INTRODUCTION TO FOURIER ANALYSIS
ON EUCLIDEAN SPACES
By EHas M. Stein <$ Guido Weiss
Princeton, New Jersey, Princeton University Press 1971
И. СТЕЙН, Г. ВЕЙС
ВВЕДЕНИЕ В ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
НА ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Перевод с английского
В, В, ЖАРИНОВА
Под редакцией
Е. Д. СОЛОМЕНЦЕВА И "с. В. СТЕЧКИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1974

И. СтеЙн, Г. ВеЙс
ВВЕДЕНИЕ В ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
НА ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Редактор Н. И. Плужкикова
Художник А. В. Шипов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. И. Манохина
Слано в набор 29/V 1974 г. Подписано к пе-
печати 30/Х 1974 г. Бумага тип. №3 60Х90'/16.
10,5 бум. л. 21 печ. л. 19,92 уч.-изд. л.
Изд. № 1/7446. Цена Г р. 58 к. Зак. Jft 437.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР>
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Отпечатано в ордена Трудового красного Знамени
Ленинградской типографии № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
При Государственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли, 198052, Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29, с матриц
Головного предприятия республиканского
производственного объединения «Полиграфкнкга»
Госкомиздата УССР, г, Киев, ул, Довженко, 3

Эта книга посвящается Л. Зигмунду
в знак признательности ва его дружбу,
ва то, что он нас многому научил и
вдохновил на исследования
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
Эта книга является введением в гармонический анализ на ев-
евклидовых пространствах. Данная область математики за последние
двадцать лет достигла бурного расцвета, но мы не пытались охва-
охватить все фазы этого развития. Скорее нашей задачей было проил-
проиллюстрировать применяемые в этом разделе гармонического анали-
анализа различные методы, использующие структуру евклидовых про-
пространств. В частности, мы пытаемся показать, какую роль играют
здесь сдвиги, растяжения и вращения. Другой задачей, связанной
с этой главной, является мотивировка изучения гармонического
анализа на более общих пространствах, имеющих аналогичную
структуру (например, на симметрических пространствах). Мы по-
полагаем, что изучение гармонического анализа в этой и других об-
общих постановках становится, более содержательным после того,
как хорошо изучен евклидов случай.
В связи с этим мы ие включили ряд вопросов, которые обычно
приводятся в более общих трактатах по гармоническому анализу.
Это касается, например, результатов, сконцентрированных вокруг
тауберовой теоремы Винера, справедливых в случае произвольных
локально компактных абелевых групп и не связанных со спецификой
евклидовых пространств. Короче говоря, наш подбор материала
мотивирован желанием показать, как методы вещественного и ком-
комплексного анализа обобщаются с одномерного случая на много-
многомерный.
Предполагается, что читатель владеет теорией интегрирования
и теорией функций комплексного переменного в объеме обычных
курсов. Мы также полагаем, что эта книга принесет больше пользы
тому, кто имеет некоторое предварительное знакомство с гармони-
гармоническим анализом. Читателям, незнакомым с этим предметом, ре-
рекомендуется сначала просмотреть обзорную статью «Гармонический
анализ» (см. Вейс [3]).
Идея написания этой кингн впервые возникла у нас при изло-
изложении некоторых вопросов в курсе, который мы читали в 1958/59
учебном году. После этого каждый нз нас читал лекции по данному
предмету в разное время и в различных местах. Mft благодарны кол-
коллегам и слушателям, которые помогли нам прояснить наши идеи и
собрать этот материал вместе.
И, Стейн
Г. Вейс
Глава I
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
В этой главе вводится преобразование Фурье и изучаются его наиболее эле-
элементарные свойства. Большая часть материала этой главы достаточно стандартна,
поэтому наше изложение будет кратким. Сначала мы рассматриваем преобразо-
преобразования Фурье на пространствах L1 (Еп) и I? (En). Этому посвящены первые два па-
параграфа. Формальные аспекты преобразования Фурье легче описываются в тер-
терминах обобщенных функций; поэтому в третьем параграфе мы расширяем наше
определение на пространство обобщенных функций медленного роста. Читатель
заметит, что в этой главе мы в основном используем инвариантность евклидовых
пространств относительно сдвигов'. Однако в следующих главах (и особенно в гла-
главе IV) важную роль играют вращения в этих пространствах.
1. Основная /Атеория преобразования Фурье
Мы начнем с введения обозначений, которые будут использо-
использоваться во всей книге. Через Еп обозначается n-мерное (веществен-
(вещественное) евклидово пространство. Его элементы мы обычно будем обо-
обозначать х = (xlt ,.., хп), у = (ylt ..., уп), ... . Скалярное произве-
п
дение элементов х, у ? Еп есть число х . у = 2 х/У/\ норма
/='
элемента х ? Еп есть (неотрицательное) число | х| = ух . х;
далее, dx = dxx... dxn обозначает элемент обычной лебеговой меры.
Мы будем иметь дело с различными пространствами функции,
определенных на Еп. Простейшие из них — это пространства
Lp = Lp {En), 1 < р< со, т. е. пространства всех измеримых функ-
функций /, таких, что 1/|р = ( J |f(*)|'dx| P<oo. Число |/||р назы-
вается Lp-нормой f. Пространство L™ (Еп) состоит из всех су-
существенно ограниченных функций иа Еп\ для f ? Vе1 (Еп) мы по-
положим норму. 1/|оо равной существенной верхней грани |/(а:)| иа
Еп1К, Часто более естественно, чем L00 = Vя {Еп), возникает
') Мы говорим, что функция / эквивалентна g, если / (х) — g (x) почти всюду
на Еп, для любых /, g ? LP (?„), i ^ р ^ оо. Если рассмотреть соответствующие
классы эквивалентности и положить норму класса равной норме любого из его
представителен (очевидно, что Ц/||р= |g|!p, если / эквивалентна #), то мы полу-
получим банахово пространство. Будем обозначать это пространство также IP (En).
Какое из этих пространств LP (Еп) рассматривается в данный момент, будет оче-
очевидно из коитекста.

Гл. I. Преобразование Фурье
пространство Со всех непрерывных, функций, обращающихся в
нуль иа бесконечности, с только что4 описанной 1*°-нормой.
Если не указано противное, все функции предполагаются комплекс-
нозначиыми. Все встречающиеся функции считаются измеримыми
(по Борелю).
Пусть f?Lx{En)\ преобразование Фурье функции /есть функ-
функция /, определяемая равенством
&н
®I
м*.
для всех х ? Еп. Легко установить следующие результаты:
Теорема 1.1. (а) Отображение f -*- f есть ограниченное ли-
нейное преобразование из Ьг(Еа) в L°° (Еп), причем Ц^^Ц^;
(Ъ)если /? L1 (?"„), то f равномерно непрерывна.
Теорема 1.2 (Риман — Лебег). Еслиf^L1 (En),тоf(x) -*-0 при
|х|-»-оо; отсюда, в силу предыдущей теоремы, /|J Cq.
Теорема 1Л очевидна; более того, очевидна и теорема 1.2,
когда f есть характеристическая функция я-мерного интервала
/ =» {л: € Еп\ «1 < ^i < ^i йп < хп < Ьп) (так как мы можем
вычислить / явно повторным интегрированием). То же самое, сле-
следовательно, верно ,и для конечных линейных комбинаций таких
характеристических функций. Результат для произвольной / ?
? L1 (Вп) легко доказывается приближением / по /Лиорме такими
линейными комбинациями g, так как тогда /^ff-r- it — ?)i гДе
f—g равномерно мала (по теореме 1.1 (a)), a g (х) ->- 0 при | х \ ->- со.
Теорема 1.2 дает необходимое условие того, чтобы данная функ-
функция была преобразованием. Фурье некоторой функции из L1 (?„).
Принадлежности к пространству С„, однако, далеко не достаточно
(см. 4.1).
Приведенное выше определение преобразования Фурье немед-
немедленно распространяется на конечные борелевские меры; если у, —
л
такая мера на ?„, определим ц- равенством
Теорема 1.1 будет справедлива для этих преобразований Фурье,
если мы заменим Ь1-норму иа полную вариацию меры \i.
В дополнение к операциям векторного пространства, L1 (Еп)
наделено «умножением», превращающим это пространство в бана-
банахову алгебру. Эта операция., называемая сверткой, определяется
I
1. Основная D-теория преобразования Фурье
следующим образом: если / и g принадлежат L1 (Еп), то их свертка
h = f* g есть функция, значение которой в точке х ? Еп равно
\t(x—y)g(y)dy.
• При помощи йлементарных рассуждений можно показать, что
f(x—y)g(y) есть измеримая функция двух переменных х и у.
Тогда из теоремы Фубини о перемене порядка интегрирования
немедленно следует, что h.?Ll(En) н |ft[1< ЦЛкИЛ Далее, эта
операция коммутативна и ассоциативна. Свертка h = f*g опреде-
определена также для всех f?Lp{En), 1<р<оо, и g^O{En). Дей-
Действительно, имеет место
Теорема I.Z. Пусть f?D>(En), 1<р<оо, и ^ 6 L1 (?„);¦
тогда Л = /*§ определена и принадлежит LP(En), причем
\hK\fUul-
Ясно, что |Л(л:)|< J \f(x—y)\\g{y)\dy, так что доказывае-
доказываемая
мый результат есть простое следствие интегрального неравенства
Минковского
Как, и в случае преобразования Фурье, мы можем расширить
эти операции на конечные борелевскне меры: пусть \i — такая мера
на Еп\ определим h — /* d\i, положив . -
для х ? Еп и f? Lpt Теорема 1.3 справедлива для такой свертки
с заменой ?х-нормы функции g на полную вариацию меры \i.
Существенной чертой гармонического анализа является тот
факт, что .преобразование Фурье свертки двух функций есть (по-
(поточечное) произведение нх преобразований Фурье. Точнее, из
определений легко вытекает следующая
Теорема 1.4. Пусть,? и g принадлежат L1 (?„); тогда
Многие другие важные операции анализа также имеют простую
связь с преобразованием Фурье. Например, пусть тй обозначает
*> Мы будем постоянно использовать это обозначение: (...)А обозначает пре-
преобразование Фурье выражения (...).

10
Гл. I. Преобразование Фурье
сдвиг иа вектор h ? Еп (т. е. т„ есть оператор, переводящий функ-
функцию g (х) в функцию g (х — h))\ тогда
A.5)
(I)
(и)
для всех / с L1 (Еп).
Пусть а > 0; обозначим через Sfl растяжение с коэффициентом
а, т. е. оператор, переводящий функцию g (х) в функцию g (ax).
Для любой / ? L1 (?"„) имеем
A.6) a"(ej)-(*)»f(fl-i*).
Дифференцирование и преобразоваиие Фурье связаиы следую-
следующим образом:
Теорема 1.7. Пусть f ? L1 (Еп) 'и xkf (x) ? L1 (Еп), где
xk есть k-я координата х; тогда f дифференцируема по xku
Доказательство. Обозначим через h = @, ..., hk, ..., Q)
ненулевой вектор, направленный вдоль k-й оси координат; тогда,
в силу части (и) равенств A.5) и теоремы Лебега (о мажорируемой
сходимости), имеем
?(*+*)-Ал) _
hk
при hk -> 0.
Теорема 1.7 утверждает, что применение преобразования Фурье
после умножения на k-ю координату эквивалентно (с точностью
до постоянного множителя) взятию частной производной преобра-
преобразования Фурье по k-vt переменной. Верно также, что преобразова-
преобразование Фурье таких частных производных можно получить (опять
с точностью до постоянного множителя), умножая преобразование
Фурье иа соответствующие координаты. Мы встретим много вари-
вариантов этого результата. Для того чтобы дать точную формулировку
одного из этих вариантов (возможно, наиболее простого для дока-
доказательства), введем следующее понятие: будем говорить, что f
дифференцируема по Lp-норме (по xk), если f ? Lp (En) и сущест-
существует g ? I/ (?"„), такая, что
+ h)-f(x)
dx
0
/. Основная L1-теория преобразования Фурье
11
при hk -*- 0 (мы опять используем обозначение, введенное при до-
доказательстве теоремы 1.7). Функция g называется частной произ-
производной f (no хк) по V-норме.
Применяя равенство A.5) (i) и теорему 1.1 (а) к выражению
и устремляя \ к нулю, получим такое утверждение:
Теорема 1.8. Пусть f ? L1 (Еп) и g — частная производная
f no L1-норме (по xk)\ тогда
Теоремы 1.7 и 1.8 можно распространить иа производные выс-
высших порядков. Не входя в детали, отметим следующие формулы:
A.9)
(О
(ii)
где для произвольного мультииндекса а = (aI( ..., ап) (из
неотрицательных целых чисел) х? = л: ... х\ Da =
_ (fi+---+an/dxf' ••• дх\ Р есть полином от п переменных
х1г ..., хп и Р(D) — ассоциированный дифференциальный опера-
оператор (т. е. Xя в Р(х) заменено на Da).
Теперь мы займемся проблемой обращения преобразования Фу-
Фурье, т. е. рассмотрим такой вопрос: если дано преобразование Фурье
/ некоторой интегрируемой функции Д то как восстановить f
по /? Читатель, знакомый с элементарной теорией рядов и интегра-
интегралов Фурье, ожидает, что f (?) будет равна интегралу
A.10)
К несчастью, f может оказаться неинтегрируемой (например,
пусть п = 1 и /— характеристическая функция конечного интер-
интервала). Для того чтобы обойти эту трудность, воспользуемся ме-
методами суммирования интегралов. Введем сначала метод суммиро-
суммирования Абеля, аналог которого для рядов широко известен. Для каж-
каждого е >¦ 0 определим среднее Абеля Ле = Ае (f) равенством

12 Гл. I. Преобразование Фурье
Ясно, что если /€ Lx{E^t то Urn As (/)=-= I f(x)dx. С другой
стороны, эти абелевы средние могут быть определены даже тогда,
когда / иеиитегрируема (например, если f ограничена, то Ле (/)
существуют для всех в >¦ 0). Более того, их предел
A.11)
lim Л8 (/) = lim f f {х) е~г\*Чх
e-t-0 e-t-0 &
также может существовать и в тех случаях, когда f иеинтегрируема.
Классический пример' такого случая мы получим, положив п = 1
и f (x) = sin х/х*).
Если предел в A.11) существует н конечен, то говорят, что ин-
интеграл J f (x)dx суммируем по Абелю к этому пределу.
Еп
До некоторой стеценн аналогичным методом суммирования яв-
является суммирование по Гауссу. Этот метод определяется средними
Гаусса (иногда их называют средними Гаусса — Вейерштрасса)
Говорят, что интеграл J f{x)dx суммируем по Гауссу (к/), если
предел
A.1Г)
lim
в-*0
Ит f fW
е^0 Б
существует и равен /.
Мы видим, что как A.11), так и A-11') могут быть представле-
представлены в виде
A.12) Л*?,Ф(/) = .Л18(/) = ] O(ex)f{x)dx, .
где Ф ? Со и Ф@) =s 1. При этом интеграл j f(x)dx суммируем
вп
к I, если lim Me (})*=* I. Величины Ме(/) мы будем называть
0
Е-+0
Ф-средними этого интеграла.
Нам понадобятся преобразования Фурье функций tr***r и
ег^х\у Первое из них легко вычисляется посредством сведения к
Ч Как известно, в этом случае существует Нщ f / (x) dx. Легко показать,
что если / локально интегрируема и такой предел { существует, то средние
00
J etoW/ (х) dx сходятся к I при ? -»¦ О,
Абеля А =
1. Основная V-теория преобразования Фурье
одномерному случаю. Имеем:
13
Производя замену переменных х = (Val2Vя)У, убеждаемся, что
справедлива
Теорема 1.13. Пусть а ;> 0;
я
* Преобразование Фурье второй функции получить несколько
труднее.
Теорема 1.14. Пусть а > 0; тогда
е—2па\у\е—2пиу^у _. с а
гдг са = Г [(я
Доказательство. С помощью вамеиы переменных за-
задача сводится к случаю, когда а == 1. Предположим, что справед-
справедливо равенство
для всех р > 0. Тогда, используя теорему 1.13 для установления
третьего равенства, получим
1 . (* |- I С е ;
 w w^1"
i
Ц Отсюда следует, что функция e*~n Ix|1 совпадает со своим преобразованием
Фурье.

14
Гл. I. Преобразование Фурье
'00
Г
Следовательно, теорема будет доказана, если будет установлена
справедливость равенства (i). Мы сделаем это, используя тож-
тождества
(И)
(Ш)
Второе из них очевидно, в то время как первое легко доказывается
применением теории вычетов к функции ^р2/A -f- г2). Таким об-
образом,
00 00 .СХ) .
2 С cos 8* , 2 Г о Г „ „« , j
о ¦ о lo J
« 00 00 , CO
I 0 ' ^,00
^ -I (' e-u „ Г e-to-iw
О У
и теорема доказана.
Мы будем обозначать преобразования Фурье функций ег^щм
и е~2паМ, а>-0, буквами W и Р соответствеиио. Таким образом,
W(/, «) = Dna)-«^e-l'i'/*« и P(t, а) = с„ [а/(аа + | /|я)A1+1)/2]. Пер-
Первая из Зтих функций называется яброж Вейерштрасса (или Ан/с-
са — Вейерштрасса), а вторая — ядром Пуассона1*.
') Ё последующих параграфах мы встретимся с другими ядрами Пуассона;
они будут связаны с определенными областями. По этой причине мы в дальнейшем
будем называть только что введенное ядро ядром Пуассона, ассоциированным о
верхним полупространством
E+j., я {х = (*j, 4, м xat xn+i) ? En+l\ xa+l > OJ,
/. Основная D-теория преобразования Фурье
15
Мы покажем, в частности, что средние Абеля и Гаусса инте-
интеграла A.10) сходятся к/ (оба по норме н почти всюду). Это будет
сделано путем вывода общей формулы, выражающей указанные
средние в термииах сверток f с ядрами Пуассона и Вейерштрасса.
Для того чтобы получить эти выражения, мы используем следую-
следующий важный результат:
Теорема 1.15 (формула умножения). Пусть fug принадле-
принадлежат L1 (?"„); тогда
f{x)g{x)dx= \ f{x)g(x)dx.
Доказательство. Применяя теорему Фубиии, получаем
fix
dx
= f f$g(x)r-*"u-*dx\f(t)dt*«
Еп \Еп J
= \f{t)g{t)dU
в
Предположим теперь, что функция Ф в A.12) интегрируема
и ее преобразование Фурье есть Ф = <р. Положим ч>6(л:) =
= е~пф(л:/е), е>0; тогда из A.6) следует, что F6Ф)Л (я) *=
>= г~пц>(х/е) = (р8{х). В частности, из теоремы 1.13 вытекает,
что если Ф (х)» e~4nIW\ то фе (л:) = W (х, е2), и, аналогично, из
теоремы 1.14 следует, что ye\x) *=Р(х, е), когда Ф(л:) =* е-^А.
Теперь, применяя формулу умножения (теорема 1.15) к функци-
функциям f{x) и е2ли'хЬЕФ(х) и используя A.5) (и) для вычисления
б Фурье последней функции, получаем
Т е о ре м а
л
= Ф; тогда
j f(x)e2niixO(ex)
для всех е > 0. 5 частности,
I f (*)
и Ф принадлежат L1 (?"л) м
(х * j / (х) фе (х — t) dx
J
= J / (x) P(x~t, e)dx
= J f(x)W{x — t, a)dx
для всех а >. 0.
J r,
V"0

16
Гл. I. Преобразование Фурье
Покажем теперь, что интеграл A.10) суммируем к / для
широкого класса методов суммирования, включающего методы
Абеля и Гаусса. Сначала покажем, что средние (см. A.12))
f f(x) е***-*® (вх) dx сходятся к f по /Лнорме при следующих
довольно общих условиях: Ф и Ф = ф обе интегрируемы н
{y{x)dx = 1. Следующая лемма показывает, что ядра Пуассона
Е«
и Гаусса — Вейерштрасса удовлетворяют этим условиям.
Лемма 1.17. (a) [w {х> а)йх<=\ для всех а > 0;
(b) f Р (x, e)dx~ 1 для всех в > 0.
Доказательство. Производя замену переменных, прежде
всего заметим, что \^(#» a)dx— J W (x, l)d*H J P{x, z)dx=*
Ч Вп вп
*= )P{Xf \)dx. Таким образом, достаточно доказать лемму в
Еп
случае, когда а= в=* 1. Но тогда часть (а) есть непосредствен-
00
ное следствие одномерного равенства \ e~^kdx — 2 у л (так как
n-мерный интеграл может быть записан- в виде произведения п
таких интегралов). Для трго чтобы установить (Ь), прежде все-
всего заметим, что \/сп = я(п+1^2/Г1(я4- 1)/2] есть половина площа-
площади поверхности единичной сферы 2„ в ?Vh-i, Обозначая эту
площадь (!)„, мы видим, что (Ь) эквивалентно равенству
С dx шя
Но, полагая ri|x|, х1 = х/г (когда хфО), 2„-1 ^= {х? Еп\ \х\=
— 1}, dx' —элемент площади поверхности на 2re_i и, наконец,
Ьtg 6, получим
¦1. Основная D-теория преобразования Фурье
J7
Я/2
*= (o^i \ sin
0
Но o)rt—I sin*"6, чочевидно, есть площадь поверхности сферы
радиуса sin 6, получающейся при пересечении Sn с гиперплос-
гиперплоскостью Xn+i = cos 6. Таким образом, площадь верхней половины
2„ получается суммированием этих (п — 1)-мерных площадей,
когда 6 меняется от 0 до я/2, т. е.
П/2
о
а это н есть искомый результат.
Теорема 1.18. Пусть <р? LX(E$ и J ф(х)йлс= 1;
Фв (л:) =з е^" ф (х'/е), е> 0, Ясли / ? Lp (Ял), 1 < р < оо,
f^C(tczL0O(En)) то |/*Ф^ — /|р-»-0 при е-»-0. 5 частности,
и{х> е)= [f(t)P(x — t, e)dt и s(x, e) = j
положим
дятсяк f no Lp-норме при е-* 04
Доказательство. Производя замену переменных, по-
получаем .
Отсюда
= \ q>(t)dt
1) Мы, конечно, выражаем наш первоначальный интеграл в «полярных коорди-
координатах» {г, д;'). Напомним читателю, что dx = г"^1 drdx' {сы. D.14) и библиографи-
библиографические замечания для выяснения дальнейших деталей).
3) Функция и (х, г), определенная при х? Еп и е>0, называется инте-
интегралом Пуассона функции /; s (х, в) называется интегралом Гаусса — Вейер-
Вейерштрасса функции /.

18 - Гл. I. Преобразование Фурье
Следовательно, в силу интегрального неравенства Минковского,
имеем
Я '~\f{x-f)-f(x)\t>dx
Выражение ( \ \ f {x -f- h) — f (x) \p dx\IP = (aPij {h) = to (А) называют
Lp-модулем непрерывности функции f. Он, очевидно, ограничен
как функция h, поскольку o>(/i)< 2 \\f[\p. Более того, и (А)-*-0 при
|Л|-»-0. Это очевидно, когда f непрерывна н имеет компактный
носитель. В общем случае оценку легко получить, приближая /
(по LP-иорме) такими функциями. Мы показали, следовательно, что
Но, по теореме Лебега (о мажорируемой сходимости), нитеграл в
правой части стремится к 0 при е-»-0, так как подиитегральиая
функция стремится к 0 и мажорируется интегрируемой функцией
* I !\р I Ф (О I- Эт° доказывает теорему.
Хотя это и не связано с нашим изучением обращения интеграла
Фурье, заметим, что по существу те же рассуждения дают следую-
следующий результат, который будет полезен нам в дальнейшем:
Следствие 1.19. Пусть tp^L1^) и jtp(/)<tf = O; тогда
вп
[/•Ф.1р-»-0 при e-j-О для всех f?Lp(En), 1<р<оо, или
/GC0GL"(?n).
Доказательство. Так как </*Фе) (*)=(/*Фг)(*) — f(x)-O=
1= J \!{x~t)~f{x)\^(i)dt, ТО ОС-
тальиая часть доказательства проводится точно так же, как дока-
доказательство предыдущей теоремы.
С помощью теорем 1.16 и 1.18 мы получаем следующее решение
задачи обращения преобразования Фурье:
Теорема 1.20. Пусть Ф и ее преобразование Фурье ф=Ф
интегрируемы и j y(x)dx= 1; тогда Ф-средние интеграла
J \{1)еШх-{аЧ сходятся к f(x) no L1-норме. В частности, средние
Вп
Абеля и Гаусса этого интеграла сходятся к f(x) no Ьг-норме.
1. Основная О-теория преобразования Фурье
19
Так как s(x, a) = J f (f)e2jllxte~4ntaW*dt сходится в L1 к
f(x) при а>0, стремящемся к 0, то можно найти последова-
последовательность otfc-э-О, такую, что s(x, <xk)->-f(x) для почти всех х.
Если мы предположим еще, что f f L1 (?"„), то теорема Лебе-
Лебега (о мажорируемой сходимости) даст нам следующее поточеч-
поточечное равенство:
Следствие 1.21. Если f ufобе интегрируемы, то
для почти всех х ? Еп х>. ~
Мы выделили методы суммирования Гаусса — Вейерштрасса и
Абеля. Первый из иих, вероятно, самый простой, последний же,
как мы увидим во второй главе, тесно связан с гармоническими функ-
функциями и дает нам очень мощное средство гармонического анализа2).
Типичным примером сравнительной простоты метода Гаусса —
Вейерштрасса является теорема 1.13, доказательство которой зна-
значительно проще, чем доказательство соответствующего результата
для метода Абеля (теорема 1.14).
Мы также видели, что часть (а) леммы 1.17 гораздо легче
доказать, чем часть (Ь). Интересно отметить, что следствие 1.21
позволяет доказать последний результат без вычисленной, прово-
проводившихся при доказательстве леммы 1.17. Действительно, при-
применяя следствие 1.21 к f(x)~ е~^Е^ н используя теорему 1.14,
мы получим, что }P{t, в)е2п1х Ш = е~2Я8Н Полагая х = 0, иа-
ходим, что j P(t, e)dt=l.
Еп
А
Из теоремы 1.18 следует, что если /(л:) = 0 для всех х, то
= 0 для почти всех t. Применяя это утверждение к / = ft —
— /2, получаем следующий результат о единственности преобра-
преобразования Фурье:
Следствие 1.22. Пусть /j и f% принадлежат О(Е^ и
fx (х) = /2 (х) для всех х ? Еп; тогда ft (f) = f2 (t) для почти всех
интеграл
1) Мы знаем из теоремы 1.1, что / непрерывна. Если / интегрируема, то
еЫ1х'гйг также определяет непрерывную функцию (фактически
I f (t)
равную (/) (— х)). Таким образом, изменяя / на множестве меры 0, мы можем
добиться выполнения равенства из следствия 1.21 для всех*.
8) Аналогичным образом метод Гаусса = Вейерштрасса тесно связан с реше*
нием уравнения теплопроводности;.

20
Гл. I. Преобразование Фурье
Задача обращения преобразования Фурье имеет также реше-
решение в поточечном смысле. Мы покажем, в частности, что средние
Абеля и Гаусса интеграла A.10) сходятся почти всюду к/ (f). Для
этого нужио ввести несколько новых понятий и обозначений. Преж-
Прежде всего приведем один важный результат из теории дифференци-
дифференцирования интегралов функций, определенных на Еп. Если f локально
интегрируема на Еп, то для почти всех х?Еп
A-23) 4- I lf(x-i)-f(x)]dt^O
Г \t\<r
при г -+¦ 0 *>. В частности, это верно для f ? If (?"„). Мы будем на-
называть множество точек х, для которых справедливо A.23), мно-
множеством точек, на котором дифференцируем интеграл функции f.
Такое множество .естественным образом ассоциируется с каждой
локально интегрируемой функцией f. Существует более узкое, но
тесно связанное с указанным множество, которое (как мы увидим)
также естественно ассоциируется с Д. Это множество всех точек х,
таких,что
A.24)
\И<г
при r-vO;~OHO называется лебеговым множеством функции f и
включает в себя почти все точки из Еп. Чтобы убедиться в этом,
отметим, что так как функция | f (t) — р | локально интегрируема,
то нз A.23) следует, что множество Fp всех х ? Еп, для которых
не выполняется соотношение
I
имеет меру 0. Следовательно, объединение множеств Fp по всем
рациональным числам р имеет меру 0. Обозначим это объединение
через F. Мы утверждаем, что если х ? Еп\ F, то выполняется
равенство A.24). Действительно, пусть даны такое х и произвольное
е > 0. Выберем рациональное число р таким, чтобы | / (я) — р !<
-< е/2, и обозначим через Qn объем единичного шара в Еп. То-
1) Обозначим через 5(х; г) шар {/? Еп\ \t — x]<.r), а через | S (х; г) |
его меру; тогда A.23) эквивалентно равенству / (х) =s= lim | S (х; г) \~1 Г / (t)dt,
При п = I оно переходит в равенство f (x) =з Hm (l/2r) \ f (t) dt, которое, как
утверждает классическая теорема Лебега, справедливо почти всюду. Доказа-
Доказательство того, что A.23) выполняется почти всюду, мы откладываем до второй
главы, где будет видно, что оно есть следствие общей техники, включающей мак-
максимальные функции Хардн — Литтлвуда (см. следствие 3.14 во второй.главе).
/. Основная V-теория преобразования Фурье
21
гда
l- J \f(x-f)-Ux)
ir \i\<r
\t\<r
./**
Первый член в правой части стремится к^]/(л:) — р|<е/2 при
r-t-O, а второй равен |р — /(х)|<е/2. -Таким образом, для rf
достаточно близких к 0,
TjV I \f(x-()-f(x)\dt<e,
п \1\<г
и, следовательно, почти все точки х из Еп принадлежат лебегову
множеству функции f.
Мы покажем, что при выполнении подходящих условий инте-
интеграл A.10)Ф-суммируемк f(t) для всех х, принадлежащих лебегову
множеству функции f. Более точно, следующий общий результат
вместе с теоремой 1.16 дает нам условия на преобразование Фурье
Ф функции Ф, при которых это имеет место:
Теорема 1.25. Пусть ф ? L1 (Еп). Введем обозначение i]) (x) =
= ess sup! ф (Л I и для произвольного е > 0 положим ц>г (х) —
«¦в^ф(х/е). Если ty?Ll(En) и f ? If (Еп), 1<р<оо, то
Mm {f * ц>е) (х) — f(x) \ y(f)dt для ёсех х, принадлежащих лебегову
е-ю е
множеству функции f. В частности, интегралы Пуассона и
Гаусса— Вейерштрасса ]f\f)P{x — t% e)dt и j f{t)W(x — tx e)dt
En En
сходятся к f{x) при е->-0 для почти всех х?Еп.
Доказательство. Фиксируем точку х нз лебегова мно-
множества функции / н выберем S > 0. Тогда мы можем найти такое
П > 0, что
@ . -Г I !/(* —^>—/(*)
как только г < г\. Так как [ фе (/) dt. = } q>(f)dt = a для всех
ёа ¦ Еп
е>0, то

22
Гл. I. Преобразование Фурье
{/(*—0 —/(*)} <*
I'lOl
= Л + h-
Для того^,чт_рбы оценить Iv заметим сначала, что функция jfr (х)
радиальна \ч. еГ i|>{хг) ~ i|>(x2) при |*i| = |x2|)> и если мы поло-
положим т|>0 (г) = ty (х)у когда | х | = г, то i|>0 будет убывающей функ-
функцией г. Таким образом, обозначив через Qn объем единичного
шара в Еп, получим пi --» 'у ^ «• ¦ ^ -^^^v-f «^("
'"Ф. (г)
при л-»-0 или при г-*-оо. Это означает, что limrnip0 (г) *= 0 при
г, стремящемся к 0 или то. В частности, существует постоянная
Ль.такая, что гп1|з0(г)< Л для 0<г<то. Обозначим через 2rt_i
единичную сферу {? ? Еп; \t'\ = 1} в Еп и положим g(r) =
= \ \f{x—rt') — f(x)\df, где Л* —элемент площади S
21
л-1
Условие (i) тогда эквивалентно условию
при
Используя эти обозначения и замечания, получим
« (? (г) е-^о (г/ е) р - J G (г)
(г/е)) <
5^^О (S) < 6 л - f
0 \/ о
со со
Г s«% (s) = я С s«-4e (s) ds = (л/а)^) f ф (*) d*. Отсюда сле-
' о ^
дует, что существует постоянная В, зависящая только от фи та-
кая, что /j < 56. т
Но -
/. Основная V-теория преобразования Фурье
положим
2 (х) *= е—^ф (х/е) и
через ЭЦ характеристическую функцию множества
х?Еп, для которых |х|>т|. Пусть (\/p) + {Up'). = l',
Для того чтобы оценить
обозначим
всех точек
тогда
h<\\f\\P
1*1 >я
1*1>п/
второе слагаемое стремится к 0 вместе с е. Можно показать, что
же верно и для первого слагаемого: так как р' = 1 -\- р'(р, то^
то р
это же верно и для первого
применение неравенства Гёльдера даег
\11
Но, как мы уже отмечали выше, ЦЗДь Ц» .= sup i|)c (x) =
«= ггп(Ф)пЪ>(Ф)-*0 при в-*-0. ¦ j.^oC^t —с >
Мы показали, следовательно, что для достаточно малых е вы-
выражение
. 1(/*Фв)(*)-я/(х)|
ограничено величиной S, умноженной на некоторую постоянную,
зависящую только от i|>. Это, очевидно, доказывает теорему.
Если х есть точка непрерывности функции /, то она заведомо
принадлежит ее лебегову множеству. Следовательно, теорема 1.25
выполняется для любой такой точки. Если / непрерывна в точке О,
то из теорем 1.25 и 1.16 следует, что /<, 4 q\{o\+ '-^
lim f fix)
= /@).
' "ч Если мы еще предположим, что / > 0, то из леммы Фату сле-
дует, что/ ? L1 (Еп). Таким образом (смг теорему 1.1 (Ь)), интеграл
A.10) определяет непрерывную функцию от *, которая совпадает
с / (t) почти всюду, в силу следствия 1.22. Таким образом, мы
получаем следующий очень полезный результат:
Следствие 1.26. Пусть f ? L1 (Еп) и f > 0. Если f непре-
непрерывна в точке 0, то / ? L1 (?п) и
f(t)= \f{x)e'initxdx
О*

24 , Гл. I. Преобразование Фурье
для почти всех t. В частности,
" "(х) dx.
.2/. L'-теория и теорема Планшереля
25
Из этого следствия и теорем 1.13 и 1.14 непосредственио выте-
вытекает
Следствие 1.27. (a) \W(x, a)e2nit xdx = e-in*aW\
(b) \ P(x, a
*
Л,
dx = e~2na^ для всех a>0.
Из теоремы 1.4 и следствий 1.22 и 1.27 немедленно получаем
полугруппобые свойства ядер Вейерштрасса и Пуассона.
Следствие 1.28. Пусть с^ и а2 — положительные действи-
действительные числа; тогда
Г " W(x, a, + pg = f W(x-t^y(t.ajdt,
. ^ + a,) = f />(*-*, a
2. Z,2-теория и теорема Планшереля
Интеграл, определяющий преобразование Фурье, для функций
нз L8 {Еп)к вообще говоря, не существует; тем не менее в этом про-
пространстве имеется естественное определение и особенно элегантная
теория преобразования Фурье.
Если в дополнение к условию интегрируемости мы предположим,
что функция / квадратично интегрируема, то / также будет квад-
квадратично интегрируемой. Действительно, справедлив следующий
основной результат:
Теорема 2.1. Пусть f € L1 ft L2; тогда ffl = Ц/Ц,.
Доказательство/ Пусть g (х) = /(—х); тогда, в силу
теоремы 1.3, h_=f*g?Ll(En)\i, в силу теоремы 1.4, h»
= /g. Но g — f\ значит, h = |/ja. Применение следствия 1.26
показывает теперь, что ft ? L1 (?„) и ft@)= Jft"(>;)dA; (из ,нера-
еп
венства Шварца и из того, что /Амодуль непрерывн сти щ (/; б)
стремится к 0 при б->- 0, непосредственно следует, что h равномерно
непрерывна как свертка двух функций / и g нз L2). Таким об-
образом, имеем
h{x)dx~h@)= ~
— x)dx =
'dx.
,Эта теорема утверждает, что преобразование Фурье есть огра-
ограниченный линейный оператор, определенный на плотном под-
подмножестве L1 fl L? пространства L* (Еп) (на самом деле изомет-
изометрический). Следовательно, существует единственное ограниченное
расширение <Г этого оператора на все пространство L2. Мы будем
называть #" преобразованием Фурье на L2; мы также будем исполь-
использовать обозначение / «= <Ff для всех / ^ L3 (?„).
В общем случае, если /?La(?n), то это определение преоб-
разования Фурье дает нам / как Ь8-предел последовательности
{Л*)» где [h^i — произвольная последовательность из L1 (\ L%,
сходящаяся к / по /Лнорме. Удобно выбрать последовательность
{hk\ так, чтобы МО равнялась f(f) при \t\<k и 0 при |^|>й.
Тогдз /есть /Лпредел последрвательности функций hkt опреде-
определяемых равенствами
f @ е-™* -tdt=\hk (t) в-2*1* • 4U
B.2)
hk{x)
Линейный изометрический оператор, отображающий La (En)
на себя, называется унитарным оператором. Из теоремы 2.1 не-
немедленно следует, что оператор #* изометрический. Более того,
#* отображает La {En) на себя:
Теорема 2.3. Преобразование Фурье есть унитарный опера-
оператор наЬ*(?„).
Доказательство. Так как оператор #* изометрический,
то его область значений есть замкнутое подпространство в L*(En).
Если бы это подпространство не совпадало с L2 (?„), то мы могли
бы найти функцию g ? La (?„)/ такую* что J fgdx = 0 для всех
/ g La (?„) и | ?|[а ^ 0. Формула умножения (теорема 1.15), очевид-
очевидно, распространяется иа L2, следовательно, J fedx = J fgdx -ч
га *-„
А
»¦ 0 для всех / ^ L2 (?„). Но отсюда следует, что g {х) = 0 для
почти всех х ? Еп, в противоречии с тем, что | g 13 = |] я I г ф 0.

26
Гл. !. Преобразование Фурье
Теорема 2.3 является главной частью основной теоремы ^-тео-
^-теории преобразования Фурье:
Теорема 2.4. Обращение преобразования Фурье <?~х можно
полунить, полагая {<F-lg) (х) = (#*#) (— х) для всех g ? L2 (?„).
На теоремы 2.3 и 2.4 обычно ссылаются как на теорему Планше-
1 ^
реля. Теорема 2.4 следует из того факта, что d f можно выразить
как /Лпредел последовательности
B.5)
Прежде всего, мы утверждаем, что это так, когда/принадле-
когда/принадлежит L1 П ^а (плотному подмножеству области значений). В самом
деле, нужно только проверить, что это выражение совпадает с
#**/Ч Но, полагая/@ = \J(x)e2ttitxdx = \lm fk(t) (bL2), полу-
0 ft-n»
чаем
f(x)e2nitxdx\dt
для всех g
L1 fl ^a. Таким образом, (g, /) = (#*?. #7) = (g, f)
L1 fl L2; следовательно, / = /. Общий случай теперь
б
для всех g ? / у р
доказывается теми же рассуждениями, которые были использованы
прн доказательстве B.2).
Итак, мы видим, что задача обращения преобразования Фурье
имеет в L? очень простое и элегантное решение. С учетом теории,
развитой в предыдущем параграфе, естественно спросить: существует
ли решение этой задачи, использующее понятие суммируемости?
Например, поскольку е~й[х* квадратично интегрируема как функ-
функция х, определены средние Абеля интеграла A.10). Верно ли, что
они сходятся к / (в L2 или почти всюду)? Ответ «да» немедленно сле-
следует из теорем 1,18 и 1.25, как только тождество из теоремы 1.16
установлено для / ? L? (En). Yid последнее можно доказать тем же
Ч.Мы рассматриваем L2 (Еп) как гильбертово пространство со скалярным
произведением (f, g) = Г fgdx и предполагаем, что читатель знаком с тем фактом,
Еп
что если Т — унитарный оператор, то Т~~1 совпадает с сопряженным оператором
Т* (т. е. оператором, удовлетворяющим равенству G7, g) = (f, T*g) для всех
/ и g из La (?„)). Отсюда следует, что Т сохраняет скалярное произведение:
(ГД Tg) ^ (f, g).
8. Класс обобщенных функций медленного роста
27
способом, что и теорему 1.16, используя /Арасширение формулы
умножения (теорема 1.15).
Имея определение преобразования Фурье для функций из
Ll(En) и функций из Lr(En), мы можем легко распространить
его на класс L1 (Еп) + L2 (?„), состоящий из всех функций /==
— fi + /а» где fx ? Ll (Еп) и f2 ? L2 (Еп). Мы сделаем это, положив
(fi + /а)А = /i 4- /2- Если gi ~\- g% = fi ~\- ft, где gf ^ Ll (En), I =
= 1, 2, то g"! — /i =/г — ?а ? Ь1 П ^-2- Так как этн два определе»^-"'
иия преобразования Фурье совпадают на L1 П ", то gx—f1 =*\ '?"
~h — gz- Таким образом, /i 4-/2 = ^i+.^2- Отсюда, следует, что-
наше преобразование Фурье определено на Ll{En)-\-L2(En)J. л
Поскольку тюследн^е, очевидно, содержит все пространства//^
Lp(En)t 1 <р<^, —преобразование Фурье определено для всех-. р,
f?L.p(En). Легко проверить, что задача обращения преобразова- 5' "
ния Фурье также может быть решена в этом случае в терминах сред-^ i ?
них Абеля или Гаусса. Аналогично, теорема 1.4 имеет следующее^1" 'л-
обобщение; ,-;•;¦ f .> '
Теорема 2.6. Пусть f ? L1 (Еп) и g ? Lp (En), 1 <
тогда h = f*g принадлежит L? (Еп) (см. теорему 1.3) и
< 2;"r
{) f()g{)
для почти всех х ? Еп.
В следующем параграфе мы существенно расширим определение
преобразования Фурье. Мы покажем, что это расширение согла-
согласуется с тем, которое мы только что привели, если применить его
к пространствам Lp(En), 1 < р < 2.
3. Класс обобщенных функций медленного роста
Основная идея теории обобщенных функций состоит в рассмот-
рассмотрении линейных функционалов на некотором пространстве «регу-
«регулярных» функций — так называемых «основных функций». Про-
Пространство основных функций предполагается «хорошим» по от-
отношению к изученным выше операциям (дифференцирование,
преобразование Фурье, свертка, сдвиги и т. д.), и это отражается в
свойствах обобщенных функций. Следующие рассуждения естест-
естественно приведут нас к определению такого пространства основных
функций. Предположим,"Что мы хотим, чтобы перечисленные опе-
операции были определены на некотором функциональном простран-
пространстве аУ и сохраняли его. Тогда оно должно состоять из бесконечно
диффереицируемых функций и ввиду (i.9) (i) каждая функция из
& после умножения на Произвольный полином обязана оставаться

Гл. /. Преобразование Фурье
в &. Поэтому мы даем следующее определение: пространство
основных функций состоит из всех функций ф класса С°° на Е
(т. е. все частные производные ф существуют и непрерывны), таких
что
C.1)
sup |
х) I < оо
для всех мультииндексов а = (а1( ..., ал) и р = (рх, ..., ря) (мы
используем обозначения, введенные в A.9)), Например, функция
Ф (х) = е~®х[\ б > 0, принадлежит *Р\ с другой стороны, функ-
функция ф(#) = е~6^ ие дифференцируема в точке 0 и, следователь-
следовательно, не принадлежит of. Пространство of содержит пространство
0 всех функций класса С^ на Еп с компактным носителем.
Не сразу ясно, что 0 непусто. Для того чтобы найти неко-
некоторую функцию в 0, рассмотрим функцию Д значения которой
f{f) равны e~l/t при />0и нулю при *<0. Тогда f?C°° и
ограничена вместе со всеми своими производными. Положим
ф(*) =/A4-0/A—0; тогда ф@ равна ег2^-^ при |*|<1,
равна 0 при |*|>1 и, очевидно, принадлежит 0 — Ю(Е^. Лег-
Легко получить и-мерные варианты функции ф:
a) Для х ? Еп положим ф (х) = ф (Xj) ... ф (хп); тогда -ф € 0 =
= 0{Еп).
b) Для зс?Еп положим tf (х) = e-2Ai-l*i") при |*|<1 и $(*)¦«
. =» 0 при | х | > 1; тогда ф € # =* 0 (Еп)-
c) Пусть г\?С°° и ф —функция нз (Ь); тогда t|) (ex) т] (х) опре-
определяет функцию из 0(Еп) и, более того, &Ц>(ъх)г\{х)^г\(х) прн
е-*-0 (см. C.9) ниже).
Заметим, что умножение на степени хь ..., хп и дифферен-
дифференцирование в C.1) можно поменять местами, т. е. ф ? & тогда и
только тогда, когда ф ? С°° и sup I D$ (х^ф (х)) | < во для всех
мультииндексов аир. Отсюда следует, что если Р .есть полн-
иом от п переменных н фб<^. т0 ^(*)ф(*) и ^(^)ф(х) также
принадлежат аР, ^- ¦ , t
Пространства Со и L,p(En), 1<р<оо, содержат (^ в качест-
качестве плотного подпространства, н то же самое верно относительно
0. Норма функции ф ? & в пространстве L" ограничена линей-
линейной комбинацией Ь°°-норм членов вида хау(х). В этом можно
убедиться таким образом: положим Л=|фЦ!>э, В = sup|д;!2"jф(л:)|
(В<« в силу C.1)); тогда для 1</?<оо имеем
8. /Слосс обобщенных функций медленного роста
29
Отсюда следует, что коэффициенты н показатели степени а,
использующиеся в линейной комбинации Ь°°-норм, мажорирующей
| Ф |р, ие зависят от ф.
Из A.9) (ii) легко следует, что ф ? С°° для всех ф ? ёР. Объ-
единяя это с частью (i), получаем, что ф ? &. Таким образом, спра-
справедлива
Те орема 3.2. Пусть ф ? of; тогда ф ? ^
Ц действительности уже из рассуждений § 1 по поводу обраще-
обращения преобразования Фурье видно, что это преобразование должно
быть взаимно однозначным отображением of на of.
Если ф и ур принадлежат пространству of, то, по теореме 3.2,
ему принадлежат ф и i|>, а следовательно, и фтЬ. Так как (ф * ib)' =
= qn|), то применением обратного преобразования Фурье получа-
получается
Теорема 3.3. Пусть ф и 1|) принадлежат сР\ тогда ф * i|>
также принадлежит of.
Введем теперь метрику на ^ так, чтобы ^* стало топо-
топологическим векторным пространством. С этой целью определим
счетное семейство норм {рор}, помеченных упорядоченными парами
мультииидексов (а, р). Для такой пары положим, учитывая C.1),
Ра0 (ф) = SUD | XaD^ (X)\ ,
для ф ? (^. Тогда dap (ф| "ф) ет pap (ф — Ф) будет метрикой на
01. Пусть d\, &2, ... — некоторое упорядочение этих метрик и
dn = rfrt/(l + <?»)» я = 1, 2, .... Тогда dn — метрика, эквивалентная
dn (т. е. эти метрики определяют одну и ту же топологию на &).
со
Далее, <*„< Ь Следовательно, <f = 2 2-«dn есть метрика на ^ .
Эта метрика определяет топологию на *?. Ясно, что ф^ -> ф в мет-
метрике d тогда и только тогда, когда фй -*- ф в каждой из dn (при А ->
-+• то). Отсюда следует, что операции векторного пространства
(ф, Ф) -*• ф + ^ и (а, ф) -»- аф (а — комплексное число) непрерыв-
непрерывны; следовательно, (of, rf) — топологическое векторное простран-
пространство.

30.
Гл. I. Преобразование Фурье
S. Класс обобщенных функций медленного роста
31
Приведем несколько легко устанавливаемых свойств простран-
пространства of н его топологии:
C.4) отображение у {х) ^ x?D$y (х) непрерывно)
C.5) если ф ? ef, то ПттЛф*=ф; •
C.6) пусть ф ? <$Р и h = @, ..., hft ..., 0) лежит на
i-й координатной оси} тогда выражение [ф — VP]/ftj стремится
к dy/dXi при \п\-*-0\
C.7) аР —полное метрическое пространство}
C.8) преобразование Фурье есть гомеоморфизм простран-
пространства & на себя;
C.9) 0 есть плотное подмножество в of;
(ЗЛО) & сепарабельно.
Совокупность ef' всех линейных непрерывных функционалов
на ef называется пространством обобщенных функций медленного
роста. Приведем несколько примеров обобщенных функций мед-
медленного роста.
A) Пусть I ? V (Еп), 1 < р < оо; определим L = Lt равен-
равенством
= I f(x)y(x)dx
для ф € ef. Ясно, что L есть линейный функционал на of. Поэтому,
чтобы показать, что он непрерывен, достаточно показать, что он
непрерывен в 0.- Предположим, что фА->- 0 (в of) при ft-»- оо. Мы
видели, что для любого q> 1 норма \ук\ч мажорируется конеч-
конечной линейной комбинацией Ь°°-норм членов вида ^*фА (х) (коэф-
(коэффициенты этих линейных комбинаций и показатели степени а
зависят только от п и q и не зависят от ф^). Это означает, что | yk L
мажорируется конечной линейной комбинацией норм ра0 (ф*)-
Следовательно, | фЛ | в -> 0 при ft -*- оо. Выберем q так, чтобы 1/р +
+ l/q=l; тогда из неравенства Гёльдера следует, что 1 ?(ф*)| <'
< II /II А % \\<г -> 0 при ft ->- об. Таким образом, L ? 3"'.
B) Пусть (г — конечная борелевская мера; линейный функцио-
функционал L = Цц определенный равенством
для ф ? оУ, является обобщенной функцией медленного роста' ¦¦
(выбрав ? = оо, можно свести доказательство к рассуждениям
первого примера). ЯР*
C) Измеримая функция f, такая, что /(*)/( 1 + [х2\? принад-
принадлежит Lp (Еп), 1 < р < оо (для некоторого положительного целого
ft), называется If -функцией медленного роста (когда р = оо, такая
функция часто называется также медленно растущей функцией). Для
каждой такой функции L (ф) = J / (х) ф (x)dx, ф ? ef, определяет
элемент из ofr. В этом можно убедиться, записав
Ч<Р)=
и заметив, что отображение ф (х) -у A + |#|2) ф (*) непрерывно
в of; результат следует тогда из примера A).
D) Мера медленного роста есть борелевская мера \it такая, что
для некоторого целого ft. Так же как и в примере C), можно
показать, что Ь(ф)= j ф (х) d\i (x) определяет обобщенную функ-
4
цию медленного роста.
E) Фиксируем х0 ? Ёп и мультииндекс р. Из непрерывности
нормы pop в ef непосредственно следует, что L (ф) = Ьрф (х0) для
Ф € ef определяет обобщенную функцию медленного роста.
Частным случаем является 6-функция Дирака: L (ф) = ф @).
Эта обобщенная функция, однако, может быть получена также из
меры медленного роста, имеющей массу 1, сосредоточенную в О
(пример D)).. Когда Dp = д/дх{ (т. е. L (ф) = (dyfdxt) @)), мы по-
получаем пример обобщенной функции медленного роста, не являю-
являющейся частным случаем ни одного из четырех ранее рассмотренных
типов.
Обобщенные функции примера A) (или в более общем случае
примера C)) называются регулярными обобщенными функциями.
Аналогично, примеры B) и D) определяют обобщенные функции,
которые называются мерами. Мы будем писать в этих случаях /
и ц вместо Lf и L^. Эти функции ./ и меры ц можно рассматривать
как вложенные в of". Если мы наделим ef' слабейшей топологией,
в которой линейные функционалы L->- L (ф), ф ? of, непрерывны,
то легко видеть, что пространства If (Еп), 1 < р < оо, непрерыв-
непрерывно вкладываются в ef'. To же самое верно и для пространства всех
конечных борелевских мер иа Еп (которое является банаховым про-
пространством с нормой || (г | = J d j ц |).
Существует простая и важная характеристика обобщенных
функций медленного роста:
Теорема 3.11. Линейный функционал L на ef является
обобщенной функцией медленного роста тогда и только тогда.

32
Гл. I. Преобразование Фурье
S. Класс обобщенных функций медленного роста
33
когда существуют постоянная С> 0 а целые числа т и /, такие,
что
|МфI<с 2 рар(ф) . •
для всех ф ? <^.
Доказательство. Ясно, что из существования С, - т
и / следует непрерывность L.
Предположим, что L непрерывен. Из определения метрики
следует, что базис окрестностей нуля в $ состоит из множеств
Ыг,1,т = {ф; 2 Рар(ф)<е}, где е>0, a / и т — целые
числа (так как в топологии, индуцированной этой системой окрест-
окрестностей и их сдвигов, фй-*-Ф при А-*-оо тогда и только тогда,
когда рор (<pft — ф) -*- 0 для всех (а, р)). Значит, существует мно-
множество Ne,t,m, такое, что |?(ф)|< 1 для всех ф ? Ne.itm. Положим
|ф|— 2 Рар(ф) для всех ф ? 3?, Если 0<е<е, то ф =
= (е/11 Ф D Ф ? N6,isn (при ф^&О). В силу линейности L, следова-
следовательно, получаем
Но это и есть искомое неравенство с С ~ 1/е.
Покажем теперь, что некоторые важные операции анализа (диф-
(дифференцирование, свертка, преобразование Фурье) могут быть опре-
определены на<^'.« Начнем с определения свертки обобщенной функции
с основной функцией.
Для этого дадим следующее определение: пусть g — произ-
вольная функция иа Еп; назовем ее отражением ? функцию g (х) =»
— & (— *)• Прямое применение теоремы Фубини показывает, что
для ы, ф и 1|> из 01 мы имеем
]
Отображения ф-> J (и*ф)(х)ф(х)dx и 0-у Jw(xN(jc)^ суть ли-
?л . ?„
нейные функционалы на <5°. Если мы обозначим эти функциона-
функционалы й*ф и и, то последнее равенство можно переписать в виде
C.12) («*Ф)(Ф)-«(Ф*Ф).
Если и €^', а ф, ф € «У, то правая часть C.12) определе-
определена, так как ф * у\> ? 0", Более того, отображение ф -»- и (ф * ф).
будучи суперпозицией двух непрерывных функций, непрерывно,
Таким образом, свертку и * ф обобщенной функции и с основной
функцией ф можно определить равенством C.12).
Как легко показать, эта свертка ассоциативна в том смысле,
что (и * ф) * ij? = и * (ф * ф) для всех и ? 3" и ф, ф ? ^. Следу-
Следующее утверждение дает описание только что введенной свертки.
Теорема 3.13. Пусть и ? of' и ф р оУ; тогда свертка
а * ф есть регулярная обобщенная функция }, значения которой
при х ? Еа равны f (х) = и (тхф), где %х — оператор сдвига на х.
Более того, f принадлежит классу С00 и является медленно растущей
функцией вместе со всеми своими производными.
Доказательство. Сначала покажем, что f есть медленно
растущая О-функцня. Пусть h = @, ..., Л/, ..., 0); тогда, со-
согласно C.6), [т*+лф — tx4>]/h/ -> — xxdy/dxj при | h | -*- 0 в тополо-
топологии #\ Отсюда, в силу непрерывности и, следует, что [/(#+' А)—
— f(x)ykt = и([тЛ+Аф — тяф]/А/)-*-и[— xx{dyldxi)\ при | А|-*-0. Это
вместе с C.5) показывает, что / имеет непрерывные первые
частные производные. Так как дф/dx/^of, то мы можем повто-
повторить эти рассуждения и показать, что Dbf существует и непре-
непрерывна для любого мультииндекса р. Заметим, что при этом мы
получим равенство (D$f) (х) = (— 1)'Р1 и (т,ОРф), где | Р | = Pi 4- *' •
¦ • • ¦ + рп. Так как ?)Рф ? ^, то если / — медленно растущая
функция, это же в'ерно для всех ее производных. Тот факт, что
/ — медленно растущая функция, является, однако, простым
следствием теоремы 3.11: существуют С;>0 н целые числа т и
/, такие; что
Но рар (т^ф) = sup ] wa (ОРф) (w — х) | = sup I (w + x)a (?>Рф) (w) |, a
w?En w?Ea
последнее выражение, очевидно, ограничено полиномом по х.
Для того чтобы показать, что и*<р есть регулярная обоб-
обобщенная функция /, мы должны показать, что (и*ф) (ф) =
t. Но '
= \
(Ы*ф) (ф) = «(ф*1|)) =
= и(\ у(х
Зек. 437

34
Гл. /. Преобразование Фурье
3. Класс обобщенных функций медленного роста
35
С другой стороны, легко показать, что суммы Римаиа последнего
интеграла сходятся в топологии &. Таким образом,
= \ а
= f
так как и непрерывна и линейна. Это и есть искомый результат.
Теперь мы изучим дифференцирование в классе ^". Сначала
заметим, что интегрирование по частям дает
f¦ фЩ (х) Ф (х) dx = (— l)l« С и {х) (?>Рф) (х) dx
для всех и, ф € «У. Отображения ф -*. J (//„) до ф до dx и ^ _^
-»- J и (х) т|) (х) <& определяют непрерывные линейные функциоиа-
¦ ?п
лы иа &. Обозначив их (Z)p а) и и, перепишем последнее равенство
в виде
C.14) ' @Ра)(ф) = (— 1)"«арРф).
Но правая часть определена для всех и ? 0" и ф ? of. Далее,
отображение ф ->¦ и (?рф) непрерывно иа of (как суперпозиция
двух непрерывных функций). Следовательно, мы можем опреде-
определись частную производную D^u обобщенной функции и посредством
равенства C.14). Очевидно, что тогда Г^и ? *?''.
Аналогичным образом, рассмотрев сначала .и, ф ? of, мы мо-
можем мотивировать следующие два определения. Оператор сдвига
тн определим на^', положив xhu для и ? of' равным непрерывному
линейному функционалу тни, значения которого даются формулой
(тЛи) (ф) = и (т_л ф). Положив и (ф) = и (ф) для всех <р € ^%
получим отраокение и обобщенной функции и.
Из формулы умножения (теорема 1.15) следует, что ы(ф) =
= J и (х) ф (х) dx = \ и (х) ф (х) dxj* и (ф) для всех и, ф ? 0". По-
этому определим преобразование Фурье и обобщенной функции и
как непрерывный линейный функционал на 0, значения кото-
которого даются формулой
{3.15) "(Ф) = «(Ф).
Заметим, что если регулярная обобщенная функция / принадлежит
If (?„), 1 < р < 2, то ее преобразование Фурье совпадает с функ-
цией /, определенной в конце § 21'. Легко проверить, что введен-
1) Для случая р > 2 см. D.13) ниже.
ное преобразование Фурье есть изоморфизм топологического век-
векторного пространства & на себя. >
Установив эти факты теории обобщенных функций, мы теперь
применим их к изучению основного класса линейных операторов,
возникающих в гармоническом анализе: класса операторов, ком-
коммутирующих со сдвигами. Хотя проблема описания таких операто-
операторов в <У1учае произвольного пространства If (En) остается откры-
открытой, она, как мы увидим ниже, может быть решена в некоторых важ-
важных частных случаях.
Пусть В — оператор, отображающий некоторое линейное про-
пространство V функций на Еп в другое такое пространство W. Мы
скажем, что В коммутирует со сдвигами, если xhB == В\ для всех h ?
? Еп. Приведем пример такого оператора. Фиксируем f ? if (En)
и положим Bg = / * g для g? L1 {Еп). Согласно теореме 1.3,
В — ограниченный линейный оператор, отображающий L1 (Еп)
в If (En) (имеем | ВЦ < ||/|р), а замена переменных показывает, что
Ч (ВД ~ Я (та?) Для всех gQt^iEn). Следующий результат
показывает, что «все» ограниченные операторы, коммутирующие со
сдвигами, имеют подобный «сверточный вид».
ТеоремаЗ.16. Пусть В: If (Еп) -у If (?„), 1 </?,?< оо,—
линейный ограниченный оператор, коммутирующий со сдвигами;
тогда существует единственная обобщенная функция медленного
роста и, такая, что By = и * ф для всех ф ? 0^.
Мы покажем, что справедливость этой теоремы легко вытекает
из следующей леммы:
Лемма 3.17. Пусть функция f ? If (?„) имеет производные
по If-норме всех порядков <«+ 1;тогдаона почти всюду совпадает
с непрерывной функцией g, удовлетворяющей оценке
где С зависит только от размерности п и показателя р.
Ч Рассмотрим для простоты случай л — 1. Беря подходящую сумму Рима-
на, можно убедиться, что если и— хорошая функция, то (Вф) (х) аппроксимйру-
п п
ется линейной комбинацией вяда^ и A$ (t^— tk^{) ф (л —1$ = ^ ^Аф (* — 'ft).
Таким образом, В аппроксимируется конечной линейной комбинацией операторов
сдвига. В некотором смысле, уточняемом теоремой 3.16, все ограниченные линей-
линейные операторы, коммутирующие со сдвигаыи, могут быть аппроксимированы
подобным образом.

36
Гл. I. Преобразование Фурье
Доказательство. Пусть х = {хъ ..., хп) е Еп. Тогда
существует постоянная С = С„, такая, что
Предположим сначала, что р = 1. Тогда, 'согласно A.9) П) и тео-
теореме 1.1 (а), м '
= с
Так как A4-Ul2
отсюда следует, что
-интегрируемая на ?п функция, то
^) и
где
С = С" J
Таким образом, в силу следст-
вня 1.21 / почти всюду совпадает с непрерывной функцией а а
в силу теоремы 1.1 (a) s>
Пусть теперь р> 1. Выберем такую функцию ф с С°° что
Ф (*) = 1 при | х\ < 1, Ф (х) => 0 при ]*| > 2. Тогда Ф/ удов-
летворяет условиям леммы для р = 1. Таким образом, ф/ почти
всюду совпадает с непрерывной функцией Л, такой, что
Так как
, то
2 J
3. АГласс обобщенных функций медленного роста
37
где Л>1/)Л'ф[1ао, |v[<|a|, а В зависит только от р и л. Таким
образом, мы можем найти такую постоянную К, что
1А@)|<К 2
Так как ц>(х) = 1 при | дг| < 1, то / (х) совпадает с непрерыв-
непрерывной функцией g почти всюду в шаре единнчного радиуса с центром
в 0; кроме того,
2 \\Daf\\P.
\+\
Но подобными рассуждениями, выбирая подходящую функцию ф,
можно показать, что / совпадает с непрерывной функцией почти
всюду в шаре произвольного радиуса с центром в 0. Это доказывает
лемму.
Обратимся теперь к доказательству теоремы 3.16. Заметим
сначала, что если ф ? 0"t то Вф имеет производные по //-нор-
//-норме всех порядков. Действительно, если h = @, .... Л/, .... 0)
лежит на /-й оси координат, то (тй(Вф).— Bq)fhj¦> = (В (тЛф) —
— Вф)/Л/ = В ((тлф — ф)/Л/). Так как выражение (тйф — ф)/Л/ схо-
сходится К — ф/ = — Зф/ЗХ/ В ТОПОЛОГИИ of, ТО ОНО СХОДИТСЯ К ЭТОЙ
функции и по /Лиорме. Но В —ограниченный оператор из//в
L"; следовательно, (тЛ (Вф) — Вф)/Л/ сходится к — 3(Вф)/Зл;/ =
= —Вф/ по L*-HOpMe. Тот факт, что Вф имеет производные по
/Лнорме всех порядков, доказывается повторением приведен-
приведенных рассуждений. Ясно, что В (?)аф) = Da (Вф) для всех мульти-
индексов а = (а1( ..., а„). Следовательно, согласно лемме 3.17,
Вф почти всюду совпадает с непрерывной функцией ?ф, удовле-
удовлетворяющей оценке
2
= с 2
Последнее неравенство показывает, что отображение ф->-
-»-|Гф(О) есть непрерывный линейный функционал щ иа & (это
следует из теореомы 3.11 и замечания, сделанного в начале это-
этого параграфа, что /Лиорма функции ij> ? $ ограничена линей-
линейной комбинацией Ь°°-иорм членов вида x°-ty{x)). Мы утвержда-
утверждаем, что и =ау и есть тот линейный функционал, который мы
ищем. Действительно, если ф ? 01, то по теореме 3.13 получаем
{а * ф) (х) = и (тхф) = и ([т_*ф ]~) = и (т_*ф) = аг (т_*ф) =
=(В(т_^ф)) @) = (т_*?(р)@) = (Bq>) (лгI*. Заметим, что из этого
') Мы отождествляем В (т_дД>) с непрерывной функцией ?т ™, с которой
S (т_
совпадает почти всюду.

38
Гл. I. Преобразование Фурье
построения следует единственность обобщенной функции и. Тем
самым теорема доказана.
Этот результат в сочетании с теоремой 3.13 показывает, что
Вф, ф ? tf, почти всюду совпадает с С°°-функцией,. медленно
растущей вместе со всеми своими производными.
Обозначим (If, L") множество всех обобщенных функций и
медленного роста, для которых существует такое А >> 0, что
I « * Ф | я < А | Ф |р Для всех ф^. Теорема 3.16 показывает, что
существует взаимно однозначное соответствие между этим множе-
множеством и ограниченными линейными операторами из If в L",
коммутирующими со сдвигами (то что оператор ф-> и* ф ком-
коммутирует со сдвигами, легко увидеть из теоремы 3.13). При р = q =
= 2 можно дать очень простую характеристику этого множества
обобщенных функций.
Теорема 3.18. Обобщенная функция и принадлежит
, (L2, Щ тогда и только тогда, когда существует функция b? L°° (?„),
такая, что и = b. В этом случае || b f^ есть норма оператора В:
L2 (]<!?-*¦ L2, определенного равенством Вф = и* ф; кроме того,
(U * ф)" == Иф.
Доказательство. Если v^3" и i|> ? &, то мы пола-
полагаем произведение tnj) равным элементу из <?", такому, что (tnj))(q>) =
= v (г|зф) для всех ф ? &. Определив таким образом произведение
обобщенной функции на основную, заметим сначала, что при любых
и ? 3" и ф е #
A) (й*Ф)Л= щ.
Чтобы доказать это, мы должны показать, что (ы*<р)Л(ф) =
= (иф) (ф) для всех i|) ? 01. Из теоремы 1.4 и формулы обращения
преобразования Фурье немедленно следует, что Щ равно обратно-
му преобразованию Фурье от ф * i|>. Таким образом, согласно
приведенному выше определению преобразования Фурье и свертки,
(И*ф)л (l|>) = (U*q>) rf) = И(ф* ф) = И(ф1|)) = (Иф) (ф), ,
и равенство A) установлено.
Пусть фо = е~я№; тогда Фо ? <^ и ф0 = ф0 (см. теорему 1.13
и примечание к этой теореме). Если и ?. (L2, L2), то по теоре-
теореме Планшереля Фо = ищ = (м*фо)л ^ Щ^п)- Положим Ь(х) =
3. Класс обобщенных функций медленного pocta
Мы утверждаем, что
39
(ii) (и*ф)А = 6ф
для всех ф ? (^. В силу (i), достаточно показать, что
= (ftq>) (i|?) Для всех ij> ? ^5 (так как 0 плотно в &). Но если
ур?0, то A|)/фо) {х) = i|) (х) ^1*1" ? 55, так что
= j ф0
что
Отсюда немедленно следует, что и = Ь. Действительно, мы по-
показали, что и (фф) = (&ф) (ф) = b (ф1|>) для всех ф ? 0 и ф ? 0.
л
Выбирая ф так, чтобы ф(#)= 1 на иосителе i|>, получим,
а(ф) — &{ф) для всех i|> ? ^5. Таким образом, и = о.
Так как и$ (La, La), то существует такое Л>0, что
= |(м*ф)л12 =|«*,ф|а< ^||ф||2 Для всех ф?<^. Отсюда, очевид-
очевидно, следует, что b^L°°(En), причем |&Цсо<Л (так как 0 плот-
плотно в 1? (?„)).
С другой стороны, если и = b? tf°(En), то нз теоремы План-
шереля и равенства (i) немедленно следует, что и ? (La, L2) и
пбЦоо равна норме оператора В.
Другая простая характеристика класса (Lp, L?) может быть да-
дана, когда р = q =¦ 1.
Теорема 3.19. Обобщенная функция и принадлежит (L1, L1)
тогбй и только тогда, когда она есть конечная борелевская мера.
В этом случае ее полная вариация равна норме оператора В:
L} о $> -* L1, определенного равенством Вф = и * ф для ф ? <?\
Доказательство. Если и — конечная, борелевская ме-
мера, то, очевидно, она принадлежит (Ll, L1) (см. замечание после тео-
теоремы 1.3).
С другой стороны, пусть и ? (L\ L1); рассмотрим семейство
/Афункций и% =* (и * W (•, е)), е>0 (ядро Гаусса — Вейерштрасса
W(-, e) принадлежит 0" для всех е>0). Тогда, в силу наших
предположений об и и леммы 1.17 (a), |ae|i < ^||^(*i eJt** A-
Таким образом, семейство {и&} равномерно ограничено по ^-нор-
^-норме. Будем считать Ll(En) вложенным в банахово пространство

40
Гл. I. Преобразование Фурье
4. Дальнейшие результаты
41
М — М (Еп) конечных борелевских мер на Еп *>. Пространство
М (Еп) можно отождествить с пространством, двойственным к
О» = Со (?"„), поставив в соответствие каждой мере ц ? M линей-
линейный функционал, принимающий значение f ф (х) dp. (x) на каждой
Ф ? Со. Единичный шар пространства М компактен в слабой *
топологии 2>. В частности, мы можем найти меру р. ? М и сходя-
сходящуюся к нулю последовательность {eft}, такие, что щ,к -> |jl при
k-+ оо в этой топологии, т. е. для каждой ф ? Со
0)
lim f ф (х) ueft (x) dx ** f ф (х) dp. (x).
ft-°°E Е
Мы утверждаем теперь, что ц, рассматриваемая как обобщенная
функция, совпадает с и.
Для этого лужно показать, что и (i|>) = \ ф (х) dp. (x) для всех
Еп
ф ? сР, Пусть i|)e(j;)= J ty(x — QW(tt e)dt. Тогда для всех мульти-
Еп
индексов а имеем ра1|>е) (*) = J (?*ф) (* — 0 ^ (*> 6) Л. Из тео-
Е
п
ремы 1.18 следует, что (Day\>B)(x) сходится к (Daty)(x) равномер-
равномерно по х. Таким образом, -фв —>- -ф в $ при е-*-0 и, следо-
следо-*- и (i|)). Но так как W (¦, е) = W (•, е), то
вательно, а
Полагая е = гк, устремляя А->оо и применяя (i) с ф = 1|), по-
получаем искомое равенство и(ф)= I ty(x)d\i(x). Остальная часть
V
утверждения теоремы очевидна. ^
Мы уже отмечали, что простая характеристика пространств
(Lp, Lq) в общем случае неизвестна (и, возможно, не существует).
Однако имеется следующий общий результат о двойственности.
'* Пусть / ? L1 (?„); тогда равенство р (F) = ^ f (x) dx, где F -* измеримое
F
подмножество Еп, определяет конечную борелевскую меру на Еп.Полная вариация
Й Равна II fill-
' То есть в слабейшей топологии, в которой элементы ф из Со можно рас-
рассматривать как непрерывные линейные функционалы на М (если \i ? М отобра-
отобразить в J ф (х) dn (x), то мы получим линейный функционал на М). Дальнейшие
Еп
детали можно найти в библиографических замечаниях.
Теорема 3.20. Пусть 1
+ Xftf = 1; тогда (Lp, IS) =
р, <?< то, 1/p-f- 1/р' = 1 и \/q
! Доказательство. Согласно теореме Ф. Рнсса, мы мо-
можем отождествить пространства Lp' и V с двойственными к Ги
L" (это верно при р, q< оо; если р или q равно то, то, слегка из-
изменяя рассуждения, мы докажем теорему и в этом случае). Пусть
и ? (If, L"), и пусть В : V ->¦ V — единственное ограниченное
линейное расширение на V отображения ф ->¦ и * ф, ф ? of. Если
В* ; ?9' _>. /,"' обозначает сопряженный^ В оператор, то
(Вф) tydx —
для всех ф, ф € ^* Но в терминах обобщенных функций это
эквивалентно равенству (u*y)(ty) = (B*ty) (ф), т. е. (В*Ч|э)(ф) =
= и (ф * i|>) = и ([ty * ф]~) = и (ty * ф) = (и * i|>) (ф) для всех ф, \р ? (^.
Таким образом, B*i|> = w*i|) для всех i|) ? «^ Имеем |]В*г|з||р'<
^l^*!!1!'!^ — II ^11! ty\qft поэтому и ? (L", Lp'). Так как « ? (Л", Л^')
тогда и только тогда, когда и ? (/У, Lp'), то отсюда следует,
что (Z/, L") cz {V, Lp). Противоположное включение доказы-
доказывается заменой {р, q) на {q\ p').
4. Дальнейшие результаты
4.1. Мы отмечали после доказательства теоремы 1.2, что не
всякая функция из Со является преобразованием Фурье некото-
некоторой интегрируемой функции. Предположим для простоты, что
п = 1; тогда это можно доказать, например, следующим спосо-
бом. Заметим сначала, что если /—преобразование Фурье ин-
интегрируемой функции и, кроме того, / — нечетная функция; то
Ь А
\[f(x)lx]
dx
<Л при 1<?><;то, где А не зависит от Ь. Это
есть следствие широко известного соответствующего свойства ин-
интегралов функции sin х/х, а именно
Г (sin x/x) dx
В< оо,
каковы бы ни . были а, Р@< |а|<]Р| < то). Действительно,
4-0О
вследствие нечетности / мы имеем f(x) = — i \ f(t) sin Bnxt)dt.

42
Гл. 1. Преобразование Фурье
Используя теорему .Фубини, легко показать, что
Следовательно, чтобы построить пример С0-функции, не являю-
являющейся преобразованием Фурье никакой .интегрируемой функции,
достаточно найти непрерывную функцию, обращающуюся в 0 на
ь
бесконечности и такую, что f [g{x)/x]dx не- ограииченпри Ь-+оо.
i
Этими свойствами обладает, например, функция g(x) — I/logдг
при больших х.
4.2. Фиксируем g?Lx(En) и рассмотрим оператор В, переводя-
переводящий f?Lp(En) в f*g. Из теоремы 1.3 следует, что В — ограни-
ограниченный линейный оператор из Lp (Еп)вLp(En), норма которого|В(р)
не превосходит | g|t. При р = 1 легко показать, что П В fl) — fgji (в
самом деле, из теоремы 1.18 следует, что fe(t) = P(t, е) — семей-
семейство функций с единичной /Лиормой, такое, что fe*g~>-g по
/Лиорме при е->0). Мы видели (теорема 3.18), что 1#|Р = |?|»-
Естественно, следовательно, спросить: как норма ^Bf* может
быть выражена в терминах g при 1<р<оо? В общем случае
удовлетворительный ответ неизвестен. Однако если #>0, то
. . Л л ftp.
\\g\\i ~ \8vJ)\Klg[»Klgu и, следовательно, |jB| ^= |g-11. Отсю-
Отсюда, из теоремы 3.20 и одного результата (теоремы М. Рисса о
выпуклости) теории интерполяции операторов (которую мы ра-
разовьем в гл. V) следует, что \\Bf] = fgji, I <p<oo, при усло-
условии, что
4.3. Теорема 1.3 имеет следующее обобщение: пдсть f$Lp(En)
и g?L'(En), 1<р,ги 1/р + 1/^>1; тогда h = ff
где Щ= 1/р -4- 1/г — 1, и
Прямое доказательство этого утверждения (часто называемого
неравенством Юнга) см. в книге Зигмунда [1], гл. 11. В гл. V мы
покажем, что это неравенство также непосредственно следует
из теоремы М. Рисса о выпуклости.
4.4. Смысл производных по //"-норме можно лучше понять,
заметив, что: (а) если размерность п = 1» то / ? ?Р (^i) имеет про-
производную по /Лнорме тогда и только тогда, когда / почти всюду
равна локально абсолютно непрерывной функции, производная
4. Дальнейшие результаты
43
которой /'принадлежит If (?) (см. Бохнер и Чандрасекхараи Ш,
§ б); (Ь) в общем случае f ? L" (Еп) имеет k-ю частную производ-
производную по Х-р-иорме тогда и только тогда, когда /, рассматриваемая
как обобщенная функция медленного роста, имеет k-ю частную
производную (d/dxk)f в смысле обобщенных функций (см. C.14)),
являющуюся L"'-функцией.
4.5. Если / ? IS (Еп), 1 <р< оо, рассматривается как обобщенная
функция медленного роста, то все ее первые частные производ-
производные (d/dxk)f, fe=l, .... л, существующие в смысле теории
обобщенных функций, будут //-функциями тогда и только тогда,
когда |V-/|p«( l\f(x-h)-f(x)\pdx)l/p = O(\h\).
Ч ;
При р = 1 первые частные производные существуют и явля-
являются конечными борелевскими мерами тогда и только тогда,
когда IV-flk-OPl)
4.6. Операторы сдвига можно определить на пространстве ко-
конечных борелевских мер, положив тлц, где \i — мера из этого про-
пространства, равной мере, значение которой иа борелевском множе-
множестве F равно \i (F — h) = ц ({х ? Еп\ х + h ? F)). Мера \i аб-
абсолютно непрерывна (по отношению к лебеговой мере) тогда и толь-
только тогда, когда полная вариация меры тьц — ц стремится к нулю
при | h \ -> 0 (см. Бохнер [4]).
4.7. Если ц есть дискретная конечная борелевская мера, то
©о
Ц = 2 akbx где Ьх обозначает fi-фуикцию Дирака, сосредоточенную
k=i ft K
в точке xh. Таким образом, в силу определения преобразования
оо
Фурье мер (или обобщенных функций), ц@ = 23 аие~ ntXft-
В этом случае справедливо равенство
An
1
О/ 'ИЛ А „п
где Йл обозначает объем единичного шара в Еп. В общем случае
можно показать, что если \i — произвольная конечная борелев-
борелевская мера, a xlt х^, ..., xk, ... — различные точки вЕп с ненулевыми
мерами аъ а2, ..., ак, ..., то равенство (г) все еще остается справед-
справедливым (в одномерном случае см. Винер III).
4.8. Преобразования Фурье неотрицательных конечных боре-
борелевских мер можно описать в терминах положительно определенных
функций, т. е. непрерывных функций /, определенных на Еа и

44
Гл. 1. Преобразование Фурье
обладающих таким свойством:
Для ПР°~
fi} н точек
б
к к
2 2 / (** — */) lib
извольного множества комплексных чисел {glf ..., |fi}
{*i. •••> #а} нз ?„. Бохнер [3] показал, что-/ есть преобразование
Фурье неотрицательной конечной борелевской меры тогда н толь-
только тогда, когда / положительно определена (обобщение этого ре-
результата на локально компактные абелевы группы см. в работе,
Рудииа [1]).
4.9. Если существуют постоянные сп, кп, п = 1 т, такие
что е~6 =
спе~{Хпб)\
то отсюда, очевидно, будет следовать,
что интеграл, суммируемый по Гауссу, суммируем и по Абелю.
Равенство (i) в доказательстве теоремы 1.14 почти утверждает это.
Поэтому неудивительно, что можно показать, что если для функции
f существуют абелево и гауссово средние Ae(f) и Ge (/) и предел
lim Ge (f) = I, то существует lim Ae (/), равный / (см. Картрайт
е-»-0 е-*0
[1], Бохнер н Чадрасекхараи [1], гл. 1,§ 14).
4.10. Интеграл Пуассона функции f ? If (?„), 1 < р < оо,
сходится к f (х) для всех xt удовлетворяющих A.23) (доказатель-
(доказательство см. в работе Вейса [2])- Позднее нам понадобится следующее
более общее утверждение. Пусть ф (х) — радиальная функция
(т. е. ф (а;) = ф0 (| х |)). Предположим, что ф0 (г) неотрицательна,
убывает по г и J ф (х) dx = 1. Тогда (/ * фе) (х) -> f (x) при
е -*- 0 для всех х, удовлетворяющих A.23). Это применимо, в ча-
частности, к ядрам Гаусса — Вейерштрасса. Аналогичные рассуж-
рассуждения позволяют показать, что если v — сингулярная конечная
борелевская мера, то интеграл Пуассона — Стилтьеса v (xt е) =
= 1 Фе (* — О dv @ -> 0 при е -> 0 для почти всех х. (Эти рас-
суждения опираются иа тот факт, что | Sx | ' J dv -> 0 для почти
Sx
всех х ? Еп, когда объем I Sx \ шара Sx с центром в точке х стре-
стремится к 0; см. п. 5.6 гл. II или Сакс [1], гл. IV.) Если [J.— произ-
произвольная конечная борелевская мера, то ее можно разложить па син-
сингулярную часть \хг и абсолютно непрерывную часть ц2. Пусть
/—производная (Радона — Никодима) меры \i2; тогда а(х, е) =
l iJ P(x-t, e) f <f) dt **
n n %
— Mi (x, e) + м2 (x, e). Таким образом, lim и (xt e) = 0 + / (x) = / (x)
e-+o
для почти всех а; ? En.
4. Дальнейшие результаты
45
4.11. Отметим следующие дополнительные утверждения, ка-
касающиеся операторов В, коммутирующих со сдвигами.
(a) Интересные случаи могут возникнуть только тогда, когда
р < q\ если р~> q, то В отображает все элементы пространства
3 в нулевой элемент пространства 13 (Еп).
(b) Если 1<р<оо и |В(ф)|^<Л^|ф||р для всех у ?3 (т. е.
Вф = и*ф, где B?(Lpt L% то В ?{13, 13), где \-
Я *¦
о- » причем \\ByL < УИЦфН^.
Для доказательства утверждения (а) заметим, что если
и /„(я) = <$(х-\- h) +ф(х), то ||/h||p = 21/р||ф||р при достаточно
больших h. Однако если Fh = B(fh) и Ф = В (ф), то || Fh \\q ->-
ЦЦ.р ||
Для доказательства утверждения (Ь) следует применить тео-
теорему 3.20 и затем интерполяционную теорему Рисса (гл. V, теоре-
теорема 1.3).
4.12. Теорема 3.16 касается ограниченных линейных операто-
операторов, отображающих If в 13 и коммутирующих со сдвигами. Су-
Существует много линейных операторов, отображающих *Р в <^, ко-
которые коммутируют со сдвигами, но не имеют ограниченных ли-
линейных расширений, отображающих какое-либо пространство If
в некоторое пространство 13. Примером может служить оператор,
переводящий функцию ф'? 3* в ее частную производную d<$/dxh.
Из теоремы 1.8 следует, что этот оператор В, примененный к ф,
удовлетворяет равенству (Вф)Л(х) = 2mxkq>(x). Учитывая тео-
теорему 3.16, естественно спросить: существует ли обобщенная
функция медленного роста а, такая,1 что Вф — а * ф? Легко про-
проверить, что этим свойством обладает обобщенная функция, перево-
переводящая ф в (—ду/дхк) @): (и * <р) (х) = и (тур) = (— дтх^/дхк) @) =
= ду/дхк. Кроме того, легко проверить, что и = 2nixk, Повторяя
эти рассуждения, получим следующий результат:
Пусть Р (D)—дифференциальный полином и Вф = Р (D) ц> для
Ф ?<^; тогда существует и ? 3", такая, что Вф = м*ф, и(х) =
= Р {2nix) и (Вф)л (х) = Р Bяа) у(х) = и {х) ц> (х).
4.13. Для любого р>2 существует f?lf, такая, что ее пре-
преобразование Фурье как обобщенная функция медленного роста
ие является регулярной. Если бы было верно противное, то из
теоремы о замкнутом графике для всех f?Lp> p>2, следовало

46 ' Гл. 1. Преобразование Фурье
бы неравенство J |/(*)|-d*< Л||/||р. Для получения противоре-
чия возьмем п= 1, f (*) —e~~*A+rt)*\ Используя теорему 1.13 и
аналитическое продолжение, легко. показать, что f(x) =
1 + ЙI". Но J | f (*) | d* - Л, a"
1
в 11*
при о-»-оо, что невозможно, если р>2. Ясно, что подобное
доказательство можно провести для любого п.
4.14. Для дальнейших ссылок мы приведем интегральные то-
тождества, использующие полярные координаты, и выявим их
связь с интегрированием иа группе вращений SO(n),
(а) Пусть f—интегрируемая иа Еп функция; тогда С f(x)dx =
(со \
J / (rxf) rn~4r I, где х' пробегает 2n^i и dxf есть
ии-
1„_1 \0
дуцироваииая лебегова мера иа 2n_i.
(b) Пусть <р интегрируема на Sn-i. Тогда -^— j <p (x')rf/=•
— f (p(al)rfa, где rfa — мера Хаара иа SO(n), нормированная
условием f do — 1, и 1 &= A, 0, ...» 0). Для доказательства (Ь)
заметим, что так как dx' инвариантна при вращениях o?SO {n)> то
-I <p
v
Здесь a0 — любое вращение, переводящее 1 в х'. Предпоследнее
равенство следует из правой инвариантности меры Хаара da.
Основные свойства меры Хаара см., например, в книге Вейля А. [11.
4.15. В качестве довольно прямого следствия теоремы 3.11
можно доказать такое утверждение. Пусть и ? $>'\ тогда сущест-
существует такое целое число т, что справедливо представление
4. Дальнейшие результаты
47
с некоторыми постоянными а^ и медленно растущими непрерывными
функциями ftx. Поскольку верно и обратное утверждение (см. § 3),
мы видим, что это представление характеризует обобщенные функ-
функции медленного роста.
Библиографические замечания
Фундаментальными трактатами по классическому гармоническому анализу
являются Бохнер {31, Винер {1], Зигмунд {11, Титчмарш]21, Бохнер и Ч-андра-
секхараи {1], Бари {11. Для начального знакомства см. Голдберг {1| и Вейс 13].
Большую часть элементарного материала, использованного в первой главе, в
частности введение полярных координат, можно найти у Флеминга [11; см. также
Блюменсон {1]. Большая часть материала § 2 и первая часть § 1 в общей постанов-
постановке содержится в теории локально компактных абелевых групп; см. Вейль А. {11,
Рудин [11, Хьюитт н Росс {11. Мы не пытались обсуждать здесь важные вопросы,
возникающие в связи с тауберовой теоремой Винера и приводящие к более глубо-
глубокому изучению алгебры L1. Для ознакомления с этими вопросами в рамках про-
произвольных локально компактных абелевых групп см. Наймарк {11 или Рудин A1.
В доказательстве теоремы 1.14 мы следуем Бохнёру и Чандрасекхарану [11. Тех-
Техника аппроксимации единицы (в частности, варианты теорем 1.18 и 1.25) имеет
длинную историю, которую мы не станем описывать. Предложенная здесь
формулировка теоремы 1.25 основана иа одном замечании Р. Латцера; аналогич-
аналогичный результат можно найти у Кальдерона к Зигмунда [31, гл. II. По поводу
результатов из функционального анализа, использованных в этой главе, в частнос-
частности слабой* компактности единичного шара, использованной в доказательстве тео-
теоремы 3.19, мы отсылаем читателя к книге Ройдена [11.
Общая теория обобщенных функций и их применений изложена в книгах
Л. Шварца [LJ, Гельфанда и Шилова [1] и Эренпрейса [1]. Там читатель найдет
также доказательства, которые мы опустили, и ссылки на классические работы по
обобщенным функциям. Для краткого ознакомления с этой теорией в связи с пре-
преобразованием Фурье см- Хёрмандер [21, гл. 1, и Иоснда [1], гл. VI. Теоремы 3.16,
3.18, 3.19, 3.20, связанные с операторами типа (V, L"), в различных формах из-
известны уже довольно давно. См., например, Бохнер [9], Хилле и Филлипс [1],
Бохнер и Чандрасекхаран [1], Зигмунд [lj, гл. IV, Хёрмандер [1], где можно
найти еще и другие ссылка.

/. Основные свойства гармонических функций
49
Глава II
ГРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Основным средством изучения функции Д определенной на Еп, является переход
к определенной на (п + 1)-мерном верхнем полупространстве гармонической функ-
функции, для которой /служит граничным значением. В первом параграфе излагаются
основные свойства гармонических функций нескольких переменных. Связь между
определенной на Еп функцией / и гармонической функцией (п -f- 1) переменных —
ее интегралом Пуассона изучается в § 2. Параграфы 3 и 4 посвящены некасательной
сходимости на границе и гармоническому мажорированию. Эти понятия, интерес-
интересные и сами по себе, доставляют нам важные средства, которые будут использова-
использованы в гл. III и VI.
1. Основные свойства гармонических функций
Р Мы предполагаем, что читатель знаком со свойствами гармони-
гармонических функций, обычно приводимыми в курсах теории функций
комплексного переменного. Многие из этих свойств обобщаются
на высшие размерности, однако для установления этих свойств
мы не можем больше опираться на теорию аналитических функций
(как это часто делается в случае двух переменных). Поэтому в
этом параграфе развиваются основы теории гармонических функ-
функций п переменных. „
Функция и, определенная в некоторой области (открытом связ-
иом подмножестве пространства Еп), называется гармонической,
если она дважды дифференцируема (т. е. ее вторые частные произ-
производные существуют и непрерывны) и удовлетворяет уравнению
Лапласа
6%
= 0
во всех точках этой области. Из первых двух приведенных ниже
примеров легко следует, что введенные в § 1 гл. I абелевы средине
и интегралы Пуассона являются гармоническими функциями.
A) Фиксируем t?En\ тогда и(х, y) = u(xlt ..., хп, у) =
= е~ l'|ffgm*-' — гармоническая функция в ?п+ь
B) Р(х, у) = сп[у/(\ х |а -f У2) (Г1+1)/2] — гармоническая функция в
E?+i = {(х, у) = (xlt ...,xn, у)? ?п+|; у > 0} (эту область часто
называют верхним полупространством)".
J Мы обозначаем точки E$l\ упорядоченными парами (х, у), где х ? Еп, a
у — положительное число, чтобы подчеркнуть, что эта область есть обобщение
верхней полуплоскости (в случае л = 1).
C) При п > 3 функция и (х) = \ х \г п является гармониче-
гармонической в любой области, не содержащей начала координат. Соответ-
Соответствующим примером для п = 2 будет функция и (х) ~ log | х\.
В определенном смысле, который станет ясным позднее, этн функ-
функции «порождают» все гармонические функции.
D) Ниже будет показано (теорема 1.7), что гармоническая
функция бесконечно дифференцируема и даже вещественно-ана-
литичиа (см. п. 5.5 гл. IV). Ясно, что любая частная производ-
производная гармонической функции также есть гармоническая функция.
В качестве иллюстрации заметим, что Р(х, у) есть частная про-
производная по у функции сп1[(\ — п){\х\%-\- y2)in~1)t2] прн л>1 и
функции спlog(] х|2 + У2I/г при п~\.
E) Если и — гармоническая функция в области 0, то тни
гармонична в 0-\-h~ {x-\- А; х? 0). Таким образом, гармонич-
гармоничность сохраняется при сдвигах. Гармоничность сохраняется так-
также при вращениях и растяжениях (это свойство можно проверить и
прямыми вычислениями, но оно станет очевидным после того, как
мы охарактеризуем гармонические функции в терминах среднего
значения; см. теорему 1.1 ниже).
п
F) Функция и (х, у) = sin V~ny П ch xk гармонична в Еп+\ ~
fc=i
Среднее значение функции и по площади сферы радиуса г > О
с центром в точке х будем обозначать М (г) = Мк,и (г) (чтобы под-
подчеркнуть зависимость от и, х и г). Таким образом, обозначая через
2 единичную сферу в Еп, а через dt' элемент площади 2 (такие обо-
обозначения использовались при доказательстве леммы 1.17 гл. I),
получим
Теорема 1.1 (теорема о среднем для гармонической функ-
функции). Пусть функция и гармонична в некоторой области $), и пусть
шар радиуса rQ с центром в точке х ? 0 содержится в 0; тогда
и (х) = Мх,и (г)
при всех 0 <с г < г0.
Доказательство. В силу сохранения гармоничности
при сдвигах (см. E)), можно положить х = 0. Обозначим через
% подобласть с достаточно гладкой границей д% cz 0. Применяя
формулу Грина к функциям и и 1 в $, получим
A.2)

50
Га. II. Граничные значения гармонических функций
где в/дп — дифференцирование в направлении внешней нормали
кdS, ads — элемент площади поверхности 55.
Обозначим через 28 и 2„ 0<e<r< r0t сферы радиусов
соответственно е и г с центром в 0. Применяя формулу Грина к
функциям и и
2
Uog|х\ при п = 2
в области, расположенной между двумя сферами, получим 1}
0= I [~ {\(-(n-2)\x\-*-»u)ds-
~r
ди
дп
I v
J
ди
Но v постоянна на 2, (оиа равна там г (п ^) и на 2е (она
равна там е~(п~2)). Так как и гармонична в 0=>[х?Еп; [лг|<
< г0}, то, применяя A.2) к db = tr и д8 = 2е, видим, что член
в фигурных скобках равен 0. Следовательно,
Отсюда
— г-г \ uds.
Очевидно, что последнее выражение стремится к и @) при е -v 0,
и теорема доказана.
Следствие 1.3 (принцип максимума для гармонических
функций). Пусть и — вещественная гармоническая функция, опре-
определенная в области 0, причем А = sup и (х) < оо; тогда либо
и (х) < А для всех х ? 0, либо и (х) ss А в 0.
Доказательство. Пусть и (х) = А для некоторого х ?
? 0. В силу теоремы 1.1, существует такое г0 > 0, что А = и (х) =
= Мх,и (г) при 0 < г < г0. Так как и непрерывна и удовлетворяет
неравенству и < Л, то отсюда следует, что use А на 2, (х) =
= [У € ЕЯ1 \ У ~ х\ = г}. Таким образом, и (t) = А для всех
' Доказательство проводится для случая п > 2. В случае « = 2 оно тре-
требует очевидных изменений. При п = I теорема очевидна, так как в этом случае
все гармонические функции линейны.
1. Основные свойства гармонических функций
51
t = х -f ft, | ft | <С г0. Следовательно, множество {t ? Еп\ и (t) =
— А} открыто. С другой стороны, из непрерывности и вытекает, что
это множество также и замкнуто (относительно 0). Так как 0
связно, то отсюда следует, что это множество совпадает с 0, тле.
и (х) == А в 0.
Применяя доказанное утверждение к функции — и, получим
принцип минимума для гармонических функций: пусть и удовле-
удовлетворяет предположениям следствия 1.3 и В = inf и (*).> —оо;
*=&
тогда либо и (х) > В для всех х ? 0, либо и (х) ^s В.
Принцип максимума (минимума) можио сформулировать в сле-
следующем эквивалентном виде:
Следствие 1.3'. Пусть и непрерывна в замыкании 0
ограниченной области 0 и гармонична в 0\ тогда либо_ максимум
(минимум) и достигается только на границе д0 = 0 \ 0 об-
области 0, либо и — постоянная функция.
Применяя это утверждение к разности щ — и2» получим
Следствием. Пусть иг и и^ непрерывны в замыкании
0 ограниченной области 0, гармоничны в 0 и совпадают на границе
60 = 0 \ 0\ тогда иг (х) = щ (х) для всех х ? 0.
1 Другим следствием теоремы о среднем является следующее
утверждение, известное как теорема Лиувилля:
Теорема 1.5. Пусть о гармонична вЕп и ограничена; тогда
v — постоянная функция.
Доказательство. Обозначим через Й„ = ©n-i/л объем
единичного шара в Еп; тогда из теоремы о среднем получим
t t
v(x) = v (x) JL | p-Up = JL f Mx,v (p) p'-Wp «,
* 0 * 0
T
T \ (i v ix + 9y')dy\ p""
для всех х ? Еп и t > 0. Таким образом,
j о (:t) rfjt — ( о (a;) dx
LL
dx

52
Гл. II. Граничные значения гармонических функций
где St (х) — шар радиуса t с центром в точке х. Но объем сим-
симметричной разности E, (ЯЛ \ St (х2)) U (St (x2) \ St (jcx>), де-
деленный на 1п, очевидно, стремится к 0 при /-> оо, так что о (xj —
— v (х2) = 0, т. е. v (х) — постоянная функция.
Теорема о среднем полностью характеризует гармонические
функции. Для доказательства сначала установим одну лемму.
Лемма 1.6. Пусть и дважды дифференцируема в области
0 и Мх,и (г) = и (х) всякий раз, когда шар {/??„; \t — х| < г}
лежит в 0; тогда и гармонична в 0.
Доказательство. Фиксируем х?0 и положим М"@)
(=Мхм@)) равным пределу второй производной (d2/dr2)M(r)
при г-*-0 (существсвание этого предела следует из непрерывности
вторых частных производных функции и). Утверждение леммы не-
немедленно следует из тождества
Полагая t' = {t\, .... tn) ? 2, получим
d2 „ , , 1
dt'.
Таким образом,
М" @) =
2 \uik(x)tykdt' =
= -~~ 2 Ut'/kdAufbix).
Но в силу симметрии j ^4d/'= 0 при )фЫ и j (*JJ<#' = con_i
для всех /=1, ..., п. Таким образом, М"@) — A/л)
» и
лемма доказана.
Следующий результат показывает, в частности, что лемма 1.6
остается справедливой, даже если условие существования непре-
непрерывных вторых частных производных заменить более слабым ус-
условием локальной интегрируемости функции и. Более того, из
этого результата и теоремы 1.1 следует, что каждая гармоническая
в области 0 функция принадлежит классу" С°°@). Рассмотрим
сначала случай, когда и непрерывна.
') Подробное рассмотрение этих вопросов см. в книге Привалова [1].—
Прим. ред
1. Основные свойства гармонических функций
53
Теорема 1.7. Пусть непрерывная в области 0 функция и
обладает свойством среднего значения (как в лемме 1.6); тогда и
гармонична в 0 и имеет в этой области непрерывные частные про-
производные всех порядков.
Доказательство. Так как задача локальная, то, су-
сужая функцию а на шар, лежащий в 0 вместе со своим замыканием,
мы можем считать область 0 шаром, а функцию и интегрируемой
на 0, Продолжим теперь и на все пространство ЕП, считая ее равной
0 вне 0. Выберем радиальную функцию ф? С™(Еп) так, чтобы
J ф (х) dx = 1 и носитель ф содержался в шаре единичного ра-
еп
диуса. Положим затем иг = и * ф8, где фе (х) = е~п ф (х/е),
е >¦ 0. Ясно, что ие ? С°° (Еп). Используя полярные координаты,
получаем
ue(x) =
= ^<fE(r)b)n-lMx,u(r)rn-1dr.
0
Если е меньше расстояния от л: до границы 0, то Мх,и (г) = и (х)
8
при 0<г<е. Таким образом, иг(х) = w(^)con_iJ фе(г) f-^dr^
о
= м (л:)х). В частности, если 2d — радиус шара 0, а лс0 —его центр,
то и (х) = ud (x) для всех точек х, расстояние которых от х0 мень-
меньше чем d. Отсюда следует, что в окрестности каждой точки х0 ? 0
функция и совпадает с бесконечно дифференцируемой функцией,
и теорема доказана, так как гармоничность и теперь вытекает
из леммы 1.6.
Если функция и всего лишь локально интегрируема, то пусть
свойство среднего значения выполняется в виде
и(х+у) dy
для достаточно малых t, так чтобы шар радиуса t с центром в точке
х целиком лежал в 0. Используя рассуждения, аналогичные при-
1} Мы уже видели в первой главе (см. теоремы 1.18 и 1.25), как такие свертки
ие = и • Фе аппроксимируют и. Добавив предположение, что и обладает свойст-
свойством среднего значения, мы получили, что ие (*) = и (х) при достаточно малых е.
В общем случае, когда ср — гладкая функция, ие = и • ф8 также гладкая; в
этом случае такое семейство {ив} часто называют регуляризацией функции и

54
Гл. II. Граничные значения гармонических функций
веденным выше, можно показать, что и (х) = ud (x) и, следователь-
следовательно, утверждения теоремы 1.7 все еще будут справедливы.
Следствие 1.8. Пусть '{ип\— последовательность гар-
гармонических в области 0 функций. Если эта последовательность
сходится к некоторой функции и равномерно на каждом компактном
подмножестве 0,то и также гармонична-в области 0.
Доказательство. Так как в этом случае функция и
непрерывна, то, в силу теоремы 1.7, достаточно показать, что
и обладает свойством среднего значения. Из теоремы 1.1 сле-
следует, что МХгип(г) = ип(х) для всех х?0 и таких г, что [t\ \x —
— t\^r) cz.0. Так как. ип равномерно сходится к и иа сфере
[t; |л: — t\ = r), интегралы, определяющие величины Мх.ип(г),
сходятся к интегралу, определяющему Мхм{г). Отсюда следует,
что Мх,и{г) = UmMx,un(r) = Птм„(#) — и(х), а это и есть иско-
мый результат.
Классической задачей, связанной с гармоническими функциями,
является широко известная задача Дирихле. Чаще всего она фор-
формулируется так: .
Пусть 0 — область с компактным замыканием 0 и f — не-
непрерывная функция, определенная на границе д0 = 0\0. Су-
Существует ли непрерывная на 0 функция и, такая, что
(i) и гармонична в 0,
(и) u(x) = f (х) при х ? д0>
Следствие 1.4 утверждает, что если такая функция и существу-
существует, то она единственна. .
Задача Дирихле интересует нао главным образом в случае,
когда 0 есть верхнее полупространство Et+\ (см. § 2). Тем не ме-
менее основополагающее значение и многочисленные применения име-
имеет ^решение поставленной здесь задачи в случае, когда 0 есть внут-
внутренность шара. В этом частном случае решение получается при
помощи ядра Пуассона для единичного шара:
p(s,x) =
I 1
1*1' ._ 1
\—r*
где г = | # | < 1 = | s | ну — угол между векторами, х и s, так
что r cos у ~ х - s.
Это ядро обладает следующими тремя основными свойствами:
Теорема 1.9. Пусть 2 =2„_1 = {s ? Еп; \s\ = 1} обозначает
единичную сферу в Еп и ds — элемент площади поверхности; тогда:
(а) р (s, х) > 0 для всех s ? 2 и \ х\ < 1;
/. Основные свойства гармонических функций
(b) \p(StX)ds=\ при | х | < 1;
55
(с) пусть х' ? S; положим х = гх' @ < г < 1); тогда для
всех 6 >¦ 0 .
при г -*- 1 равномерно по х''.
Доказательство. Свойство (а) очевидно, как и свойство
(с), если заметить, что | s — х | = | s — гх\ отграничено от нуля
(равномерно по х1) при таких s ? 2, что| s — х' \ >6.
Для того чтобы доказать свойство (Ь), заметим сначала, что
р (х, s) — гармоническая функция переменной х, |#|<1, при
каждом s ? 2. Тогда, в силу теоремы 1.1, нмееМ
1р (s, 0) = -р~ j <йп-\р (s, rx') dx' = )p (s, rxf) dx*
1 =
при 0<г<1 и s, *'?2. Ho \rx'— s\ — \rs — x'\ и, следова-
следовательно, p (s, rx') = p (x\ rs). Отсюда свойство (b) получается заме-
заменой s *-+ x'.
Используя эти свойства, можно решить задачу Дирихле для
единичного шара.
Теорема 1.10. Пусть функция f непрерывна на 2; тогда
функция и, определенная равенством
при \ х | < I и и (х) = f (х) при 1*1 = 1, гармонична при \ х \ < 1
и непрерывна при \ х | < 1.
Доказательство. Гармоничность и при |х\ < 1 сле-
следует из того, что лаЬласиаи и равен интегралу от произведения /
на лапласиан (по х) p(st x). Это утверждение требует обоснования
перемены порядка дифференцирования и интегрирования. Более
простое доказательство получается, если заметить, что, как непо-
непосредственно следует из теоремы Фубиии, средиее значение и по сфере
радиуса г< 1 —| х\ с центром в точке х равно интегралу от
произведения f (s) иа среднее значение р (s, •) по той же сфере.
Так как р (s, •) гармонична, то последнее равно р (s, x). Таким об-
образом, и удовлетворяет теореме 1.7 и, следовательно, гармонична
внутри единичного шара.
Чтобы показать, что и непрерывна иа замкнутом единичном
шаре, достаточно доказать это иа его границе 2. Пусть х' ? 2,
0<г<1, х^гх' и Aj=(s?2; |s —лг'1>6). Тогда в силу

56 Гл. 11. Граничные значения гармонических функций
утверждений (Ь) и (а) теоремы 1.9 имеем
\u(x)-u(x')\ = \[[f(s)-f(x')]p(s, rx')
\f(s)-f(x')\p(s, rx')ds.
Еще раз используя утверждение (Ь) теоремы 1.9, получим, что вто-
второе слагаемое мажорируется величиной
{ sup |/(s)-/(x')|} J p(s,x)dS<[ sup |f(s)-/(*')|}-l.
которую можно сделать меньше любого е >• 0, выбрав 6 достаточно
близким к 0. С другой стороны, при фиксированном 6 первое сла-
слагаемое мажорируется величиной
f p(s,x)ds.
Но по теореме 1.9 (с) эта величина стремится к 0 при г -*- 1 равно-
равномерно по х'. Таким образом, | и (х) — и (хг) | < е равномерно
по х', если г достаточно близко к 1.
Следовательно, если х0 ? 2 и х = гх\ то | и (л:0) — и (х) | <
< \и(х0) - и(х')\ -}- \и (х1) - и(х)\ = |/(*в)-/(х')| + |«(х') —
— и(*)| <е + е = 2е прн х, достаточно близких к х0 (в этом
случае обе величины I — r и \х' — х\ малы). Это доказывает
теорему.
Применяя подходящие сдвиги и растяжеиия, с помощью этого
результата можно получить решение задачи Дирихле для произ-
произвольного шара в Еп.
Следствие 1.11. Пусть 0 — внутренность шара радиуса
а с центром в точке х0 и f — функция, непрерывная на границе
д0 шара 0; тогда функция и, определенная равенством
— x0) — as \
ds
npu\ x — xo\ <a и равенством^ и (х) = f {x) при \ x — xa\" = a,
гармонична в0 и непрерывна на 0.
Дадим два приложения этого результата. Первое из них есть
следующая основная теорема о равномерно ограниченных последо-
последовательностях гармонических функций;
1. Основные свойства гармонических функций
57
Теорема 1.12. Пусть \ит) — последовательность функ-
функций, гармонических в области 0 с?„, равномерно ограниченная
в замыкании ограниченной подобласти 3, такой, что 3* с 0.
Тогда существует подпоследовательность [ит.}, равномерно схо-
я'
дяшаяся к гармонической в *Р функции.
Доказательство. Если мы покажем, что функции ит
равностепенно непрерывны на 3', то утверждение дайной теоремы
будет следовать из теоремы Асколн и следствия 1.8. Для того
чтобы доказать эту равностепенную непрерывность, достаточно
показать, что первые частные производные функций м^ равно-
равномерно ограничены иа каждом замкнутом подмножестве из 3.
Но если а;0 ? ЛР, то ит (х) имеет интегральное представление из
следствия 1.11 при | х — х01 < а для достаточно малых а, таких,
что шар радиуса а с центром в точке х0 лежит ъЗ'. Дифференцируя
по xt (i = 1, ..., п) и вычисляя эту частную производную в точке
х0, получим
dxt
^ 1
Таким образом, | (дит/дх{) (х0) \ < (л/а) sup | ит (у) ], отку-
откуда и следует равномерная ограниченность первых частных про-
производных функций ит в каждом замкнутом подмножестве нз 3.
Второе приложение следствия 1.11 —принцип симметрии для
гармонических функций:
Теорема 1.13. Пусть 0 <= Еп+Х —область, симметрич-
симметричная относительно Еп (т. е. если (х, у) = (хъ ..., хп, у) ? 0, то
(^ — у)? 0). Если непрерывная на 0 функция и удовлетворяет
равенству и (х, у) = — и (х, —у) и гармонична в ^верхней половине»
0+ = {(xt у) ? 0; у > 0} области 0, то она гармонична во всей
области 0.
Доказательство. По предположению, функция и гармонич-
гармонична в 0+. Так как — (Аи) (х, — у) = (Аи) (а;, у), то и гармонична
также и в 0~ = [(х, у) ? 0; #<0}. Следовательно, достаточно
показать, что и гармонична в окрестности каждой точки множе-
множества 0 П Еп ^ {(х, У)?$>\ У = 0}. Пусть а;0 = (х0, 0) — такая точ-
точка; тогда существует замкнутый шар Sa(xb) радиуса а>0 с
центром в этой точке, содержащийся в 0. Для (а;, у) из этого
шара положим
лп~1 С О3 — I (X — Хо, У) Is
A.14) w (х, у) - -^-) и (х0 + ast at) _ ^ _^ у _ а()||Я+| da,
где о = (s, t) = (slt ..., sn,t)~ точка на единичной сфере 2П в
Еп+\. В силу следствия 1.11, ш~ гармоническая функция, совпа-

58
Га. 11. Граничные значения гармонических функций
дающая с и иа границе шара Sa(x0). С другой стороны, инте-
интеграл A.14) обращается в 0 при у = 0, так как и (х0-\-as, at) =
= — и (х0 + as, — at),
q'-1 (x-*o, 0) |8 _ q'.-1 (*-*¦>, 0) Iй
в то время как по непрерывности и (х0, 0) = 0 при всех (х0,0) ? i#.
Таким образом, w совпадает с непрерывной функцией иа верхней
полусфере {(х, у) ? Et+i; \ х — хо\2 -\- у2 = а2}, т. е. иа верхней
половине границы шара Sa (х0), и иа Sa (х0) (] Еп. Поскольку обе
функции w и и гармоничны внутри этой полусферы, то, в силу след-
следствия 1.4, они там совпадают. Используя те же самые рассуждения
для нижней полусферы, можно показать, что и = w в Sa (x0).
Так как функция w гармонична в шаре Sa (#o), то это же справед-
справедливо и для и. Теорема доказана.
Приведем одно непосредствениое следствие принципа симметрии
и теоремы Лиувилля (см. теорему 1.5), которое будет полезно в
следующем параграфе.
Следствие 1.15. Пусть непрерывная на Ef+\ = Е?+1 [) Еп =
— {(#• У) ? Еп+и У>Щ функция а гармонична в Е?+\ и равна 0
на Еп. Тоеда если и ограничена в Е?+и то она равна 0 тож-
тождественно.
Отметим, что если иа и ие наложить какого-то условия, подоб-
подобного ограниченности, то это утверждение не будет справедливым.
Например, функция и (х, у) = у удовлетворяет всем условиям
следствия 1.15, за исключением ограниченности. Этот пример так-
также показывает, что задача Дирихле для неограниченной области
0 = ?^+1 ие имеет единственного решения (так как функции
и(х, у)=у и v (х,у)—0 гармоничны в^Эи обе имеют граничное зна-
значение /= 0 иа Еп). С другой стороны, следствие 1.15 показывает,
что решение будет единственным, если наложить дополнительное
условие ограниченности. В следующем параграфе мы подробно
изучим несколько вариантов задачи Дирихле, связанной с областью
Й
2. Характеризация интегралов Пуассона
Покончив с необходимыми приготовлениями, перейдем .теперь к
той части теории гармонических функций, которая связана с гар-
гармоническим анализом иа Еп.
Поставим следующую задачу: даиа функция / ? V (?„), 1 <
4^ р < те; существует ли определенная в верхнем полупростран-
полупростран2. Характеризация интегралов Пуассона
стве ?^fi гармоническая функция и, такая, что
lu(-,y)-fl={^\u(x,y)-f(x)\pdxI
69
0
при у -*- 0? Если / непрерывна и р — оо, то это прямое обобщение
задачи Дирихле, поставленной для неограниченной области 0 ~
= Е%+\. Мы только что видели, что в этом случае решение не обя-
обязано быть единственным. Ясно также, что если f не является не-
непрерывной, то не может существовать гармонической (и, в частности,
непрерывной) функции и, такой, что | и (-, у) — /[то -v 0 при
у -> 0. Тем не менее решение этой задачи существует прй"р < оо;
если же задачу поставить соответствующим образом, то решение
будет существовать и при р = оо.
Следующее утверждение, состоящее в основном из уже установ-
установленных результатов, показывает, что интеграл Пуассона функции
/ и есть искомая гармоническая функция.
Теорема 2.1. (а) Пусть f $¦ If (Ea), I < р
оо
— интеграл Пуассона функции f; тогда и гармонична в
lim и (х, у) = / (х) для почти всех х ? Еа и
O
B.2)
={Uu(x, y)\pdx)
1/P
для всех у>0. Если 1 < р < оо, то и (»,#)' сходится к f по
If-норме при у -> 0, т. ё.
|м(., у) — /|,= (\ \й(х, у) —f(x)\pdxj ->0
при у-*-0.
(Ь) Если f ^Cq^C^IE^, то функция и(х, у), равная инте-
интегралу Пуассона функции f, равномерно сходится к f:\\u(-,y)~
— /Цто = sup \u(x, y)—f(x) |->0 при у-*-0. Если предположить
только, что f непрерывна и ограничена, то сходимость будет
равномерной на компактных подмножествах из Еп. В обоих
случаях можно продолжить и (х, у) до непрерывной на E^+i =
= ??н U Еа функции, положив и(х, 0) =/(дг).
Доказательство. Сходимость почти всюду н сходимость
по норме в части (а) доказаны в теоремах 1.25 и 1.18 гл. I. Неравен-
Неравенство B.2) есть непосредственное следствие теоремы 1.3 той же главы

60
Гл. Л. Граничные значения гармонических функций
с g (х) = Р (х, у) н h (х) = и (х, у) (напомним, что лемма 1.17
утверждает, что g = Р (¦, у) ? L1 (Еп) и [ g |х = 1). Гармоничность
функции и можно доказать, используя гармоничность ядра Пуас-
Пуассона и проведя рассуждение, полностью аналогичное нспользоваи-
иому в начале доказательства теоремы '1.10.
Если f непрерывна и ограничена, то и (х, у) сходится к / (х)
при у -*. 0 для всех х ? Еп, так как условие A.24) гл. 1, очевидно,
всюду выполняется (см. теорему 1.25 гл. I). Для доказательства
равномерной сходимости на компактных подмножествах F cz Еп
достаточно провести следующее простое рассуждение: пусть даио
е > 0; тогда существует б > 0, такое, что | / (х — i) — / (х) | <
< е при всех х ? F и | /1 < б. Следовательно,
u(x,y)-f(x)\=\lf(x-t)P(tty)dt-f(x)
\\f{x-t)P{Uy)dt-\f{x)P{t,y)dt
Е Е
\f(x-t)-f(x)\P(t,y)dt
\f{x-f)-f{x)\P{Uy)dt<
P(t,y)dt =
P(t,y)dt.
dt
Но если 8>0 фиксировано, то j P{t, y)dt < с„у J \t\ ('
стремится к 0 при у -*- 0. Таким образомч \и(х, у) —f(x)\^e
при достаточно малом у Для всех х ? F. Если / ? Со, то / равно-
равномерно непрерывна и, следовательно, существует такое 6>0, что
1/ (х — t) — f (х) | < е для всех х ? Еп при | /1 < 6. Отсюда следует
равномерная сходимость и (х, у) к f (x) при у^-0. Это доказывает
теорему1).
1J Сходимость || и (¦ , у) — /Щ -*¦ 0 при / ? Со есть частный случай теоремы
1.18 гл. I. Данное там доказательство части (Ь) основано на следующих трех
; (И) J Я (х, у) их = 1 при всех у > 0;
Е
свойствах ядра Пуассона: (i) Р (х, у) > 0;
(Ш) если б > 0г то Г Р(
1*1 > в
, у) dx + 0 при г/ -»¦ 0 ((i) очевидно, (Ш) только что было
2. Характеризация интегралов Пуассона
61
Пространство Z,1 (Еп) естественным образом вкладывается в
пространство М (Еп) конечных борелевскнх мер на Еп (см. до-
доказательство теоремы 3.19 гл. I). Многие результаты и понятия,
связанные с первым из этих пространств, могут быть расширены иа
второе. В первой главе, например, мы это сделали для преобразова-
преобразования Фурье, операции свертки и теоремы 1.3. Подобным образом
можно поступить с теоремой 2.1:
Теорема 2.3. Пусть ц ? М (Еп), и пусть и (х, у) =
= \fP(x — t,y)d\i{f) — интеграл Пуассона — Стилтьеса меры (х;
тогда и — гармоническая в E^
функция и
B.4)
где |ц| — полная вариация \ \i | (Еп) меры \i. Далее,
lim f и (х, у) ф (х) dx = \ ф {х) du, (x)
для всех ф ^ Со, т. е, и (¦, у) сходится к \i в слабой* топологии.
Доказательство. Гармоничность функции и можно
доказать теми же рассуждениями, которые были использованы при
доказательстве теоремы 1.10 (и теоремы 2.1). Неравенство B.4)
есть непосредственное следствие обобщения иа борелевские меры
теоремы 1.3 гл. 1, описанного после формулировки этой теоремы.
Слабую* сходимость можно доказать следующим образом. Пусть
Ф ? Со и v (х, у) — ее интеграл Пуассона; тогда
f и(xf у) ф(х)dx - J (J Р (* — /, у) dp(f)) ф(х)dx =
К Еп Еп
-I v{t,y)dv{t).
доказано, а (Н) составляет часть (Ь) леммы 1.17 гл. I). Ядро, обладающее этими
свойствами, часто называют приближением единицы. Ясно, что ядро Гаусса —
ВеЙерштрасса также обладает этими свойствами. Заметим, что небольшое измене-
изменение последней части доказательства утверждения (Ь) (замена {,°°-нормы на
L^-норму, 1 < р < оо) дает другое доказательство теоремы 1.18-Сф (х)=Р (х, 1).
Преимущество подобного подхода состоит в том, что он не использует операцию
свертки (см., например, теорему 1.9, где аналогичные свойства (а), (Ь) и (с) позво-
позволяют получить решение задачи Дирихле для шара, т. е. теорему 1.10). Ниже, в
теореме 5.6гл. III, этот тип {-"-сходимости доказывается такими же методами для
интеграла Пуассона другого вида.

62
Гл. П. Граничные значения гармонических функции
Следовательно, в силу части (Ь) теоремы 2.1, | v (•, у) — ф |м -*• О
при у -v О,
f u(x,y)y(x)dx-\ ф
Е Е
<№(>yLU\P\(n)
при у -*• 0, и теорема доказана.
Главный результат этого параграфа составляет доказательство
обращения теоремы 2.1. Неравенство B.2) утверждает, что
V -нормы | и (¦, у) |р ограничены при у > 0. Покажем, что этого
достаточно для того, чтобы функция и была интегралом Пуассона.
Теорема 2.5. Пусть и (х, у) — гармоническая в Е%+\ функ-
функция и существуют постоянные с> 0 и р, 1 < р < оо, такие,
что
для всех у>0; тогда
(a) при 1 < р < оо функция и (х, у) есть интеграл Пуассона
некоторой функции f из If (?„); .
(b) при р — 1 функция и (х, у) есть интеграл Пуассона —
Стилтьеса некоторой конечной борёлевской меры; если, кроме того,
и (¦ t У) фундаментальна по V-норме при у -*¦ 0, то и (х, у) есть
интеграл Пуассона некоторой функции f из L1 (Еп).
Доказательство. Если 1<р<оо и |«(-,^1,<с<со
при всех у>0, то существуют последовательность {ук}, \\тпук =
А-юо
= 0, и функция / из Lp(En)t такие, что u(->yk) слабо сходится
к / при ft-voo. Таким образом, для всех g?Lp' (?„), 1/p-f \(p'=*
= 1, существует
lim [ u(x,yk)g(x)dx= \ f{x)g{x)dx.
к^Еп К
Если рв|,и существует конечная борелевская мера ц, равная
слабому* пределу последовательности {и(«, ук)}, т. е. для всех
g € Со существует J
lim J и(д
]) Эта утверждения являются частными случаями того, что единичный шар в
пространстве, сопряженном к банахову пространству, компактен в слабой* топо-
топологии. Последнее утверждение в случае р = 1 часто называют теоремой Хеллн
(сы. библиографические замечания к гл. I).
2. Характеризовал интегралов Пуассона
63
Так как Р(-, у) при каждом у>0 принадлежит If'(En)t I <
<р'<со, и, кроме того, принадлежит Со, то, в частности, имеем
lim f P(x — i1y)u(ityk)di=^ f P(x — t, y)f(t)dt =*v
, у)
при 1 •< р < оо и
lim
ft-»-со
прир = 1.
Если мы покажем, что в обоих слуааях v (x, у) — и (х, у), то
утверждение (а) и первая часть (Ь) будут установлены. Но ука-
указанное равенство непосредственно вытекает нз следующих двух лемм
(так как нз них видно, что и (х, у -\- yk) = \ Р{х — t, у) и (t, yk) d?)\
Лемма 2.6. Если функция и (х, у) удовлетворяет предполо-
предположениям теоремы 2.5, то существует постоянная А *¦ Ап,р > О,
такая, что
|'« (•. У%» = sup | и (х, у)\ < Асу~~п/Р
В частности, и ограничена в каждом собственном подполупростран-
стве
Ei+Uya = {(х, у) ? Еп+1; у>у0>0] с: ?±ц.
„Лемма 2.7. Если и {х, у) — гармоническая в Е?±\ функция,
ограниченная в каждом собственном подполу пространстве, то
и{х,ь
для всех уи у*>0.
Первая из этих лемм есть простое следствие теоремы о среднем
для гармонических функций. В самом деле, пусть Йп-н — объем
единичного шара в ?n+i; тогда Qn+i =? дап/(л + 0 и
[(п
ix,y),u (r)rndr

64
X
Гл. И. Граничные значения гармонических функций
У/2 ( |
J j f и (id + ri'u .... х„ -f rt'n, у + /-^+1) dt' rndr =
J «to + A, ." • • . *„ + *я. У + i.
Следовательно, полагая (|1( .... ?„, т)) — (?, г]) и А = Bn+i/Qn+1I/p,
получим
« Б,
x
Для того чтобы доказать лемму 2.7, фиксируем у0 > 0 и по-
положим w (х, у) = и(х, у + #0) для i/0 > 0. Положим wx {х, у) 5=
= j u(t, yo)P(x^i, y)dt для (л, (/) g Я^+i- Лемма будет уста нов-
лена, если мы покажем, что w^wx. Из леммы 2.6 следует, что
функция w гармонична в Et+l и непрерывна н ограничена на
Et+i. В силу теоремы 2.1 (а) и (b), wx можно продолжить на Еп+и
положив Wx (х, 0) = и (х, у0), причем полученная функция будет
непрерывной и ограниченной на Et+i и гармонической в Et+u
Таким образом, функция, h = wx — w также непрерывна и огра-
ограничена на E?+i и гармонична в Ei+i. Так как h(x, 0) = 0 для всех
х?Еп, то, в силу следствия 1.15, h тождественно равна 0. Отсю-
Отсюда вытекает требуемое тождество шавд.
Осталось еще доказать последнюю часть теоремы 2.5. Если
"(•»#) Фундаментальна по /Лнорме, то нз полноты Ьг(Еп) сле-
следует, что существует f^Ll(ElJ1 для которой |и(«, у) — /It-vO
~*0. Следовательно, \ и(х, y)-g(x)dx~^\l f (x) g (x) dx для
при
всех g
Применяя теперь те же самые рассуждения
3. Максимальные функции Харди — Литтлвуда
65
какие были использованы при доказательстве части (а) теоремы
2.5, можно показать, что и есть интеграл Пуассона функции /
из LK
3. Максимальные функции Харди — Литтлвуда
и некасательная сходимость гармонических функций
До сих пор рассматривался только одни тип сходимости на гра-
границе для определенных в EZ+i гармонических функций. Было по-
показано, например, что если и — интеграл Пуассона, то для почти
всех точек х0 ? Еп существует граничное значение
C.1) lim u(x, у),
когда точка (дг, у) приближается к (дг0, 0) «сверху» вдоль линии х =»
= х0 (см. теорему 2.1). Однако справедлив один важный более об-
общий результат; предел C.1) существует почти всюду даже тогда,
когда (х, у) приближается к (;с0, 0) по более общим путям, так на-
называемым некасательным путям. Прежде чем уточнять это понятие,
следует изучить один важный оператор — максимальный оператор
Харди — Литтлвуда, основные свойства которого будут использо-
использованы для доказательства существования этих более общих пре-
пределов.
Этот оператор ставит в соответствие каждой функции f?Lp(En),
1 < р < оо, ее максимальную функцию*} Харди —Литтлвуда mf,
определяемую равенством
\f(t)\dt
прн х ? En, где Qn — объем (лебегова мера) единичного тара
{t ? Еп; | t\ < 1}; в последнем выражении- верхняя грань бе-
берется по всем шарам Sx положительного радиуса с центром в точке
* Излагаемая здесь идея осреднения широко использовалась В. А. Стекло-
вым начиная с 1907 г. (см.Стеклов 11]) в его так называемом методе сглаживания при
решении различных проблем математической физики. Применяемая авторами мак-
максимальная функция по существу совпадает с функцией Стеклова, которая в одно-
одномерном случае применялась В. А. Стекловым в виде
x+h
Основные свойства функции F были подробно изучены В. А. Стекловым в работе
[1J и последующих (см. также Стеклов [2]).— Прим. ред.
3 Зэк 437

66
Гл. II. Граничные значения гармонических функций
x, a | Sx j — лебегова мера Sx (если радиус шара Sx равен г,
то j Sx | = Я/"). Иногда мы будем называть mf шаровой мак-
максимальной функцией, чтобы отличать ее от кубической максимальной
функции mf, определяемой равенством
m/D = supT^-rf \f{t)\dt,
x чх
где верхняя грань берется по всем невырожденным кубам Qx с
центром в точке хне ребрами, параллельными осям координат, а
]QX | обозначает лебегову меру куба Qx. Ясно, что если / сущест-
существенно ограничена, то mf (x) н пц (х) не превосходят |f||«>. Мы
покажем, что mf (x) и щ (х) конечны почти всюду для всех /?
^ V (?„), 1<р<оо.
Пусть дан шар Sx радиуса г > 0 с центром в точке дг; обозначим
через цх вписанный куб (он имеет, следовательно, диагонали дли-
длины 2г) н через Qx описанный куб (он имеет, следовательно, ребра
длины 2л), причем ребра обоих кубов параллельны осям координат.
Тогда, очевидно, существуют постоянные ап н Ап, зависящие только
от размерности пространства и такие,
I Sx I ^ ап \ Ях\- Таким образом,
что
Qx | <! Ап \ Sx
Но отсюда следует, что
C.2) mf {x
Аналогично, имеем
C.2') mf{x)
anmf (x).
Нас больше интересуют шаровые максимальные функции т{.
В некоторых случаях, однако, необходимые оценки легче получить
для ~т{. Тогда для получения соответствующих результатов для
щ можно использовать неравенства C.2) и C.2'). Следующая лем-
лемма позволяет показать, что т{ (х) < оо почти всюду (и, следова-
следовательно, mf (х) •< оо почти всюду).
Лемма 3.3. Пусть Rt d R2d ... cz Rk — непустые от-
открытые параллелепипеды в Еп с ребрами, параллельными осям
координат, и центрами в 0. Пусть S — ограниченное множество
вЕпи для каждого х ? S определено целое число i (х), 1 < i (x) ^ k.
Введем обозначение
5. Максимальные функции Харда — Литтлвуда
67
тогда существует конечное число точек xlt ...t xt из S, таких, что
'S с /f> (J ... U R*1 и каждая точка v ? Еп лежит не более чем в
Т множествах из семейства {R*1, ..., /?*'}. ¦
Доказательство. Выберем хх так, чтобы i (xL) было наи-
наибольшим из возможных (это можно сделать, так как i (x) < k).
После этого выберем х% ^ S \ R^ так, чтобы i (x2) было наиболь-
наибольшим из возможных, затем выберем хь ? 5 \ {Rx* [} R**} так,
чтобы ((х3) было максимальным, и т. д. Таким образом мы получим
последовательность открытых параллелепипедов /?*», /?*¦, ... с цен-
центрами в точках xlt xz, ..., таких, что ни один центр X/ не содержится
ни в каком' параллелепипеде R*1, j Ф i. Но это означает, что рас-
расстояние между xt и xh i ф j, должно быть больше половины длины
самого короткого ребра параллелепипеда R1 (наименьшего парал-
параллелепипеда).-По предположению, эта полудлина положительна и
множество S ограничено, поэтому отсюда следует, что последова-
последовательность xlt xZl ... конечна н что на некотором, скажем /-м, шаге
будет получено покрытие {Rx't ..., Rxt] множества 5.
Осталось еще показать, что каждая точка v ? Еп может ле-
лежать не более чем в 2" из параллелепипедов R^, ..., R*i. Для того
чтобы это сделать, рассмотрим гиперплоскости, проходящие через
v и параллельные координатным гиперплоскостям. Они образуют
2" «октантов» с вершинами в точке v, покрывающие все Еп. Пред-
Предположим, что две точки х{ и х{ A <С i, j < /), лежащие в одном и
том же октанте, таковы, что R*1 и Rxi оба содержат точку v. Так как
каждый из этих двух параллелепипедов есть сдвиг одного из па-
параллелепипедов Rlt ..., Rk, то один из них, скажем /?*', должен
иметь ребра по_ крайней мере такой же длины, как у другого, т, е.
R*i. Но отсюда и из предположения v ? RX{ (] Rxi следует, что
xf ? Rxi. Поскольку, по построению, х{ не содержится ни в одном
из параллелепипедов Rxt, i Ф /, то отсюда следует, что самое боль-
большее один параллелепипед с центром в данном «октанте» может со-
содержать точку v. Лемма доказана.
Теорема 3.4. Существует постоянная с = с (п), зависящая
только от размерности, такая, что для всех f ? L1 (Еп) и
mf(x)>s->0)
справедлива оценка
где \ Fs\ — лебегова мера множества F$. В частности,
< со для почти всех х ? Еп.
3* , ,
(л:) <

68 . Гл. П. Граничные значения гармонических функций
Доказательство. Предположим, что,
C.5)
для всех s>0. Тогда, в силу C.2), имеем-Т^сг {х?Ея; ~inf(x)>
>s/An); следовательно,
и теорема справедлива с с ~ ТАп.
Пусть S — произвольное компактное подмножество нз (д:? Еп\
mf(x)>s]. Тогда для каждого х ? S существует куб Qx, такой, что
В силу непрерывности интеграла найдется окрестность Ц точки х,
такая, что для всех и из U
I
J
где Qu = {(w — д;) -f и; w ? Qx) — куб такого же размера, что и
Qx, с центром в точке и. Так как S — компакт, то существует ко-
конечное число таких окрестностей, покрывающих S. Таким образом,
существует конечное число кубов QxCi ... aQk с центрами в О,
таких, что для каждого х ? S существует, целое число i (х), 1 <
< i (x) < k, для которого
где 0*=^{и?Я„; и — *€ф(х)}> По лемме 3.3 существует конеч-
конечное число точек xlt ... , хх из 5, таких, что
S с Q*1 U ... U Ф
и каждая точка v ? Еп лежит не более чем в Т из этих кубов.
Для произвольного множества А обозначим через % [А] его харак-
характеристическую функцию. Тогда последнее свойство эквивалентно
неравенству
2X[Q*'}<2"x[U ф].
/-1 L/~i J
Таким образом,
U Ф
/=.1
г
3. Максимальные функции Харди — Литтлвуда
69
/sal
Поскольку S — произвольное компактное подмножество из { х ?
? Еп; mf (x) >• s}, неравенство C.5), а значит, и теорема непосред-
непосредственно следуют отсюда.
Мы уже отмечали, что mg (л;)< Jgf[|oe<co для всех g? V (Еп).
Из теоремы 3.4 получаем, что mf (x) •< оо для почти всех х при
/ ? 1} (Еп). Из этих двух утверждений следует, что щ (х) < оо
для всех h ? LP (Еп), 1 •< р < со. Для того чтобы в этом убе-
убедиться, заметим сначала, что максимальный оператор есть пример
сублинейного оператора. Под этим мы понимаем оператор Т, ото-
отображающий линейное пространство измеримых функций, опреде-
определенных на пространстве с мерой, в пространство измеримых функ-
функций, определенных (возможно) на другом пространстве с мерой,
н удовлетворяющий условию
почти всюду (это свойство называется субаддитивностью) н усло-
условию
для всех, скаляров а и функций
Пусть h g [f (En); положим
А (л)
О
из области определения Т.
при |А(л)|<1,
при \h(x)\>i
я f^h — g. Тогда g^L"°{En)t f$Ll{En). В силу свойства (i)
(субаддитивность), имеем
mft (х) = mf+e (л) < mt (х) + me (х).
Следовательно, т^ (х) < оо для почти всех х. Все эти замечания,
очевидно, справедлнвы и для кубической максимальной функции.
Максимальный оператор, рассматриваемый как отображение,
определенное на Ll(En)t не является ограниченным преобразованием
в О(Еп) (например, если /—характеристическая функция интер-
интервала [0, 1], то т/ даже не интегрируема). Теорема 3.4, однако,
утверждает, что оно «почти» ограничено. Для того чтобы сделать
это утверждение более точным, введем понятие функции распреде-
распределения Я = Я5 функции g$Lp(En): пусть s>0; тогда К($) естьле-

70
Гл. If. Граничные значения гармонических функций
бегова мера множества Fs= {x?En; \g(x)\>s)lK Таким образом
мы получим невозрастающую функцию, определенную на поло-
положительной полуоси. Ясно, что ^Х (s) = J d*dx ^~\ \g \"dx <
s s
Следовательно, X(s) мажорируется постоянной, умноженной на s~p.
Это условие, очевидно, недостаточно для интегрируемости \g\p.
С другой стороны, равенство
C.6)
которое легко доказывается для простых функций g (общий слу-
случай получается отсюда приближением |g"| снизу простыми функ- .
циями), указывает, что условие Я(в)< const s~~p близко к тому,
чтобы быть критерием конечности \ \gfdx. Теорема 3.4 утверж-
утверждает, что rtif имеет функцию распределения X, удовлетворяющую
неравенству X(s) <c|/]iS~*!. В этом смысле говорят, что макси-
максимальный оператор почти ограничен как оператор на L1 (Я„).
Однако сужение максимального оператора на If (Еп), 1 •< р <
< оо, ограничено.
Теорема 3.7. .Существует постоянная Ь = Ь (р, п), за-
зависящая от размерности п и показателя р > 1, такая, что
для всех f ? If (En).
Доказательство. Пусть /?//¦(?„), 1 <р < оо н s>0.
Для каждого х ? Еп положим
:(х) при |f(x)|>-s,
О при | / (х)\ < s
О При |f(x)|>S;,
(х) при \f(x)\ < s.
Тогда f = fs + Д, где /* ? L1 (Яп) и /s ? L00 (Яп). Обозначим Я,
V, Л, функции распределения функций /п^ т^ и m/s. Так как, в
силу субаддитивностн, т} < т{* + m/s, то X Bs) < Л5 (s) + Я5 (s).
Вспоминая, что максимальная функция существенно ограниченной
Ч Функцию распределения функции g, очевидно, можно определить в более
общем.случае для любой измеримой функции на произвольном пространстве с
мерой. Многие свойства этих более общих функций распределения изучаются в
гл. V.
3. Максимальные функции Харди — Литтлвуда
функции g ограничена величиной Ц^, получим, что
<|/,К* и» следовательно, \(s) = 0. Таким образом,
71
чаем
V(s).
Из последнего неравенства, равенства C.6) и теоремы 3.4 полу-
полум
mt %^
Bs) ds
ее
f sp-\* {s) ds
\f(x)\dx\ds=>
)
№4
что доказывает теорему, причем b = b (p, n) = 2 [pc/{p — I )]1/p.
Другой способ описания mf состоит в следующем.' Пусть ф —
характеристическая функция единичного шара {х?Еп; |д:|<1},
деленная на Qn (так что J y(x)dx=\). Возьмем е>0 и поло-
Еп
жим ф8(/) = в "ф(//е). Тогда, если f$LP(En), 1<р<оо, то, по-
полагая ради упрощения обозначений f > 0, имеем
f(x-t)dt;
следовательно,
C.8)
р
8>0
Аналогично, если ф —характеристическая функция куба {х =*
= (хъ ... t хп)? Еп\ ~1/2^ x/<Vlf /= 1, ... , п), то правая
часть равенства C.8) определяет mf(x). Мы видели, что функции
mt и mf «эквивалентны» в том смысле, что выполняются неравен-
неравенства C.2) и C.2'). Естественно, следовательно, поставить вопрос о
соотношении между mf и верхней гранью в C.8), когда ф —не-
—неотрицательная функция более общего вида,
m
Положим, например, ф= 2cftxft, cft>0, где ХА-н характерис-
характеристическая функция Шара ak = [x?En\ |*|<rfe}. Тогда для />0

72
имеем
Гл. II. Граничные значения гармонических функций
" фе)(*)-2 Ck*Tn . ) f(x-t)dt~
k—\
т. e.
C.9)
2
A—I
р
e>0
Очевидно, этот результат обобщается на любую функцию yc^ \^nt
вида ф (f) = ф (| t\) (т. е. на радиальную функцию ф), где ty —
неотрицательная убывающая функция на [0, оо). Нужно только
аппроксимировать ф снизу возрастающей последовательностью
простых функций только что рассмотренного типа и применить
теорему Лебега о монотонной сходимости.
В частности, если выбрать ф(/) = с„/(|,11' + ])("+1>/2J то и(х,У) =
— (/ * Фу) (*)• У > 0» будет интегралом Пуассона функции /, и мы
получим следующую теорему:
Теорема 3.10. Пусть и(х,у), у>0, — интеграл Пуассона
функции f е If (?„), 1 < р < со; тогда | и (д:, ?)| < mt (х).
Нетрудно установить и обратное утверждение:
Теорема 3.11. Пусть существует интеграл Пуассона
u(x,y)==[f(x^t)P(t,y)dtt у>0,
некоторой функции /> 0 (например, f^lf (Еп), 1 < р < со); тог—_
да существует постоянная А = Л (л), зависящая только от раз- .
мерности, такая, что
{
у>0
Доказательство. Фиксируем г > 0; тогда
SUp U (X, у) > И (ДГ, Г) - О„ f У.(Х — t) -rr-r. таг(й
л
>с„ J f(x-f)rndt =
|/l«r
3. Максимальные функции Харди — Литтлеуда 73
Таким образом, взяв верхнюю грань выражения в правой части по
всем г> 0, получим утверждение теоремы с А (п) = l/cnQn.
Значение максимального оператора заключается в том, что ои
мажорирует многие важные операторы анализа. Мы только что
убедились в этом на примере интеграла Пуассона. Следующая теоре-
теорема дает нам метод использования этого мажорирующего свойства
для получения результатов о поточечной сходимости для многих
семейств операторов, которые нам встретятся далее.
Теорема 3.12. Пусть {Тв}, 0<е, — семейство линейных
операторов, отображающих If (Е„), 1 < р < со, в пространство
измеримых на Еп функций. Для каждой функции h ? If (En)
определим Mh, полагая (Mh) (x) =* sup | (Тгп) (х) f, х ? Еп. Пред-
положим, что существуют постоянная о>0« вещественное число .
<7> 1, такие, что
C.13) |{дг; (МЩ(х)>Щ<(аЩ]рХ'х)'3
для всех X > 0 и л ? If (En). Если существует плотное подмно-
подмножество 0 пространства If (Е„), такое, что lim (Teg) (x) сушрст-
вует и конечен почти всюду для всех g?0, то \im(Tef)(x) так-
е-*0
же существует и конечен почти, всюду для всех f?Lp (EJ.
Доказательство. Пусть /—.функция из LP(E^. Для каж-
каждого k > 0 обозначим через Fk множество всех х ? Еп, таких, что
\(TE'f) (х) — (Тг-f) [х)\ > 2kTl для бесконечного числа пар (е', е*),
стремящихся к @,0). Для каждого г\ > 0 найдутся g и h из
If (Зъ), такие, что / = g + A, g ? 0, и [] А [|р < г\. Если мы докажем,
чт° 1^*1 < Bа (k -Ь 1)т])*, то ввиду произвольности г\ это будет
означать, что Fk имеет меру 0. Тогда F =, \) Fk также имеет ме-
ру 0 и lim(Tef)(x) существует и конечен для всехx?En\F, что
н требовалось доказать.
Обозначим через G множество всех х$Еп, таких, что lim (Teg)(x)
существует и конечен. Так как ?n\G имеет меру 0, то достаточ-
достаточно показать, что \Fk П С|<Bа(? + 1)т])*. Поскольку (Tt'f) (x) —
- (Trf)(x) = {(Тг.п)(х) - (Tt-h){x)} + {(П'^) (дг) - G>?) И) и
lim {(Te'g) (x) — (Гв-^) (х)} » 0 для всех х € G, то, следовательно,
^ Л С содержится в множестве всех х ? Ея, таких, что |GVA) (дг>—
— (Ге-А) (д:)| > ft~' для бесконечного числа пар (е'( е"), стремящих-
стремящихся к @, 0). Для каждого такого х заведомо справедливо неравенство

74
Гл. П. Граничные значения гармонических функций
(Mh) (x) > BA)*"!; следовательно, Fk {\ G cr {x ? En\ - (МЛ) (*) >
>2~'(fe+ О"'}* Отсюда и из предположений теоремы следует ис-
искомое неравенство \Fk П ^ I < (ar\2(k + I))*.
Пример такого семейства операторов мы получим, определив
ТУ, е>0, равенством
G
%—1
f{x — t)dt
для всех х ? Еп. В этом случае Mf = /л/ и, в силу теоремы 3.4,
справедливо неравенство
при / ? /-1 (Ял). Более того, если g принадлежит к классу непре-
непрерывных функций с компактным носителем (плотному подмножеству
Л1 (?„)), то очевидно, что lim (Teg) (x) = g (x). Тогда, по теореме
0
e-t-0
3.12, lim (Tg/) (ле) существует и конечен для почти всех #. Отсюда
легко следует, что почти каждая точка х является точкой диф-
ференцируемости интеграла функции / (см. гл. I, A.23) и A.24));
более точно, справедливо
Следствие 3.14. Если f — локально интегрируемая на
Еп функция (т. е. f интегрируема на любом ограниченном подмнО'
жестве Еп), то
lime"" j [f(x — 0 — f(x)]dt=O
8-0 щ<в
для почти всех х ? Еп.
Доказательство. В силу локальности задачи, можно
считать, что / ? L1 (Еп) (в противном случае можно умножить / на
характеристическую функцию шара радиуса г с центром в 0 и
получить требуемую сходимость почти во всех точках внутри этого
шара, а-затем, устремив гкоо, — во всем Еп). Как уже было по-
показано, предел
?-+0
iaQnrl J f(x-t)dt
существует и конечен для почти всех х. Осталось только доказать,
что этот предел равен / (х) почти всюду. Но
1
3. Максимальные функции Харди — Литтлвуда
75
при е^-0, так как /Лмодуль непрерывности toi,/ @ —*-0 прн |^|->-
^-0 (см. доказательство теоремы 1.18 гл. I). Значит, существует
последовательность {eft}, сходящаяся к 0 и такая, что (Tekf)(x)-+
~^f{x) почти всюду при ?-»-оо. Отсюда следует, что \im(Tef)(x) =
0
Е-+0
= f (x) почти всюду.
Этот метод немедленно распространяется на интегралы Пуассона
и позволяет получить прямое доказательство теоремы 2.1. Однако
мы собираемся обобщить эту теорему так, чтобы включить более
общий некасательный подход к границе, о котором было упомянуто
в начале параграфа, Уточним сначала это понятие, а затем пока-
покажем, что интеграл Пуассона допускает это более общее граничное
значение.
Пусть а>0 и хо? Еп\ тогда конус в EJ+\ с вершиной в (дг0, 0)
и раствором а есть область
Г« fa) = {{х, у) ? Et+i; ]х — х0\<ау].
Пусть функция и определена в Et+i; говорят, что она имеет
некасательный предел I в точке х0 ? Еп, если для каждого а>0
существует
C.15) lim u(x,y)^=t,
когда (х, у) стремится к (х0, 0) внутри конуса Га (х0).
Важность некасательного подхода к границе станет понятной
позднее. В некоторых основных результатах, излагаемых ниже,
вертикального подхода к границе недостаточно (см., например,
E.4)). .
Теорема 3.16. Пусть f ?LP{Et), 1<р<оо; тогда интег-
интеграл Пуассона
\ f(x-t)P(t,y)dt = u(x,y)
имеет некасательный предел f (дг0) во всех точках х0 лебегова множест-
множества функции f, т. е. почти во всех точках Еп.
Доказательство. Заметим сначала, что доказательство
теоремы 1.25 гл. I состояло в установлении равенства
— t)\dt
для всех точек х0 лебегова множества функции /. В случае когда
%(t) есть ядро Пуассона P(t, у) = са[у/(у2 + \t\2)(n+l)/2], справед-

76
Гл. П. Граничные значения гармонических функций
ливо легко доказываемое неравенство
C.17) P(X-tty)^%(X-t)^da%(xQ-() = daP(Xo-t,y)
при (х, у) е Га (х0), где atnn+l) = max {1 + 2а8, 2}. Таким образом,
используя лемму 1.17 (Ь) гл. I, получим
= \$ f{t)P{x-t,y)di-f{xo)\ P(x~t,y)dt
\Е К
\f®-f{4)\P{x-i,y)dt<
\f(t)~f(X0)\%(X0-()dt.
Но последний член стремится к 0 при у~>- О, так что теорема
доказана.
Непосредственное следствие только что доказанной теоремы
состоит в том, что интеграл Пуассона и некасательно ограничен
почти во всех точках Ея, Это означает, что определенная в Е%+\
функция и ограничена в усеченных конусах Га(*о) П {(*. у) ? Еп+1;
0<#<1} для почти всех х0 ? Еп (конусы Та(х0) отсекаются на
высоте у ~ \\ так как рассматриваемые функции непрерывйы в
?„+1, то высота отсечения не имеет значения). Действительно,
используя максимальную функцию mf, можно получить следую-
следующее количественное утверждение:
C.18) sup | и (х, У)\ < damt (x0).
Это простое следствие теоремы 3.10 и неравенства C.17) для ядра
Пуассона,
Следующая теорема (основной математический инструмент, ис-
используемый в теории пространств Яр,* развиваемой в гл. VI) по-
показывает, что для гармонических функций существование некаса-
некасательных пределов и' некасательная ограниченность по существу
эквивалентны.
Теорема 3.19. Пусть и — функция, гармоническая в Е%+\
и некасательно ограниченная во всех точках множества положитель-
положительной меры S с Еп; тогда и имеет некасательные пределы почти во
всех точках S.
Доказательство. Прежде всего отметим, что.достаточ-
что.достаточно показать, что для любого множества положительной меры S с:
с Еп, на котором и некасательно ограничена, найдется его под-
подмножество, также положительной меры, в точках которого и имеет
3. Максимальные функции Харди — ЛиттлвуОа
7?
некасательные^ пределы. Рассматривая конусы Га (q) только с
рациональными растворами а, получим, что S есть счетное объ-
объединение подмножеств F — Fo,m, таких, что | и (х, у)\ < m для всех
(*,?)€{ U Г«(<7)} П {p=(x,y);}A
m = lt2, ...1>. Это означает, что и равномерно ограничена иа мно-
множестве^, образованном объединением конгруэнтных вертикальных
конусов с вершинами в точках из F, ограниченных сверху гипер-
гиперплоскостью у = 2.
Теперь понятно, что достаточно показать, что и (р) стремится к
некоторому пределу, когда р стремится к q внутри Га (?), для
почти всех q ? F. Действительно, если из каждого множества F =
— Fa,m мы удалим точки, в которых это не выполняется (найомним,
что а — рациональное и m — натуральное число), то мы удалим
множество нулевой меры; если q — точка из 5, не принадлежащая
этому множеству нулевой меры, и р ¦> 0 — произвольное рацио-
рациональное число, то найдется натуральное число k, такое, что
I и (Р) I =] и {х, у) | < k для всех р ? Гр (?), О < у < 2, т. е.
q ? FPifc. Следовательно, и (р) стремится к некоторому пределу,
когда р стремится к q внутри Гр (q). Таким образом, некасатель-
некасательный предел существует для функции и во всех таких точках q.
Дальнейшее упрощение получим, заметив, что, разделив на пг,
можно считать, что | и | < 1 в Л. Кроме того, можно считать,
что S содержится в кубе с единичным ребром, поскольку достаточно
доказать теорему для каждбго пересечения S с ячейкой разбиения
Еп на кубы с единичными ребрами.
Проделав все эти упрощения, положим 0 = {[) Ta(q)) П {р~
— {х,У)ш, 0<#<1}. $ =д0 (= граница множества 0); через 0f
обозначим множество Л, сдвинутое иа — 1//в направлении оси у,
и положим Щ = 0t П Еп. Кроме того, положим И/ (дг, у) —
— u(xt У -hi//)» характеристическую функцию множества Wf обо-
обозначим if, интеграл Пуассона функции Х{ (х) и{ (х, 0) обозначим
Ф/ (х* У) и положим ijjf (х, у) = Uj (x, у) — ф/ (дг, у). Заметим, что
|ф/| < 1 (это следует из леммы 1.17 (Ь) гл. I и неотрицательности
ядра Пуассона).
Последовательность функций // (s) = X/ (s) щ (s, 0) равномерно
ограничена по ?а(?„)-норме (так как |//Ь<1х/Ь = \\ ds) '<
< (объем куба с ребром 1 + 2a//)v* < A + 2a)2). Значит, сущест-
существует подпоследовательность [fjk], слабо сходящаяся к функции
Ч Во всем доказательстве будет использоваться это обозначение: точки из
?„ (у. е. точки из Еп,х с последней координатой 0) обозначаются буквой q. Буква
р используется для обозначения точек из Е$*у

78 Гл. //. Граничные значения гармонических функций
f?L2(En). В частности,
Ф/ft (х, У) = J /> (s) Р (л — s, у) ds -+ J / (s) Р (х — s, j/) ds = ф {х, У)
Е.п еп
при &->-оо для всех (#, г/) ? Яп+ь
Поскольку очевидно, что Нти/(дг, у) = и(х, у), то существует
предел
if) (х, у) = lim %А (х, у) = и (х, у) — ф (х, ?/).
ft-t.00
Но ф есть интеграл Пуассона некоторой функции из L2 (Еп), а
значит, по теореме 3.16, он имеет некасательный предел почти
во всех точках Еп. Так как и = ф -f- i|), то нам, следовательно,
нужно показать, что lim *ф (р) = 0 при р -+ q внутри конуса Го (q)
для почти всех q ? F.
Для этого мы сначала заметим, что функции ip обладают такими
свойствами:
A) |Ф/(Р)|<2 при р??> (так как |ф/|< |и/| + | Ф/|<1 +
+ 1 = 2в <Й);
B) ф/ (р) -+¦ 0 при p-+q ? F, р €& (действительно, из тео-
теоремы 3.16 следует, что это справедливо для всех внутренних точек
множества ??/).
Мы утверждаем, что теорема будет доказана, если найдется
функция w, гармоническая в Я^-i и такая, что:
(a) w(x, y)>0 в Et+n
(b) w(x, !/)>2 в SB?\F;
(c) w имеет некасательные пределы, равные 0, почти во
всех точках F.
Если это имеет место, то w (р) ± % (р) > 0 в №\F, в силу A)
н (Ь). Кроме того, в силу B) и (а),
lim inf {ш(р)± i|>/(p)} > 1*т_ '"* ш(р)>0.
Отсюда следует, что w (р) ± -фу (р) > 0 для всех р ? ,0. Если
бы это было не так, то, в силу принципа минимума, существовала
бы последовательность [pk] cr ^), сходящаяся к некоторой точке
из F при А^оои такая, что w (pk) ± fy (pfc) •< —е для каждого k,
где е — некоторое положительное число. Но, в силу B), i|)/(pfi) ->¦
->¦ 0 при й^-оо, и, таким образом, для достаточно больших k
значение w {pk) было бы отрицательным, что противоречит свой-
свойству (а). Следовательно, устремляя / к оо (по подпоследовательнос-
подпоследовательности), получим, что . w (р) ± *ф (р) > 0 для всех р?0, т. е.
11|) (p) j •< w (р) для всех р Q 0. Следовательно, доказываемый
результат, что lim if) (p) = 0, когда р стремится к ^ внутри Га (q)t
для почти всех q ? F, следует из свойства (с).
3. Максимальные функции Харди — Литтлвуда
79
Продолжим доказательство, построив требуемую функцию
w, обладающую тремя свойствами (а), (Ь) и (с). Пусть | — харак-
характеристическая функция множества Еп \ F; введем обозначение
w (х, у) =
ds
п^и у> 0, где с — положительное число (которое будет выбрано
позднее). Ясно, что ш>. О в Е^+\- Свойство (с) есть непосредст-
непосредственное следствие теоремы 3.16. Таким образом, нужно только пока-
показать, что w обладает свойством
(Щ. Заметим сначала, что если
()?\F 1 (
> 2у = 2. Предположим теперь,
что р = (х, у) ? М и 0 < у < 1.
Рассмотрим перевернутый конус
с вершиной в точке р и раствором
а (рис. 1). Пусть G — внутрен- .
ность шара, образованного пере- •—
сечением этого конуса с гипер-
гиперплоскостью Еп\ тогда G и F не
пересекаются, Если бы это было :
не так, то нашлась бы точка q ? G (] F и, следовательно, р лежа-
лежала бы внутри Га (ф. Но это невозможно, поскольку р ? 38. Та»
ким образом,
ds
Рис. 1
„п-\
dr
= СОЗ„_1 J
О w ' ' 0 ' ' '
Выбрав постоянную с должным образом, можно добиться того,
чтобы последнее выражение стало больше 2.
Итак, мы построили функцию w и тем самым показали, что
ф (р) имеет предел 0, когда р стремится к q внутри Га (q), для почти
всех q ? F. Теперь мы утверждаем, что из оценки |1р| < ш в
U Га (q) следует, что | ф (р) I < w (р) для почти всех ^ с F,
когда р лежит в конусе с вершиной в точке q произвольного раство-
раствора, если только точка р достаточно близка к q. Простые геометри-
геометрические рассуждения показывают, что это действительно так в слу-
случае, когда q — точка плотности множества F1'. Следовательно,
*) Пусть iF=»| — характеристическая функция измеримого множества
Е„\ тогда точка л; есть точка плотности F, если п^т~п \ | (/) dt ->¦ 1
\x—t\ <r
О, В силу следствия 3,14, почти каждая точка из F есть точка плот-
при г
ности.

80
- Гл. Ц. Граничные значения гармонических функций
lim i|? (p) = 0, когда р некасательно стремится к q ? F для почти
всех q из F. Это означает,, что и и <р имеют одинаковые некасательные
пределы для почти всех q из F, и тем самым теорема доказана.
Нас будет интересовать обобщение этого результата на функ-
функции, гармонические по наборам переменных (такие функции на-
называются кратногар'моническими). Под этим подразумеваются
дважды дифференцируемые функции и, определенные в области
„г/точекдл , ,.. , л ) — \х\ , ... , хПк, х\ , ... , хПг, .. ¦ , Л1 ,...
(k)
X
А,, принадлежащих прямому произведению ?П1 х
лА евклидовых пространств, такне, что
д2и
= 0
ti
при 1 < / < ft. Такне функции нам встретятся в следующей главе,
где мы будем иметь дело с аналитическими функциями нескольких
переменных. В этом случае каждое из пространств Еп. будет дву-
двумерным, и его можно отождествить с комплексной плоскостью.
Нетрудно сформулировать это обобщенне н указать изменения
в доказательстве теоремы 3.19, необходимые для его доказатель-
доказательства. Одно из этих изменений затрагивает результаты, аналогичные
теоремам 2.5 и 3.16 для «повторных интегралов Пуассона» (т. е.
решений задачи Дирихле для случая кратногармоннческих функ-
функций).
Эти повторные интегралы Пуассона являются примером се-
семейства операторов несколько более общего вида, чем возникающие
в теореме 3.12. Они имеют несколько независимых параметров,
стремящихся к 0, т. е. семейство {Те} параметризуется множеством
(е = (ги .... ет) ? Ет\ е/ > 0, / = 1, ..., т) (первый октант в
пт), и объектом нашего изучения будет поведение этого семейства
при е -»- G ? Е^. В случае повторных интегралов Пуассона бу-
будем для простоты считать, что т ~ 2. Именно, отождествим Еп с
прямым произведением ЕП1 и Ent, где пх + п2 = п, и положим
для /«&, .... tn) € Епр j = 1,2. Тогда для / ? Lp (EJ опреде-
определим TJ = T(ei-&t)f, положив
a (xi2) - s, е2) / (/, s) ds) Ш,
J
где
П1 х ?rtl
J. Максимальные функции Харди — Литтлеуда
81
il))
Если / (х) = fx (xil)) f2
где
Л Со (Enj), /-
то
'из теоремы 2.1 следует, что (Tef)(x) равномерно сходится к[(х),
^огда е = (bi, eg) -+¦ @, 0). Класс конечных линейных комбинаций
таких функций плотен в Lp (Еп), 1<;р<оо; таким образом, если
показать, что справедливо неравенство C.13), то можно заклю-
заключить, что lim(Tef)(x) существует н конечен почти.всюду. Не-
о
е*о
трудно установить следующий более сильный результат для 1 •<
<р<оо и (М/)(л)« sup \(T(ei^f)(x)\:
ej,e,>0
C-20) \\Mfl<A\\fl,
где А зависит от р, пх и п2, но не зависит от / ? № (Еп) (см. об-
обсуждение перед C.6)). Для того чтобы это проделать, определим
М{1) как оператор, ставящий в соответствие функции f ? If (En)
максимальную функцию / (•, xf2>), т. е.
Аналогично, положим
r>Q
щг~п*
Тогда, по теореме 3.7,
C.21)
С другой стороны, из C.10) следует, что
в,
xil\
Таким образом, {Mf){x)= sup \{TM)f){x)\ < (Ml2)Mil)f)(x), н
ei,e,>0
неравенство C.20) следует из C.21).
Отсюда можно заключить, что предел lim (Tef) (х) при е =
= (вц е2)->-@, 0) существует и конечен для почти всех х?Еп.
Ясно, что, изменив приведенные выше рассуждения, можно при-
применить их к случаю m-кратных повторных интегралов Пуассона.
Точнее говоря, справедлива следующая

82 Гл. II. Граничные значения гармонических функций
Теорема 3.22. Пусть f ? If (Еп), 1 < р < со, и
- J ... J
где t(i) и xi!) принадлежат Епр а г — fa, ,.., е„) принадлежит
первому октанту в Ет (т.е. еу>0 при /=1, ..,, т); тоеда
1» / V 1* yfll {Ш} V Р / л
nm u ^л, ej — urn ы (л , *.. , x , 6i, 11. , &m) = I [X)
e-*0 e,,...,e -vO
для почти всех х ? En.
Доказательство. Мы уже видели, что lim и (х, е) су-
существует' и конечен почти всюду. Нужно только показать, что он
равен / (х) почти всюду. Как и при доказательстве следствия 3.14,
достаточно убедиться в том, что \\-и (•, е) — f\\p -*- 0 при е -> 0.
Это можно проделать почти таким же образом, как и при доказа-
доказательстве теоремы 1.18 гл. I. Для упрощения обозначений опять рас-
рассмотрим случай т = 2; при этом метод доказательства очевидным
образом обобщается на произвольный случай. XZ помощью леммы
1.17 (Ь) гл. I и замены переменных получаем
И (*,е) _/(*) = J
— f (A xi2))} dtds =
_ tlt, x{2) - e8s) — / (x{1\
Для (ft, k) ? Eni X ЕПг обозначим через
Юр,/ (Л, ft) = и (ft, ft) =
dtds.
4e
^"-модуль непрерывности функции f. Было показано, что ш (ft, ft) ->
^-0 при |ft|, |ft|->0 и что (в (ft, ft)< 2||^jlp. Таким образом, в си-
силу интегрального неравенства Минковского и теоремы Лебега о
3. Максимальные функции Харди — Литтлвуда
мажорируемой сходимости,
= J $ ®(—elt,^e2s)P1(t,\)P2(s,\)dtds->Q
при ej, e2 -*- 0. Это завершает доказательство.
Некоторое изменение только что приведенных рассуждений
показывает, что теорема (так же как и приводимый ниже ее нека-
некасательный вариант) справедлива и для случая р = со. Так как
это все равно следует из доказываемой ниже теоремы 3.24, то мы
не станем приводить здесь это изменение.
Теорема '3.22 утверждает, что повторный интеграл Пуассона
функции из Lf (En) сходится к этой функции почти всюду, если
приближаться к точкам х0 = (х§\ ... , xjf4) в Еп «сверху» вдоль
произведения прямых xi!) = х$ из Et+\, /— 1, ... , m (ср. о
обсуждением в начале этого параграфа). Как и раньше, существуют
пределы более общего вида. Это обобщения некасательных преде-
пределов, определяемые следующим образом, Положим пх-{-...-{¦ nk =*
= п и
h
Г ¦ (xh') = ((х1 и) ? E--l\ • хп хоп\<:аи) i — 1
Говорят, что функция и, определенная на Е?%+\ х ••• X Etk+i,
имеет некасательный предел I по каждому набору перемен-
ных !> в точке хп = (х{о\ ... , хр), если и(х{1), у^, ... ; xik\ yk) =
, yk) стремится к /, когда точка
= и (х
A)
х > Уъ
(х \ Уг\ ... ; х \ yk) стремится к х0 внутри прямого произведения
Га,' X • • • X Г^ для всех ft-строк (се1( ..., cefe) положительных чи-
чисел (т. е. каждая из точек (xi!\ у/) некасательно стремится к х^Р,
l</<;ft). С помощью рассуждений, использованных при доказа-
доказательстве теоремы 3.22, и неравенства C.17), примененного к каж-
каждому из ядер Pj, l-</-<ft, получаем такое
Следствие 3.23. Пусть f?Lp(En), 1</?<оо, и и(х,&) —
определенная в теореме 3.22 функция; тогда и(х, е) имеет
г) Переменные xlt .... хп группируются в k попарно не пересекающихся набо-
наборов; /-й набор состоит из переменных xN ,lt..., xN , где Ni — nl-\-,.. + гц
для 1 «? / ^ k. Вводимое понятие связано с подобной группировкой, и, собствен-
собственно говоря, следовало бы сослаться на это в определении. С другой стороны, во
всех применениях будет ясно, какие наборы имеются в виду, так что ради простоты
ыы этого не сделали. —.

84
Гл. //. Граничные значения гармонических функций
3. Максимальные функции Харди — Литтлвуба
85
некасательный предел f (х0) по каждому набору переменных почти
во всех точках х0 ? Еа.
Будем говорить, что функция и, определенная на ?j+i X*¦ •
• • • X Ef+i, некасательно ограничена по каждому набору пе-
переменных в точке х0 ? Еп, если и ограничена в прямом произ-
произведении усеченных конусов Га;D;)) Л {(хф, У{) 6 #v+i; 0<^<l},
1 ¦</<?, для всех ft-строк (а1( .... ak) положительных чисел.
Пусть и— повторный интеграл Пуассона функции f ? Z/(?„), 1<
</?<оо. Утверждение, что и некасательно ограничена по каж-
каждому набору переменных почти во всех точках Еп, является не-
несколько более слабым, чем следствие 3.23 (и, конечно, непосред-
непосредственно вытекает из этого следствия).
В полной аналогии со случаем гармонических в ?j_i функций
эта некасательная ограниченность эквивалентна существованию
некасательных пределов почти всюду по каждому набору перемен-
переменных даже для гармонических функций, не являющихся интегра-
интегралами Пуассона. Точнее говоря, справедливо следующее обобщение
теоремы 3.19:
Теорема 3.24. Пусть пу + •• • -\-nk = n и и—функция,
определенная на прямом произведении E%1+i х ¦ ¦ • X Etk+\ "'
гармоническая по каждому набору переменных (х^)> yj) = (х\'\ ...
. • •, х{пр УЦ в Enj+\t 1 < / < & {т.е. и дважды дифференцируема
и удовлетворяет уравнениям
п!
д*и
ду*
= 0).
Если и некасательно ограничена по каждому набору переменных
во всех точках множества 5с?п положительной меры, то и
имеет некасательные пределы по каждому набору переменных почти
во всех точках S.
Доказательство. Основные идеи' доказательства этой
теоремы были развиты при доказательстве теоремы 3.19, так что
мы укажем только необходимые изменения. Ограничимся случаем
А = 2 ип1 = /г2 = п (рассуждения легко обобщаются на произ-
произвольный случай).
По аналогии с обозначениями, использованными при доказа-
доказательстве теоремы 3.19, будем обозначать через p = (pltpi)~
м (*A>> Уъ х<2)> Уд произвольную точку множества Е%+\ х Et+u Щ
а через q — (qu q2) = (х{Х\ 0; хB\ 0) произвольную точку множест-
множества Еп х Еа = Я&г (последнее представляет собой отмеченную граТ
ницу множества Е%+\ X Ef+\)!). Рассуждая так же, как выше,
легко свести задачу к доказательству того, что если |«j-<l в
области
A
U
Л (Р =
у%
то и (р) стремится к некоторому пределу, когда р стремится к
Я = (ЯиЯ*) внутри v«(<?) = Ta(?i. ?2), для почти всех точек q^Fcz
<= Е2п. Здесь v« (qu q2) обозначает конус Га1 (ft) x Г^ (^3). Выби-
Выбирая подходящие подмножества, можно считать, что F замкнуто и,
кроме того, содержится внутри единичного шара в Е^.
Положим
^{итаШ Л {р«(*A).й;Лй); о<й,й<1),
и пусть А[ обозначает это же множество, сдвинутое на —1// в
направлении осей уг и y2t и ^ = -А/ Л ^2П- Далее, положим
uj(p) = u(x(l\ уг -\-1//; хB), ^2 -|-1//), характеристическую функцию
множества &j обозначим %>, повторный интеграл Пуассона функ-
функции %i(x(l); xl^)Ui(x(l\ 0; х{ \ 0) обозначим q>/ и положим ij)/=
= И/ —фу.
Как и при доказательстве теоремы 3.19, можно найти после-
последовательность (ф/J, сходящуюся к повторному интегралу Пуас-
Пуассона некоторой функции из и(Еы) в. каждой точке множества
EJ+i X Еп+\. Обозначим этот предел ф. Так как щ->и при /->-
->-оо, то ip/k(p) = Uik(p)~4>Ik(p) стремится к пределу У(р) =
=* и (р) -™ ф (р) для всех р ? Е++1 х E++v Но ф —интеграл Пуас-
Пуассона некоторой функции из L%{E^y поэтому, в силу следствия
3.23, ф имеет некасательные пределы по каждому набору пере-
переменных почти во всех точках ?г«. Покажем, что Нтф(р)^0,
когда р стремится к q внутри уа (q), Для почти всех q ? F.
Так же как при доказательстве теоремы 3.19, основным мо-
моментом является построение кратногармонической функции и» в
Eft+i X Et+u обладающей следующими свойствами:
(a) ю>0 в Et+i xEt+i;
(b) lim inf w(p')>|lv(p)|f /-=1,2
для всех точек р на границе множества 0;
(c) w имеет нулевой некасательный, предел по каждому, на-
набору переменных почти во всех точках множества F.
2) Термин «отмеченная граница» часто используется в литературе; он указы*
вает иа то, что рассматривается только часть топологической границы множества

86
Гл. U. Граничные значения гармонических функций
Пусть | — характеристическая функция части множества Еы \
\ F, содержащейся в фиксированном шаре достаточно большого
радиуса с центром в начале координат (нижняя грань этого радиу-
радиуса выявится по ходу доказательства). Положим w = 2 (уг -f- */г) +
-\- с W (х(|>, уу\ х<2), у2), где W — повторный интеграл Пуассона
функции | и с — полЬжительная постоянная, которая будет оп-
определена позднее.
Свойство (а) очевидно, свойство (с) вытекает из следствия 3.23,
так как | принадлежит всем пространствам If (Е2п), 1 < р < оо.
Таким образом, нужно только доказать свойство (Ь). Но г|)/ (р) = О
при р ? F, так что неравенство (Ь) справедливо при р ? F. Рас-
Рассмотрим отдельно следующие оставшиеся части границы множе-
множества 0\
(i) точки, где либо ylt либо у2 равно 1;
(ii) точки, где 0<г/!<1 и 0<//2<1;
(iii) точки, где */i>0, а у2 = 0 или */2>0, а уг = 0.
| < 2, то свойство (Ь), очевидно, выполняется в
Поскольку
случае (i).
Пусть р = (р1( р2) — (х0)
Р
B
ух\ хB\ у2) лежит в части (ii) границы
0. Рассмотрим прямое произведение перевернутых конусов с вер-
вершинами в точках р! и р3 и растворами ах и а2. Пересечения этих ко-
иусов с гиперплоскостями уг = 0 и у2 = 0 (в каждом E^+i)
образуют два открытых шара Gx и G2. Мы утверждаем, что йг х G2
не содержит точек множества F (если бы это было не так, то р при-
принадлежала бы 0). Таким образом, функция | будет равна 1 на
Gx х G2, если мы выберем использованный при определении %
шар, содержащий F, достаточно большим. Шары Gx и G2 имеют
центры в точках х
Следовательно,
<1)
и/1 и радиусы
и а2у2 соответственно.
w{p)>cW{p)>cf\[cnyl\j.
М\ а,
если постоянную с выбрать достаточно большой.
Пусть теперь р = (plt р2) = (х{1\ уц х12), 0) лежит в части (iii)
границы 0 (случай ух = 0, у2>0 рассматривается аналогично).
В этом случае w(p) не определена и нужно оценить iiminf w(p),
когда р' ? 0 стремится к р. Полагая р' ==. (р'и р2) и обозначая
S. Максимальные функции Харди — Литтлвуда
через г/i. и у\ ^-координаты точек р\ и рг, получим
w(p') ^ 2(/i +'ccn
87
- Из леммы Фату следует, что
lim inf ш(р')>
1 ft — ft I
X
X Hm inf с
Мы утверждаем теперь, что
C.25)
iim inf с,
flf —;
Чтобы убедиться в этом, заметим сначала, что это неравенство
заведомо выполняется, когда | (glt р2) = 0, так как подинтеграль-
ное выражение слева неотрицательно. Единственное другое зна-
значение функции | равно 1 и принимается иа открытом множестве —
пересечении E2n \ F с открытым шаром из Е2п, так что | непре-
непрерывна на этом множестве. Отсюда следует, что интеграл C.25) в
действительности сходится к | (q, p2) (это можно показать теми же
самыми рассуждениями, которые были использованы для доказа-
доказательства последней части свойства (Ь) в теореме 2.1). Таким об-
образом, неравенство C.25) доказано и, следовательно, .
lim inf
Ух
(<?ь Рг
Остальная часть доказательства — в основном повторение рас-
рассуждений, использованных в последней части доказательства тео-
теоремы 3.19, в применении к функции ify (plt р$) и
f (Pi) = 2*/i + ссп \ —-= y\,n+m I (<?i. Pa) dqt
i I Pi — Qi v T "
в области 0Р), состоящей из точек pi ? Et+u содержащихся в
некотором усеченном конусе Fttl (qt) с (qlt p2) € F (на этой стадии
ра — фиксированная точка, лежащая на границе Еа множества

88
Гл. //, Граничные значения гармонических функций
Et+i)- Это завершает доказательство свюйства (Ь) и одновремен-
одновременно доказывает оценку
C.26) .
Для завершения доказательства .теоремы следует обобщить
C.26) так, чтобы для почти всех q ? F выполнялась оценка
\4>(p)\<w(P)> гДе Р лежит в конусе ГРм (ft) x Гр, (ft) с произ-
произвольными растворами EХ и р3 достаточно близко к точке q =
= (<?i> Ь)- ^г° несомненно будет так для всех точек сильной
плотности множества F. Так называются точки, которые удов-
удовлетворяют следующей лемме:
Лемма 3.27. Пусть | — характеристическая функция произ-
произвольного измеримого множества F из Еъг = Е„ X Еп. Тогда для
почти всех х — (хA), #{2)) ? Р
fcS
Доказательство. Для произвольной функции f ? ?р (?л X
X Еп) определим сильную максимальную функцию щ равенством
= sup QirW1 J J
Тогда, как и при доказательстве C.20), \if(x) ^.(Mi2)Mil)f)(x),
так что
C.28) Ы*Iр<
С помощью тех же рассуждений, что и в доказательстве теоремы
3.22, доказывается, что
C.29) li
f fD
для почти всех точек (х®\ хB))
®\ хB))
и для любой фиксированной
функции f $ V (Е2п), 1 <Ср < оо. Справедливость формулы C.29)
зависит, однако, только от значений f в окрестности точки (д^1', xt2)),
и поэтому C.29) выполняется почти всюду, когда / принадлежит
Lp (Е2п)> 1</?<оо, хотя бы локально. Следовательно, оно
справедлива для ограниченных функций и, в частности, для функ-
функции I- Это доказывает лемму 3,27.
4. Субгармонические функции и мажорирование 89
Теперь можно завершить доказательство теоремы 3.24. Пусть
(<?и ^г) — точка сильной плотности F. Для фиксированных
Уи Уъ"> 0 рассмотрим множество
Для произвольной точки (jcA\ xB)) € А рассмотрим также множество
Если ух и у2 достаточно малы, то В должно пересекаться
иначе можно было бы получить противоречие тому, что
й F Т б
с F,
что q =
иначе можно было бы получить противоречие тому, что q =
~(ЯиЙ2)—'Точка сильной плотности F. Таким образом, если р =
= (Рь Ра). Рх = (*(!\ Ух), Pi = (хB)> Уъ) и р достаточно близка к д,
то из р € Tfr(qd X rPl(ft) следует, что p$Vai$l)) X Га,(хB)), где
Итак, оценка C.26) выполняется также для всех р ? FPl (q-^ х
X rpt(?a). достаточно близких к q = (qlt q2), и существование не-
некасательного предела lim ijj, таким образом, установлено.
4. Субгармонические функции и мажорирование
гармоническими функциями
В последующих главах нам придется мажорировать под-
подходящими гармоническими функциями функции, имеющие вид
| F |р, где F — либо голоморфная функция нескольких комплекс-
комплексных переменных (см. гл. III), либо векторная функция с гармони-
гармоническими компонентами (см. гл. VI). Оказывается, эти функции
| F\p «являются субгармоническими. Природу этих функций и
такого типа мажорирования можно выяснить, рассмотрев тривиаль-
тривиальный случай функции одной вещественной переменной. В этом слу-
случае гармонические функции линейны, а субгармонические, как мы
увидим, выпуклы. Последние определяются как непрерывные !>
функции ф, заданные на некотором интервале и удовлетворяющие
неравенству
D.1) ф(Л+^)< 'И + ФО)
для любого интервала \х, у], лежащего в области определения q>.
Легко показать, что это условие эквивалентно следующему: если
интервал U, у] содержится в области определения функции q>, то
линейная (гармоническая) функция, принимающая те же значения,
1) Можно показать, что в этом одномерном случае достаточно потребовать
только измеримость. Общую теорию субгармонических функций можно построить
для полунепрерывных сверху функций, однако, несмотря на важность такой тео-
теории дли некоторых приложений, нам понадобятся только непрерывные функции,
поэтому мы ограничимся этим несколько (технически) более простым случаем.

60 Гл. II. Граничные Значения гармонических функций
i
что и ф, в концах интервала хну, мажорирует !> ф на этом интер-
интервале. В случае когда ф имеет непрерывную вторую производную во
всех точках области определения D, неравенство D.1) эквивалент-
эквивалентно условию ф" (х) > 0 для всех х ? D.
В первой части этого параграфа мы обобщаем эти факты, имея
дело с функциями, определенными на ограниченных областях;
во второй части (а также в последующих главах) эти вопросы рас-
рассматриваются на некоторых неограниченных областях, естествен-
естественно возникающих в наших исследованиях.
Функцию s, определенную и непрерывную в области 0 с ЕПУ
называют субгармонической, если
. ) s (ха) < MXo,s (г - -j-j- ^ s (х0 + rt)
для любого шара [х ? Еп; \х — хо|<г}, содержащегося в 0. Это
неравенство, очевидно, является обобщением D.1).
Тот факт что из неотрицательности второй производной следует
выпуклость, имеет -следующее обобщение на п измерений:
Теорема 4.3. Пусть s имеет непрерывные вторые частные
производные в области 0 и (As) (х) > 0 для всех х ? 0; тогда
s удовлетворяет неравенству среднего значения D.2) во всех точках 0.
Доказательство. Пусть замкнутый шар радиуса rQ о
центром в точке х0 лежит в области 0, и пусть 2С, 2,, 0 < е </• <
< rQ, обозначают сферы радиусов е и г с центрами в точке xQ. При-
Применяя формулу Грина к функциям s и
2,
2
к — хо\ * ' — г ' ' при п
\ — log | х — х01 -f- log r при п
в области 5, заключенной между 28 и 2,, получим (так как
в 5)
0> \(sAv-8&s)dx= s-?--
dv
ds
дп
da,
где dS — граница области 5, д/дп — дифференцирование в на-
направлении внешней нормали к dS и da — элемент площади dS.
Таким образом, как и в доказательстве теоремы 1.1,
') Говорят, что функция / мажорирует функцию g в области D, если обе функ-
функции определены в D, принимают вещественные значения и / (х) S g (x) для всех
4. Субгармонические функции и мажорирование 91
Но v — 0 на 2, и J (ds/дп) vdo < 0. (Здесь д/дп обозначает диф-
дифференцирование в направлении нормали к 2е, направленной-к
центру этой сферы. Таким образом, применяя формулу Грнна к
функциям s и 1 в замкнутой области {х; \х — хо|<е}, получим,
> 0 на 2е при е < г.) Отсюда
что \
при п
дп
кРоме того>
а при п = 2
0>(| - П(— Ijc_*оПгs(д:))
В обоих случаях
y*vj «v ynf *2^ ft—I 1 \ / \ ' Л0»Ь V /
Пусть e ^ 0; тогда левая часть стремится к s (x0), и неравенство
D.2) доказано.
В последующих главах нужно будет доказывать субгармонич-
субгармоничность некоторых функций. В общем случае они не будут дважды
дифференцируемы, так что теорему 4.3 нельзя будет применять для
доказательства субгармоничности. С соответствующей интерпре-
интерпретацией утверждения As >• 0 в смысле обобщенных функций тео-
теорема 4.3 остается справедливой для всех непрерывных функций s.
Дальнейшие детали можно найти в п. 5.8 ниже. Для наших целей,
однако, более полезным будет следующий вариант только что дока-
доказанной теоремы:
Теорема 4.4. Пусть функция s >. 0 непрерывна в области
0, имеет непрерывные вторые частные производные на мно-
оюестве Я ={х ? 0; s (х) > 0} и As > 0 в Я. Тогда s — суб-
субгармоническая в 0 функция.
Доказательство. Нужно показать, что $ удовлетворя-
удовлетворяет неравенству среднего значения D.2). Фиксируем х0 ? 0 и
предположим, что замкнутый шар S, V [х; \ х — х01 «? г) содержит-
содержится в 0. Пусть и — решение задачи Дирихле для замкнутой области
Srt имеющее граничные значения s (х) для х ? dSr = {t; \t —
—¦ АоI — г) (см. следствие 1.11). Если.мы покажем, 4tos(x) < и (х)
для х ? Sft то неравенство D.2) будет следствием теоремы о

92
Гл. II. Граничные значения гармонических функций
среднем значении (теоремы 1.1):
s (х0) < и (х0) = МХлМ (г) = — f и (х0 4- г?) &' =
ч—1 j
"л—1
Предположим противное: пусть sup {s(x) — u(x)J = с>0; введем
*esr
обозначения F = {x ? Sr; s(x) — и(x) = с). Тогда множество F,
очевидно, замкнуто и содержится внутри Sr, С другой стороны,
s(x)>0 во всех точках г (так как и(я)>0). Следовательно,
можно применить теорему 4.3 к функции s—и на множестве Я;
тогда для всех х ? F (<^.Я) получим
с =
для всех достаточно малых р>0. Поскольку s—u*Cc в Sf
и х лежит внутри Sr, из непрерывности s^-u следует, что
s (х 4- рО — и(х-\- pt') = с для всех *' ? 2 и достаточно малых р.
Отсюда следует, что множество F открыто. Так как 5, связно,
то F должно быть либо пустым, либо совпадать со всем 5Г. Но,
как мы уже отметили, граница шара Sr отделена от F и, следова-
следовательно, г пусто. Отсюда вытекает, что s (x) < и (х) во всех точках
х из Sr, и теорема доказана.
Полезно отметить, что фактически мы доказали следующий
более общий результат:
Теорема 4.4'. Пусть функция s > 0 непрерывна в Ъбласти
0 и субгармонична на множестве Я = [х ? 0; s (х) > 0}; тогда
s субгармонична в 0.
Рассуждения, приведенные в конце предыдущего доказатель-
доказательства, обычно применяются к субгармоническим функциям, опре-
определенным на произвольной ограниченной области. Более точно,
имеет место следующая теорема (оправдывающая использование
слова «субгармоническая»):
Теорема 4.5. Пусть s — функция, непрерывная на 0 —
замыкании ограниченной области $ и субгармоническая в 0, а
и — функция, непрерывная на 0 и гармоническая в 0; пусть,
кроме того, s (х) < и (х) для всех х ? 60 = 0 \ 0. Тогда s (x) <
< и (х) для всех х ? 0.
Доказательство. Рассмотрим функцию s — и. Пусть
s(x)—*u(x)>0 для некоторого х ? 0; положим с— sup {s(x) —
0
4. Субгармонические функции и мажорирование
93
.— и (х)} > 0 и F = {х? 0\ s(х) — и (х) = с) (с < со, так как 0 —
компакт). Тогда F, очевидно, замкнуто. С другой стороны, «—а,
будучи гармонической функцией, обладает свойством среднего
значения; следовательно,
df
с = s(х)- и(jf)<--L- f {s(x + pt')~и(х + pO
n—l j;
для всех x?F и достаточно малых р. Как и в предыдущем до«
казательстве, отсюда следует, что F открыто. Таким образом, F
пусто (ибо 0 связно и s(x)— и(х)<0<с,_когда х? 0\0) и,
следовательно, s(x) — «(х)-<0 для всех х?0.
Прежде чем двинуться дальше в нашем кратком изучении
субгармонических функций, полезно привести несколько примеров.
A) Ясно, что всякая гармоническая функция является субгар-
субгармонической. Более того, из определения немедленно следует, что
| и | — субгармоническая функция для любой гармонической функ-
функции и.
B) Если s — субгармоническая функция, a q> — неубывающая
выпуклая функция, определенная на интервале, содержащем об-
область значений функции s, то сложная функция <р о s субгармонич-
субгармонична. Это следует из неравенства Иеисена !>, примененного к правой
части неравенства D.2):
x0 4- rt'))
Поскольку ф (х) = хР — выпуклая функция при х > 0, р > 1,
из этого замечания и первого примера следует, что |и|р —суб-
—субгармоническая функция, если субгармоиична функция и.
C) В общем случае при р < 1 неверно, что | и \р — субгар-
субгармоническая функция, если и — гармоническая функция. Например,
для гармонической функции и = и (х, у) = х, (х, у) ? EZt не су-
существует такого /? < 1, чтобы | и\ была субгармонической. Для
') Одна из нескольких форм неравенства Иенсена следующая. Пусть р. -~
конечная мера на пространстве М, f — некоторая ji-интегрируемая функция и
Ф — выпуклая функция, область определения которой содержит область значений
функции /j тогда.
W
/ A
Если М — интервал [х, у], ц ({«}) = 1 = ц {{у}), ц (?) = 0 длялюбого боре-
левского множества Е, не содержащего ни х, ни у, а / — тождественная функция
/ (*) — t для х < t < у, то это неравенство переходит в неравенство D.1), опре-
определяющее выпуклые функции. Нетрудно, однако, простыми предельными рассуж-
рассуждениями получить неравенство (•) из неравенства D.1).

94
Гл. II. Граничные значения гармонических функций
двух измерений, однако, справедлив значительно более сильный
результат, чем приведенный в конце предыдущего примера, если
рассматривать гармоническую функцию вместе с ее гармонически
сопряженной1). Точнее, если F = и + iv — аналитическая функ-
функция, то | F \р субгармоничиа для всех р > 0. Это можно показать
следующим образом. Пусть Л — множество точек х + iy = z из
области определения функции F, таких, что F (г) ф 0; тогда s =
= log | Z71 — гармоническая в Л и, следовательно, субгармониче-
субгармоническая функция. Так как q> (х) = ерх — выпуклая неубывающая функ-
функция при р > 0, то сложная функция q>° s'~ | F\p субгармонична
в Л. То, что | F |" субгармонична в области определения F, теперь
следует из теоремы 4.4'.
D) Пусть stt ..., sk-~субгармонические функции в области
0 и аг, ... , аА<— неотрицательные вещественные числа; тогда
линейная комбинация aiSi -f- •• • +aAsfe — субгармоническая в
0 функция. Аналогично, s (х) = max {s± (x), sa (x)} — субгармониче-
*<L0
екая в области 0 функция, если Sj и % субгармоничны в этой
области.
Если гармоническая функция и мажорирует в некоторой об-
области функцию s, то говорят, что и — гармоническая мажоранта
функции s. Если и < Л, где h — любая другая гармоническая ма-
мажоранта функции s, то говорят, что и — наименьшая гармониче-
гармоническая мажоранта функции s. Из теоремы 4.5 следует, что если s —
непрерывная на замыкании '0 ограниченной области 0 и суб-
субгармоническая в 0 функция, то функция и будет гармонической
мажорантой s, при условии что она имеет непрерывное продолже-
продолжение на 0, мажорирующее s на 60. Если для 0 существует решение
задачи Дирихле, то отсюда немедленно следует, что наименьшая
гармоническая мажоранта функции s есть непрерывная на 0 и
гармоническая в 0 функция, совпадающая с s на 60 = 0 \ 0.
Мы закончим этот параграф, доказав соответствующий результат
для некоторого класса субгармонических функций, определенных
на верхних полупространствах. Этот результат будет использо-
использоваться (см. гл. III и VI) вместе с теоремой 3.19 или теоремой 3.24
для доказательства существования граничных значений для не-
некоторых классов гармонических функций.
'> Если и гармонична в области Jb<z Е2,то гармоническая функция v, такая,
что функция F = и + it) аналитична в области Л,, называется гармонически со-
сопряженной к и. Элементарно доказывается, что если Л! — односвязная область,
то гармонически сопряженная функция существует и единственна с точностью до
произвольной аддитивной постоянной. В частности, гармонически сопряженная
к и существует в окрестности каждой точки области Зъ, где функция и гармони-
гармоническая.
4. Субгармонические функции и мажорирование 95
Теорема 4.6. Пусть s — неотрицательная субгармониче-
субгармоническая функция, определенная в Е^+1 и такая, что
D.7) С [s(;
для всех у > 0, где 1 < q < со и с не зависит от у > 0. Тогда
s имеет в E?\.i наименьшую гармоническую мажоранту. Более того,
в случае q > I эта мажоранта есть интеграл Пуассона некоторой
функции f ? L9 (Еп), причем \ f\q < с; если q =* 1, то s является
интегралом Пуассона — Стилтьеса конечной борелевской меры на
Еп с полной мерой, не превышающей с.
Доказательство. Заметим сначала, что s удовлет-
удовлетворяет всем предположениям леммы 2.6, за исключением гармо-
гармоничности. Доказательство леммы 2.6 опирается, однако, только на
неравенство D.2) и не использует полностью свойство среднего
значения гармонических функций. Следовательно, существует
постоянная А = АПф > 0, такая, что
п
Покажем, что для каждого собственного подполупространства
?Й+1,Й = {(х, у)?Еп+1; */>*/о>0} функция s принадлежит клас-'
су C0(Et+UyaO т. е.
D.9) iim s (х, у) =¦ 0,
когда у >• у0. Заметим сначала, что, как видно из D.8), s (x, у)
мала, когда у велико. Таким образом, достаточно показать, что
s(xyy)-+0 при |х|->-со, когда у лежит между у0 и некоторым
фиксированным ух>у0. Фиксируем положительное число г<_у0
к положим В= {(х, y)$En+i\ Уо — г<У<У1+г} <=Et+i. Тогда
1 Is (х, У))" dxdy = j ] [s (x, y)f dxdy < {yx -\- 2r — yo)cq < со.
Следовательно, если Bk = В Г] {(х, у) ? En+i't \x\ > А}, то
D.10) Iim J [s (x, y)]q dxdy = 0.
k-*CQ
Если | х \ > m и уо < у < уъ то найдется шар 5 радиуса г с
центром в точке (х, у), содержащийся в множестве Bm-r. Так
как {#{§=.? — неубывающая выпуклая функция, то q>° s = s?

Гл. //. Граничные значения гармонических функций
субгармонична (см. пример B) выше) и, следовательно,
[s(*,a)r<-jirlIsk
1 s
Но, в силу D.10), последний член стремится к 0, когда к =
= т-г-уоо)и равенство D.9) доказано.
Для того чтобы построить искомую гармоническую мажоранту,
для всех е ;> 0 и у > 0 положим
тв(х,у) =Л s(x — t,e)P(t,y)dt=l s(tt e)P(x-t, y)dt.
Тогда, в силу неравенства B.2), имеем
D.11)
для всех е > 0 и у > 0. Кроме того, из равенства D.9) и теоремы
2.1 (Ь) следует, что
0 = limjs(', e) —me(-, у)^ = lim {sup|s(x, в)-—те(х> у)\).
Отсюда можно заключить, что если 6"— положительное число, То
существует достаточно малое уо^О, такое, что s(х, е -f- Уо)'—
— m&(xt уо)<.$ для всех х? Еп. Учитывая равенство D.9), видим,
что s(x, г-\-у) — те(х, у)<.$, когда |х| или у велико, скажем
jc|>? или y>^i. Таким образом, неравенство
s(x, e + ^) — tns(x, y)<6
выполняется на границе области R = {(х, у) ? E*+i; \ x\ < к,
Уо < У < Ух)- Просматривая доказательство принципа максимума
для гармонических функций, приходим к выводу, что было исполь-
использовано только среднее значение из равенства D.2); следовательно,
этот принцип справедлив и для субгармонических функций. При»
меняя его к субгармонической функции s (х, е + У) — ^Ч {хУ у)
(—т, будучи гармонической, одновременно и субгармонична) и
области R, видим, что последнее неравенство справедливо во всей
R. Устремляя б -*- 0 и соответственно А, уг -*¦ оо и у0 -*- 0, полу-
^ Неравенство D.2) утверждает, что.среднее значение функции s по площади
сферы радиуса г с центром в точке х0 превосходит s (x0). Повторяя рассуждения,
использованные при доказательстве леммы 2.6, можно показать, что s (xQ) не пре-
превосходит среднего значения функции s по объему шара радиуса т с центром в точ-
точке х0. Это неравенство, примененное к функции & в точке (х, у), н было использова-
использовано здесь.
S. Дальнейшие результаты 07
чим
DЛ2) s(*fe + y)<me(jcfy) ^
для всех (х, у) ? Е++и
Используя те же самые рассуждения, что и при доказательстве
теоремы 2.5 (с функцией «, замененной на s, и р, замененной на q),
можно найти сходящуюся к 0 последовательность {ей} и, если q>
>1, ^-функцию /, такую, что
\\ттгк(х, у) = Hm J s(t, ek)P(x~t, y)dt =
¦ n
при q= 1 вместо f существует'конечная борелевская мера ц, та-
такая, что
lim тч (х, у) = lim \ s (t, ък) P(x<-*t, y)dt=*
Ьсо1
I
« \ P(x~tty)d\i(t =
В обоих случаях, полагая е *= гк -»- 0, из неравенства D.12) по-
получим
s{x,y)<?m(xty).
Функция т и есть искомый интеграл Пуассона (или Пуассоиа —
Стилтьеса). То, что т есть наименьшая гармоническая мажоранта
функции s, следует из того очевидного факта, что тв (х, у) — наи-
наименьшая гармоническая мажоранта функции s (x, e -f- У)'> Для лю-
любой гармонической мажоранты h функции s справедливо неравен-
неравенство
т (х, у) = lim m8fe (xt у) < iim h (x, гк -f- у) « Л (х, у).
5. Дальнейшие результаты
Б.1. В начале этой главы было введено среднее значение
¦Мх.и (г) — М (г) функции а, взятое по. площади сферы Sr (x) ра-
радиуса г с центром в точке х. Естественно ввести также среднее зна-
значение
функции и, взятое по объему шара Sr (x). Можно, следовательно,
рассматривать два различных свойства среднего значения: одно,
4 3*к. «7

98
Гл. И. Граничные значения гармонических функций
введенное в начале этой главы, и аналогичное ему другое, исполь-
использующее среднее значение Л (г). Рассуждения, использованные в
начале доказательства леммы 2.6, показывают, что еелн функция
обладает первым из этих свойств, то оиа обладает и вторым. Ана-
Аналогично, как было показано при доказательстве теоремы 4.6, функ-
функция, удовлетворяющая неравенству D.2), удовлетворяет и неравен-
неравенству, полученному из D,2) заменой М (г) на А (г). Нетрудно пока-
показать, что, заменяя М (г) на е/ЗД, получим другие критерии гармонич-
гармоничности и субгармоничности, аналогичные критериям теоремы 1.7 и
неравенства D.2) (см. Радо [1J1}).
5.2. Имеется несколько результатов, касающихся гармони-
гармонических (и аналитических) функций, определенных на неограничен-
неограниченных областях, которые являются обобщением принципа максиму-
максимума, сформулированного в следствии i.3'. Эти результаты можно
описать в общем виде следующим образом. Пусть дана непрерыв-
непрерывная функция, определенная на замкнутой неограниченной области
% с Еп и гармоническая на ?. Если эта функция удовлетворяет
некоторым слабым ограничениям на рост (когда х ? & стремится к
оо) и некоторым более сильным условиям на границе % (часто функ-
функция предполагается ограниченной на д%), то она удовлетворяет
этим более сильным условиям во всей $. Такие утверждения часто
называют теоремами типа Фрагмена — Линделёфа. Следствие
1.15 есть особенно простой пример подобного утверждения. Сле-
Следующий пример теоремы типа Фрагмена — Линделёфа является
значительно более общим. Пусть функция и гармонична в Eij+u
непрерывна на Е%+\ « Е$\\ (J Еп и удовлетворяет оценке
и (х, у) = о (е° '*!) при | х | ->. оо для всех а > 0 в каждой полосе
вида 5 = [(х, у) ? Е?ц; 0 < у < //<,}. Если, кроме того, а (х, у) =s
*= о (у) при у -»- оо, то:
(a) из и (х, 0)< А < оо для всех х ? Е„ следует, что
а {х, у)<А для всех (х, у) ? Ei+i\
(b) из и (х, 0) > В > — оо для всех х ? Е
и(х, у)>В для всех (х, у) ? Et+i;
(c) из | и (х, 0)| <;С< оо для всех .*:??,, следует,
\ti{x> У)\<С для всех (х, у) ? Et+i.
При доказательстве утверждения (Ь) можно положить В = 0,
Так как общий случай сводится к этому рассмотрением функции
и{х,у) — В. Фиксируем 6>0 и положим g(x, у) = $in(aV~n(y +
п
п следует, что
что
п
-f- б)) П ch axk\ тогда
гармоническая в
функция (см.
1) Или Привалов [1].^ Прим.
5. Дальнейшие результаты
99
пример F) в начале этой главы). Утверждение (Ь) будет доказа-
доказано, если мы покажем, что и (х, у) -f- ey -J- t\g (х, у) > 0 в Е^+\
для любых фиксированных е>0 и ii>0. Из принципа миниму-
минимума следует, что достаточно показать, что это неравенство вы-
выполняется на границе цилиндра вида [(х% у)$Еп+\\ |->c|<W, 0<
<#<#о} Для всех достаточно больших N и у0. Выбирая а>0
и 6>0 так, чтобы а< n/Vn (y0 -f- б), получим, что sin (aY~n(y +
+ б)) положителен и ограничен снизу положительным числом,
когда 0 < у < у0 и, кроме того,
П <±
fc=l
axk
¦«п
- 2"" exp
[ п
[а 2
Эти оценки вместе с предположением, что и(х, y)~o(eaW)
и и(х, у) = о(у), дают требуемое неравенство и(х, у)-\-гу-\-
+ 4S (х> У)~>^ Для | х \ > W (если N достаточно большое) и
0 < у < yQ. Уменьшая должным образом число а, можно выбрать
число у0 как угодно большим. Отсюда и следует утверждение (Ь).
Утверждение (а) получается из (Ь) рассмотрением функции — и,
а из этих двух результатов, очевидно, следует утверждение (с).
. 5.3. Мы показали (см. лемму 2.6 и неравенство D.8)), что ес-
если (неотрицательная) субгармоническая в E^+i функция s удов-
удовлетворяет оценке |s(-, у% <с для всех у>0 и некоторого /?>•
> 1, то |s(', #)fco = O(y~nls>). Следствием этого факта будет более
общая оценка ||s(-, y)\q = 0(ylnf*)~iflfp))t когда q~>p. Для того
чтобы в этом убедиться, заметим, что
f [s (xt у)]' dx=$[s (x, y)f [s (x, у)]"-" dx <
К
Искомое неравенство получается от'сюда извлечением из обеих
частей корней q-ft степени.
5.4. Теоремы 3.19 и 3.24 указывают, что понятие некасательной
сходимости на границе существенно. То, что это действительно так,
можнд увидеть из следующих. двух результатов, касающихся
функций, определенных на единичном круге (аналогичные резуль-
результаты для верхней полуплоскости можно получить с помощью кон-
конформного отображения).
(i) Пусть Со — простая (без самопересечений) замкнутая кривая,
проходящая через точку 2=1, все остальные точки которой ле-
лежат внутри единичной окружности К ¦* [г = х -\- ху\ | г\ = 1}.
4*

100
Гл. II. Граничные значения гармонических функций
Пусть, далее, кривая Со касается единичной окружности в точке
I, и пусть Се — кривая, полученная вращением Со на угол 9 во-
вокруг начала координат. Тогда существует ограниченная аналити-
аналитическая функция F, определенная внутри К и такая, что для почти
всех 9 величина F (z) не имеет предела, когда г стремится к eQ по
кривой Се (см. Зигмунд [1], т. I).
(И) Пусть G — непрерывная функция, определенная внутри еди-
единичной окружности /С, и пусть Е — множество первой, категории,
лежащее на К- Тогда существует аналитическая функция F, оп-
определенная внутри К и такая, что
для всех е1в ? Е (см, Зигмунд [I], т. II).
Поскольку Е может иметь меру 2я, последний результат ут-
утверждает, что радиальное поведение аналитической функции почти
во всех точках К не лучше, чем у непрерывной функции. Так,
например, аналитическая функция F может стремиться к 0 вдоль
почти каждого радиуса и, тем не менее, не быть равной 0 тождествен-
тождественно. G другой стороны, аналитическая функция, имеющая некаса-
некасательный предел 0 в точках множества положительной меры на К»
должна обращаться в нуль тождественно (см. Зигмунд Ш, т. 'II).
Более того» аналитическая функция может быть ограниченной (хо-
(хотя, очевидно, не равномерно) почти на каждом радиусе и, тем не
менее, не иметь радиальных пределов почти во всех точках /О
5.5. Теорема 3.19 имеет несколько обобщений. Карлесои [11
показал, что тот же самый результат справедлив, если предполо-
предположить, что (вещественнозначная) гармоническая функция и некаса-
некасательно ограничена снизу или сверху во всех точках S, В двумерном
случае этот результат с помощью конформного отображения легко
обобщается на области более общего вида, чем верхняя полуплос-
полуплоскость. Хант и Уидеи [11 получили подобное обобщение на высшие
размерности для областей 0, границы которых удовлетворяют ус-
условию Липшица. Они показали, что если функция и гармонична в
такой области 0, множество Sa.d0 таково, что для каждой точки
q ? 5 существует открытый конус с вершиной в д, направленный
внутрь 0, и функция и ограничена снизу (или сверху) в усеченном
конусе с вершиной в точке q для всех q ? 5, то и имеет конечный
некасательный предел в каждой точке 5, за исключением, возмож-
возможно, множества гармонической меры 0.
5.6. Слегка изменив рассуждения, использованные при дока-
доказательстве, леммы 3.3, можно получить следующий близкий ре-
результат. Пусть каждой точке х ограниченного множества F с Еп
поставлен в соответствие непустой открытый шар Sx с центром в
5. Дальнейшие результаты
101
точке х. Тогда существует счетное семейство {SX{) таких шаров,
покрывающее F и такое, что каждая точка х ? Еп принадлежит
не более чем ап этих шаров (аа зависит только от размерности;
фактически можно выбрать ап равным 3"). Используя этот ре-
результат, можно обобщить теорему 3.4. Пусть vx и v2 —две не-
неотрицательные конечные борелевские меры на Еп и q> (x) =
— sup {vi (Sx)/v2 (Sx)}, где верхняя грань берется по всем открытым
шарам Sx с центром в точке х?Еп (если v2 — лебегова мера и
vx EJ = \ fdx с некоторой интегрируемой функцией ft то q> —
максимальная функция Харди — Литтлвуда nif). Тогда для Ft=*
— {х$Еп; q>(;e)>s>0} имеем ¦vt(Fj^anv1(Ejs~l. Используя
это, можно показать, что vt дифференцируема по отношению к v2,
т.е. предел lim {v1(Sjr)/v1EJJ} —f(x) существует для всех х?Еа
вне некоторого множества г2-меры 0, причем этот предел берется
по всем шарам с ценграми в точке х и радиусами, стремящимися к
0. Если разложить меру vt на абсолютно непрерывную и сингу-
сингулярную части по отношению к мере v2, то производная Радона —
Никодима первой части будет почти всюду равна f (x) (опять по
отношению к v2). Наконец, отметим, что эти результаты остаются
справедливыми, если шары заменить другими геометрическими те-
телами (см. Котлар [II, стр. 126—127).
5.7. В теореме 3.22 и следствии 3.23 мы предполагали, что 1 <
<С р <z оо'. Случай р = те обсуждался в конце доказательства тео-
теоремы 3.22. Там было указано, что в этом случае результат получа-
получается аналогичным образом. Случай р = 1 полностью отличается:
можно показать, что существуют, например, такие функции f g
? L1 (?2)» Для которых повторные интегралы Пуассона
2, еа) =
f {хх — tlt х% —12) P
ej) P (ttt еа
СО 0
не сходятся к f (хъ х^) при- е^ еа -*¦ 0 для почти всех х = (xlt д^) ?
? Ла- (См« Иессен, Марцинкевич и Зигмунд [11, где рассматрива-
рассматриваются повторные интегралы Пуассона для единичной окружности.
Приведенные там рассуждения можно изменить так, чтобы охва-
охватить обсуждаемый здесь случай.) См. также пп. 6.6 и 6.8 гл. III.
5.8. Из развитой здесь теории субгармонических функций легко
следует, что если функция s имеет непрерывные вторые частные
производные, то следующие три условия эквивалентны: (i) s суб-
субгармонична; (ii) As ^ 0; (iii) пусть Я — ограниченная область,
замыкание которой содержится в области определения функции
s, и — непрерывная на Я и гармоническая в Я функция, такая,
что и > s на' границе дЯ = Я \'Я; тогда и > s в Я (см. теорему

102
Гл. И. Граничные значения гармонических функций
4.5). Существует несколько способов обобщения этих результа-
результатов. Обрисуем здесь одно такое обобщение, тесно связанное с идея-
идеями нашего подхода к обобщенным функциям медленного роста
(см. § 3 гл. I). Будем говорить, что непрерывная функция s, опре-
определенная в некоторой области D, имеет неотрицательный обобщен-
обобщенный лапласиан, если \ зДф>-0для любой неотрицательной функ-
D
ции <р класса С°° g компактным носителем, лежащим в области D
(интегрируя по частям, видим, что если s имеет непрерывные вто-
вторые частные производные, то это свойство эквивалентно приведен-
приведенному выше условию (п)). Прежде всего докажем, что такая функция
s субгармоиичца. Для этого покажем, что s удовлетворяет неравен-
неравенству среднего значения D.2). С учетом теоремы 1.25 гл. I достаточно
показать, что это так для каждой (всюду определенной) функции
sE (х) = J s(i) фе (х — f)dt, где <р— неотрицательная функция клас-
D
С ОС и -I
с компактным носителем, интеграл которой равен 1,
а е > 0 достаточно мало. Из теоремы 4.3 следует, что это имеет
место, когда Д^ > 0. Как было замечено выше, это эквивалентно
тому, что \ ЯеДф > 0 для всех неотрицательных функций "Ф класса
D
С°° с компактным носителем в D. Выбирая е достаточно малЫм,
а носитель -ф лежащим внутри подходящего компактного подмно-
подмножества области D, получим, что j s&Aty = J sA (<pe * i|>) > 0 (<p
D D
обозначает отражение <р, определенное в гл. I перед равенством
C.12)). Отсюда следует, что s—субгармоническая функция. Тео-
Теорема 4.5 утверждает, что из условия (i) в свою очередь следует свой-
свойство гармонического мажорирования (iii). Очевидно, однако, что
из последнего вытекает неравенство среднего значения D.2). Пред-
Предполагая, что s обладает последним свойством, легко показать, что
оиа имеет неотрицательный обобщенный лапласиан. Пусть т]б —
функция, полученная делением на Й„6" характеристической функ-
функции шара радиуса 6 с центром в 0. Тогда D.2) можно записать в
виде неравенства s < s * щ. Далее, J sq> < J (s * т]б) <р, или,
что то же самое, D D
) s (tie * <p — <p) > 0
b
для всех неотрицательных функции <р класса С с компактными
носителями в Ь. Но {"Па * Ф — ф}/62 стремится к умноженной на
Дф положительной постоянной, когда 6 стремится к 0; следователь-
следовательно, \ 5Дф > 0.
i
5. Дальнейшие результаты
Библиографические замечания
103
Исчерпывающее изложение теории гармонических функций трех переменных
дано в книге Келлога [ 1 ]. Более современный подход к общей п-мерной теории см.
в книге Брело [1]. Описание интегралов Пуассона — это классический результат,
и доказательства, приведенные здесь, немногим отличаются от доказательств,
используемых для описания средних Абеля и Чезаро тригонометрических рядов,
которые можпо найти в книге Зигмунда [1], гл. 111. Теорема 3.10 и неравенство
C.18) являются обобщениями на верхние полупространства соответствующих
результатов для интегралов Пуассона функций, определенных на единичной ок-
окружности, первоначально полученных Харди и Литтлвудом [1]. Теоремы 3.19 и
3.24 принадлежат Кальдерону [1]. Максимальная функция 1( впервые была вве-
введена в одномерном случае Харди и Литтлвудом ] 1]. Обобщение на несколько пере-
переменных принадлежит Винеру [2]. В связи с использованной здесь леммой о по-
покрытии см. Винер [2], Марцинкевич и Зигмунд [1], Безикович [2], Котлар [1] и
де Гусман [ 1 ]. Теорема 3.12 тесно связана с одним результатом Котлара [ 1 ]; более
ранний и более общий результат принадлежит Банаху [1]. Исчерпывающее из-
изложение теории субгармонических функций имеется в книгах Радо [1] или Прк-
валова [1]. Теорему 4.6можно найти у Стейна и Вейса [I]2'. Более полное изло-
изложение сильной дифференцируемости интегралов см. в книге Сакса [1].
1 Идея осреднения, заложенная в понятии максимальной функции, на самом
деле принадлежит В. А. Стеклову A907 р.). См. примечание редактора на стр. 65.—
Прим. ред.
2> Для случая s {х, у) = \f (г) |, где/ (г) — аналитическая функция в верхней
полуплоскости, п — 2, этот факт см. в статье Крылова [ 1 ]. См, также работу Соло-
менцева [1].— Прим. через.

Глава III
ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВ Ир НАД ТРУБЧАТЫМИ
ОБЛАСТЯМИ
Для того чтобы обеспечить существование граничных значений гармонических
функций, определенных в верхнем полупространстве, следует наложить на них
довольно сильные ограничения. Этот вопрос изучался в §§ 2 и 3 предыдущей главы.
Однако если рассмотреть систему гармонических функций, удовлетворяющую оп-
определенным уравнениям в частных производных (например, вещественная и мнимая
части аналитической функции образуют такую систему, удовлетворяющую урав-
уравнениям Коши — Риманя), то для обеспечения существования граничных значений
достаточно более слабых ограничений. Эти вопросы подробно рассматриваются в
§ 1, Остальная часть главы посвящена теории голоморфных функций, определен-
определенных в трубчатых областях. Трубчатые области являются, вероятно, наиболее
естественными областями для изучения связи между теорией голоморфных функций
нескольких комплексных переменных и гармоническим анализом. В § 2 изучается
теория пространств Н2 таких функций. В §3 рассматривается важный частный
случай таких пространств: пространства Нг над трубчатыми областями с кониче-
. ским основанием. Как следствие этих результатов в § 4 получается обобщение тео-
теоремы Пэли — Винера на несколько переменных. В § 5 более общие пространства
Нр над трубчатыми областями изучаются посредством редукции к трубчатым об-
областям с основаниями в виде конусов специального вида.
1. Вводные замечания
Как мы видели в предыдущей главе (см. теорему 2.1), интеграл
Пуассона функции f ? Lp (En)t 1 < р < оо, дает гармоническую
функцию и, определенную на Е^\ и такую, что
u(x,y)\pdx<Ap<oo
(Ы)
для всех У>0, где Л^Ц/Цр. Кроме того, и(х, у) некасательно
сходится к f(x) для почти всех х?Еп (см. теорему 3. 2).
Теорема 2.5 предыдущей главы утверждает, что неравенства
типа A.1) характеризуют гармонические в Е?+\ функции, являю-
являющиеся интегралами Пуассона, н, таким образом, обеспечивают су-
существование некасательных граничных значений. Можно пока-
показать, что эти результаты наилучшие возможные в том смысле, что
при 0 < р < 1 из неравенства A.1) не следует существование та-
таких граничных значений прн у -> 0, т. е. для таких р существует
гармоническая функция, удовлетворяющая неравенству A.1) и
не имеющая некасательных пределов почти всюду на границе Еп мно-
множества Eii+i.
/. Вводные замечания
105
При п ^= 1 ситуация очень сильно изменяется,.если вместо гар-
моннческнх функций рассматривать аналитические функции. На-
Например, если F (г) = F (х + to) — голоморфная при у > 0 (т. е.
в верхней полуплоскости Et) функция, удовлетворяющая при р > 0
оценке -
0-2)
I
то WmF(z) = F(x) существует для почти всех х?(—оо, то),
когда" z приближается к х некасательно. Класс всех голоморф-
голоморфных в Et функций, удовлетворяющих A.2) с некоторой посто-
постоянной А < то, обозначается Я" = Яр (Et). Более известны со-
соответствующие пространства Нр, связанные с единичным кругом
D= {z?E2\ |г|<1}. Они состоят нз аналитических в D функций
F, удовлетворяющих оценке
A-3)
4Ь
J \F(reie)fdQ<Ap<co,
Здесь также некасательные пределы F (е1в) существуют для почти
всех е ? [—я, я1. Более того, в обоих случаях это пределы по
«норме», т. е. если F ? Нр (Et), то
iy)-F(x)\pdx = 0,
A.4) Hm
y-+Q _сю
а если F?HP(D), то
я
A.4') lim J
Мы намереваемся обобщить эти понятия и результаты на выс-
высшие размерности. На этом пути мы встретимся с несколькими ^су-
^существенно различными- подходами. Один из иих, связанный с
теорией функций нескольких комплексных переменных, состоит
в следующем. Пусть В — открытое множество в Еп. Тогда труб-
трубчатой областью Тв с основанием В называется множество всех
г = ft,.... гп) = (хх + iyi, -,Хп + tin) = х + W e с* (="-мерное
комплексное евклидово пространство), таких, что у ? В. Напри-
Например, Et — трубчатая область в С; с основанием В = {у $ Е%;

106
Га. III. Теория пространств И" над трубчатыми областями
2. Н2-пгеория
107
*/>0}. Говорят, что функция, определенная и голоморфная1' в
трубчатой области Тв, принадлежит пространству Нр = Н" (Тв),
р i> 0, если еуществует постоянная А < оо, такая, что
A.5) f IF (х + iyf dx<?Ap для всех у ? В.
К
Это определение, очевидно, обобщает ^определение пространств
Нр (Et)- Норма функции F ? Нр (Тв) — положительное число
|| F ||р, определяемое как наименьшее чнело Л, для которого выпол-
выполняется неравенство A.5).
Другой подход опирается на тот факт, что функция F = и -j-
-j- iv одной комплексной переменной является аналитической в
односвязной области тогда и только тогда, когда (и, и) есть градиент
некоторой гармонической в этой области функции. Таким образом,
можно рассматривать векторнозиачиую функцию F =; (ы1( ..., ип),
определенную в некоторой области пройтранства Ent как «обоб-
«обобщенною аналитическую функцию», если она является градиен-
градиентом некоторой гармонической в этой области функции. Более
общим образом, можно рассмотреть векторнозначную функцию
F = (ult ..., un)t определенную в области D а Еп и удовлетворяю-
удовлетворяющую системе уравнений в частных производных
A.6)
0
дщ
дх.
ди.
i, j ~ 1, ..,, п. Эти уеловия можно также сформулировать в виде
A.6') divF —0, rotF = 0.
Заметим, что нз второго условия следует, что в односвязной под-
подобласти D вектор F есть градиент некоторой функции Л, в то время
как из первого условия следует, что h гармоническая. Прн я = 2
уравнения A.6) переходят в уравнения Коши — Римана; в этом
случае ы2 + *ui — аналитическая функция переменной г = хг -\-
+ ixz. Если F — такая функция, определенная в Ejj+i, и если су-
существует постоянная А <С оо, такая, что
A.7) j \F{xyyfdx =
') Функция F с областью определения ОсСя называется голоморфной в
D, если для каждой точки го = (г^, ... , г?) ? D существует поликруг {г =
*=(*ъ •¦¦ . гл)?Сп; |г,— tf\<rv . .. , \гп — zl\<rn}<zD, в котором F
представляется в виде абсолютно сходящегося степенного ряда:
для всех у>01\ то мы получаем обобщение определения про-
пространств Н" (Ef).
В этой главе изучаются пространства Нр, связанные с трубчаты-
трубчатыми областями. Второе обобщение будет изучаться в главе VI.
2. Я2-теория
Фиксируем открытое связное подмножество В cz En и будем
изучать пространство Н2 (Тв). Нетрудно построить функции,
принадлежащие этому пространству. Действительно, пусть f —
такая функция, что
sup
f \f(f)\2e-4nyidt<A*<co.
BЛ)
Будем писать г = х-\- iy и z • t = Vi+ • ¦¦ • -j-zJn- Покажем,
что \е2шЫf(f)\ —e~2ny!\f(f)\ мажорируется интегрируемой функ-
функцией, когда у лежит в некотором компактном подмножестве мно-
множества В. Заметим, что если это так, то
будет голоморфной в Тв функцией.
Достаточно показать, что ё~2яв'* [/ {t)\ мажорируется интегри-
интегрируемой функцией в окрестности произвольной точки у0 ? В. Так
как множество В открыто, такая окрестность N а В заведомо
существует; кроме того,
при у ?N. Разобьем Еп иа конечное число непересекающихся
многогранных конусов 1\, ... , Tk с вершинами в начале ко-
координат, таких, что для любых двух точек и и w, лежащих в.
каком-либо из этих конусов, угол между отрезками Он и (toy
меньше, чем, скажем, л/4. Поскольку N — окрестность точки ?/0>
существует такое 6>0, что {у\\у^уо\ = Ь} czN. Положим е =
= 4^6/^2 и выберем такое у, что (у0 — у) ? Г/ и \у — Уо\ = ^
тогда е|*|< — 4я(# — у0) • t для всех * € Г/. Следовательно,
J
'' Обращаем внимание читателя на то, что неравенство A,7) относится к гар-
гармоническим функциям л + 1 переменных ci/= xn^.

108 Гл. III. Теория пространств Нр над трубчатыми областями
Отсюда
2.
109
I / СОР С*
Таким образом,
- J
<oo.
Пусть теперь у лежит в шаре радиуса е/8я с центром в точке уо\
тогда, в силу неравенства
выражение \f(t)\e~2siy4 является интегрируемой функцией t.
Непосредственное применение теоремы Планшереля дает
I
<оо
для всех у ? В. Таким образом, аналитическая функция F (z),
определенная равенством B.2), принадлежит пространству-
Н2 (Тв). Основная теорема о представлении функций из Н2 (Тв)
утверждает, что все функции из этого пространства имеют такой
вид, а именно
Теорема 2.3. Функция F принадлежит пространству $
Нг (Тв) тогда и только тогда, когда она имеет вид B.2), где f —
функция, удовлетворяющая оценке B.1).
Проиллюстрируем важность этой теоремы, доказав сначала
несколько следствий из нее. Доказательство- же самой теоремы
отложим до конца этого параграфа.
Пусть BczEn; обозначим через В? выпуклую оболочку мно-
множества Bt т. ё. наименьшее выпуклое множество, содержащее В.
Очевидно, что Вс состоит из всех конечных сумм вида х— 2^А
где 2^ — 1» Х,(>0 ИХ(?В. Отсюда немедленно следует, что
если В — открытое множество, то 5е также открыто. Приводи-
Приводимое ниже следствие показывает, что можно ограничиться выпук-
выпуклыми основаниями В.
С л едств ие 2.4. Пусть F?H2(TB); тогда интеграл B.2)
определен.для всех г?Т& и дает функцию из Н2(Т&) с такой
же, как и у Ft нормой.
Доказательство. Отметим сначала, что нз теоремы
Планшереля вместе с теоремой 2.3 следует, что
B-5)
Положим
S =
Ясно,
пукло.
+ A
+ A
сел и
что В cz S, и достаточно показать, что множество S вы-
выПредположим, следовательно, что у', у" ? S и y = a.tf-\-
а)#", 0<а<1. Используя неравенство uavl~a<аи-Ь
б
)#, << у р
a)v (справедливое для любых двух
и и), получим
= f | / @|
неотрицательных чи-
чиJ d f @12
Таким образом, у ? S, откуда и следует, что множество S выпукло.
Это завершает доказательство.
Следствие 2.6. Для того чтобы пространство Я8 (Тв)
содержало функции,, не равные тождественно нулю, необходимо и
достаточно, чтобы никакая прямая не лежала целиком в множестве
В.
Доказательство. Предположим, что множество В со-
содержит прямую, состоящую из всех точек у, удовлетворяющих ра-
равенству у = ах + Ь> —оо <: т < оо. Пусть N (^0) — шарообраз-
шарообразная окрестность в Еп точки t0, такая, что а • t отграничено от нуля
в этой окрестности. Тогда для точек у этой прямой, произвольной
функции F ? И2 (Тв) и функции Д удовлетворяющей равенству
B.2) и оценке B.1) (существование такой функции f гарантируется

2. IP-теория
111
110 Гл. III. Теория пространств HP над трубчатыми областями
теоремой 2.3), имеем
J I/@1s
Но, так как т можно положить равным произвольному вещест-
вещественному числу, член ё~4л(а"')т можно сделать как угодно боль-
большим в N (t0). Отсюда следует, что f(t) = O для почти всех t из
#(*0),н первая часть следствия доказана.
Для того чтобы показать, что если В не содержит прямой, то в
Н2 (Тв) найдется функция F # 0, заметим сначала, что такое мно-
множество В всегда лежит в некотором открытом выпуклом конусе Г,
не содержащем полиостью ни одной прямой '>. Позднее будет по-
показано (см. теорему 3.1), что для таких конусов пространство
Нг (Гг) содержит F ц& 0. Это завершит доказательство следствия
2.6.
В свете одномерной теории можно было бы ожидать, что централь-
центральным вопросом теории пространств Нр над трубчатой областью
Тв будет следующий: пусть у0 — граничная тонка множества В;
существует ли предел
B.7)
** Urn
и если существует, то в каком смысле?
На этот вопрос можно дать утвердительный, но не совсем удов-
удовлетворительный ответ. Отметим сначала, что если у0 — граничная
точка множества В, то нз леммы Фату и равенства B.5) следует, что
Таким образом, поскольку f(t)e 2Пуг>'*^~ функция из I2 (?„), мож-
можно распространить интеграл B.2) на z^x + iy0, взяв обратное
преобразование Фурье функции f (t) ё~Ыуй4. Теперь, положив фор-
формально
B.8)
получаем почти всюду определенную /Лфуикцию переменной
х. Таким образом, взяв преобразования Фурье функций Fy =*
ка вие нее. Уравнение пря
р с некоторыми фиксирован-
фиксировани
'' Мы дадим набросок доказательства этого геометрического факта в п. 6.15
ниже.
= F (• 4. iy), перейдя кпределу н затем взяв обратное преобразова-
преобразование Фурье,' можно придать смысл пределу в B.7).
Естественно было бы ожидать, что, как и в случае одной пере-
переменной, F (х + (у) сходится к F (x -f iy0), когда */-> у0, у ? В,
либо по L2-норме, либо для почти всех х. Однако, как мы сейчас по-
покажем, в общем случае это не так.
Пусть / — прямая в ?2 и у1 — точка вие нее. Уравнение пря-
прямой / можно записать в виде у " ~~— -»-"«-«».w>ni».
иыми вектором а и вещест-
вещественным числом р. Простран-
Пространство ?2 при этом распадается
на два непересекающихся по-
полупространства: множество
всех у, таких, что у • а>>р,
и множество всех у, таких,
что у • а < р. Пусть у1 при-
принадлежит первому из них.
Тогда для функции двух ком- у
плексных переменных г =
= (?и Ч) — (* 4- iy), опреде-
определенной равенством G(z) =
= ехр {'— *р(г • а —ф)},р>
> 0, имеем | G (г)| = ехр {р (у -
• а^р)}, что равно 1 для
у ? I, меньше 1 в полупрост-
'ранстве, не содержащем уъ
и равно числу ЛР>1, когда
У — Уь Это число N можно
сделать сколь угодно боль-
большим, если выбрать р доста-
достаточно большим. Кроме того,
| G (z)\ < N, когда z = х ~\- iy
удовлетворяет неравенству
(Уг — у)-а>0,
Предположим теперь, что Рнс 2
В — круг в ?2, имеющий точку
0 на границе и лежащий в верхней полуплоскости. Выберем по-
последовательность {уь} точек на границе круга В, сходящуюся к 0,
и обозначим через {ok} соответствующую последовательность сег-
сегментов В, каждый из которых ограничен отрезком прямой ik меж-
между точками пересечения ее с границей В по обеим сторонам от
ук и соответствующей дугой этой границы, содержащей ук. Пред-
Предположим еще, что прямые lk выбраны так близко к точкам yk,
что сегменты oh попарно не пересекаются (рис. 2), и что пря-
прямые lk параллельны касательным к В в точках yk. Для каждого
k можно построить функцию Gk описанного в предыдущем абзаце

112 Гл. III. Теория пространств Нр над трубчатыми областями
типа со следующими свойствами:
(i) Gk аналитична в С^
(ii) \Gk\(x-\-iy)\ зависит только от у;
(Ш) |G*(«)|< 1 при z?TB\Tak;
(iv) \Gk(x + iyk)\=*\+?+2=Nk и \Gk(z)\<CNk при г
Затем определим функцию F, положив
Если z ? Тв> то г либо принадлежит в точности одной из трубча-
трубчатых областей Tak, скажем Та^, либо не принадлежит ни одной нз
ннх, В первом случае, в силу (ш) и второй части (iv), имеем
в то время как во втором случае
2""* — I. Вчастнос-
тн, отсюда следует, что F ? /Г° (Тв). В силу (ii) н (iv), найдутся
точки ук?ок, настолько близкие к yk, что \Gk (x-\- iyk)\>Nk — 1
для k= I, 2 Тогда
4- ("Й -
G, (х + iyk)\
— 1 =3.
Отсюда следует, что при приближении к граничной точке 0 по
последовательности, лежащей вне всех сегментов ак> имеем \F(x-\-
+ iy)\ < 1 для всех точек у этой последовательности. С другой
стороны, lim yk = § н | F (х + iyi)| > 3. В частности, отсюда сле-
Л-*оо
дует, что поточечный предел
lim F (х + Ч/j
не существует для всех х ? Е2.
Чтобы дать пример функции из Нг(Тв), не имеющей предела
по ?Лнорме при приближении к 0 произвольным образом внутри
В, достаточно найтн функцию G ? Нг(Тв-), где BczB', такую, что
G(x-MO) = G(#) =гё 0, н умножить ее на только что построенную
функцию F. Тогда \\F(x+ iy)G(x + iy)\2dx> 9 J
^» я.
2. fP-теория
113
если
y'k, k = 1, ... , в то время как
$\G(x+tyffdx,
если g ? В ие принадлежит нн одному из сегментов
зом, предел
lim F (х ~\-iy) G (х + iy)
. Таким обра-
обрапо ?Лнорме не может существовать. Примером такой функции
является G (г) = 1/B! + 0 (га + 0 Для z = fat гз) — (Ъ + ^ь -«s +
-\-iyJ, й> —1/2/й>—1/2. Очевидно, что она определена и
аналитична в трубчатой области Тв>> В а В', и прн этом
\\G(x+iy)\*dx= ? J
,оо ^2
<П -таг** <0°- J
1^.оо '
Итак, G g Я2 (Гк).
Для некоторых-частных видов оснований S, однако, /Апределы
при приближении к граничной точке существуют. Определим от-
открытый полиэдр в Еп как внутренность выпуклой оболочки конеч-
конечного множества точек Еп. Следующий результат утверждает, в част-
частности, что, когда В— открытый полиэдр, пределы B.7) существуют
в ЛЛсмысле во всех граничных точках В.
Следствие 2.9. Пусть Р*—открытый полиэдр в Еп и
F ? Н2 (Tf). Продолжим F на множеств? Тр равенством B.8);
тогда отображение g -+ F (х + iy) множества Р в пространство
L8 (ЕП) непрерывно.
Доказательство. В силу теоремы Планшереля достаточ-
достаточно доказать, что отображение y~^f(f)e'^2lty't непрерывно. Пусть
?—выпуклая оболочка конечного множества {уи ..., Уь) <^ &п-
Пусть
k
Функция G, очевидно, интегрируема в Еп. Кроме того, она мажо-
мажорирует функцию e~Any'J\f(t)\% в каждой точке у^Р. Действитель-
Действитель+•".¦ + аьУ^ гДе ai~~неотрицательные
но, если у$Р,то у =

114
Гл. III. Теория пространств ИР над трубчатыми областями
числа, сумма которых равна 1; но тогда
е-^-1« ехр |- 4л 2 о, (у, • ()} = П (
I /—1 J i=i
<
/—1
Теперь для */,
*/-># имеем
0;
эта сходимость мажорируется функцией 4G (t)'a следствие вытекает
из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.
Следствие 2.10. Пусть В — открытое выпуклое множество
в Еп и #0 ¦— точка на его границе. Пусть F ? Н2 (Тв) и Р ¦— от-
открытый полиэдр, содержащийся в В и имеющий точку у0 в качестве
граничной. Тогда F (х + iy) сходится к F (х + iy0) no Ьг-норме,
если у -*» Уо в Р, где F (х + iy0) ¦— функция, определяемая равенст-
равенством B.8).
Так как Я2 (Тв) с Н2 (ТР), то это есть просто частный случай
следствия 2.9.
Нетрудно видеть, что приведенный выше контрпример можно
модифицировать таким образом, чтобы включить все граничные
точки, ие являющиеся граничными точками углового типа, т. е. точ-
точками, лежащими на пересечении двух отрезков прямой, составляю-
составляющих часть границы дВ множества В (при этом допускается, что эти
два отрезка лежат на одной прямой; в этом случае точка углового
типа будет внутренней точкой отрезка прямой, принадлежащего
дВ). Если у0 не есть граничная точка углового типа, то в силу вы-
выпуклости В найдется последовательность {yf} точек из dBt сходя-
сходящаяся к у0 и такая, что открытые отрезки yfyQ лежат внутри В.
Это позволяет найти последовательность {ok} взаимно не пересе-
пересекающихся сегментов и соответствующих аналитических функций
{Gk}, из которых можно построить функцию F, как это было сделано
в контрпримере. Этот факт вместе со следствием 2.9 дает следующее
необходимое и достаточное условие существования предела B.7) в
/Асмысле, когда размерность равна 2.
Теорема 2.11. Пусть В¦— открытое выпуклое множество
в Ег и у0 ? дВ. Предел
lim F{x + i$=F(x+ly0)
существует в Ь2-смысле для всех F ? Я2 (Тв) тогда и только тогда,
когда у0 — граничная точка множества В углового типа.
В общем случае, если пределы B.7) существуют (в /Лсмысле,
почти всюду, в Lp, ...), мы будем называть их несуженными преде-
пределами (в L2, почти всюду, в Lpt „.). Если же такие пределы существу-
2. Н2-теория
115
ют, когда у сходится к у0 внутри некоторого полиэдра в В, имеюще-
имеющего точку Уо в качестве граничной, мы скажем, что в точке у0 су-
существуют суженные пределы (в L2, почти всюду, в Lp, ...). В этой
терминологии следствие 2.10 утверждает, что суженные пределы
существуют в /Асмысле во всех граничных точках для всех
Я2-функций; теорема 2.11, с другой стороны, дает необходимое и до-
достаточное условие существования иесужениых пределов в /Асмыс-
ле, когда п = 2.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 2.3. Начнем с леммы,
утверждающей, в частности, что если F ? Н2 (Тв), то F равномерно
ограничена в «строго меньших» трубчатых областях. Мы сформули-
сформулируем и докажем эту лемму для более широкого класса пространств
Нр (Тв) (см. A.5)), так как этот более общий результат нам пона-
понадобится позднее. Итак,
Лемма 2.12. Пусть F^HP(TB), p>0, а мнооюество BoczB
таково, что d(Во, СВ) = inf {[ух — уг|; ух ? BQ, y2g В} > е >0; тог-
тогда существует постоянная С = С(е, п), зависящая от г и п, но не
от F и такая, что
tup \F(z)\<C\\Ft.
Т
Доказательство. Пусть % = х0 + iy0 € ТВа и Se = {г ? С„;
J2 — го|<е}. Введем обозначение Se ={(/??„; \у — #0|<е}; тог-
тогда Se a Г2е с Тв. Отсюда, вспоминая, что Qm — объем единичного
шара в Ет, яг>1, получим
\F(x
Viy)\pdx\dy\'\
С другой стороны, поскольку | F ]p субгармонична как функция
In переменных (см. пример C) в § 4 и теорему 4.4' в гл. II),
| F (zo)f < Q^e-*1 ft | F (z)f dxdy\ ^
\s /
Объединяя эти неравенства, получим \F(zo)\^.C\F\\p, где С =
/О /П \Vp я—"/Р
== (Lift/W2n) 8
Для того чтобы доказать теорему 2.3, нужно показать, что если
F ? Н2 (Тв), то существует функция Д удовлетворяющая оценке
B.1) и такая, что справедливо представление B.2) для F (обратное
уже было установлено).
Пусть fy — преобразование Фурье функции F(x-\-iy), рассмат-
рассматриваемой как функция переменной х; у ? В. Очевидно, достаточно

116
Гл. III. Теория пространств Нр над трубчатыми областями
показать, что если у, у'? В, то e2nu''fy-{f) — e2n"-'L(t) для почти
всех i. Действительно, тогда функция f(t) = e2ny'tft,(i) почти всюду
определена независимо от выбора у ? 5, причем / удовлетворяет
оценке B.1) с Л — | F |р, и должно выполняться представление B.2)
(см. рассуждения перед формулировкой* теоремы 2.3). Очевидно,-
достаточно показать это, когда у, у' принадлежат кубу Q, замыка-
замыкание которого лежит в В и ребра параллельны осям координат. Пред-
Предположим, далее, на некоторое время, что \ F (х + iy) \ как функция
х мажорируется равномерно по у ? Q функцией, убывающей доста-
достаточно быстро иа бесконечности. Наконец, заметим, что достаточно
рассмотреть случай, когда две точки у, у' ? Q имеют вид у = (%,
#2. •¦¦> Уп), У' = (Ль Уг> .-, Уп)\ общий случайсводится к этому по-
повторением рассуждений. Предположим, что тц >¦ т^; тогда, в силу
интегральной теоремы Коши, имеем
—я
S. Трубчатые области над конусами
117
для z= (гь .... zn) G TQ и 8>0, получим
| Fle> (х + iV)l < Me'
для f/^Q, где a = max{\y1\, ..., \у„\]. Применяя приведенные вы-
ше рассуждения к преобразованию Фурье ff функции F{t)(x + iy)t
получим
B.13) <?*"•<$>{()** (?*•*$$
Для у, у' € Q. Но Jl^x + id-Ffr + fjflPdx-*-*) при е-*-0,
так что равенство B.13) сохраняется в пределе при е->0, т. е.,
применяя теорему Планшереля, получим сходимость ff ~*-fv и f$ -+•
~*~fy в ?а-смысле В частности,
для почти всех L Это доказывает теорему.
-f
В силу наших предположений, 2-й и 4-й члены стремятся к 0 при
R -> оо. Таким образом, после интегрирования по ха, ..., хп полу-
получим
iy) dx e
-J
fy.
(f).
. Покажем теперь, как общий случай F ? Я2 (Гв) вытекает из
рассмотренного. В силу леммы 2.12, F ограничена на TQ, скажем
[ F (г) | < М для г ? TQ. Тогда, положив
F(z)
3. Трубчатые области над конусами
Естественно ожидать, что, если ограничиться основаниями опре-
определенного вида, теория пространств Нг (или в общем случае про-
пространств Нр) станет богаче. Это, в частности, верно, если рассмат-
рассматривать трубчатые области, основания которых — открытые кону-
конусы 1\ т. е. непустые множества Г сг Ent такие, что (i) OgГ и (ii)
(ХХ 4- $У € Г для любых *, у ? Г и а, р >¦ 0. Отметим, в частности,
что Г — выпуклое множество.
Замыкание открытого конуса является замкнутым конусом.
Ясно, что если Г — открытый конус, то множество Г* =* [х ? Еп;
х • t > 0, t ? Г} замкнуто. Более того, если Г* имеет непустую
внутренность, то это замкнутый конус; в этом случае будем говорить,
что Г — острый конус. Конус Г* называется сопряженным к конусу
Г. При п = 1 открытые конусы — это полупрямые {х ? Ех\ х >¦ 0}
и {х ? ??!, х < 0}. При п = 2 открытые конусы — это угловые об-
области, заключенные между двумя лучами, выходящими из начала
координат, угол между которыми меньше или равен я. Такой конус
будет острым тогда и только тогда, когда этот угол строго мень-
меньше я.
В случае когда основание есть конус, имеет место следующая тео-
теорема о представлении Я2-фуикцни (более точный результат, чем
теорема 2.3):
ми
') В литературе на русском языке такие области иногда называют «трубчаты-
«трубчатыконусами». *г-Прим. ред.

118 Гл. III. Теория пространств Н'~ над трубчатыми областями
Теорема 3.1. Пусть Г•— открытий конус. Тогда F
? Н2 (ТГ) в том и только в том случае, когда
C.2) F(z)= J &**•*[(t)dt,
где f — измеримая функция, такая, что
При этом
F*
,г*
Следовательно, соответствие F*~*f есть унитарное линейное ото-
отображение Н2(Тг) на L2(T*). В частности, Н2{Тг) содержит функ-
функции, не равные тождественно О, тогда и только тогда, когда Г ¦—
острый конус.
Доказательство. Так как у-~*>0 для всех у ? Г н t? Г*,
то, в силу теоремы 2.3, каждая функция F, имеющая представле-
представление C.2) с f?L2(T*)t принадлежит пространству Н2(Тг).
Обратно, пусть F ? Н*(Тг). Тогда, в силу теорем 2.3 я 2.5,
F(z)=
причем
F$ = sap Je-^-'l/^dt
Нужно доказать, что / равна 0 почти всюду вне Г*. Пусть t0 g
{? Г*; тогда найдется такая точка у0 ? Г, что уо-1о<.0. Более
того, найдутся окрестность N точки t0 и число б>0, такие, что
N = N (t0) с= Еп \ Г* н у0 • t < — б < 0 при * ? N. Следовательно,
(ky0) • t<-^kb при всех t$N и k > 0. Так как ky0 ? Г, то
Но отсюда следует, что
при всех k > 0, а это, очевидно, может быть справедливым лишь
для / (/) = 0 почти всюду в N (t0). Таким образом, / (f) = 0 почти
всюду вне Г*1). Остальные утверждения теоремы 3.1 теперь оче-
очевидны.
') Заметим, что эта часть доказательства очень похожа на доказательство
следствия 2,6.
8. Трубчатые области над конусами
119
В классическом случае, когда F принадлежит пространству Я2,
связанному с верхней полуплоскостью (т. е. когда основание труб-
трубчатой области есть конус, состоящий из положительных чисел),
легко выводится интегральное представление Кошн
C.3)
F®
выражающее функцию F через ее граничные значения. Покажем,
что это представление обобщается на случай, когда основание есть
конус Г с: Еп; кроме того, это представление зависит только от гра-
граничных значений, принимаемых, когда у ? Г стремится к вершине
конуса Г (т, е. к точке 0 в ЕП). То, что эти граничные значения су-
существуют в /Лсмысле, есть простое следствие теоремы 3.1:
Следствие 3.4. Пусть Г.— открытый конус в Еп и
F (х + iy) ? И2 (Тг)'г тогда существует функция F (х), определен-
определенная на Еп и такая, что F (x -f iy) -> F (х) по Ь2-норме, когда у ?
? Г стремится к 0.
Доказательство. Используя обозначения теоремы 3.1,
определим функцию F (х) как обратное преобразование Фурье
функции f (которую можно считать определенной в Еп и равной 0
вне Г*), так что формально
F(x)= l
v
Но из равенства C.2) следует, что F (х + iy) есть обратное преобра-
преобразование Фурье функции е~2яу'1 f (f); так как последняя функция
сходится к f {t) по /Анорме, когда у-+ 0, то утверждение леммы сле-
следует из теоремы Плаишереля".
Описанное выше обобщение представления C.3) будет получено
при помощи следующего ядра, связанного с трубчатой областью.
Пусть z = х -Ь iy € Tv\ положим
К {г) =
Таким образом мы получаем непрерывную функцию К, определен-
определенную вГг и называемую ядром Коши, связанным с трубчатой
х) При п= 1, когда конус Г — множество положительных чисел, К(г)==
= — 1/2лй и представление C.3) имеет вид F (г) = i К (г—%)F (|)d|- Теорема 3.6
i
утверждает, что такая формула справедлива для функций, голоморфных в про-
произвольной трубчатой области Ту с коническим основанием.

120
Гл. Ш. Теория пространств Н0 над трубчатыми областями
областью Тг х). Как функция переменной х = Re z функция К при-
принадлежит пространству L2 (?„); действительно, из теоремы Планше-
реля следует, что
C.5)
J | К (х + iy)\* dx = f е~4^Ш = К (Щ
для всех у ? Г (сейчас будет показано, что /( Biff) конечна).
Теорема 3.6. Пусть F ?W GV); тогда
При всех г ? ТГ, где F (|) = lim F (? -Ь (ц) — предельная функция,
существующая в силу следствия 3.4.
Доказательство. В силу теоремы 3.1 н следствия 3.4
имеем
F (г) = F (х + <sr) =
где f — преобразование Фурье функции /г(^)= lim
т. е. /^-предел по 12-норме последовательностн функций
k=\,2 Тогда, используя теорему Фубнни и тот факт, что
K{x—\-\-iy) как функция переменной ? принадлежит L%{E?
(см. C.5)), получим
F (г) = lim f
lim
') Полезная формула для ядра Кошн получена В. С. Владимировым [2].:щ
Эта формула имеет вид
д т ~ Bл)" J !Пт '
v ' прГ* ^ '
где прГ* « пересечение конуса Г* с поверхностью единичной сферы.*- Прим*' .
перев.
3. Трубчатые области над конусами
121
« lim
и теорема доказана.
В классическом одномерном случае ядро Пуассона
Р (Х> У) — — Х2 + у%
можно выразить в терминах ядра Коши, связанного с верхней полу-
полуплоскостью, следующим простым способом. Пусть г = x+iy, у >¦ 0;
тогда
Естественно обобщить это определение на все случаи, когда опреде-
определено ядро Коши. Пусть Гг — трубчатая область с основанием Г,
где Г — острый конус, а К — соответствующее ядро Кошн; опреде-
определим ядро Пуассона, связанное с ТГ, равенством
при всех z = (х + iy) ? Tr.
Было показано, что К (х + iy) как функция переменной х принад-
принадлежит пространству L?(En); следовательно, Ф(-,у) принадлежит
пространству ^(Еп) ПРН каждом у?Г. Кроме того, нетрудно
доказать, что ?•(¦, у) принадлежит L°°(En). Для этого, очевидно,
достаточно установить, что К{x-\-iy) ограничено по.х при каж-
каждом у из Г, Но
Таким образом, достаточно показать, что К (iff);-конечно, когда у б
? Г, Для того чтобы проделать это, сначала отметим, что если g ?
? Г, то найдется такое б = Ьу > 0, что б 11 \ < у * t для всех
t$ Г*. Достаточно проверить это лишь для таких t? Г*, что
1 11 = 1. Из определения Г* следует, что 0 < у • t.C другой сторо-
стороны, поскольку конус Г открытый, равенство невозможно, так как
тогда найдется достаточно малое и ? ?„, такое, что у -j- U б Г
и в то же время" (у + и) • t — и • f <.О в противоречии с тем, что
t ? Г*. Так как пересечение конуса Г* с единичной сферой 2 в
Еп компактно, то существование бв >¦ 0 теперь следует из того, что
0 < у . t для всех / ? Г* П 2. Таким образом,
***
<«<оо
г*

122 Гл. III. Теория пространств Нр над трубчатыми областями
при у ? Г. Так как L"(En) zd L1 (En) (] IT (En) при 1 < q < cx>
то отсюда следует утверждение:
3.7. ?>(-,#)? L"(En) при всех у$Г и 1<<?<°°-
Следовательно, если f f Lp (En), 1 < p < oo, то функция
u(x + iy)= \f(x — i)V{t,y)di
определена при всех z — х + ft/ ? 7V Как и в случае с интеграла-
интегралами Пуассона, введенными в гл. I, можно показать, что и {х + »/)
сходится к / (х) по ?р-норме, т. е,
C.8)
lim f I и {х + **/) — / (х)\р dx = 0.
Это непосредственно следует из того, что ядро *Р является прибли-
приближением единицы (см. примечание в конце доказательства теоремы
2.1 гл. II и последнюю часть доказательства теоремы 5.6 ниже).
Под этим имеются в виду три свойства, которыми обладает ядро #>:
(II) j tP(х, у)dx = 1 для всех
Е
(iii) если 5>0, mo J ^(^, y)dx-±0 при у-*0, у ?Т.
Свойство (i) очевидно. Второе свойство следует из C.5) после
деления обеих частей этого равенства иа KBiy). Для того чтобы
доказать свойство (iii), достаточно иайтн функцию ^ со следую-
следующими свойствами:
(a) ^ непрырывна на Еп;
(b) iim \ $>(x,y)y>(x)dx= 1;
(с)
при
, когда |х|->сх>.
Действительно, если такая функция существует, то, в силу
(Ь), имеет место равенство
1= lim
И ф(хH>(;с, y)dx+ \ $(х)^(х, у)dx) .
3. Трубчатые области над конусами
123
Из (а) и (с) следует, что существует такое е > 0, что 1 ^ (д:)| <
< 1-е при |*1>6. Тогда (используя (i) и (п)) получаем
1< lim I
= lim
f &{x,y)dx + (\ — B) f &{x,y
im (f ^ (x, y) dx — e f ^ (x, y)dx\ =
f Г
jl — e \ #>(jc( i/)
= lim
Но отсюда, очевидно, следует свойство (iii).
Существование такой функции ^ легко вытекает из следующей
теоремы о представлении:
Теорема 3.9. Пусть F ? Н* G>); тогда
&{x-i,y)F{f)dt
при всех z= х -\-iy из Тт.
Доказательство. Пусть w = и + iv ? Tv. Тогда для г ? 7Y
имеем
Таким образом, F (г) К (г + ш) как фуикция переменной г принад-
принадлежит пространству Я2 G>) и имеет норму, не превосходящую
l^la Мо. Тогда, применяя к этой функции теорему 3.6, получим
(ЗЛО) /
= \ K{z-t)F{€)K{t+ w)dt
Еп
прн всех г ? 7г. Положим теперь и; = — х -\- iy\ тогда /С (г — О X
X /С (/ + да) = ! К (г — 0 I2 и /С (г + да) = К №У), при этом ра-
равенство C.10) перейдет в равенство
Это и есть искомый результат.
Перейдем теперь к построению функции ф. Выберем непрерыв-
непрерывную функцию ф > 0 с компактным носителем, содержащимся в Г*,
такую, что J ф (t) dt == 1 (это можно сделать, так как коиус Г

124 Гл. III. Теория пространств Нр над трубчатыми областями
острый). Тогда функция
обладает свойствами (а), (Ь) н (с). Поскольку <р G Z,1 (Еп), свойство
(а), очевидно, имеет место (см. теорему 1.1 (Ь> гл. I). Тот факт, что
ф (ху _». о, когда | х | -> оо, есть частный случай теоремы Римана —
Лебега. Если | ф (х) \ = 1, скажем ф (х) = е2*'6, то
Е
cos2л
(мнимая часть первого интеграла обращается в 0, так как 1 — ве-
вещественное число). Если х ф О, то cos 2л \{х • 0 " е1 как Функция
переменной t должна быть строго меньше 1 на подмножестве носи-
носителя функции ф( имеющем положительную меру. Отсюда и из пред-
предположения, что (р неотрицательна и
@ dt =? 1,
следует, что | т|> (х) I < 1 при х Ф 0. Для того чтобы показать,
что выполняется свойство (Ь), рассмотрим функцию
прн г ? 7г. В силу теоремы 3.1, F принадлежит пространству
Иг (Гг), н ясно, что
F (х) = lim F (х + /jr) =
r0
"'ф @ Л «
по 12-норме; кроме того, в силу теоремы Лебега о мажорируемой ,;
сходимости,
C.11) F @)= lim
Применяя к функции F теорему 3.9, получим
Так как &(~t, у) =&(t, у), то нз C.12) (при *=0) и C.11) сле-
следует свойство (Ь).
4. Теорема Пэли — Винера
4. Теорема Пэли — Вииера
125
Этот параграф посвящен применению теории пространств Н2.
Будет показано, что классическая теорема Пэли — Винера обобща-
обобщается на n-мерный случай, причем в доказательстве будут использо-
использованы некоторые результаты, полученные в этой главе. Начнем с од-
одномерного случая.
Пусть F — целая функция, определенная в комплексной плос-
плоскости Сх. Будем говорить, что F — функция экспоненциального
типа а > 0, если для каждого е > 0 найдется постоянная Л8,
такая, что
прн всех г € С|. Пример такой функции можно получить следующим
образом. Пусть f ? L2 (-* т, т); определим целую функцию F ра-
равенством
г
прн г ? Cj. Тогда
\f(f)\*dt
Отсюда следует, что F — функция экспоненциального типа о =«
= 2ят. Теорема Пэли — Винера утверждает, что обратное также
верно, если предположить, что сужение функции F на вещественную
ось принадлежит пространству I? (— оо, со). Точнее, справедлива
Теорема 4.1. Пусть F ? U (— оо, оо). Функция F явля-
является преобразованием Фурье некоторой функции, равной 0 вне отрез-
отрезка [— ст/2л, ст/2л1 = [— т, т1, тогда и только тогда, когда F — суже-
сужение на вещественную ось целой функции экспоненциального типа о.
Часть «только тогда» уже доказана гК Часть «тогда» будет дока-
доказана с помощью следующего результата типа Фрагмена — Лннде-
лёфа (ср. с п. 5.2 в гл. II):
Лемма 4.2. Пусть S — область в С^ ограниченная двуМя лу-
лучами, выходящими из начала под углом л/а. Пусть f — аналити-
аналитическая на S функщля, такая, что \ f (z)\ < А ехр {| zlp}, 0 < р <а,
z^S. Тогда_если |/(г)|<М на граничных лучах, то |f(z)|<M
при всех z?S.
*) В соответствии собозначениями, введенными в первой главе, было показано,
что если F — обратное преобразование Фурье функции Д равной 0 вне отрезка
[— т, т], то F есть сужение на вещественную ось функции экспоненциального типа
о. Это, очевидно, эквивалентно тому, что F — преобразование Фурье функции g,
определяемой равенством g (*) = / (— *).

126
Га, HI. Теория пространств №> над трубчатыми областями
4. Теорема Пэли — Винера
127
Доказательство. Повернув в случае иеоСходимости осн
координат, можно считать, что граничные лучи образуют углы
я/2а и — я/2а с вещественной осью. Пусть" F(z) = f (z) exp {—ezv],
где p<v<ot и е>0. Тогда | F (г)|< | / (z)\ < M на двух гранич-
граничных лучах. Кроме того, на дуге /? = |г| = |ге'9|, —(л/2а)<6<
< я/2а, имеем \F(z)\ < Л ехр {/?р — e/?vcos(yn/2a)}. Но последнее
выражение стремится к 0 при /?.->¦ оо. Таким образом, \F(z)\^.M
на этой дуге, если только R достаточно велико. В силу принципа
максимума, отсюда следует, что \f(z)\ <М для всех г? 5, таких,
что \г\ < R. Поскольку /? можно выбрать сколь угодно большим,
это означает, что |F(z)|<M для всех г ? S, так что |/(г)|<
<Л1ехр {erVcosyQ} для всех z~reie?S. Устремляя е-»-0, полу-
получим искомый результат.
Лемма 4.3. Пусть F — функция экспоненциального типа а
и | F (х)\ < I при вещественных xj тогда \ F (х -f- iy)\ < exp {a | у [}
при в.ех комплекных z = x-f-iy-
Доказательство. Для произвольного в > 0 положим Fe (z) «•
= F (г) е((°-Ье»г. Так как F — функция экспоненциального типа о, то
| Fs (г)] <
Следовательно, можно применить лемму 4.2 с E
При этом получим
для всех неотрицательных у. Кроме того, | Ft (х) | < 1 для всех
вещественных х. Отсюда следует ограниченность F на положитель-
положительных полуосях х и у. Далее, заведомо существует постоянная В, та-
такая, что
3/2 < 2 = а.
прн всех г = х + r'i/, таких, что jc > 0 и у > 0. Повторив эти рас-
рассуждения для второго квадранта, можно применить затем лемму
4.2 к сужению функции F& иа верхнюю полуплоскость, взяв р =s
= 0 < 1 — а. При этом получим, что | Ft (х + ^) I < 1 при # >
> 0. Устремляя е ->- 0, найдем, что | F (х + (у) ] < ехр {аг/} прн
у > 0. После этого лемма доказывается применением полученного
результата к функции G (г) — F (—г).
Лемма 4.4. Пусть F — функция экспоненциального типа а,
такая, что ее сужение на ось х имеет U-норму, не превосходящую 1.
Тогда
Доказательство. Пусть <р — ограниченная функция веще-
вещественного переменного с компактным носителем и |ф|а < I. Опре-
делим функцию G (г) = \ F (z + t) q> (t) dt; тогда G—аналитическая
—со
функция и для любого е>0 справедлива оценка
G
@1 dt =
Таким образом» G — также функция экспоненциального типа а.
Далее, из неравенства Шварца следует, что
/со \ V, / со \V.
|2dxJ IJ \4>(x)\2dx\ <I.
Применяя теперь к функции G лемму 4.3, получим
D.5) '
при всех вещественных у. Итак, применив обратное неравенство
Шварца и взяв верхнюю грань левой части неравенства D.5) по всем
таким ф, получим лемму 4.4.
Теперь можно закончить доказательство теоремы Пэли — Вине-
Винера. Пусть F •— функция экспоненциального типа а и ее сужение на
вещественную ось принадлежит пространству 1} (—¦ оо, оо). Надо
доказать, что обратное преобразование Фурье этого сужения обра-
обращается в 0 почти всюду вне отрезка [— <т/2я, a/2nl = [— т, т1.
При этом, не теряя общности, можно предположить, что
Пусть 0+ (г) = е!аг F (z). Тогда с помощью леммы 4.4 получаем
ул /« уд
0+ (х 4- iy)? dxj = е~ау И | F (х + iy)? dx\ < r°V* = 1
при всех у > 0. Таким образом, G+ принадлежит пространству
Я2 G1Л+)= Н2 (?+), т. е. Я2-просТранству, связанному с верхней
полуплоскостью. Из результатов предыдущего параграфа _(см., в
частности, теорему 3.1 и следствие 3.4) вытекает, что существует
функция g ? L% (— оо, со), равная 0 на отрицательной полуоси
и такая, что
при всех, вещественных у.
(x + ly) = G+(z) = ]g
о

4. Теорема Пэли — Винера
129
128 Гл. 111. Теория пространств Я" над трубчатыми областями
при всех у > 0. Положим f (s) = g (т — s) = g Ца/2я)
последнее равенство можно переписать в виде
F(z) =
si; тогда
= f{S)e-™*ds
при всех у > 0. Переходя к пределу при # -»- 0, видим, что обрат-
обратное преобразование Фурье функции F (х) равно 0 для почти всех
s > т. Применяя эти рассуждения к функции F (— г), прнходнм к
выводу, что оио равно 0 и для почти всех s < — т, так что теорема
4.1 доказана.
Обобщим теперь этот результат на п измерений. Для этого сна-
сначала иадо найти подходящее обобщение понятия функции экспонен-
экспоненциального типа. С этой целью введем следующие определения.
Пусть | • || и | • | — две нормы в некотором векторном про-
пространстве (иад вещественными или комплексными числами); будем
говорить, что они эквивалентны, если существуют постоянные сх и
са, такие, что 0 < с, < f jc || / ] х | < с2 < °° для всех ненулевых
векторов х. Хорошо известно, что любая норма | • | на Еп эквива-
эквивалентна евклидовой норме | • |. Единичным шаром по отношению
к норме | ¦ | является множество К= {х ? Еп\ |х| < 1}. Ясно,
что К — выпуклое, компактное и симметричное (т. е. из х ? К
следует, что — х ? К) множество. Множество из Еп с такими свой-
свойствами называется симметричным телом. Нетрудно показать, что
множество К с: Еп является симметричным телом тогда и только
тогда, когда /С есть единичный шар по отношению к некоторой нор-
норме, эквивалентной евклидовой норме.
Пусть К — произвольное множество из Еп; тогда множество
К* = (у $ Еп; х- у < I для всех х? К} называется полярой мно-
множества /С. Например, пусть р > 1, К = {х = (хи х2) ? ЕЛ; \ хх f -f
+ I хз Г < 1)'- тогДа легко проверить, что К* = {У =* (Уъ #*) € Е«;
I </i I*+ 1 #а Г < J Ь гДе l^l/P-M/?. Ясно также, что если не-
несимметричное тело, то это же верно и для К*. При этом К* есть еди-
единичный шар по отношению к некоторой норме | • ||*, называемой
дуальной к норме, по отношению к которой единичным шаром яв-
является множество К- Дуальную норму можно ввести также следую-
следующим эквивалентным образом:
D.6) Hyp-supi*.*!.
Лемма 4.7. Пусть множество К cz En выпукло, замкнуто и
0 е К, Тогда К** = (К*)* «= /С.
Доказательство. Очевидно, чтоК<=/С**. Таким образом,
достаточно доказать, что если хо?К, то хо?К**. Пусть дана такая
точка х0; выберем У?К так, чтобы \у — д:0| Сыла минимальной.
Разобьем теперь Еп иа два множества {х ? Еп; х •'fa — У)>-
>У ¦ (*о— У)} н {х?Еп; х-(хо—уу^у-(хо—у)}. Так как
^о • (*о — У) — У • (*о — У) = I *о — УI2 > 0, то ясно, что х0 принад-
принадлежит первому из этих множеств. Мы утверждаем, что К содер-
содержится в последнем. Если это ие так, то найдется такой элемент
уг ? X, что (#! — у) • (х0 — у) > 0. Выберем такое а < I, что
0 < а < 2 (ух — у) • (х0 — уI\ ух — у р. Поскольку множество К вы-
выпукло, w = (I — а) у + ayi ? К и, ¦ следовательно,
| w — х0 |а = а {а 1 ух — у \г ~ 2 {уг — у) • (х0 — у)} +
а это противоречит предположению, что \у — jco| минимальна.
По условию, 0 ? К, так что у • (х0 — у) > 0. Тогда можно
найти положительную постоянную е, такую, что х0 • (х0 — #)>е,
в то время как х • {х0 — #)< е для всех х ? К (если у • (х0 — у) >
> 0, то можно выбрать е = у ¦ (л:0 — #), если же у • (х0 — у) = 0,
то годится любое положительное1 число е<я0 ¦ (х0 — у)). Положим
v == (*о — ^)/«; тогда
Но это означает, что с ? К* и что х0 не может принадлежать /С**;
таким образом, лемма доказана.
Применяя этот результат к соотношению D.6), получим
D.8) |*l=,||xl**=sup|x.H
Пусть 2= (zlt ..., 2„) € С„; тогда естественно-определить \г\ сле-
следующим образом, обобщив равенство D.8):
V4.8')
= sup
УС.К*
г ¦ у\ = sup
€К
znyh
Будем теперь говорить, что целая функция F, определенная на
С„, есть функция экспоненциального типа /С, где К ¦— симметричное
тело, если для любого е > 0 найдется постоянная Ав, такая, что
Класс всех функций экспоненциального типа К будем обозначать
Сформулируем теперь я-мерный аналог теоремы Пэлн'—Винера.
Теорема 4.9. Пусть F ? L* (Еп). Функция F является
преобразованием Фурье некоторой функции, равной 0 вне симметрич-
симметричного тела %3 тогда и только тогда, когда F есть сужение на Еп
некоторой функции из % (ТС*).
Доказательство, Если F
которой функции /, равной нулю вне
5 Зм.43?
преобразование Фурье не-
не, то, как легко проверить,

130
Гл. Ill, Теория пространств И^ над трубчатыми областями
представление
D.10) P(
продолжает F до некоторой функции из Л (К*). В самом деле, из
D.10) непосредственно вытекает, что
\F(z)\ = \F(х + iy)\ <
Обратное заключение выводится нз следующего я-мерного обоб-
обобщения леммы 4.4:
Лемма 4.11. Пусть F ? % (К*I, тогда
| F(х + iy)\2dx\V* < е**г И \F(x)\2
Воспользуемся одномерным случаем. Пусть у Ф 0 фиксировано
в Еп и ех — единичный вектор, направленный по у; пусть {еи е2, ...
..., еп] — ортонормированный базис в Еп. Если п — I вещественных
п
чисел и2, ,.,, ип фиксированы, положим а = ^ «/ ^ и
Ф (Щ) = F (w1e1 + а).
Ясно, что ф — целая функция одного комплексного переменного
^i = «1 + ivi- Кроме того, легко видеть, что ф — экспоненциально-
экспоненциального типа 2л||е1[|*. В самом деле, предположение F ? % (#*)
означает, что для любого данного е > 0 существует постоянная Аг,
такая, что
1<р(a;i)| < Лехр {2n\w^ + af A + е)} <
{2яA
e)|a
Таким образом, в силу леммы 4.4,
I ф ( + Щ)\% du
для всех I»! f (— оо, оо).
Выберем ьх так, чтобы у = о1е1; тогда последнее неравенство при-
примет вид
VJ
•*
7=1
Интегрируя обе части по и2, ..., urt, получим лемму 4.11.
Мы можем теперь закончнть доказательство теоремы 4.9. Пусть
F — сужение на Еп некоторой функции из % (ТС*). Для простоты
4. Теорема Пали — Винера
131
будем по-прежиему обозначать эту функцию F. В силу леммы 4.11,
F ? Н2 (Тв) для всех ограниченных оснований В. Таким образом,
согласно общей теореме о представлении (теорема 2.3), существует
такая функция f, что
F{z) =
для всех г = х -f- iy ? 7V Можно считать, что О В; тогда из тео-
теоремы Планшереля следует, что f?L?(En) и 1/|= J \F(x)\2dx.
Таким образом, F — обратное преобразование Фурье функции f,
т. е. преобразование Фурье функции / (— t), и теорема будет дока-
доказана, если показать, что / равна нулю почти всюду вне К- Для того
чтобы сделать это, заметим сначала, что, как следует нз теоремы
Планшереля,
для всех у ? Еп (поскольку В можно выбрать сколь угодно боль-
большим). Тогда, в силу леммы 4.II,
DЛ2)
dt
для всех у ? Еп. Мы утверждаем, что это неравенство может выпол-
выполняться лишь в том случае, если / равна 0 почти всюду вне К. Пусть
t0 fj? /С; тогда, по лемме 4.7, существует у0 ? /С*, такое, что
D ' Уо) <— 1 (напомним, что К* •— симметричное тело). Отсюда
ясно, что существуют б > 0 и окрестность N = N (t0) точки t0, та-
такие, что (t • у0) < — A+6) для всех t ? N. Тогда из неравенства
D,12) следует, что для всех у = ру0, р > О,
Так как yQ ? /С*, то |г/0|Г< 1, и, следовательно,
(f
/
для всех р>0. Предположим, что \ \f{t)\2dt>0; тогда
N
что, очевидно, невозможно при достаточно больших р. Таким обра-
образом, f (t) — 0 для почти всех t ? М, н теорема доказана.

132
Га. III. Теория пространств HD над трубчатыми областями
5. Ир -теория
133
5. #"-теория
До снх пор мы рассматривали почти исключительно свойства
аналитических в трубчатых областях функций, принадлежащих про-
пространству Я2. В частности, мы исследовали существование гранич-
граничных значений только в /Лсмысле. В этом параграфе будут получены
некоторые результаты, касающиеся существования поточечных пре-
пределов при приближении к границе основания, а также существова-
существования ?р"пределов, р > 0.
Начнем с изучения частного случая трубчатой области Тт, где
Г — первый октант:
Y={y = (ylt ..., #„)??„;_#!>0, ... , jrn>0}.
Очевидно, что Г—конус и что Г* — Г. Ядро Копи, связанное с 7>,
имеет вид
К (г) = J •
о
J ] +-' +V«4 ... dtn = f]
о о _ /=1
где г = (zlt ..., zn) ?¦ Тт. Таким образом, К {г) есть произведение п
одномерных ядер Коши, связанных с. верхней полуплоскостью.
Отсюда следует, что ядро Пуассона #> (л:, у) (см. 3.7 и обсуждение
перед этим утверждением) есть произведение п одномерных ядер
Пуассона:
Это ядро является, следовательно, частным случаем повторных
ядер Пуассона, изученных в § 3 гл. II (см.,; в частности, тео-
теорему 3.22, следствие 3.23 и материал перед этими результатами).
Отождествляя компоненты Z/ = х, + iyf точки г = (г1( ..., г„) ?
? Тт с упорядоченными парами (xjt yi), можно рассматривать труб-
трубчатую область Тт как прямое произведение Et X ...х Et верхних
полуплоскостей двумерного вещественного евклидова пространст-
пространства. Таким образом, в соответствии с определениями, введенными
в § 3 гл. II, можно сказать, что функция и, определенная в Tf,
обладает следующими свойствами:
(i) имеет некасательный предел / по каждой перемеииой в точ-
точке х € Еп, если и @ = и (g +/ti) =ufa+. ir\lt ..., %, + /t|4) стремится
к /, когда точка ? = (&, г\г\...; ^ г\п) стремится к х = (хь .... л„) =
= (xj, 0; ...; хп, 0) внутри прямого произведения
для каждого набора а ¦= (alt .... ап) положительных чисел !>j
' Мы используем обозначение, введенное в § 3 гл. И:
16/ — х/1<а/Л/Ь /= 1. .... п.
(ii) некасательно ограничив по каждой переменной в точке
к ? ЕA, если она ограничена на множестве Va (х) П {I + Itj ? 7г;
Hi. •••» Ля < 1} ДЛЯ каждого набора a — (a1( ..., ап) положительных
чисел.
Существование поточечных пределов и пределов по норме при
приближении к началу внутри первого октанта можир доказать для
всех функций из пространств Нр GY), р > 0. Точнее, справедливы
следующие утверждения:
Теорема 5.1. Пусть F ? Нр (Гг), р > 0, где Г — первый
октант в Еп; тогда:
(а) F имеет некасательный предел Р (х) по каждой переменной
для почти любой точки х ? Еп. В частности, предел
Игл
=* F(x)
существует для почти всех х ? Еп\
(b) j | F (х + iy) — F (x)\p dx стремится к 0, когда у ? Г стре-
матся к 0 ? .?„.
Доказательство. Фиксируем (?2,..., SJ == (?2 + г%,..., |„ +
+ »Лп). Ла. "-t Яп>0» и рассмотрим функцию g одного комплекс-
комплексного переменного, определенную равенством gfoj^fftii Са. —."Сп).
где ?х = |, 4- ir\i принадлежит верхней полуплоскости Ef, Пока-
Покажем сначала, что g? Hp(Ef). Поскольку |F(?b ..., ?ЯIР субгармо-
ничиа как функция переменной ?2 = 1г + «Л» (см- пример ^) в
§ 4 и п. 5.1 гл. II), то, положив т2 = и9-\-&2, получим
[ F &, U ¦.., UIP < A"
ЛТ1
2п, со
j
С —со
Повторяя эти рассуждения для g3, •¦¦> In, получим
X
2% 2t|,
f ••• U J
о \е
Интегрируя теперь обе части этого неравенства по |ь получим

134 Гл. III. Теория пространств Ир над трубчатыми областями
5. Ир-теория
135
24
0 \Е
Ф.
Отсюда следует, что g ? t ^ _,
Пусть ? = Aи .... L) ? Тг; положимs(Q = \F(Q\P/2. Предыдущее |
неравенство можно тогда выразить в терминах функции s:
Поскольку s(ti, Cat ¦•-. ?„) —субгармоническая функция перемен-
переменного & при фиксированных остальных переменных, то это неравен-
неравенство вместе с равенством D.12) гл. II дает
для всех ех > 0. Применяя эти же рассуждения к переменным
?я. ..., С, получим
E.2) s(| + i[e + ^])^sflL + nei + m], •¦• , ?« + * К + т)„])<
—f, x\)dt
для всех
Так как
= (б1, ...
F ? Нр
е„)
G Г.
то семейство
{/8}> где
re),
е? Г, равномерно ограиичено по 1Анорме (действительно, 1/е||2<
<|/7||J). Следовательно, в силу слабой компактности единичного
шара в L*(En), можно найти последовательность {е(% сходящую-
сходящуюся к 0 ? Еп й такую, что {/,,<?,} слабо сходится к некоторой функ-
функции / из L*(En) при й-»-оо. Подставляя е = е(А> в E.2) и устрем-
устремляя &-»-оо, получим
E.3) s(S + ?ri)<^/( .я) m ^
Так как функция m (I + ft)) есть повторный интеграл Пуассона не-
некоторой функции из I? (Еп), то она некасательно ограничена по
каждой переменной для почти всех х ? Еп (см. рассуждения после
следствия 3.23 гл. II). В силу неравенства E.3), это же справедливо
и для функции s (S + щ) = 1 F F + щ) \р/2 . Применяя тогда к
вещественной и мнимой частям функции F теорему 3.24 гл. II, полу-
получим часть (а) теоремы 5.1,
Часть (Ь) доказывается теперь легко. Обозначим через Mf =
= Мщ М{п~Х) ... М{]) f суперпозицию одномерных максималь-
максимальных функций, соответствующих переменным х1( ..., д:„'>; тогда
tn (х + iff) < A (Mf) (х) для всех х -f- iy ? 7г, где Л — постоян-
постоянная, не зависящая от у ? Г, и / ? Z,2 (?„) (см. рассуждения перед
теоремой 3.22 гл. II). Таким образом, в силу E.3), имеем
E.4) \F(x + iy)\p^{A(Mf)(x)}\ ^
Доказав часть (а), мы установили справедливость почти всюду
равенства lim \F(x -\-iy)~ F(x)\ = 0. Из неравенства E.4) сле-
дует, что эта сходимость мажорируется почти всюду постоянной,
умноженной иа [(Mf)(x)}2:
\F(x + iy) - F (x)\p < 2p (| F (x + iyf + IF (x)\p) < 2^+' {A (Mf) (x)}\
Так как f ? L2 (En), то из оценки C.20) гл. II следует, что Mf ?
? ZA Таким образом, часть (Ь) есть непосредственное следствие тео-
теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.
Выведем теперь несколько следствий нз этой теоремы. Снача-
Сначала предположим, что Г ¦— внутренность выпуклой оболочки п
линейно независимых лучей, выходящих из начала координат.
Выбрав векторы а1у ..,, ап вдоль этих лучей, конус Г можно описать
й [ Е 0
как
р п у у
открытый конус [v — vxax + ... + vnan ? Еп\ v1 > 0,
0)
Теорема 5.1 будет справедливой тогда для всех функций
F ? Нр Gт). Чтобы убедиться в этом, рассмотрим лниейное пре-
преобразование А, переводящее базисные векторы ^ в а/, / = 1, ..., п.
Тогда А переводит первый октант в коиус Г. Расширяя А линейным
образом на Сп и полагая G (x -f- iy) = G B) = F (Az) = F (Ax +
+ iAy) для г из трубчатой области над первым октантом, получим
G (Х + iy)\° dx =
F (и + iAyfdu
\F%
для всех у из первого октанта. Таким образом,функция (/удовле-
(/удовлетворяет условиям теоремы 5.1, Но тогда, очевидно, существует поч-
почти всюду предел
F(u)= lim F(u + to),
реГ,[)-*о
так же как и соответствующий предел по ?2-норме.
Ч Пусть g — функция переменной х = (xlt ..., хп); тогда
)=8\1РBгГ1 Г \g(Xlt ... ,*/-<, ..,,xn)\dt, /-1, ... и
r>0 WV

136
Гл. III. Теория пространств ЯР над трубчатыми областями
5. Н? -теория
137
Вообще, будем говорить, что Г — многоугольный конус, если ои
является внутренностью выпуклой оболочки конечного числа лу-
лучей, выходящих из начала координат, среди которых найдутся п
линейно независимых. Многоугольный коиус является, очевидно,
объедииением конечного числа коиусов *рассмотрениого в предыду-
предыдущем ,абзаце типа, так что поточечные пределы и пределы по норме
при приближении к началу существуют также и у функций класса .'|
Н", связанного с трубчатой областью над многоугольным конусом.
Отсюда легко выводится следующая
Теорема 5.5. Пусть F?Hp(Tr), p>0, где Г — открытый
выпуклый' конус в Еп\ тогда для любого конуса Г1( замыкание
которого содержится в Г U {0}, имеем:
(а) предел lim F (х 4- iy) = F (х) существует для почти
€Г0 '
всех х?Еп;
(Ъ) \ | F (х
iy) — F (x)\p dx -> 0, когда у€Тг стремится к 0.
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать, что
существует многоугольный конус Го, такой, что 1\ с Го U {0} сг
сГ у {0}. Для этого рассмотрим пересечение Тг с единичной сфе-
сферой 2„_] с= Еп. Обозначим это пересечение через S. Очевидно, что
для~ каждого х ? S существует открытый многоугольный конус
Txt такой, что х ? Тх cz Г. Так как S •— компакт, то существует \|
конечное семейство таких конусов {Тх„ ..., ТХт), покрывающее 5.
Обозначив через Го выпуклую оболочку объединения этих т кону-
конусов, получим искомые включения Гх сг Го (J {0} сТ (J {0}.
В § 2 этой главы (сразу после теоремы 2.11) мы ввели понятия
суженного и иесужеиного пределов при приближении к граничной
точке основания В трубчатой области Тв. Из доказательства тео-
теоремы 5.5 видно, что оиа имеет эквивалентную формулировку в тер-
терминах этих понятий:
Т его рем а 5.5'. Пусть F ? Нр (Тг), /? > 0; тогда F(z)
имеет суженные пределы почти всюду и по Ьр-иорме при приближе-^
нии к 0 внутри Г.
Из упомянутого доказательства также следует, что если F
€ Нр (Гг), то F имеет суженные некасательные пределы почти во
всех точках х° в том смысле, что существует предел F (х + iy),
когда х + iy-*-х°, где у ? 1\ и х*+ iy ? уа (х°), для любого соб;й
ствеиного подкоиуса Г^ конуса Г и любого конуса уа (х°).
С помощью ядра Пуассона Ф (х, у), связанного с трубчатой об-
областью Гг, можно доказать, что при р > 1 существуют несужен-%
ные пределы по норме. Точнее, справедлива следующая
Теорема 5.6. Пусть Г — острый открытый выпуклый
конус в Еп, и пусть F ? Нр (Гг), 1 < р < «э; тогда
lim f \F(x + ty) — F(x)\pdx = 0,
где F {х) — предельная функция, существование которой было уста-
установлено в предыдущей теореме.
Доказательство. Покажем сначала, что ядро Пуассо-
Пуассона Ф (х, у) обладает следующим «полугрупповым свойством»1*:
пусть F ? Пр (Гг) и уъ уг g Г; тогда
E.7) F(x + l (у, + уг)) - I F (t + iy2) &{x — t, у у) dt.
Еп
Если р = 2, то это утверждение есть непосредственное следствие
теоремы 3.9. В общем случае из леммы 2.12 следует, что (если
р>0) функция G (х + iy) = F (х + i (у + у$) равномерно ограни-
ограничена в Гг. Обозначим через ф непрерывную неотрицательную
фуикцию.с носителем, компактным в Г*, такую, что \ <p(f)df «= 1
(такая функция ф существует, поскольку конус Г острый). Пусть
Hp(z) = J е^'-'ф^Л; теорема 3.1 утверждает, что ф?//аGг),
'?.
следовательно, функция Ge (г) = ^ (гг) G (г) принадлежит Яа(Гг)
при всех е>0. Таким образом, в силу теоремы 3.9,
E.8) Ge (х + iy) =
Кроме того, | ф B)| < ]" е~2пу'*у (t)dt^l и Игл ф (вг) = 1. Эти фак-
факты вместе со свойством #>(-, у) ? V (Еп),? где 1/р -\- 1/<? = 1
(см. 3.7), позволяют нам перейти к пределу при ?->0в обеих частях
равенства E.8) и получить, что G(x + iy)*= J G(f)9>(x — t, y)dt.
En
Но это и есть искомое свойство E.7) с У\ = у.
') С помощью следствия 1.28 гл. I нетрудно показать, что и (х, уг + уг) =
=> \ и (t, у2) Р (х — t,"yj) dt, если и — гармоническая в Е^+1 функция, такая,
что \\а (¦, у)|1р < с < оо при всех у > 0. В данном случае мы ограничиваемся голо-
голоморфными функциями F, так как ядро ^°, вообще говоря, не воспроизводит гармо-
цическве (или кратногармоническне) функции,.
S

138 Гл. III. Теория пространств Нр над трубчатыми областями
Часть (Ь) теоремы 5.5 утверждает, что при суженном стремлении 5-
у2 ->¦ 0 мы получим равенство
E.9)
F(x + iy) =
для всех у ? Г.
Остальная часть доказательства аналогична доказательству тео-
теоремы 1.10 гл. II и основана на свойствах (i), (ii) и (iii) ядра Ф, ко-
которые были установлены сразу вслед за равенством C.8L Обозна-
Обозначая через (о (г) модуль непрерывности функции F и используя свой-
свойство (ii), обычное неравенство Мннковского, получаемое из него ин-
интегральное неравенство и свойство (i) (в указанном порядке), имеем
{F(x-f) — F(x))9>(tty)dt
[F{x-t)-F{x)}9{t,y)di
dx\
dx
Up
I \\F{x-f)-F{x)fdx\"><P{t,y)
+ I
Up
dt
\t\>6
Первое слагаемое равно supw(|?[), поскольку, в силу свой-
ства (ii), j &(t,y)dt= I; следовательно, оно будет меньше лю-
Еп
бого заданного е~>0, если б выбрать достаточно малым (см. до- "
казательство теоремы 1.18 гл. I). Выберем такое 6; тогда, в силу
свойства (iii), последнее слагаемое стремится к 0, когда у стре-
мится к началу внутри Г. Таким образом, М \F(x -\-iy) —
\Еп
у/р
— F(xfdx\ <е, если у ? Г достаточно близко к 0. Это дока-
доказывает теорему.
Отметим, что предлагаемое ниже доказательство может быть также исполь-
для вывода равенства C.8).
6. Дальнейшие результаты
6. Дальнейшие результаты
139
t
6.1. На протяжении большей части этой главы мы рассматрива-
рассматривали только трубчатые области, имеющие открытые выпуклые основа-
основания В. В § 2 было показано, что если F ? Н2 (Тв), где В — только
открытое связное множество, то F допускает аналитическое продол-
продолжение G в выпуклую оболочку ТвС области Тв, причем G ?
? Н2 (ТвС) и 1 F Иг — | G |1а (см. следствие 2.4). Этот факт, так же
как н большая часть остальных результатов § 2 этой главы, явля-
является простым следствием основиой теоремы о представлении (теоре-
(теоремы 2.3). Существует много других причин рассматривать только вы-
выпуклые основания. Давно известно, что если функция F голоморф-
голоморфна в трубчатой области Тв с открытым связным основанием В, то
она допускает аналитическое продолжение G в трубчатую область
Твс (см. теорему 9 гл. V книги Бохнера и Мартина [1]). Легко ви-
видеть, что функция G принимает только те значения, которые прини-
принимает функция F. Если бы это было не так и г0 принадлежала области
изменения функции G, но не принадлежала области изменения
функции F, то функция \l(F •— г0) была бы голоморфна
в Гв и аналитически продолжалась до голоморфной в ТвС функ-
функции I/(G<—2ц). Но это, очевидно, невозможно.
Эти факты можио использовать для получения другого доказа-
доказательства следствия 2.4, допускающего обобщение на другие прост-
пространства #Р1>. Пусть F?H2(TB) и ft ??*(?»). причем J ft Ь—
~ J I Л @ |* <# — 1; тогда функция
голоморфна в Тв- При этом, в силу неравенства Гёльдера,
Обозначим через С аналитическое продолжение функции F в 7^;
тогда очевидно, что
g(z)=
1) Приведенное в оригинале доказательство содержало ошибки; при переводе
они были исправлены.— Прим. перее.

140 Гл. III. Теория пространств Ир над трубчатыми областями
будет аналитическим продолжением в T1^ функции /Ч Так как при
? (z + 0 h (t) dt
то из приведенных выше замечаний следует, что такое же неравен-
неравенство останется справедливым и для г ? ТВе. Фиксируем произволь-
произвольное у ? 5е и для произвольной функции h ? L* (ЕП) положим
(Gy, h) = j" G (x + iy) h (x) dx.
В силу установленного выше иеравеиства,
1ОД= sup |(G,f A
l№llI
так что Gtf ? [La (Дл)]'. Но последнее, как хорошо известно, совпа-
дает с самим l} (Еп), причем
Отсюда и из последнего неравенства вытекает утверждение след-
следствия 2.4. Обобщение доказательства на случай пространства
Н" (Тв) с произвольным р > 1 очевидно. В случае 0 < р < 1 необ-
необходимо использовать тот факт, что log|F(* -f-.iy)\p—выпуклая
функция переменной у ? В.
6.2. Другое применение //'-теории (н, в частности, теоремы
2.3) состоит в следующем.
Пусть /5+ ¦— открытое выпуклое множество Еп, такое, что 0
есть одн из его граничных точек, и В~ = {х ? Еп; •— х ? Я
Предположим, что существуют две функции F* ? Н2 (Тв+) и. F
? Н2 (TBJ), такие, что почти всюду совпадают пределы
= lim
= lim
iy) = F-{x — Ю)
( пределы следует понимать в Смысле, описанном в B.8)). Тогда
существует аналитическая функция F, определенная в трубчатой
области над выпуклой оболочкой множества В [} В", такая, что
F (г) = F+ (г) при z? Тв+ и F (г) = F~~ (z) при z$ Тв-.
Для доказательства заметим сначала, что из теоремы 2.3 сле-
следует существование двух функций [* и /~, таких, что F*~ (z) =
1) Нетрудно показать, что последний интеграл определен. Рассмотрев сначала
подмножество В„ с Я, как н в лемме 2.12, можно считать, что F и, следовательно,
G ограничены. Тогда, выбрав hfV (Я„) Л 1г {Ел), мы обеспечим интегрируе-
интегрируемость функции С(г+-/)А(/). Этого, очевидно, достаточно д^я наших целей.
6. Дальнейшие результаты
141
e2nlzif+(t)dt и
= J
{t)dt. При этом
преобразование Фурье функции F* (х + *'0) (— F" (^ — Ю)) (см. об-
обсуждение в связи с B.8)), Следовательно, f*~ {fy = f~ (t) почти всюду.
Полагая / @ = /* (t) почти всюду и используя то, что множество
S={y^En; j* \f(t)\2e^4ny'1dt^M2<:oo} выпукло (см. доказате-
льство следствия 2.4), приходим к выводу, что функция F(z) =
е2л1г'* f (t)dt аналитнчиа в Ts — множестве, содержащем труб-
i
Е"
чатую область над выпуклой -оболочкой множества В+ [} В
(см. B.2)), и совпадает с F+(z) в Т^ исГ(г)в Тв-.
Близкие результаты и различные обобщения см. в книге
Стритера и Уайтмена [I]1*.
6.3. Теорему 2.11 можно обобщить на три измерения. Результат
формулируется следующим образом (см. Стейи, Вейс и Вейс Ш):
Пусть точка у0 принадлежит границе дВ открытого выпук-
выпуклого множества В а ?3. Тогда у0 — точка несуженной 1?-сходймос-
ти (т. е. lim F(x~\-iy) существует в [^-смысле для всех F?
? //2 (Тв)) в том и только в том случае, когда существуют конечное
множество V = [ylt ..., уп) «вершит, лежащих в В, и окрестность
N точки уь, такие, что если y^NftdB и пу — опорная плос-
плоскость в точке у, то ли содержит по крайней мере один элемент
из V.
Это условие нелокальное. Например, если В — круговой конус,
то из этого результата следует, что каждая точка дВ есть точка не-
несуженной /-^-сходимости; однако если отсечь от этого конуса какую-
либо окрестность вершины, то оставшиеся граничные точки уже ие
будут точками несужениой сходимости.
Остается открытой задача обобщения этого результата на высшие
размерности.
6.4. Пусть функция F голоморфна в верхней полуплоскости
Ef = {2 = jc+ iy\ y>0}czCi, тогда всюду, за исключением не-
некоторого множества точек оси х линейной лебеговой меры 0,
справедливо следующее утверждение: либо F имеет некасательный
') Значительно более общие и глубокие результаты по проблеме аналитиче-
аналитического продолжения функций многих комплексных переменных группируются во-
вокруг известной теоремы «острие клииа», впервые доказанной Н. Н. Боголюбовым
в 1956 г. и получившей многочисленные применения в математическом анализе
и квантовой теории поля. См. по этому вопросу книгу Владимирова [1], гл. V,
а также работу Мартино 11].— Прим перев.

142
Гл. Ш. Теория пространств HP над трубчатыми областями
предел в точке (х0, 0), либо F отображает каждую треуголь-
треугольf
<аг/<рМ плотно
р
ную область Д(я0; a, (S) = {х -f iy ? Ef; \ х — х0 |
в комплексную плоскость. Этот результат есть частный случай клас-
классического результата Плеснера [1] и может быть легко получен из
частного случая п= 1 теоремы 3.19 гл. 1Г. Аналогичным образом
теорема 3.24 гл. И дает следующее обобщение иа п измерений ре-
результата Плеснера (см. Кальдерон [41). Пусть функция F голоморф-
голоморфна в 7Y, где Г— первый октаит; тогда всюду, за исключением неко-
некоторого множества из Еп меры 0, либо F имеет некасательный предел
по каждой переменной в точке xQ = (x°i, ..., хп), либо F отображает
плотно в комплексную плоскость каждое прямое произведение тре-
треугольных областей Д (.v0; a, (S) = Д (х?; а1( р\) X ... X Д (хЦ; ап, р„),
где а = (ccj а„) и р = (р1( ..., ри) принадлежат конусу Г. От-
Отсюда следует, что если вещественная часть голоморфной функции
F = и + iv, определенной в 7>, имеет некасательные пределы по
каждой переменной в точках некоторого множества 5 cz Еп, то и
мнимая часть F имеет такие пределы почти во всех точках множества
S. Это следует изтого, что если и имеет некасательный предел по
каждой переменной в точке х, то F не может отображать Д (х\ a, р)
в плотное подмножество комплексной плоскости Cv
6.5. Рассматривались также и другие понятия суженной сходи-
сходимости. Пусть для простоты и ¦— функция/ определенная в Гг, где
Г <— первый квадрант в Е2. Будем говорить, что и имеет суженный
криволинейный предел и (х0) в точке х0 ? Е2, еслн " (*о + iy (t)) -*"
-> и (хй), когда t -> 0 вдоль любой непрерывной кривой у (t) =
— (h (t), k (t)), t > 0, где функции h и k строго- возрастают к оо и
h @)==0 = fe@)I). Мы уже отмечали (см. п. 5.7 гл., П), что повторный
интеграл Пуассона и (х + iy) ^-функции / не обязан иметь несужен-
ные пределы почти во всех точках х ? ?2. Можно показать, однако,
что и (х + iy) сходится почти всюду к / (х) в только что описанном
суженном криволинейном смысле. Это можно сделать, модифици-
модифицируя соответствующим образом рассуждения, приведенные в книге
Зигмунда [Ц, т. 2. Такое понятие суженной сходимости можно обоб-
обобщить на трубчатые области над конусами общего вида и получнть
другой вариант теоремы 5.5'. (В этой связи см. замечания, следую-
следующие сразу за теоремой 5.5'.) Построенный в § 2 контрпример показы-
показывает, что ситуация значительно усложняется, когда основание труб-
трубчатой области — не конус. Дальнейшей иллюстрацией уместности
') В более общем случае можно рассматривать некасательные суженные кри-
криволинейные пределы по каждой переменной, позволяя х -\- iy (t) стремиться к
х0 внутри областей уа (х0), введенных в начале § 5. Читатель не должен смешивать
этот тип некасательного (или касательного) подхода к х0 (внутри Тг) с некасатель-
некасательным (или касательным) подходом у = у (t) к 0 (внутри Г). Ради простоты мы еще
раз пожертвовали общностью, рассмотрев только двумерный случай, хотя введен-
введенные понятия имеют очевидное обобщение на п измерений.
6. Дальнейшие результаты
143
понятия суженной сходимости, когда основание •— конус, являются
примеры, приведенные в п. 6.8 ниже.
6.6. Из теоремы 5.1 следует, в частности, что несуженные преде-
пределы lim F (х -Ь iy) = F (х) существуют для почти всех х ? Еп* если
Т0
Г •— первый октант, a F ? Нр (Тг), р > 0. Следствие 3.23 гл. II
утверждает, что то же самое справедливо для повторного интеграла
Пуассона функции / из V (Еп), р > 1. Мы уже отмечали, что эта
несуженная сходимость может не иметь места, если / ? V (Еп)\
однако если дополнительно предположить, что | / | (log | / |)"~1
(считая это выражение равным 0, когда | /1 = 0) локально интег-
интегрируема (что имеет место, когда f ? Lp (En), p > 1), то повторный
интеграл Пуассона функции / сходится иесуженным образом к
/ {х) для почти всех х ? Еп (см. Иессеи, Марцинкевнч н Зигмунд
Ш).
6.7. Острый конус Г cz Еп называется самосопряженным, еслн
его замыкание Г совпадает, с сопряженным конусом Г*. Автомор-
Автоморфизмом острого конуса Г называется линейный оператор на Еп,
отображающий Г на Г. Множество всех автоморфизмов конуса Г
образует замкнутую подгруппу 2 = 2 (Г) общей линейной группы
GL (Еп). Еслн группа 2 транзитивна (т. е. для любых точек х ц у
из Г найдется автоморфизм р ? 2, такой, что рх = у) н конус Г
самосопряженный, то он называется (однородной) областью поло-
положительности. Пренебрегая исключительным конусом низшей раз-
размерности, все области положительности можно представить в виде
прямых сумм следующих четырех типов областей положительности,
часто называемых «классическими областями» (подробнее см, Кехер
[II, Ротхаус'Ш и Винберг Ш):
(i) Световой конус будущего. Это есть конус CnczEn,
п> 1, состоящий из всех х= (xlt хъ ,.., хп) ? Еп, таких, что х\ —
— х\ — • • • — Хп > 0 и хх >• 0. Группа автоморфизмов 2 = 2 (Сп)
состоит из всех линейных преобразований р, сохраняющих (с точ-
точностью до постоянного положительного множителя) билинейную
форму (х, у) —х1у1 — х2у2— ••¦ —хпуп н неравенство Х!>0.
(и) Если п можно представить в виде я = т (т + 1)/2 с не-
некоторым натуральным числом т, то пространство Еп можно отож-
отождествить с векторным пространством всех вещественных симметрич-
симметричных т х /тг-матриц. В этом случае Sm cz En ¦— конус всех положи-
положительно определенных вещественных симметричных матриц. Группу
автоморфизмов 2 = 2 (Sm) можно получнть из полной веществен-
вещественной линейной группы GL (Ет): каждому невырожденному линейному
преобразованию g на Ет отвечает автоморфизм р — pg конуса Sm,
отображающий х ? Еп в рх = gxg* (здесь g* обозначает транспо-

144
Гл. III. Теория пространств Ир над трубчатыми областями
нироваиное преобразование). Трубчатая область 7s над этим кону-
конусом известна как обобщенная верхняя полуплоскость Зигеля (когда
т = 1 = л, это просто верхняя полуплоскость Et).
(iii) Если п можно представить в виде п = /тг2, то Еп можно отож-
отождествить с вещественным векторным пространством комплексных
эрмитовых т X /тг-матрнц (т. е. комплексных т X /тг-матрнц х,
совпадающих со своими эрмитово сопряженными матрицами х*).
В этом случае Нт cz En — конус всех положительно определенных
комплексных эрмитовых т X m-матрнц.' Группу 2 (Нт) можно
получить нз полной комплексной линейной группы GL (Ст): каждо-
каждому невырожденному линейному преобразованию g на Ст отвечает
автоморфизм р = рй конуса Нт, отображающий х ? Еп в рх =
= gxg*, где g* обозначает эрмитово сопряженное преобразование.
(iv) Если п можно представить в виде п = 2т2 — т, то Еп
можно отождествить с вещественным векторным пространством
кватернионных эрмитовых т х /тг-матриц. В этом случае Qm cz
cz En — конус всех положительно определенных кватернионных
эрмитовых т X m-матрнц. Группу 2 (Qm) можно получить из пол-
полной кватернионной линейной группы, положив pgx = gxg* для лю-
любого х ? Еп, где#* — кватерннонно сопряженная транспонирован-
транспонированная матрица невырожденной кватернионной m X m-матрицы g.
Ядра Коши и Пуассона, связанные с этими конусами, можно
вычислить в явном виде. Пусть точка *¦+ iy лежит в трубчатой
области 7с„. основание которой есть световой конус будущего;
тогда ядро Пуассона в этой точке принимает значение
(х и\ =
,n/2
= с
(У, У)
п/2
К*
Если х + iy € Tsm, то & (х, у) = ап {det y/\ det (х + iytf}{n+1)/2. Для
х + *У?Тнп имеем Ф{х{, у) — а'п {det #/|det (x+ iy)\*}n. Каждому
кватерниону а0 + 1аг -f )а% + Ао» = {а0 + /а3) + i («i + М соответ-
соответствует 2 х 2-матрица над полем комплексных чисел
а -
Р
«
где а = (а0 -f /й2), [S = (% + /а8). Это соответствие определяет изо-
изоморфизм между кватернионными эрмитовыми т х т-матрицами
х и Bт) х Bт)-матрицами х' с комплексными элементами. В тер-
терминах этого соответствия для х + 1у ? Tq имеем Ф (х, у) =
= ап {det y'j\ det (ж' + iy')\*fn-l)/2.
6,8. Приведенный в п. 6.6 результат для случая, когда Г — пер-
первый октант, не справедлив для произвольного конуса. В самом деле,
6, Дальнейшие результаты
145
иесуженная сходимость интегралов Пуассона может отсутствовать
даже для функций из V (Еп), р>\. Например, пусть Г = Сп
(световой конус будущего), п > 3, и 1 < р < оо; тогда существует
функция / ? V (Еп), такая, что для почти всех х ? Еп
HmsupMfx, у) = limsup J t^ (x — t, y)f{f)di = оо
при у g Г, стремящемся к 0 несуженным образом (см. Стейн и
Н. Вейс Ш). Однако можно получить положительный результат,
если ограничиться суженной сходимостью и взять в качестве основа-
основания Г трубчатой области одну нз областей положительности, опи-
описанных в п. 6.7. Действительно, если / ? Lp (?„), 1 < р, то для поч-
почти всех х ? Еп интеграл Пуассона и (х, у) сходится к / (*), когда
у ? Г стремится к 0 суженным образом (см. Стейн и Н. Вейс [И).
6.9. Классическое преобразование Кэли есть дробно-линейное
преобразование w— (z— i)i{z + I), отображающее верхнюю полу-
полуплоскость на единичный круг | w \ < 1. Описанную в п. 6.7 (и) верх-
верхнюю полуплоскость Знгеля, соответствующую конусу Sm, можно
отобразить при помощи обобщенного преобразования Кэли на «круг»
D, состоящий нз комплексных симметричных m X /тг-матриц да,
таких, что w*w < /, где / — единичная m X /тг-матрнца. Это отоб-
отображение имеет внд w == (г — И) (z + */)~ , где г = х + iy ? TSfn.
«Отмеченная граница», или «остов», {г = х + iy ? С„; у ~ 0} со-
соответствует при этом симметричным унитарным матрицам. Сущест-
Существуют подобные преобразования трубчатых областей над другими
классическими областями, введенными в п. 6.7 (см. Бохнер [1J,
Пятецкий-Шапиро [И и Кораньн и Вольф [1]). Образы трубчатых
областей составляют важный подкласс ограниченных симметричных
областей Картана (см. Хуа [И н Хелгасон [1]).
6.10. Пусть D — множество комплексных т х /тг-матриц' w,
удовлетворяющих неравенству да*ау</. Можно рассматривать
D как область в пространстве d». Будем говорить, что комплекс-
нозначная функция F принадлежит пространству Нр(D), р>0,
если она голоморфна в D и f |F (pu)|pdu < М <оо при 0<р<1,
и
где и пробегает унитарную группу V и du — элемент меры Хаара
на этой группе. Можно показать, что при F ? Нр(D), />>0,
(i) lim F (pu) = F (и) существует для почти всех и ? V и
рч-J
(ii) f | F (ри) — F (u)|p du-> 0 прн p -+1. Подобное утверждение спра-
справедливо для произвольной круговой области Рейнхардта н, таким
образом, для ограниченных симметричных областей Картана (см,

146
Гл. Ш. Теория пространств И' над трубчатыми областями
Бохнер [5J). Если D —поликруг [z=(zlt ..., гп) ? Сп; \г/\<\, } =
= 1, ..., п], то пространство Н"(D), />>0, состоит нз всех
голоморфных функций F, определенных в D н таких, что
2л
2л
А
..., гвА)|рйЮ1...йЮв'<А1<оо при 0<г,<1,
1 ¦¦! \Ппе'
О О
/= I, .... п. Аналогично, если D —шар {г = (ги .... гп) ? С„;
zil2+ ••¦ 4-|гп|*"<Ч» т0 пространство HD(D) состоит из всех
голоморфных функций F, определенных в D и таких, что
J F(p2')|2dz' < М< оо при 0<р<1, где границу дР множе-
множено
ства D можно отождествить с единичной сферой 22„-.1 в Е2п, при
этом dz' — элемент площади. В этих случаях можно усилить ут-
утверждения (i) и (ii), включнв некасательную сходнмость к границе.
Если D — полнкруг, то приближение к границе может быть «ие-
суженным», т. е. радиусы rlt ..., гп могут стремиться к 1 независимо
(подробнее см. Зигмунд [1] и [3J). См. также Кораньи [1J.
6.11. Пусть D —область \z= (гь ..., гп) ? Сп; 1тг1>2 I*/!2 .
I /=2 }
Отображение z-*w = (wlt ..., и»„), определяемое равенствами w1 ~
— (гг — i)l{zx 4- 0. wi = Щ1{Ц 4- 0. / = 2, ..., я, переводит D в от-
открытый единичный шар |ау?Сп; 2 1ау/|2<^| (когда п = 1, это
отображение есть преобразование Кэли). Общий класс областей,
содержащий область D, а также трубчатые области над выпуклыми
конусами, был введен Пятецкнм-Шапиро [И; эти области были на-
названы им областями Зигеля второго рода (см. также Кораньи [21);
Яр-теорию для таких областей, обобщающую теорему 5.1, можно
найти в статье Стейна [61.
6,12. Трубчатые области над л-мерными кубами Q = Qn =
= [у ? Еп; 0<.У/< 1, /— 1, .... п) обладают многими свойствами
трубчатых областей над первым октантом. Например, для этих
областей справедлив результат, аналогичный теореме 5.1: пусть
F^Hp(TQ)t р>0, и у0 — одна нз вершин куба Q; тогда F име-
имеет некасательный предел F(x-{-iy0) по каждой переменной для
почти всех х ? Еп. В частности, lim F (х 4- iy) = F (х 4- iy0)
y€Q;y-+y<,
существует для почти всех х ? Еп. Кроме того, интеграл
стремится к 0, когда у ? Q стремится к у0. Доказательство анало-
аналогично доказательству теоремы 5.1. Роль верхней полуплоскости
\
6. Дальнейшие результаты
147
играет полоса {г = х + iy ? d; x ?Elt 0 < у < 1}, а интеграл
Пуассона функции /, определенной на границе угой области, дается
формулой
dt
ch nt -\- cos ny
(см. замечания после доказательства леммы 4.2 в гл. V). С помощью
подходящего линейного преобразования можно обобщнть этот ре-
результат на пространства Нр функций, определенных в трубчатых
областях с основаниями в виде полиэдров. При этом получим сле-
следующее обобщение теоремы 5.5 (и теоремы 5.5'):
Пусть F ? Нр(Тв), />>0, где В — открытое выпуклое множе-
множество из Еп, а у0 — точка на границе множества В; тогда сужен-
суженные пределы
Hm F {х + iy) = F (x -f iy9)
существуют для почти всех х ? Еп и, когда у ? В стремится
к у о суженным образом, J \F (х ~\- iy) — F (х + *'#о)|р dx-*-0.
6.13. В § 3 этой главы мы ввели ядро Пуассона, связанное с ост-
острым конусом Г cz ?„. Было использовано обобщение на п измере-
измерений соотношения между классическими ядрами Пуассона и Коши,
связанными с верхней полуплоскостью (т. е. трубчатой областью,
основание которой Г cz Ех состоит нз положительных чисел). Су-
Существуют другие соотношения такого рода. Вероятно, простейшим
нз них является следующее:
K{x-\-iy)= 2я*(х-М.</) в~1 л(ха + #а) + 1 я(ха + (/а) j =
Следовательно, Р (х, у) =* 2 Re {К (х -f iy)}. Ядро Q (х, у) =
= 2 lm {К (х + iy)} называется сопряженным ядром Пуассона,
Руководствуясь этими соотношениями, можно рассматривать
Р (хг у) = 2 Re {К (х 4- (у)}
2Re (f
[г*
-Щ
Q (х,- у) = 21т [К (х 4- iy)) = 2 lm j?e^+^'dt^

148
Гл. Ш. Теория пространств Ир над трубчатыми, областями
как обобщенные ядро Пуассона и сопряженное ядро Пуассона, свя-
связанные с острым конусом Г cz Еп. Например, если Г — первый
квадрант в Е2, "то
Р (*ь х2; уъ у2) = Р (х, у) = -L
В частности, мы видим, что Р (х, у) не обязательно будет положи-
положительным ядром. По этой и по ряду других причин это ядро не явля-
является удовлетворительным приближением единицы. Тем не менее его
можно использовать вместе с Q (х, у) для выяснения связи между-
междувещественной н мнимой частями /^-функций и их граничными зна-
значениями.
Пусть Г cz Еп — острый выпуклый открытый конус; обозначим
через х* характеристическую функцию сопряженного конуса Г*
и через sgn* знак-функцию, связанную с Г*: sgn*i = 1 прн t? Г*,
sgn* t — — 1 прн — t$T* н sgn* 1 = 0 в остальных случаях. Из
приведенных выше определений непосредственно следует, что
Р(х, у)=
Q (х,
— i
+Х*(— t)]dtt
е™*- e-2nly-i] [X* (t) — %*(—f)]dt =
Таким образом, Py (t) = [X* (t) + %* (— /)] e-^ltf-i и Qy (t) =
= (—isgn*/)^2"!**" для всех у?Т удут значениями преобразо-
преобразований Фурье функций Ру = Р (•, у) и Qy ~ Q(-, у).
Предположим теперь, что F = и + iv ? Н2 (Тг). В силу след-
следствия 3.4,. существуют граничные значения Iim F{x-\-iy)**
у?.у
= и (х) -f iv (x) в L*-cMыcлe. Нетрудно доказать следующие утвер-
утверждения:
A) для всех г^Тт имеем F(z)= f 2tf B — Q и (|) d\\
(\\) v{z) = v{x-\-iy)~'[Q{x-l, y)u{®a\, когда г?ТГ,
En
причем граничные значения v(x) и и(х) удовлетворяют соотноше-
нию v (/) = (— i sgn* 0 и (/);
(iii) вещественнозначная функция и ? L?{En) является вещест-
вещественной частью граничного значения в Ь2~смысле F {х) = Iim F (х +
r
В. Дальнейшие результаты 149
ращается в О почти всюду вне Г* \) (—Г*), где — Г* = [t ? Е„;
-t?T*}.
Первая часть утверждения (п) немедленно получается из равен-
равенства (i) приравниванием мнимых частей. После этого, взяв преобра-
преобразование Фурье и перейдя к пределу при у -> О, у ? Г, получим вто-
вторую часть. Если и ? L2 (Еп) есть вещественная часть граничного
значения некоторой функции F ? Я3 G», то из (i) и определения
ядра Кошн имеем
для всех г ? 7"г. Отметим, что определенная таким образом функ-
функция F во всяком случае принадлежит пространству Н2(Тт) (это
следует из теоремы 3.1) и. ее вещественная часть иу(х) = и(х -f- iy)
равна J Р (х — ?, */)w(i)d|, так что, взяв преобразование Фурье,
Еп
получим
y
Утверждение (iii) есть непосредственное следствие этого равенства.
Утверждение (i) получается сложеннем левых и правых частей ра-
равенств
и 0 = J /C(z-
E
Первое из этих равенств вытекает из теоремы 3.6. Второе есть
простое следствие теоремы 3.1 и определения ядра Коши.
6.14. В случае когда /1=1 и Г — положительная полуось,
каждая вещественнозначная функция и ? L2 (Ех) — Z.2 (— оо, оо)
есть вещественная часть граничного значения некоторой функции
F = и -f iv ? И2 (Et). Это непосредственно следует из 6.13 (iii)
и соотношения Г* U (— Г*) = (— оо, оо) = Ev Из (и) и теоремы
Планшереля следует, что отображение и -> v определено и является
изометрией на L2 (?L) (в действительности это есть унитарное пре-
преобразование). Оно называется преобразованием Гильберта. Позд-
Позднее, в § 2 гл. V, будет показано, что преобразование Гильберта
можно определить на LP{E^ и что оно будет ограниченным линей-
линейным преобразованием в L" (Ег) A < р < оо). Это утверждение экви-
эквивалентно тому, что найдется такая постоянная Ар < оо, что если
и + iv— граничное значение функции F ? Нр (Ef), то
функции F ?Н2 (Тт) тогда и только тогда, когда и (t) об-
обу/, /« . ул.
\v{x)\pdx\ <AP\ J \u(x)\pdx\ =

1Б0
Гл. 1П. Теория пространств Ир над трубчатыми областями
Это неравенство известно как неравенство М. Рнсса. Этот одномер-
одномерный результат можно обобщить на п измерений:
Пусть F = и -f iv (= Нр GY), 1 < р .< оо, где Г — открытый
выпуклый конус в Еп\ тогда существует постоянная Ар < оо, такая,
что для у ? Г и у = 0 (это граничное значение понимается в смысле
теоремы 5,6) справедливо неравенство
»|pdx\l*.
I
Поворотом системы координат доказательство сводится к слу-
случаю, когда луч (т)ь 0,..., 0), iii>0, лежит в конусе Г. Пусть у ? Г
фиксировано и 1] = {ч\ъ 0, ..., 0), гн>0; тогда у + л\ ? Г и, в силу
одномерного результата,
\E« / \En
И*1 + ^i + "ii хп
, ... , хп
Интегрируя обе части по переменным х2 хп и устремляя т)х-*- 0,
получим искомое неравенство. Случай у = 0 получается отсюда
предельным переходом, когда */ ? Г, г/ -»- 0.
6.15. Пусть К, ¦— открытое выпуклое множество, не содержащее
ни одной прямой. Пусть р ?К, и пусть Г — конус, порожденный
точкой р и множеством #. Тогда Г не содержит ни одной прямой.
Чтобы убедиться в этом, предположим сначала, что п = 2. Рассмот-
Рассмотрим опорные прямые множества К- Либо они все параллельны
(и это означает, что К содержит прямую), либо найдутся две опорные
прямые, пересекающиеся под острым углом. Их пересечение опре-
определяет конус Го, содержащий К и такой, что ни одна прямая не
лежит целиком в Го. Требуемое свойство конуса Г теперь очевидно.
Предположим далее, что п > 2 и / ¦— прямая, целиком лежащая
в Г. Пусть л — плоскость, содержащая / н р, и пусть /С* = /С П
f]ji, Г' =i Г fjn. Тогда К' открыто, выпукло и не содержит нн одной
прямой, а конус Г', порожденный множеством К' и точкой р, со-
содержит прямую /, что противоречит уже доказанному случаю
п = 2,
6.16. [Авторы не затрагивают преобразования Фурье — Лапласа
обобщенных функций н обобщенные граничные значения, весьма
важные теоретически, а также с точки зрения Математической фи-
физики. См. Л. Щварц [2], Владимиров [II, гл. V.— Перев.]
б. Дальнейшие результаты
161
Библиографические замечания
результаты классической теории пространств Нр можно найти в кни-
1 ], гл. VII. Теория пространств Н* над трубчатыми областями впер-
Основные
ге Зигмунда [Г. ...
вые изучалась Бохнером, которому принадлежит основной результат — теорема
2.3 (Бохнер [8]). Многие результаты, включенные в §§ 2, 3 и 5, имеются в работе:
Стейн, Вейс и Вейс [11, Ядро Коши, связанное с выпуклым конусом, было введе-
введено Бохнером [ 1 ]; кроме того, он вычислил это ядро в явном виде для конусов, со-
соответствующих классическим областям1). Другие обобщения теоремы Пэли —
Винера на п измерений получены Планшерелем и Пойа [1] и Стейном [1]. Поня-
Понятие криволинейной суженной сходимости, описанное в п. 6.5, было введено
Кальдероном и Зигмундом [1]. Основные результаты, касающиеся преобра-
преобразования Гильберта, содержатся в книгах Титчмарша [2] и Зигмунда [ 1 ]. В качест-
качестве ранних работ по Яр"теории нескольких комплексных переменных можно на-
назвать: Бохнер [2], Зигмунд [3] и Бохнер [51- Введение в теорию]выпуклых множеств
см. у Валентайна [1] и Рокафеллара [1].
Ч Ядро Коши — Бохнера для трубчатых конусов подробно изучено Влади-
Владимировым [2, 3,4 J. Он обобщил результаты Бохнера [ 1 ] на важные классы голоморф-
голоморфных функций, имеющих обобщенные граничные значения.— Прим. перев.

Глава IV
СВОЙСТВА СИММЕТРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Преобразование Фурье тесно связано с действием группы сдвигов на евклидо-
евклидовом пространстве. Если бы мы ограничились только вопросами, связанными с этой
структурой, то смогли бы привести мало результатов, которые нельзя найти в кур-
курсах абстрактного гармонического анализа на локально компактных абелевых груп-
группах, и в то же время потеряли бы большую часть элегантной общности последнего.
Гармонический анализ на евклидовых пространствах на самом деле богаче бла-
благодаря его связи с несколькими классами преобразований: растяжениями и вра-
вращениями наряду со сдвигами. Эта связь уже проявилась неявным образом при
изучении гармонических и голоморфных функций. Теперь мы хотим представить
в явном виде дальнейшую связь преобразования Фурье с растяжениями и враще-
вращениями.
Исходным пунктом будет замечание, что преобразование Фурье имеет очень
простой закон преобразования при растяжениях и, кроме того, коммутирует с
вращениями. Второе свойство приводит к разложению пространства L2 (Еп) в пря-
прямую сумму подпространств, каждое из которых особым образом преобразуется
лод действием вращений. Преобразование Фурье сохраняет эту прямую сумму, и
его сужение на каждое из этих подпространств можно отождествить с классическим
преобразованием Бесселя. Это разложение можно получить переходом к сфериче-
сферическим координатам, который позволяет сначала разложить пространства ?*-функ-
ций, определенных на единичной сфере в Е„. Последнее разложение получается при
помощи сужения на единичную сферу однородных гармонических многочленов.
Изучение этих функций — сферических гармоник — в свете приведенных рассуж-
рассуждений очень естественно, так как лапласиан инвариантен одновременно относи-
относительно сдвигов и вращений, тогда как однородность этих полиномов отражает дей-
действие растяжений.
Эта глава устроена следующим образом. Первый параграф посвящен частному
двумерному случаю, который особенно прост, так как разложение пространства
L2 на единичной сфере при этом сводится к обычному разложению квадратично-
интегрируемых функций в ряд Фурье. Во втором параграфе эти разложения обоб-
обобщаются на п измерений при помощи развитой там теории сферических гармоник.
Третий параграф начинается с изучения пространства радиальных функций —
простейшего из слагаемых, возникающих в упомянутом выше разложении прост-
пространства L2 (Еп), а затем рассматриваются остальные слагаемые в этом разложении.
Четвертый параграф посвящен некоторым применениям этой теории, включая
несколько важных тождеств теории потенциала и сингулярных интегралов, где
очевидным образом проявляется роль растяжений и вращений.
1. Разложение пространства L2 (Ег) на подпространства,
инвариантные относительно преобразования Фурье
Наша главная цель в этой главе — изучить возможно подробнее
действие преобразования Фурье на функции, определенные в Еп.
Для этого будет найдено естественное разложение пространства
?3 (?„) в прямую сумму подпространств, сохраняющееся прн пре-
1. Разложение пространства L2 (Е3)
153
образованиях Фурье, и затем детально изучено, как последнее дей-
действует на каждом слагаемом. В этой связи нам придется изложить
основные свойства функций Бесселя и сферических гармоник.
Они имеют фундаментальное значение не только для вопросов гар-
гармонического анализа, но и для многих других областей анализа.
В одномерном случае имеется простое н естественное разложение
пространства L? (Et). Легко заметить, что подпространства четных
н нечетных функций инвариантны относительно преобразования
Фурье, ортогональны одно другому и нх прямая сумма образует
все пространство L% (Е^. Эти свойства, получаемые разложением
функции / в сумму / = /ч 4- L гДе четная часть /ч определяется
равенством /„ (х) = I/ (х) + / (— хI/2, а нечётная часть /н — ра-
равенством /„ (х) = [f (х) — / (— х)]/2, очевидно, сохраняются и для
п измерений. Гораздо более интересная, хотя и более сложная си-
ситуация возникает, если рассмотреть следующее обобщение четной
части функции на п измерений. Для данной локально интегрируе-
интегрируемой на ?„ функции / ее, радиальной частью называется функция <р,
определяемая равенством
J f(rx')dx't
¦n—\
гдег —|х|, xf'—xfr (при хфО) и ©4_i — площадь единичной
сферы 2rt_i в Еп. Ясно, что у— радиальная функция, т.е. <р
зависит только от г = |х|. Когда п= 1, то, очевидно, <р = /ч.
Это понятие, естественное, когда рассмотрения ведутся в поляр-
полярных координатах, полезно также при изучении действия- преобра-
преобразования Фурье. Это подтвердят следующие замечания, из которых
станет ясно, что преобразование Фурье радиальной функции есть
также радиальная функция. Заметим сначала, что функция /, опре-
определенная на Еп, будет радиальной тогда и только тогда, когда
f (рХ) = / (х) для всех ортогональных преобразований1) р простран-
пространства Еп и для всех х ? Е„. Основное свойство преобразования Фурье
относительно ортогональных преобразований выражает следующая
Теорема 1.1. Преобразование Фурье $ коммутирует с
ортогональными преобразованиями. Именно, пусть р ¦— некоторое
ортогональное преобразование; обозначим через Rp отображение,
переводящее функцию f, определенную наЕп,в функцию g, определяе-
определяе() (Rf) () / () ? Е д дл
мую
одящее функцию f, реу п, фуц g р
равенством g (х) = (Rpf) (х) = / (рх), х ? Еп\ тогда для
J) Напомним, что р — ортогонально» преобразование, если р — линейный опе-
оператор в ?„, сохраняющий скалярное произведение: рх ¦ ру =¦ х ¦ у для всех х, у ?
? Еп. Если det р — 1,тор называется вращением. При п > 1 также верно, что f
радиальна тогда и только тогда, когда / ipx) = f (x) для всех вращений р и всех
х(=Еп.

154 Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
любой функции f ? L1 (?„)
g @ = @g) (О = (^ЗД @ - (Rr&ft (t) - (#7) (pO =
иначе говоря, операторы $\_и Rp коммутируют: <FRQ = /?р#".
Доказательство. Так как сопряженное к р преобразо-
преобразование совпадает с его обратным и прн замене переменных w= рх
якобиан равен 1, имеем
g{t) = J e-w-xf (рх) dx = J e-2"lt-p~iwf (w) dw =
= J e~2nipt-wf(w)dw =
Так как для любых точек
Еп, таких, что | хх ] = | х2 ],
j, 2 ? п,
найдется ортогональное преобразование р, такое, что рхх = х2,
то из приведенного свойства преобразования Фурье получаем уже
упоминавшееся
Следствие 1.2. Пусть / ¦— радиальная функция из L1 (Еп);
тогда / — также радиальная функция. ,
Это утверждение очевидным образом обобщается на L2 (?„).
Рассмотрев подпространство ф° ? L2 (Еп) почти всюду радиальных
функций и его ортогональное дополнение, получим разложение
L2 (Еп) в прямую сумму, инвариантное относительно преобразова-
преобразования Фурье (это есть непосредственное следствие теоремы Планше-
реля). Естественно спросить: существует ли простое описание про-
пространства функций, ортогональных к радиальным, и можно ли полу-
получить более подробную информацию о действии преобразования
Фурье на этом подпространстве? Рассмотрнм эти вопросы сначала
в двумерном случае.
Выберем функцию / ? L2 (Е2) н используем стандартное отож-
отождествление точек (х, у) нз Е2 с комплексными числами х + ф =
~z~reie. Из теоремы Фубнни следует, что / (ге1в) есть квадра-
квадратично-интегрируемая функция переменной 6 для почти всех г. Сле-
Следовательно, имеем разложение в ряд Фурье
A.3) . ,/(«")~ S h
сходящееся к /(ге'е) по /Анорме для почти всех г. Кроме того,
2 I/* (r) Г = BП)'1
2л
dQ почти всюду, откуда, в силу тео-
/. Разложение пространства I? (Е2)
ремы Лебега о монотонной сходимости,
Hmj2l./*W[«rdr«-l-J
Полагая gk (г) = fk (r) eik&, k = 0, ± 1, ±2, .... получим
Нт
/I-*oo
"I
2n
155
Это вместе с соотношениями ортогональности для экспоненцнальных
функций eikQ, k = 0, ± 1, ±2, ..., означает, что имеет место раз-
разложение в прямую сумму
A.4)
= 2
где $k = \g ? L* (E2); g(z) = f(r)e?M почти всюду для некоторой
00
измеримой функции /(г), удовлетворяющей оценке \ ]/(г) |2 rdr <
о
<оо|. Это обозначение согласуется с введенным выше, так как
в обоих случаях ф° — пространство квадратично-интегрируемых
почти всюду радиальных функций. Более того, из разложения A.4)
следует, что ортогональное дополнение к ф° совпадает с прямой
суммой подпространств $ь, k Ф- 0. .
Мы знаем, что преобразование Фурье отображает ф° в себя.
Легко видеть, что оно отображает каждое из остальных пространств
ф , k= ± 1, ±2, ..., также в себя. Предположим сначала,
€ Ф* ft L1 (Е2), и положим h (г) — g (Л) для некоторого
Т h () ek^ () С гой
что
о g € Ф ft B), () g () р
фиксированного q>. Тогда h (г) = ek^g (г) для почти всех г. С другой
стороны, умножение на ei(p есть вращение пространства Е2, н, по-
поскольку преобразования Фурье коммутируют с вращениями (теоре-
(теорема 1.1), имеем
= h (w)
') Говоря о прямой сумме, мы имеем в виду, что все подпространства 5 зам-
замкнуты в L% (?г), попарно ортогональны и замыкание их линейной оболочки совпа-
совпадает со всем пространством L* (Е^.

156
Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
для всех w и ф. Положив w= г > 0, видим, что# также принадле*
жит ф*. Так как ф* П L1 (?2) плотно в ф*, то отсюда следует, что
все подпространство ф отображается преобразованием Фурье в
себя. В силу теоремы Планшереля, отсюда следует, что каждое из
пространств ф" отображается на себя.
Таким образом, мы нашли разложение A.4) пространства L2 (?2)
в прямую сумму подпространств, инвариантных относительно пре-
преобразования Фурье. Это есть ответ на первый вопрос. Для того что-
чтобы ответить на второй, придется заняться более подробным изуче-
изучением действия преобразования Фурье на каждом из подпространств
Выберем функцию /? §ft; тогда / имеет вид / (х) = f0 (r) eikQ
для почти всех г = re16. Поскольку / также принадлежит § ,она
имеет аналогичный вид, т. е. f(w) = FQ (R)eik(p для почти всех w =
= Rei<s>. Предполагая функцию / интегрируемой, вычислим Fo
явно (результаты очевидным образом обобщаются на квадратич-
квадратично-интегрируемые функции /). Полагая w=Ret0=R, имеем
- J /о С)
о
rdr =
I
/о (г) -^-
2я
rdr.
Таким образом, явное выражение для Fo (R) в терминах функции
/0 содержит коэффициенты Фурье функции переменной 0 вида e"sln e.
Эти коэффициенты, зависящие от U известны как функции Бесселя
Jk (t). Выражение
определяет функцию Бесселя УА, ft = 0, ± 1, ±2, ... . Простой за-
заменой переменных получим соотношение, справедливое для всех
целых k: .
A.5) ¦/4(*) = (-1)*Л_*@.
Следовательно, главный результат о действии преобразования Фурье
на пространствах ф* можно сформулировать так:
Теорема 1.6. Пусть f ? L1 (Е2) и f (?) = /0(г)e'fte, где г =
тогда f(w) = Fo (R) eik<p, где w = Ret<p и FQ (R) = 2щ* х
ьо ее
X j fo(r)J-k BnRr) rdr =-2я (- 0* J /o (r) Jk {2nRr) rdr.
2. Сферические гармоники
2. Сферические гармоники
157
Для того чтобы обобщить это разложение на п измерений, же-
желательно уметь представлять функции, определенные на единичной
сфере, в виде разложений, подобных ряцам Фурье. Это позволит
нам получить для / (х) = f (rx ) представление, аналогичное пред-
представлению A.3). Покажем, что это можно сделать, взяв вместо экс-
экспонент ekQ, k — 0, ± 1, ±2, .... класс функций, называемых
сферическими гармониками. Прежде чем определить эти функции,
сделаем несколько простых замечаний о тригонометрических ря-
дах sF) = 2 ckem.
Будем рассматривать такой ряд как последовательность сим-
метричных частичных сумм sn @) = 21 cke
?kQ
с0 ~f- 2
i
_
2
_
-f- c-ke~~ikQ). Эти суммы вещественны при ck = с_&. В этом слу-
случае snF) есть сужение на единичную окружность 2Х веществен-
п
ной части ип (г) многочлена рп (г) = с„ 4- 2 2 Сьг*( г = re'6 P Ci.
Поскольку на комплексные коэффициенты clf ..., с„ и вещест-
вещественный коэффициент с0 не наложено никаких ограничений,
ип (г) = ип (х -\- iy) — произвольный вещественный гармонический
многочлен степени п вещественных переменных х и: 1/ГПри этом
слагаемые f0. Re {ckzk} =^qk(z), k= 1, 2, .... — произвольные одно-
однородные1» вещественные гармонические многочлены степени 0, k.
Таким образом, линейные комбинации Y{k) (^е) = ckelke -f cke~m =
= akcoskQ +bk$\n Ш, где ck = (ak—ibk)/2, являются в точности
сужениями на единичную окружность | г |-= 1 таких многочленов
Ян (г) == Як №% В частности, поскольку каждую вещественнознач-
ную L2-<^yHKuHro, определенную на единичной окружности, мож-
можно разложить в сходящийся (в /Лсмысле) ряд Фурье, члены которо-
которого являются подобными сужениями, видим, что L2 (SJ есть замыка-
замыкание линейной оболочки множества таких функций У^ k=*0t 1, ....
В общем случае сужение на единичную сферу 2n_i однородно-
однородного гармонического многочлена степени k называется сферической
гармоникой степени k. Этот параграф посвящен выяснению важных
свойств- сферических, гармоник. Это позволит нам, в, частности,
показать, как пространство L2 (?„) можно разложить в прямую
сумму, аналогичную A.4), со слагаемыми фь состоящими из под-
подпространств L2 (Еп), порожденных произведениями радиальных
!) Функция /, определенная на Бп, называется однородной степени k, если
{ах) = c^f (х) для всех х ? Еп я а > 0.

158
Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
2. Сферические гармоники
159
функций на сферические гармоники степени klK Преобразование
Фурье отображает этн пространства ?>fe на себя. Подробно описав
действие преобразования Фурье на каждом из них, мы получим
обобщение теоремы 1.6,
Пусть ^fe — множество всех однородных многочленов степени
k с комплексными коэффициентами^ определенных на Еп. Если Р ?
? Фь, то
Р(у\ __ У г уО.
г ул/ — ^ i ^ал i
\a\=k
где (как и в гл. I) а «*= (аи ..., ап) — мультинндекс (нз неотри-
неотрицательных целых чисел), la^cq-f- ¦•• -fa,, н х? = xf- ... х%п.
Ясно, что одночлены Xй, \а\ = k, образуют базис этого простран-
пространства. С другой стороны, число таких одночленов равно числу dk
различных мультииндексов а = (аъ ..., ап), таких, что ах + ... +
-f ап = к. Нетрудно вычислить dk. Выберем наудачу п~- 1 ящн-
ков из линейно упорядоченного набора n + k — 1 ящиков и поло-
положим в каждый из оставшихся k ящиков одни шар. Тогда перед пер-
первым выбранным ящиком будет а± шаров, между первым и вторым вы-
выбранными ящиками будет а2 шаров, и т. д.; за последним ящиком
будет ап шаров. Таким образом мы получим я неотрицательных це-
целых чисел alt a2, ..., ап, удовлетворяющих равенству ах + ... +
+ ап = k, причем все допустнмые мультинндексы можно получить
таким путем. Следовательно, число подобных, мультииндексов в
точности равно числу способов выбора п — 1 ящиков из общего чис-
числа n + k — 1. Значит, размерность ^А равна
А— IV (n + k— 1
k
п — 1
(n+k — 1) 1
{n—\)\k
Введем скалярное произведение (P,Q) на ^kt положив (P,Q) =
= Р (D)Q для всех Р, Q ? ^kt где Р (D) — дифференциальный
оператор, введенный в гл. I (см. A.9)). Поскольку Р и Q— однород-
однородные многочлены одинаковой степени, (Р, Q) принимает скалярные
значения; кроме того, оно, очевидно, линейно по первой переменной,
антнлннейно по второй и эрмитово симметрично. Для того чтобы
проверить, что введенное определение действительно дает скаляр-
скалярное произведение, достаточно, следовательно, показать, что
(Р, Р) > 0, причем (Р, Р) = 0 только при Р = 0. Но если а =
— К, ..., а„) ф Р = (Pi Рп), то
в то время как эта производная равна о^! ... ап\ =а\ прн а = р.
Следовательно, если Р (х) = 2 сах?, то (Р, Р) = V 1са|яа1.
Но последнее выраженне равно 0 только тогда, когда все коэффици-
коэффициенты са равны 0.
Используем это скалярное произведение для доказательства
следующего основного результата:
Теорема 2.1. Пусть Р ? 9>k\ тогда
где Pi — однородные гармонические многочлены степени k — 2/,
/ 0 /
Доказательство. Любой многочлен степени меньше 2
гармонический, поэтому будем считать, что k > 2. Рассмотрим ли-
линейное отображение q>: &k ->¦ &k_2, определяемое равенством
Ф (Р) = АР, Р ? tyk> где Д — оператор Лапласа. Покажем снача-
сначала, что ф отображает &k йа ^_2. Если бы это было не так, то на-
нашелся бы ненулевой многочлен Q ? #Ч_2, ортогональный к множе-
множеству ЧЯ (ф) — области значений отображения ф, т. е.
't При п = 2 пространства
ft=0, 1, 2
порождаются пространствами -5 и Ь~~ ,
<ДР, Q) = (Q, АР) = 0
для всех Р ? #V В частности, это должно быть верно для Р (х) =
= \x\2Q(x). Тогда
0 = (Q, АР) = Q(D)AP = AQ(D)T=P(D) P = (Р, Р).
Но это невозможно, поскольку Р ф. 0.
Пусть Aj^tyj, />2, —класс всех гармонических многочле-
многочленов нз #>/. Тогда #>/ есть прямая сумма ортогональных подпро-
подпространств Aj u&i = \х\2&Н2 = {Р (х) е $>/; Р(х) = \x\2Q{x), Q(x)?
е^/-а). Действительно, если R (х) = \ х \2 Q (х), где Q ? ^/_2, то
(/?, Я) = 0 для всех Q ? ^,_2 тогда и только тогда, когда Q (D) х
X АР = 0 для всех Q ? #>,-_2, что верно тогда и только тогда,
когда (Q, АР) = 0 для всех Q ? ^,_2, а это в свою очередь верно
тогда н только тогда, когда АР ~ 0.
В частности, прн / = k и Р ? $>k имеем Р (х) = Ро (х) + j x |2Q (jc),
где Ро — гармонический многочлен, a Q ? 9**-2. Применяя полу-
полученный результат к / = k — 2, найдем разложение Q (х) = Рх (х) +
+ |*['Qi(x), где Рх —гармонический многочлен, a Qi € ^*-4.
Итак, Р (х) = Ро (х) + 1 х |2 Pi (*) + 1 * I4 Qi (*)• Отсюда теорема сле-
следует по индукции.

160
Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
Из теоремы 2.1 непосредственно вытекает
Следствие 2.2. Сужение на единичную сферу 2„__] любого
многочлена п переменных есть сумма сужений на 2n_i гармонических
многочленов Ч
Обозначим через Жк пространство с'ферическнх гармоник сте-
степени k. Оно совпадает с множеством сужений на 2„_] всех элемен-
элементов нз <Ak. Рассмотрим сужение Y многочлена Р нз Ль (при
х' ? 2„_1, У (х') = Р (х'}); тогда, в силу однородности Р, Р (х) =
= \x\kY(x/\x\) для х-фО. Поэтому отображение сужения P-*-Y
имеет тривиальное ядро н, следовательно, является изоморфизмом
Ak на Жк- В частности,
dim Жк = dim^
для k > 2. Кроме того, dim Жо — do — 1 и dim J^x = dt — л.
В начале этого параграфа было показано, что в случае п — 2 про-
пространство Jffe порождается двумя функциями cos ?6 и sin ?8, н по-
потому dim Жк=2 Для всех ft >¦ 1. -Эта согласуется с только что по-
полученным результатом:
'2+ft-l\ /ft—Г
-2
Г(*+!)-(*-1)-2-
При я = 3 получим dim j#k — 2k + 1 при ? > 0.
Пространство &h называется пространством пространственных
tpu4ecfcux гармоник. Иногда, чтобы подчеркнуть различие между
и Ak> элементы Жн называют поверхностными сферическими
гармониками.
Следствие 2.3. Множество всех конечных линейных комби-
во
наций элементов из [} Жк
(i) плотно в пространстве всех непрерывных на 2n_i функций
по [.""-норме;
(ii) плотно в L2 Bn_j).
Доказательство. Так как пространство непрерывных
функций плотно в L2 B,^1), то легко видеть, что нз (i) следует
(ii). Пусть заданы е>0 н /? LaBn_i); выберем непрерывную
функцию g, такую, что |/ — ?Ц2<е/2. Если (i) верно, то суще-
1) Отметим, что при п = 2 этот факт легко следует из замечаний, сделанных в
начале этого параграфа.
2. Сферические гармоники
161
- ею
ствует конечная линейная комбинация h элементов нз \) Жк>
k=0
такая, что \\g~hU<zlQV^-x). Тогда |/ — Л|2 < ||/ - g\\2 +
С другой стороны, (i) следует из теоремы Вейерштрасса об ап-
аппроксимации: если функция g непрерывна на 2П_1, то ее можно рав-
равномерно приблизить многочленами, суженными на 2„_(. Но, в силу
B.2), эти сужения являются конечными линейными комбинациями
со
элементов из \}Жк-
k=0
Следствие 2.4. Пусть Y(k) и Yll) — сферические гармони-
гармоники степени k и I соответственно, причем, к-ф\\ тогда
\ Yik)(x')YU)(x')dx' = 0.
Доказательство. Для хфО из Еп положим /" = |^| и
х' = х/r. Определим тогда и (х) = rkYih) {х') и v (x) = r'Yll) (x1) для
х^О и положим и @) = v@) = 0, если нн й, нн / не равны 0;
если же, скажем, 'k = 0, то К ' — постоянная, и мы положим
«@) равной этой постоянной. Производные функций и и у в точке
х' g 2n_i в направлении внешней нормали к 2n-i равны (dr^/dr) x
х Y{k) (х') = kYlk) (х') и (d//dr) У@ (х') = //° (х'). Кроме того, так
как Y(k) и У@ — (поверхностные) сферические гармоники, то и
н у — пространственные сферические гармоники. Таким образом,
в силу, теоремы Грина,
0=
1*1 «1
= J (u-^ y^.jrfx' =
(x') У@ (x') -
<0
x') K<0 (x')) dx' =
= (/ —ft) f Y{k)(xf)Y^(xf)dx'.'
Искомый результат получается отсюда делением на (I — k), что мож-
можно сделать, поскольку I -ф-к.
Будем рассматривать Жк как подпространство пространства
L*Brt_i) со скалярным произведением (/, g) = 1 f{x')g(x') dx'.
Пусть
!,
dk — dk-2, — ортонормнрованный базис
в Жк\ тогда, в силу следствия 2.4, множество U {У"!*1, ....
ft-=0
б Зак. 437

162
Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
будет ортонормированным базисом в L% Bn_i). Действительно,
если f?*0 ортогональна ко всем элементам этого множества, то
для всех конечных лннейных комбннацнй h элементов из U Жк<
ft=*0
невозможно, в силу следствия 2.3 (ii). Таким образом, если /
? La Bn_i), то существует единственное разложение
B.5)
/ = 2 Y{k),
А—О
где ряд справа сходится к / по /.'-норме н Ylk) ? Жь, причем
у« - 4f.1T»> + ... + #дУ* 6?> = (/,П\ / = 1, а,. Когда
п=»2, B.5) есть ряд Фурье функции /. В этом случае элементы
)«sin*e
V я
образуют ортонормированный базис в j?ft.
Функции V(ift) играют особую роль в теории рядов Фурье.
00
Например,-абелевы средние u(r,Q)= 2 ckrWem\ 0<г<1,
ряда Фурье интегрируемой периодической функции / просто вы-
выражаются в терминах /{*' и /. Точнее, используя основное три-
тригонометрическое тождество
cos @
= cos ф cos 0 + sin <p sin 0,
2я
> 9) =
B.6)
получаем
где
B.7) p(r
— ядро Пуассона для единичного круга (см. теорему 1.9 гл. II).
Покажем теперь, что подобная ситуация имеет место н для большего
числа измерений. Для того чтобы избежать случаев п = 1 нл = 2
(которые носят несколько исключительный характер и уже рассмот-
рассмотрены выше), в оставшейся части этого параграфа будем считать, что
п > 2.
2. Сферические гармоники
163
Фиксируем точку х' ? Sn_i и рассмотрим линейный функцио-
функционал L на Жк> который каждой функции Y ? Жк ставит в соответ-
соответствие число Y (х'). В силу самосопряженности конечномерного ев-
евклидова пространства Ж& существует единственная сферическая
гармоника Zp* такая, что
L(Y) = Y(xf)= $ Y(t')Zp(t')df
для всех Y ? Жк- Эта функция Z?' называется зональной гармони-
гармоникой степени k с полюсом х'. Установим несколько элементарных,
но важных свойств зональных гармоник.
Лемма 2.8. (а) Пусть {Yv ..., Ya) —ортонормированный
ak
базис в Жк\ тогда Zp(Г) « 2 Ym{x?)Ym(f);
(b) ti> вещественнозначна и Z$ С) = Zp (xr);
(c) пусть р — вращение; тогда Z%1> {pt') = Zp (f).
Доказательство. Так как {Yt, ..., Yak) — ортоиормиро-
ванный базис в Ж^ то
ZP =
Ym.
Но, согласно определяющему свойству зональных гармоник,
и часть (а) доказана. Предложенный вывод формулы для размер-
размерности пространства Жь не. зависел от того, каким считать $tk-—
вещественным или комплексным. Поэтому можно выбрать ортонор-
мироваиный базис в Жц* состоящий из вещественных функций.
Если это сделать, то очевидно, что функции 2?-' также будут веще-
вещественными. Часть (Ь) тогда немедленно следует из (а).
Положив ш'= pt't получим для У? Жь
2
V-l
(p4p)) (
Таким образом, в силу единственности представления линейных
функционалов, имеем ZjS- (p?) = Zp (*'), н часть (с) доказана.
Следствие 2.9. (a) Zp(x') = ак<а^ для всех х' ^Sn_i, где
ak — размерность пространства Жк и <ап-\ —площадь сферы Sn_i;

164
Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
(b) 2 I Ут (*') I2 = а*ш;Гч ддя всех ^ ? 2„_| независимо от вы-
бора ортоноржированного базиса [Ylt .... Y } в j^ft;
(c) | Zi?> (#') 1 < afcov!_i для всех xf и V из 2П—ь
Доказательство. Пусть *J h Xg — Две точки из 2лМ.
Существует вращение р, такое, что рх\ = х'2. В силу части (с)
леммы 2.8, получим
z/^> = ziVi)-
Х2 Х1
Следовательно, Zp {х'у—постоянная, не зависящая от х' ? 2Л—ь
Из части (а) леммы 2.8 видим, что эта постоянная с должна
ч
равняться 2 I Ут(х")\2* где {Yi, ..., Yak]—ортонормнрованный
ят=1
базнс в Жь. Но тогда
= \ cdx' ~ c<an-\.
Таким образом, c = aAo)-^j, что доказывает части (а) и (Ь).
Для доказательства части (с) заметим сначала, что из определяю-
определяющего свойства зональных гармоник следует, что
(i) ZJV)= $ ZPV)ZSV)*»(
для всех f и jc' из Sn-i. С другой стороны, если [Ylt ,.., УаА} —
ортонормироваиный базнс в Жк, то нз леммы 2.8 (а) и только что уста-
установленного результата следует, что
V
/71=1
для всех «' ^ 2П_1. Таким образом, в силу (i), неравенства Швар-
Шварца и последнего равенства, имеем
IZP (х') | < | ZP
и последняя часть следствия доказана1),
Ъ Читатель заметит, что при п = 2 лемма 2.8 и следствие 2.9 сводятся к из-
известным элементарным свойствам тригонометрических функций. Например, лем-
лемма 2.8 (а) сводится в этом случае к равенству B.6), а следствие 2.9(Ь) обобщает
равенство cosa8+ sina8 = 1.
2. Сферические гармоники
165
Из формулы B.7) видно, как ядро Пуассона для единичного круга
можно выразить в терминах зональных гармоник. Покажем теперь,
что такое же выражение справедливо в случае ,п измерений.
Вспомним, что^ядро Пуассона для единичного шара в Еп дается фор-
формулой (см. теорему 1.9 гл. II)
1 [ I x 12
для 0 < 1 * |< 1 = | V 1.
Теорема 2.10. Пусть х = гх\ г — \ х \ < 1; тогда
для всех t' ? Sn_i.
Доказательство. Из следствия 2.9 (с) и того, что
ak = dk-4_2 - [(п + 2ft- 2)/fe} ^ +_~
не превосходит постоянной, умноженной на fe"~2, вытекает, что
ряд
4 v ' ' м
сходится равномерно в каждой замкиутой области {л: ^ Н„; | х \ <
" 1}, "Рассмотрим теперь конечную линейную комбинацию
т
т
сферических гармоник u{f) =2 Xt (^) (гДе У\ € ЭД. Тогда
/—о'
в силу теоремы 1.10 гл. II, определения сферических гармоник н
единственности решения задачи Дирихле, функция
2 I'l'^C*') »=«(*)- J u(tf)p(t',x)dtf
должна быть непрерывной функцией прн | х \ < 1, гармонической
при | х 1 < 1 и равной а (х') при | х' \ =* 1. Но, в силу леммы 2.8
(Ь), определяющего свойства зональных гармоник и соотношения
ортогональности из следствия 2.4, имеем
( u(t')q(t\x)dt'=21 f К/(Г)9(Г.х)Л'^

166
Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
/=1
Таким образом, J \pty\ *) — q{i', x)]u(t')dt' = 0 для
всех ко-
нечных линейных комбинаций сферических гармоник. Поскольку
последние плотны в L2Bn_i) (следствие 2.3 (и)), a p{i',x\ и
q{t',x) — непрерывные функции переменной t\ отсюда следует,
что p(i\ х) = q\t', x), и теорема доказана.
Зональные гармоники можно охарактеризовать простым гео-
геометрическим свойством. Для того чтобы описать это свойство, опре-
определим параллель поверхности 2„_1, ортогональную к точке е на2п^х,
как пересечение единичной сферы с гиперплоскостью, перпендику-
перпендикулярной к прямой, проходищей через начало н точку е. Если р'—
вращение, оставляющее неподвижной точку е, то из леммы 2.8 (с)
следует, что Z?'(jO = zf)(px') для всех х' ? Srt-i- Но такое
вращение, очевидно, должно отображать параллель, ортогональную
к е, на себя; более того, для данных двух точек х\ н х\ на этой парал-
параллели нз двумерного случая следует, что найдется вращение р, остав-
оставляющее точку е неподвижной и такое, что рх\ = х\ (поскольку р
можно выбрать таким, чтобы оно оставляло неподвижным орто-
ортогональное дополнение к плоскости, порождаемой точками Х\ и х'$.
Следовательно, зональная гармоника Z?* с полюсом е постоянна
на параллелях поверхности 2n_i, ортогональных к точке е. Пока-
Покажем, что это свойство характеризует зональные гармоники с точ-
точностью до постоянного множителя. Заметим, что такие функции
инвариантны при вращениях, оставляющих неподвижной точку е.
Для использования этого замечания нам понадобится еще следую-
следующий результат: '
Лемма 2.11. пусть Р' — многочлен на En, n > 2, такой,
что Р (рх) = Р (х) для всех вращений р и точек х ? Еп; тогда
существуют постоянные с0, съ ..., ст, такие, что
РМ** %ск(зй+ ... +х%\
Доказательство. Всегда можно записать Р (х) =»
~ 2 ^ (х), где Pt — однородный многочлен степени /. Тогда для
2. Сферические гармоники
Каждого е>0и каждого вращения р
/ /
2 е'Р, (х) = Р{ъх) = Р (ерх) = 2
1 @
167
2
1=0
2
(=0
(рх).
Следовательно, Pt{px) =• Р^х), I =. О, 1,...,/. Положим F(x)~
*=\x\~lPi{x)\ тогда F — однородная функция степени 0, ин-
инвариантная относительно группы вращений (т.е. F {рх) =s F {х)
для всех вращений р). Но отсюда следует, что F — постоянная
функция: Р{х)=с\ для всех х^Еп. Таким образом, Р,(*) —
= c'f|xf. Поскольку Pt — многочлен, I должно быть четным, если
с]=?0. Итак, Р(х)= 2cfc|*f\ где ck^c^ ¦ k = 0, lf ...t m,
am — наибольшее целое число, не превосходящее //2.
Теорема 2.12. Пусть е*— точка на 2n-,i. Функция Y ?
€ Жк постоянна на параллелях поверхности 2,^, ортогональных
к точке е, тогда и только тогда, когда существует постоянная с,
такая, что Y = cZ%\
Доказательство. Уже было показано, что зональные
гармоники обладают этим свойством. Предположим, следовательно,
что сферическая гармоника У постоянна на параллелях поверх-
поверхности 2„_ь ортогональных к точке е. Если е!=аA. О, ..., 0) ?
? 2п-1 и т — вращение, такое, что e~tev то сферическая гар-
гармоника W со значениями W (xr) =Y{xx') постоянна на паралле-
параллелях поверхности 2rt_i, .ортогональных к ех. Есля мы покажем,
что IP = eZ^t то, в силу леммы 2.8 (с),
(y)
для всех у' g Sn_i. Следовательно, достаточно показать, что W =*
Пусть P(x)=*\x\*W(xf\x\) при х^=0 и Р@) = 0, Тогда если
р — вращение, оставляющее точку ег неподвижной, то Р(рх)==
= Р(х) для всех х$Еп. Все многочлены вида х^, т = 0, 1, „.,
также инвариантны относительно вращения р. Поэтому если за-
записать
к
P(x)=IiX\-iPj(x2t ..., хп),
то отсюда следует, что Ро, Р1( ..., Pk инвариантны относительно
р (заметим, что p{xlt хг, ..., хп) = (хи х'2, ..., x'J и отображение
(jc2, ..., хп)-*-(х'2, ..., х'п) есть вращение в (п—1)-мерном подпро-
подпространстве *! ч 0, причем любое вращение этого подпространства

168
Гл. iV. Свойства симметрии преобразования Фурье
можно получить таким способом, выбирая подходящее р). В силу
леммы 2.11, Р, = О, если /нечетно, и Р/{х2, ..., хп) = С](х$-{
• • ¦ ~Ь хпУ/2, если У четно. Положим
тогда нз доказанного следует, что
(i) P(*) = co*f + caxf~2?2+ ...
R={x\+
+
~
V.
Так как W — поверхностная сферическая гармоника, то Р
странственная сферическая гармоника. Таким образом,
про-
t—i
О = АР (х) = 2 [суп, +
/-о
x\
где a/ = (ft —2/)(А —2/—1) и Р/ = 2(/ +1)(п.+ 2/—1). Следо-
Следовательно, c2(/+i) = — (а;7Р/)с2/, / = 0, 1, ..., /—1. Но отсюда сле-
следует, что все коэффициенты с0, с2, ..., с2/ определяются по с0.
Таким образом, любые два ненулевых гармонических многочлена,
имеющие вид (i), отличаются лишь на постоянный множитель.
С другой стороны, мы показали, что любые два однородных мно-
многочлена степени А, сужения которых на Sn_i постоянны на па-
параллелях Sn—ь ортогональных к elt должны иметь вид (i). Так
как Zef (x/|x|)|xf обладает этим свойством и, кроме того, явля-
является гармоническим, то отсюда еледует, что W (х1) = Р (хг) = cZ\f (x')
для всех х' ? 2л-1, и теорема доказана.
Следствие 2.13. Пусть функция F^(xf) определена для
всех х', t/ ? 2„_1 и
(a) Ру — сферическая гармоника степени k для каждого у' ?
(b) если р — вращение, то F9y (pxr) = Fy> (x1).
Тогда существует постоянная с, такая, что /у (x')=cZp (x1)
для всех х\ у' ? 2n_i.
Доказательство. Фиксируем у' ^ Srt_i, и пусть р — вра-
вращение, оставляющее у' неподвижным. Тогда, используя (Ь), по-
получим
для всех х' из S,,—ь Но это означает, в силу предположения
(а), что /у—сферическая гармоника, постоянная на параллелях
поверхности 2я_ь ортогональных к у'. Согласно теореме 2.12,
существует постоянная с (у'), такая, что /у = c(y')Zp. Таким
образом, следствие будет доказано, если мы докажем, что с (у\)~
= с{у'^, когда у\ н 0д?2п-1. Для этого рассмотрим вращение о,
такое, что оу\ = у'2. Тогда, используя предположение (Ь), полу-
¦*
2. Сферические гармоники 169
чим с (у'2) Z*) (ох') = F . (ох') = F. (ох') = F - (•) = с {у[) Zf {x').
»2 *2  "\ 1
С Другой стороны," в силу леммы 2.8 (с),
Z{k) (x') - Zlh)> (ox1) = Z^ (ox').
Следовательно, с (у\) = с (у'2).
Зональные гармоники особенно просто выражаются через уль-
ультрасфер ическ не многочлены (илн многочлены Гегенбауэра) Pk- По-
Последние можно определить в терминах производящей функции. За-
Запишем
k=0.
где 0 < | г | < 1, | 11 < 1 и X > 0; тогда коэффициент Р\ @ на-
называется ультрасферическим многочленом степени k, ассоциирован-
ассоциированным с X. Выведем несколько наиболее элементарных свойств функ-
функций Ра. Полагая г = 0, вндим, что
(О РоA
Так как
1.
2A
rk = 2r% A -
~1 = 4f <' ~ 2ri
TO
при ft>l.
Из (i) и (и) следует, что {dldt)p\(t) = 2Х; следовательно, P\(t) —
многочлен степени 1. По индукции с помощью свойства (ii) по-
получим
(iii) Pk (t) ~ многочлен переменной t степени (в точности) ft.
Из этого свойства следует, что многочлены 1, t Г, ... выра-
выражаются в виде конечных линейных комбинаций многочленов Ро,
Pi", •-., PJfe, .... Тогда, в силу теоремы Вейерштрасса об аппроксима-
аппроксимации,
(iv) конечные линейные комбинации многочленов Pk (fy, k —
= 0, 1, ..., равномерно плотны в пространстве непрерывных функ-
функций на замкнутом интервале \—\, 11.
Поскольку
2 Р\ (-1) rk =
k—0
2rt
ft-=0
@ (- г)*,

170
Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
2. Сферические гармоники
171
имеем
(v) pJ(_/) = (-l
Следующее представление зональных Чармоинк вытекает из
этих свойств:
Теорема 2.14. Если п>2 — целое число, \ = (п<—2)/2 !|
и к = О, 1, ,.., то существует постоянная Ck,n, такая, что
' -у')
для всех х'', у' ? Ъп~\,
Доказательство* Пусть у'$Ъп-у, положим /у (x) =
=*\x\kP\{x* y'l\ х\), х$Еп, Если мы покажем, что Fy(x') удо-
удовлетворяет предположениям следствия 2.13, то теорема будет
доказана. В силу свойств (iii) и (v), если k четно, скажем ? =
т
= 2т, то Р\ @ имеет вид Р\ (t) — 2 d2jt2it тогда как если k не-
/-о
четио, скажем k = 2m + 1, то р? (/)
вом случае
« Поэтому в пер-
а во втором случае
S
В обоих случаях /у (а:) — (ненулевой) однородный многочлен
степени k.
Если р ¦— вращение, то р сохраняет скалярное произведение
и, следовательно,
во всех точках х*, tf ? 2»*i. Таким образом, условие (Ь) следствия
2.13 выполнено и нужно показать только, что Fy— гармоническая
функция. Мы уже отмечали (см. примеры 3 и 5 в начале § 1 гл. II),
что функция \х*-*х012*" гармонична по х в области ^
В частности, функция
B.15) s2-« x-?
= 1— 2S|*
—¦к
гармонична в области Л = Ла = {х^ Еп\ 0<|a:|<1/s} для фик-
фиксированных s#0 и tf €%n—i. Но отсюда следует, что каждый
нз коэффициентов Fy-(x) -= \ xfP\{x*y'l\ я |) должен быть гармони-
гармонической функцией по х. В этом можно убедиться, например, взяв
средние значения левой и правой частей равенства B.15) по сфе-
сферам с центром в точке х, лежащим в области Лг Так как левая
часть обладает свойством среднего значения (теорема 1.1 гл. И)
при O<s<s0<;ao, это же будет справедливо и для всех коэф-
коэффициентов /у (х) = 1 х \kPk (х • у'1\ х |). Отсюда н из теоремы 1.7
гл. II следует, что /у — гармоническая функция.
Ультрасферические многочлены можно использовать для полу-
получения некоторых важных ортогональных разложений функций.
Основное свойство ортогональности, необходимое для выполнения
таких разложений, является простым следствием только что доказан-
доказанной теоремы.
Следствие 2.16. Многочлены Р?*'2 (О, fc = 0, 1
попарно ортогональны по отношению к скалярному произведению
1
Доказательство. Пусть е= A, 0, ..., 0) н для x'?2n~i
определим 0, 0 < 6 < л, положив е • х' = cos 0. Интегралы по
2Л_1 можно вычислять, интегрируя сначала по параллели L& =
= [х* ^ 2л—i; e * х* *а cosG), ортогональной к е\ получив таким
образом функцию переменной 0, О<0<л, можно.затем проин-
проинтегрировать ее по интервалу [0, я]. Мера параллели Le равна
©rtJ.2(sin0) (площадь сферы радиуса sin в в Еп-^. Используя
этот факт вместе со следствием 2.4 н теоремами 2.12 и 2.14, по-
получим
0= [ Zle(xr)Zke(x')dxf *=
2
Еп —
inCk,n<un-2 J Pi"*'2 (cos 0) И1"'*'2 (cos 0) (sin 0)rt~2d0
0
„с,.„ j Pi"-2 (I) P?-™ @A- fl

172
Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
2. Сферические гармоники
173
Отсюда и из свойства (iv) ультрасферических многочленов полу-
получаем
обра-
обра/2
Следствие 2.17, Многочлены Ррч"*/2| k~0, 1,
зуют ортогональный базис пространства L2(l^l,1]; A— /2)
Завершив наше изучение сферических гармоник в основном с
точки зрения функций на сфере, покажем теперь, как их можно
применить для гармонического анализа функций на Еп. Точнее,
мы изучим подпространства $$k пространства La (?"„). Напомним,
что &ft было определено как пространство, состоящее из всех ли-
линейных комбинаций функций вида / (г) Р \х), где / пробегает все
радиальные функции, а Р — все пространственные сферические гар-
гармоники степени k, такие, что / (г) Р (х) принадлежит L2 (?"„).
В качестве подготовки к материалу § 3 сформулируем и докажем
следующую лемму:
ее
Лемма 2.18. Разложение в прямую сумму L?(En) = 2 Ф Ф*
справедливо в том смысле, что:
(а) каждое подпространство $k замкнуто;
,, (Ь) подпространства ©4 попарно ортогональны;
(с) каждый элемент из L2 (Еп) есть предел конечных линей-
линейных комбинаций элементов, принадлежащих $$k. Кроме того,
преобразование Фурье отображает $k на себя.
Доказательство. Пространство пространственных сфе-
сферических гармоник степени k, будучи изоморфным пространству
3€k, имеет (конечную) размерность ak = dk— dk-2. Пусть Plt .,,
..,, Pak-—ортоиормнроваиный базис в этом пространстве (со ска-
скалярным произведением, перенесенным с пространства L2 B,,_i)),
аи
Тогда каждый элемент из $ft можно записать в виде 2 fi(*)Pi(xh
i=\
Кроме того,
а. со
Отсюда с очевидностью следует утверждение (а). Попарная орто-
ортогональность пространств $$k непосредственно выводится из ортого-
ортогональности сферических гармоник (следствие 2.4) с помощью интег-
интегрирования в сферических координатах. Для доказательства свой-
свойства полноты (с) достаточно показать, что если функция из La (?"„)
ортогональна ко всем пространствам Jpft, то она равна 0 почти всю-
') Следствия 2.16 и 2.17 справедливы для всех \ > 0, а не только для
— (п — 2)/2. Однако для их доказательства нужны другие рассуждения.
ду. В силу полноты сферических гармоник на сфере, такая функция
должна обращаться в 0 почти всюду на почти каждой сфере с цент-
центром в начале координат, огкуда и следует наше утверждение.
Действие преобразования Фурье на $k будет предметом обсуж-
обсуждения в следующем параграфе. Однако элементарные рассуждения
позволяют доказать уже сейчас, что преобразование Фурье отобра-
отображает все пространства $$k на себя. Для этой цели достаточно рас-
рассмотреть функцию / € О- {Еп) П Ь2 {Еп) вида / (и) — /„ (р) Р («) =
= Р*/о (Р) У («'). где У ? Жк, р = |ы| и а = ри'. Поскольку
конечные линейные комбинации таких функций плотны в fQk, по-
последнее пространство будет инвариантным относительно действия
преобразования Фурье, если / ? $k для всех / указанного выше ви-
вида. Положив г — j х I н х = гх', получим
=:\ f0
enirpx'-a'Y(u')du'
dp.
Если мы теперь покажем, что существует функция ф на [О, оо),
такая, что
B.19)
при s > 0, то
J Г-Ы"' ¦«' Y {и1) dur = ф (s) Y {х')
и, -следовательно, / ? S$k.
Из определяющего свойства зональных сферических гармоник
Zp {v') и тождества Zp (v1) « Z?-1 (и') получаем
')dv'ldu' =
Обозначив выражение в фигурных скобках Fx> (v')t из теоремы
Фубини и следствия 2.4 непосредственно получаем, что Fx- как
функция у' ? 2n_i ортогональна всем пространствам$/, \Фк. Но,
в силу B.5), отсюда вытекает, что F* ? Жк- Применяя лемму
2.8 (с) и выполняя замену переменных u' = ow', находим, что
Fa* (of') — Fx' {v') для всех вращений о. Итак, в силу следствия
2.13 существует число с(— ф(з)), такое, что F* {v') = cZp {vr)

174 Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
для всех х', v' ? 2Я_1. Следовательно,
e—2ntsj;' *uf У (tt \ fill' ==- \ V fr}>\ P , /n'\ Hrtr ——
и равенство B.19) доказано.
3, Действие преобразования Фурье
на пространствах ф*
Мы показали, что преобразование Фурье радиальной функции
есть радиальная функция (см. следствие 1.2). В двумерном случае
была получена явная формула, связывающая две радиальные функ-
функции (частный случай к = 0 теоремы 1.6). Эта формула имеет есте-
естественное обобщение на п >¦ 2 измерений, и, как и в случае.п = 2,
в нее входит функция Бесселя.-Мы покажем, что этой функцией
Бесселя является У(п—2>/з* Когда п нечетно, (я •— 2)/2 не является
целым; следовательно, в этом случае У(п-2)/2 не будет функцией
введенного в § 1 типа. Однако мы покажем, что существует есте-
естественный способ так расширить введенный класс фуикцнй Бесселя,
чтобы включить те функции, которые нам встретятся. Для того что-
чтобы сделать это, установим следующее тождество (известное как пред-
представление Пуассона функций Бесселя):
Лемма 3.1. Пусть k
неотрицательное целое число} тогда
1
Г[B*+1)/2]ГA/2)
Доказательство. Определим jl, положив
ОТ
-*W- Г[Bй+1)/2]ГA/2) ^
Из определения У„ (см. § 1) с помошмо замены переменных s =
= sin 6 немедленно получаем, что Уо — Jq. Лемма будет, следова-
следовательно, доказана, если мы сможем доказать рекуррентную формулу
C.2) -J-(r*Gft@)«-r*G*+i». гФЬ * = 0,1
для обеих последовательностей [Jk] н [Jk}. Но
__
dt
3. Действие преобразования Фурье на пространствах
2л 2л
175
. I и (*
* 2я* J
В тоже время, интегрируя по частям и используя равенство
получим
Тк i '
^
/I _
A —
Введенный в лемме 3.1 интеграл определен для всех вещест-
вещественных k > —- 1/2. Следовательно, определив функцию Бесселя
Jk, где k — вещественное число, большее — Vs. равенством
¦МО-
при />0, мы получим более широкий класс функций, чем рас-
рассмотренный в § 1. _
Предположим теперь, что/ — радиальная функция нз Ll(En)t
со
т. е. /(*) = Ы|*|) для почти всех x^Ent где J |/0(r)|r»-ldr <
о
<оо. Тогда ее преобразование Фурье f — также радиальная
функция, следовательно, / (*) = Ml*!,) Для всех х?Еп- Значит,
если г = |х|, х= rx\ s= |«1 и и = sa\ Tot
Fo(r) = f\
'"'' da'

176
Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
3. Действие преобразования Фурье на пространствах
177
Внутренний интеграл можио вычислить методом, использованным
при доказательстве следствия 2.16. Сначала проинтегрируем по
параллели Le = [и' ? Sn-м; х? • и' — cos0}, ортогональной к х\ и
затем проинтегрируем полученную функцию переменной 0, 0<;
< 0 < л, по интервалу [0, я]. Таким обрезом, поскольку выра-
выражение e~2nirs<-K' "'' = e~2jlirs cos e постоянно на Le и мера этой па-
параллели равна ю„_2(sin 0)"~2 = Bп("-1>/2/Г[(п — 1)/2]) (sin 0)"~2,
получаем
= J е-ал/« cos
J
Г \{П — I)/2]
/1—21/2
Тем самым доказан следующий результат:
Теорема 3.3. Пусть f— радиальная функция из L1 (Еп),
п > 2, т. е. f (х) = /0 (| jc [) для почти всех х ? Еп. Тогда ее пре-
А А
образование Фурье f ¦— также радиальная функция вида f (x) —
— Л» (I х I) для всех х ? Ent где
00
J /0 (s)Jln^2),2 Bnrs) s"/2 ds J).
Эта теорема показывает, как преобразование Фурье действует
на пространстве Jp0. Обратим теперь наше внимание на простран-
пространства JQkt k >4. Начнем с рассмотрения действия преобразования
Фурье на одном важном классе функций.
Теорема 3.4. Пусть f{и) = er*\u\%P(и), и?Еп, где Р(и) —
пространственная сферическая гармоника степени k; тогда f (v) =
— i~kf (у) для всех v ? Еп.
Доказательство. Фиксируем t$En; тогда
1 Р(и + i)du =
P(t + ru') du'\ dr.
l> Причина, по которой как здесь, так и в теореме 1.6 мы рассматриваем дей-
действие преобразования Фурье на L1 (?„), а не на L* (Еп), заключается в том, что в
этом случае все встречающиеся интегралы определены в ^-смысле. Однако эти
результаты очевидным образом распространяются на пространство L2 (Я„).
Так как Р — гармоническая функция, то она обладает свойством
среднего значения (теорема 1.1 гл. II), и, следовательно,
\ Р (t + ru') du' = (йп-i Р (t). Таким образом,
Г е-яМ' р (а + 0 du = P (t)
= Р (t)
= Р (О-
Будучи многочленом, Р (t) = P{tu .... *„) имеет очевидное аналити-
аналитическое продолжение Р .(г)=Р (ги ,.., гп) иа все пространство Сп,
Прн этом из последнего равенства следует, что
-л1«12р {и + г) du = Р {г)
для всех г=х+1у={хг + iyp ..., хп + ^я) е-С„. В частности, для
z = — iv имеем
е-ФУР {и — iv) du = P{— iv) = (— i)kP (у),
где последнее равенство следует из однородности Р. Но п-кратное
применение интегральной теоремы Коши показывает, что
= f g-яи -«p (и —
n
где (ы + iv) - (и + iv) = 2 («у -f *y/J- Умножив теперь левую н
правую части на в-я1н1\ получим искомое равенство /(f) =
«(-0*/(»)-^/(о).
Теорема 3,4 позволяет изучать поведение преобразования
Фурье для более широкого класса функций. Положим g (х) =
= e-nl«*l! р (Х) = а-*/ (а*) для а; ? ?„ и а > 0. Если 6а обозначает
растяжение в а раз, то из равенства A.6) гл. I, теоремы 3.4 н
однородности Р{х) следует, что
C.5) g (х) = ark FJ)" (х) - crte-"/(сН*) = Г^а^^^^^'^Р (л).
С другой стороны, если ft — радиальная функция, определяемая
равенством h (х) =ч е-п1а*1г, д;^Н„+2й, то применение теоремы 1.13

178 Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
гл. I дает
C.6)
h (х) = х-п
Эти два равенства можно интерпретировать следующим образом.
Пусть 0т — гильбертово пространство функций ф, определенных
на интервале @, со) и таких, что
1/2
Ч]1ф('I
2 Т*-
<оо.
Пусть m = n-h2fe н Р (х) — ненулевая пространственная сфери-
сферическая гармоника степени k; рассмотрим функцию g (x) ¦=»
=y(\x\)P{x)t x$En. Тогда
где
а
fdx'\l/2. Таким образом,
, и, в
силу теоремы Планшереля, g ? L*(En), |g|, = |gb- Из B.19) и
последнего равенства норм следует, что g(x) = ty{\x\)P(x) для
почти всех х?Еп и что |^| = |ф|. Следовательно, положив
7^ф = ф, мы получим ограниченный линейный оператор Т\ на
0n+2k (в действительности оператор Т% изометрический). Подоб-
Подобным образом, рассмотрев радиальную функцию h, определенную
равенством h (х) = ф (| х \), х ? En+2k, мы получим другой ограни-
ограниченный линейный оператор Го иа 0n+2k- Для того чтобы за-
задать этот оператор, заметим сначала, что в силу следствия IJ2
функция h также радиальна, скажем h(x) =» 0( j x\) для почти
всех x?En+2k- Положив To+2ky — б, получим искомый ограни-
ограниченный линейный оператор на 0п+2к (и снова нз теоремы План-
Планшереля сразу следует, что То+ — изометрический оператор).
Равенства C.5) и C.6) показывают, что То+2*ф = 1*Г*ф, когда
<р(г)«е-*\ 8>0. Таким образом, операторы To+2k и ikTT сов-
совпадают на пространстве W всех конечных линейных комбинаций
таких функций ф с произвольными е>0. Но не трудно пока-
показать, чтоЗГ плотно в гильбертовом пространстве 0n+2if Если бы
это было не так, то иаШлась бы функция Ь ? 0n+2k, не равная О
ее
почти всюду и такая, что J ф (г) Ь (г) r'H-^'dr =s 0 для всех ф?
3. Действие преобразования Фурье на пространствах
179
В частности,
C.8)
ег^Ь (г)
-'dr = О
для всех е>0. Пусть Ф — функция, определяемая равенством
<b(s) = ^e~rtb(r)rn+2k^dr, s>0. Тогда, положив е = (т + 1), где
о
т — положительное целое число, и интегрируя C.8) по частям,
получим
Об « DO
О = ? е-™*Ф' (г)dr=2m§ е-^'Ф(г) rdr.
о о
Заменой переменных и — е~г* это равенство приводится к виду
1
0 = J «m-W|/logi-W m= 1, 2, ....
о ^
Поскольку многочлены равномерно плотны в пространстве не-
непрерывных на замкнутом отрезке [0, 1] функций, из последнего
равенства следует, что Ф (]/"log(l/u)) = 0 для всех ы ^ [0, 1], т. е.
Ф' (г) = ег^Ь (г) гп+'2к-х — 0 для почти всех г ? @, со), а это про-
противоречит лредположению, что Ь(г) не.равна О.йочтн всюду.
Так как операторы Го+2* и ikTk ограничены и совпадают на
плотном подпространстве W, то онн равны. Таким образом,
C.9)
для всех
0
n+2k-
В теореме 3.3 для преобразования Фурье радиальной функции
было получено выражение в виде интеграла, содержащего функцию
Бесселя. Равенства B.19) и C.9) показывают, что преобразование
Фурье функции из &ft вида /0 (| х |) Р (х), где Р (х) — пространст-
пространственная сферическая гармоника степени k на Еп, может быть выраже-
выражено в терминах преобразования Фурье радиальной функции, опре-
определяемой равенством h {у) — /0 ([ у |), у ? En+2k. Объединяя эти
результаты, получим следующую теорему (имеющую очевидное обоб-
обобщение на все пространство L1 {Еп) или L8 (?„)):
Теорема ЗЛО. Пусть п>2, « пусть f^L2{En) Л ^(Еп)
имеет вид f (х) = f0 (j х \) Р (х), где Р(х)~- пространственная сфе-
сферическая гармоника степени k; тогда f имеет вид f{x)=*
~F0(\x\)P(x), где
FQ (г) =
(s)

180
Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
Эта теорема с учетом того, что пространства fyk натянуты на
функции вида /0 (| х |) Р (х), дает обещанное описание действия пре-
преобразования Фурье на пространствах &ft.
Равенство, описывающее действие преобразования Фурье на
Jpft, естественным образом приводит нас к изучению поведения
функций Бесселя Jm (г). Вблизи нуля имеем тривиальную оценку
Зт(г)~СгГП ПРИ f-»-0. Поведение при больших г менее очевидно;
оно описывается следующей леммой:
Лемма 3.11. Jn (г) = ]/2/ш- cos (г — лт/2 — л/4) ~j- О {г-*'*)
при г ->- оо. В частности,
C.12) Jm(r) = O(r-1/*) при г-э-оо1).
Доказательство. Учитывая определение Jm{r) для т>
> — V»» нужно оценить интеграл
1
—1
Для этого рассмотрим односвязную область в комплексной плос-
плоскости, полученную выбрасыванием лучей (—оо, — 1) и A, со).
Затем выберем ту ветвь функции /(г) = A — г*)™'1, определен-
определенной в этой области, которая неотрицательна на отрезке [— 1, 1].
Интегрируя ^«A— ^)m~l/i = ^x+{y)(l~.[x-{-iy]Y^41 по пря-
прямоугольнику с нижней стороной [—1,1] и высотой а>0, по-
получим
а 1
О = J в*№и (у2 - 2iy)m~1/*dy + J е*' A - s2)m"'hds +
+
и
I
)m~lk
2iy)m~lkdy + е (а),
где е(а)-»-0 при а->-оо. Далее,
оо со
m~4i
_ 2iy)m~4idy =
Поскольку
Ц Для дальнейшего заметим, что, как показывает приведенное ниже доказа-
доказательство, оценки для членов О (г~~1/*) и О (г"*'1) равномерны по т, когда т пробе-
пробегает произвольный замкнутый ограниченный подинтервал интервала (—V2.+ co).
4. Некоторые применения
181
имеем
-^'t^-'hdy +0\\e-
+ 0 ( f e~ryy2m-ldy
Первый интеграл равен Bi)m~ 'T (m + V2) (e-'V^+H второй есть
0(г-т-'/^), а третий 0{e~r) при r-^c». Аналогично, /2 =
«(—2i)m-1/«r(/n+l/a)(e/7'*+Vf)+^(r~m~'/t) ПРИ г-^°°- Учитывая,
что Jm (г) =[(г/2)т/Г (т + Vi)г (Va)! (h—h)* получаем утверждение
леммы.
4. Некоторые применения
Многие важные операторы аналиаа являются сверточными опе-
операторами, т. е. переводят функцию / из некоторого функционального
пространства в свертку л * Д где К'—некоторая фиксированная
функция (нли, в более общем случае, обобщенная функция медлен-
медленного роста). Мы уже встретили несколько таких операторов.
Один из примеров -— интеграл Пуассона, где К {х) = Ку (х) =
— спу1{\ х |а+ у*){п+1)/2 для некоторого у > 0 (см. § 1 в гл. I).
Если функция / принадлежит пространству О (Еп) (или L? (Еп)),
то нз теорем 1.4 и 1.14 гл. I следует, что
для х € Еп (или для почти всех х ? Еп). Отсюда видно, что если
после действия этого сверточного оператора выполнить преобразо-
преобразование Фурье, то получится преобразование очень простого вида.
Например, если / ? L* (Еп), то из теоремы Планшереля и сходимос-
сходимости е~2пу\*\ к 1, когда у ->- 0, непосредственно следует, что lim | /—
'•— (Ку * /) h — 0. Здесь мы имеем особенно простой пример
следующей общей ситуации: преобразование Фурье сверточного
оператора приводит к мультипликативному оператору, многие важ-
важные свойства которого легко выводятся. Ядро Пуассона является
радиальной функцией. Другие ядра, которые мы будем рассматри-
рассматривать, будут либо радиальными, либо произведениями радиальных
функций на сферические гармоники. Ввиду теоремы 3.10 можно
ожидать, что преобразование Фурье такого ядра имеет тот же вид
(даже если это ядро не является L1- нли 12-функцией).
Наше первое применение связано с классом ядер, порождающих
сверточные. операторы, важные для теории преобразования Фурье
и теории уравнений с частными производными. с?го функции вида

182
Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
P (x)l I x p, где Р •— пространственная сферическая гармоника
степени А, а р — комплексное число.' Если К •— такая функция и
Re р < п + k, то она локально интегрируема и определяет обоб-
обобщенную функцию медленного роста, как это описано в примере C)
§ 3 гл. I. Значит, ее преобразование Фурье # определено и также яв-
является обобщенной функцией медленного роста. Следующий резуль-
тат утверждает, что К — обобщенная функция медленного роста,
когда р меняется в определенных пределах, и дает ее явный вид.
Теорема 4.1. Пусть а — комплексное число, такое, что
0<Rea<n, а Р(х) — гармонический многочлен на Еп, однород-
однородный степени А. Если К (х) = Р (х){ \ х |n+*-a, то
^Y^W/I'I*4"*. еде
Доказательство. Определим функцию Ki, положив
Ki(x) = К(х), если |х|<1, и Ki(х) = 0, если |х|>1; затем
определим Kit положив Кг = К — К\. Тогда К\ ? L1 (?„), и если
наложить дополнительное ограничение, что Rea<,n/2, то /Сг€
?L2(En). Из определения преобразования Фурье обобщенной
Л /Ч А
функции (см. C.15),' гл. I) следует, что К = Кг + Къ- Прибли-
Приближая Ki и К% функциями нз L1 {En) f) L2 (Еп) н нспользуя равен-
ство B.19), находим, что Ki н Кг должны иметь внд Ki(x)^
= /iA хI)Р(х) и К2(х) = [2(\х\)Р(х). Таким обр.азом, К(х) =
= f(\x\)P(x), где / = /а + /2. Если бы К 6 О- (Еп) П L* (Еп),
то нз теоремы 3.10 немедленно следовало бы, что / — однород-
однородная функция степени —(k + а). К несчастью, это не так, и поэтому
для доказательства свойства однородности нельзя непосредственно
применить эту теорему. Однако можно использовать теорему 3.10
и аппроксимационные рассуждения для доказательства того, что
для почти всех г >• 0
D.2) /(бг)- б-*"»/(г)
для всех 6 >• 0; это легко проделать, используя связь между пре-
преобразованием Фурье и действием растяжений на Еп.
Пусть <р <— основная функция (элемент нз &). В силу формулы
умножения (а фактически по определению преобразования Фурье
обобщенной функции медленного роста), имеем
K{x)y(x)dx= f K(x)v{x)dx..
?„
4. Некоторые применения
Положив х — Ьи слева их — б~!у справа, получим
&п I К фа) <р Fa) da = Ъ~п\к (b~lv) «p (б!») do.
183
Так как К (Ьи) == Ьа~п К (и), то
Ьа[ К (и) Ф Fa) du = Ь~п<\ К F~'i>) «p (b~]v) do. -
С другой стороны, преобразование Фурье функции ty со значе-
ннями <рF v) есть функция, определяемая равенством ij) (u) =
= 6"<pFa), u?En. Таким образом,
С (а) ф (ба) du=[ К u)ty (a) da =
для всех основных функций (р. Следовательно, K(v) = 6(
для почти всех о^?л и равенство D.2); получается непосред
ственно. Итак,
о о
для всех |>0, откуда f (г) =-Р{г) *= уг**"*. Это показывает,
что Я"Й = Y^(O/!M*+a Для почтн йсех ^^„, когда 0<Rea<
<! л/2. Для того чтобы вычислить у» положим ф(дг) = е~~п\*\*Р (х).
В силу теоремы 3.4, <f(t) — i <p (/), так что
@ {Р (t)/1 /1
Р @
я л
Переходя в этих интегралах к полярным координатам и сокра-
сокращая общий член \ [P(f)]%df, получим
2
во
J
Постоянная у легко определяется из этого равенства н соотношения
= 2 f e^

184 Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
Наконец, надо обобщить результат на всю полосу О
< п. Было доказано равенство
D.3) J [Р (х)/1 х\k+n~a] ^ (х) dx = yk,a [ {P (x)/\ x |*+a} ф (x) dx
Re a
для 0 < Re a < /г/2, где ф<—основная функция. Но каждый из
этих двух интегралов определяет аналитическую в полосе 0 <
< Re a < n функцию переменной а. Поскольку укЛ также опреде-
определяет такую аналитическую функцию, равенство D.3) должно выпол-
выполняться для 0 < Re а < п. Теперь наша теорема непосредственно
следует из определения преобразования Фурье обобщенных функ-
функций.
; Ядра вида К (х) = Р (х)/ \х \n+k, k > 1, порождают важный
класс операторов анализа *>. Ввиду теоремы 4.1 естественно попы-
попытаться обосновать переход к пределу при а ->¦ О и доказать, что
К @ =
р (о/
Первая трудность, с которой йы встретимся, заключается в том, что
К ие интегрируема в окрестности начала, функцию К, однако, мож-
можно использовать для определения обобщенной функции медленного
роста L, положив
D.4)
L(<p) = Iira
°
K(t)q>(t)-dt
для каждой основной функции ф. Чтобы убедиться в том, что
этот предел существует и определяет непрерывный линейный
функционал на пространстве & основных функций, заметим сна-
сначала, что для этого достаточно показать, что это верно для
lim \ K(t)y(t)dt (поскольку функция Ки определяемая ра-
венствами Ki(t) = 0 при [*|< 1 и Кг(t) = К(t) при jt\> 1, есть
обобщенная функция медленного роста). Так как А>1, то
P(t')dAdr = O.
J
Таким образом,
К @ ф @ d/= j i( (t) [ф (t) - ф @)] dt.
l) Эти операторы являются частным случаем класса Сингулярных интеграль-
интегральных операторов, который будет обсуждаться в гл. VI.
4. Некоторые применения
185
Но
Ф @ —Ф @) К (sup I (VV) (s) Щ /1.
Тогда, если t = \t\t\ то
' ") —Ф @)] | < /sup | (VV) is) |11 /* (Щ/ UT.
Следовательно, К (t) [ф (t) — <p @)] локально интегрируема н
lim
K(t)<p(t)dt=
J /С(О[<Р(')-Ф(ОIЯ
<
< (sup|(Уф)(s)|)
To, что L <— обобщенная функция медленного роста, следует теперь
из теоремы 3.II гл. I.
Обобщенные функции, получаемые предельным переходом D.4),
называются обобщенными функциями в смысле главного, значения.
Чтобы указать, что L — такой линейный функционал, определен-
определенный по функции К, обычно используют следующее обозначение:
f
K(t)<p(t)dt
для qjg^0. [P.V. = Principal Value = Главное значение, — Ред.]
В этом случае мы будем обозначать обобщеииую функцию также
буквой /С-
Поскольку K(f) = P(t)/\t\n+k, как мы только что видели,
определяет обобщенную функцию (в смысле главного значения),
ее преобразование Фурье /С определено как обобщенная функ-
функция медленного роста. Следующая теорема оправдывает переход
к пределу при а->0, о котором говорилось выше:
Теорема 4,5. Пусть Р (х) — гармонический многочлен на
Еп, однородный степени k > 1. Если К (х) = Р (х)/\ х \п+ , то
Доказательство. Нам нужно показать, что
@ т*
для всех основных функций ф. Теорема 4.1 утверждает, что
№ т*.« 1 {Р (О/11 \k+a) Ф (t) dt=\{P {t)i 11 \n+k~a) ф @ dt,

186
Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
4. Некоторые применения
187
когда 0 < а < п. При а -*¦ О левая часть равенства (И) стремится
к левой части равенства (i); следовательно, достаточно показать,
что
Пт \
<х-*0
Tait как интегралы функции Р (/) по сферам с центрами в начале
координат равны 0 и, как было отмечено выше, К @ [ф (*) — Ф @I
локально интегрируема, то, в силу теоремы о мажорируемой сходи-
сходимости,
Mm
С
f [P{ty\t\n
Но выше было показано, что последнее выражение равно иско-
искомому пределу P.V. [ {P{f)/\t\n+k\q>(t)dtt и теорема доказана.
Положим К<*> (*') = F*k) (х)/1 * |ft, где х ф 0, х* = xj \ x | и P{k) -
гармонический многочлен степени ?>1 (т.е. Y } — сферическая
m
гармоника степени k); кроме того, положим Q(*') = 2^ (^')*
Тогда из теоремы 4.5 следует, что %(х) = fi (x')f \х \п определяет
обобщенную функцию в смысле главного значения, преобразова-
преобразование Фурье которой равно
С учетом следствия 2.3 естественно рассмотреть более общие
ядра К, получаемые из функций Q e La (Srt-i), принадлежащих
замкнутому подпространству из La(Sn_i), порожденному сфери-
сферическими гармониками У4**, А = 1, 2, 3, .... Это есть в точности
пространство таких /Лфункцнй, что
D.6) J Й^Лс'-й
Положим /С (лг) = ?2 Iat')/ | Jt |"; тогда простое обобщение рассужде-
рассуждений, приведенных после равенства D.4), показывает, что
Mm J K(t)<p(t)dt,
где ф — основная функция, определяет обобщенную функцию в
смысле главного значения, которую мы будем обозначать также бук-
буквой К. При этом получим следующее обобщение теоремы 4.5:
Теорема 4.7. Пусть Q — функция из L2 (Sn_i), удовлетво-
удовлетворяющая равенству D.6). Тогда существует единственный набор сфе-
сферических гармоник К<*> степени k, таких, что
D.8)
о =* 2
причем ряд сходится по норме в 12B„_,). Функция, задаваемая
при хфО равенством К(х) =¦ Q{x')f | х\п, определяет, обобщенную
функцию в смысле главного значения, преобразование Фурье кото-
рой К есть однородная функция степени 0, т. е. К (х) = Qo (х*) =
= fio(^/ W) для хф-0. При этом Q0=
и ряд сходится по норме в La(Sn—i). Далее,
где Yio) =
D.9)
Обратно, любая функция Qo, однородная степени 0, сужение
которой на Sn_i квадратично-интегрируемо, удовлетворяющая ра-
равенству f Qo (х') аУ = 0 и имеющая разложение в ряд по сфе-
сферическим гармоникам, удовлетворяющее условию D.9), является
преобразованием Фурье обобщенной функции в смысле главного зна-
значения вида К (х) = Я (x')f \ х\п, где п ? L2 (S4_i) и удовлетворя-
удовлетворяет равенству D.6).
Доказательство. Представление D.8) вытекает из след-
следствия 2.3; оттуда же и нз соотношений ортогональностн следствия
2.4 следует, что
во
S|Ktt)f<oo.
Из теоремы 4.5 видно, что ук$я&}Гп12 прн ?-»-ао; следовательно,
должно выполняться неравенство D.9). Чтобы убедиться в том,
что К получается нз функции Qo описанным выше образом, рас*
смотрим ядро Кщ (х) = fi(M) {x')f\x\n = 2 Ylk) (x")f\x\n. Из тео-.
ремы 4.5 следует, что преобразование Фурье функции 1^т) (рас-
(рассматриваемой как обобщенная функция в смысле главного зна-
значения) есть однородная функция степени 0, сужение которой на

188
Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
2„_1 равно 2 Ур = SYftoV(ft). Таким образом, если <р — осиов-
ная функция, то из определения преобразования Фурье обоб-
обобщенной функции медленного роста следует, что
J K{m) (х) Ф (х) dx = Р. V. I К(т) (х) ф (я) dx.
Поскольку S^-^S >^ft) = Qo в L2(Sn_,) при m->oo (это
непосредственно следует из D.9)), то
lim j K(m) (х)ф(х)d* =
С другой стороны, рассуждения, приведенные после равенства D,4),
показывают,, что
D.10) P.V. j K{m)(x)<p(x)dx =
= J K{m)(x)[v(x)-i@))dx+ f K(m){x)v(x)dx.
\x\%\ \x\>\
m
Но нз 1}-сходимости 2 yik) -*- G при т -*¦ со следует, что правая
часть равенства D,10) сходится к
Таким образом,
\ Qa(xf\x\)<p{x)dx = P.V.
К
для всех основных функций ф, и нз определения преобразования
Фурье обобщенной функции К следует, что /С равна Qu(xl\x\)
при хфО.
Для того чтобы доказать последнюю часть теоремы, заметим
сначала, что если Qo разлагается в ряд по сферическим гармо-
никам 2 У$\ удовлетворяющий условию D.9), то ряд 2
где Y(k) в у^1оУок\ сходится в L2 B,,-i) к функции Q, интеграл ко-
которой по 2П_1 равен 0. Применяя к этой функции Q первую часть
теоремы, получим искомое обращение.
4. Некоторые применения
189
В более широком смысле приведенные результаты показывают,
что соотношение
P.V. \ К (х) ф (х) dx = lim f К (х) <p
е е-о wJ0
J K(x)<p(x)dxt
где ф — основная функция, а # (х) = Q (д:')/1 х\п зависит только
от интегрируемости функции Q на 2n-i н свойства D.6). Таким об-
образом, и в этом случае К является обобщеиной функцней в смысле
главного значения. Следующая теорема дает явный вид ее преобра-
зоваиия Фурье К.
Теорема 4.11. Пусть Q ? L1 B>п^\) удовлетворяет условию
D.6), Тогда функция, определяемая равенством f( (x) =Q(xt)/\x\n
при хфО, задает обобщенную функцию в смысле главного эначе-
ния, преобразование Фурье которой К есть однородная функция
степени0,так что К(х) = Qo (x1) —Q0{x/\x\)при хфО. При этом
для х1 ? Sfi_i, где sgn — знак-функция: sgn (s) = 1 при s >• 0, sgn (s) =
= — 1 при s < 0, sgn @) = 0.
Доказательство. Пусть Къ — преобразование Фурье
функции из Ll(En) со значениями Q (х*)/1 х\п при 0<е<|*|<
<CN и 0 для |лг| вне этого интервала.
Положим х = гх' и t~ptf, где ^, ^'g2ft_i; тогда
t, (дг)= J ^-2л- ——Л^ j Q( )|j-
Поскольку Q удовлетворяет условию D.6), последний интеграл
равен
1
cos 2ягр (х'« V) — cos 2лгр
р
Л1 —
sin 2ягр (х'

190 Гл [V Cgoucf0a симметрии преобразования Фурье
Но, как хорошо извесГН0»
С si
J
sin 2nrp
л
-С)
sins
мажорируется постоянней, ие зависящей от е, N, г н х' - ?, и
lim I —
Кроме того, при х' *
do =
2яге
COSS
-J.
COSS
Каждый из
HeTe^x
вычисления,
интегралов по абсолютной величине
' • f |), причем, как показывают простые 1
lim
)
coss
N-*<r 2w\x' -t'\N
Таким образом, мы пок^зали- чт0
Л .
в
н что^ эта сходимость мажорируется постоянной (ие зависящей
от е, N, г и х* • Г), уложенной иа 1 + log(l/|* -t |).
Из теоремы Фубй™ немедленно следует, что интеграл
\ |П(П|[1 + log A/| ^'^ D1 ^' конечеи Аля почти всех ^€
€X-i и определяет ^итерируемую иа Srt-i -функцию. Таким
<*5разом, в силу теоремы Лебега о мажорируемой сходимости,
lim
$V) = - J
4. Некоторые применения 191
С другой стороны, согласно формуле умножения,
J ^ 1x \n
где ф — любая основная функция. Теорема 4.11 теперь легко уста-
устанавливается переходом к пределу при е-»-0нЛГ-»-со и использо-
использованием определения преобразования Фурье обобщенной функции
в смысле главного значения.
Следствие 4.12. Если Q ? L2Bn_i)t mo функция Qo непре-
непрерывна.
Доказательство. В силу теоремы 4.7, Я допускает раз-
ложение в ряд по сферическим гармоникам 2 Yik)* a Qo =
= S Уок) = S yk,oYlk). Введем обозначения Q{m)= S У*} н QS,m) =
~ S УоЛ Тогда Qo™' непрерывна и, в силу теоремы 4,11»
Отсюда, в силу неравенства Коши -— Шварца,
Но интеграл
конечен и не зависит от х1, a
|Q(O —
nPH
¦~n-l
m~*oo. Следовательно, (QST'I равномерно сходится к Qo. Так как
функции QcT' непрерывны прн т = 1, 2, ..., то Qo тоже непре-
непрерывна, н следствие доказано.
Только что введенные обобщенные функции в смысле глав-
главного значения Q (х)/1 х \п дают пример обобщенных функций типа
(La, L2), обсуждавшихся в § 3 гл. I. Как будет показано в гл. VI, они
являются также обобщениымн функциями типа (Lp, Lp), I <Cp < °о.

192
Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
Следующее применение связано с еще одним методом суммиро-
суммирования интегралов. В гл. I (см. A.12)) были введены Ф-средние
Л1еФ(Л)= j Ф (еж) h {х) dx
интеграла f ht когда Ф принадлежит Са и удовлетворяет .равенству
Еп
Ф @) — 1. Когда Ф (х) = 0-1*1, имеем средние Абеля, а средние
Гаусса —¦ Вейерштрасса получаются при Ф (х) = е~№. Столь же
важный метод суммирования — суммирование по Бохнеру — Рис-
су — получается, когда
Фъ (*) = Ф (х) =
-И") при 1*|<1,
О при 1*1> 1
для 6>>О.'В этом случае обычно полагают е= \/R, так что
Если f e L1 (?„),
гл. 1)
= Ф н h(x)^f(x)e2nCt-x, то (см. теорему 1.16
\x\SR
суть средние Бохиера — Рнсса интеграла J /(д:) ё2*1*'*^, опреде-
определяющие обратное преобразование Фурье функции f. Если <р g
? L1 (?„), то, в силу теоремы 1.18- гл. I, Sr сходятся к f по норме,
а если, кроме того, <р удовлетворяет предположениям теоремы
1.25 гл. I, то
lim S%(t) —f{t) почти всюду.
Покажем, что эта форма обращення преобразования Фурье справед-
справедлива, когда S >• (п— 1)/2 1К
Для этого вычислим преобразование Фурье <р = Ф функции Ф.
При проведении этих вычислений будет полезным следующее тож-
тождество для функций Бесселя:
М Число (л — 1)/2 называется критическим показателем для суммирования
по Бохнеру — Риссу. Мы встретимся с ним снова в гл. VII.
4. Некоторые применения
Лемма 4.13. Пуспгь'\1 >• — 1/2; тогда
193
всех v > — 1 и t>0.
Доказательство. Разложим
2 (Us)f/j\; тогда'из определения Jk(t),
легко получаем, что
D.14) . A0)^V,_ n/_^)*+2' 1}
в степенной ряд
V». данного в § 3,
i
/=о
Гг"-1
Таким образом, с учетом равенства D.14) имеем
ft
;V+1
Fn+v+i
@,
и лемма доказана.
х) Прн выводе этой формулы полезно заметить, что определяющий Jk инте-
интеграл равен 2 I (coste) A —sa)Bfe~1ds. При этом коэффициенты степенного ряда
\,4Л4) содержат выражения \ s2^ (I — sa)B ""'^ds, которые легко вычисляются
о
ю изв
Г (х) Г
с помощью хорошо известного соотношения
1
' Зак. i$T

194 Гл. fV. Свойства симметрии преобразования Фурье
Теорема 4.15. Если функция Ф* определяется равенством
при |*| <1,
при \t\>\,
где 6 > 0, то
Доказательство. В силу теоремы 3.3
Ф (*) =
1
J A -
о
Применяя теперь лемму 4.13 с v = S и ц = (п — 2)/2, вндим, что
последнее выражение равно
Г"~2)/2 (глГ^г'Г F + 1) | х Г*
2л | х Г"~2)/2 (глГ^г'Г F + 1) | х Г* V-siw+i Bл | х |),
Л
что, очевидно, приводится к искомому выражению для Ф(дг).
Из равенств C.12) и D.14) следует, что ф—Ф принадлежит
пространству Ll{En) при 6>(/г—1)/2; кроме того, <р удовлет-
удовлетворяет дополнительным предположениям теорем 1.18 и 1.25 гл. I,
так что справедливо
Следствие 4.16. Если}? Lp(En), 1 <р< оо, aS% = <pfi/j?)*/»
где фA^) (лг) = #4 (Я*) для К>0 и 6>{п— 1)/2, то:
(a) ISj-fb-i-O яра К->оо;
(b) limSj(x) = f (х) для всех х из лебегова множества функ-
ции f (в частности, -это равенство выполняется для почти всех
х € Еп).
5. Дальнейшие результаты -
5.1. Теорема 1.1 легко обобщается до результата, описываю-
описывающего связь между преобразованием Фурье и произвольным не-
невырожденным линейным отображеиием пространства Еп на себя.
Пусть о —такое отображение, и пусть а — отображение, обрат-
обратное к сопряженному к а (или сопряжеииое к обратному к а). Ото-
Отображение (J называется контраградиентным к а. Определив
действие отображения а на функцию / равенством (Яа/) (д;) =
= / (ах), получим следующий результат:- если / ? L1 (?„), то
(ЗДЛ = |detgl~1?~/,T.e.^fl0=ldetar1#~#'. Доказательство не
сложнее, чем доказательство теоремы 1.1: поскольку якобиан за-
5. Дальнейшие результаты
мены переменных s = <it равен [detap1, имеем
195
5.2. На тесную связь ортогональных преобразований и преоб-
преобразования Фурье указывает еще следующий результат (сообщенный
иам Р. Койфмаиом). Пусть а — непрерывное взаимно однозначное
отображение Еп иа себя, такое, что Ra коммутируете преобразова-
преобразованием Фурье; тогда a — ортогональное преобразование. Чтобы убе-
убедиться в этом, заметим сначала, что по предположению
(RoPf) @) = (ГК3/) @) для всех / € L1 (?„).
Применяя это равенство к функции f (x) =*g(x) e-2rfo"~Iw-y, x?
6 Ent с фиксированным у ? ?„, получим
0= f [e-2n{x-aWe-2nia~li*)-vg(x)—e-2jli*-vg((jx)]dx.
Но, опять по предположению,] e~2n{x-vg{Gx)dx= ]
x)dx,
так что
0= f
для всех g из L1 (Еп), где h = ст @). Следовательно,
0~2ttHx-h+a-hx)-y) = е-2л{х-а(У) дЛЯ всех ^ у ^Еп. Таким образом,
jc . ft + о—1 (д:) • у = Jt • ff (у) + 2йя для некоторого целого ft; при
этом из непрерывности а следует, что k — постоянная. Полагая
х — 0, получим а-1 @) • у = 2йя для всех у ? 5„, откуда k = 0.
Значит, ft = a @) = 0, поскольку а~1 @) == 0. Следовательно, мы
показали, что о (х) • у =х • а(у) или, эквивалентно, * • у =
=> а (дг) • а (г/) для всех # ? ?„. Итак, ст — изометрйя, отображаю-
отображающая 0 в 0. Но отсюда, очевидно, следует, что а — ортогональное
преобразование.
5.3. Пусть р (х, у), х, у С Еп* "-* невырожденная вещественная
симметрическая квадратичная форма (необязательно положитель-
ная). Тогда отображение t ~*x (t) = е2™'^*-'), где х 6 ?« фикси-
фиксировано, называется характером (под этим понимается непре-
непрерывное отображение пространства Еп в множество комплексных чи-
сел, равных 1 по модулю, такое, что л; (з -{•{]=> х (s) x (f) для любых

196
Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
s и t из Еп). Введя умножение по формуле х± х2 (i). = хг (f) x2 (f),
множество всех характеров можно превратить в группу: группу харак-
характеров на Еп. Отображение х -> х есть изоморфизм Еп в его груп-
группу характеров. Нетрудно показать, что оиЬ является отображением
«на»; таким образом, мы можем «отождествить» Еп с его группой
характеров. Ясно, что это отождествление зависит от билинейной
формы р.
Определение характера и группы характеров очевидным обра-
образом обобщается на произвольную локально компактную абелеву
группу G, однако в общем случае G и ее группа характеров ие-
изоморфны. В абстрактном гармоническом анализе преобразова-
иием Фурье функции f из L1 (G) называется функция f, зиаче-
иие которой в точке х равно f(x) = ] / (t)x(t)d\i(t), где (г — мера
а.-
оо.
5. Дальнейшие результаты
197
Тогда ее преобразование Меллина Mf (s) = M (s) определяется ра-
равенством
М
(s) = j/W
dx
при Re s = 0. Пусть fx и f2 удовлетворяют условию интегрируемости;
тогда этому условию удовлетворяет их мультипликативная сверт-
свертка fx > /а, определяемая равенством
причем Mfl.ft(s) = M,ft(&)M,fa(s). Преобразование Меллниа есть
мультипликативный аналог преобразования Фурье, и многие его
элементарные свойства можно вывести из свойств преобразования
Фурье на ?х заменой переменных х -*¦ ех, переводящей ?t в @, оо).
В этой связи представляют интерес следующие тождества:
Mf (s) _ ^-^r ^±1)/Г (ц- 4^
(а)
¦+ I
при f(x)^=xa-»-Jv,(xI где а>0, \i>a — V». Случай, когда \i —
целое или полуцелое, по существу эквивалентен теореме 4.1
(если считать теорему 3.10 известной).
(Ь) Пусть Ш=х-»+Ч»(х) и /2(x)=^-^-2v+1(^2-0V/2vr(v+I)
при х > 1, ft(x) = 0 при 0<х<1. Тогда f (х) =
= (fi' fa) № = л—»*-v+1Jn+v (*) ПРИ всех v > — 1 и \i > — Va- Это
тождество эквивалентно утверждению леммы 4.13. Другое дока-
доказательство этой леммы можно получить, показав, что Mf(s) =
= Mfl (s) Ми (s).
Доказательство тождества (а) н другие сведения о преобразова-
преобразовании Меллина имеются в книге Титчмарша [2].
5.5. Во второй главе было показано, что гармоническая функ-
функция имеет непрерывные частные производные всех порядков (см. тео-
теорему 1.7 гл. II). Из интегрального представления Пуассона (см. тео-
теорему 1.10 н следствие 1.11) и теоремы 2.10 немедленно следует, что
гармоническая функция вещественно-аналитнчна.
5.6. Лемма 2.11 эквивалентна утверждению, что единственные
дифференциальные многочлены с постоянными коэффициентами,
коммутирующие с вращениями,—« это многочлены от лапласиана.
Точнее, при п > 1 эта лемма эквивалентна следующему утвержде-
утверждению:
Пусть P(D)y D =* (d/дхц .... д/дхп), есть дифференциальный
многочлен на Еп с постоянными коэффициентами; тогда Р (D) R0 »
п п
обычное преобразование Фурье. В этой главе мы использовали
тесную связь между преобразованием Фурье н ортогональной
группой. В общем случае Гр аналогичным образом связано с
ортогональной группой, ассоциированной с |3: группой Ор (п) всех
линейных преобразований а пространства Еп, оставляющих ин-
инвариантной квадратичную форму fj (т. е. fJ (ox, ay) = fj (x, у) для
всех х, у?Еп). Пусть а^Ор(л), a Ra обозначает действие пре-
преобразования о на функции, определенные на Еп (см, п. 5.1); то-
тогда рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 1.1,
показывают, что RaT$ = ГрЯо. Более того, результат 5.2 также
обобщается на этот случай: если а—непрерывное взаимно одно-
однозначное преобразование Еп на себя, такое, что Ra коммутирует
с 7р, то а^0р<л),
5.4. Мы уже подчеркивали важность группы растяжений. Роль
этих преобразований еще более прояснится в связи с рассмотрением
преобразования Меллина, в терминах которого некоторым получен-
полученным в этой главе результатам можно дать новую интерпретацию.
Пусть / —. комплекснозначная функция, определенная иа интер-
интервале @, оо) н удовлетворяющая условию интегрируемости
мы нолучнм «преобразование Фурье» Т = 7р для каждой невы-
невырожденной вещественной симметрической квадратичной формы |3:

193
Гл. IV. Свойства симметрии преобразования Фурье
= RoP (Щ для всех врашрний о ггпгда и гпулько тогда, когда
P(D) = cQI + c1A + ••• +стАт, где A = 2?
5.7. Мы определили ультра сферические многочлены Рь в терми-
терминах производящей функции A — 2rt + га)~\ Однако при X = О
удобнее рассматривать многочлены Чебышева Tk, для которых про-
производящая функция равна
log(l— 2rt + r*) = — 2 S
(О
В такой ситуации необязательно исключать двумерный случай,
как это часто делалось в § 2. Например, если использовать много-
многочлены Чебышева, теорема 2.14 будет справедливой и при /г —2.-
5.8. Важная связь между группой вращений SO (n) и сфериче-
сферическими гармониками возникает при изучении унитарных представ-
представлений этой группы. Отображение о -> Rg-i, где Ra-i — оператор
на L2 (Sn-i), определяемый равенством (Ra~i f) (х) = / (о~' х), яв-
является унитарным представлением группы SO (n). При этом суже-
сужение Ra~] иа какое-либо подпространство J?fe, k = О, 1, ..., дает не-
неприводимое представление группы SO (n). Когда размерность п
равна 3, все неприводимые представления группы SO (n) можно
получить таким способом. Группу SO (п — 1) можно естественным
образом отождествить с подгруппой G (п, х') группы SO (n), состоя-
состоящей из всех вращений о, оставляющих неподвижной фиксирован-
фиксированную точку х' ? 2ц_1. Из леммы 2.8 видно, что в каждом из подпро-
подпространств Жк существует ненулевой вектор (а именно ZX'), оставляе-
оставляемый неподаижным всеми операторами Ra, где о пробегает подгруппу
G(n, xr) (~ SO (л*— 1)). Среди всех неприводимых представлений
группы SO (n) представления, описанные выше, с точностью до
унитарной эквивалентности характеризуются существованием та-
такого вектора, инвариантного относительно SO (п —1) (см. Вейль Г.
[ЦиБорнер [1]).
5.9. Следствие 3.12 обобщается на случай Q ? Lp Brt_i), /?>1.
Отличие в доказательстве несущественно: вместо неравенства
Шварца используется неравенство Гёльдера, а для приближения
функций сферическими гармониками вместо /Лнормы использу-
используется ?р-иорма. Дальнейшее уточнение этих рассуждений показы-
показывает, что результат все еще справедлив, когда | Q ] log+1Q \ инте-
интегрируема (где log+*=log* при-лг>1 и log+jt = 0 при 0<
5.10. Аналоги подпространств фА можно, очевидно, определить
и для Lp(En), 1 <р<оо. Заметим, что если f(x) ~fo(\x\)P(x) €
5. Дальнейшие результаты
199
?lf(En), 1<р<2, то ее. преобразование Фурье / дается фор-
формулой C.10), где сходимость понимается в смысле If (En) -нормы
(см. A.2) гл. V). При этом оценки леммы 3.11 для функций Бес-
селя приводят к следующим утверждениям: (a) f(x) эквивалентна
функции, непрерывной прн x=?Qt если 1 <р< 2п/(п + 1);
ф)еслн к<{\1р — 1и)п~х1г> то/ прн хфОпринадлежит к классу
С*; (с) при р = 1 последнее условие можно заменить на k <
<(/г—1)/2 (результаты такого типа были сообщены нам Н. Ва-
раполусом). Эти утверждения являются простыми следстви-
следствиями леммы 3,11, неравенства Гёльдера н равенства (t~ Jk(?))r —
= -t'kJk+i(t) (см.. <3.2)). .
Библиографические замечания
Мы привели только те свойства функций Бесселя, которые были необходимы
для изучения преобразования Фурье. Полное рассмотрение этого предмета можно
найти в книге Ватсона [1] или в труде «Высшие трансцендентные функции» под
ред. ЭрдеЙи[1],т. 2. В этом же труде читатель может найти дальнейшие сведения о
сферических гармониках, многочленах Гегенбауэра и Чебышева. Более раинне
fe3yflbTarbi о действии преобразования Фурье на пространствах $>k c#- у Хекке
1], Бохнера [б] и Герца [1]. Другое доказательство теоремы 4,1 см. у Кальдеро-
на [3]. Преобразования Фурье ядер К (х) = Q (х') /Ы". впервые были подроб-
подробно изучены Михлиным [1] и Кальдероном и Зигмундом E]. Свойства группы вра-
вращении можно использовать для дальнейшего .развития результатов, полученных в
этой главе. См. Виленкнн [1], Койфман и Вейс[1].

Глава V
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ОПЕРАТОРОВ
Пусть Т — линейный оператор, отображающий некоторое линейное простран-
пространство Jt в другое линейное пространство %. Пусть Ао, At— банаховы подпростран-
подпространства пространства Jh, a Bo, Bt —банаховы подпространства пространства ^.та-
^.такие, что оператор Т, суженный на At, непрерывно отображает его в 5;, i = 0, 1.
В случае когда это имеет место, часто можно показать, что существует бесконечно
много пар «промежуточных» банаховых пространств (А, В), А С $, В с $$, та-
таких, что сужение оператора Т на А непрерывно отображает А в В, Общие теоремы
такого рода называются интерполяционными теоремами для линейных операторов
и имеют много важных приложений в гармоническом анализе. Мы уже встретились
с примером подобной ситуации, когда Jh = ^g— пространство обобщенных функ-
функций медленного роста, Т — преобразование Фурье, А, = Ll (Еп), BQ = L°° (Еп)
и А±= L2 (Еп) = Вх. В этом случае сужение оператора Т на I? (Еп), 1 ^ р ^ 2,
непрерывно отображает это пространство в LQ (Еп), где (Мр) + A/?) = 1. Это сле-
следует из основной интерполяционной теоремы для пространств IP — интерполяцион-
интерполяционной теоремы М. Рнсса. Мы изучим эту теорему и некоторые ее приложения в пер-
первом параграфе этой главы. Существует другая интерполяционная теорема, где не
налагается такое сильное условие, как ограниченность в «концевых точках»
(Ао, Во) h^ii^j); более того, можно заменить условие линейности Т некоторыми
более слабыми условиями. Эта теорема, известная как теорема Марцннкевича,
применяется к оператору максимальной функции / ~> tnft который был изучен во
второй главе. Параграф 2 этой главы посвящен приложениям теоремы Марцинке-
внча. Содержание этой теоремы лучше всего проясняется, когда она обобщается на
семейство функциональных пространств, содержащее пространства Lp. Это се-
семейство — пространства L (р, q), а также обобщенная версия теоремы Марцинке-
вича изучаются в § З^В § 4 строится обобщение теоремы М. Рисса на случаи, когда
операторы изменяются достаточно гладким образом на «промежуточных» парах
банаховых пространств.
1. Теорема М. Рнсса о выпуклости и интерполяция
операторов, определенных на пространствах Lp
В предыдущих главах мы встретили ряд операторов, дейст-
действующих на пространствах If. Один класс таких операторов
состоит из сверточных операторов, определяемых функциями нз.
Lp(En)\ фиксируя f ? Lp (Еп), мы получаем оператор Т, перево-
переводящий функцию g? Ьг(Еп) в функцию f*g. Из теоремы 1.3 гл. I
видно, что Т — ограниченный оператор, определенный на Ьг(Еп)>
со значениями в Lp(En), причем операторная норма ЦТI* не пре-
1) Если Т — ограниченное преобразование из U в Ls, то мы обозначим его
норму О ГЦ, т. е. ||T| = inf {ft>0; ЦГ/J, <fc|/|Ir для всех f ? Lr).
/. Теорема М. Рисса о выпуклости
201
восходит \\ЦР. С другой стороны, прямое применение неравен-
неравенства Гёльдера показывает, что Г, кроме того, непрерывно ото-
отображает V\En) в L°°(En), где A/р) + A/р') = 1, причем, как
и в предыдущем случае, операторная норма |Т|| не превосходит
||/||р. Поскольку Т определен на L1 (Еп) и на Lp' (?„), существует есте-
естественное продолжение оператора Т на все пространства U (Еп), ког-
когда 1 < г < р'. Пусть g$U (En); тогда существуют gj e L1 (Еп) и
g2 ? Lp' (En), такие, что g = gx -i-gz, и можно определить Tg как
Tgx + Tg2 (ясно, что Tg не зависит от конкретного выбора раз-
разбиения g в сумму gi + gaI'. Естественно, следовательно, спросить,
отображает ли Т пространство V (Еп) непрерывно в некоторое
пространство V (Еп)? Мы уже упоминали без доказательства
(см. D.3) гл. I), что это имеет место, когда (\/q) = (Up) + (I/'") —
— 1, причем |ГЦ опять не превосходит ||/|р, т. е.
0-1) \\f*gh<UUgl
|р,
для всех f ? Lp (Еп) к g ? I/ (En). В этом параграфе будет пока-
показано, что это неравенство (известное как неравенство Юнга) лег-
легко получается из общего результата для линейных операторов,
действующих в пространствах if.
Этот общий результат можно применить и к преобразованию
Фурьер. Мы рассматривали ер в основном как линейный оператор,
определенный на L1 (Еп) и 1} (Еп). Теорема 1.1 (а) гл. 1 утвержда-
утверждает, что первое пространство непрерывно отображается в L°° (En)
с операторной нормой < 1, а теорема Планшереля показывает, что
второе пространство отображается на себя с операторной нормой,
равной 1. По причинам, приведенным в предыдущем абзаце, ер имеет
естественное продолжение на «промежуточные» пространства
If (Еп), 1 < р < 2 (см. также замечания в конце § 2 гл. I). Будет
показано, что эти пространства непрерывно отображаются опера-
оператором ер в lf'(En)t где A/р) + (VIр!) — 1, с операторной нормой
< 1. Это означает, что если f ? If (?„), 1 < р < 2, то /=г .?F f €
е lp' (En) и
A.2) ifKlfl- ¦ ¦ -
Этот результат известен как неравенство Хаусдорфа1—Юнга.
Для того чтобы сформулировать вышеупомянутый общий ре-
результат для линейных операторов — теорему М. Рисса о выпуклос-
выпуклости, необходимо ввести несколько новых понятий и обозначений.
11 Например, положив g, (х) = g (х), когда [ g (х) \ > 1, и gv (х) = 0, когда
(х) I < '» получим такое разбиение.

202
Гл. V. Интерполяция операторов
Пусть (М, М, ц) — пространство с мерой ". Обозначим через
V (М), 1 < р <С со, пространство всех комплекснозначных функ-
функций /, таких, что | / |1р = (J | / |" d\i)llp <C оо. Как и в случае, ког-
м
да М = Еп (см. начало главы I), мы используем то же самое обозна-
обозначение IP (M) для пространства классов эквивалентности, получае-
получаемых, если считать эквивалентными две функции, совпадающие поч-
почти всюду; полагая норму класса, содержащего функцию /, равной
| / []р, получим банахово пространство. Те же замечания относятся и
к пространству С° (М) существенно ограниченных измеримых
функций, если определить |/ |м для / ? С* (М) как существенную
верхнюю грань | / |.
Пусть/—измеримая функция; срезом функции / называется
функция g, определяемая равенствами g (х) — / (х) при гх <
< [ / (х) | < г2 и g (х) = 0 в противном случае, где гх и г2 — неко-
некоторые неотрицательные числа. Пусть Т—оператор, отображаю-
отображающий линейное пространство D измеримых на (М, М, ц) функций в
пространство измеримых функций, определенных на другом про-
пространстве с мерой (N,jff*, v). Будем считать, что О содержит характе-
характеристические функции всех множеств коиечной меры и что для каж-
каждой функции / ? D любой ее срез g принадлежит D. Если существу-
существует постоянная k > 0, такая, что
Ц fl « k
для всех / ? D П if (Щ, то говорят, что Т—оператор типа
(р, q). Наименьшее число к, для которого выполняется это неравен-
неравенство, называется (р, q)~HopMou оператора Г.
Теорему М. Рисса о выпуклости можно теперь сформулировать
следующим образом:
Теорема 1.3. Пусть Т — линейный оператор типа (Pi,Qi)c
(Pi. Яд -нормой, равной klt t = 0, 1; тогда Тесть оператор ти-
типа {ри qt) с (pit qt) -нормой kt < *о~"Уь где Щ = A — t)lp0 + t/pt
и \iqt « A - f)lq0 + t/qu 0 < t < 1 a>.
Прежде чем доказать эту теорему, покажем, как из нее по-
получаются неравенства A.1) и A.2). Мы отмечали, что Г: g-+
-*/*g есть оператор типа (#,, ^) = A, р) и (рь qj = (pf, oo)
J Здесь М — множество, о/И есть о-алгебра измеримых подмножеств множества
М и ц — мера, определенная на »#. Мы рассматриваем только о-конечные прост-
пространства с мерой, так что справедливы все стандартные результаты теории меры,
такие, как теорема Радона — Никодима и теорема Ф. Рисса о представлении ли-
линейного функционала.
2) В случае когда р^, pv q0 или цх равно со, как обычно, полагаем 1/с-Р =р.
/. Теорема М. Рисса о выпуклости
203
(его область определения D содержит все пространства С (?„),
1 < г </?'), причем его A, р) -норма и {р\ оо)-норма не превосхо-
превосходят \f 1р. Таким образом, Г —оператор типа (р{, qt), 0</<lf где
1=1
| * - _
' оо
I — f
Положив г = pt к q — qt, получим
I—
__! i
| '
При этом (г, </)-иорма оператора Г не превосходит |/|р |/рр
=| /||р. Ноэтои есть неравенство A.1). Аналогично, поскольку пре-
преобразование Фурье есть оператор типа A, со) и B, 2) с нормами,
ие превосходящими 1, применение теоремы 1.3 с t = 21 р' дает нера-
неравенство Хаусдорфа — Юнга A.2).
Часто бывает полезной следующая геометрическая интерпрета-
интерпретация теоремы М. Рисса о выпуклости. Пусть Q — квадрат на плос-
плоскости, вершины которого находятся в точках @,0), A,0), A,1)
и @,1). Если Г — оператор, удовлетворяющий предположениям
теоремы 1.3, то можно поставить ему в соответствие точки ха =
= A/ро. 1/<7о) и х, = {1/ри l/</i), указав тем самым, что Г— оператор
типа (р0, (/„) и (/7„ ft). Когда t меняется от 0 до 1, точка х, = {\1ри
\lqt) пробегает отрезок прямой, соединяющий точки jt0 и хх\е теоре-
теорема 1.3 утверждает, что для каждой точки (а, р) этого отрезка Г есть
оператор типа A/а, 1/р).
Теорему 1.3 называют теоремой о выпуклости потому, что функ-
функция <р \t)t равная логарифму (ри ^)-нормы оператора Г, является
выпуклой. При этом множество всех точек A/р, 1/</), таких, что Г —
оператор типа (р, </), есть выпуклое множество. Мы покажем, что
теорему 1.3 можно вывести из классического результата теории
функций, связанного с логарифмически выпуклыми функциями.
Этот результат — одна из теорем типа Фрагмеиа — Линделёфа
(см. п. 5.2 гл.' II) — известен как теорема о трех прямых и может
быть сформулирован следующим образом:
Лемма 1.4. Пусть F — ограниченная непрерывная комплекс-
нозначная функция на замкнутой полосе ' S = \х + iy = г ? С;
0<х<1}, аналитическая внутри S.EcAu\F{iy)\^tn0 u\F(l-\-
+ iy) | < m, для всех у, то \F(x + iy) | < тЪ~хт* для всех г =
— x-\-iy^S, m, е. если положить kx = sup {| F (x -\- iy)\\ — оо <
о} для 0<х<1, то <р(х) = logkx — выпуклая функция.

204
Гл. V. Интерполяция операторов
Доказательство. Очевидно, можно считать, что пг0 и тх
положительны. Тогда, рассмотрев, если необходимо, функцию
F(z)/mo~2tnb можно свести задачу к случаю, когда то= 1 =тх.
Таким образом, будем считать, что \Fliy)\<.\ и |/ч1 + ((/)|<
< 1 для всех у. Нам нужно показать, что | F (z) | < 1 для всех
z ? S. Если предположить, что lim F (х + iy) = 0 равномерно
для 0<х< 1, то утверждение легко следует из принципа мак-
максимума. Действительно, в этом случае найдется такое у0 > 0, что
| F (х +'0) | < 1 для всех \у\^у0, причем |F(z)|<;l на границе
прямоугольника с вершинами в точках iy0, 1 + iyOy 1— iy0, —iy0.
В общем случае можно применить этот результат к функции
Fп (г) = F (г)е<-г'~1)/п, п = \, 2, ... . Так как F ограничена, то
I Fn (г) | = 1F (x+ iy )| «т" V-» <\F(x+ iy) | e~"t/n -> 0 при у ->
->оо равномерно для 0<л:< 1, причем \Fn(iy)\ < 1 и.|/Г„A +
+ а/)[<1. Следовательно, |^п(гI<1, и, устремляя л к со, по-
получим доказываемое неравенство.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 1,3. Для этого
положим а/ — 1 /pi, ру = 1/<7,, / = 0» 1, а = \/р( и р = \/qt. Следо-
Следовательно, взяв а (г) = (I — г) а0 -f- гах и р (г) = A — г) р0 + zpi
для г € С, получим а(/) = а/, р (/) = рЛ / = 0, 1, а (t) = а и р (t) = р.
Сначала оценим | Tf \q, где /— конечная линейная комбинация
характеристических функций множеств конечной меры из М. Лю-
Любая такая простая функция / по определению принадлежит области
определения оператора Т, Поскольку
= sup
где верхняя грань берется по всем простым функциям g, таким,
что |g|g' = 1, (\jq) + (!/</') = 1, каждый интеграл
по абсолютной величине не превосходит ko~'k]\flP. Если |/|рне
равна 0, то, деля на |/|р, сводим задачу к случаю |f|p= 1.
m n
Предположим теперь, что f — S я/Хе, и g = S ^^ь — про-
стые функции, удовлетворяющие указанным выше условиям. Пред-
Предположим также, что р,<оо и qt>h так что а>0 и р<1.
Пусть щ = 1 а/1 е'6/ и bfe = | bh | е'Фй; положим
/. Теорема М. Расса о выпуклости
205
?=1
Полагая F(z) =
, получим целую функцию, причем из
N
определения а (г) и р(г) следует, что F(t) = /. Из линейности Т
вытекает, что
т,п
2
/.ft
где у/* = ^(в/-+ф* \ (Т%Е;) y>F,dv. Поскольку каждое из слагаемых
N
ограничено иа полосе 5, целая функция F также ограничена на
этой полосе. Если мы сможем показать, что | F {iy) \ < k0 и
|FA -{-?^)|<fti Для всех у, то искомое неравенство |/|<fto~'ft!
будет непосредственно следовать из леммы 1.4.
Эти оценки можно получить, заметив сначала, что, посколь-
поскольку «(а/^ао + гЖ — а0) и 1 — р (iy) = A — ро) — iyfa — Po),
мы имеем
\fiy\p* = \eiatef \f\liH'*i-aMa\f\wp4\p» = \f\p,
\giy |°0 = | et arg g J g Y~iy (Pt-
g
Применяя теперь неравенство Гёльдера и учитывая, что Т <— опе-
оператор типа (/70, q0) с нормой kQ, получим
«о
l
«о
+
<
Аналогичные вычисления показывают, что
Таким образом, приходим к'выводу, что \Tf\
всех простых функций / из Lp (M).
Для того чтобы доказать это неравенство для произвольной
функции f?D.() Lp (М), где D — область определения оператора
7\ нужно показать, что существует последовательность простых
функций {/„}, такая, что \\fn-f\\p->Q и (Г/„) (х) -> (Tf) (x) почти
зсюду при «->оо. Если это так, то применение леммы Фату и
только что полученного результата для простых функций даст
нам неравенство [Г/Ц, < lim lTfa\q*? lim {feo~^feJ|/„|p} = ко"'к\ [/Цр

206
1л. V. Интерполяция операторов
и теорема, будет доказана. Для того чтобы найти такую последо-
последовательность, можно считать, что f>-0 (поскольку можно рассмот-
рассмотреть отдельно положительные и отрицательные части функций
Re, f и Im f). Изменив, если необходимо, обозначения, можно так-
также считать, что р < pv Пусть /° и/1—.срезы функции /, опре-
определяемые равенствами
(/(*) при /(*)>!,
г {Х) 1 0 при /(х)<1
и р = /_/о. Так как (/°)Ро<Р, (Р)Рл<Р и D содержит все сре-
срезы функции /, то /о е D П LP'(M) KptDftV* (M). Пусть {gm} —
возрастающая последовательность неотрицательных простых функ-
функций, сходящаяся к /; тогда из теоремы Лебега о монотонной
сходимости следует, что lim[gm —/fc — 0. По.той жесамой ПрИ-
чине \\gm- /°Цр, и (gin —ЛИр. стремятся к 0, когда т->оо,-где
gm и gm — срезы функции gm, полученные из gm таким же об-
образом, как /° и f1 из /. Так как Т — оператор типа (р0, qQ) и
(Pi.fi). то \Tg°M — Г/0!,,-»-0 и ITgi —Г/Ч^-^-О, когда m-voo.
Следовательно, существует подпоследовательность из {Fgm}, схо-
сходящаяся почти всюду к Тр. Учитывая только те индексы, кото-
которые входят в эту подпоследовательность, найдем затем подпо-
подпоследовательность {gm }, такую, что Tgm сходится почти всюду
к Tf1. Положив теперь fn=Tgm -\-Tgm , получим последователь-
последовательность {/„}с нужными свойствами: lim||/n — fjp= 0 и Mm (Tfa)(x) —
rt-юо п-юа
= (Г/°) (х) + (Tf1) (х) = (Tf) (x) почти всюду.
Осталось еще сиять ограничения а>0 и р<1. Исключенные
случаи, однако, проще, чем уже рассмотренные. Если а = 0 и р =
= 1, то по крайней мере одна из пар (pOl q0) и (plt qt) равна (оо, 1)
и доказывать нечего. В случае а > 0, р = 1 приведенное выше дока-
доказательство останется справедливым, если положить gz равной g
для всех г ? С. Аналогично, если а = 0, а р < 1, то нужно поло-
положить fz ^ /. Это завершает доказательство теоремы 1.3.
Теорема М. Рисса о выпуклости является мощным инструментом
анализа, и нз нее можно вывести, кроме неравенств A.1) и A.2),
много других важных неравенств. В некоторых случаях, однако,
встречаются~семейства операторов {Tt}, 0</<l, непрерывно
отображающие Lp( (M, йщ) в Vх (N, dvt)t где операторы и меры
зависят от t «гладким» образом. В § 4 будет выведено обобщение тео-
теоремы 1.3, применимое к таким семействам операторов. В_ других
случаях встречаются (необязательно линейные) операторы, опреде-
определенные на пространствах LPt, 0 < t < 1, не являющиеся операто-
операторами типа (р0, q0) н (plt t/j), но непрерывно отображающие LPi в
2. Интерполяционная теорема Марцинкевича
207
Vх при 0 < t < 1. В следующем параграфе будет показано, что
для того, чтобы гарантировать (сильный) тип (ри qt) при 0 < t <
< 1, обычно достаточно более слабых условий в «крайних точках»
(Pi> Qt), i = 0, I,
2. Интерполяционная теорема Марцинкевича
Во второй главе была введена максимальная функция Харди—•
Литтлвуда т/ для / ? Lp (?„), 1 < р < оо. Было показано
(см. следствие 3.11 гл. II), что при 1 < р < оо оператор М, перево-
переводящий f в ntf, имеет тип (р, р). Доказательство этого результата опи-
опиралось на два результата для «крайних точек». Один из них есть лег-
легко доказываемое утверждение, что М—оператор типа(оо, оо)с нор'
мой 1, другой — теорема ЗЛО, описывающая поведение сужения
оператора М на О (Еп). Было показано, что если / принадлежит
L1 (Еп), то функция распределения !> К функции ntf удовлетворяет
неравенству
B.1) М*)<-^_
для всех s >¦ 0, где постоянная с не зависит от /, Если бы существо-
существовала функция <р, интегрируемая на @, оо) и такая, что X (s) <
< <Р (s) | / fli, то из равенства \mf\1= J %(s)ds (см. C.9) гл. II)
следовало бы, что М — оператор типа A,1). Но неравенство B.1)
нельзя улучшить сразу для всех функций из О (?"„) (в этом легко
убедиться, вычислив т/ для /. равной характеристической функции
интервала @,1) <= Е^. Обобщив рассуждения, использованные при
доказательстве того, что М — типа (р, р), 1 < р < оо, можно до-
доказать интерполяционную теорему Марцинкевича об операторах,
отображающих пространства If в пространства L". Этот резуль-
результат обобщает теорему М. Рисса о выпуклости в том смысле, как это
было упомянуто в конце § 1 (а именно: более слабые условия в край-
крайних точках все же гарантируют ограниченность для промежуточ-
промежуточных значений, и операторы, несколько более общие, чем линейные,
также могут быть включены). С другой стороны, она ие применима
ко всем парам (р, q), рассмотренным в теореме 1.3, и не дает никаких
утверждений о выпуклости норм.
Для того чтобы сформулировать теорему Марцинкевича, необ-
необходимо ввести несколько новых понятий. Пусть Т — оператор,
1J Если (М, Л, ц) — пространство с мерой и g — измеримая функция на М,
то ее функция распределения X определяется для неотрицательных чисел s равенст-
равенством X (s) = ц { х ? М; \ g (х) | > s }. В § 3 гл, 11 это понятие было введено для
случая, когда М = Еп и ц *= лебегова мера.

208
Гл. V. Интерполяция операторов
определенный на некотором линейном пространстве D функций,
измеримых на (М,М, \i), со значениями в другом пространстве функ-
функций, измеримых на (N, JP¦, v). Будем говорить, что оператор Т суб-
субаддитивный, если
B.2)
| [Т </х
(х) |
(х) | + | [Tf2] (x) |
для почти всех х ? N и любых Д и /2 из D. Когда О содержит все
конечные линейные комбинации характеристических функций всех
множеств конечной меры и все срезы своих элементов, будем гово-
говорить, что Т — оператор слабого типа (р, q), 1 < р < со и 1 < ? <;
<; оо, если существует постоянная к, не зависящая от / ? If (M) f)
{] D к такая, что
B.3) " b(s)<
где % — функция распределения для Tf. Когда q — оо, неравенство
B.3) заменяется условием | Tf\q < &||/1Р. Наименьшее k, для ко-
которого выполняются эти неравенства, называется слабой (р, q)-Hop-
мой оператора Т.
Легко видеть, что оператор типа (р, q) является н оператором сла-
слабого типа (р, q). Когда q = оо, это очевидно. Пусть q < оо, f ?
? If (М) П D, s > 0 н Я (S) = v { х е JV; | (Г/) (х)
= v (?s) — функция распределения для Tf; тогда
s } =
*s« J
и неравенство B.3) получается делением на s".
Интерполяционную теорему Марцинкевича можно теперь сфор-
сформулировать следующим образом:
Теорема 2.4. Пусть Т — субаддитивный оператор слабого
типа (pf,q/), где 1<р/<<//<оо для / = 0, 1 и qQ^qx\ тогда
Т — оператор типа (pt, qt)t если только
\ — t
Pt
1 1 — /
tJ —^^ -—-
?o
при 0</< 1.
В следующем параграфе будет введен класс функциональных
пространств (включающий пространства If), образующий естест-
естественную основу для обобщения теоремы 2.4. Поскольку это обобще-
обобщение будет доказано в § 3, мы не будем давать здесь доказательстве
теоремы Марцинкевича. Вместо этого остальную часть данного пара-
параграфа посвятим одному важному приложению этой интерполяци-
интерполяционной теоремы.
2. Интерполяционная теорема Марцинкевича
209
В третьей главе было введено преобразование Гильберта и отме-
отмечены некоторые его свойства (см. F.14) гл. Ш). В частности, было
указано, что это оператор типа (р, р), 1 < р < со. Покажем, что.
этот результат следует из теоремы Марцинкевича, установив, что
он имеет тип B, 2) и слабый тип A, I). Выше этот оператор рассмат-
рассматривался очень кратко, так что необходимо полнее исследовать его
свойства.
Пусть/принадлежит If (—оо, оо), 1<р<°о, и принимает только
вещественные значения. Тогда, в силу теорем 2.1 и 3.2 гл. II,
интеграл Пуассона функции f
U(X + iy) = U(X, y)=±
dt
является гармонической функцией в верхней полуплоскости Et,
такой, что и (г) = и (х + iy) некасательно сходится к / (х0) для
почти всех х0 ? (— оо, оо) и
B.5)
для всех у>0.
Нетрудно показать, что существует (единственная) гармониче-
гармоническая функция v, определенная на Ef и такая, что F — и + iv
аналитична в этой области н lim v(x + iy) = 0 для всех х ?
У-+-0О
? (— оо, оо). Эту функцию можно получить в виде свертки / а
сопряженным ядром Пуассона
— оо <х<оо,
(см. F.13) гл. 1И). А именно,
d^
аз
¦d/.
Так как функция
аналитична в Ef, тотем же свойством обладает и F(z) = u\
¦\-iv(z). Очевидно, что v[x-\-iy) стремится к 0 при у->оо.
i
яг

210
Гл. V. Интерполяция операторов
Лемма 2.6. Функция F (г), г = х + iy ? Е}, имеет некасатель-
некасательный предел f(x0) + i](x0) почти во всех точках х0 € (— со, оо).
Доказательство. Рассматривая отдельно отрицатель-
отрицательную и положительную части функции /, -можно свести задачу к слу-
случаю /< 0, Итак, и<0 и функция G = ехр{ы + iv} = eF имеет
модуль е" < 1. Тогда, в силу теоремы 2.5 гл. II, G (г) имеет некаса-
некасательные пределы почти во всех точках границы. Этн пределы не
могут быть равными 0 на множестве положительной меры, посколь-
поскольку и — интеграл Пуассона. Значит, v (г) имеет некасательные пре-
пределы по модулю 2я почти во всех граничных точках д^ ? (— оо, оо),
т. е. предельные значения функции v (г), когда г некасательно стре-
стремится к х0, имеют вид а + 2knf где k — целое число. Но нз непре-
непрерывности v (г), г ? E$t немедленно следует, что если v (г) имеет два
различных граничных значения а н Ь, когда г некасательно стремит-
стремится к х0, то все точки, лежащие между а и Ь, также должиы быть гра-
граничными значениями функции v (г). Отсюда следует, что о (г) может
иметь некасательный предел по модулю 2л только в том случае,
если она имеет некасательный, предел. ?ho доказывает лемму.
Если, как и в лемме 2.6, положить / (х^) равным некасательному
пределу функции v (z), то получим почти всюду определенную функ-
функцию. Отображение / -*¦ ] (которое, как было показано, определено
для всех / нз V (— оо, оо), 1 < р < оо) называется преобразова-
преобразованием Гильберта. В третьей главе (см. F.13) гл. III) говорилось,
как можно показать, что преобразование Гильберта имеет тип B,2).
Прежде всего было замечено, что для всех у >• 0
Qy
f y) dx я {_ i sgn
e-2* If*
Таким образом, поскольку v (• , у) — свертка функций Q (•, у) и /,
(х,
= (-isgn
в"'*'
для почти всех t. В енлу теоремы Планшереля и леммы Фату, от-
отсюда следует, что __
оо
со
iminf f \v(x + iy)\*dx =
«iiminf
—09
2. Интерполяционная теорема Марцинкевича
211
Это и есть искомое неравенство, показывающее, что преобразование
Гильберта имеет тип B, 2):
B-7) 1/к<|/Ь
для всех / ? L2 (— оо, оо) Ч.
Лемма 2.8. Преобразование Гильберта имеет слабый тип
0. 1).
Доказательство. Рассматривая отдельно отрицатель-
отрицательную и положительную части функций / g L1 (— оо, со), можно
свести задачу к / ^ 0. Как и ранее, положим
B.9) F (г) = F (х + iy) = и (х, у) + iv (x, у) »
f®[P{x-t%y)+iQ{x-tty))dt
для z ? Et. Тогда при s>0 функция ш (#, у) = log 11 + sF(г)
гармонична в fit и ограничена в каждой полуплоскости вида
{x+iy; р>0о>О}. Отсюда, в силу леммы 2.7 гл. II,
+ sF (х+Щ =
оо
когда 0 < т) < у, Устремляя tj ->- 0 и применяя лемму 2.6 вместе
с леммой Фату, приходим к выводу, что последний интеграл больше
или равен
so
1^
log
Умножая на у и используя элементарные свойства логарифмиче-
логарифмической функции, получим .
lQg
С другой стороны, нз представления B.9) немедленно следует,
') Несложное изменение рассуждений показывает, что неравенство B.7) мож-
можно обратить (так что преобразование Гильберта есть унитарный оператор на
L"(— оо, оо)). Этот вопрос будет рассмотрен снова в более общей постановке в
гл, VI, когда будут введены преобразования Рисса.

212
Гл. V. Интерполяция операторов
3. Пространства L(p, q)
213
что yF(x + iy) стремится к 1^= \ f^)d\, когда #->оо. Тогда,
устремляя у-ь-оо в первом и последнем членах предыдущего
неравенства, получим
B.10)
J lOf
Пусть Ех » {??(— °°> °°); lf(l)l>f}, т>0, и m(?т)~ лебегова
мера множества ?х; тогда из B.10) следует, что
log |sf©(dg<
< 11Qg
Положив теперь s = e/x, получим искомое неравенство слабого типа
Итак, к преобразованию Гильберта можно применить теоре-
теорему 2.4 с pQ = q0 = 1 и рг = qx — 2. Следовательно, существует
постоянная Ар, не зависящая от f?Lp(—оо, оо), 1<;р<2, и
такая, что || f }р < Ар | f |p. Нетрудно увидеть, что это неравенство спра-
справедливо также и при 2<р<оо. Заметим сначала, что преобра-
преобразование Гильберта, будучи пределом сверточных операторов,
коммутирует со сдвигами. Следовательно, неравенство
f €^Pi(—оо, оо), 1<р<оо, является следствием только что ус-
установленного утверждения для 1<р<2 и теоремы 3.20 гл.1.
3. Пространства L {p, q)
Оператор слабого типа (г, р) — это оператор, отображающий
пространство Lr в класс функций f, у которых функции распреде-
распределения % удовлетворяют оценке
C.1)
sup Ф (s) = sup {s [к (s)]Vp} = А < оо.
s>0 s>0
Это неравенство можно выразить иначе, сказав, что функция Ф
имеет конечную ?°°-норму. Уже отмечалось, что
C-2)
= \р
P-a (s)ds
(см.(З.б)гл. II). Таким образом, /??"¦ тогда и только тогда, когдаФ^
^i.p@, оо) по отношению к мере dv(s) = [lA(s)]d{— ^(s)}. Дей-
Действительно,
1/р
Будем теперь вместо ^^-нормы или ^р-нормы функции Ф рассмат-
рассматривать L9-норму, т, е. наложим условие
C.3)
J№(s)]«dv(s)
<oo.
Возникает вопрос, интерполируются ли операторы, отображаю-
отображающие пространства V в классы функций, удовлетворяющих оценке
C.3)? В этом параграфе мы изучим функциоиальные пространства,
определяемые условиями подобного типа, и покажем, что они обра-
образуют естественную основу для обобщения теоремы Марцинкевича.
' Выражение слева в неравенстве C.3) не определяет норму. Тем
не менее существуют неравенства, эквивалентные C.3), которые в
большинстве случаев обеспечивают конечность нормы. Для того
чтобы получить эти условия, введем невозрашающую перестановку f*
измеримой функции f, определенной на пространстве с мерой
(М,М, \i). Если ^—функция распределения функции/, то f* опреде-
определяется для t > 0 равенством
Ясно, что функция % невозрастающая ^; если оиа непрерывна
и строго убывает на положительной полуоси, то она имеет обратную
функцию с такими же свойствами. Из приведенного выше опреде-
определения сразу видно, что в этом случае f* совпадает с этой обратной
функцией. Следующая серия лемм посвящена установлению некото-
некоторых основных свойств функций 'к и /*. В дальнейшем мы будем пред-
предполагать, что lim к (s) = 0 н, следовательно, f* (i) < оо для всех
S-+oo
Лемма 3.4. (i) Функции "К и /* не возрастают и непрерывны
справа;
(И) "К (f* (/)) < t для всех t > 0;
(iii) f и f* имеют одинаковые функции распределения.
Доказательство. То, что 'к — невозрастающая функ-
функция, уже было отмечено выше. Из определения следует, что f* так-
Ч Поскольку { х ? М; \ f (х) 1 > &i) с (х ? М; \ f (х) \ > sa} прн ^ > sa и мера
монотонна.

214
Гл. V. Интерполяция операторов
же не возрастает. Непрерывность справа для X следует из непрерыв-
непрерывности снизу меры [X и из соотношения
lim {x?M; \f(x)\>s} = {x?M; |/(х)|>*}.
S>S0. S-+S,
Неравенство (ii) непосредственно следует из этой непрерывности
справа.
Для того чтобы показать, что /* непрерывна справа в точке
t0, заметим сначала, что это очевидно, если /* (*0) = 0 (потому
что в этом случае /* @ = 0 при t>t0, поскольку /* неотрицатель-
неотрицательна и не возрастает). Если f*(to)>0, то выберем а, такое, что
/*(*о)>а>0| и последовательность {вп} положительных вещест-
вещественных чисел, убывающую к 0. Из определения /* следует, что
k if* (*o) — а) > V Поэтому существует номер «0, такой, что
X (г (to) — а) > tQ + е„ при п > щ. Но отсюда следует, что /* (/#) —
— а</*(/0 + еп) при л>л0, иначе /*(/„) — «>/* (t0 + «п) Для
некоторого л>«01 и, поскольку X не возрастает, мы, в силу (ii),
получили бы противоречие: X (/* (*0) — а) < X (f* (t0 + еп)) <
+ е„. Таким образом, поскольку f* не возрастает, /*(*0)— ее
< Г (*о + еп) < /* (*о) Для всех л>л„. Это означает, что/* не-
непрерывна справа.
Для того чтобы доказать свойство (Ш), заметим сначала, что
из определения /* следует, что f*(t)>s тогда и только тог-
тогда, когда t<X(s). Значит, ?*={*>0; f*(t)>s) совпадает с
интервалом @, X (s)). Свойство (Hi) теперь следует из того факта,
что значение функции распределения функции /* в точке s
равно лебеговой мере множества ?s-
Лемма 3.5. Пу ть {fm\ — последовательность измеримых
функций, таких, что \ fm {х) \ < | /m+] (x) |, m = 1, 2, ..., для всех
х$М. Если f — измеримая функция, такая, что |/ (х) | —
= lim | fm (х) | для всех х ? М, то:
т-*оо
(i) Xmis) для каждого s > 0, монотонно возрастая, стремит-
стремится к X (s) при т -v оо, где Хт иХ — функции распределения функ-
функций fm и f; ~
(ii) fm{t) для каждого />0, монотонно возрастая, стре-
стремится Kf*(t).
Доказательство. Ясно, что
ET^lxtM; \fa(x)\>s)<=Ea**{xGM; \f(x)\>s)
оо
и U Els = Ег Тогда, в силу монотонности и непрерывности
m=I
снизу меры ц, имеем Хт (s) = \i {E(sm)) < у (?J = X (s) и lim Xm (s) =>
S. Пространства L (p,q)
215
= X(s). Это доказывает утверждение (i). Из определения/* сле-
следует, что fm(() </m+i@.</*@. m= 1, 2 ^ Пусть / =
= lim fm @- Поскольку fm @ <'. имеем Хт (I) < Хт{jm @) < ' (по-
(П-+О0
следнее неравенство является следствием части (ii) леммы 3.4).
Таким образом, X (I) = lim Хт {1} < t, откуда /* (t) < /. Но из не-
т-+оо . -
равенства Гт (t) < /* (/) вытекает, что / < /* (t). Следовательно, / =
= /* @, и лемма доказана.
Эта лемма особенно полезна при доказательстве других свойств
функций X и/*, поскольку она позволяет сводить эти доказатель-
доказательства к случаю, когда /— простая функция. Функцию распреде-
распределения и невозрастающую перестановку такой функции особенно
п
легко описать. Предположим, что / = 2 С)%ер где ?/ ? М, ц (?;) >.
и?^ (")?*= 0 при \Фк. Изменив, если необходимо, нуме-
нумерацию, можно считать, что с1>с2> ¦•• >cn>cn+i = 0. По-
Положим df = \i(El)-\- ••• +ц(?/), 1'</<л, и пусть d0 = 0. Тог-
Тогда функция распределения Я функции / имеет вид
d/( если c/+i<s<c/t 1</<я;
(d.6)
0, если Cj < s.
если d/_]
если dn<
Отсюда следует, что
C.7) /*(О={о('
Из этих равенств видно, что при р >• 0
» 1 </<п;
sup s [V (s)]1/p = sup
s>0
= sup
Теперь можно показать, что верхняя грань в C.1) допускает выра-
выражение в терминах иевозрастающей перестановки" рассматриваемой
функции.
Лемма 3.8. Если / — измеримая функция, Х — ее функция
распределения и р > 0, то C.1) выполняется тогда и только тогда,
когда
Доказательство. Только что было отмечено, что лемма
3.8 справедлива, когда ?— простая функция. Если f — произволь-
произвольная измеримая функция, то существует последовательность {fm}
неотрицательных простых функций, сходящаяся, монотонно возра-
возрастая, к | / | во всех точках множества М, так что лемма немедленно
следует из леммы 3.5.

216
Гл. V, Интерполяция операторов
Ввиду неравенства C.3) и сделанных перед ним замечаний ес-
естественно рассмотреть пространство L (р, а) всех измеримых функ-
функций /, удовлетворяющих оценке
\Чя
1/Р/*(Л)« * • <оо,
U^ = [f
когда 1<р<оо, 1<(/<оо, и
когда 1<р<оо и q = оо г).
Когда / — простая функция, из равенств C.7) немедленно сле-
следует, что
(\ I /р /со \ 1 /р
Jlfl'dfi) ={l[f*(t)]pdt\ =\\}% Кр<°°,
и
C.9') |/[00 = |/*[60.
Из леммы 3.5 следует, что эти соотношения справедливы для
всех функций f?Lp(M), 1 <р < оо. Поскольку |/|рр =
1/р
то L (/?, р)~
= V (М) и| \\Рр является нормой. В общем случае, однако, | ||рР
не является нормой, потому что может не выполняться неравенство
.Минковского. Несмотря на это, будет показано, что | fl рд можно
использовать для задания топологии на L (р, а), которая в большин-
большинстве случаев будет топологией банахова пространства.
Есть несколько причин для введения постоянной qlp в определе-
определение | | pq. Одним из следствий такого определения является то,
что j[ %е [С? не зависит от q, где Е — измеримое подмножество конеч-
конечной меры из М и %е — его характеристическая функция. Дей-
Действительно,
для 1 < q < со. Это равенство отражает тот факт, что каждое про-
пространство L (р, а) при фиксированном р является пространством «ти-
«типа ?р». Следующая теорема дает точную формулировку этого
1) Эти определения имеют смысл также и при 0<р<1и0<(у<1. Одна-
Однако, поскольку мы собираемся превратить L {p, q) в банахово пространство, мы эти
случаи не рассматриваем. Кроме того, в приведенных выше определениях принято
обычное соглашение 1/со=0, Заметим, что пространство L (со, q) определено толь-
только при q = со.
3. Пространства L (p.q)
217
утверждения. Она также показывает, что в некотором смысле!- (р, 1)
есть «наименьшее» нормироваииое линейное пространство, для ко-
которого выполняется равенство C.10), в то время как L (р, оо) —
«наибольшее» такое пространство.
Теорема 3.И, Если f ?L(p, qx) и qx < q2, mo
a) lflw,
следовательно,
(ii) LfaqJczLip^I).
Пусть I I — норма, сохраняющая упорядочение (т. e.||gl<||/||,
если | g (x) | < | / (x) | почти всюду) и определенная на простых функ-
функциях на М; тогда
(in) из неравенства|хеI< {p{E)Vfp дл% всех Е ? М следует,
что Iff <[/|?i для всех простых функций f,
(iv) из неравенства {\i(E))l/p *?\\%Е\для всех Е ? М следует,
что ||f[?oo<I/I для всех простых функций /.
Доказательство. Неравенство (i) особенно просто до-
доказывается, когда (/а = оо. Поскольку функция /* не возрастает,
(t) = f* (t)
(qi/p)
1/pl
<u\U-
x) Для того чтобы получить это включение, достаточно показать, что сущест-
существует постоянная В, не зависящая от f?L(p, q{} и такая, что ||/|| <1В|/Ц .
Существуют простые доказательства этого неравенства. Например,
2
2ft-i
В'
k=— 00
2 f l№r®Yll-^-
i-0Ofc2
Неравенство (i), однако, более тонкое и требует более сложного доказательства.
Равенство C.10) показывает, что (i) —наилучшее из возможных.

Гл. V. Интерполяция операторов
Взяв верхнюю грань от t1/pf*(f) по всем t > О, получим искомое
неравенство.
Когда q2 < °°, из леммы 3.5 следует, что достаточно доказать
утверждение для простой функции /. Предположим тогда, что /*
имеет вид C.7); при этом
Положим щ = dj\ b/ = u9lt/p и Q = qrfqt, тогда неравенство A)
примет вид
п \
(a) Sfl,(*/-b/-0
где a!>fla> ••• >an>0, 0 = &„<&!< -•• <Ьяи0<6<-1.
Докажем (а) по индукции. Когда п = 1, это неравенство сводит-
сводится к неравенству afa < {а?Ь?/1/е, которое очевидно.
Предположим теперь, что (а) справедливо для п = N. Введем
обозначения
() , (, ) — bN) = Аг + хВг
для 0 < х < aN. Покажем, что ф (un+i) > I (cin+i), если 0 < aN+i <
-<aw. По предположению индукции, <р@)>/@) и <p{aN)>l(aN)
(это последнее неравенство сводится к (а), если bN заменить на
Ььг+\). С другой стороны, поскольку производная ф'(х) = В (Ах~в +
-j-S)(i/e>-i убывает на положительной вещественной полуоси,
функция <р вогнутая. Следовательно, из того, что она мажори-
мажорирует линейную функцию / в концевых точках 0 и aNt вытекает,
что <р(х)>/(х) при 0<Jt<aw. Это завершает доказательство
части (i). Одновременно отсюда получается и часть (ii).
Поскольку норма] | сохраняет упорядочение, достаточно доказать
(Ш) для неотрицательной простой функции/ = ZiC,%Er Можно счи-
считать, чтос!>с8> - • • >с„>сп+1 = 0 и множества ?1(..., ЕП по-
парио не пересекаются. Для k — 1,,.... п положим fk = bk%Fk, где
Fk = U Ef и bk =cx — ck+\. Тогда, очевидно,
(Ь)
/•(О =
S. Пространства I (p,q)
219
ft—1
М -г
*—I
Это доказывает часть (iii).
Для того чтобы доказать (iv), заметим, что в обозначениях,
введенных перед равенством C.6), имеем
= sup а;/р
(это следует из определения | [ роо и равенств, приведенных сразу
после C.7)). Предположим, что верхняя грань справа достигается
при / = ft, так что
Положим g = ck%pk. Тогда 0 < g < /; следовательно,
и теорема доказана. .
Полезно связать с каждым пространством L (p, q) точку
0 1} И
A/р, Щ квадрата Q —
311 Об
рр q) у
; 0 < xlt х2 < 1}. Из теоремы
1/
( Щ р {(q, ^) ? 2 < lt 2 < } р
3.11 Обследует,что если х1=1/р фиксировано, а х8=1/(/ изменяется
от 1 до 0, то получаются точки, связанные с возрастающим семей-
семейством функциональных пространств. Когда точка попадает на диа-
диагональ {(#!, д^) ? Q; Хг = х2] квадрата Q, соответствующее про-
. странство совпадает с Lp (см. C.9)). Имея в виду определение опера-
оператора слабого типа, данное в § 2, естественно назвать L (/?, оо) — наи-
наибольшее из пространств этого семейства — слабым пространством
I/. Такай терминология оправдывается тем, что неравенство B.3),
использованное в определении оператора слабого типа (г, р), по
лемме 3.8 эквивалентно неравенству
при
Поскольку Ц/Цг = ИДЦгг и г>1, из неравенства (i) теоремы 3.11
следует, что |/|r<[/|rV Таким образом, оператор Т слабого
типа (г, р) удовлетворяет более .слабому иеравенству
C.12) Cd

220
Гл. V. Интерполяция операторов
для всех / из области определения оператор Т, лежащих в L (г, 1).
Интерполяционная теорема, которая будет доказана в этом парагра-
параграфе, утверждает, в частности, что условия типа C.12) в концевых
точках, хотя и более слабые, чем условия слабого типа, все же до-
достаточны для того, чтобы гарантировать выполнение теоремы Мар-
цинкевича B.4). С частью (Hi) теоремы 3.11 тесно связан тот факт,
что предположения теоремы Марциикевича можно ослабить еще
дальше. Действительно, имеет место следующий результат, показы-
показывающий, что выполнение утверждений теоремы 2.4 зависит только
от выполнения неравенств слабого типа в концевых точках для ха-
характеристических функций множеств конечной меры:
Теорема 3.13. Пусть Т — линейный оператор, отображаю-
отображающий конечные линейные комбинации характеристических функций
%Е множеств Е с М конечной меры в векторное пространство В,
снабженное нормой. | |, сохраняющей упорядочение. Если
где С не зависит от Е, то существует постоянная А, такая, что
II7?К ЛI/Й
для всех / из области определения оператора Т.
Доказательство. Если / >• 0 принадлежит области
определения оператора Т, то ее можно представить в виде суммы
п
f = 2 /fci гДе функции fk определены в доказательстве теоремы
3.11, так что выполняется равенство (Ь). Тогда
Но, как было показано при доказательстве теоремы З.П (Ш), по-
последняя сумма равна С\ f \г\- Если f »= ft + if2 — комплексно-
значная функция, то, применяя только что установленный резуль-
результат к положительным и отрицательным частям функций ft и /а,
получим утверждение теоремы с А = АС 1К
Обсуждаемая интерполяционная теорема является следствием
классической оценки, известной как неравенство Харби:
') Часть (ill) теоремы З.И есть частный случай теоремы 3.13, получаемый,
когда Т — единичный оператор. Ясно, что доказательство теоремы ЗЛ1 остается
справедливым для сублинейных операторов Т, т. е. операторов, которые субадди-
субаддитивны и положительно однородны (\Taf\ — | о | \Tf \ для всех чисел а).
3. Пространства L (p,q)
Лемма 3.14. Пусть q > 1, г > 0 и
функция, определенная на (О, оо); тогда
Мя
(О
221
неотр ицательн ая
0 is
Доказательство. Покажем сначала, что из (i) следует
(ii). Применим неравенство (i) к функции gx (и) = ц~2 g (u~l);
тогда
П I gi (") du t~r~ldt - f f g (v) d v\ ГГ~1Ш =
о Lo J о [fy J
**{<*> -I,
Jg(u)do sr^ds
s J
не превосходит умноженной на (q/rL величины
СО оэ
1 ["gi(«)l « d« = \ [vg (v)]qv dv,
О v (Г
так что достаточно доказать неравенство (i).
Используя неравенство Иенсена с <р (х) ^= \ х \ч н d\i (и) =
= uirm~ldu (см. пример B) в § 4 гл. И), получим
-J-)" 1 Г"-1/*) f [g (u)l%«-
' о
Отсюда
j g («) du\ r'-'dt < (-f)'"' J r'~"« I [g (<«'-'+'"d«L
= (-f)'"' f [g («)«]'«—+'" (J г
и неравенство Харди доказано.

222
Гл. V. Интерполяция операторов
Теперь мы можем сформулировать и доказать основной результат
этого параграфа. Будем говорить, что субаддитивный оператор Т
есть оператор условного слабого типа (г, р), если его область опре-
определения D содержит все срезы своих элементов, а также все конеч-
конечные линейные комбинации характеристических функций множеств
конечиой меры и если ои удовлетворяет неравенству C.12) для всех
f ? D (\ L (г, 1). Ввиду теоремы 3.13 такой оператор можно рас-
рассматривать как оператор слабого типа (г, р), если его сузить на ха-
характеристические функции множеств конечиой меры.
Теорема 3.15. Пусть Т — субаддитивный оператор услов-
условных слабых типов (г/, р/), /= 1, 2, с rQ<r1 и рофръ тогда су-
существует постоянная & = В&, такая, что
для всех f из области определения оператора Т, принадлежащих
L(rtq), где 1 <</<«>,
-1.= 1^е | 9 '. ^ 1~9 | А О<Г6<Г1
Р Ро Pi ' г 'о **~ гх ' '
Доказательство. Для f ? L (r, q) f\ D положим
[ f(x) при | / {х) | >/* (ft),
№) = \ 0 при |/(*)|</*(*'),
и ft(x)=-f(x)~-ft(x)) где
Тогда справедливы два неравенства:
s) при /v<s.
Когда функция / простая, неравенства (а) легко выводятся из
формул, аналогичных формулам C.7). Отсюда немедленно выте-
вытекает общий случай. Поскольку оператор Т субаддитивный, име-
имеем [ [Г/] (у) | = | [Т (/< + /,)] {у) |< | [77*1 {у) | +1 [Tft\ (у) \ для почти
всех у? N. Отсюда при s>0
{У € #; |[771 @)|>GУГ (s) +G7,)*(s)}c:
{ 5)} U (S^tf
Если Ь, V и Ь, —функции распределения функций Tft Tf*
и Tft соответственно, то из этого включения и леммы ,3.4 (И)
3. Пространства
223
непосредственно следует, что
*¦ ((TfT (s) + (Г/,)* (s)) < V ((Г/0* (s)) + Ь, ((Г/,)* (s))< s + s = 2s.
Таким образом, в силу определения G7)*, имеем
(Ь) (Т/Г (s) + (Tftf (s) > (Tf)* Bs) для всех s> 0.
Пусть rt<oo и q<oo. Тогда из (Ь) с s = t при помощи за-
замены переменных и неравенства Минковского получим
dt
[tup (Г/0* (OP -т-I +
Поскольку 71 — оператор условных слабых типов (г0, р0) и
(ri.Pi). то ^МГ/ГСХМ^.! и ^(r//)*(O<ft1|/if1i для
всех *:>0. Поэтому сумма в фигурных скобках не превосходит
Но из первого неравенства (а) с помощью замены переменных
и леммы 3.14 (i) получаем, что

224
Гл. V, Интерполяция операторов
У Г V
du
) 11Л
Аналогичные рассуждения, использующие второе из неравенств
(а) и лемму 3.14, показывают, что
at
Чя
Таким образом, мы показали, что
S, Пространства L (p,q)
225
где
2х Ip
rkn
Когда rj < оо и ? = оо, величина ti/p{Tf)*(f)f />0, оценивает-
оценивается с помощью неравенств (а) и (Ь) так же, как в проведенном выше
доказательстве. При этом получаются постоянные clt ca ис9 (завися-
(зависящие только от индексов р, q, г, г0 и rj, такие, что
(Г/*)
jn<
/* (s
/* (s)
Используя теперь неравенство /*(s) s
l/r
получим
и, следовательно, | Tf ?«, < В Ц / fog.
Оставшийся случаи гг = oo и q = оо рассматривается таким
же образом с использованием оценки l/(ieo*
Теорема 3.15, очевидно, содержит интерполяционную теорему
Марцинкевича как частный случай; более того, она дает более тон-
тонкий результат, поскольку использует пространства L (p, q). Напри-
Например, применяя ее к преобразованию Фурье, получим следующее
усиление неравенства Хаусдорфа — Юига (см. A.2)):
Следствие 3.16. Пусть f?U>(En)t 1<р<2; тогда f ?
?L(p', p) и существует постоянная В =* Вр, такая, что
где A/р) + A/р') - 1.
Оставшаяся часть этого параграфа посвящена доказательству
того, что большинство пространств L (p, q) имеет норму, тесно свя-
связанную с Ц ?,, причем с этой нормой L (p, q) является банаховым
пространством. Следующие леммы необходимы для доказательства
этих утверждений.
Для удобства обозначений мы ограничимся рассмотрением про-
пространств с безатомной мерой. Это означает, что М не содержит ато-
8 Зак. 437

226
Гл. V. Интерполяция операторов
мов (множеств положительной меры, все измеримые подмножества
которых имеют нулевую меру). Мы будем применять результаты,
полученные в этом параграфе, только к пространствам с безатомной
мерой (?„, 38,171), где 98 состоит из борелевских подмножеств про-
пространства Ent am — мера Бореля — Лебега. Это ограничение ис-
используется только один раз при доказательстве части (Ш) следую-
следующей леммы:
{х ? М; |/(х)| >s>0} (так
Лемма 3.17. Пусть Е ? М и F,
что %(s) = \x(Fs)); тогда
(О
(И) 1
Fs О
(Ш) если ц(М) >*;>(), mo существует множество
такое, что \i (Et) = i и
t
Доказательство. Ясно, что если |/i|<|/|, то/*</*.
Поэтому, если хя — характеристическая функция множества Е
и /i = Не, то
И (Е) Ц (В)
(a) f fUf)dt< J f*(f)dt.
Ъ о
С другой стороны, функция распределения для fx не превосхо-
превосходит ц(Е) и, следовательно, /'@ = 0 при />ц(Я). Из C.9) при
р ят 1 имеем
м
Из неравенства (а) и равенств (Ь) следует (i).
Для того чтобы доказать равенство (И), заметим сначала, что
если положить
/*(*) при 0<t<X(s)t
О при % (s) < t,
то g и h = f%Fs будут иметь одинаковые функции распределения
(когда / — простая функция, это непосредственно следует из леммы
3.4 (Ш) и равенств C.6) и C.7); общий случай следует отсюда и нз
8. Пространства L(p,q)
227
леммы 3.5). Таким образом,
i
« I f*udu.
Наконец, пусть 0<*<ц(М); положим C={x'gAf;
Я{Л1; \({х)\>ГФ)- Докажем, что„
<|* (до-
(допертое неравенство является следствием части (ii) леммы 3.4 и
равенства ц(О) =*k(/* (tf)). Второе неравенство особенно просто
доказывается с помощью равенств C.6) и C.7), когда / — прос-
простая функция; общий случай следует тогда из леммы 3.5, По-
Поскольку мы предположили, что рассматривается пространство с
безатомной мерой (М, М, ц), существует множество Et из М, та-
такое, что 6czEt^H и \i (Et) = U Пусть h = f%Et- Тогда h* — /*
на интервале @,0, причем Л («) = 0 при и>*. Следовательно,
в, м о о
Непосредственным следствием утверждений (i) и (ПП этой лем-
леммы является равенство
C.18)
sup
\f*{u)du.
Если / не равна нулю почти всюду и *>0, то выражение сле-
слева в C.18) положительно. Отсюда следует, что отображение /-*.
-*- С1 J /*(«) du есть норма, определенная иа каждом из прост-
о
ранств U> (М), 1 < р < со (ее конечность следует из неравенства
Гёльдера
е к
где A/р) + A/р') *= 1). Эта норма тесио связана с максимальной
функцией Харди — Литтлвуда, введенной в § 3 гл. П. Для того
чтобы выяснить эту связь, сделаем несколько простых замечаний о
максимальной функции.
Максимальная функция, введенная во второй главе, была опре-
определена как верхняя грань по всем интегральным средним функции
| /1, взятым по шарам с центрами в точке х, В одномерном слу-
случае нетрудно показать, .что ее основные свойства, установленные
в § 3 гл. П, относятся также к более общей «несимметричной»

228
Гл. V. Интерполяция операторов
S. Пространства L (p.a)
229
максимальной функции, значение которой в точке х равно
x+k
C.19)
x—h
где верхияя граиь берется по всем неотрицательным Л и ft, таким,
что h + k > 0. Из неравенств
x+k x+h+k
111 1 Г i г i
х—ft ~*~ дт— (h+ft)
следует, что эта несимметричная максимальная функция ие превос-
превосходит удвоенной максимальной функции, введенной ранее. Для
того чтобы избежать новых обозначений, будем обозначать через
т = mf функцию, определяемую выражением C.19).
Пусть g — неотрицательная функция, определенная иа веще-
вещественной оси и такая, что g (и) — 0 при и < 0 и g не возрастает на
[0, со). Если t > 0, то из g (и) = 0 при « <0 следует, что т {t) =
=me (t) есть верхняя грань всех интегральных средних
таких, что t — h > 0. Поскольку g не возрастает, простые рассуж-
рассуждения показывают, что каждое такое среднее ие превосходит
\-\g{u)du.
о
Прнменяя эти рассуждеиия к функции g, равной /* (и) при и > 0,
получим, что
mg@ = mr (*)¦= m{f)=-±-§f*(и)du
о
для всех t>0.
Поскольку функция /* ие возрастает, ясно, что
для всех ОО. Таким образом, положив
It
когда 1<р<оо и 1<<г<°°. и
когда I<p<qp и q = оо, получим
C-20) l!/fc<imw-
Одно из преимуществ использования || %q вместо Ц [^ состоит в
том, что первая является нормой. Это следует из того, что, как
было отмечено сразу после равенства C.18), отображение t-*-
-*-m@ = Щ*@ определяет норму при каждом f>0. Из C.9) с
р = I видно, что Jflieg = |f|i; с другой стороны, простые вычис-
вычисления показывают, что функция /, для которой |[/]i?<oo при
1<<7<со, должна быть равной 0 почти всюду. Однако, когда
1<р<°о, (| |U «эквивалентна» || (?,. Точнее, справедлив следую-
следующий результат1':
Теорема 3.21. Пусть /С ^(Р. Я)% 1<р<оо;тог5а
Доказательство. .Первое неравенство — это просто
C.20) и уже доказано. Когда 1<р<оои 1 <^<со, второе не-
неравенство следует из леммы 3.14 (i):
ii<,
В оставшихся случаях 1<р<оои^=оо имеем
1 t
(t) = *>/р>-' f /* (и) du =
о
du
Теорема 3.22. Пространство L (p, q)t 1 < p < со, I < ?? <
< оо, с нормой 11 pe есть банахово пространство.
Доказательство. Нужно показать, что пространство
L (р, ?) полное. Когда р = со, L (p, q) определено только для q =
Ч Важно использовать как | ||и
свои преимущества. Преимущество 1 Ц pqi
так и
| р , поскольку каждая имеет
q заключающееся в том, что она явля-
является нормой, часто компенсируется тем, что с первой легче обращаться; кроме то-
того, как было только что отмечено, || ||, нельзя использовать для удовлетвори-
удовлетворительного обобщения пространства L1.

230
Гл. V. Интерполяция операторов
= оо; поскольку L (оо, оо) = L°°, теорема в этом случае следует
из полноты пространства L™. Предположим теперь, что 1 <С р < оо
и что {/„} — фундаментальная последовательность в L (p, q). В силу
теоремы 3.21, теоремы 3.11 (i) и леммы 3.8, имеем
sups^tfx ? М; \fn {х) — /m (x) \ >s}) -у 0 при п, т-+- оо.
s>0
В частности, последовательность {/„} фундаментальна по мере.
Следовательно, существуют подпоследовательность {fnk} я функ-
функция/, такие, что fnk(x)-*-f{x) почти всюду. Для данного б>0
найдется /0 = /0(б), такое, что )/„ — // \,q < 6 для /,л>/0. Пусть
gk = fn —fj и g = f — //; тогда из леммы Фату следует, что
для любого измеримого множества Е. Используя равенство C.18)
и еще раз лемму Фату, получим
при / > /0. Это доказывает теорему. Можно показать, что простран-
пространство L (р, (?) нельзя нормировать, когда р = 1 и 1 < q < оо
(см. п. 5.12 ниже). -
4. Интерполяция аналитических семейств операторов
В этом параграфе мы обобщим теорему М. Рисса о выпуклости на
случай, когда интерполируемые операторы достаточно гладким об-
образом зависят от индексов р и q. Предположим, что каждому г
из полосы S — {г ? С; 0 < Re г < 1} отвечает линейный оператор
Тг, определенный на пространстве простых функций из i.1 (M) со
значениями в пространстве измеримых на tf функций, такой, что
(TJ) g интегрируема на tf, когда / — простая функция из О- (М) и
g— простая функция из L1 {N)r Назовем семейство {Tt} допусти-
допустимым, если отображение
аналитично внутри S, непрерывно на S и существует постоянная
а < л, такая, что величина
а~<* I У I
log
г = х + iy, равномерно ограничена сверху в полосе S.
При этом имеет место следующее обобщение теоремы 1.3:
4. Интерполяция аналитических семейств операторов
231
Теорема 4.1. Пусть {Т?}, г ? S,— допустимое семейство
линейных операторов, таких, что
для всех простых функций f из V-{Mt т, ц), где 1 <р/( qf < со,
а М/(у), /=*0, 1, не зависят от f и удовлетворяют оценке
sup е-ь I у 1 log Ms (у) < оо
с некоторой постоянной b < я. Тогда, если 0 < t < 1, то суще-
существует постоянная Mt, такая, что
для всех таких
- A - t)/p0 + tlP
простых функций f, при условии, что \/pt =
и \lqt = A - f)/q0 + tfqv
Доказательство этой теоремы очень похоже на доказательство
теоремы М. Рисса о выпуклости, если только установить следующее
обобщение теоремы о трех прямых (леммы 1.4):
Лемма 4г2. Пусть F — непрерывная функция на S, анали-
аналитическая внутри S и удовлетворяющая оценке
D.3) sup e-fllHiog|.F(x_
< оо
с некоторой постоянной а <; п. Тогда
tA a^ t I v, •, I ^ 1 • С / log IF (iy)
D.4) lofil г (х) <С —*~ sin six \ { —v ¦-'-
& J .1
—Of)
для всех 0 < x < 1.
ch ny — cos jw ~ ch ny + cos jw
Доказательство. Для ? ? D = {г ? С; | г| <; 1},
1Ф I, —1, положим
Л (С) - A/яО log i (I + 0/A — С).
Очеввдио, что функция h является суперпозицией конформного отоб-
отображения ? -*• w — i A + ?)/A — ?) замкнутого единичного круга
D без точек 1 и — 1 на верхнюю полуплоскость {w ? С; w Ф 0,
Im w > 0} и конформного отображения w-+z = (logo>)/J« этой по-
полуплоскости иа 5. Таким образом, ft конформно отображает D \
\ {1, —1} иа S. При этом для г? S
еп1г
Положив 6 (?) = F (h (Q) для ? ? D \ {1, —1}, получим функ-
функцию, аиалитическую на открытом единичном круге и непрерывную
на замкнутом единичном круге, за исключением точек 1 и — 1.

232
Гл. V. Интерполяция операторов
Если 0 < р <; R < 1, то применение формулы Пуассона — Иен-
сеиа дает для ? = ре~~'9
D.5) iog| о © К -?-
iog"
Условие D.3) показывает, что для О и т\ = Н~х (х + iy)
ioglG (ч) | < Л (| 1 +пГСв/я* Н-11 —-nl-*"^}
с некоторой постоянной Л, не зависящей от у\ ? О. Поскольку
а/л < 1, это неравенство с ч\ ~ Re® позволяет применить к интег-
интегралу в неравенстве D.5) теорему Лебега о мажорируемой сходи-
сходимости. Тогда, устремляя R к 1, получим
D.6)
1
— 2р cos F —
для ? — ре'9, р <С 1. Неравенство D.4) получается теперь из D.6)
при помощи замены переменных. Заметим сначала, что условие 0 <
< х =* h (pel9) < 1 легко превратить в условие для р и 6. Посколь-
Поскольку в этом случае
ре19 — ft (я)
COSJU
_ cos ял: — ((л/2>
14- sin юс 1 4- sin nx
то р — (cos nx)/(\ 4- sin nx) и 6 = — (л/2) при 0 < х < 1/2, тогда
как р = — (cosjix)/A 4- sinях) и 6 = л/2 при 1/2<я<1. В пер-
первом случае имеем
1
1-Ра
t—
1—р2
1 -\- 2р sin ф 4- р2 1 4- cos ш: sin ф *
причем это равенство справедливо и при 1/2 < х < 1. Из соотноше-
соотноше' 1
р р
'ф « А (у) = (е~пу
ме-
мения е'ф « А (у) = (е~пу — i)/(e~ny + 0 видно, что, когда ф
няется от —я до 0, у меняется от + оо до — оо. Далее, sin ф =
= — l/(ch пу) и <*ф = — [?t/(ch лу)\ dy. Таким образом, имеем
— 2р cos F — ф) 4-
sin nx
ch лу — cos nx
4. Интерполяция аналитических семейств операторов 233
Аналогично, когда <р меняется от 0 до я, Л (^ф) пробегает точки ви-
вида 1 4- iy с — оо < у <оо и
1 Г
sin ш:
ch^+cosn»
Это доказывает лемму.
Прежде чем показать, как можно использовать лемму 4.2 для
доказательства теоремы 4.1, сделаем несколько замечаний. Сначала
покажем, что лемма 4,2 действительно обобщает теорему о трех пря-
прямых. Имеем , .
И
siniu
ch ny 4- cos nx
dy =
2 J
tg (n/2)
2 _J A4-tg3(*/2)xth*(n/2)y)ch(n/2)(/
l 1
_ 1 Г tg(n;
п J 14-sMga
(п/2) х
tg (п/2)
о
s> tgs (n/2) x
Поскольку sin n A — x) = sin nx и cos л A — x) = — cos
ем также
, име-
slnn*
ch ну — cos nx
= 1 — x.
Следовательно, если условие D.3) заменить условием: | F (iy) \ <
< ш0, | F A + iy) | < mj и | F | равномерно ограничена в S, то
только что установленные равенства и D.4) дадут: \ F (х + ti/) | <
< то~л mt. Таким образом, теорема о трех прямых (лемма 1.4) есть
частный случай леммы 4.2.
"Из доказательства леммы 4.2 ясно, что интеграл в правой части
неравенства D.4) есть «конформный образ» соответствующего ин-
интеграла Пуассона для единичного круга. Действительно, неболь-
небольшое изменение рассуждений, использованных для доказательства
леммы 4.2, приводит к следующему решению задачи Дирихле для

234
Гл. V. Интерполяция операторов
полосы. Пусть f определена на вертикальных прямых х = 0 н х = 1
таким образом, что е~° u 1 / (у) и е"°'у 1 / A 4- iy) ограничены для
некоторой постоянной а < я; тогда
J V
ch пу — cos я#
fO
ch л# 4- cos яя
— гармоническая внутри полосы S функция, имеющая (некаса-
(некасательные) граничные значения /. Условия e~aiy]f(y) = 0A) и
ё~а'"'/ A4- ty) = ОA) обеспечивают существование приведенного
выше интеграла (это также объясняет роль условия D.3)).
Перейдем теперь к доказательству теоремы 4.1. Пусть f ? L1 (М)'
и g ? L1 (N) — простые функции, такие, что
где p = pt, q = qt и \/q + \/qf ^ 1. Пусть f=
и g =
— 2 ЬкУ.?к- Используя обозначения, введенные при доказатель-
доказательстве теоремы М. Рисса о выпуклости (теоремы 1.3), построим
функцию
N •
(г)/а
где Y/ft (г) = ^ (9/+(р'') J (Tx%Ej) %Fkdv. Из предположения, что [Тг] —
допустимое семейство, следует, что F удовлетворяет лемме 4.2.
Кроме того, поскольку
то, применяя неравенство Гёльдера, получим, что | F (ii/) | < Мо
и \F(l+ty) |<Mi(|/). Тогда, в силу леммы 4.2, имеем
<ехр
и-
log Mo (у)
Поскольку |7у|р= sup
II ?
'og ^i (У)
dy =
— cos jtf ch ny 4- cos nt
л
это доказывает теорему.
5. Дальнейшие результаты
235
5. Дальнейшие результаты
5.1. Имеются различные обобщения теории интерполяции ли-
линейиых операторов на общие банаховы пространства. Рамки этих
обобщений можно описать следующим образом. Пусть V — топо-
топологическое векторное пространство, а А0, А1 — два банаховых
пространства с нормами | |0 и | fa непрерывно вложенные в V.
Пространства Л° f) А1 и Ль + А1 = {а = а0 + ах\ а0 е Л°, ах ? Л1}
можно превратить в банаховы, цведя в них нормы ||а|!л°п^ =
-тах{|а|о, \\a\d и \а\»+А1=Ы .{|М|о+НЦъ00 € ^°.«i € ^; ао4-
i= о) соответственно. Промежуточное пространство между Л°
Л1 б А Л° П Л1
+i ) ру рр у
и Л1 есть любое банахово пространство А, такое, что Л° П Л1 с:
Л Л° Л1 Н Л° L Л\ Z 1
Л cz Л° + Л1. Например,
pi<«), l/p/ = (l — i)/po +
ляется промежуточным между
промежуточное .пространство
Т
р
когда Л° = Lp«, Л\=
1 < р0,
0<^<l, пространство ?Р' яв-
яву Lp* и L"». Предположим, что
р Л инвариантно при всех линей-
линейных преобразованиях Т, переводящих А0 + А1 в себя и та-
таких, что сужения Т на Л'', / = О, 1, непрерывно переводят Л'
в себя. Если, кроме того, сужение каждого такого оператора Т
на А также ограничено, то будем говорить, что Л — простран-
пространство линейной интерполяции между Л° и А1. Из теоремы М. Рис-
Рисса о выпуклости следует, что Lpt—пространство линейной интер-
интерполяции между LPt> и LPl-
Основные вопросы абстрактной теории интерполяции линейных
операторов можно сформулировать следующим образом:
(i) Даны два банаховых пространства Л° и Л1; как можно оха-
охарактеризовать «все» пространства линейной интерполяции между
А0 и Л1?
(И) Как построить пространства линейной интерполяции между
данными банаховыми пространствами А0 и Л1?
*(Ш) Пусть Л — пространство лниейной интерполяции между Л°.
и Л1. Пусть В0 и В1 — два других банаховых пространства; суще-
существует ли пространство линейной интерполяции В (между В0 и В1),
такое, что каждое линейное отображение Л° 4- Л1 в В0 4- В1, суже-
сужение которого на А' отображает это пространство непрерывно в В1,
/«О, 1, обладает тем свойством, что оно отображает непрерывно
Л в В?
(iv) Пусть Л — некоторое, построенное каким-то специальным
образом пространство линейной интерполяции между Л° и Л1,
и пусть таким же образом построено В для двух других банаховых
пространств В0 и В1. Верно ли, что каждое линейное преобразова-
преобразование Л° + Л1 в В0 4- В1, непрерывно отображающее А1 в В1, j *=
= О, 1, также отображает непрерывно Л в В?
Ответ на первый вопрос был получен Гальярдо [I]. Более
того, метод Гальярдо позволил ему получить утвердительный ответ

Г л, V. Интерполяция операторов
на третий вопрос. Эти результаты очень общие и не так тесно связа-
связаны с материалом этой главы, как две конструктивные теории интер-
интерполяции (т. е. ответы на вопросы (И) и (iv)), построенные Лиоисом
[1], Кальдероиом [2], Лионсом и Петре [I]. Несколько следующих
пунктов будут посвящены описанию этих.методов интерполяции.
5.2. Начнем с описания комплексного метода интерполяции,
предложенного Кальдероном. Пусть В — банахово пространство и
D — область в комплексной плоскости. Отображение г -> b (г) об-
области D в пространство В называется аналитическим, если
г -*¦ / [6 (г)] — аналитическая комплекснозначиая функция на D
для каждого непрерывного линейного функционала / на В. Введем
вспомогательное пространство #" (Л°, А1), состоящее из всех функ-
функций /, определенных на полосе S = {г ? С; 0 < Re z ^ 1), со зна-
значениями в Л° + Л1, таких, что:
A) / аналитична во внутренности S° = [z ? С; 0<Rez<l}
полосы S;
B) f непрерывна и норма |/||ло+^ ограничена на S;
C) f(U)?A° для — оо<г<оо, отображение t-*f(it) не-
непрерывно как функция из (— оо, оо) в Л° и t-*-\f (tt)||o ограни-
ограничено;-
D) /A + it) € Л1 для — оо<*<оо, отображение i-*f(l 4- '-')
непрерывно как функция из (— оо, оо) в Л1 и *~*-|[/A + *0||i
ограничено.
Пространство W (Л", Л1) с нормой ||% - !%(Дм.,в
— max{sup||^(@|]0, sup|/(l+tt) 111 является банаховым. Пусть
0<*<1 и Nt = [f?&\ f(t) = 0};,определим тогда Л, как про-
пространство fF/Nt. Ясно, что можно отождествить Л, с линейным
пространством всех элементов f(t) ? А0 + А1, таких, что f? &¦.
Введя на At обычную норму факторпространства |а|л( =
= inf {| / (gr; f€&, f(t)=*a], a?Att превратим Л, в банахово
пространство. Мы будем предполагать, что {0} Ф Л° {] А1.
Ясно, что Л( —промежуточное пространство между Л° и Л1.
Более того, можно показать, что Л( — пространство линейной
интерполяции между Л° н Л1. Действительно, справедливо сле-
следующее решение задачи (iv), поставленной выше:
Пусть В0 и В1 — два банаховых пространства и Т —линей-
—линейное преобразование из А0 + Л1 в В0 + В1, отображающее А1 в В},
j *» 0, i, так, что \\Ta\\, < Л1,-)а||, для всех a g Лу. Тогда Т отоб-
отображает At в В, и ^ТаЦв^АГо^МЦа^ для всех a?At.
Кальдерой дает .другую (ио похожую) конструкцию про-
пространств линейной интерполяции между Л° и Л1, ведущую к
5. Дальнейшие результаты
237
другому решению задачи (iv). Однако, применяя те или иные из
этих результатов, необходимо идентифицировать полученные про-
пространства лииейиой интерполяции. Для того чтобы лучше проде-
продемонстрировать важность этой новой задачи, приведем несколько
основных примеров интерполяции линейных операторов (большин-
(большинство из них было известио до построения общей теории).
5.3. Пусть (М, М, ц) — пространство с мерой и А1 =
= Lp>(M)y 1<р/<оо, / = 0, i. Можно вложить Л° и Л1,
скажем, в пространство V локально интегрируемых функций.
Тогда существует норма, сохраняющая изоморфизм между At и
LP'(M), где \lpt=*{\—t)lPb + Hplt 0<*<l, для всехр,<оо.
В случае когда pt = оо, должно быть либо pt — р0, либо pt = рг\
предположим, что pt ~ р0 и р!<оо. Прн этом в общем случае
ие существует нормы, сохраняющей изоморфизм между Ло и Л° ==
= L~(M). Можно показать, однако, что Ло допускает отожде-
отождествление с замыканием по L™ -норме множества функций
/? L™ {М), для которых \i({x?M; \f (x)|->a})<oo для всех а>0.
Если В0 = Lq* (N) и B1=L"I{N), где (tf, Ж, v) —другое прост-
пространство с мерой, то теорема, сформулированная в п. 5.2, яв-
является другой формулировкой теоремы М. Рисса о выпуклости
1.3.
5.4. Пусть (М( М, \х) — пространство с мерой и ц/( /" =* 0, 1, —
меры иа М, абсолютно непрерывные по отношению к ц. Если
А! = Lp> (M, ц/), то существует сохраняющий норму изоморфизм
между At и V' (М, и,), где 0 < \/р, = (i — t)/p0 + tfpx и d\it =
= aj~*ajd^, 0 <t < 1 (a/— производная Радона — Никодима меры
ц/( / = 0, 1, по отношению к ц). Когда pt = oo, необходимо со-
соответствующим образом изменить построения п. 5.3 (см. Стейн
н Г. Вейс [5]).
5.5. Для р > 1 обозначим через Яр пространство всех функций
F (г), аналитических в верхней полуплоскости Im z > 0 и таких,
что
v>0 \-~
Это есть пространство Нр, ассоциированное с трубчатой областью,
основанием которой является положительная вещественная полу-
полуось (см. гл. Ш). Если А1 = Hpi, 1 < Pi < оо, то Л„ 0 < t < 1,
эквивалентно HPt (т. е. существует обратимое линейное отображе-
отображение Л, иа HPt). (См. Салем н Зигмунд [1], Кальдерон и Зигмунд

238
Гл. V. Интерполяция операторов
12| и Г. Вейс [1].) Задача идентификации пространств линейной ин-
интерполяции между двумя #р-пространствами, ассоциированными с
трубчатыми областями в пространствах высших размерностей, оста-
остается открытой. Таким же образом обстоит-дело и с //"-простран-
//"-пространствами систем сопряженных гармонических функций, которые бу-
будут рассматриваться в следующей главе.
5.6. Пусть 0<а<2; рассмотрим пространство Ха^=Ха(Еп),
состоящее из всех непрерывных ограниченных иа Еп функции,
таких, что sup\f(x + t)+f(x — 0— 2/(*I = ° (\Ца) при |*1~>0.
х
х
Это есть банахово пространство с нормой
Для произвольного а;>0 определим %а как пространство всех
^-функций, где k — наибольшее целое число, строго меньшее а,
таких, что D^f ? ba_fe для 0 < | р \ = §х + • • • + Ря < а (мы ис-
используем обозначения, введенные в A.9) гл. I). При этом Kt—.
банахово пространство с нормой |/|(а) = 2 lD^f(a~k). Если Л;=
= ^а/, / = 0, 1, то Л, эквивалентно Ха, где а« (I — *)ао + *ai
(см. Тейблсон [1] и Кальдер он [2]).
5.7. Следующий пример обычно рассматривается в контексте
пространств Еп, но его проще описать в рамках кратных рядов
Фурье. Для произвольного а>0 определим пространство
Lpa {Тп) как множество всех f? V (Тп), таких, что / (х) ^
' ' '¦*; тогда а0 +( 2 \m\aame**im'x — ряд Фурье функции
fa) ? V (Тп) (мы используем обозначения, которые будут введены
в начале гл. VII). Это есть банахово пространство с нормой
«/Г = 1 fm I- Пусть Л< = Lj/, 1<р,< оо, / = О, 1; тогда Л,
эквивалентно L?, где 1/р = A — f)/Po + t/Pl и a = (l—t)ao-\-
+ tav Доказательство этого утверждения основывается на теореме
4.1 и на том, что отображение f~*-'St\m\'~lvame2nim'x есть огра-
m
ничейный оператор на Lp(Tn) для 1<р<оо, когда у —вещест-
—вещественное число.
5.8. Классическую интерполяционную теорему М. Рисса, сфор-
сформулированную в п. 5.3 или в § 1 этой главы, можно обобщить на слу-
случай функций, определенных на пространстве с мерой, со значениями
в некотором банаховом пространстве. Точную формулировку этого
результата см. в работе Кальдерона [21, Частные случаи, когда зна-
6. Дальнейшие результаты
239
чения рассматриваемых функций лежат в L"- пространствах, были
получены ранее Боасом и Бохнером [11 и Беиедеком и Панзоне [1|.
Другое обобщение классической интерполяционной теоремы М. Рис-
Рисса можно сформулировать для банаховых решеток (т. ё. банаховых
пространств, таких, что из | f \ < I e \ следует | f\ < | g |). (Точную
формулировку см. у Кальдерона [21.) Это обобщение включает тео-
теорему М. Рисса, пример из п. 5.4 и интерполяционную теорему для
пространств L (p, q), которые были определены в §3.
5.9. Конструктивную теорию интерполяции, упомянутую в
п. 5.1, которую ввели Гальярдо, Лионе и Петре, можно описать сле-
следующим образом. В обозначениях, введенных в п. 5.1, определим
норму на Л° + А1 Для каждого t > 0, положив Ка @ =-
= inf {Ц ado + <D «iD ь °o + fli = «• «о G ^°. Oi € А1). Из этого
определения сразу следует, что Ка — вогнутая неотрицательная
функция на положительной вещественной полуоси. Предположим,
чтоФ — неотрицательная (возможно, принимающая значение +00)
функция, определенная на множестве всех неотрицательных изме-
измеримых по Лебегу функций на @, то) и такая, что:
(i) Ф (ft) = 0 тогда и только тогда, когда ft @ — 0 почти всюду;
(il) если Ф(Л)<оо, то ft(*)<oo почти всюду;
(Ш) Ф(аА) = аФ(Л) при а>0;
(lv) если h (/)< S hi W почти всюДУ» то Ф (ft)< У Ф (Л/).
Такая функция Ф называется функциональной нормой} при
этом множество А (Ф) = {а € Л° + Л1; Ф (Ка) < оо} определяет
подпространство в Л° + А1. Отображение а -*• Ф (Ка) задает норму
на Л(Ф), которую мы будем обозначать Ца||ф. Если Ф удовлетво-
удовлетворяет некоторым общим условиям, то пространство Л (Ф) будет
пространством линейной интерполяции между Л° и Л1. Более
того, в этом случае справедлива интерполяционная теорема,
которая дает решение задачи (iv), поставленной в п. 5.1: Пусть
Т — линейное преобразование из А0 + А1 в ВР + В1, отображаю-
отображающее Лу в В1, / = 0, 1, таким образом, что |71а|/<М/ \а % для
всех а ? А*. Тогда Т отображает А(Ф) в В(Ф) и существует
постоянная М = М(Ф, Мо, Мг), такая, что |71а|Ф<М|а|ф для
всеха?А(Ф). Доказательство этой теоремы особенно просто,
если Ф удовлетворяет следующему условию: существует неотри-
неотрицательная функция il> на @, оо), такая, что Ф(Ах)<ф(Х)Ф(А),
где >,>0 и hx(t) = h(M). Когда это имеет место, ЦТа|ф =
M
(первое неравенство есть следствие предположений оТ,а второе
вытекает из последнего предположения о. Ф). Таким образом,
интерполяционная теорема получена, причем М < MQty (MJMA).

240
Гл. V. Интерполяция операторов
Если, например, i|>(>.) = V для 0<s<l, то получаем знакомое
неравенство М < Л1о aAff.
5.10. Когда Л° = L\ А1 = С и / ? 1> + Г°, нетрудно пока-
показать, что Kf (t) = С /* (u)du. Следующие замечания показывают,
о
что достаточно рассмотреть только случай />0 и что в этом
случае Kf(t) = inf {|^0|l« + 'IMl^ /=fo + /i> f/>0, //€ Л', / =
= 0, 1]. Пусть f-=/0 + /b тогда |/1 = (sgn/)/= (sgn/)fo +
+ (sgn /") /i = g0 + gi- Аналогично, если 1Л = ffo + ffi» T0 / =
= (sgn/)g0 + (sgn/)g1 = f0 + fa. В обоих случаях |]/0||l' +
+ ^Ifil?1°e —Iffo^ + ^lffili.1» и, таким образом, /С/ = K\i\. Когда
/ вещественна и f = f0 + /х, имеем / = Ref^-f- Refx, так что при
определении Kt достаточно рассматривать только вещественные
функции -/о и /lt Наконец, если />0 и / = f0 + /i. положим
fi=inf{ri*. /}и /;=f-/i. Тогда /«/i + fi, 0,</o<^<.|f0|H
0</i— ^—/o<|f —/о| = |/il- Следовательно, |fi|Li + f|/f||z«><
<| fofli-1 + ^l/i|t°°- Можно, следовательно, считать, что f = fo +
-f /i. где все три функции неотрицательны. Пусть s = ||/х t~;
положим ^ts> = / Д s = inf {/, s) и g = / — /(s). Изменяя, если не-
необходимо, /х иа множестве меры 0, можно считать, что _0 <
<fi(x)<s для всех х. Так как /х</, то /i</(sl и, следова-
следовательно, g = / — /*s) <f — fi = f0. Отсюда следует, что ||g||u +
разом, для / > 0 получаем Kt {t) = inf {]/ — fs)\\L, + ts; fs) = ff\ s}.
Если A, — функция распределения для / и s0 = inf 's; A,(s)<^},
то, как сейчас будет показано, /C/(f)=J/—/**а)|?.» + ^s0. Предпо-
Предположим сначала, что sx >s0; тогда разность fSl) {х) — f4) (x)
равна 0 прн f(x)<s0, равна f(x)—s0 при SQ<,f(x) <sx и равна
sx — s0 при 8!<С/(дг). Тогда, поскольку A,(so)<i,
II/
- (If - /(So) Ik-'
>X(so)(s1-so)- J tf(il)-
(s0) (Si — So) — A. (s0) (S! — So) = 0.
5. Дальнейшие результаты
241
Предположим, что sx < S
% (s) > tf; следовательно,
s < Sq. Для s из этого интервала
(s —
— >. (s) (s — Si) = a
Hx)>s
По непрерывности неравенство J/—/tSl)|u + ^% > \f — /(s)| Li +
+ ^s должно выполняться и для s = s0, и мы показали, что
К/@ = И/ — /(So)llf-» + ^so- Из определения /* следует, что f*(u) =
= s0 при A,(so)<H<tf. Вместе с равенством r(ii) леммы 3.17 это
дает:
= J
= J /*(M)dM+ f f*{u)du=[f*(u)du.
0 X
Если теперь выбрать функциональную норму
то видно, что пространство Л (Ф), определенное в п. 5.9, сов-
совпадает с L (p, q) при 1 < р < оо и что эта норма совпадает с Q (р^.
5.11. В§ 1 этой главы была дана геометрическая интерпретация
теоремы М. Рисса о выпуклости в терминах точек единичного квад-
квадрата Q = {(а, §); 0 < а, § < 1). Аналогичную интерпретацию до-
допускает теорема Марцинкевича 2.4, однако в этом случае использу-
используются только точки «нижнего треугольника» {(а, §) ? Q; а > §}.
Можно показать иа примере, что для «верхнего треугольника» эта
теорема не справедлива (см. Хант II]). В своей работе [2] М. Рисе
показал, что его теоремам выпуклости справедлива для всего еди-
единичного квадрата Q только в том случае, когда рассматриваемые
^-пространства состоят нз комплекснозначиых функций. Для слу-
случая, когда рассматриваются только веществеинозначиые функции,
М. Рисе привел примеры, показывающие, что утверждение о выпук-
выпуклости нарушается в верхнем треугольнике, оставаясь верным для
нижнего треугольника. Из комплексного случая, однако, немедлен-
немедленно следует, что при условиях теоремы 1.3 существует постоянная
kt (возможно, превосходящая k\
\~l
такая, что оператор Т будет

242
Гл. V. Интерполяция операторов
типа (р(, qt) с (р(, <?()-нормой < kt. В этой связи интересно отме-
отметить, что практически все операторы, возникающие естественным об-
образом в гармоническом анализе, имеют тип (или слабый тип) (р, q)
для некоторых р и q, таких, что р < q; поэтому интерполяционные
результаты, отвечающие точкам «нижнего треугольиика», достаточ-
достаточны для наших целей.
5.12. Если р=\ и К*? < оо, то не существует нормы, экви-
эквивалентной | |fie, так что пространства L(p, q) в этом случае
Нельзя нормировать. Покажем это в случае, когда ^ = оо. На
Ех рассмотрим последовательность функций {fk}, определенных
равенствами fk{x) = 1/|jc+ k\. Тогда fk G L(l, оо).при каждом k
•
и Ihli.oo не зависит от k. Пусть / = 2 ^- Если бы И И была НОР-
мой, эквивалентной | (!,<», то для некоторой постоянной- Сг вы-
выполнялось бы неравенство Щ-^СУ^. Однако / (х) > С2 log Л/ для
0<л;<ЛГ, так что |/*|i,oo>C,AMogtf. Устремляя Л/-»-оо, при-
приходим к противоречию. Доказательство для 1 <С <? <! оо прово-
проводится аналогичным образом.
Библиографические замечания
Теорема Марциикеенча была впервые сформулирована нм в работе [2], где
была приведена схема доказательства для «главной диагонали» {(а, E) ? Q; а=р}.
Ее первое доказательство для «нижнего треугольиика» вместе со многими важны-
важными приложениями было впервые опубликовано Зигмундом [2]. Доказательство
теоремы М. Рисса о выпуклости, приведенное в этой главе, было найдено Торином
[I] и независимо Тамаркиным и Зигмундом [1]. Интерполяция аналитических се-
семейств операторов введена Стейном [2]. Близкий результат, также использующий
лемму 4.2, можно найти у Хиршмана [I]. Обобщение этого типа интерполяции на
/^-пространства получено Стейиом и Г. Вейсом [3]. Пространства L {p, q) были
введены Лоренцем [2]. Кальдерой первым использовал функцию яу и указал,1
как она индуцирует норму на L (p, q). Общую теорию таких пространств см. у
Хаита [II и Оклендера [1]. Наше изложение результатов, ведущих к интерполя-
интерполяционной теореме 3.15, следует Ханту [I]. Близкие результаты см. у Стейна
и Г. Вейса [2], Крейна и Семенова [I], Кальдероиа [2] и Лионса и Петре [Д]. Име-
Имеются две обзорные статьи, описывающие различные общие методы интерполяции
и их связь между собой; первая из них — статья Крейна и Петуиииа [ 11, вторая —
Мадженеса II]. Неравенства слабого типа для преобразования Гильберта восхо-
восходят к Колмогорову [I], Беаиковичу [I] и Титчмаршу II].
I .
Глава VI
СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И СИСТЕМЫ
СОПРЯЖЕННЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Мы уже встречали преобразование Гильберта в,третьей и в пятой главах. Оба
раза его свойства изучались иа базе теории функций одного комплексного перемен-
переменного. В § I этой главы развивается вещественный подход к изучению преобразова-
преобразования Гильберта. В § 2 показывается, как этн результаты можно применить к изу-
изучению основных свойств одного класса сингулярных интегральных операторов, а
именно операторов с нечетным ядром. Третий параграф посвящен введению более
широкого класса сингулярных интегральных операторов. Наконец, в § 4 пока-
показывается, как многие такие операторы связаны с системами уравнений в частных
производных, обобщающими уравнения Коши — Римана. Эти системы позволяют
развить еще один подход к комплексным методам гармонического анализа несколь-
нескольких переменных. В частности, вводится теория Я'-пространств, в некотором смыс-
смысле параллельная теории, развитой в третьей главе.
I. Преобразование Гильберта
В § 2 гл. V было введено преобразование Гильберта / функ-
функции f € Lp(—со, оо), 1 <р<оо. Мы определили его как предел
при У>0, стремящемся к 0, функции v(x, у) = — f /(* —
— 01У(*2 + У2)] dt. С использованием свойств аналитических функ-
функций ыло показано, что этот предел существует для почти всех
х. Учитывая этот факт, естественно спросить, нельзя ли опреде-
лить / прямо равенством f (х) = ~ Г [f (x — t)/t] dt. К сожалению,
этот интеграл не определен даже, для очень гладких функций
/€LP(—оо, оо). Если, однако, рассмотреть его в смысле главно-
главного значения (см. D.4) в гл. V), то получим
A.1)
/(*) = lim
t
dt
для почти всех вещественныхх. Это есть непосредственное следствие
леммы 2.6 гл. V и следующего утверждения:

244 Гл. Vf. Сингулярные интегралы
Лемма 1.2. Пусть j ? L" (—00,00), 1</?<оо; тогда
во всех точках х лебегова множества функции /.
Доказательство. Положим
t 1
j у ПрИ |/|> 1,
' - при U|<1,
и <рв(/) = e-\(t/B), е>0. Тогда
Поскольку
A.3) ty(x) = sup |<p@l —
inn*f _j- . при
имеем i])?Ll(—оо, оо). Итак, по теореме 1.25 гл. I и в силу
00
того, что f <p (/)<# = 0 (поскольку <р нечетна), мы имеем
— оо
00 . ОО
lim f f(x—t)q>e(t)dt=:f(x) С (р(/)^ = 0, и лемма доказана.
—Оо —00
В предыдущей главе было показано, что преобразование Гиль-
Гильберта имеет тип (р, р) для 1 < р <с оо. Покажем, что максимальное
преобразование Гильберта, переводящее f ? L? (— оо, оо) в функ-
функцию со значениями
СИП - I f IV —_ f\ -
также имеет тип (р,р). Более точно, докажем следующее утвержде-
утверждение:
Теорема 1.4. Если f? If (— оо, оо), 1 <; р < оо, то
( = и — ( и _ц?
/. Преобразование Гильберта
245
где -ф — функция, определенная равенством A.3), a mf и т мак-
максимальные функции Карди — Литтлвуда функций f и /. В част-
частности, существует постоянная Вр, не зависящая от ?LP(—00,00)
и такая, что
Доказательство. Имеем
dt
Поскольку i]) — радиальная и невозраст ающая функция, нз равен-
равенства C.9) гл. II следует, что
sup
в>0
J/(*-
?«
«/(*).
Таким образом, теорема будет доказана, если показать, что
sup
Ь
Но это неравенство вытекает из теоремы ЗЛО гл. II и следующего
равенства:
Лемма 1.5. Пусть f € L*(— 00, 00), 1<р<оо, и у>0;
тогда
00
Доказательство. Левая часть этого равенства является
сверткой функции f с сопряженным ядром Пуассона Qy(i) =
— A/я) [//(/¦+ 0*I, введенным в п. 6.13 гл. ЕП, в то время как
правая часть — свертка f с ядром Пуассона Py(t) = A/я)[у/(^а +
+ у2)]. Поскольку Qy и Ру принадлежат V' (— оо, оо) при A/р) +
+ A/р')~ 1 н всех ^>0. то из неравенства Гёльдера и B.11)
гл. V следует, что достаточно доказать лемму для f из плотного
подмножества пространства L". Предположим, следовательно, что
f лежит в классе еЭ" основных функций, введенных в первой гла-
главе. Тогда, в частности, f?L%{— 00,00} и, в силу B.11) гл. V,
f также принадлежит L?(—оо, оо} и определено ее преобразо-
преобразование Фурье (fj*. Нетрудно показать, что
A.6)

246
Гл. VI. Сингулярные интегралы
Действительно, в п. 6,13 гл. III было показано, что
~2n
4, (*) = (— i sgn x) e
Таким образом, {Qy * fy {x) = Qy(x)f (x) =; (— i sgn x) e
и из теоремы Планшереля следует, что Qy*f при у->0 стремится
(по /Анорме) к функции g, преобразование Фурье которой равно
(—isgnx)f(x). С другой стороны, нз леммы 2.6 гл. V следует,
что {Qy*f){x)~+f{x) почти всюду при у-*-0. Поэтому jag
должны совпадать почти всюду и справедливо равенство A.6).
Для того чтобы доказать A.5), достаточно показать, что равны
преобразования Фурье обеих частей. Из A.6) и теоремы 1.14 гл. I
имеем (J* Ру)л (#) = (/)А (х) е-»ч*«1 = (— isgn x) f_(x) e~2n\v*\. Но
выше было показано,-что последнее выражение равно (f*Qg)" (x).
Это доказывает лемму и, следовательно, теорему 1.4.
Наша цель — обобщить эти результаты на п измерений. Для
этого необходимо прежде всего найти подходящее обобщение преоб-
преобразования Гильберта. Одни из способов такого обобщения заключа-
заключается во введении ядра
A7) KU) = ML t?s0
где Q — нечетная однородная функция степени 0 (т. е. Q {at) =
= Q (t) для всех положительных чисел а)^. Когдаn—l, afl(Oe
= (sgn t)fn, свертка f с К (в смысле главного значения) дает преоб-
преобразование Гильберта функции f. Таким образом, ввиду приведенных
выше результатов естественно выяснить, определен ли оператор
A.8) (ff/)(x)«lim
оо,
для /€ Lp{Еп), 1<р<оо, и отображает ли он непрерывно это
пространство в себя 2>. В следующем параграфе будет поквзано,
г) Если в качестве ядра К @ взять мникую часть граничного значения ядра
Кошн К (г) = J е2111*'*^, то можно построить теорию, полностью аналогичную
г*
одномерному случаю. Соответствующая теория в райках обобщенных функций
медленного роста построена В. С. Владимировым [21.— Прим. мрев.
а) В одномерном случае интеграл \ [/(ж — f)ft]di определен, так как
для /?Lp^-o©, oo), 1<р<оо, подинтегральное выражение является про-
произведением сдвига / (который ¦.также принадлежит W) и L*^>yHKuHH, (l/pj-r-
_}- (\!q) = 1, со значениями \{t при | (| > е и 0 в остальных случаях. Не сразу
исно, однако, что, рассматривая вместо A.8) интегралы I f(x — t)K(t)di,
2. Сингулярные операторы с нечетным ядром 247
в частности, что это и в самом деле имеет место при условии, что Q
(Г \
т. е. \ \Q(f) \dtf <.оо\.
Такой оператор называют сингулярным интегральным оператором
с нечетным ядром.
Другое более общее ядро получается, если предположить только,
что Q интегрируема на единичной сфере и
Это условие, очевидно, выполняется, когда Q — нечетная функ-
функция. В § 3 будут обсуждаться операторы, определяемые равенством
A.8), где ядро К имеет вид A.7), a Q удовлетворяет этому более об-
общему условию. Изучение таких операторов, однако, сложнее, чем
изучение сингулярных интегральных операторов с нечетными ядра-
ядрами. Для того чтобы показать, что такой оператор имеет тип (р, р),
1 < р < оо, например, необходимо наложить условия, более силь-
сильные, чем интегрируемость Q иа 2„_]. ..
2. Сингулярные интегральные операторы
с нечетным ядром
Пусть К — ядро, определенное равенством A.7), н Q — нечет-
нечетная однородная функция степени 0, интегрируемая на 2л-1. Заметим
сначала, что для каждого 8 > 0 и / ? LP (?я), 1 < р < оо,
B.1) №_0-^Ld* = -L J °С')|
Для доказательства этого равенства выразим t в сферических коор-
координатах t =. rt\ где | 11 = г и t' ? Sn_i; тогда получим
ё .Ьп-1 '
fl»l'!»e
Г Q(t')\lf(x-rn4-\dt>.
мы получим корректно определенный объект. Можно показать, что этот интегрзл
имеет смысл, но мы предпочитаем не делать этого здесь (см. п. 5.5, где подробнее
исследуется этот вопрос и аналогичные вопросы для интегралов, рассмотренных в
следующем параграфе). Заметим, что при наложенных ниже ограничениях инте«
Грал A.8) сходится абсолютно для почти всех х.

248
Гл. VI. Сингулярные интегралы
С другой стороны, поскольку Q — нечеткая функция, последнее
выражение равно
J Q(~t')
- J
Таким образом,
2 J Нх-О
/v dr
= J й(ПШ(*-^-гК + J
в^,0(^Ц
и B.1) доказано.
Обозначим через 1 = A, 0, ..., 0) ? Еп первый вектор стандарт-
стандартного базиса в Еп н для х » (хх,..., *„) € Еп положим
Пусть а.— элемент группы вращений 50 (п), действующей в ?„;
обозначим через i?0 оператор, действующий по правилу
где f — функция на ?„.
Лемма 2.2. Ясли / € LP{En)> * < Р < °°.
J
где da — элемент меры Хаара на группе S0(n)t нормированный
так, что J da =» | 2n^i | есть лебегова мера сферы 2n_i.
SO(n) .ч
2, Сингулярные операторы с нечетным ядром
Доказательство. В силу D.14) гл. I, имеем
- J
Очевидно, что лемма теперь следует из равенства B.1).
Из этой леммы непосредственно получаем, что для f
1 < р < оол
B.3) 2.sup J f(x-t)-^n-
I
Пусть Mg' для g € Lp (En), Кр<то, определено равеист-
вом
= sup
jcx — ^ ^, .... xn)\di.
Как было отмечено во второй главе, из теоремы 3.7 гл. II следует,
что М?] € *-"(?„) и
где b = 1т (р, п) зависит от р и п, но не зависит от g. Тогда, в
силу теоремы 1.4, имеем1'
sup
е>0
.lRof) (х) |
2М%
1) Поскольку
— о
Л
, из теоремы 1.4 следует, что
sup
е>0,4>0

250
Гл. VI. Сингулярные интегралы
Таким образом, и» теоремы 1.4, поскольку Ro— изометрический
оператор на L" (Еп), следует, что для 1 < р < оо
B.4)
Применяя теперь интегральное неравенство Минковского, неравен-
неравенства B.3) и B.4), получаем
B.5)
t\n
<Cr
Можно, следовательно, применить теорему 3.12тл. II и получить
следующий результат о существовании и ограничеииости сингуляр-
сингулярных интегральных операторов с нечетным ядром:
Теорема 2.6. Пусть f ? Lp{En), I < р < оо; тогда
(Hf)(x)= lim Г f{x-t)K{t)dt ¦
существует для почти всех х ? Еп. Кроме того, существует посто-
постоянная с = с (р, п), зависящая от р йот размерности п, но не зави-
зависящая от f, такая, что
Важный класс сингулярных интегральных операторов о нечет-
нечетным ядром составляют преобразования М.Рисса. В n-мерном про-
пространстве это п сингулярных интегральных операторов Rlt R2, ...
..., Rn, определяемые ядрами
К, (х) = сп (х,/\ х Г) - сп (VI х \п+\ ч
где
X = l*i, Ха, . . ., Хп) t Brt» / == 1» А • • •* П» И С„ = —
(при п = 1 получаем единственный оператор — преобразование
Гильберта). В силу теоремы 4.5 гл. IV, каждое такое ядро определя-
определяет обобщенную функцию медленного роста, преобразование Фурье
которой есть фуикция со значением
@ - -'
точке t « {tlf ..., ta).
3. Сингулярные операторы с четным ядром
261
Поэтому если <р — основная функция, то (/С/*<рГ@ =
= — i C>/ W |) <Р @ (см. теорему 3.18 гл. I). Тогда из теоремы 2.6
следует, что
С2-7) Wr(') = -»'-[7rf@
почти всюду для всех f $ L? (?„). Кроме того, поскольку Rtf
также принадлежит ?*(?„), имеем
Отсюда
B.8)
для всех / € L2 (?„). Следовательно,
B.9) 2/??--Л
где / — единичный оператор иа tf(En)t 1<р<оо.
Из тождества B.7) и теоремы Планшереля следует также «уни-
«унитарность» преобразований Рисса:
B.10)
3. Сингулярные интегральные операторы с четным ядром
Перейдем теперь к изучению сингулярных интегральных опера-
операторов, ассоциированных с ядрами вида A.7), где функция Q однород-
однородна степени 0, интегрируема иа S*_i и J Q (t')dtr ~ 0. Пред-
Представим Q в виде суммы
Q it'\ =s Q(f/)~Q(~O j_
- ЙA) (f) + Q<2) @,
где QA) hQB) — соответственно нечетная и четная части функции Q.
Теорема 2.6 применима к оператору, ассоциированному g ядром
QtlJ [f)l 11 |n, и можно заключить, в частности, что этот оператор
непрерывно отображает Lp (?„) в себя. Однако, как было отмечено
в конце § 1 этой главы, для того чтобы получить подобное заключе-
заключение об операторе, ассоциированном в ядром К @ =* Й (fy \ t |n.

252
Гл. Vf. Сингулярные интегралы
необходимо иаложнть дополнительные ограничения на Й. Покажем,
что такой оператор непрерывно отображает V (?„), I < р < со,
в себя, если || Й || =( J | Й (О I2 dt'\l/2 < оо. Точнее, докажем сле-
следующую теорему:
Теорема 3.1. Пусть К — ядро вида К (О «Й@/|'Г» где\п\ =
«f J |Q(/') ladfX'*<°°. $ йС)dt' = ° " Q — однородная
функция степени 0. Тогда lim J Ф(# — f)K(t)dt = (/С*Ф)(#)
||Э>
существует для всех х?Еп и основных функций <р € <9*> Кроме
того, если 1<р<оо, то существует постоянная с = с(р,п),
зависящая только от р и размерности п и такая, что
всех основных функций ср.
Поскольку из условия |Q]<Coo следует, что такое же усло-
условие должно выполняться н для четной части Й \ и поскольку
мы уже знаем, что приведенная теорема справедлива для (бо-
(более общих) нечетных ядер, можно считать, что Й — четная функ-
функция. В этом случае идею доказательства теоремы можно кратко
описать следующим образом. Если Т — сингулярный интеграль-
интегральный оператор, ассоциированный с ндром Л\ то рассмотрим его
суперпозицию с преобразованием Рнсса Rf, 1 </<я, и покажем,
что эта суперпозиция RfT определяет сингулярный интеграль-
интегральный оператор, с нечетным ядром изученного в предыдущем
параграфе типа. Тогда существует постоянная ар, такая, что
IRT И < aD | <p |p для всех <р ? $. Отсюда, в силу теоремы 2.6,
)llMtf^lV*pl<PL- Но из B.9) следует, что
Ир М
IIV / Ир М
Остальная часть этого параграфа посвящена уточнению этих
рассуждений. Ряд необходимых для этого утверждений уже был по-
получен в § 4 гл. IV. Существование предела
lim
J
было устаиовлеио в рассуждениях, предшествующих теореме 4.7.
Согласно теореме 4.7 указанной главы, преобразование Фурье
функции К, рассматриваемое как обобщенная функция в смысле
главного значения, однородно степени 0. Поэтому существует Йо,
определенная на 2n_i и такая, что К (х) = Йо(*') = &o(*/Ul),
S. Сингулярные операторы с четным ядром
253
хфО. Далее, если Й =* 2 ' ' — разложение Й в ряд по сфери-
сферическим гармоникам на 2n_, (K(ft> — сферическая гармоника степе-
степени k, и ряд сходится по норме в L2 B„_1)), то Йо имеет разло-
со
женне й0 = V Yq \ где Уо =
C.2)
г (k!2)
= 0
г* ' " r[(rt+fe)/21
В силу следстзия 4.12 гл. IV, функция Й„ непрерывна на 2rt_i
и, значит, ограничена 1>. Тогда функция К также ограничена,
и потому, в силу теоремы 3.18 гл. I, оператор Т, переводящий
функцию (pf«fB функцию 7*ф = К*Ф € ^2 Фп)> удовлетворяет
оценке |Гф|а = |К*ф||2<Ц/СЦф|». н (Гф)А (/) = K(t)y{t) = ¦
= ®oW\t\L(t) для (ФО нз ?„,
Поскольку Т*ф принадлежит L2 (?„), преобразование Рнсса
.RjTy функции Т*ф существует (см, теорему 2.6) и принадлежит
L?(En). Используя тогда равенство B.7), получим
-—, . f
Положим а>0 (/') = — и)п0 (Г) для V = (t\, .... {а) € 2„-1 и рас-
рассмотрим функцию, принимающую в точке t Ф 0 нз Еп значение
(й0 (щ 11). Покажем, что зта функция есть преобразование Фурье
обобщенной функции в смысле главного значения, определяемой
нечетным ядром обсуждавшегося в § 2 типа. Для этого исполь-
используем следующий результат:
Лемма 3.4. Пусть Y(k), k > 1, — сферическая гармоника
степени k и j — целое число, такое, что I < / < п. Тогда суще-
существуют сферические гармоники И7(*-1) и Wik+l) степеней k — \ и
k + 1 соответственно, такие, что
ttY{k) (t) = W{k-i] (t) + й7(*+1) (О
для всех t = (tlt ..., tn)$ Sn-ь
Доказательство. В силу следствий 2.3 и 2.4 гл. IV, до.
статочно показать, что J t,Yik) (f) Wil) (t) dt = 0, если U7(/) —
сферическая гармоника степени
—1, ft+I. Пусть
}) Непрерывность Qo, как было показано, следует из представления, полу-
полученного в теореме 4,11 гл. IV.

254
Гл. VI. Сингулярные интегралы
т»)
Q ' — соответствующие пространственные сферические гармоники и
= Q{l)(x). Тогда
(Ли) (л)
дР) .
2 -5— {х) = 2
дх.
Отсюда, применяя формулу Грииа, находим
C.5) — 2 С Qt0 (х) дР . (х) dx =
[и (*) (Air) (*)-»,(*) (Аи) (*)]
I
Но dPlk)!dxt — пространственная гармоника степени к— 1, так что
при 1фк— 1 первый интеграл в формулеC.5) равен 0. Положим
х = rt, где г = | л; |; тогда Q(/) (*) = rVJ @ и (dQ(l)/dn) (x) =
«(d/ar) (/tt7@(^)=//-V@ (/) = /й7(/)(^)—производная функции Q(/>
в направлении внешней нормали к сфере 2rt_i в точке t. Анало-
Аналогично, нз равенства и{х) — r^+H/Y^(t) следует, что {du/dn)(t) =
= (fe+ \)tfY{k)(f). Следовательно, если 1фк-—\1 то
0 = 1 ^ t,Yik) (t) WU) (t) dt - (k + 1) J . f ,
Если теперь предположить еще, что / ф к + 1, то
и лемма доказана.
Поскольку Q, по предположению, принадлежит Z.1Bn_i),
сферические гармоники {V^fc)} из разложения Q удовлетворяют
- В силу C.2), отсюда следует, что
оценке 2
ft—2
C.6)
Пусть 2 У^ — разложение в ряд по сферическим гармоникам
сужения функции ф0 иа 2„_ь (Так как о>0 есть произведение ие-
четной функции на четную, она нечетна. Тогда ) о)о = Оираз-
S. Сингулярные операторы с четным ядром
255
ложенне 2 ^' не содержит гармоники нулевой степени.) Из
леммы 3.4 н неравенства C.6) немедленно следует, что
2 ft" !*??<«>.
В силу теоремы 4.7 гл. IV, а»0 — преобразование Фурье обобщенной
функции в смысле главного значения вида J (х) = о» (#')/ | ^ [",
где функция tb ? L2 Bn_i) такова, что J о» (/) ?tx' = 0. Дей-
ствительио, это последнее равенство является следствием нечетиости
(о (поскольку преобразование Фурье функции J есть нечетная функ-
функция). Тогда, согласно теореме 2.6, если 1 <с р < <х>, то существует
постоянная Лр, ие зависящая от ф € ^ и такая, что
Кроме того, поскольку <р € L2 (?„), используя теорему 3.18
¦ гл. I, видим, что (J*q>y (t)= -i(tf!\t\)Q0(t/\t\)y(f). Так как
/* <р€ Lp(?„),  <р<оо, то можно опять применить теорему 2.6,
найдя при этом, что [Rf*{J *y)](x) = lim f (У* <р)(л — f)K{t)di
существует для почти всех # €
C.7)
где Вр ие зависит от <р. Поскольку, в частности, J * <р € Ь2 (?п),
то, аппроксимируя V * <р фуикциями из $ и используя еще раз тео-
теорему 3.18 гл. I, получим
Отсюда
IM1
/_L
и
——^*Ф» и» в силу оценки C.7),
Таким образом, 2^/*
Это неравенство завершает доказательство теоремы, причем с
= c(pt n) « пВр.

256
Гл, VI. Сингулярные интегралы
4. Пространства Нр сопряженных гармонических функций
В конце § 1 гл. 111 мы ввели пространства векториозначных
функций
F (х, у) = («! (х, у), ..., un+i {х, у)),
определенных во всех точках (х, у) ? ?«+i, где функции Ы/, / =
— 1, 2, ..., п + I, удовлетворяют системе дифференциальных урав-
уравнений в частных производных A.6) и неравенствам
D.1)
3 I "' (х>
< ^ < °° Для всех У >
Когда р > 1, существование граничных значений lim ut (х, у) =
у-* О
= щ (х, 0) (почти всюду и по норме) непосредственно следует нз
теорем 2.5 и 3.16 гл. II и зависит только от условия D.1). Действи-
Действительно, последняя теорема утверждает, что некасательные граничные
значения существуют почти всюду. Более того, с помощью части (Ь)
теоремы 2.5 можно показать, что это справедливо и прн р = 1.
Если же только потребовать, чтобы гармонические функции удовле-
удовлетворяли условию D.1), но не системе A.6) гл. Ill, то сходимость по
норме может нарушиться. Например, если одна из гармонических
функций и (х, у) — и{ (х, у) есть интеграл Пуассона — Стилтьеса
б-меры Дирака [д, (т. е. [д. (А) = 0, если 0 ¦$ А с Еп, и [д. (Л) =
= 1, если 0 ? Л), то и (х, у) равна ядру Пуассона
Р(х>У) = Сп „ .,, , !
и', следовательно, стремится к 0, когда (х, у) некасательно стремится
к (х0, 0) = х0 ? Еп при я, Ф 0. С другой стороны,
с с
lim \ \u {xt у) —и{х, 0) |dx *> Hm J Р{х, у)dx = 1.
Когда п = 1, эта ситуация иллюстрирует важное различие меж-
между граничным поведением гармонических и аналитических функций.
Если их и ы8 — вещественная и мнимая части аналитической в Е}
функции, удовлетворяющей оценке D.1), то рассматриваемые гра-
граничные значения существуют для всех р >¦ 0 (это есть в точности
случай п = 1 теоремы 5.1 гл. III). Тот факт, что функции их и иа
связаны уравнениями Коши — Рнмана, позволяет доказать суще-
существование граничных значений для более широкого диапазона ин-
индексов р. Уравнения A.6) гл. III дают, вероятно, наиболее прямое
обобщение уравнений Кошн — Римана. Основное свойство, которым
обладают такие системы гармонических функций, заключается в
том, что существуют индексы р <; 1, для которых функция A и^ |а +
+ ... + | Мтх+11а)р'2 субгармоническая*' (см. теорему 4.14 ниже).
4. Пространства Ир сопряженных гармонических функций
257
Это обобщает тот факт, что функция log | F \ субгармоническая, если
F — аналитическая функция одного комплексного переменного
(см. пример C) в § 4-гл. 11).Следующнйрезультат показывает, как
это свойство используется для получения интересующих нас гра-
граничных значений.
Теорема 4.2. Пусть ult ..., uk — вещественнозначные гар-
гармонические функции, определенные в ?jjj и такие, что существует
положительное р0 <. 1, для которого функция
s = («; + ... + и!)"'2
субгармоническая. Положим F = (ии ..., ukj и предположим еще,
что неравенство D.1) выполняется для всех у>0 при некотором
р"> р0. Тогда пределы
D3) М*> °)= lim Mo\i/),.
х : . {w.y)Mx,Q)
где (ш, у) приближается к (х, 0) некасательным образом, существуют
для почти всех х ? Еп. При этом
D.4) lim J
Доказательство. Положим q = plpQ > 1. Тогда, в силу
D.1),
l[s(x,y)fdx= .
для всех у>0. Поскольку, кроме того, s — субгармоническая фуик-
цня, из теоремы 4.6 гл. 11 следует, чтовимеет наименьшую гармони-
гармоническую, мажоранту т, которая является интегралом Пуассона неко-
некоторой функции /? V (Еп). Тогда, в силу теоремы 3.16 гл. II, т
имеет некасательные пределы почти во всех точках нз Еп. Так как
s < т, то функция s некасательно ограничена почти всюду в Еп,
причем то же самое справедливо и для | щ \ < sl/p\ j = 1, ..., k.
Можно, следовательно, применить теорему 3.19 гл. II и убедиться,
что существуют некасательные пределы D.3). Сходимость по норме
D.4) тогда следует из существования этих пределов и теоремы Ле-
Лебега 6 мажорируемой сходимости, поскольку функции т и /мажо-
/мажорируются максимальной функцией Харди — Литтлвуда функции /,
принадлежащей V (Еп) (см. теоремы 3.10 и 3.7 гл. II). Это доказы-
доказывает теорему.
Когда р = ро и, следовательно, q = 1, все еще имеется наимень-
наименьшая гармоническая мажоранта т функции s, однако можно гаранти-
гарантировать только, что m — интеграл Пуассона — Стнлтьеса конечной
9 Зак. 417

258
Гл. VI. Сингулярные интегралы
борелевской меры на Еп (см. последнюю часть теоремы 4.6 гл. II).
В этом случае нельзя применять теорему о мажорируемой сходи-
сходимости, как это было сделано выше для вывода сходимости D.4) из
существования некасательных пределов D.3). С другой стороны, этн
некасательные пределы существуют почти всюду, поскольку инте-
интеграл Пуассона — Стнлтьеса функции m имеет такие пределы 1\ и,
следовательно, s некасательно ограничена.
Итак, из этой теоремы видно, что содержательное обобщение
теории классических пространств Нр получается тогда, когда k
компонент вектора F таковы, что существует число р0 < 1, для ко-
которого функция s = \ F\Pl> субгармоническая. Когда п = 2 = kf
уже отмечалось, что если эти компоненты удовлетворяют уравне^
нням Кошн — Рнмаиа, то \ F \р субгармонична для всех р > О
(в действительности log | F ] субгармоннчна). Естественно, следова-
следовательно, рассмотреть задачу о том, какие системы линейных уравне-
уравнений в частных производных первого порядка с постояннымн коэффи-
коэффициентами обладают тем свойством, что их решения F = {ult ..., «J
гармоничны и удовлетворяют указанному условию субгармонич-
субгармоничности. Любая такая система уравнений в частных производных
записывается в виде
D.5)
где Aj есть (I x й)-матрица из чисел и dFldXj — вектор (столбец)
с компонентами dujdxu i = 1,..., к2),
Будем называть такие системы уравнений обобщенными систе-
системами Коши — Романа (ОКР), если каждое решение F — (ии .... uk)
имеет гармонические компоненты uif i = 1, ..., k. Такое решение
назовем системой сопряженных гармонических функций. Ниже мы
покажем, что при п = 2 = k =*= / такая система линейной заменой
переменных сводится к обычным уравнениям Коши — Римаиа.
Одиахо сначала сделаем несколько общих замечаний.
11 Если т — интеграл Пуассона — Стилтьеса конечной борелевской меры
|х и Мм (х) = sup (I/|S^1) f rf|x @ — максимальная функция, то легко проверить,
что рассуждения из § 3 гл. II можно использовать для доказательства сходимости
почти всюду функции т, если соответствующим образом изменить их, введя М„ф
2) Когда мы впервые ввели систему F, удовлетворяющую уравнениям A.6),
предполагалось, что она является функцией п -\- 1 переменных (xt xn, у),
где у > 0 и х = (xlt ..., хп) — точка в Еп. Переменная у играет особую роль, кай
это видно из неравенства D.1), которое, очевидно, необходимо для обобщения поня-
понятия пространств Нр. С другой стороны, свойство субгармоничности \ F \р для не-
некоторого р > 0 не требует такой выделенной переменной. Именно по этой причине
мы вводим эти системы для функций, определенных в некоторой области в Еп, и
не делаем различий между переменными.
4. Пространства Нр сопряженных гармонических функций
259
Будем говорить, что система D.5) эллиптическая, если ра-
равенство
D.6) 2 х'Ар = °
выполняется для некоторых А-мерного вектора (столбца) v и п-мер-
нон строки X = {Хи ..., Хп) только в том случае, когда либо у,
либо X равна 0. Каждая система ОКР эллиптическая. Если бы это
было не так, то существовали бы ненулевые vnX, удовлетворяющие
п
равенству D.6). Но тогда F (х) = {ехр 2 V/} v бУДет негармо-
негармоническим решением системы D.5); отсюда следует, что D.5) ие мо-
может быть системой ОКР-
Если рассматриваемая система эллиптическая и X Ф 0, то отоб-
л
раженне и-> B XtAf)v ft-мерного евклидова пространства в /-мер-
/-мерное евклидово пространство, очевидно, должно быть взаимно одно-
однозначным (иначе ненулевой вектор можно было бы отобразнть в нуле-
нулевой, что противоречит эллиптичности). Отсюда следует, что / > k.
Выбрав X таким образом, чтобы X/ — 1 и Xt ~ 0 прн i Ф /, видим,
что каждая нз матриц A/, j = 1, .... п, задает взаимно однозначное
отображение. В частности, прн k = / матрицы должны быть обрати-
обратимыми. Если, кроме того, п = 2 — k, то система D.5) эквивалентна
системе вида
D.7)
дР
dF
= 0.
Где А — невырожденная матрица (поскольку в этом случае можно
умножить обе части равенства D.5) на AT1). Предположим теперь,
что D.7) есть система ОКР- Тогда нз гармоничности F следует,
что
' "* ^ ' ' дх!дх%
для всякого решения F. Но для произвольного двумерного вектора
Ь всегда существует решение системы D.7), такое, что dzFldxxdx% ==з
=з Ь. Действительно, F {xlt х2) = 2хгхф — {х\АЬ + х\А~хЬ) — та-
такое решение. Так как должно выполняться D.8), то отсюда следует,
что А + Л = 0, нлн, эквивалентно, А2 = — /. Но из этого урав-
уравнения следует, что матрица А должна иметь вид
Ь
— а

260
Гл. VI. Сингулярные интегралы
где а2 + be =* — 1. Из последнего уравнения следует, что be < О,
поэтому матрица
имеет обратную и удовлетворяет равенству
Итак, если определить G равенством
то уравнение D.7) запишется в виде
ас . /о -
+
Но это и есть классические уравнения Коши — Римаиа для vx и v2.
Введем теперь функциональное пространство, ассоциированное
с произвольной фиксированной обобщенной системой Кошн — Ри-
Римаиа. Если р > 0 н F — (ии ..., ик) — решение этой системы в об-
области ?1+ь то будем говорить, что F принадлежит Нр (?t+i), если
существует постоянная А <С оо, такая, что
для всех у > 0. Ввиду сделанных выше замечаний очевидно, что
пространства Нр (Й+i) обобщают классические Я"-пространства
аналитических в верхней полуплоскости функций. Следующий
результат вместе с теоремой 4.2 показывает, что это определение поз-
позволяет построить содержательную теорию этих пространств для ин-
индексов р < 1.
Теорема 4.9.
— Романа
Пусть F — решение обобщенной системы
м
тогда | F |р — субгармоническая функция для р > 2 — A/а), где
а — некоторое положительное число, меньшее 1 и зависящее только
от матриц Alt ,.., Ап.
Доказательство. В силу теоремы 4.4 гл. II, достаточно
^показать, что s = | F |р имеет неотрицательный лапласиан на мно-
4. Пространства Нр сопряженных гармонических функций
261
жестве всех * из области определения F, таких, что s (х) > 0. По-
Поскольку F имеет гармонические компоненты, на этом множестве
A
где Ft=*dFIdXf и F»Ff.rs'2t ЩФ
(=i
As>0 эквивалентно неравенству
D.Ю) . 2(F'F/K<-2
. Таким образом, условие
Если существует положительное а < 1, зависящее только от Аъ ...
.... Ап и такое, что
D.11) max V (и(/) • и)а < а V I и"' la,
где и \ ..., цп) суть А-строки, удовлетворяющие равенству
D.12)
= о,
то неравенство D.10) несомненно будет выполняться. Поэтому
докажем это предположение. При этом, очевидно, можно считать,
что 2 |и(/)|2— 1- Если числа а<1, для которого справедливо
/=i
неравенство D.11), не существует, то, в силу компактности, най-
найдутся v и м°), ..., и(п>, удовлетворяющие равенству D.12) и такие,
, п п
что |и|а = 1 = 2 1"ш1а и 2 (ut/) tVJ= !• H°t B силу неравенства
Коши — Шварца,
2 И> • f )а < 2
Отсюда, поскольку (а<'> • fJ < | и<» |а ] у |а, следует, что (и(П . оJ =
= |ц(/)|а|о|8 для / = 1, .... п. Таким образом, в .неравенстве
Коши —Шварца имеет место равенство, а значит, существует
такое X = (Xlt ..., Х„), что и*') = \р. Но это противоречит усло-
условию эллиптичности D.6), поскольку в этом случае
0-2 А!иШ ^ 2
1
1 При выводе D.10} мы предполагаем, что р < 2, но при о > 2 равенство
0 очевидно.

262
Гл. VI. Сингулярные интегралы
4. Пространства Нр сопряженных гармонических функций
263
где | X |2 — (X2i + ... + Xn) = 1 = 1 v |2. Следовательно, искомое
число а существует н теорема доказана.
Наименьшее число а, для которого справедлива теорема 4.9,
очевидно, зависит от системы ОКР, которой удовлетворяет F. Во
многих важных случаях это число можно найти. Например, для
системы М. Рисса уравнений в частных производных
диг , , дип eQ
D.13)
dxf
дхп
и \ = 1,
введенной в гл. III (см. A.6)), а = (п — \)/п. Точнее, справедлива
следующая
Теорема 4.14. Пусть F — {ии .... ип) — решение системы
М. Рисса D.13); тогда \ F \р — субгармоническая функция при р >
> (п — 2)/(п — 1). При 0 < р < {п — 2)/(п — 1) существует ре-
решение F, для которого \ F \р не является субгармонической функцией.
Доказательство. Из доказательства теоремы 4.9 видно,
что достаточно найти наименьшее а, удовлетворяющее неравен-
неравенству D.П) для всех n-строк u(i) = (u,i, ..., щп), /~1, .... п,
таких, что
= 0 Н Щ,=:
it / = 1,
п, 1ф\.
2
Пусть М есть (п х п)-матрица с элементами Щ}\ тогда последние
условия эквивалентны тому, что М симметрична и ее след равен 0.
Неравенство D.11) можно переписать в виде
D.15)
где %Щ — B ич) — норма Гильберта — Шмидта матрицы М.
Левая часть неравенства D.15) равна, конечно, квадрату нормы
оператора на Еп, переводящего v в Mv. Но из элементарной ли-
линейной алгебры известно, что если ^, ..., Хп — характеристиче-
характеристические числа матрицы М (которые все вещественны, так как М сим-
симметрична), то эта операторная норма | М \\ =тах {| %t \ , ...,\ X,ft|},
в то время как ЩЛ1|) = {X
равен нулю,
= max \\Х,\
-f ... + Хп = 0. Тогда,
\X
Поскольку след М
если, скажем, |^/[ =
Xn\), то
\Ф1
¦ f.
Прибавляя (п — 1) | Xj \2 к обеим частям этого неравенства, по-
получим
и неравенство D.15) доказано для а — (п— \Iп. Из теоремы 4.9
тогда следует, что \ F \р — субгармоническая функция для р ;>
"> 2 — A/а) = {п — 2)/(п — 1), если F — решение системы
М. Рнсса.
Чтобы показать, что в общем случае | F \р не будет субгармони-
субгармонической функцией для показателей р, меньших {п—2)/(п— 1), по-
положим F равной градиенту функции h (х) == \х\B~п)/{2— п). Тог-
Тогда простые вычисления показывают, что
D.16) A(|F|')=A(|V/i|p) =
Следовательно, Д (] F \р) < 0, если р < (п — 2)/(rt — 1). В силу
теоремы 4.4 гл. II, функция —| F]p субгармонична в Еп \ {0}-
Тогда —1 F \р удовлетворяет неравенству среднего значения D.2)
из указанной главы. Если бы | F \р также была субгармонической,
она тоже удовлетворяла бы этому неравенству среднего значения и,
следовательно, обладала бы свойством среднего значения. Тогда,
в силу теоремы 1.7 гл. II, | F \р была бы гармонической, но, соглас-
согласно равенству D.16), этого не может быть при таких значениях ин-
индекса р.
Большой класс систем сопряженных гармонических функций,
удовлетворяющих уравнениям М. Рисса D.13), можно получить
Lp (Еп), 1 <р < оо;
следующим образом. Пусть /
интеграл Пуассона
рассмотрим
dt
и свертки
v,- (х, у)=-
dt,
/ — 1, ..., n, x?En И1/>0. Вычисляя необходимые частные про-
производные, легко проверить, что F = {и, V) = (и, vlt ..., vn) —
система М. Рисса, определенная в Яп+i. Если п = 1, то v = vx —
функция, которая была использована для определения преобразо-
преобразования Гильберта / функции / (см. § 1). Перечислим некоторые основ-
основные свойства функций v и / (они легко выводятся из определений):

264
Гл. VI. Сингулярные интегралы
f =s и -\- iv аналитнчна в ?3" и sup J | F {x + iy) f dx< oo;
значит, Р?НР(Е2). Следовательно, f -\- if почти всюду равна
некасательному пределу функции Ft а также пределу F по
Ьр-норме (т, е. Л
lim
Этн свойства, так же как и ряд других результатов, полученных
в § 1, легко обобщаются на п измерений, и в этом смысле преобра-
преобразования М. Рнсса можно рассматривать как наиболее естественное
обобщение преобразования Гильберта в классе сингулярных инте-
интегральных операторов. В заключение этого параграфа мы покажем,
как получаются некоторые из этих обобщений на высшие размер-
размерности.
Теорема 4.17. Пусть f?Lp{En), 1<р<оо, 7/ = Rjf,
j = 1, ..., п, —преобразования М. Рисса функции f u(x, У) —
интеграл Пуассона функции f и V](x,y) — свертки f с ядрами
+[12- Тогда:
(i) функция F(u,
(И) )н^~
для /= 1, ... , п\
(iii)limf(/(^-0
Н
dt
d^ —
0<
во есех точках лебегова мноокества функции f;
, где А — постоянная,
(iv)
аавиеяищя только от размерности п и индекса р.
Доказательство. Все эти утверждения являются про»
стыми следствиями уже установленных теорем или получаются оче-
очевидными изменениями доказательства соответствующих одномер-
4, Пространства Нр сопряженных гармонических функций
265
ных результатов. Например, для доказательства (Ш) можно исполь-
использовать те же самые рассуждения, что и для доказательства леммы 1.2.
Вместо функции, определенной равенством A.3), введем функцию
; при |*|> 1,
при
и для е>0обозначим ^(t) ^efc"<p(l/e). Тогда выражение в скоб-
скобках в равенстве (ш) примет вид \ f{x — t)y&{t)dt. Из неравен-
неравенства
const
при
const при |х|< 1
следует, что ^ ? L1 (?„), а это позволяет применить теорему 1.25
гл. I и получить, что
lim
тем самым равенство (iii) доказано.
Если е >- 0, то мы утверждаем, что
D.18) ——
~ " J (U-
Для (х, у) ^ ?i|.i. ^го равенство доказывается прямым применени-
применением леммы 2.7 гл. П с
Теперь нз равенства D.18) немедленно следует, что /-е преобра-
преобразование М. Рисса функции Ру со значениями
(т. е. ядра-Пуассона) есть /-е сопряженное ядро Пуассона

266
Гл. VI. Сингулярные интегралы
Свойство (ii) теперь легко следует отсюда, поскольку преобразова-
преобразования Фурье обеих частей равенства должны равняться функции со
значениями
(см. теорему 1.14 гл. I и B.7) в этой главе). Свойство (i) следует из (ii),
неравенства B.2) гл. II и теоремы 2.6. Из этой последней теоремы,
равенства (ii) и теорем 3.10 и 3.7 гл. II получаем (iv).
5, Дальнейшие результаты
5.1. В классической теорни рядов Фурье аналогом преобразова-
преобразования Гильберта является сопряженная функция функции /, опреде-
определенной на единичной окружности [z ? С; | г \ = 1}. Как и в случае
преобразования Гильберта, сопряженную функцию f функции/
можно определить методамн теорни функций комплексного перемен-
переменного или чисто вещественными методами. Если считать f веществен-
нозначной интегрируемой функцией переменной 8 ? 10, 2л] и
для 0<г<: 1 ввести следующее обозначение сопряженного ядра
Пуассона: ,
S), п\ * Г Sin 9
^ V • и' - я 1 — 2г cos e -f га »
то функция
= J f(e-
будет сопряженной гармонической функцией к ннтегралу Пуассо-
Пуассона
1~г%
«>) =* | /(8 —
Г*
—я
'
2л 1—2/" cos ф -f- r2
Это означает, что функция F (г) = и (г) + iv (г) аналогична внутри
единичного круга {г ? С; 1 г | < 1}. Произведя простые изменения
в доказательстве леммы 2.6 гл. V, можно показать, что F (г) имеет
предел, когда г некасательно приближается к граничной точке i »
для почти всех 9 ? [0, 2я] (подробнее ч,см. в книге Зигмунда A],
гл. VII). Следовательно, мнимая часть функции F также почти всю-
всюду имеет некасательные граничные значения. Функция f, принимаю-
принимающая эти значения, и есть сопряженная функция функции f.
б. Дальнейшие результаты
267
Таким образом, /* почти всюду определяется равенством
я
fc(8) = lim С /(9 —q>)Q(r, <p)dq>.
—Я
Простое изменение доказательства леммы 1.2 показывает, что
можно также почти всюду определить равенством
1
Если функция / принадлежит Л2 @, 2я) и ее ряд Фурье есть
2 cfte'fee, то рассуждения, аналогичные использованным для
k=—оо
доказательства B,7) в гл. V, показывают, что /с также прннад-
лежит La@, 2я), ее ряд Фурье имеет внд 2 (~~ isgnk)ckeik® н,
ft=J ОО
следовательно, || /с |а <С | /||2. Поэтому естественно ожидать, что
для сопряженной функции справедливо неравенство, аналогичное
неравенству B.11) из гл. V. В действительности можно показать,
что /-*-/с есть отображение слабого типа A,1), а тогда из интер-
интерполяционной теоремы Mapцннкевича следует неравенство |/с|р<
^¦ApWfjp для 1<р<оо, где Ар зависит от р, но не от / ?
?Lp@, 2л). В силу теоремы 3.15 гл. V, однако, достаточно по-
показать, что это отображение условного слабого типа A,1). Это
очень просто установить следующими рассуждениями.
Пусть Е — измеримое подмножество отрезка [0, 2я] и %е —
его характеристическая функция. Если и (z) и v (z) — интеграл Пу-
Пуассона и сопряженный интеграл Пуассона функции %?Гто функция
F (z) = и (z) -f iv {г) аналитична прн | z \ < 1. Тогда для каждого
вещественного числа у функция exp {yF (z)} аналнтнчна при | z | <
< 1 и, в силу теоремы о среднем,
2я
Л_Г exp [yF {re1®)} dQ
о
для 0 < г < 1. Устремляя г к 1 н применяя теорему Лебега о мажо-
мажорируемой сходимости, получим
2л
для всех вещественных чисел у. Введя обозначение Е' = [0,2л1\?,
можно записать это равенство в виде
\ exp {iyXE(8)} d6.
— еу \ ехр
Е

268
Гл. VI. Сингулярные интегралы
Взяв комплексные, сопряженные обеих частей равенства и заменив
у на — у, получим
= е-у \ exp [iy хе (9)} <i9 + f exp {iyyfe (9)} d&
Е В'
для всех вещественных чисел у. Найдя из этих двух уравнений
JexptfyjuWldB и \ехр{*й&F)}<*е, виднм, что fav{iy&{Q)}dQ
ЕЁ' Q
зависит только от у и |?|. Положим \\{s) — |{9 ?[0, 2п];
Хв (9) > s} | и v (s) = | {9 € [0, 2л]; %СЕ (9) < s} |; тогда интегралы
s)
(s)
полностью определяются величинамн у л \Е\. Поскольку меры
вполне определяются своими преобразованиями Фурье, то х\ и v
зависят только от | Е |. Так как X (s) = |{0; | %СЕ (9) | > s ;> 0} | =
— х\ (s) -\- v ( — s), функция распределения X функции Хе (см. § 2
гл. V) также зависит только от | Е |. Если обозначить через х
характеристическую функцию интервала [0, | Е |], то сопряжен-
сопряженная функция хе н ее функция распределения особенно, просто вы-
вычисляются, причем
— isin(|?|/2) •
Отсюда легко выводится, что оператор сопряженной функции
имеет условный слабый тип (I, 1).
5.2. Если X — функция распределения преобразования Гиль-
Гильберта характеристической функции множества ?сг (— оо, оо)
конечной меры, то можно показать, что
для s > 0. Отсюда, конечно, также следует, что преобразование
Гильберта имеет условный слабый тип (I, I). Доказательство этого
утверждения, так же как и другое доказательство функционального
соотношения, приведенного в конце п. 5.1, см. в работе Стейна и
Г. Вейса [2]. Еще одно доказательство последней формулы для X (s)
см. в работе Кальдерона [1].
5.3. Равенство из п. 5.2 можно переписать при помощи иевоз-
растающей перестановки преобразования Гильберта %е функции
5. Дальнейшие результаты
269
в следующем виде:
= _LArshB|?l/0.
Л
Если
— t\dt
e-v0
R-t-oo
— сингулярный интегральный оператор описанного в § 2 типа,
то можно, следующим образом обобщить приведенное выше соотно*
шенне. Пусть Е — измеримое подмножество конечной меры из Еп>
%Е — его характеристическая [функция и m (t) = -г J %e (s) &
(см. § 3 гл. V); тогда
г
I
Arsh
гдеЦЙЦ = J \u{x')\dx,f (см. О'Нейл и Вейс [1]). Этот результат
вместе с интерполяционной теоремой 3.15 гл. V дает другое до-
доказательство того, что /-»-/ — ограниченный оператор на Lp(En)
(теорема 2.6).
' 5.4. Мы отмечали в § 3, что если ядро К @ = & W\ t \n четно,
то для получения ограниченного сингулярного оператора aaLp {Еп),
1<р<оо, необходимо, кроме интегрируемости Q на 2„_1(
наложить иа Q некоторые дополнительные ограничения (хотя ин-
интегрируемости достаточно в случае нечетного ядра). Действитель-
Действительно, мы предполагали, что Q квадратнчно-ннтегрнруема, и это по-
позволило использовать (сравнительно) простые рассуждения, при-
приведенные в § 3. Можно показать, однако, что теорема 3.1 останется
справедливой, если заменить условие квадратичной интегрируемос-
интегрируемости Q менее ограничительным условием
(*)
Q{x')log+\Q{x')\\dx'
где log+s = log s для s > 1 и
дерой и Зигмунд [4J).
g+ s =
s = 0 для 0 < s < 1 (см. Каль-
Каль5.5. Теорема 3.1 менее общая, чем теорема 2.6, еще и в другом
смысле. В то время как последняя утверждает, что рассматриваемый
оператор определен (почти всюду) для всех / ? V (?"„), в теореме
3.1 область определения оператора сужена на ^°. Когда ф ? ^°,

270
интеграл
Гл. Vi. Сингулярные интегралы
В. Дальнейшие результаты
22 \
определен н вопросы, поставленные в подстрочном примечании
вслед за определением A.8), ие возникают. Однако не обязательно
ограничиваться рассмотрением пространства j?t поскольку можно
показать, что интеграл
I /<*-0-f$-*
абсолютно сходится для почти всех х, предел прн е -»- 0 существует
в среднем порядка р, 1 < р < оо, и поточечно почти всюду для
всех f ? Lp (Еп), даже когда функция Q удовлетворяет более сла-
слабому условию (*) нз п. 5.4 (см. Кальдерой н Зигмунд [4]),
5.6. Простые рассуждения показывают, что преобразования
Рисса Rlt .... Rn обладают следующими свойствами:
A) каждое Rf коммутнрует со сдвигамн;
B) каждое Ri коммутирует с растяжениями;
C) если р — вращение с матрицей (рд) н Тр — оператор
на функциях /, определенных на Еп, действующий по правилу
f (х) = / (рж), то
Кроме того, в силу теоремы 2.6,
D) каждое Rj непрерывно отображает L2 (Еп) в себя.
Когда п > 3, этн четыре свойства полностью характеризуют
преобразовання Рнсса. Точнее, если Rv ..., Rn — операторы на
Is (?„), обладающие свойствами A), B), C) и D), то они с точно-
точностью до фиксированного постоянного множителя совпадают с
преобразованиями Рнсса. Приведем схему доказательства этого
утверждения. Вспоминая теоремы 3.16 и 3.18 гл. I, виднм, что из
свойств A) и D) следует, что сужение каждого R/ на & есть свер-
точный оператор вида #/<р = щ * ф, <р $.&', где и, — обобщенная
функция, преобразование Фурье которой u,- = bs есть ограниченная
функция. Из свойства B) и из A.6) гл. I следует, что каждая функ-
функция bj однородна степени 0. Наконец, нз свойства C) и из того,
что операторы Тр коммутируют с преобразованием Фурье (теорема
1.1 гл. IV), следует, что
для всех вращений р н х ? Еп. Фиксируя х ? Еп, х Ф 0, и за-
заставляя р пробегать все вращения, вндим, что Ь/ полиостью опре-
определяется величинами (Ьх {х), ..., Ьп (х)) » b {x) (мы, конечно, ис-
используем тот факт, что bj однородны степени 0). Если^л/— произ-
произвольная точка нз Еп, такая, что \у\ = |х|, то существует вращение
о, такое, что у = а" х. Тогда для любого вращения р, оставля-
оставляющего точку х неподвижной, имеем
п / п
2 2
Таким образом, вектор Ь — b (х) обладает тем свойством, что арЬ =
= оЬ для всех вращений р, оставляющих точку х неподвижной.
Но это означает, что b {x) должен быть пропорциональным х.
Отсюда и из равенства B.7), очевидно, следует, что Ru .... Rn с
точностью до постоянной равны преобразованиям Рисса. Когда
п = 2, эти рассуждения становятся неверными, поскольку нз
того, что рЬ — Ь для всех вращений, оставляющих точку х непо-
неподвижной, не следует, что Ь (х) пропорционален х (вращение в Е2,
оставляющее неподвижной какую-либо точку х, х Ф 0, совпадает с
тождественным преобразованием). Однако, заменив группу вра-
вращений ортогональной группой, получим характеристику преобра-
преобразований Рисса, справедливую и прн п = 2.
5.7. Сингулярные интегральные операторы являются важным
инструментом в теории уравнений в частных производных. На-
Например, преобразовання Рнсса можно использовать для получения
оценок для оператора Лапласа
Д & ¦ - ¦ & • ¦
дх\
dxi
Поскольку преобразования Фурье выражений dPyldxjdxk н
— /?,-/?лДф для ф ? S совпадают (это следует из формулы B.7)
этой главы и теоремы 1.8 гл. I), справедливо соотношение
jOXk
Отсюда, в силу теоремы 2.6,
1 <С р < оо, и Ар не зависит от <р ? </. Обобщения этих оценок
см. в книге Стейна [31, гл. III н IV.
5.8. Если <р — основная функция, то ее преобразование Рисса
#Аф — ограниченная непрерывная функция. Это следует из того,
что интегрирование по частям позволяет представить Rkq> в виде
свертки основной функции dy/dxh с функцией сп A — n)/j jcl"".
Итак, если (х — конечная борелевская мера на Еп, то интеграл

272
Гл. V!. Сингулярные интегралы
J (#Аф) d\L существует и его можно использовать для определения
преобразования Рисса vft меры (г, k = 1, ..., п, как такой «меры», что
>dvk = — \ (#ь<р) d\i
i
для всех основных функций ф. Это равенство определяет преобра-
преобразование Рнсса меры ц как обобщенную функцию медленного роста,
причем в общем случае vft, k = 1, ..., ft, не является конечной боре-
борелевской мерой. Действительно, используя теорию Нр-пространств,
развитую § 4, можно доказать следующее обобщение классичес-
классической теоремы Ф. и М. Риссов:
Если преобразования Рисса vx, ..., vn конечной борелевской меры
\i также являются конечными борелевскими мерами, то меры \i>
vi> ¦¦-. vn все абсолютно непрерывны по отношению к лебеговой мере
(см. Стейн н Г. Вейс [1]; обобщение этого результата можно найти
в книге Стейна [3], гл. VII).
5.9. Систему М. Рнсса (введенную в § 4) можно реализовать в
внДе градиента гармонической функции V/i = F ~ (ии ..., м„),
.когда область определения системы F односвязна. Действительно,
вторая совокупность уравнений D.13) есть в точности условия су-
существования функции А, градиент которой равен Ft в то время как
из первого уравнения следует, что лапласиан функции h равен 0.
Рассмотрев градиент Vu/ — (u/i, ..., и!п) каждой из компонент И/,
/= 1, ..., п, мы получим па-строку Fl)= (wu, ul2, .... ипп), ко-
которую будем называть вторым градиентом функции К Можно по-
повторить эту операцию еще раз и получить третий градиент функ-
функции h. Продолжая подобным образом, получим k-й градиент Flh)
функции h. Кальдерон и Зигмунд [61 показали, что |Ft)|''—'
субгармоническая функция для р > {п — 2)/(k + п ¦—2). Таким
образом, рассматривая Нр- пространств а систем гармонических
в Е$+1 функций, являющихся fc-ми градиентами, получим утвер-
утверждения B.4) и B.5) о граничных значениях при индексах
Р^-(п— 1)/(А "Ь п— 1) (заметим, что размерность области
определения равна п -f 1). Тем самым мы получим теорию ^-про-
^-пространств для индексов р, еколь^годно близких к 0.
Существует класс обобщенных уравнений Кошн — Рнмана, тес-
тесно связанный с неприводимыми представлениями ортогональной
группы SO (n); fe-e градиенты можно реализовать в виде решений
системы ОКР из этого класса. Детали можно найти в работе Стейна
и Г, Вейса [4].
5.10. Теория сингулярных интегралов, рассмотренная в этой
главе, связана с ядрами вида К {х) = Й {х)/\ х\п, где Q — од-
5. Дальнейшие результаты
273
t ¦¦¦¦¦
нородная функция, удовлетворяющая определенным условиям инте-
интегрируемости на единичной сфере 2„_ь и, в частности, J Q (x1) dxf —
= 0. Такие ядра первоначально изучались Кальдероиом и
Зигмундом [3]. Котлар [Ни Хёрмандер til указали, что их теория
применима без значительных изменений н к более общим ядрам
К- Наиболее общий класс состоит- из обобщенных функций К,
задаваемых локально интегрируемыми вне начала координат
функциями и таких, что A) К{х) ограничена (где К—преобра-
К—преобразование Фурье в смысле обобщенных функций медленного роста) и
J \K(x-y)-K[x)\dx«?A<<x>
2\
B)
для всех у ? Еп (см. Стейн [3], гл. II). ^
Преимущество подобного подхода заключается в том, что он
дает результаты и дл? О (Еп) и, в частности, приводит к обобщению
утверждения (см. лемму 2.8 гл. V) о том, что преобразование Гиль-
Гильберта имеет слабый тип A, 1) .
Библиографические замечания
Для дальнейшего изучения преобразования Гильберта см. Титчмарш [2],
Зигмунд [ 1 ] и'Люмис [ 11. Метод вращений, обсуждаемый в § 2, впервые был раз-
разработан Кальдероном и Зигмундом [4]. Дальнейшие свойства преобразования Рис-
Рисса можно найти в работе Хорвата [I ]. Пространства Нр (?i,() были введены Стей-
ном и Г. Вейсом [1]. Системы сопряженных гармонических функций также были
изучены Кальдероном и Зигмундом [61, Стейном и Г. Вейсом [21, Кюраном [11,
Койфманом и Вейсом [2]. Тот факт, что гармоническое решение F эллиптической
системы обладает тем свойством, что | F \р — субгармоническая функция для не-
некоторого р < 1, был замечен Кальдероном.

Глава VII
КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
Цель этой главы — дать краткое введение в различные части теории кратных
рядов $>урье. В то время как с общей точки зрения это всего лишь один из частных
аспектов гармонического анализа на компактной абелевой группе, мы, будем об-
обращать внимание прежде всего на связь между анализом на n-мерном торе и на
п-мерном евклидовом пространстве. Так, в„ §2 рассматривается процесс «периоди-
«периодизации» применительно к функциям, определенным на Еп, дающий формулу сумми-
суммирования Пуассона, а в § 3 рассматривается соответствующий процесс для операто-
операторов множителей. В §§ 4 и 5 рассматривается другой вопрос — суммируемость крат-
кратных рядов Фурье. Мы изучаем этот вопрос здесь, а не раньше, в непериодическом
контексте (где можно доказать очень похожие результаты), в основном по причи-
причинам элегантности и удобства. Приведенные результаты справедливы только в слу-
случае п > 1 и получены при помощи методов, отличных от первоначально разрабо-
разработанных для решения подобных задач в более знакомом одномерном случае.
1. Элементарные свойства
Пусть Л — аддитивная группа точек в Еп с целочисленными
координатами (сложение, конечно, определяется векторной струк-
структурой Еп). Группу Л будем называть единичной решеткой. Рас-
Рассмотрим факторпространство EJA и отождествим обычным об-
образом функции, определенные иа ?„/Л, с периодическими функ-
функциями на Еп. Точнее, функция /, удовлетворяющая условию
/ (х -+¦ т) = f (х) для всех т ? Л, отождествляется с функцией,
значение которой на классе, определяемом элементом х, равно / {х).
Элементы группы Л являются периодами этих функций.
Существует естественная реализация пространства EnfS. в виде
п-мерного тора ТП = {{е2^, ..., /"**«) € С"; (*lf -.., хп)? Еп}.
Эта реализация дается отображением (х1( ..., xn)~*-{e2ntXtt ...
..., e2ni*n) и отсюда же следует стандартная реализация перио-
периодических иа Еп функций в внде функций на n-мерном торе.
Множество D d Еп называется фундаментальной областью,
если каждый класс эквивалентности из EJA содержит в точности
один элемент из D, Ясно, что периодическая на Еп функция пол-
полностью определяется своими значениями иа фундаментальной об-
области. Очевидно, что существует бесконечно много фундаменталь-
фундаментальных областей; одна из них, наиболее простая и удобная для наших
целей, это основной куб Qn = {х ? Еп; — 1/2 < х, < 1/2, / = 1,...
,,,, п\. Интегрирование на Тп можно определить при помощи ин-
/. Элементарные свойства. 275
теграла Лебега на Qn: если / — функция на Тп, то положим
A.1) [fdx= [fdx
и будем интерпретнровать это равенство следующим образом. Как
было показано,, каждая функция /, определенная иа Тп. порождает
периодическую функцию на Еп, сужение которой на Qn есть функ-
функция, стоящая в правой части равенства A.1). Функция f на Тп на-
называется измеримой, если соответствующая функция на Qn изме-
измерима по Лебегу; если последняя интегрируема, то интеграл в
левой части равенства A.1) по определению полагается равным ин-
интегралу в правой части. Аналогичным образом {/-пространства на
Тп отождествляются с ^-пространствами на Qn, а класс конечных
борелевских мер на Тп — с классом конечных борелевских мер,
сосредоточенных на основном кубе Qn. Будем использовать обо-
обозначения Lp (Тп) и $8 {Тп) для ?р-пространств на Тп и класса бо-
борелевских мер на Тп соответственно. Следует отметить, однако,
что класс непрерывных функций на Тп, а именно С (ГД не со-
ответствует классу всех непрерывных функций на Qn, а тблько тем
функциям, которые остаются непрерывными при, периодическом
продолжении на все Еп; С (Тп) — банахово подпространство в
L°° {Tn) (т. е. мы наделяем это подпространство ?°°-нормой). При-
Приведем здесь элементарные включения
н отметим, что, как обычно, L1 {Тп) можно отождествить с под-
подпространством абсолютно непрерывных мер из $ (Тп).
Перейдем теперь к рассмотрению рядов Фурье мер и функций
на Тп. Каждой мере \х ? 3$ {Тп) поставим в соответствие ряд Фу-
Фурье
A.2) d[x~ 2
тел
где
A.3)
= j e~2*lm-xd\i{x)
— коэффициенты Фурье ~~ Стилтьеса меры dji.
Для облегчения формальных манипуляций с коэффициентами
Фурье удобно рассматривать для каждой меры \i из 3§ {Тп) непре-
непрерывный линейный функционал
A.4) L*'. f-
иа пространстве С (Тп), Из теоремы Рнсса — Маркова о представ-
представлении линейного функционала следует, что, обратно, каждый

276
Гл. VII. Кратные 'ряды Фурье
непрерывный линейный функционал на С {Тп) имеет вид A.4) с не-
некоторой мерой \х ? 3$ {Тп), причем fl Lu fl = }d\i\, где слева стеит
норма линейного функционала L^ а справа — норма меры \х,
С помощью этого отождествления легко определить свертку d\i =
= d\ii * djia двух мер щ и ^ из $8 (Тп) как меру ц, определяемую
прн помощи A.4) следующим линейным функционалом:
A.5) /-
Из этого определения видно, что \\d\i\\<|d\it11d\i2\\ и что с этой
операцией свертки 38 (Тп) является коммутативной банаховой
алгеброй. Если в равенстве A.5) положим f(x) = e~2nim'xt то по-
получим формулу умножения
A.6)
где \ат) н {Ьт) — коэффициенты Фурье — Стнлтьеса мер d(x, и
d\x2 соответственно.
Из равенства A.5) нетрудно получнть другое определение сверт-
свертки dy,x * d\i2. Это есть мера \х, такая, что
для каждого борелевского множества Е. Отсюда ясно, что если мера
\хг (или щ) абсолютно непрерывна, то \i также абсолютно непре-
непрерывна. Мера \ii абсолютно нецрерывна тогда и только тогда, когда
она имеет производную Радона^— Ннкодима f ? 1} (Тп). В этом
случае производная Радона •— Никоднма меры \i есть функция А,
.определяемая равенством
h{x) « ^ f (х — у)d(x2(у).
Этот интеграл сходится абсолютно для почти всех х, в силу теоре-
теоремы Фубннн. Если (г8 также абсолютно непрерывна и имеет произ-
производную Радона — Никодима g ? D (Тп), то
Отсюда видно, что L1 (Т„) наследует сверточную структуру нз
3$ {Тп). В частности, формула умножения A.6) справедлнва также
и для функций нз L1.
' Для того чтобы сформулировать основные утверждения о пол-
полноте разложения в ряд Фурье, удобно называть конечную сумму
m *
тригонометрическим полиномом.
1. Элементарные свойства
277
Теорема ,1.7. (i) Тригонометрические полиномы плотны в
С{Тп) uLp(Tn)t\«?p<oo.
(ii) Пусть для некоторой меры \л € $ (Тп) коэффициенты
Фурье у e-2nimxd\L (х) = 0 для всех т ? Л; тогда \х = 0.
Щ Пусть f?L2{Tn) и /-2 атеЫт-*\ тогда
тел
2. КГ-If Й-
Соответствие /^—>- {ат} = | J" e-2jl?mjc/(jf)iixl есть унитарное
отображение L2(Tn) на Р{
Доказательство. Поскольку тригонометрические по-
полиномы образуют алгебру, разделяющую точки на n-мерном торе,
содержащую постоянные н замкнутую относительно комплексного
сопряжения, можно применить теорему Стоуна — Вейерштрасса
и убедиться в плотности тригонометрических полиномов в С (Тп).
Из этого свойства и из плотности С {Тп) в Lp {Тп), 1 < р < оо,
следует соответствующее утверждение для Lp{Tn).
Для доказательства утверждения (ii) заметим, что свойство
\ e~2n?miXd\i(x) =* 0 для всех т?Л эквивалентно тому, что
для всех тригонометрических полиномов Р. Но, в силу (i), отсюда
вытекет, что J f {x) d\i {х) = 0 для всех / ? С (fn) и, следовательно,
\i = 0.
Пусть задана / ? L% (Гп); тогда если N — положительное целое
число, то нижняя грань выражения!/— 2 ame2nimx\ достигается,
когда числа ат равны коэффициентам Фурье J e~2nlm'xf(x)dx
функции /. Это утверждение следует, как хорошо известно, нз
того, что функции {e2nCm-*} взаимно ортогональны и нормированы
(по /Лнорме), Поскольку, как мы знаем, каждую функцию / ?
?L2{Tn) можно приблизить тригонометрическими полиномами, то
lim if-
,2п/т ¦ х
= 0. Следовательно,
-I S
|
0
tllll

278
при JV-»-oo н
Гл. VII, Кратные ряды Фурье
к = / 2 \ат\2\1>К Отсюда видно, что отображе-
Цел )
ние/-»- [ат] изометрическое. Если оно является, кроме того, отобра-
отображением «на», то оно унитарно. Действительно, пусть задана пос-
последовательность {ат}, такая, что 2 |am|2<ooJ положим sn(x) =
?Л
= 2 а
т?Л
Ясно, что fls^-s^ = ( 2
a)v?
/
при
#1<;#2. Следовательно, {sjv} — фундаментальная последователь-
последовательность в L2 (Тп), н, значит, она сходится по норме к некоторой
функции f?L2(Tn). Поскольку
ат —
(*)
если | m
JV,
то
= У /
для всех т ? Л.
Отсюда следует утверждение (ш), и теорема доказана. Вы-
Выведем теперь несколько полезных следствий этой теоремы.
Следствие 1.8. Пусть f ? L1 (Тп) и 2 \ат\<оо, где {ат} —
коэффициенты Фурье функции f; тогда функция, равная
2 ame2nim'xt принадлежит С(Тп) и совпадает с f для почти всех
Доказательство. Из условия следует, что функция / {х) —
— 2 ame2nlm'x имеет нулевые коэффициенты Фурье, так что, в
? Л
силу утверждения (и) теоремы 1.7, эта функция почти всюду
равна 0.
Пусть k — положительное целое число; класс C*fe> (Qn)
(=С( '(^п)) состоит из сужений на Qn всех периодических функ-
функций на Еп, принадлежащих классу C(fe) = С**1 (?„)''.
'* То есть из периодических функций /, имеющих всюду определенные непре-
непрерывные производные Da{, где а = (<zit..., ап) — (целый неотрицательный) муль-
тииндекс, такой, чтосц + ...-!¦ ал < ft. Напомним, что в гл. [ оператор Da был оп-
определен следующим образом:
D" =
д п
В гл. 1 сумма «! + ... + «л обозначалась символом | а I, однако при доказательст-
доказательстве теоремы 1.7 символ | m I обозначал евклидову норму точки т, принадлежащей
решетке Л. Во избежание недоразумений мы не используем здесь обозначение
| а 1, введенное в первой главе.
/. Элементарные свойства
279
Следствие 1.9. Пусть !?&к){Тп) для k>n/2; тогда
2 |ат|<оо, где {а^} — коэффициенты Фурье функции f.
тел
Доказательство. В первой главе х? было определено
для х = (*lt .. ., *„) ? Еп н мультииндекса а = (а1( ..., ап) как
xfx ...*Хпп (а также было йринято соглашение о том, что 0°= 1).
Используя эти обозначения и интегрируя по частям, получим
T
dx =
/ {х) e-2
= {2nim)a a
для всех f?C(k)(Tn) и аг-\- ••• +an<fe. Поскольку Daf непре-
непрерывна, она принадлежит L2 (Т„), и, следовательно, в силу теоре-
теоремы 1.7 (ш), с ****" il" ^^'^A
2 |2 К|а[Bлт)а]а1<оо.
ое,+ .-.-\-an=k |т€Л г J
A.10)
Простые вычисления показывают, *ito существует постоянная
с — с (k, п), зависящая только от размерности п я от kt такая, чтр
кая
Тогда, в силу неравенства Шварца,
2 [Bлт)а]
¦
S
lm|>0
2
|m|>0
Jm|>0 а,+ .
Если k ;> п/2, то сумма
m
—ft
2
¦ •+"„-*
SI"
И>о
—2fc
конечна; следовательно,
И
последнее выражение также конечно в силу неравенства A.10).
Таким образом, следствие доказано.
Следующее утверждение есть известная теорема Рнмана>—
Лебега в рассматриваемом контексте.
Следствие \Л\. Если f^L1 (Тп) и f~*2iajl*lm-xt mo
т?Л
am -»-0 при |т|-»- оо.
Доказательство. Предположим сначала, что f?L2(Tn).
Тогда утверждение, что am-»-0, есть немедленное следствие того,
что 2 |am|2<oo (см. теорему 1.7 (ш)). В общем случае /?
тел
С^ЧГп) для данного е>0 существуют fl и f2. такие, что / ==.
= f\ + fv h € ^Ч^г.) н |f?(j <е. Тогда если {aS} - коэффициенты

280
Гл. VII. Кратные ряды Фурье
Фурье функции /у, то lim а(т = 0 н
образом, lim sup | ат | < е, где ат = а^ +
ты Фурье функции /. В силу произвольности е> 0, это доказывает
следствие.
m|<flf2fli<e. Таким
, т ? Л, — коэффициен-
коэффициен2. Формула суммироваиия Пуассоиа
f Вместо того чтобы шаг за шагом развивать дальше аналогию
между свойствами рядов и' интегралов Фурье, обратимся теперь
к главному вопросу, которому посвящена эта глава. Его можио
сформулировать в следующем общем виде. Пусть дан «элемент»
функционального пространства, ассоциированного с Еп (т. е. функ-
функция, определенная на Еп„ оператор на функциях, определенных на
?"„, и т. д.); каков его периодический аналог, т. е. какой объект
соответствует ему на n-мерном торе Тп? Кроме того, было бы
интересно понять, как можно вывести свойства такого объекта в.
его периодической форме по уже известным свойствам его непери-
непериодической формы.
Рассмотрим сначала эти вопросы для функций, определенных
на Еп. Чтобы лучше понять сущность стоящих перед нами задач,
будем действовать формально, не заботясь временно о правомер-
правомерности предельных переходов.
Пусть /— некоторая (подходящая) функция на ?"„.- Существуют
по крайней мере два способа получения из / периодической функ-
функции. Первая конструкция элементарна и не связана с гармониче-
гармоническим анализом. Рассмотрим сумму
B.1) 2 f(x + m). ¦
Поскольку эта (формальная) сумма взята по всем точкам решетки
Л, ясно, что она периодическая (для перехода от х к х + т! нужно
просто переставить члены в сумме B.1)). Будем называть переход
от / к сумме B.1) периодизацией функции f.
Для того чтобы описать второй подход, напишем
B-2)
/<*)
ту;
это есть не что иное, как формула обращения преобразования Фурье,
где
f(y) = J f(x)e-2*ix«dx.
Тогда периодическим аналогом функции / (определяемой формулой
B.2)) будет
B.3) 2 f(m)
2jlixm
2. Формула суммирования Пуассона
281
Содержание формулы суммирования Пуассоиа заключается фак-
фактически в том, что эти два подхода к периодическому аналогу функ-
функции f, выражаемые формулами B.1) н B.3), по существу совпадают.
Это утверждение можно строго сформулировать различными спо-
способами. Наиболее простым н прямым является следующий:
Теорема 2.4. Пусть f^L1^)- Тоеда ряд 2/(*+«)
т€Л
сходится по норме L1 (Qn)(= L}{Tn)). Его сумма принадлежит
L1 (Qn) и имеет разложение в ряд Фурье
B.5)
2 f(m)e2
тел' v '
Это означает, что \f{m))—.коэффициенты Фурье ^-функции,
определяемой рядом 2 / (* + Щ> где для любого Е
Л
п
Доказательство. Если Qn — m есть сдвиг куба Qn на
элемент решетки т, то
Поскольку куб Qn — фундаментальная область, сдвиги Qn—• m
попарно не пересекаются н их объедниенне равно Еа, Тогда
2 J |/(*)|dx=
tAQ
Отсюда следует, что ряд 2 f(x+m) (абсолютно) сходится по норме
т?А
L1 {Qn). Меняя опять местами порядок интегрирования и сум-
суммирования, вычислим коэффициенты Фурье фуикцнн 2 f{x-\-m).
Л
Получим
2 f{x-\-m')\e^im-*dx= 2
А
=- J f(x)e-7nimxdx=*f(m). .
Еп
Рассуждения, приведенные выше для доказательства ZA-сходи-
мости, показывают также, что это изменение порядка законно,
а, значит, сумма 2 / (* + ">') действительно имеет разложе-
-т'€А
ние в ряд Фурье B.5),

282
Гл. VII. Кратные ряды Фурье
Следующее утверждение является полезным частным случаем
теоремы 2.4:
Следствие 2.6, Пусть f{y)= J f{x)e7itx-»dx и
Ч*I<ЛA + |*|р u\f(y)\<A(\+\y\)-r
(так что f и f можно считать непрерывными). Тогда
B.7) 2 7 (*+«)= 2 f(m)
тел тел
и, в частности,
B.8)
\ б>0
тел
= 2 I
тел
Все четыре ряда в равенствах B.7) и B.8) сходятся абсолютно 1)-
Доказательство, В силу наших предположений о
функции ft ряд Фурье
2 f (m) е2"'™-*
me Л
сходится абсолютно.. Поэтому, согласно следствию 1.8 и теоре-
теореме 2.4, функцию 2 /(х + т) можно изменить на множестве
тел
меры 0 так, что она станет равной непрерывной функции
2 f(m)e2nimx. Из сравнения с рядом 2 О + ]^М)~П~° видно,
т^ Л т€Л
что '2 ! (х + ш) — равномерно сходящийся ряд, члены которого —
те л
непрерывные функции. Следовательно, его сумма уже непрерывна
и равенство B.7) справедливо для всех х.
Проиллюстрируем теперь на двух примерах, как используется
формула суммирования Пуассона. В первом примере рассмотрим
аналог задачи об обращении преобразования Фурье, изученной
в гл. I: при каких условиях ряд
2 ameQliim-*
тел т
' Тождество B.8) известно как формула суммирования Пуассона, но мы будем
использовать это же название для B.7) и вообще для теоремы 2.4.
2. Формула суммирования Пуассона 283
«суммируется» к функции f(x)t когда ат = j f {x) e^2nlmxdx, /^
Т
п
? На основании результатов первой главы естественно
попытаться заменить приведенную 'выше сумму пределом
B.9)
lim 2 $>{tm)ame2nimx%
е-*0 me Л
где Ф — подходящая непрерывная функция, Ф @) = 1. Учитывая
следствие 2,6, сделаем следующие предположения о функции Ф:
B.10)
A) Ф'(у) = ф (у), где
{x)dx= 1;
для некоторого б>0.
Теорема 2.11. Пусть функция Ф удовлетворяет условиям
B.10), f$Lp{Tn) и f{x)~~ 2 0*6**"-. Тогда:
тел
(a) если 1<р<оо, то выражение B.9) сходится к f по
норме Lp{Tn)\
(b) ес.ли f?C{Tn), то сходимость в B.9) равномерна!
(c) для любой f € Ll (Тп) выражение B.9) сходится к f {x)
во всех точках х лебегова множества функции f (и, следовательно,
почти всюду).
Доказательство, Введем обозначения фс(х) = е~лФ(х/г)
и Фе(#) =Ф(е*/), е>0. Тогда, как известно, Ф8 = (ф$)Л. Кроме
того, в силу B.10), фе и Ф6 удовлетворяют условиям следствия
2.6, и, таким образом, ^^.v
B.12) 2 Ф{гт)е2п1т-Х= 2 фе(* + т). ^'^\ . i ;.
тел теЛ у,.-; •""¦ ''.-/, v
Обозначим правую часть равенства B.12) через Кг {х), Тогда
- 2
тел
где подразумевается свертка, введенная в § 1 (см., в частности,
A.6)). В силу предположений о функции Ф, последний ряд схо-
сходится абсолютно. С другой стороны,
Та
= J U{x)\dx.

284
Гл. VII. Кратные ряды Фурье
Поскольку \f*KeIp<\\!\p\Keli (где имеются в виду нормы про-
пространств Lp{Tn), 1 <p<°o), ясно, что отображения
Ме\
2 ®
равномерно ограничены по е, 8>0, как операторы на Lp(Tn).
В силу непрерывности функции Ф и поскольку \q>(x)dx=\,
Еп
имеем НтФ(ет) ~ 1; следовательно, Mef-*f при е-»-0(по?Лнор-
г-»-0
ме) для всех тригонометрических полиномов f. Так как три-
тригонометрические полиномы плотны в Lp(Tn) для р<<х> ив
С(Тп), то, в силу только что установленной равномерной ограни-
ограниченности, части (а) и (Ь) теоремы доказаны.
Прежде чем доказывать часть (с), поясним^сначала, что, назы-
называя х точкой лебегова множества функции /, мы подразумеваем, что
х есть точка лебегова множества периодически продолженной на
все пространство Еп функции /.
Ясно, что после подходящего сдвига можно выбрать точку х
в начале координат (цеитре основного Ky6aQn). Пусть f (х) = f(x)
для x?Qn и / (х) = 0 для x?En\Qn. Поскольку свойство при-
принадлежности точки к лебегову множеству какой-либо функции
локально, 0 будет точкой лебегова множества фуикции /. Далее,
2 Ф{гт)ат= С f (х) Ks(— x)dx= 2 \ f (х) Фе.(— х-}- т) dx =
тел ? теЛ/У
= ff(*LPe(— x)dx+ 2 f f(x)Ve(— x + m)dx.
В силу предположений о функции q>, имеем
-п-б
= еМ (е + | - х -г т \Г(а+й] < еМ' | т fin+6),
Следовательно,
при
Кроме того, J f (х) ф f— л:) dx = f f (л:) фе (— х) dx. Но условие
2. Формула суммирования Пуассона
285
т v/| < А(\ -\-\х\)~п позволяет применить к последнему ин-
интегралу теорему 1.25 гл.Ч; при этом получим .
¦ . lim
е-*-0
Это доказывает часть (с) и завершает доказательство теоремы
2.11.
Два частных случая этой теоремы заслуживают особого вни-
внимания. Сначала рассмотрим у(х) =сп A + |*|?)-('1+1)/2; при этом
Ф{у) = е~2п[^ (см. теорему 1.14 гл. I). В этом случае ряд B.9)
принимает вид (если писать t вместо е)
2г
B.13)
Этот абсолютно сходящийся при t > 0 ряд называется интегралом
Пуассона (или Абеля — Пуассона) функции /; он равен свертке
/ с ядром Пуассона
Из равенства B.12) следует, что
Кроме того,^ " , -•
ПРИ
н x?Qn.
biim-x
i
В качестве второго примера рассмотрим Ф (у) = A —1^
при |у\ < 1 и Ф (у) = 0 при \у |> 1. В силу теоремы 4.15 гл.
имеем
Ф {х) = Ф (х) = я Г (а + '1) | * \
-{nf2)-a
J{nfs)+a Bя | х \).
Поэтому если а > {п — 1 )/2, то из леммы 3.11 гл. IV следует, что
Ф (и ф) удовлетворяет условиям B.10). Следовательно, в этом слу-
случае получаем соответствующую сходимость средних Рисса 1J
П—\
Суммируем эти результаты в следующем виде:
Следствие 2.15. Заключения теоремы 2.11 справедливы, в
частности, для средних Рисса B.14), когда а больше критического
показателя, и для средних Абеля — Пуассона B.13).
'' Число (л — 1)/2 — нижняя грань значений а, для которых функции Ф и
Ф = Ф удовлетворяют условиям B.10),— называется критическим показателем
(для сходимости средних Рисса B.14)).

286
Гл. VII,'Кратные ряды Фурье
3. Преобразования множителей
287
Средине Рисса порядка, не превосходящего критического по-
показателя, требуют более тонкого обращения и будут рассматривать-
рассматриваться в §§ 4 и 5 ниже.
Предложеиное выше приложение формулы суммирования Пуас-
Пуассона касалось периодических аналогов операторов регуляризации,
возникающих при обращении преобразования Фурье. Второе при-
приложение является типичным примером ситуации, когда формулу
суммирования Пуассона можно применять для получения точных
оценок, использующих различные (периодические) элементарные
функции,
В четвертой главе (см. теорему 4.1) было показано, что ес-
если а — комплексное число, такое, что 0<Rea<n, и f{x) =
= | * Г", то / (х) = уа \х \~а, где уа = п~а+п/2Т (а/2)/Г [(п - а)/2].
Если применить тождество B.7), игнорируя вопросы сходимос-
сходимости, то получим
B.16)
me Л
В таком виде это соотношение ие может быть верным, так как справа
имеется бесконечный члеи, отвечающий m = 0, а ряд слева расхо-
расходится. Тем не менее после соответствующих изменений можно и в
данном случае применить формулу суммирования Пуассона. Один
из способов проделать это осиоваи на использовании функциональ-
функционального уравнения для дзета-функции Римана и некоторых ее обоб-
обобщений. Этот способ описан в п. 6.3 ниже. Другую интерпретацию
равенства B.16) дает следующая
Теорема 2.17. Пусть О< Rea<п. Тогда^ \т\~а еШт'х
есть ряд Фурье интегрируемой на Qn функции класса С00 на
Qn\ {0}. В нуле эта функция имеет такую же особенность,
как функция уп |*|a~n, т. в.
2
|ml>0
m\~ae2nim-x
где b^C°°(Qn).
Доказательство. Выберем функцию ti со следующими
свойствами: ц ? С°° (?„), r\(x) = \ при | х\ > 1 и у\ равна нулю
в окрестности нуля. Определим затем функцию F, положив
F (х) = Л (х) \х\~~а Для х € Еп. Тогда существует функция
f ? L1 (?„), такая, что'
0) / -Л
B) f (x) = yZl\x Г" + Ь, {х), где by g (Г (Еп);
C) | D15 f (x) | = О A x \~N) при |х|->оо для всех мультиии-
дексов р и положительных целых чисел N.
Действительно, запишем F в виде F (х) = \ х \~а + (ц (х) —
— 1)|#|~а, и пусть f— обратное преобразование Фурье функ-
функции F в смысле обобщенных функций медленного роста. Тогда,
в силу D.1) гл. IV,
= yal
-\-bl(x)t где Ьх— обрат-
обратй
\ р
ное преобразование Фурье интегрируемой функции с компактным,
носителем, равной {ц (х) — 1) | яр™. Следовательно, Ьх ? С00 (?„)
и свойства A) и B) установлены. Поскольку f — обратное
преобразование Фурье функции F, то Bnix)^ f (х) — обратное
преобразование Фурье функции D^F для любого мультииидекса
Р (см. теорему 1.8 гл. 1). Заметим, что если порядок частной
производной D^F достаточно высок (ра + ••• +Р„>п — Re a),
то D^F? L1 (?„); следовательно, когда это имеет место,
Bntxf f (х) ограничена. Отсюда вытекает, что | f (x)\ = O(\x\~N)
прн |х|->со. Остальная часть свойства C) доказывается анало-
аналогично. То что f ^ L1 (Еп), следует из свойства B) и только что
установленной оценки | f (х)| = О(|х\~N) при |лг|->оо.
Применим теперь формулу суммирования Пуассона в том ви-
виде, как дает ее теорема 2.4, к только что построенной функции
f и f = F. Получим
niX'tn — V I «, I— о.2Шк-т
Поскольку
2 M*+m)=*
- by {x) + 2
mpae2lt(m**,
Теорема справедлива с Ь{х) = Ьх (х) + 2 ! (х + т)-
|т|>0
Этим методом можно исследовать, кроме 2 |
|m[>0
и другие ряды. Некоторые нз них упоминаются в п. 6.1 ниже.
3. Преобразования множителей
- В гл. I был изучен класс ограниченных операторов из V (?„)
в Lq (En), коммутирующих со сдвигами. Было показано, что фак-
фактически каждый такой оператор Т определяется обобщеиной функ-
функцией медленного роста и, такой, что Tf = и * f для всех f ? *Р,

28S '
Гл. VII. Кратные ряды Фурье
Преобразование Фурье переводит это равенство в (Г/)А « цД так
что Т эквивалентен оператору, переводящему основную функцию
в произведение ее преобразования Фурье на обобщенную функцию
и. В общем случае о таких «мультипликаторах» и известио не слиш-
слишком много, однако, когда р = q, можно показать, кроме всего про-
чего, что и— ограниченная измеримая функция. Теорема 3.18
гл. I утверждает,что это имеет место при р — 2 = ц. Если р Ф 2 и
I "¦* f\ р < A\f\p для всех f € <^. то из теоремы 3.20 глГ I сле-
следует, чтр |u*/|p-<;A|f|p' для всех f ? ^, где A/р) +.A/р') =
= 1. Поскольку в этом случае 2 лежит между р н р', то из
интерполяционной теоремы М. Рисса (см. теорему 1.3,гл. V) сле-
следует, что оператор Т: f->-u*f имеет тип B, 2). Следовательно,
и удовлетворяет предположениям теоремы 3.18 н является ограни-
ограниченной измеримой функцией.
Теперь мы собираемся изучить аналогичные операторы множи-
множителей в периодическом случае и показать, что важный класс таких
операторов обладает свойствами, a priori следующими из их не-
непериодических аналогов.
Введем сначала несколько обозначений. В гл. I мы обозначили
символом (Lpt Lq) класс ограниченных операторов Т из V (Еп)
в Lq (?„), коммутирующих со сдвигами (нли, эквивалентно, класс
обобщенных функций медленного роста и, таких, что | и * q> | я <
< А | ф|р для некоторого А = А (и) и всех q> ? <f). Для того чтобы
подчеркнуть тот факт, что эти операторы действуют на функциях,
определенных на Еп, будем теперь обозначать этот класс {W (?„),
L? {Еп))\ Подобным образом для периодического случая введем
класс (Lp (Т„), L4 {Тп)) всех ограниченных операторов Г из L" {Тя)
BLq{Tn), коммутирующих со сдвигами.
По аналогии с непериодическим" случаем можно отождествить
каждый оператор Г € (Lp (Г„), L4 (Тп)) со сверткой (на Г„) с
некоторой обобщенной функцией медленного роста. Однако в пе-
периодическом случае намного проще рассматривать непосредственно
сами операторы.
Теорема 3.1. Пусть f € (if (Гп), Lq (Г„)), 1 < р, ц < оо.
Тогда существует ограниченная комплекснозначная функция Я.: т ^*-
-+¦ Я (т), определенная на решетке А и такая, что
C-2)
для всех f
Tf
3. Преобразования множителей
289
Доказательство. Положим \|>m {x) = (fem) (х), где em (?/) »
«е2"""'", rn^A. Тогда |i|)mK Л|ет|р == Л. Если тй~ оператор
сдвига на h (т. е. для периодической функции f имеем (tJ) (х) =
=±f{x — h)), то из условия ftft = Thf следует, что для всех А ? Qn
для почти всех х. Тогда, в силу теоремы Фубнни, это тождест-
тождество справедливо для почти всех А ? Qn, если фиксировано неко-
некоторое х(=*о). Это означает, что i|>m {/1) = е2я(т'л e~2nlm'x°ym{x0)
для почти всех А, Таким образом/^{Уа _ (ve-v.S)= ;^; fv*"^№\
*в W-Mm) **
для почти всех -х, где
= e
~2"'m-'°
(x0). Кроме того,
4
)MM)ll^HIM)aH*miU4.
Переходя к конечным линейным комбинациям функций {ет},
получим представление C.2) для тригонометрических полино-
полиномов f. Простой предельный переход обобщает это представление
на все f ? Lp (Г„), и теорема доказана.
Из теоремы 3.1 видно, что ecTecTBerfHo называть преобразования
Т ? (Lp (Г„), Lq {Тп)) операторами множителей, а соответствую-
соответствующие последовательности (X (т)\ — мультипликаторами (или мно-
множителями).
Следующее утверждение вытекает из этой теоремы и части (Ш)
теоремы 1.7:
Следствие '3.3. Преобразование Т принадлежит (Z.2 (Тп),
L% {Тп)) тогда и только тогда, когда {X (т)} — ограниченная по-
последовательность.
sup | X (т) I.
Кроме того, операторная норма-|Г| равна
Случай пространства L1 аналогичен своему непериодическому
эквиваленту, рассмотренному в первой главе. Точнее, справедлив
следующий результат:
Теорема 3.4. Преобразование Т принадлежит {L1 (Тп),
L1 (Тп)) тогда и только тогда, когда существует конечная борелев-
екая мера ц на Тп1 такая, что
\У'Щ d\i '-** 2ш1 X (т\
В атом случае \\d\i\ = | f |.
Ю 4-487

290 Гл. VII. Кратные ряды Фурье
Доказательство. Пусть ||?/ji< ЛЦ/^ для всех ft
РЛЧГ-). Для *>0 положим ft {х) = Pt {х) = 2j e e
Раньше было показано (см. обсуждение после B.13)), что \ft |t =
= 1. Поэтому
3. Преобразования множителей
291
1*7,1, =
-2я\ш\( 2nim-
2
т? Л
(m)
Л.
Следовательно, существует последовательность положительных чи-
чисел {/„}, стремящаяся ,к 0 и такая, что {Tftn} слабо сходится к
некоторой мере ц.' Это означает, что
lim f f ft, (x) g(x)dx = ] g (x) dji (x)
для всех g? C{Tn). Тогда |ф|< А. В частности,
X(m) = lim f enim'xfftj(x)dx= j e~2nim'xd\i(x).
Следовательно,
ф - 2 * (m) г2"''".
Обратное немедлеино следует из определения оператора свертки
(см. A.6) и последующее обсуждение).
Установив эти предварительные результаты, обратимся к глав-
главному вопросу этого параграфа. Пусть Т принадлежит (W (?„),
Lp (?„)). Выше было отмечено, что Т можно реализовать при по-
помощи ограниченной измеримой функции —мультипликатора и.
В общем случае и не является непрерывной и, следовательно, не
обязана быть определенной в точках решетки Л. Предположим,
однако, что и непрерывна в точках решетки Л, так что к (щ) =
«и (т) определена на Л. Тогда можно спросить: является лн
(Х(т)} мультипликатором в классе (V (Г„), I? (Г„))? Если это
имеет место, то будем говорить, что соответствующий оператор
Т на n-мерном торе получен из оператора Г путем периодизации.
Прежде чем сформулировать общую теорему, рассмотрим не-
несколько более простых частных случаев. Когда р = 2, из условия,
что и ограничена иа Еп н непрерывна в точках решетки Л, следует,
что sup | и (т) | =¦ sup \k (m) i < оо. Тогда, в силу следствия 3.3,
периоднзированный оператор принадлежит (L2 (Г„)г L2 (Тя)).
В случае р= 1 известно, что и {х) = \i {х), где \i — преобразование
Фурье меры \i ? S& (?„) (см. теорему 3.19 гл. I). Утверждение о том,
что соответствующий периодизированный оператор принадлежит
(L1 (Тп), 1} (Тп)), вытекает тогда из предложения 3.4 н следующего
замечания (которое можно рассматривать как еще один вариант
формулы суммирования Пуассона):
Теорема 3.6. Пусть ц ? $& (?„) и |1 — ее преобразование
Фурье. Тогда 2 \ь{т)е2тт'х — ряд Фурье меры ц на Тп\ кроме
Л1?Л
того, |d(i(< j|d(i|j.
Доказательство. Рассмотрим линейный функционал,
отображающий f ? С (Т„) a j f (x) ф (дг) (символ f используется так-
также и для обозначения периодического продолжения функции /).
Согласно теореме^ ^исса, этщ^нкцирнал^ожно записать в виде
/ -
C.7)
= \ f{x)d\i{x)t
где \i — некоторая мера из 38 {Тп). Применяя теперь равенство
C.7) к f (х) = е~~2 т'х, т?Л, получим теорему 3.6.
Заметим, что из равенства C.7) следует, что для любого борелев-
ского множества ?cQn имеем \ь {Е) = 2 р (Е + т). Таким об-
разом, мера \х получается из и с помощью метода периодизации,
подобного тому, который мы ввели для функций (см. B.1) и по-
последующее обсуждение).
Основной результат этого параграфа можно сформулировать
в следующем виде:
Теорема 3.8. Пусть 1<р<со и Т? {Lp (?„),' Lp (?„)).
Пусть и — мультипликатор, соответствующий оператору Т,
и пусть и непрерывна в каждой • точке решетки Л. Положим
X {т) = и (т) для т ? Л. Тогда существует единственный периоди-
периодизированный оператор Т, определяемый формулой C.2) и такой, что
Tt(Lp{Tn)t Lp(Tn)) И1ГК1П
Начнем доказательство с установления двух лемм.
Лемма 3.9. Пусть f — непрерывная периодическая функция
на Еп; тогда
C.10) lim еп/2 f f (x)
10'
dx = f / {x) dx.

\rl:
. Гл. VII. Кратные ряды Фурье
.„ккзательство. Равенство C.10) очевидно, когда
==#nim-xt ПОСКОЛЬКУ (СМ. A.13) ГЛ. I)
I' с ?" \С а* - VaV.^-o
для 8>0 и m ? Л. Следовательно, равенство C.10) справедливо
для всех тригонометрических полиномов. Произвольную непре-
непрерывную периодическую функцию можно равномерно на Qn при-
приблизить такими полиномами. Отсюда следует утверждение леммы.
Вторая лемма, которая служит основным средством при до-
доказательстве теоремы 3.8, такова:
Лемма 3.11. Пусть Р и Q — тригонометрические полино-
полиномы, Т? [V (?„), Lp (?„)), Т определен на классе тригонометри-
тригонометрических полиномов формулой C.2) и wu (у) = е""*1^1 для б>0,
у ? Еп. Тогда
\x)dx= [(ТР)(х)Щх]ах
C.12) iim вп/2 \ Т(Pwta)(х)~0Щ
для всех а, р>0иа + р = 1.
Доказательство. Поскольку полиномы Р и Q входят в
равенство C.12) "линейно, достаточно доказать C.12) для случая,
когда Р (х) = еЫт'х и Q (х) = ешк'\ myk? А. В^силу теоре-
теоремы Планшереля и определения мультипликатора и, интеграл
слева равен в"/2 [ и (х) q> {x) t|i (x) dx, где q> н i|> — преобразова-
преобразова.-e-^l. Но, соглас-
согласния Фурье функций ^-*e-*»№ и
но A.5) и теореме I.I3 гл. I, имеем
Предположим теперь, что т Ф k н, следовательно, \т — к |> 1.
Поскольку !«(*)]< Л для подходящей постоянной А, левая
часть равенства C.12) не превосходит
(aep""*"
TV-'.- ! ¦'"¦ "Т
1 -+ЛиЛ
В интеграле по множеству [х? Еп; \х — т\ > 1/2} множитель
2(ii </2> равномерно стремится к 0 при е->-0, в
(ae
p<"/2>
Т. Преобразования множителей 293
Г(я/2> имеет общий нн-
Г стремится к 0
вместе с е. Аналогичное рассуждение с заменой m на k пока-
показывает, что Iim гпП [ =^0. Поскольку для m ф k
то время как множитель <г"*-*^И« (рв
теграл по ?„, равный 1. Поэтому ел/2
(jb)
d* «
Qn
равенство C.12) для этого случая установлено.
В случае т == к левая часть C.12) равна
C.13) Iim (eap)-^2» f и (х)
-«tl*-«IVeKiAH-W)
Поскольку 1/а+ 1/р = I/ар, выражение C.13) равно пределу
при в-»-0 интеграла Гаусса — Веиерштрасса функцни «.Соглас-
«.Согласно теореме 1.25 гл. I, этот предел равен и (т), когда т при-
принадлежит лебегову множеству функции и. Но это так, посколь-
поскольку и по условию непрерывна в точке т. Это доказывает равен-
равенство^ C.12), когда Р {х) = еМтп'х = Q (х) (так как в этом случае
J {ТР) {х) Q {х) dx=X (m)), н лемма доказана.
Перейдем теперь, к доказательству теоремы 3.8. Во избежание
некоторых технических трудностей временно предположим, что
I < р ,< оо. Пусть q —: показатель, сопряженный с р; тогда Мр +
+ 1/<7 = 1 и I ¦< <7 ¦< оо. Докажем сначала, что существует постоян-
постоянная А •< 1 Т |, такая, что
C.14)
(ТР) (х)
1/р
для всех тригонометрических полиномов Р. Если Q—также три-
тригонометрический полином, то
C.15) | f (T (Pwm)) (х) Щ w# (х) dx I < | T i i Pwea UQw^
h
где нормы берутся по отношению к Еп, а шц, б>0, — функ-
функция, введенная в лемме 3.11. Положим a= 1/p, p = 1/t;, умно-
умножим обе части равенства C.15) на гп/2 и устремим в-»-0. В си-
силу леммы 3.11, левая часть сходится к j (ТР) (х) Q (x) dx.
Qn

294 Га. VII. Кратные ряды Фурье
С другой стороны, согласно лемме 3,9,
« lim[en/2 \\P(x) \pe~tmt dx]ifp [ел/2 \\Q(x) \« e"CTW< a
= \\\P{x)\p dx\lp[\\Q(x)\< dx\1'.
Qn Qn
Комбинируя это равенство с неравенством C.15), получим
Наконец, беря верхнюю грань по всём полиномам Q, таким, что
Q {x)\q dx < 1( получим C.14). Это показывает, что сужение
J |
Г на тригонометрические полиномы является ограниченным опера-
оператором с If (Г„)-нормой, ие превосходящей \Т\. Следовательно,
это сужение имеет единственное ограниченное расширение на все
пространство W (Тп), причем это расширение удовлетворяет всем
утверждениям теоремы 3.8,
Перейдем теперь к случаям р= 1 и р = оо.Эти крайние случаи
на самом деле намного проще только что рассмотренного общего слу-
случая. Результат для р = 1 (как уже было указано) непосредственно
следует из теоремы 3.19 гл. I и теорем 3.4 и 3.6 данной главы.
В случае р = оо рассуждаем следующим образом. Согласно теореме
3.20 гл. I, если Т ? (L°° (En), L (?„)), то Т ? (L1 (En), L1 (?,));
более того, из доказательства теоремы 3.20 следует, что норма Т
как оператора на О (Еп) не превосходиг его нормы как оператора
на L°°(En). Отсюда, в силу только что установленного случая для
р=* 1, имеем Т ? (L1 (Tn)t L1 G\)), н, согласно C.4), существует
конечная борелевская мера ц на Тп, такая, что | d\i ] = | Т ] и
ff^=f*d\i. Однако для/? L" (Тп) имеем 1 f * dp \„ < | / Ц d\i |,
и теорема доказана и для этого случая.
С л е д с т в и е 3.16. Утверй/сдения теоремы 3.8 останутся спра-
А
ведливыми, если условие непрерывности и в точках решетки А за-
заменить условием
C.17)
lime"
е-»0
[и (т — /) — и {т)\
3. Преобразования множителей
295
Действительно, условия C.17) достаточно для того, чтобы предел
Л
C.13) существовал и был равен и (т) (см. D.10) в гл. I).
Важный класс таких преобразований множителей порождают
сингулярные интегральные операторы, изученные в предыдущей
главе. Там было показано (см. также теорему 4.7,-следствие 4.12
и п. 5.10 гл. IV), что мультипликатор Qo, соответствующий син-
сингулярному интегральному оператору Т, есть однородная функция
степени 0, непрерывная на единичной сфере (и, следовательно,
непрерывная всюду, кроме 0) и, кроме того, удовлетворяющая ра-
равенству J Qo (*') dx' = 0. Если положить и (х) = Йо (х) для
х^0 и и @) =0, то условие C.17) следствия 3.16 будет выпол-
выполнено. Значит, оператор Т, определяемый формулой
2п(т-х
где
fix)
ame
2nim ¦ я
для всех т ? Л,
принадлежит классу (Lp(Tn)t Lp (Tn)) для 1<р<со, Заслужи-
Заслуживающий внимания пример возникает, когда Йо (х) = Pl ' (j:)/|^| .
где Plfc) — гармонический многочлен иа Еп1 однородный степе-
степени А>-1' (см. теорему 4,5 гл. IV). Частные случаи Я0(х) =
— —iXjl\x\, /=1, ..., п, известны как периодические преобра-
преобразования Рисса (см. B.7) гл. VI).
Покажем теперь, что теорема 3.8 допускает обращение.
Пусть X. — непрерывная функция на Еп и семейство {% (т)},
m € Л, является мультипликатором для некоторого оператора
из (Lp (Tn), L" (Тп)). Можно ли отсюда заключить, что X является
мультипликатором для некоторого оператора из (Lp(En), Lp{En))?
Легко видеть, что это неверно, поскольку сделанное предполо-
предположение о функции А, затрагивает только точки решетки Л, в то
время как для ответа на поставленный вопрос важно знать по-
поведение к на всем Еп. Для формулировки содержательного об-
обратного утверждения заметим, что если к — мультипликатор
для некоторого оператора Т из (W (En), Lp (?„)), то для каж-
каждого s > 0 функция к (ех) также будет мультипликатором для
некоторого оператора Ге из (Lp (En), L" (?„)) с нормой, зави-
зависящей только от Я. и не зависящей от е. Действительно, G7)" (х) «
= к (х) f(x) для всех f ? &. Поэтому если мы положим оператор Те
равным бг'Тбе (бЕ —оператор растяжения, введенный перед A.6)

296
Гл. VII. Кратные ряды Фурье
8. Преобразования множителей
297
гл. I), то получим опять оператор с мультипликатором, равным X
Более того, поскольку [|6j]|p = е"^ и \\^Ц= e"'p||fl|p, то
|Т8|| = |Г|. После этого замечания ие удивительно, что обраще-
обращение теоремы 3.8 имеет следующий вид:
Теорема 3.18. Пусть X — непрерывная функция на Еп.
Предположим, что для каждого е >¦ 0 определен оператор
{Tn)i Lp (Г„)), такой, что ¦
{Те f) (x) - 2¦ *¦ (em) ame
2Шт ¦ х
ree(
C.19)
где \ат) — коэффициенты Фурье функции f ? Lp (Tn). Предполо-
Предположим еще, что нормы \\Те1 операторов Т& равномерно ограниче-
ограничены. Тогда X — мультипликатор для некоторого операто, а Т
из (Lp (?„), V (?„)), такого, что \Т\ не превосходит sup |T"e|-
; 1 Доказательство. Избавимся сначала от случая р = оо,
показав, что он сводится к случаю р = 1. Действительно, нз C.19)
немедленно вытекает двойственное тождество
C.20) J GYfl (*) S (~ *) dx = J (Гв g) (x) f (- x) dxf
если f и g- (например) тригонометрические полиномы. Отсю-
Отсюда следует (см. аналогичные рассуждения при доказательстве
теоремы 3.20 гл. 1), что |Тг \х < ||Т& \^ (имеются в виду нормы
оператора. Те на L1 (Тп) и L°° (Tn) соответственно). Таким обра-
образом, если будет- доказан случай р = 1 этой теоремы, то мы по-
лучимоператор T^Z,1^)» L1 (?„)) с мультипликатором К та-
такой, что || Т Hi < sup I fe |i < sup I Ге L. Наконец, опять обраща-
ясь к теореме 3,20 гл. 1, найдем, что Г? (L°° (?„), L00 (?„)) и
II Г J^ < sup В Ге И^.
Итак, предполагая, что 1 < р< оо, используем следующее
удобное для нас разбиение единицы:
Лемма 3.21. Существует непрерывная неотрицательная
функция ц с компактным носителем в Еп, такая, что
(a) yi@)-1,
(b)
1.
Для доказательства этой леммы выберем произвольную не-
непрерывную неотрицательную функцию тц с компактным носите-
.-
лем в Еп, такую, что tii @) = 1, тц -т) = 0 при т ? Л\ {0} и
т|.(х)>0 для x? Qn. Положим ti2 {х) — % (х) / 2 % (Х 4- т)-
Л
Тогда ясно, что у\2 @) = 1 и 2 ц*{х+т)шл\. Осталось только
т€Л
ВЗЯТЬ Т1 = Т12/Р •
Обратимся теперь к доказательству теоремы. Предположим
для простоты, что | Тв \\р < 1, е > 0. Тогда | X (em) | < 1 для m ^ Л
н е>0 (см. доказательство теоремы 3.1). Поскольку множество
{em; в>0, m ? Л} плотно в ?„, функция X ограничена. Следо-
вательно, если f g L% (Еп), то Xf также принадлежит L2 (Еп),
так что последняя функция является преобразованием Фурье не-^
которой функции из L? {Еп). В частности, это позволяет определить
Tf для / ? iZ) (c<5") как функцию, преобразование Фурье которой
равно Xf, т. е. (Т/)л {х) = Х{х) f (x). Покажем, что
№) . \\TfK\fl.
Для этого определим fe для е >¦ 0 как растянутую и периодизироваи-
ную функцию f, а именно
При этом, используя формулу суммирования Пуассона B.7), по-
получим
C.23) М*)
Мы теперь утверждаем, что для каждого х ? Еп
C.24) . \imBn[fEfe](ex) = [Tf](x).
Из C.19) и C.23) имеем
C.25) е" [?/е] (е^) = е" 2 ^ (em) f (em)
Л
Но функция X ограничена, а / быстро убывает на со (т. е.
Ь Л
lim | л: | | f (х) | = 0 для всех положительных целых А), причем обе
эти функции непрерывны. Следовательно, по определению интеграла
Римана правая часть равенства C.25) стремится к
X(t)f {t)e2nlxtdt~{Tf)(x)
при в -»- 0 (см. следствие 1.21 гл. 1). Итак, равенство C.24) установ-
установлено. Более того, поскольку функция ц непрерывна и tj @) = 1,

298
Гл. VII. Кратные ряды Фурье
то справедливо также равенство
C.26)
lim в" [f,'f,] (ex) т| {вх) = {Tf) (x)
для каждого х ? Еп.
В силу периодичности 7уе, имеем
е"Р Г | (Т.).) (вх) л («О Г <** = e"p-n Г | (ГJ.) (*) |р [ц {x)f dx =
(^ Л*) <*) Г (Л (* + «)]" dx.
Отсюда, согласно лемме 3.21 и предположению Ц Ге|р < 1, полу-
получаем
C.27) j |вл (Г,?«) (в*) л (в*) |Р d* < в4" J |7. (х) \р dx.
En Qn
Для достаточно малых в носитель, функции е~п f (х/г) целиком
лежит в Qn, и в этом случае в~п f (х/е) = ft (х) для х ? Qn. Та-
Таким образом, для малых е правая часть C.27) равна
епр-" $\e~nf (л/в) Г dx = enp~n J1 в"" f (х/в) f dx = f | f (х) Г dx.
Применяя теперь к левой части C.27) равенство C.26) н лемму
Фату, получим
U(Tf)(x)\pdx<{\f(x)\pdx,
т. е. требуемое неравенство C.22). Поскольку класс 0 плотен в
II (Еп), 1 < р < оо, тем самым теорема доказана.
Теорема 3.18, предшествующие ей замечания и теорема 3.8
имеют следующее очевидное
Следствие 3.28. sup | fe | = | Т ||, где if,\ и \\T\\ обознача-
е>0
ют нормы операторов Те и Т, фигурирующих в теореме 3.8.
4. Суммируемость ниже критического показателя
(отрицательные результаты)
Пусть 2 ame2nimx — ряд Фурье интегрируемой функции /.
т€Л
Из леммы 2.16 следует, что равенство
,4.1) lim 2 A--!^
R-*oo \m\<R \ K
4. Суммируемость ниже критического показателя
299
справедливо (почти всюду и по Л1-норме), когда а больше кри-
критического показателя (п— 1)/2. Естественно спросить, что будет,
если а<(п— 1)/2? В этом параграфе мы остановимся в основ-
основном на случаях а, = (п — 1)/2 и а = 0.
В качестве предварительного ознакомления с этим вопросом об-
обратимся к классическим результатам для п= 1. В этом случае
суммируемость с критическим показателем (а = 0) и обычная схо-
сходимость совпадают. Колмогоров показал, что имеется ^-функция,
для которой предел D.1) не существует для почти всех х, если а =
=а 0. Тем не менее для L1 -функций доказаны результаты о локали-
локализации, из которых следует, что равенство D.1) выполняется для
данного х, если f достаточно регулярна в произвольно малой
окрестности точки х. Для функции fn3Lp G\), р> 1, имеется ре-
результат Карлесона и Ханта, который- показывает, что ряд Фурье
функции f сходится к f (x) почти всюду. Имеется также более ран-
ранний результат М. Рнсса, показывающий, что сходимость по норме
имеет место при 1 < р ¦< оо.
Сейчас мы увидим, что при п >¦ 1 ситуация сильно отличается
от описанной. Это ясно из следующих трех утверждений.
Теорема 4.2. Существует функция f С L1 (Г„), п > 1,
такая, что
Hmsupl 2 ll-&
для почти всех х. Эту функцию f можно построить так, что ее но-
носитель будет лежать в заданной произвольно малой окрестности О1*.
Теорема 4.3. Тригонометрический ряд
D.4) 2
расходится почти всюду. Точнее,
lim sup
для почти всех х ? Q
2
0<|т|<Л
= Ов
Из теоремы 2.17 известно, что
^1 x\~in+[)/2 + b (ж), где
ряд D.4) есть ряд Фурье
? С°° {Qn). Отсюда вытекает
функции Y(^-n/21 x\
такое
Следствие 4.5. Существует функция из L" (Г„), р <
<2л/(п + I), ряд Фурье которой расходится почти всюду.
Таким образом, для произвольной функции из Lp (Т„), р < 2,-
сходимость почти всюду не имеет места, если размерность п до-
') Эта теорема одновременно показывает, что ни суммируемость почти всюду.
ни локализация не могут иметь места при критическом показателе.

300
Гл. V/I. Кратные ряды Фурье
статочно велика. Вопрос о том, что происходит при р = 2, остается
открытым.
Приведенные три утверждения основаны на следующей лемме:
Лемма 4.6. Если п> \, то
D.7)
lim sup 2 [1 —
Д-t-oc
S
М<Д
= оо
для почти всех х ? Qn.
Разобьем доказательство леммы 4.6 на несколько шагов. Для
этого положим
М<д V R I
и будем иногда писать Kr вместо K1r)/2. Первый шаг составляет
следующая
Лемма 4.8. Пусть х°— такая точка, что
' S.fi-
Я-mo I If
тогда
ln-l)/2 2nim.x<>
D.9)
sup sup
(l/2 Д0
И<Д
<oo.
Эта простая лемма полезна потому, что она позволяет свести
доказательство к случаю о >(п— 1)/2, где непосредственно при-
применима формула суммирования Пуассона.
Доказательство леммы начнем с замечания, что из тождества х>
Г F+1) г
путем замены переменных $ = г2 — \tn\z получаем
д ...
\ (^-г2)р-
Д
2Г[(п+1)/2"+Р1
М Это тождество получается с помощью замены переменных из широко из-
известного соотношения между бета- и гамма-функциями:
t=T (х) Г
. Суммируемость ниже критического показателя
801
Положив
Г[(n + 0/2]t1
и поменяв^ порядок интегрирования и суммирования, получим -
м<д
l—
<rt-'>/2
= CaR-2*
т. е.
D.10) "'
о
Далее, если lim sup |^д(*°)|< со, то sup |Кд(*°)| = А <эд.
Тогда, в силу D.10), Т1.Т.гУ
Однако последнее выражение в скобках тождественно равно еди-
единице (в этом легко убедиться, рассмотрев постоянный член в D.10)).
Итак,
sup sup |К?(*°)|<sup.|K
a>(n—1)/2 Д>0 Д>0
и лемма 4.8 доказана.
Опишем теперь множество 5, состоящее из точек, для которых
(как мы утверждаем) справедливо равенство 4.7. Пусть 5 — мно-
множество точек х, таких, что счетное-множество вещественных чисел
{|лс'—т |; m € Л} линейно независимо над полем рациональных
чисел. В одномерном случае S, очевидно, пусто, однако, как будет
показано, при п >¦ 1 дополнение к 5 имеет меру 0.
Лемма 4.11. Пусть х? ? 5; тогда
lim sup
Д
?('-^
\m\<R
= со.

'?¦*¦
302
, ,
,e
*. VII. Кратные ряды Фурье
Доказательство. Если а > (п — 1)/2, то в силу за-
замечаний, предшествующих B.14), можно применить формулу сум-
суммирования Пуассона и получить равенство
BnR\x-m\)/\x~m|(п'2)+а.
D.12)
= л~аГ (а + \) Rln/2)~a
Используя неравенства
_ m |
2 |шр-1<оо
и асимптотические оценки для функций Бесселя из леммы 3.11
гл. IV (см. также приведенное там примечание), получим для *° ? Л
D.13)
(Л, а).
гДе Ут = I *° — т I и sup sup | ? (/?, а) | < оо.
а>(п—1)/2 Д>]
Из предположения lim sup |Кц(х°) \ < оо следует, что
R-*ao
sup sup | Kr (x°) I < оо (см. лемму 4.8). Последнее неравенство
a><n—1)/2 Д>1
вместе с D.13) дает
D.14)
sup
a>(n—1
sup
R>\
cos BnRym + 6m)
МФО
Следующая лемма утверждает, что неравенство D.14) неспра-
несправедливо, если *° ^ 5.
Лемма 4.15. Пусть {ат}, [ут] и {Ьт} — вещественные по-
последовательности, причем числа ут линейно независимы над полем
рациональных чисел и 2 I am I < °°- Тогда
D.16)
sup
R>\
Доказательство. Пусть е>0 и 2 |aj<e. Согласно
теореме Кронекера (см. теорему 444 в «Теории чисел» Харди и
Райта [1], стр. 380), существует достаточно большое R, такое,
что все числа cosBnRym + Sj, \m\<Mt будут сколь угодно
близки к + 1 нли — 1 (выбор +1 или — 1 определяется зна-
знаком ат). Следовательно,
- 2 ki:
<. Суммируемость ниже критического показателя
303
Отсюда
sup
>2К|-2е.
Это доказывает равенство D.16) и лемму.
2 п
р
Поскольку 2
м\~п = °°>
лемма показывает, что D.14)
не может выполняться для* ? 5. Следовательно, лемма 4.11 уста-
установлена, н для завершения доказательства основной леммы 4.6
осталось только доказать следующий результат:
Лемма 4.17. Если п > 1, то дополнение к S имеет меру 0.
Доказательство. Пусть ат„ ..., aMk — ненулевые ра-
рациональные числа (ассоциированные с точками решетки т1( ...
..., mk). Положим
Ф (х) = S а«, I х —
Я '"/
т,
Тогда Ф (х) ф О, поскольку Ф' имеет особенности в точках т/, /==
= 1 k. Более того, Ф вещественно аналнтнчна на связном мно-
множестве Еп \ А. Но ненулевая веществен но-аналитическая функ-
функция может обращаться в 0 только на множестве нулевой лебеговой
меры. Таким образом, соотношение
h
D.18) Ф(х)= 2a«,l* — m,\ = 0
может выполняться только на множестве меры 0. Поскольку име-
имеется только счетное число таких точечных множеств (каждое из
них ассоциировано с набором ненулевых рациональных чисел-Ощ, ...
• ••» flmfc), их объединение также имеет меру 0. Но это объединение,
очевидно, равно En\Sl). Это доказывает лемму 4.17.
Посмотрим, чего мы достигли. Пусть \i0 —> мера Дирака; тогда
Лемма 4.6, следовательно, показывает, что ряд Фурье — Стилтьеса
меры d\L0 не суммируем по Риссу с критическим показателем для
почти всех х ? Qn. Для завершения доказательства теоремы 4.2
следует заменить \i0 на Л1-функцию с «резким пиком».
Пусть -ф — неотрицательная С°°-функция на ?„ с носителем
в единичном шаре 1*|< 1, такая, что \ ty(x)dx= 1. Пусть
Ф(у)= ft(х)е
-**1*
фе(х) = егп 2 Ф((* —
1) Читатель заметит, что эти рассуждения несправедливы для п = 1, посколь-
поскольку в этом случае Ф состоит из несвязных «кусков» линейных функций, нли, дру*
гнми словами Е„\Л несвязно при п = 1.

804
Гл. VII. Кратные ряды Фурье
Тогда, согласно формуле суммирования Пуассона,
D.19) Фе(*)~ 2 Ф(ет)е^т".
т€Л
Покажем, что существуют две сходящиеся к 0 последователь-
последовательности положительных чисел {еЛ} и {6fc}, такие, что функция /,
определяемая равенством
D.20)
(x)-<p6Ax))t
принадлежит L1 (Та) и удовлетворяет теореме 4.2.
Пусть SR — оператор, определяемый равенством
когда f ~ 2 в
D.21)
Действительно,
sup |
- 2 U-фГ-1" a
'*. Заметим сначала, что
р
= 2 |
• М<1/в
Поскольку функции \Ф(х)\ и |*Г+'|Ф(*)| ограничены, имеем
@. 2 |Ф(етЛ<1Ф|и 2
!»4<t/e
где Л^в — число (не превосходящее некоторой постоянной, умно-
умноженной на е-«) точек решетки, таких, что |/л|<1/е, н
(И)
|
Н>1/8
Из этих двух неравенств следует D.21).
Построим также подмножества \ a Qn с мерами | &А | > I —
•— Xlk и возрастающую последовательность положительных чисел
\Rk), такие, что
D.22)
sup | (SRf) (x) j > k, если х
После того как это сделано, легко видеть, что теорема 4.2 уже до-
доказана. Ясно, что первое утверждение теоремы немедленно следует
из D.22). Второе утверждение вытекает из того, что <рЕ на Qn имеет
носитель внутри шара радиуса в с центром в нуле; следовательно,
4. Суммируемость ниже критического показателя
305
вычитая из / частичные суммы ряда D.20), получим функции,
удовлетворяющие первой и второй частям теоремы 4.2.
Предположим теперь, что еЛ б„ R, и Щ определены для 1 <
^j^k— 1, и покажем, как тогда следует выбрать ek, bk, Rk
и %к. Полагаем всегда efe<6fe и выбираем Ьи таким малым,
чтобы
D.23) sup ISR (ф8, — Фв.) |< 1-
Если это можно сделать для всех ft, то, конечно, получим
D.23') sup |5/?(фей,— фай.)|< 1 при ft'>ft.
Поскольку
sup
,«-М
можно добиться выполнения неравенства D.23), если bk выбрать
достаточно малым.
Пусть теперь Ak — положительное число, такое, что
D.24) Ak> sup
В силу неравенства D.21), такое число существует.
До сих пор были фиксированы Ak и bk,' a ek было ограничено
условием ek < 6ft. Наложим теперь на efe условие, которое по
существу сводится к тому, что ф8й достаточно близко к d\i0. А имен-
именно, уже известно, что если Rk достаточно велико, то, в силу рас-
расходимости почти всюду в лемме 4.6,
D.25) . sup 2"k | (SRdii0) (x) \ > Ak + ft + 2
на множестве %k с Qrt меры | %h \ > 1 — I/ft. Однако ряд Фурье
функции ф8 сходится почленно к ряду Фурье меры d\iQ при е ->- 0.
Следовательно, выбрав efc достаточно малым, получим
D.26) , sup 2-k | EЛфв.) (х) \ > Лй + k + 1, х е V
Таким образом, условия D.25) и D.26) определяют наш выбор ей,
Rk и 8*.
Обратимся теперь к доказательству неравенства D.22). Напншем
(Фв/ - Фар ~ 5Г*фвл} + 2"^^ (S 2W ( ))
•88K. 437
/>*

306 . VII. Кратные ряды Фурье
Рассмотрим sup | (Sxf) (х) | для* ? \. Ввиду D.24), вклад членов
в первых скобках не превосходит Ak. В силу D.26), средний член
не превосходит Ak + k + I. Наконец, последний член не превос-
превосходит 1 (в силу D.23)). Это доказывает неравенство D.22), и теорема
4.2 полностью доказана.
Докажем теперь теорему 4.3. Покажем сначала, что если для
некоторого лс°
sup
ТО
D.27)
sup /rWS)+I/2 2
0</?<оо
0<|г»|<Я
<ОО,
<оо.
Действительно, положим <Jr~ 2 |/п|~(п/2)+1/2еййт'**; тогда
о<м<я
R
S
о<н<л
- « ^-(„/2-1/2)
Отсюда ясно, что из предположения sup | aR | < со следует D.27).
Покажем теперь, что
sup R-"W z, е- - =оо
для всех х9, таких, что
sup
Н
(согласно лемме 4.6, почти все х? ? Qn удовлетворяют этому со-
соотношению), т. е, покажем, что
sup #^л/2+1/21 /(д
0<R<oo
для всех л^» таких, что
sup \Kr(x°)\=< sup
0<ЯО> ' 0<Я<оо
Легче проделать это для нечетного п, причем простейший случай
возникает, когда п — 3. Рассмотрим этот случай; при этом крити-
критический показатель равен (п—1) /2=ч1. Для фиксированной точки
х° напишем
б. Суммируемость ниже критического показателя
2 (/—
307
Очевидно, что {d/df) Fa (i) = aFa^ (t) для а > 1. Покажем, что
D.28) |f,WKW 1<^<оо.
Действительно, когда а>(л — 1)/2, формулу суммирования Пу-
Пуассона можно применить к /C?(*°) и получить выражение D.12),
Это вместе с оценкой | J{n/2)+a Bя^) ] < AR~l/2t R > 1 (см. лемму
3.11 в гл. IV) показывает, что
что по определению функции F2 эквивалентно оценке D.28).
Если | ^n^+^2/(R (#о) | ^ д то (так как п = 3)
D.29) 4-
dt*
Используя разложение F% по формуле Тейлора до членов второго
порядка, видим, что
| Fz (t -f h) — F% @ — hFt @1 < -Q- sup
Положим А =* txi2\ тогда из D.28) и D.29) следует, что
< Bt, I < t< оо. Таким образом, | Л @1 ^ ^'/2 и, следовательно,
sup | Kr (x°) | < В. Отсюда видно, что
R>0
если sup | Kr (x°) I == оо. Это завершает доказательство теоремы
R>0
4.3 в случае п = 3. Другие случаи п > 1 аналогичны, ио несколько
более сложны. Необходимая для их доказательства техника опи-
описана в п. 6.10 ниже,
5. Суммируемость ниже критического показателя
Пусть. 2 йтеЫ1т'х — ряд Фурье функции / и
яЦА
— соответствующие средние Рисса порядка а. Обозначим через
S? (!) (х) соответствующую «максимальную функцию», т, е.
S* (f) (*)^ sup |5S
0<Я
11*

308
Гл. VII. Кратные ряды Фурье
5. Суммируемость ниже критического показателя
309
В этом параграфе мы покажем, что если f ? If (Tn), 1 < р < оо,
то имеются положительные результаты о суммируемости ниже
критического показателя. Доказываемая теорема, ввиду контрпри-
контрпримеров § 4, не решает полностью проблем суммируемости кратных
рядов Фурье. Тем не менее она расширяет наши знания по Данному
вопросу ''.
Теорема 5.1. Пусть 1 </j<oo, я> 1 и а>(/г — 1)|уя —
— \/р\. Тогда:
(a) \\SUnl<Ap.4fU
(b) lim Sr (/) (л:) = / (л:) для почти всех х;
(c) |S«(/)-/|k-^O при R-+<x>.
Эта теорема будет выведена из двух лемм; первая из них яв-
является другой формулировкой результатов, полученных в § 2,
когда а было больше критического показателя, а вторая есть ^-ре-
^-результат для а, близких к нулю, и, наконец, комбинация этих двух
оценок получается с помощью комплексной выпуклости норм ли-
линейных операторов (теорема 4.1 гл. V). Первая лемма такова:
Лемма 5.2. Когда а >• (п —> 1)/2, утверждение (а) теоремы
5.1 справедливо.
Напомним читателю, что, когда а > (п —* 1)/2, утверждения
(Ь) и (с) теоремы 5.1 содержатся в теореме 2.11 н, в частности, в ее
следствии 2.15.
Доказательство. Пусть / ? L? (Тп). Будем использо-
использовать символ f н для обозначення пернодического продолжения этой
функции на Еп. В силу следствия 2.15 (см. также замечания перед
этим следствием),, имеем ¦¦л':-'г *г" '¦- ' "- -' "' Л ци""'1-
>
для подходящей функции ср, где фе (х) = е-"ф (^/е) и f = /^
Заметим, что при доказательстве оценки (а) для 5"(/) =
= sup |5д(/)| достаточно ограничиться случаем /?>1 (т. е.
о<д<°о ч" - ^ . ¦¦ ¦ ¦ , . -
е < 1), поскольку^если ^ < 1, то S? (f) = а0 п<е] а0 ] < | / \\г < Ц^.
Положим теперь /(*) = 0 при |лс|>1. Тогда ясно, что
См., однако, недавний результат Фефермана [I].
Кроме того,
(/=.фе)(х)= J 4>B{x—
1*1 >•
Мы уже отмечали (см. абзац перед B.14)), что в этом случае
Ф {х) - я*^Г (а + 1) | х\-(а+п/2) /а+п/2 Bл | х |). " -' ^ 1>
Поэтому, в силу C.12) гл. IV, | ф (х) |< А A + |x|"n~6J, 6 = а —
— (/г —1)/2. Следовательно, как было показано при доказатель-
доказательстве теоремы 2.11,' ?¦¦ - 'Г-, ¦„ ^'! **^ ^'1' ' >^.'*"
\ фе (^ — tf) / (У) dy
Но
и, согласно C.9) гл. II,
—п-б
/л
-, i ,.f
^ ;¦. ^
= 'sup .4-115?
p
E-4)
и а> —V
Доказательство. Введем вспомогательную функцию
{/), определяемую равенством
х) Заметим, что величины Л1а (/) равны средним от выражений, которые мы
собираемся оценить сверху.
если р> 1 и а>(л — 1)/2.
Сделаем несколько общих замечаний о средних Рисса 5^. "^
Когда мы их вводили, неявно предполагалось, что порядок а с
неотрицателен. Тем не менее в приведенном определении ничто не '
мешает рассматривать отрицательное илн даже Комплексное а. {\
Более того, мы будем существенно опираться на аналитическую
зависимость S% от а. В следующем ^-результате уже используются
отрицательные значения а,
.Лемма 5.3. Пусть
Тогда

Гл. VII. Кратные ряды Фурье
если f?L2(Tn) и а> —1/2. Действительно, в силу равенства
Парсеваля и теоремы Фубиии,
Третье равенство следует из того, что $-.
2а
¦V"
о
и последний интеграл сходится при а > —1/2. Следовательно,
что, конечно, является более точной формой для оценки E.5),
Из E.5) легко следует справедливость леммы. Для начала заметим,
что, в силу определения функции G* (/),
R
sup -L П 5f+» (Л (JC) _ 5? (О (х) |» d/ < [Ga {f) (x)]*,
0<Д<оо * g
и, таким образом,
E.6) Ма (/) (*) < М**1 (f) (х) + Ga {f) (x).
Следовательно, повторно применяя неравенство E.6), получим
E.7) Ма if) < Af1^* (/) + Oa (/) +.'¦.+ G^-1 (/).
Возьмем теперь k > п/2; тогда a + k > (л — 1)/2,
AIa+fc(/)» очевидно, ие превосходит 5J^** (/),
лемму 5.2 (с р = 2) и получить, что |Afa+fc(f)Ia<
равенство вместе с оценкой E.5) (примененной к
G0^1 (/), ..,, О*^**^) дает оценку E.4), и лемма доказана.
Лемму б.З мы сможем использовать, если получим формулу,
выражающую средние Рисса данного порядка в виде средних от
средних Рисса более низких порядков. Необходимые вычисления
Поскольку
можно применить
ие"
' ;<¦ i
5. Суммируемость ниже критического показателя
311
уже были проведены при доказательстве леммы 4.8. Действительно,
равенство -
\m\
(i —^)'л.
где Cpifi = 2Г F + Р 4- 1)/Г Ф+ П Г Ф)» немедленно дает искомое
выражение, а именно
E.8)
Отсюда следует, что
J|(^-^j^1
Взяв верхнюю грань по всем R >• 0, получим
E.9) 5^6 (/) (х) < Ср.бЛ1б (/) (л), р
> 1/2 1J.
Наконец, для данного а>0~возьмем р и 6 такими, чтобы
Р4-6 = сс, 6> — Vi и P>Va- Тогда, объединяя E.9) и лемму
5.3, получим следующее основное неравенство для /Аслучая:
Лемма 5.10. Если a>0, mo |Sf Ш|а<
иэ
Прервем временно наши усилия, направленные на доказатель-
доказательство теоремы 5.1, для того чтобы посмотреть, чего мы уже достигли.
Главной частью теоремы является неравенство для максимальной
функции (часть (а));, если его доказать, то все остальное уже дело
техники. Когда р близко к I или со, часть (а) фактичес-
фактически уже содержится в лемме 5.2. Кроме того, лемма 5,10 дает
это неравенство для частного случая р — 2. Общий случай мож-
можно вывести из этих частных случаев при помощи интерполяцион-
интерполяционной теоремы, доказанной в § 4 гл. V. Хотя такой вывод основан
На простых идеях, детали доказательства довольно громоздки.
Сначала необходимо усилить два только что упомянутых частных
Заметим, что если р > 1/2, то
AP
= f
о
1* dt = f | A
м < oo.

312
Гл. VII. Кратные ряды Фурье
случая и включить комплексные порядки а. Это усиление получа-
получается нз очень простого общего принципа, утверждающего, что если
имеется оценка для S" {/), где а > 0, то справедлива соответствую-
соответствующая оценка и Для 5" (/), где а' комплексно и Re а' > а. Это сле-
следует из формулы E,8) с 6 = а, р -f 6 = а' (и Re6;>0). Дей-
Действительно, имеем
sf (ft < s; it) с,л I (i - sf "-V+'ds = ЦЦ^
0
Поскольку Г(а'+ !)<|r(Rect'+1I. это дает
E.11) Sf (/)<
S,
где /)р«Г(ЯеР)/|Г(Р)|.
Поскольку операторы /->- 5" (/) нелинейны, а мы хотим при-
применить интерполяционную теорему к линейным операторам, не-
необходимо ввести другое техническое средство.'Для этого обозначим
через $ класс неотрицательных измеримых функций на Тп, при-
принимающих только конечное число различных значений. Пусть R?
? %\ тогда
EЛ2) I $«<*)(/>(*) К $?(/)(*)•
При этом справедливо следующее обращение этого неравенства:
E.13) ' 8?
Это вытекает нз очевидного утверждения, что существует после-
последовательность Ry (х), ..., Rj {х), ... элементов нз % , такая, что
lira 158,,, (/)(*)!= sup |5Sff)(jf)| = S;
для всех х ? Тп.
Фиксируя теперь элемент R ? *&, рассмотрим линейные опе-
операторы
EЛ4) /-*S8w</)(*)(
аналитически зависящие от параметра а. Пусть / — интегрируе-
интегрируемая функция н f(x)~ У1ате2л1тх. Поскольку R(x) принимает
л
е
только конечное число различных значений (н, в частности,
ограничена), легко заметить, что функция
- 2 {1-
5. Суммируемость ниже критического показателя
313
аналитична по переменной а и имеет по ней допустимый рост в
любой вертикальной полосе на комплексной плоскости а (в смысле
теоремы 4.1 гл. V).
Положим а = \i-{- iv, цо>О и
E.12), E.11) н E.10) с а' = цо
имеем
(n— 1)/2. Тогда, согласно
a = цо/2, f& = f^/2) + iv,
E.15) ISa#
для всех простых функций /, где
Важно, что оценка для Ао (v) не зависит от выбора R ? %. Ана-
Аналогично, согласно формулам E.12), E.11) и E.2) с а' = цх + iv,
а=A/2)[Ц1 + (я —1)/2], р» A/2) IHi — (д— 1)/2] + iv, имеем
E.16)
для всех простых функций /, 1 -<pi<; oo,v ^ > (п—1)/2, где
^ijji(v) <w4ilPle?l|'wl. Здесь опять постоянные не зависят от R(x).
Используем теперь интерполяционную теорему 4.1 гл. V. Со-
Сохраняя введенные там обозначения, положим 0<С*<1, р0 = 2,
н пусть pj — индекс из неравенства E.16). Тогда, если \i =
=* MI - 0 + М И "I/JD * (I — t)/p0 + tlPx = A - 0/2 + tlPi, TO
Опять Ар не зависит от выбора R (х) ? %. Но из E.17) и E,13) сле-
следует неравенство
E.18) 1^(/)|,<ЛЛЛи
Покажем, что ограничения иа р н \i в E,18) в точности те же,
что и в теореме 5.1, т. е. 1 <р<Сж н ц>(л— 1) 11/2 — \/р\.
Вспомним, что A0>0, \LiXn—1)/2 и 1<р!<:оо, в то время
как \i — \i0 A — 0 + ^i и 1/Р = A — t)j2 -|- 1/pi- Предполо-
Предположим сначала, что р < 2. Если положить ро=1, Н = 0. ^i —
== (п — 1)/2, то элементарные вычисления дают \i~ (п— 1) X
X [1/р—,1/2]. Ясно также, что \i непрерывно зависит от ръ \i0
и ^i (в этом можно убедиться, выразив t через эти параметры).
Таким образом, по непрерывности всегда можно подобрать та-
такие Ра>\, Щ)>0 и ^i>(tt—1)/2, что \i будет удовлетворять
неравенству ц>(/г— 1)|1/р—Va l- Если /?>2, то рассуждения
') Более точнее оценки для Ао (v) можно получить, используя асимптоти-
асимптотическую формулу I Г ((|х/2) + »v)! ~ Уя.1 v j^-'VSg—n|v[/2 при v _^, 00( но для
применения интерполяционной теоремы 4.1 гл. V эти оценки не нужны.

314
Гл. VII. Кратные ряды Фурье
6. Дальнейшие результату
318
будут аналогичными, надо только взять р0 = оо. Это завершает
доказательство части (а) теоремы 5.1.
Части (Ь) и (с) получаются отсюда с помощью общей теории
сходимости семейств операторов, развитой во второй главе (см.,
в частности, теорему 3.12), поскольку, если выбрать функцию f
из класса тригонометрических полиномов (который плотен в Lp (Tn)
при р <С оо), то 5? (Л (х) будет равномерно сходиться к f (х) при
R -*- со для любого а > 0. г
6. Дальнейшие результаты
6.1. С помощью рассуждений, аналогичных использованным
при доказательстве теоремы 2.17, можно показать, что каждый
из приведенных ниже рядов является рядом Фурье периодической
функции, непрерывно дифференцируемой иа основном кубе всюду,
за исключением точки 0, и имеющей, кроме того, указанное пове-
поведение:
(а) ^\т\~пеШтх асимптотически ведет себя как
пи?0 '
c«log(l/|x|) при |*|-*0;
(Ь) если P'k —однородный гармонический многочлен степени
ft>I, то 2 \tn\~n~kPk{m)e^lmx — ограниченная функция;
тфО
I—ot—A
Znim-x
(с) 2 | tn I"*"* Ь (\т\)Pk (m) ёгтт'х асимптотически ведет себя
тфО
как с|*Г("~а)~*ЬA/М)Рь(*) ПРИ |*|-*-0, если Pk — однород-
однородный гармонический многочлен степени fc>0, 0<а<л н Ь(х)—
подходящая функция, медленно меняющаяся вблизи оо (примером
допустимых функций Ъ служат функции, ведущие себя при боль-
больших |х|, как (log|x|)a, (log(log|*|))c, exp(tog|*|)I/( и т. д.,
а также как произведения и частные таких функций). Одномер-
Одномерную теорию см. в книге Зигмуида [1], а я-мерную — в работе
Вейнгера [IJ.
6.2. Несколько примеров другой природы можно получить с
помощью формулы суммирования Пуассона:
(a) 2 «riH log н | т |-*-*V»*-*_ ряд ФурЬе непрерывной пе-
тфО
риодической функции, если с^Ои е>0;
(b) если размерность л .четна, то 2 |/лр"(logj/тг|J**1 X
М>1
xeci\m\(iog\m\)<*e2nim.xt C=?Q H 0<a<2/n, есть ряд Фурье функции
класса Си/2, но не абсолютно сходящийся.
В одномерном случае пример (а) был получен Хардн и Литтл-
вудом. Оба примера (а) и (Ь) см. в работе Вейнгера [I], где приве-
приведены и другие примеры. Пример (Ь), между прочим, показывает;
что простое следствие 1.9 нельзя сильно улучшить.
6.3. Следующие рассуждения дают некоторую интерпретацию
эвристической формулы B.16). Пусть Pk (x) — однородный гар-
гармонический многочлен степени k. Фиксируем точку х и рассмотрим
следующие две функции переменной а:
\т
—1
Рь(х4-т)
где уо,й = i-knn'2-a Г {(k + а)/2)/Г ((я + k — а)/2). Эти две функции
переменной а совпадают в том смысле, что они являются анали-
аналитическим продолжением одна другой (см. Хекке [1] и Бохнер 16]).
6,4. Пусть 5сЕп— выпуклое, симметричное, открытое и
ограниченное множество. Пусть |5[>2". Тогда 5 содержит по
крайней мере одну точку решетки, отличную от нуля. Эту клас-
классическую теорему Минковского следующим образом можно дока-
доказать с помощью формулы суммирования Пуассона. Положим
Syt = {x; 2x?S], н пусть <р — характеристическая" функция мно-
жества Syt. Положим / = Ф* Ф, так что / = |<р|г >0. Можно по-
показать, что если нуль есть единственная точка решетки, лежащая
в S, то f(m)~0 при тфО. Более того, справедлива формула
суммирования Пуассона 2 Кт) ~ 2 / (т)- Еаш нуль есть един-
ственная точка решетки, лежащая в 5, то /@) = 2/(/п) >/@)-
Но это противоречит тому, что / @) = \ ф (х) dx = \ Si/t |, а f @) =
= f f(x)dx— \S%jt |2, Приведенные рассуждения восходят к Зи-
гелю [1].
6,5, Пусть 2 ате т'х — данный формальный тригонометри-
тригонометрический ряд. Тогда п рядов
i V* wife
— * 2j "¦» Т/пТ
будут преобразованиями Рисса этого ряда. Положим
ио(х, 0 = 2
—Ш\т\1 2я?т*ж

316
и
Гл. VII. Кратные ряды Фурье
(считая, что ряды, определяющие функции ufe, k = 0, ..., я,
сходятся). Заметим, что (п + 1)-строка /*" = (w0, иь ..., ыи) удов-
удовлетворяет обобщенным уравнениям Коши — Рнмана D.13) гл. VI.
По аналогии с развитой там теорией будем говорить, что
F?Hp(Tn), если sup [\F(x, t)fdx<oo.
{a)F?H(Ta)t 1<р<оо, тогда и только тогда, когда
2 ате2п!тх — ряд Фурье некоторой функции из IF (Tn). Это
можно доказать с помощью результатов § 3.
(b) Пусть (я — 1)//г</><оо и F?tf(Tn); тогда
f sup Iff*, i)\pdt<oo
и X\mF{xt t) существует почти всюду и по норме пространства
L" (Тп).
(c) Для частного случая р = 1 справедливо следующее обоб-
обобщение классической теоремы Ф. и М. Рнссов (см. также п. 5.8
в гл. VI), Пусть 2 а/Мт)! и 2am('n*/ m\)e2nimx, k=*lt
? ф
2, ...,«, — ряды Фурье — Стилтьеса конечных мер; тогда этн меры
абсолютно непрерывны.
Утверждения (Ь) и (с) доказываются рассуждениями, анало-
аналогичными приведенным в гл. VI. (См. также Шапиро [1].)
(d) Справедлив следующий результат, дополняющий предыдущее
утверждение (не имеющее аналога при а = 1). Пусть ^ame2nim'x н
ni?A
2 а« («л/1 "I |) еШт-\ k= 1,2,..., /г,— ряды Фурье—Стилтьеса
конечных мер; тогда для каждого однородного (степени г)
гармонического многочлена Рг{х), г = 0, 1, 2, .... ряд
21 {Рг{тI\т\) ате2л1т-х есть ряд Фурье некоторой функции
тфО
тфО.
ф
из Ly{Tn). Это утверждение доказывается с помощью техники,
приведенной в книге Стейна [3], гл. VII.
6.6. Теорема 2.11 н лемма 5.2 допускают следующую более
общую формулировку. Пусть ф ? L1 (Еп) и j y(x)dx = 0. Поло-
6. Дальнейшие результаты 317
жим <ре (х) = е~п(р (х/&) и Кг (х) = 2 Фв(х + тп). Рассмотрим
?А
Тогда:
« I f{x-y)K*{y)dy.
(a) если / ? Lp (Гп), 1 < р < ос, то / * Ке -»- / по V (Гп)-норме
при е-*-0;
(b) пусть, кроме того, ф (х) = sup | ф (л;') I интегрируема на
1*1 «И
?"„. Тогда (f * Ке) {х)-*¦ f (х) в каждой точке лебегова множества
функции/. Кроме того, если f(x) = f(x) при |*|
при |*1> 1, то
и f (х) = 0
p
е>0
6.7. Пусть А, — комплекснозначная функция, определенная на
Еп, класса С" всюду, кроме нуля. Пусть существует постоянная
Л, такая, что | DaX (x) |< A/1 д;|1а1 для всех 0<|а|<л. Тогда
последовательность {Я (m)}, tn ? Л (Я @) = 0) будет мультипли-
мультипликатором типа (If (Tn), IF (Tn)) для \<р<оо. Эта теорема вос-
восходит к Мардннкевнчу [1], где доказано несколько более силь-
сильное утверждение. Прн тех же условиях X является также муль-
мультипликатором и в непериодическом случае (т. е. Я ? (Lp (?"„),
V(?„)) для 1<р<оо), но историческн этот результат появился
гораздо позднее (см. Михлин [1] н. Хёрмандер [1]). Непериоди-
Непериодический вариант можно также вывести непосредственно из перио-
периодического, используя теорему 3.18. См. также Стейн [3], гл. IV.
6.8. Теорема 5.1 показывает, что ISj")/2(/)lp< Ар\\\р, 1<
<р<оо, если f?Lp(Tn), Этот результат для критического по-
показателя можно обобщить, рассмотрев рост Ар при р-+\ или
р _». с». Действительно, некоторое усовершенствование доказа-
доказательства теоремы 5.1 позволяет заключить, что Лр<Л(р—1)~
для 1<р<2 и Ар^Ар для 2</><оо.
(а) С помощью оценки для Ар по р вблизи 1 получаем нера-
неравенство | S[n~l)/2 (f) I < А I | /1 (log+1 /1 J dx + В. Следовательно,
если функция |/| (log+j/!J интегрируема, то lim 5д~1)/2(/) (#) =;
Д-+0О
>= / (x) для почти всех х.

318
Гл. VII. Кратные ряды Фурье
(Ь) Из оценки Ар для больших р следует, что если f ограни-
ограничена, то существует постоянная а>0, такая, что
п
Часть (а) см. в работе Стейна [4]; там же неявно содержится
оценка для Лр, необходимая для доказательства части (Ь).
- 6.9^ Мы уже заметили, что при критическом показателе лока-
локализация не имеет места для всех функций из Ll(Tn) (см. теоре-
теорему 4.2 и соответствующее примечание). Однако при более силь-
сильных предположениях локализация имеет место. Если, например,
предположить, что j \f\ log+|/|dx< oo, то локализация будет
иметь место. В частности, если в данной точке х0 функция f
удовлетворяет условию Диии \ 1/(л:0 — i)—;/(Jce)||/|~"d/< oo,
12 при #-»-со..Это вытекает из следующего
< Ир, 1
то 5д^1)/2(/
результата:
sup
«>°
где
Детали см. в работе Стейна [7].
6.10. Следующая теорема о выпуклости для средних Рисса
числовых рядов может быть использована при доказательстве
теоремы 4.3. Рассмотрим числовой ряд 2 ск и его средние Рисса
0?= 2 (I— k/R)ack, а>0. Предположим, что од/ = 0(#а/)
при ?-»-оо для / = 0, 1. Тогда, если 0<9< 1, а = аоA— 9)+
+ с^е и а = а0 A — 9) + М» то од = О (Ra) при R-> со. См. Рисе
[1] и Чандрасекхараи и Минакшнсундаран [1]. Чтобы применить
этот результат к доказательству теоремы 4.3, напишем
ДЛЯ
(где ск
2
И'<*
Мы зиаем (см. неравенство D.28)), что <rg «0(/?{l/l)E(ir"ly2~el)(
если а>(л —1)/2. Если бы огд = О(^(>/1)С(л~1)/2]), то из только
что приведенной теоремы следовало бы, что oJJI>'2== 0A), а это
противоречит лемме 4.6 для почти всех *°. *
6. Дальнейшие результаты
Библиографические замечания
819
Для ознакомления с элементарной теорией кратных рядов Фурье н фор-
формулой суммирования Пуассона см. классическую книгу Бохнера [3], а также
его последующий трактат [6]. Важность критического показателя (см. след-
следствие 2.15) была отмечена в статье Бохнера [7]. Теорему 2.17 для п-мерного
случая можно и&йти в мемуаре Вейнгера [l].
Основные результаты § 3 — теорема 3.8 и следствие 3.16 — получены
де Лю [1]. Общие идеи рассуждений, ведущих к теореме 3.18, являются клас-
классическими, но в представленной здесь форме приводятся, по-видимому, впер-
впервые. См. также Игари [1].
Отсутствие локализации при критическом показателе для L](Tn) было
доказано в работе Бохнера [7], как было упомянуто выше. Существование
L'(Tn)-функции (п > 1), ряд Фурье которой почти нигде не суммируем по
Риссу при критическом показателе, доказано СтеЙном [5]. Настоящая, более
сиЛьная форма теоремы 4.2, однако, является новой, так же как и теорема 4.3.
Все эти результаты возникли отчасти благодаря методике, введенной. Бохне-
?ом, в которой используется множество S таких точек х, что числа вида
\ш — х\) линейно независимы над полем рациональных чисел. Теорема 5.1
имеется в работе Стейна [4], а также в его работах [2] и [7], которые тесно
связаны между собой. Можно рекомендовать также обзорную статью Шапиро
[1], в которой рассмотрены некоторые вопросы теории кратных рядов
Фурье,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ"
Банах (Banach S.)
[1] Sur la convergence presque partout des fonctionnelles Hneaires, Bull. Scl,
Math., 50 A926), 27—32, 36—43.
Бари Н. К.
[1] Тригонометрические ряды, М., Физматгиз, 1961.
Безикович (Besicovitch A.)
[I] Sur la nature des fonctions a carre sommable mesurables, Fund. Math.,
4 A923), 172—195.
[2] A general form of the covering principle and relative differentiation of
additive functions, Proc. Cambridge Phil. Soc, 41 A945), 103—110.
[3] A general form of the covering principle and relative differentiation of
additive functions II, ibidem, 42 A946), 1—10.
Бенедек, Панзоне (Benedeck A., Panzone R.)
[1] The spaces V with mixed norm, Duke Math. J., 28 A961), 301—324.
Блюменсон (Blumenson L. E.)
[1] A derivation of «-dimensional spherical coordinates, Am. Malh. Monthly,
67 A960), 63—66.
Боас, Бохнер (Boas R. P., Bochner S.)
[l] On a theorem of M. Riesz for Fourier series, J. London Math. Soc, 14A939),
62—73.
Борнер (Boerner H.)
[1] Representations of Groups, North-Holland Publishing Company, Amster-
Amsterdam, 1970.
Бохнер (Bochner S.)
[I] Group invariance of Cauchy's formula in several variables, Ann. of Malh.,
45 A944), 686—707.
[2] Boundary values of analytic functions of several variables and of almost
periodic functions, Ann. of Math., 45 A944), 708—722.
[3] Vorlesungen iiber Fouriersche Integrale, Leipzig, 1932.
[4] Lectures on Fourier Integrals, Ann. of Math. Studies, No. 42, Princeton
University Press, 1959. [Русский перевод: Бохнер С, Лекции об инте-
интегралах Фурье, М., Физматгиз, 1962,]
[5] Classes of holomorphic functions of several variables in circular domains,
Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 46 A960), 721—723.
[6] Harmonic Analysis and the Theory of Probability, University of California
Press, Berkeley, 1955.
[7] Summation of multiple Fourier series by spherical means, Trans. Amer.
Math. Soc, 40 A936), 175—207.
[8] Bounded analytic functions in several variables and multiple Laplace in-
integrals, Amer. J. Math., 59 A937), 732—738.
[9] Dber Faktorfolgen fiir Fouriersche Reihen, Ada Szeged, 4 A929), 125—129.
Бохнер, Мартин (Bochner S., Martin ty. T.)
[1] Several Complex Variables, Princeton University Press, 1948. (Русский
Список литературы
перевод: Бохнер С. и Мартин У. Т., Функции многих комплексных пере-
переменных, М., ИЛ, 1951. J
Бохнер, Чандрасекхаран (Bochner S., Chandrasekharan K-)
A] Fourier Transforms, Ann. of Math. Studies, № 19, Princeton University
Press, 1949.
Брело (Brelot M.)
[1J Elements de la Theorie Classique du Potentiel, Centre de documentation
universitaire, Paris, 1965. [Русский перевод: Брело М., Основы класси-
классической теории потенциала, М., «Мир», 1964.]
Валентайн (Valentine F. А.)
[1] Convex Sets, McGraw-Hill, New York, 1964.
Ватсон (Watson G. N.)
[1 ] A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press,
Cambridge, 1922. [Русский перевод: Ватсон Дж. Н., Теория бесселевых
функций, М., ИЛ, 1949.J
Вейль A. (Weil A.)
[l] L'integration dans les groupes topologiques et ses applications, Hermann,
Paris, 1965. [Русский перевод: Вейль А., Интегрирование в топологиче-
s ских группах и его применения, М., ИЛ, 1950/]
Вейль Г. (Weyl H.I
[I] The Classical Groups, Princeton University Press, 1946. [Русский перевод:
Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, М., ИЛ,
1947.1
Вейнгер (Wainger S.)
[l] Special trigonometric series in k dimensions, Mem. Amer. Math. Soc, 59
A965).
Вейс (Weiss Guido)
[l ] An interpolation theorem for sublinear operators on Hp spaces, Proc. Amer.
Math. Soc, 8 A957), 92—99.
[2] Analisis Armonico en Verias Variables, Teoria de los Espacios Hp, Cursos
у seminarios de Matematica, Universidad de Buenos Aires, fasc. 9.
[3] Harmonic Analysis, M. A. A. Studies in Mathematics, Vol. 3, I. I. Hirsch-
man, Jr., ed., Prentice-Hall, 1965, 124—178.
Виленкин Н. Я. '
[1] Специальные функции и теория представлений групп, М., «Наука*; 1965,
Винберг Э. Б.
[1] Однородные конусы, ДАН СССР, 133 (i960), 9—12.
Винер (Wiener N.)
[1] The Fourier fntegral and Certain of its Applications, Cambridge University
Press, Cambridge, 1935. [Русский перевод: Винер Н., Интеграл Фурье
и некоторые его приложения, М., Физматгиз, 1963.]
[2] The ergodic theorem, Duke Math. J., 5 A939), 1—18.
Владимиров В. С.
[1]* Методы теории функций многих комплексных переменных, М., «Наука»,
1964.
[2]* Обобщение интегрального представления Коши—Бохнера, Изв. АИ СССР,
сер. матем., 33 A969), 90—108.
[3]* О представлении Коши — Бохнера, Изв. АИ СССР, сер. матем., 36
A972), 534—539.
[4 ]* Преобразование Лапласа обобщенных функций медленного роста,
ВИНИТИ (в печати).

322
Список литературы
Гальярдо (Gagllardo E.)
[1 ] Una struttura unitarla in diverse famlglie di spazi funzlonall, Rlcerche Mat.,
10 A961), 244—28i.
Гельфанд И. М., Шилов Г. Е.
[1] Обобщенные функции, вып. 1, М., Физчатгиз, 1959.
Герц (Нега С. S.)
[ij Bessel Junctions of matrix argument, Ann. of Math., 61 A955), 474—523.
Гольдберг (Goldberg R. R.)
Ш Fourier Transforms, Cambridge Tracts in Math, and Math. Physics, No. 52,
Cambridge, 1965.
де Гусман fde Guzman M.)
fi I A covering lemma with applications to dilfereniiabllity ol measures and
singular integral operators, Stadia Math., XXXIV (i970), 299—317.
Зигель (Slegel С L.)
Ii I Ober Gltterpunkte in convexen Korpern und ein damit zusammenhangendes
Extremalproblem, Ada Math., 65 A935), 307—323.
Зигмунд (Zygmund A.)
[ij Trigonometric Series, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1968.
[Русский перевод: Зигмунд А., Тригонометрические ряды, М.. «Мир»,
1965.J
[2] On a theorem of Marcinkiewicz concerning Interpolation of operations,
Journal de Math., 35 A956), 223—248.
[3] On the boundary values of functions of several complex variables, Fund.
Math.* 36 A949), 207—235.
Игари (Igarl S.)
. lij Fourier analysis, notes to a course given at the University of Wisconsin,
1968.
Иессен, Маршшкевич, Зигмунд (JessenB., Marcinkiewicz J., Zygmund A.)
[11 Note on the differentiability of multiple integrals^ Fund. Math., 25 (i935),
'217—234.
Иосида (Yosida K-)
[i] Functional Analysis, Springer, Berlin, 1968. [Русский перевод: Иосида K.i
Функциональный анализ, М., «Мнр», 1967.]
Кальдерой (Calderdn А. Р.)
[1] Singular integrals, Bull. A. M. S., 72 A966), 427—465.
[2] intermediate spaces and interpolation, the complex method, Studla
Math., 24 A964), 113—190.
[3J Integrales Singulares у sus ApHcaclones a Ecuaciones Diferenclales. Hiper-
bolicas, Cursos у seminarios de Matematica, Unlversidad de Buenos Aires,
fasc. 3.
[4J On the behavior of harmonic functions at the boundary, Trans. A. M. S.,
68 A950), 47—54.
Кальдерон, Зигмунд (Calderon A. P., Zygmund A.)
[I] Note on the boundary values of functions of several complex variables,
Contributions to Fourier Analysis, Ann. of Math. Studies, No. 25, Prince-
Princeton University Press, 1950.
[2J On the theorem of Hausdorff-Young and Its extensions, Contributions
to Fourier Analysis, Ann. of Math. Studies, No. 25, Princeton University
Press, 1950.
[3] On the existence of certain singular integrals, Ada Math., 88 A952), 85—139.
[4] On singular integrals, Amer. J. Math., 18 A956), 289—309.
[5] Singular integral operators and differentia] equations, Amer. J. Math., 79
A959), 901—921.
Список литературы
823
[61 On higher gradients of harmonic functions, Stadia Math., 24 (i964), 211—
226. [Русский перевод; Зигмунд А. и Кальдерон А. П., О градиен-
градиентах высокого порядка гармонических функций, Новосибирск, 1963.]
Карлесон (Carleson L.)
[i] On the existence of boundary values of harmonic functions of several va-
variables, Ark. Mat., 4 A962), 393—399.
Картрайт (Cartwright M. L.) ,
[II On the relation between the dilferent types of Abel summation, Proc. Lon-
London Math. Soc., 31 A930), 81—96.
Келлог (Kellog O. D.)
[ij Foundations of Potential Theory, Ungar Publ. Co., New York, 1929.
Kexep (Koecher M.)
[1] Positivltatsberelche im Rm, Amer. J. Math., 79 A957), 575—597. "
КоЙАман, Вейс (Coifman R. R., Weiss G.)
lij Representations of compact groups and spherical harmonics, L'Ens. Math.,
14 A968), 121—173.
[2] On subharmoniclty inequalities Involving solutions of generalized Cauchy—
Riemann equations, Studla Math., 36 A970), 77—83.
Колмогоров A. H.
[1] Sur les fonctions harmonlques conjuguees et les series de Fourier, Fund,
Math., 7 A925), 23—28. .
Кораньи (Koranyl A.)
[1] Harmonic functions on Hermitian hyperbolic space, Trans. Amer. Math.
Soc., 135 A969), 507—516.
[2] The Poisson integral for generalized half planes and bounded symmetric
domains, Ann. of Math., 82 A965), 332—350.
Кораньи, Вольф (Koranyi A., Wolf J.)
[1] Realization of Hermitian symmetric spaces as generalized half planes,
Ann. of Math., 81 A965), 265—288.
Котлар (Cotlar M.)
[11 Condlclones de Continuldad de Operadores Potenclales у de Hilbert, Cursos
у seminarios de Matematica, Universidad de Buenos Aires, fasc. 2.
Крейн С. Г., Петунии Ю. И.
[ij Шкалы банаховых пространств, УМН, 21 [1966), 89—168.
Крейн С. Г., Семенов Е. М.
[1] Об одной шкале пространств, ДАН СССР. 138 A961), 763—766.
Крылов В. И.
[!]• О функциях, регулярных в полуплоскости, Машем, сб., н. с, 6 D8)
A939), 95—138.
Кюраи (Kfiran С.)
[I] On subharmonlclty of nonnegative functions, /, London Math. Soc., 40
A965), 41—46.
Лионо (Lions J. L.)
[1] Theoremes de traces et d'interpolation 1, 11, Ann. Scuoia Norm. Sup. Pisa,
13 A959), 389—403; 15 (i960), 317—831; 111, Л Math. Pares AppL,
42 A968), 195—203.
Лаонс, Петре (Lions J. L., Peetre J.)
[1] Sur иле classe "d'espaces d'interpolation, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ,
Math., 10 A964), 5—68,

324
Список литературы
Лоренц (Lorentz G. G.)
[Ц Some new functional spaces, Ann. of Math., 61 A950), 37—55. ¦
де Лю (de Leeuw K.)
[II On IP multipliers, Ann. of Math., 91 A965), 364—379.
Люмис (Loomis L.)
[Ц A note on Hubert's transform, Bull. Amer. Math. Soc, 52 A946), 1082—
1086.
Мадженес (Magenes E.)
[1J Spazi d'internolazione ed equazionl a derivate par2iali, Attl. Cong. Un.
Mat. ltal., Genoa, 1963, 134—197.
Мартнно (Martineau A.)
[II* Theory distribut., lnst. Gulbenkian cienc. Usboa A964), 193—326.
Марцинкевнч (Marcinkiewicz J.)
[lj Sur les multiplicateurs des series de Fourier, Studio Math., S A939), 78—91.
[21 Sur i'interpolation d'operations, С R. Acad. des Sciences, Paris, 208 A939),
1272—1273.
Марцннкевич, Зигмунд (Marcinkiewicz J., Zygmund A.)
[II On the summability of double Fourier series, Fund. Math., 32 A939), 112—
132.
Михлин С. Г.
[i] Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, Тр. 3-го
Всесоюзного математического съезда, т. 3, 1958, 125—129.
Нанмарк М. А.
[1] Нормированные кольца, М., «Наука», 1968.
Оклендер (Oaklander E. Т.)
[lj L q interpolators and the theorem of Marcinkiewicz, Bull, of the A. M. S.i
72 A966), 49—58.
[2J On interpolation on Banach spaces, Ph. D. thesis, University of Chicago,
1964.
О'Нейл, Вейс (O'Neil R., Weiss G.)
[lj The HUbert transform and rearrangement of functions, Studia Math., 23
A963), 189—198.
Планшерель, Пойа (Plancherel M., Polya G.)
[1] Fonctions entieres et integrales de Fourier multiples, Comm. Math. Helv.,
9 A937), 224—248.
Плеснер А. И.
[1J Uber die Verhalten analytischer Funktionen am Rande ihres Definitions-
bereiches, J. fur reins und angew. Math., 159 A927), 219—227.
Привалов И, И.
[II* Субгармонические функции, М.—Л., ОНТИ, 1937.
Пятецкий-Шапиро И. И.
[II Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, М.(
Физматгиз, 1961.
Радо (Rado Т.)
[1] Subharmonic Functions, Chelsea Publ. Co., New York, 1949.
Рисе (Riesz M.)
[I I Sur un theoreme de la moyenne et ses applications, Ada Sz.t I A923), 114—
126.
[2] Sur les maxima des formes bilineaireset sur les fonctionnelles lineaires,
Ada Math., 49 A926), 465—497.
Ройден (Royden H. L.)
[I] Real Analysis, Macmillan, New York, 1963.
Список литературы
325
Рокафеллар (Rockafetlar R. Т.)
[lj Convex Analysis, Princeton University Press, 1970. [Русский перевод:
Рокафеллар Р., Выпуклый анализ, М., «Мир», 1973.]
PoTxayG (Rothaus О. S.)
[Ц Domains of positivity, Abh. Math. Sem. Hamburg, 24A960), 189—235.
Рудин (Rudin W.)
[II Fourier Analysis on Groups, interscience Publ,, New York, 1962.
Сакс (Saks S.)
[1J Theory of the Integral, Hafner Publ. Co., New York, 1938. [Русский пере-
перевод: Сакс С, Теория интеграла, М., ИЛ, 1949.1
Салем, Зигмунд (Saiem R., Zygmund A,)
[II A convexity theorem, Proc. Nat. Acad. U. S. A., 34 A948), 443—447.
Соломенцев Е. Д.
[1]* О классах функций, субгармонических в полупространстве, Уч. записки
МГУ, 10 A958).
Стейн (Stein Е. М.)
[II Functions of exponential type, Ann. of Math., 65 A957), 582—592.
[2J Interpolation of linear operators, Trans. Amer. Math. Soc, 87 A958),
159—172.
[3] Singular Integrals and Dilferentiability Properties of Functions, Princeton
University Press, 1970.
[4] Localization and summability of multiple Fourier series, Ada Math., 100
A958), 93—147.
[5] On limits of sequences ol operators, Ann. of Math., 74 A961), 140—170.
[6] Note on the boundary values ol holomorphic functions, Ann. of Math.,
82 A965), 351—353.
[7] On certain exponential sums arising in multiple Fourier series, Ann. of
Math., 73 A961), 87-109.
Стейн, Вейс Г. (Stein E. M., Weiss G.)
[1] On the theory of harmonic functions of several variables, Ada Math., 103
A960), 26—62.
[2J An extension of a theorem of Marcinkiewicz and some of Its applications,
/. Math. Mech., 8 A959).
[31 On the interpolation of analytic families of operators on Hp spaces, Tohoku
Math. J., 9 A957), 318—339.
[41 Generalizations of the Cauchy-Riemann equations and representations of
the rotation group, Amer. J. Math., 90 A968), 153—196.
[51 Interpolation of operators with change of measures, Trans. Amer. Math.
Soc, 87 A958), 159—172.
Стейн, Вейс Г., Вейс М. (Stein E. M., Weiss G., Weiss M.)
. [II Нр classes of holomorphic functions In tube domains, Proc. Nat. Acad.
Set. U. S. A., 62 A964), 1035-1039.
Стейн, Вейс H. (Stein E. М„ Weiss N. J.)
[ i I On the convergence of Poisson integrals, Trans. A. M. S., 140 A969), 34—64.
Стеклов В. А.
[lj* Sur une methode nouvelle pour resoudre plusleurs problemes sur le deve-
loppement d'une fonction arbitrage en series infinies, Comptes rendus,
Paris, 144 A907), 1329-1332.
[2J* Sur les problemes de representation des fonctions a Palde de polyndmes,
du calcul approche des integrales definies, du developpement des fonctions
en series infinies suivant les polyn6mes et de Interpolation, considered
au point de vue des idees de Tchebycheif, Proc. Int. Math. Congress, Toronto,
August 11—16, 1924, vol. I, 631—640.

326
Список литературы
Стритер, Уайтмен (Streater R. F., Wightman A. S.)
[1] PCT, Spin and Statistics, and All That, Benjamin, New York, 1964, [Рус-
[Русский перевод: Стритер Р. Ф. и Вайтман А. С, РСТ, спин и статистика
и все такое, М., «Наука», 1966.1
Тамаркнн, Зигмунд (Tamarkin J. D., Zygmund AJ
. [II Proof of a theorem of Thorin, Bull. A. M. S., 50 A944), 279—282.
ТеЙблсон (Taibleson M. H.) ,
[lj Translation Invariant operators, duality, and Interpolation, II, J. Math.
Mech., 14 A965), 821—840.
Титчмарш (Tltchmarsh E. C.)
[II Additional note on conjugate functions, Л London Math. Soc., 4 A929),
204—206.
[2J Introduction to the Theory of Fourier integrals, Clarendon Press, Oxford,
1962. [Русский перевод: Титчмарш Ё., Введение в теорию интегралов
Фурье, М.—Л., Гостехиздат, 1948.1
Тории (Thorin G. О.)
[i] An extension of a convexity theorem due to M. Riesz, Kungt. Fysiogra-
fiska Saetlskapet i Lund Forhaendlinger, 8 A939), No. 14.
Феферман (Fefferman Ch.)
[i] The multiplier problem for the ball, Annals of Math. A97i).
Флеминг (Fleming W. H.)
[1J Functions of Several Variables, Addi son-Wesley, Reading, Massachusetts,
1986.
Хант (Hunt R. A.)
[1] On L (p, q) spaces, L'Ens. Math., 12 (i966), 249—275.
Хант, Уиден (Hunt R. A., Wheeden R. L.)
П] On the boundary values of harmonio functions, Trans. Amer. Math. Soc.,
132 A968), 307—322.
Хардя, Литтлвуд (Hardy G. H., Littlewood J. E.)
[i] A maxima! theorem with function-theorio applications, Ada Math,, 54
A930), 81—116.
Харди, Райт (Hardy G. H., Wright E. M.)
[1] An Introduction to the Theory of Numbers, 3rd edition, Oxford, 1966.
Хекке (Hecke E.)
11) Mathematische Werke, Gottlngen, 1959.
Хелгасои (Helgason S.)
[ij Differential Geometry and Symmetric Spaces, Academic Press, New York,
1962. [Русский перевод: Хелгасон С, Дифференциальная геометрия и
симметрические пространства, М., «Мир», 1964.J
Хёрмандер (Hormander L.)
[1] Estimates.ior translation invariant operators on Lp spaces, Ada Math*,
104 (i960), 93—139. [Русский перевод: Хёрмандер Л., Оценки для опера-
операторов, инвариантных относительно сдвига, М., ИЛ, 1962.)
[2] Linear Partial Differential Operators, Springer, Berlin, 1963. [Русский
перевод: Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с част-
частными производными, М., «Мир», 1965.1
Хилле, Филлипс (НШе Е., Phillips R. S.)
lij Functional Analysis and Semi-groups, Am. Math. Soc Coii. Publication
XXXI, Providence, 1957. [Русский перевод: Хилле Э., Филлипс Р. С,
Функциональный анализ и полугруппы, М„ ИЛ, 1962.)
Список литературы
827
Хиршмаи (Hirschman i. 1., Jr.")
[ij A convexity theorem for certain groups of transformations, J. d'Analyse
Math., 2 A953), 209—218.
Хорват (Horvath J.)
[II Sur les fonctlons conjuguees й plusieurs variables, fndag. Math., 15 A953),
17-29.
Xya (Hua L. КО
[11 Harmonic Analysis of Functions of Several Complex Variables in the Clas-
Classical Domains, Vol. 6, Translations of Math. Monographs, Am. Math. Soc.,
Providence, 1963. [Русский перевод: Хуа Ло-кен, Гармонический анализ
функций многих комплексных переменных в классический областях, М.,
ИЛ, 1959. Г
Хьюитт, Росс (Hewitt ?., Ross К. А.)
[1J Abstract Harmonic Analysis 1, Springer, Berlin, 1963 (готовится русский
перевод).
Чандрасекхаран, Мннакшисундаран (Chandrasekharan К., Mlnakshisundaran S.)
[1J Typical Means, Oxford University Press, 1952.
Шапиро (Shapiro V.)
[1) Fourier series in several variables, Bull. Amer. Math. Soc., 70 A964), 48—93.
Шварц (Schwartz L.)
[1] Theorle des Distributions, Hermann, Paris, 1957.
[2]* Transformation de Laplace des distributions, Medd. Lunds. Univ. Mat.
Sernin. (Supplementband), 1952, 196—206.
Эрдейи (Erdelyl A.) (director)
[1 J'Hlgher Transcendental Functions, Vols. I—III, Bateman Manuscript Project,
McGraw-Hill, New York, 1955. [Русский перевод: Эрдейи А., Высшие
трансцендентные функции, в 3 томах, М,, «Наука», 19/3. J
Эренпрейо (Ehrenpreis L.)
П| Fourier Analysis in Several Complex Variables, Wiley-Intersclence, New
York, 1970.

Предметный указатель
329
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля среднее 11
Бесселя функция 175
, представление Пауссона f74
Бохнера — Рисса суммирование 192
285
Вращение 153
Выпуклая оболочка множества 108
Гармоническая функция 48
Гармонически сопряженная функция
94
Гаусса — Вейерштрасса интеграл 17
ядро 14
Гаусса метод суммирования 12
— среднее i2
Гегенбауэра ультрасферический мно-
многочлен 169
Гильберта преобразование 149, 210,
243, 266
максимальное 244
Гильберта — Шмидта норма 262
Голоморфная функция 106
Граничная точка углового типа П4
Группа характеров 196
Дирихле задача 54
Дуальная норма 128
б-функцня Дирака 31
Интерполяционные теоремы 200
Контраградиентное отображение 194
Конус открытый, замкнутый, острый,
сопряженный И 7
— многоугольный 136
— самосопряженный-143
Коши — Римана обобщенная система
258
Коши ядро 119
Кратногармоническая функция 80
Критический показатель 192, 285
Кубическая максимальная функция 66
Кэли преобразование 145
й-й градиент 272
Лебегово множество функции 20
Лиувилля теорема 51
^-модуль непрерывности 18
/^¦функция медленного роста 30
Максимальная функция 65
Максимума принцип 50
Марцинкевича теорема 208
Меллина преобразование 197
Мера медленного роста 31
Метод интерполяции комплексный
236
Мультипликативная свертка 197
Мультипликатор 289
Область положительности 143
Обобщенная функция медленного
роста 30
в смысле главного значения
185
Однородная функция 157
Оператор типа (р, q) 202
Операторы множителей 289
Ортогональная группа, ассоциирован-
ассоциированная с р 196
Ортогональное преобразование 153
Открытый полиэдр 113
Отмеченная граница 84
Отражение 32, 34
Периодизация функции, оператора
280, 290
Периоды функции 274
Планшереля теорема 26
Поликруг 146
Положительно определенная функция
43
Поляра 128
Преобразования М. Рисса 250, 272,
295
Приближение единицы 61, 122
Принцип максимума 50
Пространство с безатомной мерой
225 ¦
— линейной интерполяции 235
— промежуточное 235
— L (р, q) 216
—IP слабое 219
Пуассона интеграл 17, 59, 285
повторный 80
— сопряженное ядро 147, 266
— формула суммирования 281
— ядро 14, 121, 144, 147, 162, 165
для единичного шара 54
' (р, q) -норма оператора 202
Радиальная функция 153
— часть функции 153
Растяжение 10
Римана — Лебега теорема 8, 279
Система М. Рисса 262
Слабая (р, (?)-норма оператора 208
Слабого типа (р, q) оператор 208
Сопряженные гармонические функции
258
Среднего значения свойство 53
Срез функции 202
Стеклова функция 65
Субадднтивный оператор 208
Субгармоническая функция 90
Сублинейный оператор 69, 220
Суженный предел^ 15
Сферические гармоники 157
¦ поверхностные 160
пространственные 160
Теорема М. Рисса о выпуклости 202
— о среднем 49
— о трех прямых 203, 231
Теоремы типа Фрагмена — Линделёфа
98. 125
Точка плотности 79
— сильной плотности 88
Трубчатая область 105
Условного слабого типа (г, р) опера-
оператор 222
Фундаментальная область 274
Функциональная норма 239
Функция распределения 70, 207
— экспоненциального типа 126, 129
Фурье — Стилтьеса коэффициенты ме-
меры 275
ф-среднее 12
Характер 195
Харди неравенство 220
Хаусдорфа—Юнга неравенство 201
Чебышева многочлены 198
Единичная решетка 274
Зигеля область второго рода 146
— обобщенная верхняя полуплос-
- кость 144
Зональная гармоника 163
Наименьшая гармоническая мажоран-
мажоранта 94
Невозрастающая перестановка функ-
функции 213
Некасательный предел 75, 83
Несуженнын предел П4
л-мерный тор 274
Свертка 8, 33
Световой конус будущего 143
Сдвиг 10, 34
Сильная максимальная функция 88
Симметрии принцип 57
Симметричное тело 128
Сингулярный интегральный оператор
с нечетным ядром 247
Шаровая максимальная функция 66
Эквивалентные нормы 128
Эллиптическая система 259
Юнга неравенство 201

Оглавление
331
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию 6
Из предисловия авторов 6
Глава 1. Преобразование Фурье 7
1. Основная ,/Лтеория преобразования Фурье 7
2. /Лтеория я теорема Планшереля 24
3. Класс обобщенных функций медленного роста 27
4. Дальнейшие результаты 41
Глава И. Граничные значения гармонических функций 48
1. Основные свойства гармонических функций * 48
2. Характеризация интегралов Пуассона 58
3. Максимальнее функции Харди — Литтлвуда я некасательная сходи-
сходимость гармонических функций 66
4. Субгармонические функции и мажорирование гармоническими функ-
функциями 89
5. Дальнейшие результаты . . . . 97
Глава III. Теория пространств Нр иад трубчатыми областями 104
1. Вводные замечания . . . 104
2. /^-теория 107
3. Трубчатые области над конусами 117
4. Теорема Пэли ~- Вииера 125
6. Я"-теория 132
6. Дальнейшие результаты . 139
Глава IV. Свойства симметрии преобразования Фурье 152
1. Разложение пространства L3 (Е2) на подпространства, инвариантные
относительно Преобразования Фурье 152
2. Сферические гармоники . 157
3. Действие преобразования Фурье на пространствах 6* 174
4. Некоторые применения _ 181
; 5. Дальнейшие результаты 194
Глава V. Интерполяция операторов 200
I, Теорема М. Рисса о выпуклости и интерполяция операторов, опре-
определенных иа пространствах V. 200
%. Интерполяционная теорема Марциикевича 207
3. Пространства L (p,q) 212
4. Интерполяция аналитических семейств операторов 230
5. Дальнейшие результаты 235
Глава VI. Сингулярные интегралы и системы сопряженных гармонических
функций . 248
1. Преобразование Гильберта . , . 248
2. Сингулярные интегральные операторы с нечетным ядром ..... 247
3. Сингулярные интегральные операторы с четным ядром 251
4. Пространства W сопряженных гармонических функций 256
5. Дальнейшие результаты 266
Глава VII. Кратные ряды Фурье 274
1. Элементарные свойства 274
2. Формула суммирования Пуассона 260
3. Преобразования множителей 287
4. Суммируемость ииже критического показателя (отрицательные ре-
результаты) i . ¦ 298
5. Суммируемость ниже критического показателя 307
6; Дальнейшие результаты 314
Список литературы 320
Предметный указатель 328