/
Tags: подготовка к экзаменам вступительные экзамены издательство москва издательство мфти
Year: 1993
Text
БИЛЕТЫ
ПИСЬМЕННЫХ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ
ЭКЗАМЕНОВ В МФТИ (1991-92 гт.)
ИЗДАТЕЛЬСТВО МФТИ
МОСКВА
1993
Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ за 1991—1992 г.—М
Издательство МФТИ, 1993 72 с.
В сборнике приведены задания, предлагавшиеся на вступительных экзаменах
абитуриентам Московского физико-технического института в 1991 и 1992 годах
Все задачи снабжены ответами, часть — подробными решениями, некоторые —
основными указаниями к решению
ра
ты давалось 4,5 часа.
На выполнение каждой экзаменационной
Для абитуриентов МФТИ и других физических вузов, а также для преподавателей
школ с углубленным изучением физики и математики.
Ил. 100
Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ за 1991—1992 г.
Компьютерный набор Сдано в производство 25.04 93
Подписано в печать с оригинал-макета 25.05 93 Формат 60х84/16.
Бумага офсетная. Гарнитура тип «тайме* Печать офсетная
Усл. печ л. 4,07 Уч -изд л 4,3
Верстка А К. Розанов
Художник С Ю Орлов
Корректор Н Ю Захарова
Издательство МФТИ благодарит НПВП «Макет» за помощь в подготовке сборника.
Тираж 2000 Заказ № 488
Издательство МФТИ
141700, г. Долгопрудный Московской обл , Институтский пер , 9
Тел (095) 408-51-22
Отпечатано предприятием «Шанс»
127412, Москва, Ижорская ул , 13/19
1704010000
1Т4(03)—93
без объявления
© Издательство МФТИ, 1993
СОДЕРЖАНИЕ
ЗАДАЧИ . . ...... ................... .4
Билеты письменных вступительных экзаменов по физике в 1991 г . . 4
Билеты письменных вступительных экзаменов по математике в 1991 г. . , 16
Билеты письменных вступительных экзаменов по физике в 1992 г . . 25
Билеты письменных вступительных экзаменов по математике в 1992 г. . 36
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ................................................... 44
Физика, 1991 . .... . . . 44
Математика, 1991 . ............. . . ... 47
Физика, 1992 . . ... . ... 61
Математика, 1992 . . . ... . . . ... 70
ФИЗИКА 1991
Билет № 1
1. Сани с седоком и собакой общей массой М съезжают с постоянной
скоростью н0 с горы (см. рис.), имеющей уклон a (cosа = 6/7). Собака
массой т спрыгивает с саней по хо-
ду их движения и приземляется,
имея скорость v, направленную под
углом fl (cosfl = 3/7) к горизонту.
Сани после этого продолжают дви-
гаться по горе вниз. Найти скорость
саней с седоком после прыжка соба-
ки.
2. Резиновый шарик массой т = 2 г надувается гелием при темпе-
ратуре t= 17°С. По достижении в шарике давления, равного 1,1 атм,
он лопается. Какая масса гелия была в шарике, если перед тем, как
лопнуть, он имел сферическую форму? Известно, что резиновая пленка
рвется при толщине Д = 2-Ю’3 см. Плотность резины р = 1,1 г/см3,
молярная масса гелия и = 4 г/моль, универсальная газовая постоянная
R = 8,31 Дж/(мольК).
3. В схеме, изображенной на рисунке, в начальный момент времени
ключи К} и К2 разомкнуты, а конденсатор С (большой емкости) не за-
ряжен. Через некоторое время после замыкания ключа Кг амперметр
А показывает величину силы тока
2, = 1 мкА. В этот момент замыкают
ключ К2. Какую величину силы тока по-
кажет амперметр сразу после замыкания
ключа К2, если известно, что
R2 = 27? t = 104 * * * 8 Ом, а э.д.с. батареи
£ = 100 В? Внутренними сопротивления-
ми амперметра и батареи пренебречь.
4. Интерферометр Рэлея используется для точного измерения пока-
зателя преломления газов. Для этого на пути одного из интерфериру-
ющих лучей ставится кювета Г прямоугольной формы и длиной
L = 10 см с исследуемым газом, а на пути другого — стеклянный ком-
пенсатор К, с помощью которого добиваются, чтобы в центральном
максимуме разность хода между интерферирующими лучами равнялась
нулю. Чему равен показатель преломления газообразного азота, если
после замены в кювете воздуха на азот интерференционная картина в
плоскости наблюдения Р сместилась ровно на одну полосу в сторону,
что соответствовало увеличению по-
казателя преломления? Показатель
преломления воздуха пв - 1,000292.
Измерения проводились на длине
волны света А = 500 нм.
Билет № 2
1. Мальчик массой т съезжает на санках массой М с постоянной
скоростью Vj (см. рис.) с горы, имеющей уклон a (cosа = 8/9). Другой
мальчик такой же массы т бежит
за санками и запрыгивает в них,
имея в начале прыжка скорость,
направленную под углом у
(cosy = 7/9) к горизонту. В ре-
зультате этого санки с мальчика-
ми движутся по горе со скоростью
v2. Найти скорость прыгнувшего
мальчика в начале прыжка.
2. В кастрюлю-скороварку залили небольшое количество воды при
температуре t0 - 20°С, причем занимаемый водой объем намного мень-
ше объема кастрюли. После этого ее герметично закрыли крышкой и
медленно нагрели. Когда температура в кастрюле достигла tr = 115°С,
а давление трех атмосфер, вся вода испарилась. Оценить по этим дан-
ным, какую часть объема кастрюли занимала вода до начала нагрева.
Давлением водяных паров в кастрюле при 20° С можно пренебречь.
Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль-К), молярная
масса воды р = 18 г/моль, плотность во-
ДЫ р = 1 г/см3. К1 I
3. В схеме, изображенной на рисунке, Д.
в начальный момент времени ключи Кг " с в
и К2 разомкнуты, а конденсатор С U
(большой емкости) не заряжен. После I
замыкания ключа Кг амперметр А пока- ----------‘---
зывает постоянный ток силой = 3 мкА. Затем замыкают ключ Кг.
Чему будет равно показание амперметра сразу после замыкания ключа
К2, если известно,что R2/Rx = 2? Внутренним сопротивлением батареи
и сопротивлением амперметра пренебречь.
4. При нормальном падении света
на бипризму Френеля (см. рис.) пуч-
ки света, преломленные каждой из
половинок бипризмы, интерферируют
между собой. На каком максимальном
расстоянии от бипризмы еще будет
наблюдаться интерференционная кар-
тина? Расстояние между вершинами
бипризмы 5 = 4 см, показатель пре-
ломления материала бипризмы п = 1,4; преломляющий угол
а — 10-3 рад. Считать а ~ sina ~ tga.
Билет № 3
1. С горы с уклоном a (cos ст = 5/6) съезжают с постоянной скоро-
стью сани с седоком общей массой М. Навстречу саням бежит и запры-
гивает в них собака массой т, имеющая при прыжке в момент отрыва
от поверхности горы скорость
v, направленную под углом fl
(cos/3 = 2/3) к горизонту
(см. рис.). В результате этого
сани продолжают двигаться по
горе вниз со скоростью и.
Найти скорость саней до
прыжка собаки.
1ли закачан азот при температуре
массу оболочки газгольдера, если
2. В сферический газгольдер из стг
17°С и давлении р = 100 атм. Найти
известно, что она вдвое больше массы закачанного азота. Плотность
стали р = 7,8 г/см3, толщина стенки газгольдера Д = 1 см много мень-
ше его радиуса. Универсальная газовая
постоянная R = 8,31 Дж-К~1 -моль-1
Молярная масса азота р = 28 г/моль.
3. В схеме, изображенной на рисунке,
в начальный момент времени ключи Кх
и К2 разомкнуты, а конденсатор С
(большой емкости) не заряжен. Через
некоторое время после замыкания ключа амперметр А показывает
величину силы тока 1 = 2 мкА. В этот момент замыкают ключ К2. Сра-
зу после замыкания ключа К2 амперметр показывает нулевое значение
силы тока. Чему равна э.д.с. батареи, если известно, что
Aj = R2 = 108 Ом? Внутренними сопротивлениями амперметра и бата-
реи пренебречь.
4. Интерферометр Рэлея используется для точного измерения зави-
симости показателя преломления газов от давления по смещению ин-
терференционной картины. Для этого
на пути одного из интерферирующих * ~1 I—”—[Ь'х ]
лучей ставится кювета Г прямоуголь- г р
ной формы и длиной L = 10 см с ис- г к I 1
следуемым газом, а на пути друго- I I * * ।
го — стеклянный компенсатор К, с
помощью которого добиваются, чтобы в центре интерференционной
картины разность хода между интерферирующими лучами равнялась
нулю. Какое минимальное изменение показателя преломления Ан
можно измерить в таком приборе? Считать, что минимальное надежно
регистрируемое смещение интерференционной картины в плоскости на-
блюдения Р соответствует появлению на месте центрального максиму-
ма первого минимума. Наблюдение ведется на длине волны А = 600 нм.
Билет № 4
1. Девочка со снежным комом в руках
съезжает на санках с постоянной скоро-
стью v1 с горы, имеющей уклон а
(cos а = 7/8). Снежный ком выбрасыва-
ется через голову в направлении, обрат-
ном движению (см. рис.), и падает на
склон горы, имея скорость v, направлен-
ную под углом у (cosy = 3/4) к горизонту. В результате этого санки с
девочкой продолжают двигаться по горе со скоростью v2. Найти массу
снежного кома. Общая масса девочки, санок и кома М.
2. В герметичный сосуд, содержащий сухой воздух при температуре
17°С и некотором давлении, впрыснули немного воды и стали медленно
нагревать. Определить давление воздуха в сосуде до впрыскивания во-
ды, если к тому моменту, когда испарилась вся вода, давление воздуха
составляло 46% от общего давления в сосуде. Начальный объем воды
составил 1/1200 от объема сосуда. Универсальная газовая постоянная
R - 8,31 Дж/(моль-К), молярная масса и плотность воды соответствен-
но д = 18 г/моль и р = 1 г/см3.
3. В схеме, изображенной на рисунке, в начальный момент времени
ключи и К2 разомкнуты, а конденсатор С (большой емкости) не за-
ряжен. После замыкания ключа ампер-
метр А показывает некоторое постоянное
значение силы тока. Если теперь замкнуть
ключ К2, то показание амперметра сразу
после этого возрастет в 3 раза. Исходя из
этого факта, найти отношение R2/Rl. Внут-
ренними сопротивлениями амперметра и ба-
тареи пренебречь.
4. Пучки света, преломленные каждой из половинок бипризмы, Фре-
неля, интерферируют между собой. При каком расстоянии между би-
призмой и экраном Р на нем будет наблю-
даться интерференционная картина макси-
мального размера при нормальном падении
света на боковую грань бипризмы? Расстоя-
ние между вершинами бипризмы 2а — 5 см,
показатель преломления материала биприз-
мы п = 1,5; преломляющий угол а = 10~3
рад. Считать, что а ~ sin а = tga.
Билет № 5
1. Тележка и ящик с равными массами удерживаются упором А (см.
рис.) на поверхности горки, наклоненной под углом a (tga = 0,4) к го-
ризонту. Упор убирают, ящик и те-
лежка приходят в движение. Во сколь-
г~""х ко Р33 ПРИ этом уменьшается сила
Л давления тележки на ящик? Коэффи-
циент трения скольжения между ящи-
ком и поверхностью горки р = 0,2. Со-
прикасающиеся поверхности стенок ящика и тележки считать гладки-
ми и расположенными перпендикулярно поверхности горки.
2. В цилиндре под поршнем находится смесь v молей жидкости и v
молей ее насыщенного пара при температуре То. К содержимому ци-
линдра подвели количество теплоты Q, медленно и изобарически на-
гревая его, и температура внутри цилиндра увеличилась на АГ. Найти
изменение внутренней энергии содержимого цилиндра. Начальным
объемом жидкости пренебречь.
3. В схеме, изображенной на рисунке, после замыкания ключа К че-
рез некоторое время т установится стационарный режим. Какая мощ-
ность будет выделяться в резисторе R, если
начать изменять емкость конденсатора по за-
кону С(7) = Со(1 + A siricul), А < 1? Рассмот-
реть случай медленных изменений емкости,
т.е. когда 2л/ш » т. Заданными параметра-
ми считать: Со, R, А, ш. Внутренним со-
противлением батареи пренебречь.
4. Булавка расположена на прямой, параллельной главной оптиче-
ской оси тонкой отрицательной линзы, так, что ее ближний конец А
находится на расстоянии d = 19 мм от плоскости линзы (см. рис.). Рас-
стояние между главной оптической осью
линзы и булавкой b = 8 мм. Известно,
что длинаизображения булавки в линзе
в 8 раз меньше длины самой булавки.
Найти длину булавки, если фокусное
расстояние линзы F — 15 мм.
Билет № 6
1. На наклонной плоскости (см. рис.) с углом на-
клона а - 60° неподвижно удерживают доску. На вер-
хней гладкой поверхности доски лежит брусок, при-
крепленный с помощью нити к гвоздю, вбитому в до-
ску. Нить параллельна наклонной плоскости. Если до-
ску отпустить, то она начинает скользить по наклон-
ной плоскости, и сила натяжения нити уменьшается в
10 раз. Найти значение коэффициента трения сколь-
жения между доской и наклонной плоскостью.
2 Жидкость и ее насыщенный пар находятся в цилиндре под порш-
нем при некоторой температуре. При медленном изобарическом нагре-
ве температура системы повысилась до 100°С, а объем увеличился на
54%. На сколько градусов нагрели соержимое цилиндра, если масса па-
ра вначале составляла 2/3 от полной массы смеси? Начальным объемом
жидкости по сравнению с объемом системы пренебречь.
3. В схеме, изображенной на рисунке,
—— после замыкания ключа К через некото-
Lo I рое время т установится стационарный
___L П режим. Если теперь начать изменять ин-
ЛI I дуктивность по закону
к J L = £0(1 + Летай), где А < 1, то ток че-
----------Xх.-------- рез резистОр r будет также меняться.
Найти амплитуду переменной составляю-
щей силы тока с частотой аз. Рассмотреть случай медленных изменений
индуктивности, т.е. когда 2л/ш » т. Заданными параметрами считать
Lo, A, R, аз. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
4. Спичка расположена на прямой, параллельной главной оптиче-
ской оси тонкой положительной линзы, так, что ее ближний конец В
находится на расстоянии а = 81 мм от плоскости линзы (см. рис.).
Расстояние между главной оптической
В_____А _ _ осью линзы и спичкой Ь = 9 мм. Извест-
но, что длина изображения спички в лин-
р ~ зе в два раза меньше длины самой спич-
/Л ки. Найти длину спички, если фокусное
расстояние линзы F = 40 мм.
Билет № 7
1. Брусок и тележка с равными массами связаны легкой нитью
(см. рис.) и удерживаются неподвижно за брусок на наклонной плоско-
сти с углом наклона a (tga = 3/7). Бру-
сок отпускают. Система приходит в дви-
^^^3****^ жение, и сила натяжения нити умень-
шается в 3 раза. Найти коэффициент
трения скольжения бруска о наклонную
----------1——------------- плоскость. Нить параллельна наклонной
плоскости.
2. В цилиндре под поршнем содержится v молей ненасыщенного во-
дяного пара при темпертуре Го. При медленном изобарическом охлаж-
дении цилиндра половина пара сконденсировалась, а внутренняя энер-
гия содержимого в цилиндре уменьшилась на At/. Какое количество
теплоты пришлось при этом отвести от содержимого цилиндра, если
температура в цилиндре уменьшилась на АГ? Объемом воды по срав-
нению с объемом пара пренебречь.
10
3. В схеме, изображенной на рисунке, по-
сле замыкания ключа К через некоторое вре-
мя т установится стационарный режим. Какая
мощность будет выделяться в резисторе R, ес-
ли начать изменять расстояние между пла-
стинами конденсатора по закону
d(t) = d0(l + A sinaf),
А < 1? Рассмотреть случай быстрых изменений емкости, т.е. когда
Ъг/ш « т. Заданными параметрами считать A, R. Внутренним со-
противлением батареи пренебречь.
4. Небольшой кусок проволоки длиной х = 8 мм расположен на пря-
мой, параллельной главной оптической оси тонкой рассеивающей лин-
зы, так, что его ближний конец В лежит
в фокальной плоскости линзы (см. рис.). в_____А
Расстояние между проволокой и главной [ Г”
оптической осью линзы b = 28 мм. Най-। |
ти фокусное расстояние линзы, если из- в
вестно, что длина изображения куска
проволоки в линзе в 4 раза меньше его
собственной длины.
Билет № 8
1. Ящик прямоугольной формы с шаром удерживается на наклонной
плоскости с углом наклона а = 30° (см. рис.). Ящик отпускают, и он
начинает скользить. Во сколько раз умень-
шится сила давления шара на переднюю /
стенку ящика? Внутренние поверхности ^***’>^_
ящика гладкие. Коэффициент трения
скольжения ящика о наклонную плоскость
В = 0,25. -----
2. Смесь воды и ее насыщенного пара занимает некоторый объем при
температуре 90°С. Если смесь нагревать изохорически, то вся вода ис-
паряется при увеличении температуры на 10°С. Чему равно давление
насыщенного водяного пара при 90°С, если в начальном состоянии мас-
са воды составляла 29% от массы всей смеси? Объемом воды по срав-
нению с объемом смеси пренебречь.
3. В схеме, изображенной на рисунке, после замыкания ключа К че-
рез некоторое время т установится стационарный режим. Если теперь
начать изменять индуктивность по закону L(t) = L0(l + ЛзшоЧ), где
А « 1, то в цепи появится переменная составляющая тока с частотой аз.
Найти амплитуду этой составляющей. Рас-
смотреть случай быстрых изменений ин-
дуктивности, т.е. когда Ъс/ш « г. Задан-
ными параметрами считать A, R. Внут-
ренним сопротивлением батареи пренеб-
речь.
Указание: при а « 1 можно считать,
что (1 + а)" ~ I + па.
4. Граммофонная игла расположена на прямой, параллельной глав-
ной оптической оси тонкой собирающей линзы, так, что ее ближний
конец А находится на расстоянии d = 8 см от плоскости линзы
(см. рис.). Расстояние между глав-
ной оптической осью и иглой
b - 5 см. Известно, что длина изо-
бражения иглы в линзе в 13 раз
больше длины самой иглы. Найти
длину иглы, если фокусное расстоя-
ние линзы F = 12 см.
Билет № 9
1. Космический аппарат массы М = 40 кг движется по круговой ор-
бите радиуса R = 6800 км вокруг Марса. В аппарат попадает и застре-
вает в нем метеорит, летевший со скоростью V = 50 км/с перпендику-
лярно направлению движения аппарата. При какой массе метеорита
отклонение в направлении движения аппарата не превысит угол а =
= 10’4 рад? Масса Марса Мо = 6,4-1023 кг. Гравитационная постоян-
ная у = 6,67- 10~п м3/(кг-с2).
2. Моль идеального одноатомного газа из
начального состояния 1 расширяется сначала
изобарически, а затем в процессе с линейной
зависимостью давления от объема (см. рис.).
Известно, что У3/Г2 = V2/V1, Т2 — Т3. Най-
ти отношение V2/Vv если количество тепло-
43 ты, подведенное к газу на участке 1 -» 2, в
два раза больше величины работы, совер-
шейной газом на участке 2 -» 3.
12
3. Положительно заряженная частица
пролетает через три плоские металличе-
ские сетки, между которыми с помощью
двух источников постоянной э.д.с.
= 250 В и = 200 В поддерживаются
постоянные разности потенциалов
(см. рис.). На каком расстоянии х от пер-
вой сетки скорость частицы будет равна
скорости, которую она имела вдали от се-
ток? Расстояние d между сетками мног
меньше размеров сеток.
4. Падающий на тонкую линзу луч пересекает главную оптическую
ось под углом а — 4° (tga ~ 0,07) на расстоянии
а - 12 см от плоскости линзы. Найти фокусное расстояние линзы F,
если известно, что преломленный линзой луч пересекает главную оп-
тическую ось под углом /3 = 8° (tg/З = 0,14).
Билет № 10
1. После разрыва неподвижного снаряда образовались четыре оскол-
ка. Осколок массы т, = 4 кг полетел вертикально вниз со скоростью
= 150 м/с, осколок массы т2 = 3 кг — горизонтально на юг со ско-
ростью v2 = 100 м/с, осколок массы т3 = 1 кг — горизонтально на во-
сток. Осколок массы т4 = 3,5 кг — полетел со скоростью v4 ~ 200 м/с.
Найти скорость осколка с массой т3.
2. Моль идеального одноатомного газа
расширяется сначала изобарически, а затем
в процессе с линейной зависимостью давле-
ния от объема (см. рис.). Известно, что
И2/У2 = ^3^2’ а прямая 2 -» 3 проходит че-
рез начало координат. Найти отношение
объемов V2/Vv если количество теплоты
Ql2, подведенное к газу на участке 1 -» 2, в
четыре раза меньше величины работы Л23,
совершенной газом на участке 2 -* 3.
3. Через два последовательно соединен-
ных проводника одинакового сечения S, но
с разными удельными сопротивлениями р, и
р2, (р2> р{) течет ток I. Определить знак и
13
величину поверхностной плотности заряда, возникающего на границе
раздела проводников.
4. На тонкую рассеивающую линзу падает луч под углом а = 8°
(tga = 0,14) к главной оптической оси, пересекая ее на расстоянии
а = 4 см от плоскости линзы. Найти фокусное расстояние линзы, если
преломленный линзой луч идет под углом fl = 12° (tg/З = 0,21) к глав-
ной оптической оси.
Билет № 11
1. Искусственный спутник Луны массой М = 8 кг движется вблизи
ее поверхности по круговой орбите. Метеорит массой т = 0,1 г, летя-
щий со скоростью v = 40 км/с, перпендикулярной скорости спутника,
попадает в спутник и застревает в нем. На какой угол повернется из-за
этого вектор скорости спутника? Радиус Луны R — 1740 км. Ускорение
свободного падения на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле.
2. Моль идеального одноатомного газа
сжимают сначала изобарически, а затем в
процессе с линейной зависимостью давления
от объема (см. рис.). Известно, что Т2 — Т3 и
V3/V2 = V2/V3. Найти отношение V3/V2, ес-
ли количество теплоты, отведенное от газа
на участке 1 -» 2, в три раза больше величи-
ны работы сжатия на участке 2 -* 3.
3. Протон с удельным зарядом
q/m = 0,96-108 Кл/кг налетает на систему
из трех плоских металлических сеток, между
которыми с помощью двух источников с
э.д.с. = 500 В и <£2 = 200 В поддержива-
ются постоянные разности потенциалов (см.
рис.). В точке, находящейся на расстоянии
<7/4 справа от второй сетки, скорость протона
оказалась равной нулю. Чему была равна
скорость протона на большом удалении от
сеток? Расстояние между сетками d равны и много меньше поперечных
размеров сеток.
4. Луч, падающий на тонкую собирающую линзу под углом а = 23°
(tga = 0,42) к главной оптической оси, пересекает ось на расстоянии
а = 14 см от плоскости линзы. Под каким углом к главной оптической
оси пойдет преломленный линзой луч? Фокусное расстояние линзы 21 см.
14
Билет № 12
1. Неподвижный снаряд разорвался на четыре осколка. Осколки мас-
сами = 3 кг, т2 — 2 кг, ш3 ~4 кг полетели соответственно со ско-
ростями = 200 м/с вертикально вверх, v2 — 150 м/с горизонтально
на север и ~ 100 м/с горизонтально на восток. Под каким углом к
горизонту полетел четвертый осколок?
2. Моль идеального одноатомного газа
сжимают сначала изобарически, а затем в
процессе с линейной зависимостью давления
от объема (см. рис.). Известно, что
Vj/Vz “ а прямая 2 -> 3 проходит че-
рез начало координат. Найти отношение
объемов У^/У2, если количество теплоты
Q12, отведенное от газа на участке 1 -* 2, в
16 раз больше величины работы сжатия Л23
на участке 2 -* 3.
3 Между пластинами 1 и 3 плоского кон-
денсатора помещена тонкая металлическая
пластина 2 параллельно обкладкам конденса-
тора. Образовавшиеся объемы заполнены ди-
электрическими жидкостями с одинаковой
диэлектрической проницаемостью с, но с раз-
ными удельными сопротивлениями pL и р2
(р2 > pL). Найти величину и направление си-
лы, действующей на пластину 2 со стороны электрического поля, когда
через конденсатор течет постоянный ток 1. Площади всех трех пластин
одинаковы и равны 5
4. Луч, падающий на тонкую рассеивающую линзу под углом
а — 4° (tga ~ 0,07) к главной оптической оси, пересекает ось на рассто-
янии а ~ 12 см о г плоскости линзы. Под каким углом к главной опти-
ческой оси пойдет преломленный линзой луч, если ее фокусное рассто-
яние 2 см?
1 >
МАТЕМАТИКА 1991
Билет № 1
1. Решить уравнение
л/ 8sinx + ~ = 2cosx + 2tgx.
2. При каких значениях параметра а уравнение
log5x + 4(1 - a2) log25x5 — 2 = 0
имеет два корня, расстояние между которыми больше 24/5?
3. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окруж-
ность. Через точку М, лежащую на стороне АВ, проведена касательная
к окружности, пересекающая прямую АС в точке N. Найти боковую
сторону треугольника АВС, если АС = CN = а, МВ =
4. Решить систему уравнений
f 6xz + Зх = 2z - 2,
j ху + zy = 2(z —x + 1),
zy — 6xz + у = 3x + 3.
5. Конус расположен внутри треугольной пирамиды SABC так, что
плоскость его основания совпадает с плоскостью одной из граней пира-
миды, а три других грани касаются его боковой поверхности. Найти
обьем пирамиды, если длина образующей конуса равна 1, AABS = у,
ABSC = ASCB =
Билет № 2
1. Решить уравнение
V5tgx + 10 = ^sinx + .
° 2 cosx
2. Найти все значения параметра а, при которых расстояние между
корнями уравнения
21ogax + 31og^2a + 5 = 0
меньше 6/25.
16
3. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окруж-
ность, Прямая, параллельная стороне АВ
и касающаяся окружности,
2
пересекает сторону АС в точке М такой, что МС = ~=АС. Найти радиус
окружности, если периметр треугольника АВС равен 20.
4. Решить систему уравнений
(4х 4- y)(z + 1) 4- 4z — 0,
. ху 4- у — х = — 1,
ху — zy + 2z ~ 14- х.
5. Сфера, вписанная в треугольную пирамиду KLMN, касается од-
ной из граней пирамиды в центре вписанной в эту грань окружности.
Найти объем пирамиды, если МК — ~, LNMK == ", LKML = 3arcig~,
LNML = “ arctg|.
Билет № 3
1. Решить уравнение
Vl — 4VTsinx - 2cosx - v2~tgx.
2. При каких значениях параметра а уравнение
logjX + (а2 - 4)log3x| -3 = 0
имеет два корня, расстояние между которыми боль
е 8?
и
3. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окруж-
ность. Через точку Л/, лежащую на стороне ВС, проведена касательная
к окружности, пересекающая прямую АС в точке К. Найти АК, если
Л С ~ а, АВ ~ "П, МВ —
«J 1 V
4. Решить систему уравнений
3xz 4- 1 = 4х 4“ 3z,
< 4ху — 3xz = 4у — 3z 4- 9,
ху " zy = х 4- 3 " 2z.
5. Конус расположен внутри треугольной пирамиды SABC так, что
плоскость его основания совпадает с плоскостью одной из граней пира-
миды, а три других грани касаются его боковой поверхности.
Найти объем пирамиды, если длина образующей конуса равна 1,
/.ВАС = /SB А = /ASB =
2 о 4
2 Заказ 488
17
Билет № 4
1. Решить уравнение
V12 ~ 6V2tgx = 3sinx-------
cosx
2. Найти все значения параметра а, при которых расстояние между
корнями уравнения
log^x 4- 81oga*3x “3 = 0
меньше 3/2.
3. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окруж-
ность. Прямая, параллельная стороне ВС и касающаяся окружности,
пересекает сторону АВ в точке N такой, что AN = (3/8) АВ. Найти ра-
диус окружности, если площадь треугольника АВС равна 12.
4. Решить систему уравнений:
(х 4- 2y)(3z 4 1) = 11 4 8у,
- ху - zy 4 3 = 2х 4 z,
ху “ 2х = у — 1.
5. Сфера, вписанная в треугольную пирамиду EFGH, касается одной
из граней пирамиды в центре вписанной в эту грань окружности.
Найти объем пирамиды, если FG ~ 3/5, AHFG =
Хи1
AEFG = “ 3arctg/5, A.EFH = arctg/5.
Билет № 5
1. Решить уравнение
log7(3 “ 2x)4ogx(3 “ 2х) = log7(3 “ 2х) 4 log?x2.
2. Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника
АВС (АС ~ 90°). Окружность радиуса /Г5 проходит через точки Л, С,
D и пересекает сторону АВ в точке Е так, что АЕ: АВ ==3:5. Найти
площадь треугольника АВС.
3. Числа “Sinx, 4sinx ctg2x, cosx являются членами арифметиче-
ской прогрессии с номерами к, к 4 1, к 4 2 соответственно. Найти все
значения х и к, если седьмой член этой прогрессии равен 1/5.
18
4. На координатной плоскости рассматривается фигура Л/, состоящая
из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют системе нера-
венств:
3
Изобразить фигуру М и найти ее площадь.
5. В четырехугольной пирамиде SABCD основанием является трапе-
ция ABCD (BCWAD), ВС = (4/5)AD, LACD = LCDS = л/2. Все вер-
шины пирамиды лежат на окружностях оснований цилиндра, высота ко-
торого равна 2, а радиус основания равен 5/3. Найти объем пирамиды.
Билет № 6
Решить уравнение
2
2. Отрезок BD является медианой равнобедренного треугольника
АВС (АВ = ВС). Окружность радиуса 4 проходит через точки В, A, D
и пересекает сторону ВС в точке Е так, что BE: ВС = 7: 8. Найти пе-
риметр треугольника АВС.
3. Числа VTcosx, Tcos2х, ^cos(x + ~) являются членами геометри-
£ Я
ческой прогрессии с номерами к, к + 1, к + 2 соответственно. Найти
, 16V2
все значения х и к, если пятый член этой прогрессии равен
4. На координатной плоскости рассматривается фигура М, состоящая
из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют системе нера-
венств:
4 4
, - У
6
2
Изобразить фигуру М и найти ее площадь.
5. В четырехугольной пирамиде SABCD основанием является парал-
лелограмм ABCD, LBSC — LASB = л/2. Все вершины пирамиды лежат
19
на окружностях оснований усеченного конуса, высота которого равна
4/3, а радиусы оснований равны 1/2 и 5/6. Найти объем пирамиды.
Билет № 7
Решить уравнение
2 log (4 “ x)log (4 - х) - 31og (4 — х) ~ log 2х .
О £Х j
Отрезок БЕ является биссектрисой прямоугольного треугольника
(/.Л = 90°). Окружность проходит через точки В, А, Е и пересс-
АВС
кает сторону ВС в точке D так, что BD : ВС “5: 13. Найти отношение
площади треугольника АВС к площади круга.
3. Числа 2cosx. —sinx, (16/7) cosx ctg2x являются членами арифме-
тической прогрессии с номерами к, к + 1, к + 2 соответственно. Найти
все значения х и к, если пятнадцатый член этой прогрессии равен 2.
4. На координатной плоскости рассматривается фигура М, состоящая
из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют системе нера-
венств:
Дм? > 2х - у,
Изобразить фигуру М и найти ее площадь.
5. В четырехугольной пирамиде SKLMN основанием является трапе-
ция KLMN (LM WKN), LM — ~KN, Z-KSN “ LMNS = л/2. Все верши-
•Л
ны пирамиды лежат на окружностях оснований цилиндра, высота кото-
рого равна 3, а радиус основания равен 5/2. Найти объем пирамиды.
Билет № 8
I. Решить уравнение
log + log (21 х - 2) = 2 log 2 8.
2. Отрезок АЕ является высотой равнобедренного треугольника
АВС {АВ “ АС). Окружность проходит через точки А, С, Ей пересе-
кает сторону АВ в точке D так, что AD: АВ — 7:9. Найти отношение
длины окружности к периметру треугольника АВС.
4
рической прогрессии с номерами к, к + 1, к + 2 соответственно.
3. Числа 4fShix, ^—cos2x, 3cos(x
V2
) являются членами геом ст-
20
Найти все значения х и к, если четвертый член этой прогрессии
4^2
Равен
4. На координатной плоскости рассматривается фигура М, состоящая
из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют системе нера-
венств:
_________
у/ i (у4 ~ *4) ” 2хУ-
х2 + у2 + 4у < О,
у2 “ 16 < х2 “ 8х.
Изобразить фигуру М и найти ее площадь.
5. В четырехугольной пирамиде SKLMN основанием является парал-
лелограмм KLMN, LLSM = AKSL “ Все вершины пирамиды лежат
на окружностях оснований усеченного конуса, высота которого равна
3/2, а радиусы оснований равны 1 и 5/4. Найти объем пирамиды.
Билет № 9
1, Решить неравенство
х*3 iog»^<16^ 8x2 + j) 1
3
При каких значениях параметра а вер
ина параболы
п
у(х) = х2 - (2\/3'Cosа — 3)\ ——cos4а
лежит на прямой у — Зх, причем парабола пересекает ось ОУ в точке
с отрицательной ординатой?
3. На диагонали BD прямоугольной трапеции A BCD (ZZ) = 90°,
ВСIIЛ2» взята точка Q гак, что BQ \QD = 1.3. Окружность с центром
в точке Q касается прямой AD и пересекает прямую ВС в точках Р и
М. Найти длину стороны АВ, если Л С ~ 9, ~ 3, РМ — 4
4. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая
из всех точек, координаты (а; й) которых таковы что система /равнений
ах 4- (Ь ~ 4)у - 2,
, (ii -- 4) v +* Ду — 3,
bx — t а + 6)у — 3\
имеет единственное решение.
Изобразить фигуру Ф и составить уравнения всех прямых, каждая
из которых проходит через точку (0; 7) и имеет с фигурой Ф единст-
венную общую точку.
5. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб
ABCD с острым углом при вершине Л. Высота ромба равна 4, точка
пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией верши-
ны S на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоскостей
всех граней пирамиды. Найти объем пирамиды, если расстояние от
2VT
центра сферы до прямой АС равно —АВ.
1. Решить неравенство
Билет № 10
2. Найти все значения параметра сх, при которых парабола
у (х) — х2 " 8 ctg а * х 4- 5 cos 2а
касается прямой у - — 7, причем абсцисса точки касания отрицательна.
3. Точки А/ и являются серединами боковых сторон АС и СВ рав-
нобедренного треугольника АВС. Точка L расположена на медиане ВМ
так, что BL : ВМ — 4:9. Окружность с центром в точке L касается пря-
мой МЫ и пересекает прямую АВ в точках Q и Т. Найти периметр
треугольника MNCy если QT = 2, АВ ~ 8.
4. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая
из всех точек, координаты (а; Ь) которых таковы, что система уравнений
ах + 4у — 2,
. Ьх + ау — — 1,
(Ь 4- 3)х 4- (а 4- 8)у — — 3,
имеет решение.
Изобразить фигуру Ф и составить уравнения всех прямых, каждая
из которых проходит через точку (—6; 4) и имеет с фигурой Ф един-
ственную общую точку.
5. В сферу радиуса 5/8 вписана четырехугольная пирамида SABCD,
основанием которой служит параллелограмм ABCD. Точка пересечения
диагоналей параллелограмма является ортогональной проекцией вер-
шины 5 на плоскость ABCD. Плоскость каждой грани пирамиды каса-
ется второй сферы, расстояние от центра которой до прямой AD вдвое
22
больше расстояния до прямой ВС. Найти радиус второй сферы и рас-
стояние от ее центра до вершины 5, если AD : АВ = 5 : 3.
Билет №11
1. Решить неравенство
2 log4(25x* - 10х2 + 1) > 4х.
2. При каких значениях параметра а вершина параболы
у(х) “ х2 + (2sin<x — ^У)х + cos4<x
лежит на прямой у = —v3x, причем парабола пересекает ось OY в точ-
ке с положительной ординатой?
3. На диагонали АС параллелограмма ABCD взята точка Р так, что
АР : PC = 3:5. Окружность с центром в точке Р касается прямой ВС и
пересекает отрезок AD в точках К и L. Точка К лежит между точками
А и L. А К = 9, KL = 3, LD ~ 12. Найти периметр параллелограмма
ABCD.
4.
На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоя
из всех точек, координаты (а; Ь) которых таковы, что система уравнений
(а + 2)х + Ьу = 1,
. ах + (Ь “ 2)у = 2,
(Ь + 4)х — ау “ 2,
имеет единственное решение.
Изобразить фигуру Ф и составить уравнения всех прямых, каждая
из которых проходит через точку (10; 0) и имеет с фигурой Ф единст-
венную общую точку.
5. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб
ABCD с тупым углом при вершине Л* Высота ромба равна 2, точка
пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией верши-
ны 5 на плоскость основания. Сфера радиуса 1 касается плоскостей
всех граней пирамиды. Найти объем пирамиды, если расстояние от
vT4
центра сферы до прямой BD равно —г-АВ
Билет №12
1. Решить неравенство
2. Найти все значения параметра при которых парабола
yfx) “ ~х2 - 6tgcr-x — 10cos2a.
О
касается прямой у = -11, причем абсцисса точки касания положи-
тельна.
3. Точки К и L являются серединами боковых сторон АВ и ВС рав-
нобедренного треугольника АВС. Точка М расположена на медиане AL
так, что AM: ML = 13 : 12 Окружность с центром в точке М касается
прямой АС и пересекает прямую KL в точках Р и Q. Найти периметр
треугольника А PC, если KL =10, PQ = 4.
4. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая
из всех точек, координаты (а; Л) которых таковы, что система уравнений
йх + by = 1,
Зх 1 ау = “ 1,
(а - 1)х + (й + 2)у = -2,
имеет решение.
Изобразить фигуру Ф и составить уравнения всех прямых, каждая
из которых проходит через точку (4; 3) и имеет с фигурой Ф единст-
венную общую точку.
5. В сферу радиуса 13/3 вписана четырехугольная пирамида SABCD,
основанием кторой служит параллелограмм ABCD. Точка пересечения
диагоналей параллелограмма является ортогональной проекцией вер-
шины 5 на плоскость ABCD. Плоскость каждой грани пирамиды каса-
ется второй сферы, расстояние от центра которой до прямой АВ втрое
больше расстояния до прямой CD. Найти радиус второй сферы и рас-
стояние от ее центра до вершины 5, если АВ : AD = 1 : 4.
24
ФИЗИКА 1992
Билет № 1
1. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости
вниз, скользит по ней, ударяясь об упор, отскакива-
ет от него и возвращается к месту броска. График
зависимости модуля скорости шайбы от времени дан
на рисунке. Найти угол наклона плоскости к гори-
зонту.
2. Колокол для подводных работ объемом 10 м3
опускается вверх дном с борта корабля на дно водо-
ема глубиной 20 м. Зашедшая в колокол вода вытесняется из него с
помощью баллонов со сжатым воздухом. Объем одного баллона 40 л,
давление внутри 200 атм. Найти минимальное количество баллонов,
которое нужно подсоединить к колоколу с помощью шланга, чтобы вы-
теснить из него воду. Газовая постоянная R = 8,31 Лж/(моль К), тем-
пературу считать постоянной.
3. Заряженная частица движется в однород-
ных взаимноперпендикулярных электрическом и
магнитном полях. В некоторый к^оме^т времени
ее скорость перпендикулярна Е и В. Чему бу-
дет равно отношение изменения кинетической
энергии к начальной кинетической энергии час-
тицы в те моменты, когда вектор ее скорости бу-
дет перпендикулярен г^, если известно, что
Е/(уоВ)=0«М
4. Трапеция ABCD расположена так, что ее
параллельные стороны АВ и CD перпендику-
лярны оптической оси тонкой линзы. Линза со-
здает мнимое изображение трапеции ABCD в
виде трапеции с теми же самыми углами. Если
повернуть трапецию ABCD на 180° вокруг сто-
роны АВ, то линза создает ее изображение в ви-
де прямоугольника. С каким увеличением изо-
бражается сторона АВ?
Ов
25
Билет № 2
1. По плоскости с углом наклона к горизонту
a (sinа — 4/9) соскальзывает брусок. Коэффици-
ент трения скольжения р между бруском и пло-
скостью меняется вдоль плоскости. График зави-
симости скорости бруска от времени представлен
на рисунке. Найти минимальное значение
2. Аквалангист берет с собой для подводного
плавания баллоны со сжатым воздухом объемом
V ” 20 л. Найти разность времени пребываня аквалангиста на глубинах
5 и 25 м. считая, что масса воздуха, потребляемая им в этих условиях,
остается такой же, как и без акваланга. В обычных условиях человек
делает 20 вздохов в минуту, потребляя при каждом вздохе V1 = 2,5 л
№
воздуха. Газовая постоянная равна К = 8,31 Дж/(моль-К), температу-
ру считать постоянной.
3. Три одинаковых оцноимено заряженных шарика, каждый с заря-
дом q и массой т, связаны нерастяжимыми нитями, каждая длиной а.
Все три шарика неподвижны и расположены на гладкой горизонталь-
ной поверхности. Одна из нитей пережигается. Какие скорости будут
иметь шарики в тог момент, когда они будут располагаться на одной
прямой? Радиус шарика мал по сравнению с длиной нити.
4. На оси тонкой отрицательной линзы расположена трапеция таким
образом, что ее параллельные стороны перпендикулярны главной опти-
ческой оси. Линза создает изображение трапеции, имеющее вид прямо-
угольника. При этом меньшая из параллельных сторон изображается с
увеличением = 1/3. Если трапецию передвинуть вдоль главной оси
на некоторое расстояние, то получается изображение в виде трапеции
с теми же самыми углами. Найти, с каким увеличением изображается
та же самая меньшая сторона в этом случае.
Билет № 3
1. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по ней,
двигаясь вверх, а затем возвращается к месту броска. График зависи-
мости модуля скорости шайбы от времени дан
на рисунке. Найти угол наклона плоскости к
горизонту.
2. Цилиндрический колокол для подводных
работ высотой 2 м опускается вверх дном с бор-
та катера на дно водоема глубиной 3 м. Найти
толщину воздух
ной подушки, образовав^
ейся
26
у «потолка» колокола к моменту его касания дна водоема. Температуру
считать постоянной.
3. Заряженная частица движется в однородных взаимноперпендику-
лярных электрическом и магнитном пол^х. ^некоторый момент вре-
мени ее скорость перпендикулярна Е и В,
при этом выполняется соотношение
£/(т»0Л) « I (см. рисунок). В те моменты вре-
мени, когда скорость частицы направлена в
противоположную сторону к отношение из-
менения кинетической энергии частицы к ее
начальной кинетической энергии равно /?. Оп-
ределить отношение Е/(yQB).
(+)в
>
Е
4. Трапеция ABCD располложена так, что ее параллельные стороны
перпендикулярны главной оптической оси тонкой линзы. Линза создает
действительное изображение трапеции ABCD
в виде прямоугольника. Если повернуть тра-
пецию ABCD на 180° вокруг стороны АВ. то
линза создает ее изображение в виде трапе-
ции с теми же самыми углами. С каким уве-
личением изображается сторона АВ!
Билет № 4
1. Брусок соскальзывает с плоскости с углом
наклона к горизонту a (since = 1/7). Коэффици-
ент трения скольжения в между бруском и пло-
скостью меняется вдоль плоскости. График зави-
симости скорости бруска от времени представлен
ца рисунке. Найти максимальное значение
2. Пустой сосуд наполняется через вентильное
устройство путем подсоединения к нему баллонов со сжатым воздухом.
После выравнивания давлений в сосуде и баллоне вентиль перекрыва-
ется, затем подсоединяется следующий баллон и т.д. Найти отношение
давлений в сосуде после подсоединения одного и двух баллонов со сжа-
тым воздухом. Известно, что объем сосуда втрое больше объема одного
баллона. Считать, что в процессе выравнивания давлений выравнива-
ется и температура газа в сосуде и баллоне.
3. Три одинаковых одноименно заряженных шарика, каждый заря-
дом q и массой т, связаны нерастяжимыми нитями, каждая длиной а.
27
чтобы при дальнейшем дви-
образовать равносторонний
ариков мал по сравнению с
и
и
расположена трапеция та-
Все три шарика неподвижны и расположены на
гладкой горизонтальной поверхности (см. рис.). Ка-
кую минимальную скорость и необходимо сообщить
центральному шарику,
жении шарики смогли
треугольник? Радиус i
длиной нити.
4. На оси тонкой положительной линзы
ким образом, что ее параллельные стороны перпендикулярны главной
оптической оси. Линза создает изображение в виде трапеции с теми же
самыми углами. При этом меньшая из параллельных сторон трапеции
изображается с увеличением 1\ = 0,8. Если теперь передвинуть трапе-
цию вдоль главной оптической оси к линзе на некоторое расстояние,
трапеция будет изображаться в виде прямоугольника. С каким увели -
чением будет изображаться меньшая из параллельных сторон трапеции
в этом случае?
Билет № 5
1. Доска с лежащим на ней бруском находится на гладкой горизон-
тальной поверхности стола (см. рис.). Брусок в пять раз тяжелее доски.
Система совершает колебания с амплитудой
А == 8 см и периодом Т = 0,8 с по поверхности
стола под действием пружины, прикрепленной
к бруску. Доска и брусок при колебаниях не-
подвижны относительно друг друга. При каких
значениях коэффициента трения между доской
и бруском такие колебания возможны?
2. Равные массы гелия Не и водорода Н2 находятся в теплоизолиро-
ванном цилиндре под поршнем. Объем цилиндра Ко = 1 л, давление в
нем PQ — 9 атм. При адиабатическом расширении смесь газов соверша-
ет работу Л - 650 Дж. Найти относительное изменение температуры
смеси.
Внутренняя энергия моля гелия равна -zRT, водорода — -^RT,
Т — абсолютная температура, 2? — газовая постоян-
ная. Молярные массы гелия и водорода равны соот-
ветственно 4 г/моль и 2 г/мол.
3. Неподвижное проволочное кольцо расположено
в однородном магнитном поле, линии индукции В ко-
торого перпендикулярны плоскости кольца. По коль-
цу скользит со скоростью гГ (без нарушения электри-
28
ческою контакта) проволочная пермычка РР* (у -L РР'). Определить
направление и силу индукционного тока в кольце и в перемычке в тот
момент, когда перемычка пересекает центр кольца, как это изображено
на рисунке. Кольцо и перемычка выполнены из одного куска проволоки
l удельным электрическим сопротивлением р и площадью поперечного
сечения 5.
4, На плоскую поверхность тонкой плоско-вогнутой отрицательной
линзы нанесено абсолютно отражающее покрытие. На вогнутую повер-
хность линзы падает узкий пучок импульсного лазерного излучения с
энергией W ~ 5 Дж и длительностью г ~ 10“8 с. Падающий луч распро-
страняется параллельно главной оптической оси линзы на расстоянии
F/2 от оси (F — фокусное расстояние линзы). Найти величину средней
силы, действующей на линзу со стороны света, если половина лазерно-
го излучения поглощается в линзе. Отражением от поверхости линзы
(без покрытия) пренебречь.
Билет № 6
1. Два груза общей массой т ~ 1 кг, соединенные упру-
гой пружиной жесткостью к~ 100 Н/м, висят на нити.
Найти все возможные расстояния, на которые следует от-
тянуть вертикально вниз и затем отпустить нижний груз, LJ
чтобы при последующих его колебаниях верхний груз ос-
та в алея неподвижным? Ц
? 2. В цилиндре под давлением Р = 2 атм находится смесь | |
гелия Не и водорода Н2. Изобарический нагрев смеси газов
приводит к увеличению объема цилиндра на ДУ ~ 1 л. На сколько из-
менилась при этом внутренняя энергия смеси газов? Масса водорода в
1,5 раза больше массы гелия. Внутренняя энергия моля гелия равна
а водорода — где — абсолютная температура, 2? — газо-
вая постоянная. Молярные массы гелия и водорода равны соответствен-
но 4 г/моль и 2 г/моль.
3. Неподвижная проволочная перемычка РР1
расположен^ в однородном магнитном поле, линии
индукции В которого перпендикулярны к плоско-
сти рисунка. По пермычке скользит в плоскости
рисунка проволочное кольцо со скоростью v
(с*Л PPf) без нарушения электрического контак-
та. Определить направление и силу индукционного
тока в кольце и в перемычке в тот момент, когда
центр кольца пересекает перемычку. Кольцо и пе-
29
ремычка выполнены из одного куска проволоки с удельным электриче-
ским сопротивлением р и плошадью поперечного сечения 5.
4. Узкий пучок импульсного лазерного излучения с энергией Ж =
- 0,5 Дж и длительностью т ~ 10”9с падает на рассеивающую линзу
параллельно ее главной оптической оси. Расстояние от пучка до оси
равно где F — фокусное расстояние линзы. Найти величину
средней силы, действующей на линзу со стороны света, если половина
энергии лазерного излучения поглощается в линзе. Отражением от по-
верхности линзы пренебречь.
Билет № 7
1. Доска с лежащим на ней бруском находится на гладкой горизон-
тальной поверхности стола. Система совершает колебания под действи-
ем упругой пружины вдоль прямой с периодом
Т “ 1 с и максимальным значением скорости
0,5 м/с. При этом доска и брусок непод-
вижны друг относительно друга. При каких
значениях коэффициента трения скольжения
между доской и бруском такие колебания воз-
можны?
2. Гелий Не и водород Н2 находятся в теплоизолированном цилиндре
под поршнем. Объем, занимаемый смесью газов, — Уо — 1 л, давление
Ро ~ 37 атм. При адиабатическом расширении смеси газов относитель-
ное уменьшение температуры составило 75%. Найти работу, соверша-
емую при этом смесью газов, если масса водорода в 1,5 раза больше
массы гелия. Внутренняя энергия моля гелия равна а водорода —
~RT, где Т — абсолютная температура, R — газовая постоянная. Мо-
лярные массы водорода и гелия равны соответственно 2 г/моль и
4 г/моль.
3. Неподвижная проволочная квадратная рамка
расположена в однородном магнитном поле, лин
индукции которого перпендикулярны к плоскости
рамки. По рамке скользит без нару]
ения электри-
и
ческого контакта проволочная перемычка РР’ со
скоростью v* (v* -L РР'). В тот момент, когда пере-
мычка пересекает центр квадрата, по ней течет ток
силой /. Определить величину и направление ин-
дукции магнитного поля. Рамка и перемычка вы-
30
полнены из одного куска проволоки с удельным электрическим сопро-
тивлением р и плогцадыю поперечного сечения
4. На плоскую поверхность тонкой плоско-выпуклой положительной
лцнзы нанесено абсолютно отражающее покрытие. На выпуклую по-
верхность линзы падает узкий пучок импульсного лазерного излучения
с энергией W = 4 Дж и длительностью импульса г = 10”8 с. Падающий
пучок распространяется параллельно главной оптической оси линзы на
расстоянии F/2V3 от оси (F — фокусное расстояние линзы). Найти ве-
личину средней силы, действующей на линзу со стороны света, если
половина энергии лазерного излучения поглощается в линзе. Отраже-
нием от поверхности линзы (без покрытия) пренебречь.
Билет № 8
о
1. Два груза общей массой т — 1 кг, связанные нитью,
висят на упругой пружине жесткостью к ~ 100 Н/м. Най-
ти все возможные расстояния, на которые следует оття-
нуть вертикально вниз грузы и затем отпустить их, чтобы
при последующих колебаниях грузов нить не провисала.
2. В сосуде объемом V = 1 л находится смесь гелия Не
и водорода Н2. При изохорическом нагреве смеси к ней
подвели количество теплоты Q = 220 Дж. При этом давле-
ние в сосуде возросло на ДР — 1 атм. Найти отношение числа молей
водорода к числу молей гелия в сосуде. Внутренняя энергия моля гелия
равна ~АТ, а водорода ~АТ, где Т — абсолютная температура, А —
м 2d
газовая постоянная.
3. Неподвижная проволочная перемычка РР' расположена в одно-
родном магнитном поле, линии индукции которого перпендикулярны к
плоскости рисунка. По перемычке скользит в плоско-
сти рисунка проволочная квадратная рамка со скоро-
стью v* (v* л РР!) без нарушения электрического кон-
такта. В тот момент, когда центр рамки пересекает
перемычку, по ней течет ток силой /. Определить на-
правление и величину индукции магнитного поля.
Рамка и перемычка выполнены из одного куска про-
волоки с удельным электрическим сопротивлением р
и площадью поперечного сечения 5.
4. Узкий пучок импульсного лазерного излучения с
IF = 0,4 Дж и длительностью т — 10“9с падает на собирающую линзу
параллельно главной оптической оси. Расстояние от пучка до оси лин~
энергией
31
зы F (F — ।
кусное расстояние линзы). Найти величину средней си-
лы, действующей на линзу со стороны света, если половина энергии
лазерного излучения поглощается в линзе. Отражением от поверхности
линзы пренебречь.
ьилет № 9
1. Между шариками массой т и связанными
нитью, вставлена легкая пружина жесткостью к,
сжатая на некоторую величину. Система шариков
движется со скоростью vQ вдоль прямой, проходя-
щей через центры шариков. Нить пережигают, и
один из шариков останавливается. Найти начале-
ную величину сжатия пружины.
2. В горизонтально расположенном теплопроводящем цилиндре под
подвижным пор!
и
нем заперт воздух при атмосферном давлении и ком-
натной температуре. В объем под поршнем впрыснули т = 5 г легко ис-
паряющейся жидкости. После того, как жидкость испарилась, оказа-
лось, что объем, занятый воздухом и парами жидкости, увеличился на
AF ” 0,6 л. Найти по этим данным молярную массу жидкости. Наруж-
ное давление равно атмосферному, газовая постоянная
R = 8,31 Дж/(моль-К), t = 27°С. Объемом, занимаемым жидкостью в
начале опыта, можно пренебречь.
3. Три одинаковые неподвижные металлические пластины располо-
жены в воздухе на расстояниях и d2 друг от друга. Пло-
щадь каждой из пластин равна 5. На средней
пластине 2 находится положительный заряд Q
Пластины 1 и 3 не заряжены и подключены через
ключ К к катушке самоиндукции с индуктивно-
стью L. Определить максимальное значение силы
тока через катушку после замыкания ключа К,
Расстояния d{ и d2 между пластинами малы по
сравнению с их размерами. Омическим сопротив-
лением катушки пренебречь.
4. За линзой с фокусным расстоянием
F ~ -5 см расположена линза с фокусным расстоянием F2 - 25 см так,
что их главные иш ические оси совпадают. Эта оптическая система со-
здает изображение предмета, расположенного перпендикулярно глав-
ной оптической оси. Как изменится величина изображения, если линзы
поменять местами? Расстояние между линзами L— 20 см.
32
Билет № 10
1. Два груза массой т каждый связаны нитью. Между
грузами вставлена легкая упругая пружина, сжатая на
величину х. Система движется со скоростью v вдоль пря-
мой, перпендикулярной ее оси. Нить пережигают, и гру-
зы разлетаются под углом 90°. Найти коэффициент упру-
гости пружины.
2. Легкая подвижная перегородка делит герметичный
теплопроводящий сосуд на две неравные части, в которых
находится воздух при атмосферном давлении и комнатной температу-
ре. В меньшую часть сосуда впрыскивается легко испаряющаяся жид-
кость, давление насыщенного пара которой при комнатной температуре
равно 3,5 атм. Спустя некоторое время перегородка перестала двигать-
ся, а жидкость почти вся испарилась. Объем части сосуда, в которой
находятся воздух и пары, увеличился при этом вдвое по сравнению с
первоначальным. Найти, какую часть объема сосуда составляла внача-
ле его меньшая часть? Объемом, занимаемым жидкостью в начале и
конце опыта, можно пренебречь.
3. Три одинаковые неподвижные металличе-
ские пластины расположены в воздухе на рав-
ных расстояниях d друг от друга. Площадь
каждой пластины равна S. На пластине 1 нахо-
дится положительный заряд Q. Пластины 2 и 3
не заряжены и подключены через ключ К к ка-
тушке самоиндукции с индуктивностью L. Оп-
ределить максимальное значение силы тока через катушку после замы-
кания ключа К. Расстояние между пластинами мало по сравнению с их
размерами. Омическим сопротивлением катушки пренебречь.
4. Математический маятник раскачивается с
амплитудой А = 1 см в плоскости рисунка.
Равновесное положение нити маятника нахо-
дится на расстоянии L - -/5 см от переднего
фокуса тонкой положительной линзы. Рассто-
яние между изображениями маятника, лежа-
щими на главной оптической оси линзы, равно
Д - 2 см. Найти фокусное расстояние линзы.
3 Заказ 488
Билет № 11
1. Шарики массами т и 3m связаны нитью;
между ними вставлена легкая пружина жестко-
стью к, сжатая на величину х0. Система движет-
ся с некоторой скоростью вдоль прямой, проходя-
щей через центры шариков. Нить пережигают, и
скорость шарика массой т увеличивается в 7 раз.
Найти начальную скорость шариков.
2. При «зарядке» сифонов углекислотой часть ее растворяется в воде.
Определить эту часть при зарядке сифона одним баллончиком, содер-
жащим 10 г углекислоты. Объем сифона, не занятый водой, равен
V = 0,2 л, температура 24°С. Конечное давление в сифоне после рас-
творения углекислого газа в роде устанавливается равным 4 атм. Газо-
вая постоянная 7? = 8,31 Дж/(моль*К). Объемом баллончика и измене-
нием температуры в сифоне при растворении углекислоты пренебречь.
3. Три одинаковые неподвижные металлические
пластины расположены в воздухе на расстояниях
dv и d2 (d2 > d{) друг от друга. На средней пласти-
не 2 находится положительный заряд Q. Пластины
1 и 3 не заряжены и подключены через ключ К к
катушке самоиндукции. 1) Определить максималь-
ную величину и знак заряда на пластинах 1 и 3
после замыкания ключа К. Расстояние между dt и
d2 малы по сравнению с размерами пластины. Омическим сопротивле-
нием катушки пренебречь. 2) Какие заряды установятся на пластинах
1 и 3 при наличии в цепи омических потерь?
4. Две тонкие положительные линзы расположены друг за другом так,
что их главные оптические оси совпадают. Расстояние между линзами
14 см. Фокусное расстояние первой линзы - 10 см, второй —
F2 = 4 см. Эта система создает изображение предмета, расположенного
перпендикулярно главной оптической оси. Величина изображения
h{ - 4 мм. Какова будет величина изображения Л2, если линзы поменять
местами?
Билет № 12
1. Грузы с одинаковыми массами свя-
заны нитью. Между ними вставлена лег-
кая пружина жесткостью к, сжатая на ве-
личину х0. Грузы движутся со скоростью
34
v вдоль прямой, составляющей угол а с осью системы. После пережи-
гания нити один из грузов полетел перпендикулярно первоначальному
направлению движения. Найти массу груза.
2. Влажный воздух находится в цилиндре под поршнем. Изотерми-
ческое увеличение давления в /3 = 2 раза уменьшает объем цилиндра в
у ~ 2,5 раза. Какую часть конечного давления составляет давление па-
ра, если начальная относительная влажность воздуха равна а = 0,64
(объемом сконцентрировавшейся воды пренебречь).
3. Три одинаковые неподвижные металлические пластины располо-
жены в воздухе на равных расстояниях d друг от друга. Площадь каж-
дой из пластин равна S. На пластине 1 находится отрицательный заряд
—Q. Пластины 2 и 3 не заряжены и подклю-
аЗ| чены через ключ К к катушке самоиндукции
d J с индуктивностью L. 1) Определить макси-
” Ч мальную величину и знак заряда на пласти-
нах 2 и 3 после замыкания ключа. 2) Найти
L К\ di
производную в этот момент времени (при
максимальном заряде на пластинах 2 и 3), где
I —- сила тока через катушку. Расстояние d мало по сравнению с раз-
мерами пластин. Омическим сопротивлением катушки пренебречь.
4. Математический маятник колеблется в плоскости рисунка с амп-
литудой А = 1 см. Равновесное положение
нити маятника находится на расстоянии
а = 4 см от тонкой отрицательной линзы с
фокусным расстоянием 2 см. Найти рассто
яние между изображениями маятника, ле-
жащими на главной оптической оси систе-
мы.
35
МАТЕМАТИКА 1992
Билет № 1
1. Решить уравнение log4 ^cos 2х — + 1 = log2tgx.
2. В прямоугольном треугольнике АВС из точки Е, расположенной
в середине катета ВС, опущен перпендикуляр EL на гипотенузу АВ.
Найти углы треугольника АВС, если АЕ = /П) EL и ВС > АС.
3. Рассматриваются всевозможные параболы, ветви которых направ-
лены вверх, симметричные относительно прямой х = — 2 и касающиеся
прямой у = I - 8х. Найти уравнение той из них, которая пересекает
ось ОУ в точке с наименьшей ординатой.
4. В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вершина) точки
fl и £ являются серединами ребер АС и ВС соответственно. Через точ-
ку Е проведена плоскость ft, пересекающая ребра АВ и SB и удаленная
от точек D и В на одинаковое расстояние, равное 1/2. Найти длины
отрезков, на которые плоскость делит ребро SB, если ВС = 4, SC = 3.
5. Два велосипедиста движутся по кольцевой велотрассе длины 5,
1/5 часть которой проходит по стадиону, а оставшаяся часть — по го-
родским улицам. Скорость первого велосипедиста на стадионе равна и,
а на городских улицах равна 16и/3. Скорость второго велосипедиста на
стадионе равна 4», а на городских улицах равна 16v/5. Велосипедисты
одновременно въезжают на стадион. Через какое время после этого
один из них впервые совершит обгон другого?
Билет № 2
1 Решить уравнение logi2S(sin2x - sinx) + | = logs(-2 sinx).
2. В ромбе ABCD из вершины В на сторону AD опущен перпенди-
куляр BE. Найти углы ромба, если 2V3CE = АС.
3. Рассматриваются всевозможные параболы, ветви которых направ-
лены вниз, касающиеся оси ОХ и прямой у = х/2 - 3. Найти уравне-
ние той из них, для которой сумма расстояний от начала координат до
точек пересечения параболы с осями координат минимальна
4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S — вершина)
AD = 1/5 и SD = 1. Через точку В проведена плоскость «, пересекаю-
щая ребро SC и удаленная от точек А и С на одинаковое расстояние,
36
равное 1/10. Найти длины отрезков, на которые плоскость а делит ре-
бро SC, если известно, что а не параллельна прямой АС.
5. Автомобили «Вольво» и «Мерседес» движутся по кольцевой дороге,
1/3 часть которой проходит по городу. Скорость «Вольво» в городе рав-
на v, а за пределами города равна 3v/2. Скорость «Мерседеса» в городе
равна Зи/4, а за пределами города равна 5v/3. Автомобили одновре-
менно въезжают в город. Через какое время один из них впервые со-
вершит обгон другого, если длина городского участка кольцевой дороги
равна S7
Билет № 3
(3 \
- — cos 2х).
2. В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона в V2 раз мень-
ше меньшего основания ВС, СЕ — высота. Найти периметр трапеции,
если БЕ = <5, BD = /10.
3 Рассматриваются всевозможные параболы, ветви которых направ-
лены вниз симметричные относительно прямой х = 1 и касающиеся
прямой у” - 3 Найти уравнение той из них, которая пересекает
ось О1
в точке с наиболь
ей ординатой.
и
4 В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вершина) точки
К и L являются серединами ребер АВ и АС соответственно. Через точ-
ку L проведена плоскость /3, пересекающая ребра ВС и SC и удаленная
от точек К и С на одинаковое расстояние, равное 1/3. Найти длины
отрезков, на которые плоскость /3 делит ребро SC, если АВ = 4/3,
SB - 4/5
5. Два лыжника бегут по кольцевой лыжне длины S, 1/6 часть ко-
торой проходит по стадиону, а оставшаяся часть — по лесу. Скорость
первого лыжника на стадионе равна и, а в лесу равна 5v. Скорость вто-
рого лыжника на стадионе равна 8ь/5, а в лесу равна 4п. Лыжники
одновременно вбегают на стадион^ Через какое время после этого один
из ник впервые совершит обгон другого?
Билет № 4
I Решить уравнение log_^[sin2x - ™cosx] = - + log.(-cosx).
i7 1 3 I □
2 В ромбе ABCD из вершины D на сторону ВС оггущен перпеяди
куляр DK Найти длину стороны ромба, если АС = 2\/6, АК = VT4".
37
3. Рассматриваются всевозможные параболы, ветви которых направ-
лены вверх, касающиеся оси ОХ и прямой у = ~ х 4~ 8. Найти уравне-
ние той из них, для которой сумма расстояний от начала координат до
точек пересечения параболы с осями координат минимальна.
4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S — вершина)
АВ = 5, = 4. Через точку А проведена плоскость а, пересекающая
ребро SD и удаленная от точек В и D на одинаковое расстояние, равное
5/4. Найти длины отрезков, на которые плоскость а делит ребро SD,
если известно, что а не параллельна прямой BD.
5. Автомобили «Рено» и «Крайслер» движутся по кольцевой дороге,
1/4 часть которой проходит по городу. Скорость «Рено» в городе равна
2v, а за пределами города равна 9v/4. Скорость «Крайслера» в городе
равна vf а за пределами города равна 3v. Автомобили одновременно въез-
жают в город. Через какое время один из них впервые совершит обгон
другого, если длина городского участка кольцевой дороги равна S?
Билет № 5
1. Решить уравнение arctg3x = arccos8x.
2. Найти все ре
и
ения уравнения Vlog2(8x2 + 8х) = log^ (х2 + х)
удовлетворяющие неравенству cosx < tg3x.
3. Числа х и у являются решениями системы уравнений
ах 4- у = а 4- 1,
х 4- 4ау = 3,
где а — параметр. Какое наибольшее значение принимает выражение
х2 — бу2? При каком а это происходит?
4. В остроугольном треугольнике АВС точка D выбрана на стороне
АВ так, что Z.DCA = 45°. Точка D' симметрична точке D относительно
прямой ВС, а точка D" симметрична точке Dr относительно прямой АС
и лежит на продолжении отрезка ВС за точку С. Найти площадь тре-
угольника АВС, если ВС = v3CDn, АВ = 4.
5. Сфера вписана в четырехугольную пирамиду SABCD, основанием
которой является трапеция ABCD, а также вписана в правильный тет-
раэдр, одна из граней которого совпадает с боковой гранью пирамиды
SABCD. Найти радиус сферы, если объем пирамиды SABCD равен 64.
38
Билет № 6
1. Решить уравнение 2 arcsin 2х = arccos 7х.
2. Найти все ре
iij
ения уравнения
летворяющие неравенству sinx > ctg2x.
V1Og4x‘ - Х5 • 10g5
= 1, удов-
3. Числа х и у являются ре:
ениями системы уравнений
№
-X + ау = 2а,
ах — у ~ За — 5,
где а — параметр. Какое наимень
ее значение принимает выражение
№
х2 + у2? При каком а это происходит?
4. В параллелограмме ABCD угол А тупой, AD > АВ, AD ~ 7. Точка
А' симметрична точке А относительно прямой BD, а точка А" симмет-
рична точке А* относительно прямой АС и лежит на диагонали BD.
Найти площадь параллелограмма ABCD, если В А" ~ 4 BD.
5. Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду SABC (S —
вершина), а
KLMK’L’M1, у
также вписана в прямую треугольную призму
которой KL “ КМ — у/6 , а боковое ребро КК' лежит на
прямой АВ. Найти радиус сферы, если известно, что прямая SC парал-
лельна плоскости LL'M’M.
Билет № 7
1. Решить уравнение arcsin 5х = arcctg6x.
2. Найти все решения уравнения
vz7 - log^- (Зх^ - 24х) - iog9 (х2 - 8х),
удовлетворяющие неравенству sinx < tg2x.
3. Числа х и у являются решениями системы уравнений
{ах + 9у = а + 3,
х 4- ау = 2,
где а — параметр. Какое наибольшее значение принимает выражение
Зу2 - х2? При каком а это происходит?
4. В треугольнике АВС угол С тупой, а точка D выбрана на продол-
жении стороны АВ за точку В так, что LACD = 135°. Точка Df сим-
метрична точке D относительно прямой ВС, точка D” симметрична
точке Df относительно прямой АС и лежит на прямой ВС. Найти пло-
щадь треугольника АВС, если '/ЗВС ~ CD”, АС ~ 6.
39
5. Сфера вписана в четырехугольную пирамиду SKLMN, основанием
которой является трапеция KLMN, а также вписана в правильный тет-
раэдр, одна из граней которого совпадает с боковой гранью пирамиды
SKLMN. Найти радиус сферы, если площадь трапеции KLMN равна
3V3.
Билет № 8
1. Решить уравнение 2 arccosx ~ arccos ~х.
2. Найти все решения уравнения Vlog1/6(x^ + ’ ^°ёзбх2 + бх
удовлетворяющие неравенству sinx > tg6x.
3. Числа х и у являются решениями системы уравнений
где а — параметр. Какое наименьшее значение принимает выражение
2хг 4- у2? При каком а это происходит?
4. В параллелограмме ABCD угол Л острый, АВ > AD, АВ = 14. Точ-
ка С' симметрична точке С относительно прямой BD, а точка С" сим-
метрична точке С относительно прямой АС и лежит на продолжении
диагонали BD за точку D. Найти площадь параллелограмма ABCD, ес~
лр ВС" = | BD.
5. Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду SKLM (S —
вершина), а также вписана в прямую треугольную призму
АВСА'В'С', у которой АВ = АС, ВС = 4VT, а боковое ребро АА' лежит
на прямой KL. Найти радиус сферы, если известно, что прямая SM
параллельна плоскости ВВ’СС.
Билет № 9
1. Высоты равнобедренного остроугольного треугольника АВС, в ко-
тором АВ ~ ВС, пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника
АВС, если АО ~ 5, а длина высоты AD равна 8.
2. Решить неравенство "log^™ — 2-7"х^ > 1.
3. Решить систему уравнений
10 cos2л:2 ~ 7 cosx cos2y,
sinx = Vcos х sin у.
40
4. Основание прямой призмы АВСА'В'С — равнобедренный треу-
гольник АВС, в котором АВ -- ВС - 5, А АВС — 2 arcsin('3/5). Плоско-
сть, перпендикулярная прямой Л'С. пересекает ребра ЛС и А'С1 в точ
ках D и Е соответственно, причем AD - АС/3, ЕС' — А'С’/З. Найти
площадь сечения призмы этой плоскостью.
5. На берегу реки шириной 8/ вниз по течению на расстоянии I друз
от друга расположены пункты По, П,, П100. От По до П100 со ско-
ростью би и с остановками только в пунктах По, П100 идут автобусы,
которые отправляются из По один за другим с интервалом времени
i/10v. Турист, находящийся на противоположном берегу реки напро-
тив По, отплывает в лодке одновременно с отправлением из Пу очеред-
ного автобуса. Доплыв по прямой до одного из пунктов, турист доби-
рается до П100 на автобусе. Скорость течения реки и скорость лодки в
стоячей воде равны v. В какой пункт должен доплыть турист, чтобы
затратить на весь путь до П(оо наименьшее время? Найти все решения.
(Временем стоянки автобусов пренебречь).
Билет № 10
1. Около трапеции ABCD описана окружность, центр которой лежит
ha основании AD. Найти площадь трапеции, если АВ = 3/4, АС = 1
2. Решить неравенство 21/х^ >1.
3. Решить систему уравнений:
V2 tgx -^Tctgx = 3 tgy,
pt . п 4 .
v2 sm2x - sinx cosy .
4. Основание прямой призмы ABCDA' B'C D' — равнобедренная тра-
пеция ABCD, в которой ВС II AD, ВС-1, AD - 5,
ABAD — arctg(3/2). Плоскость, перпендикулярная прямой A'D, пере-
секает ребра AD и A'D' в точках Е и F соответственно, причем
АЕ - FD' = 5/3. Найти площадь сечения призмы этой плоскостью.
5. На берегу реки шириной 9/ вниз по течению на расстоянии I друг
от друга расположены пункты По, Пр ..., П40. От П40 до По со скоро-
стью 8п и с остановками только в пунктах П40, ..., По идут дилижансы,
которые отправляются из П40 один за другим с интервалом времени
l/Av. Путешественник, находящийся на противоположном берегу реки
напротив По, отплывает в лодке одновременно с отправлением из П40
очередного дилижанса. Доплыв по прямой до одного из пунктов, путе-
шественник добирается до По в дилижансе, Скорость течения реки и
скорость лодки в стоячей воде равны v. В какой пункт должен плыть
путешественник, чтобы затратить на весь путь до По наименьшее вре-
мя? Найти все решения, (Временем стоянки дилижансов пренебречь).
16
Билет № 11
1, В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями ВС и AD диа-
гонали пересекаются в точке О. Найти периметр трапеции, если
ВО = 7/8, OD = 25/8, /-ABD = 90°,
2, Решить неравенство
I I /10 —jA 1
X10g5 У “ 5 I > I'
3. Решить систему уравнений
17 cos 2х — 7 = 21 sin х cos 2у,
cosx = V3 sinx* cosy.
4. Основание прямой призмы АВСА'В'С* — равнобедренный треу-
гольник ЛВС, в котором ЛС = СВ — 2, LACB = 2 arcsin (4/5). Плос-
кость, перпендикулярная прямой Л'В, пересекает ребра ЛВ и А(В* в
7
точках К и L соответственно, причем АК — —
площадь сечения призмы этой плоскостью.
5. На берегу реки шириной 6/ вниз по течению на расстоянии I друг
от друга расположены пункты По, Пр П100. От По до П100 со ско-
ростью 5v и с остановками в пунктах Пр П100 идут электрички,
которые отправляются из По одна за другой с интервалом времени
21/ Ии. Студент, находящийся на противоположном берегу реки напро-
тив По, отплывает в лодке одновременно с отправлением из По очеред-
ной электрички. Доплыв по прямой до одного из пунктов, студент до-
бирается до П100 в электричке. Скорость течения реки и скорость лодки
в стоячей воде равны v. В какой пункт должен плыть студент, чтобы
затратить на весь путь до П1оо наименьшее время? Найти все решения.
(Временем стоянки электричек пренебречь).
Билет 12
1, В равнобедренном треугольнике АВС основание АВ является диа-
метром окружности, которая пересекает боковые стороны АС и СВ в
42
точках D и Е соответственно. Найти периметр треугольника АВС, если
AD = 2, АЕ - 8/3.
2. Решить неравенство x!og1/3
3. Решить систему уравнений
Vctgх - 3 tgx = 4 ctgy,
V(4/3) sin2x = cos x -sin у.
4. Основание прямой призмы ABC DA 'В' C,'D' — равнобедренная тра-
пеция ABCD, в которой ВС II AD, ВС = 5, AD = 10, ABAD = arctg2.
Плоскость, перпендикулярная прямой AD', пересекает ребра AD и
A'Dr в точках М и N соответственно, причем MD — AfN — 1. Найти пе-
риметр сечения призмы этой плоскостью.
5. На берегу реки шириной 11Z вниз по течению на расстоянии I друг
от друга расположены пункты По, Пр ..., П25. От П25 до По со скоро-
стью 4v и с остановками только в пунктах П25, ..., По вдут кабриолеты,
которые отправляются из П25 один за другим с интервалом времени
l/Зи, Курьер, находя
и
;ийся на противоположном берегу реки напротив
По, отплывает в лодке одновременно с отправлением из П25 очередного
кабриолета. Доплыв по прямой до одного из пунктов, курьер добираем-
ся до По в кабриолете. Скорость течения реки и скорость лодки в сто-
ячей воде равны и. В какой пункт должен плыть курьер, чтобы затра-
тить на весь путь до По наименьшее время? Найти все решения. (Вре-
менем стоянки кабриолетов пренебречь).
43
ФИЗИКА 1991 (ОТВЕТЫ)
Билет № 1
Mv0cosa - mvcosfi 2Mv0 — mv
(M- m)cosa “ 2(M - m)
2. M =
f‘mp / m _
6RTpA V лрЛ
0,47 г
4. na = nB + I = 1,000297
Билет № 2
1. и =
(M 4 2т)1Л - (M 4 m)v1 cosa g (M + 2m)i>2 - (M 4 m)u1
m cosy 7 m
2 й -_______°
P " p/J(rt + 273)
[, _ ^ + 273)1
[ Co + 273)J
= 9.3-10"4
3 . 1 - /j 1 + j = 9 мкА
4 - L ~ 2(n - l)a “ 50 M
Билет № 3
I v - 4 "Qk cosh + OTL'cosff _ 5(M + m)u + 4mv
' 1,0 Л/cosa 5M
2,m = e 990 3 g, = + = 4o0 B
/J P
4 Ли = -- » 3-10~6
Билет № 4
M(y2 - vj cosa 7M(y2 - vj
v2 cosa + v cosy 7v2 + 6v
44
О 46 1 Р^о
2^0 = 1^46'1200 —°’95 а™
- = 2. 4. L = 25 м
1
2 tga
1. —— ~ 4 (раза)
Р
3. W - | (ЙМсА.
Билет № 5
2. ДГ/ = О - vRTn - 2vR&T
4. х “ 26 мм.
Билет № 6
tga V3
1. и = -£— = — «017
1 м 10 10 '
£?ft)ALn
3- Л.о -
ЛХ
2. ДТ = 10°
4. х = 39 мм
Билет № 7
1* д —
(&4)2
3. Ж «
2. Q = &U + %R(Tq + ДТ)
4. Р ~ 96 мм.
1. ~ ~~ « 2,3 (раза)
Билет № 8
ri
2. р{ = 0,71 р2 ~~ = 0,69 агм
1 2
4, х = 1 см
1. m <
= 0,2 г
Билет № 9
2- V, 2-
45
4. F — 4 см.
Билет № 10
_ 200
I, е0{(р2~Рд
2. тг = 4 3. а = ——-------i- >0 4. F = 8 см
И < (J
Билет №11
. ти
g0C “ MVgRTg
3
v2 2‘
3-10 \ а 3*10 4 рад
” 1,96* 105 м/с
4. р 8°
Билет № 12
4б
МАТЕМАТИКА 1991 (ОТВЕТЫ)
Билет № 1
1. Возводя в квадрат обе части уравнения, получаем
8sinx 4- ~ = 4 cos2x + 8 sin х + 4 tg2х,
12cos4x — 25cos2x 4-12 = 0,
0ТКУДа 2324
cos х ~ -, cos x = -
4 3
Поскольку cos2x < 1, TO COST = ±
x-= ±~ + лк, к € Z
Непосредственная проверка показывает, что при х =
± ~ + 1л к правая
часть исходного уравнения отрицательна, и решениями являются пишь
2. Область определения уравнения задается условиями
Преобразуем уравнение, переходя к логарифмам по основанию 5
4Г1-а2)
log5x + |og -2=0, откуда log5x = ±2а,
х, = 5Ъ\ Хг = 5-2"
Из (1) следует, что уравнение имеет два различных корня тогда и только
тогда, когда а* 0, а * ±1
Выясним, при каких значениях параметра а выполняется неравенство
I cla е—2а I 24
“ 5 | Т (12)
Рели а 0, то 51а 5-2а и неравенство (2) равносильно каждому из сле-
дующих неравенств
s2a _ 5-2а > ^2 _ И s2a _ ,
(52а - 5) (52а + }) > 0, 52а > 5,
откуда а > у
47
i
то неравенство (2) равносильно каждому из следующих нера-
венств
2а 24
24
О,
откуда а < — ~
Ju
м
Рис* 1
3. Пусть окружность касается
АВ, АС и MN соответственно в точ-
ках Р, S и 7 (рис. 1) Обозначим
АВ ~ х, /.ВАС = а, тогда
ВМ = “X. По свойству касатель-
MP — MT =
(АР г 8М) ~ х —
а
2
8
8
а
NT = NS = NC + CS
а
£
2
8
(еореме косинусов
MN1 = AM2 + AN
/ >у\2
Г + 8х = 8х 4
— 2 AM ’AN' cos а,
4а — 2f“x*2a*cosa,
или
“X — За ~~
~х cosa
AS
где cosa ~ —
а
2х‘
Следовательно, ~х ~
~ / а э
За — откуда х = —а
2 2х 7
4. Складывая первое уравнение системы с третьим, перепишем систему в
виде
ху
Выразив из первого уравнения х через z, а из третьего — у через z, подставим
эти выражения во второе уравнение.
-
у —
48
Решая полученное квадратное уравнение относительно z, по гц чаем
z = —z2 = Затем находим два решения системы
1 3 Л 2
(5 л 3\
(б’ ’ 2)
5. Так как вершина конуса должна
принадлежать всем трем плоскостям,
касающимся его боковой поверхности,
то она совпадает с одной из вершин пи-
рамиды. Основание конуса принадле-
жит противолежащей этой вершине гра-
ни, а высота конуса совпадает с высотой
пирамиды, опущенной па эту грань По-
скольку Z.A0S ~ Z. SBC ~
= я - (Z.BSC + Z.SCB) = ~ ТО в
Рис. 2
ршина конуса совпадет с точкой В
(рис 2)
Образующие конуса, по которым происходит касание боковой поверхности
конуса с гранями пирамиды, являются апофемами ВК, ВМ и BL соответству-
ющих граней, при этом
ASBL = t-SBM - ~ - ZBSC = ~v,
2 12
АКВА = AM В А = ASBA - ASBM = 5- - — - ~
2 12 12
L.KBC - ALBC = ? - ILCB = -
2 4
Так как ВМ — BL - ВК — 1, то
AS = AM + SM = Ig(AABM) + tg(ZMBS) = tg-T + tg^
г 12 12
Аналогично,
Заметим, что
откуда
л 5л зт 1
tg 12 Ctg 12 2-т/З ~ 2 +
ЛЗ + ЛС + SC
2
Поэтому AS =
4, АС = 3 - <3, SC = 3 + <3, р =
= 5, где
р — полупериметр AASC По формуле Терона
Smsc = Vp (р - AS)(p - AC)Q> - SCj =V5
4 Заказ 488
49
Окружность основания конуса вписана в треугольник AS С, поэтому ее радиус
МО = = ~
р v5
Из прямоугольного треугольника ВМО находим высоту
ВО = ^ВМг - Л/61 = ~ .
Билет № 2
Ответы
—arccos5=
v5
+ х ~ arccos~7=
v5
U
Корни уравнения: хА = ~
а
Билет № 3
Ответы
Корни уравнения- х{ = З1 х2 = З1 а, (а # ±2)
3. АК = ~-а 4. f-|, -1; (1 з, г) 5. 2/35/4.
о 7 Z Л j ^Z j
Билет № 4
Ответы
arccos“7= + nkt х ~ л — arccos-^
V3 V3
а
-3, | 5. 20/2
4MF I
Билет № 5
1. Заметим, что функции, входящие в уравнение, определены при
0 < V < 4 х & 1 <5 if
5Q
Переходя к логарифмам по основанию х, преобразуем уравнение к виду
откуда
В первом случае
Во втором случае
Условиям (5.1) удовлетворяет лишь х = —
2. Поскольку по условию Z4CD = то
AD — диаметр и LAED — ~ (рис 3) Так как
AD — биссектриса, то треугольники ACD и
AED равные Пусть АС — Зх, тогда АЕ = Зх,
АВ = 5х, ЕВ = 2х, СВ ~ 4х (по теореме Пи-
фагора) Из подобия треугольников АВС и
EDB вытекает, что
Рис. 3
AD = УЛС2 + CD1
DB ЕВ „
лв = св Откуда
- 2VT5 Значит, х ~
а искомая площадь
5 = ±АСВС = 6х
32
3. Воспользовавшись
прогрессии, получим
свойством последовательных членов арифметической
8 sinx ctg2x = cosx — sinx,
откуда
В первом случае
sinx — cosx —
ctg2x ~ 0 ,
и разность арифметической прогрессии d “ 4-
Далее имеем-
а
а
51
Поскольку
“Sinx =
то
±у/2 ~ (fc — 8)-5> k 6 Nt что невозможно в силу иррациональ-
носги
числа V2
а1
Во
втором случае существуют две возможности-
тогда sinx ==
ctg2x =
£г*т
10*
Отсюда к —
10
и
3 3 7 1
aictg— + 2тгп, и Е Z, тогда sinx = v , ctg2x -• , d - ~ ГА.
1 «J 4Сг*т А1/
4. Второе неравенство системы равносильно неравенству
(х - 13)2 + / - 144
х2 + уг - 625
Точки, координаты которых ему удовлетворяют, лежат внутри круга радиуса
25 с центром в точке (0 0) , но вне круга радиуса 12 с центром в точке (13, 0).
Множество всех этих точек указано штриховкой на рис. 4
Неравенство
имеет смысл, если ху £ 0, то есть для точек (х, у), лежащих в первом или треть-
ем квадрантах
При у < 2х правая часть неравенства (5 2) отрицательна, поэтому все точки
(х; у) такие, что «у > 0 v < 2х являются его решениями
Если ху > 0, у > 2х, то неравенство (5.2) равносильно каждому из следую-
щих неравенств
а У2 - 4ху + 4Х2,
откуда 2х < у < —х при х 0 и
2х < у < |х при х < О
Таким образом, неравенству (5 2)
удовлетворяют точки, отмеченные
штриховкой на рис 5.
о 12
Заметим, что прямая у = —х име-
ет единственную общую точку
л (25 60 )
Л = —, yr с окружностью
1 □ 10 у
(х - 13)2 + у2 = 144.
i >’
Поэтому фигура Л/ имеет вид, указанный штриховкой на рис 6
Площадь фигуры М равна сумме площадей двух секторов (соответствующие цен-
12 5
тральные утлы равны arctg—~ и arctg^) минус площадь полукруга радиуса 12
и О
5. Заметим сначала, что если гипотенуза прямоугольного треугольника яв-
ляется хордой круга радиуса R, то расстояние р от вершины прямого угла этого
треугольника до плоскости круга не превосходит R В самом деле,
р < h < I £ R, где h — перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла
на гипотенузу, 21 — длина гипотенузы.
По условию задачи /5ASD прямоугольный, а рас-
стояние между плоскостями оснований цилиндра рав-
5
но 2 и больше радиуса оснований, равного Поэтому,
О
либо вершины А и D находятся на разных основаниях
цилиндра, либо ДЛ5£> лежит в плоскости одного из
оснований
Первый случай невозможен, так как тогда плоско-
сть ABCD пересекает плоскости оснований цилиндра
по параллельным прямым, то есть АВ || CD и
ABCD — параллелограмм, а не трапеция.
Таким образом, вершины прямоугольного треу-
гольника ASD находятся на окружности одного из ос-
нований цилиндра, причем AD — диаметр (рис 7),
а точки В и С на окружности другого основания Рис. 7
53
Рис. 8
Пусть В' и С' — проекции точек В и С на плоско-
сть ASD (рис. 8). Совпадение точек С* и D' невоз-
можно, так как условие ВС || AD влечет за собой в
этом случае равенство ВС = AD, что противоречит
условию задачи.
Л
Так как /-CDS = —, то по теореме о трех перпен-
дикулярах С'О ± SD. Но тогда AS DC* —- прямо-
угольник и AS " C'D. Трапеция АВ'CD вписана в
окружность, следовательно АВ' = C'D. Таким обра-
зом, АВ1 = AS и B'S -L AD. Обозначим через К точ-
ку пересечения АО и SB' Тогда В1 К = SK.
Ю 4 8
По условию задачи АО ~ “, В'С == ВС — -AD = —
О О
Из равнобедренного треугольника В'ОС (OB' и ОС1 — радиусы) находим
SK = OL = VOC'2 - LC2 = 1
Поскольку ВВ' перпендикулярна плоскости ASD, то плоскости SBB’ и
ASD перпендикулярны. Так как АО _L SB', то AD _1_ КВ, тогда КВ — высота
трапеции ABCD, и ЛВКВ' является углом между плоскостями ABCD и ASD.
Пусть h — высота пирамиды, опущенная из вершины S, тогда
V = ^SABCD‘h - + BC)BK-SK sin LBKB' = ±(AD + BC)SK-BB' = 2
Билет № 6
Ответы.
2. p = 20.
3. x = —arctg— + 2ли, k = 7,
2И/10 V3 1
~ 2775' 4 “ 2?2 •
Рис. 9
4. S = 25arctg^7 + 20 + =~ =
o
= - arctg2V2) + 20 +
О
Фигура M заштрихована (рис. 9), А(—2, 4),
„/ 10 10VT
Д-Т- Г“
5. 8/39
54
Ответы
Билет № 7
2
216
65я*
я — arctg- + 2ян, и Е Z, к -
18
Фигура М
заштрихована
(рис 10),
12 16\
. _ точка касания.
Билет № 8
Ответы
7 ОКР --
‘ РД " & *
а
16
с2/1’
на (рис 11), А(2, —2), ВI-
5. 48/73 '
i А Э 1
+ 4 = 2arctg—
2V5 10\
+ 4. Фигура М заштрихова-
Рис. 10
Рис. 11
55
Билет № 9
1. Так как 16х4 - 8х2 + 1 = (4х2 - I)2, то
ункции, входящие в нера-
। 1
венство, определены при | х | # тг, а само неравенство равносильно каждому
из следующих:
Их2 - II
14х2 — 11 > Зх
(9 1)
Левая часть (9.1) неотрицательна, поэтому все значения х такие, что
х S О,
являются решениями неравенства.
При х > 0 возникают две возможности, связанные со знаком числа
4Х2 — 1.
1) х > ~, тогда 4Х2 — 1 > 0, и неравенство (9 1) эквивалентно
4х2 - 1 > Зх, или (х - 1)(4х + 1) > О,
откуда с учетом условия х > ~ получаем х > 1
2) 0 < х < у, тогда 4Х2 - 1 < 0, и 1 - 4Х2 > Зх, или
1
(х + 1)(4х — 1) < 0, откуда 0 < х < ~
2. Вершиной параболы является точка (х0, у0), где
3 2 г— 9 25
х0 = v5 cosa ~ 5 > у0 = — (5 cos a — 3v5cosa + ~) —у-cos4a По условию
25 2 9 2
задачи у0 — Зх0, поэтому — cos 4a + 5 cos a — — = 0, или 50 cos 2a +
4 3
+ 10 cos 2a - 24 = 0, откуда cos 2a — — -, cos 2a = ~
Рис. 12
По условию y(°) ~ ——cos4a < 0, то есть
2 1
cos 4a > 0 или cos 2a > — Этому неравенст-
ву удовлетворяют лишь значения а, для кото-
4
рых cos 2a = — у
3. Пусть CD — х (рис 12), В' и Q' — про-
екции точек В и Q на прямую AD, а Q * —
проекция точки Q на прямую ВС. Тогда
56
QQ' = QM «= QQ" = I*. = V(QM)2 - (QQ")2 = ^, PM =
= 2Q”M ~ x/2 = 4, откуда x = 2/2. Поэтому
AB = V(BB')2 + (В'Л)2 = V(CO)2 + (BC - AD)2 = 3.
4. Найдем x и у из первых двух уравнений системы. С этой целью вычтем
из первого уравнения, умноженного на Ь, второе, умноженное на (Ь — 4)-
4(а + b - 4)х = 12 - b (9.2)
Кроме того, вычтем из второго уравнения, умноженного на а, первое, умно-
женное на (а “ 4):
4(а + b - 4)у = а + 8. (9.3)
Рассмотрим случай а + b 5й 4. Тогда система, состоящая из первых двух
уравнений исходной, имеет единственное решение
12-d (z+8
Х 4(а + Л-4): У 4(а + Ь — 4)'
Подставляя выражения для х и у в третье уравнение, после преобразований
получаем уравнение окружности (а + 13)2 + Ь2 — 169.
Условие а + b з* 4 означает, что из этой окружности необходимо исключить
точки (—8; 12) и (— 1; 5).
В случае а + b = 4 из соотношений (9.2) и (9.3) вытекает, что решение си-
стемы может существовать лишь для а = —8, Л — 12. При этих значениях а и
b исходная система принимает вид
“8х + 8у — 2,
. — 12х + 12у — 3,
12х + 2у “ 3
и имеет единственное решение.
Итак, фигура Ф является окружностью (а + 13)2 + 52 — 169 с исключенной
точкой ( — 1; 5) (рис. 13).
Легко видеть, что искомыми прямыми
будут:
1) й - — 4 7, а “ 0 — касатель-
ные к окружности, проведенные из точки
(0; 7),
2) b = 2а + 7 — прямая, проходящая
через точку (0; 7) и исключенную точку
("1; 5).
5. Заметив, что центр сферы, касаю-
щейся двух пересекающихся плоскостей,
лежит в биссекторной плоскости одного из
kb
Рис. 13
57
двугранных углов, образованных этими
плоскостями, найдем сначала множе-
ство точек, равноудаленных от плоско-
стей граней AS В, DSC и ABCD
(рис 14). Для этого проведем через
апофемы SK и SN граней AS В и DSC
плоскость а Тогда DC la и
АВ J. а, поэтому а перпендикулярна
плоскостям ABS, DSC и ABCD
Рассматриваемые биссекторные
плоскости пересекают а по биссектри-
сам внутренних и внешних углов рав-
нобедренного треугольника KSN
(рис 15) Проведем все эти биссект-
рисы Тогда в каждой из точек
Ор О2, О3, О4, и только в них, пересе-
каются три биссектрисы (по одной из
каждой вершины), причем
О,О2 II KN, S е OjO2, O2S = SN » SK = SO,
Отсюда следует, что точки, равноудаленные от плоскостей граней
AS В, DSC и ABCD, находятся на прямых, проходящих через точки
О,, О2, О3, О4 и параллельных ребрам АВ и CD
Отметим, что точки прямой, Проходящей через О4, не удовлетворяют усло-
виям задачи, так как О4Н = 2, HN = ^KN = 2, а, следовательно,
2-HNS — что невозможно Это
же утверждение справедливо и
для точки О3
Таким образом, центр сферы
может находиться только на пря-
мых А'В ' и CD' (рис 15), при-
чем высота пирамиды SH равна
радиусу сферы, то есть SH ~ 2
Те же рассуждения, применен-
ные к плоскостям граней
SBC, SAD и ABCD, показывают, Рис 15
что центр сферы может находить-
ся только в вершинах ромба А'В'СD' (A1 D' || В'С || AD), а точка 5 является
центром этого ромба, А'В'C’D' со ABCD с коэффициентом подобия = V2
Точки А' и С не подходят, т к когда - 2 и АВ = ™ < 4 = KN
58
Для точек В' и D'
внг = |в'х2 = |(в'я2 - sh2) = ^ав2 - г,
внг = -'bd2 = 7 I {ав - Vas2 - 16 ) + 16) =
4 4 \ \ / /
~ LAB2 - abJab1 - 16
Отсюда получаем АВ = 3VT, V ~ ^АВ-KN*SH = 8VT.
Билет № 10
Ответы
U
и Е Z. 16ctg2a — 5cosa — 7 = 0,
2. а = —arctg2 + тги,
(tg2a)j = -2,
(tg2a)2 ш 4-
3. Pmnc ~ 2(2 + V13).
(рис. 16).
— парабола с исключенной
точкой P =
r 3
2’ 16/
/
Прямые: a ~ —6 — параллель-
ная оси, Ь =
13
12a
— каса-
t 11 . 5
тельная, b = — -z-та + - —- про-
24 4
ходит через искомую точку.
Рис. 16
Билет № 11
Ответы
59
~arccos
2а — cos 4а — 7 = 0, (cos2a)j = —
(cos2a)2 =
3- Pabcd ~ 5°
4. Ф = ш + (д + 5) — 25 \ {(“3; -1J) — окружность с исключенном
точкой Р = (—3; —1) (рис. 18) Прямые. b = 0 — касательная,
b - - (а - 10) — касательная, Ъ = -“(а - 10) проходит через искомую точку
У=Д(а -10)
Рис. 18
-10)
Рис. 19
Билет № 12
2. а = arctg- + лк,
О
2
3’
4. Ф — = — (а — а — 2)} \ {(—6, 12)| — парабола с исключенной точ-
кой Р = (—6, 12) (рис 19). Прямые, а — 4 — параллельная оси,
21 27 9 33
b - — а —~-----касательная, b - ~~[да + ~5--проходит через исключенную
точку.
5. R - 3, d = V35.
60
ФИЗИКА 1992 (ОТВЕТЫ)
Билет № 1
1. При движении вниз: гпат = mgsina - kmgcosa-, вверх: maBB -
= mgsina + kmgcosa. Отсюда sina = e 0.3; a ° 18°.
2. Давление на дне водоема р = 3 атм Поэтому масса воздуха в колоколе
т ~ = 2 ~ e 36 кг. На поверхности при р ~ 1 атм в колоколе
Кл o,31'Z9U
было -j’36 = 12 кг воздуха. Значит, из баллонов в колокол надо перекачать
24 кг воздуха. В одном баллоне объемом V\ = 40 л при р — 200 атм содержится
29*10-3*2*107*40*10-3
т1 — ------8~31~290--------“ в03дУха* Таким образом, необходимое ко-
личество баллонов равно 24/9,7 — 2,5, т.е. достаточно трех баллонов.
3. При условии <к 1 можно считать, что частицы движутся по окружности
радиуса R =
гласно закону сохранения энергии, mv^/2 + EqR = тиг/2, следовательно,
ДК = EqR. Отсюда, учитывая, что Е/(у0В) = получим ДК7/С0 = 2/J
4. Первое положение: продолжения боковых сторон трапеции пересекаются
в оптическом центре линзы.
Второе положение: продолжения боковых
сторон трапеции пересекаются в фокусе линзы.
Таким образом, сторона АВ находится на рас-
стоянии d = F/2, |/| = F и Г = — = 2
Билет № 2
1 Ят» = Gsin« " a^/^cosa) = (10*^ - 4)* 10*| = &,04. >
2 Разница во времени определяется различием в массах воздуха, остающих-
ся в баллонах на глубине 5 м (под давлением 1,5 атм) и на глубине 25 м
(3,5 атм) Разность этих масс
Дщ = fiApV/(RT) ~ 29* 10~3*2* 105,20* 10~3/(8,31 *290) « 0,05 кг.
61
Расход воздуха для дыхания аквалангиста
л - ™ „„ V /(ч'Г\ - 29’КГЧоЧ,5 10-3 20 _ Л Л. .
Amt = 20 - ppQV ^/{Rr) = ------- 31-290----- кг/мин
Разность времени Ат/Апц » 50 сек
3 По закону сохранения импульса скорость центрального шарика равна
а крайних — — и72. По закону сохранения энергии имеем
= + + , W2.2. т(цЛ)2
4ле0 а 4л£0 а а 2а) 2 2
Отсюда v —
Q
V&tEQma
что перемещение А = F Для отрицательной линзы
4 Достаточно очевидно,
г2 = 7ТТ+7 = Т+г7 ’ тогда Г = г" “ откуда
Билет № 3
1 sina = (лвверх + aBHH3)/2g = (2 + 8/9)/20 « 0,15, а « 9“
2 (См рис ) Я = 3 м, h = 2 м.
По закону Бойля-Мариотта Pq^S =
= (р0 + pgH — pg[h — x)) xS (S — площадь осно-
вания колокола, pQ — атмосферное давление), от-
куда х2 + (Я + (p0/pg) - h)x - pQh/(pg) - 0 и
-11,5 + Vn,52 + 84
х = ----------м-
3 Частица движется по окружности радиуса R = Когда ее скорость
и ||t>0, она перемещается по полю Е nd расстояние 2R По закону сохранения
энергии + qE*2R — mu2/2, откуда АК/К0 = 4Я/(и0В) = /3 и
Я/(и0В) = /3/4
4 Первое положение: продолжения боковых сторон трапеции пересекаются
в фокусе линзы
Второе положение: продолжения боковых
сторон трапеции пересекаются в точке, соот-
ветствующей двойному фокусу линзы Таким
образом, АВ находится на расстоянии
d = 3F/2 от линзы, f — ЗРиГ=//йГ = 2
62
Билет № 4
1 Коэффициент трения р максимален на участке 2—3, когда ускорение от-
рицательно (а — —2), откуда
I^max (ffslna " aj/^cosa = (10/7 + 2)/(10V48/7) » 0,3
2 Пусть V — объем сосуда; и — объем баллона, р0 — давление в нем и
V/v = 3. Тогда
Р\(У + и) ~ Pov’
Рг(У + и) = Piv + Pov>
Pj. v + v 4
откуда - = = -
3 Когда шарики образовали равносторонний треугольник, все они движутся
с одной и той же скоростью и/3. По закону сохранения энергии имеем
1 5 wv2 _ 1 3^+3
4л^0 2 а 2 4ле0 а 2
откуда и = (д/2) • V3/(2л£0та).
4 . Первое положение: продолжения боковых
сторон трапеции пересекаются на расстоянии
2F от линзы.
Второе положение: продолжения боковых
сторон пересекаются в фокусе линзы
Пусть во втором положении расстояние от линзы до трапеции равно йГ, тогда
в первом положении оно равно d + F Для положительной линзы имеем
'Г2 = j ~ • а Г1 ~ d + F-F ~ d ’ откуда Г2 ~ 1 - г ” 1 - 0,8 ~ 3 4
Билет № 5
1 л pMg г-г Л/ - . 4лг2Л т _ Л -
1 НН А < '—~ Так как — = 5, то а > —— ~ ~ 0,1
(Тj т т М
А = (-Зг^Я/2 - 5у2Я/2)(Тг - То),
Ро^О ~ + Р2)Я^0,
откуда А - ~PqV0
6 А
13 Р0У0
3 Рассмотрим эквивалентную схему (см. рис )
Здесь = Bv • 2а, г = р R - Р тогда
= 4 vBS 1 2 vBS
Jn г + R/2 4 + л р ИУк 2Уп 4 + я р
3
63
4 Рассмотрим ход лучей в линзе (см рис ) Из рисунка видно, что АЛОВ —
прямоугольный, АО == ОВ, поэтому а = 45°
Пусть теперь р0 = W/c — начальный импульс пучка света, р0/2 — имульс
отраженного от зеркала пучка света.
Так как Ft
яи ________
Ар. то F V5 + 2A =
2,3 Н
Билет № 6
1 Пусть масса верхнего груза равна mt, нижнего — т2 (Wj + т2 = т), х0 —
удлинение пружины в состоянии равновесия. Максимальное расстояние «оття-
гивания» — это амплитуда колебаний системы А Верхний груз будет оставаться
в покое, если к(А ~ х0) < rppxQ удовлетворяет условию kxQ = m2g Отсюда
^=0,1м
X
[АС/ = (З^Я/2 + 5v2R/2)AT,
2- рЬУ = (?1 + V^RAT.
3
Отсюда At/ » рАК ~
vl \ = 9
+ г, 1 4
£ J
3 Рассмотрим эквивалентную схему (см рис ) Здесь & — vB-Za.a — радиус
кольца,
я 4
4 + я
яа 2л _ %?
r ~ Р 5 * — Р g . тогда /п — + г//2
ри/к 2 7п 4 + я р
4 (См реш задачи 4 из билета № 5)
Пусть pQ — W/c — импульс падающего
пучка света, р0/2 — импульс прошедшего
пучка, а = 30°. Так как Ft = то
F = 15 V5- 2V3 = 1 Н
X L-*
64
Билет № 7
1. Из уравнения колебаний следует, что v = ~j^A, где А — амплитуда коле-
4л2
баний. Совместные колебания доски и бруска возможны, если — А < fig, от-
2тг v
сюда д > — - « 0,3
2 (См. решение задачи 2 в билете № 5)
л = -РоИэ (t + = Ро^о-(9/4)-(3/4) =
= 37 -105 10^3-(27/16) = 6250 Дж.
а = 30°, р0 = W/c — импульс падающего
пучка света, рр/2 — импульс прошедших»
пучка света
Таким образом,
F = |^V5 + 2^T« 1,9 Н.
Билет № 8
2
I. Нить не будет провисать при условии ш А < g, откуда — А < g и
[е = (3*./г/2 + 5v,R/2)AT.
ДрК-^+^ДГ.
V&P
220 3
IO-3 10s 2
65
3 Рассмотрим эквивалентную схему (см рис.)
Здесь & = BvaVl, а — длина стороны
2а „ aVT _ %? BvSVl
Г - р R - р s , J - R + r/2~ р(1 + V2)’
о - 'Р({ +
да В - VZvS
Тогда
отку-
Г "%
4 (См решение задачи 4 из билета 5).
р0 = W/c — импульс падающего пучка света,
р0/2 — импульс прошедшего пучка света,
а = 45°
Таким образом, F = -—V5 - 2/2 ** 1 Н.
£ сг
Билет № 9
1. Остановиться может только шарик массой т Согласно законам сохране-
ния импульса и энергии,
кх*72 + (т + M)vl/2 = Mv2/2, г?—/ГТ/гт—7т
v 70 откуда х — v у/{т/к) (\+т/М)
(т + A/)v0 = Mv,
ключа возникнут колебания
» dl л
1 = 'max’ имеем * = ° И
3. После замыкания
(£С-контур) Когда
эдс = — £ ~ = О, т.е. напряжение между пластина-
ми 1—3 равно нулю. Если заряды на пластинах 1, 3
в этот момент равны — q и 4-</, то поле между ними
складывается из постоянного поля Яо заряда Q и поля
зарядов — <7 и
Итак, t/13 = 0 = E0(d2 " ^1) “ ^1(^1 + ^2)
^2
+ ^1
Отсюда — Яо
Так как полная энергия поля сохраняется, то
(Й1 + dJS = (Ео + Ef dtS + у (£0 - ^)2 d2S + L^
откуда
Лпах ” 4" rfj) ^1) ^1) '
66
4. По условию система — телескопическая и
останется таковой и после перестановки линз*
Увеличение в обоих случаях не зависит от поло-
жения предмета (см рис.) и равно в первом слу-
чае 1\ =
, а во втором Г2 —
Отноше-
ние увеличений Г2/1\ = ^/^2 = 1/25
Билет № 10
1. В системе координат, движущейся со скоростью и, грузы
покоятся, а после отрыва разлетятся с одинаковыми скоростями
в противоположны направлениях. Так как в неподвижной си-
стеме угол разлета 90°, то в силу теоремы Пифагора (см рис )
= v Тогда fcx2/2 = 2mv2/2 = mv2 и к = 2mv2/x2
2. Пусть Kj и У2“ объемы вначале, К/ и V2 — в конце Имеем.
+ Уг = И' + Уъ = уй> У1 = У1' = 0УО-
Из условия механического равновесия следует, что давления в обеих частях
сосуда равны, т.е + Рп ~ Po^l^v следовательно, рп —
= Ро(Р “ «)/(1 “ По условию рп/р0 = 3,5, р = 2а. Тогда а — 3/7
3. (См решение задачи 3 в билете № 9). Когда
7 = /шах, — Eq По закону сохранения энергии
(е0/2)Е^ • 2d = (e0/2)£^d + Д/* ах/2) Отсюда
7шах ~ ~ ^£QSd/L. Так как = Q/(2e0S), to
Лпах = (Q/2)Vd/(e0S£y.
(См
рис
67
Билет № 11
1 Решим задачу в системе координат, движущейся вместе с шариками с
искомой скоростью v. Пусть в этой системе скорости шариков массами Зт и
т равны соответственно и Vj. Тогда кх^/2 = 3mvJ/2 4- и
Зти^ = nw2, откуда v2 ~ 6v и v = х^к/48m.
2 Масса углекислоты в одном баллоне т — 10 г, — количество раство-
ренной в воде
рУ = (1 -Д)^ят,
углекислоты, /х = 44 — ее молярный вес Тогда
, a (4>v 4410"3-3 105 0,2 10-3
откуда 1 - р = -^= =-------------------------- =0Д и
mRT 10 10 3-8,31-297
3. После замыкания ключа возникнут колебания
(£С — контур). Когда заряды на пластинах 1, 3 макси-
г/д
г *шах л
мальны, ток через катушку равен / = - « 0, а ее маг-
нитная энергия — нулевая. По закону сохранения энер-
гии имеем (£0/2)JE^(d1 4- d2) = (с0/2)(Я0 4- E^d^ 4-
+ (ео/2)(Е0 — Ely,d2, откуда находим два возможных
значения Er. Et = 0 и Е} = 2E0(d^ ~ + ^i)- Так как Ео — постоянное
поле заряда Q и Ео = Q/(2e0S), а Е, = то:
d~ — d,
1) = Q Г ГТ" > 0
^max d2 4 d}
2) При наличии омических потерь на пластинах 1, 3 установится заряд
который находится из условия равенства нулю напряжения между пластинами.
E0(rf2 - rfj - E*(rf2 + dj) = 0, поэтому Е* = E0(d2 - dt)/(d2 + d,) и
Я = ?max/2
№ 9). По условию система — телеско-
2,5 см
4 (См решение задачи 4 из билета
100
16
пическая, и = Л
Билет № 12
1. В системе к
рдинат, движущейся с шариками со
скоростью и, шарики разлетятся с одинаковыми скоро-
стями в противоположные стороны. Так как
vi — v/cosa, то Лх^/2 = 2mv^/2 и т =
kx?cos2a/2v2.
68
2. Для воздуха имеем:
Р0 ~ “Рг
РРо - Рп
PV1
т„оз
откуда д—
РРо
X, Г, уг2 и X 12
3. На пластинах 2, 3 заряд <7тах создает поле
Е1 = ^ах/^О5)' КогДа <72,3 = ±?л>ах’ 7 = ° И ПО
закону сохранения энергии £0^/2 =
= е0(Е0 - Ej)2/2. Для поля Et имеем Е1 = 0 и
Et = 2Е0 или 9шах = Q. В этот момент
э.д.с. = 2dl/dt = Eod = £M/(2£0S), откуда
dl/dt = Qd/(2E0SL).
4. (См. рис.) 1 + 1 = -1, -fi21 =
= b ь = р(.. а + А _ ._«-Л \ =
2 1 I а + А + F a-A + Fl
_ 2AF2 _ 21 4 = 8
(F + a)2~A2 (2 + 4)2-1 35‘
69
МАТЕМАТИКА 1992 (ОТВЕТЫ)
Билет № 1
1. х = arccos-^ + лк - arctgViy + лк
2. /.ВАС = arctg2, /.ABC - у - arctg2.
3. у = 2(х + 2)2 + 25. 4. SE = у, BE = |, Е = 0 Л SB
5 fl Второй велосипедист обгонит первого впервые, проехав 5 полных
кругов и еще у S
Билет № 2
1 х = arccos| + (2и + 1>. 2 LA = /.В = |тг 3. у = -^(х - 8)2.
4 SE — СЕ = |, Е = а Л SC. 5 «Вольво» совершит обгон «Мер-
2
седеса», пройдя 12 полных кругов и еще -5.
Билет № 3
1. х = arccosj + лп = arcctgVS” + лп. 2. 6 + 2/2.
3 у = —(х - I)2 — 6 4. SE = |, СЕ = ||, Е = 0 Л SC 5 у у Второй
лыжник обгонит первого впервые, проехав 14 полных кругов и еще S.
Билет № 4
1. X = arcsinj + (2и + 1)я. 2 АВ = 2/2. 3. у = |(х + 9)2.
4. SE - DE = Е = а Л SD 5. у «Рено» совершит обгон «Крайс-
лера», пройдя 10 полных кругов и еще S.
Билет № 5
1. 2. -2. 3. 27, а = у |х + 2у - 3j Локальный максимум — 3,
* = 4-<
Билет № 6
1. у 2. у 3. 2, а — 1. (у — х — 2}. Локальный минимум — у\ а — 5,
{x = ^Vr у==ттт}- 4-15V3- 5./3-1
Билет № 7
1. 2. -1. 3. 2, а - 3, |х + Зу = 2}. Локальный максимум — у
« = = у=ггз1-4-3^-5-
Билет № 8
1. Нет решений 2 у 3 6, а — —1, {у = х + 3} Локальный минимум —
Ц, а = 4, (х = —у = ^±1. 4. 60/3 5. 2/3 - 2
о I а — 1 а — 1 J
Билет № 9
1. 40 2. log, | < х < log, у 0 <х <log, 4
2
х = — arccos- 4- 2лк,
у + (-l)m+ Bresin + лт
4. Сечение — пятиугольник. 5 П9, П10, Пп. Турист должен сесть в ав-
тобус № 66, если в момент отплытия отправляется автобус № 0
71
Билет № 10
1 || 2 logJ/2 2 < х < 1, х < -1
1х = arctg4 + 2лк, lx = arctg4 + (2Jt + 1)л,
arccos| -+ 2л m, = arccos| + (2m + l)?r
4 12 Сечение — шестиугольник
5 П7, П8, П9 Путешественник должен сесть в дилижанс № 21, если в мо-
мент отплытия отправляется дилижанс № О
Билет № 11
1 f 2 logA < х < logs|, 0 < х < logs3
Ix = arcsin| + 2л к, x = -arcsin| + (2k + 1).t,
vTY I VL5
у - ±arccos-^y + 2л m, |^= ±arccos-^y + (2m + 1)jt
27
4 — Сечение — пятиугольник
5 П7, П8, П9 Студент должен сесть в электричку № 26, если в момент от-
тлытия отправляется электричка № О
Билет № 12
1 —. 2 logM/93 < х < 1, х < —j
3 lx = arctg| + 2лт, I arctg| + (2т + 1)зт,
|у = arctg2/2 + 2тгп, |^,= arctg2/2 + (2и + 1)лг
4 31. Сечение — шестиугольник
5 . П8, П9, П)о. Курьер должен сесть в кабриолег № 22, если в момент от-
плытия отправляется кабриолет № 0.