/
Text
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ СССР
МОСКОВСКИЙ ордена ЛЕНИНА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
М. В. КАПРАНОВ, Г. М. УТКИН
Утверждено
Учебно-методическим управлением МЭИ
в качестве учебного пособия
для студентов
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
по курсу
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
СИНХРОНИЗАЦИЯ
АВТОГЕНЕРАТОРОВ
Редактор В. Н. КУЛЕШОВ
Москва
1978
Аннотаций
В учебном пособии излагаются некоторые вопросы совре-
менной теории стабилизации частоты автогенераторов. Рас-
сматриваются способы стабилизации с помощью дополни-
тельных высокодобротных резонаторов, внешней и взаимной
синхронизации на основной и кратных частотах, взаимной
компенсации уходов собственных частот резонаторов двух
автогенераторов при комбинационном взаимодействии трех
колебаний, а также с помощью систем частотной автопод-
стройки.
Пособие предназначено для студентов радиотехнических
специальностей при изучении курса «Теория колебаний».
ВВЕДЕНИЕ
В современной радиотехнике чрезвычайно широко исполь-
зуются источники колебаний с прецизионной стабильностью
частоты. Исключительно важная роль высокостабильных пе-
риодических колебаний с технической стороны обусловлена
возможностью эталонирования и измерения частоты с точ-
ностью, наивысшей по сравнению с другими физическими
величинами — длиной, массой, температурой. Поэтому на
практике при измерении любых величин иной физической
размерности стремятся преобразовать их в изменения часто-
ты (или фазы) электрических колебаний. Например, доппле-
ровский сдвиг частоты радиосигнала используют как меру
скорости движущегося объекта. Таким образом, высокоста-
бильные периодические колебания выступают на практике
как основной технический эталон.
В настоящее время в радиотехнической аппаратуре для
стабилизации частоты автогенераторов используются слож-
ные и разнообразные методы. Теоретические основы этих
методов излагаются в курсе «Теория колебаний», читаемом
авторами на радиотехническом факультете МЭИ. Однако в
учебниках и пособиях по этому курсу названные вопросы от-
ражены совершенно недостаточно. Цель данного пособия —
в некоторой степени восполнить этот пробел. В нем в простой
форме излагаются основы теории стабилизации частоты авто-
генераторов с помощью следующих методов:
а) включения дополнительных высокодобротных резона-
торов в различные участки автоколебательного тракта;
б) внешней и взаимной синхронизации на основной и
кратных частотах;
в) взаимной компенсации уходов собственных частот
резонаторов двух автогенераторов при комбинационном вза-
имодействии трех колебаний;
г) систем частотной автоподстройки.
Изложение материала в пособии проводится в этой же
последовательности, причем направления а, б, в составляют
3
содержание 1-й главы, а направление г изложено во 2-й гла-
ве. Такое разделение материала по главам позволяет читать
их независимо. Из-за ограниченного объема пособия рассмот-
рение общих исходных дифференциальных уравнений и мате-
матических моделей стабилизируемых автогенераторов огра-
ничено. Основное внимание уделено изучению стационарных
режимов.
Первая глава пособия написана Г. М. Уткиным, вторая—
М. В. Капрановым.
Глава первая
МЕТОДЫ СТАБИЛИЗАЦИИ ЧАСТОТЫ
В АВТОГЕНЕРАТОРАХ
1.1. Автономный одноконтурный автогенератор
Рис. 1.1. Одноконтур-
ный автогенератор
Далее, как правило, используется наиболее наглядная
схема одноконтурного автогенератора, представленная на
рис. 1.1. Она содержит колебательный контур и подключен-
ную к нему нелинейную отрицательную проводимость А.
Колебательный контур характеризуется собственной ча-
стотой ©1=1/)/LC, резонансным сопротивлением R и зату-
ханием 6=р/7?, где р= V L/C — характеристическое сопро-
тивление. Нелинейность А может
быть образована туннельным дио-
дом, транзистором или лампой с по-
ложительной обратной связью,
электронным потоком (как, напри-
мер, в отражательном клистроне)
и др.
Большинство реальных схем ав-
тогенераторов можно свести к схе-
ме рис. 1.1. Сюда относятся и схе-
мы на лампах и транзисторах,
поскольку уравнения схемы с трансформаторной обратной
связью и схем индуктивной и емкостной трехточек имеют
аналогичный вид. Несколько изменяется лишь смысл входя-
щих в уравнения параметров.
Процессы в схеме, состоящей из усилителя (например,
операционного) и последующего избирательного звена —
фильтра, аналогичного колебательному контуру, также ока-
зываются сходными с процессами в схеме рис. 1.1. Поэтому
основное внимание будет обращено на рассмотрение процес-
сов в автогенераторе по схеме рис. 1.1. Анализ свойств авто-
генераторов с узкополосными, добротными контурами наи-
5
более эффективно проводить методом медленно меняющихся
амплитуд.
Укороченные уравнения одноконтурного автогенератора
рис. 1.1 можно получить из следующих простых представле-
ний. Энергия, запасенная в колебательном контуре, опреде-
ляется выражением
А = CU2/2,
где С — емкость контура; U — амплитуда напряжения на
контуре.
Приращение энергии в контуре за время At под действием
первой гармоники тока, поступающего из нелинейного эле-
мента, обозначим
ЛА+ = 0,5-П-/а-А/,
где /a=/cos<p — составляющая тока, синфазная с напряже-
нием на контуре; ср — сдвиг фаз между током и напряжением.
Уменьшение энергии за счет потерь в контуре
7/2
ДЛ_ = - 0,5 —-Л/,
R
где R — резонансное сопротивление контура.
Полное изменение энергии в контуре равно
Л Л = 0,5|(t//a — U2/R)A t.
Переходя от отношения конечных разностей AA/At к произ-
водной dA/dt, получим
TU = (Sa7?-l)t7, (1.1)
где Т — 2CR\ Sa = JJU; точкой обозначено дифференциро-
вание по времени.
Это уравнение описывает поведение амплитуды колебаний
и энергии, запасенной в системе. Если Sa7? > 1, амплитуда
нарастает, запас энергии в контуре увеличивается. При
S:,R < 1 колебания затухают. Наконец, если Sa7? = 1, ампли-
туда колебаний постоянна. Здесь приток энергии в контур
компенсируется потерями, и энергия в контуре не меняется.
Укороченное уравнение, определяющее частоту колеба-
ний, также может быть получено из простых физических
соображений. Известно, что частота колебаний в контуре
определяется выражением
со 1 =• 1/ LC.
6
Отсюда вытекает связь между малым приращением частоты
и вызвавшим его малым изменением реактивного параметра.
Например, при изменении емкости контура на А С
|Л(1)/(1)1 =' — 0,5 А С/С.
Полагая, что изменение емкости (или индуктивности)
отображает изменение реактивной части нелинейной прово-
димости, получим с учетом выбранных положительных на-
правлений тока и напряжения на рис. 1.1:
(01АС = — Jp/U,
где /p = /sincp — составляющая первой гармоники тока,
квадратурная с напряжением на контуре.
Следовательно,
A(O = Jp/?/(7’-t7).
Поскольку для колебания вида u(t)= U cos(a)\t + ф) спра-
ведливо равенство Асо = ф, получим окончательно
74 = Sp.fl, (1.2)
где T — 2CR— постоянная времени контура; SP = JP/U.
Таким образом, получены два укороченных уравнения
(1.1) и (1.2), которые позволяют представить поведение ам-
плитуды и частоты колебаний в автогенераторе схемы
рис. 1.1.
Для других схем одноконтурных автогенераторов укоро-
ченные уравнения аналогичны (1.1), (1.2) и могут быть за-
писаны в более общем виде
TU = [K(U)— 1] • Е/, (1.3)
где Т—постоянная времени фильтра; К— комплексный ко-
эффициент усиления (передачи) по первой гармонике для
разомкнутой системы; U=Ue^ — комплексная амплитуда
напряжения на входе усилителя (транзистора, лампы).
После подстановки в (1.3) U — Ue™ и К =Ка + /Кр, при-
равнивания действительных и мнимых составляющих, полу-
чим вместо (1.3) следующие два уравнения:
[Яа.(С7)-1]-С7,Гф = Яр({7), (1.4)
где Ка, Кр являются активной и реактивной составляющими
коэффициента усиления разомкнутой системы на резонанс-
ной частоте «ц контура, взятой в качестве опорной частоты
7
при введении комплексной амплитуды U. Производная ф
является поправкой на частоту колебаний относительно ре-
зонансной частоты контура соь .
В установившемся режиме производная (7 = 0 и уравне-
ния (1.4) принимают вид:
Ka(t/)=1, Гф = ^(П). (1.5)
В таком виде они являются исходными для анализа стацио-
нарных режимов в автогенераторе. Если = то 4? = 0 и,
следовательно, частота колебаний совпадает с резонансной
частотой контура.
Зависимость амплитуды колебаний от параметров опре-
деляется первым уравнением. Различают два наиболее ха-
рактерных случая, соответствующие «мягкой» и «жесткой»
характеристикам нелинейного элемента.
При «мягкой» характеристике коэффициент передачи
максимален и равен Ко для малых амплитуд. С увеличением
амплитуды колебаний он падает. В этом случае условие са-
мовозбуждения автогенератора выражается известным не-
равенством
Ко> 1.
Чем больше запас в этом неравенстве, тем больше ампли-
туда колебаний в установившемся режиме. Возникновение
колебаний и их срыв при плавном изменении Ко происходят
при одном и том же значении Ко — 1, что и определяет «мяг-
кость» или однозначность зависимости U(Ko)-
Примером мягкой характеристики тока нелинейного эле-
мента i(u) является двучлен третьей степени / = сш— уи3.
Предположим, что /С (£7) =7?/ (U)/U, где J (U) — комплексная
амплитуда тока нелинейного элемента i(u), К — управляю-
щее или резонансное (для схемы рис. 1.1) сопротивление ко-
лебательной системы. Подставляя u = t7cosr и находя ам-
плитуду 1-й гармоники, получим после преобразований зави-
симость K(U) в виде
где
X = £//(/„, и„ = К4а73у, Ко - аК.
8
Коэффициент усиления К здесь является действительным,
Т. е.
К = КР = 0.
Поэтому из 2-го уравнения (15) получим ф = О, т. е. частота
колебаний совпадает с опорной частотой coi. Уравнение для
амплитуд имеет вид
ТХ = Ко(а — Х2)Х, (1.6)
где а=1— 1/Ло — параметр регенерации; t/M— установив-
шаяся предельная амплитуда колебаний при /С0->-сю.
В стационарном режиме X = 0 и из (1.6) получим X =/ а.
Отсюда видна возможность плавного изменения амплитуды
колебаний от нулевого до произвольного конечного значения
U < (7М при варьировании параметра регенерации от а =
= 0 (Ко=1) до & —>-1 (Ко->со).
В случае «жесткой» характеристики нелинейности коэф-
фициент передачи сначала растет с увеличением амплитуды,
затем достигает максимума и уменьшается. Примером «жест-
кой» характеристики является характеристика, представлен-
ная полиномом пятой степени с положительным кубичным
членом и отрицательным членом пятой степени. В жестком
режиме зависимость U(Ko) имеет двухзначный характер —
возникновение колебаний и их срыв получаются при раз-
личных параметрах регенерации, т. е. появляется петля ко-
лебательного гистерезиса.
1.2. Частота колебаний и ее стабильность .
Частота колебаний определяется решением 2-го уравне-
ния (1.5) и представляется в виде
При Кр=0 ее значение совпадает с резонансной частотой
контура. При /Ср 0 частота колебаний зависит от парамет-
ров, влияющих на Кр и Т. Используя (1.7), нетрудно полу-
чить выражение для относительной нестабильности частоты
колебаний
Дсо Дшу Хр / Л/Ср дт*
хр т
9
АКр .
где — —относительная нестабильность
лр
дг
ставляющей коэффициента передачи; -у-
реактивнои со-
— относительная
нестабильность постоянной времени контура.
Обычно пренебрегают нестабильностью постоянной време-
ни контура и учитывают только влияние Д/Ср. Для ламповых
автогенераторов появление реактивной составляющей /Ср
связывают с влиянием сеточного тока и высших гармоник
(при пренебрежении инерцией электронов). При этом полу-
чается следующее выражение:
= -б^-срз),
где <р„, (ps — фазы коэффициента обратной связи и средней
крутизны по первой гармонике. Последняя вызвана дейст-
вием на входе лампы напряжений высших гармоник (наряду
с основной частотой), проникающих на вход из-за недоста-
точной фильтрации контура. Фаза ф3 получается порядка за-
тухания контура. Она зависит от содержания гармоник в
анодном токе и схемы автогенератора. При изменении
питающих напряжений поправки на частоту за счет сеточно-
го тока (влияющего на фк) и высших гармоник меняются,
что вызывает нестабильность генерируемой частоты.
Из последнего выражения для Aco/coi следует, что для по-
вышения стабильности частоты автогенератора необходимо:
1) повышать стабильность резонансной частоты контура;
2) применять контур с возможно меньшим затуханием;
3) стабилизировать источники питания;
4) уменьшать влияние тока сетки на фк, применяя схемы
компенсации и др. [1];
5) увеличивать /?вх, стремясь обеспечить режим с возмож-
но меньшим сеточным (базовым) током, применяя, напри-
мер, автосмещение;
6) уменьшать содержание гармоник в токе лампы, реали-
зуя режим, близкий к линейному.
1.3. Стабилизация частоты автогенераторов
дополнительными резонаторами
Включение в автоколебательную систему дополнительных
высокостабильных и добротных резонаторов позволяет раз-
делить функции выведения мощности в нагрузку и стабили-
10
заций частоты. При этом для вывода мощности используется
основной резонатор автогенератора, обычно малостабильный
и с низкой добротностью из-за связи с нагрузкой, а высоко-
добротный резонатор, не связанный непосредственно с на-
грузкой, является стабилизирующим. Вариантов' включения
дополнительного резонатора в автоколебательную систему
может быть много. Рассмотрим наиболее характерные схемы.
На рис. 1.2 представлен автогенератор по схеме с транс-
форматорной обратной связью, в цепь которой включен се-
лективный делитель напряжения, состоящий из контура г2,
L2, С2 и активного сопротивления г. Обозначим резонансную
частоту коллекторного контура через он, а частоту последо-
вательного резонанса цепи r2,L2, С2 через ©2 = 1/
Уравнения баланса фаз и баланса амплитуд схемы
рис. 1.2 имеют вид
5i |Zi | • | /С| = 1, <р54-<рк4_фх = 0,
где 5i(t7) — средняя крутизна характеристики триода; \ZX | —
модуль резонансного сопротивления
цепи; |К|— модуль коэффициента
том селективной вставки, cpsi,
cpz = — arctg (co — (01) Л, (рк =
= — arctg (со—<02)Л — соответствен-
но фазы крутизны, комплексного со-
противления коллекторного контура
и коэффициента обратной связи.
контура в коллекторной
обратной связи с уче-
Рис. 1.3. К определению
частоты колебаний в ав-
тогенераторе по схеме
рис. 1.2
Рис. 1.2. Автогенератор со стаби-
лизирующим резонатором в цепи
обратной связи
Частота колебаний определяется решением уравнения ба-
ланса фаз, которое легко выполнить графически. На рис. 1.3
показаны такие решения для разных расстроек й = со2 — (щ
и различных соотношений затуханий контуров. При й = 0
11
Рис. 1.4. Зависимости амп-
литуды колебаний от рас-
стройки для разных пара-
метров регенерации
колебаний при = О
частота колебаний совпадает с резонансными частотами кой-
туров, т. е. (0 = (01 = (02- В этом случае |Zi[ и |А| макси-
мальны, что соответствует максимальной амплитуде колеба-
ний, если условие самовозбуждения SRK > 1 выполнено.
При й =/= О частота колебаний располагается между резо-
нансными частотами (01,(02(рис. 1.3),
причем ближе к той из них, для
которой добротность контура выше,
т. е. фазовая характеристика идет
круче.
Амплитуда колебаний при рас-
стройке будет уменьшаться, по-
скольку уменьшаются |Zi| и |А|.
Зависимости амплитуды колеба-
ний от параметра регенерации S7?-А
и расстройки й представлены на
рис. 1.4.
Из уравнения баланса фаз легко
получить выражение для частоты
и малых расстройках й:
0)' = ((01 Т\ + (02 Т2)1(Т\ +Т2)
или для малых расстроек, когда (щ =(02:
со' = ((Oi Qi + (02 Q2)/(Qi + Q2) •
Вводя относительные нестабильности
v' — f v — получим + v2Q2)/(Qi + Q2)-
(02
При Q2 Qi имеем
/ Qi 1
V V1. — + v8,
т. e. получается ослабление влияния нестабильности vj.
Часто для оценки стабилизирующего действия дополни-
тельного контура вводится понятие коэффициента стабили-
зации q, который показывает, во сколько раз дополнитель-
ный контур ослабляет влияние нестабильности собственной
частоты основного контура. В нашем случае
q = vi/v',
причем для Q2^>Qi получим
q = Q2/Q1-
Для увеличения коэффициента стабилизации необходимо
повышать добротность Q2, которая зависит от сопротивления
12
г, г%. Уменьшение сопротивления г приводит к увеличению
Q2, но при этом уменьшается коэффициент передачи селек-
тивного делителя в цепи обратной связи. В результате ухуд-
шаются энергетические возможности схемы, уменьшается
амплитуда колебаний. Обычно выбирают г = г2-
В качестве добротного и стабильного «контура» часто
используется кварцевый резонатор, работающий вблизи по-
следовательного резонанса. Такая схема называется схемой
с кварцем в цепи положительной обратной связи.
Возможны различные модификации рассмотренной систе-
мы. Одна из них — двухкаскадный генератор, состоящий из
двух резонансных каскадов. Процессы в таком генераторе
аналогичны рассмотренным ранее. При значительной разни-
це в добротностях частота колебаний и ее стабильность
определяются более добротным контуром. Коэффициент ста-
билизации имеет выражение, аналогичное полученному для
предыдущей схемы. Для самовозбуждения двухкаскадного ге-
нератора необходимо, чтобы коэффициент усиления разомк-
нутой системы на частоте колебаний был больше единицы.
Очевидно, что он максимален при нулевой расстройке кон-
туров и уменьшается с увеличением последней. Обозначим
коэффициент усиления при нулевой расстройке через Ко- За-
висимость амплитуды колебаний от расстройки Q для разных
параметров регенерации системы, т. е. разных коэффициен-
тов усиления разомкнутой цепи Ко, имеет тот же вид, что и
для предыдущей схемы. Граничная расстройка, при которой
генерация исчезает, определяется выражением
агр = ±фу
и растет с увеличением Ко- Здесь Т=Т\ • (Тх + Тъ). Макси-
мальная амплитуда колебаний получается при нулевой рас-
стройке.
В ряде случаев, например на СВЧ, конструкция генера-
тора такова, что дополнительный резонатор можно подклю-
чить только извне, связав его с основным резонатором гене-
ратора. Получающиеся таким образом автоколебательные
системы получили название, систем с затягиванием частоты.
Внешний резонатор, связанный с основным, влияет на ча-
стоту колебаний и позволяет при соответствующем выборе
параметров либо стабилизировать ее, либо управлять ею.
Связь резонаторов может быть реактивной, если элемент
связи носит реактивный характер, либо активной .(резистив-
13
ной), если в качестве элемента связи используется резистор.
И в том и другом случае возможна реализация режима с
сильным влиянием дополнительного резонатора на частоту
колебаний. Но есть различие между схемами с этими видами
связи. При реактивной связи наибольшее стабилизирующее
действие внешнего резонатора получается на краях области
затягивания, где возможны перескоки режима. Это — недо-
статок, который создает трудности в настройке и эксплуата-
ции таких систем. Его можно устранить, если применить ре-
зистивную связь между контурами или использовать набор
из трех или другого нечетного числа резонаторов, связанных
реактивно. В таких системах легко реализовать режим, в ко-
тором коэффициент стабилизации получается максимальным
при нулевой расстройке контуров и уменьшается с увеличе-
нием последней. В пределах некоторой полосы расстроек
(зоны стабилизации) коэффициент стабилизации, обусловлен-
ный влиянием дополнительных резонаторов, сохраняется вы-
соким. При выходе из зоны стабильности (она порядка поло-
сы пропускания основного резонатора) стабилизирующее
влияние дополнительных резонаторов пропадает. При этом
мощность в нагрузке возрастает, поскольку она выводится
из основного резонатора, а потери в дополнительных резона-
торах при сильной расстройке последних отсутствуют.
Исследование показывает, что выход из зоны стабилизации
и вход в нее при изменении расстройки сопровождается ги-
стерезисными явлениями.
Разновидностью промежуточного резонатора для трехрезо-
паторной системы может служить настроенный отрезок волно-
вода, длина которого может быть достаточно большой, что
иногда удобно из конструктивных соображений. Последнее
обстоятельство особенно важно при использовании явления
сверхпроводимости свинца и некоторых других металлов при
низких температурах. Такой резонатор со свинцовыми стен-
ками, помещенный в сосуд Дюара с жидким гелием, обла-
дает добротностью порядка 106 и весьма малой нестабиль-
ностью частоты. Применение такого резонатора в цепи об-
ратной связи генератора на лампе бегущей волны позволило
получить долговременную нестабильность частоты не более
10-9, а кратковременную — еще лучше. Применение анало-
гичного резонатора в качестве стабилизирующего в системах
с затягиванием позволяет получить нестабильности частоты
того же порядка. Это подтверждается экспериментом, прове-
денным в МГУ.
1.4. Синхронизация автогенераторов
Внешняя синхронизация автогенераторов эталонным сиг-
налом позволяет стабилизировать частоту колебаний, по-
скольку в пределах определенной полосы расстроек (зоны
синхронизма) изменение параметров резонатора не влияет
на эту частоту. Синхронизация может проводиться как на
основной частоте, так и при кратных или дробно-кратных
Рис. 1.5. Два взаимно синхронизированных авто-
генератора
частотах внешнего воздействия и автономного автогенерато-
ра. Поскольку на практике часто имеется обратное воздейст-
вие на синхронизирующий автогенератор, для общности рас-
смотрим основные свойства системы двух взаимно связанных
автогенераторов рис. 1.5, собственные частоты контуров coi,
со2 которых приближенно кратны, т. е. (o2 = no)i 4- Q, где п —
небольшие целые числа, и шоь
Составим уравнения этой системы. В качестве независи-
мых координат выберем напряжения основных частот на сет-
ках ламп. За счет взаимной связи автогенераторов на базе
каждого из триодов, помимо напряжения основной частоты,
имеется напряжение от другого генератора.
Напряжение на базе первого автогенератора может быть
представлено суммой двух гармонических напряжений:
и' = U1 cos (со 114" ф 1) 4- U'% cos (со214~‘ф2),
где coi, (о2 — собственные частоты контуров,
т 1 ' _________ Ilk' к' __ М ' 1
и 1 — с/2«2, «2 —
[1 - ((оДсог)2]
Аналогично, на базе второго автогенератора действует на-
пряжение
и" = U\ cos(wi 4- £72cos((o2 /4-фг),
15
где
Ti' _ л h h — M • M2
(71 — Ui«i, «1 — ------------------.
Mi • L2 [(<Вг/(01)2 — 1 j
Пользуясь укороченными уравнениями, имеющимися в [2],
обсудим режимы работы такой системы. Возможны два прин-
ципиально различных режима: режим синхронизма, в кото-
ром генерируемые частоты точно кратны, несмотря на неко-
торую расстройку контуров, и режим биений, в котором ге-
нерируемые частоты некратны. Можно показать, что при
относительно слабой связи генераторов такие режимы ока-
зываются устойчивыми, что подтверждается экспериментом.
В случае синхронизма амплитуды напряжений на сетке
и их обобщенная разность фаз постоянны. При этом частот-
ные поправки фь ф2 также оказываются постоянными вели-
чинами и выполняются соотношения:
Q = (Qi + Q2)sin(p, ф1 =,(Qi • sin<p)/n, (1.8)
ГДе (р=Т2 — ПТ1, Ti = (01 14-фь т2=(02^4-ф2.
Введенные расстройки Qi, П2 приближенно соответствуют
границам зон синхронизма в режимах деления и умножения
частоты, о которых подробнее сказано ниже, а их сумма —
границе зоны синхронизма в общем случае.
Исключая из уравнений (1.8) sin(p, легко найти выраже-
ние для низшей из частот колебаний
со' = (о 14-ф 1 = коi /(1 4- А) 4-(02' A/n(l +А), (1-9)
где
•Д=П1/П2-
Вторая генерируемая частота кратна со' и равна по/.
Воспользуемся (1.9) для анализа стабильности частоты
со'. Отметим сначала, что если затухание контура с низшей
частотой <01 много меньше затухания контура с частотой 02,
то Л<С1. При обратном соотношении затуханий А 1. Из
(1.9) видно, что со' частота определяется в основном конту-
ром с малым затуханием. Поэтому влияние нестабильности
частоты менее добротного контура будет ослаблено примерно
в А раз при Д>1 ив А~1 раз при Л<С1.
При X=il оба контура в одинаковой мере влияют на ге-
нерируемые частоты, которые в этом случае оказываются
равными среднему арифметическому (с учетом кратности)
собственных частот.
16
В случае Д^>1 говорят о делении частоты колебаний 02
при помощи автогенератора с частотой (щ, близкой к ша/п.
При Л<С1 говорят об умножении частоты.
Устойчивые значения фазы ф определяются из неравен-
ства
(Qi 4- Q2)cos ф < 0.
В зависимости от знака Qi4-Q2 области устойчивых зна-
чений фазы ср лежат в пределах
_A<?<2L прий^Й-гСО
2 2
либо
? <С л при -ф Q2 > 0-
Исследование выражений для Qi и П2 дано ниже при
анализе режимов умножения и деления частоты.
Режим умножения частоты. Неравенство А <С 1 при Qi<C&2
позволяет пренебречь в правой части уравнения (1.8) мень-
шим слагаемым, после чего это уравнение принимает вид
Q = Q2-sin (р.
Полагая ф==±л/2, получим расстройку Qrp на границе зоны
синхронизма в режиме умножения частоты
Нгр = ± Qi
или относительную полосу синхронизма
2Qrp/(02 = 62-уп/уо,
где уп, уо — коэффициенты разложения, зависящие от угла
отсечки огибающей тока, 02[ 1, 2]. Зона синхронизма пропор-
циональна затуханию контура «синхронизируемого» гене-
ратора и зависит от угла отсечки огибающей 02, который оп-
ределяется амплитудами автоколебаний и внешнего воздей-
ствия и напряжением смещения. С увеличением угла отсечки
зона синхронизма проходит ряд максимумов и «нулей», при-
чем величина максимумов уменьшается. Число максимумов
и «нулей» зоны синхронизма растет с увеличением кратно-
сти частот. При прохождении зоны синхронизма через нуль
происходит изменение фазы ф. В частности, при нулевой рас-
стройке фаза ф = 0 меняется на ф=л;.
Режим деления частоты. В режиме деления частоты (при
^2<CQi) в (1.8) можно пренебречь меньшим слагаемым, пос-
ле чего получим
Q = Qi sin ф.
17
Выражение для относительной ширины зоны синхронизма
имеет вид
= 2т..
<£>2
(Этюда также следует, что зона синхронизма пропорциональ-
на затуханию «грубого» контура бь т. е. контура «синхрони-
зируемого» генератора. Коэффициенты у; здесь зависят от
угла отсечки огибающей в низкочастотном генераторе, т. е.
6ь Зависимости зоны синхронизма от угла отсечки отлича-
ются от рассмотренных выше графиков для случая умноже-
ния частоты в основном тем, что точки «нулей» и максиму-
мов поменялись местами. При прохождении зоны синхрониз-
ма через нуль здесь, как и в режиме умножения частоты,
фаза ср скачкообразно меняется. С увеличением управляю-
щего сопротивления 7?i(t. е. с уменьшением угла отсечки 01)
зона синхронизма проходит ряд нулей и максимумов, при-
чем каждый последующий максимум больше предыдущего.
С увеличением кратности частот число максимумов и нулей
растет.
Максимальная ширина зоны синхронизма равна
2 Qrp/w2 — 6i • 0,6/и.
При достаточно больших кратностях частот, когда опти-
мальный угол отсечки 01 не может быть реализован, зона
синхронизма обратно пропорциональна квадрату кратности,
т. е. убывает с увеличением кратности быстрее, чем при
оптимальных углах отсечки.
Вне зоны синхронизма генерируемые частоты колеблются
вблизи собственных частот в пределах порядка долей зату-
ханий контуров. Поэтому амплитуды колебаний мало меня-
ются. При малых кратностях частот сказанное становится
менее справедливым. Амплитуды колебаний зависят от рас-
стройки в пределах зоны синхронизма, а в режиме биений
наряду с частотной модуляцией имеет место амплитудная
модуляция, тем более заметная, чем ниже кратность частот.
При изменении расстройки в больших пределах (и посто-
янных значениях управляющих сопротивлений) система двух
взаимно связанных автогенераторов переходит из режима
синхронизма одной кратности в режим биений, затем в ре-
жим синхронизма другой кратности частот и т. д.
18
1.5. Автоколебательные системы с комбинационным
взаимодействием
Автоколебательные системы с комбинационным соотно-
шением трех частот обладают интересным свойством взаим-
ной компенсации нестабильности собственных частот, в свя-
зи с чем они могут быть применены для стабилизации несу-
щей при частотной модуляции, а также для диапазонной
стабилизации частоты.
Рис. 1.6. Автогенератор с комбинационны-
ми колебаниями
Рассмотрим систему (рис. 1.6), состоящую из двух смеси-
телей Ci, С2, на каждый из которых подается напряжение
внешнего воздействия частоты со3 и напряжение с фильтра
соседнего смесителя. Если фильтры смесителей настроены
на частоты, в сумме приближенно равные частоте внешнего
воздействия, то в системе возникают колебания комбинаци-
онных частот, сумма которых равна частоте внешнего воз-
действия. Возникновение колебаний представить нетрудно.
При появлении малых колебаний частоты о/ в первом фильт-
ре (01, на выходе второго смесителя фильтром (02 выделяется
напряжение разностной комбинационной частоты (о" = (о3—со',
которое действует на вход первого смесителя. В результате
на выходе первого смесителя появляется составляющая вто-
рой разностной частоты со'=со3—со", которая при надлежа-
щем выборе параметров способствует нарастанию колебаний
до установившегося режима.
На рис. 1.7 представлена одна из возможных схем гене-
раторов комбинационных частот, где в качестве смесителей
используются триоды, а в качестве фильтров — резонансные
контуры. Аналогичные схемы могут быть составлены с ис-
пользованием смесителей любого другого вида. В дальнейшие
рассуждениях будем иметь в виду схему рис. 1.7.
2*
19
Задача исследования заключается в том, чтобы опреде-
лить условия самовозбуждения и существования колебаний
двух комбинационных частот, а также установить зависи-
Рис. 1.7. Вариант двухконтурного
автогенератора с комбинацион-
ными колебаниями
мость нестабильности гене-
рируемых частот от неста-
бильности собственных ча-
стот контуров и изменения
питающих напряжений.
Составление уравнений.
В качестве независимых ко-
ординат выберем напряже-
ния на контурах:
Ui = U{ COS Ti, W2=^2COST2,
где
T1=(D1 ?2 = (02 t + ф>2-
Амплитуды напряжений U\, U2 и их фазы фь ф2 в общем
случае считаем медленно меняющимися и функциями вре-
мени.
Напряжение внешнего воздействия и3 = £73 cos (соз / + фз)
для удобства последующих операций представим в виде
«з='^з cos‘(ti+T2 + <p),
где
<р = т3— (Т1+Т2).
Обобщенная разность фаз (р представляет сдвиг фазы напря-
жения внешнего воздействия относительно текущих фаз ti и
т2 напряжений на контурах.
При действии на сетку первого смесителя напряжений и2
и Из в анодном токе появляется ряд гармонических и комби-
национных составляющих. Нас будет интересовать состав-
ляющая с разностной частотой, соответствующая аргументу
Ti + (р. Эта составляющая попадет в полосу пропускания
первого контура и будет поддерживать в нем колебания. При
кратном отношении собственных частот в полосу пропуска-
ния контура, помимо разностной составляющей, могут по-
пасть гармоники одного из напряжений, а также комбинаци-
онные составляющие высшего порядка. Такие области наст-
роек контуров (ц)2/(01 = m/п) мы исключим из рассмотрения,
полагая, что контуры выделяют только разностные комбина-
ционные составляющие анодных токов. Эти составляющие
представим в виде суммы двух слагаемых, одно из которых
20
синфазно, а другое квадратурно с напряжениями на конту-
рах, т. е.
G = /iacosTi — /1Р sin Ti, 12 = /2а cos т2— ЛрЗШТг.
Пользуясь найденными выражениями для токов, нетруд-
но получить укороченные уравнения для каждого из конту-
ров:
Т\ й\ = /1а ^1 - П1, Г2 [У2 = /2а/?2- ^2- (110)
Т\ ipi = /1Р Г2ф2 = /2р/?2/[/2.
Здесь ^?i, /?2, Т\, Т2— резонансные сопротивления и постоян-
ные времени контуров.
Проводя нормированное сложение второго и четвертого
уравнений (1.10) в соответствии с условием ф=П— (ф1+ф2)
и используя (1.3), приходим окончательно к следующей си-
стеме:
ТДзх/Лсозф-У,, <i> = £2-(-££- + -££-) sin?,
T'J‘> (1.11)
cos ф —1/2, ф -- —— sin ф.
Поскольку первые три уравнения не зависят от переменной
ф1, исследование этой системы сводится к рассмотрению
первых трех уравнений.
Стационарный режим и его устойчивость. Стационарным
будем называть режим, при котором амплитуды колебаний и
их частоты постоянны, причем последние в сумме равны ча-
стоте внешнего воздействия. Уравнения стационарного режи-
ма получаются из (1.11), если положить U\ = U2 = ф = 0.
Используя соотношения JiRi/Ui = 1/cos ф, получающиеся из
первых двух уравнений стационарного режима, третье и чет-
вертое уравнения можно упростить. В результате уравнения
стационарного режима принимают вид:
/1 ₽i cosф = U\, 7’И = 1§ф,
(112)
/2 R2 cos ф = U2, 7i ф1 = tg ф,
где
Т = Т\-Т2/(Т\ + Т2).
ъИз третьего уравнения для каждого значения расстройки
может быть найдена разность фаз ф. При этом первые два
уравнения определяют амплитуду колебаний, а четвертое
21
позволит найти генерируемые частоты по формулам а/=(014-
+ ipi, (и,/ = СО3 — со7.
Составляя для системы (1.6) уравнения в вариациях от-
носительно особых точек, соответствующих стационарному
режиму, можно с помощью критерия Гурвица получить усло-
вия устойчивости стационарного режима. В данном случае
получаются три условия устойчивости. Анализ условий устой-
чивости позволяет заключить, что самовозбуждение системы
наступает при выполнении неравенства
+ (ПГ)2]> 1, (1.13)
где Sio, S20 — крутизны преобразования при малых амплиту-
дах U\, U2.
Величины Sio, S2o определяются типом смесителей и ам-
плитудой внешнего воздействия. Рассмотрение условий устой-
чивости в стационарном режиме, возникающем при выпол-
ненном условии самовозбуждения (1.13), приводит к выводу,
что стационарный режим устойчив, если в соответствующих
ему точках выполняются неравенства:
dj\ . Ji dJ<i <. J‘i
~dUt ’ ~ай[
Эти неравенства, в частности, будут выполнены, если за-
висимости h(U2) и имеют «мягкий» характер. В даль-
нейших рассуждениях предполагается, что указанное условие
устойчивости выполняется. В этом случае наибольшие значе-
ния амплитуд колебаний получаются при нулевой расстрой-
ке. С увеличением .последней амплитуды колебаний умень-
шаются и при расстройке
2Гр — + Sl0RiS^R2 1, (1.14)
соответствующей границе самовозбуждения, обращается в
нуль. В случае симметричной схемы, когда 61 = 62 = б, =
= R2 = R, S10 = S2o = S, выражение (1.14) можно привести
к виду
2Q/CO3 = б /(ST?)2—1.
Полученное выражение представляет относительную полосу
расстроек, в пределах которой существуют колебания.
Генерируемые частоты и их стабильность. Для рассмотре-
ния частотных зависимостей воспользуемся третьим и чет-
вертым уравнениями (1.12). При нулевой расстройке Н = 0
из третьего уравнения следует tg<р = 0 и, значит, ярц = О,
22
В этом случае генерируемые частоты равны собственным «щ,
со2. Перестраивая контуры по диапазону в противоположные
стороны с сохранением П=0, получим изменение частот ко-
лебаний в значительных пределах. При Q 0 выражение для
генерируемой частоты со'= coi+ipi получается с помощью
тех же уравнений (если исключить из них tg<p) и имеет вид
(.О7 = (.0х --------------(о)3 — со2) ---— • (1 • 15)
1 Л + Тз V ' Ti + Т2 V
Вводя относительные нестабильности собственных частот
и частоты внешнего воздействия vi=Acoi/coi, с помощью (1.15)
получим следующее выражение для относительной нестабиль-
ности одной из частот колебаний v' = Aco7wb
Г,
Л + Тз
- _Zk
Т1
(1.16)
®3 \
ь
=
Выражения для. второй частоты и ее нестабильности получа-
ются аналогичными (1.15), (1.16). Нужно только индексы 1
и 2 поменять местами.
Из выражений (1.15) и (1.16) следует, что при затухани-
ях одного порядка нестабильность генерируемых частот
определяется разностью нестабильностей собственных ча-
стот. Следовательно, при одинаковом конструктивном выпол-
нении контуров (а также одинаковых температурных усло-
виях для них) нестабильность частот колебаний может быть
сделана весьма малой, того же порядка, что и нестабиль-
ность эталонной частоты. Возможное различие в величинах
vj, v2 за счет неизбежной асимметрии реальных систем, в
особенности при перестройке по диапазону, может быть
скорректировано в разных точках диапазона подбором соот-
ношения затуханий контуров в соответствии с условием
vi-d2 = v2di. Таким образом, рассматриваемая система по-
зволяет получить две стабильные частоты, перестраиваемые
по диапазону, при использовании всего лишь одной фикси-
рованной частоты эталонного генератора. Диапазон частот,
в пределах которого сохраняются указанные свойства, опре-
деляется областями настроек, внутри которых частоты конту-
ров не оказываются кратными. Наибольший интерес здесь
представляет область 0,5 < coi/co2 < 1, соответствующая изме-
нению частоты в первом контуре в пределах со3/3 < со2 < соз/2,
а во втором контуре — в пределах <о3/2 < со2 < 2соз/3. Внутри
указанного диапазона можно ожидать синхронизации при
отношениях частот (Oi/co2 = 2/5, 3/7 и т. д., однако экспери-
ментально такую синхронизацию обнаружить не удалось.
23
В реальной системе нестабильность генерируемых частот
зависит не только от нестабильности собственных частот, но
и от изменения питающих напряжений. Влияние питающих
напряжений проявляется за счет действия базового тока и
высших гармонических, не учтенных при составлении уравне-
ний. Действие сеточного тока и высших гармонических при-
водит к появлению дополнительных сдвигов фаз <pi, ср2 в ко-
эффициентах связи контуров со входом смесителей и в кру-
тизнах преобразования.
Величина дополнительных сдвигов фаз того же порядка
(т. е. порядка затуханий контуров), что и в одноконтурных
автогенераторах. Она зависит от схемы связи контуров со
входом смесителей, а также от соотношений базового и
коллекторного токов смесителей. В случае, если система
близка к симметричной, с достаточной точностью можно счи-
тать, что при одинаковом для обоих триодов изменении на-
пряжений питания фазы epi, (р2 меняются в одну сторону.
Покажем, что изменение частот колебаний определяется
разностью фаз <pi — ф2. Для этого при выводе укороченных
уравнений нужно вместо Т?2- подставить выражения
^л(1+/ср1), ^2(1+/<Р2). После преобразований, аналогичных
проведенным выше, и исключения малых высшего порядка
получим следующую систему уравнений стационарного ре-
жима:
JjR, cos <р = TQ = tg <р - +-3гй,
/2i/?2cos<p = и2> Т1 = tg ф — <рь
Находя из последних двух уравнений выражения для гене-
рируемых частот (подобно тому, как это делалось выше),
получим
(Д + 72) а/ = (О) Т\ + (<оз — (о2)Т"2 + <р 1 — <р2. (1.17)
Отсюда следует, что стабильность генерируемых частот за-
висит от разности фаз (pi—(р2. Это позволяет сделать вывод,
что влияние питающих напряжений в рассматриваемой си-
стеме оказывается существенно ослабленным по сравнению
с обычными одноконтурными автогенераторами. Можно по-
казать, что даже при различных вариациях фаз tpi, <р2 до-
биться почти полной их компенсации удается подбором
коэффициентов включения контуров.
Варианты генераторов комбинационных частот. Колеба-
ния двух комбинационных частот возможны также в случае,
24
когда частота внешнего воздействия равна приближенно
разности собственных частот. Основные рассуждения для
таких генераторов аналогичны приведенным выше. Однако
здесь нестабильности собственных частот контуров не ком-
пенсируются. Поэтому такие генераторы не представляют
практического интереса с точки зрения стабилизации ча-
стоты.
При исследовании были исключены области настроек кон-
туров, в которых отношение собственных частот приближен-
но равно отношению простых целых чисел т, п. В этих обла-
стях явления становятся более сложными, поскольку в поло-
сы пропускания контуров проникают не только разностные
комбинационные частоты, но и другие составляющие комби-
наций т со' ± /гсоз, исо" ±/г со3. В частности, при приближенно
равных частотах контуров рассматриваемая система превра-
щается в двухкаскадный автогенератор, способный самовоз-
буждаться на частоте, близкой к собственным частотам кон-
туров. Возникновение дополнительных колебаний нежела-
тельно, так как при этом теряется уверенность в существо-
вании именно тех колебаний, которые необходимы. Самовоз-
буждение в отсутствие внешней э. д. с. можно устранить
отрицательной обратной связью, что осуществляется соответ-
ствующим подключением сеток смесителей к контурам. Для
обеспечения самовозбуждения на комбинационных частотах
в соответствии с условием (1.13) необходимо, чтобы крутизны
преобразования Si0, S20 были бы противоположны по знаку.
Это достигается подачей внешней э. д. с. на сетки смесителей
в противофазе [2].
В рассмотренных выше ген-ераторах колебания комбина-
ционных частот прекращаются при снятии напряжения внеш-
него воздействия. Можно строить системы, обладающие ана-
логичными свойствами в отношении стабильности генерируе-
мых частот, на принципе синхронизации суммарной частотой
двух взаимно связанных автогенераторов или одного двух-
контурного автогенератора. При действии на такой автогене-
ратор внешней э. д. с. с частотой, равной сумме генерируемых
частот, в некоторой полосе существуют колебания в конту-
рах, причем их частоты в сумме точно равны частоте внеш-
него воздействия. При этом их нестабильность определяется
разностью нестабильностей собственных частот, как в гене-
раторах, рассмотренных ранее. Пользуясь этим обстоятельст-
вом, можно генератор комбинационных частот и эталонный
генератор осуществить на одном активном нелинейном эле-
менте (лампе, транзисторе и т. д.).
25
Генераторы комбинационных частот, рассмотренные ра-
нее, обладают повышенной стабильностью частот колебаний,
но имеют недостаток, ограничивающий их применение. Он
связан с наличием зон кратного синхронизма, в которых
генерируемые частоты кратны друг другу и опорной часто-
те и не зависят от настройки контуров. Зоны кратного син-
хронизма связаны с присутствием гармонических и комбина-
ционных составляющих высшего порядка, которые при при-
ближенно кратных собственных частотах контуров попадают
в полосы пропускания последних наряду с полезными раз-
ностными комбинационными составляющими. Кроме очевид-
ной центральной зоны взаимной синхронизации колебаний
(1.1) при близких частотах контуров, наиболее заметные зо-
ны кратного синхронизма соответствуют отношениям частот
1:2, 1:3... и 2:1, 3:1 и т. д. Зоны синхронизма на равных и
кратных частотах определяются порядком затуханий конту-
ров и уменьшаются с увеличением кратности частот.
Интервал между зоной 1:1 и зонами 1:2 и 2:1 соответст-
вует перестройке каждой из частот примерно на 30% и для
ряда применений достаточен. Внутри этих интервалов суще-
ствуют зоны высшего порядка, соответствующие кратностям
частот 2:3, 3:4, 3:5, 4:5, 5:3, 5:4 и т. д. Эти зоны значительно
меньше зон 1:2 и 2:1, но вредны, поскольку нарушают плав-
ную зависимость частот колебаний от перестройки контуров.
Из-за режима биений, возникающего вблизи зон кратного
синхронизма, засоряется спектр основных колебаний. Для
уменьшения паразитных зон до минимального уровня, опре-
деляемого, например, заданной точностью установки частот,
требуется уменьшать затухания контуров и уровень паразит-
ных гармонических и комбинационных составляющих токов
смесителей.
Снижение уровня гармонических и комбинационных со-
ставляющих высшего порядка может быть достигнуто умень-
шением амплитуд колебаний, т. е. работой генератора вблизи
порога самовозбуждения. Такой путь ухудшает надежность
работы генератора, приводит к нестабильности амплитуды
колебаний при .изменении параметров, смене ламп и т. д.
Значительно целесообразнее применение автоматической ре-
гулировки усиления преобразователей и усиленного автосме-
щения. Этими методами можно обеспечить устойчивую рабо-
ту генератора с малыми амплитудами колебаний при любом
запасе самовозбуждения.
Глава вторая
ТЕОРИЯ ЧАСТОТНОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ
ЧАСТОТЫ (ЧАП)
2.1. Блок-схема ЧАП и характеристики ее основных
звеньев
Любая система автоподстройки частоты (АПЧ) построена
по принципу отрицательной обратной связи, представляет
собой обычную систему автоматического регулирования и со-
держит все ее основные элементы — объект регулирования,
измерительный орган, корректирующее звено и регулятор.
Первые системы ЧАП появились в 30-х годах и предназнача-
лись вначале лишь для решения задачи стабилизации часто-
ты автогенератора.
Блок-схема простейшей ЧАП приведена на рис. 2.1. Здесь
объектом регулирования является подстраиваемый автогене-
ратор ПГ, а в качестве регу-
лируемой координаты высту-
пает его текущая частота со(/).
Колебания ПГ поступают к ча--
стотному дискриминатору ЧД,
в котором происходит сравне-
ние текущей частоты со(0 с
центральной частотой дискри-
минатора соа, играющей роль
Рис. 2.1. Блок-схема простейшей
ЧАП
эталона. При отклонении теку-
щей частоты ПГ от центральной частоты ЧД на выходе по-
следнего вырабатывается сигнал ошибки, например, в форме
напряжения постоянного тока ed(t). Величина напряжения
ошибки пропорциональна величине рассогласования частот
ПГ и ЧД, а его полярность соответствует знаку этого рассо-
гласования.
В качестве корректирующего звена, которое служит для
придания системе желаемых динамических свойств, обычно
используют простейшие фильтры нижних частот (ФНЧ). Сиг-
27
нал ошибки, пройдя ФНЧ, поступает на вход управителя Ча-
стоты (УЧ). Под действием управляющего напряжения еД/),
управитель вносит в контур ПГ корректирующую расстройку
Aco(Z), которая, добавляясь к собственной частоте свободного
ПГ соо, стремится уменьшить рассогласование между текущей
частотой ПГ ©(/) и центральной (эталонной) частотой ЧД.
Поскольку в блок-схеме ЧАП рис. 2.1 сравнение колеба-
ний происходит непосредственно на центральной частоте ЧД
соа, играющей здесь роль эталона, то предельная точность
автоподстройки в такой простейшей системе ограничена не-
стабильностью центральной частоты ЧД, т. е. дсоэ/соэ=6соа/соа.
Без принятия специальных мер (например, термостатиро-
вания) в схемах ЧД с резонансными контурами величина
6соа/соа может составлять около 10-34-10-4, т. е. быть весьма
значительной. Неудобство такой блок-схемы, кроме того, со-
стоит в том/что она пригодна лишь для задачи стабилиза-
цищ причем стабилизируется только одна фиксированная
частота ПГ, совпадающая с центральной частотой ЧД соа.
Если имеется источник высокостабильных колебаний (на-
пример, квантовый или кварцевый генератор КГ с частотой
й\в), то, используя смеситель СМ. и выделяя в качестве про-
межуточной какую-либо из комбинационных частот сопр =
=+т(окв±що, где т и п—положительные целые числа, мож-
но осуществлять сравнение частоты ПГ с частотой ЧД не не-
посредственно, а на промежуточной частоте сопр. Блок-схема
ЧАП со сравнением на промежуточной частоте изображена
на рис. 2.2. Очевидно, при выбранных числах т и п значение
эталонной частоты, к которой подстраивается ПГ, равно
©а -- ---------- .
3 ±П
Обычно используют т = п~\, при этом
соэ = соа + (0кв. (2.1)
Выразим в соответствии с этой формулой относительную
нестабильность эталонной частоты д©э/©э через нестабильно-
сти частот ЧД и КГ:
б(Оэ _ I ^С0кв ©кв
(0э Ci)(j (0э о>кв
Отсюда следует, что вклад нестабильности частоты дискри-
минатора б©9/©9 в общую нестабильность эталона 6(оэ/соэ
происходит с весовым коэффициентом
<&д _ 1
Шэ 1 + (0КВ/<0<5
28
который получается тем меньше, чем больше отношение
сога/соа. Следовательно, применяя для стабилизации частоты
блок-схему рис. 2.2, имеем возможность резко ослабить вли-
яние собственной нестабильности ЧД, выбрав частоту сокв на
2-4-3 порядка больше, чем центральную частоту дискримина-
тора, т. е. приняв =;( 1024-103). Кроме того, используя
со,?
вместо одной фиксированной частоты КГ генератор дискрет-
ного множества эталонных частот, можно получить автопод-
стройку ПГ по сетке стабильных частот. Заметим, что блок-
схема ЧАП рис. 2.1 содержит лишь пассивный эталон в виде
заданного значения центральной частоты дискриминатора соа
поэтому такая система пригодна только для целей стабили-
зации частоты.
Рис. 2.2. Блок-схема ЧАП со сравнением на промежуточной
частоте
Рис. 2.3. Блок-схема ЧАП для слежения за час-
тотой сигнала
В системе, выполненной по блок-схеме рис. 2.2 и содержа-
щей дополнительно активный эталон в виде электрических
колебаний кварцевого генератора КГ, возможно решение
задачи о слежении или усилении сигнала с меняющейся ча-
стотой, если взамен КГ, работающего на фиксированной ча-
стоте со1Ш, использовать источник колебаний с изменяющейся
во времени частотой coc(Z) (например, принятый из эфира
сигнал при слежении за частотой в допплеровских системах
и т. д.). Блок-схема такой системы показана на рис. 2.3; в
обозначениях к ней подчеркнуто, что частоты колебаний не
постоянны, а меняются во времени. Очевидно, в соответствии
с формулой (2.1) эталонное значение частоты соэ(/), за кото-
29
рым следит частота ПГ о>(/), отличается от частоты сигнала
(ос (0 на постоянную величину (оа, т. е.
со8(0 = (Оэ + (ос (0 •
Для количественного описания работы системы ЧАП не-
обходимо располагать выражениями характеристик (матема-
тическими моделями) основных элементов, образующих ее
блок-схему.
А) Дискриминационная характеристика частотного
детектора
Дискриминационная характеристика ЧД представляет за-
висимость его выходного напряжения ед от квазистатическо-
го отклонения текущей частоты со(£) поступающих на его
вход колебаний относительно центральной частоты дискри-
минатора ($д- В зависимости от диапазона рабочих частот
можно построить схемы ЧД, основанные на различных физи-
ческих принципах.
В радиодиапазоне широко распространены схемы ЧД, ис-
пользующие резонансные свойства колебательных контуров.
Простейшая схема ЧД такого типа содержит два резонатора,
собственные частоты которых (oPi и <оР2 расстроены симмет-
рично по отношению к центральной частоте дискриминатора
год. Подав входной сигнал одновременно на оба резонатора,
получим в каждом из них колебания, амплитуда которых в
установившемся режиме меняется от частоты сигнала <о
в соответствии с резонансными кривыми резонаторов. Если
затем продетектировать раздельно каждое из колебаний с
помощью амплитудных детекторов, а продетектированные на-
пряжения вычесть, то получится характеристика ЧД, изобра-
женная на рис. 2.4. Начало координат здесь перенесено в
точку юз, а пунктиром показана линейная аппроксимация,
справедливая на участке характеристики с положительной
крутизной. Для удобства дальнейших выражений введем
наибольшее значение выходного напряжения дискриминатора
Е0 и безразмерную нормированную к единице функцию
Ф(й) — (ой), т. е. представим характеристику ЧД в виде
ед = Е дФ(и — (оз). (2.2)
Конкретный вид нормированной характеристики Ф((о — соа)
определяется полосой пропускания резонаторов в схеме ЧД
и величиной их взаимной расстройки,
30
Для описания процессов при небольших отклонениях ча-
стоты, не выводящих систему на падающие участки харак-
теристики ЧД, пригодна линейная ее аппроксимация
ed^Sd- (со — (о9). (2.3)
Из сопоставления (2.2) и (2.3) видно, что крутизна раз-
мерной характеристики
£д=ЕэФС, (2-4)
где Ф' = ^Ф^тУа) / —крутизна нормированной харак-
“ da) / О) ZZ СО^
теристики ЧД в начале координат.
Рис. 2.4. Характеристика •частотного дискриминатора
с резонансными контурами
При пользовании характеристикой ЧД следует иметь в
виду, что величины напряжений на резонаторах дискрими-
натора зависят от уровня входного сигнала. Следовательно,
при изменении амплитуды входного сигнала изменится вели-
чина наибольшего выходного напряжения Ед, т. е. крутизна
линейного участка размерной характеристики S5. Кроме
того, эта характеристика построена при квазистатическом
изменении частоты входного сигнала, т. е. справедлива в
предположении, что наибольшая скорость изменения частоты
сигнала много меньше постоянных времени резонаторов ЧД
и блокировочных элементов, присутствующих в нагрузке
амплитудных детекторов. По этим причинам такая характе-
31
ристика не будет в точности справедлива в случае, например,
модулированного входного сигнала или при наличии на входе
ЧД значительной шумовой компоненты.
Помимо схемы ЧД с расстроенными контурами возможны
и другие похожие варианты с использованием резонансных
свойств колебательных контуров. Общей их чертой является
наличие наряду с участком с положительной крутизной так-
же и падающих участков характеристики, ограничивающих
раствор (полезную апертуру) дискриминационной характе-
ристики ЧД.
Б) Модуляционная характеристика управителя частоты
Модуляционная характеристика управителя частоты (ча-
стотного модулятора) представляет зависимость корректиру-
ющей расстройки Асо, вносимой управителем в контур ПГ,
Рис. 2.5. Две типичные модуляционные характерис-
тики управителя частоты
от управляющего напряжения еу, поступающего на вход уп-
равителя. В быстродействующих системах АПЧ обычно при-
меняют электронное управление частотой. В качестве таких
управителей используют подключенную параллельно контуру
ПГ реактивную проводимость, величина которой зависит от
приложенного к ней постоянного напряжения еу (например,
реактивную лампу, емкость р—«-перехода, реактивную про-
водимость зазора в отражательном клистроне и т. п.). При
правильно выбранном режиме управителя и подстраиваемого
генератора изменение управляющего напряжения еу приво-
дит лишь к отклонению текущей частоты колебаний со от
собственной частоты ®0 свободного генератора, а изменения
амплитуды колебаний ПГ оказываются не очень значитель-
ными и для простоты их можно не учитывать.
32
Две типичные модуляционные характеристики управителя
частоты Лсо(еу) приведены на рис. 2.5, а, б. Здесь начало ко-
ординат помещено в точку и0, соответствующую частоте ПГ
при нулевом значении управляющего напряжения еу = 0.
Близкая к симметричной характеристика рис. 2.5, а получа-
ется, например, в схеме двухтактного частотного управителя
с реактивными лампами. Резко несимметричная зависимость
частоты от управляющего напряжения (рис. 2.5,6) наблю-
дается при использовании в схеме управления частотой емко-
сти р—/г-перехода. Размах реальной модуляционной харак-
теристики обычно ограничен (заштрихованные уровни на
рис. 2.5,а, б), поэтому зависимость Л(о(еи) в общем случае
нелинейная. Располагая конкретным аналитическим выра-
жением модуляционной характеристики или воспользовав-
шись экспериментальной кривой и выбрав на графике Дсо(еу)
характерную точку А с координатами Е*,— Q*, можно запи-
сать уравнение модуляционной характеристики в виде
Л(о(еу)=П*£(еу). (2.5)
Здесь введена безразмерная модуляционная характеристика
В(еу), нормированная так, что В(Е*) =—1. График В(еУ!Е*)
приведен на рис. 2.6, а (для простоты на этом рисунке изо-
бражена симметричная характеристика).
Рис. 2.6. Безразмерные нормированные модуляционные
характеристики
При небольших отклонениях частоты со от о0 допустима
линейная аппроксимация модуляционной характеристики
А(о^— Svev. (2.6)
Эта прямая показана на рис. 2.6, а пунктиром.
33
Из сопоставления (2.5) .и (2.6) следует
-Sy=O*B'e,
где Ве = — — крутизна безразмерной модуля-
dey еу^°
ционной характеристики в нача-
ле координат.
Очевидно, если принять модуляционную характеристику в ви-
де безграничной прямой, т. е. положить
В f еУ \ _ _ еУ
\ Е* )~ Е* ’
то крутизна
с _ Q*
где Е*,— Q* — координаты произвольно выбранной точки
указанной прямой.
При желании учесть нелинейность модуляционной харак-
теристики в дифференциальном уравнении системы, как уви-
дим в дальнейшем, удобнее перейти от обычной модуляцион-
ной характеристики (2.5) к обратной зависимости
<?у(А(о) = Е* G)(A(o), (2.7)
где G(Aco)—безразмерная обратная модуляционная харак-
теристика, нормированная так, что G(—й*)=1. График
G(Ag:»/Q*) показан на рис. 2.6,6.
В) Операторный коэффициент передачи и частотные
характеристики фильтра
Фильтр нижних частот ,(ФНЧ), включаемый между дис-
криминатором и управителем частоты, играет роль коррек-
тирующего звена, с помощью которого можно придать си-
стеме ЧАП необходимые динамические свойства. Кроме того,
узкополосные ФНЧ используют для подавления помех, иска-
жающих эталонный сигнал, например, в случае приема его
из эфира (блок-схема рис. 2.3) или при автоподстройке ПГ
по сетке эталонных частот, когда роль помехи играет коле-
бание соседней частоты сетки (такой системе соответствует
блок-схема рис. 2.2, в которой кварцевый генератор КГ за-
менен генератором дискретного множества стабильных ча-
стот) .
Одно из главных достоинств систем АПЧ состоит в том,
что основное подавление помех здесь можно осуществлять
34
не в высокочастотном тракте (до дискриминатора), а выпол-
нять его на низкой частоте в цепи обратной связи, т. е. про-
изводя сглаживание сигнала ошибки на выходе дискримина-
тора с помощью чрезвычайно узкополосных ФНЧ. В качестве
ФНЧ используют различные схемы, большое распростране-
ние нашли простейшие ^?С-фильтры: интегрирующий (ИФ)
и пропорционально-интегрирующий (ПИФ) фильтры (рис. 2.7,
а, б).
Рис. 2.7. Схемы интегрирующего (а) и пропорционально-интегрирующе-
го (б) фильтров в цепи управления
Свойства фильтра как линейного звена с постоянными
параметрами полностью описываются его операторным коэф-
фициентом передачи k(p), связывающим мгновенные значе-
ния входного ed(t) и выходного ey(t) напряжений:
ev(t) = k(p) ed(t). (2.8)
Здесь оператор р— d/dt означает процедуру дифференциро-
вания. Поэтому на соотношение (2.8) следует смотреть как
на символическую форму записи дифференциального урав-
нения, связывающего входную и выходную координаты филь-
тра.
Напомним, что рецепт получения выражения k(p) для
любой конкретной электрической схемы очень прост — пола-
гая входную и выходную координаты гармоническими функ-
циями времени, меняющимися с произвольной частотой со,
составляется по правилам теории электрических цепей выра-
жение для комплексного коэффициента передачи /г,(/со) ис-
следуемого звена, а затем символ /со в этом выражении за-
меняют оператором р = djdt.
35
Операторный коэффициент передачи интегрирующего
фильтра имеет вид
где Т = RC — постоянная времени фильтра.
Для пропорционально-интегрирующего фильтра опера-
торный коэффициент передачи
= qTp±.L (2.10)
Тр + 1 v ’
где q = T\IT — отношение постоянных времени фильтра.
Если установить отношение q = 0, то из (2.10) получим
выражение (2.9). В случае д=1 пропорционально-интегри-
рующий фильтр вырождается и его коэффициент передачи
k(P) = !•
Для некоторых задач требуются фильтры с бесконечным
значением коэффициента передачи на постоянном токе:
Л(0)= эо . Этому условию удовлетворяют идеальный инте-
гратор
k(D} = -^ (2.11)
и идеальный пропорционально-интегрирующий фильтр
*(Р) = ? + т-- <212)
Оба эти фильтра можно с некоторым приближением реали-
зовать с помощью операционных усилителей.
Чтобы получить выражения амплитудно-частотной и фа-
зочастотной характеристик ФНЧ, т. е. зависимости модуля и
аргумента комплексного коэффициента передачи k (/со) от
частоты со, достаточно в выражении k(p) произвести обрат-
ную замену p-+j со. Так, для пропорционально-интегрирую-
щего фильтра выражение амплитудно-частотной характери-
стики имеет вид
ед = 1Ш)1 = |/
а фазочастотная характеристика
0 (£) = arg k (J £) = arc tg ql — arc tg &
Здесь введена безразмерная частота воздействия £ = со7\
36
Отметим, что в области высоких частот со(£->-оо) коэф-
фициент передачи ПИФ не падает до нуля, а имеет асимп-
тоту
lim k (£) = q.
>оо
Фазовый сдвиг 0(£) при £-> стремится не к —л/2, как
в случае интегрирующего фильтра (# = 0), а к нулю:
lim 0(£) = 0.
6-» °°
Чрезвычайная простота схемы и легкость, с которой мож-
но изменять характеристики пропорционально-интегрирую-
щего фильтра, меняя положение движка потенциометра на
рис. 2.7, б, обусловили широкое применение такого фильтра
в качестве корректирующего звена в системах автоподстрой-
ки частоты.
Располагая выражениями характеристик основных эле-
ментов системы ЧАП—дискриминатора, управителя и фильт-
ра — перейдем к составлению ее дифференциального уравне-
ния.
2.2. Дифференциальные уравнения и математические модели
системы ЧАП
Составим дифференциальное уравнение системы ЧАП,
считая дискриминационную характеристику Ф(со— соа) при-
годной не только для квазистатических изменений текущей
частоты со(/), но и при произвольном законе ее изменения
во времени.
Используем в качестве общей блок-схему ЧАП со сравне-
нием колебаний на промежуточной частоте (рис. 2.2), заме-
нив для общности фиксированную частоту сокв на произволь-
ную частоту сигнала сос(/). Примем в качестве эталонной
суммарную частоту (оД/) = (оа + <ос(/). Чтобы получить диф-
ференциальное уравнение ЧАП, воспользуемся введенными
выше выражениями характеристик дискриминатора, управи-
теля и корректирующего фильтра.
Уравнение дискриминационной характеристики ЧД при-
мем в виде (2.2), заменив в нем центральную частоту на
эталонную соэ(0 = + сос(/), т. е.
^=5йф(со — соэ). (2.13)
Текущая частота подстраиваемого генератора
со = соо Ф Асо, (2.14)
37
где coo — значение частоты свободного ПГ при разомкнутом
кольце ЧАП, а Аи— корректирующая расстройка, /вносимая
управителем частоты.
Характеристику управителя можно представить либо в
форме прямой модуляционной характеристики (2.5)
Асо — Q* В (еу),
либо в форме обратной модуляционной характеристики (2.7)
еу — Е* G (А(о).
Управляющее напряжение еу связано с выходным напряже-
нием дискриминатора eg через операторный коэффициент
передачи фильтра k(p) (2.8)
ey = k(p)ed.
Дифференциальное уравнение ЧАП можно записать двоя-
ко. Если подставить (2.13) в (2.8), а затем последовательно
в (2.5) и (2.14), то получим
= + Ф (/>)}• (2.15)
Здесь
у* = --У-ю-э- (2.16)
— безразмерное текущее отклонение частоты ПГ от
эталонной, нормированное к характерной частоте Й*;
у* — ----- (2.17)
— безразмерная нормированная расстройка собственной ча-
стоты свободного ПГ относительно эталонной.
Запись (2.15) имеет простое физическое толкование: те-
кущее отклонение безразмерной частоты у* равно расстройке
свободного ПГ у* с учетом корректирующей безразмерной
расстройки В{. вырабатываемой дискриминатором через
фильтр и управитель.
Можно сказать, что дифференциальное уравнение (2.15)
представляет баланс частот в высокочастотном тракте замк-
нутого кольца ЧАП.
Заметим, что запись дифференциального уравнения в фор-
ме баланса частот (2.15) неудобна, если требуется учитывать
нелинейность модуляционной характеристики В(еу) управи-
теля, поскольку оператор дифференцирования p — dldt, вхо-
38
дящий в коэффициент передачи фильтра k(p), оказался стоя-
щим в аргументе нелинейной функции В{...}. Эта трудность
исчезает лишь в предположении, что модуляционную харак-
теристику управителя В{...} можно представить в виде без-
граничной прямой: В(х) =—х, т. е. использовать уравнение
модуляционной характеристики (2.6), где крутизна — Sv =
= Q*/E* постоянна. В этом случае из (2.15) получаем
У* + к(р)-^ Ф(Л = Т*. (2.18)
Если предположить далее, что уровень сигнала не меня-
ется, то величина Ed(t) = E°d = const. Выбирая в качестве
характерного напряжения Е* величину Е°д, перейдем в нор-
мировке безразмерных координат (2.16) и (2.17) от харак-
терной частоты Q* к наибольшей частоте
Q = SvE°d, (2.19)
вырабатываемой дискриминатором через управитель. Тогда
получим взамен (2.18)
у + к(р)Ф(у) = у. (2.20)
Здесь текущее отклонение безразмерной частоты у и рас-
стройка собственной частоты ПГ у равны соответственно:
у - ----- , (2.21)
т . (2.22)
Постараемся получить удобную форму записи дифферен-
циального уравнения ЧАП с учетом нелинейности модуляци-
онной характеристики управителя и обойти указанную выше
трудность, т. е. вывести операторный коэффициент передачи
k(p) из аргумента нелинейной функции С этой целью
используем взамен прямой модуляционной характеристики
(2.5) обратную зависимость (2.7). Подставляя Асо из (2.14)
последовательно в (2.7) и (2.8) и заменяя входящую в (2.8)
величину еа по формуле (2.13), получим
G (у* - у») - k (р) 4г ф <!**)' <2-23)
Заметим, что выражение (2.23) можно получить непосред-
ственно из (2.15), если вспомнить, что нелинейная функция
Q {...} является обратной по отношению к функции В ,
39
Т. е. учесть соотношение G[B(x)] = x. Физический смысл
уравнения (2.23) состоит в следующем. Правая часть пред-
ставляет безразмерное напряжение, выработанное дискрими-
натором при отклонении текущей частоты ПГ у* от эталон-
ной и прошедшее через фильтр к управителю. Левая часть
соответствует тому безразмерному напряжению, которое необ-
ходимо подать к управителю, чтобы сместить частоту ПГ от
его собственной частоты у* к текущей величине у*.
Таким образом, дифференциальное уравнение (2.23) пред-
ставляет баланс напряжений в низкочастотном тракте систе-
мы ЧАП.
Очевидно, что если принять в уравнении (2.23) обратную
модуляционную характеристику в виде безграничной прямой,
т. е. положить G(x)=>—х, то получим уравнение (2.18), а
при постоянной амплитуде сигнала — уравнение (2.20).
В случае малых отклонений текущей частоты y(t), не вы-
ходящих за пределы участка характеристики дискриминатора
с положительным наклоном, возможна ее линейная аппрок-
симация
Ф(#)^Ф(0) + Ф'Д0)-# +...' (2.24)
где Ф'ДО) = ЙФТ(О)—крутизна характеристики ЧД по без-
размерной частоте у, а Ф(0)— значение характеристики на
центральной частоте ЧД (обычно настройкой ЧД добивают-
ся Ф(0)=0). Легко убедиться, что безразмерная величина
Ф'ДО) представляет собой произведение крутизн характери-
стик дискриминатора и управителя: Ф/(0) = Sq Sy, т. е. коэф-
фициент регулирования кольца ЧАП. Обозначив для крат-
кости
A=SdSy (2.25)
и используя линеаризацию (2.24) в (2.20), приходим к диф-
ференциальному уравнению линеаризованной ЧАП
[1 + Ak(p)]y = у. ,(2.26)
Полученные дифференциальные уравнения системы ЧАП
позволяют построить ее структурную схему, каждый элемент
которой выполняет определенную математическую операцию.
Такую схему иногда называют математической моделью.
Математические модели полезны для более углубленного
понимания процессов, происходящих в системе. Кроме того,
в случае сложных фильтров и существенно нелинейных ха-
рактеристик ЧД и УЧ непосредственное аналитическое иссле-
дование дифференциального уравнения ЧАП может оказать-
40
ся затруднительным и целесообразнее перейти к математиче-
скому моделированию его на ЭВМ.
Поскольку естественными координатами, описывающими
поведение системы ЧАП, являются безразмерные частоты
Рис. 2.8. Математические модели ЧАП
и y*(t), то в общем случае для построения математиче-
ской модели удобно обратиться к дифференциальному урав-
нению (2.15), представляющему баланс частот в системе.
Будем считать расстройку y*(t) заданной функцией времени
и выберем ее ® качестве входной координаты модели. Теку-
щую расстройку частоты ПГ относительно эталонной
примем в качестве выходной координаты. Тогда, исходя из
дифференциального уравнения (2.3), можно построить мате-
матическую модель ЧАП, показанную на рис. 2.8, а.
41
Эта модель учитывает обе нелинейности — дискримина-
ционной характеристики Ф(г/*) и модуляционной характери-
стики Она годится для исследования как стационар-
ных, так и динамических режимов ЧАП. Хотя на рис. 2.8, а
показано, что сигнал из цепи обратной связи складывается
в сумматоре X с входным сигналом y‘(7Z на самом деле
здесь изображена система не с положительной, а с отрица-
тельной обратной связью, поскольку заранее принято, что ха-
рактеристика управителя В {...} имеет отрицательную кру-
тизну.
Для управителя с линейной модуляционной характери-
стикой математическая модель ЧАП строится на основе
дифференциального уравнения (2.18).<Эта модель изображена
на рис. 2.8, б. Очевидно, она получится из модели рис. 2.8, а,
если в, последней заменить блок, выполняющий операцию
В {...}, усилителем, меняющим полярность сигнала и облада-
ющим единичным коэффициентом усиления.
При постоянном уровне сигнала, когда величина макси-
мального выходного напряжения ЧД не меняется, т. е.
Ед (О = Е°д = const, перемножитель в моделях рис. 2.8, а и
рис. 2.8, б оказывается излишним, и приходим к математиче-
ской модели ЧАП, соответствующей уравнению (2.20). Такая
модель изображена на рис. 2.8, в.
Наиболее простая модель получается, если исходить из
дифференциального уравнения (2.26), описывающего линей-
ную систему ЧАП. В этой модели, показанной на рис. 2.8, г,
нелинейная безынерционная операция Ф(у) заменена линей-
ным усилителем с коэффициентом усиления
Располагая дифференциальными уравнениями и матема-
тическими моделями ЧАП, перейдем к ее детальному иссле-
дованию. Прежде всего рассмотрим возможные стационар-
ные режимы системы.
2.3. Стационарные режимы ЧАП
Под стационарным режимом (или стационарными движе-
ниями) понимают поведение (состояние) системы через до-
статочно большой .промежуток времени (в пределе t-+- со )
после момента включения t = 0. Предполагается, что за этот
промежуток времени все переходные движения, связанные с
начальным запасом энергии в системе, закончились.
Возможны различные стационарные движения. В первую
очередь их вид определяется законом изменения во времени
42
входного воздействия y(t). В нелинейной системе установле-
ние того или другого из возможных стационарных режимов
зависит от начальных условий.
Рассмотрим первоначально простейшую задачу стаби-
лизации частоты ПГ, приняв амплитуду и текущую частоту
эталонного сигнала постоянными: Uc (t) = U°c = const, coc(/) =
= 0)e° = const.
Кроме того, будем вначале считать, что под действием
дестабилизирующих факторов (изменение температуры, да-
вления, влажности, старения и т. п.) собственная частота
ПГ изменяется квазистатически, т. е. ыо(О = «о0 = const.
Это означает, что входная координата в структурной схеме
ЧАП также изменяется квазистатически: у* (/) ^ у0 = const.
Тогда дифференциальное уравнение ЧАП становится авто-
номным.
Предположим, что в системе ЧАП существует стационар-
ный режим, причем такой, что ее выходная координата y*(t)
при со ограничена: у* ( ) = у° = const.
Выясним количество точек стационарного режима у° и их
расположение в зависимости от расстройки частот подстраи-
ваемого и эталонного генераторов у0 и параметров кольца
ЧАП.
Чтобы получить выражение для определения координат
стационарного режима, подставим у* = у0, у* = у0 в -исходное
дифференциальное уравнение (2.23). В результате приходим
к уравнению стационарного режима ЧАП в задаче стабили-
зации частоты
G(y° — y°) =Л(0)Ф(у°). (2.27)
Согласно уравнению (2.27), количество точек стационар-
ного режима у° зависит от вида функций G(...) и Ф (...), а
также, от величины коэффициента передачи фильтра на по-
стоянном токе &(0). Примем, что фильтр пропускает посто-
янный ток без ослабления, т. е. &(0) = 1. Тогда из (2.27)
имеем частный случай уравнения стационарного режима
С(у°-у°) = Ф(у°). (2.28)
Если считать модуляционную характеристику управителя
линейной, т. е. принять G(x) = —х, то взамен (2.28) полу-
чим более простое соотношение
уо + ф(уо)=уо. (2.29)
43
При линейной аппроксимации характеристики дискрими-
натора Ф(у) = Ау имеем отсюда совсем простую линейную
зависимость
<2-30’
Решение уравнения (2.28) можно получить графическим
путем, совместив на одном чертеже обе нелинейные функции,
входящие в (2.28). Абсциссы точек пересечения у° этих функ-
ций соответствуют координатам стационарного режима ЧАП.
На рис. 2.9, а такое построение проведено для случая ди-
скриминатора с резонансными контурами, характеристика
которого имеет вид, показанный на рис. 2.4. Для сокращения
места на рис. 2.9, а изображена не вся характеристика Ф(у),
а лишь та ее часть, которая лежит в области у > 0.
Согласно выражению (2.28), обратная модуляционная
характеристика управителя G(yQ— у0) пересекает ось абс-
цисс в точке у0, соответствующей расстройке собственной
частоты ПГ ио0 относительно эталонной иэ° при разомкнутом
кольце ЧАП. В замкнутом кольце ЧАП, как видно из
рис. 2.9, а, установившееся остаточное значение текущей рас-
стройки у° оказывается много меньше расстройки у0 частоты
свободного ПГ относительно ЭГ.
Количественную оценку подстраивающего действия ЧАП
проще всего получить, воспользовавшись линейным вариан-
том уравнения стационарного режима (2.30), которому соот-
44
Рис. 2.9. Нахождение точек стационарного режима ЧАП
45
нетствуют пунктирные прямые на рис. 2.9, а. Как следует иЗ
этого уравнения, исходная расстройка свободного генерато-
ра у0 ослабляется в линеаризованной системе ЧАП в (1+Л)
раз, где — коэффициент регулирования (усиления)
разомкнутого, кольца. На практике можно получить весьма
большую величину коэффициента регулирования (А^ 102ч-103
и выше), включая дополнительно усилитель постоянного то-
ка (УПТ) в тракт сигнала ошибки.
Есл.и увеличивать расстройку у0 свободного ПГ относи-
тельно эталонной частоты, то возможно существование более
чехм одного решения уравнения стационарного режима (2.28).
На рис. 2.9, б, начальная расстройка у0 выбрана такой, что
пересечение нелинейных характеристик G(y°— у0) и Ф(#°)
происходит в трех точках с абсциссами у°\,2, з-
В этом случае стационарный режим уб\ как и на
рис. 2.9, а, возникает при пересечении характеристики упра-
вителя G(y°— у0) с восходящим участком характеристики
дискриминатора Ф(г/°). Два других стационарных режима
у2° и у3° получаются при пересечении характеристики G(y°—
у0) с падающим участком характеристики Ф(#°). Позже мы
убедимся, что точка равновесия у2° оказывается неустойчи-
вой при любой схеме фильтра.
Если продолжать увеличивать расстройку у0 далее, то
стационарные режимы yi° и у2° исчезнут и сохранится лишь
единственный режим у°3. Эта картина показана на рис. 2.9, в.
Важно отметить, что в данном случае остаточная расстройка
Уз° лишь ненамного меньше начальной расстройки у0, т. е.
здесь подстраивающее действие кольца ЧАП выражено не-
значительно. Поэтому можно считать, что стационарный ре-
жим yi° соответствует области эффективной автоподстройки,
а режим уз° — области неэффективной работы системы.
В этой связи представляет интерес построить непосредст-
венную зависимость остаточной расстройки у° от начальной
расстройки у°. Назовем эту зависимость регулировочной ха-
рактеристикой ЧАП.
К сожалению, в случае двух произвольных нелинейных
характеристик G(y°— у0) и Ф(#°) аналитическое построение
регулировочной характеристики громоздко, а графическое
получается довольно трудоемким, так как для каждого ново-
го значения расстройки у0 необходимо каждый раз смещать
кривую G\yQ—у0) вдоль оси абсцисс и снова графически
определять точки стационарного режима у\2, з- Уместно за-
метить, однако, что при большом размахе модуляционной
46
характеристики G(z/°—у0), т. е. при большом расстоянии
между заштрихованными уровнями на рис. 2.5, учет загибов
этой характеристики в большинстве случаев не добавляет
существенно новых явлений по сравнению со случаем линей-
ной модуляционной характеристики G(x)= — х.
Поэтому для построения регулировочной характеристики
у°(у°) целесообразно взамен нелинейного уравнения (2.28)
воспользоваться более простым выражением (2.29). Распола-
гая выражением Ф(г/), по этой формуле можно построить
вначале график у°(г/°), который представляет зависимость,
обратную по отношению к регулировочной характеристике
#°(у°). Такой график для характеристики Ф(у) вида рис. 2.4
приведен на рис. 2.10. Для установления соответствия с по-
строениями рис. 2.9, б начальная расстройка у0 выбрана так,
что реализуются все три точки стационарного режима ^°i,2,3-
Рис. 2.10. К построению регулировочной
характеристики ЧАП
Чтобы получить саму регулировочную характеристику
г/°(у°), достаточно просто повернуть график у°(г/°) (рис. 2.10)
на 90° по часовой стрелке и затем зеркально отобразить его
относительно оси абсцисс. Полученная кривая показана на
рис. 2.11 жирной линией.
Для сравнения на этом рисунке приведена регулировоч-
ная характеристика линеаризованной системы ЧАП, пост-
47
роенная по формуле (2.30). Эта прямая показана на рис. 2.11
пунктиром. В области малых начальных расстроек, т. е. при
у°->0, она является асимптотой для нелинейной регулировоч-
ной характеристики.
В области больших начальных расстроек (у°^> 1) напря-
жение с выхода ЧД падает, т. е. характеристика дискрими-
натора Ф(со)-И). При этом, согласно (2.29), роль асимпто-
ты играет прямая г/° = у°, также показанная на рис. 2.11
пунктиром. Очевидно, эта прямая соответствует разомкну-
тому кольцу ЧАП, поскольку остаточная расстройка у° полу-
чается равной начальной расстройке у0.
У*
Рис. 2.11. Регулировочная характеристика ЧАП
Таким образом, учет нелинейности характеристики дис-
криминатора Ф(^) приводит к возникновению двух резко
различных областей стационарного режима системы ЧАП —
области эффективной автоподстройки, где в первом прибли-
жении справедливо соотношение (2.30), и неэффективной,
в которой у°=у° и автоподстройка практически отсутствует.
Согласно кривой рис. 2.11, границами этих областей следует
считать точки усхв и ууд, для которых характерным является
условие вертикальной касательной dyQldyQ = оо.
Область расстроек |у°| ууд, в пределах которой сохра-
няется («удерживается») режим эффективной автоподстрой-
ки ЧАП, называют полосой удержания. Расстройка у°=усхв,
48
соответствующая вхождению системы в область эффективной
работы, называется полосой схватывания (захвата) ЧАП.
Очевидно, при |у°| <усхв возникает лишь один стационар-
ный режим «/10^у°/(А + 1)Су0, а при |у°|>ууд существует
только стационарный режим г/з°=у°. Следовательно, построе-
ния рис. 2.9, а выполнены для |у°| <усхв, а построения
рис. 2.9, в —для |у°| >ууд.
В диапазоне начальных расстроек усхв< | у01 <ууд, заклю-
ченных между полосой захвата и полосой удержания и по-
меченных на рис. 2.11 штриховкой, возможны все три стаци-
онарных режима — г/1°, г/2°, Уз°- Как указывалось выше, точка
равновесия у^ неустойчива, поэтому в заштрихованной об-
ласти рис. 2.11 практически реализуются лишь верхняя и
нижняя ветви регулировочной характеристики г/°(у°). Следо-
вательно, заштрихованная область представляет зону гисте-
резиса— при заходе в нее со стороны малых расстроек
удерживается эффективный режим автоподстройки #i°<Cy°,
а при подходе со стороны больших расстроек сохраняется
неэффективный режим г/з°~у0- В точках регулировочной ха-
рактеристики с вертикальной касательной происходит слия-
ние неустойчивого стационарного режима у^ соответственно
с устойчивыми режимами y\Q и z/3°. Возникающий при этом
переход с одной ветви регулировочной характеристики на
другую показан на рис. 2.11 вертикальными стрелками.
Из-за наличия гистерезиса зона начальных расстроек
между полосой захвата и полосой удержания не может счи-
таться рабочим диапазоном системы ЧАП. Действительно,
в этой зоне в зависимости от предыстории системы может
установиться либо стационарный режим эффективной авто-
подстройки <С у0, либо -режим неэффективной авто-
подстройки #з°~у°. Поэтому рабочим диапазоном ЧАП сле-
дует считать лишь область начальных расстроек, располо-
женную целиком внутри полосы схватывания: |у°|<усхв.
Только в этом случае, независимо от начального состояния
системы, в ней всегда устанавливается единственный стаци-
онарный режим t/i°.
Отметим, что при стабилизации частоты появление гисте-
резисной зоны в регулировочной характеристике ЧАП про-
исходит независимо от вида оператора k(p) низкочастотного
фильтра, лишь бы выполнялось условие £(0) = 1. Причиной
образования зоны гистерезиса служит нелинейность характе-
ристики Ф(г/) частотного дискриминатора, точнее, наличие
в ней падающих участков с отрицательной крутизной.
49
Установим соотношение между параметрами системы, при
котором в регулировочной характеристике t/°(y°) возникает
гистерезисная зона, т. е. появляются точки с вертикальной
касательной. Очевидно, условие вертикальной касательной
эквивалентно условию горизонтальной касательной для об-
ратной зависимости: dyQ(yQ) /dyQ^Q.
Используем запись уравнения стационарного режима в
виде (2.28) и составим полный дифференциал: Gy'-dy° +
+ G/ • dyQ = Фу' dyQ.
Отсюда получаем выражение для производной
dV _®y~Gy
dyo G’
У
(2.31)
Здесь штрихи у нелинейных функций Ф и G означают произ-
водную по той координате, которая использована в качестве
индекса, и взятую в точке стационарного режима у°, у0.
Учитывая, в соответствии с выражением (2.28) и рис. 2.6,
что производная G/>0, получим из (2.31) условие сущест-
вования обоих экстремумов в графике y°(t/°) рис. 2.10 (т. е.
условие существования зоны гистерезиса в регулировочной
характеристике):
ф'о< Gy.. (2.32)
Для случая линейной модуляционной характеристики уп-
равителя имеем G(t/) = —у, т. е. Gy0 =—1 и условие (2.32)
принимает вид
—1. (2.33)
Это условие можно пояснить также, обратившись к струк-
турной схеме ЧАП на рис. 2.8,6. Случай равенства в (2.33)
означает что локальный коэффициент усиления Фу0 нели-
нейного элемента Ф(у), включенного в цепи обратной связи,
равен по модулю и противоположен по знаку коэффициенту
усиления прямого тракта. При этом меняется знак обратной
связи: из отрицательной она превращается в положительную
и система находится на границе потери локальной устойчи-
вости в окрестности точки стационарного режима у2°-
Выясним теперь, как изменится вид регулировочной ха-
рактеристики ЧАП, если полярность включения выходных
зажимов частотного дискриминатора ошибочно изменена на
противоположную. Очевидно, произойдет то же самое, если
сохранить полярность зажимов дискриминатора неизменной,
50
а взять управитель с характеристикой, имеющей не отрица-
тельную, а положительную крутизну.
С математической точки зрения эта замена равносильна
изменению знака перед функцией Ф(г/) в уравнении стацио-
нарного режима (2.29):
г/°-Ф(г/°) = Yo (2.34)
Согласно этому выражению, точки стационарного режима
У° получаются в результате пересечения графика у°—ф(г/°)
с горизонтальной прямой, проведенной на уровне начальной
расстройки у0. Такое построение показано на рис. 2.12. На-
чальная расстройка и форма характеристики Ф(г/) здесь вы-
браны так, чтобы пересечение произошло в трех точках
(аналогично случаю, изображенному на рис. 2.10).
Регулировочная характеристика у°(у°), полученная из
рис. 2.12 поворотом осей, приведена на рис. 2.13. В отличие
от графика рис. 2.11, здесь ветвь характеристики, проходя-
щая через начало координат и имеющая в качестве асимп-
тоты прямую у() = у0/(1—Д) с отрицательной крутизной, яв-
ляется неустойчивой. 'Устойчивыми, очевидно, оказываются
точки стационарного режима у2° и уз°, лежащие на ветвях,
изображенных на рис. 2.13 сплошными линиями.
В результате вместо двух симметрично расположенных
зон гистерезиса, как на рис. 2.11, здесь существует только
одна. Она охватывает начало координат и ограничена точ-
ками регулировочной характеристики с вертикальной каса-
4*
51
тельной. Переход с одной устойчивой ветви на другую пока-
зан на рис. 2.13 стрелками.
Как видим, регулировочная характеристика вида рис. 2.13
не дает возможности осуществить эффективную автопод-
стройку частоты, поскольку остаточная расстройка уз° полу-
чается не меньше, а больше начальной расстройки у0. Отри-
цательная расстройка у2° оказывается меньше у° (по моду-
лю) лишь при у0 > 0, а при у0 < 0 точки у2° и уз° меняются
ролями. Кроме того, режим |#2°|<'У° нельзя реализовать
однозначно, так как он расположен в зоне гистерезиса.
Рис. 2.13. Регулировочная характеристика ЧАП
с обратной полярностью ЧД
Таким образом, для достижения эффективной автопод-
стройки в системе ЧАП необходимо соблюдать определенную
полярность включения выходных зажимов дискриминатора
при выбранном знаке крутизны характеристики управителя.
Очевидно, крутизны характеристик управителя и дискрими-
натора в начале координат должны иметь противоположные
знаки, т. е. Ф/ > О, Gv' < 0 или Ф/ < О, G/ > 0. Разные зна-
ки крутизн характеристик управителя и дискриминатора
обеспечивают для квазистационарных изменений координат
в системе замыкание кольца регулирования с отрицательной
(а не положительной) обратной связью.
Сравнение регулировочных характеристик рис. 2.11 и
рис. 2.13 позволяет установить признак, с помощью которого
52
можно узнать, выполнены ли в практической схеме ЧАП ус-
ловия отрицательной обратной связи или нарушены. В слу-
чае их выполнения при плавном изменении начальной рас-
стройки у0 в момент перехода ее через нуль сигнал ошибки
с выхода дискриминатора также плавно проходит через
нуль. Если же эти условия нарушены, то, согласно рис. 2.13,
невозможно получить нулевое значение управляющего сиг-
нала ни при каких значениях начальной расстройки.
Обратимся вновь к регулировочной характеристике у°(у°)
рис. 2.11 и выясним, как влияют параметры системы ЧАП
на величину полосы захвата и полосы удержания. В первую
очередь интересно узнать влияние коэффициента регулиро-
вания ЧАП A=SV-S0. Как было показано ранее, именно эта
величина определяет регулирующее действие ЧАП, посколь-
ку остаточная расстройка yi° связана с начальной расстрой-
кой у0 соотношением (2.30). Поэтому для увеличения регу-
лирующего действия ЧАП необходимо увеличивать коэффи-
циент регулирования А насколько возможно.
При фиксированной крутизне модуляционной характери-
стики управителя Sy = const наращивать величину А можно,
лишь увеличивая крутизну характеристики дискриминатора
Sa. Однако при этом уменьшается раствор характеристики
дискриминатора, т. е. расстояние на оси частот между ее
максимумами («горбами»). Поэтому может уменьшиться
абсолютное значение полосы захвата и полосы удержания
ЧАП.
Покажем математически, что на самом деле существует
противоречие между требованиями высокого значения коэф-
фициента регулирования А^>1 и больших величин полосы
захвата уси и полосы удержания ууд.
Напомним, что самб появление полосы захвата и полосы
удержания связано с наличием падающего участка в харак-
теристике дискриминатора Ф(у) (см. рис. 2.10). Чтобы не
усложнять дело громоздкими математическими выкладками,
подберем для этой функции более простую аппроксимацию.
Весьма простым и удобным является приближенное выраже-
ние
(2'35)
где v — Ay/2. Крутизна характеристики (2.35) равна
— = А ^.-А 1-°2-. (2.36)
dy 2 dv (1 +1>2)2 ' 7
53
Приравняв с/Ф/сЬ/=0, находим абсциссу экстремальной точки
характеристики Ф(г/): г/ЭкстР = 2/А, т. е. «горбы» функции Ф(у)
сближаются при увеличении коэффициента регулирования А.
Для определения полосы захвата и полосы удержания
необходимо, согласно рис. 2.10 и рис. 2..П, найти экстремумы
функции у°+Ф(у°). Приравняв нулю производную
^_[/ + Ф(Л] = 1 + ^Д = о
и используя выражение (2.36), получим абсциссы этих экст-
ремумов:
о Л - 2
Чг =
2
ИЛИ
2 __ 2 ~~ 2
экстр Д 2
— 4 А +1
(4 - 2)2 .
(2.37)
При выполнении условия А^>1 имеем:
/..пх 2
экстр
(2.38)
(2.39)
захвата
\-У 2) экстр д
В соответствии с построениями рис. 2.10 полосу
Усхв и полосу удержания ууд можно определить из выраже-
ний:
УсИ = г/1° + Ф(г/1°), (2.40)
ТуД = ^2° + ФМ. (2.41)
Используя здесь приближенные выражения (2.38) и (2.39),
получим асимптотические формулы, справедливые при А^>1:
TcxBs-4=- . (2.42)
1 । 2
тУд==+Т'
(2.43)
Из (2.42) видим, что увеличение коэффициента регулиро-
вания А действительно приводит к уменьшению полосы за-
хвата ЧАП уси. Если ввести в рассмотрение относительную
54
¥
полосу захвата у3 = , то, используя (2.42) и (£.43),
имеем асимптотическое выражение
Г3с^-~- (244)
Ил
Очевидно, в соответствии с рис. 2.10 и рис. 2.11 полоса
захвата становится равной полосе удержания при смыкании
Рис. 2.14. Зависимость полосы захвата и поло-
сы удержания ЧАП от коэффициента регулиро-
вания системы
экстремумов функции у° + Ф(у°), т. е. при равенстве y°i = y2°-
Используя (2.37), получим, что у3 = 1 при А=8.
На рис. 2.14 с помощью формулы (2.37) и выражений
(2.40) и (2.41) построена точная зависимость у3(А) (сплош-
ная линия), а пунктиром показана ее асимптота (2.44). На
том же рисунке штрихпунктирной линией нанесена зависи-
мость ууд (Л) по (2.43).
Итак, мы получили результат, имеющий важное принци-
пиальное значение: в системе ЧАП из-за наличия падающих
участков характеристики дискриминатора существует проти-
воречие между стремлением получить большую полосу за-
хвата у3 и желанием обеспечить высокое регулирующее дей-
ствие системы, т. е. высокий коэффициент регулирования А.
Можно сказать иначе—-из-за нелинейности характери-
стики дискриминатора в системе ЧАП возникает противоре-
чие между стремлением расширить область глобальной
устойчивости системы и желанием получить высокие стаби-
лизирующие свойства ЧАП.
В этой связи возникает интерес к поискам способов, по-
зволяющих устранить или ослабитъ указанное противоречие.
55
Одним из возможных способов является переход к астати-
ческой системе ЧАП. Обсуждение достоинств такой системы
стабилизации частоты удобнее провести после изучения ста-
ционарных режимов, имеющих место при слежении за ме-
няющейся частотой сигнала.
Рассмотрим теперь стационарные режимы системы ЧАП,
возникающие в задаче слежения за сигналом с постоянной
амплитудой Uc(t) = [7c° = const и меняющейся во времени
частотой ojc = coc(O- Представим заданный закон изменения
частоты сигнала в виде степенного ряда
|(ОС (0 = со с° — Cxt — c2t — ... — Cttl.
Здесь сое0 — значение частоты сигнала в момент включения
системы t = 0, а постоянные коэффициенты Ci,..., Сг харак-
теризуют закон изменения сос (0 на интервале наблюдения
0<^<Гн.
Как и в задаче стабилизации частоты примем, что собст-
венная частота свободного ПГ под действием дестабилизи-
рующих факторов меняется квазистатически, т. е.
соо(О =соо° = const. Тогда безразмерная расстройка у(/) соб-
ственной частоты ПГ относительно частоты сигнала примет
вид
у(0 = у0 + Al t + Д2 + ... + Аг tl, (2.45)
где у° = (<оо° — сос°)/Й; Ак = CI(/Q.
В случае меняющейся расстройки у = у(0 дифференциаль-
ное уравнение ЧАП (2.20) становится неавтономным, по-
скольку в его правую часть входит величина у(0> явно зави-
сящая от времени. При этом в зависимости от вида опера-
торного .коэффициента передачи фильтра k(p) возможны
различные типы стационарных движений системы у( оо) =
= limy(t). Их можно разделить на два класса:
t—>оо
1) с ограниченным значением стационарного рассогласо-
вания частот ПГ и сигнала г/( ^) = r/° = const;
2) с беспредельно нарастающим рассогласованием, т. е.
У ( эо) —> оо.
Располагая заданным законом внешнего воздействия y(t)
в форме (2.45), выясним, каким должен быть вид оператор-
ного коэффициента передачи ФНЧ k(p), чтобы в стационар-
ном режиме обеспечивалась ограниченная величина ошибки
слежения у( оо) =r/° = const. Обратившись к дифференциаль-
ному уравнению ЧАП, записанному, например, в форме
(2.20), видим, что оно может стать автономным (т. е. с по-
56
стоянкой правой частью) лишь в том случае, если в знаме-
нателе выражения k(p) будет присутствовать оператор диф-
ференцирования p=dldt в степени п^1. Поэтому примем об-
щее выражение k(p) в виде:
м
2
k (р) - ; а. О, 0. (2.46)
Рп • bfpi
i=o
Очевидно, на постоянном токе запись (2.46) дает бесконечное
значение коэффициента передачи ФНЧ, т. е. /г(0)=^>.
В простейшем случае n=l, М = N = 0, отсюда получаем
выражение (2.11) для коэффициента передачи идеального
интегратора, а при /г = Af == 1, N = 0 — выражение (2.12) ко-
эффициента передачи идеального пропорционально-интегри-
рующего фильтра.
Используя запись (2.46) в дифференциальном уравнении
ЧАП (2.20), приходим в общем случае для произвольных
значений п, I, М, N к дифференциальному уравнению
w м
рп £ blPi[у (0] + £ I® \а (<)]}= V(0,
/=0 Z=0
где V(t)=pn -2^[Т(О1- (2-47)
/=-о
Если взять у(0 в виде (2.45) и выбрать п=1, то произ-
водная bQpn[y(t) ] = bQl\ At = const, а все слагаемые вида
pn+j[y(^] =0. Тогда в уравнении (2.47) правая часть V(t) =
—V° = const и оно описывает автономную систему:
М
P’S *,Р'Ш*)1 + 2 ^Р'{Ф[У(01) = V». (2.48).
/=0 1=0
Полагая решения y(t) этого уравнения в стационарном ре-
жиме (/-> х?) ограниченными у ( » ) = yQ = const, получаем
из него уравнение стационарного режима ЧАП в задаче
слежения (при условии « = /):
ДпФ(г/°) = V0. (2.49)
Примем далее без ограничения общности коэффициент п0=1.
Тогда решение z/° уравнения-стационарного режима ЧАП
57
(2.49) легко получить графически, если пересечь график дис-
криминационной характеристики Ф(г/°) горизонтальной пря-
мой, проведенной на уровне V0 (рис. 2.15).
Поскольку максимальное значение безразмерной харак-
теристики Ф(г/) нормировано к единице, т. е. шах |Ф(г/) | ^1,
то из формулы (2.49) и построений рис. 2.15 следует, что
решение уравнения (2.49) возможно лишь в пределах
0<|Е°|^1, причем для характеристики Ф(г/) типа кривой
рис. 2.4 всегда получаются две точки стационарного режима:
У\° и У2°. Первая из них соответствует возрастающему участ-
ку характеристики Ф(г/) с положительной крутизной
Ф/(г/1°) >0, а вторая — падающему, на котором крутизна
Ф/(г/2°) <0. Далее убедимся, что стационарный режим г/2°
неустойчив при любом виде операторного коэффициента пе-
редачи фильтра k(p).
Если принять линейную аппроксимацию дискриминацион-
ной характеристики, т. е. положить Ф(у)^Ау (пунктирная
прямая на рис. 2.15), то координата ух° стационарного режи-
ма, представляющая ошибку слежения, равна
№ = (2.50)
/1
Очевидно, для уменьшения ошибки слежения следует увели-
чивать коэффициент регулирования системы ЧАП A=SvSa •
Чтобы получить непосредственно регулировочную кривую
в задаче слежения, т. е. зависимость £/°(У°), достаточно про-
извести поворот осей графика рис. 2.15. Результат приведен
58
на рис. 2.16, причем ветвь регулировочной характеристики,
соответствующая неустойчивому стационарному режиму г/°2,
показана прерывистой линией. Заметим, что регулировочная
характеристика //0(V°), изображенная здесь, не имеет гисте-
резисных областей, т. е. как
потеря слежения, так и захват
слежения происходят при од-
ном и том же предельном зна-
чении скорости | У01 = 1. Как
видно из кривой рис. 2.16 и
уравнения (2.50), слежение в
стационарном режиме осуще-
ствляется не точно, а с некото-
рым постоянным рассогласова-
нием по частоте у\° 0, кото-
рое пропорционально /-й произ-
водной V0 скорости изменения
нормированной частоты сигна-
ла. По терминологии теории
автоматического управления
имеем постоянную ошибку ре-
гулирования, или «скоростной
статизм» у\° =/= 0.
Очевидно, наличие статизма yi° 0 обусловлено тем, что
в рассматриваемом случае количество п идеальных интегра-
торов в схеме фильтра (т. е. показатель п степени оператора
р в знаменателе выражения (2.46)) в точности равно наивыс-
шему показателю I степени ряда (2.45), которым описывает-
ся закон изменения скорости частоты сигнала у(0-
Если количество интеграторов п увеличить на единицу,
т. е. сделать «=/+1, то величина V0 в правой части (2.48)
обратится в нуль и взамен (2.48) получим уравнение стацио-
нарного режима в виде
Ф(г/°)=0. (2.51)
Поскольку принято, что характеристика дискриминатора
Ф(г/) стабильна и проходит через нуль в начале координат,
то отсюда следует, что в данном случае слежение происходит
с нулевой ошибкой: r/i°=0. Другими словами, при п = I + 1
получаем астатическую систему регулирования с астатизмом
1-го порядка. Если выбрать п = I + г, то придем к системе
ЧАП с астатизмом порядка г.
Важно обратить внимание на тот факт, что уравнение
стационарного режима (2.51), справедливое для ЧАП с аста-
59
тизмом любого порядка г^1, допускает неограниченный
диапазон скоростей изменения частоты сигнала 0< | У°| < сю
в котором реализуется стационарный режим с нулевой ошиб-
кой слежения. Разумеется, это верно лишь в предположении
безграничной модуляционной характеристики управителя,
в реальной системе диапазон захвата и потери слежения
ограничены размахом модуляционной характеристики между
уровнями насыщения (рис. 2.5).
Очевидно, задача слежения включает в себя задачу ста- '
билизации частоты как частный случай — для этого доста-
точно в выражении степенного ряда, которым представляется
временной закон изменения частоты сигнала сос(О, принять
показатель степени / = 0. Поэтому и в задаче стабилизации
частоты наряду с рассмотренной ранее статической системой
ЧАП возможно построение астатической системы регулиро-
вания, Чтобы прийти к ЧАП, работающей в режиме ста-
билизации частоты с астатизмом 1-го порядка, необходимо
использовать идеальный интегратор или идеальный пропор-
ционалыю-интегрирующий фильтр 1-го порядка с оператор-
ным коэффициентом передачи (2.12), При этом взамен урав-
нения (2.29) стационарного режима статической ЧАП полу-
чается соответствующее уравнение (2.51) астатической си-
стемы ЧАП,
Таким образом, в обеих задачах — стабилизации частоты
подстраиваемого генератора и слежения за меняющейся во
времени частотой сигнала — возможно построение систем
ЧАП, работающих как по принципу статического, так и по
принципу астатического регулирования. В статических систе-
мах ЧАП в стационарном режиме присутствует остаточное
рассогласование частот ПГ и сигнала, а в астатических это
рассогласование равно нулю. Кроме того, в астатических си-
стемах ЧАП наличие падающих участков в характеристике
дискриминатора Ф(г/) не приводит к появлению разницы
между полосой захвата и полосой удержания в задаче стаби-
лизации частоты (или к ограничению предельной скорости
слежения). При любой степени астатизма г^1 получается
нулевая ошибка в стационарном режиме и безграничная
полоса удержания (или предельная скорость слежения).
Порядок астатизма г может влиять лишь на динамические
показатели системы — степень устойчивости, характер пере-
ходных процессов и т. д.
на рис. 2.16, причем ветвь регулировочной характеристики,
соответствующая неустойчивому стационарному режиму у°2,
показана прерывистой линией. Заметим, что регулировочная
характеристика y°(V°), изображенная здесь, не имеет гисте-
резисных областей, т. е. как
потеря слежения, так и захват
слежения происходят при од-
ном и том же предельном зна-
чении скорости |V°| = 1. Как
видно из кривой рис. 2.16 и
уравнения (2.50), слежение в
стационарном режиме осуще-
ствляется не точно, а с некото-
рым постоянным рассогласова-
нием по частоте у\° =/= 0, кото-
рое пропорционально/-й произ-
водной V0 скорости изменения
нормированной частоты сигна-
ла. По терминологии теории
автоматического управления
имеем постоянную ошибку ре-
гулирования, или «скоростной
статизм» z/i° =£ 0.
Очевидно, наличие статизма yi° =/= 0 обусловлено тем, что
в рассматриваемом случае количество п идеальных интегра-
торов в схеме фильтра (т. е. показатель п степени оператора
р в знаменателе выражения (2.46)) в точности равно наивыс-
шему показателю I степени ряда (2.45), которым описывает-
ся закон изменения скорости частоты сигнала у(0-
Если количество интеграторов п увеличить на единицу,
т. е. сделать п=/+1, то величина V0 в правой части (2.48)
обратится в нуль и взамен (2.48) получим уравнение стацио-
нарного режима в виде
Ф(//°) = 0. (2.51)
Поскольку принято, что характеристика дискриминатора
Ф(//) стабильна и проходит через нуль в начале координат,
то отсюда следует, что в данном случае слежение происходит
с нулевой ошибкой: z/i°=0. Другими словами, при п = I + 1
получаем астатическую систему регулирования с астатизмом
l-ro порядка. Если выбрать п = I + г, то придем к системе
ЧАП с астатизмом порядка г.
Важно обратить внимание на тот факт, что уравнение
стационарного режима (2.51), справедливое для ЧАП с аста-
59
тизмом любого порядка г^1, допускает неограниченный
диапазон скоростей изменения частоты сигнала 0< | У°| < оо
в котором реализуется стационарный режим с нулевой ошиб-
кой слежения. Разумеется, это верно лишь в предположении
безграничной модуляционной характеристики управителя,
в реальной системе диапазон захвата и потери слежения
ограничены размахом модуляционной характеристики между
уровнями насыщения (рис. 2.5).
Очевидно, задача слежения включает в себя задачу ста- *
билизации частоты как частный случай — для этого доста-
точно в выражении степенного ряда, которым представляется
временной закон изменения частоты сигнала сос(О, принять
показатель степени / = 0. Поэтому и в задаче стабилизации
частоты наряду с рассмотренной ранее статической системой
ЧАП возможно построение астатической системы регулиро-
вания. Чтобы прийти к ЧАП, работающей в режиме ста-
билизации частоты с астатизмом 1-го порядка, необходимо
использовать идеальный интегратор или идеальный пропор-
ционально-интегрирующий фильтр 1-го порядка с оператор-
ным коэффициентом передачи (2.12). При этом взамен урав-
нения (2.29) стационарного режима статической ЧАП полу-
чается соответствующее уравнение (2.51) астатической си-
стемы ЧАП.
Таким образом, в обеих задачах — стабилизации частоты
подстраиваемого генератора и слежения за меняющейся во
времени частотой сигнала — возможно построение систем
ЧАП, работающих как по принципу статического, так и по
принципу астатического регулирования. В статических систе-
мах ЧАП в стационарном режиме присутствует остаточное
рассогласование частот ПГ и сигнала, а в астатических это
рассогласование равно нулю. Кроме того, в астатических си-
стемах ЧАП наличие падающих участков в характеристике
дискриминатора Ф(у) не приводит к появлению разницы
между полосой захвата и полосой удержания в задаче стаби-
лизации частоты (или к ограничению предельной скорости
слежения). При любой степени астатизма г^1 получается
нулевая ошибка в стационарном режиме и безграничная
полоса удержания (или предельная скорость слежения).
Порядок астатизма г может влиять лишь на динамические
показатели системы — степень устойчивости, характер пере-
ходных процессов и т. д.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Евтянов С. И. Ламповые генераторы. М., «Связь», 1967.
2, Уткин Г. М. Автоколебательные системы и волновые усилители. М.,
«Советское радио», 1978.
3. Левин В. А. Стабилизация дискретного множества частот. М., «Энер-
гия», 1970.
ОЬЛАВЛЁНЙЁ
Стр.
Введение.
Глава первая. Методы стабилизации частоты в автогенераторах
1.1. Автономный одноконтурный автогенератор.................. 5
1.2. Частота колебаний и ее стабильность..................... 9
1.3. Стабилизация частоты автогенераторов дополнительными
резонаторами....................................................10
1.4. Синхронизация автогенераторов...........................15
1.5. Автоколебательные системы с комбинационным взаи-
модействием 19
Глава вторая. Теория частотной автоподстройки частоты (ЧАП)
2.1. Блок-схема ЧАП и характеристики ее основных звеньев . 27
2.2. Дифференциальные уравнения и математические модели
системы ЧАП.....................................................37
2.3. Стационарные режимы ЧАП.................................42
Использованная литература.
Кафедра радиопередающих устройств.
Авторы: Михаил Владимирович Капранов, Герман Михайлович Уткин.
Редактор В. Н. Кулешов.
Л 80058 12/IX 1978 г. Объем 4 п. л. Зак. 2293. Тир. 500. Цена 15 коп.
Типография МЭИ