Л.В.Овсянников
ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Предмет книги лежит на стыке алгебры и математического анализа.
Излагаемая система фактов и алгоритмов открывает возможности эффективного
исследования конкретных дифференциальных уравнений, возникающих в
качестве математических моделей в физике, механике, теории управления,
вычислительной математике и других областях знания. В книге излагается общая
теория локальных групп Ли преобразований и алгебр Ли операторов, теория
инвариантов и инвариантных многообразий. Рассматриваются вопросы групповой
классификации дифференциальных уравнений и их решений. Даются примеры
применения техники группового анализа к конкретным системам
дифференциальных уравнений.
Содержание
Предисловие	8
Основные обозначения	15
Глава I
ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
§ 1. Определения и примеры	18
1. Действие и представление группы A8). 2. Однопараметрическая
группа A9). 3. Непрерывность A9). 4. Пример: группа переносов
B0). 5. Группы линейных гомеоморфизмов B0). 6. Пример: группа
растяжений B1). 7. Пример: группа вращений B1). 8. Локальная
теория B2). 9. Локальная группа Ли B3). 10. Пример: проективная
группа B3). 11. Подобие групп B4). 12. Пример B4). 13. Касательное
векторное поле B5). 14. Уравнение Ли B5). 15. Примеры B6). 16.
Подобие касательных полей B7).
§ 2. Инфинитезимальный оператор	28
1. Задача о построении группы B8). 2. Лемма B8). 3. Теорема Ли
B9). 4. Пример построения группы C0). 5. Соответствие групп и
векторных полей C0). 6. Оператор группы C1). 7. Примеры C2). 8.
Инвариантность оператора C2).
§ 3. Инварианты и инвариантные многообразия	34
1. Продолжение представления группы C4). 2. Конкомитанты и
инварианты C4). 3. Инварианты группы Ли C5). 4. Критерий
инварианта C5). 5. Универсальный инвариант C5). 6.
Конечномерный случай C8). 7. Примеры инвариантов C9). 8.
Теорема о подобии D1). 9. Следствия D2). 10. Инвариантные
многообразия D3). 11. Регулярно заданные многообразия D4). 12.
Критерий инвариантности D5). 13. Примеры D6).
§ 4. Теория продолжения	47
1. Пространства полилинейных отображений D7). 2. Продолжения
пространства D8). 3. Продолжение операторов дифференцирования
D8). 4. Продолжение отображений D9). 5. Продолжение
преобразования E0). 6. Основное свойство продолжения E2). 7.

Продолжение группы E4). 8. Продолжение инфинитезимального
оператора E5). 9. Стандартные коммутаторы E6). 10.
Конечномерный случай E8). 11. Пример E8). 12.
Дифференциальные инварианты E9).
Литература к главе I	60
Глава II
ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ
УРАВНЕНИЯМИ
§ 5. Определяющие уравнения	63
1. Система дифференциальных уравнений F3). 2. Основное
определение F4). 3. Условие инвариантности F4). 4. Определяющие
уравнения F6). 5. Основная группа F7). 6. Действие на решениях
F8). 7. Производство решений F9). 8. Алгоритм F9). 9. Пример G1).
§ 6. Задача групповой классификации	75
1. Общие соображения G5). 2. Преобразования уравнения G6). 3.
Произвольный элемент G7). 4. Преобразования эквивалентности
G8). 5. Задача классификации (80). 6. Описание процессе решения
(81). 7. Пример: нелинейная теплопроводность (82). 8. Случай
линейного уравнения (86).
§ 7. Алгебра Ли операторов	87
1. Коммутатор (87). 2. Действие на отображение (87). 3.
Алгебраические свойства (88). 4. Определения (89). 5. Структурный
тензор (89). 6. Линейные отображения алгебр Ли (90). 7. Критерий
изоморфизма (91). 8. Пример (92). 9. Инвариантность относительно
подобия (93). 10. Групповой коммутатор (94). 11. Допускаемые
операторы (95). 12. Продолжение коммутатора (96). 13. Допускаемые
алгебры Ли(98). 14. Линейные уравнения (99). 15. Абстрактные
определяющие уравнения A01).
Литература к главе II	102
Глава III
ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
§ 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения	104
1. Система уравнений первого порядка A04). 2. Определяющие
уравнения A04). 3. Анализ общего решения A05). 4. Структура
основной алгебры Ли A06). 5. Понижение размерности уравнения
A07). 6. Примеры A08). 7. Уравнения высших порядков A09). 8.
Уравнение второго порядка (ПО). 9. Полные системы A13). 10.
Заключительные замечания A15).
§ 9. Линейное уравнение второго порядка с двумя независимыми	116
переменными
1. Постановка задачи A16). 2. Инварианты Лапласа A17). 3. Ряд
Лапласа A18). 4. Определяющие уравнения A20). 5. Анализ общего
решения A22). 6. Классификационная теорема A23). 7.
Параболическая нормальная форма A25). 8. Классификация

параболических форм A26). 9. Классификационный результат A28).
§ 10. Уравнения пограничного слоя	129
1. Описание системы уравнений A29). 2. Предварительная
информация об операторе A29). 3. Определяющие уравнения A30).
4. Общее решение A31). 5. Случай заданного давления A31). 6.
Групповая классификация A32). 7. Стационарный пограничный слой
A37). 8. Групповая классификация A38).
§11. Уравнения газовой динамики	139
1. Описание системы уравнений A39). 2. Определяющие уравнения
A40). 3. Ядро основных алгебр Ли A41). 4. Предварительный анализ
A42). 5. Групповая классификация A43). 6. Сводка результатов
A46).
Литература к главе III	146
Глава IV
ТЕОРИЯ ЛИ
§ 12. Локальная группа Ли	150
1. Определения A50). 2. Свойства умножения A51). 3. Локальный
изоморфизм A52). 4. Уравнение и первая теорема Ли A54). 5.
Каноническое умножение A56). 6. Канонический изоморфизм A58).
7. Гомоморфизмы канонических групп A60). 8. Вторая теорема Ли
A61). 9. Структурный оператор A62). 10. Банахова алгебра Ли A64).
И. Определенность группы ее структурным оператором A65). 12.
Третья теорема Ли A66). 13. Пример A69). 14. Аналитичность
канонического умножения A70). 15. Ряд Шура— Кэмпбэлла —
Хаусдорфа A73). 16. Конечномерный случай A75).
§ 13. Алгебры Ли	177
1. Определения и примеры A77). 2. Структурные константы A78). 3.
Гомоморфизмы A78). 4. Подалгебры A79). 5. Факторалгебра A81).
6. Структурные признаки подалгебр A82). 7. Некоторые классы
алгебр Ли A83). 8. Радикал A84). 9. Теорема Леви A85).
§ 14. Присоединенная алгебра	185
1. Алгебра дифференцирований A85). 2. Естественный гомоморфизм
A86). 3. Представление алгеброй Ли операторов A87). 4. Внутренние
автоморфизмы A88). 5. Форма Киллинга A90). 6. Структурные
свойства A91). 7. Оптимальные системы подалгебр A91). 8. Малые
размерности A93). 9. Пример A96).
§ 15. Соответствие групп и алгебр Ли	199
1. Алгебра Ли группы Ли A99). 2. Подгруппы и подалгебры B01). 3.
Нормальные делители и идеалы B02). 4. Центры B04). 5.
Факторгруппы и факторалгебры B05). 6. Гомоморфизмы B06). 7.
Группы внутренних автоморфизмов B07). 8. Оптимальные системы
подгрупп B09).
§ 16. Группы Ли преобразований	210
1. Определение B10). 2. Касательное отображение B12). 3. Критерий

точности представления B13). 4. Первая теорема Ли B14). 5. Вторая
теорема Ли B15). 6. Третья теорема Ли B16). 7. Каноническая
группа второго рода B17). 8. Примеры B19). 9. Подобие групп
преобразований B20). 10. Транзитивность гB21). 11. Подобие просто
транзитивных групп B23). 12. Группы Ли, допускаемые
дифференциальными уравнениями B25).
Литература к главе IV	225
Глава V
ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
§ 17. Инварианты группы преобразований	228
1. Определенней критерий инварианта B28). 2. Полные семейства
векторных полей B29). 3. Универсальный инвариант группы B32). 4.
Инварианты внутренних автоморфизмов B34). 5. Примеры B35). 6.
Инварианты расширенийB36).
§ 18. Инвариантные многообразия	238
1. Определение B38). 2. Критерий инвариантности B39). 3.
Индуцированная группа B40). 4. Индуцированная алгебра Ли B41).
5. Наименьшие инвариантные многообразия B42). 6. Особые
инвариантные многообразия B43). 7. Теорема о представлении B44).
8. Ранг неособого инвариантного многообразия. B45). 9. Пример
B46).
§ 19. Инвариантные решения уравнений	247
1. Сводка исходных понятий B47). 2. Определение B48). 3.
Необходимые условия B49). 4. Проекции B51). 5. Продолжение
инвариантного многообразия B52). 6. Теорема существования B54).
7.	Факторсистема B55). 8. Случай разделения переменных B56). 9.
Примеры B57). 10. Группы растяжений B58). 11. Теория
размерностей B61). 12. Автомодельные решения B64).
§ 20. Классификация инвариантных решений	266
1. Классификация по рангу B66). 2. Орбиты решений B67). 3.
Существенно различные решения B67). 4. Свойство факторсистемы
B69). 5. Оптимальные системы решений B69). 6. Пример B70).
Литература к главе V	272
Глава VI
ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
§ 21. Ранг и дефект многообразия	275
1. Орбита многообразия B75). 2. Ранги дефект B76). 3. Вычисление
дефекта B77), 4. Переход к подгруппе B78). 5. Редукция B79). 6.
Существенные параметры B80).
§ 22. Частично инвариантные решения	282
1. Необходимые условия B82). 2. Описание алгоритма B83). 3. Типы
частично инвариантных решений B85). 4. Пример B86). 5. Проблема
редукции B87). 6. Лемма о ранге B88). 7. Теорема о редукции B90).
8.	Примеры B92).

§ 23. Кратные волны	293
1. Квазилинейные системы B93). 2. Решения типа «бегущих волн»
B94). 3. Допускаемая группа B96). 4. Подгруппы и их инварианты
B96). 5. Простые волны B98). 6. Пример волнового уравнения C01).
7. Двойные волны C01). 8. Пример C05). 9. Уравнения газовой
динамики C06).
Литература к главе VI	308
Глава VII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
§ 24. Общая теория	311
1. Предварительные соображения C11). 2. Инвариантное
дифференцирование C13). 3. Примеры C16). 4. Базис инвариантов
C17). 5. Примеры базисов C19). 6. Определяющие уравнения данной
группы C20). 7. О бесконечных группах Ли C22). 8. Инварианты
бесконечных групп C24). 9. Примеры C26).
§ 25. Автоморфные системы	328
1. Определение C28). 2. Структура автоморфной системы C28). 3.
Построение автоморфных систем C30). 4. Классификация
автоморфных систем C32). 5. Пример C33),
§ 26 Групповое расслоение	334
1. Постановка вопроса C34). 2. Существование группового
расслоения C35). 3. Дифференциально-инвариантные решения C36).
4. Пример расслоения C37).
Литература к главе VII	338
Глава VIII
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
§ 27. Линейное уравнение второго порядка	340
1. Уравнение и его преобразования C40). 2. Условие инвариантности
C41). 3. Определяющие уравнения C44). 4. Ассоциированное
риманово пространство C46). 5. Некоторые формулы римановой
геометрии C47). 6. Ковариантная форма определяющих уравнений
C49). 7. Инварианты уравнения C51). 8. Группы движений C52). 9.
Случай группы максимального порядка C53). 10. Группы,
допускаемые стандартными уравнениями C55).
§ 28. Касательные преобразования	357
1. Специальное расширение пространства C57). 2. Основное
определение C57). 3. Представление инфинитезимального оператора
C59). 4. Приложения C61). 5. Продолжение касательных
преобразований C63). 6. Касательные преобразования высших
порядков C64). 7. Группы Ли-Бэклунда C65).
§ 29. Краевые задачи	367
1. Общие соображения C67). 2. Системы первого порядка C68). 3.
Инвариантные решения задачи Коши C69). 4. Инвариантность
характеристик C71). 5. Инвариантность сильного разрыва C73). 6.

Уравнения Навье — Стокса C75). 7. Задачи со свободной границей
C76).
§ 30. Законы сохранения	377
1. 0 законах сохранения C77). 2. Инвариантность функционала C78).
3. Основная лемма C80). 4. Теорема Нётер C82). 5. Другие законы
сохранения C83). 6. Обращение теоремы Нётер C84). 7. Пример
C85).
Литература к главе VIII	386
Приложение. Таблицы вычисленных основных групп	389

ПРЕДИСЛОВИЕ
Систематическое исследование непрерывных групп преобра-
преобразований было начато во второй половине прошлого столетия нор-
норвежским математиком Софусом Ли A842—1899). Эти группы, на-
называемые теперь группами Ли, представляют собой объединение
в одном объекте алгебраической групповой и топологической
структур, взаимно связанных требованием непрерывности опера-
операции группового умножения. Можно сказать, что теория групп
Ли лежит на стыке двух больших математических дисциплин —
алгебры и анализа. В работах Софуса Ли, его учеников и после-
последователей эта теория получила глубокие и плодотворные приме-
применения также в различных вопросах геометрии. Вместе с тем значе-
значение этой красивой и, в известной мере, законченной теории вы-
выходит далеко за рамки ее приложений внутри самой математики.
На самом деле непрерывные группы преобразований являются
реальными объектами окружающего нас мира, о присутствии кото-
которых можно судить по их влиянию на наши представления о его
физической структуре. К ним относятся, например, представле-
представления об однородности и изотропности пространства и времени,
о динамическом подобии явлений, о галилеевой и лоренцевой
инвариантности и т. п.
Поскольку математические модели многих явлений реального
мира формулируются в виде дифференциальных уравнений,
то становится ясным, что одним из наиболее существенных при-
приложений теории групп Ли является их использование в общей
теории дифференциальных уравнений. Уместно отметить, что
первоначальной целью Софуса Ли было создание теории интегри-
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, анало-
аналогичной теории Абеля решения алгебраических уравнений. В этой
связи он сформулировал и изучил фундаментальное понятие
группы, допускаемой данной системой дифференциальных уравне-
уравнений. В настоящее время математическое направление, предметом
которого является совместное рассмотрение групп Ли преоб-
преобразований и допускающих эти группы дифференциальных урав-
уравнений, получило название группового анализа дифференциаль-
дифференциальных уравнений.

ПРЕДИСЛОВИЕ	9
Одной из основных задач группового анализа дифференциаль-
дифференциальных уравнений является изучение действия допускаемой данным
уравнением (системой уравнений) группы на множестве решений
этого уравнения. Действие допускаемой группы вносит в множе-
множество решений алгебраическую структуру, которую можно исполь-
использовать в нескольких целях. Сюда относятся описание общего строе-
строения семейства всех решений, выделение определенных классов
решений, отыскание которых в каком-либо смысле проще по срав-
сравнению с общим решением, производство решений из уже извест-
известных и т. д.
Обычно для дифференциальных уравнений, возникающих
в какой-либо математической модели класса физических явлений,
допускаемая ими группа вместе с моделью не дается. Поэтому
принципиально важна чисто техническая задача об отыскании
наиболее широкой группы, допускаемой данным дифференциаль-
дифференциальным уравнением (системой уравнений).
гДругая интересная и практически важная задача состоит в ис-
использовании техники группового анализа для групповой класси-
классификации дифференциальных уравнений. Решение этой задачи
представляет не только чисто математический интерес, но имеет
также и прикладное значение. Дело в том, что дифференциальные
уравнения математической физики часто содержат параметры или
функции, которые находятся экспериментально и потому не строго
фиксированы (как говорят, являются произвольным элементом).
В то же время уравнения математической модели должны быть
достаточно просты для того, чтобы их можно было успешно про-
проанализировать и решить. Групповой подход позволяет принять
в качестве критерия простоты требование, чтобы произвольный
элемент был таким, что с ним моделирующее дифференциальное
уравнение допускает группу с определенными свойствами или,
вообще, наиболее широкую группу.
v Также интересна и полезна задача о преобразованиях данного
дифференциального уравнения. Если известна допускаемая
группа, то можно с ее помощью искать такие преобразования,
чтобы преобразованное уравнение имело по возможности наи-
наиболее простую и удобную для отыскания конкретных решений
дифференциальную структуру.
Перечисленные выше и некоторые другие, более специальные,
задачи образуют обширную область приложения теории и алго-
алгоритмов группового анализа дифференциальных уравнений. Мето-
Методологическая основа для разработки оперативных средств этого
направления была создана еще в работах Софуса Ли. С помощью
доказанных им~основных теорем о соответствии между группами
И 2^ге^Рами Ли оказывается~возможньгм сводить сложные нели-
нелинейные задачи к более простым'линейным." Эта типичная для ана-
анализа, но-необычная для алгебры~идея «линеаризации» получила

10	ПРЕДИСЛОВИЕ
свое воплощение в создании инфинитезимальной техники иссле-
исследования. При этом локально действие группы преобразований
заменяется действием линейных дифференциальных операторов —
инфинитезимальных операторов, образующих алгебру Ли. Суще-
Существенно, что переход от групп к алгебрам Ли полностью сохра-
сохраняет алгебраическую структуру изучаемых объектов. Поэтому
с его помощью удается получить мощные инфинитезимальные
критерии инвариантности различных объектов относительно не-
непрерывной группы преобразований. Зато конечные преобразо-
преобразования группы (в отличие от инфинитезимальных) восстанавли-
восстанавливаются, вообще говоря, неявно, как решения некоторых обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Предлагаемая вниманию читателя книга посвящена система-
систематическому изложению аппарата теории групп и алгебр Ли и его
использованию для создания алгоритмов решения вышеупомя-
вышеупомянутых задач группового анализа дифференциальных уравнений.
От имеющихся руководств, в которых также рассмотрены вопросы
теории и приложений групп Ли, настоящую книгу отличает ряд
особенностей, связанных с исходными предпосылками и стилем
изложения.
Прежде всего, в духе классической теории, группы Ли, много-
многообразия и другие объекты анализа рассматриваются локально.
Локальный подход делает аппарат гибким, свободным для при-
применения и придает ему необходимую общность, поскольку речь
идет об анализе произвольных дифференциальных уравнений.
Конечно, для того чтобы теория не была формальной, в ряде во-
вопросов локальная точка зрения требует внимательного учета об-
областей определения встречающихся (и возникающих) отображе-
отображений. Необходимые по этому поводу пояснения даны в тексте пер-
первой главы.
Далее, значительное упрощение вносит предположение о бес-
бесконечной дифференцируемости рассматриваемых отображений.
Все встречающиеся операции над отображениями, в том числе
и определение отображения как решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений, из этого класса не выводят.
В силу известных фактов для групп Ли можно было бы ограни-
ограничиться предцоложением об их аналитичности. Но тогда следовало
бы предполагать и аналитичность рассматриваемых диффе-
дифференциальных уравнений и их решений, что не вызывается какой-
либо необходимостью. Кроме того, предположение об аналитич-
аналитичности усложнило бы теорию, так как потребовало бы доказатель-
доказательства сходимости рядов Тейлора, изображающих те или иные
возникающие отображения.
Следующая особенность состоит в том, что теория Ли изла-
излагается как теория банаховых групп и алгебр Ли, когда параметри-
параметрическое пространство является произвольным банаховым прост-

ПРЕДИСЛОВИЕ	11
ранством (вообще говоря, бесконечномерным), причел! в основу
положен аппарат дифференциальных уравнений. Наряду с этим
в теории групп преобразований можно считать произвольным
банаховым пространством также и пространство представления
(преобразования которого являются элементами группы). Впро-
Впрочем, достичь полноты теории инвариантов и инвариантных много-
многообразий здесь не удается, и потому в отдельных вопросах
делается предположение о конечномерности пространства предста-
представления или параметрического пространства. Кроме того, в слу-
случае основного объекта исследования — дифференциального урав-
уравнения — пространство представления обычно конечномерно.
В книге излагается вещественный групповой анализ дифферен-
дифференциальных уравнений, т. е. группы и алгебры Ли, банаховы про-
пространства и дифференциальные уравнения рассматриваются
над полем вещественных чисел. Необходимое для решения некото-
некоторых вспомогательных алгебраических задач привлечение поля
комплексных чисел особых трудностей вызвать не может.
Основная особенность стиля изложения определяется приня-
принятой векторной (бескоординатной) формой записи величин и соот-
соотношений, которая необходима в случае бесконечномерных бана-
банаховых пространств. Кроме того, эта форма наилучшим образом
подчеркивает свойство независимости векторных величин и соот-
соотношений от каких-либо систем координат. Соответственно этому
широко употребляется геометрический язык многообразий, их
размерностей, рангов линейных отображений и т. п. В отдельных
случаях (почти во всех примерах) используется также и коорди-
координатная запись, но всегда только в одной, удобной для вычисле-
вычислений фиксированной системе координат. Систематическое проведе-
проведение векторной точки зрения влечет необходимость рассмотрения
изменения величин и соотношений при преобразованиях прост-
пространства (вместо преобразований координат), на котором они опре-
определены. Поэтому в текст вошли формулы, описывающие соответ-
соответствующее изменение величин и соотношений.
Унификация изложения теории классических конечномер-
конечномерных и бесконечномерных (банаховых) групп Ли потребовала не-
некоторого изменения в терминологии, общепринятой для конечно-
конечномерного случая. Так, вместо различных систем координат в дан-
данной локальной группе Ли рассматривается класс (локально)
изоморфных групп Ли, понятие «канонические координаты пер-
первого рода» заменено понятием «каноническая группа» и т. д.
Целесообразность терминов «каноническая группа» или «канони-
«каноническое умножение» определяется тем, что они подчеркивают ха-
характерные внутренние свойства закона умножения.
Наконец, в книге дается подробное описание основных алго-
алгоритмов группового анализа, до которых удается довести общую
теорию. Описание алгоритмов сопровождается иллюстративными

2	ПРЕДИСЛОВИЕ
примерами, в которых дифференциальные уравнения берутся,
как правило, из механики, а точнее, из гидро- и газодинамики.
Конечно, специалисты-гидромеханики извлекут из этих примеров
больше информации, чем те, кто не владеет этим предметом.
Однако знакомство читателя с гидродинамикойне предполагается,
и все требуемые_специальные термины и обозначения объяснены
в тексте.
Следует отметить, что в книгу вошли далеко не все конструк-
конструкции и задачи группового анализа. При отборе материала пред-
предпочтение давалось тем фактам и алгоритмам, которые достаточно
хорошо отработаны и могут быть использованы в приложениях
в первую очередь, В этом смысле настоящую книгу следует счи-
считать скорее введением в предмет, чем его исчерпывающим изложе-
изложением. Бот некоторые из теоретических вопросов, освещение кото-
которых было бы желательно в более пространном тексте; понятие
импримитивности и его применение в задаче классификации под-
подгрупп; метод Картана в теории бесконечных групп и алгебр Ли;
общие свойства инвариантности_и методы построения абстракт-
абстрактных определяющих уравнений; _проблема расширения групп и
алгебр Ли; построение и классификация дифференциальных урав-
уравнений, инвариантных относительно заданной группы (или данного
представления группы); проблема канонической структуры бес-
бесконечных групп Ли; инвариантность и приближенное моделиро-
моделирование; групповые основы теории разделения переменных в линей-
линейных уравнениях второго порядка,
Из специальных задач, которыеостались вне книги, как нося-
носящие более узкий характер, можно отметить групповую класси-
классификацию Диксона обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка, приложение к уравнению С. А. Чаплыгина из га-
газовой динамики, частично инвариантные решения гидродинами-
гидродинамических задач с контактными разрывами и т. д. Кроме того, имеется
много задач, которые пока еще исчерпывающего решения не полу-
получили и находятся «в работе». К ним можно отнести классификацию
римановых пространств по группам обобщенных движений, вы-
выяснение групповых основ известного принципа Гюйгенса—Ада-
мара, групповой анализ разностных аппроксимаций дифферен-
дифференциальных уравнений, приложения в теории управления, группо-
групповой анализ дифференциальных уравнений с помощью групп Ли—
Бэклунда и ряд других.
О содержании книги можно судить по достаточно подробному
оглавлению, а здесь можно ограничиться описанием ее общей
структуры. В основном она построена по индуктивному принципу,
Материал первых трех глав связан с использованием только про-
простейшего понятия однопараметрической группы и ее касатель-
касательного векторного поля (оператора). Этого вполне достаточно для
развития главных технических средств группового анализа диф-

ПРЕДИСЛОВИЕ	13
ференциальных уравнений — критериев инвариантности и тео-
теории продолжения (глава I), для формирования алгоритмов вы-
вычисления основной группы и групповой классификации (глава II)
и для демонстрации этой техники на конкретных нетривиальных
примерах (глава III). По замыслу выделение однопараметричес-
ких групп преобразований должно облегчить усвоение материала
тем, кто хотел бы поскорее использовать его в «своей» задаче.
Алгебраическая структура здесь весьма проста, и лишь в конце
главы II появляются алгебры Ли операторов как объекты, ес-
естественно возникающие в результате вычислений.
Глава IV необходима для полного осмысления получаемых
предшествующими методами результатов и для дальнейшего раз-
развития теории. Как уже отмечалось выше, в ней дается нестан-
нестандартное изложение теории банаховых групп Ли. В основном эта
глава посвящена алгебраическим вопросам и только в конце нее
дается, теперь уже полная, теория групп Ли преобразований.
Следующие две главы посвящены одному из основных приложе-
приложений — построению классов частных решений данного дифферен-
дифференциального уравнения с известной допускаемой группой. Последо-
Последовательно рассмотрены классы инвариантных (глава V) и частично
инвариантных (глава VI) решений. Здесь находит применение
чисто алгебраическая задача о классификации подгрупп дан-
данной группы Ли, которая пока четкого алгоритмического решения
не получила. Теория дифференциальных инвариантов, излагае-
излагаемая в главе VII, развита на инфинитезимальной основе. Особый
интерес представляет то, что основной результат — теорема о ко-
конечности базиса дифференциальных инвариантов — справедлив
и в случае бесконечных групп Ли.
Последняя, восьмая, глава имеет целью дать представление
о том, каким образом средства группового анализа используются
в различного рода специальных вопросах, связанных с дифферен-
дифференциальными уравнениями. Здесь рассмотрены задачи, имеющие и
самостоятельный интерес: групповая классификация линейных
уравнений второго порядка, элементы теории касательных пре-
преобразований, свойства инвариантности некоторых краевых задач
и основы теории законов сохранения для решений вариационных
задач. Данный набор задач определился возможностью сформу-
сформулировать более или менее законченные результаты и в более про-
пространном тексте мог бы быть значительно расширен.
В приложении приведены таблицы вычисленных разными авто-
авторами основных групп для конкретных систем дифференциальных
Уравнений, представляющих практический интерес. Этот список
наглядно демонстрирует разнообразив прикладных вопросов,
в которых находят применение методы группового анализа.
В заключение можно выразить надежду на то, что издание
настоящей книги, благодаря ее отличию от имеющихся руководств,

14	ПРЕДИСЛОВИЕ
привлечет внимание специалистов и будет способствовать рас-
расширению круга исследователей в области группового анализа
дифференциальных уравнений. Очевидно, что основные элементы
группового анализа целесообразно ввести в программу универ-
университетского преподавания.
У читателя книги предполагаются некоторые специальные зна-
знания и навыки, впрочем, не выходящие за пределы университет-
университетской программы механико-математического факультета в объеме
первых двух курсов. Она доступна тем, кто владеет понятиями
группы, кольца, поля, отображения, непрерывности, дифферен-
цируемости, а также понятиями векторного и банахова прост-
пространств и некоторыми (минимальными) сведениями из теории
обыкновенных дифференциальных уравнений. Встречающиеся
в тексте (редкие) ссылки на анализ подразумевают обращение
к учебнику Ж. Дьедонне «Основы современного анализа» (М.,
«Мир», 1964).
В тексте, за редкими исключениями, ссылки на литературу
не даются и приоритетные вопросы, как правило, не обсуждаются.
Литература приведена в конце глав, отдельно к каждой главе.
Эти списки литературы снабжены краткими комментариями, со-
соотносящими цитируемые источники с основным текстом.
Общий план книги детально обсуждался с проф. Н. X. Ибра-
Ибрагимовым, оказавшим также помощь при отборе материала и от-
отработке отдельных фрагментов. Доц. В. М. Меньшиков внима-
внимательно прочел всю рукопись и указал ряд мест, нуждающихся
в дополнительной отшлифовке. Э. 3. Боровская выполнила боль-
большую работу при подготовке рукописи к изданию. Всем упомяну-
упомянутым товарищам автор выражает искреннюю благодарность.
1977 г.	Л. В. Овсянников

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕН!]
Теоретико-множественные символы:
X	— произведение (банаховых) пространств
d	— знак включения
?	— знак принадлежности элемента множеству
П	— пересечение множеств
U	— объединение множеств
-»•	— символ отображения
/: X-+Y	— f есть отображение пространства X в пространство V
(g)	— тензорное умножение
ф	— прямая сумма подпространств (подалгебр)
о	— композиция отображений
•	—свертывание тензоров («скалярное умножение»)
{ ... }	—множество, характеризуемое стоящими в скобках сим-
символами
{х\ S)	— множество элементов х, обладающих свойством 6'
< У	— угловые скобки используются для обозначения образов
при линейных и полилинейных отображениях
ВА	— множество всех отображений А -»• В.
Буквенные символы:
X, Y, . . . — банаховы пространства
х, у, ... —векторы (точки) банаховых пространств (в особых слу-
случаях скалярные координаты точки)
| х |	— норма вектора х ? X
X"	— произведение п экземпляров пространства X
R	— одномерное пространство (или поле) вещественных чисел
R" (х)	— пространство R", общий вектор которого есть х
-К2 (t, х)	— пространство i?a, в котором декартовы координаты
точки суть t я х
& (-Х")	— пространство непрерывных линейных отображений Х->X
& (-^> Y)	— пространство непрерывных линейных отображений Х-* У
'х	— тождественное отображение пространства X
G	— группа

16	ОСНОВНЫЙ ОБОЗНАЧЕНИЯ
GL (X) — группа всех линейных гомеоморфизмов пространства X
L	— алгебра Ли
Ck(V)	—класс отображений V-* , непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых к рае на множестве V
д	—символ проивводнон по аргументу, указанному либо
в индексе (дх), либо после символа отображения (df (х))
D	— оператор полного дифференцирования
5 • д	—инфинитезимальный оператор, соответствующий вектор-
векторному полю (семейству векторных полей) $
bt, 5'/, ... — символы Кронекера
Е	—дифференциальное уравнение (система)
Бевоговорочно используется правило записи сумм одночленов по по-
повторяющемуся индексу без анака суммы. Такое суммирование предпола-
предполагается всегда, когда индекс входит один раз как верхний и один раа как
нижний, причем множество его значений ясно из контекста.
Если дано отображение f : Х^э-Y п х?Х, y(*Y, то запись x-*f(x)
или у = /(ж) называется формулой действия отображения / и говорится,
что отображение / «действует по формуле» x->f(x) или y = f(x). Напри-
Например, композиция von отображений а : ЛГ-> Y и v : Y->Z действует по
формуле (v о и) (х) = v (в {х)).
Пункты имеют независимую нумерацию внутри каждого параграфа.
Теоремы, леммы и т. д. отдельно не нумеруются, так как каждый пункт
содержит, как правило, только одну теорему, лемму и т. д. Ссылка на
теорему из § 12 пункта 9 обозначается как «теорема 12.9*. Формулы
внутри данного параграфа нумеруются двойным индексом в скобках, пер-
первое число которого есть номер пункта, а второе — номер формулы в дан-
данном пункте, например E.3) означает формулу 3 из пункта 5. При ссылках
на формулы других параграфов перед номером формулы ставится номер
параграфа, например, 7 C.1) означает формулу C.1) из § 7.

ГЛАВА I
ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Многие элементы группового анализа связаны с рассмотрением
однопараметрических групп преобразований, которым посвящена
эта глава. Исходным является понятие однопараметрической не-
непрерывной локальной группы Ли локальных преобразований не-
некоторого банахова пространства (коротко называемой груп-
группой G1).
Банаховы пространства берутся в качестве множества — носи-
носителя представления ввиду того, что на таких пространствах
обычно задаются дифференциальные уравнения. При этом оказы-
оказывается неудобным ограничиваться преобразованиями какого-либо
множества или многообразия на себя. Вместе с тем локальным
преобразованием просто оперировать лишь тогда, когда оно ин-
индивидуально. Но уже в вопросах, связанных с композициями не-
нескольких локальных преобразований с различными областями
определения, имеются определенные трудности. Здесь «выручает»
свойство непрерывной зависимости преобразования от группо-
группового параметра, благодаря которому при малых изменениях пара-
параметра происходит также малое смещение области определения
преобразования и гарантируется непустота пересечения про-
прообраза с образом. При этом необходимо внимательно следить
за областями определения и значения преобразований. Обычно
этот момент в теории опускается, что делает ее «формальной»,
хотя на самом деле никакого формализма нет. По этому поводу
можно принять соглашение о проведении рассуждений в «забы-
«забывающих терминах», т. е. так, как будто преобразования опре-
определены и обладают нужными свойствами на всем банаховом про-
пространстве. Достаточно ясна также и необходимость рассмотрения
лишь локальных групп преобразований. Только на их основе
удается построить и обосновать достаточно общую теорию и эф-
эффективные алгоритмы.
Изучение групп G1 тесно связано с векторными полями на бана-
банаховых пространствах. Здесь существенно понятие касательного
векторного поля группы б*, с помощью которого эта группа за-
задается сравнительно простым обыкновенным дифференциальным
Уравнением Ли. На протяжении всей книги используется вводи-
вводимое в этой главе понятие инфинитезимального оператора (коротко,
просто оператора), эквивалентное понятию векторного поля.

18	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Важным теоретическим фактом является взаимно однозначное
соответствие групп G1 и их операторов.
Далее, для групп G1 изучаются фундаментальные понятия ин-
инвариантности отображения и многообразия относительно преоб-
преобразований. Наиболее важны доказываемые в этой главе инфини-
тезимальные критерии инвариантности, позволяющие как бы
«линеаризовать» те или иные задачи. Новым моментом является
введение понятия универсального инварианта, которое, несмотря
на свою простоту и полезность, раньше в литературе не встреча-
встречалось. Существование универсального инварианта доказано в на-
наиболее общем виде — для групп G1 преобразований произволь-
произвольного банахова пространства.
Принципиальным элементом группового анализа дифферен-
дифференциальных уравнений является теория продолжения. Она связана
с необходимостью рассмотрения преобразований произведения
двух банаховых пространств, сомножителями которого являются
пространства независимых и зависимых переменных, участвую-
участвующих в дифференциальных уравнениях. Помимо рабочих формул
продолжения преобразований, отображений и операторов, исполь-
используемых в конкретном счете, здесь устанавливается и важное для
теории свойство перестановочности операций продолжения и ком-
композиции преобразований. Новым фактом является вычисленная
общая форма стандартных коммутаторов, которые используются
в последующих главах.
§ 1. Определения и примеры
1. Действие и представление группы. Пусть М — множество.
Преобразованием множества М называется взаимно одно-
однозначное отображение М на М. Совокупность i(M) rcex преобра-
преобразований множества М образует группу, п которой роль группокой
операции («умножения») играет композиция отображений, а роль
«единицы» —тождественное преобразорение 1м. Группа ~(М) назы-
называется группой преобразований множества М.
Пусть G — группа. Представлением группы G в ~(М)
называется групповой гомоморфизм я: G -> т (М). Это означает,
что для каждого элемента g ? G образ к (g) есть преобразование
множества М и для любых gv gz?G справедливо равенство
(LI)
Образ к (G) группы G есть подгруппа группы т (М), которая
также называется представлением группы G в виде группы пре-
преобразований множества М.
Отображение (х, g) -»• тг (g) (х) произведения М X G в множест-
множество М называется действием группы G па множестве М.
Задание действия определяет на множестве М групповую струк-

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ II ПРИМЕРЫ	19
туру. В дальнейшем всюду, где это не будет приводить к недо-
недоразумению, действие будет обозначаться той же буквой, что и
представление, так что л (х, g)=n (g) (#)•
Представление тс: G -> т (М) называется точным (или изо-
изоморфным), если отображение г. является изоморфизмом. Пред-
Представление тг является точным, если и только если равенство
п (g)=ix справедливо лишь для единичного элемента е группы G.
Представление (и in действие) тг называется тривиальным, если
n(g)—lM для любого элемента g?G.
2.	Однопараметрическая группа. В дальнейшем роль мно-
множества М будет играть некоторое банахово пространство X (не
обязательно конечномерное) и будут рассматриваться предста-
представления группы В всех вещественных чисел с групповой опера-
операцией — сложением (аддитивной группы R) в группе т (X) преобра-
преобразований пространства X. В этом случае представление / : R ->
-> т (X) будет называться локально точным, если найдется такой
симметричный относительно нуля интервал А С R, что для а ? А
равенство / (а)=1х возможно, только если а—О.
Локально точное представление / : R —> ~ (X) называется
однопараметрической группой преобразований про-
пространства X.
В дальнейшем образ точки а(< R при представлении / : R ->
->• т (X) будет обозначаться символом /в. Для каждого а? 72 этот
образ есть преобразование fa пространства X.
Соответствующее этому представлению действие / группы R на
пространстве X определяется формулой / (х, a)=fa{x). Итак,
согласно данным определениям, действие / задает однопараме-
трическую группу / (R) преобразований fa пространства X.
При этом групповые свойства представления / (R) равносильны
следующим свойствам отображения /:
1°. f(x, 0) — х для любого х?Х;
2°. f(f(x, a), b) = f(z, a-\-b) для любых a, bQR, x ?Х;
3°. Существует такой симметричный относительно нуля
интервал Д С -В, что если а ? А и f(x, a) = x для всех х(^Х, то
а = 0.
Каждое отображение / : X X R -*¦ X со свойствами 1°—3°
задает однопараметрическую группу f(R) преобразований прост-
пространства X.
3.	Непрерывность. Пусть даны банаховы пространства Y и Z
и открытое множество U CZ Y. Отображение и: Y-^-Z называется
отображением класса C0(U), Ck{U) (k=l, 2, ...), Cm(U) или
Ca(U), если его сужение на U, т. е. отображение u:U-^-Z, соот-
соответственно непрерывно, к раз непрерывно дифференцируемо, бес-
бесконечно дифференцируемо или аналитично на U.
Группа /(-К) называется непрерывной группой класса Ск@^,
^&<joo) или класса Сл, если отображение /: X X R-*¦ X

20	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
принадлежит соответственно к классу Ск(Х X И) (
или к классу Са(Х X Щ-
В дальнейшем однопараметрическая непрерывная группа преоб-
преобразований пространства X будет обозначаться символом G1. При
необходимости подчеркнуть, что рассматриваемая группа G1 порож-
порождена отображением / : X X -В-»- X, будет использоваться символ
G1 (/). Отображение / будет записываться формулой вида
x' = f(x, а).
4.	Пример: группа переносов. Пусть хо?X — фиксированный
ненулевой вектор. Определенное формулой
х1 = х -\- ах0 (х ? X, а ? И)
отображение / порождает однопараметрическую непрерывную группу
преобразований пространства X, которая будет называться группой
переносов (говорят также: трансляций или сдвигов) в направлении
вектора ха. Выполнение свойств 2. 1°—3° проверяется элементарно.
5.	Группы линейных гомеоморфизмов. Линейные непрерывные
обратимые преобразования пространства X образуют группу GL (X)
линейных гомеоморфизмов пространства X. Возникает задача: найти
все непрерывные группы G1 CZ GL (X) класса Cv
Каждая такая группа определяется заданием представления
1: It -*¦ GL (X) и порождается отображением
Для выполнения свойств 2. 1°—3° необходимо, чтобы были спра-
справедливы равенства 1@) = 1х и l(b)ol(a) = l(b-\-a). Кроме того,
отображение I должно быть дифференцируемым. В частности, суще-
существует производная 5/@) = и, которая является фиксированным
линейным отображением Х-* X. В результате дифференцирования
равенства I (Ь -\- а) = 1(Ь) о 1(а) по параметру Ъ в точке Ь = 0 полу-
получается соотношение
dl(a) = uol(a).	E.1)
Теперь задача сводится к построению решения I уравнения E.1)
при начальном условии I @)=1х. Это есть задача Коши для ли-
линейного обыкновенного дифференциального уравнения, решение
которой хорошо известно: оно дается формулой
I (а) = ехр (аи) (а ? R).
Эта формула и решает поставленную задачу: однопараметриче-
ские группы G' С GL (X) получаются, когда линейное отображе-
отображение и пробегает пространство SB (X).
Дальнейшие примеры относятся к случаю конечномерного X,
Если dim Х—п, то в каждой декартовой системе координат, в ко-
которой ж=(а^, . . ., х"), линейному отображению иС<?? (X) "со-

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ	21
ответствует квадратная пХп матрица (и). Пусть (и)* есть транс-
транспонированная матрица (и). Отображение и называется симметрич-
симметричным, если матрица (и) симметрична, т. е. (u)*=(u), и антисим-
антисимметричным, если матрица (и) антисимметрична, т. е. (и)* =—(и),
6. Пример: группа растяжений. Пусть линейное отображе-
отображение и симметрично. Тогда найдется такая система координат
х=(хх, , . ., х"), в которой матрица (и) диагонально,, т. е. (и) =
=diag (X1, , . ., X") (так обозначается матрица, в которой все
элементы равны нулю, кроме элементов главной диагонали, рав-
равных X1, . , ,, Xю). Соответствующая матрица /(а)=ехр (аи) также
диагональна, а именно (I (a))=diag(exp (Хха), . . ., ехр (Х"а)).
Поэтому порождающее группу G1 отображение будет иметь вид
**а) (t=l, ..., п).
Для каждого а^М соответствующее преобразование простран-
пространства X называется растяжением. Итак, каждое симметричное
отображение и fc i? (X) определяет некоторую группу растяжений
G1 пространства X.
^j Необходимо заметить, что представление группы G1 в виде
группы растяжений зависит от выбора системы координат в про-
пространстве X. Несмотря на это, понятие группы растяжений по-
полезно для приложений к конкретным дифференциальным уравне-
уравнениям, которые обычно рассматриваются в фиксированной системе
координат.
7. Пример: группа вращений. Пусть теперь и антисиммет-
антисимметрично. Тогда линейное преобразование I (а) будет обладать сле-
следующим свойством:
I (а)* = ехр (аи*) = ехр (—аи) = 1\(а)~1,
т. е. I (a)*ol(a)=I,Такие преобразования называются^ор/геогональ-
ными.
В случае га=3 ортогональные преобразования ^называются
также вращениями. Здесь антисимметричное преобразование^!*
наверное имеет собственный вектор z^X, для которого и <jz)=O.
Тогда I (а) <^>=ехр (аи) (z)=z для любого а^И и найдется такая
система координат, в которой х=(х1, ж2, я3), что будет z=@, 0, 1).
В этой системе координат матрица (/ (а)) такова}
tcosa —sin a 0\
sin a cos a~>0 I.
0	0 1/'
Ей соответствует группа G1 вращений вокруг оси (ж3), определяе-
определяемой вектором z, которая дается формулами
ж'1 = х1 cos а — хг sin а, ж'2 = х1 sin а -(-ж2 cos a, xl3 = x3.

22	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
На этом примере видно, что введение интервала Д в условие
нетривиальности представления 2.3° существенно. В данном случае
можно взять Д=(—~, я).
8. Локальная теория. Для целей группового анализа класс
однопараметрических групп оказывается слишком узким. Дело
в том, что групповой анализ связан с решением нелинейных задач,
когда возникают порождающие отображения /, вообще говоря, не
определенные на всем пространстве XxR. Расширение класса
однопараметрических групп достигается за счет сужения мно-
множества, на котором рассматривается порождающее отображение.
В качестве такого множества обычно берется VX Д, где V — не-
некоторое открытое множество в X, а Д — некоторый симметричный
(относительно нуля) интервал из R. В соответствии с этим выпол-
выполнение свойств 2.2° и 2.3° для отображения/ : Xxlt -> X класса
С оо (УХ Д) требуется только для x^V и а, Ъ, а-\-Ъ? Д. Получаемое
на этом пути расширение класса однопараметрических групп
позволяет не интересоваться свойствами составляющих группу
преобразований вне множества V и для значений параметра а,
выходящих за пределы интервала Д. Теория, основанная на
таком расширении класса однопараметрических групп, называется
локальной теорией.
Более того, в локальной теории от порождающего отображения
/, вообще говоря, не требуется, чтобы оно было определено вне
множества Vxh. При этом естественно возникает задача о про-
продолжении отображения /, первоначально заданного и обладаю-
обладающего свойствами 2.1°—3° лишь на множестве VX Д, до некоторого
отображения XxR -^ X с теми же свойствами на всем про-
пространстве XxR. Эта интересная задача выходит, однако, за рамки
локальной теории и здесь рассматриваться не будет.
Стоит отметить только, что всегда можно упомянутое отобра-
отображение / : VX & -* X продолжить до некоторого отображения
/ : ХхН -> X, порождающего однопараметрическое семейство
преобразований пространства X, действующих по формуле fa (х) =
=/ (х, а). Разумеется, такое продолжение не однозначно. Тем не
менее этот факт показывает, что в локальной теории фактически
сохраняются два существенных свойства однопараметрических
групп: ее объектами являются преобразования пространства X
и их совокупность образует однопараметрическое семейство.
Итак, локальная теория имеет дело с локальными преобразова-
преобразованиями пространства X. Этим термином называются преобразова-
преобразования открытых множеств V С X, т. е. такие отображения v : V -> X,
для которых v (V) открыто в X и отображение v: У -> v (V)
является взаимно однозначным.
Пусть Д — интервал в R, симметричный относительно нуля.
Отображение / : FX Д -»¦ X называется однопараметрическим се-
семейством локальных преобразований пространства X, если для

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ	23
каждого а ? Д частное отображение /я : V -> X является преобра-
преобразованием открытого множества V.
9.	Локальная группа Ли. Следующее определение фиксирует
объект, который составляет основу развиваемого в дальнейшем
группового анализа.
Локальной однопараметрической группой Ли ло-
локальных преобразований пространства X называется
такое однопараметрическое семейство локальных преобразований
/: V X Д —>• X, которое обладает следующими свойствами:
1°. f(x, 0) = ж для любого xfcV.
2°. f(f(x, a), 6) = f(x, а-{-Ъ) для любых a, b, a-\-b?X x?V.
3°. Если а? Д и f(x, a) = x для всех x(*V, то а = 0.
4°. /^^(FXA).
Сравнение с данным в 1.2, 1.3 определением однопараметриче-
ской группы преобразований пространства X показывает, что
каждая такая группа является локальной однопараметрической
группой Ли локальных преобразований пространства X. Поэтому
в последующем изложении локальная однопараметрическая
группа Ли локальных преобразований пространства X будет
обозначаться также символом G1 и, для краткости, будет назы-
называться просто группой G1.
Отсутствие в обозначении группы G1 множеств V и Д объяс-
объясняется тем, что они с точки зрения локальной теории играют слу-
служебную роль и их конкретизация не очень существенна. Напри-
Например, если рассмотреть сужение /' порождающего отображения /
на подмножество V X Д', где V С V и Д' С Д, то отображение
/': F'XA'->X также будет обладать всеми свойствами 1°—4°.
В локальной теории группы, порожденные отображениями / и /',
не различаются. Поэтому локальная теория фактически оперирует
с классами неразличимых групп. Хотя было бы не очень трудно
дать соответствующие точные определения и ввести группы G1
как классы неразличимых групп, для формирования алгоритмов
группового анализа особой необходимости в этом нет.
Данное определение и последующие соображения показывают,
что порождающее группу G1 отображение / : Vx Д -> X можно
назвать также локальным действием аддитивной группы R на
пространстве X. При этом группа G1 может рассматриваться как
представление /(Д)СГт(Х), элементами которого являются ло-
локальные преобразования/й: V-> X пространства X. Эта термино-
терминология будет использоваться в дальнейшем.
10.	Пример: проективная группа. На плоскости jR2 (x, у) рас-
рассматривается однопараметрическое семейство локальных преобра-
преобразований VX Д -> Л2, где V есть полоса {(х, у) | | х | < 1, у ? Л}
Ч Д=(—1, 1), порожденное отображением
Г1			ill		J
1 — ах'	1 — ах

24	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Легко проверить, что все свойства 9.1*—4* выполнены, следова-
следовательно, данное отображение порождает группу G1. Вместе с тем,
выйти за пределы множества V X А без нарушения какого-либо
из этих свойств здесь невозможно. Этот пример показывает, что
достигаемое в локальной теории расширение класса однопараме-
трических групп преобразований существенно.
Данная группа G1 является""примером группы проективных
преобразований плоскости JR2.
11. Подобие групп. Пусть тг: MXG -> М — действие группы G
на множестве Мир: М -> М — некоторое преобразование мно-
множества М. Легко~проверяется, что отображение «х t MxG-> M,
определенное формулой
)°P~\	С11-1)
также задает действие группы G на М. Очевидно, что заданное
формулой A1.1) отношение щ ~ п есть теоретико-множественный
признак эквивалентности.
-Если" действия TCj и ^"группы G на множестве М эквивалентны,
т. е. находятся в отношении пг ~ тс2, то им соответствующие пред-
представления it{{G) и 7г2 (G) в группе т (М) называются подобными.
""Эта терминология переносится и на группы G1, поскольку их
можно рассматривать как локальные представления аддитивной
группы R в т(ЛГ) (см. 1.9). Так как элементами'групп'С1 являются
локальные преобразования пространства X, то для точного опре-
определения понятия подобия таких групп следует~учитывать те от-
крытые^'множества, на которых определены гсоответствующие
порождающие отображения.
к* Пусть отображение f(: Г, X 4( -^ X порождает группу G\(i =
= 1,~2). Рассматривается совокупность №{VV V2) всевозможных пре-
преобразований класса Сот множества Vx на множество V2, т. е. таких
взаимно однозначных отображений р: V1 -*¦ V2, для которых р^С^ (Vx)
1 Р~16^>ш(^2)- Пусть, наконец, fia — элементы группы G] как
представления /, (Д<) (I — 1, 2).
Группы G\ и G\ называются подобными, если -существует
преобразование p?H(Vv V2) и интервал Дс Дх П &v~c которыми
для"всех'а ^ Д справедливо равенство
12. Пример. Группа растяжений G\, как представление /X(-R)
в т(Х), действуетТв системе координат х = (х1, ..., ж") по фор-
формуле (см. 1.6):
/*, (х) = а^вхр"(аХ') A=1	\п)
и'рассматривается на множестве V = {х | х* ]>0 (t = l, ..., re)}
В^й 'же системе координат преобразование р: V-*X задается

t l. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ	25
формулами
I р% (х) = Ых\ р'1' (x) = expxi (i = 1	»).
U помощью преобразования р по формуле A1.2) получается подоб-
подобная группа G\ как представление /а (-R), элементы которого опре-
определяются равенством
Вычисление дает
*" = in {(fu°p-lY (х)) = in (ft (р-1 (х))) =
= \п-(р~и (х) ехр (ал*')) = In ((ехр я')*ехр ^')j = ж'" -j- ал'.
т. е. в векторной записи х'=х+аХ, где ^=(^1, . , ., X") — фикси-
фиксированный вектор пространства X. Следовательно, группа G\
есть группа переносов пространства X, Тем самым показано, что
группа растяжений пространства X подобна группе переносов
пространства X,
13. Касательное векторное поле. Пусть дана группа G1, по-
порожденная отображением / ; V X Д -> X. Для каждого фиксиро-
фиксированного^ ? V частное отображение fx : А -> X определяет некото-
некоторую кривую в пространстве -3l, проходящую через точку х,
т, е. одномерное многообразие /Х(Д), заданное параметрически
уравнением x'=fs (a)=/ (ж, а). Кривая fx (А) называется орбитой
точки х.
Вектор ?=3/л @) является касательным к орбите fx (д) в точке
ж. Тем самым на V определено векторное поле ?; F -> X, действую-
действующее по формуле
0). _	A3.1)
dmo векторное поле будет называться касательным векторным
полем группы G1.
Связь между группой G1 и ее касательным векторным полем
оказывается более тесной, чем данная только определением A3.1).
На самом деле группа вполне определяется ее касательным вектор-
векторным полем, Этот факт будет^установлен в дальнейшем на основе
специального дифференциального уравнения группы G1.
14. Уравнение Ли. Дифференцирование равенства 9.2° по
параметру Ъ в точке Ь=0 с учетом того, что в силу определения
A3.1)
dj(f(x, a), 0) = ?(/(*, а)) = 6о/(х, а),
получается новое равенство
dj(x, а) — Ы(х, а).	A4.1)
Вместе с равенством } (х, 0)=х (свойство 9,1е) это показы-
показывает, что для каждого х?У частное отображение /ei Д -¦ X

26	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
является решением следующей задачи Копта для обыкновенного
дифференциального уравнения с искомым отображением х': R-> X
дах' = 1(х'), х'{0) = х.	A4.2)
Уравнение A4. 2) называется уравнением Ли. Простой при-
пример конкретного уравнения Ли уже встречался в виде соотноше-
соотношения E.1).
В случае конечномерного (га-мерного) пространства X в си-
системе координат х=(х1, . . ., х") уравнение A4.2) принимает
вид системы скалярных обыкновенных дифференциальных
уравнений
^L-= $'(*'!, ...,*'«), a"@) = z< (i=l, ..., п), A4.3)
где s*(х1, . . ., хп) — значения координат ];екториого поля ;==
¦¦¦-(я1, ¦ ¦ ., ?) к точке -X.
Уравнение Ли служит в качестве одного из основных инстру-
инструментов группового анализа. Как будет показано дальше, с его
помощью устанавливается взаимно однозначное соответствие
между группами G1 и их касательными векторными полями. Именно
этот факт является решающим во всех приложениях теории
групп Ли (в том числе и к дифференциальным уравнениям), так как
он позволяет формировать четкие алгоритмы выявления и исполь-
использования групповых свойств рассматриваемых объектов. За счет
перехода от группы G1 к ее касательному векторному полю многие
задачи линеаризуются, что и создает возможности эффективного
исследования проблем группового анализа.
15. Примеры. Касательные векторные поля групп G1, рас-
рассмотренных в пп. 4, 5, 6, 7 и 10, находятся непосредственно по
формуле A3.1).
Для группы переносов (см. 1.4), очевидно, ?=х0 есть постоян-
постоянное векторное поле. Когда х0 пробегает все пространство X, то
получается семейство постоянных векторных полей.
Для группы G1 линейных гомеоморфизмов пространства X,
порожденной отображением х' = ехр (au)<V> (см. 1.5), получается
Цх) = и<х>,	A5.1)
где и?5?(Х)—постоянное линейное отображение Х~+Х. Когда и
пробегает все пространство S6{X), формула A5.1) дает семейство
линейных векторных полей на пространстве X.
Груцпа растяжений ?г-мерного пространства Х = Л"(х1, . . ., х")
задана формулами ж" = х* ехр (к'а) (см. 1.6). Для ее касательного
векторного поля, записанного в той же систейе координат в виде
^ = (^, .. ., ?"), получается ? = \4х' для каждого i= 1, . . ., п (по i

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ	27
суммировать не надо) или, в векторной записи,
?(z) = (XV, ..., XV).	A5.2)
Когда числа X* пробегают независимо друг от друга все множество
R, формула A5.2) дает тг-параметрическое семейство касательных
полей растяжений тг-мерного пространства X в системе координат
х=(х\ . . ., х1').
В случае группы вращений вокруг оси (х3) (см. 1.7) для вектора
?=(?\ ?2, ?3) в системе координат х=(х1, ж2, хя) формула A3.1)
дает |х=—х1, %2=х1, ?3=0 или, в векторной записи,
5(ж) = (—жа, х\ 0).	A5.3)
Для проективной группы на плоскости -В2 (х, у) (см. 1.10)
вычисление вектора ?=(а, C) дает а=х2, $—ху или, в векторной
записи,
Цх, у) = (х\ ху).	A5.4)
Здесь, в отличие от предыдущих примеров, касательное векторное
поле % является квадратичным (второй степени) относительно
координат точки (х, у).
16. Подобие касательных полей. При переходе от группы G\ (/,)
к ей подобной группе G\(f2) с помощью преобразования р (см. 1. 11)
касательное векторное поле |х группы G\ преобразуется и касатель-
касательное векторное поле Е2 группы G\. Для вывода соответствующей
формулы перехода ?-,_ —*- S.-. надо дифференциронать равенство A1.2)
по параметру а в точке а = 0. В силу определения A3.1), о уче-
учетом ра:енства /(х, 0) = х, это дает
или, п более простой записи, окончательно
<E1(a;)>, х = р(х).	A6.1)
Формула A6.1) будет называться формулой подобия векторных
полей.
Например, при переходе от группы растяжений G\ к ей подоб-
подобной с помощью преобразования р из 1.12, производная др(х)
в матричной записи имеет вид
Поэтому формула A6. 1) дает
Еа(ж)==ар(а:)<(Х1а;1> . . ., XV)> = (Xl, . .., Х") = Х,
т. о, постоянное касательное векторное поле группы переносов.

28	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИВ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
§ 2. Инфиннтезимальный оператор
1. Задача о построении группы. В связи с определением
1.13 возникает вопрос; в какой мере группа G1 определяется ее
касательным векторным полем ?? Более широкая постановка во-
вопроса приводит к следующей задаче:^ дано векторное поле
h V -> X класса С а, (V); требуется выяснить, существует ли
группа G1, для которой данное ? является ее касательным вектор-
векторным полем.
^Решение этой задачи основано на использовании уравнения
Ли 1 A4.2). Из теории обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений известно, что если данное векторное ^голе \'V -* X непре-
непрерывно дифференцируемо на V, то решение~задачи~Коши 1 A4.2)
существует и единственно для любого х ? V. Это решение задает
отображение/: VxR -> X, определенное и'непрерывно дифферен-
дифференцируемое в некоторой окрестности точки (х, 0)?VxR, действую-
действующее по формуле ж'=/ (ж, а),
р*гг2. Л'е'м м а. Пусть ж'=/ (x, а) есть решение задачи 1 A4.2)
с непрерывно дифференцируемым на V векторным полем ?: V -»• X.
Тогда для любой точки xQQV найдутся такие шар В (х0, г) С V,
симметричный интервал Д С -R и число v ^> 0, что для всех
(х, а)?В (х0, г) X Л выполнено неравенство
\f(x, а)-х\^\а\\Цх)\-ч\а\*	B.1)
и для любого а ? Л отображение fai V -*¦ X является взаимно
однозначным отображением шара В (х0, г) на fa (В (х0, г)).
Доказательство. В силу непрерывности отображе-
отображения / и равенства / (ж, 0)=ж для любого гх 5» 0 можно так выбрать
число г <С /"i и интервал Д С -R, что для всех (ж, а)?В (ж0, г) X Д
будет справедливо неравенство |/ (х, а)—х0 | <C^i- Далее, в силу
предположений о векторном поле i можно так выбрать число г,,
чтобы оба отображения U3t были ограничены на шаре В (х0, rv.
При этих условиях вычисленная в силу уравнения 1 A4.2) вторая
производная
ф( а) = #(/(*, a))<l(f(x, а))>
будет ограничена на множестве В (х0, г) X Д. Поэтому на том же
множестве ограничено и отображение <J>, участвующее в формуле
Тейлора
f(x, а) = х + об (х) + аа<1> (х, а),	B.2)
например, I <]> (ж, а) | < v. Теперь неравенство B.1) следует не-
непосредственно из формулы B.2).
Далее, производная g (a)=dfa (ж0) существует как решение
задачи 7> Копта, получаемой дифференцированием уравнений
1A4.2)
dg(a) = Я (fa[(x0))og:(a), g_@) = Ix.

§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР	29
Поэтому для определенного выше интервала Д отображение
gi Д -> <S? (X) непрерывно. Как известно, множество линейных
гомеоморфизмов банахова пространства X открыто в <?? (X).
Значит, уменьшая при необходимости интервал Д, можно считать,
что для всех а? Д линейное отображение g (a)i X-> X является
линейным гомеоморфизмом пространства X. Отсюда и следует
в силу известного из анализа достаточного условия локального
гомеоморфизма (теорема об обратной функции), что найдутся
такие г > 0 и интервал Д, с которыми для всех a ? Д отображение
/д: В (х0, г) -> /в (В (х0, г)) будет взаимно однозначным. ¦
Эта лемма показывает, что построенное как решение задачи
Коши 1 A4.2) отображение /: В (х0, r)Xi->l образует одно-
параметрическое семейство локальных преобразований] про-
пространства X (см. 1.8).
jgj 3. Теорема Ли.
Теорема. Пусть" дано векторное поле If V -> X класса
С а, (V), причем % (хо)уЦ) для х0 ? V. Тогда построенное как решение
задачи 1 A4.2) с этим ? отображение / порождает локальную одно-
параметрическую группу Ли, для которой векторное поле ? яв-
является ее касательным векторным полем.
Доказательство. Так как тот факт, что получаемое
в результате решения задачи 1 A4.2) отображение / является одно-
параметрическим семейством локальных преобразований про-
пространства X уже доказан в 2.2, то остается проверить выполнение
условий 1°—4° определения 1.9.
Проверка условия 1° тривиальна. Для проверки условия 2°
берутся шар В (х0, г) и интервал Д, определенные в лемме 2.2.
Пусть а, Ъ, а+Ь ? Д и х ? В (х0, г). Вводятся обозначения y—f (x, а),
u—f (у, Ъ) и v=f (x, а-\-Ъ). Отображения и и v рассматриваются как
функции параметра Ъ при фиксированных х и а. Так как
u=f (/ (х, а), Ъ), то надо доказать равенство u=v. Отображение
х'~и удовлетворяет уравнению 1 A4.2) с начальным условием
иФ)=У- Отображение х'=v удовлетворяет тому же уравнению
с начальным условием v @)=/ (х, а)=у. Следовательно, оба ото-
отображения, и и v, являются решениями одной и той же задачи Коши
и в силу единственности ее решения совпадают.
Для проверки условия 3° используется неравенство B.1) из
леммы 2.2. Из него следует, что при а^О равенство /(ж, а)=х
возможно лишь для таких (х, а)?В (х0, г)X Д, для которых
v I а I ^ I S (ж) К Учитывая условие | I (х0) \ т^О, можно выбрать
шар В (х0, г) настолько малым, чтобы для всех х G В (х0, г) выпол-
выполнялось неравенство 11 (х) | > -тг | ? (х0) |. Тогда получится, что
при а=^=0 равенство / (х, а)—х возможно лишь для значений а,
удовлетворяющих неравенству | а | !> |t (a;0)|/Bv). . Следова-
Следовательно, если интервал Д настолько мал, что | ? (х0) |/Bv) (? Д,

30	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКПЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
то равенство / (х, а)—х для а? Д и х(:В (х0, г) возможно, только
если а—О.
Наконец, условие 4° выполнено в силу известного из теории
обыкновенных дифференциальных уравнений факта: если правая
часть уравнения принадлежит классу Ст, то этому классу при-
принадлежат и все его решения.
Последнее утверждение теоремы Ли о том, что полученная в ре-
результате решения задачи 1 A4.2) группа G1 имеет данное векторное
поле \ своим касательным векторным полем, следует непосред-
непосредственно из уравнения 1 A4.2) при а=0 и из определения 1.13. ¦
4. Пример построения группы. Одним из применений тео-
теоремы Ли является использование ее для построения rj уппы G1
по заданному касательному векторному полю. В конечномерном
случае это построение связано с интегрированием системы обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений 1 A4.3), что может ока-
оказаться не простой задачей. Однако во многих практически важных
случаях такое интегрирование выполнить удается.
Простой пример дает векторное поле в трехмерном про-
пространстве JR3 [t, х, и), заданное формулой ? = @, t, 1). Соответствую-
Соответствующая система уравнений 1 A4.3) в данном случае имеет вид
dt'/da = O, t'(O) = t; j
du'jda —1, и' @) —. и
и интегрируется элементарно. Решение задачи Коши таково:
t' =t, x' =x-\-at, и' —и-\- а.
В механике, где t — время, х — пространственная координата
и и — скорость, полученная группа G1 называется группой гали-
леевых переносов вдоль оси (х).
5. Соответствие групп и векторных полей. Теорема Ли вместе
с определением 1.13 устанавливает определенное соответствие
между группами G1 и векторными полями ?. Возникает вопрос:
является ли это соответствие взаимно однозначным? Очевидно,
что данному векторному полю ? соответствует одна определенная
группа G1. Это следует из теоремы Ли. Однако обгатное неверно,
так как векторным полям | и А | для любого А ? II, А=^0, соответ-
соответствует одна и та же группа G1.
Действительно, если группа G1 порождена отображением /,
задающим принадлежащие G1 преобразования формулой ж' =
=f{x,a), то отображение /\ действующее по формуле f {х, а) =
=/ (х, Аа), обладает всеми свойствами, требуемыми определением
1.9. Тем самым f также порождает некоторую группу Gxl.
Но группы G1 и G1' неразличимы, так как они являются, очевидно,
множествами одних и тех же преобразований пространства X.

§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР	31
Можно показать, что этим и исчерпывается неоднозначность
соответствия групп G1 и векторных полей Е. Действительно, в силу
определения 1.9 эта неоднозначность определяется возможностью
введения различных аддитивных структур на R. Но если пре-
преобразование [л: И -> -В вводит новую аддитивную структуру на
Л, то для любых а, Ь^В, должно выполняться равенство
[x(o + 6) = |x(a)-i a (b).
Как известно, каждое непрерывное в нуле решение этого функцио-
функционального уравнения имеет вид р (а) = ^а, где У*(-11. Этой есть тот
набор аддитивных структур на 7?, который был рассмотрен выше.
Приведенные рассуждения показывают, что существует взаимно
однозначное соответствие между группами G1 и векторными
полями ?, рассматриваемыми с точностью до произвольного не-
ненулевого числового множителя. Это соответствие в дальнейшем
будет отмечаться обозначением G1 (?).
6. Оператор групгы. Пусть /: V X А-> X есть отображение,
порождающее группу G1(?), и пусть 1" — банахово пространство.
Рассматриваются значения дифференцируемого отображения
F: X —> У на орбите точки я(_ V, равные F~f (х, а). В силу onj e-
деления 1.13 (скорость» изменения этих значений в точке а = 0
дается формулой
da(F /(.г, а})|я_.0=,,д/'Чт) )(*). ¦
В случае, когда 1"==/*' (т. е. F (х) — скаляр), правую часть можно
переписать в виде 1-dF (x) (точкой обозначается скалярное произ-
произведение векторов ? и dF), т. е. как результат действия на отобра-
отображение F линейного дифференциального оператора l-д. Это обозна-
обозначение удобно перенести и на общий случай, приняв следующее
определение.
Линейный дифференциальный оператор ?-<9, действующий на
отображение F: X -> У по формуле
(t. d)F{x) = dF(x)-'i{x)^ ,	F.1)
называется инфинитеаи.мальны.м оператором грунт,: G1 (;).
Слово «инфинитезимальный» означает «бесконечно малый».
Его употребление является данью старой классически теории,
свободно оперировавшей бесконечно малыми и бесконечно боль-
большими величинами. С помощью инфинитезимального оператора
записывается главная линейная часть изменения отображения F
вдоль орбиты точки х
Fof (x, a) = F{x) + a#-d)F (x) + О (а2).	F.2)
В случае га-мерного пространства X в системе координат,
в которой х = (хг, . . ., х"), S = (?1, .. ., |в), следует положить

32	ГЛ. I, ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
d = (dv ..., дя), где д( = д\дх*. Тогда инфинитезимальный оператор
запишется в виде
S.3 = ?4 = S'-^.	F.3)
В этом случае формула действия инфинитезимального оператора
на отображение F : X -*¦ Y привииает_привычный вид
(S.3)F = S'3/ = S'^.	F.4)
В конечномерном случае, при координатном представлении
векторов, координаты касательного векторного поля %* будут
называться также координатами инфинитезимального
оператора 5 • д.
В дальнейшем изложении прилагательное «инфинитезималь-
«инфинитезимальный» будет, как правило, опускаться и будет безоговорочно ис-
использоваться термин оператор группы или даже просто оператор.
Установленное в 2.4 соответствие между группами G1 и вектор-
векторными полями естественным образом индуцирует соответствие
межцу группами G1 и их операторами. Соответствие между груп-
группами G1 (I) и их операторами Ьд является взаимно однозначным,
если инфинитезимальный оператор считать определенным с точ-
точностью до произвольного ненулевого числового множителя.
7. Примеры. Обычно оператору группы присваивается то же
название, которое как-то характеризует саму^группу. Следующие
инфинитезимальные операторы соответствуют касательным ^век-
^векторным нолям, рассмотренным в 1.15:|
Оператор переноса: \ • д = х0 • д = х10д(. ".'". '.¦ '~
[^Оператор [линейного преобразования: I • д = и%(ху • д = и*х'д4.
П
Оператор растяжения: 5-9 = 2 Ъ'х'д4.
^Оператор вращения вокруг оси (х3): %-д = —х^д^-^x1di.^
1 Оператор проективного преобразования: S • д = х*дх -f- худ~.
Здесь всюду д( = д/дх', а в последнем примере дх = д/дх, df = д/ду.
Операторы вращения вокруг осей (х1) и (ж2) получаются из
оператора вращения вокруг оси (ж8) круговой перестановкой инде-
индексов 1-*2->.3-*1
(х1): &.d = -rtf2-f-*4;
8. Инвариантность оператора. Важным свойством инфинитези-
инфинитезимального оператора является то, что он инвариантен относительно
перехода от группы G1 к любой ей подобной группе. Если группа
0гA) получена с помощью преобразования подобия р: Х-*Х,
действующего по формуле х — р(х), из группы G1^.), то касатель-

§ 2. ИНФИНЙТЕЗИМАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР	33
ные векторные поля этих групп связаны формулой 1 A6.1), которая
здесь переписывается в виде
>, х = р(х).	(8.1)
Если ввести оператор дифференцирования В, который действует
на отображения х-* и (я) (т. е. В есть производная по перемен-
переменному X), то преобразованный оператор ? ¦ д запишется в виде ? ¦ В.
Вычисление результата действия оператора ? • д на отображение
F: X-+Y, для которого F(x) = F(x), дает
(Е • д) F (х) = да (Fopof) (x, 0) = 3F (х) (dp (x) <E (x))) =
= 8F (х) <S (х)) = {\.8)F (x) = $.8)F (x).
Отсюда и следует, что оба оператора I • д	и I • В действуют на
любое отображение F: X -*¦ Y одинаково, в	силу чего справедливо
равенство
i-d = l- В,	(8.2)
которое и выражает свойство инвариантности оператора относи-
относительно преобразования подобия р : X -> X.
Фактически это свойство можно не связывать с группами G1,
если принять формулу (8.1) в качестве определения подобия век-
векторных полей.
Полезно иметь в виду, что операторы дифференцирования д
и д, рассматриваемые как векторы сопряженного пространства X*,
при преобразовании х=р (х) связаны формулой
:V-'. '. I-. У ..._ . д=др\8>,	(8.3)
где звездочка означает сопряженное линейное отображение.
С помощью формулы (8.3) свойство инвариантности (8.2) инфините-
зимального оператора получается совсем просто;
п
Например, для оператора растяжения ? • д = 2 ^*х'д( и преоб-
«•'1
разования р, заданного формулами %{ = \пх*, будет др (х) —
1	1\
JT> • • •> ~й)» в силу чего справедливы выражения
= (XS ..., X").
(x1, ..., x*)<{dv ..., дк)) = (х*д1	х'дя),
с помощью которых хорошо иллюстрируется равенство (8.2).

34	ГЛ, I. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
§ 3. Инварианты и инвариантные многообразия
1. Продолжение представления группы. Пусть G— группа и
М, N — множества. Предполагается, что заданы представления
пц: G->x(M) и тсд-: G^*-x(N) группы G (см. 1.1). Рассматривается
множество N всевозможных отображений и: М -> N. По данным
представлениям тс#, тс^ можно построить новое представление плм
группы G в множестве i(Na). Это новое представление, выводимое
из представлений пм и я^, называется продолжением пары пред-
представлений (тс#, tcjv) до представления пям и определяется формулой
A.1)
Согласно формуле A.1) каждому отображению и: М—>N и каж-
каждому элементу gfcG ставится в соответствие (взаимно однозначно)
новое отображение и1: M-*N, действующее по формуле
)).	A.2)
Частные случаи формулы A.2) получаются, когда одно из
представлений п# или пм тривиально. Для дальнейшего особенно
важен случай тривиального «#, когда формула A.2) принимает вид
u'(x) = u(nM(g)(x)).	A.3)
2. Конкомитанты и инварианты. Элемент х0 ? М называется
неподвижным элементом относительно представления к: G -*¦ х (М),
если для любого g^G справедливо равенство тс(g)(х0) = х0.
Неподвижный элемент продолженного представления пяМ:
G-*x {Nu) называется конкомитаптом группы G относи-
относительно пары представлений (тс#, тс/у). В силу формулы A.2) это
означает, что отображение и: М -> N есть конкомитант группы
относительно пары (тс#, тсу), если для любых g? G, х^М выпол-
выполнено равенство
).	B.1)
В том случае, когда представление тс# тривиально, конкоми-
конкомитант и : М —> N называется инвариантным отображением или
инвариантом группы G относительно ее представления п в мно-
множестве х (М). В силу формулы A.3) это означает, что отображение
и : М ->• N есть инвариант группы G относительно ее предста-
представления тс, если для любых g^G, х^М выполнено равенство
в (я) = в (л (*)(*)).	B.2)
Термин «конкомитант» означает «согласованный совместный инва-
инвариант», т. е. инвариант относительно согласованного (в смысле
равенства A.1)) совместного действия пары (тс#, тс#).

§ 3. ИНВАРИАНТЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ	35
3. Инварианты группы Ли. Здесь начинается изучение ин-
инвариантов группы G1, как локального представления/ : 22 -> х (X),
описанного в § 1. В целях упрощения формулировок в дальнейшем
иногда (когда это не вредит существу дела) будут использоваться
термины и обозначения, «забывающие» о том, что вся теория яв-
является локальной. Например, порождающее группу G1 отобра-
отображение / будет записываться как отображение / : XX.R->• X,
не всегда будет уточняться область определения векторного поля t
и т. п.
Рассматриваются отображения F: X —> Y, где Y — банахово
пространство, и предполагается, что группа R действует на Y
тривиально. Согласно данному определению B.2) отображение F
есть инвариант группы G1, порожденной отображением /:
IX R-*X, если для любых (х, a)^XxR выполнено равенство
F{f(x, a)) = F(x).	C.1)
Изучение инвариантов основано на лемме, в которой предпола-
предполагается, что %-д есть инфинитезимальный оператор группы G1 (V)
и используется обозначение ж'=/ (х, а).
Лемма. Для любого отображения F: X-*¦ Y класса Ct (X) и
для любых (х, a)flx It справедливо равенство
).	C.2)
Доказательство. Равенство C.2) следует из уравне-
уравнения Ли 1 A4.2) и определения инфинитезимального оператора
2 F.1), в силу которых
а/ (*') = dF (х>) <дах'у=of (х') <g (*')>={i-d)F (*')• ¦
4. Критерий инварианта. В следующей теореме дается необхо-
необходимое и_ достаточное условие того, что некоторое отображение F:
X -»¦ Y есть инвариант группы G1 (I).
.Теорема. Отображение F: X^>Y класса Сг (X) является
инвариантом группы Gx(l), если и только если для любого х^Х
выполнено равенство
= 0.	D.1)
Доказательство. Если F — инвариант, то верно
равенство C.1), дифференцирование которого по параметру а
дает в правой части нуль, а в левой, в силу C.2),"левую' часть
равенства D.1). Обратно,**если выполнено равенство D.1), то
в силу C.2) будет справедливо равенство да F (ж')=0.Это означает,
что вектор^ (x')=F (J (х, а)) ? Y не зависит от параметра а и равен
его значению при а=0, т. е. F (x')=F (x). Поэтому F — инвариант
группы G1 (Е) в силу определения C.1). ¦
5. Универсальный инвариант. Бели F: Z^F есть инвариант
группы G' и Z — банахово пространство^(на котором R также

36	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
действует тривиально), то для любого отображения Ф: Y-* Z ком-
композиция Фо^ тоже является инвариантом той же группы G1.
Инвариант J: X-+Y группы G1 называется ее универсаль-
универсальным инвариантом, если для любого банахова пространства
Z и любого инварианта F: X-^-Z найдется такое отображение
Ф: У-э-Z, что будет справедливо равенство /г' = Фо7.
В силу этого определения с помощью универсального инва-
инварианта можно получить все возможные инварианты группы G1.
Поэтому отыскание универсального инварианта является основной
задачей теории инвариантов.
К универсальному инварианту группы G1 естественно предъ-
предъявить также требование гладкости: он должен быть локальным
отображением класса С со.
Теорема. Для любой группы G1 = /(R) С t(X) существует
банахово пространство Y и универсальный инвариант J: X->Y
класса С&.
Доказательство. Пусть ? — касательное векторное поле
группы G1. Берется точка х0 ? X, в которой вектор е — I (х0) =^= О,
и пространство X представляется в виде прямой суммы Х =
= Т © Y, где Т есть одномерное пространство векторов вида
te(t(*R), a Y—прямое дополнение Т в X. Тогда для векторов
х, х0 ? X справедливы формулы разложения
x = te-\-y, х0 = toe + у0,
в которых число t^R и вектор yQY однозначно определены
вектором х.
Благодаря этому представлению любое отображение и: K-^-Z
можно рассматривать как отображение К X Y~*Z, действующее
по формуле z = u(t, у). При этом касательное векторное поле i
группы G1 и порождающее ее отображение / запишутся в виде
i(x) = c(t, y)e-\-i\(t, у), f(x, a) = p(t, у, a)e-\-<?(t, у, а).
Кроме того, в силу определения вектора е = % (х0), верны равенства
Далее, пусть x' = f(x, a) = t'e-\-y'. Тогда
t' = p(t, У, a), y' = f(t, у, а).	E.1)
В этих обозначениях групповое свойство f(x', b) = f(x, a-\-b)
принимает вид
p(t\ у', b) = p(t, у, о + Ь), f(t', у', b) = f(t, у, а+ 6). E.2)

§ 3. ИНВАРИАНТЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ	37
Уравнение Ли 1A4.2) переписывается в виде системы уравнений
dj' = c(t',y>), t'(O)=t;
day' = -n(t', у'), у'(О) = у.
Пусть e — |a|-j-|? — ^01 —f— j г/—¦ yo\. Благодаря равенству
c('o' Уо)==^ Для Достаточно малого е будет верно неравенство
c(t', у')^>1/2. Поэтому первое из равенств E.1) можно разрешить
относительно параметра а в виде a = a(t, у, t1). Теперь можно
исключить параметр а как «аргумент» отображения f и сформи-
сформировать новое отображение ф: R X Y X И -> Y, действующее по
формуле
<К*. У, t') = f(t, у, a) = f(t, у, a(t, у, ?)).	E.3)
Наконец, если зафиксировать значение t' = tQ, то получится ото-
отображение 7: й X Г-* Г, определенное формулой
/(*, y)=$(t, У, О-	E-4)
Утверждается, что отображение / — универсальный инвариант
группы G1. Сначала устанавливается, что / — инвариант. Дей-
Действительно, так как равенство ср (t, у, Ь) = ф (t, у, p(t, у, Ь)) явля-
является тождеством по переменным t, у, Ъ, то оно справедливо и для
значений E.1), т. е.
f(t>, у', Ь) = ф(*', у', p(t', у', Ь))
или, в силу группового свойства E.2),
?(t, у, а+ Ь) = «!»(«', у', p{t, у, а+ 6)).
С другой стороны, в силу определения E.3), выполнено тождество
ср(?, у, a-\-b) = ty(t, у, p(t, у, а + Ь)).
Сравнение этих двух тождеств приводит к равенству
«К*'. У', Pit, У, а + Ь)) = Ф(<, У, Pit, У,
в котором Ъ — свободный параметр, так как t' и у' зависят только
от значений t, у, а. Поэтому при достаточно малом е, за счет вы-
выбора значения параметра Ъ можно удовлетворить равенству
р it, у, a-\-b)=t0. Это следует из того, что оно равносильно равен-
равенству а+Ь=а it, у, t0), причем а (?0, у0, to)—O в силу начального
условия р it, у, 0)=t. Но если р it, у, a-\-b)=t0, то, согласно
определению E.4), последнее равенство принимает вид / it', у') —
=/ it, у) или, что то же самое, / (ж')=/ (я) для всех достаточно
малых значений параметра а. Следовательно, отображение / —
инвариант.
Прослеживая процесс построения инварианта /, легко уста-
установить, что он является отображением класса С со (F) некоторой
окрестности V точки х0.

38	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Остается доказать, что построенный инвариант / универсален.
Вначале надо убедиться в том, что отображение /х: Х-*- X, ко-
которое, будучи представлено как отображение 72: R X Y-+R X Y,
действует по формуле
h(t, y) = (t. J(t, у)),
является взаимно однозначным отображением некоторой окрест-
окрестности V точки х0. Для этого достаточно установить, что производ-
производная dyJ (t0, г/о) есть гомеоморфизм Y-> Y, так как тогда и произ-
производная djx (х0) будет гомеоморфизмом X -»• X. Вычисление дает
d,J(t, y) = dg<p(t, у, a) + ii(*', y')®dfa(t, у, t0).
Легко проверить, используя определение функции а и уравнение
Ли, что ду a (t0, г/0, ?0)=0. Поэтому для малого е второе слагаемое
будет малым по норме пространства SB {Y). Что же касается первого
слагаемого, то оно при а -*¦ О стремится к 1т. Значит, для малого е
производная dyJ (t, у) мало отличается от 1Г и, тем самым, есть
гомеоморфизм пространства Y.
Итак, /х взаимно однозначно на V, и потому существует обрат-
обратное отображение /j : X -+ X. Если F : X -+ Z — какой-нибудь
инвариант группы G1, то определено отображение Ф1=^о/-1 :
X —> Z, с которым справедливо равенство .f^Oxo/j или
F(t, у) = Ф& 7(t, у)).
Утверждается, что на самом деле значение Ф1 (t, у) не зависит от t.
Действительно, так как Fa I — инварианты, то равенство
F(t', г/') = Ф1(г;', /(?', у')) можно переписать в виде F(t, y) =
= Ф/(г;', J(t, г/)) и сравнение его с ^исходным дает <&i(t', /) =
= Фх'(?, 7) для любого а ^ R. Так как для каждого t при некото-
некотором а будет V = t0, то Фг (t, J) = Фу (t0, /).' Тем самым определено
отображение Ф: Y~*-Zt действующее по формуле Ф (y) = fa1(t0, у),
с которым справедливо равенство F=^o7. Этим универсальность
инварианта 7 доказана. ¦
6. Конечномерный случай. Если Х = Б?, то изложенный в до-
доказательстве теоремы 3.5 алгоритм построения универсального
инварианта показывает, что пространство Y, в которое универсаль-
универсальный инвариант 7 отображает пространство X, также конечномерно,
а именно Y — R"'1. Значит, в этом случае 7 имеет вид
7 = (Я, ..., 7"-1),	F.1)
где каждая координата 7*: X^'R является скалярным инвари-
инвариантом. Полученные этим способом скалярные инварианты обладают
важным свойством функциональной независимости.
Скалярные инварианты 7*: X-+II (k = l, ...,m) называются
функционально зависимыми, если существует такое не тождественно

§ 3. ИНВАРИАНТЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ	39
постоянное отображение Ф: R'"->R, что для любого ж? X выпол-
выполнено равенство
Ф(Р(х), ..., /"(*)) = 0.
В противном случае эти скалярные инварианты называются
функционально независимыми.
Если для инвариантов F.1) найдется отображение Ф: Y -> К,
с которым Фо/ (х)=0 для всех а: ? X, то, как показано при дока-
доказательстве теоремы 3.5, также будет справедливо равенство
Фхо/Х (ж)=0, где Фг (t, г/)=Ф (у) и /х (ж) = («, / (t, у)). Но отобра-
отображение /х: -X" -> ЛГ обратимо, в силу чего отсюда следует, что
^1 (*> У)=(& Ы=0 Для всех у б Y. Это и означает функциональную
независимость скалярных инвариантов F.1).
Другое важное свойство набора скалярных инвариантов F.1)
состоит в том, что через них выражается любой инвариант группы
G1. Действительно, через инварианты F.1) выражается универ-
универсальный инвариант /, а с помощью него, согласно определению
3.5, можно получить все возможные инварианты группы G1.
Набор функционально независимых скалярных инвариантов
группы, через которые можно выразить любой ее инвариант,
называется функциональным базисом инвариантов
группы G1,
О функциональном базисе инвариантов имеет смысл говорить
только в случае конечномерного пространства X. Изложенные
выше факты показывают, что понятие универсального инварианта
является естественным обобщением понятия функционального
базиса инвариантов группы G1 преобразований произвольного
банахова пространства X.
В силу критерия D.1) отыскание скалярных инвариантов
группы G1 (?) в случае X=Rn, когда ?=(?\ . . ., ?")> сводится
к построению решений линейного однородного дифференциального
уравнения с частными производными первого порядка
l*dtF = 0 (д( = д/дх4).	F.2)
Как известно, та же задача может быть решена путем построения
первых интегралов сопряженной с уравнением F.2) системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
dxL	dx"	,п о\
F.3)
?'(z) 	5»(ж) '
7. Примеры инвариантов. Универсальные инварианты групп
G1 с приведенными в 2.7 инфинитезимальными операторами пред-
представляются как функциональные базисы скалярных инвариан-
инвариантов формулой вида F.1).

40	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Группа переносов в R". Оператор есть х^д4 и система F.3)
такова
dx1dx"
Если предположить, что a;g =?= 0, то первые интегралы имеют вид
cj = x*xj — х(хп (/=1, ..., п—1) и базис инвариантов найден:
Т 	/л.Ят-1 	 т1т"	™И~.Я-1 	 -гп~1'ГП\
Группа линейных преобразований в Ifft.
Оператор есть UjXJd{. Если в соответствующую систему F.3)
ввести вспомогательный параметр t, то она перепишется в виде
однородной системы линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
dx^dt^u^' (t = l, ..., п).
Процедура решения такой системы хорошо известна. Пусть
**(*) = (**(').••-**(*)) (Л=1, .... п)
есть фундаментальная система ее решений, и пусть <р'(?)—эле-
<р'(?)—элементы матрицы, обратной к матрице (xi(t)). Если предположить,
что уравнение а/ср" (t) = 1 разрешимо относительно t и его реше-
решение есть t = a.(x), то базис инвариантен будет иметь вид
/=(*'(,>} о а) (*)	ЛтГ1 ° ")(*))•
я
Группа растяжений в JR". Оператор есть 2 ^'з:*д{ и си-
стема F.3) такова:
dx1	dxn
He нарушая общности решения, можно принять, что Хя:=1. Тогда
первые интегралы будут c* = x*(xnyxJ (/ = 1, ..., п — 1). Следо-
Следовательно, базис инвариантов построен:
Группа вращений в Л3. Оператор вращения вокруг оси
(xs) есть —хад1-{-х1д2, и система F.3) такова:
dx1 dx1dx3
—хг
Один первый интеграл очевиден: с1 = ж3. Второй находится интегри-
интегрированием уравнения хЫх1 -J- хЫх2 = 0 и может быть взят таким:
с2 = (а:1)а-|-(а;аJ. Поэтому базис инвариантов есть
7 = (Xs, (Ж1

§ 3. ИНВАРИАНТЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ	41
Проективная группа в К*(х, у). Оператор есть х2дх -\-
-\-худу, а система F.3) состоит из одного уравнения
dx 	 dy
с очевидным первым интегралом с = у/х. Базис инвариантов со-
состоит из одного инварианта 7 = у/х.
8. Теорема о подобии. Формула подобия касательных вектор-
векторных полей 1A6.1) при переходе от группы G\ к ей подобной
группе G\ может рассматриваться при заданных векторных полях
S1, ?2 как уравнение для отображения р: Х->Х, преобразующего
поле ^ в поле ?2. В частности, возникает задача: дано векторное
поле I: Х->Х и некоторое не нулевое постоянное векторное поле
т) ? X; требуется выяснить, существует ли диффеоморфизм р:
Х-+Х, с которым
>=т\	(8.1)
для всех ж? X. Эта задача поставлена в «забывающих» терминах и
должна рассматриваться в рамках локальной теории. Оказыва-
Оказывается, что ее можно решить с помощью универсального инварианта.
Теорема. Пусть заданы ненулевой вектор i\ ? X и вектор-
векторное поле ?: V^-X класса Cm(V), причем %(хо)^=О для xo?V.
Тогда найдется такой диффеоморфизм р: Vo-> X некоторой
окрестности Vn точки хп, с которым выполнено тождество (8.1).
Доказательство. Используются обозначения и ве-
величины, введенные при доказательстве теоремы 3.5. Универсаль-
Универсальный инвариант / группы G1 (I) является отображением
X=TQ)Y-> Y, и уравнение J (t, y)=z однозначно разрешимо
относительно у~ при любом г^из достаточно малой окрестности
точки го=/ (х0). Пусть это решение дается отображением
г/=Ф (t, z). Берется разложение векторного поля ? (х)=с (t, у) е+
+ tj (t, у), где е= I (х0) и полагается с (t, z)=c (t, Ф (t, z)). Тогда
с=1 в точке (t0, z0) и отлично от нуля в окрестности Vx этой точки.
Поэтому определено отображение и: X -> R класса С с (VJ
действующее по формуле
Рассматривается отображение k: X-+X класса С&(У^), действую-
действующее по формуле
y) = ev(t, J(t, y))-\-J(t, y),
и утверждается, что к есть гомеоморфизм'некоторой окрестности
х0 на открытое множество пространства X.

42	ГЛ. Г. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Действительно, с любым вектором г=еа-}-Ь(*Х, где а
b?Y, справедливо равенство
В силу тождества dj) (t0, z)=0 из этого равенства легко следует
однозначная разрешимость уравнения дк <V>=s для любого
s?X. Остальное вытекает из теоремы о неявной функции.
При г= I предыдущее равенство, с учетом того, что / является
инвариантом группы G1 (?), в силу определения у и с принимает
вид
= е(др)с=е.
Наконец, с линейным преобразованием IQGL (X), которое пере-
переводит вектор е в вектор у\, образуется преобразование р = 1ок:
X-+ X класса Сю (Vo), для которого, очевидно, выполнено ра-
равенство (8.1). ¦
9. Следствия, (а) Все векторные поля (локальные) на данном
пространстве X подобны друг другу. Действительно, в силу дока-
доказанной теоремы каждое векторное поле подобно постоянному век-
векторному полю, а отношение подобия векторных полей является,
как легко проверить, теоретико-множественным признаком экви-
эквивалентности.
(Ь) Все группы G1 преобразований (локальных) пространства X
подобны друг другу. Действительно, без труда проверяется, что
подобным касательным векторным полям соответствуют подобные
группы G1.
В частности, всякая группа G1 подобна группе переносов.
Это свойство групп G1 замечательно тем, что его использование
позволяет существенно упростить доказательство ряда утвержде-
утверждений, инвариантных относительно преобразования подобия.
В конечномерном случае, когда X=Rn (ж1	х"), всегда
можно считать, что рассматриваемая группа G1 подобна группе
переносов по координате ж", порождающее отображение которой
имеет вид
xlJ = xJ (/=1, .... п— 1), х")=х"~\-а.
Касательное векторное поле такой группы есть
? = @, ..., О, 1),
а ее инфинитезимальный оператор таков:
Универсальный инвариант этой группы 7: В? -*-!?1 дается фор-
формулой
7() A

в 3. ИНВАРИАНТЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ	43
10. Инвариантные многообразия. Пусть X — банахово про-
пространство, и пусть со: Rk-*X— отображение класса Сга(.В*),
взаимно однозначно отображающее Rk на со (Rk). Образ 2 =
= (o(Rk)dX называется многообразием размерности к (или
к-мерным многообразием) в пространстве X.
В локальной теории вместо Rk берется некоторое открытое мно-
множество V С Rk, например шар В С -В* с центром в нуле радиуса р.
С помощью отображения со: F->X класса Cm(V), отображающего
V на co(F) взаимно однозначно, получается локальное ^-мерное
многообразие [Q = co(F) в пространстве X (в дальнейшем прила-
прилагательное «локальное», как правило, опускается). Указанный в этом
определении способ задания многообразия Q называется парамет-
параметрическим заданием, a Rk — пространством параметров.
Пусть G1 (/) — группа преобразований пространства X. Мно-
Многообразие Q называется инвариантным многообразием
группы G1(f), если орбита fx (Д) любой точки x?Q принадлежит
2. Другими словами, многообразие Q (Z X инвариантно относи-
относительно группы G1(f), если оно, как целое, является неподвижным
в X и переходит в себя при всех преобразованиях fa^G1(f).
Если Q = a)(F) есть инвариантное многообразие группы G1(f),
то группу G1(f) можно рассматривать как группу преобразований
множества Q. В этом смысле говорят, что аддитивная группа R
действует на Q. В силу свойства взаимной однозначности отобра-
отображения ш: V -> X это действие / группы R на Q индуцирует
некоторое действие <$> группы R на пространстве параметров Rk.
Тем самым возникает группа G1(«f) преобразований пространства
Rk. Очевидно, что производящие отображения / и ср групп G1 (/)
и G1 (ср) связаны соотношением
/И*), a) = <o(T(t, a)) (teRk).	A0.1)
Сравнение A0.1) с B.1) показывает, что отображение со является
конкомитантом относительно пары действий (/, ср).
С помощью касательного векторного поля i\ : F -> Rk группы
Gx (ср) в результате дифференцирования соотношения A0.1) по а
в точке с=0 получается инфинитезимальный аналог этого соотно-
соотношения
&ош	A0.2)
(где ? — касательное векторное поле группы G1 (/)), выражающий
необходимое условие инвариантности многообразия Q. Как пока-
показывает следующая теорема, соотношение A0.2) дает инфинитези-
инфинитезимальный критерий инвариантности многообразия fi.
Теорема. Многообразие Q = со (F) является инвариантным
многообразием группы G1 (I), если и только если существует такое
векторное поле tj: V -> Rk, с которым отображение ш: V -> X
удовлетворяет соотношению A0.2).

44	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Доказательство. Необходимость соотношения A0.2)
уже доказана выше. Достаточность доказывается с помощью
утверждения о том, что если соотношение A0.2) выполнено, то
порождающие отображения / и ср групп G1 (?) и G1 (tj) связаны со-
соотношением A0.1). Это утверждение следует из того, что если
положить ?' = ср (t, а), то в силу уравнения Ли 1 A4.2) и соотноше-
соотношения A0.2) будут справедливы равенства
С другой стороны, вектор x'=f (со (t), а) удовлетворяет уравне-
уравнению Ли
Тем самым, оба вектора х и со (t1) являются решениями одной и
той же задачи Коши. Следовательно, в силу единственности реше-
решения верно равенство z' — (ti(t'), т. е. выполнено соотношение
A0.1). Но это соотношение и означает, что точка ж=со (?)?Q
в результате любого преобразования /а переходит в точку
х' = и> (ср (t, a)) ?Q, т. е. многообразие Q инвариантно относительно
группы G1 (?). ¦
11. Регулярно заданные многообразия. В приложениях вместо
параметрического задания часто используется так называемое
неявное задание многообразия. Поскольку для дальнейшего наи-
наиболее существенно рассмотрение многообразий в конечномерном
пространстве X, далее неявное задание изучается только для
этого случая.
Пусть размерность пространства X равна в и s ^ в. Для лю-
любого непрерывно дифференцируемого отображения ф: X -» R'
вводится понятие ранга этого отображения на открытом множестве
V а X. С этой целью рассматривается производная с?ф (х), кото-
которая есть линейное отображение X -> К". Ранг матрицы (дс|> (х))
этого линейного отображения (не зависящий, как известно, от
выбора системы координат в X) называется рангом отображе-
отображения <J» в точке х. Говорят, что отображение <J» имеет ранг на
множестве V, если его ранг один и тот же во всех точках х ? V.
Если отображение <|> имеет ранг на V, равный q, то число q
называется рангом отображения ф на множестве V.
Как известно из дифференциальной геометрии, всякое отобра-
отображение ф : V -> R' класса Сх (V), имеющее ранг на V и такое, что
ф (хо)=О для некоторого xo?V, задает (локально, в окрестности
точки х0) некоторое многообразие W с X как множество тех точек
х ? F, для которых выполнено равенство
<!>(*)=0.	A1.1)
Это равенство называется уравнением многообразия Y. Задание
многообразия с помощью уравнения и есть его неявное задание.

i 3. ИНВАРИАНТЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООЁРАЗЙЯ	45
Уравнение A1.1) называется регулярным, а задаваемое им
многообразие W — регулярно заданным многообразием,
если ранг отображения ф на V равен s. В этом случае размер-
размерность многообразия Ф равна п — s.
В системе координат, в которой х = (хг, . . .,хп), уравнение
A1.1) имеет вид системы из s уравнений
ф-V, •••¦ *") = <> (/ = 1, .... s),	A1.2)
а условие регулярности сводится к тому, чтобы матрица Якоби
(dttyJ) имела ранг s всюду на окрестности V точки х0.
Лемма. Если многообразие W регулярно задано уравнениями
A1.2), то существует такое отображение %—q (х), являющееся
диффеоморфизмом некоторой окрестности точки х0, что много-
многообразие W = q (W) задается уравнениями
Xf=0	(/=1, ..., 5).	A1.3)
Доказательство. Не нарушая общности, можно счи-
считать, что ранговый минор матрицы (д^) построен на первых s
столбцах (этого всегда можно добиться перенумерацией коорди-
координат ж'). Тогда всем условиям удовлетворяет отображение q, за-
заданное формулами
x/ = ty/(x), xl = xl (/ = 1, . ... s; l = s + \, ..., n). Ш
12. Критерий инвариантности. Согласно данному в 3.10 опре-
определению инвариантности многообразия заданное уравнением A1.1)
многообразие W инвариантно относительно группы G1 (/), если для
любых x?W, a?R будет ф (/ (х, а))=0. Дифференцирование этого
равенства по параметру а в точке а=0 с учетом обозначения 2 F.1)
приводит к необходимому условию инвариантности многообразия
A1.1)
(?. d)ty\v = 0,	A2.1)
где ? • д — оператор группы G1, а знак |^ заменяет слова «на мно-
многообразии 1"» и означает, что равенство выполнено для точек х ? ЧГ.
Оказывается, что для многообразий, регулярно заданных
уравнением A1.1), равенство A2.1) является и достаточным усло-
условием инвариантности.
Теорема. Многообразие ТсХ регулярно заданное уравне-
уравнением A1.1), инвариантно относительно группы G1(i), если и только
если выполнено равенство A2.1).
Доказательство. В силу предыдущего надо доказать только,
что если A2.1) выполнено, то многообразие ЧГ инвариантно. С этой
целью используется свойство инвариантности условия A2.1) отно-
относительно подобия. Действительно, если % = р(х) есть диффеомор-
диффеоморфизм некоторой окрестности точки xo?W, причем $ (я) = <р (х), то
Уравнение ([> (?) = () задает многообразие 4? = p(W) и группа G1^)

46 fji. i. однОпарамётрйчёскйе Группы преобразований
переходит в подобную ей группу G1^). При jstom, в силу 2(8.2),
равенство A2.1) переходит в равенство (? • В) ф (X) = О для ж?\Р.
Если последнее влечет инвариантность W относительно G1(?), то
многообразие ЧГ инвариантно относительно G1^).
Поэтому, в силу регулярности задания W уравнением A1.1) и
леммы 3.11, достаточно доказать требуемое утверждение для мно-
многообразия 4F, заданного в системе координат ж = (ж1, .. ., хп) урав-
уравнениями A1.3). Пусть в той же системе координат S = (S\ ..-, V)
и / = (/1, •••>/"). Тогда условие A2.1) для многообразия A1.3)
примет вид
5у@, .... О, х'+\ ..., х*) = 0 (/ = 1, .... S). A2.2)
Пусть a;"=f|w = /< @, . . ., О, zf+1, . . ., ж», а). Тогда уравне-
уравнение Ли 1 A4.2) запишется в виде двух подсистем уравнений
dax'J = ? (х'1	х", х"*1, .... х'«), а:"@) = 0 (/=1, .... s);
Э,*'1 =?'(*'). *"@) = z' (Z = «-fl, .... п).
Теперь видно, что в силу условия A2.2) функции х'* = 0 (/" =
= 1, ..., s) образуют решение первой из этих подсистем. Так как
решение задачи Коши для уравнения Ли единственно, то отсюда
следует, что для всех x?W будет x'J = fJ(x, а) = 0(/=1,. . . , s)
для любого а E И, т. е. точка ж' ? W1. Согласно определению 3.10 это и
означает, что многообразие A1.3) инвариантно относительно группы
G\%). Ш
13. Примеры. Следующие примеры иллюстрируют различные
особенности понятия инвариантного многообразия и критерия
инвариантности. В них рассматриваются группы G1 преобразо-
преобразований плоскости jR2 (x, у), заданные своими инфинитезимальными
операторами вида Ь-д=а(х, у)дх-\-${х, у)ду, и многообразия
(кривые), заданные уравнением вида ф (х, у)—0.
(a)	Пусть Ч-д=дх-\-ду — оператор переноса и ф=ж — у. Здесь
(%'д) ф=0 и многообразие ф=0 инвариантно в силу того, что ф —
инвариант группы G1 E). Эта ситуация является общей в двух
отношениях.
Во-первых, любое многообразие W, заданное таким уравне-
уравнением A1.1), в левой части которого находится инвариант ф, всегда
есть инвариантное многообразие. Этот факт очевиден.
Во-вторых, любое инвариантное многообразие ЧГ, в определен-
определенном смысле не особое для группы преобразований, всегда можно
задать таким уравнением вида A1.1), в левой части которого
находится инвариант ф. Этот факт во всей полноте будет изучен
в главе V.
(b)	Пусть %-д=хдя+уду — оператор растяжения и ф=а; — у.
Здесь {%•&) ф=а; — у и условие A2.1) выполнено, хотя ф и не
есть инвариант группы G1 (I). Универсальный инвариант этой

§ 4. ТЕОРИЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ	47
группы есть /=г//х, и с помощью него многообразие ф~0 за-
задается уравнением J—1 всюду, кроме особой точки х—у=0.
(с) Пусть I • д = д9 — оператор переноса и ф = у3. Тогда
E • 9) <J> |^=0 = 2г/ |у,0 = 0 и условие A2.1) вьшолнено. Однако много-
многообразие г/2 = 0 не инвариантно относительно преобразований группы
G1 (?)) имеющих вид х1 — х, у' = у -\-а. Здесь противоречия с тео-
теоремой 3.12 нет, так как уравнением г/2 = 0 многообразие у = 0
задано не регулярно.
§ 4. Теория продолжения
1. Пространства полилинейных отображений. Пусть X, Y —
банаховы пространства. Отображение <j>: Хк -> Y называется поли-
полилинейным (к-линейным), если оно непрерывно в нуле и если для
каждого I, l^Z^/t", любых векторов xv . . ., хк, х\ ?X и любых
чисел а, а'? jR выполнено равенство
<p<xv . . ., х,_х, ax,-\-a'x'lt xl+v . . ., хку =
-\-a'<?<,xi	х1-ъ x'v xi+v • • •- xk>-
Совокупность всех полилинейных отображений <j>: Xk -> Y обра-
образует банахово пространство, обозначаемое символом §Вк (X; Y).
Частным случаем полилинейных отображений являются линейные
отображения X-*Y, образующие банахово пространство <?? (X; Y).
Полилинейное отображение f. Xk~>Y называется симметрич-
симметричным, если равенство
cp<zn, xrv . . ., xrk> — f<xv x2, . . м хку
выполнено для любых векторов xv . . ., хк?Х и любых переста-
перестановок (rv . . ., гк) индексов A, . .., к). Симметричные ^-линейные
отображения <j>: Xk —>Y также образуют банахово пространство,
которое будет обозначаться символом $вк{Х; Y). Очевидно, что
2\{Х Y)g{X Y)
\{	){	)
Примером симметричных полилинейных отображений являются
производные отображения и: X^>Y класса Ст(Х). Как известно
из анализа, производная дки(х) есть симметричное к-линейное ото-
отображение Хк -> Y, значение которого на наборе векторов xv..., хк g X
есть 9*и(х)<хх, . . ., хку. При этом справедлива формула дифферен-
дифференцирования
д{дки(х)<хх, .... xky)/xk+l> = dk+1u(x)<xv ..., хк, хкп\

48	ГЛ. I. ОДНОПАРАМВТРИЧКСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В дальнейшем, если это не будет вызывать недоразумений, произ-
производная дки(х) будет обозначаться просто символом дки (точка х
подразумевается).
2.	Продолжения пространства. Пространство Yk = SS^(X; Y)
будет называться к-м продолжением пространства Y
с помощью X. Общий кекто^) пространства Yk будет обозна-
обозначаться у.
к
Пусть Z = X X Y. Пространство Zx = Z X Yx называется пер-
первым продолжением пространства Z. Продолжения высших поряд-
порядков определяются индуктивно: Zk = Zk_1XYk (к = 2, 3, . ..).
Пространство Zk называется к-м продолжением простран-
пространства Z. Общий вектор пространства Zk обозначается символом z.
к
Если х ? X, y(*Y, то этот вектор представляет собой набор
z = (x, у, у, . . ., у).	B. 1)
к	1	к
В конечномерном случае, когда X~Rn, Y = Km, Z = RK+m,
координатная запись рассматриваемых векторов такова:
х = (х1, ...,х»), у = (у\ ..., ут),
У = (УЬ ••¦' У.-. •••' Уп)' ¦•¦' ?/ = (•••> У\...>>> •¦•)-
1	К
где индексы j, iv . . ,, ik независимо друг от друга пробегают зна-
значения 1, ..., п, а индекс I принимает значения 1, .. ., т. При этом
величины у1. . предполагаются симметричными относительно
индексов iv ..., ik (т. е. не зависят от их перестановок). Размер-
Размерность пространства Yk есть dim Yk = m(n , ~ j.
3.	Продолжение операторов дифференцирования. В соответ-
соответствии с записью B. 1) оператор дифференциронания д отображений
Zj.-*J? представляется в виде набора операторов дифференциро-
дифференцирования отображений пространств X, Y, Yv ..., Yk, а именно
д=(дх, д, д,..., д),
0 1	к
где д = ду. Дифференциальный оператор
fc-1
C.1)
называется оператором полного дифференцирования.
Формально сумму можно считать продолженной до бесконечности,
так как оператор полного дифференцирования будет применяться
только к отображениям F: Zk-* P с конечным к, на которые он
действует по формуле
y dF.	C.2)
Н+1 к

§ 4. ТЕОРИЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ	49
Наряду с оператором полного дифференцирования C.1) в неко-
некоторых вопросах удобно пользоваться усеченными операторами пол-
полного дифференцирования
D = dx, D = dx + y.d9, D = dx + y.d, + y.d,..., C.3)
О	1	12	121
определяемыми рекуррентной формулой
D = D+ у -д (А = 0, 1, 2, ...).	C.4)
fc+i * fc+i *
Оператор дифференцирования д следует рассматривать как век-
к
тор сопряженного пространства Y*e. В конечномерном случае в обо-
обозначениях 4.2 его координаты суть частные производные
Оператор у • д есть вектор сопряженного пространства X*.
fc+l к
В конечномерном случае его /-я координата представляет собой
сумму (к фиксировано)
у1. . (дк1ду[ .)
по всем значениям 1=. 1,. . .,ти и всевозможным сочетаниям (i1,. .., ik)
чисел A, 2, . . ., га). Всего в этой сумме dim Yk слагаемых.
Соответственно этому оператор полного дифференцирования D
также есть вектор сопряженного пространства X*. В конечномер-
конечномерном случае его /-я координата обозначается символом D, (не сме-
смешивать с символом D !).
4. Продолжение отображений. Каждое отображение и: X^>Y
класса Ст(Х), действующее по формуле у = и(х), продолжается
до отображения Х~* Yk. Это продолжение осуществляется с по-
помощью операторов дифференцирования 3* и дается производными
дхи: Х-> Yv д%и: Х-> Y2, . .., действующими по формуле
(ft = l, 2, ...).
Тем самым каждое отображение и: X-*Y продолжается до ото-
отображения и: X^*Zk. Продолженное отображение и действует по
к	к
формуле
и(х) = (х, в (я), dji(x), ..., дхи(х)) (к = 0, 1, 2, ...). D.1)
к
В частности, и(х) — (х, и{х)) есть «нулевое продолжение» отобра-
о
жения и: X-^-Y до отображения и: X-+Z.

50	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРЙЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Необходимо заметить, что в силу определений B.1) и D.1) для
отображений v: Zfc -> JP и и: X-*-Y можно образовать композицию
иои: Х-+Р, действующую по формуле (vou)(x) = v(u(x)). Диф-
к	к	к
ференцирование таких композиций осуществляется с помощью опе-
оператора полного дифференцирования C.1).
Лемма. Для отображений v: Zh-> Р и и: X -»• Г справед-
справедливы формулы дифференцирования композиции
dx(vou)(x) = (Dv)ou(x) (k = 0, I, 2, ...).	D.2)
к	fc+i
Доказательство. Применение правила дифференцирования
композиции дает
дх(иои)(х)=.
к
= dxv(а(х)) + (dv(a))o(dji(x)) + (до(и))о(дхи(х)) + ... +
к	0 к	1 к
())(Z() ((x + + d+...+ у -d)v)(
к к	10 2 1	к<г\ к	fc+1
= (Dv)ou (x). ¦
к к+1
5. Продолжение преобразования. В обозначениях 4.2 рассма-
рассматривается преобразование h: Z-+Z класса Ca>(Z), действующее по
формуле z' = h(z). Так как Z=JX Y, то эта формула может
быть записана в компонентах z' = (x', у'), где
*'=/(*, У)' V' = g(x, У)-	E.1)
Предполагается выполненным следующее условие: линейное ото-
отображение dj(z): X-*X является гомеоморфизмом пространствах.
В локальной теории выполнение этого условия требуется лишь для
точек z(*W, где W — некоторое открытое множество в Z, в связи
с чем это условие записыгается в виде
dJ{z)?GL{X) (z?W).	E.2)
Если условие E.2) выполнено и если Б? с Yx есть шар с цен-
центром в нуле радиуса р, то, сужая при необходимости множество W,
всегда можно найти такое р, что для всех г ? Wx = W X Bf линей-
линейное отображение Df(z) = dJ(z)-\-y • dgf(z) также будет гомеомор-
гомеоморфизмом пространства X. Дальнейшие рассуждения относятся к точ-
точкам z f Wv
Преобразование h продолжается до преобразования h: Zt -»Zs
(s = l, 2, ...), первые две компоненты которого суть' E.1), а

:	g 4. ТЕОРИЯ ПРОДОЛЖЕНИЙ	51
последующие записываются формулами вида
y> = v(z) = v{x,y,y,...,y) (А = 1, 2, ...). E.3)
к	к к	к	1	ft
где отображения у: Zfc -> Yk определяются рекуррентными форму-
к
лами
v = (Dg)o(Df)-\ v = (Dv)o(Df)-i (k = 2, 3, ...)• E.4)
ill	ft ft ft-i i
Полученное преобразование h: Zs-*Zt действует по формуле
s
z1 =h(z) = (f, g, v, .. ., v) и называется s-м продолжением пре-
t	г »	1	s
образования h.
На первый взгляд формулы E.4) выглядят искусственными,
но в действительности они имеют простую аналитическую природу.
Пусть дано отображение и: X-^-Y, действующее по формуле г/ =
— и(х). С помощью преобразования E.1) отображение и переходит
в новое отображение и', действующее по формуле у'— и' (х1). Это
новое отображение получается исключением х из уравнений
x' = f(x, u(x)), u' = g(x, u(x)).	E.5)
Формулы E.4) устроены так, что они дают значения производных
д^,и' (х1), выражая их через значения производных д!хи(х). В сле-
следующей лемме это свойство формулируется в обозначениях D.1).
Лемма. С отображениями E.4) справедливы тождества
дкх,и' (x') = vou(x), x' = fou(x) (A=l, 2, ...). E.6)
к к	О
Доказательство. Из определения отображениям' с по-
помощью уравнений E.5) следует тождество
дх,и> (x')o[dj(и(х)) + 9у/(ц(x))odji(х)] =
о	о
= дх8 (и
о
в котором х' =f(u (x)). В силу очевидного равенства
о
и еиу аналогичного для отображения g это тождество переписы-
переписывается в виде
дх*и> (x')o(Dfou(x)) = Dgou(x).
11	11

52	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
С другой стороны, если первое из равенств E.4) переписать в виде
voD f = Dg и взять его композицию с и (х), то получится тожде-
111	1
ство
(у о и (х)) о (Df о и (х)) = Dgo и (х).
11	11	11
Сравнение с предыдущим тождеством показыгает, что dX'U;(a:') =
= vou(x), т. е. что E.6) верно при к=\.
1 1
Пусть теперь E.6) верно при некотором к. Дифференцирование
его по ж и использование леммы 4.4 дает
(d*t1u'(xl))o(Dfou(x)) = (D v)ou (x).
11	к+1 к к+1
С другой стороны, если равенство E.4) после замены к на к-\-1
переписать в виде voDf—Dv и взять его композицию с и (х),
к+1 1	к+1 к	к+1
то получится
( vou {x))o(Dfou(x))=.(D v)ou (x).
к+1 к+1	1 1	к+1 к к+1
Сравнение с предыдущим приводит к равенству E.6) с к-\-1
вместо к. Щ
6. Основное свойство продолжения. Пусть huh — дпа пре-
преобразования пространства Z = XxY. Для группового анализа
имеет фундаментальное значение свойство равенства двух преобра-
преобразований продолженного пространства Zk: к-то продолжения компо-
композиции h~oh и композиции к-х продолжений hoh. Хотя это свой-
к	к к
ство почти очевидно, ввиду его исключительной важности для
всего дальнейшего его стоит выделить и подробно доказать.
Лемма. Продолжение композиции преобразований равно компо-
композиции продолженных преобразований, т. е. hoh — hoh.
к	к к
Доказательство. Пусть h = (f, g), Л —(/, f) и z' =h(z).
к	к к
Вначале устанавливается тождество, справедливое для любого ото-
отображения F: Zk-*P
DFl(z) = DF(z')oDf(z),	F.1)
к к	ft ft 1 1
в котором F1 (z) = Foh(z) = F(z'). Для его получения надо заме-
к	к к	к
тить, что в силу определения E.3) операторы д действуют на ото-
8
бражение z -»¦ F1 (г) ро формуле
к	к
к
dF'(z)= 2 dF(z')odv(z),
s	ft	a=z—1 • к	see

§ L ТЕОРИЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ	53
где принято условное обозначение д =дх. Если положить еще
—1
у = 1х, то с помощью этой формулы и E.4) получается, что
о
к
DF>(z) = 2 у .dF'(z) =
ft к	»=—1 «+1 а к
к	Тс	к
= 2 dF(z')° 2 У >du(z)=: 2 dF(z')oD v{z) =
<J=—1 » fc s=—ls-ll sit	<j=— 1 » ft ft-ll • •
= 2 у' •dF(z')oDf(z)=DF(z')oDf(z),
<r=—1 u+1 «ft	11	к к 11
т. е. равенство F.1) верно.
Введение компонент произведения Zk = ZX Г2Х ••• X Yk
приводит к представлению
ЯоА(я) = Я(а') = (йB'), »(*'), .... »(а')).
ftfcftfcft	11	й*
где отображения v определены формулами E.4) через отображение
Л = (/, g). Пусть аналогичное представление продолжения компози-
композиции есть
hoh(z) = {hoh(z), v(z), ..., v{z)).
к к	11	ft k
Так как h(z') — hoh(z), то для доказательства леммы требуется
установить справедливость равенств
0(я) = »(*') (s = l, 2, .... А),	F.2)
9 9	Яв
где z' =/i(z).
• » «
^Пусть f(z) = f(z'), g(z) — g{zl), так что hoh = (f, |). В силу
тождества F.1) справедливы равенства
Dj(z) = Dj(z')oDf(z), D§(z) = Dg(z')oDf(z).
ii iiii ii iiii
Отсюда в силу определения E.4) получается
ii iiii	ii ii	ii
т. е. равенство F.2) для *=1. Если допустить, что F.2) верно
для s = A — 1, то тогда в силу E.4) и F.1) получится
${z) = Dv (z)o[Df(z)]-x =
к к	к к-1 к 11
= D(V (г'))°[Д/(г)Р = [Д» (z')oDf(z)]o[Df(z')oDf(z)T1 =
к к-1 к-1 11	к к-1 к 11	11 11
()[f()T (
к к-Ik	11	к к
т. е. равенство F.2) для s = A. ¦

54	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРЙЧЕСКЙЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
7. Продолжение группы. Пусть G1 — группа Ли преобразований
пространства Z=ZX ^ порожденная локальным действием h:
Z X -В —> Z. В результате продолжения каждого преобразования
ha ? G1 до преобразования ha пространства Zk получится однопара-
метрическое семейство преобразований, порожденное отображением h:
ZkxB^Zk.
Отображение h является действием аддитивной группы И на
к
пространстве Zk. Действительно, в силу леммы 4.6 соотношению
haohb = ha+b соответствует соотношение haohb = ha+b, т. е. выпол-
к к	к
нено определение действия 1.1.
Благодаря этому факту легко проверяется, что отображение h
к
обладает всеми описанными в определении 1.9 свойствами отобра-
отображения, порождающего локальную непрерывную однопараметрическую
группу локальных преобразований рространства Zk. В частности,
множество V, на котором определены и принадлежат классу Cm(V)
все преобразования ha для а ? Д, формируется с учетом замечания,
к
сделанного в 4.5 в связи с условием E.2).
Итак, продолженное отображение h: ZkX -R -> Zk порождает
к
группу G1(/j) локальных преобразований пространства Zk. Эта группа
к
обозначается G1 или Gx{h) и называется продолженной груп-
к	к
пой, получаемой к-м продолжением группы G^Qi).
В дальнейшем порождающее группу G1 преобразований про-
пространства Z — X X Y отображение /i = (/, g) будет задаваться
формулами вида
x'=f(x, у, a), y' = g(x, у, а),	G.1)
а лежащие в Yk компоненты к-то продолжения h отображения h —
к
формулами вида
yi = v(z, у, у, ..., у, а),	G.2)
к	к	1	к
причем отображения v определяются по /, g формулами E.4).
Пример. Группа переносов в Z=X XY порождается ото-
отображением h(x, у, а) = (х, у)-\-(Ь, р)в, где х, \?Х, у, p?Y и
причем X и р — постоянные векторы. Здесь f(x, у, а) =
^, g(x, у, a) — y-\-v.a и формула C.2) дает Df = Ix,
Dg = y. Поэтому здесь v = y, и так как, согласно формуле C.2),
11	11
Dy= у для любого к, то формула E.4) дает v = у. Следовательно,
к к+1	к к

§ 4. ТЕОРИЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ	55
при всех а ? R продолженные преобразования имеют вид
(х\ у1, у1, ..., у') = (х-\-1а, у + ра, у, .. ., у),
1	к	1	к
т. е. все преобразования ha группы G1 оставляют неизменными все
к	к
компоненты у, ..., у и фактически сводятся к преобразованиям
1	к
пространства Z. Другими словами, продолженные отображения h
к
действуют тривиально на пространстве Yx X • • • X Yk. Выражая
этот факт, говорят, что группа переносов «не продолжаема».
Замечание. Если группы Gx{h) и G1(R) подобны (см. 1.11),
т. е. с некоторым преобразованием р пространства Z преобразова-
преобразования haviHa связаны формулой Яа = рокаор~1, то в силу леммы 4.6
продолженные преобразования будут связаны формулой ha =
_ *
= pohaop~1. Следовательно, продолженные группы G1 и G1 также
к к к	к	к
подобны и для них преобразованием подобия является продолжен-
продолженное преобразование р.
к
8. Продолнгение инфнвитезимального оператора. Пусть С есть
касательное векторное поле группы G1(h) преобразований простран-
пространства Z= Jx Y. Поскольку С есть отображение Z-*Z, то можно
положить С = (?, т\), где I — компонента вектора Z, в X и т\ — его
компонента в Y. Если порождающее группу отображение h задано
формулами G.1), то эти компоненты в силу формулы 1 A3.1) вычис-
вычисляются так:
Цх, y) = dj(x, у, 0), -ц(х, y) = dag(x, у, 0). (8.1)
Соответственно этим обозначениям инфинитезимальный оператор
группы GJ(Q имеет вид
C.0 = S.0X + V0,.	(8-2)
Касательный вектор С продолженной группы G1^) записывается
к	к
в виде
С=(Е, 71, 7), ..., 7]),	(8.3)
к	1	к
где т) (s = 1, .. ., к) — компоненты вектора С ? Zk в продолженном
«	к
пространстве Yk. Все компоненты т\ (& = 1, 2, ...) выражаются
через ?, 7) с помощью так называемых формул продолжения век-
векторного ПОЛЯ С=(?, 7)).
Вывод формул продолжения основан на том, что в силу G.2) и
определения 1,13 справедливо равенство ¦q = dav(z, 0). Так как
к	к к

56	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУШ1Ы ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
оператор полного дифференцирования D перестановочен с дифференци-
дифференцированием по параметру а, то рекуррентная формула E.4), перепи-
переписанная в виде v • Df= Dv, после дифференцирования по а
к+1 1	к+1 к
в точке а = 0 и учета того, что v(z, 0) = г/, перейдет в соотно-
* *	к
шение
к+1 к+1 1	1с+1 к
Отсюда, считая, что ¦») = ¦»), окончательно получается рекуррентная
о
о
формула продолжения векторного поля
H=Dn— у 'Dl (ft = 0, 1, 2, ...)•	(8.4)
fc+i fc+i fe fe+i i
В некоторых приложениях удобна равносильная этому рекур-
рекуррентному соотношению явная формула
7j = Z)*(T, —у. ЕL- У •?,	(8.5)
ft	1	к+1
где Z)* есть k-я степень оператора полного дифференцирования C.1).
В соответствии с представлением (8.3) касательного вектора
продолженной группы <?1(С) ее инфинитезимальный оператор таков:
к
ft	" 1 1	* fc
Оператор (8.6) называется продолженным оператором или
к-м продолжением оператора (8.2).
9. Стандартные коммутаторы. Пусть дана последовательность
отображений a: Z^-^Z^ класса C^iZ^) (k = —i, 0, 1, 2, ...),
к
где Z_t = Z0 = Z, a Z^ обозначает	бесконечное продолжение про-
пространства Z (объединение всех Zk).	Рассматривается образованный
с помощью этой последовательности	бесконечный оператор (сумма
формальная)
а. 5= 2 а.д (д = дх, д = д9).	(9.1)
fc=—1 к к	-1	О
Пусть т . д—другой, аналогичный (9.1), бесконечный оператор.
Коммутатором этих операторов называется бесконечный оператор
со
[х- д, о.9] = ((х.9)з — (а.д)т).Э= 2 ((* * д) а — (а . д) т) . 9. (9.2)
Ниже рассматриваются некоторые коммутаторы, называемые
стандартными в том смысле, что для них дается явное выраже-
выражение. Они образуются для операторов полного дифференцирования D
к

§ 4. ТЕОРИЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ	57
или бесконечного оператора полного^дифференцирования C.1),
D= |] у -д,
ft=—1 к+1 к
где у • д = да, и продолженного до бесконечности оператора (8.2)
00
со	к=—1 ft ft
где т) • д = ? • 9_, т| • 3 =т] • 3 . Вначале получается выражение для
-1-1	0 0
основного стандартного коммутатора.
Лемма. Справедливо равенство
[D, С-5] = ?&.?>.	(9.3)
со
Доказательство. В силу формулы (8.4)
Dn — C:-d)y = т] + у .DI— ц=у .т.
к	со к+1 к+1 к+1 1	к+1 к+1 1
Поэтому, согласно определению коммутатора (9.2),
[D, ;.д]= 2 (р-ч-^.д)у).д= 2 (у -о\).д =
со	к——1 ft	со fc+1 ft fe=—1 ft+1 1	ft
= /)?. 2 У -d = Dt.D,
1 k=—1 ft+1 k
где предпоследнее равенство выполнено благодаря симметрии
(i-f-1) — линейного отображения у, а последнее—ввиду того,
к+1
что 5: Z-*X. Ш
Из (9.3) выводятся другие стандартные коммутаторы. Например,
если оператор С • д заменить оператором С • д, то все суммы оказы-
со	к
ваются конечными и (9.3) дает формулу стандартного коммутатора
[D, {,-d]=D%.D.	(9.4)
к+1 к	1 ft+1
Далее с помощью равенства (9.3), переписанного в виде
вычисляется коммутатор
[?>2, С. 5] = ?>2(С • 3) — (С • d)D* = D ((С • д)Я + ЯЕ • #) — (С • d)Dz=
= (?>(С • 5))?> + Z?2! • D + DI • Z?2 -(С. d)D* = D4. Z? + 2DS • /?я.

58	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРЙЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Путем аналогичных вычислений без каких-либо особых затрудне-
затруднений получается выражение стандартного коммутатора (проверяется
индукцией по к)
к-1
[D\ C.0J = 2(t)z?*~'E''O'+1'	(9.5)
частным случаем которого (при к — l) является (9.3). Найденные
стандартные коммутаторы будут использованы в §§ 19, 24.
10. Конечномерный случай. Если Х—Вп, Т=Вт, Z = Rn+m,
то принимаются обозначения 4.2 и предполагается, что I = (I1,..., Iя) и
7) = GI, ..., 7)т). В этом случае оператор (8.2) записывается в виде
С-0 = 5'0, + т]*0,,	A0.1)
о
где д{ = дх<, дк = д9к. Вектор t\ имеет скалярные компоненты f\lh i]c
0	к
симметричные относительно перестановок нижних индексов, каждый
из которых пробегает значения 1, . . ., п; индекс I принимает зна-
значения 1, . . ., т. В этих предположениях, с учетом обозначений 4.3,
из формул продолжения (8.4) следуют выражения для координат
вектора i\
к+1
JlJp)kJ A	A0.2)
где предполагается суммирование по индексам i, r, I и всевозмож-
всевозможным различным (с учетом симметрии) наборам (jv ..., /s).
В приложениях особенно часто встречаются значения к = 0 или
к = 1. При & = 0 из A0.2) получаются формулы первого продол-
продолжения для координат вектора t\
1
¦n'j = djn1 + fid/ - W - vtydrV.	(Ю.З)
При к — 1 получаются формулы второго продолжения, которые
состоят из формул A0.3) и вытекающих из A0.2) формул для ко-
координат вектора t\
2
A0.4)
11. Пример. Для группы проективных преобразований плоскости
из примера 1.10 Х—В(х), Т = В(у), Z = B2(x, у) и фор-
формулы G.1) таковы:
*'=/(*, У, а) = Г=^' У' = ё(х> У* а)=Г^'

S 4. ТЕОРИЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ	59
Инфинитезималышй оператор этой группы есть С • д — х2дх-\-худу.
Так как здесь все пространства Yk=^{R; R) одномерны, то
все y(*R и можно использовать упрощенные обозначения у = у.
к	к
Последовательное вычисление первого продолжения дает
Df = A - ах)'2, Dg = {ay + A - ах) ух) A - ах)'*
1	1
и по формуле E.4)
у[ — а
Следовательно, т^ = дау[ @) = у — ху1 и первое продолжение опера-
оператора С • д таково:
Q-d = x2dx-{-худу -f (у — хуг)dVl.
Для построения второго продолжения вычисляется
= (дх + ухду + у фу) (ау-{-{1— ах) Vl) = (l — ax) у2.
По формуле E.4) находится v = (l — axfy2 и затем
2
Второе продолжение оператора С • д таково:
С • д = х*дх + худ + (у — хух) dfl —
2
12. Дифференциальные инварианты. Инварианты продолжен-
продолженной группы G1 называются дифференциальными инвариантами
к
группы G1. Они представляют собой отображения F: Zk-*JP. Инва-
Инвариант группы G1, фактически зависящий от вектора у, называется
к	к
дифференциальным инвариантом порядка к группы G1.
В этом смысле все инварианты группы G1 суть ее дифференциаль-
дифференциальные инварианты нулевого порядка.
Универсальный инвариант продолженной группы G1 называется
к
универсальным дифференциальным инвариантом порядка к
группы G1.
В силу критерия 3D.1) все дифференциальные инварианты F
группы GX(C) порядка не выше чем к являются решениями диффе-
дифференциального уравнения
(С-3)*¦(*) = 0,	A2.1)
к	к
в котором С • д есть продолженный оператор (8.6). Универсальный
дифференциальный инвариант порядка к производит общее решение
уравнения A2.1).

60	ГЛ. I. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Например, для группы проективных преобразований плоскости
из 4.11 все дифференциальные инварианты F порядка не выше
второго должны быть решениями уравнения
x*dJP + худ/ + (у - хуг) dVlF - Ъхуфур = 0.
Здесь универсальный инвариант, как отображение Е*(ж, у, yv у^ —>В3,
легко строится путем отыскания трех независимых первых инте-
интегралов сопряженной системы обыкновенных дифференциальных
уравнений
dx_	dp __ dyl 	 dy2
x% xy у — хуг — Зжг/2
и может быть взят таким:
7 (ж, у, у1% у2) = (у/х, y — xyv xsy2).
Поэтому общий вид дифференциального инварианта порядка не
выше второго таков:
Р(х> У> Vv y2) = ®oj(x, у, yv у2) = Ф(у1х, y — xyv xsy2),
где Ф: JB3 -> Р — произвольная функция трех переменных.
Если многообразие ^ CZ Zk, заданное с помощью некоторого
отображения ф: Zk-*R' уравнением вида
<!»(*) = 0,	A2.2)
к
является инвариантным многообразием группы G1, то W называется
к
также дифференциальным инвариантным многообразием группы G1.
Дифференциальные инварианты и дифференциальные инвариант-
инвариантные многообразия групп G1 являются одним из основных объектов
группового анализа дифференциальных уравнений. Развитие соот-
соответствующей теории связано с решением ряда конкретных задач,
которые будут рассмотрены в последующих главах.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ I
Первое подробное изложение основных элементов теории непрерывных
групп преобразований дано в трехтомной монографии Ли—Энгеля [1].
За прошедшие сто лет оформление этой теории претерпело значительные
изменения. Хотя в сравнительно недавно вышедших книгах [2], [3] она еще
преподносилась в духе Ли, ее современное изложение [4] имеет мало об-
общего с первоначальным. Необходимая для группового анализа дифферен-
дифференциальных уравнений теория продолжения в ее полном объеме, данном
в § 4, излагается здесь впервые. Современное состояние и основные задачи
группового анализа дифференциальных уравнений освещались в ряде обзо-
обзоров, например в статье [5] и докладе [6]. Результаты решения ряда конкрет-
конкретных задач, рассмотренных в настоящей книге, систематизированы в [7].
В обзоре [8] содержатся сведения о результатах, полученных методами тео-
теории групп Ли до 1973 г.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ I	61
[1] Lie S., Engel F. Teorie der Transformationsgruppen, Bd. 1—3.
Leipzig, Teubner, 1888, 1890, 1893.
[2]Эйзенхарт Л. П. Непрерывные группы преобразований. М., ИЛ,
1974.
[3] Ч е б о т а р е в Н. Г. Теория групп Ли. М., Гостехиздат, 1949.
[4] Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М., Гостехиздат, 1954.
[5] Овсянников Л. В. Групповые свойства уравнений механики —
В сб. «Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа»,
М., «Наука», A972), 3S1—393.
[6] Овсянников Л. В. Some Problems Arising in Group Analysis
of Differential Equations. — Proc. of Symposium «Symmetry, Similarity
and Group Theoretic Methods in Mechanics», Calgary, Canada, Aug. 19—
21 A974), 181-202.
[7] Ибрагимов Н. X. Группы Ли в некоторых вопросах математиче-
математической физики. Новосибирск, НГУ, 1972.
[8] Овсянников Л. В., Ибрагимов Н. X. Групповой анализ
дифференциальных уравнений механики. — Итоги науки и техники.
Общая механика, 2, М. A975), 5—52.

ГЛАВА II
ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
Для целей группового анализа оказывается удобной и су-
существенной трактовка дифференциального уравнения Е (системы
дифференциальных уравнений) как многообразия в продолжен-
продолженном пространстве. Геометрический язык позволяет вполне естест-
естественно определить понятие инвариантности дифференциального
уравнения относительно группы преобразований и использовать
инфинитезимальный критерий инвариантности. По предложе-
предложению С. Ли, говорят, что Е допускает группу (или оператор),
если Е есть инвариантное многообразие надлежаще продолжен-
продолженной группы. В настоящей главе ставится и решается задача об
отыскании и предварительном изучении совокупности всех
групп G1, допускаемых данным дифференциальным уравнением Е.
Эта задача дает замечательный пример того, что при инфини-
тезимальном подходе (т. е. при использовании оператора вместо
самой группы) происходит линеаризация задачи. Условие инва-
инвариантности Е приводит к системе линейных и однородных диффе-
дифференциальных уравнений, в которых искомыми являются коорди-
координаты допускаемого оператора, — системе определяющих уравне-
уравнений DE. Здесь действует четкий и хорошо аппробированный
алгоритм перехода Е -> DE, который может выполняться с по-
помощью ЭВМ. Теоретическое значение таких построений состоит
в том, что при этом возникает понятие основной группы GE пре-
преобразований, допускаемой уравнением Е.
Наиболее важным для приложений свойством основной
группы GE является то, что она действует на множестве решений,
т. е. любое решение уравнения Е преобразует снова в решение
того же уравнения Е. Изучение этого действия и его использова-
использование для конструирования решений есть одна из главных задач
группового анализа дифференциальных уравнении, которая будет
подробно рассмотрена в главе V.
Другой практически важной задачей, рассматриваемой в этой
главе, является задача групповой классификации дифференциаль-
дифференциальных уравнений Е F), содержащих так называемый «произволь-
«произвольный элемент» 8. Здесь приведены все необходимые сведения и
разработаны алгоритмы, используемые при решении этой задачи,
что открывает возможность для целенаправленного отбора зна-

§ 5. Определяющие уравнения	63
чений и форм экспериментально определяемых физических величин
и зависимостей 6, входящих в математическую модель Е F).
Определяющие уравнения естественным образом порождают
новый математический объект — алгебру Ли операторов. Хотя
подробное абстрактное описание этого объекта будет дано только
в главе IV, уже здесь имеются все средства для того, чтобы по-
познакомиться с ним на конкретном материале. Это позволяет
осмыслить результат вычисления допускаемой группы — общее
решение определяющих уравнений DE, которое оказывается
алгеброй Ли операторов. Возникающий неизбежный повтор
оправдан еще и тем, что для практического решения многих
вопросов группового анализа чаще приходится иметь дело не с са-
самими группами преобразований, а с их алгебрами Ли операторов,
§ 5. Определяющие уравнения
1. Система дифференциальных уравнений. Ниже используются
понятия и обозначения, введенные в § 4. Рассыатрираются конечно-
конечномерные пространстга X — R"(x), Y—Rm(y) и 2?=JX Г=
= Rn+m(z), причем z = (x, у). Пусть Zk — продолженные простран-
пространства, введенные в 4.2.
У равнение вида
s(z) = 0,	A.1)
к
образованное с помощью некоторого отображения г: Zk-^RS,
называется дифференциальным уравнением.
Натуральные числа п, т, к и s являются основными характе-
характеристиками дифференциальной структуры (или «типа») уравне-
уравнения A.1). Поэтому в дальнейшем уравнение A.1) будет иногда
обозначаться символом Е (п, т, к, s). Если числа п, т, к, s имеют
конкретные значения (или в каком-либо вопросе играют второ-
второстепенную роль), то уравнение A.1) будет обозначаться просто
через Е.
С геометрической точки зрения уравнением A.1) задается
некоторое многообразие в продолженном пространстве Zk; это
многообразие также будет обозначаться символом Е.
Каждое уравнение вида A.1), будучи записано в координатной
форме, может рассматриваться как система из s скалярных диф-
дифференциальных уравнений для т искомых функций у —
= (у1, . . ., ут) от п независимых переменных х=(х1, . . ., хп).
Поэтому уравнение A.1) называется также системой дифферен-
дифференциальных уравнений, или, для краткости, просто системой Е.
Число к называется порядком системы A.1), если хотя бы одно
из ее скалярных уравнений может быть разрешено относительно
какой-нибудь координаты гектора у ? JTk.
к

64 ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
В дальнейшем будет предполагаться, что задающее систему A.1)
отображение е удовлетворяет условию, для формулировки которого
надо представить продолженное пространство Zk в виде произведения
Z X Zk, где Zk = Yx X • • • X Yk и положить z = (z, Z). Тогда для
к	к
любого отображения е: Zk^*-M' можно образовать частное отобра-
отображение е/. Zk-*-E?, действующее по формуле ег(з) = е(г, z).
к	к
Условие. Отображение е принадлежит классу C^(Zk),
а многообразие Е уравнением A.1) задано регулярно (см. 3.11),
причем для любого z?Zчастное отображение ег имеет ранг на Zk,
равный s.
2. Основное определение. Пусть даны множество М, его под-
подмножество N и преобразование Т ? т (М). Говорят, что N ин-
инвариантно относительно Т, если Т (N)=N. Очевидно, что сово-
совокупность всех преобразований Т, относительно которых инва-
инвариантно данное подмножество N, образует подгруппу группы т (М).
В групповом анализе дифференциальных уравнений роль
множества М играет продолженное пространство Zk, а роль под-
подмножества N — система дифференциальных уравнений вида A.1),
рассматриваемая как многообразие Е ? Zk. При этом все уравне-
уравнения, многообразия, различные соотношения и т. п. рассматри-
рассматриваются в рамках локальной теории (см. 1.8), хотя в дальнейшем
изложение ведется, как правило, в «забывающих терминах»
(см. 3.3). Применительно к этим объектам основное определение
гласит следующее.
Система дифференциальных уравнений Е допускает пре-
преобразование h пространства Z, если многообразие Е dZk ин-
инвариантно относительно продолженного преобразования h npo-
k
странства Zk. Если система Е допускает любое преобразование из
некоторой группы G1, то говорят, что Е допускает группу G1.
Если система Е допускает группу G1 (С), характеризуемую ее опе-
оператором С • д, то говорят также, что система Е допускает
оператор С • д. При этом h, G1 или С • д называются соответ-
соответственно преобразованием, группой или оператором, допускаемыми
уравнением Е.
В связи с этим определением возникает задача: найти все
группы G1 локальных преобразований пространства Z, допускае-
допускаемые данной системой дифференциальных уравнений Е. Равно-
Равносильная формулировка! найти все операторы С-д, допускаемые
данной системой Е.
3. Условие инвариантности. В дальнейшем задача об отыска-
отыскании всех групп б1, допускаемых системой Е, рассматривается
в предположении, что для отображения е, задающего многообра-
многообразие Е уравнением A.1), выполнено условие 5.1.

i 5. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ	65
В этом случае может быть применен критерий 3.12 инвариант-
инвариантности многообразия относительно группы G1 (С) с инфинитези-
мальным оператором С -д. Этот критерий -в данной ситуации
выглядит так: система Е A.1), удовлетворяющая условию 5.1,
допускает группу G1 (С), если и только если выполнено условие ин-
инвариантности
Решение поставленной в 5.2 задачи состоит в том, что условие
инвариантности C.1) рассматривается как уравнение относи-
относительно неизвестного векторного поля С. Структура этого уравне-
уравнения зависит только от заданной системы Е и полностью определена
алгоритмом его построения.
Процесс формирования условия инвариантности состоит из трех
этапов: (а) вычисление продолженного оператора С • д; (Ь) действие
к
полученным оператором на отображение е; (с) переход на много-
многообразие Е.
На этапе (а) задается общий вид оператора С • д, т. е. компонент
вектора С = (?, т\). При этом важно, что С является отображением
Z-*Z, т. е. компоненты ?, т] зависят только от переменных (х, у) ?•
flX Г. После этого по формулам продолжения 4(8.4) или 4(8.5)
вычисляются координаты ?){•,...<, (l^s^A) продолженного опе-
оператора С • д.
к
На этапе (Ь) полученный оператор применяется к отображению е,
которое обычно бывает задано с помощью аналитических выраже-
выражений его координат через координаты вектора z. Так как оператор
? • д является скалярным дифференциальным оператором, то им можно
к
действовать на каждую из координат вектора е в отдельности.
В результате получается новое отображение (С • д) е: Zk -»• Л', при-
чем образ (С • д) е (z) состоит из s функций Zk -*• JS.
к	к
На этапе (с) для перехода на многообразие Е выбирается s таких
различных координат г1, .. ., г' вектора z = (y, ..., у), что относи-
к	\	к
тельно них уравнения Е могут быть «алгебраически» решены. Это
требование всегда выполнимо в силу условия 5.1. В результате
такой операции «зависимые» координаты г —(г1, ..., г*) выражаются
через остальные, «свободные» координаты вектора z, образующие
К
набор скаляров t = {^-, ..., tq), число которых q зависит от Е.
После этого полученные выражения r = r(t) подставляются в най-
найденные на этапе (Ь) функции (С • д) е (z) и результат приравни-
к	к
вается нулю.

66	ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЁНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
4. Определяющие уравнения. Следующим этапом формирова-
формирования условий инвариантности является этап (d) расщепления
уравнения C.1) относительно «свободных» координат t вектора z,
к
введенных на этапе (с). С этой целью учитывается, что левая
часть ф уравнения C.1) является функцией независимых пере-
переменных х, у, t и производных от координат вектора "*,, причем
последние зависят только от z={x, у), но не от t. Поэтому усло-
условие C.1), записанное в виде ф (ч, х, у, ?)=0, расщепляется и
порождает последовательность уравнений, которую можно полу-
получить, например, с помощью разложения отображения ф по фор-
формуле Тейлора в какой-нибудь точке t0. Обычно для этой цели
берется точка ?=0, и в результате расщепления получается по-
последовательность уравнений
ф(С, х, у, 0) = 0,
d/ty (С, х, у, 0) = 0,
д;ф(С, х, у, 0) = 0,
Уравнения D.1) называются определяющими уравне-
уравнениями и будут обозначаться символом DE. Они рассматриваются
как уравнения относительно искомого векторного ноля С или опе-
оператора С • д.
Основное свойство определяющих уравнений вы-
вытекает из критерия 3.12: какова бы ни была группа G1(C), до-
допускаемая уравнением Е, ее касательное векторное поле С удо-
удовлетворяет уравнениям DE; обратно, каждое решение С: Z-+ Z
класса С т (Z) уравнений DE есть такое векторное поле, с которым
соответствующая группа G1 (ч) допускается уравнением Е. Можно
сказать также, что уравнениям DE удовлетворяют те и только те
операторы г,-д, которые допускаются уравнением Е.
Определяющие уравнения представляют собой систему диф-
дифференциальных уравнений для искомого векторного поля С.
В силу ее происхождения эта система уравнений обладает рядом
свойств, благодаря которым она становится самостоятельным
объектом исследования.
Первое важное свойство системы DE заключается в том,
что все ее уравнения линейны и однородны относительно коорди-
координат искомого вектора ч. Это свойство следует из того, что им
обладает инфинитезимальный оператор ? • д (см. формулы про-
должения 4 (8.4) или 4 (8.5)), и оно, как легко проверить, не
нарушается ни на одном из этапов (а) — (d) построения уравне-
уравнений DE.

§ 5. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ	67
Следовательно, множество решений определяющих уравне-
уравнений DE, образует векторное пространство. Это пространство
я дальнейшем будет обозначаться символом L.
5. Основная группа. Пусть Г есть совокупность таких преоб-
преобразований h пространства Z, что каждое из них принадлежит
какой-нибудь группе ^(С), касательное векторное поле которой ?
является решением класса С т уравнений DE. В силу предыду-
предыдущего все преобразования, принадлежащие Г, допускаются си-
системой Е. Но из определения 5.2 и леммы 4.6 следует, что если
система Е инвариантна относительно преобразований h и Л, то
она инвариантна и относительно их композиции hoh. Поэтому
для любых двух преобразований h, h ?< Г их композиция hoh
также допускается системой Е.
В общем случае нет оснований утверждать, что такая компо-
композиция hoh принадлежит какой-либо группе G1, допускаемой си-
системой Е, и потому неизвестно, будет ли hoh^T. Этот вопрос
нетривиален, даже в локальной теории. Если композиция hoh
не содержится в Г, то совокупность преобразований Г не является
группой. Тем не менее множество Г всегда можно считать по-
порождающим (с помощью композиции) группу преобразований,
допускаемых системой Е. Итак, возникает группа, рассматривае-
рассматриваемая как конечно порожденная множеством Г (т. е. каждый ее
элемент есть композиция конечного числа элементов из Г), кото-
которая фиксируется следующим определением.
Основной группой системы дифференциальных уравнений Е
называется группа локальных преобразований пространства Z,
конечно порожденная множеством Г преобразований, принадле-
принадлежащих однопараметрическим группам Ли G1, допускаемым си-
системой Е.
В дальнейшем основная группа системы Е обозначается сим-
символом GE.
Оказывается, что в практически важном случае, когда про-
пространство L решений системы DE конечномерно, имеет место
совпадение Y=GE. Это будет показано в главе IV. Стоит отме-
отметить также, что система Е может допускать преобразования,
не принадлежащие основной группе GE. Конечно, такие преобра-
преобразования не содержатся ни в какой группе G1, допускаемой си-
системой Е.
Пример последней возможности дает любое уравнение, до-
допускающее группу всех ортогональных преобразований про-
пространства Rs и только ее. В этом случае Г есть совокупность
всех вращений (см. 1.15 и 2.7) и совпадает с GE, а отражение
в какой-либо координатной плоскости (которое является орто-
ортогональным преобразованием пространства JS3) в GE не входит
и не может быть получено никакой комбинацией вращений.

68	ГЛ. И. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФВРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
6. Действие на решениях. Используя обозначения из 4.4,
можно сформулировать следующее определение.
Отображение и: Х-> Y называется решением дифферен-
дифференциального уравнения A.1), если для всех х ? X выполнено равенство
е(и(х)) = 0.	F.1)
к
В ряде вопросов удобно пользоваться равносильным этому гео-
геометрическим определением понятия решения. Для его формулировки
надо рассмотреть в пространстве Zk многообразие Uk, заданное пара-
параметрически отображением и: X-+Zk, действующим по формуле
z = u(x), т. е. множество
к к
{\
к к
F.2)
Тогда непосредственно из определения F.1) следует, что отображе-
отображение и: Х-+ Y является решением уравнения A.1), рассматривае-
рассматриваемого как многообразие Е CZ Zk, если и только если для многообра-
многообразия Uк верна формула включения
Uk(ZE.	F.3)
Эта формула включения и дает геометрическое определение
понятия решения уравнения Е.
Для понимания доказательства фундаментального факта о преобра-
преобразовании решений надо обратиться к 4.5, где объяснено, каким
образом преобразование h пространства Z = X X Y действует на
отображения и: Х^ Y. В частности, лемма 4.5 показывает, что
если преобразованное отображение и1 определено формулами 4E.5),
то для продолженного отображения и' справедлива формула
ul(x')=hou(x),	x'—fou(z).	F.4)
k	k k	0
Пусть, кроме того, U'k обозначает многообразие в Zk, заданное
формулой F.2) с преобразованным отображением и'.
Теорема. Если дифференциальное уравнение Е допускает
преобразование h, то любое решение и: Х-> Y уравнения Е пре-
преобразуется с помощью h снова в решение и': X-+Y того же урав-
уравнения Е.
Доказательство. Если и — решение, то для соответствую-
соответствующего многообразие Uk справедлива формула включения F.3). Зна-
Значит, если z = и (х) ?• Uk, то в силу инвариантности многообразия Е
к к
точка z'=fe(z) = feou(a;) также принадлежит Е. В силу F.4) от-
*	к к к к
сюда следует, что точка z' = и'(х1)?Е для любого х' =fou(x).
К Is	"	'	'	«

§ 5. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ	69
Так как /ом: Х->Х есть гомеоморфизм, то это все равно, что
о
точка z1 = и' (х) ? Е для любого х ? X. Это и означает, что U'kdE. ¦
Выражая этот факт другими словами, можно сказать, что
преобразование h: Z-+Z, допускаемое уравнением Е, действует
на множестве решений этого уравнения. Пусть GE — основная
группа уравнения Е. Применение доказанной теоремы к любому
преобразованию h ? GE приводит к важному следствию.
Следствие. Для каждого дифференциального уравнения Е
определено действие основной группы GE па множе-
множестве решений этого уравнения. Говоря короче, основная
группа GE действует на множестве решений уравнения Е.
7.	Производство решений. Утвержденный предыдущим след-
следствием факт в полной мере будет использован в главах V—VII.
Здесь уместно отметить лишь его применение для производства
новых решений из каких-либо известных.
Пусть и: X -> Y есть какое-то решение уравнения Е, и пусть
группа G1 (h) допускается уравнением Е. В результате преобра-
преобразования решения и с помощью элемента ha^G1 (h) получится
новое решение иа для любого a?R. Тем самым допускаемая
группа G1 из одного решения производит однопараметрическое
семейство решений {иа}. Если имеется другая допускаемая
группа G1, то это построение можно применить к каждому из
решений иа и получить тем самым двухпараметрическое семейство
решений и т. д.
Для конкретного производства решений требуются формулы,
задающие преобразования h^G1 {h) (см. 4G.1))
x'=f(x, у, a), y'=g(x, у, а),	G.1)
и используются изложенные в 4.5 общие правила преобразования
отображений. Если заданное формулами G.1) преобразование ha
переводит отображение и в отображение иа, то значение иа (х')
находится исключением вектора х из уравнений
x'=f(x, u(x), a), ua(z') = g(x, й(х), а).	G.2)
В результате преобразованное решение может быть записано в виде
ив(*) = (?,°и)о(/.°и)-1(*).	G-3)
о	о
где отображение и: J-*lX Г действует по формуле и(х) =
о	о
= (*. и(х)).
8.	Алгоритм. Отыскание основной группы GE данной системы
дифференциальных уравнений Е является первым шагом груп-
группового анализа этой системы. Здесь еще раз в сжатой форме
описывается алгоритм построения основной группы и отме-
отмечаются некоторые его особенности.

70	ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
Упомянутый алгоритм состоит из трех частей: формирование
определяющих уравнений DE, построение пространства решений L
уравнений DE и образование множества Г групп G1 (С) для всех
векторных полей C?L.
Первая часть — формирование определяющих уравнений или
переход Е -> DE — требует применения только операций диф-
дифференцирования и исключения. Она подразделяется на четыре
этапа (а) — (d), описанные в 5.3 и 5.4. Накопленный опыт реали-
реализации этой части алгоритма позволил установить два существен-
существенных обстоятельства. Во-первых, в случае уравнений Е не очень
сложной алгебраической структуры относительно координат век-
вектора z все вычисления успешно доводятся до конца. Во-пторых,
к
эта часть алгоритма является весьма трудоемкой ввиду необходи-
необходимости выполнить большое число монотонных и длинных арифме^
тических выкладок и тождественных преобразований уравнений
с большим числом членов.
Для того чтобы иметь ориентир для оценки количества этой
работы, полезно подсчитать полное число определяющих уравне-
уравнений, получаемых в конце этапа (d). Пусть, например, заданная
уравнением A.1) система первого порядка Е (п, т, 1, s) является
квазилинейной, т. е. линейной (неоднородной) относительно
вектора у. Здесь общее число координат вектора z = у равно пт,
а число «свободных» координат (см. 5.3) есть пт—s. Теперь надо
заметить, что получаемые по формулам продолжения 4 (9.3)
дополнительные координаты т)|. продолженного оператора "¦, ¦ д
являются квадратичными формами (неоднородными) от коорди-
координат вектора у. Поэтому, ввиду линейности уравнения Е отиоси-
1
тельно у, после перехода на Е (этап (с)) левые части системы
уравнений C.1) также будут неоднородными квадратичными
формами от q = пт — s «свободных» координат t1, . . ., tq. Теперь
легко подсчитать, что число скалярных уравнений D.1) в этом
случае равно s (g'-f-l) (?4~2)/2. Итак, для квазилинейного уравне-
уравнения Е (п, т, 1, s) полное число N определяющих уравнений
таково:
N = ±s(nm — s + l)(nm — s + 2).	(8.1)
Некоторые конкретные, типичные для прикладных задач числа
приведены в следующей табличке, где принято s=m,
re 2 2 3 3 4 4
т 2 3 3 4 4 5
IV 12 20 84 180 364 68Q

§ 5. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ	71
Аналогичный подсчет может быть сделан и для других типов
уравнений Е (п, т, к, s). Он показывает, что, вообще говоря,
число определяющих уравнений довольно велико.
Все это привело к мысли поручить выполнение перехода Е —> DE
вычислительной машине. Эта идея реализована в процессорах КИНО
(по первым буквам слов Координаты Инфинитезимальных Опера-
Операторов) и ПАССИВ, разработанных в ВЦ СО АН СССР.
Вторая часть — построение пространства решений L опре-
определяющих уравнений DE — может вызвать определенные труд-
трудности, связанные как с большим числом этих уравнений, так
и с тем фактом, что они являются уравнениями с частными про-
производными для п-\-т неизвестных функций — искомых коорди-
координат вектора ?=(?, ">])¦ Однако большая величина числа N уравне-
уравнений DE не должна быть пугающей по двум причинам. Во-первых,
среди этих уравнений встречается, вообще говоря, некоторое
количество тождеств, ввиду чего число фактически решаемых
уравнений будет меньше N. Во-вторых, у сильно переопределен-
переопределенной системы должно быть сравнительно немного решений, и
потому найти их относительно легко. Конечно, построить полное
решение удается не всегда, и в ряде случаев приходится ограни-
ограничиваться общим анализом пространства L и выборкой из него
каких-либо полезных подпространств. Это надо делать с учетом
дополнительной алгебраической структуры пространства L, о ко-
которой пойдет речь в § 7.
Третья часть — образование множества Г и, тем самым,
завершение процесса построения основной группы GE. Возмож-
Возможности ее конкретной реализации связаны со степенью успеха,
достигнутого во второй части алгоритма. В главе IV будет по-
подробно изучен случай конечномерного пространства L, когда
образование множества T = GE требует только интегрирования
некоторой, вполне определенной системы обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений. На этом теория описанного алгоритма
кончается. Что же касается приложений, то в ряде вопросов
бывает достаточно какой-либо одной (или нескольких) из до-
допускаемых групп G1 (С), построение которой по ее касательному
векторному полю С уже было описано в 2.3.
9. Пример. Если все числа п, т, к, s невелики, например ^ 2,
то целесообразны индивидуальные обозначения координат встре-
встречающихся векторов. Например, для уравнения типа Е B, 2, 1, 2)
удобно принять, что ЛГ = .Е2(я, у), Y = H2(u, v), Z—-S,i(x, у, и, v)
и Y± = Ш [у), где у есть матрица
В этих обозначениях рассматривается следующая система Е:
щ~их, У2 = — ии^,	(9.1)

72 ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
содержание которой раскрывается через определение решения: это
есть отображение (и, v): Ш-^-Ш, действующее по формуле
(и, v){x, y) = (u(z, у), v(x, у)), причем
u1 = dji(z, у), u2 = dyii(x, у), v1 = dap(x, у), v2 = dru(x, у).
Теперь видно, что (9.1) — это известные в газовой динамике урав-
уравнения околозвукового установившегося плоскопараллельного течения
газа. Для системы (9.1) решается задача о построении ее основной
группы GE.
Первая часть, этап (а). Задается вид инфинитезимального опе-
оператора
(9.2)
где каждая из координат есть искомое отображение Z-^-H. Затем
требуется построить первое продолжение оператора (9.2). С этой
целью вводятся координаты оператора полного дифференцирования
D=(DV Z>2), где
1>г = К + щдя + vxd,, Du = dv + ифа + и2д„
а один раз продолженный оператор (9.2) представляется в виде
С . д = С • д + ЕЛ, + 1фи, + -чЛ, + Ч А-
1
Дополнительные координаты вычисляются по формулам первого про-
продолжения (см. 4(8.4) при k = 0) и оказываются такими:
Этап (b) заключается в действии оператором С • д на каждое из
1
уравнений (9.1), что приводит к уравнениям
Для записи этих уравнений в развернутой форме целесообразно
упростить обозначение частных производных и для любого отобра-
отображения <р: Z^-JS положить 3^ = ?,» fyp^qy ди? = <?и> 9vf^=%.
Тогда предыдущие уравнения в развернутой форме таковы:
— — BjO — И [О, + «Л + IV, — «! F,

§ 5. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ	73
Этап (с) — переход на многообразие (9.1) — здесь выпол-
выполняется совсем просто, заменой в полученных равенствах вели-
величин и2, v2 их выражениями (9.1) через иъ vx. После перегруппи-
перегруппировки слагаемых результат этого этапа записывается в виде
уравнений, выражающих условие инвариантности уравнений (9.1)
относительно оператора (9.2):
^iK — °« + \ — U +
в? (щи - вб.) + v\ (Х - ?,) = О,
У	О + vi К+™, — % — u-rQ —
- и\ (и\ + вЕ.) - v\ (вт,, + У = 0.
Здесь хорошо видно, что левые части являются неоднородными
квадратичными формами от «свободных» переменных иг, vv
Этап (d) — расщепление условий инвариантности — сводится
к тому, что надо приравнять нулю коэффициенты при ии vly
и\, v\. Это и дает определяющие уравнения. По формуле (8.1)
должно получиться 12 уравнений, но в данном случае четыре
из них оказываются выполненными тождественно. Остается
всего восемь нетривиальных определяющих уравнений, которые
после небольшой обработки записываются в виде двух подсистем
К = \ч	\, = -ЩР,	*, = —ВТ». &в = т|у + о/Bи); (9.3)
\ = — в°.. т» = а„ + 3/Bи)' т^ = °2,'	Tjr = —ш*-	(9-4)
Определяющие уравнения сформированы и первая часть алго-
алгоритма 5.8 закончена.
Вторая часть — построение пространства решений системы
(9.3), (9.4) в этом примере, в определенном смысле, также дово-
доводится до конца. Следует заметить, что уравнения (9.4) дают вы-
выражения для всех производных от т, ввиду чего из них следуют
шесть условий совместности, имеющих вид уравнений второго
порядка для одной функции о. Легко проверить, что необходи-
необходимым следствием этих уравнений являются равенства оя= а =0.
Но тогда из (9.4) получается, что также ta.= ту=0. Поэтому коор-
координаты а, т фактически суть функции только от переменных и,
v и, как таковые, должны удовлетворять первым двум уравне-
уравнениям (9.4).
Аналогично уравнения (9.3) дают выражения для всех про-
производных от Ч, что влечет еще шесть условий совместности, не-
необходимыми следствиями которых являются уравнения
¦4» = — та»' 3« = 7T*	(9-5)
Общее решение второго из этих уравнений есть а=м/ (у). Под-
Подстановка этого выражения в первые два уравнения (9.4) дает

74	ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
общий вид функций а, т, удовлетворяющих (9.4), (9.5)
С3, (9.6)
где С1, С2, С3 — произвольные постоянные. Из (9.5) в силу (9.6)
следует равенство f\x = —Си, присоединение которого к уравне-
уравнениям (9. 3) позволяет найти общий вид координат ?, ij:
Е = С1 (-ги, + у*) + С2* + ^ + Е°,
где С4 — еще одна произвольная постоянная, а 1° и т]°—функции
Z?2 (и, v) ->¦ /?, удовлетворяющие уравнениям
S2 = * 62 =-и*	(9-8)
Таким образом, общее решение определяющих уравнений (9.3),
(9.4) дается формулами (9.6), (9.7) и зависит от четырех произволь-
произвольных постоянных С1 и от произвольного решения (?°, т]0) системы
(9.8). Так как линейные уравнения (9.8) имеют бесконечное мно-
множество линейно независимых решений, то пространство реше-
решений L здесь бесконечномерно. Видно, что L можно представить
в виде прямой суммы i=?4 0Lm, где L4 — четырехмерное
пространство таких решений, для которых ?0=1]0=0, а подпро-
подпространство Lm бесконечномерно и состоит из таких решений,
для которых все С'=0.
Базис в L* можно выбрать, полагая одну из постоянных С
равной единице, а остальные — равными нулю. Это дает операторы
Сх • д = (-хи + уи?) дх - (ха + 2уи) ду + 2ииди + (—-§¦ и3 + | ^2) 3„
(9.9)
Общий оператор C-9^L4 есть произвольная линейная комби-
комбинация операторов (9.9)
^.д = С%-д.	(9.10)
Подпространству L" соответствует бесконечное множество ли
нейно независимых операторов вида
О>.0 = 5>, у)а, + т)°(в, у)Зу.	(9.11)
На этом вторая часть алгоритма заканчивается. Дальнейшее
изучение пространства L связано с его алгебраической структу-
структурой, о которой пойдет речь в § 7.

§ 6. ЗАДАЧА ГРУППОВОЙ КЛАССИФИКАЦИИ	75
Третья часть алгоритма — образование множества Г всех
групп G1 (С), соответствующих найденным операторам С-д, в этом
примере может быть проведена до конца. Как будет показано
в главе IV, для этого достаточно найти группы G1 (Q (i = l, 2, 3, 4)
с базисными операторами (9.9) и общий вид группы G1 (С0) с опе-
оператором (9.11). Для оператора переноса ^3-д и операторов растя-
растяжения С2-д, С4-<9 построение очевидно (см. 1.15). Для оператора
^•д решение уравнений Ли 1A4.3) таково:
/Г ns, ivx — 2u2y\ i
х'=\_х- Sau/. 4ц, + 9рГ] w
4u3 + 9 у2
Аи3 + 9 (у — аи 1г)
Наконец, для оператора (9.11) преобразования группы G1 (С0)
с любым конкретным решением (?°, if) системы (9.8) таковы:
х' =x-{-al°(u, и), у1 = у + ач\°(и, у), и> =и, v'=v. (9.13)
Здесь справедливо утверждение: множество преобразований,
порожденное преобразованиями — элементами групп G1 (С,) и
G1 (С0) совпадает с множеством Г, которое в свою очередь совпа-
совпадает с основной группой GE системы (9.1); доказательство свя-
связано с привлечением теории, развитой в главе IV.
§ 6. Задача групповой классификации
1. Общие соображения. При изолированном рассмотрении
каждого из множеств: дифференциальных уравнений и групп
преобразований — вопросы классификации принадлежащих им
объектов решаются на основе введения признаков разной при-
природы. Для дифференциальных уравнений классифицирующими
признаками могут быть тип (п, т, к, s), свойства линейности и
квазилинейности, свойства активности и пассивности и многие
другие. Для групп преобразований в качестве таких признаков
служат изоморфизмы и гомоморфизмы, структурные свойства,
подобие, включение и много других. Однако в групповом анализе
эти два множества изучаются совместно, на основе установлен-
установленного в § 5 соответствия Е ->• GE между системой дифференциаль-
дифференциальных уравнений Е и ее основной группой GE.
Это соответствие является отображением и приводит к рас-
расширению классификационных возможностей для каждого из
упомянутых множеств. Так как отображение Е -> GE не является
взаимно однозначным, то влияние классифицирующих признаков

76	ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
групп преобразований на классификационные возможности для
дифференциальных уравнений должно быть, вообще говоря,
более сильным, чем обратное влияние. Поэтому на первый план
выдвигаются задачи групповой классификации дифференциаль-
дифференциальных уравнений (а не задачи «дифференциально-уравненческой»
классификации групп).
Одним из сильных классифицирующих признаков является
подобие групп преобразований. Если основные группы каких-
либо уравнений подобны, то групповые свойства этих уравне-
уравнений, вообще говоря, одинаковы. Например, если систему Е
преобразовать путем «замены переменных» в систему Е', то основ-
основные группы GE и GE' оказываются подобными. Поэтому группо-
групповой анализ одного уравнения Е является на самом деле групповым
анализом сразу всего класса уравнений, получаемых из Е «за-
«заменой переменных».
В дальнейшем ставится задача о такой классификации диффе-
дифференциальных уравнений, которая индуцируется частичным по-
порядком — упорядочением по включению, существующим в мно-
множестве групп преобразований фиксированного пространства Z.
В полной постановке эта задача весьма сложна ввиду того, что
одна и та же группа GE может быть основной группой уравне-
уравнений Е совершенно различной структуры. Поэтому здесь задача
сужается до рассмотрения класса уравнений фиксированного
строения, меняющихся лишь за счет так называемого «произволь-
«произвольного элемента».
Оказывается, что, несмотря на такое сужение задачи группо-
групповой классификации дифференциальных уравнений, она все еще
играет большую роль в прикладных вопросах, позволяя оптими-
оптимизировать выбор аналитической формы экспериментальных зави-
зависимостей, входящих в математические модели физических про-
процессов,
2. Преобразования уравнения. Пусть дано уравнение Е
вида 5A.1) с отображением в: Zfc-*-J?*. С помощью преобразований
p^r(Z) и qf^i(R') (диффеоморфизмов класса С^, причем р удов-
удовлетворяет условию 4. 5) можно построить новое отображение е' =
= qosop~1, где к-е продолжение р отображения р определено в 4.5.
к	к
Отображение е' будет называться подобным отображению е, а пара
(Р> Я) — преобразованием подобия. Уравнение Е1: е' (z) = 0 или
qoSop-1(z) = 0	B.1)
к к
равносильно уравнению 5A.1), если и только если д@)=0«
При выполнении этого условия заданное уравнением B.1) мно-
многообразие Е' с Zk называется подобным многообразию Е. Оче-
Очевидно, что переход Е -»- Е1 осуществляется преобразованием р

§ 6. ЗАДАЧА ГРУППОВОЙ КЛАССИФИКАЦИИ	77
пространетва Zk, под действием которого по формуле z'=p(z)
к	к к
точка z ?Е переходит в точку z'(*E'.
h	ft
Основное классификационное свойство пары (Е, GE) утвер-
утверждается следующим простым, но важным предложением.
Теорема. Основные группы GE и GE1 равносильных уравне-
уравнений Е и Е' подобны, причем соотношение подобия 1A1.2) пре-
преобразований h^GE и h1 ?GE' есть h1 —pohop'1.
Доказательство. Так как Е допускает преобразование h,
то z ? Е влечет Z — h(z)?E. Преобразование р переводит точку z
к	к к к	к	к
в точку z' =p(z)?E', причем г' — произвольная точка многообра-
к	к к	к
зия Е>. Так как
go sop (A' (z1)) — (qoeo p~x)o (poho р'1) (р (z)) ~ qoe (z) = 0,
к к к	к	к к к к к	к
то h'(z')?E'. Ш
к к
На практике эта теорема широко используется при изучении
групповых свойств какого-либо уравнения Е для предваритель-
предварительного упрощения этого уравнения за счет подходящего преобра-
преобразования подобия (р, q). Последнее есть не что иное, как уже упо-
упоминавшаяся классическая «замена переменных», которая, таким
образом, никак не влияет на групповую структуру дифферен-
дифференциального уравнения.
3. Произвольный элемент. Рассматривается вспомогательное
пространство T = Rl векторов tfcT, называемое пространством па-
параметров, и отображение е: Т X Zk~> R'. Предполагается, что для
любого t?T частное отображение е,: Zk-^-It' удовлетворяет усло-
условию 5.1.
Для каждого отображения 0: Z^ T, действующего по формуле
t = б (z), определяется с.ложное отображение е F): Zk -* -Е*, дей-
действующее по формуле е F) (z) = е F (z), z). Эта конструкция позво-
к	к
ляет определить класс дифференциальных уравнений, представи-
представители которого определяются заданием отображения 0: Z-* Т и
имеют вид
e(8)(z) = O.	C.1)
к
Уравнение C.1) будет называться уравнением с произволь-
произвольным элементом 6 и обозначаться символом Е(Ь).
Данное определение может быть расширено, если рассмотреть
произвольный элемент G как отображение Zk> -> Т для некото-
некоторого к' <^ к, большего нуля. Многие свойства, вытекающие из
такого расширенного истолкования произвольного элемента, ана-
аналогичны тем, которые получаются на основе данного определения.

78	ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
Можно сказать, что все уравнения класса C.1) имеют одну
и ту же дифференциальную структуру (иногда то же самое выра-
выражают, говоря, что эти уравнения имеют один и тот же «вид»),
определяемую частным отображением et: Zk -> R* и отличаются
друг от друга только «значением» произвольного элемента 6.
Эта конструкция дает возможность подвергнуть групповому
анализу такие дифференциальные уравнения, которые содержат
какие-либо параметры или функции, не строго фиксированные
в конкретном исследовании.
Понятие произвольного элемента возникло из того факта, что
многие конкретные задачи математической физики связаны с ре-
решением дифференциальных уравнений, содержащих экспери-
экспериментально определяемые параметры или функции. При этом
последние часто задаются в виде таблиц или графиков. Эти-то
параметры и функции и играют роль произвольного элемента.
Техника групповой классификации позволяет целенаправленно
выбирать аналитический вид таких функций. Одной из целей,
которой при этом можно добиваться, может служить достижение
максимально широкой основной группы.
4. Преобразования эквивалентности. Под действием преобра-
301 ания р: Z —> Z из 6.2 произвольный элемент 6 переходит в Ьор~1.
Для всего класса уравнений Б(Ь) преобразование подобия действует
на отображение е(9): Zk->RS no формуле
е @) -* е' F) = дое (бо/Г^о/Г1.
к
При этом уравнение e'F)(z) = 0, которое в предположении д@) = 0
Тс
Кгожет быть записано и виде
&(bop-l)op-1{z) = 0,	D.1)
к к
равносильно уравнению C.1).
Для задач групповой классификации существенно определение
таких преобразований, которые действуют только на произвольный
элемент G, сохраняя дифференциальную структуру уравнения Е (б).
С этой целью рассматриваются преобразования w пространства
Т X Z, действующие по формуле вида w(t, z) = (<}>(?, z), p{z)), где
p — преобразование пространства Z, а отображение ф: Т X Z -*• Т
обладает тем свойством, что для каждого z^Z частное отображе-
отображение Ф/. Т-* Т является преобразованием пространства Т. Продол-
Продолжением w преобразования w называется его продолжение только
к
по второй компоненте, т. е. отображение w: Т X %>ъ -*¦ Т X Zk, дей-
к
ствующее по формуле
w(t, z) = (ty(t, z), p(z)).
к	к	к к

§ 6. ЗАДАЧА ГРУППОВОЙ КЛАССИФИКАЦИИ	79
Определение. Преобразование w пространства Т X Z на-
называется преобразованием эквивалентности отображе-
отображения е: Т X Zk-*-JRs, если существует такое преобразование q
пространства R', с которым выполнено равенство отображений
sow = qoe.	D.2)
Значение преобразований эквивалентности для задач группо-
групповой классификации определяется двумя свойствами этих пре-
преобразований.
Во-первых, преобразование эквивалентности действует только
на произвольный элемент 9, сохраняя структуру дифференциаль-
дифференциального уравнения E(d). Для того чтобы это показать, достаточно
записать равенство D.2) в точке (9 (г), г), где z = p{z), в виде
к
дое(Ъор-Ц2), р-1B)) = в(Ц2), z),
к к	к
где в = фо@о/Г1, /Г1). В силу D.1) уравнение еF)(г) —0 равно-
к
сильно уравнению C.1) с тем же отображением е. Следовательно,
уравнение Е @) — это то же самое уравнение Е @), но с другим
произвольным элементом — 0 вместо 9. Поэтому применительно
к уравнению преобразование w можно назвать также преобразо-
преобразованием эквивалентности произвольного элемента 9. Это пре-
преобразование может быть выделено в явном виде
еB)-ЭB) = фF(р-1(г), /Г1 (*)))•	G'-3)
Кроме того, так как уравнение Е (в) равносильно уравнению Е (9),
то в силу теоремы 6.2 группы, допускаемые этими уравнениями,
подобны.
Во-вторых, преобразования эквивалентности образуют группу.
Действительно, если w' — другое преобразование эквивалент-
эквивалентности (вместе с соответствующим ему q'), то
zowow1 = qo so w' =q oq' о s,
и остается заметить, что wow' ^wow'. Последнее равенство сле-
k k	k
дует из определения w и основного свойства продолжения (лемма 4.6),
так как, если ц>'=(ф'( р1), то
wow' =(tyto<!?', рор') = $жо^ pop') = wow'.
k k	к к	к	к
Уместно отметить еще, что в силу определения D.2) продолжен-
продолженное преобразование эквивалентности w оставляет инвариантным

80	ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
уравнение Е (t):
e(t, z) = 0.	D.4)
к
Поэтому любое преобразование эквивалентности w допускается
уравнением D.4) в смысле 5.2.
В дальнейшем, как правило, будут рассматриваться только
такие преобразования эквивалентности, которые принадлежат
однопараметрическим группам G1 преобразований вида w про-
пространства TxZ. Группа GE (t), порожденная такими группами G1
преобразований эквивалентности, будет называться группой зпви*
валентностей любого уравнения Е @), получаемого из уравне-
уравнения Е (t) для какого-либо конкретного отображения G: Z-> Т.
Отыскание группы эквивалентностей осуществляется с по-
помощью алгоритма 5.8. При этом следует учитывать специфическое
строение искомого преобразования w, а также возможные спе-
специальные, заранее известные свойства произвольного элемента
(например, независимость от некоторых координат вектора z).
5. Задача классификации. Пусть GE(%) — основная группа
уравнения Е{Щ, заданного равенством C.1). Когда б пробегает
множество отображений Z-> T, получается некоторое множество
групп GE(Q). Группа GE0, равная пересечению всех групп GE @),
будет называться ядром основных групп. В силу ее опреде-
определения, группа GE0 допускается уравнением #@) с любым произ-
произвольным элементом 0. Так как GE0 CZ GE @) для каждого конкрет-
конкретного 0, то каждая группа GE (б) является расширением группы GE0.
Каждое конкретное отображение 9: Z-^> T можно назвать спе-
специализацией произвольного элемента. В этих терминах ста-
ставится следующая задача групповой классификации класса урав-
уравнений.
Задача. Для класса дифференциальных уравнений Е(Щ
найти ядро основных групп GE0 и все специализации произволь-
произвольного элемента 6, дающие расширение группы GE0.
Отыскание ядра основных групп упрощается в силу приводи-
приводимой ниже теоремы, формулировка которой имеет следующий
смысл. По определению, каждое преобразование эквивалент-
эквивалентности w\ TxZ~> TxZ состоит из двух компонент w=(ty, p),вто-
p),вторая из которых есть некоторое преобразование пространства Z.
Поэтому можно сказать, что преобразование эквивалентности w
содержит преобразование р.
Теорема. Ядро основных групп GE0 содержится в группе
эквивалентностей GE(t).
Доказательство. Пусть С • д есть оператор какой-либо группы
G1 ciGE(t). Ввиду специального строения преобразования эквива-
эквивалентности w этот оператор можно представить в виде С • д = t • dt -\-
-f-C • df с касательными векторами х: ZY Т-> Т и ^ Z^-Z. Тогда

§ 6. ЗАДАЧА ГРУППОВОЙ КЛАССИФИКАЦИИ	81
условие инвариантности уравнения D.4) относительно группы G1 (С)
будет
[(т.0,)в(*, z) + (C.3,)e(t, *)]|Я(<)=0.	E.1)
fc	*:	к
С Другой стороны, условие инвариантности уравнения Е(Ь) отно-
относительно группы GX(C) dGE0 с касательным вектором С." Z-+-Z
таково:
|((С • 3,N(*)) • 3,«F(z), *) + (С- 0,)в(в(*), *)]|Я(в)=0. E.2)
Для группы Gfi'o равенство E.2) должно быть выполнено, ка-
каково бы ни было отображение 0. Поэтому можно заменить 6 (z)
на t всюду, кроме члена (C-5J 8 (z). Кроме того, всегда можно
выбрать отображение 6 как решение уравнения (t-d,) 9 = -.
После этих операций условие инвариантности E.2) полностью
совпадает с E.1). Следовательно, касательный вектор С группы
G1 (С) CZ GE0 входит в решение уравнения E.1), и потому
группа G1 (С) содержится в группе GE (t). H
6. Описание процесса решения. Для решения задачи классифи-
классификации строится условие инвариантности E.2), которое расщеп-
расщепляется относительно «свободных» координат векторов у, . . ., у.
1	к
В полученных определяющих уравнениях DE (б) делается пред-
предположение о произвольности 0 (и производной дО), что приводит
к дополнительному расщеплению уравнений DE (G) и дает опре-
определяющие уравнения DE0 ядра основных групп. Множество
решений уравнений DE0 образует пространство векторных по-
полей Lo. В конечномерном случае пространство Ьо задается ука-
указанием его базиса.
Затем решаются определяющие уравнения DE (8). Ввиду
переопределенности системы DE F) это связано с формированием
условий совместности, в результате чего возникают уравнения,
содержащие только произвольный элемент 6. Эти постедние
уравнения являются классифицирующими: для каждого их ре-
решения 0 получается некоторое пространство Ь @) векторных
полей, касательных к группам G1, допускаемым уравнением Е F).
В силу теоремы 6.5 каждое пространство Ь @) содержит Lo и
потому (в конечномерном случае) может быть задано указанием
дополнения базиса пространства Lo до базиса пространства L F).
Классификация получаемых решений вьшолняется по признаку
эквивалентности. Для этого предварительно строится группа
эквивалентностей GE (t) уравнения Е @), как основная группа
Уравнения Е (t). Ее определяющие уравнения получаются из
условия инвариантности E.1).
Важным свойством классифицирующих уравнений является то,
что они допускают группу эквивалентностей GE (t). Это следует

82	ГЛ.' II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
из того, что классифицирующие уравнения по построению зави-
зависят только от дифференциальной структуры уравнения Е F),
а эта структура инвариантна относительно любых преобразований
эквивалентности. В силу теоремы 5.6 указанное свойство при-
приводит к тому, что преобразования произвольного элемента
вида D.3) для w ? GE (t) действуют на множестве решений клас-
классифицирующих уравнений. Поэтому задача классификации сво-
сводится к разбиению множества всех решений классифицирующих
уравнений па классы решений, эквивалентных относительно
действия группы GE (t) на этом множестве.
Это действие определяется по формуле D.3) и с помощью
него из каждого класса эквивалентных решений отбираются их
типичные представители, имеющие по возможности наиболее
простой аналитический вид.
Окончательным итогом решения задачи групповой классифи-
классификации класса уравнений Е F) является таблица с указанием
отобранных представителей произвольного элемента 6 и соот-
соответствующих пространств векторных полей L F) (их базисов),
расположенных в порядке возрастания по включению.
7. Пример: нелинейная теплопроводность. Рассматривается
уравнение типа ЕB, 1, 2, 1), которое и индивидуальных обозна-
обозначениях координат X = R2(x, t), Y = R{y), Z = Rx(x, t, у), Yx =
— ЯЧУх, Уз) и Y2 = B4yiv Уiz' 2/22) имеет вид
+ *'(у)уЪ	G.1)
Здесь 9: JR-*_R— произвольный элемент и W (у) = дЬ(у). Если и:
1Р(х, ?)-н»_К есть решение этого уравнения, заданное формулой
у z=z и (х, t), то его продолжение та кота:
У1 = дхи(х' *)' У-л = др{х, t), уп = д-^и(х, t), ...
В силу этих обозначений решение удовлетворяет тождеству
которое показывает, что G.1) является одномерным уравнением
нелинейной теплопроводности, причем и (х, t) есть температура
в точке х в момент времени t, а коэффициент теплопроводности S —
некоторая функция температуры. Для уравнения G.1) решается
задача групповой классификации по отношению к произволь-
произвольному элементу 6. Предполагается, что 6 > 0.
Допускаемый уравнением G.1) оператор ищется в виде
где каждая из координат I, ц, а есть искомая функция Z-+-R.
С помощью операторов полного дифференцирования Dv D2 — коор-
координат оператора D

§ 6. ЗАДАЧА ГРУППОВОЙ КЛАССИФИКАЦИИ	83
вычисляется первое продолжение оператора G.2)
ai = -°1а
и его второе продолжение
с. з =", • д+риз,„ + рцз,и
Выражения для Р12 и K22 в результат действия оператора С • д на
2
уравнение G.1) не входят.
Дальнейшие выкладки, согласно этапам (b) — (d), первой
части алгоритма 5.8 выполняются автоматически. Переход на
многообразие Е осуществляется просто подстановкой выраже-
выражения у2 из G.1). При этом роль «свободных» координат играют yv
Ухъ 2/i2' J/22- Ё результате расщепления условия инвариантности
по этим переменным получатся после небольшой обработки
следующие уравнения DE, в которых индексами х, t, у обозна-
обозначены соответствующие производные дх, dt, ду и 6" = дгр%:
ow = 0, вB5я-г1/)-в'о = 0;	G.3)
- S«) + 2D + Е, = 0, во„ - о, = 0.
Определяющие уравнения DE0 ядра основных групп полу
чаются из G-3) как результат предположения о том, что вели-
величины 0 и 0' суть независимые «свободные» параметры. Следова-
Следовательно, уравнения DE0 состоят из уравнений первой строки G.3)
И дополнительных уравнений
3 = 0, Е, = 0, ?„ = 0, 25,-^ = 0.
Отсюда следует, что ? —?(ж), tj = ?](?) и функция <; линейна. По-
Поэтому общее решение уравнений DE0 таково:
где Сх, С2, С3 — произвольные постоянные. Итак, группа GE0
порождена преобразованиями, принадлежащими трем груп-
группам G' (С), касательные векторы которых ?=(?, т], о) получаются
из G.4), если одну из постоянных С( положить равной единице,
а остальные — равными нулю. Это дает базисные векторы про-
пространства Lo
^=A, 0, 0), С2 = @, 1, 0), Cj=(a;, It, 0).	G.5)

84	ГЛ. И. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
Группа эквивалентностей уравнения G.1) ищется в классе
уравнений, объединенных условием, чтобы произвольный эле-
элемент 8 зависел только от у и чтобы 8' (у)=д® (у). Поэтому пре-
преобразования, действующие на 0, должны допускаться системой
уравнений
дхь = о, 5,6=0, зуе = б'.	G.6)
Для отыскания группы эквивалентностей уравнение G.1) запи-
записывается в виде
У2 = *Уп + Ъ'у1	G-7)
и для системы G.6), G.7) решается задача построения основной
группы преобразований пространств ZX T=R6(x, t, у, 6, О').
Йнфинитезимальный оператор ищется в виде
С-д = С-д4-7т<?в-)-pus	G.8)
где С • д есть оператор вида G.2), а те, р являются искомыми функ-
функциями ZXT-*¦ R. При этом ввиду независимости вектора С от
переменных 9, 8' условие инвариантности должно быть расщеплено
также и по этим переменным.
Счет здесь вполне элементарен, и можно привести конечный
результат. Пространство L оказывается шестимерным, причем для
всех допускаемых векторов р=0. Базисные векторы G.8) могут быть
выбраны такими (нулевые значения последних координат опущены):
^ = A, 0, 0), С2 = @, 1, 0), С3 = @, 0, 1),
Zt = (x, 2t, 0), ?, = @, 0, у), С6 = @, -*, 0, б). (/-']
Сравнение G.5) с G.9) дает иллюстрацию к теореме 6.5.
Поскольку 8 есть функция только от у, преобразования экви-
эквивалентности, действующие на 0, порождаются группами G1 (Q,
G1 (СБ) и G1 (Св). Легко проверить, что при этом получается следую-
следующее трехпараметрическое (с независимыми параметрами а, Ь, с)
семейство преобразований
у = ау-\-Ъ, 9 = св.
Отсюда следует общая формула преобразования эквивалентности
произвольного элемента D.3), которая может быть записана в виде
G.10)
Теперь можно приступить к классификации. Первым класси-
классификационным шагом является рассмотрение двух возможностей:
0' ^4 0 или 9'=0. Уравнение 8'=0 является классифицирующим
(см. 6.6), и оно, очевидно, инвариантно относительно преобразо-
преобразования G.10). Эта возможность относится к линейному уравнению
G.1) и будет рассмотрена позже.

§ 6. ЗАДАЧА ГРУППОВОЙ КЛАССИФИКАЦИИ	85
Пусть 0' у» 0. Тогда из G.3) следует выражение
-1,).	G.И)
Так как ayj, = 0, а S, т) не зависят от г/, то отсюда
где штрихами обозначены производные по у. Предположение
21Х—т^=0 влечет о=0, и тогда из G.3) следуют равенства
^=0, 1^=0, т. е. получаются в точности уравнения/)^. Альтер-
Альтернативой этому предположению является равенство
F/6')" = 0,	G.12)
которое является классифицирующим уравнением. Расширение
основной группы GE @) по сравнению с GE0 возможно, только
если функция 0 удовлетворяет уравнению G.12). Из G.12) следует,
что
с некоторыми постоянными к, I. Если перейти к ^эквивалентной
функции 9 согласно G.10), то это уравнение примет вид (черта
над 0 опускается)
Теперь видно, что надо изучить две возможности: к—О и к =?= 0.
Если к=0, то за счет выбора а=1 получается уравнение
0' = 8 с общим решением 0=Cey. В силу G.10) представителем этого
класса является функция 0=еу. В этом случае из G.11) получается
о=2?х— t\t и оставшиеся определяющие уравнения G.3) (послед-
(последняя строка) приводятся к следующим:
Общее решение всей системы DE (еу) таково:
где С{ — произвольные постоянные. Сравнение с G.4) показы-
показывает, что пространство решений L (е^) получается из Lo путем рас-
расширения (за счет константы С4) с помощью вектора ?4=@, —t, 1)-.
Если к =^= 0, то за счет выбора b=—Ilk получается уравнение
9/8'=Аг/ или 0'/9=тг/~1, где т=1/к. Общее решение есть 8=Сг/,
представителем которого в силу G.10) является функция 0=z/"\
Здесь G.11) дает о=к B%х—\) у и оставшиеся уравнения G.3)
после расщепления по переменному у приводятся к следующим:
)
Предположение 3/га+4=0 является классифицирующим. Если
Зт+4 ^= 0, то расширение Lo происходит лишь на один вектор

86	ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
C4=(m.r, 0, 2у). Если же Зт+4=0, т. е. т=—4/3, то решение остав-
оставшихся определяющих уравнений G.3) и G.13) показывает, что,
кроме вектора С4=(—2х, О, Зу), получается еще один независимый
вектор С5=(—хг, О, Зху).
Итак, в случае 6' =?= 0 получается следующая классификацион-
классификационная схема (верхний индекс в символе пространства Lk решений
определяющих уравнений указывает размерность этого простран-
пространства):
8. Случай линейного уравнения. Если в предыдущем примере
6=const, то уравнение G.1) становится линейным, эквивалентным
уравнению
У'¦> = Уи-	(8-1)
В этом случае система определяющих уравнений G.3) упрощается
до следующей:
Ъ = 0, Ц, = 0, 6, = 0, 26.= ч,;
"„ = 0, 2о„ = -6„ *„. = *,.	(°-J
Общее решение системы (8.2) находится без каких-либо затрудне-
затруднений и может быть представлено формулами
% = C1-\-Cix — 2CJ — iCbxt, т) = Са + 2C8i — ACbt2,
о = (Ct + С4а: + С5 (Жа + 20) У + «° (*. t),
где С,. — произвольные постоянные, аи0 — любое решение урав-
уравнения (8.1). Это приводит к тому, что пространство L A) для урав-
уравнения (8.1) оказывается бесконечномерным. Выражая этот факт,
говорят, что основная группа является бесконечной.
Свойство основной группы быть бесконечной всегда справед-
справедливо для любых линейных уравнений Е. С точки зрения действия
группы на множестве решений это свойство равносильно тому, что
множество решений линейного уравнения образует бесконечно-
бесконечномерное векторное пространство (решения можно складывать и
умножать на числа, не выходя за пределы множества решений).
Аналогичный факт уже отмечался в примере 5.9.
Если обозначить бесконечную часть пространства L A), обра-
образованную векторами С=@, 0, и0 (х, t)) символом L00, то L A)
можно представить в виде прямой суммы L A)=L6 A) © L00, где
шестимерное пространство L6 A) получается, если положить
и°=0. Базис в L6 A) можно выбрать состоящим из векторов G.5),
соответствующих постоянным Сг, С2 и С3, и дополнительных

§ 7. АЛГЕБРА ЛИ ОПЕРАТОРОВ	87
векторов, получаемых за счет постоянных С4, С5 и Св:
^ = (~2t, 0, ху), С6 = (-4а*, -4*2, (а:2 + 2*) у), С, = @, 0, у). (8.3)
Тем самым задача групповой классификации уравнения G.1)
решена до конца.
§ 7. Алгебра Ли операторов
i. Коммутатор. Пусть X— банахово пространство. Рассмат-
Рассматриваются векторные поля \ : X -»• X класса Сот (X). Так как
операции сложения и умножения на вещественные числа вектор-
векторных полей дают снова векторные поля, то множество всех вектор-
векторных полей на пространстве X само образует векторное простран-
пространство (над полем R). Это пространство будет обозначаться сим-
символом S (X) (или просто 3, если это не вызовет недоумений) и
называться пространством векторных полей на пространстве X.
В локальной теории рассматриваются векторные поля на открытом
множестве V с X класса Ст (V), соответственно чему образуется
пространство векторных полей 3 (V) на множестве V.
Коммутатором векторных полей %х, %2?E называется век-
векторное поле, обозначаемое символом ft, ?.,] и определенное формулой
&. У = ^2<Е1>-5с1<|2>.	A.1)
С использованием понятия инфинитезимального оператора 2.6 это
определение может быть записано в виде
ft, У = E1-аNа-E2.5M1.	A.2)
Понятие коммутатора векторных полей обычно переносится и
на определяемые этими полями операторы. Именно, оператор
[ ?i, Sabd называется коммутатором операторов ^3 и ^"д, что
выражается формулой
ft. 5, Ea-0] = ft, У -д.	A.3)
Эта формула означает, что символ коммутатора [ , ] векторных
полей перестановочен со скалярным умножением векторного поля
на оператор дифференцирования д, в силу чего безразлично, го-
говорить ли о коммутаторе операторов или о коммутаторе векторных
полей.
2. Действие на отображение. Первоначально понятие коммута-
коммутатора операторов возникло из определения действия операторов
на отображения, когда такое действие требуется произвести не-
несколько раз последовательно, но разными операторами. При этом
оказывается справедливой формула
(Si • д) (% -д)-(Ъ-д) ft • д) = ft, у • <?,	B.1)

88	ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
выражающая тот факт, что результаты действия левой и правой
частей на любое отображение между собою равны.
Для проверки формулы B.1) надо вспомнить, что результат
действия оператора J-5 на какое-нибудь дифференцируемое отоб-
отображение F: X-> Y определяется как значение производной
dF на векторе ?, т. е. {%•&) F=dF(%}. Следовательно, в силу этого
определения и правил дифференцирования
(l1-d){^-d)F = d{dF(l2
Если переставить векторы |1( ?2 и учесть свойство симметричности
второй производной d*F, то после вычитания и использования A.1)
получится
ft • д) ft • д) f - ft • а) (I,
т. е. равенство B.1).
Приведенные выкладки показывают, что операторное равен-
равенство B.1) равносильно определению коммутатора [?и ?2].
3. Алгебраические свойства. Определением A.1) в простран-
пространстве векторных полей S вводится бинарная операция, сопоставля-
сопоставляющая упорядоченной паре (?lt ?2) векторное поле [ ?i, S2]^S.
Она называется операцией коммутации.
Введение операции коммутации наделяет пространство S
определенной алгебраической структурой. В главе IV эта струк-
структура будет описана аксиоматически в абстрактных терминах.
Здесь в силу конструктивного определения операции коммутации
на пространстве векторных полей можно установить следующие
ее алгебраические свойства.
1°. Операция коммутации билинейна. Это означает, что для
любых векторных полей ?1; ?2' ?з и любых чисел a, b справедливы
тождества
, У,
, У-
2°. Операция коммутации антисимметрична. Это означает,
что для любых векторных полей ?l5 ?2 справедливо тождество
3°. Операция коммутации удовлетворяет соотношению Якоби.
Это означает, что для любых векторных полей ?1( ?%, ?3 справед-
справедливо тождество
[ft, У, У + [[6а, У- y + [fe У, У = о.
Проверка этих свойств выполняется просто с помощью лю-
любого из определений коммутатора A.1), A.2) или B.1). Например,

S 7. АЛГЕБРА ЛИ ОПЕРАТОРОВ	89
для проверки 3° с помощью B.1) достаточно заметить, что
[&, У, У • <?=(&, у • 5)(?з • а)-F, • д)([ех, у • а) =
- E, • д) & • д) (Sa ¦ 5) + (Е, • д) Eа
и сделать круговую перестановку индексов 1 -> 2 -> 3 -> 1.
После сложения трех полученных равенств все слагаемые справа
взаимно сократятся и 3° доказано.
4.	Определения. Рассматривается подпространство L про-
пространства векторных полей S, т. е. подмножество LcS, само
являющееся векторным пространством.
Пространство L С 3 называется алгеброй Ли операто-
операторов (или векторных полей), если оно замкнуто относительно
операции коммутации, т. е. если для любых 5Х, ?,, ? ? также
&. У6?-
Примерами алгебры Ли операторов являются все простран-
пространство S и нулевое подпространство {0} С 3, состоящее из одного
нулевого векторного поля. Другой пример дает любая одномер-
одномерная алгебра Ли — множество всех векторных полей вида at, по-
получаемых умножением фиксированного векторного поля ? на
всевозможные числа a?R.
Размерностью алгебры Ли операторов L называется размер-
размерность L как векторного пространства. Конечномерная алгебра
Ли размерности г называется также r-мерной алгеброй Ли и обоз-
обозначается символом U. В частности, любая одномерная алгебра
Ли имеет размерность, равную единице, и обозначается симво-
символом L1.
Алгебра Ли L называется абелевой (или коммутативной), если
[5ц ?2]=0 для любых iv ?2(*-^- Например, любая одномерная
алгебра Ли L1 — абелева.
Если L — алгебра Ли операторов и подпространство L' с L
само является алгеброй Ли, то L' называется подалгеброй алгебры
Ли L. Другими словами, подпространство L' с L, есть подалгебра
в L, если [Sd |2]^Ь'для любых ?1( ?2Е^'- В частности, любая ал-
алгебра Ли L CL 3 может рассматриваться как подалгебра алгебры
Ли S.
Подалгебра Ли L' CZ L называется идеалом, если для любого
?' ? U и любого 5 ? L коммутатор [ 5', S ] 6 -?'•
5.	Структурный тензор. Пусть дана алгебра Ли операторов
?г С 3 (-ЗГ). Конечномерность векторного пространства Z/ означает,
что в нем существует базис — набор из г линейно независимых
векторных полей {^} — (|1; ..., ?г). Для любого векторного поля X ? /7
существует однозначно определяемый по $ набор чисел {с*} =
= (с1, ..., сг) — координат векторного поля S в базисе {?,}, с кото-
которым выполнено равенство $ = с%.

90	ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
Поскольку для любых i, /= 1, .... г коммутатор [^, \j\^.Lr, то
справедлива формула разложения по базису {!,.}
[?., $.] = С^к.	E.1)
Числа Cfj называются структурными константами алгебры Ли U
в базисе {1{}.
Следующий очевидный, но практически важный критерий ис-
используется в приложениях для установления того, что некоторое
векторное пространство U с S есть алгебра Ли.
Критерий. Векторное пространство L'cS является
алгеброй Ли векторных полей, если и только если для векторов
какого-либо базиса {%(}С.ЬГ выполнены соотношения вида E.1).
Легко проверяется, что при переходе от одного базиса в I/
к другому числа С*\, изменяются как компоненты тензора третьего
ранга. Поэтому набор чисел {С*.} называется также тензором
структурных констант или просто структурным тензором ал-
алгебры Ли L''. Сам этот тензор, конечно, от базисов в U не зависит
и потому будет обозначаться одним символом С. Тогда определяе-
определяемые равенством E.1) структурные константы С*, суть компоненты
структурного тензора С в базисе {?,•}•
Свойствам 3.1°—3° операции коммутации соответствуют опре-
определенные, равносильные им для алгебр Ли U свойства структур-
структурных констант. Свойство 3.1° билинейности коммутатора равно-
равносильно тому, что С*, являются компонентами структурного тен-
тензора С. Свойство 3.2° антисимметричности равносильно антисим-
антисимметричности С*, по нижним индексам:
Наконец свойство 3.3° — тождество Якоби — равносильно соот-
соотношению
которое также называется соотношением Якоби для структурных
констант.
6. Линейные отображения алгебр Ли. В теории алгебр Ли
большую роль играют определенные классы линейных отображе-
отображений алгебр Ли как векторных пространств. Пусть L и К — две
алгебры Ли операторов, причем L a S (X) hZcS (Y), где ба-
банаховы пространства 1иГ, вообще говоря, различны.
Линейное отображение у: L -*¦ К называется гомоморфизмом
(или гомоморфным отображением) алгебры Ли L в алгебру Ли К,
если для любых ?, ?' (< L выполнено равенство
Т<в Е']> = [Т<6>, Т <?'>]•	(бЛ)
В силу F.1) при гомоморфизме у: L ->• К образ т (L) является
подалгеброй алгебры Ли К.

§ 7. АЛГЕБРА ЛИ ОПЕРАТОРОВ	91
Гомоморфизм у: L -*¦ К называется изоморфизмом, если ли-
линейное отображение у является взаимно однозначным. Следует
различать случаи изоморфизма, когда образ *( (L) = K или когда
только y(L)ciK. Если изоморфизм у таков, что y(L)=AT,
то говорят об изоморфизме на или об изоморфном соот-
соответствии алгебр Ли L и К. В этом случае алгебры Ли Ьж К назы-
называются изоморфными. Если же имеет место строгое включение
Т (L) С К, то говорят об изоморфном вложении алгебры Ли в ал-
алгебру Ли К; в этом случае обратный изоморфизм у определен
только на подалгебре у (L) (~ К.
Если дан гомоморфизм у: L -> К, то множество тех j- («L,
для которых у<(?^=0, называется ядром гомоморфизма у. Очевидно,
что ядро любого изоморфизма состоит из одного нуля (нулевого
векторного поля). Ядро гомоморфизма у обозначается естествен-
естественным символом у @).
Каков бы ни был гомоморфизм у: L-+K, его ядро у"г@) есть
идеал в L. Действительно, если ^бу^)' то У^о/>==:О и Для
любого i? L будет
в силу чего также [?, ?0] 6 у @).
Изоморфизм a: L -> L называется автоморфизмом алгебры Ли
L. Другими словами, автоморфизм алгебры Ли есть такое линей-
линейное преобразование векторного пространства L, которое удовлет-
удовлетворяет тождеству F.1).
7. Критерий изоморфизма. Очевидно, что конечномерные изо-
изоморфные алгебры Ли имеют одинаковую размерность. Для уста-
установления изоморфизма алгебр Ли U и Кг используется следую-
следующий критерий.
Лемм а. Алгебры Ли U и Кг изоморфны, если и только если
их структурные тензоры совпадают. Это означает, что если у:
U -> Кг есть изоморфизм, то структурные константы алгебры
Ли U в базисе {?,.} равны соответствующим структурным кон-
константам алгебры Ли Кг в базисе (у^!,-I}; обратно, если в алгеб-
алгебрах Ли Lr и' Кг можно так выбрать базисы {1(} и {у]4}, что
структурные константы данных алгебр в этих базисах соответ-
соответственно равны, то алгебры Ли U и КТ изоморфны.
Доказательство. Если в U структурные константы опре-
определены формулой E.1) и у: U'-*¦ Кт есть изоморфизм, то в силу
F.1) также
>.	G.1)
Обратно, если наряду с E.1) в алгебре Кг также
[Ъ> 4j\ = Cb4>	G-2)

92
ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
то для линейного преобразования у: 17 -> Кг, однозначно оп-
определенного заданием на его векторах базиса равенством tO,v =
= г\{ (? = 1,. . ., г), оба соотношения G.1) и G.2) выполнены. Отсюда
F.1) следует для любой пары базисных векторов (%., ?.). По-
Поэтому в силу билинейности коммутатора равенство F.1) справед-
справедливо и для любых ?, ?' ? 17. Щ
8. Пример. Если r-мерное пространство векторных полей 17
задано указанием его базиса {?,.}, то свойство 17 быть алгеброй Ли
устанавливается с помощью критерия 7.5 путем составления
таблицы коммутаторов. Так называется квадратная гХг матрица,
в которой на пересечении ?-й строки и /-го столбца находится ком-
коммутатор [ ?., |;. ]. В силу свойства 3.3° эта матрица антисимметрична
и фактически надо вычислять только ее верхнюю половину.
В качестве примера берется пространство L6 операторов, до-
допускаемых линейным уравнением теплопроводности 6 (8.1).
Базис в L6 образован векторными полями 6 G.5) и 7 (8.3) на про-
пространстве Z=.K3 (x, t, у). Этот базис таков:
^ = A, 0, 0), С2 = @, 1, 0), С3 = (а:, It, 0), С4--=(-2г, 0, ху),
С6 = @, 0, у).
Вычисление по формуле A.2), где надо положить д = (дх, др ду),
приводит к следующей таблице коммутаторов.
с,
с,
с3
и
С5
с.
d
0
0
-С:
0
-2Ct
0
0
0
-2С,
2Ci
4?з-2С6
0
Сз
Ci
2С2
0
-с*
-2С5
0
0
-2С,
с4
0
0
0
С5
2С4
-4С3+2Св
2^5
0
0
0
Се
0
0
0
0
0
0
(8.2)
Из этой таблицы следует, что критерий 7.5 выполнен, следова-
следовательно, L6 есть алгебра Ли. С помощью таблицы можно сделать
некоторые заключения о структуре этой алгебры Ли. Ниже для
упрощения записи подпространства в Le кодируются указанием
только номеров i векторов базиса {?<}; например, L3 B, 3, 6) оз-
означает подпространство с базисом (Cs, C3, Св).
В цепочке вложений
2, 6)с#A, 2, 3, 6)С?5A, 2, 3, 4, 6)с?6
раждое подпространство есть подалгебра в последующем, причем

§ 7. АЛГЕБРА ЛИ ОПЕРАТОРОВ	93
I? — абелев идеал всей алгебры Ли L6. Можно заметить и ряд
других структурных особенностей, например, что L4 есть идеал
в Ьъ, и т. п.
9. Инвариантность относительно подобия. Согласно определе-
определению 1.16 векторное поле ??E(JST) называется подобным векторному
полю ??S(JST), если существует такое преобразование р простран-
стпа X, с которым справедлива формула подобия векторных полей
Цх) = др(х)(Цх)), х = р(х).	(9.1)
В этих обозначениях формулируется следующее свойство инвари-
инвариантности коммутатора относительно преобразования подобия (9.1).
Лемма. Коммутатор векторных полей, подобных данным,
подобен коммутатору данных векторных полей, т. е. выполнено
равенство
[\v У = Г^1. У-	(9-2)
Доказательство. Пусть д есть по-прежнему символ диффе-
дифференцирования отображений х -> / (х), и пусть В есть символ диф-
дифференцирования отображений x-+f(x). Тогда, если х = р(х) и
п(х) — и(х), то справедлива формула Вй = доо(др)~х. Согласно оп-
определению A.1) левая часть равенства (9.2) в этих обозначениях
такова: [lv f2] = 5fa <?x> — В1г <12>. В силу предыдущей формулы
дифференцирования и определения подобия (9.1) верны равенства
dl2 <^> = д (дР A2»
= э (дР <
Вычитание аналогичной формулы с переставленными ин-
индексами и учет симметричности второй производной д2р дает
& h	hUh У>' что в СИЛУ определе-
определения подобия (9.1) совпадает с [?1? ?2]. ¦
Следствие. Если icS (X) — алгебра Ли и все век-
векторные поля \^L подвергнуты преобразованию подобия р по фор-
формуле (9.1), то совокупность L преобразованных векторов I также
есть алгебра Ли.
Это вытекает непосредственно из доказанного равенства (9.2).
Полученная этим построением алгебра Ли L называется подобной
алгебре Ли L. Очевидно, что подобные алгебры Ли изоморфны. Дей-
Действительно, определяемое формулой подобия векторных полей (9.1)
отображение у: L -* L является линейным, взаимно однозначным
и в силу леммы сохраняет коммутатор.
В частности, полученный в 3.8 результат можно переформули-
переформулировать, сказав, что одномерная алгебра Ли L1 (?) подобна алгебре
Ли L1 (X) с постоянным на X векторным полем ^^К;

94	ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
10. Групповой коммутатор. Если G1(f1) и G1(f2) — группы Ли
преобразований пространств X, порожденные отображениями Д и /2,
то для любого a?R можно образовать групповой коммутатор
Для каждого а ?11 групповой коммутатор является преобразова-
преобразованием пространства X. Поэтому отображение q: X X 22-* X, дей-
действующее по формуле q (х, a)=qa (х), порождает однопараметри-
ческое семейство преобразований пространства X, причем
q (x, 0)=х. Хотя это семейство, вообще говоря, не является груп-
группой G1, ему можно сопоставить вполне определенное векторное
поле на X аналогично тому, как это делается для групп G1 (см. 1.13).
Именно, это поле строится, как поле касательных векторов к «ор-
«орбитам» qx (R) точек х при а=0. Однако здесь нельзя вычислить
такой касательный вектор по формуле daqx @), так как эта произ-
производная оказывается равной нулю тождественно. Это происходит
исключительно из-за «плохой» параметризации кривых qx (R) па-
параметром а в точке а=0, так как daq (x, 0)=0. Оказывается, что
«хорошая» параметризация достигается, если положить a = \Jt.
Тогда искомое векторное поле дается формулой
dtq(x, yjt)\t_o=±d>q(x, 0).
Л е м м а. Касательное векторное поле группового коммута-
коммутатора A0.1) существует для любых G1(fl) и G1 (/2), причем, если
^ и И2 — касательные векторные поля этих групп, то
dtq(x, yJt)\M = [iv У.	A0.2)
Д ока з атедь ст б о. Для любой группы G1(f) с касательным
векторным полем ? на основании уравнения Ли 1A4.1) получается
следующая формула Тейлора разложения отображения /а:
fa (х) = х + <& (х) + у аЩ (х) <Е (х)> + a*F (x, а).
Здесь норма \F(x, а)\ ограничена в окрестности точки а = 0 (в даль-
дальнейшем этот факт выражается записью \F(x, a)| <^ оо). Для групп
G1 (/j) и G1 (/2), имеющих касательные векторные поля ^ и \2, с по-
помощью предыдущей формулы получается следующая:
4,°/ь = '* + «&+ У
|	a?F'a, A0.3)
где отображение F'a: X-+-X таково, что \F'a(x)\<^ со. Кроме того,
если некоторое отображение ha : X -> X имеет вид
ha (х) = х -f- dk (х) -\- а2[1 (х) -\- a3v (x, а),
где (v (ж, а)|<^оэ, то разложение композиции qaoha по формуле

§ 7. АЛГЕБРА ЛИ ОПЕРАТОРОВ	95
Тейлора таково:
Яа°К(х) = х + а(дад(х, O)-fX(a;))-f
da{daq(x, 0))<Х(х)~) + р.(*)) + а\(я, а),
причем | vx(ж, а)|<^со.
В силу A0.3) композиция /^о/^ имеет вид отображения ha,
причем I = ^ -f- %, \>- = у (9SX <?!> -f- дЕ2 <?2» + ^i <&»>• Поэтому опре-
определение A0.1), ВЗЯТОе В ВИДе qa°fla°f2a — f2a°fla' С ИСПОЛЬЗОВа-
нием A0.3) и предыдущей формулы разложения композиции
go(/1(Zo/2a) приводит к следующему соотношению:
adaq(x, 0) + a2(|c^(z, 0)+da(daq{x,
+ a2^ (x) <l2 (x)> = ааЙ2 (х) <^ (х)> + а3ш (ж, а),
где | oj(д:, а)|<^'оо. Отсюда следует, что daq{x, 0) = 0, в силу чего
это соотношение после сокращения на а2 и предельного перехода
а -> 0 принимает вид
\ d\q (х, 0) + 35, (х) <12 (х)> = 9?а (х) <& (х)>.
Теперь нидно, что к силу определения A.1) верно A0.2). ¦
11. Допускаемые операторы. Здесь и в следующих пунктах
устанавливаются факты, необходимые для понимания групповых
свойств дифференциальных уравнений.
Согласно 3.3 отображение F: Ж-> Y инвариантно относительно
группы G1^) преобразований пространствах, характеризуемой ее опе-
оператором 5 • д, если для всех х?X выполнено равенство (i-d)F(х) = 0.
В этом случае говорят также, что отображение F допускает опе-
оператор Ч • д.
Очевидно, что если отображение F допускает операторы 5, • д и
с2 • д, то оно допускает и их коммутатор [%v 52] • д. Действительно
в силу G.2)
(в, У • д) F {х) = EХ • д) E, • д) F (х) - (Еа • 9) (Ех ¦ д) F (х) = 0.
Аналогичный факт для многообразий не столь тривиален. Со-
Согласно 3.12 многообразие W, регулярно заданное с помощью отобра-
отображения ф: X->R', инвариантно относительно группы G1^), если
и только если выполнено равенство E • 9)ф(ж)|ш =0. В этом случае
говорят также, что многообразие W допускает оператор I • д.
Лемма. Если многообразие W допускает операторы 1г • д и
52 • д, то оно допускает и их коммутатор [lv У • д.
Доказательство. Пусть G1^) и G1^) — соответствующие
группы Ли преобразований пространства X, порожденные отобра-
отображениями /х и /а. Так как многообразие W инвариантно относи-

96	ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
тельно любых преобразований fu ? Gx (i{), /^ ? G1 (?а), то W также
инвариантно и относительно группового коммутатора qa. Это озна-
означает, что для любой точки х^Ф выполнено равенство <tyoq(x, \Jt) — O.
Но тогда также в силу леммы 7.10
0 = д, (ф о q (х, yji))\,^ = д^(q)(dtq(х, sjt))\t=o =
12. Продолжение коммутатора. Здесь устанавливается важное
свойство перестановочности операции коммутации и операции про-
продолжения. Ниже используются обозначения и факты из § 4. Рас-
Рассматриваются банаховы пространства X, Y, Z=X XY и соответ-
соответствующие продолженные пространства Zk.
В 4.8 определено к-е продолжение любого векторного поля С ? 3 (Z),
как касательное векторное поле С продолженной группы G1^), и ему
к	к
соответствующий продолженный оператор С • д. Если имеются два
к
векторных поля С, С (< S (Z), то с помощью операций продолжения
и коммутации можно образовать два векторных поля (или два опе-
оператора) на продолженном пространстве Zk\ коммутатор [С, С] к-х про-
к к
должений векторных полей С и С' и к-е продолжение их коммута-
коммутатора [С, С]. Справедливо следующее утверждение.
к
Лемма. Коммутатор продолженных операторов равен про-
продолжению коммутатора этих операторов
К, С'] = К, С].	A2.1)
fc &	ft
Доказательство. Исходным пунктом является основное свой-
свойство продолженных преобразований, сформулированное в лемме 4.6.
Можно дать два варианта доказательства, в каждом из которых
используется почти очевидное свойство перестановочности операции
продолжения с одной из операций: дифференцирования по параметру
или преобразования подобия. В обоих вариантах рассматриваются
группы G1 (С), порожденные отображениями h: ZXR-> Z и
соответствующие продолженные группы G1(Q и отображения h:
kxk
Вариант первый. В силу определения 4.8 и равенства
С = dJi(O) справедлива формула перестановочности операции про-
продолжения с операцией дифференцирования по параметру

§ 7. АЛГЕБРА ЛИ ОПЕРАТОРОВ
97
Пусть группа G1(C) порождена отображением h!. Из леммы 7.10
следует, что коммутатор [С, С] продолженных векторных полей
к к
может быть вычислен через групповой коммутатор h^oh^h^oh'1
к к к к
по формуле [С, {,'] = dt(h[n ohj? oh'j^1 о h~?)\._,.. В силу леммы 4.6,
к к	fcV к* fcV	Av /f
только что отмеченного свойства
леммы 7.10 это выражение равно
перестановочности и еще раз
I
^ = dt
I
,
I	-—I I
что и требовалось доказать.
Вариант второй. Пусть р есть некоторое преобразование
пространства Z. Рассматриваемое как преобразование подобия групп
согласно 1.11, оно переводит отображение ha в отображение йа =
= pohaop~1, откуда следует аналогичная 1 A6.1) формула подобия
соответствующих векторных полей (,(z) = dp(z)<((,(z))>, где z = p(z).
В силу леммы 4.6 справедливо равенство
hn
hn
где левая часть есть результат преобразования ha с помощью продол-
k
женного подобия р. Отсюда следует формула перестановочности опе-
k
рации продолжения векторного поля С с преобразованием подобия
к
=
к '
Объединение этого факта с леммой 7.9 показывает, что равен-
равенство A2,1) инвариантно относительно преобразования подобия.
Теперь надо заметить, что, согласно теореме о подобии 3.8, для
данного векторного поля С всегда найдется такое преобразование
подобия р, что подобное векторное поле С' будет постоянным на
пространстве Z. Поэтому равенство A2.1) достаточно доказать для
случая, когда векторное поле С' = X постоянно. В этом случае
равенство A2.1) равносильно следующему:
(Х.0)С = (Х.0)С.	A2.2)
* I	I
Так как С = (Е, Ъ ц, •••.?!)> то

98 ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФВРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
С другой стороны, так как оператор X • д в силу постоянства X пере-
перестановочен с оператором полного дифференцирования D, то из фор-
формулы 4(8.5) следует равенство
(8=1,...,к),
в силу которого A2.2) очевидно. ¦
13. Допускаемые алгебры Ли. Применение предыдущих резуль-
результатов к дифференциальным уравнениям приводит к следующей
теореме, в формулировке которой использовано определение 5.2.
Теорема. Если дифференциальное уравнение допускает опе-
операторы С • д и С • д, то оно допускает и их коммутатор [С, ?'] • д.
Доказательство. Согласно определению 5.2 дифференциаль-
дифференциальное уравнение Е допускает оператор С • д, если многообразие Е С Zk
инвариантно относительно оператора С • д. В силу леммы 7.11 много-
k
образие Е, инвариантное относительно операторов ? • д и С' • д,
к	к
инвариантно также относительно их коммутатора [С, С] • д = [С, С'] • 5,
к к	к
где последнее равенство справедлиго в силу леммы 7.12. Поэтому,
согласно определению 5.2, уравнение Е допускает оператор [С, ?']. В
Из этой теоремы в силу определения 7.4 вытекает следующий
факт, имеющий фундаментальное значение.
Следствие. Множество всех операторов, допускаемых
данным дифференциальным уравнением, образует алгебру Ли.
Если имеется некоторая алгебра Ли L операторов, допускае-
допускаемых данным дифференциальным уравнением, то говорят, что это
уравнение допускает алгебру Ли L; в этом случае L называется
допускаемой алгеброй Ли данного уравнения.
Наиболее широкая допускаемая алгебра Ли уравнения Е, со-
содержащая все операторы, допускаемые этим уравнением, будет
называться основной алгеброй Ли уравнения Е и обозначаться
символом LE.
В этих терминах можно сказать, что любая допускаемая алгебра
Ли уравнения Е является подалгеброй основной алгебры Ли LE.
Теперь ясно, что в приведенных ранее примерах вычисления
основных групп фактически были вычислены некоторые допускае-
допускаемые алгебры Ли соответствующих уравнений. Например, система
уравнений околозвукового течения газа 5.9 допускает основную
бесконечномерную алгебру Ли LE, которая может быть представ-
представлена в виде прямой суммы подпространств LE=LX @L*°, причем
базис в L4 образован операторами 5 (9.9), а общий вид оператора
{.•dfcL™ дается формулой 5(9.11). Путем составления таблицы
коммутаторов операторов 5 (9.9) можно убедиться в том, что

§ 7. АЛГЕБРА ЛИ ОПЕРАТОРОВ	99
L* есть алгебра Ли. Операторы 5 (9.11) также образуют алгебру
Ли L00, которая является абелевой. Очевидно, что коммутаторы
К0, С] 'д для любого оператора Q-d^LE имеют вид операторов ??-д,
is силу чего подалгебра L00 с LE является идеалом в LE.
Уравнение Е @) нелинейной теплопроводности при 0 =fc 1 до-
допускает, в зависимости от значения произвольного элемента G,
основные алгебры Ли, представленные в схеме 6 G.14). Легко про-
проверяется, что алгебра Ли Lo, допускаемая уравнением Е @) не-
независимо от значения произвольного элемента 0, является идеа-
идеалом в любой из указанных в схеме алгебр L4, Ь°.
14. Линейные уравнения. Дифференциальное уравнение Е на-
называется линейным (и однородным), если задающее его в виде 5A.1)
отображение е : Zk —> JR* таково, что для любого х ? X частное
отображение ея : YXYXX ••• xrs->E' является линейным ото-
отображением.
Основная алгебра Ли операторов
Цг)-д = Цх, у)-дх + -ч{х, у).ду,	A4.1)
допускаемых линейным уравнением Е всегда содержит абелеву
подалгебру операторов вида
C°(z).0 = у(*). 5,	A4.2)
с отображением v : X -> Y. Существенное свойство таких опера-
операторов состоит в том, что они определяются решениями уравнения Е.
Теорема. Линейное уравнение Е допускает оператор вида
A4.2), если и только если отображение v есть решение уравне-
уравнения Е.
Доказательство. Оператору A4.2) соответствует группа G1
преобразований пространства Z = X X ЗГ, порожденная отображением
х'=х, y' = y + av(x).	A4.3)
Если и:Х-> Y есть решение уравнения Е, то преобразования этой
группы производят из .него однопараметрическое семейство решений,
получаемых согласно 5G.3),
и' (х) = и(х)-\- av (x).
Отсюда следует, что если уравнение Е допускает оператор A4.2),
то отображение v является решением Е. Обратно, если v есть ре-
решение, то группа G1, порожденная отображением A4.3), допускается
уравнением Е. Действительно здесь / = /х, g = Ir-\-av и формулы
4E.3), 4E.4) дают у' = у-{-av. Поэтому в силу линейности отоб-
k	k	к
ражения е справедливо равенство s(z') = e(z)-\-ae(v), в котором
к	к	к
е(у) —о по определению решения 5.6. Это означает, что отображо-

100 ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
ние s является инвариантом группы A4.3) и тем более допускает
эту группу, а значит, и оператор A4.2).¦
Так как множество всех решений линейного уравнения обра-
образует векторное пространство, то этим свойством обладает и сово-
совокупность всех операторов вида A4.2). Очевидно, что коммутатор
любых двух таких операторов равен нулю. Следовательно, их
совокупность есть абелева алгебра Ли. Вообще говоря, эта алгебра
Ли бесконечномерна и потому будет обозначаться символом L00.
Другой типичной алгеброй Ли, допускаемой линейным урав-
уравнением, является множество операторов вида
C(z)-3 = E(z).3, + P(*)<y>.3,,	A4.4)
где компонента векторного поля %: XX.Y-*Xne зависит от у (< Y и
р есть отображение .X—»•<??(I"), так что компонента векторного поля
т) линейна относительно у. Конечно, здесь отображения ? и C оп-
определяются не так просто, как в предыдущем случае; они должны
быть решениями соответствующих определяющих уравнений DE.
Так как коммутатор операторов вида A4.4)
&. У • д=
=&. У • дх -f (F1 ¦ дх) р2 - (?2 • дх) ^ + Р^-р^Ра) <у> • ду
есть снова оператор вида A4.4), то совокупность всех таких опе-
операторов, допускаемых уравнением Е, также образует алгебру Ли.
Эта алгебра Ли обычно оказывается конечномерной и есть неко-
некоторая U. Легко проверяется, что 'прямая сумма векторных про-
пространств U 0 Ь°° так же есть алгебра Ли. При этом коммутатор
любых операторов Q°-d^Lco и ^d^If
[С». 5, С.^ = (Р<У>-F.5Я)У).3„	A4.5)
в силу доказанной теоремы принадлежит алгебре Ли L00. Поэтому
справедливо следующее утверждение.
Следствие. Подалгебра L00 является идеалом в U © L00.
Важное значение двух рассмотренных типичных алгебр Ли
определяется тем, что для большинства линейных уравнений их
основная алгебра Ли операторов есть U 0 ?°°. Другими сло-
словами, для линейных уравнений, как правило, нетривиальные до-
допускаемые операторы имеют вид A4.4). Очевидный критерий
того, чтобы основная алгебра Ли линейного уравнения Е имела
структуру U 0 Ь™, где U состоит из операторов вида A4.4),
заключается в следующем. Уравнения
должны быть частью системы определяющих уравнений DE,

§ 7. АЛГЕБРА ЛИ ОПЕРАТОРОВ	101
Формула A4.5) интересна тем, что ее можно рассматривать как
инфинитезималъную формулу производства решений. Действи-
Действительно, в силу доказанной теоремы вместе с отображением
v решением является также и координата оператора A4.5). По-
Поэтому инфинитезимальная формула производства решений и',
получаемых из решения и с помощью операторов вида A4.4) та-
такова:
и'(х) = р(и(х)>-а-дя)и(х).	A4.7)
На самом деле эта формула может быть получена из общей фор-
формулы производства решений 5 G.5) с группой G1 преобразований,
оператор которой есть A4.4). Для этого надо заметить только, что
если {иа} — произведенное этой группой однопараметрическое
семейство решений, то производная даиа\а=0 также есть решение
в силу линейности уравнения Е. Вычисление этой производной
от правой части равенства 5 G.3) дает в точности выражение A4.7).
Например, как показано в 6.8, основная алгебра Ли линейного
уравнения теплопроводности 6 (8.1) есть L6 ф L00. Здесь инфи-
нитезимальные формулы вида A4.7) производства решений с по-
помощью операторов Clf . . ., СБ таковы:
и' =их; и' = ut; и' — хих -j- 2tut;
и1— хи-\- 2tux; и1 — (х2 -f- Щ и -f Ших + it\,
где их=дхи, ut=dtu. Оператор Св новых решений не производит.
15. Абстрактные определяющие уравнения. В силу теоремы
7.13 для любого дифференциального уравнения Е определяющие
уравнения DE обладают тем свойством, что если С и С — их ре-
решения, то коммутатор [С, ?'] также есть решение уравнений DE.
Это свойство может быть положено в основу аксиоматического
определения специального класса дифференциальных уравнений.
Говорят, что система дифференциальных уравнений с искомым
векторным полем" I: Х-+Х является абстрактной систе-
системой определяющих"уравнений (коротко: AS-системой), если
эта система линейнаХи^однородна и если для любых ее решений
?,FJ'J'коммутатор [I, У^также^естъ* ее решение.
В^силу этого определения множество всех решений A S-cvi-
стемы образует алгебру Ли векторных полей на пространстве X.
Предыдущее свойство определяющих уравнений DE означает,
что эти уравнения всегда являются ^4|5-системой.
Естественно возникает вопрос: для всякой ли алгебры Ли век-
векторных полей (операторов) L С S (X) найдется такая -4д5-система,
что пространство ее решений совпадает с??В главе VII на основе
теории дифференциальных инвариантов будет показано, что это
верно для конечномерных алгебр Ли.

102 ГЛ. II. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЯМИ
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ II
Первые приложения теории Ли к дифференциальным уравнениям при-
принадлежат ее автору, посвятившему этому вопросу ряд работ [1 ]— [3 J. Им было
введено понятие допускаемой группы, а также даны первые примеры груп-
групповой классификации дифференциальных уравнений. Современное оформле-
оформление эти вопросы получили лишь за последние 20 лет в работах [4]—[7]
в связи с задачами группового анализа конкретных уравнений механики
и физики. Можно отметить также исследования, в которых делаются попытки
видоизменения теории Ли в применении к дифференциальным уравне-
уравнениям [8], [9]. В работах [10], [11] была решена проблема «механизации»
вычислений, связанных с построением определяющих уравнений. Данные
в § 6 алгоритмы решения задачи групповой классификации излагаются здесь
впервые. Пример из 6.7 дается по работе [12]. Недавно эта задача получила
неожиданное приложение в теории разностных схем [13]. Качественные
свойства абстрактных определяющих уравнений рассмотрены в [14].
[11 Lie S. liber die Integration durch bestimmte Integrate von einer Klasse
lineare partiellen Differentialgleichungen. — Arch. Math., 6, Helf 3
A881), 328-368.
[2] L i e S. Classification und Integration von gewohnlichen Differential-
Differentialgleichungen zwischen x, y, die eine Gruppe von Transformationen ge-
statten. — Arch. Math. Naturv., Christiania 9 A883), 371—393.
[3] L i e S. Allgemeine Untersuchungen iiber Differentialgleichungen, die
eine continuirliche, endliche Gruppe gestatten. — Math. Ann. 25, № 1,
A885), 71-151.
[4] Овсянников Л. В. Группы и инвариантно-групповые решения
дифференциальных уравнений. — ДАН СССР 118, № 3, A958), 439—
442.
[5] Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных
уравнений. Новосибирск, Изд. СО АН СССР, 1962.
[6] Овсянников Л. В. Лекции по теории групповых свойств диф-
дифференциальных уравнений. Новосибирск, НГУ, 1966.
[7]Kucharczyk P. Teoria grup Liego w zastosowaniu do rdwnan
roznizkowych czastkowych. Warszawa, PAN, 1967.
[8] Harrison B. K., E s t a b г о о k F. S., Geometric approach to in-
variance groups and solution of partial differential systems. — J. Math.
Phys. 12, № 4 A971), 653-666.
[9] Anderson R., К u m e i S., Wulfman С. Е. Generalisation
of the concept of invariance of differential equations. Results of appli-
applications to some Schrodinger equations. — Phys. Rev. Lett. 28, № 15
A972), 988-991.
[10] К а т к о в В. Л., Костюкова Н. И. Процессор КИНО. —
В сб. «Динамика сплошной среды», вып. 1. Новосибирск A969), 48—60.
[11 ] Костюкова Н.И. Процессор ПАССИВ. — Вычисл. мат. и вычисл.
техн., вып. 3. Харьков, Физ.-техн. ин-т низких температур АН УССР,
A972), 38—41.
[12] Овсянников Л. В. Групповые свойства уравнения нелинейной
теплопроводности. — ДАН СССР, 125, № 3 A959), 492—495.
[13] Я н е н к о Н. Н., Ш о к и н Ю. И. О групповой классификации
разностных схем для системы одномерных уравнений газовой дина-
динамики. — В сб. «Некоторые проблемы математики и механики». Л.,
«Наука», A970), 277—283.
[14] Овсянников Л. В. Групповое свойство определяющих уравне-
уравнений. — В сб. «Динамика сплошной среды», вып. 7. Новосибирск,
A971), 5-11.

ГЛАВА III
ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ
КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Действенность теории необходимо подтвердить нетривиаль-
нетривиальными примерами ее применения. Этой цели и служит настоящая
глава, посвященная вычислению основной группы и групповой
классификации для некоторых уравнений, имеющих прикладное
значение.
Начало исследованию групповых свойств обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений было положено С. Ли, имевшим в виду
поставить теорию интегрирования таких уравнений на столь же
надежную групповую основу, какая была создана Абелем для ре-
решения алгебраических уравнений. Для уравнений первого порядка
это удалось сделать в той мере, в какой можно считать известными
нетривиальные операторы, допускаемые такими уравнениями
(см. 8.5 и 8.10). Однако оказывается, что задача отыскания нетри-
нетривиальных операторов равносильна задаче интегрирования исход-
исходных уравнений. В тексте главы дано объяснение того, почему вы-
вызываемая этим фактом неудовлетворенность должна смениться
оптимизмом в случае обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений высших порядков.
В задачах математической физики особенно часто встречается
линейное уравнение с частными производными второго порядка по
двум независимым переменным. Для таких уравнений приведены
все вычисления, дающие в итоге исчерпывающий классификаци-
классификационный результат. Окончательные формулы выведены для гипер-
гиперболической (а также параболической) нормальной формы с рас-
расчетом на то, что интересующийся читатель самостоятельно пре-
преобразует их в соответствующие формулы для эллиптического
случая.
Из более специальных систем уравнений рассмотрены урав-
уравнения двумерного пограничного слоя, дающие пример вырожден-
вырожденной системы с нетривиальной классификацией, а также уравнения
газовой динамики. Последний пример интересен тем, что в нем
именно путем группового анализа были обнаружены значения
физической константы (показателя адиабаты), приводящие к рас-
расширению основной группы.

104 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
§ 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.	Система уравнений первого порядка. Рассматривается диф-
дифференциальное уравнение типа ЕA, т, 1, т). В этом случае Х==
= Л(х), Y=ffll{y), Z=Hm+x(z), где г = (ж, у) и первое продол-
продолженное пространство есть Y1 = Mm(y). Если предположить, что
1
отображение е, с помощью которого задается такое уравнение
s(x, У> у) — ®> удовлетворяет условиям теоремы о неявной функции
1
по отношению к у, то его можно разрешить относительно у. В даль-
1	1
нейшем предполагается, что это сделано и уравнение Е задано
в нормальной форме
y = f(x,y)	A-1)
с некоторым отображением /: Z->.Rm класса Cm(Z).
В координатной форме обычно полагают у = (г/1, . .., ут), у =
= (У[> •••>!/'«,) и / = (/i> •••'/«) и записывают уравнение A.1)
в виде системы
y'k = fk(x> У1	Ут) (к=1,....т),
которая называется системой обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка.
В дальнейшем решается задача об отыскании и изучении
структуры основной алгебры Ли уравнения A.1).
2.	Определяющие уравнения. Применяется алгоритм 5.8. Опе-
Оператор, допускаемый уравнением A.1), ищется в виде
C.0 = W.+ 4.3,	B.1)
с компонентами S: Z-»X и ij: Z-> Y. С помощью оператора
полного дифференцирования D = дя-\-у • д строится первое продол-
1	1
жение оператора B.1)
т,=d4 - ут = дх-п + 0/ч <^> - ydj - (у • dt%) у.
Результат действия оператора С- д на уравнение A.1)
1
1
после перехода на многообразие A.1) дает условие инвариантности

§ 8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	105
Здесь этап 5.4 (d) расщепления условия инвариантности отсутст-
отсутствует, так как в этом условии «свободных» координат вектора у
1
нет. Поэтому здесь условие инвариантности совпадает с определя-
определяющим уравнением DE для уравнения A.1).
? 3. Анализ общего решения. В координатной форме опре-
определяющее уравнение DE представляет собой систему из т скаляр-
скалярных уравнений для т-\-\ неизвестных функций-координат вектора
G=(Si rf, • • •. ~Чт)- Поэтому одну из этих функций можно, вообще
говоря, задать произвольно, в силу чего основная алгебра Ли
уравнения A.1) наверное будет бесконечномерной.
Это явно обнаруживается, если ввести новое искомое отображе-
отображение C: Z-* Y, связанное с вектором ? = ((;, -г\) формулой
C.1)
В силу выражений для производных этого вектора
определяющее уравнение упрощается до
Если ввести еще векторные поля на пространстве Z
Т = (!./). Pi = @, Р),
то окончательно определяющее уравнение запишется с использова-
использованием символа коммутатора в следующей изящной форме:
[<Р> PJ=O.	C.2)
Отображение Рх = 0 является решением уравнения C.2). С этим
решением формула C.1) дает т)^?/. Отсюда следует вывод: урав-
уравнение A.1) допускает оператор
и все операторы вида ?0 • д — &р • д с любым отображением % : Z
-*Л. Так как для любых S, 5' коммутатор
есть снова вектор вида ?0, то операторы С0-3 "образуют алгебру
Ли. Эта бесконечномерная алгебра Ли будет обозначаться Lm.
Если из оператора B.1) вычесть 5<р«9, то получится оператор,
в котором компонента 1=0. Очевидно, что множество L0 опера-
операторов с 1=0, т. е. операторов вида P1-5=P-5Jf является прямым
дополнением к Ьт в основной алгебре Ли LE, так что LE=L° ф Lm.

106 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Для получения представления'общего"решения~определяющего
уравнения C.2) вводится в рассмотрение группа G1 (<р), оператор
которой есть <р • д. Пусть J : Z -+ Y — универсальный инвариант
(см. 3.5) этой группы. Так как векторное поле <р=A, /N^ (^)
имеет ненулевую компоненту в X, то линейное отображение
dvJ (х, у) : Y'-+ Y есть линейный гомеоморфизм пространства Y.
Вывод искомого представления основан на следующем предло-
предложении.
Лемма. Отображение р : Z^>Y есть решение уравнения
C.2), если и только если отображение Ф : Z-> Y, связанное с р
формулой
является инвариантом группы G1 (<р).
Доказательство. По определению коммутатора
7 A.3) справедливо тождество
([ср, pj. д) J=(т • а)(рх • д) J-ф,.д)(?. д)I.
Но (ср-5)/ = 0 в силу критерия 3.4 инварианта группы Gx(cp).
Поэтому в силу приведенной в лемме формулы это тождество рав-
равносильно следующему:
Отсюда оба утверждения следуют снова из критерия 3.4 и из
того, что dJ ^St'(Y) — гомеоморфизм.¦
Из этой леммы следует представление общего решения уравне-
уравнения C.2)
C.4)
где Ф : Z-^-Y—произвольный инвариант группы G1 (ср). Поэтому
пространство L0 также бесконечномерно.
4. Структура основной алгебры Ли. Если р и р' — два реше-
решения уравнения C.2), то коммутатор [р, р'] также является реше-
решением этого уравнения. Действительно, [J3, P'jj^^, p^] и тождество
Якоби 7.3.3° дает
[<?, [pi, K]]=tPi. [ь КИ-[Р;. \ь РЛ = [Эх. 0]-[К, О]=о.
Следовательно, пространство L° является алгеброй Ли.
Далее, подалгебра Lm есть идеал в LE. Это следует из того,
что коммутатор любого решения рх уравнения C.2) и любого век-
вектора 5 ??°°
также принадлежит алгебре Ли Lm.
Тем самым структура основной алгебры Ли уравнения A.1)
описывается ее разложением в прямую сумму LE = L0®Lm беско-

§ 8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	10?
нечномерной подалгебры L0 и бесконечномерного идеала Lm, где
Ь° состоит из всех операторов вида |3 • 5 с любым решением р
уравнения C.2) (все эти решения даются формулой C.4)), а идеал
Lm состоит из операторов Е<р • д, получаемых умножением оператора
C.3) на произвольное отображение ?: Z-*K.
5. Понижение размерности уравнения. Операторы C0-9^L°°
получаются «даром», без применения каких-либо существенных
аналитических построений. Однако с точки зрения задачи интегри-
интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений
знание этих операторов существенной информации не дает. Оче-
Очевидно, что задача построения групп G1, соответствующих этим
операторам, фактически равносильна задаче интегрирования урав-
уравнения A.1).
Напротив, дополнительные операторы $-dv?L°, как показы-
показывает формула C.4), выражаются через решения исходного уравне-
уравнения A.1). Поэтому знание какого-либо оператора $-ду должно быть
связано с какой-то реализацией процесса интегрирования. Это
дает основание тому факту, что операторы §-ду могут быть эффек-
эффективно использованы для интегрирования (хотя бы частичного)
уравнения A.1). При этом следует иметь в виду, что задача построе-
построения универсального инварианта для групп вида G1 (Р) с касатель-
касательным векторным полем Р, удовлетворяющим уравнению C.2),
существенно отличается от такой же задачи для группы G1 (<р)
и может оказаться (и на практике часто оказывается) значительно
более простой. Можно сказать, что успех решения системы обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений в аналитической форме
в значительной мере определяется широтой известной алгебры Ли
операторов LcL°. В его полном объеме этот факт будет рассмо-
рассмотрен в главе V. Ниже приводится один частный, но практически
полезный результат, в котором понижение размерности понима-
понимается как сведение уравнения A.1) к уравнению типа Е A, т—1,
1, т-\).
Теорема. Знание универсального инварианта оператора
Ф'ду (Р ?= 0)> удовлетворяющего уравнению C.2), позволяет пони-
понизить размерность уравнения A.1).
Доказательство. Для каждого х ? X рассматривается груп-
группа С-ф) преобразований пространства Y. Пусть К1: Y-*Rm~1 —
ее универсальный инвариант. Строится функция Я: Y-> R, удов-
удовлетворяющая уравнению (C • ду)Н =1, и отображение К1 допол-
дополняется до отображения
К = {К>, Н): Y-*Bm.
Как будет показано ниже, отображение у = К(х, у) при фи-
фиксированном х является локальным преобразованием простран.

108 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
ства Y. Поэтому уравнение A.1), преобразованное с помощью этого
отображения согласно равенствам
переходит в ему равносильное уравнение
д = (9.д)К(х, у), у = К{х, у).	E.1)
1
В тождестве, справедливом по определению коммутатора 7A.3),
([?. PJ -д)К = (?. 0)(р -дж)К-ф- д,)(? • д)К;
левая часть и первое слагаемое справа равны нулю в силу опре-
определения р и построения К. Следовательно, это тождество приводится
к равенству (C • ду)((<? • д)К) = 0, показывающему, что (ср • д)К есть
инвариант группы GJ(P). В силу универсальности инварианта К1
отсюда следует существование такого отображения Ф: Rm~1->Rm,
с которым будет (<f-d)K(x, у) = ФоК' (х, у) = Ф(у'), где у1 — ком-
компонента представления у = (К', Н). Поэтому, если положить Ф =
=(Ф', Р), у = {у',р), и вспомнить, что Ф может зависеть от х, то
уравнение E.1) можно записать в виде системы из двух урав-
уравнений
g' = O'(x,gi), дхР = Р{х, д>).	E.2)
1
Первое из них имеет тип ЕA, т—1, 1, т—1), а второе интег-
интегрируется с помощью одной квадратуры, если известно решение
первого.
Остается показать, что у = К(х, у) есть локальное преобразова-
преобразование пространства Y. Для этого достаточно доказать существование
такой точки (х0, у0), что линейное отображение дЖ (х0, у0) : Y -*¦ Y
есть линейный гомеоморфизм пространства Y. Но если такой точки
нет, то существует векторное поле a: Z -> Y, с которым выпол-
выполнено тождество дуК(о.(х, у)у = О или, в компонентах К = (К', Н)
(а.дг)К'=0, {*-ду)Н = 0.
Первое из этих тождеств означает, что для фиксированного х
отображение К': 3f-> i?*" есть универсальный инвариант группы
G1 (a), a второе — что Н есть инвариант этой группы. В силу
универсальности К' отсюда следует существование отображения
^:В-*В, с которым будет H=WoK'. Но тогда ($-д)Н=
=d*F <(P -ду) К'у=0, в противоречие с построением отображе-
отображения Н.Ш
6. Примеры. В случае уравнения типа Е A,1,1,1), т. е. одного
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка,
вектор у одномерен и обозначается более наглядным символом
ух. Пусть это уравнение имеет вид
yx = f(x, у).	F.1)

§ 8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	109
Можно сказать, что все классические специализации этого уравне-
уравнения, когда оно интегрируется в квадратурах, оснорэны на знании
некоторой допускаемой уравнением F.1) группы G1 преобразований
пространства R2(x, у). В этих случаях преобразование искомого у
по формуле y = J(x, у), где / : R2(x, y)-+R— универсальный
инвариант допускаемой группы G1, приводит F.1) к уравнению
с разделяющимися переменными.
Например, «обобщенно однородное» уравнение yx=zxk~1F(yx'r'")
допускает оператор хдх-\-куду, и универсальный инвариант группы
G1	/	к П	й	к
рр х\уу, ур	р	ру
/ = ух~к. Переход к переменной у = ух~к приводит
ото
уравнение к следующему:
которое интегрируется одной квадратурой.
Другой прием интегрирования уравнения F.1) в квадратурах
связан с понятием интегрирующего множителя — функции р.:
R2 (х, у) -> R, удовлетворяющей уравнению
дяр-\-д,№) = 0.	F.2)
Легко проверяется, что если положить (г=1/р, то условие F.2)
приведется к C.2). Поэтому в силу формулы C.1) знание допус-
допускаемого уравнением F.1) оператора %дх-\-г[ду дает интегрирую-
интегрирующий множитель u = 1/(tj— |/).
Например, уравнение
допускает оператор худх. Поэтому интегрирующий множитель
есть (л = (у-)-1п х) у, после умножения на который оно записы-
записывается с оператором полного дифференцирования D1=dx-\~yxdJf
в виде
D1(\ay-(}nx)ly) = 0
и дает общий интеграл In у—(In x)/y=c, где с — произвольная
постоянная.
7. Уравнения высших порядков. Существенно нозые факты
появляются для одного скалярного обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения порядка &>1, т. е. ура!знения типа Е{\, 1, к, 1).
В этом случае X = R(x), Y = R(y), Z = It2(x, у) и все простран-
пространства Г4 одномерны, в связи с чем символ у можно заменить более
s
простым ys; тогда z = (x, у, yv . .., ys). Уравнение Е предполагается
8
приведенным к нормальной форме
Vt = f(x, У, VV ¦¦¦>Vt-i)	С7-1)
с данным отображением /: Zk_1-*R.

110 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Допускаемый уравнением G.1) оператор ищется в виде B.1).
Здесь для записи условия инвариантности требуется к-е продол-
продолжение оператора G.1)
Согласно формуле 4(8.5)
т,, =Dln-(Dl (</J) - у1+11), D =	г
Методом полной индукции по I устанавливается справедливость
формул вида
D'n= 2 WV? •••tfWl,	G.2)
где A'ars — целые положительные числа, а = (а1, ..., at) и сумма
берется по леем индексам а, г, s, удовлетворяющим соотношениям
г,
Аналогично
D' (У& — Уi+? = 2 Bl™y*s .. . У11дгхд%	G.3)
где 5^* — целые положительные числа, а индексы a, r, s удовлет-
удовлетворяют соотношениям
аг -(- 2а2 -(-•••+ К =1 — г + 1 >
a1 + aa+...+«/ = s + l, 0<s</.
Условие инвариантности уравнения G.1) таково:
A-(С •9)/)L-/(O = 0.	G.4)
При А >'1 это условие содержит в качестве «свободных» пара-
параметров переменные ух, . . ., yk_lt по которым оно должно рас-
расщепляться. Это приводит, вообще говоря, к переопределенной
системе DE для двух функций ?, ?j и влечет конечномерность ос-
основной допускаемой уравнением G.1) алгебры Ли LE. Возникаю-
Возникающая задача групповой классификации уравнений вида G.1)
по произвольному элементу — правой части / в полном объеме
пока не решена. Один из известных результатов для уравнения
второго порядка приводится ниже.
8. Уравнение второго порядка. Для уравнения типа Е A, 1, 2, 1)
уа=/(*. г/. Ух)	(8Л)

§ 8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	111
требуется второе продолжение оператора B.1)
Формулы G.2) и G.3) дают следующие выражения, в которых
(и ниже) использованы сокращенные обозначения производных
%--=dxri, \ = ду-Ч, Ку = дхду% и т. п.
% = ъ + Vi (\ — У — у%,
\ (\« — 2U - У%у +
С этими значениями услозие ингариантности G.4) таково:
¦П** + Уг Bъ, - Ем) + 2/? (%, - 2Елу) - у^^ _|_ (\ - 2Е, - Зу^) f =
= &J + f\dyf + (Ъ + Уг (\ ~ К) - У%) dj- (8.2)
Уравнение (8.2) должно быть расщеплено по «свободному» пара-
параметру у1% Проще всего это сделать, предположив, что функция /
представлена в виде степенного ряда
со
/(я> у, Уу)= 2/„О*. у)уЬ
»=0
При этом операция расщепления сводится к подстановке этого
ряда в (8.2) и сравнению слагаемых с одинаковой степенью пара-
параметра ух. В результате получится, вообще говоря, бесконечная
система уравнений DE, в которой наиболее существенны первые
четыре определяющие уравнения, соответствующие степеням у°},
р
У\
%* = /о J
~ UK
Свойство конечномерности основной допускаемой алгебры Ли
U и максимально возможное значение ее размерности г утверж-
утверждаются следующей теоремой, впервые доказанной еще Софусом Ли.
Теорема. Уравнение (8.1) может допускать пространство
U операторов вида B.1) только для значений г ^ 8. Наибольшее
возможное значение г=8 достигается для уравнения у%=0.

112 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Доказательство. Первые четыре определяющие урав-
уравнения переписываются в сокращенной форме:
4«. = Ti. 2\„ — 5« = <Ря. \у — 2t» = Ts. Ew = ?4. (8-3)
где ср{ — некоторые линейные функции величин ?, ?j, |ж, 5 , tjx,
Tjr Путем дифференцирования уравнений (8.3) и последующего
комбинирования получаются определенные выражения всех про-
производных третьего порядка от искомых функций ?, ч\. Эти выраже-
выражения можно записать сокращенно в виде одного векторного равен-
равенства
0"С=<!»(*, у, с, я, а2д,	(8.4)
где С=(?, Т|) и правая часть <|> линейна относительно С, дС, 52С.
Общее решение такого уравнения может зависеть не более чем
от 12 произвольных постоянных, на которые уравнения (8.3)
накладывают четыре независимых соотношения. Поэтому оста-
остается не более чем восемь произвольных постоянных, в силу чего
размерность пространства решений г ^ 8. Фактическое число
остающихся в решении системы DE произвольных постоянных
может быть и меньше восьми, если, кроме уравнений (8.3), в DE
содержатся другие нетривиальные уравнения.
В случае уравнения г/2=0 в (8.3) все <р,-=0 и в (8.4) также ф=0.
Общее решение уравнения дК=0 имеет вид
и, Вв)у*
с произвольными постоянными Ар Вр Уравнения (8.3) подчиняют
эти постоянные следующим соотношениям:
Окончательно получается общее решение определяющих урав-
уравнений
Аъу + Ару -f В^х\
в котором Aj, Bj независимы. Множество операторов С-9 с ком-
компонентами (8.5) образует алгебру Ли /АИ
В качестве одного из следствий этой теоремы можно сформули-
сформулировать классификационный результат для линейного уравнения
второго порядка:
уа = а(х)У1 + Ъ(х)у.	(8.6)
Следствие. Любое уравнение (8.6) допускает алгебру
Ли Iе.

§ 8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	ИЗ
Доказательство. Как известно, с помощью преоб-
преобразования искомого у по формуле у—р (х) у уравнение (8.6) при-
приводится к такому же уравнению, но с а=0. Для этого надо взять
р = ехр(—-j \adxj. Кроме того, уравнение у2 = Ъ(х)у в резуль-
результате преобразования с помощью любого его решения и=?=0
у = у/и (х), х = J (в (х))-2 dx
переходит в уравнение у2=0- Поэтому любое уравнение (8.6)
равносильно уравнению у2=0 в смысле 6.2 и требуемый резуль-
результат следует из предыдущей теоремы и теоремы 6.2.И
9. Полные системы. Рассматривается линейное уравнение типа
Е(п, 1, 1, s), для которого Х — Вп(х), Y=B{y), Y1~Bn{y),
i
где y = (yv . . ., г/я), заданное с помощью отображения ф:Х->
-*g(Yi; В')
Ф (*)<?>=о.
1
Отображение ф может быть представлено матрицей (фр размером
s X п. Тогда в координатной форме это уравнение имеет вид
системы Е
Щх)у< = 0 (/=1, ...,«).	(9Л)
Для решения и:Х—>В, действующего по формуле г/ = ы(ж), будет
у{ = д(и (х), где д( = д/дх{ и ф'.г/4 = (<j^. • д) и (х) с оператором д =
= (<?!, • • •, д„). Поэтому решение и системы (9.1) должно удовлет-
удовлетворять системе тождеств (t|>^ • д) и (х) = 0 для каждого из операторов
«К-9, ...,ф,. 9	(9.2)
и в силу критерия 3.4 может быть истолковано как совместный
инвариант набора операторов (9.2). Но, как показано в 7.11,
тогда решение и есть инвариант любого коммутатора [фу,ф;ЬЗ.
Этот факт приводит к двум возможностям в зависимости от того,
появляются при этом новые операторы или нет. Поскольку воз-
возникающая здесь ситуация в дальнейшем будет часто встречаться,
целесообразно закрепить ее введением специального понятия.
Пусть lv ..., %т — векторные поля на пространстве X. Гово-
Говорят, что эти поля (или соответствующие операторы ^ • д)
линейно связаны, если существуют такие функции о/ :Х-+
-*-B(j=i	т), не все равные нулю, с которыми выполнено
тождество

114 ГЛ. Ш. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
в противном случае говорят, что векторные поля %j {операторы
Xj-d) линейно не связаны. Очевидно, что операторы линейно свя-
связаны тогда и только тогда, когда один из них линейно выражается
через остальные, т. е. может быть представлен в виде линейной
комбинации остальных с переменными коэффициентами.
Система уравнений (9.1) называется полной, если коммута-
коммутатор \typ ty,] • д любых двух операторов (9.2) линейно выражается
через операторы (9.2).
Как известно, отыскание решений полной системы сводится
к интегрированию некоторой системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений. В этой теории доказывается, что всякая
полная система уравнений (9.1) равносильна некоторой якобие-
вой системе, в которой s^/ги [фу!<М=О для любых/, 1=1,...
. . ., s. Приведение произвольной полной системы к якобиевой
требует выполнения только алгебраических операций и осуще-
осуществляется с помощью такого отображения v: X-*S?(R'), что v (x)
есть преобразование пространства R' для любого х ? X и матрица
(фр отображения tj> = y<'<|^>: X-* R' содержит единичную матрицу
IBs, например, фу = &у Для i, / = 1, ...,s.
В дальнейшем рассматривается якобиева система (9.1), опера-
операторы которой (9.2) линейно не связаны, в частности их число
s ^ п. Для этой системы решается ограниченная задача об отыска-
отыскании алгебры Ли допускаемых этой системой операторов вида ;
Цх)-д = ?(х)дг	(9.3)
Применение алгоритма, изложенного в 5.3, приводит к следу-
следующему условию инвариантности системы (9.1), обозначенной сим-
символом Е:
[фу. 5]|» = 0 (/=1, ..., s).
Расщепление этого условия относительно п—s «свободных» пара-
параметров— тех координат вектора y = (yv . .., уп), через которые
выражаются s из них с помощью уравнений (9.1), приводит к оп-
определяющим уравнениям вида
[Фу. Ч = *уФ, (/ = !.•••.*).	(9.4)
где (Ц) — матрица некоторого отображения X: X-*-S?(R').
Из (9.4) сразу следует, что совокупность допускаемых систе-
системой (9.1) операторов (9.3) образует алгебру Ли L. В силу пол-
полноты системы (9.1) уравнениям (9.4) 'удовлетворяет любой из опе-
операторов (9.2), более того, любой оператор
\.д = ^-д,	(9.5)

§ 8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	115
линейно выражающийся через операторы (9.2) с произвольными
отображениями vJ: X-> Л. Оказывается, что этими операторами
и исчерпывается алгебра Ли L.
Теорема. Алгебра Ли L операторов (9.3), допускаемых
якобиевой системой (9.1), операторы (9.2) которой линейно не свя-
связаны, есть совокупность всех операторов вида (9.5).
Доказательство. Достаточно доказать существование
функций vJ', с которыми оператор (9.5) удовлетворяет уравнениям
(9.4) с заданными X'.. Подстановка (9.5) в (9.4) в силу якобиевости
системы (9.1) приводит к уравнению (tyj'dv1) ф^Х^.ф,. Благодаря
линейной несвязанности операторов (9.2) это уравнение распа-
распадается на отдельные уравнения для каждого коэффициента vl
(ф,. 5) у'= Х} (/ = 1, ...,«).	(9.6)
Как известно из теории дифференциальных уравнений, условия
интегрируемости уравнений (9.6) сводятся, в силу перестановоч-
перестановочности операторов (9.2) (якобиевости системы (9.1)), к тому, чтобы
для всех к, /=1, . . ., s были выполнены тождества
(^•дЩ = (Ь'д)Ч-	(9-7)
Эти тождества проверяются с помощью соотношения Якоби
7.3.3°
После подстановки выражений (9.4), учета якобиевости системы
(9.1) и линейной несвязанности операторов (9.2) это соотношение
принимает в точности вид равенств (9.7).И
10. Заключительные замечания. Рассмотрения этого пара-
параграфа показывают, что как в случае обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений первого порядка, так и в случае полных
систем, задача интегрирования которых, как известно, сводится
к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений,
допускаемая основная алгебра Ли операторов оказывается бес-
бесконечномерной. Однако задача построения даже каких-либо
групп G1, не говоря уже об основной группе GE, которые можно
было бы использовать для производства решений соответствую-
соответствующей системы Е, оказывается не проще задачи интегрирования ис-
исходных дифференциальных уравнений. Поэтому знание бесконеч-
бесконечномерной составляющей основной алгебры Ли фактически не дает
возможности сформировать эффективные алгоритмы решения упо-
упомянутых дифференциальных уравнений.
Возможность направленного поиска решений открывается
лишь тогда, когда удается найти допускаемые операторы, суще-
существенно более простые по сравнению с операторами, входящими

116 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
в состав системы Е. Примерами могут служить обыкновенные диф-
дифференциальные уравнения высших порядков.
Хотя отмеченный факт является несколько разочаровываю-
разочаровывающим в отношении перспектив применения группового анализа
к решению обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка, тем не менее знание структуры основной допускаемой
алгебры Ли операторов может быть полезным в общих теоретиче-
теоретических исследованиях, не связанных непосредственно с задачей
поиска конкретных решений. Как будет показано в главе V,
ситуация резко меняется в случае дифференциальных уравнений
с частными производными, для которых алгоритмы группового
анализа оказываются эффективными.
Результаты, полученные для обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений первого порядка и для уравнений высших поряд-
порядков, несколько различны. Сопоставление этого факта с тем, что
одно уравнение Е A, 1, к, 1) порядка к равносильно системе
Е A, к, 1, к) из к уравнений первого порядка, приводит к поста-
постановке вопроса о связи основных групп таких уравнений. Этот
вопрос до конца не изучен. Характерная трудность здесь заклю-
заключается в том, что продолженные пространства, в которых лежат
соответствующие многообразия, имеют разную размерность.
Многообразие ЕA,1, к, 1) лежит в пространстве Zk=Bk+1, много-
многообразие!? A,к,1,к) — в пространстве Zt=R2k+1. При этом только
переход Е A, к, 1, к) -*¦ Е A,1, к, 1) может рассматриваться как ре-
результат некоторого отображения Zx -*¦ Zk, в то время как обрат-
обратный переход # A,1, к, 1) ~> Е A, к, 1, к) отображением не является.
§ 9. Линейное уравнение второго порядка
с двумя независимыми переменными
1. Постановка задачи. Для уравнения типа ЕB,1, 2,1) на про-
протяжении всего § 9 используются индивидуальные обозначения
координат, а именно Х=1& (х, у), Y=R (z), Z=R3 (х, у, z), Yx=
=jK2 (zlf z2), T^—It3 (zn, zn, zaa). Общее линейное уравнение этого
типа имеет вид
auzn + 2a12z12 -j- a22z2i + Ъггг + 62za + cz = 0,
коэффициенты которого предполагаются аналитическими функциями,
т. е. отображениями а'*, Ь*, с: Х-*Н класса СЛ(Х).
Для этого уравнения рассматривается задача групповой клас-
классификации (см. §6) по отношению к произвольному элементу —
набору коэффициентов {а**, &', с}. Наиболее общие преобразования
эквивалентности, сохраняющие дифференциальную структуру этого
уравнения, таковы
Х = и{х, у), g = v(x, у), z — w(x, y)z.	A.1)

§ 9. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 117
Из общей теории линейных уравнений второго порядка из-
известно, что подходящим преобразованием эквивалентности A.1)
это уравнение приводится к одной из нормальных форм, а именно,
к гиперболической нормальной форме
z^ + Azj^-^-Bz^-^Cz — O,	A.2)
или к эллиптической нормальной форме
*ц + *м + ^1 + Bz2 + Cz = 0,	A.3)
или к параболической нормальной форме
zil-\-Az1-\-Bza+Cz = 0	A.4)
с известными коэффициентами A,B,C:X-+R класса С л (X).
С точки зрения локальной аналитической теории в рассматри-
рассматриваемом случае аналитических коэффициентов эллиптическая нор-
нормальная форма эквивалентна гиперболической. Соответствующее
преобразование эквивалентности A.1) осуществляется путем вы-
выхода в область комплексных значений независимых переменных
по формулам x=x+iy, y=x—iy, z=z. В результате этого преоб-
преобразования уравнение A.3) переходит в ему равносильное
4^12 + (А + Щ Хх + (А — iB)Xa+Cz = 0
и любые классификационные аналитические результаты для
уравнений A.2) и A.3) можно поставить во взаимно однозначное
соответствие.
В пп. 2—6 рассматривается задача групповой классификации
уравнений вида A.2) по отношению к произвольному элементу
В=(А,В,С).
2. Инварианты Лапласа. Для уравнения вида A.2) совокуп-
совокупность преобразований эквивалентности A.1) сужается до следу-
следующей:
х = а(х), У~Ну)> z = u>(x, y)Z.	B.1)
Два равносильных уравнения A.2) называются эквивалент-
эквивалентными по функции, если они переходят друг в друга при преобра-
преобразованиях B.1), в которых а (х)=х, |3 (у)—у, т. е. только за счет
преобразования z= wz.
Классы равносильных относительно преобразований эквива-
эквивалентности B.1) уравнений A.2) удобно различать в терминах
так называемых инвариантов Лапласа этих уравнений. Инвари-
Инвариантами Лапласа уравнения A.2) называются функции
Ь, = дяА-\-АВ — С, к = дуВ-\-АВ — С.	B.2)
Оправдание названию «инварианты» для этих функций дают
две]Ъледующие леммы, в которых используется обозначение урав-
уравнения A.2) символом (А, к) — парой его инвариантов Лапласа.

11$ ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Лемма 1. Уравнение (Я, Ъ) эквивалентно по функции уравне-
уравнению (A, к), если и только если R=h, k~=k.
Доказательство. В результате подстановки z= шг
в A.2) получается уравнение той же структуры с коэффициентами
^4-В'^+^ B.3)
A)	A)	A) '	О) ' A) '	V	'
где ш1 = djo, ш2 = 9уо), wli = dxdl/w. Отсюда
и аналогично для к. Обратно, если Я = А и % = к ъ А, В, С —
коэффициенты уравнения (Я, Ъ), то из определения B.2) следует
равенство
в силу которого существует функция ш, удовлетворяющая первым
двум уравнениям B.3). G этой функцией равенство R = h оказы-
оказывается равносильным третьему равенству B.3). Поэтому_подстановка
z = uxz преобразует уравнение (А, к) в уравнение (Л, к). ¦
Следствие. Уравнение A.2) эквивалентно по функции урав-
уравнению z12=t), если и только если й = А; = О.
Лемма 2. Уравнение (R, Jc) равносильно уравнению (h, к),
если и только если существуют функции %—а(х) и у = ф()
с которыми для всех (х, у)?Х выполнены равенства
Цх, у) = *'{х)р(у)К{х, у), к(х, у) = аЦх)Р(у)Цх, у), B.4)
где а'=3ва, $' = д$.
Доказательство. Преобразование B.1) можно выполнить
в два этапа, причем на этапе (а): х = х, у—-у, z = шг и на этапе (Ь):
х—а,(х), у = $(у), z=zS. В результате этапа (а) инварианты Лап-
Лапласа сохраняются в силу леммы 1. В результате этапа (Ь) они
преобразуются, как показывает легкое вычисление, в точности по
формулам B.4). Поэтому, если уравнение (R, к~) равносильно урав-
уравнению (h, к), то равенства B.4) выполнены. Обратно, если эти
равенства выполнены, то этап (Ь) с функциями^, C из B.4)_пере*
водит уравнение (А, к) в некоторое уравнение (Я, fc), причем h = R,
к~ = к. В силу леммы 1 уравнение (А, к~) эквивалентно по функции
уравнению (Я, к), т. е. переходит в него с помощью этапа (а). ¦
3. Ряд Лапласа. Помимо B.1) существуют другие преобразо-
преобразования уравнения A.2), сохраняющие дифференциальную струк-
структуру этого уравнения — тан называемые преобразования Лап-
Лапласа.

§ 9. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 119
Вводится вспомогательная функция z1, связанная с z уравне-
уравнениями
z% + Az = z\ z{ + Bz1 = hz.	C.1)
Легко проверяется, что исключение z1 из этих уравнений дает
в точности уравнение A.2). Наоборот, при А=^=0 исключение z
из системы C.1) приводит к некоторому уравнению для z1, также
имеющему вид A.2). Это новое уравнение будет называться х-
преобразованием Лапласа уравнения A.2). Его инварианты Лап-
Лапласа А1, к1 находятся простым вычислением и оказываются такими:
h1 = 2h — k — dj!/lnh, k1 = h.	C.2)
Аналогично вводится вспомогательная функция za, связанная
с z уравнениями
z1-lrBz = z2, z\-\-Az2 = kz.	C.3)
Легко проверяется, что исключение z2 из этих уравнений дает
в точности уравнение A.2). Наоборот, при к^=0 исключение z
из системы C.3) приводит к некоторому уравнению для z2, также
имеющему вид A.2). Это новое уравнение будет называться у-
преобразованием Лапласа уравнения A.2). Его инварианты Лап-
Лапласа А2, к2 оказываются такими:
h* = k, k* = 2k — h — dxdvlnk.	C.4)
Прямым вычислением инвариантов устанавливаются равенства
(А1J = (А2I = А, (к1J = (к2I — к, показывающие в силу леммы 1,
что ^-преобразование Лапласа уравнения (А1, к1) эквивалентно
по функции уравнению (А, к) и что х-преобразование Лапласа
уравнения (А2, к2) эквивалентно по функции уравнению (А, к).
Поэтому множество неэквивалентных уравнений, выводимых из
данного уравнения (А, к), «одномерно». Для наглядной иллю-
иллюстрации этого свойства удобно положить А=А° и k=h~1, так что
исходное уравнение имеет обозначение (й°, А). Пусть А" для
любого целого п определено рекуррентной формулой
hn+1-{-hn-1 = 2hB — dxdy\n{hn).	C.5)
Тогда C.2) показывает, что при п = 0 эта формула дает инвари-
инвариант А1 уравнения (А1, к1), а при » — —1 — инвариант k2 = h~2
уравнения (А2, №). Легко проверяется, что вообще х-преобразование
Лапласа переводит (А", А"") в (hB+1, А"), а ^-преобразование Лапласа
переводит (А"+\ А") в (Ая, А") для любого целого п. Так полу-
получается ряд Лапласа
...; (A, A"s); (А, А); (А0, Л); (А1, А0); (А2, А1);
в котором движение вправо осуществляется ^-преобразованиями,
а движение влево — ^-преобразованиями Лапласа.

120 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Ряд Лапласа можно продолжать до тех пор, пока какой-нибудь
из инвариантов h" не обратится тождественно в нуль. Замечатель-
Замечательным свойством этого ряда является то, что если при каком-нибудь
п оказывается h"=0, то для исходного уравнения может быть по-
построена формула общего решения с двумя произвольными функ-
функциями, содержащая квадратуры. Если же ряд Лапласа «обрыва-
«обрывается» с двух концов, то можно построить формулу общего решения
исходного уравнения, не содержащую квадратур. Эти красивые
аналитические факты здесь не доказываются, поскольку в даль-
дальнейшем они использоваться не будут. С ними можно познако-
познакомиться, например, по указанному в списке литературы к этой
главе классическому трактату Дарбу.
РДля дальнейшего важен случай, когда инварианты h" нахо-
находятся в постоянном отношении.
Лемма. Если уравнение (h, к) таково, что отношения
k/h = p, (dxdy\nh)lh = q	C.6)
постоянны, то все инварианты ряда Лапласа этого уравнения
находятся в постоянном отношении.
Доказательство. В обозначениях ряда Лапласа ра-
равенства C.6) переписываются в виде
Из формулы C.5) при п=0 следует постоянство отношения
hxlh°=2—р—q. На основании этого постоянство отношения
hn/h° устанавливается с 'помощью формулы C.5) индукцией
по п.Ш
В случае постоянных р, q для отыскания отношения h"/h°
при любом п надо рассмотреть формулу C.5) как уравнение в ко-
конечных разностях
с начальными условиями h~1=ph°, №=№. Решение этой задачи
(очевидно, единственное) ecTbjj
h«lh° = 1 + A - р) n-i qn[(n + 1)Г	C.7)
4. Определяющие уравнения. Если искать допускаемый урав-
уравнением A.2) оператор вида *дх-\-$ду-\--(д,с координатами а, р, у:
Z -> Л, то окажется, что частью системы определяющих уравне-
уравнений будут уравнения вида 7 A4.6), т. е. в данном случае уравне-
уравнения dta—dt^—0, dly=O. Из этого факта и результатов 7.14 сле-
следует, что для уравнения A.2) его основная алгебра Ли есть LE=
~Lr@Lca, где U образована операторами вида
+ с(х, y)zdr	D.1)

§ 9. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 121
Очевидно, что преобразования растяжения с оператором zdg
допускаются любым уравнением A.2), т. е. входят в ядро основ-
основных групп класса уравнений A.2). Поэтому оператор zdg можно
включить в Z/00 и считать, что функция о в операторе D.1) опре-
определена с точностью до постоянного слагаемого.
Определяющие уравнения выводятся, следуя алгоритму 5.8.
Применение дважды продолженного оператора D.1)
С • 0 = С • 0 + тА, + ^ + ^iA» + xi2^,s + ха2&„;
— У z1 — t}xzv t2 = avz — \fzx + (з —
— %„) zi — iu*« + (о — 2SJ zu —
— I. — *ЧГ) zia —
Z2 — 2?yZ12 + (° — 2\) Z
Z22>
к уравнению A.2) дает условие инвариантности
— W) z
—(o — S,— ijr) (Azx-\-Bz2-{- Cz) —
+ Caz + (WXA + 7,5^) Zl +
) z = 0,
где оя~дяа, °ху = дхдуо и т. д.
Расщепление относительно «свободных» параметров z, zlt
z2, zu, z23 приводит к определяющим уравнениям, которые после
небольшой обработки и использования инвариантов Лапласа
B.2) равносильны следующим:
5, = 0, 7ia = 0;
-A)S; D.2)
О.	D.3)
Первые два уравнения D.2) показывают, что 2 зависит только
от я, а t\ — только от у. Следующие два уравнения D.2) служат
для определения функции о после того, как найдены Е и % усло-
условие совместности этих уравнений следует из D.3). При этом функ-
функция о определена уравнениями D.2) однозначно с точностью до по-
постоянного слагаемого, что соответствует предположению об опера-
операторах D.1) допускаемой уравнением A.2) алгебры Ли U. Таким
образом, ответственными за общее решение определяющих уравне-
уравнений и за результаты групповой классификации являются уравне-
уравнения D.3). На самом деле, используя леммы 9.2, легко проверить,

122 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
что уравнения D.3) инвариантны относительно любого преобра-
преобразования эквивалентности B.1). Поэтому D.3) являются класси-
классифицирующими уравнениями в смысле 6.6.
5. Анализ общего решения. В дальнейшем анализе можно
ограничиться тем случаем, когда хотя бы один из инвариантов
h, к отличен от нуля. Если это классификационное предположе-
предположение не выполнено, т. е. если h=k=O, то, согласно следствию 9.2,
уравнение A.2) равносильно уравнению z12=0 и допускает бес-
бесконечномерную алгебру Ли операторов
E.1)
с произвольными функциями S и щ.
Для определенности пусть h^=0. В обозначениях C.6) из D.3)
следует уравнение
показывающее, что либо p=k/h есть инвариант группы G1 с опера-
оператором D.1), либо p=const.
Если отношение р инвариантов Лапласа уравнения A.2)
не есть постоянная, то алгебра Ли операторов D.1), допускаемых
этим уравнением, не более чем одномерна. Действительно, если
(?, -г]) и (?х, %) удовлетворяют предыдущему уравнению,
то при p=7^const будет ?х=(??, f\i=Q'4, где Q — постоянная, так
как она есть функция одновременно только от а; и только от у.
Но тогда из D.2) также получается, что at=Qo, в силу чего опера-
оператор d -d=Qt-d.
Пусть p=const. Тогда и-з двух уравнений D.3) остается одно,
а именно второе. Оно может быть переписано в следующем виде:
1дя In h -f т{ду In h -f \i -f V = 0,
где 1' = дя^, т)' = 5у7). Применение к этому уравнению операции
дхду дает
\дя in (дхду in h)+-фу in адIn h)+s'+v=°-
Если отсюда вычесть предыдущее уравнение и использовать обо-
обозначение C.6), то получится новое уравнение
Поэтому снова можно заключить, что либо q={dxd In h)Ih есть
инвариант группы G1 с оператором D.1), либо g=const. Отсюда
следует вывод, аналогичный предыдущему. Тем самым получа-
получается следующий классификационный результат.
Если для уравнения A.2) хотя бы одна из функций р, q не яв-
является тождественно постоянной, то алгебра Ли операторов
D.1), допускаемых этим уравнением, не более чем одномерна.

§ 9. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 1 23
В случае постоянного д инвариант h не может быть произ-
произвольным — он должен быть решением уравнения Лиувилля
dxdvln h = qh.	E.2)
Лемма. Общее решение уравнения E.2) в случае постоян-
постоянного q имеет вид
h{x, „) = a'(JT)P'(K)	(9 = 0).
где а, J3 — произвольные функции и а'=^а, р' = 9у|3.
Доказательство. Случай ^=0 тривиален. Если q=^=0,
то формула E.3) дает решение уравнения E.2) при любых функ-
функциях а, р, что проверяется прямой подстановкой. Пусть h=y^2;
тогда E.3) приводится к уравнению
дифференцирование дх которого приводит к равносильному следст-
следствию ду \n(yJ,Jy) = 0, откуда с некоторой функцией г:х->г(х)
Если Xi и Хг — Два линейно независимых решения этого линей-
линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго по-
порядка, то его общее решение есть x=ci(#)Xi(x)+c2(l/)X2(a;) c произ-
произвольными функциями сх, с2. Этому выражению можно придать
вид %=т(х)п(у)(а.(х)-1г$(у)). Подстановка в уравнение для % при-
приводит к результату
в силу которого й = х~2 имеет вид E.3). ¦
6. Классификационная теорема. Здесь формулируется наибо-
наиболее существенный результат групповой классификации уравне-
уравнений вида A.2).
Теорема. Уравнение A.2) допускает более чем одномерную
алгебру Ли операторов D.1), если и только если функции
тождественно постоянны. Если р и q постоянны, то уравнение
A,2) равносильно либо уравнению Эйлера—Пуассона 0
Zi2_Jg.Zi_MLZ2+J^Lz==0>	F.1)
12 х + у 1 х + у 2 ' (x + yf	v >
либо уравнению (q = 0)
z12 -\~ xzx -\- pyz2 -f- pxyz = 0	F.2)
и его алгебра Ли операторов D.1) трехмерна.

124 ГЛ. 111. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Доказательство. Необходимость постоянства функ-
функций р ш q установлена в предыдущем пункте. Если же р ш q посто-
постоянны, то в силу леммы 9.5 инварианты Лапласа уравнения A.2)
имеют вид (случай q=^=Q)
С другой стороны, инварианты Лапласа h, Ъ уравнения F.1)
таковы:
^' v)=7"&hr' Цх' y)==J-WTW
Сравнение этих выражений с предыдущими показывает, что вы-
выполнены условия B.4) леммы 9.2.2, в силу которой уравнение
A.2) равносильно уравнению F.1). В случае q=0 лемма 9.5 дает
выражения для инвариантов уравнения A.2)
в то время как инварианты уравнения F.2) суть Я=1, Ъ=р. По-
Поэтому снова в силу леммы 9.2.2 уравнение A.2) равносильно F.2).
Так как равносильные уравнения допускают подобные алгебры
Ли (см. 7.9), то для завершения доказательства остается показать,
что каждое из уравнений F.1), F.2) допускает трехмерную ал-
алгебру Ли операторов вида D.1). В случае q=y^O второе из уравне-
уравнений E.1) с инвариантом R уравнения F.1) приводится к виду
xV - 21+ z/V - 27, + у? +*ч' =0.
Применение операции дхду дает I" -j- г" = 0, откуда S" = —if =
= 2C0=const. Интегрирование дает выражения
подстановка которых в предыдущее уравнение показывает, что
С3=С1, С4=—Сг. Итак, общий вид координат X, т\, удовлетворя-
удовлетворяющих уравнениям D.3), таков:
Интегрирование уравнений D.2) приводит к формуле
° = Coj(px — у).
Окончательно получается трехмерная допускаемая уравнением
F.1) алгебра Ли I? операторов вида D.1), причем базис в L3 об-
образован операторами
Ъ'д = д* — Qy Ъ'д = хдх+Уд!,>
F'3)

§ 9. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 125
В случае q=0 вычисления столь же просты и дают допускае-
допускаемую уравнением F.2) алгебру Ли L* операторов вида D.1) с ба-
базисом
^•д = хдя — удг, ^•d = da — yzdt, С, • д = 5, — рхгдя. Ш F.4)
Следствие. Два уравнения вида A.2), допускающие трех-
трехмерную алгебру Ли операторов D.1), равносильны, если и только
если они имеют одинаковые значения параметров р и q.
Доказательство. Если рассматриваемые уравнения
имеют одинаковые р и q, то, согласно доказанной теореме, они
оба равносильны одному из уравнений F.1) или F.2). Обратно,
если данные уравнения равносильны, то равенство значений р
следует из B.4). Равенство значений q также вытекает из соотно-
соотношений B.4), в силу которых
(дхдр In h)lh = {дхду In (а'р'Ща'р'й) = {дядд In Щ. Ш
7. Параболическая нормальная форма. Дифференциальная
структура уравнения A.4) сохраняется при всех преобразованиях
A.1) при условии, что dxv=0. С помощью подходящего преобразо-
преобразования A.1) легко проверяется, что уравнение A.4) равносильно
такому, в котором А=0 и В=—1. Поэтому в случае параболи-
параболической нормальной формы можно ограничиться классом урав-
уравнений
zn = z2 + Hz	G.1)
с произвольным элементом Н: Ж-^-R. В дальнейшем это уравнение
будет обозначаться символом Е(Н).
Наиболее общее преобразование эквивалентности, сохраня-
сохраняющее дифференциальную структуру уравнения G.1), зависит
от трех произвольных функций у -> а (у), Ъ (у), с (у) и имеет вид
— ах-\-Ъ, у=^аЧу, z — Zexp(~x2 + ^x -\-cj. G.2)
Под действием этого преобразования коэффициент Н переходит
в коэффициент R, определяемый формулой
G.3)
где а' =dva, a" = dp, и т. д.
Уравнение Е (Н) равносильно уравнению Е (Н) относительно
преобразования эквивалентности G.2), если и только если коэф-
коэффициенты Я и Н связаны формулой G.3).

126 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Определяющие уравнения DE (Я) для операторов вида D.1),
допускаемых уравнением G.1), получаются применением алго-
алгоритма 5.8 и оказываются такими:
П = 0 26-^ = 0 23 + е, = 0;
Общее решение системы из первых трех уравнений G.4) на-
находится без затруднений и выражается через три произвольные
функции у -> у (у), ф(у), %(у) по формулам
6 = 2аяр'+ф, 4 = 4<р, 2з = -хУ-х'У-ъ	G.5)
где штрихами обозначены производные д . Подстановка этих
выражений в последнее уравнение G.4) приводит к следующему
уравнению, связывающему функции у, <[>,? и Я:
2Bжср'+ф)^Я + 8ср^Я + 8ср'Я = хУ"+^" + х'-2?"- G.6)
Пусть h = d\H. Применение оператора 9| к уравнению G.6) дает
Bаяр' + ф) d> -f 4cp5/ + 10«р'Л = 0.
Очевидно, что предположение h—О является классифицирующим.
Если hy?=0, то для к=дх In h из предыдущего уравнения полу-
получается
Bж«р' + ф) Э^Л + 4<р9уЛ + 2<р'Л = 0.
С помощью этих двух уравнений для величины р=М~1/5 выво-
выводится следующее:
2	= 0.	G.7)
Отсюда, аналогично тому, как это было сделано в 9.5, можно за-
заключить, что если p^const, то уравнение G.1) допускает не бо-
более одного оператора D.1). Поэтому, для того чтобы алгебра Ли
Lr была более чем одномерной, необходимо, чтобы функция h
с некоторой постоянной р удовлетворяла классифицирующему
уравнению h~ilbdx In h=p, которое равносильно уравнению
ph,w.	G.8)
8. Классификация параболических форм. Классификационное
уравнение G.8) удовлетворяется функцией й=0. В этом случае
д?Я=0 и произвольный элемент Я имеет вид
с некоторыми функциями у -> C (у), у (у), 8 (у). Очевидно, что все-
всегда можно найти подходящее преобразование эквивалентности
G.2), в результате которого эта функция Я переходит в Й=0.
Уравнение G.1) при Я=0 уже рассматривалось в 6.8, где най-
найдена его основная алгебра Ли Ьъ.

S 9. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ	127
j^.^B дальнейшем предполагается, что Ь^О. Если в уравнении
G.8) константа р=0, т. е. оно есть д*#=0, то произвольный эле-
элемент имеет вид
Н = ах3 -(- (За;2 -j- ~^х -j- S,
где а, р ,y, S — некоторые функции переменного у, причем а=^=0.
Легко проверить, что эта функция Н эквивалентна такой:
Н — Xs -)- Y (У)х-
Подстановка в определяющее уравнение G.6) показывает, что
в этом случае ср' = ф=^'=О и сру'=О. Это означает следующее:
либо алгебра Ли U нулевая (если ф=0), либо она есть L1 (если
ср=С0 и ч'—О). Но последняя возможность дает функцию Н,
зависящую только от х. Этот случай можно считать тривиальным,
так как если дуН=0, то уравнение G.1) всегда допускает опера-
оператор ду.
Итак, нетривиальные алгебры Ли U возможны лишь в пред-
предположении, что р=/=0. В этом случае интегрирование уравнения
G.8) дает
h = д\Н = — 2im(x-f a)~5, 24m- = E/pM,
с некоторой функцией у -> л(г/). Трехкратное интегрирование при-
приводит к общему выражению произвольного элемента
II = т{х-\- а) + Р*2 + -{х + 3,
которое подходящим преобразованием эквивалентности G.2),
G.3) приводится к более простому, а именно
Н(х, у) = т(х + р(у))~2.
В свою очередь, эта функция эквивалентна следующей:
Н(х, у) = тх~- + Цу)х	(8.1)
с некоторой функцией 0: у -> 8(г/).
Подстановка функции (8.1) в определяющее уравнение G.6)
и расщепление последнего относительно переменного х дает урав-
уравнения
<р"'=0, ф = 0, х' = 2сР". 3=р'6 + 2?0'.-=О.	(8.2)
Так как из последнего уравнения (8.2) функция 9 определяется
однозначно, с точностью до постоянного множителя, то в случае
0=7^=0 уравнением G.1) допускается не более чем алгебра Ли L1.
Наконец, если 6=0, то остаются первые три уравнения (8.2),
общее решение которых таково (в силу G.5) функция i должна
определяться с точностью до постоянного слагаемого):

12$ ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Это решение дает по формулам G.5) алгебру Ли L3 операторов
вида D.1), допускаемых в данном случае уравнением G.1), базис
которой таков:
Сх = @,1,0), 12 = (х,2у,0), C = (-4*y, ~V, (^ + 2y)z). (8.3)
9. Классификационный результат. Окончательный результат
групповой классификации параболических нормальных форм
G.1) уравнения второго порядка формулируется в следующей
теореме.
Теорема. Уравнение G.1) допускает какой-либо оператор
D.1), если и только если оно равносильно уравнению этого вида
с функцией Н, не зависящей от одной из координат, х или у. Рас-
Расширение основной алгебры Ли возможно, только если уравнение
G.1) равносильно такому же уравнению с функцией Н=тх~2
(wi=const); последнее при т=^0 допускает алгебру Ли L3 опера-
операторов (8.3), а при т=0 — алгебру Ли L6, найденную в 6.8.
Доказательство. В силу предыдущего надо доказать
только первую часть утверждения. Легко проверить, пользуясь
формулой подобия векторных полей 1.16, что в случае преобразо-
преобразования, определяемого формулами G.2), вектор (?, т), az) пере-
переходит в вектор (?, ч\, 5, z) с координатами
= а\ а = а + p	у
где ^ = ~x2-\-yx~\~c- & силу равенств G.5) это влечет преобра-
преобразование функций ср, ф, ^ по формулам
%	JЬ'Ч	(9Л)
Пусть уравнение G.1) допускает ненулевой оператор D.1) с функ-
функциями <р> ф, х- Если ср =т^= 0, то можно выбрать функции а, Ь, с
такими, что формулы (9.1) дадут ф = const =^= 0, ф = % = 0. В этом
случае определяющее уравнение G.6) после преобразования G.2),
G.3) примет вид 4фд?/7 = 0, откуда следует, что Н не зависит
от у. Если же <р = 0, но ф=^=0, то с помощью (9.1) можно сделать
ф = const =5^= 0 и % = 0 и определяющее уравнение G.6) после пре-
преобразования G.2), G.3) будет <|»д*./7 = 0, т. с. Е не зависит от X.
Наконец, из G.6) следует, что если ср = ф = О, то оператор D.1)
нулевой. ¦
Следствие. Если уравнение G.1) допускает два линейно
независимых оператора вида D.1), то оно равносильно уравнению

§ 10. УРАВНЕНИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ	129
§ 10. Уравнения пограничного слоя
1. Описание системы уравнений. Рассматриваются известные
из гидродинамики уравнения двумерного нестационарного по-
пограничного слоя (уравнения Прандтля), описывающие движения
вязкой несжимаемой жидкости вблизи непроницаемой твердой
поверхности при больших числах Рейнольдса. Эта система имеет
тип Е C,3,2,3) и будет описываться в индивидуальных обозначе-
обозначениях координат, принятых в гидродинамике. Здесь Х—В? (t, x, у),
Y= -В3 (и, v, р), причем t — время, х, у — пространственные
координаты, и, v — координаты вектора скорости и р — дав-
давление. Оператор дифференцирования отображений Z=X X Y -* Т?
записывается в виде д = (д{, дх, ду, ди, д„, др) и для частных
производных используются сокращенные обозначения с соответ-
соответствующими индексами, например dtu = ut, dxii = ux, 5% = иуу
и т. п.
Не нарушая общности рассмотрения, можно принять, что плот-
плотность жидкости и коэффициент вязкости равны единице. При этих
соглашениях исследуемая система уравнений такова-
'луу
A.1)
Давление р играет в этой системе особую роль. В силу второго
уравнения р есть функция только от (t, x). В задачах гидродина-
гидродинамики эта функция часто может считаться заданной. В этом случае,
если функцию ря=® (t, x) предположить' известной, то система
A.1) станет системой типа Е C, 2, 2, 2) и примет вид
В отличие от системы A.1), здесь функция 6 может рассматри-
рассматриваться в качестве произвольного элемента, в то время как система
A.1) произвольных элементов не содержит. Поэтому для этих
систем уравнений задачи группового анализа различны: для си-
системы A. 1) это просто задача вычисления ее основной группы
(основной алгебры Ли операторов), а для системы A.2) — за-
задача групповой классификации по отношению к произвольному
элементу 6: (t, х) -*¦ 6 (t, x). Дальнейшее изложение и посвящено
решению этих задач.
2. Предварительная информация об операторе. Для координат
искомого оператора здесь целесообразно применить индивиду-
индивидуальные обозначения, в которых координата обозначается той же
буквой, что и скалярная переменная, но со звездочкой наверху.

130 гл. ш. основные группы Конкретных систем Ураёнёнйй
При этом соглашении допускаемый системой A.1) оператор имеет
вид
1.д = }д,+?дя + $д, + йдя-{-бд, + рдр,	B.1)
координаты которого ?,..., ? суть искомые отображения Z -> R.
Формулы продолжения оператора B.1) строятся с помощью опера-
оператора полного дифференцирования D=(Dt, Dx, Dv), имеющего ком-
компоненты
Dt = dt +utdu+vtd, +ptdp -f.. .,
Dtf=:dr+ut/du+vl/d,+Pfdp-\-... +v^+...,
где явно указаны только слагаемые, фактически участвующие
в построении определяющих уравнений.
Вначале целесообразно конкретизировать функциональный
вид координат оператора B.1), подчинив его только условию,
чтобы он допускался уравнением ux-\-vy=0 — последним в сис-
системах A.1), A.2). Алгоритм 5.8, в процессе реализации которого
условие инвариантности берется на всем многообразии A.1) в про-
продолженном пространстве Z2, приводит к представлению
t = 2a(t), * = P (*.*)• i = t(t,y),
в котором функции о, X, р: X -> R удовлетворяют уравнениям
= О,	B.3)
составляющим часть системы определяющих уравнений для лю-
любой из систем A.1), A.2).
3. Определяющие уравнения. Применение алгоритма 5.8 ко вто-
второму уравнению A.1) дает представление последней координаты
оператора B.1)
? = «!>(*, х, р).	C.1)
Наконец, первое уравнение с помощью алгоритма 5.8 порождает
следующие определяющие уравнения:
Р/* = а«> Р** = 0' Гу = а«'	,о 2.
о = _2а1, Х = р„ ^ = т<; <f,= -X<) ^ = 2рж-4а<. ( ' >
Полная система определяющих уравнений DE для уравнения
A.1) состоит из уравнений B.3) и C.2).
Для системы ЕF) уравнений A.2) с произвольным элементом
б алгоритм 5.8 дает те же определяющие уравнения B.3), C.2)

S 10. УРАВНЕНИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ	131
со следующим изменением: из C.2) исключаются последние два
уравнения для <]>, и их место занимает определяющее уравнение
= (Р.-4а/)8-Х/.	C.3)
4. Общее решение. Подстановка выражений C.2) для X, (а
в последнее уравнение B.3) и учет первых трех уравнений C.2)
показывает, что ait=0. В силу этого общее решение уравнений
B.3)—C.2) оказывается следующим:
2а =Сх + 1Сги P = Csx + b(t), T = Cay + e(t), а = -2С2,
-4С)/>-3" (г) * + *(*) ( '
где Cj, С2, С3 — произвольные постоянные, t ->8(i?), s(t), к(?) —
произвольные функции и штрихами обозначены производные по t.
На основании этого решения по формулам B.2), C.1) получается
основная алгебра Ли допускаемых системой A.1) операторов B.1)
с координатами
U = (CS — 2C2)u-\-b'(t), 6 = —C2v-\-e'(t),	D.2)
Р = B0, - 4С2) р - 5" (t)x + Tz (t).
Здесь постоянная Сх дает оператор dt переноса по времени,
а постоянные С2 и С3 — операторы растяжения
щ+2хдх+Уду - ид„ хдх+вз.+2Рдр.
Произвольные функции 8, е дают оператор
§ («) дх + s («) 5У+§' (*) 5Я + •' (*) 5, - з" (t) хдр,
соответствующий преобразованиям перехода на плоскости Ш (х, у)
в систему координат, поступательно движущуюся со време-
временем по произвольному закону. Произвольная функция и дает
оператор n(t) др, соответствующий тому факту, что уравнениями
A.1) давление р определяется с точностью до слагаемого, равного
произвольной функции времени.
Примечательной особенностью полученной основной алгебры
Ли LE системы Е, заданной уравнениями A.1), является то, что
она бесконечномерна: ее операторы зависят от трех произволь-
произвольных функций §,s, n времени t.
5. Случай заданного давления. При переходе к системе ?"(9),
заданной уравнениями A.2), оператор B.1) «укорачивается»
за счет отбрасывания слагаемого рдр, а к определяющим уравне-
уравнениям B.3), C.2) добавляется уравнение C.3). Для групповой клас-
классификации уравнений A.2) надо прежде всего найти ядро основ-
основных алгебр Ли системы Е (б).

132 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Очевидно, что уравнение C.3) при произвольной функции 0
может быть удовлетворено, лишь если а=C = ),,=(). Добавление
этих уравнений к системе B.3), C.2) показывает, что в общем ре-
решении D.1) будет С1=С2=С3=0 и §=0. Поэтому ядро основных
алгебр Ли Lg уравнения Е @) образовано операторами вида
i-d=B{t)d? + B<{t)d,	E.1)
с одной произвольной функцией t -> e (t).
Затем следует вычислить преобразования эквивалентности
класса уравнений Е @), которые должны быть преобразованиями
пространства Иъ (t, х, у, и, v). Применение алгоритма, изложенного
в § 6, дает следующий результат. Общее преобразование экви-
эквивалентности состоит из всех преобразований, соответствующих
ядру основных алгебр Ли E.1) и из преобразований, зависящих
от трех произвольных постоянных к, I, ти от одной произвольной
функции t -> u>(t), которые даются формулами
i = k2t-{-l, Х — тк*(х-\-(в), г]=ку, п = т№ (u-\-w'), fj = k~1v,
E.2)
где ш' = dtm. При этом произвольный элемент 6 преобразуется так:
'9 {I, х) — гп(в (t, х) — со" (I)).	E.3)
6. Групповая классификация. Определяющее уравнение C.3),
в силу уже найденных без обращения к этому уравнению выраже-
выражений для функций D.1), принимает вид
(С, + 2C2t) % -f (C3x + 8 (*)) 9я = (С, - АС2) S - 8" (*), F.1)
где для краткости использованы обозначения Ог = дД Вх=дх0.
Отсюда ясна общая структура классифицирующего уравнения,
ответственного за групповую классификацию систем Е F): лю-
любая конкретная функция, с которой возможно расширение ядра
основных алгебр Ли E.1), должна быть решением уравнения вида
{А + Bt) % + (Сх + v (*)) в, = (С - 2В) 9 - v" (t)	F.2)
с некоторыми постоянными А, В, Си функцией t —> v(t).
Легко проверяется, что уравнение F.2) инвариантно относи-
относительно преобразований эквивалентности E.2), E.3), дополненных
следующими преобразованиями постоянных А, В, С и функции v
А=к2А — 1В, В = В, С = С, ? = m**(v-f-(,4-j-Bt)«i>' —Go). F.3)
Первую классификационную возможность дает функция 9=0
или, общее, любая функция 0, зависящая только от t, так как
в силу E.3) она всегда эквивалентна функции 9=0. В этом случае
определяющее уравнение принимает вид 8"=0 с общим решением

§ 10. УРАВНЕНИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ	1 33
b = C4+Cbt. Согласно формулам D.2) это дает пятимерпое расшире-
расширение Ьъ ядра основных алгебр Ли, имеющее базис
Далее рассматриваются альтернативные возможности: (а) все
постоянные А, В, С равны нулю и (Ь) хотя бы одна из этих постоян-
постоянных отлична от нуля.
Г С л у ч а й (а). Здесь классифицирующее уравнение F.2)
имеет вид v0a.= —v". Решение этого уравнения, с точностью до
преобразования эквивалентности E.2), E.3), есть Q=($(t)x
с некоторой вполне определенной функцией ср: ?->ср(?). Подста-
Подстановка этой функции 6 в определяющее уравнепие F.1) и расщепле-
расщепление относительно «свободного» переменного х дает уравнения
o.	F.5)
Если С1=С2—0, то первое уравнение не накладывает никаких
ограничений на функцию ср. Второе же всегда имеет два линейно
независимых решения 8Х и 82 и его общее решение есть 8=С481+
+С582. Следовательно, в этом случае ядро основных алгебр Ли
Lg расширяется подалгеброй L3 с базисом, образованным опера-
оператором (,3-д из F.4) императорами
t,l-d=\{t)dx+b'2{t)du. F.6)
Если С27^0, то первое уравнение F.5) эквивалентно уравне-
уравнению Jcp'-j-2cp=0 с общим решением <p=qt~3, где <7=const. Здесь
второе уравнение F.5) есть t2b"-\-qb=0 и при g=ra(l— п) =? 1/4
имеет два линейно независимых решения
а~при~<7 = 1/4 — два решения
Итак, еслиГ0=д^~2д;, то~расширяющая Lo алгебра^Ли есть L4
с базисом, состоящим из операторов Z2-d и'С3-5 из F.4) и опера-
операторов вида F.6) с предыдущими конкретными функциями 8г и 82-
Наконец, если С2=0, но С^=0, то из F.5) следует ср'=О, от-
откуда cp=const. За счет преобразования эквивалентности эта по-
постоянная может быть сделана равной +1, так что второе уравне-
уравнение F.5) есть §" + 8=0. Итак, для функции В=+х расширяю-
расширяющая алгебра Ли есть снова L4, но с базисом, состоящим из опера-
операторов Ci'd и C3gd из F.4) и операторов вида F.6), где либо Ъ1 =
—sint, 82=cost (для в=ж), либо 81=sh^, 82=ch? (для 0=—х).
Случай (Ь). Если хотя бы одна из постоянных А, В, С
не равна нулю, то из'(б.З) следует, что для любой функции v

134 ГЛ. 111. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
можно подобрать такую функцию ш из преобразования эквивалент-
эквивалентности E.2), E.3), с которой будет v=0. Следовательно, в этом слу-
случае произвольный элемент эквивалентен функции 0, удовлетворя-
удовлетворяющей уравнению
Abt + В(*в, + 2в) -f С (аЛ, —0) = 0.	F.7)
Здесь возникают различные возможности в зависимости от того>
равны нулю постоянные В и С или нет. Это дает четыре подслучая
(\) С = В = 0, (Ьа) С = 0, В^О,
(Ь8) CjLO, В —О, (Ь4) С=?0, Я=И=О.
(Ьх) Уравнение F.7) есть 6^=0 с общим решением 6=ф (х).
Определяющее уравнение F.1) принимает вид
При произвольной функции ф отсюда следуют равенства С2=Са—0
и 8=0, ввиду чего остается одномерная алгебра Ли L1 с операто-
оператором d-d из F.4), соответствующим постоянной Сх в D.2). Диф-
Дифференцирование дх дает уравнение
C3xf + 8(t)f+ 4Саф'=0.
Очевидно, что предположение ф"=0 возвращает к случаям 0=0
или (а). Поэтому надо считать, что <\>"=?0, а тогда функция §
должна быть постоянной §=С4. Здесь определяющее уравнение
будет таким:
При С3=^0 решение этого уравнения эквивалентно степенной функ-
функции ф=жп, причем п^=0 и п=^=\. С этой функцией из уравнения по-
получаются соотношения С4=0, (и—1) С'3=4п6'а, что дает под-
подалгебру Ли L2 с Lb с базисом операторов
Если же С3=0, то решение эквивалентно функции еж и Ct~Ca—
—4С2. Значит, в случае 9=еж получается подалгебра L3cLb с ба-
базисом
(Ь2). Так как из F.3) следует, что при В=^=0 можно считать
А=0, то здесь функция 0 эквивалентна решению уравнепия
tdtJ[-2Q=0, т. е. функции 9=ф(#)!Г2. С этой функцией определяю-
определяющее уравнение F.1) принимает вид
* И»'

§ 10. УРАВНЕНИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ	135
дифференцирование дх которого дает уравнение
—2C/Y -f W + Ц" = О-
При произвольной функции ф отсюда следуют равенства С1=
= С3=0 и §=0, ввиду чего остается лишь L1 с оператором ^-д
из F.4). Предположение <|/'=0 возвращает к случаям 0=0 или
(а). Если же $"=?0, то необходимо С8=0 и (?§)'=0, т. е. 8 = С4Г1.
Поэтому предыдущее уравнение показывает, что функция ф
должна быть решением уравнения <|/'=g<J/, где q=^=0 или, с точ-
точностью до эквивалентности, функцией ф=еж. При этом определя-
определяющее уравнение сводится к равенству С4=2С1. Следовательно,
для Q=ext~2 получается алгебра Ли L2 с операторами
(Ь3) Очевидно, что здесь предположение А = 0 возвращает
к случаям 6 = 0 или (а). Если же А =^= 0, то за счет преобразова-
преобразования эквивалентности F.3) можно сделать А = ± С, в силу чего
уравнение F.7) примет вид ±bt-\-x$x = § с общим решением
в = ew/ (хе±г), где / — произвольная функция. Подстановка функ-
функции Q = e~'/(z), z = xe{ в определяющее уравнение F.1) дает
(С, + С3 + 2C2f) (zf - /) + е'8/' =
откуда для произвольной / получается алгебра Ли L1, оператор
которой определяется соотношением C1-j-C3=O, т. е. есть ^-д—
—{,3-д. Дифференцирование dz приводит к уравнению
(Ci + С3 + 1С4) zf + e'bf + 4Cj> = 0.
Предположение f"=0 возвращает к случаям 6=0 или (а). Если же
/"=^40, то из этого уравнения следует, что Са=0 и (е'8)'=0, от-
откуда 8=С4е~'. Но тогда необходимо также С4=0 и Сх+С3=0 и
новых операторов, кроме Х,х-д—С3-<5, нет.
(Ь4) Здесь, как и в (Ь2), можно считать .4=0 и привести урав-
уравнение F.7) к следующему:
tbt — пхЬя — ~ (re-f 2N,
причем щ^0. Общее решение этого уравнения есть 9=rn"/(z),
где z=xtn. С этой функцией 6 определяющее уравнение F.1) сво-
сводится к
(пСх + BпС2 + С,) t) {zf - /) + t^bf - 2CJ = -Г38".
При произвольной функции / это уравнение влечет равенства
Сх = 0, 2nC2-\-Cz = 0, 8 = 0, что дает алгебру Ли L1 с операто-
оператором Cj • д—2га?3 • д. Дифферендированием де получается уравнение
(пС14- BпС2 -f C3) t) zf" -f fn+18/" — 2CJ' = 0.

136 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
И здесь предположение /" = 0 возвращает к случаям 9 = 0 или (а).
Если же /"т^О, то из этого уравнения с помощью дифференци-
дифференцирования dt следуют равенства 2пС2 -(- С3 = 0 и (?Щ)' = 0, откуда
8 = Cjf*~x. С этими значениями определяющее уравнение прини-
принимает вид
Так как здесь Сг=^=0, то можно положить Ci — nqC1 с некоторой
новой постоянной q. В силу этого соотношения предыдущее урав-
уравнение становится классифицирующим
Общее решение этого уравнения есть
f — N(z-{- g)(«+«)/« -f п (п +1) q {N = const),
в силу чего функции 9 = f~"~2f (z) можно придать вид
9 = N (х + qry+VI» + п {п + 1) qt'^.
Но если в E.2)_ положить т = к—1 и w = qt'n, то по формуле
E.3) получится Q~Nz(-n+2'>1''. Следовательно, найденная функция 6
эквивалентна функции Ь = х, уже рассмотренной в (Ъг).
Сводка полученных результатов групповой классификации
системы A.2) дана в нижеследующей таблице, где в первом столбце
(a)
(bj
(bj
№d
(b4)
8
0
¦ (*)
4» (x) r2
Специализа-
Специализации
re(l — ге)Г2
A/4) r*
1
	Л
xn
ex
r
5
3
4
4
4
4
1
2
3
1
2
1
1
Операторы
Ci. С, С, С. С,
с,, q, tg
С, С. CJ, й
с. ?¦.«,«
С2, С„, С|, tg
d, c2 + —^тС8
с2
С2-2«С3
Примечание
F.4)
8" -f 98 = 0
Ьг = t", 82 = 11-"
51 = sinf, 82 = cos(
81 = sh«, 8a = chi
n(n — 1) Ф 0
8 = 2Г»

§ 10. УРАВНЕНИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ	137
указаны индексы рассмотренных случаев, во втором — вид функ-
функции 6, в третьем — специализации входящей в б произвольной
функции, в четвертом — размерность г получаемой алгебры Ли
U', в пятом — список операторов (векторных полей) и в шестом —
дополнительная информация. Все операторы с двойным индексом
имеют вид S (t) дх+Ь' (t) ди.
7. Стационарный пограничный слой. Наряду с A.1) пред-
представляет интерес аналогичная система, в которой искомые и,
v, р не зависят от времени t. Эта система уравнений стационар-
стационарного пограничного слоя, имеющая тип Е B, 3, 2, 3), причем теперь
Х=Н* (х, у), Г=-В3 (и, v, p), Z=Bb (x, у, и, v, p), такова:
G.1)
Если давление р является задаваемой функцией от х, то с функ-
функцией Q~dxp получается аналог системы A.2)
Для систем G.1) и G.2) решаются те же задачи группового
анализа, которые были решены выше для систем A.1) и A.2).
Допускаемый оператор ищется'снова в виде B.1) с ?=0 и коор-
координатами $,..., f>: Z->R.
Пусть Е обозначает систему G.1) и Е F) — систему G.2).
Построение определяющих уравнений Д? и их общего решения
выполняется без каких-либо затруднений и дает следующий ре-
результат:
G.3)
G.4)
где Сх, . . ., Ct — произвольные постоянные, а ср: х -*¦ ср (х) —
произвольная функция и ф'=9а.ер. Так как в это общее решение
входит произвольная функция, то основная алгебра Ли LE ока-
оказывается бесконечномерной.
^ Бесконечномерная часть L00 алгебры Ли LE состоит из опера-
операторов tp9v+cp'u3,, с произвольной функцией ер: х-* у(х). Легкое
вычисление показывает, что U° есть идеал в LE. Прямым допол-
дополнением этого идеала является подпространство Ь*аЬЕ, порож-
порожденное операторами, соответствующими константам Сг, . . ., С4
в G.3) и G.4):
-д = д Ъ.д = хд + ид + 2рд
[ -0)

138 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Эти операторы образуют базис в L*. Легко проверяется, что L*
есть алгебра Ли, следовательно, подалгебра в LE. Итак, основная
алгебра Ли системы уравнений G.1) раскладывается в прямую
сумму ЬЕ=ЬтО)Ь* своего бесконечномерного идеала If° и четырех-
четырехмерной подалгебры L* с базисом G.5).
В случае системы Е (G) переменная р в число координат про-
пространства Z яе входит, так что Z=Hi (х, у, и, v). Построение опре-
определяющих уравнений DE (G) и их решение приводит к следую-
следующему результату.
Справедливо представление общего решения G.3), в котором,
однако, постоянные Cv Сг, С3 связаны еще одним определяющим
уравнением с произвольным элементом 0
(С, + (Са + 2С3) х)Ь' = (С2~ 2Q 0,	G.6)
где $'=дх9. Бесконечномерный идеал Lm входит в алгебру Ли
LE @) для любого конкретного произвольного элемента 0. Ввиду
выпадения переменной р разложение основной алгебры Ли
LE @) в прямую сумму имеет вид LE (Q)=Lco@Lr, где U есть не-
некоторая подалгебра трехмерной алгебры Ли V с базисом, состоя-
состоящим из первых трех операторов G.5). Конкретизация алгебр
Ли U осуществляется в процессе решения задачи групповой клас-
классификации систем Е (G) на основе определяющего уравнения G.6).
Очевидно, что полная алгебра Ли L3 получается в случае
9=0. С другой стороны, так как при произвольной 0 равенство
G.6) возможно, только если С1=С2=С3=0, то ядро основных ал-
алгебр Ли U является нулевым. Поэтому ядро основных алгебр
Ли LE (G) совпадает с L00.
8. Групповая классификация. Уравнение G.6) показывает, что
классифицирующее системы Е (б) уравнение должно иметь вид
= СЪ	(8.1)
с некоторыми постоянными А, В, С. Решение задачи групповой
классификации основано на использовании следующих "преоб-
"преобразований эквивалентности системы Е (G):
= кх-\-1, у — тпГ1]), й — кпРи, fs = mv, 9 = Am*9, (8.2)
где к, I, тп — вещественные параметры, причем ^
В результате преобразования (8.2) константы в уравнении
(8.1) преобразуются по формулам Ж=кА—1В, В—В, С=С, в'связи
с чем удобно различать два случая: (а) В=0 и (Ь) 5=^=0.
Случай (а). Если В—О, то можно считать, что А^=0, ибо
иначе получится либо 0=0, либо С=0, а это дает уже рассмотрен-
рассмотренные возможности. Если же А^=0, то решение уравнения (8.1)
есть 6=?е"* с некоторыми постоянными q, п. В силу (8.2) эта функ-
функция эквивалентна либо ±ех (если тг^О), либо 1 (если ?г=0),

? 11. УРАВНКНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
139
С функцией 6= + е* уравнение G.6) приводит к равенствам
j = —4С3, С2~—2С8, что дает подалгебру Ли L1 с оператором
С функцией Q=zl получается равенство С2 = 2С3, что дает под-
подалгебру Ли L2 с базисом Ci • д, 2С2 • д -f- Сз • 5.
Случай (Ь). Если В^=Ь, то с помощью подходящего пре-
преобразования эквивалентности можно сделать А=0. Но если .4=0
и В^О, то решение уравнения (8.1) есть степенная функция
§=qxn, причем можно считать, что q^=Q и п=^=0. Эта функция экви-
эквивалентна функции Q—+x". Подстановка в определяющее уравне-
уравнение G.6) приводит к соотношениям
Это дает алгебру Ли L1 с оператором 2 (ге+1) С2 — (п—1) С3-
Сводка полученных результатов групповой классификации
системы G.2) приведена в нижеследующей таблице, где в первом
столбце указаны индексы рассмотренных случаев, во втором —
специализации функции 0, в третьем — размерность г получае-
получаемой алгебры Ли Lr, в четвертом — базис операторов (векторных
полей) и в пятом — дополнительная информация. При этом
в операторе С2-<9 из G.5) надо отбросить слагаемое 2рдр.
(а)
(Ь)
е
0
±ех
1
±х%
Г
3
1
2
1
Операторы
ti. С„ С,
Ci, 2С2 + С3
2(п + 1)С-(я-1)С
Примечание
G.5)
§ 11. Уравнения газовой динамики
1. Описание системы уравнений. Уравнения адиабатических
движений газа в пространстве К" (ге=1, 2, 3), связывающие
компоненты вектора скорости и ? К", плотность р и давление р,
как функции координат точки х^В? и времени f, таковы:
= O, d,p -f p div и = 0, d,S(p, p) = 0.
Здесь символ dt обозначает «материальную производную», т. е.
дифференциальный оператор dt -f- и • дя, a S : Мг -> jB есть некото-
некоторая заданная функция, называемая энтропией. Предполагается,
что функция S является достаточно гладкой и удовлетворяет

140 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
условию dfS=^=O, в силу которого можно ввести другую задавае-
задаваемую функцию А: R2 —> R, определяемую формулой
A=-Pdtsidps.
В случае политропного газа эта функция равна А=^р, где посто-
постоянная if называется показателем адиабаты. С помощью функции А
последнему уравнению системы можно придать равносильную
форму
dtp-{-A divM = 0.
Рассматриваемая система имеет тип Е (тг+1, п-\-2, 1, п-\-2).
В дальнейшем она изучается для любого натурального п, что
не привносит каких-либо дополнительных усложнений по сравне-
сравнению с «физическими» случаями и=1, 2, 3. Вычисления ведутся
в индивидуальных обозначениях согласно представлениям Ж=
=i2"+1 (t, x\ . . ., хп) и Y=B"+2 (и1, . . ., ип, р, р). При этом опера-
оператор дифференцирования отображений X -> Y записывается в виде
дя=(д0, dlt . . ., дп), где do—dt и «материальная производная»
дается формулой до-\-и'д{. Кроме того, первые производные обоз-
обозначаются сокращенно в соответствии с равенствами
dji* = и*, дар = ра, даР = Ра (а = 0, 1	п).
Ниже используется соглашение о том, что латинские индексы
i, j, к, ... принимают значения 1, . . ., п, а греческие индексы
а,р, . . . — значения 0, 1, . . ., п. В этих обозначениях исследуе-
исследуемая система имеет вид
A.1)
Для системы A.1), обозначаемой также символом Е (А), ре-
решается задача групповой классификации по отношению к произ-
произвольному элементу А как функции (р, р) -» А (р, р) в предполо-
предположении, что А=^=0.
2. Определяющие уравнения. Для координат оператора, до-
допускаемого системой A.1), также вводятся индивидуальные обо-
обозначения, а именно
C-0 = M.+ tf0.<+o0, + T0f,	B.1)
где все Г, tf, a, t суть искомые отображения ХхГ-*й.
Применение изложенного в 5.8 алгоритма перехода Е -*¦ DE
никаких принципиальных затруднений не встречает. Так как
A.1) есть система первого порядка, то требуется лишь первое
продолжение оператора B.1). Переход на многообразие Е осу-
осуществляется просто исключением величин и\, р0, р0 с помощью

§ 11. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ	141
A.1), причем в полученных условиях инвариантности все остав-
оставшиеся координаты точки продолженного пространства и*к, рк,
рк являются «свободными» параметрами. Так как уравнения A.1)
квазилинейны, то полное число Nn определяющих уравнений, по-
получаемых после расщепления, может быть вычислено по формуле
5(8.1). Подсчет дает ^=30, N2 = 180 и 7V3=680.
Расщепление условий инвариантности относительно «свобод-
«свободных» параметров приводит к следующим результатам. Обраще-
Обращение в нуль совокупности квадратичных слагаемых равносильно
выполнению равенств
д?а = др1« = ди& = 0 (a = 0, 1, ...,«; i = \,...,n). B.2)
Обращение в нуль совокупности слагаемых первой степени равно-
равносильно выполнению равенств
др = 0, д^1 = д2? = ... = дп%« = X, дк? -f- д?к = 0; B.3)
V = b4^-b46° + ^;	B.4)
д0&0-2А);	B.5)
B.6)
х^де введена вспомогательная функция \:Х-*-В. Наконец, остав-
оставшиеся слагаемые с нулевой степенью «свободных» параметров
образуют систему
aO4'+»4V + p-1^=o, ]
B.7)
Уравнения B.2)—B.7) образуют полную систему определяющих
уравнений DE (А).
3. Ядро основных алгебр Ли. Если функция А вполне произ-
произвольна, то уравнение B.6) может быть удовлетворено только зна-
значениями а = т = 0. В этом случае из B.5) следует, что X —50?°,
а уравнения B.7) сводятся к следующим:
ЗоЧ'+вЧч^О, dtf = 0.	C.1)
Подстанозка в эти уравнения выражения B.4) и последующее рас-
расщепление полученных равенств относительно «свободных» в силу
B.2) и B.4) параметров и" приводит к системе уравнений, содер-
содержащих только координаты I*
дкд? = О, 2дкд01'=Цд$°, Э|&' = 0.	C.2)
Эти уравнения показывают, что все производные второго порядка
от координат !' равны нулю и, кроме того, 5^° = 0. Поэтому

142 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
общее решение строится без каких-либо затруднений и оказы-
оказывается таким:
где С1( С2, Cj., 5', 5* — произвольные постоянные, причем матрица
(С'к) антисимметрична.
Следовательно, ядро основных алгебр Ли Lo системы уравне-
уравнений Е (А) конечномерно и его размерность, равная числу незави-
независимых произвольных постоянных в общем решении C.3), есть
Этому решению соответствует базис операторов B.1) алгебры
= dt, С2 • д = tdt -J- х'д4,
C.4)
Ли Lo
CVfc • d = z*df — ж'д* -f "fc9a< — u'9a* (i < A).
4. Предварительный анализ. Из уравнений B.5) следует, что
д?а = 0 и для функции з получается представление
a = rp + s	D.1)
с новыми неизвестными функциями х —> г (х) и л; —> s (x). Подста-
Подстановка этого выражения для о и ему соответствующего, согласно
B.5), выражения для т в B.6) приводит к уравнению
(pdpA + 9dfA~A)r + (dpA)S + 2(9dfA)(dlp-l) = O. D.2)
Далее, если выражения B.4) и D.1) подставить в первое уравне-
уравнение B.7), то в силу B.2), B.3) и B.5) получатся уравнения C.2)
и, кроме того, равенства
показывающие, что функции г и s могут зависеть только от t.
Кроме того, из B.3) и C.2) следует, что это верно также для функ-
функции л, а значит, и для функции ?° в силу вытекающего из C.2)
соотношения
20^ = 8*6°.	D.3)
Поэтому исключение х и / из второго уравнения B.7) с учетом
предыдущих дает соотношение
0.	D.4)

§ 11. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ	143
Наконец, исключение а и г\к из третьего уравнения B.7) с учетом
предыдущих приводит к уравнению
dos + (nA~(n + 2)p)dok = O.	D.5)
Полученные соотношения D.2)—D.5) составляют основу для
проведения групповой классификации систем Е(А). Решение
этой задачи связано с использованием легко проверяемого преоб-
преобразования эквивалентности, в котором величины t, х*, и* не меня-
меняются и фактически преобразуются только р, р, А по формулам
p=zap-\-b, р = ар, Л(р, р) — аА(р, р)	D.6)
с параметрами а, Ъ, причем а=^=0.
5. Групповая классификация. Характерной классифицирую-
классифицирующей величиной является пА—(п-\-2)р. Следует заметить, что если
эта величина постоянная, то за счет подходящего преобразования
эквивалентности D.6) она может быть сделана равной нулю. По-
Поэтому надо рассмотреть два основных случая:
(а) пА — (» + 2) р ^= const и (Ь) пА =(п -\- 2) р.
Случай (а). Здесь из D.5) следуют равенства dos = doX=O,
а из D.3) и D.4) также д$0= 0 и дог = 0. Поэтому величины
г, s, X и <90?° являются постоянными. Однако теперь не обяза-
обязательно до1° = Х, и силу чего в аналогичном C.3) представлении
координат |°, V, ff появится, вообще говоря, еще одна постоянная
q = doi° — X. Если положить Х = С2, то это представление, вклю-
включая выражения для а и х, таково:
¦n*=C*ku*-qut + Bt,	E.1)
z = (r-\-2q)p.
Эти формулы дают общее решение всей системы определяющих
уравнений, за исключением уравнения D.2), которое теперь при-
принимает вид (в упрощенной записи дрА=Ар, дА=А)
= 0.	E.2)
Теперь ясно, что расширение ядра основных алгебр Ли Lo
в рассматриваемом случае возможно лишь за счет трех новых
постоянных q, r, s, причем не более чем на алгебру Ли L1 или ZA
Из E.1) видно, что постоянным q, r, s соответствуют операторы
9	%.д = др, E.3)
причем общий вид вектора расширяющей алгебры таков:

144 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Для классификации возможностей, представляемых уравне-
уравнением E.2), удобно истолковать множители при г, s, q как коорди-
координаты трехмерного вектора
v = (pAp + PA?-A, Ap, 2РА9).
Если функция А такова, что найдутся (при изменении р и р) три
некомпланарных вектора v, то E.2) может быть выполнено,
только если g=r=s=0, и расширения ядра L0 не получается.
Поэтому надо рассмотреть только три подслучая, в зависимости
от размерности аффинного многообразия V, содержащего все воз-
возможные векторы v, а именно, (ах) V двумерно, (а2) V одномерно и
(а3) V нульмерно.
(аг). Пусть постоянный вектор v'=(a', b', с') ортогонален V.
Тогда v' -v=0, т. е. функция А должна быть решением уравнения
(a'p + b')Ap + (a' + 2c')f>At-a'A = 0.	E.5)
Если а1 т^ 0, то подходящим преобразованием эк ни валентности
D.6) можно сделать а' = 1, Ь' = 0, с' =пг, и E.5) примет вид
рАр -}- A -\-2т)рА _ А. Общее решение этого уравнения таково:
1).	E.6)
Если а'=0, но Ь'у^О, то в случае с'=^=0 можно родходящим
преобразованием D.6) сделать Ь' = с' и E.5) превратится в урав-
уравнение Ар -\- 2рА = 0 с общим решением
Л = /(ре-«').	E.7)
В случае же, когда с' = 0, из E.5) получается уравнение Лр = 0
с общим решением
A = f(p).	E.8)
Наконец, если а' = &' = 0, но с'^О, то E.5) примет вид А =0
с общим решением
A = f{p).	E.9)
В формулах E.6)—E.9) / — произвольная функция R-ь-Л.
(а2). Пусть постоянный вектор у' = (а', Ь', 2с') порождает V,
причем вектор v не является постоянным. Тогда с некоторой
функцией В; R2-*-R будут выполнены равенства
Отсюда
А = (Ь'р + с! — а') В
и, кроме того,
(Ь'р-\-с! -а')Вр = 0, {b'p^-с1 — а')рВ? = с'В. E.10)

§ 11. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ	145
Теперь видно, что необходимо 6'= 0, так как в противном случае
из E.10) следовало бы, что В — const. Далее, если Ь' = 0, то
также необходимо с' =?а' и с' =^=0. Поэтому общее решение системы
E.10) имеет вид В = Ворт, в силу чего
А = АоРт (ту^О).	E.11)
При этом можно считать, что а'=т—1 и с'=то.
(а3) Если вектор y=const, то очевидно, что с точностью до пре-
преобразования эквивалентности либо
Л = Тр (т = const ^4 0),	E.12)
либо
4 = 1.
В каждом из подслучаев дополнительные операторы вида E.4)
получаются в результате подстановки одной из найденных функ-
функций А в уравнение E.2) и соответствующей конкретизации посто-
постоянных q, г, s.
Случай (Ь). Здесь
Л = Ц±Р	E-13)
и из D.5) уже не следует равенство до1=0. Однако нетрудно убе-
убедиться в том, что величина <90А должна быть постоянной. Дей-
Действительно, единственными условиями совместности уравнений
C.2), не выполненными тождественно в силу B.2), являются ра-
равенства
которые в силу C.2) и B.3) сводятся к 5§Х=0, откуда и следует
постоянство дй\.
С функцией E.13) уравнение D.2) удовлетворяется, если и
только если 5=0. Поэтому здесь общее решение уравнений D.2) —
D.5) имеет вид
s = 0.
Это решение расширяет алгебру Ли Lo на алгебру Ли L3 за счет
добавления трех новых операторов, соответствующих постоян-
постоянным q0, г0, \. При этом постоянные q0, r0 дают уже известные опе-
операторы С]' -д и Cj'd из E.3). Существенно новый оператор, соот-
соответствующий постоянной Хо, получается в результате решения
системы B.3)—B.5) и оказывается таким:
;; . д = mt + tx'd. + (x* — tu{) даг — (п + 2) tpdp — Щд. E.14)

146
ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Р® 6. Сводка результатов. Вычисление с помощью уравнения
E.2) операторов для каждого из рассмотренных случаев приводит
к следующему классификационному результату.
При произвольной функции А система уравнений A.1) до-
допускает основную алгебру Ли Lo размерности 2-\~? п (ге+3) с ба-
базисом операторов C.4), которая является идеалом (см. 7.4) в лю-
любой из допускаемых алгебр Ли LE (А). Справедливо представле-
представление LE(A)=L0QLr, причем возможны только такие расширения,
для которых г=1, 2, 3.
Все случаи расширения алгебры Ли Lo перечислены в ниже-
нижеследующей таблице. Здесь в первом столбце приведены индексы
рассмотренных классификационных случаев, во втором даны
специализации функции А, в третьем — размерность г расширя-
расширяющей алгебры Ли Lr, в четвертом — базис в I/, где использованы
обозначения E.3) и E.14) и в пятом — дополнительная инфор-
информация.
Особый интерес представляет случай (Ь), когда достигается
максимально возможное расширение на алгебру Ли L3. Найден-
Найденный оператор E.14) является нетривиальным в том смысле, что
он не может быть получен, в отличие от остальных операторов,
на основе только так называемых «физических соображений».
(»i)
(а2)
(а,)
(Ь)
А
pf (pl+2-V1)
/ (ре-1')
/(Р)
fiP)
Лоот
~iP
1
ге + 2
п **
Г
0
1
1
1
1
2
2
2
3
Операторы
mt,[ + С,
с; + с^
Сз
с;
CJ. (m-l)«-2mC;
с;д3
Примечание
X
Ао = const, m^O
¦у = const
re — 1 2
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ III
К настоящему времени выполнено довольно много работ, связанных с вы-
вычислением основной группы и групповой классификацией конкретных си-
систем дифференциальных уравнений. По обыкновенным дифференциальным
уравнениям первые результаты были получены С. Ди (см. II [2]). Классифи-

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ III	147
нация уравнений второго порядка была выполнена Диксоном [1]. В теории
управления техника группового анализа использована в [2].
Теорема о том, что линейное уравнение второго порядка с двумя неза-
независимыми переменными допускает не более чем трехпараметрическую группу
нетривиальных преобразований, принадлежит С. Ли [3]. Идея классифика-
классификации гиперболических форм с помощью инвариантов Лапласа возникла при
изучении мемуара [4]; в настоящем виде она была выполнена в [5], где
дано также ее приложение к газодинамическому уравнению С. А. Чаплыгина.
К этой теме примыкает также работа [6].
По групповому анализу уравнений двумерного пограничного слоя пер-
первой работой была [7]. Данный в § 10 исчерпывающий анализ этих уравне-
уравнений приводится впервые. Представляют интерес исследования [8] и [9],
посвященные трехмерному пограничному слою.
Кроме работы II [4], уравнения газовой динамики изучались в [10]
и [11]. Полная классификация впервые была приведена в II [5]. Определен-
Определенный интерес представляет работа [12], где сделана попытка применения
метода внешних форм Картана.
Имеется также несколько работ [13]—[23] (список не претендует на пол-
полноту) по групповому анализу других конкретных уравнений механики
и физики.
[1] D ickson L. E. Differential equations from the group standpoint. —
Ann. Math. 25 A924), 287-378.
[2] П а в л о в с ки й Ю. Н. Групповые свойства управляемых динамиче-
динамических систем и фазовые организационные структуры. — Ж. вычисл.
мат. и мат. физ. 14, № 4 A974), 862—872 и № 5 A974), 1093—1103.
[3] L i e S. tiber die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse
linearer partiellen Differentialgleichungen. — Arch. Math. 6, Heft 3
A881), 328—368.
[4] D а г b о u x G. Le?ons sur la theorie generale des surfaces 3 A889).
[5] Овсянников Л. В. Групповые свойства уравнений С. А. Чаплы-
Чаплыгина. — Ж. прикл. мех. и техн. физ. № 3 (I960), 126—145.
[6] Н a i nz i J. Zur Gruppeninvarianz lineare partieller Differential-
Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. — Arch. Rat. Mech. Anal.
59, № 2 A975), 149—158.
[7] Павловский Ю. Н. Исследование некоторых инвариантных ре-
решений уравнений пограничного слоя. — Ж. вычисл. мат. и мат. физ.
1, № 2 A961), 280-294.
[8] Л а н к е р о в и ч М. Я. Групповые свойства уравнений трехмерного
пограничного слоя на произвольной поверхности. — В сб. «Динамика
сплошной среды», вып. 7. Новосибирск A971), 12—24.
[9] К а п л а н В. С. Условия существования инвариантных решений
уравнений трехмерного ламинарного пограничного слоя на разверты-
развертывающихся поверхностях. — Уч. зап. ЦАГИ 3, № 3 A972), 36—44.
[10] Гладышев М. Т. Групповая классификация дифференциальных
уравнений, описывающих одномерное неустановившееся движение
жидкости. — Дифференц. уравнения 2, № 5 A966), 695—700.
[11] С у р о в и х и н К. П. Групповая классификация уравнений, описы-
описывающих одномерные нестационарные течения газа. — ДАН СССР 156,
№ 3 A964), 533—536.
[12] Суровихин К. П. О групповой классификации методом Картана
уравнений одномерного течения газа. — ДАН СССР 172, № 1 A966),
55—58.
[13] Ибрагимов Н. X. Групповые свойства некоторых дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Новосибирск, «Наука», 1967.
[14] Ибрагимов Н. X. Групповые свойства волновых уравнений длк
частиц с нулевой массой. — ДАН СССР 178, № 3 A968), 566—568.

148 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
[15] И б р а г и м о в Н. X. Об инварнантности уравнений Дирака. — ДАН
СССР, 185, № 6 A969), 1226—1228.
[16] Б у ч н е в А. А. Группа Ли, допускаемая уравнениями движения иде-
идеальной несжимаемой жидкости. — В сб. «Динамика сплошной среды»,
вып. 7. Новосибирск A971), 212—214.
[17] Л енский Э. В. О групповых свойствах уравнений движения не-
нелинейной вязко-пластической среды. — Вестник МГУ, мат., мех.,
№ 5 A966), 116-125.
[18] Леонова М. А. Групповая классификация и инвариантные решения
уравнений течения и теплообмена вязко-пластической среды. — Ж.
прикл. мех. и техн. физ. № 4 A966), 3—18.
[19] Мамонтов Е. В. К теории нестационарных околозвуковых тече-
течений. — ДАН СССР 185, № 3 A969), 538—540.
[20]Нгуен Ban Дьеп. Об уравнениях пограничного слоя жидкости
с моментными напряжениями. — Прикл. мат. и мех. 32, № 4 A968),
748-753.
[21] Овсянников Л. В. Уравнения динамической конвекции моря.
Новосибирск, Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1967.
[22] Чи ркунов 10. А. Групповое свойство уравнений Ламе. — В сб.
«Динамика сплошной среды», вып. 14. Новосибирск A973), 138—140.
[23] М и 1 1 е г Е. А., М a t s с h a t К. Uber das Auffinden von Ahnlich-
keitslosungen partieller Diiferentialgleichungssysteme unter Benutzung
von Transformationsgruppen, mit Anwendung auf Probleme der Stro-
mungsphysik. — Miszellaneen angew. Mech. Berlin A962), 190—205.

ГЛАВА IV
ТЕОРИЯ ЛИ
Дальнейшее развитие методов группового анализа дифферен-
дифференциальных уравнений опирается на теорию локальных групп Ли
и алгебр Ли во всей ее полноте. Изложению этой теории с выделе-
выделением ряда фактов, используемых в первую очередь, и посвящена
настоящая глава.
В теории Ли существенную роль играют так называемые
три основные теоремы Ли, которые в совокупности приводят
к установлению взаимно однозначного соответствия между груп-
группами (локальными) Ли и алгебрами Ли. Здесь эти теоремы дока-
доказаны для произвольных банаховых групп и алгебр Ли, для кото-
которых параметрическое пространство может быть и бесконечномер-
бесконечномерным. Важным фактом является существование в каждом классе
изоморфных групп канонического представителя, т. е. группы,
у которой все ее однопараметрические подгруппы—прямые.
Этот результат получен в третьей «обратной» теореме Ли с по-
помощью дифференциального уравнения, решение которого пост-
построено в виде известного ^С/^-ряда из сложных коммутаторов.
Дана оценка области сходимости SCH-тряда для произвольного
банахова пространства. Заодно получен еще один фундаменталь-
фундаментальный результат теории Ли об аналитичности закона умножения.
Основные факты теории алгебр Ли излагаются конспективно,
причем некоторые важные теоремы (например, теорема Леви
об отщеплении радикала) приведены без доказательства. Примене-
Применение методов группового анализа для изучения действия допускае-
допускаемой уравнением группы на множестве решений связано с класси-
классификацией подалгебр данной алгебры Ли (с точностью до подобия).
К сожалению, эта проблема алгебръГдо настоящего времени пол-
полного решения не получила. Поэтому введенное здесь понятие оп-
оптимальной системы подалгебр (или подгрупп) остается не под-
подкрепленным достаточно четким алгоритмом построения этого объ-
объекта. Алгебры Ли операторов, допускаемые дифференциальными
уравнениями, часто имеют нетривиальный радикал, а иногда и
вообще оказываются разрешимыми. Оптимальные системы под-
подалгебр в каждом конкретном случае приходится строить «полу-
«полукустарно», опираясь лишь на теоремы Леви и Мальцева—Хариш-
Чандра, а также на другие общие факты теории алгебр Ли.

150	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
Распространение соответствия групп и алгебр Ли на подгруппы
и подалгебры, а также группы внутренних автоморфизмов выпол-
выполнено в более или менее традиционном стиле. Некоторое сокраще-
сокращение изложения дает использование для этих целей ЗСЯ-ряда.
Группы Ли преобразований и здесь трактуются как представ-
представления групп Ли в множестве локальных преобразований произ-
произвольного банахова пространства. Еще раз демонстрируются три
основные теоремы Ли, но специально для групп преобразований.
Для конструктивного восстановления группы Ли преобразований
конечномерного пространства по ее алгебре Ли операторов ре-
рекомендуется конструкция канонической группы второго рода,
которая полезна и в некоторых теоретических вопросах.
В конце главы даны элементы теории подобия групп преобра-
преобразований. Обсуждается также новое по сравнению с абстрактными
группами Ли понятие транзитивности (интранзитивности) группы
преобразований. Для свойств подобия и транзитивности приве-
приведены инфинитезимальные критерии.
Одним из итогов этой главы является возможность адекватного
описания результатов, полученных в первых трех главах. Од-
Однако наряду с классической теорией групп Ли групповой анализ
дифференциальных уравнений вынужден иметь дело с «бесконеч-
«бесконечными группами» Ли, теория которых пока еще завершенной счи-
считаться не может.
§ 12. Локальная группа Ли
1. Определения. Пусть В— банахово пространство. Символом
О обозначаются окрестности нуля пространства В. В частности,
О есть открытый шар с центром в нуле радиуса р.
Пара {О, <р), состоящая из окрестности нуля О С В и отобра-
отображения <р: О X О-> В называется групповым ядром, если вы-
выполнены аксиомы:
1°. <р(а, О) = ср(О, а) = а для любого а^О.
2°. <р(<р(а, Ъ), с) = <р(а, <р(Ь, с)) для любых таких а, Ъ, с^О,
для которых ср(а, b)(*O и <p(b, c)^O.
3°. ?бСв@х0).
Два групповых ядра (О, ср) и (О', ср') считаются неразличимыми,
если ф=ф' на пересечении О П О'. Следующее определение оправ-
оправдано тем, что свойство неразличимости есть теоретико-множест-
теоретико-множественный признак эквивалентности.
Непустой класс неразличимых групповых ядер (О, у) называется
локальной (банаховой) группой Ли.
Локальная (банахова) группа Ли вполне характеризуется
заданием отображения ср, удовлетворяющего аксиомам 1°—3°
с какой-нибудь окрестностью нуля О с В и потому обозначается
символом {В, ср). В дальнейшем, если это не будет вызывать не-

§ 12. ЛОКАЛЬНАЯ ГРУППА ЛИ	151
доразумений, локальная (банахова) группа Ли (В, ср) будет на-
называться просто группой (В, ср).
Отображение ср называется законом умножения (или просто
умножением) в группе (В, ср), а значение ср(а, Ь) — произведением
а на Ъ, которое иногда ради краткости записи обозначается также
символом а • Ъ. В частности, аксиома 2° может быть записана как
(а>Ъ) • с=а,'(Ь> с) и является выражением свойства ассоциатив-
ассоциативности умножения в группе (В, ср).
Понятие «произведение определено» вводится индуктивно:
произведение а- Ъ определено, если а, Ь^О; произведение а>Ъ-с
определено, если определены и принадлежат О произведения а • Ъ
и Ъ • с, и т. д.
2. Свойства умножения. Из аксиом 1°—3° п. 1 вытекают важ-
важные свойства закона умножения ср, которые, в частности, оправ-
оправдывают употребление термина «группа». Пусть дано групповое
ядро {О, ср).
(ос) Найдутся такие число р ^> 0 и отображение i: О —>-0
класса 0^@ ), с которыми для любого а^Ой выполнены равенства
Доказательство. Пусть дг и д2 обозначают дифферен-
дифференцирование отображения ср по первому и второму аргументам. Оче-
Очевидно, что из 1° и 3° следуют равенства с^ср @, 0)=<?2ср @, 0)=/.в-
Поэтому отображение ср удовлетворяет всем условиям известной
из анализа теоремы о «неявной функции», в силу которой для не-
некоторого р ^> 0 существуют такие отображения ?х, i2: О' —> О
класса Сга (О), что для а(*О выполнены равенства ср (i^a), a) =
=0, ср (а, ?2(а))=0 или, короче, i1(a)«a=0, a«i2(a)=0. Но в силу
2° справедливы равенства i1(a) = i1(a) • a>i2{a) =i2(a) и можно по-
положить t=i1=i2.B
В силу этого свойства при умножении ср элемент i(a) является
обратным для элемента а и может быть обозначен обычным сим-
символом а. При этом роль единичного элемента играет нуль про-
пространства В. Поэтому i есть отображение обращения, действую-
действующее по формуле a~1=i(a).
(В) Для каждого натурального п найдется такое веществен-
вещественное число р(га) ^> 0, что для любых alt . . ., а-„(*О ,„, определены
все произведения Ъх • b2 • • . ¦ • Ъп, в которых каждое bk есть либо
ак, либо а^1.
Доказательство. Для п=2 справедливость утверж-
утверждения следует из свойства (а), а для любого п > 2 устанавлива-
устанавливается индукцией по п.Ш
(у) Пусть число р выбрано в соответствии со свойством (а).
Тогда отображение ф: О X О -* В, действующее по формуле
ф(а, Ь)=а*б, непрерывно, более того, класса Сод(О X О ).

152	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
Доказательство. Так как ф (а, 6) == ср (a, i(b)), то спра-
справедливость утверждения следует из аксиомы 3°, свойства (а)
и известных теорем анализа о непрерывной дифференцируемости
композиции.!
Свойства (а)—(у) показывают, что единственное отличие груп-
группового ядра (О, ср) от группы в ее точном определении состоит
в том, что в (О, ср) операции умножения и обращения элементов
определены и непрерывны не для любых элементов из О, а только
для элементов из достаточно малой окрестности О единичного
элемента. Поэтому групповое ядро (или группа (В, ср)) является
топологическим групповым ядром или, в общепринятом смысле,
локальной топологической группой.
Б случае, если пространство В конечномерно, группа (В, <р)
называется локальной группой Ли.
Пример. Пусть / — линейный непрерывный функционал на
пространстве В, т. е. линейное отображение В -*¦ М, действующее
по формуле а-*1<(а). Тогда отображение ср, заданное формулой
<р(а, 6) = o-f-6 + l<e>*,
определяет группу (В, ср). Выполнение аксиом 1°—3° п. 1 про-
проверяется без каких-либо затруднений. Здесь операция умножения
определена и непрерывна на всем пространстве В, но для опера-
операции обращения элементов это не так. Действительно, вычисле-
вычисление обратного дает выражение
и гарантированные свойства определенности и гладкости ото-
отображения а -> а справедливы только в окрестности нуля 0=
{|Z<>|l}
Этот пример является, пожалуй, простейшим из возможных
примеров неабелевых групп (В, ср) в случае произвольного бана-
банахова пространства В. В дальнейшем на нем будут иллюстриро-
иллюстрироваться некоторые элементы теории групп (В, ср).
3. Локальный изоморфизм. Пусть В и В' — банаховы про-
пространства и О — окрестность нуля пространства В. Рассматривается
совокупность Г (В, В') отображений у: В-*¦ В1 класса Ст{0),
для которых у@) = 0. Отображение у ? Т(В, В') будет называться
локально обратимым, если ^найдутся такие окрестности нуля
О С В и О'С В', что О'CZ у (О), соответствие О^>у(О) взаимно
однозначно и у~г: О' -*¦ В есть отображение класса Сга (О'). Из ана-
анализа известно, что отображение у^Г(В, В') локально обра-
обратимо, если производная 9у@) является линейным изоморфизмом
пространств В и В', т. е. линейное отображение df @): В -* В'
является взаимно однозначным отображением В на В' и обратное
отображение (dj (О)): В' -»¦ В непрерывно.

§ 12. ЛОКАЛЬНАЯ ГРУППА ЛИ	153
Пусть даны группы^В, ср) и(В', ?'). Отображение •( ? Г (.В, В')
называется локальным гомоморфизмом группы (В, ср) в (или
на) группу (В1, ср'), если f оср = ср' оf, точнее, если существует
такое число р > О, что для всех a, b?O (ZB справедливо равенство
tMM))=t'(tW т(&))-	(З-1)
Равенство C.1) означает, что гомоморфизм групп есть отобра-
отображение, перестановочное с умножением.
Локальный гомоморфизм у группы (В, ср) в группу (В1, ср')
называется локальным изоморфизмом группы (В, ср) на
группу (В1, tp'), если отображение у локально обратимо. В этом
случае говорят также, что группа (В1, <р') локально изоморфна
группе (В, ср).
Замечание. Если даны группа (U, ср) и обратимое отобра-
отображение у?Г(.В, В), то можно определить новое отображение ср',
действующее по формуле
ср'(а, &) = ?-!(?(Г (<*), т (*))).
Легко проверяется, что ср' удовлетворяет аксиомам 1.1°—1.3°, т. е.
является новым законом умножения. Сопоставление этой формулы
с C.1) показывает, что полученная этим построением группа (В, ср')
локально изоморфна группе (В, ср).
Локальный изоморфизм группы (В, ср) на (JB, <р) называется
локальным автоморфизмом этой группы. Очевидно, что
множество всех локальных автоморфизмов, обозначаемое
Aut (В, ср), образует некоторую группу локальных преобразований
пространства В, оставляющих неподвижным нулевой элемент этого
пространства.
В дальнейшем для краткости прилагательное «локальный» опу-
опускается и , если это не вызывает недоразумений, говорится просто
о гомоморфизме, об изоморфизме или автоморфизме групп (В, tp).
Очевидно, что каждая группа (В, ср) изоморфна самой себе и
что если группа (В1, ср') изоморфна группе (В, ср), то также группа
(В, ср) изоморфна группе (В1, ср'). Последнее следует из того, что
равенство уоср = ср'оу в случае изоморфизма равносильно ра-
равенству f^ocp'= сроу-1. Далее, если у— изоморфизм группы (В, ср)
на группу (В1, ср') и j' — изоморфизм группы (В1, ср') на группу
(В", ср"), то у'оу есть изоморфизм группы (В, <р) на группу (В", ср").
Это следует из равенств
у'оу о<р = у'оср'оу=:ср"оу'оу.
Таким образом, отношение изоморфизма групп (В, tp) является
теоретико-множественным признаком эквивалентности, в силу
которого совокупность всех групп (В, <р) разбивается на непере-
непересекающиеся классы изоморфных групп. Класс групп, изоморф-
изоморфных группе (В, ср), будет обозначаться Q (В, ср).

154	гд. iv. тЕбрия ли
Основной целью излагаемой ниже теории Ли является исчер-
исчерпывающая характеризация класса Q (В, <р) в терминах более про-
простого понятия нормированной (банаховой) алгебры Ли и выделение
в каждом данном классе простейшего канонического представи-
представителя, особенно удобного при изучении подгрупп, гомоморфизмов
и автоморфизмов групп (В, ц>).
4. Уравнение и первая теорема Ли. Для данной группы
(В, <р) вводится в рассмотрение вспомогательное отображение
A:B-*-S?(B), действующее по формуле
А(а) = д2?(а,0).	D.1)
Из аксиомы 1.1° следует, что Л@) = /в есть тождественное ото-
отображение пространства В. Поэтому для достаточно малого р и
всех а^О линейное отображение A(a)^S8{B) является линейным
гомеоморфизмом пространства В. Следовательно, для а^О суще-
существует обратное отображение V(a) = (A (a))~1^^(B), которое также
может быть определено непосредственно формулой
V{a)=di9(a-\a).	D.2)
Действительно, в силу 1.2° верно равенство ср(а~\ ср (а, Ь)) = 6,
дифференцироеание которого (по аргументу Ъ в точке 6 = 0) дает
<р(о, 0))оЗа«р(о, 0) = Зй»(оЛ а)оА(а)~1
в.
Дифференцирование соотношения ассоциативности 1.2° по аргу-
аргументу с в точке с = 0 дает равенство
д2с?(<р(«, b), 0) = 52cp(a, b)odi?(b, 0),
которое в силу определения вспомогательных отображений А и V
может быть переписано в виде
Это равенство, справедливое для всех a, b^Of, выражает тот
факт, что частное отображение <ро: О -> В, действующее по фор-
формуле fa(b) = <p(a, b), является решением дифференциального урав-
уравнения (с начальным условием)
a.	D.3)
Уравнение D.3) называется уравнением Ли. Следующая
первая теорема Ли устанавливает связь группы (В, <р) со свой-
свойством вполне интегрируемости уравнения D.3).
Теорема. Если А и V суть вспомогательные отображения
группы (В, <р), то отображение A(y)oV(b)(*?!(В) вполне интегри-
интегрируемо в окрестности нуля пространства В, т.е. существует такое
р>0, что уравнение D.3) для любых с, а?О имеет решение ф,
удовлетворяющее условию ty(c) = a.

§ 12. ЛОКАЛЬНАЯ ГРУППА ЛИ	155
Обратно, пусть дано отображение А'. О -*^?(В) класса
С<*>{О ), причем А @) = 1В и для любого а^О отображение
А (а) есть линейный гомеоморфизм пространства В на В, и
пусть V(a) — (A (a))~1. Тогда, если отображение A(y)oV(b)
вполне интегрируемо в окрестности нуля пространства В, то
решение <р = <ра задачи D.3) определяет группу (В, ср) с законом
умножения ср (а, ?>) = сра(#) и для этой группы данное А является
ее вспомогательным отображением D.1).
Доказательство. (Прямое утверждение.) При фиксирован-
фиксированных а, с?0 C, рассматривается отображение ф: О C) -»• В, действую-
действующее по формуле (J) (Ь) = ср (а, ср (с, 6)) (символ р(га) определен
п п. 2 (Р)). Тогда ф(с) = а и, в силу D.3) и ассоциативности
композиции линейных отображений,
дд{а, <?(с-\ Ъ))од.2?(с-\ Ъ) =
Следовательно, ф есть решение уравнения D.3), удовлетворяющое
для любых с, aGCpm начальному условию ty(c)-=a, а это и озна-
означает, что отображение A{f)oV (Ъ) вполне интегрируемо.
(Обратное утверждение.) Пусть <ра есть решение задачи D.3) и
ср (а, Ъ) = срв (Ь). Тогда ср(а, 0) = а в силу начального условия D.3).
Кроме того, при а = 0 единственным решением задачи D.3)
является <ро(Ь) = Ь, откуда ср(О, b) = b. Этим доказано выполнение
аксиомы 1.1°. Далее, пусть х = <р(а, Ь), г/ —ср(&, с), ц = ср(ж, с),
уг=ср(а, г/). По построению для отображений с->и(с) = <рв(с),
с-*-у(с) = сраоср6(с) справедливы равенства
Эи(с) = д2<? (х, с) = А (и) о V (с), и @) = х;
~A{v)oV(c), v@)=<?(a,b) — x.
Следовательно, оба отображения и и v являются решениями одной
и той же задачи D.3) (с начальным значением х вместо а) и в силу
единственности ее решения совпадают. Но равенство и (c) — v (с)
равносильно ср (ср (а, Ь), с)=ср (а, ср (&, с)), чем доказано выполне-
выполнение аксиомы 1.2°. Наконец, аксиома21.3°ктакже выполнена, ибо
из предположений теоремы следует, что правая часть уравнения
D. 3) бесконечно дифференцируема, а тогда решение задачи D.3)
тоже бесконечно дифференцируемо в "окрестности нуля простран-
пространства В. Этот факт известен из анализа. Справедливость послед-
последнего утверждения теоремы следует непосредственно "из уравнения
D.3) при 6=0, так как V @)=1в.Ш
Следствие. Группа (В, ц>) однозначно определена зада-
заданием вспомогательного отображения А, удовлетворяющего пере-
перечисленным в формулировке теоремы условиям.

156	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
Замечание. Излагаемая здесь и ниже теория Ли групп
(В, tp) основана на использовании вспомогательного отображения
А (а)=32<р (а, 0), описывающего так называемую «правую струк-
структуру» группы (В, <р). Наряду с этим можно развить теорию «левой
структуры», положив в основу вспомогательное отображение
А* (a)—d1<f @, а). Обе эти теории приводят к одинаковым резуль-
результатам.
Пример. Для группы (В, <р), приведенной в примере 12.2,
вспомогательные отображения таковы:
А (а) = A + 1 (а)) 1В, V (а) = A +1 <а»1В.
Ура мнение Ли D.3) имеет тшд
5. Каноническое умножение. Рассматриваются функции g:
Д —>В класса СЮ(Д), определенные на интервалах вещественной
оси Д=(—а, а) и действующие по формуле t-^~g(t), причем
g@) = 0. Образ g(\)CB есть некоторая гладкая кривая в В,
в частности, существует вектор р = dg(Q)fc В, касательный к этой
крииой в нуле пространства В.
Кривая g(&)CB называется одноиараметричесной под-
подгруппой группы (В, <р), если dg @)^=0 и если для любых t, s,
t -j- s ? Д справедливо равенство
V(g(t), g(s)) = g(t + s).	E.1)
Вектор p=dg @) называется направляющим вектором однопара-
метрической подгруппы g (Д).
Задача об отыскании однопараметрических подгрупп данной
группы (В, у) состоит в отыскании решений g функционального
уравнения E.1) при заданном отображении ср. Оказывается, что
это уравнение равносильно некоторому дифференциальному урав-
уравнению.
Теорема. Если А — вспомогательное отображение [4.1]
группы (В, «р), то любая' однопараметрическая подгруппа g(&)
с направляющим вектором р удовлетворяет дифференциальному
уравнению с начальным условием
dg = A(g)(P), *@) = 0.	E.2)
Обратно, каков бы ни был ненулевой вектор р ? В, решение
t^*g(t) задачи E.2) дает однопараметрическую подгруппу группы
(В, <р) с направляющим вектором р.
Доказательство. Дифференцирование равенства E.1)
по s в точке s=0 дает E.2) в силу определения D.1). Обратно, если
g есть решение задачи E.2), то в силу уравнения Ли D.3) и урав-

§ 12. ЛОКАЛЬНАЯ ГРУППА ЛИ	157
нений E.2) функции s -> и (s) = y (g (I), g (s)) и s -* v (s)=g (t+s)
удовлетворяют уравнениям
flu (s) = дд (g (t), g («)) (dg (*)> = А (и) о V (g (s)) о A (g (s)) <p> =
= A(u)(p), u(O) = g(t);
v(O) = g(t).
Следовательно, для каждого фиксированного t функции и и v яв-
являются решениями одного и того же дифференциального уравне-
уравнения E.2) с одинаковым начальным значением g (I). В силу теоремы
единственности решения задачи Коши для обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений, эти решения совпадают, что и дает равен-
равенство E.1). Наконец, так как А @)=/л, то из E.2) при t=0 сле-
следует равенство dg @)=р.Ш
Наиболее простое строение имеют те однопараметрические под-
подгруппы, для которых g (Д) есть прямая в В, т. е. когда g (t) =
= tp. В общем случае для группы (В, ср) среди прямых вида tp
однопараметрических подгрупп нет — все они существенно «кри-
«кривые». Противоположный случай выделяется следующим опре-
определением.
Группа (В, со) называется канонической, если любая прямая
g (t) = tp является ее однопараметрической подгруппой. Закон
умножения ш в канонической группе называется каноническим
умножением.
Свойство каноничности умножения со выражается соотношением
p.	E.3)
Критерий каноничности. Группа (В, о>) яв-
является канонической, если и только если ее вспомогательные отоб-
отображения А и V для всех а ?< О удовлетворяют соотношениям
А{а)(ау = а, V{a)(a) = a.	E.4)
Доказательство. Если группа (В, w) каноническая, то из
E.3) следует, что dsw(ta, sa)|s_0 = a. С другой стороны, и силу
уравнения Ли D.3)
dsw (ta, sa) |,„0 = 92w (ta, 0) <а> = A (ta) (a).
Сравнение этих двух выражений при ?=1 дает соотношение E.4)
для А, а значит, и для V. Обратно, пусть E.4) выполнено. Тогда
для любого р? В отображение (t, р)-*¦ tp таково, что (tp)\t=0 = 0 и
Тем самым отображение t -> tp является решением задачи E.2).
В силу теоремы 12.5 это отображение дает однопараметрическую
подгруппу. Следовательно, выполнено условие из определения ка-
канонической группы.И

158	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
6. Канонический изоморфизм. Один из фундаментальных ре-
результатов теории Ли заключается в том, что в каждом классе изо-
изоморфных групп Q (В, ц>) содержится канонический представитель
(В, со).
Таеорема. Для любой группы (В, <р) существует ее изомор-
изоморфизм х на некоторую каноническую группу (В, ш), удовлетворяю-
удовлетворяющий условию дх@) = 1в.
Доказательство. С целью построения искомого изо-
изоморфизма рассматривается зависимость решения задачи E.2)
от вектора р ? В, как от параметра. Это приводит к отображению
(t, р) -> g (t, р) некоторой окрестности нуля U С RxB -> В.
Утверждается, что на самом деле при этом отображении образ за-
зависит только от произведения tp. Действительно, для достаточно
малого |А — 1 |, где A?i?, преобразование t -> til, p-> lp,
g -> g не меняет уравнений задачи E.2) (задача E.2) допускает это
преобразование!). Поэтому отображение (t, р) —*¦ g (t/1, лр) явля-
является ее решением при любом X и в силу единственности решения
совпадает с отображением (t, р) -* g (t, p). Отсюда следует, что
найдется такое р > 0, что образ g (t, p) определен для всех
р?О и t?(—а, а), где а > 1. Тогда в соотношении g{t,p)~
~g {tlk, KP) можно положить \—t, что дает представление решения
в виде g (t, p)=g A, tp). Тем самым возникает отображение
О	ф
¦л : О -+В, определенное формулой
Утверждается, что х обладает свойствами, требуемыми от изо-
изоморфизма в определении 12.3, т. е. что х?Г (В, В) и локально
обратимо. Прежде всего, если р=0, то единственное решение за-
задачи E.2) есть g=0, а тогда из F.1) следует, что х @)=0. Далее,
правая часть уравнения E.2) является отображением класса
Со, (Ор X 0р), в силу чего решение (t, p) -> g (t, p), как это из-
известно из теории дифференциальных уравнений, есть отображение
класса С„,(Д X О). Поэтому х?Г(В, В). Для доказательства
обратимости х рассматривается производная дх (tp) <$> =
=d2g (t, p)(Ji} с произвольным вектором h^B, которая может
быть найдена как решение «уравнений в вариациях» для задачи
E.2), а именно, уравнений
(t, p) <A» = ЗА (g) <dg {t, p) (h), p) -f- A (g) (К),
d2g@,p)<fi} = 0.
В точке р = 0 эти уравнения принимают вид

i 12. локальная группа ли	159
и имеют единственное решение d2g (t, 0) = Нв. Поэтому формула
F.1) дает дх @)=/в. Как было отмечено в начален. 3, отсюда сле-
следует обратимость отображения х.
В силу замечания 12.3 группа (В, w), закон умножения в ко-
которой определен формулой
о>(р, q) = *-\9(x(p), y.(q))),	F.2)
изоморфна исходной группе (В, ср). Утверждается, что {В, а>) —
каноническая группа. Действительно, по построению для p^Of
образ интервала А при отображении х (tp)—g (t, p) есть одно-
параметрическая подгруппа в группе (В, ср) с направляющим век-
вектором р. Поэтому в силу определения 12.5 справедливы равенства
w(tp, sp) — yrl(^(g(l, р), g(s,
= х-1 (g (t + *, р)) = у-1 (у- ((t + s) р)) = (t + s) р,
т. о. умножение со является каноническим. В
Изоморфизм х группы (В, ср) на каноническую группу [В, ш),
удовлетворяющий условию д-/.@) = Iв, называется каноническим
изоморфизмом группы (В, ср).
Следствие. Для любой группы (В, ср) существует такая
окрестность О О В, что для каждого а?О0 имеется одна и
только одна однопараметричеспая подгруппа, лежащая в Оа и
содержащая элемент а.
Доказательство. Для канонической группы утверж-
утверждение очевидно. Для любой группы (В, ср) его справедливость сле-
следует из доказанной теоремы и из того, что при изоморфизме одно-
параметрические подгруппы переходят в однопараметрические
подгруппы.Н
Этот факт означает, что элементы всевозможных однопараметри-
ческих подгрупп группы (В, ср) заполняют некоторую окрестность
нуля пространства В. Иногда его выражают, говоря, что группа
(В, ср) «соткана» из своих однопараметрических подгрупп.
Пример. Группа из примера 12.2 не является канонической.
Для построения ее канонического изоморфизма надо решить со-
соответствующее уравнение E.2), которое, согласно примеру 12.4,
имеет вид
Решение этой задачи есть
g(t, p) =
Искомый канонический изоморфизм получается по формуле F.0

160	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
Для построения закона умножения в соответствующей канони-
канонической группе надо еще найти обратное отображение х~х, т. е. ре-
решить относительно вектора р ? В уравнение х (р)=а. Это решение
таково:
Теперь канонический закон умножения получается по формуле
F.2) и после небольших преобразований оказывается таким:
Здесь легко проверяется свойство E.3) каноничности умноже'
НИЯ (О.
7. Гомоморфизмы канонических групп. Определенные в п. 3
гомоморфизмы групп (В, ф) являются локальными отображени-
отображениями. Существенным свойством канонических групп является то,
что для них любой гомоморфизм продолжается до глобального отоб-
отображения соответствующих банаховых пространств.
Теорема. Если обе группы (В,ш) и (В',т') канонические,
то любой локальный гомоморфизм у группы (В, со) в группу
(В1, со') может быть продолжен до линейного отображения у:
Доказательство. В силу равенства C.1) и каноничности
групп для любого а ? В с достаточно малой нормой
у («о (а, а)) = у Bа) = «о' (у (а), у (а)) = 2у (а),
т. е. у Bа) = 2у (а). Аналогично доказывается, что для любого
целого п справедливо равенство у(геа) = геу(а) (индукция по п).
Далее, если mb = a, то mr(b) = r(a) или у(— а)= — у (а). Поэтому
для любых целых m, n
у ( —а)= —у (а).
Таким образом, равенство у (Аа) = Ау (а) выполнено для а?О
и для любого рационального X, |Х| < 1. В силу непрерывности
отображения у на О это равенство верно для любого А?(—1, 1).
Так как у непрерывно дифференцируемо на О и у @)=0, то спра-
справедливы равенства
9у @) <a> = lim Г1 (у (fa) — у @)) = lim Г1 {tr (a)) = у (а).
t-*o	t-*-o
Итак, на О гомоморфизм у совпадает с линейным отображением
ду(О): В->В', которое ограничено в некоторой окрестности нуля
пространства В. Поэтому можно положить у (а) = ду @) <(а> для
всех а?В.М

I 12. Локальная группа ли	161
Из этой теоремы вытекают важные следствия. Прежде всего,
она дает существенное дополнение к теореме 12.6.
Следствие 1. Существует только один канонический изо-
изоморфизм х группы (В, f).
Доказательство. Пусть х: В-*¦ В есть канонический изо-
изоморфизм группы (В, ср) на каноническую группу (В, <о), построен-
построенный в теореме 12.6. Если *': В-*-В — другой канонический изо-
изоморфизм группы (В, <р) на каноническую группу (J5, ш'), то у =
= х'ох~1 есть изоморфизм группы (В, ш) на группу (В, со').
В силу только что доказанной теоремы у есть линейное отображе-
отображение В на В. Поэтому из равенстра x' = jox следует равенство
дх! @) = уо<9х@), откуда ^=zIB и х'=х. ¦
Кроме того, можно дать описание всех канонических предста-
представителей данного класса изоморфных групп.
Следствие2. В каждом классе изоморфных групп Q (В, ср)
имеется один и, с точностью до линейного изоморфизма, только
один канонический представитель.
Доказательство. Любые два канонических предста-
представителя связаны изоморфизмом, который в силу только что дока-
доказанной теоремы линеен. ¦
В дополнение к этому следствию полезно отметить, что любой
линейный изоморфизм канонической группы всегда отображает
ее на каноническую группу.
8. Вторая теорема Ли. Эта теорема фактически является
просто специализацией известной из анализа теоремы Фробе-
ниуса о вполне интегрируемости отображения f: X X Y -*
->• $Е (X; Y), т. е. об условии существования при любых начальных
данных (х0, у0) решения следующей задачи о восстановлении отоб-
отображения и: X -> Y, действующего по формуле у=и (х):
da(x) — f(x, у), п(хо)~уо.
Это условие заключается в том, чтобы для любой точки (ж, у) ? XX Y
билинейное отображение
(A, k) -* dj (х, у) (h, к) + dj (x, у) </ (х, у) <Л>, к) (8.1)
было симметричный. Здесь h, k?X — произвольные векторы.
Теорема. Если А и V — вспомогательные функции группы
(В, <р) и ОсВ, то линейное отображение A(<?)oV(b): B-*B
вполне интегрируемо на О \О , если и только если существует
билинейное отображение С?$В2(В; В), с которым для любых
а(<0 и h, k?B выполнено соотношение
dV (а) ф, k) - dV (а)(к, K) = C(V (а)<к), V (а)<Л», (8.2)
или ему равносильное соотношение
дА (а) <Л (а) <к), h) — дА (а) (А (а) <А>, ft> = А (а) <С <к, /г». (8.3)

162	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
Доказательство. В силу теоремы Фробениуса дело сво-
сводится к преобразованию условия (8.1) применительно к отображе-
отображению (Ь, <?) -* f (b, <?), действующему по формуле f(b, ср) = А (<р)о
oV(Ь). При этом надо учесть, что
dj <л, л>=a <pv <h, к», dj <h, k>=дА <h, v <*».
Поэтому билинейное отображение (8.1) здесь таково:
(h, k)^A(9)<dV(b)<h, kyy + dAifKA^Kh), F (&)<&».
Дифференцирование тождества A (<?)oV(f)(k) = k дает соотношение
дА (?) ф, к> = -А (?) (dV (ср) <А, А (?) <А>»,
в силу которого симметричность предыдущего билинейного отобра-
отображения равносильна симметричности следующего:
(h,k)-*dV(b)(h, ky-dV(?)<Л (?)о VF)<Л>, Л (ср)о F(Ь)<*».
Так как вместе с вектором (А, &) произволен и вектор (A(b)(hy,
А(Ь)(кУ), то последнее билинейное отображение можно заменить
таким:
(h, к) -* 5F (Ъ) (А (Ь) фу, А (Ь) фУУ -dV(f) (А (т) фу, А
Симметричность этого билинейного отображения равносильна ра-
равенству
6V (b) (A (b) фу, А (Ь) фУУ - 8V (b) (A (b) фУ, А (Ь) фУУ =
, А(<?)фУУ,
которое должно выполняться для любой точки (b, f)?O ХО .
В частности, здесь можно положить ср —0. Тогда в правой части
возникает билинейное отображение С: ВХ-В-* В
Сф, hy = dV@)ф, ky-dV@)ф, h>,	(8.4)
с которым предыдущее равенство после замены (h, к) на (У(Ь)фУ,
У(Ъ)фУ) и b на а примет в точности вид (8.2). Соотношение (8.3)
получается из (8.2) с помощью формулы дУ(а)ф,ку =
= —V (а) (дА (а) ф, V (а) фУУУ, выводимой дифференцированием
тождества А (а) о V (а) = /ц. ¦
Уравнение (8.2) или (8.3) называется уравнением Мау-
рера—Картана.
9. Структурный оператор. Билинейное отображение С, опре-
определенное формулой (8.9), называется структурным опера-
оператором группы (В, ср).
Так как dV@) = —дА@), то формула (8.4) равносильна
формуле
Сф, НУ = дА@)ф, НУ — дА(О)ф, й>.	(9.1)

§ 12. ЛОКАЛЬНАЯ ГРУППА ЛИ	163
Согласно теореме 12.8 каждой группе (В, <р) однозначно соответ-
соответствует ее структурный оператор С. Оказывается, что и, обратно,
каждому наперед заданному билинейному отображению С :
ВХВ -> В, удовлетворяющему некоторым условиям, можно со-
сопоставить группу (В, ср)> Для которой заданное С является ее
структурным оператором. Этот факт составляет содержание
третьей теоремы Ли, которая подразделяется на «прямую» и «об-
«обратную» теоремы. Следующая прямая третья теорема Ли выясняет
необходимые свойства структурного оператора.
Теорема. Структурный оператор С группы (В, ср) обладает
следующими свойствами (здесь h, k, I — произвольные векторы из В):
1°. С есть билинейное отображение ВХВ -> В.
2°. Отображение С антисимметрично
Отображение С удовлетворяет соотношению Якоби
), h) + С (С <2, h), k> = 0.
4°. Отображение С ограничено, т. е. существует такое число
§> 0, с которич
\Сф, &>|<
Доказательство. Свойства 1° и 2° следуют из опре-
определения (8.4). Соотношение 3° выводится путем дифференцирова-
дифференцирования (8.2) в точке а=0, в результате чего с учетом свойства 2° по-
получается равенство
92F<Z, h, k)—dW(l, k, h)=C(dV(l, k), h)—C(dV(l, h), k).
Здесь надо сделать два раза круговую перестановку h -* k -> I ->
-*¦ h и все три равенства сложить. С учетом свойства симметричности
второй производной, которое для трилинейного отображения
<?2F: В3 -*¦ В записывается в виде равенства
h, ky = dW<h, I, к),
в левой части сумма будет равна нулю. В правой части после ис-
использования определения (8.4) получится в точности выражение,
входящее в 3°. Наконец, свойство 4° вытекает из того, что произ-
производная dV?Cm (О), в силу чего dV @) есть непрерывное били-
билинейное отображение В X В -> В. Поэтому в 4° можно взять
8=2 \dV @) |. ¦
Пример. Структурный оператор группы (В, <р) из примера
12.2, 12.4, вычисленный по формуле (9.1), оказывается таким:
C(h, k) =

164	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
10. Банахова алгебра Ли. Отображение С: В X В -*¦ В со свой-
свойствами 9.1°—9.3° наделяет пространство В структурой алгебры Ли,
коммутатор в которой определен формулой
[h, k] = C(h, к).	A0.1)
Хотя этот факт будет строго установлен лишь в следующем пара-
параграфе, уже здесь можно отметить полное согласование свойств
9.1°—9.3° отображения С со свойствами коммутатора векторных
полей, отмеченными в 7.3. Более того, на пространстве В можно
рассмотреть семейство векторных полей {th }, где каждое векторное
поле lh определяется заданием вектора h?B и действует по фор-
формуле ih (а)=А (а) <7г>. Тогда семейство {?л} образует алгебру Ли
векторных полей на пространстве В в точном определении 7.4,
так как равенство (8.3) равносильно равенству [?л, %к]= tc(h,k>-
Дополнительное свойство 9.4е означает, что эта алгебра Ли
является нормированной. В связи с этими замечаниями в дальней-
дальнейшем банахово пространство В с отображением С : В X В ->
-> В, обладающим свойствами 9.1°—9.4°, будет называться бана-
банаховой алгеброй Ли и обозначаться символом (В, С).
Можно сказать, что в силу прямой третьей теоремы Ли каждой
группе (В, ср) по формулам (8.4) или (9.1) сопоставляется бана-
банахова алгебра Ли (В, С). Естественно возникает вопрос о том, ка-
каким образом это соответствие распространяется на класс изо-
изоморфных групп Q (В, ср). С этой целью надо выяснить, как меня-
меняется структурный оператор при изоморфизме групп.
Лемма. При изоморфизме у группы (В, ср) на группу (В1, <р!)
структурные операторы этих групп связаны соотношением
C'<dT(O)</*>, dT@)<&» = 9T@)<C<u, ft».	A0.2)
Доказательство. Дифференцирование равенства C.1)
по аргументу b в точке Ь=0 и использование определения D.1)
дает равенство
А' (т (а)) <ат @) <ft» = dj (a) (A (a) <ft»
с любым вектором к ? В. Дифференцирование этого равенства по а
в точке а = 0 с вектором h^B приводит к соотношению
ЗА1 @) <аТ @) фУ, д1 @) (к» = 92Т @) (h, k> + <?т @) (дА @) (h, к)).
Отсюда в результате перестановки векторов h, к, почленного вы-
вычитания, использования симметричности второй производной
д2у @) и определения (9.1) получается A0.2). ¦
Следствие 1. Канонический изоморфизм группы (В, «р)
сохраняет ее структурный оператор.
Доказательство. Этот факт следует из определения
12.6 и формулы A0.2). ¦

§ 12. ЛОКАЛЬНАЯ ГРУППА ЛИ	165
Банахова алгебра Ли (В', С1) называется изоморфной банаховой
алгебре Ли (В, С), если существует обратимое линейное отобра-
отображение и пространства В на пространство В1, с которым справед-
справедлива формула Сои — иоС или, точнее, для любых векторов
h, к?В
C'(u(h), u(k)) = u(C(h, к)}.	A0.3)
Очевидно, что отношение изоморфизма разбирает множество
всех банаховых алгебр Ли на непересекающиеся классы изоморф-
изоморфных банаховых алгебр Ли. Класс, содержащий данную банахову
алгебру Ли (В, С), будет обозначаться символом Q (В, С).
Следствие 2. Существует отображение множества {Q (В, ср)}
классов Q(B, ср) изоморфных групп в множество {Q{B, С)} клас-
классов Q(B, С) банаховых алгебр Ли.
Доказательство. Этот факт следует из леммы и опре-
определения A0.3). ¦
В третьей обратной теореме Ли будет доказано, что упомянутое
в следствии 2 отображение является взаимно однозначным отоб-
отображением на.
Следствие 3. Изоморфизм у канонической группы (В, ш)
на каноническую группу (В1, ш') является одновременно изоморфиз-
изоморфизмом соответствующих банаховых алгебр Ли (В, С) и (В1, С).
Доказательство. Согласно теореме 12.7 изоморфизм
Т есть обратимое линейное отображение В -+ В'. Поэтому ут-
утверждение справедливо в силу леммы и определения A0.3). ¦
11. Определенность группы ее структурным оператором. Если
дан структурный оператор, т. е. отображение С : В X В ->¦ В
со свойствами 9.1°—9.4°, то для восстановления группы (В, ср)
достаточно найти вспомогательное отображение А как решение
уравнения Маурера—Картана (8.3) с данным С. Действительно,
тогда с полученным А и ему соответствующим V отображение
A (?)oF (b) будет вполне интегрируемо (теорема 12.8) и закон ум-
умножения ср получится как единственное решение уравнения Ли
D.3). При этом в общем случае решение уравнения (8.3) не един-
единственно. Иначе обстоит дело для канонических групп.
Лемма. Б случае канонической группы (В, ш) вспомогатель-
вспомогательное отображение А : О0 ->¦ <?? (В) определено структурным опе-
оператором этой группы единственным образом.
Доказательств о. Рассматривается отображение
(t, a) -> tV (ta) и для произвольно фиксированного h(*B пола-
полагается w (t)=tV (ta)(K). Дифференцирование функции w по t
дает выражение
dtw=t dV (ta) <a, h) -f V (ta) <h>.

166	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
С другой стороны, в силу критерия каноничности 12.5 справедливо
равенство a=V (ta) <V>, дифференцирование которого по а на
векторе h приводит к равенству
h = tdV(ta)(k, a)-\-V(ta)(fi).
В результате почленного вычитания этого равенства из предыду-
предыдущего и использования уравнения (8.2) получается уравнение
dtw — h = tC(V(ta)(h), V(ta)(a»,
которое в силу билинейности С, определения w и соотношения
V (ta) <V>=<z равносильно следующему:
dtw = h-\-C<w, a), w@) = 0.	A1.1)
При фиксированных a, h?B это есть линейное обыкновен-
обыкновенное дифференциальное уравнение (с начальным условием), кото-
которому удовлетворяет отображение w : R —> В. Так как его правая
часть, как отображение (t, w): R X В -> В, есть отображе-
отображение класса Ст (II X В), то в силу известной теоремы существо-
существования и единственности решения обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений отображение w : R ->¦ В однозначно определено
заданием структурного оператора С. Следовательно, однозначно
определены также V (a) <Qi)=w A), V (а) и А( a) = (V (a))~l. Ш
Дифференциальное уравнение A1.1) имеет принципиальное
значение в теории Ли, так как оно служит основой алгоритма по-
построения группы по ее структурному оператору.
12. Третья теорема Ли. Прямая третья теорема Ли уже дока-
доказана как теорема 12.9. Поэтому здесь формулируется и доказыва-
доказывается только обратная третья теорема Ли.
Теорема. Каждому отображению С : В X В -> В,
удовлетворяющему условиям 9.1°—9.4°, соответствует группа
(В, ср), для которой данное отображение С является ее структур-
структурным оператором.
Доказательство. Программа. Группа (В, ср) стро-
строится в три этапа. Первый состоит в решении задачи A1.1). Ее ре-
решение является функцией w = W (t, a, h) в силу зависимости от
параметров a, h, входящих в уравнение A1.1). Устанавливается,
что отображение (a, h) -> W A, а, К) линейно по h и потому по-
порождает отображение V : В —»¦ <?? (В). Доказывается, что так
построенное V удовлетворяет уравнению Маурера—Картана (8.2)
с данным С и что V @)=Is- Второй этап состоит в построении отоб-
отображения А, причем A (a)=(V( я)). Третий этап заключается в ре-
решении уравнения Ли D.3) с полученными А и V. В силу теорем
12.4 и 12.8 это и дает искомую группу (В, ср).
Детали. В силу известной теоремы о непрерывной зависимости
решения обыкновенного дифференциального уравнения от пара-
параметров, вводящих в правую часть, решение задачи A1.1) как qtq6-

§ 12. ЛОКАЛЬНАЯ ГРУППА ЛИ	16?
ражение (t, a, h) ->¦ W (t, a, h) во всяком случае принадлежит
классу Ста (R X В X В). При фиксированных t и а отображение
W линейно по h: аддитивность и однородность следуют из линей-
линейности задачи A1.1) по w и ft, а непрерывность — из непрерывной
зависимости решения от h.
Следующее свойство отображения W состоит в том, что вектор
t~x W (t, a, h) на самом деле зависит только от двух «переменных»:
произведения ta и h. Действительно, преобразование t -> t/1,
а -> la, w -> wl\ не меняет уравнений задачи A1.1), в силу чего
вместе с W (t, a, h) ее решением является также и IW (t/l, la,
h) при любом 1 ? В. В силу единственности решения справедливо
равенство W (t, a, h) = lW (t/1, la, h), откуда при l=t получается
соотношение W (t, a, h)=tW (I, ta, h). Поэтому можно положить
W(t, a, h)~tV(ta)(hy,	A2.1)
Этой формулой определено отображение V: В -> S6 (В) класса Сга (В).
Для доказательства того, что построенное отображение V удо-
удовлетворяет уравнению Маурера—Картана (8.2), вводится в рас-
рассмотрение функция z: 12 -*¦ В, зависящая от пары векторов h, kfc В
и заданная формулой
z(t) = dV(ta)<h, k> — dV(ta)<k, Л> — C(V{ta)(ky, F(to)</i».
Производная по t этой функции равна
dtz=d2V(ta)(a, h, к) —d2V (ta)(a, к, h)~
— C(dV(ta)(a, к), V (ta)(h)) — С (V (ta)(k), dV(ta)(a, h)).
Входящие сюда значения производных dV и d2V исключаются
с помощью тождеств, первое из которых получается подстановкой
выражения A2.1) в уравнение A1.1):
tdV(ta)(a, h) = h—V(ta)<h)-\-tC(V(ta)<(h), a),
а второе — дифференцированием первого по а:
td*V(ta)(k, a, h) =
= ~2dV{ta)(k, h)-\-C(V{ta)(h), k) + W<dV(ta)(k, h), a).
В результате этого исключения, а также использования опреде-
определения функции z и свойства 9.2 отображения С, возникает вы-
выражение для вектора tdtz-\-2z—tC <(z, ay, в котором правая часть
равна нулю в силу свойства 12.9.3° отображения С. Тем самым
для z получается обыкновенное дифференциальное уравнение
a),
которое после упрощения подстановкой z'=t2z приводит к задаче
dtz' = C<z', a), z'@) = 0.

1б8	ГЛ. IV. ТЕОРИЙ ЛИ
Так как единственное решение этой задачи есть z'=6, то и 2=0.
Но равенство z @=0 при t=l равносильно равенству (8.2), так
что, действительно, построенное V удовлетворяет уравнению Мау-
рера—Картана.
Равенство V@) = Ijf вытекает из того, что при а = 0 уравне-
уравнение A1.1) принимает вид dtw = h и имеет решением функцию
w = th. С этим решением формула A2.1) дает У@) = 1д. В силу
непрерывности отображения V найдется такая окрестность нуля
О„ CZ В, что для всех а^О линейное отображение V(а): В-* В
будет линейным гомеоморфизмом пространства В. Поэтому опреде-
определено отображение А: О —>•<?? (.В), действующее по формуле Л(а) =
= (V(а)), причем А класса Сга@).
С найденными А я V линейное отображение А (ср) о V (Ь) вполне
интегрируемо в силу теоремы 12.8. Поэтому уравнение Ли D.3)
имеет единственное решение <р, которое в силу теоремы 12.4 дает
группу (В, ср).
Наконец, из уравнения Маурера—Картана (8.2) следует, что
заданное отображение С есть структурный оператор построенной
группы (В, <?).Ш
О группе (В, ср), полученной исходя из данного отображения С
со свойствами 9.1°—9.4° (или из данной банаховой алгебры Ли
(В, С)) построением, описанным в доказательстве этой теоремы,
будет говориться, что она порождена отображением С.
Замечание. Группа (В, ср), порожденная отображе-
отображением С, является канонической. Действительно, если в A1.1) по-
положить h=a, то так как С <[а, а)=0, решением задачи A1.1)
будет w=ta. Поэтому формула A2.1), определяющая отображе-
отображение V, примет вид a=V (ta) <V>, а это, согласно критерию кано-
каноничности 12.6, достаточно для требуемого заключения.
Следствие 1. Если С есть структурный оператор группы
(В, ср) и если С порождает группу (В, ср'), тс группа (В, ср')
изоморфна группе (В, ср).
Доказательство. Группа (В, ср) изоморфна каноническому
представителю (В, ш) класса Q(B, ср), причем группы (В, ср) и
(В, ш) имеют один и тот же структурный оператор (следствие 1
леммы 12.10). Поэтому в силу леммы 12.11 и предыдущего заме-
замечания справедливо равенство ср'=ш. Значит, группа (В, ср') =
= (_В, ш) изоморфна группе (В, ср). ¦
Следствие 2. Изоморфные банаховы алгебры Ли (В, С) и,
(В1, С1) порождают изоморфные группы (В, со) и (В1, ш>).
Доказательство. Пусть -[¦ есть изоморфизм (В, С) на
(В1, С1). Так как у ячляется обратимым линейным отображением В
на -В', то у можно рассматривать как изоморфизм группы {В, со)
на некоторую каноническую группу (В1, ф), которой соответствует
банахова алгебра Ли (В1, С) (следствие 3 леммы 12.10). Итак, обе

§ 12. ЛОКАЛЬНАЯ ГРУППА ЛИ	169
группы (В1, ш') и (В1, ф) "канонические и имеют один и тот же
структурный оператор С. Согласно лемме 12.11 отсюда следует,
ЧТО (|) = (!)'. ¦
Следствие 3. Множество {Q(B, cp)} классов изоморфных
групп Q(B, cp) находится во взаимно однозначном соответствии
с множеством {Q(B, С)} классов Q(B, С) изоморфных банаховых
алгебр Ли.
Доказательство. Существование отображения {Q(B, у)} -*¦
-^>{Q(B, С)} установлено в следствии 2 леммы 12.10. Обратное
отображение получено в обратной третьей теореме Ли, а его од-
однозначность гарантирована следствием 2. В
Сформулированный в следствии 3 факт составляет один из
фундаментальных результатов теории Ли о соответствии групп и
алгебр Ли.
13. Пример. Весь путь построения группы (В, со) по ее струк-
структурному оператору С, изложенный в теореме 12.12, можно про-
проследить на примере группы 12.2. С ее структурным оператором,
приведенным в 12.9, уравнение A1.1) таково:
)a — l(a}w, ы>@) = 0.
Решение этой задачи строится без особых трудностей
w=W(t, a, h) = (l(a)T1(l — exv(—l(ta)))h +
+ (I <й>Г2 (I <ta> — 1 -+- ехр (—Z (ta))) I (h) a.
По формуле A2.1) находится отображение V
V (a) (h) = (I (а))'1 A - ехр (-1 (a))) h +
+ (I <а>Г (I (а>-1+ ехр (-1 (a») I <h> a.
Для построения уравнения Ли надо еще найти обратное к V (а)
отображение А (а), т. е. для данного вектора к^В решить относи-
относительно вектора h?B уравнение V (a) (fi) = к. Это решение дается
формулой
= A - ехр (-1 (a»yi [I (a) k-(l <a»~1 (I <а> - 1 +
+ ехр (-/<«»)/<*> а].
Поскольку с найденными А и V уравнение Ли D.3) вполне инте-
интегрируемо, то решение задачи D.3) можно построить «интегриро-
«интегрированием по лучам». Это означает, что достаточно найти отображение
ty:Ii-*B, действующее по формуле ty(t) = w(tb). В силу ка-
каноничности искомого умножения ш (замечание 12.12) для ф полу-
получается более простая задача

170	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
решение которой дает ш (а, &) = ф A). В данном примере эта вадача
имеет вид
+ ехр (-1
Несмотря на кажущуюся сложность этого уравнения, оно реша-
решается явно. Сначала находится I <(<}>>=? <(«+?&)>, после чего оста-
остается проинтегрировать линейное уравнение. В результате полу-
получается формула
ф (*) = I<а + й> (ехр (I (а + Й»- I) [{I(Ь))'1 (ехр (Z(а + fЬ») 6 +
-1 (ехр (^ <fl» _ 1) а - (/ <$»->¦ (ехр
Это дает закон умножения ш (а, Ь) = ф A), который после неболь-
небольших преобразований оказывается таким:
Как и следовало ожидать, эта формула совпадает с полученной
л примере 12.6.
14. Аналитичность канонического умножения. Пусть 1иГ —
банаховы пространства. Отображение /: X—*- Y называется анали-
аналитическим в окрестности точки х0 ? X, если оно может быть пред-
представлено в виде ряда
/(х) = /(*„)+2 »,(*-*.>).	A4Л)
где ип ^ SS", (X; Y) — полилинейные симметричные га-линейные ото-
отображения X"-* Y и
причем для некоторого р ^> 0 ряд A4.1) сходится по норме, если
1Ж—жо1 ¦< Р' Коэффициенты ряда A4.1), т. е. га-линейные отобра-
отображения ип вычисляются по формулам
d"f() (« = 1, 2, ...),
в силу которых A4.1) является рядом Тейлора отображения J
в точке х0.
Анализ приведенного в 12.12 алгоритма построения закона ум-
умножения по структурному оператору дает следующий результат.
'еорема. Закон умножения в канонической группе является
аналитическим в окрестности нуля пространства В X В.
Доказательство. В силу следствия 2 теоремы 12.7
достаточно доказать этот факт для группы (В, ш), порожденной
структурным оператором С. Правая часть линейного уравнения

§ 12. ЛОКАЛЬНАЯ ГРУППА ЛИ	171
A1.1), как функция вектора а, аналитична на всем простран-
пространстве В. Поэтому решение W (t, a, h) задачи A1.1) является ана-
аналитическим для всех t(<R и a, h?B. Значит, и определяемое
этим решением отображение V аналитично на всем простран-
пространстве В. В силу равенств A (a) = (V (я))", V @)=1в, отображение
А также аналитично, но лишь в некоторой окрестности нуля О С
С В. Следовательно, правая часть уравнения Ли D.3) аналитична
на О X О. В силу теоремы анализа об аналитичности решений ана-
аналитических дифференциальных уравнений, с некоторым р > О
закон умножения также будет аналитическим отображением ш :
О? X О? -у В. Ш
Этой теоремой фиксируется еще один фундаментальный резуль-
результат теории Ли — аналитичность локальных групп Ли.
Заранее ясно, что ряды вида A4.1), представляющие анали-
аналитические отображения V, А и ш в окрестности нуля пространства
В должны быть стандартными в том смысле, что их коэффи-
коэффициенты однозначно определяются структурным оператором С и
должны как-то выражаться через С. Целью дальнейшего изложе-
изложения является получение явных формул для этих коэффициентов.
Здесь удобны следующие упрощенные обозначения. Вводится
коммутатор [а, 6]=С <(а, Ь~)> и для п > 2 «длинные» коммутаторы,
определяемые рекуррентно
[аъ . . ., an_v an] = [[av . . ., а^], ап] (п = 3, 4, . . .).
«Длинные» коммутаторы, в которых а2=...=а„, обозначаются
сокращенным символом, а именно
а = [а, Ь% [а, Ъ, . . ., Ь] = [а, Ът] (щ=1, 2, ...).
Решение уравнения A1.1) ищется в виде ряда по степеням t:
со
подстановка которого в уравнение приводит к рекуррентным фор-
формулам
w^h, wn = [wn_v a] (n = 2, 3, ...).
Сравнение с определением «длинного» коммутатора показывает,
что для любого ге=1, 2,. . . справедлива формула wn=[h, a"'1].
По формуле A2.1) для отображения V получается представление
п=1

172	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛЯ
Оценка сходимости ряда A4.2) вытекает из 9.4°, откуда следует
\[h, в"] | <8—х|о [-11А|.
Эта оценка показывает, что ряд A4.2) сходится по норме на всем В.
Построение отображения А равносильно решению уравнения
V (а) (Ку=к относительно h. Удобнее искать A (ta)=(V (to)),
решая уравнение V (ta) (Ку=к. Это решение ищется в виде ряда
A(ta)(h)=fi^f-1[h, a"'1],
я=1
коэффициенты которого Ря (числа) вычисляются методом неопре-
неопределенных коэффициентов из тождества A (ta)oV (ta) (fiy=h,
а именно
го	Г со	Т
я=1 Lm=i	J
Если заметить, что [[h, ar], as] = [h, ar+s], то сравнение коэффи-
коэффициентов при одинаковых степенях t приведет к рекуррентной фор-
формуле
2	(» = 2, з, ...)•
Легко проверить, что с числами |3Я выполнено тождество по z
в силу которого ря равны коэффициентам степенного ряда по сте-
степеням z, изображающего аналитическую функцию z2/(e"—1). Ра-
Радиус сходимости этого степенного ряда равен 2п и справедлива
оценка
IP,|<4B^- (л = 1, 2, ...)¦	A4.3)
Итак, отображение А реализовано в виде ряда
который в силу A4.3) сходится по норме в окрестности нуля
О,СБ, где р=2гс/8.
Решение ш уравнения Ли D.3) строится методом «интегриро-
«интегрирования по лучам», в котором разыскивается функция ф: JB -> ?,
действующая по формуле ty (t)=w (tb). Ввиду каноничности по-
получаемой группы, т. е. равенства V (a) <V>=a (очевидного из
A4.2)), справедлива формула
ЭД = да> (tb) (by =A(w)oV (tb) (ЪУ = A (<J>) (by,

§ 12. ЛОКАЛЬНАЯ ГРУППА ЛИ
в силу которой уравнение Ли принимает вид
173
о,	A4.5)
где линейное отображение А (ф) задано рядом A4.4). И здесь
в принципе можно строить решение в виде степенного ряда по
степеням t. Однако при этом результат будет трудно обозримым,
ввиду чего удобнее применить другой прием, излагаемый в сле-
следующем пункте.
15. Ряд Шура — Кэмпбелла—Хаусдорфа. Эффективный метод
решения задачи A4.5) состоит в разложении решения по возраста-
возрастающим степеням однородности выражений, однородных относи-
относительно векторов а и Ъ. С этой целью задача A4.5) преобразуется
заменой а ->¦ ха, Ъ ->¦ хЪ с вещественным параметром х. Это при-
приводит к задаче для отображения (t, х) -> <j» (t, х)
— ха.	A5.1)
A5.2)
Решение задачи A5.1) ищется в виде ряда по степеням х:
!Я=1
Здесь коэффициенты <!>„,(?) пропорциональны производным по х
в точке х = 0, а именно m\tym(t) = d™ty(t, 0). Функции фш удо-
удовлетворяют «уравнениям в вариациях», получаемым те-кратным
дифференцированием уравнений A5.1) по i в точке х = 0
= 0 (m=i, 2, ...),
где правые части рш имеют выражения
и вычисляются т-кратным дифференцированием вытекающего из
A4.4) ряда
А (ф) <6> = 2о ря+1 [6
В силу полилинейности «длинного» коммутатора коэффициент р
в разложении
отличен от нуля, только если п^.т9 и дается формулой

174	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
где | а| = ах -{-••• -}" а« и сумма берется по сеем представлениям
с перестановками числа т в виде суммы п слагаемых а{ ^> 0. Окон-
Окончательно Для правых частей в уравнениях A5.3) получаются фор-
формулы
2
я=1|ог|=ш
fj (/»=!. 2, ...). A5.4)
Уравнения A5.3), A5.4) позволяют вычислить последовательно
все коэффициенты ряда A5.2) и, следовательно, найти закон ум-
умножения (о (я, Ь) = ф A, 1), для которого получается представление
в виде ряда
(о, ъ) =
т=1
[а, 6]] +[[а, 6], 6]) + ..., A5.5)
где все отображения дт: (а, Ъ) -> дт (а, Ъ) — §т A) однородны сте-
степени т и явно выражаются через структурный оператор С ¦(а, Ьу=
= [а, Ь]. Ряд A5.5) и есть знаменитый ряд Шура—Кэмпбелла—
Хаусдорфа или, сокращенно, 5С#-ряд. Обоснование этого по-
построения сводится к исследованию сходимости ряда A5.5).
Теорема. Если структурный оператор С удовлетворяет
неравенству \ С<(а, Ь)\ <^8\а\ \Ъ\, то ряд A5.5) равномерно схо-
сходится по норме в окрестности нуля U с В X В, где
Доказательство. Применяется метод мажорант. В силу A5.4)
оценка решения задачи A5.3) при t^O имеет вид
0 я=1 |а|=т
В качестве мажорантной рассматривается следующая задача для
отображения S: R-+1Z, в которой р, q, a — вещественные числа,
причем р > 0, g > 0:
^ = 3590/@ — 5), ЦО) = хр.	A5.8)
Если решать задачу A5.8) тем же методом, которым решалась
задача A5.1), т. е. искать ее решение в виде ряда
00
Щ, х)= 2 ?.(*)«",	A5.9)
m=l

§ 12. ЛОКАЛЬНАЯ ГРУППА ЛИ	175
то аналогом системы A5.3) будет система
d?m+i = Pm, *Wi @) = 0 (т = 1, 2, ...),
где рт вычисляется по формуле
Р-.= ^ГЭГ(93/(°-5)I-о
и дается выражением, аналогичным A5.4),
я=1 | а | =я>
Поэтому коэффициенты ряда A5.9) могут быть найдены по рекур-
рекуррентным формулам
2 2	<2т. A5.10)
я=1 l«|=m
Сравнение неравенств A5.7) с равенствами A5.10) показывает,
что если )(J),.B)|<Л-@ для i= 1, .. ., та, то также |фт+1(*)К
<^?m+1(?) при условии, что для любого п выполнено неравенство
I ^ 11 Ря+i I ^" <* Ча~п- Учитывая оценку A4.3), этого можно добиться,
приняв о = 2те/8 и q~^;±\b\. Кроме того, неравенство |"}»i@^^@
обеспечено, если /э = |а| и q~^\b\. Итак, со значениями
р = \а\, ? = 4|Ь|	A5.11)
неравенства | <]>„,(*) I ^ ?„,(*) верны при f^0 для всех т = 1, 2, ...
Поэтому из сходимости ряда A5.9), взятого при t = x=l, в об-
области С/о С -К2 (р, ?) следует равномерная сходимость по норме
ряда A5.5) в окрестности нуля ?/ = {(а, 6)|(|а|, 4|6|)??/0}с
С В X В. Область UQ легко найти, решив задачу A5.8) явно.
Вычисление дает
1A, x) = e-sl32-
откуда следует, что Можно взять U0={(p, q) \ 2(р-\- q)<C а,
^0} В	A511)	A56) ¦
у	0{(p q) \ (
} В силу A5.11) это и дает оценку A5.6).
16. Конечномерный случай. В классической теории локальных
групп Ли банахово пространство В конечномерно. Обычно прини-
принимается, что В = Rr и группа (В, ср) обозначается символом С или,
если это необходимо, Gr(f). В этом случае все соотношения запи-
записываются в координатной форме. Координаты вектора а ? Rr обо-
обозначаются а*, так что а = (а}, ..., аг). Закон умножения векторов
а, Ъ ? JSr задается с помощью г функций сра: JRr x -В' -*¦ -R
(a.bY = <f{a1, . .., а\ Ъ1	br) (а = 1, .. ., г).

176	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
Преобразование пространства Кг можно трактовать как ло-
локально обратимый переход к другой, вообще говоря, «криво-
«криволинейной» системе координат в Rr или, проще, как преобразова-
преобразование координат. При этом сама группа С рассматривается как
объект, от выбора системы координат не зависящий, и изучению
подлежат те ее свойства, которые также не зависят от систем ко-
координат.
Вспомогательные отображения А (а) и V (а) представляются
их матричными элементами А^ и Fjjj, которые удовлетворяют со-
соотношениям
А\{а) = дь^{а, 0), Vl{a)A\{a) = bl (а, р= 1, . . ., г).
Канонический изоморфизм группы Gr трактуется как переход
в этой группе к каноническим координатам первого рода. При этом
задание канонической группы Gr есть ее задание в канонических
координатах первого рода. Критерий каноничности группы Gr
рассматривается как критерий того, что система координат явля-
является канонической первого рода и выглядит так:
а'А1(а) = а', a?V;(a) = a" («=1	г).
Координатная форма действия структурного оператора С имеет
вид
(С(h, k)T = C;yW (а = 1, .... г),
где CL— вещественные числа, называемые структурными
константами группы Gr. Свойство 9.1° структурного оператора
означает, что набор структурных констант {C'L} образует тензор
третьего ранга, дважды ко вариантного (индексы |3, у) и один раз
контравариантного (индекс а). Свойство 9.2° равносильно антисим-
антисимметричности структурных констант по нижним индексам
а свойство 9.3° — соотношению Якоби для структурных констант
Наконец, свойство 9.4° в конечномерном случае выполнено всегда
и каким-либо ограничением не является. Непосредственное опре-
определение структурных констант получается из формул (8.4) и (9.1),
которые в координатной форме соответственно таковы:
с;у=9/; @) - dpv; (о)=д^ (О) - дул; (О).
Критерий изоморфизма групп G'r и Gr со структур-
структурными константами С'" и CL. формулируется так:
Если структурные константы этих групп соответственно
равны, т. е. C'? = Ct , то zpynnaG'r изоморфна группе Gr; обратно,

§ 13. АЛГЕБРЫ ЛИ	177
если группа Glr изоморфна группе С, то найдется такая система
координат в R", что структурные константы CZ группы G'r
в этой системе координат будут соответственно равны струк-
структурным константам группы Gr в исходной системе координат,
т. е. qT = qr
§ 13. Алгебры Ли
1. Определения и примеры. Векторное пространство L над
полем вещественных чисел называется алгеброй Ли, если на
нем определена бинарная операция коммутации (и, v) -> [и, у],
сопоставляющая векторам и, v?L их коммутатор [и, v] и удов-
удовлетворяющая аксиомам:
1° билинейности: для любых и, v, w^L и a, b^JR
\au~\-bv, w] = a[u, w]~\-b[v, w], [и, av -f- bw] = a [u, v]-\-b[u, w];
2° антисимметричности: для любых и, v(*L
[и, v] = — \v, и];
3° справедливости тождества Якоби: для любых и, v, w^L
[[и, v], w]-}-[[v, w], и] -\-[[w, и], v] = 0.
Если пространство L бесконечномерно, но является банаховым
пространством с нормой |и| вектора u(*L, то алгебра Ли L на-
называется банаховой алгеброй Ли, если выполнена еще аксиома
4° непрерывности: существует число 8 > 0, с которым для
любых и, v(*L
\[и, v] |<; 8 | и 11 v |.
Примерами алгебр Ли могут служить:
(a)	множество векторных полей S (X) на банаховом прост-
пространстве X, коммутатор в котором определен в 7.1;
(b)	множество операторов, допускаемых данной системой диф-
дифференциальных уравнений Е, рассмотренное в 7.13;
(c)	банахова алгебра Ли (В, С), задаваемая структурным опе-
оператором С группы (В, ср), рассмотренная в 12.10;
(d)	множество векторов а трехмерного евклидова простран-
пространства R3 с операцией коммутации — векторным умножением [а, Ь] =
=а X Ъ;
(e)	множество S?{X) линейных отображений А: Х-+Х некото-
некоторого банахова пространства X в себя с операцией коммутации
[А, В] — АоВ — ВоА.
Размерностью алгебры Ли L называется размерность ее век-
векторного пространства L; если оно имеет конечную размерность г,
то алгебра Ли L называется конечномерной и обозначается симво-
символом U; если же оно бесконечномерно, то и алгебра Ли L называ-
называется бесконечномерной (иногда обозначается L°°).

178	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
2. Структурные константы. Конечномерная алгебра Ли U
обычно задается указанием векторного базиса {их} в простран-
пространстве U. В этом случае, в силу аксиомы 1° операция коммутации
в I/ полностью определяется таблицей коммутаторов — квадрат-
квадратной матрицей г X г, в которой на пересечении Р-й строки и f-ro
столбца помещен коммутатор [и?, и ]. Такие таблицы уже состав-
составлялись в 7.8 для алгебр Ли операторов. При этом формула раз-
разложения коммутатора базисных векторов по базису имеет вид
[Ир. ^] = (^а, (р, т = 1, ...,г).	B.1)
Входящие в формулу B.1) числа С? называются структур-
структурными константами алгебры Ли U в базисе {«J. В силу
аксиом 1°—3° они обладают соответствующими, легко проверяемыми
свойствами, а именно, они:
1° образуют тензор третьего ранга (Cjjj) над пространством Z/;
2° антисимметричны по нижним индексам Срт = —С^Р»
3° удовлетворяют тождеству Якоби С%аС°г -(- С^С^ -{- С^С"^ = 0.
Эти свойства можно положить в основу конструирования алгебр
Ли U. Для этого надо в U выбрать базис {иа}, задать систему
чисел (Срт) со свойствами 2° и 3°, определить операцию коммута-
коммутации на базисных векторах формулой B.1) и билинейно продолжить
ее на все пространство U. Тогда коммутатор векторов и = а^и? и
v = Wu будет даваться формулой
[и, v] = C°/b\.	B.2)
3. Гомоморфизмы. Пусть [, ] есть символ коммутатора в ал-
алгебре Ли L и [, ]' — символ коммутатора в алгебре Ли L'.
Линейное отображение Г: L-^-V называется гомоморфиз-
гомоморфизмом алгебры Ли L в алгебру Ли V, если для любых u,v?L
справедливо равенство
, Г<у>]'.	C.1)
Множество векторов u?L, переходящих при гомоморфизме Г: L-+L'
в нулевой вектор (нуль) пространства L', называется ядром гомо-
гомоморфизма Г.
Гомоморфизм Г: L-+L' называется изоморфизмом, если отобра-
отображение Г: L -* Г (L) С V обратимо. Следует различать изоморфизм в,
когда Г (Zj) есть собственное подпространство в L1 и изоморфизм на,
когда Г (?) = ?'.
Алгебры Ли L и V называются изоморфными, если суще-
существует изоморфизм L на V.
Изоморфизм алгебры Ли L на L (на «себя») называется авто-
автоморфизмом алгебры Ли L.

§ 13. АЛГЕБРЫ ЛИ	179
Для автоморфизма А алгебры Ли L определяющее равенство C.1)
принимает вид
Аф, у]> = [Л<в>, А<рУ\.	C.2)
Если Ах и А2 — автоморфизмы алгебры Ли L, то их компози-
композиция АгоА2 также является ее автоморфизмом, так как
(AlOA%)([u, v]) = A1([A.i(u), A2<v)]> = [(AlOA2)(u}, (AlOA2)(v)].
Поэтому множество всех автоморфизмов данной алгебры Ли L
является группой, а именно, подгруппой группы линейных го-
гомеоморфизмов пространства L. Группа всех автоморфизмов ал-
алгебры Ли L носит название голоморф алгебры Ли L и будет обо-
обозначаться символом Aut L.
В конечномерном случае изоморфные алгебры Ли имеют оди-
одинаковую размерность. Критерий изоморфизма конечномерных
алгебр Ли формулируется в терминах их структурных констант.
Лемма. Если структурные константы алгебры Ли U
равны соответствующим структурным константам алгебры Ли
Llr, то эти алгебры Ли изоморфны. Обратно, если алгебры Ли
U и L'r изоморфны, то в них найдутся такие базисы, в которых
их структурные константы будут соответственно равны.
Доказательство. Пусть С?т — структурные константы ал-
алгебры Ли U в базисе {uj и С'? — структурные константы ал-
алгебры Ли V в базисе {u'J. Если С^ = С? и для u?Z/ положить
и = а*иа, то линейное отображение Г: Lr-*-Llr, действующее по
формуле
Г (и) = а«Г (их) = а\ = и' G L",
есть изоморфизм U на L'r. Действительно, если еще v = baua,
то в силу формулы B.2)
Г<[в, о]) = а^С^Г(иа) = а^С^ = [и', v']'= [Г(и>, I»]'.
Обратно, пусть Г есть изоморфизм U на V и {их} — базис в U.
Тогда {u'J, где и'л = Г (ua), есть базис в L'r и в силу B.2) и C.1)
откуда С'?=С^Г Ш
4. Подалгебры. Векторное подпространство N С L называется
подалгеброй алгебры Ли L, если для любых и, v ? N также
[u,v]?N.
В случае бесконечномерной банаховой алгебры Ли выделяются
замкнутые подалгебры N с L, для которых N является замкнутым
подпространством банахова пространства L.

180	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
Подалгебра J с L называется идеалом алгебры Ли L, если
для любых u(*L, v?J также [и, у]?/.
В любой алгебре Ли L выделяются две подалгебры (они явля-
являются также идеалами в L): нулевая подалгебра, состоящая из од-
одного нулевого элемента пространства L, и сама алгебра Ли L.
Все остальные подалгебры и идеалы алгебры Ли L называются ее
собственными подалгебрами и идеалами.
При гомоморфизме алгебр Ли Г: L->L' ядро гомоморфизма /
является идеалом в L. Действительно, так как Г<(г;)> = 0 для у E /,
то в силу C.1) для любого u^L также
v]} = [F(u), 0] = 0,
а это означает, что [и, v] ? 7.
Элемент z ? L называется центральным, если [г, и] = 0 для
любого u^L. Совокупность Z всех центральных элементов назы-
называется центром алгебры Ли L. Центр есть подалгебра в L, так
как для любых zlt z2^Z, очевидно, az1-\-bz2?Z и [zv za] = 0.
Ясно, что центр Z является идеалом в L.
Пусть N и М — подпространства алгебры Ли L. Подпростран-
Подпространство в L, порожденное всевозможными коммутаторами [и, v], где
и ? N, v^M называется лиевым произведением пространств
N и М и обозначается символом [N, М].
Лиево произведение любых двух идеалов алгебры Ли L яв-
является идеалом в L. Этот факт следует из того, что если N, М —
идеалы в L, то для любых элементов и ? N, v(*M, w?L в то-
тождестве Якоби 1.3° будет [v, w]?M и [w, u]?N, в силу чего
также [[и, v], w]?[N, M].
В частности, идеал LIV =[L, L] называется коммутантом
(или производной алгеброй) алгебры Ли L. Коммутант коммутанта
Z,la) = [LA), La)] называется вторым коммутантом алгебры Ли L.
Индуктивно определяется к -\- 1-й коммутант как коммутант
k-го коммутанта: Lik+1) =[Lik\ Llk)]. Так возникает ряд комму-
коммутантов алгебры Ли L
LDLA)DZ,B)D...DLWD...	D.1)
Для конечномерной алгебры Ли L ее ряд коммутантов заканчи-
заканчивается либо нулевым идеалом ?(я) = {0}, либо таким //"\ для
которого LCB-X) 4= Lln) = L(B+1).
Аналогично определяются лиевы степени алгебры Ли L,
а именно, LW = [L, L], LC3!=|ZC2\ L], ..., L[fc+1I = [Lt/c), L], . ..,
которые являются идеалами в L. При этом, конечно, L12' =La>.
Так возникает нижний центральный ряд алгебры Ли L
...Dt1D...	D.2)

§ 13. АЛГЕБРЫ ЛИ	181
Для конечномерной алгебры Ли L ее нижний центральный ряд
заканчивается либо нулевым идеалом LtM) = {0}, либо таким L[n\
для которого L[n~1} =? Lln] = Lln+1].
При гомоморфизме алгебр Ли подалгебры переходят в подал-
подалгебры и идеалы — в идеалы. При изоморфизмах, кроме того,
центр переходит в центр и коммутант — в коммутант.
5. Факторалгебра. Пусть L — алгебра Ли и / — ее идеал.
Для векторов пространства L вводится отношение — эквивалент-
эквивалентности относительно идеала /, а именно и ~ v, если и—v(*J.
Очевидно, что это отношение есть теоретико-множественный при-
признак эквивалентности, по которому L разбивается на непересе-
непересекающиеся классы U, V, . . . эквивалентных элементов.
Легко проверяется, что множество [U} этих классов образует
алгебру Ли, если в нем ввести векторные операции и операцию
коммутации по следующему правилу: если и ^ U, v ? V, то
aU-{-bV (а, Ь ? R) есть класс, содержащий элемент au-{-bv и [U', V]
есть класс, содержащий элемент [и, v]. Корректность этого опре-
определения коммутатора [U, 7]следуетизтого,чтоеслии'—м,у'~у, то
[и,1, v1] = [и1 — и, v1 — v]-\~[и1 — и, v]-\-[и, v1 — v]-f-[и, v] ~ [и, у]*
так как первые три слагаемых принадлежат идеалу /.
Алгебра Ли классов, эквивалентных относительно идеала J с L
элементов алгебры Ли L, называется факторалгеброй (или
алгеброй вычетов) алгебры Ли L по ее идеалу J и обозна-
обозначается символом LjJ.
Существует естественный гомоморфизм Г алгебры Ли L на
фактор-алгебру LjJ, действующий по формуле Г (и) = U, если u?U.
Идеал 7 является ядром этого гомоморфизма.
Лемма 1. Если Г есть гомоморфизм алгебры Ли L на ал-
алгебру Ли V и J—его ядро, то факторалгебра L/J изоморфна L1.
Доказательство. Отображение Г': L/J-+L1, определенное
на классе U с помощью элемента u^U формулой
г'<г/>=г<в>,
не зависит от выбора представителя u?U, линейно отображает!///
на U и взаимно однозначно. Последнее следует из того, что ра-
равенство Г' (и) = Г' (У) равносильно равенству V (и~) = Т (рУ,
откуда Г (а — и) = 0, т. е. и ~ и и U = V. Ш
Суммой Jt-\-J2 идеалов Jx и J2 алгебры Ли L называется вектор-
векторное подпространство в L, равное векторной сумме подпространств
Jx и /2. Очевидно, что Jx-\-J2 — идеал в L. В дальнейшем исполь-
используется следующая лемма об изоморфизме.
Лемма 2. Если Jxu J2 — идеалы алгебры Ли L, то фактор-
факторалгебра (J\-\-J^)Ui изоморфна факторалгебре JJ(Jx П Jt)-
Доказательство. Если фиксирован элемент и ? /х,
то для любого v ? /2 элементы u-\-v являются представителями

182	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
одного и того же класса U с А+А элементов, эквивалентных
в А+А относительно идеала А- Поэтому класс U однозна-
однозначно определен элементом и. Тем самым определен гомомор-
гомоморфизм Г: (А+АУА -> А/(А П А)> действующий по формуле
Г <(Uy=U', где V с /г есть класс элементов, эквивалентных в А
относительно идеала А П А» содержащий и. Если Г <^Uiy=T (U2y,
то иг—и2 ? А П А С А и в силу предыдущего*^ = ?72. Поэтому
Г — изоморфизм. ¦
6. Структурные признаки подалгебр. Подалгебры, идеалы,
центральные идеалы и факторалгебра конечномерной алгебры Ли
I/ могут быть охарактеризованы в терминах структурных кон-
констант.
Пусть размерность подпространства N равна s, и пусть базис
{иа} в U выбран так, что первые s базисных векторов их, . . ., и,
образуют базис в N. Тогда базис {иа} является объединением
R} = {M U К"}'
где {аЯ'} — базис в TV и {««"} — его дополнение до базиса в L.
Предполагается, что индекс с одним штрихом типа а' принимает
значения 1, . .., s, а индекс с диумя штрихами типа а" — значе-
значения s-\- 1,. .., г. Пусть С? — структурные константы алгебры Ли L
в базисе {иа}.
Лемма. Подпространство N размерности s является под-
подалгеброй N С Ьг, если и только если
Cf,v = 0 (P', T' = l,..., s- a" = s+l, .... г),	F.1)
идеалом I С U, если и только если
С*т = 0 (Т = 1, ....г; р' = 1	s; a" = * + l	г), F.2)
центральным идеалом J aZ CLLr, если и только если
С^ = 0 (а, т = 1, ...,г; Р' = 1,...,*).	F.3)
Кроме того, если N=1—идеал в U, то факторалгебра LrjJ
есть алгебра Ли U~* и в базисе {Ua."}, где класс Ua« содержит jv,
имеет структурные константы С?'„.
Доказательство. Произвольный вектор и' ?N представляется
в виде и'=:а?'щ>. Если v = bru —любой вектор из U, то, согласно
формуле B.2),
[о', р] = С'/%,
Отсюда и из определений 13.4 следуют утверждения, выражаемые
равенствами F.1), F.2) и F.3). Наконец, если N = 1 есть идеал
в U, то размерность факторалгебры U\l равна г — s. Пусть U^i

§ 13. АЛГЕБРЫ ЛИ	183
есть класс эквивалентности, содержащий иа». Тогда {U^} есть базис
в Lr/J, причем [U$», UX"] есть класс, содержащий элемент
который принадлежит классу Cil^Uor- Поэтому [Us», 17-,»] =
7. Некоторые классы алгебр Ли. Нижеследующая класси-
классификация алгебр Ли является основой их теории и приложений.
Алгебра Ли L называется абелевой (или коммутативной),
если [и, v] = 0 для любых и, v?L.
В абелевой алгебре Ли L любое подпространство векторного
пространства L является идеалом. Факторалгебра L /' L{1) любой
алгебры Ли L по ее коммутанту — абелева: если и, v — предста-
представители классов U, V, то [U, V] есть класс, содержащий
[u, v]?La\ и потому [U, F]=0.
Алгебра Ли L называется простой, если в L нет собствен-
собственных идеалов и если ее коммутант La)^={0}.
Очевидно, что алгебры Ли L1 и I? размерностей один и два не
просты. Простые конечномерные алгебры Ли существуют, на-
начиная с размерности три. Например, трехмерная алгебра Ли 13.1
(d) проста.
Алгебра Ли L называется разрешимой, если ее ряд комму-
коммутантов D.1) заканчивается нулевым идеалом.
Очевидно, что любая абелева алгебра Ли разрешима. Это верно
также для алгебр Ли размерностей один и два.
Лемма 1. Любая подалгебра и любой гомоморфный образ
разрешимой алгебры Ли L разрешимы. Если L содержит такой
разрешимый идеал J, что факторалгебра L / J разрешима, то и L
разрешима.
Доказательство. Разрешимость подалгебры следует
из того, что каждый ее коммутант содержится в соответствующем
коммутанте алгебры. Далее, при гомоморфизме всегда лиево
произведение (см. 13.4) переходит в лиево произведение, т. е.
T<([iV, M]y=[T<Ny, Г<М>]', откуда и следут разрешимость го-
гомоморфного образа. Наконец, пусть Г есть естественный гомо-
гомоморфизм L на L / J, определенный в 13.5. Тогда
Г (Lw) = (Г <?»"" = (L/iyn) = {0}
для некоторого п. Поэтому L(n) С /, и если /(т) = {0}, то, так как
Lln+m) с 11т\ также ?(n+m) = {0}. ¦
Алгебра Ли L называется полупростой, если L не содержит
разрешимых идеалов, отличных от нулевого.
Всякая простая алгебра Ли L полупроста, так как в противном
случае для разрешимого идеала / с L было бы J=L и идеал
/A) должен был бы быть нулевым, откуда LA) = {0} в противоре-
противоречие с определением простой алгебры Ли.

184	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
Алгебра Ли L полупроста, если в ней нет ненулевых абелевых
идеалов. Действительно, если / — разрешимый идеал в L, J=?=
^{0}, то для некоторого п J> 1 будет /(я) = {0} и /(я-1)^={0}, при-
причем Z'"1 является абелевым идеалом в L.
Алгебра Ли L называется нилъпотентной, если ее нижний
центральный ряд D.2) заканчивается нулевым идеалом.
Всякая одномерная (и вообще любая абелева) алгебра Ли ниль-
потентна. Легко проверяется, что для двумерной неабелевой ал-
алгебры Ли это уже не так. Поэтому разрешимая алгебра Ли не обя-
обязательно нильпотентна.
Лемма. 2. Всякая нилъпотентная алгебра Ли разрешима.
Доказательство. С помощью тождества Якоб'и 1.3° легко
доказывается индукцией по I, что коммутатор двух «длинных»
коммутаторов (определение дано в 12.14) [[av ..., ak], [bv . . ., Ъг]]
есть линейная комбинация «длинных» коммутаторов длины k-\-l.
Поэтому [L[kl, Lin]dLlk+n для любых к, I. Следовательно, Llk} С
Ci121 для любого к = 1, 2, ... Поэтому если L нильпотентна,
т. е. Lt2"] = {0) для некоторого п, то ?(я) = {0}. ¦
i*T* Алгебра Ли L называется прямой суммой подалгебр N и М,
что записывается равенством L=N@M, если пространство L
есть прямая сумма подпространств N и М, т. е. если N |~| М—
= {0} и любой вектор и^Ь представим в виде u=v-\-w, где
N M
Подалгебры N и М — компоненты прямой суммы L=N@M —
являются идеалами в L, если и только если [N, М] = {0}.
Если / — идеал в прямой сумме L=J@N, то подалгебра N изо-
изоморфна факторалгебре L / J.
8. Радикал. В различного рода классификационных вопросах,
связанных с алгебрами Ли, большую роль играет один специаль-
специальный идеал, существующий в любой алгебре Ли.
Теорема. Среди разрешимых идеалов данной конечномер-
конечномерной алгебры Ли L существует максимальный разрешимый идеал R,
который содержит любой разрешимый идеал J CZ L. При этом
факторалгебра L / R полупроста.
Доказательство. Сумма любых двух разрешимых
идеалов разрешима. Действительно, если Jx и /2 — разрешимые
идеалы в L, то факторалгебра JJiJ-i Г) J%) разрешима как гомо-
гомоморфный образ разрешимой алгебры Jx (лемма 13.7.1), откуда
следует разрешимость изоморфной ей факторалгебры (J1-\-J2)/J2
(лемма 13.5.2), а значит, и разрешимость идеала J1-\-Jz (снова
лемма 13.7.1). Поэтому, если R есть разрешимый идеал конечно-
конечномерной алгебры Ли, имеющий максимальную размерность в L,
и / — какой-нибудь разрешимый идеал, то R-{-J=R. Следова-
Следовательно, / с R- Далее, любой разрешимый идеал факторалгебры
LIR имеет вид N/R, где N — идеал в L. Идеал N разрешим в силу

§ 14. ПРИСОЕДИНЁННАЯ АЛГЕБРА	485
Леммы 13.7.1, откуда следует, что N a R и N / R={0). Поэтому
факторалгебра LIR полупроста.¦
Максимальный разрешимый идеал RCLL называется ради-
радикалом алгебры Ли L.
9. Теорема Леви. Нижеследующая теорема Леви является
важной структурной характеристикой алгебр Ли: она показывает,
что любая алгебра Ли может быть получена путем расширения не-
некоторой полупростой алгебры Ли посредством разрешимой ал-
алгебры Ли.
Теорема. Если R есть радикал конечномерной алгебры
Ли L, то существует полупростая подалгебра N с L, с которой
L=N®R.
Доказательство можно найти в книге Джекобсона «Алгебры
Ли».
Полупростая подалгебра N, входящая в прямую сумму L=
=N@JR, называется фактором Леви алгебры Ли L. В противо-
противовес радикалу R фактор Леви, вообще говоря, определен не одно-
однозначно.
§ 14. Присоединенная алгебра
1. Алгебра дифференцирований. Дифференцированием
алгебры Ми L называется линейное отображение d: L-^-L, удов-
удовлетворяющее условию
d([u, V]) = [d(u>, У] + [В, d <!/>].	A.1)
Легко проверяется, что если dx и d2 — дифференцирования
алгебры Ли, то для любых о, й? R линейное отображение
ad1-\-bd2 — также ее дифференцирование. Поэтому совокупность
всех дифференцирований данной алгебры Ли L образует вектор-
векторное пространство, а именно, подпространство b]J3? (L), которое
будет обозначаться dL.
Кроме того, если d^, d2?dL, то
dx°d2([u, v]) =
= [dlOd2(u), v] -f- [d2(u), dx<v>] -\- [d^u), d2(v)] + [u, dlOd2(v)].
Перестановка d^ с dz и вычитание полученного равенства из пре-
предыдущего приводит к соотношению
(dlOd2 — d2odx)(\u, v]) =
= [{d1od2 — d2od1)(u), и] + [в, (dlod2~d2od1)(vy\.
Поэтому с коммутатором [dj, d2] = ^i0^2~^2°^i пространство dL
является алгеброй Ли, а именно, подалгеброй в алгебре Ли всех
линейных отображений L -> L, рассмотренной в примере 13.1 (е).
Алгебра Ли dL называется алгеброй Ли дифференцирований
алгебры Ли L.

186	гл. iv. теория ли
Каждому элементу х ? L соответствует линейное отображе-
отображение L -> L, обозначаемое ad (x) и действующее по формуле
ad(e)<o> = [u, x].	A.2)
Отображение ad (я) называется присоединенным отображе-
отображением, заданным элементом x?L.
Сравнение тождества Якоби 13.1.3°, переписанного в виде
[[и, у], х] = [[и, х], v]-\-[u, [v, х]]
с определениями A.1) и A.2), показывает, что ad (x) является диф-
дифференцированием алгебры Ли L.
Дифференцирование ad (я), определенное формулой A.2), назы-
называется внутренним дифференцированием алгебры Ли L.
Лемма. Совокупность <?$ всех внутренних дифференцирований
алгебры Ли L является идеалом в алгебре Ли dL.
Доказательство. Для любых х, y?L и a, b?R справед-
справедливо равенство
(a ad (x) -f- Ъ ad (у)) (и} = [и, ах -f- by] = ad (ax -f- by) (и), A.3)
в силу которого &) есть векторное пространство в dL. Далее, если
х ? L и d ? dL, то для любого и ? L
(doad(z) — zd(x)od)<(u) = d<[u, x]) — [d(u), x\ =
= [и, d(x)] — ad(d(x))(u).
Поэтому d о ad (х) — ad (х) о d = ad (d <(x)) (Щ&.Ш
Алгебра Ли б/) всех внутренних дифференцирований назы-
называется присоединенной алгеброй алгебры Ли L.
2. Естественный гомоморфизм. Определение присоединенного
отображения A.2) показывает, что существует отображение
ad: L -*¦ @) алгебры Ли L на ее присоединенную алгебру §),
действующее по формуле х -*¦ ad (x). Следующая лемма фиксирует
алгебраические свойства этого отображения.
Лемма. Отображение — ad: L -> <$ есть гомоморфизм
алгебры Ли L на ее присоединенную алгебру §$. Ядром этого гомо-
гомоморфизма является центр Z с L.
Доказательство. Линейность отображения ad сле-
следует из равенства A.3). Далее, в силу определения A.2) и тожде-
тождества Якоби 13.1.3° справедливо равенство
= [«, [х, у]] = [[а, х], у] —[[и, у], х] =
= (ad (у) о ad (x) — ad (x) о ad (у)) <ц>,
откуда в силу определения коммутатора в @) следует, что
-ad ([ж, y]) = [-ad(z), -a

§ 14. ПРИСОЕДИНЕННАЯ АЛГЕБРА	187
т. е. выполнено условие гомоморфизма 13 C.1). Наконец, равен-
равенство ad (х)<(и)=0, равносильное равенству [и, х]=0, выполнено
для всех u?L, если и только если x^ZM
Гомоморфизм — ad: L -> б/) называется естественным го-
гомоморфизмом алгебры Ли L на ее присоединенную алгебру Ли 0$.
Следствие. Присоединенная алгебра Ли <?3 изоморфна
факторалгебре L / Z алгебры, Ли L по ее центру Z. Это следует из
предыдущей леммы и 13.5.1.
3. Представление алгеброй Ли операторов. Пусть L — конеч-
конечномерная алгебра Ли и ее векторное пространство рассматрива-
рассматривается как банахово пространство. Отображение ad: L -> SE (L)
задает на пространстве L семейство § векторных полей е: L -> L
по следующему правилу: каждое векторное поле е ? § определя-
определяется заданием вектора и ? L, обозначается символом еи и действует
по формуле
eu(x) = ad(u)(x}=[x, и].	C.1)
В силу равенства ean+bll=aeu-\-bet, вытекающего из C.1) и спра-
справедливого для любых и, i> ? L и a, b?R, семейство § является век-
векторным пространством, а именно, подпространством пространства
S (L) векторных полей на пространстве L.
Из определения C.1) следует, что каждое векторное поле
еи является линейным отображением L -> L. Поэтому еи?Ст (L)
для любого и ? L. В § 7 уже был определен коммутатор векторных
полей. Так как, очевидно, деи {х)(К}= [h, и], то вычисление по
формуле 7 A.1) дает
[еи(х), е,(х)] = [еи(х), v] — [e,(x), и] —
= [[х, и], v] — [[х, v], и] = [х, [и, v]] = е(к> е] (х),
где предпоследнее равенство следует из тождества Якоби. Окон-
Окончательно получается важное соотношение
К. ef] = er,ifl.	C.2)
В силу определения 7.4 равенство C.2) показывает, что про-
пространство S является алгеброй Ли векторных полей. Кроме того,
из C.2) следует, что отображение Г: L -> &, действующее по фор-
формуле Г <(и,у=еи, есть гомоморфизм алгебры Ли L на алгебру Ли
§ векторных полей C.1).
Согласно сказанному в § 7 вместо векторных полей еи можно
говорить о соответствующих операторах еи-д, где д есть символ
дифференцирования отображений L -> Р. Поэтому алгебру Ли
§ можно рассматривать как алгебру Ли операторов
ец(х)-д = [х, в], а,	C.3)

188	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
Замечание. Алгебра Ли & изоморфна присоединенной
алгебре <3). Изоморфизм §) -> §, задан равенством C.1). Действи-
Действительно, это равенство можно рассматривать просто как определе-
определение нового обозначения ен для ad (и).
4. Внутренние автоморфизмы. Согласно теореме Ли 2.3 по
каждому векторному полю е„ ? § на банаховом пространстве L
можно построить группу G1 (еи) преобразований этого про-
пространства. Производящее отображение этой группы должно
быть решением уравнения dix'=eu (х') с начальным условием
х' @)=х. В силу определения C.1) это приводит к задаче
dtx' = [x', и], х'@) = х.	D.1)
Так как уравнение D.1) линейно относительно искомого х',
то решение задачи D.1) должно быть результатом действия на ве-
вектор х ? L некоторого линейного обратимого отображения L -> L.
Это отображение будет обозначаться символом Аи (t), так что ре-
решение задачи D.1) есть х'=Аи (t) <V>.
Это решение выражается явной формулой, для вывода которой
надо заметить, что в силу C.1) уравнения задачи D.1) могут быть
записаны непосредственно для преобразований Аи (t)
dtAu = ad(u)oAu, Au(p) = IL.
Здесь коэффициент ad (u) есть постоянное отображение (не зависит
от t) и решение находится явно
4,(') = exp(*ad(B)).	D.2)
Отсюда следует явное выражение решения задачи D.1) в виде фор-
формулы для производящего отображения группы G1 (еи) при условии,
что ea=ad (и)^0 .
х'=Аы (t) <х} = exp (t ad (и)) <ж>.	D.3)
Формула D.2) показывает, что полученные преобразования
Аи (t) пространства L определены и обратимы без каких-либо ог-
ограничений на значения группового параметра t и определяющего
вектора u?L.
Теорема. Преобразования D.2) пространства L являются
автоморфизмами алгебры Ли L.
Доказательство. Пусть под действием преобразова-
преобразования D.2) векторы х, y?L переходят в векторы х', y'?L согласно
D.3). Тогда уравнения D.1) выполнены как для х', так и для у'.
Поэтому в силу тождества Якоби получаются уравнения
д,[х>, »'] = [[*', в], у'] + [х', [у', и]] = [[х>, у'], о],
= [х, у].

§ 14. ПРИСОЕДИНЕННАЯ АЛГЕБРА	189
Они показывают, что коммутатор 1х', у'], как функция R-+L
есть решение той же задачи D.1) и, тем самым, дается формулой
D.3), т. е. [х', у']=Аи (t) <([х, у]у. Это равенство, будучи перепи-
переписано в виде
4, (*)<[*. ?]> = [4 (*)<*>. 4,
совпадает с равенством 13 C.2), определяющим автоморфизмы
алгебры Ли LM
Автоморфизмы Au(t), получаемые вышеописанным построением,
называются внутренними автоморфизмами алгебры Ли L.
Группа преобразований пространства L, порожденная преоб-
преобразованиями Аи (t), принадлежащими всевозможным группам
G1 (еи), называется группой внутренних автоморфизмов алгебры
Ли L. Эта группа будет обозначаться Int L.
Для конструктивного построения группы автоморфизмов
следует заметить, что алгебра Ли § операторов еи-д изоморфна
факторалгебре LIZ алгебры Ли L по ее центру Z. Этот факт оче-
очевиден в силу леммы 14.2 и замечания 14.3. Кроме того, как будет
установлено в § 16, для построения группы преобразований до-
достаточно найти только группы G1, порожденные базисными векто-
векторами соответствующей алгебры Ли.
Пусть {uj — базис в L, выбранный так же, как в 13.6 для
N = Z, и пусть однопараметрическая группа G1(euт), порожденная
оператором еи ¦ д, обозначается просто G* Так как еи^,(х) =
= [х, щг] ¦=.0 ввиду того, что иу ? Z для -у' = 1> • • •> s, то группы G1,
состоят из одного тождественного преобразования. Следовательно,
нетривиальными будут только группы GL для i'" = s-f-1, ..., г.
Если в этом базисе положить х—х"иа и ввести структурные
константы С2 алгебры Ли L, то в силу свойства 13F.3) будет
[х, иу,]Л = С?„т„а;Р". Поэтому для группы GL уравнение D.1) в ба-
базисе {иа} примет вид линейной системы скалярных уравнений
с постоянными коэффициентами
д^ = Оггх'*°, *'«(()) = *• (а = 1,...,г).	D.4)
Порожденные решением системы D.4) автоморфизмы
представляются в том же базисе матрицей (Al(t)) и действуют по
формуле, равносильной D.3)
х" = АЩ)х' (а=1	г).	D.5)
Общий внутренний автоморфизм А ? Int L получается по сле-
следующему правилу: для каждого i" = s-\-i (t = l,..., г — s) пара-
параметр группы G\+i обозначается через t* и образуется композиция
из г — s сомножителей
A(t\ t\ ..., *r-) = 4+i(*1)°4+3(*2)c> •.. oAr{1T'). D.6)

190	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
Доказательство того, что D.6) есть общий элемент группы Int L,
будет дано в § 16.
5. Форма Киллинга. Симметричная билинейная форма Ф на
пространстве L, т. е. билинейное отображение Ф: LXL -*¦ R,
называется инвариантной (относительно группы Int L), если для
любого внутреннего автоморфизма А ? Int L и любых х, y^L
Ф(х, у).	E.1)
Если в E.1) положить А =Аи (J) и продифференцировать по
t в точке t=0, то в силу свойства билинейности Ф и уравнений
D.1) получится равенство, дающее инфинитезимальный критерий
инвариантности формы Ф
в], У> + ®<*, [У, »]> = 0.	E.2)
Замечательным свойством инвариантных форм является то,
что с помощью них можно задавать идеалы алгебры Ли. Именно,
множество / таких элементов y^L, для которых Ф <jc, уУ=О
с любым элементом x?L, есть идеал в L. Это следует из того, что
/ есть подпространство в L ввиду билинейности Ф и, кроме того,
для любых у ? /, z ? L в силу E.2) справедливо равенство
Ф(х, [у, z)y=— Ф<[ж, z], уУ=О, т. е. [у, z]?J.
В структурной теории алгебр Ли большую роль играет спе-
специальная билинейная форма К, определение которой связано с по-
понятием следа линейного отображения. Следом линейного отобра-
отображения A: L —> L называется след матрицы этого отображения
в каком-либо базисе {ua}dL. Если эта матрица есть (^), то
след, обозначаемый символом tr, дается формулой tr^4=.4". Так
как число tr А не зависит от базиса в L, то эта формула определяет
линейное отображение tr: ? (L) ->¦ R. Существенным свойством
отображения tr является его симметричность относительно компо-
композиции: для любых А, В?&! (L) справедливо равенство
1т(АоВ)~1т{ВоА).
Симметричная билинейная форма К, действующая по формуле
К<х, yy = tr(aid(x)oad(y)),	E.3)
называется формой Киллинга. Эта форма инвариантна, что
устанавливается на основании легко проверяемого тождества
ad ([я, w])oad(!/)-}-ad(:r)oad([j/, и]) — А о ad (и) — ad (и) о А,
где A — ad (ж) о ad (у), и свойства симметричности отображения tr.
С помощью формы Киллинга может быть охарактеризован
радикал R алгебры Ли L.
Теорема. Радикал R конечномерной алгебры Ли L есть
множество элементов x?L, для которых К<(х, j?>=0 с любым
элементом ?Lll\

§ 14. ПРИСОЕДИНЕННАЯ АЛГЕБРА	191
Доказательство можно найти в книге Джекобсона «Алгебры Ли».
Пусть Срт — структурные константы r-мерной алгебры Ли L
в базисе {иа}. Если в этом базисе х = х*иа, то вычисленная по
формулам A.2) и 13 B.2) матрица линейного отображения
ad (ж): L-^L такова:
(ad(x)) = (Cy;f).	E.4)
Если в том же базисе у = улив, то значение формы Киллинга
в базисе {иа} на векторах х, у^Ь, вычисленное согласно E.3),
имеет вид
rf Кл = СкСЬ (а, р = 1, .... г). E.5)
6. Структурные свойства. В этом пункте собраны факты,
характеризующие структурные свойства разрешимости и полу-
полупростоты алгебр Ли, которые полезны в классификационных во-
вопросах группового анализа семейства решений дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Доказательства приведенных ниже теорем можно
найти в книге Джекобсона «Алгебры Ли».
Следующая теорема Ли справедлива, если алгебра Ли L рас-
рассматривается над полем комплексных чисел.
Теорема Ли. Для всякой r-мерной разрешимой алгебры
Ли L (над полем комплексных чисел) существует такая цепочка
идеалов
в которой размерность идеала Ls равна s (s=l, 2, . . ., г).
С помощью формы Киллинга К формулируются следующие два
критерия Картана. Форма К называется вырожденной, если
det (-йГа3)=О. В противном случае форма называется невырож-
невырожденной.
Критерий разрешимости. Алгебра Ли L разре-
разрешима, если и только если К <(х, х)=0 для любого х?Ьш.
Критерий полупростоты. Алгебра Ли L полу-
полупроста, если и только если форма Киллинга невырождена.
Классификация полупростых алгебр Ли основана на следую-
следующей теореме.
Структурная теорема.] Конечномерная алгебра Ли L
полупроста тогда и только тогда, когда существует разложение
где L{ — идеалы, являющиеся простыми алгебрами Ли.
С помощью этой теоремы устанавливается, что каждый идеал
полупростой алгебры Ли полупрост и что для полупростой алгебры
Ли L всегда La)=L.
7. Оптимальные системы подалгебр. Для группового анализа
дифференциальных уравнений существенна задача о перечисле-
перечислении всех подалгебр данной конечномерной алгебры Ли L. При этом

192	fji. iv. теория ли
можно считать известной группу Int L внутренних автоморфизмов:
обычно она строится без особых затруднений по алгоритму, изло-
изложенному в 14.4. Так как под действием автоморфизма каждая
подалгебра переходит снова в некоторую подалгебру той же раз-
размерности, то поставленную задачу достаточно решить с точностью
до преобразований, определяемых внутренними автоморфизмами.
Подалгебры N и М алгебры Ли L называются подобными, если
существует внутренний автоморфизм А ? Int L, с которым
A (N)=M.
По отношению подобия, которое, очевидно, есть теоретико-
множественный признак эквивалентности, все подалгебры данной
алгебры Ли разбиваются на классы подобных подалгебр.
Совокупность представителей классов подобных подалгебр
данной размерности s (no одному из каждого класса) будет назы-
называться оптимальной системой (порядка s) и обозначаться
символом Qs.
Таким образом, итогом решения поставленной задачи для дан-
данной конечномерной алгебры Ли U должны быть таблицы опти-
оптимальных систем 0S для каждого s=l, 2, . . ., г—1.
Отыскание подалгебр данной размерности s > 1 сводится к не-
некоторой алгебраической задаче. Пусть {uj — базис алгебры
Ли U и CJL — ее структурные константы в этом базисе. Очевидно,
что векторы х(=х* иа B=1, . . ., s < г) образуют базис подалгебры
N размерности s, если и только если ранг матрицы (х*) (обозна-
(обозначаемый символом rank) равен s и выполнены соотношения [х{, Xj]~
=N*j-xk или
rank (х-) = s, C^x\xt. = N*(J3?k (i, / = 1, . .., *; a = 1,. . ., r), G.1)
где Nfj — структурные константы подалгебры N. Следовательно,
задача сводится к решению системы алгебраических уравнений G.1)
с неизвестными ж?, Nij.
Эта трудная алгебраическая задача до настоящего времени не
получила окончательного решения в смысле формирования опре-
определенного алгоритма, по которому оптимальные системы в„ вы-
выстраивались бы однозначно. Сравнительно просто построение
оптимальных систем осуществляется лишь для малых размерно-
размерностей s ^ 3, да и здесь она пока выполняется «полуку-
«полукустарным» методом, в котором на определенных этапах де-
делается выбор из нескольких возможностей, связанный с до-
довольно расплывчатыми соображениями «простоты» получаемого
результата.
Поэтому теория построения оптимальных систем подалгебр
нуждается в дальнейшем развитии. К данной задаче имеет отно-
отношение один общий результат, дающий важное дополнение к тео-

§ 14. ПРИСОЕДИНЕННАЯ АЛГЕБРА	193
реме Леви 13.9. Для простоты здесь он формулируется в ослаб-
ослабленной форме.
Теорема Мальцев а—X ариш-Чандра. Если
L=R 0 N, где R — радикал, а N — фактор Леви конечно-
конечномерной алгебры Ли L, то для любой полупростой подалгебры
N± с- L найдется такой автоморфизм А ? Int L, что A (NJ с N.
Доказательство можно найти в книге Джекобсона «Алгебры Ли».
8. Малые размерности. При построении оптимальных систем
подалгебр данной алгебры Ли L особую роль играет ее центр Z.
Дело в том, что каждый вектор z?Z инвариантен относительно
любого автоморфизма A ?lnt?. Действительно, так как [z, u]=0
для любого u^L, то единственным решением задачи D.1) для эле-
элемента z'—Au (t) <(z>, имеющей вид dtz'=[z', и], z' @)=z, является
решение z'=z. Поэтому центральные элементы порождают под-
подалгебры (идеалы), которые нельзя изменить никакими внутрен-
внутренними автоморфизмами. Они могут входить в виде прямого слагае-
слагаемого в любую подалгебру алгебры Ли L. Это означает, что если
оптимальные системы подалгебр известны для факторалгебры
L / Z, то их можно считать известными и для всей алгебры Ли L.
Следовательно, методы построения оптимальных систем достаточно
описать только для алгебр Ли с нулевым центром.
Пусть в алгебре Ли U с нулевым центром фиксирован базис
{ил}. Общий внутренний автоморфизм этой алгебры Ли зависит
от г параметров и дается формулой D.6), где надо положить
s=0.
Построение системы В1 начинается с того, что берется некоторый
ненулевой вектор х=х*и^ и рассматривается его образ х'=А (ху,
получаемый действием общего автоморфизма А =А (t1,. . ., f).
Если (А^) есть матрица автоморфизма А в базисе {uj, то коор-
координаты вектора х' в этом базисе даются формулами вида D.5)
x" = ASx' (a = l, ..., г).
Дальнейшее заключается в том, чтобы подбором значений пара-
параметров t1,. . ., f, от которых зависит автоморфизм А, добиться
максимально возможного упрощения набора (х'\. . ., х'г) коор-
координат вектора х' с целью выбора «простейшего» представителя того
класса подобных подалгебр, к которому принадлежит элемент х.
Обычно под этим понимается достижение максимально возмож-
возможного числа нулевых значений этих координат. Возникающие при
этом альтернативные случаи дают классы подобных однопараметри-
ческих подалгебр и, тем самым, оптимальную систему в1#
При построении оптимальной системы 02 можно заранее пред-
предполагать, что один из базисных векторов двумерной подалгебры
N cLr взят из системы Qv Пусть этот вектор есть х=х*иа. К нему

194	гл. iv. теория ли
подбирается такой вектор y=y"uti, чтобы он удовлетворял си-
системе уравнений G.1), которая здесь принимает вид
Cg^V = >У +W* (а = 1, . . ., г)	(8.1)
и содержит г-\-2 неизвестных у", X и f*. Множество решений си-
системы (8.1) дает все двумерные подалгебры, содержащие век,тор х.
Так как векторы х и у можно умножить на любые ненулевые мно-
множители, то вместо двухпараметрического множества систем (8.1)
с параметрами л и и- достаточно рассмотреть только такие системы,
в которых (л, [л) = @, 0), A, 0), @, 1) и A, 1). Очевидно, что случай
(^i ц) = A, 1) сводится к случаю (Л,<л) ==A, 0) заменой у -»¦ у-\-х.
В случае {I, р)={0, 1) решений может не быть вообще. Если же
ijl=0, то (8.1) имеет вид системы, возникающей в задаче на собст-
собственные значения для линейного отображения ad (x) с матрицей
(Clx^) и может быть записана в виде ad (ж) (jjy=\y. Следова-
Следовательно, ее решение сводится к отысканию корней характеристи-
характеристического многочлена det {Hi—ad {x)), который в развернутой форме
имеет вид
det(/./x — sid(x)) =
= /.'-х1(а;)/^ + х2(а:)>^- ... + (-1)' V/ И >•'. (8-2)
где тч(х)^0и1^ 0. Так как ad (x) <V> = 0 и х =^= 0, то всегда
Z> 0.
Каждому вещественному ненулевому корню многочлена (8.2)
соответствует одно или несколько линейно независимых решений
уравнения (8.1) (при ;л = 0). В случае I ^> 1 также имеется одно или
несколько решений, соответствующих корню А=0. Если же 1 = 1
и ненулевых вещественных корней нет, то элемент х не принадле-
принадлежит никакой двумерной подалгебре этого типа (с ц=0 в (8.1)).
В итоге получается, что могут существовать такие векторы
x?L, которые не принадлежат никаким двумерным подалгеб-
подалгебрам алгебры Ли L.
Многочлен (8.2), рассматриваемый для переменного x?Z/, на-
называется полиномом Шиллинга (или характеристическим
многочленом) алгебры Ли 17'. Минимальное значение числа I в вы-
выражении полинома Киллинга (8.2), получаемое когда вектор х про-
пробегает все пространство U, называется рангом алгебры Ли L'.
Элемент х^17, для которого значение I в (8.2) равно рангу, на-
называется регулярным элементом алгебры Ли 17'.
После построения всех двумерных подалгебр для каждого
х(^ вь они подлежат обработке автоморфизмами с целью их упро-
упрощения и отсева подобных аналогично тому, как это делалось для
одномерных подалгебр. В итоге получается оптимальная система 62.
Систему 03 можно строить методом расширения двумерных под-
подалгебр. Для этого берется какая-нибудь двумерная подалгебра

§ 14. ПРИСОЕДИНЕННАЯ АЛГЕБРА	195
из системы в2 с базисом {хх, х2} и ищется такой вектор у=уаиа,
с которым тройка (xlt ж2, у) образовывала бы базис трехмерной под-
подалгебры. Для этого необходимо и достаточно, чтобы вектор у
удовлетворял уравнениям, вытекающим из системы G.1):
— 1$* -j- [j.l
1 Г	(а=1, ..., г)	(8.3)
' У2Х2 I
с r+6 неизвестными у*, X,., jj^, vf. Каждое решение системы (8. 3),
линейно независимое с {х1, х,,}, дает трехмерную подалгебру ал-
алгебры Ли U.
Возникает вопрос, все ли трехмерные подалгебры получаются
этим построением? Очевидно, что этот вопрос равносилен такому:
всякая ли трехмерная подалгебра содержит двумерную подал-
подалгебру? В более широкой постановке он сводится к выяснению того,
существуют ли трехмерные вещественные алгебры Ли, не содержа-
содержащие двумерных подалгебр.
Ответ положительный и примером служит алгебра Ли с бази-
базисом {щ, м2, и3} и структурой
[uv u2]=us, [u2, us] — uv [u3, Uj] = u2.	(8.4)
Эта алгебра Ли соответствует группе вращений трехмерного про-
пространства R3 в смысле 12.10 и потому будет кратко называться
алгеброй Ли вращений. Оказывается, что этот пример является
единственно возможным.
Лемма. Любая трехмерная вещественная алгебра Ли,
не содержащая двумерных подалгебр, изоморфна алгебре Ли вра-
вращений (8.4).
Доказательство. Пусть L3 не имеет двумерных под-
подалгебр и x?L3. Тогда необходимо ранг L3 равен единице и ее
характеристическое уравнение сводится к квадратному
/2 — -г (х)'/. -f т2 (х) = 0, .
не имеющему вещественных корней. Пусть X=Xj + ?Х2 — его
комплексные корни (Х2 =^0). Тогда решение у уравнения ad (x)(jfy =
= (X1-|-fX2)y также будет комплексным, например г/=г/х —[- i^2,
где ух, y2(~Ls, и это уравнение после разделения действительной
и мнимой частей даст соотношения
Отсюда легко получается равенство
*А(ХК\У1> УгО = 2Xi til» Уа].
в силу которого требование отсутствия двумерных подалгебр
необходимо влечет равенство Хх=0 и существование такого \х =^= 0,
с которым
[2/i. 2/2] = ^-

196
ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
Следовательно, векторы уъ уг, х линейно независимы и образуют
базис в L3 с таблицей коммутаторов
[Уъ У2] = №> [У 2, Xl=hyi> iX' #l] = X2&2-	(8-5)
В результате преобразования у\—аух, y'2 = ay2i х' — Ьх с веще-
вещественными а, Ь постоянные [х. и Х2 примут значения
Теперь видно, что выбором подходящих значений а и Ъ можно до-
добиться того, чтобы было Xg=l и fi' = + l. Однако если Х2=1 и
fi = —1, то из (8.5) следует равенство
1_?/2'	Т t?lJ	| У1'
показывающее, что пара (у2, х+уг) порождает двумерную подал-
подалгебру. Поэтому остается единственная возможность X2=f*=l,
а тогда (8.5) совпадает с (8.4) с точностью до обозначений. ¦
9. Пример. Рассматривается алгебра Ли операторов Z/4, полу-
полученная в примере 5.9. Для упрощения выкладок базис 5 (9.9)
заменяется следующим базисом:
Вычисление коммутаторов базисных векторов по формуле 7 A.2)
приводит к таблице коммутаторов
«1
и.,
щ
«4
0
-За,
—и.,
0
Зих
0
—3«3
0
и%
3«3
0
0
0
0
0
0
(9.1)
Общий вектор х?Ь* представляется в виде х=х"иа. В дальней-
дальнейшем подалгебра N с базисом {хи. . ., хк} обозначается символом
N {хх,. . ., хк).
Таблица (9.1) дает следующие сведения о структуре алгебры
Ли L*. Сразу видны ее центр Z=N (щ) и справедливость разложе-
разложения L*=Z ф N (ии щ, и3). Как выяснится ниже, подалгебра
N (щ, щ, щ) полупроста, откуда в силу теоремы Мальцева—Ха-
риш-Чандра 14.7 следует, что N (u4)=i? есть радикал, а Ь3=
=N (ult u2, u3) — фактор Леви.
Присоединенное отображение (внутреннее дифференцирова-
дифференцирование) ad (v) для общего вектора v=v1u1-\-v2u2-\-tfus?L3 вычисля-
вычисляется автоматически по формуле A.2) и оказывается таким:
V — i^a^o, -f Cv3x2 — 3vPxs)u^. (9.2)

§ 14. ПРИСОЕДИНЕННАЯ АЛГЕБРА	197
Отсюда следует представление отображения ad (v) в матрич-
матричной форме
/Зг;2 — Зи1 0
0 —у1 1.	(9,3)
Форма Киллинга E.2) находится перемножением двух матриц
вида (9.3)
и, очевидно, не вырождена. Поэтому полупростота алгебры Ли L3
следует из критерия Картана 14.6.
Общий автоморфизм группы IntL3 удобно находить методом,
изложенным в 14.4 путем построения однопараметрических групп
автоморфизмов А,, (t) для каждого базисного вектора ма(а = 1, 2, 3).
Например, чтобы найти соответствующую вектору их группу
Аг (t), надо решить уравнение D.1) с и=их. В силу (9.2), где надо
положить 1^=1, у2=и3=0, это дает уравнение
dtxnux -f dtx'h4 -f dtx'\ =
равнос1^льное системе
которую надо решить с начальными условиями х'^—х1 (а = 1, 2, 3).
Это решение строится элементарно и дает матрицу автоморфизма
|==| 0 1
О 1
Аналогичные вычисления для векторов и2 и м3 дают автоморфизмы
D* 0 0 \
0 10, 4,(*) =
,0 0 е~37
Далее надо действовать по правилу D.6). Здесь удобно положить
t~2a для Av t=-z-In6 для А2 и ? = 2с для Л3 и составить про-
произведение Л = Ах Bа)оА3 Bс)оА2Г-q- In & J. В результате получается
общий автоморфизм А (й IntZ/3, зависящий от трех параметров а, &, с
(p2b —Qpa
2рЪс 1 — 12ас —2аЬ-х|,	(9.4)
6&с2 6с

198	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
где р = 1 — бас, &>0 и тождественный автоморфизм получается
при а = с = 0, 6 = 1.
Теперь можно найти координаты вектора х' = A <V> в базисе {иа};
х'1 = р2Ьхх — брах2 + 6aa6-V,	|
ж'2 == г^&сж1 + A — 12яс) а;2 — гоб*8, [	(9.5)
ж 's = e&cV -f бея2 -f b'V.	J
Разбиение пространства L3 на классы подобных векторов здесь
удобно выполнить на основании свойства инвариантности формы
Киллинга, в силу которого функция
A/6) К <х, xy = 3(x2f—2x1xs
является инвариантом группы Int ZA Этот факт легко проверяется
и прямым вычислением на основании формул (9.5). Поэтому все
векторы и=х"иа (одномерные подалгебры) подразделяются на три
непересекающиеся класса
(а) К<х, ж>>0, (C) К<х, ?><(), (т) К(х, х} = 0.
Представителем класса (а) является вектор щ. Легко проверя-
проверяется, что преобразованием (9.5) любой вектор и—х°и!!, принадле-
принадлежащий классу (а), можно перевести в и%. Аналогично любой вектор
класса (|3) подобен вектору их-^щ. В классе (у) не может быть
хг=х3=0. Поэтому за счет выбора в (9.5) подходящих значений
параметров а или с всегда можно добиться того, чтобы было
х'2=0. Но тогда в классе (?) будет x1xs=0 и либо xl=0, ^=^0,
либо х1 =?= 0, х3 = 0. Это дает векторы щ и и3. Но вектор щ по-
подобен вектору и1: так как автоморфизм (9.5), примененный к щ,
дает вектор с координатами
который при р=0 отличается лишь несущественным множителем
от вектора щ. Поэтому в качестве единственного представителя
класса (у) можно взять вектор цх. Окончательно оптимальная
система 91 алгебры Ли L3 такова:
/VK), N(u,), ЛГ^ + в,).	(9.6)
Построение системы в2. Один из базисных векторов любой дву-
двумерной подалгебры можно считать совпадающим с каким-либо
вектором (9.6). Пусть эта подалгебра есть N (ах, и). Тогда второй
вектор достаточно взять в виде и=х2и2-\-х3щ. Так как [иъ х2и2-\-
-\-х3и3]=Зх2и1+х3щ, то уравнение (8.1) будет таким:
За;2м1 -j- xsu2 = лх2и2 -\- \xsu3 -\- \mv
откуда 3,ж2= fi, хя=--1х2, 0=Хж3 и единственное (с точностью до мно-
множителя) решение есть и=щ. Это дает подалгебру N (i^, u2).

§ 13. СООТВЕТСТВИЕ ГРУПП И АЛГЕБР ЛИ
199
Далее, пусть искомая подалгебра есть N (и.2, и), где и —.
х^и3. Здесь уравнение (8.1) таково:
= "hxhi-L -j- >^и3 -{- ци2,
откуда fi=0, (А+3)ж1=0, (X—д>)х3=0. Если ж3 = 0, то снова полу-
получается подалгебра^ (uv u2), а если з? =^= 0, то Х=3 и х1=0. Это
дает подалгебру N (щ, и3).
Аналогичный анализ для подалгебр типа N (иг-{-и3, и) показы-
показывает, что таковых нет вообще. Следовательно, оптимальная си-
система 82 для алгебры Ли L3 состоит из двух подалгебр
N(uv и.2), N(u.2, u3).	(9.7)
Наконец, оптимальная система в3 содержит лишь одну подал-
подалгебру — саму алгебру Ли Ls = N(uv u.2, и3). Тем самым задача по-
построения оптима"ьных систем подалгебр решена для L3.
Добавление оператора типа дщ к любому из полученных и про-
проверка свойства быть подалгеброй окончательно приводит к следую-
следующей таблице оптимальных систем Ок для алгебры Ли L4-.
(9.8)
h
в,
1
ul + <?Ц4
«i + «з + Wi
2
«1, «4
В., «4
и, 4- и3, к4
Ub ul ~\~ <?U4
Uj -)- </u4^ U3
3
ИЬ U2, Ug
Mj, Ы;, Ii4
Bo, K3, 
4
В], Во, u3, ut
Здесь q — произвольный вещественный параметр. Различным зна-
значениям q соответствуют не подобные подалгебры.
§ 15. Соответствие групп и алгебр Ли
1. Алгебра Ли группы Ли. Согласно 12.12 существует взаимно
однозначное соответствие классов Q {В, ср) изоморфных банаховых
групп Ли и классов Q (В, С) изоморфных банаховых алгебр Ли.
В данном параграфе будет показано, что это соответствие продол-
продолжается на подчиненные объекты, а именно, подгруппы и подал-
подалгебры, нормальные делители и идеалы и т. п. При этом удобно
пользоваться следующим определением.
Банахова алгебра Ли L называется алгеброй Ли банахо-
банаховой группы (В, ср), если векторное пространство L совпадает
с В и если коммутатор [и, v] -в L задается с помощью струк-
структурного оператора С группы (В, <р) формулой
[и, v] = C<u, у).
A.1)

200	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
Для простоты ниже рассматриваются только группы и алгебры
Ли конечной размерности. В этом случае, в силу определения
12.16 структурных констант группы Gr и свойства 13 B.2) струк-
структурных констант алгебры Ли Lr, из данного определения вытекает
следующий вывод. Алгебра Ли U есть алгебра Ли группы Gr,
если и только если структуры U и Gr определены на одном и том же
г-мерном банаховом пространстве B=Rr и если в В существует
такой базис, в котором структурные константы алгебры Ли U
равны соответствующим структурным константам группы Gr.
Установленное данным определением соответствие алгебр и
групп Ли сохраняется при изоморфизмах. Действительно, изо-
изоморфизм группы Gr на группу G"", структура которой определена
на пространстве В' есть, согласно определению 12.3 и критерию
12.16, такое обратимое отображение у. В -> В', которое сохра-
сохраняет структурные константы группы Gr. Поэтому структурные
константы алгебры Ли L'r группы G'1 равны соответствующим струк-
структурным константам алгебры Ли U и в силу леммы 13.3 алгебра
Ли L" изоморфна 2/. Этот последний изоморфизм, согласно фор-
формулам 12 A0.2) и 13 C.1), есть Зу @).
В дальнейшем векторы e^Lr алгебры Ли U группы С рас-
рассматриваются как направляющие векторы однопараметрических
подгрупп группы G'" (см. 12.5). Это означает, что если {g (t)} есть
однопараметрическая подгруппа в С, то dtg @)=е. Детализация
соответствия групп и алгебр Ли связана с важным свойством
группового коммутатора q: B% -> В, действующего по формуле
q (a, b)-=a-b-a~1-b~1. Если взять однопараметрические подгруппы
{8i @ }> {§2 @ } С Gr, то для любого t^li, t ^j 0, можно рассмот-
рассмотреть групповой коммутатор
ёг (V*) • й (y/t) • ё? (V*)-
Лемма (о коммутаторе). Если 5^@) = ^ (i=l, 2), то
Доказательство. В силу теоремы 12.5 для любой
однопараметрической подгруппы [g (t)} с направляющим вектором
е справедливо представление
= te+± fid А @) (е, е> + FF (t),
где функция F: R -*¦ В ограничена в окрестности нуля. Выкладки,
аналогичные проделанным при доказательстве леммы 7.10, при-
приводят к выражению
, е2}—дА@)(е2, ej,
которое, согласно определению 12 (9.1), равно значению структур-
структурного оператора С(еи е2)>. Поэтому равенство A.2) следует из (!.!).¦

§ 15. СООТВЕТСТВИЕ ГРУПП И АЛГЕБР ЛИ	20'I
2. Подгруппы и подалгебры. Пусть дана банахова группа Ли
Gr=(B, cp), причем размерность пространства В равна г, и пусть
0 < s <^ г. Рассматриваются s-мерные многообразия Н с В, за-
заданные параметрически формулой Н=а (W) с помощью обрати-
обратимого отображения a: R' -> В класса Сот (R'), удовлетворяющего
условиям а @)=0 и rank (да @))=s. Пусть О — некоторая ок-
окрестность нуля пространства R' и О'=о (О) — ее образ в Н при
отображении о.
Пара {О1, <р) называется подгрупповым ядром группы (В, ср),
если 9 (о, Ъ)?Н для любых а, Ъ ? О'. В локальной теории подгруп-
повые ядра, получаемые при изменении окрестности О' и про-
пространства К' не различаются и образуют класс эквивалентности,
определяемый свойствами многообразия Н в сколь угодно малой
окрестности нуля пространства В.
Непустой класс неразличимых подгрупповых ядер (О', ф) назы-
называется s-параметрической подгруппой Ли группы Ли (В, <р).
Подгруппа Ли группы (В, ср), заданная как многообразие
На В, будет обозначаться символом (Н, <р) или Н', или про-
просто Н.
Пространство R' и отображение о играют в этой конструк-
конструкции служебную роль. В частности, М' всегда можно рассматривать
как подпространство В'а В и считать совпадающим с подпро-
подпространством В'=до @) G?*), касательным к многообразию Я в нуле,
а отображение о предполагать нормированным так, чтобы было
до @)=7л-.
На многообразии Н-=а (В') можно ввести векторную струк-
структуру, определив сложение 4Ф и умножение * на числа 1 ?R век-
векторов а ? Н формулами
= а (а (а) -f а (Ь)), X * а = а (Хз (а)),
где обычные сложение и умножение на числа выполняются на под-
подпространстве В' d В. Легко проверить, что с этой векторной струк-
структурой и нормой ||а||= 1а (о) | многообразие Н становится бана-
банаховым пространством.
Сравнение определения подгруппового ядра с определением
12.1 показывает, что пара (О', срн), где сря есть сужение умножения
<р на многообразие Н, есть групповое ядро на банаховом простран-
пространстве Н. Поэтому всякая подгруппа Ли группы (В, ср) сама является
группой Ли.
Так как в определении 12 E.1) однопараметрической подгруппы
группы Ли (В, <р) существен только закон умножения, а вектор-
векторная структура пространства В не участвует, то любая однопара-
метрическая подгруппа подгруппы Ли Н с (В, <р) является также
однопараметрической подгруппой группы (В, <р). Поэтому каж-
каждая однопараметрическая подгруппа \g(t)} группы (В, ср) локально
либо лежит в Н целиком, либо ее пересечение с Н есть {0}.

202	гл. iv. теория ли
Лемма. Если (В, ср) — каноническая группа, то любая
ее s-параметрическая подгруппа Ли Н3 является «плоским» много-
многообразием Н* С -В, т. е. в окрестности нуля О с В совпадает с s-мер-
ным подпространством пространства В. Кроме того, Hs — также
каноническая группа Ли.
Доказательство. Любая однопараметрическая подгруппа
{g(t)} C.H" есть прямая в В, а потому локально для любых а{^Н\
~k(*jR также laf^H8. Следовательно, если |?|<М, то для любых
а, Ь?О' также C^tya, tb)?H", и так как подмножество Н" зам-
замкнуто в Б, го и limr1cp(to, tb) ?¦ Н'. Вычисление дает
limrXta, tb) = df(O, 0)((а, Ъ)> = а-\-Ъ
и в силу предыдущего а-\-Ь(*Н*. Это показывает, что локально Н'
есть векторное пространство и потому совпадает с s-мерным под-
подпространством В' пространства .В. Так как векторные структуры
многообразия Н' и подпространства В' при этом также совпадают
(в качестве а можно взять вложение Hs -*¦ В), то все одно-
параметрические подгруппы группы (Hs, ср) — прямые в группе
Ли Н\ т. е. Н' — каноническая группа. И
Теорема. Пусть U есть алгебра. Ли канонической группы
Gr = (В, <р). Если Н" — подгруппа Ли группы С, то алгебра Ли U
группы Н" есть подалгебра алгебры Ли U.
Обратно, если дана подалгебра U С U, то существует под-
подгруппа Hg С Gr, для которой L* есть ее алгебра Ли.
Доказательство. Пусть Н" — подгруппа Ли группы С.
В силу леммы В'=На есть векторное подпространство в В. Если
ev eaE-B', то однопараметрические подгруппы {te^ и {te2} принад-
принадлежат В'. Так как Я* — группа, то также q (t) = (fej) • (te2) • (fc1)-1 •
¦ (te2) (^ В' для любого t. В силу леммы 15.1 отсюда следует,
что dtq(\/t)\t=o = [ev e2]?B'. Поэтому B'=L' есть алгебра Ли
группы Н' и операция коммутации в L* совпадает с операцией ком-
коммутации в B = Lr. Согласно определению 13.4 это означает, что U
есть подалгебра в V'.
Обратно, пусть дана подалгебра U с U. Согласно 12.15 умно-
умножение ср может быть представлено ^С/^-рядом 12 A5.5), который
выражает ср (а, Ь) через значения «длинных» коммутаторов, со-
составленных из элементов а, Ь. Поэтому, если a, b ? B'=L", то в силу
определения подалгебры 13.4 также ср (а, Ь)(*В'. Следовательно,
(В', ф) есть подгруппа Ли группы (В, ср). Кроме того, по построе-
построению, сужение С на -В' есть структурный оператор подгруппы
(В', ср), в силу чего L* есть ее алгебра Ли. ¦
3. Нормальные делители и идеалы. В 12.3 уже было опре-
определено понятие автоморфизма группы (В, ср) как такого преоб-
преобразования Р: В -+ В класса С^ (О) на некоторой окрестности

§ 15. СООТВЕТСТВИЕ ГРУПП И АЛГЕБР ЛИ
нуля О а В, которое для любых а, Ь?О удовлетворяет соотно-
соотношению
P(a-b) = P(a)-P(b).	C.1)
В группе Aut (В, ср) всех автоморфизмов группы Gr=(B, 9) выде-
выделяются специальные автоморфизмы, порождаемые элементами
самой группы Gr.
Преобразование Ра: В^> В группы С, действующее по
формуле
Ра(Ъ) = а-1-Ъ-а,	C.2)
называется внутренним автоморфизмом группы С.
Очевидно, что для Ра выполнено соотношение C.1), так что
любой внутренний автоморфизм является автоморфизмом группы
G''. В дальнейшем выяснится, что совокупность всех внутренних
автоморфизмов Ра группы <?'*, получаемая когда а пробегает всю
группу Gr, образует локальную группу Ли. Эта группа называ-
называется группой внутренних автоморфизмов группы Gr=(B, ср) и
будет обозначаться символом Int (В, ср) или Int Gr.
Если (В, ср) — каноническая группа, то в силу теоремы 12.7
любой ее автоморфизм есть линейное преобразование простран-
пространства В. В этом случае внутренние автоморфизмы могут быть выра-
выражены явно через вспомогательные отображения А (а) ш V (а)
группы (В, ср).
Лемма. Если (В, <р)— каноническая группа, то
a-1.b-a = V{a)oA(—a)<b>.	C.3)
Доказательство. Так как Ра есть линейное отображение,
то Ра(Ь)> = дРа@)(Ь)>. Для вычисления производной надо заметить,
что и канонической группе сГ1 = —а, в силу чего
{—a, Ь), a)\b_0 = d1f(-a, a)odff(-a, 0).
Но 92<р (—а, 0) = А (—а) и дифференцирование тождества <р (—а, а) =
= 0 дает дх<р(—a, a) = d.i<o(—a, a) = V(a) (см. 12.4). Поэтому
dPa@)=V(a)oA(-a). Щ
Подгруппа Н* с Gr называется нормальным делителем
группы Gr, если она инвариантна относительно любого внутрен-
внутреннего автоморфизма Ра ? Int Gr. Это означает, что для каждого а ? С
и любого Ъ^Н' также Ра (Ъ) ? Н*.
Теорема. Пусть Hs — подгруппа Ли канонической группы
Gr = (B, <р), V — алгебра Ли группы Gr и L" — алгебра Ли под-
подгруппы Ли Н\ Тогда На является нормальным делителем группы Gr,
если и только если L* есть идеал в U'.
Доказательство. Повторение первой части доказа-
доказательства теоремы 15.2 с векторами ег? В', ег? В показывает, что
если В'=Н' есть нормальный делитель группы Gr, то [ег, е2]^В'.

204	гл. iv. теория ли
Согласно определению 13.4 это означает, что B'=L' есть идеал
в U. Обратно, если L" есть идеал в U и a^If, b^L', то любой
«длинный» коммутатор, составленный из векторов а, Ь, принадле-
принадлежит подпространству L'=B'. В силу представления умножения ср
в виде &С#-ряда 12 A5.5) также <р (а, о)—а^В'. Поэтому линей-
линейное отображение А (а)=<9аср (а, 0) отображает В' в В'. Но тогда
это верно также для V (а), А (—а) и V (а) о А (—а). Согласно лемме
это означает, что подпространство В', которое по теореме 15.2 есть
подгруппа Н8 с Gr, является нормальным делителем группы Gr.Wt
4. Центры. Элемент b?Gr называется центральным эле-
элементом, если для любого a^Gr выполнено равенство а • b = b • а.
Переписанное в виде b=a~1-b-a это равенство показывает, что дан-
данное определение равносильно следующему: элемент b?Gr явля-
является центральным, если он остается неподвижным при любом
внутреннем автоморфизме Ра.
Совокупность всех центральных элементов группы Gr образует
ее подгруппу, называемую центром этой группы.
Центр является подгруппой Ли группы Gr. Действительно,
если Gr=(B, tp) — каноническая группа, то, так как любой ее
внутренний автоморфизм есть линейное отображение, вместе
с о он оставляет неподвижными все элементы вида tb, т. е. всю
однопараметрическую подгруппу, проходящую через централь-
центральный элемент Ь. Как и в доказательстве леммы 15.2 отсюда следует,
что если центру принадлежат а и Ь, то ему принадлежит и а-\-Ъ.
Поэтому центр локально, в некоторой окрестности нуля О а В,
совпадает с векторным подпространством В' с В. Следовательно,
центр канонической группы есть ее подгруппа Ли. Наконец,
легко проверяется, что при изоморфизмах групп центр переходит
в центр.
Так как центр, очевидно, инвариантен относительно любых
внутренних автоморфизмов, то в силу предыдущего он является
нормальным делителем. Следующая теорема устанавливает со-
соответствие между центрами группы Gr и ее алгебры Ли U.
Теорема. Если Н* = В' есть центр канонической группы
Gr = (S, <р)> то подпространство В' С В является центром ал-
алгебры Ли U группы G''.
Обратно, если Z есть центр алгебры Ли Z/, то Hs = Z есть
центр группы Gr.
Доказательство. Повторение первой части доказа-
доказательства теоремы 15.3 применительно к центру Н'=В' группы Gr
показывает, что [е1т еа]=0 для любых et^B', e2?B. Согласно
определению 13.4 это означает, что B'=L' есть центр алгебры Ли
L'. Обратно, если Z — центр в U и a?Lr, b(*Z, то все «длинные»
коммутаторы, составленные из векторов a, b равны нулю и ^Сй-ряд
12 A5.5) принимает вид <р (о, Ъ)=а-\-Ъ. Отсюда wb=b-a и b —цен-

§ 15. СООТВЕТСТВИЕ ГРУПП И АЛГЕБР ЛИ	205
тральный элемент группы Gr. Следовательно, элементы b?Z
и только они — центральные в группе Gr, т. е. H'=Zесть ее центр.И
5. Факторгруппы и факторалгебры. Пусть Н* — подгруппа
группы Gr. Для элементов a, b?Gr определяется отношение со
по следующему правилу: бела, если ЪсГ1^!!'. Очевидно, что от-
отношение со является теоретико-множественным признаком экви-
эквивалентности. Тем самым, по отношению со группа Gr разбивается
на непересекающиеся классы элементов, эквивалентных относи-
относительно подгруппы Н'. Здесь эти классы будут обозначаться а, Ь,. . .
Если Н' есть нормальный делитель группы Gr=(B, 9), то для
классов а, Ь,. . . корректно определена операция умножения
где а ? a, bfb. При этом значение ф (я, Ь) не зависит от выбора
элементов а, 6 — представителей классов а, В. Легко проверяется,
что для умножения ф выполнены аксиомы группового умножения,
чем оправдано следующее определение.
Совокупность классов {а} элементов группы Gr, эквивалентных
относительно ее нормального делителя Н\ называется фактор-
факторгруппой группы Gr nc H". Факторгруппа обозначается сим-
символом GrjH'.
Ниже устанавливается, что факторгруппа GrjH' является
группой Ли.
Пусть Gr = (В, ср) — каноническая группа. Тогда ее нормаль-
нормальный делитель Н' — В' есть подпространство в Б и существует
разложение в прямую сумму В = В1 © В", так что каждый век-
вектор а ? В однозначно представим в виде а = а' -f- а", где а' ? В',
а"?В". При этом, как показано в 15.3, подпространство В1 =L'
есть идеал в алгебре Ли B=U группы (В, ср). Это означает, что
для любых а, Ъ^В справедливо равенство
[а, &']'' = 0.	E-2)
Лемма. Пусть a fa, bfcb. Тогда Б = а, если и только если
Ь" = а".
Доказательство. Используется соотношение а~1 =—а,
справедливое в канонической группе. Вначале устанавливается,
что свойство подпространства Н'=В' быть нормальным делителем
группы (В, ср) равносильно выполнению равенства
f(a, Ь) = <?"(а", Ь")	E.3)
для любых а, Ь^В. Действительно, если В' — нормальный дели-
делитель, то [а, Ь]"=[а", Ь"]" в силу E.2) и аналогичное равенство
справедливо для любого «длинного» коммутатора, входящего
в SCH-fяд 12 A5.5). Поэтому верно равенство E.3). Обратно,

20Й	ГЛ. IV. ТЕОРИЙ ЛИ
если E.3) выполнено, то для любых а? В, Ъ' ? В' справедливы
равенства
откуда следует включение а-Ъ'•а~1?В'. Поэтому В' — нормаль-
нормальный делитель группы (В, ер).
Еслиё=й, то Ь-а^^В' или ер" (Ь, —а)=0. В силу E.3) это оз-
означает, что ер" (Ь", —а")=0, откуда Ъ" =а". Обратно, если
Ъ"—а", то из E.3) следует, что ер" (Ь, — а)=0, а это означает вклю-
включение ер F, — а) ? В' или Ь-сГ1^!!'. Поэтому & с/з а и 6=а.Н
Из равенства E.3) следует, что элементы а" ^В" вместе с зако-
законом умножения ер" образуют локальную группу Ли. В силу леммы
вместо а" элементами этой группы можно считать классы а, причем
закон умножения E.1) перепишется в виде ф (а, 6) = ер"(а", Ъ").
Тем самым показано, что факторгруппа Gr/H" канонической группы
Gr является локальной группой Ли. Для произвольной (не канони-
канонической) группы G'r этот факт справедлив в силу того, что при изо-
изоморфизме групп нормальный делитель переходит в нормальный
делитель и класс эквивалентных элементов — в класс эквивалент-
эквивалентных элементов. Поэтому, если у — изоморфизм и G'r = ~((Gr), B's=-
= у {Hs), то также G'rjH" = T (Gr/Hs), и ес.:и Gr/H* — группа Ли, то
такогой является и G'rIH'\
Теорема. Пусть J* есть идеал в алгебре Ли U группы Gr,
являющийся алгеброй Ли нормального делителя Hs группы G'.
Тогда факторалгебра Lr/Js есть алгебра Ли факторгруппы GН\
Доказательство. В силу свойства сохранения соот-
соответствия групп и алгебр Ли при изоморфизмах достаточно дока-
доказать этот факт для канонической группы Gr=(B, 9). В этом слу-
случае алгеброй Ли нормального делителя Н" = В' является прямое сла-
слагаемое B'=J" в разложении В = В' © В"'. Из доказательства леммы
следует, что операция коммутации в алгебре Ли факторгруппы
GrIHs дается формулой [а, В]= [а", &"]". Но классы а являются
элементами факторалгебры L'/Js и простая проверка определения
13.5 показывает, что их коммутатор совпадает с [а", Ь"]".Ш
6. Гомоморфизмы. Пусть даны группы Ли G, Gt и гомоморфизм
•у: G -> Gx. Совокупность (?0 элементов 6? G, для которых у F)=0,
называется ядром гомоморфизма у.
Из определения 12.3 гомоморфизма групп следует, что если
b ? Go, то для любого а ? G справедливы равенства
т (а. & • а) = т (а). т (&). т (а) = (т (а))'1 • т (а) = О,
т. е. также a~^-b-a^G0. Согласно определениям 15.3 это означает,
что Go есть нормальный делитель группы G и является группой Ли.
Кроме того, образ if (G) в группе Gx есть подгруппа, связь которой
с группой G утверждается следующим предложением.
Лемма. Группа f (G) изоморфна факторгруппе GIG0.

§ 15. СООТВЕТСТВИЕ ГРУПП И АЛГЕБР ЛИ	207
Доказательство. Пусть с/з есть отношение экви-
эквивалентности в группе G относительно ее нормального делителя Go.
Если h ел а, т. е. b-a~1{:G0, то у ф.а~1)=у (&)-(у (а))~1=0, от-
откуда уF) = у(а). Так как и, обратно, y(fr) = y(a) влечет 6 со а,
то элементы у (а) (- у (G) находятся во взаимно однозначном соот-
соответствии с элементами а факторгруппы GIGO. Поэтому отображение
ух: G/Go -> у (G), определенное для а?й формулой yi(«) = y(a),
есть изоморфизм.¦
Элементы группы Glt лежащие вне ее подгруппы у (G), на свой-
свойства рассматриваемого гомоморфизма у никак не влияют, в силу
чего можно ограничиться рассмотрением гомоморфизмов на.
Кроме того, очевидно, что поведение алгебр Ли при гомоморфизмах
групп достаточно изучить для канонических групп.
Теорема. Пусть U есть алгебра Ли канонической группы
Gr = (B, <p) и у: Gr-»G[i — гомоморфизм группы Gr на канони-
каноническую группу G^ = (BV epjj, алгебра Ли которой есть L['. Тогда у
есть гомоморфизм алгебры Ли U на алгебру Ли L[\ ядро кото-
которого является алгеброй Ли ядра Go С Gr группового гомомор-
гомоморфизма.
Доказательство. В силу теоремы 12.7 гомоморфизм
у можно считать линейным отображением В -> Вх. Из леммы 12.10,
справедливой не только для изоморфизмов, но и для гомоморфиз-
гомоморфизмов, следует, что у=3у @) есть гомоморфизм I/ на L\\ Кроме того,
равенство у <V>=0 определяет в В одно и то же подпространство
Во независимо от того, рассматривается у как гомоморфизм групп
или как гомоморфизм их алгебр Ли. Поэтому идеал /0 С Lr', яв-
являющийся алгеброй Ли ядра Go группового гомоморфизма у,
совпадает с Во и есть ядро отображения у как гомоморфизма ал-
алгебр Ли. В
7. Группы внутренних автоморфизмов. Понятие внутреннего
автоморфизма было определено независимо для алгебр Ли в 14.4
и для групп Ли в 15.3. Здесь устанавливается соответствие между
группами внутренних автоморфизмов групп и их алгебр Ли.
Лемма 1. Внутренние автоморфизмы группы Gr с центром
Z образуют группу Ли Int Gr, изоморфную факторгруппе G'IZ.
Доказательство. Из определения C.2) внутреннего авто-
автоморфизма Ра следует, что РаоРс = Ра.с. Поэтому отображение у:
Gr—>IntGr, действующее по формуле у(а) = Ра, есть гомоморфизм
группы Gr = (B, ср) в группу преобразований пространства В. Его
ядро определяется уравнением у (а) = /в, т. е. равенством а • b • а =
= Ь для любого b^Gr. Это равенство равносильно включению о? Z.
Остальное следует из леммы 15.6 и выводов 15.5. В
Лемма 2. Пусть у: а->Ра есть гомоморфизм канонической
группы Gr в группу линейных преобразований конечномерного про-
пространства X, и пусть Ea~dtPta\js,0 — направляющие векторы

208	гл. iv. теория ли
однопараметрических подгрупп группы у (С). Тогда операция ком-
коммутации в алгебре Ли {Еа} группы у (С) дается формулой
\Еа, Eb] = EaoEb-EboEa.	G.1)
Доказательство. В силу леммы 15.1 коммутатор [Еа, Еь]
равен производной по t при t = 0 группового коммутатора
В силу определения Еа справедливо представление
a),
где норма [Ф(?, а)\ ограничена при t-+0. Вычисление q(t) с уче-
учетом равенства Р„ — Р_„, справедливого в силу каноничности
группы Gr, и четности Fa (т. е. F_a = Fa) дает требуемое выражение
q(t) = t(EaoEb-EboEa) + ?'41(t, а, Ъ),
где норма | Ф1 (t, a, b) | ограничена при t -> 0. ¦
Теорема. Алгебра Ли группы Int С изоморфна присоединен-
присоединенной алгебре j§5 алгебры Ли U группы С.
Доказательство. Пусть Gr =(B, <р) — каноническая группа.
В силу леммы 15.3 ее внутренние автоморфизмы являются линей-
линейными преобразованиями пространства .В. Они выражаются через
вспомогательные отображения А (а), V (а) этой группы по формуле
Pa=V{a)oA{-a).
Согласно лемме 1 отображение у- а —> Ра есть гомоморфизм группы
GT на группу Int Gr, т. е. выполнены условия леммы 2. Поэтому
операция коммутации в алгебре Ли группы Int Gr может быть вы-
вычислена по формуле G.1), для чего достаточно найти направляю-
направляющие векторы Еа однопараметрических подгрупп {Р(а}. При вы-
вычислении последних надо учесть два соотношения, первое из ко-
которых есть dV @)-{-дА @)=0 и справедливо для любой группы
(В, ср), а второе, означающее антисимметричность билинейного
отображения dV @): ВХ В -> В,
dV(O)(h, k} + dV(O)(k, fe> = 0,
справедливо в силу каноничности группы (В, <р). Последнее соот-
соотношение равносильно равенству 8V @) <(а, а>=0, которое легко
получается дифференцированием по t при t=0, необходимого усло-
условия каноничности V (ta) (a)=a, доказанного в 12.5. С учетомэтих
соотношений вычисление в векторной форме с любым вектором
h? В дает
Еа (h) = dtPta(h) Uo = dt (V (ta) (A (-ta) <A») |,=0 = dV @) (a, h) -
— 5Л@)<а, h} = 2dV@)<a, h} = dV@)(a, h}—dV(O)(h, a) =

§ 15. СООТВЕТСТВИЕ ГРУПП И АЛГЕБР ЛИ	209
где последнее равенство следует из определения 14 A.2). Отсюда
Ea=ad (а), т. е. элементами алгебры Ли группы Int Gr являются
присоединенные отображения алгебры Ли U группы Gr. Кроме
того, в силу леммы 2
[Еа, Eb] = ad (а) о ad F) — ad F) о ad (а),
а это есть, согласно 14.2, в точности коммутатор в присоединенной
алгебре <g?.
Итак, в случае канонической группы Gr алгебра Ли группы
Int С совпадает с присоединенной алгеброй &/) алгебры Ли U
группы С. Переход к произвольной группе G'r осуществляется
с помощью изоморфизма G'~ -> G'r, который индуцирует изоморфизмы
Int Gr -> Int G'r и1г-> L'r, а потому также изоморфизм алгебр Ли
групп Int Gr и IntG"" и присоединенных алгебр §3 и Щ)'. Поэтому
алгебра Ли группы Int<?" изоморфна присоединенной алгебре if?'
(но, вообще говоря, не совпадает с ней). В
Следствие 1. В случае канонической группы Gr=(B, ср)
группа Int С совпадает с группой Int U.
Действительно, они обе являются группами линейных преобра-
преобразований пространства В с одинаковыми, как было показано в до-
доказательстве теоремы, алгебрами Ли, совпадающими с i!9.
Интересно отметить, что этот факт можно доказать прямым вы-
вычислением отображения V (а)оА (—а) с помощью формул 12 A4.2),
12A4.4) и сравнением результата с 14 D.2).
Следствие 2. Группы внутренних автоморфизмов
Int Gr и Int U группы G'' и ее алгебры Ли Lr изоморфны.
Это вытекает из доказанной теоремы и следствия 2 теоремы12.12.
8. Оптимальные системы подгрупп. Подгруппы Н' иН группы Gr
называются подобными, если существует внутренний автомор-
автоморфизм Pa?lntGr, с которым Н' = Ра(Н).
Это отношение подобия подгрупп является, очевидно, теоретико-
множественным признаком эквивалентности, с помощью которого
всевозможные подгруппы группы Gr разбиваются на непересекаю-
непересекающиеся классы подобных подгрупп. Тем самым возникает задача
о построении оптимальной системы подгрупп данной группы Gr,
т. е. множества представителей классов подобных подгрупп,
аналогичная уже рассмотренной в 14.7 задаче для алгебр Ли.
Оптимальная система s-параметрических подгрупп группы Gr
@ < s ^ г) будет обозначаться, как и в случае алгебр Ли, сим-
символом Os.
Из предыдущих результатов следует, что оптимальные системы
подгрупп группы Gr и подалгебр ее алгебры Ли U находятся во
взаимно однозначном соответствии. Тем самым задача построения
оптимальных систем подгрупп сводится к соответствующей задаче
для подалгебр.

210	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
В приложениях обычно вначале строится оптимальная система
подалгебр, по которой затем однозначно реконструируется опти-
оптимальная система подгрупп. Этот путь представляется более алго-
ритмичным, так как группа IntLr есть всегда группа линейных
преобразований основного пространства, в отличие от группы Int Gr,
для которой это верно, вообще говоря, лишь в случае канониче-
канонической группы Gr.
§ 16. Группы Ли преобразований
1. Определение. Система понятий, относящихся к группам Ли
преобразований, вполне аналогична той, которая была развита
в главе I, с заменой аддитивной группы В некоторой группой
(В, ц>). Здесь излагаются элементы теории Ли групп преобразо-
преобразований, зависящих от конечного числа параметров, в связи с чем
предполагается, что группа (В, ф) есть ^--параметрическая
группа Gr.
Пусть даны банахово пространство X и группа (В, ср). Рас-
Рассматриваются представления группового ядра (О, ср) группы (В, <р)
в груште т (X) преобразований пространства X. Такое пред-
представление есть отображение тс:0-> v(X), удовлетворяющее усло-
условию группового гомоморфизма: для любых а, Ь^О
Tz(b)oTz(a) = к (у (а, Ь)).
Представление тс называется точным, если существует такая
окрестность нуля О а В, что для а^О равенство Tz(a) = Ix вы-
выполнено, только если а== 0. Ясно, что точное представление является
группо шм изоморфизмом группы (J5, ср) и группу т (X).
Если (Ои <р) и (О2, ср) — групповые ядра одной и той же группы
(В, ср), то в локальной теории представления л{: Oi -> -с (X)
(? = 1, 2), совпадающие на 0^0^, считаются неразличимыми.
Тем самым каждое представление локально вполне характери-
характеризуется группой (В, ср). Это позволяет говорить о представлениях
группы {В, ц>), а не ее групповых ядер.
Представление ¦к задает действие группы (В, ср) на простран-
пространстве X, при котором элемент а ? В действует на х ? X посред-
посредством преобразования п (а) по формуле х -» п (а)(х). Тем самым
возникает отображение /: ХхВ -> X, определенное формулой
/ (х, a) = 7t (а)(х). Это отображение / называется порождающим
представление п.
В локальной теории (см. 1.8) рассматриваются локальные пре-
преобразования пространства X, определенные на некотором от-
открытом множестве U(zX. В этих терминах формулируется сле-
следующее основное определение.

§ 16. ГРУППЫ ЛИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	211
Локальной группой Ли локальных преобразований
пространства X называется образ тс (О) такого точного пред-
представления тс: О -^ х (X) окрестности нуля О с. В группы В (<р),
для которого порождающее отображение /: U ХО -*¦ X является
отображением класса C^IU ХО).
Эта группа будет обозначаться одним из символов, (В, <р, тс, X)
или (С, тс, X), или просто G1' (/). Отображение / будет назы-
называться также порождающим отображением группы Gr (/).
В силу данного определения порождающее отображение об-
обладает следующими свойствами, аналогичными 1.9:
1°. / (х, 0)=х для любого x^U.
2°. / (/ (х, a), b)=f (х, ф (а, Ь)) для любых a, b^O, x?U.
3°. Если а^О и / (ж, а)=х для всех x^U, то а=0.
4°. /GCra(?/xO).
Эти свойства могут быть приняты в качестве аксиом, опре-
определяющих группу Gr (/). Тогда предыдущее определение пере-
переформулируется так.
Пусть дана группа Gr=(B, у). Группой Gr (/) называется
r-параметрическое семейство преобразований {fa } пространства X,
соответствующих векторам а {-В и действующих по формуле
fa(x)=f(x, а), если существуют окрестность нуля Ос В и от-
открытое множество UcX, с которыми отображение /: UxO -> X
удовлетворяет аксиомам 1°—4°.
Участвующие в этой формулировке условия не являются ми-
минимальными. На самом деле требование, чтобы группа (В, <р)
была задана заранее, является лишним и может быть заменено
более слабым требованием принадлежности участвующего в 2°
отображения «р: ОхО-> В (существование которого предпола-
предполагается) классу Ст (ОхО) вместе с немного усиленным по срав-
сравнению с 3° требованием «существенности параметров»: если
/ (х, a)=f (х, Ь) для всех x^U, то а = Ь. Можно показать, что
тогда ср есть закон умножения в некоторой группе (В, <р)> т. е.
удовлетворяет аксиомам 12.1.1°— 12.1.3°. Именно в этой редакции
определение непрерывной группы преобразований использова-
использовалось в классических работах С. Ли и его последователей.
Группа (В, ср) называется параметрической группой группы
преобразований (В, <р, п, X). Согласно данному определению
группа (_б, ср> тс, X) изоморфна своей параметрической группе.
Поэтому группы преобразований изоморфны, если и только если
изоморфны их параметрические группы.
Замечание. Пусть у есть изоморфизм группы (В', ср')
на группу (В, ср). Тогда представление тс: В -> т (X) переходит
в представление тс' = тсо^: В' -» т (X), что влечет преобразова-
преобразование порождающего отображения /->/', определяемое формулой
f(x, a') = f(x, ТЮ),	A.1>

212	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
где а'?В'. При этом группа (В', ер', к , X), как множество пре-
преобразований пространства X, совпадает с группой (В, ер, тс, -5Г).
Меняется только параметризация этой группы.
Пример 1. Рассмотренные в главе I однопараметрические
группы преобразований являются частным случаем групп Gr (/)
и получаются, если Gr—{B, ер) есть каноническая группа при
г=1.
Пример 2. Для любой группы (В, ер) умножение ер за-
задает представление п этой группы в группе х (В) по формуле
¦те (а)(х) = ер (х, а). Действительно, в силу аксиомы 12.1.2°
= <р(<р(ж, а), Ь) — у(х, f(a, 6)) = п(ер(а
откуда -к (Ь)о п (а) =тг (ер (а, Ь)). Порождающим отображением по-
полученной группы преобразований пространства В является за-
закон умножения ер. Эта группа G[ (ер) называется первой пара-
параметрической группой группы (В, ер). Аналогично определяется
вторая параметрическая группа G\ (ер) группы (В, ер), полу-
получаемая с помощью действия п (а)(х)=<р (а, х).
2. Касательное отображение. Группе Сг (/) сопоставляется
частная производная порождающего отображения / по а в нуле
пространства В,
Цх) = да/(х, 0).	B.1)
Согласно определению производной, для каждого x^U зна-
значение % (х) является линейным отображением пространства В
в пространство X. Возникающее при этом отображение \: U —>
-* SS (В; X) называется касательным отображением группы Gr (/).
Для каждого а ? В значение | {x)(ji) есть вектор простран-
пространства X, и когда х пробегает множество U, то ? (х)(а) дает не-
некоторое векторное поле на U. Поэтому касательное отображе-
отображение ? задает семейство векторных полей, являющееся, очевидно,
векторным пространством. По причинам, которые выяснятся
в дальнейшем, это векторное пространство удобно обозначить
символом U (?). Тем самым каждой группе Gr (/) преобразований
пространства X сопоставляется пространство U (?) векторных
полей \а: X -> X, соответствующих элементам а?В и действую-
действующих по формуле
?„(*) = 6 (*)<а>.	B-2)
Детальное изучение соответствия групп Gr (/) и пространств
U (X) составляет фундаментальную часть теории групп Ли пре-
преобразований.
Пусть А (а), V (а) — вспомогательные отображения группы
(В, <р). Дифференцирование равенства аксиомы 16.1.2° по Ь

§ 18. ГРУППЫ ЛИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	213
в точке Ь=0 и учет определения B.1) дает соотношение
Щ{х, a)) = (dj{x, а)) о А (а),
равносильное соотношению
dj(x, a) = \<J{x, a))oV{a).
Вместе с 16.1.1° это соотношение показывает, что значение
x:=f(x, a)	B.3)
порождающего отображения /, как функция вектора а?В, удов-
удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальному условию
dj ~\{xi)°V{а), х'@) = х.	B.4)
Уравнение B. 4) называется уравнением Ли группы Gr (/).
Это уравнение аналогично уравнению Ли 1 A4.2) для групп G1
и является ключевым при изучении соответствия групп Gr (/)
и пространств U (?).
Замечание. При изменении параметризации группы
Gr (/) посредством изоморфизма у: В' -> В она становится груп-
группой Gr (/'), причем преобразование / -> /' дается формулой A.1).
При этом касательное отображение ? преобразуется в ?' по фор-
формуле
B.5)
3. Критерий точности представления. Свойство точности пред-
представления п, участвующего в формировании группы Gr (/), вы-
выражаемое аксиомой 1.3°, формулируется с помощью касатель-
касательного отображения ?.
Лемма. В системе аксиом 1.1°—1.4° аксиома 3° равно-
равносильна следующей:
31. Если I (х)<(а)=0 для всех x^U, то а=0.
Доказательство. В силу замечания 16.1 и фор-
формулы B.5) можно предполагать группу (В, ср) канонической.
Из уравнения Ли и критерия каноничности 12.5 вдоль прямой
{ta} получается равенство
dtf{x, ta) = t(f(x, ta))(a).	C.1)
Поэтому если с некоторым а?В будет ? (х)(а)=0 для всех
x?U, то также dj (x, ta)=0. Следовательно, / (х, ta)=x, и если
выполнена аксиома 1.3°, то ta=0, т. е. а=0.
Повторное дифференцирование равенства C.1) дает
3lf{x, to) = 35(*')<&(«')<«>. а),
где x'=f (x, ta). Так как производная 3| непрерывна на U, то
для любой точки xo?U найдется такая окрестность Uo точки х0
и такая окрестность О (радиуса р) нуля пространства В, что

214	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
для всех (х, а)^иох00 выполнено неравенство
p|/(s, а)- х -Цх)(а)\^\а\ .\Цх)(а}\.
Поэтому, если для некоторого ufO и всех х ? Uo справедливо
равенство / (х, а)=х, то предыдущее неравенство принимает вид
и так как \а\<С р, то ? (ж)<(а/=0. Следовательно, если выполнена
аксиома 3°, то <z=0. В
Следствие. Размерность пространства векторных полей
U (%) группы Gr (/) равна г.
Доказательство. Так как I(х) линейно отображает г-мер-
нсе пространстЕО В в X, то размерность ?г(!) не больше г. Кроме
того, если {ej — базис в В, то векторные поля {%eJ линейно неза-
еисимы. Действительно, равенство Х"?в(х = 0, равносильное равен-
равенству ?(х)(Уе^У = 0 для всех х, в силу леммы влечет равенство
Геа = 0, откуда Xa = 0 (a = 1, . . ., г). ¦
4. Первая теорема Ли. Эта теорема констатирует возможность
восстановления производящего отображения группы С (/) по ее
касательному отображению путем решения уравнения B.4).
Теорема. Группе Gr (/) соответствует касательное отоб-
отображение %, порождающее r-мерное пространство векторных по-
полей U (I) на пространстве X; с этим ? порождающее группу
отображение f удовлетворяет уравнению Ли B.4).
Обратно, если дано r-мерное пространство векторных полей
V (?) на открытом множестве UdX класса Cm(U) и дана ло-
локальная группа Ли {В, ер) с вспомогательным отображением V (а)
и если уравнение Ли B.4) с данными ? и V имеет единственное
решение для любого х^ U, то это решение B.3) является порож-
порождающим отображением группы Gr (/), для которой (В, ер) есть ее
параметрическая группа и | есть ее касательное отображение.
Доказательство. Первая часть теоремы уже дока-
доказана в 16.2. Утверждение о размерности пространства вектор-
векторных полей следует из аксиомы 1.3° в силу следствия леммы 16.3.
Обратно, пусть отображение /: UXB -> X определяет по
формуле B.3) решение уравнения Ли B.4). Тогда аксиома 1.1°
выполнена в силу начального условия B.4), аксиома 1.3° выпол-
выполнена в силу предположения о размерности пространства U (?)
и леммы 16.3, а аксиома 1.4° выполнена в силу известной теоремы
о дифференцируемости решений дифференциальных уравнений
по параметрам, от которых зависят начальные данные. Остается
проверить выполнение аксиомы 1.2°. С этой целью рассматри-
рассматриваются отображения Ъ -> у (Ь) и Ъ -> z (b), действующие по фор-
формулам г/=/ (х', Ь), где ж'=/ (х, а), и z=/ (х, ер (a, b)). Дифферен-

§ 16. ГРУППЫ ЛИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	215
цирование этих отображений в силу B.4) дает тождества
, b) = l(y)oV(b),
где равенство Jt получено с помощью уравнения Ли 12 D.3) па-
параметрической группы (-в, ер). Эти тождества показывают, что
оба отображения у и z являются решениями уравнения B.4)
с одинаковым начальным условием. В силу единственности ре-
решения отсюда следует равенство y=z, т. е. / (х', b)—f (x, ер (а, Ь)),
а это и есть аксиома 1.2°. Итак, с группой (В, ер) решение урав-
уравнения Ли B.4) дает группу С (/). Непосредственно из уравне-
уравнений B.4) при а=0 следует, что ее касательным отображением яв-
является данное с.д
5. Вторая теорема Ли. Здесь устанавливается связь группы
С (/) и ее параметрической группы (В, ер) в терминах их алгебр
Ли. Эта связь является следствием свойства вполне интегрируе-
интегрируемости уравнения Ли.
Теорема. Пространство U (?) группы С (/) есть алгебра
Ли векторных полей, изоморфная алгебре Ли U группы (В, ер).
Доказательство. Уравнение Ли B.4) группы Gr (/)
вполне интегрируемо (см. 12.8) на множестве UxO, т. е. имеет
решение, удовлетворяющее начальному условию х' (Ь)—х для
любой точки (х, b)^UxO. Действительно, таким решением яв-
является х' (а)=/ (х, ер (Ь, а)). Поэтому стоящее в правой части
уравнения B.4) отображение ?oF: UxO -> S8 (В; X) должно
удовлетворять условию вполне интегрируемости 12.8. Для вы-
вывода этого условия берутся векторы h, k? В и вычисляется зна-
значение на векторе к производной по а (в силу уравнения B.4))
от обеих частей тождества dax'<(h)= ? (x')(V (a)(h)). Это дает
Поэтому искомое условие, выражающее факт симметричности
второй производной
&1х'(к, K) = dy<h, к)
с обозначениями к' = V(а)(к}, h' = V(a)<(h}, оказывается таким:
Е	— dV(a)(k, h)) =
(h1}, к').
Согласно уравнению Маурера—Картана 12(8.2) и определению
15A.1) коммутатора в алгебре Ли U группы & (ер)
k) — dV(a)(k, h}= С(V(а)(к), F(e)<A» = [A', h'].

216	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
С другой стороны, согласно определению 7A.1) коммутатора век-
векторных полей
т (х) <? (х) <к'у, К У - д% (х) <Е (х) <А'>, к') = [5 (х) (к'), ? (х) <А'>].
Поэтому условие вполне интегрируемости отображения ?oF рав-
равносильно выполнению для любых xQU и к, h^B равенства
Цх)([к, Щ) = [Цх)(к>, Цх)(к>].	E.1)
Следовательно, пространство векторных полей U (?), получае-
получаемых с помощью касательного отображения ? группы Gr (/) по
формуле B.2), является алгеброй Ли. Кроме того, отображение
у: В -> Lr (I), действующее по формуле у (/г)=! (x)(h>, является
взаимно однозначным отображением на, в силу следствия леммы
16.3, и изоморфизмом, в силу E.1). В
6. Третья теорема Ли. Согласно второй теореме Ли группе
С (/) преобразований банахова пространства X однозначно со-
сопоставляется r-мерная алгебра Ли U (!) касательных векторных
полей, порожденная ее касательным отображением %. Следую-
Следующая теорема устанавливает справедливость обратного утвержде-
утверждения, в связи с чем она обычно называется «обратной третьей тео-
теоремой Ли для групп преобразований». Здесь задание г-мерного
пространства векторных полей IS (!) на открытом множестве
Ud X понимается как задание r-мерного банахова пространства
В и отображения %: U -> S6 (В; X), удовлетворяющего ак-
аксиоме 3.3°. При этом элементами алгебры Ли I/ (!) являются
векторные поля %а, получаемые с помощью векторов а? В и дей-
действующие по формуле B.2).
Теорема. Каждой r-мерной алгебре Ли U {%) векторных
полей класса Cm (U) на открытом множестве UciX соответ-
соответствует группа Gr (/) локальных преобразований пространства X,
для которой 17 (I) является ее алгеброй Ли касательных вектор-
векторных полей.
Доказательство. Каждой паре векторных полей
(|я, ?д) в силу операции коммутации в LT (|) сопоставляется век-
векторное поле !,.= [?„, %ь\. При этом вектор с определен парой век-
векторов (а, Ъ) однозначно, так как равенство %с=0 означает, что
! (хУс}=0 для всех x?U, откуда с=0 в силу аксиомы 3.3°.
Это позволяет определить на пространстве В алгебраическую
структуру с операцией [а, Ь]=с. Легко проверить, что эта опе-
операция удовлетворяет аксиомам 13.1.1°—13.1.3°. Поэтому с так
введенным коммутатором [а, Ъ] пространство В становится ал-
алгеброй Ли V. Кроме того, по определению этого коммутатора
векторные поля алгебры Ли U (!) удовлетворяют соотноше-
соотношению E.1).
Согласно теореме 12.12 существует группа (В, <р), алгебра Ли
которой есть U. Пусть V (о) — вспомогательное отображение

§ 16. ГРУППЫ ЛИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	217
для этой группы. Тогда вместе с заданным отображением ? можно
построить уравнение B.4). В силу справедливости равенства E.1)
это уравнение вполне интегрируемо на множестве UXB. По тео-
теореме 16.4 его решение порождает группу Gr (/), для которой за-
заданное ? есть ее касательное отображение. Следовательно, U (?)
есть алгебра Ли группы С(/).ц
7. Каноническая группа второго рода. Если параметрическая
группа (В, ср) группы преобразований Gr (/) является канони-
канонической (см. 12.5), то группа Gr (/) называется канонической пер-
первого рода.
Для приложений важно иметь эффективный и достаточно про-
простой алгоритм построения группы Gr (/) по ее алгебре Ли I/ (?).
С этой точки зрения алгоритм, описанный в доказательстве тео-
теоремы 16.6, приводящий к канонической группе первого рода,
неудобен и фактически никогда не применяется. На практике
используется другой алгоритм, связанный с отысканием одно-
параметрических подгрупп и последующим «перемножением» по-
получаемых преобразований, каждое из которых берется со своим
независимым параметром. Ниже дается описание этого алгоритма
и его обоснование.
Пусть дана алгебра Ли Lr{i) векторных полей на открытом мно-
множестве U (Z -5Г, и пусть В есть r-мерное пространство, идентифи-
идентифицирующее элементы из //(?) так, как это описано в 16.6. Выби-
Выбирается базис {еа} С В, которому соответствует базис {?„} С Lr(S),
где %л(х) = 1(х)<(еа,). Для каждого векторного поля ?„ строится одно-
параметрическая группа G1(la) путем интегрирования уравнения Ли
1A4.2), которое здесь имеет вид
д,х' = Ых'), х'@) = х.	G.1)
В случае конечномерного Ж эта задача сводится к интегрированию
обыкновенных дифференциальных уравнений и на практике для
векторных полей простой аналитической природы может быть решена.
В результате получаются однопараметрические группы G1(fa) пре-
преобразований пространства Ж, элементами которых являются пре-
преобразования fait с параметром td.R. Наконец, берется произволь-
произвольный вектор Ь = b"ea ? В и ему сопоставляется «произведение»
ft = fhbiOU,v°---°fr,br.	G.2)
В итоге получается множество Gr(f) «произведений» G.2), соот-
соответствующих всевозможным векторам b из некоторой окрестности
нуля ОС В. Это множество порождается отображением /': UxO-*-X,
действующим по формуле /' {х, Ь)= 1ь{х).
Теорема. Множество Gr(f) является группой преобразова-
преобразований, алгебра Ли которой есть данная //(?).
Доказательство. Согласно теореме 16.6 существует группа
Gr(f) с данной алгеброй Ли Lr(?). Каждая однопараметрическая

218	гл. iv. теория ли
подгруппа Gx(/J> построенная в описанном алгоритме, принадле-
принадлежит Gr{f). Поэтому каждое преобразование f'b G.2) также принад-
принадлежит Gr(f), т. е. есть некоторое преобразонание /а. При этом дан-
данному f'b может соответствовать лишь одно /а, так как равенство
/а = /с, равносильное равенству fa,c-i = Ix, возможно лишь, когда
а-с~1 = 0, т. е. при а = с (аксиома 16.1.3°). Тем самым возникает
отображение у: В-^-В, определенное формулой а = у(&), и спра-
справедливо тождество
/'(*, &) = /(*, тF)).	G.3)
Так как /' есть, очевидно, отображение класса Ст (UXO) и та-
таково же /, то у также является отображением класса С^ (О).
При Ь=0 формула G.2) дает /' [х, 0)=ж, откуда в силу G.3)
и аксиомы 1.3° следует, что у @)=0. Утверждается, что отобра-
отображение у локально обратимо. Действительно, вычисление про-
производной по Ъ в точке Ь = 0 на векторе h=h'xeci^B от «произве-
«произведения» G.2) с учетом равенства /„_ ь*|ь-о=-Гх: в силу уравне-
уравнений G.1) дает
G.4)
С другой стороны, аналогичное дифференцирование правой ча-
части тождества G.3) в силу определения отображения / дает
dbf (х, у (Ь)) @)(h) = Цх)о дх @) <fe>.
Сравнение этого выражения с G.4) и применение леммы 16.3
приводит к равенству ду (O)/fi}=h, откуда df @)=1в- Поэтому
у обратимо.
С отображением у определяется отображение у': ОхО -> В:
<р>, &) = y-i((p(y(a), у F))).	G.5)
Легко проверяется, что <р' удовлетворяет всем аксиомам 12.1.1°—
12.1.3° закона умножения. Тем самым определена группа (В, <р'),
причем у есть изоморфизм этой группы на группу (В, <р) (см. 12.3).
В силу предыдущего отображение /' удовлетворяет аксиомам
1.1°, 1.3° и 1.4°. Кроме того, в силу определений G.3) и G.5)
справедливы равенства
/'(/'(*> «). b) = /(f(x, у (а)), 1(b)) = f(x, ?(T(e), у (&))) =
= /(*, у(?'(а, Ь))) = Г{х, ?'(а, Ь)),
откуда следует, что вместе с ер' для /' выполнена также аксиома
1.2°. Поэтому Gr if')—группа преобразований пространства Ж,
причем G.4) показывает, что U (%) — ее алгебра Ли.д
Группа Gr (/'), порожденная отображением /' согласно фор-
формуле G.2), будет называться канонической второго рода.
Следствие. Композиция из г преобразований, принадле-
принадлежащих однопараметрическим подгруппам G1 (/J (а=1, . . . , г)

§ 16. ГРУППЫ ЛИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	219
группы Gr (/), соответствующим г линейно независимым вектор-
векторным полям ее алгебры Ли U (?), рассматриваемая для изменяю-
изменяющихся независимо друг от друга параметров групп G1 (/J, дает
любое преобразование группы Gr (/).
Замечание 1. Важная особенность алгоритма построе-
построения группы Gr (/), как канонической второго рода, состоит в том,
что в нем отсутствует этап предварительного отыскания пара-
параметрической группы (В, ер), которая в ряде задач бывает не
нужна. Параметрическая группа, как видно из доказательства
теоремы, формируется автоматически и может быть найдена на
основании формулы G.2) путем вычисления композиции f'bofa.
Именно эта особенность делает указанный алгоритм практически
удобным.
Замечание 2. При доказательстве теоремы было отме-
отмечено, что в силу формулы G.5) отображение у является изомор-
изоморфизмом параметрических групп (В, ер') на (В, ер). Поэтому,
если группа преобразований (-В, ер, %, X) была задана заранее,
то при ее восстановлении, как канонической второго рода, пара-
параметрическая группа восстанавливается с точностью до изомор-
изоморфизма j, удовлетворяющего условию 5у@)=/в.
8. Примеры, (а) Первым общим примером является выпол-
выполненное в 14.4 построение группы внутренних автоморфизмов
Int U конечномерной алгебры Ли U. Теперь ясно, что сформу-
сформулированное там правило получения любого автоморфизма
А ? Int U по формуле 14D.6), аналогичной G.2), дает группу
Int U как каноническую второго рода и что это правило обосно-
обосновано теоремой 16.7.
(?) Другой общий пример дает первая параметрическая группа
группы (В, ер), рассмотренная в примере 16.1.2. Согласно опре-
определению B.1) ее касательное отображение совпадает с вспомога-
вспомогательным отображением А. Поэтому, если отображение А: В —>
-> <?? (В) известно, то группу (В, ер) можно восстановить с точно-
точностью до изоморфизма как каноническую второго рода. Для этого
надо выбрать базис {еа} ? В и с матрицей (А\ {а)) отображения
А (а) решить для каждого а = 1, . . . , г систему уравнений для
вектора х'=х'^е3:
Ее решение дает преобразования х' @ =/«,*» с помощью которых
общее преобразование первой параметрической группы, соответ-
соответствующее вектору b=b*e!t, получается по формуле G.2):
>Ь(х, b) = flibi°f->, 62° • • ¦ °fr, jr.
С другой стороны, преобразования первой параметрической
группы имеют вид х -*¦ ер (х, Ь). Поэтому тождество G.3) здесь

220	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
принимает вид ф (х, &)=ф (х, у (Ь)), откуда т(Ь) = ф(О, Ь). Сле-
Следовательно, закон умножения <р' в канонической группе второго
рода (В, ср'), изоморфной группе (В, ер), получаемый по фор-
формуле G.5), оказывается таким:
«р' (а, Ь) = т («р (Т (а), Ь)), у (Ь) = ф @, Ь).
(у) В качестве простого конкретного примера можно рас-
рассмотреть группу G3 дробно-линейных преобразований прямой
JR (х), алгебра Ли L3 (k) которой имеет базис
Здесь последовательное решение уравнений Ли G.1) дает сле-
следующие преобразования х -» fatt (x):
Общее преобразование группы G3 (/) канонической второго рода,
получаемое по формуле G.2) с вектором Ь=(&\ Ъ2, bs), таково:
,^_У + {еху{Ь)
1ь\х1~	1 —bsx
9. Подобие групп преобразований. Специальный вид изомор-
изоморфизма групп преобразований, получаемого с помощью преобра-
преобразований пространства X, называется подобием групп. Это по-
понятие сравнивает различные представления тс одной и той же
группы (В, ер) в группе т (X). Аналогично понятию, которое
было сформулировано в 1.11 для однопараметрических групп
преобразований, оно дается следующим определением.
Группа Gr (f')=(B, ер, п', X) называется подобной группе
Gr (f)=(B, ер, тс, X), если существует такое преобразование р
пространства X класса С^ (X), с которым порождающие отобра-
отображения f и f этих групп для любого а?0аВ связаны соотноше-
соотношением
f'a = pofo.p-\	(9.1)
Следующая теорема дает инфинитезимальный критерий подобия
групп, выражая это свойство через соответствующее свойство
их касательных отображений.
Теорема. Группа Gr (/') подобна группе Gr (/), если и
только если существует такое преобразование р пространства X,
с которым их касательные отображения связаны соотношением
1'(х') = др{х)о\{х), х'=р(х).	(9.2)
Доказательство. Равенство (9.2) получается в ре-
результате дифференцирования соотношения (9.1) по а в точке
о=0 и использования определения B.1). Обратно, пусть вы-

§ 16. ГРУППЫ ЛИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	221
полнено соотношение (9.2). Тогда для отображения /, действую-
действующего по формуле
f(x', a) = p(f(x, a)), x' — p(x),
в силу уравнения Ли B.4) справедливы тождества
dj(x', a) = dp{f)o%{f)oW{a) = \'(J(x\ a))oV{a),
}{х', 0) = р(х).
С другой стороны, порождающее отображение /' также удовлет-
удовлетворяет уравнению Ли B.4):
д/ (*', а) = V (/' (*', а)) о V (a), /'(*', 0) = x' = p (х).
Следовательно, оба отображения, / и /', удовлетворяют одному
и тому же дифференциальному уравнению Ли с одинаковым на-
начальным условием. В силу единственности решения отсюда сле-
следует совпадение этих отображений, т. е. /' (х', а)=р (/ (х, а))
для х'=р (х), а это и есть соотношение подобия (9.1).н
Алгебры Ли векторных полей LrD') и Lr(?), порождающие
отображения которых %' и I связаны соотношением (9.2), назы-
называются подобными. Поэтому доказанную теорему можно перефор-
переформулировать, сказав, что группы Gr(f) и (?""(/) подобны, если и
только если подобны их алгебры Ли Lr(i') и U (Е).
Замечание. Если дана алгебра Ли U(?) векторных полей
на пространстве X и если с помощью некоторого преобразования р:
К-^-Х отображение I' определено равенством (9.2), то пространство
векторных полей Lr(l'), порожденное отображением I', является
алгеброй Ли, изоморфной Lr(^). Этот факт легко проверяется пря-
прямым вычислением коммутатора [^, %'ь], где %'а=др(\а} и т. д.
10. Транзитивность. Сшйстио транзитивности является одной
из важных характеристик группы преобразований как представле-
представления. Оно формулируется в терминах орбит, получаемых под дей-
действием группы Gr(/) = (_B, (p, тг, X), порожденной отображением /:
U X О -> X. Орбитой точки x^U называется множество
точек f(x, а), получаемых когда вектор а пробегает окрестность
нуля OCLB. Орбита точки х будет обозначаться символом fx{0).
Группа Gr(f) называется транзитивной в точке x?U
(на множестве U), если орбита точки х (любой точки x?U)
есть открытое множество в X. Группа, не являющаяся транзи-
транзитивной, называется интранзитивной.
Это определение можно сформулировать иначе, сказав, что
группа Gr (/) называется транзитивной, если точку x?U можно
перевести в любую точку некоторой ее окрестности подходящим
преобразованием группы. Ясно также, что группа Gr (/) транзи-
тивна на U тогда и только тогда, когда любые две достаточно

222	гл. iv. теория ли
близкие точки множества U можно перевести друг в друга не-
некоторым преобразованием этой группы.
Если группа Gr (/) транзитивна в точке х, то в общем случае
орбита fx (О) покрывает окрестность точки х неоднократно, т. е.
некоторые точки х ? fx (О) могут получаться из х различными
преобразованиями группы. С целью выделения тех случаев, когда
подобная ситуация исключается, вводится понятие просто тран-
транзитивной группы.
Группа Gr(/) называется просто транзитивной в точке
x^U (на множестве U), если для данного х (для каждого x(^U)
найдется такая окрестность пуля О С В, что отображение fx:
O^>fx(O) является взаимно однозначным (и взаимно непрерывно
дифференцируемым класса С^).
Ясно, что группа С'(/) может быть транзитивной, только если
размерность пространстга X не больше числа г, т. е. dimX^7\
Точные критерии транзитивности формулируются с помощью каса-
касательного отображения ?.
С этой целью вводится понятие общего ранга линейного отобра-
отображения. Пусть В и X—конечномерные пространства. Рассматри-
Рассматривается отображение %: Х-+??(В; X). Для каждого х(^Х значе-
значение ?(ж) есть линейноо отображение В->1и потому имеет опре-
определенный ранг, обозначаемый симнолом rank ? (ж). Это число рачпо
рангу матрицы линейного отображения Е(ж), нзятой « каких-либо
базисах пространств В и X (от выбора этих базисов ранг не зави-
зависит), и может быть гычислено по формуле
rank I(x) = dim g (x)(В),
где с_(х)(В) есть векторное подпространство в X, являющееся обра-
образом пространства В при отображении ? (х).
Общим рангом отображения \\ X-*f?(Il; X) на откры-
открытом множестве U С X называется число
г, = г? (?) = max rank; (x).	A0.1)
Очевидно, что если дано отображение ; класса Ст [U), то
множество точек x(^U, для которых
rank S (ж) = г, E),	A0.2)
открыто в пространстве X. Напротив, множество точек, в которых
rank % (х) <^ rs (l), замкнуто. Поэтому в локальной теории всегда
можно ограничиться рассмотрением таких множеств U, во
всех точках которых выполнено равенство A0.2). В этом слу-
случае говорят, что отображение I имеет ранг на U (равный его об-
общему рангу). В этих терминах формулируется следующий кри-
критерий транзитивности группы.

§ 16. ГРУППЫ ДИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	223
Теорема. Пусть &\тХ=п, и пусть касательное отображе-
отображение % группы Gr(f) имеет ранг на открытом множестве U С Л'.
Тогда группа Gr(f) транзитивна на U, если и только если общий
ранг отображения I на U равен п, т. е.
Доказательство. Для порождающего отображения / в окрест-
окрестности нуля О С В справедливо предста ление
f(x, а) = х + Цх)<а> + Р(х, a), \F(x, a)\<K\a\2 A0.4)
с некоторой константой К >• 0. Поэтому транзитивность группы
Gr (/) в точке х ^ U равносильна разрешимости уравнения
Цх)(а) = х' —х — F(х, а)
относительно а для точек х', близких к х. Но если норма \х'—х\
достаточно мала, то в силу оценки A0.4) разрешимость этого
уравнения равносильна разрешимости линейного уравнения
I (х) ('аУ = х' — х.
В с ою очередь это уравнение разрешимо относительно а для любого
х'^Х, если и только если Tankl(x) = dhnX=n. щ
Следствие 1. Группа Gr(f) интранзитивча, если и только
если
r.(S)<«.	A0.5)
Так как упомянутое в доказательстве тоеремы линейное урав-
уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
rank | (х)=п=г, то справедливо также следующее утверждение.
Следствие 2. Группа Gr (/) просто транзитивна, если
и только если
r,(t)=n = r.	A0.6)
Примером просто транзитивной группы является первая (и вто-
вторая) параметрическая группа любой локальной группы Ли (В, ср),
рассмотренная в примерах 16.1.2 и 16.8 (C). Действительно, в этом
случае п=г. Так как касательное отображение первой парамет-
параметрической группы (В, ср) есть вспомогательное отображение А
группы {В, ср) и А @)=/л, то найдется такая окрестность нуля
Ос В, что rank А (а)=г для всех а?О, т. е. г^=п.
11. Подобие просто транзитивных групп. Приводимая ниже
теорема обобщает отмеченное в 3.8, 3.9 свойство подобия одно-
параметрических групп преобразований на случай г-параметри-
ческих групп. Кроме того, она показывает, что результаты клас-
классификации просто транзитивных групп по отношению изомор-
изоморфизма и по отношению подобия совпадают.

224	гл. iv. теория ли
Теорема. Любые две изоморфные просто транзитивные
группы преобразований пространства X подобии.
Доказательство. Пусть %' и | — касательные отоб-
отображения просто транзитивных групп Gr (/') и Gr (/) преобразова-
преобразований r-мерного пространства X. Для установления подобия этих
групп достаточно, в силу теоремы 16.9, доказать существование
преобразования р пространства X, с которым выполнено соот-
соотношение (9.2). Так как для просто транзитивной группы линей-
линейное отображение ? (х): В -* X обратимо, то этому соотношению
можно придать вид
= ?(р(х))о(Цх)ГК	A1.1)
Следовательно, для доказательства существования преобразо-
преобразования р требуется восстановить это отображение по его производ-
производной, заданной как функция х и р. Решение этой задачи, наверное,
существует, если правая часть A1.1) удовлетворяет условию
вполне интегрируемости. Так как это условие равносильно сим-
симметрии второй производной д2р (х), вычисленной в силу A1.1),
то его удобно вывести путем дифференцирования равносильного
A1.1) соотношения
Вычисление производной по х на векторе к^Х дает
К (Р) <др <А» = д*р </«-, 1а (х)) + др <5Se (х) (к)).
Если здесь положить к=%ь(х), переставить векторы а и ft, вы-
вычесть почленно одно равенство из другого и учесть равенство
A1.1), то условие симметрии д2р (х) будет равносильно соотно-
соотношению
я, (р) <Ч (р)> - я; (р) <К (р)>=дР <яа (*) <е» (*)» - #» и <^о и».
Согласно определению коммутатора векторных полей 7A.1) это
равенство может быть переписано в виде
а это есть тождество, так как заданное формулой A1.1) отобра-
отображение ?-»¦?' является изоморфизмом. Поэтому отображение
A1.1) вполне интегрируемо и существование решения уравнения
A1.1) следует из теоремы Фробениуса. ¦
Следствие 1. Множество преобразований р, переводя-
переводящих данную просто транзитивную группу Gr (/) в данную просто
транзитивную группу Gr (/'), зависит от г произвольных посто-
постоянных.
Действительно, такими постоянными являются координаты
вектора ро?Х в начальном условии р (хо)=ро, которому всегда
можно подчинить решение уравнения A1.1).

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ IV	225
Следствие 2. Всякая просто транзитивная группа по-
подобна своей первой параметрической группе (В, <р).
Действительно, изоморфизм указанных групп очевиден,
а кроме того, как было замечено в 16.10, первая параметрическая
группа (В, <р) просто транзитивна.
12. Группы Ли, допускаемые дифференциальными уравне-
уравнениями. В свете результатов этого параграфа введенное в 5.5 по-
понятие основной группы GE, допускаемой системой дифференциаль-
дифференциальных уравнений Е, обогащается новым содержанием.
В 7.13 было доказано, что множество LE допускаемых систе-
системой Е операторов (векторных полей), как пространство решений
системы DE определяющих уравнений, является алгеброй Ли.
Поэтому, если LE есть конечномерная алгебра Ли U (С), то си-
система Е допускает соответствующую этой алгебре Ли группу Ли
преобразований Gr (h). Действительно, по определению система Е
допускает любую однопараметрическую группу, соответствую-
соответствующую произвольному оператору из LE, а группа Gr (h) есть объ-
объединение элементов (преобразований), принадлежащих ее одно-
параметрическим подгруппам. Итак, в случае конечномерной ал-
алгебры Ли LE основная группа системы Е есть группа Ли.
Если алгебра Ли LE бесконечномерна, то следует придержи-
придерживаться определения основной группы, данного в 5.5. Однако
и в этом случае любой конечномерной подалгебре U (tyaLE
соответствует локальная группа Ли преобразований Gr (h), до-
допускаемая системой Е. Кроме того, в приложениях часто ока-
оказывается, что в бесконечномерной алгебре Ли LE естественно
выделяется в каком-то смысле «тривиальный» бесконечномерный
идеал /, по которому факторалгебра LEIJ уже конечномерна.
Обычно этой факторалгебре также соответствует определенная
группа Ли, допускаемая системой Е.
В случае бесконечномерной алгебры Ли LE о группе GE го-
говорят, что она является «бесконечной» (в смысле размерности)
группой Ли. Общее преобразование «бесконечной» группы Ли
зависит уже не от конечного числа параметров, как это имеет
место для групп Gr (h), а, вообще говоря, от произвольных
функций.
Несмотря на то, что «бесконечные» группы Ли довольно часто
встречаются и используются в приложениях (см., например,
10.4), законченная теория таких групп пока еще не создана.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ IV
Классическая теория Ли излагалась многими авторами в различных фор-
формах. Для разработки ее приложений к дифференциальным уравнениям осо-
особенно полезными были уже цитированные монографии I [1]—[4]. Основные
идеи теории банаховых групп Ли высказаны в [1]. Ее систематическое изло-
изложение, опирающееся на аппарат дифференциальных уравнений, было

226	ГЛ. IV. ТЕОРИЯ ЛИ
впервые дано в [2] в связи с изучением возможности распространения этой
теории на бесконечные группы Ли. Некоторые конкретные бесконечные
группы Ли рассматривались в [3] и [4].
Проблема топологической структуры бесконечных групп Ли не решена
до сих пор, хотя этим группам посвящено немало работ [5]—[9]. Особое
место занимают группы Дельсарта [10], соотношение которых с группами
Ли, по-видимому, не выяснено.
[lJBirkhoff G. Analytical groups. — Trans. Amer. Math. Soc. 43,
№ 1 A938), 61—101.
[2] О в с я н н и к о в Л. В. Аналитические группы. Новосибирск, НГУ,
1972.
[3] Овсянников Л. В. О бесконечных группах отображений, зада-
задаваемых дифференциальными уравнениями. — ДАН СССР 148, № 1
A963), 36—39.
[4] Хабиров СВ. Бесконечномерные непрерывные группы преобра-
преобразований трехмерного пространства, задаваемые системами дифференци-
дифференциальных уравнений первого порядка. — В сб. «Динамика сплошной
среды», вып. 12, Новосибирск A972), 131—146.
[5] L i e S. Untesuchungen iiber unendliche kontinuierlice Gruppen. —
Ber. Sachs. Ges. 21 A895), 43—150.
[6] Me dolaghi P. Sulla theoria dei gruppi infiniti continui. — Ann.
Mat. 25 A897), 179—217.
[7] С a r t a n E. Sur la structure des groupes infinis de transformation. —
Oeuvres, Partie 2, 2. Paris A963), 571—714.
[8] К u r a n i s h i M. On the local theory of continuous infinite pseudo-
groups, 1—2. — Nagoya Math. 15 A959), 225—260; 19 A961), 55—91.
[9] Singer I., Sternberg S. The infinite groups of Lie and Ca-
rtan. — J. analise math. 15 A965), 1—114.
[10] Delsarte J. Les groupes de transformations lineares dans l'espase
de Hilbert. — Mem. Acad. Sci., fasc. 57, Paris A932).

ГЛАВА V
ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
Изучение действия допускаемой группы на множестве решений
дифференциального уравнения начинается в настоящей главе
с рассмотрения «неподвижных точек» этого действия — инва-
инвариантных решений, т. е. таких, которые при преобразованиях
из допускаемой группы переходят в себя. Для этого необходима
рассматриваемая здесь общая теория инвариантов и инвариант-
инвариантных многообразий, предварительные основы которой были за-
заложены в главе I. Это связано с тем, что определение инвариантов
многопараметрических групп требует анализа не одного вектор-
векторного поля, а семейства векторных полей. При этом возникают
новые объекты, например особые инвариантные многообразия,
которые теория должна учитывать. Один из важных результатов
теории инвариантов — теорема существования универсального
инварианта, так же как и соответствующая ей теорема из главы I,
доказана для групп Ли преобразований произвольного банахова
пространства.
В теории инвариантных многообразий, помимо критерия ин-
инвариантности, существенны понятие и свойства индуцированной
группы и алгебры Ли. Наиболее важный теоретический резуль-
результат заключается в теореме о представлении неособого инвариант-
инвариантного многообразия уравнениями, связывающими только инва-
инварианты группы. Здесь же естественно возникает понятие ранга
неособого инвариантного многообразия, которое нужно для ре-
решения классификационных вопросов.
При изучении решений какого-либо дифференциального урав-
уравнения Е полезна геометрическая трактовка решения у=и (х)
как (локального) многообразия U в пространстве «переменных»
(х, у). Это удобно в теоретических вопросах, так как позволяет
записать тот факт, что U есть многообразие — решение простой
формулой включения UkaE для надлежаще продолженного мно-
многообразия Uk.
Для любой группы Н, допускаемой данным дифференциаль-
дифференциальным уравнением Е, вводится фундаментальное понятие инвариант-
инвариантного .йГ-решения как многообразия U, инвариантного относи-
относительно группы Н. Применение предыдущих результатов к за-
задаче отыскания инвариантных /7-решений приводит к теореме

228	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
существования факторсистемы Е/Н, обладающей двумя основ-
основными свойствами: она дает все инвариантные .йГ-решения и число
независимых переменных в ней меньше, чем в исходной системе Е.
Для построения факторсистемы имеется четкий и апробирован-
апробированный алгоритм.
Особое внимание уделено важному для приложений случаю
группы растяжений и вытекающему из рассмотрения таких групп
понятию автомодельного решения. Последнее предлагается по-
понимать в широком смысле, а именно как решение, инвариантное
относительно абелевой группы Н. Этому предложению дается
достаточное обоснование.
Если основная группа GE данного дифференциального урав-
уравнения Е является более чем однопараметрической, то возникав!
обилие возможностей для построения инвариантных iZ-решений
с различными подгруппами HdGE. Естественно, что этот факт
вызывает потребность в классификации таких решений. В ка-
качестве основных классификационных признаков выступают зна-
значение ранга решения и свойство подобия подгрупп. Итогом клас-
классификации являются оптимальные системы инвариантных решений.
§ 17. Инварианты группы преобразований
1. Определение и критерий инварианта. Здесь используются
терминология и обозначения, принятые в § 3. Рассматриваются:
группа Gr(f) = (B, ср, тт, X) как образ при представлении к:
(В, <p)-*-z(X) локальной группы Ли (В, ср) в группе всех преоб-
преобразований пространства X и некоторое банахово пространство Р,
на котором группа (В, ср) действует тривиально.
Не постоянное отображение F: X —> JP называется инва-
инвариантом группы (В, ср, тс, X), если оно является неподвиж-
неподвижным элементом продолженного представления крх- Другими сло-
словами, отображение F =^= const есть инвариант группы Gr (/), если
для любых (х, а) ? X X В выполнено равенство
F(f(x, a)) = F(x).	A.1)
По внешнему виду определение A.1) совпадает с 3C.1). Разли-
Различие состоит в Tofki, что в A.1) «параметр» а уже не есть вещест-
вещественное число, а является r-мерным вектором а(*В. При этом
определение 3C.1) есть частный случай определения A.1).
С помощью уравнения Ли 16 B.4) для любого дифференцируе-
дифференцируемого отображения F: X-+JP получается аналог равенства 3C.2):
daF (х>) = dF (*') о 6 (*') о V (а), х> = / (х, а),	A.2)
где V (а) — вспомогательное отображение группы (В, ср). Следующая
теорема, являющаяся аналогом теоремы 3.4, дает инфинитезималь-
ный критерий инвариантности отображения F,

§ 17. ИНВАРИАНТЫ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	229
Теорема. Отображение F: X -*¦ Р, F =fc const, класса С1 (X) яв-
является инвариантом группы Gr (f) с касательным отображением I,
если и только если для любого х ? X выполнено равенство
dF(x)ol(x) = 0.	A.3)
Доказательство. Так как V@) = /в, то в силу A.2) оста-
остается повторить доказательство теоремы 3.4. ¦
Данное в 3.5 определение универсального инварианта без
изменений переносится и на случай r-параметрических групп
преобразований. Основная задача теории инвариантов теперь
состоит в том, чтобы доказать существование универсального ин-
инварианта данной группы С (/) и дать алгоритм его отыскания.
Здесь, как и в 3.5, эта задача решается для произвольного (во-
(вообще говоря, бесконечномерного) банахова пространства X.
2. Полные семейства векторных полей. Рассматриваются:
s-мерное банахозо пространство В, произвольное банахозо простран-
пространство X, открытое множество U С X и отображение I: U -*¦ ? (В; X)
класса Cm(U).
Образ I (х)(В) с X называется семейством векторных полей
на пространстве X. Каждое конкретное векторное поле %а этого
семейства определяется заданием вектора а ? В и действует по
формуле |а (х)= S (х)(а}. Ясно, что семейство векторных полей
есть конечномерное векторное пространство, а именно подпро-
подпространство пространства всех векторных полей на множестве U.
Так же как и в 16.10, определяется ранг rank % (x) и общий ранг
Г*=г» (?) на ^ отображения % по формуле 16 A0.1). В дальней-
дальнейшем предполагается, что множество U выбрано так, чтобы отоб-
отображение % имело ранг на U, равный его общему рангу.
Семейство векторных полей % (х) (В) называется полным,
если оно удовлетворяет двум условиям: (a) r9 = s и (|3) для любых
а, Ь?В существует отображение шй6; U-*¦ В, с которым спра-
справедливо тождество
Р.. У(*)=е (*)<«>.»(*)>.	B.1)
Лемма 1. Следующие два преобразования % -> \ сохраняют
свойство полноты семейства векторных полей: композиция с лю-
любым отображением ш: U -> GL (В)
Цх) — Цх)ош(х)	B.2)
и изменение под действием обратимого преобразования р: U -»¦ С/',
для которого др (х) есть гомеоморфизм пространства X для лю-
любого x^U,
Цх') = др (х).о Цх), х'=р (х).	B.3)
Доказательство. В силу обратимости отображений а>(х) и
др (х) выполнение условия (а) в обоих случаях очевидно. Условие ф)

230	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
проверяется прямым вычислением коммутаторов. Если а' = и> (х) (а),
Ъ1 — ш(х)(ру, то в силу B.1)
т. е. B.1) верно для \, заданного формулой B.2). Далее, с помощью
равенства dj-(x') = dl(x')odp(x) из B.3) получается следующее:
откуда в силу B.1)
[I (*'). Е» (х>)\ = др(х)(I (х)(%ь(х))) = Цх>)^аь(*')>,
т. е. B.1) верно для I, заданного формулой B.3). ¦
Инвариантом семейства векторных полей % (х) (В) называется
отображение F: U —> JP, удовлетворяющее равенству (аналог A.3))
o$(z) = 0	B.4)
для любого x^U. Здесь Р — произвольное банахоно пространство.
Аналогично тому, как это было сделано для групп преобразований,
определяется понятие универсального инварианта семейства вектор-
векторных полей. Это такой инвариант 7: X-+Y, что для любого инва-
инварианта F: Х->Р найдется отображение Ф: Y-*P, с которым
выполнено равенство .F=<Po/. При преобразованиях B.2) и B.3)
инварианты переходят в инварианты согласно следующему пред-
предложению.
Лемма 2. Пусть F: Ж -*¦ Р есть инвариант семейства век-
векторных полей ? (х) (В). Если сделано преобразование % -*¦ Ц по фор-
формуле B.2), то F также есть инвариант семейства \(х){В). Если
сделано преобразование по формуле B.3), то Р = Рор~г есть ин-
инвариант семейства ?(ж'). В обоих случаях универсальный инва-
инвариант переходит в универсальный инвариант.
Доказательство. Для преобразования B.2) утвер-
утверждение следует из тождества
dF (х) о I (х) = dF (х) о I (х) о о) (х),
а для преобразования B.3) — из тождества
dF (x)oi(x) = dF (х')оЦх'), х' = р(х).
Последнее утверждение очевидно. ¦
Теорема. Для любого полного семейства векторных полей
I (х)(В), удовлетворяющего условию
r.(E)<dimX,	B.5)
существует его универсальный инвариант.
Доказательство. Индукция по s. Для s=l утвержде-
утверждение доказано в теореме 3.5. Пусть s > 1. Берется ненулевой век-

§ 17. ИНВАРИАНТЫ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	231
тор q^B и рассматривается векторное поле \{x)(q)=%q{x).
В силу теоремы о подобии 3.8 найдется преобразование вида
B.3), которое переводит %q (x) в постоянное векторное поле, при-
причем семейство | (х)(В) преобразуется в семейство, по-прежнему
удовлетворяющее условиям теоремы. Поэтому из леммы 17.2.2
следует, что без нарушения общности доказательства можно
с самого начала считать поле ?г {х)=е постоянным, что и предпо-
предполагается в дальнейшем.
Пусть Т = [te] есть одномерное подпространство в X, порож-
порожденное вектором е, и Y— его прямое дополнение, так что Х =
= Т © Y. Тогда для любого векторного поля ?а (х) == ? (х) (а}, где
а?В, справедливо представление
ев(*) = св(*)е + ъ(*)	B.6)
с отображением ща: X-+Y. По построению для a = q
cq(x) = i, Tj,(*) = O.
Далее, пусть В' — прямое дополнение в В одномерного подпрост-
подпространства {\q} С В, так.что для любого а^В верна формула разло-
разложения a = \aq-\-a', где а'?В'. Так как са и -qa в B.6) линейно
зависят от а, то co:=Xo-j-cv и т)я = т)йг. При этом без нарушения
общности рассуждения можно считать, что <v = 0.
Действительно, в противном случае можно сделать преобразо-
преобразование вида B.2) с отображением а>: X -+ GL(B), заданным формулой
и)(х)<^аУ = (Хй — car(x))q-\-а1, в результате которого получится се-
семейство векторных нолей \(х):=%{х)ош(х) с требуемым свойством.
Это следует из равенств
= (\ —с"' (х))е + с«' (х)е + v (х) = Ке + v И-
Итак, достаточно доказать теорему в случае, когда саг (х) = О
для любого а1 ? В1 и представление B.6) имеет вид
5.(*) = V + V(*)-	B-7)
Согласно разложению 1=ТфГ можно положить x — (t, у), где
^G-Ei У 6^- Тогда для каждого t?lt формулой B.7) определено
семейство векторных полей i\(t, у)(В1) на пространстве Y, дейст-
действующих по формуле t\(t, y)(a') = -r\ar(x). Утверждается, что это
семейство — полное.
Действительно, так как ?г(а:) = е, то равенство ¦/)„» {х) = 0 влечет
\a(x)z=z\^q(x), откуда a = \aq в силу полноты семейства 1(х)(В),
т. е. а' =0. Этим доказано свойство (а) из определения 17.2.
Далее, для коммутатора [е, у в силу B.7) получается выражение

232	ГЛ- V- ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
Из полноты 1(х)(В) следует, что этот коммутатор равен |<cdJ> =
= К*ае ~Ь 'Ч»',» ГДе а)а = ^™а? -\-<°'а'' Но ВвКТОр 3,7)а' ЛвЖИТ В Y,
а потому ХШй = 0 и справедливо равенство 3,v = "Ч^'а'У- Тем самым
возникает отображение u>': X-*S6(B'), с которым
B.8)
Вычисление коммутатора [la, ?6] с учетом представления B.7) дает
(нижний индекс при коммутаторе показывает, по какому перемен-
переменному выполняется дифференцирование)
G другой стороны, в силу полноты семейства \ (х) (В)
где о)оЬ = Х<овЬд + о)„4. Сравнение этих выражений показывает, что
ХШв4 = 0 и, кроме того, в силу B.8) справедливо равенство вида B.1):
т. е. выполнено свойство (Р) из определения 17.2.
Так как dim B'—s—1, то согласно предположению индукции
семейство tj (В') имеет универсальный инвариант, который, во-
вообще говоря, зависит от t. Утверждается, наконец, что можно
выбрать универсальный инвариант не зависящим от t. С этой
целью рассматривается преобразование вида B.2), а именно
т] = т)о 9 с некоторым отображением 0: X -> GL (В1). В силу B.8)
справедливо равенство
3^ = ¦») О C,8+0)'О 9).
Можно взять в качестве 0 решение обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения
и тогда 3,т} = 0, т. е. преобразованное семейство т\(В') уже не
зависит от t. В силу леммы 17.2.2 его универсальный инвариант /:
Y-> Z является также универсальным инвариантом семейства tj(B'),
а так как dtJ = O, то и семейства Ъ(х)(В). Щ
Уместно заметить, что метод доказательства этой теоремы дает
индуктивный процесс построения универсального инварианта
в s шагов, на каждом из которых размерность пространства В
уменьшается на единицу. Если учесть выводы, сделанные в 3.6,
то получится полезное следствие.
Следствие. Если dimX=n и выполнено неравенство B.5),
т. е. г?<^п, то универсальный инвариант J семейства I(х)(В)
может рассматриваться как отображение J: X-*R"~r*.
3. Универсальный инвариант группы. Пусть дана группа
г(/) = (^, <р, к, X) преобразований открытого множества U(Z.X

§ 17. ИНВАРИАНТЫ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	233
конечномерного пространства X, причем dim B = r, dim X— п.
В силу теоремы 17.1 любой инвариант этой группы является
инвариантом семейства векторных полей i(x)(B), построенного с по-
помощью касательного отображения ? группы Gr{f). Пусть общий
ранг отображения % на U есть r? = r?(V). При этих условиях спра-
справедлив следующий результат.
Теорема. Группа Gr(f) имеет инварианты, если и только
если г^<^п. Если это неравенство выполнено, то существует
универсальный инвариант J группы Gr(f), являющийся
отображением J: X —*¦ Rn~r*.
Доказательство. Из определения 16A0.1) числа /•„,
следует, что всегда г^^п. Равенство г^=п в силу теоремы 16.10
равносильно транзитивности группы Gr (/). В этом случае для
инварианта F должно быть F (x')=F (x), где x'=f (x, а) — любая
точка из некоторой окрестности точки х, т. е. на этой окрестности
.F=const, что противоречит определению инварианта. Следова-
Следовательно, инварианты существуют только у интранзитивных групп.
Пусть г?<^п. Тогда для каждого х ? U образ %{х)(В) является
подпространством в X и, значит, rt ^ г. В этом образе можно выбрать
г? линейно независимых векторных полей %((х), соответствующих
линейно независимым векторам е,. ? В (t = 1, ..., гД причем ?(. (х) =
= 1(х)<(е(У. Пусть Во есть подпространство в В (собственное, если
/¦<[/¦), порожденное множеством {е<}. Утверждается, что семейство
векторных полой 1(х)(В0) ячляется полным.
Действительно, условие полноты (а) из определения 17.2 вы-
выполнено, так как по построению dim B0=rf. Кроме того, для
любого а? В и каждого x?U справедливо представление
U*) = W*) **(*).	C.1)
в котором коэффициенты, вообще говоря, зависят от точки х.
Так как пространство I (х)(В) есть алгебра Ли, то для любых
а, Ь?В0
= 5[». ч (*) =
(х) = Е (х)(Ца, ч (х) е.у,
т. е. выполнено условие полноты (|3), выражаемое равенством
B.1).
Любой инвариант (универсальный инвариант) группы Gr (/)
является инвариантом (универсальным инвариантом) семейства
векторных полей | (х)(В0). Это следует из критерия теоремы 17.1
и представления C.1). Поэтому, если г„ < га, то существование
универсального инварианта группы Gr (/), указанного в теореме
строения, следует из теоремы 17.2 и ее следствия. ¦
Из этой теоремы можно, как и в 3.6, сделать следующий вывод.
Следствие. Для любой группы Gr (/), удовлетворяющей усло-
условию теоремы, существует полный набор из га—rt скалярных

234	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
функционально независимых инвариантов
Р: X-+R (й = 1, ..., п-г,),	C.2)
обладающий тем свойством, что любой инвариант этой группы
может быть представлен как функция от инвариантов C.2).
На практике полный набор функционально независимых ин-
инвариантов обычно строится индуктивно с помощью процедуры,
аналогичной той, которая реализована в доказательстве теоремы.
В соответствии с полученными результатами всякая группа
Gr (f) = (B, ср, п, X) преобразований пространства X размер-
размерности dim X=n оказывается снабженной тремя целочисленными
характеристиками (г, п, г,), где г есть размерность группы, п —
размерность пространства представления и г? — общий ранг ка-
касательного отображения группы. Между этими числами сущест-
существуют обязательные соотношения
г*<г. г*<п-	C-3)
Поэтому группа, для которой г <^п, всегда имеет инварианты.
Но группа Gr (/) может иметь инварианты и в том случае, когда
г ^ п, лишь бы было гг < п.
Вообще, если гх < г, то касательные векторные поля ?й, по-
получаемые для всевозможных а ? В, называются линейно связан-
связанными. Это означает, что существует такое разложение в прямую
сумму В=В11 ф В', что dim Br=rf, пространство векторных
полей | (x)(BJ имеет общий ранг, равный rt, и для любого век-
вектора а' ?• В' справедливо представление
*А*)=Ч*)<%>{*)>	C-4)
с некоторым отображением wa>: X -> В^. При этом число
dim B'=r—rv называется числом независимых линейных связей
векторных полей |e? | (х)(В). Поэтому, если г ^> га, то группа
имеет инварианты, только если ее касательные векторные поля ga
линейно связаны, причем число независимых линейных связей
достаточно велико.
4. Инварианты внутренних автоморфизмов. При построении
оптимальных систем подалгебр (см. 14.7) полезно знать ин-
инварианты группы внутренних автоморфизмов Int U данной ал-
алгебры Ли U.
Согласно определениям 14.3 и 14.4 касательное отображение е
группы Int U задает для любого u?Lr векторное поле e;(=ad (и),
действующее по формуле еи (z) = ad (u)(x.y={x, и] (см. 14C.1)).
Так как здесь B=Lr, то максимальная размерность векторного
пространства ad (Lr) равна максимальному рангу линейного
отображения ad (и), когда вектор и пробегает U. Следовательно,
г = max rank ad (и).	D,1)

§ 17. ИНВАРИАНТЫ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	235
Но ранг линейного отображения ad (и): U -> U равен числу не-
ненулевых корней характеристического многочлена этого отобра-
отображения. Этот многочлен есть полином Киллинга алгебры Ли U
(см. 14.8). Поэтому в силу данного в 14.8 определения ранга I
алгебры Ли Lr формула D.1) дает rf=r—I. Так как I ^> 0 и га = г,
то группа автоморфизмов Int U всегда интранзитивна и полный
набор ее функционально независимых инвариантов состоит из
п—т^=1 скалярных инвариантов. Итак, универсальный инва-
инвариант / группы Int U есть отображение /: U -> R', где I —
ранг алгебры Ли Lr.
Легко устанавливается, что все ненулевые коэффициенты i. (x)
полинома Киллинга det (А/г—ad (x)) (см. 14 (8.2)) являются ин-
инвариантами группы Int U. Действительно, пусть А=А (х) — ка-
какой-нибудь корень характеристического многочлена и у — со-
соответствующий собственный вектор линейного отображения ad (x),
т. е. справедливо равенство
[у, х] = 1(х)у.
Под действием внутреннего автоморфизма А ? Int II это равенство
переходит в следующее:
[А (у), A(x)] = a(x)A.^j),
показывающее, что А (у} есть собственный вектор отображения
ad (А (х)), соответствующий тому же самому собственному зна-
значению А (х). Это означает, что каждое собственное значение А (х)
равно некоторому собственному значению X (А (х)). Так как
верно и обратное, то совокупность собственных значений отобра-
отображения ad (x) совпадает с совокупностью всех собственных зна-
значений отображения ad (А (хУ). Следовательно, все коэффициенты
(ненулевые) полинома Киллинга, как симметрические функции
его корней, суть инварианты группы Int 17.
Кроме того, пусть Z есть центр алгебры Ли Lr, и пусть Lr=
=ZQ)L8, где U — подалгебра в U. Тогда, если базис в U выбран
так, что он содержит базис центра Z, то в разложении произволь-
произвольного вектора x^U по базису ненулевые коэффициенты при ба-
базисных центральных векторах — также инварианты группы
Int U.
5. Примеры, (а) Иллюстрацией к п. 17.4 служит пример 14.9,
в котором LA=LSQZ, где центр Z порожден вектором щ и базис
в L3 есть {щ, и2, щ]. С помощью формулы 14 (9.3) для ad (v) по-
получается полином Киллинга алгебры Ли L3
I — Зх2 За;1	О
—ж3	X	х1
О —За;3 Х + За;3
= Х3 —3C(а;2J-2а;1а;3)Х.

236	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
Единственный ненулевой коэффициент есть т2(ж)=—-К(х, х), где
К — форма Киллинга, найденная в 14.9. Здесь 1 = 1 и есть один
скалярный инвариант /х: JZ2 —> R группы Int L3, действующий
по формуле Ji(x)=K<^x, х). Кроме того, если х = х"иа(*L4, то
инвариантом будет также х4'. Поэтому универсальный инвариант J:
К1—> R2 группы Int /у4 может быть взят в виде
(Р) Пусть Gs(f) — группа вращений пространства R3(x, у, г).
Базис ее алгебры Ли операторов Ls(?) таков;
ll-d = zd,-ydt, ^.d = —zdx + xdti га-д = уда-хд9. E.1)
Здесь г — п=3, но операторы E.1) линейно связаны, так как
x%i ~~\~ У^ ~г" z% == О» причем это единственная независимая их связь.
Поэтому г? = 2, в силу чего должен быть один скалярный инва-
инвариант. При его вычислении один из операторов E.1), например,
53 ¦ д, можно отбросить.
Сначала находится универсальный инвариант оператора 1г • д.
Очевидно, его можно взять таким:
При этом вектор ^@, 1, 0) = @, 0, —1) — ненулевой и можно
принять, что T = R(z). Тогда разложение 1=ТфГ можно выб-
выбрать в виде Б?{х, у, z) = .R(z) ®B2(x, у). Затем делается преоб-
преобразование вида B.3) с отображением р: (х, у, г)-»-(ж, у, 2), задан-
заданным формулами
х = х, у — \]у2-\-гг, s=z,
в результате которого первые два оператора базиса B.3) перейдут
в следующие:
С помощью подходящего преобразогания вида B.3) оператор ?а • д
можно перевести в оператор
с очевидным инвариантом 71(ж, у) = z* -j- уг. Окончательно искомый
универсальный инвариант группы вращений получается по формуле
JxoJ{x, у, z) = a;2-|-J/a + z2.
6. Инварианты расширений. Под расширением группы (В, <р, л, X)
здесь будут пониматься некоторые естественные переходы от нее
к группам (В, <р, "', X1), основанные на расширении пространства X

§ 17. ИНВАРИАНТЫ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	237
до пространства X1 и ему соответствующего расширения представ-
представления те до представления те'.
Первый способ такого расширения заключается в переходе
к кратным группам — удвоенной, утроенной и т. д. Для
построения удвоенной группы пространство X расширяется до
X2 = X X X и предполагается, что представление п одинаково для
обоих сомножителей. Тем самым определено удвоенное представле-
представление те2: (В, ср) —»• X2, а значит, и удвоенная группа (В, ср, те2, X2).
Если исходная группа порождается отображением /: X X -В -*¦ X
и ее касательное отображение есть ?, то удвоенная группа порож-
порождается отображением /2: X2 X -В -> X2, действующим по формуле
f{xv х2, a) = (f(xv a), f(x2, a)),	F.1)
где хх^Х, и х2?Х — независимо меняющиеся векторы. Касатель-
Касательное отображение %2 удвоенной группы есть отображение Х2-*Х2,
действующее по формуле
Для записи операторов удвоенной группы надо положить д = (дг, д2),
где дг и <Э2—операторы дифференцирования по векторам хг и а;2
соответственно. В этих обозначениях инфинитезимальяый оператор
удвоенной группы, соответствующий вектору а?3 и кекторному
полю il=(ia, 5„), имеет вид
Ц(xv ха).д = 1Й(хх) ¦ д, + 1а(х,) ¦ д2.	F.2)
Аналогично определяется утроенная и т. д., вообще, .%-кратная
группа (В, f, те*, X*) преобразований пространства X".
Пространство jB и группа (В, f) при переходе к ft-кратной
группе не меняются, а размерность dim Xft=:&dimX (в случае
конечномерного X) возрастает в к раз. Поэтому для достаточно
большого к расширенная fc-кратная группа необходимо интразитивна
и тем самым имеет инварианты. Инварианты к-кратной группы
называются k-точечными инвариантами исходной группы.
Например, группа Gi(f) переносов одномерного пространства
X = R(x), порожденная отображением х' = х-\-а, транзитивна.
Удвоенная группа Gl(f2), порождающее отображение которой есть
дает двухточечный инвариант 1 = хг — х% группы G1(f).
Второй способ расширения, составляющий основу группового
анализа дифференциальных уравнений, состоит в переходе к про-
продолженной группе. Он относится к группам Gr(h) = (B, <p» те, Z)
преобразований произведения Z = XXY. Продолжение группы
осуществляется путем продолжения каждого принадлежащего ей
преобразования ha до преобразования ha по правилу, описанному

238	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
в 4.5, и аналогично выполненному в 4.7 продолжению однопара-
метрической группы. В этом случае пространство Z=X X Y рас-
расширяется до продолженного пространства Zk = X X Y X rtX
. .. X Yk и соответственно представление п: (В, f)-+x(Z)— до
представления пк: (В, f)-*t(Zk). При этом продолженные преоб-
преобразования образуют группу Gr (h) = Gr (h) = (В, -f, кк, Zh), изо-
k	к
морфную исходной. Это гарантируется леммой 4.6.
Одновременно с группой продолжается и ее касательное отобра-
отображение С по правилам, описанным в 4.8. При этом продолженное
касательное отображение С является касательным отображением
к
продолженной группы Gr(h) и порождает продолженную алгебру
к
Ли U (С) = Lr (С) векторных полей (или операторов) на продолжен-
продолжение	к
ном пространстве Zk. Лемма 7.12 гарантирует, что алгебра Ли
Z/(?) изоморфна исходной алгебре Ли U (С).
к
При продолжении группы Gr(h) размерность пространства Zk
растет неограниченно вместе с А; и потому продолженная группа
Gr (h) для достаточно большого к необходимо интранзитивна
к
и имеет инварианты. Инварианты продолженной группы на-
называются дифференциальными инвариантами исходной группы.
Они уже обсуждались в 4.11. Для дифференциальных инвариан-
инвариантов справедливы все критерии и правила отыскания, изложенные
в настоящем параграфе. В частности, имеет смысл понятие уни-
универсального дифференциального инварианта порядка к как уни-
универсального инварианта продолженной группы С (/г).
А'
§ 18. Инвариантные многообразия
1. Определение. Понятие многообразия W с X, инвариантного
относительно однопараметрической группы G1 преобразований
пространства X, уже рассматривалось в 3.10. Это понятие три-
тривиально обобщается на случай произвольной группы (В, ср, п, X)
в силу того, что каждая такая группа является объединением при-
принадлежащих ей однопараметрических подгрупп (следствие тео-
теоремы 12.6). Вместе с тем в случае r-параметрических групп воз-
возникают некоторые новые факты, подлежащие изучению. Поэтому
уместно сформулировать независимо основное определение поня-
понятия инвариантного многообразия группы Gr (f)=(B, ср, тс, X).
Многообразие WaX называется инвариантным многооб-
многообразием группы Gr(f) (или многообразием, инвариантным отно-
относительно группы Gr (/)), если для каждой точки х ? W найдется
такая окрестность нуля ОсВ, что для любого а?О точка х' =
=/ (х, а) также принадлежит W.

§ 18. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ	239
Ясно, что W инвариантно относительно Gr (/), если и только
если W есть инвариантное многообразие любой ее однопараметри-
ческой подгруппы. Кроме того, если W—инвариантное многообразие
группы С (/), то оно также является инвариантным многообразием
любой подгруппы (см. 15.2) этой группы.
Ниже будут рассматриваться многообразия W, заданные не-
неявно (см. 3.11) в конечномерном пространстве X, dim Х=п. Это
означает, что задается открытое множество UaX и отображение
ф: U -^ Rs (где 0 < s < п) класса С т (U), причем ф (хо)—О для
некоторой точки х0 ? U и множество ф (Uo) открыто в W для любой
окрестности UoaU точки х0. При этих условиях многообразие Ч?
определяется как геометрическое место точек x?U, для которых
<i>(a)=0.	A.1)
2. Критерий инвариантности. В дальнейшем предполагается,
что уравнением A.1) многообразие Ч? задано регулярно (см. 3.11).
Это означает, что для каждого x?U производная <9ф (х), как ли-
линейное отображение X -> 1Г, имеет ранг на U, равный s. Тогда
этот ранг равен общему рангу г, векторного поля Зф на U (см. 17.2)
и условие регулярности многообразия A.1) записывается так:
s.	B.1)
При этих условиях размерность многообразия W равна dim W—
=п—s. Инфинитезимальный критерий инвариантности многообра-
многообразия формулируется с помощью касательного отображения \
группы G* (/).
Теорема. Многообразие W, регулярно заданное уравне-
уравнением A.1), инвариантно относительно группы Gr (/), если и только
если
oi(x)\v = 0.	B.2)
Доказательство. Пусть 1а есть векторное поле на U, соот-
соответствующее вектору а?В, т. е. %а(х) = Ъ(х)(а)>. Очевидно, что
равенство B.2) равносильно равенству dty(x)(ia(x))\v=0 или, что
то же самое, рапенству (?а • д) ф |ф = 0. Последнее совпадает с 3 A2.1)
и в силу теоремы 3.12 дает критерий инвариантности многообра-
многообразия Ч1" относительно однопараметрической группы G1 (?й). Поэтому
оба утверждения теоремы следуют из того, что группа Gr (/) есть
объединение всех групп G1 (|я), получаемое когда вектор а про-
пробегает пространство В. щ
Существует простой способ формирования инвариантных мно-
многообразий данной интранзитивной группы Gr (/). Берется любой
ее инвариант F: X -> 2?* и образуется уравнение F (х)=0. За-
Заданное этим уравнением многообразие в X инвариантно относи-
относительно группы Gr (/). Этот факт очевиден в силу определения ин-
инварианта 17.1 (или в силу критерия 17 A.3)). В дальнейшем

240	ГЛ- v- ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
будет показано, что этот способ образования инвариантных мно-
многообразий, кажущийся на первый взгляд сильно ограниченным,
на самом деле является общим.
Замечание. При переходе от группы Gr(f) к ей подобной
группе Gr(f) с помощью преобразования р пространства Х(см. 16.9)
любое инвариантное многообразие 4х группы Gr(f) переходит, оче-
очевидно, в инвариантное многообразие W группы Gr(f). При этом,
если W задано уравнением A.1), то уравнение преобразованного
многообразия ЧГ' таково:
^ор-1(х) = 0.	B.3)
3. Индуцированная группа. Согласно данному в 17.1 определе-
определению инвариантного многообразия W группы Gr(f)=-.(B, <р, тс, X)
для каждой точки X ? ЧГ и для любого а ? О определен образ х' =
= fa(x)?W. Для получения этого образа нет необходимости рас-
рассматривать преобразование /а на всем пространстве X; достаточно
использовать лишь его сужение fa\W на многообразие W. Ясно,
что это сужение является локальным преобразованием многообра-
многообразия W.
Преобразования /J4T: Ч7-^!' называются индуцированными
преобразованиями инвариантного многообразия Ф группы Gr(f),
Множество индуцированных преобразований задается сужением
f\W порождающего группу Gr(f) отображения /. Это сужение /|f
будет называться индуцированным отображением ?XO->W; оно
может рассматриваться как отображение окрестности нуля О СГ В
в группу t(W) всех преобразований многообразия W, действующее
по формуле (Л «F)e=/J?.
Легко проверяется, что индуцированное отображение /1 W поро-
порождает представление nw группы (В, <р) в группе r(W), действу-
действующее по формуле izw(a) = fa\W. Действительно, согласно данным
определениям для х(- W будет n^(a)(x) = f(x, а) и справедливы
равенства nw(b)on^(a)(x) = f(f(x,a), b)—f(x,<p(a,b)) = nlsr(<p(a,b)).
Полученное представление kw: O-^-t(W) является гомоморфизмом
группы (В, у) и группу х(W). Поэтому его образ тгф(О) есть груп-
группа преобразований многообразия W.
Группа ^@) называется индуцированной группой на
инвариантном многообразии Ф" группы Gr(f) и будет обозначаться
также символом G (/1 W).
На самом деле индуцированная группа G(f, |Ф|) является ло-
локальной группой Ли преобразований многообразия 4f (рассматри-
(рассматриваемого как локально банахово пространство — см. 15.2). Для
установления этого факта рассматривается ядро представления i%,
которое, очевидно, образовано теми и только теми а?О, для ко-
которых преобразование /а оставляет неподвижными все точки х ? Ч7.

§ 18. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ	241
Лемма. Совокупность преобразований /„, оставляющих не-
неподвижными все точки инвариантного многообразия *F, есть нор-
нормальный делитель группы Gr (/).
Доказательство. Пусть /4?Gr(/) и fa(x)=X для всех
z?W. Тогда, если х1 =zfb(x), то %'QW в силу инвариантности W
Георема. Группа G(f\W), индуцированная группой Gr(f) на
ее инвариантном многообразии W, является группой Ли преобра-
преобразований многообразия W.
Доказательство. Нормальному делителю группы Gr(f) со-
соответствует нормальный делитель Нр ее параметрической группы
Gr = (B, ср). Пусть Gr/HP = (B, ф)—соответствующая факторгруппа
(см. 15.5) с законом умножения классов (а, 5)-+<р(а, В). Легко
проверяется, что отображение s: (В, ф)-^> т (VP), действующее
по формуле >a(a) = fa\W, если а?а, есть представление группы
(В, ф). Утверждается, что представление я — точное. Действи-
Действительно, если й(а) = /чг, т. е. й (а) (#) = / (ж, а) = х для всех X^W,
то по построению а ^ Нр и а = 0. Остальное следует из определения
16.1, все условия которого выполнены. Щ
Нормальный делитель Нр с помощью представления п дает
группу (Нр, ср', я, X) преобразований пространства X, элементы ко-
которой, и только они, оставляют на месте все точки инвариантного
многообразия Ч1".
Группа (Нр, ср', л, X) называется стационарной груп-
группой многообразия W.
Для отыскания порядка р стационарной группы можно, не нарушая
общности вывода, считать группу (В, ср) канонической. Тогда ра-
равенство fta (х) = х для однопараметрической подгруппы G1 (fta) с Gr (/)
равносильно расенству ?(г)<^а^> = 0. Это означает, что если ж^ЧР",
то последнее равенстсо выполнено для всех а?Нр, и только для
них. Поэтому для любого^^W справедлира формула dim\(x)(B) =
= т—р. С другой стороны, пусть rt(i|?r) обозначает общий ранг
касательного отображения I группы G"'(/) на многообразии W, Этот
ранг вычисляется через размерность пространства векторных полей
Цх)(В) по формуле г,(?| Ф") = (Ит^(г)(-В). Следовательно, размер-
размерности стационарной подгруппы (Нр, ср', тс, AT) инвариантного мно-
многообразия W группы Gr(f) и индуцированной на W группы
(В, ф, nw, W) даются формулами
dim Л'= р = г —
dimB= r — р =
4. Индуцированная алгебра Ли. Пусть ?а — векторное поле на
пространстве X, принадлежащее алгебре Ли Lr(i) группы Gr (/).
Сужение этого векторного доля на некоторое многообразие W

242	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
обозначается символом ?в|1". Для любых двух векторных полей
Ъа, lb<cLr(t) коммутатор их сужений на W определяется формулой
[У1?. S»l^ = t5e, У|^.	D.1)
Очевидно, что множество всех сужений %а | W, получаемых когда
вектор а пробегает пространство В, с операцией коммутации D.1)
образует алгебру Ли. Она будет называться индуцированной алгеб-
алгеброй Ли на многообразии W и будет обозначаться символом L (S | ЧР").
В случае произвольного многообразия Ф польза от введения этого
понятия невелика ввиду его слабой связи с исходной группой.
Иначе обстоит дело, когда W есть инвариантное многообразие
группы Gr(f).
Теорема. Если W — инвариантное многообразие группы Gr (/),
mo индуцированная алгебра Ли Ь(ЦШ) является алгеброй Ли
индуцированной группы G (/1 Ч7) и ее размерность равна r^ (? | W).
Доказательство. Для реализации алгебры Ли L (?) группы
<?(/), где / = /|47, используются обозначения и факты из доказа-
доказательства теоремы 18.3. Предполагается, что параметрическая группа
C" = (jB, со) группы Gr(f) ярдяется канонической. Тогда ее нормаль-
нормальный делитель Нр и факторгруппа G'/Нр = (В, ф) также канониче-
канонические. Поэтому однопараметрические подгруппы группы G (/) имеют
вид {Jta}, где 5? В. Но по определению fta{z) = / (^, Щ, если а ? а.
Поэтому вычисление касательного векторного поля %а однопараметри-
ческой подгруппы {jta} Дает
h {х) = djtu (х) [м = dj {х, tu) |м = I {х) (а) = (ge | IF) (x),
т. е. fa = ia|4r. Определенное этим равенством отображение алгебр
Ли L (?) —*¦ L (S | 47) является взаимно однозначным, так как если
\п\Ч! = \Ь\Ч, то ?(я)<^а — &^ = 0 для любого X(^W, откуда следует,
что а — Ъ?НР и а = Б в силу леммы 15.5. Следовательно, алгебры
Ли ?([)е? (?J W) совпадают как множества. Кроме того, в силу
соотношений [?й, Ы = ?[а, 5] = 1^^ = ^, S] 11" = [?e, M I ^ и опре-
определения D.1) в этих алгебрах Ли совпадают и операции ком-
коммутации. Наконец, утверждение о размерности индуцированной
алгебры Ли следует из формулы C.1). ¦
5. Наименьшие инвариантные многообразия. Пусть группа
Gr'(/) порождена отображением /: U X О ->• X произведения откры-
открытого множества UdX на окрестность нуля ОаВ. Рассматривается
орбита fx (О) некоторой фиксиро энной точки x?U. Как уже было
отмечено в 16.10, если эта орбита содержит окрестность точки х,
то группа Gr(/) транзитивна в этой точке. В этом случае точка х
не может принадлежать никакому инвариантному многообразию
группы Gr(f).

§ 18. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ	243
Напротив, пусть орбита fx{0) не содержит никакую окрестность
точки .т.Тогда эта орбита есть многообразие в X, заданное пара-
параметрически уравнением x = f(x, а) с векторным параметром а?О.
В этом случае орбита fx(O) является инвариантным многообразием
группы Gr(f), так как если x^fx (О), то x = f(x, а) с некоторым
а?О и для любого Ь?О (при условии, что |й| достаточно мала)
также f(x, b) = f(x, <p(a, b))?fx(O). Кроме того, ясно, что всякое
инвариантное многообразно группы G'' (/), содержащее х, необхо-
необходимо содержит и орбиту fx{0). Поэтому орбита fx{0) является
наименьшим инвариантным многообразием группы Gr(/), содер-
содержащим точку х. В соответствии с результатами 16.10 размерность
орбиты fx{0) дается формулой
dim fx (О) = rank i (х).	E.1)
Лемма. Группа G(f\fx(O)), индуцированная на орбите fx(О)
любой точки xQU, просто транзитивна.
Доказательство. Если x1=f(x, а) и xa = f(x, b) — любые
две точки из fx{0), то ж2 = /(ж1, <p(fiT\ b)), т. е. хг
переводится в х2 преобразованием, принадлежащим группе.
Поэтому группа G(f\fx(O)) транзитивна. Кроме того, как как раз-
размерность индуцированной группы дается формулой C.1) и тем
самым равна общему рангу r?(i\fx(O)), то свойство просто транзи-
транзитивности группы G(f\fx(O)) вытекает из следствия 17.10.2 ¦
6. Особые инвариантные многообразия. Пусть r? = rt(i) есть
общий ранг касательного отображения ? группы Gr(f) на множестве
U, определенный формулой 16A0.1), причем не предполагается, что
? имеет ранг на U (т. р. п разных точках x?U ранг rank с (х) мо-
может быть различным). С помощью числа rf все точки xQU подраз-
подразделяются на особые и неособые.
Точка х называется особой точкой (группы Gr (/)), если
rank ?(#)<>.,,, и неособой точкой (группы Gr(f)), если rank I (х) = г#.
Многообразие W с U называется особым многообразием
группы Gr'(/) (или ее алгебры Ли ЬГ(Щ, если все его точки — осо-
особые и если касательное отображение ? имеет ранг на W. Дру-
Другими словами, особое многообразие характеризуется тем, что для
любой точки х ? W
rank ? (я) = г, E1 ?)</-..	F.1)
Многообразие W CZU называется неособым многообразием
группы Gr (/) (или ее алгебры Ли V (?)), если все его точки — не-
неособые, т. е. если выполнено равенство
г.т) = г,-	F-2)
Этими определениями, в частности, все инвариантные многообразия
группы Gr(f) подразделяются на особые и неособые инвариантные
многообразия.

244	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
Д,я отыскания особых многообразий имеется простой алгоритм,
реализуемый в каких-нибудь системах координат и пространстгах
J3 и X. Пусть {иа} — базпс л jB(a= 1, ..., г) и {е(} — базис в
X (i= 1, .. ., п), причем разложения векторов х, 1?Х имеют ьид
х = х'е(, l = Vet и базис алгебры Ли U'(?) образоган векторами
%л{х)=.%{х)(и1^>. Тогда касательное отображение I адекгатно оггасы-
гается г\п матрицей
M(x)=(l*(x)) (i = l	га; а = 1	г),	F.3)
где I — номера столбцов и a — номера строк. При этом спранед.iиi:o
раг.енстго
rank \ (х) — rank M (ж),	F.4)
в силу которого на матрицы вида F.3) очевидным образом пере-
переносятся понятия «М имеет ранг на U», «общий ранг г„ (M)», «об-
«общий ранг гг (М|Ч?)>> и т. д. Удобство этого представления состоит
в том, что ранг матрицы вычисляется с помощью простых алгебраи-
алгебраических операций, которые для не очень больших значений г и п
выполняются до конца.
Для отыскания общего ранга матрицы М надо найти ее минор
наибольшего порядка, не тождественно равный нулю; порядок
этого минора равен r? {M).
Для того чтобы найти особые многообразия, надо вычислить
все миноры матрицы М порядка г, (М) и приравнять их нулю.
Совокупность S всех решений (наборов координат {х1} точки х)
полученной системы уравнений является множеством всех особых
точек матрицы М, а значит, и группы Gr (/). Любое многообразие
WCiS1, на котором М имеет ранг, есть особое многообразие группы
Gr (/). В общем случае многообразие W не обязано быть инвариант-
инвариантным. Проверка многообразия на инвариантность выполняется
с помощью критерия 18.2.
7. Теорема о представлении. Алгоритм, изложенный в преды-
предыдущем пункте, не позволяет находить неособые инвариантные
многообразия группы G" (/). Их описание дается следующей теоре-
теоремой о представлении неособого инвариантного многообразия,
в которой речь идет о многообразиях W, удовлетворяющих условию
dim1r<ra.	G.1)
Теорема. Неособые инвариантные многообразия группы
G' (/) существуют, если и только если эта группа интранзитивна.
Если неособое инвариантное многообразие группы Gr (/) задано
регулярно уравнением A.1), то существует такой инвариант
этой группы F : X -> R", что это многообразие задается уравне-
уравнением F (х)=0.
Доказательство. Если группа Gr (/) транзитивна и
? — ее неособое инвариантное многообразие, то орбита fg (О)
точки х ? W принадлежит W и одновременно содержит окрестность

§ 18. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ	245
точки х в пространстве X. Поэтому dim 4T=dim Х=п, что про-
противоречит условию G.1). Если же эта группа интранзитивна, то
она имеет инварианты, а значит, и неособые инвариантные много-
многообразия, получаемые по способу, изложенному в 18.2.
Пусть ЧГ есть неособое инвариантное многообразие группы Gr(f),
регулярно заданное уравнением A.1). Регулярность этого задания
означает, что dim ЧГ = п — s, и так как для любой точки х ? ЧГ ее
орбита /j(O)c?, то справедливо неравенство r?^.n — s.
Так как группа Gr(f) интранзитивна, то она имеет универсаль-
универсальный инвариант /: X->Rtt~r*. Далее, если rr<^n — s, то сущест-
существует универсальный инвариант 7 индуцированной группы ?(/|Ч?"),
который в силу неособости ЧГ и равенства F.2) является отобра-
отображением 7: ЧГ -> И"-'-г*. С другой стороны, сужение /|ЧГ есть,
очевидно, инвариант индуцированной группы G (/1 ЧГ) и потому
может быть представлен в виде /|ЧГ = Фо7 с некоторым отобра-
отображением Ф: R"-'~r* -> R"-r*. Ввиду того, что образ 7(ЧГ) содержит
открытое множество WczHn~3'r; отображением Ф задано многооб-
многообразие Q(W)(zR"~r*(y) размерности п — r? — s'^.n — r? — s, где
s^s'. Многообразие Ф(И') может быть задано также неявно урав-
уравнением ш(г/) = 0 с некоторым отображением со; R*-**-* R'', причем
r,(du)) = s'. Тем самым определен инвариант F группы GT(f) как
отображение X^>RS', действующее по формуле F(z) = coo / (х).
Утверждается, что многообразие Чг' с X, заданное уравнением
F(x) = 0, совпадает с Чг.
Действительно, для любого ж^Ч^'по построению y = J(x)(*W
и Ф(г/)^Ф(И/) в силу чего F(х) = ш(Ф(у)) = 0. Это означает, что
W(Z^' и потому dim<F^dim4r/. Но dim 4!"' = п — s', так как
г9 (дш) = s1. Поэтому справедливо неравенство п — s ^ п — s', откуда
s'^s. Вместе с ранее полученным неравенством s^s' это дает
sf == s. Следонательно, оба многообразия Чг и W имеют одинаковую
размерность, и из включения ЧТсЧТ' следует их совпадение.
Если же гщ = п — s, то индуцированная группа G(f\W) просто
транзитивна в силу равенстра C.1) и следствия 16.10.2. Поэтому
ЧГ есть наименьшее инвариантное многообразие группы Gr(f) и сов-
совпадает (локально) с орбитой некоторой точки жо^Цг. Но этим же
свойством обладает многообразие ЧГ', заданное уравнением J (х) =
= J (х0), также имеющее размерность п — s. Поэтому W совпадает
с ЧГ и утверждение теоремы справедливо с отображением х -> F (х)=
= /(*)-/(*„).¦
8. Ранг неособого инвариантного многообразия. В ходе дока-
доказательства теоремы 18.7 установлено, что размерность любого
неособого инвариантного многообразия группы С (/) не меньше
числа r^rf (l). Она равна этому числу только для неособых на-
наименьших инвариантных многообразий (орбит неособых точек),

246	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
которые все задаются с помощью универсального инварианта /
группы Gr (/) уравнением вида / {x)=J (x0).
Теорема 18.7 позволяет снабдить каждое неособое инвариантное
многообразие важной числовой характеристикой — рангом.
Рангом неособого инвариантного многообразия W размерности
dim \Р = гс — s группы Gr(f) называется число
о — р(п/) —гс — s — ?v	(8.1)
Геометрический смысл ранга выясняется путем рассмотрения
пространства R"~r*(y), n которое действует универсальный инва-
инвариант 7 группы Gr(f). Это пространств будет называться про-
пространством инвариантов. Точками (векторами) простран-
пространства инвариантов являются значения универсального инварианта
y=J {x), получаемые когда точка х пробегает открытое множество
UciX- В силу теоремы о представлении 18.7 неособое инвариант-
инвариантное многообразие ЧГ задается уравнением со о/ (х)=0, которое
можно рассматривать как уравнение в пространстве инвариантов
со (г/)=0 и считать уравнением многообразия ? в этом простран-
пространстве. В силу равенства г^ (<9ш)=$ размерность последнего равна
разности п — г, — s, т. е. числу (8.1). Следовательно, ранг не-
неособого инвариантного многообразия равен размерности этого
многообразия в пространстве инвариантов.
На практике универсальный инвариант / группы Gr(f) обычно
представляется в виде полного набора {71, . . ., 7"~г*} функционально
независимых скалярных инвариантов (см. 17.3). В этих терминах
теорема о представлении неособого инвариантного многообразия
размерности п — s означает, что такое многообразие всегда может
быть задано системой уравнений в пространстве инвариантов
и'(у1, .... у-'.) = 0 (а=1,...,*).	(8.2)
Уравнения (8.2) независимы в том смысле, что rrEvco")=:s.
Уравнения этого многообразия в пространстве X получаются, если
положить i/v = /v (ж) (v=l	п — rj, и имеют вид
9. Пример. Рассматривается алгебра Ли ?3A) группы G3(f)
преобразований пространства Б?(х, у, z), порожденная операторами
&i • д = д*> k ¦ д = хдх
Соответствующая матрица М здесь такова:
/1 0 0 \
М(х, у, z) = \ х у z
\зР- 2ху 2xz)

§ 19. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ	247
Очевидно, что ее общий ранг гщ(М) = 2. Видно также, что эта
матрица не имеет ранга ни в какой окрестности начала координат.
Так как здесь гг<^п = 3 и п — ^ = 1, то группа Gs(f) интран-
зитивна, а ее универсальный инвариант есть отображение
/: В?(х,у, z)-*R. Этот скалярный инвариант легко находится как
решение системы уравнений
x2dj + 2худ,/ -f 2xzdJ = О
и может быть взят в виде J=y/z. Множество S особых точек группы
G3 (/) получится, если вычислить все миноры второго порядка мат-
матрицы М и приравнять их нулю. Эта система здесь равносильна
следующей:
у = 0, 2 = 0,	(9.1)
т. е. задает ось х. Во всех точках этой оси rank (M\S) = i, в силу
чего М \S имеет ранг и (9.1) есть особое многообразие. Применение
критерия 18.2 показывает, что (9.1) является инвариантным мно-
многообразием группы G3 (/). Оно не может быть задано никаким урав-
уравнением вида F (y/z)=O с отображением F класса Сго в окрестности
оси х.
Легко проверяется, что плоскость W с уравнением
является неособым (кроме точек оси х) многообразием, инвариант-
инвариантным относительно группы G3 (/). С помощью универсального ин-
инварианта / она задается также уравнением /=1. Ранг этого ин-
инвариантного многообразия равен нулю.
§ 19. Инвариантные решения уравнений
1. Сводка исходных понятий. Рассматривается дифференциаль-
дифференциальное уравнение Е (система из s скалярных уравнений) вида 5A.1),
удовлетворяющее условиям, описанным в 5.1. Это уравнение задано
с помощью отображения е: Zh —> К' продолженного пространства Zk
(см. 4.2), полученного продолжением пространства Z^XX Y, где
X=Rn{x), Y = Rm(y). При этом вектор х?Х называется «неза-
«независимым переменным», а вектор y?Y—«искомой функцией».
Предполагается известной и фиксированной некоторая группа Ли
Gr(h) = (B, ср, тс, Z) преобразований/^ пространства Z, допускаемая
уравнением Е (см. 16.12). Эта группа может совпадать с основной
группой GE уравнения Е, а может быть только некоторой подгруп-
подгруппой основной группы. В большинстве построений участвует лишь
алгебра Ли Lr(J.) группы Gr(h), элементами которой являются век-
векторные поля Ся: Z->Z, действующие по формуле Ca(z) = (Sa(z), \(z))

248	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
и записываемые в виде операторов
A.1)
В соответствии с понятиями продолженной группы Gr(h) = Gr(h),
к	к
как группы продолженных преобразований ha: Zk -> Zk, и продол-
к
женной алгебры Ли U (С) = U (С), как алгебры Ли операторов ?я . д,
к	к	к
и с определением 5.2 уравнение Е, как многообразие Е с Zk,
является инвариантным многообразием группы Gr(h) (алгебры Ли
к
//(Q) или дифференциальным инвариантным многообразием (см. 4.11)
исходной группы Gr(h) (алгебры Ли //(?)).
В дальнейшем предполагается, что многообразие Е является
неособым (в смысле 18.6) инвариантным многообразием продол-
продолженной группы Gr (h).
к
Каждое решение и уравнения Е есть отображение ЛГ-> Г, дей-
действующее по формуле у = и (х). Множество всех решений класса
Ст(У) на открытом множестве V (Z X будет обозначаться симво-
символом SE. Решению и соответствует многообразие U CZ Z, заданное
уравнением
у=и(х).	A.2)
С помощью отображения и: Х-> Z, действующего по формуле
о
и(х) = (х, и(х)), многообразие U может быть задано также пара-
о
метрически, а именно, U = u(V). Продолжение решения выпол-
о
няется по формуле 4D.1), в силу которой многообразие U также
продолжается до многообразия Uk С Zk, определенного форму-
формулой 5F.2). Как и в 7.6, езойство отображения и: V -> Y быть
решением уравнения Е равносильно вложению Uk С Е.
Фундаментальное значение ситуации «уравнение Е допускает
группу Gr(h)» состоит в том, что группа Gr(h) действует на мно-
множестве решений SE (см. 5.6). Это означает, что под действием
любого преобразования ha^Gr(h) каждое решение ufcSE преобра-
преобразуется в решение того же уравнения Е. Преобразование решений
и->ма выполняется по формуле 5G.3), которая может быть пере-
переписана в виде
Ua=^{gaou)o(faou)-\	A.3)
о	о
если преобразование ha = (fa, ga) действует по формуле ha(z) =
= (/аB), *.(*)).
2. Определение. Если дифференциальное уравнение Е допу-
допускает группу Gr(h), то оно допуекаот и любую ее подгруппу Н.

§ 19. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ	249
В соответствии с этим понятие инвариантного решения опреде-
определяется так, чтобы оно охватывало все подгруппы Hc.Gr(h).
Решение u?SE называется инвариантным Н-региением
уравнения Е, если ему соответствующее многообразие U является
инвариантным многообразием группы Н.
Ясно, что многообразие — решение U имеет размерность dim U =
= ra = dimX. С другой стороны, очезидно, что г9 (д (у — и(х))) = т.
Следовательно, так как dim Z = п -\- т, многообразие U уразне-
нием A.2) задано регулярно (см. 18.2). Пусть С есть касательное
отображение группы Н и справедливо представление A.1). Приме-
Применение к U критерия инвариантности регулярно заданного много-
многообразия 18.2 дает следующий критерий инвариантности решения
uQSE: для любого x?V
i\(x, и(х)) — ди(х)<?(х, и(х))) = 0.	B.1)
Инвариантное Я-решение и называется особым или неособым
в зависимости от того, язляется соответствующее многообразие U
особым или неособым многообразием группы Я.
3. Необходимые условия. Пусть г9 = т^ (С) — общий ранг каса-
касательного отображения С группы Н. Для выяснения вопроса о том,
будет ли данное инвариантное Я-решение и особым или неособым,
надо, согласно 18.6, найти число rr({,\U) и сравнить его с г#. Но
в силу условия инвариантности B.1)
Поэтому решение и особое, если г (?!?/)<>, и неособое, если
Итак, решение и неособое, если и только если
Г.#\Щ=:Г,	C.1)
Если и есть неособое инвариантное Я-решение, то соответствую-
соответствующее инвариантное многообразие U имеет определенный ранг, рав-
равный его размерности в пространстве инвариантов. Но универсаль-
универсальный инвариант группы Н является отображением /: Z-^-Rn+m'r*,
а размерность U равна (п-\-т) — т = п. Поэтому формула 18(8.1)
дает следующее значение ранга неособого инвариантного Я-решения:
р = р(Я) = »-г..	C.2)
Кроме того, в силу теоремы о представлении 18.7 неособое
инвариантное многообразие U, регулярно заданное уравнением A.2),
может быть задано регулярно уравнением вида
о)о/(г) = 0	C.3)
с некоторым отображением со: Rn+m-r* -*¦ Rm класса Ст, причем

250	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
Лемма. Для того чтобы уравнение Е, допускающее группу Н,
имело неособые инвариантные Н-решения, необходимо выполнение
соотношений
r.<n, r.(dfJ) = m.	C.4)
Доказательство. Так как уравнение C.3) равносильно
уравнению A.2), то из него можно найти «искомый» то-мерный
лектор у = и(х). Поэтому должно быть выполнено равенство
гЛду(<о°])) = т- Но d1/((ooJ) = d(o(J)od!/J, и так как r,(9y/)^m,
то в силу известной теоремы о ранге композиции линейных отоб-
отображений и равенства г^(дш) = т отсюда следует второе соотно-
соотношение C.4). Первое фактически уже доказано выше: оно следует
из равенства C.2), так как р^О. ¦
В приложениях пользоваться равенством C.4) не очень удобно,
так как это требует предварительного знания универсального инва-
инварианта. Более тонкое инфинитезимальное условие существования
инвариантных Я-решений, проверка которого вместе с тем значи-
значительно проще, имеет вид
r,<*. r,(l) = r,	C.5)
п вытекает из следующей теоремы.
Теорема. Для существования неособых инвариантных Н-ре-
шений необходимо выполнение соотношений C.5), причем ра-
равенство C.4) есть следствие равенства C.5).
Доказательство. Так как rx (I \ U) <^ г, (?) ^ г,, то равен-
равенство C.5) следует из C.1) и необходимость соотношений C.5) оче-
очевидна. Пусть C.5) выполнено. В силу равенства г, (С) = г, линейное
отображение С (z): В -> Z, где В = Rr, можно сузить до такого
отображения С (z): Uo -> Z, где Во = Rr* с В, что отображение
C(z) — полное и универсальный инвариант для С совпадает с /
(см. доказательство теоремы 17.3). Ясно, что подпространство Во
можно выбрать таким, что если положить С = (?, Щ), то г„(?) = г,.
Тогда ? можно представить в виде ? = (?', ?"), где г,(?') = г, и
линейное отображение I' (z): Bo-*\' (z)(B0) обратимо. Пусть этому
представлению соответствует разложение пространства X в произ-
произведение Х = Х' XX", причем X' = % (z)(B0), и пусть х — (х', х").
В этих обозначениях условие того, что / — инвариант, принимает вид
и после действия на него обратного отображения ?'~а таково:
dx,j -f^oi'-1) • дх„1 -f (ijor1) • э/=о.
Следовательно,

§ 19. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ	251
Но справедливо общее неравенство г, (dx»J, dyj) ^ r? (dx»J) -\- г, (dyJ),
в котором, очевидно, r,(dx»J)^.p и r?(dffJ)^m. Поэтому преды-
предыдущее равенство возможно, только если rt (д J) = m. Я
4. Проекции. Пусть Z=Rm+f(z) есть пространство инвариан-
инвариантов, в которое действует универсальный инвариант / группы Н.
В силу теоремы о представлении 18.7 для любого неособого инва-
инвариантного многообразия 1" (Z Z группы Н определена его проекция
Ш = 7 (W) в пространстве инвариантов Z. Соответствие между
неособыми инвариантными многообразиями и их проекциями яв-
является взаимно однозначным, так как справедливо следующее
утверждение.
Л е м м а. Неособое инвариантное многообразие W однозначно
определено своей проекцией W в пространстве инвариантов.
Доказательство. Пусть_ W = /~1(VF) есть многообразие —
полный прообраз многообразия ? в Z. Тогда Ф = J (W) и потому
многообразие W инвариантно. Действительно, если z ? W и z' =
= ha(z) с некоторым преобразованием ha?H, то /(z') = J(z), т. е.
z'?W. Кроме того, f с^', и поэтому многообразие W'—¦ неособое.
Значит, W имеет ранг р', равный его размерности в пространстве
инвариантов (см. 18.8), т. е. размерности многообразия *Р в Z.
Но эта размерность рагзна рангу р неособого инвариантного много-
многообразия W, так что р' = р. В силу формулы 18(8.1) отсюда следует,
что размерности многообразий W и W равны. Следовательно,
?' = ?.¦
Следствие. Для любого заданного многообразия W (Z.Zсуще-
(Z.Zсуществует одно и только одно неособое инвариантное многообразие
"Р С Z, проекцией которого является W.
Замечание 1. Справедливо правило вложения проекций:
Фг С Ф2> если и только если ?Г1 с ^2-
Замечание 2. Если W задано уравнением 6(z) = 0, то со-
согласно теореме о представлении 18.7 оно задается также уравне-
уравнением вида <|)o/(z) = 0 или, если положить z = 7(z), уравнением
ф(г) = О. Уравнение ф(г) = О будет называться проекцией урав-
уравнения ф(г) = О в пространстве инвариантов. При этом проекция
ф(г) = О задает многообразие W CZ Z, которое является проекцией
многообразия W. Действительно, если z ? W, то ф(г) = О, что равно-
равносильно равенству ijJo/(z) = 0, т. е. z = J(z)^W. Так как это верно
для любого z?W, то 7(ЧГ) = ЧГ.
В дальнейшем пространство инвариантов Z рассматривается как
произведение Z = XxY, где Х^=Л9{х), Y=Rm(y), так что
Z = (x, у). Соответственно этому универсальный инвариант 7
представляется в виде 7 = G17 72), причем его компоненты —
инварианты 7Х: Z->X и 72: Z->Y действуют по формулам

252	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
x=J1(x, у) и y = J2(x, у). Предполагается, что это представление
выбрано так, чтобы были выполнены равенства
»".(№ = Р. г.{д,7,) = т,	D.1)
что всегда возможно при условиях C.4).
В этих обозначениях неособое инвариантное многообразие U
с уравнением A.2) может быть задано в пространстве инвариантов
уравнением вида г/ = й(г) с некоторым отображением й: X-+Y.
Это уравнение задает проекцию О многообразия U в Z. Отобра-
Отображение б будет называться проекцией отображения и в простран-
пространстве инвариантов.
Обратный переход от проекции й к и выполняется путем реше-
решения относительно у уравнения
Тл(х, у) = пA1(х, у)).	D.2)
В общем случае предыдущими условиями разрешимость уравне-
уравнения D.2) не гарантируется. Отображение й: JST—> Y будет назы-
называться восстанавливаемым, если уравнение D.2) разрешимо, т. е.
определяет (неявно) отображение и: X-*-Y, действующее по фор-
формуле A.2). Таким образом, каждое восстанавливаемое отображе-
отображение й является проекцией некоторого отображения и, задающего
с помощью уравнения A.2) неособое инвариантное многообразие
группы Н. В силу леммы соответствие между и и й является
взаимно однозначным.
5. Продолжение инвариантного многообразия. Пусть инва-
инвариантное многообразие U группы Gr(h) задано уравнением Ф(г) = 0
с i омощыо отображения Ф: Z^>Rm, удовлетворяющего уравнению
(С-Э)Ф = Х.Ф	E.1)
с некоторым коэффициентом X: Z-><S?(Bm), а также условию
гщ(д„Ф) = т.	E.2)
Для некоторого к~^\ образуется продолженное многообразие
С Zk, заданное системой уравнений Ф = 0 и
0, ..., ?>*Ф = 0,	E.3)
где D — оператор полного дифференцирования 4C.1). В силу усло-
условия E.2) уравнения E.3) могут быть разрешены относительно ве-
величин у, . . ., у, так что система E.3) равносильна системе вида
y = v(x, у), y=v{x, у)	y = v{x, у).	E.4)
11	2 2	к к

§ 19. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ	2t>3
Лемма. Многообразие Uk является дифференциальным инва-
инвариантным многообразием группы Gr(h).
Доказательство. В силу ус юаня E.2) многообразие Uk
уравнения E.3) задано регулярно. Пусть Са • д есть любой оператор
алгебры Ли Z/(C) группы Gr(h). Применение стандартного комму-
коммутатора 4(9,5), образозангюго с оператором ца • д, к отображению Ф
со
дает соотношение
D> (Са • дФ) - (Са ¦ д) О'Ф =
справедливое для каждого s = l, . . ., к. Так как Са • ЗФ = Х • Ф,
со
то предыдущее соотношение на многообразии Uk, заданном системой
уравнений E.3) (а также Ф = 0), принимает вид
(Св.5)Я'Ф|,& = 0 (, = 1, 2,..., к).
Следовательно, Uk инвариантно в силу критерия 18.2. ¦
Пусть дан дифференциальный инвариант F: Zk —»• Р, т. е. ин-
инвариант продолженной группы Gr(h), и его сужение F\Uk. В силу
задания многообразия Uк системой уравнений E.4) это сужение
может рассматриваться как отображение F\Uk: Z-+P.
Следствие 1. Отображение F \ Uk является инвариантом
группы Gr(h).
Доказательство. Так как Uk — инвариантное многообразие
группы Gr(h), то сужение F\Uk ее инварианта F является инва-
к
риантом индуцированной группы Gr{h)\ Uk. Но в силу представ-
к
ления Uk системой уравнений E.4) все преобразования ha\ Uk сов-
падают с преобразованиями ha, принадлежащими группе Gr(h), так
что индуцированная группа Gr(h)\Uk совпадает с Gr(h). Поэтому
F | Uk: Z-*J? есть инвариант группы Gr (h). Ш
Доказанную лемму можно применить, в частности, к неособому
инвариантному многообразию U с уравненией у=и(х) в случае
группы Н, удовлетворяющей условиям леммы 19.3. Здесь система
уравнений вида E.4), задающая продолженное многообразие Uk,
такова:
= д2и(х),..., у = дки{х). ;	E.5)
к
2
Легко установить, что в силу условий D.1) то же самое много-
многообразие Uk может быть задано системой уравнений вида E.3)
с помощью инварианта Ф, действующего по формуле Ф(х, г/) =

254	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
= J2(x, у)— u(J1(x, у)), где й — проекция отображения и, причем
равенство Ф(г) = 0, т. е. у^=п(%), равносильно равенству г/=и(х).
Поэтому из леммы следует, что многообразие E.5) является диф-
дифференциальным инвариантным многообразием группы Н. Более
того, каждое уравнение /)'Ф^=0 (s = l, . . ., к) разрешимо относи-
относительно величин у = д'п(%). Это означает, что система E.5) равно-
равносильна следующей системе уравнений в продолженном пространстве
инвариантов Zk, получаемом продолжением пространства Y с по-
помощью X (см. 4.2):
д = дп{х), y = dhi(x), ..... у = дкп{х),	E.6)
12	к
где у есть элемент пространства Ys. Но система E.6) связывает
S
только инварианты продолженной группы Н. В силу замеча-
ния 19.4.2 эта система является проекцией системы E.5) и тем
самым задает проекцию U к продолженного многообразия Uк в про-
пространстве инвариантов продолженной группы Н. С учетом правила
к
продолжения отображений 4.4 полученный результат суммируется
и виде следствия леммы.
Следствие 2. Если у~и(х) есть неособое инвариантное
многообразие U группы Я и и — проекция отображения и в про-
пространстве инвариантов этой группы, то продолженное много-
многообразие Uk есть инвариантное многообразие продолженной
группы Н, причем его проекция Uk в пространстве инвариантов
к
группы Н является продолжением проекции п.
ь
6. Теорема существования. Здесь устанавливается основной
результат теории инвариантных решений — теорема об их услов-
условном существовании. Используются предыдущие обозначения,
термины и результаты.
Теорема. Пусть система дифференциальных уравнений Е
допускает группу Н, для которой выполнены необходимые условия
C.5). Тогда существует факторсистема Е/Н, обладающая сле-
следующим свойством: проекция п любого неособого инвариантного Н-
решения и есть решение факторсистемы Е/Н, и обратно, каждое
восстанавливаемое решение п факторсистемы Е/Н является проек-
проекцией некоторого инвариантного Н-решения системы Е.
Доказательство. Согласно принятому в 19.1 соглашению
многообразие Е является неособым инвариантным многообразием
продолженной группы Н (здесь к — порядок уравнения Е). В силу
к	_
теоремы 18.7 существует проекция Е многообразия (и уравнения) Е
в пространстве инвариантов группы Н. Если и есть неособое ин-
к

§ )9. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ	255
вариантное .//-решение уравнения Е, то справедлива формула вклю-
включения Uk(Z.E (здесь Uk есть многообразие E.5), дополненное урав-
уравнением у=и(х)). Кроме того, п силу следствия 19.5.2 многообра-
многообразие Uk инвариантно относительно Н и его проекция Uk
к
(многообразие E.6), дополненное уравнением у:=й(х)) является
продолжением многообразия U, заданного уравнением у = п(х)
с помощью проекции п решения и. Поэтому is силу замечания 19/).2
справедливо вложение Ок а Ё, т. е. а есть решение уравнения Ё.
Если й восстанавливаемо, то ото рассуждение обратимо. Следова-
Следовательно, утверждение теоремы верно для факторсистемы EjH = E. ¦
Если система Е задана уравнением s(z) = 0 с отображением
к
е: Zk-*R", то факторсистема Е/Н задается уравнением e(z) —О
к
с отображением г: Zk»-> Rs, которое является проекцией уравне-
уравнения Е в пространстве инвариантов продолженной группы Н.
к
Доказанная теорема называется теоремой об условном суще-
существовании инвариантных Н-решений ввиду того, что существование
хотя бы одного решения факторсистемы Е/Н ею не гарантируется.
Ниже будет приведен пример, когда Е/Н не имеет решений.
7. Факторсистема. Согласно теореме 19.6 для любой группы Н,
допускаемой системой Е и удовлетворяющей необходимым усло-
условиям C.4), определено преобразование системы Е в факторси-
стему Е/Н, которое можно рассматривать как отображение
(Е, Н) -* Е/Н. Суммирование предыдущих результатов приводит
к следующему алгоритму выполнения этого преобразования.
Алгоритм, (otj) Проверка необходимых условий C.5). (а2) По-
Построение универсального инварианта группы Н. (<х3) Представление
пространства инвариантов в виде произведения Z=Xx Y и уни-
универсального инварианта в виде /=(/1? /2) так, чтобы выполнялись
условия D.1). (<х4) Введение новых переменных по формулам х =
-=/1(ж, у), y = J2(x, у)- («5) Запись общего вида D.2) проекции
у = и (х) инвариантного //-решения у = и (ж) с неопределенным
отображением п: X->Y. (a6) Продолжение отображения и путем
вычисления производных у, . . ., у из уравнений, получаемых диф-
ференцированием уравнения D.2), и выражения их через х, у и
производные yv , .., у. (ос7) Подстановка найденных выражений для
1	к
производных в систему Е. (<х8) Окончательное приведение получен-
полученной системы к виду проекции Е = Е/Н.
Из результатов 19.4—19.6 следует, что если исходная система
имеет тип Е{п, т, к, s), то факторсистема Е/Н является системой
типа #(р, т, к, s), где 0^р<^ге в силу равенства C.2). Следо-
Следовательно, факторсистема обладает принципиально важным

256	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
свойством: ее «искомые функции» у QY зависят от меньшего, чем
в исходной системе, числа «.независимых переменных» %?Х. Число
последних равно рангу р<^п искомых инвариантных Я-решоний,
который дается формулой C.2) и определяется только группой Я.
С помощью указанного алгоритма за счет выбора подгрупп
HdGr (h) можно, вообще говоря, получать инвариантные Я-реше-
ния различных рангов: нуль, один, два и т. д. Полезно заметить,
что в случае решений ранга нуль факторсистема Е/Н является
системой конечных (не дифференциальных) уравнений, а в слу-
случае решений ранга один — системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений.
8. Случай разделения переменных. Реализация перехода
(Е, Я) -» Е/Н значительно упрощается, если универсальный ин-
инвариант / группы Я обладает следующим свойством: существует
такое его представление /=(/i,./a) (см. этап^а3) алгоритма 19.7),
в котором компонента /х зависит только отх, т. е. является отобра-
отображением X -> X, так что ж=/х (х). Тогда говорят, что в инварианте
/ возможно разделение переменных. Упрощение достигается бла-
благодаря тому, что в этом случае выражение общего вида инвариант-
инвариантного Я-решения (см. этап (а5) алгоритма 19.7) находится в явной
форме. Действительно, если уравнение y=J2 (x, у) разрешено
относительно у в виде y=v (x, у), то общий вид инвариантного
Я-решения таков:
y = v(x, а (я)), x = J1(x).	(8.1)
Ясно, что продолжение этого отображения требует выполнения
только операций дифференцирования. Этот случай заслуживает
тогз, чтобы быть отмеченным, так как он очень часто встречается
на практике.
Замечание. С теоретической точки зрения указанное свойство
разделения переменных является общим, если только рассматривать
не одну фиксированную систему Е, а класс систем, получаемых
из Е преобразованиями пространства Z. Действительно, простран-
пространство инвариантов Z всегда можно дополнить до пространства Z',
изоморфного Z и представимого в виде Z' =Zx T, где T = Rr*(t).
Тогда можно найти такое отображение I: Z-+ Т, чтобы отображе-
отображение р: Z->Z', действующее по формуле
p(z) = (J(z), ?(*)) = (*, t),	(8.2)
было обратимым (локально) преобразованием класса Cm (Z).
В результате такого преобразования система Е перейдет в ей рав-
равносильную систему Е', а группа Я — в ей подобную группу Я'.
Но универсальный инвариант группы Я' есть, по построению,
z=(x, у) и для него свойство разделения переменных очевидно.

§ 19. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ	257
Несмотря на это замечание, выделение свойства разделения
переменных имеет смысл, так как выполнение преобразования
(8.2) может оказаться очень трудоемким и практически не оправ-
оправданным.
Общий вид (8.1) инвариантного Я-решения позволяет делать
определенные выводы о структуре факторсистемы. Например, спра-
ледлико утверждение: если система Е квазилинейна и группа Я
такова, что переменные разделяются, то фактор система Е[Н
также квазилинейна. Это следует из того, что для каждого & =
= 1, 2, ... величина у, получаемая дифференцированием Dk pa-
k
пенства (8.1), выражается через у линейно (неоднородно) с коэффи-
циентами, зависящими от я, у, у, . . ., у.
1	k-l
9. Примеры, (а) Простой пример того, что факторсистема может
не иметь решений, дает уравнение Е, для которого X=^R2(t, х),
= \.	(9.1)
Легко проверяется, что уравнение (9.1) допускает однопараметри-
ческую группу Я преобразований пространства Z = R3(t, x, у)
с оператором С- d = tdt-\-xdx. Здесь в области {(t, x)\t^>0, x^>0}
векторное поле С имеет общий ранг г, = 1 < п = 2. Универсальный
инвариант /: Z->R2 этой группы может быть взят в виде / =
= (t/x, у), и для него, очевидно, гж(ду/) = 1 =т. Поэтому необ-
необходимые условия C.4) выполнены. Здесь переменные разделяются
и согласно алгоритму 19.7 общий вид инвариантного Я-решения
таков: у = u(t/x). Но для этого выражения
1	t
tdty -f- хдху ^t — du — x-fdu — O
и потому его подстановка в (9.1) дает в качестве факторуравнения
Е/Н противоречивое равенство 0 = 1. Поэтому инвариантных Н-ре-
шений у уравнения (9.1) на самом деле нет.
Дальнейшие примеры относятся к системе Е уравнений погра-
пограничного слоя 10A.2) с 0 = 0, допускающей алгебру Ли опера-
операторов ?5(С), базис которой приведен а 10F.4). Ей соответствует
допускаемая группа G5(h) преобразований пространства Z=ZX Y,
где X = B3(t, х, у), Y — R2(u, v). Ниже символом Я (С,, • • ., ?**)
будет обозначаться подгруппа HdG&(h), базис алгебры Ли опера-
операторов которой образован операторами Q,, • д, . . ., Cxfc • д.
(J3) Подгруппа Я(СХ), где Сх • д = д{, имеет универсальный инва-
инвариант / = (х, у, и, v) и удовлетворяет необходимым условиям C.5).
Переменные разделяются, и общий вид инвариантного Н ((^реше-
((^решения таков:
и = п(х, у), v = 0(x, у).

258	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
Очевидно, что здесь факторсистема EjH совпадает с [систе-
[системой G.2), взятой при 8 = 0. Следовательно, инвариантные #(У-
решения суть просто стационарные решения системы Е. Здесь ранг
Р(Я) = 2.
(у) Подгруппа Я (С,, ?5) с операторами
С2 • д = 2tdt -f У<3„ - 2110, - irf,, С6 • 9 = tdx + Зц
имеет универсальный инвариант /=(г/а/?, tu — х, yv). Здесь г9 = 2,
в = 3 и rf(d(Utt)J) = 2 = m, так что необходимые условия C.4)
выполнены. Переменные разделяются, и если положить х = у*Ц,
п = Ш — х, V = yv, то общий вид инвариантного Я(С2, С5)-реше-
ния есть
Ранг этого решения р = 1. В результате вычисления производных
и подстановки в систему Е получается факторсистема Е\Н обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений
2i>i = i>lx— I, 4xu" = Bv — 2 — я) а',
где штрихами обозначены соответствующие производные по х. Эта
система легко интегрируется в квадратурах.
(8) Для подгруппы Я(С3, ?4> ^e) c операторами
оказывается, что г, = 2 <[ ге = 3. Однако здесь универсальный ин-
инвариант есть J = (t, у, v) и для него г (д(в) „/) = 1 <[i» = 2. По-
Поэтому первое из необходимых условий C.4) выполнено, а второе—нет.
Следовательно, нет и инвариантных //-решений.
10. Группы растяжений. Однопараметрические группы растя-
растяжений уже рассматривались в 1.6 и 1.13, а также в 3.7, где были
найдены их инварианты. Здесь вопрос об инвариантах групп рас-
растяжений изучается в общем случае r-параметрической группы.
С целью приложений к дифференциальным уравнениям рассма-
рассматривается пространство Z = XxY, где X^=Rn(x), Y=Mm(y).
Фиксируются базисы {е,} С -ЗГ и {fk} с ЗГ; тогда базисом в Z
будет {е(, fk). Для упрощения последующих формул удобно пред-
представить пространство Z как прямую сумму Z= X@ Y. Тогда, если
х = х*е( ? X и у = yleflc ? Y, то разложение вектора z ? Z по базису
{е(, fk) может быть записано в виде
Растяжением пространства Z в базисе {е(, fk) называет-
называется преобразование h: Z-+Z, действующее на вектор A0.1) по

§ 19. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ	259
формуле
h (z) = 2 c*x*et + 2 d V/* (с' > 0, d* > 0). A0.2)
Следовательно, растяжение пространства Zb базисе {е4, fk) является
линейным преобразованием, матрица которого в этом базисе диаго-
нальна, и все элементы ее главной диагонали положительны. Ясно,
что множество всех растяжений (в данном базисе) образует абелеву
группу преобразований пространства Z. Эта группа будет обозна-
обозначаться символом Diag.Zle^, fh). Очевидно, что она является (п-\-т)-
параметрической группой Ли.
Группой растяжений пространства Z называется любая
подгруппа #cDiagZ{e<) /f}. В дальнейшем рассматриваются
группы растяжений Нг, которые являются группами Ли размер-
размерности г, причем 0 <[ г ^ п -f- т.
В связи с тем, что единицей группы DiagZ{et, fk) является
преобразование с единичной матрицей, параметрическую группу (В, ср)
группы растяжений Нг удобно выбрать так, чтобы ее групповое
ядро В+ {иа} в фиксированном базисе {ил} с В, где a=cfux, зада-
задавалось неравенствами аа ^> 0 (а = 1, . . ., г). Тогда закон умножения
в В+{иа} можно задать формулой ср(а, b) = 2a"^ai причем груп-
г
повой единицей является вектор 1О=2В«-
При этих соглашениях общее преобразование ha?Hr имеет вид
A0.3)
В силу указанной параметризации касательное отображение группы W
следует вычислять по формуле t = djia \a_1. Если положить ^ua)>=t^,
то базис алгебры Ли операторов Z/(Q будет таким:
п	т
^ • Э= 2 tyd* + 2 Vtlfdjt (a = 1, .. ., г). A0.4)
i—i	fc=i
Соответствующая матрица М (г) ив координат операторов A0.4)
(см. 18F.3)) может быть представлена в виде
M(z) = M1odiag{x>-	а* у\ ..., у"),
где
(Ю.5)

260	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
есть постоянная числовая матрица. Очевидно, чтогг(М)=тапкMi.
Кроме того, легко проверяется, что любая линейная связь опера-
операторов A0.4) (см. 17.3) влечет их линейную зависимость. Поэтому
операторы A0.4), будучи линейно независимыми по определению,
линейно не связаны. Следовательно, для группы растяжений Ш
всегда г^=г.
В силу равенства г^=г для интранзитивности группы Нг не-
необходимо и достаточно, чтобы было г < п+т. В этом случае
отыскание инвариантов группы Нг сводится к задаче линейной
алгебры.
Теорема. Для группы растяжений Нг пространства .Z —
= Мп+т(х, у) при условии г<^п-\~т существует универсальный
инвариант J: Z ->• К"+т~г, независимъщкомпоненты которого имеют
вид одночленов:
/Ч*) = П(*?'-П0Л)*г (х=1, ...,и + т- г). A0.6)
Доказательство. В силу критерия инварианта (тео-
(теорема 17.1) одночлен A0.6) является инвариантом алгебры Ли
U (С) с базисом операторов A0.4), если и только если
ЭД + ц.Ч = 0 («=!,..., г).	A0.7)
Равенства A0.7) образуют систему из г линейных алгебраических
уравнений с п-\-т неизвестными 0J, з*к, матрица которой есть Мх
A0.5). Так как rank Мг = г < п-f-т, то эта система имеет п-\-т — г
линейно независимых решений. Пусть это будут решения
де, ...,е;, ^ ...,3;) (т = 1,..., п+т-г). (Ю.8)
Утверждается, что одночлены A0.6), образованные с показателями
A0.8), независимы. Очевидно, что достаточно доказать их сте-
степенную независимость, т. е. тот факт, что равенство
П (Л№=1
с некоторыми вещественными сх возможно, только если все ет=0.
Но предыдущее равенство в силу A0.6) и независимости перемен-
переменных х', ук равносильно системе равенств
ejcT = O, 3;cT = 0 (i=l, ....п; к=1, ...,т).
Они означают, что решения A0.8) линейно зависимы, в противо-
противоречие с построением этих решений. ¦
Следствие. Группа растяжений Нг, элементы которой
заданы равенствами A0.3), удовлетворяет необходимым условиям

§ 19. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ	261
существования инвариантных Н''-решений C.5), если	и только
если
(Xj) = r<n.	A0.9)
Доказательство. Оба утверждения следуют из теоремы 19.3,
так как г^ = г и для базисных операторов A0.4) справедливо равен-
отво г.(Е)=г.(ХУ) = гапк(ф. ¦
Замечание. Если группа растяжений Нг удовлетворяет
условиям A0.9), то ее универсальный инвариант с компонентами
A0.6) всегда может быть выбран так, что в нем переменные разде-
разделяются. Действительно, в этом случае система ^8,=0 (а=1, . . ., г)
имеет ровно п — г линейно независимых решений, которые можно
взять в качестве части всего набора A0.8) из п-\-т — г решений.
11. Теория размерностей. Понятие группы растяжений тесно
связано с теорией размерностей физических величин. Каждая физи-
физическая величина Ф характеризуется указанием единицы ее изме-
измерения Е и числовым значением | Ф | с этой единицей, так что Ф ¦—
= | Ф | Е. Если Еа (а. = 1, . .., г) — некоторые независимые единицы
измерения и если существует выражение Е через них, имеющее
вид одночлена Е\^ ... Ех/, то это выражение называется размер-
размерностью физической величины Ф в единицах {EJ и обозначается
симеолом [Ф], так что
Тем самым для физической величины Ф справедлиго представление
Из формулы A1.1) следует, что умножение и возведение в любую
(вещественную) степень физических величин сводится к тем же
операциям над их числовыми значениями и их размерностями.
Кроме того, если физическая величина Ф является функцией фи-
физической величины х, то размерность производной вычисляется
по правилу [дхФ] = [Ф]1[х].
Величина Ф с нулевой размерностью (Х1 = ... =Хг = 0) назы-
называется безразмерной. Величины Ф1? . . ., Фя называются зависи-
зависимыми (с точки зрения их размерностей), если существуют числа
*!, . .., Хд,, не все равные нулю, с которыми «комбинация» этих
величин
Ф? . .. Фу
является безразмерной. В противном случае величины Ф1; ..., Фдг
называются независимыми.
Одна из основных задач" теории размерностей состоит в том,
чтобы выяснить, сколько среди физических величин из данного
набора Фг, . . ., Фу имеется независимых, отобрать их и выразить
остальные величины через независимые.

262	ГЛ. V, ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
Пример. В классической системе GGS в качестве независимых
единиц измерения принимаются Ег = см (сантиметр), Е2 = г (грамм-
масса) и Еъ = сек (секунда). Тогда размерности скорости и, уско-
ускорения g, плотности вещества р и давления р таковы:
[у] = см • сев = ЕгЕ~1, [g] = см • сек~г — ЕгЕ~2,
[р] = г • см" == Е?Ег, [р] — г- см'1 • сек = Е
Здесь и, g, p независимы, а величина pjpv2 безразмерна.
Изменение масштабов измерения путем перехода от единиц Еа
к новым единицам Е'я (по а не суммируется!):
#. = «"#; (<*=1	г)	A1.2)
влечет изменение числового значения величины Ф в соответствии
с вытекающим из A1.1) равенством
| Ф | [Ф] = | Ф | (а1)*» . .. (аг)Хг ??¦ • • • Е?г = | Ф |' [Ф]',
где [Ф]' = ?"jXi ... Е'2~т есть размерность Ф в новых единицах и
Сравнение последнего равенства с A0.3) показывает, что изме-
изменение числового значения величины Ф при переходе к новым еди-
единицам измерения есть групповое преобразование, принадлежащее
группе растяжений Нг (одномерного пространства). При этом и
группа Нг, и размерность [Ф] однозначно определены одним и тем же
набором чисел \,. . ., \. Если имеется некоторый конечный набор {<DV}
из N физических величин, то каждой из величин Ф„ соответствует
набор XJ, . ..Д*, определяющий ее размерность по формуле A1.1).
В этом случае аналогично получается группа Нг растяжений iV-мер-
ного пространства 22*(|Ф1|, . . ., |Фл'|). Окончательно связь раз-
размерностей с группами растяжений дается следующей формули-
формулировкой.
Вывод. Каждому конечному набору {Ф,} из N физических
величин, которые могут быть измерены в системе {EJ из г неза-
независимых единиц измерения, взаимно однозначно соответствует
группа W растяжений пространства RN, определяемая только
размерностями величин Ф„ в системе {Еа}. Преобразования, при-
принадлежащие группе Нг, задают закон изменения вида (И.З) число-
числовых значений | Ф„ | при переходе от системы единиц {Еа\ к си-
системе {E'J согласно формулам A1.2).
Важное следствие установленной связи состоит в том, что ве-
величина Ф является безразмерной, если и только если ее числовое
значение |Ф) есть инвариант соответствующей группы Нг. По-
Поэтому любой результат теории размерностей может быть получен
как некоторый результат теории групп растяжений.

S 1». ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
263
Например, упомянутая выше задача теории размерностей ре-
решается просто построением универсального инварианта группы Нг.
Кроме того, из теорем 19.10 и 18.7 сразу получается следующее
предложение, известное в теории размерностей под названием
П-теоремы.
Любая безразмерная функция физических величин является
функцией от безразмерных «комбинаций» этих величин; любое
соотношение между физическими величинами равносильно неко-
некоторому соотношению между их безразмерными ^комбинациями».
Полезно отметить также обратное влияние теории размерностей
на задачи группового анализа, которое часто используется в при-
приложениях. Дело в том, что дифференциальные уравнения матема-
математической физики всегда являются соотношениями между физи-
физическими величинами. В силу предыдущего уравнения всегда до-
допускают группу Нг растяжений, определяемую размерностями
всех переменных (независимых, искомых и параметров), входя-
входящих в рассматриваемые уравнения. Если же дифференциальные
уравнения заданы абстрактно, то допускаемая группа растяжений
может быть найдена путем введения независимых единиц по опре-
определению и отыскания размерностей остальных величин с помощью
самих уравнений на основании требования равенства размерностей
отдельных слагаемых в этих уравнениях. Этот прием можно на-
назвать сравнением размерностей.
Например, для уравнений пограничного 'слоя 10 A.1) в ка-
качестве независимых единиц измерения можно принять [u]—Et и
[v]—Ea. Если предположить, что размерности остальных пере-
переменных таковы: ^
то сравнение размерностей приведет к системе линейных уравнений
для показателей, имеющей единственное решение. В результате
получается следующая таблица показателей, определяющая раз-
размерности всех входящих в систему 10 A.1) переменных:
I1
t
0
—2
X
1
-2
У
0
—1
и
1
0
V
0
1
Р
2
0
по которой сразу пишутся операторы алгебры Ли группы растяже-
растяжений, допускаемой этой системой,
+2рдр, -2tdt
2хдх -
vdt.

264	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ	^
Эти операторы созпадают с операторами растяжения, [найденными
в 10.4 путем решения определяющих уравнений.
12. Автомодельные решения. Пусть система дифференциальных
уравнений Е задана в пространстве Z=JX Y, и пусть фиксиро-
фиксирован базис {е,, fk) с Z (см. 19.10).
Инвариантное Нг-решение системы Е называется автомо-
автомодельным (в узком смысле), если Нг есть группа растяжений
пространства Z в данном базисе, т. е. если Нг с Diag Z {e(, fk}.
Критерий условного существования автомодельных ^'-реше-
^'-решений для допускаемой системой Е группы растяжений Нг дается
следствием 19.10. При этом, если соотношения A0.9) выполнены,
то универсальный инвариант / группы Нг может быть выбран так,
что в нем переменные разделяются. Более того, в этом случае ком-
компоненты / вида A0.6) всегда можно взять такими:
Ш
.=1
где р = п — г. Поэтому формулы общего вида автомодельного
(в узком смысле) ^-решения таковы:
f=iiyf^.u\x\...,x^ *»=/{(x) A22)
(Р = 1, ..., р; к—1, ..., т),
причем число р есть ранг этого решения.
Данное понятие автомодельного (в узком смысле) решения
вызывает неудовлетворенность в связи с тем, что оно не инвариантно
относительно преобразований пространства Z. При преобразова-
преобразованиях пространства Z группа растяжений Нг переходит в ей подоб-
подобную группу, уже не являющуюся, вообще говоря, группой растя-
растяжений. Например, преобразование, заданное в базисе [е{, fk}aZ
формулами
х'* = 1пх*, у'* = 1пук {1=1, .... п; к=1, .... та), A2.3.
переводит операторы растяжения A0.4) в операторы переноса
С;-5 = ^ + ^4'* (а=1, .... г)	A2.4)
и, следовательно, группу растяжений Нг в группу переносов Н'г.
В основу инвариантного понятия автомодельного решения
целесообразно положить структурное свойство, состоящее в том,
что любая группа растяжений абелева. Тогда инвариантность
относительно преобразований пространства Z гарантируется тем,
что подобные группы изоморфны. Итак, принимается следующее
определение.

g 19. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ	265
Инвариантное Нг-решение системы Е называется автомо-
автомодельным (в широком смысле), если Нг—абелева группа.
Следующая теорема, обобщающая теорему 3.8 на случай тр-
триерного пространства векторных полей, показывает, что достигае-
достигаемое этим определением расширение понятия автомодельного ре-
решения сохраняет возможность его представления в виде A2.2)
после некоторого преобразования пространства Z.
Теорема. Абелева группа Нг, касательное"'отображение
которой удовлетворяет условию г, (С)=?", подобна группе растя-
растяжений.
Доказательство. В силу отмеченного выше подобия
группы растяжений группе переносов и соответствия групп и их
алгебр Ли операторов достаточно доказать, что в условиях теоремы
абелева алгебра Ли U (С) подобна алгебре Ли переносов.
Пусть ZecTb пространство инвариантов группы Нг и 7: Z-»- Z —
ее универсальный инвариант. Согласно замечанию 19.8 простран-
пространство Z можно дополнить до пространства Z', изоморфного Z, причем
Z' = Z X Т, а инвариант 7 — до обратимого отображения р: Z' -> Z1',
данного формулой (8,2). Этим отображением алгебра Ли Lr (Q пере-
переводится в изоморфную ей алгебру Ли //(?')> гДе ?' = (С, 'с). Но
здесь С=д/оС = 0 в- силу критерия 17A.3) инвариантности /.
Поэтому операторы алгебры Ли Z/(C) имеют вид
?.3' = VU (в 6 В),	A2.5)
где В —- параметрическое пространство группы Нг. При этом линей-
линейное отображение х (г, I): В-+ Т является отображением на и обра-
обратимо, так как г? (т) = г = dim В и dim T = r. Утверждается, что
для каждого фиксированного Z (< Z найдется такое преобразование
q: T-> T, с которым будет
dq(t)o*(Z, l) = a,	A2.6)
где а — не зависящий от (г, f) линейный изоморфизм простран-
пространства В на Т. Благодаря только что отмеченному свойству г это
равенство можно переписать в виде dq(t) = ao(t(z, l))'1. Следова-
Следовательно, отыскание q сводится к решению задачи о восстановлении
отображения по его производной. Согласно теореме Фробениуса
(см. 12.8) эта задача разрешима, если вычисленная в силу урав-
уравнения A2.6) вторая производная d'q(t) симметрична. Но если запи-
записать A2.6) с некоторым а^В в виде dq <(ta) = a <(a} и вычислить
производную по I на векторе lt, то получится равенство
откуда в силу определения коммутатора 7 A.1) и абелевости алгебры
Ли Z/(C)

266	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
Итак, уравнение A2.6) имеет решение q, которое благодаря выбору о
таково, что гг (да) — г. Поэтому q является преобразованием про-
пространства Т. Под действием q операторы A2.5) перейдут, согласно
теореме 16.9, в операторы
9д(*)<\(*, Ф • дг =ав • д,„ t' = q{l),
где оа=:о(а). Очевидно, что последние являются операторами
переносов. I
Замечание. Если касательное отображение С абелевой
группы Нг таково, что г„ (С) <г, то в Нг найдется подгруппа if*,
удовлетворяющая условию теоремы. Очевидно, что универсальные
инварианты групп Нг и if* совпадают. Поэтому автомодельные
(в широком смысле) #г-решения и if '-решения одни и те же.
Следствие. Для любого автомодельного (в широком смысле)
Нг-решения найдется такая подгруппа Н1 с Нг и такое преобразо-
преобразование пространства Z, что в преобразованном пространстве это
решение является автомодельным (в узком смысле) Н'-решением.
§ 20. КлассификацияТинвариантных решений
1. Классификация по рангу. Пусть дана система дифферен-
дифференциальных уравнений Е, допускающая группу Ли G преобразований
пространства Z. С помощью алгоритма 19.7 можно осуществить
поиск частных решений системы Е как некоторых инвариантных
^-решений с любой подгруппой HdG, удовлетворяющей необхо-
необходимым условиям 19 C.5).
Важной числовой характеристикой инвариантного JT-решения
является его ранг р, равный числу независимых переменных в фак-
торсистеме EIH. Поэтому основная классификация инвариантных
JT-решений идет по их рангам. Согласно 19 C.2) ранг дается фор-
формулой р=п — rt, где г^=г^ (С) > 0. Следовательно, ранг инва-
инвариантного Я-решения может иметь, вообще говоря, значения
Р=0, 1, 2, .... п-1.
При фиксированном р различные ^Г-решения должны полу-
получаться с помощью разных подгрупп, имеющих одно и то же значе-
значение rv. Тем самым возникает задача о перечислении подгрупп
HaG с данным rf. При этом возникает некоторое неудобство,
связанное с тем, что число г^ является в основном характеристикой
группы Н как представления некоторой абстрактной группы Ли,
а не ее структурной характеристикой. Действительно, если группа
G есть представление (точное!) группы Ли (В, <р), то эти группы
изоморфны и их подгруппы находятся во взаимно однозначном
соответствии, в то время как числа г? соответствующих подгрупп,
рассматриваемых как представления, вообще говоря, различны.
Поэтому с групповой точки эрения удобнее вместо числа г, опе-
оперировать с числом г — порядком группы'Я. При этом равность

S 20. КЛАССИФИКАЦИЯ ИНВАРИАНТНЫХ РЕШЕНИЙ	267
г — г? равна числу независимых линейных связей между опера-
операторами базиса алгебры Ли группы Н, ввиду чего знание всех под-
подгрупп данного порядка г без особых трудностей дает возможность
классифицировать их и по значениям rt.
Итак, задача классификации инвариантных .ff-решений по
рангам сводится к задаче перечисления всех подгрупп данного
порядка группы G и последующей сортировке полученных под-
подгрупп по рангам.
2. Орбиты решений. Основой классификации инвариантных
решений служит фундаментальный факт, установленный в тео-
теореме 5.6 и повторенный в 19.1: «допускаемая уравнением Е
группа G действует на множестве SE его решений». В силу ука-
указанного действия каждому решению и ? SE сопоставляется его
орбита, т. е. множество всех тех решений, в которые и переходит
под действием всевозможных преобразований^группы G (см. также
1.13 и 16.10). Здесь орбита решения и будет обозначаться симво-
символом (и, G). Аналогичный смысл имеет обозначение (и, Н) для любой
подгруппы HciG.
Инвариантные Н-решения u?SE характеризуются тем, что
для них справедливо равенство и=(и, Н).
Пусть h — некоторое преобразование пространства Z=Xx ?.
В 4.5 — объяснено, каким образом преобразование h действует
на любое отображение и: X -> ?. Для краткости образ при этом
действии будет обозначаться здесь символом hu. Кроме того, если
Н есть группа преобразований пространства Z, то множество преоб-
преобразований {hoh^h'1}, получаемое когда ha пробегает группу Н,
есть группа, подобная (сопряженная) группе Н; эта группа будет
обозначаться hHh.
Лемма. Справедлива формула преобразования op6um:fcP*^
h[(u, H) = (hu, hHh-1).	B.1)
{, Доказательство. Если v?h(u,fH), то v = (hoha)'fl с'неко-
с'некоторым ha?H. Но тогда v — (hohaoh~1)(hu), а "это означает, что
v ?• (hu, hHhr1). Ясно, что это рассуждение"обратимо. ¦
3. Существенно различные решения. Решения щ, u2?SE будут
называться существенно различными (относительно группы G),
если w2(E («!, G) (при этом, конечно, также щ§ (ц2, G)). В против-
противном случае эти решения называются несущественно различными
(относительно группы G). Другими словами, решения uv u2 не-
несущественно различны, если одно из них переводится в другое не-
некоторым преобразованием, принадлежащим группе G, и суще-
существенно различны, если такого преобразования нет.
Пусть G есть группа Ли преобразований пространства Z, до-
допускаемая системой Е, и пусть фраза «найти инвариантное Я-ре-
шение» понимается в смысле построения соответствующей фактор-
системы EIH.

268	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
В этих терминах ставится следующая задача: найти всевозмож-
всевозможные существенно различные (относительно G) инвариантные от-
отрешения системы Е, которые имеют данный ранг р и могут быть
получены с подгруппами //с?.
При решении так поставленной задачи надо иметь в виду, что
инвариантное //-решение и может быть одновременно некоторым
инвариантным //'-решением того же самого или меньшего ранга.
Для учета этой возможности удобны следующие вспомогательные
понятия.
Инвариантное //-решение и ранга р называется вырожденным,
если существует подгруппа H'czG, причем НС.Н' и и является
инвариантным //'-решением ранга р' <[ р. Подгруппа Й называется
максимальным расширением подгруппы Н (в группе G), если Ней
и универсальные инварианты групп Н и Й совпадают и если лю-
любая другая подгруппа с этими свойствами содержится в Й. Ясно,
что максимальному расширению подгруппы Н соответствует мак-
максимальное расширение ее алгебры Ли операторов в алгебре Ли
группы G. Последнее легко находится путем рассмотрения линей-
линейных связей между операторами.
Теорема. Для данной подгруппы HdG среди инвариантных
Н-решений имеются несущественно различные невырожденные ре-
решения, если и только если максимальное расширение Й является
собственным анормальным делителем в некоторой подгруппе
H'czG.
Доказательство. Прямое утверждение. Пусть Н — нормаль-
нормальный делитель в П'. Если инвариантное //-решение и подвергнуть
преобразованию h^H1, не входящему в Й, то получится решение hu,
которое ввиду максимальности Я отлично от и. Кроме того, в силу
формулы B.1) и равенства Й = Ь,ЙЬГХ справедливы равенства
йв = А(в, H) = (hu, hffh-^ihu, Я) = (Ав, Я),
т. е. hu также есть инвариантное //-решение, несущественно отли-
отличающееся от и.
Обратное утверждение. Если невырожденные //-решения их и ц2
несущественно различны, то u^^hu-^ для некоторого преобразова-
преобразования hfcG, причем h(? Й. Тогда для любого йа ? Я справедливо
равенство (hohaoh~x)u2 = u2. Утверждается, что hohaoh~*-? Н.
Действительно, в противном случае существовала бы такая более
широкая группа Нх D Й, что и2 было бы инвариантным Ях-реше-
нием. Пусть р есть ранг и2 как инвариантного Я-решения и рх —
его же ранг как инвариантного Я^решения. Тогда должно было бы
быть pj^p. Но неравенстЕО рх<СР означает, что ttj есть вырожден-
вырожденное Я-решение, а равенство рх = р означает, что Я и Нх имеют
одинаковые универсальные инварианты. Так как первая возмож-

§ 20. КЛАССИФИКАЦИЯ ИНВАРИАНТНЫХ РЕШЕНИЙ	269
ность противоречит предположению о невырожденности Я-решения и2,
а вторая — определению Я, то fto^o^ff. Итак, существуют
преобразования hfyff, с которыми hRh~x=.R. Совокупность всех
таких h образует подгруппу Н1 a G, причем Й есть нормальный
делитель в Я'. I
4. Свойство факторсистемы. В ходе доказательства предыду-
предыдущей теоремы установлено, что некоторые преобразования, не при-
принадлежащие группе Я, переводят инвариантные Я-решения снова
в инвариантные Я-решения. Этот факт наводит на мысль о том,
что такие преобразования должны допускаться факторсистемой
EIH. Точная формулировка соответствующего существенного ре-
результата группового анализа дается с использованием понятия
нормализатора.
Нормализатором подгруппы Н O.G называется наиболее
широкая подгруппа Я' с G, обладающая тем свойством, что Н
есть нормальный делитегъ в Я'. Очевидно, что нормализатор Н'
подгруппы Н есть множество всех таких элементе:? h^G, для кото-
которых выполнено равенство hHh~1 = H.
Теорема. Если Я' есть нормализатор подгруппы Я в G,
то факторсистема EIH допускает факторгруппу Н'/Н.
Доказательство. Пусть й?Я'; тогда для любого
hai^H справедливо равенство hоha=hboh с некоторым hb?Я. По-
Поэтому если F есть какой-нибудь инвариант группы Я, то
т. е. Fob, — также инвариант группы Я. Очевидно, что это свой-
свойство справедливо и для продолженных групп и их инвариантов.
Поэтому факторсистема E/ff, связывающая только инварианты
группы Я, в результате любого преобразования h^H' перейдет
в систему, тоже связывающую только инварианты группы Я.
Но эта последняя система равносильна системе Е/Н, и, следова-
следовательно, с ней совпадает. ¦
5. Оптимальные системы решений. Из формулы преобразова-
преобразования орбит B.1) следует, что равенство ц= (и, Я) влечет hu=
= (hu, ННЪ,-1). Следовательно, каждое инвариантное Я-решение и
под действием любого преобразования h Q G переходит в инвари-
инвариантное йЯй^-решение. Ясно, что при этом ранг решения не меня-
меняется. Так как подгруппа hHh~x подобна подгруппе Я, то можно
сделать вывод: несущественно различные инвариантные решения
получаются относительно подобных подгрупп. Тем самым постав-
поставленная в 20.3 задача классификации инвариантных Я-решений
сводится к задаче классификации подгрупп группы G с точностью
до подобия. Эта задача уже обсуждалась в 15.8, где показано, что
она в свою очередь сводится к соответствующей задаче для
алгебр Ли.

270	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
Л Следовательно, с учетом сделанного в 20.1 замечания о замене
ранга инвариантного //-решения порядком группы Н, обсуждае-
обсуждаемая задача классификации сводится в основном к задаче построе-
построения оптимальных систем в8 классов подобных подалгебр алгебры
Ли группы G. Алгоритм решения последней задачи рассмотрен
в 14.7 и 14.8. Если оптимальные системы в8 построены, то из
входящих в них подгрупп (подалгебр) надо отобрать те подгруппы
Н, для которых выполнены необходимые условия 19 C.5) суще-
существования инвариантных Я-решений. Наконец, для каждой удов-
удовлетворяющей этим условиям подгруппы Н следует найти ее уни-
универсальный инвариант, определить общий вид инвариантного
//-решения и построить соответствующую факторсистему EIH.
Р~ В результате получается оптимальная система инвариантных
Я-решений уравнения Е, обозначаемая символом SgE. Оптималь-
Оптимальность системы SgE означает, что она является наименьшим под-
подмножеством в множестве SE, обладающим следующим свойством:
любое инвариантное //-решение, которое можно получить с по-
помощью какой-нибудь подгруппы HdG, содержится в орбите
(и, G) некоторого решения и ? SgE.
6. Пример. Система уравнений околозвукового движения газа
5 (9.1) допускает группу б?4, базис операторов алгебры Ли L4
которой приведен в 5 (9.9). Оптимальные системы подалгебр для
L4 найдены в 14.9 и сведены в таблицу 14 (9.8).
|Так как здесь п=т—2, то представляют интерес инвариантные
//-решения ранга р=1, которые получаются для однопараметри-
ческих подгрупп Н. Таблица 14 (9.8) показывает, что имеются
четыре класса не подобных однопараметрических подгрупп, пер-
первые три из которых содержат бесконечное множество подгрупп.
Ниже рассматриваются два конкретных примера. Для проведения
выкладок уравнения 5 (9.1) записываются в индивидуальных
обозначениях координат: (х, у) — независимые переменные,
(и, v) — искомые функции, дхи=их и т. д., в которых система
Е такова:
в,-у« = 0' «ш. + », = 0.	F.1)
(а) Я(ц4). Здесь и4 • д = хдх -j- уду и универсальный инвариант
есть / = {xjy, и, v). Переменные разделяются, и общий вид инва-
инвариантного Н (и4)-решения таков:
u=u(t), v — V(t), t = x/y.
Подстановка в уравнения F.1) приводит к факторсистеме Е/Н(щ):
где штрихом обозначена производная д(. Все не постоянные (а' ^= 0)
инвариантные Н (гг4)-решения легко находятся; здесь они зависят

§ 20. КЛАССИФИКАЦИЯ ИНВАРИАНТНЫХ РЕШЕНИЙ	271
от одной произвольной постоянной С и имеют вид
и = -Р = -(х/уу, v = B/3) ? + С = B/3) (ж/у)8 + С.
(Р) П (щ). Вычисление универсального инварианта оператора^
щ_. д = (-от + j^«) Зя - (хи + 2уу) 5у + 2wd. + (-1 и» -f1 $
приводит к его представлению в виде
J=(/\ Л, 7s),
где
/1 = ц-з/2 Dцз ^_ д^^ /2
Переменные не разделяются. Однако, если преобразовать систему F.1)
к ей равносильной за счет изменения ролей переменных, т. е. путем
рассмотрения (х, у) как искомых функций от независимых пере-
переменных (и, v), то система Е перейдет в следующую (xf = дсх
и т. д.):
x.-V. = 0, uyt + xtt = 0.	F.3)
По отношению к системе F.3) переменные в F.2) разделяются и
инвариантное .Щи^-решение можно искать в виде
/" = «(*), P = y(t), t=J\	F.4)
Так как инварианты Р и J3 зависят от (х, у) линейно, то соот-
соотношения F.4) легко разрешить относительно хну, в результате
чего общий вид инвариантного Н (ц^-решения будет таким:
х = 2b1'*? (*) + 2,т-ьЦ (*), у = Зга-7'4? (t) — 2ц- ^ (t),
где функции (у, ф) связаны с функциями (^, г/) формулами ^ = <у,
у = <({). Для системы Е, взятой в форме F.3), построение фактор-
системы EjH (Uj) никаких затруднений не вызывает и факторсистема
оказывается такой:
Qt<f'-\-7f = 0, 6tf + 5ф = 0,	F.6)
где штрихом обозначена производная д{. Уравнения F.6) интегри-
интегрируются элементарно и окончательно получается следующее семейство
инвариантных Н (их)-решений системы F.3):
х = 2С1и'г-'"в + ЗС^г-we, у = 3C1vrJ'fi ~ 2Самг-5/б,
где Cj, C2 — произвольные постоянные.

272	ГЛ. V. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ V
Актуальный для приложений поиск классов частных решений, на ко-
которых исходные дифференциальные уравнения существенно упрощаются,
ранее обычно выполнялся либо на основании «соображений симметрии»,
либо с помощью теории размерностей [1]—[4]. Вместе с тем эта проблема
давно привлекала внимание исследователей, обращавших внимание на ее груп-
групповую природу [5]. Особенно убедительно настаивал на использовании
теории групп в гидродинамике и других прикладных дисциплинах Г. Бирк-
гоф [6]. На возможность строить классы частных решений с помощью
любой допускаемой группы впервые было указано в II [4]. После появления
монографии II [5] активность в этой области резко возросла и был выполнен
ряд интересных работ по отысканию групповыми методами инвариантных
решений в разных конкретных прикладных задачах [7]—[19]. Этой же
цели служили работы III [13], [17], [18], [21], [22]. Построению оптималь-
оптимальных систем подгрупп по изложенному в § 20 методу, который был впервые
реализован в II [5], посвящены работы [20], [21].
[1] Buckingham E. Model experiments and the forms of empirical
equations. — Trans. Amer. Soc. Mech. Eng. 37 A915), 263—296.
[2] В irkhof f G. Dimensional analysis of partial differential equati-
equations. — Electr. Enging. 67 A948), 1185—1188.
[3] Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М., «Наука»,
1967.
[4] Коробейников В. П., Мельникова Н. С, Р я'з а-
нов Е. В. Теория точечного взрыва. М., Физматгиз, 1961.
[5] Morgan A. J. A. The reduction by one of the number of independent
variables in some systems of partial differential equations. — Quart.
J. Math. Oxford. 3, № 12 A952), 250—259.
[6]Биркгоф Г. Гидродинамика. М., ИЛ, 1963-
[7] Катков В. Л. Один класс точных решений уравнений прогноза
геопотенциала. — Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана 1, № 10 A965),
1088—1090.
[8] Катков В. Л. Групповая классификация решений уравнения
Хопфа. — Ж. прикл. мех. и техн. физ. № 6 A965), 105—106.
[9] Катков В. Л. Точные решения некоторых задач конвекции. —
Прикл. матем. и техн. 32, № 3 A968), 482—486.
[10] Сыровой В. А. Инвариантно-групповые решения уравнений про-
пространственного и стационарного пучка заряженных частиц. — Ж. прикл.
мех. и техн. физ. № 3 A963), 26—35.
[И] С ы р о в о й В. А. О некоторых новых решениях, полученных при
помощи инвариантных преобразований. — Ж. прикл. мех. и техн. физ.
№ 3 A965), 56-62.
[12] Сухарев М. Г. Инвариантные решения уравнений, описывающие
движение жидкости и газа в длинных трубопроводах. — ДАН СССР
175, № 4 A967), 781—784.
[13] Фалькович А. И. Инвариантно-групповые решения гидродинами-
гидродинамической модели циркуляции атмосферы для экваториальной области. —
Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана 4, № A968), 579—585.
[14] Филиппов Ю. Г. Применение инвариантно-группового метода
к решению задачи определения течений неоднородного океана. —
Метеорол. и гидрология. № 9 A968), 53—62.
[15] Хабиров С. В. Одно инвариантное решение уравнений мелкой
воды. — В сб. «Динамика сплошной среды», вып. 3 A969), Новосибирск,
82—90.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ V	273
[16] Хабиров С. В. О структуре псевдогруппы, допускаемой уравне-
уравнениями идеальной несжимаемой жидкости. — В сб. «Динамика сплошной
среды», вып. 24 A967), Новосибирск, 105—114.
[17] В 1 u m a n G. W., Cole J. D. The general similarity of the heat equa-
equation. - J. Math, and Mech. 18, № 11 A969), 1025-1042.
[18] Жмудский А. А., Таранов В. Б. О симметрии движения двух -
компонентной плазмы. — ЖТФ 45 A975), 158—161.
[19] Таранов В. Б. О симметрии одномерных высокочастотных движе-
движений бесстолкновительной плазмы. — ЖТФ 46 A976), 1271—1277.
[20] Ибрагимов Н. X. Классификация инвариантных решений урав-
уравнений двумерного нестационарного движения газа. — Ж. прикл. мех.
и техн. физ. № 4 A966), 19—22.
[21] Л а п к о Б. В. Построение оптимальных систем подгрупп группы Ли
преобразований, допускаемых уравнениями газовой динамики. —
В сб. «Динамика сплошной среды», вып. 15 A973), Новосибирск, 122—
129.

ГЛАВА VI
ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
Дальнейшее расширение возможностей поиска частных реше-
решений дифференциальных уравнений возможно за счет отказа от
свойства инвариантности решения. Возникает вопрос о том, чем
можно заменить*'это свойство с сохранением тех преимуществ,
которые характерны для инвариантных решений. Оказалось,
что цель достигается с помощью рассматриваемого в настоящей
главе понятия частичной инвариантности многообразия.
Это понятие естественно формулируется в терминах орбит.
Если дана группа Н, то орбита, описываемая многообразием W
под действием всевозможных преобразований из Н, является на-
наименьшим инвариантным многообразием группы Н, содержащим
данное многообразие W. Ранг р указанной орбиты называется
рангом многообразия W. Кроме того, W снабжается еще одной чис-
числовой характеристикой, показывающей, «насколько» не инвариант-
инвариантным относительно группы Н является W. Это число, обозначаемое
8 и называемое дефектом инвариантности (или просто дефектом)
многообразия W, определяется как разность размерностей орбиты
многообразия W и самого Y. Существенно, что для дефекта имеется
явная инфинитезимальная формула. Многообразие W называется
частично инвариантным относительно группы Н, если его орбита
не совпадает со всем пространством и его дефект 8 > 0.
! I Применение понятия частичной инвариантности для отыскания
решений приводит к алгоритму, похожему на тот, который при-
применяется в случае инвариантных решений. Существенное разли-
различие состоит в том, что, кроме факторсистемы Е/Н, при этом воз-
возникает некоторая дополнительная пассивная система Р, условия
интегрируемости которой входят в систему Е/Н,
Частично инвариантные решения поддаются классификации,
причем новым классифицирующим параметром служит их дефект.
В связи с классификационными вопросами возникает новая ин-
интересная проблема, называемая проблемой редукции частично
инвариантных решений. Редукция имеет место тогда, когда при
переходе от группы Н к ее подгруппе ранг данного частично ин-
инвариантного многообразия W не меняется, а его дефект убывает.
Важность этой проблемы определяется тем, что решения с мень-
меньшим дефектом искать, вообще говоря, легче. В § 22 доказана тео-
теорема о редукции, дающая достаточные условия редукции частично

§ 21. РАНГ И ДЕФЕКТ МНОГООБРАЗИЯ	275
инвариантных решений системы дифференциальных уравнений
первого порядка. Ограничение, наложенное в условии этой тео-
теоремы на решение, оказывается полезным для приложений.
Одним из приложений методов исследования частичной ин-
инвариантности является теория так называемых кратных волн —
в определенном смысле вырожденных решений квазилинейных
однородных систем дифференциальных уравнений первого по-
порядка. Эти решения могут быть интерпретированы как частично
инвариантные относительно естественной и очень просто описы-
описываемой группы, допускаемой такими уравнениями. Она порождена
преобразованиями переноса и одного растяжения пространства
независимых переменных.
В § 23 дано полное описание простых волн (волн кратности
единица) и рассмотрены также двойные волны (волны кратности
два). Для двойных волн доказана новая теорема об их редукции,
которая применена к уравнениям газовой динамики. Получен-
Полученный результат состоит в том, что известное в газовой динамике
свойство изэнтропичности простых волн в определенном смысле
переносится и на двойные волны.
§ 21. Ранг и дефект многообразия
1. Орбита многообразия. Пусть G = Gr(f) есть локальная
группа Ли преобразований «-мерного пространства X, порожденная
отображением /: V X О -> X произведения открытого множества
V (Z. X и окрестности нуля О а В параметрического пространства В
этой группы. В дальнейшем предполагается, что множество V не
содержит особых точек группы G. В этом случае любое многооб-
многообразие fc^ является неособым по отношению к группе G (см. 18.6).
Следующее определение связано с понятием орбит точек x?V, вве-
введенным в 16.10.
Орбитой многообразия W ciV называется множество
/(ЧГ, О) точек, принадлежащих орбитам fx (О) всевозможных точек
х(+Ч?. Другими словами, орбита /(W, О) многообразия ЧГ есть
объединение орбит всех точек этого многообразия.
Имеются две альтернативные возможности. Орбита /(Ф, О)
либо совпадает (локально) с пространством X (содержит некоторое
открытое множество пространства X), либо является многообразием
в X размерности, меньшей &\тХ=:п. Вообще, если некоторое
многообразие МС.Х таково, что dim M <[dimX, то М называется
собственным многообразием пространства X. Итак, орбита /(ЧГ, О)
многообразия W есть собственное многообразие в X, если
dim/(vp, 0)<п.	A.1)
Очевидно, что если орбита многообразия Ч*" удовлетворяет
неравенству A.1), то она является неособым инвариантным много-

276	ГЛ. VI. ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
образием (как объединение инвариантных многообразий — орбит
fx (О) точек x?W) группы G. В силу теоремы 18.7 отсюда следует,
что группа G интранзитивна. Поэтому существование многообра-
многообразий Ч*", орбиты которых являются собственными многообразиями
в X, возможно только для интранзитивных групп. Конечно,
в общем случае обратное утверждение неверно, т. е. одно только
свойство интранзитивности группы G не гарантирует, что для лю-
любого многообразия W его орбита будет собственным многообра-
многообразием в X.
Для любого инвариантного многообразия Ф группы G, содержа-
содержащего многообразие W, справедливо включение / (V, О)сФ.
Поэтому орбита f Q?, О) является наименьшим инвариантным
многообразием группы G, содержащим W. В частном случае, когда
Чг = {ж} состоит из одной точки x?V, этот факт отмечен в 18.5.
Ясно, что если Ч*" само есть инвариантное многообразие группы G,
то /(?, O)=W.
2. Ранг и дефект. Пусть для данного многообразия W выпол-
выполнено неравенство A.1). Его орбита / (W, О), будучи неособым ин-
инвариантным многообразием группы G, имеет определенный ранг
(см. 18.8). Следующим определением этот же ранг приписывается
и многообразию W (вообще, говоря, не инвариантному).
Рангом многообразия ЧГ относительно группы G назы-
называется ранг его орбиты f (Ф, О). Рассматриваемый как функция
пары (ЧГ, G), этот ранг обозначается символом р(Ч", G).
Другая важная числовая характеристика многообразия ЧГ, назы-
называемая дефектом инвариантности (или просто дефектом), опреде-
определяется так.
Дефектом многообразия ЧГ относительно группы G назы-
называется разность между размерностью его орбиты /(ЧГ, О) и раз-
размерностью многообразия ЧГ. Рассматриваемый как функция пары
(Ф, G), этот дефект обозначается символом SDr, G), так что
b(W, G) = dim/(VP, tf^dim^.	B.1)
Термин «дефект» подчеркивает, что число 8(ЧГ, G) дает коли-
количественную характеристику того, насколько не инвариантным
является данное многообразие ЧГ. Ясно, что равенство 8D!", G) = 0
есть критерий инвариантности многообразия ЧГ. Многообразие ЧГ,
для которого b(W, G)^>0, называется частично инвариантным много-
многообразием группы G с дефектом инвариантности, равным 8(ЧГ, G).
Ранг р = р(Ч!", G) и дефект 8 = 8D!", G) не являются независи-
независимыми. Связывающее их соотношение удобно описать с помощью
пространства инвариантов Ж группы G, размерность которого равна
п — Гф (теорема 17.3), где г„ есть общий ранг (на множестве V)
касательного отображения S группы G. В дальнейшем размерность
пространства инвариантов X обозначается через t, так что t = п — г,.

? 21. РАНГ И ДЕФЕКТ МНОГООБРАЗИЯ	277
Тогда размерность орбиты /(Ф, О) может быть выражена через
ранг р из формулы 18(8.1), которая дает dim/D!", О) = р-\-п— t.
Кроме того, пусть рассматриваемое многообразие ЧГ регулярно задано
уравнением
<Ка:) = О	B.2)
с отображением <]>: X^>R' (т. е. задано системой из s скалярных
уравнений). Тогда dim 4?* = л — s. Подстановка найденных выра-
выражений для размерностей в B.1) дает искомое соотношение
8 = р + в — *.	B.3)
Лемма. Справедливо неравенство
SO?, G)<r..	B-4)
Доказательство. Согласно формуле 18E.1) размерность
орбиты fx (О) любой точки х ? ЧГ равна г„. Поэтому положение каждой
точки орбиты /(ЧГ, О) может быть задано не более чем r?-f~ dim ЧГ
параметрами. Следовательно, dim/AF, OJ^r^-j-dim W, в силу
чего B.4) следует из B.1). ¦
Из соотношений B.3) и B.4) получаются неравенства, которым
необходимо удовлетворяет дефект инвариантности любого многооб-
многообразия W, для орбиты которого выполнено A.1),
max{s — t, 0}<8<min{n — t, s — 1}.	B.5)
Например, если s=l и t—1, т. е. многообразие ЧГ задано
одним скалярным уравнением B.2) и группа G имеет только один
независимый скалярный инвариант, то неравенства B.5) дают 8 = 0.
Это означает, что либо ЧГ есть инвариантное многообразие группы G,
либо его орбита совпадает (локально) с пространством X.
3. Вычисление дефекта. Формулы B.1) или B.3) неудобны для
вычисления дефекта данного многообразия ЧГ, так как они предпо-
предполагают известными либо размерность орбиты dim/DT, О), либо
ранг этой орбиты. Оказывается, что существует более простая
инфинитевимальная формула для дефекта, выражающая
его непосредственно через отображение ф, регулярно задающее
многообразие ЧГ в виде B.2), и касательное отображение ё: V->
^g{B; X) группы G.
Теорема. Справедливо равенство
8(ЧГ, G) = r.((u|>oS)|W).	C.1)
Доказательство. Используя свойство инвариантности
каждой из частей равенства C.1) относительно преобразований про-
пространства X, можно сделать многообразие ЧГ «плоским», т. е. пред-
представить пространство X в виде Х= Xt X Xa, причем ЧГ = {0} X Х2
и dim Xt = dim ЧГ = п — s. Пусть соответственно этому представ-
представлению все векторы представлены в виде пар своих компонент

278	ГЛ. VI. ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
в сомножителях Хг и!„ т. е. x = (xlt х2), / = (/j, /2) и S = (SX, Sa),
так что порождающее группу G отображение / действует по фор-
формулам
x'i=fi(xi> х2, а), х'г = 1г{хх, х2, а).
Пусть у — (<д, х2, а)?Ф X В. Тогда орбиту f(W, О) можно пред-
представить как многообразие, явно заданное уравнением
*'=/(у)=(Му), MiO, у^хв.
Так как / есть отображение класса Ст, то размерность многообразия
/(ЧГ, О) равна общему рангу производной 3J, который можно
вычислить при а = 0 и произвольном х2?Х2. Пустьг/0 = @, х%, 0).
Тогда, в силу определения касательного отображения, эта производ-
производная в компонентах дается формулой
Отсюда следует, что
rank (dvf (у0)) = (п — *) -f rank (^ (г/0))
или, в терминах размерностей,
dim/DT, O) = dim4r + r.(E1(y0)).	C.2)
Согласно определению дефекта B.1) из C.2) следует формула
C.3)
Остается заметить, что в выбранном представлении уравнение W
есть хг = 0, т. е. ty = x1, а потому 9фо5 = ?1, в силу чего C.3)
совпадает с C.1). ¦
Следствие. Многообразие W, заданное уравнением B.2),
имеет данный дефект инвариантности S относительно группы
G (?), ес/ш ы только если г^ ((дф • ^)|ЧГ) = 8.
Именно в этой формулировке утверждение теоремы удобно
использовать в приложениях.
Полезно заметить, что критерий инвриантности многообразия
18 B.2) является частным случаем формулы C.1). Действи-
Действительно, в силу C.1) равенство 8 С?, G)=0 равносильно равенству
@)|?О
(ф)|
4. Переход к подгруппе. Инвариантные многообразия группы G
являются также инвариантными многообразиями любой под-
подгруппы G'czG. Поэтому всякое частично инвариантное многообра-
многообразие W группы G есть одновременно частично инвариантное много-
многообразие ее подгруппы G'. Для целей группового анализа семейства
решений дифференциальных уравнений важно выяснить, что про-
происходит с рангом и дефектом данного многообразия W при пере-

§ 21. РАНГ И ДЕФЕКТ МНОГООБРАЗИЯ	279
ходе от группы G к ее подгруппе G'. Пусть р и 8 — ранг и дефект
пары (W, G), а р' и 8' - ранг и дефект пары (W, G').
Лемма. При переходе к подгруппе ранг многообразия W
не убывает, а его дефект не возрастает, т. е. всегда
?'>Р, 8'<8.	D.1)
Доказательство. Пусть t = dimX, где X — пространство
инвариантов группы G, и i' = dimX', где X1 — пространство ин-
инвариантов подгруппы G' с G. Тогда t1~^&t 'и можно считать, что
X а X1. Если Ф есть наименьшее инвариантное многообразие
группы G, содержащее1?, то ранг р = р(Ф, G), по определению 21.2,
равен рангу р (Ф, G). Последний равен размерности проекции Ф
(см. 19.4) инвариантного многообразия Ф в пространстве инвариан-
инвариантов X, т. е. p = dim<I>. Пусть fi есть число независимых уравнений,
задающих Ф (или Ф); тогда р = t — ц. Аналогично, наименьшее
инвариантное многообразие подгруппы G', содержащее W, есть Ф',
и p' = dim3>', где Ф' есть проекция Ф' в пространстве инвариан-
инвариантов X'. Если ja' — число уравнений, задающих Ф' (или Ф'), то
p' = t' —fi\ Так как Ф' с Ф, а значит, и Ф' С Ф, то система урав-
уравнений, задающая Ф, входит в качестве подсистемы в систему урав-
уравнений, задающую Ф'. При этом прирост числа уравнений jj.'— jj.
может произойти только за счет прироста размерности пространства
инвариантов t1 — t. В противном случае многообразие Ф не было бы
наименьшим инвариантным многообразием, содержащим W. Поэтому
ja' — [л ^ V — t, откуда
т. е. справедливо первое неравенство D.1). Второе неравенство D.1)
очевидно в силу включения Ф' с Ф. I
5. Редукция. Особо выделяется случай перехода от группы G
к подгруппе G', когда ранг многообразия ЧГ сохраняется, а его
дефект уменьшается. В этом случае говорят, что имеет место
редукция пары (Ш, G) относительно подгруппы G' czG или
что пара (Ф, G) редуцируется к паре (W, G') с меньшим дефектом.
Итак, редукция (Ш, G) относительно подгруппы G' CZG описывается
соотношениями
9{W, С) = р(ЧГ, G), b{W, G')<8DT, G).	E.1)
Пример. Рассматривается группа G* преобразований простран-
пространства Х=224(ж, у, z, v), алгебра Ли которой имеет бааис
^ . д — хду, S8 • д = д,.

280	ГЛ. VI. ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
Двумерное многообразие Wcl, заданное уравнениями
у — \xz, v = 0 (X = const),
не инвариантно относительно группы G2. Здесь <J> = (у — \xz, v) и
ft-0) <!> = (*. 0), (Ея.а)«|» = (—Хж, 0), так что г.((афо6)|ЧГ) = 1.
Поэтому 8 = 1 и так как s = 2, ? = 2, то по формуле B.3) нахо-
находится ранг р = 1. Для подгруппы G1 С G2 с оператором (Х^ -J- ?2) • 3 =
= Хжду -f" ^ справедливо равенство (кхду -f- 9J <j» = @, 0), т. е. <j» — ин-
инвариант. Поэтому многообразие W инвариантно относительно G1 и
дефект 8(ЧГ, G1) = 0. Но пространство инвариантов группы G1 трех-
трехмерно, ее универсальный инвариант есть J =(х, у — Xxz, v), в силу
чего р(ЧГ, G1)=l. Следовательно, пара (W, G) с дефектом 8=1
редуцировалась к паре (W, G1) с дефектом 8 = 0. Этот пример ин-
интересен тем, что в нем подгруппа, относительно которой происходит
редукция, зависит от значения параметра X, входящего в уравне-
уравнение многообразия Ш.
6. Существенные параметры. Пусть даны банаховы простран-
пространства X = Rn(x), Y=Rm (у), В = Вт(а) и отображение <р: X X В -> Т
класса Ст (X X В). Координаты вектора а ? В называются пара-
параметрами, от которых зависит отображение ср, рассматриваемое как
отображение fa: X -> Y.
Параметры а называются несущественными, если най-
найдутся отображения -[•: В -> В и f: XX^{B)-*-Y класса Ст,
удовлетворяющие соотношениям (для всех (х, а)?Х X В)
F.1)
Если отображений у с указанными свойствами нет, то пара-
параметры а называются существенными.
Если параметры а несущественны, то среди всевозможных ото-
отображений у, удовлетноряющих соотношениям F.1), найдется такое,
для которого число q = r? (дау) минимально. В этом случае размер-
размерность образа у (В) равна q и говорят, что <? зависит от q суще-
существенных параметров-
В связи с этими определениями возникает задача об отыскании
числа существенных параметров, от которых зависит данное отоб-
отображение <р. Это задача анализа, которая имеет известное алгорит-
алгоритмическое решение. Предварительно устанавливается важное вспо-
вспомогательное предложение.
Лемма. Если число существенных параметров отображения
у равно q < г, то найдется такое полное (г — а)-мерное семейство
ш векторных полей на пространстве В, с которым
дв?(х, а)ош(а) = 0.	F.2)
Обратно, если найдется такое полное (г — q)-Mepnoe семейство ш
векторных полей со свойством F.2), для которого q минимально,
то число существенных параметров отображения (р равно q.

§ 21. РАНГ И ДЕФЕКТ МНОГООБРАЗИЯ	281
t Доказательство. Если некоторое "отображение у: В-*"В
таково, что r? {да^) = q<^r, то найдутся такие пространство Во,
dimВ0 = г — д, и отображение со: В-^-?(В0; В) класса 0^(8),
что будут выполнены равенства
deT(a)ou)(a) = 0, г.(ш) = г — д.	F.3)
Дифференцирование равенства F.1) и образование его композиции
с <о(а) приводит к F.2). Полнота семейства векторных полей ш(а)(В0)
(см. 17.2) следует из равенства r^(da*() = q. Обратно, если с отобра-
отображением со: В->?!{В0, В), задающим на В полное семейство век-
векторных полей a)(a)(jB0), выполнено F.2), то для каждого фиксиро-
фиксированного х ? Ж частное отображение <рх: В ~> Y есть инвариант этого
семейства. Пусть у: В-+В— универсальный инвариант семейства
векторных полей ев, существование которого гарантируется теоре-
теоремой 17.2. Тогда для каждого х^Ж найдется такое отображе-
отображение срж: В —> Y, с которым будет сра:=:сржоу, т. е. выполнено ра-
равенство F.1). Так как при этом q минимально, то число существенных
параметров, от которых зависит ер, равно q. Ш
Упомянутый алгоритм отыскания числа существенных парамет-
параметров состоит в следующем. Отображение сра: Ж-^Y продолжается
так, как это описано в 4.4, до отображения уа: X^Z'k и вычис-
ляются общие ранги rk = rt(dafa) для & = 0, 1, 2, ... (при этом
cpa = cpa). Возникает неубывающая последовательность рангов
<...<гл<...<г,	F.4)
которая должна стабилизироваться, начиная с некоторого гк, так что
гк = гк+1 = ... Искомое число находится применением следующего
правила.
Теорема. Число существенных параметров отображения <р
равно наименьшему из чисел гк последовательности F.4), для ко-
которого rk = rk+1.
Доказательство. Пусть число существенных параметров
отображения ер равно q. Из тождества F.2) следует, что rk^q
(k = 0, I, 2, ...). Для доказательства обратного неравенстга надо
заметить, что из равенстна r? CacpJ = rk+1 следует существование
fc+i
отображения ев: X X В -* S6 (Во, В), где dim Во = г — rk+1, с которым
d'f(x, а)ош(х, а) = 0.	F.5)
Использование условия rk = rk+1 показывает, что на самом деле ев
от х не зависит, т. е. является отображением со: B~^S8{BU; В).
Кроме того, из равенства rk = r^(da<?a) следует, что семейство век-
k
торных полей св(а)(.В0) — полное. Поэтому, если ^ — универсальный

282	ГЛ. VI. ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
инвариант этого семейства (теорема 17.2), то с отображением -[¦:
В-*-В, где dimB = rk, выполнено равенство F.1), т.е. q^.rk. Ш
Замечание Число существенных параметров а, от которых
зависит порождающее отображение /: X X В ~> X группы Gr (/),
равно г = dim В. Действительно, если бы это число было меньше г,
то согласно лемме нашлось бы такое ненулевое векторное иоле
X: J3-J.J3, с которым dj(x, a)<j(.{a)y = 0. Но в силу уравнения Ли
dj{x, a) = l(f)oV(a), и если Zl(а) = V(а)(х(о)>, то Е(/)<&(«»)> = 0.
Согласно критерию точности представления последнее равенство
влечет ^1(а) = 0, а значит, и ^(а) = 0, что противоречит предпо-
предположению.
§ 22. Частично инвариантные решения
1. Необходимые условия. В этом параграфе рассматривается
обобщение понятия инвариантного ^-решения, изученного
в §§ 19, 20. Это обобщение достигается за счет отказа от полной
инвариантности решения и как многообразия UC.Z. Ниже ис-
используются обозначения и предположения, принятые в § 19.
Решение q?SE называется частично инвариантным
Н-решением уравнения Е, если многообразие U является частично
инвариантным многообразием группы Н, допускаемой уравне-
уравнением Е.
Согласно результатам § 21, каждое многообразие-решение U
может быть снабжено целочисленными характеристиками, а именно
рангом р и дефектом 8, относительно группы Н. При этом ранг
р= р (U, Н) и дефект &=§ (U, Н) называются соответственно ран-
рангом и дефектом (инвариантности) соответствующего частично
инвариантного Н-решения и.
В силу специфики многообразия-решения U, которое лежит
в (ге-}-7га)-мерном пространстве Z=Xx Y и задается уравнением
вида у=и(х), так что оно всегда имеет фиксированную размер-
размерность w=dim X, ранг и дефект любой пары (U, Н) должны удовлет-
удовлетворять некоторым необходимым условиям. В основном эти усло-
условия вытекают из соотношений 21 B.3) и 21 B.5), к которым
делается следующее дополнение. Так как ранг р равен числу неза-
независимых переменных в уравнениях, выводимых из Е, а интерес
представляют лишь такие решения, для которых число независи-
независимых переменных во вспомогательных уравнениях меньше п,
то целесообразно наложить еще условие на ранг: р^.п—1.
В упомянутых соотношениях надо число п заменить на п+т и
положить s—m. Кроме того, удобно ввести в рассмотрение число
(л, равное числу уравнений, задающих орбиту h(U, О) многообра-
многообразия U. Наконец, через t обозначается, как и в 21.2, размерность
пространства инвариантов Z группы Н, а через г, — общий ранг

§ 22. ЧАСТИЧНО ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ	283
ее касательного отображения С. Введенные числа удовлетворяют
соотношениям
t = п -\- т — гч, p=S-J-w — гч, р = иг — 3.	A.1)
Дополнительное ограничение на входящие в A.1) числа накла-
накладывает тот факт, что если Ф (г)=0 есть уравнение (система из ц
скалярных'уравнений) проекции орбиты h (U, О) в пространстве
инвариантов Z, то его следствием не может быть уравнение, связы-
связывающее только независимые переменные х. Это означает, что необ-
необходимо выполнение условия г, (дуФ) = р или
где / — универсальный инвариант группы Н. Так как rf (д^Ф) = \>.,
то согласно теореме о ранге композиции линейных отображений от-
отсюда следует неравенство [t^min{(i, г*(^*/)}> равносильное нера-
неравенству (л ^r, {dyJ) или т — г*(^у^)^§- Присоединение этого не-
неравенства к 21B.5) приводит к следующему выводу.
Для существования частично инвариантных Н-решений ранга
р<Сп необходимо, чтобы дефект 8 этих решений удовлетворял
неравенствам
шах {г, —и, 0}<8^min{r,—I, m— 1}	A.2)
и чтобы универсальный инвариант J группы Н был таким, что
/п-8<г.(9,7).	A.3)
2. Описание алгоритма. Пусть дана группа Н, допускаемая
уравнением (системой) Е, для которой определено число г, и
найден ее универсальный инвариант /. По т^ выбирается любое
значение 8, удовлетворяющее неравенствам A.2), и по форму-
формулам A.1) определяются числа р и jx. Затем проверяется неравен-
неравенство A.3). Если оно выполнено, то приводится в действие следую-
следующий алгоритм.	_
Пространство инвариантов Z = R*(z) представляется в виде
произведения Z = X X Г, где X = Mf(x), Ж=ВР(у), и универ-
универсальный инвариант разбивается на две части 7 = (/1, /а), где
J^.Z-^X, /2: Z-*Y, с таким расчетом, чтобы было выполнено
равенство r^ (dy/2) = f*. С помощью этого разбиения формируется
общий вид уравнения орбит искомых частично инвариантных
//-решений как уравнения их проекций в пространстве инвариан-
инвариантов, а именно, у—п(х) или, подробнее,
Ц{х, y) = a(J1r{x, у))	[B.1)
с неопределенным отображением б. Внешне это уравнение похоже
на 19 D.3), однако, если дефект S > 0, то из B.1) в принципе
нельзя получить выражения для у, так как вдесь имеется только

284	ГЛ. VI. ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
\i—m—8 < т скалярных уравнений. Поэтому дальнейшая про-
процедура отличается от той, которая применялась в случае инва-
инвариантных решений (см. 19.7).
Пространство Y рассматривается как множество пар у—(ух, у2),
т. е. представляется в виде произведения Y=Y1XY2, причем
dim Y1 = n, с таким расчетом, чтобы rf (dVlJ2)~F-- Переменные
уг называются главными, а у2 — параметрическими. Из уравне-
уравнения B.1) определяются выражения главных переменных и их
производных до нужного порядка и полученные выражения под-
подставляются в систему дифференциальных уравнений Е. В резуль-
результате получается некоторая переопределенная система Е2 уравне-
уравнений, связывающих параметрические переменные у2 (при известном
отображении а из B.1)).
Система Е2, вообще говоря, будет «активной», т. е. может
порождать новые независимые уравнения как условия совмест-
совместности уравнений Е2. Из общей теории дифференциальных уравне-
уравнений известно, что в принципе всегда может быть реализован про-
процесс приведения «активной» системы к «пассивной», условия сов-
совместности которой выполняются тождественно в силу уравнений
самой системы. В общем виде проследить этот процесс до конца
невозможно. В рассматриваемом случае можно лишь утверждать,
что результирующая «пассивная» система будет состоять из некото-
некоторой собственно пассивной системы Р, связывающей параметри-
параметрические переменные у2, независимые переменные х и отображение й,
и некоторой факторсистемы EIH, гарантирующей свойство пас-
пассивности системы Р. При этом система EIH не содержит явно пара-
параметрических переменных и связывает только функции п и перемен-
переменные X=Jt (х, у) из представления B.1).
Итак, указанный алгоритм реализует равносильное представле-
представление данной системы Е на семействе решений, удовлетворяющих
соотношению B.1), в виде объединения двух систем: системы Е/Н
в пространстве инвариантов группы Н и пассивной системы Р.
При этом по каждому решению системы Е/Н можно найти некото-
некоторое решение пассивной системы Р, т. е. отображение щ: .X—»¦ Y2,
дающее значения параметрических переменных у2=щ (х), после
чего из уравнения B.1) определяется отображение щ: X^*-Yx,
дающее значения главных переменных у1=и1 (х), в результате чего
получается решение и=(их, и2) системы Е. Это решение является,
по построению, частично инвариантным /У-решением ранга р и
дефекта 8.
Ясно, что задача отыскания частично инвариантных Я-реше-
ний проще задачи отыскания произвольных решений системы Е,
так как только часть у2 искомых у зависит, вообще говоря, от всех п
независимых переменных х, а отображение п, определяющее глав-
главные переменные уи является решением факторсистемы Е/Н, со-
содержащей лишь р <; п независимых переменных х.

§ 22. ЧАСТИЧНО ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
285
3. Типы частично инвариантных решений. В алгоритме оты-
отыскания частично инвариантных решений содержится некото-
некоторый произвол, связанный с выбором дефекта 8, удовлетворяющего
неравенствам A.2). Естественно возникает вопрос о широте этого
произвола. Для ответа на этот вопрос целесообразно дать список
всех возможных типов решений независимо от группы Н и уравне-
уравнения Е. Такие списки называются таблицами типов частично инва-
инвариантных решений. Если заметить, что в силу соотношений A.2)
из семи характеризующих решение чисел п, т, г?, 8, р, t, p. неза-
независимыми являются четыре, и предположить, что числа п, т фикси-
фиксированы, то «свободными» останутся только два числа, в качестве
которых удобно выбрать г, и 8.
Например, если га=2 и т=Ъ, то эти числа будут подчинены
неравенствам
,-2, 0} <8<mm{r,—1, 2}.
Здесь получается следующая таблица типов частично инвариант-
инвариантных Л-решений, где в последней графе схематически изображен вид
уравнения B.1) орбиты h (U, О) путем указания набора скалярных
инвариантов, образующих /2 (слева от черты Ц), и набора ска-
скалярных инвариантов, образующих Jx (справа от черты ||), причем,
если подпространство X нульмерно, т. е. S=C=const, то справа
от черты || стоит С:
л»
1
CSl
3
4
5
6
r*
1
CSl
2
3
3
4
8
0
0
1
1
см
CSl
p
1
0
1
0
1
0
t
4
3
3
CSl
2
1
V-
3
3
см
2
1
1
h(U, 0)
Я, Л, Я || 7*
Я, Л, Я || С
Я, Я || Я
Я, Я || С
Я || Л
Л || С
В общем случае число типов, получаемых для данных пят,
равное числу различных пар (г#, 8), зависит только от п, т. Про-
Простой подсчет показывает, что максимально возможное число типов
частично инвариантных решений равно пт. Конечно, для кон-
конкретного уравнения Е(п, т, k, s) реальное число типов частично
инвариантных решений, которые можно искать с помощью под-
подгрупп Н группы G, допускаемой этим уравнением, может быть
меньше пт. Это может произойти как за счет недостаточно большой
размерности группы G, так и за счет необходимого условия A.3),
которое при составление таблицы типов не учитывалось.

286	ГЛ. VI. ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
'¦¦ В целом классификация частично инвариантных решений дан-
данного дифференциального уравнения Е выполняется на основе тех же
принципов, которые использовались для классификации инва-
инвариантных решений в 20.5. При этом необходимо учитывать допол-
дополнительную характеристику решения — его дефект. Очевидно, что
дефект инвариантен относительно преобразования подобия групп.
Поэтому признак подобия подгрупп применительно к частично
инвариантным решениям ничего нового по сравнению со случаем
инвариантных решений не дает и оптимальные системы подгрупп
в равной мере служат и для классификации частично инвариант-
инвариантных решений. Однако здесь появляется новая возможность, свя-
связанная с отмеченным в 21.5 явлением редукции частично инвари-
инвариантных многообразий. Влияние этого явления на классификацию
частично инвариантных решений будет обсуждаться в 22.5.
4. Пример. Рассматриваются уравнения 20 F.1) околозвуко-
околозвукового течения газа и ищутся частично инвариантные решения отно-
относительно группы Н2=Н (С3, ?4) c базисом алгебры Ли операторов
(см. 5(9.9))
Здесь п=т=2, г?=2, неравенства B.1) принимают вид 0 <^ 8 ^«1
и дают две возможности:^8=0 и 8=1. Однако универсальный инва-
инвариант этой группы есть J={xly, и) и r^ (dUttJ)=l, так что необ-
необходимое условие A.3) дает S ^ 1. Поэтому остается только 8=1
и по формулам A.1) находятся р=1 и р = 1. Следовательно, отно-
относительно рассматриваемой группы возможны только частично ин-
инвариантные ^-решения ранга р=1 и дефекта 8=1. Общий вид
орбиты1* такого решения есть
а = 9(Ц, Ъ = х/у.	D.1ч
Здесь переменная «"является главной, a v — параметрической.
Вычисление производных'и^подстановка в уравнения 20 F.1) дает
гдетштрихом обозначена производная дх. Система D.2) переопре-
переопределена относительно "искомой функции v. Условие^совместности
уравнений D.2):
после упрощения ^приводится к виду
=0.
Уравнение D.3) является единственным условием совместности
(пассивности) системы D.2). Итак, здесь D.3) образует фактор-
систему EIH, а D.2) — пассивную систему Р.

§ 22. ЧАСТИЧНО ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ	287
Поскольку этот пример будет использован в дальнейшем,
целесообразно построить решение полученных уравнений. Пер-
Первый интеграл уравнения D.3) есть
(X2 -f <р) <р' = с (с = const),	D.4)
и, несмотря на то, что уравнение D.4) в квадратурах не интегри-
интегрируется, функцию v удается выразить через ср, а именно,
v = —c\ny—\ \<p'(K)d\.	D.5)
5. Проблема редукции. Понятие частично инвариантного ре-
решения позволяет организовать процесс поиска частных решений
уравнения Е, допускающего группу G, с помощью различных
подгрупп HdG. В этом поиске целесообразно продвигаться,
последовательно увеличивая ранги исследуемых /У-решений, так
как решения меньшего ранга находить, вообще говоря, легче
ввиду того, что ранг равен числу независимых переменных в фактор-
системе EIH. При этом рост ранга связан в основном с уменьше-
уменьшением порядка группы Н, т. е. с переходом от некоторой группы Н
к ее подгруппе Н'. Можно потребовать, чтобы при переходе
от группы Н к подгруппе Н'аН ранг не возрастал. Но в силу
леммы 21.4 при этом переходе ранг и не убывает. Следовательно,
поставленное требование означает, что ранг должен сохраняться,
т. е. р'=р. С другой стороны, если при переходе к подгруппе
Н'аН сохраняется и дефект 8, т. е. 8' = 8, то из формул A.1) сле-
следует, что t'=t, другими словами, группа if и ее подгруппа Н'
имеют один и тот же универсальный инвариант. В этом случае
переход к подгруппе новых решений не дает. Если же 8' <[ 8, то,
согласно 21.5, для некоторых частично инвариантных Я-решений
будет иметь место их редукция к частично инвариантным if'-реше-
if'-решениям. Тем самым естественно возникает вопрос о редукции ча-
частично инвариантных решений, который ставится в следующей
формулировке.
Проблема редукции. Пусть дано частично инва-
инвариантное Н-решение U, имеющее ранг р и дефект 8. Требуется
выяснить, существует ли подгруппа Н'аН, для которой пара
(U, Н) редуцируется к паре (U, Н'), т. е. U является также
частично инвариантным Н'-решением и справедливы соотношения
Р'=р, 8'<8.
Важность этой проблемы определяется тем, что в упомянутом
выше процессе поиска частично инвариантных решений обнаруже-
обнаружение редукция позволяет избежать большого количества фактически
бесполезной работы, так как в этом процессе, когда Н'аН, ча-
частично инвариантные .ff'-решения отыскиваются раньше, чем
//-решения.

288	гл. vi. Частичная инвариантность
К сожалению, какой-либо общий и практически удобный кри-
критерий редукции частично инвариантных решений пока не найден.
Имеются лишь отдельные частные теоремы, дающие достаточные
условия редукции. Одна из таких теорем общего характера при-
приводится ниже.
6. Лемма о ранге. Для дальнейшего потребуется одно свойство
продолжения касательного отображения С, группы Gr (С) преобразо-
преобразований пространства Z=XX Y. Рассматривается первое продол-
продолжение С, определенное в 4.8.
1
Лемма. Если группа Gr (?) интранштивна и
то общий ранг отображения С равен порядку группы, т. е.
г.(С) = г.
Доказательство. Если г, (С) = г0 < г, то в параметрическом
пространстве В группы С (С) найдется такое подпространство Во,
что dimJ50 = r0 и семейство векторных полей ?(z)(J50) — полное
(см. доказательство теоремы 17.3). При этом любое векторное поле
ta(z) для а?В выражается через базис (?аB)} (<х = 1, . .., г0) по
формуле, аналогичной 17C.1):
В силу F.1) такое же выражение (с теми же коэффициентами
справедливо и для продолженных векторных полей (см. 4.8),
так как в противном случае ранг г (С) был бы больше ранга г, (С).
1
Утверждается, что для интранзитивной группы последнее соотно-
соотношение возможно, только если все коэффициенты о>? суть постоян-
постоянные отображения Z-*-R. Но если это так, то семейство векторных
полей ^(z)(B) совпадает с ?(z)(J30), что противоречит неравенству
го<г.
Итак, остается доказать следующее утверждение. Если на про-
пространстве Z=JX Г дано полное семейство векторных полей с ба-
базисом {^} (а = 1, ..., г), причем г <С dimZ = п-\- т, то для какого-
либо векторного поля С равенство
t(z) = <o»ta(z)	F.2)
11	11
возможно только с постоянными ш".
В компонентах С = (?, щ, i\) равенство F.2) равносильно системе
1	1
6 = «>\, 41 = «>4t •Ч = ШЧ»	F-3)
1 1

§ 22. ЧАСТИЧНО ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ	289
где т] выражается через S, i\ по формуле продолжения 4 (8.4) и имеет
1
вид 7] = Z>7] — у • 1Л. В силу равенств F.3) это дает
т, = ш« (D^ - \ . DD + (ц,
11
откуда снова в силу F.3), а также равенства Duf = дхш*-\-у • д <о"
1
1
+ У • ЗУ) = 0.	F.4)
У
Так как в F.4) отображения ?а, т|а и ш"от у не зависят, то это
1
тождество расщепляется относительно у. Дальнейший анализ удобно
провести в координатной форме, введя координаты векторов х = {х1},
V={f), У={укЛ> ?.= {?}, Ч« = {^} и положив а-4(о" = р«, 9^ш" =
1	*
^д^. В этих обозначениях расщепление тождества F.4) относи-
относительно переменных у\ дает три серии уравнений:
(a) i?tf = 0; (b) ^ej = 8^; (с) &J = 0,
где i, / = 1, . . ., и; A, Z = l, ..., т. Остается доказать, что из
этих уравнений следуют равенства р« —д* = 0.
Пусть в матрице ilf = (й, tj«) индекс а нумерует столбцы, так
что в ней г столбцов и п-\~т строк. В силу полноты семейства
векторных полей с базисом {Са} общий ранг матрицы М равен г <^
<Сп-\~тп. Поэтому в М найдется строка, после вычеркивания ко-
которой остается матрица М1, все еще имеющая ранг г. Пусть это
будет строка с номером i0 (для номера к0 рассуждение аналогично).
Если в уравнениях (а) и (Ь) положить i = i0 и j =^= i0, то для на-
набора {р1о} получится система линейных однородных уравнений
матрица коэффициентов которой есть М'. Так как rank M1 = г, то
отсюда следует, что р?0 = 0 (а = 1, . . ., г). Поэтому, если в урав-
уравнениях (Ь) положить i = j = i0, то вместе с уравнениями (с) полу-
получится система линейных однородных уравнений для д)
с матрицей коэффициентов М. Отсюда ?" = 0 (а = 1, ..., г; 1 =
= 1, ..., тп). Наконец, если в (Ь) положить к — 1, то вместе с (а)
получится система
откуда, как и выше, р* = 0 (а = 1, ..., г; i = i, ..., и).

290	ГЛ. VI. ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
Требование интранзитивности группы Gr(Q в этой лемме су-
существенно. Для транзитивных групп утверждение леммы о ранге
может быть неверным. Например, для группы G3 преобразований
пространства R2 (х, у) (х и у — скаляры) с базисом алгебры Ли
легко найти, что С = С и условие F.1) выполнено. Однако здесь
г#(С) = 2, а порядок группы г = 3, т. е. заключение леммы неспра-
несправедливо. Это произошло потому, что группа G*(?) транзитивна.
7. Теорема о редукции. Согласно 22.2 на классе частично ин-
инвариантных /7-решений система Е представляется в виде равно-
равносильного ей объединения факторсистемы EIH и пассивной системы
Р. При этом, конечно, система Р также допускает группу Н. Здесь
будет доказана теорема о редукции частично инвариантных /Г-ре-
шений при следующем дополнительном условии.
На частично инвариантном Н-решении пассивная система Р
содержит такую подсистему первого порядка, что ее уравнения,
вместе с уравнениями Е/Н, можно разрешить относительно пер-
первых производных всех искомых функций (т. е. относительно век-
вектора у ? 3^) и привести к виду
y = F(x, у).	G.1)
Теорема. Для любого частично инвариантного Н-решения
ранга р, на котором из системы Е получаются уравнения вида G.1),
найдется такая подгруппа Н' С.Н, что это решение есть инвариант-
инвариантное Н'-решение ранга р'=р.
Доказательство. Так как G.1) есть инвариантное многооб-
многообразие продолженной группы Н, то согласно теореме о представле-
1
нии 18.7 оно может быть ведано в равносильной форме Ф(х, у, у) = 0,
1
где Ф — инвариант группы Н. Поэтому универсальный инвариант
7: Z1-*-Z1 группы Н должен быть таким, чтобы r? (drJ) = dim Y1 =
i	i	ii
= пт. Следовательно, размерность пространства инвариантов про-
продолженной группы Н равна t -J- пт, где t — размерность пространства
1
инвариантов группы Н. Так как эти размерности связаны с общими
рангами касательных отображений формулой A.1), то
г, (С) = п -J- т -f- пт — (t -\- пт) = п-{-т — ? = г» (С),
т. е. выполнено условие F.1) леммы о ранге. Кроме того, группа Н,
по условию, интранзитивна (только для таких групп определяются
частично инвариантные решения). Поэтому порядок группы Н
необходимо равен r=re+m—t.

S 22. ЧАСТИЧНО ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ	291
Пусть U есть рассматриваемое частично инвариантное //-реше-
//-решение с уравнением у=и(х). Под действием преобразования ha?H
многообразие U перейдет в многообразие Ua с уравнением вида
у = ?(х, а),	G.2)
причем ср (х, 0)=ц (х). Тогда число 8=г# (двср) равно дефекту много-
многообразия U относительно группы Н. Действительно, если записать
G.2) в виде т скалярных уравнений, то 8 из них можно разрешить
относительно того же числа координат вектора а—(а1,. . ., а1*),
например, относительно а' = (а1, . . ., а ). Если полученные выра-
выражения для а' подставить в оставшиеся т—8 уравнений, то послед-
последние образуют подсистему, равносильную такой, в которую пара-
параметры а не войдут (в противном случае было бы г, (<9вср) >¦ 8).
Следовательно, это и есть уравнения наименьшего инвариантного
многообразия группы Н, содержащего U, т. е. уравнения орбиты
h (U, О). Число этих уравнений равно р=т—8, а потому размер-
размерность орбиты есть re-j-8 и согласно определению 21 B.1) дефект
многообразия U равен п-\-Ь—п=Ь.
Если многообразие Ua продолжить на пространство Zix, допол-
дополнив уравнения G.2) уравнениями
и в эти новые уравнения подставить найденные ранее выражения
для параметров а', то в результат параметры а не войдут вообще.
Это следует из того, что результирующие уравнения должны быть
равносильны (на решении U) уравнениям системы G.1), которая ин-
инвариантна относительно Н и параметров а не содержит. Поэтому
ранги г^ (да ср) и г^ (Зоср, дхдау) равны. Это "означает, что последова-
последовательность 21 F.4) здесь имеет вид Го=г1. В силу теоремы 21.6
о числе существенных параметров отсюда следует, что это число
в точности равно дефекту 8. Согласно лемме 21.6 найдется такое
отображение у: В ->В0, где dim J50=8, что существенными пара-
параметрами будут т (а) и неинвариантную часть системы G.2) можно
переписать в такой форме, что в нее будут входить только пара-
параметры т (а). Более того, эти уравнения можно разрешить относи-
относительно т (а) и представить в виде
ф, у) = Т(а)	G.3)
с некоторым отображением <]>: Z-*B0, которое необходимо должно
быть инвариантом группы Н. Пусть Н1 есть совокупность всех
таких преобразований ha(*H, для которых
G.4)
^ Очевидно, что Н' есть группа, а именно подгруппа
как при а=0 получается исходное решение U0=U, то все преобра-

292	ГЛ. VI. ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
зования ha^H' оставляют инвариантным многообразие U. Следова-
Следовательно, U есть инвариантное //'-решение. Далее, размерность
многообразия G.4) в групповом пространстве В группы Н равна
г—§, а потому и порядок подгруппы Н' равен г—§. Кроме того,
подгруппа Н' также интранзитивна, и для ее касательного отобра-
отображения, очевидно, выполнено равенство F.1). По лемме о ранге ее
порядок связан с числом ее инвариантов t' соотношением г—8 =
~п-\-т—f. Поэтому ранг U как инвариантного Я'-решения равен
где, согласно A.1), число р есть ранг решения U как частично
инвариантного //-решения. ¦
В приложениях эта теорема хорошо работает в случае систем
дифференциальных уравнений Е первого порядка и обычно при-
применяется для того, чтобы априори выяснить возможный вид нереду-
цируемых частично инвариантных решений. При этом оказывается,
что такие решения являются довольно редкими и вместе с тем инте-
интересными с точки зрения описываемых системой Е физических
процессов.
8. Примеры. В следующих двух иллюстративных примерах
рассматриваются уравнения 20 F.1) околозвукового течения газа.
Первый пример относится к решению, построенному в 22.4.
Здесь из D.1) и D.2) можно найти все производные первого по-
порядка от u, v по х, у. Поэтому, в силу теоремы 22.6, каждое реше-
решение D.1), D.5) должно быть инвариантным относительно некото-
некоторой однопараметрической подгруппы Н1 группы IP. Эту подгруппу
можно найти, разыскивая ее оператор в виде
С • д = (С4 - с^з) .д = хда + уду - сгд, (Cl = const). (8.1)
Универсальный инвариант группы Н1 есть J=(xly, и, y+Ciln у),
и инвариантное /^-решение можно искать в виде
в = <р(Х), v = — сх In у + ф (X). '^~х1у.
Соответствующая факторсистема оказывается такой:
где штрихом обозначена производная ду Исключение ф приводит
к уравнению
совпадающему с D.4) при с = сг. Кроме того, <]> (X) = — \ Xcp'dX,
и получается в точности решение D.5). Итак, каждое частично ин-
инвариантное /Р-решение D.1), D.5) есть инвариантное Н1 (^-реше-
(^-решение, где С есть оператор (8.1) при сх=с.

§ 23. КРАТНЫЕ ВОЛНЫ	293
В качестве второго примера решается задача отыскания все-
всевозможных нередуцируемых частично инвариантных решений
системы 20 F.1) ранга р=1 и дефекта 8 = 1. Уравнение наимень-
наименьшего инвариантного многообразия, содержащего такое решение,
может быть взято в виде
v = f(x, у, и).	(8.2)
Подстановка в систему 20 F.1) приводит к уравнениям
/Л — lly z= —/*' UU* + 1ииу = —fr	(8-3)
где fu=dj и т. д. Если эти уравнения можно решить относительно
их, utJ, то будет выполнено условие G.1). Поэтому на нередуцируе-
нередуцируемых решениях вида (8.2) должно выполняться равенство
/2 + в = 0.	(8.4)
Отсюда следует вывод: на любом нередуцируемом частично инва-
инвариантном решении рассматриваемого типа должно быть и <^ 0.
В теории околозвуковых течений газа это соответствует сверх-
сверхзвуковым течениям.
Если соотношение (8.4) выполнено, то из уравнений (8.3) легко
определяется вид зависимости (8.2) и оказывается таким:
у=±2 uf2 i с (с = const).	(8.5)
О
С этой функцией / уравнения (8.3) сводятся к одному уравнению
общее решение которого легко находится известным методом и
задается неявно конечным уравнением вида
x + (-uf2y = F(u)	(8.6)
с произвольной функцией F. Решения вида (8.5), (8.6) в теории
околозвуковых течений газа называются простыми волнами. Тем
самым установлен следующий замечательный факт.
Любое нередуцируемое частично инвариантное решение системы
20F.1) ранга р=1 и дефекта 8 = 1 есть простая волна.
§ 23. Кратные волны
1. Квазилинейные системы. Общий вид квазилинейной системы
первого порядка в пространстве Z=JX ^ есть
e<y> = f	A.1)
1
с заданными отображениями е: Z—>-SS(Y1', R') и /: Z-*R', где
i7! — первое продолжение пространства Y с помощью X (см. 4.2).

294	ГЛ. VI. ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
При этом предполагается, что r9 (е) = s. Для записи уравнения A.1)
в координатной форме в пространствах X = Rn(x) и Y = Rm(y)
выбираются системы координат и вводятся координаты векторов
х = {х'}, у = {ук) и y=z{y1l). Отображение е также представляется
1
набором координат {е{,}, где отображения ei,\ Z^-jR действуют по
формуле z—>eie(z). В этих обозначениях уравнение A.1) принимает
вид системы скалярных уравнений
ei.(x, y)y*=fe(x, у) (о = 1, ...,*).	A.2)
В качественной теории систем A.2) важную роль играет поня-
понятие характеристик, которое определяется следующим образом. Пусть
X* — пространство, сопряженное к X. С каждым вектором X =
= (Xlt ..., \п)?Х* можно образовать матрицу (^4eU(z)), строки ко-
которой нумерует индекс а, а столбцы — индекс к. Вектор X назы-
называется нормальным характеристическим вектором системы A.2)
в точке z^Z, если rank (Xf.eJt, (z)) <^ s. Пусть многообразие U с урав-
уравнением у = и(х) есть некоторое решение системы A.2). Гладкая
гиперповерхность Г с X называется характеристической гиперпо-
гиперповерхностью (или просто характеристикой) на решении U, если
в каждой точке х ? Г вектор нормали к Г является нормальным
характеристическим вектором системы A.2) в точке z^=(x, u(x)).
Система A.2) называется недоопределенной, определенной или
переопределенной, если соответственно s<^m, s = m или s^>m.
Система A.2) называется автономной, если отображения ей/
не зависят от х, и однородной, если / = 0.
В дальнейшем будут рассматриваться автономные однород-
однородные квазилинейные системы, имеющие вид
eUjr)<jrJ=O (o=l,...,s).	A.3)
Замечание. Систему A.3) естественно изучать с точностью
до преобразований эквивалентности (см. 6.4), которые здесь пред-
представляют собой любые обратимые линейные преобразования в про-
пространствах X, ТГи R'. Очевидно, что такие преобразования сохра-
сохраняют дифференциальнукг[структуру уравнения A.3), изменяя
только функции elka. Эта группа эквивалентностей будет обозна-
обозначаться символом G (е).
2. Решения типа «бегущих волн». Пусть Х = .Еа(?, х) и пере-
переменная t интерпретируется как время, а переменная х—как рас-
расстояние. Отображение и: X -*¦ Y, заданное с помощью функ-
функции v: И -> Y и действующее подформуле и (t, x)=v (x—ct), где
c=const, называется бегущей~:волной. Этот термин отражает тот
факт, что график у—и (t, х) в любой момент времени t > 0 полу-
получается из графика у =и@, x)—v(x) перемещением последнего как
целого на расстояние ct в положительном (если с > 0) направле-
направлении оси х. Это перемещение зависит от времени t, и его скорость
равна с=д(х, так что волна y—v (а;) как бы «бежит» со скоростью с,

§ 23. кратные волны	295
Понятие бегущей волны распространяется на случай «-мерного
пространства X = R"(x). Этим термином называется отображение
вида u(x) = v(k), где \ = \{х', образованное с помощью вектора
(Х1( . .., Хя) ? X* и функции v: R-*-Y. Более того, для каждого р<Сп
можно рассмотреть отображение v: ffl -»¦ Y, задающее р-кратную
бегущую волну по формуле и(а;)=:у(Х1, . .., \р), где линейные
формы Х'г^Х^г* образованы с помощью линейно независимых век-
векторов (XJ, . .., XJ) ? X* (« = 1, . .., р). При этом каждая состав-
составляющая волна, соответствующая некоторому X*, «бежит» в своем
подпространстве Хк размерности ге —- р -j— 1, определенном заданием
постоянных значений остальных (р—1) форм. Эта терминология
применяется и к решениям систем вида A.3).
Решение U {у = и{х)} системы A.3) называется р-кратной бе-
бегущей волной, если, отображение и: Х-+ Y есть определенная выше
р-кратная бегущая волна.
Существенно следующее свойство бегущих волн. Если решение
U с уравнением у=и(х) есть р-кратная бегущая волна и р <[ т,
то функции ик (к=1, . . ., т) функционально зависимы, причем
число функциональных связей этих функций не меньше, чем т—р.
В общем случае можно считать, что таких связей ровно т—р.
Равносильное выражение этого свойства дается с помощью матрицы
Якоби (дх(ик (х)), ранг которой должен быть равен р. Итак, для
р-кратных бегущих волн U справедливы соотношения
= Р<№щ{п, т).	B.1)
Ясно, что соотношения B.1) являются лишь необходимыми, но
не обязательно достаточными для того, чтобы решение U было
р-кратной бегущей волной. Поэтому их можно положить в основу
обобщения понятия бегущих волн, вводимого следующим опре-
определением.
Решение U системы A.3) называется р-кратной волной,
если оно удовлетворяет соотношениям B.1). При этом 1-кратная
волна называется простой волной, 2-кратная волна — двойной
волной и т. п.
Другими словами, решение у = и (х) есть р-кратная волна, если
существуют такие отображения X: Х-*ИР и v; HP-*Y, с кото-
которыми выполнено равенство и = уоХ или, в координатной форме,
u*(x) = v"(V(x), ..., \'(х)) (Л = 1, ..., т).	B.2)
Переменные X1, ..., X' называются параметрами волны.
Итак, достигнутое данным определением обобщение состоит
в том, что параметры р-кратной волны, в отличие от р-кратной бегу-
бегущей волны, уже не обязаны быть линейными формами на про-
пространстве X.

296	гй. vi. частичная инвариантность
Целью этого параграфа является изучение кратных волн Как
частично инвариантных решений системы A.3).
3.	Допускаемая группа. Очевидно, что любая система вида A.3)
допускает группу Gn+1 с алгеброй Ли Ln+1, базис операторов ко-
которой есть
%,.д = х*до \t-d = dt (i = l, ..., п),	C.1)
где dt = dxi. Здесь ?0 • д есть оператор растяжения, а %(¦ д — опера-
операторы переноса в направлениях координатных осей пространства X.
Можно показать, что в общем случае G"+1 есть основная группа
(см. 5.5) системы A.3), т. е. что никаких других преобразований
пространства Z (принадлежащих однопараметрическим группам) эта
система не допускает.
Алгебраическая структура группы G"+1 исследуется элементарно.
Ясно, что подпространство L" С Ln+1 с базисом {^.} есть абелева
подалгебра, которой соответствует подгруппа G" С Gn+1 всех пере-
переносов пространства X. Более того, так как [i,., S0]=.?t., то L"—абе-
лев идеал и одновременно производная алгебра. Отсюда следует,
что G"—¦ абелев нормальный делитель в Gn+1 и что группа Gn+1 раз-
разрешима (см. 13.7). Кроме того, равенство [1{, Ео]^^ показывает,
что алгебра Ли Ln+1 (а значит, и группа GK+1) имеет нулевой (еди-
(единичный) центр.
Как представление в группе преобразований пространства Z,
группа G"+1 также описывается весьма просто. Фактически она яв-
является группой преобразований пространства X, и для ее касатель-
касательного отображения 5, заданного формулами C.1), справедливо равен-
равенство rf(l) = n. Поэтому группа G"+1 транзитвна в X и ее уни-
универсальный инвариант в Z есть у = (уг, . . ., ут). Как каноническая
группа второго рода (см. 16.7), она порождается отображением
х —*¦ х1 ¦= ах -j- Ъ или, в координатах,
ж" = айв'+ 6' (* = 1, .... п),	C.2)
где групповые параметры а и Ь* — вещественные числа.
4.	Подгруппы и их инварианты. Для классификации подалгебр
алгебры Ли L"+1 (а тем самым и подгрупп группы G"+1) любое
векторное поле I ? L"+1 представляется его координатами р =
=(р°, р1, . ••,/>") в базисе C.1), так что
Если 5. = q\ -f- Q% — Другое векторное поле из Ln+1, то коммута-
ТОР [%> Ьр\ Дается формулой

§ 23. КРАТНЫЕ ВОЛНЫ	297
По формуле D.2) сразу пишется матричное выражение присоеди-
присоединенного отображения (см. 14.1) алгебры Ли Ln+1 в базисе C.1):
О 0 ...
—р1 р° ... О
\—рп о ... р0^
С помощью этого выражения легко строится группа внутренних
автоморфизмов Int Ln+X при использовании -алгоритма, изложенного
в 14.4. Действие общего автоморфизма ^?lnt?"+1 на вектор D.1)
по пра-илу А (%рУ = р'% -\~ р'% определяется формулами
о (» = 1,...,п),	D.3)
где а и &' — групповые параметры группы Int L"+1. Следует отме-
отметить, что поскольку группа Gn+1 имеет единичный центр, то она
должна быть изоморфна группе InlLn+1 (см. 15.7). Этот факт хорошо
подтверждается сравнением C.2) с D.3).
Все подалгебры N С ?и+1 разбиваются на два типа в зависи-
зависимости от того, содержат они векторное поле с ненулевой координа-
координатой р° или нет. К типу (а) относится любая подалгебра N С V;
все операторы этой подалгебры суть операторы переноса (/?° = 0).
К типу (|3) относятся все прочие подалгебры.
Теперь полезно заметить, что любое обратимое линейное преобра-
зогание V пространстга X индуцирует преобразование подобия
алгебры Ln+1 в алгебру операторов того же вида (в новой системе
координат). Действительно, если x' = V'(z)> или, в координатах,
х" = V)x}, то
Srd = V{t'rd>, %.д = %.д',	D.4)
где д' — дХ', и если дхч = д'(, то 1\-д' = &р %• д' = х"д'(. Отсюда,
ввиду обратимости матрицы (У/), в координатах х' = (ж'\ ..., х'п)
получается снога базис C.1). Но преобразование x' = V(x)> есть
элемент группы G(e) преобразований эквивалентности системы A.3)
(см. замечание 23.1). Поэтому классификацию подалгебр алгебры
Ли Ln+1 достаточно сдолать с точностью до преобразований подо-
подобия У.
Полезно заметить, что справедливо разложение LB+1= Л^(?о) ф L",
каждая из компонент которого инвариантна относительно любого
преобразования подобия V. Это следует из формул D.4).
Пусть N"~p есть подалгебра типа (а) и ее базис векторных
полей есть
Тогда rank (ар = п — р и, очевидно, можно найти такое преобразо-
преобразование подобия У, с которым будет S^ = ^. Следовательно, любая

298	ГЛ. VI. ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
подалгебра типа (а) характеризуется числом р, где 1 ^ р ^п — 1,
и подобна стандартной подалгебре N"~p этого типа с базисом
Пусть №~t> есть подалгебра типа (Р). Тогда в ней найдется
такой вектор 1? вида D.1), у которого q°^0. За счет подходящего
преобразования подобия D.3) Можно добиться того, чтобы у пре-
преобразованного вектора lq> было q'4 = 0 (i— I, ..., п). Поэтому можно
считать, что подалгебра N"'p содержит вектор ?0. Тогда ее можно раз-
разложить в прямую сумму N"~p = Л^(?о) ф ЛГ"^1, причем TV*--*» с /Л
G учетом сделанного выше замечания об инвариантности подпро-
подпространств Лг1(?0) и L" действие внешнего автоморфизма на N"'p сво-
сводится к его действию на компоненту Nn~p'1 С L*. Но iV""' есть
подалгебра типа (а) и можно использовать предыдущий вывод. Сле-
Следовательно, любая подалгебра типа (р) характеризуется числом р,
где i^ip^n — 1, и подобна стандартной подалгебре N^-p этого
типа с базисом
1о.д = х% ^-д = д^ (|i = l	n-p-l). D.6)
Каждой из стандартных подалгебр соответствует подгруппа
группы G"+1, а именно подалгебре L%~p —- стандартная подгруппа Н%~р
и подалгебре Щ~р — стандартная подгруппа Н$~р.
Инварианты найденных стандартных подгрупп (в пространстве X)
находятся элементарно. Универсальный инвариант подгруппы Н?~р
есть
7 (х) = (х->+\ х*-р+\ ..., ж»),	D.7)
а д.1Я подгруппы НТ~р может быть взят таким:
7 (х) = (х"-р/хя, хп'р+1/х"	х'-Чх").	D.8)
В обоих случаях размерность пространства инвариантов равна р.
5. Простые волны. В силу определения 23.2 каждая р-кратная
волна является частично инвариантным С+1-решением ранга ? = р.
Так как для группы G"+1 выполнено равенство г^=к, то из фор-
формул 22A.1) следует, что 8 = р, т. е. дефект этого решения также
равен числу р. Пространство инвариантов группы Gu+1 есть Y.
Поэтому наименьшее инвариантное многообразие Ф этой группы,
содержащее />-кратную волну, есть /^-мерное многообразие в про-
пространстве Y. Это многообразие может быть задано системой из (п—р)
уравнений, связывающих переменные у, или параметрически, путем
выражения всех у через р параметров волны (см. B.2)). Параметри-
Параметрическое задание Ф в координатной форме имеет вид
yk = vk(\1	X*) (к=1,...,т).	~"Щ)
Для отыскания кратных волн надо подставить представление
E.1) в систему A.3) и исследовать совместность * получаемых урав-

I 2», КРАТНЫЕ ВОЛНЫ	299
нений относительно иекомых параметров волны X. В общем случае
такой анализ труден. Ниже рассматриваются более подробно лишь
простые и двойные волны.
Простая волна есть частично инвариантное С+1-решение
ранга р = 1 и дефекта 8^1. Ее параметрическое представление
таково:
yk=vk(\) (k = l,...,m).	E.2)
В результате подстановки в систему A.3) получится система урав-
уравнений, связывающая искомые функции vk переменного X и искомый
параметр X:
4.i>*'X( = 0 (з = 1,...,в),	E.3)
где штрих обозначает производную дх и \{ = дх*к.
Структура решения системы E.3) в значительной мере зависит
от числа r9(ejc<pk') = r ^ min {n, s), которое определяется не только
исходной системой D.3), но и отображением v: И^-И™. Например,
если г=п, то единственным решением будет Х< = 0 (i = l, . . ., га),
т. е. X = const. В дальнейшем этот тривиальный случай исклю-
исключается и предполагается выполненным условие
Гиперповерхности А С -X", на которых X = const, называются
поверхностями уровня простой волны. Описание нсех про-
простых волн дается следующей теоремой.
Теорема. Поверхности уровня простой волны, удовлетворяю-
удовлетворяющей условию E.4), образованы r-мерными плоскостями, а ее пара-
параметр определяется неявно уравнением вида
Х = /(а(Х, х)),	E.5)
где /— произвольное отображение^1 R"~r-* R и а = (а1, ..., а**"),
причем векторы а?~(а[	al) образуют полную систему линейно
независимых решений системы линейных уравнений
е<каик>а1 = 0 (а = 1,...,8).	E.6)
Доказательство. В силу условия E.4) в системе E.3)
содержится лишь r^s линейно независимых уравнений и потому
без нарушения общности рассуждения можно считать, что r = s.
Пусть Л,, есть поверхность уровня, соответствующая значению
X = Хо, и пусть точка х0 ? Л„. Вводится вспомогательное простран-
пространство Т = Rr (t), где t = (t1, ..., Г). Утверждается, что для любого
t f T точка xt с координатами
х\=А + t'e<kav*' (X (*,)) (i = 1	га)

300	ГЛ. VI. ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
также лежит на Ло. Действительно, для каждого а = 1, ...,г зна-
значение X = X (xt) является единственным решением задачи Коши
которая, в силу уравнений E.3), имеет постоянное решение Х = Х0.
Так как при переменном t^T точка xt, ввиду условия E.4), опи-
сыкает r-мерную плоскость в X, то поверхность уровня Ло состоит
из этих r-мерных плоскостей.
Благодаря условию E.4) параметры f являются независимыми
на Ло и могут быть выражены явно через х ? Лд с помощью решения
системы уравнений е{квик'а*-г+9 = §Ц (а, 9 = 1,..., г), а именно,
t" = aj-r+9 (x{ — х'о).
Пусть векторы al(i = l, . . ., п — г) образуют полную си-
систему решений системы E.6). Тогда все построенные векторы
а3 (/ = 1, . ¦ ., п) в совокупности линейно независимы и в про-
пространстве X можно выбрать в качестве координат переменные
х'3' = а{ (х*— х'о). В этих координатах, по построению, точки
вида @, ...,0, x'"~r+1, .. .,х'п) принадлежат Ло. Поэтому зна-
значение X определяется только значениями координат х'% == а\х*
(т=1, ...,га — г), т. е. необходимо справедливо представление
вида E.5). Тот факт, что функция X, определяемая неявно уравне-
уравнением E.5), является решением системы E.3), легко проверяется
прямым вычислением производных и подстановкой в систему. ¦
В приложениях особенно часто встречается случай, когда
г=п—1. Тогда имеется лишь один вектор (%, . ., ап) — решение
системы E.6) и представление решения E.5) может быть заменено
таким:
E.7)
где F — произвольная функция 22 -> R.
Замечание 1. В случае определенной или переопределен-
переопределенной системы A.3) {т. е. если т ^s) поверхности уровня простой
волны являются характеристиками этой системы. Действительно,
в силу уравнений E.3) ранг матрицы (е\а\() необходимо меньше
числа т.
Замечание 2. Условие E.4) существования нетривиаль-
нетривиальных простых волн может не выполняться для произвольного
отображения v. Тогда это условие становится требованием, на-
накладываемым на v, и приводит к некоторым уравнениям, которым
должно удовлетворять это отображение. Такие уравнения назы-
называются уравнениями простых волн. Во втором примере 22.8 таким
уравнением было уравнение 22 (8.4). Если функции v определяются
уравнениями простых волн не полностью, то оставшийся произвол
можно использовать для того, чтобы подчинить рассматриваемые
простые волны каким-либо дополнительным условиям.

§ 23. КРАТНЫЕ ВОЛНЫ	301
6. Пример волнового уравнения. Волновое уравнение для функ-
функции ср: R3(x, у, t) -»¦ jK (индексами обозначены производные 5^ = ^
и т. д.)
?»+*„=?«	FЛ)
равносильно системе уравнений для функций u = fx, v = fy, w = yf
vx~uy = 0, wx — ut = 0, wy — vt = 0, ux-^-vy — wt = 0. F.2)
Здесь ?г —/тг = 3, s = 4. Простые волны удобно искать, выбрав
в качестве параметра функцию w. Тогда для функций w^>u(w)
и w-^-v(w) получается следующая система вида E.3):
L>'wx — u'wff = 0, wx — u'wt = 0, wy— v'wt—0,
u'wx -f- v'wp — wt=0,
где штрихом обозначена производная ди. Легко проверить, что
при произвольных функциях и ж v ранг E.4) этой системы г=3.
Кроме того, г=2, если и только если
u«-f-y'a=i.	F.3)
Вектор а—{а1, а2, а3), являющийся рашением соответствующей
системы E.6), здесь может быть взят таким: а1=и', a2=v', а3=1.
Поэтому параметр простой волны будет определяться уравнением
вида E.7):
И 'И + /'И.	•	F.4)
где f'—dj и / — произвольная функция. Потенциал <р (решение
уравнения E.7)) восстанавливается интегрированием полного диф-
дифференциала d<?=u dx-\-v dy-\-w dt и оказывается таким:
<р(ж, у, t)~xu{w)-\- yv(w)-\~tw — f(w).	F.5)
Семейство получаемых из F.3) и F.4) простых волн — частично
инвариантных решений системы F.2) — зависит от двух произ-
произвольных функций / и и, а функция v определяется из F.3). Имею-
Имеющийся произвол может быть использован для того, чтобы удовлет-
удовлетворить каким-либо дополнительным условиям (начальным, гра-
граничным и т. п.).
7. Двойные волны. Двойная волна есть частично инва-
инвариантное решение ранга р=2 и дефекта Ь ^ 2. Для п=\ двойных
волн не может быть вообще, а если п=2, то любое решение —
двойная волна. Поэтому имеет смысл искать двойные волны, только
если п > 2.
Параметрическое представление двойной волны имеет вид
yk = vk(\, ft) (k = \,...,m).	G.1)
В результате подстановки в систему A.3) получается система
уравнений, связывающая искомые функции v параметров X, р.

302	ГЛ, VI. ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
и искомые параметры X, ц
«*« + <*/>« = 0 (о=1, ...,,),	G.2)
где индексы X и р обозначают производные дх и Я .
Вообще говоря, система G.2) является активной. Условия сов-
совместности уравнений G.2) дают новые уравнения относительно
искомых X, [А. Например, если уравнения G.2) разрешены относи-
относительно Х^ и \j (i=^=f) в виде 1{ — р, \j — q, то новым будет урав-
уравнение
fyP = dtq,	G.3)
которое необходимо присоединить к системе G.2). Может слу-
случиться, что условия вида G.3) порождают новые уравнения пер-
первого порядка, ввиду чего общее число таких уравнений в полу-
получаемой из E.3) пассивной системе может быть больше, чем s. В
общем виде проанализировать всю пассивную систему не представ-
представляется возможным. Тем не менее оказывается, что полезную ин-
информацию может дать ее подсистема первого порядка. Пусть эта
подсистема состоит из N независимых уравнений вида
= 0 (v=l, ...,7V).	G.4)
Справедлива следующая теорема о редукции двойных волн.
Теорема. Если в системе G.4) число независимых уравне-
уравнений N=2n—1, то двойная волна G.1) есть инвариантное решение
относительно некоторой подгруппы Н"'2 С GK+1.
Доказательство. Так как общее число неизвестных
X,., р( равно 2п, то в условиях теоремы систему G.4) можно при-
привести к такому виду, когда все эти неизвестные выражены через
одну из них, например через Хх. Пусть в этой приведенной форме
система G.4)*такова*(/>1=1):
(i = l,...,»). G.5)
Вначале система G.5) приводится к некоторому простейшему
виду с помощью обратимой замены параметров (X, р) ->¦ (X, fi), где
Х"=ср(Х, ц), pt == ф (X, (х).	G.6)
В результате этого преобразования коэффициенты р, q переходят в
(f ' •¦•'n)- G>)
Эту замену параметров можно использовать для того, чтобы сделать
^ = 0. Для этого достаточно в качестве ф взять решение уравне-
уравнения ф^-ЬФ,,.?1 = 0- Равенство gr1 = 0 сохраняется при любых заме-
заменах (/.6), если только фх = 0. С помощью такой замены можно
добиться того, чтобы было <?2=1 за счет выбора в качестве <р
решения уравнения <рх== t|i?a- Одновременное сохранение равенств

8 23. КРАТНЫЕ ВОЛНЫ	303
^ = 0 и <72=1 при заменах"G.б) имеет место, если и только если
<|>х = 0 и ^ = 1^, т. е. когда
1 = Щ'(р)+ «>(?), ji = ^).	G.8)
При этом формулы преобразования коэффициентов G.7) прини-
принимают вид
Дальнейшие упрощения связаны с рассмотрением условий сов-
совместности уравнений G.5). Прежде всего, так как ^ = 0 и (Х2 = Х1,
то Xu = 0. G учетом этого получаются равенства
К = РпЯ Ча = 0 (i = 2,...,n).	G.10)
Вычисление двумя способами производных Х^. и \itj {i=^=j) в силу
уравнений G.5) и G.10) приводит к выводу о существовании функ-
функций а(Х, (i) и b(k, (i), с которыми выполнены равенства
(i = 2,...,n).	G.11)
В частности, при г = 2 эти равенства имеют вид р29.==л, /?2х = Ь,
откуда следует соотношение ах = Ь[1. В силу этого соотношения
и G.10) условие совместности уравнений G.11) сводится к равен-
СТВУ <1<и.п. ""bfyJW — O' ириводягцему к двум возможностям: (а) функ-
функция b зависит только от [л. и (Р) q{„ =0 (i = 2, . .., п), и тогда все
qi = Ci — постоянные.
Случай (а). Если b=b(p.), то за счет подходящего преобра-
преобразования вида G.8), G.9) можно добиться того, чтобы было Ь=0.
Тогда ах=0 и функция а зависит только от р. При этом еще одним
преобразованием вида G.8), G.9) можно добиться и равенства а=0.
В результате система уравнений G.10), G.11) упрощается до сле-
следующей:
Ptf. = °> Ра = Яф Я<х~° (» = 2, ...,и).
Решение этой системы (при каждом i) таково:
pt = \At+Bt, qt = v.At + Ctt
где А(, Bt, C{ — произвольные постоянные. Итак, в случае (а) си-
система G.5) приводится к следующему простейшему виду:
K№ + B)\	(M + C>a, h = X1 (i = 2,...,n), G.12)
где А, = 0 и С2 = 1.
Случай (Р). Если q^ = 0, то q{ = C( = const (i = l, 2,...,n).
Кроме того, из равенства ах = b следует существование такой
функции h = h(l, (i), что a = fe|l, b=^h-k. Поэтому система G.11)
оказывается такой:

304	ГЛ. VI. ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
и интегрируется в виде р{ = кС(-\-В,. Итак, в случае (fJ) си-
система G.5) приводится к простейшему виду
\t = (h(k, v)C. + D{)lv N = C,\ (t=l	я), G.13)
где С1 = 0, Dl~\ и Са = 1.
Второй этап состоит в преобразовании полученной системы
за счет подходящего линейного преобразования пространства X.
В случае (а) с учетом того, что Вх=\ и С1=0, используется пре-
преобразование х -*¦ х (суммы по i=l, . . ., га):
X1 = В<х(, х2 = С(х(, xj = xJ {) = 3, . . ., п).
В результате этого преобразования система переходит в такую:
i = 3,...,n). G.14)
Далее надо различать два под случая: (aj все А^ = 0 (/ = 3, . . .,«)
и (а2) не все Aj равны нулю.
В подслучае (ах) общее решение системы G.14) таково:
с произвольными постоянными К, L, М, причем Ку^О. С помощью
дополнительных преобразований переноса и растяжения (или замены
вида G.6)) это решение приводится к стандартному: Х = х1, {А = а;а.
Следовательно, X и \i суть инварианты стандартной (с точностью
до нумерации координат) подгруппы #?~2 С Gn+1 с базисом опе-
операторов
\гд-=д} (/ = 3,...,п).	G.15)
В подслучае (а3), не нарушая общности решения, можно счи
тать, что А3=^0. Используется еще одно линейное преобразование
пространства X, а именно,
Xх = хх, х2 = х2, х3 = А4х', х3 = xj (/ = 4	га).
В результате система G.14) перейдет в такую:
Ъ = ^=0 (/ = 4,..мй).
Решение линейной подсистемы имеет вид
Х = Х(^, х% |i = ,i(*«, в»),
причем в силу уравнения р2 — \ должно быть выполнено равен-
равенство р-а(я2, ж8) = Х1(ж1, ж3) = у(а;3). Поэтому общий вид решения
линейной подсистемы таков:
G-16)

§ 23. КРАТНЫЕ ВОЛНЫ	305
Подстановка в нелинейные уравнения XS = X\1 и [a3 = [A[j.2 приводит
к системе (штрихом обозначена производная по Xs)
с общим решением
_ 1	_ Л	„	В
с произвольными постоянными .4, В, С. Подстановка в G.16) и
очевидное дополнительное преобразование переноса приводит это
решение к стандартному: Х = а;1/а;3) [А = ж2/а;3, а это инварианты
стандартной подгруппы Щ~2 С Gn+1 с базисом операторов
^.д=х% \J-d = di (/ = 4,...,n).	G.17)
В случае (J3), когда система G.5) привелась к G.13), выпол-
выполняется линейное преобразование пространства Ж:
х1 — Dtx\ я2 = 6><, я' = х3 (/ = 3	га).
В результате G.13) перейдет в систему
Xa = feX1; fi.1 = 0, fi.2 = X1; Xy = {j.y = O (/ = 3, ..., га),
из которой сразу следует, что X = X (ж1, ж2), [а = р. (а;1, ж2). Заменой
вида G.6) это решение приводится к Х = х1, \>. = х2, так что
X, {а ¦— инварианты стандартной подгруппы Н%~2 С G"+1 с бази-
зом G.15). ¦
Практическое значение этой теоремы связано с тем, что задача
построения инвариантных двойных волн намного проще задачи
построения двойных волн с дефектом 8 ^> 0. Поэтому нередуци-
руемые двойные волны представляют особый интерес. При реше-
решении вопроса об их существовании, в процессе формирования усло-
условий совместности для параметров двойной волны необходимо
накладывать запрет на редукцию, т. е. на то, чтобы получалось
N=2n—1 независимых уравнений вида G.4). Аналитически этот
запрет сводится к требованию, чтобы функции G.1) удовлетворяли
некоторым уравнениям, которые будут добавляться к фактор-
системе E/Gn+1. Этим и объясняется своеобразие нередуцируемых
двойных волн.
8. Пример. Рассматриваются двойные волны для системы F.1),
равносильной волновому уравнению F.1). Здесь 2га—1=5 и, со-
согласно теореме 23.7, всякий раз, как для некоторой двойной
волны из условий совместности для параметров двойной волны
получается пять уравнений вида G.4), эта двойная волна будет
инвариантным решением ранга два относительно группы G4. Оказы-
Оказывается, что нередуцируемые двойные волны для системы F.1)
существуют. К этому классу принадлежат, в частности, так

306	ГЛ. VI. ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
называемые функционально-инвариантные решения волнового
уравнения, которые и анализируются ниже.
Решение <р уравнения F.1) называется функционально-
инвариантным, если с любой функцией F: R->R компози-
композиция Fof также есть решение этого уравнения.
; Легко устанавливается, что решение <р является функционально-
инвариантным, если и только если ср| -f- tp! — <Р<> т- е- в обозначе-
обозначениях 3.6 выполнено соотношение и2+1>2=иЛ Применительно
к системе F.1) это и означает, что функционально-инвариантное
решение есть ее двойная волна (специального вида).
Аналитическое описание этих двойных волн получается наи-
наиболее простым, когда в качестве параметров берутся и; и 9, причем
В результате подстановки выражений (8.1) в систему F.1) послед-
последняя после небольших тождественных преобразований приводится
к виду
wx = wt cos 9 — wQr wy = wt sin 8 -f wbx;
ея=е, cose,	6^=8^ sine.
Условия совместности уравнений (8.2) выполнены тождественно.
Поэтому пять уравнений вида G.4) здесь в общем случае получить
нельзя.
Для построения общего решения системы (8.2) вводятся вели-
величины
o = xsin9 — у cos 0, -с = х cos 6 -\- у sin 9 -f~ t,	(8.3)
с которыми общее решение этой системы дается формулами
где / и g — произвольные функции и штрихом обозначена произ-
производная <9Т. Соответствующее функционально-инвариантное реше-
решение волнового уравнения F.1) есть <p=g(t).
Замечание. Система первого порядка, равносильная
волновому уравнению в трехмерном пространстве (и=4)
= ?«.	(8.5)
которая получается для функций и=срж, 1>=сру, ю=уж, p—yt, со-
состоит из семи уравнений. Поэтому и в соответствующей системе
G.4) будет N=7=2n—1 уравнений. Значит, согласно теореме
23.6 любая двойная волна общего характера (т. е. такая, для кото-
которой функции v G.1) произвольны) редуцируется к инвариантному
решению.
9. Уравнения газовой динамики. Рассматривается система
уравнений адиабатических движений газа 11.1 в двумерном про-

I 23. КРАТНЫЕ ВОЛНЫ	307
странстве, так что Х—М3 (х, у, t) и вектор скорости имеет две ком-
компоненты (w, v). Если вместо плотности р (см. 11.1) ввести удельный
объем х=1/р, то эта система запишется в виде (индексами обозна-
обозначены частные производные по соответствующим аргументам)
ut-\-mx-\-vut/-Jrtps=z0,
(9.1)
причем функция х= х (р, S) считается заданной и такой, что
г /Л
Решение системы (9.1) называется изэнтропическим, если
в этом решении энтропия ?=const, и называется изобарическим,
если в нем р=const.	,.
Л егко устанавливается известное свойство системы (9.1): лю
бая не изобарическая простая волна есть изэнтропическое решение.
Возникает вопрос о том, в какой мере это свойство переносится
на двойные волны. Ответ дается следующей теоремой, в которой
термин «волна общего характера» означает, что функция х (р, S)
не подчинена никаким специальным ограничениям (произвольная).
Теорема. Не изобарическая двойная волна общего харак-
характера, имеющая дефект инвариантности 8=2, изэнтропична.
Доказательство. Пусть двойная волна не изэнтро-
изэнтропична. Тогда в качестве параметров двойной волны общего харак-
характера можно взять переменные p'ji S, т. е. положить"
а = и(р, S), v = v(p, S), x = x(p~S),	(9.2)
где функция х (р, S) заданаЗзаранее. В этом представлении утвер-
утверждение теоремы равносильно тому, что двойная^волна""общего
характера непременно должна быть^редуцируемаГ < ""¦- г fj
Для установления этого факта рассматривается вытекающая
из (9.1) и (9.2) система вида G.2):
uPPt + (т + «"р) Рх + w-pPy = 0.
VpPt + «У» + (* + Wp) Ру = 0,
р
t + aSx-\- vSy =
(9.3)
Если предположить, что двойная волна не редуцируема, то, так
как здесь ге=3 и 2«—1=5, вступает в силу запрет на редукцию,
Диктуемый теоремой 23.7: любое условие совместности уравне-
уравнений (9.3), имеющее вид линейного соотношения между производ-
производными первого порядка от р и S, должно быть алгебраическим
следствием уравнений (9.3) (запрет пятого уравнения).

308	ГЛ. VI. ЧАСТИЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
Например, первые два уравнения (9.3) можно записать в виде
P* = APt> Py = Bpt
и получить условие совместности
которое после упрощения в силу уравнений (9.3) оказывается
таким:
{xuPs — upxs - Upus — upvpva) Sx— {wpS— vpxs— upvpus — vlv^Sy = 0.
Запрет пятого уравнения требует обращения в нуль обоих коэф-
коэффициентов при Sx и Sy, т. е. выполнения соотношений
xuPs = ир (хд + upus + vvs), wpS = vp (xs -f upus + vpva). (9.4)
Для функции р при заданной S из первых трех уравнений (9.3)
получаются еще два условия совместности, которые содержат пер-
первые и вторые производные от функции S. Из них с помощью
четвертого уравнения (9.3) все вторые производные от S могут
быть исключены, в результате чего остается одно нетривиальное
уравнение, связывающее Sx и S . Запрет пятого уравнения дает
еще два соотношения между функциями (9.2), одно из которых
не выполняется тождественно в силу (9.4). Но тогда функции и, и, х
должны удовлетворять системе из трех дифференциальных уравне-
уравнений и функция т не может быть произвольной. Это означает, что
рассматриваемая двойная волна не является волной общего ха-
характера. Поэтому для волн общего характера запрет пятого урав-
уравнения не может быть выполнен, следовательно, она редуци-
редуцируема. ¦
Следует заметить, что существуют изобарические двойные
волны общего характера с дефектом 8=2. Кроме того, для некото-
некоторых специального вида функций х (р, S) существуют но изобари-
изобарические и не изэнтропические двойные волны, для которых 8=2.
Что же касается двойных волн с дефектом 8<С2, то все они могут
быть найдены как частично инвариантные решения ранга р=2
относительно однопараметрических или двухпараметрических под-
подгрупп группы G4 (с базисом операторов 23C.1) при га=3).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VI
Понятие частично инвариантного решения впервые было введено в II
[4] и изложено также в [1]. На произвольные многообразия оно распро-
распространено в [2], где предложен термин «дефект инвариантности». Там же по-
поставлена и задача о редукции частично инвариантных многообразий, кото-
которая рассматривалась также в [3]. Поиск частично инвариантных решений
конкретных уравнений осуществлялся в работах [4]—[9]. Начало систе-
систематическому изучению понятия «бегущих волн» положено в работе [10].

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VI	309
Функционально инвариантные решения волнового уравнения были най-
найдены в [11]. Полное доказательство теоремы 23.7 о редукции двойных волн
здесь излагается впервые.
[1] Овсянников Л. В. Ovsyannikov L. V. Partly invariant solutions
of the equations addmitting a group. — Proc. 11-th Int. Congr. Appl.
Mech., Munich A964), 868—870.
[2] Овсянников Л. В. Частичная инвариантность. — ДАН СССР
186,	№ 1 A969), 22—25.
[3]Вытев В. О. К задаче о редукции. — В сб. «Динамика сплошной
среды», вып. 5 A970), Новосибирск, 146—148.
[4] И б р а г и м о в Н. X. Обобщенные движения в римановых простран-
пространствах. — ДАН СССР 178, № 1 A968), 27—30.
[5] Ибрагимов Н. X. Группы обобщенных движений. — ДАН СССР
187,	№ 1 A969), 25-28.
[6]Меньщиков В. М. Решения уравнений двумерной газовой дина-
динамики типа простых волн. — Ж. прикл. мех. и техн. физ. № 3 A969),
129—134.
[7] Мееыциков В. М. К теории частично инвариантных решений
дифференциальных уравнений. — В сб. «Динамика сплошной среды»,
вып. 11 A972), Новосибирск, 82—93.
[8] Пухначев В. В. Неустановившиеся движения вязкой жидкости
со свободной границей, описываемые частично инвариантными реше-
решениями уравнений Навье—Стокса. — В сб. «Динамика сплошной среды»,
вып. 10 A972), Новосибирск, 125—137.
[9] Верещагина Л. И. Об одном решении уравнений пространствен-
пространственного нестационарного пограничного слоя. — Вестн. Ленингр. ун-та,
вып. 2, № 7 A974), 102—106.
[10] Я н е н к о Н. Н. Бегущие волны системы квазилинейных уравне-
уравнений. - ДАН СССР, 109, № 1 A956), 44-47.
[11 ] С м и р н о в В. И., Соболев С. Л. Новый метод решения плоской
задачи упругих колебаний. — Труды сейсмологического института,
вып. 20 A932), 1—37.

ГЛАВА Vri
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
Настоящая глава посвящена вопросам теории и приложений
дифференциальных инвариантов данной группы Ли преобразова-
преобразований, которая может быть и бесконечной. Понятие дифференциаль-
дифференциального инварианта уже встречалось в 17.6: этим термином называют
инвариант продолженной группы. Через дифференциальные инва-
инварианты записываются дифференциальные уравнения, допускаю-
допускающие данную группу, с их помощью конструируются и классифи-
классифицируются такие уравнения, а также организуется специальное
преобразование дифференциального уравнения — так называемое
групповое расслоение.
Центральной теоремой этой главы является теорема 24.4 о ко-
конечности базиса дифференциальных инвариантов произвольной
группы Ли, а также ее обобщение 24.8 для бесконечных групп.
В предлагаемом варианте эта теорема Тресса доказывается пол-
полностью на инфинитезимальном языке с помощью операторов инва-
инвариантного дифференцирования.
Уравнение Е называется автоморфным относительно данной
группы G, если все его решения находятся на орбите одного из них.
Другими словами, из одного данного решения U можно получить
все решения путем применения к U преобразований группы G.
Классические задачи построения и классификации автоморфных
систем дают превосходный пример приложения общей теории и
играют важную роль в вопросах инвариантного преобразования
дифференциальных уравнений.
Постановка задачи о'групповом расслоении данного дифферен-
дифференциального уравнения Е с помощью допускаемой им группы G
восходит к С. Ли.
Эта задача была полностью решена в начале нашего столетия
и затем прочно забыта. Здесь ее решение приведено в связи
с тем интересом, который наметился в последние годы
к вопросам изучения дифференциальных уравнений математиче-
математической л физики и механики методами группового анализа. Кроме
того, эта задача дает хороший повод для того, чтобы обратить
внимание читателя на не разработанную область исследования
дифференциально-инвариантных решений.

8 24. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ	311
§ 24. Общая теория
1. Предварительные соображения. Результаты, изложенные
в главах I, V и VI, связаны с понятием дифференциальных"инва-
дифференциальных"инвариантов группы Gr преобразований пространства Z=XX Y.
Согласно 17.6 этим термином называются инварианты продолжен-
продолженных групп Gr для у. = 1, 2, .... Важность этого понятия обусловлена
х
тем, что через дифференциальные инварианты записываются диф-
дифференциальные уравнения, допускающие группу Gr (теорема
о представлении 18.7). С этим фактом связана постановка некото-
некоторых новых задач. К их числу относится, например, задача о по-
построении дифференциальных уравнений, допускающих наперед
заданную группу Gr, которая должна решаться на основе предвари-
предварительного знания дифференциальных инвариантов этой группы.
Настоящий параграф посвящен изучению функционально-
алгебраической структуры совокупности всех дифференциальных
инвариантов данной группы Gr. Основной вопрос заключается
в том, чтобы выяснить возможность выделения некоторого мини-
минимального количества дифференциальных инвариантов, через ко-
которые можно было бы выразить все остальные с помощью опре-
определенных операций.
Щ Существенно, что для любой группы Gr дифференциальные
инварианты достаточно высокого порядка всегда существуют
(см. 17.6). При этом каждый дифференциальный инвариант по-
порядка х, как инвариант х-го продолжения Gr группы Gr, является
X
также инвариантом и любого продолжения GT при а ^> 0. Поэтому
для каждого х ^ 0 универсальный дифференциальный инвариант
порядка х+1 получается расширением универсального дифферен-
дифференциального инварианта порядка х, происходящим за счет расшире-
расширения пространства представления Z% до Zx+1.
Пусть С = (I, f\) —• касательное отображение группы Gr (Q. В даль-
дальнейшем универсальный инвариант группы С?г(?) обозначается через 7,
а универсальный инвариант продолженной группы Gr(Q = Gr(?)—
X	X
через 7 (при этом 7 = 7). Для отыскания размерности простран-
	X	0
ства Zx дифференциальных инвариантов порядка не больше х (в кото-
которое действует 7) вводятся в рассмотрение общие ранги rx = r9(ty,
X	X
которые образуют неубывающую ограниченную последовательность
Кроме того, простым подсчетом находится размерность vx = dim Zx
продолженного пространства. Она дается формулой
(х = 0, 1, 2, ...).	A.2)

312	ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
Следовательно (см. 17.3), размерность пространства инвариантов
равна
dimZx = vs-r, (x = 0, 1, 2, ...).	A.3)
В силу ограниченности последовательность A.1) непременно
стабилизируется, т. е. гх = гх+1 = гх+2 = ... для некоторого xJ>0.
Из общих соображений, основанных на том, что число существен-
существенных параметров в порождающем группу Gr(h) отображении (z, a)->
^>h(z, а) равно ее порядку г (см. 21.6), ясно, что значение гх, на
котором наступает стабилизация, должно быть равно г. Ниже дается
прямое доказательство этого факта.
Лемма. Если гх = гу+1 = гх+2, то гх = г.
Доказательство. Продолженные векторные шля С имеют
следующую структуру (см. 4.8):
С. = &. 1.. 1..---ЛО (а=1,...,г),	A.4)
х	1	х
причем Tje получаются по формулам продолжения
\=D\~y^ @ = 0,1,2,...),	A.5)
i+i « »+i
где Z) — оператор полного дифференцирования.
Пусть гх = гх+1 <^ г. Последнее неравенство означает, что век-
векторные поля С„ линейно связаны, причем число независимых линей-
х+1
ных связей равно г — гх. Без нарушения общности рассмотрения
можно считать, что линейные связи имеют вид (индекс v пробе-
пробегает значения 1, .. ., {j, = rx, а индекс х—значения 1,...,г — гх)
с некоторыми отображениями ф^: Zx-»J?. В силу A.4) это озна-
означает, что выполнены равенства
*Г.+Т = ?%> Vx = <PX» \+т = Тт1A,	C=1, .... X). A.6)
С теми же коэффициентами ф? должны быть выполнены равенства
iM^fX (х = 1, ...,r —ц),
х+1	х+1
так как в противном случае было бы гх<гх+1. В силу A.5) и A.6)
эти равенства приводятся к следующим:
D?l-% = y-D?l-K (o = 0, l,...,x; x=l,...,r-|i). A.7)
* »+i
Но для отображения ер'- Zx-> R справедлива формула
D<? = D?l = D<pl+y.dmK,
х	х-1	х+1

§ 24, Общая теорий	313
где w=^y. Теперь видно, что во все равенства A.7) вектор у вхо
х	х+1
дит только там, где он выписан явно. Поэтому равенства A.7) легко
расщепляются относительно переменного у и порождают следующую
х+1
систему соотношений:
= 0, 1, ...,х —1), A.8)
где р* = дк,<р* и g» = Z)(p» с некоторыми отображениями Лт: Z^->R
х-1
Символами §Ь и 8^, обозначены тождественные отображения соот-
соответственно пространств R" и Ух.
Итак, система соотношений A.8) есть следствие того, что гх =
= гх+1<]г. Если также rx+i = rx+2, то выполняется аналогичная
система соотношений с заменой х на х -)-1 и отображений Лт не-
некоторыми отображениями Лт. Но тогда из A.8) следует, что
Лт = 0 (х = 1, ...,г — (х) и на самом деле система A.8) является
однородной относительно величин р\ и q\. Так как г^(С) = гх = (х,
то единственное решение этой системы — нулевое, т. е. р\ = д* = 0 или
Из этих равенств следует, что
3,9? = О, 3,9: = 0, 0,^ = 0 (о=1, ...,х),
т. е. все коэффициенты <р* суть постоянные. Но существование
линейных сзязей векторных полей Са с постоянными коэффициен-
коэффициента
тами противоречит факту линейной независимости этих полей. ¦
2. Инвариантное дифференцирование. Рассматриваются век-
векторные поля 8 на продолженном пространстве Z^ и образованные
с их помощью линейные дифференциальные операторы 8 • д. Каждой
группе С (С) сопоставляются операторы этого вида, выделяемые
следующим определением.
Оператор 8 • д называется оператором инвариантного
дифференцирования (группы Gr(C)), если для любого диф-
дифференциального инварианта F группы Gr (Q отображение (8 . д) F
также является дифференциальным инвариантом этой группы.
Можно сказать, что совокупность всех скалярных дифферен-
дифференциальных инвариантов группы Gr(Q (включая константы с^М)
образует алгебраическое поле. Поэтому указанная совокупность
будет называться полем инвариантов группы Gr(Q. Справедливо
следующее утверждение.

314	ГЙ. VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАЙТЫ
Лемма. Множество операторов инвариантного дифференци-
дифференцирования группы Gr(Q является алгеброй Ли над полем инвариан-
инвариантов этой группы.
Доказательство. Очевидно, что операторы инвариантного
дифференцирования образуют векторное пространство над полем
инвариантов группы С (С). Кроме того, если даны два таких опе-
оператора, 8Х • д и 82 • д, то для любого дифференциального инварианта
F группы Gr(Q ее дифференциальными инвариантами являются
(8Х • 3) F и (8а. д) F. Поэтому
(8Х • 3)о(8а • д) F - (8а • д)о{\ . д) F = ([\, 82] • д) F
также есть дифференциальный инвариант группы Gr(Q. ¦
Замечание. Любой оператор § • д, который коммутирует
с каждым оператором ?•# алгебры Ли группы Gr(C) (т. е.
со	со
[С, 8] = 0), является оператором инвариантного дифференци-
00
рования.
Действительно, если
то (? • д)((Ь • d)F) = O для любого дифференциального инварианта F,
со
следовательно, (8 • д) F — инвариант группы Gr (С) в силу критерия
17A.3).
Теорема. Для любой группы Gr(ty преобразований простран-
пространства Z=XxY существуют ra = dimX операторов инвариант-
инвариантного дифференцирования, линейно независимых над полем инва-
инвариантов этой группы.
Доказательство. Пусть число fc^O выбрано так, чтобы
rk = г. Рассматривается оператор полного дифференцирования D
(ом. 4.3) и утверждается, что существуют такие ненулевые ото
бражения X: Zk -»¦ -R", с которыми оператор X • D коммутирует
с любым оператором С • д. Для доказательства этого факта вычис-
k
ляется коммутатор [X»D, ? • 5] с помощью стандартного коммута-
коммутатора 4(9.3):
— ((С • д) X) • D = ((X • D) \ — (С • д) X) • Я.
В силу этого равенства отображение X обладает требуемым свой-
свойством, если и только если для любого базисного оператора С« • д

I 24. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ	315
алгебры Ли ?*"(?).
(J..0)X = (X.Z>)$. (a = l,...,r)	B.1)
и дело сводится к доказательству существования решения этой
системы уравнений относительно неизвестного X. Здесь удобно
искать X в неяввой форме, задавая его уравнением вида
<p(z,X) = O	B.2)
к
с помощью отображения <р: ZkXH"~-*- -В"» удовлетворяющего усло-
условию '¦»(дх?) = 'г> Применение оператора ?а • д к тождеству
к
<f>(z, X(z)) = O и учет предыдущего условия показывает, что система
к к
уравнений B.1) равносильна системе
(J. -3 + (Х -D)\,. с?х)<р = О («=1, ...,г).	B.3)
Другими словами, отображение ер должно быть инвариантом
семейства {Са} векторных полей 1Л = (?„, (X • D) SJ на пространстве
ZkXBn.
Для любого векторного поля С = (S, т|) удобно обозначить ? = Сх-
Тогда прямым вычислением проверяется равенство
&, у=([<:., у, (x-z?)K., уд
показывающее, что семейство {С.} — полное.
В силу равенства rlc = r также г#({С«}) = г. Поэтому универ-
универсальный инвариант 7 семейства векторных полей {?„} (существо-
(существование которого гарантируется теоремой 17.2) должен быть отобра-
отображением в пространство ZfcX-R" и может быть представлен в виде
7 = G, 7'), где 7': ZkxI?-*Er и г9(дх7') = п. С помощью 7'
уравнение B.2) может быть взято в виде
7'(z,X) = c	B.4)
к
с произвольным вектором с(*И*. По построению каждый вектор X,
определенный из B.4) с некоторым с, есть решение системы B.3)
и дает оператор X • D, коммутирующий с любым оператором С • д,
к
т. е., согласно предыдущему замечанию, оператор инвариантного
дифференцирования. Ввиду того, что r,(dxJ') = n, всегда можно
выбрать п таких векторов с, с которыми получаемые по формуле
B.4) операторы X • D будут линейно независимы над полем инва-
инвариантов, Я

316	ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
Полезно заметить, что если векторы Хх, ...,ХЯ— независимые
решения системы B.1) и Ф1	Ф"—¦ любые дифференциальные
инварианты Zk -*¦ R, то вектор
\ = Ф%	B.5)
тоже есть решение этой системы. Более того, в силу линейности
системы B.1) формула B.5) является представлением ее общего
решения.
3. Примеры. В приводимых ниже примерах Х=1&(х1, ж3),
Y = JS(z/). Используются обозначения д1 = дя?, д2 = дж», а также
У 1 = 9^, у2 = д2у, уп = д\у и т. д. Оператор полного дифферен-
дифференцирования имеет две компоненты D =. (Dv D2), где
,+ --- (* = !. 2)-
Операторы инвариантного дифференцирования ищутся в виде
(а) Группа Gi с базисом алгебры Ли операторов
Здесь ro:=:2, a vo = n -\-m = 3, в силу чего группа имеет один
скалярный инвариант, а именно / = у. После первого продолжения
получается группа G4, для которой ^ = 4. Так как vx=:5, то Gi
г	1
имеет тот же инвариант J = у и никаких других (независимых
от у). Соответствующая система операторов B.3) такова (здесь
В = (д, дх, dj):
С4 • а = С4 • а — у2д
Универсальный инвариант этой системы операторов может быть
взят в виде / = (i/, /Л ер), где
Р3 = № + f*2) (г/? + У>), «Р = arctg f + arctg g-.
Отсюда легко находятся X и jj,:
X = pq~* cos f ср — arctg — J, p. = pg sin (cp — arctg —),
В итоге получается множество операторов инвариантного диффе-
дифференцирования, когда в качестве р и ср берутся любые функции
от у. В частности, выбор (р, <р)=A, 0) или A, те/2) дает два

§ 24. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ	31 7
независимых оператора инвариантного дифференцирования:
(-y1D2). C.1)
(Р) Группа G* с базисом алгебры Ли операторов
Здесь г, = 3 и после первого продолжения получается также гх = 3.
Универсальный инвариант группы G4 есть / =(ух, г/2). Соответ-
1	1
ствующая система B.3), построенная для первого продолжения,
дает еще только один скалярный инвариант Х/р., что не позволяет
найти операторы инвариантного дифференцирования. После второго
продолжения получается r2 = 4, v2 = 8 и легко находится универ-
универсальный инвариант группы Gi в виде / — (yv y2, у12/у1Ъ }
2	2
Соответствующая система операторов B.3) здесь такова:
С4 • В = С4 • д — Уад,и —	^
Компоненту /' (см. B.4)) универсального инварианта этой системы
операторов можно взять в виде /'^(Xj/U, {м/ц). Если положить
кУи = Р, Ми — Я> т0 выбор (р, g) = (i, 0) или @, 1) дает два не-
независимых оператора инвариантного дифференцирования:
\-д = к1йъ b2.d=y-1{Di.	C.2)
4. Базис инвариантов. Пусть /: Z^-^-Z^ есть универсальный
со
инвариант неограниченно продолженной группы Gr. Пространство
Zra можно представить в виде произведения Z^^
где каждый сомножитель Yk является пространством дифферен-
дифференциальных инвариантов порядка к ^> 0 (пространством инвариантов
порядка нуль является Z). Соответственно этому представлению
универсальный инвариант / может быть представлен его компо-
со
нентами в каждом сомножителе:
/=(/,/;,/;,...).	D.1)
со
При этом Гк является универсальным дифференциальным инва-
инвариантом порядка к в следующем смысле: для любого дифферен-
дифференциального инварианта F: Zk^> P порядка к найдется такое ото-
отображение Ф: Zk^=Zk_1XYk-*P, что с частным отображением
Фм: Tk-*JP (где М= /) справедливо представление F = <f>M°J'k.
k-l
В силу леммы 24.1, начиная с некоторого к, необходимо должно
быть Yk= Yk. Поэтому для достаточно большого к универсальный

318	ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
дифференциальный инвариант J'k может рассматриваться как ото-
отображение Zk->Yk, причем если положить w = y, то r^(duJ'k) =
к
= dim Уд. = уд. — ул_а (см. A.2)). При этом «достаточно большое к»
означает любое к^>х, где х — наименьшее число, для которого
гх = г в последовательности A.1).
Пусть X означает набор {X,} линейно независимых над полем
инвариантов векторных полей Х<: ZX->IV (i = I, . . ., п), с кото-
которыми \t • D являются операторами инвариантного дифференцирова-
дифференцирования (существование такого набора гарантируется теоремой 24.2), и
пусть X -D — ^-D}.
Лемм а. Если к^>л и J'k — универсальный дифференциальный
инвариант порядка к, то (X • D) J'k есть универсальный дифферен-
дифференциальный инвариант порядка k-\-i.
Доказательство. Из теоремы 24.2 следует, что (X • D) J'k
есть инвариант. Кроме того, так как X зависит только от вектора
пространства Z% и оператор D действует из Zk в Zk+V то этот
инвариант имеет порядок Лс —J— 1. Для доказательства его универ-
универсальности достаточно установить равенство
г. (д. ((ЬВ) /;)) = dim Th+1 (v = у,),	D.2)
означающее, что образ при отображении (X • D) J'k: Zk+1 -*¦ Ykn
содержит открытое множество UdYk+v Действительно, тогда на U
можно выразить через (X • D) J'k вектор у , а тем самым и любой
fci
инвариант порядка к -\- 1 (с привлечением инвариантов порядка ^)
Для установления равенства D.2) надо заметить, что с точки
зрения действия на Тк оператор X • D можно заменить оператором
l-D=l- D +X • у -dw (w=y).
к	к-\	fc+1	к
Поэтому
=(х.?»)/;+х- у .а./;,
и если положить v = у, то с любым вектором о ? Yk+1 будет
fc
Рассмотрение равенства X • а • дщ1'к = Ъ, как уравнения относительно
вектора а, показывает, что оно имеет единственное решение для
любого b ? Yk+1 в силу обратимости линейных отображений
X(z): IP-*ВТ и dwJ'k(z): Yk^Yk, а именно, о = Х-6-(в./;).
х	к
Поэтому линейное^отображение ЗД(Х • D) J'k) (zk): Yk+1 -*¦ Yk+1 также
обратимо, откуда и следует равенство D.2). ¦
В 3.6 уже говорилось о функциональном бависе инвариантов
(порядка нуль). Теперь это понятие можно распространнть на со-

§ 24. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ	319
вокупность всех дифференциальных инвариантов данной группы.
Ясно, что для получения конечного базиса здесь нельзя ограни-
ограничиться только функциональной операцией, т. е. переходом от ин-
инварианта F: Zk -»• _Р с помощью отображения Ф: P-*Qk инва-
инварианту Фо^, так как при этом порядок инварианта сохраняется.
Однако добавление операций инвариантного дифференцирования
повышает порядок инварианта и этого оказывается достаточным
для установления существования базиса.
Теорема. Для любой группы :: Gr(С) существует конечный
базис дифференциальных инвариантов, т. е. такой ко-
конечный набор скалярных дифференциальных инвариантов, что
любой дифференциальный инвариант этой группы получается
из инвариантов базиса с помощью конечного числа функциональ-
функциональных операций и операций инвариантного дифференцирования.
Доказательство. Пусть, как и выше, х есть наимень-
наименьшее число, для которого гх=г в последовательности A.1). Тогда
универсальный дифференциальный инвариант / состоит из
конечного набора скалярных инвариантов порядка г^х+1, при-
причем эти инварианты функционально независимы. Утверждается,
что с помощью / можно построить функциональный базис
х+1
инвариантов (т. е. универсальный инвариант J'k) любого порядка
к > х. Это следует из предыдущей леммы и доказывается индук-
индукцией по к: в результате применения операторов инвариантного
дифференцирования 1-D к универсальному инварианту J'x+1
получается универсальный инвариант J'x+i и т. Д. Но тогда для
любого к J> 0 построен универсальный инвариант к-то продолже-
продолжения /. Все прочие дифференциальные инварианты поряд'ка не выше
к
к выражаются с помощью функциональной операции через инва-
инвариант J в силу его универсальности. ¦
к
Следствие. Базис дифференциальных инвариантов группы
Gr(C) содержится в ее универсальном дифференциальном инва-
инварианте J, где х — наименьшее число, для которого гх — г в по-
х+1
следователъности A.1). В частности, если го = г, то этот базис
содержится в I.
1
Естественно возникает вопрос: не будет ли базис дифферен-
дифференциальных инвариантов содержаться уже в /я? Приведенные ниже
примеры показывают, что ответ иногда положительный, а иногда —
нет. В общем виде эта ситуация, по-видимому, не изучена.
5. Примеры базисов. В примере 24.3 (а) было х=1. Если
операторы инвариантного дифференцирования C.1) применить
к универсальному инварианту J = y, то получится (Ъ1-д)у — 1
1
и (§а • д)у=0, т. е. новых инвариантов не получается. Поэтому

320	ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
базис дает только универсальный инвариант /. Так как здесь
2
dimZ2 = 4, то / имеет четыре скалярные компоненты, которые
2
могут быть взяты такими:
У, Ч~2Уп> Q~%2> Уп1(У11 + У22) — агс^ё(У1/У2)-	E-1)
В примере 24.3 ф) было х=:2. Здесь универсальный инва-
инвариант имеет компоненты
P = ?i, Р = у^ P = y10Jylv Jt = yw/yri.	E.2)
В результате применения операторов C.2) к J1 и J2 получаются
инварианты J3 и Ji. Если теми же операторами подействовать на
J3 и /\ то будет
{\ -д)Р = у* {у1Хуш — У12УШ), (§i • d) /4 = ytf
(82 • 9) 73 = у? (упу122 — У12У112), (§2 • 9) /4 — у-$
и легко проверить, что все компоненты yij]c вектора у отсюда
3
можно определить, т. е. полученные инварианты третьего порядка
независимы. Следовательно, в этом примере базис дифференциаль-
дифференциальных инвариантов совпадает с /= (yv y2), несмотря на то, что
1 < х=2.
6. Определяющие уравнения данной группы. Базис дифферен-
дифференциальных инвариантов можно использовать для построения опре-
определяющих уравнений алгебры Ли данной группы Gr. Они уже
встречались в 5.4 в связи с отысканием группы, допускаемой
данной системой дифференцальных уравнений. Абстрактные си-
системы определяющих уравнений называются Л5-системами. Ниже
рассматривается задача о построении Л?-системы для данной
группы (или алгебры Ли операторов).
Пусть даны группа Gr и какой-нибудь ее дифференциальный
инвариант F. С любым векторным полем С: Z -> Z образуется
уравнение (система уравнений)
O.	F.1)
Критерий теоремы 17.1 показывает, что если в качестве С взято
векторное поле из алгебры Ли операторов U группы Gr, то ра-
равенство F.1) является тождеством. Поэтому, если уравнение F.1)
рассматривать как уравнение относительно С (при данном F),
то любой оператор из U является его решением. Возникает вопрос:
не имеет ли уравнение F.1) «посторонних» решений, т. е. нет ли
таких векторных полей, которые удовлетворяют уравнению F.1)
и не входят в Z7? Оказывается, что если данный инвариант F со-
содержит базис инвариантов группы Gr, то ответ отрицательный,

§ 24. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ	321
т. е. уравнению F.1) могут удовлетворять только векторные
поля из алгебры Ли U.
Л е м м а. Если инвариант F группы С содержит ее базис
СО
дифференциальных инвариантов, то любое решение системы
F.1) содержится в алгебре Ли U операторов группы, Gr.
Доказательство. Необходимо заметить, что если F
содержит базис дифференциальных инвариантов группы С, то,
каково бы ни было решение С системы F.1), для любого диффе-
дифференциального иштрианта Ф группы (У пыгто. ihoho тождество
Из результатов 7.12, 7.13 следует, что множество решений
системы F.1) является алгеброй Ли L', причем, в силу предыду-
предыдущих соображений, LrdL'. Пусть го^г[ <Г. . . есть последова-
последовательность рангов вида A.1) для семейства векторных полей,
образующих L'. Если U=f=L', то найдется такое к, для которого
гк <С г'к- Это неравенство означает, что универсальный инвариант
/ существенно шире, чем /', т. е. что существует диффорен-
к	к
циальный инвариант Fk порядка к алгебры Ли Z/, не являющийся
дифференциальным инвариантом алгебры Ли V. Но тогда хотя бы
для одного оператора ?,-д?Ь' равенство F.1) с F=Fk невозможно,
так как иначе Fk был бы инвариантом L' в силу критерия 17.1.
к
Однако этот факт противоречит замечанию, сделанному в начале
доказательства.¦
Следствие. Базис дифференциальных инвариантов группы
Gr однозначно определяет эту группу.
Доказательство. Если в F.1) в качестве F взят
базисный дифференциальный инвариант, то в силу предыдущей
леммы множество решений уравнений F.1) есть в точности алгебра
Ли операторов U группы Gr, по которой эта группа восстанавли-
восстанавливается однозначно (теорема 16.6).¦
Например, для группы G1 из примера 24.3 ф), базис инва-
инвариантов которой, как установлено в 24.5, есть / =(уъ у2), система
F.1) состоит из двух уравнений:
(С-3)^ = 0, (С-0)^ = 0,
1	1
и так как
с • д=^ч + рзя+^ + 7,^, + fdy,,
то на самом деле из уравнений rf—O, т,2=0. В результате вычисле-
вычисления дополнительных координат г/, rf первого продолжения по
формулам 4(8.4) и учета того, что координаты оператора С -д

322	ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
от вектора у = (уг, у2) не зависят (расщепление по переменным
Ун Уг)-> окончательно получается следующая Л/5-система, определя-
определяющая группу G4:
где нижними индексами обозначены производные дх, д2, ду.
Уместно заметить, однако, что строить определяющие уравне-
уравнения данной алгебры Ли U с помощью ее базиса дифференциальных
инвариантов практически не рационально. Для этой цели суще-
существует более простой способ, состоящий в исключении параметров
из представления общего оператора алгебры Ли U через базисные
операторы. Этот способ реализуется так. Пусть {С„} есть базис L''.
Берется формула представления с произвольным вектором а=
= (а\ . . ., ar){Rr
г, = а\	F.3)
и из нее и формул, получаемых ее дифференцированием, определя-
определяются все параметры а" (а = 1, . . ., г); затем параметры аа исклю-
исключаются путем приравнивания нулю всех их производных первого
порядка по z (что гарантирует независимость а от z). Полученные
уравнения и образуют систему определяющих уравнений алгебры
Ли U.
Например, если для группы G4 из примера 24.3 (|3) положить
С=(?\ ?2, ?j), то представление F.3) будет таким:
51 = а1 + а?, Гг -— a2 -f аЧ1, г{ =-. a* -f а4г/.
В результате применения описанного способа получается в точ-
точности система определяющих уравнений F.2).
7. О бесконечных группах Ли. Развитие теории дифферен-
дифференциальных инвариантов для так называемых бесконечных групп Ли
(или бесконечномерных алгебр Ли операторов) представляет прак-
практический интерес. Это объясняется тем, что бесконечные группы Ли
естественно возникают в качестве основных групп, допускаемых
дифференциальными уравнениями (см. 16.12, а также примеры
5.9, 6.8, 7.14, 8.3, 9.5 и 10.4). В дальнейшем бесконечная группа Ли
будет обозначаться символом G™ и соответствующая алгебра Ли
операторов — символом Lm.
р J Общий способ задания алгебр Ли L00 состоит в задании AS-
систем абстрактных определяющих уравнений. Согласно данному
в 7.15 определению система дифференциальных уравнений с ис-
искомым отображением С : Z -> Z называется Л5-системой, если она
линейна и однородна и если вместе с любыми двумя ее решениями
Сх и С2 коммутатор [?1( С2] также есть решение этой системы.
;;, | Вообще говоря, общее решение AS-системы может быть вы-
выражено через некоторые произвольные функции. Число и строение

§ 24. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ	323
этих функций заранее предсказать не просто. Можно утверждать
лишь, что число независимых произвольных функций, которые
являются отображениями <p:Z->i?, должно быть меньше vo=
=dim Z (в противном случае ", было бы произвольным отображе-
отображением Z -*¦ Z и AS-сжстема должна быть пустой). Итак, теорию
дифференциальных инвариантов алгебр Ли Lm целесообразно
развивать непосредственно на основе AS-систем определяющих
уравнений.
В дальнейшем существенную роль играет определенное пред-
представление дифференциальной структуры AS-системы. Прежде
всего, эта система состоит из конечного числа уравнений и без
нарушения общности анализа может считаться пассивной. Свой-
Свойство пассивности означает, что любые условия совместности урав-
уравнений AS выполнены тождественно в силу только уравнений
(быть может, продифференцированных) системы AS. Существова-
Существование такой дифференциальной структуры 45-системы гарантиру-
гарантируется известными результатами общей теории дифференциальных
уравнений.
Далее, пассивная AS-състема будет называться приведенной,
если все ее уравнения разрешены относительно некоторых про-
производных так, что эти производные, называемые главными, выра-
выражены как функции независимых переменных и прочих производ-
производных, причем выполнено следующее условие. Ни одна из главных
производных и никакие производные от них не содержатся в пра-
правых частях уравнений приведенной системы и, кроме того, любая
производная в правой части какого-либо уравнения имеет порядок
не больше порядка главной производной, находящейся в левой
части того же уравнения.
Предположение о том, что 45-система является приведенной,
очевидно, ограничением не является, так как всегда может быть
выполнено приведение пассивной 45-системы.
Пусть дана AS-сшстема, которая является пассивной и приве-
приведенной; она будет обозначаться просто S. Все производные (любого
порядка) от главных производных, находящихся в левых частях урав-
уравнений S, также называются главными производными. Все
прочие производные называются параметрическими. Следую-
Следующий важный факт, который на самом деле следует из общей теории
интегрирования пассивных систем, здесь устанавливается примени-
применительно к системе S.
Лемма. Любая главная производная пассивной приведенной
системы S выражается линейно и однородно через параметрические
производные.
Д о к а з а т е л ь с т л о. Все уравнения системы S разби-
разбиваются на разряды, причем разряд Sp с индексом р образуют
те уравнения, в которых порядок главных производных ра-
равен р.

324	ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
Это дает представление
G.1)
где Рг<р2< . . ¦ <рг Если рш>рк-\-1, то между разрядами
SPk и SPk+1 есть пробел. Эти пробелы можно заполнить последова-
последовательно, начиная с SPl, с помощью следующей операции повышения
разряда.
Пусть первый пробел встретился между iS1?* и 5^+<, т. е.
pi+1=Pi+l, если 1 ^ i <; к — 1 и рм >.р*+1. Все уравнения
разряда Sp^ дифференцируются один раз по всем независимым
переменным и все главные производные порядка меньше рк-\-\,
которые появились в правых частях, заменяются их выражениями
из уравнений разрядов SPi (I <C i ^ к). В итоге получается система
линейных уравнений относительно главных производных порядка
j?fc+l. Никакое соотношение между параметрическими производ-
производными не может быть следствием этой системы в силу пассивности
системы S. Поэтому все главные производные порядка рк-\-1
выражаются линейно через параметрические, что и дает разряд SPk+l.
Если в представлении G.1) все пробелы уже заполнены, то
операцию повышения разряда можно применить к высшему разряду
SPl- Это дает разряд SPl+1, добавление которого к системе S
приводит к продолженной системе Sv Наконец, в результате не-
неограниченного повторения операции продолжения получается
продолженная система 5т, дающая требуемое выражение для всех
главных производных. ¦
8. Инварианты бесконечных групп. Вопрос о существовании
дифференциальных инвариантов групп Gm решается, как и для
групп Gr, сравнением размерности vk продолженного пространства
Zk с общим рангом гк продолженного отображения С. Для оты-
Jc
екания ранга гк надо заметить, что в случае группы Gro он определя-
определяется не числом линейно несвязанных строк в матричном представ-
представлении отображения С (в конечномерном случае строки нумеро-
к
вались индексом а = 1, . . ., г), так как это число здесь бесконечно,
а числом линейно несвязанных столбцов, соответствующих все-
всевозможным различным производным от координат вектора С.
Но эти производные связаны определяющими уравнениями си-
системы Sо,, с помощью которых все главные производные могут
быть исключены путем замены их выражениями через параметри-
параметрические производные. Так как последние являются независимыми
величинами, то общий ранг гА. = гI(С) для группы G03 равен числу
к
различных параметрических производных порядка ^ к.
В общем случае с ростом к число параметрических производных
порядка <; к растет быстрее, чем размерность v* продолженного

§ 24. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ	325
пространства Zk. Поэтому для достаточно большого к дифферен-
дифференциальных инвариантов может и не быть. Но можно заметить, что
если для некоторого к разность vA. — гк >¦ 0, то необходимо
vfc+1 — rk+1 J> vfc — гк. Это следует из того, что разность мк — гк
равна числу скалярных инвариантов порядка не больше к, и из
того, что универсальный инвариант 7 содержит универсальный нн-
вариант 7. Поэтому упомянутая ситуация, когда >~к^>чк дтя
к
достаточно большого к, может реализоваться, только если r0 J> v0.
Из этих соображений следует, что критерий существования не-
неограниченного числа дифференциальных инвариантов группы Gm
занисысается равенством
1>т К —О=°о•	(8.1)
Можно заметить, что быстрый рост числа гк обусловлен глав-
главным образом тем, что искомые координаты в 45-системе зависят
от rc+m.=dim Z независимых переменных. В то же время рост
числа vfr определяется главным образом числом п¦= dim X независи-
независимых координат точки пространства X. Поэтому равенство (8.1)
можно гарантировать лишь тогда, когда зависимость компонент
вектора s от некоторых переменных, число которых не меньше т,
заранее фиксирована. Оказывается, что во всех случаях для
группы Gm справедливо утверждение о конечности базиса диф-
дифференциальных инвариантов, аналогичное теореме 24.4 для
групп G'.
Теорема. Для любой группы G03 существует конечный
базис ее дифференциальных инвариантов.
Доказательство. Ясно, что утверждение теоремы нетри-
нетривиально, только если выполнено равенство (8.1). Тогда найдется
такое к~^\, для которого vk^>rk. Если наряду с продолженным
векторным полем 'Q рассмотреть векторное поле С = (С, (X-Z))l) на
к	к	к
пространстве ZkXRnQ~), то будет r<;(C) = r4i(C) = rft. Это следует
к	к
иа того, что в С входят все производные первого порядка от ?.
к
Так как поле С задано на пространстве размерности ук -)- п, то оно
имеет универсальный инвариант 7, состоящий из чк-\-п—гк^>п
7с
независимых скалярных инвариантов. Следовательно, этот инва-
инвариант можно представить в виде / = G, 7'), где инвариант 7':
к	к
ZkXR"->Л" обладает тем сзойством, что rit(dlll) = n. Поэтому,
как и в случае групп С, можно построить п независимых над
полем инвариантов операторов инвариантного дифференцирования
вида 'к • D (аналог теоремы 24.2).

326	ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
Пусть Jр есть универсальный инвариант порядка р. В силу пре-
предыдущего Jk+1 существует. Утверждается, что найдется такое
у. ^ &+1, что для всех р ^ х инвариант (X-D) Jp функционально
эквивалентен инварианту /р+1, т. е. связан с JрП обратимым отоб-
отображением. Очевидно, что если это так, то конечный базис дифферен-
дифференциальных инвариантов существует и содержится в универсальном
инварианте /.
X
Справедливость предыдущего утверждения вытекает из того
факта, что оператор инвариантного дифференцирования X-D
с точки зрения количества получаемых его применением функцио-
функционально независимых скалярных компонент эквивалентен опера-
оператору дифференцирования дх. Поэтому, если для каждого q > 1
представить универсальный инвариант/ft+9 в виде
h+1 = ((>> • D) Jk+g_v /;+5) (q = 2, 3, .. .),	(8.2)
то, начиная с некоторого q = qt, добавок J'k+q исчезнет и не шз-
никнет для q^> q^-M
9. Примеры. В обозначениях, введенных в 24.3, операторы
алгебры Ли L00 на пространстве Z = Xy^Y задаются формулой
с-9 = б1а1 + рая + т1а,.	(9.1)
(а) Следующий пример был рассмотрен С. Ли. Пусть |1 =
= а(а;1), Р = 0, т] = а'(ж1)г/ с произвольной функцией а: В—*¦ R,
а' = djO., т. е.
С.а = а91 + а'уа,.	(9.2)
Эта алгебра Ли имеет инвариант /=х2. Для отыскания дифферен-
дифференциальных инвариантов удобно действовать непосредственно с опе-
оператором (9.2) (хотя нетрудно написать и соответствующую AS-
систему). Первое продолжение таково:
С • д = ад1 + <х'уду -f a"ydVt + a-'уфу,-
Если записать его и виде
С • д = а31 -j- а' (i/3y + г/AJ + а"^Зу„
то видно, что любой инвариант есть инвариант системы операторов
Отсюда следует, что есть только один инвариант первого порядка,
а именно J\=yjy. Для отыскания операторов инвариантного
дифференцирования вида ID^p-D^ рассматривается оператор
вида B.3), который здесь оказывается таким:

§ 24. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ	327
Его инварианты р. и XIу дают два независимых оператора инвариант-
инвариантного дифференцирования:
с помощью которых, отправляясь от инварианта /2, можно найти
все дифференциальные инварианты. Следовательно, базис послед-
последних образован инвариантами х2и у2/у.	i
(j3) Легко проверить, что дш оператороз вида С • д = 11д1 -j- s2d2,
где Е1 и Еа не зависят от у, уравнение
является определяющим уравнением. Соответствующая группа G^
образована всеми преобразованиями плоскости Х=И2 (х1, х2),
сохраняющими площадь. Для таких преобразований ставится за-
задача об отыскании дифференциальных инвариантов отображений
у: Х-*- Г при условии, что на пространстве Y группа Gm дей-
действует тривиально.
Пусть сначала Y—R (у). Тогда т]=0 в операторе (9.1) и соот-
соответствующая пассивная приведенная система S определяющих
уравнений такова:
Ч = ~Ч, Е* = <5 = 0, т, = 0.	(9.3)
Здесь параметрическими япляются все производные от S1, а также
все производные д*? (к = 0, 1, . ..). Общее число параметрических
производных порядка ^ к равно
В то же время размерность пространства Zk есть (формула A.2))
Путем более детального анализа продолженных операторов уста-
устанавливается, что ранг отображения С таков:
к
Поэтому для любого к ^ 0 имеется лишь один независимый ска-
скалярный инвариант / = у, который и образует базис.
Пусть теперь Y=IP(y1, у2). В этом случае определяющее
уравнение -rj = 0 в системе (9.3) заменяется уравнениями tq1 = tq2 == 0,
причем число параметрических производных рк остается прежним.
Однако теперь размерность пространства Zk равна

328	ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
и чк^>рк для любого к^О, причем пыпо.шено свойство (8.1).
При этом меняются также ранги гк п можно найти, что гх = 5.
Так как v1 = 8, то универсальный инвариант J состоит из трех
независимых компонент, которые можно взять в виде
У\У\.	(9.4)
Два независимых оператора инвариантного дифференцирования
находятся уже из первого продолжения С и оказываются такими:
\.d = ytD1~ylD2, ba.d = y\D1-y\D2.	(9.5)
Применение их к инвариантам J1 и /2 новых инвариантов не дает.
В результате действия операторов (9.5) на /3 получаются два не-
независимых дифференциальных инварианта второго порядка.
Дальнейший анализ показывает, что (9.4) есть базис дифферен-
дифференциальных инвариантов.
§ 25. Автоморфные системы
1.	Определение. Пусть дана группа Ли G (быть может, бес-
бесконечная) преобразо!аний конечномерного пространства Z = XY.~S.
Рассматриваются дифференциальные уравнения Е (системы), за-
заданные на Z.
Система Е называется автоморфной относительно группы G,
если любое решение этой, системы получается иг одного фиксиро-
фиксированного ее решения преобразованием, принадлежащим группе G.
В связи с этим определением возникает ряд задач об описании
дифференциальной структуры автоморфных систем, о построении
автоморфной системы, имеющей наперед заданное решение и т. п.
Кроме того, в следующем параграфе будет дано приложение поня-
понятия автоморфной системы к задаче о некотором равносильном пре-
преобразовании данной системы дифференциальных уравнений, до-
допускающей группу G.
В дальнейшем автоморфные (относительно G) системы будут
обозначаться символом AG.
Оказывается, что общая теория AG-систеш тесно связана с по-
понятием частичной инвариантности многообразия, на основе ко-
которого она и будет развита ниже. При этом будет употребляться
термин «дифференциальное частично инвариантное многообразие»
для обозначения частично инвариантных многообразий, лежащих
в продолженных пространствах Zk.
2.	Структура автоморфной системы. Рассматривается группа
Ли Gr (h), порожденная отображением h: Z'X.B-* Z. Пусть дано ото-
отображение и: Х-> Y и требуется установить вид АОг-спстемы,
для которой и является ее решением.

§ 25. АВТОМОРФНЫЕ СИСТЕМЫ	329
С этой целью рассматривается орбита h (U, О) многообразия
U {у=и(х)} (см. 21.1). Вообще говоря, эта орбита не является
собственным многообразирм в пространстве Z. Однако, если рас-
рассмотреть продолженные многообразия U, заданные уравнениями
к
у = д1и(х) A = 0, 1....Д),	B.1)
i
и соответствующие продолженные пространства Zk, то можно
утверждать, что найдется такое к ^ О, для которого продолженная
орбита h(U, О) будет собственным многообразием в Zk. Это сле-
к к
дует из того, что размерность продолженной орбиты не превосхо-
превосходит числа п-\-г (где п = dim X), a dim Zk растет неограниченно
вместе с к.
Пусть к — наименьшее число, для которого h(U, О) есть соб-
к к
ственное многообразие в Zk. Теперь надо заметить, что продолжен-
продолженная орбита h{U, О) по построению является инвариантным много-
к к
образием продолженной группы Gr. В общем случае Можно считать,
к
что это многообразие является неособым. Поэтому согласно теореме
о представлении 18.7 многообразие h(U, О) имеет проекцию в про-
к к
странстве дифференциальных инвариантов Zk и может быть задано
системой уравнений, связывающих только дифференциальные
инварианты группы С порядка г^&, т. е. системой вида
Ф'(/) = 0 (а=1, ...,*),	B.2)
к
где J — универсальный инвариант группы Gr. Система B.2), по
к	к
построению, такова, что данное отображение и является ее ре-
решением.
Система B.2) автоморфна. Действительно, если и' — какое-
нибудь решение этой системы, то его орбита h(U', О) есть инва-
к к
риантное многообразие в Zk, проекция которого должна лежать
в многообразии B.2) (по определению решения), т. е. в проекции
орбиты h(U, О). В силу правила вложения проекций (замечание
к к
19.4.1) отсюда следует, что орбита h(U', О) (Zh{U, О). В част-
к к	к к
ности, U' Ch(U, О) и, тем более, U1 Ch(U, О), а это и означает,
к	к к
что решение и1 получается из и некоторым преобразованием
группы Gr.
Итак, всякая АОг-система имеет вид системы уравнений B.2),
удовлетворяющей следующему условию: продолженная орбита

330	ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
h (U, О) некоторого ее решения U, как инвариантное многообра-
k k
зие в Zk, совпадает с многообразием, заданным системой B.2).
3. Построение автоморфных систем. Изложенное выше пред-
представление об общей структуре ЛС-системы показывает, что в про-
продолженном пространстве возникает ситуация, аналогичная рассмо-
рассмотренной в 22.1. Именно, продолженное многообразие U лежит
к
в собственном инвариантном многообразии группы С и потому
к
является частично инвариантным многообразием этой группы.
При этом орбита h(U, О) есть, очевидно, наименьшее инрариант-
к к
ное многообразие группы Gr, содержащее U. Это позволяет опре-
к	к
делить дефект и ранг многообразия U.
к
Для вычисления дефекта 8ft многообразия U надо воспользо-
к
ваться формулой 21C.1), в которой согласно заданию B.1) в ка-
качестве ф следует взять набор {у — д1и (х)} и в качестве I — про-
продолженное отображение С, полученное по формулам 4(8.5), 4(8.6).
к
Это приводит к выражению
с№ <(?)> = (т] -—l-ди, т) ¦—S • сРи, ...,7) — ? • дки).	(ЗЛ)
1	к
При переходе на многообразие U это выражение упрощается и
к
окончательный результат формулируется в следующей лемме.
Лемма. С отображением ш: Х-> Y, действующим по формуле
u)(x) = (i\ — у ¦ I) о и(х) = ч\(х, и(х)) — ди(х)(\(х, и(х))}, C.2)
1	1
дефект инвариантности многообразия U равен
к
к	*\*	*•*•»	/•	V	/
Доказательство. Согласно лемме 4.4 для любого отобра-
отображения v: Zk-^JP справедливо соотношение 4D.2), которое по
индукции легко обобщается на случай любого I в виде
F(Dlv)o u(x) = d'(vou)(z) A = 1,2,...).	C.4)
l+k	к
В силу C.4), формулы 4 (8.5) и определения C.2), для любого ,
— у • ?)) о и =
1	i+i
Поэтому C.3) следует из C.1) и 21 C.1).

§ 25. АВТОМОРФНЫЕ СИСТЕМЫ	331
До сих пор речь шла об автоморфных системах, имеющих дан-
данное решение и. Если же никакого решения заранее не задано, то
возникает классификационная задача о перечислении всех авто-
автоморфных систем данной группы Gr. Решение этой задачи основано
на теории частичной инвариантности и связано со следующим
алгоритмом построения ЛС-систем.
Дефект Ък должен удовлетворять условиям 22A.2), 22A.3),
и которых следует положить r^ = rk = rv (С) и т = vk — п, где
vft=dim Zk. При этом необходимо заметить, что правое неравенство
22 A.2) является чрезмерно ограничительным и здесь может быть
заменено неравенством типа 8 ^ min {rv, m}. Это связано с тем,
что число г? — 1 было введено в § 22 с целью снижения числа не-
независимых переменных, от которых зависят рассматриваемые
частично инвариантные решения, а число т — 1 — для того,
чтобы орбита h (U, О) не заполняла (локально) все пространство Z.
Для автоморфных систем оба эти требования не являются необхо-
необходимыми. Поэтому для любого к=0, 1, 2, ... необходимые условия
существования ЛС-системы порядка к имеют вид неравенств
тах{гй —и, 0, vfc —га —rft}<8fc<min{rfc, vfc —га}; гк>0, C.5)
где гк = г,(d,J), причем v=S = (y, у, . . ., у). Через дефект Ьк
к	к	1	к
выражается ранг рк по формуле 22A.1), так что
?k = h + *-rk (Л = 0, 1, 2, ...).	C.6)
Если для некоторого к^О существует число 8ft, удовлетво-
удовлетворяющее неравенствам C.5), то автоморфная система, продолженные
решения которой имеют дефект Ък и ранг рк, строится с помощью
алгоритма, описанного в 22.2. Эта система задается уравнениями
проекций орбит h(U, О) в пространстве инвариантов
к к
/"(z) = ?(/'(*)),	C.7)
к	к
где /=(/', /'') есть разбиение универсального инварианта /
к	к
соответственно значению C.6) ранга рк (т. р. 7' состоит ровно из
pft независимых'"скалярных инвариантов). При этом свойство авто-
автоморфности гарантируется тем, что C.7) суть уравнения наимень-
наименьшего инвариантного многообразия в Zk, содержащего к-е продол-
продолжение какого-то решения системы C.7).
В отличие от 22.2, здесь нет никакой системы Е, в которую надо
было бы подставлять выражения главных производных, найден-
найденных из уравнений C.7). Однако система C.7) может быть ак-
активной и потому главные производные должны удовлетворять не-
некоторым «внутренним» условиям совместности. Эти условия имеют

332	ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
вид дифференциальных уравнений, в которых искомым является
отображение <р.
Итак, любая AGr-cucmeMa порядка к имеет вид системы урав-
уравнений C.7), к которым добавлены уравнения относительно иско-
искомых <р, выражающие условия совместности уравнений C.7).
В дальнейшем число рк, равное числу независимых переменных
в уравнениях C.7), будет называться рангом автоморфной системы.
Изложенный алгоритм построения ЛС-систем применим и
в случае бесконечных групп Ли с учетом тех особенностей, которые
отмечены в 24.7.
4. Классификация автоморфных систем. Согласно предыду-
предыдущему тип автоморфной системы определяется порядком продолже-
продолжения к, рангом pfc и универсальным инвариантом /. Наиболее
к
важным результатом классификации 4?-систем является тот факт,
что число различных типов автоморфных систем конечно для лю-
любой группы G (возможно, бесконечной). Особо выделяется ре-
регулярный случай, когда наименьшее к, для которого / содержит
к
базис дифференциальных инвариантов, совпадает с наименьшим А;,
для которого выполнены неравенства C.5).
Для классификации удобно ввести в рассмотрение число
Щ = v0 — г0 — rQ,	D.1)
грубо гоеоря, равное числу тех независимых инвариантов нуле-
нулевого порядка, которые не зависят от у. С помощью п0 можно
существенно упростить неравенства C.5). Действительно, по опре-
определению числа гк размерность пространства инвариантов равна
fk-\-nQ, в силу чего справедливо равенство vft = rk -f-гк-(-п0.
Отсюда, в частности, чк — гк^ п. Поэтому левая часть неравен-
неравенства C.5) раена vfc — п — гк = гк— п-\~п0, а правая — равна гк,
и это неравенство имеет т;ид гь — п -\- п0 ^ Ък ^ гк. Отсюда согласно
C.6) для ранга рк получаются нсрапенстра
Теорема. Для любой группы Ли G существует конечное
число различных типов AG-систем, причем в регулярном случае
это число равно п — лг0—|—1.
Доказательство. Используется теорема 24.8 о ко-
конечности базиса дифференциальных инвариантов. Если число не-
независимых скалярных дифференциальных инвариантов произволь-
произвольного порядка группы G конечно, то утверждение тривиально.
Пусть выполнено условие 24 (8.1) и пусть х есть число, определен-
определенное в доказательстве теоремы 24.8, обладающее тем свойством,
что для любого к ^> % универсальный инвариант Jk+1 получается
из Jk применением операторов инвариантного дифференцирова-
дифференцирования. При этом можно считать также, что rk-\-n=vk —гк-\-п — до^х.

§ 25. АВТОМОРФНЫЕ СИСТЕМЫ	333
При соблюдении этих услочий в процессе построения авто-
морфных систем данного ранга рк и любых порядкоч А^х, зада-
задаваемых в виде C.7), инвариант /' (г) может быть взят одним и
тем жо, совпадающим с /^ = /'(z). Пусть 0к есть та часть ото-
х
бражения <р, которая в AG-системе порядка к задает выражение
для инварианта Jk, имеющее вид
Тогда эти уравнения войдут и в Л(?-систему порядка /с+1, имею-
имеющую тот же ранг. Кроме того, в этой Л?-системе будут еще урав-
уравнения вида
Но в силу определения числа х можно считать, что JkJil=(X-D) Jk,
откуда следует, что последние уравнения необходимо должны быть
равносильны уравнениям, получаемым применением оператора
A D к уравнениям D.3). Это означает, что в силу D.3) должно быть
выполнено тождество <\>k+1 = (\-D) tyk, т. е. уравнения порядка &+1
являются просто дифференциальными следствиями уравнений
D.3). То же самое будет происходить и при дальнейшем увеличе-
увеличении порядка AG-сжтемы. Остается заметить, что в силу D.2)
ранги рк ограничены в совокупности и что число типов Лбг-систем
порядка ^ х конечно.
В регулярном случае значение х может быть взято равным наи-
наименьшему к, для которого выполнены неравенства C.5). Тогда
различные типы Л?-систем будут получаться только за счет выбора
различных значений ранга р,,, число которых в точности равно
п — гсо+1 в силу D.2). ¦
Более детальная классификация AG-систем должна учитывать
групповую структуру группы G и возможную редукцию к мень-
меньшему дефекту.
5. Пример. Рассматривается группа G^ из 24.9 (я) с касатель-
касательным отображением 24(9.1). Здесь vo = 3, ro=2, го = 0 и по фор-
формуле D.1) получается по= 1. Кроме того, ^ = 1, так что необходимые
условия существования автоморфных систем выполнены, начиная
с & = 1. Неравенство D.2) имеет вид l^pfc^2, #т. е. возможны
Жх-системы рангов рк = 1 и рк = 2.
Автоморфная система ранга один образуется с помощью универ-
универсального инварианта 7 = (ха, yjy) и имеет вид
у, = Ш(х*)у	E.1)
с произвольной функцией ш: К -> R. Все автоморфные системы
ранга один порядка выше первого получаются просто применением
к E.1) операторов инвариантного дифференцирования yD1 и Z>2.

334	ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
Для построения а>.томорфных систем ранга два требуются
инварианты второго порядка, которые легко вычисляются с по-
помощью инвариантного дифференцирования
) —- г/12 — (.УлУ-Jy), DMy) — у%ily — (уJуJ
и дают универсальный инвариант
Следовательно, автоморфная система ранга два второго порядка
имеет вид
Уи~<1У1 + 'г{1>> Я), y^^'iiP, A)У,	E-2)
где введены обозначения р=х~ и q=yjy. При этом функции у и
ф должны удовлетворять условию совместности, вытекающему
из формулы сравнения производных (j/i2J==(.V22)i- После упроще-
упрощения в силу системы E.2) это условие оказывается таким:
«Pp + OS'-rK-'PVbfff^-	E-3)
Все прочие автоморфные системы ранга два получаются из E.2)
применением операторов yD± и ZJ.
§ 26. Групповое расслоение
1. Постановка вопроса. Здесь снова рассматривается диффе-
дифференциальное уравнение Е (система) и допускаемая им группа Ли
G (которая может быть бесконечной).
Как уже отмечалось в § 20, действие группы G на множестве SE
решений уравнения Е приводит к разбиению этого множества
на классы эквивалентных решений. Именно, решения иг ти'щ
эквивалентны относительно G, если существует принадлежащее G
преобразование, с помощью которого иг переводится в щ (такие
решения в 20.3 были названы несущественно различными). Ясно,
что решения щ и и2 эквивалентны относительно группы G, если
и только если они принадлежат одной и той же орбите (и, G)
некоторого решения и. Таким образом, множество классов экви-
эквивалентных решений есть множество всевозможных орбит (и, G).
Следующая задача была поставлена С. Ли: для данного уравне-
уравнения Е и допускаемой им группы G найти уравнения орбит любых
его решений и уравнения, решения которых определяют сово-
совокупность всех орбит. Другими словами, требуется найти представ-
представление общего решения уравнения Е в виде композиции, составлен-
составленной из некоторого отображения множества SE в множество орбит
решений и (< SE и группового преобразования группы G, действую-
действующего внутри каждой орбиты.

§ 26. ГРУППОВОЕ РАССЛОЕНИЕ	335
Решение этой задачи опирается на результаты из § 25, согласно
которым орбиты решений, как инвариантные многообразия в не-
некотором Zk, описываются с помощью автоморфных систем группы G.
Поэтому одной из составляющих, на которые требуется разбить
уравнение Е, является некоторая 4С-система. Она содержит,
вообще говоря, произвольные функции (типа ? и ф в 25 E.2)),
которые следует определить с таким расчетом, чтобы все решения
4?-системы были решениями уравнения Е. С этой целью уравне-
уравнение Е записывается в виде его проекции Е в пространстве инвари-
инвариантов и все дифференциальные инварианты заменяются их выра-
выражениями через независимые. Так возникает вторая составляющая
разбиения уравнения Е, которая представляет собой объединение
Е с проекцией 4?-системы в пространстве инвариантов и условиями
совместности уравнений AG. Эта составляющая называется
разрешающей системой; она будет обозначаться символом RE.
Итак, решение задачи С. Ли должно приводить к представлению
пары (Е, G), выражаемому символической формулой
(Е, G)^>AG\jRE.	(I.I)
Представление вида A.1), в котором правая часть равносильна
уравнению Е, будет называться групповым расслоением уравне-
уравнения Е относительно допускаемой им группы G.
2. Существование группового расслоения. Требование равно-
равносильности представления A.1) накладывает ограничение на вхо-
входящую в него AG-сжствму. Действительно, орбиты разных реше-
решений могут иметь различную размерность в пространстве инвариан-
инвариантов, определяемую рангом соответствующей AG-сжстешы. Чтобы
гарантировать охват всех решений уравнения Е, необходимо
искать орбиты максимальной размерности. С точки зрения резуль-
результатов 25.4 это означает, что групповое расслоение вида A.1) может
получиться только в том случае, если берется 4С?-система ранга
рк=п. В этом рассуждении и в следующей теореме предполагается
выполненным условие 24 (8.1).
Теорема. Если дифференциальное уравнение Е допускает
группу Ли G, то существует однозначно определенное групповое
расслоение вида A.1) этого уравнения на ивтоморфиую си-
систему AG и рсшрениыощую систему RE.
Доказательство. Согласно результатам 25.4 значение
рк=п дает один определенный тип ЛС-системы вида 25 C.7).
Пусть Ё есть проекция уравнения Е в нространстве дифференциаль-
дифференциальных инвариантов Zm группы G, с помощью которой однозначно
строится соответствующая разрешающая система RE, в которой
искомым является отображение ср. По любому решению ср системы
RE можно найти некоторое решение 46г-системы, которое по по-
построению является решением уравнения Е. Остается доказать,
что этим путем получится любое решение и ? SE,

336	ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
Для этого достаточно установить, что решению и соответствует
некоторое отображение ср, входящее в ЛС-систему 25 C.7). Дей-
Действительно, тогда с найденным ср данное и является решением AG-
системы и уравнения Е, а значит, должно удовлетворять и всем
следствиям этих уравнений, в частности, всем уравнениям RE.
Для построения ср по данному и вводится в рассмотрение ото-
отображение p=J'\U: Х->Х. В общем случае г?(др) = п и суще-
к
ствует обратное отображение р'1, с помощью которого искомое f
однозначно определено формулой
? = (J"\U)op-\	B.1)
к
На тех решениях, для которых rr (dp) <i n, скалярные ком-
компоненты инварианта /' функционально зависимы, т. е. ранг AG-
системы снижается (pk<iri). С учетом этого факта повторение
предыдущего рассуждения показывает, что и такие решения также
воспроизводятся как решения системы — объединения AG\JRE. Ш
Практическое значение группового расслоения состоит в том,
что решения AG-системы получаются весьма просто за счет свой-
свойства ее автоморфности (действием группового преобразования
на какое-нибудь одно решение), а разрешающая система RE
оказывается более простой по сравнению с исходным уравнением Е.
Последнее происходит благодаря тому, что у системы RE ре-
решений меньше, чем у Е, за счет устранения тех излишеств, которые
вносил в нее факт существования допускаемой группы G. Это
упрощение должно быть тем сильнее, чем шире группа G. В част-
частности, метод группового расслоения целесообразно применять в слу-
случае бесконечной группы Ли G. Следует заметить, однако, что точ-
точный смысл термина «упрощение уравнения» с точки зрения его
применения к дифференциальной структуре не вполне ясен и этот
вопрос нуждается в дальнейшем исследовании.
3. Дифференциально-инвариантные решения. В связи с груп-
групповым расслоением естественно возникает вопрос о том, что дают
другие ЛС-системы, рангов рк <^ п, с которыми также можно по-
построить объединение вида A.1). Конечно, в этом случае уже не
будет иметь место равносильность уравнения Е объединению
AG{JRE. На самом деле, это объединение определяет лишь не-
некоторый класс частных решений уравнения Е. Такие решения
будут называться дифференциально-инвариантными ре-
решениями ранга рк.
Эти решения, вообще говоря, не являются инвариантными.
Действительно, любое инвариантное (в смысле 19.2) решение,
будучи продолжено, остается инвариантным многообразием и в про-
продолженном пространстве (см. 19.5), а дифференциально-инвариант-
дифференциально-инвариантное решение в продолженном пространстве является лишь ча-
частично инвариантным многообразием.

§ 26. ГРУППОВОЕ РАССЛОЕНИЕ	337
В настоящее время понятие дифференциально-инвариантного
решения разработано недостаточно полно. Прежде всего отсут-
отсутствует достаточно широкий набор содержательных примеров таких
решений. Кроме того, нуждаются в детальном исследовании во-
вопросы их классификации, в частности, редукции к меньшему де-
дефекту и т. п.
4. Пример расслоения. Рассматривается система уравнений
стационарного пограничного слоя 10 G.2) с заданной функцией
х -> 0 (х). В 10.7 показано, что эта система допускает группу G00
с оператором
С-5 = <рЗ, + ?'в5,.	D-1)
где ф: K(x)-*-R — произвольная функция и ?р' = дх<р. Порождаю-
Порождающее отображение этой группы таково:
х'=х, yi = y-\-${x), u' — u, v' = v-\-i?'(x)u. D.2)
Группа Gm имеет универсальный инвариант (нулевого порядка)
J=(x, и). Так как здесь ге=2, то автоморфную систему ранга два
с помощью / построить нельзя и требуется рассмотреть первое
продолжение группы. Вычисление по формулам 4 (8.4) дает
С • д = Щду + (р'в5, - <р V- + (Га + <р' К - v,)) dVx + ? V V
где ux=dji и т. д. Здесь ?t=3 и универсальный инвариант 7
должен быть инвариантом системы операторов (получаемых как
коэффициенты при ср, ср' и ср")
ду, ид, — иуд,х -\- пуд,у + (их — vy) д,х, ид,х
и легко находится в виде
7 = (х, и, ux-\-vr uy, uux-{-vuy).
Поэтому ilG-система ранга рх = 2 может быть записана так:
их + и« = <°> "у = сР' иих-\-ии9 = $	D.3)
с неизвестными пока функциями ш, ср, ф: Ж2 (х, u) -> i2. Условия
совместности системы D.3) с исходной системой 10 G.2) таковы:
ш = 0, ф -j- 0 = срсри,
откуда определяются функции со и ф. В силу этих уравнений, со-
составляющих часть разрешающей системы, исходные уравнения
равносильны системе D.3). Еще одно уравнение разрешающей
системы дает условие совместности уравнений D.3), которое здесь
удобно получить следующим путем. Можно считать, что функция
v определяется из третьего уравнения D.3), а именно:
« = 9.-(в+ «»,)/?•	D.4)

338	ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
Подстановка этого выражения в первое уравнение D.3) и дает,
с учетом второго уравнения D.3), искомое разрешающее уравнение
D.5)
Окончательно групповое расслоение системы 10 G.2) относительно
группы Gra с оператором D.1) есть объединение автоморфнойЛС?00-
системы
Ux-\-Vs, = °> иг, = ?(Х> U\ иих-\-ту = П„—Ъ{х), D.6)
и разрешающей системы RE, состоящей из одного уравнения D.5).
Интересно отметить, что формальный (без использования груп-
группового свойства) переход от системы 10 G.2) к одному уравнению
D.5) известен в гидродинамике под названием «преобразование
Крокко». Можно показать, что решение основной краевой задачи
теории пограничного слоя фактически сводится к построению опре-
определенного решения уравнения D.5), с которым решение автоморф-
ной системы D.6) сводится к интегрированию одного обыкновен-
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VII
В классической теории дифференциальных инвариантов, начало кото-
которой было положено С. Ли [1 ], использовались построения, связанные с ко-
конечными преобразованиями группы. Основной результат — теорема о ко-
конечности базиса — принадлежит Трессу [2]. Доказательство этой теоремы
с помощью операторов инвариантного дифференцирования излагается здесь
впервые. Задача С. Ли о групповом расслоении данной системы дифферен-
дифференциальных уравнений на автоморфную и разрешающую системы в общем виде
была решена Вессио [3], использовавшим параметрическое представление
всех переменных через вспомогательные инвариантные параметры. Пример
группового расслоения по Вессио конкретной системы уравнений, возника-
возникающей в газовой динамике, выполнен в [4]. Возможности и преимущества яв-
явного представления группового расслоения были продемонстрированы в [5],
откуда и взят пример 26.4. Этим вопросам посвящены также работы [6], [7].
[1] Lie S. tlber Differentialinvarianten. — Math. Ann. 24, № 1 A884)
52-89.
[2] Т г е s s e A. Sur les invariants differentiels des groupes continue de trans-
transformations. — Acta math. 18 A894), 1—88.
[3] Vessiot E. Sur Г integration des sistem differentiels qui admittent
des groupes continus de transformations. — Acta math. 28 A904), 307—349.
[4]Кухарчпк П. Групповые свойства уравнений коротких волн в га-
газовой динамике. — Bull. Acad. pol. sci. ser. sci. techn. 13, № 5 A969),
469—477.
[5] Овсянников Л. В. Групповое расслоение уравнений пограничного
слоя. — В сб. «Динамика сплошной среды», вып. 1 A969), Новосибирск,
24-35.	\ г
[6] С у б о ч Ю. Ф. Об одном групповом свойстве систем дифференциальных
уравнений. — В сб. «Динамика сплошной среды», вып. 6 A971), Ново-
Новосибирск, 201—207. "
[7] Верещагина Л. И. Групповое расслоение уравнений простран-
пространственного нестационарного пограничного слоя. — Вести. Ленингр.
ун-та, вып. 3, № 13 A973), 82—86.

i'JIABA VIII
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Имеется целый ряд специальных задач группового анализа
дифференциальных уравнений, изложение подходов к которым
представляло бы несомненный интерес для тех, кто освоил пре-
предыдущие главы и хотел бы попробовать продвинуться дальше
в теории и приложениях. Выбор задач, представленных в настоя-
настоящей главе, определился, с одной стороны, неизбежными ограниче-
ограничениями, а с другой, — стремлением показать разнообразие возмож-
возможностей, предоставляемых методами группового анализа.
Групповой анализ линейного уравнения второго порядка с лю-
любым числом п независимых переменных (в приложениях чаще всего
встречаются значения п=2, 3, 4), в отличие от рассмотренного в § 9
случая п=2, встречает значительные трудности. В настоящее время
для них нет полной групповой классификации даже при га=3.
Тем большую ценность представляют те общие закономерности,
которые удается установить сравнительно просто. Наиболее
замечательным фактом здесь является связь, существующая между
группой, допускаемой уравнением, и группой конформных преоб-
преобразований (или движений) ассоциированного с уравнением рима-
нова пространства. Стоит обратить внимание на так называемые
стандартные уравнения, допускающие максимально широкую
группу, которые, по-видимому, пока с точки зрения краевых задач
детально не исследовались.
Касательные преобразования являются естественным обобще-
обобщением рассмотренных в настоящей книге точечных преобразований.
Основы теории и здесь были заложены работами С. Ли. Однако
предоставляемые этим обобщением возможности сильно ограни-
ограничены, так как оно оказывается содержательным лишь в случае
одномерного пространства искомых функций, и притом, если пре-
преобразование имеет первый порядок. В остальных случаях каса-
касательные преобразования сводятся к продолженным точечным (или
касательным первого порядка) преобразованиям.
Существенно более широкие возможности открывают так на-
называемые преобразования Ли—Бэклунда, в которых порядки
производных заранее не ограничены. В настоящее время к этой
перспективной области привлечено внимание ряда исследователей.
\ Одной из важных проблем является распространение методов
группового анализа на краевые задачи для дифференциальных

340	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
уравнений. Здесь возникают определенные трудности, обуслов-
обусловленные локальным характером теории, что не всегда хорошо сов-
совместимо с краевыми задачами, определяющими решение «в целом».
Пока имеются лишь отдельные примеры изучения свойств инва-
инвариантности решений таких краевых задач, которые априори могут
быть поставлены локально. К ним относятся задачи Копти, Гурса,
некоторые смешанные задачи и ряд других. В § 29 демонстрируются
также некоторые возможности изучения вопросов инвариантности
характеристик и сильных разрывов для специального класса диф-
дифференциальных уравнений. Кроме того, установлено свойство
инвариантности задачи со «свободной границей» для уравнений
Навье—Стокса.
Классической областью применения методов группового ана-
анализа являются законы сохранения, отыскание которых важно для
решения различных задач физики и механики. Основополагаю-
Основополагающая теорема, устанавливающая связь между свойствами инвари-
инвариантности вариационного функционала и законами сохранения,
принадлежит Э. Нётер. В этом вопросе существенно, что группа,
допускаемая функционалом, допускается и соответствующим диф-
дифференциальным уравнением Эйлера для его экстремалей. Важное
усиление теоремы Нётер было получено сравнительно недавно
на основе одного замечательного тождества, связывающего урав-
уравнение Эйлера, условие инвариантности функционала и законы
сохранения. При этом также получено и достаточное условие спра-
справедливости обратной теоремы Нётер. Перечисленные общие ре-
результаты изложены в § 30. Имеются многочисленные интересные
примеры приложения этих результатов к конкретным задачам,
изложение которых, к сожалению, выходит за рамки книги.
§ 27. Линейное уравнение второго порядка
1. Уравнение и его преобразования. Рассматривается линей-
линейное дифференциальное уравнение с частными производными вто-
второго порядка типа Е (п, 1, 2, 1) с искомым отображением и: Х-> It
"	Ч + си = 0-	A.1)
В этой записи предполагается, что в пространстве независимых
переменных Х=Вп(х) введены координаты вектора х =
= (х1, ..., хя), соответственно чему векторы и ? Y1 и и ? Y2, как
1	2
элементы первого и второго продолжений пространства Y=H(u)
с помощью X (см. 4.2), представлены в виде u = (u1; ..., ип) и
и = (ип,и12, ...,ит), причем u{ = dfU, ии = д(дм, где d(=zdxi
2
(i = l, ..., п). Коэффициенты aiJ = aJi, b*, с считаются задан-
заданными функциями X->R класса Ст{Х).

§ 27. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА	341
Для уравнения A.1) ставится задача групповой классификации
(см. § 6) по отношению к произвольному элементу — набору
{atJ, b', с) всех коэффициентов этого уравнения. Эта задача уже
была рассмотрена в 8.8 для п=1 и в § 9 для п=2. Поэтому в даль-
дальнейшем, если потребуется, будет предполагаться, что п > 2.
Согласно 6.4 задачу групповой классификации следует решать
с точностью до преобразований эквивалентности, сохраняющих
общую дифференциальную структуру уравнения A.1). С целью
последующего геометрического истолкования целесообразно рас-
рассматривать преобразования линейного оператора F, определяе-
определяемого уравнением A.1), и различать три типа таких преобразо-
преобразований.
(а) Преобразование пространства X вида х' = р (х) (в коорди-
координатах x" = pl(x), i = l, ..., п), которое влечет преобразование
ы->м' по формуле и=и'ор и, соответственно, преобразование
F-*F', где F[u] = F' [и1]. При этом уравнение A.1) переходит
в уравнение
F' [и1] = all'u'tJ -f V*u't + с'и',	A.2)
причем и'(=д'{и' и т. д., где д\ = дх>/. Новые (штрихованные)
коэффициенты выражаются через старые по формулам
,	с>ор = с. A.3)
(C) Линейное преобразование искомой функции и —> е^и с любой
функцией 0: X->R класса CQO{X) и одновременное умножение
оператора F на множитель е~9, т. е. преобразование
Fl[u] = e-aF[eeu],	A.4)
которое переводит уравнение A.1) в уравнение
F'[i»] = a*Jruw + b"i»< + c'« = 0	A.5)
с теми же aiJ, но с новыми
Ь" = ЬЧ-2а%, с' = с + Ь'в< + а'% + о"в<в/. A.6)
(-[•) Умножение оператора F на множитель, например, F' = e~29F
с функцией 8: Х-ъ-М, т. е. переход к уравнению
F' [и] = a*'utJ + Б*щ + си = 0,	A.7)
где
a'' = eaea'y, Ь* = еЩ*, с = е21>е.	A.8)
2. Условие инвариантности. Оператор группы GX(Q преобразо-
преобразований пространства Z = lX Y, допускаемой уравнением A.1),
ищется в виде
+ 9^	B.1)

342	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
с векторным полем X, = (S, tj): Z-*Z. Для записи условия инвари-
инвариантности уравнения A.1) относительно оператора B.1) требуется
второе продолжение этого оператора
2	112 2
ГДе ¦*) = (?)! . • ., \) И 7| = G|11, 7I2, . . ., f\m) ВЫЧИСЛЯЮТСЯ С ПОМОЩЬЮ
1	2
операторов полного дифференцирования
Di~di + uidu + Uijd<'J+ ¦ ¦ ¦	(J = l. ••' п)
по формулам продолжения 4(8.4), а именно,
¦ц( = D{fi — UjDtf, -ц{к = D^ — u(JDh?.
С учетом того, что С не зависит от и, это дает
1
1
,	B 2
Очевидно, что в результате действия оператора С • д на F [и]
2
получится линейная неоднородная форма от и. Поэтому условие
2
инвариантности
(
2
может быть записано с помощью неопределенного множителя Лаг-
ранжа X в виде равенства
= \F[u\.	B.3)
При этом априори можно утверждать лишь то, что X не зависит
от и, но следует считать X функцией от (х, и, и). Равенство B.3)
2	1
легко расщепляется относительно и и дает уравнения
2
a**--=W (i, k = i	»); ,„ ,.
Сюда надо еще подставить tj, из B.2). Дальнейшее расщепление
уравнений B.4) относительно и можно было бы выполнить совсем
1
просто, если бы заранее было известно, что X не зависит от и.
1
Оказывается, что это свойство действительно верно, если только
уравнение A.1) удовлетворяет некоторым естественным предполо-
предположениям.

§ 27. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА	343
Именно, предполагается, что матрица (aiJ) ненулевая и исклю-
исключается случай сильно вырожденного уравнения A.1), когда
оно эквивалентно уравнению вида
ип -f- Ъих -f си = 0,	B.5)
т. е. фактически обыкновенному дифференциальному уравнению
второго порядка, уже изученному в 8.8.
Лемма. Если матрица (aiJ) ненулевая и уравнение A.1) не
сильно вырождено, то компонента ? оператора B.1) не зависит
от и, а множитель X не зависит от и.
1
Доказательство. В силу первого уравнения B.4) множи-
множитель X есть, самое большее, линейная функция от и и без ограни-
1
чения общности можно положить
Х = Х'В< + ХО.	B.6)
Подстановка этого выражения в перЕое уравнение B.4) и расщеп-
расщепление полученного равенства относительно и дает уравнения
1
(I, },к = 1,...,»), B.7)
JJi	(i,k=l	га). B.8)
Левая часть уравнения B.7) не меняется при любых перестановках
индексов ?, ;', к. Отсюда следуют равенства
а*О/ = а*уХ' (г, /, к=1, . . ., и).
Пусть не все множители X' равны нулю, например, Х1=т^=О.
Тогда можно положить qi = lifk1 и предыдущее соотношение дает
aik=:q<a'cl (i, k=l, .. ., я).
Повторное применение этого соотношения приводит к равенству
at* = qtcfa11 (i, k = l, . .., п).
При этом а11 =^= 0, так как иначе матрица (а4к) была бы нулевой.
Поэтому совокупность слагаемых с производными второго порядка
в уравнении A.1) приводится к виду qt<fu{k. Согласно теореме 3.8
найдется преобразование подобия у: Х-*Х, которое преобразует
векторное поле q= {q*} в постоянное, например в A, 0, ..., 0).
Тогда в координатах у — (у1, . . ., у") сумма членов с производ-
производными второго порядка в уравнении A.1) будет состоять из одного
слагаемого ии.
Итак, не нарушая общности вывода, можно считать, что в рас-
рассматриваемом случае (т. е. когда не все X* равны нулю) исходное

344	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
уравнение A.1) таково, что аи = 1 и а'* = 0 (?&>1). Тогда B.7)
при й; = ? = / = 1 и k = j — l, ? > 1 дает
33.61 = —X1, 3,Е' = — Х' = 0 (? = 2, З, .... /г). B.9)
Кроме того, из B.8) при ?=1, к ^> 1 следуют равенства
a1g* = O (Л = 2, 3, ..., га).	B.10)
Далее необходимо обратиться ко второму уравнению B.4) и
подставить в него выражения B.2) и B.6). В общем случае рас-
расщепление этого уравнения относительно и приводит к уравнениям
1
¦3^ = 0 (/ = 1, .... л),	B.11)
?' — Ь'да1к = \кЬ* (*,& = 1,..., га), B.12)
(i=l, ...,п),	B.13)
-f b*dti\ + ст) -f g*a3fcc = \си. B.14)
В рассматриваемой здесь ситуации из B.12) при к = 1, i>l
с учетом B.10) следуют равенства
-b%l1 = l1bi (i = 2	га)
или в силу B.9)
лЧ»' = 0 (i = 2	га).
Так как равенство Хх = 0 противоречит сделанному предположению
о том, что вектор {X*} не нулевой, то отсюда следуют равенства
b' = 0(j = 2, . . ., п). Это означает, что преобразованное к перемен-
переменным у уравнение A.1) приводится к виду B.5), т. е. сильно вы-
вырождено.
Следовательно, если A.1) не сильно вырождено, то Х' = 0 (? =
= 1, . . ., п), а тогда из B.7) и B.11) получается, что дЛ' = О
(i=l, . . ., п). Ш
3. Определяющие уравнения. Для уравнения A.1), удовлетво-
удовлетворяющего условиям предыдущей леммы, компонента Ч оператора
B.1) от и не зависит, в силу чего из B.12) следует 3^ = 0. Тем
самым уравнения dj = 0, д\ч\ = 0 входят в систему определяющих
уравнений и, согласно 7.14, основная алгебра Ли уравнения A.1)
имеет структуру U © Ью, где подалгебра U состоит из операторов
C.3=rE(*).3e + 0(*)u3.,	C.1)
a L00 образована операторами вида v (х) ди, где v — любое реше-
решение уравнения A.1). Поэтому можно ограничиться рассмотрением
системы BE определяющих уравнений алгебры Ли U'. Если поло-
положить еще X0=o-f;i, то окончательно эта система DE, в которую

§ 27. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА	345
нетривиальный вклад дают только уравнения B.8), B.13) и B.14),
оказывается такой:
aikdk\j + а}кдк\* — \кдка" = jia" (», / = 1	л), C.2)
*	кЪ' — pb* («=1	л), C.3)
р р = —\кдкс — рс,	C.4)
причем функция о определяется с точностью до постоянного сла-
слагаемого. Эта система DE используется при доказательстве следую-
следующего важного факта.
Теорема. Уравнение A.1) допускает ненулевой оператор
вида C.1), если и только если оно эквивалентно уравнению, все
коэффициенты которого не зависят от одной из координат.
Доказательство. Очевидно, что если все коэффициенты
не зависят (например) от х1, то уравнение A.1) допускает группу
G1 переносов по координате ж1, т. е. преобразования с оператором
{.•д=дг. Легко убедиться в том, что этот оператор удовлетворяет
уравнениям DE.
Обратно, в силу теоремы 3.8 с помощью подходящего преобра-
преобразования типа 27.1 (а) всегда можно добиться того, чтобы коорди-
координаты компоненты % оператора C.1) имели значения ?* = 8*. В этом
случае уравнения DE C.2)—C.4) принимают вид
3j,a<y = —vaij, dft = —рЪ' — 2aikdko, дгс ~ —\ьс—aijdfip — Ь'д4а.
C.5)
Если ввести функции
и = \ о dx1, v = — I [л dx1,
положить
a" = evfi", Ь' = е'E'— 2а'ЛоД с = ev (с — a^m(J — Ъ\ + fi^oyo,),
C.6)
где (о< = 3<@, @^=5^@, и подставить эти выражения в уравне-
уравнения C.5), то последние приведутся к таким:
31«'у = 0, 515'" = 0, djc = 0 (i, / = 1, ..., п). C.7)
С другой стороны, если сделать преобразование типа 27.1 (Р)
с 6= со, затем преобразование типа 27.1 (f) с 20= v и использо-
использовать C.6), то простой подсчет показывает, что A.1) перейдет
в эквивалентное уравнение
aiJutJ -j- 5'и( -j- си = О,
коэффициенты которого в силу C.7) не зависят от "х1. Ш
Независимость коэффициентов уравнения A.1) от одной из коор-
координат позволяет построить для него класс частных (инвариантных

346	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
или частично инвариантных) решений методом разделения р
менных (неполного), а также свести задачу отыскания общего
решения к уравнению меньшей размерности (методом Фурье).
Тем самым предыдущий результат устанавливает связь между
допускаемыми операторами и упомянутыми классическими мето-
методами построения решений.
4. Ассоциированное риманово пространство. Дальнейший
анализ определяющих уравнений C.2)—C.4) будет проведен для
случая, когда матрица (а**) не вырождена, т. е. когда det (aiJ)^=Q.
Это предположение существенно облегчает исследование, в чем
можно убедиться на примере выполненной в § 9 групповой класси-
классификации линейного уравнения в случае п—1. Для вырожден-
вырожденных уравнений при п >• 2 законченных результатов, по-види-
по-видимому, нет.
.Формулы A.3) показывают, что коэффициенты aiJ являются
компонентами контравариантного тензора. Если он не вырожден,
т. е. det (я'-^т^О, то ковариантные компоненты atj того же тензора
определяются из уравнений
*,-**" = 8* (*. ^=1, •••> и).	D.1)
Тензор a{j симметричен вместе с тензором a'J и можно ввести
в рассмотрение метрическую фундаментальную квадратичную
форму
й^ = а^в,хЧх}.	D.2)
Риманово пространство Vn с метрикой D.2), построенной по
формулам D.1), будет называться пространством, ассоцииро-
ассоциированным с дифференциальным уравнением A.1).
Формулы A.3) и A.5) показывают, что преобразования типа
27.1 (а) и 27.1 ф) уравнения A.1) не изменяют пространство Vn.
Следовательно, ассоциированное с уравнением A.1) риманово
пространство является инвариантным объектом относительно этих
преобразований. Что же касается преобразования типа 27.1 (у),
то оно приводит к уравнению, ассоциированное пространство кото-
которого является конформным пространству Vn.
Следует отметить, что компонента I оператора C.1) есть контра-
вариантный вектор ассоциированного Vn и что величина а есть
скаляр. Ниже будет показано, что определяющим уравнениям
C.2)—C.4) можно придать ковариантную форму относительно
этого Vn, т. е. записать их с помощью величин и операций, внутрен-
внутренним образом определяемых пространством Vn.
Непосредственно из определяющих уравнений вытекает один
важный результат. Предварительно необходимо заметить следующее.
Пусть С есть группа преобразований пространства Z= Z X Г,
соответствующая алгебре Ли U и, тем самым, допускаемая урав-

§ 27. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА	347
ненисм A.1). Очевидно, что подпространство X X {0} С Z, которое
задается уравнением ц=-0 и может быть отождествлено с прост-
пространством X, инвариантно относительно Gr. Поэтому определена
группа Gr | X, индуцированная группой С на ее инвариантном
многообразии X (см. 18.3). Операторы алгебры Ли Lr\X группы
Gr\ X получаются, если в C.1) положить ц = 0. Легко проверить,
что алгебры Ли U и U \ X (а значит, и группы С и Gr\ X) изо-
изоморфны. Действительно, если ?=0, то C.2) дает jx = 0 и тогда
из C.3) получается, что 9^ = 0 (i=l, • • ., п), т. е. о = 0, так
как функция а определена с точностью до постоянного слагаемого.
Теорема. Если невырожденное уравнение A.1) допускает
группу Gr, то группа Gr\X является подгруппой группы кон-
конформных преобразований ассоциированного риманова пространства.
Доказательство. Умножение уравнения C.2) на aita^t и
суммиросание по i, j с использованием D.1) приводит к уравнениям
(к, 1 = 1, ..., п). D.3)
Как известно из римановой геометрии, эти уравнения являются
определяющими уравнениями алгебры Ли операторов ?-д=?'д,.
конформных преобразований риманова пространства с метрикой
D.2). Поэтому любой оператор C.1), являющийся решением си-
системы C.2)—C.4), индуцирует в указанном выше смысле некото-
некоторый оператор конформных преобразований пространства Vn. И
5. Некоторые формулы римановой геометрии. Для преобразо-
преобразования уравнений C.2)—C.4) потребуются приводимые ниже фор-
формулы римановой геометрии, в которых все индексы принимают
значения 1,. . ., п.
Символы Кристоффеля второго рода определяются форму-
формулами
П, = Т & (di4j + dkah. - д,ак1).	E.1)
Для любого тензора Ть\\\'Хг, его ковариантные производные отно-
относительно фундаментального тензора а^- отмечаются запятой и имеют
выражения
г
а1
а=1
i \.:.^p+1...eaj	E.2)
В частности, для контравариантного вектора с компонентами 5*
Ц. = д/ + ^р	E.3)
а для его ковариантных компонент ?fc = я<А.?'

348	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Компоненты тензоров aik и aik при ковариантном дифференци-
дифференцировании ведут себя как постоянные
Компоненты тензора римановой кривизны пространства Vп опре-
определяются формулами
и удовлетворяют тождествам
Ди=-Д«У ^ + ^ + ^.7 = °-	E-7)
Тензор Риччи R..j=zRb.k является симметричным. Скаляр
R = a{JRij = aiJRkijk	E.8)
носит название скалярной кривизны пространства Vп.
Тензор Rijkl = aisRsJlcl удовлетворяет тождествам
Для тензора Rtk = aiJRjk и скаляра E.8) справедливо равенство
5кД = 2Д?>4.	E.10)
Для любого вектора а* справедливы тождества Риччи
Если в определяющих уравнениях D.3) конформных преобразо-
преобразований пространства V'п перейти к ковариантным компонентам \ь =
= aiJeV вектора I, то эти уравнения примут вид
Условия совместности последних уравнений таковы:
^, &=\(афъ + "пЪ - a/kV.t) + ZsR'kJi,	E.13)
где [ij. = dk\>-. Кроме того, справедливо соотношение
где Rk = a<JRjk. Соотношение E.14) может быть записано в равно-
равносильной форме с помощью E.10) и вытекающего из E.12) равенства
Д^* A2)Д[х, а именно:
Символы Кристоффеля не являются компонентами тензора.
При преобразовании 27.1 (а) они преобразуются по формулам

§ 27. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА	349
6. Ковариантная форма определяющих уравнений. Уравне-
Уравнение C.2) уже записано в ковариантной форме E.12). Для преобра-
преобразования уравнений C.3) и C.4) надо учесть, что коэффициенты Ь'
уравнения A.1) не являются компонентами вектора. Однако вели-
величины
а' = Ь'-|-а*'Г<, (i=l, .... и)	F.1)
образуют контравариантный вектор. Действительно, при преобра-
преобразовании 27.1 (у.) в силу E.16) и A.3) справедливы равенства
aik = ъ,к _|_ а'"Г? = a<J'p^. + b'p". + a'Jp'.p'jT'b —
= a'% 4- Ъ<р* + a'T^J - al'p?j = F* 4- а"Г;у) p* = a'pjf.
Преобразование уравнения C.3). Входящая в правую
часть производная д,дк%* выражается с помощью E.2) и E.3) через
ковариантные производные. В результате получается
Далее, и силу F.1) после простых преобразований находится
\ к - a»TJkV , - а\
+ а'к (d,T'Jk 4- Г'ЛГ{. - Г^Г^ - Г«гГ},) 5' -
Сложение этих выражений, использование определения E.6) и урав-
уравнения E.12) приводит правую часть уравнения C.3) к виду
№ Jk 4- Л! ь - а\ »Е* - ^
Но в силу E.13)
e/*Ej Jk=2-^ a'V» + ^*вйД^Е,	F.2)
и согласно E.9)
njlkz ¦—¦" niJlkS ——a nlkjsz ——
Поэтому правая часть C.3) оказывается такой:
Наконец, если ввести в рассмотрение ковариантные компоненты
ak = aikai и учесть уравнения E.12), то предыдущее выражение
приведется к виду

350	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Поэтому уравнение C.3) имеет копариантную форму
20*° = 4^*-«#*-«*./•	F.3)
Удобно ввести еще кососимметричный тензор
** = «*. у-«/.«.	F-4)
с помощью которого уравнение C.3) примет окончательный вид
23.a=i=^ pt - (afc6*)f, - К,/.	F.5)
Отсюда функция о определяется однозначно по данным S и р, если
выполнены условия совместности
Они являются дополнительными к E.12) уравнениями первого
порядка для искомого вектора ?.
Преобразование уравнения C.4). Если левую часть
уравнения C.4) обозначить через A/2) iV, то, с помощью C.3) и
определения F.1) вектора а', получается
Подстановка сюда выражения для 2<?<а из F.3) дает
Здесь iVj определяется формулой E.15). Для преобразования N2
используются соотношения F.2), E.11), E.9), с помощью которых
получается
ЛТ 	 „,• ?к
Преобразование Ns с помощью E.12) приводит к формуле
iV3 = a:>.
Наконец, Nt, также с помощью E.12), приводится к виду
^=T*V + T(a4).*S*-
В результате для N получается выражение
Следовательно, уравнение C.4), имеющее вид N-{- 2с>s.$*-j-2c[i=О,
окончательно приводится к ковариантной форме
0,	F.7)

§ 27. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА	351
где скаляр Н определен формулой
""Итак, в ковариантной форме система определяющих уравнений
состоит из уравнений E.12), F.5), F.6) и F.7). Эти уравнения
сохраняют свой вид при любых преобразованиях типа 27.1 (а).
7. Инварианты уравнения. Входящие и систему определяющих
уравнений тензор KfJ и скаляр Н будут называться инвариан-
инвариантами уравнения A.1). Это название оправдано тем, что упо-
упомянутые величины являются аналогом инвариантов Лапласа
невырожденного уравнения в случае п=2 (см. 9.2). Именно, спра-
справедливо следующее утверждение:
Теорема 1. Уравнения, имеющие одинаковые ассоциирован-
ассоциированные римановы пространства (одинаковые коэффициенты aiJ),
эквивалентны относительно преобразования 27.1 ([3), если и только
если они имеют одинаковые тензоры K(J и скаляры Н.
Доказательство. Если верно A.4), то соотношения
A.6) для Ъ\ записанные в ковариантных компонентах at вектора
F.1), имеют вид
О; = а, + 26, (*=1, ..., п),	G.1)
откуда в силу определения E.4) следуют равенства
K'tJ = Ktj (i, / = 1,...,я).	G.2)
Кроме того, с помощьюсоотношений A.6) и G.1) простым вычисле-
вычислением устанавливается равенство
откуда в силу определения F.8) следует равенство
Н' = Н.	G.3)
Обратно, пусть выполнены равенства G.2) и G.3). Из G.2) сле-
следует, что а\—а{ есть градиент некоторой функции, например, 26.
Тогда выполнены равенства G.1), а значит, и равносильная им пер-
первая серия равенств A.6). Кроме того, можно обратить выкладку,
которая привела к равенству G.3), и получить для с' выражение
A.6). Поэтому с так выбранной функцией 0 справедливо'равенство
e*F[Л] = а"ио.-f Ь'% + с'и = F' [и],
а это и означает, что к уравнению A.1) применено преобразование
17.1 (?).¦
Важно выяснить также поведение инвариантов при преобразо-
преобразованиях 27.1 (х), т. е. при умножении левой части уравнения A.1)

352	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	!" "
на множитель. При этом ассоциированное риманово пространство
Vn переходит в ему конформное риманово пространство Vп с фунда-
фундаментальной формой aijdx*dxJ.
Теорема 2. При преобразовании типа 17.1 (у) инвариант
Ktj сохраняется, а инвариант Н приобретает множитель,
а именно:
П=е-*"Н.	(Т..)
Доказательство. Из римановой геометрии известна
следующая связь символов Кристоффеля пространств Yп и Vп:
Г*, = Г*. - 8*0,- - 8*0, +а</?\.	G.5)
Из A.8), G.5) и определения вектора ак для преобразованного
уравнения получается соотношение
а* = е*[а* + (п — 2)о*'0,].	G.6)
Для перехода к ковариантным компонентам этого вектора обе части
равенства G.6) умножаются на aik = e~'2!laik и суммируются по к.
Это дает
-2)9„	G.7)
откуда и следует равенство К(^ = К^. Далее, различая ковариант-
ное дифференцирование в_ Vn, которое по-прежнему обозначается
запятой в индексе, и в Vn, которое будет обозначаться точкой
с запятой в индексе, и используя G.5) и G.6), легко получить
соотношение
а*,. = е29 [5f, +{п — 2) п*% j — (n — 2) й'9, — (га — 2)а ау6.9у].
Кроме того, перемножением G.6) и G.7) получается равенство
а'а{ = е28 [а% + 2 (в — 2) а% + (п — 2J aMflj].
Отсюда
а;, + у а'а, = е29 [of ( +1 а'а, + (» - 2)аув<;у - i (» — 2J а'Щ].
С другой стороны, из римановой геометрии известно соотношение
R = е™ [Й — 2 (п — 1)а*%.^ -f (п — 1)(я — 2)аД.].
С помощью этих двух равенств из F.8) получается G.4). ¦
8. Группы движений. Из римановой геометрии известно, что
пространство Vn допускает группу движений с операторами вида
\*{x)di если и только если выполнены уравнения Киллинга
= ° (*, / = 1, ¦•..»).	(8.1)

§ 27. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА	353
Известно также, что размерность группы движений не превосходит
числа A/2)п(п-)-1). С помощью этих фактов устанавливаются
дальнейшие сгюйстЕа группы, допускаемой уравнением A.1).
Теорема. Если для уравнения A.1) инвариант Н^О, то
группа Gr \ X, изоморфная допускаемой этим уравнением группе
С, есть подгруппа группы движений риманова пространства,
конформного ассоциированному с A.1) пространству Vп.
Доказательство. Если уравнения F' [и]=0 и F[u]=0
связаны преобразованием 27.1 (у), то они допускают одну и ту же
группу. Но при Н=^=0 можно выбрать функцию 6 так, чтобы было
Я=е29. При этом в силу G.4) уравнение F'[u]=0 будет иметь инва-
инвариант /7=1. Но тогда определяющее уравнение F.7) примет вид
р.=0 и уравнения E.12) сведутся к уравнениям Киллинга (8.1). ¦
Следствие. Порядок группы Gr, допускаемой уравнением
A.1) с инвариантом Н^О, удовлетворяет неравенству
r<jn(n + l).	(8.2)
9. Случай группы максимального порядка. Согласно теореме
27.8 уравнение A.1), у которого инвариант Н=?0, эквивалентно
уравнению, для которого iT=const. Здесь будет показано, что
если такое уравнение допускает группу максимально возможного
порядка (8.2), то оно эквивалентно некоторому стандартному
уравнению.
Этот результат получается с помощью известного из римановой
геометрии факта, состоящего в том, что риманово пространство Vu
с группой движений максимального порядка (8.2) необходимо
имеет постоянную кривизну Ко, связанную со скалярной кривиз-
кривизной соотношением
Д = — п{п — 1)К0.	(9.1)
Кроме того, в пространстве Vn постоянной кривизны существует
такая система координат, в которой его фундаментальная метри-
метрическая форма имеет вид римановой формы
•=l
где
причем ^=+1 (i=l, . . ., п). Если все е<=1, то р есть расстояние
точки х от начала координат. Общий случай (когда не все ?<=!)
приводится к этому с помощью формального рассмотрения X как
комплексного пространства.

354	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗДЦАЧИ
Теорема. Уравнение A.1) с инвариантом Н^О, допускаю-
допускающее группу Gr порядка г=ге(ге+1)/2, при п > 2 эквивалентно
уравнению
(l+|/g>2JAtf = -i#U,	(9.3)
где Н = const и Д — обобщенный оператор Лапласа
Д=2в^,	(9.4)
причем t. имеют те же значения, что и в (9.2).
Доказательство. Предполагается, что уравнение A.1)
уже приведено к такому, для которого iT=const. Вначале устанав-
устанавливается, что для рассматриваемого уравнения тензор K(j=0.
Действительно, как было показано при доказательстве 27.8,
здесь р.=0. Тогда уравнения E.12) сводятся к уравнениям (8.1)
и кроме них не должно быть никаких уравнений, связывающих
значения компонент |4 и производных ?,-, j (иначе порядок г будет
меньше числа п(п-\-1I2). Это означает, что из уравнений F.6),
переписанных в виде
должно следовать соотношение Kisl*j — Kjfi'( = 0 или,в ковариант-
ных компонентах вектора I,
Отсюда в силу (8.1) вытекают тождества
a'kb'{ = 0.
Если здесь положить к = } и просуммировать по /, то получится
равенство (п — 2)K{latl = 0, откуда KfJ=0.
Из этого факта следует, что вектор а( есть градиент некоторой
функции ф, т. е. а< = 9<<|». В силу (9.2) рассматриваемое уравне-
уравнение может быть взято в виде
РДи + Ь'и, + си = 0.	(9.5)
Утверждается, что оно эквивалентно уравнению, у которого все
&*'=0. Действительно, простой подсчет символов Кристоффеля
приводит к формуле
ativi —n — 2 bt8g -
Поэтому из определения F.1) следует, что Ь* — компоненты век-
вектора и что его ковариантные компоненты таковы:
(t=l,..., п).

§ 27. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА	355
Следовательно, преобразование 17.1 ф) с функцией
в силу формул A.6) приведет к уравнению, для которого &"=0.
При этом инвариант Н не меняется, в частности, остается постоян-
постоянным.
Итак, можно считать, что в уравнении (9.5) коэффициенты
Ь{=0. В этом случае элементарное вычисление инварианта Н
по формуле F.8) приводит к значению Н=—2с, в силу чего (9.5)
совпадает с (9.3). И
Следствие. Всякое уравнение A.1) с инвариантом Н=^0,
допускающее группу Gr максимального порядка, эквивалентно од-
одному из следующих стандартных уравнений: если К0=0, то урав-
уравнению
Дц=±ц,	(9.6)
а если Ко =^= 0, то уравнению
A + р2JДц = Хц (Х = const).	(9.7)
Доказательство. При /?0=0 с помощью подходящего
растяжения вектора х можно добиться равенства H=+i. При
Ко=?0 аналогичным преобразованием получается iiT0=+4, а зна-
значит, уравнение (9.7) с 1=2HIKO. Q
10. Группы, допускаемые стандартными уравнениями. Для
простоты здесь будут найдены алгебры Ли U, допускаемые стан-
стандартными уравнениями в эллиптическом случае, когда все е< = 1.
Общий случай получается отсюда заменой x!i = \J—\х* для тех
значений i, для которых e.t = —1, если А*о^>0 (или для е{~1,
если К0<^0).
Группа С, допускаемая уравнением (9.6), видна непосред-
непосредственно: она порождается п переносами по направлениям коорди-
координатных осей и п(п—1I2 вращениями вокруг этих осей, причем
величина и остается неизменной. Базис алгебры Ли этой группы
состоит из операторов переноса
С. -д = д( (» = 1,...,п)	10.1)
и операторов вращения
С,7 • д = x'dj — x*dt (i, / = 1	щ i< /). A0.2)
Уравнение (9.7) также допускает операторы A0.2). Для отыска-
отыскания остальных п операторов удобно переписать уравнение в виде
Аи — l{Ur?2)-2u = 0.	A0.3)
Здгсь a^ = b<J, atjz=b(j и Есе Г^ = 0, в силу чего коЕариант-
ные производные совпадают с обычными д{. Кроме того, тенвор

356	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
кривизны R^=0. Использование уравнений E.13) показывает, что
при п ]> 2 функция ft линейна, а любая координата ?' квадратична
относительно {ж*}. С учетом этого обстоятельства для уравнений
E.12) легко находится следующее общее решение (штрих при знаке
суммы указывает на то, что надо опустить слагаемое с s=i):
Е, = А{ IVJ - 2' КK 1 + 22' А^х* + Вх{ + 2' С..Х + Со
L	»=i J «=i	<=i
A0.4)
v. = Ukx* + 2B,
где Л,., J?, C,v и С,. — произвольные постоянные, причем C(J- = —CJf •
В ситу A0.4) и того, что at = 0 и K{J- = 0, уравнение F.5)
легко интегрируется и дает
а = — (п — 2) Акхк,	A0.5)
а уравнение F.6) удовлетворено тождественно. Остается удовлетво-
удовлетворить последнему из определяющих уравнений F.7), которое здесь
принимает вид
причем с— — ХA+Р2)~2. Подстановка в это уравнение общего ре-
решения A0.4) показывает, что оно выполняется, если и только
если В=0 и Ск=Ак (&=1,. . ., п).
Окончательно общее решение определяющих уравнений алгебры
Ли U операторов вида C.1), допускаемых уравнением A0.3), есть
V = А, [(я'K - 2' (^'J + 11 + 2 2'
о = — (п — 2)Акх\	A0.6)
Здесь постоянные Af произвольны, a C(J. связаны только соотноше-
соотношениями Ctj = —Cjt. Штрих при знаке суммы имеет тот же смысл,
что и в A0.4).
Очевидно, что постоянные C{J- дают базисные операторы A0.2).
Постоянные At соответствуют новым операторам, заменяющим
для уравнения A0.3) операторы переноса A0.1). Эти новые опера-
операторы таковы (так как ассоциированное с уравнением A0.3) про-
пространство Vn евклидово, то можно отождествить х*=х{):
(*=1, ...,»). A0.7)
Группы Gr, допускаемые уравнениями (9.6) и A0.3), имеют одина-
одинаковую размерность, но не изоморфны, так как алгебра Ли операто-
операторов с базисом A0.1), A0.2) содержит разрешимый (абелев) идеал
с базисом A0.1), а алгебра Ли A0.2), A0.7) полупроста. Последний
факт нетрудно проверить с помощью критерия Картана 14.6.

§ 28. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	357
§ 28. Касательные преобразования
1. Специальное расширение пространства. Для формулировки
определения и различных свойств касательных преобразований
удобна следующая абстрактная конструкция расширения простран-
пространства, в которой продолженные пространства как бы дублируются.
Пусть даны банаховы пространства Z—XxY и пусть Ya =
= S8(X; Y) есть первое продолжение Y с помощью X (см. 4.2).
Продолженное пространство Z1'=Z'X Y1 может рассматриваться
как произведение пространств X и IfA) = ЗГХ Yv В этом случае
оно будет обозначаться также через Za). Это представление Zll) =
= X~X.Ya) и кладется в основу специального расширения. Для
векторов пространств X и Y принимаются обычные обозначения,
а именно х ? X, у ? Y, и вводится новое обозначение р ? Y-^ тогда
падза (у, р) представляет общий вектор пространства УA).
Так же как и в 4.2, рассматриваются продолжения Y^ прост-
пространства Гш с помощью X и им соответствующие продолжения Zk^
пространства Za). Ясно, что каждое продолжение У^1' является
произведением соответствующих продолжений Yk и (Y1)k, т. е.
Y^.1) — Yk X(I\)fc в силу чего общий вектор пространства Y^
записывается в виде пары (у, р). Следовательно, векторы zA)
к к	к
имеют представление
*«> = (*, (у, р), (у, р), ...(у, р)).	A.1)
к	1 1	к к
В теории продолжения Еажную роль играет оператор полного
дифференцирования отображений Z^ -*¦ JP, который в соответствии
с 4.3 здесь имеет вид
D = da + ydr + p-d, + ydr + p-d,+ ...	A.2)
2. Основное определение. Рассматриваются преобразования
пространства Zu) (х, у, р) класса Cm(Za)) с компонентами /: ZA)-*-
-*¦ X, g: Zlv->Y и h: ZA) ->YV действующими по формулам
«'=/(*, У, Р), y'~g(x, у, р), p'=h(x, у, р). B.1)
Каждое такое преобразование, удовлетворяющее условию, аналогич-
аналогичному 4 E.2), может быть продолжено по правилам, изложенным
в 4.5, до преобразования Z{^-*¦ Z[^. При этом дополнительные
компоненты продолженного преобразования даются формулами (см.
4E.4))
у'=(Dg)o(Df)-\ pi =(Dh)o(Df)~\	B.2)
i

358	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Среди всех преобразований видаB.1)касательныепреобразования вы-
выделяются следующим определением.
Преобразование B.1) называется касательным преобра-
преобразованием пространства Za>, если многообразие в Z^\ заданное
уравнением
У = Р,	B-3)
1
инвариантно относительно продолженного преобразования	B.1)?
B.2). Это означает, что на многообразии B.3) выполнено	тож-
выполнено	тождество
У'=Р'.	B-4)
Геометрический смысл этого определения раскрывается через
аналитическое истолкование многообразия B.3) путем рассмотрения
действия преобразования B.1) на отображения X->Ya) вида у =
=.и{х), p = v(x). Согласно 4.4 продолжение такого отображения
дается формулами у = ди (х), p = dv (x), в силу которых на много-
1
1	1
образии B.3) выполнено тождество v(x) = du(x). Тем самым зада-
задание многообразия B.3) равносильно рассмотрению специального
класса отображений X->Ya\ действующих по формулам
у = и{х), р = ди(х).	B.5)
Если первое из этих равенств рассматривать как уравнение много-
многообразия U(ZZ, то второе можно считать задающим касательное
пространство к многообразию U в том смысле, что для любого
а ? X вектор р(а}—ди(х)(а} является касательным к U в точке х.
Следовательно, данное определение касательного преобразо-
преобразования означает, что для любого многообразия U(ZZ с уравнением
у=и(х) верно следующее: если U переходит в U', то одновременно
касательное многообразие к U переходит в касательное многообра-
многообразие к U'.
В частности, когда отображения / и g в B.1) не зависят от р,
первая из формул B.2) дает уже известное из 4 E.4) продолжение
преобразования пространства Z и в силу B.4) совпадает с послед-
последней формулой B.1). Такое касательное преобразование назы-
называется продолженным точечным преобразованием.
В связи с данным определением возникают вопросы о том,
существуют ли касательные преобразования, не являющиеся про-
продолженными точечными и о возможно более простом представлении
любого касательного преобразования. В дальнейшем эти и другие
вопросы будут изучаться для групп Ли касательных преобразова-
преобразований. Благодаря введенной выше конструкции, связанной с рас-
рассмотрением инвариантного многообразия B.3), ответы на них мо-
могут быть даны на инфинитезимальной основе (т. е. в терминах
алгебр Ли операторов), изложенной в предыдущих главах.

§ 28. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	3d9
3. Представление инфинитезимального оператора. Оператор
однопараметрической группы G1^) касательных преобразований за-
задается векторным полем х: Zlv —*¦ Z1 и записывается формулой
t-3 = E.3x + v3f + C-51,	(ЗЛ)
с некоторыми отображениями ?: ZA) -» X, [tj: Za) -* Y и С: Za) ->
-*-Y-i класса Cw(Zll)). Первое продолжение оператора C.1) имеет
вид
и выполняется по формулам 4 (8.4) с помощью оператора полного
дифференцирования A.2), а именно:
a = Df\ — yDl, p = Z)C —P-jDS.	C.2)
i
Из основного определения 28.2 и критерия инвариантности
многообразия 3A2.1) следует, что C.1) есть оператор группы
G' (т) касательных преобразований, если и только если на много-
многообразии B.3) выполнено тождество а=С или, в силу C.2), в развер-
нутой^форме
Так как отображения S, т\, С не зависят от р, то это условие рас-
щепляется относительно р и дает следующие определяющие урав-
1
нения касательных преобразований:
C.3)
ду%).	C.4)
Лемма. Если dimy>l, то необходимо др? = дрг\ = О, т. е.
любое касательное преобразование является продолженным точеч-
точечным.
Доказательство. Этот факт следует из условия интегриру-
интегрируемости уравнения C.3), как уравнения относительно неизвестного i\.
С помощью произвольного постоянного {пробного) вектора А ? Yi
уравнение C.3) переписывается в виде
Повторное дифференцирование по р, взятие производной на пробном
векторе В ? YY и запись условия симметричности вторых производ-
производных вида д2-ц(В, Ау приводит к соотношению
А<др\<ВУ> = В<др\<А».	C.5)
В частности, если в качестве А и В взять диады, а именно, А =
— a(g)c и В —b®d, где a, b?Y и с, d?X*, то в силу формулы

360	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
вида (а® с)<(е) = а(с ¦ е), справедливой для любого вектора
предыдущее соотношение примет вид
где множители вида д (с • %)(В)—скаляры. Поэтому, если dim ЗГ> 1,
то найдутся линейно независимые векторы a, b(*Y, и из этого
соотношения следует равенство дАс ¦ 1)(В) = 0, равносильное равен-
равенству др1 = 0. Ш
Замечание. Если dim Y=l, то в качестве А и В в соотно-
соотношении C.5) можно взять векторы пространства X*. Тогда C.5)
можно переписать в виде
а это соотношение равносильно факту вполне интегрируемости отоб-
отображения I: Yj^-^X, т. е. существованию решения уравнения
dpW = \	C.6)
с искомым отображением W: Yj^-^-B.
Общее представление операторов касательных преобразований
пространства Za) дается следующей теоремой.
Теорема. Группа G1^) касательных преобразований прост-
пространства ZtV не является группой продолженных точечных пре-
преобразований пространства Z = Xy(Y, только если dimr=l.
В последнем случае G1^) является группой касательных преоб-
преобразований, если и только если существует такая функция
W: Za)-+JR, с которой для компонент оператора C.1) этой
группы справедливо представление
t = dpw, yl = P.dpw-w, ^-dxw-Pdyw. C.7)
Доказательство. Первое утверждение следует из предыду-
предыдущей леммы. Если dimr=l, to с любой функцией W \ ZA) -> В
формулы C.7) дают решение определяющих уравнений C.3), C.4).
Обратно, если такое решение дано, то можно определить функцию
W формулой
W = p-l—n,	C-8)
с которой, как нетрудно проверить, будут выполнены равенства
C.7). ¦
Из этой теоремы следует, что каждому оператору касательных
преобразований взаимно однозначно соответствует характери-
характеристическая функция W, через которую его координаты выра-
выражаются по формулам C.7). Если имеются два оператора касатель-
касательных преобразований хх •<? и т2 -д, то их коммутатор [тх, %2] -д также
является оператором касательного преобразования. Это вытекает
из леммы 7.11, в силу которой многообразие, допускающее два

§ 28. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	361
оператора, допускает и их коммутатор, и из того, что касатель-
касательные преобразования определены как преобразования, допускае-
допускаемые многообразием B.3). В силу предыдущей теоремы коммута-
коммутатору [тх, т2]-3 соответствует характеристическая функция, кото-
которая должна определяться характеристическими функциями Wx
и W2 операторов хх-д и х2-д. Эта функция будет называться
коммутатором функций Wx и Wz и будет обозначаться символом
[Wlt W2]. Простое вычисление дает для этого коммутатора выра-
выражение
[Wx, W2] = dpWx ¦ dxW
- dpW2 ¦ dxWx - (p ¦ dpW2 - W2) dyWx. C.9)
Касательное преобразование B.1) называется однородным,
если g(x, у, р) = у, а отображения f и h не зависят от у. Ха-
Характеристическая функция W группы G1(t:) однородных касатель-
касательных преобразований не зависит от у и оператор такой группы
имеет вид
vd={dpw)-dx-{dxw)-dp.	(зло)
При этом из C.7) следует, что p*dpW=W, т. е. в силу теоремы
Эйлера характеристическая функция W однородна относительно р
степени однородности, равной единице. Ясно, что и обратно,
оператор C.10) с любой однородной функцией W степени одно-
однородности, равной единице, является оператором группы G1 (т)
однородных касательных преобразований. Коммутатор C.9) та-
таких однородных характеристических функций сводится к выра-
выражению
[Wx, ид=dpwx ¦ dxw2 - dpw2 ¦ dxwx,	C.11)
которое обычно называется скобкой Пуассона функций Wx и W2.
4. Приложения. Многие применения касательных преобразо-
преобразований в геометрии и механике вытекают из следующего факта.
Пусть на пространстве Za) = XxYxYx, где dim Y=l, дано диф-
дифференциальное уравнение первого порядка
W(x, у, у) = 0.	D.1)
Тогда группа Gx(x) касательных преобразований пространства
Zll\ для которой W есть характеристическая функция, обладает
тем свойством, что получаемые ее действием орбиты точек про-
пространства Za> совпадают с характеристиками уравнения D.1).
Действительно, в силу C.7) уравнения Ли группы G1 (т) (которые
и являются дифференциальными уравнениями орбит) имеют вид,
dax = dpw, day=P-dpw-w, daP = -dxw-Pdyw, D.2)

362	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
а это и есть дифференциальные уравнения характеристик уравне-
уравнения D.1).
В случае группы G1 (х) однородных касательных преобразова-
преобразований уравнения D.2) принимают вид гамильтоновой системы
что открывает возможность применения группового анализа в ме-
механике динамических систем. Дальнейшие подробности о прило-
приложениях в геометрии и механике можно найти в книге Эйзенхарта
«Непрерывные группы преобразований».
Представляет интерес также использование касательных пре-
преобразований для группового анализа дифференциальных уравне-
уравнений. Например, С. Ли была дана групповая классификация общего
(нелинейного) уравнения второго порядка с двумя независимыми
переменными по группам касательных преобразований. Полное
изложение этого результата требует слишком много места и ниже
в качестве примера будет рассмотрено только уравнение Монжа—
Ампера. Уже на этом примере хорошо видно, что переход к каса-
касательным преобразованиям существенно расширяет допускаемую
группу.
Пусть Z — XXY, где Х=ИЦх1, х2) и Т = В(у). Простей-
Простейшее уравнение Монжа—Ампера есть
J/uJ/22 — УЬ — 0'	D-3)
где yiji=didjy. Ищется группа однородных касательных преобра-
преобразований, допускаемых уравнением D.3). Допускаемый оператор
записывается в виде
х ¦ д = Wpdx + Wqd2 - Wxdp - W2dq,	D.4)
где p = ylt q = y2 и индексами при W обозначены производные
д. = dxi, др и dq. Продолжение оператора D.4) на производные
г = ylv s = yn, t = y22 (обозначения Монжа) есть
х ¦ д = х • д — пдг — рд, — одп
1
где я, р, о находятся по формулам C.2) и имеют выражения:
я = Wu + 2rWlp + 2sWlg + r*Wpp + 2rsWpq + sWgq,
P = W12 + rW2p + s (Wlp + W^) + tWlq + rsWpp +
с = Wn + 2sW2p + 2tW2q + s*Wpp + 2stWpq + fWqq.
В результате действия оператором х-3 на функцию rt — s2,
перехода на многообразие r^ = s2 и расщепления относительно

§ 28. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	363
переменных г, t получаются определяющие уравнения
wip + wai=o, w11=wn=wn=o.
Построение общего решения этих уравнений особых трудностей
не вызывает и приводит к следующему результату:
W^afy-afy + ф	D.5)
с произвольными функциями <р> ф: ~R2{p, q)-±li подчиненными
лишь условию, чтобы они были однородными, причем ф — второй
степени, а ф — первой степени однородности.
Расширение допускаемой группы здесь очевидно, так как
с характеристической функцией D.5) оператор D.4) будет операто-
оператором группы продолженных точечных преобразований, только
если ср есть^однородный полином второй степени, а ф — первой
степени.
Вообще, полезно иметь в виду, что поскольку группы каса-
касательных преобразований являются группами Ли преобразований,
для них справедливы все факты, выводы и алгоритмы, рассмотрен-
рассмотренные в предыдущих главах. В частности, с их помощью можно орга-
организовать поиск классов частных решений дифференциальных
уравнений с одной искомой функцией, осуществлять групповую
классификацию и групповое расслоение таких уравнений и т. п.
5. Продолжение касательных преобразований. В связи с дан-
данным в 28.2 основным определением касательных преобразований
необходимо выяснить, какую роль играет в нем «дублирование»
продолженных пространств Yk. Возникает вопрос о том, не яв-
является ли второй экземпляр этого пространства «лишним». Оказы-
Оказывается, что это действительно так и этот второй экземпляр можно
убрать за счет перехода на инвариантное многообразие. Для про-
простоты изложения здесь соответствующие результаты будут полу-
получены в случае групп Ли касательных преобразований (достаточно
ограничиться группами G1 (т)).
Рассматриваются уже взеденные в 28.1 продолженные прост-
пространства ZW точек вида A.1) и многообразие TkdZkl\ заданное
уравнениями
У=Р, у = р,.-., У = р .	E.1)
1	2 1	к к-1
Пусть Ga) (x) есть группа касательных преобразований простран-
пространства ZA) с оператором C.1) и GA'(x) — ее продолжение на прост-
к
ранство Z?\
Лемма. Для любого к~^\ многообразие Тк инвариантно от-
относительно группы Ga)(i). Оператор, индуцированный продол-
к
женным оператором х • д на многообразии Тк, совпадает с(к-\-\)-м

364	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
продолжением оператора, индуцированного на Тх оператором
,
Доказательство. Очевидно, что многообразие Тк
является продолженным многообразием, получаемым продолже-
продолжением многообразия Г, по способу, описанному в 19.5. Легко прове-
проверить, что в силу C.3) и C.4) справедливо представление
с некоторым отображением F: ZP> -> Y±. Поэтому здесь выпол-
выполнены условия леммы 19.5 и первое утверждение является ее част-
частным случаем.
Далее, к-е продолжение оператора C.1) есть
р +^ -5p, E.2)
к-1 к-1	к к	к к
и условие инвариантности многообразия E.1) состоит в том, что
на Тк
С = 7], С = ть ..., С =i\.	E.3)
112	*-1 *
В результате замены (у, р)-*(у, 8), где 0 =у— р (s = l, ...
8 8—1	S 8—1	8—1	8	8—1
...,к), оператор, индуцированный оператором E.2) на Тк в силу
E.3) и того, что С= у] , р= у , оказывается таким:
* к+1 к к+1
t .a=E.9e + vay + v^ + ...+7i-ay+ ч -дг E.4)
к+1	11	к к к+1 к+1
Кроме того, аналогичный переход на многообразие E.1) в опера-
операторе полного дифференцирования D дает выражение
Поэтому оператор E.4) совпадает с (/Ь-(-1)-м продолжением опера-
оператора г • d = z ¦ дх-\- -ц ¦ ду, взятого на многообразии р = у. ¦
Эта лемма показывает, что при операциях с касательными
преобразованиями переменные р фактически оказываются «лиш-
«лишними» и их можно не рассматривать. Эти переменные выполняют
служебную роль при определении касательных преобразований.
6. Касательные преобразования высших порядков. Преды-
Предыдущие построения относились к касательным преобразованиям и
группам касательных преобразований первого порядка. Есте-
Естественно возникает вопрос о том, не приведет ли к дальнейшему
расширению класса групп рассмотрение касательных преобразова-
преобразований высших порядков.

§ 28. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	365
Понятие таких преобразований формируется по аналогии с тем,
которое изложено в 28.1, 28.2 и является его обобщением. Про-
Продолженное пространство Z, представляется в виде произведения
Zil) = XX Y°\ где Y(/) = ГХГ1Х-.-ХГ'; и рассматривается
продолженное пространство Z[l), получаемое путем продолжения
1'"» с помощью X. При этом Z[li=XxYa>XY['), где Г<'> =
~5?{Х; Y("). В соответствии с представлением Y1 и ЗГ{'> в виде
произведения, векторы этих пространств записываются в виде на-
наборов
(У, РA), ...,р(")б:Г(;\ (у, p«\...,p^)?Y{'h
11	1
Рассматриваются преобразования пространства Z(l) класса С^ и их
продолжения на пространство Z['\ Основное определение здесь
таково:
Преобразование пространства Z((> называется касательным
преобразованием порядка I, если, многообразие в Z[l*>
У=Р™, /,С1)==рС2>	р<»-И==рС'>	F.1)
1	1	1
инвариантно относительно соответствующего продолженного пре-
преобразования.
Очевидно, что Z-e продолжение любого касательного преобразо-
преобразования первого порядка может рассматриваться как касательное
преобразование порядка Z+1. Оказывается, что в общем случае
этим и исчерпываются введенные преобразования. Именно, спра-
справедливо утверждение.
Любое касательное преобразование высшего порядка является
продолженным касательным преобразованием первого порядка.
Этот результат устанавливается особенно просто для групп Ли
G1 (х) касательных преобразований порядка I. В случае dim Y1 >1
достаточно повторить, с над ежащими видоизменениями, рассужде-
рассуждение, использованное в доказательстве леммы 18.5. Роль «ограничи-
«ограничителя» при этом играет переменная ра>, которая появляется в коорди-
1
натах продолженного оператора х • д, в то время как сам оператор
1
т -д от нее не зависит. Это влечет расщепление условия инвариант-
инвариантности многообразия F.1) по этой переменной, что и приводит
к упомянутому результату. Немного сложнее случай dim Y±=l,
когда все пространства X, Y и Yk одномерны. Здесь существенно
используется инвариантность всего многообразия F.1).
7. Группы Ли—Бэклунда. Устранение ограничения, орепятст-
i овавшего расширению класса групп путем перехода к касательным
преобразованиям, возможно, если у пространства Z(l) «нет конца»,
т. е. с использованием бесконечного продолжения Z(co). В этом
случае Z(co) =XX Yim) и Z[°>) — XX Yia» XY[mK где Г}00) полу-
получено продолжением Ytco) с помощью X. G сохранением предыдущих

366	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
обозначений векторы этих пространств записыг-аются в виде беско-
бесконечных наборов
(у, Ра\ рB\ ...N^(ю). (у, рт> р<2), -.ОбГ!-),
11 1
(т ,. „A) „B)	\ г, у(со)
\х> Уг Р > Р ! • • • ) С-Л ,
и соответствующее многообразие T^aZ^ задается бесконечной
последовательностью уравнений
у = Р™, р<"=р«\ р«'=р«>, ...	G.1)
11	1
Рассматригаюася преобразогавия прсстранстга Z'ca'> вида
a)'=F(co),	G.2)
где № = (а>, ^, рA), рB), ...), подчиненные следующему определению:
Преобразование G.2) называется преобразованием Ли—Ъэк-
лунда, если многообразие Гго, заданное уравнениями G.1), инва-
инвариантно относительно соответствующего продолженного преоб-
преобразования.
Так же как и в случае касательных преобразоганий, «дублирога-
ние» пространств Yk устраняется путем перехода на инвариантное
многообразие Тт, в результате чего получаются просто преобразо-
преобразования бесконечно продолженного пространства Zm точек
z = (x, у, у, у, ...).	G-3)
го	12
действующие по формулам ьида
x' = f(z), y' = g(z), y' = v(z): y' = v(z),...	G.4)
го	rolloo22ro
при условии, что функции v выражаются через /, g по формулам
к
продолжения 4E.3), 4E.4), которые следует писать с «бесконечным»
оператором полного дифференцирования D.
Пусть Сх(х) есть группа преобразований гида G.4). Тогда ее
инфинитезимальный оператор есть
¦t.0 = E.0,-|-il.d, + Vd + V0+...,	G-5)
11	2 2
где т) определены формулами 4(8.5), а именно:
*	у Л (&=1, 2, ...).	G.6)
fci
Опираясь на эти формулы, можно дать следующее определение
группы Ли—Бэклунда:
Группа Gx(x) преобразований пространства Zm с оператором
G.5) называется группой Ли—Бэклунда, если компоненты
этого оператора удовлетворяют состношениям G.6).

§ 29. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	367
В связи с этим формальным определением возникает ряд вопро-
вопросов как относительно топологических свойств рассматриваемых
преобразований (пока в Zm никакой топологии не введено), так и
относительно возможного использования (хотя бы формального)
этих групп для решения задач группового анализа дифференциаль-
дифференциальных уравнений. В настоящее время эти вопросы еще изучаются и
можно отметить только, что уже имеющиеся (правда, немного-
немногочисленные) результаты указывают на перспективность приложе-
приложений групп Ли—Бэклунда.
§ 29. Краевые задачи
1. Общие соображения. В широком смысле краевая задача
для данного дифференциального уравнения Е (системы уравнений)
заключается в отыскании решения U, удовлетворяющего некото-
некоторому дополнительному условию Г (системе условий), которое
необходимо для определения одного конкретного решения. Обычно
такое условие задается на границе области определения решения
(граничное условие). Возникает вопрос: могут ли средства группо-
группового анализа помочь при решении краевой задачи и в чем именно
может выразиться такая помощь?
Уже накопленный в этой области опыт исследования свиде-
свидетельствует о том, что техника группового анализа оказывается
полезной при изучении краевых задач в нескольких отношениях.
Она находит применение для преобразования данной задачи (урав-
(уравнения Е и граничного условия Г) к более простой и удобной форме,
для обнаружения и исследования особенностей в решении, для
приближенного анализа задачи путем построения упрощенных
уравнений и граничных условий (моделирования краевой задачи),
для выяснения возможной принадлежности искомого решения
какому-либо более просто описываемому классу частных решений
и т. д. На эти возможности применения группового анализа можно
привести содержательные примеры. Однако ввиду недостатка
места ниже будет рассмотрена лишь проблема инвариантности (или
частичной инвариантности) решения некоторых краевых задач.
Если краевая задача имеет единственное решение, то из инва-
инвариантности Е и Г,, относительно некоторой (одной и той же)
группы преобразований следует также инвариантность решения U
краевой задачи. Это утверждение*очевидно в тех случаях, когда Е
и Г можно рассматривать как многообразия в одном и том же
пространстве (при этом Г интерпретируется как граничное много-
многообразие), причем тот факт, что" U есть решение краевой задачи,
может быть записан формулой включения
[ГС^СЙ	A.1)
с надлежащим продолжением Uk ¦ многообразия—решения U,

368	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Для правильной оценки возможностей применения методов
группового анализа к краевым задачам необходимо учитывать,
что в теории групп Ли преобразований рассматриваются локаль-
локальные преобразования, в то время как ряд краевых задач связан
с рассмотрением граничного условия «в целом» (например, для эл-
эллиптических уравнений). Поэтому развитая выше техника группо-
группового анализа применима без дополнительных ограничений к крае-
краевым задачам, допускающим локальное рассмотрение, таким, как
задача Коши, задача Гурса (в случае гиперболических уравне-
уравнений) и некоторые другие.
2. Системы первого порядка. Проблема инвариантности будет
рассматриваться для определенной (см. 23.1) системы первого по-
порядка, заданной на пространстве Z — X X Y, где X = R(t) X -У»
X = Лп(х), Y = Itm(y). Для вектора у ? Y± справедливо представ-
1
ление у=.(у{, р), компоненты которого принадлежат пространствам Y
1
и Y[ = ??(X'; Y) и определены на отображениях и: Х-> Y фор-
формулами yt = dtu, р = дя.и. Пусть, кроме того, Z[ = ZX Y[. В этих
обозначениях рассматриваемая система записывается в виде
уравнения
yt=F(t, х, у, р)	B.1)
с заданным отображением F: Z\-*Y класса Ст(Z[).
Типичной краевой задачей для уравнения B.1) является задача
Коши, в которой граничное (или начальное) многообразие имеет вид
* = 0, y = f{x),	B.2)
где ер: X'—>Y—заданное отображение.
Уравнение B.1) называется квазилинейным (см. также 23.1),
если с некоторыми отображениями A: Z-><??( I"J; Y) и В: Z -*¦ Y
лравая часть F дается формулой
B.3)
Пусть и: X -> Y есть решение уравнения B.1), рассматривае-
рассматриваемое как многообразие UcZ с уравнением y—u(t, x). Следующее
построение приводит к новому уравнению, выводимому из B.1)
с помощью U. Делается замена переменного у -> у' по формуле
у—и-\-ау' с вещественным параметром а, берется тейлоровское
разложение правой части по параметру а и сравниваются слагае-
слагаемые с его первой степенью. Это приводит к линейному уравнению
с искомым у' ? Y (их — первое продолжение многообразия U)
у'( = (д/1 UJ <р'> + (д/1 U,) (у').	B.4)
Уравнение B.4) называется уравнением, получаемым линеари-
линеаризацией уравнения B.1) на его решении U или, коротко, линеа-
линеаризованным (на U) уравнением B.1).

§ 29. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	369
В дальнейшем будет предполагаться, что задача Коши вида B.2)
имеет единственное решение как для уравнения B.1), так и
для B.4).
Оператор С • д некоторой группы Ли G1 (С) преобразований про-
пространства Z записывается в виде
а,+ т,.Зу	B.5)
с отображениями х: Z-*¦]&, Б: Z-*X' и t\: Z->Y.
Лемма. Если уравнение B.1) допускает оператор B.5), то,
каково бы ни было решение U {y — u(t, х)) уравнения B.1), ото-
отображение и': Х-* Y, действующее по формуле
в'(«, x) = ?-d)(y — u(t, x))\p,	B.6)
является решением линейного уравнения B.4)
Доказательство. Пусть производящее отображение группы
GX(C) есть
t = f(z, a), x = g(z, a), y=h(z, a).	B.7)
Так как группа GX(C) допускается уравнением B.1), то при преобра-
преобразованиях B.7) решение U переходит в решение и, которое можно
задать уравнением у — пA, х, а), где й определяется из уравнения
h(t, х, u(t, х), a) = u(i(t, x, u(t, x), a), g(t, x, u(t, x), a), a). B.8)
Ясно, что отображение п может быть представлено в виде
u(t, х, a) = u(t, x)-\-au'(t, x) -j- а2ф (t, x, a)
с гладким отображением ф: X X R -*• Y. В силу построения линеа-
линеаризованного уравнения отсюда следует, что и' должно быть реше-
решением уравнения B.4). G другой стороны, справедлива формула
в'(«, x) = daa(t, х, 0),
с помощью которой и' можно вычислить путем дифференцирования
тождества B.8) по параметру а в точке а=0. С учетом выражения
оператора B.5) через производящее отображение B.7) это дает
Ti\U =u' +(-zdtu)\U + (Ь djz)\U,
откуда и получается формула B.6). ¦
Замечание. В данном доказательстве нигде не использо-
использовалась дифференциальная структура уравнения B.1). Поэтому
аналогичная лемма верна для любого дифференциального уравне-
уравнения Е.
3. Инвариантные решения задачи Коши. С помощью предыду-
предыдущей леммы легко получается критерий инвариантности решения
вадачи Коши. Пусть Н есть группа Ли, допускаемая уравнением
B.1) и L — ее алгебра Ли операторов вида B.5).

370	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Теорема. Решение задачи Коши B.1), B.2) является
инвариантным Н-решением, если и только если для любого опера-
оператора ?•<??? отображение <р удовлетворяет соотношению
х, <р)-Э,<р<Е(О, х, <p)>-i@, х, <p)F(O, х, «р, дх<р) = О. C.1)
Доказательство. Применение критерия инвариант-
инвариантности 18.2 к многообразию U показывает, что U инвариантно, если
и только если определенное формулой B.6) отображение м'=0.
В силу леммы 29.2 отображение и' есть решение линейного одно-
однородного уравнения B.4) и равно нулю тогда и только тогда, когда
и' @, х)=0. Остается заметить, что вычисление значения и' @, х)
с использованием B.1), B.2) и B.5) дает для него выражение, сов-
совпадающее с левой частью равенства C.1). ¦
Интересно отметить, что соотношение C.1) не означает инва-
инвариантности начального многообразия Г, заданного уравнениями
B.2) Согласно критерию 18.2 такая инвариантность равносильна
выполнению соотношений
х@, х, ?) = 0, 7)@, х, ?)-д,т<&@, х, ?)> = 0, C.2)
которые являются достаточными для справедливости C.1), но в об-
общем случае не необходимы. Однако ситуация, когда х @, х, ?)=И=0
(хотя бы для одного оператора из L) является в некотором
смысле особой, как показывает следующий факт.
Следствие. Если выполнено условие C.1) и т @, х, (р)^=0,
то решение U задачи Коши B.1), B.2) совпадает с орбитой (Г, Н)
многообразия B.2).
Доказательство. Точка z=@, x, tp (x)) под действием
преобразований B.7) переходит в z=(t, X, у) и в силу предыдущей
теоремы при любом а находится на U. Остается показать, что
точки (?, х) покрывают некоторую окрестность точки @, х0) в про-
пространстве X. Для этого достаточно рассмотреть такую подгруппу
G1 (С)С#, что х @, х0, tp (xQ))=f^0, и показать, что отображение
(а, х) -+ (?, г), заданное формулами
f = /@, х, <f(x), a), x = g@, x, f(x), a),
обратимо в окрестности точки @, х0). Это следует из теоремы об об-
обратной функции в силу того, что для якобиана отображения
(а, х)-> (?, х) справедливо выражение
Итак, если верно C.1) и т @, х, <р (а;))^14^), то решение задачи
Коши B.1), B.2) может быть построено просто применением пре-
преобразования B.7) к начальному многообразию B.2). Можно заме-
заметить, что в этом случае Г является частично инвариантным много-
многообразием группы Н с дефектом Ь (Г, #)=1.

§ 29. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	371
4. Инвариантность характеристик. Рассматривается квазили-
квазилинейная система B.3). Гиперповерхность Fc^f с уравнением
v(t, x)=const является характеристической поверхностью на ре-
решении U (см. 23.1), если
deb(vtIY—q-A)\U = O,	D.1)
где vt=dtv и q=dxv. Хорошо известно, что при любых преобразова-
преобразованиях пространства Z характеристики переходят Бихарактеристики.
При этом, вообще говоря, изменяются уравнение B.3), решение U
и поверхность V. Если предположить, что уравнение B.3) допу-
допускает некоторое преобразование, то возникает вопрос о том, как
ведет себя при таком преобразовании многообразие, заданное урав-
уравнением D.1). Для точной постановки этого вопроса следует расши-
расширить пространство ? до пространства Y= Yx Ji (v) и рассматривать
преобразования пространства Z=JxT вида B.7), дополненные
равенством v=v. При этом следует различать свойство инвариант-
инвариантности уравнений характеристик «на любом решении», т. е. урав-
уравнений
v = const, det (vtlr — q ¦ A) = 0	D.2)
относительно группы G1 (Q преобразований пространства Z, до-
допускаемой уравнением B.3) и свойство инвариантности уравне-
уравнения характеристик на данном инвариантном решении U, т. е.
уравнения D.1).
Получение соответствующих результатов основано на исполь-
использовании определяющих уравнений для операторов вида B.5), допу-
допускаемых уравнением B.3). Для вывода этих уравнений берется
первое продолжение оператора B.5) на пространство Zt
где
а = Ъ + \ <yt> — У ft — Vt (Vt •*,) — /> <&*> — Р <
ш = —vt
(индексами обозначены произгодные ilx = dx-q, %y—dy% и т. д.; сим-
еол a&)q обозначает тензорное произведение векторов sf Ги q(*!?*).
В этих обозначениях условие инвариантности уравнения B.3) таково:
где для ^краткости положено А' =(С • д) А, В' =(? • д)В. После перо-
хода на многообразие B.3) это усювие расщэшяется относительно

372	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
вектора р^Г| и	приводит к уравнениям (вектор р сохранен, здесь
он играет роль	«пробного» вектора; для краткости положено
А А))
t^	v	^op); D.3)
71, (Ар) - Apxt -Ар (В. ху) - В ((Ар). *,) - р (lty - р (^ (В)) =
= A(i\,op)-A((Ap)®'!j-A(B®(p.'!f))-A(p0lJ + A'p;. D.4)
Ъ ~ \ <В> -B*t-B(B* ху) = А-ъ - А (В 0 хх) + В'. D.5)
В доказательстве нижеследующей теоремы используется следую-
следующий простой факт из линейной алгебры. Пусть d есть линейный
дифференциальный оператор (скалярный) на некотором простран-
пространстве Т и пусть дано отображение М: T-*S8(Y). Тогда, если су-
существуют такие отображения Р, Q ^S?(Y), что
dM = P°M + M°Q,	D.6)
то для определителя det(M) = |Af | справедливо соотношение
d\M\ = \x(P-\-Q)\M\.	D,7)
Теорема. Если уравнение B.3) допускает оператор B.5), то
этот оператор допускается и системой уравнений D.2).
Доказательство. Очевидно, что достаточно доказать для
M = vtlr—q'A и d = C-d равенство вида D.6), так как тогда
результат будет следовать из критерия инвариантности 18.2. В силу
предыдущих формул продолжения справедливо выражение
dM = -Vt (т, + yt • т,) It - q . (%t + lv <yt)) Iу +
)i\))AA'
После исключения vt и yt путем замены vtIr = M-\-q* А и yt~
= Ар -)- В это выражение приводится к виду
[((p.xl,)-A)oA-A<p, хуУА-
Здесь последнее слагаемое q •[...] равно нулю в силу D.3), а вто
рое слагаемое q •[...] преобразуется с использованием определяю-
определяющего уравнения D.4). Для этого надо в D.4) положить р = а<^) q,
где а ? Y, q ? X* и преобразовать каждое слагаемое к результату
действия некоторого линейного отображения на вектор а. После
«сокращения» вектора а уравнение D.4) приведется к следующему:
Здесь левая часть совпадает со вторым слагаемым ?•[...] в вы-
выражении dM, а правая часть в силу равенства q> A = vtly—М

§ 29. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	373
равна
i\y о(М - vjr) + (vtIT-M)°4g + (B<8) xv)о{vtIT- М) -f
- vtIT)o{B О ху) = ijyo Af—
) E
Окончательно получается требуемое представление:
Аналогичный результат, относящийся к уравнению D.1), фак-
фактически является следствием этой теоремы. Необходимо заметить,
что если U есть инвариантное G1 (С)-решение, то выражение B.6)
равно нулю и оператор, индуцированный на U оператором B.5),
имеет вид
dx.	D.8)
Следствие. Если U является инвариантным G1 (^-реше-
(^-решением, то уравнение характеристик D.1) на этом решении допу-
допускает оператор D.8).
Доказательство. Пересечение инвариантного много-
многообразия D.2) с инвариантным многообразием Ux допускает инду-
индуцированную группу G1 (С) | U, т. е. инвариантно относительно пер-
первого продолжения оператора D.8). ¦
5. Инвариантность сильного разрыва. Оператор полного диф-
дифференцирования D' на пространстве X1 X Y является вектором
пространства X* (см. 4.3) и потому для любого отображения Ф:
Z->,5?(X*; Y) определено значение Ф (D'y = D' ¦ Ф. Специальный
случай квазилинейной системы B.3), когда она может быть запи-
записана в виде
у, = Я'-Ф + ЧР	E.1)
с отображениями Ф: Z->,5?(X*; Y) и W: Z^>Y, носит название
дифференциальных законов сохранения. Так как D' = дх-\-р • д
то уравнение E.1) приводится к B.3), где
А = ду-Ф, В = дх-Ф + Ш.	E.2)
Для уравнения вида E.1) хорошо определено понятие обобщен-
обобщенного решения, частным случаем которого является решение с силь-
сильным разрывом.
Гиперповерхность V с уравнением v (t, х) = 0 называется по-
поверхностью сильного разрыва на решении U{y = a(t, x)},
если с каждой ее стороны существуют непрерывные предельные
значения и | V, претерпевающие при переходе со стороны «1» на сто-
сторону «2» разрыв первого рода («скачок» их—и2). При этом выпол-
выполнено уравнение сильного разрыва
д.Ф)г	E.3)

37Л	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Здесь vt и q те же, что и в 29.4, причем разрывна только величина
у=и(х), имеющая скачок y1—y2=u1(t, х)—Щ{t,x). Вопрос об инва-
инвариантности" уравнения E.3) осложняется тем, что исходное урав-
уравнение записывается в виде дифференциального закона сохранения
E.1), вообще говоря, неоднозначно, ввиду чего одна и та же поверх-
поверхность V может быть поверхностью сильного разрыва при одной
записи и не быть таковой при другой записи. Точный результат
здесь удается получить лишь для таких групп преобразований
пространства Z, операторы которых имеют вид
ау,	E.4)
где х: R{t)-+R, I: Х^Х, a: X-*g(Y) и 0: X-+Y.
Как и в случае характеристик, следует различать свойства
инвариантности уравнения сильного разрыва E.3), рассматривае-
рассматриваемого как уравнение многообразия в некотором расширенном про-
пространстве или же на данном решении U.
Расширение пространства Z до Z получается здесь «удвоением»
пространства YJcm. 17.6) и добавлением компоненты R(v), причем
V=zv, так что Z = X X R(v) X YX Y. При этом векторы z(<%
имеют представление ? = (?, x, v, ylf y2), в соответствии с которым
«удвоеннный» и расширенный оператор, соответствующий опера-
оператору E.4), есть
С-а = ха/ + 5-9я + (а<у1> + Р).ал + (а<уа> + Р)-9л. E.5)
Пусть ?$ есть многообразие в ^заданное уравнениями у = 0и E.3).
Теорема. Если уравнение E.1) допускает оператор E.4),
то многообразие <2$ допускает соответствующий оператор E.5).
Доказательство. В силу специального вида опера-
оператора E.4) продолженный оператор значительно упрощается,
а с ним упрощаются и определяющие уравнения. В частности,
уравнение D.3) выполнено тождественно, а D.4) принимает вид
'р. E.6)
Пусть w = vly — q-Ф и w' =(?¦ д)и>. Справедливо выражение
1
где Ф/=(С-3)Ф. Дифференцирование по у с учетом E.2) дает
dvw< = -{vtxt +q.tt)IY + vtz + (q.tJ.A-q- 3,0'.
Это выражение можно сильно упростить. Прежде всего, так как
дуФ< = ду (С • д) Ф = (С • д)ду Ф + (д,Ф) о а = А' + А о а,
то получается
dyw! — (<х — xtIT) vt — (q. %t) I

§ 29. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	3?5
С другой стороны, если в E.6) положить p = a<g>q и затем «со-
«сократить» на а, то это уравнение примет вид
a.o(q.A) — xtq.A = (q'Zt)IT + (q'A)o<x — (q*la)*A + q»A'.
Сложение двух последних равенств приводит к выражению, кото-
которое легко преобразуется в следующее:
dyw' = (а — itIT)o{vtIr —Я'А).
Но vtly—q • А — ду (vty — q • Ф) = dyw, так что
dyw< —(v. — itIT)odyw.
Это соотношение показывает, что вектор ю' — (а — х//у) <(w} не за-
зависит от у, в силу чего его изменение при переходе у1 -> у2 (и неиз-
неизменных t, х) равно нулю, т. е.
w[ — w'i = (ос — itIT) (wx — w2},
или, окончательно,
(С • д) (wl — и>2) = (а — xtIT) <и»1 — »2>.	E.7)
Из E.7) следует, что утверждение теоремы верно в силу крите-
критерия 18.2 инвариантности многообразия. ¦
Установленные теоремы об инвариантности уравнений харак-
характеристик или сильного разрыва находят применение в задаче
об инвариантном продолжении инвариантного решения через
инвариантную характеристику или поверхность сильного разрыва.
6. Уравнения Навье—Стокса. В обозначениях, принятых в гидро-
гидродинамике, уравнения Навье—Стокса задаются на пространстве
Z — XxY, .где^Х = B(t) X R\(x), _Y = В? (и) X -В(р)|и в приие-
денной форме таковы:
C< + в-9,)и + 9яр = Дв, divn = 0,	[F.1)
где Д — оператор Лапласа. Здесь и — вектор скорости и р —
давление (постоянные плотность р и вязкость v в подходящих еди-
единицах измерения (см. 19.11) имеют числовые значения, равные
единице).
Основная группа системы F.1) оказывается бесконечной. Ее
алгебра Ли может быть представлена в виде прямой суммы Ь°° ф L11,
где бесконечномерный идеал L00 образован операторами
S-9=«p-3.4-?'-3.-((p"-*)a,, ^.э=фз, F.2)
с произвольными функциями ср: JR(t)-*-Ra и ф: _К(?) —> JB (здесь
f'z=dtf, cp" = 9f<p). В координатах x^ix1, х2, х3), и = (м1, и2, и3)

376	ГЛ. VIII, СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
подалгебра L11 имеет следующий базис:
(	+	A=1,2,3),
;<fc • д = z%k — xkdxi -j- и'дик — икди< (i < к),	F.3)
¦z-д — Щ + х'дх< — u*dui — 2pdf.
Если отбросить оператор растяжения х • д, то оставшиеся опера-
операторы F.3) образуют базис алгебры L10, являющейся алгеброй Ли
группы Галилея G10, преобразования которой действуют в семи-
семимерном пространстве Z1 =Ji (t) X -R3 (x) X Е3 (w).
Уместно заметить, что свойство инвариантности уравнений
механики относительно группы Галилея на самом деле является
одной из основных аксиом механики Ньютона. Поэтому любые
математические модели (дифференциальные уравнения), описы-
описывающие общие закономерности движения физических тел в рамках
ньютоновской механики, должны допускать группу Галилея.
Здесь это подтверждено для уравнений Навье—Стокса. Другой
пример дают рассмотренные в § И уравнения газовой динамики,
для которых ядро основных алгебр Ли 11 C.4) является расшире-
расширением алгебры Ли группы Галилея G10 за счет добавления к ней
одного оператора растяжения.
7. Задачи со свободной границей. Среди множества краевых
задач, которые обычно рассматриваются для уравнений F.1),
выделяется задача со свободной границей в следующей постановке.
На гиперповерхности Fez -ЗГс уравнением v (t, x)=0 задаются два
условия: кинематическое (V состоит все время из одних и тех же
частиц жидкости)
dtv + (u- dx)v = 0
и динамическое (нормальная к V компонента вектора напряжения,
действующего на V, равна нулю)
(-plx -f dji + (djiYKdj;} = 0.
Эти условия удобно переписать, положив vt = dtv, q — djj, r = dji
и введя обозначения r<(q}^=r-q, r*<(q} = q'r. Тогда они примут
следующий вид уравнений многообразия Г:
r.	G.1)
Теорема. Многообразие Г, виданное уравнениями G.1),
допускает группу G11 с базисом алгебры Ли операторов F.3).
Доказательство. Любой оператор из L11 имеет вид
г	G.2)
Продолжение такого оператора на пространство ZL = (
с учетом того, что преобразованное д = и, таково:
t • д =С • <Жт,аог- гор,) • дг - (уЛ + q.pt)dtf

§ 30. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ	377
где многоточие обозначает координаты, которые в результат
действия оператора G.2) на уравнения G.1) не входят. Применение
этого оператора к уравнениям G.1) и переход на Г дают следующие
условия инвариантности многообразия Г:
*>* + ?? V? B*(?*P*) = °»	/73)
-{T\uor — $xor).
Путем прямой подстановки в уравнения G.3) координат любого
из операторов (б.З) легко убедиться в том, что на Г оба уравне-
уравнения превращаются в тождества.
Эта теорема находит применение для отыскания инвариант-
инвариантных и частично инвариантных решений'задач о движении вязкой
жидкости со свободной границей.
§ 30. Законы сохранения
1. О законах сохранения. В ряде вопросов математической
физики существенную роль играют законы сохранения, которые
могут выполняться на решениях данного дифференциального урав-
уравнения Е. Они используются как для теоретического анализа
свойств решений уравнения Е (априорные оценки, теоремы су-
существования и единственности и т. п.), так и для получения физи-
физических величин, сохраняющихся с течением времени. Законы со-
сохранения могут быть представлены в дифференциальной или
интегральной форме. В дальнейшем принимается следующее опре-
определение, в котором используются обозначения, введенные в §§ 4, 5.
Пусть уравнение Е задано на пространстве Z=Xx Y; за-
законом сохранения для Е называется соотношение вида
D-A = 0	A.1)
(с некоторым отображением A: Zp-*X), которое выполнено то-
тождественно на любом решении уравнения Е.
С геометрической точки зрения закон сохранения A.1) может
рассматриваться как уравнение многообразия в продолженном
пространстве"^+1, вложенногов надлежаще продолженное много-
многообразие Е.
'"-"" Один из общих'приемов построения законов сохранения заклю-
заключается в добавлении соотношения вида A.1) с неопределенным век-
вектор ом ™^.*"к~уравнению\Е и последующем исследовании вопроса
о совместности полученной переопределенной системы. Однако
этот прием^приводит к- громоздким вычислениям, которые'лишь
в редких случаях могут" быть доведены до конца. Поэтому его
вряд ли можно считать конструктивным методом.
Вместе с тем, для уравнений, возникающих при решении""ва-
риационных задач, эаконы сохранения удается получать на основе

378	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
допускаемой ими группы. В общем виде этот вопрос был изучен
Э. Нётер, исходившей из понятия инвариантности функционала,
заданного в виде вариационного интеграла. Именно этот метод,
оказавшийся плодотворным и получивший последнее время даль-
пейшее развитие, и будет изложен ниже.
Очевидно, что для данного уравнения Е множество векторов А,
дающих законы сохранения A.1), образует векторное пространство
(над полем R). Тем самым определено понятие линейно зависимых
или независимых законов сохранения.
2. Инвариантность функционала. Рассматриваются пространство
Z—Xx Y, функция Ф: Zk^>R класса Cco(Zlc) и некоторая об-
область V СГ X. На классе отображений и: Х-> Y, и^Сса(Х), опре-
определяется функционал
l(u, V)=\ (Фои)а*х,	B.1)
г *
где k-е продолжение и отображения и определено в 4.4.
к
Задача об определении экстремальных значений функционала
B.1) при фиксированной области V в подклассе отображений и,
удовлетворяющих некоторым граничным условиям на dV, назы-
называется вариационной задачей. Необходимое условие экстремума сво-
сводится к краевой задаче с граничными условиями на dV для диффе-
дифференциального уравнения Эйлера, которое равносильно обращению
в нуль первой вариации этого функционала и имеет вид
к
Е(Ф)~^{—\IО'-д^Ф = 0.	B.2)
г=о	г
В этой записи производная дуФ рассматривается как элемент про-
пространства S8S (X*1; Y*) и точкой обозначается ее значение на I раз
D X*	D1 дФ дФВ D) Н
р	SS (; )	р
повторенном векторе D ? X*, т. е. D1 ¦ дуФ = дуФ(В, . . ., D). Наи-
i	i ¦ j •
более часто встречается случай к=Ъ, в котором уравнение Эйлера
(в координатной записи) таково:
ду>Ф — /)#Eу.Ф) = 0 (s = l, ..., т),
где D( — координаты оператора полного дифференцирования
(см. 4.3).	ГЦ ^ Л1
Пусть дано преобразование h пространства Z, зависящее от пара-
параметра а и действующее по формуле z' =h (г, а) или в компонентах
x'=f(x, у, a), y'=g(x, у, а).	B.3)
Предполагается, что это преобразование удовлетворяет условию
4E.2).

? 30. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ	3?9
Преобразованным значением функционала B.1), получаемым
с помощью преобразования h, называется значение 1{и', V), где
F'=(/ok)(F) и отображение и' вычисляется по правилам 4.5
о
(см. также 5.6). Это значение дается формулой
(u', V')= \
Функционал B.1) называется инвариантным относительно
преобразования B.3), если для любого отображения и: X -> Y и
любой области V ? X справедливо равенство
Ци, V) = l(u', V<).	B.4)
Определение инвариантности функционала B.4) можно предста-
представить в другом виде, более удобном для группового анализа. Для
этого надо сделать в интеграле 1(и', V) замену переменных ин-
интегрирования х' -*¦ х по формуле х'=(/ом)(ж). Тогда в силу
о
леммы 4.5 и формулы 4E.3) будет и1 (x')-hau(x) и преобразо-
*	fc к
ванный функционал примет вид
l(u>, V')=\ (Фокой) | da(fou)\dx,
*	к к	О
где \da.(fou)\ есть якобиан отображения х-^-х1. Поэтому опреде-
о
ление B.4) инвариантности функционала в силу произвольности
области V равносильно равенству
Последнее в свою очередь выполнено для любого отображения и,
если и только если для любого z ? Zk справедливо равенство
к
Ф = (ФоА)|Я/|,	B.5)
к
получаемое из предыдущего с учетом того, что dx(Jou) = {Df) ои.
о	1
Следовательно, тождество B.5) равносильно инвариантности функ-
функционала B.1) относительно преобразования h, действующего по
формулам B.3).
Тождество B.5) не имеет вида формулы инвариантности какой-
либо функции. Этого можно добиться путем расширения простран-
пространства Zk до пространства %k = ZkX R(v) введением вспомогатель-
вспомогательного переменного v, преобразование которого определено формулой
v' = \Df\v.	B.6)

380	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
В силу предыдущего из соотношений B.5) и B.6) следует вывод:
условие инвариантности функционала равносильно инвариант^
ности функции Фи относительно расширенного преобразования h
"к
пространства Zk.
Правило умножения якобианов показывает, что при компози-
композиции преобразований вида B.3) композиция расширенных преобра-
преобразований равна расширению композиции исходных преобразова-
преобразований. Поэтому формулой B.6) определено расширение любой
группы Ли G (К) до группы Ли G (h).
Пусть а — скалярный параметр и G1 (С) есть оддопараметри-
ческая группа Ли преобразований вида B.3) пространства Z
с оператором
C-3 = g.5# + 4-V	B.7)
Дифференцирование выражения B.6) по а в точке а = 0 дает
dav'@)=:(D-l)v.
Следовательно, оператор расширения продолженной группы GX(C)
к
таков:
C-d = C-0-l-(D«?)u5f.	B.8)
к	к
Применение критерия инвариантности 2.4 к функции Фи дает
равносильное B.4) инфинитезималъное условие инвариантности
функционала B.1) относительно группы G1(C) с оператором B.7)
(С-0)Ф-КЯ.Е)Ф = О.	B.9)
к
Именно в этой форме свойство инвариантности функционала ис-
используется при групповом анализе законов сохранения.
Необходимо заметить, что инвариантность относительно не-
некоторого преобразования B.3) функционала B.1) влечет инвариант-
инвариантность соответствующего уравнения Эйлера B.2). Действительно,
если функционал / (и, V) на некотором отображении и имеет
экстремальное значение, то в силу равенства B.4) преобразован-
преобразованный функционал 1(и', V) имеет тоже самое экстремальное значе-
значение на преобразованном отображении и'. Однако обратное не-
неверно, т. е. из инвариантности уравнений Эйлера, вообще говоря,
не следует инвариантность функционала ввиду того, что по урав-
уравнению Эйлера B.2) функционал B.1) восстанавливается неодно-
неоднозначно.
3. Основная лемма. Решающее значение имеет определенная
связь, существующая между левыми частями равенств B.2) и
B.9).

§ 30. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ	381
Лемма. Справедливо тождество
$.- d)O + (D 'l)Q> = D ¦ А-\-(-ц — у -t) • Е(Ф),	C.1)
ь	i
где
А = № + 2 2 (-ly-^D-* (fi~yl))- D'-1 • дуФ. C.2)
Доказательство. Пусть и; = т\ — у Л. В силу формул 4 (8.5)
справедливы равенства	1
2т1.ауФ =
8=1 S	S
0, +	,
=l	S	8=1 8+1	8
6 • Д)Ф-Е • 3,Ф — Е • z/ • 5 Ф + 2(/)'ш) • д,Ф. C.3)
Выражение, стоящее вне знака 2' приводится к следующему:
D ¦ (№) — (D ¦ I) Ф + w ¦ дуФ.	C.4)
Входящая в C.3) сумма 2 преобразуется по правилу дифференци-
дифференцирования по частям, применение которого дает последовательность
тождеств
к	к
2 {D"{+Xw) ¦ D*-1 • д„Ф = D ¦ 2 {D'-'w) ¦ D'-1 ¦ д„Ф -
s=i	s	s=i	*
к
— 2 (D'-'w) ¦ D< ¦ д.Ф — ю-Б' -дуФ (i= 1, .. ., к— 1),
s~i+l	s	г
к	А*
2 (D'-k+1w) ¦ D*-1 • дуФ = D ¦ 2 {D*~kw) ¦ D4'1 ¦dfl — wD*- дуФ.
s=k	s	s=k	s	к
Линейная комбинация этих тождеств, в которой ?-я строка умно-
умножается на (—1)г~\ с использованием обозначений B.2) и C.2)
приводится к виду
8=1	«
к
(—1 Г12 (?""'">)-Я*'' дуФ-\-ю-^{~\)*О{ дуФ =
»=1	s=i	8	»=1	i
= D- A — D. (Щ + w-E {Ф) — ю-дуФ. C.5)
Очевидно, что подстановка C.4) и C.5) в C.3) дает тождество C.1). ¦

382	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
В силу этой леммы условию инвариантности функционала B.9)
может быть придана новая форма.
Следствие. Необходимое и достаточное условие инвариант-
инвариантности функционала B.1) относительно группы (?Х(С) с оператором
B.7) имеет вид
0,	C.6)
где вектор А определен формулой C.2), а Е (Ф) определено в B.2).
4. Теорема Нётер. Тождество C.1) и критерий B.9) инвариант-
инвариантности функционала B.1) является источником ряда утверждений
о законах сохранения для дифференциального уравнения Эйлера
B.2). Прежде всего, они приводят к следующему классическому
результату, в котором предполагается независимость уравнений
Эйлера (скалярных) в том смысле, что их левые части линейно не-
независимы над полем функций Zx-> В.
Теорема. Если функционал B.1) инвариантен относительно
группы Ли Gr (С), то для уравнений Эйлера B.2) существуют г
линейно независимых законов*сохранения вида A.1) с векторами Аа,
определенными формулой C.2) по базисным операторам Са-д
(а = 1, . . ., г) алгебры Ли U (С).
Доказательство. В силу C.6) для любого решения урав-
уравнения Е (Ф) = 0 выполнены законы сохранения D ¦ Аа = 0. Их ли-
линейная независимость следует из того, что если А = 0, то тожде-
тождество C.6) принимает вид
(ij — у.Ъ).Е{Ф) = О.
г
Отсюда в силу независимости уравнений Эйлера следует тождество
¦ц — j/ .? = 0, а из него наконец ё = tj = 0. ¦
1
Ясно, что эта теорема Нётер дает лишь достаточное условие
существования законов сохранения для уравнения B.2), которое
состоит в требовании абсолютной инвариантности функционала
B.1), выражаемой тождеством B.9). Примеры показывают, что это
условие в общем случае не является необходимым: законы сохране-
сохранения с векторами C.2) могут существовать и тогда, когда лагран-
лагранжиан Ф тождеству B.9) не удовлетворяет. Очевидно, однако, что
в силу C.1) соотношение B.9) при наличии закона сохранения с век-
вектором C.2) необходимо должно быть выполнено на решениях урав-
уравнения Е (Ф)=0. Тем самым получается следующее усиление теоремы
Нётер, впервые отмеченное Н. X. Ибрагимовым.
Необходимое и достаточное условие существования закона сохра-
сохранения вида' A.1) с вектором C.2) для уравнения Эйлера B.2), до-
допускающего группу GX(C), состоит в инвариантности функцио-
функционала B.1) относительно группы (?*(?) на многообразии, заданном

§ 30. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ	383
уравнением B.2), т. е. в выполнении соотношения
= 0.	D.1)
Следует заметить, что получаемые при этом законы сохранения,
в отличие от тех, которые даются теоремой Нётер, не обязаны
быть линейно независимыми. Во всяком случае, так как группа,
допускаемая уравнением B.2)," обязательно содержит группу,
допускаемую функционалом B.1) (см. замечание в конце 30.2),
то все законы сохранения, получаемые по теореме Нётер, наверное
получатся и с помощью приведенного ее усиления.
5. Другие законы сохранения. Основное тождество C.1) показы-
показывает, что для уравнения Эйлера B.2) можно найти закон сохране-
сохранения и тогда, когда функционал B.1) не инвариантен относительно
группы (?*(?), т. е. когда лагранжиан Ф не удовлетворяет тож-
тождеству B.9). Так будет в том случае, если вместо B.9) выполнено
более общее тождество
с некоторым вектором-отображением В: Zp-*X. Из тождества C.1)
следует, что тогда для уравнения B.2) справедлив закон сохра-
сохранения
D-(A — B)=0,	E.2)
где вектор А по-прежнему дается формулой C.2).
Для правильного понимания этой ситуации необходимо учесть,
что добавление к лагранжиану Ф выражения «типа дивергенции»
D • Ч?" с отображением ЧГ: Zp -»¦ Хне изменяет уравнения Эйлера B.2).
Этот известный факт следует из легко проверяемого тождества
Вместе с тем условие инвариантности функционала при переходе
от лагранжиана Ф к Фх = Ф -f- D • ЧГ изменяется, так как справед-
справедливо тождество
Итак, если функционал B.1) не инвариантен относительно
группы GX(C), но становится инвариантным после перехода отФ
к Ф1г то для уравнения Эйлера существует закон сохранения E.2)
с вектором А из C.2) и вектором В = —(С ¦ д)ЧГ. Но уравнение
со
(?.д)Ф = -В	E.4)

384	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
с данным В и искомым W наверное имеет решение и поэтому ра-
равенство E.1) на самом деле существенного обобщения предыду-
предыдущего результата не дает.
Уместно отметить еще очевидную возможность получения но-
новых законов сохранения высших порядков, которые дает диффе-
дифференцирование закона сохранения B.1) путем применения опера-
оператора D. Действительно, так как операторы Dj перестановоч-
перестановочны, то
DjiD-A^D-iDjA) (/ = 1, .... и).	E.5)
Тем самым один закон сохранения B.1), имеющий некоторый поря-
порядок р, дает п законов сохранения порядка р+1.
6. Обращение теоремы Нётер. Представляет интерес вопрос
о том, когда все законы сохранения для некоторых уравнений
Эйлера B.2) могут быть получены по теореме Нётер, т. е. когда
инвариантность функционала B.1) необходима для выполнения за-
законов сохранения с векторами C.2). Если это свойство выпол-
выполняется, то говорят, что справедлива обратная теорема Нётер.
Для ответа на этот вопрос нужно наложить на уравнение
Эйлера B.2) некоторое условие, которое гарантировало бы незави-
независимость условия инвариантности функционала B.9) от уравнения
B.2). Точнее, надо, чтобы B.9) не было алгебраическим след-
следствием уравнений B.2), а выполнялось бы тождественно на про-
пространстве Zk. По-видимому, соответствующий критерий пока
не найден и здесь могут быть даны некоторые достаточные при-
признаки выполнения этого условия. Одним из них является следую-
следующий, в котором используется тот факт, что к ^ 1, и в общем слу-
случае уравнение Эйлера имеет порядок 2к.
(а) Никакое алгебраическое следствие уравнения Эйлера B.2)
не имеет порядок, меньший или равный к.
Теорема. Если выполнено свойство (а) и уравнение Эйлера
B.2) функционала B.1) допускает группу G1(C), то из выполнения
для этого уравнения закона сохранения с вектором C.2) следует
инвариантность функционала B.1) относительно группы G1 (С).
Доказательство. В силу тождества C.1) на любом
решении уравнения B.2) выполнено равенство B.9). Условие (а)
означает, что на решениях и уравнения B.2) производные и по-
рядка I <^ k не связаны никаким соотношением, т. е. остаются
вполне произвольными. Поэтому равенство B.9), имеющее поря-
порядок к, должно быть выполнено тождественно. Я
Иногда функционал B.1), для которого справедливо свойство
(а), называют невырожденным (в противном случае — вырожден-
вырожденным). Большинство возникающих в механике и физике функцио-
функционалов являются невырожденными. Пример вырожденного функ-
функционала дают уравнения Дирака.

§ 30. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ	385
7. Пример. Рассматривается уравнение неустановившегося по-
потенциального околозвукового движения газа (уравнение Линя—
Рейсснера—Цяня), заданное в плоском случае на пространстве
Z=B?{t, х, y)XR(<?)
2<Р„+ ?,?*.-?„ = 0,	G.1)
где <pf = dtf, <рх = дх<? и т. д. Легко проверить, что G.1) является
уравнением Эйлера для функционала вида B.1) с лагранжианом
Ф = -?,?,-¦§-<?+у <#	G-2)
Основная группа уравнения G.1) известна. Она является бес-
бесконечной группой Ли, причем базисные операторы ее алгебры Ли
содержат пять произвольных функций а, |3, у, Ь, е: B(t) -> R
и имеют вид (штрихами обозначены производные dt):
. 9	,+( +
+ (—ос'ср + а V + 2а"ху* + | а'*'/) д,;
4 р V) ^f;
з
Применение изложенных выше правил построения законов
сохранения^показывает, что все эти операторы, за исключением
оператора растяжения С0-9, дают независимые законы сохране-
сохранения. Следовательно, пространство законов сохранения первого
порядка для уравнения G.1) бесконечномерно. При этом функцио-
функционал B.1) с лагранжианом G.2) оказывается не инвариантным и его
приходится «подправлять» за счет указанного в 30.5 слагаемого
D •Чг, приводящего к закону сохранения вида E.2).
Например, если взять оператор Cs-d, то его первое продолже-
продолжение есть
причем D • ?, = 0.
Поэтому здесь
(С, • д) Ф + (D ¦ ?,) Ф = -5'у^ + 8??.

386	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Очевидно, что это есть соотношение вида E.1) с вектором
В = (О, -8'Wf 8Т).
Здесь формула C.2) может быть записана в виде
А = W> -Ь (г, - (Ь, 9х, Ь) ¦ Е) @„Ф, 0,,Ф, 09,Ф),
и для оператора Сг • д дает вектор
l
Согласно 30.5 для уравнения G.1) справедлив закон сохранения
вида E.2) с вектором А — В, а именно:
Этот закон сохранения для каждой фиксированной функции Ь может
быть получен по теореме Нётер, если вместо лагранжиана G.2)
взять Ф1 = Ф~{-?) • W, где вектор W следует определить из урав-
уравнения вида E.4). Вычисление дает
Итак, уравнение G.1) является уравнением Эйлера функцио-
функционала вида B.1), инвариантного относительно оператора С8-д
с лагранжианом
_ 		1 з . 1 „ 5' . 1 2 1
и закон сохранения G.4) получается по теореме Нётер. Вместе
с тем видно, что каждой конкретной ^функции Ь: R(t) -+R соот-
соответствует свой лагранжиан. Поэтому для всей бесконечной группы
Ли^с алгеброй Ли операторов вида С8-д единого инвариантного
функционала не существует.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VIII
Исследования линейных дифференциальных уравнений второго порядка
с групповой точки зрения были начаты еще С. Ли II [3] и его ближайшими
последователями [1 ]. Ковариантная запись определяющих уравнений впер-
впервые дана в [2]. Групповая классификация по слабой нелинейности выполнена
в работе [3]. Важное для физики понятие волнового уравнения в римановом
пространстве введено в [4]. Вопросы классификации линейных уравнений
второго порядка .тесно связаны с вопросами классификации римановых про-
пространств по группам движений, которым посвящена монография [5]. Сравни-
Сравнительно недавно была обнаружена замечательная связь между конформной
инвариантностью риманова пространства и принципом Гюйгенса для гипер-
гиперболических уравнений [6]—[8]. Сюда же примыкает работа [9]. Недавно
было начато систематическое исследование стандартных уравнений, допуска-

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VI11	387
ющих максимально пшрокую группу движений [10]. Вопросам разделения
переменных посвящена работа [11].
Понятие касательных преобразований детально разработано С. Ли I [1].
Формальное рассмотрение преобразований бесконечно продолженного про-
пространства было начато Бэклундом [12]. Этот раздел теории «ожил» лишь
недавно в работах [13], [14].
По проблеме инвариантности краевых задач работ пока немного. Во-
Вопросы инвариантности характеристик и сильных разрывов изучались в [15],
[16]. Групповой анализ уравнений Навье—Стокса был выполнен в [17]
и [18]. Инвариантность условий на свободной границе исследована в ра-
работе [19].
Основополагающую работу Э. Нбтер [20] существенно дополняют ре-
результаты, полученные в [21 ], а также в I [7], где приведено много примеров.
Данное в § 30 изложение этих результатов отличается тем, что здесь они
выведены для любого порядка функционала. В приложении к уравнениям
гидродинамики новые законы сохранения получены в [22].
[l]Medolaghi P. Classificazione delle equationi alle derivate parziali
del secondo ordine, che ammetono up gruppo infinite di transformation!
puntuali. — Ann. mat. pura ed appl. 1 A898), 229—263.
[2] О в с я н н и к о в Л. В. Об отыскании группы линейного дифферен-
дифференциального уравнения второго порядка. — ДАН СССР 132, № 1 A960),
44—47.
[3] Ибрагимов Н. X. К групповой классификации дифференциальных
уравнений второго порядка. — ДАН СССР, 183, № 2 A968), 274—277.
[4] И б р а ги м о в Н. X. Волновое уравнение в римановом простран-
пространстве. — В сб. «Динамика сплошной среды», вып. 1 A969), Новосибирск,
36—47.
[5] Петров А. 3. Новые методы в общей теории относительности. М.,
«Наука», 1966.
[6] Ибрагимов Н. X. Конформная инвариантность и принцип Гюй-
Гюйгенса. — ДАН СССР, 194, № 1 A970), 24-27.
[7] Ибрагимов Н. X. Принцип Гюйгенса. — В сб. «Некоторые проб-
проблемы математики и механики». Л., «Наука», 1970, 159—170.
[8] Ибрагимов Н. X., Мамонтов Е. В. Sur le ргоЫбте de J. На-
damard relatif a la diffusion des ondes. — С. г. Acad. sci. A970), 456—458.
[9] Чу па хин А. П. Нелинейные конформно-инвариантные уравнения
в пространстве Vn с нетривиальной конформной группой. — В сб.
«Динамика сплошной среды», вып. 25 A976), Новосибирск, 122—123.
[10] Чиркунов Ю. А. О линейных дифференциальных уравнениях
второго порядка, допускающих группу максимальной-размерности. —
В сб. «Динамика сплошной среды», вып. 24 A976), Новосибирск, 124—
137.
[11 ] Шаповалов В.Н. К групповым свойствам линейных уравнений.—
Известия вузов, Физика, № 6 A968), 75—80.
[12] В а с k I u n d А. V. Ueber flachentransformationen. — Math. Annalen.
В. 9 A876), 297—320.
[13] Ибрагимов Н. X., Андерсон Р. Д. Группы касательных
преобразований Ли—Бэклунда. — ДАН СССР 227, № 3 A976), 539—
[14] Ибрагимов Н. X. Группы Ли—Бэклунда и законы сохранения. —
ДАН СССР, 270, № 1 A976).
[15] Меньщиков В. М. О продолжении инвариантных решений урав-
уравнений газовой динамики через ударную волну. — В сб. «Динамика
сплошной среды», вып. 4 A969), Новосибирск, 163—169.
[16] М е н ь щи к о в В. М. О непрерывном сопряжении инвариантных
решений. — В сб. «Динамика сплошной среды», вып. 10 A972), Ново-
Новосибирск, 70—84.

388	ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
[17] П у х н а ч е в В. В. Групповые свойства уравнений Навье—Стокса
в плоском случае. — Ж. прикл. мех. и техн. физ. № 1 A960), 83—90.
[18] Бытев В. О. Групповые свойства уравнений Навье—Стокса. — В сб.
«Численные методы механики сплошной среды», 3, № 5 A972), Ново-
Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 13—17.
[19] Пухначев В. В. Инвариантные решения уравнений Навье—
Стокса, описывающие движения со свободной границей. — ДАН СССР,
202, № 2 A972), 302—305.
[20] Н ё т е р Э. Инвариантные вариационные задачи. — В сб. «Вариацион-
«Вариационные принципы механики». М., Физматгиз, 1959, 611—630.
[21] И б р а ги м о в Н. X. Инвариантные вариационные задачи и законы
сохранения. — Теор. и матем. физ. 1 № 3 A969), 350—359.
[22] Ибрагимов Н. X. Законы сохранения в гидродинамике. —
ДАН СССР 210, № 6 A973), 1307-1309.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ТАБЛИЦЫ ВЫЧИСЛЕННЫХ ОСНОВНЫХ ГРУПП
В дополнение к тем примерам, которые даны в основном тексте,
здесь приводятся результаты вычисления основной группы или
групповой классификации, полученные разными авторами для
конкретных систем. Подобных результатов в настоящее время
имеется много; данный список составлен с целью показать разно-
разнообразие возможных приложений. Следует подчеркнуть, что каждый
из таких результатов является теоремой о том, что данная система
дифференциальных уравнений допускает указанную алгебру Ли
и не допускает никаких других операторов.
) В каждом примере дается принятое название системы уравне-
уравнений и ссылка на список литературы к соответствующей главе.
Затем указываются пространства X—Rn (t, х, . . .) независимых
переменных ,и Y=JZm (и, р,. .'.) искомых функций и приводится
система уравнений, причем производные обозначаются индексами
(dtu=ut, dxiu=u( и т. п.). Координаты оператора обозначаются
теми же буквами, что и переменные, но со звездочкой сверху,
так что оператор имеет вид
В таблицах даются координаты операторов, линейно порождаю-
порождающих допускаемую алгебру Ли. В случае линейных уравнений
тривиальный идеал (см. 7.14) не приводится. Произвольный эле-
элемент описывается отдельно, а его специализации, приводящие
к расширению допускаемой алгебры Ли, даются в первом столбце.
1. Уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости
(Бучнев Ш 116]). X = IP(t, х1, х*, х% Т=В1{и\ v\ v\ p).
Система Е
v\ = Q, v* + vlv* = -p]t (A = l, 2, 3)
допускает бесконечную группу. Основная алгебра Ли LE задается
с помощью произвольных функций a.: H(t)-+li и |3: -R (t)-*- -К3-
Здесь А — произвольное антисимметричное линейное отображение
BS~*BS и J3' = d,p.
2. Уравнения Эйнштейна в пустоте (Ибрагимов Ш [13]).
Х=ВГ(х), Г=#8№ X*) = jR"l»+»i*(y), где y = {ytJ), причем
yij-=yji. фундаментальная метрическая форма задается с помощью
отображения g: X-> Y, действующего по формуле y = g{x) или

390
ПРИЛОЖЕНИЕ
Сз
с
t
1
t
0
0
0
0
?
0
z
X
A <z>
0
-то
д
0
0
0
p'
1»
0
0
2p
0
a
в координатах y4j. = g(J (х), в виде ds2 = ^ (ж) dxidxi'. С тензором
Риччи Rik система Е такова:
Rik = 0 (i, k = \, ..., re).
Основная алгебра Ли LE бесконечномерна и задается с помощью
произвольного векторного поля ?: Х-+Х
Ч
i
.0
2/
—2/ о д? — д\ о у
3. Уравнения Максвелла в пустоте (Ибрагимов III [13]).
Х — 11*(х), Y=SBt{X; X*). Искомым является тензор электро-
электромагнитного поля и: Х~* Y, действующий по формуле у = и(х) или
в координатах ук1 = ик1 (х). С обозначением ukt,m = dmiikl система Е
такова (все индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4)
лк1,т
S
Основную группу удобно представить через группу G15 конформных
преобразований четырехмерного пространства Минковского с мет-
метрикой —(dx1J-}-(dx2f-\-(dx3J-\-(kdxif и алгеброй Ли операторов
вида t • d = ?*dt, порожденной базисом, данным в таблице.
Здесь г* = 2 еис (ж*)я» гДе е{ь — элементы матрицы
fci
(•«)=
1
1
1
1
1
1
—1
—1
1
	1
i
—1
1
—1
—1
1

ТАБЛИЦЫ ВЫЧИСЛЕННЫХ ОСНОВНЫХ ГРУПП
391
So
?2
?з
$4
$5
$6
Ет
5в
S.
5ю
?л
$12
$14
X1
X1
1
0
0
0
X2
X3
X4
0
0
0
2х]х3
2х'х4
X2
ж2
0
1
0
0
X1
0
0
X3
	xi
0
2x'z2
4
2х-хг
2х2х*
X»
Xs
0
0
1
0
0
X1
0
—X2
0
X4
2х]х«
2х2ж3
2х3х*
X*
0
0
0
1
0
0
X1
0
X2
	хз
2х1х*
2х=х*
2хЗж*
rl
Алгебра Ли Ь1Ь является основной алгеброй Ли волноеого уравне-
уравнения в -R4. Основная группа системы уравнений Максвелла есть G17
с алгеброй Ли операторов С • д = I • дх -\- й • дн
С
tie
Си
0
0
—ик?$ — игМ
uki
2 eklrsur,
г,*—1
где I ¦ дх — любой оператор из предыдущей таблицы с координа-
координатами Г = 5Г и 6J = d,r.
4. Уравнения Дирака (с нулевой массой) (И б р аг и м о в III [15]).
X = Rk{x), У=В4(ф). Система Z? записывается в виде
где постоянные матрицы
выражаются через элемен-
элеменд	у()
тарные матрицы eih (в которых на пересечении ?-й строки и
/р-гр столбца стоит единица, а остальные элементы — нули^ по

392
формулам
ПРИЛОЖЕНИЕ
Основная алгебра Ли операторов С • д = х • дх -\- ф • д^ есть
С
. о
" 0
Здесь I • дх — любой оператор из L15 примера 3, а матрица S
такова:
=4 2 ^(тУ-т'т'-
fc, 1—1
5. Уравнения стационарной тепловой конвекции (Кат-
(Катков V [9]). X=R2(x, у), r=i2*(a, у, р, 6). Система Е
= — Рх
Основная алгебра Ли есть
const).
Ci
Се
с*
с5
1
1
0
0
0
X
8
0
1
0
0
у
й
0
0
0
0
—и
ь
0
0
0
0
—V
р
0
0
1
у
-2р
5
0
0
0
1
-36
6. Уравнение Хопфа (К а т к о в V [8]).
Уравнение Е
= В2 (t, x),Y—R (a).
Произвольный элемент ср: R(u)-*R, <p=^0. Результат групповой
классификации

ТАБЛИЦЫ ВЫЧИСЛЕННЫХ ОСНОВНЫХ ГРУПП
393
' 1
ехри | ?3
1
с*
1
0
t
2(m—l)t
0
i
0
l
Bm —1) ж
t
tx
й
0
0
1
a
1
x — tu
7. Уравнения стационарного трехмерного пограничного слоя
на произвольной поверхности (Ланкерович III [8]). Х =
= Rs(x, у, z), Y = jR4(a, v, w, p). Система Е(А)
лх -j- w2 -\- Avy -j- А~гАхи — A~xA,w = 0,
uux -f- шв, + ^шу -f A~xAzuw — A^Ajj?- +px = Auyy,
uwx + wwt ¦ \~ Avwy + A^Ajzw — A'^Aji2 -\-p, — Awyy,
Произвольный элемент A: R2 (x, z) —>• It задает внутреннюю метрику
обтекаемой поверхности через ее фундаментальную форму dsa==
= A (dx2 -\- dy2). Результат групповой классификации см. на стр. 394.
Здесь /: В2(ж, z)-*R a'lg: R(z)-*R — произвольные функции,
а а, {3 — произвольные постоянные.
8. Уравнение движения нелинейной вязко-пластической среды
(Ленский III [17]). X=IP{t, x), T = B(u). Уравнение E(f)
Произвольный элемент /: Jt (q) -*¦ It. Результат групповой класси-
классификации
/
~
t3
а* || С5
е* || С6
1
1
0
0
2*
Ы
t
1
0
й
0
1 | 0
0
X
0
0
1
и ¦
—и
—X

394
ПРИЛОЖЕНИЕ
•В
«a
•3
Щ
a,
"T
a
1
a
1
о
3
g
О
о
О
о
о
о
о
о
1
о
о
5
3
т
о
о
о
а,
а
о
3
с
о
ч
о
о
<=
о
о
i
а
в
о
3
1
о
н
о
I
о
3
1
о
гг
1
о о
а ^
о
О СО
о о
э э
*? о
||
sinx • ch z
cos a; • ch z
о о
— COS X •
siu a; • st
1
GO.
о
о
о
о
о
о
о
3
о
а
т
о
N

ТАБЛИЦЫ ВЫЧИСЛЕННЫХ ОСНОВНЫХ ГРУПП
395
9. Уравнения стационарного пограничного слоя с моментвыми
напряжениями (Нгуен Ван Дьеп III [20]). X = R2(x, у);
Y=R*(u, v, со, р). Система Е
Допускаемая алгебра Ли Ц° (<р: R (х) -> R — произвольная функция)
с2
с
с*
с5
i
1
0
0
X
0
0
S
0
0
0
0
—у
<р
Й
0
0
0
и
2и
0
0
0
0
0
V
<f'u
ш
Ш
0
0
1
(О
За)
0
Р
0
1
0
2р
4р
0
В цитированной работе рассмотрен также ряд вариантов систем
приведенного здесь типа.
10. Уравнения движения жидкости в длинных трубопроводах
(Сухарев V[ll]). X = R2(t, x), Y=R2(u, v). Система Е{п,т)
uf-\-vx — 0, их -j- v"u~m = 0. Проиавольный элемент есть пара чи-
чисел (п, т), причем п^=0. Результат групповой классификации
(га, т)
A,-3/4)
(-1, ~)
(-1. -2)
и
с4
с5
с*
и
1
1
0
(n + l)t
о
0
(m + 2)(
0
0
2t
X
0
1
пх
(т — ra-f i)x
	г2
0
xA
0
u
0
0
0
(п + 1)и
Зхи
и
0
0
(t + In и) и
Ь
0
0
—V
(m + 2)v
xv-За-1'3
-(m + l)v
а~тдиВ
vA -\~ xu2duAi
(t— 1 + In и) и
Здесь А, В: R2(t, u)-*R — произвольные функции, удовлетво-
удовлетворяющие уравнению dtF — ди (ur^dj?) = 0.

396
ПРИЛОЖЕНИЕ
(Я
OS
%
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
«
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
-
о
о
о
4-J1
7
1*
1
г-i
1
со
1
ьГ
1
t
о
о
о
W
н
т,
¦"
о
о
а,
1
о
-
ь
г
о
1
1
о
"н
t
о
CD
о
о
т
ьз
о
ь?
1
о
т
1
1
"н
о
со
?
о
о
аТ
со
1
о
ь;
ьГ
1
о
о
°н
°н
о
о
00
о-
ьз
1
о
»|
1
о
со
"^
1
1
¦—*
1
о
о
¦«
о
М"
о
оэ
1
JP-
1
о
о
о
1—<
\
о
ь
г
о
аГ >
1 :-
ео
—'
1
1
со
1
о
о
"я

ТАБЛИЦЫ ВЫЧИСЛЕННЫХ ОСНОВНЫХ ГРУПП
397
11. Уравнения релятивистского пучка заряженных частиц
(Сыровой V [9]—[10]). X=IP(t, х), где x?Vs с метрикой
ds2 = giJdxidxy; Y = R10(v, Е, Н, р), где v, Е, H?R\ p?R.
Система Е записывается в ковариантной форме относительно F3
(все индексы пробегают значения 1, 2, 3)
v\ + vkv\k = g" Vi ~ gJqvW (E,
-^ е<*%Ек + H\ = 0, -i=-
о	о
vmH« - grsvrE°v%
- E\ = Pvl,
Эта система допускает группу G11. Базис L11 см. на стр. 396.
В цитированных работах рассмотрены также варианты системы Е,
получаемые ее упрощениями.
12. Уравнения одномерной двухкомпонентнои гидродинами-
гидродинамической модели плазмы (Жмудский, Таранов V [18]). Х =
= R2(t, x), Y=Rb(ne, no ve, vt, E). В общепринятых обозначе-
обозначениях система содержит четыре параметра е, т, М, Z и две произ-
произвольные функции, /, g: R(s)^*-R, характеризующие зависимость
давления от концентрации:
n{ — пе), dtE—Aize(neve — ZrifVf),
n.) дхпв = 0,
V, + vtdj;t -2lE + g{nt) dxnt = 0.
Произвольный элемент есть пара функций (/, g). Результат груп-
групповой классификации (а, Ь, -(¦ — произвольные постоянные)
(/. в)
с2
Са
II
@, 0) | С5
г
1
0
0
0
0
1
B-7)*
0
0
0
—2га,
0
0
0
0
-2п,
0
0
0
1
A - Т)".
h
0
0
1
A — 7) Vf
Е
0
0
0
-¦ХЕ
Е

398
ПРИЛОЖЕНИЕ
13. Уравнения продольных одномерных высокочастотных дви-
движений бесстолквовительной плазмы (Таранов V [19]). X —
= Rs(t, х, v), Y=R2(f, E). Рассматривается интегро-дифферен-
циальная система
Et = f vf dv, Ex = l —
где интегрирование выполняется по всему И (и). Допускаемая группа
вычислялась путем формального перехода к бесконечной системе
дифференциальных уравнений для моментов Мк = \ vk fdv (к =
=0, 1,2, ...) 9,М, + ^М,+1 + Шы = 0, dtE = Mv дхЕ =
= 1 — Мо. Этим способом получена группа G5.
1 ;
и
и
1
0
0
0
0
X
0
1
X
cos г
sin г
ь
0
0
г;
— sin t
cos f
0
0
E
COS ?
sin t
}
0
0
	i
0
0
14. Уравнения течения в бароклинном слое океана (Филип-
(Филиппов V [13]). Х = В3(х, у, z), Y=W>{u, v, w, р, р). Система Е
такова:
px = (i — x)v,
Основная группа есть G5.
рл=р.
Ci
с
и
tl
0
0
0
0
1 — 1
1
0
0
0
V
Z
0
1
0
0
Z
й
0
0
0
0
—и
0
0
0
0
— V
0
0
0
0
—W
р
0
0
1
Z
р
р
0
0
0
1
0

ТАБЛИЦЫ ВЫЧИСЛЕННЫХ ОСНОВНЫХ Групп
399
15. Уравнения Ламе (Чир к у но в Ш [22]). JC=K4(^, x),
Y = Ka(w). Система Е в координатах ж = (ж1, жа, ж3), \г> —
= (ы;1, w2, w3) есть
3
2
.¦=1
Щтк = 2 (dtdkw<
1, 2, 3; а = const).
Основная (нетривиальная) группа есть G8 (здесь 1Х — тождествен-
тождественное преобразование и А — произвольное антисимметричное отобра-
отображение пространства R3{x))
c4
и
1
1
0
0
t
i,
0
1X
A <? x ^>
0
0
A <^ w У
0