 1,43 0,36 0,21 0 0,81 0,71 0,64 0,87 1,32 ДО 0,52 ДО 0,47 до 0,63 до 0,32 ДО 0,54 ДО 1,05 до 0,50 1,45 0,47 0,12 0,25 до 0,50 до 0,50 1,00 0,50 1,16 0,50 0,05 0,13 0,17 0,39 0,77 0,47 1,69 + 0,52 0 0 0 0,46 0,74 1,00 1,15 0,53 0 0 0 0,36 0,71 0,52 N^LKm—\0. Так, симметричный квази-Р-оптимальный план—12 середин сторон плюс точка в центре экспе- римента. Его статистические характеристики удовлет- ворительны, однако оценки 60> Ьц и Ьц сильно коррели- рованы. 5. План Бокса — Бенкина аналогичен плану 4, но требует трехкратного повторения опытов в центре. Ста- тистические характеристики плана хорошие: он как и предыдущий близок к ротатабельному; недостаток — план некомпозиционен, т. е. не может быть получен достройкой на втором этапе исследований планов 2 или 3. 6. Один из лучших планов для К=3 на кубе — план Бокса В3. Композиционен к плану 2, к которому добавляются 6 точек в центре граней. При добавлении точек в центре плана (см. § 2.6) может быть снижен fisn. Исследование последовательно генерированных 1 Проведенные в МГУ фундаментальные исследования [14, 15, 27] показали, что «хорошими» можно считать планы при kn 1,15, 5^-1,30 и kq 1,30. 109
планов в [21] показало, что последовательное увели- чение числа опытов в некоторых точках плана, напри- мер прибавление к В3 плана 2 или 3, улучшает статис- тические характеристики в частности ksi и kti}. 7. Почти насыщенный композиционный (к плану 3) план типа Хартли имеет плохие статистические харак- теристики; крупный недостаток — высокая корреляция между bi и bij. 8. Некомпозиционный несимметричный - квази-D-on- тимальный план насыщен, однако имеет плохие харак- теристики (кроме kr>) и практически не применя- ется. 9. Почти композиционный (к плану 2 с потерей од- ной точки) насыщенный план Рехтшафнера также име- ет плохие характеристики. 10. При хороших характеристиках kN, kD, kA и kq насыщенный точный D-оптимальный план отличается некоторой сложностью процедуры эксперимента: коор- динаты шести точек несколько сдвинуты по отношению к обычным координатам варьирования факторов 0 и ± 1. 11. Ротатабельный план Бокса РЦКП-З композици- онен к плану 2, но шесть точек вынесены на сферу радиусом о (планирование на сфере). Из анализа ста- тистических характеристик ясно, что его следует при- менять лишь при острой необходимости обеспечить независимость ошибки предсказанного значения «{У} от направления прогноза. 12. Ортогональный (за счет соответствующих пре- образований x2i — см. § 2.6) план ОЦКП-3 также композиционен к плану 2, но точки выносятся на сферу меньшего радиуса, чем в плане И (его размер подби- рается на основе упомянутого преобразования). Пре- имуществ по сравнению с планами 4, 5, 6 и др. не имеет. Следует подчеркнуть, что все сравнительные оценки («хороший», «плохой» и т. п.) относятся только к планам размерности К=3. Например, план Хартли при К=5 или план Рехтшафнера при будут относиться к группе лучших, а оценки плана Бокса — Бенкина ухудшатся. ИЮ
2.5. ПЛАНЫ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ И НЕПОЛНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ Для построения линейных и неполных куби- ческих моделей рекомендуются планы факторных эк- спериментов, обладающие ортогональностью. Для таких планов матрица [D] диагональна (все с« = 0), а матри- ца [х] при двухуровневом варьировании факторов об- ладает тремя свойствами: N N N - 22 xiu=Q; J2xiUXjU = 0 и У, xiu = N. (2.73) u=i u=l U=1 Простейшим представителем таких планов является полный факторный эксперимент (ПФЭ) при двухуров- невом варьировании типа 2К. Если в эксперименте с двумя переменными и Х2 каждая изменяется на двух уровнях (например, при изучении производительности установки Xi — темпера- тура процесса 80° и 120°С, а Х2 — давление 1МПа и 2 МПа), то все возможные комбинации для варьируе- мых таким образом двух факторов будут исчерпаны перебором из четырех опытов, приведенным в табл. 2.6 (гр. 3 и 4 для кодированных факторов). Таблица 2.6 ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ДЛЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ, ВАРЬИРУЕМЫХ НА ДВУХ УРОВНЯХ (планирование типа 22)1 Номер опыта и Хо Планирование XiXi л -2 *2 Копя- вое обоз- начение строки Хх Xi 1 2 3 4 5 в 7 8 9 1 +1 —1 -1 +1 +1 +1 У\ (I) 2 +1 4-1 -1 —1 +1 +1 У2 а 3 +1 —1 + 1 —1 +1 +1 Уз b 4 +1 + 1 + 1 +1 +1 +1 У* ab М=4 II О О II М 3 s=o и II И Для простоты вместо «+1> можно записывать «+>, а вместо «— 1» за- писывать «—>. 111
Верхний уровень в ней обЬзначен +1, а нижний —1. Каждая строка ее относится к одному из эксперимен- тов; в гр. 2 приведены значения фиктивной перемен- ной х0= + 1; в гр. 3—4 — значения х1 и хг (собственно планирование); в гр. 5—значение Х1Х2 (для расчета эффекта взаимодействия факторов); в гр. 8 записаны результаты экспериментального определения выхода в каждом опыте. Последняя пр. 9 содержит кодовое обоз- начение строк: например, буква а обозначает, что соот- ветствующая переменная Х\ находится .на верхнем уров- не; запись ab показывает, что на верхних уровнях находятся обе переменные; символ (1) обознача- ет, что обе переменные на нижних уровнях. Кодовые обозначения значительно сокращают запись матриц; табл. 2.6 для планирования 22 записывается так: (1), a, b, ab. Как видно из анализа гр. 3—7, план 22 облада- ет свойствами -(2.73). Эти свойства позволяют для всех ПФЭ 2К из формул классического метода наименьших квадратов и регрессионного анализа (см. § 2.2 и 2.3) получить очень простые соотношения1: 1 * (iY) Ъг= — 2] ЪиУи=—— (при i = 0, 1,..., К); (2.74) N N и=1 Ьц= —Y- (при i<j); s{&i}=s{&ij} =-4т-$э. (2.75) — w yw • (2.76) Пользуясь планом 22, можно определить коэффи- циенты регрессии неполной квадратичной модели: У == &о4" b}Xf + Ь12%1%2' (2.77) Число опытов (четыре) равно числу параметров (&0; &Г, &2J&12), на проверку гипотезы об адекватном представлении результатов эксперимента моделью (2.77) не остается степеней свободы. Однако если яв- ление может быть описано линейной моделью (без взаимодействия &12), то одна степень свободы остается для проверки гипотезы адекватности. 1 Если в каждой точке плана реализовано равное число опре- делений то в этих соотношениях следует заменить уи на~уи- Если m^const, то использовать (2.74)—(2.76) нельзя [2], так как нарушается ортогональность плана. 112
П<РЭ-2^ N-4 ПФЭ-г? N=8 пФэ-г? м-16 ПФЭ-2* Н-32 Рис. 2.4. Схема построения ПФЭ умножением предыдущего плана на (+1) и на код добавляемого фактора (соответствен- но левые и правые стрелки) Матрица планирования для трех переменных 23 по- лучается из матрицы 22 при повторении ее дважды: один раз при значении Хз—на нижнем уровне, второй раз — на верхнем. Это формально равносильно умно- жению кодовой записи матрицы один раз на единицу (1), второй — на с: (1) a, b, ab, с, ас, be, abc. (2.78) Схема построения полных факторных эксперимен- тов из матрицы 22 показана на рис. 2.4. Продолжая схему далее, легко образовать ПФЭ для любого числа факторов. С ростом числа факторов число опытов растет по показательной функции N=2K. В то же время (см. табл. 2.2) число линейных эффектов растет по зави- симости £лм=1 + ^> а число эффектов в неполной квад- ратичной модели — по параболической зависимости 1>нкм=0,5(2+/<+№). Таким образом, начиная с К = 2 быстро наступает избыточность числа экспериментов. Действительно, если технико-экономическая ситуация описывается линейной моделью, то она соответствует ' в К-мериом пространстве гиперплоскости, для опреде- ления которой достаточны лишь (К+1) точек. Алгоритмизированное планирование эксперимента получило широкое распространение после разработки метода дробных реплик, позволяющего ограничиться некоторой частью ПФЭ. В этом случае можно так раз- делить матрицу ПФЭ, чтобы разность между числом оцениваемых параметров L и числом опытов N была минимальна, что обеспечивает минимальный расход ресурсов. Основной идеей метода дробных реплик является построение ортогональных планов, в которых эффекты высших порядков (появление которых в данной конк- 8 Заказ 6525 113
I ретной задаче маловероятно) смешиваются с какими- то новыми эффектами [27].। Рассмотрим реализацию этой идеи и уточним терминологию на примере трех- факторного эксперимента. Если есть основания априо- ри полагать, что Pi2='₽i3=₽23=0 (линейная модель, описывающая плоскость), то достаточно поставить четыре опыта (см. табл. 2.2). Поскольку Pi2=0, то в матрице независимых переменных ПФЭ-22, заданной табл. 2.6, можно приравнять Х1Х2=Хз и получить план для трех переменных Xi, х2 и Хз, задаваемый правой половиной табл. 2.7. Таблица 2.7 ПОЛУРЕПЛИКИ ПФЭ-23 (планирование типа 23-1) задаче Pi2=#0, то коэффициент Ьз, оцененный по такому плану, будет оценкой суммы Р3+Р12. что можно запи- сать следующим образом: £>з-*Рз+Р12- Коэффициент Ь3 ' является смешанной оценкой, под которой понимается [32] оценка коэффициента регрессии, одновременно учитывающая несколько эффектов, причем по крайней мере два оцениваемых эффекта не равны нулю; в плане эксперимента столбцы одновременно учитываемых эф- фектов одинаковы. В первой полуреплике 23-1 (см. табл. 2.7) смешан- ной оценкой является не только коэффициент Ьз, но и коэффициенты bi—“Р1 + Р23 и бг-^Рг+Р^- Если возника- ют сомнения в том, что Ро=0, то можно поставить еще четыре опыта при хз——XiX2. В результате получается вторая полуреплика 23-1, которая вместе с первой дает ПФЭ-23. 114
Расщепление ПФЭ на, полуреплики нельзя произ- водить произвольно. В первую полуреплику отбирались строки с нечетным числом букв (выполняется требова- ние х3=Х!Х2); во вторую -t с четным, причем код (1) всегда считается четным. Такие полуреплики, содержа- щие только четные или нечетные комбинации букв, называются главными. Соотношение x3=xix2 или (х3=—XiX2) создает дробную реплику в плане 23-1 и называется генерирую- щим соотношением. В планировании эксперимента под генерирующим понимается [32] такое соотношение, ко- торое показывает, какие взаимодействия заменены но- выми факторами при построении дробной реплики. Еще одним необходимым понятием является- определяющий контраст — соотношение, задающее элементы столбца матрицы планирования, соответствующего фиктивной переменной х0= + 1. В рассматриваемом трехфакторном плане определяющий контраст будет получен, если обе части генерирующего соотношения Хз=Х1Х2 умножим на Хз (величина х2з= + 1): х32=х1х2х3=1. (2.79) Определяющий контраст дает возможность устано- вить, какие оценки являются смешанными. Для этого последовательно умножим обе его части на каждый из факторов Xi. Например, для фактора хь учитывая, что x2i=l, получаем: х^х^Хз) =xrl ; 2 XiX2x3=Xi; X2X3 = Xi, (2.80) следовательно, оценка + р2з; аналогично определим бг-^Рг+Ри и 6з->Рз + Р12, что соответствует ранее ска- занному о свойствах первой полуреплики 23-1 в табл. 2.7. Для расчета коэффициентов моделей, получаемых при планировании на дробных репликах, следует поль- зоваться формулами (2.74) — (2.76). Достаточно полное изложение методов построения дробных реплик для различных условий эксперимента дано в [1, 2 и др.]. Следует отметить, что, кроме реп- лик типа 2к~г, называемых регулярными репликами, могут быть взяты от ПФЭ и нерегулярные реплики с 8* 415
Таблица 2.8 НЕКОТОРЫЕ ПЛАНЫ — ДРОрНЫЕ РЕПЛИКИ ПФЭ План Строки матрицы < Смешанные эффекты линейные взаимодей- ствия У2 реплика 23-1 а, Ь, с, abc Ъ\—*-01 + 023, J ^2 *-0г + 013, ^3 >!₽з+₽12 le опреде- ляются У2 реплика 24-1 ab, ас, ad, be, bd, cd, abed, (1) не смешаны Ь12“*-012 + 034, Ь13“*-01з+024> Ь14“>014+023 Уг реплика 25-1 (1), ab, acde, bede ac, be, de, abde, ae, be, cd, abed, ad, bd, ce, abce не смешаны не смешаны У4 реплика 25-2 ace, bee, ade, bde, ab, cd, abed, (1) • со СО. ...... - + сЗ !2 5 ео 2 гп m го го го Ч—1—1—h + -< N М * Ю CQ.CQ.CQ.CQ.OX ttttt — СЧ co * U9 Ь1з->01з+014» ь 14“*-014+023 Ув реплика 2б-з acf, ade, bee, bdf, abed, abef, cdef, (1) cr or or cr cr cr О) СЛ * w w >- ШШ •UO’UO’UO’UO’CD’tD 0> СЛ W ЬЭ и- ++++++ UJWCD’Uj Uj uo д w 5 ел от w ++++++ UD’UO’UO’CD’CD'UD Ю Ю Ю Ю * 4. W * ОТ ОТ СЛ От Ь\2 *-012 + + 034 + 036 У16 реплика 27-4 abed, abef, acfg, bceg, bdfg, cdef, abeg, (1) b\ *-01 + 027+035 + 046 bl *~ 02 + 017 + 036 + 045 ^3 *-03 + 015 + 026 + 047 bl *-04 + 016 + 025 + 037 ^5 *-105 + 01 з+ 024+067 ^6 *Ч0б+014“|“ 023+ 057 ^7 *-$7+ 012+034+ 056 не опреде- ляются 1И6
числом опытов Af=S2K-m|, например % от 2й и т. п. [7]. В табл. 2.8 приведены иаиболее часто встречающиеся двухуровневые ортогональные планы и указаны смешан- ные оценки. 1 Для построения линейных моделей 'большой размер- ности 8 применение дробных регулярных факторных планов может оказаться недостаточно эффективным по величине kN> характеризующей их насыщенность. Дей- ствительно, для К=18, например, 'ближайшая дробная реплика 218-13=32 имеет &№=1,68. Однако класс на- сыщенных ортогональных планов расширен за счет конструирования специальных матриц. При числе (Л+1), кратном 4, т. е. для К—7, И, 15,..., 199 (кроме Х=91) при построении линейных моделей используют- ся планы Плакеттц — Бермана PBi [28, 31], для кото- рых в табл. 2.9 приведены первые столбцы матриц [х]. Таблица 2.9 ПЕРВЫЕ СТОЛБЦЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПЛАНОВ PBt К=7 /<=11 /<=15 /<=19 + + +— + 4—+ + + + + + 4 4- 4-4- —+—+ 4- 4- 4- 4- 1 1 + + 1 +1 — 4-4-— /<=23 + 4- + 4- 4—-4~ 4-4- 4-4- 4-—4-— — Порядок построения [х] следующий: а) выписать столбец соответствующей размерности для фактора Хь б) сдвинув на один элемент вниз (нижний элемент пер- вого столбца теперь станет верхним), записать уровни варьирования фактора хг; в) продолжить процедуру до получения квадратной матрицы КУ.К", г) дописать вни- зу Х+1 строку, состоящую из «—1». Если размерность задачи (/<+1) не кратна четырем, то добавляются «фиктивные» переменные, в количестве необходимом для применения ближайшего плана PBi [31]. В работах [7, 30] показано, что для построения линейных моделей (7<+1), кратных четырем, могут использоваться мат- рицы Адамара, известные до 7<=199 (кроме К=187). Пример такой матрицы приведен в [28]. В целом проб- лему построения эффективных планов для линейных моделей можно считать решенной. 117
2.6. ПЛАНЫ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ КВАДРАТИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ Ковариационная матрица [D] планов для построения квадратичных моделей в общем случае не- диагональна. Однако для симметричных планов (вы- • N N N полнено условие SXi=SxiXj=O, но 2х2<^АГ) матрицу [D] можно представить как блочно-диагональную: [Dl = ( [D1-l [°] V (2 811 1 J [0] [D2J (2,81) Подматрица [DJ содержит диагональные элементы Л и Тц, необходимые для оценки свободного члена Ьо и квадратичных эффектов Ьц, а также внедиагональ- ные элементы Т2 и Т$, определяющие ковариацию меж- ду этими эффектами: / Л Т2 ••• Т2 \, —для оценки Ьо [0!]=! т* 5." ...т.51 \ Т2 Г5 ••• Ти J) —для оценки Ьц. (2.82) Подматрица [D2] содержит только диагональные элементы Т2 и Тз необходимые для независимой оценки линейных эффектов bi и эффектов взаимодействия Ьц: /Г, 0 ••• 0 0\1 . /ofiQ4 /пт п п \ —Для оценки bi, (2.83) [dj- .° ’у.:..... \ 0 0 - Тб О /I—для оценки Ьц • 4 о о • • о г6 z 1 Блочно-диагональная структура матрицы [D] поз- воляет получить достаточно простые формулы для рас- чета коэффициентов регрессии, их ошибок и ковариа- ций: &o=7’i(OY)+T2 (iiY); (2.84) ${&о} =У^15Э= ; &i=r3(iY); (2.85) (2.86) S {Ьi} = \ (2.87) 6ii=r4(iiY) + T5 S (iiY) +r2(0Y); i=l (2.88) 118
Л1 = Т4+Т5; (2.89) S{^ii} =УТ'ц$э— Гд$э J (2.90) ^=r6(ijY); (2.91) =y7’gSg= T\gS3 ; (2.92) cov{b0bn}=T2s32-, (2.93) соу{ЬцЬц} = Т58э2. (2.94) Если ковариационная матрица [D] не является блочно-диагональной, что свойственно большинству несимметричных планов, то расчет оценок обычно про- изводится на ЭЦВМ по (2.29). Однако для расчетов можно использовать и настольные электронные каль- куляторы, если известны элементы так называемой L-матрицы ([L] = [D] [хт]). В этом случае оценки вычисляются как сумма по строке элементов L-матри- цы [15], умноженных на уи‘- [B] = [L][y]. (2.95) Для квадратичных моделей при К—2—7 предложе- но более 200 планов на кубе и сфере, достаточно полно представленных, в частности, в каталогах МГУ [15], Софийского ВХТИ {21] и др. Рассмотрим некоторые эффективные и широко применяемые в технико-эконо- мических исследованиях планы, главным образом сим- метричные. Планы Бокса Вк на кубе, как уже упоминалось в § 2.4, симметричны и представляют собой комбинацию ПФЭ (иди его полуреплик) и 2К. точек в центре гра- ней многомерного куба с координатами {0,..., 0,±1,0,...,0}. Для К=2—7 все характеристики планов приведены в табл. 2.10. Если в центре плана Bi поставлено Дп0 дополни- тельных опытов, то это вызывает изменение следую- щих оценок [16]: Д&о=(^-Ьо)-АпТ1; Д«2{М = -АпЛ2«э2; (2.96) — (2.97) Д&н=-(7о-М Д" Г2; №{bn} = -bnT?sJ- (2.98)- (2.99) 119
Таблица 2.10 ПЛАНЫ НА КУБЕ ТИПА Вк(а = 1, л9=0, Л-105) К 2 3 4 5 6 7 Первый этап /7ФЭ-2 /7ФЭ-3 /7ФЭ-4 ЛФЭ-5 ДФЭ-25 1 ДФЭ-26-1 ДФЭ-27^1 Второй этап 2/С то- чек в цент- ре гра- ней 4 6 8 10 10 12 16 Общее число точек 8 14 21 42 26 41 78 Ту 125000 40625 22917 15820 16016 12125 9766 т2 — 75000 —15625 —6250 —3320 —3516 —2125 —1432 Тз 16667 10000 5556 2941 5556 2941 1515 т. 50000 50000 50000 50000 50000 50000 50000 Тз 250Э0 -9375 -10417 —9180 —8984 —7875 -6901 Те 25000 12500 6250 3125 6250 3125 1556 Тт 111803 63737 47872 39774 40020 34821 31251 Тз 40825 31623 23570 17150 23570 17150 12309 т9 86602 63737 62915 63 91 64044 64904 65650 Тю 50000 35355 25000 17678 25000 17678 12500 &соч{Ь0Ьц} =ДпТ1Г25э2 ; Acov{feiiftjj} = —АпЛ2^2. (2.100) — (2.101) где уо — среднее значение выхода в центре плана по результатам Апо дополнительных опытов, Ап=Дпо:(1+Д«оЛ). (2.102) Поправки (2.96) — (2.102) могут быть вычислены для всех симметричных планов, а также для планов типа Хартли. Из минимальных (по числу опытов) симметричных планов типа Хартли можно рекомендовать план Has, получаемый из плана В$ на полуреплике при добавле- нии одной центральной точки (для других размернос- ~ тей планы имеют плохие статистические характеристи- ки
(2.103) кй й, кроме того, вЬгсбкуЮ корреляцию между bi и Ьц). Расчетные коэффициенты Т для На$ следующие: Л = 0,13805, Т5 = —0,09091, Т8 = 0,23570, Т2 — -0,03030, Т6 = 0,06250, Т9 = 0,63960, Т, = 0,05556, Т7 = 0,37155, TiQ = 0,25000. Л = 0,50000, Симметричными являются и планы Бокса — Бенкина ВВк, представляющие (как указывалось в пояснениях к табл. 2.5) выборку точек из ПФЭ Зк. Наиболее пол- но эти планы рассмотрены в [23]. Особенностью этих планов является то, что во всех строках отличны от нуля только два (при К=3—5), три (при Л=6, 7, 9) или четыре (приК=10, 11, 12, 16) фактора. Эта осо- бенность планов весьма важна для решения технико- экономических задач, так как позволяет стабилизиро- вать ряд Xi в многофакторной ситуации в течение не- которой группы опытов. Если ввести специальные обоз- начения для вектор-столбцов ПФЭ 22 и 23 (2.104), то планы ВВк для Л=3—7 запишутся как (2.105): + 1 —1 + 1 —1 [Ь]= —1 +1 +1 ;[А] = —1 +1 —1 + 1 —1 ;[В]= 1— 11 —11 +11 -I ;ici= —1 —1 —1 —1 +1 —1 +1 —1 / +1 —1 +1 / 4-1 +1 +1 / +1 i (2.104) (а b 0\ 0 a ь У о о оу а b 0 0| 0 0 а b а 0 0 b 0 а b 0 а 0 b 0 ; 0 а 0 b 0 0 0 0 [ВВ6]= А В 0 С 0 0 0 А В 0 С 0 О О А В О С А О О В С О О А О О В С А О В О О С 0 0 0 0 0 0 [ВВ7]= О о А О О А А В О О А О О А io О О О о о А В В О аЬООО' О 0 а b О О а О О b а О b О О О 0 0 а b О а b О О а О О b О О 0 а О b а 0 0 0 t> О а О b О 0 0 0 0 0 А В С О О О В С ОВОС С О О О В О О С о с о о о о с о 0 0 0 0 (2.105J [ВВ5]= 121
Таблица 2.11 РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ К ПЛАНАМ БОКСА — БЕНКИНА ВВк (Л • 105) К 3 4 5 6 7 п0 3 1 3 6 6 6 Всего N 15 13 27 46 54 62 Г, 33333 100000 33333 16667 16667 16667 т2 —16667 —50000 -16667 —8333 —5556 -5556 Тз 12500 12500 8333 6250 4167 4167 т4 25000 25000 12500 8333 8333 6250 Тз —2083 —1875 —6250 -3125 -1389 -1157 Тз 25000 25000 25000 25000 12500 12500 т7 57735 10000 57735 40825 40825 40825 ТЙ 35355 35355 28868 25000 2041 2041 Т9 52041 66150 43301 33850 31180 27216 Тю 50000 50000 50000 50000 35355 35355 Число повторений нулевой строки по и расчетные коэффициенты 7\ приведены в табл. 2.11. Планы Бокса — Бенкина позволяют определить Ьо не только по (2.84), но и по упрощенной формуле, как Я, — b0 = SУио : п0 (среднее у0 в центре плана). По=1 Приведенный в табл. 2.11 план ВВ3 с одной цент- ральной точкой совпадает для этой размерности с симметричным квази-D-оптимальным планом (см. табл. 2.5). Такие планы являются, вообще говоря, «равно- мерно лучшими» для размерностей К=2—7 [27 с. 73], но имеют слишком большое число точек (W<=42; N$= =50; АГ6==66; У7=116). Практический интерес пред- ставляет, однако, такой план при К=6, который можно записать, используя вектрр-столбцы (2.104), как А А В В С С (-1) (+1) (-AC) (АС) (ВС) (-ВС) (0) А В с (АС) (АВС) А (0) В с (—АВС) (АС) А В (0) с (-ВС) (-АС) (2.106) А В С (0) (-ВС) (-АС) А А 0 В В 0 с с 0 !“л’в) 0 (0) (ВС) 0 (АС) f1 122
Всего в плане N=6Q точек (п0—2), векторы (—1) и ( + 1) состоят из единиц, а (0)—вектор из нулей; векторы (АВ), (ВС),... — получены перемножением столбцов (2.104) с учетом указанного знака. Расчет- ные Ti для этого плана следующие: Л =0,41111, Т5 = -0,00556, Т8 =0,13363, Т2 = -0,07778, Т6 = 0,02083, Т9 ='0,34560, I /о 1П7\ 7^ = 0,01786,77=0,64118, Т10=0,14434. П Т'4 = 0,12500, | J В ряде задач (в основном для целей прогноза за зону эксперимента) по-прежнему целесообразно при- менять ротатабельные центральные композиционные планы типа РЦКП на сфере радиусом ®>1. Требуемые для их построения данные и расчетные 7\ приведены в табл. 2.12. Для размерности К=2 можно применять ротатабельные некомпозиционные симплекс-суммируе- мые планы на шестиугольнике, расчетные данные для Таблица 2.12 ХАРАКТЕРИСТИКА РОТАТАБЕЛЬНЫХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ УНИФОРМ-ПЛАНОВ К 2 3 4 5 Первый этап /7ФЭ-22 77ФЭ-23 77ФЭ-24 Полурепли- ка 25~j (в табл. 2.8) Второй этап со 1,414 1,682 2,000 2,000 4 6 8 10 «0 5 6 7 6 Общее число точек 13 20 31 32 Ti 20000 16634 14285 15909 т2 10000 5679 3571 3409 Т3 12500 7322 4167 4167 т4 12500 6247 3125 3125 т5 1874 690 372 284 Тб 25000 12500 6250 6250 Т7 44721 40785 37796 39886 Т8 36358 27059 20412 20412 Т9 37923 26337 18700 18464 Тю 50000 35355 25000 25000 123
Таблица 2.13 ЗНАЧЕНИЯ РАСЧЕТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Ti 10s ДЛЯ РОТАТАБЕЛЬНЫХ ПЛАНОВ НА ШЕСТИУГОЛЬНИКЕ Ti Число опытов в центре nQ Т1 Число опытов в центр 2 По 1 4 1 4 ТХ = Т2 100000 25000 Т1 100000 50000 Тз 33333 33333 Тз 57735 57735 Те 66667 66667 122474 86602 Тз 83333 8333 TlQ П5470 115470 гб 133333 133333 которых приведены в табл. 2.13. Схема плана и пример его применения приведены в § 3.2. Полезны в ряде случаев ортогональные планы на сфере, приведенные в табл. 2.14. Таблица 2.14 ХАРАКТЕРИСТИКИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ ПЛАНОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА К 2 3 4 5 ✓ Первый этап ПФЭ& ПФЭ-2* 77ФЭ-124 Полуреплика 25-1 (в табл. 2.8) Второй этап о ^(0 «0 1,000 4 1 1,Я15 6 1 1,414 8 1 •1,547 110 4 Общее число опытов 9 15 25 27 Радиус сферы со подбирается так [28, 32], чтобы после преобразования (2.108) 124
ковариационная матрица [D] стала диагональной. Мо- дель записывается в виде Y=b0'+ £ biXi+ £ ЬцХгХ}+ £ Ьц(х?—~Х{2), (2.109) i=l i<j i=l где любой коэффициент определяется по формуле (2.110) с ошибкой (2.111): N S ^1иУи 2 * bi=v~~------; &{bi}=~—> (2.110)—(2.111) 2 2 Xlv. Xfu u—1 u«=l где индекс I — номер столбца в матрице планирования, п а сумма S x2iu — разная для линейных, квадратичных и=1 эффектов и взаимодействий. Решение задач повышенной размерности с привлечением квадратичных моделей уже на первом поисковом этапе исследования становится все более актуальным, поскольку анализ априорной технико-эко- номической информации показывает, что большинство однофакторных зависимостей Y=f{x{} не может быть описано линейно даже на малых участках факторного пространства. В связи с этим большой интерес пред- ставляют насыщенные квадратичные планы (W=L), в частности планы Рехтшафнера Pi. Эти планы [14, 27] представляют собой подмножества ПФЭ Зк и имеют весьма удовлетворительные статистические характерис- тики. Планы несимметричны, и для расчета коэффи- циентов регрессии используется матрица [L] (2.95). В связи с тем, что расчет ведется не по суммам типа (2.17), а по результатам опытов в каждой строке пла- на уи, то каждая из его строк должна иметь специаль- ную индексацию. План Рехтшафнера размерности состоит из четырех блоков (табл. 2.15). Первый блок всегда содержит одну точку с коорди- натами {—1, —1,..., —1}; результат опыта индексиру- ется как уг, при расчетах по матрице [L] это значение У1 умножается на расчетные коэффициенты: +Л (при расчете свободного члена), —В (линейные эффекты), + С (квадратичные), +В (эффекты взаимодействия). 125
МАТРИЦА ПЛАНИРОВАНИЯ ТИПА Индекс опыта Тип точек плана Свобод- ный член План эксперимента и линейные эффекты Квад эф Ьо bt b2 Ьз bl Ьц I {-1,-1,. . + (») -К-В) -I(-B) -I(-B) -l(-B) + (C) 11.1 + (Я) -1(-^ +I(B) +KB) + 1(B) +(Q) II.2 + (Р) + 1(B) -!(-£) + 1(B) +I(B) 4-(Af) II.3 {-I.+I, • • ..+1} + (Я) + 1(B) +I(B) -I(-E) +I(B) 4-(Af) II.4 + (D) + 1(B) +I(B) —1( —f) III.12 + (Н) +1(В) +КВ) -I(-F) -I(-F) +(P) III.13 + (Я) + ЦВ) -l(-F) + КВ) -I(-F) +(₽) Ш.14 1 +1 -1-1 —1 —1) + (Н) + 1(В) -l(-F) -l(-F) + I(B) +(₽) III.23 + (Я) -I(-F) + КВ) +I(B) -l(-F) +(D) III.24 + (Я) -I(-F) +КВ) -I(-F) + КВ) +(D) III.34 + (Я) -I(-F) -I(-F) + КВ) +I(B) +(D) IV.1 + (Я) + I(±0) 0(±0) 0(±0) 0(±0) +(S) IV.2 {+1,0,. . .,0} + (Я) 0(±0) + U±0) 0(±0) O(±0) 0(-Я) IV.3 + (/?) 0(±0) 0(±0) +1( ±0) 0(±0) 0(-Я) IV.4 + (Я) 0(±0) 0(±0) 0(±0) + I(±0) 0(-Я) Второй блок содержит К. точек с координатами {—1, 4-1, +1}; положение координаты «—1» соот- ветствует индексу при Xj; результаты опытов индекси- руются как уш‘, это значение умножается на +£> (сво- бодный член), —Е (линейный эффект с совпадающей индексацией с х,), +В (линейные эффекты с несовпа- дающей индексацией), +Q (квадратичный эффект с совпадающей индексацией), +Л4 (квадратичные эффек- ты с несовпадающей индексацией), —В (взаимодейст- вия," содержащие индекс «/»), 4-F (взаимодействия без индекса «i»). Третий блок содержит С2к=0,5К(7<—1) точек с координатами {+1, +1, — 1,....— 1}; положение коорди- нат на верхних уровнях соответствует индексам при взаимодействиях XiX,; результаты опытов индексируются как уши', это значение умножается на соответствующие коэффициенты. Четвертый блок содержит К. точек с координатами {+1,0,...,0}; положение верхнего уровня соответствует индексу при х<; результаты индексируются как угп и 126
Таблица Й. 16 РЕХТШАФНЕРА Ri И КОЭФФИЦИЕНТЫ /.-МАТРИЦЫ ратичный фект ^Эффект взаимодействия ^22 Ьзз ^44 ^12 Ь18 ^14 62s 624 ^4 + (С) +(С) + (C) + (B) +(В) + (В) +(В) +(В) +(В) + W +(Af) + 0И) -(-в) -(-В) -(-В) +(В) +(Р) +(В) +(<?) + (Af) + (Af) -(-В) +(В) +(Р) -(-В) -(-В) +(В) + (Л!) + (<?) + (Af) +GF) -(-В) +(Р) -(-В) +(В) -(-В) + W + (Af) +«?) + (F) +(Р) —(—В) +(В) -(-В) -(-В) + (Р) + (D) + (£>) + (В) -(-В) -(-в) -(-В) -(-В) +(В) + (D) +(P) + (D) -(-В) + (Е) -(-В) -(-В) +(В) -(-В) + (D) +(D) + (P) —(—В) -(-В) +(В) +(В) -(-В) -(-В) + (Р) +(P) + (D) -(-В) -(-В) +(В) +(В) -(-В) -(-В) + (Р) + U>) + (P) -(-В) + (Г) -(-В) -(-В) +(В) -(-В) + (Р) + (P) + (P) +(В) -(-В) — (—В) -(-В) -(-В) +(В) 0(-Я) 0(-P) 0(-Я) +(5) 0(-₽) 0(-Я) + (S) 0(-P) 0(-Я) [0(±0)J 0(-₽) 0(-Я) +(S) используются только для расчета квадратичных эф- фектов Ьц. Оценка любого коэффициента регрессии получается как сумма произведений по данному столбцу. Запись планов RK в форме табл. 2.15 позволяет развивать их на любую размерность. Значения расчетных коэффициен- тов для Л=4—9 приведены в табл. 2.161. В табл. 2.16 указаны также расчетные коэффициенты s{&} :sa, необходимые для определения среднеквадрати- ческих ошибок оценок коэффициентов регрессии. При- мер применения плана Re дан в § 3.9. Таблица 2.16 РАСЧЕТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ К ПЛАНАМ РЕХТШАФНЕРА ПРИ К=4—9 я 4 5 6 7 8 9 N 15 21 28 36 45 55 А в 0,05556 0,08333 0,06250 0,06250 0,07000 0,05000 0,07640 0,04167 0,08163 0,03571 0,08594 0,03125 1 Расчетные коэффициенты получены совместно с Т. В. Ля* шенко. 127
Продолжение * 4 5 6 7 8 9 N 15 21 28 36 45 55 С 0,02778 0,00000 -0,02000 —0,03472 —0,04592 -0,05469 D 0,13889 0,06250 0,03667 0,02430 0,01735 0,01302 Е -0,08333 0,06250 0,11667 0,14583 0,16428 0,17708 F 0,16667 0,06250 0,03333 0,02083 0,01429 0,01042 Н 0,02778 0,00000 -0,00333 —0,00347 -0,00306 -0,00260 М 0,05556 0,00000 -0,01333 —0,01736 —0,01837 —0,01823 Р -0,11111 -0,06250 —0,04667 -0,03819 -0,03265 -0,02865 Q 0,05556 0,12500 0,15333 0,17014 0,18163 0,19010 R 0,33333 0,25000 0,20000 0,16667 0,14286 0,12500 S 0,66667 0,75000 0,80000 0,83333 0,85714 0,87500 $П>о} * $э 0,72751 0,57957 0,50313 0,45240 0,41545 0,38704 S\&г» bij} I Sa 0,37265 0,24995 0,22850 0,22441 0,22452 0,22583. s{ba} :s9 0,94092 0,93120 0,94302 0,95423 0,96374 0,97144 2.7. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ ЭКСПЕРИМЕНТА Общие положения регрессионного анализа, описанные в § 2.3, полностью относятся к задачам, воз- никающим при планировании эксперимента. Гипотеза о равенстве истинных коэффициентов рег- рессии нулю корректно проверяется для всех моделей, построенных по планам, у которых матрица [D] диаго- нальна. Рекомендуется вычислять критическое значение бкр'. , bKp=ts{b}, (2.112) где t берется по таблицам (см. приложение 1) при двустороннем «=0,10—0,25 для поисковых работ и при а—0,05—0,10 для окончательных решений: s{6} рассчитывается по соответствующим формулам при 5Э, зависящей от схемы организации эксперимента (см. § 1.4). При диагональной матрице [D] можно исключать статистически незначимые &<?йКр без пересчета остальных коэффициентов. Эта же гипотеза проверяет-1 ся для планов, имеющих блочно-диагональную матрицу [D], по-разному для коэффициентов Ь{ и Ьц (для них подматрица [D2] диагональна) и для коэффициентов Ьи и 60, имеющих отличные от нуля cov {ЬнЬц} и соу{ЬцЬо}. В первом случае осуществляется вышеизло- женная процедура исключения 6»<Х&<)кр и Ьц<.(Ьц)ю 128
Таблица 2Л7 ИЗМЕНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Т(-10» В ЗАВИСИМОСТИ ОТ КОЛИЧЕСТВА ОСТАВШИХСЯ КВАДРАТИЧНЫХ ЭФФЕКТОВ Л{6»} План Д{ Ь11 ) Тз г. Те 3'Хв(Ло=11) 1 33333 33333 50000 57735 70711 0 11111 0 0 33333 0 План некомпози- 1 16667 22020 6063 40825 85282 ционный на шести- угольнике при п0 =4 0 10000 0 0 31623 0 То же, при по=1 1 33333 44039 35155 57735 10090 0 14286 0 0 37796 0 ВВ3 при по =11 2 42857 28571 10714 65465 59761 1 20000 20000 7500 44721 57009 0 7689 0 0- 27735 0 в4 3 21930 7895 13158 46830 60700 2 20238 10714 17857 44987 56695 1 16667 16667 27778 40825 м 47140 0 4167 0 0 20412 0 Bs(25-1) 4 15550 4067 11244 39434 62255 3 15123 5247 14506 38889 59577 2 14348 7391 20435 37878 54374 1 12500 12500 34559 35355 39235 0 2381 0 0 15430 0 На$ 4 13580 3704 41111 36851 62361 3 13228 4762 14286 36370 59759 2 12593 6667 20000 35486 54772 1 11111 11111 33333 33333 40821 • 0 3704 0 0 19289 0 ВВ7 при л0=<6 6 12500 4688 977 35355 27951 5 9459 4054 845 30756 27570 4 7143 3571 744 26726 27277 3 5319 3191 665 23063 27044 2 3846 2885 601 19612 26854 1 2632 2632 548 16222 26696 0 1613 0 0 12700 0 9 Заказ 6525 129
без пересчета значимых коэффициентов. Во втором мы рекомендуем проводить последовательный регрессион- ный анализ (см. § 2.3). При каждом шаге будет исклю- чаться минимальный незначимый коэффициент ^Я<(&я)кр (критическое значение определяется по общей формуле (2.112)), а оставшиеся оценки Ьц и Ьо и их ошибки s2{&ii} и s2{6o} будут вновь рассчитывать- ся по формулам (2.84) —(2.85), (2.88) —(2.90). Однако при этом меняются коэффициенты Т2, Т5> Т7 и Т9. Для наиболее употребимых (и встречающихся в книге) планов в табл. 2.17 даны изменяющиеся значения этих коэффициентов. Опыт показал, что такой подход существенно повы- шает адекватность модели и облегчает ее интерпрета- цию. Примеры его применения даны в гл. 3. Последовательный регрессионный анализ — это не- обходимый элемент разработанного автором [12] ме- тода последовательного увеличения риска при интерпре- тации результатов моделирования. Этот метод преду- сматривает многократную проверку значимости оценок коэффициентов регрессии полиномиальной моделй при возрастающем после каждого шага риске а отклонить верную гипотезу. Значение двустороннего риска возрас- тает от 0,1 до 80% (за шесть — восемь шагов), причем после каждого шага строится граф связей модели и де- лаются технико-экономические выводы в определенном порядке: ог наиболее достоверных к наименее досто- верным. Этот метод применен в задаче, анализируемой в § 4.2. Проверка адекватности модели со всеми значимыми коэффициентами (общее количество Л) производится по рекомендациям § 2.3 по формуле (2.62). Расчет суммы квадратов SSHa, характеризующих неадекватность мо- дели, мы рекомендуем производить непосредственно по «невязкам» (2.12). Оценка дисперсии предсказанного значения рассчитывается по (2.68). 2.8 ОБРАБОТКА АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ И ПРИМЕНЕНИЕ ПЛАНОВ ТИПА М1ХМ2ХМз Успехи в практическом применении методов математической теории эксперимента при решении тех- нико-экономических задач в значительной степени зави- сят от того, насколько полно учтена при постановке за- 130
дач и моделировании априорная (собранная до проведе- ния собственных экспериментальных работ) информация (см. рис. 1.2). В условиях непрерывного экспоненциального роста числа публикаций весьма важно так представить имею- щуюся печатную информацию (большинство статей, книг, отчетов содержат результирующие графики и таб- лицы, характеризующие влияние на выход системы У), чтобы она приняла вид, удобный для разработки так- тики собственных экспериментов. Здесь в понятие «так- тика» входят '[9], в частности, выбор факторов Xt и об- ласти их изменения, оценка возможных форм матема- тической модели и наиболее вероятных эффектов вза- имодействия; разработка методики опытов и оценка их точности, а также другие методические задачи, реша- емые на этапах IV и V по общей схеме исследований (см. рис. 1.2). Целый ряд тактических вопросов удобно обсуждать и решать, если на основании априорной (взя- той из статей, книг, архивов) информации получить и проанализировать несколько многофакторных статисти- ческих моделей. При этом не исключена возможность, что помимо решения тактических вопросов планирова- ния в результате такой работы будут получены еще до постановки собственных опытов модели, позволяющие сделать существенно новые выводы по сравнению с ис- ходной опубликованной информацией. Учитывая, что такая информация требует оператив- ной обработки, а доступ к ЭВМ возможен не всегда, был разработан [13] экспресс-метод построения двух- и трехфакторных полиномиальных моделей на основе приведения априорной информации к несимметричному (в общем случае) плану типа MiXM2XM3. Характер- ной чертой многих традиционных интуитивных планов технико-экономических исследований является то, что факторы Xi меняются на лг, уровнях через равные ин- тервалы (см. табл. 2.1), что существенно упрощает по- строение моделей с кодированными факторами Х{. Если априорная информация собирается из однофакторных графиков y=f{Xi}, то моделирование можно вести для преобразованных (см. § 2.2) переменных с учетом ви- да функции y=f{Xi}. Для расчета оценок коэффициен- тов Ьл, Ь{, Ьц и b{j используются следующие готовые формулы, обоснование которых дано в работе [13]: 9* 131
Z>o=Ao(OY) - S40i(iiY); (2.113) 5{М=УЛг5э; (2.114) 6i=4i(iY); «{М=У^7«э; (2.115)-(2.116) &ij=4fj(ijY); 5{^}=-|/Д7,5э; (2.117)-(2.118) &«=4н(пУ)-До<(ОУ); (2.119) 8{6н}=уЛн«э. (2.120) Значения коэффициентов А{ приведены в табл. 2.18—2.20. Точный регрессионный анализ моделей возможен в том случае, если автор статьи приводит ошибку опыта sa. Поскольку такие случаи бывают крайне редко, то целесообразно назначать sa как 1—10%-ную относи- тельную ошибку к среднему выходу у в системе или к его экстремальным значениям z/max или t/min (например, при /э=оо); окончательное решение о выборе 8Э зависит от условий задачи и целей исследователя. Если модель окажется неадекватной, то следует проанализировать л абсолютные значения «невязок» (уи — уи) и оценить необходимость введения дополнительных эффектов вза- имодействия типа buj или преобразования входов и вы- ходов. Чем больше усилий будет затрачено на обработ- ку априорной информации и ее анализ, тем выше веро- ятность высококачественной постановки собственных экспериментов и эффективности моделирования. 2.9. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОСОБЕННОСТИ ПРОВЕДЕНИЯ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ Анализ как положительных, так и отрица- тельных результатов применения математического моде- лирования (на базе алгоритмизированного планирова- ния эксперимента) для решения технико-экономических задач позволяет предложить для характеристики эффек- тивности таких исследований, в частности, два показате- ля: ресурсный и информационный [11]. 132
Таблица 2.Т8 ЗНАЧЕНИЯ ПОСТОЯННЫХ А-НО* ДЛЯ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ ПРИ СИММЕТРИЧНЫХ ПЛАНАХ С ЧИСЛОМ ОПЫТОВ ДО У =(125 План я Л0 A0f А1 Аи Ач 3X3 9 55556 33333 16667 50000 25000 4X4 16 25781 17578 11250 31641 20250 5X5 25 15429 11429 8000 22857 16000 6X6 36 10373 8138 5952 17439 12755 7X7 49 7483 6122 4592 13776 10332 8X8 64 5664 4785 3646 11165 8507 9X9 81 4441 3848 2963 9235 7111 10X1® 100 3578 3164 2455 7766 6025 1I1XT1 121 2946 2649 2066 6622 5165 зхзхв 27 25926 11111 5556 16667 8333 4X4X4 64 8888 4394 2812 7910 5062 5X5X5 125 4228 2286 1600 4571 3200 ЗхЗхЗхЗ 81 11111 3704 1852 5556 2778 Таблица 2.1® ЗНАЧЕНИЯ ПОСТОЯННЫХ А-НО5 ДЛЯ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ ДВУХФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ План ло Л01 Л01 лх л2 Ли Л» Л12 2X3 50000 0 50000 16667 25000 0 75000 25000 2X4 32031 0 35156 12500 25500 0 63281 22500 2X5 24286 0 28571 10000 20000 0 57143 20000 2x6 19727 0 24414 8333 17857 0 52316 17857 2X7 16667 0 21429 7143 16071 0 48214 16071 3X4 38021 25000 23438 12500 15000 37500 42188 22500 3x5 29524 20000 19048 10000 13333 30000 38095 20000 Зхб 24262 16667 16276 8333 11905 25000 34877 17857 3x7 20635 14286 14286 7143 10714 21429 32143 16071 4X5 19955 14062 14286 9000 10000 25312 28571 18000 4X6 16374 11719 12207 7500 8929 21094 26158 16071 4X7 13914 10045 10714 6429 8036 18080 24107 14464 5x6 12653 9524 9766 6667 7143 19048 20926 14286 5x7 10748 8163 8571 5714 6429 16327 19286 12857 6x7 8811 6975 7143 5102 5357 14947 16071 11480 133
co ЗНАЧЕНИЯ ПООТОЯННЫХ A-lliO5 ДЛЯ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ ТРЕХФАКТОРНОИ 1МОДЕЛ4 Таблица 2.20 1 План Ao А 01 АоЗ Аоз Лх Аз Аз Ди Аю Азз Д12 A is Aas 2X0X13 25000 0 0 25000 8333 8333 12500 0 0 37500 8333 12500 12500 2ЖХ4 16016 0 0 17578 6250 6250 11250 0 0 31641 6250 11250 11250 2X0X6 12143 0 0 14286 5000 5000 10000 0 0 28571 5000 10000 10000 2X2X6 9863 0 0 12207 4167 4167 8929 0 0 26158 4167 8929 8929 2X2X7 8333 0 0 10714 3571 3571 8036 0 0 24107 3571 8036 8036 2ХЗХ1Э 27778 0 16667 16667 5556 8333 80333 0 25000 25000 8333 8333 12500 2ХВХИ 19010 0 12500 11719 4167 6250 7500 0 18750 21094 6250 7500 11250 2X3X5 14762 0 10000 9524 3333 5000 6667 0 15000 19048 5000 6667 10000 2X3X6 12131 0 8333 8138 2778 4167 5952 0 12500 17439 4167 5952 8929 2X3X7 10317 0 7143 7143 2381 3571 5357 0 10714 16071 3571 5357 8036 2X4X4 12891 0 8789 8789 3125 5625 5625 0 15820 15820 5625 5625 10125 2X<4X5 9978 0 7031 7143 2500 4500 5000 0 12656 14286 4500 5000 9000 2X4X6 8186 0 5859 6104 2083 3750 4464 0 10547 13079 3750 4464 8036 2X5X6 7714 0 5714 5714 2000 4000 4000 0 11429 11429 4000 4000 8000 3X3X4 18229 8333 7812 4167 4167 5000 12500 12500 12500 14062 6250 7500 7500 3X3X5 14286 6667 3667 6349 3333 3333 4444 10000 10000 12698 5000 6667 6667 3X4X4 12760 6250 5859 5859 3125 3750 3750 9375 10547 10547 5625 5625 6750
Ресурсный показатель Э₽тз можно отношение числа N? опытов (или измерений), провода'-' мых по традиционным планам исследований, к числу Д/мтэ опытов (или измерений), проводимых по планам, рекомендуемым математической теорией эксперимента, при условии равенства в обоих случаях «объема» новой научно-технической информации (количество нетри- виальных выводов по работе, совпадение зон оптимума xiopt, значений параметров У;Орт и т. п.): Эмтэ=^т:^мтэ- (2.121) Показатель (2.121) растет по мере увеличения раз- мерности факторного пространства. Если вести сравне- ние с Ni=3K, то при плане В3 он равен 27 : 14=1,9, при плане На$—243:27=9,0, а для семифакторного плана Рехтшафнера R-j—2187 : 36=60,8! Более сложно построить информационный показа- тель Э“тэ, в котором целесообразно учесть: количество новых (ранее не исследованных, судя по анализу апри- орной информации) факторов xjH и показателей У>в, т. е. QH; количество факторов х,д и показателей Узд, по ко- торым существует неопределенное, дискуссионное мне- ние, т. е. Qh; количество парных сочетаний факторов Хг и Xj (взаимодействий Ьц), ранее не исследованных одновременно, т. е. фВзд. В первом приближении •Эмтэ= (1-ЬСн4-0,5Сд+0,2Свзд)^> (2.122) где у — показатель степени, зависящий от этапа иссле- дований и равный 1,5 — для поисковых работ; 2,0 — для основного рабочего этапа; 2,5 — для «уточняю- щих— объяснительных» работ (см. § 1.2). Несмотря на отсутствие строгого обоснования весовых коэффициен- тов для Qi и величины у, формула (2.122) имеет два методических достоинства. Во-первых, она требует тща- тельного анализа научно-технической информации, со- средоточенной в предшествующих исследованиях (ап- риорной). Во-вторых, она учитывает как новизну иссле- дований (числа Qi), так и их глубину (число у). Пока- затели (2.121)— (2.122) можно дополнить временным показателем, основанным, например, на оценках продол- жительности исследовательской работы [9, с. 14], эко- номическим [55, п. IV.2], метрологическим и другими показателями, требующими дальнейшей разработки. 135
Вопросы стратегии и тактики построения технико- экономических исследований с использованием идей и методов математической теории эксперимента относятся к группе наиболее актуальных. В общеметодическом плане они частично рассмотрены в работах [1,2, 8—12, 22—24, 26—28, 31 и др.]. Рекомендации, приведенные в табл. 2.21 и иллюстрируемые исследованиями новых композиционных материалов (см. гл. 1), развивают ту часть общей блок-схемы исследований (см. рис. 1.2), которая включает выбор показателей качества Yj, числа изучаемых факторов х,- и плана эксперимента, а также инструментальный анализ структуры композита и про- фессионально-логический анализ полученной на каждом этапе исследований научно-технической информации (апостериорной). Стратегия складывается из трех последовательных этапов с возрастающими глубиной и достоверностью ис- следования при сокращающейся размерности фактор- ного пространства. Необходимость и целесообразность тех или иных элементов стратегии условно оценена по четырехбалльной системе: 0 — не рекомендуется, Ч----- возможно, -Ы-----предпочтительно, ++Ч-------необходи- мо. Показатели качества композитов на первом ' этапе исследования выбираются так, чтобы информацию мож- но было получить в предельно сжатые сроки. Это об- условлено тем, что время ожидания результатов при анализе и оптимизации композитов по стандартным ме- тодикам больше времени самого эксперимента. Поэтому целесообразно выбирать показатели, определяемые экс- прессно, даже если они лишь косвенно характеризуют основные Уо (коррелируют с риском а^0,2). В то же время на конечном этапе следует стремиться к оценке не только средних результатов, но и показателей на- дежности композита Уа по большому числу измерений пи (см. § 2.10). На поисковом этапе в исследование целесообразно включать как можно больше факторов Х{, гипотетичес- ки влияющих на качество композита. Однако эта, вооб- ще говоря, тривиальная рекомендация дополнена в табл. 2.21 необходимостью использования вместо пла- нов, дающих линейные модели или модели со смешан- ными эффектами, насыщенных планов Рехтшафнера Rk для оценки всех линейных и квадратичных эф- 136
СТРАТЕГИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НОВЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ Таблица 2.21 Этап поиска Рабочие этапы Этап уточнения Показатели качества композитов Ут, Уо: экспрессные основные (назначения) главные Показатели однородности качества и надеж- ности композиционных материалов: *2{УтМ2{Уо} И Уа Число изучаемых факторов К Число измерений (воспроизведений) в каж- дой точке плана nu Рекомендуемый план эксперимента Выбор оптимальных (с математической или технико-экономической точек зрения) уровней Xiopt Стабилизация части факторов на оптимальных УРОВНЯХ Xjppt + + + + + 0 от 9 до 6 , 1—2 от Re до Re Вв(ДФЭ) • + + + + + + —>— + + + + + + + 0 5 4 i2—45 Jfafe В4 В5(пф&^ + + + + + + + + 4- + 4* + 4-4- 3 2 «20—1100 Вз 3X3 3X8X3 4-4-4- 0 Перемещение области эксперимента Инструментальный структурный анализ ком- позита: Уита1п И Уит&х все точки плана Обоснование причин стабилизации Объяснение роли факторов и их взаимодей- ствий в образовании структуры и свойств композиционного материала Рекомендации по техническому использованию м результатов исследований + + + + 0 4- 4- 4- + + + 4 1 + + + ' 4- 0 + + 4- 0 4-4-4- 4- 0 4-4-4- 4-4-4-
фектов, а также эффектов взаимодействия. Как показы- вает опыт построения и использования нескольких ты- сяч полиномиальных моделей, для композитов эф- фекты Ьц, Ьц и Ьц, играют нередко большую роль, чем Ь{ (исследование очень «узких» зон факторного прост- ранства в связи с большим временем ожидания резуль- татов нами не рекомендуется). Поэтому применение планов обладающих не лучшими статистическими характеристиками и дающими частично коррелирован- ные оценки, все же наиболее предпочтительно из-за их экономичности. В то же время на этапе уточнения целе- сообразно оставить для исследования лишь 2—3 основ- ных фактора Xi, но, используя планы типа Зк с боль- шим числом измерений в каждой их точке, получить весьма информативные неполные кубические модели для показателей надежности. Инструментальный структурный анализ композита (особенно с затратой больших материальных и времен- ных ресурсов — электронная микроскопия, рентгено- структурный анализ и т. п.) — следует применять ог- раничено. Действительно, «информации к размышле- нию» на первых этапах работ будет достаточно, если глубоко изучить лишь две структуры: лучшего из полу- ченных образцов (соответствующего t/Umax) и худшего (Уиш1п) • После этапа поиска и рабочего этапа необходимы четкие технико-экономические обоснования причин ста- билизации каждого из снимаемых с дальнейшего изуче- ния факторов Xi на оптимальных или плезиоптимальных уровнях (см. гл. 1), поскольку без этого изменение раз- мерности факторного пространства будет носить слиш- ком субъективный характер. Однако, по-видимому, объяснение с физико-химических, термодинамических, структурно-механических и т. п. позиций роли факторов (или их взаимодействий) в образовании качества ком- позиционного материала должно носить постепенно уг- лубляющийся характер от этапа поиска (информация многофакторна, но недостаточно достоверна: a=gC0,2) к окончанию уточняющего этапа (информация «мало- факторна» , но весьма многогранна и достоверна: a =^0,05). Для анализа особенностей технико-экономических экспериментов целесообразно выделить три категории факторов: 138
— управляемые Х7, которые можно изменять в ис- следуемом диапазоне без большого риска полностью на- рушить работу объекта (взрыв смеси или установки, от- сутствие реакции, получение абсолютного брака про- дукции, возникновение тяжелой конфликтной ситуации в социальной группе и т. п.) и без материальных зат- рат за пределами ресурсов; — неуправляемые, но контролируемые Хю которые хотя и не управляются, но достаточно точно фиксиру- ются в период исследований (климатические условия, работа сложных технологических переделов, дрейф ка- чества сырья, изменение коллектива экспериментаторов, отсутствие оперативной возможности изменять факторы и т. п.); — трудноизменяемые Хт (перевод социального кол- лектива в новое состояние при существенном изменении материальных и моральных условий, создание дорого- стоящих установок и процессов при большом риске по- лучить отрицательный результат, введение новых эконо- мических условий работы и т. п.). Безусловно, отнесение того или иного фактора к од- ной из категорий зависит от компетентности исследова- теля и конкретной задачи. Наиболее часто встречаются шесть ситуаций, в которых по-разному сочетаются фак- торы Х7, Хк и Хт. I ситуация — все факторы управляемы. В этом случае можно в полной мере ставить эксперимент, кор- ректно используя весь аппарат математической теории его планирования. Пситуация — все факторы лишь контролируемы — типичная ситуация при наблюдении за объектом, в ко- торой применяются классические методы наименьших квадратов и регрессионного анализа {37, 45, 50, 51 и др.]. III ситуация — сочетание управляемых Х7 и конт- ролируемых Хк факторов. В этом случае проводится «активно-пассивный» эксперимент [2], сочетающий ис- пользование результатов экспериментов, поставленных по алгоритмизированному плану для Х7, и наблюдения за случайными отклонениями факторов Хк. IV ситуация — все факторы трудноизменяемые Хт. 139
Здесь в зависимости от постановки задачи возможны два подхода: вербальный и имитационный. При вербальном эксперименте совмещаются идеи «театра импровизаций» Морено [59] с идеями матема- тической теории эксперимента. Разработана методика построения моделей [9], описывающих вербальное по- ведение объектов исследования, т. е. поведение, которое в условиях мысленно изменяющейся ситуации является наиболее правильным по мнению экспертов (в их чис- ло могут входит как специально подобранные специа- листы по изучению таких объектов, так и социальные группы, сами по себе являющиеся объектом исследо- вания: учащиеся в группе, рабочие в бригаде, покупате- ли в магазине и т. п.). Обычно при анкетном опросе фиксируется то состоя- ние, в котором эксперт находится в данный момент времени. Например, на вопрос «Есть ли у Вас стираль- ная машина?» последует ответ «Да» или «Нет», опре- деляющий сегодняшнее истинное (если нет преднаме- ренного искажения фактов экспертом!) состояние объек- та под воздействием множества факторов Xi. Можно заставить эксперта импровизировать и пред- сказывать свое поведение. Тогда вопрос (если эксперт ответил «Нет») формулируется, например так: «Купи- те ли Вы стиральную машину, если Ваш семейный бюд- жет возрастет на 20 рублей в месяц?». Ответ «Да» или «Нет» определит вербальное поведение объекта при из- менении одного фактора Xi на величину ДХ1=20 руб. в месяц. Если принять для всех факторов сегодняшнее со- стояние за начало отсчета (Х»=0) координат в прост- ранстве факторов, то вербальное поведение будет пред- ставлять собой точку, отличную от начала координат на величину ДХ{. Нетрудно заметить, что следующим логическим ша- гом должно быть такое размещение точек, характери- зующих вербальное поведение, которое соответствует плану эксперимента. В многофакторной ситуации воз- можно, например, такое развитие вопроса: «Купите ли Вы стиральную машину, если Ваш семейный бюджет возрастет на 20 рублей в месяц, а цена машины снизит- ся на 10% и ее гарантийный срок возрастет до 10 лет?». Ответ на такой вопрос требует, конечно, более серьез- ных размышлений и в помощь эксперту приходит иссле- 140
дователь (в отличие от традиционных методов опроса, когда влиять на ответ категорически запрещено), кото- рый становится «режиссером театра импровизаций» для разъяснения ситуаций и создания у эксперта соответ- ствующего настроения. Ответ на такой вопрос опреде- ляет вербальное поведение объекта при изменении трех факторов: Xj=20 руб. в месяц (нетрудно перейти к Xi=4-1), Х2=—10% (х2=—1) и Хз=10 лет (х3=4-1 при ДХ=10—т, где т — сегодняшние гарантийные сро- ки). Ответ попадает в одну из вершин куба (+1, — 1, +1), являющуюся точкой плана. Некоторый опыт работы позволяет отметить следующие особенности методики таких эксперимен- тов: а) целесообразно применение лишь тех планов, в матрицах которых в каждой строке происходит одновре- менное изменение не более трех-четырех факторов (типа 77ФЭ-22; 23, З2; дробные реплики; планы Бокса — Бен- кина, комбинаторные планы дисперсионного анализа), потому что в ином случае работа эксперта практичес- ки невозможна; б) параметры оптимизации в модели могут быть ко- личественными (типа «произойдет изменение производи- тельности труда на 20%») и качественно-альтернатив- ными (типа «да — нет» или типа «предпочтительно со- бытие А, но не В, С,...»), в последнем случае числовая оценка параметра — вероятность появле- ния события А или В, или С,... в исследуемом объ- екте; в) успех моделирования зависит не только от ква- лификации экспертов, но и от умения исследователя точно разъяснить экспертам изменяющуюся ситуацию и от технической подготовки анкет; целесообразно полно (но кратко) описывать словами каждую новую ситуа- цию, вести начальное объяснение на анкетах плакатного размера, применять разную цветную индикацию ячеек с суммарно повышенным и пониженным уровнем исследу- емых факторов, указывать стрелками у матриц направ- ление роста факторов; для исходного определения экс- пертом диапазона изменения параметра оптимизации рекомендовать начало заполнения матриц с выявления наиболее благоприятной и наиболее плохой ситуации И др. В технико-экономических задачах все чаще исследу- 141
ются системы настолько сложные (система массового обслуживания, покупательский спрос, распределение ассигнований, алгоритмы управления в АСУ и т. п.),что их изучение с помощью физического эксперимента или однократного аналитического расчета затруднительно. В таких ситуациях применяют новый вид моделирова- ния — машинную имитацию. «Модель системы пред- ставляет в этом случае некоторую комплексную про- грамму для электронной вычислительной машины, опи- сывающую поведение компонентов системы и взаимо- действие между ними. Выполнение такой программы для различных исходных данных позволяет имитиро- вать динамические процессы, происходящие в реальной системе... Конечно, имитация на вычислительной машине не всегда так наглядна, как физический опыт. Вместе с тем она имеет и ряд преимуществ: в имитационной модели фактически допустимы любые изменения, каж- дый фактор (независимо от его реальной природы) мо- жет варьироваться по усмотрению исследователя; ошиб- ки, допущенные в модели или в исходных данных, не имеют тех катастрофических последствий, какие ино- гда могут возникнуть в физическом опыте» [75, с. 11]. Поскольку сам эксперимент состоит в многократ- ных расчетах по модели на ЭВМ [41], управление им заключается в варьировании исходных данных и в из- менении самой модели, то ясно, что обе операции уп- равления целесообразно проводить по алгоритмизиро- ванным планам, построенным на основе математической теории эксперимента [52,73]. Такой подход применен при решении задачи об оптимальном числе резервных автомобилей в § 3.5. V ситуация — сочетание контролируемых Хк и трудноизменяемых факторов Хт. Здесь при большом мас- сиве данных можно построить серию моделей вербаль- ного поведения объекта при разных группировках фак- торов Хк (такой подход применен в § 3.6 и 4.3). VI ситуация —сочетание управляемых X? и труд- ноизменяемых X-i факторов. Это, вообще говоря, наилуч- ший вариант для анализа поведения объекта, содержа- щего Xt, поскольку часть факторов X? действительно будет изменяться, поэтому повысится и достоверность выводов. В этой ситуации можно также применять ме- тоды, базирующиеся на комбинаторном анализе [22—• 24]. 142
2.10. НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ И ПЕРСПЕКТИВНЫЕ КЛАССЫ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ, РЕШАЕМЫХ НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЭКСПЕРИМЕНТА Целесообразно указать на некоторые новые классы задач, которые можно решать с применением идей и методом математической теории эксперимента. Опыт их формулирования и решения пока сравнитель- но невелик, однако полученные результаты являются весьма обнадеживающими с технико-экономической и общеметодической точек зрения. 1. Модель для критериев надежности качества про- дукции. Управление объектом по средним показателям качества у не является особенно в тех случа- ях, когда необходимо повысить однородность продукции (например, структуры материала) и снизить долю брака. На рис. 2.5 «показано шесть кривых распре- деления показателей качества продукции при различных техно- логиях ее изготовления [12]: .— при технологии А распределение описы- вается нормальным за- коном; среднее совпа- дает с границей третье- го сорта 7?ш; около 16% продукции попа- дает в зону брака, при- чем 2,3 % составляет неисправимый брак; — технология Б су- щественно лучше; без изменения кривой рас- пределения среднее сдвинуто на сорт выше; достаточно мощным подходом, Рис. 2.5. Возможные изменения кривых распределения параметра качества R для одной продукции, полученной по шести различным технологиям (/?0 — граница выс- шего сорта, ... Лнб — граница не- исправного брака) 143
брак уменьшен до 2,3%, в том числе неисправимый — До 0,1%; — технология В не так успешна как предыдущая, но много лучше первой; если среднее Rb=Ra, то за счет уменьшения дисперсии в 2,5 раза доля брака сни- жается до 5,5%, а неисправимый брак становится ме- нее 0,1%; — технология Г неудачна, так как, несмотря на по- вышения среднего до Rr='Ra, брак сохраняется на уровне 16%, но доля неисправимо испорченной про- дукции возрастает до 6,7%; — технология Д дает кривую распределения с поло- жительной асимметрией, что вызывает снижение всех видов брака при постоянном среднем; по нашему мне- нию, такая ситуация складывается на стадиях освоения некоторого прогрессирующего технологического процес- са, когда случайные возмущения «открывают» техноло- гу неиспользованные возможности производства (ис- пользовано более чистое, чем по нормам, сырье; слу- чайное повышение энергетического потока улучшило смешивание и т. п.); — технология Е дает кривую распредёления с отри- цательной асимметрией, что при повышении среднего уровня качества не позволяет снизить брак; такая си- туация, по нашему мнению, характерна для регресси- рующих технологий, когда возмущения в основном пор- тят процесс, находящийся на грани инженерных воз- можностей (сырье может быть лишь хуже суперчистого нормативного, энергетический поток может лишь умень- шиться и т. д.)1. Анализ рис. 2.5 поясняет, почему уровни xf, опти- мальные по среднему R, могут отличаться (см. § 3.4) от уровней, оптимальных по показателю надежности R{a=const} (исключение составляет переход типа А — Б, когда кривая распределения «переносится» вдоль оси Xi, не изменяя формы) или a{7?Tp=const} (общее обозначение Уа— см. § 1.1). При решении задач первого класса (см. § 3.4) целесо- образно в каждой точке плана реализовать не менее 50 опытов, по которым рассчитываются оценки дисперсий, 1 Характерный пример такой ситуации приведен в [8, с. 103], когда попытка поднять «марку» материала вдвое привела к сниже- нию гарантированной минимально допустимой прочности на 3,5%. 144
коэффициентов вариации и формы кривой распределе- ния; далее можно определить критерии оптимизации Yaj как: —У{а)—минимально допустимое с риском а значение критерия качества работы объекта (например, прочности), которое необходимо максимизировать (для повышения надежности работы конструкции); — а{Утр}— вероятность получения продукции с качеством ниже нормативного (требуемого) уровня или брака, которую необходимо минимизировать. 2. Моделирование и анализ нормативных документов по процедурам измерений и контролю качества. Нор- мативные документы должны содержать помимо разде- лов, описывающих технические средства контроля и эта- лоны для оценки качества, строго обоснованную проце- дуру — алгоритм контрольных операций, который дол- жен приводить к однозначному числовому результату в пределах технически, экономически и метрологически целесообразной ошибки воспроизводимости операций. Подход к разработке и анализу нормативных докумен- тов по контролю качества материалов включает четыре положения: а) все рекомендации стандарта представляются в виде блок-схемы алгоритма контроля, в каждой ячейке которого записана сущность элементарной контрольной операции с указанием ее средней характеристики и допусков, а связи между ячейками указывают порядок операций; б) весь комплекс рекомендаций стандарта рассмат- ривается как система с комбинаторно-связанными эле- ментами; в) производится полиномиальное моделирование ра- боты такой системы при введении в каждый ее элемент строго фиксируемых возмущений, соответствующих уровням определенного плана; г) по модели определяются (методом Монте-Карло [41]) параметры распределения критерия качества ма- териала с учетом возможных ошибок контроля и вычис- ляется вероятное значение абсолютных и относительных ошибок при использовании данного нормативного доку- мента. Применение этого подхода к анализу ГОСТ на конт- роль гипсового вяжущего '[9] позволило оценить как элементы, для которых требуется существенно ужесто- чить допуски (например, разрешенное колебание тем- 10 Заказ 6525 145
пературы в помещении от 15 до 25°С вызывало коле- бание на диапазон целого сорта), так и элементы с не- обоснованно узкой полосой допусков (например, из- менение даже на порядок скорости нагружения образ- цов оказалось статистически незначимым). 3. Модель для критерия качества, дополнительно за- висящая от одной временной (или пространственной) координаты. В широком классе задач значение У явля- ется функцией не только технико-экономических или рецептурно-технологических факторов х<, но и коорди- нат времени т или пространства I (в общем случае h), причем включать h в число варьируемых в трехуровне- вом плане факторов нецелесообразно потому, что ин- формация по h собирается при числе уровней Л!л>3. Такая ситуация типична при измерении У многоканаль- ным прибором сразу в нескольких точках (например, по длине агрегата) или многократном измерении У, на- пример в автоматизированных системах эксперимента [46]. Включение h в обычные планы приводит к суще- ственным потерям информации, особенно если априори известно, что однофакторные зависимости Y=f{h} пло- хо описываются полиномом второй степени. При решении таких задач можно рекомендовать ряд подходов. Во-первых, можно использовать обычные по- линомиальные модели (2.6), но с оценками коэффици- ентов, являющимися функциями hi Y{Xi, h} = b0{h}+ 2 bi{h}-Xi+ ^bij {h}-XiXj+ i=l t<i + Z bii{h}x2i- (2.123) i=l Сначала рассчитываются Mh моделей для каждого уровня h, а потом зависимости b^h}, bi{h}, bij{h} и ba{h} от этого фактора (если уровни h — равноотстоя- щие, то расчет удобно вести по методу ортогональных полиномов Чебышева). Такой подход был применен, в частности, при решении интерполяционной задачи о теп- лообмене в агрегате’[86]. Во-вторых, можно сначала для каждого u-го опыта рассчитать функцию yu=<Pu{h} (или оценить ее харак- теристики: асимптоты, экстремумы, точки перегиба, производные на особых участках и т. п.), а потом каж» 146
Рис. 2.6. Типичные реологические кривые твер деющих композитов: / — эталонная [хэ]; 2 — с интенсификатором [хэ, хи1; 3—-с замедлителем [хэ> х3]; 4 — оптимальная [хэ, xopt 1 дый эмпирический коэффициент функции (или числовую оценку характеристики) представить как выход полино- миальной модели, после чего проанализировать всю по- лученную систему уравнений методом решения компро- миссных задач '[80]. Особую актуальность за последние годы в этом классе получили задачи по анализу и синтезу кривых изменения во времени вязко-пластических свойств твер- деющих композитов (реологические кривые). На рис.2.6 приведены типичные (безразмерные) реологические кривые: если к эталонному композиту (1) добавить ин- тенсификатор твердения (2), то начальная вязкость возрастает так быстро, что смесь трудно переработать при формовании изделия, хотя его можно быстро дос- тать из формы; если добавлять замедлитель (3), то смесь легко формуется, но задерживается срок дости- жения композитом нормативной прочности. Оптималь- ной можно считать, в частности, кривую (4). Как ее получить, регулируя технологические факторы X;? Воз- никает задача синтеза кривой по участкам, что воз- можно при оптимизации отдельных уравнений типа (2.123), построенных при фиксированных h, в разных направлениях и решении компромиссной задачи [87]. 4. Модель для критерия Yj, связанного с координата- ми поля. Расширенными по сравнению с предыдущим 10* 1147
классом являются задачи, в которых критерий качест- ва Yj связан не только с технико-экономическими уп- равляемыми факторами Xi, но и с координатами плос- кого или пространственного геометрического поля Li, L2 и L3, которые можно привести к кодированным /ь 12 и 13 по обычной формуле (2.5), считая центр гео- метрического пространства новым началом координат Ц. Введение в технико-экономические задачи понятия «поле» как функции yj=i|){/i, 12, 1з} позволяет анализи- ровать и оптимизировать качество объекта не только по среднему показателю у, но и по распределению па- раметра качества в пространстве. Такие задачи встре- чаются в практике достаточно часто. Например, «как распределить динамики по залу, чтобы уровень звука был одинаков для всех зрителей?»; «как получить кон- струкцию— стойку типа берцовой кости с максимальной плотностью и прочностью на поверхности, но пористую внутри?», «как распределить подачу воды на поливных участках, чтобы уровень урожая фруктов на каждом из них был оптимальным?» и т. п. Особое значение приобретает понятие «поле» в технологии компози- ционных материалов, где актуальным является целе- направленное размещение образующих их структурных элементов (гранул, волокон, пор и др.), причем наибо- лее часто исследователь стремится за счет управления факторами Х{ получить однородное поле. Степень одно- родности можно охарактеризовать, конечно, дисперсией 82{У}, если разбить поле на т участков, однако в этом случае не будет информации о форме изолиний в уп- равляемом поле, необходимой для принятия конкретных технико-экономических решений (одна и та же оценка дисперсии может быть получена, например, при комко- вании волокон во всем смесителе и при отжатии их к стенкам). Более информативным является предложен- ный в [11] критерий однородности поля — максималь- ный усредненный градиент поля |VK|, рассчитываемый по (1.71) или (1.98), где Xi=lj. Далее совместно рас- сматриваются и решаются (как компромиссная задача) два полиномиальных уравнения: У=/{х,} и |vy| = =7г{х<}, позволяющие получить плезиоптимальные уров- ни Xi как максимизирующие У, так и минимизирующие |vy|. Такой подход успешно применен в задаче об управлении структурой ячеистого композита [84]. На рис. 2.7 показаны зависимости основных параметров 148
Рис. 2.7. Зависимость основных параметров поля пори- стости от двух рецептурно-технологических факторов ячеи- стого композита (заштрихована зона рк^20%): а) доля крупных пор рк; б) градиент V{PK} поля пористости (доля крупных пор и их градиент) от двух рецептурно-технологических факторов. Совме- щение диаграмм позволяет выбрать компромиссное ре- шение, обеспечивающее высокую однородность поля изделия при заданной пористости. 5. Модели для конструирования оптимальной формы изделия. В число критериев качества ряда объектов может входить и оцениваемый экспертами по порядко- вым шкалам (§ 1.4) параметр формы изделия. Наиболее ярким примером такого объекта является одежда, а ее параметром формы — фасон. Отвлекаясь от вида ткани и ее расцветки, фасон можно представить [79] как набор геометрических элементов (отрезков кривых, трапеций, эллипсов и т. п.), комбинируя которые и меняя их размеры, удается достаточно полно построить гамму разнообразных форм одежды. Так, при анализе жен- ского зимнего пальто было выделено 11 основных эле- ментов, которые варьировались на двух уровнях (первым записан нижний уровень): Xi — короткое или длинное пальто, Хг — приталенное или свободное, хз — рукав рег- лан или вшивной, Х4 — рукав узкий или широкий, х$ — рукав без манжета или с ним, Хв — пальто без пояса или с ним, Х7 — пальто без кокетки или с ней, хз — пальто без карманов или с ними, хд— воротник стойка или шалевой, Хю— юбка прямая или расклешенная, Хп — пальто без пуговиц или с ними. Двенадцать фасо- 149
нов, сконструированных по матрице PBt (см. табл. 2.9), были представлены трем группам экспертов по 40 чело- век в каждой. Эксперты оценивали фасоны по пяти- балльной шкале (5 — отлично и т. д.); параметром опти- мизации была частость получения фасоном оценки 4 и 5. Линейная модель с независимыми коэффициентами позволила построить по критерию t—bi'.s{bi} (2.46) ранжированный ряд: Хю, х2, х7, Xi (а<0,0005), х4, Хв, х& (а<0,01), х3, х9, х8 (а<0,025), Хц. Все факторы (кроме Хц) значимы на уровне «<0,05 и с учетом лучших уровней можно построить «оптималь- ный фасон». 6. Модели для анализа поведения системы в изопа- раметрических условиях. Существует достаточно широ- кий класс технико-экономических задач, в которых необходимо исследовать поведение системы при усло- вии, что некоторый ее выход Ук остается неизменным. Так, при создании агрегатов для формирования компо- зиционных материалов из самотвердеющих смесей вяз- кость последних ограничена узким коридором Timing при нарушении левого ограничения смесь свободно вытекает из агрегата, при нарушении право- го — агрегат останавливается. Для того чтобы экспери- ментально решить задачу т| = const при вариации рецеп- турно-технологических факторов х,, приходится прово- дить большое число предварительных опытов по подбору смесей с постоянной вязкостью в каждой точке плана. Изменяющееся при этом количество жидкой фазы опи- сывается дополнительной полиномиальной моделью B=f{xi}. В вышеизложенной постановке задачи рас- сматривались «изореологические» условия, однако воз- можна формулировка «изопрочностных», «изотермиче- ских», «изомассовых», «изоресурсных» и т. п. условий в зависимости от целей исследования. Можно не только уменьшить трудоемкость экспери- мента, но и получить принципиально новую научную и технико-экономическую информацию, если воспользо- ваться следующей стратегией эксперимента: — на основе априорной информации выбрать уровни варьирования так, чтобы условие YK=const выполнялось хотя бы для части факторного пространства; 150
— в комплекс моделей критериев качества системы добавить модель YK—f {xj; — из модели YK=f {xt} найти при условии Ук= const значение одного из рецептурно-технологических факто- ров Xi (без потери общности) и подставить его в осталь- ные модели, которые при этом переходят в условия «изо- параметрии». Последняя операция, к сожалению, связана с рядом вычислительных трудностей, так как Xi в общем случае выражается в явном виде громоздкими функциями, со- держащими ±yiT{xi> J. Решение существенно упроща- ется, если часть рецептурно-технологических факторов оптимизировать на уровнях (постоянных или перемен- ных), обеспечивающих максимум главного критерия ка- чества или экономию дефицитного ресурса. Если иссле- дуется двухфакторное пространство, то алгоритм анали- за предельно прост: достаточно рассчитать координаты 8—12 точек вдоль изолинии yK=const и подставить их в остальные модели, в результате чего будут получены од- нофакторные графики. Анализ поведения систем в изопараметрических ус- ловиях позволяет подойти к решению проблемы о рас- крытии механизма явлений при полиномиальном моде- лировании, поскольку в качестве выхода таких моделей можно использовать, например, параметры поровой структуры [84].
Глава 3. ПРИМЕРЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА, ПОСТРОЕНИЯ И АНАЛИЗА ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ 3d. ПРИМЕНЕНИЕ БЛАНКОВ-АЛГОРИТМОВ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ И СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА МОДЕЛЕЙ И ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПРИМЕРОВ В настоящее время еще весьма многочислен- ная группа инженеров и экономистов лишена воз- можности использовать быстродействующие ЭВМ при оперативном решении технико-экономических задач, которые рассматриваются в данной книге. Поэтому построение и статистический анализ всех наиболее час- то встречающихся моделей переведены на табличные «бланки-алгоритмы», позволяющие многократно и од- нотипно выполнять все расчеты и их проверку с .по- мощью малых вычислительных машин (например, типа микрокалькуляторов «Электроника») в течение 0,5—2 часов. Все используемые в них числовые значения коэф- фициентов в формулах для расчета оценок моделей 1>0, bi, Ьц, Ьц, их ошибок и статистических критериев были получены с высокой точностью на ЭВМ. При составлении бланка-алгоритма учитывались следующие принципы: — однотипность математических обозначений на всех бланках; — возможность проведения всех расчетов, необхо- димых для построения и статистического анализа мо- делей; — максимальное расчленение каждого расчетного этапа на отдельные операции с возможностью записи всех промежуточных результатов; — максимальное удобство расчета сумм (0Y), (iY), (iiY) и (ijY) с записью всех суммируемых величин в одну колонку; — возможность промежуточной проверки резуль- татов вычислений; 152
— наличие специальных предупреждающих указа- ний на этапах, где наиболее часто совершаются вычис- лительные ошибки; — наличие на бланке числовых значений всех ста- тистических критериев, необходимых для регрессионно- го анализа; — возможность записи на бланке условий прове- дения экспериментов (значений факторов в натураль- ных переменных) и всех его единичных результа- тов; — совмещенность на одном бланке таблиц: а) по планированию и проведению эксперимента, б) по рас- чету коэффициентов модели, в) по статистическому анализу модели (для больших размерностей воз- можно выделение листа с таблицами «а» или «б»); — однотипность размещения каждого расчетного этапа в элементарной таблице, а самих таблиц на бланке. Наиболее полно Применение бланков-алгоритмов разобрано в § 3.2, однако и далее указываются осо- бенности их использования для тех или иных планов. Эффективность применения бланков-алгоритмов под- тверждается опытом построения более 2000 моделей с числом факторов от 2 до 19 в различных отраслях на- уки и техники. Всего в качестве примеров отобрано 8 задач, в ко- торых по-разному сочетается ряд классификационных принципов: — по числу факторов — двух (§ 3.2, 3.3 и 3.4), трех—(§ 3.5, 3.6), четырех—(§ 3.7), пяти—(§ 3.8), шести — (§ 3.9), семи — (§ 3.8); — по типу,планов — дробные ненасыщенные (§ 3.7) и насыщенные (§ 3.8) регулярные реплики факторного эксперимента, симплекс-суммируемые (§ 3.2), ортого- нальные (§ 3.3), симметричные, близкие к D-оптималь- ным квадратичные планы типа Bt (§ 3.7) и На$ (§ 3.8), планы Бокса — Бенкина (§ 3.5), насыщенные планы Рехтшафнера (§ 3.9), несимметричные разноуровневые планы (§ 3.6), а также планы типа Зк для неполных кубических моделей (§ 3.4); — по методам сбора информации — при физически реализуемом эксперименте (§ 3.2, 3.4, 3.7, 3.8, 3.9), при опросе экспертов по методу «театра импровиза- 153
ций» (§ 3.3), при обработке архивных данных (§ 3.6), при имитационном моделировании (§ 3.5); — по целям моделирования — поиск экстремума одного выхода (§ 3.3, 3.8), поиск компромиссных ре- шений для нескольких У,- (§ 3.2), построение регули- ровочных диаграмм при условии оптимальности неко- торых факторов (§ 3.9), минимизация расхода ресурса дефицитных компонентов (§ 3.2) и временного ресурса (§ 3.9), построение интерполяционных расчетных фор- мул (§ 3.4, 3.5), оценка роли факторов (§ 3.3, 3.4 и 3.6), построение описательных моделей (3.6); — по типу выходов — параметры качества, опреде- ляемые на метрических шкалах (§ 3.2, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 и 3.9) и на номинальных шкалах (§ 3.3), параметры надежности (§ 3.4), вероятностные показатели функ- ционирования системы (§ 3.3, 3.4 и 3.8); — по типу входов — учет группы «исходные компо- ненты» Лик (§ 3.2, 3.8 и 3.9), группы «технологический режим» Лтр (§ 3.7, 3.8 и 3.9), группы «условий эксплуа- тации» Луз (§ 3.4, 3.8, 3.9); — по объектам — машиностроение (§ 3.8), техноло- гия переработки полимеров (§ 37) и условия их эк- сплуатации (§ 3.4), технология композиционных мате- риалов (§ 3.2 и 3.9), организация работы сложных про- изводственных систем (§ 3.5), социальные групры (§ 3.3, 3.6); — по методам интерпретации и поиска оптимума — графические однофакторные зависимости (§ 3.4), двух- факторные диаграммы (§ 3.2, 3.3, 3.4, 3.7, 3.9), в том числе построенные при условии оптималь- ности других факторов по отдельным зонам (§ 3.9), метод «крутого восхождения» по градиенту (§ 3.7, 3.8), диссоциативно-шаговый метод оптимизации (§ 3.5, 3.8 и 3.9); кроме того, ряд специальных методов принятия решений по полиномиальным моделям, в том числе ком- промиссных, описан в гл. 4. 3.2. ПРИМЕНЕНИЕ ДВУХФАКТОРНОГО СИМПЛЕКС- СУММИРУЕМОГО ПЛАНА (НА ПРИМЕРЕ ВВЕДЕНИЯ в СМЕСЬ МИКРОДОБАВОК —РЕГУЛЯТОРОВ КАЧЕСТВА МАТЕРИАЛОВ ДЛЯ ЭКОНОМИИ ДЕФИЦИТНОГО КОМПОНЕНТА) Технологическая постановка задачи. В ряде работ указывается, что введение микродобавок сахара в бетонную смесь позволяет повысить прочность бето- 154
на после месяца твердения во влажной среде, улуч- шить пластичность смеси в период ее приготовления и укладки, сохранить удовлетворительную пластичность бетонной смеси в течение нескольких часов, что осо- бенно важно при ее перевозке на значительные расстоя- ния. Поскольку оптимальная концентрация добавки в бетон изменяется в зависимости от вещественного соста- ва данного бетона и условий его твердения [78], для проверки рекомендаций в местных условиях была сфор- мулирована [9] задача: исследовать влияние микродоба- вок сахара в пределах Xi=0,01—0,21 % массы цемента на пластичность бетонной смеси (характеризуется величиной «осадки» конуса Н, см), на сохранение этой пластич- ности во времени (характеризуется временем т мин из- менения пластичности от Нялч до Якон=2 см), на проч- ность затвердевшего бетона Rx МПа при различной длительности испытания — т суток. Бетонная смесь с. микродобавкой будет признана удовлетворительной, если будут обеспечены следующие свойства: — пластичность смеси после введения химической добавки Нхя не должна быть хуже, чем Нэ у эталонной смеси и без добавки, т.е. &Н=НХЯ—Яэ^0; — сохранность пластичности смеси с добавкой в течение т^210 мин; — прочность бетона с добавкой сахара через 28 су- ток после введения /?Хд28 должна быть не менее 50 МПа; — через трое суток твердения прочность бетона с добавкой ^хДз должна быть не менее эталонной /?эз, т. е. отношение Кз=#хдз :Л>з^П (это условие необхо- димо для сохранения обычных сроков перестановки опа- лубки) . По техническим условиям соотношение между во- дой и цементом В]Ц должно быть в пределах 0,4—0,6; это и будет вторым фактором Х^. Планирование эксперимента и его реализация. Поскольку область возможного решения (оптимума свойств ДЯ, т и Rx) определена другими исследовате- лями, было решено сразу построить квадратичную модель л У = bo + Ь 1#1 + 6 2-^2 + Ь11X12 + &22^22 ~i~b 12X1X2 (3.1) В этом случае целесообразно применение симплекс- суммируемого плана с размещением опытов в верши- 155
нах и центре шестиугольника, причем в центре опыты будут повторены четыре раза для обеспечения униформ- ности Плана и определения ошибки воспроизводимости опыта sav. Такой план рассмотрен в гл. 2. Координаты точек плана показаны в левой части табл. 3.1. Таблица 3.1 МАТРИЦА ПЛАНИРОВАНИЯ И (УСЛОВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Номер опыта План в кодирован- ных переменных План в натуральных переменных *1 концентра- ция добавки Х^-ВЩ, 1 0 0,01 0,5 2 + 1 0 0,21 0,5 3 0,5 0,87 0,16 0,4 4 0,5 -0,87 0,16 0,6 5 —0,5 0,87 0,06 0,4 6 -0,5 —0,87 0,06 0,6 7—10 0 0 0,11 0,5 От кодированных переменных нужно перейти к на- туральным для того, чтобы знать условия проведения опытов. Для первого фактора определение уровня не представляет труда: он изменяется от Ximin=0,01°/o до Аппах=0,21 %, а в плане есть точки с координатами Xi=—1 и xt= + l. Следовательно, если Ximln совмеще- но с точкой 1, а Хцпах—с точкой 2, то все остальные значения концентраций легко определить по фор-< муле Xi— Xia Xi —0,11 Xl= ~KXi = ojo Второй фактор (В/Ц) изменяется от Xomin=0.4 до ^2max=0,6. Однако совмещать, например, X2min и х2— =—1 нецелесообразно, так как минимальная точка плана х2=—0,87. Она лежит на середине нижней сторо- ны шестиугольника, вписанного’ в окружность радиусом Х{2=1, а не на окружности. Поэтому совмещаем Х2тш с точками 3 и 5, имеющими координату х2 = 0,87, а Хгтах— с точками 4 и 6; в этом случае можно найти расчетный 156
диапазон варьирования ДХ2 по соотношению (3,3); при этом переход от натуральных переменных к кодирован- ным будет определяться по (3.4). 0,4—0,6 ДХ2=—2^:0,87= -0,М5 ; (3.3) Хг-Хга Х2-о,5 0,5—*2 • Хг~ ЛХг ~-0,115“ 0,115 * План эксперимента в натуральных переменных по- казан в правой части табл. 3.1. В качестве эталонного был выбран бетон с плас- тичностью Н=8 см. На каждом уровне Х2 (ВЩ=0,4‘, 0,5 и 0,6) подбирались эталонные бетоны, рабочий со- став и свойства которых приведены в табл. 3.2. Т а б л и ц а 312 СОСТАВ И 'СВОЙСТВА ЭТАЛОННЫХ БЕТОНОВ в/ц Расход материалов, в кг на 1 м3 смеси Фактиче- ское зна- чение И, см мин #эЗ, МПа Яэ.28 МПа цемент Ц вода В щебень Щ песок П 0,4 540 217 1065 575 8,5 210 22,6 57,0 0,5 450 226 1135 650 8,5 150 14,6 48,0 0,6 370 222 1190 700 7,0 75 13,0 35,4 Результаты испытаний приведены в табл. 3.3. Здесь же даны значения ошибок воспроизводимости s3v. Для ДЯ, т и они определялись по данным четырех нахо- дящихся в равных условиях опытов в центре плана (№ 7—10); например, s3v{H} определено в соответст- вии с (1.24) как МЯ}=-^-1/ 2 (ДЯ4-ДЯ)2= ____________2=7____________________ =Y У 2(11,5-9,75)2+ (6,5—9,75)2+ (9,5-9,75)2= = 2,36 см, где ДЯ — средняя пластичность по центральным опы- там. Величина выхода Яз= ^дз—косвенный результат из- мерений величины 7?хд.з и Яэ.з, которые имеют ошибку 157
Таблица В.З РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕНИЯ ВЫХОДОВ Номер опыта ЬН9 см т, мин ^хд.З, МПа ^?хд 28, МПа 1 + 1,5 205 19,7 50,7 2 + 11,5 275 6,6 51,5 3 + 8,5 225 11,5 76,3 4 + 3,0 185 4,6 38,6 5 4- 2,5 195 24,5 71,1 6 + 4,5 195 10,5 43,4 7 + 11,5 315 16,2 52,8 8 + 11,5 330 16,0 61,4 9 + 6,5 275 18,0 64,3 10 + 9,5 300 13,6 57,3 Ошибка s3v 2,4 23,5 1,81 5,0 воспроизводимости соответственно 8Эю{/?хд.з} = 1,81 МПа (см. табл. 3.3) и 8Э1>{7?эз} = 1,40 МПа (данные трех параллельных опытов при В/#=0,5). Выход К3 — частное от деления двух случайных величин и его ошибка в соответствии с рекбмендациями табл. 1,5 опре- деляется как 1/ г (Кхд.з)о2 fri (#«•»)• М*3> — = /\эЗ ^ЭЗ 16,0 , Г 1,812 1,42 Н6 У 16,02 + 14.62 .(3-5) где (/?хд.з)о — среднее по опытам № 7—10 с добавкой. Бланк-алгоритм для расчета и статистического ана- лиза моделей. Построение моделей при отсутствии ЭВМ! целесообразно вести на бланках-алгоритмах. На при- мере модели для Yj=AH (прирост пластичности смеси) проследим весь ход расчетов (табл. 3.4). В графы «Эксперимент в натуральных переменных» из табл. 3.1 заносятся условия опытов, которые нужно реализовать в соответствии с уровнями факторов в гра- фах «Матрица эксперимента». 158
В графе «Номер реализации» проставляется порядок проведения опытов, который определяется по таблице случайных чисел [39], т. е. опыты рандомизируются во времени. Проводится эксперимент и его результаты за- писываются в графы «Измерение выхода»; сначала по каждому из параллельных измерений yUw (в нашем слу- чае проведено лишь одно измерение), а потом после удаления аномальных измерений (1.50), если таковые имеются, рассчитывается среднее по каждой строке уи. Подготавливается «Расчетная матрица», для чего в каждой графе ^1оследовательно_рассчитываются^ про- изведения "уиХ^Уи, yuXi, yix2, УиХ11 2, УиХ22 И уи Xt Х2' (например, в опыте № 4 получаем последовательно z/uXi=3,0•0,5= 1,50; уих2—3,0-(—0,87)=—2,61 и т. д.). Определяются по графам суммы (0Y), (1Y), (2Y), (IIY), (22Y) и (12Y), причем для упрощения счета и контроля результатов отдельно рассчитываются суммы величин с положительным (S+) и отрицательным (Е—) знаком, например, для взаимодействия XiX2 (последний столбец) получаем Е + = 3,70 + 1,96 = 5,66; Е — = 1,29 + 1,09 = 2,38; (12Y) = (Е+) - (S-) = 5,66 - 2,38 = 3,28. Для расчета коэффициентов модели в бланке-алго- ритме использованы общие формулы (2.84) — (2.94). I &0=0,25(ОУ) --|-E(uY)=P2+P3; 6i=4(iY); о Ьц= ~ (iiY) — 0,25(0Y) + (iiY) = = 4- (iiY) +pi + p4= 4- (iiY) +p5; 2 о 4 — (12 Y), О (3.5) где для удобства расчета введены промежуточные вели- чины pi. Таким образом, по каждой графе последова- тельно рассчитываются pi и коэффициенты регрессии; 1 Далее вместо произведений yuxit ~yuXi2, уихiX.. будем за- писывать сокращенное обозначение граф хг-, х»2, XjXj... 159
НЕКОМПОЗИЦИОННОЕ РОТАТАБЕЛЬНОЕ Номер опыта Номер реа- лиза- ции Эксперимент в натураль- ный пере- менных Измерение выхода Матрица эксперимента Уи1 Уйм Уи х2 4 X2 2 *1*2 Xi х2 1 4 0,01 0.5 1,5 1,5 -1 0 +1 0 0 2 9 0,21 0,5 11,5 11,5 + 1 0 4-1 0 0 3 2 0,16 0,4 8,5 8,5 0,5 0,87 0,25 0,75 4-0,43 4 3 0,16 0,6 3,0 з,о °,5 -0,87 0,25 0,75 -0,43 5 8 0,06 0,4 2,5 2,5 -0,5 0,87 0,25 0,75 -0,43 6 6 0,06 0,6 4,5 4,5 -0,5 -0,87 0,25 0,75 4-0,43 7 5 0,11 0,5 11,5 11,5 8 7 0,11 0,5 11,5 11,5 о о 0 о о 9 1 0,11 0,5 6,5 6,5 XJ XJ XJ 10 10 0,11 0,5 9,5 9,5 Схема плана Уровни изменения факторов *1 1 1 0,87 0,5 0 -0,5 -0,87 -1 Хх % добавки 1 0,21 — 0,16 0,11 0,06 - 0,01 х>-вщ | 0,385 0,4 — 0,5 - 0,6 0,615 Геометрический образ поверхности отклика Расчет ошибок (по центральным точкам) У, 1 Ув | Уэ Ую | | Расчет Уои _ 11,5 11,5 6,5 9,5 уо =(2Уоц) * 4= ^0 =Уоа — Уо 1,75 1,75 -3,25 -0,25 = 39: 4=9,75 4 3,06 3,03 10,56 0,06 SS3V=16,74 л Р 16,74 S .2 _ =5.58: «Уо *>=2.36 3 эр з Расчет ошибок коэффициентов Ьо 1 *1 1 *н I ftn Т1 0,500 0,577 0,866 1,155 Ti • 5Э.Р 1,180 1,362 2,044 2,726 • ^э.р 2,773 3,201 4,803 6,406 при /э.Р “ 3 *0,10^=2»35. 160
Таблица 3.4 ПЛАНИРОВАНИЕ ПРИ К-2 (4 ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ТОЧКИ) Расчетная матрица 04 a Xl Х2 X2 1 X2 1,50 11,50 8,50 3,00 2,50 4,50 11,50 11,50 6,50 9,50 - 1,50 11,50 4,25 1,50 - 1,25 -2,25 0 0 0 7,40 - 2,61 2,18 - 3,92 0 1,50 11,50 2,12 0,75 0,62 1,12 0 0 0 6,38 2,25 1,88 3,38 0 0 0 3,70 -1,29 -1,09 1,96 0 2,25 132,25 72,25 9,00 6,25 20,25 132,25 132,25 42,25 90,25 (0Y) 70,50 р1=-0,25(0Y) -17,625 p2=0,25(0Y) 17,625 ЬО=Р2 + РЗ 9,750 Е + 17,25 Е—5,00 (1Y) 12,25 4,083 Е+9,58 2-6,53 (2Y) 3,05 О bz 1,017 (UY) 17,61 (22Y) 13,89 2+5,66 2-2,38 (12Y) 3,28 4 £j3=o(12Y) M73 (YY) 639,25 HHY)=31,5U Р.=-V4 S(IIY) -7,875 Р^/12 S(IIY) 2,625 £в = £1 + Р4 -15,00( 2 1 3 11,740 | ЬЦ^/з Ьц 1 -3,260 ) (HY) 9,260 (IlY) + p6 1 ь& | -5,740 Регрессионный анализ модели b На- чаль- ная модель ^кр Конеч- ная модель (UY) b0-(fjY) t° b\ ьг b“ ^22 bit 9,75 4,08 1,02 -3,26 -5,74 4,37 2,77 3,20 4,80 6,41 8,69 4,08 0 0 -5,42 О 70,50 12,25 3,05 17,61 13,89 3,28 012,64 49,98 0 0 -75,28 0 55М0Д=Е [&• (iJY)]=587,31 *^^мод "Ь «$$эд7=604,08 SSHa=(YY)-(S5M0A+559^)=639,25-604,08= =35,17 /на=7—3=4 * Ha o SSHa 35,17 s2 __Л2 i 8 79 на /на 4 Проверка адекватности модели при а=0,05 ^(4,3) = 9,1 Заключение: адекватна И Заказ 6525 161
например, при расчете коэффициент Ьц определяется по (iiY) = (UY) = 17,61: 2] (iiY) = 17,61+ 13,89=31,50; Рз= - —Е (iiY) = - — -31,50= -7,875 4 4 (используется для расчета Ьо); р4= — У (iiY) = — -31,50=2,625; 12 12 Р5=Р1 + Р4= -17,625 + 2 625= -15,000 (величина pi взята из столбца хо); (iiY) = —-17,61 = 11,740; 3 3 2 bu= — (iiY) +р5= 11,740-15,000= -3,260. 3 В результате получается модель, которую мы назо- вем «начальной»: Л о п 7=9,75+4,08*1 +1,02*2-3,26*1 -5,74*1 +4,37*j*2. (3.7) В таблице «Расчет ошибок» по центральным точкам 7—10 определяется ошибка воспроизводимости опытов sa®, для чего последовательно рассчитываются — 1 Уо — — (Ут+Уя+Уь+Ую)', JSiQ — Ув1~~ Уо> До 1 SSg®=2j Ao И Sav В таблице «Расчет ошибок коэффициентов» рассчи- тываются с учетом ошибки воспроизводимости Sa® кри- тические величины коэффициентов Ькр, если £>Кр будет больше соответствующей оценки коэффициента модели, то с риском « можно допустить, что истинный коэффи- циент р=0; величина критерия Стьюдента t выбирается по таблицам (см. приложение 1) для числа степеней свободы fa® (если учитывались лишь центральные точ- ки, то fa®=4—1=3) при двустороннем . риске а=0,10; например, величина (&«)кр при юс=0,10 равна: (6<) кр =+• Л-s3®=2,35-0,577 -2,36 = 3,201. В таблицу «Регрессионный анализ модели» записы- вают коэффициенты «начальной» модели (3.7) и крити- 162
ческие коэффициенты. Если Ькр>Ь, то в «конечную» мо- дель проставляется нуль, а значимые коэффициенты bi и bij переносятся без изменения (перенесен лишь 61=1 =4,08); если коэффициент Ьц меньше критического (^я)кр> то можно провести последовательный регрес- сионный анализ, исключив этот коэффициент и пересчи- тав другие Ьн и Ьо. В нашем случае 6п<6кр=4,80, по- этому пересчет (см. § 2.7) дает: b22 = 0,72730(22Y) - 0,22020(0Y) = 10,102 - — 15,524 =-5,422; b0 = 0,1667(0Y) - 0,22020(22Y) = 11,750 - - 3,059 = 8,691. (3.8) Эти значения и записываются в графу «конечная» модель. В той же таблице рассчитывается сумма квад- ратов ЗЗм0д; для этого в столбец (ijY) записываются суммы для значимых коэффициентов, рассчитываются произведения &ij(ijY) и их сумма: 85Мод = 612,64 + 49,98 - 75,28 = 587,34; SSMoa + SS9V = 587,34 + 16,74 = 604,08, где 53э„ взято из таблицы «Расчет ошибок». Определяется «Общая сумма квадратов (YY)», для чего результат каждого опыта уи возводится в квадрат и эти величины суммируются (YY) =639,25. Проводится «Проверка адекватности модели» при риске а=0,05 и при числе степеней свободы fHa=7—Л (где Л — число значимых коэффициентов «конечной» модели) и fav. Для этого последовательно рассчитывают- ся: сумма квадратов SSHa, связанная с неадекватностью модели, дисперсия неадекватности s2Ha и критерий F. Если /га<Етабл (см. приложение 2), то можно допус- тить, что модель адекватно описывает результаты экс- перимента: 53на= (YY) - (3$мод+33э„) =639,25- 604,08= 35,17; sH2a=SSHa:fHa=35,17: (7-3) =8,79; Fa=«на: «э»=8,79:5,58= 1,57 < F(4,s)=9,l. Можно допустить, что «конечная» модель ДЯ=8,69+4,08*1—5,42*2 (3.9) 11* 163
с риском а=0,05 адекватно описывает результаты эксперимента при sHa=ys2Ha=2,96 см. Строится «Гео- метрический образ поверхности отклика», для чего оп- ределяются (см. § 1.6) координаты точек пересечения л изолиний ДЯ=const с заданными сечениями фактор- ного пространства. Модель (3.9) описывает поверхность цилиндрического параболоида с изолиниями в виде па- рабол с главной осью, совпадающей с осью Х\ (так как Р12=О — нет поворота оси, а так как ₽ц=0 — нет па- раллельного переноса; см. § 1.6). Достаточно опреде- Л л лить точки пересечения ДЯ=const (примем ДЯ с кван- л том 2 см и изучим ДЯ при 0,2, 4,6, 8, 10 и 12 см) с линиями xt-=±l и х,-=0. Например, координаты то- л чек ДЯ=сопэ1 при Х! = + 1 определяются как (табл. 3.5) ДЯ=8,69+4,08 ( +1) —5,42х22= 12,77-5,42х22; ' 'х2= ± -./ 12,77—ДЯ V 542 ± V 5,42 (3.10) Таблица 8.5 По координат- Л ным точкам строит- К РАСЧЕТУ изолинии ЛЯ=const ся семейство пара- Л A/f=const Л А=12,77—Д/7 А : 5,42 Xi ский образ готов для * дальнейшего техни- 6 8 10 12 6,77 4,77 2,77 0,77 1,24 0,87 0,51 0,14 ко - экономического анализа. ±0 7i На основе общей ±0^37 формулы (2.68), ис- пользуя TiSav из табл. 3.4, можно оп- Л ределить дисперсию предсказанного значения ДЯ по мо- дели (3.9), как Л 2 4 Г Л s2{ ДЯ} = s2 {60} + s2 {b J Xi+s2 {b22} х2 + V 2cov {&0622} xi2= =1,1802+1,3622Х] + +2,0442х24+2 0,25-5,58х| = 1,39+1,86х? + + 4,18х2 +2,79х2 • (3.11) Использование формулы (3.11) для конкретной точ- ки, например с координатами Xi=—0,3 и х2=—0,44,
Таблица 3.6 РЕЗУЛЬТАТЫ (МОДЕЛИРОВАНИЯ rJ ь0 61 62 6ц б2« ^а<^табл* Вид изолиний л ДЯ 8,7 4,1 —5,4 1,57 параболы л т 306 27 — —53 —108 3,30 эллипсы с л ^?ХД 28 59 - 19 -8 3,05 xiS=0,25 и X2S:=0 параболы А Кз 1,09 —0,47 — — —0,48 4,63 параболы дает з2{ДЯ} = 1,39+1,86 (—0,3)2+4,18(—0,44)4+2,79 (—0,44)2=2,26 или среднеквадратическую оценку «{ДЯ} —1,50 см. Анализ результатов моделирования. В табл. 3.6 при- ведены результаты моделирования для всех четырех исследуемых У,-, а на рис. 3.1 — изолинии поверхностей л отклика (кроме ДЯ, изображенной на бланке-алгорит- ме). 1 По моделям можно сделать ряд выводов: — для всех исследованных свойств влияние микро- добавки не зависит от влияния ВЩ (поскольку (р12=0); — подтверждается гипотеза об увеличении пластич- ности смеси с увеличением добавки (fei>0), причем наиболее существенно увеличение при В/Я=0,5 (так л как &22<0, то максимум ДЯ всегда будет при Хг=0); — сохранность смеси с добавкой т имеет максимум при Xi=0,25 (концентрация добавки равна 0,135% при Рис. 3.1. Геометрические образы моделей сохранности смеси» л т мин (а), прочности бетона Яхд.гв через 28 сут. твердения, МПа (б) и отношения Кз=Яхдз: Яэ.з (в) 165
переходе по формуле (3.2)) и Хг=0 (В/Ц=0,5); откло- нение от этих условий ухудшает сохранность, хотя она и больше эталонной во всем поле эксперимента; — прочность бетона с добавкой в возрасте 28 сут л ₽хд.28 главным образом зависит от В/Ц (тривиальный выход, известный из общей теории технологии); наилуч- л шая по прочности /?хд.2в концентрация добавки находит- ся при *1=0, или 0,11% веса цемента (&ц<0); — максимальная величина Кз будет получена при минимальном содержании добавки (&i<0) иприВ/Д= =0,5 или Х2=0 (&22<0); к этой модели следует отнес- тись с осторожностью, так как при нулевом содержа- нии добавки должно быть К3=1 вне зависимости от В/Ц-, по-видимому, порядок полинома недостаточен, что- бы описать сложную поверхность, сходящуюся к пря- мой линии при Х]=—1,1 (нулевое содержание добав- ки), а адекватность в зоне эксперимента достигнута за счет сравнительно высокой ошибки воспроизводимости «9„{К}=0,16; — оптимум концентрации добавки изменяется в за- висимости от исследуемого свойства (по ДЯ xi^l, по т Xi=0,25, по Rxn.28 *1 = 0,5, по Кз Xi<—1), поэтому технико-экономические решения будут относиться к ком- промиссному типу. цемента: с) графическое определение точки А с координатой #mln » функции R= -ГНВ/Ц} и Ц=Ь {В/Ц} 166
В первой частя параграфа была сформулирована задача: обеспечить АЯ>0, т>300 мин, а Дхд.28^50МПа й Ее легко решить, используя графические об- разы поверхности отклика (см. рис. 3.1). Для этого на поле эксперимента (рис. 3.2, а) последовательно про- ведем изолинию ДЯ=0 (эта линия на поле не попала; она за левой границей, поэтому первое ограничение не- Л существенно), изолинию т=210 мин (внутрь эллипса попадает практически все поле за исключением не- Л больших сегментов при |х2|«1), изолинию Дхд.28=50 (ниже этой линии лежит запрещенная зона) и изолинию л Кз=1 (эта линия ограничивает правую запрещенную зону, где Двд.зСДэ.з- В оставшейся после ограничений левой зоне (см. рис. 3.2, а) лучшим является решение в точке А, так как при этом получается максимальное В/Ц (из общей технологии известно, что при постоянной пластичности минимальный расход цемента соответствует максимуму В./Ц, что хорошо подтверждает график на рис. 3.2, б, по- строенный по данным табл. 3.1). Таким образом, если мы введем в бетон при х2=0,44 или В/Д=0,54 микро- добавку сахара при Xi = —0,3 или в концентрации около 0,08% веса цемента, то будут обеспечены не только все требования задачи, но и сэкономлен дефицитный ком- понент — цемент. Абсолютную величину АД легко рассчитать по гра- фикам на рис. 3.2,6. Требование ^28=50 МПа обеспечи- вается при отсутствии добавки при Д/Д=0,48 и расходе цемента Д0=465 кг/м3, а ДХд.28 = 50 МПа в оптималь- ных условиях обеспечивается при ВЩ=0,54 и расходе цемента Дд=415 кг/м3. Следовательно, А.и,=Ц<1—ЦА — =50 кг/м3. Экономический эффект от использования оптимальной рецептуры составляет до 800 руб. на 1000 м3 бетона. 3.3. ПРИМЕНЕНИЕ ДВУХФАКТОРНОГО ОРТОГОНАЛЬНОГО КВАДРАТИЧНОГО ПЛАНА (НА ПРИМЕРЕ ОЦЕНКИ ИНТЕНСИФИКАЦИИ СТУДЕНЧЕСКОЙ НАУЧНОЙ РАБОТЫ) Методическая и социологическая постановка задачи. Бурный научно-технический прогресс вызывает не только расширение масштабов высшего образования, 167
но и изменение его структуры. Внедряются новые, более совершенные формы подготовки специалистов. Одной из таких форм является самостоятельная исследователь- ская работа студентов. Это значительно сокращает про- цесс «доподготовки» (уже после окончания вуза) мо- лодых специалистов, что дает большой народнохозяй- ственный эффект цак в материальном, так и в общест- венно-политическом смысле. Для интенсификации сту- денческой научной работы возможны многие средства: организационные, пропагандистские, экономические и т. д. Существенным является и рационализация бюд- жета времени студентов. С целью выявления путей оп- тимизации структуры рабочего времени студентов стар- ших курсов для оценки возможности привлечения их к научно-исследовательской работе было решено иссле- довать роль двух факторов: количества курсовых про- ектов, выполняемых за учебный семестр, и объема обя- зательных учебных занятий в неделю. Сбор информации и ее первичная обработка. Понят- но, что собственно эксперимент в сформулированной задаче поставить крайне сложно, так как нужно сразу вовлечь в исследование большое число групп и внести серьезные нарушения в действующий учебный процесс на целый семестр. Поэтому было принято решение про- вести «мысленный» социологический эксперимент, на основе которого построить модель вербального поведе- ния студентов в отношении студенческого научного об- щества (СНО). В четырех группах IV курса четырех факультетов студентам был задан вопрос: «Занимаетесь ли Вы сей- час в студенческом научном обществе и будете ли Вы заниматься научной работой в изменяющихся ситуа- циях?». Варьируемые факторы: Xi—увеличение (умень- шение) на 1 курсовой проект в семестр и Х2 — увеличе- ние (уменьшение) на 4 учебных часа в неделю. В ано- нимном опросном листе (табл. 3.7) студент для каж- дой из 9 возможных ситуаций должен был проставить двоичный ответ — «да» или «нет». Ячейки табл. 3.7 об- разуют ортогональный квадратичный план (см. гл. 2). Заполнение таблицы начиналось с центра (0,0), т. е. студент отмечал свое сегодняшнее фактическое поведе- ние. После этого предлагалось: а) тому, кто в центре поставил «да», зачеркнуть три квадрата, лежащих выше и левее центра (координаты —, —; 0, — и —, 0), по- 168
Таблица 3.7 ОПРОСНЫЙ ЛИСТ С ПРИМЕРОМ ЗАПОЛНЕНИЯ изменение количества учебных занятий в неделю Xi—изменение числа курсовых проектов в семестр уменьшение нормы на 1 проект существующая норма увеличение ~ нормы на I проект уменьшение на 4 учебных ' ' ' 0, — +> — часа да да нет —, 0 0, 0 +, 0 существующая норма да нет нет увеличение на 4 учебных —, + 0, + +» + часа да нет нет скольку логично предполагать, что в облегченных ситуа- циях студент продолжит свою работу в СНО; б) тому, кто в центре поставил «нет», зачеркнуть три квадрата, лежащих ниже и правее центра (координаты +, 0; +, + и 0, +), поскольку в «усложненных» ситуациях он не начнет научную работу. Таким образом, для 10-ми- нутного обдумывания оставалось лишь по четыре воз- можных ситуации с изменяемыми условиями. Связь кодированных переменных Хг с натуральными выражается формулами Х1=^1=Х{ и х2=^^-=0,25Х2 • (3.12) 1 4 Параметром выхода служила частость появления от- вета еда», что являлось оценкой вероятности участия студентов в той или иной ситуации. Окончательные ре- зультаты представлены в табл. 3.8. Поскольку в центре плана (опыт № 5) нет много- кратного повторения эксперимента (в отличие от выше- изложенного примера в § 3.2), то ошибку эксперимен- та зэ можно определить другим способом, используя рассеяние результатов при опросе студентов в четырех разных группах (см. первый тип организации экспери- мента со схемой «Г — Г — Г» в § 1.4). Расчеты прово- дятся в несколько этапов (см. табл. 3.8). На первом этапе определяются по каждой строке плана средние значения выхода yUv=Pu и оценка дисперсии s2ut>. По- скольку выходом является частость ри, которая должна 169
Таблица 3.8 ЧАСТОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ СТУДЕНТОВ ОБ УЧАСТИИ В НАУЧНОЙ РАБОТЕ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ 'МОДЕЛИРОВАНИЯ 1 Номер опыта 1 Ситуация Факторы Частости по факультетам (процентов) Исходные данные для моделирования *1 механический У1 строительный Уа экономический Уз градострои- тельный у4 среднее в строке плана Уто=Ри дисперсия результатов по строке s*uv *и © X X 1 Одновременное уменьше- ние числа курсовых проек- тов (КП) на 1 и учебных занятий (УЗ) на 4 учеб- ных часа 95 95 100 100 97,5 8,3 3,6636 1,39 2 Увеличение числа КП при уменьшении УЗ + 38 48 24 61 42,8 245,0 —0,2900 • 0,41 3 Уменьшение числа КП при росте УЗ + 86 87 82 78 78,2 67,0 1,2774 0,23 4 Одновременное увеличение КП и УЗ + + 0 5 6 6 4,2 8,3 —3,1272 0,52 <5 Существующая ситуация 0 0 43 67 71 83 66,0 281,3 0,6633 0,56 6 Только увеличение КП + 0 5 28 12 33 19,5 173,7 —1,4179 0,71 7 Только уменьшение КП —— 0 86 90 94 100 92,5 35,7 2,5123 0,74 8 Только увеличение УЗ 0 + 19 43 29 39 32,5 115,7 -0,7309 0,24 9 Только уменьшение УЗ 0 — 76 90 82 100 87,0 108,0 1,9010 0,85 | Суммы | 1043,0 | — 5,65
находиться в пределах 0СриС1, то вводится рекомен- дуемое для номинальных шкал (см. § 1.4) следующее Л преобразование, которое обеспечивает 1 при лю- л бом значении х: х= ln[pu: (1-pu)]. (3.13) Для каждого опыта значение хи, взятое из прило- жения 4, приведено в табл. 3.8. Оценку среднеквадра- тической ошибки такого параметра можнр найти как функцию случайной величины (см. § 1.4) по экспери- ментальным данным уип и $2и„: SUt,{x} =S2{ln[Z/uO: (1—Ptiv)]} =Su»- [Уиъ(1 —’Pu®)]2* (3.14) На следующем этапе проверяется по G-критерию (1.63) гипотеза об однородности дисперсий для К=9 опытов при равном числе степеней свободы fi = 3: g G = (st {х})max: S Su2®{x} = 1,39.10-4:5,65 • 10~4= 0,246. u=i Поскольку G менее СТабл=0,4027 при <х=0,05 (см. приложение 3), то можно допустить как правдоподоб- ную гипотезу об однородности дисперсий s2ut) {х} и рас- считать среднюю дисперсию по всему эксперименту: -----2 s«®{x}= — :5,35-10-4=0,628-10~4 • U—1 Однако в данной задаче интересна оценка диспер- сии в определении среднего по всей исследуемой сово- купности, так как необходимо установить общую тен- денцию поведения студентов. Поэтому рассчитывается величина sv2{x}, которая в п=4 раза менее величины St?2 {х} (см. § 1.4): s?{7} =s2{x} :n=0,628-10-4:4 = 0,157.10~4 . Оценка s6 {х} =f0,157-10-4=0,00396 и является ошибкой эксперимента sa, учитываемой при регрессион- ном анализе модели. Расчет модели и ее статистический анализ. Дальней- шие вычисления1 проводятся на фрагменте бланка-алго- 1 Ко всем значениям ки целесообразно прибавить 4 для того, чтобы упростить вычисления по «Расчетной матрице»; для возвра- л щения к ки достаточно вычесть С=4 из оценки свободного члена. 17.1
ОРТОГОНАЛЬНОЕ КОМПОЭИЦ Номер опыта Г=44-х Преобразованная матрица Л х2 (О2 (О2 1 7,6636 -1 —1 +1/3 + 1/3 +1 2 3,7100 +1 —1 + 1/3 + 1/3 —1 3 5,0774 —1 +1 + 1/3 + 1/3 —1 4 0,81708 +1 +1 + 1/3 +1/3 +1 5 идаз 0 0 —2/3 —2/3 0 6 2,5801 +1 0 + 1/3 —2/3 0 7 16,51123 —1 0 + 1/3 —2/3 0 8 3^6011 0 +1 —2/3 + 1/3 0 9 5,9010 0 —1 —2/3 + 1/3 0 Геометрический образ поверхности отклика Расчет критических зна ((при s2e=0457-l'0-A, Ь'о т s{b} = TXsQ bw=t -s{6} 0,33333 0,0013 0,0027 при f8=f8v==27 РАСЧЕТНЫЕ Номер опыта Произведения byXjX j b0-x0 &ГХ| *ir-q 1 0,7024 + 2,0481 + 1,3092 -0,1748 —0,1370 —0,1128 2 0,7024 —2,0481 + 1,3092 —0,1748 —0,1370 + 0,1128 3 0,7024 + 2,0481 —1,3092 -0,1748 —0,1370 +0,1128 4 0,7024 —2,0481 —1,3092 —0,1748 —0,1370 —0,1128 5 0,7024 0 0 0 0 0 6 0,7024 —2,0481 0 —0,1748 0 0 7 0,7024 + 2,0481 0 —0,1748 0 0 8 0,7024 0 —1,3092 0 —0,1370 0 9 0,7024 0 + 1,3092 0 —0,1370 0 Суммы по столбцам 172
ИОННОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ПРИ А=2 Таблица 3.9 Расчетная матрица Хх х2 (4)2 XiXt 7,6636 —7,6636 —7,6636 +2,5545 +2,5545 +7,6636 3,7100 +3,7100 —3,7100 + 1,2367 + 1,2367 —3,7100 5,2774 —5,2774 + 5,2774 + 1,7591 + 1,7591 —5,2774 0,8728 +0,8728 +0,8728 +0,2909 +0,2909 +0,8728 4,6633 0 0 —3,1089 —3,1089 0 2,5821 +2,5821 0 + 0,8607 —1,7214 0 6,5123 —6,5123 0 +2,1708 —4,3415 0 3,2691 0 +3,2691 —2,1794 + 1,0897 0 5,9010 0 —5,9010 —3,9340 + 1,9670 0 (0Y) 2+7,11649 2+9,4193 2+0,0727 S+8,8979 S+8,5364 40,4516 S—119,45013 S—17,2746 2-49,22123 S—9J1718 2^8,9874 1/9 (0¥) C1Y) (1I1Y) (22Y) (12Y) Уог —«1212004 —7,8553 —0,3496 —0;2739 —0,4510 4,4946 l/6+iY) ‘/S(iiY) l/4(f12Y) &0Y = ~&'о+ри+ + р22 4,7024 bi b* 6ц &22 612 —2,04811 —1,3092 —0,1748 —0,11370 —>0,1)1128 Pii=—fi/3 Ьц 0,11165 10,09il3 чений коэффициентов ЬКр $э=39,6410-*, fэ=127 и а =0,05) bi bil bU . »0 0,40852 • 0,70711 0,50000 0,74536 0,0016 0,0028 0,0020 0,0030 0,0033 0,0057 0,0041 0,0062 /{а=0,05} =2,052 АЛА ЗНАЧЕНИЯ Ии и ри=Уи A x« 1 Mx) 1 x ) Л Pu *u{P} 3,6351 3,66361-0,02851 0,0008 97,4 97,5 —0,1 0,01 —0,2355 —0,2900 +0,0545 0,0030 44,2 42,8 + 1,4 1,96 1,2423 1,2774 —0,0351 0,0012 77,6 78,2 —0,6 0,36 —3,0795 -3,1272 +0,0477 0,0023 4,4 4,2 +0,2 0,04 0,7024 0,6633 +0,0391 0,0015 66,9 66,0 + 0,9 0,81 -1,5205 —1,4179 —0,1026 0,0105 17,9 19,5 —1,6 2,56 2,5757 2,5123 0,0634 0,0040 92,9 92,3 + 0,6 0,36 —0,7438 —0,7309—6,0129 0,0002 32,2 32,5 —0,3 0,09 1,8746 1,9010 —0,0264 0,0007 86,7 87,0 —0,3 0,09 — — 1—0,000810,0242 — — +0,2 6,28 173
ритма для ортогонального плана при /С=2 (табл. 3.9). По формулам, приведенным для таких планов в § 2.6, определяются оценки Ь'9у, Ьц Ьц, bi2 и откорректиро- ванное значение свободного члена Ьа: '2 2 Ьи=Ьог— — (Ьц + 622) —4=4,4946--— ( 0,1748 3 о -0,1370)-4 = 0,7024. В результате получается модель £ = 0,7024 - 2,0481jq — 0,1748xt2 - 0,1128xtx2 - -1,3092x2- 0,1370х>2. (3.15) Из анализа таблицы «Расчет критических значений коэффициентов следует, что все оценки коэффици- ентов в (3.15) можно признать статистически значимы- ми при уровне а=0,05 (см. приложение 1). Для опреде- ления суммы квадратов SSHa, связанной с неадекват- ностью модели, на этом бланке-алгоритме использован прямой метод расчета разностей между эксперимен- л тальными Ии и расчетными значениями выхода ии. Они подсчитываются в таблице «Расчетные значения хи и Л Л pu=t/u»( для чего в модель (3.15) подставляются зна- чения х„, Xi, Xi2 и Xi2 (нужно обратить внимание на то, что при расчете квадратичных эффектов в квадрат воз- водятся xj=±l или 0, а не значения x'j (2.108) из л «Преобразованной матрицы»). Значения и рассчитыва- ются для каждой строки плана, например в опыте №6 х6 = 0,7024 — 2,0481 • (+1)-0,1748 • (+1 )2 = -1,5205. Поскольку для технико-экономического анализа не- л обходим не параметр ии, а расчетное значение частости положительного решения студентов об участии в науч- Л ной работе ри, то производится обратное преобразова- ние по формуле рв = е»: (1-{-ех) (3.16) или по таблице приложения 4. 174
Проверка адекватности по F-критерию при — — L=9—6=3 и fz=27 в данном случае проводится дважды: для параметра х F{x}a=-^^-:s92{x} = ^^-:0,157.10-4 =514 (3.17) fl з и для частости р (сумма дисперсий результатов взята из табл. 3.8 и разделена на число повторений в каждой строке т=4 и число строк N) • » , SS{p)Ba «=!*“’ 6,28 1 043 F{p)a= —:—!— = —:---------------=0,072. (3.18) 1 1 ft N-m 3 9-4 ' ’ Если для параметра х модель (3.15) неадекватна (см. приложение 2), то для основного выхода моделиру- емой системы р критерий Е{р}а<СЕтабл=2,9604. По- следнее является наиболее существенным аргументом для принятия положительного решения об использова- нии результатов моделирования при технико-экономи- ческом анализе ситуации. Таблица ЗЛО РАСЧЕТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ р„ ПРИ ПРЯМОМ МОДЕЛИРОВАНИИ и Хо Расчетное А рр-и Экспери- менталь- ное ри 4>£ * X? II Д2«( Рр} 1 103,3 97,5 +5,8 33,6 2 45,7 42,8 +2,9 8,4 3 75,5 78,2 —2,7 7,3 4 —1,3 4,2 —5,5 30,2 5 61,8 66,0 —4,2 17,6 6 22,2 19,5 +2,7 7,3 7 89,4 92,5 —3,1 9,6 8 43,1 32,5 + 10,6 112,4 9 80,5 87,0 —6,5 42,2 SSaa=2A2u=268,7 С методической точки зрения интересно сравнить ре- зультаты, полученные по модели (3.15) для преобра- зованного выхода, с результатами расчетов по модели А о рр= 61,8- 33,6*1 - 18,7*2 — 6,0X1 -4,8*1*2 • (3.19) получаемой при прямом моделировании частостей [10, 175
с. 131—134]. В табл. 3.10 для модели (3.19) приведены л расчетные значения рр и соответствующие отклонения Au{Pp}> анализ которых позволяет сделать два важных методических вывода: а) без преобразования частостей в параметр и по л адекватной модели могут быть получены р вне пределов O^pCl, что противоречит понятию вероятности (опыты № 1 и 4); б) абсолютные значения отклонений в табл. 3.10 в 2—30 раз больше соответствующих отклонений в табл. 3.9. 1 Для технико-экономических выводов целесообразно использовать геометрический образ поверхности откли- ка (см. табл. 3.9), построенный для частостей р по Л величинам %; принцип построения не отличается от из- ложенного в § 1.6, за исключением того, что в расчет Л Л вводятся не постоянные кванты Ax=const, а Др= =const, поэтому поверхность отклика будет отличать- ся от поверхностей второго порядка. Анализ результатов моделирования. Анализ модели (3.15), связывающей вероятность привлечения студентов к научной работе с элементами бюджета их рабочего времени, показывает, что: — при условии уменьшения числа курсовых проек- тов на 1 в семестр и количества обязательных занятий на 4 учебных часа в неделю не исключен ’ практически полный охват студентов старших курсов участием в на- учно-исследовательской работе; — наиболее существенным фактором повышения ве- роятности участия в СНО является уменьшение числа курсовых проектов (во всех ситуациях |6i|> |&г|); — одновременное увеличение числа курсовых проек- тов на 1 и занятий на 4 учебных часа в неделю оцени- вается весьма пессимистично (&12<0). На основании анализа принято решение о замене некоторым студентам-отличникам курсовых проектов на самостоятельные исследовательские работы. Опыт показал, что такой подход увеличил масштабы и улуч- шил качество работ в СНО, в результате чего неко- торые из них были награждены медалями и рекомен- дованы к внедрению в народное хозяйство. 176
3.4. ПРИМЕНЕНИЕ ДВУХФАКТОРНОГО ПЛАНА З2 ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ НЕПОЛНЫХ КУБИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (НА ПРИМЕРЕ ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ МАТЕРИАЛА 8 АГРЕССИВНОЙ СРЕДЕ) Методическая и технико-экономическая по- становка задачи. При строительстве объектов химичес- кой и ряда других отраслей промышленности полимер- ные материалы наиболее часто используются на тех уча- стках, где сооружения и аппаратура входят в прямой контакт с основными продуктами производства, многие из которых являются агрессивными средами по отно- шению к конструкционным материалам. Работа мате- риала в агрессивной среде в ряде случаев приводит к такому изменению его свойств, что сооружения и аппа- раты могут перейти в аварийное состояние, требующее капитального ремонта или полной смены конструкций. Вероятностные оценки качества материала, например минимально возможная с риском а прочность на раз- рыв J?min {а}, приобретают особо важное значение в со- оружениях типа трубопроводов, для которых беспере- бойная работа обеспечивается не средней прочностью материала R, а его наиболее слабым звеном, разрыв ко- торого выводит из эксплуатации всю систему. Гипотеза об управлении качеством промышленной продукции по вероятностным показателям (см. § 2.10) может быть применена к решению задач о работе мате- риалов в различных эксплуатационных условиях. Для нового полимерсодержащего композита исследовалось [83] изменение физико-технических свойств (в частнос- ти, ударной вязкости а, кДж/м2) при воздействии серной кислоты различной концентрации Х{ = С (%) и темпе- ратуры Хг=Т (°C). Поскольку наиболее опасными пред- ставляются малые концентрации С, то при необходимос- ти исследования широкого диапазона уровни варьиро- вания %2 выбираются несимметричными: 0,1; 1; 10%. Однако логарифмическое преобразование С делает по- луинтервалы варьирования равными (lg0,l =—1; 1g 1 = =0 и 1g 10—+ 1). и переход к кодированным перемен- ным осуществляется как Xl=(lgC-0):l = lgC. (3.20) Температура кислоты имела уровни 20, 40 и 60°, пе- реход к кодированным переменным стандартный (2.4). Использован план З2, координаты точек которого совпа- 12 Заказ 6525 177
— Таблица 3,14 S РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ И ИХ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Номер опыта Эталон I 2 3 4 5 6 7 8 9 Уровни факторов % Т,»с На воз- духе 10 {+») 60±1 10(+1) 2°{-Ч О'Ч-1) €0(4-1} 2о;-ч ю{+4 40 {±0} 40(±0} 1.0{±0) 60{ +1} 1,0{±0) 1,0(±0} 40{±0} Число образцов пи 49 50 50 50 49 50 50 50 50 50 Частоты эмпирического распределения Ли, кДж/м2 2,0 12,5 )3,0 13,'5 4,0 4,5 5,0 5,5 "1 5 26 11 3 3 1 7 22 18 2 6 15 27 2 - 1 24 22 3 5 26 12 3 3 29 10 6 5 3 11 28 6 2 2 11 27 9 1 1 3 36 6 4 2 15 23 9 1 Оценки статистических характеристик аи, кДж/м2 Ки, % S2{«u} s{au}, кДж/м2 »{ви}. % s{au}> кДж/м2 А*и Е*и 4,19 100 0,26 0,51 12,2 0,073 0,84 0,93 3,63 87 0,17 0,41 11,3 0,058 —0,16 —0,01 3,75 90 0,14 0,38 10,0 0,053 —0,24 —0,34 3,76 90 0,11 0,34 8,9 0,048 0,24 —0,91 4,22 101 0,24 0,49 11,5 0,069 0,95 0,89 2,37 57 0,26 0,51 21,4 0,072 1,16 —0,10 3,97 95 0,18 0,42 10,7 0,056 0,04 0,62 3,46 83 0,16 0,40 11,5 0,056 —0,05 0,29 4,09 98 0,14 0,37 9,1 0,053 0,24 2,00 3,92 94 0,17 0,42 10,6 0,059 0,06 —0,17 Квантили йр.и 00,05 00,1 00,2 0О,5 = 0Ме 00,95 3,40 3,64 3,82 4,11 5,31 2,86 3,04 3,30 3,64 4,24 2,96 3,17 3,38 3,82 4,24 3,28 3,33 3,44 3,75 4,33 3,50 3,74 3,84 4,12 5,34 1,79 1,84 1,92 2,18 3,50 3,17 3,34 3,57 3,94 4,54 2,77 2,89 3,11 3,47 4,17 3,50 3,76 3,83 4,04 4,94 3,27 3,35 3,52 3,92 4,67
дают с ортогональным двухфакторным планом (см. § 3.3). Первичная обработка информации. Для решения за- дач анализа и оптимизации по вероятностным показате- лям надежности необходимо многократно повторить из- мерения в каждой точке плана для того, чтобы оценить не только среднее и дисперсию, но и параметры формы кривой распределения. Первичная обработка информа- ции, результаты которой приведены в табл. 3.11, ведет- ся по следующим этапам. 1. Составляется по возрастающей вариационный ряд результатов измерений (аи=2—5,5 кДж/м2) с указанием частот попадания случайных величин аи в интервал (Даи=0,5 кДж/м2). 2. Вычисляются оценки статистических характерис- тик в каждой точке плана: среднего аи, дисперсии s2{au}, среднеквадратического отклонения s{au}, коэф- фициента вариации v{au}= (${au} :au) 100%, коэффици- ента асимметрии А* и эксцесса Е*. По этим данным можно проверить ряд гипотез. Так, технико-экономиче- ская характеристика долговечности Ки (отношение по- казателя качества композита, находившегося в агрес- сивной среде, к показателю эталона, хранившегося на воздухе) имеет тенденцию к снижению, поэтому необ- ходимо (см. § 1.3) проверить гипотезу о значимом раз- личии средних в опыте № 5 и в эталоне. Поскольку равны оценки s2{Oa} = s2{a5}=0,26, то можно рассчи- тать (без большой потери точности считая пэ=п5 = 50) значение /-критерия по (1.38). Расчетное /=12,6 боль- ше, чем /Табл=3,50 при риске a=0,0005, поэтому с высокой вероятностью можно допустить, что композит в ряде режимов эксплуатации уменьшает прочность. Во-вторых, необходимо проверить гипотезу об одно- родности дисперсий во всех опытах, что позволит при моделировании пользоваться одним усредненным зна- чением s28. Расчет G-критерия (считая n=const) 2 J?. 2 G=smax: £ s„ =0,26:1,83=0,142 (3.21) u=l показывает, что гипотезу об однородности можно допус- тить как правдоподобную (Отабл {К= 10, f=50, а = =0,05} =0,157) и рассчитать среднюю дисперсию ю s2{a} = Ё su :K= 1,83:10=0,183. (3.22) u=i 12* 179
Гипотеза о нормальности распределений может быть проверена по доверительным интервалам, в которых должны находиться истинные значения А и Е. При га=50 [39] доверительные интервалы для а=0,05 оп- ределяются как —0,53^Л^0,53 и —0,87^5^1,01, что заставляет отвергнуть гипотезу нормальности хотя бы распределений в опытах № 4, 5, 8 и эталонном. Эти распределения могут быть описаны, например, эмпири- ческими законами Джонсона Sb и Su [4, 69]. 3. Поскольку гипотеза нормальности в ряде опытов отклонена, а проверка адекватности описания этих рас- пределений законами SB и Sv затруднена из-за неболь- шого числа интервалов группирования аи (см. табл. 3.11), целесообразно вероятностные показатели при заданном риске а=рТр определить как непараметриче- ские характеристики — квантили (§ 1.3) по формуле (1.33). Например, при р = 0,50 квантиль, так называе- мая медиана Me, определится как ао,50=3,75+0,5 [0,50• 49- (5 +1) ]: 26=4,106. Квантили распределений для всех 10 опытов при ртр, равном 5, 10, 20, 50 и 95%, приведены в табл. 3.11. Рекомендации по определению оценок среднеквадрати- ческих ошибок эмпирических квантилей приведены в фундаментальной работе [49, с. 330]. Согласно им можно вычислить s {ар} = [р (Р -1): (nfр ) ] = K*s {“} > (3-23) где fp—ордината исходного нормированного распреде- ления; Kh — расчетный коэффициент, возрастающий по мере удаления р{ от р0,5: р 0,05; 0,95 0,10; 0,90 0,20; 0,80 । 0,50 (Me)' Кь 2,012 1,710 1,429 1,253 По формуле (3.23) можно, используя (3.22), оценить s{ap} для квантилей, приведенных в табл. 3.11, как s{ao,o5}=s{ao,95}=Kft-~г=2,012-1/^-=0,122 (3.24) т/п / hll ' ' 180
и s{ao,io}=s{ao,9o}=0,103, ${а0(2о} = 0,086, s{ao,5 = Me} = = 0,076 (все они больше, чем ошибка среднего s{a} = =0,0605). Построение квадратичной и неполной кубической мо- делей. Для построения моделей и их статистического анализа использован бланк-алгоритм, основной фраг- мент которого показан в табл. 3.12. Квадратичная мо- дель, рассчитывается по формулам, приведенным в § 2.6. После удаления незначимого коэффициента Pi2=0 (при а=0,05) получается квадратичная модель ао,05=2,91 - 0,39Х| - 0,25х!2 - 0,18х2+0,40х22, (3.25) л для которой расчетные результаты Оо,о5 нельзя приз- нать удовлетворительными (например, в опыте № 5 Л |Д„| =0,48,что составляет более 20% от а0,05). Поэтому было принято решение о введении в модель дополни- тельных эффектов buj (а все планы типа Зк допуска- ют такой расчет без увеличения числа опытов). Это позволяет учесть изменение ускорения воздействия фак- тора Xi при изменении фактора х, (с геометрических позиций — изменение «ширины раскрытия» параболы biXi + buX2i при ее переносе вдоль оси X; (см. § 1.4)). Эти дополнительные эффекты, переводящие модели типа (3.25) в неполные кубические, могут существенно уточ- нить описание технико-экономических ситуаций на ши- роких участках изменения факторов, так как наукомет- рический анализ отраслевой литературы показывает,' что семейства кривых в виде неизменных «парабол пере- носа» встречаются достаточно редко. Для неполной кубической модели оценки b0, Ь^ и Ьн рассчитываются по формулам для квадратичной модели (3.25), а корреляционно связанные оценки b't и Ьщ по формулам: (3.26) ^•=2/3(iijY)-V2(jY). (3.27) Получается неполная кубическая модель со всеми значимыми (а=0,05) оценками коэффициентов: a'o,o5=2,91-O,71x1-O,25x21 + O,28x12x2- — 0,36х2+0,40х22+0.48XJX22. ' (3'28^ 181
Таблица ЗЛЙ РАСЧЕТ КВАДРАТИЧНОЙ И НЕПОЛНОЙ КУБИЧЕСКОЙ МОДЕЛЕЙ ПО ПЛАНУ З2 । Номер । I опыта Расчетная матрица квадратичной модели Расчетные резуль- таты по квадратич- ной модели Дополнение для построения не- полной кубичес- кой модели Расчетные результаты по неполной кубиче- ской модели Уи-*о • Х\ 4 4 л >и ди.10» дв.10« •• «,2 А, уи д'.др и д'а1о« и 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +12,86 +2,96 +зда +0,50 +)1,79 +ЗД(7 +(2,77 +3,50 +3,27 +2,86 +2,96 -43,28 —0,50 +4,79 —ЗД7 0 +2,86 -42,96 +3,28 -3,50 0 +2,77 —3,50 0 +2,86 +2,96 +3,28 +3,50 +11,79 +3,1/7 0 +2,86 +2,96 +3,28 +3,50 0 +2,77 +3,50 0 +2,86 —2,96 -3,28 +3,50 2,49 2,85 3,27 3,63 2,27 3,05 3,13 3,49 2,91 +37 +Т1 +1 -11» +112 —86 +11 +86 1369 121 1 169 2304 144 1296 1 1296 +2,86 —42,196 +3,28 —3,50 +2,86 +2,96 —3,28 —3,50 2,76 2,91 3,21 3,37 1,95 3,37 2,95 3,67 2,91 +111 +б +7 +'18 -46 —20 -48 -417 +36 121 25 49 169 256 400 324 289 1296 2+6,36 2—6,24 C12Y) +0,12 bi2=74(12Y) +0,03 2+6,414 2—6,46 (1I12Y) —оде Рб= V2 (i -0,46 Рв=8А)( —0,24 ^tij=p6i Ь112 I + 0,28 I 2+5,82 2—6,78 (112Y) —0,92 jY) -4,46 iijY) -4,69 ИЗ—P4J Ь122 +0,48 (0Y) 27,ЦО Pi = --/>(07) -оде. P2==j(0Y) 15,06 ^0 = Г 2+7,611 2-4,95 (1W) -42,34 b< = Ve —0,39 2+8,91 2—9,96 (2Y) —1,05 I(i4 1—0,113 (H1Y) 1'7,66 (22Y) 18,87 Сум- ма +11 6696 Сум- ма +1 2929 ХЦ111 ) рз=—’/sSfiiY) —12/14 VHiiY) 8,78 |9,44 ftH^MiiYJ+p! Расчет критических значений коэффициентов bKV (при so2=;148-10-‘; se=0jll22; f,=498; <о,оз='1,965) Дополнение для неполной кубиче- = р2+рЗ 2’9'1, »,лип л p4=1/2l( —J117 /1МАСЛП [iY) —0,52 Oil —0,25 1 022 1 +0,40 *кр ^Окр */Кр 6Нкр b‘J«P ^/кр bUjKP 1 гГ 1i i X» —p5ijj 5'2 —0,36 Ti Sa'T\ t-s9- т. 0,7453С 0,0909 0,179 0,577 0,070 0,138 35 4 0,707 0,086 0,170 11 3 0,5W 0,061 0,120 00 0 0/ 0,( 0,1 Г0711 )863 170 0 0 0 >,86602 ,1057 ,208
Расчетные результаты для модели (3.28) значитель- 9 * но лучше как по остаточным суммам квадратов (2Д2М= й=1 9 2 = 0,67>БД„ =0,29) и по дисперсиям неадекватности «=1 (s2Ha=0,67: 4=0,167>sHf =0,29 : 2=0,146), так и по абсолютным значениям отклонений (последние почти везде уменьшились). К сожалению, планы типа Зк без постановки дополнительных опытов не дают возмож- ности корректировать числовую оценку свободного чле- Рис. 3.3. Зависимость ударной вязкости а0,05 (при риске р==0,05) от концентрации кислоты хх и ее температуры х2 по квадратичной [а) и неполной кубической (б) моделям, а также в координатах {а—С} при Т—const {в) 183
на, ошибка которого в общей сумме дисперсии неадек- ватности дает почти половину всей величины (причем данный пример не является худшим исключением). Графические образы моделей (3.25) и (3.28) приведены на рис. 3.3. Их сравнение показывает, что вероятностный пока- затель надежной работы материала при ударных на- л грузках в агрессивной среде а0.о5, рассчитываемый по неполной кубической модели (3.28), наиболее быстро меняется от зоны С=1% при Т=20° к зоне С—10% при Т=40°, а не от двух относительно безопасных зон при С около 0,5% при 7’=20° и 7’=60°, как это следо- вало бы из анализа обычной квадратичной модели. Весьма интересные выводы можно получить и при ана- Л лизе изменения ao,o5=«p(C) в натуральном масштабе концентрацией (рис. 3.3, в) для фиксированных темпе- л ратур. Если при концентрации кислоты 0,1% ао,оз не зависит от Т, то при повышении С до 1% наиболее безопасной является Г=20°. Сравнительный анализ результатов моделирования при разном риске разрушения материала. Для анализа влияния степени риска ртр, допускаемого при эксплуа- тации конструкций, на технико-экономические решения была построена серия моделей для различных кван- тилей ар. В частности, для стандартного решения при учете лишь средних показателей качества (как видно из табл. 3.11, замена а на Me не вызывает существен- ных изменений числовых оценок) получена модель До5О=3,5О —0,68xi— 0,23*12— .»«». —0,19х2 + 0,46х22+ 0,78x^22, а для «крайне оптимистичного» варианта при ртр= =0,95 — модель л —0,52X1 —0,29х21 4- 0,25Х1Х2— —0,30х2 +0,31х22+ <3-30) В обеих моделях незначимый эффект bii2 (а = 0,05) удален пересчетом корреляционно связанного с ним эффекта Ь2. Простое сравнение абсолютных величин ко- эффициентов bi и Ь1Х в моделях (3.28) —(3.30) уже по- 184
a) P=0,05; б) p=0,50 и в) p=0,95; заштрихована зона сохранения качества ^>0-9 “эр/ зволяет отметить, что при повышении надежности рабо- ты материала (переход от а=0,95 к а=0,05) резко воз- растает влияние концентрации кислоты. Кроме того, пе- реход от ао,95 к По,os вызывает повышение относительно- го влияния на долговечность материала температуры среды. Геометрические образы всех трех моделей пока- заны на рис. 3.4. Здесь же нанесены зоны допустимого снижения качества материала не более чем до 0,9 от уровня эталонного. Последний взят из табл. 3.11 по эмпирическому распределению ударной вязкости эта- лонного материала для каждого из рассматриваемых в задаче рисков. Сравнительный анализ диаграмм позволяет сделать дополнительные выводы. Во-первых, зона относительно безопасной работы материала существенно изменяется в зависимости от допустимого риска разрушения pi. Во-вторых, наиболее чувствительна к воздействию аг- рессивной среды правая часть кривых распределения показателей качества материалов, соответствующая Pi ^0,8, что хорошо согласуется с некоторыми положе- ниями статистической теории прочности. Общим техни- ко-экономическим выводом по результатам моделирова- ния можно считать подтверждение гипотезы о целесооб- разности управления качеством продукции, как на ста- дии изготовления, так и на стадии эксплуатации, не по средним показателям, а по показателям, учитывающим риск снижения качества ниже нормативного уровня, что существенно повысит надежность эксплуатации готовых изделий и сократит затраты на восстановление их ре- сурса. 185
3.5. ПРИМЕНЕНИЕ ТРЕХ ФАКТОРНОГО НЕКОМТЮЗИЦИОННОГО ПЛАНА ТИПА БОКСА— БЕНКИНА (НА ПРИМЕРЕ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ РЕЗЕРВА ТРАНСПОРТНЫХ МОЩНОСТЕЙ ПРЕДПРИЯТИЯ) Технико-экономическая постановка задачи и имитационное моделирование ситуации. В условиях сов- ременного индустриального строительства, особенно в крупных городах, необходима строгая согласованность трех подразделений: производителей бетона, средств доставки «скоропортящейся» продукции (смесь, поте- рявшая пластичность вследствие гидратации цемента, не может быть использована (см. § 3.2)) и потребителей бетона. Эта трехзвенная система относится к классу ПЛАН ТИПА ВВ3 РАЗМЕРНОСТИ К=3 План Расчетная Номер опыта х2 Хе Уц ха Xi х2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 +1 +1 -1 -1 +1 +1 —1 —1 0 0 +1 —1 +1 —1 0 +1 +1 —1 —1 0 0 +1 -1 +1 —1 +1 -1 +1 —1 0 4,12 4,32 3,57 3,92 3,58 4,17 3,18 3,49 3,60 4,16 4,32 4,25 3,36 +4,12 +4,32 —3,57 —3,92 +3,58 +4,17 —3,18 —3,49 0 0 +4,12 —4,32 + 3,57 —3,92 0 + 3,60 +4,16 —4,32 —4,25 0 0 +3,58 —4,17 +3,18 -3,49 +3,60 —4,16 +4,32 —4,25 0 +4,12 +4,32 +3,57 +3,92 +3,58 +4,17 +3,18 +3,49 0 0 (0Y) 50,04 Pi = =-V2(0Y) —1215,02 &0 = #12| зда 2+16,119 2—<14,116 +2,03 Ьг bi ода + <= II1 S+>14,66 2-116,07 (3Y) —1139 Ьз —0,174 (MY) 30,36 2(iiY) = р2=3/1бХ Рз=рг+ 7,568 1 Ьц 0,073 1 186.
стохастических, в том числе из-за случайного характера распределения ее основных временных параметров (вре- мя погрузки, рейса и разгрузки автомобиля, подвержен- ное влиянию погодных, дорожных и других факторов). Для ликвидации сбоев в работе по расписанию в реаль- ных условиях устанавливается некоторый резерв тран- спортных мощностей. Однако увеличение количества резервных автомобилей приводит к удорожанию перево- зок и простоям как у производителей, так и у потреби- телей. Для решения задачи была разработана [81] имитационная модель системы, основанная на методе статистических испытаний Монте-Карло [41]. При ис- пользовании генераторов случайных чисел (в пределах (С ОДНОЙ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТОЧКОЙ) Таблица 3.13 матрица Расчетные результаты 4 z • *3 *1*3 л д« Д2.1°. +4,12 +4,12 4.10 +0,02 4 +4,32 fk —4,32 Л Л 4,30 +0,02 4 +3,57 и —3,57 и и 3,52 + 0,05 25 +3,92 +3,92 3,94 —0,02 4 +3,58 + 3,58 3,62 -0,04 16 п +4,17 л -4,17 л 4,10 +0.07 49 V +3,18 и —3,18 и 3,25 —0,07 49 +3,49 •+-3,49 3,46 +0,03 9 +3,60 +3,60 + 3,60 3,58 +0,02 4 +4,16 +4,16 Л О —4,16 4,24 -0,08 64 +4,32 +4,32 и и —4,32 4,24 +0,08 61 * +4,25 +4,25 +4,25 4,25 —0,02 4 0 0 0 0 0 3,36 0,00 0 (22Y) (3BY) 2+8,04 2+7,07 2+7,85 Сумма +0,06 296 32,26 30,75 2—7,89 2—7,35 2—^8,48 =193,1316 (1I2Y) (1J3Y) (23Y) XS(iiY) = = 17,505 +ОДВ —оде —0,63 +рг=— 7,6115 V4(ijY) V<'(iiY) 612 Ь1з &23 8,065 7,688 +0,0318 —0,070 —0,158 *Н=*/4 liY) +р3 | ^22 Ьзз 0,560 0J173 187
колебаний временных факторов системы, наблюдаемых в реальных условиях за длительный срок анализа ситуа- ции) и многократном «проигрывании» модели на ЭЦВМ определяются числовые оценки технико-экономических характеристик, необходимых для управления транспор- том. К сожалению, такая имитационная модель доста- точно сложна для применения в оперативных задачах, поэтому было решено на ее основе получить полиноми- альную модель технико-экономической ситуации, ис- пользуя идеи и методы математической теории экспе- римента. В качестве детерминированно изменяемых факторов имитационной модели были приняты [81]: средняя дли- тельность т рейсов автомашин (Xi = 6,25±12,5 мин)1, коэффициент Км использования мощности заводов (Хг=75±25°/о) и число Мар резервных автомобилей (Х3=2±2). Параметром выхода является числовое зна- чение функции имитационной модели У, отражающее суммарные приведенные затраты на приготовление, транспортирование и укладку продукции. Каждый ре- зультат имитационного эксперимента получен как сред- нее из многократных реализаций имитационной модели при фиксированных значениях Х\, Хг, Хз и случайно изме- няемых временных параметрах системы. Расчет полиномиальной трехфакторной модели. Экс- перимент осуществлен по некомпозиционному плану типа Бокса—Бенкина (ВВ3) с одной центральной точкой (см. § 2.6) при общем числе опытов М= 13. Расчет по- линомиальной модели произведен на бланке-алгоритме, основной фрагмент которого приведен в табл. 3.13. Промежуточные расчеты легко проверить: а) для любого линейного и квадратичного эффекта с индексом i (S+)i+(|S-|)i= (|S*|)<= ШУ); (3.31) б) для пары взаимодействий с одним совпадающим индексом I и i-ro линейного эффекта (|S±|)ij+(|S±|)tK=(iY); [3.32) 1 Здесь и далее в гл. 3 и 4 такая запись соответствует трехуров- невому варьированию фактора Хг = А\-0±ДА\-; из нее легко найти верхний и нижний уровни фактора Хг-; переход к кодированным пе- ременным стандартный по (2.4). 188
в) для всех взаимодействий 2(|S±|)ij+z/i3= (0Y). (3.33) Получена квадратичная модель У=3,360 + 0,256X1+0,073xi2+0,038xiX2 - 0,070x^3- (3.34), —0,170х2+0,055х22 —0,153х2х3— — 0,174х3+0,173х23 ’ л по которой рассчитаны значения уи, Ди, Д2и, проведен- ные в табл. 3.13. Их анализ показывает удовлетворитель- ное с технико-экономической точки зрения совпадение результатов, получаемых на имитационной и полиноми- альных моделях. При имитационном эксперименте (так же как и при получении уи иным расчетным путем, на- пример при решении дифференциальных уравнений с детерминированно изменяемыми граничными условиями, параметрами субстанциональных производных и т. п.) вывод о допустимости применения полиномиальной мо- дели можно делать на основании анализа Ди или Д2и без проверки адекв'атности по статистическим крите- риям. Определение оптимального резерва транспортных мощностей. Оптимальный резерв транспортных мощно- стей .Уз opt можно найти из модели (3.34). Целевая функ- ция У (приведенные суммарные затраты, руб.) должна быть минимизирована. Она описывает семейство трех- мерных эллипсоидов, вырождающихся в точку с мини- мальным значением Ущт, поскольку все квадратичные эффекты Ьц>0. Значение Xsopt легко найти как функ- цию остальных факторов (1.95): 63+&13Х14- ^23X2 — 0,174—0,070X1—0,153х2 x3°pt = -2-&33 = -2-0,173 = = 0,503+0,202Х1 + 0,442х2. (3.35) Подстановкой функций Xt=(Xi—Xi0) :AXi соотно- шение (3.35) приводится к натуральным переменным, что в данном случае целесообразно для технико-эконо- мических расчетов и определения числа резервных авто- мобилей: ЛГар=Х3=2 Г2 + 0,503+0,202 ^-<-+0,442-^J^- = = 0,032т+0,036КМ—1,75. (3.36) 189
Уменьшение приведенных затрат ДУ{хЗОр4 за счет оптимизации числа резервных автомобилей можно най- ти после подстановки функции (3.35) в модель (3.36) или по уравнению (3.37), следующему из приведенных в § 1.6 соотношений (1.101) ДУ{х30Р1) = — (0,25532+0,553-&i3Xi+0,25Ь1зХ12+ + 0,5513 • Ь%$Х i*2 + +0,5-53-52зх2+0,2552зх22) ;53з= = - [0,25(-0,174)2+0,5(-0,174) (-0,070)*,+ + 0,25 (-0,070) 2*i2+ + 0,5 (-0,070) (-0,153) Х1*2+ + 0,5( —0,174) (—0,153)*i + + 0,25 (- 0,153) 2х22] : 0,173= = - (0,044+ 0,035*1+ 0,007*!2+0,031х,х2+ +0,077*2+0,034х22)- (3.37) л Абсолютная величина приведенных затрат y{x3opt}, таким образом, определяется из (3.34) и (3.37) как У{хзор0 = (3,360-0,044) + (0,257—0,035) *1 + + (0,073-0,007) *!2+ + (0,038—0,031)х1х2— - (0,170+0,077) х2+ + (0,550 - 0,034)х22= = 3,316 + 0,21 Эх,+0,066х12+0,0б7х1х2 - - 0,247*2+0,516х22 • (3.38) За счет оптимизации числа машин в конкретных тех- нико-экономических проектных расчетах выявлена воз- можность экономии 10—15% суммарных приведенных затрат на 1 м3 товарной продукции. 3.6. ПРИМЕНЕНИЕ ТРЕХФАКТОРНОГО НЕСИММЕТРИЧНОГО ПЛАНА ТИПА 2X3X4 (НА ПРИМЕРЕ АНАЛИЗА МОДЕЛИ ЖЕЛАЕМОГО ЧИСЛА ДЕТЕЙ В СЕМЬЕ) Социологическая и методическая постановка задачи. В демографической науке отмечается, что есте- ственный прирост населения определяется и будет опре- деляться, по крайней мере в ближайшем будущем, изме- нением рождаемости. 190
Таблица 3.14 СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ЖЕЛАЕМЫХ ДЕТЕИ уи ПО ДАННЫМ ОБСЛЕДОВАНИЯ В 4OQP Длительность Бездетные женщины (D=0) Женщины, имеющие одного ребенка двоих детей троих детей пребывания в браке (Г), лет 2 я ю § о л 2 * s« о <u работаю* щая О « я 2 * s« о § <© Я о * « О м о ш 2 я н £я О 2 * о <и ан и оа о « «=( Л Q я ан м ё ан SS До 5 2,02 1,67 2,02 1,96 2,02 1,98 2,32 2,02 2,31 3,07 3,00 3,04 6-40 1,72 1,44 1,67 1,81 1,84 1,82 2,19 2,18 2,19 3,02 3,03 3,02 ДО—ЙО 1,18 1,09 1,16 1,43 1,36 1,40 2,09 2,11 2,10 3,02 3,08 3,02 Более 20 0,33 0,88 0,59 1,17 1,06 1,12 2,04 2,06 2,05 3,00 3,00 3,00 При совместном чехословацко-польском исследова- нии ,1961 г. «Замужняя женщина в семье и на работе» 7955 женщин ЧССР ответили в том числе на вопрос: «Сколько детей хотели бы Вы иметь?» [88]. В результа- те была получена табл. 3.14, в которой принято во вни- мание, сколько детей женщина уже имеет, сколько вре- мени она замужем,' работает ли она или только зани- мается домашним хозяйством. При этом исходили из предположения, что дети, которых женщина уже имеет, желанные, и поэтому их число было взято за основу расчета. Представляет интерес построение математической модели по вышеприведенной информации, поскольку анализ такой модели поможет лучше вскрыть тенденции поведения данной социальной группы. Преобразование факторов, составление плана и рас- чет модели. Табл. 3.14 — трехфакторная, в ней отраже- ны: статус женщины (3) на двух уровнях (работает — не работает); длительность пребывания в браке (Т) на четырех неравноотстоящих уровнях и число детей (D) на четырех равноотстоящих уровнях1. Факторы S и D легко поддаются включению в план 2x4, а фактор Т требует введения ограничений и преоб- разований. Поскольку положение четвертого уровня 1 Для построения полинома второй степени было бы достаточно трехуровневого варьирования факторов. Однако здесь речь идет об использовании уже опубликованной информации в том виде, кото- рый принят авторами. 191
фактора Т неопределенно (более 20 лет), то приходится этот уровень не рассматривать, а ограничиться тремя первыми (с таким ограничением бороться в случае обра- ботки литературных данных трудно). Оставшиеся три уровня по серединам диапазонов неравноотстоящие, но их можно сделать равноотстоящими, если: а) принять за уровень фактора верхнюю границу диапазона (5, 10 и 20 лет); б) преобразовать Т как 7’i = 2~l • 10 = 5, 7,2=2°-10=10 и Тз=21-10=20, или в общем случае Т=2п10; (3.39) в) принять величину п в качестве показателя варьи- рования длительности пребывания в браке (—1, 0 и +1). Таким образом, к информации в табл. 3.14 можно применить трехфакторный несимметричный план 2X3X4 (см. § 2.8) и получить квадратичную модель (без эф- фекта йц). Уровни варьирования факторов в таком плане показаны в табл. 3.15. Таблица 3.16 УРОВНИ ВАРЬИРОВАНИЯ ФАКТОРОВ -1 -1/3 0 +1/3 +1 xt Статус жен- щины (S) домашняя хозяйка — нет — работающая Показатель длительнос- ти пребы- вания в бра- ке (Г) —1 (до 5 лет) 0 (до 10 лет) +11 (до 20 лет) х3 Фактическое число детей (D) 0 1 — 2 В Для решения задачи составляется расчетная матри- ца (табл. 3.16) с 24 строками (полный перебор всех комбинаций уровней факторов), подсчитываются суммы произведений (0Y), (1Y), ..., (23Y) с учетом рекомен- даций к расчету задачи в § 3.2, определяются оценки коэффициентов регрессии (2.113) — (2.120). Например: £>о=О,19010 (0Y)-0,12500 (22Y)-0,11719 (33Y)= =0,19010-50,80—0,12500-33,57-0,11719-29,90=1,957; &i=0,04167 (IY)=0,04167-0,86=0,0358 и т. д. 192
Таблица 3.16 РАСЧЕТНАЯ МАТРИЦА И СРАВНЕНИЕ уи с уи Номер опыта i Уа Расчетная матрица А Расчет уи Невязка Хо xt *3 JC.2 Хз2 Х.х2 Х-2Хз 1 3,02 +1 4-1 4-1 4-1 1 1 +1 4-1 1 2,98 —0,04 2 3,02 +1 + 1 0 4-1 0 1 0 4-1 0 3,05 4-0,03 3 3,07 +1 4-1 —1 4-1 1 1 —1 4-1 —1 3,10 4-0,03 4 2,09 +1 4-1 4-1 4-1/3 1 1/9 + 1 4-1/3 4-1/3 2,07 —0,02 5 2,19 4-1 4-1 0 4-1/3 0 1/9 0 4-1/3 0 2,27 4-0,08 6 2,32 4- 1 + 1 —1 4-1/3 1 1/9 —1 4-1/3 —1/3 2,35 4-0,03 7 1,43 +1 +1 4-1 -1/3 1 1/9 4-1 -1/3 *-1/3 1,49 4-0,06 8 1,81 +1 4-1 0 -1/3 0 1/9 0 . —1/3 0 1,81 0,00 9 1,96 + 1 +1 -1 -1/3 1 1/9 —1 —1/3 +1/3 2,01 4-0,05 10 1,18 +1 +1 +1 —1 1 1 4-1 —1 —1 1,20 4-0,02 И 1.72 +1 +1 0 —1 0 1 0 —1 0 1,65 -0,07 12 2,02 +1 +1 —1 —1 1 1 —1 —1 +1 1,98 -0,04 13 3,03 +1 —1 +1 4-1 1 1 -1 —1 4-1 3,04 4-0,01 14 3,03 +1 —1 0 4-1 0 1 0 —1 0 3,07 4-0,04 15 3,00 +1 —1 —1 4-1 1 1 +1 —1 —1 2,98 —0,02 16 2,11 +1 —1 +1 4-1/3 1 1/9 —1 -1/3 +1/3 2,07 —0,04 17 2,18 +1 -1 0 4-1/3 0 1/9 0 -1/3 0 2,23 4-0,05 18 2,20 4-1 -1 —1 4-1/3 1 1/9 +1 -1/3 —1/3 2,27 4-0,07 19 1,36 4-1 —1 +1 -1/3 1 1/9 —1 4-1/3 —1/3 1,41 4-0,05 20 1,34 4-1 -1 0 -1/3 0 1/9 0 4-1/3 0 1,69 -0,15 21 2,02 4-1 —1 -1 -1/3 1 1/9 +1 4-1/3 4-1/3 1,85 -0,17 22 1,09 4-1 -1 + 1 —Г 1 1 —1 4-1 —1 1,05 -0,03 23 1,44 4-1 —1 0 —1 0 1 0 4-1 0 1,47 4-0,03 24 1,67 4-1 —1 -1 -1 1 1 +1 4-1 +1 1,76 4-0,09 Сумма (0Y) 50,80 а (2Y) —2,95 (3Y) 9,95 (22 Y) 33,57 (33 Y) 29,90 (12Y) -0,35 <13Y) (23Y) -0,63| 1,69 В результате получается модель Г=1,96+0,04 Xj-0, 18 х2—0,06 х22+0,75 х3+ +0,35 х23—0,02 xtx2—0,05 xtx,+0,19 х2х3. (3’40) По ней можно определить 24 расчетных значения Л Л желаемого числа детей уи и разность Д=«/и—Уи- Про- верить адекватность нельзя, так как не известна ошиб- ка воспроизводимости, но, судя по значениям невязок Ди, модель (3.40) описывает поведение социальной группы с точностью 4—5% (ошибка 9% лишь в -стро- ках 20 и 21). 13 Заказ 6525 193
Анализ модели. По модели (3.40), в частности, мож- но сделать следующие выводы: а) наиболее существенным фактором является коли- чество уже имеющихся детей, наименее существен- ным — статус женщины (во всех сочетаниях | b31 > >IN>I4); . б) чем больше детей имеет женщина, тем больше число желаемых детей, однако темп прироста Y в зави- симости от Хз различен: — максимальный темп (абсолютная величина эф- фекта bi) будет для домохозяек (xt =—1), длительно состоящих в браке (х2 :> + !), — минимальный — для работающих женщин (xt = = + 1) в молодых семьях (х2=—1); в) увеличение возраста семьи (х2) всегда влечет за собой уменьшение числа желаемых детей; чем больше возраст семьи, тем больше темп уменьшения У; однако в семьях с большим числом детей (х3^ + 1) фактор х3 сказывается мало; г) влияние статуса женщины (xi) меняет свое на- правление в зависимости от х2 и х3; так, это влияние (по абсолютной величине коэффициента bi): — положительно (т. е. У возрастает для работаю- щих женщин), если семья существует до 5 лет (х2<0) и. имеет мало детей (х3<0), — отрицательно (т. е. У уменьшается для работаю- щих, но возрастает для неработающих женщин), если многодетная (х3>0) семья существует долго (х2>0). Вывод «б» существенно трансформируется, если в отличие от авторов рассматривать не просто «желае- мое» число детей У, а «желаемый прирост» числа де- тей \у=у—D. Для модели ДУ=/(хь х2, х3) не нужно делать пересчета, Достаточно из обеих частей модели вычесть величину D=l,5x3—1,5 (см. табл. 3.15): ДГ = Г-Р=0,46+0,04 х,-0,18 х2-0,06 х22-0,75 х3+ +0,35 х2,—0,02 XjX2—0,05 xtx3+0,19 х2х3. (3.41) По модели (3.41) вывод о влиянии числа детей на л желаемый прирост ДУ таков: с увеличением числа детей в семье (х3) желаемое увеличение их числа падает (6з<0), причем темп падения особенно велик в мало- детных семьях (633>0). 194
По-видимому, большинство из вышеизложенных вы- водов могло быть сделано специалистом по табл, 3.16 и без построения модели, однако моделирование помогает увидеть как общую картину явления, так и количествен- но оценить роль факторов и их взаимодействий, 3.7. ПРИМЕНЕНИЕ ЧЕТЫРЕХФАКТОРНОГО БЛИЗКОГО К D-ОПТИМАЛЬНОМУ ПЛАНА НА КУБЕ ТИПА В, (НА ПРИМЕРЕ ОПТИМИЗАЦИИ РЕЖИМА ОБРАБОТКИ МАТЕРИАЛА) Технологическая постановка задачи. При из- готовлении армированных деталей сложной конфигура- ции из некоторых партий полипропилена наблюдалось радиальное растрескивание деталей при хранении, меха- нической обработке и сборке. Попытки оптимизировать режим литья под давлением на термопластавтоматах не уменьшили долю бракованных деталей, поэтому было принято решение опробовать для снятия внутренних напряжений дополнительный технологический прием — повторную термическую обработку готовых деталей по режимам «отжига» и «закалки». Поскольку использо- вание известных режимов не дало нужного эффекта (удельная ударная вязкость полипропилена повышалась незначительно) была сформулирована [91 задача: мак- симизировать ударную вязкость а (кДж/м2), оптимизи- руя факторы термообработки — уровень температуры, время ее подъема, выдержки и охлаждения в глицерине. Было изготовлено при стабилизированном режиме литья 500 отливок, из которых по таблице случайных чисел [39] отбирались экземпляры для повторной тер- мообработки. Для контрольной группы без модифика- ции свойств отобрано 34 образца. По результатам испы- таний (а0= 1,067, S3w{a0}= 0,377) доверительный интер- вал для истинного среднего т){ао} (3.42) оценивается (при а=0,05 и /=33 по приложению 1 (=2,034) как весьма широкий: пг— , s3w{rto) _______— . . ®»»{а») , Р{оо-(-----=-<г){а0}^а0+/---------^-} = у.п V” = Р {0,94 < Т) {а0 1,20} =0,95. (3.42) Это говорит о существенной неоднородности поли- мерного материала, которая частично объясняется влиянием наполнителя — антиоксидата (сажи) и нали- чием в полимере надмолекулярных структур и микроде- 195
фектов различной степени опасности, которые возникли в процессе литья образцов. Планирование и анализ экспериментов для поиска • зоны оптимума. Поскольку из технологической постанов- ки задачи ясно, что исходная информация не фиксирует зону оптимума, было решено на первом этапе планиро- вать эксперимент так, чтобы была возможность найти зону оптимума методом «крутого восхождения». Исследовалось влияние четырех факторов Х,м, отно- сящихся по технологической классификации (см. рис. 1.1J" к подгруппе модифицирующих: Xi = 89±18°C— темпе- ратура изотермической выдержки в глицерине; Х2 = = 75±45 мин — время подъема температуры от 20°С до Xt; Х3=40±40 мин — время выдержки при Хь Х4 = = 75±45 мин — время охлаждения от X] до 50°С. В качестве плана взята главная полуреплика 24-1. В табл. 3.17 указаны результаты определения аи. Таблица 3.17 МАТРИЦА ПЛАНИРОВАНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА Код строки Результат (0 1,23 abed 3,26 ab 3,53 ас 3,46 ad 2,33 be 2,60 bd 1,33 cd 1,53 По ортогональному плану, состоящему из 8 опытов по 1 образцу, можно построить модель в виде неполного полинома второй степени со смешанными эффектами взаимодействия (biz->Pi2+Рзч, &1з-*^1з+₽24 и &i4-’-p]4+ + ₽2з — см. табл. 2.8). По общим формулам для ортогональных планов (2.74)—{2.75) легко найти оценки коэффициентов рег- рессии: 0=2,410+0,741 xt +0,275 х2+0,309 х3—0,292 х4- —0,025 XiX2—0,092 xtx3—0,058 xtxf. (3.43) Значение Ь«р определяется по ошибке измерений для каждого результата s8w=Saw{flo}> так как опасность представляет разрушение детали по любому наиболее слабому месту (значение t получено, как и в 3.42): bKp=t -^—=2,034 = 0,2711. .(3.44) кр VN~ V 8 v 196
Поскольку 612, &1з и 614 менее 6Кр, то можно считать эффекты взаимодействия незначимыми и рассматривать линейную модель «=2,410+0,741 *1+0,275 л'2+0,309 х,-0,292 х4. (3.45) Лучший результат в первой серии опытов а3=3,53 (опыт «аб»), что уже в 3,3 раза больше удельной вяз- кости исходного полипропилена. На втором этапе можно организовать поиск зоны оптимума методом «крутого восхождения» [1, 2, 6 и др.], поскольку модель (3.45) линейная. Для этого необходимо: а) рассчитать произведения коэффициентов регрес- сии на полуинтервал варьирования по каждому фак- тору; б) выбрать основной шаг варьирования по некото- рому фактору (исходя из технологических предпосылок и возможностей эксперимента); Таблица ЗЛ8 РАСЧЕТ «КРУТОГО ВОСХОЖДЕНИЯ» И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ Факторы Хх х> Хз х< bi 7,41 2,75 3,09 —2,92 ^Xi 18°С 45 мин 10 мин 45 мин bikXi 133,4 123,8 123.6 —131,0 0,03 bikXi 4°С 3,71 мин 3,71 мин —3,93 мин — Шаг 4°С 4 мин 4 мин —4 мин — Реальный опыт № 9 111 79 44 71 1,80 Мысленный опыт №10 115 83 48 67 Реальный опыт № 11 119 87 52 63 2,69 Мысленный опыт №12 123 91 56 59 Реальный опыт № 13 127 95 60 55 3,02 Мысленный опыт №14 131 99 64 51 Реальные опыты: № 15 135 103 68 47. 4,00 № 16 139 107 72 43 3,92 № 17 143 111 76 39 3,67 № 18 147 115 80 35 3,72 197
в) рассчитать шаг варьирования для остальных фак- торов так, чтобы осуществлялось движение по градиен- ту линейной модели; г) рассчитать координаты опытов для движения от центра модели. Результаты расчетов и экспериментов по «крутому восхождению» приведены в табл. 3.18. В данной задаче произведение bi\X умножено на 0,03. Этот коэффициент выбран так, чтобы при каждом шаге температура менялась на 4° и критическая темпе- ратура 150° (начинается оплавление образцов) была бы достигнута за 10 шагов при движении от центра с коор- динатами Xi=107°, %2=78 мин, Лз=40 мин, Х4=75 мин. Из 10 возможных шагов опытным путем проверено 7. Наилучший результат а=3,8—4 кДж/м2 получен в опы- тах № 15 и 16, здесь удельная ударная вязкость уже примерно в 3,7 раза выше исходной. Планирование эксперимента в зоне оптимума. На третьем этапе работ было принято решение описать об- ласть оптимума удельной ударной вязкости полиноми- альной моделью второй степени, построенной по плану типа В4. Применение плана на кубе при исследовании режимов термообработки целесообразно потому, что область экспериментирования ограничена сверху гипер- плоскостью температуры плавления полипропилена (без нагрузки около 150—170°С). Центр модели помещен в точку, несколько сдвинутую (по отношению к достигнуто- му оптимуму в опытах № 15, 16) в сторону уменьшения температуры выдержки. В этом случае модель будет описывать широкий диапазон режимов вне зоны плавле- ния полипропилена. Таким образом, на третьем этапе факторы варьировались в пределах: Xi = 125±15°C, %2=60±30 мин, Аз=50 ±40 мин, Х4=50±40 мин. Для расчета и статистического анализа модели ис- пользован бланк-алгоритм (табл. 3.19—3.20). Порядок расчета обычный. Метод проверки промежуточных рас- четов: для взаимодействий — S++|2“|=2«; (3.46) для линейных и квадратичных эффектов по i-му фак- тору— (2++12_|)<= (iiY). (3.47) 188
ПЛАНИРОВАНИЕ НА КУБЕ РАЗМЕРНОСТИ К-4 ТИПА В4 (РАСЧЕТ МОДЕЛИ) Таблица 3.19 Номер опыта УИ=ЛГО Х2 Х3 х. | Ж21 Х2з 1 *•« 1 Х.Хз Х1Х3 *1*4 | | *2*3 | *2*4 *3*4 | i I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12 13 14 15 16 +3,4 +6,2 +2,8 +4,3 +3,5 +6,2 +2,1 +5,1 +2,1 +3,0 +2,8 + 1,6 +3,1 +3,2 +1,3 +1,6 +4,4 +1,5 + 1,7 +2,9 +3,1 +1,7 + 1,9 +2,9 +3,4 +6,2 4-2,8 4-4,3 +3,5 +6,2 4-2,1 +5Д -2,1 -3,0 -2,8 -1,6 -3,1 -3.2 -13 -1.6 +4,4 -у 0 0 0 0 0 +3,4 +6,2 +2,8 +4,3 -3,5 -6,2 -2,1 -5,1 +2,1 +3.0 +2,8 + 1,6 -3,1 -3.2 -1,3 -1,6 +3,4 +6,2 -2,8 -4,3 +3,5 +6,2 -2,1 -5,1 +2,1 +3,0 -2,8 -1,6 +3,1 +3,2 -1,3 -1,6 0 0 0 0 +31 -1,7 0 0 +3,4 -6,2 +2,8 -4,3 +3,5 - 6,i2 +2,1 -5,1 +2,1 —3,0 +2,8 -1,6 +3,1 —3,2 + 1,3 -1.6 +3.4 +6,2 +2,8 +4,3 +3,5 +6,2 +2,1 +5,1 +2Д +3,0 +2.8 + 1,6 +3,1 +3,2 +1 »3 + 13 +4,4 +1,5 0 0 0 0 0 + + + + + + + + + + + + 0 0 +1,7 +2,9 0 0 0 0 + + + + + + + + +* + + 0 0 0 0 +3,1 + 1,7 0 0 + + + + + + + + + + + + + 0 0 0 0 0 0 +1,9 +2,9 +3,4 +6,2 +2,8 +4.3 -3,5 -6.2 -2,1 -5,1 -2,1 —3,0 -2,8 -1,6 +3,1 +3,2 + 1,3 + 1,6 +3,4 +6,2 -2,8 -4,3 +3,5 +6,2 -2,1 -5,1 -2,1 -3,0 +2,8 + 1,6 -3,1 -3,2 +1,3 + 1,6 +3.4 -6,2 +2,8 -4,3 +3 5 -6.2 +2,1 -5,1 -2 1 +3,0 -2.8 + 1.6 -3,1 +3,2 -1,3 +1,6 +3,4 +6,2 -2,8 =з!б -6,2 +2,1 +5.1 +2,1 +3,0 -2,8 -1,6 -3,1 -3,2 + 1,3 +1,6 +3,4 -6,2 +2,8 -4,3 —3,5 +6.2 -2,1 +5.1 +2,1 -3,0 +2 8 -1,6 -3,1 +3,2 -1,3 + 1,6 +3.4 -6,2 -2.8 +4,3 +3,5 -6,2 -2.1 +5,1 +2,1 -3,0 -2,8 +1,6 +3,1 -3,2 -1,3 +16 11,56 32,44 7.84 18,49 12,25 38,44 4,41 26,01 4,41 9,00 7.84 2,56 9.61 10,24 1,69 2,56 19,36 2,25 2,89 8,41 9,61 2,89 3,61 8.41 17 18 19 20 21 22 23 24 0 0 +1,7 12,9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +1,9 -2,9 2—25,9 2—26,4 (12Y) -0,5 - 0*0312| 2+26.6 2-25,7 (I3Y) +0,9 1 0.0&2 | S+21.2 2-31.1 (14Y) о о >Zy=0,06! -0?6188| 2+218 2-27,5 (23г1 250 (IjY) - 0?{б2в| 2+27,2 2-25,1 (24Y) +2.1 +0Д312| 2+24,7 2-27,6 (31Y) —2.9 1 *34 * -0,1812 Ж ₽.-_0,^5(°Y> p2-0,22917(0Y) 16,5919 S СО 2+38,0 2-20,2 (1Y) 17,8 Ь\ 0,9889 2+27,8 2—29.0 ЭД *.=0,06 |-0,0611 2+333 2-23,3 (3Y) 10,5 5556 (1Y | 0,5834 2+23,0 2-34,1 ЭД ) |—0,б1б7 (11Y) (22Y) (33Y) (44Y) 58,2 56.9 57,1 | 57,1 B(HY)-229,3 p,=-0.06258(UY) 14,3312 p,=-0.I0417E(HY)=-23,8851 P«-Pi+p<=-28.4I11 0.5(IlY) 29,10 | 28,45 | 28,55 | 28,55 6H=0,5(HY)+p„ 0.6889 | 0,0^89 | 0,1ЙЭ | 0,1389 (YY) 262,78
Таблица 3.20 ПЛАНИРОВАНИЕ НА ОБЕ РАЗМЕРНОСТИ К=4 ТИПА В4 (АНАЛИЗ МОДЕЛИ) Расчет Ькр ^0 bl ьи bU . Ti 0,4787 0,2357 0,6212 0,2500 Ti^Saw 0,0976 0,0481 0,1287 0,0510 Ькр = 1*Т i'Saw 0,3682 0,1814 0,4778 0,1923 s^qw—0,11421 j Saw—0,377; при faw—33; /о,об==2,04. Регрессионный анализ модели bi] Начальная *кр Конечная r(ijY) Ki bif (IjY) bo 2,261 0,989 0,368 2,261 0,989 72,4 17,8 163,62 17,62 bi bA 5ц bi2 -0,061 0,583 -0,617 0,689 0,039 0,181 0 0,583 —0,617 0,689 0,039* —1,1 10,5 —11,1 58,2 56,9 0 6,09 6,88 40,16 2,28 5зЗ 544 512 513* 0,139 0,139 —0,031 0,056 0,478 0,139* 0,139* 0 0 57,1 57,1 —0,5 + 0,9 7,79 7,79 0 0 514 5гз 524 5з4 —0,619 —0,163 0,131 —0,181 . 0,192 —0,619 0 0 0 —9,9 —2,5 +2,1 —2,9 6,14 0 0 0 •Незначимые b ц. |53м0д =2[&zy(ijY)] =258,75. Проверка адекватности модели 33на= (YY)-SSM0« =262,78—258,75=4,03; SSHa 4,03 /на=ПБ; s2Ha=—^ = -f— =0,2686; /на 15 S2Ha 0,2686 ___________________________________________ На том же бланке проводится и статистический ана- лиз (табл. 3.20); дисперсия неадекватности s2Ha подсчи- тана по коэффициентам конечной модели при /ва= 200
= 24—9=15, в которой оставлены незначимые эффекты Ьгг, Ьзз и Ьи, корреляционно связанные с Ьо и (с се- годняшних позиций незначимые Ьц было бы более пра- вильно последовательно исключить, изменяя значения Ьо и Ьц, § 2.7). Анализ модели и технологические рекомендации. В ходе третьего этапа эксперимента была достигнута ударная вязкость а=6,2 кДж/м2 (в опытах № 2 и 6 в табл. 3.19), что лучше исходной в 5,8 раза. Однако технологический анализ по-прежнему необходим, так как вблизи зоны эксперимента могут быть обнаружены ре- жимы, позволяющие повысить значение а. Модель (3.48) имеет ряд важных особенностей, которые облегчают технологический анализ: а=2,26+0,99X1+0,58х3 - 0,62х4 - 0,62x^4+ + 0,69Х]2+0,04х22+0,14х32+0,14х?. (3.48) Во-первых, все коэффициенты при эффектах, связан- ных с Хг, статистически не отличаются от нуля (в том числе и при Ьгг, который не удален по той причине, что он коррелирует с Ьо и остальными Ьц), следовательно, л время подъема температуры мало сказывается на а и в целях ускорения производственного процесса можно ре- комендовать вести подъем температуры за минимальное (в пределах исследованного факторного пространства) время — х2=—1 или 60 мин. При этом условии модель (3.48) переходит в трехфакторную: а=2,30+0,99 Xj+0,58 х3—0,62 х4—0,62 х^А- +0,69 x2j+0,14 х23+0,14 х24. (3.49 Во-вторых, максимальное числовое значение имеют КОЭффИЦИеНТЫ bi И Ьц (при УСЛОВИЯХ &ц>0 И 61>|&12| оптимум й лежит на границе эксперимента Xi= + 1 (см. § 1.5), следовательно, в изучаемой области наи- более существенно изменение температуры — для роста а необходимо Xi максимально сдвинуть вверх. Поскольку при Т>140° (xi>l) возможно оплавление деталей, то предельным уровнем и принято Xi=l. Мо- дель (3.49) переходит в двухфакторную: £=3,98+0,58 Хз-1,24 х4+0,14 х23+0,14х24. (3.50) На рис. 3.5 показаны изолинии удельной ударной вязкости, проведенные через 0,5 кДж/м2. Изолинии за- 201
Рис. 3.5. Диаграмма ударной вязкости полипропи- лена а в координатах тизо» и тохл при Л\=140° С и Х2=60 мин (заштрихована экспериментально изу- ченная зона) хватывают также часть неисследованной эксперимен- тально зоны: х3 от —1,25 (0 мин) до +2 (130 мин) и X* от —1,25 (0 мин) до 4-1 (90 мин). В новой зоне по- ставлен в точке А специальный эксперимент, который дал значение удельной ударной вязкости а=7,71 кДж/м2, что превышает исходные механические характеристики полипропилена в 7,2 раза. Таким образом, последова- тельно на каждом этапе происходила оптимизация а. В результате производству рекомендован режим тер- мообработки деталей с медленной скоростью подъема температуры (около 2 град/мин), с длительной выдерж- кой (до 2 ч) при температуре 140°С и с быстрым охлаж- дением. При этом происходит «закалка» полипропилена и увеличивается способность деталей воспринимать ударные нагрузки при изготовлении, хранении и экс- плуатации. 3.8. ПРИМЕНЕНИЕ СЕМИФАКТОРНОГО НАСЫЩЕННОГО ПЛАНА 27-4 И ПЯТИФАКТОРНОГО ПЛАНА j НА КУБЕ ТИПА Has (НА ПРИМЕРЕ ПОВЫШЕНИЯ ' КАЧЕСТВА ДЕТАЛЕЙ И МИНИМИЗАЦИИ БРАКА ПРИ УЛЬТРАЗВУКОВОЙ СВАРКЕ) Технико-экономическая постановка задачи. 1 Рабочие колеса насосов имеют сложную конфигура- ’ цию, поэтому изготовление их на термопластавтоматах 202 1
цельными признано малопроизводительным. На одном из заводов был разработан и внедрен способ изготовле- ния колес из двух половин с последующей сваркой их ультразвуком или соединением на клеях. При изготовлении рабочих колес из полиамида-68 оба метода применялись в равной мере, хотя второй ме- тод и давал несколько лучшие результаты. При внедре- нии более прогрессивного полимера полиамида-12 — ни склеивание, ни сварка (на режимах, аналогичных сварке полиамида-68) не давали надежного соединения полу- колес. Был проведен анализ (этап Л) заводской инфор- мации о начальном качестве соединения деталей рабо- чих колес, испытываемых ОТК на разрыв. По таким дан- ным были построены кривые распределения разрывного усилия для склеенных деталей из полиамида-68 и свар- ных деталей из полиамида-12 (по техническим условиям эта величина должна быть не менее QTp=l кН). Для описания эмпирических рядов использованы кривые рас- пределения Джонсона [69], имеющие ряд существенных преимуществ при анализе качества промышленной про- дукции и решении рецептурно-технологических задач [9]. На участке Q=0,5—8 кН (нижний предел учиты- вает минимальную прочность собранных деталей, верх- ний— адекватность описания эмпирических рядов и не противоречит техническим возможностям соединения де- талей) распределение разрывных усилий для 43 свар- ных деталей из полиамида-12 описывается формулой 0,1303 ( „Г <р (Q) = ------------- ехр —0,5 3,84 — ' ]/2n(Q—0,5) (7,5—Q) I L I Q-0,5 \|2i -1’631П(-^Ш • <3-51) По (3.51) можно достаточно точно рассчитать сред- нюю величину разрывного усилия Q=l,09 кН, вероят- ность Дбр=28,5% появления бракованных деталей (Qcp<Qtp= 1 кН),, минимальное (с риском а = р=5%) разрывное усилие Qmm{p} =0,75 кН; коэффициент каче- ства изделий [9] можно рассчитать по формуле XK=Qmm{p} : (PQtp) =0,75: (1,2-1,0) =0,625, (3.52) где 1 — коэффициент, характеризующий роль мате- риала или детали в той или иной конструкции и точ- ность методов ее расчета; из-за малой изученности про- цесса в данном расчете р= 1,2. 203
RaK видно, на начальном этапе А сварка даЬаЙй большой брак (28,5%) и низкий коэффициент качества (хка = 62,5%). Планирование сепифакторного эксперимента для по- иска зоны оптимума. Поскольку оптимизируется новый технологический процесс и априорная информация весь- ма незначительна, принимается решение на этапе Б планировать эксперимент так, чтобы при минимальном числе опытов ориентировочно оценить роль каждого из семи факторов Xi, гипотетически влияющих на качество сварки, и выявить возможные пути оптимизации коэф- фициента качества хк по методу «крутого восхождения» (см. § 3.7). Используется реплика 27~4; в исследование включаются 7 факторов: АЗ = 2,5±2,0— время выдержки деталей до сварки от момента изготовления (п, сут); Л2=153±147 — время от смазки свариваемых по- верхностей растворителем до сварки (т2, с); Х3=1,3±0,2 — время сварки ультразвуком с помо- щью генератора УЗГ-10У (т3, с); А4 = 3,55±3,45— время выдержки деталей от сварки до испытания на разрыв (т4, сут); Х5 = 0,325±0,075 —давление при сварке (D, МПа); АЛ6 — степень концентрации растворителя для смазки деталей: верхний уровень — ледяная уксусная кислота (код «К»), нижний — разбавленная 2:1 (код «Р»); Х7 — степень охлаждения деталей перед сваркой: верхний уровень — при температуре цеха 20±3°С (код <Д»), нижний — охлаждение до 4°С (код «О»). В данном случае пять факторов (A\—Л5) варьиру- ются на количественных уровнях, а два (АЛ6 и Х7) — на качественных. Здесь может быть лишь два уровня по принципу «да—нет», причем безразлично, какой из них будет кодирован как верхний «4-1». Матрица планиро- вания и результаты определения (по четырем одинаково изготовленным колесам) коэффициента хк (в расчете принято /-распределение) приведены в табл. 3.21. При расчете коэффициентов по формулам для орто- гональных планов (2.74) — (2.75) получена линейная модель: Zb = 148,9+17,6^-17,6x2-20,Зг3-4,4х4+ + 1,4х5+16,6х6-12,1х7. (3.53) 204
Таблица З.Й1 ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ЭТАПА Б И ©ГО РЕЗУЛЬТАТЫ Номер опыта Код строки План в натуральных переменных Коэф- фици- ент хк> % сут т2, мин т3, с сут D, МПа раство- рители охлаж- дение 1 cef 0,5 0,1 1,5 0,1 0,4 К о 163 2 afg 4,5 0,1 1,1 0,1 0,25 К Ц 212 3 beg 0,5 5 1,1 0,1 0,4 р Ц 111 4 abc 4,5 5 1,5 0,1 0,25 р о 127 5 cdg 0,5 0,1 1,5 7 0,25 р Ц 94 6 ade 4,5 0,1 1,1 7 0,4 р О 197 7 bdf 0,5 5 1,1 7 0,25 к О 157 8 abcdefg 4,5 5 1,5 7 0,4 к Ц 130 По модели (3.53) можно сделать ряд предваритель- ных выводов: — наибольшее влияние на прочность сварного шва оказывают время сварки Хз (тз= 1,1—1,5 с), время вы- держки от изготовления до сварки Xi (ti = 0,5—4,5 сут), время от смазки растворителя до сварки х2 (т2 = = 0,1—5 мин), а также концентрация растворителя х6 и температура детали х7; — для повышения величины разрывного усилия це- лесообразно вести сварку на коротких режимах (хз= =—1); сваривать выдержанные (xi—+ 1) охлажденные детали (х7=—1) сразу после смазки (х2 =—1) ледяной уксусной кислотой (х6=-+-1). Поиск зоны оптимума можно провести по методу «крутого восхождения» (этап В), изменяя факторы Л'1—Х5 при стабилизации качественных факторов на лучших уровнях: ледяная уксусная кислота (Хб= + 1) и охлаждение деталей перед сваркой (х7=—1). После реализации двух опытов (№ 9, 10; нумерация продолжа- ется по всей работе, см. табл. 3.22) оказалось [10], что по факторам Х2 и Х3 можно сделать лишь один шаг, после чего они достигнут технологически минимально возможной величины. Движение по градиенту оказалось неудачным (хк.9 = 239, хк.ю= 137). Планирование и анализ эксперимента в зоне опти- мума. На следующем этапе Г зону оптимума можно описать пятифакторной моделью второго порядка. Пять 205
ПЛАНИРОВАНИЕ НА КУБЕ РАЗМЕРНОСТИ К-5 ТИПА На6 Номер опыта Xj X, х< х8 2 *1 2 х2 2 *3 2 Ж4 2 *5 1 50 + + + + + + + + + + 2 79 — + + + + + + + 3 30 — + — — + + + + + 4 32 + — — — — + + + + + 5 «2 — + «V» + + + + + + + 6 58 + —— — + + + + + + + 7 55 + + + — — + + + + + 8 54 — — + — — + + + + + 9 51 + 4- + — + + + + + 10 58 + + + + + + + + 11 9 + + —— — + + + + + + 12 59 — — — — + + + + + + 13 62 + + + + + £//= =734 + 14 69 + + + + 4- + 15 4 + + — + + + + + 16 12 — — — + — + + + + + 17 59 + 0 0 0 0 + 0 0 0 0 18 76 — 0 0 0 0 + 0 0 0 0 19 69 0 + 0 0 0 0 + 0 0 0 20 75 0 — 0 0 0 0 + 0 0 0 21 69 0 0 + 0 0 0 0 + 0 0 22 17 0 0 — 0 0 0 0 + 0 0 23 52 0 0 0 + 0 0 0 0. + 0 24 48 0 0 0 — 0 0 0 0 + 0 25 74 0 0 0 0 + 0 0 0 0 + 26 14 0 0 0 0 0 0 0 0 + 27 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (0Y) £+394 £+382 £+547 £+416 £+512 (11Y) (22Y) (33Y) (44Y) (65Y) 1329 £-475 £-495 £-273 £-418 £-31J 869 878 820 834 822 Р1«=-0,03030(0Y) -40,27 (1Y) (2Y) (3Y) (4Y) (5Y) £(11Y)=4223 р,=0,13805(0Y) -81 -114 + 274 -2 + 202 Рз= =—0,03030£ (Ц Y)=—127,97 183,46 ь^ ) O5556(1Y) =-0,09 91£(HY)=—333.91 &о=Рз+Рз bi bi ь3 ь< Ь$ Рбя=Р1 + Р<=—424,18 55,49 -4,5) -6,33 15,22 -0,11 11 22 0,500(11 Y) 404,0 1 40» и I 41U.U I 411,V I 4*1 V &/z= :0,5(ilY) + ps Ьи &21 Ьзз Ьц £>55 10,32 14,82 -14,18 -7,18 -13,18 206
Таблица 3.22 (РАСЧЁТНАЯ МАТРИЦ'!) *1*2 xtx3 х,хк *,*5 *2*3 *2*4 *2*5 *2*4 *3*5 *4*5 + 4* + + + + + + + + + — ——. — —• + + + ц. + — — + + + — —- — + + + + + + —I + — — + + — — + — + + + — —- — —• + + + — — + — — — + + + + — + + — — + — — + + + — + •— — « 4" + •<— — — + + — — + — — + — —» + + •— — + + + — + + — + — — —1 — + — + — + — + — + — + — + —• — + • — + — + — — + — + — + + — + + — + — + — 2+322 2+385 2+375 2+333 2+379 2+371 2+329 2+368 2+338 2+410 2-412 S-359 2-359 2—401 2-355 2-363 2—405 2-366 2-396 2-324 ед (14Y) +16 (23Y) +24 (24Y) +8 ед (34Y) +2 (35Y) -58 (45Y) +86 >. ,=0.06250(1JY) Ьц I | Ь|3 Ь14 I Ь15 Ьаз *>25 | *>34 | *>35 1 | Ьа —5,62 2.25 1.00 -4,25 150 050 -4.75 0421 -3,62 5,38 2 Ум 900 1024 2704 3364 3025 2916 2601 8364 81 3481 3844 4761 16 144 3481 5776 4761 5625 4761 289 2704 2304 Уровни изменения факторов Х1 + 1 0 -1 Xi—tj, сут X?—Та, с Хз—*3, с Х4—Г4. сут X6-Z>, МПа 7 300 1,6 8 0,30 155 1,3 4 0,25 Примечание. Для упрощения у =х к—200; свободный член модели на 200. 1764 1 10 - 1,0 о 0,20 расчетов увеличить 207
факторов Xi—Х5 изменяются по плану На5 (табл. 3.22) при стабилизации Хе и Х7 аналогично этапу В. При этом учитываются координаты лучших опытов (№ 2 и 9), а также технологические возможности про- цесса ультразвуковой сварки (время от смазки раство- рителем до сварки Х2 трудно выдержать менее 10 с, а давление Xs более 0,3 МПа приводит к нестабильности работы станка). Так как для сложного выхода хк (3.51) точно оце-* нить ошибку эксперимента затруднительно, принимается величина s{xK} = sa= 10% при fa=n—1 = 42. Такая оцен- ка вполне устраивает завод по технико-экономическим соображениям, поскольку на этапах Б и В уже были получены удовлетворительные хк=220—240%. Расчет коэффициентов регрессии по плану Has на бланке-алгоритме (табл. 3.22) не отличается от ранее изложенных в § 3.7. Проверка промежуточных результа- тов проводится по формулам (3.46) — (3.47). Регрессионный анализ модели выполняется на от- дельном бланке-алгоритме (см. табл. 3.23). При срав- нении коэффициентов начальной модели с критическими (при а=0,1) коэффициентами ЬКр оказалось, что помимо независимых .₽4=₽1з=|₽14=₽15=₽24=₽з4='₽з5=0 незначи- мыми могут быть и оценки 6ц и Ьц, которые корреля- ционно связаны с Ьо и остальными Ьц (таковы свойства матрицы [D] плана На5, см. гл. 2). Поэтому применяет- ся метод последовательного исключения незначимых квадратичных эффектов с пересчетом остающихся Ьо и Ьц по формулам, приведенным в § 2.7. Для удобства вычислений создан специальный бланк-алгоритм [10], фрагмент которого показан в табл. 3.24. Этот бланк за- полняется следующим образом: а) из предыдущих бланков выписываются значения (iiY), 0,5 (iiY), sa и t; б) удаляется минимальный по абсолютной величине из незначимых эффектов (здесь Ьц) и определяется но- вая сумма SiiY без величины (44Y), по которой рассчи- тываются вспомогательные величины р3, р4 и рз (по не- изменной величине 0Y определяются р1, р2 и Ьо) и новые оценки коэффициентов Ьц', в) в правом столбце рассчитываются новые значе- ния (&н)кр и (Мкр, с которыми и сравниваются новые оценки Ьц-, 208
Таблица 3.23 ПЛАНИРОВАНИЕ НА КУБЕ РАЗМЕРНОСТИ К-5 ТИПА Яа5 '(АНАЛИЗ МОДЕЛИ) Расчет критических величин для коэффициентов b Sg =100; $э=Ю; при f8=42; fo,10= 1,682 bQ bi bU Tt 0,3716 0,2357 0,6396 0,2500 TfSv 3,716 2,357 6,396 2,500 bKp = t‘TiS9t а=0Д 6,250 3,944 10,758 4,205 Регрессионный анализ модели Начальная модель *кр Конечная модель (iiY) *z/ijY) 55,495 6,250 55,794 1329 7415,0 bl —4,500 —4,500 —81 364 bz —6,333 —6,333 —114 722 bi + 15,222 3,944 + 15,222 + 274 4171 bt —0,111 0 —2 0 bs 11,222 11,222 +202 2267 bu 10,318 0 869 0 bz2 14,818 15,714 878 13797 Ьзз —14,182 10,758 —13,286 820 —10894 Ьц —7,182 0 834 0 bss —13,182 —12,086 822 —10099 b{2 —5,625 —5,664 —90 506 biz 2,250 0 +36 0 Ьн 1,000 0 + 16 0 bis —4,250 —4,250 —68 289 &23 1,500 4,205 0 +24 0 624 0,500 0 +8 0 625 —4,750 —4,750 —76 361 &34 0,125 0 +2 0 ^35 —3,625 0 —58 0 645 5,375 +5,375 +86 462 Проверка адекват- ности модели (YY) =73103 SSHa=(YY)— —55Мод=73103— -76096=2007; fHa=27—'12=15; <SSh& на 1 г- _ *2на 133,8 а $2Э 100 =!1,338<Гтаб л 5*$мод— = 76096 14 Заказ 6525 209
Таблица 3.24' to о КОРРЕКТИРОВАНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ЭФФЕКТОВ Ьц И Ьо В МОДЕЛИ ПО ПЛАНУ На5 Расчет изменяемых Ьо и Ьц (UY) (22Y) (33Y) (44Y) (55Y) Расчет (*)„_ = =Tlts9P ^=10 /=1.682 t 5Э=16,82 869 878 820 834 822 0,5(11 Y) 434,5 439,0 410,0 417,0 411,0 J>zz=0,5(llY) + p„ | Без одного Ьц | (0Y) = 1329 Р1=—0,03704 (ОУ) =—49,22 р2=0,13580 (0У) = 180,48 Ьо=Р2+рз=54,96 2 (НУ) =3389 р3=—0,03704 2 (iiY) =—125,52 р4=— 0,11 lil 1 2 (iiY) =—376,56 Рб=Pi + Р4=—425,778 8,72 13,22 —15,78 0 —14,78 T9=0,62361 (Ьн)Кр=10,489 T7=0,36851 (Ьо)крв6,198 Без двух Ьц (0Y) = 1329 pi = 0,04762 (0Y) =—63,29 р2=0,13228 (0Y) = 175,79 Ьо=рг+рз=55,79 2 (iiY) =2520 р3=—0,04762 2 (iiY) 120,00 р4=—0,14286 2 (iiY) =—360,00 P5=P1+P4=*—423,29 0 15,71 —13,29 0 —12,29 T9=0,59759 (&.<)«₽= 10,052 7?=0,36370 (M«P =6.1174
г) вновь удаляется минимальный незначимый эффект (здесь bii) и циклы продолжаются до тех пор, пока все квадратичные эффекты не станут больше соответствую- щих (6н)кр. Конечная модель заносится на бланк-алгоритм рег- рессионного анализа (см. табл. 3.23), и по ней рассчиты- вается дисперсия неадекватности s2Ba= 133,8 (нужно об- ратить внимание на то, что число степеней свободы [на есть разность между числом N опытов в плане н ко- личеством значимых коэффициентов в конечной модели Л) и F-критерий. Так как F= l,34<FTa6B = l,92 при а=0,05, [1 = 15 и [г=42, то конечную модель можно счи- тать адекватной экспериментальным данным. Технико-экономический анализ мо делили выбор ре- жима сварки, обеспечивающего минимум брака. В ре- зультате экспериментов этапа Г получается адекватная модель, па которой нужно сделать выбор режима ульт- развуковой сварки: ^Lr = 255,79, —4,50%! —5,66x^2 —4,25х(х6— —6,33ха +15,71х22 —4,75X2X6 + +15,22х3 —13,29х33 + 11,22х6 —12,09х36 • +5,За*Л+ (3.54) Для поиска оптимума (3.54) используется диссоциа- тивно-шаговый метод с выделением квазиоднофактор- ных моделей (см. § 1.6) и логическим технико-экономи- ческим анализом сути производственного процесса при каждом шаге. Первой можно выделить независимую модель (все ₽<з=0): W3=* кГ—255,79=15,22х3—13,29x5, (3.55) для которой по формулам § 1.6 легко рассчитать коор- л динаты максимума (&33<0)x3opt, прирост Дхк при стаби- лизации времени сварки на этом уровне и модель сле- л дующего этапа хкд: x30pt =-0,5/?3: &33 = -0,5-15,22:(-13,29)=0,573; (3.56) Дхк = —0,25&2з: &зз= -0,25 -15,222: (~13,29)=4,36; (3.57). *кд = 260,15 —4,50х|' —5,66Х|Ха ““4,25Х|Х8 ~- —6,33х2 + 15,71хг2 —4,75х2Х5 + +6,38X4X5 + + 11,22х5 —12,09х»6. (3.58) 14* 211
Второй целесообразно рассмотреть квазиоднофактор- ную модель для фактора х2, в которой x20pt=±l, так как при &22>0 максимум хк может лежать только на границах эксперимента: ^г=«кд - 260,15=—6,33x2-j- 15,71х22—5,66xjX2 - —4,75х2х5. (3.59) Поскольку в модели (3.59) |62| < (P12I + I&25I), то, вообще говоря, требуется проверка конкурирующих ре- шений х2= + 1 и х2=—1 (см. § 1.6), однако для ускоре- ния технологического процесса целесообразно принять х2=—1, т. е. перейти на плезиоптимальное решение, ко- торое может повлечь за собой некоторое снижение хк по сравнению с математическим максимумом для (3.59). После подстановки х2= — 1 будут получены при- росты Дхк= 22,04, Д&1 = 5,66 и ДЬ5=4,75, что приводит к модели следующего этапа Л хк£ = 282,19 +1,66х! —4,25Х[Х5 — —5,38х4х5 + + 15,07х5 — 12,09х28. (3.60) Можно выделить взаимонезависимые квазиоднофак- торные модели, в которых основной фактор тоже может находиться лишь на границе факторного пространства (Xi=±l и х4=±1): -282,19 = 1,66х1-4,25х1х5; (3.61) Wi = ъе - 282,19= - 5,38х4х5. (3.62) Как и на предыдущем этапе, выбор уровня целесо- образно вести из технико-экономических соображений. Так, Xi лучше стабилизировать на нижнем уровне, что- бы не приходилось специально выдерживать детали на промежуточном складе, а х4 лучше стабилизировать на верхнем уровне, поскольку наибольший интерес пред- ставляет работа деталей в длительные сроки. Такая подстановка переводит модель (3.60) в модель = 280,53 + 13,94х5-12,09х2. (3.63) По методике, аналогичной этапу Г (формулы л (3.56) — (3.57)), определяются XsOpt=0,576 и Дхк=4,02, что дает конечный коэффициент качества хКтах= 284,55, что в четыре с половиной раза выше, чем показатель 212
исходных деталей. Внедрение оптимального режима, по- лученного при анализе семифакторной модели (3.53), по которой определены уровни х6 (ледяная уксусная кислота) и х7 (охлаждение до 4°С), и квадратичной мо- дели (3.59), по которой определены оптимальные пара- метры режима (подача на сварку через 10 с после сма- чивания кислотой, сварка в течение 1,5 с под давлением 0,28 МПа), позволило снизить долю брака с 28,5 до 0,2%, или в пятьдесят семь раз. Положительный эффект был достигнут быстро — всего за 37 опытов (по этапам Б и В—10 и по этапу Г—27 разных режимов). 3.9. ПРИМЕНЕНИЕ НАСЫЩЕННОГО ШБСТ.ИФАКТОРНОГО ПЛАНА РЕХТШАФНЕРА (НА ПРИМЕРЕ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ФОРМОВАНИЯ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ) Технико-экономическая постановка задачи. При изготовлении деталей из композиционных материа- лов (на основе твердеющих силикатов) одна из задач заключается в сокращении времени пребывания изделия в форме Тф, что не только ускоряет технологический процесс, но позволяет сократить его металлоемкость. Для того чтобы можно было снять бортовую оснастку формы без потери деталью заданных геометрических характеристик, композит должен иметь прочность (в частном случае 7?ф=2МПа). Прочность ком- позита зависит от переменной для различных деталей технологической вязкости смеси т](с) и вида связующе- го для матрицы (М). Она может управляться с помо- щью трех технологических факторов: температуры тех- нологической смеси Г(°C), концентрации катализатора С (%) и времени выдержки смеси до формования то- Таким образом, необходимо построить шестифакторную функцию R = F{T, т|, М, С, тф, то), (3.64) по которой найти пути минимизации времени пребыва- ния изделия в форме при различных значениях /?Ф=const [85]. Шесть факторов в модели (3.64) долж- ны для конкретного производства быть исследованы в пределах, показанных в табл. 3.25. Оптимизируемые факторы обозначены Z,, а регу- лируемые— Xt. Фактор Хз — дискретный; три связую- щих матрицы типов «Ш», «П» и «Б» размещены на 213
Таблица 3.25 УРОВНИ ВАРЬИРОВАНИЯ ШЕСТИ ФАКТОРОВ Уровень г^Т,°С Х2=т].с х3=м Zi—ct % мин Za=i:0, мин Нижний «—1» 20 10 2 15 10 Средний «0» 50 50 ,П' 3 30 15 Верхний «+1» 70 90 „Б* 4 45 20 трех уровнях после качественной ранжировки по скоро- сти отвердевания. Планирование эксперимента и первичная обработка информации. Из априорной технологической информа- ции известно, что каждый из факторов может влиять на прочность R нелинейно, поэтому функцию (3.64) необхо- димо аппроксимировать полиномом второй степени. Для шести факторов (см. § 2.6) квадратичная модель на кубе может быть построена при планировании экспе- римента, например, на планах В6 (с полурепликой tf=76), ВВ6 (М=54), Пае (М=29) и R6 (#=28). Послед- ний насыщен (Mmin = 28) и обладает не только хорошими сравнительными статистическими характеристиками (27], но и малой корреляцией между оценками коэффи- циентов регрессии при постоянстве дисперсий этих оценок s2{&«] =const, s2{6i} = s2{M = const. Эксперимент реа- лизован по такому плану, показанному в табл. 3.26 (опыт № 29 включен для оценки точности модели в центре факторного пространства). В табл. 3.26 приведены результаты эксперимента, при испытании в каждом опыте /п=5 образцов. Провер- ка однородности дисперсии средних s2{z/u} по критерию 0=2283,2:3839,4=0,59 показала (см. приложение 3), что такую гипотезу нужно отклонить (даже после иск- лючения опытов № 7, 5, 6 и 24). Поэтому был осущест- влен переход к относительным ошибкам — коэффициен- там вариации &{уи}=s{yu} : у, для которых вновь про- веряется гипотеза однородности по критерию G — = 203,4:1387,6=0,146, которая уже может быть призна- на правдоподобной (уровень значимости около 0,04 [39]). Таким образом, можно рассчитать среднюю ошибку по всем опытам: 6э=ад = V(S62{fu}):29= V47,85= =6,917%, или 0,0692. (3.65) 214
Таблица 3.26 РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ И ИХ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ | Номер опыта [ Индекс План эксперимента У„> МПа о X i£ я Е а Г «0 £ |^а «о г ♦О 2Г II З4 *1 *2 х3 -2-4 2*6 1 I — 0,17 3,3 0,018 10,4 107,7 —1,749 2 II.1 4- + + 4- 1,89 4,8 0,022 1,2 1,4 0,638 3 П.2 + — + 4- 4- 1,03 16,3 0,040 3,9 12,5 0,031 4 II.3 + + — 4- + 4- 3,33 174,7 0,132 4,0 15,8 1,203 5 II.4 + + + — 4- 4- 7,34 361,0 0,190 2,6 6,7 1,993 6 II.5 + + + 4- — 4- 2,15 285,2 0,169 7,8 61,9 0,764 7 II.6 + + + 4- 4- — 5,04 2283,2 0,478 9,5 89,9 1,617 8 III.12 + + 1,22 38,1 0,062 7,6 57,2 0,203 9 III.13 + + — — — 0,48 11,7 0,034 7,2 51,7 -0,747 10 III.14 + — — + — — 0,30 2,7 0,017 5,6 30,8 —1,211 11 III.15 + — — 4- — 1,36 79,6 0,090 6,6 43,4 0,308 12 III.16 + — — — 4- 0,46 5,8 0,023 5,0 25,0 —0,766 13 III.23 + + — — 0,72 10,2 0,032 4,4 19,5 —0,326 14 111.24 — + 4- — — 0,96 5,8 0,024 2,5 6,3 -0,044 15 III.25 — + — 4- — 1,46 2,2 0,015 1,0 1,0 0,377 16 III.26 — + — — 4- 0,76 92,1 0,096 12,6 158,2 —0,270 17 III.34 — + 4- — — 0,29 1,4 0,012 4,2 17,6 —1,248 18 III.35 — + 4- — 0,32 7,2 0,027 8,4 70,3 —1,140 19 III.36 — + — 4- 0,19 7,1 0,027 14,3 203,4 —1,677 20 III.45 — 4- + 0,29 8,6 0,029 9,9 99,0 —1,224 21 III.46 — 4- + 0,12 1,4 0,012 10,2 103,4 —2,137 22 II1.56 — — — 4- 4- 0,28 6,7 0,026 9,4 88,8 —1,291 23 IV.1 + 0 0 0 0 0 1,98 25,7 0,051 2,6 6,6 0,683 24 IV.2 0 + 0 0 0 0 2,41 258,4 0,161 6,7 44,6 0,879 25 IV.3 0 0 + 0 0 0 2,46 24,0 0,049 2,0 4,0 0,901 26 IV.4 0 0 0 4- 0 0 1,28 51,5 0,072 5,6 31,6 0,245 27 IV.5 0 0 0 0 4- 0 1,56 33,4 0,058 3,7 13,8 0,442 28 IV.6 0 0 0 0 0 4“ 1,88 18,6 0,043 2,3 5,3 0,632 29 V.0 0 0 0 0 0 0 1,34 18,7 0,043 3,2 10,4 0,294 Сум- мы 3839,4 — — 1387,6 215
Переход к относительным ошибкам (см. § 1.4) вле- чет за собой преобразование выходов в логарифмиче- ские o)u = lnt/u. Параметр оптимизации показан в табл. 3.26; по этим данным и строится квадратичная модель; поскольку уи преобразованы, то целесообразно преобразовать и норматив /?ф = 2 как (Оф=1п2=0,6932. Для всех связующих в табл. 3.26 получено хотя бы одно значение R>R$ (для «Ш» в опыте № 4, для «/7» — в № 24, для «Б» — в № 5, 6, 7, 25), что указывает на по- лезность дальнейшего моделирования. Расчет коэффициентов квадратичной модели. Расчет коэффициентов модели по плану Рехтшафнера отличает- ся от алгоритмов для рассмотренных симметричных планов. Используются элементы (см. табл. 2.15) матриц [L] (2.95) и результаты опытов в каждой строке плана уи. Анализ L-матриц показал, что для планов Ri можно построить специальный бланк-алгоритм (табл. 3.27), не только существенно упрощающий расчеты на микро- калькуляторах, но и предусматривающий промежуточ- ный контроль. В нем используются полные и частичные суммы результатов по четырем блокам плана Re (см. табл. 3.26) с индексами I, II, III и IV. а. 1) Для расчета свободного члена Ьо и вспомога- тельных сумм p{i}, p{it} и p{ij} (табл, а) находим сум- мы уи по блокам, например S(II) = 0,638+0,031 + . . .+1,617=6,246. (3.66) 2) Заполняем 13 ячеек табл. 3.27.а произведениями соответствующих сумм 2(1), ..., 2(П+Ш) на коэффи- циенты А, В, С, ..., например C-S(I) = —1/50-(—1,749)=+0,035. (3.67) 3) Построчным суммированием получаем искомые величины b0, ,p{t}, р{п} и p{t/}, например оценка сво- бодного члена Ьо = -0,122-0,229+0,037+0,756 =0,442. (3.68) Контроль: суммы &о+р{О+р{£1} =0,442+0,772 — —0,252=0(1). б. 1) Для расчета линейных bi, квадратичных Ьц эф- фектов и вспомогательных сумм 2<j находим по блоку III шесть сумм Уш.,, для каждой комбинации из пяти строк, содержащих данный подстрочный индекс, напри- 216
Таблица 3.27 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТАБЛИЦЫ К РАСЧЕТУ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПО ПЛАНУ Яб а) Расчет свободного члена bQ и вспомогательных сумм р{/}, р{и} и p{f/} 2(1) —1,749 2(П) +6,246 2(Ш) —11,192 2 (IV) +3,782 2(П+Ш) —4,946 Ьо А (7/100)2(1) —0,122 —£>(—11/300)2(11) —0,229 Я(—1/300)2(111) +0,037 ./? (1/5)2 (IV) +0,756 — Ло=+0,442 р{‘} —В (—1/20)2(1) +0,087 5(1/20)2 (II) +0,312 —F(—<1/30)2(111) +0,373 — — р{»} =+0,772 р{«} С (—1/50)2(1) +0,035 М(—1/75)2(11) —0,083 D (11/300)2(111) —0,410 -Я(—1/5) 2 (IV) —0,756 — р{й}=—1,214 рШ} 5(1/20)2(1) —0,087 — — — F(l/30)2(II+III) —0,165 p{ij) 0,252
б) Расчет эффектов Ьг, Ьц и сумм Sij Продолжение 00____________________________________________________________________ в) Расчет оценок взаимодействий Ьц 1 1 2 3 4 5 6 SKiii./j —2^,213 {2j} —0,060 —5,137 {4j} л —5,864 {5j} —2,970 {6j} —6,140 м “га 1 ’7 S 1 со Q. P7tj 2B+E+F (1/4) Kin.tj nZ(2l/l—) j—g— + ol + co Q. I к таблице «в> 2м X {1к+2к} —2,273 {1к+3к} —7,350 {1к+4к} -8,077 {1к+5к} —5,183 {1к+6к} —8,353 •••* S2J — X {2к+3к} —5,197 {2к4-4к} —5,924 {2к+5к} —3,030 {2к+6к} I2 —6,200 13 0,669 1,841 2,631 1,402 2,255 1,234 —0,056 —0,153 —0,219 —0,117 —0,188 —0,103 + 0,051 —0,187 —0,303 + 0,077 —0,191 —0,081 + 0,189 +0,612 +0,673 +0,432 + 0,696 +0,433 —0,06$ + 0,020 —0,10t + 0,140 +0,065 —0,00$ 2.1 {Зк4-4к} —11,001 {Зк4-5к} —8,107 — контроль 22Уш.м=22(Ш) 22,1=102(111) X 2« — — X {4к+5к} —8,834 15 {4к+6к} —12,004 16 2.J — X {5к+6к} оз —9,110 " 1
pn=F+B (1/12)2УШл, —0,184 —0,005 —0,428 -0,489 —0,248 —0,512, 24 2,024 —0,169 -0,011 +0,494 +0,062 pis=P—D (-1/12)2Ушл, + 0,184 +0,005 +0,428 +0,489 +0,248 +0,512 25 0,795 -0,066 +0,094 +0,252 +0,028 Уц.< +0,638 +0,031 + 1,203 + 1,993 +0,764 + 1,617 26 1,648 —0,137 —0,068 +0,517 +0,060 р<зв—В—Е (-1/6) Упл —0,106 —0,005 —0,200 —0,332 —0,127 —0,270 34 3,196 —0,266 —0,312 +0,917 +0,086 Pi4=Q—М (1/6) Упл +0,106 +0,005 +0,200 +0,332 +0,127 +0,270 35 1,967 —0,164 —0,285 +0,676 —0,025 61=p{i} + +pil+P<3 +0,482 +0,762 +0,144 —0,048 +0,397 —0,011 36 2,820 —0,235 —0,419 +0,940 +0,033 Yw.i +0,683 +0,879 +0,901 +0,245 +0,442 +0,632 45 2,757 —0,230 —0,306 +0,736 —0,052 P<5=^+S (1,0) Уху л +0,683 +0,879 +0,901 +0,245 +0,442 +0,632 46 3,610 —0,301 —0,534 + 1,000 —0,087 -0,014 5и=р{м}+ Pi2"hPt’4“|“ —0,241 —0,326 +0,315 —0,149 —0,398 +0,200 56 2,381 —0,198 —0,323 +0,759 +Р<5 контроль KlV.i = bo+ S +b^bti 0,638 1 0,879 0,901 0,245 0,442 0,632
мер для индекса «3» суммируются строки III. 13, III.23, III.34, Ш.ЗЭ и III.36: 2ГШЗ/ _ -0,747-0,326 - 1,248 - 1,139 - —1,677=-5,137. (3.69) Контроль: сумма всех шести SYniij=2S(III) = = —22,384. 2) Находим 15 вспомогательных сумм 2,; попарным суммированием 2Ушлл образующих из первых под- строчных индексов сочетание «»/», например сочетание «23» (сумма 2гз) образуется как 2Уш.2, + 2Уш.з^= -0,060-5,137= —5,197. (3.70) Контроль: сумма всех пятнадцати 2^= 102(111) = =—111,92. 3) Находим по шесть вспомогательных произведений pt.i и р,-.2, например для столбца i=4 p4.i=(F+B) 2Уш.4;= 1/12( —5,864) =—0,489. (3.71) 4) Записываем из табл. 3.26 значения Упл и находим вспомогательные произведения р,.з и р,.4, например для столбца i=4 Р4.з= (-В-Е) Уп.4= - 1/6-1,993= -0,332. (3.72) 5) Находим значения оценок линейных эффектов, на- пример й4=р {i} +р4.1 + р4.з=0,772 - 0,489 - 0,332 = - 0,048. (3.73) 6) Записываем из табл. 3.26 значения Упгл и нахо- дим шесть вспомогательных произведений pi.5=yiv.i- 7) Находим значения оценок квадратичных эффек- тов, например: &44=p{li} + Р4.2 + Р4.4 + Р4.5 — —1,214 + 0,489 + +0,332 + 0,245 = - 0,149. (3.74) Контроль: сумма &о+^4+^й = У1У.г, например Ьо+bi+Ьц= 0,442 - 0,048 - 0,149 = 0,245. в. 1) Для расчета оценок взаимодействий Ьц нахо- дим 15 вспомогательных сумм 2Упо попарным сумми- рованием Упл (см. табл. 3.26), образующих из под- строчных индексов рассчитываемое сочетание <dj», на- пример сочетание «23» образуется как Уп.г+ Уп.з=0,031 +1,203= 1,234. (3.75) 220
5) По данным п. в.1 находим 15 вспомогательных произведений Рб.о, например для сочетания «23» рб.2з= (-B-F)Shi.23= (—1/12) • 1,234=—0,103. (3.7э) 3) По данным блока III (см. табл. 3.26) находим 15 вспомогательных произведений р7.ц, например для со- четания «23» Р7.2з= (2B + E + F) Уш.2з= 1/4( —0,326) = -0,081. (3.77) 4) По данным табл. 3.27.6 находим из 2»,- 15 вспомо- гательных произведений рель например для сочетания «23» Р8 23= (-B-F)S23= -1/12(— 5,197) = +0,433. (3.78) 5) Находим значения оценок эффектов взаимодейст- вия, например &2з=р{0'} (Рб+Р7 + рв)2з = —0,252—0,103—0,081 + + 0,433=-0,003. (3.79) Контроль: сумма Ь0=2Ь{-]-‘2,Ьц+^Ьц—У1=—1,749. Проверка значимости оценок коэффициентов регрес- сии проведена при а=0,05 (/=1,659 при 139—29= = 110), расчетные коэффициенты Т взяты из табл. 2.16: s { &о} = / • 6Э • Т {/>о} = 1,659 • 0,0692 • 0,50313=) = 0,0577; s{M =s{bi} = t-89-T{bi} = 1,659-0,0692-0,22850= * = 0,0262; (3.80) s {Ьц} = t • бэ • T {Ьц} = 1,659 • 0,0692 • 0,92755 = I = 0,1065. j Незначимые оценки be, b13, Ь2з, b35 и ft56 можно уда- лить из модели без пересчета остальных оценок, потому что коэффициенты корреляции оценок [15, с. 380—381] весьма малы (|р|^0,06). Таким образом, получается конечная модель <в-103 = 442+ + 482zi — 241z2i — 68ziX2— IOIZ1X4+ 140ziXs+65ziZe + + 762х2—326х22 + 62X2Z4+ 28x2Xj + 60x2Zg + +144хз+315х2з + 86X3Z4 + ЗЗхз^б— - 48z4— 149z24 - 5224X5- 87x5z6 + + 397x5 -39§х25+ + 200z26 , (3.81) 221
(1/ 613 * 482z, -241zf-68zJx2-101ZjZ^i40zJX5 +65zfz6 + 76212 3261г -I34z^-149zl +397x^-398x5 - 33z6 +200zl 621^ *28 х2х5 +60i2z6 - '52г^х5-87г^26 + (?) 26opt’B~1 ^+1 (3) 846 +417 Zf -241zf '68z/X2-lOlz/z^14Oz1Xj* * 702х? ~32612 * 62х2 z^ + 28X2X5 • - 47z<< -I49zl - 52z^X5* * 397х5~398Х5 |й) 644<QJB^+£/SiJ<9/8^/:-‘i^z^0Pt^T\ i7^ ^^^1^-д^^Т+ого8хГо^х?\ (6) 850+433z1~224z2 ~ 89 Zj 1^+1587^+ ★692хг~320X2 * 17хгХ& 405X5-393X5 j r :(1(ШМ*:09^^^ _ ~1 1059*603x2320x2-17x2i5* *563x5-393x25 1060*606X2’311X2- 14x2X5 +558х5-365хг5 ^го^о.г7512-о,г9^ (15) [289 350 К зоне Д 1229 *___ 1253 1529 1534 136 146 7059|* 1060\ В К зоне В -803 -794 * 103 _ 137 * 369 446 * Л Рис. 3.6. Поиск оптимального решения о)-105->тах которая используется для минимизации тф(х3) и приня- тия технико-экономических решений. Минимизация по квадратичной модели времени пре- бывания изделия в форме. По конечной модели (3.81) Можно решить поставленную задачу, оптимизируя зна- чения z1( z4 и z6 для достижения Яф.тах- Три фактора: х2, хз и х4 —должны быть введены во всем изученном диапазоне в регулировочные диаграммы. Однако в по- строении трехмерных диаграмм в данном случае нет 222
(для связующего «Ш» или *з=—1) в координатах х2 и х5 необходимости, так как фактор х3 дискретный. Поэтому можно подстановкой х3=—1 («777»), х3=0 («77») и х3= = 4-1 («5») разделить общую модель (3.81) на три не- зависимые и исследовать их в отдельности для каждого связующего. Так как алгоритм построения регулировоч- ных диаграмм при оптимальных zit z4 и z6 для всех видов «7И» одинаков, то далее рассматриваются этапы поиска решения (рис. 3.6) для композита на связующем «777» (х3= —1). 223
1. Подстановкой х3=— 1 получаем пятифакторную модель (1). Л 2. Максимизирующий со уровень фактора z6 может принимать (условие записано в блоке 2) два конкури- рующих значения £б=±1, поэтому подстановкой z6 мо- дель разделяется на две: (3) и (16). 3. При Ze==—1 (модель 3) для фактора х4 соблюда- ются условия (4) перемещения его оптимума только в зоне эксперимента —l^z40pt^ + l, поэтому можно най- ти линейную функцию (5), которая после подстановки переводит модель (3) в модель (6). 4. Для модели (6) фактор zx находится не только в зоне эксперимента, но и может выйти за ее пределы (условие (7)); поскольку исследована только зона —l^z^-j-l, то следует принять для части факторного пространства {x3, х5} значение zi=4-l. Граница перехо- да от Zfopt к Zi = 4-1 определится из соотношения z\ opt = = 0,966—0,199x24-0,358x5=4-1, по которому можно най- ти точки пересечения этой прямой с осями координат х°2=—0,17 и х°5=4-0,10 (блок 10). Выше этой прямой в зоне А на диаграмме (15) будет постоянное значение Т=70°С (zi= 4-1), ниже, в зоне В, — переменное Z\ opt (8). В обоих случаях (13—14) будет переменным опти- мальное содержание катализатора г40Рь получаемое подстановкой Zi из (8) и (9) в линейную функцию (5). 5. Для 2б=—1 получена диаграмма (15), на которой л в узловых точках даны два значения со-103: над чер- той— при условии Zi = 4-1, под чертой — при перемен- ном Ziopt- В последнем случае всегда получается боль- шая величина, но в зоне А диаграммы (как указывалось л ранее) приходится пользоваться значениями со при Л z4=4~l. Принятые для дальнейшего анализа со-103 от- мечены звездочками. 6. При z6=4-l (модель 16) условия перемещения z40pt в зоне эксперимента не выполняются (блок 17), поэтому рассматриваются две области оптимизации: при постоянном z4= —1(18) и переменном z40Pt (27). 7. После подстановки z4=—1 получается модель (19), для которой оптимум Zi opt (22) также может принимать значения вне зоны эксперимента; это требует, как и на этапе 4, принятия для некоторой части факторного про- 224
странства предельного значения Zi = + 1, поэтому выше границы (23) в зоне С на диаграмме (26) оптимальная температура постоянна: Т=70°С. 8, На диаграмме (26) в узловых точках даны л со-10»; принятые для дальнейшего анализа отмечены звездочками (одна звездочка — лучший результат при сравнении двух диаграмм, две звездочки — всех диа- грамм); сравнение диаграмм (15) и (26) в узловых точках показывает, что во всем пространстве {х2, х5} лучший результат получен при втором пути оптимиза- ции, что позволяет решение z6=—1 (модель 3, оптимизи- руемая на этапах 2—5) снять с дальнейшего анализа. 9. Лучший результат этапа 8 еще не может быть признан окончательным, так как необходима проверка области оптимизации при переменном z40pt (27), под- становка которого в модель (16) приводит к трехфак- торной модели (28). 10. Для модели (28) условие —I^Zi opt^4-l также не выполняется (29), поэтому и для нее рассматрива- ются два варианта: Zi=-H (модель 33) и переменное Ziopt (модель 34) с линией пересечения (32). Модели (33) и (34) имеют переменное значение концентраций катализатора z4opt (функции (35) и (36) соответст- венно) . 11. Функция (36) для переменной концентрации ка- тализатора (зона F) может принимать в пространстве {*2, *5} значение z40pt<—1, поэтому необходимо найти границу ее применимости. Координаты пересечения гра- ницы с осями х2 и Хъ (соответственно х2°=0,77 и х5°= е=—0,72) показывают, что эта граница лежит выше гра- ницы зон Е и F, поэтому во всей зоне F можно приме- нять фуНКЦИЮ Z4 opt (36). 12. Для функции (35) координаты границы примени- мости х2°=0,40 и х°5=—0,46, т. е. зона Е должна быть разделена на две подзоны. В подзоне Д2 применяется переменная оптимальная концентрация добавки по функции (35), а в подзоне Ei — постоянная z4=—1. Принятие такого решения (37) равнозначно переходу ко второму пути оптимизации, и в подзоне Е\ необходимо использовать результаты, полученные в зоне С. 13. Сравнение результатов в точках диаграмм (26) и (38) показывает, что при х2= + 1 и xs=0, а также при х2=0 и Хб=—1 лучшими являются варианты в зоне Е2. 15 Заказ 6525 225
При Хг= + 1 и х5= — 1 лучший вариант в зоне F. Лучшие варианты в зонах С, Е2 и F отмечены двумя звездоч- ками. Математическое решение окончено, однако необходим профессионально-логический анализ результатов. В зоне F требуется поддержание переменных опти- мальных температуры смеси (zx opt) и концентрации ка- тализатора (z4 opt), в зоне Е2 — переменной z4 Opt, а в зоне С все параметры процесса стабилизируются на плезиоптимальных уровнях zx=—1 и zt— + l при ze= = 4-1. Последняя зона предпочтительнее, так как не тре- бует введения специальных управляющих элементов в технологический процесс. Для окончательного решения необходимо оценить потери прочности композита (табл. 3.28). Таблица 3.28 ПОТЕРИ ПРИ ПЕРЕХОДЕ К ПЛЕЗИОПТИМАЛЬНОМУ РЕШЕНИЮ Координаты точки Хг — +1 х5=0 II II 1 ° *•»=!. —1 Лучшее значение Л (D Л /?ф.ор1 1,627 5,089 0,273 1,314 0,629 1,876 Плезиоптималь- ное Л (Ос Л Кф.с 1,625 5,078 0,272 1,313 0,609 1,839 Потери АЛА (^?ф.ор1—^?ф.с) /’кф.ор! 0,2% 0,1% 2,0% Данные табл. 3.28 убеждают в целесообразности за- мены трех оптимальных математических решений одним. л На диаграмме (26) проведена изолиния о)ф-103=693 или л /?ф=2МПа и заштрихована зона технологических режи- мов, обеспечивающих расформовку изделий. Лучший ре- л л зультат <оф-103= 1844 или 7?ф=6,32 МПа в 1,9 раза вы- ше, чем единственный экспериментально полученный (опыт П.З в табл. 3.26) на композите типа «Д/» резуль- тат, удовлетворяющий требованию /?ф^2 МПа.
Глава 4. ПРИМЕРЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПО ПОЛИНОМИАЛЬНЫМ МОДЕЛЯМ 4.1. ЯЗЫК МАТЕМАТИКИ И НЕОБХОДИМОСТЬ ЕГО ПЕРЕВОДА Затратив достаточно много сил, средств и времени на проведение эксперимента, первичную стати- стическую обработку результатов, расчет коэффициен- тов полиномиальной модели, проверку ее адекватности и другие рекомендуемые в руководствах процедуры, исследователь, особенно делающий первые шаги в ре- шении технико-экономических задач на основе модели- рования, с удовлетворением рассматривает свое эле- гантно одетое в математические символы детище. К со- жалению, во многих статьях, тщательно описывающих стандартные процедуры планирования эксперимента и расчета моделей, сразу за записью модели следует фи- нальная фраза: «Эта модель и использована для техни- ко-экономических выводов», хотя именно с нее должна начинаться основная часть публикации. Язык матема- тики остается или вообще не переведенным на язык дан- ной отрасли науки или переведен так наивно, что выво- ды ставят под сомнение необходимость применения ма- тематического моделирования в прикладных исследова- ниях. Каждая модель в соответствии с целями ее соз- дания должна ответить хотя бы на вопросы как? чем? (см. § 1.1), т. е. служить для принятия технико-экономи- ческих решений. Методы перевода математического языка моделей и принятия решений рассматривались во всех предыду- щих главах, однако целесообразно проанализировать еще несколько примеров без детального описания про- цедур построения моделей. Поскольку поиск координат экстремумов, интерполяционные и экстраполяционные задачи, построение двухфакторных регулировочных диа- грамм, минимизация ресурсов могут быть поняты из примеров гл. 3, а принятие компромиссных решений до- 15* 227
статочно полно описано в [12], далее рассматриваются три нетривиальные по методике задачи: — интерпретация полиномиальной квадратичной мо- дели при разной степени риска отвергнуть правильную гипотезу; — выявление взаимосвязи между слабокоррелиро- . ванными выходами системы; — принятие решения для системы с регулируемыми и свободно оптимизируемыми факторами. Конечно,' автор далек от мысли, что эти три методи- ки заканчивают создание транслятора для перевода математического языка полиномиальных моделей на профессиональный язык исследователя, но эти методики позволят избежать ряда укоренившихся ошибок и из- влечь более глубокую технико-экономическую информа- цию, содержащуюся в моделях. 4.2. ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МОДЕЛИ И ОЦЕНКА СТЕПЕНИ ВЛИЯНИЯ ФАКТОРОВ НА ВЫХОД (НА ПРИМЕРЕ СИНТЕЗА СТЕКОЛ ДЛЯ ЯЧЕИСТЫХ КОМПОЗИТОВ) Постановка задачи и моделирование. В комп- лекс задач [82], которые необходимо решить при синте- зе специальных стекол для производства ячеистых ком- позитов, используемых в электротехнической, химиче- ской, строительной и других отраслях промышленности, входят анализ и оптимизация стекла по показателю хи- мической стойкости в агрессивных средах. Одним из таких показателей является 6{G}—относительное уменьшение массы образца по сравнению с исходной Go при длительном хранении в соляной кислоте; величи- на 6{G} должна быть минимизирована за счет выбора оптимального состава стекла. Для анализа показателя стойкости K=6{G}-103 многокомпонентного стекла, включающего на 14 массовых частей (далее «м. ч.») оки- си натрия (Na2O) переменное содержание кварца (SiO2) ,Х\ = 65±5 м. ч., глинозема (А12О3) Х2=10±5 м. ч., окиси кальция (СаО) Х3=6±2 м. ч., окиси магния (MgO) Х4=4±2 м. ч. и окиси калия (К2О) Х5=1±1 м.ч., использована пятифакторная квадратичная модель, по- строенная по результатам экспериментов (s9J)=5,2 при /эю=27), реализованных по плану Has (см. § 2.6, 3.8): 228
if = 49,6 — 15,4л"!+8,6x3! —3,6x(x2 + 13,8x2+16,lx»3 +3,6X3 4" 4,9х2з +0,3x4—15,2x34 +4,4x5—2,7x28. +5,5x^3 —10,2x2x3 --MXjX! —2.0x2x4 +0,5x3x4 —4,2x!X5 + +0,2xax6 + —0,2x3x6+ +6,7x4x5+ (4.1) В модели (4.1) сохранены все оценки коэффициентов. Интерпретация модели при нарастающей степени риска отвергнуть правильную гипотезу. Задача о назна- чении степени риска а отвергнуть правильную гипотезу (см. § 1.3) не может быть решена однозначно для всех технико-экономических ситуаций. Пятипроцентный уро- вень риска в технико-экономических расчетах следует рассматривать лишь как некоторую исторически сложив- шуюся традицию и применять в тех случаях, когда не- возможно на логико-профессиональной основе оценить цену потерь от отклонения правильной гипотезы. Вряд ли среди читателей найдется кто-нибудь, отклоняющий с одинаковым риском гипотезы: А) «Эти бублики черст- вые»; Б) «За 30 мин невозможно доехать на автобусе до вокзала и успеть к отходу поезда»; В) «У этого авто- мобиля неисправные тормоза» и т. п. Действительно, отвергая гипотезу «4», т. е. считая бублик свежим, мы купим его. и потеряем 5 коп или будем есть без удоволь- ствия черствый бублик; отвергнув гипотезу «В», т. е. считая автобус надежным по времени средством тран- спорта, мы опоздаем на поезд и с плохим настроением уедем следующим, заново оплатив часть проездных до- кументов; отвергнув гипотезу «В» и отправившись в поездку без починки тормозов, водитель... Цена потерь в технико-экономических задачах зависит как от объекта исследования, так и от его стадии. Чем ближе исследо- вание к завершению, тем, по-видимому, ниже должен быть уровень риска а, а вот на стадии предварительных поисковых работ он может возрастать до 0,2 (см. § 1.3) и даже до 0,5. Интерпретацию моделей, т. е. ее перевод с весьма «жесткого» языка математики на относительно «мяг- кий» язык профессиональной терминологии [27], целе- сообразно вести при нарастающей степени риска отверг- нуть правильную гипотезу. Значимость коэффициентов регрессии по этому методу проверяется многократно от а=0,001 до а=0,5 (см. приложение 1). В табл. 4.1 пока- 229
Таблица 4.1 КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ МОДЕЛИ ПРИ sa»=5,18 И /э®=27 а 0,001 0,002 0,005 0,01 0,02 0,05 0,10 0,20 0,50 0,80 t 3,69 3,42 3,06 2,77 2,47 2,05 1,70 1,31 0,68 0,26 4,50 4,18 3,73 3,38 3,02 2,50 2,08 1,60 0.84 0,31 4,78 4,43 3,96 3,59 3,20 2,66 2,20 1,70 0,87 0,33 biixp 12,23 11,34 10,13 9,18 8,19 6,80 5,64 4,35 2,27 0,85 заны рассчитанные по (2.46) критические значения ко- эффициентов для модели (4.1). При каждом уровне, а можно построить графы связи между факторами. На рис. 4.1 показаны такие графы при возрастающем риске. Наиболее достоверны выводы по первому графу: — все компоненты влияют на растворимость стекла (х5 через взаимодействие с х41), причем влияние факто- ров Xi и Х2 зависит от уровня фактора хз (и наоборот), так же взаимосвязаны влияния х4 и х5; л — факторы х4 и Хг влияют на У нелинейно. По второму графу выводы дополняются: А — фактор Xi влияет на У нелинейно; Xi — основной фактор, уровень стабилизации которого определяет сте- пень влияния остальных компонентов (при Xi = const Рис. 4.1. Изменение графов связи между пятью факторами Xi при различном риске а отвергнуть правильную гипотезу (зачернены значимые линейные эффекты, петля-г-значи- мый квадратичный эффект, ребра графа — значимые эф* фекты взаимодействия) 230
граф распадается на два независимых ребра х2—х3 и Х4 -^б)? — влияние трех факторов xt, х2 и х3 полностью взаимосвязано, а уровень фактора х3 влияет на степень влияния Xi и х4 (и наоборот). По третьему графу можно сделать осторожные «рае невозможные» выводы, полезные на стадии поиско- вых работ: — возможно, что все факторы влияют нелинейно; — возможно, что эффекты взаимодействия £24, ?25> ₽з4 и р35 отсутствуют. Такой принцип построения технико-экономических выводов существенно безопаснее, чем интерпретация мо- дели при традиционном риске а. Оценка степени влияния факторов на выход и их ранжирование. В задачу интерпретации полиномиальной модели (см. гл. 1) входит и ранжирование факторов Xi, по степени их влияния на выход, что необходимо для выбора управляющих воздействий и принятия решений о создании методов их регулирования и стабилизации. Оценивать степень влияния факторов можно по модели с любой степенью риска а. Для дальнейшего анализа примем двусторонний риск а=0,1; тогда после удаления незначимых эффектов и пересчета оценок Ьо, Ьп, Ь22 и 644 (см. гл. 2) получаем конечную модель (средний граф на рис. 4.1). Л Y =-49,8 —15,4^! + 9,2x!t —3,6x4X3 + 5,6X4X3 —4,2xtx(4- —10,2*3X3 + +6,8x4X5+ (4.2) + 13,8x3 + 16,7х*2 +4,4x4. В соответствии с постановкой задачи У должен быть минимизирован. Диссоциативно-шаговым методом мож- но найти координаты Утш=6,7 (пять этапов: первый — *5=±1, второй — Х4=±1, третий — x20pt =—0,41-4- +0,11 xj+0,31 х2, четвертый — х3=—1; пятый — xt opt), показанные в табл. 4.2. л Аналогично находятся координаты Утах= 130,0 (см. табл. 4.2), необходимые для сравнительного анализа роли факторов в двух экстремальных точках поверхно- сти отклика У. Ранжирование проводится по максималь- 231
ному перепаду ДУ в однофакторных моделях У=/г{х,}, получаемых при стабилизации остальных xj на уровнях, Л Л соответствующих координатам экстремумов Утщ И Утах. Поскольку во многих работах авторы продолжают без- основательно оценивать роль факторов по функциям плоскостях, проходящих через начало координат коди- рованных факторов, в табл. 4.2 для сравнения приведе- на информация и о таких функциях. в Таблица 4-2 ОДНОФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ Y=h{xi} ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ СТАБИЛИЗАЦИИ В зо ie минимума ^m1n=7^= + 0’76» min лз=—0,6, х3==—1, jr,=+l, х5—1) В зоне максимума А Y =130(Х| 1, шах ' ’ Х2 = -{-1, Хэ = — 1, х<=0,24, х8=4-1) В центре факторного пространства (Жу =0) Х\ 12—14х14-9хзг1 92—29xi-|-9x2i 50-15^4-9x2! Х2 14+21х2+17х22 86+28х2+17х24 504-14х24-17х22 х* 19+Пхз—2х23 118-12хз 504-4х3 *4 28—7х4— 14х24 129+7x4— 14х24 50 — 14х42 Хъ 15+8x5 120+10х6 504-4x5 Графики всех функций из табл. 4.2 показаны на рис. 4.2. На графиках указаны числовые значения У для минимума и для максимума каждой однофакторно? функции. Ранжирование в зоне минимума дает ряд ДУ{х2}>ДУ{х1}>ДУ{х4}>ДУ{х3}>д'у{х5), (4.3, т. е. наиболее ощутимо влияет на увеличение раство; мости стекла содержание в нем А120з, существен1!', меньше влияют концентрации S1O2, MgO и СаО (и ь. влияние почти равноценно) и менее всего—КгО. Ранжирование в зоне максимума дает ряд ДУ{х1}>ДУ{х2}>ДУ{х3)>ДУ{х4}>ДУ{х5}, (4.4) который отличается от (4.3) не только рангами факте ров и их группировкой (ДУ{Х1) ~ДУ{х2}, а остальные 232
YfnatL-130 Рис. 4.2. Однофакторные зависимости Y=fi{xi} при условии ста- л л билизации Xj в зоне максимума Утах, в зоне минимума Утш и при Xj=0 (штриховая линия), а также ранги влияния факторов '! в каждой зоне (римские цифры) й Л - ДУ{х,} влияют в два с половиной раза меньше), но и направлением влияния фактора х3. Как видно из рис. 4.2, ранжирование при х;=0 дает, вообще говоря, (г случайный ряд. Неверное ранжирование было бы полу- Л :чено по абсолютным значениям коэффициентов bi: иф|Ь1|>|&2|>|Ь8|>|&з|>|М В (4.1). ош Из приведенного анализа следует сделать важные _н методические выводы: — ранжирование роли факторов необходимо прово- дить не по абсолютной величине линейных эффектов л , |6<|, а по однофакторным зависимостям Y=fi{Xi}; ' — ранжировать перепады (от максимума до мини- -л Л мума) функций Y=fi{xi} можно только после стабили- 233
зации остальных х, на некоторых технико-экономически обоснованных уровнях; Л — ранжирование Y=fi{Xi} в плоскостях, проходящих через начало координат, произвольно и не несет сущест- венной информации; — следует ранжировать факторы в зоне, соответст- вующей цели данной задачи (достижение максимума- минимума выходом, попадание его в заданный коридор, минимизация расхода компонента и т. п. — см. гл. 1); — целесообразно проводить сравнительное ранжиро- Л л вание факторов в двух зонах — для Утах и для Утщ. 4.3. ВЫЯВЛЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ МЕЖДУ НЕСКОЛЬКИМИ СЛАБОКОРРЕЛИРОВАННЫМИ ВЫХОДАМИ СИСТЕМЫ (НА ПРИМЕРЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ И АНАЛИЗА ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ УСЛОВИЙ ТРУДА В НЕПРОИЗВОДСТВЕННОЙ СФЕРЕ) Социально-экономическая и методическая по- становка задачи. Тенденция к расширению непроизвод- ственной сферы остро ставит проблему эффективности работы именно этой категории трудящихся. В целях разработки конкретных мероприятий по внедрению в практику системы бездефектного труда в торговле про- ведено анкетное обследование работников торговой сети, непосредственно связанных с обслуживанием населения крупного города <[77]. Анкеты позволяли провести груп- пировку обследуемых по полу, возрасту, семейному по- ложению и т. д., а также оценить связь этих объектив- ных параметров с субъективными, такими, как желание уйти на другое предприятие, удовлетворенность техни- ческим состоянием рабочего места и др. Многомерная группировка была произведена по трем объективным параметрам (вводимым в модели факторами Xi). Во- первых, информационный массив разделился по уровню образования на два: Xi= +1 включил лиц с высшим и средним образованием, a Xi——1 — с неполным средним образованием и начальным. Во-вторых, каждая из под- групп была разделена на три (Ха=4-1, -«2=0, х2=—1) по уровню заработной платы. В-третьих, эти шесть груп- пировок разделены каждая на четыре по стажу работы х (со средним значением т в интервалах группирования 2,4, 8 и 16 лет). Переход к х» двухэтапный: ряд т преоб- 234
разуется как т=2“ (а равно 1—2—3—4), а кодирован- ное значение фактора х3 определяется как (4.5), что при необходимости возврата к натуральному переменному т дает (4.6): (1,5ха—2,5) х3= (а—2,5): 1,5; >т=2 . (4.5),(4.6) Группировка 366 анкет приводит к несимметричному плану 2X3X4 (см. § 2.8, 3.6). Результаты (со средним пи, близким к 15) показаны в табл. 4.3. Для количественной оценки субъективных парамет- ров в группе из пи обследуемых использован вероятно- стный показатель pJU — частость в процентах ответа «Да», рассчитываемая по частоте такого ответа, как (1.8), подобно задаче в § 3.3. Ошибка такого показате- ля в данном случае не может быть оценена по воспроиз- водимости результатов, так как для этого требуется повторное анкетирование, но может быть найдена при- ближенно (точное решение [48, с. 304—309] возможно при больших объемах в группах пи и отсутствии малых частот ри и 1—ри) как s{Pju} =Vpju(1-Pju) :пи • (4.7) Моделируются не частости- pjU, а их логарифмическое преобразование (3.13), определяемое с дисперсией (4.8), вычисленной из (4.7) по (1.51): 52{хи)='1:[р„(1-ри)-Ли]. (4.8) Далее рассматривается моделирование четырех веро- ятностных субъективных показателей (см. табл. 4.3) в социальной группе: р0 — оценка вероятности «нёухода» на другое предприятие как характеристика стабильно- сти кадров; pi—оценка вероятности общей удовлетво- ренности работника торговли от выполняемой им рабо- ты; р2 — оценка вероятности удовлетворенйости руко- водством торговым предприятием и отношением с руко- водителями; р3 — оценка вероятности удовлетворенности техническим оборудованием рабочего места. Исходя из работ в области социальной психологии коллективов, можно было предполагать, что между Ро и показателями р\, рч и р3 существует достаточно тес- ная связь. Однако даже визуальный анализ корреляци- онных полей (рис. 4.3) показывает, что такая гипотеза для всей совокупности может быть принята с очень 235
МАТРИЦА ЭКСПЕРИМЕНТА, ЕГО РЕЗУЛЬТАТЫ Но- мер опы- та Матрица эксперимента Объ- ем груп- пы N и Эмпирические частоты т. 1и Эмпирические частости р1и Xi Х2 Xi т0 mi т. тз Ро Pi р2 Р» 1 +1 +1 4-1 19 14 13 12 7 74 68 63 37 2 + 1 +1 +1'3 15 9 12 15 8 60 80 93* 53 3 + 1 +1 —1/3 14 8 9 12 3 57 64 86 21 4 +1 +1 -1 11 10 10 7 4 91 91 64 38 5 +1 0 + 1 14 12 И 12 4 86 79 85 29 6 +1 0 +1 3 15 12 12 14 6 80 80 93 40 7 +1 0 -1.3 24 15 20 22 8 67 83 92 33 8 +1 0 -1 19 10 10 13 6 53 53 • 68 32 9 +1 -1 4-1 11 6 10 8 3 55 91 73 27 10 +1 -1 4-1 3 И 4 6 8 5 36 55 73 45 11 +1 -1 - 1 3 13 9 9 12 2 (9 €9 93 15 12 +1 -1 -1 12 10 8 10 6 83 67 83 50 13 -1 +1 4-1 12 9 1 5 3 75 8 42 25 14 -1 +1 4-1/3 10 6 6 6 7 60 J60 60 70 15 -1 +1 -1 3 11 9 9 11 8 82 82 91* 73 16 -I +1 -1 11 10 9 9 9 91 82 82 82 17 -1 0 +1 15 12 12 19 7 80 80 67 47 18 -1 0 + 1/3 12 9 10 10 7 75 83 83 58 19 -1 0 -1,3 13 12 10 13 7 92 77 92* 54 20 -I 0 — 1 13 8 9 10 6 62 69 77 48 21 -1 -1 + 1 12 12 И 11 3 92* 92 92 25 22 -1 -1 4-1 3 22 18 17 16 9 82 77 73 41 23 -1 -1 -1/3 28 19 18 21 12 68 64 75 43 24 —1 -1 -1 29 21 21 23 12 72 72 79 41 366 Суммн * Взята ближайшая эмпирическая частость, меньшая р=100%. большим риском (за исключением очевидной связи между pi и рг). Поэтому цель работы была переформу- лирована: на основе анализа коэффициентов моделей pj выявить частные группы, для которых гипотеза мо- жет быть признана правдоподобной (по всем или неко- торым Pj). Моделирование вероятностных показателей. По каж- 236
И ПАРАМЕТРЫ МОДЕЛИ Таблица 4.3 Статистические и расчетные параметры модели .Рабочее место* *{/>»} А Д’[х. } А Р. Д{₽.) 11 0,256 —0,5322 -0,2621 0,081 43 -6 13 0,268 0,1201 -0,4808 0,361 38 +15 11 0,431 -1,3249 -0,6990 0,392 33 -12 14 0,414 -0,5754 -0,9174 0,117 29 +7 12 0,317 -0,8954 -0,6670 0,052 34 -5 13 0,278 -0,4055 -0,6670 0,068 34 +6 10 0,188 -0,7082 -0,6671 0,002 34 -1 11 0,242 -0,7538 -0,6672 0,008 34 -2 13 0,461 —0,9946 -1,0716 0,006 26 +1 15 _ 0,367 -0,2007 -0,8534 0,426 30 +15 10 0,603 -1,7346 -0,6352 1,209 34 -19 14 ' 0,333 ±0 -0,4170 0,174 40 +10 12 0,444 -1,0986 -0,2516 0,717 44 -19 14 0,476 0,8473 0,2998 0,300 57 +13 13 0,461 0,9946 0,8512 0,021 70 +3 12 0,616 1,5163 1,4023 0,013 80 +2 13 0,268 -0,1201 -0,4702 0,123 38 +9 14 0,342 0,3228 -0,1371 0,212 47 +11 14 0,297 0,1603 0,1961 0,С01 55 -1 14 0,310 -0,1603 0,5292 0,476 63 -17 12 0,444 -1,0986 -0,6888 0,168 33 -8 10 0,190 -0,3640 -0,5740 0,044 36 +б 9 0,146 -0,2818 —0,459) 0,031 39 +4 9 0,142 -0,3640 -0,3442 0,001 41 ±0 8,324 5,003 4-П дому из показателей р, рассчитаны оценки коэффициен- л тов моделей х^=ф,(хь х2, х3). Для модели х3 статисти- ческие характеристики приведены в табл. 4.3. Проверка однородности дисперсий s2{x3) с разным числом степе- ней свободы fu=nu—1 проводится пр критерию Бартле- та В [42]. Поскольку расчетное В оказалось много меньше %2Табл {<х=0,05; f=K—1=23}, равного 35,2 [39], 237
Ро- 80 60- 40- 20- 40 40 О-----1----1----1---1----1 Q-------1----1----1---1----1 ----1----1----1---1----1 20 40 60 80 p1 20 40 60 80 рг 20 40 60 80 p3 Pi 80 60 40 PT % 8°- •*:•** *• • *S 60- • •* • • • • • 40- 20- 20- 20- 01----1----L—---1---1----1 0|-----1----1----1---1----1 0|-----1----1----1---1----1 20 40 60 80 рг 20 40 60 80 рэ 20 40 60 80 p3 Рис. 4.3. Корреляционные поля для четырех параметров то нуль-гипотеза допускается и можно рассчитать сред- нюю дисперсию по всем группировкам $2{х3} =8,324:24= = 0,3478, которую и использовать в регрессионном ана- л лизе модели хз как s2aw с числом степеней свободы Л faw=2 fu=342. Расчет значений хзи и Д2{хзи} по модели и позволяет (при L=4 значимых коэффициентов (см. (4.12)) найти дисперсию неадекватности s2Ha=5,003: : (24—4) =0,250. Поскольку s2Ha<s2a> то модель призна- л ется адекватной по расчету хз, а тем более (см. § 3.3) Л по расчету р3 (последнее иллюстрируется столбцом Д{рз} в табл. 4,3, где лишь в опытах № 2, 11, 13 и 20 ^абсолютное значение отклонений превышает соответст- вующее значение s{p3u}. В результате получены четыре модели (а=0,05): ро=О,94—0,27xi—0,1 Зл22+0,46л2,—0,36х2х3+ +0,44x1x2x3; (4.9) Pi = 1,03+0,32^X2—0,98х2х3+0,38х1х2х3; (4.10) р2=—0,32—0,35xi+0,32x2—0,25х3—0,23xiX2+ -1~0,25Х1Х2-0,ЗЗХ1Х2Х3; (4.11) р,=2,15—0,35х22—0,82л23+0,55х1Х2х3. (4.12) 238
Выявление возможных взаимосвязей между субъей-. тивными параметрами в группах. Совместный анализ моделей (4.9—4.12) целесообразно провести графиче- ским методом, но не прибегая к построению изоповерх- ностей в трех- или двумерном пространстве, а ограничив- л шись лишь однофакторными графиками р^=<ро{Л<}. Та- кое решение обусловлено, во-первых, тем, что можно будет рассматривать взаимосвязь субъективных пара- л метров Pj на натуральных шкалах Х1( Х2 и т, а не л взаимосвязь преобразованных величин во-вторых, тем, что уровни варьирования факторов х,, вообще гово- ря, есть условные центры группировок и поэтому долж- ны указать лишь общую тенденцию в поведении в соци- альной группе. Можно ограничиться построением гра- Л фиков Pj=q>j{T}, поскольку трудовой стаж в наибольшей мере сохраняет в данных группировках непрерывность. Для четырех граничных групп (х1 = ±1, Хг=±1) работ- ников торговли графики показаны на рис. 4.4. Их ана- лиз позволяет, в частности, сделать следующие выводы: а) наиболее тесная связь между характеристикой л стабильности кадров р0 и субъективными параметрами Л Л Л «удовлетворенности» работой рь р2 и р3 наблюдается у категории лиц с невысоким уровнем образования и повы- шенной заработной платой (рис. 4.4,а), причем все по- л казатели pj имеют тенденцию к снижению по мере уве- личения стажа (исключение составляет лишь удовлетво- ренность руководством при т<6); Л б) стабильность кадров р0 постоянно увеличивается с ростом стажа только у категории лиц с невысокими уровнями образования и заработной платы (рис. 4.4,в); эта тенденция наблюдается во всем диапазоне т для параметра pi (удовлетворенность работой) и в диапа- зоне т^8 лет для параметра р3; в) для лиц с высоким уровнем образования графики Ро=Ч>{*} (рис. 4,4, биг) имеют явно выраженный мини- мум в диапазоне около т=5—7 лет, указывающий мо- мент максимальной мобильности кадров; по-видимому, следует искать причины минимума стабильности у этой категории работников в изменении во времени ориента- 239
Рис. 4.4. Влияние стажа работы на оценки р0 л (сплошная жирная линия), pi (сплошная тонкая), Л Л р2 (штрихпунктир) И Рз (пунктир) для различных групп работников (первая цифра — уровень образо- вания, вторая — уровень заработной платы): a) I, III; б) II, III; в) I, I; г) II, I ционных ценностей, не отраженных ни в постановке за- дачи, ни в результатах данного обследования. Решение вышеизложенной задачи имеет не только практическую полезность для целевого анализа конк- ретной социально-экономической ситуации; метод срав- нительного качественного анализа однофакторных гра- фиков при различных стабилизированных уровнях 240
остальных факторов позволяет выявить подобласти фак- торного пространства, в которых несколько Yj взаимо- связаны, даже если по области факторного Пространства в целом корреляция между ними не обнаруживается. 4.4. ПОСТРОЕНИЕ РЕГУЛИРОВОЧНЫХ ДИАГРАММ ПРИ СВОБОДНО ОПТИМИЗИРУЕМЫХ ФАКТОРАХ В СИСТЕМЕ (НА ПРИМЕРЕ АНАЛИЗА И ОПТИМИЗАЦИИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ХИМИЧЕСКИХ ДОБАВОК В БЕТОН) Общетехническая постановка задачи. В про- изводстве композиционных материалов, и особенно бето- на, с каждым годом расширяется применение химических добавок — регуляторов качества как технологических показателей УТж и Уту (см. рис. 1.1), так и основных Уо и надежностных Уо. Кроме того, за счет такого леги- рования композита можно компенсировать недостатки исходного сырья Лик или введение в его состав отходов промышленности, загрязняющих окружающую среду (шлаки, золы, пыль от дробления горной породы и т. п.), сократить расход энергоресурсов на всех стадиях техно- логического процесса и т. д. Наблюдается отчетливая тенденция к переходу к многокомпонентным химиче- ским добавкам (МКХД), обладающим полифункцио- нальным действием и при производстве материалов, и при их эксплуатации в различных условиях. Однако по мере увеличения числа компонентов в МКХД резко возра- стает сложность понимания и описания механизма их воздействия на образование структуры и свойств мате- риала [78]. В этих условиях полиномиальное модели- рование является одним из самых эффективных инстру- ментов решения задач анализа и оптимизации техноло- гии и качества композиционных материалов [11]. Анализ исследований, выполненных как по традици- онной методической схеме, так и в особенности на осно- ве многофакторного полиномиального моделирования, позволяет утверждать, что для каждого основного соста- ва бетона (факторы Хг) существует своя оптимальная многокомпонентная добавка (факторы Z®). Следова- тельно, оптимизация состава МКХД может идти только по моделям типа к, К1 У=Ьо+( Z biXi+ 2 bijXiXj+ £ Ьцх?) + t=i i<i <s=si 16 Заказ 6525t 241
кг к» 2 + ( У! dvzv+ У! У*, dyyZy) ~|“ и=< v<w v=l + (S CivXiZv). (4.13) Взаимосвязь основного состава бетона с составом МКХД отражает сумма Sct-„XiZu; именно этот элемент модели (4.13) приводит (см. § 1.6) к соотношению </»opt = f{^zw), т. е. делает оптимальную МКХД перемен- ной по пространству основных технологических факто- ров Х{. Эффективность полиномиального моделирования резко возрастает (табл. 4.4) по мере увеличения .числа одновременно исследуемых составляющих (условные на- звания А, В, ...) в МКХД. Данные табл. 4.4 относятся к мелкозернистым бетонам, основной состав которых обычно достаточно охарактеризовать отношениями Ц: П и В : Ц (Ц, П и В — массы цемента, песка и воды в 1 м3 смеси). Технико-экономическая постановка задачи и модели- рование. Необходимо получить равнопрочные бетоны /?тр=30 МПа в широком диапазоне изменения Ц:П (Xi=0,32±0,04) и В : Ц (Х2=0,49 ±0,05) за счет введе- ния оптимальной МКХД, содержащей максимальное ко- личество (Z3=20±20% от Ц) активной минеральной до- бавки (АМД), являющейся отходом переработки слан- цев, засоряющих окружающую среду [76]. Вместе с АМД в состав МКХД входил 20%-ный раствор супер- пластификатора (Z4=2,5±2,5%) и стандартный пласти- фикатор (25=0,15±0,15%). Эксперименты выполнены по плану ЯОб. Получена квадратичная модель (а=0,05, /э«>=81, Saw {Я}=0,55 МПа) для прочности бетона с МКХД: /?=28,26 + 0,29*! —1,02x^3 +0,86x4*4 —Q,44xiZ6— —1,81х2 + 1,15х2а +0,47x2*3 —1,07х3*4 + l,O9x2*5— —5,90*3 +1,12г3з —1,61*3*4 +0,29*3*5+ +2,59*4 —1,04*24 +1,01*4*5— —3,82*25. (4.14) Анализ «эталонного бетона». Поскольку выполнено условие Z1)o=AZ„, по модели (4.14) можно оценить проч- ность «эталонного», т. е. бездобавочного, бетона, подста- вив в (4.14) Zi=—1: /?э=27,52 +1,39х, - 2,30х2+ 1,1 5л22. (4.15/ Диаграмма для модели (4.15) приведена на рис. 4.5. ЗУ
Таблица 4.4 ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ДОБАВОК В БЕТОН (с учетом двух основных рецептурных факторов) Размерность модели К 3 4 5 6 7 Число компонентов К? 1 2 3 4 5 Исследуемые добавки однокомпонент- ные А А, В А, В, С 4, В, С, Р А, В, С, D, Е двухкомпонент- ные нет АВ &В, АС, ВС АВ, AC, AD, ВС, BD, СР АВ, AC, АР, АЕ, ВС, BP, BE, СР, СЕ, РЕ трехкомпонент- ные нет нет АВС ABC, ABD ACD, BCD АВС, АВР, АВС, АВЕ, АСЕ, АРЕ, ВСР, ВСЕ, ВРЕ, СРЕ четырехкомпо- нентные нет нет нет ABCD АВСР, АВСЕ. АВРЕ, АСРЕ, ВСРЕ пятикомпонент- ные нет нет нет нет ABCDE Всего добавок 1 3 . 7 15 31 Расход опытов по плану 14(Вз) 24 (В4) 27(Яа5) 28 (Я6) 36(/?7) на 1 добавку 14 8 3,9 1,9 1,2 ьэ Примечание. Для получения из многофакторной добавки размерности добавок меньшей размерности необхо- g димо условие Zvq—&Zv, что повлечет при Zv=—1 исключение добавки из модели.
В точке А достигается /?э.тах=32,4 МПа, в точке В — 25,0 МПа. Анализ модели «прироста прочности». Если из моде- ли (4.15) вычесть модель (4.16), то будет получен при- л рост прочности AR за счет введения МКХД: АЛ =0,74— 1 .Юх, 4-0,49х2 —5,90х3 + 2,59г4 + 1.12^3 —1,04?\ —3,82х26. —1,02x^3 4-0,47х2х3 4-0,36х,х4 —l,07x2z4 — 1,61*3Z4 —0,44xjZ6+ +1, 09x2x5— 4-0,29хзХ54- —l,01z4x6— (4.16) По модели (4.16) можно ответить на вопрос о дейст- вии на бетон одно-, двух- и трехкомпонентной добавки. Если в (4.16) подставить zw——1, то будут получены мо- дели для добавки, содержащей только zv‘. Д/?{г3)=—5,7—1,02*i+0,47*2+(—4,58—1,02*1 + +0,47*2)z3+1,12z29; (4.17 Д R\Zi)=-4,23+0,36*!—1,07х2+(3,19+0,36*! - -1,07*2)z4-1,04z24; (4.18) a£{z5}=+2,52-0,44*!-1,09*2+(—1,30—0,44*i- —1,09*2)z5—3,82z25. (4.19) цементно - песчаное отношение Рис. 4.5. Прочность «эталонного» бездоба- вочного бетона в пространстве основных рецептурных факторов (Х^Ц-.П и Х2= =В: Ц) 244
Модели (4.17) — (4.19) трехфакторные, прирост проч- Л ности Д/? зависит не только от концентрации добавки, но и от состава бетона, в который она введена. Для анализа л достаточно ограничиться изменением AR=fi{Zi) в двух экстремальных точках диаграммы бетона (см. рис. 4.5): точках А (л'1 = + 1, х2= — 1) и В (%i = — 1, х2 = + 0- Под- становка их координат приводит к шести моделям (рис. 4.6), Имеющим общее начало координат. Рис. 4.6. Прирост прочности бетона АТ? при введении: отходов промышленности (а), суперпластификатора (б), пластификато- ра (в) и двухкомпонентной добавки (г) Как и следовало ожидать, введение отхода АМК сни- жает прочность бетона, однако добавки z± и z5 повыша- ют ее, хотя бы в части исследуемого диапазона г<. Ви- зуальный анализ графиков позволяет предполагать, что одновременное введение z4 и Z5 может компенсировать -падение прочности за счет введения z2. Подстановкой в (4.16) z3=—1 получена модель для двухкомпонентной добавки z3+z4: л Д/?{*4,*5}=7,76 —O.OSxj +0,36xt*4 —0,44x1z5 + +0,02x2 —1,07x2*4 +1,09x2*5 + + 4,20*4 —1,04*24 +1,01x4X5— -0,29*5 —3,82*2б. (4.20) На рис. 4.6 дан для состава бетона в точке А геомет- рический образ модели (4.20), по которому можно еде- Л лать вывод о возможности компенсации Д/?{г3}=—12 при введении z3= + l за счет одновременного введения z4=-M и Z5=0. Этот вывод правдоподобен для всей зо- ны бетонов (см. рис. 4.5). 245
Расчет оптимального состава МКХД для равнопроч- ных бетонов. Стандартный пластификатор z5 экономиче- ски целесообразно израсходовать полностью (в исследо- л ванном диапазоне) для получения Яшах по модели (4.14). Его оптимальное содержание определяется (см. гл. 1) как (4.21), поскольку &зз<0: ^+5X14- —0,44xi 4-1,09ха+0,29х3 4-1,01X1 z6opt= _2^к = —2(—3,82) = -0,058X14-0,143X34-0,038X34-0,132X1. (4.21) Во всем диапазоне переменных xt, Х2, £3 и zt выпол- няется условие— 1 sgz5 opt^+h поэтому (4.21) подстав- ляется в (4.14) и далее рассматривается модель с пере- менным оптимальным содержанием пластификатора: л /?{x60pt 1=28,26 4-0,29X1 —l,04xiX3 4-0,30xiX4— —1,81ха 4-1,23х2з 4-0,51х2х3 —0,93хзХ1— —5,90х3 4-1,13х2з —1,57х3Х14- 4-2,59X1 —0,97х21. (4.22) Аналогичная (4.21) процедура приводит к z40pt: *4oPt=l ,335+0,155* *1-0,479х2-0,809z3. (4-23) Однако использовать (4.23) для подстановки в (4.22) нельзя, так как верхний диапазон (—0,108^z4Opt^+ +2,778) выходит за границы эксперимента (z4= + 0 и технологические выводы могут потерять заданную точ- ность. Поэтому был разработан принципиально новый (по сравнению с [10, 12, 76]) алгоритм. Модель прочности бетона с химическими добавками R=f{z3, z4} рассматривается на комплексе точек фак- торного пространства основной рецептуры бетона {хь Хг}', этот комплекс точек должен соответствовать неко- торому оптимальному плану, в частности плану 3X3 (см. столбцы 1—3 табл. 4.5); в результате получается девять моделей типа (4.24), геометрические образы которых изображены на рис. 4.7: R=b'0+ d'3z3+d'4z4+ l,13z32—0,97z42— 1,57z3z4 , (4.24) где 6'o=28,26 + 0,29xi —0,18x2+l,23x22 ; (4.25) d'3 = - 5,90- 1,04x, + 0,51x2 ; (4.26) d't= +2,59+0,30xi — 0,93x22. (4.27) Значения b3, d3 и dj приведены в табл. 4.5. В каж- дой точке плана 3X3 переменное оптимальное количе- 246
Рис. 4.7. Изолинии /?=f{z3, z4, z80pt) в девяти точках пространства основных рецептурных факторов Х[ и хг (заштрихованное поле); штриховая линия — граница применимости z40pt=ao+oaZ3^l ство суперпластификатора определится из (4.24) как (4.28), но оно не должно превышать z4=-|-l: z4opt = 0,515<r4-0,809z3< + 1. (4.28) Из неравенства (4.28) вычисляется граница (z3rp, графа 7) применимости переменной (как функции z3) концентрации суперпластификатора или его стабилиза- ции на верхнем уровне: z3rp=0,637d'4—1,236. (4.29) Анализ девяти графических образов моделей (рис. 4.7) показал, что максимум прочности при МПа практически во всей области {xj, х3} находится при 247
Таблица 4.5 ХАРАКТЕРИСТИКИ 9 ПРОМЕЖУТОЧНЫХ МОДЕЛЕЙ1 Номер, модели План V d\ z3 гр V d\ z3max ^Зтах, % ж/ 1 2 3 4 5 6 7 8 V 10 11 1 +1 + 1 27,97 —6,43 + 1,96 +0,01 28,96 —8,00 -0,13 17,4 2 +1 —1 31,59 —7,45 +3,82 + 1,20 34,54 —9,02 +0,53 30,5 3 —1 + 1 27,39 —4,35 + 1,36 —1,37 27,78 —5,92 —0,35 13,0 4 —1 —1 31,01 —5,37 +3,22 +0,82 23,26 —6,94 +0,51 30,3 5 +1 0 28,55 —6,94 +2,89 +0,60 30,47 —8,51 +0,05 21,1 6 —1 0 27,97 —4,86 +2,29 +0,22 29,29 —6,43 —0,11 17,8 7 0 + 1 27,68 —5,39 + 1,66 —0,18 28,37 -6,96 —0,23 15,5 8 0 —1 31,30 —6,41 +3,52 + 1,01 23,85 —7,98 +0,52 30,4 9 0 0 28,26 —5,90 +2,59 +0,41 29,88 —7,47 —0,16 19,7 f В строке 3 z3rp <2зщах » но на величину малую с инженерной точки зре- ния, поэтому здесь значение также принято равным +1. Z4opt= + 1, поэтому это значение подставлено в модель (4.24), что переводит ее в однофакторную параболиче- скую модель (значения Ьо" и da" в табл. 4.5). R = b0"+da"za + l,13z32; (4.30) где fe0"=6o+d'4-0,97; da"=d'a-1,57. (4.31) Поскольку по условию задачи должны быть получе- ны равнопрочные бетоны /?тр = 30 МПа при максималь- ном (za max) использовании отходов промышленности, то достаточно решить относительно za квадратное уравие- л ние при 7?=30 и выбрать в зоне эксперимента макси- мальный из двух корней (графа 10 в табл. 4.5), который и определяет максимальное процентное содержание АМС (графа 11). Так как девять моделей (4.24) в соответствии с алго- ритмом рассматривались в точках плана 3X3, то по дан- ным граф 10 и 11 табл. 4.5 легко рассчитываются мо- дели: z3max=—0,02+0,07х(—0,34х>—0,06х21+0,17х22+ +0,05х1х2;' _ (4.32) Z3niax= 19,7+1,3х(—7,6х2 -0,2л2, +3,3x22+1,0ад. (4.33, Из анализа моделей ясно, что в равнопрочных бето- нах максимальное количество АМС, во-первых, экспо- 248
ненциально снижается по мере увеличения В/Ц и, во- вторых, относительно медленнее возрастает при увели- чении Ц/П. При этом концентрация суперпластификато- ра (z4= + l или z4=5%) остается постоянной, а концен- трация стандартного пластификатора переменна: модель (4.34) получена из модели (4.21) с учетом z4=-j-l и 2зтах (4.32): *5opt=0,131 —О.Обб-^+ОДЗОхг; (4.34) Z50pt=0,170-0,008^+0,020x2. (4.35) Данный алгоритм анализа равнопрочных бетонов с МКХД может быть применен в задачах управления по- ведением объектов по критерию У = const во всем диапа- зоне изменения регулируемых факторов Х( при условии оптимизации факторов zv.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ В настоящее время уже нет практически ни одной области естественных, экономических и техниче- ских наук, ни одной отрасли промышленности, где не бы- ло бы примеров плодотворного применения идей и мето- дов математической теории эксперимента. Сравнительно недавно (двадцать лет назад!) исследователи разраба- тывали, опробовали и пропагандировали эту методоло- гию. То, что требовало когда-то от них многих бессон- ных ночей, теперь вошло в той или иной форме в десятки учебников и учебных пособий, где предлагается в виде формализованных и стандартизованных процедур иссле- дования. Казалось бы, «драма идей и драма людей» ис- черпаны. Однако, как и ранее, успех может сопутство- вать лишь тому исследователю, который, используя луч- шие из этих процедур, сумеет сформулировать для свое- го эксперимента рабочие гипотезы, цели, задачи... и из- влечь из него новую и полезную информацию.
ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1 АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ t ВЕРОЯТНОСТЬ ПРЕВЫШЕНИЯ КОТОРЫХ РАВНА а (ДВУСТОРОННИЙ УРОВЕНЬ) \ а / \ 0,8 0,6 0,5 0,4 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,005 0,001 1 2 3 4 5 0,325 0,289 0,277 0,271 0,267 0,727 0,617 0,584 0,569 0,559 1,000 0,816 0,765 0,741 0,727 1,376 1,061 0,978 0,941 0,920 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 127,32 14,089 7,453 5,598 4,773 636,62 31,599 12,924 8,610 6,869 6 7 8 9 10 0,265 0,263 0,262 0,261 0,260 0,553 0,549 0,546 0,543 0,542 0,718 0,711 0,706 0,703 0,700 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 3,707 3,499 3,355 8,250 3,169 4,317 4,029 3,833 3,690 8,581 5,959 5,408 5,041 4,781 4,587 п 12 13 14 16 0,260 0,259 0,259 0,258 0,258 0,540 0,539 0,538 0,537 0,536 0,697 0,695 0,694 0,692 0,691 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 8,106 3,055 3,012 2,977 2,947 3,500 8,428 8,372 3,326 3,286 4,437 4,318 4,221 4,140 4,073 16 17 18 19 20 0,258 0,257 0,257 0,257 0,257 0,535 0,534 0,534 0,533 0,533 0,690 0,689 0,688 0,688 0,687 0,865 0,863 0,862 0,861 0,860 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 2,120 2,110 •2,101 2,093 2,086 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,921 2,898 в,878 2,861 2,845 3,252 3,222 3,197 3,174 3,153 4,015 3,965 3,922 3,883 3,850 21 22 23 24 25 0,257 0,256 0,256 0,256 0,256 0,532 0,532 0,532 0,531 0,531 0,686 0,686 0,685 0,685 0,684 0,859 0,858 0,858 0,857 0,856 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 3,135 8,119 3,104 8,090 3,078 3,819 3,792 3,767 3,745 3,725 26 27 28 29 30 0,256 0,256 0,256 0,256 0,256 0,531 0,531 0,530 0,530 0,530 0,684 0,684 0,683 0,633 0,683 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 3,067 3,056 3,047 3,080 3,030 3,707 8,690 8,674 3,659 8,646 60 120 00 0,254 0,254 0,253 ЗНАЧЕ 0,527 0,526 0,524 гния j 0,679 0,677 0,674 F, ВЕР (число 0,848 0,845 0,842 •оятнс степе! 1,296 1,289 1,282 ЭСТЬ 1 iefi сво 1,671 1,658 1,645 1РЕВЫ боды S 2,000 1,980 1,960 1ШЕНЕ 1 числи 2,390 2,358 2,326 (Я КО! теле fi) 2,660 2,617 2,576 Пр] 'ОРЫХ 1 2,915] 3,460 2,860 3,374 2,807 | 3,291 сложение 2 а-0,05 А 1 1 1 2 3 1 4 1 6 6 1 10 20 50 100 со 1 2 3 4 5 6 8 10 15 20 40 100 200 со 161 18,51 10,13 7,71 6,61 5,99 5,82 4,96 4,54 4,35 4,08 3,94 3,89 3,84 200 19,00 9,55 6,94 5,79 5,14 4,46 4,10 3,68 3,49 3,23 3,09 8,04 3,00 216 19,16 9,28 6,59 5,41 4,76 4,07 3,71 8,29 8,10 2,84 2,70 2,65 2,60 225 19,25 9,12 6,39 5,19 4,53 3,84 3,48 3,06 2,87 2,61 2,46 2,41 2,37 230 19,30 9,01 6,26 5,05 4,39 8,69 3,83 2,90 2,71 2,45 2,30 2,26 2,21 284 19,33 8,94 6,16 4,95 4,28 3,58 3,22 2,79 2,60 2,34 2,19 2,14 2,10 242 19,40 8,79 5,96 4,74 4,06 3,35 2,98 2,54 2,38 2,08 1,ДВ 1,87 1,83 248 19,41 8,66 5,80 4,56 3,87 3,15 2,77 2,33 Я,12 1,84 1,68 1,62 1,57 252 19,47 8,58 5,70 4,44 3,75 3,03 2,64 2,18 1,96 1,66 1,48 1,42 1,35 253 19,49 8,56 5,66 4,40 3,71 2,98 2,59 2,12 1,90 1,59 1,39 1,32 1,24 254 19,50 8,53 5,63 4,36 3,67 2,93 2,54 2,07 1,84 1,51 1,28 1,19 1,00 251
nd ND Приложение 3 ПЯТИПРОЦЕНТНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ДЛЯ ОТНОШЕНИЯ НАИБОЛЬШЕЙ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ДИСПЕРСИИ К СУММЕ К ЭМПИРИЧЕСКИХ ДИСПЕРСИЙ (G-критерий) (уровень значимости 0,05) к X I 2 3 4 5 6 8 10 16 36 144 00 2 0,9985 0,9750 0,9392 0,9057 0,8772 0.8534 0,8159 0,7880 0,7341 0,6602 0,5813 0,5000 3 0,9669 0,8709 0.7977 0,7457 0,7071 0,6771 0.6333 0,6025 0,5466 0.4748 0,4031 0,3333 4 0,9065 0,7679 0,6841 0,6287 0,5895 0,5598 0,5175 0,4884 0,4366 0,3720 0,3093 0,2500 5 0,8412 0,6838 05981 0,5441 0,5065 0,4783 0,4387 0,4118 0,3645 0,3066 0,2513 0,2000 6 0,7808 0,6161 0,5321 0,4803 0,4447 0,4184 0,3817 0,3568 0,3135 0,2612 0,2119 0,1667 7 0,7271 0,5612 0,4800 0,4307 0,3974 0,3726 0,3384 0,3154 0,2756 0.2278 0,1833 0,1429 8 0,6798 0,5157 0,4377 0,3910 0,3595 0,3362 0,3043 0,2829 0,2462 0.2022 0,1616 0,1250 9 0,6385 0,4775 0,4027 0,3584 0,3286 0,3067 0,2768 0,2568 0,2226 0,1820 0,1446 0,1111 10 0,6020 0,4450 0,3733 0,3311 0.3029 0,2823 0,2541 0,2353 0,2032 0,1655 0,1308 0,1000 12 0,5410 0,3924 0,3264 0,2880 0,2624 * 0,2439 0,2187 0,2020 0,1737 0,1403 0,1100 0,0833 15 0,4709 0,3346 0,2758 0,2419 0,2195 0,2034 0,1815 0.1671 0,1429 0,1144 0,0889 0,0667 20 0,3894 0,2705 0,2205 0,1921 0,1735 0,1602 0,1422 0,1303 0,1108 0,0879 0,0675 0,0500 24 0,3434 0,2354 0,1907 0,1656 0,1493 0,1374 0,1216 0,1113 0,0942 0,0743 0,0567 0,0417 30 0,2929 0,1980 0,1593 0,1377 0,1237 0,1137 0,1002 0,0921 0,0771 0,0604 0,0457 0,0333 40 0,2370 0,1576 0,1259 0,1082 0,0968* 0,0887 0,0780 0,0713 0,0595 0,0462 0,0347 0,0250 60 0,1737 0.1131 0,0895 0,0765 0,0622 0,0623 0,0552 0,0497 0,0411 0,0316 0,0234 0,0167 120 0,0993 0,0632 0,0495 0,0419 0,0371 0,0337 0,0292 0,0266 0,0218 0,0165 0,0120 0,0083 0 0 0 0 0 0 ЗНАЧЕНИЯ ФУНК! 0 ДИИ ЧАС’ 0 ГОТ Х-1п 0 Р 0 0 * Прил 0 ожение 4 1~Р Десятки Единицы 0 1 1 2 3 4 1 5 6 1 7 1 8 1 9 0 -4,5952 -3,8922 -3,4764 -3,1783 -2,9445 -2,7517 -2,5868 -2,4424 -2,3136 1 -2,1972 -2,0908 -1,9924 -1,9010 -1,8153 -1,7346 -1,6583 -1,5857 -1,5164 -1,4500 2 -1,3863 -1,3249 -1,2657 -1,2383 —1,1527 -1,0986 ‘ -1,0460 -0,9946 -0,9445 -0,8954 3 -0,8473 -0,8001 -0,7538 -0,7082 -0,6633 —0,6199 -0,5754 -0,5322 -0,4896 -0,4473 4 -0,4055 -0,3640 -0,3228 -0,2812 -0,2412 -0,2007 -0,1603 —0,1201 -0,0800 -0,0400 5 / ±0,0000 0,0400 0,0800 0,1201 0,1603 0,2007 0,2412 0,2818 0,3228 0,3640 6 0,4055 0,4473 0,4895 0,5822 0,5754 0,6190 0,6633 0,7082 0,7538 0,8001 7 0,8473 0,8954 0,9444 0,9946 1,0460 1,0986 1,1527 1,2083 1,2657 1,3249 8 1,3863 1,4’00 1,5163 1,5856 1,6582 1,7346 1,8153 1,9010 1,9924 2,0907 9 2,1972 /2,3136 2,4423 2,5867 2,7515 2,9444 3,1780 3,4761 3,8918 4,5951
Приложение Sa ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ПО ПЛАНИРО ВАНИЮ ЭКСПЕРИМЕНТА Шифр работы Наименование работы 3 аказчи к Сроки начала работы ; окончания работ Споки начала эксперимента : окончания эксш ы ; юимента : Сроки начала моделировг Плановая стоимость рабо Краткая характеристика объекта исследования 1ния ; окончания моделирования ; т (руб.)» в т. ч. на год (руб.) Цель исследования Ожидаемый технико-экономический эф<5 [)ект Ранжирование целей мо- делирования Интерполяционная z мо- дель Экстраполяционная про- гнозная модель . Поиск ТОЧКИ оптимума (миним—макс) Поиск ЗОНЫ оптимума (миним—макс) Поиск нормативной ПО- ЛОСЫ выхода Yj Минимизация расхода ресурса при У,.тр Регулировочная диа- грамма При Xi opt Регулировочная диаграм- ма при Уутр Оценка роли и степени влияния факторов Специальные цели: Выходы (по Ранжирование приложению 5в) факторов (по при- 1У. ложению 56) У1 Уз У< 1 х2 < 1 1 Хз < 1 1 х< «С 1 Х5 1 1 1 Хе < с 1 1 1 1 1 %7 < < / 1 1 Хз s? 1 1 1 1 х9 1 1 1 1 1 *10 С < 1 1 1 1 «= | 1 1 1 Формулировка компромиссных зада 14 ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА /1 / /1/ Составил Утвердил /2 /3 . . 198 г. . * 198 г. /4 /5 /6 7 |/ / / / 253
Приложение 56 БЛАНК АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ О ФАКТОРЕ Индекс фактора Шифр работы Наименование фактора _________________________________ ________ Условное обозначение Единица измерения Область существования: возможная: минимум максимум в эксперименте: максимум минимум Регулируемый, контролируемый, искусственно синтезируемый на уровнях (подчеркнуть) Точность управления или стабилизации фактора:____ (ед.—),____% Дополнительные сведения: . __ (дрейф, нетехнологичность, токсичность, взрывоопасность, . . условия стабилизации и др.) ___________________________________ Число уровней варьирования: желательное______минимальное_______ Однофакторные зависимости влияния фактора в пределах экспери- мента на исследуемые выходы г___________к_____________и Возможные преобразования У( >.*________________________________ фактора для описания его У(>:__________________________________ влияния на выходы прямой или У( >.• параболой Возможные эффекты взаимо-______________________________________ действия с другими факторами __________________________________ Утвержденные уровни варьирования: « —1»______; «О» ___; «Не- возможный уровень стабилизации в ходе эксперимента: 254
Приложение 5в БЛАНК АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ О ВЫХОДЕ Индекс выхода Шифр работы Наименование выхода . ______ Условное обозначение Единица измерения Лучший результат: в экспериментах автора____; по литературе____ Целевой уровень выхода____________Группа приоритета____________ (для компрописсных задач) Шкала оценок выхода: «удовлетворительно»; «хорошо»; «отлично» (по нормативу, по опыту, по экспертизе — подчеркнуть) ; ; Методика измерения: тип образца______________ ГОСТ________________ тип прибора гост Особые методические . условия и нормативы . Число параллельных образцов: норматив ; реализация . Число параллельных измерений: норматив _ ; реализация Ошибка воспроизводимости: норматив (ед. —) — % %; реализация — (ед.) % Ошибка измерений: норматив (ед. — ) _% %, реализация (ед.) _ % Время (ч) на один опыт: изготовление _; ожидание выхода_ испытание ; дешифровка измерений Стоимость одной серии опытов из образцов по измерений:(руб.) Однофакторные зависимости влияния на выход основных факторов в пределах эксперимента — —— —• — — И — ( )хо ( ( 1 ) j ( ) Сведения о корреляции с______________________________________ другими выходами Yj__________________________________________ Источники информации (ука- /1/ ______________________________ зывать номер желательно у /2/ _______________________________ каждого пункта данного блан- /з/ ____________________________ ка) /4/ ------------------------- Составил 5/ _________________________________________________ ____•198_г. 255
ЛИТЕРАТУРА А. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА 1. Адлер Ю. П. Введение в планирование эксперимента. М.» Металлургия, 1969'. 1157 с. 2. Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирова- ние эксперимента при поиске оптимальных условий. М., Наука, 1976. 279 с 3. Адлер Ю. П., Грановский Ю. В. Методология и практика планирования эксперимента за десять лет. — Заводская лаборато- рия, 1977, № 1.0, с. 11253^11259, 4. Баженов Ю. М., Вознесенский В. А. Перспективы примене- ния математических методов в технологии сборного железобетона. М., Стройиздат, 1974. 192 с. 5. Барский Л. А., Козин В. 3. Системный анализ в обогащении полезных ископаемых. М., Недра, .1978. 486 с. 6. Бондарь А. Г., Статюха Г. А. Планирование эксперимента в химической технологии. Киев, Вища школа, 1976. 1'83 с. 7. Бродский В. 3. Введение в факторное планирование экспе- римента. М., Наука, 197)6. 223 с. 8. Вознесенский В. А. Статистические решения в технологиче- ских задачах. Кишинев, Картя Молдовеняскэ, 1968. 232 с. 9. Вознесенский В. А. Статистические решения в задачах ана- лиза и оптимизации качества строительных материалов. Автореф. докт. дис. М., 1970. 44 с. (М1ИС1И им. В. В. Куйбышева). 10. Вознесенский В. А. Статистические методы планирования эксперимента в технико-экономических исследованиях. М., Стати- стика, 1974. 192 с. 111. Вознесенский В. А. Математическая теория эксперимента и управление качеством композиционных материалов. Киев, Знание, 1979. 28 с. 12. Вознесенский В. А„ Ковальчук А. Ф. Принятие решений по статистическим моделям. М., Статистика, 1978. 192 с. 13. Вознесенский В. А., Ковальчук А. Ф., Ярмуратий В. Ф. Анализ некоторых традиционных планов эксперимента и построение полиномиальных моделей по литературным данным. — Заводская лаборатория, 1972, № 10, с. 1239—1242. 14. Голикова Т. И., Панченко Л. А., Фридман М. 3. Некоторые выводы по каталогу плана второго порядка. — В кн.: Тезисы до- кладов IV Всесоюзной конференции по планированию и автомати- зации эксперимента в научных исследованиях. М., 197J3» ч. 1, с. 23—26. 256
15. Голикова Т. И., Панченко Л. А., Фридман М. 3. Каталог планов второго порядка. М., Изд-во МГУ, 1974, вып. I. 387 с.; вып. II. 384 с. 11(6. Горский В. Г., Адлер Ю. П. Планирование промышленных экспериментов. М., Металлургия, 1974. 264 с. 117. Горский В. Г., Адлер Ю. П., Талалай А. М. Планирование промышленных экспериментов. М., Металлургия, 1978. 1Г2 с. 18. Даниленко Е. Л., Ляшенко Т. В. Расчет точных оптималь- ных планов на выпуклых многогранниках. — Заводская лаборато- рия, 1979, № 3, с. 249—'2511. 11®, Зедгенидзе И. Г. Математическое планирование экспери- мента для исследования и оптимизации свойств смеси. Тбилиси, Мецниереба, 1971. 151 с. 20. Кабанова О. В. Критерий и методы преобразования пере- менных при построении статистических моделей. — Заводская лабо- ратория, 19179, № 3, с. 245—248. 2L Каталог последователно генерирани планове/И. Н. Вучков, X. А. Йончев, Д. Л. Дамгалиев и др. София, изд. ВХТИ, 1978. 266 с. 22. Лисенков А. Н. Математические методы планирования мно- гофакторных медико-биологических экспериментов. М., Медицина, 19179. 343 с. 23. Маркова Е. В., Лисенков А. Н. Планирование эксперимента в условиях неоднородностей. М., Наука, 1973, 219 с. 24. Маркова Е. В., Лисенков А. Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента. М., Наука, 1979. 348 с. 25. Мержанова Р. Ф., Никитина Е. П. Анализ статистических характеристик планов третьего порядка. — В кн.: Математико-ста- тистические методы анализа и планирования эксперимента (Науч- ный совет по комплексной проблеме «Кибернетика»). М., 1978, с. 33—61.. 26. Налимов В. В. Теория эксперимента. М., Наука, 1971. 207 с. 27. Налимов В. В., Голикова Т. И. Логические основания пла- нирования эксперимента. М., Металлургия. 1976. 128 с. 28. Налимов В. В., Чернова Н. А. Статистические методы пла- нирования экстремальных экспериментов. М., Наука, 1965. 340 с. 29. Налимов В. В., Голикова Т. И. Теория планирования эк- сперимента, достигнутое и ожидаемое. — Заводская лаборатория, 1977, № 10, с. 1247—(1253. 30. Новые идеи в планировании эксперимента/Под ред. В. В. На- лимова. М., Наука, 19169. 334 с. 31. Планирование экспериментов в исследовании технологиче- ских процессов/ К. Хартман, Э. Лецкий и др. М., Мир, 1977. 5512 с. 32. Рузинов Л. П. Статистические методы оптимизации хими- ческих процессов. М., Химия, 11972. 199 с. 3& Рохваргер А. Е., Шевяков А. Ю. Математическое планиро- вание научно-технических исследований. М., Наука, 1975. 440 с. 34. Фомин Г. А. Планирование эксперимента для исследования качественных функций отклика. — В кн.: Планирование эксперимен- та (Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика»). М., 1976, с. 27—35. 35. Шенк X. Теория инженерного эксперимента. Пер. с англ. М., Мир, 11972. 381 с. 17 Заказ 6525 257
Б. ОБЩЕМЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 316. Азгальдов Г. Г. Потребительная стоимость и ее измерение. М., Экономика, 197IL 167 с. 37. Айвазян С. А. Статистическое исследование зависимостей. М„ Металлургия, 1968. 227 с. 38. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Прикладная математика. Предмет, логика, особенности подходов. Киев, Науко- ва думка, 1976. 267 с. 39. Большее Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М., Наука, 1965. 464 с. 40. Бурдун Г. Д., Марков Б. Н. Основы метрологии. М., Изд- во стандартов, 1975. 305 с. 4L Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. М., Наука, 1(978. 399 с. 42. Венецкий И. Г., Венецкая В. И. Основные математико-ста- тистические понятия и формулы в экономическом анализе. М., Ста- тистика, 1979. 448 с. 43. Веников В. А. Теория подобия и моделирования. М., Выс- шая школа, 1976. 479 с. 44. Гиргинов Г. Наука и творчество. Пер. с болг. М., Прогресс, 1979. 365 с. 45. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. Пер. с англ. М., Статистика, 1973. 3(9(2 с. 46. Египко В. М. Организация и проектирование систем авто- матизации научно-технических экспериментов. Киев, Наукова дум- ка, 1978. 232 h. 47. Ефимов Н. В. Квадратичные формы и матрицы. М., Наука, 1975. 159 с. 48. Закс Л. Статистическое оценивание. Пер. с англ. М., Ста- тистика, 1976. 598 с. 49. Кендалл М., Стюарт А. Теория распределений. Пер. с англ. М., Наука, 1966. 587 с. 50. Кендалл М., Стюарт А. Многомерный статистический ана- лиз и временные ряды. Пер. с англ. М., Наука, 1976. 736 с. 51. Кендалл М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. Пер. с англ. М., Наука, 1973. 899 с. 52. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном мо- делировании. Пер. с англ. М., Статистика, 1978, вып. L 222 с., вып. 2. 335 с. 53. Клигер С. А., Косолапов М. С., Толстова Ю. Н. Шкалиро- вание при сборе и анализе социологической информации. М., На- ука, 1978. 112 с. 54. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Пер. с англ. М., Наука, 1968, 720 с. 55. Кулик В. Т. Алгоритмизация объектов управления. Киев, Наукова думка, 1968. 363 с. 56. Лопатников Л. И. Краткий экономико-математический сло- варь. М., Наука, 1979. 358 с. 57. Математика и кибернетика в экономике. Словарь-справоч- ник/Отв. ред. М. П. Федоренко. М., Экономика, 1975. 700 с. 58. Михайлов С. К.» Ухов Н. Н., Васильев В. В. Комплексное управление процессами создания новых материалов. Л., Наука, 1979. 142 с. 258
59. Морено Дж. Л. Социометрия. Пер. с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1958. 291 с. 60. Налимов В. В. Применение математической статистики при анализе вещества. М., Физматгиз, 1960. 430 с. 6L Пустыльник Е. И. Статистические методы анализа и обра- ботки наблюдений. М., Наука, 1968. 188 с. 62. Ракитов А. И. Курс лекций по логике науки. М., Высшая школа, 1971. 176 с. 63. Рузавин Г. И. Методы научного исследования. М., Мысль, 1974. 237 с. 64. Сивоконь П. Е. Методологические проблемы естественно- научного эксперимента. М., Изд-во МГУ, 1968.370 с. 65. Сытник В. Ф. Основы научных исследований. Киев, Вища школа, 1976.162 с. 66. Уемов А. И. Логические основы метода моделирования. М., Мысль, 1971.311 с. 67. Уильсоц А., Уильсон М. Управление и творчество при про- ектировании систем. М., Советское радио, 1.976. 255 с. 68. Хальд А. Математическая статистика с техническими при- ложениями. Пер. с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1956. 664 с. 69. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. Пер. с англ. М., Мир, 1969.395 с. 70. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими мето- дами. Пер. с англ. М., Мир, 1973.9157 с. 71. Холл А. Опыт методологии для системотехники. Пер. с англ. М., Советское радио, 1975.447 с. 72. Четыркин Е. М. Статистические методы прогнозирования. М., Статистика, 1977. 200 с. 7В. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем — искус- ство и наука. Пер. с англ. М., Мир, 1978. 4|li8 с. 74. Штофф В. А. Моделирование и философия. М.— Л., Наука, 1966.301 с. 75. Яковлев Е. И. Машинная имитация. М., Наука, 1975.156 с. ЛИТЕРАТУРА X ПРИМЕРАМ 76. Алгоритмизация поиска оптимальной многокомпонентной добавки, содержащей высокомолекулярные соединения/Л. А. Можа- рова, С. Стаменов, И. Николов и др. — В кн.: Исследования по технологии бетона и железобетона. Казань, 1979, вып. 2, с. 33—37. 77. Вознесенская Г. В., Вознесенский В. А., Сухина Л. В. Ана- лиз факторов, определяющих эффективность работы в непроизвод- ственной сфере, с применением математической теории эксперимен- та.— В кн.: Социально-экономические проблемы повышения эффек- тивности использования трудовых ресурсов (Тезисы докладов кон- ференции). Киев, 1977, вып. 3, с. 40—-41. 78. Вознесенский В. А. Статистический поиск оптимальных хи- мических добавок.— В кн.: VI Международный конгресс по химии цемента. М., Стройиздат, 1976, т. II, кн. 2, с. 14—18. 79. Вознесенский В. А., Вознесенская Г. В., Гризан Ю. М. Но- вые задачи управления качеством продукции на основе математи- ческой теории эксперимента. — В кн.; Проблемы совершенствова- ния управления качествам продукции в промышленности (Тезисы докладов конференции). Ташкент, 1978, ч. 1, с. 14—46. 17* 259
80. Вознесенский В. А., Керш В. Я., Попов В. К. Последова- тельное статистическое моделирование теплообмена в газовом по- токе.— В кн.: Вопросы теории процессов переноса (ИТМО АН БССР), 19i77, с. 144—149. 81. Вознесенский В. А., Мельник В. А., Михилева Г. Г. Опре- деление оптимального количества автотранспорта в системе обес- печения строек товарными смесями. — В кн.: Вопросы организаци- онно-технологической надежности строительного производства (НИИОП Госстроя УССР), 1977, выл. 6, с. 57—61. 82. Демидович Б. К. Пеностекло. Минск, Наука и техника, 1976. 247 с. 83. Моделирование и анализ изменения физико-механических свойств полимера в растворах серной кислоты с учетом параметров надежности/А. А. Зарипов, Р. 3. Рахимов, Е. О. Репьева и др.— В кн.: Работоспособность строительных материалов в условиях воз- действия эксплуатационных факторов. Казань, 1979, вып. 2, с. 59—63. . 84. Оптимизация полей структуры и свойств ячеистого бето- на/В. Я. Керш, Н. В. Хлыцов, А. А. Федин и др. — Строительные материалы, 1970, № 12, с. 22—213. 85. Оптимизация рецептурно-технологических факторов при формовании изделий из разогретых смесей/А. В. Зыскин, С. А. По- лонская, Н. А. Саевская и др.— В кн.: Строительное производство (НИИСП Госстроя УССР), 1981, вып. 20, с. 60—66. 86. Применение методов математического планирования экспе- римента в исследовании теплообмена в турбулентном закрученном потоке/И. В. Ватутин, В. Я. Керш, О. Г. Мартыненко и др. — Вкн.: Тепломассообмен-V. Материалы к V Всесоюзной конференции по тепломассообмену. Минск, 1976, т. X, с. L14—119. 87. Применение полиномиальных моделей для анализа влияния рецептуры дисперсноа|рмированного полимерсодержащего компози- та на предельное напряжение сдвига/Ц. Абаджиева, Л. Е. Трофи- мова, Н. Б. Урьев и др.— В кн.: Физико-химическа механика (Болгарская АН). София, 1979» кн. 5, с. 26—30. 88. Прокопец И. Замужняя женщина в семье и на работе. — В кн.: Рождаемость и ее факторы. М., Статистика, 1968, с. 47—60.
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение.................................................... 3 Глава 1. Наблюдение и эксперимент как основы функцио- нального математического моделирования в тех- нико-экономических задачах.................................. 5 1.1. Прикладные технико-экономические исследо- вания и особенности изучения систем на эм- пирическом уровне .............................. 5 1.2. Системный подход как методологический принцип исследования.......................- . 14 1.3. Стохастические системы и их особенности . 21 1.4. Некоторые метрологические проблемы анали- за и моделирования в технико-экономических задачах........................................ 34 1.5. Анализ, интерпретация и поиск оптимума по однофакторной модели........................... 48 1.6. Анализ, интерпретация и поиск оптимума по двух- и многофакторным моделям .... 54 1.7. Интуитивное и алгоритмизированное плани- рование эксперимента........................... 71 Глава 2. Основные идеи и методы статистического плани- рования эксперимента............................ 77 2.1. Факторное пространство и кодирование пере- менных ........................................ 77 2.2. Основная идея метода наименьших квадратов 80 2.3. Общие положения регрессионного анализа . 93 2.4. Некоторые основные идеи планирования экс- перимента ......................................102 2.5. Планы для построения линейных и неполных квадратичных моделей...........................111 2.6. Планы для построения квадратичных моделей 118 2.7. Регрессионный анализ при планировании экс- перимента .....................................128 2.8. Обработка априорной информации и примене- * ние планов типа М1ХМ2ХМ3....................130 261
Глава Глава 2.9. Эффективность полиномиального моделирова- ния и особенности проведения технико-эконо- мических экспериментов........................ 2.10. Некоторые новые и перспективные классы технико-экономических задач, решаемых на основе математической теории эксперимента Примеры планирования эксперимента, построе- ния и анализа полиномиальных моделей .... 3.1. Применение бланков-алгоритмов для построе- ния, и статистического анализа моделей и об- щая характеристика примеров................... 3.2. Применение двухфакторного симплекс-сумми- руемого плана (на примере введения в смесь микродобавок — регуляторов качества мате- риалов для экономии дефицитного компо- нента) ....................................... 3.3. Применение двухфакторного ортогонального квадратичного плана (на примере оценки ин- тенсификации студенческой научной работы) 3.4. Применение двухфакторного плана З2 для по- строения неполных кубических моделей (на примере оценки вероятностных показателей долговечности материала в агрессивной среде) 3.5. Применение трехфакторного некомпозицион- ного плана типа Бокса — Бенкина (на приме- ре имитационного моделирования в задаче оптимизации резерва транспортных мощностей предприятия) ................................. 3.6. Применение трехфакторного несимметричного плана типа 2X3X4 (на примере анализа мо- дели желаемого числа детей в семье) . . . 3.7. Применение четырехфакторного близкого к D-оптимальному плану на кубе типа В4 (на примере оптимизации режима обработки ма- териала) ..................................... 3.8. Применение семифакторного насыщенного плана 27~4 и пятифакторного плана на кубе типа Has (на примере повышения качества деталей и минимизации брака при ультразву- ковой сварке) ................................ 3.9. Применение насыщенного шестифакторного плана Рехтшафнера (на примере оптимизации технологических процессов формования компо- зиционных материалов) ........................ 4. Примеры принятия решений по полиномиальным моделям.......................................... 4.1. Язык математики и необходимость его пе- ревода ............................ 132 143 152 152 154 167 177 186 190 195 202 213 227 227 262
4.2. Технико-экономическая интерпретация моде- ли и оценка степени влияния факторов на вы- ход (на примере синтеза стекол для ячеи- стых композитов)..............................228 4.3. Выявление взаимосвязей между несколькими слабокоррелированными выходами системы (на примере моделирования и анализа вероят- ностных показателей условий труда в непро- изводственной сфере) .........................234 4.4. Построение регулировочных диаграмм при свободно оптимизируемых факторах в системе (на примере анализа и оптимизации много- компонентных химических добавок в бетон) 241 Заключение...............................................259 Приложения............................................. 251 Литература...............................................256
Виталий Анатольевич Вознесенский Статистические методы планирования эксперимента в технико-экономических исследованиях Рецензент Т. А. Чемлева Зав. редакцией Р. А. Казьмина Редактор К. С. Исаева Мл. редакторы М. В. Ульянова, О. Л. Борисова Техн, редактор И. В. Завгородняя Корректоры Г. А. Башарина, А, Т. Сидорова Худ. редактор Э. А. Смирнов ИБ № 948 Сдано в набор 23.09.80. Подписано в печать 30.04.81. А0624/ Формат 84X108732. Бум. тип. № 1. Гарнитура «Литературная» Печать высокая. П. л. 8,25. Усл. п. л. 13,86. Усл. кр.-отт. 14,0" Уч.-изд. л. 13,99. Тираж 12.000 экз. Заказ 6525. Цена 1 руб. Издательство «Финансы и статистика», Москва, ул. Чернышевского, 7. Областная типография управления издательств, полиграфии , книжной торговли Ивановского облисполкома, г. Иваново-" ул. Типографская, 6.
1 1 руб-