50 коп.
С У
ОА РЕДАКЦИЕЙ А. М. DO Р ИЦ
.А
№ '	.	10
Проф. Н. Н. ИОВЛЕВ
ВВЕДЕНИЕ
В ЭЛЕМЕНТАРНУЮ
ГЕОМЕТРИЮ И ТРИГОНОМЕТРИЮ
ЛОБАЧЕВСКОГО
С АЛРСТ < ' 3 ЕЛ С В
19	3»

РАБОЧАЯ БИБЛИОТЕКА ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ШКОЛ II СТУПЕНИ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ А. М. ВОРОНЦА
№
10
Проф. Н. Н. ИОВЛЕВ
ВВЕДЕНИЕ
В ЭЛЕМЕНТАРНУЮ
ГЕОМЕТРИЮ и ТРИГОНОМЕТРИЮ
ЛОБАЧЕВСКОГО
\
Научно - педагогической секцией
Государственного ученого совета
допущено дгя школ // ступени
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА * /Р50 * ЛЕНИНГРАД

В2 ХШ-4',4Л У. 28 Гиз J4 32521'М
Ленинградский Областлкт .№ 44888
Тираж 8000.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Когда мы изучаем в школе геометрию, мы посте-
постепенно усваиваем одну теорему за другой, опираясь
в доказательстве каждой последующей теоремы на
предыдущие. Получается логическая цепь геометри-
геометрических истин, которые в совокупности говорят нам
о свойствах пространства. Мы при этом не задумы-
задумываемся о том, что пространство может обладать иными
свойствами, чем те, которые мы узнали из школь-
школьного курса геометрии. Например, мы знаем, что сумма
углов всякого треугольника равна двум прямым углам;
мы не сомневаемся в том, что это бесспорная истина,
так как она строго доказывается; нам не приходит
в голову мысль, что' в пространстве, как мы его по-
понимаем, возможен треугольник, сумма углов которого
не равна двум прямым.
Однако мы до сих пор не знаем, какими свойствами
обладает пространство, не знаем, несмотря на то, что
геометрия, как точная наука, существует более двух
тысяч лет.
Первобытный. человек познавал простейшие геоме-
геометрические истины из опытов и жизненных наблюде-
наблюдений, например, что кратчайшее расстояние есть пря-
прямая линия. По мере развития человеческой мысли,
наблюдений и исследований, накапливались знания,
служившие непосредственно для жизненных потреб-

ностей. Еще задолго до нашей эры люди умели вы-
вычислить достаточно точно длину окружности, измерив
ее диаметр, умели вполне точно определить объем усе-
усеченной пирамиды и т. д., но все такие знания остава-
оставались разрозненными и не имели логического обосно-
обоснования, пока этого не сделал греческий математик
Евклид в третьем веке до нашей эры. Он изложил
все накопленные к тому времени геометрические зна-
знания в строгой логической системе, именно так, как
мы знаем геометрию по школьному курсу. Труд Ев-
Евклида „Начала" и по настоящее время служит (ко-
(конечно, в переводе) в некоторых английских школах
учебником геометрии.
После Евклида геометрия обогатилась сравнительно
немногими новыми истинами, система построения и
изложения курса геометрии оставалась неизменною,
и до XIX века нашей эры никто не сомневался в том,
что геометрия Евклида единственно и абсолютно ис-
истинная, что она учит нас действительным свойствам
мирового пространства.
В системе Евклида есть уязвимое место, замеченное
еще греческими математиками, последователями Ев-
Евклида. Именно, пятый посту.аат ' Евклида, равно-
равносильный постулату, что через данную точку можно
провести единственную прямую, параллельную данной
прямой, — не представляет собой аксиомы. Между тем.
означенный постулат является исходной точкой для
теории параллельных прямых и всего последующего
курса геометрии. Все попытки трактовать пятый по-
постулат Евклида как теорему и, следовательно, дать
его доказательство окончились неудачей.
Вопрос о значении постулатов в геометрии привлек
1 Постулатом называется положение, само по себе не оче-
очевидное, но н не могущее быть доказанным.

к себе в первой половине прошлого столетия заострен-
заостренное внимание математиков, и Лобачевскому уда-
удалось сделать одно из величайших в науке открытий.
Лобачевский не пошел по старому пути попыток
доказать пятый постулат Евклида, а заменил этот по-
постулат ему противоположным и построил новую гео-
геометрию, логически безупречно стройную. Не предвидя
практического значения новой геометрии, Лобачев-
Лобачевский назвал ее „воображаемою". Это название по су-
существу неправильно, так как геометрия Лобачевского
столь же воображаемая, как геометрия Евклида или
другие геометрии, которые возникли после трудов Ло-
Лобачевского. Главная научная заслуга Лобачевского
заключается в расширении и углублении понятия о
пространстве и его свойствах. Лобачевский пока-
показал, что логически мыслимы пространства, обладаю-
обладающие другими свойствами, чем те, которые известны из
геометрии Евклида. Так, в геометрии Лобачевского
сумма углов треугольника менее двух прямых.
Какими же свойствами обладает то пространство,
в котором мы существуем, пока решить невозможно.
Геометрия Евклида удовлетворяет всем нашим прак-
практическим потребностям и не находится в противоречии
с астрономическими наблюдениями. Но наши опыты и
наблюдения не могут охватить пространство в целом,
мы копошимся, так сказать, в очень ограниченной
части пространства. Ведь и кривая линия на очень
малом ее протяжении обладает свойствами прямой;
в самом деле, мы целимся из винтовки, на небольшом
расстоянии, по прямой линии и попадаем в цель;
между тем, пуля летит не по прямой линии, а по кри-
кривой линии-параболе, которая на короткой дистанции
почти не отличается от прямой.
Таким образом, Лобачевский, не разрушая прак-
практического значения геометрии Евклида, поставил
5

вопрос о свойствах пространства в полном его объеме
и положил начало таким новым исследованиям мате-
Н. И. Лобачевский.
матиков, коих не могло возникнуть, пока все думали,
что геометрия Евклида единственно возможная,
6

Жизнь великого геометра Николая Ивановича Л о-
бачевского очень бедна внешними событиями. Он
родился в 1793 году, умер в 1856 году и всю свою
жизнь провел в Казани, где был профессором и рек-
ректором университета, занимаясь исключительно наукою.
Если бы Лобачевский не печатал своих трудов за
границею, то они не были бы оценены своевременно.
Русские математики, современники Лобачевского, не
поняли значения „воображаемой" геометрии и даже
глумились над нею. Прошло не мало лет, пока геоме-
геометрия Лобачевского не получила всеобщего признания
п автор ее не был причислен к величайшим ученым
всех времен и народов.
А. Воронец.
ВВЕДЕНИЕ
При систематическом изложении начал геометрии
Евклида с целью школьного преподавания, рекомен-
рекомендуется в современных методиках геометрии не увле-
увлекаться „научной строгостью".
Но как только начинают систематически излагать
геометрию Лобачевского для „самого первоначального"
ознакомления с нею, так сейчас же считают долгом
излагать подробный и тонкий анализ основных поня-
понятий геометрии и пяти групп аксиом Гильберта,
как основу дальнейшего вполне строгого и научного
изложения.
В результате получается настоящий гранитный мо-
монолит основ этой науки, о который и „ломает зубы"
большинство интересующихся этой геометрией.
В настоящей статье дано такое изложение первых
понятий и теорем геометрии и тригонометрии Лоба-
Лобачевского (по найденному автором методу), которое не
7

строже изложения учебников Давидова или Киселева
и не труднее его.
В виду ограниченных размеров статьи, изложены
только те понятия и теоремы геометрии Лобачевского,
которые необходимы для вывода основных формул ег<к
тригонометрии.
Поэтому автор здесь совсем не касается вопросов:
о линии равных расстояний, об измерении площадей,
об идеальных точках и пучках и т. д.
Интересующиеся всеми этими вопросами найдут их
изложение в следующих книгах:
1)	Проф. С. А. Богомолов. Эволюция геометрической
мысли. Ленинград, 1928, Ц. 1 р. 75 коп.
2)	Академик Я. В. Успенский. Введение в не-ЕвклпФву
геометрию Лобачевского -- Больяи. Петроград, 1922.
3)	Проф. Н. II. Иов л ев. Главные .методы обоснование гео-
геометрии Лобачевского. Самара, 1923.

1. OB АКСИОМАХ II ПОСТУЛАТЕ ЕВКЛИДА
В начале учебников Евклидовой геометрии (Кисе-
(Киселева и др.) обыкновенно приводятся аксиомы. Аксиомы
там определяются как истины, очевидные сами по
себе, а потому не требующие никакого доказательства,
и разделяются обыкновенно на 2 группы:
а)	общие аксиомы, относящиеся ко всем вели-
величинам, и
б)	аксиомы геометрические, которые отно-
относятся к величинам, имеющим протяжение.1
Общие аксиомы:
1.	Две величины, равные порознь третьей, равны и
между собою.
2.	Если к величинам равным прибавим или отнимем
от них величины равные, то и результаты получим
равные.
3.	Вели к величинам неравным прибавим или от-
отнимем от них величины равные, то и результаты по-
получим неравные.
Непосредственным следствием аксиомы C) является
положение: целое больше своей части. [Если целое
С=,А + В, то А + В>О + В, так как ^>О,Б = Б.]
Кроме этих аксиом, очень часто пользуются еще
одной аксиомой, которая, однако, в большинстве учеб-
1 См. ниже 8 аксиому Евклида.

ников не приводится и которой пользуются как исти-
истиной, самой по себе очевидной. Это так называемый
„постулат Архимеда". Его можно формулиро-
формулировать так:
Вели даны две однородные (конечные) величины А
и а, то, как бы ни была мала а и велика А, всегда а
можно повторить слагаемым такое число (п) раз, что
па будет больше А.
Геометрические аксиомы сводятся в учебни-
учебниках к трем:
1.	Аксиома о протяжениях. Пространство и
геометрические тела имеют 3 протяжения: длину,ши-
длину,ширину и вышину; поверхности—два: длину и ширину;
линии — одно, а точки—ни одного.
2.	Аксиома о неизменяемости геометриче-
геометрических тел и фигур от перенесения из одного места
пространства в другое.
3.	Аксиома о прямой. Прямая линия вполне
определяется двумя точками. (В этом виде аксиома
о прямой приводится в тех учебниках, которые пре-
претендуют на большую „научность" изложения; более же
педагогично определять прямую, как „кратчайшее рас-
расстояние между двумя точками". В самом деле, даже
животное, чтобы скорее добежать до воды, бежит „пря
мо"; голубь летит домой по прямой линии.)
4.	Аксиома о конгруентности (совместимости)
равных геометрических величин.
Но этих аксиом, которые считаются вполне очевид-
очевидными, оказывается недостаточно, когда дело доходит
до учения о линиях параллельных.
Определяются параллельные линии, как прямые, ко
торые при своем продолжении никогда не пересека
ются.
Так называемые „прямые теоремы о пара л-1
лельных линиях" могут быть формулированы так.
10

Две прямые линии параллельны (т. <\ никогда
не пересекутся):
1)	если сумма внутренних (или внешних) одно-
односторонних углов равна двум прямым углам; или
2)	если внутренние (или внешние) накрест-
лежащие углы равны между собою; или
3)	если соответственные углы равны.
Эти теоремы не требуют введения новой аксиомы,
но без нее нельзя доказать теоремы обратные:
Если две прямые линии параллельны, то:
1.	Сумма двух внутренних (или внешних) одно-
односторонних углов равна двум прямым углам.
2.	Внутренние (или внешние) накрест-лежащие
углы равны.
3.	Соответственные углы равны.
Чтобы доказать эти теоремы, а следовательно, и
все остальные свойства пространства, из них выте-
вытекающие,— необходимо одну из этих теорем принять
за аксиому.
Впервые эта аксиома встречается в „Началах гео-
геометрии" знаменитого греческого геометра Евклида,
почему и получила название XI аксиомы или пя-
пятого постулата Евклида.
В основание своих „Начал геометрии" Евклид по-
положил следующие постулаты и аксиомы:
Постулаты:
Допускается, что:
1.	От одной точки до другой какой-нибудь можно
провести прямую линию.
2.	Конечную прямую можно продолжить неопреде-
неопределенно.
3.	Из какой-нибудь точки, как из центра, произ-
произвольным радиусом можно описать круг.
11

Аксиомы:
1.	Величины, равные одной и той же величине,
равны между собою.
2.	Если к величинам равным придадим величины
равные, то суммы получим равные.
3.	Если от величин равных отнимем величины рав-
равные, то остатки получим равные.
4.	Если к величинам неравным придадим величины
равные, то суммы получим неравные.
5.	Если от величин неравных отнимем величины
равные, то остатки получим неравные.
6.	Величины, двойные одной и той же величины,
равны между собою.
7.	Половины одной и той же величины равны между
собою.
8.	Величины, которые по наложении совмещаются,
равны между собою.
9.	Целое больше своей части.
10. Все прямые углы равны между собою.
И. Если две прямые пересекаются третьей так,
что сумлю внутренних углов, лежащих по одну сто-
сторону третьей, меньше двух прямых углов, — то две
первые прямые, по достаточном продолжении, встре-
встретятся по ту сторону третьей прямой, на которой
сумма внутренних углов меньше двух прямых углов. •
12. Две прямые линии не могут, заключать про-
пространства.
Первые 28 теорем первой книги „Начал" доказаны
Евклидом без помощи XI аксиомы, или так назы-
называемого „постулата Евклида", а потому эти теоремы
1 Эта аксиома, называемая еще „пятым постулатом" Ев-
Евклида, может быть формулирована короче так:
Если сумма двух внутренних односторонних углов менее 2rf,
то прямые линии пересекутся со стороны этих углов.
ч

определяют свойства пространства, общие и геометрии
Евклида, и геометрии Лобачевского, построенной на
отрицании этого постулата.
В виду того, что постулат Евклида не обладает той
степенью очевидности, как остальные его постулаты
и аксиомы, — геометры почти 2000 лет напрягали все
усилия доказать этот постулат. Но все эти доказа-
доказательства неверны, так как опираются на какие-
нибудь свойства пространства, являющиеся непосред-
непосредственными следствиями того же постулата Евклида.
Наконец, сто лет тому назад, великий русский гео-
геометр Н. И. Лобачевский построил новую гео-
геометрию, основанную на тех же аксиомах, что и Евкли-
Евклидова геометрия, кроме его XI аксиомы, замененной
Лобачевским другим постулатом.
Здесь мы изложим только „доказательство" посту-
постулата Евклида, данное знаменитым французским гео-
геометром Лежандром.
Одним из ближайших следствии постулата Евклида
является предложение о том, что сумма внутренних
углов во всяком треугольнике равна Sd; с этой сто-
стороны Лежандр и старается подойти к решению за-
задачи. Прежде всего им доказана так называемая —
Первая теорема Лежаыдра. Во всяком треугольнике
сумма внутренних углов пли менее id, или равна 2d
ВС	МЫ
Черт. 1.
Доказательство. Пусть на какой-нибудь прямой
отложено последовательно р равных отрезков АВ, ВС,
• . . , MN (черт. 1); на этих отрезках по одну и ту же
13

сторону прямой построено р равных треугольников,
третьи вершины коих находятся в точках а,Ъ,с,..., 1,т.
Отрезки аЪ, be, . . . , lm, соединяющие эти вершины,
равны между собою, и их можно рассматривать, как
основания р других равных между собою треугольни-
треугольников аВЬ, ЪСс, . . . , 1Мт.
Пополним наш чертеж еще треугольником mNu,
равным аВЪ. Означим угол АаВ треугольника АаВ
буквой а, а угол аВЬ в треугольнике ВаЪ — буквой
Докажем, что угол а менее или равен углу [3.
В самом деле, если бы угол а был больше [3, то
из сравнения треугольников АВа и аЪВ, имеющих по
две равных стороны, следовало бы, что большему углу
а противолежит и большая сторона: АВу>аЪ. Но ло-
ломаная АаЪс,. . . , imiiN больше прямой AN (равной
АВ-р), а потому
Aa-\-(ab)-p-\-nN> (AB)-p, или, так как Aa=nN,
2Aa>(AB—ab)-p.
Но как бы ни была мала разность (АВ — аЪ), при
достаточно большом р всегда можем сделать произведе-
произведение {АВ—аЬ)-р сколь угодно большим, 1 а следова-
следовательно, и бблыпим 2Аа.
Таким образом, наше предположение о том, что угол
а > {3, привело нас к нелепости, и остаются предполо-
предположения, что угол а меньше или равен углу р.
А так как угол аАВ = углу ЪВС, то угол р допол-
дополняет сумму углов аАВ и аВА треугольника АВа до
2d. Следовательно, если угол а = {3, то сумма всех
трех углов в треугольнике АВа равна 2d; она менее
2d, когда а < р.
Вторая теорема' Лежандра. Если в каком-нибудь
одном треугольнике сумма внутренних углов равна 2d
1 В силу постулата Архимеда (см. выше).	•
14

или менее Sd, то эта же сумма pasna 2d или Менее
2d во всяком другом треугольнике.
Доказательство. 1. Вели сумма углов в тре-
треугольнике ABC равна
2d, то она равна 2d и в
каждом из треугольни-
треугольников (ABC, BCB, AED,
и т. д.), отрезанных
от треугольника ABC
(черт. 2).
В самом деле, если
бы суммы углов в тре-
треугольниках ACD и CBD
были соответственно	Черт. 2.
равны 2d — а и 2d — р,
то сумма углов в треугольнике ABC была бы равна
сумме углов в треугольниках ACD и CBD без
углов ADC и CDB (рав-
(равных в сумме 2d), т. е.
равна Ы—а—Р—(ADC-\-
-(- CDB) = Ы — а. — р.
Итак, сумма углов в тре-
треугольнике ABC менее
•id, что противоречит ус-
условию теоремы.
2. Возьмем треугольник
ABC, в котором сумма
углов равна 2d. Высота
CD делит треугольник
ABC на два прямоуголь-
прямоугольных треугольника ACD
и CDB (черт. 8). Берем
И
А
/
D
\
в
м
Черт, 3.
один из этих треугольников, например, ADC и дополняем
его равным ему треугольником САЕ до четыреугольника
ADCE, в котором, очевидно, все 4 угла будут прямые
15

Легко видеть, что, приставляя к прямоугольнику
ADCE равные ему четыреугольники, можно построить
четыреугольник KLMC любой величины, у кото-
которого все углы будут прямые.
Четыреугольник KLMC разделяется его диагональю
на два треугольника, и сумма углов в каждом из них
равна 2d, а так как от каждого треугольника (по 1)
можно отделить сколь угодно малый треугольник с
" суммой углов, равной 2d, то теорема доказана.
3. Если сумма уг-
углов в одном тре-
треугольнике ABC ме-
менее 2п, то она ме-
менее 2d и во всяком
другом треуголь-
треугольнике.
В самом деле, если
бы сумма углов в
каком-нибудь тре-
треугольнике оказалась
равною 2й, то она
была бы равна 2d
и во всяком другом,
а следовательно, и в
треугольнике ABC,
что невозможно.
Доказтаельство постулата Евклида, данное Лежан-
дром, основывается на постулате:
Через произвольную тонну, взятую внутри уг.ю,
всегда можно провести прямую, пересекающую обе
стороны этого угла.
К треугольнику ABC прибавим равный ему тре-
треугольник CDB (черт. 4). Через точку D проведем пря-
прямую EF так, чтобы она встретила обе стороны АЕ и
AF угла А, например, в точках Е и F. Предположим,
16	тч к.
Черт. 4.
- ¦

что суммы углов в треугольниках ABC, CBD, DBE и
CDF меньше 2d и соответственно равны:
2d — a, 2d —а,
2d — р, 2й — ?.
Сложив эти суммы, мы получим:
8d — 2а — р — 7 < 8d—2а-
Но сумма смежных углов при каждой из трех вер-
вершин В, С и D равна 2d\ следовательно, отняв от
суммы всех углов сумму смежных углов, равную Ы,
мы получим сумму остальных трех углов А, Е и F.
Таким образом, сумма углов в треугольнике AEF
равна:
2d — 2а — р — 7 < %d— 2а-
Повторяя то же построение неопределенное число
раз, мы можем построить такой треугольник, сумма
углов в котором будет сколь угодно мала (даже от-
отрицательна), чего быть не может, так как все эти
треугольники имеют общий угол -4.
Итак, сумма углов в треугольнике равна 2d, а это
равносильно постулату Евклида. 1
II. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ПОСТУЛАТА ЕВКЛИДА
Всякое предложение, доказательство которого невоз-
невозможно без постулата Евклида, может заменить этот
постулат. Укажем ближайшие следствия этого посту-
постулата, которые можно рассматривать, как особые, зама-
замаскированные, его виды:
1. Перпендикуляр и наклонная к одной и той оке
прялюй всегда пересекутся.
1 См. ниже, следствие 5 аксиомы о параллельных в геометрии
Лобачевского.
2 К. Н. Иовлед.
ЦЕГПТАЛЬНКЯ
БИБЛИОТ'-КЯ
TfiRCnOPTEkl БТУЗ'н
гор.
17

2.	Через точку, взятую вне данной прямой, можно
провести к этой прямой только одну параллельную
линию.
3.	Сумма внутренних углов в треугольнике равна
3d.
Чтобы убедиться в том, что из положения C) сле-
следует постулат Евклида, предположим противное, т. е.
пусть сумма углов в
треугольнике равна
Ы, а постулат Евкли-
Евклида не справедлив.
Тогда линии ВС
и AD будут парал-
параллельны (черт. 5), а
сумма внутренних
односторонних углов
ВпА будет меньше
D
В
С
Черт. 5.
2d, т. е.:
A)
Проведем через точку А еще другую секущую АС
так, чтобы она образовала с прямою ВС угол АСВ,
равный а; получим треугольник ABC, в котором со-
согласно нашему допущению сумма углов равна Ы,
т. е.:
/_ ВАС+ L ЛВС+ а = 2d,
откуда:
/_BAC-\-/_ABC=2d — a.	B)
Сравнивая равенства A) и B), находим:
?_ ВАТ) + /. ABC = /_ ВАС+ ?_ ABC,
или по сокращении:
т. е. часть равна целому, что невозможно.

Таким образом, если сумма углов в треугольнике
равна 2d, то отрицание постулата Евклида приводит
к нелепости; значит, постулат Евклида является след-
следствием этого положения.
4.	Сумма внутренних углов в четыреугольнике
равна 4d.
5.	Параллельные линии равно отстоят друг от
друга.
Пусть BC\\AD, а В А и CD перпендикулярны к AD
(черт. 6).
D
Черт. 6.
Перегнем фигуру по прямой В А; вследствие равен-
равенства прямых углов при точке А и равенства расстоя-
расстояний между параллельными ВС и AD, стороны смеж-
смежных углов при точке В при этом перегибе также со-
совпадут, т. е. эти углы прямые. Так же докажем, что
углы при вершине С также прямые. Таким образом,
в четыреугольнике ABCD все углы прямые, т. е. сумма
их равна 4й, что равносильно постулату Евклида.
6. Если две прямые параллельны в одном направле-
направлении, то они параллельны и в другом.
Потому что, если бы сумма внутренних односторон-
односторонних углов была при этом меньше 2d с одной стороны
секущей, то она должна быть менее 2d и с другой ее
*	19

стороны; но тогда сумма двух пар смежных углов
менее id, что невозможно.
7.	Если внутренние накрест-лежащие {или со-
соответственные) углы равны, то линии параллельны.
8.	Перпендикуляр и наклонная к одной и той же
прямой сближаются в одном направлении и расхо-
расходятся до бесконечности в другом.
9.	На плоскости для всякой фигуры можно по-
построить ей подобную.
Bf	10 Если это положение спра-
справедливо, то перпендикуляр
CD и наклонная АВ к одной
и той же прямой АС непре-
непременно пересекутся.
В самом деле, опустим
из точки Е на прямую АС
перпендикуляр EF (черт. 7);
получим прямоугольный
треугольник AEF. Как бы
велика АС ни была, она,
согласно допущению, может
быть стороной треугольника, подобного треугольнику
AEF, т. е. перпендикуляр CD всегда пересечет АВ, что
и требовалось доказать.
10.	Через всякие три точки (L, М- N), не лежащие
на одной прямой, можно провести окружность. 1
В самом деле, отрезки LM и МЛ" (черт. 8) будут
хордами искомого круга, а перпендикуляры АВ и CD,
восставленные из середины А и С этих хорд, должны
пересечься в центре этого круга. Но перпендикуляр CD
к хорде МЛ' будет наклонной к хорде LM, а наклон-
наклонная (CD) и перпендикуляр (АВ) к одной и той же
прямой (LM) всегда пересекаются только на плоскости
Евклида.1
1 См. ниже теорему 5.
20
Черт. 7.

11. Расстояние между двумя параллельными ли-
линиями конечно.
В самом деле, пусть АВ \\ CD, а их секущая AC \_CD
С	И D
Черт. О.
(черт. 9). Если положение A0) справедливо, то и угол
CAB должен быть прямой. Предположим, что он ту-
иой: тогда, проведя AEJ^CA, увидим, что прямые А В
21

и АЕ расходятся до бесконечности; а следовательно,
до бесконечности расходятся и АВ с CD, так как рас-
расстояние от В до АЕ меньше расстояния от В до CD
(перпендикуляр BG на АЕ меньше перпендикуляра
ВН, опущенного на CD).
12. У прямой существует только одна бесконечно-
удаленная точка.
III. ТЕОРЕМЫ, НЕ ЗАВИСИМЫЕ ОТ ПОСТУЛАТА ЕВКЛИДА
В ГЕОМЕТРИИ И А ПЛОСКОСТИ:
1.	Теоремы о вертикальных и смежных углах.
2.	Теоремы о перпендикуляре и наклонных.
3.	Условия равенства треугольников.
<5. Сложение, вычитание и умножение на целые
числа отрезков и углов.
5.	Деление отрезков и углов пополам (единство сере-
середины отрезка и биссектрисы угла).
6.	Решения задач о вписывании в треугольник и
списывании около него окружности.
7.	Отношение заключенных между двумя радиусами
дуг двух концентрических кругов не зависит от длины
дуг, а относятся такие дуги, как окружности тех же
радиусов.
8.	Две прямые линии, перпендикулярные к третьей,
не пересекутся, и др.
В стереометрии:
1.	Теоремы о перпендикуляре и наклонных к пло-
плоскости.
2.	Все перпендикуляры к прямой, восставленные из
одной ее точки, образуют плоскость.
3.	Две прямые, перпендикулярные к одной плоскости,
лежат в другой плоскости, перпендикулярной к первой.
22

?. Если из какой-нибудь точки одной из граней пря-
прямого двугранного угла опустить на его ребро перпен-
перпендикуляр, то последний будет перпендикуляром к дру-
другой его грани и лежит в первой.
». Теоремы о равенстве линейных углов одного и
того же двугранного угла и о равенстве двугранных
углов, у которых равны их линейные углы.
6. Всякая плоскость EFGH (черт. 10), проходящая
через перпендикуляр (EF) к плоскости (Р), сама пер-
перпендикулярна к этой плоскости и пересекает ее по
линии (FG), перпендикулярной к EF (т. е. угол EFG —
= 90°).
7.	Если две плоскости перпендикулярны к третьей,
то линия их пересечения также к ней перпендику-
перпендикулярна.
8.	Пусть плоскости В и Q образуют с третьей пло-
плоскостью Р два двугранных угла (черт. 10): прямой
(с ребром ВС) и острый (с ребром AD).
Возьмем на плоскости Q точку Е и опустим на
ребро ВС прямого двугранного угла перпендикуляр
EF, а через него проведем плоскость EFGH, пер пен-
23

дикулярную к ребру АВ другого, острого, двугран-
двугранного угла.
По 6 угол EFG = 90J, а по 5 угол FGH будет л fi-
fill e и н ы м углом острого двугранного угла.
Этим построением мы в своем изложении будем не
раз пользоваться.
9. Теоремы о равенстве трехгранных углов и др.
П. 1ГО11ЫТК11 ДОКАЗАТЬ НОГТУЛАТ ЛККЛИДА
Прежде чем перейти к изложению „начал геометрии
Лобачевского", скажем несколько слов о некоторых
из бесчисленных попыток доказать „постулат Ев-
Евклида".
Вера в незыблемость „Начал Евклида" была такова,
что в течение 2000 лет никто из геометров не сомне-
сомневался в справедливости пятого постулата Евклида, и
все усилия самых знаменитых геометров, интересовав-
интересовавшихся этим вопросом, были направлены на отыскание
доказательства этого постулата.
Весьма замечательно то обстоятельство, что самые
гениальные геометры при этих попытках допускали
иногда наивные ошибки; в общем, все их доказатель-
доказательства всегда основывались явно или в скрытом виде на
одном из положений, равносильных постулату Евклида,
т. е. таких, допущение коих неизбежно влечет призна-
признание постулата Евклида, и обратно.
Так, например, Посидоний (I век до нашей эры)
основывал свое доказательство на определении
параллельных, как линий, равноотстоящих друг
от друга; а Прок л D10 — 480 г.) принимал за оче--
видное, что расстояние между параллельными ко-
конечно.
Птоломей (II век нашей эры) основал свое дока-
доказательство на допущении E), что если две прямые
24

параллельны в одном направлении, то они параллельны
и в другом; Нассир-Эддин A20 I —1274) считал оче-
очевидным, что перпендикуляр и наклонная сближаются
в одном направлении и расходятся до бесконечности в
другом, — а Джон Валлис A616—1703) основывал
доказательство на том, что всегда, „очевидно", можно
построить фигуру произвольной величины, подобную
данной фигуре.
Вольфганг Боль я и A775 — 1856) в своем дока-
доказательстве опирался на „очевидное" предложение,
согласно коему через всякие три точки можно про-
провести окружность, и т. д.
Таких „доказательств" постулата Евклида было дано
более сотни, но все они выводили постулат Евклида
из положений, которые сами являлись следствиями
постулата Евклида, т. е. выводили постулат Евклида
из самого же постулата Евклида.
Но это обстоятельство нисколько не смущало геоме-
трюв, и попытки продолжались непрерывно.
Особенно оригинальна была попытка патера Д ж е р о-
ламо-Саккери A667 —1733), который основал свое
доказательство на том логическом законе, что „мз
истинного положения нельзя вывести ложного след-
следствия".
Поэтому, принимая первые 28 предложений 1 книги
Евклида, Саккери отвергает постулат Евклида, как
ложный, и старается вывести из этого предположения
ложное следствие.
Такого следствия он не нашел, но зато вывел целый
ряд теорем, которые будут справедливы, если заменить
постулат Евклида его отрицанием, т.е. ряд тео-
теорем геометрии, основанной на отрицании постулата
Евклида.
Основной фигурой у Саккери является четыреуголь-
ник с двумя прямыми углами и двумя рав-
25

ными сторонами, прилежащими к этим углам. Для
вывода свойств этой фигуры С а к к е р и пользуется
следующей леммой:
Предложение Т. Ест в четыреугольнике с пря-
прямыми углами А и В стороны AD и ВС равны, то
угол С = углу D; если оке стороны AD и ВС неравны,
то из двух углов С и D больше тот, который про-
противолежит большей стороне.	^
Отсюда Сак к ер и выводит, прежде всего:
Предложение П. Прямая MN, соединяющая сере-
середины сторон АВ и CD четыреугольника, перпендику-
перпендикулярна к АВ и CD.	•
Затем он рассматривает 3 гипотезы относительно
углов С и D своего четыреугольника:
1.	Гипотезу, прямого угла, когда углы С и D прямые.
2.	Гипотезу тупого угла, когда они оба тупые.
3.	Гипотезу острого угла, когда они острые.
Саккери доказывает (предложение IV), что при
допущении первой гипотезы АВ = CD, при второй
АВ > CD, а при гипотезе острого угла АВ < CD.
Обратное предложение также справедливо.
Далее (предложения V — VII) доказывается, что если
какая-нибудь из этих гипотез справедлива относи-
относительно одного из четыреугольников Саккери, то она
будет справедлива и для всякого другого такого
четыреугольника.
В предложении IX доказывается, что при гипотезах
прямого, тупого и острого угла сумма углов
треугольника соответственно
равна 2d, более 2д и менее 2d.
В предложениях XI и XII говорится, что при гипо-
гипотезах прямого и тупого угла перпендикуляр и
наклонная к одной и той же прямой всегда пересе-
пересекутся.
26

В предложении ХШ Саккери доказывает, что если
сумма внутренних односторонних углов менее 3d, то
при гипотезах прямого и тупого угла прямые линии
пересекутся, т. е. постулат Евклида справедлив при
обеих этих гипотезах, а потому сумма углов в тре-
треугольнике должна быть равна 2й и при гипотезе ту-
тупого угла, что противоречит предложению IX.
Таким образом, гипотеза тупого угла сама себя
уничтожает.
В дальнейшем усилия Саккери направлены к тому,
чтобы привести к такому же самоуничтожению и ги-
гипотезу острого угла.
С этой целью он отмечает, что при этой гипотезе
перпендикуляр и наклонная к данной прямой (любой
длины) могут и не пересекаться (предложение XVII).
Далее он доказывает, что если две не пересекаю-
пересекающиеся прямые не имеют общего перпендикуляра, то
они всё более и более сближаются (предложение
XXIII) и расстояние между ними может сделаться
сколь угодно малым (предложение XXV), т. е. такие
прямые сближаются ассимптотически. 1
В заключение он приходит к выводу, что если бы
гипотеза острого угла была справедлива, то прямая
АК (черт. 11) имела бы с ассимптотически сближаю-
сближающейся с нею прямой ВС общий бесконечно-удаленный
перпендикуляр DE, восставленный из их общей бес-
бесконечно-удаленной точки Е. А это Саккери считает
невозможным.
Таким образом, „доказательство" Саккери основыва-
основывается на распространении на бесконечность из-
известных свойств пространства, имеющих место на. ко-
конечном расстоянии.
1 Беспредельно, постепенно, не пересекаясь в пределах конеч-
конечных расстояний,
27

Впрочем, и сам Саккери не удовлетворяется своим
доказательством и пробует добиться своей цели при
помощи древнего определения параллельных линий,
как равноотстоящих.
Таким образом, стараясь доказать постулат Евклида,
Саккери вывел из его отрицания целый ряд
свойств геометрии не-Евклидовой.
Иоган.н - Генрих Ламберт A728 — 1777) в
третьей части своей „Theorie cler Parallellinien" изла-
излагает свои исследования, сходные с исследованием
Саккери, только Ламберт за основную фигуру берет
В
.	— — ¦	If
С
Черт. 11.
четыреугольни к с тремя прямыми углами, при-
причем относительно четвертого угла им высказываются
три гипотезы: прямого, тупого и острого угла.
Очевидно, что четыреугольник Ламберта представляет
половину четыреугольника Саккери.
Из гипотезы тупого угла Ламберт быстро выво-.
дит опровергающее ее следствие; но из гипотезы
острого угла ему такое следствие вывести не уда-
удалось. Зато, в своих поисках такого вывода, Ламберт
пришел к трем очень важным заключениям:
1. Если гипотеза острого угла справедлива, то сумма
углов в треугольнике меньше 2г7, и если мы недоста-
недостаток (дефпиит) суммы углов в треугольнике ABC до
28

id назовем о, то этот дефицит 2 возрастает пропор-
пропорционально площади треугольника, т. е.
если 2d — Л — Б — C = S, то 1АВС = к-Ъ,
где к постоянный множитель пропорциональности.
2. Если гипотеза острого угла справедлива, то су-
существует так называемая „абсолютная единица длины1-.
При изучении каждого конкретного случая мы во-
вообще за данные принимаем определенные фи-
фигуры определенных размеров, которые меняются
в каждом отдельном случае. Но, кроме этих пере-
переменных данных, при решении каждого геометриче-
геометрического вопроса всегда применяются так называемые
основные неизменяемые геометрические образы: прямые,
плоскости, пучки лучей и плоскостей и т. д.
Если какое-нибудь построение существенно связано
с данными переменными, то оно называется относи-
относительным; напротив, построение называется абсолют-
абсолютным, когда оно связано только с неизменными величи-
величинами (основными образами), или в том случае, когда
оно, хотя и зависит от данных переменных, но зави-
зависимость эта только кажущаяся, т. е. когда построение
остается неизменным при изменении этих переменных.
Согласно этому определению, измерение углов есть
операция абсолютная, так как измерять углы можно,
беря их отношение к углу Ad, т. е. к целому пучку
лучей (основному образу).
„Полный угол воьруг точки", т. е. Ad, и является,
таким образом, абсолютной единицей углов.
Но измерение отрезков в геометрик ГСвклида есть
операция относительная. В самом деле, такой абсо-
абсолютной меры, которая бы зависела только от какого-
нибудь основного образа, нет и быть не может на пло-
плоскости Евклида вследствие существования на ней по-
подобных фигур.
29

При отрицании же Пост5'Лата Евклида (гипотезе
острого угла) подобных фигур на плоскости не будет,
а следовательно, должна существовать и абсолютная
мера отрезков.
Чтобы построить абсолютную меру отрезка, можно
построить на нем равносторонний треугольник.
Так как „недостаток" суммы углов треугольцика
пропорционален его площади, то очевидно, что каждому
отрезку у нас будет соответствовать свой угол, и
обратно.
Таким образом, длина каждого отрезка выразится
числом; но эти числа не удовлетворяют законусло-
ж е н и я, т. е. не будут складываться, когда склады-
складываются соответствующие им отрезки, так как, чем
больше отрезок, тем меньше соответствующий ему угол.
Но мы можем определить некоторую функцию угла,
обладающую свойством слагаемое™, и эту функцию,—
а не самый угол, — будем считать „абсолютной мерой
соответствующего отрезка".
„Абсолютного единицей меры" будет служить отре-
отрезок, для которого эта функция принимает значение 1.
Из сказанного очевидно, что, отрицая существование
„абсолютной единицы", мы должны были бы. вместе с
Ламбертом, отбросить и „гипотезу острого угла".
3. Третий свой замечательный вывод Ламберт
выразил такими словами:
„Я почти принужден притти к заключению, что
третья гипотеза находит себе применение на мнимой
сфере".
В настоящее время установлено, что сам Н. И. Ло-
Лобачевский сначала был убежден в справедливости
постулата Евклида, и пришел к мысли построить гео-
геометрию на отрицании этого постулата только после
долгих размышлений, когда тщательное изучение всех
возможных доказательств этого постулата привело его
30

, к заключению, что все они ошибочны и что этот посту-
постулат доказан быть не может.
Тогда Лобачевский стал выводить из отрицания
постулата Евклида следствия уже не для того,
чгобы получить нелепость, доказывающую справед-
справедливость постулата Евклида, а будучи вполне убежден
в том, что такая система логически так же пра-
правильна, как и система геометрии Евклида.
Почти одновременно с Лобачевским построил такую
же геометрию венгерский ученый Б о л ь я и.
Знаменитый Гаусс в письмах к Шумахеру по по-
поводу работ Лобачевского признавался, что ему давно
приходила в голову эта мысль, но боязнь расшевелить
„осиное гнездо" верующих в постулат Евклида гео-
геометров помешала ему опубликовать свои взгляды,
кои он сохранял про себя, чтобы не прослыть выжив-
выжившим из ума стариком.
Новая геометрия Лобачевского была встречена со-
современниками насмешками и издевательствами, и са-
самые добродушные из них смотрели на нее как на
причуду большого барина, извинительную для ректора
университета и помощника попечителя округа. Даже
такой крупный математик, как Остроградский, не
мог понять важности великого открытия Лобачевского
и относился к нему скептически.
V. ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ И НЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ.
БЕСКОНЕЧНО-УДАЛЕННЫЕ ТОЧКИ ПРЯМОЙ
1. Возьмем прямую ВС (черт. 12), точку А вне ее it
опустим из А на ВС перпендикуляр АВ, длину кото-
которого обозначим через р. Затем проведем через А на-
наклонную АС Если угол ВАС, образуемый этой наклон-
наклонною с перпендикуляром АВ, станем увеличивать, то
точка С пересечения этой наклонной с прямою ВС
станет удаляться в направлении слева направо.
31

Очевидно, настанет момент, когда прямая АС пере-
перестанет пересекать ВС в этом направлении (слева на-
направо). Таким образом, существует два рода прямых,
проходящих через точку А: одни из них встречают
прямую ВС в направлении слева направо, а другие не
встречают; на границе же между теми и другими
должна лежать такая прямая AT), которая отделяет
прямые, пересекающие ВС от прямых, ВС не пересе-
пересекающих.
Л'
? с
— —~
N
С"
Черт. 12.
Говорят, что такая пограничная прямая AD пересе-
пересекает ВС в ее бесконечно-удаленной точке Б, лежащей
в направлении слева направо. Прямая AD располо-
расположена в плоскости, определяемой точкою А и прямою
ВС. Поэтому можно сказать, что:
Если прямая (AT)) имеет с плоскостью две общие
точки: одну (А) на конечном расстоянии, а другую
(В) — в бесконечности, то прямая лежит на этой
плоскости всеми своими точками.
2. В силу симметрии очевидно, что в направлении
справа налево расположена другая бесконечно-удален-
бесконечно-удаленная точка Б' прямой ВС, симметричная с Б, а через
точки А и Я проходит другая пограничная прямая
32

АБ, отделяющая прямые, проходящие через А и встре-
встречающие ВС в этом направлении, от прямых, ее в этом
направлении не пересекающих.1
\ На плоскости Евклида бесконечно-удаленные точки
Е и ?>' одной прямой сливаются в одну точку, почему
и прямые АБ и А Б' тоже совпадают в одну прямую,
которая будет, очевидно, перпендикулярна к АВ и па-
параллельна прямой ВС.
В геометрии же Лобачевского точки Б и Б' раз-
различны, прямые А Б и АВ будут наклонными к пер-
перпендикуляру АВ и называются параллельными к ВС,
первад (АБ) — в направлении слева направо, а вторая
{АБ') г-справа налево.
А
Тоорема 1. Через точку А и через бесконечно-удален-
бесконечно-удаленную точку Б (расположенную на какой-нибудь пря-
прямой ВС) можно провести только одну прямую линию.
Это будет прямая, параллельная линии ВС в том
направлении, в котором лежит бесконечно-удаленная
точка Б.
Теорена i. Если две прямые (AD и ВС) имеют
одну общую бесконечно-удаленную точку Б, то они
леэюат в одной плоскости.
В самом деле, возьмем на прямой AD какую-нибудь
1 Прямая AD проходит через Д а потому ее можем также обо-
обозначать АБ, а прямую А ТУ обозначать АБ', так как она проходит
через Б'.
3 Ь, Н, Иовлев.	33

точку А (через 13); эта точка вместе с прямой ВС
определяет плоскость, с которой прямая AD имеет две
общие точки А и Б, а потому лежит на ней всеми
своими точками.
Углы ВАБ и ВАБ, образуемые прямыми, параллел1-
ными к ВС, с перпендикуляром АВ, равны и называ-
называются углами параллельности перпендикуляра А В
(или р).
Следствие. Всякая прямая АЕ, лежащая внутри
угла параллельности ВАБ (или ВАБ'), пгресачетпгря-
мую ВС.	i
VI. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ НА ILIOCKOCTU ЛОПАЧЕВСКОГО
Аксиона. Каждая прямая имеет две бесконечно-
удаленные точки.	'	'
Следствия. I. Через точку А, взятую в не прямо и
ВС, можно провести две прямые, параллельное ВС в
двух щютшоположных направлениях.	, \
Эти прямые соединяют точку А с двумя бесконечно -
удаленными точками Б и Б прямой ВС.
2.	Если прямая AD параллельна прямой ВС в одной
своей точке, например, в А, то она параллельна ей
во icex остальных своих точках.
Это значит, что если мы возьмем на AD какую-ни-
какую-нибудь другую тючку Е и проведем через нее прямую,
параллельную ВС в том же направлении, что и
AT), то она совпадет с AD.
В самом деле, обе прямые проходят через две точки:
точку Е и бесконечно-удаленную точку Б, а потому
совпадут.
3.	Параллельность двух прямых взаимна, т. е., если
AD || ВС, то и ВС || AD в том же направлении.
Это очевидно из того, что в направлении параллель-
параллельности бесконечно-удаленная точка (Б) у них общая.
34

о
4. Две прямые A) и Bj, парил, сельные третьей пря-
прямой C) в одном и том же направлении, параллельны
и между собою в том же направлении.
(Три прямые могут лежать в одной плоскости или в
разных.)
В самом деле, прямые A) и B) параллельны прямой
C) в одном и том же направлении; значит, они прохо-
проходят через одну и ту же бесконечно-удаленную точку
а (по теореме 2) должны лежать в одной плоско-
плоскости.1 А такие две прямые должны быть параллельны
в том направлении,
где лежит их общая
бесконечно удален-
удаленная точка Б, что
и требовалось до-
доказать.
5. Сумма внутрен-
внутренних углов в треуголь-
треугольнике на плоскости
Лобачевского менее
2d.
Мы уже знаем, 2 что сумма эта не может быть бо-
более 2d; теперь докажем, что на плоскости Лобачев-
Лобачевского она не может быть равна Ы.
Предположим противное, и пусть AD \\ ВС (в напра-
направлении слева направо), а АВ — их секущая. Так как
постулат Евклида на плоскости Лобачевского не верен,
то сумма внутренних односторонних углов BAD и ABC
должна быть меньше 2d на некоторый угол а, т. е.
BAB-\-ABC = 2d — а.	A)
Проведем через А (черт. 14) еще другую секущую
АС так, чтобы она образовала с АВ угол АСВ, рав-
1	Если уже не лежат в одной плоскости с прямой C) по условию.
2	Первая теорема Лежандра,

ный а. Получим треугольник ABC, в котором по пред-
предположению сумма внутренних углов равна 2й, т. е.
откуда:
BAC-\-ABC = 2d — a.
Сравнивая равенства (I) и (Л), находим:
BAD -\-АВС = ВАС -f 4ВС,
откуда:
BAD = ВАС,
т. е. часть равна целому, что невозможно.
С
Черт. 15.
Таким образом, на плоскости Лобачевского сумма
углов в треугольнике не может быть ни больше 2cl,
ни равна 2d; следовательно, она может быть только
меньше 2d, что и требовалось доказать.
6.	Сумма углов в четыреугольнше на плоскости
Лобачевского менее 4d.
7.	На плоскости Лобачевского нет подобных фигур.
В самом деле, предположим, что на плоскости Лоба-
Лобачевского существует два подобных треугольника ABC
и аЪс, причем углы /_А = /та, ?_В — ?_Ъ, /тС = /тс
(черт. 15). Наложим меньший треугольник аЪс на
больший треугольник ABC так, чтобы их равные углы

А и а совпали; тогда сторона be займет положение ВС
и /_Ъ = ?АВ'С = /_В; /_е= ?_АСВ' = /_С.
Таким образом, в четыреугольнике ВСС'В' сумма
всех внутренних углов равна 4 d:
а это возможно только на плоскости Евклида.
Теорема 3. С увеличением длины перпендикуляра р
до бесконечности соответствующий ему „угол парал-
параллельности" уменьшается до нуля; с уменьшением р
()о нуля, угол параллельности увеличивается до ^ .
1и
Черт. 16.
Короче: угол параллельности перпендикуляра р есть
функция длины этого перпендикуляра, которую Лоба-
Лобачевский назвал Щр); причем П(оо) = 0, 11@) = *
Доказательство. 1. Прежде всего нам надо дока-
доказать, что если длина перпендикуляра АВ к прямой Аа
(черт. 16) будет принимать возрастающие значения:
А В < АС < AD < . . . , то соответствующие этим дли-
длинам углы параллельности будут все уменьшаться, т. е
В самом деле, возьмем наклонные BE и ЕС. Оче-
Очевидно, что угол ABE больше угла АСЕ. Если станем
37

точку Е удалять в бесконечность, то BE а СЕ будут
стремиться слиться с параллельными ВЬ п Сс, но
всегда угол ABE > АСЕ.
Следовательно, и предел угла ABE больше предела
АСЕ, т. е. угол АВЬ > АСс. (Равны эти углы быть не
могут, ибо это было бы равносильно постулату
Евклида.)
2.	Легко убедиться и в том, что предел углов парал-
параллельности АВЬ, АСс, АШ... есть нуль.
Предположим противное, что этот предел больше нуля,
а следовательно, больше какого-нибудь другого угла а,
т. е. что ЩАВ) > а, как
бы перпендикуляр АВ
ни был велик.
Строим угол С'АС=
= 2<х (черт. 17); на его
биссектрисе берем от-
отрезок любой длены АВ
и проводим прямую
СВС ±_АВ. По усло-
условию, всегда ЩАВ) > а;
поэтому линии АС и АС
всегда будут лежать
внутри угла ЩАВ) и
(следствие теоремы 2)'должны пересечь прямую СВС.
Таким образом, в удвоенном угле 2а — САС через
всякую точку В его биссектрисы АВ можно провести
прямую СС J_AB, встречающую обе стороны угла С АС.
Но на этом допущении Лежандр основал свое дока-
доказательство постулата Евклида. Следовательно, предел
угла параллельности при АВ=<х>пе может быть
больше 0, а потому он равен нулю.
3.	Легко убедиться и в том, что предел ЩАВ) ра-
равен | , когда АВ стремится к нулю.
38

В самом деле, когда точки А и В совпадут (черт. 16),
прямая ВЬ будет иметь с Аа две общие точки: А и
бесконечно-удаленную Б; а потому ВЬ и Аа совпадут,
и так как Аа\_АВ, то и BbJ_AB, т. е. угол 11@)
будет прямой, чтб и требовалось доказать.
Обратная теорема очевидна.
Следствия. 1. Параллельные линии ассимпто-
тически сближаются в направлении их параллельно-
параллельности (вплоть до их пересечения в бесконечно-удаленной
точке) и расходятся до бесконечности в направлении
противоположном.
Л
В
Черт. 18.
В самом деле, пусть АБ\\ВБ, АВ±ВС и DC±_ВС
(черт. 18). Требуется доказать, что DC < АВ. Очевидно,
что угол А = П(АВ), угол CDE=ll{CD), и если мы
докажем, что угол CDS > А, то (теорема 3) тем самым
докажем, что CD < АВ.
Но угол CDE не может быть равен углу А, так как
тогда сумма внутренних углов в четыреугольнике ABCD
была бы равна Ad.1
Тем более, угол CDB не может быть менее угла А,
так как тогда сумма внутренних углов в четыреуголь-
четыреугольнике ABCD стала бы больше Ы.
1 Углы В и С прямые, а угол A=UVB дополнял бы угол ADC
до 2d.

Следовательно, угол СЬВ" угла А, а потому и
DC Ah.
В том, что прямые АВ а ВС расходятся до беско-
бесконечности в направлении, противоположном направле-
направлению их параллельности, легко убедиться, восставив
перпендикуляр в точке В, например, BE JLDC. Сто-
Стороны угла ADE расходятся до бесконечности, и в
то же время BE не пересечет никогда ВС, так как
обе эти линии перпендикулярны к ВС. 1 Очевидно,
что и АВ с ВС расходятся до бесконечности, что и
требовалось доказать.
В
К
Н
Черт. 19.
О
2. Если перпендикуляр и наклонная к одной и той
же прямой не пересекаются и не параллельны, то они
расходятся до бесконечности в одном направлении, а
в другом — сначала сближаются до известного пре-
предела, именно — до точек пересечения их с их общим
перпендикуляром, — а дальше начинают расходиться
/)о бесконечности.
а. В самом деле, сближаться беспредельно такие
прямые не могут, так как они не параллельны; следо-
следовательно, они могут сближаться только до известного
предела НЕ (черт. 19), а после того должны расхо-
расходиться, т. е. расстояние между ними будет увеличи-
1 См. теоргмы, независимые от постулата Евклида (8).
40

ваться, пока снова не сделается равным АВ. Пусть
CD = AB, (CD±BD).
б.	Разделим BD пополам ц восставим перпендику-
перпендикуляр НЕ; перегнем фигуру по этому перпендикуляру.
Тогда четыреугольник HDCE совпадет с ВНЕА, а потому
смежные углы СЕН и АЕН равны, т. е. тоже прямые.
Таким образом, НЕ будет общим перпендикуляром к
линиям АС и ВТ).
в.	В том, что НЕ будет меньше всякого другого пер-
перпендикуляра KL, легко убедиться, разделив КН попо-
пополам, восставив из середины КН перпендикуляр к
КН и перегнув четыреугольник KHEL по этому пер-
перпендикуляру. Если НЕ = KL, то НЕ совпадет с KL,
а прямой угол HEL совпадет с углом KLE, т. е. все
4 угла в четыреугольнике KHEL будут прямые, что
равносильно постулату Евклида, который на плоскости
Лобачевского не имеет места.
г.	То, что АЕ п ВН расходятся до бесконечности,
легко доказать так же, как и в случае параллельных
линий (см. следствие 1).
3. Итак, на плоскости Лобачевского две прямые,
перпендику. гярные. к третьей, расходятся до бесконеч-
бесконечности в обоих направлениях.
Теорена i. Если две плоскости „a" u „ft" пересекают
третью плоскость „с" по двум параллельным прямым
AT) и ВС так, что сумма двух внутренних односто-
односторонних двугранных углов, образуемых этими плоско-
плоскостями, меньше 2d, то плоскости „«" и- „ft" Пересе-
кцтся, причем линия их пересечения будет парал-
параллельна AD и ВС.
Построение. Для простоты предположим, что
двугранный угол (Ъ, с) — прямой, а угол (а, с) — острый
(черт. 20). На плоскости ft проведем прямую FEJ_BC,
а через FE— плоскость EFGJA_AD. От пересечения
плоскости EFGJ с плоскостями a, ft и с получим:
4J

1) прямой угол EFG и 2) угол FGJ, который будет
линейным углом острого двугранного угла (а, с).1
Доказательство 1. Параллельные прямые AD
и ВС ассимптотически сближаются в направлении их
параллельности. Это значит, что перпендикуляр FG
(к линии АТУ) будет уменьшаться до нуля, если пер-
перпендикуляр FE, а с ним и плоскость EFGJ, мы станем
И
Черт. 20.
передвигать по направлению параллельности линий
AT) и ВС
Но по мере уменьшения FG соответствующий ему
угол параллельности T1(FG) будет увеличиваться до
прямого угла, тогда как острый угол FGJ остается
неизменным, ибо это линейный угол двугранного угла
(а, с).
1 См. теоремы, независимые от постулата Евклида, теорему 8,
42

Следовательно, всегда можно передвинуть плоскость
EFGJ настолько, чтобы угол параллельности T1(FG)
сделался больше острого угла FGJ, т. е. чтобы пря-
прямая GJ оказалась внутри угла U(FG) — PGF. Но
тогда (теорема 2, следствие) перпендикуляр FE и
наклонная GJ непременно пересекутся в некоторой
точке М, а с ними пересекутся по некоторой прямой
МП и плоскости „Ъ" и „а", на коих они находятся.
2. Докажем теперь, что МН параллельна AT)
и ВС.
В треугольнике MFG угол MFG — прямой, а угол
MGF есть линейный угол двугранного угла {а, с); оба
эти угла не изменяются от перемещения треугольника
MFG в направлении параллельности прямых ADnBC;
сторона же FG при таком передвижении уменьшается
до нуля. Очевидно, что и другие две стороны этого
треугольника также в пределе обратятся в нуль, т. е.
прямая МН ассимптотически приближается к AD и ВС,
т. е. будет им параллельна, что и требовалось дока-
доказать.
Следствия. 1. Если две плоскости „а" и „Ъи, про-
проходящие через две параллельные линии, не пересе-
пересекаются между собою, то внутренние односторонние
двугранные углы, образуемые этими плоскостями с
плоскостью, в которой лежат параллельные линии,
дают в сумме 2d.
В виду аналогии этого предложения с постулатом
Евклида, такие две плоскости „а" и „Ь" называются
„параллельными ".
2.	Через прямую A), параллельную двум данным
прямым B) и C), параллельный между собою, можно
провести только одну плоскость {а), не встречающую
плоскости B, 3) данных параллелей.
3.	Сумма внутренних двугранных углов трехгранной
фигуры, образованной тремя плоскостями, пересекаю-
43

Щймися по тррм параллельным прямым A). B) и C),
равна Scl.1
Такая фигура представляет, очевидно, трехгранный
угол с бесконечно-удаленной вершиной (черт. 21).
Через одну из параллелей, например A), проведом
плоскость (а) „параллельную" плоскости B, 3), опреде-
определяемой двумя другими параллелями B) и C).
Секущие плоскости A, 2) и A, 3) образуют с „парал-
„параллельными" плоскостями (а) и B, 3) равные внутренние
накрест-лежащие двугранные углы: С = А', В=А".
Черт. 21.
Двугранные же углы А' та. А" (а следовательно, и
С и В) образуют с двугранным углом А развернутый
двугранный угол, равный 2d, что и требовалось до-
доказать.
VJT. ЛРЕДЕЛЬНЛЯ'ОКРУЖНОСТЬ
Теорена 5. На плоскости Лобачевского не через вся-
всякие три- точки, w лежащие на одной прл ной, воз-
возможно провести окружность.
1 Построение н доказательство этой теоремы совершенно анало-
аналогичны тем, при помощи которых доказывается равенство 2ti суммы
j[\uob в треугольнике на плоскости Евклида.
44

В самом деле, возьмем какие-нибудь 3 точки Р, М и Н,
не лежащие на одной прямой (черт. 22). Если из
середин прямых РМ
и МН восставим пер-
перпендикуляры ВС и
AT), то они пересе-
пересекутся в центре К
круга, проходящего
через точки Р, М
и Н.
Но прямые: ВС
(перпендикулярная
к РМ) и AD (на-
(наклонная к РМ) на
плоскости Лобачев-
Лобачевского не всегда пе-
пересекаются, а еле-	Че т 22
довательно, и центр
К искомого круга не всегда существует.
Следствии. — Возьмем Л F J_ ВС и круг с центром О
на AF, касающийся ВС в точке А (черт. 23). Если мы
станем удалять центр этого круга по прямой AF в
45

бесконечность, то на плоскости Евклида наш круг в
пределе сольется с его касательной ВС; а на плоскости
Лобачевского этого слияния не произойдет, и круг
обратится в пределе в кривую линию, называемую
„предельной кривой11 или „предельным кругом", яоро-
циклом".
Прямая АБ называется осью предельной линии;
так же называют всякую прямую, параллельную АБ
в том направлении, где лежит центр Б предельной
линии.
Из этого определения „предельной линии" легко
выводятся ее основные свойства:
Свойства окруж-
окружности.
1.	Всякий отрезок мо-
может быть сделан радиу-
радиусом -круга (третий посту-
постулат Евклида).
2.	Прямая, перпенди-
перпендикулярная к радиусу круга
в его конце, касается
круга.
3.	Три точки окружно-
окружности не могут лежать на
одной прямой, почему
прямая не может пересе-
пересекать окружность более
чем в двух точках.
4.	Круг симметричен
относительно его диа-
диаметра.
46
Свойства „предель-
„предельной линии".
1.	Всякая прямая явля-
является осью некоторой пре-
предельной линии.
2.	Прямая, перпенди-
перпендикулярная к оси предель-
предельной линии в точке их
пересечения, касается ее
в этой точке.
3.	Три точки предель-
предельной линии не могут ле-
лежать на одной прямой,
почему прямая не может
пересекать предельную
линию более чем в двух
точках.
4.	Предельная линия
симметрична относитель-
относительно ее оси.

Докажем последнее. Каждой точке кругов (а, Ъ,с,. . .),
расположенной справа от оси АБ (черт. 23), соответ-
соответствует слева симметричная точка {а1, Ь', с', . . ,,
совпадающая с правой при перегибе фигуры по АБ,
так что: Da = Da', Db = Db', Dc = Dc', . . . , т. е. две
переменные величины (полухорды) при всех своих
изменениях равны; а следовательно, и пределы их
Dd и Dd' тоже равны, т. е. точка d предельной линии
симметрична с й', что и требовалось доказать.
Таким же образом легко вывести из соответствую-
соответствующих свойств круга и следующие свойства пре-
предельной линии:
5.	Если концы дуг предельной линии при наложе-
наложении совпадут, то и дуги совпадут.
6.	Все предельные линии при наложении совпадают
(как окружности с равными — бесконечно-большими —
радиусами).
7.	Большей хорде соответствует ббльшая дуга.
8.	Всякая прямая, параллельная оси предельной ли-
линии, обладает свойствами оси и также называется
осью этой линии.
9.	Все оси („радиусы") предельной линии парал-
параллельны (они сходятся в ее бесконечно-удаленном
центре).
10.	Хорда предельной линии образует равные углы
о осями („радиусами"), проходящими через концы этой
хорды.
11.	Предельная линия есть геометрическое место та-
таких точек, что отрезок, соединяющий любые две из
них, образует равные углы с прямыми, проведенными
через его концы и через бесконечно-удаленную точку Б
(т. е. параллельно одной и той же прямой в одном и
том же направлении).
12.	Через две точки можно провести две предельных
линии.
47

13. Перпендикуляр, восставленный из середины
хорды предельной линии, параллелен оси (т. е. прохо-
проходит через бесконечно-удаленный центр этой предель-
предельной линии).
Определение. Две не совпадающие предельные
линии, имеюгцгю общие осп (и обгций бесконечно-уда-
бесконечно-удаленный центр), мы будем называть концентрическими.
Из элементарной геометрии известно, что если даны
концентрические окружности, то их дуги, заключен-
заключенные между одинаковыми радиусами, пропорциональны:
А В J-ifi
вс — ад
Яти соотношения имеют место, как бы мы ни уве-
увеличивали радиусы концентрических кругов. Следова-
Следовательно, будут равны и пределы этих отношений, т. е.
справедлива такая:
Тоорена 6. Дуги концентрических предельных линий,
заключенные между их осями, пропорциональны.
Следствия. 1. Переставив средние члены в пер-
первой из пропорций (*), получим:
а,в, — ад "	1 '
Дуги Л В и ВС — произвольной длины, но они отстоят
от соответственных дуг А^ и В1С1 на одинаковых
расстояниях 1 т. е.
= BBi — CCt.
Если это расстояние изменится, то изменится и зна-
значение отношения дуг (X). Таким образом, отношение
1 Отрезки радиусов, заключенные между концентрическими
кругами, всегда равны, а следовательно, равны и пределы их,
т. е. отрезки параллельных осей, заключенные между концентри-
концентрическими предельными дугами.
48

это: а) не зависит от длины дуг и 6) есть функций
расстояния между ними.
2. Возьмем две концентрические предельные дуги
АВ та. А„В„, заключенные между их осями АА„ и ВВ„
(черт. 24). Разделим расстояние ААп = х между этими
дугами на п равных частей, каждую из которых озна-
означим буквой а. Очевидно, что ж = т?о.
Через точки деления Alt Ait..., A-i проведем кон-
концентрические предельные дуги:
AiBu А2В2,..., Ан-и В„ I.
An-. An
А,
Черт. 24.
Так как расстояния между всеми этими дугами
равны а, то (теорема 6, следствие 1) и отношения
между соседними дугами также все равны, т. е.
АВ	А^
А\в\ = ' а~Ж.
/Jb"_! -'••  к 1~х#
Перемножая эти равенства почленно и сокращая
дроби, получим:
,—ь =Х", или ^-— = )~— л-, так как у/« = ж — АА„.
4 Н. Н. Иовлвв.

VIII. ПРЕДЕЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Если *1Ы станем плоскость чертежа 23 вращать во-
вокруг прямой AF, то прямая АС, перпендикулярная к
AF, опишет плоскость, круги опишут шары, касаю-
касающиеся этой плоскости в точке А, а предельная линия
опишет „предельную поверхность", которая, очевидно,
также касается плоскости в точке А. Таким образом,
„предельную поверхность" можно рассматривать как
предел шара, когда его радиус увеличивается до бес-
бесконечности, а потому свойства „предельной поверхно-
поверхности" легко вывести из свойств шара тем же перехо-
переходом к пределу, как и свойства предельной линии,
например:
1.	Всякая прямая, параллельная оси предельной по-
поверхности, обладает свойствами оси и также называ-
называется осью этой поверхности.
2.	Предельная поверхность симметрична относительно
любой ее оси и относительно всякой плоскости, про-
проходящей через ось.
3.	Хорда предельной поверхности образует равные
углы с осями, проходящими через ее концы.
4.	Предельная поверхность есть геометрическое место
таких точек, что отрезки, соединяющие эти точки, об-
образуют с осями, проходящими через них, равные углы.
5.	Плоскость, проведенная перпендикулярно к хорде
из ее середины, пройдет через ось предельной поверх-
поверхности (выходящую из этой середины).
6.	Сечение предельной поверхности плоскостью-есть
предельная линия, если плоскость проходит через
какую-нибудь ось этой поверхности, 1 и круг —в про-
противном случае.
1 Предельная линия будет „окружностью большого круга" на
предельном шаре, а плоскость, проходящая через ось предельного
шара, будет „диаметральной плоскостью" этого шара.
50

7. Через каждые две точки предельной линии можно
провести только одну предельную дугу.
Теорема 7. Даны прямые	с
АБ || ВБ || СБ (черт. 25). Если
почки А, В и С выбраны на
иих так, что /_ БАВ= /_ БВА,
[_БВС=1_БСВ, то и /_БАС=
Все эти теоремы, обратятся в
соответственные теоремы о ша-
шаре, если заменим в них: ось —
эадиусом, предельную поверх-
поверхность — поверхностью шара,
гредельные дуги — дугами
больших кругов шара (точка Б
будет тогда в центре шара),
D
параллельные пря-
прямые (в теореме 7)—
радиусами шара.
Творена 8. Через
всякие три точки
(А, В, С), не лежащие
на одной прямой,
можно провести
только две предель-
предельных поверхности.
Перпендикуляр
BED' к плоскости
треугольника ABC,
восставленный из
центра Еописанного
около него круга, есть геометрическое место центров ша-
шаров, проходящих через точки А, В, С (черт. 26). С уда-
*	31

в
лением центра этих шаров в бесконечность по напра-
направлению ED' шар обратится в предельную поверхность
с осью ЕП; удаление центра в противоположном на-
направлении дает вторую предельную поверхность с
осью ED. В обоих случаях предельные поверхности
будут единственными, так как переменная величина
может стремиться только к одному пределу.
В геометрии Евклида обе предельные поверхности
сольются с плоскостью треугольника ABC.	'
Углом между дву-
двумя предельными ли-
линиями ВА' и ВС,
расположенными на
предельной поверх-
поверхности, называется
угол ABC между ка-
касательными к ним
в точке их пере-
пересечения (черт. 27)
А так как эти ка-i
сательные АВ и ВС,
перпендикулярны к
оси поверхности ВБ,
то углом между двумя предельными линиями ВА
и ВО можно считать двугранный угол А'ВЕС ме-
между плоскостями, проходящими через стороны угла
и через ось ВБ поверхности, исходящую из вершины
этого угла.
Тоорема 9. Если на предельного поверхности две пре-
предельных линии (АС и BD) пересечены третьем (АВ)
так, что сумма внутренних односторонних углов ме-
менее 2d, т. е. если CAB-\-DBA <.2d, то линии пересе-
пересекутся (черт. 29).
Проведем через точки А и В оси АБ и ВБ предель-
предельной поверхности, через них и через дуги AC, ABaBD —
Черт. 27.

плоскости а, Ъ и с (черт. 28). Получим фигуру тео-
теоремы 4, согласно которой плоскости а и с должны пе-
пересечься, а следовательно, пересекутся и линии АС и
BD, что и требовалось доказать.
Следствия. 1. Доказанная теорема показывает,
что на предельной поверхности имеет место постулат
Евклида, а следовательно и вся планиметрия, триго-
тригонометрия и аналитическая геометрия на плоскости
Черт. 28.
Евклида, если последнюю заменить предельной поверх-
поверхностью, а прямые — предельными линиями на этой по-
поверхности. Например:
Теорема 10. Сумме/ углов в „предельном" треуголь-
треугольнике ABC равна 2d.
2. Тригонометрические функции на предельной по-
поверхности определяются теми же отношениями эле-
элементов треугольника, что и на плоскости Евклида
(только место прямых линий занимают линии предель-
предельные), и имеют ту же самую величину. Так как вели-
53

чина углов не зависит от длины сторон, то углы между
прямыми, касательными к предельным линиям, » мы
можем определять теми же тригонометрическими
функциями.
IX. ТРИГОНОМЕТРИЯ НЛ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
Окружность, лежащую на предельной поверхности,
можно получить двумя способами:
1.	Описать окружность концом
В предельной дуги АСВ, лежа-
Ще^ на предельной поверхности
и вращающейся вокруг своей се-
середины С (черт. 29).
2.	Описать ее концом хорды АВ,
вращающейся вокруг ее сере-
середины Ci (черт. 29).
В первом случае она будет
окружностью круга, описанного
на предельной поверхности пре-
предельною дугой СВ, а во втором —
окружностью плоского круга,
описанного полухордой СгВ, вра-
вращающейся вокруг середины хор-
хорды d, перпендикулярно к оси СБ
поверхности. Отсюда следует:
Теорема. 11. Окружность, по-
построенная на полухорде (СХВ)
предельной дуги (АСВ), как на радиусе, равна окруж-
окружности круга, описанного на предельной поверхности
половиною дуги АСВ, как радиусом.
1 Касательные пряные и предельные дуги имеют около точки
их соприкосновения бесконечно-малые части общие.
54

Обозначая окружности, имеющие радиусы СХВ и СВ,
символами (дСгВ и ОСВ, можем написать:
О С,Б = О СВ.
A)
Основное построение. Возьмем какой-нибудь
прямоугольный прямолинейный треугольник ABC
(угол С —Ж) и через вершину А одного из его
острых углов проведем прямую АА', перпендикуляр-
перпендикулярную к плоскости треугольника ABC (черт. 30), а че-
через другие две вершины В и С проведем прямые ВВ'
и СС, параллельные АА' (в одном и том же напра-
В
В'
А,0, Е А
Черт. 30.
влении). Получим прямоугольный трехгранный угол
АВСБ с бесконечно-удаленной вершиной Б.
Затем через вершину В, приняв прямую АА' за ось,
проведем „предельную поверхность", т. е. шар с цен-
центром в бесконечно-удаленной точке Б. От пересечения
этой предельной поверхности с плоскостями, в кото-
которых лежат прямые АА', ВВ и СО, получатся три пре-
предельных дуги, образующих „предельный треугольник"
1. Внутренние углы в „предельном треугольнике"
А&В равны внутренним двугранным углам трехгран-
трехгранного угла АВСБ, именно:
55

угол Ai = двугранному углу
. Ci = „	„
„ А1ВС1=	„	„ (ВВ1).
2.	По построению плоскость ABC перпендикулярна к
ребру АА', а потому угол ВАС (или А) будет ли-
линейным углом двугранного угла (АА').
3.	Но если АА' J_ ABC, то и проходящая через АА'
плоскость АА' СО также перпендикулярна к плоскости
ABC, т. е. двугранный угол (АС) — прямой.
4.	Линия СВ лежит в одной из сторон прямого двут
гранного угла (АС) и перпендикулярна : к его ребру
АС; следовательно, она будет перпендикулярна и к
другой его стороне, т. е. СВ перпендикулярна к пло-
плоскости АСС'А' и к прямой СО, лежащей в этой пло
скости.	,
5.	Итак, СВ перпендикулярна к С А и к СО и к пло-
плоскости АСО. Проходящая через СВ плоскость С'СВВ'
перпендикулярна к плоскости АСС, т. е. двугран-
двугранный угол (СО) — прямой и плоский угол ВСО —
тоже прямой.
6.	Но в предельном треугольнике AfiiB угол Ci
равен двугранному углу(СС"); следовательно, угол Су
тоже прямой, а треугольник А\ Сх В—прямоугольный.
7.	Острый угол Ах предельного треугольника АхСгВ,
равный двугранному углу (АА!), будет равен и его
линейному углу, т. е.
(но угол АуВСх не равен углу ABC).
8. Фигуры A'AiBB' и С'СХВВ' (черт. 3oj здесь совер-
совершенно такие же, как фигура СВБ на чертеже 29, а
потому
1 Угол АСВ в треугольнике ABC—прямой по условию.
56

На плоскости Евклида катет прямоугольного тре-
треугольника ABC равен его гипотенузе, умноженной на
синус противолежащего угла:
а = с-sin A.	B)
Умножив обе части этого равенства на 2 тс, получим:
2 тг а = 2 тг с • sin A,
или
0 а = 0 с ¦ sin Д	C)
где 0« и ©с означают длины окружностей с радиу-
радиусами а и с.
Эти соотношения имеют место и для „предельного
треугольника" в пространстве Лобачевского; поэтому:
D)
Аналогично найдем:
QA[C1 = QBAr cos А.	D')
Пользуясь данным выше „основным построением",
легко убедиться, что соотношение C) [но не B)] спра-
справедливо и для треугольника ABC на плоскости Лоба-
Лобачевского, т. е. справедлива:
Теорема 12. Во всяком прямоугольном прямолиней-
прямолинейном треугольнике ABC окружность с радиусом, рав-
равным, катету а, равна окружности с радиусом, равным
гипотенузе с, умноженной на синус противолежащего
угла А:
C)
В самом деле, проделав с треугольником ABC „основ-
„основное построение" (черт. 30), будем иметь:
D)
57

Но (теорема И):
==OBA = Oc, а /_А1 = /_А.
Подставляя эти значения в D), получим:
Da = 0c-sin^l, что и требовалось доказать.
Вернемся теперь к нашему „основному построению"
и рассмотрим отдельно ту его часть, которая располо-
расположена на плоскости, проходящей через параллельные
линии dC и ВВ' (черт. 30). В этой плоскости лежит
предельная дуга ВС^ и прямая ВС, перпендикулярная
к CiC Очевидно, что с изменением длины перпенди
куляра ВС изменяется и расстояние ССи т. е.
Теорема 13. Отрезки ВС=а и CCfi=f(«j основного
построения связаны между собой уравнением:
ее,
sin ЩВС) = е~ *~,	E)
или
sin Ща) — е * .
Доказательство. Дополним нашу фигуру, в ко-
которой угол СВВ' = ЩВС) = Ща), еще двумя линиями
(черт. 31):
1)	предельной дугой СМ с осью СБ и
2)	прямою CL, перпендикулярной к ВВ.'
Получим прямоугольный треугольник BCL, в кото-
котором (теорема 12):
sm СВВ',
откуда
sin Ща) = 80
58

Но (теорема 11 й следствие 1 теоремы 12):
0СЬ = ОСМ=2я. СМ;
подставляя в предыдущее равенство и сокращая, по-
получим :
sin П(а) = -
причем '
ее,
или
см
fl'
Число /w здесь произвольно, а потому мы [можем
выбрать его так, чтобы Xм =е, где е = 2,718281...—
основание натуральных логарифмов; тогда и т-а = к
(постоянной), так что^^-^^6 к , где ОД = Да).
^	1	Г/ Ч
	Ца)
Вставляя в равенство (*), получим: sin П(«) = е ': ,
что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь всю фигуру основного построе-
построения, дополнив ее двумя линиями, лежащими в пло-
1 В силу следствия 2 теоремы С о предельной линии.

Скости А'ЛСС (черт. 30): а) прямою C1D1 = b\ перпен-
перпендикулярною к оси АА', и 6) предельною дугой СЕ, кон-
концентричной с CiAi.
Основная лемла. Перпендикуляр «&'» связан с ка-
катетами, «а» и «6» прямоугольного треугольника ЛВС
уравнением:
®Ь> = Ш	F)
В самом деле, из чертежа 30, где CiDi^b'. CA=b,
видно, что (теорема 11 и следствие 1 теоремы 9):
= 0СЖ=2ти. СЕ.
Разделяя эти равенства почленно друг на друга и
принимая во внимание теоремы 6 и 13, получим:
0 Ь ~ ^ СЕ	~ sin П(о)'
что и требовалось доказать.
Теорема 14. @С). = (Й^)' + (©«)*.	G)
В нашем основном построении треугольник Afiji —
предельный, а потому для него имеет место теорема
Пифагора, т. е.:
где АХВ, АХС\, С^В—предельные дуги. Умножив все
члены этого равенства на BяJ, получим:
или
@ AXBY = (О Л,С,)* + @
• Но
60

а (основная лемма):
Подставляя эти значения в предыдущую формулу,
и получим соотношение G).
Теорема 15. Длина окружности радиуса „а" про-
пропорциональна clg П(я), т. е.
Оа — М- ctg Ща),	(я)
где М— постоянная.
Доказательство. В самом деле, решая уравне-
уравнение G) относительно sin2 Ща),
получим:
откуда:
Точно так же (переставляя а и 6) имеем:
Разделяя последние два равенства почленно друг
на друга, получим:
ctg"
ctg» Щ»)—@Ь,*«
откуда:
D а _
etg Що)
Отсюда:
0 а = М ¦ ctg Ща),
и	(8)
Ос = М- ctg П(с),
что и требовалось доказать.
61

Теорема ltt. Постоянная И =2к, т.о. д.шна окруж-
окружности радиуса „а" равна 0 а = 2тг • ctg Ц(я). 1
Сравнивая эту формулу с выражением 0 а = '2ка
длины окружности в геометрии Евклида, видим, что
они отличаются только тем, что вместо радиуса „а"
стоит ctg Ща). Поэтому естественно предположить,
что такое же различие существует и между выраже-
выражениями площади S круга в обеих геометриях. Но, на
самом деле, на плоскости Лобачевского площадь S
круга радиуса „а" равна:
X. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИ!: ФОРМУЛ»!
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГО.1 ЬНИКЛ
1. (Соответствует теореме Пифагора.) Вставляя в
равенство G) из (8) вместо окружностей их значения
и сокращая результат на Ж2, получим:
Заменяя в этом равенстве котангенсы их значениями,
прибавляя к обеим частям его по единице и приводя
их затем каждую к одному знаменателю, получим:
сов3 Щс) -f- sin» Щс) _
sin2 Щс)
— "°ьа ЩЬ) -j- cos' Ща) - sin» П(Ь) + sin2 Ща) ¦ sin2 ЩЪ)
~~	sin2 1Да) • sin-1 П(Ь)	~ "
Так как сумма квадратов синуса и косинуса угла
равна единице, то легко убедиться в том, что числи-
числители в этом равенстве равны 1, а следовательно, равны
и знаменатели, т. е.:
sin П(с) = sin Ща) ¦ sin ЩЪ)
A)
1 Эту теорему мы приводим здесь бев доказательства.
62

2. Мы знаем, что (равенство 4') в предельном тре-
треугольнике AiByC:
ОА&^ОАф- cos A.	D')
Но, в силу основной леммы:
а по теореме 12:
0 Ь = <? с • sin В,
и по теореме II:
Вставляя все эти значения в равенство D') и сокра-
сокращая на 0с, получим:
I sin В = siu Щп) cos Л	(II1)
И аналогично:
sin A = siu U(b) cos В	(II)
3. По теореме 12 из прямоугольного треугольника
ABC имеем:
© а = О с ¦ siu А; О Ъ = 0 с • siu В.
Вставляя в эти равенства вместо окружностей их
значения из (81) и сокращая на М, получим:
ctg Ща) = ctg Щс) - sin A	(III)
| ctg ЩЪ) = ctg Щс) -sin В I	(ПГ)
Этой формуле соответствует равенство а—с ¦ sin A
в тригонометрии Евклида.
63

1. Из предельного прямоугольного треугольника
АХСХВ имеем (равенство 4'):
или:
(в силу теоремы 11 и основной леммы)
Заменяя в последнем равенстве 0i и 0с их значе-
значениями из (8'), получим (по сокращении на М):
или
сов П(Ь) 	cos П(с) ¦ cos Л
sin Ща) • sin П(Ь)	sin П(с)
Но в силу равенства (I) знаменатели последних
дробей равны; следовательно:
cos ЩЬ) — cos П(с) - cos A	(J V)
и аналогично:
cos Щи) = cos П(с) • cos В |	(IV)
Очевидно, эта формула соответствует равенству
а = с ¦ cos А тригонометрии Евклида.
5. Перемножая почленно равенства (II) и AГ), получим:
sin А - sin # = sin П(о) • sin ЩЬ) ¦ cos A ¦ cos В;
откуда, разделяя на cos A • cos В и принимая во вни-
внимание соотношение (I), находим:
= sin П(г) |	(V)
В Евклидовой тригонометрии угол параллельности
П(с) = 90°, а потому там:
Щ A-tg B = \.
64	—

XI. ОСНОВНОЕ СООТНОШЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
(МЕЖД5 ДЛИНОЙ ОТРЕЗКА «Ь» И ЕГО УГЛОМ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ):
(VI)
Сравнивая эту формулу с равенством E) теоремы 13,
видим, что если положим b = t(a), то будем иметь
соотношение:
(где а = ВС, b =
докажем.
tgjn(b) = sin Ща),	(*)
CiC на чертеже 32), которое мы и
В'
А Ь
Черт. 32.
Заменим для удобства на этом чертеже букву Сх
буквой А и дополним его хордою АВ. Получим (черт.
32):
угол СВБ = Ща), угол ВАБ=А = АВБ=АВС+
-{- СВБ = В-\- Ща), откуда В — А— Ща), и прямоуголь-
прямоугольный треугольник ABC, в котором АС = Ь; СВ = и;
АВ = с.
1. Применяя к треугольнику ABC соотношение (II),
имеем:
sin ? = sinn(o)-cos A.
4*5 Н. F. Иовлев.	65

Но в нашем Треугольнике угол Ё = А — Ща), а по-
потому
sin \А — Ща)] = sin Ща) ¦ cos A
или
sin A -cos Ща) — cos .4-sin n(a) = sin II(o)-cos A.
Перенося второй член левой части последнего ра-
равенства в правую и разделяя затем на cos A -cos Ща),
получим:
tg A = 2 tg Ща).	(*•)
2.	С другой стороны, разделяя (IV) на (IV) и снова
заменяя угол В через А — П(а), получим:
cos П(а)	cos В 	 cos [А — П(а)]
cos П(Ь) cos A	cos A
	cos A -cos II(a)-f-sin A -sin П(а)
соя А	'
откуда, по разделении на cos Ща) и замене tg А через
2tgII(a) из равенства (**):
sec П(Ь) =11 + 2tg2 Ща).
3.	Вставляя это значение sec ЩЬ) в известную фор-
формулу гониометрии:
	sec П(Ь) — 1
получим:
4 = sin2 Що),
что и доказывает теорему [см. равенство (*)].

СОДЕРЖАНИЯ.
Стр.
Предисловие редактора 		3
Введение 		7
I. Об аксиомах и постулате Евклида •		9
II. Различные формы постулата Евклида 		17
III.	Теоремы, не зависимые от постулата Евклида ...	22
IV.	Попытки доказать постулат Евклида		24
V.	Пересекающиеся и ие пересекающиеся прямые. Беско-
Бесконечно-удаленные точки прямой .... ...	31
VI.	Параллельные иа плоскости Лобачевского ....	34
VII.	Предельная окружность	 . .	44
VIII. Предельная поверхность		50
IX. Тригонометрия на плоскости Лобачевского		54
X. Основные тригонометрические формулы прямоуголь-
прямоугольного треугольника		62
XI. Основное соотношение геоыетрни Лобачевского . .	65
07