Задачи физико-механического практикума по газовой и волновой динамике - Козлов В.П., Сагомонян Е.А.

Author: Козлов В.П. Сагомонян Е.А.

Tags: математика механика физика задачи по физике

ISBN: 5-211-02886-4

Year: 1992

Similar

Text

. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕГСИТКТ *:тени М. и.ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
ЗАДАЧИ ФИЗИК0-МШНИЧЕСШГ0 ПРАКТИКУМА
ПО ГАЗОВОЙ И ВОЛНОВОЙ ДИНАМИКЕ
Издательство
Московского университета
1992

Авторы: Л.А.Голенева, С.В.1Увернюк, М.В.Джалалова,
В.П.Козлов, Э.В.Ленский, Е.А.Сагомонян, Ю.А.Сазоненко,
А.С.Удалов, Г.С.Ульянов, М.П.Фалунин, В.П.Шкадова
Рецензенты: профессор А.И.Еунимович,
доцент Б.В.Куксенко
3 15 Задачи физико-математического практикума по газовой и
волновой динамике: Учебное пособие / Под ред. В.П.Козлова,
Е.А.Сагомонян. М.: Изд-во М1У, 1993. - 160 с.
ISBN 5-211-02886-^1
Лабораторный практикум по газовой и волновой динамике
включает работы, выполняемые студентами третьего и четвертого
курсов. Студенты знакомятся с методами и техникой
исследования динамических задач в газах, жидкостях, твердых телах,
грунтах, а также задач аэрогидродинамики, приобретают навыки
в постановке и проведении эксперимента.
Сборник может быть полезен также преподавателям ВУЗов,
позволяет ознакомиться с феноменологией современной механики
в соединении с теоретическими подходами к ней.
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
ЕБК 22.2
077@2)-93-заказное (с) Московский государственный
ISBN 5-2II-02886-4 университет, 1993
ББК 22.2
3 15
УДК 516

РАЗДЕЛ I (для 3-го курса)
ЗАДАЧА i
ПРОДОЛЬНОЕ СОУДАРЕНИЕ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ
Целью работы является изучение процесса соударения двух
стержней и определение скорости упругой волны и деформации,
возникающей в стержнях при ударе.
I. Описание явления
Процесс распространения малых возмущений в изотропной
упругой среде в общем случае можно изучать, исследуя решения
уравнений Ляме для конкретных начальных и граничных условий [i].
Однако общая задача о распространении волн в ограниченном упругом
пространстве довольно сложна. Сен-Венаном разработана
приближенная теория продольных волн в длинных тонких стержнях. При этом в
качестве основного предположения принята гипотеза плоских
сечений, т.е. полагается, что любое плоское сечение, образованное
точками среды и перпендикулярное оси стержня, остается при
движении плоским и перпендикулярным оси, а напряжение во всех
точках такого сечения одинаково и меняется только со временем.
Принятые предположения позволяют рассматривать продольное движение
стержней в одномерной постановке.
Ц. Теоретическая часть
Рассмотрим соударение двух стержней с равной начальной
длиной 'о , изготовленных из одного и того же материала и имеющих
одинаковое начальное поперечное сечение So (рис.1).
Пусть не деформированный стержень 1 движется вдоль своей оси
со скоростью ио и в момент Z-0 касается соосного с ним
стержня // . Для изучения последующего процесса соударения введем
неподвижную ось ОХ с началом, совпадающим с левым торцом первого
стержня в момент t = О .
3

СТЕРЖЕНЬ I
СТЕРЖЕНЬ
А В
_Д>д<Т
I Г* А Т
Рис. 1
X
1L
В качестве лагранжевой координаты peoowotpHM начальную
координату сечения Щ-Х(О). Перемещение Ll = bL(%,i) можно
представить в виде
Ll(f,t)-*ff,t>- ?
Тогда скорость 27 и продольная относительная деформация ? в
данном сечении f соответственно равны
1У 9^
? =
9f
(i)
Зепишем уравнение движения (второй закон Ньютона) для
выделенного малого элемента AS (рис.1). ограниченного сечениями f и
B)
где § - начальная плотность материала стержней; О A, LJ -
напряжение в данном сечении {? .
Поделив B) на Л Ц и сделав предельный переход (Л %~*г_0 ),
приходим к уравнению
Материал стержней считаем линейно-упругим, т.е.
6Г= ? & > D)
C)

где Е - модуль Шга. Уравнения A), C), D) позволяют
написать замкнутую систему уравнений для определения охорости и
деформации:
'bt "° ъя E)
,-Ыщ' ™
где do "•
В начальный момент времени (t = О ) первый стержень
напряжен и имеет скорость ?Л , а второй стержень поковтоя, т.е.
при
i =0, 0* f < & ; ? = 0> 1?=г>ь;
F)
На свободных торцах стержне! во вес время движения
напряжение равно нулю, поэтому при ~t > О
?fO,i)=?Bto,t)=0. G)
В месте контакта стержней (?= Со) должны быть равны скорости
и напряжения, т.е. при ~t>0
е(Го, t)• еШ,t), '»(&.*)• *(?Л). .в,
Здесь знаки (-), (+) соответствуют значениям функции при
подходе слева и справа к точке f- Со.
Для решения системы E) приведем ее к характеристическому
виду ^2,3J. Для этого первое уравнение системы умножим на dt,
второе - на су ^ и сложим полученные равенства:
Левая часть данного уравнения является полным
дифференциалом ell? для любых ( eft у аЩ). Найдем характеристические на-
IX-I4I5
5

правления Jf-АЛ такие, вдоль которых и правая часть
полненного уравнения является полным дифференциалом. Легко видеть,
что таких направлений два Ы^Щ-ЮосИъ каждой точке фазовой
плоскости (f у ? ).
Таким образом, мы имеем уравнения характеристик и
соотношений на них:
Je^tCLoct-b , c/7?=?a<oJ?
(9)
Полученные соотношения позволяют решить поставленную условиями
F)-(8) граничную задачу.
V-V.
У,
КГ"
Рис. 2
Покажем это на примере определения решения в точке П
(рис.2). ЛинииММ ,МУг , ЩИ являются характеристиками.
Сначала определяем решение в граничной точке АЧ , затем в точке И .
Из условия (9) на характеристикеNni после интегрирования
и использования начальных условий F) в точке /у получаем и-
— - &о?+1л. Это уравнение выполняется в любой точке
характеристики и содержит два неизвестных. В точке , помимо
данного уравнения, должно быть выполнено граничное условие G),
т.е. в точке Л/i мы получили два уравнения для определения
скорости и деформации, откуда находим
Xf - tfoy ?=0. do)
e

Аналогично получаем:
на характеристике ЛЛ М " &= &о?+ 2%> ; A1)
на характеристике
постоянные интегрирования здесь определены полученным решением
в точке Ay A0) и начальники условиями F) в точке Mz (рис.2).
Из системы A1) находим решение в точке И V'-Vb/Zs ?=-J?b/(ZQ-$.
Данный метод решения позволяет определить значения скорости и
деформации в любой точке исследуемой области фазовой плоскости.
Найденные решения жриведены на рис.2. Область
OPOiG
разбит»
характеристиками А 6 ,BC,CS/hJD/4 на пять частей, в каждой и*
которых решение постоянно. Отметим, что момент времен*,
соответствующий прямой PQ фазовой плоскости, будет концом соударегаш,
поскольку в этот момент условия (8) не выполняются и проиеходагт
разлет стержней.
Проанализируем полученное решение (рис.2). В произвольном
сечении А<Л второго стержня поведение решения следующее. До
момента времени, соответствующего точке К\ (момент прихода волны
нагрузки), все параметры сохраняют свои начальные значения. Затем
скачком меняются и остаются постоянными до момента времени,
соответствующего точке /Са(момент прихода отраженной от свободного
торца волны разгрузки Си ). В момент прохождения волны разгрузки
параметры решения в данном сечевии снова скачком меняются, причем
деформация принимает нулевое значение. Данный анализ позволяет
сказать, что распространению возмущений в фазовой плоскости соот-
ветствуют характеристики. При этом величина do является
скоростью распространения возмущений но материальнш частицам сечений
стержня.
|П. Экспериментальная часть
Схема экспериментальной установки приведена на рис.3.
Плоско-параллельное движение стержней i обеспечивается их подвеской
на тягах Z . Заданная скорость соударения определяется высотой fv ,
с которой сбрасывается стержень t

mi i tl 11 I ii i i I i ! II i/1111 / /1, ////////////
Рис. 3
Эксперимент основан не определении поведения деформации в
фиксированном сечении второго стержня, в котором наклеивается
тензодатчик О . В момент касания стержней (t = О ) замыкается
цепь i запуска развертки осциллографа. На. вертикальную
развертку осциллографа подается сигнал из цепи 11 тензодатчика 3 .
Р&сстояние от середины тензодатчика до свободного торца второго
стержня известно и равно и .
В результате соударения на экране осциллографа наблюдается
сигнал (рис.4), который фиксируется на фотопленку.
На рис.4 точка А соот-
~1йе
\^J.
Рис. 4
ветствует времени
подхода волны нагрузки к
началу тензодатчика,
точка и - времени его
полного нагружения.
Точки С и Ю
соответствуют началу разгрузки и
полной разгрузке датчика
8

отраженной от свободного торца волной. При гтом за время / ,
соответствующее длине средней линии трапеции АиСа), волна
пробегает дваады расстояние Л - от середины датчика до
свободного правого торца второго стержня (рис.3). Поэтому
экспериментальное значение скорости распространения возмущений
определяется выражением
а =
SL
т
Высота трапеции J3U- зависит от изменения напряжения в цепи
тензодатчика. Изменение напряжения определяется изменением
сопротивления датчика в результате его деформации.
При линейном усилении сигнала можно считать связь между
скачком Sc и вызывающей этот скачок деформацией линейной, т.е.
?*к&
A2)
Тензометрический датчик 3 рис.3 изготовлен из константозой
проволоки диаметром 0,03 мм с измерительной базой в 10 мм.
Будучи наклеенным на металлический стержень, датчик воспринимает ого
деформацию. Дефорглация и изменение сопротивления датчика связаны
соотношением ~
ЛГСц
С S
-9
и
1
ПЗ)
«9-
где О - коэффициент тензочувствительности; /то - сопротивление
недеформированного датчика;Л й-g - изменение сопротивления
датчика в результате его деформации.
Для определения коэффициента пропорциональности 1С в
формуле A2) проводится тарировка. Зо время тарировки сопротивление
в цепи датчика меняется на известную величину путем включения
дополнительного сопротивления гст (рис.5).
Rr
^Г
а.
г. J
Рис. 5
9

При включении дополнительного тарировочного сопротивления
R.T сопротивлений меняется на величину
что приводит к скачку Ь С у луча осциллографа. Подставляя
изменение сопротивления A4) в формулу A3), определяем
соответствующую данному тарировочному изменению сопротивления деформацию
tT S(ds+flr)
и, учитывая, что СТ~'С-ЗС- , находите из A2) экспериментальное
значение деформации
?2.
?э = а
г $г.т
!Х . Порядок выполнения работы
1) В начале работы проводится включение и прогрев
осциллографа (согласно инструкции по его эксплуатации). В эксперименте
используются два луча. На один из них подается сигнал с датчика,
второй луч должен быть установлен на высоте тарировочного скачка
первого луча. Поэтому в начале работы проводится включение в цепь
датчика тарировочного сопротивления и на высоте подскока первого
луча устанавливается второй луч.
2) Осциллограф переводится в режим работы с ждущей
разверткой лучей и проверяется его автоматический запуск в момент
касания стержней.
3) Стержень 7 отводится назад, тем самым обеспечивается
заданная высота подъема.
4) Приводится в готовность фотоаппарат. Фотоаппарат
устанавливается на произвольную выдержку.
Ь) Работающий на осциллографе нажимает кнопку фотоаппарата
и подает команду на сброс стержня. Фиксация заканчивается после
удара.
10

0) Опыт повторяется для других высот подъема стержня.
V . требоиания к отчету
Отчет оазрмлястся и виде заполненной таолин^ обработ си
осциллограмм и проведенных экспериментов и сравнения
экспериментальных значений деформации и скорости звука с их теоретическими
значениями.
N
i
Z
1,
м
и/с
9.
ММ
Яг,
мм
?г
?э
?
Т,с
А,м
й-йс
При этом теоретическое значение деформации определяется
решением (рис.2).
VjL Упражнения
1) Определить значение деформации в полубесконечном стержне
при его ударе о жесткую преграду, если параметры материала
стержня Е , § известны и известна скорость соударения и о.
2) Определить коэффициент тензочувствительности о в
формуле A3) для датчика, представляющего собой цилиндрическую
проволоку длиной Со и радиусом Го с известными удельным
сопротивлением и коэффициентом Пуассона >) материала проволоки.
3) Определить, пользуясь найденным решением (рис.2), закон
движения произвольного сечения.
VII. Контрольные вопросы
1) Какие условия на контактной поверхности возникают при
соударении стержней из разных материалов?
2) Определить погрешность при определении скорости звука & ,
если считать, что погрешность измерения длины равна 1 мм, а по-
грешность определения времени 10 с.
11

U - 144,5 см; о ¦= 2,9 - коэффициент тензочувствителъноети;
RT= 3000000 0м; Я$ = 200'0м;
tpa>i= 200ИКС/СМ ; do = 5100 м/с - теоретическое.
ЛИТЕРАТУРА
i. Седов Л.И. Механика сплошной среда. Т.1,2. М.: Наука, 1970.
2. Рахматулжн Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных
кратковременных нагрузках. М.: Физматгиз, 1961.
3. Голъдсмит В. Удар. М.: Стройиздат, 1965.

ЗАДАЧА 2
СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕК/ДОСВ КЯИНА
Целью работы является определение связи между параметрами
набегавдего потока и параметрами потока, проходящего через косой
скачок, возникающий при обтекании тел сверхзвуковым потоком,
ознакомление с принципиальной схемой к устройством сверхзвуковой
аэродинамической трубы, определение параметров потока в рабочей
части трубы по параметрам торможения, а также графичеокое
(методом годографа) решение задачи об обтекании клина сверхзвуковые
потоком.
Т. Теоретическая чдсть
1. Если в горизонтальном потоке газа плотностью § и
скоростью V выделить трубку тока площадью поперечного сечения 6* ,
то энергия, переносимая газом массой /7t*§V6* через это сечение
за секунду складывается из кинетической энергии WlV /? ,
работы сил давления и внутренней энергии глЛ/ (\J -
внутренняя энергия единицы массы, потенциальная энергия сил тяжести
не учитывается). Полная энергия для единицы массы будет равна
( О - плотность):
VZ Р
t ' У + 1/+ -? A)
Ее
Уравнение состояния для газа запишется в виде
р=. $кТ B)
где &-Ср~м^ Ср t W_ теплоемкости газа при постоянном
давлении и постоянном объеме. Для воздуха ГС ^ 288,7 м2/с 'град.
Величина 1Л*Р/§-СрТ= t называется теплосодержанием. Учитывая
уравнение B)., получим
р Р e JL -?-
Здесь - показатель адиабаты, для воздуха /С =1,4.
Теперь энергию единичной массы газа запишем в виде
13

l*> г c-f § d')
При установившемся течении без вязкости и теплообмена поток
энергии вдоль трубки тока сохраняется, поэтому при переходе частицы
газа из состояния с параметрами Р] , §4 , yj в состояние с
параметрами Г? , §? , Vg? выполняется равенство
v± + _^?i=vi%j^a ЙЛЙ И+jc Р^с^а')
г *r-f ^ * +/c--f ^ ^ *н 3
Обратим внимание на следующее: если для движущейся частицы
газа со скоростью V ее параметры состояния есть давление г ,
плотность ^ и температура Т , то при адиабатическом (без
теплообмена с окружающей средой) торможении до V = 0 получим
параметры торможения частицы - давление торможениям о , плотность
торможения ^о и температуру торможения То , удовлетворяющие
уравнению состояния
p0=q0flTo B')
Соответствующие формулы для скорости распространения малых
возмущений или скорости звука будут иметь вид
a-^-V«f и»ках.<с|-сЛТ C)
Для теплосодержания справедливо равенство
D)
где L - теплосодержание частицы единичной массы газа,
движущейся со скоростью у , a Lo = Cp'0- теплосодержание
заторможенной частицы (теплосодержание торможения).
Из равенства D) видно, что при адиабатическом расширении
газа (например, при истечении из сосуда через любой насадок)
скорость расширения (истечения) максимальна при минимальном
теплосодержании, т.е. когда L - О,
14

lo = Vnax/Z . E)
В этом случае теплосодержание частицы газа переходит полностью
в ее кинетическую энергию.
Далее имеем
vz • ¦ г it т\. i-o-L _ vt
j= 6o"t= Cp(/o U, г - Z'L
ИЛИ
VT__yL i v*(cP-Cv) _ ic-±Hi
м хТ/л ~ZCpT *- ' *TflCp Z '
где rl^V/tl- число Маха.
Итак, __ -г- , ->
т ~ &
То = Y4-KJ м^ t
Если скорость потока (истечения) в некотором тлеете (сечении
канала) равна скорости звука в том же сечении, то такая скорость
называется критической. При этом Vxp~&/cp |^| = [ и формула F)
примет вид
То /Ticp - (к+О/г
или ч G)
Тьр = ZTo/(?+<)
Отсюда имеем f .— >
а0/а*ср-/То/Гср = vbc+0/z (8)
Для воздуха /С - 1,4; rt --29,27; # =9,81 м/с , поэтому
К этому можно добавить, что
... V,*** =г>гзао = '/<<>!)/То по
Это вытокает из -> . i /?
То-т Vй jew = iel^L
п,, T-O.V-V^, т.е.

М^:а<71
1 ССо &
2. Р&ссмотрим вопрос об обтекании клина сверхзвуковым
потоком газа.
Теоретическое рассмотрение
и опыт показывают, что при
натекании на клин с углом
при вершине ? о
сверхзвукового потока с числом Маха
M = V^/#"f> \ к кромке клина
_ присоединяется плоский косой
скачок (ударная волна) с
наклоном к направлению потока
под некоторым углом ? или
под углом ? по отношению
к поверхности клина. При
этом поток газа, проходя через косой скачок, поворачивается на
угол (Г и идет параллельно поверхности клина [ ij .
Законы сохранения массы, энергии, а также теорема об
изменении количества движения позволяют рассчитать все параметры об
изменении количества движения потока за скачком, если известны
параметры до скачка и угол клина. Обратимся к рис.2.
Пусть однородный сверхзвуковой поток со скоростью VI
натекает на плоский косой скачок ?- t , поворачивается на угол о и
течет за окачком со скоростью VZ . . .
Скм* / УМ > VI*, Vni, Ш- сос-
?>' тавляющие скоростей Vf и ]/Z
по нормали к скачку и вдоль
него; Pi , %\ , И -
параметры состояния газе до скачка;
Дг,§гЛя- те же параметры
состояния газа после скачка.
За единицу времени
материальная частица, занимавшаял
объем с баковым сечениемг
займет с боковым сечением
ОкЪ'О' • Так как перетекание
Рис. 2
16

чср-о плоскость скачка -ложвт происходить только за счет
нормальной составляющем скорости, то уравнение неразрывности н
рассматриваемся/ случае иглист вид
4iVm = 4z4M '•">
На основании теоремы об изменении количества движения для нап-
ра;гле1,тий вдоль скачка и перпендикулярно к нему имеет,*
Р< +- ^ Vn< = ft+ <?z W* . пз)
Полная онврляя частицы до скачка и«после него ог^накотп,
поэтому уравнение A ) примет нид
Если учесть, что v/CL-i\ , йлт^Р/?, получите следующие
соотношения мевду соотавляицими скоростей и углами, указанными на рис.1
Vni'Vi**?' Vu- %«*p <I6,
Ич уравнения A2) с учетом равенства (il) имеем
а из схемк на рис.2
tt//z = evif/cost {l8)
Путем ряда преобразование можно получить следующие
выражения (см
утем ряда
?-1415
17

ЦЕ/Щ-
си
г
(Mi
iirSc
( Л
¦h
+•
}0±
\\№?-счЧЕ*
?= S" + P
B1)
B2;
B3)
Если известны параметры перед скачком rv , §y , П/ и угол
клина 5" (или fit), то выражения A9)-B2) дают возможность
определить параметры потока за скачком и угол наклона скачка.
!!. Графическое решение задачи
Учитывая, что Vi1xvfc? , можно картину скоростей перед и за
скачком стационарного потока газа, текущего вдоль оси#«Я?и
набегающего на клин с углом полураствора 6~ , представить так, как
указано на рис.3.
Здесь по-прежнему индекс 1
соответствует параметрам потока
до скачка, индекс 2 -
параметрам потока после скачка, О -
угол поворота потока, <5 -
угол наклона скачка к
направлению потока. Итак:
озт и owt^vti ,m=vm,
точка С расположена пвВА ,
OC=Va,BC=Vnz,Uz,Vi. -
проекции скорости Vz^ на оси
Q0C и ОЦ соответственно.
Рис. 3
18

Поставим себе целью найти уравнение, связывающее
составляющие LLz , Vz с параметрами потока до скачка, например в виде
Уз уравнений A1) и (C) получасл
или о учетом подобия треугольников ОВА и ЮСА
PlL-Pl*- <ZfYi(Vi-Uz) B4)
Уравнение энергии A4) может быть записано в виде
Pi
.Л- Ei . i \/} _ с #l
но из (9)
поэтому
аналогично
Кроме того, из указанного подобия треугольников и условия
В самом деле, на основании подобия треугольников УОп и^п
B5)
2G)
L9

Иодста&ляя значения У< , r%, f ^f и fy \\л \-,Ъ)~.".*?, в {<У\)Ч no-
лучитл уравнение n mr<{ f(lAz?tfl j Vl,V*:p)-0, ламьк с связь глек-
ду составлял» :."гп ';когюоти ?^? и '% за "к^чкогл и еодержаикч ч
виде параметра скорость поток*-. Vi ж, ре;: екзчког/. Значения
величин Vcp и С , отражающих состав газа и его начал}пут
температуру торможения, можно считать заданными. Разрешая что уравнение
относительно 2^ , получитл
ч9,г /./ ,/Лг tlz-V?/Vi
При определенных значениях К~ и пСрдля каждого значения
скорости VI в плоскости голографа ( LL , ТУ ) зависимость \':с)
представляет собой кривую второго порошка, определяющую
геометрическое место точек концов вектора VZ • ^-та симметричная
относительно оси OIL кривая называется строфоидой или угарно!:
полярной. Откладываем на оси 0^ отрезки 08-Vcp/V4 ,OA=Vi ,
t)E=<ZV4/(&l). На отрезках строим .лзе окружности.
Если из произвольной точки F окружности S)^t провести
прямую FS) , то она пересечет малую окружность в точке, Н . Ony -
тя перпендикуляр г С и проводя прямую АН , найдем точку
пересечения и , которая и будет концом вектора Vz . п ОС -а ВС
составляющими'^-^ к */?. . Аналогично на хоолтеп то им !,'..'V!.
Докажем это. Из построения рис.4 выти тает С h*=JuCCE и
С В/СА= CQ/CFum C3* = #1г- C&1/CF1 = ?/»г- С?>/С?>
т?А= Vt-На, С&~ OC-D® - ??- //ср/^ ,
20

поэтому
cbz~(v<-oc)
> ос - v*?/Vi
Vtp№+M№<)-oc
B8')
Т,*290к
Vt*G09% (H-40)
S-ЧО"
0,0,
Рис. 4
Если , то B8у) совпадает с B8). При
перемещении точки F вдоль полуокружности Ю г Е- точка в
опишет верхнюю половину ударной прляры 1-2-3-4 ... Ударная
поляра пересекает осъО^ в точках & и А , причем точка оО со-
тствует минимальной скорости , соответствующей
отве
скорости потока, проходящего через прямой скачок уплотнения без
изменения направления скорости. Точка А • является двойной, для
нее Vz-Vj, т.е. скачок отсутствует. Участки кривой, лежащие
между Li - Vi и асимптотой соответствуют
^2>\/f , физического смысла они не имеют.
Для практических вычислений часто бывает удобнее
пользоваться не скоростью V , а числом - скорость звука).
В этом случае удобнее пользоваться для графического
представления уравнением B8), если вее ее члены разделить на (La :
M4I5
21

iii
Mi
t?i
ал
Вид рис,4 при этом не изменится, а соответствующие отрезки могут
быть выражены через числа М : отрезок О А представляет собой
число Ml , отрезок 03 в том же масштабе представляет собой
Hldz/CLi , а отрезки & А и &и выражают собой Mft-f и
Ми1'Л2/2^. 3Десъ (Х< и (лЦ - скорости звука до скачка и за ним.
Отношение этих скоростей можно определить по отрезкам &А и
G б , пользуясь уравнением A4), которое при делении на &<
нимает вид
при-
где учтено, что
Заменяя Мл< и М>Ъ? отрезками , получим
?6'
или
Отношение плотностей при переходе через скачок равно
а отношение давлений
CLi
&.FАЧВ%1Щ.%
22

1!L . Описание экспериментальной установки
Получение сверхзвуковой скорости осуществляется в
аэродинамической трубе А-8, принципиальная схема которой изображена на
рис.5.
Сжатый воздух из газгольдеров практически без теплообмена
(вследствие кратковременности процесса), т.е. адиабатически
расширяется и через систещ трубопровода и задвижек поступает в
фотокамеру, коробку сверхзвуковых сопловых вставок и рабочую часть.
В рабочей части происходит взаимодействие потока воздуха с
обтекаемой моделью. Силовое воздействие потока на модель
воспринимается весами (механическими или тензометрическими). Картина
обтекания может наблюдаться с использованием различных методов
визуализации (теневой метод, метод сажемаслянового покрытия, метод
нитей и т.д.). Для использования оптического метода с
применением прибора ИАБ-451 в стенках рабочей части монтируются оптически
однородные стекла. Спектры обтекания могут наблюдаться на матовом
стекле, фотографироваться или сниматься на киноленту.
[У . Порядок выполнения и оформления задачи
1) Совместно с оператором подготовить аэродинамическую
трубу к экспериментальной работе и провести эксперимент: поставить
модель клина в рабочую часть аэродинамической трубы, закрыть все
двери и люки контура трубы, подготовить прибор ИАБ-451,
установить фотокамеру АФА или матовое стекло, открыть задвижку Лудло,
при помощи быстродействующей задвижки выйти на заданный режим,
снять отсчеты печатающим механизмом, сфотографировать спектр
обтекания.
2) Пользуясь данными протокола печатающего механизма,
величиной давления и температурой атмосферы и описанием задачи,
построить ударную поляру и составить таблицу параметров
сверхзвукового обтекания клина.
Таблица заполняется в следующей последовательности:
D) снимаются показания барометра Рб и термометров в помещении
~Ь\/Ъ и наружи ЬН , определяется атмосферное давление*';
Заиление во всех случая? . лжно вкрасться i одних v тех

1 - коглпрессор, ? - газгольдеры, 3 - запорная задвижка Лудло, Н - быстродействующая
задвижка, 5 - форкамера, 6 - сопло лава ля, i- - рабочая часть» 8 - диффузор,
.9 - выхлопной участок
Рис. 5
Принципиальная схема аэродинамической трубы А-8

E)
F)
B) г о определяется по показаниям измерителя полного давления;
C) То f H + 273 град."К";
D) §0 определяется по формуле B);
(Хо определяется по формуле C) или (9);
Ytcp определяется по формуле (9);
Ру определяется по показаниям измерителя статического
давления;
(8) Ml определяется по таблицам как функция отношения Po/rj ;
(9) §<f, OLi определяется но таблицам при полученном значении VI
(Ю) \/<- М*'&*
(II) VzjfyHty определяется по ударной поляре;
Т°Ч &Я onPe?ejweTCH по Ударной поляре;
A2)
A3) ?& определяется по спектру обтекания;
A4) д? = *<?** . 100 °/0
A5) У определяется по спектру (угол между линией Маха за
скачком и поверхностью клина);
A6) MZC = 4/&<>{> AM- Мге~М^ . 100 %
ТАБЛИЦА
ДАННЫХ ДЛЯ ВШОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ: Pft =
th, -= град. С, Ратм =
tH = град. С
мм рт.ст.,
кГ/см2,
Ро , кГ/см2
То . град "К"
S . кГс2-м-4
Л<7, м/с
Vcp. м/с
Pf , кГ/см2
&»., id; Л
5* = 5°
гГ=ю°
5" =15°
25

(X <9 м/с
м<
\М, м/с
щ% м/с
м^
tu. град.
?с\ град.
*<f. %%
f , град.
Hit
аНЪ-Ж.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. С.297-306.
2. Ферри А. Аэроданамика сверхзвуковых течений. М.-Л.: ГИТТЛ,
Госиздат технико-теоретической литературы, 1952. С.52-63.
3. Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я., Бунимович А.И., Зверев И.Н.
Газовая динамика. М.: Высшая школа, 1965. С.318-326.
л. Зауэр Р. Введение в газовую динамику. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.
C.1I5-I20.

ЗАДАЧА 3
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БРУСА
Целью работы является определение собственных частот и нп-
малъных форм изгибных колебаний стержней, э также определена -
модуля продольной упругости методом колебаний.
I • Описание явления
Нормальные формы и собственные частоты
изгибных колебаний бруса
Механическая система с одной степенью свободы, выведенная
из состояния равновесия и освобожденная затем от действия
внешних сил, может совершать свободные гармонические колебания с
определенной частотой, называемой собственной частотой.
Примером M0I7T служить колебания математического маятника,
колебания груза, подвешенного на пружине малой массы и имеющего
возможность перемещаться только в вертикальном направлении,
крутильные колебания тонкого стержня с массой на конце и т.д.
В последних двух примерах пружина и стержень ввиду их малой
массы играют роль только восстанавливающих усилий, упругих
связей; возникающими в них инерционными усилиями можно ^р -обрегать
по сравнению с силой инерции груза.
В теоретической механике показано, что механичи h .-я
система с 1Ъ степенями свободы имеет ft* собственных частот,
соответствующих /t- видам нормальных колебаний, так что перемещение
каждой точки системы при свободных колебаниях представляется в
виде геометрической суммы перемещений, которые получила бы точк?:
при каждом из нормальных колебаний. При одном только нормальном
колебании каждая точка системы совершает гармоническое
колебание. Таким образом, нормальным колебанием материальных точек тг>
зывается такое свободное движение, при котором каждая точка со
вершает простое гармоническое колебание, причем частоты
колебаний всех точек одинаковы и все точки колеблются в одной фазе.
Упругое тело, рассматриваемое как материальный континуум,
имеет бесчисленное множество степеней свободы: каждая точка v:\
27

бесчисленного множества материальных точек имеет три степочи
свободы, а взаимодействие ее с другими точками образует упругие
связи. Поэтому упругое тело обладает бесчисленным множеством
собственных частот, соответствующих бесчисленному множеству
нормальных колебаний. Вектор перемещения .точек упругого тела при каком-
то УЬ -ом нормальном колебании Огь представляется,
следовательно, таким образом:
где &Оа - постоянная, определящая собственную частоту. Из
этого выражения для On, видно, что форма тела при нормальном
колебании изменяется во времени подобно самой себе. Произвольное
свободное колебание можно представить в виде суммы нормальных
колебаний:
Возможность представления сложных движений упругого тела
при свободных колебаниях в виде результата наложения нормальных
колебаний соответствует возможности разложения #ункции в
тригонометрический ряд (теорема Фурье).
Если на упругое тело действует периодическая внешняя
нагрузка с частотой, равной одной из собственных частот тела, то
имеет место резонанс - амплитуда колебаний тела при етсутствии
диссипативных сил будет возрастать теоретически д© бесконечности,
Хотя практически всегда имеются диссипативные силы (внешние и
внутренние), препятствующие безграничному возрастанию амплитуды,
явление резонанса может привести к возникновению недопустимо
больших напряжений и к разрушению, особенно в случаж резонанса
на одной из низших собственных частот. В другжх случаях,
наоборот, пользуются явлением резонанса для раскачки тел. Отсюда
ясно, почему важно определение собственных частот и
соответствующих им нормальных форм колебаний унругих тел.
28

И• Теоретикеекал часть
Изгибные колебания бруса
Примем при рассмотрении поперечных колебаний балки за
основу гипотезу плоских сечений. При этом, материальные частицы,
которые в недеформированном состоянии находились в плоскости
ортогонального сечения балки, переходят в результате деформации
в плоскость, ортогональную серединному волокну, дяина которого
не меняется (это волокно называется нейтральным).
W х »,fc , \///////1Ча\
*ъ
Рис. Г
На рис.Т Ufa)- перерезкзоющая сил--; ' \\№J - изгибающий
момент; у(%)- внешняя сила, приходящаяся -ч единицу длины.
Для равновесия бгиит необходимо ввести вместо мысленно
отброшенной част/ б-лки f;i/".Г ,ч) некоторую силу d
(перерезывающая сила). Кроме силм U в сечении действует изгибающий
момент М (ри/.1,б), обусловленный растягиванием внешних
волокон /\ Ь и сжатием внутренних - А"&' • В силу гипотезы
плоских сечений распределение деформаций по толщине балки имеет
вид

где Цо - лагранжева координата рассматриваемого волокна,
значение Qc - О соответствует нейтральному волокну; AL -
радиус кривизны нейтрального волокна.
Считая материал балки линейно-упругим ( ), находим
интегрированием по площади поперечного сечения результирующий
момент
М - t S/? , B)
где tz - модуль Юнга материала балки; - момент
инерции сечения балки относительно оси, ортогональной плоскости
движения и проходящей через нейтральное волокно.
Величина Ь J называется жесткостью балки.
Для равновесия выделенного элемента балки длиной и X
должны быть выполнены условия равенства нулю главного вектора
сил и моментов:
сЯа-^лОЛг, C)
Пусть *4(&) - уравнение нейтрального волокна. Для малых
прогибов U не 1/R, • Тогда из C) и B) получим уравнение
равновесия балки
В случае свободного движения балки внешними силами
являются силы инерции. В этом случае j/=J//r^Jt)t т.е. прогиб,
является функцией времени, а (при
свободных колебаниях согласно принципу Даламбера внешнюю
распределенную нагрузку fifCCj it) следует заменить силами инерции). С учетом
этого из D) получаем уравнение свободных колебаний балки
гм 111. + о % ^1 - О
где О О" ялощадь сечения.
30

Если балка совершает нормальное изгибное колебание, то
каждая точка его оси колеблется гармонически, причем частоты
колебаний всех точек одинаковы и колебания совершаются в одной фазе,
поэтому для обнаружения собственных частот и нормальных форм
колебаний ищем частное решение уравнения E) в виде
у(*. к) = eicotY(*)
F)
где
Y(*)
- функция, характеризующая форму собственных колебаний
(вид изогнутой оси), СО - частота колебаний.
Подстановка F) в E) приводит к обыкновенному
дифференциальному уравнению
i*~a>*§So/(?W . ™
Общим решением этого уравнения является функция
Если балка безгранична по длине и имеет опор, то ничего
другого о нормальных колебаниях сказать нельзя: никаких
ограничений на частоту колебаний U) не налагается, а нормальная
форма колебаний ограничена только видом (8) при неопределенных
коэффициентах Cj ,Cz , Сз , C'h . Следовательно, для такого
бруса (балки) любая частота может быть собственной, иначе
говоря безграничный брус имеет непрерывный спектр собственных частот.
В брусе конечной длины имеются определенные граничные
условия (условия закрепления), которые ограничивают произвол
постоянных СY , С ^» Сз , Сч ; для этих величин получаются из
граничных условий линейные однородные алгебраические уравнения,
которые содержат в коэффициентах величину fb , связанную с
частотой (V • Из условия наличия нетривиальных решений этой
системы уравнений (иначе \\\\ о каких колебаниях говорить нельзя) полу-
ii

чается уравившге, вообще говоря транцендентное, для со ,
называемое уравнением частот. Таким образом, наличие границ делает
спектр собственйых частот дискретным.
Так как из системы однородных уравнений, в коэффициенты
которой лбдставляются корни уравнения частот, определяются
только отн^нцбния искомых постоянных, например Са/Сч , Cz/Сч,
Сд/С^г-ЧО форма нормального колебания определяется с точностью
до постсшниого множителя. Это соответствует тому, что форма
изогнутой оси npfti нормальном колебании изменяется во времени
подобно самой себе, причем амплитуда колебаний остается
неопределенной.
При разных способах закрепления концов получаются
различные уравнения частот и различные формы нормальных колебаний.
Рассмотримслучай, когда балка свободна на одном конце и
жестко заделана на другом.
Пусть конец балки СС^О жестко заделан, а конец Х-^
свободен. В заделке прогиб и наклон касательной к изогнутой оси
балки равны нулю, т.е.
#т-чл?\х.в-0.
(9)
На другом конце балки равны нулю й»лк^гюищй момент и
перерезывающая сила, т.е.
по)
Если на свободный торец поместить груз массы fTV , то первое
условие в A0) заменится уравнением движения груза массы ПЬ '•
да9^?)
в второе - сохранится, роли пренебречь инерцией вращения груза.
32

Граничные условия (У) и (J0) позволяют получить для
определения постоянных С4 , Cz » Сз »?у систему однородных
уравнений
C,ci(ilkCzd(kl)- C5m(lL)-C4itn(iQ={ol)
которая имеет нетривиальное решение только в случае равенства
нулю ее определителя. Условие равенства нулю определителя и
приводит к уравнению частот:
пио^Жаи,) cm (Щ - eb (lL)ri«- (&Ц
-РЕЗ[1+оА>(И)в*(Щ]-о.
При отсутствии груза (УУЬ-О) уравнение A2) имеет вид
сА(Щсоь(Щ+ 1=0. . аз)
Каждому действительному корню этого уравнения &*' Aj
соответствует значение собственной частоты колебаний. Корнями
уравнения A3) являются
Принимая во внимание обозначение (*><), для собственных
частот колебаний получаем
A4)
3-1315 33
A2)

где ЛЛ = ЕУ/($$о)
Из системы уравнений (IJ) для каждого значения PLrbL
можно определить отношение СА/Сч,
(сл ikikbD + ton-ibbL)
\ сч)«Г ~ c?(lnL)+coi(&JL) '
так что форма нормальных колебаний определяется с точностью до
постоянного множителя А П :
-mF^)]-[cA(LL)+cos(U)][^x>'
При каждом нормальном колебании имеется некоторое число
точек оси, которые остаются неподвижными. Эти точки называются
узлами колебаний. Те точки между узлами, в которых амплитуда
колебаний максимальна, называются цучнортями. Узел отличается от
точки защемления бруса тем, что помещение в узле шарнирной опоры
не приведет к возникновению опорной реакции. Поэтому, если
положение узлов какой-либо конструкции известно, то удобно точки
опоры располагать в узлах: инерционные усилия в этом случае не
будут передаваться основанию. V / Л п
Положение узлов определяется из уравнения ХяД^/'ь/, т#е.
из уравнения
[iA,(hL)+m(kl)][ck(Lx)~M(L4-
'[ck(LL)+ m(LL)][M^)-^(^)_
-о.
A5)
Вид изогнутой оси (нормальная форма) для первых трех нормальных
колебаний показан схематически на рис.2.
При колебаниях с собственной частотой СО-( неподвижной ос-
34

тоется только точка закрепления (рис.1,а). При колебаниях с
частотой ^Z имеется один узел (рис. 1,6). При колебаниях с
частотой ^3 появятся две узловых точки (рис.2,в). Подсчеты
показывают (см., например, [2]), что положения узлов определяются
следующими числами, дающими отношение расстояния узла от свободного
конца балки к ллине балки.
Порядковый номер
нормального колебания
I
П
III
П
Положения узлов колебаний
1-й 2-й 3-й
0.6439
0.226
0.132
0.094
-
0.499
0.356
'/'•У, \/, /7
'777У
' 'П. 111II i
Рис. 2
По наличию этих узловых точек можно в опытах судить о том,
что брус совершает одно из нормальных колебаний.
lib Экспериментальная часть
I. Описание экспериментальной установки
Балка 1 длины L> (рис.3) закреплена вертикально одним
концом в массивной подставке 2 . На другом конце балки может
быть закреплен груз 3 массой ПЪ . В некотором сечении балки на-
35

клеен постоянный магнит Ч . При поперечных колебаниях бал кг
магнит индуцирует ток в индуктивном датчике 5 , расположенном
на штативе 6 . Электрический ток из цепи датчика, возит'ка'тий
в результате индукции, подается на вход осциллографа. Основной
измеряемой величиной является период собственных колебаний.
Вблизи защемленного конца расположим электромагнит X , после чего
изменением частоты задающего генератора стандартных частот 8
добиваются совпадения одной из собственных частот колебаний
стержня. О наступлении резонанса судят по появлению четко выраженных
узлов колебаний и по максимальному возрастанию амплитуды. Форма
нормальных колебаний (число узлов) указывает на порядковый номер
собственной частоты.
Расстояния узлов от концов стержня измеряются линейкой.
НА/3 лед,
ОСЦИЛЛОГРАФА
' V / / /
± 1йК з
\
з_^Щр^
к

о~ о
/ / , s / / / /',>///>—/ / /77
Рис. 3
2. Определение модулей упругости по опытам на колебания
Для практических целей является существенно важными опыты
по определению собственных частот и форм нормальных колебаний
конструкций или их элементов, теоретические расчеты, для которых
бывают сложными.
Поскольку теория изгибных колебаний проверена на многих
опытах и является надежной, опыты по изгибным колебаниям
стержней могут служить также для другой важной цели - для определения
механических характеристик материалов.
36

Е- -177ГМ*
Механические характеристики (модули упругости, предел
упругости и т.п.) зависят в той или иной мере от скорости
деформаций. В опытах на колебания, регулируя частоту вынуждающей
силы и амплитуду колебаний, можно в довольно широких пределах
изменять скорость деформации.
В формулы для определения собственных частот колебаний
входят модули упругости материала. В этих формулах собственные
частоты можно считать известными, поскольку они определены из
опытов, а искомыми величинами считать значения модулей упругости
при соответствущей скорости деформации. Например, в случае из-
гибных колебаний по формуле fck) находим
u>zs &o^
Если здесь вместо &0 писать измеренную в опыте собственную
частоту сОгь , а вместо JzLj - соответствующее значение корня
уравнения частот, то для значения модуля продольной упругости
при этой частоте получим
th-~' УСиьУ (i6)
Для большинства металлов изменение модуля продольной упругости
очень слабо зависит от скорости деформации, так что из опытов
на колебания получают обычно значения Е , близкие к тем,
которые определяются в статических испытаниях.
3. Порядок выполнения работы
1) Измерить продольный и поперечный размеры испытуемого
стержня.
2) Включить генератор и осциллограф.
3) Добиться совпадения вынувденной частоты с одной из
частот собственных колебаний.
4) Снять показания осциллографа.
5) Определяются периоды и частоты собственных колебаний.
Зх-Ш5 37

1У. Обработка и анализ результатов
В протокол задачи включается:
1) Зкспериментальные значения собственных частот колебаний.
2) Теоретические значения собственных частот колебаний,
полученные по формулам A4)
3) Построенные формы нормальных колебаний.
4) Вычисленные по данным опытов значения модуля продольной
упругости по формуле (Т6) Егь для кавдой из частот и средние
значения, а также результаты сравнения с табличным значением.
Результаты расчетов представить в таблицах:
Е,Гпа.
о кг
L,H
/г,м
J" ц
«*f
tAJf&p
ы\
| I | ЛИТЕРАТУРА
1. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.:
Наука, 1979. С.207-213.
2. Рэлей. Теория звука. T.I.
3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1973.
С.391-400.

ЗАДАЧА 4
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ПРЫЖКА
Целью работы является ознакомление с экспериментальной и
теоретической методикой исследования закономерностей
распространения и отражения сильных разрывов в сплошной среде на примере
наиболее наглядного и относительно просто описываемого
локализованного переходного явления - гидравлического прыжка в
открытом водоеме.
I. Описание явления
1. Для описания движения одной и той же материальной среды
могут использоваться математические модели различного уровня
детализации в зависимости от того, насколько существенно то или
иное свойство данной материальной среды проявляется в конкретном
ее движении. Существует множество практических задач, когда
некоторое из свойств материальной среда, например вязкость,
проявляется лишь в малой локализованной зоне, а всюду вне этой зоны
движение является более простым и хорошо описывается при помощи
упрощенной модели (не учитывающей отмеченное свойство). В таких
случаях часто оказывается не обязательно (да и нецелесообразно)
применять усложненную модель, пригодную дяя описания
непрерывного движения венеду, в том числе и в указанных локальных зонах.
Вместо этого можно ограничиться рассмотрением упрощенной модели,
заменяя локальные переходные зоны более сложного взаимодействия
поверхностями разрьша решений системы уравнений, отвечающих
упрощенной модели. Поверхности, на которых искомые функции
непрерывны, но разрывны только некоторые их производные по координатам и
времени, называются слабыми разрывами. Поверхности, при переходе
через которые терпят разрыв сами искомые функции, называются
поверхностями сильного разрыва. В качестве примера сильных
разрывов в газообразных, жидких и твердых средах отметим такие, как
скачки уплотнения перед быстролетящими телами, взрывные ударные
и детонационные волны, гидравлические прыжки в открытом водоеме,
сейсмические удэрнке волны в грунтах.
2. Течение тяжелой жидкости, например воды п открытых
копалах, иногда сопровождается: возникновение* скачкообразного
понизь-

шения уровня свободной поверхности. Данное явление можно
наблюдать в природе и в лабораторных условиях. Внешне это выглядит
как достаточно крутая ступенька на поверхности воды, она
называется гидравлическим прыжком или бором. В природе таким
гидравлическим прыжком являются, например, океанические волны пунами,
которые возникают в результате обширных, на протяжении сотен
километров, подвижек дна океана, вызванных, например,
землетрясением, или паводковые и разливные волны, образующиеся в
результате разрушения дамбы или плотины.
Ц • Теоретическая часть
1. Прямолинейный гидравлический прыжок, распространяющийся
в покоящуюся воду на гладком горизонтальном дне
Р = Р»
о-х
Р-Ра
—v
Рис. I. Гидравлический прыжок
Переходная зона ( - "ступенька" уровня воды на рис.Г)
движется горизонтально слева направо с постоянной скоростью ?>*
по покоящейся воде глубины ъо , вызывая общий подъем уровня
воды на величину Лгь = п<- 1ъ0 и приводя весь слой жидкости в
левом полупространстве в состояние поступательного
горизонтального движения с постоянной скоростью Vl .
Внутри переходной зоны образуются сложные волновые
структуры, происходят пространственные турбулентные дзижешш и диссша-
тивные процессы перемешипания жидкости, зачастую с участием
пузырьков воздуха. Моделирование здесь осложнено необходимостью
учета многих тонких свойств, присущих реальной жидкости. Однако
всюду вне переходной зоны течение достаточно простое и енрпъел-
40

лив гидростатический закон распределения давления по глубине:
Р = Р&+ QQ(n'0~?o)~ С11Рава от переходной зоны,
р ^fa+ <Pg(A<-Zo)- слева от переходной зоны.
Здесь Ра ~ атмосферное давление над свободной поверхностью;
^ - плотность воды; Q - ускорение свободного падения в поле
сил тяжести; %q - вертикальная координата с началом на
горизонтальном дне водоема.
При математическом описании гидравлического прыжка, как
сильного разрыва, будем всюду в дальнейшем пренебрегать
протяженностью переходной зоны и трением о дно водоема (рис.2,а). Для
получения условий на разрыве перейдем к подвижной инерциальной
системе координат, связанной с фронтом гидравлического прыжка.
Относительно новой (сопутствующей) системы координат обращенное
движение жидкости будет установившимся и мы получим ситуацию,
показанную на рис.2,б. Здесь
x..X-tV., z.-X, ?>,-(#
z=o
= и+
1г*
к
1.1
>
• ГйГ_
— ъ,
aXw
p.(i) ^
у
(-_
[
•*
Ш
| А,
Рис. 2
Б системе координат ОС , ЗГ на рис.2,а состояние
жидкости по обе стороны разрыва характеризуется четырьмя
параметрами: А± , У+. . Однако они не могут быть произвольными, а
должны удовлетворять соотношениям совместности на разрыве, которые
41

вытекают из общих интегральных законов сохранения для жидких
частиц, пересекающих поверхность разрыва ( W< О , У_ < О ):
Вывод этих соотношений достаточно прост и основан на
следующих соображениях. Пусть L, - линейный поперечный размер
рассматриваемого слоя жидкости в направлении перпендикуляра к
плоскости рисунка, например, ширина канала.
За время A t- из правого полупространства через
неподвижный фронт гидравлического прыжка (справа налево) пройдет масса
жидкости Апг+. ~ - V^./, A + §Z\ ? . За это же время в левую от
фронта прыжка область поступит масса ^/?t_ =- \LLrV — §^ •
Поскольку движение установившееся, то для поддержания баланса
расхода в слое жидкости необходимо потребовать равенства AAW^-"
~ Длг-вД/т?» которое сводится к соотношению (I).
Итак, за время А Ь жидкий объем массы Д №> полностью
перемещается из правого в левое полупространство, проходя через
фронт гидравлического прыжка. При этом изменение количества
движения Q данной массы жидкости составит
а импульс JL внешних сил в горизонтальном направлении (см.
рис.2,б) за время Д t равен
L о о
С учетом гидростатического распределения для давления P(ZJ
Р±B)«Ра + §я(Л±-2),
и после упрощений имеем
42

Следовательно, уравнение изменения количества движения Л Q.-I
(в проекции на продольное горизонтальное направление) приводит
к выражению
-A«(\/--V0=f (C-C)Lut,
из которого с учетом выписанных выше представлений для &ПЪ f
получаем соотношение B).
Условия A)-B) на скачке являются следствием законов
сохранения массы и изменения импульса частиц, пересекающих фронт
гидравлического прыжка.
Что касается закона сохранения энергии, то он в данном
случае не дает дополнительного соотношения между у± , f^± на
скачке, поскольку полная энергия частицы не может быть выражена
только в терминах V и rv . Учитывая изменение кинетической
энергии, работу_сил тяжести и сил давления можно лишь подсчитать
рассеивание А Ь ^ О механической энергии-жидкой частицы,
пересекающей гидравлический прыжок:
Отсюда с учетом A)-B), выражения для г + и после некоторых
преобразований получаем энергическое соотношение на
гидравлическом прыжке в виде
Следовательно, в гидравлическом прыжке неизбежны потери
механической энергии (на турбулизацию, нагрев, образование
коротковолновых шлейфов и т.п.). Причем физически ясное условиеаЕ^О
исключает существование гидравлических прыжков понижения уровня,
поскольку из C) получается
(Ь+-1-)-\/± >(9
D)
43

Теперь запишем соотношения на скачке для случая
распространения гидравлического прыжка в покоящуюся воду. Для этого надо
перейти к неподвижной системе координат Хо , '3L& (см.рис.2):
Vo-W + S)^. V<=V-+?< E)
Поскольку законы механики не меняются при переходе к любой инер-
циальной системе координат, то можно просто подставить выражения
E) в условия совместности на скачке A)-D). В результате
получатся следующие условия на фронте гидравлического прыжка,
распространяющегося со скоростью dOi в покоящуюся воду глубины уьо
(рис.2,а).
й
Таким образом, при заданной начальной глубине ^О три
неизвестных величины гм , SOi t Vi не могут быть произвольными,
а должны подчиняться связи F) на скачке. Соотношения F) мы
получили, исходя из общих интегральных законов механики, минуя
рассмотрение деталей структуры переходной зоны в гидравлическом
прыжке.
Интенсивность разрыва характеризуется относительной высотой
ступени Lj ~(п4— Яо)/по. Используя безразмерную величину L \ ,
нетрудно из системы F) получить следущее представление для \/у ,
Vk = #у 7777 '
44

Видно, что при любых Lj > О скорость распространения
гидравлического прыжка SO'f больше, чем предельная величина Со •
?0= ^ ^аМ-{Жо ¦ (8)
Таким образом, скорость распространения бесконечно слабых
гидравлических прыжков ( Li—> О ) на мелкой воде определяется
формулой Со - ^Qfio .
2. Отражение гидравлического прыжка от вертикальной стенки
Пусть ?*к - момент времени прихода фронта первого
гидравлического прыяка к отражающей вертикальной стенке. Картина
движения при i:<il^< , ?-1*. и t>~L+r показана на рис.3.
/,
t<i.
\
f —>|
V 1
ъ
По к о J
1
По
Г
у
1/
1 \
Л'
у
/ 1'
t- i,
-* 1
%
>
llQKOdl
1
\
1
i>t>
Рис. 3. Отражение гидравлического прыжка
от вертикальной стенки
Падающий гидравлический прыжок движется с постоянной
скоростью Ю] по покоящемуся слою воды, ограниченному жесткой
вертикальной стенкой. Отраженный гидравлический прыжок движется
со скоростью Ю?, (относительно стенки) навстречу набегающему
на стенку слою жидкости с параметрами yj , гъА , оставляя
за собой состояние покоя Уд,- 0 » rll> ni •
45

Для получения соотношений на фронте отраженного
гидравлического прыжка перейдем, как и раньше, к сопутствующей системе
координат, связанной с фронтом отраженного разрыва (рис.2,б), и
воспользуемся соотношениями A)-B), в которых следует положить
V+~V,-&, V-.-Sfc, А+-А,, А--Ял.
В результате, после очевидных преобразований, получим искомые
соотношения в виде
Соотношения F) и (9) дают полное решение задачи отражения:
зная начальную глубину слоя по и скорость падающей волны//-/,
находим из F) величины \Л , h\ , а затем из (9) находим
значения Я)%, и П?. Если в (9) вместо nz ввести интенсивность
отраженного разрыва Lz, = (nz~ hi)/ Ръ4 , то получим
Отсюда
i*.' l/f CM*) ,
где
z>,-
V<
(TO)
Видно, что уравнение A0) имеет единственный корень, который
46

лежит в интервале {?? L'4>^M'fJ. Конкретное значение Щ^М*)
можно найти методом итераций:
Hi* Экспешменталъная часть
I. Описание экспериментальной установки ГАУТ
Установка предназначена для демонстрации и исследования
распространения длинных волн в открытом водоеме и их взаимодействия
с различными преградами. Название ГАУТ представляет собой
аббревиатуру слов "гидравлический аналог ударной трубы". Общая схема
устройства ГАУТ показана на рис.4,а. Установка состоит из
горизонтального прямоугольного металлического лотка "/ размером
150x75x7 см , в дно которого вмонтирован микроманометрический
датчик давления 2, ; пружинного механизма 4 , обеспечивающего
резкий подъем поперечной непроницаемой перегородки 3 ;
электронного блока У обработки и регистрации сигналов от датчика
давления Z .
Установка работает следующим образом. Лоток разделяется на
два несообщающихся отсека перегородкой 3 и заполняется водой
так, чтобы в отсеках образовывался разный уровень воды. Затем
рычагом Ь пружинный механизм Ч приводится в действие, в
результате чего перегородка 3 почти мгновенно убирается,
имитируя разрушение плотины. Из-за различия первоначальных уровней
воды слева и справа от перегородки жидкость приходит в движение:
в одну сторону распространяется пологая волна понижения уровня,
в другую - прямолинейный гидравлический прыжок с постоянными
параметрами за фронтом (аналог плоской ударной волны в
газодинамической ударной трубе). Датчике измеряет во времени
нестационарное давление в жидкости на дне лотка. В областях, где
справедлив гидростатический закон распределения давления по глубине
жидкости, показания датчика ирямопропорциональны текущему значению
глубины тЬ в данной точке в данный момент времени.
47

2. Измерительная система ГАУТ. Тарировка датчика
Принципиальная схема измерительной системы показана на
рис.5.
г
* — /- *
Рис.5. Схема измерения глубины слоя воды
К
в лотке ГАУТ:
•Y - слой воды на горизонтальном дне, /2 - дно лотка, 3 - над-
мембранная полость датчика, Ч - герметичная мембрана (поршень),
5 - упругая консоль, 6 - прозрачный кристалл (фосфид галлия),
У - источник света, 8 - фотодиод, 9 - усилитель
электрического сигнала от фотодиода, 40 - шлейфовый осциллограф, 4i -
фотобумага
К
слоя воды в лотке
В зависимости от изменения глубины
изменяется нагружение упругой консоли 5 и оптического
кристалла 6 , который изменяет свою прозрачность9*' и
соответственно изменяется световой поток на фотодиод 8 . В результате
образуется переменный (пропорциональный rb ) электрический
сигнал, который после усиления в блоке 9 регистрируется осцилло-
' Здесь дается упрощенная трактовка принципа работы
высокочувствительного прибора, основанного на использовании пьезооп-
тического эффекта.
4-I4I5
49

графом 40 на фотобумаге И . Изменение глубины воды в .лотке
на величину Д А вызывает отклонения лучл осциллографа на
величину аКж К Дп. b рабочем диапазоне глубин в лоткё0^А?0,О5л/
указанная связь близка к линейной: К-С0л*?(дА) .
Коэффициент пропорциональности К называется тарировоч-
ным коэффициентом. В общем случае он зависит от температуры в
помещении и от других факторов, поэтому при подготовке к
каждому эксперименту необходимо определять соответствующий тарировоч-
ный коэффищгент-. С этой целью проводится статическая тарировка
датчика следующим образом. Над входом в надоембранную полость
датчика устанавливаем цилиндрическую трубку диаметра cL (рис.6)
и регистрируем на осциллограф начальный сигнал по ,
соответствующий некоторому начальному уровню воды в трубке. Затем при
помощи дозатора внутрь трубки вводим заданный объем воды V/ ,
что вызовет подъем уровня воды в трубке на величину Д Л-f-^W:
l(ldy. Соответственно этому луч осциллографа займет новое
положение ril • Затем вводим в трубку следующую порцию воды.
Полученный уровеньДД?-?ДА/ регистрируем на осциллографе; и т.д.
В реаулътатецподучаем тарировочную зависимость в виде точек
( Ann, Ann.) на плоскости, где по осям отложены: фактический
подъем урошя воды над датчиком А гЪ и соответстмюоюе е$лу
отклонение Д ri луча осциллографа DЛп=/гД^/,Дд!лвПл-Ао, „
Уь>0). Эту зависимость следует аппроксимировать прямой А Я~
= КДА,(например, по методу наименьших квадратов), в результате
чего будет найден тарировочный коэффициент К •
3. Порядок проведения эксперимента
1) Включить измерительную систему.
2) Провести тарировку датчика.
3) Заполнить водой правый отсек лотка (с датчиком) до
уровня А~ Ал ( fin ~ 5*10 мм), левый - до уровня п- Лл ( Ад -
15*30 мм>. - р ,
Начальные уровни Ал , &п определяются
электромеханическим измерителем глубины, содержащим винтовой..зонд ^- Срис.4,6)
со счетчиком оборотов t 9 к индикатор скачка проводимости ере- '
ды иежду острием винта и корпусом лотка (регистрируем мбмейты
50

•ссания зондом поверхности воды и дна лотка).
4) Привести в действие подъемный механизм, няилюдать рэспро-
страшгшийся вправо от перегородки гидравлический прыжок, затем
отрояйлше Cijro прыжка" от правого борта лотка (скорость "ступень-
ют" составляет 40*50 см/с),
5) Выключить измерительную систему и обработать-
осциллограмму рассматриваемого процесса.
Осциллограмма процесса имеет вид, показанный на рпс.€.
( ~t - время, гш фотобумаге имеется соответствующая врдмеидая
сетка).
гА-Л^-ДП/
1 ifM*'
4Ь
(
/ __ -
1
• J.tl
/
г*"» I
;
1х
1
<
L~~^
Рис. 6
При t < to (до снятия перегородки) имеем базошл сигнал ho f
соответствующий начальное уровню воды по-п,п ц лотке
справа. При t = to нэ>отот сигнал накладываются вибрации лотка от
срабатывания пружинного механизма подъема перегородки. '? момент
? = t.1 гидравлический прыжок добтигг^т точки вхощз в надмемб-
ранную полость датчика^ при ?/< t<ti сигнал Дп=&п,<
соответствует повышенному уровню воды &h{~ п<- погъ первой
ступенькой. В момент Ъ^Ъх, к точке входа в надмембранную полост)
датчика приходит отраженный от правого борта лотка второй
гидра влияеекий пшжок (отраженная ступенька), при1 СИГ-
нал Лги = Лп& , соответствует повышенному уровню воды Arlzr
= Az-n,o между правым бортом лотка и фронтом отраженного
гидравлического прыжка, распространяющегося влево. Последующее при
?> t-З понижение уровня воды соответствует приходу волны по</~
Ы

жения уровня, которая пришла к входу в датчик, отразившись от
левого борта лотка. Далее начинается сложный затухающи волновой
процесс постепенного выравнивания общего уровня воды в лотке.
Для анализа полученных результатов потребуется знать
расстояние Ci от створа "плотины" до входа в датчик и расстояние (,&
от входа в датчик до отраженной вертикальной стенки. Эти
величины, а также d , \f\/ , Лл , fin измеряются непосредственно, а
остальные - при помощи осциллограммы.
[V. Обработка и анализ результатов
1) Построить тарировочный график, определить тарировочный
коэффициент К, . On
2) Пользуясь осциллограммой определить величины ArU,Afiz,
&U sti-to, Atz=tz~ti.
3) Найти экспериментальные значения высоты уровня и
скорости перемещения фррнта в падающем и отраженном гидравлическом
прыжках ( п,о=Пп ): ^
9 - I 4- Д^ 9 - / 4- А ^
ГЫЪ -ГЪО^ -J7— > Л,*Э ~ По Т ~j?
?>te~ TTj > 2)г* =
Ati
4
'*~*U-t/S)o Att-%Atl
Определить также экспериментальные значения интенсивностеи
падающей и отраженной волн:
Составить таблицу экспериментальных результатов:
К
кс
к
1Э
к
ЯЭ
2Ь
5)гэ
Мэ
L23
52

4) Принимая Lj~ If3 , вычислить по соотношениям G) на
скачке теоретические значения (Со-УШо , fii-ki^ ):
м'= If' Ml'o' с<-^=Со)/7л7. (Ш
Определить погрешность (?4 = (®/-3)/э)/#/ - /~ 7^" Мо •
5) Найти приближенное решение j?v ~ ^(М ^уравнения A0),
вычислить по соотношениям F) теоретические значения
интенсивности и скорости отраженного разрыва:
-/|7. ?г =
6) Определить погрешности
V<
Vf ^
^ =
2>г-2># . Ail^ii- i+4-b*lb»
&
<5\ =
L
1+LZ.
Составить итоговую таблицу данных теоретического решения задачи:
Со
с<
3I
v<
2),
L
?<
?ъ
V . Отражение боре от наклонной стенки
I. Если линия фронта падающей ударной волны составляет
некоторый угол оС> 0 с отражаодей стейкой, то при определенных
условиях реализуется так называемое регулярное отражение:
возникает отраженная волна с прямолинейным фронтом, начинающимся
от места пересечения фронта падающей волны со стенкой. Вполне
аналогичное явление наблюдается на мелкой воде. На рис.7
показано регулярное отрзжение бора от вертикальной стенки:
4х-1415 53

Рис. 7
сС и р - углы падения и
отражения; -
скорости падающего и отраженного
фронтов, состояния @) и D)
точно такие же, как при
распространении прямолинейного
бора в покоящуюся воду; по
известному постоянному потоку
(i) за падающим бором
распространяется косой бор,
оставляя за собой постоянный поток,
движущийся вдоль, стенки со
скоростью §Jo/MnoL9
Последний случай можно исследовать теоретически на основе соотношений
динамической совместности на фронтах разрывов в падающей и
отраженной волнах. d \iР х
Если падающая волна является слабой( {гы-гъо)/ Ко ^ 1) f
то ее отражение согласуется с законом геометрической акустики,
т.е. оба фронта образуют со стенкой одинаковые углы и
независимо от величины угла падения &, . Однако,
если падающая волна сильная и угол ее падения не слишком мал,
может создаться положение, когда регулярное отражение невозможно и
реализуется сложная ветвящаяся нестационарная система разрывов.
Этот случай взывается маховским отражением (по имени Э.Маха,
впервые описавшего подобные отражения). На рис.8 показана тройная
конфигурация ударных волн, возникающая при маховском отражении.
Теоретическое описание этого явления затруднено. Отраженный
разрыв ответвляется от падающего в точке
% , которая движется не параллельно
стенке, а удаляется от нее под
некоторым углом. Точка разветвления %
связана со стенкой перпендикулярным
"маховским фронтом", вызывающим
течение среды вдоль стенки,
Рис. 8
54

2. Лабораторная работа
Провести тарировку датчика глубины. Заполнить лоток водой
до глубины п> оо , установить перегородку и отражающую стенку
под углом оС к перегородке на расстоянии ~ 6 см от
датчика глубины; понизить уровень воды в отсеке, содержащем датчик
до глубины &0 ; привести в действие подъемное устройство.
Визуально и по полученной осциллограмме определить характер
отражения возникающего бора. (Писать наблюдаемое явление и
объяснить поведение кривой на осциллограмме. В случае регулярного
отражения составить таблицу результатов измерений:
поо
по
kolkoo
L
Пл
fii-Яо
ко
ко
VI • Дифракщя бора на ребре излома отраженной стенки
1. Отражение ударных волн от стенок, содержащх точки и
линии разрыва наклона образующей, обладает рядом особенностей.
При описании течения среды за фронтом отраженной волны
выделяют зоны дифракции и зоны отражения. Зоной дифракции называется
область течения "занятая" возмущениями, идущими от точек излома
отражающей границы.
На рис.9 показана волновая
картина взаимодействия плоской
ударной волны с клином: область
(О) - невозмущенное состояние
среды; (\ ) - постоянное течение за
падающим разрывом; (Z) - зона
отражения; C) - зона дифракции;
S - криволинейный участок
отраженного фронта, пунктиром
показана граищв слабых возмущений,
идущих от вершины клина по зоне
отражения (?).
Рис. 9
55

В общем нелинейном случае положение дифрагированного
фронта заранее неизвестно, однако в том случае, когда падающая
волна является слабой, так что течение в целом описывается
линеаризованными уравнениями движения, положение разрывов можно
определить независимо от возникающего течения.
Аналогом отражения плоской ударной волны в газе от жесткой
границы в виде двугранного угла раствора /2^ @<? ft <7f)
является отражение прямолинейного бора на мелкой воде от
соответствующей вертикальной стенки. При JF> f!>>3r/fl имеем отражение
от стенок клина, при 0<jS^JyZ - от стенок клиновидной
воронки, при fi^JT/iZ, - от прямолинейной стенки.
Можно показать, что в областях, куда еще не достигли
возмущения от концов щек двугранного угла, течение является
автомодельным и в вершине угла параметры среды не зависят от времени.
Если падающая волна слабая ( то течение
описывается волновым уравнением
ли--!- Ш
где
h-L
с°'№°. н-f^x .
Фронты волн представляют собой отрезки прямых и окружностей,
движущихся с постоянной скоростью Со .В этом случае можно
построить в явном виде автомодельное решение задачи отражения от
безграничного двугранного угла при всех О <^ 6 ^ J/ . В
частности, в вершине угла получается
причем в тех случаях, когда отношение Л ' Р является целым,
это значение распространяется на всю зону дифракции. Например,
при 6 -JT/Ц в окрестности вершины возникает расширяющаяся с
течением времени зона покоя, характеризующаяся глубиной
56

2. Лабораторная работа
Провести тарировку датчика глубины. Заполнить лоток водой
до глубины Н,оо , установить перегородку. Расположить
отражающий уголок раствора ?,? симметрично к перегородке так, чтобы
датчик глубины находился вблизи вершины уголка. Понизить уровень
в отсеке, содержащем модель, до глубины гъо . Привести в
действие подъмное устройство. Ориентируясь по непосредственным
визуальным наблюдениям и по ос1$*ллограмме, охарактеризовать волно-*
вую картину вокруг уголка в различные моменты времени. По
осциллограмме определить /ъо , rioo , а также глубину гъ*. воды
в вершине угла на первом этапе отражения к когда эта величина
сохраняет постоянное значение) и время t о прохождения бором
расстояния Хо от створа перегородки до вершины уголка.
Составить таблицу результатов:
7i
f>
koo
ко
и
ho
koo
hot-fro
\l$ko
t
64
hx-&o
h*-ho
{(hoo-fa) F4) Ла
где
y+Vy+j*'
6-
ЛИТЕРАТУРА
Xo
toTffii
1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. 4.1. М.: Наука, 1973.
2. Стокер Дж. Волны на воде. М.: ИЛ, 1959.
3. Лайтхилл Дж. Волны в жидкости. М.: Мир, 1981.
4. Гилинский М.М., Лебедев М.Г., Якубов И.Р. Моделирование
течений газа с ударными волнами. М.: Машиностроение, 1984.
57

РАЗДЕЛ П (для 4-го курса)
ЗАДАЧА i
ВОЛНЫ РАЗГРУЗКИ В ГИБКИХ РАСТЯЖИМЫХ НИТЯХ
Целыб работы является изучение волн в гибкой растяжимой
нити и одним из методов определения уравнения состояния нити при
динамической разгрузке.
I- Теоретическая часть
В современной технике широко используются всевозможные
механизмы, одним из элементов которых является гибкая связь,
которую можно моделировать идеальным одномерным объектом - гибкой
нитью.
Пусть отрезок гибкой растяжимой нити, длина которого в
нерастянутом состоянии равна О , закреплен в точках А и 6
(рис.1). При этом расстояние между точками закрепления в
точности равно ? . В начальный момент времени нить натянута
закреплением некоторой точки С
Рис. 1
'- Г)
J О

Начальная деформация отрезков нити ВС *АС
ется формулами
r _ JBfl-lfiCol r' \t\C\-\ACo
Со' Id n I > Со~
ЬСо
А Со
опредсля-
A)
где Со - положение точки L в нерастянутой нити.
Будем считать, что разгрузка нити осуществляется по
линейному закону ( Т - натяжение, Tfl - начальное натяжение)
Т-То-Е-(?-?*)
Е
B)
с неизвестным заранее модулем ^
Мгновенное снятие связи в точке С имеет ударный
характер, и обусловленное им движение можно рассматривать как косой'
удар разгрузки. Теория ударных волн в йити подробно изложена в
работах [ 1,2 J . Здесь приводятся сведения, необходимые для
теоретического решения поставленной задачи. Для этого введем лаг-
ранжеву координату о - длина нити в нерастянутом состоянии.
Точка отсчета длины дуги нити произвольна, условимся производить
отсчет от точки С , т.е. в точке C~S = 0. Цусть Г -радиус-
вектор произвольной точки нити, *\У - скорость нити, Т -
единичный вектор касательной к нити, <5 - длина нити в текущем
состоянии (рис.2).
?
-Tvr?k ^_-
/Пд
lT*Te|
^* _
X
Рис. 2
jv

Из определения скорости 1У , вектора кисатплыгои Т и
деформации & , т.е.
следует кинематическое уравнение движения нити
is ~ it lu C"J J
D)
На выделенный элемент MN нити, если пренебречь
сопротивлением воздуха и действием сил тяжести, действуют силы натяжения
(рис.2). Пусть [р - изначальная линейная плотность нити.
Тогда в силу второго закона Ньютона
?г>-_
?<Tsff-T^s,t)-T(s,t)
откуда непосредственно следует динамическое уравнение движения
нити
ф VI = TL E)
J it ?s
Проведем анализ полученных уравнений, вводя следующие
обозначения:
а
г < j , /;<с Т
¦-14?. е-
9 J? !Pfl*?)
Уравнения B,4,5) легко приводятся к виду
60

При плоском движении нити уравнения F) в проекции на
касательную и нормаль преобразуются к системе скалярных уравнений
( 7?= USU+vfC , уь - нормаль к нити):
-ж 7^9?_^2? G)
Уравнения (?) удобны для приведения к характеристическому
виду. Из первого и третьего уравнений системы следует, что вдоль
характеристических направлений dS^tCLaT выполняются
условия
JbL-Vj9=±Clc]?,
(8)
из второго и четвертого уравнении получим, что вдоль
направлений a S>-t Oat выполняются условия
Полученные характеристические соотношения показывают, что
система G) гиперболическая с двумя типами волн:
а) продольные волны с лагранжевой скоростью
б) поперечные волны с лагранжевой скоростью
I= У?Щ)
-61

Ото позволяет сказать, что задачу можно рассматривать как
автсмоделънУ*) до момента времени прихода продольной волну от
точки С до места закрепления нити в точку А (или б )
(рис.1), поскольку до этого времени задача не имеет
характерного линейного размера.
Введем переменную ?- 5/t. , от которой должны зависеть
искомые функции. При этом^ - т -jfe * ^г - - 4? - -^ .
Условимся обозначать обыкновенные производные J /кя штрихом. Тогда
система G) сводится к однородной системе обыкновенных
дифференциальных уравнений
A0)
. Оонрродаад система, имеет Нетривиальное решение, если ее
определитель равен нулю, т.е. в данном случае, если % - ± OL
или % ~ - о . При всех остальных значениях % система имеет
лишь тривиальное решение U ^= X? * 0 — ?' - О. Отметим, что
в плоскости ( S > ? ) лучи X — ± Л ,?=- и соответствуют
фронтам продольных и поперечных ъолн, идущих из точки
начального возмущения (точка С )' (рис.3).
"^5
<*
@>)
\
\
i
0)
.'i
(а)
/
/
(о)
S
>>
Рис. 3
62

Лучи делят плоскость ( & , "? ) на пять областей, две из
которых ( 0 ) и ( 0 } соответствуют начальным значениям пора-
метров (области пока ), области ( \ ) и ( У ) чисто продольному
движению, а область (B) продольно-поперечному движению нити.
Все искомые функции постоянны в каадой из областей, что
фгзически соответствует движению нити в виде звеньев изменятеейся.
длины. Элемент каадого звена имеет постоянную скорость, угол
наклона касательной Xj и деформацию ? . Разделяются обллотт"
фронтами волн сильного разрыва. Поскольку дифференциальные урчч-
нения в условиях осуществления волн сильного разрыва
неприменимы, для дальнейшего построения решения мы должны
воспользовался условиями на сильных разрывах.
Для произвольного фронта сильного разрыва с законом
движения 3 = 5 (?) его абсолютная скорость в неподвижной системе
координат ( X , Ц ) равна
Введем операцию скачка / j J* J^Jl » гле *i n J 2. .-_?Сотнет-
ственно значения функции до и после скачка. Поскольку [ЗУ] =0 ,
получим кинематические условия на фронте сильного разрыва
[tf]=-|>^yfjs. (И)
Применяя теорему об изменении количеств движения к
элементу нити, который за время Д U переходи? с одног стороны
разрыва не другую (рис.4), получим выражение
•|Ts*t(^-^)-(T,-Tt)At..-
из которого следуют динамические условия н.ч сильном разрыве
нити
Pstfi-F*].
СГ)
64

Совместное рассмотрение полученных
соотношений A1), A2) приводит к
следующим выводам. В нити возможны два типа
волн сильного разрыва:
а) продольные волны со скоростью
Рис. 4
Р[е]
на фронтах которых выполняются условия совместности
Oho, [еН,М = + а*М;. «з>
б) поперечные волны со скоростью
с условиями совместности
[е]-о, [Щ = +Н^?)[?] ¦ (м)
Отметим, что при линейной зависимости
№
а- <x*=\/f/(P .
Рассмотрим симметричный случай ( Со р Со ) нагружения
нити. В силу симметрии движения в области ( ? ) должны быть
выполнены условия Начальные условия
9-U0, 6=?о . Поскольку на поперечном фронте деформация
непрерывна, обозначим 6]-?^'€ . Условия совместности A3), A4)
с учетом того, что
дают нетривиальные уравнения
64

для определения функций их1 , ^ifl , ^У2 , & . Теоретически
система замкнута, если известен модуль t в уравнении
состояния B).
Решение системы A5) легко сводится к нахождению деформации
из уравнения
— 1
при дополнительном условии ? ^ t*o (разгрузка).
В силу геометрии натяжения нити COt>Oo -//(/+ Е-6), поэтов
tQ^OoUOlSRO ИСКЛЮЧИТЬ
][ . Экспериментальная часть
1. Описание установки
Экспериментальная установка (рис.5) состоит из неподвижных
горизонтальных балок л , по которш перемещаются вертикальные
стойни f2 • По вертикальным стойкам двигаются кронштейны 4 с
зажимами 3 крепления нити Л . В качестве нити используется
резиновый жгут, окрашенный через равные промежутки (для темной
резины в качестве красителя можно использовать мел), длина
каждого одинаково окрашенного элемента нити 5 см. Общая длина может
варьироваться в зависимости от поставленной задачи. Оттяжка
резины производится дутем крепления выбранной точки С прочной
льняной ниткой к проволочной петле, выполненной из хрома. Процесс
движения фиксируется кинокамерой CKC-I, качество съемки
обеспечивается хорошей подсветкой.
5-I4I5 65

X
X
Рис. 5
Одновременно с включением камеры подается ток в ттепь 7 ,
хромированная проволока раскаляясь, пережигает нитку и
последующий процесс снимается на пленку. Полученная пленка
дешифруется через проектор на миллиметровку путем нанесения места
положения точек, разделяющих окрашенные отрезки. Точки наносятся
через равное число кадров. В качестве масштаба времени
используется переменный ток известной частоты E0 Гц), Неоновая
лампочка, вспыхивающая с данной частотой, оставляет темные полосы
на кинопленке, чередующиеся светлыми пробелами, когда лампочка
не горит. Полоса - пробел соответствует 0,01 с. Тогда каждый
кадр соответствует времени At=0>0H//\/ , где >V - число
кадров, вмещающихся в длине полосы-пробела.
2. Порядок выполнения работы
Рекомендуется следующая последовательность проведения
эксперимента.
i ) Определить линейную плотность нити путем взвешивания
66

лг
нити
. I
ее
куска измеренной длины J - т~ , где /М - масса
длина.
2) Определить статическую диаграмму Т(?) путем
подвешивания к нити увеличивающихся по весу грузов.
3) Развести после выбора рабочей длины ^ ве-ртикальные
стойки Z (рис.5) на ширину & .
4) Движением кронштейнов Н установить необходимые
величины деформаций, если выбрана точка крепления С .
5) После крепления точки С включить подсветку и
произвести съемку процесса разгрузки.
На рис.6 приведена качественная картина процесса,
соответствующего двум последовательным кадрам.
Рис. 6
М . М'
Следует отметить, что продольные фронты iti , i'i
визуально не видно, их можно выделить только в результате
расшифровки.
Характерная картина дешифрованного материала показана на
рис.7. На миллиметровке измеряется длина и и определяется
масштаб W-l/t . По перемещениям точек определяются скорости
в соответствующих областях D) v\r'[c)
67

По длине отрезков (расстояния между соседними граничными точками
определяются деформации ? .
Рис. 7
Ж- Обработка и анализ результатов
Результаты обработки свести в таблицу:
Область
@)
<<)
B) .
(Г)
@) j
1 *'
0
0
1 ^
0
0
1 6
&
6'
0
9о
4
«
Поскольку абсолютная скорость фронта П
Юх =Ao + &D+Co)coi9o,
68

определив <Ut и воспользовавшись найденным значением, можно
найти модуль
Ю*
5 (№оIсоьгдо
j так ка« Vxo =0- A8)
При найденном модуле t можно найти теоретическое решение
системы A6) и занести полученные решения в таблицу.
Сравнение теоретических и экспериментальных значений
величин дает возможность оценить ценность построенной теоретической
модели процесса динамической разгрузки и в резиновой нити,
|V . Упражнения
1) Построить закон движения произвольной материальной
точки нити.
2) Провести анализ соотношений мезду величинами скоростей
продольных и поперечных волн в зависимости от характера
процесса (нагружение, разгрузка) и от вида зависимости Т(?) .
ЛИТЕРАТУРА
1. Рахматулин Х.А. О косом ударе по гибкой нити с большими
скоростями при наличии трения // ПШ. 1945. Т. 9. Вып.6.
2. Павленко А.Л. Обобщение теории поперечного удара по гибкой
нити // Изв.АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. I960. #2.
5х-1415

ЗАДАЧА 2
ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССА РАЗГОНА ПОРШЯ В СТВОЛЕ
ПНЕВМАТИЧЕСКОЕ УСТАНОВКИ
тЬлью работы является ознакомление с пневматической
установкой и измерительной аппаратурой, теоретическое и эксперимен-
i.nibHoc определение закона движения поршня, а также определение
нгч-члгычеп длины стволаt необходимой для возникновения головной
у. iipnoii волны.
I- Описание явления
Рас патривается процесс движения порихня в стволе пневмо-
/отановки. Ствол представляет собой полый гршшдр постоянного
поперечного сечения, заполненный воздухом. Поршень (снаряд)
является металлическим цилиндром массы М . Он закрепляется в
стартовоЛ позиции с помощью замкового устройства. Размеры
снаряда малы по сравнению с длиной ствола. Снаряд разделяет ствол на
две части. За поршнем (область I) в начале эксперимента воздух
находился под давлением Ро ( Ро>Ратн ). Часть ствола,
находящаяся перед поршнем (область Ц ) открыта в атмосферу, т.е.
давление в ней естъй\тм -'/дтН. В момент "?. = 0 поршень освобож-
дется и начинает двигаться в сторону области меньшего давления.
Рис. \
Введем систему эйлеровых координат. Ось X направим от
снаряда в сторону дульного отверстия. Начало координат помес-
тлп в точке старта поршня. Волтювая картина, сопровождающая
разгон поршня, изображена на рис.2. Здесь кривая (С) - закон дви-
¦к-мп.я поршня ( ОС = X (t) ) ; прямые D) - характеристики,
соотодллята волну разрежения, распространяющиеся по области I
7Q

с к х
Рис, 2
(расходящийся веер); прямые B) - характеристики, образующее
волну сжатия, распространяющиеся по ©власти JL (сходящийся
веер); С-С - стенка, К-К - конец ствола; кривые C) -
характеристики волны разрежения, отраженные фт стенки. Они искривлены,
так как распространяются в движущемся газе. Кривые D) -
характеристики волны разрежения, появившиеся в результате отражения
волны сжатия от свободного конца ствола.
Задача решается в одномерной постановке.
Ж» Теоретическая часть
Безволновая теория
Сделаем следующие предположения:
i) Пренебрегаем головной волной сжатия и считаем, что но
время выстрела на поршень спереди действует только атмосферное
давление.
2) Пренебрегаем конечностью скорости распространения
хвостовой волны разрежения и считаем, что в кавдый данный тломечт
времени все параметры воздуха и в тем числе его плотность во
всей длине области I постоянна.
3) Считаем движение газа изэнтропичпым, поэтому давление
газа сзади поршня при его движении в стволе будем вычислять но
71

У
формуле , ИЛИ
P«Pb[V0/(Vo + sX(t))],
где V0 - начальный объем области X ; и - площадь
поперечного сечения поршня; X(w - координата поршня; ^ - показатель
адиабаты.
Пусть п - масса поршня. Запишем при сделанных
предположениях уравнение его движения
/№ _
elf
-s ft
Vo
•LVb + SXWJ
-B
ATM
Домножив на
\2.
проинтегрируем его один раз
Vo V
Vc+SX) J
-Йн-Х
(i)
Сопоставим два члена, разность которых стоит в фигурной
скобке. В начальный момент оба члена равны нулю. В конечный
момент, когда jf(i) = L t оба достигают своих наибольших значений.
Первый член становится равным
-J4V \Vo*Vt)
а второй - , здесь VC - объем ствола, к* - длина
ствола. Оба растут монотонно. Их максимальные значения при ]/0
650 см , VO = 520 см имеют отношение
в
^/{^И^ЛН*
(*)
Исходя из (>К), в правой части (I) можно оставить только первый
член.
72

Формула A) определяет скорость поршня как функцию
координаты. Скорость поршня, получаемая из формулы A), будет выше
действительной. Это вызвано следующими причинами:
- на поршень сзади действует не среднее давление в области
I , а несколько меньшее, так как полна разрежения выравнивает
давление не мгновенно;
- спереди на поршень действует давление большее, чем гатм ,
так как перед поршнем распространяется волна сжатия;
- есть некоторые потери за счет трения.
Волновая теория
При более тонном рассмотрении из предположений предыдущего
раздела сохраним только предположение об изэнтропичности течения.,
т.е. \1/у?= (?(Р) = (р/РоУ//<Гв области I и V/Vl = №>
-(Р/Рдг^)^ Для области IT. Здесь V , Vo , V^ - удельные
объемы: УО - удельный объем при t<0 в области I, \Д -
удельный объем при Ь ^ О в области Ж , V - текущее состояние
удельного объема, р - давление в газе. Тогда уравнения движения
газа за поршнем (область Г) и перед поршнем (область И) з^апищутся
в виде [ i] :
B)
-ьь
1 19
Dk
(В области I)
(В области Я)
C)
.В формулах B), C) введены следующие обозначения: ~
X(h}tj- координата Эйлера, гЪ - координата Лагранжа, Ib-U -
координата поршня, - начальные плотности
в областях I, II соответственно.
73'

I ia чал li i ыс у ел овия яля о/, с те' 1ы (''), С ) т * j к о иь:
\>(?i,o) = p0(i<o)> р(А,о)=р„н (i>o). «>
Напишем условие при п* —О , характеризующее движение поршня:
IKI-l/.U- KITl/.LII N
(Г))
M^r^=[PC-ft«-P(*o.t)]s
./paimenw (П) определяет закон двгчения поршня. Длимо:: поршня
пренебрегает!. Масса /ч распола-аитсл поеду fi-~0 л гъ= + 0 .
В силу (>К) буде:т считать, что P(+0}t)<^ г^-О^Ь). Кроме
того, виракепне для Р( + С/у справедливо лишь до момента, кргда
головная ш^пна сжатия достигает копил ствола К-К, и отраженная от
¦С-К волна разрежения достигнет поршня. Это время глало. Выражение
^с ;ля Р(—0) справедливо до момента прихода к поршню ьолны,
отражен си от стенки С-С. Ото время мгэчительчо больше времени
прихода огракелчои от К-м волны. Тогда (Ь) упростится
1Та рпс.^ показано, что в попет Т - U по газу, расположен-
iivy слева от порппя начнет распространяться простая волна раз-
;\m;i:'h. />олча разрежения характеризуется постоянства!
инварианта >'л; апа [ ^J :
Ро
!'ч' начального условз'я следует, что
д-+1 \'-^М/?Г t/'i - о w ? < о. ,,,

Решая (?) отписчте.ivo r
пункцию 1Т@Х) :
.учли выражение r(~U>tJ ;;,к
*-<
(К)
!Тз F) и (Я)
иКШ^Ро
м
со
'р
"ЗТ^ "°,0l **< Л _,
где /ft)-X@,t); T7-(t,0)= ^/(УЛ/t; aWjM<
Начальные условия для уравнения (9) имеют вид
t~0, Y-ptX/Л'О. ио
Уравнения (9) с начальными условиями A0) легко интегрируются
<-(f№*+0
-iii
Полученное решение справедливо до момента прихода отраженной
плетенки С-С волны к порш!{.ю.
Определение наименьшей длины трубы, при которой
во:злю;.шп возникновение ударной волны
Pacoivioi х иг EiOiipwc о возникновении ударной волны в области ТГ.
Как видим на рис.2, воер характеристик положительного
наклона в области И является сходящимся (волны сжатия). V"; .„вне ни с
75

этих характеристик имеет вид
it., а-т)
-j— - —. или A Jl
di \/-?УПр) jp-pfn).
Точ1си 7Г лежат на прямой к -0 .
Ударная волна возникает там, где впервые (т.е. при
наименьшем гь ) пересекутся эти характеристики. Очевидно, что первое
пересечение характеристик - это пересечение двух бесконечно
близких. Найдем это условие.
Запишем уравнения близких характеристик
Определим при каком наименьшем гЬ ~ ri они пересекутся. Решив
задачу об их пересечении, устремим а^ к О и обнаружим, что
значение {%* определится из уравнения
с-
W-q,v'(pM))'x
Волна сжатия, распространяющаяся в области ][ , характеризуется
постоянством инварианта Римана
Р
Ратм
ТИ
76

Выражая из последнего равенства Р как функцго подучим
Учитывая выражения для функций гиг, получим
гг.
откуда видим, что с ростом Т значение "* увеличивается,
следовательно, ударная волна возникает на пересечении головной
характеристики с бесконечно близкой. Устремляя Т к нулю,
найдем нужное значение
(приТ^С? лагранжева и эйлерова координаты совпадают), где
X @) определяется из уравнения
»@)-?(Ро-Рлти)
Тогда 2,
Щ. Экспериментальная часть
Наша задача состоит в экспериментальном определении
скорости движения поршя.
1. Описание установки
Устройство установки показано на рис.3. Сжвтый воздух,
имеющий давление 200 атм, поступает из магистрального трубопровода
77

/2*2 через вентиль 15 в редуктор 1к . Редуктором 14 снижают
давление сжатого воздуха до величины потребной для эксперимента.
Сжатый воздух, прошедший через редуктор /4 накапливается во
вспомогательном баллоне /3 . Перед выстрелом, предварительно
закрепив поршень ? спусковым устройством 3 , сжатый воздух из
баллона 73 подают через вентиль ^т в баллон i установки до
заданного для эксперимента давления Ро . Величина давления в
баллоне \ контролируется по образцовому манометру ?1 . В
случае, если давление в баллоне будет выше заданного, то избыток
давления стравливает через вентиль /?¦ в атмосферу. Когда
давление в баллоне ^ достигает заданного Ро , закрывают вентиль"'* ,
включают электромотор шлейфового осциллографа и и тумблер /^ .
Затем нажатием на кнопку i Z производится выстрел. При нажатии
на кнопку i<L срабатывает реле ? запуска съемки осциллографа
H-II5.' После прохождения 5-10 см пленки осциллограф замыкает
электроцепь клапана ЭК-48. При срабатывании ЭК-48 воздух из
баллона /3 поступает в цилиндр спускового устройства 3 » в
результате поршень /2 освобождается и под действием давления воздуха,
находящегося в баллоне 7 выстреливается из ствола.
Рис. 3
78

На стволе ^ , изготовленном из диамагнитного материала,
имеется специальная обмотка. При движении намагниченного
поршня /2 в обмотке ствола индуцируется некоторая электродвижущая
сила. Число витков на i см длины обмотки неодинаково, а
возрастает в арифметической прогрессии по длине ствола. Магнитный
поток через всю обмотку есть сумма магнитных потоков через
плоскость каждого витка. При этом, если по обе стороны магнита
число витков на единицу длины одинаково, то при движении такого
магнита полный поток через контур не изменяется и ЭДС не
возникает. Если же количество витков на единицу длины катушки
возрастает, то магнитный поток, создаваемый одним из полюсов магнита,
отличается по абсолютной величине и противоположен по знаку
магнитному потоку от другого полюса. При этом оба магнитных потока
возрастают по величине с ростом плотности обмотки,
следовательно, их сумма тоже возрастает, поскольку она отлична от нуля.
Таким образом в обмотке возникает ЭДС индукции, пропорциональная
скорости изменения магнитного потока, которая в свою очередь
определяется скоростью движения магнита и изменением количества
витков на единицу длины вдоль катушки. Так как у нас изменение
количества витков линейно, то ЭДС индукции пропорциональна
скорости.
Покажем тоже самое аналитически. Пусть #*(?/_ координата
заднего (южного) полюса магнита; X(t) ± С - координата
переднего (северного) полюса магнита (рис.4). ЗдесьWt и-/П -
магнитные массы северного и южного полюсов магнита (магнитная
масса вводится по аналогий с законом Кулона для электрических
зарядов); fL - радиус обмотки ствола.
7Я

Рассмотрим ejpra мток ствола, имеющий координату 2 . Про-
еювря вектера напряженности магнитного поля на ось 2 в
некоторой точке A fe, У) :
Найдем магнитшЛ леток через рассматриваемый виток:
%-х
lj.ulWl
[a-x)i+f]
?*i =
= ЛЖт
z-x
iiZ-xf+R,*-
%-х-б
/#-*-/)*+?
» AC
ЭД(& индукции в витке вычислится по формуле
_ t (ЗГ-яг-fl
(*-*)*
^(ьх-еы1 [B-х-е)\№Ь1г- [и-хАягТ"-\
80

Пусть число витков на } см длины обмотки определяется фор-
мулой А2Х20- Л/ 2 , где Л/ - постоянно^ число. Тогда полная ЭДС
индукции во всей катушке длиной гъ< запишется в виде
L i
/
V
\/?^F *\Цх+е?*№ Щ-хЪR1
+ JLf ?-
ж
Предположим, что поршень находится внутри катушки на
достаточном удалении от ее концов. Тогда
Разлагая правую часть формула для f^(f') по этим малым йарамет-*
рам, имеем
?
\{t)-liTm>lN^ .
(П)
Таким образом, ЭДС индукции пропорциональна скорости
движения поршня.
Сигнал с обмотки ствола через дополнительное сопротивление
Z0 подается на шлейфовый осциллограф 6 . где и записывается.
Тарировка установки производится при помощи двух коротких
вспомогательных катушек 5 . Эти катушки фиксируют на основной
осциллограмме момент нролета поршня шмо них.
Пусть коорданаты вспомогательных катушек будут 32 f и %И ,
а моменты пролета поршня через эти точки- 14 и tl . Если пре-
6-I4I5 8I

/небречь индуктивностью обмотки, то, как следует -.is формулы (И),
скорость движения поршня можно записать о виде
где У №) - амплитуда отклонения шлейфа; 1С - тарировочнып ко-
аффициент, постоянный для данного выстрела.
Интегрируя A2) от ЪА до t/L , имеем
sr - Х* " Х4-
N- ~~ #- /,\ Ji. > A3)
где ) (f\tH(L вычисляется численным интегрированием \о осцилло-
грамме, aZ%-Xi замеряется на установке.
Из формул A2), A3) для скорости поршня получим форрдулу
Интегрируя A4) от 7Г4 до и , получим
t *
Формулы A4) и A5) позволяют определить скорость поршня как
функцию его координаты СС - /(#0 .
2. Порядок выполнения работы
4) Произвести необходимые замеры параметров установки,
взвесить поршень, проверить его намагниченность.
2) Привести в готовность осциллограф.
3) Зарядить пушку. Зарядку пушки произвести при отсутствии
давления в системе питания установки. Всем покинуть бокс ГЛАУ—20.
82

Находиться в боксе МАУ-20 после подачи давления
в систему питания строго воспрещается!
4) Подать воздух в баллон i до давления гО - 21 атм.
5) Произвести выстрел.
6) Проявить на свету осциллограмму.
7) С осциллографа снять значения j/(?/ в достаточном
числе точек, определить значения интегралов для различных времен ?
J y(i)p/t • е -а сже интеграл J
]У. Обработка и анализ результатов
В протокол задачи включается:
О Расчет тарировочного коэффициента.
2) График СС - %№\ полученный из эксперимента.
3) Графики ЭС~ f(X), полученные по теоретическим формулам.
4) Наименьшее значение Я- А** , когда возникает ударная
волна.
При сравнении результатов эксперимента и теорий необходимо
помнить, что экспериментальные формулы дают скорость поршня лиш
для Я? : Х{ ^ Э?^ЭС? , а теоретические зависшлости дают ско
рость по всей гушне ствола.
ЛИТЕРАТУРА
1. Созоненко Ю.А. Движение поршня под действием давления газа
// ПММ. Г963. Т.27. Вцп.З. С.535-540.
2. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977.

ЗАДАЧА 3
иелмвйлм: волны сшта (растяш-шя) - сдвига
в тонкостенной щшдаичЕскей трубе
4 Целью работы является «знаквмление с теорией нелинейноупру-
гих млн сжатия (растяжения)-сдвига и экспериментальное изучение
волн сжатия (растяжения)- сдвига, вызванных продольным ударом по
торну предварительно закручецн©г# тонкостенного цилиндрического
образца.
I . Описание явления
Нелинейные волны в тверда* деформируемых телах обычно
возникают при интенсивных динамических воздействиях, когда связь между
напряжениями и деформацндои становится нелинейной. Довольно
хорошо изучены продольные нелинейные волны (нелинейноупругие, упруго-
пластические, вязко-упругопластические и др.), распространяющиеся
в длинных тонких стержнях [lj . Для их теоретического и
экспериментального исследований достаточно изучения возмущений только од-
н#й, продольной,компоненты физических величин: компоненты
вектора скорости частиц, тензорвв деформации и напряжений и др.
Гораздо сложнее обстоит дело в случае, когда нелинейная волна
возмущает одновременно несколько компонент физических величин.
ГЛатематическое описание таких многокомпонентных волн приводит к краевым
задачам для квазилинейных гиперболических систем уравнений выше
третьего порядка.
Чисто технические и измерительные трудности имеют
экспериментальные исследования. Однако основная проблема здесь состоит
в интерпретации опытных данных. Прохождение многокомпонентной
волны через какую-либо физическую точку среды вызывает в ней
процесс нагружения и деформации [4] . i3 эксперименте возмонна
прямая регистрация только кинематических величин. Поэтому
доступной для опытного определения оказывается только часть
процесса, именно процесс деформации. Задача определения полного
образа процесса - одновременная регистрашя процессов деформации и
нагружения - остается пока не решенной. В настоящее время сущес-
84

твует возможность применения обратного метода: предполагается,
что в эксперименте проходит некоторый процесс, в котором
соотношения мевду напряжениями и деформациями известны, решается
теоретически в этих предположениях соответствующая эксперименту
краевая задача и сравнивается процесс деформации, полученный
эпытным и теоретическим путем. При их совпадении (с заданной
точностью в заданной норме) можно предположить, что и весь процесс
проходит так, как это было предположено. О единственности
решения при тайом подходе пока ничего не известно. Число решенных
теоретически задач тоже очень велико. Отметим, что впервые
проблема многокомпонентных волн была поставлена и получила
определенное теоретическое решение в работах Х.А.Рахматулина [2,3J .
1L- Теоретическая часть
Теория нелинейноупругих простых волн (волн Римана)
Рассмотрим распространение по полубесконечной тонкостенной
круглой трубе одаоменых плоских возмущений сжатия (или
растяжения) - сдвига.
В покоящейся недеформи-
рованной трубе введем
следующую ортогональную лагранжеву
систему координат (рис.1). От
заданной точки на срединной
окружности торца отсчитываются
в направлении 1 оси цилиндра
координата OCi в направлении
2 касательной к срединной
окружности - Я?? , в направлении
радиуса (по толще стенки) -JT* .
Обозначим W(Witvrt,tu}b) -
_^ _ вектор перемещения частиц,
\Д^,%/^)- вектор скорости частиц, 6Ц - компоненты тензора
напряжений Пиолы - Кирхгоффа, 6lj - компоненты тензора малых
деформаций.
Пусть начальное состояние трубы однородно и задано
следующем образом:
6Х-Ш5
85

Зададол граничные условия. В момент и = О к поверхности
Я?У-(?торцв трубы прикладываются динамические нагрузки, имеющие
не больше двух ненулевых составляющих: продольную (вдоль оси Х<()
и крутящую (но касательной к срединной окружности). Эти
нагрузки однородные: они не зависят оч Х&Хз,^.
Так как толщина стенки трубы мала (по сравнению с
радиусом) и боковые поверхности свободны от внешних нагрузок, можно
считать, что труба находится в обобщенном плоском напряженном
состоянии, т.е. все неизвестные зависят только от Ха , %?, ,~fc
и, кроме того,
6Ч-6Ь*6зз-0, V X4,Zz,t B)
Ввиду того, что краевые (начальные и граничные) условия
зависят только от Xi , предположим, что и само решение есть
функция только 2V , t , т.е.
C)
где для краткости обозначено
Для упрощения решения пренебрежем радиальной инерцией,
тогда 6zz~0 Аля любых X , t .
В этих предположениях уравнения движения игле ют вид
где ^ - плотность недеформированного материала трубы.
Когда начальные и граничные нагрузки не столь велики, то
деформахдтк, вызванные ими, .малы, т.е. верны формулы Коти
86

откуда следует, что
где //2, - полный сдвиг.
В областях непрерьшного движения равны вторые смешанные
производные по #? и t от компонент перемещений. Следовательно,
¦dt ' ъя ' Vt t& E)
Систему D), (Ь) замыкают определяющие уравнения.
Моделируем материал трубы нелинейноупругой среды, для
которой упругий потенциал vv задается соотношением
где - средние напряжение и деформация; OU.,
интенсивности напряжений и деформаций, определяемые по формулам
//г
6а = (| Fij - вер Sij) Fij - GcP Sij)) ,
Сер * 3 €U ,
одесь предполагается суммирование по повторяющимся индексам,
(Ту- символ Кронекера. -
функции би.г^г(^и) и исргд?ср) являются универсальными для
данного материала и находятся из зкспершлентов по одпокемпонен-
тиое нагружепи-, - динамическое или статическое.
F)
87

Теперь используя соотношение
получим выражения кшпонент тензора напряжений от компонент тензора
деформаций
бср = f (?ср) .
Отметим, что эти соотношения сввпадают с соотношениями теории
малых упругопластических деформаций. Следовательно, данная модель
нелинеиноупругого тела описывает также поведение упругоплестическо-
го материала в активном процессе.
Для упрощения математической задачи .предположим, что материал
трубы объемно-несжимаемый, т.е.
?ср - О .
'1огда из соотношений B) и G) следует, что
Заменим О/* , буя определенные уравнениями G), в уравнениях
D) и выражениями, используя формулы (8).
ш < d(ens)) W-jl ъ(гЩ t
где для краткости обозначено

Система уравнений (9) квазилинейная. Найдем ее
характеристики [5J . С этой целью, введя вектор-столбец неизвестных
функций
?
\Л =
а
V.
Запишем ее в матричной форме _^
A0)
Aft)s
о I
А, О
где I , 0 - единичная и нулевая матрицы второго порядка.
Элементы Qsil матрицы А < имеют вид
a^-^W + ^f1],
Характеристические скорости ^? ~ OfOC/cf Г равны
собственным значениям матрицы - А , которые определяются из
уравнения
Раскрывая его, получите
1
(Л// +&и)+а«&и -&<л~ шО
89

Отсюда определяем
U F><r)= i fa^ttzz^itLu-auf+wfi),
& (Q) * i (й«+ап~ W^-^Mx) •
:гг)
пункция с+> , которая задает зависимость напряжения
сжатия 6Г от продольной деформации в однокомпонентных испытани-
ял, имеет следующие очевидные свойства:
Ф@)-0, Ф(&)>0, 9>>0. da)
Предположим, что материал обладает упрочнением, т.е.
<P'(s)>o > Vs ш1)
Тогда согласно (И) выводим, что правые части в выражениях
A2) положительны. Следовательно, существует два типа глялых
возмущений: быстрые, величина скорости распространения которых
равна f|g , и медленные (величина скорости -Цм ). Система
уравнений гиперболическая при условиях A3), A3').
Среди немногих известных аналитических решений системы (9)
большое значение имеет решение простой волны, доказано [5J , что
так же, как и для аналогичной системы второго порядка (теория
волн в стержня: и плоских одномерных волн в газе), в
рассматриваемом случае в области, смежной с постоянным движением,
осуществляется движение с простыми волнами. Простые волны описывают и
автомодельные .движения в зависимости от переменной U-?E/~t .
И зтом случае, решение иалодитея из следующей системы обыкновенные
дицтереiидеальных уравнений [b] :
№ Z
7 ^v \ Э? ^у ^\м Э-г>у,

где f - правый собственный вектор матрицы г\\*л^) (см. A0)),
соответствующий одному из собственных значений %*С~Чб> —?м)-
Проведя необходимые вычисления, получим, что простые волны
удовлетворяют уравнениям
й.?±, 4±.-ш, d? — t си)
j? с it 5 с// *
Здесь Щ принимает значение Щ>$\У><У/в быстрой простой волне,
^м(?* f) - меженной. Два последних уравнения A4)
интегрируются в квадратурах после того, как проинтегрировано первое, и
определяют зависимость скоростей частиц U, > 'V от компонент
деформации. Из перюго уравнения A4) находится зависимость между
компонентами деформации в простой волне, т.е. именно оно задает
процесс деформации в простой волне.
Отметим, что в краевых задачах, допускающих автомодельные
решения, начальные и граничные значения функций должны быть
постоянными.
Пусть материал трубы - металл, jv/щ многих металлов
^"(s) ^о , s>o. аь)
в быстрой волне,
в ме.дленной волне.
В этом случае легко найти, что
Иными словами, в быстрой волне с ростом \?Л убывает /<// ,
в медленной волне 1?\ и \^\ растут и убывают одновременно.
[Ложно доказать [б] , что с ростом |?| убывают значения If б п
быстрой волне и §[м в медленной. Это означает, что в пеопроки-
дывающейся быстрой волне \8\ растет, а / )f\ убывает от
головы к хвосту волны; в неопрокидывающейся медленной волне /?1 и
91

\jfl растут от головы к хвосту волны.
Решение автомодельной смешанной кросиоЛ задачи с
начальными условидаи A) и граничишь условиями
при определенных условиях состоит из двух простых в©лн (рис.2):
быстрой (область AQ3 ) и медленной (область СОЪ ),
разделенных областью постоянного движения 60С . Область ЛОж - область
начальных данных F=?о, f = fo , Li- l? * 0 ), область JH1 -
Рис. 2 Рис. 3
область граничных данных (?-?t , If ^ if 4 ). Вдоль каищого луча
у = X/t-СОП4?_жеем ? = сопа? t g= COyibt. В некотором
сечении трубы Х-Х процесс деформации имеет вид,
представленный на рис.3. При движении от луча О А к лучу О В деформации
изменяются по интервалу А О (рис.3) интегральной кривой
уравнения A4) для Щ - §5 • проходящей через точку^й?,^^.
На лучах Од и ОС (vic.2N=?fL.f-fa. Последовательность
состояний в волне С0#) рис.2 дается кривой СЗ) (рис.3) -
интервал интегральной кривой уравнения A4) для Щ -Цм .
проходящей через точку граничного состояния ?=?<( , ? ~ jfl .
92

JIL Экспериментальная часть
Наиболее просто возбудать нелинейные волны сжатия-сдвига,
если по торцу предварительно закрученной трубы произвести
продольный удар. Когда такое нагружение (только предварительное
статическое или суммарное, данамическое и статическое) вызывает
нелинейные деформации, по трубе распространяются нелинейные
волны, в которых продольные и сдвиговые везмущежя нераздельно
связаны друг с другом.
Экспериментальная установка для
такого опыта состоит (рис.4) из
образца А , переданцего стержня <S и
кепра Ц , установленных на одной
Z^^ * вертикальной оси. Образец - тонко-
*— 1. ^\ стенная труба из меда, длиной "^
' ^ ' 500 мм, внешнего диаметре 30 мм и
тсхщиной стенки ~ I мм. Стержень
стальной, тог© же диаметра и той же
длины, что ж образец. В стыке В
образец и стержень жестко скреплены.
Нижний торец образца Д
удерживается от вращения шпилькой. Колесом 3 t
сидядам на скользящей посадке на
верхней части стержня (она
эллиптического поперечного сечения), система
стержень - образец статически
закручивается. После этого баба копра Н
скидывается с определенней высоты
и производит удар по верхнему торцу
передающего стержня. В стержне воз-
«JrlJaL никает импульс продольной деформа-
^^bJ3^^ ции. После волнового взаимодействия
в стыке О в стержне возникают
отраженные линейно упругие продольные
и крутильные волны, а но образцу
распространяются нелинейные волны
сжатия-сдвига.
I
Рис. 4
93

Все измерения производятся тензорезисторными датчиками. Для
измерения продольных деформаций применяются линейные датчики,
наклеенные на образец вдоль его оси. Сдвиги измеряются розетками -
парой линейных датчиков, собранных на ода ой подложке под прямым
углом друг к другу, в определенном электрическом соединении -
наклеенных так, что продольная ось образца проходит по их
биссектрисе. Используются малобазовые датчики (база 3-5 мм), что
практически исключает искажение формы импульса при его записи. Для
исключения сигналов от изгибных составляющих в каждом сечении
приклеена пара диаметрально противоположных линейных датчиков и
пара розеток, соединенных в соответствующей тензометрической
схеме. Сигналы тензодатчиков в статических нагружениях измеряются
с помощью прибора ИСД-3 (измеритель статических деформаций),
сигналы в динамических нагружениях после электрического усиления
регистрируются на экранах двухканальных осциллографов с памятью
(осциллограммы могут воспроизводиться на экране в течение суток
желательное чис^о раз). Тензодатчики, измеряющие продольную
деформацию и сдвиг, расположены в одном сечении (сечение 1)
стержня (примерно на половине его длины) и в двух сечениях образца:
на расстоянии 70 мм (сечение 2) и 220 мм (сечение 3) от стыка
(рис.4). Выбор этих сечений продиктован следующими
обстоятельствами: I) в непосредственной близости от стыка волновое движение
искажено неодномерностью взаимодействия передающего стержня и
образца; 2) при ограниченном числе измеряемых сечений (их два)
информация об эволюции процесса более полная, если эти сечения
разнесены как можно дальше; 3) отраженные от торца А (рис.4)
волны не должны достигнуть сечения 3 раньше, чем в нем
произойдет полная регистрация падающих волн.
Для снятия осциллограмм с каждого сечения служит свой
осциллограф; на экране верхний луч отмечает возмущение Л ? ,
нижний - Л % .
С помощью осциллограммы в сечении I определяется величина
CL деформации в падающей продольной волне в стержне. Так как
эта волна линейноупруще, то скорость частиц в ней равна 2/6-
скорость упругой волны в стержне. Сто
и есть скорость удара по торцу образца. По этой же осциллограмме
94

находится время нарастания импульса L СР и продолжительность
И его постоянной части. Величина ~tcP позволяет судить о
степени приближения граничных условий к автомодельности.
Начальный сдвиг }fO в образце определяется с помощью тен-
зодатчиков в сечениях 2 и 3. Близостью их показаний
контролируется также однородность распределения $0 по длине образца.
Начальная продольная деформация 6о - О .
Таким образом определяются граничные и начальные условия
эксперимента.
Для получения экспериментальной волновой картины в
физической плоскости (рис.2) и процесса деформации (рис.3) по
осциллограммам в сечениях 2 и 3 строятся сначала графики зависимости
$(?) в этих сечениях. Наклон луча ОА (рис.2), как было
проверено в других экспериментах на этой установке, равен скорости
упругих волн в материале образца CL- VЯ/§ . Поскольку масштаб
времени на осциллограммах известен, определение наклонов лучей
Ои (задний фронт быстрой простой волны) и ОС (передний фронт
медленной волны) не представляет труда. За граничное значение
?=?У , }f- tfi принимаются те значения E , )( , с которых
начинается разгрузка. Они легко определяются по графикам ){(?) :
модуль радиуса-вектора в этой точке начинает резко убывать. По
значению <5V (или jfi ) на осциллограмме определяется
соответствующий момент времени, а затем и наклон прямой 09) (рис.2).
Построение волновой картины окончено.
JV . Обработка и анализ результатов
В протокол задачи включается:
Т) Краткое описание постановки эксперимента.
2) Геометрические и механические характеристики передающего
стержня и образца в виде таблицы.
Геометрические размеры снимаются студентами с помощью штан-
гельциркуля. Значения ? и ^ берутся из справочников, CL
вычисляется.
95

Образец
Стержень
дЛИНА,
лишний пшина
JHAMETP, СТЕНКИ,
мм 1 мм
?
МПа
кг/м*
а=\/§
м/с
3) Характеристики падающего импульса в стержне: ? L ,^
(м/с), Ы (мкс), t cp (мкс).
4) Начальная деформация образца <?b , f°
5) Графики зависимостей f(?) в сечениях 2 и 3 образца.
Для каждой простой волны на графике должн© быть не менее 5 точек
6) Расчет волновой картины в сечении 3.
Масштаб времени во всех каналах всех осциллографов 25 мкс
на одао (горизонтальное) деление сетки экрана осдаллографа.
Для перевода величины записанного на всщллографе
электрического импульса Л U (по вертикали сетки экрана) в
соответствующее значение импульса деформации А ? (или Л If )
использовать Формулу
а ? = -р-
где Л-П - коэффициент чувствительности тензомегрической схемы.
Ere значение для каждого канала осциллографов дается руковода-
телем эксперимента; при этом заполняется таАжца:

Сечения
i
г
3
Каналы
осциллографов .«
дС
&{
Л<5
ЛГ
дб
*Г
\
Обработка осциллограмм производатся не на самом экране
осциллографа, а путем оптического увеличения его изображения на
фотопленке (ширина 36 мм).
ЛИТЕРАТУРА
1. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных
кратковременных нагрузках. М.: Зизматгиз, 1961.
2. Рахматулин Х.А. О распространении упруго-пластическйх :#ёлн
при сложном нагружении // WM. 1958. Т2, вып.2. С. 759-7655.
3. Анциферов BJ3., Рахматулин Х.А. Распространение сжимавде-
сдвигащих возмущений в нелинейно-упругой среде // ПММ.
1964. Т.28, вып.З. С.572-578.
4. Йлыощин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978.
5. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилине&шх
уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978.
6. Ленский Э.В. Аналитические методы динамической теории
нелинейной упругости (комбинированные нелинейно-упругие волны). М.:
Изд-во МГУ, 1983. 9?
7-I4I5

ЗАДАЧА 4
прямой эксторшяггллшг. метод построения
УДАРНЫХ ДИАГРАММ СЖАТИЯ ГРУНТОВ
Целью работы является изучение одного из методов прямого
экспериментального построения динамической диаграммы сжатия
грунта (песка) на основе измерения скорости распространения про-
дольное волны сжатия в трупте при ударном нагружении.
I. Теоретическая часть
С помощью ударного копра в образце грунта инициируется
ударная волна. Измерительная техника фиксирует время
прохождения это;* волны по образцу, что дает возможность вычислить
скорость ударной веяны. Решение соответствующей теоретической
задачи позволит определить значения плотности и давления за
ударном полной и тто ним построить диаграмму ударного сжатия образца
грунта.
Уртшени." одномерного движения сплошной среды имеет вид
где LI - перемещение, О - напряжение, ^о - начальная
плотность среда.» X - лэгранжепя координата, t - время.
Урав1чнптг- ([) замыкается уравнением состояния, т.е.
зависимостью где деформация. При этом
вязкими cuo'AcwiWM грунта пренебрегается. Подставив значение дефор-
мзции в (I), получим нелинейное волновое уравнение
После введения обозначения это уравнение можно
переписать в виде эквивалентном ему системы уравнений
98

C)
которая позволяет сконструировать соотношения
Отсюда запись в полных дифференциалах:
/ df= a(?)dS вдоль жнии ^ - Я6Г>Я#
JV D)
d<0-=-a(?)d? вдоль линии v(#"Q.te>M*t
Кривые ??Я? - —CtCcJCfV называются характеристиками уравнения
{?.) или системы C). Величина ?L(?) определяет угол наклона
характеристик, и если этот наклон с ростом деформат*ии
возрастает (что зависит от вида функции & -f(?))* то характеристики
одного семейства пересекаются, и решения в пространстве
непрерывных функций не существует. Физически это означает, что более
поздние возмущения, несуще деформацию (Tz > <?l ,
распространяясь со скоростью догоняют предыдущие,
несущие деформацию ? Н и распространяющиеся со скоростью CL(?y%
и создают фронт сильного разрьгоа, скорость которого
определяется интенсивностью ударного воздействия. Gm-ты показывают, что
для песка реализуется именно такой случаи.
Процесс, происходящий в экспериментальной установке,
рассмотрим как задачу удара полубесконечным стальным стержнем по
стальной пробке, за которой находится грунт (песок) (рис.1).
09

л
м
. Va//V\
V/.
^7? *
wA
» *
« •
f 3
<А/,
^7
И /
"//,1
z^
4>
//I
^,
г
У
Л1
Рис. J. Схема образования ударной волны в грунте:
1 - боек; ? - пробка; - 3 - грунт; АЛ - граница бойка и пробки;
ММ - контактная поверхность пробки с грунтом; НН - фронт
волны сжатия в металле; У У - ударная в«лна в грунте.
Частицы бойка в момент соприкосновения с пробкой (рис.1,а)
имеют скорость v0 , скорость частиц пробки и грунта в этот
момент равны нулю, деформатфпи отсутствуют, начальное давление
равно атмосферному Ра . В результате удара в бойке и пробке
начинают распространяться волны сжатия (НН на рис.1,6). Для
материала пробки и бойка выполнен закон Гука &=Е ? (интенсивность
удара должна быть в пределах линейной упругости стали), где С -
модуль Инга; ? - относительная деформация; 6* - напряжение.
Задачу соударения пробки и бойка можно рассматривать как
задачу соударения стержней из одного металла. Уравнение B) в
этом случае - линейное и легко решается методом характетжстик.
Если обозначить скорость звука в металле через С= yF/^C , где
<?с - плотность стали, то уравнения характеристик и условия на
них имеют вид
100

E)
Используя эти соотношения, получим в фазовой плоскости (X ,t )
решение нашей задачи. Начальные условия позволяют определить в
E) постоянные интегрирования. Для характеристик, пересекающих
ось X левее точки Д , имеем уравнение
Для характеристик, пересекающих ось OL между точками А и М ,
соответственно получаем
V-+C6 ¦ G)
Из уравнений F) и G) получим между фронтами НН волн сжатия
в пробке и бойке
v i > 6~ it
(8)
*"-:??
•*«^
-^'
It
-г?
^
&-0
— ^
Рис. 2. Рршеште задачи в фазовой плоскости
7Х-141Ь
101

После выхода волны сжатия Нп на контактную поверхность
(рис.1,в) по материалу пробки пойдет назад волна разгрузки^^ ,
а в грунте идет вперед ударная волна У 3 . йшишем законы
сохранения массы и потока импульса в применении к ударной волне
(9)
где <0 - скорость ударной волны; §a,rxL~ плотность и
давление перед ударной волной;^* Р* У*- плотность, давление и
скорость за ударной волной.
На контактной поверхности ММ должны выполняться
равенства скоростей и напряжений. Поскольку в законе Гука под &
подразумевается избыточное напряжение (при атмосферном давлении
? = О , 6> = О ), то из условий на контактной поверхности
получаем
^ п*^
7Л = 2/
е^ = -(р*-ра).
(Ю)
Кроме того, для материала пробки за отраженной волной имеет
место равенство F) с положительным знаком
V\ *C?i + гй.
(id
Уравнения (9), A0), (II) позволяют выразить параметры за ударной
волной через скорость ударной волны. Действительно, с учетом
закона Гука имеем систему уравнений
-Ее< = р*-рл,
102

из которой получаем выражения для г и § :
1 ^ 2) A2)
В левой части второго уравнения A2) величина ( /-^§<Х/§*")
является объемной деформацией грунта, взятой с обратнш знаком.
Таним образом, формулы A2) позволяют построить ударную
диаграмму Р*(?*^) для сжатия грунта, если в экспериментах
определить значения скорости ударной волны Ю при различных
значениях скорости соударения.
Я • Экспериментальная часть
I. Описание установки
Схема экспериментальной установки приведена на рис.3.
Грунт помещается в цилиндрической обойме, крепящейся
независимо от копра (рис.3). Бойком маятника копра ? наносится
удар по стальной пробке >5~ , укрепленной на пористой резине о
переднего торца обоймы Ц . Материалы бойка и пробки'одинаковы,
а их соприкасающиеся плоскости подогнаны на притирочной плите и
отшлифованы. Положение обоймы с песком относительно копра
тщательно выверяется, чтобы при ударе в момент касания боек
прилегал к пробке всей отшлифованной поверхностью. При ударе в момент
касания замыкается электрическая цепь, и на ЭСВ (электронный
счетчик времени) подается импульс "пуск". На заднем передвижном
торце обоймы установлен приемный датчик, состоящий из мембраны
% и микрометрического винта о , контактирующий в момент
прихода волны сжатия к мембране. В момент касания мембраной винта
на ЭСВ подается второй электрический импульс "стоп". Сумма
времени прохождения волны сжатия по металлической пробке и времени
103

Частотькер Ф5041
стоп
п*ск
Рис. 3
1
маятниковый копер; Д - сменный боек; 3 - упоры;
ty - обойма с грунтом; 5 - пробка; ? - прокладки из
пористой резины; -f - мембрана; 3 - микрометрический винт
выбора зазора между мембраной и винтом приемного датчика
является абсолютной погрешностью при определении времени и составляет
для данной установки 5*7 1СГьс. Датчик укрепляется к обойгле
также с помощью пористой резины. Прокладки из пористой резины и
выбор размеров обоймы обеспечивают приход волш» сжатия в грунте на
датчик ранее всех других возмущений, возникающих при ударе ь-оп-
ра. 11а ЭСВ замеряется время Л t прохождения волны сжатия от
пробки до мембраны приемного датчика. Измерив расстояние между
ними Л 00 t можем определить среднюю скорость распространения
волны сжатия 3)=AX/?t. В качестве ЭСВ используется частотомер
104

электронно-счстнгг 0-504Tf работанци'* гз режиме определения
интервал оъ времени.
2. Порячся* в. гчлиснил работь*
Т) Подключит' Т1ЭС Ф-5041 ii сеть питания. Частотомер будет
готов г работе через 5 глин после включения. Время нагрева
гарантирует точность работы.
2) После прогрева ЧЭС проверить работу электрическое схемы
установки. Счетчик времени должен включиться в момент касания
бойка ? и пробки 5 (рис.3) и заканчивать счет в момент
контакта мембраны т с микрометрическим винтом 8
3) Уплотнить грунт (песок) в обойме Ч
4) Установить минимальный зазор мевду мембраной и винтом и
подготовить счетчик времени к работе нажатием кнопки "сброс".
5) Поднять маятник копра на высоту гЪ4 и произвести
соударение. Занести полученное на счетчике время в таблицу. п
6) Повторить эксперимент для другого значения высоты Hz .
|1[. Обработка и анализ результатов
Скорость соударения "О определяется высотой подъема
маятника копра t?o = ityfi
3 эксперименте используются следующие численные значения
параметров:
Qcl = 1,66 г/см3; Ра. = Т кг/см2; §е = 7,8 г/см3;
С = 5100 м/с; X = 106 мм.
Полагая начальное давление равным атмосферному Pa t
пренебрегаем гидростатическим давлением песка в обойме, величина
которого # 0,02 кг/см .
В отчете по работе заполняется таблица и строится график
зависимости Р ( ?* ):
У
I
2
At
к
т?о
tf*
2)
?*
р*
105

ЛИТЕРАТУРА
1. Гримза Ю.И. Некоторые результаты экспериментальных
исследований по определению скорости распространения продольных волн
в образных грунта // Динамика грунтов. 1961. # 44. C.T03-I06.
2. Гримза Ю.И. Прямой экоперитленталъный метод построения ударных
диаграмм сжатия грунтов // Применение вибрации в
строительстве. 1962. }Ь 51. С.48-57.
3. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных
средах. М.: Наука. 1982.

ЗАДАЧА 5
СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО КОНУСА
Цслхг работы является исследование основных свойств сверх-
звукового потока обтекания кругового конуса и различия от
аналогичного обтекания клина и изучение лабораторного оборудования,
используемого для реализации сверхзвукового потока воздуха, а
также освоение методики получения и обработки данных
эксперимента в аэродинамической трубе.
1 . Описание явления
Сверхзвуковое обтекание плоских и осесимметричных тел
Основной особенностью сверхзвукового обтекания заостренных
тел является образование присоединенного к заостренной части
скачка уплотнения. В случае клиновидной острой кромки,
направленной навстречу однородному сверхзвуковому потоку, этот скачок
представляет собой пару плоских ударных волновых фронтов,
начинающихся на кромке и расположенных по обе стороны клина (рис.Т,а).
Рис. 1
107

Для тел вращения осе симметрическое острее мо^-чо гпсемптри-
вать как прямое конус 'ф.угорого сечения. Upv обтс"р"ии
сверхзвуковом потоком в награзлечии оси конуса тфисо<\Г1лчрнч1:,"{ •'••«чо'"
будет иметь вид сооечо'5 с конусом конической поверхность^.
Исследование сверхзвукового установившегося течения вблизи
конического острия представляет co6of- ^рехп'-рчую задачу, оно м- -
еравненно сложнее и ^г*л р-чэвания обтекания ,т,ела с клиновидно1'* го-
л^в!Ю'> частью.
При обтекании клич-5 однородней вотое на угарном плоском
скачке разворачивается in один и тот жп угол и после скачка нп-
прашюние потока совпадает с направлением г\гк клттчя. Течение
газа за коническим '.;rT: :ov принципиально отличается тем, что в
связи с пространственным характером обтекания конуса .пинии тока
криволинейны, по мерс удаления от вершины конуса они приближаются
к его поверхности (рис.1,6). Как следствие, линии Маха также
криволинейны (пунктирные линии на рис.1,6). Таким образом, в случае
конического скачка необходимо решать задачу о криволинейном
движении частиц газа между Фронтом скачка и поверхностью конуса с
граничными условиями совместности на поверхности скачка и
условием непротекания на поверхности конуса. Соответствующая теория
изложена в литературе [ 1-5 ] .
Здесь отметим лишь основные свойства и отличия решения
задачи &ля обтекания клина и конуса.
JL • Теоретическая часть
Следует отметить, что присоединенный скачок уплотнения
существует до тех пор, пока угол раствора клина или конуса 00 не
превышает некоторого предельного значения Oonufy , зависящего
от числа Маха набегающего потока. Если угол Оо^Оопьа^ , то
скачок уплотнения отходит вперед от вершины (для конуса) или от
передней кромки (для клина). Одновременно он в обоих случаях
искривляется, при этом интенсивность его становится переменной, а
течение в целом завихренным. В дальнейшем всюду предполагается,
что Оо < Qoma#. Зависимости Оота^с от числа Маха М«*э
набегающего потока воздуха, дающие представления об области
существования течений с присоединенным скачком уплотнения,
представлены на рис.2.
108

Рис. 2 Рис. 3
Изменеше направления и величины скорости при проховдении
потока чербз поверхность ударной волны определяется ударной
полярой (рис.3), причем в случае клина разворот происходит сразу
на угел @о , по время как в пространственном случае
обтекания конуса поток ядоютет поворачиваться в том же направле-
ши, что и на поверхности скачка. ЙЬэтому предельное значение
угла конуса, при котором возмояк* его обтекание с присоединенным
скачком, больше предельного угла клина ^
Искривление линий тока за присоединенным коническим скачком
сопровождается непрерывным уплотнением, добавочным к уплотнению
в самом скачке, и соответствующим падением скорости.
Сверхзвуковое за ударной волной течение по мере приближения к поверхности
конуса может стать дозвуковой. В этом случае на некоторой
конической поверхности, расположенной между скачком уплотнения и
поверхностью конуса, скорость частиц потока проходит через
значение местной скорости звука.
Коническая ударная волна пересекает вое линии тока
невозмущенного потока под одинаковым углом, поэтому она обладает
постоянной интенсивностью. Отсюда следует, что и за фронтом скачка
течение будет иметь постоянную энтропию и потенциал скорости.
В сиду симметрии и отсутствия в задаче характерного
линейного размера, очевидно, распределение всех величин (скорости,
109

плотности, давления) в потоке за головным скачком будет функ-
iiFefi только полярного угла 6 , отсчитываемого от оси
симметрии в любом мериданальном сечении. Такие осесимметричные течения
наряжаются течениям Буземсна. При исследовании таких течений
наряду с Физической плоскостью ( С? > Ц ) меридианального сечения
(ось X направлена вдоль оси симметрии) полезно и удобно
использовать плоскость годогшгиа скоростей LL*Vx@) . Vs- Vy(&) ,
в котороГ: течениям Буземана соответствуют отрезки IfCLC) .
Из yjKBHeimR^V/dX~GLL/o4-0(вихри отсутствуют) и с
учетом того, ч^о составляющие скорости зависят только от полярного
угла G , получаем
Используя это уравнение и уравнение неразрывности, получим
вторую зависимость между И и tl
Здесь Си - местная скорость звука, она зависит от СС ¦*- Ту в
силу интеграла Бернулли
гдо НО — COi/^V\^ _ полная энтальпия в набегающем потоке.
Краевые условия, которая должно удовлетворять решение
уравнения B), состоят из условия непротекаиия на поверхности конуса:
щ* 0-й, !къЦв0> (я)
а также соотношения совместностин на скачке уплотнения tf ~ р
Это означает, что точка кривой 7^ ~ 2/C^J ¦ соответствующая
Q- Р ^ должна лежать на ударной поляре (рис.3). Кроме того,
должно выполняться равенство касательных составляющих вектора скорости
по обе стороны от скачка уплотнения. В итоге при 6 - р имеем
два краевых условия
НО

D)
где
V =(V<*>-U)
«- Li-vip/v*
Vfcp/V'eo + ~ Voo"" W- - уравнение
ударной поляры.
Таким образом, неизвестными являются функция ?ГС^) и постоянная
величина ^ , для определения которых имеем обыкновенное
дифференциальное уравнение второго порядка B) и три граничных
условия C) и D).
В результате решения данной краевой задачи определяется угол
раствора головного скачка &0 , а затем параметры течения на
поверхности конуса, о} л \
На рис.4 построена расчетная зависимость р ->>( Пс*>/при
обтекании воздушным потоком конуса с углом полураствора 6ч) = 30°.
Обычно в результате
расчетов сверхзвукового
обтекания клина или конуса
составляются таблицы и номограммы
параметров течения [.3-5].
Однако для
практических расчетов гораздо
удобнее и проще решать
обратную задачу, в которой
положение фронта ударной волны
задается заранее, а
соответствующий угол раствора
конуса вычисляется в ходе
расчета конического течения за
ударной волной.
В обратной задаче угол
полураствора р головного
конического скачка задан,
следовательно, из условий Ронкинэ - Гюгонио на ударной волне
находятся все параметры потока непосредственно за фронтом скачка,
Рис. 4
III

т.е. на ланий &.г г » в частности, значения скоростей
а также в оилу (I) значение первой производной
Тенерь соотношения E)-F) могут рассматриваться как
начальные условия для обыкновенного дифференциального уравнения B),
т.е. фунвдия V(Lt) получается из решения задачи Коши вида
cLv
- - с?%Р ¦ \е)
i.i G)
Д1Я определения интервала изменения не ременной " tt- "
необходимо иояолъзовать краевое условие C), которое в сочетании с (I)
дает критерий достижения поверхности конуса О -Go в виде
Численное интегрирование*' уравнения G) продолжается до
выполнения (с заданной точностью) критерия (•). Тем самым решение в
плоскости годографа будет построено, а переход в $изическу» плоскость
легко осуществляется при помощи уравнения (I):
в частности, угол полураствора соответствующего конуса V-170
*' Например, методом ?унге - Кутта.
112

вычисляется по значениям " V-0 " и " ио " на конце интервала
интегрирования:
Аналогично, давление Ро на поверхности конуса G-&0
определится из интеграла Бернулли и условия изэнтропичности
Ро & Я
Здесь индексом "Iй выделены известные (по р ) параметры на
фронте ударной волны 9 = р
Зная величину давления на конусе, можно найти коэффициент
волнового сопротивления
Я (Po-P-*LUt,9oJ? о О
Сх" *% 8„ 42 s~ '= iЯ-«-
Ш . Экспериментальная часть
I. Краткое описание аэродинамической трубы
Аэродинамическая труба А-8 является сверхзвуковой трубой
кратковременного действия газгольдерного типа, в которой можно
получать сверхзвуковой поток с числами Маха И = 1,5+3,0 и
числами Рейнольдса fit = B,5+4,1) 1(Г.
Принципиальное устройство трубы показано на схеме рис.5.
Воздух, сжатый турбокомпрессором до 8 атм., из
газгольдеров ? через запорную задвижку Лудло 3 , регулирующую
задвижку Ц , поступает последовательно в форкамеру § , сопло
Лаваля ? » рабочую часть ? . Для обеспечения стационарности
потока в рабочей части регулятором поддерживается постоянное
8-I4I5
ИЗ

давление в (Т-орчамере. Сечение рабочей части 600 х 600 мм''',
длина 1900 мм. 3 не:! на жесткой подвеске устанавливается исследуемая
модель, с которой взаимодействует сверхзвуковой поток с
заданными параметрами. В диффузоре 8 поток тормозится и через
выхлопную шахту 3 выбрасывается в атмосферу. Параметры потока в
рабочей части трубы определяются геометрией сопла Лаваля и
величиной давления и температуры в форкамере.
2. Измерительное оборудование
Аэродинамическая труба А-8 оснащена следующим измерительным
оборудованием: I) четырехкомпонентными электро-механическими
весами; 2) измерителями параметров потока; 3) оптическим прибором
ИАБ-451; 4) механизмом п?и с дозатором; 5) печатающим
устройством; 6) измерительно-вычислительным комплексом (ИВК) на базе
ЭВМ ДВК-2.
Аэродинамические весы дают возможность измерять силу
сопротивления X t подъемную силу j » момент тангажа Ml и
момент крена Мх как результат взаимодействия модели с
потоком. Нагрузки, действующие на модель, через жесткую державку и
рычажную систему передаются к весовым элементам указанных
компонент ( X , у> MjijIW* Рычажная система весового элемента,
на который подействовала нагрузка (сила или момент) выходит из
положения равновесия, но электрическая схема весового элемента
устроена так, что она обеспечивает равновесие путем создания
восстанавливающей силы (момента), перемещая груз вдоль
вращающегося ходового винта. По величине груза и числу оборотов
ходового винта, необходимых для восстановления равновесия,
определяются соответствующие нагрузки.
Измерители параметров потока в рабочей части используются
для определения полного давления Ро и статического давления
Рст . Полное давление измеряется перед соплом, а статическое
в начале рабочей части. Основными узлами измерителей Ро и Per
являются весовые элементы сильфонного типа. К силъфонам
подводится измеряемое давление, перепад этого давления с атмосферным
давлением вызывает сжатие-или растяжение сильфонов, которые
соединены с рычажной системой весового элемента, принцип работы
114

Принципиальная схема аэродинамической трубы А-8
'? 8 9
/
и- б
3 Г
ЩШ?*'
Ш7777г^
<
Z
Рис. 5

которого такой же, как и в случае измерения сил и моментов
аэродинамическими весами.
Оптический прибор ИАБ-451 предназначен для изучения
теневой картины обтекания модели в рабочей части трубы. При помощи
фотографирования или киносъемки теневая картина, наблюдаемая
через оптичесже стекла, может быть зафиксирована-на фотопленке
или киноленте, что позволяет проводить более тщательное
изучение сверхзвукового течения вокруг модедо: области сжатия и
разрежения, скачки уплотнения, срывные зоны.
Механизм "ЯСИ с дозатором служат для установки модели в
рабочей части трубы на определенный угол атаки ОС и
перемещения ее с одного угла на другой по заданной программе в
процессе эксперимента. *
Печатающий механизм позволяет зафиксировать на бумаге в
цифровом .виде значения сил и моментов, действующих на модель
при обтекании модели потоком воздуха, а также параметры потока:
полное давление Ро , статическое давление Per , донное
давление Р| f давление в обтекателе подвески Рхб • Для этого
между печатающим механизмом и весовыми элементами всех
компонент существует селъеннная связь, обеснечивающая
воспроизведение одинаковых значений на счетчиках оборотов печатающего
механизма и соответствующей компоненты весов или измерителей
параметров потока. Цена ©борота на счетчиках опредехяется
предварительной тарировкой весовых элементов.
]V . Методика' проведения эксперимента и обработки
результатов
I. Порядок проведения эксперимента (пуска трубы)
следующий:
1) перед открыванием запорной задвижки Лудло подается
звуковой сигнал;
2) нажимается кнопка иоткрытие задвижки Лудло";
3) подается вторичный звуковой сигнал;
4) поворотом ручки "открытие быстродействующей задвижки"
задвижка открывается на угол, при котором в форкамере устанав-
116

ливается заданное полное давление;
5) ручное управление быстродействующей задвижки
переключается на автоматическое;
6) выполняется намеченная программа эксперимента: при
помощи печатающего механизма фиксируются на бумажном протоколе
величины избыточных давлений (полного, статического, донного),
компонент сил и моментов при заданных углах атаки; параллельно
производится фотографирование или киносъемка обтекания конуса
при тех же углах атаки;
7) после выполнения программы модель возвращается в
нулевое положение, соответствующее углу атаки cL-О ;
8) поворотом ручки "закрытие быстродействующей задвижки"
задвижка закрывается, нажимается кнопка "закрытие задвижки Дуд-
ло". После полного закрытия задвижки Лудло эксперимент закончен.
2. Обработка результатов эксперимента
Для того чтобы по данным протокола рассчитать
аэродинамические характеристики конуса, необходимо:
1) проставить на протоколе величины тарировочных
коэффициентов, указывающих цену одного оборота в килограммах или
килограммометрах соответственно для сил и для моментов сил;
2) по показаниям барометра и термометра зафиксировать
атмосферное давление и температуру.
Расчет параметров потока и аэродинамических характеристик
Для определения безразмерных аэродинамических
характеристик необходимо знать параметры потока Ро и Per , которые с
учетом показаний измерителей давления определяются по формулам
Ро ~ Ратм + Роиз* * Path + (^ М0 Кро >
Рст^РатМ " Рстизь^Ратм - (Л-И,о)ст ?рст ,
где Р/\ГМ = Р* +ЛР>
Х-Ш5
117

^ р = 0,000163 х Pf - поправка на температуру; Р& -
барометрическое давление в миллибарах (показание барометра в том же
помещении, где измеряется температура); (Н--По)о, (/г-По^ст -
число оборотов счетчиков измерителей полного и статического
давлений; Кро > Крст - соответствующие коэффициенты.
Считая расширение потока в сопле Лаваля адиабатическим и
пренебрегая потерями, число М — У/OL ( V - скорость потока,
(Х> - скорость звука в потоке на выходе из сопла), можно
рассчитать по формуле
-'*
Рот V г
где /С = 1,4 - показатель адиабаты для воздуха.
По этой и другим формулам составляются таблищ значений
Ро/Per, §о/§ст и Т-Д* Для заданных значений И [^J • Число
М можно также определить по формуле
/СИ
?.. А
(/+^M^
я* м (ш)Ш?>
где г - площадь выходного сечения, a hep - площадь
критического сечения сопла.
Скоростной напор выражается через параметры Per и Гм :
У Z IP l
При обтекании модели потоком газа ее аэродинамические
коэффициенты определяются по формулам
118

p&- Я
_ Hot _ (/t'fto)/*tX trtix-
где л - сила лобового сопротивления, действующая на модель
по направлению потока;
У - подъемная сила, действующая на модель перпендикулярно
направлению потока;
Mjj - момент тангажа - мбмент относительно оси весов 03: ,
проходящей через центры оптических стекол на боковых панелях
(стенках) рабочей части трубы;
М#- момент крена - момент относительно оси OX f проходящей
через центр весов 0 по направлению потока;
(И'^о)^?(^По^Я> (n^n,o')nii,(n->to)/yiX- показания
счетчиков компонент в оборотах;
К,Х, JCj/,tfitltiCmX- коэффициенты счетчиков соответствующих
компонент;
о - максимальная площадь сечения модели перпендикулярной оси;
й - длина модели; &/ - диаметр максимального сечения.
119

Для определения аэродинамических характеристик в
связанной системе координат используются формулы
Сх{ = Сх eoscc - Су й^<*-
Если известно значение момента тангажа относительно оси весов
( ГУЬЦ- №%$? ), то пересчет его относительно оси,
проходящей через другую точку (например, носовую точку модели А )
параллельно оси весов дает формула
Р
где ъ>0 _ расстояние от оси весов до точки Л
Важной характеристикой при обтекании модели является
координата точки приложения аэродинамической силы - координата
центра давления Х$ (обычно отсчитывается от передней кромки
крыла или носовой точки осесимметричной модели). Безразмерное
значение
Cq* Xg/t^rtM/Cyi
Для определения давления на поверхности исследуемой модели
(полного или статического) используются дренажные или дренажно-
электрические трассы от отверстия в соответствующей точке
поверхности до регистрирущего устройства. Как правило, при
сверхзвуковом обтекании полное давление больше атмосферного, а
статическое давление меньше атмосферного, поэтому для конуса
Pot* Ратм + Роизбк, ,
РсПС PfiTM - РсТИЗБ1С .
120

Здесь го и ьб ? 9Р<хтиЪб - перепады между полным давлением и
атмосферным давлением ( Роизб *Роп - Раг*л ) и аналогично между
атмосферным и статическим давлениями ( РсгиЗб -Рлпл-Рст).
V. Порядок выполнения задачи
1) Подготовить и провести эксперимент (см. п.З).
2) Для нулевого угла атаки:
- замерить угол fe между головной ударной волной и осью
конуса;
- по замеренным статическому давлению на боковой поверхности
конуса, донному давлению и суммарной силе сопротивления
определить силу трения на боковой поверхности;
- сравнить замеренные и расчетные значения угла Q и Per
на поверхности конуса.
3) При выполнении программы по углу атаки:
- рассчитать и построить графики для зависимостей
Примечание. Автоматизация экспериментальных исследований в
аэродинамической трубе А-8, проведенная с использованием
современных приборов и вычислительной техники, позволяет проводить
регистрацию и обработку данных с большей производительностью и точностью.
При определении аэродинамических характеристик весовым
способом используются реверсивные счетчики оборотов, которые дают
возможность перевести нагрузку на весах в электрический сигнал. При
помощи электронной системы "Каман-ЭВМ" по заданной программе,
введенной в ЭВМ (например, персональный компьютер) результаты могут
быть получены в цифровом или графическом виде на экране дисплея с
последующим распечатыванием.
Для получения данных по распределению давления или перепада
между разными уровнями давления используются батарея
электрических датчиков ШЩ, опросник и персональный компьютер типа IBM ГОСТ:
электрический сигнал, соответствующий воздействию потока воздуха
на датчик, через опросник (коммутатор) подается на персональный
компьютер, при помощи которого вычисляется механическая величина
или зависимость между определяющими параметрами и, как в случае
определения аэродинамических характеристик весовым способом,
pern

зулътаты могут быть представлены на экране дисплея или на листе
бумаги в виде табличных или графических величин.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука. 1988.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. 1986.
3. Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. М.-Л.: ТТЛ,
1952.
4. Зауэр Р. Введение в газовую динамику. М.-Л.: ТТЛ, 1947.
5. Таблицы Копала.

ЗАДАЧА 6
СОУДАРЕНИЕ ДВУХ УПРУГИХ ТЕЛ
Целью работы является изучение процесса соударения двух
упругих тел, опирающееся на теорию Г.Герца, и
экспериментальное определение величин ускорений.
Т. Описание явления
Если упругие тела при столкновении соприкасаются
выпуклыми частями поверхности, то образуется некоторая область
контакта, как правило небольшая по сравнению с размерами тел.
Напряжения и деформации в области контакта создают силу
взаимодействия соударяющихся тел. Впервые проблему о вычислении местных
напряжений, возникающих при контактных взаимодействиях между
упругими телами, поставил Г.Герц. Решив статическую задачу, он
расширил область применения полученных им результатов на
некоторый класс задач динамики упругих тел, наложив дополнительное
ограничение на относительную скорость движения тел. Основное же
допущение теории соударений Герца заключается в том, что
зависимость между силой и местным смятием при статическом сжатии
сохраняется и при динамических взаимодействиях тел.
Преаде чем перейти к теории соударения упругих тел,
рассмотрим основные уравнения контактной проблемы по Г.Герцу.
IU Теоретическая часть
Предположим, что два упругих ненагруженных тела еощжкаса-
ются в некоторой точке. Допустим, что на каждое тело действует
система активных сил, приводящая к равнодействующей,
направленной по внешней нормали к поверхности этого тела в точке касания
со вторым телом. Предположим также, что точки касания являются
эллиптическими точками поверхности тел. Если тела находятся в
равновесии под действием приложенных к ним активных сил и
упругих реакций, распределенных по области сжатия, то очевидно
должно выполняться следующее статическое условие равновесия
123

\\ р(*,;/)Л>-Р>
(CO) (I)
где 1 - равнодействующая сил, сжимающих тела; р(^>^) -
давление, распределенное по области сжатия СО . Форма и
расположение контура, ограничивающего область OJ , неизвестны.
Второе уравнение вытекает из кинематических условий задачи.
Поместим начало координат в точке касания поверхностей тел до
начала процесса нагружения. Оси координат О ОС и О if
расположим в касательной плоскости, a oci&DZi и 0?^ - в
направлениях внутренних нормалей к поверхностям недеформированных тел
их касания.
Пусть уравнения поверхностей недеформированных тел имеют
вид
Тогда после сжатия уравнения поверхностей тел принимают вид
Здесь - смещения первого и второго тела
в начальной точке касания; V-f и У? - некоторые
коэффициенты, определяющие поступательные смещения тел, возникающие
благодаря местному смятию поверхностей тел в окрестности начальной
точки касания.
Условие контакта имеет вид
ъ- ?> ,
следовательно,
ъг, + ^ <*-/(*> у). B)
сравнение B) является вторым основным уравнением контактной
проблемы по Г.Герну. Здесь оС =¦ iftio + 1&Z0 - сближение тел
вследствие сжатия (.местное сжатие);
124

Учитывая аппроксимацию Герцем и условие
равновесия (Т), имеем
(to>
А =е»ег; 9i - ^(Хц/ьу ъ фг fori >
/It и уМс - упругие постоянные Ляме для первого и второго тел,
p(OCyU) - давление, распределенное по области сжатия СО ,
Форма левой части уравнения C) позволяет решить задачу,
применяя теорию ньютоновского потенциала. Вид правой части
уравнения C) позволяет предположить, что это тело имеет вид
чрезвычайно сплющенного в направлении аси 02 эллипсшда.
Ксли считать, что плотность (? этого эллипсоида в
направлении оси О ? постоянна, то его массу можно выразить в виде
Сравнивая D; с (I), видам, что это уравнение будет
удовлетворено, если положить ^JfCl?^C/3 = Р
125

+ -2- -/
Полагая на границе области сжатия PC^^)~0, найдем
уравнение контура, ограничивающего область сжатия. Очевидно, что
это есть эллипс:
а2
Рассмотрим левую часть уравнения C) как потенциал
эллипсоида. Заметим, что потенциал однородного эллипсоида на внешнюю
точку выражается следующим образом:
л T/j К1 _Mt-__^L\____A^——
<)
где v _ положительный корень уравнения
С?+* Р+* СХ±^>
Потенциал эллипсоида на внутреннюю точку выражается так
оо
HeaU\U Tl * *\ — ^ -
ji^up )у-аЧч, 6х^ с^ч>)[(a\Y)(g\W(cz+V)Jf/\
Полагая 2? = О . ^ =0 , получим после подстановки в уравнение
C):
о
IJ6
'!*>)

Отсюда находим, приравнивая коэффициенты при X и Ч в
левой и правой частях уравнения E):
F)
оо
M = |(ft.fe)P( (т^5р^р
Заметим, что , где б - эксцентриситет
эллипса. Положим , тогда
М oS f-P^^^I^D^fffw-e^G)
Из первого уравнения F) и уравнения G) можно установить
зависимость между оС и _Р :
Л"У^ lT"i(^f)va[f(f+i-eA)J//l r ¦
127

f\2Ji
Следовательно, oi - 1С г
или Р= М<*- "" (8)
где
Зависимость между силой Jl и местным смятием оС (8) при
статическом сжатии Герц счел возможным распространить на теорию
соударений упругих тел.
Рассмотрим соударение двух упругих тел, движущихся
поступательно. Скорости в момент соударения предположим
направленными вдоль нормали в месте контакта тел. Расположим оси координат
ОХ и 0% в касательной плоскости, а оси 0%i и ОХц - в
направлениях нормалей. Тогда дифференциальные уравнения движения
центров инерции тел вдоль соответствующих осей OX.i и OXz
Срис.Т) имеют вид
d Zit n d lit
Mi -JTZ-P , mz -гиг = Г > O)
где М>4 и Ж}L - массы тел, %{С и TiZd - координаты4их
центров инерции в обусловленных выше координатных системах, Р
проекции главного вектора сил взаимодействия на оси
Пусть координаты центров инерции тел в начале контакта
будут stjCO и %Z?0 . Принимая, что относительные смещения
центров инерции зависят исключительно от местного сжатия (т.е.
пренебрегая всеми деформациями, кроме местных), можем написать
равенства

// /// /// ////// /f//////f/ /f
-€
re—»—
T
Рис.
tit = 2/eo " ^ ^VO - ^^#0 ,
Хле = too -«-*<Wi0-(<-\>tivrzo ,
A0)
где ^70 и ^t> - смещения I- и 2-го тел в начальной точке
касания, "р/ и v^j, - некоторые коэффициенты. Отсюда
% it +" ?ге = ?#0 + %лсо ~~ Л >
где oi^w{Q + Wio - сближение тел вследствие сжатия.
Дифференцируя это равенство по времени и пользуясь уравнениями (9), яо-
лучаем
/ <Л- _l d- lit
mil jjz+ —-—
KJLt
Исключая
Лг
'="P.
находим
mi+nii Jit
С учетом зависимости (8) уравнение (II) приобретает вид
(П)
9-I4I5
129

где
dt3- Z > A2)
Умножая левую и правую части A2) на оС = с?>оС /&Ъц
исключая дифференцирование по Г. , получим
E SXJ5 ( fay/*
A3)
A4)
A5)
!!! . Экспериментальная часть
I. Описание установки
На рис.1 изображена схема проведения эксперимента по
соударению двух тел I и JL . Два тела - одно с плоскими
торцами, другое в виде цилиндра, один конец которого оканчивается
усеченным конусом с криволинейной поверхность», имеющий радиус
кривизны R* . Тела подвешены на тягах Т , диаметры и
массы тел одинаковы. В исходном положении оси тел составлягг одну
горизонтальную прямую линию, криволинейная лтоверхность тела I
(бойка) касается центра^ торцевого сечения II (приемник,
воспринимающий удар тела I ). На противоположном конце тела Д
закреплен пьезооптический акселерометр - прибор, измеряющий
ускорение.
130

Рассмотрим схему простейшего пьезооптического
акселерометра.
Рис. 2
Принцип действия пьезооптического акселерометра основан"
на использовании известного физического явления - изменения
коэффициентов преломления света в прозрачном твердом теле под
действием механических напряжений. Это явление' в физической
литературе обычно именуется пьезооптическим эффектом, в механике
его принято называть фотоупругостыо.
На рис.2 для пояснения принципа действия представлена
простейшая схема пьезооптического акселерометра, состоящего из
источника света i , поляризатора % , чувствительного
элемента 3 в виДе параллешпеда из твердого прозрачного тела с
большими пьезооптическими постоянными, анализатора ^ ,
фотоприемника 5" и инерционного груза G , присоединенного к
чувствительному элементу. Ускорение объекта, на котором закреплен
акселерометр, приводит к возникновению инерционной силы,
действующей на чувствительный элемент 3 . Механические нап^Яления,
создающиеся при этом в чувствительном элементе, вызывают
анизотропию его оптических свойств, следствием чего является
возникновение двойного лучепреломления. Луч света от источника 7 ,
пройдя поляроид-иоляриватор ? , становится линейно-поляризо-
131

ванным. В чувствительном элементе 3 ^тот луч распадается на
два, плоскости которых совпадают о напряжением наибольшего и
наименьшего нормальных механических напряжений,
перпендикулярных лучу. Коэффициенты преломления этих лучей соответственно
пропорциональны указанным механическим напряжениям. Поэтому эти
лучи распространяются с разной скоростью и на выходе из
чувствительного элемента имеют некоторую относительную разность хода,
пропорциональную силе, приложенной к чувствительному элементу,
которая в свою очередь в определенном диапазоне частот
пропорциональна измеряемому ускорению. Поляроид-анализатор Ц
выделяет из указанных лучей составлящие, плоскости поляризации
которых совпадают с его плоскостью поляризации. Эти составляющие
являются когерентными лучами с общей плоскостью поляризации,
поэтому в результате их интерференции световой поток, поступающий
на фотоприемник, зависит от взаимной разности хода лучей, т.е.
в конечном итоге - от измеряемого ускорения. Изменение
светового потока преобразуется фотоприемником Ь в электрический
сигнал, который поступает на вход вторичной аппаратуры для
дальнейшего преобразования и регистрации.
Физические явления, происходящие в реальных пьезооптичес-
ких преобразователях, несколько сложнее описанной здесь
упрощенной схемы, так как
1) материал чувствительного элемента имеет исходное двойное
лучепреломление;
2) используется немонохроматическое излучение;
3) в просвечиваемой зоне чувствительного элемента
напряженное состояние неоднородно вдоль и поперек луча;
4) пучок лучей, проходящий через чувствительный элемент,
непараллелен;
5) применяемые поляроида пропускают некоторую часть непо-
ляризованного света.
2. Порядок действии
Соударение осуществляется следующим образом: тело I при
помощи шнура Ш_ отводится назад и поднимается на высоту /v •
По команде шнур отпускается, и боек, опускаясь, разгоняется до
132

скорости l/o к моменту соприкосновения с телом I .
Закрепленный пьезооптический акселерометр на теле IE (на
противоположном конце от места соударения) регистрирует ускорение этого
тела во времени
Электрический сигнал с акселерометра поступает на вход
одного из каналов катодного осциллографа CI-I7, где
усиливается до нужной величины и поступает на отклоняющие вертикальные
пластины электронно-лучевой трубки (ЭЛТ).
Осциллограф устроен так, что луч одновременно может
разворачиваться по экрану ЭЛТ с разной скоростью по горизонтали и по
вертикали. Таким образом, любой электрический сигнал
регистрируется на экране ЭЛТ во времени. Дяя снятия характеристики
электрического сигнала на экране ЭЛТ закреплена масштабная сетка,
проградуированная по вертикали в вольтах и по горизонтали в
секундах. Весь процесс фиксируется на фотопленке в виде кривой
линии. Одновременно по второму каналу осциллографа CI-I7 ведется
регистрация времени соударения тел.
]\/. Обтэаботка и анализ результатов
В результате обработки осциллограммы процесса соударения
определяется зависимость cut) . в том числе та*,
Максимальная сила Ртах определяется по формулеБ*^*=^г~^^я(,
а также по формуле A5) с использованием данных эксперимента
(массы соударяющихся тел /714 и ^Z и скорости соударения).
Величина oLnUiy рассчитывается по формуле A4).
В заключение составляется таблица расчетных и
экспериментальных величин и производится их сравнение для каждого
эксперимента
N
ОПЫТА
к
%
ОСм-Щ
(г в op)
(э/ссп)
оС 1ЕОР /°
9Х-Ш5
•133

Примечание: При определении °?> необходимо знать значения
коэффициентов Ляме для материалов соударяющихся тел
Сталь:
J

ЗАДАЧА 7
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ-.ПОДВОДНОГО ВЗРЫВА
^ СФЕРИЧЕСКОГО ЗАРВДА
Целью работы является исследование величины максимального
давления и нахождение, профиля всхщщ.в воде на различных
расстояниях от центра взрыва.
Т. Описание явления
При взрыве сферического заряда ВВ яГводе она ведет себя -
как сжимаемая среда. Пузырь, заполненный газообразными
продуктами взрыва, создает сферичеокуйиударную волну, которая ирет по'*t/
невозмущенной жидкости. За ударйой волной образуется'сферическое
расходящееся течение и газовый пузырь расширяется. ДавЛ'ейие ъ
нем падает. Падает оно и во всей области течения вплоть до
ударной волны,'которая с течением времени ослабевает.' Мйогочисленйые
эксперименты и исследования взрыва в воде [ 1-4 J - показали, что
в фиксированной точке пространства падения давления с течением
времени вполне удовлетворительно описывается ЪкспонейцяаЛьным
законом затуханий- **
??Рт,-»*Р(-Щ;
где гт, - начальное пиковое давление, а У - коэффициент
времени экспоненциального затухания. Давление Р в предлагаемой
формуле понимается как избыточное над гидростатическим. Значение
t -О соответствует приходу в данную точку ударной волны.
Точность рассматриваемого приближения проверяется совпадением
изображения функции от времени t , с прямой линией,
имеющей'отрицательный угол наклона- и проходящей через
начало координат на плоскости Р/Рщ^'С . К моменту времени X* У
давление должно иметь значение, равное примерно 30% своей
начальной величины, для которого выполнено равенство иЪ(Р/Рм)~Ч.
Коэффициент О зависит от расстояния фиксированной точки до
центра взрыва и начального радиуса заряда [ i] и определяется
экспе риментально.
135

]L Теоретическая часть
Анализ опубликованных экспериментальных данных LI-3J »
полученных при взрыве сферического заряда в воде, показывает, что
если при взрыве какого-либо заряда параметры детонации не
зависят от его размера и не происходит догорания продуктов
детонации, то имеет место закон геометрического подобия, согласно
которому при взрыве двух зарядов их линейные размеры и все
расстояния находятся в одинаковом отношении. Образующиеся ударные
волны будут иметь на расстояниях, связанных этим соотношением,
одинаковые давления, измеряемые в моменты времени, подчиняющиеся
тому же соотношению подобия. Для определения эмпирических
законов подобия введем следующие обозначения:
fL и ?о - расстояние до центра взрыва и радиус заряда, м;
Г - относительное расстояние от центра взрыва,^-/2/fio;
С - масса (ВВ), кг; G - удельная теплота взрыва, ккал/кг;
С(х - энергия взрыва, ккал; CL - скорость звука в воде, м/с;
§ и §0 - плотности вода и заряда ВВ, кг/м ; Prrt -
максимальное давление, кгс/см ; ГЬ - показатель политропы воды;
t - время действия ударных волн, мкс.
Выпишем систему определяющих параметров при взрыве
источника в воде:
Из них можно составить безразмерные комбинации:
9.о Яо аг q
t-Q-
Поскольку на фронте волны между Г и ?q имеется
функциональная связь!. 0-/^= гif), то система определяющих
независимых параметров будет
136

Следовательно,
Prr, Г/ 1 J_ ,Л
§^-Kr, &> so**;.
Очевидно, что для г УУЬ должно выполняться следующее
равенство
&rrv Prrv-O,
r-
(I)
т.е.
Так как в случае такого подводного взрыва, когда максимальные
давления ограничены неравенством Рт, ^ 1000 кгс/елг, согласно
[2, 3J , для Рт справедливо равенство
W ю
12)
$а1 г*
где HKZ-
Здесь /С зависит от свойств источника взрыва и воды. Так как
n=C0n*tt тоГ~т(сЩ, ?0'§). Если инициируемое взрывом давление
Р/п^ТОО кгс/cwr, то можно считать, что величина <g=conit и
?U<2m44i, и, следовательно, параметр /С зависит только от
свойств источника взрыва. Окончательно соотношение B) перепишем
в виде
P~ = la/r* ,з,
Пусть 4 и ? на рис .1 представляют из себя годографы
фронтов ударных волн, возбувденных взрывами в воде зарядов Ci иС^,
причем Ci> С2,. Естественно, что на плоскости ~t , R- кривая 2
располагается выше кривой 1 . Поскольку процесс
распространения ударных волн в воде подчиняется закону геометрического
подобия, то на основании этого закона для кривых 4 и ? можно
записать соотношения
137

откуда
Д= Vc<-(ti/t03.
It 2, /
Ro Ra Ro R<. /I
Рис. I
Аналогичные рассуждения позволяют получить,этот же параметр в
виде ¦
MCz/C^(flz/Rif F)
138''

Таким образом, если имеется годограф фронта ударной волны
в воде, возбувденной зарядом Cj , вес которого известен, то
по известному другому годографу можно определить вес заряда С& .
Для простоты достаточно иметь кривую i и знать точку А ,
принадлежащую кривой 2 . Далее, из начала координат плоскости
t , ft и точку /\ проводится' прямая, пересекающая кривую 1
в некоторой точке 6 . Перпендикуляры, опущенные из точек В
и А на оси ординат и абсцисс, отсекут на них соответственно
величины if и t^ , #4 и Я& j Подставляя значения ti
и t& в E) или Q* и R-2- в F), находим параметр Я и,
соответственно, вес С2 . Поа*е чего, по известной плотнеют §о
заряда С^ определяется его радиус
Годограф f на плоскости t "* ru можно определить из
численного решения задачи о взрыве сферического тротилового заряда в
безграничном пространстве, заполненном водой с'давлением Р-0
и удельным объемом у = 1(Г3 м /кг. Сферический заряд
моделируется оболочкой, внутри которой содержится сильно нагретый
сжатый воздух. Распределение газодинамических параметров внутри
сферы принимается постоянным по объему. Давление в"газе равно
69U00 кгс/см . В момент "? = О эта оболочка мгновенно исчезает.
По алгоритму, рассмотренному в работе ? 4] » рассчитываем
возникающее движение воды и газа, описываемое в переменных Лагран-
жа системой , уравнений
Здесь R>^.- эйлерова координата частицы; U - скорость;
1/ - удельный объем; Р - давление; В - внутренняя
энергия; Яа и ift равны #4f ?*Lfc«0 и ITf-lTji-O кЯ\ - коор-
G)
139

дината Лагранжа). В уравнения G) введена искусственная
вязкость CL , которая согласно [б] берется в виде
где р= И-ЫУ. и %'Ц№. IvmabAU'UCfa+AalHto)
CL - местная скорость звука, Ы* и р - константы
соответственно равные 0,5 и 4; искусственная вязкость ^ вводится
для сглаживания численных осцилляции и для размазывания
ударного фронта).
Если Д и>о , то величины ^,4 и fy/l полагаются
равными нулю. В качестве источника взрыва рассматривается
сферический тротиловый заряд плотности §0 - 1,6 1СГ3 кг/м3 с
начальным радиусом равным fio = Ь 1СГ3м. Продукты взрыва
моделируются уравнением состояния, представленным в виде
с переменным показателем адиабаты </^e^(^v .
Для тротила показатель адиабаты If задается следующими
соотношениями j[4 J
/ = /, fg-QOMfaZb+O.OOtw), WMbxW),
где uj = V/Vr* f if*. « /0~3М3/Ю •
T40

Скорость звука в газе определяется выражением
Для воды используются следующие уравнения состояния:
ШУШЕРА--*?^:b *'
РН
5.,г
С»- Л
Н"р[$
Для скорости звука в воде имеем
(йг[КЧР%+K'X^-^/S'J^h Р>/о3^
ft'
'= i
тРтКт(Рт/&)
/YL-i
Решение, уравнений (У) проводится по численной схеме, взятой из
работ [ 4 - 5 J .
Полная система конечно-разностных уравнений имеет вид
уравнения движения:

Уравнение неразрьюности
Уравнение энергии
Уравнение состояния
Дяя искусственной вязкости им§ем
142

причем, если I/» ^ > L/ ^ , то ^'f/^C/ .
Верхние индексы в разностных уравнениях отмечают моменты
времени, а нижние - рассматриваемую материальную частицу. Параметры
с полуцелыми индексами отнесены к центрам временных или
пространственных интервалов A t. и аО*Л . Целые индексы
соответствуют границам этих интервалов.
Шаг по времени выбирается из условия критерия устойчивости
Неймана [ 5 J :
At" - «гзсжт ¦аС=л*ы~r'l '
причем 6=0 , если (y/V) ^ 0 .
Программа численного решения на ЭВМ интересующей нас
задачи составлена на языке FORTRAN для машины ЕС 1045,
находящейся в Институте механики МГУ.
Содержание работы состоит в экспериментальном определении
коэффициентов >) и 0 . С помощью численного моделирования
вычисляются величины Но и Ю .
[И . Экспериментальная часть
Схема экспериментальной установки представлена на рис.2.
В заполненную водой взрывную камеру помещена штанга, на которой
закреплены три датчика: один турмалиновый <©</ (для измерения
давления в соответствующей точке) и два пьезокерамических
@зап - для запуска развертки осциллографа, З)ъ - для
запуска частотомера). Волна возбуадается подрывом электродетонатора
ЭД, находящегося га расстоянии г? от датчика &4 . Произво-
143

уровень воды
&'6рь1Вна$ камера.
Рис. 2
дится два отдельных взрыва. В первом случае расстояние
R. равно I или 1,5 м; в о в т о р о м - Я равно 0,5 или
0,8 м. Положение датчика <©здп выбрано таким образом, чтобы
расстояние L между ЭД жЮъаП было меньше расстояния f? на
2 - 4 см. Таким образом, ударная волна от взрыва заряда ВВ
достигает датчика 2)зап на интервал времени At- (fc-t) /С
быстрее нежели датчика ?>-/ , где С - скорость фронта ударной
волны.
Т44

Момент взрыва фиксируется пьезодатчиком <Оъ , расцоложен-
ным вблизи заряда ВВ.-Сигнал, воспринимаемый, датчиком 2>4 ,
расщепляется на два параллельных канала: по одному каналу сигнал
поступает на обциллограф, а по другому - на частотомер. По
показанию частотомера определяется время движения ударной волны от
заряда ВВ до датчика
Схема конструкции детонатора иллюстрируется да рис.3.
кумулятивная гильза
Рис. 3
Внутри латунной гильзы находится заряд взрывчатого вещества,
состоящий из гремучей ртути и тетрила-. *0В непосредственной
близости от слоя гремучей ртути помещена воспламенительная
головка с находящимся внутри нее мостиком накаливания. Воспламени-
тельная головка состоит из бертолетовой соли и связующих
добавок. На мостик накаливания с цульта управления подается
электрический импульс амплитудой ^~> 200 В. После этого образующиеся
искры попадают на слой гремучей ртути, которая способна детони- .
ровать даже в малых количествах от малого теплового импульса.
10-1415
I4S

Поэтому гремучая ртуть используется как инициирующее веществе.
Детонация гремучей ртути вызывает детонацию чиновного заряда ЭД,
состоящего приблизительно из i г тетрила. В торце латунной з*млъ-
зы имеется кумулятивная выемка, концентрирующая большую часть
энергии, выделяющуюся при взрыве ЭД, для подрыва тротиловой
шашки. Иногда в качестве источника ударной взрывной волны будем
использовать только электродетонатор. В настоящей работе для
измерения давления используются пьезоэлектрические датчики, в
которых чувствительным элементом является пьезоэлектрик. Рьезоэлект-
рик представляет собой диэлектрик, электризующийся под действием
механичесгшх напряжений. Возникающий в нем заряд пропорционален
этим напряжениям. При анализе электрических цепей, включающих
пьезоолектрик, его следует рассматривать как генератор заряда.
На рис. А изображен датчик давления игольчатого типа,
применяемый в данной работе.
эпоксидная смола
ньезоэлектрик
электрические выводы
Рлс. 4

Пъезоэлектрик размером примерно 1хТ*Т мм находится внутри
корпуса, изготовленного из эпоксидной смолы. При такой
конструкции датчика пьезозлектрик подвергается всестороннему сжатию.
Время реакции датчика приблизительно равно времени прохода
волны в воде мимо чувствительной головки. Головка датчика имеет
длину 5 мм. Этим датчиком можно исследовать процессы,
длительность которых превышает 3,5 мкс.
IV. Обработка и анализ результатов
Показания турмалинового датчика, расположенного сначала на
оасстоянии Rj , а при повторном взрыве - на расстоянии Q& ,
регистрируются осциллографом. Пусть Рпь и Рпг, - максимальные
давления в точках fl\ и ft^ . Тогда по формуле C) им*ем
.- \0 (8)
Разделив одно равенство в (8) на другое, получим
/
По показанию частотомера определяем время движения ударной
волны от источника взрыва до датчика *0-1 . Пусть это время равно
? = \^\ . На плоскости t , (L фиксируем точку /\(ft^t) , где
#4 - расстояние между заряд.ом и датчиком ?)н . После
численного решения на ЭВМ задачи о подводном взрыве сидерического тро-
тилового заряда из точки @,005; 0) строим линию ? ,
являющуюся годографом ударной волны. Сначала сослиняя прямой линией на
плоскости ? > & начало координат и точку А найдем
пересечение этой прямой с линией i . Пусть эта точка пересечения
147

имеет координаты ( fLz , t^, )- Тогда определяем радиус &о
тротилового заряда, взорвав который мы получим картину движения,
наблвдаемую в эксперименте. Радиус flo определяется с пшощъю
равенства
По известному &0_ из соотношений (8) ^находятся параметры
m, >
ICcp = х(^ + ^
Величина К- ср сравнивается, со значением этого параметра,
полученным из анализа результатов численного моделирования
подводного взрыва. Обозначим эту величину через /Ст • Аналогично
сравниваются коэффициенты л) , полученные из
экспериментального исследования и с помощью расчетов на^ЭЕМ. Как уже отмечалось,
падение давления в данной точке после прохождения взрывной
волны может быть описано экспоненциальным -^законом затухания.
Коэффициент времени экспоненциального затухания С? определяется
из соотношения
являющегося уравнением прямой с угловьм коэффициентом равным i/9.
Эта прямая в плоскости F -СГ проходит через начало координат.
Снимая с осциллограммы значения Ti , FCt4) , найдем для точек
R? и Ка величины 6 из равенства
148

Значение номера ПЬ выбирается в соответствии с требуемой
точностью для Э (обычно№ = Ю). Вычисленные таким образом
величины 6 сравниваем на осциллограммах с моментами времени,
при которых давления в точках ?ч и лГя, упадут до значений
равных примерно 30$ соответствующих значений Рт, .
Протокол эксперимента
I.
1
и
&l(p;/fw)
Si
Среднее значение д
у=^(р^/р1)/М^/М.
3. Годограф ударной волны (по результатам численного решения).
ЛИТЕРАТУРА
1. Коул Р. Подводные взрывы. М.: ИЛ, 1950.
2. Христофоров Б.Д. Подводный взрыв в воздушной полости // ПМТФ.
1962. Л 6.
3. Христофоров Б.Д. 0 подобии ударных волн при взрыве
сферических зарядов в воде и воздухе // ПМТФ. 1963. & 2.
4. Щуршалов Л.В. Расчет мощных подводных взрывов // Изв.АН СССР,
Механика жидкости и газа. 1971. ? 5.
5. Уилкинс М.Л. Расчет упруго-пластических течений //
Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967.
Ы*-Ш5 I4S

ЗАДАЧА 8'
ЗЖЯШр; .ВРАЩЕНИЯ ЦИЛИНДРА, НАХОДЯЩЕГОСЯ В •
. ПОПЕРЕЧНОМ ПОТОКЕ, .НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ
,' ПО ЕГО ПОВЕРХНОСТИ
Целью работы являются изучение влияния вязкости на
распределение давления по поверхности невращащегося и вращающегося
.цилиндра в .аэродинамической jpy6e A-IO с .местным коэффициентом
турбулентности <5 = 0,4$, -измерение. давления и сравнение эпюр
коэффициентов давления для двух случаев, а также определение
коэффициента" подъемной силы по распределению давления.
!• Описание явления
Задача о вращЬщемся цилиндре, расположенном в поперечном
потоке жидкости или газа возникла еще в конце XIX века.
Изучением аэродинамики и гидродинамики вращающегося цилиндра
занимались Прандтдь,, Ралей> Магнус и др. Основным и наиболее-важным .
эффектом вращения цилиндра является несимметричность течения
относительно оси параллельной вектору скорости набегающего
потока. В этом существенное отличие от случая невращающегося
цилиндра. Вследствие асимметрии, потока происходит
перераспределение давления по поверхности вращающегося цилиндра. Если в
случае отсутствия вращения подъемная сила Г# равняется нулю, то
для ,вращающегося цилиндра ока будет ощутимой. Сила г ^.
называется силой Магнуса - по имени немецкого ученого,- впервые
объяснившего эффект всплывагащ цилиндра при вращении его в
жидкости. -
Круг задач, где присутствует вращение*тела, весьма широк и
охватывает классические и прикладные вопросы. К ним можно
отнести задачи, связанные с движением в атмосфере различных снарядов,
которые вращаются вокруг своей продольной оси, вылетая из
нарезного ствола. Вращение придает устойчивость движению снарядов.
Однако при этом возникает боковая сила, отклоняющая тело от его
траектории движения.
Вращающиеся цилиндры использовались в годы мировой войны
как тяговый инструмент на кораблях военно-морских сил на Западе.
150

Цилиндры устанавливались вертикально на палубе и при вращении
появлялась тяговая - боковая сила, перпендикулярная направлению-
ветра.
В настоящее время в США создана фирма, где в качестве
элементов управления полетом дирижаблей используются вращающиеся
сферы.
Эффект вращения находит широкое применение в устройствах,
погашающих отрыв потока, напршер па крыловых профилях,- на
которых вращающийся цилиндр устанавливается по образующей впереди
тела. Дяя любого угла атаки, подбирается екдрость вращений,^когда
отрыв с передней кромки предотвращается. Кроме того, эффект
вращения имеет место в задачах, связанйых с химической/технологией,
при расчетах различного типа ротрров и т.д. Многие1особенности
течения, возникающие в выше отмеченных задачах, плохо» изучены и
требуют дальнейших исследований.
][ . Теоретическая часть
При установившемся обтекании дозвуковым потоком газа
вращающегося цилиндра возможны два, существенно отличных по
характеру режима течения: без отрыва; с отрывом потока с
подветренной стороны цилиндра.
В случае течения без отрыва скорость, набегающего потока
мала и число Рейнольдса, вычисленное по диаметру цилиндра/2.2*-^
Ь. Дяя fiQci ^ 5 наблюдается два вида отрывного'течения в
зависимости от величины скорости вращения. При умеренной скорости
вращения UJ с подветренной части срываются две вихря,
которые- имеют различную интенсивность из-за асимметрии положения
точек отрыва &J и о? , вызванной вращением цилиндра (рис.
1,а). При достаточно большой скорости вращения один из вихрей
затягивается и отрыва не наступает (рисЛ,б). Как правило, это
происходит тогда, когда безразмерная величина r&VV©©^> 2.
. Г - радиус тщлиндра, Vo© - скорость набегающего потока.
При дозвуковом обтекании вихреобразования в следе доминируют
при определении аэродинамических характеристик. В том и другом
случае асимметрия течения вызывает появление силы Магнуса,
которая в зависимости от скорости вращения и набегающего потока,
151

может быть ио порядку равной и даже большей, чем сила лобового
сопротивления.
Появление подъемной силы
F у - силы Магнуса -
обусловлено вязкостью среды как для
первого, так и для второго
вида отрывного обтекания. В
связи с этим изучение этого
явления необходимо проводить при
помощи всевозможных моделей,
построенных на основе
уравнений Навье - Стокса. Однако в
ряде сдучаев используются
различные приближенные подходы в
рамках идеальной несжимаемой
жидкости. Характерно, что для
случая 100 (случая
наиболее важного в прикладном
характере) результаты
исследований на основе моделей Навье -
Стокса отсутствуют. Это
объясняется тем, что при расчете
уравнений на ЭВМ при данных
числах Рейнольдса требуются
большие ресурсы оперативной
памяти, которых пока
недостаточно даже у самых моврых
электронно-вычислительных машин.
К приближенным моделям можно
отнести различные методы с
использованием дискретных вихрей
в рамках несжимаемой идеальной
жидкости. В этих моделях
реальные вихреобразования (в зоне отрывного течения) моделируются
дискретными вихрями, которые начинают свое движение из точек отрыва
пограничного слоя.
V«o
Рис. I
152

В настоящее время вопрос о моделировании отрывного
обтекания вращающегося цилиндра остается пока полностью нерешенным.
Экспериментальные исследования - пока единственный способ,
позволяющий довольно точно изучить поведение подъемной силы.
Особенно это важно в случае, когда числа rt?cL велики ( ftfcat—
10 - Т0°). Существует несколько экспериментальных методик
определения Fjf : при помощи тензометрических весов; по
измеренному распределению давления.
В результате измерений при помощи тензометрических весов
получаются характеристики г ^ и Fx . Однако этот способ
для некоторых режимов обтекания, когда сила Магнуса мала,
достаточно груб из-за имеющейся инерционности саглих весов или из-за
наличия в рабочей части АДТ дополнительных устройств, способных
искажать реальную картину течения. Все это очень сильйо может
влиять на показания измерений и может не только изменить
величину силы Магнуса, но и ее направление действия. Поэтому
определение силы Магнуса по измеренному распределению давления на
поверхности вращающегося цилиндра более точно.
Известно два способа измерения давления. Первый,
подробно рассмотренный в данной задаче, разработан в 60-х годах
Миллером и позволяет при помощи вращающейся оболочки и
неподвижного штуцера, притертого к ней изнутри измерять давление при
различном положении штуцера. Второй способ, используемый
Никитиным, основан на том, что на вращающейся осесимметричной
модели выделяется неподвижный кольцевой участок с дренажными
отверстиями в различных радиальных направлениях. Недостатком этого
способа является то, что неподвижный кольцевой участок служит
источником дополнительных возмущений, влияющих на характер
течения около поверхности, учет которых крайне затруднителен.
Особый интерес к изучению силы Магнуса наблюдается при
KQ.cL - ю4 - 10 , когда характер течения вязкой жидкости или
газа в пограничном слое около поверхности вращающегося цилиндра
может быть как ламинарным, так и турбулентным в зависимости от
числа Рейнольдса и скорости вращения ^О . Такой режим
обтекания принято называть критическим, а числа Рейнольдса -
критическими числами Рейнольдса. Для вращающегося цилиндра это обыч-
153

но К,6с? - B - 5) х 1С . С характером течения вблизи
поверхности цилиндра связаны такие малоизученные явления как
возникновение отрывного пузыря, реверс силы Магнуса, положение точек
отрыва и лобовой критической точки и другие.
Каждому режиму течения соответствует свое распределение
давления на поверхности вращающегося цилиндра. Примеры
измеренного коэффициента давления Ср представлены на рис.2.
Рис. 2
Зидпо существенное отличие в распределении давления для
докритического i (когда состояние пограничного слоя еще
ламинарное) и закритического & режимов. Для закритического
режима давление падает в областях отрыва потока, что
свидетельствует а турбулизации течения в пограничном слое.
В данной задаче рассмотрен экспериментальный метод
измерения распределения давления на поверхности вращающегося
цилиндра, расположенного в поперечном потоке рабочей части
аэродинамической трубы. Цилиндр (с--удлинениемЛ=//с?-2 , где С -
длина модели, a CL - ее диаметр) имеет концевые шайбы для
устранения концевых эффектов,1' например отекания пограничного
слоя, которые сильно влияют на результаты измерений.
-Для аэродинамических сил к их коэффициентов известны
формулы
154

РДОЬ/иР
л
О
и
о
Ч Р(^)=ДзмМ-РсГАГ
Рис. 3
It. 4
F:
X
?vi5J
$>-
JW<f)- РсТАТ
is v.
Я
г
где § - плотность газа, Voo - скорость набегающего потока,
& - диаметр миделя.
Таким образом, яная распределение .давления, можно получить
коэффициент подъемной силы Сд
I" • Экспериментальная часть
I* Описаний установки
Измерения проводятся в аэродинамической трубе А-ТО при
местном коэффициенте турбулентности ? - 0,4/!, скорости
набегающего потока V<oo --- 30 м/с и скорости вращения модели W -
1000 об/мин. Схема установки представлена на рис.4. Полый
цилиндр диаметром Сл^ - 0,131 м, расположенный в ядре рабоче"
части АДТ, приводится во вращение двигателем постоянного тока
ПН-ТО. Применение двигателя постоянного тока дает возможность
довольно просто изменять скорость вращения СО при помощи
155

Рйс. 4
156

ЛАТРа меняя напряжение на его выходе. Внутри цилиндра расположен
неподвижный сердечник (рис.5), в котором размещен штуцер для
замера давления. Штуцер посредством клапана герметичного с
внутренней поверхностью вращающейся оболочки совмещается с отверстием
оболочки через каждый оборот (при СО ? 0).
и/7 уqер
кле^паыа
f
Рис. 5
При СО = 0 совмещение штуцера и отверстия производится на
время измерения. После нескольких оборотов давление в полости
клапана становится равным среднему давлению на вращающееся
поверхности в точке Vt - Yl-i +Д? . Производится съем давления.
Затем ось штуцера устанавливается стационарно на угол
и производятся измерения сначала дая СО - 0, а затем СО ? О
и т.д. до Y = 360°.
Измерение давления осуществляется спиртовым \J -
манометром. Причем ?bb~y\bi-hz\ * Риън - Рстаг (рис. 4).
РотАт снимается с трубки Пито - Прандтля, расположенной в
потоке, гМЗМ - получается для каждого положения штуцера,
зависящего от угла V7 , измеряющегося от 0 до 360° с шагом А г
Получаем для каждого У1 величины УА гг? . Для определения
157

величины j ? V
тогда имеем
оО
воспользуемся трубкой Пито - Прандтля,
2
СТА Г
2. Порядок проведения эксперимента
а?.
Т) Устанавливается угол ' L между осью штуцера и
вектором скорости набегающего потока.
2) Обеспечивается необходимая скорость набегающего потока
( V^oo =30 м/с). s t
За) Производится измерение величины (fA/ti при LO - о,
т.е. при отсутствии вращения. Показание записывается в таблицу.
36) Устанавливается скорость вращения модели СО ~ 1000 об/
мин (аэродинамическая труба не останавливается), и при этом же
значении ?1 производятся измерения tfA я- i . Показания
также заносятся в таблицу.
4) Изменяется угол т 6Н "V^ + А/ и повторяются измерения.
об/мин ^ч^
^ - 0
W = тооо
0°
^0<
*0"
120"
/60*
200*
Я0*
ао0
зго°
?е
?*
!\/. Обработка результатов эксперимента
Для получения коэффициента давления Ср необходимо
получить значения *г для каждого значения ?*с
при (Л) -- 0и Я) ~ TU00 об/мин; А Я>*v задается.
Значения CpL наносятся на график. Получаем две эпюрн
распределения давления для случая вращающегося и не
вращающегося цилиндра. Для нахождения С% и Сх воспользуемся Формулами
158

<4-
где tfL=(fL-i*-A{?>Ls*> ,П- (П, . число шагов по f ,
5 - 2Г7 "f ~ диаметр миделя).
ЛИТЕРАТУРА
L. Бэтчелор Дж. Введеше в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.
2. 1'огиш Л.В., Нейланд В.Я., Степпнов Г.Ю. Теория двумерных
отрывных течений // Итоги науки. Гидромеханика. Т.8. ВИНИТИ
АН СССР, 1976.

С О Д 3 P L А И т* 3
РАЗДЕЛ I
Задача I. Продольное соударение упругих стержней ... 3
Задача 2. Сверхзвуковое обтекание клина 13
Задача 3. Поперечные колебания бруса .. 27
Задача 4. Распространение и отражение
гидравлического прыжка • 39
РАЗДЕЛ П
Задача I. Волны разгрузки в гибких растяжимых
нитях 58
Задача 2. Изучение процесса разгона поршня е стволе
пневматической установки 71)
Задача 3. Нелинейные волны сжатий (растяжения) сдви-
- га в тонкостенн'оЛ цилиндрической 'трубе ... 84'
Задача 4/ Прямой экспериментальны^ .метод построения
ударных диаграмм сжатия грунтов ..•.'/ 98
Задача 5. Сверхзвуковое обтекание кругового конуса..107
Задача 6. Соударение двух упругих тел 123
Задача 7. Экспериментальное исследование подводного
взрыва сферического заряда J35
Задача 8. Кяичние вращения цилиндра, находящегося в
поперечном потоке, на распределение
давления по его поверхности 150
Учебное издание
Задачи физико-механического практикума по газовой и
волновой динамике
Зав. редакцией Л.А.Николова. Редактор Ф.И.Горобец.
Н/К
Подписано в печать 22.09.92. Формат 60x901/16* Бумага тип. #
Офсетная печать, Усл. печ. л. 10,0а Уч.-изд. л. 7,43о
Тираж 500 экз. Закаи .'"'/*мУ Изд. У 2563. Цл-а I j. 5C к. ^.^.лс
Ордера "Знак Лочоти" . ? ^тсльст^о .jcj.^-jij „i-*>. ^^ - .

Цена 1 Р- 50 к.