/
Author: Дмитриев Н.Н. Аргатов И.И.
Tags: механика деформируемых тел упругость деформация механика теория упругости
ISBN: 5-7325-0744-2
Year: 2003
Text
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ
И. И. Аргатов
Н. Н. Дмитриев
Основы теории
упругого дискретного
контакта
Допущено
Учебно-методическим объединением вузов
по университетскому политехническому образованию
в качестве учебного пособия по специальности 553300
"Прикладная механика"
ПОЛИТЕХНИКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
Санкт-Петербург 2003
УДК 539.3
ББК 22.25
А79
Рецензенты:
доктор физ .-мат. наук, профессор В. М. Александров (Институт про-
блем механики РАН);
доктор техн, наук, профессор Н. Б. Демкин (Тверской государствен-
ный технический университет);
кафедра вычислительных методов механики деформируемого твер-
дого тела Санкт-Петербургского государственного университета (зав.
кафедрой доктор физ.-мат. наук, профессор Ю. М. Даль)
ВИ В ЛИО""W А
КОЛОХЗА
ОСКОР^А
Аргатов И. И., Дмитриев Н. Н.
А79 Основы теории упругого дискретного контакта: Учебное пособие.
— СПб.: Политехника, 2003. — 233 с.: ил.
ISBN 5-7325-0744-2
Систематически излагаются постановки пространственных контакт-
ных задач линейной теории упругости и методы их решения, не требующие
математического аппарата, выходящего за рамки курса высшей математи-
ки для технических университетов. Изучаются контактные задачи для си-
стемы штампов, строятся асимптотические модели одностороннего диск-
ретного контакта и рассматриваются вопросы равновесия твердого тела,
опирающегося на шероховатую плоскость в нескольких точках. Подробно
изложена техническая теория упругого ненасыщенного контакта шерохо-
ватых поверхностей.
Для преподавателей, аспирантов и студентов старших курсов универ-
ситетов и втузов. Может быть полезна научным работникам и инженерам,
занимающимся вопросами механики контактных взаимодействий.
УДК 539.3
ББК 22.25
ISBN 5-7325-0744-2 (с) И. И. Аргатов, Н. Н. Дмитриев, 2003
Предисловие
Эта книга написана молодыми учеными, питомцами Петербургского
университета, д. ф.-м. н. И. И. Аргатовым, воспитанником кафедры тео-
рии упругости, и к. ф.-м. н. Н. Н. Дмитриевым, выпускником кафедры
теоретической механики. Авторы предприняли смелую попытку соеди-
нить под одной обложкой изложение контактных задач теории упруго-
сти и вопросов равновесия абсолютно твердого тела на плоскости с су-
хим трением. Интересно отметить, что в качестве водораздела высту-
пает техническая теория контакта шероховатых тел. С одной стороны,
в ее основу положены решения классических контактных задач (многие
из них впервые выносятся на страницы учебной литературы), а с другой
— теория шероховатого контакта находит непосредственное применение
при расчетах коэффициентов граничного трения.
Механика дискретного контакта начала формироваться в ходе экс-
периментальных и теоретических исследований контактного взаимодей-
ствия реальных тел, поверхности которых обладают микрорельефом
с размером неровностей вплоть до нескольких нанометров. Устойчивый
интерес к постановкам и решению новых задач дискретного контакта
продиктован, в первую очередь, запросами трибологии. По известным
оценкам более 80% случаев выхода из строя машин и механизмов обу-
словлено процессами, происходящими в зоне контакта деталей.
Предлагаемая вниманию читателя книга содержит математически
строгое изложение основ теории дискретного упругого контакта. Уни-
верситетское образование авторов, их личные пристрастия, равно как
и отсутствие опыта практической работы, проявляются в определенном
теоретическом уклоне даже при пересказе вопросов, имеющих перво-
степенное практическое значение. Тем не менее, работа И. И. Аргатова
и Н. Н. Дмитриева восполняет пробел, имевшийся в учебной литера-
туре, и представляет собой безусловно нужный и полезный учебник.
Академик Н. Ф. Морозов
Ученым-механикам, солдатам
Великой Отечественной войны,
посвящается
От авторов
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов высших
учебных заведений, изучающих теорию контакта упругих тел. Эта наука
ведет свое начало от работ Г. Герца (1882) и Ж. Буссинеска (1885). Раз-
витие механики контактного взаимодействия в России имеет славные
традиции, заложенные трудами А. Н. Динника и Н. М. Беляева в первой
половине прошлого века. Начало бурного развития механики контак-
та твердых тел совпало с годами Второй мировой войны. Сегодня уже
невозможно в небольшой по объему книге охватить многочисленную
литературу по контактным задачам, нашедшую свое отражение в кол-
лективных обзорах под редакцией Л. А. Галина (1976), И. И. Воровича
и В. М. Александрова (2001).
Пособие состоит из четырех глав. В первой главе рассматриваются
некоторые контактные задачи для упругого основания. Сравнительно
подробно изложены, не требующие применения сложного математиче-
ского аппарата, методы решения контактных задач для кругового и эл-
липтического штампов. Во второй главе строятся приближенные реше-
ния контактных задач для системы большого числа удаленных друг от
друга штампов. Задачи множественного контакта возникают, в частно-
сти, при исследовании контактного взаимодействия реальных поверх-
ностей. Техническая теория упругого ненасыщенного контакта шерохо-
ватых тел изложена в третьей главе. В четвертой главе с точки зрения
теоретической механики изучается равновесие абсолютно твердого тела
на шероховатой плоскости с сухим трением.
При составлении учебного пособия была использована многочислен-
ная литература, среди которой особо выделяются классические моно-
графии Л. А. Галина и К. Джонсона. Кроме того, авторы включили
в него часть результатов, полученных под руководством своих учите-
лей С. А. Назарова и П. Е. Товстика.
5
Работа по написанию книги была разделена следующим образом:
главы I и II, а также §§ 3.3-3.5 третьей главы были написаны И. И. Ар-
гатовым, глава IV, за исключением §4.2 и §4.3 — Н. Н. Дмитриевым,
§3.1, §3.2 и §4.2, §4.3 — совместно. Материал книги был апробирован
Н. Н. Дмитриевым в учебном процессе при чтении лекций по годовому
курсу “Основы теории трения” для студентов 4 и 5 курсов БГТУ, обуча-
ющихся по направлению 651500 “Прикладная механика”, специальность
071200 “Триботехника”.
Авторы пользуются случаем выразить свою искреннюю благодар-
ность Г. Т. Алдошину за предоставление возможности провести данную
работу на кафедре теоретической механики и баллистики Балтийско-
го государственного технического университета (“ВОЕНМЕХ”). Авторы
приносят глубокую благодарность В. М. Александрову, Ю. М. Далю и
Н. Б. Демкину за замечания, сделанные по рукописи книги. Одобрение
и благожелательная критика рецензентов способствовали значительной
доработке учебного пособия и его улучшению.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образо-
вания Российской Федерации (грант ДОЕ00-4.0-30). Собственно издание
книги осуществлено при содействии Ассоциации выпускников Санкт-
Петербургского (Ленинградского) государственного университета. Ав-
торы признательны выпускникам математико-механического факульте-
та А. Ю. Иванову и М. М. Дроздову за их бескорыстную помощь.
И. И. Аргатов, Н. Н. Дмитриев
Санкт-Петербург, май 2003
Глава 1
Контактные задачи
линейной теории упругости
1.1. Действие давления
на упругое полупространство
1.1.1. Постановка задачи о действии на упругое
полупространство сосредоточенной силы
Пусть плоскость хз = 0 является границей полубесконечного упруго-
го тела, занимающего в недеформированном состоянии область 2:3 > 0.
Предположим, что деформированное состояние вызывается приложени-
ем в начале координат сосредоточенной силы величиной Р, направлен-
ной вдоль оси Охз-
Рассмотрим какую-либо точку М с координатами (жх, Х2, Дз), при-
надлежащую упругому телу. В результате деформации точка М полу-
чает перемещение, определяемое вектором и с проекциями на оси де-
картовой системы координат
щ = гц(х) (г = 1,2,3). (1.1)
Деформированное состояние упругого тела в точке М определяется
компонентами тензора деформаций
£И(1г+гг) = d-2)
Компоненты £ц, е22> £зз представляют собой относительные удлинения
в направлении соответствующих осей координат, а 2^12, 2^23, 2ез1 — де-
формации сдвига между координатными плоскостями.
1.1. Действие давления на упругое полупространство
7
Напряженное состояние упругого тела в точке М характеризуется
симметричным тензором с компонентами <Ту. Напряжения и деформа-
ции связаны линейным уравнением (закон Гука)
Иij — \SijC + 2р£ij. (1.3)
Здесь е = £ц + £22+^33 ~ объемное расширение; <5у — символ Кронекера
(<5у = 1 при i = j и 6ij = 0 при i j); А и р — постоянные Ламе, выража-
ющиеся через технические постоянные (модуль Юнга-Е и коэффициент
Пуассона п) по формулам
4 i/Е Е
(1 + i/)(l — 21/) 2(1 + 1/)
В состоянии равновесия деформированного тела компоненты напря-
жений <7у, рассматриваемые как функции координат точки М, в пред-
положении отсутствия объемных сил удовлетворяют системе дифферен-
циальных уравнений
^ + ^ + ^ = 0 (( = 1,2,3). (1.4)
иХ\ их 2 иХз
На поверхности упругого полупространства ставятся граничные усло-
вия. Так как касательные нагрузки отсутствуют, то равенства
СТ31 (ат1,х2,0) - 0, 032(24,2:2,0) = 0 (1.5)
должны выполняться на всей плоскости 2:3 = 0. Граничное условие,
описывающее действие на упругое основание сосредоточенной силы Р,
направленной по нормали к его поверхности, запишем при помощи обоб-
щенной функции Дирака так:
<233(2:1,2:2,0) = -P5(xi, х2). (1.6)
Подразумевается, что (5(xi, х2) = 0, если точка (xt, х2) не совпадает с на-
чалом координат, <5(0,0) = оо и
4-оо 4-оо
У У 6(xi,x2)dxidx2 = 1.
—00 —00
Элементарное изложение теории обобщенных функций (распределений)
можно найти в книге1 \
11 Л. Шварц. Математические методы для физических наук. М., 1965. (См., в
частности, гл. II, § 1.)
8
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Наконец, будем считать, что при удалении от точки О в бесконеч-
ность компоненты вектора перемещений (1.1) стремятся к нулю, т. е.
u(x) = о(1), |х| = (х, + х2 + х|)1/2 -> оо.
(1.7)
Таким образом, уравнения (1.2)-(1.4), краевые условия (1.5), (1.6)
и условие на бесконечности (1.7) формируют задачу Буссинеска о дей-
ствии сосредоточенной силы на границу упругого полупространства.
1.1.2. Применение метода теории размерностей
Введем сферическую систему координат (р, 0, <р), связанных с декарто-
выми формулами
xi = р sin 0 cos <р, Х2 = р sin 0 sin <р, лз = рсоз<р,
причем 0 € [0, тг/2] и уравнение 0 = тг/2 задает границу полубесконеч-
ного тела. Теперь перемещение произвольной точки М, принадлежа-
щей упругому полупространству и имеющей координаты (р, 0,<р), мож-
но охарактеризовать смещениями ир, ие, up вдоль координатных ортов
криволинейной системы координат.
Поскольку решение задачи обладает осевой симметрией с осью Охз,
проходящей через вектор силы, действующей на упругое полупростран-
ство, справедливо равенство uv = 0, а перемещения ир, ив не зависят от
координаты <р. При этом справедливы следующие соотношения между
деформациями и перемещениями (см., например, книгу2’):
_ dup _ 1 due up
£pp~~fy’ £вв~Уэё + 7’
Up , ,
Evv = — +ctg0—,
Р Р
£рр — 0, £Ре 0.
1/1 dup ue due\
£рв= 2\p~90 ~ ~p + ~dp )’
Связь между напряжениями и деформациями дается формулами
орр — Ае “Ь 2ц£рр, с^ее — Ае -I- 2церр, &<р<р — Ае
& ре = 2цврр, оPip 2p£pipi aipe — 2pe^p,
где е = £рр + Еее + — объемное расширение.
Уравнения равновесия выглядят так:
"fyT + p“dF + р (2арр ~ °вв ~ + арв Ctg^) = °’
В.В. Новожилов. Теория упругости. Л., 1958.
1.1. Действие давления на упругое полупространство
9
Для анализа поставленной задачи применим метод теории размер-
ностей3). Ясно, что перемещения ир и ug в точке М определяются сле-
дующими параметрами:
р, 6, Р, iz, Е,
где р — расстояние от точки М до точки О, в которой'приложена сосре-
доточенная сила; 6 — широта; Р — величина нагрузки; Е и v — упругие
постоянные.
Так как модуль Юнга Е имеет размерность давления, то из пяти
перечисленных параметров можно образовать три независимые безраз-
мерные комбинации
*' "•
Следовательно, искомые безразмерные величины ир/р и ug/p зависят
лишь от трех выделенных безразмерных параметров, т. е.
/ Р \ / Р \
up = PUp^,0,— j, ug = PUg^9,—j.
Важное значение имеет линеаризация задачи. Так как величина си-
лы Р входит в граничное условие (1.6) линейно, то и перемещения долж-
ны линейным образом зависеть от силы Р. Тем самым полностью опре-
делена зависимость перемещений от радиуса р:
ир = ^-иРм, ug^f-Ug(v,e). (1.8)
£jp Eip
Здесь Up(v,9) и Ug(i/,0) — некоторые функции, зависящие только от
одной переменной координаты.
1.1.3. Решение задачи Буссинеска
Для поля перемещений (1.8) вычислим деформации и подставим в урав-
нения закона Гука; после чего получившиеся выражения для компонент
напряжений подставим в уравнения равновесия. В результате выводим
систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений относитель-
но функций Up и Ug:
^^ + ctge^--olUp-a(^- + ctgeUg'\=0, (1.9)
du du \ du J
Л.И. Седов. Механика сплошной среды. Т. 1. М., 1985. (См. гл. VII, §8.);
А. А. Ильюшин. Механика сплошной среды. М., 1990. (См. §24.)
10
1. Контактные задачи линейной теории упругости
^+a,№lv,+A^. (110)
Здесь введены следующие обозначения:
2(А + 2д) А + Зд
а =------, р = -——.
Р А + 2д
Аналогичный метод решения задачи Буссинеска для случая неоднород-
ного упругого полупространства, модуль упругости которого изменяет-
ся по закону Е(хъ) = Етх™ (без указания способа решения результиру-
ющей задачи), был предложен в работе4\
Краевые условия сгвв = 0 и = 0 при в = тт/2 (в точке прило-
жения сосредоточенной силы величина угла в не определена) приводят
к соотношениям
Наконец, ввиду условий симметрии задачи следует положить
C/J =0. (1.12)
1в=о
Отметим, что уравнения (1.9), (1.10) и краевые условия (1.11), (1-12)
являются однородными, тем самым из этих соотношений функции Up и
Ug определяются с точностью до постоянного множителя. Этот произ-
вол обусловлен тем, что при составлении данной задачи не было учтено
неоднородное краевое условие (1.6).
Исходя из структуры уравнений (1.9) и (1.10), положим
Up(v, в) = Fp(cos9), Ug(u,f)) = sin# Fg(cos9), (1-13)
где зависимость функций Fp и Fe от коэффициента Пуассона не ука-
зывается. При записи второго соотношения (1.13) было учтено условие
(1.12). Заметим, что функция Fg(cos#) должна быть ограничена при
0 = 0.
Подставим выражения (1.13) в уравнения (1.9), (1.10) и краевые
условия (111). Осуществляя замену независимой переменной по фор-
муле cos в — z, находим
(l-z2)^-2z^-a^ + of(l-?)^-2z^ =0, (1.14)
az2 az \ dz /
Г.И. Белик, В. Л. Рвачев. Об основном интегральном уравнении контакт-
ной задачи теории упругости для полупространства, модуль упругости которого есть
степенная функция глубины //Доп. АН Укр. РСР, 1962, К*8. С. 1041-1044.
1.1. Действие давления на упругое полупространство
11
(1 - ?)^ - 4^ - 2Fe - & = 0, (1.15)
dZ CLZ dZ
FP(O) - ^(0) = О, |^(0) + F,(0) = 0. (1.16)
dz z dz
Решение задачи (1.14) - (1.16) будем искать в форме степенных рядов
Fp(z) = f\kzk, Fe(z} = ^bkzk. (1.17)
Подстановка (1.17) в уравнение (1.14) дает (Аг = 2,3, ...)
2а2 - а(а0 - £>i) = О, , .
3 • 2 а3 - (2 + a)aj + 2а(Ь2 - Ьо) = 0, k ;
(fc + 2)(fc + 1)а*+2 — [fc(fc + 1) + a] + a(fc + l)(&t+i ~ fyt-i) = 0- (1-19)
Подставляя теперь разложения (1.17) в уравнение (1.15), выводим
2(62 - 60) - = 0, ('190'1
(fc + 2)(fc+l)(^+2-^)-/3(fc+l)a(t+1 =0 (fc=l,2, ...).
Наконец, принимая во внимание краевые условия (1.16), получаем
ао — Ь\ - 0, —а\ + Ьо — 0. (1-21)
Покажем, что все коэффициенты ак начиная с номера к = 2, равны
нулю, а коэффициенты Ьк (к = 0,1,2, ...) выражаются через коэффи-
циенты а0 и ец. Действительно, согласно соотношениям (1.21) и (1.18)1
имеем: b0 = —2-1ai, bi = do, a2 = 0. Далее, из уравнений (1.18)2, и (1.20)1
находим
3 • 2а3 = [2 + а(1 - /3)]а],
откуда, вспоминая определение а и /3, получаем а3 = 0.
С другой стороны, из второго уравнения (1.20) находим
(fc + l)k(bk+1 - bfc_i) = 0как (к = 2,3, ...).
Подставляя это выражение в уравнение (1.19), выводим
(к + 2)(fc + 1)<2.*;ч-2 — [fc(fc + 1) + a(l — /3)]<2.jt (fc = 2,3, ...).
Отсюда при учете равенств ак = 0 (к = 2,3) вытекает, что ак = 0 при
к = 2,3, .... Следовательно, Ьк+2 = Ьк при к = 1,2, ...
Таким образом, получаем
Fp(z) = aQ + aiz,
(1-22)
12
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Установим теперь связь между коэффициентами оо и aj. Используя
формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии, преобра-
зуем последнее выражение к виду
р (z} _ ai , 2a°* " (1 " Z?)ai^2
Т+ 2(T^j • a-23)
Потребуем, чтобы функция Fe(z) была определена для всех z из про-
межутка [0,1] и, в частности, была ограниченной при z = 1. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы многочлен 2oqZ — (1 — /3)aiZ2 делился
на (1 — z) без остатка. Следовательно, коэффициенты оо и ai связаны
уравнением
2ao - (1 - Z?)ai = 0.
Итак, выражая постоянную /3 через коэффициент Пуассона v и при-
нимая во внимание соотношения (1.22) и (1.23), получаем
Fp(cos в) = оо ^1 - 4(1 cos , (1-24)
«)=«»- тгУ < 1и>
Постоянная do определяется обычным способом5) так, чтобы усилия в
упругом теле, распределенные по полусферической поверхности с цен-
тром в начале координат, были статически эквивалентны силе Р.
1.1.4. Перемещения и напряжения в упругом теле
при действии на его границу
сосредоточенной силы
Выделим из упругого полупространства полушар радиусом р с центром
в начале координат и запишем его уравнение равновесия
2тг тг/2
Р = — У У (сгррсозв - Пре sin в) р2 sin в dd dtp.
о о
Подставляя сюда напряжения, рассчитанные согласно полученным вы-
ражениям (1.8), (1.13) и (1-24), (1.25), приходим к уравнению
тг/2
Р ~ ~7l--О \ [ COS2 0 sin
(l + i/)(l-2i/) J
О
5> С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. Теория упругости. М., 1979. (См. §138.)
1.1. Действие давления на упругое полупространство
13
откуда и определяется искомый коэффициент
а0 = - (2тг)-1 (1 - 2i/)(l + i/).
Таким образом, согласно соотношениям (1.8), (1.13), (1.24), (1.25),
получаем следующие выражения для перемещений в сферической си-
стеме координат (д — модуль сдвига):
ир = [—(1 — 2i/) + 4(1 — i/) cos#], (1.26)
4тгдр
ue = ——— sin # | — (3 — 4i/) + —-—= 0. (1.27)
4тгдр \ 1 + cos#/ *
Соответственно, компоненты напряжений вычисляются по формулам
_ (1 — 2v)P cos2# _ (1 — 2v)P sin#cos#
ffee 2ър2 1 + cos # ’ ape 2тгр2 1 + cos # ’
_ (l-2i/)P (cos#-sin2#) _ _
2л p2 1 + cos# ’ w~°’ 9,9 “ °’
Главные напряжения и их направления для напряженного состояния
упругого полупространства в задаче Буссинеска были вычислены в ра-
боте6), где построены также изолинии главных напряжений, изоклины,
изолинии максимальных касательных напряжений и изучена их зави-
симость от свойств упругой среды.
Определим еще вертикальную осадку граничных точек упругого по-
лупространства
и3(Т1, Х2, 0) = -ив(р, 7г/2, (р).
Согласно полученным выражениям (1.26), (1.27) для перемещений в
сферической системе координат и формулам, связывающим сфериче-
ские координаты с декартовыми, находим
$Р 1 — и2
и3(ж1, х2,0) = —===; 1? = ——. (1.28)
Напомним, что выражение функциональной зависимости (1.28), по
существу, содержится в формулах (1.8). Однако определение значения
А. Д. Дементьев. К задаче Буссинеска // Применение математических ме-
тодов в сельском хозяйстве. Новосибирск: Изд-во Новосиб. с.-х. нн-та, 1984. С. 50-58.
14
1.Контактные задачи линейной теории упругости
коэффициента в выражении (1.28) потребовало полного изучения рас-
сматриваемой задачи. Решение задачи о действии на границу упру-
гого полупространства сосредоточенной силы впервые было получено
Ж. Буссинеском (1885)7*.
В заключении приведем выражения для перемещений (1.1) в декар-
товой и цилиндрической системах координат (см. также книгу8*). Соот-
ношениям (1.26), (1.27) отвечают следующие формулы:
Ui
U3
Р / XjX3 _ р Xi
4тгд \ р3 А + р р(х3 + р)
Р f хз А + 2р 1А
4тгд \р3 А + р р)
(г = 1,2),
Здесь р = (х2 + х% + x2)*/2 — расстояние от точки наблюдения М до
начала координат.
Если сила Р приложена не в начале координат, а в точке с коорди-
натами (i/i, 1/2,0), то выражения для перемещений в точке М с коорди-
натами (л],Л2,л3) будут иметь вид
Xi ~ yi
р I (Xj - уУ)х3 _ р__________у, . . ;
4тгд у Л(у,х)3 А +дЛ(у,х)(л3 +Л(у,х))у
Р / А + 2р 1 А
U3 4лд \7?(у,х)3 + А + рЩу,х)/
где
Л(у, х) = у (ii - уУ)2 + (л2 - у2)2 + х23.
В цилиндрической системе координат (г, <р, z), связанных с декарто-
выми посредством формул х\ = г cos ip, х2 = г sin р, Х3 = z, в случае
приложения нагрузки в точке О имеем:
Р (rz , г А
UT = Z---- ( “7 - (1 - 2//)—--------- I ,
4тгд \р3 p(z + p)/
Р (z1 ,1А
uz = -— I — + 2(1 - I/)- ) ,
4-tt/z \/г р)
Uy = 0,
где р = (г2 + z2)1/2 — расстояние от точки М до точки приложения
сосредоточенной силы.
7) J. Boussinesq. Application des Potentiels й. 1’etude de 1’equilibre et du
mouvement des solides £lastiques. Paris, 1885. (Второе изд., 1969.)
8* В. Новации й. Теория упругости. М., 1975.
1.1. Действие давления на упругое полупространство
15
Заметим, что перемещение под сосредоточенной силой обращается
в бесконечность, что влечет за собой также нарушение фактической
совместности деформаций9>.
1.1.5. Перемещения и напряжения в упругом теле
при действии на его границу давления
Пусть на границу упругого полупространства х3 > 0 действует сосредо-
точенная сила Р, приложенная в точке (2/1,2/2,0) и направленная вдоль
оси Охз. Положим
V0(y,x) = ? Wo(y,x) = ln(x3 + fl(y,x)), (1.29)
*ЦУ}
где 7?(у,х) = ((ti — 2/i)2 + (^2 — ?/г)2 + ^з)1^ — расстояние от точки
наблюдения М с координатами (зл, тг, хз) до точки приложения сосре-
доточенной силы.
Тогда формулы Буссинеска для перемещений точки М можно запи-
сать в виде
Р ( dV0 . р dW0 Л .
Р ( dVo А + 2д Л
Из = — Хзд—(у,х) + ——Vo(y,x) .
4тгд \ дх3 Х + р )
В случае, когда на упругое тело действует нормальная нагрузка, рас-
пределенная по площадке ш с плотностью p{xi,X2), будем иметь:
и<=-Л(жз^(х)+т^?(х)) (L3°)
4тгр \ oxi А + р oxi )
“3 = - 4^7 + v(x0 ’ (L31)
47Г/1 у иХ$ Л + fj, у
где введены следующие обозначения:
V(x) = УУ р(у) V0(y, X) dy, W(x) = УУ р(у) Wo(y, х) dy,
Ц> ш
или при учете выражений (1.29)
(132>
и
W(x) = [[ р(у)1п(т3 + Я(у,х))(/у. (1.33)
9) Г.Н. Савин, В. Л. Рвачев. О перемещении под сосредоточенной силой //
Прикл. мех., 1964. Т. 10, №2. С. 222-225.
16
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Функции V(x) и W (х) называются соответственно потенциалом про-
стого слоя и логарифмическим потенциалом (от трех переменных)10\
Установим теперь зависимость между потенциалами V(x) и W (х).
Во-первых, непосредственным дифференцированием нетрудно убедить-
ся в справедливости следующих равенств:
^(у.х^ВДу.х), —(у,х) = —(у,х) (, = 1,2).
Интегрируя последнее соотношение, находим
dW0 f OVo f , tl ... ,
-^-(У>х) = J д^(У,*)<1хз + fi(xi,x2) (г = 1,2),
f , . , [ dVo f
где fi(xi,X2) — некоторая функция; / ——(у,х)ахз — какая-нибудь
J (УXi
, g. , dV0
фиксированная первообразная функции X3 ।—> ——(у,х).
OXj
Поскольку при хз —> оо выполняются предельные соотношения
имеют место равенства
fi(xi,x2) =
J ХЗ==ОО
Отсюда следует, что
dW0. [дУ0.
-х—(У>х) = - / Т-(y’xi>x2>z)dz (i=l,2).
(JXi J (JXi
®3
Соответственно приходим к равенствам
аг(х) = “/ (i=1'2)-
хз
Теперь формулы (1.30), (1-31) для перемещений точек упругого по-
лупространства можно записать в виде
1 ( дУ______р °Г&
Л + д/ д:
1 / дУ A + 2/xT\
u3 = --— х3----------г—-V .
4тгд \ дх3 А + р }
10> В.3. Партон, П. И.Перлин. Методы математической теории упругости.
М„ 1981. (См. гл. I, §6.)
:з I (г = 1,2), (1.34)
ui
(1.35)
1.1. Действие давления на упругое полупространство
17
Полю перемещений (1.34), (1.35) отвечают следующие компоненты
тензора напряжений:
- хз32У А дУ р 7 32У
ап 2тг дх3 2д(А + д) Зх3 2тг(А + р) J дх3 Хз
Z3
= _хз 32У А дУ р 7 32У
а22 2тг дх3 2д(А + р) дх3 2д(А + р) J. дх3 Хз
23
- ^з^у 1 dv
°33 2л дх3 2тг дх3 ’
= Хз д3У р °C д3У
а12 2тг3х13хг 2д(А + р) J 3xi3x2 Хз’
= х'3 д2у = х'3 &V
а13 2тг3х13хз’ а23 2лдхздхз
Данные формулы, выражающие перемещения и напряжения через одну
гармоническую функцию, исходя из решения Буссинеска были выведе-
ны Н. М. Беляевым (1924)т1\
Таким образом, перемещения и напряжения в упругом полубеско-
нечном теле могут быть найдены формулам Беляева (1.34)-(1.36), как
только будет известна функция У(х), определяемая выражением (1.32).
В свою очередь, потенциал У (х) может быть вычислен, как только будет
известна плотность p(xi, хг) распределения контактного давления.
1.1.6. Действие на упругое тело давления,
распределенного по круговой области
При нагружении границы упругого полупространства давлением, рав-
номерно распределенным с плотностью ро по площадке w, имеем:
У(х) = р0 [[ .. (1.37)
JJ yj(xi - 2/1)2 + (х2 - 7/г)2 + Х%
Для вычисления этого интеграла применяется следующий способ (см.,
например, книгу11 12)).
11 > Н.М. Беляев. Местные напряжения при сжатии упругих тел // Инженер-
ные сооружения и строительная механика. Л.: Путь, 1924. С. 27-74. См. также:
Н.М. Беляев. Труды по теории упругости и пластичности. М., 1957.
12) А.И. Лурье. Пространственные задачи теории упругости. М., 1955.
18
1. Контактные задачи линейной теории упругости
От декартовых переменных интегрирования у\ и у2 перейдем к по-
лярным р и А с центром в точке M'(a?i, £2), являющейся проекцией на
плоскость Охд:2 точки наблюдения M(a?i, £2, я3), т. е. положим
2/1 = хх + р cos А, 2/2 = + р sin А.
При этом элемент площади dyidy2 заменяется на pdpdA.
В случае, когда точка М' лежит вне площадки ш интеграл (1.37)
принимает вид
V (х) = р0
После интегрирования по переменной р получаем
Аг
V(х) = Ро У (у/г2(Х)2+ х23 - Уп(А)2 + а:^ dX.
Al
(1.38)
Пределы п(А) и гг(А) интегрирования по р, а также пределы интегриро-
вания по А зависят от расположения точки М' относительно области ш.
Рис. 1
В частности, из (1.38) при х3 = 0 следует (см. рис. 1):
Аг
V(Z1,Z2,O) =р0 У (г2(А) - И (A)) dX.
Al
(1.39)
В том случае, когда точка М проецируется внутрь области ш, имеем
(см. рис. 2):
2тг
V(2i,22,0) = Ро У r(X)dX, (1.40)
о
1.1. Действие давления на упругое полупространство
19
где г (А) — расстояние от точки М' до границы области ш. (Для простоты
записи формул предполагается, что ш является выпуклой областью.)
Интегралы (1.38) - (1.40) нетрудно вычислить в случае круговой пло-
щадки ш. Примем сначала, что точка М' лежит вне наружной области.
Тогда в соответствии с обозначениями на рис. 3 получаем
т2(А) - п(А) = рад = 2|М^| = 2У|ОМ|2 - |ОК|2.
Рис. 3
Обозначая |ОЛД| = г и замечая, что |(Ж| = г sinA и |О/С0| = г sin Ао,
причем Ао = arcsin (а/т), находим
/ 7*2 / sin2 А
г2(А) - Г](А) = 2a\ 1------ sin2 А = 2а\ 1----5—.
V а2 V snrAo
Таким образом, при г > а в соответствии с (1.39) получаем
И(;Т1,;г2,0)
(1.41)
где 2Ао — угол под которым видна площадка ш из точки М'.
Для того, чтобы интеграл (1.41) выразить через полные эллиптиче-
ские интегралы, введем новую переменную интегрирования ф, положив
. . . . . . sinA0cosy>
sm А = sin Ао sm ф, аХ= . аф.
V1 — sin2 Ао sin2 ф
Тогда, очевидно,
тг/2
тг, , a2 f cos2 ф(1ф
V(ti,t2,0) = 4р0— / , 1
r J / a2 . „
0 \ 1-----о sin2 Ф
V r
20
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Так как ввиду тригонометрического тождества sin2 ф + cos2 ф = 1 спра-
ведливо разложение
к/2
/cos2 ф dip
\/1 — fc2 sin2 V'
где К и Е — полные эллиптические интегралы первого и второго родов,
определяемые формулами
зг/2 тг/2
K(fc) = / /г • 2Т’ = / У1- fc2sin2VW,
J х/1 — к2 sm ф J
о v г о
окончательно получаем
V(ti,T2,0) = 4рог
(1-42)
Пусть теперь точка М' располагается внутри области нагружения.
Согласно обозначениям принятым на рис. 4 имеем:
г(А) = |ЛГ'ЛГ| = \KN\ - |КМ'| = \/а2 —r2sin2A - г cos А.
Тем самым при г < а в соответствии с формулой (1.40) получаем
V(X1,T2,
(1.43)
Таким образом, вертикальные перемещения граничных точек полу-
пространства на основании (1.41) и (142), (1.43) равны:
W3(^i>^2,0) = 4i?p0aE^-^, г < а;
u3(xi, х2,0) = 4$р0г
г > а,
1.2. Задача о давлении штампа на упругое полупространство
21
где обозначено д = (1—1/2)(тгЕ)_1. Заметим, что, поскольку Е(0) = тг/2 и
Е(1) = 1, перемещение в центре круговой площадки (г = 0) оказывается
в тг/2 раз (т. е. примерно на 57%) больше, чем на окружности г = а.
1.2. Задача о давлении штампа
на упругое полупространство
1.2.1. Постановка линейной контактной задачи
Представим себе, что в упругое полупространство хз > 0 вдавливает-
ся абсолютно твердое тело (штамп), занимающее в плане фигуру ш
на плоскости Ох\Х2- Часть поверхности штампа, обращенную к упруго-
му основанию, будем называть подошвой. Предположим, что подошва
штампа определяется уравнением
х3 = -Ф(хь х2), (а?!, х2) е ш.
(2-1)
В исходном (ненагруженном) положении штамп касается подошвой по-
верхности упругого основания в одной или более точках внутри фигуры
ш, причем Ф(Х1,х2) > 0 при (z1; т2) € ш.
В результате нагружения штамп получает некоторое смещение. Обо-
значим через $о и 0i, 02 соответственно поступательное перемещение
штампа в направлении оси вертикальной Охз и углы поворота относи-
тельно горизонтальных координатных осей Oxi, 0x2 (см. рис. 5).
Будем считать, что трение между подошвой штампа и поверхностью
упругого основания пренебрежимо мало. Тогда в положении равновесия
система внешних нагрузок, приложенных к штампу, характеризуется
только величиной F3 равнодействующей, направленной вдоль оси Охз,
и моментами Mi и ЛГ2 относительно горизонтальных осей Oxi и Ох2.
Предположим сначала, что задано перемещение штампа, т. е. обоб-
щенные перемещения <5о, 01 и 02 считаются известными, в то время как
обобщенные силы F3, Мг и ЛГ2 подлежат определению.
Рис. 5
22
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Под действием штампа граничные точки упругого полупространства
получают малые вертикальные смещения
u3(xi,a;2,0) = <50 ~ (02^1 + /3ix2 - Ф(Х1,Ж2), (ii,i2)ew. (2.2)
При этом на границу упругого основания со стороны штампа действует
некоторая распределенная нагрузка (контактное давление)
^зз(х!,Х2,0) = -p(xi,x2), (xi,x2)eu>. (2.3)
Плотность p(xi,X2) контактного давления априори неизвестна. Для ее
определения составим интегральное уравнение.
Так, используя решение задачи Буссинеска, найдем, что под дей-
ствием вертикальной нагрузки p(xi,x2), распределенной по площадке
ш, граница упругого основания получает осадку
«.(х.,^,0) = 0 /7 (2.4)
JJ v(zi-2/i)2 + (х2-у2)2
и)
где д = (1—1/2)(тг£)-1. Представление (2.4) вытекает из формулы Бусси-
неска, определяющей осадку для случая сосредоточенной силы, и прин-
ципа наложения (суперпозиции) нагрузки, справедливого в линейных
задачах.
Если функция р(х\,х2) представляет собой плотность контактных
давлений, то выражения (2.2) и (2.4) должны совпадать в каждой точке
площадки ш. Таким образом, функция р(х^,х2) должна удовлетворять
интегральному13) уравнению
„ гг _ ftii + _ ф(1ь1!) (2 5)
J j V (£1 - У1)2 + (х2 - у2у
Cl)
Заметим, что контактная задача (2.5) представляет собой смешанную
задачу теории гармонических функций для полупространства14).
В том случае, когда задаются интегральные характеристики внеш-
ней нагрузки, прикладываемой к штампу, а параметры перемещения
штампа относятся в разряд искомых, к уравнению (2.5) дополнительно
присоединяются уравнения статического равновесия штампа
УР(У1, Уз) dyidy2 = F3, (2.6)
131 В.З. Партон, П.И. Перлин. Интегральные уравнения теории упругости.
М., 1977. (См. §38.); С.Г. Михлин, Н.Ф. Морозов, М.В. Паукшто. Инте-
гральные уравнения в теории упругости. СПб., 1994. (См. гл. 7.)
141 В.М. Александров, Е.В. Коваленко. Задачи механики сплошных сред
со смешанными граничными условиями. М., 1986. (См. гл. 1, § 1.)
1.2. Задача о давлении штампа на упругое полупространство
23
jj У2р(У1> Уъ) dy^dy-i = М1г - УУ У1Р(У1, у2) dyidy2 = М2. (2.7)
UJ UJ
Требование плотного прилегания подошвы штампа к поверхности
упругого полубесконечного тела приводит к дополнительному условию
неотрицательности контактного давления
p(xi,x2) > 0, (2.8)
которое для решения задачи (2.5) или (2.5)-(2.7) проверяется апосте-
риори. Нарушение неравенства (2.8) означает, что под подошвой штам-
па возникли растягивающие напряжения (2.3). Предположение о невоз-
можности появления отрицательных значений контактного давления
необходимо приводит к постановке нелинейной контактной задачи с ап-
риори неизвестной площадкой контакта.
В силу свойств интегрального оператора15'
JJ V(Z1 -У1)2 + (Z2 “Уз)2
задача (2.5) относится к классу некорректно поставленных16', что обу-
славливает известные трудности при ее численном решении17'.
Контактное давление под штампом с острой кромкой имеет на краю
площадки контакта корневую особенность (см., например, книгу18'). По
поводу особенности контактных давлений под штампом с угловыми точ-
ками на контуре (к примеру, под прямоугольным штампом) см., в част-
ности, работу19'.
Ясно, что аппроксимация реального упругого тела полупростран-
ством при постановке контактной задачи возможна лишь при соблюде-
нии определенных условий. Стремление к увеличению точности проч-
ностных расчетов приводит к новым постановкам контактных задач тео-
рии упругости (в частности, для упругого слоя), которые принято на-
звать неклассическими. При этом основная особенность неклассических
161 С.Г. Михлин. Интегральные уравнении. М.;Л., 1949. (См. §65.)
16) А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. М.,
1979. (См. §3.)
!7> А. В. Ку рбатов, М.И.Лазарев. К решению задачи о вдавливании жесткого
штампа в упругое полупространство // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1981, №4.
С. 77-82.
181 В. Л. Рвачев, В.С. Проценко. Контактные задачи теории упругости для
неклассических областей. Киев, 1977.
19> В. А. Б абешко, Е. В. Глушков, Н. В. Глушкова. Об особенностях в угло-
вых точках пространственных штампов в контактных задачах // Докл. АН СССР,
1981. Т. 257, №2. С. 289-294.
24
1. Контактные задачи линейной теории упругости
контактных задач состоит в более точном учете геометрии взаимодей-
ствующих тел20). Аналитическое решение большинства неклассических
контактных задач, в том числе контактных задач для упругих тел ко-
нечных размеров21), сопряжено с преодолением значительных матема-
тических трудностей.
Наконец, постановка рассматриваемой контактной задачи подразу-
мевает квазистатический процесс нагружения штампа, что оправдано
тем, что в большинстве случаев скорости контактных взаимодействий
сопрягаемых деталей машин и механизмов сравнительно невелики. Со-
временный обзор литературы по нестационарным динамическим кон-
тактным задачам выполнен А. Г. Горшковым и Д. В. Тарлаковским22).
1.2.2. Емкостные характеристики штампа
Пусть в упругое полупространство без трения вдавливается штамп с
плоским основанием в форме области ш (в уравнениях (2.1) и (2.5) сле-
дует ПОЛОЖИТЬ Ф(Х1, Х2) = 0 При (Х1,Х2) 6 w).
Для того чтобы штамп, нагруженный сосредоточенной силой, парал-
лельной оси Охз, совершил только поступательное перемещение, необ-
ходимо и достаточно, чтобы ось действия силы совпадала с прямой
Xi = х°, х2 = х%, где (х°, х%) — координаты центра давления подошвы
штампа, которые определяются как координаты центра тяжести эпю-
ры контактного давления для случая поступательного (без перекосов)
вдавливания штампа. При этом перемещение штампа <5о и действующая
на него сила F$ связаны равенством
F3 = 7^c<50. (2-9)
1 — и1
Здесь с — поступательная емкость штампа с плоским гладким осно-
ванием. Электростатическая аналогия для контактных задач описана
в монографии23).
В общем случае (при условии плотного контакта всей подошвы штам-
па с упругим основанием) обобщенные перемещения 5о, Д и [32 связаны
2°) В. М. Александров, Б. Л. Ройал нс. Контактные задачи в машинострое-
нии. М., 1986.
21) М. И. Чебаков. Контактные задачи для тел конечных размеров // Механика
контактных взаимодействий. М., 2001. С. 157-180.
22> А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский. Нестационарные динамические кон-
тактные задачи // Механика контактных взаимодействий. М., 2001. С. 350-388.
231 Л. А. Г ал и н. Контактные задачи теории упругости. М., 1953. (См. гл. II, § 10.)
См. также: Н. М. Бородачей, Г. П. Т ариков. К решению пространственных кон-
тактных задач теории упругости методом электрического моделирования // Изв. АН
СССР. Мех. тверд, тела, 1974, J0 3. С. 84-87.
1.2. Задача о давлении штампа на упругое полупространство 25
с обобщенными силами F3, Mi и М2 следующей формулой24 *^:
Г3
Mi
м2
тгЕ
1 — и1
с са?2
СХ2 с(а?2)2 + Ш22
— СХ° — СХ°Х°2 — Ш12
—ca?i
— П112
(я?)2 + тц
(2.10)
Здесь шцс — компоненты тензора вращательной емкости штампа с
плоским гладким основанием. Матрица Цт^Ц является симметрической
и положительно определенной, причем величины пзд имеют размер-
ность объема.
Пусть в упругое полупространство на некоторую глубину вдавлен
штамп с плоским гладким основанием. Предположим, что начало ко-
ординат выбрано в центре давления подошвы, а положение осей Oxi и
Ох2 определяется по отношению к главным осям тензора вращательной
емкости углом д поворота вокруг оси Ох2. Допустим теперь, что штамп
заставили совершить малый поворот вокруг оси Oxi так, что плотное
прилегание основания штампа к границе полупространства не наруши-
лось. Тогда система приложенных к штампу нагрузок согласно (2.10)
характеризуется моментами
MiW = tHm^)/?!, М2(д) = -d~lmi2(0)l3i,
где обозначено = тг£?(1 - i/2)-1.
Зафиксируем величину /31 и будем изменять направление оси Oxi,
варьируя в. Представляет интерес найти среднее значение момента
2тг
ЛЛ(0) = -!- [ Mi(O)d0,
2тг J
о
необходимого для поворота штампа на малый угол /31.
Обозначим через mi и ш2 главные значения тензора вращательной
емкости. В соответствии с тензорным характером преобразования ком-
понент матрицы вращательной емкости имеем
2тц = mi + m2 — (т2 — mi) cos 20,
2т22 = mi + т2 + (т2 - mi) cos20, (2.11)
—2h1i2 = (т2 — mi) sin 26.
Таким образом, используя соотношения (2.11), находим
2тг
Mi(6) = Л [ d6 = tf~!mcp/3i,
Z7T J
О
24) И. И. А р г ат о в. Емкостные характеристики штампа с плоским гладким осно-
ванием // Изв. вузов. Строительство, 2000, Л14. С. 26-32.
26
1. Контактные задачи линейной теории упругости
где тср = (тц + тгг)/2 — средняя вращательная емкость. Заметим,
что идея данной механической интерпретации первого инварианта тен-
зора вращательной емкости восходит к работе25). Из формул (2.11) сле-
дует, что величина тсР является инвариантом тензора вращательной
емкости, т.е. равенство тср = (тц(0) + тгг(^))/2 выполняется при
любом значении угла 9.
Если фигура ш обладает осью симметрии, то последняя является так-
же главной осью тензора вращательной емкости. Как следствие этого
получаем, что в случае наличия у ш трех и более осей симметрии тен-
зор вращательной емкости будет шаровым (mi = m2). При этом центр
давления лежит на оси симметрии и совпадает с центром симметрии
основания штампа, если таковые имеются. Заметим также, что, вообще
говоря, центр давления не совпадает с центром тяжести фигуры ш.
На основе результатов Полна и Сегё26) для поступательной емкости
штампа с плоским основанием Л. А. Галиным27) и Н. М. Бородачевым28)
были установлены двусторонние оценки и конкретизирована изопери-
метрическая теорема. В частности, для любого штампа с подошвой в
форме области ш справедливо следующее неравенство:
2 г—
(2-12)
где А — площадь фигуры ш. При этом из всех штампов с заданной пло-
щадью А круговой штамп имеет наименьшую емкость. Удовлетвори-
тельная точность нижней оценки (2.12) для квадратного и Г-образного
штампов была подтверждена численными расчетами в работе29).
Пусть a>i и а>2 — две фигуры на плоскости Ox 1Т2; с, — поступательная
емкость штампа с основанием Обозначим через си и сп поступатель-
ные емкости штампов с основаниями W1UW2 и Ш1Пшг. Тогда выполняется
следующее неравенство30):
С1 4" Сг > Си + Сп- (213)
26* В. В. Н о вож и л о в. О физическом смысле инвариантов напряжения, исполь-
зуемых в теории пластичности // Прикл. матем. и мех., 1952. Т. 16. Вып. 5. С. 617-619.
26> Г. Полна, Г. Сеге. Изопериметрические неравенства в математической фи-
зике. М.: Физматгиз, 1962.
27> Л. А. Галин. Оценка перемещений в пространственных контактных задачах
теории упругости // Прикл. матем. и мех., 1948. Т. 12. Вып. 3. С. 241-250.
281 Н. М. Бородачев. Об определении осадок жестких плит и массивов // Осно-
вания, фундаменты и мех. грунтов, 1964, №4. С. 3-4.
29 * Н.D. Conway, К. A. Farnham. The relationship between load and penetration
for a rigid, flat-ended punch of arbitrary cross section // Int. J. Engng Sci., 1968. V. 6.
P. 489-496.
30> L.E. Payne. Isoperimetric inequalities and their applications // SIAM Rev., 1967.
V.9, №3. P. 453-488.
1.2. Задача о давлении штампа на упругое полупространство
27
Применительно к системе штампов формулу (2.13) можно прочитать
так: поступательная емкость системы штампов меньше суммы емкостей
штампов ее составляющих.
Поступательная емкость близкого к круговому в плане штампа, огра-
ниченного кривой р = а(<р) в полярных координатах, согласно расчетам
В. И. Моссаковского31» имеет следующее асимптотическое разложение:
С£ = - + ^(62 + 362 + 5С62 + 7Cl + ...) +-O(s3),
7Г О7Г
где коэффициенты 62,64, ... определяются из разложения
а(<р)2 = а2 [1 -I- е(С2 cos 2<р + 64 cos 4<р +•••)] •
В случае штампа, занимающего в плане область ш, ограниченную
кривой р = а(у>), в предположении, что начало координат совпадает с
центром тяжести области ш, Фабрикантом32) была предложена следую-
щая приближенная формула:
с«/о\/А; /0 = ^. (2.14)
Здесь А — площадь фигуры ш; /0 — безразмерный коэффициент, завися-
щий только от формы фигуры ш; га — средний радиус контура фигуры
ш по отношению к центру тяжести, причем
2тг 2тг
А = | У a(.P)2d<p, га = У а(у>) dip.
о о
В целом ряде случаев (в том числе для правильного многоугольни-
ка, треугольника и прямоугольника) погрешность формулы Фабриканта
(2.14) не превосходит 5%.
В случае штампа, обладающего осью симметрии, с которой совме-
щена координатная ось, при условии, что начало координат выбрано в
центре давления подошвы штампа, будем иметь:
.г кЕ . ,, ~Е
Mi = ------»m2/3i, М2 = ---------rmift.
1 — V1 1 — V1
31) В.И. Моссаковский. Зависимость между силой и осадкой для близкого
к круговому в плане плоского штампа // Гидроаэромеханика и теория упругости.
Вып. 14. Днепропетровск: Изд-во Днепропетровск, ун-та, 1972. С. 93-102.
32* V.I. Fabrikant. Applications of potential theory in mechanics. Dordrecht:
Kluwer Acad. Pub]., 1989. (Cm. §5.4 и §5.5.)
28
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Для приближенного расчета главных вращательных емкостей mi и т2
могут быть использованы следующие формулы Фабриканта:
А3/2 А3/2 327
m2«/i—, mi«/2—; fi = (г =1,2). (2.15)
Здесь Л и /2 — главные моменты инерции фигуры ш относительно осей
координат; /1 и /2 - безразмерные коэффициенты; Ji и J2 — так назы-
ваемые линейные моменты фигуры ш относительно координатных осей
Oxi и 0x2. соответственно, причем
2% 2тг
Л = | [ а(<р)4 Sin2 pdp, I2 = - a(<p)4 cos2 p dp-,
J 0 J 0
2зг 2tt
Ji = У а(<р) sin2 pdp, J2 = У a(<p) cos2 p dip.
0 0
Следует иметь ввиду, что в некоторых случаях (в частности, для рав-
ностороннего прямоугольного треугольника и ромба) погрешность фор-
мул (2.15) достигает и даже превосходит 10%. Стоит также отметить,
что формулы (2.14) и (2.15) представляют собой точный результат для
случая эллиптического щтампа.
1.2.3. Давление на упругое полупространство
кругового или эллиптического штампа
с плоской подошвой
Пусть ш — круг радиусом а с центром в начале координат. Контакт-
ное давление под плоской подошвой кругового в плане штампа, вдав-
ливаемого без трения в упругое полупространство без перекосов, было
определено Буссинеском (1885):
р(Х1,т2) =
Е 50
7Г(1 —
1/2) \/а2 — х2 — х%
(2-16)
(Нетрудно видеть, что плотность контактного давления (2.16) имеет
корневую особенность на краю площадки контакта.) На основании фор-
мулы (2.16) поступательная емкость кругового штампа
Решение неосесимметричной задачи о вдавливании в упругое полу-
пространство кругового штампа с плоским основанием впервые было
1.2. Задача о давлении штампа на упругое полупространство
29
получено В. М. Абрамовым (1939). Согласно результатам В. М. Абрамо-
ва33' контактное давление под штампом распределено по закону
р(Х1,Х2) =
Е 5о ~ 2/02^1 + 2Да;2
^(l _ "2) У а2 - х2 - х2
Соответственно вращательная емкость кругового штампа
4а3
Зл
(2-18)
(2-19)
Если штамп вдавливается силой, действующей вдоль прямой, нахо-
дящейся на расстоянии I от его оси, то контактное давление (2.18) будет
во всех точках круга ш положительным лишь при условии, что плечо
I меньше, чем а/3. (Позднее аналогичные результаты были получены в
работе34'.)
Решение линейной контактной задачи для эллиптического штампа
с плоским основанием было получено А. И. Лурье (1940). Согласно ре-
зультатам А. И. Лурье35' контактное давление под штампом распреде-
лено по закону
р(Х1,Х2) =
Е
2(1 - ^ах/Г^ё2
6р _ 02X1 /31Х2
К(е) Р(е) + В(е)
/ Дёг
у а2 а2(1 - е2)
(2.20)
Здесь а — ббльшая полуось эллипса, ограничивающего область ш; е —
его эксцентриситет; К(е) и Е(е) — полные эллиптические интегралы
первого и второго родов;
D(e) = е~2 [К(е) - Е(е)], В(е) = К(е) - D(e).
Таким образом, если эллипс, ограничивающий основание штампа,
отнесен к главным осям, причем ббльшая ось ориентирована вдоль ко-
ординатной оси Oxi, то поступательная и главные вращательные емко-
сти соответственно таковы:
а а3 а3(1 — е2)
с = —гт> mi = , т2 = —Х7-;—• (2.21)
К(е) 3D(e) 2 ЗВ(е) v ’
33 * В.М.Абрамов. Исследование случая несимметричного давления штампа
круглого сечения на упругое полупространство // Докл. АН СССР, 1939. Т. 23,
№8. С. 759-763.
34' Н. В о го wi cka. Uber ausniittig belastete, starre Flatten aus elastisch-isotropen
Untergrund // Ing.-Archiv, 1943. Bd. 14, №1. S. 1-8.
35' А. И. Лурье. Исследование случая несимметричного давления жесткого плос-
кого штампа эллиптического сечения на упругое полупространство // Докл. АН
СССР, 1940. Т. 28, №2. С. 105-108.
30
1. Контактные задачи линейной теории упругости
При этом средняя вращательная емкость
_ а3Е(е)
ГПср “ 6D(e)B(e)
Методы решения интегрального уравнения контактной задачи и вы-
вод данных формул будут изложены в дальнейшем.
1.2.4. Теорема Моссаковского
Рассмотрим упругое полупространство > 0, подверженное действию
давления, распределенного с некоторой плотностью р(х1гх2) по произ-
вольной площадке и, т. е.
озз(я1,2?2,0) = -р(т1,т2), (зь^г) € ш.
В результате деформации граничные точки упругого полупространства
получают вертикальное перемещение w(a?i,a;2) = и3(хг,0), определя-
емое формулой (2.4). При этом упругим телом запасается потенциаль-
ная энергия деформации, равная
и = i Ц u3(x1,x2,0)p(x1,x2) dxrdx2.
Пусть плотности p'(a;i,a;2) и p"(a?i,x2) задают две различные систе-'
мы нагрузок, которые вызывают осадку поверхности упругого полупро-
странства w'(ti,t2) и w"(ti,t2), соответственно. Тогда по теореме Бетти
о взаимности работ (см., например, книгу36)) справедливо равенство
II w'(x1,x2)p"(x1,x2) dx\dx2 = II w"(tj, t2)p'(ti, т2) dxidx2- (2.22)
Of 01
Рассмотрим теперь вновь контактную задачу для штампа, занимаю-
щего в плане фигуру ш. Предположим, что в случае штампа с плоским
основанием (Ф(я1, х2) = 0 при (ti, х2) € ш) решение интегрального урав-
нения (2.5) известно. В силу линейности уравнения (2.5) это решение
можно представить в форме
р(тьт2) = 50р0 (Ж1, х2 ) + /?1Р1(т1, х2) + 02р2(х1,х2).
Подставим в формулу (2.22) плотности p(xlt х2), po(xi, х2) и соответ-
ствующие им функции осадки границы упругого основания. Поскольку
361 И.Н. Снеддон, Д. С. Берри. Классическая теория упругости. М., 1961.
1.2. Задача о давлении штампа на упругое полупространство
31
плотности отвечает единичное вертикальное перемещение то-
чек подошвы штампа, имеем
УУ = УУ p(xi,xz)dxidx2.
01 О)
Вычисляя интеграл в правой части согласно (2.6), находим
F3 = Ц -u.3(:ri, ге2, 0)ро(гЕ1, ге2) dxxdx2. (2.23)
01
Рассуждая аналогично, при учете (2.7) получаем
Mi = II u3(x1,X2,0)pi(x1,x2)dx1dx2 (г =1,2). (2.24)
Of
Соотношения (2.23) и (2.24), впервые установленные В. И. Моссаков-
ским (195I)37’, могут быть обобщены38’ на случай действия на границу
упругого полупространства (вне штампа) нормальной и касательной на-
грузок. Формулы (2.23) и (2.24) особенно эффективны в применении к
круговому и эллиптическому штампам, для которых известны плотно-
сти po(xi, х2) и Pi(xi, х2) (г = 1,2) в простой замкнутой форме.
В частности, для кругового штампа на основании формул Буссине-
ска (2.16) и Абрамова (2.18) получаем
! / f ^(Xi,X2)dXidX2
J J у/a2 — х^ — x% ’
01
Afil
M2)
Л-1 ( 01 1
f f ( x2 1 Ф(х1,х2) dxjdx2
J J 1 ~xi J y/a2 - xl - xl ’
(2.25)
(2.26)
где емкостные характеристики сит определены формулами (2.17) и
(2.19), соответственно; $-1 = тгЕ(1 — р2)-1.
Формулы (2.25) и (2.26) позволяют, не определяя контактного давле-
ния, вычислить его интегральные характеристики (равнодействующую
F3 и моменты Му, М2) в случае кругового штампа с подошвой произ-
вольной формы.
37’ В. И. М о с с а к о в с к и й. К вопросу об оценке перемещений в пространственных
контактных задачах // Прикл. матем. и мех., 1951. Т. 15. Вып. 5. С. 635 636.
38’ В.И. Моссаковский. Применение теоремы взаимности к определению сум-
марных сил и моментов в простраиствеииых контактных задачах // Прикл. матем.
и мех., 1953. Т. 17. Вып. 4. С. 477-482.
32
1. Контактные задачи линейной теории упругости
1.2.5. Задача для эллиптического штампа.
Теорема Галина
Эффективное решение интегрального уравнения контактной задачи от-
носительно плотности контактных давлений может быть получено для
штампа, занимающего в плане круговую или эллиптическую область ш.
Пусть площадка ш ограничена эллипсом с полуосями а и Ь, уравнение
которого запишем в виде
2 л>2
= (2.27)
Л. А. Галин (1947) доказал39), что, если уравнение поверхности штам-
па есть полином n-й степени, т. е.
Ф(2?1,т2)= ^2 bijXvb (2.28)
i+j=2
то давление под основанием штампа выражается в виде отношения неко-
торого полинома n-й степени и корня квадратного из левой части урав-
нения эллипса, ограничивающего в плане штамп, т. е.
п
CklXiX‘2
= -/^2 7=0' 2........2- (2‘29)
1- /1 _S_^2
V а2 Ь2
Подстановка выражений (2.28) и (2.29) в интегральное уравнение
(2.5) дает
п п
- CkiJk^X!,х2) = <5о + /31^2 - bijX^xi- (2.30)
fc+/=0 i+j=2
Здесь введено обозначение
АКхьх.) - Я , , . (2.31)
“ у 1 - ~ +
39) Л. А. Галии. О давлении штампа эллиптической формы в плане на упругое
полупространство // Прикл. матем. и мех., 1947. Т. 11. Вып. 2. С. 281-284. См. также:
R. Shall. Ьатё polynomial solutions to some elliptic crack and punch problems // Int.
J. Engng. Sci., 1978. V. 16, №8. P. 551-563.
1.2. Задача о давлении штампа на упругое полупространство
33
Проверим, что функция ЛДяьаъ) представляет собой полином сте-
пени к + 1 относительно переменных и Х2- Для вычисления интеграла
Jki (х1,х2) применим метод, развитый И. Я. Штаерманом40'.
Перейдем в двойном интеграле (2.31) от декартовых координат yi и
У2 к полярным R и tp с центром в точке (24,2:2) по формулам
yi = xi + Rcostp, у2 = Х2 + Rsintp.
При этом элемент площади dyidy2 заменяется на RdRdp. Имеем:
2я ЯоМ
Г Г (Xi + Rcostp)k(x2 + Rsintpy
Jki(xi,x2} = I dtp / . — 4 ---------= dR,
J 11 (Xi + Rcostp)2 (X2 4- Rsintpy
V &
(2.32)
где R = До (у) — уравнение границы эллиптической области о> в данной
полярной системе координат.
Подставляя координаты 2?i + Ro(<p) costp и Х2+ Ro(<P) sin 99 вместо 2?i
и X2 в уравнение (2.27), приходим к квадратному уравнению
L(tp)R% + 2М(^)7?о - N = 0, (2.33)
где введены следующие обозначения:
О • 2
r, . COS£<p SID UP v 3?1COSCP X2 sin <p
2 „2
= (2.35)
a2 tr
Выделяя положительный корень уравнения (2.33), находим
-мм +
До(’’) ------------£М------------'
Согласно обозначениям (2.34), (2.35) формуле (2.32) придаем вид
2я Яо(^)
Ых1Л)= J* Z (^ +Я<^У)‘(^ + Д^У)
1 7 J / yjN-2RM(tp)-R?L(tp) k
Выделяя в подкоренном выражении в (2.36) полный квадрат, интеграл
(2.36) преобразуем так: ’
| НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В~
2ir Ro{v) {ОДНИ РУКИ
— Уd(p у* (з?1 + Rco8<p)k(x2 + Rsinip)lx
о о
40* И. Я. Штаермаи. Об одном обобщении задачи Герца// Прикл. матем. и мех.,
1941. Т. 5. Вып. 3. С. 409-418.
ОСКОРКА
34
1. Контактные задачи линейной теории упругости
х (ад) + )
, ( M(tp) + RL(<p) V
\y/M(<p)2 + NL(<p)J
2
dR. (2.37)
Далее, так как 0 < R < Rq (<р), а функция Ц<р) положительна, справед-
ливо двойное неравенство
< M(<p) + RL(<p) < х
у/Щ<Р)2 + NL&) ~
Поэтому вместо переменной интегрирования R можно взять новую пе-
ременную •& согласно равенству
у/Щ*)2 + NL(<p)
(О < •& < Тг).
(2.38)
При этом выполняются соотношения
dR = _.№? + N
V Ц?)
R = —L [S(<p) cos 0 - М(<р)], S(<p) = y/M(<p)2 + L(tp)N.
L\lP)
Таким образом, интеграл (2.37) принимает вид
X
2л й(»>)
L(<p)xi + cosy?[S(y?) cos#
-лад]) х
(ад)
х2 + sin <р [S(<p) cos d
(2.39)
о о
Здесь $(<р) — значение переменной интегрирования •&, отвечающая пре-
делу R = 0. Из (2.38) находим
А/ X
= Ж-
Следуя И. Я. Штаерману, разобьем промежуток интегрирования по
переменной <р на два промежутка [0, тг], [тг, 2тг] и соответственно разло-
жим интеграл (2.39) в сумму
Jki(xi, х2) = + J^\xi,x2).
1.2. Задача о давлении штампа на упругое полупространство
35
Рассмотрим теперь интеграл J$\xi,xz), для которого р € [тг,2тг]. По-
лагая р = тг + </>' и учитывая легко проверяемые соотношения
М(тг + <//) = - W), Цтг + у/) = L(tp'),
находим cos т7(тг + </>') = — cos ) j откуда вытекает очевидное равен-
ство т9(тг + <//)= тг — $(</?')• Тем самым приходим к представлению
J^(xj,X2) = У dp' У (jL,(p')xi - cosp'[S(p')cosd + М(р')]^ x
о о
x(L(tp')x2 - sin</[£(<//) cost? + ----——p.
V 1 L(p')‘+k+i
Полагая теперь d = тг — d', получаем
1Г 1Г
J^(xi,X2) = У dtp' У ^L(p')x1 + cos p'[S(p') cosd'— M(p')]^ x
0
x(l{<p')x2 + sin^'[S(<^')cosi7' - ----——г- (2.40)
V 7 L(tp>)l+k+2
Наконец, заменяем p' и d' на p и d, соответственно.
Итак, на основании (2.40) интеграл (2.39) представляем в виде
Л<(Т1,Т2)
У dp У (jL(p)xi + cos</?[S(<^) cosd — М(</?)]) х
о о
xyL(p)x2 + sinp[S(p) cosd - M(p)]j --------p. (2.41)
L(p)‘+k+2
Напомним, что выражения M(p), N и S(p), зависят от переменных
Xi и Х2- Однако, так как / cosmddd = 0 для нечетных показателей
Jo
m, то после интегрирования по переменной d в интеграле (2.41) в полу-
чаемом интеграле подынтегральная функция будет содержать выраже-
ние S(p)m исключительно с четными показателями степени т. Следова-
тельно, функция т2) действительно является полиномом степени
не выше, чем к + 1.
Подчеркнем, что данным методом не удается доказать обратную тео-
рему о том, что плотность p(xi, т2) определяется формулой (2.29), если
функция $(a;i,a;2) имеет вид (2.28). Именно обратная теорема Галина
36
1. Контактные задачи линейной теории упругости
является основой для применения метода неопределенных коэффициен-
тов, когда уравнение поверхности штампа представляется многочленом
от декартовых координат.
В. М. Александров (1959) свел вычисление интеграла ^2) к вы-
числению интегралов вида
тг/2
f cos2”1 <р sin2” (pd<p е2 — 1
J (1 — e2sin2</>)n+rn+2' а2’
которые, в свою очередь, могут быть выражены через полные эллипти-
ческие интегралы первого и второго родов41). Таким путем для вычис-
ления коэффициентов сы “квазиполинома” (2.29), определяющего кон-
тактное давление под штампом с “полиномиальным” основанием (2.28),
может быть получена система, состоящая из (п 4- 1)(п + 2)/2 линейных
алгебраических уравнений.
1.2.6. Задача для эллиптического штампа.
Метод Довноровича
Рассмотрим задачу о вдавливании в упругое полупространство хз > О
эллиптического в плане штампа с поверхностью, изображаемой полино-
мом степени п,
Ф(х1,т2) = 52 Ъцх'^. (2.42)
i+j=2
В частности, если п — 2, то Ф(а;1,2;2) = 620^1 + Ьцх^хг + Ьозх1.
Пусть контакт штампа с границей упругого основания осуществля-
ется по площадке ш, ограниченной эллипсом
~2 -г2
d+^=L <2-43)
Тогда по теореме Галина решение интегрального уравнения (2.5) пред-
ставимо в форме
р(Ж1,а:2) = г- 1- 2- Е (2.44)
I — 1/ I
. Ж1 ^2 *+<=0
V а2 Ь2
41> И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. Неклассические
смешанные задачи теории упругости. М., 1974. (См. §52.)
1.2. Задача о давлении штампа на упругое полупространство
37
Подставляя теперь плотность p(xi, х2), определяемую формулой (2.44),
в уравнение (2.5), получаем
У Ckiyiyl2dyidy2
II - ---------- t, !2-45>
ш V(xi-yi)2 + (x2-y2)2y1 - '+3~°
Здесь введены обозначения: &оо = — <50; bw = 02; boi = —01-
Равенство (2.45) должно выполняться для всех точек (ал, х2), лежа-
щих внутри эллипса (2.43). Полагая в (2.45) xi = 0 и х2 = 0, находим
п
У = booi
lt+l=o
(2-46)
где коэффициенты вычисляются по формуле
yiy2dyidy2
(2-47)
Выбрав внутри площадки и ряд других точек, в дополнении к (2.46)
можно выписать ряд линейных алгебраических уравнений, связываю-
щих неизвестные величины сы с заданными bij. Однако коэффициенты
в этих уравнениях уже не будут иметь столь простой вид как (2.47).
Метод, предложенный В. И. Довноровичем42\ основывается на сле-
дующей очевидной формуле:
i'.j'.btj =
Д’+i _2!_
У Ьк1хкх‘2
o'XiO'a^ fc+(=0
zi=0
Z2=0
(2-48)
где г! = 1 • 2 • 3•... • (i — 1) • г — факториал натурального числа г, причем по
определению 0! = 1. (Справа в соотношении (2.48) сначала производится
дифференцирование по переменным ajj и х2, а затем в получающийся
многочлен подставляется xj = 0 и х2 = 0.)
Так, продифференцировав обе части равенства (2.45) г раз по ал и
j раз по х2, а затем положив xi = 0 и х2 = 0, получим равенство, вы-
ражающее коэффициент через cki (к + I = 0,1,2, ..., п). Эти равен-
ства, рассматриваются в совокупности, и составляют систему уравнений
42 > В. И. Д о в н о р о в и ч. Пространственные контактные задачи теории упругости.
Минск, 1959.
38
1. Контактные задачи линейной теории упругости
определения коэффициентов в разложении для плотности контактных
давлений (2.44).
Следуя В. И. Довноровичу, перепишем уравнение (2.45) в виде
i+j-1
У? ск1У1У2 dyidy2
ff-------------------_== +
J I ,________________ / □тг
ш a/(^i — г/1)2 + (x2-y2)2J 1 - 4 - §
V а (г
Ckiyiy2dyidy2
+ !!------------------1—з—? - Ё (2Л9>
- 7(«,-!/,)г + (^-й)!Ф-!7-В *+""
V а2 о2
По теореме Галина получаем, что первый интеграл в левой части (2.49)
является многочленом степени i + j — 1. Поэтому, продифференцировав
обе части равенства (2.49) i раз по xi и j раз по х2, находим
п
fc+l=t+j
di+j
Cki\...-7-jIki(xltx2) = ilj'.bij + РО(Т1,Т2).
иХ^иХ1^
(2.50)
Здесь Pij(xi,x2) — некоторый многочлен, удовлетворяющий следующе-
му условию: Ру(0,0) = 0,
ЬМ -/[ (2.51)
“ л/41 - J/1)2 + (х2 ~ J/2)2V 1 - Ц - W
V a* г
Подставляя теперь значения = 0 и х% = 0 в равенство (2.50), выводим
<42си = Ьу (i+j = 0,1,2, ...,п), (2.52)
k+l=i+j
где
1 д'+з
tfa ~ ТТЛ л 11=0 ‘ (2.53)
г'-3-дх\дхг2 12=о
Покажем теперь, как вычисляются коэффициенты (2.53) в уравнени-
ях (2.52). Во-первых, заметим, что подынтегральное выражение в (2.51)
имеет особенность в точке (xi,x2\ Поэтому для того, чтобы вычислить
частные производные интеграла Iki(xi,x2) по параметрам хг и х2, рас-
смотрим следующий интеграл:
______________У1У2^У1^У2____________
- - /2 2
У (X! ~ 1/1)2 + (х2 - у2)2 +xlyj
(2.54)
1.2. Задача о давлении штампа на упругое полупространство
39
Так как при х3 > 0 подынтегральная функция в (2.54) и ее частные
производные по переменным Xi и х2 непрерывны, то интеграл (2.54)
можно дифференцировать под знаком интеграла сколь угодно раз.
Продифференцировав интеграл (2.54) под знаком интеграла i раз по
Xi и j раз по Х2> положим Xi = 0 и Х2 = 0, а затем перейдем к пределу
при х3 -> 0. В результате получим
= J_ [[ &i+j 1 - ypl2dyidy2
к‘ i'-j'- J J дх\дх?2 y/(x! - утУ + (x2 -1/2)2 I1=° Г j/f
V a2 b2
(2.55)
Непосредственным интегрированием проверяется, что интегралы (2.55)
выражаются через полные эллиптические интегралы. В случае круго-
вого штампа коэффициенты вычисляются в конечном виде.
Таким образом, контактное давление под эллиптическим штампом с
поверхностью основания (2.42) определяется по формуле (2.44), причем
коэффициенты cki находятся в результате решения системы, состоящей
из (п + 1)(п + 2)/2 линейных алгебраических уравнений (2.52).
1.2.7. Давление на упругое полупространство
кругового штампа
с полиномиальным основанием
Пусть и — круг радиусом а с центром в начале координат. Рассмотрим
случай, когда подошва кругового в плане штампа имеет форму участка
эллиптического параболоида
Ф(Т1, Т2) = + ЬПХ!Х2 + г>022?2-
(2.56)
По теореме Галина контактное давление представимо в форме
лЕ Соо + С10Х! + 001X2 + С20Х2! + СцХ^г + Со2х%
,Х2> = “1—Та--------------------/ -=----------------- (2-57)
J1 - а~2(х^ +х|)
Применяя метод Довноровича, для определения коэффициентов cki
составляем систему линейных алгебраических уравнений
^ыСЫ — —do, k+l=0 2 2 £ 4°cjt( = /32, E <%ск1 = -Д, (2.58) k+i=i k+i=i
57 d^cki = b2o, k+l=2 = £ 4icti = b02. (2.59) fc+l=2 k+l=2
40
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Здесь 6о — вертикальное перемещение штампа; Д и ft ~ углы его по-
ворота относительно горизонтальных осей.
Коэффициенты <% определяются по формуле
У1У2 dyidy2
- а~2(х2+х2)
(2.60)
где обозначено
1
V (yi, Уг) d3j - ?л)2 + (т2 -т/2)2
Х1=0
Х2=0
В результате простых вычислений находим
Doo = Dio = Doi = ~|> P = \]у1 + 2/г!
1 n Зт/^2 n 1
Mi = —г—, M>2 — —г----------v
/Г pb pt> pi
1
P'
D
Mo — —r ,, ^ii — ч
pb pi pb
Интегралы (2.60) без затруднений вычисляются после перехода к
полярным координатам. Например,
2тг a
Р cos2 <р 1 \ р2 cos2 tpp dp 5тг2а
Р5 Р3/ \/1 - ч~2р2 16
о о
При этом в силу симметрии площадки ш относительно координатных
осей получаем
d°° = d°° = o, d°° = o, < = d°j = o, .
du = djt} = 0 (fc 4- / = 2), d2° = d^2 = 0, <4o = ^02 = 0-
Итак, согласно расчетам В. И. Довноровича имеем:
j00 _ ^2„ j00 _ j00 _ 71,2а3 J10 _ J01 _ 7t’2a
“00 — 77 “i °20 “ a02 — i a10 — “01 — 2 ’
j20 _ j02 _ Зтг2а 20 _ j02 _ 772(7 jii _ З^а
a20 — a02 — IQ ’ “02 — “20 ~ 16 ’ “11 — 8 ’
Таким образом, коэффициенты в выражении (2.57) для плотности
контактных давлений определяется из системы уравнений
^2ОС2О +
doflCOO +
^10 ^10
^OjCoi
^20C20 +
^огСог — —do,
= h,
= -Pl,
<$2С02 = &20,
d}}cn = 611,
с^гоСго + ^о2Сог = 6q2.
(2.61)
1.2. Задача о давлении штампа на упругое полупространство
41
Очевидно, что
2 2
Сю = —5— 02, С01-------/31,
тга тга
8 .
С11 = ЗЛЬ11'
(2.62)
Далее, из четвертого и шестого уравнений системы (2.61) находим
2 2
Сго = 3^.2а^^20 + &02)’ 6:02 ~ Зл^а^20 + 5^°2)-
(2.63)
Подстановка этих выражений в первое уравнение системы (2.61) дает
сот — — [<5о + а2 Фго + Ьог)] •
(2.64)
Итак, плотность контактного давления (2.57) под штампом с поверх-
ностью основания (2.56) согласно (2.62)-(2.64) получаем в виде
Е if
p(rci,rc2) = -7---—======{ <50 - 2/32^1 + 2Дгс2 +
тг(1 ~ v ) уа2 - xl - xl I
2 8Ь 2 1
+ а2(&20 + Ьог) — -(5Ь2о + Ьог)^2-— ,(^20 + 6602)^2 г (2-65)
и ио I
Отсюда как частные случаи получаются формулы Буссинеска (2.16) и
Абрамова (2.18) для случая штампа с плоским основанием. Решение
задачи для штампа с подошвой в форме участка параболоида (2.56)
при bn = 0 было найдено Н. А. Ростовцевым43). Заметим, что решение
задачи, когда 62о = Ьог = 0 и Ьц 0, получается из формулы Ростовцева
для случая 602 = — Ь\\/2 и bzo = 6ц/2 при повороте осей координат на
угол равный тг/4.
Детальное исследование контактного давления под круговым штам-
пом с полиномиальным основанием было проведено В. И. Довнорови-
чем44\ Общее решение интегрального уравнения контактной задачи для
кругового в плане штампа дано М. Я. Леоновым45) и В. И. Моссаков-
ским46). Напряженния и перемещения в упругом полупространстве ис-
43 * Н. А. Ростовцев. Комплексные потенциалы в задаче о штампе, круглом в
плане // Прикл. матем. и мех., 1957. Т. 20. Вып. 1. С. 77-82.
44) В. И. Довнорович. Пространственные контактные задачи теории упругости.
Минск, 1959.
4S) М.Я. Леонов. Решение одного интегрального уравнения теории ньютонов-
ского потенциала // Укр. матем. ж., 1953. Т. 5. У’ 1. С. 50-57.
46) В.И. Моссаковский. Общее решение задачи об определении давления под
подошвой круглого в плане штампа без учета сил трения / / Вопросы машиноведения
и прочности в машиностроении. Научи, зап. ни-та машиноведения и автоматики АН
Укр. ССР. Киев, 1953. С. 41-53.
42
1. Контактные задачи линейной теории упругости
следовали Снеддон47), В. И. Довнорович и В. А. Головня48).
Решение линейной контактной задачи для эллиптического в плане
штампа, ограниченного поверхностью (2.56) с 5ц = 0 выписано в работе
А. И. Лурье49). Решение данной задачи было доведено до численных
результатов В. М. Александровым и И. И. Воровичем50).
1.3. Осесимметричная контактная задача
1.3.1. Общее решение интегрального уравнения
осесимметричной контактной задачи
в случае круговой площадки контакта
Для сокращения записи вместо осадки 6о — Ф(г), которую получают
граничные точки полупространства под штампом, введем функцию
ТГ Pj
Чг) = ТТ??(<5о-Ф(г)). (3.1)
Здесь 60 — вертикальное перемещение штампа; хз = — Ф(г) — уравнение
поверхности штампа; г = у/х^ + х% — полярный радиус. Из условия сим-
метрии заключаем, что плотность распределения контактных давлений
р также будет функцией только расстояния до оси штампа.
Рассмотрим интегральное уравнение контактной задачи
= (3.2)
ш
где ш — круг радиуса а с центром в начале координат; R — рассто-
яние между (фиксированной) точкой наблюдения М с координатой г
и (переменной) точкой N с координатой р, которая является центром
элементарной площадки с площадью da.
47) И. Снеддон. Преобразования Фурье. М., 1955.
48) В.И. Довнорович, В.А. Головня. Определение вектора смещений н тен-
зора напряжений в упругом основании под действием заданных пропорциональных
полярному радиусу нормальных смещений точек круговой области граничной по-
верхности // Вопросы пути н механизации путевых работ. Тр. Белорус, нн-та ннж.
ж.-д. транспорта. Вып. 120. Гомель, 19.7-3. С. 84-90. Определение компонентов сме-
щений н напряжений в упругом полупространстве // Стрелочное хозяйство н бес-
стыковой путь. Тр. БИИЖТ. Вып. 131. Гомель, 1974. С. 68-77.
49) А. И. Лурье. Некоторые контактные задачи теории упругости // Прнкл. ма-
тем. н мех., 1941. Т. 5. Вып.З. С. 383-408.
so) В. М. Александров, И.И. Воровнч. О действии штампа на упругий слой
конечной толщины // Прнкл. матем. и мех., 1960. Т. 24. Вып. 2. С. 323-333.
1.3. Осесимметричная контактная задача
43
В двойном интеграле (3.2) возьмем в качестве переменных интегри-
рования полярные координаты R и а с центром в точке М (см. рис. 6).
В таком случае da = R dRda и уравнение (3.2) принимает вид
я Яо(а)
2 У У р(р) dRda — u(r), р = y/r2 + R2 — 2rRcos a. (3.3)
о о
Здесь Ro(a) — расстояние от точки M до контура нлощадки ш вдоль
луча, проходящего через точку А1; интегрирование по углу а проводится
в пределах от 0 до тг ввиду симметрии относительно оси, проходящей
через точки О и М.
Следуя М. Я. Леонову51', в повторном интеграле (3.3) вместо пере-
менной R введем новую переменную интегрирования у, связанную с R
и а посредством формул (см. рис. 6)
R = у + г cos a, dR = dy; Ro(a) — у/a2 — r2 sin2 a + r cos a.
При этом уравнение (3.3) преобразуется так:
я- \/а2 —г2 sin2 a
2 У У Р^У2 + г2sin2 a) dyda = tt(r). (3.4)
0 —r cos a
Стандартным приемом разбиваем промежуток интегрирования [0, тг]
пополам и на участке [тг/2, тг] вводим новую переменную интегрирования
о! = тг — а. Тем самым, имеем:
v ^/a2—г2 sin2 a
тг/2 -rcosa
s1' M. Я. Леонов. К теории расчета упругих оснований // Прикл. матем. и мех.,
1939. Т. 3. Вып. 2. С. 53-78.
44
1. Контактные задачи линейной теории упругости
О г cos а'
Остается теперь заменить а' на а (переобозначаем переменную инте-
грирования) и воспользуемся четностью подынтегральной функции. В
результате уравнение (3.4) может быть переписано в форме
м(т).
(3-5)
Метод нахождения общего решения интегрального уравнения (3.5),
предложенный М. Я. Леоновым (1939), заключается в повторном при-
менении формулы, дающей решение уравнения Шлёмильха
тг/2
2 Г
f(x) = — I ip(x sin о) dot.
7Г J
о
(3.6)
Напомним52), что интегральное уравнение (3.6) в предположении су-
ществования непрерывной производной функции /(х) на промежутке
—тг < х < тг имеет только одно решение с непрерывной производной
при —тг < х < тг, а именно:
тг/2
(р[х) = /(0) + х У f'(х sin a) dot.
о
(3-7)
Итак, следуя М. Я. Леонову, введем в уравнение (3.5) замену пере-
менной у через 1р по формулам
у = S(a)cosip, dy = —S(a) sin ip dtp.
Здесь введено обозначение
S(a) = у/а2 - г2 sin2 а.
(3-8)
Тогда уравнение (3.5) можно переписать в виде
тг/2 г/2
(3-9)
О О
52* Э.Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон. Курс современного анализа. М., 1963. (См.,
в частности, § 11.81.)
1.3. Осесимметричная контактная задача
45
Обозначая
тг/2 _________________________
2 у р(уог-5(а)2 sin2 ip) S(a) sin ip dip = F(r sin а),
о
запишем уравнение (3.9) в форме уравнения (3.6):
тг/2
w(r) = 2У F(rsina)da,
о
из которого, согласно формуле Шлёмильха (3.7), находим
тг/2
7rF(r) = u(0) + г u'(г sin a) da.
о
Подставляя теперь выражение для F из формулы (3.11) в уравне-
ние (3.10), приходим вновь к уравнению аналогичному (3.6). Именно,
полагая в уравнении (3.10)
(3.10)
(3.11)
х = S(a),
(3-12)
переписываем его в виде
тг/2
F(rsina) = — У nxsinipp^a2 — a:2sin2dip.
о
Применяя еще раз формулу Шлёмильха (3.7), выражаем решение по-
следнего уравнения так:
тг/2
7ггр(\/а2 — z2) = F(a) + х [ F'^yJ a2 — х2 sin2 ip^ dip.
J \/ CL ”” X Sin uJ
o v
Вспоминая теперь обозначения (3.12) и (3.8), отсюда выводим
F(a) 1 t-----------Ч2 F1 (y/a2-(a2-г2) sin2 ip\
p(r) = -- '--------\/a2 — Г2 / -x . ''sin ip dipt
'Ку/a2 — г2 к J \/a2 — (a2 — r2) sin2 ip
(3.13)
где
/ ’/2 \
F(a) = — I u(0) + a / u'(a sin a) da I.
к \ J /
x 0 z
46
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Наконец, дифференцированием равенства (3.11) получаем
тг/2 тг/2
7rF'(r) = У u'(r sina) da + г j u" (г sin a) sin a da,
о о
откуда следует
тг/2 , .
—: u' (r sin a) + u" (r sin a) I sinada.
r sm a /
ox '
Вводя теперь обозначение
Au(r) = iu'(r) + u"(r), (3.14)
г
переписываем предыдущую формулу так:
тг/2
Ди(т sin a) sin a da. (3.15)
о
Таким образом, согласно соотношениям (3.13) и (3.15) искомое ре-
шение уравнения (3.2) получаем в виде
р(т) = ----—
i/a2 — г2
1 7T2> 7Г/2 7Г/2 /a2 — r2 j di[) J Au^a2 — (a2 — r2) sin2 ф sin a) sin ф sin a da, 0 0 (3.16)
где тг/2 \ c=-~fu(O) + a У u'(asina) dot j . (3.17) ' 0 '
Из соотношения (3.16) путем перехода к новой переменной интегри-
рования у по формулам
у = л/a2 - г2 sin a cos ф, dy = — л/a2 - г2 sin a sin ф dtp
нетрудно вывести более наглядную формулу
р(г) = Z-„C ,---z/ / &u(Jr2sin2 a + у2) dyda. (3.18)
V a2 - г2 тг J J x v '
о о
1.3. Осесимметричная контактная задача
47
Заменяя теперь в интеграле (3.18) переменную у на t по формулам
t = -Jr2 sin2 a + у2, dy = — ..
V Jt2-r2Sm2a
находим
p(r) =
тг/2 a sin a
-=2=-i /*> [
y/a2 — r2 kJ J \A2 — r2 sin2 a
О г sin a
(3.19)
Прослеживая выкладки, заключаем, что выписанные формулы да-
ют непрерывное при 0 < г < а решение интегрального уравнения осе-
симметричной контактной задачи (3.2), когда функция Ди существует
внутри данного промежутка и ограничена.
Общее решение осесимметричной контактной задачи без трения в
случае круговой площадки контакта и, в частности, формулы (3.13),
(3.11), (3.16) - (3.19) впервые были получены М.Я. Леоновым (1939).
Осуществляя в (3.11) подстановку г sin a = t и da = (г2 — t2)~^2dt,
находим
7rF(r) = u(0) + г [ ~^= di. (3.20)
J y/r2 — t2
о
Заменяя теперь в (3.13) переменную интегрирования ф на s по форму-
лам Ja2 — (a2 — г2) sin2-0 = s и
получаем
pW = (3.21)
•n^Ja2 — г2 я J у/s2 — г2
Общее решение интегрального уравнения (3.2) в форме (3.21), (3.20)
предложили Шуберт53' и И. Я. Штаерман (1949).
1.3.2. Общее решение контактной задачи в случае
неизвестной круговой площадки контакта
Рассмотрим давление на упругое полупространство штампа, ограничен-
ного выпуклой поверхностью вращения хз = —Ф(г), причем Ф(0) = 0.
53* G. Schubert. Zur FYage der Druckverteilung unter elastisch gelagerten Trag-
werken // Ing.-Archiv, 1942. Bd. 13, № 3. S. 132-147.
48
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Обозначим через <5о вертикальное перемещение штампа. Будем считать,
что штамп вступает в контакт с поверхностью упругого тела по круго-
вой площадке ш радиусом а. Величина а заранее неизвестна и подлежит
определению в ходе решения задачи.
Плотность контактного давления р(г) должна удовлетворять инте-
гральному уравнению (3.2) с правой частью (3.1), т. е.
/7^ = 4,-фИ. О < г < а. (3.22)
7Г£/ J J П
w
При этом в пределах области контакта давление должно быть положи-
тельным, т. е.
р(г) >0, 0 < г < а, (3.23)
и обращаться в нуль на контуре области контакта. Кроме того, вне пло-
щадки контакта должно выполняться неравенство
7Г£/ J J К
(3-24)
Общее решение уравнения (3.22) было построено в разд. 3.1. В соот-
ветствии с формулами (3.21), (3.20) и (3.1) имеем:
Р(г) = —7—
тгу a — г‘
= ds;
г2
(3.25)
= dt
t2
(3.26)
Sc-rj
О
Как видно из (3.25), если F(a) / 0, то давление р(г) неограниченно
возрастает при г —> а. Таким образом, для того чтобы плотность р(г)
была ограниченна во всей области контакта, необходимо, чтобы выпол-
нялось равенство
F(a) = 0.
В таком случае формула (3.25) приобретает вид
р(т) = — / . _ ds.
(3.27)
(3.28)
Принимая во внимание определение функции F(r) (см. (3.26)), за-
ключаем, что равенство (3.27) представляет собой уравнение для опре-
деления искомого радиуса площадки контакта:
а [ dt = 60. (3.29)
1.3. Осесимметричная контактная задача
49
Пусть Р — величина равнодействующей контактных давлений, т. е.
Так как элемент площади da в полярных координатах р и tp, связанных
с центром круговой площадки ш, равен pdpdtp, имеем:
2тг а а
Р = У dtp р(р) pdp = 2тг / р(р)р dp. (3.30)
0 0 о
Следуя И. Я. Штаерману54\ для вдавливающей штамп силы Р най-
дем представление в форме квадратуры. Подставляя выражение (3.28)
в (3.30), получаем
Р =—2 f dp 1-j-^S~- -ds.
J J x/s* — р2
О р
Изменяя в кратном интеграле порядок интегрирования, находим
p=-2ids[-T^s\dp'
J J x/S* — р2
О О V
или, поскольку
приходим к равенству
Р= -2
(3.31)
Выполняя теперь в (3.31) интегрирование по частям, получаем
Р= -2
64> И. Я. Штаерман. Контактная задача теории упругости. М.;Л., 1949.
50
1. Контактные задачи линейной теории упругости
или, ввиду условия (3.27),
о
(3.32)
Далее, подставим в уравнение (3.32) выражение для F(r), определя-
емое формулой (3.26). Имеем:
l-i?
2Е
Р — або
dt,
или, при учете равенства (3.29),
(3.33)
Заменяя теперь в кратном интеграле в (3.33) порядок интегрирования,
получаем
или, так как
а
t
sds
окончательно будем иметь:
2Е f $'(t)t2 ,
n / / dt.
l-v2J у/a2 -t2
0
(3.34)
Итак, радиус а площадки контакта определяется как корень уравне-
ния (3.29). В случае, когда заданной является сила Р, прижимающая
штамп к поверхности упругого бесконечного тела, для определения ра-
диуса а служит уравнение (3.34). При этом величина <50 перемещения
штампа определяется из уравнения (3.29). Плотность распределения
контактных давлений р(т) вычисляется по формуле (3.28), где F(r) —
функция, определяемая формулой (3.26).
1.3. Осесимметричная контактная задача
51
В качестве примера применения формул (3.29) и (3.34) рассмотрим
задачу о давлении на упругое полупространство шарообразного штампа
радиусом R , для которого
Ф(т) = R - y/R2 - г2. (3.35)
Подставляя выражение (3.35) в формулу (3.29), получаем
a a
Г tdt Г dz-
° ~ aJ y/Rt-Py/a2^ ~ aJ у/R2 - a2 + >
о 0
(Первый интеграл в соотношении (3.35) переведен во второй, таблич-
ный, при помощи подстановки a2 — t2 = z2.) Окончательно будем иметь:
,3’7>
Подстановка выражения (3.35) в формулу (3.34) дает
1 — V2 D _ Г t3dt _ [ (а2 - z2) dz
2Е ~ J yjR? - t2y/^^ ~ J y/R2 - а2 + z*'
о о
Последний интеграл также легко вычисляется в явном виде. В резуль-
тате простых вычислений находим
Р = + (3.38)
Формулы (3.37) и (3.38) другим путем были получены в работе55).
Заметим, что Л. А. Галиным56) уравнения (3.29) и (3.34) были полу-
чены в несколько иной форме. Так, интегрируя по частям в итеграле
(3.34), приходим к соотношению
1 _ , .2 ___
-—Р^-ф'^У^2^
y/a2 — t2 d[$'(t)t].
Отсюда, вводя обозначение
1 дФ д2Ф
65) С.М. Segedin. The relation between load and penetration for a spherical punch
// Mathematika, 1954. V. 4. P. 156-161.
56* Л.А. Галин. Пространственные контактные задачи теории упругости для
штампов круговой формы в плане // Прикл. матем. и мех., 1946. Т. 10. Вып. 4.
С. 425-448.
52
1. Контактные задачи линейной теории упругости
и переобозначая переменную интегрирования, выводим
а
Р = ТТТ? I ^(p)pV^^ dp. (3.39)
о
Далее, напомним определение обратной гиперболической функции:
1 1 + -г Я 1
Arthrr = - In----; — Arthz = ------(3.40)
2 1 - x dx 1 - x2
Теперь при помощи легко проверяемого тождества
-——Аг th (V1 — г2) =-------
dx v
формулу (3.29) преобразуем к виду
откуда в результате интегрирования по частям при учете первой фор-
мулы (3.40) выводим равенство
о
Дф(р)р Arth
(3-41)
Остается выписать выражение для осадки поверхности упругого по-
лупространства вне штампа
! х 1 ~ "2 /7 Нр)da
“ir
U>
Осадка поверхности упругого основания в общем случае неосесиммет-
ричной задачи с круговой областью контакта была найдена М. Я. Леоно-
вым57). В частности, когда эпюра контактных давлений обладает осевой
симметрией, причем вне штампа отсутствуют давления, а касательные
усилия отсутствуют на всей поверхности полупространства, для осадки
вне штампа согласно результатам М. Я. Леонова получаем следующее
выражение:
w(r) = -х/^2^ I -j dp, a < г. (3.42)
' 7Г J г2 - p2 у/a2 - p2
о v
M. Я. Леонов. Общая задача о давлении кругового штампа на упругое полу-
пространство // Прикл. матем. и мех., 1953. Т. 17. Вып. 1. С. 87-98.
1.3. Осесимметричная контактная задача
53
Интеграл в (3.42) представим в виде разности двух интегралов, пер-
вый из которых легко вычисляется с помощью подстановки р2 = а2 — t2.
т-т х
При учете тождества arcsin х = arctg г находим
у1 - х2
a
, . 2<5о . а 2 ------ Г $(p)pdp
w(r) =—-arcsin------Vr2 — а2 / ............... a < г. (3.43)
7Г Г 7Г J (г2 — р?)у/а2 - р2
При помощи формулы (3.43) в каждом конкретном случае следует про-
верить справедливость неравенства (3.24).
Формулы (3.29), (3.34) и (3.43) гораздо позднее были вновь выведены
Снедцоном58\
1.3.3. Давление на упругое тело штампа,
ограниченного поверхностью хз = —Аг2п
Рассмотрим случай (см. рис. 7)
Ф(т) = Аг2п, (3.44)
где п — натуральное число. Перемещение штампа и действующую на
него силу обозначим соответственно через 5о и Р.
Подставляя (3.44) в соотношения (3.26), (3.29) и (3.34), получаем
7Г17
50 - 2пАг
у/г2 — t2
(3.45)
68) I. N. Sneddon. The relation between load and penetration in the axisymmetric
Boussinesq problem for a punch of arbitrary profile // Int. J. Engng Sci., 1965. V. 3, № 1.
P. 47-57.
54
1. Контактные задачи линейной теории упругости
So
= 2nAa
t^dt
P = 4i?~1nA
(3.46)
(3-47)
t2n+4t
о
Здесь и далее используется обозначение
1 - w
лЕ
Осуществляя в интегралах (3.46) и (3.47) замену переменной инте-
грирования по формуле t = asinp, а в (3.45) замену переменной по
формуле t = rsiny>, получаем
F(r) = -^k-2nAr2ncn-i],
TTlz L J
(3.48)
So = 2nAa2ncn^i, P = 4'0 1nAa2n+1cn. (3.49)
Здесь введено обозначение
тг/2
cn—f sin2n+1 p dtp.
о
Путем интегрирования по частям для интеграла сп нетрудно полу-
чить рекуррентную формулу
2п
л J г^-п—1,
2n+ 1
откуда при учете очевидного равенства cq = 1 выводим
Г 2 • 4 • 6 •... • (2п — 2) • 2п _ (2п)!!
3 • 5 • 7 •... • (2п — 1) • (2n + 1) (2п + 1)!!' 1 }
Подставляя теперь (3.50) в (3.48) и (3.49), находим
(3.5!)
J» = (2^7)й <3-52>
Р=й(2^4"Л‘‘!,+‘ <353>
1.3. Осесимметричная контактная задача
55
Подстановка (3.51) в (3.28) дает для плотности контактных давлений
р(т) следующие выражение:
. 2пА (2п)1! f s2n lds
Положив здесь s = аи, получим
р(т) ~
2пА (2п)1! 2n-i f а2п
кЧ (2n- 1)!!а J / г2~
г!п А / /Т^ — ——
(3.54)
В случае п — 1, очевидно, имеем:
Покажем теперь, что для произвольного натурального п интеграл, фи-
гурирующий в (3.54), может быть представлен в виде
Г сг2п Чст
J \/о2 - р2
р
= Sn(p)s/r^,
(3.55)
где Sn(p) — четный полином степени 2п — 2.
Действительно, заменяя в интеграле (3.55) переменную интегриро-
вания по формуле о2 — р2 = х2, получаем
V - г « <
/п—1 2А+1 ’
(р2 + т2)"-1^ = 22 CL1^—Tp2(n-1-A)
,гт Z/С и- 1
О t=o о
откуда находим
И - л2'!*
fc=0
56
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Далее, путем интегрирования по частям выводим
5п(р)\/1 -р2 = у
р
а2 — р2
,2п—2
Р2
ст2 — р2 da
р
•2п-1 _ р2а2п-3
----. — da.
у/а2 - р2
р
Вспоминая обозначение (3.55), из последнего равенства выводим
S„(p) = 1 - (2n - 2)S„(p) + (2n - 2)p2Sn_i(p).
Таким образом, полиномы Штаермана удовлетворяют следующему ре-
куррентному соотношению:
= + (3-56>
Zn — 1 Zn — 1
При помощи (3.56) устанавливается справедливость разложения
(2п — 2)!! Г 2n_2 1 2п_4 3 2п-б,
(2^Л)ПГ +2Р +пр +
, (272-5)!! 2
(2п-4)!Г
sn(p) =
(2п - 3)!!'
(2п - 2)!!. '
(3.57)
В частности,
Si(p) = 1, S2(p) = |(р2 + 1), S3(p) = l(8p4 + 4p2 + 3),
О 10
Si(p) = 7Г7(1бр6 + 8р4 + бр2 + 5),
оо
S5(p) = ^-(128р8 + 64р6 + 48р4 + 40р2 + 35).
010
Рис. 8
1.3. Осесимметричная контактная задача
57
Итак, контактное давление под подошвой штампа распределяется по
закону
?(г) = -^т^^пАа2"-^ (Jl-^. (3.58)
тг2и (2п — 1)!’ \a J V а2
При этом давление в центре площадки при учете (3.53) равно:
= 1 2п(2п)!! (2n+l) Р
Р(и) 7Г27? (2п - 1) (2п - 1)!!Л 2(2п —1)#а2' 1 '
Среднее давление на площадке контакта определяется формулой
Ро = -Д. (3.60)
'ГГП^
Принимая во внимание соотношения (3.53) и (3.60), формулу (3.58) мож-
но представить так (см. рис. 8):
p(r) = ^PoSnQ^/CJ. (3.61)
Формулы (3.51), (3.52), (3.53) и (3.58), (3.57) дают, полученное впер-
вые И. Я. Штаерманом59), решение осесимметричной контактной задачи
для случая штампа с поверхностью, задаваемой уравнением (3.44).
При заданной силе Р, действующей на штамп, формула (3.53) опре-
деляет радиус области контакта
а =
тг# (2n + l)!! 1 2n+1
2 2пА(2п)!Г
(3.62)
После того, как по формуле (3.62) вычислена величина а, формула (3.52)
дает значение перемещения штампа <5о в виде
2п
. / 7Г$ 2п+1
5о = (тр)
А(2п)!!(2п+1)
(2п - 1)!!(2п)2п
2п*1 2п+1
(3.63)
а формулы (3.58), (3.57) или (3.61), (3.60), (3.57) позволяют определить
контактное давление. Заметим, что при п > 2 давление в центре пло-
щадки меньше среднего давления. Данное обстоятельство объясняется
тем, что максимум контактного давления перемещается из центра пло-
щадки контакта (при п = 1) ближе к краю при увеличении показателя
2п в формуле (3.44) для выражения поверхности штампа. 69
69» И. Я. Штаерман. К теории Герца местных деформаций при сжатии упругих
тел // Докл. АН СССР, 1939. Т. 25, №5. С. 360-362.
58
1. Контактные задачи линейной теории упругости
На основании (3.52) и (3.53) уставливаем следующую зависимость
между силой Р, действующей на штамп, и его перемещением 6о-
1 X 2a±i
Р = —тк(2п)А2п50 2“ ,
тги
где введено обозначение
к(2п) =
4п
2n + 1
(2п+ 1)1!
(2п)!!
1
2п
Применяя формулы Штаермана, нетрудно получить80) решение за-
дачи, когда форма штампа определяется степенным рядом
оо
ф(г) = 52Апг2п’
П=1
ф(2">(0)
(2п)! '
(3.64)
Действительно, воспользовавшись линейностью интегрального урав-
нения (3.22), представим искомое решение в форме линейной комбина-
ции решений, отвечающих случаю (3.44). Просуммировав соотношения
(3.52) и (3.53), получаем выражение для перемещения штампа <5ц и силы
Р, действующей на штамп, в виде разложений:
= 52
П=1
Ф(2П)(0) _2п
[(2п-1)!!]2 ’
(3.65)
Р = 1 V 2п ф2”(°)
7г1? 2п + 1 [(2n — I)!!]2
(3.66)
Соответственно, для плотности контактных давлений имеем:
1 Ф(2")(0)
РГ 7г20§2П[(2п-1)!!]2
Заметим, что в общем случае, исходя из уравнений (3.65) и (3.66), не
удается выразить перемещение как функцию силы Р в явном виде
аналогично зависимости (3.59).
Наконец, заметим, что эффект концентрации контактных давлений
под штампом с лицевой поверхностью Ф(т) = Ат2", когда с ростом по-
казателя 2п форма штампа приближается к цилиндрической, впервые 60 *
60* Л.Г. Фел. К контактной задаче теории упругости // Изв. РАН. Мех. тверд,
тела, 1992. №4. С. 78-81.
1.3. Осесимметричная контактная задача
59
был отмечен И. Я. Штаерманом (1939). Значительный практический ин-
терес представляет задача о давлении на упругое основание штампа со
скругленной кромкой. Контактное давление в осесимметричной задаче
было найдено Шубертом (1942) и И. Я. Штаерманом (1949). Напряже-
ния в упругом полупространстве исследовал Чиаварелла61 62 63 64). Вопрос о
концентрации контактных давлений в окрестности площадки контак-
та в осесимметричной задаче был исследован Н. А. Ростовцевым82) и в
общем случае в работе83).
1.3.4. Давление на упругое тело штампа,
ограниченного поверхностью хз = — Агх
Рассмотрим теперь более общий по сравнению с (3.44) случай
Ф(т) = Аг\ (3.67)
где показатель А — не обязательно целое число.
Подставляя выражение (3.67) в формулы общего решения (3.26),
(3.29) и (3.34), находим
(3.68)
L о -*
tx ldt
2ХА j tx+1dt
7Г0 J y/a2-t2'
о
(3.69)
Здесь 50 — перемещение штампа; P — действующая на него сила.
Напомним, что по теореме Чебышева неопределенный интеграл от
биномиального дифференциала tA-1(l — Z2)-1/2^ выражается в конеч-
ном виде при помощи элементарных функций только в случае, когда
оказывается целым одно из чисел А/2 или (А — 1)/2. В то же время,
определенные интегралы, фигурирующие в (3.69), могут быть выраже-
ны через бета-функцию (см., например, книгу84))
1
B(a,0) = f F-^l-tf-'dt.
о
61) М. Ciavarella. Indentation by nominally flat or conical indenters with rounded
corners // Int. J. Solids Struct., 1999. V. 36. P. 4149-4181.
62) H. А. Ростовцев. К решению плоской контактной задачи // Прикл. матем.
и мех., 1953. Т. 17. Вып. 1. С. 99-106.
63) И. И. Apr ат ов. Давление на упругое полупространство штампа со скруглен-
ной кромкой // Прикл. матем. и мех., 2002. Т. 66. Вып. 4. С. 655-662.
64) Н.Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения. М., 1953.
60
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Нетрудно убедиться, что формулы (3.69) эквивалентны следующим:
60 = ±Аа*В& |), Р = ^аА+1В(| + 1,|). (3.70)
Воспользуемся теперь формулой
В(а,/?) =
Г(а)Г(/3)
Г(а + /?)’
устанавливающей связь бета-функции с гамма-функцией, определяемой
как интеграл Эйлера
СО
Г(т) = У (т > 0).
о
При учете частного значения Г(|) = у/л и функционального соотноше-
ния Г(т + 1) = хТ(х) из (3.70) выводим
5- - г(г) р _ Л2 ДдАч-1 Г(г) (3 7-м
°~ 2 Г(1 + |)’ Р ^(Л+1)Ла Г(| + |)- (37)
Наконец, принимая во внимание формулу удвоения
Г(2т) = ^-Г(т)Г(т + 1),
соотношения (3.71) преобразуем к виду
ГР)2
<50 = АаА2А-2Л-^-, (3.72)
1 (Л)
Р = 7Г-17?-1ЛаА+12А-1^^-^у. (3.73)
На основании (3.72) и (3.73) устанавливаем следующую зависимость
между силой Р, действующей на штамп, и его перемещением <50:
1 А±1
Р = л 'г? ^(Л)^. Л<5ОА ,
где введено обозначение
Л-1
2 А А 1 2
к(А) = 2л-— г(Л)лг(Л)-л.
Л т 1
(3.74)
(3.75)
1.3. Осесимметричная контактная задача
61
Формулы (3.71)-(3.75) были впервые получены Л. А. Галиным (1946).
Ранее рассматриваемая задача изучалась А. И. Лурье65 \ решение ко-
торого дано в форме рядов. В дальнейшем было показано66\ как из
решения А. И. Лурье можно получить соотношения (3.71).
Исходя из общего решения осесимметричной контактной задачи (см.
формулы (3.28) и (3.26)) таким же приемом, как и Э.Г. Дейч, выве-
дем замкнутое выражение для плотности контактных давлений. Так,
заменяя в соотношении (3.68) и первой формуле (3.69) переменные ин-
тегрирования соответственно по формулам t = тт и t = ат, находим
F(r) =
7TV
тА ldr
\/1 - т2
тА ldr
л/1 — т2
Отсюда немедленно следует
F(r) =
1 <5о
7П? аА
гл),
или (при учете соотношений (3.71))
F(r) =
(А + 1)Р
2АаА+1
(aA-rA).
Подставляя теперь полученное выражение для функции F(r) в формулу
(3.28), получаем
р(т) =
(А + 1)Р Г 3х-1 ds
2тгаА+1 J т/s2 — г2
(3.76)
Подстановка s2 — г2 = а2сг2 переводит интеграл (3.76) в такой:
р(т) =
А + 1
Ро
Л-2
+ а2) 2 da,
(3.77)
где ро — среднее давление на площадке контакта; р — т/а — безразмер-
ный радиус. Заметим также, что интеграл (3.77) может быть выражен
через неполную бета-функцию.
В случае конического штампа, у которого образующая составляет с
осью вращения угол величиною а, имеем:
Ф(г) = rctga.
65* А.И. Лурье. Некоторые контактные задачи теории упругости // Прикл. ма-
тем. и мех., 1941. Т. 5. Вып. 3. С. 383-408.
66 > Э.Г. Дейч. Об одной осесимметричной контактной задаче для иеплоского
штампа кругового в плане // Прикл. матем. и мех., 1962. Т. 26. Вып. 5. С. 931-934.
62
1. Контактные задачи линейной теории упругости
По формулам (3.72), (3.73) для Л = 1 и А = ctga находим
. 7Г _ ТгЕ ,
Йо = - a dig a, Р= 2^_^a ct§ a-
При этом сила Р, действующая на конический штамп, связана с его
перемещением Йо зависимостью
тг2!? ctg a
Контактное давление определяется по формуле (3.77). Вспоминая таб-
личный интеграл J(p2 + <72)“1^2й<7 = 1п(<т + у/р2 +<т2) + С, получаем
(а 1а2 \
р(т) = р01п _ +V-?-1 ;
\ г у г2 I
Р
Ро = —7-
7га2
Решение задачи о вдавливании конического штампа в упругое полупро-
странство впервые было получено Лявом67). Напряженное состояние в
упругом полубесконечном теле исследовал Снеддон68 \
1.4. Контактная задача без трения
с неизвестной областью контакта
1.4.1. Постановка конструкционно нелинейной
контактной задачи
Представим себе, что в упругое полупространство х3 > 0 вдавливается
штамп, ограниченный поверхностью
х3 = -Ф(ц,Х2).
Для простоты будем считать, что штамп не подвергается перекосам в
процессе вдавливания. Поступательное перемещение штампа в направ-
лении оси Ох3 обозначим через й0. Как обычно, трением между подош-
вой штампа и поверхностью упругого основания будем пренебрегать.
Поскольку на границу упругого полубесконечного тела со стороны
штампа передаются только сжимающие напряжения, плотность кон-
тактного давления должна удовлетворять условию
p(xi,x2) > 0, (xi,x2) £ ш». (4.1)
67' А. Е. Н. Love. Boussinesq’s problem for a rigid cone // Quart. J. Math. Qxford
ser., 1939. V. 10. №39. P. 161-175.
68> I.N. Sneddon. Boussinesq’s problem for a rigid cone // Proc. Cambridge Phil.
Soc., 1948. V. 44. Pt. 4. P. 492-507.
1.4. Контактная задача с неизвестной областью контакта
63
Здесь w, — область, заведомо охватывающая искомую площадку контак-
та ш. Вне площадки ш, поверхности упругого тела свободна от нагрузок.
Если в некоторой точке (xi, х2) давление оказалось положительным,
т. е. штамп давит на упругое основание, то ее вертикальное перемеще-
ние должно совпадать с перемещением соответствующей точки подош-
вы штампа,
Р(И, й) > О => 0 [[ , ф(11, И), (4.2)
JJ + {Х2-У2)2
ш.
где обозначено 1? = (тгЕ)-1(1 — р2).
Если же, напротив, контактное давление в точке (х\, х2) равно ну-
лю (штамп не оказывает воздействие), то осадка поверхности упругого
основания в этой точке должна быть не меньше той, которая предписана
формой штампа, т. е.
PM^dy, (4.3)
J J V (Z1 - ?/l)2 + (Z2 - 3/2Г
w.
Так как по предположению (4.1) контактные давления не отрица-
тельны, то и левая часть в уравнении (4.2) будет неотрицательной. Тем
самым контакт возможен лишь там, где подошва штампа располагается
ниже уровня невозмущенной границы упругого основания, т. е. заведомо
внутри области
W, = {(Т1,Т2) : <50 - Ф(Т1,Х2) > 0}.
Введем интегральный оператор В, действующий на плотность р по
формуле
(ВР) (И, 1г) - . [[ (4.4)
JJ v(zi -?/1)2 + (т2 — у2)2
и обозначение f(x\,x2) = <5о — $(xi,x2). Тогда соотношения (4.2), (4.3)
можно переписать так:
Р(Х1,Х2) > 0 => (Bp)(xi,T2) = /(Х1,а:2), (4.5)
p(zi,х2) = 0 => (Bp)(xi,x2) > f(xi,x2). (4.6)
Соотношения (4.2) (или (4.5)) и (4.3) (или (4.6)) определяют условия
совместимости перемещений на площадке контакта и вне ее. Именно,
равенство в (4.2) является условием отсутствия зазора между контакти-
рующими поверхностями, в то время как неравенство (4.3) представляет
64
1. Контактные задачи линейной теории упругости
собой условие наличия некоторого зазора между поверхностью упругого
полубесконечного тела и подошвой штампа.
Постановка задачи контакта упругого тела с абсолютно жестким,
включающая альтернативные соотношения типа (4.2) и (4.3), впервые
была предложена Синьорини (1933)69).
1.4.2. Вариационная формулировка задачи
одностороннего контакта без трения
Следуя общей схеме70), сведем задачу (4.1), (4.5), (4.6) к вариационному
неравенству (см. также обзоры71)). Умножим уравнение (4.5) и нера-
венство (4.6) на плотность р(т1,тг) и проинтегрируем по области ьд. В
результате получаем
{Вр,р) = (f,p), (4.7)
где скобками (,) обозначается скалярное произведение функций, т. е.
{f,p) = // /(У1,У2)р(У1,У2)Лу^у2.
w,
Проделаем аналогичную операцию с некоторой плотностью
g(Ti,я2) > 0, (ti,i2)€w..
В таком случае приходим к неравенству
{Bp,q) > {f,q).
Вычитая теперь из последнего неравенства уравнение (4.7), получаем
{Bp, q-p) >{f,q-p) Vg > 0. (4.8)
Итак, задача (4.1)-(4.3) сведена к вариационному неравенству (4.8),
которое формулируется следующим образом: найти неотрицательную
плотность р, удовлетворяющую неравенству (4.8) при любых пробных
функциях q. Подчеркнем, что математически строгая постановка за-
дачи (4.8) требует задания функционального пространства, которому
должны принадлежать плотности р и q.
69) A. Signor ini. Question! di elasticity non linearizzata e semilinearzzata // Rend,
di Matem. e delle sue appl., 1959. V. 18, N’1-2. P. 95-139. См. также: Г. Фи кер a,
Теоремы существовании в теории упругости. М., 1974.
701 Г. Дю во, Ж.-Л. Лионе. Неравенства в механике и физике. М., 1980.
711 Ю.И. Тэлега. Вариационные методы в контактных задачах механики //
Успехи механики, 1987. Т. 10, N’2. С. 3-95. А.С. Кравчук. Метод вариацион-
ных неравенств в контактных задачах // Механика контактных взаимодействий.
М., 2001. С. 93-115.
1.4. Контактная задача с неизвестной областью контакта
65
В свою очередь, вариационное неравенство (4.8) формально эквива-
лентно72^ задаче минимизации функционала потенциальной энергии73'
J(p) = l(Bp,p)-(f,p), (4.9)
которая формулируется так: требуется найти неотрицательную плот-
ность р такую, что
J(p)<J(g) Vg > 0. (4.10)
Двойственные вариационные принципы в контактных задачах без
трения сформулированы А. С. Кравчуком74'. Невариационный числен-
ный метод для конструкционно нелинейных контактных задач пред-
ложен Б. А. Галановым75'. Методы конечных и граничных элементов
разработали А. Н. Подгорный и др.76'. Примеры численного решения
контактных задач можно найти в работах77' и др.
(4-11)
1.4.3. Давление на упругое тело штампа в форме
эллиптического параболоида
Решение контактной задачи для штампа, ограниченного поверхностью
_ ____________
3 2/?! 2Я2 ’
впервые было получено Г. Герцем (1882). В рассматриваемом случае
оказывается, что площадка контакта ш ограничена эллипсом
Х1 । Д-2 _ -j
а2 Ь2 ’
72 * К. Байокки, А. Капело. Вариационные и квазивариационные неравенства.
Приложения к задачам со свободной границей. М., 1988. (См. § 3.2.)
731 J.J.Kalker, Y. Van Raden. A minimum principle for frictionless elastic contact
with application to non-Hertzian half-space contact problems //J. Eng. Math., 1972. V. 6,
№2. P. 193-206.
74' А. С. К равчу к. О двойственности в контактных задачах // Прикл. матем. и
мех., 1979. Т. 43. Вып. 5. С. 887-892.
7S' Б.А. Галанов. Метод граничных уравнений типа Гаммерштейна дли кон-
тактных задач теории упругости в случае неизвестных областей контакта // Прикл.
матем. и мех., 1985. Т. 49. Вып. 5. С. 827-835.
76' Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций / А. Н. Подгор-
ный, П. П. Гонтаровский, Б. Н. Киркач и др.; Отв. ред. В. Л. Рвачев.; АН УССР.
Ин-т проблем машиностроения. Киев, 1989.
771 К. Р. S i пgh, В. Р au 1. Numerical solution of non-Hertzian elastic contact problems
// TYans. ASME. Ser. E. J. Appl. Meeh. 1974. V.41. №2. P.484-490. Г.И. Шевелева.
Решение контактных задач методом последовательного нагружения при разных
условиях равновесия // Пробл. машиностр. и надежн. машин, 1990, К’4. С. 68-
74. V. L. Rabinovich, S. R. Sipcic, V. К. Sarin. Three-dimensional unilateral
frictionless contact problem for finite bodies // Trans. ASME. J. Appl. Meeh., 1994.
V. 61, Wl. P. 54-59.
66
1. Контактные задачи линейной теории упругости
а контактное давление под штампом распределено по закону
/22
р(Х1,т2) = р0л/1-^-^. (4.12)
V 0> О
Здесь ро ~ максимальное давление (в центре площадки контакта).
Для определенности предположим, что Ri > Я2- Тогда полуоси пло-
щадки контакта будут подчинены неравенству a > b, а ее эксцентриси-
тет определится формулой
/ V
е=\Ь--~1- (4.13)
V ar
Интегрируя плотность (4.12) по площадке ш, находим
Ро1/ = р- (4-14)
Перейдем в двойном интеграле (4.14) от декартовых координат т/i и у2
к полярным координатам г и р, полагая
?/1= г cos <р, т/г = г sin <р, dyidyi = г dr dp.
Имеем:
-------- тг/2 ro(y) I -------—-—
// О7!**-*Л/
ш 0 0
(4-15)
где предел интегрирования г0(<р) согласно (4.15) определяется как по-
ложительный корень уравнения
Выполняя в (4.15) интегрирование по г при учете (4.16), выводим
3/2
r=ro(v)
dtp
о • 2
cos р sm р
a2 b2
к/2
4a262 [ dp 2 j,
3 Jo? sin2 p + b2 cos2 p 3
о
1.4. Контактная задача с неизвестной областью контакта
67
Последний интеграл вычисляется при помощи тригонометрической под-
становки tgy> = (b/a)t, где t € [0, оо). Таким образом, получаем
QP
РО = 7 2--/1 " 2- (417)
2тга2у1 — с
Для того чтобы определить величину Р вдавливающей штамп силы,
большую полуось а и эксцентриситет е площадки контакта в зависи-
мости от величины <5о перемещение штампа и соотношения радиусов
кривизны Я] и R2, следует обратиться к интегральному уравнению (см.
соотношение (4.2))
,,// P(.yi,y2)dyidy2 xl х22
л (418)
где обозначено 1? = (лЕ)~1 (1 — м2).
Методы вычисления интеграла, получаемого в результате подстанов-
ки (4.12) в (4.18), были изложены в § 2 (см. разделы 2.5 и 2.6). Решение
задачи (4.18) о давлении на упругое полупространство штампа, тело
которого получено пересечением эллиптического цилиндра с эллипти-
ческим параболоидом, подробно рассмотрено В. М. Александровым и
Д. А. Пожарским78).
Для полуэллиптического закона распределения контактного давле-
ния (4.12), предложенного Герцем, справедливо следующее равенство:
[[ P^’y^dyLdy:L= = Н0- Н1Х2 - Н2х2, (^, х2) е ш. (4.19)
JJ Vni-yi) +(х2-у2у
В предположении a > b коэффициенты Но, Hi и Н2 выражаются по
формулам
Но = Trapov^l — е2 К(е),
Н2 = 2^_^[Е(е) - (1 - е2)К(е)].
ае2у1 — е2
Здесь К(е) и Е(е) — полные эллиптические интегралы первого и второго
рода с модулем е, определяемые формулами
тг/2 тг/2
К(е)= [ -=, Е(е)= [ Jl - е2sin2 у><^.
J yl —e2sin р J
о о
78) В.М. Александров, Д.А. Пожарский. Неклассические пространствен-
ные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М., 1998. (См. § 1.5.)
68
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Приравнивая правые части интегральных уравнений (4.18) и (4.19),
приходим к следующей системе нелинейных уравнений:
—-К(с) = <5о, (4.20)
2a
q?9P 1
^[КН-ВД].-, (4.21)
U> V л
[Е(е) — (1 - е2)К(е)] = ± (4.22)
Из соотношений (4.21) и (4.22) вытекает уравнение для определения
эксцентриситета площади контакта
Е(е) - (1 - е2)К(е) R.
(1 — е2) [К(е) — Е(е)] Я2 ’
Складывая уравнения (4.21) и (4.22), получаем формулу для опре-
деления большей полуоси эллиптической площадки контакта:
а = са(е)лЖ; Са(е) = (k(e^L^y/2- (4‘24)
Ki + лг \гЦед1 — е)/
Подставляя выражение (4.24) в уравнение (4.20) получаем уравнение,
связывающее величину прижимающей штамп силы с его перемещением,
<4-25’
Обратная по отношению к (4.25) зависимость имеет вид
/ 0Р X 2/3
<50 = сб(е) . (4.26)
\ V RJ
Подчеркнем, что, как следует из уравнения (4.23), значение эксцен-
триситета е определяется исключительно отношением R\/Ri-
1.4.4. Потенциальная энергия деформации
полубесконечного упругого тела
Вычислим потенциальную энергию деформации, запасаемую упругим
полупространством при вдавливании в него штампа. Пусть перемещение
штампа д возрастает от нуля до значения <5q. При этом все характеристи-
ки контакта изменяются вместе и изменением параметра 6. Текущему
значению перемещения штампа соответствует площадка контакта Шд с
1.4. Контактная задача с неизвестной областью контакта
69
распределенным вдоль нее контактным давлением р1(х 1,2:2). При этом
точки поверхности упругого тела, соприкасаются с подошвой штампа,
получают вертикальное перемещение
«з(21, ^2, о) = 6 - Ф(Х1, х2).
Элементарная работа, совершаемая штампом на перемещении d5,
5А = Ц pS(xi,x-i) dul(xi,X2,0)dxidx2-
Поскольку duf(a;i,a:2,0) = dd, потенциальная энергия деформации, за-
пасаемая полубесконечным упругим телом в процессе контактного вза-
имодействия,
$0 ^0
I/o = J ddII p\Xl,X2)dxidx2 = IP(5)dS. (4.27)
0 О
Для случая штампа в форме эллиптического параболоида согласно
формулам (4.27) и (4.25) находим
тт - 2v^ а5/2
° 5i?cd(e)3/2 0 ‘
Проверим теперь, что уравнения (4.20) -(4.22) получаются как усло-
вия экстремума функционала потенциальной энергии (4.9), рассматри-
ваемом на множестве плотностей вида
с варьируемыми параметрами a, Ь и Р.
Во-первых, вычисляем двойные интегралы
2е2
= “Ч7 V
2тг 1
= ab I dtp I
о о
i-Ci2-C22^2
а2р2 cos2 tp
b2p2 sin2 tp
1----- 2л
> Vl - р2 pdp = —a,b>
15
а2
Ь2
>. (4.29)
70
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Подставим теперь выражение (4.28) в функционал (4.9). Используя фор-
мулы (4.19) и (4.29), после некоторых преобразований получим
/ n2 h2 \
J(P, a, b) = -Р2К(с) - Р Jo - — - . (4.30)
Ott \ lU-fti 1Ш12 /
Необходимое условие экстремума функции J(P, a, b) в точке (Р, а, Ь)
с положительными координатами приводит к системе уравнений
^(Р,а,Ь) = 0, ^.(Р,а,Ь)=0, ^(Р,а,Ь)=0. (4.31)
Частные производные функции (4.30), фигурирующие в этих уравнени-
ях, могут быть вычислены при помощи формул79)
Ж _ Е(е) — (1 — е2)К(е) де _ 1-е2 де _ 1-е2
de в е(1 — е2) 'да еа ’ db eb
Проделав необходимые вычисления, нетрудно убедиться в том, что си-
стема уравнений (4.20) - (4.22) является следствием системы (4.31).
1.4.5. Применение качественных методов в задаче
одностороннего контакта без трения
Рассмотрим задачу о вдавливании штампа без острой кромки в упругое
полупространство я>з > 0 при следующих условиях. Нормальное сме-
щение из(Х1,т2) точек границы = 0 полубесконечного упругого тела
ограничено поверхностью штампа:
из(Х1,Т2) > <5о - /32Х! + Дх2 - Ф(Х1, х2).
Здесь Ф(х1, т2) — функция, описывающая форму штампа; 6о, Д ир2-
перемещение штампа и углы его перекоса относительно горизонтальных
осей координат.
На площадке контакта (там, где зазор между штампом и поверх-
ностью упругого основания отсутствует) нормальные перемещения не
растягивающие:
03з(Я1,Я2,О) < 0 => из(Х1,Т2) = (50 - /?2^1 +ДТ2 - Ф(Х1,Т2).
Вне площадки контакта, где между штампом и поверхностью основания
имеется некоторый зазор, нормальные напряжения равны нулю:
^зз(®1,^2,0) = 0 => u3(xi,t2) > 60 - /32^1 +/?1Т2 - Ф(а:1,а:2).
79 * Б. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. Специальные функции. М., 1968. (См. разд. IX,
§2-3.)
1.4. Контактная задача с неизвестной областью контакта
71
Наконец, трение между контактирующими поверхностями отсутствует:
<731(21, 22,0) - <732(21,22,0) = 0.
Линия, которые разделяют области, где в выписанных граничных
условиях реализуются строгие неравенства и равенства, априори неиз-
вестна. В связи с этим особую важность приобретают априорные оценки
решений рассматриваемой задачи одностороннего контакта.
Р. В. Гольдштейн и А. А. Спектор80) установили" ряд утверждений
относительно поведения локальных и интегральных характеристик ре-
шений контактных задач при изменении формы штампа.
Рассмотрим два штампа без острой кромки, из которых первый все-
цело объемлет второй, т. е. для любых Xi и Х2 выполняется условие
$1(21,2:2) < $2(21,2:2).
Справедливы следующие утверждения.
1. Нормальное смещение границы упругого полупространства при
вдавливании объемлющего штампа не меньше чем смещение для объ-
емлемого штампа с той же осадкой и теми же перекосами.
2. При одной и той же осадке и перекосах сила Р1, вдавливающая
объемлющий штамп, не меньше силы Р2, вдавливающей объемлемый
штамп.
Рассмотрим теперь задачу для одного и того же штампа с поверх-
ностью 2:3 = —$(2:1,2:2) при двух осадках <5j и <5г, причем <51 > <5г, и
фиксированных углах перекоса /31 и /Зг- Так как увеличение осадки ана-
логично переходу от объемлемого штампа к объемлющему, то получаем
следующее следствие.
3. Для реализации большей осадки (при фиксированных перекосах)
штампа без острой кромки требуется большая вдавливающая сила.
Из двух предыдущих утверждений вытекает, что функции Р1(6) и
Р2(<5) для объемлющего и объемлемого штампов неубывающие с увели-
чением осадки 5, причем кривая Рг(<5) для объемлемого штампа распо-
ложена над кривой Р2(<5) для объемлемого штампа. Поэтому справед-
ливо следующее утверждение.
4. При равных силах, приложенных к объемлющему и объемлемому
штампам, осадка объемлемого штампа не меньше, чем объемлющего.
Второе и четвертое утверждения дают возможность получать ко-
личественные оценки вдавливающей силы или осадки штампа в задаче
с неизвестной площадкой контакта. Для этого поверхность рассматрива-
емого штампа следует расположить между поверхностями объемлющего
80' Р.В. Гольдштейн, А. А. Спектор. Вариационные оценки решений некото-
рых смешанных пространственных задач теории упругости с неизвестной границей
// Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1978, №2. С. 82-94.
72
1. Контактные задачи линейной теории упругости
и объемлемого штампов, для которых величины сил или осадок извест-
ны или могут быть получены более просто, чем для исходного штампа.
Тем самым возможно построение двухсторонних оценок вдавливающих
сил и осадок для штампов сложной формы с помощью решения задач
для штампов более простой формы.
Далее, Р. В. Гольдштейном и А. А. Спектором (см. также обзор81))
установлено соответствие между решением задачи о штампе с неизвест-
ной площадкой контакта и семейством решений задач о штампах с фик-
сированными площадками контакта, в пределах которых в обоих случа-
ях формы штампа одинаковы. Справедливы следующие утверждения.
5. Нормальные смещения границы упругого полупространства при
вдавливании штампа без острой кромки не меньше чем смещение при
вдавливании штампа с острой кромкой и тем же основанием при оди-
наковых осадке и перекосах.
6. Сила (осадка) для штампа без острой кромки не меньше (не боль-
ше) силы (осадки) для штампа с острой кромкой и тем же основанием
при одинаковой осадке (силе) и поворотах.
Последнее свойство дает способ построения оценок снизу и сверху
осадки для штампа без острой кромки с помощью решения задач с фик-
сированной площадкой контакта.
Оказывается, что вдавливающая сила при заданной осадке (осад-
ка при заданной силе) для штампа без острой кромки с произвольным
основанием представляет собой верхнюю (нижнюю) грань величин вдав-
ливающих сил (осадок), соответствующих семейству штампов тем же
основанием и острой кромкой. Данное утверждение относительно вдав-
ливающей силы было высказано Барбером82); этот вопрос рассматри-
вался также В. И. Керчманом83).
Рассмотрим штамп, ограниченный поверхностью вращения
= -Ф(г),
где Ф(г) — возрастающая функция, причем Ф(0) = 0. В случае штампа
с острой кромкой, занимающего в плане круговую область радиусом а,
согласно теореме Моссаковского вдавливающая штамп сила определя-
81) Р. В. Гольдштейн, А. А. Спектор. Вариационные методы решения и иссле-
дования пространственных контактных и смешанных задач с трением / / Механика
деформируемого тела. М., 1986. С. 52-73.
82) J.R. Barber. Determing the contact area in elastic-indentation problems //J.
Strain Analysis, 1974. V. 9, № 4. P. 230-232.
831 В.И. Керчман. Экстремальные свойства упругой энергии и новые вариаци-
онные принципы в односторонних задачах для штампов и трещин // Изв. АН СССР.
Мех. тверд, тела, 1981, Л4 5. С. 68-77.
1.4. Контактная задача с неизвестной областью контакта
73
ется формулой
1 - V2
2Е
Р = а50
о
Ф(г)г dr
у/ <Р — г2
(4-32)
Уравнение (4.32) содержит три параметра Р, 6 и а. В случае штампа
без острой кромки на них накладывается еще одна связь, определяю-
щая радиус площадки контакта. Для установления упомянутого соотно-
шения воспользуемся экстремальным свойством решения, отвечающего
штампу без острой кромки, среди семейства решений для штампов с тем
же основанием и острой кромкой, фиксирующей площадку контакта.
Чтобы исследовать функцию Р(а) на максимум, вычислим произ-
водную выражения, стоящего в правой части равенства (4.32), и при-
равняем ее нулю. Так как
а 1
f Ф(а)г</г _ Г $(at)tdt
J у/cP — т2 J у/1 — t2 ’
о о
для определения радиуса а получаем следующее уравнение:
17 Ф(г)г</г 1 7 $'(r)r2dr _
a J \/а2 — г2 я J у/ <Р — г2
о о
Принимая во внимание формулы
] = - [ Ф'(г)Л^ * + Л ,
J ya2-r2 J J у/а2-г2
0 0 о
а
Ф'(г)у/а2 — г2 dr = Ф(г)\/а2 — г2
а а
/Ф(г)г dr
у/а2 — г2
и о
уравнение (4.33) преобразуем к виду
Ф'(г) dr
у/ а2 — г2
(4-34)
Напомним, что в §3.2 уравнение (4.34), определяющее радиус пло-
щадки контакта, было выведено из условия обращения в нуль контакт-
ного давления на контуре площадки контакта.
74
1. Контактные задачи линейной теории упругости
1.5. Задача Герца
1.5.1. Постановка задачи о сжатии упругих тел
Решение задачи о давлении двух упругих тел друг на друга (после рада
попыток построения приближенных теорий относительно деформаций
и напряжений в зоне контакта) впервые было получено Г. Герцем84 \
Следуя Герцу, рассмотрим контакт двух упругих тел, первоначально
касающихся в точке. (Задача Герца изложена в раде руководств85^.)
Введем систему декартовых координат, совместив горизонтальную
плоскость 0ziZ2 с общей касательной плоскостью к поверхностям упру-
гих тел в точке их касания (точка О). Пусть поверхности, ограничива-
ющие соприкасающиеся тела, задаются уравнениями
Хз = Ф+(Т1,Х2), Хз = -Ф_(Т1,Х2)- (5.1)
Разложим функции Ф± (я 1,2:2) по формуле Маклорена
Яф_1_ Лф.
Ф±(®1,®2) = Ф±(0,0) + т1—(0,0)4-х2—(0,0) +
0X1 0X2
х21 д2Ф± <Э2Ф± ,. .. х2 <Э2Ф±
+у 0)+*i:E2^;(0’ 0)+0)+• • •
Так как поверхности (5.1) проходят через начало координат и плоскость
OxiT2 является касательной к ним в точке О, то данное разложение наг
чинается с квадратичных членов. В окрестности начала координат, пре-
небрегая членами более высокого порядка малости, заменяем поверхно-
сти (5.1) их соприкасающимися параболоидами:
Ф±(^1,^2) = + 2s±2XiX2 + k22xty. (5.2)
Здесь введены обозначения
^ = ^г(°,°), s*2 = Sr(0’0)’ ^ = Sr(°’0)-
Коэффициенты s±2, k±2 представляют собой компоненты сим-
метричного тензора кривизны, причем кривизна нормального сечения,
Н. Hertz. Ueber die Beruhrung fester elastischer Korper // J. fur die reine und
angewandte Mathematik, 1882. Bd. 92. S. 156-171. См. также: И.В. Геккелер. Ста-
тика упругого тела. Л.;М., 1934. (См. разд. 79.)
85> Л.С. Лейбензон. Курс теории упругости. М.;Л., 1947. L. Solomon.
Elasticitate LiniarS.. Bucure§ti, 1969. С.П. Демидов. Теория упругости. М., 1979.
К. Джонсон. Механика контактного взаимодействия. М., 1989.
1.5. Задача Герца
75
образованного плоскостью, проходящей через ось Ох2 и составляющей
угол <р с осью Oxi, выражается формулой
^±((Р) — cos2 + 2з±2 sin <р cos <р + к22 sin2 <р.
В системе координат, связанной с главными осями тензора кривизны,
з±2 = 0. Соответственно, величины R± = l/fc± и R? = 1/к2, где к± и к±
— главные кривизны, направляются радиусами главных кривизн.
Будем предполагать, что радиусы кривизны поверхности обоих тел
в точке О велики по сравнению с размерами площадки контакта, воз-
никающей при сдавливании этих тел. Поэтому для определения локаль-
ного напряженного состояния в окрестности площадки контакта допу-
стимо в расчетах заменить каждое из контактирующих тел упругим
полупространством.
Рассмотрим две точки М+ и М_ на поверхностях упругих тел, про-
ецируемые на плоскость х2 = 0 в точку с координатами (xi,x2). В про-
цессе деформации точки М+ и ML получают вертикальные перемеще-
ния w+ и ш_, соответственно. Горизонтальными перемещениями при со-
ставлении уравнения совместимости перемещений будем пренебрегать.
Предполагается также, что равнодействующие приложенных нагрузок
направлены вдоль оси Охз и трение между контактирующими поверх-
ностями отсутствует.
Обозначим через z+ и z_ аппликаты точек М+ и ML, т. е. z+ =
Ф+(:Г1,:Г2) и z_ = —$_(xi,x2). Тогда, если в результате деформации
точки М+ и ML приходят в соприкосновение, то должно соблюдаться
условие совместимости перемещений
z+ + w+ = z- + w_ + 6q. (5.3)
Здесь 60 — величина сближения твердых тел под нагрузкой. Если же
точки М+ и М_ не контактируют, то получаем
z+ + w+ > z_ + W- + (So-
Воздействие одного тела на другое заменим давлениями, распреде-
ленными по некоторой площадке oi с плотностью p(xi,x2). Согласно
предположению о малости относительных размеров площадки контак-
та oi вертикальные перемещения граничных точек контактирующих тел
будем рассчитывать, при помощи решение задачи Буссинеска, т. е.
= (5.4)
JJ у/(Х1~У1) 2 + (х2 — у2)2
w. = -«-[[ _ (5.5)
j j y/(xi - У1)2 + (^2 - 3/2)2
76
1. Контактные задачи линейной теории упругости
где Е± и i/± — упругие постоянные контактирующих тел,
лЕ± ’
Подставляя (5.4) и (5.5) в (5.3), находим, что внутри площадки
такта ш должно выполняться равенство
(<»++й.) [[ , _
7 JJ -?/1)2 + (т2 -у2}2
кон-
(5-6)
= <5о - Ф+(>1, Ш2) ~ Ф-(Х!,Х2).
При этом согласно выражению (5.2) имеем:
Ф+(т1, т2) + Ф_(т1, т2) =
= | [(*и +*й)а;1 +2(s£i +Si2)xix2 + (*м +^2)^2] •
(5-7)
До сих пор на направление координатных осей Ох\ и Ох2 не накла-
дывалось никаких ограничений. Ориентируем теперь эти координатные
оси таким образом, чтобы в сумме (5.7) коэффициент при х^х2 обратил-
ся в нуль, т. е. положим (см., например, книгу86))
Ф+(ть х2) + Ф_(т1,т2) = Ах\ + Вх%. (5.8)
По построению функция (5.8) имеет смысл начального зазора между
контактирующими телами. Поэтому коэффициенты А и В неотрица-
тельны, причем хотя бы один из них отличен от нуля. Случай, когда
один из коэффициентов А или В обращается в нуль, соответствует кон-
такту в условиях плоской задачи. В дальнейшем будем предполагать,
что ни один из коэффициентов А и В не обращается в нуль.
Так как площадка контакта заранее не известна, задача о сжатии
упругих тел должна формулироваться как задача с односторонними
связями. Однако в случае (5.8) площадка контакта си оказывается эл-
липтической и уравнение (5.6) допускает решение в замкнутой форме.
1.5.2. Применение метода подобия
Пусть плотность p(ti, х2), распределенная по площадке контакта ш, яв-
ляется решением интегрального уравнения (5.6). Величина Р равнодей-
ствующей внешних сжимающих сил, приложенных к каждому из кон-
тактирующих тел, определяется равенством
УУ Р(2/1,2/г) dy\dy2 = Р.
8в> А.И. Лурье. Теория упругости. М., 1970. (См. гл. V, §6.7.)
1.5. Задача Герца
77
Покажем, что при изменении сближения контактирующих тел 6q об-
ласть контакта изменяется подобно и установим коэффициент подобия.
Обозначим через p'fx^x^) и Р' соответственно плотность и равно-
действующую контактных давлений, распределенных по площади ш',
отвечающие сближению 6'0 и удовлетворяющие уравнениям
(»+ + »-) Я (5.9)
JJ у/^-у'у)2 + (х'2-у'2)2
fjj1
Iр'(У1,2/2) dy[dy2 = р'- (5-10)
Пусть область ш' переходит в ш при преобразовании координат
Xi = tx\, Х2 — tx2
(5-11)
с некоторым положительным коэффициентом t.
Осуществим в интегральном уравнении (5.6) замену координат (5.11)
и аналогичную (5.11) замену переменных интегрирования. Разделив обе
части получившегося уравнения на t2, найдем
^P'tty'vty^dy^dy^
V(x'i ~ y'iY + (^2 “ У2)2
= ^-А(т'1)2-В(4)2.
(5.12)
Для того чтобы левые и правые части уравнений (5.12) и (5.9) сов-
пали, положим
^p(tx[,tx2) = p^tx^tx^), (tx'^tx^) G w'; (5.13)
^0 = 6'0. (5.14)
Проделав аналогичную операцию с уравнением (5.9), получим
IР(*У1, ty'2) dy[dy'2 = ^Р.
(jj'
Отсюда при учете уравнений (5.13) и (5.10) выводим
Ъ = Р1. (5.15)
Р
Таким образом, все уравнения контактной задачи будут удовлетво-
рены, если коэффициент t согласно (5.14) принимает значение
/Л \ V2
*=(£) . (5.16)
\°о/
78
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Р = Р>
Подстановка найденного значения параметра t в формулу (5.15) дает
<5oV/2
V
Полученный результат можно сформулировать так: величина сдавлива-
ющей силы Р пропорциональна величине сближения контактирующих
упругих тел в степени 3/2. При этом из формул (5.16), (5.11) вытекает,
что характерный размер площадки контакта пропорционален сближе-
нию в степени 1/2.
Ф. М. Бородич87^ применил метод подобия (в несколько отличной
форме) для анализа контактной задачи в более общей ситуации, когда
зазор между поверхностями контактирующих тел в начальный момент
соприкосновения определяется положительной, гладкой, положительно
определенной функцией степени (i > 1. (В рассматриваемом частном
случае /3 = 2.)
1.5.3. Основные уравнения теории Герца
В предположении А < В эллиптическая площадка контакта имеет по-
луоси a > b. Контактное давление между сдавливаемыми телами рас-
пределено по закону
p(xi,x2)=p0Jl-
V а2 о2
Сила Р, сжимающая упругие тела, и максимум контактного давле-
ния ро связаны равенством
ЗР
Р°~ 2л ab
Эксцентриситет площадки контакта
определяется как корень уравнения (см. рис. 9)
Е(е) - (1 - е2)К(е) = В
(1 — е2) [К(е) — Е(е)] ~ А'
87) Ф. М. Бородич. Подобие в задаче контакта упругих тел // Прикл. матем. и
мех., 1983. Т. 47. Вып. 3. С. 519-521.
1.5. Задача Герца
79
Ббльшая полуось площадки контакта
_ ( \ I i \ — ( Е(е) \
a-Ca^\jА + В'' С“(е) — ^К(е)(1 - е2)/
При этом сближение упругих тел <5о и сдавливающая сила Р связаны
уравнением
Р= (1?++^_) 1
(Л + В)-^2530/2
с{(е)У2
В приложениях, как правило, известной оказывается величина кон-
тактной силы Р. В таком случае следует использовать соотношения
п _ U + ,9 ?/3 ( ЗРЕ(0 У7'
(0++0_) ^2(л+в)(1-е2); ’
<5о = сб(е)(0+ + 1?_)2/3Р2/3(Л + В)1/3.
Наконец заметим, что в случае осесимметричной задачи Л = В и
а = Ь. Поэтому е = 0 и, поскольку К(0) = Е(0) = тг/2,
са(е) = 1,
±у/з
2тг )
<Ж) =
И. Я. Штаерманом88) было дано обобщение теории Герца на случай,
когда зазор между поверхностями упругих тел, первоначально касаю-
щихся в одной точке, в главном определяется выражением А(х2+к2х2)2,
где А и к — постоянные.
88 > И. Я. Ш таерм ан. Об одном обобщении задачи Герца // Прикл. матем. и мех.,
1941. Т. 5. Вып.З. С. 409-418. См. также: А. А. Королев. Упругий контакт гладких
тел сложной формы // Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 2002, №3. С. 59-71.
80
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Теория Герца находит широкое применение в машиностроении. В
частности, Н. М. Беляев89) одним из первых приложил ее к расчету
прочности рельс. Вопрос об адекватности теории Герца в задаче кон-
такта колеса с рельсом был исследован в недавней работе90) путем чис-
ленных расчетов с применением конечно-элементных моделей.
На основе полученного решения задачи о сжатии упругих тел Г. Гер-
цем была развита теория квазистатического удара, подробное изложе-
ние которой можно найти в монографиях91).
1.5.4. Напряженное состояние в зоне контакта
В случае осесимметричной контактной задачи Герца явные формулы
для компонент напряжений в упругом полупространстве, на границу
которого действует нормальное давление
/ у* 2
р(г) = Р0\ I -
V а*
были получены Губером92). В частности, на оси симметрии Охз имеем:
ел — 022 — —Ро < (1 +1')
, z a
1----arctg -
a z
1 a2 1
2 a2 + z2 J ’
a2
0’33 = “Po-V--z-
a2 4- z2
Таким образом, компоненты сгц, a22 и пзз являются главными на-
пряжениями, причем, очевидно, что
О’! = О’! = 011 — 022 <0, 03 = 033 < О,
т. е. точки оси Охз находятся в услвоиях трехосного сжатия.
Распределение напряжений в окрестности площадки контакта было
исследовано А. Н. Динником93). Именно А. Н. Динник (1909) впервые
®9' Н. М. Беляев. К вопросу о местных напряжениях в связи с сопротивлением
рельс смятию // Сб. Ленингр. ин-та инж. путей сообщ., 1929. Вып. 99. С. 283-296.
90) W. Yan, F.D. Fischer. Applicability of the Hertz contact theory to rail-wheel
contact problems // Arch. Appl. Meeh., 2000. V. 70. P. 255-268.
91) В. Гольдсмит. Удар: Теория и физические свойства соударяемых тел. М.,
1965. С. А. Зегжда. Соударение упругих тел. СПб., 1997.
92) М.Т. Huber. Zur Theorie der Beriihrung fester elastischer Korper // Ann. der
Phys., 1904. Bd. 14. S. 153-163.
93* A.H. Динник. Удар и сжатие упругих тел // Изв. Киевского Политехнич.
ин-та, 1909. Кн. 4. С. 253-371. См. также А.Н. Дииник. Избранные труды. Т. 1.
Киев, 1952.
1.5. Задача Герца
81
установил, что наибольшей величины касательные напряжения
_ СТ1 — стз
Лпах — 2
Ро Г з а2
2 (2а2 + z2
-(! + «/)
, z a
1-----arctg —
а z
достигают не на поверхности давления, а внутри упругих тел на рассто-
янии, равном приблизительно половине радиуса площадки контакта и
почти в три раза превышают соответствующее значение в центре пло-
щадки контакта. В этой точке согласно теории прочности наибольших
касательных напряжений будет самое опасное место и появятся первые
признаки разрушения контактирующих тел.
В случае эллиптической площадки контакта детальное исследование
напряжений было выполнено Н. М. Беляевым94\ В частности, Н. М. Бе-
ляевым установлено, что наибольшая величина разности главных на-
пряжений колеблется весьма мало при изменении эксцентриситета е
площадки контакта и составляет при разных значениях е от 0,608 до
0,650 наибольшего давления в центре поверхности контакта. При этом
опасная точка — с наибольшим касательным напряжением — распола-
гается на глубине от 0,5 (для круговой площадки контакта) до 0,78 (для
полоски контакта) наименьшей полуоси контактного эллипса.
Трудами А. Н. Динника и Н. М. Беляева были заложены основы ме-
ханики контактного разрушения95 \
94 * Н.М. Беляев. Вычисление наибольших расчетных напряжений при сжатии
соприкасающихся тел // Сб. Ленингр. ин-та инж. путей сообщ., 1929. Вып. 102.
С. 151-174.
95> Ю. В. Колесников, Е. М. Морозов. Механика контактного разрушения.
М„ 1989.
82
1. Контактные задачи линейной теории упругости
1.6. Действие касательных нагрузок
на полупространство
1.6.1. Задача Черрути
Решение задачи о действии на упругое полупространство касательной
сосредоточенной силы впервые было получено Черрути (1888)96\ Пусть
на поверхность упругого полупространства хз > 0 в направлении оси
Oxi действует сосредоточенная сила Ti, приложенная в начале коор-
динат. Тогда перемещения точек упругого полубесконечного тела будут
определяться формулами
Т, 1 т2
U1(x) = fl- ± + ^ + (1-2!/)
4тгд р (г
1 т2
р-\-Хз р(р + Хз)2
«г(х) = —:---- - (1 - 2l/)-T—------rz ,
4тгд р3 Хр + хз)2
из(х) =
Т) Х1Х3 Х\
4тгр р3 'р(р + х3)
Если нагрузки, действующие в направлении оси Ох\, распределены
на границе полупространства по площадке ш с плотностью ti(xi, х2), то
перемещения граничных точек упругого тела выражаются следующим
образом:
О/ •> 1 f Г , / 1-1/ v(Xi - yi)2 ,
u^(xi,x2) = -— / / ti(y) —------------- + —-------’-T dy,
2лр J J r(y,Xi,x2) r(y,xi,x2)3
, 2L [f tl(y)fe (6.2)
2tt/zJJ r(y,Xi, x2)3
u>
ui(xi,x2) = 1 — [[ ti(y)-z^—
2irp J J r(y,Xi,x2)2
r(y,Xi,X2) = [(xi - yi)2 + (x2 -?/2)2]1/2-
Напомним, что формулы (6.2) получаются на основе формул Черрути
(6.1) в результате применения принципа суперпозиции, справедливого
для линейно-упругого тела.
96* А. Л я в. Математическая теория упругости. М.;Л., 1935. (См. §166.)
1.6. Действие касательных нагрузок на полупространство
83
1.6.2. Действие на полупространство
касательных усилий, распределенных
по круговой площадке
Вычислим перемещения (6.2) внутри круговой площадки ш с центром
в начале координат и радиусом а. Будем считать, что точка M'(xi,X2)
лежит внутри площадки ш (см. § 1.1.6). Положим
xi = г cos <р, Xi = г sin tp. (6.3)
От декартовых переменных интегрирования у\ и у2 перейдем к поляр-
ным р и Л с центром в точке М' по формулам
= si+pcosA, y2 = Z2 + psinA. (6.4)
При этом элемент площади dyidy2 заменяется на pdpdX.
Согласно формулам (6.2) и (6.4) имеем
2% г(А)
v cos2 A] dp,
о
о
(6.5)
2% г(А)
U
О
3
о о
Здесь Му) = ti(xi 4- pcos\,x2 + р sin А); т(А) — расстояние от точки
Л/'(т1,т2) до границы области ш.
Чтобы определить величину т(А), воспользуемся параметрическими
уравнениями прямой, проходящей через точку М' и соответствующий
угол А с осью Oxi,
yi = xi 4- s cos A, Уз = ^1 4-ssin А. (6.6)
Подставляя выражения (6.6) в уравнение границы площадки у? 4- у2 =
а2, при учете соотношений (6.3) приходим к квадратному уравнению
s2 + 2rs cos(A -</>) + г2 - а2 — 0;
s = —rcos(A — р) ± у/а2 — r2sin2(A — <р).
84
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Поскольку >/а2 — г2 sin2(A — <р) > r| cos(A — <р)| при г < а, ввиду требо-
вания s > 0 пригодным является лишь один корень.
s = л/а2 — г2 sin2(A — ip) — г cos(A — (р).
(6-7)
(а) РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ.
Если ti(y) = ti = const, то формулы (6.5) конкретизируются так:
2тг
и° = т(Х) [(1 — u) 4- v cos2 A] dX,
о
и2
sin A cos A dX,
(6-8)
2тг
0 (1 — 2iz)ti Г
«з =---------—-— j r(X)cosXdX.
о
Пользуясь тем, что подынтегральные функции в (6.8) являются пе-
риодическими с периодом 2тг, разложим промежуток интегрирования
на два: от <р — тг до <р и от <р до гр + тг. Имеем:
2% <р
1{г, <р) = У т(А) cos2 A dX — у г(А) cos2 A dX 4-
О 1 тг
|р+7Г
У r(A)cos2 XdX.
В первом из интегралов справа сделаем замену переменной интегриро-
вания А — <р 4- А', а во втором А = <р — А'. После чего переменную А'
переобозначим как А. В результате после подстановки выражения (6.7)
и несложных вычислений находим
/(г, (р) = j \/а2 — г2 sin2 A dX 4- cos 2i/? j \/ a2 — r2 sin2 A cos 2A dX.
о 0
Поскольку подынтегральные функции не изменяются при замене А на
тг — А, получаем
тг/2 тг/2
^-/(r, <р) = у \/1 — A:2 sin2 A dA 4- cos 2tp j — k2 sin2 A cos 2A dX.
о о
Здесь введено обозначение k = г/а.
1.6. Действие касательных нагрузок на полупространство
85
Используя теперь формулы (2.583) справочника97 \ получаем
1/(г, = Е(Л) 4- cos 2^ f-2(1~fc2^K(fc) 4- ^E(fc)").
1 ОЛ ОЛ /
Аналогично, все интегралы, фигурирующие в соотношениях (6.8), вы-
ражаются через полные эллиптические интегралы первого и второго
родов.
Таким образом, касательные перемещения граничных точек упруго-
го полупространства под нагрузкой таковы:
u° = —/(2-i/)E(A:)4-T^cos2¥>[(2-fc2)E(fc)-2(l-fc2)K(fc)]|,
7ГI ол L J J
“°= 8Й1Ф - fc2)EW ~_ fc2)K(fc)]; k = -•
При этом нормальное перемещение
0 (1 - 2i/)ti
w3 =---—------rcos</>.
(б) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ti(y) = t0[l - а~2(У? 4- з/22)]~1/2.
Переходя к полярным координатам, получаем
ti(y) = ato[a2 — г2 — 2prcos(A — tp) — р2] . (6.9)
Выделяя полный квадрат и интегрируя, находим
г(А) г(А) I------------------2
1 Г . , ' , ___________1_________ Г /1 _ (р 4-г cos(A — у))
atj Wdp ^/а2 — г2 sinJ(A — <р) J V а2-т2й.п2(Х-р)р
0 v ' 0
р 4- г cos(A — <р) — ЙГСЧ1П ' P=rW
у/a2 — г2 sin2(A — <р) р=0
Поскольку arcsinx = arctg— , окончательно получаем
Vl - x2
r(A)
У ti(y)dp =
0
(7Г rcos(A-^))
2-“ctg
(6.10)
97> И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и про-
изведений. М., 1963.
86
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Подставим выражение (6.10) в интегралы (6.5), разобьем промежу-
ток интегрирования на два: от<рдо<р + тгиот(р-|-7гдо<р + 27г. В первом
из интегралов осуществим замену переменной А = <р + Л', а во втором
интеграле — Л = ip + тг + Л'. Принимая во внимание, что арктангенс
является нечетной функцией, находим
7Г
wi = [ [(1 — v) + 17 cos2 A] dX = ~ а^0’ w2 = (6-11)
ZiUj J
О
тг
n 1 - 2v , Г г cos А . ,.
«з = —--------at0 / arctg —=== cos(<p + A) dX.
2тгд J у/a2 — г2
о
Последний интеграл проинтегрируем по частям:
о
(6.12)
тг/2
г cos А . ,, 2r cos f sin2 А ,,
7====== cosip + A) dX = . „ = / -------5 =-г- dX.
/а2 - г2 v ’ у/a2 - т2 J , г2 cos2 А
0 1 ---2----Г
о* —
Наконец, применяя тригонометрическую подстановку т — tg А, находим
0 _ (1 — 2iz)ato г cos tp
— .... - 1 , .11—-Я
2д а + у/а2 -
Заметим, что тангенциальные смещения в направлении действия на-
грузки (см. формулы (6.11)) постоянны, тогда как нормальные смеще-
ния (см. формулу (6.12)) отличны от нуля.
(в) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ «Ду) = t0[l - а~2(у2 + у2^2.
Переходя к полярным координатам (6.3) и (6.4), получаем
ti(y) = a-1to[a2 - г2 - 2pr cos(A - <р) - р2]1^2.
(6.13)
Интегрируя с применением формулы
________________________ д, _________ I
д/1 — х2 dx = —д/1 — х2 + - arcsin х + С,
Л Z
получаем
г(А)
-|>/а2 - r2r cos(A - р) +
о
1/9 9«9/\ ч \ [ 7Г 7* COS (A \ .
+-(a2-r sm2(A-<p)) --arctg—. (6.14)
2 \ 2 ya2 — г2 I
1.7. Задача о контакте двух упругих тел с сухим трением
87
Подставим выражение (6.14) в интегралы (6.5). Отбрасывая члены,
не дающие вклада в окончательный результат, находим
2тг
ui = [ [(1 ~ v) + у cos2 А] (а2 — г2 sin2(A — 92)) dX
ofid J
о
= [4(2 - I/)a2 - (4 - - (4 - (6.15)
^£iLL(1i
Аналогично получаем
2тг
u2 ~ sin P cos 4> [ (cos2 X' — sin2 A') (a2 — r2 sin2 A') dX'
ofld J
0
= 77^- 2vxix2. (6.16)
32/ia
Заметим, что нормальное перемещение u2 в рассматриваемом случае
(также как и в предыдущем) отлично от нуля. Напряжения на поверх-
ности полупространства вычислены в работе98^.
1.7. Задача о контакте двух упругих тел
с сухим трением
1.7.1. Перемещение точек упругих тел
в окрестности зоны локального контакта
Рассмотрим два упругих тела, которые в недеформированном состоя-
нии соприкасаются в единственной точке О. Введем систему декарто-
вых координат, совместив горизонтальную плоскость Oxix2 с общей ка-
сательной плоскостью к поверхностям упругих тел. Будем считать, что
поверхности соприкасающихся тел локально задаются уравнениями
т3 = ±Ф±(т1,т2), (7.1)
где Ф±(т],Т2) — дважды непрерывно дифференцируемые функции.
В результате приложенных нагрузок упругие тела будут контакти-
ровать по некоторой (заранее неизвестной) площадке ш. Будем пред-
полагать, что размеры площадки ш много меньше радиусов кривизны
98) G. Sоnn t ag. Halbraum mit haibkugelfbrmiger Schubbelastung // Z. angew. Math.
Meeh., 1949. Bd. 29, № 1/2. S. 52-52.
88
1. Контактные задачи линейной теории упругости
поверхностей тел в точке О. Тем самым, как и в теории Герца, дан-
ное предположение позволяет сносить граничные условия контакта, вы-
полняющиеся в точках лицевых поверхностей упругих тел, на общую
касательную плоскость и при расчете локального напряженно-
деформированного состояния аппроксимировать упругие тела полупро-
странствами.
Под действием нагрузок в контактирующих телах возникают поля
упругих смещений U±(ti,12,^3), каждое из которых можно предста-
вить в виде следующей суммы:
U±(x) = v±(x) + u^x). (7.2)
Здесь векторы и±(х) описывают упругие перемещения (с нетривиаль-
ным тензором деформаций), а векторы
v±(x) = 6± + (3± х х
определяют малые смещения упругих тел как абсолютно жестких, т. е.
6± = (<5±, <5±, и — (/3±, /3±, /3±) — заданные постоянные векторы,
вектор поступательного смещения и вектор поворота, соответственно.
По третьему закону Ньютона в пределах площадки контакта ш долж-
ны выполняться равенства
033(11,12,0) = ст^3(х1,Х2,0) = -p(xi,x2),
(Гз^хг,х2,0) = -CT^(xi,X2,0) = t,(xi,X2) (г = 1,2).
Здесь р — плотность нормального давления; t = (ti, t2) — вектор плот-
ности касательных усилий.
Согласно предположению о малости относительных размеров пло-
щадки контакта ш перемещение граничных точек упругих тел в окрест-
ности зоны контакта будем расчитывать, используя решения задач Бус-
синеска и Черрути, по формулам
и^х^хЛ = ——- [[рМ-1 dy ±
4тг/х± J J / w w v L + Му) l-t/± v±(xr - yiY Я R3 J + (73)
1.7. Задача о контакте двух упругих тел с сухим трением 89
о±/ \ 2i/±
«2 (хЪХ2) =-----------
4?ф±
Х2~У2 , ,
-&-dy±
± —
1Гр±
^±(^1 ~ yi)(s2 - Уг)
В?
+ Му)
1~V± V±(x2 - У2У
R R3
►dy,
(7-4)
о±/ \ । 2i/±
«3 (^Ь^г) = ±-7--------
2тгд±
l-2i/±
4лд± ,
Х1 -yi , , , ,Z2 -У2 I ,
R2 +t2^ R2 py-
(7.5)
Здесь R = y/(xi - yi)2 + (x2 — т/2)2; д± и v± — модули сдвига и коэффи-
циенты Пуассона упругих тел.
1.7.2. Граничные условия одностороннего контакта
с сухим трением
Рассмотрим две точки М+ и ЛТ_ на поверхностях упругих тел, проеци-
руемые на плоскость хз — 0 в одну точку с координатами (ii, х2). В про-
цессе деформации точки М+ и М_ получают вертикальные £7±(xi,x2,0)
и горизонтальные lp(xi,a;2,0) перемещения, г = 1,2.
Обозначим через z+ = Ф+(т1,х2) и z_ = Ф_(т1;т2) аппликаты то-
чек М+ и Л/_. Тогда, если в результате деформации точки М+ и ЛТ_
контактируют, то выполняется условие совместимости перемещений
z+ + 1/3+(х1, т2,0) = z_ + из(хз,х2,0). (7.6)
Если же точки М+ и М_ не приходят в соприкосновение, то
z+ + С7з+(т1,аг2)0) > z- + U^(xi,x2,0). (7.7)
Точки, для которых выполняется равенство (7.6), формируют площадку
контактам, внутри которой плотность нормальных давлений р положи-
тельна. Вне площадки ш поверхности тел свободны от напряжений.
В свою очередь, область ш разбивается на две части: область сцеп-
ления шо и область проскальзывания ш*. В области сцепления шо гори-
зонтальные перемещения точек М+ и М~ равны, т. е.
Uy(xi,x2,0) = иг (xi,x2,0) (г = 1,2).
(7-8)
90
1. Контактные задачи линейной теории упругости
При этом по закону Амонтона—Кулона величина локальной силы тре-
ния |t| = не превосходит произведения нормального давления
р на коэффициент трения /.
В области проскальзывания направление вектора плотности сил тре-
ния t определяется направлением проскальзывания контактирующих
поверхностей друг относительно друга, причем |t| = fp. Обозначим че-
рез U0 вектор касательных смещений граничных точек упругого тела
Q+ по отношению к поверхности тела П", т. е. положим
U°= (С71+о-С7Го1172+о-С72-°).
Тогда в области проскальзывания согласно закону Амонтона—Кулона
должно выполняться равенство
U0
и0
Единичный вектор при U0 0 определяет направление вектора
проскальзывания U0. При этом равенства (7.8) эквивалентны векторно-
му равенству U°(xi,X2) = 0.
Заметим, что закон трения (7.9) может приводить к физически аб-
сурдным результатам и, в частности, к неограниченному росту сил тре-
ния при отсутствии пластического течения или разрушения пригранич-
ных слоев материала (см. также обзор")).
Ввиду того, что условия контактного взаимодействия имеют аль-
тернативный характер (наличие или отсутствие зазора между сопряга-
емыми поверхностями, проскальзывание или сцепление), выписанным
выше граничным условиям также можно придать форму альтернатив-
ных неравенств (см., например, работу100)). При этом линия раздела
областей сцепления и проскальзывания также как и границы области
контакта неизвестны заранее и должны определяться в ходе решения
задачи.
Заметим также, что нелокальные законы трения, в которых в от-
личие от равенства (7.9) касательные напряжения в точке определяют-
ся средним значением нормальных напряжений в некоторой малой ее
окрестности, для контактных задач предложили Оден и Пайрз101).
А.С. Кравчук. Контактные задачи с односторонними связями и учетом сил
трения // Механика контактных взаимодействий. М., 2001. С. 491-498.
1001 А. А. С п е к т о р. Некоторые пространственные статические контактные задачи
теории упругости с проскальзыванием и сцеплением // Изв. АН СССР. Мех. тверд,
тела, 1981, №3. С. 12-25.
101) J.T. Oden, Е.В. Pires. Nonlocal and nonlinear friction laws and variational
principles for contact problems in elasticity // Trans. ASME. J. Appl. Meeh., 1983. V. 50.
P. 67-76.
1.7. Задача о контакте двух упругих тел с сухим трением 91
1.7.3. Постановка задачи локального контакта
двух упругих тел с сухим трением
Введем в рассмотрение характеристики перемещения упругого тела П+
относительно тела Q” как абсолютно твердого:
6i = 6+-6r- (г =1,2), -<5о = (fc=l,2,3).
Заметим, что величина 5g равна сближению твердых тел, а величины
<51 и <52 определяют сдвиг тела П+ относительно П_. Введем еще относи-
тельные упругие перемещения граничных точек твердых тел
U°(xi, х2) = u°+(xi, х2) - х2) (z = 1,2);
w°(xi,x2) = U3+(X1,X2) — U3 (Х1,Х2).
(7.Ю)
Наконец, следуя Калкеру102), введем в рассмотрение упругие посто-
янные р, и и к, определив их формулами
1 / v+ V- \ / 1 — 2р+ 1 — 2р_ \
2\М+ М-/ р+ Р- J
(7.П)
(среднее гармоническое модулей сдвига р+ и
р 2\Р+ р-) ’ р
Заметим, что величина р
Р-) лежит между р+ и р_, а величина и (взвешенное среднее коэффици-
ентов Пуассона и+ и р_) лежит между v+hv_. При симметрии упругих
свойств, очевидно, р = р+ = р~, v — v+ = v_, к = 0.
Таким образом, согласно формулам (7.3) - (7.5) относительные упру-
гие перемещения граничных точек твердых тел выражаются в виде
«;<!.,и) = -А уур(У)1г1й/1’йУ+
ш
1 - у — ух)2
R + R3
(7-12)
102) J. J. Kalker. On the rolling contact of two elastic bodies in the presence of dry
friction (Thesis). Delft, 1967.
92
1. Контактные задачи линейной теории упругости
= P(y)^S1dy +
1
тгр
-У1)(х2 -у2)
R3
+ ЫУ)
1-р
R
v(x2 - у2)2
R3
>dy,
(7-13)
Of \ 1-2р
wu(2i,22) = ±—----
2лр
к
кр
(Х1 -г/i) , . ,Лх2-у2)
R? +<!<У) ГК
>dy.
(7-14)
Подчеркнем, что при описании упругих деформаций в окрестности зоны
контакта поля упругих перемещений твердых тел аппроксимируются
полями перемещений упругих полупространств.
Условия одностороннего контакта (7.6) и (7.7) теперь могут быть
переписаны так:
р(х1,х2) > 0 => w°(2i,22) = <5о ~/3122+/З221-$(2i,22), (7-15)
p(xi,x2) = 0 => w°(xi,x2) > 6q - ^\х2 +/32£i -$(21,22). (7-16)
Здесь $(2i,22) = $+(21,22) — $-(21,2:2) — функция определяющая за-
зор между соприкасающимися телами до деформации. К соотношениям
(7.15) и (7.16) следует присоединить условие
р(21,22) > 0,
(7-17)
означающее, что между контактирующими поверхностями не могут воз-
никать растягивающие напряжения. Неравенство (7.17) распространя-
ется на область, наверняка охватывающую возможную область контак-
та ш, внутри которой выполняется строгое неравенство (7.17).
Условие сцепления (7.8) запишем в векторной форме
|t(2i,rE2)| < fp(Xi,X2) =Ф U°(2:i,22) = -V°(2i,22). (7.18)
Здесь v°(2:1,22) = <5ii + <5zj + /?з(~22i + 2J) — поле граничных горизон-
тальных смещений контактирующих тел как абсолютно твердых.
Условие проскальзывания (7.9) приобретает вид
I./ м \ , t(21,22) V°(2:i,22)+U0(2i,2:2)
I (2!, 22)| ^,22)=^^ ^! |у0(ж1^2)+и0(Ж1^2)| - (719>
1.8. Теория Каттанео — Миндлина контакта упругих тел с трением 93
Наконец, в пределах площадки контакта должно соблюдаться нера-
венство
х2)| < fp(xi,x2), (xi,x2)ew. (7.20)
Напомним, что вне площадки контакта ш плотность нормальных давле-
ний p(xi,хг) и вектор касательных усилий t(xi,x2) равны нулю.
Отделить задачу нахождения площадки контакта ш и давления р
от задачи нахождения касательных напряжений можно "в случае, когда
разность упругих нормальных смещений тел в точках контактирующих
поверхностей, т. е. функция w°(ti, т2) не зависит от касательных напря-
жений. Это выполняется, когда величина к равна нулю (см. формулу
(7.14)). Равенство к = 0 имеет место, в частности, в трех важных случа-
ях: материалы контактирующих тел одинаковы (д+ = и и+ = р_); оба
тела несжимаемы (р+ — v_ — 0,5); одно из тел несжимаемое (р+ = 0,5),
а другое абсолютно жесткое (д_ = +оо).
Осесимметричные контактные задачи с трением аналитическими ме-
тодами изучали Спенс103) и Тёрнер104). Разработке численных методов
для контактных задач с трением (как для случая упругого полупро-
странства, так и для случая упругого тела конечных размеров) посвя-
щены многочисленные работы, среди которых дополнительно укажем
лишь на статью Кларбринга105) по методу конечных элементов.
1.8. Теория Каттанео — Миндлина
контакта упругих тел с сухим трением
1.8.1. Контакт шаров без проскальзывания
Следуя К. Джонсону106), рассмотрим задачу о контакте двух упругих
шаров при неизвестной границе между областями проскальзывания и
сцепления, считая, что трение в области проскальзывания описывается
законом Амонтона —Кулона. Кроме того, будем считать, что площадка
контакта и нормальное давление на ней могут быть определены незави-
симо от касательных напряжений.
юз) d. A. Spence. The Hertz contact problem with finite friction //J. Elasticity, 1975.
V. 5, № 3-4. P. 297--319.
104) J.R. Turner. The frictional unloading problem on a linear elastic half-space //
J. Inst. Maths Applies, 1979. V. 24. P. 439-469.
106) A. Klarbring. A mathematical programming approach to the three-dimensional
contact problems with friction // Computer Methods in Appl. Meeh, and Engineering,
1986. V. 58. P. 175-200.
106) К. Джонсон. Механика контактного взаимодействия. М., 1989. (См. §7.2.)
94
1. Контактные задачи линейной теории упругости
При сжатии двух шаров нормальной силой Р нормальные давления
определяются формулой
Р
/ г2
= Ро\ 1-
V а2
3F
“ 2тга2
(8-1)
По теории Герца радиус площадки контакта а и сближение сжимающих
тел <5о выражаются через силу Р в виде
а =
(\ 1/з
4д J
_ а2 _ /з(1-р) Р \2/3
4р Jr)
Здесь использованы обозначения (7.11) и следующее:
(8-2)
(8-3)
1 - J_ 1
R ~ R+ + Л_ ’
Пусть теперь к шарам прикладывается касательная нагрузка, вызы-
вающая упругую деформацию сдвига. Предположим сначала, что меж-
ду контактирующими поверхностями отсутствует проскальзывание. В
таком случае касательные перемещения всех точек области контакта
одинаковы и параллельны сдвигающей силе.
Пусть на шар П+ радиуса R+ действует сдвигающая сила величи-
ной 7), направленная вдоль оси Ох\. В §6 было показано, что действие
на границу упругого полупространства вдоль оси Оху распределенных
касательных усилий
/ „2 \ -1/2 у
, <» = ^. (8.4)
вызывает одинаковые однонаправленные касательные перемещения то-
чек круговой области контакта
Uj — 4- (Hq.
4д±
Следовательно, относительное касательное смещение рассматриваемых
шаров в соответствии с формулами (7.18) и (7.10) таково:
01 — —-----Ft.
4да
Отметим, что касательные усилия (8.4), необходимые для предотвра-
щения проскальзывания, принимают бесконечные значения по перимет-
ру области контакта, так что в некоторой априори неизвестной краевой
зоне неизбежно возникает проскальзывание.
1.8. Теория Каттанео — Миндлина контакта упругих тел с трением 95
1.8.2. Контакт шаров с полным проскальзыванием
Допустим теперь, что в результате приложения сдвигающей нагрузки
на всей площадке контакта реализуется проскальзывание. Положим
/ г2
ti(r) = ^fp(r) = т/poV 1 - —• (8-5)
V ar
Распределению касательных усилий (8.5) отвечают следующие переме-
щения в области контакта:
[4(2 - р±)а2 - (4 - 3v±)x{ - (4 - i/±)^], (8.6)
о2ц.±а I j
2n±x1x2. (8.7)
<iz^±a
При этом сдвигающая сила принимает свое наибольшее возможное зна-
чение
Ti = fP-
Соответственно, относительное касательное смещение шаров в состоя-
нии полного проскальзывания, когда “сцеплены” только две точки обоих
тел в начале координат, равно
= (8.8)
spa
Подчеркнем, что касательные усилия (8.5) и перемещения (см. фор-
мулу (8.7)) не удовлетворяют условию коллинеарности (7.19).
1.8.3. Контакт шаров с проскальзыванием
и сцеплением
Осевая симметрия распределения касательных усилий, определяемых
выражением (8.4), указывает на то, что зона проскальзывания близка к
кольцевой. Положим, что зона сцепления является круговой с некото-
рым радиусом а* и концентрической с областью контакта.
В области проскальзывания касательные усилия распределены по
закону Амонтона—Кулона, т. е.
/
(г) = fp0\ 1 - -Т, a. < г < а. (8.9)
V й
96
1. Контактные задачи линейной теории упругости
В области сцепления, следуя Каттанео107\ распределение касатель-
ных усилий назначим в виде
где с — некоторый коэффициент.
Внутри круга г < а* распределению касательных усилий (8.10) от-
вечает следующее поле касательных перемещений
тг/Ро 1
32д± а
а2 - (4 - Зр±)х2
- (4 - -
- [4(2 - р±)а2 - (4 - Зр±)^ - (4 - •,
=
v-fpo
32р±
2р±Х1Х2
Выбирая
а»
с = —,
а
находим
тио±= i/Ро (2-р±)(а2-а2), = 0. (8.11)
8д±а
Значит, касательные перемещения (8.11) постоянны и удовлетворяют
условию отсутствия проскальзывания, причем относительное касатель-
ное смещение контактирующих шаров определяется так:
<51 =
3(2-р) (а2-а2)
8д а3 J ’
(8.12)
Здесь упругие постоянные р и и вычисляются по формулам (7.11).
Значение радиуса области сцепления определяется величиной сдви-
гающей силы. Интегрируя плотности (8.10) и (8.9) по круговой г < а* и
кольцевой а, < г < а площадям, соответственно, и складывая, находим
107) С. Cattaneo. Sul contatto di due corpi clastici: distribuzione locale degli sforzi
// Rendiconti delle sedute Della Reale Accademia nazionale dei Lincei. Serie sesta, 1938.
V. 27. Fasc. 7. P. 342-348. Fasc. 9. P. 434-436. Fasc. 10. P. 474-478.
1.8. Теория Каттанео ~ Миндлина контакта упругих тел с трением 97
Вычисляя элементарные интегралы, получаем
( а? \
T, = fP 1--| .
\ а/
Отсюда выводим
( Тх\1/3
а’=а(1-у^) • (813)
Подстановкой выражения (8.13) в (8.12) определяется относительное
касательное смещение контактирующих тел (см. рис. 10)1О8 109 110\
8да \ fP)
Миндлиным было введено понятие податливости упругих тел при
(локальном) контакте. Именно, совместная тангенциальная подат-
ливость двух контактирующих шаров определяется следующим обра-
зом:
2-1// ТА-1/3
1 dTi 4да \ fp)
Заметим, что в теории Каттанео—Миндлина условие совпадения на-
правлений проскальзывания и действия усилий трения в кольцевой об-
ласти проскальзывания в точности не выполняются.
О 0.25 0.5 0.75 1 fP
Рис. 10
Задача о скручивании сдавленных шаров без касательного переме-
щения была решена Лабкиным109/ Совместное изменение нормальной
и касательной сил было исследовано Миндлиным и Дересевичем110/
108> R. D. М i n d 1 i n. Compliance of elastic bodies in contact // Trans. ASME. J. Appl.
Meeh., 1949. V. 16, №3. P. 259-268.
109> J.L. Lubkin. The torsion of elastic spheres in contact // Trans. ASME. J. Appl.
Meeh., 1951. V. 18, №2. P. 183-187.
110» R.D. Mindlin, H. Deresiewicz. Elastic spheres in contact under varying
oblique forces // Tans. ASME. J. Appl. Meeh., 1953. V. 20. P. 327-344. См. также:
И. И. К ал кер, А. Д. де Патер. Обзор теории локального скольжения в области
упругого контакта с сухим трением // Прикл. механика, 1971. Т. 7, Л* 5. С. 9-20.
98
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Обобщение теории на случай контакта произвольных осесимметричных
упругих тел (как для случая кручения, так и для случая сдвига) при-
надлежит Йегеру111). Позднее Чиаварелла (1999) другим путем пришел
к аналогичным выводам, изучая тангенциальное нагружение цилиндри-
ческого или конического штампа со скругленным концентратором кон-
тактных давлений. (Дополнительные ссылки см. в заметках112).)
1.8.4. Основные соотношения теории контакта
упругих тел с сухим трением
Рассмотрим контакт двух упругих тел П+ и П_, первоначально касаю-
щихся в точке и ограниченных (лицевыми) поверхностями
Х3 = ±Ф±(Т1,Т2).
Положим, что оси координат повернуты таким образом, что
Ф+(т1,т2) + Ф_(т1,т2) = 4т2 + Вх%,
где А и В — положительные величины.
Будем считать, что площадка контакта и нормальные давления на
ней могут быть определены независимо от касательных усилий. Тогда
согласно теории Герца нормальное давление распределено по закону
В предположении А < В эксцентриситет площадки контакта
определяется как корень уравнения
Е(е) — (1 — е2)К(е) В
(1 — е2)[К(е) — Е(е)] ~ 4’
При этом ббльшая полуось площадки контакта
_/1-р\1/3/ ЗРЕ(е) \1/3
а~\тгр ) \2(4 + В)(1 — е2)) ’
lu) J. J ager. Axi-symmetric bodies of equal material in contact under torsion or shift
// Arch. AplL Meeh., 1995. V. 65. P. 478-487.
1121 J. Jager. Some comments on recent generalizations of Cattaneo—Mindlin //
Int. J. Solids Struct., 2001. V. 38. P. 2453-2457. M. Ciavarella. Closure on “ Some
comments on recent generalizations of Cattaneo — Mindlin” by J. Jager // Int. J. Solids
Struct., 2001. V. 38. P. 2459-2463.
1.8. Теория Каттанео — Миндлина контакта упругих тел с трением 99
где в соответствии с обозначениями (7.11)
1-р
Д
1 (1 — v+ 1 — i/_
— (---------1-------
2 \ Д+ Д-
Предположим, что к упругим телам, сжимаемым нормальной силой
Р, приложена касательная нагрузка, вызывающая упругую деформа-
цию сдвига. Именно, пусть на тело П+ действует произвольно направ-
ленная сдвигающая сила Т = (Т), Тг)-
В области проскальзывания касательные усилия распределены по
закону Амонтона—Кулона:
±, х 3/р х2 х%
W= Oi-—-а/1 -
2nab V а2 о2
(г =1,2).
Здесь Qi и oii — коэффициенты, определяемые соотношениями
= (г =1,2); +
(8.15)
В области сцепления, согласно результатам Каттанео, имеем:
^(х1,х2)
SfP L arj Зоц/Р-Тг / Я? _ zj
а,2тгаЬУ а2 Ь2 2 тга»Ь» у а2 Ь2'
Область сцепления ограничена эллипсом с полуосями а» и bt, подобным
эллипсу, ограничивающему площадку контакта, причем
а. = ( _Т_ \1/3
a Ъ \ fP)
Касательные перемещения точек поверхностей контактирующих тел,
отвечающие касательным усилиям, распределенным по полуэллипсои-
дальному закону, были расчитаны А. И. Лурье113\ На основе данных
результатов находим, что относительные касательные смещения кон-
тактирующих тел определяются формулами
. 3/РЛ,(е)
гр \ 2/3
х~7р)
(i =1,2);
(8.16)
1 -
Ai(e) = К(е) - i/B(e), Л2(е) = К(е) - i/D(e).
113) А. И. Л у р ь е. Пространственные задачи теории упругости. М., 1955. См. также:
P.J. Vermeulen, К.L. Johnson. Contact of nonspherical elastic bodies transmitting
tangential forces // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Meeh., 1964. V. 31, №1. P. 338-340.
100
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Здесь использованы обозначения (8.15) и (7.11). В частном случае сдви-
га вдоль одной из осей площадки контакта зависимость (8.16) была уста-
новлена Дересевичем114\
Отметим, что вектор результирующего относительного касательного
смещения, вообще говоря, не коллинеарен вектору сдвигающей силы.
Экспериментальное исследование микросмещений между контакти-
рующими телами при действии тангенциальной силы, меньшей вели-
чины предельного трения, было проведено Джонсоном115). Результаты
экспериментов подтверждают выводы теории Каттанео —Миндлина.
Напряженное состояние контактирующих упругих тел в рамках тео-
рии Каттанео—Миндлина было изучено в работе116). Обобщение дан-
ной теории на случай, когда зазор между поверхностями упругих тел,
первоначально касающихся в одной точке, задается выражением bixl +
Ь2х% + Ьцз;4 + ЬцХ^х^ + 622^2» было дано в работе117).
1.9. Контактная задача со сцеплением
1.9.1. Постановка контактной задачи
со сцеплением
Рассмотрим штамп с плоской подошвой, занимающий в плане круговую
область ш радиуса а. Начало координат совместим с центром подошвы
штампа. Будем считать, что подошва штампа сцеплена с границей упру-
гого полупространства (см. также обзор118)).
Пусть штамп получил малое смещение v(x) = 5+/Зхх. Тогда гранич-
ные точки упругого полупространства хз > 0, сцепленные с подошвой
штампа, приобретают следующие перемещения:
u°(xr,x2) = 51 -0зх2,
U2(xi,X2) = 62 + 03Xi,
V%(xi,X2) = 63+01Х2 ~ 02X1.
114 * Н. Deresiewicz. Oblique contact of nonspherical elastic bodies / / Trans. ASME.
J. Appl. Meeh., 1957. V. 24, №4. P. 623-624.
1151 K.L. Johnson. Surface interaction between elastically loaded bodies under
tangential forces // Proc. Roy. Soc. Lond. Ser. A, 1955. V. 230. P. 531-549.
1161 M.D. Bryant, L. M. Ke er. Rough contact between elastically and geometrically
identical curved bodies // TYans. ASME. J. Appl. Meeh., 1957. V. 24, JI* 4. P. 623-624.
1171 V.C. Mow, P.L. Chow, F.F. Long. Microslips between contacting paraboloids
// Trans. ASME. J. Appl. Meeh., 1967. V. 34, №2. P. 321-328.
ll8l И. А. Солдатенков. Контактные задачи co сцеплением и уточненным усло-
вием контакта // Механика контактных взаимодействий. М., 2001. С. 243-254.
1.9. Контактная задача со сцеплением
101
Согласно решениям задач Буссинеска и Черрути плотность нормаль-
ных давлений р(х\, х3) и вектор плотности касательных усилий t(a?i, т2)
должны удовлетворять системе интегральных уравнений
1 /7 L л.л Г1 - v , - У1)Н ,4 /->~ ~ Уг) 1 л-
- JJ <«. (у) — + —д5 + (>(у) Ну -
ы ' * '
(9Л>
ш
1 ffL -У1)(^2-У2) , 4 1-^ , ^(x2-Уг)2П
^//Г1 ----------*------ ~ № Г
=Лг+;3>г1: (9'2)
ш
^//{му)^ + «у)^}^ +
ш ' '
+ ^-— [(р(у)-Б dy = h+PiXt-faxi, (9.3)
2тщ J J п
Ш
где обозначено R = y/(xi — J/i)2 + (т2 — Уг)2-
Главный вектор и главный момент контактных усилий, передавае-
мых штампом упругому полупространству, определяются так:
Му) dy (г = 1,2), F3 = JJ р(у) dy;
л }=!/{ 4, }р(х)<«у.
Мз = УУ[у1*2(у)-У2*1(у)ру-
В силу линейности задачи (9.1) - (9.2) обобщенные силы Fi, Fz, F3, М\,
М2, М3 оказываются связанными с соответствующими обобщенными
перемещениями Ji, <5г, 63, /31, 02, 0з линейной зависимостью. Принимая
во внимание симметрию фигуры ш, можно написать
/ Fj \ ci 0 0 0 bi2 0
f2 0 с2 0 b2i 0 0
F3 Mi = д 0 0 сз 0 0 0 0 Ь21 0 mi 0 о &3 (9-4)
м2 &12 0 0 0 т2 0 02
{ Мз ) 0 000 0 т3 J
102
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Симметричность матрицы, фигурирующей в (9.4), вытекает из тео-
ремы взаимности. Структура данной матрицы будет сохраняться и в
случае штампа, подошва которого обладает двумя осями симметрии
(при условии выбора их в качестве горизонтальных осей координат).
Для кругового штампа, очевидно, верны равенства
С] = С2, 612 = 621, Ш1 — 7712-
Величины d, bij и т< зависят от коэффициента Пуассона и имеют соот-
ветственно размерности L, L2 и L3, где L — размерность длины.
1.9.2. Емкостные характеристики
кругового штампа, сцепленного
с упругим полупространством
Осесимметричная задача о действии на круговой штамп момента М3
была впервые решена Рейснером и Сагоци (1944)11Э\ Установлено, что
штамп передает на границу упругого полубесконечного тела касатель-
ные усилия, действующие в окружном направлении по закону
дог _ 3 М3
у/а2 — г2 ’ 4тг а3
При этом угол поворота штампа /Зз связан с крутящим моментом М3
следующей зависимостью:
3 1
/Зз = ±—М3, (9.5)
16/ха3
откуда определяем
т3 = -^а3. (9.6)
О
Общее решение осесимметричной контактной задачи о кручении упру-
гого полупространства было дано Н. А. Ростовцевым* * 120).
Осесимметричная контактная задача о внедрении кругового штампа
в упругое полупространство на глубину 63 была впервые исследована
В. И. Моссаковским (1954)121). Для нормального давления под подошвой
1191 Б. Reissner, Н. F. S ago ci. Forced torsional oscillations of an elastic half-space
// J. Appl. Phys., 1944. V. 15, №. P. 652-654.
120> H. А. Ростовцев. К задаче о кручении упругого полупространства // Прикл.
матем. и мех., 1955. Т. 19, Вып. 1. С. 55-60.
121 > В.И. Моссаковский. Основная смешанная задача теории упругости для
полупространства с круговой линией раздела граничных условий // Прикл. матем.
и мех., 1954. Т. 18. Вып. 2. С. 187-196.
1.9. Контактная задача со сцеплением
103
штампа получено следующее выражение:
V(r\ = 8(1 ~ 1 d i
7г(1 — 2v)y/3 — Av г dr J
о
X
- , — „ sin
у/r2 - X2
a + x
win------
a - x
dx,
(9-7)
л Ч- х
а — х
. Данный эффект ос-
где & = тг 11п(3 — 4п). Спенс122) показал, что функция р(г) при г —> а
имеет особенность вида —?==cos 01п
у/а2 - г2
циляции контактных давлений вблизи кромки штампа, сцепленного с
упругим основанием, впервые обнаружен В. М. Абрамовым123) при ре-
шении соответствующей плоской контактной задачи. Подробное рас-
смотрение осесимметричной контактной задача можно найти в моно-
графии Гладуэлла124).
Зависимость между силой F3, действующей на штамп, и его переме-
щением 63, согласно выражению (9.7) имеет вид
Гз = Г^1п(3-41/)’ (9-8)
откуда определяем
Дд
C3 = z—r-ln(3-4i/)- (9.9)
X Zl<
Решение неосесимметричной контактной задачи о действии на кру-
говой штамп сдвигающей силы Fi и момента М2, приводящих к смеще-
нию штампа на величину <51 и его перекосу на угол /З2, впервые было
получено Я. С. Уфляндом (1956)125). Установлено, что поперечная сила,
приложенная к штампу, вызывает не только его перемещение в направ-
лении силы, но и поворот. Если же к штампу прикладывается опроки-
дывающий момент, то штамп не только поворачивается, но и получает
некоторое поступательное перемещение. Именно, обобщенные силы F
и М2 связаны с соответствующими обобщенными перемещениями <51 и
&2 зависимостью
Fj
М2
Cl &12
&12 m2
= д
1221 D. A. S р е n с е. Self similar solutions to adhesive contact problems with incremental
loading // Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1968. V. 305, № 1480. P. 55-80.
123* В.M. Абрамов. Проблема контакта упругой полуплоскости с абсолютно
жестким фундаментом при учете сил трения // Докл. АН СССР, 1937. Т. 17, № 4.
С. 173-178.
124* G.M.L. Gladwell. Contact problems in the classical theory of elasticity. The
Netherlands, 1980. (См. гл. 10.)
1251 Я.С. Уфлянд. Контактная задача теории упругости для кругового в плане
штампа при наличии сцепления//Прикл. матем. и мех., 1956. Т. 20. Вып. 5. С. 578-587.
104
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Согласно результатам Я. С. Уфлянда 126) имеем:
Cl — С2 — ——7----Г, &12 = &21 —-----7 ~77----ТГТГ) (9.10)
v+(l — 2u) тг(и 4-(1 — 2p))
2va3
mi=m2 = —5-
7Г2
v 4- (1 — 2p)
v2 4- 4тг2 \
3(1 — 2^)7 ’
(9-11)
где введено обозначение v = ln(3 — 4p).
Задача для кругового штампа, сцепленного с упругим полупростран-
ством, была подробно изучена В. И. Моссаковским и др.127). Результиру-
ющие силы и моменты, действующие на круговой штамп с основанием
произвольной формы, сцепленным с поверхностью упругого полупро-
странства, были вычислены Фабрикантом128).
1.10. Контактные задачи
для квазиклассического основания
1.10.1. Матрица влияния
Под линейно-деформируемым основанием (ЛДО) понимают деформи-
руемую среду, заполняющую полупространство хз > 0, для которой
справедлив закон пропорциональности между действующей нагрузкой
и перемещениями точек среды, а также принцип наложения нагрузок.
Предположим, что на поверхность ЛДО действуют нагрузки, рас-
пределенные по площадке ш с вектором интенсивности р(з?1, х2). Пусть
требуется найти вектор перемещений u0(;ri, 2:2) в произвольной точке
M(xi,x2), лежащей на границе упругого основания. Для решения этой
задачи достаточно построить квадратную матрицу третьего порядка
R= ||/?ij(^i,^2,i/i,S^)||ij=i, (Ю.1)
компоненты которой имеют следующий смысл. Компоненты строки с
номером i представляют собой составляющие перемещения точки М с
координатами (тьтг) от воздействия единичной, приложенной на гра-
нице упругого основания в точке (у\, у2) и направленной вдоль оси Ох{.
1261 Я. С. Уфлянд. Интегральные преобразования в задачах теории упругости.
Л., 1968. (См. § 78.)
127) В. И. Моссаковский, Н. Е. Качаловская, С. С. Голикова. Контактные
задачи математической теории упругости. Киев, 1985. (См. гл. 6, § 6.)
128> V. I. Fabrikant. Computation of the resultant forces and moments in elastic
contact problems // Int. J. Engng Sci., 1997. V. 35, J0 7. P. 681-698.
1.10. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания 105
Тогда согласно принципу наложения будем иметь:
^(зл.тг) = 52 УУ Rij(x1,x2-,y)pi(y)dy, j - 1,2,3.
1=1 w
Матрица R называется матрицей влияния или основной матрицей-
ядром линейно-деформируемого основания. Классификацию линейно-
деформируемых оснований проведем, следуя Г. Я. Попову129).
Так, Л ДО, для которого матрица (10.1) допускает представление
ЩХ1,Х2-,У1,У2) = К(Т1 -yltX2 -у2),
называется квазисимметричными. Для компонент матрицы-ядра ква-
зисимметричного ЛДО имеет место интегральное представление
4-оо 4-оо
Кц(Х1,х2) = ^11
—00 —00
где Hij(a,l3) — двумерная трансформата Фурье функции Kij(xi,x2),
4-оо 4-оо
Нц(а,0) = I I Kij(xi,x2)eiaxl+i^X1 dxidx2.
—00 —00
Функция в) называется плотностью ядра основания (г, j = 1,2,3).
К квазисимметричным основаниям относится, например, анизотропное
упругое полупространство.
Упругое изотропное полупространство, в частности, обладает тем
свойством, что действие осесимметричной нагрузки на его поверхность
производит перемещения, также обладающие осевой симметрией. При
этом в цилиндрической системе координат г, </? и z имеет место так назы-
ваемый принцип расчленения130), заключающийся в том, что в осесим-
метричном случае в упругом теле существуют две независимые системы
деформаций и напряжений. Первая из них получается, если положить
uv = 0. При этом иТ / 0 и uz / 0. В таком случае компоненты напря-
жений aTLf, и azv будут равны нулю, a azz ,<jrr и <jrz отличны от нуля.
Вторая система получается, если положить иг = 0 и uz = 0, причем
uv / 0. Соответственно напряжения trw, aTr, azz и aTZ будут равны ну-
лю, a aTV и ozv отличны от нуля. Квазисимметричное ЛДО, обладающее
перечисленными свойствами, называется симметричным.
1291 Г.Я. Попов. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов,
товких включений и подкреплений. М., 1982. (См. гл. 3, § 1.)
1301 Л.А. Галин. Контактные задачи теории упругости. М., 1953. (См. гл.2, §7.)
106
1. Контактные задачи линейной теории упругости
Если ЛДО образовано упругой средой, то для него должен выпол-
няться закон взаимности перемещений131 \ Применительно к ЛДО с мат-
рицей-ядром (10.1) его можно сформулировать в виде
Rij(xitx2-,yi,y2) = i/j. (Ю.2)
Симметричное ЛДО, для которого выполняется закон взаимности в
форме (10.2), называется вполне симметричным.
На практике часто встречается случай загружения ЛДО только нор-
мальной нагрузкойрз(Т1, Тг) = p(xi,x2). При этом интерес представляет
вертикальное перемещение (осадка) граничных точек упругого основа-
ния. В рассматриваемой задаче достаточно знать только одну компонен-
ту R33 матрицы — ядра основания R. Следуя Б. Г. Кореневу132), функ-
цию /?зз(2;1> х2', Ух, Уг) называют ядром основания. Для симметричного
ЛДО справедливо представление133)
Н33(а)(0) = ^(v'a2 + j02)(a2 + j02)-1/2,
00
-R33 (2:1, х2;Ух,у2) = -^ jh(t)J0[ty/(xx - J/i)2 + (2:2 - г/г)2) dt, (10.3)
о
где в — упругая постоянная; Jo — функция Бесселя. В случае однород-
ного изотропного упругого полупространства h(t) = 1 и в = 2(1 — и2)/Е.
В случае винклерового основания, для которого выполняется равенство
03(2:1,2:2) = kp(xi,x2), имеем: Кзз(хг,х2) = k5(xi)5(x2) и Я33(а,^) = к,
где к — коэффициент податливости; 6(xi) — функция Дирака. Случай
#зз(«,/3) = к + 0(а2 + /З2)-1/2 отвечает линейному комбинированному
основанию (упругое полупространство, покрытое тонким слоем винкле-
рового основания).
В случае упругого полупространства с постоянным модулем сдвига д
и коэффициентом Пуассона р(хз), являющимся произвольной функцией
глубины, согласно результатам А. Н. Бородачева и В. И. Дудинского134)
в формуле (10.3) надо положить в = (2д)-1 и h(t) = t-1A(t)-1, где
00
A(t) = У [1 - p(s)] Jexp(—2ts) ds.
0
131) В.Л. Кнрпнчев. Лишние неизвестные в строительной механике. М.;Л., 1934.
(См. гл. 4.)
!32) g р Коренев. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, ре-
шаемые в бесселевых функциях. М., I960.
133) р jj Попов. Математические проблемы контактных задач. Одесса, 1976.
134* А.Н. Вородачев, В.И. Дудинский. Контактная задача дли упругого по-
лупространства с переменным коэффициентом Пуассона // Изв. АН СССР. Мех.
тверд, тела, 1986, №1. С. 86-91.
1.10. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания 107
При некоторых конкретных законах изменения коэффициента Пуассо-
на ядро основания может быть преобразовано к виду, не содержаще-
му квадратур. Обзор различных типов ЛДО выполнен А. Г. Ишковой и
Б. Г. Кореневым135).
1.10.2. Матрица-ядро квазиклассического ЛДО
Квазиклассическим основанием называют упругое изотропное полупро-
странство хз > 0 с модулем упругости, изменяющимся с глубиной по
закону
Е(хз) = Emxf, 0 < m < 1,
и постоянным коэффициентом Пуассона и.
Рассмотрение квазиклассического основания ведет начало136) от ра-
боты Г. К. Клейна (1956)137), в которой дана точная формула решения
задачи Буссинеска для такого полупространства в частном случае неко-
торой зависимости между коэффициентом Пуассона и параметром тп.
Из соображений размерности следует, что осадка и0(з;1,з;2) поверх-
ности квазиклассического основания под действием в начале координат
вертикальной сосредоточенной силы Р должна быть пропорциональна
комплексу РЕ^(х[ + ;r|)~(m+1)/2.
В общем случае решение задачи Буссинеска для квазиклассического
основания было получено Н. А. Ростовцевым138). Решение задачи Чер-
рути о действии на границу квазиклассического основания касательной
сосредоточенной силы было построено Г. Я. Поповым139).
Согласно расчетам Г. Я. Попова140) компоненты матрицы-ядра ква-
135* А.Г. Ишкова, Б.Г. Коренев. Изгиб пластинок на упругом и упруго-
пластическом основании // Тр. II Всесоюзного съезда по теоретической н приклад-
ной механике. Вып. 3. Механика твердого тела. М., 1966. С. 157-176.
136) р я. Попов, Н.А. Ростовцев. Контактные (сметанные) задачи теории
упругости // Тр. II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике.
Вып. 3. Механика твердого тела. М., 1966. С. 235-252.
137) Г. К. Клейн. Учет неоднородности, разрывности деформаций н других меха-
нических свойств грунта при расчете сооружений на сплошном основании // Сб. тр.
Моск, ннж.-стронт. ин-та, 1956, № 14. С. 168-180.
138* Н.А. Ростовцев. К теории упругости неоднородной среды // Прнкл.
матем. н мех., 1964. Т.28. Вып.4. С.601-611. См. также: Н.А. Ростовцев,
И.Е. Храневская. Решение задачи Буссинеска для полупространства при сте-
пенной зависимости модуля упругости от глубины // Прнкл. матем. н мех., 1971.
Т. 35. Вып. 6. С. 1053-1061.
139) г. я. Попов. О связи между трехмерными и двумерными напряженными со-
стояниями в статической н динамической упругости неоднородных тел // Докл. АН
СССР, 1976. Т. 228, №3. С. 566-569.
14°) р я. Попов. Концентрация упругих напряжений... (См. гл.З, §1.3.)
108
1. Контактные задачи линейной теории упругости
зиклассического основания выражаются в виде
ту /г т \ 0тГ(| + у) Г + Ат(1 + пг)(з^ — (in л\
Кп(тх,х2) - ——~|Ат +-----------------], (10.4)
К22(хх, х2) = Kn(x2,xi), (10.5)
К^х^ = К2Х(хих2) ----———, (10.6)
0° Г(1 + a)xi
К13(хъх2) = -К^х^) = ^ + ^+т, (Ю.7)
0° Г71 4- —}х^>
К23(х2,х2) = -K32(xi,x2) = ^+^т, (Ю.8)
=г=(1о-9)
Здесь использованы следующие обозначения:
7т = у/^+т- т(1 + т)р(1 - р)-1,
- = 7т(1 - У2Ут . ЧтК „0 = (1 + ™)0т
(1 + т)Ет Sln 2 ’ т m7mtg (7т7г/2) ’
_ г + 7т + 3)) Г (|(7Н - 7т + 3))
Cm- 2-”>-W(m+2)
= rd + ^Al-»')-1 ^(1 + т)
т ст sin(7mTT/2) 27тГ(1 + ^) ’
1.10.3. Давление гладкого кругового штампа
на квазиклассическое основание
Пусть штамп, занимающий в плане круговую область ш радиусом а, под
действием силы F3 и момента М2 получил вертикальное перемещение 5з
и поворот на угол 02 вокруг горизонтальной оси Ох2. В предположении
отсутствия трения между подошвой штампа и поверхностью w упругого
основания плотность контактного давления p(xi,x2) отыскивается как
решение интегрального уравнения
УI к33(хх -У1,х2- у2)р(у) dy = 53 + 132ХХ.
1.10. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания 109
Решение рассматриваемой задачи было дано В. И. Моссаковским141).
В случае вдавливания штампа с перекосом, когда F3 — Р и М2 = £Р,
где Р — значение прижимающей штамп силы; I — ее эксцентриситет,
т. е. расстояние от центра штампа до линии действия силы Р, согласно
расчетам Г. Я. Попова142) имеем:
, х _ (1 + rn)P 1 + (3 + т)^а~2Т1
Р^!’*2)- 2ло>+т (а2-т2-т2)(1-’")/2' (10,10)
Отметим, что предельное значение эксцентриситета f. силы Р, превыше-
ние которого приводит к отрыву кромки штампа от поверхности упру-
гого основания, равно а/(3 + п).
Интегральные характеристики контактного давления и параметры
перемещения штампа связаны уравнениями
2 2
Рз = 7- СпА, М2 = — Шт/32, (10.11)
”тп ”тп
где поступательная ст и вращательная rnm емкости таковы:
а1+тГ(т +1) cos(m7r/2)
Ст 2-Г(| + ?)Г(| + ?) ’ (101)
а3+тГ(т +1) со8(ттг/2)
т" 2т-1Г(| + ^)Г(|+ у) ’ Ц }
Устремляя т к нулю, приходим к формулам Буссинеска и Абрамова
для классического основания (упругого полупространства).
Задача о поступательном внедрении эллиптического штампа с плос-
кой подошвой в квазиклассическое основание была решена А. X. Рако-
вым и В. Л. Рвачевым143) и в общем случае Н. А. Ростовцевым144). Об-
щее решение в замкнутой форме интегрального уравнения контактной
задачи для квазиклассического основания в случае круговой площадки
контакта было получено В. И. Фабрикантом145).
141 * В.И. Моссаковский. Давление круглого штампа на упругое полупростран-
ство, модуль упругости которого является степенной функцией глубины // Прикл.
матем. и мех., 1958. Т. 22. Вып. 1. С. 123-125
142) Г.Я. Попов. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания.
Киев —Одесса, 1982. (См. §6.4.)
143> А. X. Раков, В. Л. Рвач о в. Контактна задача теорп пружносэт для швпро-
стору, модуль пружносй якого е степенева функщя глибииы // Доп. АН Укр. РСР,
1961, №3. С. 286-290.
144* Н.А. Ростовцев. О некоторых решениях интегрального уравнения теории
линейно деформируемого основания // Прикл. матем. и мех., 1964. Т. 28. Вып. 1.
С. 111-127.
14s* В.И. Фабрикант. Замкнутое решение одного двумерного интегрального
уравнения // Изв. Вузов. Математика, 1971, N’2. С. 102-104.
110
1. Контактные задачи линейной теории упругости
1.10.4. Давление на квазиклассическое ЛДО
штампа с поверхностью жз = — Атх
Решение интегрального уравнения
JUJ -yi)2 + (z2-2/г)2]
обращающееся в нуль на границе круговой площадки контакта ш, было
получено Г. Я. Поповым146) и Н. А. Ростовцевым147). Так, контактное
давление под подошвой штампа распределено по закону
Р /* Р1 1 dt т
р(т} = (1 + m)(A + 1 + j р = (10.15)
р
Здесь Р — сила, действующая на штамп; a — радиус площадки контакта.
При этом перемещение штампа
=ла>г1(+Л)Г(+^)- f1»-16)
1 1 2 "* 2 2)
Полагая в формулах (10.15) и (10.16) m — 0, получаем известные ре-
зультаты Л. А. Галина для случая классического основания.
Чтобы найти уравнение, связывающее величины Р и <50, подставим
плотность контактных давлений (10.15) в исходное интегральное урав-
нение (10.14) и положим Т] = 0 и х2 = 0. Имеем:
1 1
Q р Г Г
J0 = + mXA + 1 + m) у у (f2 _ p2)(i-m)/2 dtdP-
0 P
Преобразуем данный двойной интеграл, изменяя порядок интегрирова-
ния и осуществляя подстановку р = ts,
1 1
J° — ~т^~~(1 + пг)(А + 1 + т) j tA-1 dt j s-m(l — s2)(m-1)/2ds.
о о
146* Г. Я. Попов. Об одном способе решения осесимметричной контактной задачи
теории упругости // Прикл. матем. и мех., 1961. Т. 25. Вып. 1. С. 76-85.
147) Н. А. Ростовцев. Об одном интегральном уравнении, встречающемся в за-
даче о давлении жесткого фундамента иа неоднородный грунт // Прикл. матем. и
мех., 1961. Т. 25. Вып. 1. С. 164-168.
1.10. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания 111
Последний интеграл выражается через бета-функцию. При учете фор-
мулы Г(| + х)Г(| - ге) = тгсозтгт получаем
—
7гвт(1 + т)
2Acos(m7r/2)
(А 4-1 + т)Ра
1—т
(10.17)
Исключая теперь из уравнения (10.17) параметр а с помощью соотно-
шения (10.16), находим искомую зависимость
Р =
кт(А)
тг0т 0
(10.18)
где обозначено
А _ ^г(Нт)
”* 2^/?Г(1 + ф)’
2Acos(m7r/2) / Г(у + | + |) \А
Кт( “ (1 + т)(А + 1 4-т) \Г(| + ^)Г(1 + |) J
Полагая т = 0 в формуле (10.18), приходим к формуле Галина для
классического основания.
Глава 2
Задачи упругого
дискретного контакта
2.1. Взаимодействие штампов
на упругом полупространстве
2.1.1. Задача Галина
Рассмотрим задачу определения контактного давления под подошвой
кругового штампа радиуса а в случае, когда на поверхности упругого
полупространства хз > 0 в области Е = {(xi, хг) : y/xj + х| > а}, ле-
жащей вне круговой площадки контакта ш, приложено нормальное дав-
ление, равное ?(xi, хг). Для определенности будем считать, что плоская
подошва штампа неподвижно удерживается на уровне невозмущенной
границы упругого полубесконечного тела (см. рис. 11). Решение данной
задачи было впервые получено Л. А. Галиным (1946). Согласно расчетам
Л. А. Галина контактное давление, возникающее под штампом, опреде-
ляется следующей формулой:
p(xi,x2) =
д(У1>уг) Уу1 + у1~л2
(zi ~ 2/1 )2 + (х2 - у2)2 у/a2 -xl~xl
dyidy2.
(1.1)
Заметим, что знак минус перед интегралом в (1.1) указывает на то, что
давление под подошвой штампа будет всюду положительным (штамп
давит на поверхность упругого основания), если, например, плотность
д(х1,хг) будет отрицательна, т. е. на границе полупространства в обла-
сти Е действуют растягивающие нормальные напряжения.
2.1. Взаимодействие штампов на упругом полупространстве 113
Рис. 11
Пусть теперь круговой штамп с плоской подошвой вдавлен в упругое
полупространство на глубину 5q с поворотом на углы /3i и /?2 относитель-
но горизонтальных осей, а на границу упругого основания вне штампа
действует сосредоточенная сила Q, приложенная в точке (/, 0) и направ-
ленная вдоль вертикальной оси Охз. Тогда для контактного давления
под штампом, используя формулы Буссинеска и Абрамова, принцип су-
перпозиции и формулу Галина (1.1), получаем
_ Е <50 ~ 2)02^1 + 2/31X2
“ тг(1 - р2) у/a2 -x\-xl
_____________Q____________у/yl + у1-а2 (1 2ч
тг2[(zi - J/i)2 + (Х2 - З/г)2] х/а2 - xj - х%'
Решение задачи Галина для эллиптического штампа было построено
в работе* 148). Для случая квазиклассического основания решение задачи
Галина было получено В. И. Моссаковскнм и Л. Р. Моссаковской149). За-
дача о действии нормальной сосредоточенной силы на границу упругого
полупространства вне сцепленного с ним кругового штампа рассматри-
валась В. И. Фабрикантом150).
Вычислим равнодействующую и моменты внешних сил, удерживаю-
щих штамп в заданном положении,
^3 = //р(у1,У2^ dyidy2' {м } = // {-у }p(yi'y2}dyidy2-
148> М. Р. S t а 11 у b г as s. On the concentrated loading of an external elliptical crack //
Quart. J. Meeh. Appl. Math., 1982. V. 35. №4. P. 441-459.
14B)B. И. Моссаковский, Л. P. Моссаковская. Влияние нагрузки, действую-
щей вне штампа, на контактное давление под подошвой круглого штампа // Прикл.
мех., 1965. Т. 1, №3. С. 132-133.
15°) в.И. Фабрикаит. Внутренний основная смешанная задача для трансвер-
сального изотропного полупространства // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1975,
№ 1. С. 27-33.
114
2. Задачи упругого дискретного контакта
Так, подставляя плотность (1.1) в первую формулу (1.3), получаем
, 2я а
р _ 2Еа & QVl2 — а2 Г f pdpdtp
3 1 — р2 ° л2 J J л/а2 — p2[(pcos<p - I)2 + р2 sin2 <pl
(1-4)
Интегрирование по <р производим при помощи подстановки t = tg <р/2:
2тг оо
f d<p Г dt 2тг
J р2 + I2 - 2plcos<р J (р -/)2 + t2(p +/)2 I2 - р2'
о о
(1.5)
Подставляя выражение (1.5) в правую часть равенства (1.4), приходим
к интегралу
а а
/р dp f dx 2тг а
y/tf^p^l2 - ~J I2 - а2 + х2 ~ ЯГС S
о v о
(1.6)
Здесь использована подстановка у/а2 — р2 = х и — р dp = х dx.
Таким образом, выводим следующее уравнение:
а
£ = Т
F3 =
2Еа60
1 — V2
2Q .
----- arctg
7Г
£
х/1 - £2’
(1-7)
При вычислении момента М2, поступая аналогично, будем иметь:
2ir
f cos tp dtp
2тгр
J р2 +12 — 2pl cos<р l(l2 — p2Y
о
(1.8)
2р3 dp
— —2а 4*
J y/aT^^-p2)
Соответственно, приходим к соотношению
2l2 a
. arctg . =.
vzi2^2 y/i2^
(1.9)
мг = 4^% + ^^(-2 +
3(1 - V2} 7Г \
2 £
„ arctg
l - £2 6
(1-Ю)
Наконец, поскольку сила Q приложена на оси Oxi получаем
4Ea3/3i
3(1 -и2}'
(l-П)
а
Mj =
2.1. Взаимодействие штампов на упругом полупространстве
115
Воспользовавшись тождеством arcsinх - a.rct.g——- преобразу-
х/1 — х2
ем уравнения (1.7) и (1.10) к виду
2Ea60 2Q
Гз = т----г-----arcsine, (112)
1 - V2 7Г
М2 = + — f- arcsine - л/1 - е2) . (1.13)
3(1 - г'2) л \е )
Заметим, что выражение (1.2) для плотности контактных давлений
получено в предположении заданных параметров перемещения штампа
<50, Д и /32. В случае, когда задаются интегральные характеристики F3,
Л4] и М2 приложенной к штампу системы нагрузок, величины <50, /3^ и
/32, фигурирующие в формуле (1.2), определяются согласно уравнениям
(1.12), (1.13) и (1.11).
2.1.2. Постановка задачи для системы штампов
Пусть на границе упругого (с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуас-
сона f) полупространства хз > 0 выделены точки Р1, ..., PN с коор-
динатами (aq,a^), где j = 1,2, Наименьшее из всевозможных
расстояний djt = |Р* — Р*| при j к обозначим через d.
Рассмотрим контактную задачу без трения для системы N > 2 штам-
пов, имеющих центры в данных точках и занимающих в плане области
а?, ..., a)N, не пересекающиеся друг с другом. Будем считать, что фор-
ма подошвы штампа с номером j определяется уравнением
х3 = -ФДтьХг), (Ti,T2)6a?.
(1-14)
Через 630 и (332 соответственно обозначим заданные вертикальное пе-
ремещение штампа (точнее говоря, перемещение его центра) и углы по-
ворота штампа относительно осей, проходящих через его центр и парал-
лельных координатным осям Ох^ и Ох2 (см. рис. 12).
Рис. 12
116
2. Задачи упругого дискретного контакта
В соответствии с решением задачи Буссинеска плотности контакт-
ных давлений pi(xi,X2), ,Pn(xi,X2), развивающихся под подошвами
штампов, удовлетворяют системе интегральных уравнений
N
^T,(Bkpk) (хих2) = 630 -^(Х1 -xi) + 0{(x2 -xi) - $j(Xi,T2), (1.15)
*=1
где (Х1,т2) G ш3 (j = 1,2, Bk — интегральный оператор, дей-
ствующий по формуле
/Rt \ - 1-1/2 f f Pk(.yi,y2)dyidy2 п 1<п
\В Pk)\Xi, Х2) „ Il у-----------., .------rj- (1-16)
™ JJ v(xi-?/i)2 + (a:2-?/2)2
Для того чтобы подошва каждого из штампов плотно прилегала к
поверхности упругого основания, следует наложить ограничения
Pj(x1,x2) > о (Х1,Х2')ЕШ3 (j = 1,2, ... ,N), (1.17)
которые для решения системы (1.15) проверяется апостериори.
Контактную задачу для системы, состоящей из двух одинаковых
круговых штампов радиусом а, впервые рассмотрел Коллинз (1963). В
работе151) задача определения контактных давлений сведена к бесконеч-
ной системе одномерных интегральных уравнений Фредгольма второго
рода, которая может быть решена приближенно итерационным мето-
дом в случае, когда расстояние между штампами достаточно превос-
ходит их радиусы. Через решение упомянутой системы в квадратурах
даны представления для коэффициентов Фурье в разложении плотно-
сти контактных давлений. Для величины силы, действующей на штамп,
в явном виде было получено разложение по степеням параметра е = a/d
с точностью до членов порядка Е5, включительно.
Контактные задачи для системы штампов (см. обзор152)) находят ши-
рокое применение при решении задач механики дискретного контакта
(см. обзор153)). Эффективный метод численного решения задачи мно-
жественного контакта был предложен в работе154).
151 * W.D. Collins. Some coplanar punch and crack problems in three-dimensional
elastostatics // Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1963. V. 274, №1359. P. 507-528.
ls2’ И. И. Аргатов. Взаимодействие между штампами на упругом полупростран-
стве // Успехи механики, 2002. Т. 1, №4. С. 8-40.
!53) pj р р орячева, О.Г. Чекина. Механика дискретного контакта // Механика
контактных взаимодействий. М., 2001. С. 418-437.
154> A. A. Lubrecht, E.Ioannides. A fast solution of the dry contact problem and
the associated sub-surface stress field, using multilevel techniques // TYans. ASME. J.
Tribology, 1991. V. 113. P. 128-133.
2.1. Взаимодействие штампов на упругом полупространстве
117
2.1.3. Метод Андрейкива — Панасюка
Перепишем систему интегральных уравнений (1.15) в виде
N
(B3pj)(Т1,х2) = /j(zi,Z2) - ^(Вкрк)(хъх2), (1.18)
где (xi, х2) G оР (J = 1,2, ..., N) и введено обозначение
Л(Т1,Т2) = $-$(Т1 -т]) + ^(т2 -^) -Ф}(Т!,Т2). (1.19)
В силу линейности интегрального оператора (1.16) решение уравне-
ния (1.18) представимо в виде суммы
Pj(*i,a:2) = р{р(хх,х2) +pj2)(Ti,T2). (1.20)
Здесь р^\хг,х2) — плотность контактных давлений под подошвой изо-
лированного штампа; р^2\хх,х2) — функция дополнительных контакт-
ных давлений, характеризующая влияние других штампов в системе.
Рассмотрим сначала случай плоских штампов. Согласно формулам
Буссинеска и Абрамова для кругового штампа радиусом aj имеем:
n(i),_ „ ч _ Е 63о-2032(х1-х{) + 2031(х2-х32)
Pj (Х1,Х2) _ 2 .----------------------- .
У а2 - (хг ~х{)2 - (х2 -х3^2
Интегральное представление для функции дополнительного контакт-
ного давления pj2\xi,x2) через плотности контактных давлений под
остальными штампами может быть непосредственно выписано на осно-
вании решения задачи Галина о действии на границу упругого полупро-
странства вне кругового штампа сосредоточенной силы. Так, по форму-
ле Галина получаем
(2) 11 ггРк(у)у/\у-*\2-<$
р(з ’^,х2) = -~2/ Е // —fcvp---------------dy-
(1-21)
Теперь, используя соотношения (1.20)-(1.21), систему интегральных
уравнений (1.18) в случае Фу(ш1, х2) — 0 (j = 1,2, ..., N) сводим к сле-
дующей системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода:
Мх) = рУ’(х) - Е [ КР(Х’у)?*(у) <*У’ (1-22)
118
2. Задачи упругого дискретного контакта
где х = (rci, ге2) € сД (j = 1,2, ..., N) и обозначено
^2)(х,у) =
1 ^|y-x>|2-aj
я’2 ^а2 - |х- х>|2|х - у|2
В общем случае выражение для плотности p^\xi,X2) дается форму-
лой общего решения контактной задачи для кругового штампа, полу-
ченной М. Я. Леоновым155^,
р',)(х) = II (1.23)
qjJ
где V2 = д/дх\ + д/дх^ — двумерный оператор Лапласа,
К^\к,у) = |Х ~У|
8И }/(°2 “ Iх - х>12) (а2 " 1У ~ х>12)
1 1 . а,|х — у|
Й7Г Iх у/(а] - |х - х>|2) (а2 - |у - х>|2) + а?|х - у|2
Таким образом, система (1.18), следуя А. Е. Андрейкиву и В. В. Па-
насюку156), сведена к системе N двумерных интегральных уравнений
Фредгольма второго рода (1.22), в которой выражение для функции
pj^(x) определяется формулами (1.23) и (1.19). Для построения при-
ближенного решения системы (1.22) в случае системы удаленных друг
от друга круговых штампов может быть применен метод последователь-
ных приближений.
Дальнейшее развитие метода было дано в статье157). Я. П. Бузько
и В. С. Проценко158) методом Андрейкива—Панасюка получили реше-
ние контактной задачи для системы круговых штампов на квазиклас-
сическом линейно-деформируемом основании, т. е. на упругом полупро-
странстве с модулем упругости, изменяющимся с глубиной по закону
Е(тз) = Етх™ и постоянным коэффициентом Пуассона и.
1551 М. Я. Леонов. Решение одного интегрального уравнения теории ньютонов-
ского потенциала // Украинский матем. журн., 1953, Т. 5, Х« 1. С. 50-57.
!5б) де. Андрейкив, В.В. Панасюк. Давление системы круговых штампов
на упругое полупространство // Доп. АН Укр. РСР. Сер. А, 1971, №6. С. 535-536.
157) А.В. Андрейкив, В.В. Панасюк. Смешанная задача теории упругости
для полупространства с круговыми линиями раздела граничных условий // Изв.
АН СССР. Механика тверд, тела, 1972, X» 3. С. 26-32.
1581 Я.П. Бузько, В.С. Проценко. Давление системы круговых штампов на
упругое полупространство с модулем упругости Е = (0 < v < 1) // Доп. АН
Укр. РСР. Сер. А, 1974, №3. С. 246-249.
2.1. Взаимодействие штампов на упругом полупространстве
119
2.1.4. Приближенное определение сил и моментов,
действующих на штампы
Введем полярные координаты
Т1 - х{ = г cos <р, х2 - Х^ = Г sin <р, (Х1, Х2) G О?,'
У1 -х{ = pcosif), у2 - х>2 = psin^, (2/1,2/г) G Шк.
Подставляя данные выражения в формулу (121), получаем
1 1 у
3 7I'2 yja2- - г2 J J r2 + p2 - 2rpcos(<p — V>)
Следуя Гладуэллу и Фабриканту159), проинтегрируем обе части ин-
тегрального уравнения (1.22) по площадке оР. Используя формулу (1.5)
и следующую (сравните с (1.6)):
аз
/г dr 1 .а;
----------т-....- = -5----о arcsin -*, р > а.,
(р2 - r2)yja2 - г2 Р aj Р
приходим к уравнению
F3 = F31}3 “ // Pt(p,^) arcsin pdpdip. (1.25)
Здесь F^} — сила, действующая на изолированный штамп ш>, т. е.
= pf\r,tp)r drdtp.
Для штампа с плоской подошвой согласно формуле Буссинеска
гз(1)> = а-26)
Моменты контактных давлений под штампом оР относительно осей,
проходящих через центр штампа и параллельных координатным осям,
159' G.M.L. Gladwell, V.I. Fabrikant. The interaction between a system of
circular punches on an elastic half-space // TYans. ASME. J. Appl. Meeh., 1982. V. 49,
№2. P. 341-344.
120
2. Задачи упругого дискретного контакта
определяются формулами
I/ {-Й -4)}Pj(x)dx
Sin (0 1 9 ,
>rdr,
— COS ip J
так что
2% <4
Mj = + iM£ = —i У d<p У pj(r,<p)eiVr2dr. (1-27)
о о
Умножим теперь плотность (1.24) на —ггехр(г^) и проинтегрируем
по площадке аА Используя интегралы (сравните с (1.8) и (1.9))
2тг
e'^dip _ 2тге,,(’ г >
г2 + р2 — 2rpcos(<p — ф) р2 — г2 р' ? Г'
о
г3 dr
(р2 -г2)- г2
Р
где р > а,, получаем
Л/J2) = “52 У[ ^Parcsin ~ ~ Pk{p^)e'^pdpdip.
k^j
(1-28)
С другой стороны, комплексный момент, действующий на изолиро-
ванный круговой штамп определяется по формуле Абрамова
М?} =
4Е
3(1-р2)
(1-29)
где & = (З3 + i(332 — комплексный угол поворота штампа.
Наконец, согласно соотношению (1.20) комплексный момент (1.27),
действующий на штамп равен сумме
М, = Mf + Mf\ (1.30)
Подчеркнем, что уравнения (1.25) и (1.30), (1.28), впервые получен-
ные Гладуэллом и Фабрикантом (1982), представляют собой точный ре-
зультат: они выведены из исходной системы интегральных уравнений
(1.15) без каких бы то ни было упрощающих предположений.
2.1. Взаимодействие штампов на упругом полупространстве
121
В общем случае, сила и момент М^\ действующие на круговой
штамп с неплоской подошвой, задаваемой уравнением (1.14), по теореме
Моссаковского определяются формулами
F3(1» =
2Е »
1-1,2 “А
Л/}1* =
4Е
3(1 - р2)
2iE
7Г(1 — Р2)
II
(1.31)
(1-32)
а*/3> +
В предположении, что штампы расположены относительно далеко
друг от друга, из уравнений (1.25) и (1.30), (1.28) выводим следующие
приближенные соотношения:
Fi = F3(1)> - IЕ *з (L33)
2
Mi = + Е • (1.34)
О7Г (лль.
Здесь djk = у (т{ — Tj)2 + (х% - т*)2 — расстояние между точками Р2 и
Pfc; 7jk ~ угол, под которым видна точка Рк из точки Р2, причем
cos7jfc = d;t1(2?1-Tf), sin7;fc = d-^xi - 4). (1.35)
Формулы (1.33) и (1.34) при учете соотношений (1.31) и (1.32) явля-
ются обобщением уравнений, полученных Гладуэллом и Фабрикантом.
В случае квазиклассического основания формулы, аналогичные (1.25)
и (1.28), вывели Фабрикант и Кир160).
2.1.5. Метод локализации
Выделим произвольный штамп с номером j и, следуя Л. А. Галину и
И. Г. Горячевой161^, заменим действие всех остальных штампов на грани-
цу упругого полубесконечного тела сосредоточенными силами Fk, при-
ложенными в точках Рк (к = 1,2, ... ,N и к / j). Давление под штам-
пом ср2 приближенно представим в виде суммы
... 0(2)
Pj(xi,x2) = ру’(xi,x2)+Pj (xi,x2}, (1.36)
160) V.I. Fabrikant, L. M. Keer. The interaction between a system of circular
punches on a non homogeneous elastic half space // Int. J. Meeh. Sci., 1983. V. 25,
№7. P. 513-518.
161) Л.А. Галин. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.,
1980. (См., в частности, гл. II, § 7.)
122
2. Задачи упругого дискретного контакта
где p^\xi,X2) — плотность контактных давлений под подошвой изоли-
0(2)
рованного штампа; Р} (ат, х?) — функция дополнительных контактных
давлений, характеризующая влияние других штампов в системе, моде-
лируемых сосредоточенными силами. По формуле Галина, дающей ре-
шение задачи о действии сосредоточенной нагрузки на границу упругого
полупространства вне кругового штампа, находим
°(2), ч 1
pi {х,,х2) = --
(1.37)
Интегрируя распределение контактных давлений (1.36) по площадке
оР, получаем следующие уравнения (j = 1,2, ..., TV):
Ц = arcsin (1.38)
Отметим, что эти уравнения в точности совпадают с уравнениями (1.33).
И. Г. Горячева и М. Н. Добычин162) применили уравнения (1.38) для
теоретического обоснования эффекта взаимного влияния микровысту-
пов при контакте шероховатых упругих тел. В работе163) приведены ре-
зультаты расчетов внедрения в упругое полупространство системы оди-
наковых цилиндрических штампов радиуса а, расположенных в углах
гексаганальной решетки с межузловым расстоянием d. Установлено, что
чем меньше безразмерный параметр a/d (характеризующий плотность
размещения штампов), тем более равномерно распределяется нагрузка
на штампы. Показано, что неучет взаимного влияния штампов при рас-
чете жесткости контакта приводит к завышению ее значений (меньшим
внедрением при одинаковых нагрузках), причем это различие становит-
ся тем ощутимей, чем выше плотность контакта.
Далее, непосредственным интегрированием убеждаемся в том, что
комплексный момент плотности контактного давления (1.36) равен:
Mj — + — Ve’7*‘a,F3* arcsin-^- - </1 - | . (1.39)
3 3 3 \<Ч djk у d2k) >
Принимая теперь во внимание формулу
। _____ 2
- arcsinх - у/1 - х2 = -х2 + О(х4),
х 3
162 > jj р Горячева, М.Н. Добычин. Контактные задачи в трибологии. М.:
Машиностроение, 1988.
!вз) рр г Горячева, М.Н. Добычин. Теоретические основы метода расчета
жесткости стыка шероховатых тел с учетом взаимного влияния микровыступов //
Машиноведение, 1979. №6. С. 66-71.
2.1. Взаимодействие штампов на упругом полупространстве
123
из уравнения (1.39) выводим уравнение (1.34).
Изложенный метод локализации может быть обобщен следующим
образом. Рассмотрим вновь штамп оР. Заменим действие на упругое
полупространство каждого из оставшихся N — 1 штампов действием
сосредоточенной силы Fk и сосредоточенных моментов Мк и М$, при-
ложенных в точке Рк (к = 1,2, ..., N и к / j). Давление под подошвой
штампа представим в виде следующей суммы:
рДт1,т2) = pj1)(Ti,T2)+PJ-2)(Ti,T2)+PJ(2)(Ti,T2), (1.40)
где Pj (xi,X2) — функция дополнительных контактных давлений, отве-
чающая сосредоточенным моментам. Согласно принципу суперпозиции
можем написать
1 (2), ч 1 (2) , ч
Pj (^1,^2) = (xi,x2)-
(1-41)
Используя формулу Галина (1.37), находим
Моменты АД и М?, также как и сила F^, неизвестны и должны
определяться из уравнений равновесия штампа аА Заметим, что фор-
мулы (1.40)-(1.42) приводят к связанной системе линейных алгебраи-
ческих уравнений для определения величин сил F^ и моментов М/ и
(j = 1,2, ..., /V). Дальнейшее уточнение выражения (1.40) потребу-
ет рассмотрения полимоментов контактного давления второго порядка.
При этом для того, чтобы вычислить полимоменты, минуя решение за-
дачи определения плотности контактного давления, следует воспользо-
ваться, полученным в работе164), обобщением теоремы Моссаковского.
1641 И.И. Аргатов. Давление штампа в форме эллиптического параболоида на
упругий слой конечной толщины // Прикл. матем. и механика, 2001. Т. 65. Вып. 3.
С. 511-524.
124
2. Задачи упругого дискретного контакта
2.1.6. Применение теоремы Моссаковского
для оценки сил и моментов,
действующих на штампы
Рассмотрим сначала уравнение для определения плотности
контактных давлений под подошвой изолированного штампа, занимаю-
щего в плане площадку о? произвольной формы:
(В>рУ))(т1,т2) = Л(т1,т2), (1.43)
где функция /ДатьХг) определяется формулой (1.19).
В случае штампа с плоским основанием, т. е. при Ф7(т!, т2) = 0 для
(ti, т2) 6 wJ, решение интегрального уравнения
- ^(xi - г}) + /3{(х2 - xi)
может быть представлено в виде суммы
Ру(Т1, х2) = 53Qq°j(xi,x2) + т2) + $g?(zi, х2).
Применим теорему Моссаковского к рассматриваемой задаче для си-
стемы штампов, согласно которой выполняются равенства
F3(lb = УУ fj(xi,x2)^(x1,x2)dxidx2, (1.44)
= УУ fj(xi,x2)q'j(xi,x2)dx1dx2 (г = 1,2). (1-45)
Так, подставляя в формулу (1-44) вместо функции fj(xi,x2) правую
часть уравнения (1.18), при учете выражения (1.16) находим
F3 = F31)3 ~ 52 УУ (Bkpk)(xi,x2)q](xi,x2) dx!<h:2
k*i
fl dxtix„
k^j Ul> u>k
Изменяя порядок интегрирования в последнем интеграле, получаем
F3 = FP “ 52 II Pk(yi’ №№№’ З/г) dyidy2, (1.46)
k*j
2.1. Взаимодействие штампов на упругом полупространстве
125
где величина определяется формулой (1.44) и введено обозначение
о, X ГГ$(Х1,Х2}
= J J |x_y| ^1^2-
Поступая аналогично с формулами (1-45), будем иметь:
Mf = Mlw - [[(Bkpk)(xi,т2)д}(ть т2) dxidx2
к& JJ
Pk(yi, 2/2>’(з/i, y2) dyidy2,
(1-47)
где обозначено
|x-y|
dx^dx2.
Наконец, заметим, что, если плотности контактных давлений удо-
влетворяют условию неотрицательности (1.17), то возможно примене-
ние теоремы о среднем, а именно:
IР*(у)ш}(у) dy = ш‘(у^)Г3*, (1.48)
где yj. — некоторая точка внутри площадки шк.
Соотношения (1.46)-(1.48) особенно эффективны в случае системы,
состоящей из круговых или эллиптических штампов, для которых из-
вестны явные выражения для плотностей qfai, т2), г = 0,1,2.
Формулы (1.46) и (1.47) представляют собой конкретизацию общих
соотношений, впервые полученных в работе В. И. Моссаковского (1953).
В рамках контактной задачи для системы штампов соотношения (1.46) -
(1.48) в несколько иной форме были выведены Фабрикантом165). В част-
ном случае для оценки взаимного влияния круговых штампов теорема
Моссаковского применялась А. Ф. Раковым166). Ранее, оценки сил и мо-
ментов, действующих на штамп, вдавливаемый в упругий слой, с помо-
щью теоремы Моссаковского были получены В. М. Александровым167).
1651 V.I. Fabrikant. Several elliptical punches on an elastic half space // Trans.
ASME. J. Appl. Meeh., 1986. V. 53, №2. P. 390-394.
rss) а ф Раков. О взаимном влиянии связанных круговых штампов // Гидро-
аэромеханика и теория упругости. Вып. 7. Харьков: Изд-во Харьковск. ун-та, 1968.
С. 66-71.
1671 В.М. Александров. Некоторые контактные задачи для упругого слоя //
Прикл. матем. и механика, 1963. Т. 27, Л4 4. С. 758-764.
126
2. Задачи упругого дискретного контакта
2.1.7. Метод сращиваемых разложений
Рассмотрим вновь контактную задачу о давлении на упругое полупро-
странство R8 = {х = (хх,х2,хз) : Хз > 0} системы N > 2 штампов с
плоскими основаниями, имеющих центры в данных точках Р3(х{, х^, 0)
и занимающих в плане области ц), ..., малого (порядка ed} диамет-
ра. Здесь и далее 0 < е — малый безразмерный параметр. Область
получается сжатием в е"1 раз некоторой фиксированной плоской обла-
сти ш], диаметр которой не больше d. Именно, положим
ш3 = {(rri,ar2) : £-1(a:i - х2 - х3^ е . (1-49)
Вектор смещений точек упругого полубесконечного тела ие(х) слу-
жит решением следующей задачи линейной теории упругости:
дД1ие(х) + (А + д) grad div ие (х) = 0, х € R^_; (1.50)
<тз1(и£;х',0) — <732(ие;х',0) = 0, х' = (ii,х2) € R2; (1.51)
<7зз(ие;х', 0) = 0, х' е R2 \ (w1 U ... Uwf); (1.52)
«з(х',0) = <5g -Р}2{хх - 2?i) +/З’(х2 — х^), х'Еш3 (j = 1,2,
(1.53)
ue(x) = o(l), |x| = (ж2 + ж2 + ^з)1/2 °0- (1.54)
Здесь А, р — постоянные Ламе; <731(ие) — компоненты тензора напряже-
ний. При этом контактное давление под штампом ш3е равно:
р(и£; х') = -<т3з(и£;х', 0), х' Е ш3. (1.55)
По методу сращиваемых асимптотических разложений168) при е —> 0
решение задачи (1.50)-(1.54) представляется двумя асимптотическими
разложениями: внешним
иЕ(х) = ev\x) + e2v2(x) + . . . , (1.56)
справедливым вдали от зон контакта ш1, ..., и внутренним
ue(x) = w°l(^) + ew°3(£3) + ... (j = 1,2, (1-57)
пригодным вблизи площадки ш3. В записи членов внутреннего разложе-
ния (1.57) введены “растянутые” координаты
еМЖ). е=г-1(*-р>). (i.ss)
1681 М.Д Ван-Дайк. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.
А. М. Ильин. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач.
М.: Наука, 1989. См. также обзор И.И. Аргатов, С. А. Назаров. Метод сращи-
ваемых разложений для задач с малыми зонами контакта // Механика контактных
взаимодействий. М., 2001. С. 73-82.
2.1. Взаимодействие штампов на упругом полупространстве
127
Вектор-функции vg(x) удовлетворяют первой предельной задаче (в
пределе при е —> 0 краевое условие (1.53) исчезает)
/zA/v’fx) + (А + д) grad div v9(x) = 0, хе R^.;
<тз1 (v9; x', 0) = <t32(v9;x', 0) =0, x' G R2;
<733(vg; x', 0) = 0, x' e R2 \ {(tJ, x%), ..., (x?, t^)};
v9(x) = o(l), |x| -4 oo.
Вектор vg(x) должны обладать особенностями в точках Р1, ..., PN.
Пусть Т(х) — решение задачи Буссинеска о нагружении упругого по-
лупространства единичной сосредоточенной силой, приложенной в на-
чале координат и действующей вдоль оси Ох^. Обозначим через (х) и
S(2\x) поля смещений точек упругого полупространства под действием
единичного сосредоточенного момента (индекс указывает направление
вектора интенсивности), причем
S(1)(x) = -ат(х)/ат2, S<2>(x) = dT^/dxr.
Положим еще
S(m’n)(x) = - (х) (тп = 2,3, ...; п = 0,1, ... ,тп). (1.59)
Итак, по методу сращиваемых разложений получаем
N
v1(x) = '£^T(x-P>), (1.60)
7=1
N / 2 \
V2(x) = £2 I 12 M°>s(i)(x - р’) + ^3bT(x - P>) j . (1.61)
j=l \ 1=1 /
С каждым следующим шагом повышается степень сингулярности чле-
нов внешнего асимптотического разложения (1.56), т. е.
vg(x) = O(|x-P>|"g), х-4Р<
Коэффициенты в выражениях (1.60), (1.61) последовательно определя-
ются в процессе построения членов внутреннего разложения (1.57).
Вектор-функции wrj(£) служат решениями второй предельной за-
дачи, получаемой из уравнений (1.50)-(1.53) после замены переменных
(1.58) с последующим предельным переходом,
^Aewr>(£) + (А + д) graddiv wrj(£) = 0, £ G R^_; (1.62)
128
2. Задачи упругого дискретного контакта
a3i(wr>;£',0) = o32(wr>;£',0) = 0, £' = (6,6)€R2; (1.63)
<733(wr/;€/,0) = 0) £'€R2\^i; (1-64)
w^',0) = <5g, £'eu4;
™Ж0) = Й6-$6. C'e^i
W3J(6,0) = 0, 6 G w{ (r = 2,3, ...).
Здесь индекс в символе g для облегчения чтения формул опущен.
Обозначим через Ут,,(£) (1 = 1,2, ..., 3(m+l)) линейно независимые
векторные однородные полиномы степени т, подчиненные соотношени-
ям (1.62)-(1.64) (см., например, работу169)). Тогда первые члены раз-
ложения (1.57), получаемые в результате сращивания с внешним разло-
жением (1.56) при учете выражений (1.60) и (1.61), можно представить
в виде
w°J(^) = W°J(£J),
wlj(^) = W1'^) + 22 ^3°*T(Pj - Pk),
k^j
w2,(£') = W2'(£') + £ F°k X $ V1^') +
/=i
2
+ 22 52 M°js(i)(pi - pk)+52 F>k4pj -pk)-
.=i
Здесь Wr-)(6) — исчезающая на бесконечности вектор-функция, пред-
ставимая в форме обобщенного потенциала простого слоя:
*й)Т(б - ?п,6 - 6) dT)idrj2.
Коэффициенты определяются из разложения
6
Т(х - Рк) = Т(Р’ -Рк) + ^2 tj* Vu(x ~ pj) + •
z=i
В частности,
д* _ 1 ~ р2 81П7л Ak _ 1 - "2 cos yjk
J’1- яЕ d* ’ Г1-2 ~ яЕ <Рк
JK JK
(1.65)
(1.66)
1691 H.X. Арутюнян, А.Б.Мовчан, С.А.Назаров. Поведение решений задач
теории упругости в неограниченных областях с параболоидальными и цилиндриче-
скими включениими или полостями // Успехи механики, 1987. Т. 10, №4. С. 3-91.
2.1. Взаимодействие штампов на упругом полупространстве
129
если в качестве полиномов V^^x) выбрать такие:
У1Д(х) = -х3е2 + х2е3, V1,2(x) = x3ei - Xie3, V1,3(x) = -x2ei + Xie2,
V1,4(x) = x2ei + xie2, V1,5(x) = xtei - ax3e3, V1,6(x) = x2e2 - ax3e3,
где a = p(l — p)-1 и использованы обозначения (1.35).
Плотности интегралов (1.65) являются членами разложения для рас-
пределения контактных давлений
^(т!, х2)=d)+Plj(d,£) + • • (i-67)
(напомним, что d/dxi = E~ld/d&) и определяются как решения следу-
ющих интегральных уравнений:
(в^хй.й) - // . (гее,
«{, е2) = № - № - Е (169)
(2 \
р?+F3% .
•=i /
Здесь и далее используются обозначения
Tjk = T3(Pi-Pk), S® = S?(Pi - Рк) (г = 1,2).
Таким образом, задача построения асимптотики контактного давле-
ния сводится к рекуррентной цепочки интегральных уравнений (1.69)
для членов разложения (1.67).
В частном случае поступательного вдавливания на одинаковую глу-
бину 50 двух круговых штампов различных радиусов ai и аг с центрами
в точках Р1 (0,0,0) и P2(d, 0,0) на основании формул Буссинеска, Абра-
мова и Ростовцева по решению интегрального уравнения (1.68) с поли-
номиальной правой частью в случае круговой области ш{) с точностью
до членов £4, где е = 2d-1 max{ai, аг}, получаем
,, . Е60 1 1, 202 f 40102 4а2хЛ
р Xi, х2) - _ х2 _ х2 тгв? + \ тг2^2 тгсР )
8aia| 8aia2xi a2a? 6a2x2 2a2x2
л3с?3 Зл«Р TT2d3 л«Р nd3 ird?
Расчет системы эллиптических штампов требует введения локаль-
ных систем координат, отнесенных к главным осям штампов. На основе
130
2. Задачи упругого дискретного контакта
результатов А. И. Лурье, В. М. Александрова и И. И. Воровича в рабо-
те170' методом сращиваемых разложений было получено приближенное
(с точностью до членов О(е4)) выражение для плотности контактно-
го давления под подошвами произвольно ориентированных, удаленных
друг от друга эллиптических штампов.
2.1.8. Улучшенный метод сращиваемых
асимптотических разложений
В работе171' предложена улучшенная (повышающая точность асимп-
тотических формул) процедура сращивания внешнего и внутреннего
асимптотических представлений, требующая решения системы линей-
ных алгебраических уравнений относительно коэффициентов при син-
гулярных решениях во внешнем представлении. При этом задача по-
строения асимптотики контактного давления сводится к одному (вместо
нескольких последовательно решаемых) так называемому172' “связанно-
му” интегральному уравнению.
Итак, на удалении от зон контакта в качестве внешнего асимптоти-
ческого представления (во втором приближении) назначим сумму
N / 2 \
v(s;x) = ^2 f37t(x-f>) + 52m/s(‘>(х-Р7)|. (1.70)
>=i \ «=1 J
Иными словами, на удалении от штампов их влияние на напряженное
состояние упругого массива моделируем действием на его границу со-
средоточенных сил и моментов, приложенных в точках Р1, ..., PN.
Положим (см., например, (1.67))
Fi = eF*j, = (г =1,2). (1.71)
В окрестности точки PJ в выражении (1.70) перейдем к растянутым
координатам (1.58). При учете соотношений (1.71) получаем следующее
разложение по степеням параметра е:
2
v(e;x) = Рз‘7Т(^) + 52м*78(‘''(^)+£22Рз**Т(Р7-Р*) +
i=l tyj
170' И.И. Аргатов. Взаимодействие штампов на упругом полупространстве //
Изв. РАН. Механика тверд, тела, 1999, №4. С. 56-63.
171) И.И. Аргатов. Об улучшении асимптотического решения, получаемого по
методу сращиваемых разложеняй в контактной задаче теории упругости // Журн.
вычисл. математики и матем. физики, 2000. Т. 40, А* 4. С. 623-632.
172' И.И. Аргатов. Асимптотическое решение контактной задачи для трехмер-
ного упругого тела конечных размеров // Прикл. матем. и мех., 1999. Т. 63. Вып. 6.
С.964-970.
2.1. Взаимодействие штампов на упругом полупространстве
131
+е2
£ Е +Е Е - рк)
.k^j !=1 t=l
+ ... (1.72)
Ограничиваясь в (1.72) только выписанными членами, выражение
для внутреннего асимптотического представления назначим в виде
wj(e; = WJ(e; рзкТ(р} ~ рк) +
^3
+ £2
£ F* £ $ V1-'^) + £ £ MVS«(P> - р*)
.kt/bj l—l 1=1
(1-73)
где WJ(£;^-?) — вектор-функция, представимая в форме потенциала
(1.65) с плотностью р*3(С1,Сг), удовлетворяющей уравнению
(ву>) (й, е2) = - е £ ъкт]к -
k^j
£
.k^j k^j i=l
(1-74)
Уравнение (1.74) вытекает из требования подчинить краевому условию
(1.53), удовлетворяющий соотношениям (1.52) — (1.64), вектор (1.73).
Наконец, соблюдение условий сращивания внешнего (1.56) и внут-
реннего (1.57) асимптотических представлений решения контактной за-
дачи (1.50)- (1.54) приводит к соотношениям (j = 1,2, ..., N)
p3k
М*3
М*3
irE
1 — р2
М3
' 830 - е^^Ък- ££лС
i=l
^-г2£;гз‘^1
£$-s2£f*^2
\ к^з /
(1-75)
6
2
Здесь М3 — матрица поступательно-вращательной емкости штампа с
плоским основанием в форме области причем
Л43 =
С3
С3^3
-счг
сч2°у -счг
(Ж')2 + М>2 -СЧ°ЧГ-М{2
-cW-m>2 с(сГ)2 + м]1
С3 — поступательная емкость; M,t — компоненты тензора вращатель-
ной емкости штампа ; (^°J, ^2J) — координаты центра давления штампа
с плоским гладким основанием ш3.
132
2. Задачи упругого дискретного контакта
Подчеркнем, что коэффициенты в разложении (1.70) определяют-
ся из системы линейных алгебраических уравнений (1.75). Уточнение
асимптотического представления (1.70) потребует привлечения полимо-
ментов М^п и, отвечающих им, сингулярных решений (1.59).
В случае системы, состоящей из круговых штампов радиусами =
sAj (j = 1,2, ..., TV) согласно формулам Буссинеска (1.26) и Абрамова
(1.29) имеем (тензор вращательной емкости шаровой):
С> =
2А,- 4А?
тг Зтг
(1.76)
Считаем, что величины Ах, ..., А# не превосходит d/2, где d — наимень-
шее расстояние между штампами. Ввиду приближенного равенства
. еА, eAj
arcsin« -у-4,
djk djk
Е —► 0
соотношения (1.75) при учете выражений (1.76) в главном согласуются
с формулами (1.33) и (1.34).
Отметим также, что уравнения (1.75) и (1.33), (1-34) имеют одина-
ковую асимптотическую точность, но в отличии от последних формулы
(1.75) справедливы для произвольной системы штампов.
Полученное решение легко обобщается на случай штампов с подош-
вой произвольного профиля. Вместо уравнения (1.14) подошву штампа
uji следует определить в растянутых координатах, т. е., например, урав-
нением
х3 = -е2Ф;(е 1(х1-х{'),е 1(гс1 — ат{)), (а^аъ) 6 wf
При этом изменению подвергнется уравнение (1.74), в правую часть ко-
торого следует добавить слагаемое —е2Ф; (^1, £2)- Соответственно, вывод
условий сращивания (вместо системы уравнений (1.75)) потребует при-
влечения теоремы Моссаковского.
2.2. Асимптотические модели
упругого дискретного контакта
2.2.1. Метод Александрова
Рассмотрим линейную контактную задачу о давлении на границу упру-
гого полубесконечного тела, занимающего область х3 > 0, системы эл-
липтических штампов с центрами в точках Р1, ..., PN. Наименьшее из
2.2. Асимптотические модели упругого дискретного контакта
133
всевозможных расстояний djk между точками PJ и Рк при j / к обо-
значим через d и положим -------—ч
I -инв &33 /
. С НЕ БОРЕЕ КНИГИ/ГJ
a3e^=£Aj (j = 1, {однир^и^хвдве} (2.1)
где Ai, ..., Aw — величины, не зависящие от £ и не превосходящие d/2,
£ — малый положительный параметр.
Для определенности будем считать, что штамп с номером j имеет
плоское основание и занимает в плане область а>3е, ограниченную эллип-
сом
Ж + . - 1, (2.2)
(4)> (<й)*(1-еР
где х{ и ^2 — декартовы координаты, отнесенные к главным осям эл-
липтической площадки а>3, причем
х{ = (т! - х{) cos 8j + (т2 - xty sin0j, (2 3.
X?2 — —(®1 — 2q) sinfy + (тг — 2^) COS8j. ' ’ '
Ясно, что при малых значениях параметра £ штампы будут располагать-
ся относительно далеко друг от друга. Заметим, что асимптотическое
решение контактной задачи для системы штампов периодически плотно
размещенных в пределах ограниченной площадки на границе упругого
полупространства было получено в работе173^.
Пусть для простоты под нагрузкой все штампы получают одинаковое
вертикальное поступательное смещение <5о- Тогда плотности контактных
давлений р1^!,^), ... ,pN(xi,xz) должны удовлетворять следующему
интегральному уравнению:
N N
52(-Ве?’)(®ь®2) = 5в, (zi,Z2) е [Jwf (2-4)
3=1 3=1
Здесь В3 — интегральный оператор, действующий по формуле
- о // 1
y/lxi-yW + fa-yi)2
Для построения приближенного решения интегрального уравнения
(2.4) прибегнем к разновидности асимптотического метода “больших
д’474), отличительной чертой которого является использование “связан-
ных” интегральных уравнений, впервые предложенных в контактной
173' LI. Argatov, Т.А. Mel’nyk. Homogenization of a contact problem for a system
of densely situated punches // Eur. J. Meeh. A/Solids, 2001. V. 20, J01. P. 91-98.
174' В. M. Александров. Асимптотические методы в контактных задачах теории
упругости // Прикл. матем. и мех., 1968. Т. 32. Вып. 4. С. 672-683.
I ВИВЛИОТЖА
134
2. Задачи упругого дискретного контакта
задаче для упругого слоя в работе В.М. Александрова175\ В деталях
излагаемого асимптотического подхода будем следовать работе176 \ Ра-
нее метод Александрова был применен в конструкционно нелинейной
контактной задаче для системы штампов в работе В. М. Александрова
и А. А. Шматковой177).
Зафиксируем номер j, выделяя тем самым какой-нибудь штамп, и
перепишем уравнение (2.4) в виде
(В^)(хг,х2) = <50 - (2.6)
Осуществим в интегралах справа в уравнении (2.6) замену переменных
интегрирования по формуле
y^xt + trf (г =1,2)
с тем, чтобы из уравнения границы пятна (2.2) согласно соотношению
(2.1) исчез параметр е. Имеем:
(BEV)(xi,a;2) =
pk(rf + g^, zjj + g^) drfidrfi
У(я1 - - erft)2 + (х2 -х$- g?$)2
(2-7)
Рассмотрим теперь уравнение (2.6) только для точек (х\,х2) € ш7,
когда выполняется соотношение
Xi = х{ + О(еЯ) (i = 1,2).
При этом для к j и (т)к,712) € Wi верна асимптотическая формула
У(xi -х$- srft)2 + (х2 -х$- £т^)2 = djk[l + O(g)],
где djk — расстояние между точками Р7 и Рк.
Упростим уравнение (2.6), отбрасывая справа в (2.7) в подынтеграль-
ной функции величины более высокого порядка малости по сравнению
с единицей. Итак, принимая во внимание равенство
= //р^’У^^У2
175' В.М. Александров. Некоторые контактные задачи для упругого слоя //
Прикл. матем. и мех., 1963. Т. 27. Вып. 4. С. 758-764.
176' И.И.Аргатов. О характеристиках локальной податливости упругого тела
под действием на плоский участок его границы малого штампа // Прикл. механика
и технич. физика, 2002. Т. 43, № 1. С. 177-185.
177> В.М. Александров, А.А. Шматкова. Вдавливание параболического
штампа в упругий слой и двух параболических штампов в упругое полупространство
// Изв. РАН. Механика тверд, тела, 1998, №4. С. 149-155.
2.2. Асимптотические модели упругого дискретного контакта
135
и вспоминая обозначения
~ 1 — г/2
Qk = dQk, = —f-,
7T£j
приходим к уравнению
= <$о -^Qkd^, (xltx2) € у. (2.8)
Так как правая часть уравнения (2.8) есть постоянная величина, то
привлекая уравнение, связывающее перемещение штампа с действую-
щей на него силой, находим
Qj =Cj(So-'^QkdjkY
k^j 7
(2.9)
Здесь Cj = ai/~K(ej) — поступательная емкость эллиптического штампа
с плоским гладким основанием
Таким образом, для определения усилий Qi, ..., Qn согласно (2.9)
получаем систему линейных алгебраических уравнений
с71^ + Е^1 = (5о (j = l,...,N). (2.10)
к&
Нетрудно видеть, что уравнения (2.10) не зависят от ориентации штам-
пов (угол Oj, фигурирующий в (2.3), в формулы (2.10) не входит).
Ясно, что полученное решение пригодно для системы произвольных
(удаленных друг от друга) штампов с плоскими основаниями, если в ка-
честве величины Cj выбрать соответствующую поступательную емкость
и точку совместить с центром давления штампа у.
Наконец, сравним полученную результирующую задачу (2.10) с най-
денной ранее другим методом (1.33) (или (1.38)). Принимая во внимание
формулу arcsinrr = х + О(т3), убеждаемся, что левые части уравнений
(2.10) и (1.33) различаются на величины О(е3). Заметим также, что хо-
рошо согласуются и результаты численных расчетов178'.
2.2.2. Контактная жесткость упругого основания
для системы штампов
Рассмотрим систему N удаленных друг от друга цилиндрических штам-
пов, вдавленных в упругое полупространство на различную глубину. В
178' И.И. Аргатов, В.Ю. Чирков. Приближенное решение контактной задачи
для системы штампов на упругом полупространстве // Трение и износ, 1999. Т. 20,
№5. С. 467-470.
136
2. Задачи упругого дискретного контакта
предположении, что все штампы вступили в контакт с поверхностью
упругого основания, для определения контактных усилий Qi, .^Qn
имеем следующую систему линейных алгебраических уравнений:
+ (2.П)
где 8j — перемещение штампа с номером j.
Пусть С — Л'х TV-матрица с элементами
^ = с;Ч cjk = d-^ (k/j),-,
6 — вектор-столбец с компонентами 51, ..., 8N; Q — вектор-столбец с
компонентами Qi, ..., Qn- Заметим, что для случая относительно ма-
лых штампов матрица С будет положительно определенной.
Согласно введенным обозначениям систему (2.11) можно записать в
векторной форме
CQ = <5. (2.12)
Предположим, что рассматриваемая система разноуровневых штам-
пов получила малое дополнительное смещение, пропорциональное пара-
метру t. Иными словами, результирующий вектор вертикальных пере-
мещений штампов будет равна S+te, где е — вектор-столбец с компонен-
тами 1, ..., 1. Тогда соответствующий вектор усилий Q(t) определится
как решение системы
CQ(t) = <5 + te. (2.13)
В силу линейности рассматриваемой задачи зависимость контакт-
ных усилий Qi(i), ..., QN(t) и суммарной силы, действующей на систе-
му штампов,
Q(i) = Qi (£) + •• + Q;v(t)
от дополнительного перемещения t будет линейной.
Назовем величину
р dQ(t)
R dt
контактной жесткостью упругого основания для системы штампов.
Согласно (2.13) имеем:
Q(t) = С~'б + tC~'e,
где С-1 — обратная матрица для матрицы С. Следовательно,
Q(i) = (е, Q(t)) = (с, С'16} + t{e, С~1е). (2.16)
Здесь скобками (,) обозначается скалярное произведение в TV-мерном
евклидовом векторном пространстве.
(2-14)
(2-15)
2.2. Асимптотические модели упругого дискретного контакта
137
Подставляя выражение (2.16) в формулу (2.15), получаем
R={e,C~1e).
Таким образом, согласно принятому определению контактная жест-
кость для разноуровневой системы штампов совпадает с таковой для
системы штампов, расположенных на одном уровне. Эксперименталь-
ное исследование контактной жесткости для системы круговых штам-
пов было проведено И. Г. Горячевой и М. Н. Добычиным179\
Наконец, вычислим суммарную силу Q, действующую на рассматри-
ваемую систему штампов в исходном положении (при t = 0). Согласно
(2.16) имеем:
Q = {e,C~l6).
Ввиду симметричности матрицы С справедливо равенство
Q = (C-1e,J).
Положим
Q(0) = с~'е.
Нетрудно видеть (см. уравнение (2.12)), что вектор представля-
ет собой вектор контактных усилий в системе штампов, вдавленных в
упругое полупространство на единичную глубину. Тем самым, формула
Q = (Q(0U)
является дискретным аналогом теоремы Моссаковского.
2.2.3. Моментная асимптотическая модель
контакта системы штампов
с упругим полупространством
Пусть на границе упругого (с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуас-
сона р) полупространства хз > 0 выделены точки Р1, ..., PN с коор-
динатами (х{,х%), где j = 1,2, ...,N. Наименьшее из всевозможных
расстояний djk = |Р* — Р*| при j / к обозначим через d.
Рассмотрим контактную задачу без трения для системы N > 2 штам-
пов, имеющих центры в данных точках и занимающих в плане области
ш*, ..., ujN малого (порядка ed) диаметра. Здесь и далее 0 < £ — малый
179) И. Г. Г о р я ч е в а, М. Н. Д о б ы ч и и. Оценка точности метода расчета жестко-
сти стыка шероховатых тел с учетом взаимовлияния микроконтактов // Машинове-
дение, 1980. >1. С. 70-77.
138
2. Задачи упругого дискретного контакта
безразмерный параметр. Область ш3 получается сжатием в е~3 раз неко-
торой фиксированной плоской области ш], диаметр которой не больше
величины d. Именно, положим
ш3\ = {(xi, х2) : Е~1(х1 - х{,х2 - xi) е . (2-17)
Для простоты записи формул сначала будем считать, что штампы
имеют плоские подошвы. Обозначим через <$□ и /3f, fl32 соответственно
заданные вертикальное перемещение штампа (точнее говоря, переме-
щение его центра) и углы поворота штампа относительно осей, прохо-
дящих через его центр и параллельных координатным осям Ох^ и Ох2.
Тогда плотности контактных давлений ,Pn(^i,3:2'), разви-
вающихся под штампами, в соответствии с решением задачи Буссинеска
удовлетворяют системе интегральных уравнений (j — 1,2, ..., АГ)
N
52 ’ Х2) = 6о - $(*1 - 4) + /31 (х2 - А), (2.18)
*=1
где (жь^г) € Вк — интегральный оператор, действующий по фор-
муле
(Bkpk)(x1,x2) = 0 Ц
Рк(У1,Ук)^^У2
ч/(^1 - Pi )2 + - Уг)2
(2-19)
Построим приближенное (асимптотически точное при е —> 0) ре-
шение задачи (2.18), пригодное для случая большого числа штампов.
Выделим какой-нибудь штамп, зафиксировав номер j, и перепишем ин-
тегральное уравнение (2.18) в виде
(Bipi)(xux2) = 6l-^x1-^)+^x2-x}2)-^Bkpk)(xl,x2). (2.20)
В интегралах справа в уравнении (2.20) осуществим замену перемен-
ных интегрирования по формуле
У-=хк+ЕТ1к (* =1,2). (2.21)
При этом согласно (2.17) получаем, что (т?*,??*) £ т. е. из УРав~
нения границы области контакта при переходе к “растянутым” пе-
ременным рк = Е~к(ук — тк) устраняется параметр е. В свою очередь,
введем растянутые координаты (Ci,€2) е ^i следующим образом:
х{ = х3{+е& (г = 1,2).
(2.22)
2.2. Асимптотические модели упругого дискретного контакта
139
Подставляя выражения (2.21) и (2.22) в ядро интегрального опера-
тора (2.19), получаем
[(^1 - у*)2 + (£2 - у£)2]-1/2 =
1 ( Е2 2
= у- Ь - / (Ci - tf)+sjk (£ - %*)]+[(£ - ^)2+(Й - %*)2]
O-jk Ujk Ujk
(2.23)
Здесь использованы следующие обозначения:
с;* = cos7jt = ^(4 - а^), sjk = sm'yjk = d£(x% - 4).
Раскладывая выражение (2.23) по степеням параметра е, находим
[(^1 - 2/1 )2 + (*2 - у2)2]~1/2 = djk + £djk [cjfc(Ci - rf) + Sjk{^ - 7/2)] + • •
(2.24)
Подставим теперь разложение (2.24) в правую часть равенства (2.19)
и проинтегрируем почленно. В результате после возвращения к исход-
ным (центрированным) переменным получаем
^(ву)^,^) =
= ^+^(F3£fc[cjJt(2:i-27’i)+sjfc(x2-^)]+cjt:M2£t:-s>t:M1£*;)+... (2.25)
“Л ajk I J
Здесь F$k — результирующая; Mfk и М£к — моменты относительно го-
ризонтальных осей, проходящих через центр штампа, плотности кон-
тактных давлений под штампом шк, определяемые формулами
F? = Ирк{ук’ У2> dykdy2' (2’26)
{"?}=// {-«- S p'yw (2 27)
Ufg
Ограничиваясь лишь двумя слагаемыми справа в разложении (2.25),
интегральное уравнение (2.20) при учете обозначений (2.26) и (2.27) по-
сле перегруппировки членов приводим к виду
(By) У, т2) = 51 - £ dr'F? - £ d-2(с}кМ? - SjkMf) -
140
2. Задачи упругого дискретного контакта
- ($ + £ ) (X! - х{) + (^ - £drk2sjkF$k ) (х2 - 4)- (2-28)
' ' к#; '
Величины F3e*, Mfk и М£к получаются из F£k, Mfk и умножением
на упругую постоянную & — (1 — 1/2)(тгЕ)-1.
Таким образом, задача расчета контактных давлений в системе взаи-
модействующих штампов (во втором приближении) сведена к решению
контактных задач (j = 1,2, ..., АГ) для изолированных штампов (2.28)
с последующим решением системы линейных уравнений относительно
интегральных характеристик (2.26), (2.27) контактных давлений.
Будем считать, что точка совпадает с центром давления подошвы
штампа В таком случае вдавливание (одинокого) штампа в упру-
гое полупространство силой, действующей вдоль вертикальной оси, про-
ходящей через точку Р;, будет происходить поступательно (без переко-
сов). Следовательно, поскольку правая часть уравнения (2.28) линейна
относительно декартовых координат, находим
], (2.29)
' k^j k&j '
m22
ei
—m12
-m?2
mil
0i 'Dk?jdjksjkF3k\
02 + 'Dk&djkc3kF3k J
(2.30)
Здесь cj — поступательная емкость; — компоненты тензора враща-
тельной емкости штампа с плоским гладким основанием
Подчеркнем, что формулы (2.29) и (2.30) в точности согласуются с
формулой (1.75), полученной при помощи улучшенного метода сращи-
ваемых разложений.
В случае системы, состоящей из круговых штампов радиусом а;
согласно формулам Буссинеска и Абрамова имеем (тензор вращатель-
ной емкости шаровой):
2а,- 4а3
с,- = —пг = —-
3 к Зтг
(2.31)
Зависимость от параметра с не указывается. Считаем, что наибольший
из радиусов ai, ..., мал в сравнении с величиной d/2, где d — наи-
меньшее расстояние между штампами. При этом в соответствии с вы-
ражениями (2.31) формулы (2.29), (2.30) конкретизируются так:
(cj)~lF? + £ d^F* + £ d~2 (c]kM? - SjkMfk) = 53O
k^j k^j
(me>) 1 ( ) + УХ^з* (
' ' I M 1 I ,k 3 \
\ 1 / kjtj 4
Sjk \ = ( 01 A
—С;*: / \ 02 )
2.2. Асимптотические модели упругого дискретного контакта
141
Заметим, что для обеспечения плотного контакта (по всей круговой об-
ласти) необходимо выполнение неравенства
< 2b (^ - Е ъ№к - Е^м2к -
3
В случае системы, состоящей из эллиптических штампов, необходи-
мо дополнительно задать ориентацию каждого штампа по отношению
к осям координат. Обозначим через Oj величину угла между направ-
лением оси Oxi и направлением большей оси эллиптической площадки
аз3е, измеренного в положительном направлении. Тогда компоненты мат-
рицы вращательной емкости, фигурирующей в (2.30), в соответствии с
тензорным характером их преобразования при повороте осей координат
вычисляются по формулам
2т|1 = m] + т2 — (т| — т() cos 26j,
2т|2 = т{ + т| + (т| — т{) cos20j, (2.32)
—2т{2 - (т{ — т|)зт20у. (2.33)
Здесь т] и т2 — главные вращательные емкости эллиптического штам-
па относительно меньшей и большей осей, соответственно, причем т{ >
т|. Согласно результатам А. И. Лурье имеем:
ai з з aK1-eP
с, = zttH-, nii = mi = ,
K(e2) 3D(e2) ЗВ(е;)
где a2- — бблыпая полуось эллипса, ограничивающего область е2 —
его эксцентриситет; К(е) и Е(е) — полные эллиптические интегралы
первого и второго родов; D(e) = е-2[К(е) — Е(е)], В(е) = К(е) — D(e).
В общем случае поверхности штампов, обращенные к границе упру-
гого полупространства, не являются плоскими и задаются уравнениями
Хз = $j(xi — х{,Х2 — х{) при (^1,3:2) 6 ш3е О' - 1,2, ...,N). Тогда в
правые части исходных (2.18) и приближенных (2.28) уравнений следу-
ет добавить слагаемое — Ф/з?! — xj,x2 — х|), характеризующее форму
подошвы штампа с номером j. Соответственно, формулы (2.29) и (2.30)
утрачивают силу и для получения уравнений, связывающих обобщен-
ные силы F£k, Mfk и с обобщенными перемещениями 63О, и
необходимо воспользоваться теоремой Моссаковского.
Заметим, наконец, что с механической точки зрения можно рассмат-
ривать контактные задачи для свободных и связанных (жестко соеди-
ненных) штампов. В последнем случае вводятся поступательное переме-
щение 6о и углы поворота fa, fa жесткой обоймы, в которую вставлены
142
2. Задачи упругого дискретного контакта
штампы. При этом определяются равнодействующая F?, и моменты Mi,
М2 системы нагрузок, действующих на систему штампов, и составля-
ются ее уравнения статического равновесия.
2.2.4. Асимптотическая модель одностороннего
контакта системы круговых штампов
с полупространством
Представим себе теперь, что штампы, заделанные в жесткую плиту,
имеют различную высоту. Именно, пусть штамп с номером j занима-
ет в плане эллиптическую (с эксцентриситетом е; и большей полуосью
а3. = eAj) область ш3. с центром в точке Р3 и вдавливается в упругое
полупространство на глубину 6j. (Как и в предыдущем, для простоты
изложения сначала рассматриваем систему эллиптических штампов.)
Ясно, что в процессе поступательного вдавливания первым в контакт
вступают наиболее высокие выступы и с возрастанием нагрузки число
контактирующих штампов увеличивается.
Площадка контакта штампа с номером j с поверхностью упругого
основания заранее не известна. Однако нетрудно видеть, что поскольку
штамп имеет плоское основание, фигура ш3 представляет собой макси-
мально возможную площадку контакта.
Таким образом, для определения плотностей контактных давлений
имеем систему соотношений
?’(®i,®2) > 0 t=i ’)(*!, ®г) = (2-34)
pi(xi,x2) = 0 => ZW fc=l ')(*!, *2) > 6j, (2.35)
p’(xi,x2) > 0, (xi,x2) € ш3£ (2.36)
Здесь В£ — интегральный оператор, действующий по формуле
(ВУ)(х1,х2)=1? Ц
4
Рк(У1,У2)
у/(х1-У1) +(х2~ У2У
Выведем результирующую задачу для определения усилий, действу-
ющих на штампы,
Qj = IIрЧу{> У2) dyldyi (j = l,..., N).
<•>£
2.2. Асимптотические модели упругого дискретного контакта
143
Асимптотический подход для задач с односторонними связями был раз-
вит С. А. Назаровым (см., в частности, работу180)). Обратим внимание
читателя также на обзор И.В. Андрианова и др.181), содержащий 310
ссылок и посвященный недавним достижениям в области асимптотиче-
ских методов.
Предположим, что штамп с номером j контактирует с упругим полу-
пространством по всей площадке w1. Тогда плотность pi(x 1,2:2) удовле-
творяет интегральному уравнению (2.34) при (xi,x2)-€. ш3. Применяя
приемы, использовавшиеся ранее при исследовании линейной задачи,
уравнение (2.34) преобразуется к виду
(В'УДжьЖг) = <5; -
-V е2 [[ pk^kl + g7?1 ’+ £r^drfdr,i (2 37)
Ы JJ V (zi - 4 - )2 + (х2 -х$- егё)2
При (rci, х2) G и (rft, 7$) G для к j имеем:
(ti -xf- ет/f)2 + (^2 ~х%~ Е^)2 = djfc[l + 0(e)], (2.38)
где djk — расстояние между точками и pk Поэтому, пренебрегая
величинами более высокого порядка малости по сравнению с единицей,
из уравнения (2.37) выводим следующее равенство:
Qi = ci ~ ^J/Qkdjk''} i (2.39)
' k^j '
где Cj — поступательная емкость штампа с плоским основанием ш3е.
Допустим теперь, что штамп с номером j не контактирует с поверх-
ностью упругого основания. Тогда плотность р’(х1,х2) тождественно
равна нулю при (ti, х2) G и, следовательно, Qj = 0. Рассуждая ана-
логично предыдущему, из соотношения (2.35) выводим неравенство
^Qkd^>6,. (2.40)
Таким образом, для определения величин
~ 1 — V2
Qi = #Qi = d = -—, (2.41)
71.С/
1801 С. А. Назаров. Асимптотическое решение задачи с малыми препятствиями
// Дифференциальные уравнения, 1995. Т. 31, К’6. С. 1031-1041.
1811 I. V. Andrianov, J. Awrejcewicz, R.G. Barantsev. Asymptotic approa-
ches in mechanics: New parameters and procedures // Appl. Meeh. Rev., 2003. V. 56,
№1. P. 87-110.
144
2. Задачи упругого дискретного контакта
на основании (2.36) и (2.39), (2.40) формируем задачу
Qj>0 => + (2.42)
Q,=0 => (2.43)
Q,>0 (j = l, ...Л). (2.44)
Задача (2.42) - (2.44) может быть сведена к задаче квадратичного
программирования, т. е. к задаче минимизации квадратичной функции
на множестве неотрицательных переменных (см., например, работу182)).
2.2.5. Асимптотическая модель одностороннего
контакта системы штампов в форме
эллиптических параболоидов
с упругим полупространством
Предположим, что в упругое полупространство вдавливается система
жестко соединенных штампов в форме эллиптических параболоидов.
Именно, пусть штамп с центром в точке ограничен поверхностью
х3 = -«F'Qri,^); = (2т1)-1 [(zi -rj)2 + (х2 -а^)2].
Тогда плотности контактных давлений p1(xi,x2), ... ,pN(xi,x2) опреде-
ляются из системы соотношений
N
pj(xi,x2)>0 => ^(Byj(zi,z2) =<5j-Ф^хьЯг), (2.45)
*=i
N
Pj(xi,x2) = 0 => ^2(B^pk)(xi,x2) > 6j -&(xi,x2), (2.46)
fc=l
p^i,х2) > 0, (xi,x2)Gwi (j -1, (2.47)
Здесь Lji — область, наверняка охватывающая возможную площадку
контакта (область, где оказывается положительной правая часть урав-
нения (2.45)). Радиус кривизны г3е предполагается малым в сравнении с
наименьшим расстоянием между штампами d (см. рис. 13).
1827 И. И. Аргатов. Энергетические теоремы и вариационные принципы механики
упругих систем с односторонними связями // Изв. вузов. Строительство, 1998, №9.
С. 15-20.
2.2. Асимптотические модели упругого дискретного контакта
145
Задача о давлении на упругое полупространство двух одинаковых
шарообразных штампов в предположении близости областей контак-
та к круговым при помощи метода работы183) изучалась А. Е. Андрей-
кивым184). В работе В. М. Александрова и А. А. Шматковой185) получено
асимптотическое решение задачи для случая двух несоединенных друг
с другом параболоидальных штампов. В работе186) методом сращивае-
мых асимптотических разложений с применением улучшенной процеду-
ры сращивания построена асимптотика решения рассматриваемой зада-
чи при условии, что все штампы контактируют с упругим телом. Для
решения данной задачи И. Г. Горячевой187) был применен метод локали-
зации. В работе188) решение рассматриваемой так называемой189) кон-
струкционно нелинейной контактной задачи было получено при учете
возможности отрыва штампов от поверхности упругого основания (по-
лупространство, слой).
В первом приближении пренебрегаем взаимодействием пятен кон-
такта. По формулам теории Гёрца находим
= (2’48)
183) М.Я. Леонов, К.И. Чумак. Дааление под штампом, близким к круговому
в плане // Прикл. механика (Киев), 1959. Т. 5, Л* 2. С. 191-199.
I84) А.Е. Андрейкив. Вдавливание в упругое полупространство системы штам-
пов // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела, 1975,102. С. 125-131.
I85) В.М. Александров, А.А. Шматкова. Вдавливание параболического
штампа в упругий слой и двух параболических штампов в упругое полупространство
// Изв. РАН. Механика тверд, тела, 1998,10 4. С. 149-155.
186) И.И. Аргатов. Давление на упругое полупространство системы штампов в
форме эллиптических параболоидов // Изв. РАН. Механика тверд, тела, 2001, 10 2.
С. 54-64.
187) И.Г. Горячева. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001.
188) и.И. Аргатов. Асимптотическое моделирование контактного взаимодей-
ствия системы жестко соединенных штампов с упругим основанием // Сибирский
журн. индустриальной математики, 2000. Т. 3,10 2. С. 10-22.
18®) А.П. Филин. Введение в строительную механику корабля. СПб.: Судострое-
ние, 1993.
146
2. Задачи упругого дискретного контакта
а, = У^№)+, (2-49)
где 6j — величина, характеризующая расположение штампа с номером
j по высоте; (t)+ = (t + |t])/2, aj — радиус пятна контакта.
Учтем теперь взаимодействие штампов. Из уравнения (2.49) вытека-
ет, что aj = O(sd) при е —> 0, если предположить
т>е = e2Rj, (2.50)
где величина R> не зависит от параметра е и сравнима с d.
Чтобы вывести асимптотическую модель одностороннего контакта
в рассматриваемом случае, как и прежде в соотношения (2.45)-(2.47)
вводим растянутые координаты. Принимая во внимание зависимость
(2.50) и асимптотическую формулу (2.38), уравнение (2.45) и неравен-
ство (2.46) заменяем следующими приближенными:
> 0 => (В]ер^(х1,х2) = 5, - &(xi,x2) - ti^Qkd^, (2.51)
ад
р’ОгьТг) = 0 => (B^p')(ti,t2) > <5;-$j(ti,t2) - (2.52)
ад
Точное решение задачи (2.51), (2.52), (2.47) построим, привлекая
вновь формулы Герца. Так, согласно формуле (2.48) получаем
Q2/3 = mj \8j - Qkd^) ! = Г4х/г>/(3тг)1 / . (2.53)
V ад J +
Таким образом, для определения контактных усилий Qi, ...,Qn (cm.
обозначение (2.41)) выводим условие их неотрицательности
Q,>0 (J = l, ...,ЛГ) (2.54)
и согласно (2.53) следующие соотношения:
Qj > 0 => + £ Qkd^ = 6j- (2.55)
Qi=v=* Y'Qkd-^Sj. (2.56)
Задача (2.54)-(2.56) сводится к вариационному неравенству для моно-
тонного оператора.
2.2. Асимптотические модели упругого дискретного контакта
147
2.2.6. Асимптотическая модель контакта
системы штампов, сцепленных
с упругим полупространством
Пусть с поверхностью упругого (с модулем сдвига р и коэффициентом
Пуассона р) полупространства хз > 0 сцеплены N круговых штампов
с центром в точке и радиусом О’. — кА;, где е — малый поло-
жительный параметр, j = 1,2, ... ,N. Величины Alt ..., не зависят
от параметра е и не превосходят величины d/2, где d — наименьшее
расстояние между центрами штампов.
Считаем, что штампы жестко соединены (вставлены в недеформиру-
емую обойму). Тогда перемещение системы штампов будут определять
следующие величины: вектор 6 = (<5i, <$2-> <5з) поступательного смещения
и вектор (3 = (01,02,/Зз) поворота обоймы относительно осей координат.
Таким образом, граничные точки упругого полубесконечного тела, сцеп-
ленные с подошвой штампа с номером j, т.е. при хз = 0 и (ti,t2) G uji,
в предположении, что система штампов получает жесткое перемещение
v(x) = 6 + /3 х х, приобретает следующее перемещение:
u?(ti,t2) = <51 - /33Т2 “ Рз(?2 ~
w°(zi, т2) = <$2 + /Зз^7! + /33(ti - rj), (2.57)
«З^ь^) = <5з + /312^ - /32т( + А(т2 - х>2) - /32(tj -Z1).
Заметим, что аналогичным образом исследуется и задача, в которой
каждый из штампов получает собственное перемещение.
Вектор-плотности контактных усилий р1, ... ,pN определяются как
решение системы интегральных уравнений (j = 1, ..., N)
N
= v(xi,x2,0), (^1,^2) € w3e. (2-58)
fc=i
Здесь pk — (tk,tk,pk) — вектор-плотность контактных усилий под штам-
пом с номером fc; tk и tk — плотности касательных усилий; рк — плот-
ность нормальных давлений; — матричный интегральный оператор,
действующий на вектор-функцию рк по формуле
Brtps =
Bff В'к Bfk
в£ в$ В%к
В$ В'к В&
При этом В?к — интегральные операторы (s,t = 1,2,3), определяемые
148
2. Задачи упругого дискретного контакта
согласно решениям задач Буссинеска и Черрути следующим образом:
(B*tf)(xbx2) = 1-1/ iz(xi-yi)2' Я R3 . dy, (2.59)
(B^)(zi,z2) = IIt£(y/ X1 - У1)(х2 - y2) J r (2.60)
»*)(*Ъ) - IIр‘(у)(1,яг#,) dy, (2-61)
(B2^t)(x1,x2) = ^yy‘tf(y)^ Xi - У1)(х2 - y2) IV dy’ (2.62)
(В^)(х1,х2) = ^уу t*(y) 1-1/ l/(x2 — y2)2' Я Я3 dy, (2.63)
(B^xx.x,) = IIp\y)^^dy, (2.64)
(Bj'ftfXx,.!,) - dy' (2.65)
(B^x.,x2) = Ilfty^^dy, (2.66)
- 2jr/i IIMRdy, Mg (2.67)
где обозначено R = y/(xi - yi)2 + (xt - у2)2.
В предположении, что штампы расположены относительно далеко
друг от друга (т. е. при малых значениях параметра е), построим при-
ближенное решение рассматриваемой контактной задачи, пригодное для
случая большого числа штампов. Выделим какой нибудь штамп, зафик-
сировав номер j, и перепишем уравнение (2.58) в виде
(Ве,р’)(х1,х2) = v(x1,x2,0) - 52(B£V)(zi,*2). (2.68)
В интегралах справа в уравнении (2.68) осуществим замену переменной
интегрирования по формуле
yi = xki+ erf (i = 1,2), (2.69)
2.2. Асимптотические модели упругого дискретного контакта
149
где (771,772) € w* В свою очередь, в области введем растянутые коор-
динаты (£j,£2) следующим образом:
Xi = xj+ (г = 1,2). (2.70)
Подставим выражения (2.69) и (2.70) в (2.59)-(2.67). Имеем:
R = [Сп - У1)2 + (х2 - у2)2]1/2 =
2г
= 1 — — [с;*(£1 — r]k) + Sjk(£2 ~ ’Уг)] +
ajk
2 'j
%* J
Здесь использованы обозначения
(2.71)
с,к = cosyjk = (4 - a^i), Sjk = sin7;* = (x% - a?2). (2.72)
При учете соотношения (2.71) нетрудно проверить справедливость
следующих асимптотических формул
Й = ^(1+ОЫ). (ri~T~"i>=^^‘ + 0(e))'
<^ = _L((,1+0(£)), fe^) = J.(S;i + 0(£)).
Используя данные соотношения, упростим уравнение (2.68), отбра-
сывая в подынтегральных выражениях в формулах (2.59)-(2.67) и в
правых частях равенств (2.58) величины более высокого порядка ма-
лости по сравнению с единицей. В результате приходим к следующей
системе интегральных уравнений (j = 1,2, ..., N):
+ В&2 + В&) (Тьт2) = 5,-^4-
" 77 Е 7" {[С1 - + Ftk + - —r-—CjkF2k } , (2.73)
k±j aik I 4 J
(®2i^i + B2&2 + =
~~ E 7" [vcjks]kFfk + [(1 - !/) + i/s2*] F? - , (2.74)
k^ a>k 1 4 J
150
2. Задачи упругого дискретного контакта
Щ + В'&) (хъ х2) = 63 + /М - /32х{ -
1 v 1 f (1 - 2iz) 1-2рп (1-^1
(2-75)
Система уравнений (2.73)-(2.75) отвечает задаче о поступательном
вдавливании в упругое полупространство сцепленного с ним кругового
штампа В правые части уравнений (2.73)-(2.75) входят неизвестные
величины контактных усилий, действующих на штамп,
F,ek = I/ tk(y) dy (г = 1,2), F‘k = Hpk(y) dy.
Обозначим через cfJ = c^ и cy* поступательные емкости кругового
штампа ш3е. Тогда для определения контактных усилий имеем следую-
щую систему линейных алгебраических уравнений (j = 1,2, ..., N):
-^Fi + 77 Ет~ (К1 - 'i + F‘ + =
ДС1 " IcM I 4 J
= 51-^, (2.76)
+ — E 7- (vc’kSikFt + [(1 - v) + vs2k] Fk - l-^sjkFk] =
pc2 dik ( 4 -*
= <52 + /?з4 (2-77)
(1 ~ W
4
c]kFk +
+ —
1 — 2p . 1 — v .1
-^-^2 +— =
— <53 + /31 ^2 — /32х{. (2.78)
В случае, когда вместо характеристик перемещения обоймы, в кото-
рую впресованы штампы, известен главный момент и главный вектор,
действующих на нее внешних сил, к системе (2.76)- (2.78) следует при-
соединить шесть уравнений статического равновесия обоймы, служащих
для определения ее перемещений <51,<52,<5з и перекосов В\,В2,р3.
2.3. Асимптотические модели дискретного контакта с ЛДО
151
2.3. Асимптотические модели
дискретного контакта с ЛДО
2.3.1. Асимптотическая модель одностороннего
контакта системы цилиндрических штампов
с квазиклассическим основанием
Рассмотрим задачу о давлении без трения на границу линейно-дефор-
мируемого основания системы жестко соединенных штампов с плоскими
основаниями в предположении, что штампы удалены друг от друга. Бу-
дем считать, что штамп с номером j (j = 1,2, ..., N) занимает в плане
область ш3, ограниченную окружностью
(xi - х{)2 + (х2 - х3^2 = (а2)2. (3.1)
Здесь (rj, Х2) — координаты центра штампа (точка Р3), а3. — радиус
основания штампа. Наименьшее из всевозможных расстояний djk между
различными точками Р3 и Рк обозначим через d и положим
a3 = sAjt (3.2)
где е — малый положительный параметр, ..., — величины, не
зависящие от параметра е и не превосходящие d/2. Таким образом, при
малых значениях параметра е расстояния между штампами будут ве-
лики в сравнении с их диаметрами.
Предполагается, что штампы жестко соединены (вставлены в неде-
формируемую обойму), тем самым перемещение системы штампов опре-
деляют следующие величины: <5о — осадка системы штампов (вертикаль-
ное перемещение точек обоймы, проецируемых в начало координат), /31
и /32 — углы поворота обоймы относительно горизонтальных осей Ох\
и Ох2. Горизонтальное смещение не принимается в расчет, поскольку
трение между контактирующими поверхностями отсутствует.
Обозначим через К(х\ — у\,х2 — у2) осадку поверхности упругого
основания в точке (х\,х2) при действии на его границу в точке (yi,y2)
единичной сосредоточенной силы, направленной вглубь упругого осно-
вания. В случае квазиклассического упругого основания (упругое полу-
пространство с модулем упругости, изменяющимся по закону Е(х2) =
Етх™ (0 < т < 1), и постоянным коэффициентом Пуассона р)
К{х. -У1,х2- у2) = ero[((u - У1)2 + (х2 - у2)2]-(1+т)/2, (3.3)
где обозначено
Г) — ~ Р )СтГ (2 2т) : 7т 7Г
т ~ 2^(1 + т)ЕтГ (1 + im) 2 ’
152
2. Задачи упругого дискретного контакта
7m = \/1 + m - m(l + m)iz(l - i/)-1,
= Г (|(m + 7m + 3)) Г (|(m -ут + 3))
Сщ - 2-"-17гГ(тп + 2)
Пусть pi(xi,x2) — плотность распределения контактных давлений
под штампом Согласно предположению об одностороннем контакте
должно выполняться условие
p’(^l>^2)>o, (Х1,Х2)бо4 (j = 1, (3.4)
При этом, если точка подошвы штампа с координатами (xi,x2)
контактирует с поверхностью упругого основания, то
pi(xi,x2) > 0 => Е(®.*Р*)(Т1,Т2) = б0 ~ 02X1 + Дт2. (3.5)
*=1
Если же штамп в точке (xi, х2) не давит на упругое основание, то
р’(х1,х2) = 0 => ^2(B*p*)(xi,x2) > б0 -02X1 + 01Х2. (3.6)
k=i
Здесь В* — интегральный оператор, действующий по формуле
(В*р*)(хьх2) = УУ K(xi - У1,Х2 - у2)р\у1,У2)6у1<1у2-
Соотношения (3.4) - (3.6) составляют задачу для определения плот-
ностей контактных давлений рИ(х1,х2), ,pN(xi,x2) по заданным ха-
рактеристикам перемещения системы штампов бо, 01 и 02.
В предположении, что штампы расположены относительно далеко
друг от друга, построим приближенное решение рассматриваемой за-
дачи, обладающее асимптотической точностью (точность аппроксима-
ции повышается при е -» 0). Именно, сведем задачу (3.4)-(3.6) к более
простой результирующей задаче квадратичного программирования для
(приближенного) определения результирующих контактных давлений
Q1 = j'j'Pi(.yi,y2)dyidy2 (j = 1,2, (3.7)
Зафиксируем номер j, выделяя тем самым какой-нибудь штамп, и
перепишем уравнение (3.5) в виде
(В^)(Х1,Х2) = бо - 02X1 +01X2 - £(В£У)(Х1,Х2). (3.8)
2.3. Асимптотические модели дискретного контакта с ЛДО
153
Осуществим в интегралах в правой части уравнения (3.8) замену пере-
менных интегрирования по формуле
yt = х1^ + £T)i (г = 1,2) (3.9)
вследствие чего из уравнения (3.1) границы области ввиду норми-
ровки (3.2) устраняется параметр £. Таким образом, получаем
(B*P*)(ti,t2) = УУ А'(х-х* - ET))pk(xk+ £Т))Аг)Дт)2. (3.10)
Здесь и далее для сокращения записи используются обозначения х =
(Т1,Т2), у = (1/1,I/г) и х-у = (Т! - yi,x2 - у2).
В свою очередь, когда (ti,t2) 6 выполняется соотношение
Xi = х$’ + О (cd) (г = 1,2). (3-11)
Вместе с этим для к / j и (тд, r)2) G справедливо соотношение
K(x-xk -£т>) = tf(x'-x*)[l + O(s)] (3.12)
и в частности (см. формулу (3.3))
[(*! - 4 - £т)2 + (т2 - хк2 - ^2)2] "(m+1)/2 = $т+1)[1 + О(е)],
где djt — расстояние между центрами площадок ш3. и
Теперь, используя соотношение (3.12), упростим уравнение (3.8), от-
брасывая в подынтегральном выражении (3.10) величины более высо-
кого порядка малости по сравнению с единицей. Кроме того, при учете
соотношения (3.11) выражение 6о — 02xi + flix2 заменим его значением
в точке В результате, вспоминая обозначение (3.7), находим
(В3р>) (ть х2) = <50 - fax{ + - £ KjkQh (3.13)
Ml
где введено обозначение
Kjk = K(xi - хк, х2 - т*). (3-14)
Очевидно, что правая часть уравнения (3.13) представляет собой по-
стоянную функцию при (ti,t2) 6 и3, т. е. уравнение (3.13) отвечает за-
даче о поступательном (без перекосов) вдавливании в упругое полупро-
странство штампа с плоской подошвой. Обозначим через Kj соответству-
ющий коэффициент контактной жесткости упругого основания (коэф-
фициент пропорциональности между перемещением штампа и действу-
ющей на него силой). В случае квазиклассического основания, согласно
результатам В. И. Моссаковского и Н. А. Ростовцева, имеем:
к _ 21~т(1 + т)Дт(а^)1+тГ(1 + m) С08(ттг/2)
Кз 7т(1 - ^2)ст sin(7m7r/2)r (| + |т) Г (| + |т)
154
2. Задачи упругого дискретного контакта
Здесь и далее зависимость величины Kj от параметра £ не указывается.
Обратимся теперь к исходной задаче (3.4) - (3.6) и преобразуем ее с
учетом соотношения (3.13). Из получившейся системы соотношений сде-
лаем ряд выводов относительно сил Qi, ..., <Эдг, действующих на штам-
пы. Так, согласно (3.4) должны выполняться условия
<?>>0 (j = l, (3.16)
Если правая часть уравнения (3.13) положительна, то на основании
соотношений (3.5) и (3.13) заключаем, что
Qj > 0 => {Qj + KjkQk = So — (3-17)
В противном случае (штамп не давит на поверхность упругого осно-
вания) согласно соотношению (3.6) будем иметь:
Q, = 0 => ^2 KikQk > So- /32х{ + (3.18)
Соотношения (3.16)-(3.18), коэффициенты в которых вычисляются
по формулам (3.3), (3.14) и (3.15), составляют искомую задачу относи-
тельно контактных усилий Qj, ..., Q^.
Нетрудно видеть, что результирующая задача (3.16) - (3.18) сохраня-
ет свой вид и для системы удаленных друг от друга штампов некруговой
формы (при условии совпадения точки Р7 с центром давления фигуры
о>3). Коэффициент контактной жесткости Kj является интегральной ха-
рактеристикой области (Предположение, что область иРс ограничена
окружностью, было сделано лишь для простоты изложения и с целью
апелляции к конкретной формуле (3.15).) Заметим, что поскольку ко-
эффициенты Kjt положительны, равенство Qj заведомо выполняется в
тех точках PJ, где отрицательна правая часть неравенства (3.18).
2.3.2. Вариационная формулировка задачи
одностороннего дискретного контакта
Пусть С — УхУ-матрица с элементами Cjj = к~* и Cjt = Kjk при к / у,
6 — вектор-столбец с компонентами 8j = <5q — /?2^i + Ввиду зави-
симости (3.15) для достаточно малых значений параметра £, матрица С
будет положительно определенной.
Следуя общей схеме вывода вариационных неравенств, соберем фор-
мулы (3.16)-(3.18) в единую задачу для определения контактных уси-
лий Qi, ..., Qn. Умножим равенство (3.17) и неравенство (3.18) на про-
извольное число S7 (j = 1,2, ..., N). Просуммировав полученные соот-
ношения, получим
(CQ,S) > (<5,S).
(3.19)
2.3. Асимптотические модели дискретного контакта с ЛДО
155
Здесь скобками (,) обозначается скалярное произведение в TV-мерном
евклидовом векторном пространстве; S — вектор-столбец с компонента-
ми S\ ...,SN.
Повторяя процедуру с вектором S = Q, приходим к равенству
(CQ,Q) = (<5,Q>- (3.20)
Наконец, умножая равенство (3.20) на —1 и складывая -с неравенством
(3.19), выводим
(CQ, S - Q) > (<5, S - Q) VS>0. (3.21)
Итак, полученная асимптотическая модель одностороннего дискрет-
ного контакта с линейно-деформируемым основанием сведена к вариа-
ционному неравенству (3.21), которое формулируется как задача отыс-
кания вектора Q > 0, удовлетворяющего неравенству (3.21) при любом
векторе S с неотрицательными компонентами.
В свою очередь, вариационное неравенство (3.21) эквивалентно за-
даче минимизации квадратичного функционала190)
min|j(CS,S)-(J,S)J VS>0. (3.22)
Если бы заранее было известно, в каких точках реализуется контакт,
то определение контактных усилий свелось бы к решению системы ли-
нейных алгебраических уравнений, составляемой уравнениями (3.17).
Потому, в принципе, задача (3.16)-(3.18) может быть решена перебо-
ром различных вариантов множества точек контакта.
Для решения задач одностороннего дискретного контакта был пред-
ложен итерационный метод191). Отметим, что сведение результирующей
задачи (3.16)-(3.18) к задаче квадратичного программирования (3.22)
позволяет привлечь для ее решения численные алгоритмы192).
19°)Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья. Введение в вариационные неравенства
и их приложения. М., 1983. (См. § 1.4.)
191 > В.М. Фридман, В. С. Чери и на. Решение задачи о контакте упругих тел
итерационным методом // Инженерн. журн. Мех. тверд, тела, 1967, № 1. С. 116-120.
1921 В.Т. Поляк. Введение в оптимизацию. М., 1983.
156
2. Задачи упругого дискретного контакта
2.3.3. Асимптотическая модель
одностороннего контакта системы штампов
в форме эллиптических параболоидов
с квазиклассическим основанием
Пусть в линейно-деформируемое основание вдавливается система жест-
ко соединенных штампов в форме эллиптических параболоидов
хз = -Ф^(х1,х2); ^(^i,x2) = 4£[(zi - х{)2 + (х2 - х^)2]Л/2.
Тогда плотности контактных давлений р1(х1,х2), pN(xi,x2) опреде-
ляются из системы соотношений
pJ’(xi,T2)>0 => ^J(BEpk) (xltx2) = 5j - Ф^(хьх2), (2.23)
fc=i
pi(x1,x2) = 0 => J2(B*pfc)(xi,x2) > Sj (2.24)
fc=i
P’(ti,x2)>0, (xi,x2)EuPe (j = l, (2.25)
Здесь <jJ]e — область, наверняка охватывающая возможную площадку
контакта под штампом с номером j. В качестве области назначим
круговую область, где оказывается положительной правая часть урав-
нения (2.23). При этом радиус площадки ьРе равен (Sj/A^* и оказыва-
ется порядка г, если положить А{ = е~хА{.
Чтобы построить асимптотическую модель одностороннего контак-
та в рассматриваемом случае, как обычно в соотношения (2.23) и (2.24)
вводим растянутые координаты (3.9). Принимая во внимание соотно-
шения (3.11) и (3.12), уравнение (2.23) и неравенство (2.24) заменяем
следующими приближенными соотношениями:
Pi(xi,x2) > 0 => (В^^хьхг) = 5; - Ф^(Х1,Х2)(2.26)
Pi(x1,x2)=o => (B^)(xbx2) > 6j-Ф^(Х1,Х2)-^KjkQb. (2.27)
Точное решение задачи (2.25)-(2.27) нетрудно получить в случае
квазиклассического основания, воспользовавшись известными резуль-
татами Н. А. Ростовцева и Г. Я. Попова.
Так, если величина 5j — KjkQk положительна, то радиус пло-
щадки контакта, сила Qj, действующая на штамп, вычисляются по фор-
мулам
Г(1(тп+1 + А)) \1/Л (irZyW1/л
Г(ННГ(1 + ^)/ v Ж /
(2.28)
2.4. Равновесие твердого тела на упругом основании без трения 157
А+1+m
Л-4*И~тп ( \ А
Qj = Mj л , (2-29)
\ /
\ ТГ'^тп /
Если же величина 6j — KjkQk отрицательна, то штамп с номером
j не контактирует с поверхностью упругого основания. Таким образом,
для определения контактных усилий Qi, ... , получаем
А
Qj > 0 => M~lQ>+l+m + £ KjkQk = 6jt (2.30)
kjtj
Qj=o=^ ^KikQk>^ (2.31)
k*j
Наконец, согласно условию (2.25) контактные усилия не могут прини-
мать отрицательных значений, т. е.
Q, > 0 (j = l, ...,N). (2.32)
Соотношения (2.30) - (2.32) составляют асимптотическую модель од-
ностороннего дискретного контакта с квазиклассическим упругим осно-
ванием. Построенное приближенное решение исходной задачи (2'.23)-
(2.25) оказывается пригодным, когда радиусы пятен контакта, расчи-
тываемые по формуле (2.28), оказываются малыми в сравнении с вели-
чиной d/2, где d — наименьшее расстояние между штампами.
2.4. Равновесие твердого тела, без трения
опирающегося на упругое основание
в нескольких точках
2.4.1. Условия совместности перемещений
Известно, что задача расчета равновесия твердого тела, лежащего на
гладкой горизонтальной поверхности, становится статически неопреде-
ленной, когда число точек опоры превышает три. Поэтому, чтобы найти
распределение опорных реакций, приходится прибегать к дополнитель-
ному предположению об упругости основания. Простейшая математи-
158
2. Задачи упругого дискретного контакта
веская модель (см., в частности, книги193)) оперирует понятием так на-
зываемого клавишного основания (винклерового основания).
На основе найденных в предыдущих разделах решений контактных
задач можно получить уравнения совместности перемещений ( точек
твердого тела и границы упругого основания), учитывающие взаимо-
действие пятен контакта.
Пусть твердое тело опирается на гладкую (трение отсутствует) плос-
кую поверхность упругого основания в точках Р1, ..., PN. для опреде-
ленности будем считать, что тело прижимается к поверхности основа-
ния силой Q, действующей вдоль оси = rrj, х2 = х2- Тогда реакции
основания 7?1, ...,Rn должны удовлетворять следующим уравнениям
статического равновесия твердого тела:
N N N
^Rj = Q, ^x^Rj = x2Q, -’^tx{Rj =-x[Q. (4.1)
j=i j=i j=i
Моделируя упругое основание упругим полупространством х$ > 0, а
твердое тело системой твердых штампов, в предположении полного кон-
такта (загружены все точки опоры) согласно уравнению (2.42) находим
следующие уравнения совместимости перемещений:
c?1Rj + ^R^d7k 0 = 1,...,^. (4.2)
Здесь 5о и /31, /Зг — поступательное перемещение твердого тела и углы
поворота относительно горизонтальных координатных осей Oxi, 0x2', Cj
— поступательная емкость “точки” опоры, 19"1 = тг/?(1 — р2)-1.
В том случае, когда допускается отрыв поверхности твердого тела
от упругого основания, вместо уравнения (4.2) согласно (2.42)-(2.44)
получаем систему соотношений194)
Rj > 0 => cfRj + ^Rkd-k1 ^^(•So-^ + M), (4.3)
Rj = 0 => >^1(<50-/32л{ + /31^2), (4.4)
MJ
Rj>0 (j = l,...,N). (4.5)
IM) П. Аппель. Теоретическая механика. T. 1. Статика. Динамика точки. М., 1960.
(См. §112, разд. 4.) Т. Леви-Чивита, У. Амальди. Курс теоретической меха-
ники. Т. 1. Ч. 2. Кинематика. Принципы механики. Статика. М., 1952. (См. гл. 13,
упр. 26.)
194) И.И. Аргатов. Асимптотическое моделирование равновесия твердого тела,
опирающегося на плоскую поверхность упругого основания в нескольких точках //
Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 2002, № 1. С. 92-103.
2.4. Равновесие твердого тела на упругом основании без трения 159
В случае клавишного основания (точки опоры не оказывают влияния
друг на друга) соотношение (4.3) и (4.4) упрощаются так:
Rj > 0 => Rj = Kj(60 - /32з^ + Дя^), (4 6)
Rj = 0 => <50 - < 0- (4-7)
Здесь Kj = 1гЕ(1 — i/2)-1cj — коэффициент контактной жесткости упру-
гого основания. Разрешимость задачи (4.1), (4.5)-(4.7) и ее свойства
были исследованы в работе С. А. Назарова и одного из авторов195’.
Напомним, что пересечение Р замкнутых полуплоскостей, содержа-
щих все точки Р1, ..., PN, называется выпуклой оболочкой множества
точек Р1, ..., PN (см. рис. 14).
Сформулируем достаточные условия существования и единственнос-
ти решения результирующей задачи:
1) среди точек PJ, j = 1, .. .,N (N > 3) найдутся три, не лежащие
на одной прямой;
2) центральная ось системы сил, приложенных к телу, пересекает
многоугольник Р во внутренней точке.
При этом, если точка (я},^) не принадлежит многоугольнику Р, то
решений задачи (4.1), (4.5)-(4.7) не существует.
Количество опор и их взаимное расположение, разумеется, влияют
на свойства решений результирующей задачи, причем удобной характе-
ристикой оказывается ранг (3 х А)-матрицы X со столбцами (1, т], я^)т,
где Т — знак транспонирования. Одна опора соответствует равенству
rank А" = 1. Для нескольких точек, лежащих на одной прямой, rank А =
2. Если же rank А? = 3, то, во-первых, N > 3 и, во-вторых, найдутся по
крайней мере три точки, не попадающие на одну прямую. В случаях
rank А — 1,2 и (xf,^) € "Р или rank А = 3 и точка (xj,^) лежит на
1951 И.И. Аргатов, С. А. Назаров. Асимптотическое решение задачи об упру-
гом теле, лежащем на нескольких малых опорах // Прикл. матем. и мех., 1994. Т. 58.
Вып. 2. С. 110-118.
160
2. Задачи упругого дискретного контакта
границе многоугольника Р результирующая задача имеет бесконечно
много решений. В нетривиальном случае гапкХ = 3 и — внут-
ренняя точка многоугольника Р.
2.4.2. Условия полного контакта
Для случая клавишного основания выпишем условия полного контакта,
т. е. соотношения, при выполнении которых нагрузка, действующая на
тело, заведомо перераспределяется на все точки опоры.
Снабдим точки весами Kj и введем обозначения
N N N
M = Si^^KjX^, S2 = '^/Kjx{-,
j=l j=l j=l
N N N
='^iKAX2)2, I22 = '^/Kj(xj1)2, 712 = '^/KjXj1X32
j=l J=1
для общей массы системы точек Р1, ..., PN, статических моментов и
моментов инерции относительно координатных осей. Тогда три урав-
нения статики (4.1) и N уравнений совместности перемещений (4.6)
сводятся к системе трех линейных уравнений относительно параметров
осадки твердого тела:
м s2 Si ( \ ( Q
s2 I22 In -fa = XiQ
Si In In \ fa J
(3-8)
Перейдем к системе координат, связанной с главными осями инерции
системы “материальных” точек Р1, ..., PN. При условии, что контакти-
рование осуществляется по всем точкам, согласно (4.6) и (3.8), находим
1 + Al! + A^>o 0 = 1.
Здесь р и 12 —• главные моменты инерции.
Пусть все точки Р1, ..., PN лежат в замкнутой области
X2 х2
М~112 + M~lh
>k2.
Тогда, если ось действия равнодействующей приложенных к телу сил
пересекает плоскость опоры х2 = 0 внутри области, ограниченной эл-
липсом MI2}x2 + MI^xl = k~2, т. е.
« . (^)2 . 1
М~Ч2 M~lh к2 ’
то тело опирается на все точки Р1, ..., PN.
Глава 3
Задачи контакта
шероховатых упругих тел
3.1. Геометрические характеристики
реальной поверхности
3.1.1. Макроотклонения и волнистость
Поверхности большинства деталей машин формируются путем механи-
ческой обработки и никогда не бывают абсолютно гладкими. Сечение
поверхности детали плоскостью перпендикулярной к ней, называется
профилем поверхности. Идеальный профиль поверхности, задаваемый
чертежом детали, называется номинальным. Отклонения поверхности
детали от номинальной, возникающие в результате обработки, называ-
ются технологическими. В процессе эксплуатации детали формируют-
ся эксплуатационные отклонения. Ввиду различного происхождения и
разных методов измерения и оценки этих неровностей поверхности раз-
личают макроотклонения, волнистость и шероховатость.
Микроотклонениями называются нерегулярные отклонения поверх-
ности детали от номинальной. Например, поверхность цилиндрическо-
го вала может иметь такие макроотклонения, как конусность, выпук-
лость, вогнутость и т. п. Технологические макроотклонения появляют-
ся как следствие нарушения режима обработки, недостаточной точно-
сти станка, тепловых деформаций в системе станок—приспособление-
инструмент—деталь. Эксплутационные макроотклонения обычно обу-
словлены неравномерностью износа, возникающего в результате непра-
вильной установки деталей подвижного сопряжения, перегрузки в про-
цессе работы.
К макрогеометрии относят понятия, определяющие геометрическую
форму детали, а к микрогеометрии — степень шероховатости или глад-
162
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
кости поверхности детали, которые не определяются ни чертежными
размерами, ни допусками на эти размеры196).
Волнистостью называется регулярно повторяющиеся и близкие по
размерам неровности поверхности в форме возвышений и впадин. Вол-
нистость профиля поверхности описывается (усредненными характери-
стиками) шагом волны SB и высотой волны Нв
Шагом волны называется расстояние между вершинами соседних
неровностей. Высотой волны называют высоту вершины возвышенно-
сти относительно нижней точки впадины. Шаг волны Sb значительно
больше ее высоты Нв (обычно выполняется соотношение Sb > 40Яв)-
Параметры SB и Яв определяются на основании обработки волнограмм
поверхности, снятых с помощью щуповых приборов. Форма волн часто
близка к синусоиде.
Волнистость профиля поверхности может быть аппроксимирована
дугами окружностей. При этом (согласно условию Hb/Sb <£. 1) величи-
ны Sb, Нв и Rb связаны приближенной зависимостью
По волнограммам поверхности, снятым вдоль и поперек направле-
ния обработки, используя формулу (1.1), определяют радиусы кривизны
7?gPOA и 7?gon. В качестве радиуса кривизны волны Яв принимают среднее
геометрическое продольного и поперечного радиусов, т. е.
Яв = ^/ЯвР°АЛвоп- (1-2)
Радиус кривизны волн изменяется в пределах 10 -j-103 мм.
3.1.2. Шероховатость и субшероховатость
Нерегулярные микроотклонения поверхности с относительно малым ша-
гом (2 4- 800 мкм) и высотой (0,03 4- 400 мкм) называются шероховато-
стью поверхности. Часть профиля поверхности, расположенная между
двумя соседними впадинами называют микронеровностью.
При одном и том же виде обработки поверхности шероховатость все-
гда меньше волнистости. Чтобы различать их, при оценке шероховато-
сти используют профили поверхности определенной длины, называемой
базовой длиной. В качестве базовой длины I обычно берут величину
SB/2, где SB — шаг волны, определяемый по волнограмме поверхности.
Для наиболее распространенных классов шероховатости базовая длина
I изменяется в диапозоне 0,25 4- 0,8 мм.
196> Ш.М. Билик. Макрогеометрия деталей машин. М., 1965.
3.1. Характеристики шероховатой поверхности
163
Для оценки параметров шероховатости на профилограмме поверх-
ности проводится средняя линия так, чтобы в пределах базовой длины
среднее квадратичное отклонение профиля от этой линии было мини-
мальным. Часть микронеровности, расположенная выше средней линии,
называется выступом. Помимо средней линии проводятся также линия
выступов и линия впадин — прямые, проходящие соответственно че-
рез вершину самого высокого выступа и нижнюю точку самой глубокой
впадины параллельно средней линии профиля поверхности.
При решении контактных задач для шероховатых тел наибольшее
распространение получили следующие параметры шероховатости: мак-
симальная высота микронеровностей Rmux — расстояние между лини-
ей впадин и выступов; средний радиус кривизны выступов г — среднее
значение радиусов кривизны выступов, определяемое для пяти наиболее
высоких выступов в пределах базовой длины.
Субшероховатость (или шероховатость второго порядка) определя-
ется как неровности боковых сторон впадин и выступов шероховатости.
Субшероховатость в значительной мере зависит от структуры материа-
ла и его напряженного состояния и имеет характерные размеры вплоть
до атомных. В практических задачах ограничиваются учетом размеров
неровностей до 2 нм, что связано с сохранением этими образованиями
свойств сплошного твердого тела197).
Методы теории случайных функций для описания шероховатых по-
верхностей с целью выработки обоснованных методик определения ха-
рактеристик их микрогеометрии применялись в работах198) и др. Под-
ход к изучению контакта упругих шероховатых тел на основе вероят-
ностного описания контакта микронеровностей разработали Гринвуд и
Трипп199). Обстоятельный конструктивный обзор работ данного направ-
ления выполнили А. И. Свириденок и др.200).
Для описания шероховатой поверхности Арчард201) предложил так
называемую “многоэтажную” модель “сфера на сфере”, в которой на по-
197) А.Я. Григорьев, Н.К. Мышкин, О.В. Холодилов. Методы анализа
микрогеометрии поверхностей // Трение и износ, 1989. Т. 10, № 1. С. 138-155.
1981 А.П. Хусу, Ю.Р. Витенберг, В. А. Пальмов. Шероховатость поверхно-
стей. М., 1975. Я. А. Рудзит. Микрогеометрии и контактное взаимодействие по-
верхностей. Рига, 1975.
199) J. A. Green wood, J.H.Tripp. The Elastic Contact of Rough Spheres//TYans.
ASME. Ser. E. J. Appl. Meeh., 1967. V. 34, № 1. P. 153-159.
20°) А. И. Свириденок, С. А. Чижик, M. И. Петроковец. Механика дискрет-
ного фрикционного контакта. Минск, 1990.
201) J.F. Archard. Elastic deformation and the laws of friction // Proc. Roy. Soc.
Lond. Ser. A, 1957. V. 243. P. 190- 205. См. также: M. Ciavarella, G. Demelio.
Elastic multiscale contact between rough surfaces: Archard’s model revisited and
comparisons with modern fractal models // TYans. ASME. J. Appl. Meeh., 2001. V. 68.
P. 496-498.
164
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
лусферических шероховатостях одного уровня расположены (меньшего
размера) самоподобные шероховатости другого уровня.
В последние годы было показано, что шероховатость поверхностей
многих реальных тел обладает фрактальными свойствами202) и, в част-
ности, структура неровностей поверхности характеризуется самоподо-
бием. Это проявляется, например, в том, что при изменении масштаба
измерения шероховатой поверхности ее площадь не стремится к конеч-
ному пределу (как это должно быть для идеально гладкой поверхности),
а возрастает степенным образом.
Говорят, что субшероховатость определяет топографию поверхности
на молекулярном масштабном уровне. Современные технологии поз-
воляют получать рабочие поверхности со среднеквадратичной высо-
той неровностей меньшей, чем 10 нм. Своеобразие их контактирования
заключается в совместном влиянии не только физико-механических и
микротопографических, но и молекулярных свойств поверхности203).
3.1.3. Контурная площадь контакта
По причине волнистости и шероховатости поверхностей механический
контакт твердых тел дискретен и локализован на отдельных площад-
ках. Макрогеометрией соприкасающихся тел определяется номиналь-
ная площадь касания Аа. В случае контактирующих тел с криволиней-
ным очертанием поверхностей несогласованной формы для расчета но-
минальной площади контакта привлекаются решения контактных задач
теории упругости.
Площадь, на которой осуществляется контакт микронеровностей, об-
разующих шероховатость поверхностей, называется фактической пло-
щадью контакта АТ (ФПК). ФПК обычно составляет не более 0,01 -г
0,1% номинальной площади. При этом образующиеся в результате кон-
тактирования и деформации микровыступов пятна контакта имеют диа-
метр 3 -г 50 мкм. ФПК зависит как от геометрического очертания мик-
ронеровностей, так и от приходящейся на них нагрузки.
Вследствие волнистости контактирующих поверхностей пятна кон-
такта группируются в пределах площадок на вершинах волн, вступаю-
щих в контакт. Площадь, на которой осуществляется контакт волн, на-
зывают контурной площадью контакта Ас (КПК). Границы КПК уста-
2О2) A. Majumdar, В. Bhushan. Fractal model of elasto-plastic contact between
rough surfaces // TYans. ASME. J. TYibology, 1991. V.113, Л»1. P. 1-11. Русский пере-
вод: Маджумдар, Бхушан. Фрактальная модель упругопластического контак-
та шероховатых поверхностей // Современное машиностроение. Сер. Б, 1991, №6.
С. 11-23.
203) А.И. Свириденок, С. А. Чижик. Контактное взаимодействие гладких по-
верхностей // Трение и износ, 1992. Т. 13, № 1. С. 130-137.
3.1. Характеристики шероховатой поверхности
165
навливают, исходя из следующего критерия204). К контурной площади
контакта относят площадь, на которой реализуется контакт микроне-
ровностей, причем расстояние между пятнами контакта не превосходят
базовую длину, соответствующую данной поверхности. КПК зависит от
параметров волнистости контактирующих поверхностей и от нагрузки.
КПК обычно составляет 5 4-15% номинальной площади.
В случае, когда контактирующие тела ограничены криволинейными
поверхностями несогласованной формы и, как следствие этого, номи-
нальная площадь контакта невелика, можно пренебречь волнистостью
и считать КПК равной площади площадки, рассчитываемой согласно
формулам теории упругости для абсолютно гладких тел. При грубых
экспериментальных методах измерения площади контакта (например, с
помощью слоя тонкодисперсной краски) измеряется именно контурная
площадь контакта. КПК является фиктивной площадью и вводится как
промежуточное звено для перехода от номинальной площади контакта
Аа к фактической Аг. Это понятие было введено И. В. Крагельским и
Н. Б. Демкиным205).
3.1.4. Опорная кривая профиля
Важнейшей характеристикой микрогеометрии шероховатой поверхно-
сти является опорная кривая профиля206^, описывающая рост относи-
тельной площади сечения материала,
%=х (1-3)
в зависимости от относительного сближения
Здесь As — площадь сечения на данном уровне; Ас — контурная пло-
щадь контакта, для которой строится опорная кривая; h — максималь-
ная высота микронеровностей (в технической литературе используется
общепринятое обозначение 7?max); 6 — сближение, равное разности меж-
ду максимальной высотой микронеровности и высотой данного уровня.
При контактном взаимодействии шероховатых поверхностей в боль-
шинстве случаев в контакте участвуют только самые высокие выступы,
204) Н.Б. Демкин. Уточненный расчет контурной площади контакта // Вопросы
механики. Вып. XV. Тр. Калининск. политехи, ин-та. Калинин, 1972. С. 167-172.
205) И. В. Крагельский, Н.Б. Демкин. Определение фактической площади
касания // Трение и износ в машинах. Т. XIV. М., 1960. С. 37-62.
20®) Основы трибологии (трение, износ, смазка) / Э. Д. Браун, Н. А. Буше, И. А. Бу-
яновский и др. / Под ред. А. В. Чичинадзе. М., 1995.
166
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
составляющие верхнюю часть опорной поверхности. Поэтому при ис-
следовании контактных деформаций часто ограничиваются начальной
частью кривой опорной поверхности, которая с достаточной степенью
точности описывается, предложенной впервые Н. Б. Демкиным207), сте-
пенной зависимостью
Ъ = Ье\ (1.5)
где b и v — постоянные величины.
Подстановка в закон Демкина (1.5) выражений tjs и е согласно (1.3)
и (1.4) дает следующую зависимость площади сечения от сближения
А = (1.6)
Приработанные поверхности характеризуются равновесной шерохо-
ватостью, которая зависит от свойств материалов трущихся пар и усло-
вий приработки. При этом параметры опорной кривой профиля прини-
мают достаточно устойчивые значения Ъ » 2 и г/ я 2 и зависимость (1.5)
является параболической.
Опорная кривая (1.5), построенная в относительных величинах как
зависимость относительной площади сечения материала (1.3) от отно-
сительного сближения (1.4), характеризует вероятность расположения
материала выше некоторого заданного уровня и представляет собой ин-
тегральную кривую распределения материала по высоте шероховатого
слоя. Н. Б. Демкиным208) были предложены более удобные формулы для
выражения опорной кривой и величин, которые ее характеризуют,
Здесь вместо максимальной высоты неровностей Ятах в качестве ха-
рактеристики шероховатости используется высота сглаживания Rp,
равная максимальному расстоянию от вершины выступа до средней ли-
нии в пределах базовой длины; tm = Ат/Ас — относительная площадь
сечения выступов на уровне средней плоскости к контурной площади
(обычно коэффициент tm имеет значение близкое к 0,5). Для парамет-
ров b, tm и v получены расчетные формулы.
207) Н. Б. Демкин. Упругое контактирование шероховатых поверхностей // Изв.
вузов. Машиностроение, 1959, № 6. С. 44-51.
208) Н. Б. Демкин. Теория контакта реальных поверхностей и трибология // Тре-
ние и износ, 1995. Т. 16, № 6. С. 1003-1025.
3.1. Характеристики шероховатой поверхности
167
3.1.5. Связь кривой опорной поверхности
с распределением выступов по высоте
Опорная кривая профиля отражает одновременно форму микронеров-
ностей и их распределение по высоте.
Чтобы охарактеризовать распределение вершин выступов по высоте,
вводят безразмерную функцию
\ (1-7)
пс
равную отношению числа “контактирующих” выступов пт (точнее гово-
ря, число всех вершин, расстояние которых до самой высокой вершины
меньше е) к числу всех выступов на контурной площади пс.
Обычно в расчетах используют сферическую модель микронеровно-
стей поверхности. По этой модели все микронеровности представляют в
форме весьма пологих шаровых сегментов радиусом г, расположенных
в пределах контурной площади контакта с постоянной плотностью.
Будем считать, что число выступов пс столь велико, что функцию
</э(е) можно считать непрерывной. Обозначим через х переменное зна-
чение относительного сближения е. Тогда число выступов, вершины ко-
торых лежат в слое толщиной h d£ расположенном на расстоянии от
вершины самого высокого выступа, согласно (1.7) определяется так:
dthf ~~ nc .
При этом плоскость, параллельная базовой линии и отстоящая от вер-
шины наивысшего выступа на относительном расстоянии е, рассекает
единичный шаровой сегмент, вершина которого расположена на уровне
£ < е, по кругу площади
ДА4£) = 27гг/г(Е-£),
а площадь, образуемая всеми выступами на контурной площади, вер-
шины которых лежат в выделенном элементарном слое,
dAs(£) = 2кг h(e - £)ncd<p(£).
Таким образом, площадь сечения всех шаровых сегментов выража-
ется интегралом
е
А8 = 2ivrhnc У(е - £) dip(£). (1.8)
о
168
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
Интегрируя по частям в (1.8) при учете значения </?(0) = 0, выводим
для относительной площади сечения r)s = As/Ac представление
£
r)s = a У <р(£) <%. (1.9)
о
Здесь a — безразмерный параметр, определяемый формулой
Значит, функция характеризующая распределение вершин вы-
ступов по высоте, пропорциональна производной функции т]$(е) опорной
кривой поверхности, т. е.
<р(е) = (Ы1)
a de
Поэтому, в рамках сферической модели согласно (1.5) находим
^) - -е"-1. (1.12)
a
Как видно из (1.12), число выступов в зависимости от сближения растет
быстрее, чем площадь сечения туДе).
Таким образом, при сделанных предположениях распределение вер-
шин выступов задается законом
р(е) = Сех. (1.13)
Сопоставляя (1.13) с (1.12), при учете (1.10) получаем
X = i/-1,
АсуЬ
2тгг hnc
(1-14)
Уравнение (1.13) при надлежащем выборе параметров Сиу хорошо
описывает начальную часть кривых распределения выступов209'.
209> Н.Б. Демкин. Фактическая площадь контакта. М., 1962.
3.2. Теория Крагельского—Демкина
169
3.2. Теория Крагельского — Демкина
упругого контакта
шероховатой поверхности с гладкой
3.2.1. Зависимость фактической площади контакта
от величины сближения поверхностей
Рассмотрим контакт двух твердых тел, одно из которых будем считать
абсолютно твердым и шероховатым. Относительно другого контакти-
рующего тела предположим, что оно имеет идеально ровную плоскую
поверхность и упруго деформируется под нагрузкой. Под ненасыщен-
ным контактом понимают210' такой вид взаимодействия, при котором
число контактирующих микронеровностей пг значительно меньше чис-
ла микронеровностей пс на контурной площади касания Ас.
При внедрении жесткого выступа на величину <5, фактическая пло-
щадь касания ДЛГ; отличается от площади ДЛЭТ- его сечения, располо-
женного на расстоянии <5, от его вершины. Величина этого различия
зависит от того, какие деформации (упругие, упруго-пластические или
пластические) возникают в окрестности пятна контакта.
Так, для шарового сегмента радиуса г площадь сечения
ДЛ„ = 2тгг <5,.
В то же время, в случае упругого контакта площадь пятна контакта,
рассчитанная по теории Герца, оказывается вдвое меньше, т. е.
ДЛГ; = Trr<5j. (2.1)
Фактическая площадь контакта Лг, отвечающая некоторому отно-
сительному сближению, будет равна сумме площадей пятен контакта
отдельных микронеровностей. Пренебрегая взаимным влиянием, кото-
рое оказывают пятна контакта друг на друга, согласно (2.1) получаем,
что ФПК будет пропорциональна площади сечения выступов As, т. е.
Аг = ±А,. (2.2)
Таким образом, относительная фактическая площадь контакта
2101 Н. М. Михив. Контакт волнистых и шероховатых тел // Справочник по три-
ботехнике / Под ред. М. Хебды, А. В. Чичинадзе. Т. 1. Теоретические основы. М.,
1989. С. 106-116.
170
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
на основании соотношений (2.2), (1.3) и закона Демкина (1.5) выража-
ется через функцию tis(e) опорной кривой профиля в виде
Tlr = (2.4)
где коэффициент 1/2 учитывает отличие площади сечения выступов при
некотором сближении от площади контакта при том же сближении.
С другой стороны, известно, что после того, как выбрана форма вы-
ступа, микрогеометрия поверхности может быть определена одной из
двух функций т)з(.е) или ^(е), поскольку эти две функции связаны соот-
ношением (1.11). Поэтому, на основании (1.9) и (2.4) выводим
£
= f / dx' (2-5)
о
где функция <р(е), характеризующая распределение вершин выступов
по высоте, определена формулами (1.13), (1-14).
3.2.2. Зависимость сжимающей нагрузки
от сближения контактирующих тел
Пусть абсолютно жесткое шероховатое тело под действием силы вели-
чиной N вдавливается в идеально гладкую поверхность упругого тела.
Приложенная нагрузка N перераспределяется между контактирующи-
ми микронеровностями, расположенных в пределах контурной площади
Ас. Поэтому, в предположении большого числа пятен контакта пг урав-
нение равновесия можно записать в форме интеграла211)
Пг
N = I Nidnr, (2.6)
о
где Ni — сила, приходящаяся на единичную микронеровность.
Обозначим через 6 результирующее перемещение щероховатого тела
и определим его относительное (безразмерное) перемещение
6
£~ h’
где h — максимальная высота микронеровности.
В предположении, что взаимодействие пятен контакта отсутствует,
согласно (1.7) получаем
пг = пс<р(е\
211) И.В. Крагельский. Трение и износ. М., 1962.
3.2. Теория Крагельского—Демкина
171
Обозначим через £ переменную относительную величину уровня рас-
положения вершин выступов. Тогда число выступов, вершины которых
лежат в слое между плоскостями, отстоящими от вершины наивысшего
выступа на расстоянии h£ и h(£ + dg),
dnr = nctp'(£)d£.
На каждый выступ, расположенный в выделенном'Элеметарном слое,
действует сила
Ni = N(£-^, (2.7)
причем в условиях упругого деформирования зависимость (2.7) одно-
значная. В соответствии с теорией Герца
N(e - £) = J©" W/2(e - £)3/2- (2-8)
О
Здесь 0 = (1 — р2)/Е — упругая постоянная, Е — модуль Юнга, р —
коэффициент Пуассона, характеризующие механические свойства мате-
риала деформируемого тела.
Значит, суммарная нагрузка, действующая на все выступы, вершины
которых расположены в элементарном слое относительной толщины (Д
на уровне £, будет
dN = ncN (£ — %) <р'Д) <Д.
Произведя теперь суммирование по всем элементарным слоям из
уравнения (2.6) выводим зависимость между величиной относительного
сближения е и приложенной нагрузкой N в виде
е
N = пс J" N(£-W(№. (2.9)
о
Так как ввиду (1.13) ip'(£) = Сх£*-1> подстановка в (2.9) выражения
(2.8) для случая упругого контакта дает
I
N = ^Спсх ^/г3/20-1£х+2 У"(1 - «)3/2^-1 dt. (2.10)
о
Напомним, что по теореме Чебышева неопределенный интеграл от би-
номиального дифференциала (1 — t)3/2tx-1 выражается в конечном виде
при помощи элементарных функций только в случае, когда оказывает-
ся целым одно из чисел % — 1 или х + |- В то же время, определенный
172
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
интеграл, фигурирующий в (2.10), выражается через гамма-функцию
так:
о
Зд/тг Г(х)
4 г(! + х)’
Следовательно, уравнение (2.10) приобретает вид
N = Cnc^h^Q-x
г(1 + х)
(2.11)
Здесь С и х — параметры функции <р(е), характеризующей распределе-
ние вершин выступов по высоте.
Принимая во внимание соотношение (1.14), после некоторых преоб-
разований (с применением свойства гамма-функции Г(г + 1) = гГ(г))
уравнение (2.11) переписывается следующим образом:
N=^L
Здесь b и v — параметры закона Демкина для опорной кривой профиля
%(£), характеризующей распределение материала в шероховатом слое;
коэффициент к„ вычисляется по формуле
kv
Г(1 + ^)
Г (! + -)’
3.2.3. Зависимость сближения
между шероховатыми поверхностями
от контурного давления
Контурным давлением называется отношение
N
Ас
(2-12)
нагрузки, сдавливающей контактирующие тела, к величине контурной
площади контакта.
Выражая из уравнения (2.10) относительное сближение, при учете
обозначения (2.12) окончательно получаем
£ —
2
2^/irQpc / Г \ !/21 2"+1
k„b \hJ )
(2.13)
3.2. Теория Крагельского —Демкина.
173
Величины, входящие в правую часть формулы (2.13) могут быть
классифицированы следующим образом212):
— Внешняя нагрузка определяется контурным давлением рс.
Сближение пропорционально контурному давлению в степени 2/(2р+1).
— Упругие свойства материала характеризуются парамет-
ром 0 = (1 — р?}/Е. Поскольку коэффициент Пуассона д меняется
незначительно для широкого класса материалов (для стали д га 0,3),
жесткость контакта в основном зависит от модуля упругости Е. Сбли-
жение обратно пропорционально модулю упругости в степени 2/(2р+1).
— Микрогеометрия поверхности проявляется посредством
параметров опорной кривой профиля b и и. Если, следуя от относитель-
ной величины сближения е = б/h перейти к абсолютной <5, то показатели
микрогеометрии можно объединить в комплекс \/rhv/(k„b}.
Известно, что чем выше класс шероховатости сопрягаемых поверхно-
стей, т. е. меньше /г, тем жестче стык, т. е. меньше величина сближения
<5. Остальные характеристики, входящие в выделенный комплекс, зави-
сят от технологии обработки поверхностей, которая наряду с классом
шероховатости также оказывает большое влияние на жесткость стыка.
Так, в зависимости от вида обработки (для одного и того же класа ше-
роховатости) радиус закругления вершин микронеровностей может ме-
няться в пределах двух порядков, что приводит к изменению величины
внедрения примерно в 10 раз.
3.2.4. Зависимость фактической площади контакта
от контурного давления
Ранее (см. 3.2.1, формулы (2.3) и (2.4)) для относительной величины
ФПК Г]г = Ат/Ас в пренебрежении взаимодействием пятен контакта на
основании степенного закона Демкина (1.5) была установлена формула
77г = (2.14)
Подставляя в (2.14) выражение относительного сближения е, определя-
емое зависимостью (2.13), получаем
’’ = 2&;р-в
2|/
1/2') 2W4
(2-15)
Нетрудно видеть, что ФПК пропорциональна контурному давлению
Рс и обратно пропорциональна модулю упругости в степени 2г//(2р+ 1),
212* И. В. К pare л ьскнй, М.Н. Добычнн, В. С. К омбалов. Основы расчетов
на тренне н износ. М., 1977.
174
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
близкой к единице. При увеличении модуля упругости ФПК уменьша-
ется более интенсивно, нежели сближение между поверхностями кон-
тактирующих тел, поскольку v > 1.
В формуле (2.15) характеристики микрогеометрии поверхности объ-
единены безразмерным параметром213'
Кг = тг,—•
В. С- Комбаловым214' установлено, что для наиболее распространенных
видов обработки поверхности величина параметра Кг меняется при-
мерно на пять порядков (с увеличением класса чистоты величина Кг
уменьшается). Следовательно, размеры фактической площади контакта
должны чутко реагировать на изменение микрогеометрии поверхностей
сопрягаемых твердых тел.
Безразмерный критерий Крагельского Кг, равный отношению мак-
симальной высоты микронеровностей h к произведению радиуса закруг-
ления неровностей г на безразмерный параметр bx!v, учитывающий рас-
пределение неровностей по высоте в соответствии с законом Демкина,
представляет собой комплексную оценку шероховатости поверхности,
включающую не только геометрические, но и статистические характе-
ристики распределения выступов по высоте.
3.2.5. Расчет основных характеристик контакта
шероховатых поверхностей
При расчетах на трение и износ используются ряд характеристик фак-
тических пятен контакта и структуры фактической площади контакта,
например, такие, как среднее фактическое давление на пятне контак-
та рг, средняя площадь ДЛГ и диаметр d пятна контакта, плотность
расположения пятен контакта 7.
Среднее давление на пятне контакта рг определяется как отноше-
ние приложенной нормальной нагрузки N к величине фактической пло-
щади контакта Аг, т. е.
N _ N/Ас _ Рс
^4Г Аг/ Ас т]Т
(2.16)
213> И.В. Крагельский. О развитии закономерностей, характеризующих внеш-
нее трение // О природе трения твердых тел. Минск, 1971. С. 262-280.
214) В. С. Комбалов. Влияние шероховатости твердых тел на трение и износ.
М., 1974.
3.2. Теория Крагельского — Демкина
175
Подставляя в (2.16) выражение для относительной площади контакта
г]г согласно формуле (2.15), находим215)
Pr=P^+1
2 kv Кг1/2
х/тР 0
2»
' 2i/+l
►
(2-17)
Средняя площадь пятна контакта ДАТ определяется как отноше-
ние фактической площади контакта Аг к числу контактирующих мик-
ронеровностей пг. Согласно такому определению имеем
ДЛ = ~^r = Рг^с
пг пс<р(е) ’
Отсюда на основании (2.4) и (112), (1.10) выводим
ДАГ = v lKrhe.
Наконец, принимая во внимание зависимость (2.13), получаем
ДА
тгт2
Г --
2
2^+1
(2-18)
J
Средний диаметр кругового пятна контакта d определяется по ве-
личине средней площади пятна контакта ДАГ по формуле
d = (4тг ^А,.)1/2 = (4р 1rhE)1^2,
откуда согласно (2.13) следует
J
d = ~т=
л/р
-f-Kr"pce
1
2v+l
(2-19)
Плотность пятен контакта 7 определяется как отношение числа
пятен контакта пТ к контурной площади Ас, на которой они образова-
лись, т. е.
пг
7=ас-
Используя соотношения (1.7), (1.13), (1.14) и (2.13), находим
v
7 2тгг2
21/—2
2|/+1
Зи
Кг2"4'1.
(2.20)
21s) И.В. Крагельский, М.Н. Добычин, В.С. Комбалов. Основы расчетов
на трение и износ. М., 1977.
176
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
Из анализа формул (2.18) и (2.20) вытекает216), что при увеличении
нагрузки рост ФПК происходит в основном за счет увеличения числа
пятен контакта, а средняя площадь и средний диаметр пятна физиче-
ского контакта изменяются незначительно. Этот эффект становится тем
сильней, чем больше величина параметра и.
Как следует из (2.17), среднее давление на пятне контакта рт при
упругих деформациях также слабо зависит от приложенного контурно-
го давления рс. В частности, для наиболее распространенных значений
и = 2 4- 3 согласно (2.17) величина рт пропорциональна величине рс в
степени | -г |. Поэтому, способ улучшения работоспособности узла тре-
ния путем снижения удельной нагрузки (в расчете облегчить условия
на фактических пятнах контакта) является неэффективным217).
Теория Крагельского—Демкина находит непосредственное примене-
ние при расчетах коэффициента внешнего трения218).
3.3. Фрактальный контакт
3.3.1. Фрактальная шероховатость
Представим себе участок профиля поверхности реального твердого тела
и рассмотрим задачу измерения его длины. Придадим циркулю раствор,
соответствующий <5 единиц длины, и сосчитаем число шагов 7V(<5), ко-
торые понадобились бы, чтобы пройти вдоль данного участка профиля
поверхности. Суммарную длину отрезков ЛГ(<5)<5 можно принять за при-
ближение значения искомой длины. Выбирая величину <5 меньше, можно
точнее проложить маршрут вдоль профиля поверхности. Очевидно, что
для идеально гладкой линии величина N(5)5 при стремлении величи-
ны 6 к нулю стремится к конечному пределу, представляющему собой
длину этой линии.
Фрактальная кривая (как математический объект) обладает следу-
ющим определяющим свойством: при <5, стремящимся к нулю, величина
N(6)5 не стремится к конечному пределу, а неограниченно возрастает
по степенному закону219)
N(5)5 ~ сб1-^, (3.1)
216) И.В. Крагельский. Трение и износ. М., 1962.
217) И. В. К рагельский, М.Н.Добычин, В. С. Комбалов. Основы расчетов
на трение и износ. М., 1977.
218) Н. М. М и х и н. Механизм внешнего трения твердых тел // Трибология: Иссле-
дования и приложения: опыт США и стран СНГ / Под ред. В. А. Белого, К. Лудемы,
Н.К. Мышкина. М„ 1993. С. 23-51.
219) е. Федер. Фракталы. М., 1991. (См. §2.1.)
3.3. Фрактальный контакт
177
где с — некоторая постоянная. Безразмерная величина df называется
фрактальной размерностью кривой.
Поверхности многих реальных твердых тел (в том числе шлифован-
ных деталей машин) обладают фрактальными свойствами. При прак-
тическом определении фрактальной размерности участка профиля по-
верхности часто применяется следующая формула, вытекающая из со-
отношения (3.1):
ln(AT(J/c)
f ln(l/<5) ’
или при весьма малом значении величины <5 и, соответственно, большом
значении числа ЛГ(<5),
Для фрактальной кривой имеет место неравенство 1 < d.
Для описания фрактальных свойств реальных поверхностей были
предложены различные модели (см. обзор220'). В частности, модель, раз-
витая в работе221', предполагает, что профиль шероховатой поверхности
представляет собой график функции Вейерштрасса, являющейся всюду
непрерывной, но нигде не дифференцируемой функцией222'.
3.3.2. Фрактальная модель Бородича — Мосолова
для профиля шероховатой поверхности
Предложенная Ф. М. Бородином и А. Б. Мосоловым223, фрактальная
модель шероховатой поверхности основывается на канторовском мно-
жестве224'. О других аспектах использования фракталов в механике де-
формируемого твердого тела см. в работе225'.
Рассмотрим отрезок длиной L и разделим его на три части, симмет-
рично расположенные относительно середины отрезка. Среднюю часть
выбросим. При этом сумма длин оставшихся частях составит L/a, где
а > 1. Затем описанную процедуру применим к каждому из этих двух
220 * J. R. Barber, М. Ciavarella. Contact mechanics // Int. J. Solids Struct., 2000.
V. 37. P. 29-43.
221' M. Ciavarella, G. Demelio, J.R.Barber, YongHoon Jang. Linear elastic
contact of the Weierstrass profile // Proc. Roy. Soc. Lond. Ser. A, 2000. V. 456, P. 387- 405.
222' Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. Контрпримеры в анализе. М., 1967. (См. §3.8.)
2231 Ф.М. Бородич, А.Б. Мосолов. Фрактальный контакт твердых тел //
Журн. технич. физ., 1991. Т. 61, К’9. С. 50-54. Фрактальная шероховатость в кон-
тактных задачах // Прикл. матем. и мех., 1992. Т. 56. Вып. 5. С. 786-795.
224) Е. Федер. Фракталы. М., 1991. (См. §5.1.)
225' Б. Е. Победря. О фракталах в механике // Вести. Моск, ун-та. Сер. 1, 2000,
№ 1. С. 40-44.
178
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
подынтервалов и т. д. Такая процедура быстро приводит к очень корот-
ким отрезкам. Именно, в n-м поколении канторовское множество состо-
ит из 2П отрезков суммарной длиной LjoF. После бесконечного числа
поколений оставшееся в пределе при п, стремящемся к бесконечности,
бесконечное множество точек рассеяно по исходному отрезку длиной L.
Это предельное множество называется канторовской пылью.
Теперь на каждом канторовском множестве построим ломаную ли-
нию, поступая следующим образом. Рассмотрим прямоугольник длиной
L и высотой h. При построении n-го поколения канторовского множе-
ства на каждом основании исходного прямоугольника, удаляя среднюю
часть у каждого из 2П-1 отрезков п — 1-го поколения, будем выбрасывать
из каждого прямоугольника высотой где /3 > 1. В результате та-
кого процесса получится ломаная (рис. 15), в пределе приближающаяся
к некоторой фрактальной кривой. Ломаная n-го поколения называется
предфракталом.
Убедимся в том, что предельная кривая является фракталом. Для
этого вычислим длину Ln ломаной n-го поколения. Для ломаной перво-
го поколения, очевидно, Li = L + 2/г; для ломаной второго поколения
L2 — L + 2h + 2(2/г//3). Поскольку каждому из 2П~1 отрезков n-го поко-
ления опорного канторовского множества отвечает увеличение длины
на величину 2(h/0n~1), имеет место рекуррентная формула
Ln = Ln_1+2h(2//3)n~1.
Таким образом, длина ломаной n-го поколения
гс 1 „п___1 9
Ln = L + 2h q' — L + 2/i--------—; q =
«-1
(3.3)
Нетрудно видеть, что при q < 1 величина Ln стремится к конечному
пределу при возрастании п. Следовательно, только при 1 < q (или, что
3.3. Фрактальный контакт
179
то же самое, 0 < 2) предельная кривая будет фрактальной. Определим
теперь фрактальную размерность предельной кривой.
Так как по построению канторовское множество n-го поколения со-
стоит из 2П одинаковых отрезков суммарной длины L/an, то в качестве
безразмерного масштаба измерения длины выберем размер упомянутых
отрезков L/(2a)n, отнесенных к длине L, т. е. положим
(2а)п
(3-4)
Число отрезков, потребуемое для покрытия ломаной n-го поколения,
Nn
~ LSn
По формуле (3.2) получаем
1пАГп _ ln[bn/(bJn)]
f ~ ln(l/<5„) ln(l/<5„)
Подставляя сюда выражения, определяемые формулами (3.3) и (3.4),
находим
In
dt = lim —
n—юо
ln(2a)n
In q + In 2a
In 2a
Наконец, вспоминая обозначение q = 2/0, заключаем, что фрактальная
размерность предельной кривой, опирающейся на канторовскую пыль,
. _ , , In 2 ln/3
f In 2a In 2a
(3.5)
Заметим, что, поскольку a0 > 1, получаем d < 2.
3.3.3. Контакт фрактального штампа
с основанием Фусса — Винклера
Следуя Ф. М. Бородичу и А. Б. Мосолову, рассмотрим плоскую задачу
о вдавливании в винклеровское основание фрактального штампа, опи-
рающегося на канторовскую пыль.
Пусть фрактальный штамп вдавлен так, что уступы n-го поколения
пришли в соприкосновение с поверхностью упругого основания. Обо-
значим через Рп нагрузку, действующую на штамп. При этом штамп
получает перемещение
5п = h/0n~l
(3.6)
180
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
При увеличении нагрузки с Рп до Fn-i, т. е. до тех пор пока выступы (п—
1)-го поколения не придут в соприкосновение с поверхностью основания,
штамп вдавливается на величину
Д5п = <5„_1-5п = -Д(^-1).
Соответственно приращение нагрузки
&Рп = Pn-i — Рп
пропорционально коэффициенту жесткости винклеровского основания
к, суммарной ширине выступов n-го поколения L/an и величине пере-
мещения штампа Д<5П. Таким образом, получаем
^ = к-. Д<5П аП (3-7)
Теперь с помощью соотношения (3.6) получим из правой части урав-
нения (3.7) явную зависимость от номера п. Так, из формулы (3.6) опре-
деляем значение / г \ l/ln/3 n = l-ln(^| \ п / Подставляя данное выражение в уравнение (3.7), находим (3-8)
Inot ДРП _ kL /5п\ 1п0 Д5П a \ h J (3.9)
Наконец, переходя к пределу при п —> оо, из уравнения (3.9) выводим
Ing dP _ kL in/з d6 a \h) (3.10)
или P_. *Lh pV A lna\ \ h) ’ a i + — \ “P / где , Ina «= i+ i-Л- 1П/3 (3.11) (3.12)
Выражение (3.12) для показателя к может быть записано в виде
2 - ds К = ; ;—-г- > 1. 1 + de — df (3.13)
3.3. Фрактальный контакт
181
Здесь df — фрактальная размерность кривой, ограничивающей про-
филь штампа; dc — размерность канторовской пыли, т. е. множества то-
чек по которому штамп касается недеформированной границы упругого
основания, причем dc = In 2/In 2а.
Формулы (3.10) -(3.13) были получены Ф. М. Бородичем и А. Б. Мо-
соловым (1991). В работах226) были предложены различные обобщения
рассмотренной фрактальной модели шероховатой поверхности.
3.3.4. Опорная кривая профиля
фрактального штампа
Выступы n-го поколения имеют суммарную ширину L/an и распола-
гаются на уровне <5П = Л//?"-1. Поэтому относительные длины сечения
штампа т]в(п) — 1/ап. Переходя к пределу при п —> оо, ввиду соотно-
шения (3.8) получаем
In а
1 / <5 \ 1п0
»?« = - т)
а \п/
Значит, материал рассматриваемого фрактального штампа вблизи опор-
ного множества точек распределен в соответствии с законом Демкина с
показателем
In а 1 - dc
v =----=-----------> 0.
In/? 1 + dc — df
Таким образом, показатель р степенного закона Демкина для опи-
сания опорной кривой профиля шероховатой поверхности определяется
ее фрактальными свойствами.
226* Ф.М. Бородич, Д. А. Онищенко. Фрактальная шероховатость в задачах
контакта и трения (простейшие модели) // Трение и износ, 1993. Т. 14. 103. С.452-
459. F.M.Borodich, D.A.Onishchenko. Similarity and fractality in the modelling
of roughness by a multilevel profile with hierarchical structure // Int. J. Solids Struct.,
1999. V. 36. P. 2585-2612.
182
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
3.4. Упругий контакт
шероховатых поверхностей
3.4.1. Зависимость сжимающей нагрузки
от сближения контактирующих тел
Следуя В. А. Журавлеву227^, рассмотрим контакт двух шероховатых
твердых тел. Рельеф контактирующих поверхностей, а также упругие
свойства тел предполагаются одинаковыми. Выступы шероховатых по-
верхностей моделируются шаровыми сегментами радиусом г, располо-
женными в пределах контурной площади контакта Ас с постоянной
плотностью. Выступы имеют различную высоту, причем число высту-
пов (точнее говоря, число вершин выступов) увеличивается по мере
углубления в шероховатую поверхность.
Пусть распределение вершин выступов по различным уровням одной
шероховатой поверхности задается функцией
V’(e) = е = (4.1)
пс п
равной отношению числа всех вершин, расстояние которых до самой
высокой вершины высотой h меньше 6, к числу всех выступов на кон-
турной площади пс.
Рассмотрим теперь выступы одной из поверхностей (поверхность А),
вершины которых расположены на относительной глубине 6 в слое тол-
щиной hd£i. Число таких выступов согласно (4.1) определяется так:
dnr = гм/(6)<*6-
Предположим, что выступ поверхности А, расположенный на рас-
стоянии от вершины самого высокого выступа, в процессе сжатия
придет в соприкосновение с выступом другой поверхности (поверхность
В), вершина которого лежит на (относительной) глубине Пусть де-
формация сжатия обоих тел равны 6 (т. е. сближение двух точек кон-
тактирующих тел, расположенных на таких расстояниях, чтобы дефор-
мацией сжатия можно было пренебречь). Тогда деформация двух по-
следних выступов будет равна 6 — + 6), так как прежде, чем эти
выступы придут в соприкосновение, они должны сблизится на расстоя-
ние А(6 +6)-
227) В.А.Журавлев. К вопросу о теоретическом обосновании закона Амоитоиа—
Кулоиа для трения несмазанных поверхностей // Журн. технич. физики, 1940. Т. 10.
Вып. 17. С. 1447-1452.
3.4. Упругий контакт шероховатых поверхностей
183
В соответствии с теорией Герца, усилие, которое разовьется при кон-
тактировании рассматриваемых выступов, будет
о
-&+&)]**, (4.2)
О
где £ = 5/h — относительное сближение контактирующих тел; 0 =
(1 - р?)/Е — упругая постоянная; Е — модуль Юнга; yz — коэффициент
Пуассона. Следует подчеркнуть, что при расчете характеристик контак-
та двух шероховатых поверхностей по схеме Журавлева предполагает-
ся, что вершины выступов, вступающих в контакт, располагаются на
одной оси напротив друг друга. В действительности вершины контак-
тирующих выступов всегда сдвинуты относительно друг друга случай-
ным образом, тем самым формула (4.2) привносит в расчеты некоторую
ошибку.
Согласно гипотизе, введенной В. А. Журавлевым, вероятное число
контактов выступов поверхности А, расположенных в слое относитель-
ной толщины d£i на глубине /i£i, с выступами поверхности В, располо-
женными в слое относительной толщины на глубине будет равно
произведению числа вершин в слое d£i на вероятность встречи выступа
слоя поверхности А с выступом слоя d& поверхности В. Вероятность
эта равна отношению числа выступов слоя ко всему числу выступов
на контурной площади контакта поверхности В, т. е.
ney'(6) <%2
пс
Таким образом, вероятное число контактов выступов указанных двух
слоев будет
W(6)№)«.
Соответственно этому усилие, которое разовьется при контактиро-
вании рассматриваемых двух слоев будет равно
(6+e2)]3/V'(ei)v'(6)^i^2. (4.3)
о
Усилие, приходящиеся на все выступы поверхности А с вершинами
в слое d£i, следуя И. В. Крагельскому228\ получим, суммируя величины
(4.3) по всем действующим слоям поверхности В, т. е. интегрируя по &
в пределах от 0 до £ — И, наконец, чтобы найти усилие, действующее
на площадку Ас поверхности А, необходимо просуммировать усилия,
228' И.В. Крагельский. Трение покоя двух шероховатых поверхностей // Изв.
АН СССР. Отд. технич. наук, 1948, Л410. С. 1621-1625.
184
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
действующие на его различные слои, т. е. проинтегрировать второй раз
по & от 0 до £. Итак:
е e-fi
n = |0-ч^3/211 [s-(ei+e2)]3/V'(ei)v'(e2)^i^2- (4.4)
о о
Повторный интеграл в (4.4) обозначим через /Де) и преобразуем в
двойной по треугольной области Ci + С2 < 6 > 0, > 0. Переходя
теперь к полярным координатам & = г cos6 и £2 = г sin#, получаем
g
*/2 cos0+sin0
71(e) = У d0 у [e-r(cos#+sin#)]3,Z2<pz(rcos^)y’,(rsin^)r^r- (4-5)
о о
Подставим в интеграл (4.5) выражение для функции <р(е) согласно за-
кону Демкина, т. е. <р(е) = Сех, и сделаем замену переменной интегри-
рования г = s(cos# + sin#)-1p. Имеем:
з
h(E) = C2X2£2+2^+2k1M, (4.6)
где введено обозначение
тг/2
? (cos в sin #)х-1 М ,
J (cos# + sin#)2* J
о о
Применяя подстановку tg# = t и используя известное представление
бета-функции в виде несобственного интеграла
00
7 t*-1
J (i + ty+ydt'
о
находим
^1(Х) = |^Г(Х)2Г(|+2Х)-1. (4.7)
Таким образом, зависимость (4.4) при учете выражения (4.6) приоб-
ретает вид
N = je-'ncvW^CVfc! (х)е2х+2, (4.8)
о
где коэффициент fci(x) определяется формулой (4.7).
3.4. Упругий контакт шероховатых поверхностей
185
3.4.2. Зависимость фактической площади контакта
от величины сближения упругих тел
Перейдем теперь к определению площади Аг пятен физического контак-
та, расположенных в пределах контурной площади Ас. Так, при контак-
те выступа поверхности А, вершина которого лежит на глубине £i, с вы-
ступом поверхности В, вершина которого лежит на глубине площадь
7ГГ
соприкосновения равна ~^Ь[е — (£i + £2)]. Вероятное число таких кон-
тактов согласно гипотезе Журавлева будет равно Псу/^О'/Лбг)
Интегрируя теперь по способу Крагельского, находим
е е-<2
Аг = уЛпс I I [е - (6 + 6)ИЖ) d£id£2. (4.9)
о о
Аналогично вводим обозначения
cosd+sind
= У d8 у [г — г (cos б + sin 0)]у/ (г cos 0)<p'(r sin 0)r dr
о о
= С2Х2г1+2^+2к2(х),
к/2 1
Г (cos0sin0)x-1d0 Г 21
ЪЫ-] (cos^ + sm^ Л1
= Г(х)2Г(2 + 2х)"1. (4.10)
Окончательно, для относительной величины фактической площади
контакта т]г = Ar/Ас получаем следующее выражение:
*?г = ^ncC2x2fc2(x)£2x+1, (4.11)
где коэффициент fc2(x) определяется формулой (4.10).
3.4.3. Зависимость фактической площади контакта
от контурного давления
Выражая из уравнения (4.8) величину относительного сближения е че-
рез величину контурного давления рс = N/Ac, находим
_______36-АсРс \ 2х+2
2nc>/r/i3/2C'2x2fci(x) /
(4-12)
186
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
Подставляя данное выражение в уравнение (4.11), получаем
1 2*+i ~х+|.
Т)г ~ (r2^x+1^h~2xncC2A~1)е2х+2 рс2х+2. (4.13)
Нетрудно видеть, что ФПК пропорциональна контурному давлению и
обратно пропорциональна модулю Юнга в степени (2х + 1)/ (2у + |),
близкой к единице. Зависимость (4.13) для случая линейной плотности
распределения выступов по высоте ф'(£) = т- е. X = 2 была
впервые установлена В. А. Журавлевым (1940).
Отметим, что для расчета характеристик контакта двух шероховат
тых поверхностей Н. Б. Демкиным229) было предложено понятие поверх-
ности эквивалентной двум рассматриваемым шероховатым поверхно-
стям. Эквивалентная шероховатая поверхность обладает тем свойством,
что при ее контакте с абсолютно гладкой поверхностью площадь факти-
ческого контакта изменяется таким же образом, как и при контакте двух
данных шероховатых поверхностей. Такой подход существенно упроща-
ет расчеты, позволяя распространить теорию Крагельского—Демкина
контакта шероховатой поверхности с гладкой на случай контактирова-
ния двух шероховатых поверхностей.
3.4.4. Предварительное смещение
при упругом контакте шероховатых тел
Если к твердым телам, находящимся в контакте под действием некото-
рой нормальной нагрузки N, прикладывать постепенно возрастающую
тангенциальную силу Т, то возникает некоторое тангенциальное смеще-
ние контактирующих тел, предшествующее началу скольжения. Такой
сдвиг соприкасающихся поверхностей, вызванный сдвигающим усилием,
меньшим силы трения покоя, А. В. Верховским230), был назван предва-
рительным смещением.
Предварительное смещение в сочленениях деталей машин происхо-
дит уже при незначительных сдвигающих усилиях и достигает максиму-
ма при усилии, равным силе трения покоя. Предварительное смещение
определяется как сдвиг контактирующих поверхностей, вызванный тан-
генциальным усилием, не превышающим силы трения покоя231).
22Э* Н.Б. Демкин. Контактирование шероховатых поверхностей. М., 1970.
230* А.В. Верховский. Явление предварительного смещения при трогании не-
смазанных поверхностей с места // Журн. прикл. физики, 1926. Т. 3. Вып. 3-4.
С. 311-315.
231 > В.И. Мак сак. Предварительное смещение и жесткость механического кон-
такта. М., 1975.
3.4. Упругий контакт шероховатых поверхностей
187
Ввиду различного распределения микровыступов по высоте во время
нагружения контакта сжимающей силой они сжимаются по разному. Во
время предварительного смещения менее сжатые выступы могут всту-
пать в скольжение раньше. Переход выступов в скольжение определяет-
ся величиной предельного смещения, зависящего от величины сжатия.
Таким образом, скольжение всего контакта не начнется до тех пор, пока
не вступит в скольжение наиболее сжатый выступ.
Следуя Н. Б. Демкину и И. В. Крагельскому232\ рассмотрим вопрос
расчета предельного предварительного смещения.
Согласно теории Каттанео —Миндлина при упругом контакте ша-
ровых выступов под влиянием тангенциальной силы Т возникает про-
скальзывание в кольцевой области. В центре сохраняется круговая зона
сцепления, в которой проскальзывание не имеет места. Кольцевая зона
скольжения ограничена окружностями радиусов а и а,. Здесь и далее
а — радиус площади контакта; а, — радиус круговой зоны сцепления,
причем
( уч1/3
“•“V'Tw) '
где / — коэффициент трения (предполагается одинаковым на всем кон-
такте).
Согласно теории Герца имеем:
/3 \ ^3 1 — н2
а= -07W ; 0 = —Г_. (4.14)
J ft
Здесь г — радиус выступа; Е — модуль Юнга; р — коэффициент Пуас-
сона; N — нормальная нагрузка.
С увеличением касательной нагрузки Т ширина кольцевой зоны про-
скальзывания a — а, растет до тех пор, пока она не распространится на
всю площадку контакта. (Это произойдет при условии Т = /АГ.)
Смещение некоторого произвольного сферического выступа под дей-
ствием касательной силы Т, будет
з(2-„)е/мГ /
Дг,'-'4(1-д) ТР'С'Тм)
Смещение, отвечающее распространению зоны проскальзывания на всю
площадку контакта (а, = 0), соответственно будет таким:
4(1—д) а
232' Н.Б. Демкин, И.В. Крагельский. Предварительное смещение при упру-
гом контакте твердых тел// ДАН СССР, 1969. Т. 186, №4. С. 812-813.
188
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
Подставляя выражение (4.14) в (4.15), получаем
AS; = | (2 ~±).r-^3fe2/3Ni/3. (4.16)
2 \ 2 J 1 /х
Наибольшее значение AS,- соответствует выступам, на которые при-
ходится наибольшая нагрузка, т. е. выступам, нормальная деформация
которых минимальна. По формуле Герца находим
Мшах^е-1^3'2,
и
где <5 — сближение контактирующих тел. Тем самым, согласно (4.16)
выводим следующее соотношение между сближением и максимальным
предварительным смещением233 h
AS= 2~М./6.
2(2 -рГ
Согласно зависимости (4.12) величина относительного сближения
контактирующих тел
2
( 3QN VX+3 (4 171
£ Y^n^h^C^k^x)) ( ’
При этом по формуле Герца
1/9 \ */3
£=ь(г102<-) • <4-18)
/1> \ т; /
Приравняем правые части уравнений (4.17) и (4.18) и выразим ве-
личину наибольшей нагрузки ЭД max, приходящейся на наиболее сжатые
выступы. Подставляя получаемое выражение в (4.16), найдем
1 2 2
AS ~ f (r_1/i4xC_1n;2)4x+3 04x+3jy4y+3t (4.19)
Из формулы (4.19) видно, что предельное предварительное смещение
при упругом контакте пропорционально коэфициенту трения и обратно
пропорционально модулю упругости в степени 2/(4у + 3).
233' Б.П. Митрофанов. Соотношение между сближением и максимальным пред-
варительным смещением дли упругого дискретного контакта //О природе трения
твердых тел. Минск, 1971. С. 322-324.
3.5. Контактная задача для шероховатого полупространства
189
3.5. Контактная задача
для шероховатого полупространства
3.5.1. Постановка задачи и ее обсуждение
Известно234^, что при расчете контурной площади контакта шерохова-
тых упругих тел, ограниченных поверхностями несогласованной формы,
в ряде случаев решение контактной задачи теории упругости необходи-
мо уточнять с учетом микрогеометрии сопрягаемых поверхностей.
И. Я. Штаерманом235) впервые было выписано и решено уравнение
плоской контактной задачи для упругой полуплоскости, на границе ко-
торой имеется тонкая линейно-деформируемая прослойка. Приближен-
ное решение осесимметричной контактной задачи в такой постановке
было получено Г. Я. Поповым и В. В. Савчуком236). На основе ряда экс-
периментальных исследований установлено237), что сближение контак-
тирующих тел за счет деформации микровыступов пропорционально
контактному давлению в степени а, меньшей единицы.
Таким образом, осесимметричная задача о давлении гладкого штам-
па в форме параболоида вращения на шероховатое упругое полупро-
странство формулируется в виде нелинейного интегрального уравнения
лг / -г 11° -L. 1 ff P(yi>y2)dyidy2 - 1 /2,„2\
Uf
(5-1)
где ш — неизвестная заранее круговая площадка контакта; <Jq — задан-
ное перемещение штампа; R — радиус кривизны его поверхности; Е и
р — модуль Юнга и коэффициент Пуассона упругого материала, запол-
няющего полупространство.
Параметры Айа шероховатого слоя могут быть выражены через
характеристики опорной кривой профиля. По теории Крагельского —
Демкина
2
° ~ 2р + 1 ’
где v — показатель степенного закона Демкина.
234) И.В. Крагельский, М.Н. Добычин, В.С. Комбалов. Основы расчетов
на трение и износ. М., 1977.
235) И. Я. Штаерман. Контактная задача теории упругости. М.-Л., 1949.
гзв) p jj Попов, В.В. Савчук. Контактная задача теории упругости при нали-
чии круговой области контакта с учетом поверхвостной структуры контактирующих
тел // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1971, №3. С. 80-87.
237) Н.Б. Демкин. Контактирование шероховатых поверхностей. М., 1970.
190
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
М. А. Коротковым238) было предложено разыскивать приближенное
решение интегрального уравнения (5.1) в замкнутой форме
/ г2\ В
P(ii,x2) =Ро( 1 - "2 ) > (5-2)
где т = у/х\ + 2?2 — полярный радиус.
Подстановка представления (5.2) в (5.1) и интегрирование приводит
к приближенному равенству
1-н2 /1 \ Г’/2/ г2 \/?+2
---,/3+1 )2ар0 / 1—j sin2 dtp =
ТТЛ \2 / Jo \ /
i / 2 \ Pa
= ^o-^H + ^)-Apg 1--J • (5.3)
«Jt> \ tt /
Здесь В (|,/3 + 1) — частное значение бета-функции, причем
/1 \ Г1
В -,/3 + 1) =2 / (l-rr2)^.
\2 / Jo
Для определения трех параметров ро (максимальное значение кон-
тактного давления), а (радиус площадки контакта) и /3 (показатель эпю-
ры контактного давления) необходимо составить систему из трех (нели-
нейных) уравнений.
Следуя239), по методу коллокации240) потребуем, чтобы невязка в
уравнении (5.3) обращалась в нуль при г = 0 и г = а. Таким путем
получаем два уравнения
УпО + УшО = <5о, (5.4)
1/1 \ а2
-В(-,/3+1)упо = 5о-—. (5.5)
7Г \ Z J Zlx.
Здесь использованы следующие обозначения241);
аро, Ушо = Ард. (5.6)
yno = ^-/-5Q,/3+1)
\Z /
238) М. А. Коротков. Влияние шероховатости на формирование единичной кон-
турной площадки контакта // Вопросы механики. Тр. Калининского политехи, ин-
та. Вып. XV (ХШ). Калинин, 1972 С. 173-177.
239) pj в. Demkin, V.V. Izmailov, М. A. Korotkov. Estimation of the deforma-
tion of rough spheres and cylinders in compression // Wear, 1976. V. 39,101. C. 63-82.
240) А. Ф. Bep лань, В. С. Сизиков. Методы решения интегральных уравнений
с программами для ЭВМ. Киев, 1978. (См. §3.8.)
2411 Н.Б. Демкин, Э.В. Рыжов. Качество поверхности и контакт деталей ма-
шин. М., 1981.
3.5. Контактная задача для шероховатого полупространства
191
Отметим также, что А. С. Рабиновичем242' был разработан итераци-
онный метод решения интегрального уравнения (5.1). И. Г. Горячевой243'
уравнение (5.1) было сведено к нелинейному интегральному уравнению
типа Гаммерштейна, для численного решения которого был использован
метод последовательных приближений. В. М. Александров и И. И. Ку-
диш244' провели асимптотический анализ уравнения (5.1) и получили
расчетные формулы для различных значений безразмерных парамет-
ров а и
А( itE V
1- 7?\l-/z2J
(5-7)
Численный метод решения уравнения (5.1) был предложен Б. А. Галано-
вым245'. Наконец, В. Л. Рабинович и А. А. Спектор246' свели контактную
задачу для шероховатого упругого полупространства к вариационной и
установили ее разрешимость.
Упомянем также работу И. И. Кудиша247', в которой контактное вза-
имодействие шероховатых упругих тел исследовано в условиях смешан-
ного трения: на одной части площадки контакта поверхности упругих
тел находятся в непосредственном контакте и возникают силы сухого
трения, а в другой — они разделены слоем смазки. Контактные задачи
с учетом смазки рассматривались М. А. Галаховым и П. П. Усовым248'.
3.5.2. Применение теоремы Моссаковского
Ясно, что третье уравнение в добавлении к уравнениям (5.4) и (5.5) сле-
дует получать, исходя из требования минимизации невязки в уравнении
242 ’ А.С. Рабинович. Осесимметричная контактная задача для шероховатых
упругих тел // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1975, N’4. С. 163-166. О решении
контактных задач для шероховатых тел // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1979,
Л* 1. С. 52-57.
243 ’ И.Г. Горячева. Плоские и осесимметричные контактные задачи для шеро-
ховатых упругих тел // Прикл. матем. и мех., 1979. Т. 43. Вып. 1. С. 99-105.
244> В. М. Александров, И.И.Кудиш. Асимптотический анализ плоской и осе-
симметричной контактных задач при учете поверхностной структуры взаимодей-
ствующих тел // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1979,101. С. 58-70.
246’ Б. А. Галанов. Пространственные контактные задачи для упругих шерохо-
ватых тел при упругопластических деформациях неровностей // Прикл. матем. и
мех., 1984. Т. 48. Вып. 6. С. 1020-1029.
246' В.Л. Рабинович, А.А. Спектор. Решение некоторых классов простран-
ственных контактных задач с неизвестной границей // Изв. АН СССР. Мех. тверд,
тела, 1985, №2. С. 93-100.
247' И. И. К у диш. О постановке и исследовании пространственной контактной
задачи для упругих тел в условиях смешанного трения // Прикл. матем. и мех.,
1983. Т. 47. Вып. 6. С. 1006-1014.
248' М.А.Галахов, П.П.Усов. Дифференциальные и интегральные уравнения
математической теории трения. М., 1990.
192
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
(5.3) в среднем. Для этого можно прибегнуть к одному из известных ме-
тодов.
Обозначим через Р силу, действующую на штамп, т. е.
Р =//P(yi’y^dyidy2' (5-8)
Uf
На основании теоремы Моссаковского из исходного уравнения (5.1) вы-
текает точное равенство249^
(5-9)
где ы — круговая область радиусом а.
Подставляя теперь выражение (5.2) в уравнения (5.8) и (5.9), при
учете обозначений (5.6) находим
О
Р = ^, (5.Ю)
ттУпо Сб +1)-в(|,/3 +1) = 5° - Тр ~ Уш°- (5Л1)
Z у Z у оЛ z \ z у
Таким образом, для определения параметров р0, а и (3 аппроксимации
(5.2) имеем систему уравнений (5.4), (5.5) и (5.11). Отметим, что пере-
численные уравнения являются точными в случае /3 = 1/2, отвечающем
значению А = 0, т. е. когда шероховатый слой отсутствует.
3.5.3. Определение параметров аппроксимации
Порядок вычисления параметров р0, а и [3 следующий. Из уравнений
(5.4) и (5.11) выражаем величины у„о и ушо в виде
л ь ^з(/3) /к 10,
УпО = <Wb (5.12)
Ушо = (5.13)
Здесь введены обозначения
А:В = -вН,/3 + 1\ (5.14)
7Г /
249* И.И. Аргатов. Приближенное решение осесимметричной контактной зада-
чи о давлении шарового индентора на шероховатое упругое полупространство //
Трение и износ, 2001. Т. 22, №6. С. 601-605.
3.5. Контактная задача для шероховатого полупространства
193
Fr(J3) = -l + (^+l)fcB(^ + (2^+l)-1\ (5.15)
W ~ 3(2^+1) ’ (5'16)
F4(/3) = -l + ^(/3+l)(fcB + l). (5.17)
Подставляя выражение (5.12) в формулу (5.5), получаем следующее
представление для радиуса площадки контакта:
1
,--[F,(/3)]2
<518>
W) = -2 + (/3 + l)fcB [fcB + (2 - kB)(2a0 + I)-1]. (5.19)
Соответственно подстановка выражений (5.12) и (5.18) в первую фор-
мулу (5.6) позволяет определить максимальное контактное давление
2Е fa F3(0)
тг(1-д2)У Л^ад^/?)’
(5.20)
Поскольку величины р0 и Р связаны равенством (5.10), зависимость
силы, действующей на штамп, от его перемещения получаем в виде
4Е | ЗГ3(/3) у/ВД
3(1 - Д2) ° 2(/3+l)[F1C0)]3/2-
(5-21)
Наконец, уравнение для определения показателя /3 получим, исклю-
чая р0 из (5.20) второго уравнения (5.6) при учете соотношений (5.7) и
(5.13). Имеем:
I—1 _1 тг2 a 2 —- 1
[Л(£)]“ Ш W)=y^j A *[Г4(/3)]«, (5.22)
где безразмерный параметр Aj определен формулой (5.7).
Таким образом, в замкнутой форме получено приближенное решение
интегрального уравнения (5.1) осесимметричной контактной задачи для
шероховатого упругого полупространства. Параметры а и ро аппрокси-
мации контактного давления (5.2) выражены через заданные величины
<50 и R по формулам (5.18) и (5.20). Множители, отличающие выраже-
ния (5.18), (5.20) и (5.21) от соответствующих в теории Герца, зависят
от показателя 0, для которого выведено нелинейное уравнение (5.22).
При этом функции, фигурирующие в левой части (5.22) определены
формулами (5.15)-(5.17) и (5.19).
194
3. Задачи контакта шероховатых упругих тел
3.5.4. Случай малой шероховатости
Найдем асимптотику решения уравнения (5.22) при малых значениях
параметра Ai. Положим
/? = | + г- (5.23)
В таком случае, согласно формуле (5.14), имеем:
*в = - С
я Jo
Раскладывая подынтегральную функцию в ряд по степеням малого па-
раметра е и ограничиваясь лишь членами порядка е, получаем
4 Г1
кв = 1 + £— / (1 - т2)1/21п(1 - т2) dx + О(г2).
л- Jo
Последний интеграл вычисляем при помощи формулы (4.241.1)250);
кв — 14- £(1 — 2 In 2) 4- О(£2).
Дальнейшие вычисления не встречают принципиальных затруднений.
Итак, при малых значениях правой части уравнения (5.22) его ко-
рень приближенно вычисляется по формуле (5.23), в которой следует
подставить значение
£ =
т-1
Ai
2 —а
(у-61п2
\
(5-24)
Примечательно, что формулы (5.23), (5.24) приводят к точному резуль-
тату /3 = 1/2 в случае а = 2, когда уравнение (5.1) имеет решение вида
(5.2) с 0 = 1/2.
2501 И. С. Г рад штейн, И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и про-
изведений. М., 1963.
Глава 4
Равновесие тела
на плоскости с трением
4.1. Уравнения равновесия тела
на плоскости с трением
4.1.1. Закон Амонтона — Кулона
Представим себе движение материальной точки по плоскости под дей-
ствием заданной силы F. Условие того, что точка остается на этой плос-
кости, представляет собой связь. Эта связь описывается уравнением
z = 0 и не зависит от времени и производных по времени, поэтому
она голономная и стационарная.
В общем случае ускорение, которое получает точка благодаря си-
ле F, не совпадает с ускорением, которое она имела бы под влиянием
той же силы при отсутствии связи. Иными словами, связь действует на
точку как некоторая сила, которая называется реакцией связи. Реакция
связи R может быть разложена в сумму
R = N + Т,
где N — составляющая, направленная перпендикулярно поверхности
связи (N = Ук); Т — сила трения, определяемая некоторым физиче-
ским законом. Если Т = 0, то связь называется идеальной.
При изучении движения тел в воздухе и в жидкости Ньютоном было
введено понятие вязкого сопротивления, пропорционального скорости.
С именами Амонтона и Кулона обычно251) связывают закон сухого тре-
ния, согласно которому величина силы трения Т не зависит от скорости
261> Б.В. Дерягин. Что такое трение. М., 1952.
196
4. Равновесие тела на плоскости с трением
движения материальной точки и пропорциональна величине нормаль-
ной реакции N, т. е.
T = -fN^, (1.1)
коэффициент пропорциональности f называется коэффициентом тре-
v
ния, — — единичный вектор, имеющий направление движения, знак
v
минус указывает на то, что сила трения Т направлена противоположно
направлению скорости v.
Если материальная точка покоится, то сила трения Т направлена
противоположно проекции Ft = Fxi + Fyj равнодействующей активных
сил на плоскость, задающую связь. При этом величина силы Т равна ве-
личине силы Ft = Fxi + Fjj. Согласно закону Амонтона—Кулона точка
находится в равновесии, если только выполнено неравенство
y/F2x + F2 < fN,
причем случай равенства отвечает положению предельного равновесия,
при котором может начаться движение.
Коэффициент трения f определяется экспериментально или по при-
ближенным формулам (с учетом вида обработки, шероховатости и мате-
риала пары трения). Подчеркнем, что данное выше определение отвеча-
ет случаю изотропного сухого трения. Анизотропное трение характери-
зуется тем, что направление вектора силы трения Т, вообще говоря, не
коллинеарно направлению вектора скорости v252'. Другие модели силы
трения обсуждаются в работе253'.
4.1.2. Уравнения статического равновесия
Рассмотрим задачу о равновесии твердого тела под действием заданных
внешних сил, опирающегося п точками Рг, ..., Рп на шероховатую плос-
кость z = 0. Для определенности будем считать, что тело расположено в
области z > 0 и с опорной плоскостью свяжем систему координат Оху.
Вообще говоря, направление сил статического трения в точках кон-
такта заранее неизвестно, в то время как направление сил динамиче-
ского трения однозначно определяется скоростями точек механической
системы. Поэтому неопределенность направления сил трения в рассмат-
риваемой статической задаче можно устранить предположением о том,
каким движением твердое тело пришло в положение равновесия. Та-
ким образом, определяются те силы трения, которые были достаточны,
252) р гр Алдошин. Статика. СПб., 1999. (См. §21.)
253’ Ю. А. Захаров, П.К. Плотников. Модель силы трения и ее приложение
к решению некоторых задач механики // Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 1992, № 6.
С. 56-63.
4.1. Уравнения равновесия тела на плоскости с трением
197
чтобы остановить систему. С другой стороны, можно искать те силы
трения, при которых система способна перейти из положения покоя в
движение. Второй путь более естественней при определении ограниче-
ний на главный вектор и главный момент внешних сил, действующих
на систему, при которых нарушается условие равновесия.
Обозначим через Nj нормальные реакции, а через Xj, Yj проекции
сил трения на горизонтальную плоскость. Согласно законам статики
нормальные реакции Nj (j = 1, ..., п) удовлетворяют уравнениям
п п п
Fz + ^Nj = 0, Mx + Y^yjNj = 0, My-^XjNj = 0. (1.2)
j=l j=l v=l
Касательные реакции Xj и Yj (j = 1, ...,n) должны удовлетворять
следующим уравнениям статического равновесия:
п п п
Fx + ^Xj = 0, Fy + ^Yj = 0, M2 + ^XjYj-yjXj) = O. (1.3)
j—1 j=l
Здесь Fx, Fy, Fz и Mx, My, Mz — проекции главного вектора F и главного
момента Мо (относительно начала координат) внешних сил.
Согласно закону Амонтона — Кулона, в состоянии равновесия долж-
ны выполняться неравенства
^ + Y?<fN3 (j = l, ...,п). (1.4)
Заметим, что в соотношения (1.2) входят только нормальные реакции,
а в соотношения (1.3) — касательные. Неравенства (1.4) одновременно
связывают и касательные, и нормальные реакции.
Уравнения равновесия твердого тела (1.2) и (1.3) можно записать в
векторной форме:
п п п
F + k]Tw> + ]LT> = 0, мо + 52rJ х Wk + Tj) = 0.
j=i j=i >=i
Здесь tj = (xj,yj,O) — радиус-вектор точки Pj', Tj = (Xj,Yj) — вектор
силы трения, отвечающий точке опоры Pj-, к — орт оси Oz.
Будем говорить, что тело находится в состоянии равновесия под дей-
ствием заданной системы внешних сил, характеризуемой векторами F
и Мо, если существует набор нормальных реакций N3, ..., Nn, удовле-
творяющих уравнениям (1.2), и набор касательных реакций (Х1; У)),...,
(ХП,УП), удовлетворяющих соотношениям (1.3) и (1.4).
198
4. Равновесие тела на плоскости с трением
4.1.3. Определение нормальных реакций
Будем считать, что горизонтальная опорная плоскость z = 0 пред-
ставляет собой неудерживающую связь, т. е. нормальные реакции могут
быть только неотрицательными:
Nj>0 0 = 1, (1.5)
Значит, из первого уравнения (1.2) вытекает ограничение Fz < 0. Если
Fz = 0, то равновесие возможно лишь при F = 0 и Мо = 0. В таком
случае тело не передает нагрузку на основание (допускается касание то-
чек опоры и опорной плоскости с нулевыми реакциями). В дальнейшем
будем предполагать, что
Fz < 0. (1.6)
Аналогично условию (1.6) на проекцию Fz главного вектора внеш-
них сил F, горизонтальная неудерживающая связь z > 0 накладывает
ограничения и на проекции Мх, Му (на горизонтальные оси) главного
момента Мо, без соблюдения которых равновесие не возможно.
Возьмем на плоскости Оху точку С* с координатами (х„7/„0) и
вычислим относительно нее момент внешних сил. Обозначая через г»
радиус-вектор точки С», будем иметь:
Мр. = Мо - г. х F.
Далее, зафиксируем точку С, так, чтобы проекции момента Мо. на
горизонтальные оси равнялись нулю. Согласно (1.6) этот выбор суще-
ствует и единственен, причем
х, = -MyF~\ у, = MXF~'. (1.7)
Теперь уравнения (1.3) ввиду равенств (1.7) можно представить в виде
У^м = -Ргу„ = -Fzx.. (1.8)
(1-9)
Здесь и далее суммирование проводится по j = 1, ..., п. Наконец, при-
нимая во внимание первое уравнение (1.8), переписываем последние два
соотношения (1.8) следующим образом:
12 NjXj _ ^зУз _
М •' Г»,
Точку С, будем называть центром нормального давления.
Равенства (1.9) с геометрической точки зрения определяют принад-
лежность точки С, выпуклой оболочке V точек Pi, ..., Рп, т. е. точка
Ct принадлежит наименьшему многоугольнику, содержащему опорные
4.1. Уравнения равновесия тела на плоскости с трением
199
точки. Обратно, для любой точки С с координатами т, и у,, принад-
лежащей многоугольнику Т7, существует набор неотрицательных чисел
М, ..., Nn, не равных нулю одновременно, для которых выполняются
равенства (1.9). Таким образом, если тело находится в равновесии, то
последние два уравнения (1.2) при выполнении условий (1.5), (1.6) и
первого уравнения (1.2) эквивалентны включению
С.(г.,|/.)е?, . (1.10)
где координаты т* и у, определены формулами (1.7). Нарушение усло-
вия (1.10) приводит к невозможности осуществления положения равно-
весия твердого тела с заданными точками опоры (т. е. к опрокидыванию
тела). Далее условие (1.10) также считается выполненным.
Нормальные реакции Nj однозначно определяются из системы (1.2)
в случаях n = 1 и п = 2, а также при п = 3, если точки Pi, и Р$
не лежат на одной прямой. Перечисленные случаи являются статически
определенными. В статически неопределимых случаях число п искомых
реакций Nj превышает число линейно-независимых уравнений (1.2).
При анализе условий равновесия в статически неопределимых слу-
чаях для того, чтобы определить нормальные реакции Nj, приходится
прибегать к гипотезе об упругости основания, либо к другим механиче-
ским моделям.
4.1.4. Определение начального центра вращения
Задача о предельном положении равновесии твердого тела на плоскости
с трением впервые была поставлена Н. Н. Шиллером (1892)254). Следуя
Г. К. Суслову255^, рассмотрим случай дискретного контакта.
По условию твердое тело готово начать движение вдоль плоскости
Оху. В таком случае движение начинается вращением вокруг некоторой
точки С с координатами (хс,ус)- Этот центр может либо совпадать с
одной из точек опоры Р\, .. ,,Рп, либо занимать отдельное от них поло-
жение.
Вначале рассмотрим случай, когда центр С не совпадает ни с одной
из точек опоры. Тогда сила трения Ту, приложенная в точке Pj, согласно
закону Амонтона —Кулона определяется формулой
Ту = -fNjU>° х р°, (1.11)
2И) Н.Н. Шиллер. Заметка о равновесии твердого тела при действии треиия иа
некоторую часть его поверхности // Тр. Отд. физ. наук Об-ва любителей естество-
знания, 1892. Т. 5. Вып. 1. С. 1-5.
255) г к Суслов. Теоретическая механика. М.-Л., 1946. (См. разд. 225.)
200
4. Равновесие тела на плоскости с трением
где — единичный вектор угловой скорости, возникающая при на-
p.
рушении равновесия; / — коэффициент трения; р? — — — единич-
Рз
ный вектор, определяющий направление радиус-вектора; pj — рассто-
яние от точки С до точки Pj, причем р;- = (xj — xc)i + (yj — Ус)з,
Pj = - хс)2 + (у, - Ус)2-
Уравнения равновесия, выражающие равенство нулю проекции на
горизонтальную плоскость главного вектора и равенство нулю главного
момента внешних сил согласно выражению (1.11) записываются так:
-/ £ Nj»0 х р° + Fxi + Fyj = 0, (1.12)
-/w0J2^p>+Mo-rcx(FIi + FJ) = 0, (1.13)
где i и j — орты координатных осей Ох и Оу, тс = xc'i + ycj-
Проекции векторного уравнения (1.12) на горизонтальные оси коор-
динат и уравнения (1.13) на вертикальную ось представляются в виде:
+ -€fY/Nj^^- + Fy = 0, (1.14)
j=i pi j=i pi
-ef 52 PiNi + Mz~ xcFy + ycFx = 0. (1.15)
J=1
Знак e = sign (wf) определяет направление вращения твердого тела, при-
чем с = ±1, где знак плюс выбирается в случае стремления внешних сил
привести тело во вращение против часовой стрелки, знак минус — в на-
правлении часовой стрелки.
Уравнения (1.14), (1.15) позволяют вычислить координаты центра С
и выражают условия, которым должны быть подчинены внешние силы
при равновесии непосредственно перед началом движения.
В случае, когда центр вращения С совпадает с какой-нибудь из точек
опоры, например, с точкой Pj, уравнение (1.15) переписывается так:
-б/ 52PikNk + Mz~ xjFy + VjK = °- (116)
Здесь pjk = \/(,Xk — Xj)2 + (yk — ?/j)2 — расстояние между точками Pj и
Pk- Соответственно, уравнения (1.14) приобретают вид
6/52m^L^ + Fi + Xj =0, -efVNk^^ + Fy + Yj^O. (1.17)
4.1. Уравнения равновесия тела на плоскости с трением
201
Через Xj и Yj обозначаются проекции на горизонтальную плоскость
силы трения Т^, действующей на точку Pj и удерживающей эту точку
в покое, для которой должно выполняться неравенство (1.4), т. е.
yJx] + Y?<fN;.
4.1.5. Вывод уравнений равновесия
из принципа возможных перемещений
Плоское виртуальное перемещение твердого тела определяется векто-
ром бго перемещения полюса О системы координат Оху, связанной с
твердым телом, и углом поворота вокруг оси Oz.
Элементарная работа внешних сил на данном виртуальном переме-
щении равна
5Ае = (fzi + -Fjj) • 6ro + Mz5$z. (1.18)
Элементарная работа сил трения определяется выражением
= (5го + <50гк х г,). (1.19)
j=i
Здесь Tj = Xji + Yjj — сила трения, приложенная к точке опоры Pj с
радиус-вектором г, = (ту, yj, 0).
Введем в рассмотрение радиус-вектор re = (xc,yc,ty мгновенного
центра вращения С, возникающий при страгивании твердого тела под
действием заданной системы сил в положении предельного равновесия.
По закону Амонтона—Кулона (см., в частности, формулу (1.11) силы
трения определяются следующей формулой:
Т, = -efNjk х (1.20)
lrj — гс|
где знак е определяет направление вращения. Подставляя выражение
(1.20) в соотношение (119), получаем
М, = -Фго (1 21)
Следуя А. И. Лурье256 \ для вывода статического уравнения равнове-
сия твердого тела в положении предельного равновесия воспользуемся
принципом возможных перемещений
<5Ае + ЗА^ — 0.
256) А.И. Лурье. Аналитическая механика. М., 1961. (См. §6.6.)
202
4. Равновесие тела на плоскости с трением
В результате подстановки в данное равенство выражений (1.18) и (1.21)
приходим к вариационному уравнению
<5го • [ Fxi + - ef V Njk х -Ц ) +
\ \rj-rc\J
+ | Mz - ef У Г.с)| = 0. (1.22)
\ |r>-rc| J
Приравнивая нулю коэффициенты при независимых вариациях <5го и
получаем следующие уравнения:
Fxi + Fjj - ef У Njk х = 0, (1-23)
1=1 |Г; - ГС|
М2 - ef У = о. (1.24)
lr>-rd
Нетрудно видеть, что уравнение (1.23) при учете обозначений
1 । о
p^tj-rc, Pj = |ry-rc|, Pj = _3 _
lrJ гс|
в точности совпадает с уравнением (1.12), выражающим равенство ну-
лю проекции на горизонтальную плоскость главного вектора всех сил,
действующих на твердое тело.
В свою очередь уравнение (1.24) преобразуется к виду
- е/ У AG-|ry - гс| - с/ У (Fj г |С) = 0. (1.25)
1=1 ;=1 1Г>-Гс?1
Выразим теперь последнюю сумму в уравнении (1.25) согласно урав-
нению (1.23). Именно, умножим векторно обе части уравнения (1.23)
на вектор тс- Поскольку векторы г с и Tj ортогональны орту к, верно
равенство г с х (к х Pj) = к(гс • Pj). Кроме того, имеем:
re X (Fxi + Fyj) = (xcFy - ycFx)k.
Итак, согласно уравнению (1.23) устанавливаем формулу
п
-ef 12 Nirc ’ pi = ycFx ~ XcFv
4.1. Уравнения равновесия тела на плоскости с трением
203
Таким образом, уравнение (1.24), или что то же самое (1.25), пред-
ставляется в виде
- гс| + М2 + ycFx - xcFy = 0. (1.26)
j=i
Очевидно, что уравнение (1.26) совпадает с уравнением (1.15), выража-
ющим равенство нулю момента всех сил действующих на твердое тело,
относительно вертикальной оси, проходящей через центр вращения.
Заметим, что уравнение (126) легко получается непосредственно из
вариационного уравнения (1.22). Так, рассмотрим виртуальное переме-
щение, отвечающее повороту твердого тела относительно точки Р на
угол <5г?2. В таком случае вариации <5го и <5$2 связаны зависимостью
6tq = —<J$2k х гс- (1.27)
Подставляя выражение для 6г о, определяемое формулой (1-23), в урав-
нение (1.22), получаем
(mz + ycFx - xcFy Nj\rj - rc|) = 0,
\ j=i /
откуда, в силу произвольной вариации <5$z, вытекает уравнение (1.26).
Наконец, обратим внимание на то, что формула (1.20) справедлива
лишь при условии, что центр вращения не совпадает ни с одной из опор-
ных точек. В противном случае, когда твердое тело начинает вращение
вокруг точки Pj, силы трения определяются формулами
Tt = -c/№k х Ц- (к * j\,
1Г* - гл
Т,=Хр + УД yjXj Л-Yj < fNj.
И нетрудно показать, что применение принципа возможных перемеще-
ний приводит к уравнениям (1.16) и (1.17).
4.1.6. Поступательное перемещение твердого тела
Выясним при каких условиях начальное смещение твердого тела будет
поступательным. В этом случае все силы трения коллинеарны (см. фор-
мулу (1-1)):
Ту = -fNj^cosdi + sinflj). (1,28)
Здесь 0 — угол, определяющий направление страгивания.
204
4. Равновесие тела на плоскости с трением
Подставляя компоненты Xj и Yj вектора Ту, определяемые выраже-
нием (1.28), в уравнение равновесия (1.3), получаем
cos О fNj = Fx, sin О fN} = Fy, (1.29)
j=i j=i
У2 fNj(xj sin# - yjcosd) — Mz. (1.30)
>=i
Последнее уравнение ввиду равенств (1.9) можно переписать в форме
(х, sin # — у. cos #) fNj = Mz, (1-31)
>=i
где (xt,yt) — координаты центра давления С».
Совместим начало координат с центром давления С». В таком случае
х» = 0 и у» = 0. Следовательно, из уравнения (1.4) находим Mz = 0,
т. е. в этом случае момент внешних сил относительно вертикальной оси,
проходящей через центр давления, должен равняться нулю.
Таким образом, начальное смещение твердого тела будет поступа-
тельным только тогда, когда внешняя касательная нагрузка статически
эквивалентна силе Fxi + Fjj, линия действия которой проходит через
центр давления С* (точка с координатами (1.9)). При этом согласно
уравнениям (1.29), (1.30) сила Fxi + имеет величину
п
y/F^ + F^^fNj, (1.32)
j=i
т. е. максимальную величину, при которой возможно равновесие.
4.2. Теорема Жуковского
4.2.1. Функция Жуковского
Обозначим координаты центра вращения С через х и у (ранее использо-
вались обозначения хс и ус)- Вычислим главный вектор Т = Tzi + Tyj и
главный момент Lc относительно точки С сил трения Ti, ..., Тп, дей-
ствующих иа точки Pi, ..., Рп, в предположении, что центр вращения
не совпадает ни с одной из точек опоры.
Согласно закону Амонтона—Кулона (1.11) имеем:
= efNjVi-p, Yj = -efNj^^. (2.1)
Pj pj
4.2. Теорема Жуковского
205
Здесь знак 6 = ±1 определяет направление вращения твердого тела,
pj = у/(х — Xj)2 + (у — yj)2 — расстояние между точками С и Pj. Соот-
ветственно выражениям (2.1) получаем
= T^-ef^Nj^i-p, (2.2)
j=i р> l=i p]
Lc = -tfYNjPj. - (2.3)
l=i
Рассмотрим изменения момента Lc как функции координат х и у
центра вращения С. Функцию
Цх, у) = У)> (2-4)
1=1
где pj = у/(х — Xj)2 + {у — yj)2, будем называть функцией Жуковского.
Механический смысл функции Жуковского заключается в следующем:
величина —efL(x,y) — равна моменту сил трения относительно центра
вращения С(х, у).
Кривая, определяемая уравнением
L(x, у) = const,
(2-5)
называется линией равного момента. Линия равного момента опреде-
ляет множество точек С, относительно которых сумма моментов сил
трения имеет постоянную величину.
Вычислим частные производные функции L(x, у) по координатам х
и у. Поскольку
dpj _ x-Xj dpj = y-yj
дх pj ' ду pj '
находим
= “ y'jvEzil. (2.6) дх 3 Pj ' ду 1 Pj
Принимая во внимание соотношения (2.6), проекции главного вектора
сил трения Т, определяемые формулами (2.2), выражаем в виде
дБ m ,dL
—, Ty = ef—.
ду дх
(2-7)
Следовательно, модуль |Т| = силы трения Т равен
|т| = /У(йУ
<и\2
ду)
(2.8)
206
4. Равновесие тела на плоскости с трением
Покажем теперь, что сила трения Т направлена по касательной к ли-
нии равного момента, проходящей через точку С с координатами (т, у).
Действительно, ввиду (2.5) линия равного момента определяется диф-
ференциальным уравнением
dL. dL, ,, „
— (т, y)dx + —(т, y)dy = О,
их оу
тем самым вектор grad£(z, у) является нормальным вектором к кривой
L(x, 2/) = const. С другой стороны, согласно (2.7) получаем равенство
Т^ + Т^ = 0
Хдх+ Уду
Итак, сила трения Т направлена по касательной к линии равного мо-
мента и по величине равна модулю градиента функции Жуковского.
4.2.2. Полюс трения
Точка С, для которой все силы трения статически эквивалентны только
моменту Lc (сила трения равна нулю), называется полюсом трения.
Полюс трения будем обозначать через Со
Согласно определению полюс трения определяется уравнениями
5L. . о дБ.
^^о,Уо) = 0, — (тО12/о) = 0,
(2-9)
т. е. в точке Со с координатами {хо,уо) функция Жуковского L(x,y)
может иметь экстремум. Покажем, что при определенных условиях в
полюсе трения функция Жуковского имеет минимум.
Во-первых, обратим внимание на то обстоятельство, что функция
Жуковского, будучи непрерывной на всей плоскости, не является диф-
ференцируемой в точках опоры.
Пусть точка С с координатами (т, у) выбрана вне точек опоры. Тогда
нетрудно убедиться в том, что
дх2 }\Pi 1 Р] ’
d2L = _ А „ (x-x^y-yj) 92L (х~хзУ
дхду ’ рз. ' ду1 £ 3 р]
Вследствие этих соотношений приращение функции L(x, у) при перехо-
де центра вращения от полюса трения с координатами х0 и уо к смежной
4.2. Теорема Жуковского
207
точке с координатами rr0+<fa: и ур+бу (с точностью до бесконечно малых
более высокого порядка малости)
ЛГ=1 &Б
SL 2 дх2
92L
х—xq ох Я- 2 * *
г/=г/о дхду
, , &Б . 2
х=хо дхду + —т 1=10 ду ,
у=уо ду1
У—Уо
ввиду равенств (2.9) может быть представлено так:
X г _ 1 Vs ЛГ Куо - Уз)бх - (*0 - хз)бу]2 '
3 Р*
Это приращение оказывается всегда положительным за исключением
случая, когда одновременно выполняются равенства
бх = х0 - Х1 = = Jp-Jn z2
бу Уо - У1 " ' Уо - Уп ’
при котором знак величины 6Б зависит от малых величин выше второго
порядка. Этот случай отвечает расположению всех точек опоры (п > 2)
вдоль одной прямой.
В качестве примера рассмотрим опирание на две точки Pi (—а, 0) и
Рг(а,О) с нормальными реакциями Ni и Функция Жуковского
Б(х, у) = Ni у/(х - а)2 + у2 + JV2 У(х + а)2 + у2
имеет частные производные
дБ _ Ni(x — а) JV2(x + а)
дх у/(х- а)2 + у2 У(х + а)2 + у2 ’
дБ = Niy____________N2y
ду у/(х- а)2 + у2 у/(х + а)2 + у2
0L
Равенство — (х,у) — 0 возможно лишь при у = 0. Значит, уравнение
QL
~Х~(х, 0) = 0 приобретает вид Ni sign (х - а) + N2 sign (х + а) = 0. Отсю-
да
да вытекает, что полюс трения (как решение системы уравнений (2.9))
существует только в случае М = N2 и при этом он не единственнен.
Именно, в случае симметричного нагружения точек опоры любая точ-
ка С(х, 0), лежащая между точками Pi и Р2 так, что |т| < а, является
полюсом трения.
Таким образом, при условии (2.11) может существовать бесконечное
множество полюсов трения, расположенных на прямой, проходящей че-
рез все точки опоры. Данный пример показывает, что в случае дискрет-
ного контакта полюса трения, как точки, координаты которой опреде-
ляются как корни системы уравнений (2.9), может не существовать. В
208
4. Равновесие тела на плоскости с трением
таком случае понятие полюса трения требует корректировки а именно:
полюсом трения будем называть точку, в которой функция Жуковского
принимает наименьшее значение.
4.2.3. Действие на тело пары сил
Пусть на твердое тело, опирающееся на шероховатую плоскость в точках
•Р1(я1,г/1), ..., Рп(^п>Уп)> действует система нагрузок, характеризуемая
нулевой проекцией главного вектора на горизонтальную плоскость, т. е.
будем считать, что Fx = Fy = 0. Тогда, если центр вращения Со не
совпадает ни с одной из точек опоры, то, вспоминая уравнения (1.14) и
(1.15), будем иметь:
= = = (2-12)
>1 Pi J=1 Pi j=i
Отсюда ясно, что направление вращения (знак величины с) определя-
ется знаком вращательного момента Mz.
Перепишем уравнения (2.12) в терминах функции Жуковского. Со-
гласно равенствам (2.3) и (2.6) получаем
-^(то,уо)=О, (^о,Уо) = О, efUx0,y0) = Mz. (2.13)
ох оу
При условии, что точки опоры (п > 3) не расположены на одной пря-
мой, полюс трения, точка Cq с координатами (xq, уо), удовлетворяющий
соотношению
L(x0,y0) = min£(rc,y), (2.14)
единственен. Таким образом, если полюс трения не совпадает ни с одной
из точек опоры, то при действии на твердое тело пары сил с моментом
Mz центр вращения совпадает с полюсом трения и предельное значение
нагрузки таково:
\Mz\ = fL0, (2.15)
где Lo = Цхо,уо) — наименьшее значение функции Жуковского.
Действительно, покажем, что в случае, когда полюс трения Со ле-
жит вне точек опоры, вращение твердого тела в положении предельного
равновесия не может начинаться вокруг одной из опор. Напомним, что
в противном случае, согласно (1.16) и (1.17) должны выполняться урав-
нения равновесия
с/У Nj^—^ + Xj = 0, -с/У Nj^-^ + Yj = 0, (2.16)
Pjt Pjk
4.2. Теорема Жуковского
209
ef^NjPjk = Mz. (2.17)
Здесь (Xj,Yj) — силы трения, приложенные в точке опоры Pj, вокруг
которой начинается вращение, причем
\/x2 + Y?<fNj. (2.18)
Однако, прежде чем величина |A/Z| достигнет предельного значения,
определяемого уравнением (2.17), твердое тело начнет вращение вокруг
полюса трения при меньшей нагрузке, определяемой уравнением (2.15).
Подчеркнем, что если выполнено неравенство
|MZ|
то тело должно находиться в покое (в предположении, что оно должно
начать вращение вокруг точки Pj).
Пусть теперь полюс трения совпадает с одной из точек опоры (обо-
значим ее через Рт), где функция Жуковского достигает минимума.
Ясно, что центр вращения не может лежать вне точек опоры. Потому
что в таком случае должны выполняться уравнения (2.12) или (2.13),
что приводит к противоречию. Допустим, что тело начинает вращение
вокруг точки Pj. Тогда имеем уравнения (2.16), (2.17). Покажем, далее,
что точка Pj необходимо совпадает с полюсом трения.
В полюсе трения Рт функция Жуковского
Цх,у) = Nmy/(x - хт)2 + (у- Ут.)2 + Nk\/(x - xk)2 + (у - Ук)2
k&n
имеет минимум. Переходя к полярным координатам в окрестности точ-
ки Рт, получаем
L(xm + р cos (р,ут + р sin <р) = Nmp +
, (Sm-gfc)pcosy
\/{хт ~ Хк)2 + (ут ~ Ук)2
+ УNt ,
V(X™ ~ Хк)2 + (Ут ~ Ук)2
Значит, минимум в точке Рт с координатами (хт, Ут) может достигаться
только при условии
2
Хт Хк
V Nk ..... .....—
V(Xm-Xk)2 + (ym-yk)2
210
4. Равновесие тела на плоскости с трением
" Nk ==_.=1т~ Ук- -
т V (%т ~ хкР + (Ут — УкУ^
2
<N2m.
Отсюда следует, что, если вращение твердого тела начинается вокруг
полюса трения, т. е. Pm = Pj, то имеют место уравнения (2.16) с некото-
рыми Xj и Yj, и условие равновесия (2.18) выполняется автоматически.
Таким образом, если полюс трения совпадает с одной из точек опоры,
то (при действии на твердое тело пары сил) вращение будет начинать-
ся вокруг полюса трения, поскольку момент сил трения относительно
этой точки наименьший. Величина предельной нагрузки, при которой
возможно равновесие, определяется равенством (2.15).
Итак, если на тело действует пара, лежащая в горизонтальной плос-
кости, то для равновесия необходимо и достаточно, чтобы момент этой
пары был бы не более момента сил трения, получаемых при вращении
твердого тела относительно полюса трения.
4.2.4. Сила трения
Представим себе, что твердое тело опирается на площадку ш и обозна-
чим через р плотность нормальных давлений. При вращении тела во-
круг точки С проекции главного вектора и главного момента относи-
тельно центра вращения выражаются формулами:
Т. = (///₽({,,) (2.19)
1J - I)' + (Ч - »)’
Ту = ~ef II(220)
Jj у/^~х) +(Ч-у)2
LJ
Lc = -е/ IIУ)-У(С - ж)2 + (у - у)2 (2.21)
UJ
При этом функция Жуковского определяется так:
Ь(*,у) = [[P& Tfh/(£~ + (У “ У)2 <^dr). (2.22)
В задаче о равновесии твердого тела на шероховатой плоскости важ-
ную роль играет следующая
Теорема Жуковского. Пусть на опорной плоскости выбран неко-
торый центр моментов (точка О). Определим относительно данного
центра моменты сил трения опорной площадки при поворачивании ее
около некоторого центра вращения (точки С). Тогда наибольший из
4.2. Теорема Жуковского
211
таких моментов, отвечающих различным центрам вращения, будет
принадлежать силам трения, возникающим при вращении площадки
относительно взятого центра моментов.
Для доказательства совместим начало координат с данным центром
моментов. Тогда момент сил трения относительно точки О при враще-
нии твердого тела вокруг точки С с координатами (т, у) будет выра-
жаться формулой
Lo = -'}[[[«« - г) + ,(,- ,)] V-
J J V(£~x) 2 + (т}-УГ
Отсюда при учете (2.19) - (2.21) получаем
Lo = Lc — уТх + хТу.
Рассматривая величину Lo как функцию переменных х и у, опреде-
лим экстремальные значения момента Lo при различных положениях
точки С. Уравнения, выражающие необходимые условия экстремума в
точке (т, у),
9Lp . dLp .
IT11'»’'0'
согласно соотношениям (2.7) могут быть преобразованы к виду
d2L d2L п d2L d2L п
+ У = °’ ХЯ~Л~ + У~а~2 ~ °-
дх2 дхду дхду ду2
Эти уравнения могут быть удовлетворены только предположением
т = 0иу = 0. В противном случае должно выполняться равенство
fd2L\ fd2L\ _ f d2L V = 0
\dx2) \dy2) \dxdy)
Однако, по аналогии с формулами (2.10),
d2L ff (t? - y)2 d£dri
dx2 J J № [(£ - x)2 + - y)2]3'2 ’
LU
&L_ ff , tf-x)2d£dTi
dy2 //№%-z)2 + (7?-y)2]3'2’
LU
d2 L ff x - x)(tj ~ y) d^dr)
dxdy~ J J P^[(£-;z;)2 + (77-y)2]3/2'
212
4. Равновесие тела на плоскости с трением
Поэтому квадратичная форма
d2L , d2L д2Ь; ,
+ 2^-г-5т<5у + -х-у<5?/ ,
ох2- дхду ду1
равная
II
P&Tl)[(y - Tf№ ~(х~ $)<fy]2
[(С - XY + (tj- у2)]3/2
d£dr),
(при условии р(£, т?) > 0 на площадке ш) положительно определена.
Таким образом, экстремум функции Lo(x, у) возможен только в цен-
тре координат. Наконец, в зависимости от направления вращения вели-
чина Lo может принимать как положительные, так и отрицательные
значения. Нетрудно показать, что величина момента сил трения отно-
сительно точки О, равная —eLo, принимает в начале координат макси-
мальное значение.
Совокупность сил трения, распределенных по площадке ш, можно
заменить статически эквивалентной силой Т с проекциями Тх, Ту, опре-
деляемыми формулами (2.19) и (2.20), линия действия которой отстоит
от центра вращения С на некотором расстоянии h. Согласно уравнению
моментов имеем:
_ fL(x,y)
(2.23)
Величины Т и h будем называть соответственно силой трения и
плечом силы трения площадки опоры ш при вращении относительно
центра С. В частном случае, когда центр вращения С совпадает с по-
люсом трения Со, имеем Тх = Ту = 0 и сила трения, распределенная по
площадке ш, приводится только к одной паре.
Ясно, что при изменении направления вращения вокруг точки С
вектор Т изменит свое направление. Из теоремы Жуковского вытекает,
что по данной прямой, проведенной по опорной плоскости, направляет-
ся только одна сила трения Т. В самом деле, если по данной прямой
направлены две силы трения Т и Ть причем |Т]| > |Т|, то, взяв центр
моментов в центре вращения С, соответствующем силе Т, найдем, что
момент силы Ti относительно этого же центра будет больше момента
силы Т, что противоречит утверждению теоремы. Таким же образом,
придем к противоречию, предположив Т; = Т при различных центрах
вращения С и Ci, отвечающим данным силам.
Другой вывод, который следует из теоремы Жуковского, заключает-
ся в том, что сила трения Т отстоит от соответствующего центра враще-
ния С дальше, нежели центр С, сил нормального давления опорной пло-
щадки. Действительно, если через h, обозначить расстояние от центра
вращения С до центра давления С., то, вспоминая, что через послед-
нюю точку проходит сила трения, имеющая (максимально возможную)
4.3. Условия предельного равновесия
213
величину fN и отвечающая бесконечно удаленному центру вращения,
по теореме Жуковского находим
Lc > h,fN,
(2.24)
где L — момент силы трения Т относительно центра вращения С. Со-
поставляя теперь неравенства (2.24), (2.23) и |Т| < fN, получаем
A. < h.
(2.25)
Неравенство (2.25) было установлено Н. Е. Жуковским (1892)257).
4.3. Условия предельного равновесия
4.3.1. Функция Жуковского
для круговой площадки
Пусть твердое тело опирается на площадку ш, передавая на основание
равномерно распределенное давление ро- В таком случае функция Жу-
ковского выражается интегралом
Цх,у)=р0 jj \Z(x - С)2 + (у - у)2 d^dr]. (3.1)
О/
Следуя А. И. Лурье258), введем величину
Ф^уНЛ [[ И1 “ О2 + (У “ у)2 d^dr), (3.2)
PI J J
Oi
имеющую размерность длины и определяемую исключительно геомет-
рией области ш, ее формой и размерами. Здесь через |ш| обозначается
площадь фигуры ш.
При вращении (в положительном направлении) твердого тела отно-
сительно точки С с координатами (х, у) величина Цх, у) с точностью до
множителя f равна моменту сил трения относительно точки С. Силы
трения, распределенные по площадке ш, статически эквивалентны си-
ле Т, действующей вдоль прямой отстоящей от точки С на некотором
расстоянии h, причем ее величина Т определяется из условия равенства
моментов fL = hT. С другой стороны, согласно (3.2) имеем: L = IN, где
257) Н. Е. Ж у к о в с к и й. Условие равновесия твердого тела, опирающегося на непо-
движную плоскость некоторой площадкой и могущего перемещаться вдоль этой
плоскости с трением // Собр. соя. Т. 1. М.;Л., 1949. С. 339-354.
2S8) А.И. Лурье. Аналитическая механика. М., 1961.
214
4. Равновесие тела на плоскости с трением
N = рор| — сила нормального давления. Поскольку Т < fN, причем
знак равенства отвечает случаю бесконечно удаленного центра враще-
ния, получаем неравенство I < h.
Для вычисления интеграла (3.2) применим метод, изложенный в
§1.5.1. От декартовых переменных интегрирования £ и ц перейдем к
полярным р и А с центром в точке С(х,у). Полагая £ = х + pcosA,
т] = х + psinA и заменяя элемент площади на pdpdX, в случае,
когда точка С лежит вне площадки ш, будем иметь:
Аг
Ы = Дг3(А) - r3(A)]dA, (3.3)
>1
где используемые обозначения показаны на рис. 1.
В случае, когда точка С лежит внутри области ш, получаем
2к
ф:,?/) = ^/г(А)3<и. (3.4)
о
Формулы (3.3) и (3.4) справедливы для выпуклой области ш.
Для круговой площадки ш радиуса а с центром в начале коорди-
нат согласно расчетам А. И. Лурье в случае расположения точки С вне
круга
£(г) _
а 9тг а3
(3-5)
где г — расстояние от центра вращения С др центра площадки опоры;
К и Е — полные эллиптические интегралы первого и второго родов.
В случае расположения точки С в пределах круговой площадки ш
имеем:
(3.6)
Заметим, что, когда центр вращения С совпадает с центром круга
и, то г = 0 и при учете значений Е(0) = К(0) = тг/2 согласно (3.6)
получается £(0) — (2/3)а.
4.3.2. Условия предельного равновесия
в случае осесимметричного
распределения нормальных давлений
Напомним, что при вращении твердого тела вокруг точки С(х, у) в по-
ложительном направлении проекции главного вектора сил трения Т вы-
4.3. Условия предельного равновесия
215
ражаются через функцию Жуковского по формулам (2.7) в виде
Тх(х, у) = f^(x, у), Ту(х, у) = -f^x, у). (3.7)
В рассматриваемом случае удобно перейти к полярным координа-
там с полюсом в центре круга ш, полагая х = г cosip и у = rsintp.
Соответственно вместо проекций Тх и Ту вектора Т на орты i и j введем
проекции Тг и Tv на орты полярной системы координат
ег — costpi + sintpj, ev = — sin 4-cos </?j. (3.8)
Поскольку Trer -f- Tvev = Txi + TJ, согласно (3.8) выполняются ра-
венства
Tr = Tx cos p + Ty sin p, Tv = —Tx sin p + Ty cos p.
Используя соотношения
dr dp sin p dr dp cos p
- = c°s^ ^ = -—; = &y= —
по формуле дифференцирования сложной функции получаем
dL dL sin 99 dL dL dL cospdL
dx C°S^dr r dp' dy Sm<^dr + r dp
Таким образом, формулы (3.7) при переходе к полярным координатам
преобразуются так:
При осесимметричном распределении нормального давления функ-
ция Жуковского зависит только от координаты г, т. е. dvL = 0 и, сле-
довательно,
Тг = 0.
Пусть к твердому телу, равномерно опирающемуся на круговую пло-
щадку радиусом а, приложена сдвигающая сила Fxi + FJ, линия дей-
ствия которой отстоит от центра площадки на расстоянии Ь. В положе-
нии предельного равновесия эта сила должна уравновешиваться силой
трения площадки, действующей вдоль данной прямой.
Так как, в силу симметрии, сила трения площадки перпендикулярна
прямой, проходящей через центр круговой площадки ш и центр враще-
ния (точки С), то последний должен лежать на прямой, проходящей че-
рез центр площадки ш и перпендикулярной линии действия сдвигающей
216
4. Равновесие тела на плоскости с трением
силы Fxi + При этом согласно неравенству (2.25) центр вращения
С отстоит от линии действия сдвигающей силы дальше нежели центр
опорной площадки. Таким образом, уравнения равновесия твердого те-
ла в предельном положении могут быть записаны так:
+ fL(r) = (г + b)y/F* + F* (3.9)
Ясно, что равновесие возможно лишь при условии y/F* -f- Ц < fN,
причем знак равенства отвечает случаю приложения сдвигающей силы
к центру площадки опоры. Если величина b отлична от нуля, то равно-
весие возможно при условии
/------ dt
yjF* + Ft<fN-(r), (3.10)
где — функция, определяемая выражениями (3.5) и (3.6), а ради-
ус г, равный расстоянию центра вращения от центра площадки опоры,
отыскивается как корень уравнения
— г = Ь.
дг1(г)
(з.п)
Когда действующая на твердое тело сдвигающая нагрузка характе-
ризуется главным вектором Fji + Fyj и главным моментом М2к, плечо
статически эквивалентной силы определяется по формуле
ь = Л
Если же Fx = Fv = 0 и сдвигающая нагрузка приводится к паре, то
согласно (2.4) равновесие будет возможным лишь при условии
|Мг| < fNt(0),
где в случае равномерно распределенного давления ^(0) — (2/3)а.
В общем случае осесимметричного распределения нормальных дав-
лений с плотностью р(т) по круговой площадке имеем:
а
У р(г)г2 dr
*(0) =
a
У p(r)rdr
о
4.4. Условия гарантированного равновесия
217
Решение рассмотренной задачи используется при расчете устойчи-
вости сооружений с плоской подошвой на сдвиг эксцентричной силой
(см. статью259’, где рассмотрен случай прямоугольной площадки ш).
Прикладные задачи равновесия механической системы с трением (и,
в частности, вопросы взаимодействия гусеничного самохода с опорной
поверхностью) рассматривались в книге260).
Заметим, что задача о движении диска по шероховатой плоскости в
случае равномерного нормального давления р(г) = ро исследовалась в
работе261). Случай анизотропного трения изучался в статье262). Задача
с распределением давлений по закону Герца р(г) = ро\/1 — (r/а)2 реше-
на в работе263) и более полно в работе264). В статье265) распределение
нормальных давлений под диском выбрано согласно закону Буссинеска
р(г) = Ро[1 — (r/a)2] 1|/2. Наконец, линейное неосесимметричное распре-
деление нормальных давлений, отвечающее случаю давления диска на
винклеровское основание, рассматривалось в монографии266).
4.4. Условия гарантированного равновесия
4.4.1. Гарантированное равновесие твердого тела
на шероховатой плоскости
Рассмотрим твердое тело, опирающееся на горизонтальную поверхность
в точках Pj, ..., Рп. Будем считать, что действующие на тело внешние
нагрузки, характеризуемые главным вектором F и главным моментом
Мо, таковы, что выполнены условия его неопрокидывания (см. § 1.3,
соотношения (1.6) и (1.10)).
259) А. Л. Можевитинов, С. А. Кузьмин, А.Ф. Попов. Расчет устойчивости
сооружений иа сдвиг эксцентричной силой // Изв. Всесоюзн. НИИ Гидротехники,
1971. Т. 95. С. 70-76.
260) Ф. А. О пей ко. Математическая теория трения. Минск., 1971.
2в1) А.Ю. Ишлинский, Б.Н. Соколов, Ф.Л. Черноусько. О движении
плоских тел при наличии сухого трении // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1981,
№4. С- 17-28.
2в2) Н.Н. Дмитриев. Движение диска и кольца по плоскости с анизотропным
трением // Трение и износ, 2002. Т. 23, №1. С. 10-15.
2вз) П. Контенсу. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее
учет в теории волчка // Проблемы гироскопии. М., 1967. С. 60-77.
264) В.Ф. Журавлев. О модели сухого трения в задаче качания твердых тел //
Прикл. матем. и мех., 1998. Т. 62. Вып. 5. С. 762-767.
2вБ) А. А. К и р е е н к о в. О движении однородного вращающегося диска по плоско-
сти в условиях комбинированного трения // Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 2002, №1.
С. 66-67.
2вв) В. Д. Мак-Миллан. Динамика твердого тела. М., 1951. (См. §72.)
218
4. Равновесие тела на плоскости с трением
Ф. Л. Черноусько267) ввел понятие условий гарантированного равно-
весия, обеспечивающих состояние равновесия при любом распреде-
лении нормальных реакций в статически неопределимом случае.
Говорят, что при заданных величинах F и Мо, и множестве то-
чек опоры Pi, .. .,РП выполнены условия гарантированного равнове-
сия, если для любых нормальных реакций Ni, ...,Nn, удовлетворяю-
щих уравнениям равновесия (1.2), существует набор касательных реак-
ций (Х\, Yi), ..., (Xn, Yn), удовлетворяющих соотношениям (1.3) и (1.4).
Приведем ряд утверждений, касающихся понятия гарантированного
равновесия. Так, если при некотором множестве точек опоры Pi, ..., Рп,
главном векторе F и главном моменте Мо внешних сил выполнены усло-
вия гарантированного равновесия, то они будут выполнены также при
том же множестве точек опоры и при F' и М'о, равных
F' = (pFx,pFy,XFz),
М'о = (ХМх, ХМУ, pMz), А > |д| > 0.
Далее, если при некотором множестве точек опоры Pi, .Рп, глав-
ном векторе F и главном моменте Мо внешних сил выполнены условия
гарантированного равновесия, то они будут выполнены и при тех же F и
Мо с множеством точек опоры являющимся подмножеством исходного
и удовлетворяющего условию (1.10). Иными словами, удаление опорных
точек при соблюдении условия неопрокидывания не нарушает условий
гарантированного равновесия.
4.4.2. Расчет условий
гарантированного равновесия
Если тело находится в равновесии при действии сдвигающих внешних
усилий, характеризуемых главным вектором Fxi+Fyj и главным момен-
том Mzk, то при вращении твердого тела вокруг любого возможного
центра вращения С с координатами (х,у) момент внешних сил отно-
сительно вертикальной оси, проходящей через точку С, не превышает
момента, создаваемого силами трения. Это условие выражается нера-
венством
п —___________
Mz - xFy + yFx<f^2 Pj(x> У)Щ; Pifa У) = (xj ~ x)2 + (% ~ У)2-
j=i
Таким образом, необходимое и достаточное условие отсутствия про-
скальзывания при заданных нормальных реакциях Ni, ...,Nn может
267> ф. Л. Черноусько. Условия равновесии тела на шероховатой плоскости //
Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 1988, J0 6. С. 6-17.
4.4. Условия гарантированного равновесия
219
быть записано так:
тах|<Э(т,?/)| < /;
Х,У
(4-1)
Q(x,y) =
Mz - xFy + yFx
£NjPj(x,y)
(4-2)
В соотношении (4.1) максимум отыскивается по всем значениям пере-
менных х и у, включая бесконечно удаленную точку, отвечающую слу-
чаю поступательного проскальзывания.
Если нормальные реакции известны, например, в случае п < 3 то
проверка условий равновесия сводится к вычислению максимума функ-
ции |Q(t, j/)| и проверке неравенства (4.1).
Условия гарантированного равновесия будут выполнены, если нера-
венство (4.1) соблюдается при всевозможных неотрицательных значе-
ниях М, ..., Nn, удовлетворяющих уравнениям равновесия (1.2). Итак,
условия гарантированного равновесия эквивалентны неравенству
max max Ю| < f,
х,у Nj>0
(4-3)
где выражение для Q определяется формулой (4.2). Максимум в соотно-
шении (4.3) отыскивается по всем значениям переменных х и у и по всем
реакциям М, ..., Nn, удовлетворяющим уравнениям равновесия (1.2).
Следуя Ф. Л. Черноусько, экстремальную задачу (4.3) перепишем в
виде
max.
x,V
\MZ - xFy + yFx\
mm^NjPj(x,y)
(4-4)
Поскольку задача о минимуме суммы Y^Pi^i ПРИ неотрицательных пе-
ременных Nj, ...,Nn, удовлетворяющим линейным уравнениям (1.2),
представляет собой задачу линейного программирования, искомый ми-
нимум знаменателя дроби в соотношении (4.3) достигается в одной из
вершин многоугольника, определяемого ограничениями (1.2) и (1.5).
Так как среди данных ограничений содержатся три равенства, то в вер-
шинах многоугольника во всех неравенствах Nj > 0, кроме трех, дости-
гается знак равенства. Тем самым, экстремум по переменным М, . ..,Nn
в соотношении (4.4) достигается тогда, когда все нормальные реакции
N, • • ,Nn равны нулю, кроме трех.
В случае ортотропного трения условия гарантированного равновесия
исследовались Н. Н. Дмитриевым и П. Е. Товстиком268).
268 * Н.Н. Дмитриев, П.Е. Товстик. К условиям равновесия тела на шерохо-
ватой плоскости // Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 1998, №6. С. 22-28.
220
4. Равновесие тела на плоскости с трением
4.5. Равновесие тела на плоскости
с анизотропным трением
4.5.1. Анизотропное трение
Сухое трение, для которого сила трения зависит от направления сколь-
жения, называется анизотропным26^. Анизотропное трение возникает,
в частности, из-за неоднородности материала трущихся поверхностей,
ориентированных следов механической обработки, износа поверхностей
трения. Многочисленные эксперименты позволяют записать закон ани-
зотропного трения в виде
Т = -NP-. (5.1)
v
Здесь Т — вектор силы трения; N — нормальная реакция, v — вектор
скорости движущейся точки; Р — матрица тензора трения, т. е.
7 = ( fxy ]. (5.2)
\ Jyx Jyy j
Согласно векторному равенству (5.1) проекции силы трения на оси
координат равны
N N
lx = ~(fxx^x + fxyVy)i Ту ~(fyxVx + fyyVy)‘
Поскольку мощность силы трения Т • v должна быть отрицатель-
ной для любого направления скорости, компоненты матрицы Р должны
удовлетворять неравенству
vVv > 0, (5.3)
где Т — знак транспонирования. Иными словами, матрица тензора тре-
ния должна быть положительно определенной. Для выполнения нера-
венства (5.3) согласно критерию Сильвестра необходимо и достаточно
положительности главных миноров матрицы Р, т. е.
!хх > 0, fxxfyy - fxyfyx > 0. (5.4)
Пусть угол в определяет направление скорости v по отношению к
выбранной системе координат, т. е.
v = u(cos Oi + sin Oi).
269’ В. Д. В а н т о p и н. Движение по плоскости с анизотропным трением // Трение
и износ в машинах, 1962. Сб. 16. С. 81-120. A. Zmitrowicz. Theoretical model of
anisotropic dry friction // Wear, 1981. V. 73. P. 9-39.
4.5. Равновесие тела на плоскости с анизотропным трением
221
Тогда согласно (5.1) проекции силы трения на оси системы координат
будут равны
Тх =-N(fxx cosd + fxySinO), Ту = -N(fyX cosO + fyy sin.0). (5.5)
Разложим силу трения Т на тангенциальную Тт и нормальную Tv
составляющие вдоль векторов т = cos + sin 0j и v — — sin Oi + cos 0j.
Обозначая через Тт и Tv проекции вектора Т на векторы т и м, будем
иметь:
Тт = —N(fxx cos2 0 + (fxy + fyX) cos 0 sin 0 + sin2 0),
Tu = -N(fyx cos2 0 + (fyy - fxx) cos 0 sin 0 - fxy sin2 0).
Ввиду неравенств (5.4) справедливо неравенство Тт < 0. Направления
скольжения, вдоль которых вектор силы трения противоположен век-
тору скорости, т. е. Т„ = 0, называются главными направлениями сколь-
жения.
Главные направления скольжения определяются собственными век-
торами матрицы У. Случай когда главные направления перпендику-
лярны, называется ортотропным трением. В (ортогональной) системе
координат, связанной с главными направлениями, матрица ортотропно-
го трения диагональна.
Обозначим через а € (—тг/2, тг/2) угол между вектором — т и Т,
определяемый соотношениями
Т Т
cosa = ——7, sina = —7,
Т’ Т
где на основании формул (5.5) модуль вектора силы трения равен
Т = N | (/2Я+/2Я) cos2 0 + (Д+fa) sin2 0 +
ч 1/2
“b %(fxxfxy “b fyx “b fyy) sin$ COS 0 z
Подчеркнем, что величина а зависит от направления скольжения, опре-
деляемого углом 0.
4.5.2. Поступательное перемещение твердого тела
Пусть твердое тело опирается на горизонтальную шероховатую плос-
кость с однородным анизотропным трением в п > 2 точках Pj с коорди-
натами (xj,yj). Предполагаем, что выполнены условия его неопрокиды-
вания и нормальные реакции Nj, .. .Nn, удовлетворяющие уравнениям
(1.8) известны.
222
4. Равновесие тела на плоскости с трением
В свою очередь, касательные реакции (Xi, Ух), ..., (Хп, Уп) должны
удовлетворять уравнениям равновесия
п п п
£Xj+Fi = 0, £У; + ^ = 0, Y/(xjYj-yjXj) + Mz = O. (5.6)
7=1 7=1 7=1
Здесь Fxi + Fjj и Mzk суть главный вектор и главный момент сдвигаю-
щих сил, действующих на тело.
Выясним при каких условиях начальное смещение твердого тела бу-
дет поступательным. В этом случае (согласно (5.5)) все силы трения
должны быть коллинеарны:
Tj - -Nj [(/м cos в + fxy sin 0)i + (/И1 cos в + fn sin 0)j], (5.7)
где угол в определяет направление страгивания.
Подставляя компоненты Xj и Yj вектора Ту, определяемые выраже-
нием (5.7), в уравнения равновесия (5.6), получаем
fxx fxy | f COS 0 \ ______ 1 f Fx A
fyx fyy J \ / 52 Nj \ Fy )
(5-8)
n n
(Jyx cos 0 + fyy sin 0) ^2 Nixj ~ (fxx cos 0 + fxy sin 0) ^2 NjVj ~ Mz.
7=1 7=1
Вспоминая определение координат (т», yt) центра давления С», послед-
нее уравнение переписываем
[t»(/!/icos0 + fyySLnO} - 2/»(/XIcos0 4- /I!zsin0)] 52 Ху = Mz. (5.9)
7=1
Если теперь поступательно перенести оси координат, совместив начало
с точкой С*, то уравнение (5.8) остаются без изменения, а уравнение
(5.9) примет исключительно простой вид: Mz = 0. Тем самым, в рас-
сматриваемом случае момент внешних сил относительно вертикальной
оси, проходящей через центр давления, должен быть равен нулю.
Из уравнения (5.8) определим направление возможного поступатель-
ного перемещения. Используя формулы Крамера, решение системы ли-
нейных уравнений (5.8) находим в виде
COS0 =
sin0 =
_____fyyFy ~ fxy Ру_____
(fXX fyy ~~ fxyfyx) 52 Nj
fxxFy ~ fyxFx
(fxx fyy ~ fxyfyx) 52 Nj
(5.10)
(5.11)
4.5. Равновесие тела на. плоскости с анизотропным трением
223
Таким образом, начальное смещение твердого тела будет поступа-
тельным тогда н только тогда, когда внешние касательные нагрузки
статически эквивалентны силе F.J + Fjj, линия действия которой про-
ходит через центр давления С,. Прн этом согласно уравнениям (5.10) н
(5.11) критическое значение сдвигающей силы зависит от ее направле-
ния н определяется уравнением
z n v 2
(fyyFx ~~ fxyFy) + (fxxFy ~ fyxFx) = (fxxfyy ~ fxyfyx) ( \\ Nj I • (5.12)
\=1 '
Это уравнение определяет на плоскости переменных Fx и Fy эллипс с
центром в начале координат. Заметим, что уравнение (5.12) не зависит
от расположения точек опоры.
4.5.3. Задача о равновесии скамьи Жуковского
на плоскости с ортотропным трением
Рассматрнм твердое тело, опирающееся на две материальные точки Pi
н Pi- Нормальные реакции в точках Pi и Рг с координатами (ii,?/i) н
(а?2, J/г) обозначим через Ni и Ni. Условия равновесия твердого тела, прн
действии на него сдвигающих нагрузок, в случае N = М впервые были
получены Н.Е. Жуковским (1892). В общем случае (прн изотропном
треннн) задача рассматривалась в работе Г. К. Пожарнцкого270) и была
решена Ф. Л. Черноусько (1988).
Пусть на тело действует сила Fxi + Pjj, приложенная в центре масс
н активный момент перпендикулярный к плоскости скольжения Mzk.
Условия начала плоско-параллельного движения можно рассматривать
как условия начала вращения вокруг некоторой точки С с координата-
ми (х, у). Эта точка является мгновенным центром ускорений. Так как в
270) Г.К. Пожарицкий. Распространение принципа Гаусса на системы с сухим
трением // Прикл. матем. и мех., 1961. Т. 25. Вып.З. С. 391-406.
224
4. Равновесие тела на плоскости с трением
начальный момент угловая скорость равна нулю, ускорение любой точ-
ки тела определяется величиной углового ускорения £о и расстоянием
от нее до начального центра вращения С.
Для того чтобы движение твердого тела не началось необходимо,
чтобы ускорение центра масс и угловое ускорение равнялись нулю. Пер-
вое условие удовлетворяется выбором координат точки С согласно урав-
нению равновесия Т + Fxi + Fjj = 0, где Т — сила трения, действующая
на механическую систему. Поскольку величина и направление силы Т
зависят от местоположения центра вращения С, согласно анизотропно-
му закону трения (5.1) имеем:
Z? а/(^ - а;)2 + (%• - J/)2
2
Fy + fy^
3=1
Njjxj-x)
\faj - 2?) 2 + (yj - у)2
= 0.
(5.13)
(5-14)
Условие равенства нулю углового ускорения выполняется, если сум-
ма момента внешних сил и момента сил трения относительно точки С
будет равняться нулю. Но так как в уравнениях (5.13), (5.14) для сил
трения фигурируют выражения, которые характеризуют предельную
силу трения, и эти же выражения используются при составлении мо-
мента сил трения, то равенство заменяется неравенством:
где tj = (xj,yj, 0) — радиус-вектор точки Pj: тс — радиус-вектор точ-
ки С; Ту — сила трения, действующая на точку опоры Pj.
Для определения координат точки С запишем систему уравнений
(5.13), (5.14) в виде:
F | MA(yi-y) , МЛ(уг-у)
У(а?1 - х)2 + (yi - у)2 у/(х2-х)2 + (у2-у')2
F I _ Nify(xi ~х) , N2fv(x2 - х)
У \/(zi - х)2 + (t/1 - у)2 у/(х2 - х)2 + (у2 - у)2
Рассмотрим треугольник АСР1Р2 (см. рис. 16) и выразим значения
дробей, стоящих в уравнениях (5.16), (5.17) через тригонометрические
функции углов а и /3 следующим образом:
Х{ — х
У1 — У
—====== = - sin a, —======= = - cos a,
y/(X! -Х)2 + (У! - у)2 y/(Xi - X)2 + (yi - y)2
4.5. Равновесие тела на плоскости с анизотропным трением
225
Х2 — X
^2 У-------= cos/З, = = sin/3.
у/(Х2 - х)2 + (у2 - у)2 у/(х2 ~ X)2 + (у2 - у)2
Подстановка данных выражений в уравнения (5.16), (5.17) дает
Fx ~ Nifx sin a + N2fx cos /3 = 0,
Fy + Nify cos a - N2fv sin/3 = 0.
(5.18)
(5.19)
Разделив уравнение (5.18) на fx, а уравнение (5.19) — на'fy, получаем
A
fx
Ni sin a + N2 cos /3 = 0,
F
ry
fy
+ Nj cos a — N2 sin /3 = 0.
(5.20)
Из системы (5.20) следуют соотношения
sina= -zrr(Fx + N2fxcos0), cosa =—^-(-Fj, + N2./vSin/3); (5.21)
I'l/x ^IJy
sin/3 = ~rrr(Fy + M fy cos a), cos/3 = -ttt(-Fx + Nrfx sina). (5.22)
^ijy N2jx
Возведем в квадрат выражение (5.21) для sin а и сложим с квадратом
соответствующего выражения для cos а. После некоторых преобразова-
ний для определения sin /3 получаем квадратное уравнение
F2 F21
. J x Jy /
1
+ 4-^2
N2fy L
Nl - N*
Nl~Nl + -fi + -p sin/3+
F2 У
-£ = 0.
fx
F2!2
f2
Jy -l
A2
A2
(5.23)
Поступая аналогично с соотношениями (5.22) для sin /3 и cos /3, для отыс-
кания sin а выводим следующее уравнение:
F2 F2\ . 2 F2
f2 + f2) 8Ш 01
1 ’
+ 4M2:
/V2 _ ТУ2
МА 1 2
тр2
м2-м2 + ^+^-
„ F2 F2!
k+jf sinQ +
A?l2
42J f2y ’
(5-24)
Разрешая уравнения (5.23), (5.24) относительно sin/3 и sin a, находим
/F2 F2\l-1f FT „ F2 F21 ,__
Г / F2 F2\l-1f Fl F2 F2! __
226
4. Равновесие тела на плоскости с трением
Здесь Da и Dp — дискриминанты уравнений (5.23) и (5.24), причем
р2 /?2-12
2V2 2V1 + f2 + f2 f’
Jx Jyit
F2 12'
tf2_tf2 + -^ + -f. .
Jx Jy J
Для того чтобы величины Dg и Da были неотрицательными, необ-
ходимо выполнение условия
|№-М| <J-% + -£<N1+N2. (5.25)
у fx Jy
Заметим далее, что если нарушена правая часть ограничения (5.25), то
сила Fxi + Fjj пересекает границу эллипса трения
у2 у2
(М+№)2/2 + (М + №)2/2 = 1 {5’26)
и, следовательно, условия равновесия нарушены. Далее, из уравнений
(5.20) вытекает равенство
р2 ;?2
ТТ + ТТ = N" + N2 - 2N^ sin(" + Vh
fz fy
которое при нарушении левой части неравенства (5.25), т. е. при
/-2f2 + 42f2<|№-mi2,
влечет за собой неравенство
N* + Nl - 2N,N2 sin(a + /3) < Nf + Nl - 2NrN2,
откуда немедленно следует sin(a + /9) > 1, что невозможно.
Итак, при нарушении левой части ограничения (5.25) система (5.20)
решений не имеет.
Подчеркнем что, при нарушении правой части двойного неравенства
(5.25) движение начинается. Нарушение же левой части ограничения
(5.25) не ведет к пересечению силой Fxi 4- границы эллипса трения
(5.26), но при этом отсутствует возможный центр вращения, не совпа-
дающий с какой-либо из точек опоры. Иными словами, вращение может
начаться вокруг какой-либо из точек Pi или Р2.
4.5. Равновесие тела на плоскости с анизотропным трением
227
Таким образом, если точка С не совпадает с точками опоры, то ее
координаты могут быть найдены по формулам
х = а?1 +
I cos(/3 + Л)
cos(a + /3)
cos о
У = 2/1 +
I cos(/3 + Л)
cos(a + /3)
sin а,
где I — длина отрезка PiP?-
Касаясь рассмотрения возможного начального вращения вокруг од-
ной из точек опоры, заметим, что под равновесием системы следует
понимать покой центра масс системы и условие отсутствия вращения
вокруг него (или вокруг какой-либо иной точки).
С другой стороны, можно потребовать271), чтобы силы трения, воз-
никающие в точках контакта, находились внутри эллипса трения. На-
хождение силы трения внутри эллипса трения означает, что эта сила не
достигла своего предельного значения. Тем самым, ни одна точка опо-
ры своего скольжения не начинает, и, следовательно, система целиком
останется в покое.
Расположение вектора силы трения внутри эллипса трения только
для одной точки влечет вращение вокруг этой точки. Исследование слу-
чая совпадения центра начального вращения С с одной из точек Pi или
Рг было проведено в работе272).
Рис. 17
В качестве примера рассмотрим случай JVj = Nj. На рис. 17 и 18
изображены кривые (для различных положений системы, определяемых
углом А), разделяющие плоскость (Mz, F) на две части. Внутренняя
часть, находящаяся под кривой, соответствует равновесию тела, дру-
271 * Н.Н. Дмитриев. О начале движения материальной точки по плоскости с
анизотропным трением // Вести. СПбУ. Сер. Математика, механика, астрономия,
1993. Вып. 1. С. 122-124.
2721 Н. Н. Д м и т р и е в. Начало движения тел по плоскости с ортотропным трением
// Динамика и устойчивость динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петербургского
ун-та, 1995. С. 14-20.
228
4. Равновесие тела на плоскости с трением
гая, расположенная над кривой, — потере равновесия. В точках гра-
ницы (предельное положение равновесия) моменту Mz сопоставляется
значение силы F, при котором начинается движение. На рис. 17 указан-
ная зависимость построена для направления силы F, соответствующего
углу <р = 0, на рис. 18 для <р = тг/2. На каждом из этих графиков изоб-
ражено пять линий. Кривая 1 соответствует углу ориентации отрезка
РгР2 А = 0, 2 - А = тг/6, 3 - А = тг/4, 4 - А = тг/З, 5 - А = тг/2.
Заметим, что необходимые и достаточные условия равновесия твер-
дого тела, опирающегося двумя точками на шероховатую цилиндриче-
скую поверхность (в случае изотропного трения) были получены в рабо-
те273 \ Задача о равновесии стержня на шероховатой плоскости изучена
в работе274^ в предположении, что вес стержня распределен равномерно
по всей его длине.
273'Н. Н. Болотник, С.А.Кумакшев. О равновесии абсолютно твердого тела,
опирающегося на внутреннюю шероховатую поверхность цилиндра // Изв. РАН.
Мех. тверд, тела, 2000, J0 1. С. 58-69.
274' А. С. С м ы ш л и е в, Ф.Л. Черноусько. Условие равновесия стержня на ше-
роховатой плоскости // Прикл. матем. и мех., 2002. Т. 66. Вып. 2. С. 177-182.
Оглавление
Предисловие ........................................ 3
От авторов.......................................... 4
Глава 1. Контактные задачи линейной теории упругости 6
1.1. Действие давления на упругое полупространство .... —
1.1.1. Постановка задачи о действии на упругое полупро-
странство сосредоточенной силы...................... —
1.1.2. Применение метода теории размерностей...... 8
1.1.3. Решение задачи Буссинеска.................... 9
1.1.4. Перемещения и напряжения в упругом теле при
действии на его границу сосредоточенной силы . . 12
1.1.5. Перемещения и напряжения в упругом теле при дей-
ствии на его границу давления...................... 15
1.1.6. Действие на упругое тело давления, распределен-
ного по круговой области........................... 17
1.2. Задача о давлении штампа на упругое полупространство 21
1.2.1. Постановка линейной контактной задачи...... —
1.2.2. Емкостные характеристики штампа..............24
1.2.3. Давление на упругое полупространство кругового
или эллиптического штампа с плоской подошвой 28
1.2.4. Теорема Моссаковского........................30
1.2.5. Задача для эллиптического штампа.
Теорема Галина......................................32
1.2.6. Задача для эллиптического штампа.
Метод Довноровича...................................36
1.2.7. Давление на упругое полупространство кругового
штампа с полиномиальным основанием..................39
1.3. Осесимметричная контактная задача..................42
1.3.1. Общее решение интегрального уравнения осесим-
метричной контактной задачи в случае круговой
площадки контакта................................... —
1.3.2. Общее решение контактной задачи в случае неиз-
вестной круговой площадки контакта..................47
230
Оглавление
1.3.3. Давление на упругое тело штампа, ограниченного
поверхностью хз = — Ат2п............................53
1.3.4. Давление на упругое тело штампа, ограниченного
поверхностью хз = —Агх............................. 59
1.4. Контактная задача без трения с неизвестной областью
контакта................................................62
1.4.1. Постановка конструкционно нелинейной контакт-
ной задачи......................................... —
1.4.2. Вариационная формулировка задачи односторон-
него контакта без трения.......................... 64
1.4.3. Давление на упругое тело штампа в форме эллип-
тического параболоида...............................65
1.4.4. Потенциальная энергия деформации полубесконеч-
ного упругого тела.................................69
1.4.5. Применение качественных методов в задаче одно-
стороннего контакта без трения.....................70
1.5. Задача Герца..................................... 74
1.5.1. Постановка задачи о сжатии упругих тел....... —
1.5.2. Применение метода подобия....................77
1.5.3. Основные уравнения теории Герца..............78
1.5.4. Напряженное состояние в зоне контакта......80
1.6. Действие касательных нагрузок на полупространство . . 82
1.6.1. Задача Черрути............................... —
1.6.2. Действие на полупространство касательных усилий,
распределенных по круговой площадке................83
1.7. Задача о контакте двух упругих тел с сухим трением . . 87
1.7.1. Перемещение точек упругих тел в окрестности зо-
ны локального контакта............................. —
1.7.2. Граничные условия одностороннего контакта с су-
хим трением....................................... 89
1.7.3. Постановка задачи локального контакта двух упру-
гих тел с сухим трением............................91
1.8. Теория Каттанео — Минддина контакта упругих тел с су-
хим трением.............................................93
1.8.1. Контакт шаров без проскальзывания............ —
1.8.2. Контакт шаров с полным проскальзыванием ... 95
1.8 3. Контакт шаров с проскальзыванием и сцеплением . —
1.8.4. Основные соотношения теории контакта упругих
тел с сухим трением................................98
1.9 . Контактная задача со сцеплением.................100
1.91. Постановка контактной задачи со сцеплением ... —
Оглавление
231
1.9.2. Емкостные характеристики кругового штампа, сцеп-
ленного с упругим полупространством................102
1.10. Контактные задачи для квазиклассического основания . 104
1.10.1. Матрица влияния.................................... —
1.10.2. Матрица-ядро квазиклассического ЛДО............107
ЫО.З.Давление гладкого кругового штампа на квазиклас-
сическое основание............................108
1.10.4. Давление на квазиклассическое ЛДО штампа с по-
верхностью х3 = —Аг*...............................110
Глава 2. Задачи упругого дискретного контакта.112
2.1. Взаимодействие штампов на упругом полупространстве . —
2.1.1. Задача Галина....................................... —
2.1.2. Постановка задачи для системы штампов...........115
2.1.3. Метод Андрейкива—Панасюка..........................117
2.1.4. Приближенное определение сил и моментов, дей-
ствующих на штампы.................................119
2.1.5. Метод локализации..................................121
2.1.6. Применение теоремы Моссаковского для оценки сил
и моментов, действующих на штампы..................124
2.1.7. Метод сращиваемых разложений.......................126
2.1.8. Улучшенный метод сращиваемых асимптотических
разложений.........................................130
2.2. Асимптотические модели упругого дискретного контакта 132
2.2.1. Метод Александрова.................................. —
2.2.2. Контактная жесткость упругого основания для си-
стемы штампов......................................135
2.2.3. Моментная асимптотическая модель контакта си-
стемы штампов с упругим полупространством. . . 137
2.2.4. Асимптотическая модель одностороннего контакта
системы круговых штампов с полупространством . 142
2.2.5. Асимптотическая модель одностороннего контакта
системы штампов в форме эллиптических парабо-
лоидов с упругим полупространством.................144
2.2.6. Асимптотическая модель контакта системы штам-
пов, сцепленных с упругим полупространством . . 147
2.3. Асимптотические модели дискретного контакта с ЛДО . 151
2.3.1. Асимптотическая модель одностороннего контакта
системы цилиндрических штампов с квазикласси-
ческим основанием................................... —
2.3.2. Вариационная формулировка задачи односторон-
него дискретного контакта.........................154
232
Оглавление
2.3.3. Асимптотическая модель одностороннего контакта
системы штампов в форме эллиптических парабо-
лоидов с квазиклассическим основанием.............156
2.4. Равновесие твердого тела, без трения опирающегося на
упругое основание в нескольких точках.................157
2.4.1. Условия совместности перемещений............. —
2.4.2. Условия полного контакта....................160
Глава 3. Задачи контакта шероховатых упругих тел . . 161
3.1. Геометрические характеристики реальной поверхности —
3.1.1. Макроотклонения и волнистость................ —
3.1.2. Шероховатость и субшероховатость............162
3.1.3. Контурная площадь контакта..................164
3.1.4. Опорная кривая профиля......................165
3.1.5. Связь кривой опорной поверхности с распределе-
нием выступов по высоте...........................167
3.2. Теория Крагельского —Демкина упругого контакта ше-
роховатой поверхности с гладкой.......................169
3.2.1. Зависимость фактической площади контакта от ве-
личины сближения поверхностей...................... —
3.2.2. Зависимость сжимающей нагрузки от сближения
контактирующих тел................................170
3.2.3. Зависимость сближения между шероховатыми по-
верхностями от контурного давления................172
3.2.4. Зависимость фактической площади контакта от кон-
турного давления..................................173
3.2.5. Расчет основных характеристик контакта шерохо-
ватых поверхностей................................174
3.3. Фрактальный контакт..............................176
3.3.1. Фрактальная шероховатость.................... —
3.3.2. Фрактальная модель Бородича — Мосолова для про-
филя шероховатой поверхности................177
3.3 3. Контакт фрактального штампа с основанием Фус-
са—Винклера.................................179
3.3 4. Опорная кривая профиля фрактального штампа . 181
3.4. Упругий контакт шероховатых поверхностей.........182
3.4.1. Зависимость сжимающей нагрузки от сближения
контактирующих тел................................. —
3.4.2. Зависимость фактической площади контакта от ве-
личины сближения упругих тел......................185
3.4.3. Зависимость фактической площади контакта от кон-
турного давления ................................... —
Оглавление
233
3.4.4. Предварительное смещение при упругом контакте
шероховатых тел..............................186
3.5. Контактная задача для шероховатого полупространства. —
3.5.1. Постановка задачи и ее обсуждение............ —
3.5.2. Применение теоремы Моссаковского............191
3.5.3. Определение параметров аппроксимации........192
3 5.4. Случай малой шероховатости..............194
Глава 4. Равновесие тела на плоскости с трением .... 195
4.1. Уравнения равновесия тела на плоскости с трением ... —
4.1.1. Закон Амонтона—Кулона........................ —
4.1.2. Уравнения статического равновесия...........196
4.1.3. Определение нормальных реакций..............198
4.1.4. Определение начального центра вращения .... 199
4.1.5. Вывод уравнений равновесия из принципа возмож-
ных перемещений...................................201
4.1.6. Поступательное перемещение твердого тела. . . . 203
4.2. Теорема Жуковского...............................204
4.2.1. Функция Жуковского........................... —
4.2.2. Полюс трения................................206
4.2.3. Действие на тело пары сил...................208
4.2.4. Сила трения. . . ...........................210
4.3. Условия предельного равновесия...................213
4.3.1. Функция Жуковского для круговой площадки . . —
4.3.2. Условия предельного равновесия в случае осесим-
метричного распределения нормальных давлений . 214
4.4. Условия гарантированного равновесия..............217
4.4.1. Гарантированное равновесие твердого тела на ше-
роховатой плоскости................................ —
4.4.2. Расчет условий гарантированного равновесия . . . 218
4.5. Равновесие тела на плоскости с анизотропным трением . 220
4.5.1. Анизотропное трение.......................... —
4.5.2. Поступательное перемещение твердого тела. . . . 221
4.5.3. Задача о равновесии скамьи Жуковского на плос-
кости с ортотропным трением.......................223
Учебное издание
Аргатов Иван Иванович,
Дмитриев Никита Николаевич
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОГО
ДИСКРЕТНОГО КОНТАКТА
Оригинал макет подготовлен авторами
ЛР К» 010292 от 18.08.98
Сдано в набор 05.03.03.
Подписано в печать 02.06.03. Формат издания 60 х 90*/„.
Бумага офсетная. Гарнитура RoManic. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 15,0. Уч.-изд. л. 14,3. Тираж 1000 экз. Заказ № 238
ФГУП «Издательство “Политехника”».
191011, Санкт-Петербург, Инженерная ул., 6.
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ГУП «Типография им. П. Ф. Анохина».
185005, г. Петрозаводск, ул. «Правды», 4.
Г Убедительная просьба
Ко всёмъ члтйющимъ и разенагриваю *
щммь книги, эстампы фотиграфт и т д. j
I 1) НикакИхъ лодрисовокъ, раскраши-
I ван!й и отмФтОкъ не делать; I
| 2) при перечистыванJM страниц.^ п-айь- ‘
цы отнюдь не мочить! 1
3) перелистывать медленно и аккуратно, 5
чтобы нечаянно углы «границъ и пакле- <
енныхъ рисунков ь не Загнуть и не смять, ;
а также проклавку и?ъ папиросной бума- j
ги между рисунками не испортить, j
4} при раэсмвтриважи зставдовъ, фо- J
Тограф;й и рисун ков ъ въ кмигахъ не курить J
и табачннмъ дымом~ь ихъ не обдавать; 9
лередъ начнломъ разсматриван1я и j
чтешя руии тщательно мыть: потными I
рунами также отнюдь не брать; I
6] нъ Самому рисунку на зстдо!.тМъ фо !
тографамъ и г. д. пальцами не лрикосатьсв; <
7) Обложку или лереплетть книги пе- 5
I ред-ь чгеыемъ обертывать въ бумагу; J
I 6) листы КНИГИ Для памяти не загибать, I
| 9} въ карманахъ ннигъ не носить или ;
I же употребляя при этомъ особою предосто- j
( рожндсть, чтобы пниги не испачкались И J
%. не измялись.