/
Author: Леоненко Д.В.
Tags: механика деформируемых тел упругость деформация общетехнические дисциплины физика механика
ISBN: 978-985-468-968-5
Year: 2012
Text
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»
КАФЕДРА СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Д. В. Леоненко
ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ
СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ
Учебно-методическое пособие по выполнению контрольной работы № 1
«Построение эпюр внутренних силовых факторов» для студентов
технических специальностей факультета безотрывного обучения
Одобрено методической комиссией ФБО
Гомель 2012
УДК 539.3 (075.8)
ББК 30.121я 7
Л47
Рецензент - заведующий кафедрой «Техническая физика и
теоретическая механика» канд. техн, наук, доцент
А. О. Шимановский (УО «БелГУТ»)
Леоненко, Д. В.
Л47 Эпюры внутренних силовых факторов : учеб.-метод, пособие
по выполнению контрольной работы № 1 «Построение эпюр
внутренних силовых факторов» для студентов технических спе-
циальностей факультета безотрывного обучения / Д. В. Леонен-
ко; М-во образования Респ. Беларусь, Белорус, гос. ун-т трансп.
- Гомель : БелГУТ, 2012. - 51 с.
ISBN 978-985-468-968-5
Изложены краткие теоретические сведения о способах определе-
ния реакций связей и внутренних сил. Рассмотрены примеры реше-
ния задач по построению эпюр силовых факторов.
Предназначено для студентов технических специальностей ФБО.
УДК 539.3 (075.8)
ББК 30.121я7
ISBN 978-985-468-968-5
© Леоненко Д. В., 2012
© Оформление. УО «БелГУТ», 2012
ОГЛАВЛЕНИЕ
1 КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ....................... 4
1.1 Сооружение и его расчетная схема .................. 4
1.2 Внешние силы ..................................... 5
1.2.1 Сосредоточенные силы .......................... 5
1.2.2 Момент силы. Момент пары сил .................. 7
1.2.3 Распределенные силы............................ 8
1.2.4 Связи и их реакции ............................ 9
1.2.5 Уравнения равновесия ......................... 11
1.3 Внутренние силы .................................. 13
1.3.1 Метод сечений ................................ 13
1.3.2 Построение эпюр внутренних силовых факторов ...14
2 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ .............................. 17
2.1 Определение реакций опор ......................... 17
2.2 Построение эпюр для стержней .....................21
2.3 Построение эпюр для рам ..........................35
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.......................................47
ПРИЛОЖЕНИЕ А Основные вопросы учебных программ по дисцип-
линам «Сопротивление материалов», «Механика материалов». 48
ДД КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
1.1 СООРУЖЕНИЕ И ЕГО РАСЧЕТНАЯ СХЕМА
f —О
Рисунок 1.1
В зависимости
Всякое сооружение состоит из большого числа элементов, которые
по своей геометрической форме разделяются на ряд типов:
стержень - элемент системы, у которого
размеры поперечного сечения много меньше
продольного размера (рисунок 1.1, а);
пластина и оболочка - элементы, толщина
которых мала по сравнению с двумя други-
ми размерами; у пластины срединная по-
верхность плоская, у оболочки - криволи-
нейная (рисунок 1.1, б)\
массивное тело — элемент сооружения, все
размеры которого имеют один и тот же по-
рядок (рисунок 1.1, в).
Объект изучения сопротивления материалов —
стержень. Осевая линия стержня является гео-
метрическим местом центров тяжести попереч-
ных сечений. Многие сложные конструкции со-
ставлены из стержней.
г того, как стержень расположен по отношению к
другим элементам и как нагружен, он может называться балкой, ри-
гелем, стойкой, колонной, брусом и т. д. Стержень, работающий на
изгиб, обычно называют балкой (рисунок 1.2, а, б). Балкой является
не только строительная балка, но и вал, болт, ось вагона, зуб шестер-
ни и т. д. Вертикальный стержень, работающий на сжатие, называют
стойкой.
Под стержневой системой в широком смысле слова пони-
мается всякая геометрически неизменяемая конструкция, состоящая
из стержней.
Рама - стержневая система с жестким соединением прямолиней-
ных элементов во всех или некоторых узлах (рисунок 1.2, в). Жест-
кость узлов устраняет возможность взаимного поворота скрепленных
стержней. Стержни плоских рам работают на изгиб или изгиб с рас-
тяжением (сжатием). Вертикальные стержни рамы принято называть
стойками, горизонтальные - ригелями.
Ферма — стержневая система, состоящая из прямых стержней, ко-
торые, как правило, соединены в треугольники (рисунок 1.2, г). Если
нагрузка приложена в шарнирных узлах, элементы фермы работают
на растяжение или сжатие.
4
Расчет элемента сооружения с точным учетом всех особенностей
является сложной и практически неразрешимой задачей. В инженер-
ных расчетах достаточно рассмотреть упрощенную схему элемента, с
некоторой точностью отражающую его действительную работу.
Расчетная схема - упрощенное изображение элемента или всей
конструкции, учитывающее только основные факторы, определяющие
их поведение под нагрузкой.
При составлении расчетной
схемы:
стержни (балки, стойки и т. д.)
заменяются осевыми линиями;
нагрузки с поверхностей
стержней переносятся на оси;
реальные связи между эле-
ментами и опорные устройст-
ва заменяются идеальными
связями (шарнирами, невесо-
мыми стержнями);
поперечные сечения стержней
независимо от их формы ха-
рактеризуются численными
значениями геометрических
характеристик (площадей и
моментов инерции и др.).
На рисунке 1.2 слева показаны
элементы сооружений, справа - их
расчетные схемы. Выбор расчетной
схемы сооружения — ответственная
задача. Неправильный выбор мо-
жет привести либо к неэкономич-
ному проекту, либо к разрушению
после его осуществления, поэтому
ни первого, а тем более второго, не
должно быть.
Рисунок 1.2
1.2 ВНЕШНИЕ СИЛЫ
1.2.1 Сосредоточенные силы
Основной величиной, с помощью которой оценивается взаимодей-
ствие тел, является сила. Сила считается основным, первичным
понятием, не выражающимся через другие понятия.
Внешними называются силы, действующие на частицы данного
тела со стороны других тел. Внутренними называются силы, с кото-
рыми частицы данного тела действуют друг на друга.
Сила является векторной мерой, так как характеризуется число-
вой величиной (модулем), направлением и точкой приложения.
5
сил
Рисунок 1.3
Вектор силы обозначается буквойс чертой
или стрелкой над нею (например, F , F ), а
модуль силы - той же буквой, но без черты
(F). Графически сила изображается направ-
ленным отрезком (рисунок 1.3). Длина этого
отрезка выражает модуль силы, стрелка по-
казывает ее направление, точка А или В яв-
ляется точкой приложения силы1). Прямая,
вдоль которой направлена сила, называется
линией действия силы. Основной единицей
измерения силы в Международной системе
единиц (СИ) является 1 ньютон (1 Н). Мо-
жет применяться и более крупная единица -
1 килоньютон (1 кН = 1000 Н).
Системой сил называется совокупность сил, действующих на
тело. Если линии действия всех сил лежат в одной плоскости, систе-
ма называется плоской, иначе - пространственной. Мы будем рас-
сматривать только плоские системы сил.
Тело, которое не связано с другими телами и может совершать лю-
бые перемещения, называется свободным (например, воздушный шар
в воздухе). Несвободное тело — тело, перемещениям которого в про-
странстве препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или со-
прикасающиеся с ним тела.
Разложение силы по заданным направ-
лениям. По правилу параллелограмма одну
силу можно разложить на две составляю-
щие. Разложим силу F (рисунок 1.4) по
направлениям, параллельным осям коорди-
нат х, у (сила и оси лежат j одной плоско-
сти). Векторные величины Fx, F , называют-
ся составляющими силы F по
осям координат.
Рисунок 1.4
Проецирование силы на оси координат. Для решения задач удоб-
но задавать силу ее проекциями.
Проекцией силы на ось называется скалярная величина,
равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенно-
го между проекциями начала и конца силы.
Проекция равна произведению модуля силы на косинус угла меж-
ду вектором силы и осью. Проекция положительна, если составляющая
силы по оси Fx (или F ) совпадает с направлением оси, и отрицатель-
на, если они противоположны. Если сила перпендикулярна оси, то ее про-
екция на ось равна нулю.
11 Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практиче-
ски приложить силу к телу в одной точке нельзя. Сосредоточенные силы пе-
редаются через малые площадки. Из-за малости площадок соприкосновения
эти силы считаются приложенными к точкам.
6
Скалярные величины Fx, Fy (см. рисунок 1.4) - проекции силы F
на оси х, у:
Fy = F cos а > О ; Fy = F cos 0 < О .
Модуль силы F = +F^ .
Л.2.2 Момент силы. Момент пары сил
Вращательное действие силы на твердое тело характеризуется ее
моментом.
Момент силы относительно точки. Алгебраическим моментом си-
лы F относительно точки О называется произведение модуля силы
F на плечо h, взятое со знаком плюс или минус (рисунок 1.5):
Mo(F) = ±Fh.
Плечом h называется кратчайшее расстояние от центра О (мо-
ментной точки) до линии действия силы (т. е. перпендикуляр, опу-
щенный из точки на линию действия силы).
Момент считается положительным,
если сила стремится повернуть тело во-
круг центра О против хода часовой
стрелки, и отрицательным - при пово-
роте по ходу стрелки. Размерность мо-
мента силы в системе СИ — ньютон-
метр (Н -м).
Момент не изменяется при переносе
силы вдоль ее линии действия. Момент
силы равен нулю, если линия действия
силы проходит через моментную точку
(плечо h = 0).
Момент силы относительно оси.
Проведем через точку О ось х перпен-
дикулярно плоскости, в которой лежат
сила и_точка О1' (рисунок 1.6). Момент
силы F относительно оси х будет сов-
падать с моментом силы F относитель-
но точки О:
Mx(F) = Mo(F) = ±Fh .
Как и Мо, момент Мх есть скаляр-
ная величина.
Рисунок 1.5
Рисунок 1.6
Пара сил и ее момент. Парой сил называется система двух парал-
лельных сил, равных по модулю и направленных в противоположные
стороны. Пару сил обычно прикладывают к телу, чтобы сообщить ему
вращение (рисунок 1.7).
4 Более детально с понятием момента силы для общих случаев можно по-
знакомиться в литературе [3].
7
Рисунок 1.7
Алгебраический момент пары
сил равен моменту одной из них
относительно точки приложения
другой. При этом алгебраиче-
ский момент пары определяется
как взятое с соответствующим
знаком произведение модуля
одной из сил пары на плечо:
M = ±Fh,
где h — плечо пары (кратчайшее расстояние между линиями действия сил).
Правило знаков здесь такое же, как для момента силы: момент
считается положительным, если пара сил стремится повернуть тело
вокруг центра О против хода часовой стрелки (рисунок 1.8, а), и от-
рицательным - если по ходу стрелки (рисунок 1.8, б).
Рисунок 1.8
Пара сил характеризуется только ее моментом, поэтому на ри-
сунках часто пару изображают дуговой стрелкой, показывающей на-
правление поворота (см. рисунок 1.8).
Л.2.3 Распределенные силы
В задачах расчета конструкций часто встречаются распреде-
ленные (погонные) силы - плоские системы параллельных
сил, распределенные вдоль прямой линии.
Рассмотрим способы перехода от погонных сил к сосредоточен-
ным. Распределенные силы характеризуются интенсивностью q- ве-
личиной силы, приходящейся на единицу длины нагруженного от-
резка. Измеряется интенсивность в ньютонах, деленных на метры (Н/м).
Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по произвольному
закону. При статических расчетах эту систему сил можно заменить
равнодействующей Q , которая по модулю равна площади Q фигуры,
показанной на рисунке 1.9, а:
/
Q = J q(z)dz = £1.
о
Сила Q проходит через центр тяжести этой площади.
8
Рисунок 1.9
Равномерно распределенные силы (рисунок 1.9, б). Для такой
системы сил интенсивность q является величиной постоянной. При
статических расчетах эту систему сил можно заменить равнодейст-
вующей Q , приложенной в середине участка. По модулю
Q = ql.
Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по линейному зако-
ну (рисунок 1.9, в). Для этих сил интенсивность q является величи-
ной переменной, растущей от нуля до максимального значения до-
Равнодействующая Q таких сил по модулю
Q = "2 •
Приложена сила Q на расстоянии 1/3 от прямого угла.
Л.2.4 Связи и их реакции
Любые ограничения, накладываемые на Движения тел, в механи-
ке называют связями. Например, поверхность стола для лежащего
на нем ластика, якорь для судна, опоры для балки — все это связи
для указанных тел.
Активные силы и реакции связей. Тело, находясь под действием
внешних сил, действует на связь с некоторой силой — силой Дав-
ления на связь. Одновременно связь будет действовать на тело с
такой же по модулю, но противоположно направленной силой.
Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем
или иным его перемещениям, называется реакцией связи. На-
правлена реакция в сторону, противоположную той, куда связь не
дает перемещаться телу.
В дальнейшем силы, не являющиеся реакциями связей, будем на-
зывать активными силами. Особенностью активной силы явля-
ется то, что ее модуль и направление непосредственно не зависят от
других, действующих на тело, сил.
Реакция связи отличается от действующих на тело активных сил
тем, что ее значение всегда зависит от этих сил и заранее неизвестно;
для определения реакции надо решить соответствующую задачу статики.
Определение реакций связей имеет то практическое значение, что,
зная их, мы будем знать и силы давления на связи, т. е. те исходные
9
данные, которые необходимы для расчета
прочности соответствующих частей кон-
струкции.
Реакции основных видов связей.
Стержень и подвижная шарнир-
ная опора. Пусть в какой-нибудь кон-
струкции связью является невесомый
стержень, закрепленный на концах шар-
нирами (рисунок 1.10, а). Реакция будет
направлена вдоль оси стержня.
У подвижной шарнирной опоры (рисунок 1.10, б) реакция на-
правлена по нормали к поверхности, на которую опираются катки.
Шарнир и неподвижная шарнирная опора. Шарниром
называется такое подвижное соединение тел, которое дает им воз-
можность свободно поворачиваться относительно друг друга. С точки
зрения кинематики введение шарнира устраняет взаимные линейные
смещения в двух направлениях, допуская лишь поворот (рису-
нок 1.11, а). Поэтому шарнир эквивалентен двум одиночным связям.
Если таким способом присоединить тело к неподвижному основа-
нию, то получается неподвижная шарнирная опора (рисунок 1.11, б).
Ее расчетную схему можно принять в виде двух непараллельных
опорных стержней. В статическом отношении шарнир и шарнирно-
неподвижная опора характеризуется силой взаимодействия R , про-
ходящей через их центр. Эту силу удобно представлять в виде двух
составляющих, чаще всего горизонтальной V и вертикальной Н.
Рисунок 1.11
Жесткая заделка (защемление). Так
называется связь, ограничивающая любые пере-
мещения тела (рисунок 1.12). В жесткой заделке
может возникать сила реакции любого направ-
ления, проходящая через любую точку. Эту силу
можно представить в виде трех составляющих:
двух сил по заданным направлениям и момента
относительно опорной точки. Жесткая заделка —
самый распространенный тип связей в инженер- Рисунок 1.12
ной практике. Примеры жестко заделанных эле-
ментов конструкций: подоконник, балконная плита, свая и т. п.
10
Л.2.5 Уравнения равновесия
Аналитические условия равновесия тела для произвольной пло-
ской системы сил. Условимся оси z, у располагать в плоскости систе-
мы, ось х - в плоскости поперечного сечения (рисунок 1.13).
Первая форма условий рав-
новесия. Для равновесия произволь-
ной плоской системы п сил необходимо
и достаточно1^, чтобы суммы проекций
всех сил на каждую из двух координат-
ных осей z, у и сумма их моментов от-
носительно любого центра С, лежащего
в плоскости действия сил, были равны
нулю:
п п п
£zk=0; £У/с=°; =0. (1.1)
к=1 к=1 к=1
По механическому смыслу первые два из этих условий выражают
условия того, чтобы тело не имело перемещений вдоль осей коорди-
нат, а третье - условие отсутствия вращения в плоскости zy.
Вторая форма условий равновесия. Для равновесия
произвольной плоской системы п сил необходимо и достаточно, чтобы
суммы моментов всех этих сил относительно каких-нибудь двух цен-
тров А и В и сумма их проекций на ось у, не перпендикулярную к
прямой АВ, были равны нулю:
^МкА=0; £Y/c=°- (1-2)
к=1 к=1 к=1
Третья форма условий равновесия. Для равновесия
произвольной плоской системы п сил необходимо и достаточно, чтобы
суммы моментов всех этих сил относительно любых трех пентров А, В
и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:
п п п
^мкА=0; YM*B=0; Хм^=о. (1.3)
к=1 к=1 к=1
Во всех рассмотренных случаях для плоской системы сил получа-
ются три независимых уравнения равновесия. Первая форма считает-
ся основной, так как никаких ограничений на выбор координатных
осей и центра моментов не налагается.
Если на тело наряду с плоской системой действует система лежа-
щих в той же плоскости пар с моментами, то в уравнении моментов
наряду с моментами сил учитываются моменты пар.
Индекс суммирования «к» иногда для краткости будем опускать.
4 Выражение «необходимо и достаточно» обозначает, что если система
находится в равновесии, то суммы сил и моментов равны нулю, и наоборот,
если равны нулю суммы сил и моментов, то система находится в равновесии.
11
Аналитические условия равновесия для плоской системы парал-
лельных сил. В случае, когда все действующие на тело силы парал-
лельны друг другу, мы можем направить ось z перпендикулярно си-
лам, а ось у - параллельно им (рисунок 1.14). Тогда проекция каж-
дой из сил на ось z будет равна нулю, и первое из равенств (1.1) обра-
тится в тождество вида 0 = 0. В результате для параллельных сил ос-
танется два независимых условия равновесия:
п п
^Yk=0; £Mkc=0,
/с=] к=1
Рисунок 1.14
где ось у параллельна силам.
Другая форма условий равновесия для
параллельных сил, получающаяся из ра-
венств (1.2) или (1.3), имеет вид
п п
^МкА=0;
к=1 к=1
при этом отрезок АВ не должен быть па-
раллелен силам.
Правило знаков. Напомним, что проекция силы на ось считается
положительной, если ее направление совпадает с направлением оси,
отрицательной - если сила ей противоположна.
Моменты сил и пар сил в уравнениях равновесия берутся со знаком
«плюс», если они вращают конструкцию вокруг моментной точки про-
тив часовой стрелки, со знаком «минус» - если по часовой стрелке.
Для получения более простых уравнений следует:
составляя уравнения проекций, проводить координатную ось
перпендикулярно какой-нибудь неизвестной силе;
составляя уравнения моментов, брать центр моментов в точке,
где пересекается больше неизвестных сил. При вычислении мо-
ментов иногда бывает удобно разлагать данную силу на две со-
ставляющие и находить момент силы как сумму моментов этих
составляющих.
1.3 ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ
1.3.1 Метод сечений
Понятие о внутренних силах. Внешние силы, действующие на те-
ло, стремятся вызвать его деформирование. Целостность тела обеспе-
чивают внутренние связи.
Пусть на тело (стержень) действует система взаимно уравнове-
шенных внешних сил (рисунок 1.15, а). Мысленно рассечем его про-
извольной плоскостью, отделим одну часть от другой (рисунок 1.15, б)
и взамен нарушенных связей приложим к каждой части силы, рав-
ные реакциям связей (рисунок 1.15, в). Такие силы называются
внутренними.
12
Для определения внутренних сил в стержнях и стержневых систе-
мах служит метод сечений , который заключается в следующем:
мысленно рассекают стержень в интересующем месте плоско-
стью;
отбрасывают одну из образовавшихся частей;
учитывают действие отброшенной части на оставшуюся внут-
ренними усилиями1';
составляют уравнения равновесия под действием всех сил, при-
ложенных к оставшейся части.
Рисунок 1.15
Внутренние силы могут быть приведены к одно^ точке - центру
тяжести речения С и заменены главным вектором R и главным мо-
ментом М (рисунок 1.15, г). Далее они раскладываются в декартовой
системе координат следующим образом (рисунок 1.15, д):
R ~ {Qo Qy, N}', М — {Мх, Му, М~}.
Здесь ось z перпендикулярна поперечному сечению, т. е. совпадает с
осью стержня; оси х, у лежат в плоскости поперечного сечения.
Составляющие внутренних усилий носят следующие названия:
N — продольная сила; Q:l, Qy — поперечные силы; — крутящий мо-
мент; Мх, Му — изгибающие моменты2'.
Виды деформирования стержней. В зависимости от наличия тех
или иных внутренних факторов в поперечных сечениях можно судить
о виде деформации.
4 Под усилиями в дальнейшем будем понимать силы и моменты.
2> Составляющие сил параллельны принятым осям координат. Поэтому
здесь и далее силы будем обозначать буквами, указывающими алгебраиче-
ские значения (модули) сил, без знака вектора над ними.
13
Различают следующие простые виды деформирования стержней:
центральное растяжение или сжатие (только N Ф 0);
кручение (только М~ Ф 0);
ПРЯМОЙ ЧИСТЫЙ ИЗГиб (ТОЛЬКО ЛД Ф 0 ИЛИ Мг/ Ф 0);
поперечный изгиб (только Мх Ф 0, Qy Ф 0 или Му * 0, Qx * 0).
Выделяют также сложные виды деформирования стержней:
косой изгиб (только Мх Ф 0 и Му Ф 0);
изгиб с растяжением или сжатием (N Ф 0, Мх Ф 0, Му Ф 0, причем
один из моментов Мх, Му может отсутствовать);
изгиб с кручением (Мх Ф 0, Му *0, М-* 0, причем один из мо-
ментов Мх, Му может отсутствовать).
Л .3.2 Построение эпюр внутренних силовых факторов
Под эпюрой внутреннего усилия будем в дальнейшем понимать
график изменения этой величины вдоль оси стержня или стержневой
системы. При построении эпюр используется метод сечений.
Параллельно оси стержня проводится базисная линия (ось эпюры),
перпендикулярно ей в выбранном масштабе откладываются найден-
ные значения усилий, полученные точки соединяются, указываются
алгебраические знаки. Построенная таким образом эпюра заштрихо-
вывается линиями, перпендикулярными оси. По этим линиям можно
судить о значениях внутренних усилий в соответствующих сечениях
стержня.
Графическое оформление эпюры, ось - рекомендуется выполнять
сплошной основной линией толщиной s = 0,5...1,4 мм, саму эпюру -
сплошной линией толщиной 2s. Штриховка и выносные линии долж-
ны быть тонкими, толщиной от s/З до s/2.
На эпюрах N, М~, Q для балок положительные значения отклады-
ваются сверху от оси стержня, отрицательные - снизу.
Эпюру изгибающих моментов М будем строить на растянутом
волокне. Для этого отрицательные значения моментов будем откла-
дывать сверху оси стержня, положительные - снизу.
Правила введения внутренних сил и моментов. Продольная сила
N направляется от сечения в сторону от рассматриваемой части (рису-
нок 1.16, а). В этом случае значение N > 0 соответствует растяжению,
N < 0 - сжатию.
Рисунок 1.16
14
Крутящий момент М~ направляется против часовой стрелки, если
смотреть на сечение с внешней стороны (рисунок 1.16, б).
Поперечная сила Q направляется так, чтобы она вращала остав-
ленную часть стержня по часовой стрелке (рисунок 1.16, в).
Изгибающий момент1^ М прикладывается к сечению так, чтобы
верхние волокна балки испытывали сжатие, а нижние - растяжение
(рисунок 1.16, г).
В поперечных сечениях стержней плоской системы в общем слу-
чае возникает три внутренних силовых фактора: продольная сила N,
поперечная сила Q и изгибающий момент М.
Проверка эпюр. Для проверки построения эпюр можно воспользо-
ваться следующими правилами:
эпюра продольных сил N имеет скачки в тех сечениях, где
приложены внешние сосредоточенные продольные силы; вели-
чина скачка равна величине силы; скачок происходит вниз, если
внешняя сила направлена вправо, вверх - если влево (рисунок 1.17);
эпюра крутящих моментов Мг имеет скачки в тех сечени-
ях, где приложены внешние крутящие моменты; величина скач-
ка совпадает с величиной момента; скачок происходит вниз,
если момент направлен против часовой стрелки, вверх - если по
часовой стрелке; при этом необходимо смотреть на стержень с
правого торца (рисунок 1.18);
Рисунок 1.17 Рисунок 1.18
эпюра поперечных сил Qy имеет скачки в тех сечениях, где
приложены внешние сосредоточенные силы; направление и ве-
личина скачка совпадают с направлением и величиной внеш-
ней силы (рисунок 1.19);
эпюра поперечных сил Qy имеет перепад на величину рав-
нодействующей равномерно распределенной нагрузки на участке,
где приложена эта нагрузка (см. рисунок 1.19);
эпюра изгибающих моментов Мх имеет скачки в тех сече-
ниях, в которых приложены внешние моменты; величина скачка
совпадает с величиной момента; если внешний момент положи-
телен (направлен против часовой стрелки), то происходит ска-
4 Следует отметить, что термины «крутящий момент» и «изгибающий
момент» сложились исторически. На самом деле указанные внутренние мо-
менты препятствуют кручению и изгибу соответственно.
15
чок вверх; если отрицателен (направлен по часовой стрелке) -
вниз;
эпюра изгибающих моментов Мх имеет изломы в тех сече-
ниях, в которых приложены сосредоточенные поперечные силы;
направление излома совпадает с направлением силы (см. рису
нок 1.19);
Рисунок 1.19
если на участке балки поперечная сила положительна (Qy > 0),
то изгибающий момент Мх на этом участке возрастает; при Qy
< 0 момент Мх убывает; если в некотором сечении Qy = 0, то
эпюра Мх может иметь здесь экстремум;
если на всем участке балки поперечная сила Qy равна нулю, то
эпюра изгибающих моментов Мх постоянна; если эпюра Qy по-
стоянна, то эпюра Мх изменяется линейно; если эпюра Qy ли-
нейна, то эпюра Мх ограничена параболой, направленной выпук-
лостью в сторону действия распределенной нагрузки.
Последние два правила следуют из дифференциальных соотноше-
ний между изгибающим моментом Мх, поперечной силой Qy и интен-
сивностью равномерно распределенной нагрузки q:
dQ,, _
dz ~ dz2
16
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
F= qa
| Q = 3qa
F= qa
z
1,5a
= 2qa2
В
a
ИНИН
Вл
1,5а
2.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР
В большинстве случаев для построения эпюр предварительно
необходимо вычислить реакции наложенных связей. Рассмотрим
несколько примеров расчетных схем, встречающихся в контроль-
ной работе.
ПРИМЕР 1. Определить реакции связей балки (рисунок 2.1, а),
если т = 2qa, F = qa.
Освободим балку от свя- ау
зей, заменив их силами реак- —m-2qa
ций. Связь в точке А - непод-
вижная шарнирная опора,
поэтому ее заменяем двумя
составляющими опорной ре-
акции: горизонтальной и вер-
тикальной силами. Все силыщ
перпендикулярны горизон-
тальной оси, поэтому гори-
зонтальная реакция равна А,
нулю; на рисунке ее не пока-
зываем. Следовательно, в )
опоре А возникает верти-
кальная реактивная сила Ya- исунок .
Подвижную шарнирную опору В заменяем вертикальной реакцией
Yb, равномерно распределенную нагрузку - равнодействующей,
равной Q' = 3qa и приложенной посередине участка (рисунок 2.1, б).
Для плоской системы параллельных сил можно составить всего
два независимых уравнения равновесия (см. с. 12). Удобнее соста-
вить уравнения моментов
УМ,., =0; Ум,.в=0,
к к
так как в каждое из них войдет всего одна неизвестная сила.
Сумма моментов относительно точки В:
У М,.в = -т -Y. • За - Q' • 1,5а - Fa = О;
к
Ya = (-m - Зда • 1,5а - Fa) / За = (-2qa2 - 4,5qa2 - qa2) / За = -2,5qa.
17
Знак «минус» показывает, что реакция УА направлена не вверх,
как было указано, а вниз. Перечеркиваем ее (см. рисунок 2.1, б),
изображаем истинное направление и принимаем У а = 2,5qa.
Определим реакпию Yb- Сумма моментов относительно точки А:
^2 МкА = ~т + YB - За + 3qa • 1,5а - F(3a + а) = О;
к
YB = (т - 3qa • 1,5а + F • 4а) / За = (2да2 - 4,5да2 + 4да2) / За = 0,5да .
Выполним проверку правильности определения реакций. Най-
дем сумму проекций всех сил на вертикальную ось:
^2 Yk = О; - Ya +Yb-F + 3ga = -2,5ga + 0,5ga - ga + 3ga = 0.
к
Равенство нулю суммы проекций показывает, что система на-
ходится в равновесии, следовательно, реакции связей найдены пра-
вильно.
ПРИМЕР 2. Для составной балки на рисунке 2.2, а определить
реакции опор, если т = 2Fal\
В точках А и D расположены подвижные шарнирные опоры,
следовательно, здесь возникают только вертикальные реакции свя-
зей Ya и Yd- В точке С возникают две реакции: вертикальная Yc и
горизонтальная Zc (на схеме не обозначена, так как Zc = 0).
Таким образом, имеем четыре не-
известные реакции. Для плоской сис-
темы параллельных сил можно со-
ставить всего два независимых урав-
нения равновесия (см. с. 20), напри-
мер,
У У, =0; УмкА =0
к к
ИЛИ
УМ,., =0; УМ,.В =0.
Z~^ КА ’ КВ
к к
Недостающие два уравнения мож-
но получить, разделив балку на две
части по шарниру В и составив усло-
вия равновесия каждой части в от-
дельности2).
п В дальнейшем внешние моменты будем обозначать строчными буква-
ми (т), в отличие от внутренних моментов (М).
" Балка находится в равновесии, поэтому и левая, и правая ее части в
отдельности должны находиться в равновесии.
18
Действие правой части на левую (и левой на правую) определяется ре-
акциями Yb и Zb (рисунок 2.2, б). Все внешние силы вертикальны,
поэтому продольная Zb равна нулю. По условию задачи силы Yb и
Zb определять не надо, поэтому составим уравнение равновесия в
моментах относительно точки В, в которой они приложены.
Суммируя моменты левой части относительно точки В, получим
= F-3a-YA-2a-m = 0;
к
YA=(F-3a-m)/ (2а) = (F • За -2Fa) / (2а) = 0,5F .
Суммируя моменты для всей балки относительно точки С, имеем
У МкС = F 4а- Y. • За - т + YT,a = 0;
к
Yd = (-F • 4a + YA • За + m) / а = (-F • 4а + 0,5F • За + 2Fa) / а = -0,5F
Знак «минус» показывает, что реакция Yd направлена не вверх,
как было указано, а вниз. В дальнейшем для построения эпюр
удобно пользоваться истинным направлением реакций, поэтому
перечеркиваем реакцию Yd (см. рисунок 2.2), изображаем истинное
направление и принимаем Yd = 0,5qa.
Суммируя моменты правой части относительно точки В, получаем
умпраВ =_у 2а + у,.а = 0; YC=2YT)=F.
Kts D C ’ C D
к
Выполним проверку, суммируя проекции сил для всей балки на
ось у.
У Y = -F + Y, + Yc - Yn = -F + 0,5F + F - 0,5F = 0.
к
Условие равновесия соблюдается, следовательно, реакции опор
найдены верно.
ПРИМЕР 3. Для рамы, изобра-
женной на рисунке 2.3, определить
реакции опор, если F = qa.
Опора А неподвижная шарнирная,
поэтому в ней возникают вертикаль-
ная и горизонтальная реактивные си-
лы Ya и Za- В подвижной шарнирной
опоре В возникает только вертикаль-
ная сила Yb Равномерно распределен-
ную нагрузку заменяем равнодейст-
вующей, равной qa и приложенной
посередине соответствующего участка.
Составим уравнение проекций сил
на горизонтальную ось:
Рисунок 2.3
19
Yzk=za-W = °'> ZA=qa.
к
Для определения реакции Yb составим уравнение моментов относи-
тельно точки А:
УМкА = YB(a + а) + qa(2,5а - 0,5а) - Fa = О;
к
YB = [-да(2,5а - 0,5а) + Га] / (2а) = [-2да2 + да2 ] / (2а) = -0,5да .
Направляем YB вниз (см. рисунок 2.3) и принимаем YB = 0,5да.
Определим реакцию Ya- Уравнение моментов относительно точки В:
УМкв = ZA(2, 5а - 2а) -YA-2a + qa(2a - 0,5а) + Fa = О;
Ya = \ZA • 0,5а + да • 1,5а + Га] / (2а) =
= [да • 0,5а +1,5да2 + да2 ] / (2а) = 1,5да .
Проверка:
у Yk =-F + Ya-Yb= -qa + 1,5да - О,5да = О .
к
Условие равновесия соблюдается, следовательно, реакции опор
найдены верно.
ПРИМЕР 4. Для рамы, изображенной на рисунке 2.4, опреде-
Связь А представляет
собой жесткую заделку,
поэтому в ней возника-
ют три реакции: верти-
кальная составляющая
Ya, горизонтальная Za и
момент Ма- В шарнирно
подвижной опоре В воз-
никает вертикальная
реакция YB. Таким обра-
зом, имеем четыре неиз-
вестные реакции связей.
Для плоской системы
сил можно составить три
уравнение получим, рас-
лить реакции опор.
уравнения равновесия. Дополнительное
смотрев равновесие правой части рамы относительно шарнира С.
В шарнире реакции связей Zc и Yc определять не будем. Соста-
вим уравнение равновесия моментов правой части относительно
шарнира С:
20
= -F-l,7a + YBа = 0; YB=1,7F.
КС. ' D 7 7
к
Для определения реакций Ya и Za спроецируем все силы, дей-
ствующие на раму, на оси координат:
IX = Ya + YB = О; Ya=-Yb= -1,7F ;
к
XZk=ZA-F = O: Za = F.
к
Значение реакции Ya получилось отрицательным, значит, ис-
тинное направление реакции противоположно выбранному, т.е.
вниз. Изменяем на схеме направление.
Величину момента в заделке найдем, составив уравнение рав-
новесия моментов всех сил относительно точки А:
X МкА =МА+ F(2a -1,7а) + YB(1,5а + а) = О,
к
откуда
МА =-F • О, За - YB • 2,5а = 4,55Fa.
2.2 ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ
ПРИМЕР 5. Болт удерживает четыре пластины (рисунок 2.5, а).
Расчетная схема болта представляет собой стержень, нагруженный
вдоль оси сосредоточенными внешними силами F: Fi = 30 кН,
F2 = 40 кН, F3 = 130 кН (рисунок 2.5, б).
Требуется: а) построить эпюру внутренних продольных сил N [кН];
б) поменять местами внешние силы Fi и F3 (сохраняя их направле-
ния), заново построить эпюру N; в) в обоих случаях указать растя-
нутые и сжатые участки стержня, определить опасный участок;
сравнить результаты. Величину и направление силы F определить
из условий равновесия стержня.
Часть 1. Определение неизвестной силы. Направим силу F
вдоль оси z, например вправо (рисунок 2.5, в). Линии действия
всех сил совпадают с осью z, поэтому для равновесия достаточно,
чтобы сумма проекций сил на эту ось была равна нулю:
£Zk = О ; Fi + F — Fg + F2 = О,
к
отсюда F = F3-Fj -F;= 130 - 30 - 40 = 60 кН.
Сила F положительна, значит, ее направление было выбрано верно.
Построение эпюры продольных сил. В поперечных сече-
ниях стержня будут возникать только продольные силы N. Разби-
ваем стержень на участки I, II, III; их границами служат сечения,
в которых приложены силы.
21
Внутри участков внешних
сил нет, поэтому продольная
сила на каждом участке по-
стоянна.
Участок I. Мысленно
проводим произвольное попе-
речное сечение. Отбрасываем
правую часть (более нагру-
женную). Силу Ni вводим в
сторону от рассматриваемой
части (см. рисунок 2.5, в).
Проецируем все силы остав-
шейся части на горизонталь-
ную ось и выражаем искомую
силу Np.
IX = О; Fr + N^O;
к
Ni = -Fi = -30 кН.
Участок II. Поступаем аналогично:
IX =0, Fi + F + N2 = 0;
k
N2 = -F - Fl = -60 - 30 = -90 кН.
Участок III. Отбрасываем левую часть (более нагруженную) и
рассматриваем равновесие правой части:
12= 0, —Из + F2 = 0; N3 = F2 = 40 кН.
к
Соответствующие числовые значения указываем на эпюре (рисунок 2.5, г).
Эпюру штрихуем перпендикулярно оси стержня.
Как видно, эпюра N имеет скачки в тех сечениях, где прило-
жены внешние силы; величина скачка равна величине силы; скачок
происходит вниз, если внешняя сила направлена вправо, вверх -
если влево.
Участки I и II сжаты, так как < 0 и N2 < 0, участок III
растянут, так как N3 0. Наибольшее по модулю значение про-
дольной силы
Wmax = \N2\ = 90 кН
соответствует участку II, поэтому он является опасным1^.
п Расчет на прочность при растяжении проводится по нормальным
напряжениям, которые прямо пропорциональны продольной силе. По-
этому опасным является участок с наибольшей продольной силой.
22
Часть 2. Поменяем силы Fi и F3 местами, сохраняя их направ-
ление (рисунок 2.6, а).
Определение неизвестной силы. Направим силу F вдоль
оси z, т. е. вправо (рисунок 2.6, б). Спроецируем силы на ось:
^Zt=0; — F3 + F + Fi + F2 = О,
отсюда F = F3 - Fi - F2 = 130 - 30 - 40 = 60 кН.
Сила F положительна, значит, ее направление было выбрано верно.
Построение эпюры продольных сил. Как и ранее, разби-
ваем стержень на участки I, II, III', их границами служат сечения,
в которых приложены силы.
Участок I. В произвольном месте на участке мысленно прово-
дим поперечное сечение, отбрасываем правую часть. Силу Ni вво-
дим в сторону отброшенной части (см. рисунок 2.6, б).
Проецируем все силы оставшейся части на горизонтальную ось
и выражаем искомую силу
= О; - F3 + Wi = О; Wi = F3 = 130 кН.
к
Участок II. Поступаем ана-
логично:
-F3 + F + 1V2 = O;
k
N2 = F3-F = 130- 60 = 70 кН.
Участок III. Отбрасываем
левую часть и рассматриваем
равновесие правой части:
?z,c = 0’
— N3 + F2 = О;
N3 = F2 = 40 кН.
Соответствующие числовые значения указываем на эпюре, нано-
сим штриховку перпендикулярно оси стержня (рисунок 2.6, в).
Продольные силы вдоль оси стержня положительны (N > 0),
следовательно, весь стержень растянут.
Наибольшее по модулю значение продольной силы достигается
на первом участке:
IVmax = |1V1| = 130 КН,
поэтому он является опасным.
Сравнивая эпюры на рисунках 2.5, г и 2.6, в, можно сделать
вывод, что второй случай нагружения более опасный, так как в
сечениях стержня возникают большие максимальные продольные
силы, чем в первом случае.
23
Рисунок 2.7
ПРИМЕР 6. Стержень,
жестко заделанный одним
концом, нагружен вдоль оси
внешними силами Fi = 30 кН;
F2 = 80 кН; F3 = 30 кН (ри-
сунок 2.7, а).
Требуется: а) построить
эпюру внутренних продоль-
ных сил N [кН]; б) поменять
местами внешние силы Fi и
F3 (сохраняя их направле-
ния), заново построить эпю-
ру N; в) в обоих случаях
указать растянутые и сжа-
тые участки стержня, опре-
делить опасный участок;
сравнить результаты.
Часть 1. Разбиваем стержень на участки I, II, III; их границами
служат сечения, в которых приложены силы. Будем проводить се-
чение на каждом участке и отбрасывать левую часть, содержащую
заделку. Внутренние продольные силы Ni, N2, N3 вводим в сторону
отброшенной части (см. рисунок 2.7, а). Проецируем все силы ос-
тавшейся части на горизонтальную ось:
Участок Г. ^Zk = О; ~F3 - Ni = О; /V) = -F3 = -30 кН.
k
Участок II-. ^Zk = О; -N2 + F2 - F3 = 0;
k
N2 = F2 - F3 = 80 - 30 = 50 кН.
Участок III-. ^Zk=0; -N3 +Ft + F2-F3= 0;
k
TV2 = Fi + F2 - F3 = 30 + 80 - 30 = 80 кН.
Откладываем в выбранном масштабе величины продольных сил
на эпюре, строим график (рисунок 2.7, б).
Отметим, что эпюра N имеет скачки в тех сечениях, где при-
ложены внешние силы (см. правила на с. 15).
Участки I и II растянуты, так как N, > 0 и N2 > 0, участок
III сжат, так как N3 < 0. Наибольшее по модулю значение про-
дольной силы
/Vmax = |1V1| = 80 КН
соответствует участку I, поэтому он является опасным.
Часть 2. Поменяем силы Fi и F3 местами, сохраняя их направ-
ление (рисунок 2.8, а).
Участок I: ^Zk = О; Fi - /Vi = О; /V) = Fj = 30 кН.
к
24
Участок II: ^Zk = О; -N2 + F2 + Fi = 0;
k
N2 = F2 + Fl = 80 + 30 = 110 кН.
Участок III: ^Zz=O; -N3 -Fg + F2 + Fi= 0;
k
N2 — -F3 + F2 + F
Откладываем в выбран-
ном масштабе значения про-
дольных сил, строим график,
наносим штриховку перпен-
дикулярно оси стержня (ри-
сунок 2.8, б).
Продольные силы на ка-
ждом из участков положи-
тельны, следовательно, весь
стержень испытывает растя-
жение. Наибольшее значение
продольной силы
IVmax = |№| = ПО КН
соответствует участку II,
Рисунок 2.8
поэтому он является опас-
ным.
Сравнивая эпюры на рисунках 2.7 и 2.8, приходим к выводу,
что второй случай нагружения является более опасным, так как в
сечениях стержня продольные силы достигают более высоких зна-
чений.
ПРИМЕР 7. На распределительный вал силового механизма
насажены четыре шкива. Один из шкивов передает мощность от ис-
точника энергии, остальные - распределяют их рабочим машинам.
Расчетная схема вала представляет собой стержень, нагруженный
внешними крутящими моментами тл = 10 кН-м; т2 = 70 кН-м;
ms=110 кН-м (рисунок 2.9).
Требуется: а) из условий равновесия стержня определить вели-
чину и направление внешнего крутящего момента т; б) построить
эпюру внутренних крутящих моментов М~ [кНм]; в) указать опас-
ный участок вала.
Определение неизвестного момента. Изображаем расчетную
схему стержня. Произвольно направляем момент т, например,
против часовой стрелки, если смотреть с правого торца стержня.
Составляем уравнение моментов относительно оси стержня, из ко-
торого находим значение т:
25
IX =0;
к
mi ~ W + т + т} = 0;
т = тз - m2 - mj =
= 110 - 70 - 10 = 30кН-м.
Момент положителен, зна-
чит, его направление было
выбрано верно.
Построение эпюры кру-
тящих моментов. Разбива-
ем стержень на участки,
границами которых слу-
жат сечения с внешними
моментами.
Участок I. Рассекаем
стержень на этом участке,
отбрасываем правую часть
(более нагруженную). Со-
гласно принятому правилу
(см. рисунок 1.16, б) вводим момент Mzl. Составляем уравнение
равновесия оставшейся части, из которого определяем искомый
момент:
12Мл = О» т2 + Mzi = 0; Mzi = -тг = -70 кН• м .
к
Участок IP. ^Мгк = О; т2 - ms + Mz% = 0;
к
MZ2 = ms - m2 = 110 - 70 = 40 кН • м.
Участок III: ^Mzl. = 0; mi~MZ3=0; Mz3 = mi = Ю кН-м.
к
В соответствии с полученными результатами строим эпюру
крутящих моментов и проводим штриховку перпендикулярно оси
стержня.
Определение опасного сечения. Наибольшее абсолютное зна-
чение крутящего момента
Mzmax= |Mzi| =70 кН-м
достигается на первом участке, поэтому он является опасным.
26
ПРИМЕР 8. На рисунке 2.10
изображена консоль с размерами
а = 1м;Ь = 1м;с = 2м, предна-
значенная для крепления лебед-
ки. Расчетная схема представляет
собой балку, защемленную одним
концом, к которой приложена
вертикальная равномерно рас-
пределенная нагрузка q = 10 кН/м,
а также сосредоточенная сила
F = 8 кН и сосредоточенный изги-
бающий момент т = 14 кН • м.
Требуется: а) построить эпюры
внутренних поперечных сил Q и
изгибающих моментов М; б) ука-
зать опасное сечение балки.
Построение эпюр. Разбиваем
балку на три характерных участ-
ка (Р, II, III), границами которых
служат приложенные внешние
усилия. На каждом из них при-
меняем метод сечений и опреде-
ляем внутренние поперечные си-
лы Qy и изгибающие моменты М:,
(нижние индексы х, у в дальней-
шем писать не будем). Применяя
метод сечений в этой задаче, все-
гда будем отбрасывать правую
часть, что упростит решение и
Рисунок 2.10
позволит не определять реакции
заделки.
Координату z будем отсчитывать
от начала соответствующего
участка. На эпюре моментов отрицательные значения будем откла-
дывать сверху оси, положительные - снизу. В результате эпюра
моментов будет построена на растянутом волокне (см. с. 16).
Участок I. Проводим сечение на расстоянии Z| от начала уча-
стка, отбрасываем правую часть и вводим внутренние силовые фак-
торы Qi и Mi в соответствии с принятыми правилами (см. с. 14,
рисунок 1.16, в, г).
Составляем уравнения равновесия сил и моментов (относитель-
но точки сечения) оставшейся левой части (см. рисунок 2.10):
IX = О; -Q1-F = 0; Qx = -F = -8 кН;
k
^Ми=0; M1+Fz1=0; M^-F^.
k
27
Поперечная сила постоянна, изгибающий момент изменяется
линейно. На первом участке 0 < Z| < а. На его границах
M1|Zi.o=O; Mj^-Fa.
Участок II. Проводим сечение на расстоянии z2 от начала участ-
ка, отбрасываем правую часть и вводим внутренние силовые факто-
ры Q2 и М2. Для сил получаем такое же уравнение, как на участке
I, поэтому
IX =0; -Q2-F = 0; Q2 =-F =-8 кН.
к
Для моментов получаем
^Mt2 = О; М2 + F(a + z2) - т = 0; М2 = т - F(a + z2).
к
Поперечная сила на участке постоянна, изгибающий момент
изменяется по линейному закону. На границах участка
М2 |г2=о = т~ Fa = 14- 81 = 6 кН-м;
М2 |Z2=b = т- F(a + Ь) = 14 - 8(1 +1) = -2 кН-м.
Участок III. Проводим сечение на расстоянии Z3 от начала уча-
стка, отбрасываем правую часть и вводим внутренние усилия Q3 и
М3. Условие равновесия для сил:
£Yk = 0; -Q3 - F + qz3 = 0; Q3 = -F + qz3.
к
Поперечная сила Q3 изменяется вдоль участка линейно. На границах
Q3 |гз=0 = -F = -8 кН; Q3 |гз=с = -F + qc = -8 +10 • 2 = 12 кН.
Условие равновесия для моментов:
^2MI;S = 0; М3 + F(a + b + Z3) - т - q z% /2 = 0;
к
М3 = т - F(a + Ъ + Z3) + qzl /2,
т. е. аналитическое выражение для изгибающих моментов на дан-
ном участке описывает квадратную параболу. На границах:
Мз |z3=o = m - F(a + Ь) = 14 - 8(1 +1) = -2 кН • м 5
Мз |^=с = т - F(a + Ь + с) + qcz / 2 =
= 14 - 8(1 + 1 + 2) + 10 • 22 / 2 = 2 кН • м.
Эпюра моментов на участке III представляет собой параболу,
направленную выпуклостью в сторону действия распределенной
нагрузки - вверх.
28
Вычисление экстремума на эпюре моментов. На участке III
эпюра поперечных сил пересекает ось, следовательно, в соответст-
вующем сечении изгибающий момент будет экстремален. Исполь-
зуя выражение для поперечной силы Qs, определим координату Zg,
такую, что Q3(Zg) = 0:
0 = -F + qz°s; z°s = F/q = 8/10 = 0,8 м.
Вычислим значение момента в сечении с координатой zg = Zg:
Ms I 0 =m-F(a + b + z°) + q(z°)2 /2) =
I ^3-^3
= 14 - 8(1 + 1 + 0,8) + 10 • 0,82 / 2 = — 5,2 кН m.
Мы получили экстремальное значение момента. Отмечаем его
на эпюре М (см. рисунок 2.10).
Убеждаемся в том, что для построенных эпюр соблюдаются
правила, рассмотренные на с. 16-17.
Выводы. При заданной нагрузке во всех сечениях балки воз-
никают поперечные силы Qy и изгибающие моменты М:,, следова-
тельно, она работает в условиях поперечного изгиба. Опасным яв-
ляется конечное сечение участка I, так как в нем изгибающий мо-
мент максимален1^ и составляет | Mmax | = 8 кН • м.
ПРИМЕР 9. Балка-консоль, у которой а = 1 м, нагружена рав-
номерно распределенной нагрузкой q = 10 кН/м, сосредоточенной
силой F = 8 кН и моментом т = 16 кН • м (рисунок 2.11).
Требуется', построить эпюры внутренних поперечных сил и из-
гибающих моментов; указать, на какой вид изгиба работает балка,
показать опасное сечение.
Построение эпюр. Разбиваем балку на участки I, II, III, гра-
ницами которых служат приложенные внешние усилия.
Участок I. Проводим сечение на расстоянии z3 от начала уча-
стка, отбрасываем левую часть и вводим внутренние усилия Qi и
М] в соответствии с принятыми правилами.
Составляем уравнения равновесия сил
= Q. +9(1,80-2^) = О; Q, = -g(l,8a-z.)
к
и моментов
=-M1+q(l,8a-Z1)z/2 = о:
к
М1 =q(l,ba-zjl /2.
Прочность балок сплошного сечения проверяется по нормальным на-
пряжениям, которые прямо пропорциональны изгибающему моменту. По-
этому опасным является сечение с наибольшим моментом.
29
26,2
Рисунок 2.11
и моментов
Поперечная сила Qi изменя-
ется вдоль участка линейно, из-
гибающий момент Mi - по квад-
ратной параболе.
На границах:
при z, = О
Q, = -q • 1,8а = -10 • 1,8 =
= -18 кН;
Mt = q(l, 8а)2 /2 =
= 10-1,82/2 = 16,2 кН • м ;
при = 1,8а
= О; Мх = О.
Участок II. Проводим сече-
ние на расстоянии Z2 от начала
участка, отбрасываем левую часть
и вводим внутренние усилия Q2 и
М2.
Составляем уравнения рав-
новесия сил
£ Yk = Q2 - F + q • 1,8a = 0:
k
Q2 = F - q • 1,8a =
= 8 -10 1,8 = -10 кН
^Mk2 = -Мг - F(a - z2)+ q-1,8a(a - z2 + 0,9a) = 0;
M2 = -F(a - z2) + q • 1,8a(a - z2 + 0,9a).
Поперечная сила Q2 на участке постоянна, изгибающий момент М2
изменяется линейно. На границах:
при z2 = О
М2 = -Fa + q • 1,8а • 1,9а = = -8 1 + 10 1,8 1,9 = 26,2 кН • м;
при z2 = а
М2 = q • 1,8а • 0,9а = 10 • 1,8 • 0,9 = 16,2 кН • м.
Участок III. Проводим сечение на расстоянии Z3 от начала уча-
стка, отбрасываем левую часть и вводим внутренние усилия Q3 и
М3. Для сил получаем такое же уравнение, как на участке II, по-
этому
Qg = Q2 = -10 кН .
30
Поперечная сила Qg постоянна.
Составим уравнение равновесия моментов:
Mkg = -Ms - т- F(a - zg + а) + q • 1,8а(а - zs + а + 0,9а) = О.
/
отсюда Mg = -т - F(a - zs + а) + q • 1,8а(а - zs + а + 0,9а).
Момент Мз вдоль участка изменяется линейно. На гранипах:
при zs = О
Mg = -т - F -2а + q • 1,8а • 2,9а = -16 - 8 • 2 +10 • 1,8 • 2,9 = 20,2 кН • м;
при zs = а
Ms = -т - Fa + q • 1,8а • 1,9а = -16 - 8 • 1 +10 • 1,8 • 1,9 = 10,2 кН • м .
Отмечаем полученные ординаты на эпюрах, соединяем их и
штрихуем перпендикулярно оси. На эпюре М:, выпуклость парабо-
лы направлена в сторону действия распределенной нагрузки.
Выводы. Во всех сечениях балки возникают поперечные силы
Qy и изгибающие моменты М:,, следовательно, она работает на по-
перечный изгиб. Опасным является сечение, в котором изгибаю-
щий момент | Mmax | = 26,2 кН • м.
ПРИМЕР 10. Балка (рисунок 2.12) нагружена вертикальной на-
грузкой q, F = 2qa, т = qa2. Необходимо: 1) построить эпюры внут-
ренних поперечных сил Qy и изгибающих моментов М:,.
Опорные реакции. Для нахождения реакций Ya, Yb составим
два уравнения равновесия балки в моментах:
МА = -F 4а - т - q 4а a+ YB - За = О;
1 1 13
Yg = —(F • 4а + т + q • 4а • а) = —(2qa 4а + да2 + 4да2) = —qa.
3d 3d 3
Мв = -F • а- т + q • 4а • 2а - YA - За = О;
1 15
Ya = — (-F -а-т + д • 4а • 2а) = — (~2qa • а - qa' + 8да2) = — да.
За За ' ' 3
Проверку полученных значений реакций проведем, используя
уравнение проекций сил, действующих на балку:
ЕX• = Ya + YB - F - д • 4а = ^qa + Ц-qa - 2да - 4да = °.
R о о
Уравнение удовлетворяется, следовательно, реакции определе-
ны правильно.
Построение эпюр. Разбиваем балку на участки I-IV. На каж-
дом из них применяем метод сечений и определяем внутренние попе-
речные силы Qy и изгибающие моменты М:, (нижние индексы х, у в
31
дальнейшем писать не будем). При этом на участках I, II отбрасыва-
ем правую часть рассеченного стержня, на участках III, IV - левую.
Участок I. Уравнения равновесия и выражения для Qi и Му.
E Yi = _Qi - = °; Qi = ;
k
О
ЕМИ=М1+^ = О;
Значения на границах участка:
при
при
a-zi
= О
z,
шш
Qx = О; Mj = О;
2
Q, =-qa; M, =-^-.
III
-в
шиш
Z.4
g(a+z2)
(a+z2)/2
2
2
™ F
>'z
Z4„|
___‘a
m4\_
А^з q(2a-z3) A YB
------i
J2a-z3)/2
F
F
Q/,
qa
3
Mx,
qa2
,./Г.
2.
2
5
1
2
3
Рисунок 2.12
Участок II. Уравнения равновесия и выражения для Q2 и М2'.
ЕХ•= ~q(a + z2) + YA = °; Q2 = YA -q(a + z2);
k
32
£ М,2 = М2 + q(a + zJ - YAZ2 = О; М2 = Yaz2 - q(a +
qa2
1Г’
при z2 = О
при z2 = а
Значения на границах участка:
5 2
Q2 =YA-qa = -qa-qa = -qa; М2 =
О о
<Э2 = ¥а -Q'2а = |<Ja-2Qa = -у-
... q(2a)2 5 2 „ 2 qa'
м2 = ¥Аа---— = ~qa — 2qa = —-
экстремальное значение момента на участке II.
2
Вычислим
Для этого найдем координату сечения z2, где поперечная сила рав-
на нулю, и подставим ее в уравнение моментов:
, оч о Y. 5qa 2
Q.. = Y. - q(a + z2) = О; z2 = — -а =-------а = — а;
/1-4 \ Z z ~ Z о о"
q Sq d
__ о q(a + z2)2 5 2 . 2 .2 ,п 5 2
М2 = Y.z2------------— = — qa — а - q(a ч—а) 2 =-----qa .
2 А 2 2 3 3 3 18
Участок III. Уравнения равновесия и выражения для Q3 и М3:
УХ = Qg -q(2a-zs) + YB -F = 0; Qg = q(2a-zg)-YB + F;
k
У M,.g = -М» - g(2a ~ Zs) + YB(2a - zg) - F(3a - zg) = 0 :
k
Ms = _^2a~z^ + YB(2a - zs) - F(3a - zs).
Значения на границах участка:
13 1
при zs = О Qg = 2qa -YB + F = 2qa-qa + 2qa =-qa ;
3 3
Mg = - + YB -2a - F • 3a = -2qa2 + — qa • 2a - 2qa 3a = — qa2;
2 3 3
13 7
при zs = 2a Qs = -YB + F --qa + 2qa = qa;
3 3
Mg = -Fa = -2qa a = -2qa2.
Участок IV. Уравнения равновесия и выражения для Q4 и М4:
У у =Q4-F = 0; Q4=F = 2qa;
k
Y,Mki=-Mi-F(a-zi) = O; М4=-Р(а-г4).
k
Значения на границах участка:
33
при z4 = О М4 = -Fa = -2qaz;
при z4 = а М4 = О.
В соответствии с полученными результатами строим эпюры (см.
рисунок 2.12).
ПРИМЕР 11. Мостовая балка большого пролета, имеющая вре-
занный шарнир, нагружена временной нагрузкой в виде сосредото-
ченной внешней силы F и момента т = 3Fa (рисунок 2.13). Требу-
ется: а) определить реакции связи; построить эпюры внутренних
поперечных сил Q и изгибающих моментов М; б) указать опасное
сечение балки.
Реакции связей. Горизонтальная реакция Z/i = 0, так как на
балку действует только вертикальная нагрузка. В результате име-
ем три неизвестные реакции: Ya, Yb, Ma-
Мысленно разделим балку на две части по шарниру С (как в
примере 2) и составим уравнения равновесия каждой части в мо-
ментах.
Суммируя моменты справа от шарнира, получаем
= YBa-m = О,
откуда YB = т / а = 3Fa /а =3F.
Реакцию Ya определим из условия равновесия сил:
Рисунок 2.13
= -Ya + YB + F = 0;
Ya = YB + F = 4F.
Суммируя моменты
слева от шарнира, имеем
ХМ“В = -Fa + Ya 2,5а -
-МА = 0;
Ma = ~Fa + Ya 2,5а =
= -Fa + 4F • 2,5а = 9Fa.
Построение эпюр.
Разбиваем балку на харак-
терные участки и нумеру-
ем их концы. Значения
поперечных сил и изги-
бающих моментов вычис-
ляем в граничных точках,
используя метод сечений:
Qi — Qz — ~ Ya — 4F;
34
Mi = Ma = 9Fa; М2 = Ma - l,5aYA = 9Fa - 1,5a 4F = 3Fa;
Q3 = Q4 = — Yb = — 3F;
М3 = -m + YB- 2a = -3Fa + 3F • 2a = 3Fa; M4 = -m = -3Fa.
Обратим внимание на то, что эпюра моментов проходит через
ноль в шарнире. Максимальный момент достигается в заделке и
составляет | М1ПЯХ I = 9Fa.
2.3 ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ДЛЯ РАМ
ПРИМЕР 12. На рисунке 2.14 показан элемент машины, на-
груженный горизонтальной 3F и вертикальной F силами и момен-
том т = 3Fa. Его расчетная схема представляет собой плоский ло-
маный брус, жестко заделанный одним концом.
Требуется: а) построить эпюры внутренних продольных сил N,
поперечных сил Q и изгибающих моментов М; б) указать, на какой
вид сопротивления работает каждый из участков рамы, показать
опасное сечение.
Внутренние усилия. Реакции связей находить не будем. Ис-
пользуя метод сечений, всегда будем отбрасывать ту часть рамы, в
которой находится заделка. Разбиваем конструкцию на характер-
ные участки, цифрами 1-8 обозначаем граничные сечения.
Рассекаем брус в каждой из
точек 1, ..., 8 и вводим внутрен-
ние усилия. Для сечений 2, 4, 6,
8 усилия показаны на рисунке
2.15; для сечений 1, 3, 5, 7 -
прикладываются аналогично.
Вычисляем значения внут-
ренних силовых факторов. Для
определения IV и Q проецируем
все силы оставленной части на
оси у, z; для вычисления М бе-
рем момент сил оставленной час-
ти относительно точки рассмат-
риваемого сечения. Получаем:
Участок 1-2: Ni = N2 = О; Qi = Q2 = О; Mi = М2 = 3Fa.
Участок 3-4: N3 = N4 = 0; Q3 = Q4 = 0; М3 = M4 = 3Fa.
Участок 5-6: N5 = 1V6 = - 3F; Qs = Qe = 0; Mr, = Me = 0.
Участок 7-8: N7 = Ns = F; Q7 = Qe = 3F; M7 = 3Fa;
Ms = 3Fa — 3F-l,5a = —l,5Fa.
35
1-2
3-4
*) 3Fa
>м2
2a
M4,
3Fa*)
e
з
полученным результатам
Построение и проверка эпюр. По ]
изображаем эпюры N, Q, М (рисунок 2.16).
Эпюру продольных сил откладываем с обеих сторон оси стерж-
ня, обязательно проставляем знак продольных сил.
При построении эпюры Q учитываем, что в сечениях, где при-
ложены внешние поперечные силы, будут скачки, совпадающие с
этими силами по величине и направлению (если двигаться от кон-
солей к заделке). Положительные значения откладываем справа и
сверху в зависимости от расположения стержней.
Эпюру М строим на растянутом волокне, знаки не проставляем.
Q,F
Рисунок 2.16
На участках 1~2, 3-4 (см. рису-
нок 2.14) моменты получились по-
ложительными, их направление
совпадает с выбранным на рисунке
2.15: на участке 1-2 растянуты
правые волокна, на участках 3-4 -
нижние. На участке 7-8 в точке 7
растянуты правые волокна, в точке 8
- левые.
Вырезаем узлы 2-3 и 4-6-7,
прикладываем к сечениям внутрен-
ние усилия, взятые из эпюр (рису-
нок 2.17). Если продольная сила положительна, то ее направляем в
сторону от узла, если отрицательна - к узлу. Положительную по-
перечную силу направляем, чтобы она вращала узел по часовой
стрелке, отрицательную - против. Моменты прикладываем к узлу
в зависимости от того, какие волокна растянуты.
Узел 4-6-7
3F
3F
N, F
3Fa
4^\
Узел 2-3
3Fa
3Fa
Рисунок 2.17
е
q2*I
з
i
з —-
2
3
; j3Fa
▼F
У
О
z
36
Составляем уравнения равновесия узлов.
Узел 4-6- 7: £ Zk = 3F - 3F = 0;
к
X Y,. = F - F = 0; £м,. 4_6_7 = 3Fa - 3Fa = 0.
к к
Узел 2-3: У Z,. = О ; У Y.. =0; У М,.„ ч = 3Fa - 3Fa = 0.
к к к
Узлы в равновесии, значит, расчет выполнен верно.
Выводы. Участки 1-2 и 3-4 испытывают чистый изгиб, так
как здесь только М Ф 0. Участок 5-6 работает на сжатие (только
N ф 0, причем N < 0), участок 7-8 - на поперечный изгиб с рас-
тяжением (М ^0;Q^0;7V>0).
Опасным является сечение 7, в котором М = 3Fa; N = F.
ПРИМЕР 13. Для плоской рамы одноэтажного промышленно-
го здания (рисунок 2.18), нагруженной равномерно распределенной
нагрузкой интенсивности q и силой F = 2qa, требуется: а) опреде-
лить реакции связей; построить эпюры внутренних продольных
сил N, поперечных сил Q и изги-
бающих моментов М; б) поменять
местами опоры рамы; заново опреде-
лить реакции и построить эпюры N,
Q, М; в) в обоих случаях указать, на
какой вид деформации работает каж-
дый из стержней рамы, показать
опасное сечение; г) сделать вывод о
том, какое расположение опор более
выгодное.
Реакции связей. Найдем реакции
Za, Ya, Yb- Для этого составим три
уравнения равновесия. Из условия
равенства нулю суммарного момента
относительно точки А получаем
Рисунок 2.18
^МкА = —F -0,5а + Yb' 2а - qa • 1,5а = О; Yb = l,25qa.
/
Суммы проекций всех сил на координатные оси:
^Z, = qa — Za + F = 0; Za = 3qa;
к
YYk= ~Ya + Yb= 0; Ya = YB = l,25qa.
к
Внутренние силовые факторы. Разбиваем раму на участки,
цифрами 1-8 обозначаем граничные сечения. Рассекаем раму в
каждой из точек 1, 8 и вводим внутренние силы и моменты. Для
37
сечений 1, 3, 4, 6, 8 усилия показаны на рисунке 2.19; для осталь-
ных сечений в пределах стержня они прикладываются аналогично.
Л-1 2-3 4-5 6-7 8-В
Вычисляем значения усилий:
Участок А~1: NA = A/) = YA = l,25qa;
Qj = Qi = Za = 3qa;
Ma = 0; Mi = ZAa = 3qaa = 3qaz.
Участок 2-3: N2 = N3 = YA = l,25qa;
Q2 = Z,A = 3qa; Q3 = ZA — qa = 3qa - qa = 2qa;
M^ = ZAa = 3qa a = 3qaZ; М3 = ZA2a- qa2/2 = 5,5qaz.
Участок 4-5: N4 = N5 = F = 2qa;
Q4 = Q5 = - YB = —l,25qa;
M4 = Yb2o + F 1,5a = 5,5qa2; M5 = F 1,5a = 2qa • 1,5a = 3qaz.
Участок 6-7: N6 = N7 = -YB=- l,25qa;
Qe = Q7 = - F = - 2qa:
Me = F 1,5a = 2qa • 1,5a = 3qaz; M7 = 0.
Участок 8-B: N% = NB = ~ YB = -l,25qa;
Qe = Qb = 0; Ms = Mb = 0.
Построение и проверка эпюр. По полученным результатам
изображаем эпюры N, Q, М (рисунок 2.20). Как и в предыдущем
примере, при построении эпюры Q движемся слева направо по бру-
су, учитывая, что направления скачков совпадают с направления-
ми внешних сил. Эпюру М строим на растянутом волокне. Если
моменты получились отрицательными, их направление противопо-
ложно выбранному ранее на рисунке 2.19. На участке 2-3 эпюраМ
38
ограничена параболой, направленной выпуклостью в сторону дей-
ствия равномерно распределенной нагрузки.
Рисунок 2.20
Вырезаем узлы 3-4 и 5-6, прикладываем
ние усилия, взятые из эпюр (рисунок 2.21).
к сечениям внутрен-
Составляем уравнения равно-
весия узлов.
Узел 3-4:
^Zk = - 2qa + 2qa = 0;
= - l,25qa + l,25qa = 0;
к
^Mtg_4 = - 5,5qa2 + 5,5qa2 = 0.
Узел 3-4
Узел 5-6
o 3qa2
2дажд
1,25дал Да2
2qa
l,25qa
Узел 5-6:
Рисунок 2.21
Y,Zk = — 2qa + 2qa =0; YA. = - l,25qa + l,25qa = 0;
r r
^Mtg_4 = — 3qa2 + Sqa2 = 0.
/
Видно, что узлы находятся в равновесии. Значит, расчет вы-
полнен верно.
Вид деформации. Стержни на участках А-3, 4-5 работают на
поперечный изгиб с растяжением (М ф 0, Q ф 0. N > 0), на участке
6-7 - на поперечный изгиб со сжатием (М ф 0, Q ф 0, N < 0), уча-
сток 8-В сжат (только N ф 0, причем N < 0).
Опасным является сечение 4, в котором Mmax = 5,5qa2; N =
= 2qa.
Поменяем опоры местами (рисунок 2.22). Определим реакции
связей.
Опорные реакции. Найдем реакции Ya, Yb, Zb- Для этого со-
ставим три уравнения равновесия. Из условия равенства нулю сум-
марного момента относительно точки В получаем
39
МкВ = Ya• 2а —qa 2а—F - а = О;
R
Ya = (qa • 2а + F • 2qa) = 2qa .
Суммы проекций всех сил на
координатные оси:
?Zk = qa - Zb + F = 0; Zb = 3qa;
к
^Yk= -Ya + Yb=O;
к
YB = YA=2qa.
Внутренние усилия. Разбиваем раму на участки, цифрами 1-8
обозначаем граничные сечения. Рассекаем раму в каждой из точек
1, 8 и вводим внутренние силы и моменты. Для сечений 1, 3, 4,
6, 8 усилия показаны на рисунке 2.23; для остальных сечений в
пределах стержня они прикладываются аналогично.
Рисунок 2.23
Вычисляем значения усилий:
Участок А~1: NA = /V) = YA = 2qa; Qj = Qi = 0; MA = Mi = 0.
Участок 2-3: Nz = N3 =YA = 2qa; Q2 = 0; Q3 = -qa;
М2 = 0; М3 = - qa2/2 = -0,5qa2.
Участок 4-5: N4 = N5 = F ~ ZB= 2qa - 3qa = qa;
Q4 = Q5 = ~Yb = ~2qa;
M4 = F 1,5a — Zs(a + 1,5a) + Yb 2a = 0,5qa2;
M5 = F 1,5a — Z/;(a + 1,5a) = 4,5qa2.
40
Участок 6- 7: N6 = N7 = - YB = ~2qa;
Qo = Q7= Zb-F = 3qa - 2qa = qa;
Me = F 1,5a - ZB(a + 1,5a) = 4,5qa2; M7 = -ZBa = -3qa2.
Участок 8-B: N% = NB = - YB = ~2qa;
Qe = Qb = ZB = 3qa; Ms = — ZBa = 3qa2; MB = 0.
Построение и проверка эпюр. По полученным результатам
изображаем эпюры N, Q, М (рисунок 2.24). При построении эпюры
Q считаем, что значения поперечной силы положительно с внеш-
ней стороны рамы, отрицательные значения откладываем внутрь.
Если моменты получились отрицательными, их направление проти-
воположно выбранному ранее на рисунке 2.23.
На участке 1-2 эпюра М ограничена параболой, направленной
выпуклостью в сторону действия равномерно распределенной на-
грузки. Вырезаем узлы 3-4 и 5-6, прикладываем к сечениям внут-
ренние усилия, взятые из эпюр (рисунок 2.25).
Узел 5-6
4,5qa2
Составляем уравнения рав-
новесия узлов.
Узел 3-4:
^Zk = qa - qa = 0;
k
^Yk = - 2qa + 2qa = 0;
k
= 0,5qa2 - 0,5qa2 = 0.
k
Узел 5-6: ^Zk = qa - qa = 0;
k
IM-3-4 = 4’5(?a2
k
Узел 3-4
2qa 2
| 0,5qa
qa
4 >
3
—►qc
2qa
e|
JI
qa
V
2qa
O'—
Рисунок 2.25
y4,5qc2
2qa
- 2qa + 2qa =
0;
к
- 4,5qa2 = 0.
5
0,5qa
41
Видно, что узлы находятся в равновесии. Значит, расчет вы-
полнен верно.
Вид деформации. Участок А-1 растянут (только N ф 0, причем
N > 0, стержень на участке 2-3 работает на поперечный изгиб с
растяжением (М О, Q ф О, N > 0), на участках 4-5, 6-В - на по-
перечный изгиб со сжатием (М ф 0, Q ф 0, N < 0).
Опасным является сечение 6, в котором Mmax = 4,5qa2; N =
= 2qa. С точки зрения прочности более рациональным будет яв-
ляться второй вариант расположения опор, так как максимальный
изгибающий момент в этом случае будет меньшим.
ПРИМЕР 14. Для плоской рамы одноэтажного промышленного
здания (рисунок 2.26, а), нагруженной равномерно распределенной
нагрузкой интенсивности q, требуется: а) определить опорные ре-
акции; построить эпюры внутренних продольных сил N, попереч-
ных сил Q и изгибающих моментов М; б) поменять местами опоры
рамы; заново определить опорные реакции и построить эпюры N,
Q, М; в) в обоих случаях указать, на какой вид сопротивления
работает каждый из стержней рамы, показать опасное сечение;
г) сделать вывод о том, какое расположение опор более выгодное.
Реакции связей. Связь А представляет собой жесткую заделку,
поэтому в ней возникает три реакции: вертикальная составляющая
Уд. горизонтальная Za и момент Ма- В шарнирно подвижной опоре
В возникает вертикальная реакция Yb-
Составим уравнение мо-
ментов относительно шарни-
ра С для правой части (рису-
нок 2.26, б):
=-qa- + YB-a = 0-
К*-- J- п о
к &
YB = O,5qa.
Для определения реакций
Ya и Za спроецируем все си-
лы, действующие на раму, на
оси координат (см. рисунок
2.26, а):
EYa= YA-qa + YB = о, YA =qa-YB =O,5qa;
к
EZ, =0; 2Л=0.
к
Значение момента в заделке найдем, составив уравнение мо-
ментов всех сил относительно точки А:
42
откуда
^2МкА = МА - qa(l, 5а + 0,5a) + YB(1,5a + а) = О,
МА = qa-2a-YB -2,5а = 0,75qa2.
Внутренние ашовые факторы. Разбиваем раму на участки,
цифрами 1-8 обозначаем граничные сечения. Рассекаем раму в
каждой из точек 1, 8 и вводим внутренние силы и моменты. Для
сечений 2, 3, 5, 7 усилия показаны на рисунке 2.27; для остальных
сечений в пределах стержня они прикладываются аналогично.
Вычисляем значения усилий:
Участок 1-2: Ni = N2 = ~YA = -0,5qa;
Qi = Q2= - = 0;
Mi = - MA = -0,75qa2; M2 = ~MA- ZAa = -0,75qa2.
Участок 3-4: N3 = N4 = 0; Q3 = Q4= qa - YB = 0,5qa;
M3 = - qa(l,5a + 0,5a) + YB(l,5a + a) = - 0,75qa2;
M4 = - qa 0,5a + YBa = 0.
Рисунок 2.27
Участок 5-6:
N5 = N6 = 0;
Q5 = qa - YB = O,5qa; Qe = - YB = -0,5qa;
M5 = - qa • 0,5a + YBa = 0; Me = 0.
Участок 7-8: N? = N3= -YB = -0,5qa;
Q7 = Qe = 0; M7 = M8 = 0.
Построение и проверка эпюр. По полученным результатам
изображаем эпюры N. Q, М (рисунок 2.28). Эпюру М строим на рас-
тянутом волокне, эпюру N - посередине от базовой линии, обяза-
тельно проставляя знак. Если моменты получились отрицательными,
их направление противоположно выбранному ранее на рисунке 2.27.
На участке 5-6 эпюра Q пересекает ось в точке 9. В этом сече-
нии эпюра М имеет экстремум.
43
В общем случае для определения координаты «нуля», если за-
даны значения поперечной силы на концах интервала, можно вос-
пользоваться подобием треугольников (рисунок 2.29):
х _ у ~0 _ xl
О _ 1 О’ % ~
Z I-Z у + Х
В нашем случае х = у = 0,5qa,
о O,5qaa
z =--------------------------= 0,5а.
0,5qa + 0,5qa
Момент в точке 9 (см. рисунок 2.27):
М9 = YB -O,5a-q-O,5a-^^ = O,125qa2.
2
На участке 5-6 эпюра М представляет собой параболу, направ-
ленную выпуклостью в сторону действия равномерно распределен-
Вырезаем узлы 2-3 и 6-7,
прикладываем к сечениям
внутренние усилия, взятые из
эпюр (рисунок 2.30).
Составляем уравнения рав-
новесия узлов.
Узел 2-3:
= -0,5qa + 0,5qa = 0;
к
- 0,75qa2 = 0.
к
Узел 6-7: = -0,5qa + 0,5qa = 0.
/
Видно, что узлы находятся в равновесии. Значит, расчет вы-
полнен верно.
нои нагрузки.
Узел 2-3
7
0,75qa
0,5qa
0,75qa2
Узел 6-7
0.5qa
0,5qa
Рисунок 2.30
УХ2 3
= 0,75qa2
2
У
z
О —
44
Вид деформации. Стержень на участке 1-2 работает на чистый
изгиб с растяжением (М ф О, Q = О, N > 0), на участке 3-6 - на
поперечный изгиб (М ф О, Q ф О, N = 0), участок 7-8 сжат (только
N Ф 0, причем N < 0). Опасным является участок 1-2, на котором
Mmax = 0,75qa2; N = 0,5qa.
Поменяем опоры местами (рисунок 2.31, а).
Реакции связей. В шарнирно подвижной опоре А возникает
вертикальная реакция Ya, в жесткой заделке В ~ три реакции: вер-
тикальная составляющая Yb, горизонтальная Zb и момент Мв-
Составим уравнение равновесия моментов левой части относи-
тельно шарнира С (рисунок 2.31, б):
ЕКГ = YA-1,5a = О; ¥„=0.
к
Для определения реакций Yb и Zb спроецируем все силы, дейст-
вующие на раму, на оси координат (см. рисунок 2.31, а):
ЕУ = YA-qa + YB=0; YB = qa-YA = qa;
к
EZ, =0; ZB=0
к
Величину момента в заделке найдем, составив уравнение мо-
ментов всех сил относительно точки В:
Е МкВ = -¥л(1,5а + а) + qa • 0,5a + Мв = 0,
к
откуда Мв = -0,5qa2.
Значение момента в заделке отрица-
тельно, значит истинное направление
противоположно выбранному, т.е. мо-
мент направлен по часовой стрелке. На
схеме изменяем направление и принима-
ем Мв = 0,5qa2.
Внутренние усилия. Разбиваем раму
на участки, цифрами 1-8 обозначаем
граничные сечения. Рассекаем раму в
каждой из точек 1, 8 и вводим внут-
ренние силы и моменты. Для сечений 2,
4, 5, 7 усилия показаны на рисунке 2.32;
для остальных сечений в пределах
стержня они прикладываются аналогично.
Вычисляем значения усилий, начи-
ная расчет от опоры В:
Участок 1-2:
Ni = N2 = -Ya = 0;
Рисунок 2.31
Qi — Q2— 0; Mi— м2 — 0.
45
Участок 3-4:
N3 = W4 = 0;
Q3 — Q4— У a — 0; М3 — 0; Mi — Уд1,5а — 0.
Участок 5-6: = Ne = ZB =0;
Q5 = qa - YB = 0; Q6 = ~YB = ~qa;
M5 = -qa • 0,5a + YBa - MB = -0,5qa2 + qa2 - 0,5qa2 = 0;
Me = - MB =-0,5qa2.
Участок 7-8: N7 = Ns= -YB = -qa;
Q7 = Qe = ~ZB = 0; M7 = Mg = ~MB = —0,5qa .
1-2 M S6
Рисунок 2.32
7-8
Построение и проверка эпюр. По полученным результатам
изображаем эпюры N, Q, М (рисунок 2.33). Эпюру М строим на рас-
тянутом волокне, не проставляя знак; эпюру N - посередине от ба-
зовой линии, обязательно проставляя знак.
Q, qa
Рисунок 2.33
M,qa2
46
Если моменты получились отрицательными, их направление
противоположно выбранному ранее на рисунке 2.32. На участке
5-6 эпюра моментов представляет собой параболу, выпуклостью
направленную вниз.
Вырезаем узлы 2-3 и 6-7, прикла-
дываем к сечениям внутренние уси-
лия, взятые из эпюр (рисунок 2.32).
Узел 2-3 не нагружен, он находит-
ся в равновесии.
Для проверки равновесия узла 6-7
составим следующие уравнения:
= -да + get = О;
к
^Мкб_7 = 0,5qa1 2 3 4 5 - 0,5qa2 = 0.
к
Уравнения равновесия выполняются, узел находится в равновесии.
Вид деформации. Участки 1-2, 3-4 не нагружены. На участке
5-6 стержень испытывает поперечный изгиб (М А 0, Q А 0, N = 0),
на участке 7-8 - чистый изгиб со сжатием (М А 0, Q = 0, N < 0).
Опасным является участок 7-8, на котором Мтах = 0,5qa2;
N = — qa. Второе расположение опор более рациональное, так как
в сечениях стержней возникают меньшие изгибающие моменты.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Сопротивление материалов / А. Ф. Смирнов [и др.]. - М. : Высш, школа,
1979. - 595 с.
2 Старовойтов, Э. И. Сопротивление материалов / Э. И. Старовойтов. -
М. : ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 384 с.
3 Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики / С. М. Тарг. - М. :
Высш, школа, 1995.- 416 с.
4 Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. - М. : Нау-
ка, 1986. - 512 с.
5 Яровая, А. В. Решение задач по технической механике / А. В. Яровая,
Д. В. Леоненко, В. В. Талецкий. - Гомель : БелГУТ, 2005. - 103 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ A
(справочное)
ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ УЧЕБНЫХ ПРОГРАММ
ПО ДИСЦИПЛИНАМ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»,
«МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ»
Тема 1. Основные понятия механики материалов
1 Наука о сопротивлении материалов. Цель и задачи. Ее связь с другими
общеинженерными и специальными дисциплинами.
2 Краткий исторический очерк развития науки.
3 Основные гипотезы и допущения механики материалов.
4 Внутренние силы и метод сечений.
5 Примеры построения эпюр.
6 Опоры. Понятие о расчетной схеме бруса.
7 Напряжения в точке тела.
8 Перемещения и деформации.
9 Статически определимые и статически неопределимые системы.
10 Эпюры внутренних силовых факторов.
Тема 2. Растяжение и сжатие
1 Центральное растяжение-сжатие стержня. Продольные силы.
2 Закон Гука.
3 Перемещения поперечных сечений.
4 Дифференциальное соотношение при растяжении-сжатии.
5 Эпюры напряжений и перемещений.
6 Напряжения на наклонных площадках.
7 Теорема парности касательных напряжений.
8 Потенциальная энергия деформации.
9 Жесткость поперечных сечений.
10 Диаграмма растяжения пластических материалов.
11 Диаграмма сжатия пластических материалов.
12 Разгрузка и повторное нагружение. Гипотеза упругой разгрузки. Эф-
фект Баушингера (наклеп).
13 Диаграммы растяжения и сжатия хрупких материалов и основные ме-
ханические характеристики.
14 Понятие о методах расчета по допускаемым напряжениям и допускае-
мым нагрузкам.
15 Основные виды расчета на прочность в механике материалов.
16 Влияние температуры на механические свойства материалов.
17 Гипотеза Неймана. Закон Гука с учетом температурных деформаций.
18 Растяжение предварительно облученных образцов.
19 Понятие о ползучести, релаксации и длительной прочности.
48
Тема 3. Сдвиг и кручение
1 Напряжения и деформации при сдвиге. Закон Гука при сдвиге.
2 Потенциальная энергия деформации при сдвиге.
3 Расчет на прочность заклепочных и сварных соединений.
4 Кручение прямого стержня круглого поперечного сечения.
5 Три вида задач при кручении.
6 Полярные моменты инерции и сопротивления круглого сечения.
7 Потенциальная энергия деформации при кручении.
8 Кручение стержней некруглого поперечного сечения.
Тема 4. Геометрические характеристики плоских сечений
1 Статические моменты. Центр тяжести.
2 Изменение статических моментов при параллельном переносе осей ко-
ординат.
3 Осевые и центробежный моменты инерции.
4 Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей
координат.
5 Изменение осевых и центробежных моментов инерции при повороте
системы координат.
6 Главные моменты инерции.
7 Осевые моменты инерции для прямоугольника, треугольника, круга и
полукруга.
8 Вычисление моментов инерции сложных сечений.
9 Радиусы инерции.
Тема 5. Изгиб
1 Изгиб прямого бруса в главной плоскости.
2 Дифференциальные зависимости между изгибающим моментом, попе-
речной силой и интенсивностью распределенной нагрузки.
3 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
4 Нормальные напряжения при чистом изгибе.
5 Закон Гука при чистом изгибе.
6 Потенциальная энергия деформации при изгибе.
7 Формула Журавского.
8 Касательные напряжения в тонкостенных конструкциях.
9 Распределение касательных напряжений по сечениям прямоугольного и
двутаврового профиля.
10 Расчеты на прочность.
11 Расчет балок с учетом развития пластических деформаций.
12 Дифференциальное уравнение упругой линии балки.
13 Определение перемещений методом прямого интегрирования.
14 Метод начальных параметров.
15 Балка на упругом основании.
16 Понятие о брусе большой и малой кривизны.
17 Закон Гука для бруса большой кривизны.
18 .Связь изгибающего момента и нормальных напряжений для кривого
бруса.
49
19 . Определение нулевой линии.
Тема 6. Теория напряженно-деформированного состояния
1 Понятие об упругой сплошной среде.
2 Тензор напряжений Коши. Свойства тензора напряжений.
3 Напряжения на наклонных площадках.
4 Главные оси и главные значения тензора напряжений.
5 Девиатор и шаровая часть тензора напряжений. Интенсивность тензора
напряжений.
6 Перемещения и деформации. Тензор деформации.
7 Главные оси и главные значения тензора деформации.
8 Девиатор и шаровая часть тензора деформации. Интенсивность тензора
деформаций.
Тема 7. Сложное сопротивление
1 Косой изгиб.
2 Изгиб с растяжением.
3 Внецентренное растяжение сжатие.
4 Ядро сечения.
5 Анализ напряженного состояния в характерных точках сечения при
сложном сопротивлении.
Тема 8. Теории прочности и разрушения
1 Классификация напряженных состояний.
2 Понятие об эквивалентном напряжении.
3 Теория максимальных нормальных напряжений.
4 Теория максимальных линейных деформаций.
5 Теория максимальных касательных напряжений.
6 . Энергетическая теория.
7 Теория прочности Мора
8 Теория трещин Гриффитса.
Тема 9. Устойчивость сжатых стержней
1 Понятие об устойчивости.
2 Задача Эйлера.
3 Зависимость критической силы от условий закрепления.
4 Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропор-
циональности.
5 Практический метод расчета стержней на устойчивость.
6 Продольно-поперечный изгиб.
7 Изгибающий момент при продольно-поперечном изгибе.
8 Приближенный метод решения задач при продольно-поперечном изгибе.
9 Расчеты на прочность при продольно-поперечном изгибе.
Тема 10. Расчеты при некоторых динамических нагрузках
1 Динамическая нагрузка.
2 Поперечный удар. Динамический коэффициент.
50
3 Продольный удар.
4 Внезапное приложение нагрузки.
5 Свободные колебания систем с одной степенью свободы.
6 Дифференциальное уравнение.
7 Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы.
8 Динамический коэффициент при вынужденных колебаниях.
9 Свободные колебания систем с одной степенью свободы в среде с сопро-
тивлением.
10 Логарифмический декремент колебаний.
11 Вынужденные колебания в среде с сопротивлением.
12 Динамический коэффициент.
13 Резонансные кривые.
Тема 11. Прочность при циклических напряжениях
1 Усталость и выносливость материалов.
2 Механизм усталостного разрушения.
3 Кривые усталости. Предел выносливости.
4 Диаграмма предельных амплитуд.
5 Концентрация напряжений.
6 Масштабный фактор, качество обработки поверхности.
7 Коэффициента запаса усталостной прочности.
8 Формула Гафа-Полларда.
9 Понятие о малоцикловой усталости материалов.
Тема 12. Современные проблемы механики деформируемого твердого тела
Учебное издание
ЛЕОНЕНКО Денис Владимирович
ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ
Учебно-методическое пособие по выполнению контрольной работы № 1
«Построение эпюр внутренних силовых факторов» для студентов
технических специальностей факультета безотрывного обучения
Редактор II II Эвенпюв
Технический редактор В. Н. Кучерова
Подписано в печать 20.12.2011 г. Формат 60 X 84 1'16.
Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать на ризографе.
Усл. печ. л. 3,02. Уч.-изд. л. 2,95. Тираж 500 экз.
Зак. № . Изд. № 143.
Издатель и полиграфическое исполнение
Белорусский государственный университет транспорта:
ЛИ № 02330/0552508 от 09.07.2009 г.
ЛИ № 02330/0494150 от 03.04.2009 г.
246653, г. Гомель, Кирова, 34.