П.-А. МЕЙЕР
ВЕРОЯТНОСТЬ
и
ПОТЕНЦИАЛЫ

PAUL A. MEYER
PROBABILITY
AND
POTENTIALS
BLA1SDELL PUBLISHING COMPANY
A DIVISION OF GINN AND COMPANY
WALTHAM, MASSACHUSETTS . TORONTO . LONDON
1966

П.-А. МЕЙЕР
ВЕРОЯТНОСТЬ
И ПОТЕНЦИАЛЫ
Перевод с английского
В. И. АРКИНА и М. П. ЕРШОВА
Под редакцией
А. Н. ШИРЯЕВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО "МИР"
МОСКВА 1973

УДК 519.21
В книге дано систематическое изложение ряда важных
разделов теории меры, случайных процессов, теории емкостей и
выпуклых конусов, которые находят все новые и новые
применения в теории вероятностей, математической экономике и теории
оптимального управления. Показано, что общая теория потенциала
и некоторые разделы теории случайных процессов на самом деле
образуют единую теорию.
Монография П.-А. Мейера стала одной из наиболее часто
цитируемых книг по теории вероятностей и теории потенциала.
Рассчитанная на специалистов, она, несомненно, будет интересна
и математикам, применяющим в своей работе
теоретико-вероятностные методы. Книга доступна аспирантам и студентам старших
курсов университетов и пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
ХЛ 0223-014 _ п . |Л_.
04Н0П-73 ® Перевод на русский язык, «Мир», 1973

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В 1966 году в серии, выпускаемой Институтом математики Страс-
бургского университета, вышла (на французском языке) книга
П.-А. Мейера «Вероятность и потенциалы» («Probabilites et poten-
tiels»). В том же году вышел и перевод этой книги на английский
язык. Сравнение обоих изданий показало, что в английский вариант
книги автор внес ряд существенных изменений и
усовершенствований. Именно этим объясняется то, что предлагаемый перевод сделан
с английского издания, хотя при редактировании нам приходилось
довольно часто обращаться и к французскому изданию.
Среди специалистов по теории вероятностей книга П.-А. Мейера
приобрела широкую и заслуженную известность, о чем
свидетельствует большое количество ссылок на нее в научной литературе.
Объяснить эту популярность можно тем, что автор удачно изложил
ряд важных для теории вероятностей вопросов, которые были
известны специалистам в основном лишь по журнальным статьям.
К их числу можно отнести многие важные разделы общей теории
случайных процессов, теории меры, теории емкостей, теории
мартингалов, теории выпуклых конусов.
На первый взгляд может создаться впечатление, что указанный
круг вопросов слишком разнороден для одной книги. Однако автор
убедительно показывает, что все они необходимы при изложении
теории потенциала.
Книгу нельзя назвать легкой для чтения. Сам автор пишет, что
она рассчитана в первую очередь на исследователей, активно
работающих в теории вероятностей и теории потенциала. Первая часть
книги, хотя и называется «Введение в вероятностную теорию», на самом
деле является изложением тех традиционных понятий и результатов
теории меры и интегрирования, которые существенно используются
в неэлементарной теории вероятностей. Помимо этого материала
читатель найдет здесь систематически изложенную теорию покрытий
и аналитических множеств и теорию емкостей Шоке.
В четвертой главе приводится ряд полезных результатов,
касающихся существования у случайных процессов модификаций с
нужными условиями измеримости.
Вторая часть книги целиком посвящена теории мартингалов и
супермартингалов. Этот материал вполне заменяет соответствующее
изложение этой теории в известной книге Дуба «Вероятностные
процессы» [1]%

6
Предисловие редактора перевода
В восьмой главе приводятся фундаментальные результаты^
полученные автором, для квадратично интегрируемых мартингалов.
В последние годы в теории квадратично интегрируемых
мартингалов были сделаны существенные продвижения, с которыми читатель
может ознакомиться по трудам семинара по теории вероятностей,
руководимого П.-А. Мейером, в Страсбургском университете (см. Lecture
Notes in Mathematics, Springer-Verlag, vol. 39, 51, 88, 124, 191).
В последней (третьей) части книги автор преследовал вполне
определенную цель — показать, что общая теория потенциала и теория
марковских полугрупп на самом деле образуют единую теорию.
В этом смысле материал третьей части будет полезен не только
специалистам по теории вероятностей, но и тем математикам,
которые пожелают ознакомиться с вероятностными методами в теории
потенциала.
Автор отнесся с большим интересом и вниманием к изданию его
книги нд русском языке. Он прислал свои замечания и
исправления, которые были нами учтены при редактировании. Вряд ли было
целесообразно каждый раз указывать те места, в которые вносились
исправления как автором, так и переводчиками и редактором,
поскольку это могло лишь затруднить чтение книги. Переводчики
В. И. Аркин (гл. I—VI, XI) и М. П. Ершов (гл. VII—X)
испытывали определенные трудности, связанные с отсутствием в русской
литературе по этой тематике ряда соответствующих математических
терминов.
Велико было искушение дать к книге дополнение, отражающее
дальнейшие достижения в данной области. Однако автор и редактор
отказались от этого, решив, что в таком случае пришлось бы заново
переписать некоторые места книги с учетом достижений последних лет.
А. Ширяев

ПРЕДИСЛОВИЕ
Содержание книги составляют исследования, и я не пытаюсь
рекомендовать ее в качестве учебного пособия. Тем не менее в
некоторых своих частях книга может быть использована в преподавании
или служить основой при составлении учебного плана.
(1) На мой взгляд, результаты теории меры излагаются в книге
с полнотой, достаточной для нужд теории вероятностей. Без
сомнения, эти результаты можно положить в основу курса теории меры,
рассчитанного на студентов, специализирующихся по теории
вероятностей, т. е. несколько более насыщенного, чем общепринятые.
В лекциях для студентов старших курсов я предложил бы начать
с изложения теории емкостей и затем, опираясь на нее, выводить
результаты теории меры. Я не рискнул пойти на это в своей книге
и, возможно, допустил ошибку. Правда, была сделана робкая попытка
в этом направлении в п. III. 25. Отмечу, кроме того, конец
параграфа о регулярных мерах, посвященный продолжению мер Радона
на борелевское а-поле без привлечения идей, чуждых абстрактной
теории.
(2) Два параграфа об аналитических множествах и емкостях не
зависят от остального материала книги. Их можно включить в курс
по общей теории процессов вместе с гл. IV и § 2 гл. VIII (в
последнем используются некоторые элементарные факты из теории
мартингалов).
(3) В главах V и VI делается попытка изложить на
современном уровне знаменитую главу о мартингалах книги Дуба [1]*)«
Вместе с гл. VII они вполне могут составить годичный курс по
теории мартингалов.
(4) Глава о выпуклых конусах может читаться независимо от
остального материала книги.
Основой для этой книги послужили лекции, прочитанные
автором на семинаре по теории потенциала в Париже, руководимом
профессорами М. Брело, Г. Шоке и Ж. Дени. Приношу им
искреннюю благодарность за гостеприимство, оказанное вероятностной
тематике, и за то большое удовольствие, которое принесла мне
работа в этом семинаре. Большое влияние на меня оказали лекции,
прочитанные на этом же семинаре Ж. Дени, Г. Лионом и Г. Моко-
1) См. список литературы в конце книги.

8
Предисловие
бодзки; они несомненно узнают свои идеи (по крайней мере, я
надеюсь на это) в частях книги, посвященных теории потенциала.
Большая часть окончательного варианта книги была написана
во время моего шестимесячного пребывания в университете Сиэтла
(штат Вашингтон). Я очень благодарен своим друзьям за помощь
и советы в течение этого периода, особенно Рональду Пайку,
Р. Гетуру, Дж. М. Г. Феллу (за ряд очень полезных обсуждений,
касающихся выпуклых конусов) и Г. Денцелу—последнему также
за кропотливую работу по переводу на английский язык
французского текста, в который часто вносились изменения, когда
перевод уже был закончен.
За прочтение отдельных частей рукописи и указание мне на
ошибки, в то время когда я еще мог их исправить, я благодарю
профессоров В. М. Хирша и Ш. Ватанабе, а также П. Габриэла,
который нашел время прочитать рукопись, несмотря на большую
занятость,
ПМ. Мейер

ВВЕДЕНИЕ
Цель этой книги
Фундаментальные работы Дуба и Ханта в течение приблизительно
десяти последних лет показали, что определенные направления
теории потенциала (изучение ядер, удовлетворяющих «полному
принципу максимума») и некоторые ветви теории вероятностей (теория
марковских полугрупп и процессов) образуют в действительности
единую теорию. При этом не в чисто формальном смысле.
Вероятностные методы заметно улучшили понимание некоторых
фундаментальных идей теории потенциала (например, это касается понятий
выметания, тонкости, полярных множеств). Более того, они привели
к большому числу новых результатов в теории потенциала. В свою
очередь теория вероятностей получила благодаря этому слиянию
сравнимые преимущества в смысле математического аппарата
и очень важный выигрыш в психологическом смысле: заметное
увеличение аудитории и конец двадцати- или тридцатилетней
изоляции.
Из-за этой изоляции многие математики, которым вероятностные
методы могли бы оказать большую услугу, не были знакомы с ними.
Поэтому легко можно представить себе, насколько полезен труд,
рассчитанный скорее на исследователей, чем на студентов,
знакомящий их с элементами теории вероятностей и с некоторыми из
более развитых ее областей. Потребностью в таком труде и вызвано
появление этой книги.
В этой книге нет ничего из собственно теории марковских
процессов. Последняя, возможно, окажется предметом второго тома, еще
не написанного1), который также будет содержать теорию
потенциала Ханта. Было бы, однако, ошибкой считать, что этот том будет
играть по отношению ко второму подчиненную роль. Скорее наоборот,
во второй том предполагается включить применения некоторых
общих теорий, излагаемых здесь.
Степень развития каждой из этих теорий в действительности не
пропорциональна потребностям в них для второго тома: мы
разрабатывали эти теории, исходя из их внутренних потребностей,
систематическим образом. Так, читатель найдет изложение общей теории
процессов, теории емкостей, мартингалов и выпуклых конусов.
Понятно, что это выглядит как совокупность разобщенных объектов,
1) В 1967 и 1968 гг. в «Lecture Notes in Mathematics» (vol. 26, 77) вышли
две книги П.-А. Мейера, посвященные теории марковских процессов.—Прим. ред.

10
Введение
которые второй том мог бы несколько сблизить; единственной их
общей чертой в первом томе является то, что все они необходимы
для полного понимания теории потенциала. Но отсутствие этой
близости в случае, если второй том не появится, не кажется нам
катастрофичным.
Для понимания материала, изложенного в книге, знакомство
с теорией вероятностей не является необходимым. Однако мы
предполагаем знание некоторых элементов общей топологии1) и теории
топологических векторных пространств2). Читателю понадобится
также хорошее знакомство с теорией меры как в ее абстрактной,
так и в функциональной форме. Мы прекрасно понимаем, что это
наше пожелание не вполне реально, поскольку эти две одинаково
необходимые формы теории меры почти никогда не изучаются вместе.
Поэтому книга начинается с изложения вопросов теории меры,
которое может служить введением к основаниям теории вероятностей
и которое также позволит читателю сравнить наши потребности
с тем, что он уже знает, и, возможно, восполнить некоторые пробелы.
Построение книги
Книга делится на главы (занумерованные римскими цифрами),
которые в свою очередь подразделяются на пункты
(занумерованные арабскими цифрами). Каждый раз, когда определение,
утверждение или замечание кажется нам достаточно важным, чтобы к нему
пришлось возвращаться впоследствии, ему приписывается номер.
Этому номеру предшествует буква О, если он относится к
определению, или буква Т —если к теореме. Номерам наиболее важных
теорем предшествует значок «—>».
Пункты, в которых речь идет об одном и том же объекте,
группируются в параграфы; главы, посвященные одной и той же области,
группируются в части. Деление на части имеет очевидный
логический смысл, но никак не отражено в ссылках.
Последние строятся следующим образом: когда мы ссылаемся
в тексте на 1.5, II.Т6, VII.72(а) или формулу (VI.5.1), мы Имеем
в виду соответственно: пункт 5 главы I, теорему 6 главы II, пункт 72
главы VII ((а) обозначает подпункт указанного пункта) или
формулу 1 пункта 5 главы VI. При ссылках внутри одной главы
указывается только номер пункта.
Указатель терминов и список литературы расположены в конце
книги.
1) Фильтры и ультрафильтры, полунепрерывные функции, теорема Стоуна
Вейерштрасса и некоторые из обычно используемых технических средств.
2) Например, теорема Хана—Банаха, отделение выпуклых множеств,
барицентры, слабые топологии.

Введение
11
Мы не приводим библиографического или исторического обзора.
В комментарии в конце книги приведены некоторые замечания
исторического характера, а также указываются несколько статей,
дополняющих книгу по ряду интересных вопросов. Мы старались
отмечать, кому принадлежит тот или иной результат или
доказательство, совершая при этом, без сомнения, ряд невольных ошибок.
Заранее приносим свои извинения.
Основные обозначения
Мы следовали главным образом соглашениям, принятым Бурбаки,
Вот основные места, где у нас есть расхождения.
(1) Операции над множествами. Мы будем писать А\В вместо
Л Г) С5 и А/\В вместо обозначения (Л П СВ) U (В П СЛ) для
симметрической разности. Пусть Е — некоторое множество;
совокупность всех х £ £, обладающих свойством /\ будет обозначаться
{х £ Е: Р (х)} или, чаще, {х:Р(х)} или {Р}, если нет опасности
возникновения недоразумений.
(2) Совокупности подмножеств. Часто будут встречаться
выражения следующего типа: совокупность подмножеств множества <£,
замкнутая относительно (...), где в скобки заключены символы
теоретико-множественных операций с последующими буквами /, с,
а или /я, которые обозначают соответственно: конечные, счетные,
произвольные или монотонные (операции). Для иллюстрации
приведем два примера. «<£ замкнуто относительно (U f., П а)» означает,
что конечные объединения и произвольные пересечения элементов <£
принадлежат <§. «^ замкнуто относительно (U пгс> С)» означает, что
объединение монотонных (т) последовательностей (с) элементов
множества £ принадлежит <§ и что допа/Гнение любого множества
из S принадлежит <£. Как правило, совокупности подмножеств или
функций обозначаются прописными рукописными буквами.
Замыкание совокупности подмножеств множества £ относительно
(U с) (соответственно (Г) с)) обозначается <£с (соответственно <£8);
эти обозначения стали классическими в теории множеств. Мы
полагаем tfc8 = (£),.
(3) Структурные обозначения. Пусть / и g—функции с
действительными значениями. Мы будем писать / V g и f Ag вместо
suP(/> g) и inf(/, g). Обозначения /+, /" имеют классический смысл:
/+=/V0, /-=(—/)V0.
(4) Зигзагообразная стрелка используется для обозначения
отображений: x-w~f (х). В главе, посвященной ядрам, мы обозначаем /*
значение / в точке х, если в выражении, содержащем /, есть скобки.
(5) Пусть Е—локально-компактное пространство. Мы будем
обозначать «(£), ff0(£), ЪЖ(Е) соответственно пространство
действительных непрерывных и обращающихся в нуль на бесконечности

12
Введение
функций и пространство действительных непрерывных функций
с компактными носителями. Положительные конусы в этих
пространствах обозначаются соответственно #+ (£), "61(E), %ж(Е).
Символом о£(Е) (соответственно о£+ (£), <JL\ (Е)) будем обозначать
совокупность мер Радона (соответственно положительных и
положительных с единичной массой) на Е. В этих обозначениях мы часто будем
опускать £, если это не может привести к двусмысленности.
(6) Слова неотрицательный и положительный всегда означают
^0, а слова отрицательный и неположительный — ^0. Мы
используем термины строго положительный и строго отрицательный в
случае строгих неравенств.

ЧАСТЬ 1
ВВЕДЕНИЕ В ВЕРОЯТНОСТНУЮ ТЕОРИЮ
Глава I
о-АЛГЕБРЫ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 1. о-алгебры а события
01. Определение. Пусть Q—произвольное множество. Система
подмножеств Q, содержащая пустое множество и замкнутая
относительно операций (Uc, (]ct С), называется о-алгеброй (о-полем,
борелевским полем) на Q.
2. Пара (£2, <F), содержащая множество Q и а-алгебру ¥
подмножеств Q, называется измеримым пространством. Элементы <F
называются оГ-измеримыми множествами, или просто измеримыми
множествами, если это не приводит к двусмысленности. В терминах
теории вероятностей эти множества называются событиями.
Множество Q называется достоверным событием, а пустое множество
0 —невозможным событием. Иногда теоретико-множественные
утверждения «со g Л», «со £ Л П В» и «Л П В = 0» выражаются
следующими фразами: «имеет место событие Л», «события Л и В
происходят одновременно», «события А и В взаимно исключают друг друга».
Для того чтобы понять этот язык и оценить его помощь
интуиции, точки со следует считать возможными исходами некоторого
случайного эксперимента. Каждое подмножество Л множества Q,
таким образом, оказывается связанным с некоторым событием (в
обычном смысле этого слова), которое происходит, когда «со попадает
в Л». Как будет показано в следующей главе, события из а-алгебры
¥ выделяются среди всех подмножеств Q тем, что для них может
быть определена вероятность.
Определение случайных элементов
03. Определение. Пусть (Q, <F) и (£, <£) — два измеримых
пространства. Отображение f множества Q в Е называется измеримым
отображением, или случайным элементом, если оно удовлетворяет
условию
/^(Л)^ для каждого А€£.
Иногда, во избежание недоразумений, / следует описывать более
точно как случайный элемент на (Q, !¥) со значениями в (£, <£).

14
Гл. 1. о-алгебры и случайные величины
4. Пример 1. В предыдущем определении возьмем в качестве Е
множество, состоящее из двух точек 0 и 1, в качестве g—а-алгебру
$ (£), т. е. множество всех подмножеств Е. Подмножество Лдй
является событием тогда и только тогда, когда его индикатор 1А
(характеристическая функция множества Л, равная 1 на Л и 0 на
Й\Л) является случайным элементом.
Пример 2. Пусть (Q, <F) — измеримое пространство, и пусть $
есть а-подалгебра <F. Тогда тождественное отображение (Q, ¥) на
(Q, %) является случайным элементом.
Т5. Теорема. Пусть (Q, <F), (G, £) и (Е> £)—три измеримых
пространства, и пусть w.Q-w^G, v: G-w+E—два случайных
элемента. Тогда композиция vou также является случайным элементом.
а-алгебры, порожденные системами функций
06. Определение. Пусть Л—система подмножеств Q.
Минимальная а-алгебра на Q, содержащая Л, называется о-алгеброй,
порожденной Л (обозначается $Г (Л)).
07. Определение. Пусть Q—произвольное множество и (//)/6/ —
семейство отображений Q в измеримые пространства (£„ Si)(ei-
Минимальная о-алгебра на Й, относительно которой все функции
ft измеримы, называется о-алгеброй, порожденной функциями fh и
обозначается через £Г (/,., ig/).
Существование а-алгебр, отвечающих этим двум определениям,
очевидно; они могут быть получены пересечением (в ф (Q)) семейства
всех а-алгебр на Q, удовлетворяющих заданным условиям; это
семейство не пусто, так как оно по крайней мере содержит а-алгебру
* (О).
Отметим согласованность определений в и 7: а-алгебра,
порожденная системой подмножеств, порождается также
характеристическими функциями этих подмножеств, а а-алгебра, порожденная
отображениями /,, порождается также системой всех подмножеств
вида /J"1 (Л/), где At принадлежит <§t для каждого fg/.
Приведем два полезных свойства.
8. Пусть (£, £)—измеримое пространство и /—отображение Е
в Q; предположим, что в £2 задана а-алгебра £Г(Л) (см.
определение 06). Отображение / измеримо тогда и только тогда, когда
f'1 (Л) принадлежит £ для каждого А£Л (множество всех ВсЙ,
таких, что Z"1 (#)€<£» является а-алгеброй, содержащей Л, и,
следовательно, $~(Л)).
Аналогично, если в Q задана а-алгебра оГ(//, *€/), то /
измеримо тогда и только тогда, когда каждое отображение ftof
измеримо.

/. а-алгебры и события 15
9* cr-алгебра, порожденная семейством функций (//)<</, совпадает*
с объединением (в $(Q)) всех сг-алгебр <#*(//, i£J), где J
пробегает семейство счетных подмножеств /.
Примеры а-алгебр
10. (а) Пусть Е—топологическое пространство, Борелевская
а-алгебра на Е, обозначаемая через $(£), это а-алгебра,
порожденная открытыми подмножествами Е. 'Если Е—действительная
прямая R, то борелевская а-алгебра порождается также
открытыми интервалами. И вообще, если топология на Е допускает
счетную базу, то а-алгебра 33(E) порождается некоторой счетной
базой этой топологии. Поскольку это определение слишком общо,
необходимо отметить, что в дальнейшем мы, как правило, будем
иметь дело с локально-компактными пространствами со счетной
базой. Эти пространства метризуемы и содержат счетное всюду
плотное подмножество. Сокращенно будем называть их ЛКС-про-
странствами.
(б) Пусть Е—топологическое пространство. Непрерывные
функции на Е со значениями в действительной прямой R (с заданной
а-алгеброй $(R)) порождают а-алгебру, «меньшую» чем 33(E),
которую назовем бэроеской а-алгеброй на Е, обозначим ее 320(Е). Если
Е метризуемо, борелевская и бэровская а-алгебры совпадают.
Действительно, пусть d—метрика, определяющая топологию на Е, F —
замкнутое множество в Е и f—функция х -ллл*> d(x, F). Тогда
f = be: f (х) = 0} принадлежит бэровской а-алгебре.
Бэровские а-алгебры представляют особый интерес для
компактных неметризуемых пространств.
(в) В качестве третьего примера можно привести а-алгебру
измеримых по Лебегу множеств действительной оси, которая «богаче»,
чем борелевская а-алгебра ^(R).
(г) Пусть Е и Т7—два топологических пространства,
/—непрерывное отображение Е в F. Согласно критерию п, 8, /—измеримое
отображение как (£, 33(E)) в (F, 33(F)), так и (£, 33»(Е)) в
(ЛЯ0(Л).
Произведение а-алгебр
011. Определение. Пусть (£,-, <£/)<€/—семейство измеримых про*
странств. Обозначим через Е произведение Ц Eh а через Х( (i £ /) —
координатные отображения, а-алгебра ST (Xh i € /) называется про*
изеедением а-алгебр <£, и обозначается Ц<£/,
12. Замечания. Произведение а-алгебр порождается также
подмножествами Е вида П Л/э где Л, —элемент А для каждого i£I и

16
Гл. /. а-алгебры и случайные величины
равенство Ai = Ei имеет место для всех индексов, за исключением
конечного числа. Пусть Q—некоторое множество,
//(*€/)—отображения й в измеримые пространства (Eh ф), а /—отображение
{fi)tei множества Q в произведение £, = Ц£'/. Если задать в этом
множестве а-алгебру Г1<£/> то имеем <£T(ft, *€/) = <^(/)'
При тех же обозначениях предположим, что в Q задана а-алгебра
eF и каждое отображение f{ множества Q в Et измеримо. Тогда
отображение / множества йв£ измеримо, если в Е задана а-алгебра
§ 2. Случайные величины
13s В этом параграфе и во всех последующих будем полагать,
если не оговорено противное, что случайные величины—это
случайные элементы со значениями в (пополненной) действительной прямойГ
R, снабженной боремвской о-алгеброй. Аналогичное соглашение
будет приниматься относительно случайных элементов со значениями
в ЛКС-пространстве, считая, если не оговорено противное, что это
пространство наделено борелевской а-алгеброй. Случайные
величины, принимающие конечное или счетное множество значений,
называются элементарными случайными величинами.
Некоторые свойства случайных величин
Будем считать, что (конечные) функции f, g, ... определены
на одном и том же измеримом пространстве (Q, <F).
14_. Пусть f и g—две случайные величины, тогда f+g, fg,
f V g—также случайные величины.
15. Пусть (fn)пен— сходящаяся последовательность случайных
величин и f—предельная функция; тогда f—случайная величина.
Это свойство переносится на случайные элементы со значениями
в полном метрическом пространстве. .
16. Пусть (/„)/z€N—последовательность случайных величин. Тогда
множество, на котором последовательность (/„) сходится, измеримо.
Это свойство переносится на случайные элементы со значениями
в полном метрическом пространстве.
17. Действительная функция f измерима тогда и только тогда,
когда существует неубывающая последовательность измеримых
элементарных функций /л, которая сходится к [»

§ 2. Случайные величины
17
Наиболее часто в этом случае используют последовательность,
заданную формулой
Заметим, что эта последовательность сходится к / равномерно.
Если слово «сходится» заменить на «сходится равномерно», то
утверждение 17 переносится на случайные элементы со значениями
в сепарабельном метрическом пространстве Е (т. е. в пространстве
со счетным всюду плотным множеством), наделенном борелевской
а-алгеброй (которая порождается в данном случае открытыми
сферами). Действительно, пусть (xn)nqn— плотная последовательность
в Е и Вп — открытый шар радиуса е с центром хп. Пусть Сп —
борелевское множество вида Вп \ ( U В ); множества Сп не пересе-
Р<п
каются и покрывают Е. Положим
g((u) = xn, если /(со) принадлежит Сп>
Таким образом, определена элементарная измеримая функция,
которая отличается от / меньше чем на е.
Следующая теорема принадлежит Дубу [1]. Она показывает,
что понятие (^г(/)-измеримости случайной величины на самом деле
совпадает с интуитивно более ясным определением измеримости
некоторой функции от /.
Т18. Теорема. Пусть f—случайный элемент, определенный на
(Q, ¥) со значениями в измеримом пространстве (Е, <£), и
g—действительная функция, определенная на Q. Тогда для <£Г (^-измеримости
g необходимо и достаточно, чтобы на Е существовала случайная
величина h, такая, что g = hof.
Доказательство. Достаточность очевидна. Доказательство
необходимости начнем со случая, когда g принимает лишь счетное
множество значений ап(п£Н). Множества An = {g = an\, будучи оГ(/)-
измеримыми, могут быть записаны в виде f~l(Bn), где В„€^?.
Множества Сп = Вп\( U В А принадлежат <£, попарно не
пересекаются и f"1(Cn) = Ап\ [ U АЛ совпадает с Ап. Пусть
Л—функция на Е, равная ап на Сп и (например) нулю на £\/UCrty,
очевидно, hof = g.
Рассмотрим теперь общий случай. Согласно п. 17, найдется
последовательность элементарных случайных величин gn,
сходящаяся к g; при этом, в соответствии с первой частью
доказательства, каждый член этой последовательности может быть записан
в виде hnof. Пусть Я —множество, на котором сходится
последовательность hn. Тогда Н ^-измеримо и содержит ((&).

18
Гл. 1. о-алгебры и случайные величины
Положим:
( Iim/in((o), если cog//;
Л (со) = < п ,
I 0, если ©(£#.
Построенная функция Л (со) удовлетворяет требуемым условиям.
Теорема доказана.
о-алгебры, порожденные семейством случайных величин
Следующие теоремы будут широко использоваться в дальнейшем.
—>Т19. Теорема. Пусть % —система подмножеств пространства Q,
содержащая пустое множество 0 и замкнутая относительно
операций (U/, П/). Пусть о/И—система подмножеств Q, содержащая %
и замкнутая относительно операций (\}тс, (]тс) («&% есть
монотонный класс»). Тогда <М содержит систему подмножеств %> замкну -
тую относительно операций (Lie, Г\с).
Если, кроме того, система <М замкнута относительно операции
С, то <М содержит а-алгебру, порожденную системой <6.
Следующая теорема существует в нескольких вариантах.
Некоторые из них можно найти в книгах Дуба [1] и Дынкина [1].
-> Т20. Теорема. Пусть Ж—векторное пространство ограниченных
действительных функций на Q, содержащее константу 1,
замкнутое относительно равномерной сходимости и такое, что для
каждой возрастающей, равномерно ограниченной последовательности
неотрицательных функций \п£Ж функция f = limfn принадлежит
п
Ж. Пусть #—подмножество Ж у замкнутое относительно
умножения. Тогда пространство Ж содержит все ограниченные функции
измеримые относительно о-алгебры ST% порожденной элементами <в.
Доказательство. Пусть %'—алгебра, порожденная функцией 1
и элементами #; очевидно, Ъ'аЖ. Лемма Цорна позволяет выбрать
максимальный элемент Л0 системы алгебр Л, удовлетворяющих
включениям %'аЛаЖ. Известно, что функция х -ллл- \х\ может
быть равномерно приближена полиномами на каждом компактном
интервале прямой R. Поскольку алгебра Л0 замкнута относительно
равномерной сходимости и содержит константы, то она также
замкнута относительно операции / -ллл*- | /1, а отсюда уже вытекает
ее замкнутость относительно операций V и Л- Пусть g—предел
возрастающей равномерно ограниченной последовательности
положительных элементов Л0. Легко проверить, что алгебра,
порожденная Л0 и g, содержится в Ж\ отсюда заключаем, что эта алгебра
совпадает с Л0, и поэтому g €</£<,.
Пусть е?' —система всех таких подмножеств Q,
характеристические функции которых принадлежат Л0. Поскольку Л0 — алгебра,

§ 2. Случайные величины
19
то if замкнуто относительно операций (П/, С). Алгебра Л0
замкнута также относительно монотонного предельного перехода, и,
следовательно, if в действительности является а-алгеброй. В
соответствии с п. 17 <А0 содержит все ограниченные соизмеримые
функции, поэтому осталось только доказать, что if содержит ST. Для
этого достаточно показать, что каждое множество В = {со: /(со)^ 1}
принадлежит if, если /€#'. Действительно, функция g=z(f/\l)+
принадлежит <Л0, а характеристическая функция множества В
является пределом убывающей последовательности функций gn.
Замечание. Теорема 20 (о монотонных классах) есть одна из
фундаментальных теорем теории вероятностей. Существуют различные
ее варианты, доказываемые тем же самым методом.
Например, для справедливости утверждения теоремы 20
достаточно потребовать, чтобы
а) Ж было множеством, замкнутым относительно монотонной
и равномерной сходимости;
б) множество # образовывало бы алгебру'и 1£#.
Условие б) можно, впрочем, ослабить, заменив его
предположением, что существует неубывающая последовательность функций
/„€#, сходящаяся к 1.
Следующие условия также достаточны для справедливости
утверждения теоремы 20.
а) Ж есть множество функций, замкнутое относительно
монотонной сходимости;
б) % есть векторное пространство, замкнутое относительно
операции Д и 1 €#.
Следующий пример (который по существу относится к началу
гл. II) иллюстрирует пользу теоремы 19.
Т21. Теорема. Пусть gF0—система подмножеств Q, замкнутая
относительно операций (U/; С), а ¥ есть о-алгебра вида <jT(eF0).
Пусть, далее, Р и Р'—два распределения вероятностей на ¥, такие,
что Р(Л) = Р'(Л) для каждого А£!¥0. Тогда распределения Р и Р'
эквивалентны на <F.
Доказательство. Достаточно применить теорему 19, полагая в ней
#=<F0, и обозначить через <М систему элементов А а-алгебры ф%
такую, что Р(Л) = Р'(Л).

Глава II
ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ
Как уже говорилось во введении, предполагается знакомство
читателя с классическими разделами теории меры. Поэтому в первой
части этой главы будет дан только обзор современной терминологии
теории вероятностей. Полные доказательства начнутся с параграфа,
посвященного равномерной интегрируемости.
§ U Основные результаты теории интегрирования
01. Определение. Пусть (Q, ¥)—измеримое пространство.
Вероятностью (или вероятностной мерой) на этом пространстве
называется абстрактная неотрицательная мера Р, определенная на ¥,
с общей массой t равной 1.
Система (Q, <1F, Р) называется вероятностным пространством,
2. Другими словами, Р является неотрицательной функцией
множества, определенной на <F, такой, что P(Q)=1, и
удовлетворяющей следующему свойству («счетная аддитивность»).
Для каждой последовательности попарно не пересекающихся
множеств (Ап)пйн, имеем РC(j Ап\ = ^Р(Ап).
Число Р(Л) называется вероятностью события А. О событии,
имеющем вероятность, равную единице, говорят, что оно происходит
почти наверное, или почти всегда. Пусть / и g—два случайных
элемента, определенных на (Q, ¥), со значениями в некотором
измеримом пространстве (£, <£). Если множество
{co:/» = g(co)}
является событием (это имеет место, например, когда диагональ
множества ЕхЕ (<£х^-измерима)1) и вероятность этого события
равна 1, будем писать
/=#п.н.,
где «п.н.» является сокращением (которое будем постоянно
использовать) выражения «почти наверное». Аналогично, запись А =В п.н.
означает, что Л и В отличаются лишь событием (множеством),
вероятность которого равна нулю. И вообще, выражение «почти
1) Последнее справедливо, если £—сепарабельное метрическое пространство
с борелевской а-алгеброй (см. далее п. 30).

§ 1. Основные, результаты теории интегрирования
21
наверное» используется в том же смысле, что и выражение «почта
всюду» в теории меры. Более того, специалисты по теории
вероятностей охотно применяют словарь теории меры наряду со своей
собственной терминологией.
3. Вероятностное пространство (Й, ¥, Р) называется полным,
если каждое подмножество Л из Й, содержащееся в множестве
нулевой Р-меры, принадлежит а-алгебре ¥ (и значит имеет Р-меру
нуль). Мы вернемся к этому замечанию в п.28 и покажем, что
любое вероятностное пространство можно пополнить.
4. Примеры, (а) Пусть / — интервал [0, 1] с борелевской а-ал-
геброй. Вероятностную меру на нем можно задать, полагая для
каждого множества А £33(1)
Р (А) = J dx (мера Лебега).
А
Эта мера не полна; она станет полной, если ее продолжить на
сг-алгебру множеств, измеримых по Лебегу.
(б) Пусть (Й, ¥) — измеримое пространство и х—точка й.
Обозначим через гх вероятностную меру, определенную выражением
вх(А) = ГА(х) (Л€П
Эта вероятностная мера называется вырожденным распределением
в точке х, или единичной массой, сосредоточенной в точке х. Более
общо, говорят, что вероятность Р, определенная на измеримом
пространстве (Й, ¥), вырождена, если все элементы ¥ имеют Р-ве-
роятность, равную 0 или 1. В этом случае каждая случайная
величина п.н. является константой.
Математическое ожидание
05. Определение. Пусть (й, ¥', Р)—вероятностное пространство,
/—случайная величина, интегрируемая1) по мере Р. Интеграл
/(co)P(dco) называется математическим ооюиданием случайной ее-
личины f и обозначается символом Е [/].
Мы не будем давать полного обзора теории интегрирования,
ограничившись лишь формулировками двух часто применяемых
теорем и несколькими замечаниями.
~> Т6. Теорема Лебега (теорема о мажорируемой сходимости). Пусть
(fn)neN—последовательность случайных величин, которая сходится
почти наверное2); f—случайная величина, совпадающая почти всюду
1) Напомним, что тогда функция |/| интегрируема.
2) Или только по вероятности (см. далее п. 10).

22
Гл. II. Вероятности и математические ожидания
с Нт/„. Если fn мажорируется по модулю фиксированной интегри-
п
руемой функцией, то функция / интегрируема, и Е [/] =lim Е [fn].
п
В случае неотрицательных неинтегрируемых случайных величин/,
принимающих конечные или бесконечные значения, будем полагать
Е[/Н+оо.
Имеет место следующая теорема.
—>Т7. Лемма Фату. Пусть (fn)n<zN—последовательность
неотрицательных случайных величин. Тогда выполняется неравенство
Eniminf/n1<IiminfE[/n].
Это неравенство заменяется на равенство, когда
последовательность является возрастающей (независимо от того, конечны
интегралы или бесконечны). В таком виде это утверждение называется
теоремой Лебега о монотонной сходимости.
8. Следуя Бурбаки, обозначим ^(Q, <F, Р) (или просто j?7^,
если это не приводит к двусмысленности) векторное пространство
случайных величин, интегрируемых в р-й степени (1 ^/7 < оо), через
LP—факторпространство пространства Зр% элементами которого
являются классы функций из 2?, совпадающих почти наверное. Для
f€J?p будем полагать
\\f\\P=p[\f\p])x/p.
Аналогично через J??00(Q, <F) будет обозначаться пространство
ограниченных случайных величин с равномерной нормой (которая не
зависит от Р), а через L°°(fi, ¥, Р) —пространство классов
эквивалентности элементов <2?°° с факторнормой (которая зависит от Р).
Норма элемента f€L°° обозначается Ц/Ц^ (существенный
супремум |/|).
Будем использовать (не останавливаясь на доказательствах)
следующие факты теории L^-пространств: Lp—банахово пространство
(см., например, Данфорд и Шварц [1]); неравенство Гёльдера (Дан-
форд и Шварц [1]); L°° является сопряженным пространством к L}.
Последний результат вытекает из теоремы Радона — Никодима
(Данфорд и Шварц [1]), которую мы также будем использовать1).
9. Сделаем два полезных замечания.
(а) Пусть / — интегрируемая случайная величина, измеримая
относительно а-подалгебры $ с <F. Тогда / п.н. неотрицательна
1) В гл. VIII теорема Радона-=*Никодима будет доказана, основываясь на
теории мартингалов.

§ /. Основные результаты теории интегрирования 23
тогда и только тогда1), когда
J / (со) dP (со) > 0 для каждого А € *.
Отсюда, в частности, вытекает, что две случайные величины, обе
^-измеримые и интегрируемые, совпадают п.н. тогда и только тогда,
когда интегралы от них равны на каждом множестве из S.
(б) Пусть / и g—две интегрируемые случайные величины. Будем
говорить, что / и g ортогональны, если произведение f-g
интегрируемо и его математическое ожидание равно нулю. Обозначим:
%—а-подалгебра ¥, U — замкнутое подпространство в L1,
содержащее классы ^-измеримых случайных величин, и V-—подпространство
в L°°, содержащее классы ограниченных случайных величин,
ортогональных каждому элементу U. Тогда из теоремы Хана—Банаха
следует, что случайная величина f^J?1 п.н. совпадаете некоторой
^-измеримой функцией тогда и только тогда, когда / ортогональна
каждому элементу из V.
Сходимость случайных величин
10. Напомним теперь несколько определений сходимости
случайных величин, ограничившись случаем последовательностей.
Пусть (fn)—последовательность случайных величин,
определенных на (Й, ¥', Р). Говорят, что последовательность (fn) сходится
к случайной величине /:
почти наверное, если Р {со: fn (со) —^ / (со)} = 1;
по вероятности, если Р {со: | fn (со)—/ (со) | > е} —-* 0 для всех е > 0;
сильно в №, если fn и / принадлежат 2?? и Е [|/«—/Iя] —* 0;
слабо в L1 (или в топологии o(Lx, L00)), если функции fn и /
принадлежат J271 и для каждой случайной величины ggj?00
HmE[/„.g]=E[/.g];
п
слабо в L2 (или в топологии <x(L2, L2)), если fn и /
принадлежат J?2 и для каждой случайной величины g(tJ?2
limE[/„.g]=E [/.g].
п
Мы вернемся к слабой сходимости в L1 при изучении
равномерной интегрируемости. Ограничимся здесь указанием на то, что и
сходимость п.н., и сильная сходимость в Lp влекут за собой сходимость
по вероятности, а из последовательности, сходящейся по вероятности,
х) Для доказательства утверждения «только тогда» надо взять в качестве
множества А событие {/ < 0}.

24 Гл. II. Вероятности и математические ожидания
можно выделить подпоследовательность, сходящуюся п.н. Более
точно, для каждой случайной величины / обозначим
я[/]=Е{|/|Л1}.
Функция (/, g) -^лл** я [/—g] является псевдометрикой, которая
определяет сходимость по вероятности; если последовательность fn
удовлетворяет условию
2 я Vn—fn+i] <оо,
п
то она сходится по вероятности и почти наверное (см., например,
Данфорд и Шварц, [1]).
Образы вероятностных мер
011. Определение, Пусть (Q, ¥, Р)—вероятностное
пространство, (Е, <§) —измеримое пространство и f—случайный элемент,
определенный на первом пространстве со значениями во втором.
Образ вероятностной меры Р при отображении /, обозначаемый f (Р),—
это вероятностная мера Q на (Е, <£), определяемая выражением
Q (А) = Р (/-* (А)) для всех А££.
Эта мера называется также вероятностной мерой, или
распределением случайного элемента f.
Пусть g —измеримое отображение (£, <£) в измеримое
пространство (G, S). Тогда имеет место следующее равенство
(«транзитивность образов вероятностных мер»):
g(/(P)) = (go/)(P).
—>Т12. Теорема. Пусть h—случайная величина, определенная на
(Е, <§); h является Q-интегрируемой тогда и только тогда, когда
hof Р-интегрируема. При этом
$A(*)dQ(*) = $Ao/(o>)dP(©).
Б ft
Интегрирование вероятностных мер. Теорема Фубини
013. Определение. Пусть (Q, ¥) и (Е, <В)—два измеримых
пространства. Семейство (Рх)х^е вероятностных мер na(Q,¥) называется
g-измеримым, если функция х -ллл* Р*(Л) является ^-измеримой для
каждого A €<F.
В приводимом далее утверждении семейство (Рх)х<*е
предполагается ^-измеримым.
—>Т14. Теорема Фубини. Пусть Q—вероятностная мера на (Е, <£),
Обозначим (U, 41) измеримое пространство (£xQ, <§XqF).
(1) Пусть /—случайная величина, определенная на (U, 41).
Тогда каждое из отображений х -ллл** /(*, со), со -ллл*> f{x} со)
измеримо на соответствующем пространстве.

§ L Основные результаты теории интегрирования 23
(2) Существует единственная вероятностная мера на (U, 4L)
(обозначаемая далее S), такая, что для каждых А££, 5£<Г:
S(AxB)=[Px(B)dQ(x). (14.1)
А
(3) Пусть f—неотрицательная1) случайная величина на (V, 4L),
Функция х -ллл^ \f(x9 o))dPx(co) является ^измеримой и
$/(*, a>)dS(x, co)=$dQ (*)$/(*, co)dPx(a). (14.2)
U E Q
Это соотношение остается справедливым, если случайная величина f,
не будучи неотрицательной, является S-интегрируемой. В этом
случае функция со -ллл- f (х, со) является Рх-интегрируемой для почти
всех х$Е по мере Q.
Замечания. Если на / не наложено требования
неотрицательности или S-интегрируемости, то может случиться, что правая часть
формулы (14.2) определена, а левая—нет.
Когда все Рх совпадают с некоторой мерой Р, то мера S
называется произведением мер Q и Р и обозначается Q®P. Отметим,
что вероятностное пространство (U, 41, Q®P), вообще говоря, не
является полным. Теорема Фубини обычно формулируется для
произведения мер, причем в предположениях, что соответствующие
пространства полны и функция / измерима на пополненном
произведении пространств. В этом случае утверждение (1) становится,
вообще говоря, неверным. Тем не менее можно утверждать, что
частные отображения х -ллл- / (х, со) [соответственно со-ллл«-/(х, со)]
являются ^-измеримыми (соответственно JF-измеримыми) для почти
всех xg Е по мере Q (соответственно для почти всех со g Q по мере Р).
Определение произведения конечного числа вероятностных мер
очевидно. Здесь мы не будем рассматривать бесконечные
произведения вероятностных мер. Они изучаются в общей теории случайных
процессов, о которой пойдет речь в гл. IV.
Пользуясь обозначениями п. 14. введем следующее
015. Определение. Пусть }PxdQt(x) (интеграл семейства Рх по
Е
мере Q) означает меру, являющуюся образом меры S при проекции
£®Й на Q.
Следующая теорема является комбинацией теорем 12 и 14.
Т16. Теорема. Обозначим Р меру }PxdQ(x). Пусть f—неотри-
Е
цательная случайная величина на (Q9 <F). Тогда функция
г) Напомним, что интеграл определялся для всех неотрицательных
измеримых функций (см. п. 6).

26
Гл. II. Вероятности и математические ожидания
х-ллл-*^ /(co)dPx(co) является ^-измеримой и
Q
S / (со) dP (ю) = J rfQ (ж) J / (со) Л»ж (со).
Q Ей
Это равенство остается справедливым для любой
Р^интегрируемой случайной величины /. В этом случае можно утверждать, что
f Рх-интегрируема для почти всех х£Е по мере Q.
§ 2. Равномерно интегрируемые случайные величины
Все случайные величины, фигурирующие в этом разделе,
предполагаются определенными на одном и том же вероятностном
пространстве (Q, F, Р).
017. Определение. Пусть Ж—подмножество пространства
JZ^Q, <F, Р). Будем говорить, что Ж'— равномерно интегрируемая
система случайных величин, если интегралы
J |/(co)|dP(co), 7 6 Ж, (17.1)
{\f\>°}
равномерно стремятся к О при с —► + оо.
Пусть /—случайная величина и с > 0. Обозначим /* функцию
вида
(/(со), если |/((о)|<с,
О, если f (©)><?,
О, если /(со) <—с
и положим fc = f—fc. Тогда определению 17 можно придать
следующую форму: система Ж—равномерно интегрируема тогда и
только тогда, когда для каждого е > 0 найдется с, такое, что
II fc Hi < 8 Для любой функции / € Ж.
18, Замечания, (а) Определение 17 очевидным образом
переносится на систему классов эквивалентных (п. н.) случайных величин*).
Заметим, что случайные величины входят в это определение только
через свои абсолютные значения.
(б) Каждое конечное семейство случайных величин, или, более
общо, каждое семейство случайных величин, ограниченных по
модулю некоторой интегрируемой функцией, равномерно интегрируемо,
—>Т19. Теорема. Пусть &С—подмножество З?1. Тогда для
равномерной интегрируемости Ж необходимо и достаточно выполнение
следующих условий:
1) Поэтому можно говорить о равномерной интегрируемости подмножеств L1.

§ 2. Равномерно интегрируемые случайные величины 27
а) математические ожидания Е [ | /1 ], f £Ж, равномерно
ограничены^
б) для каждого г > О найдется б > О, такое, что из условий
Лё<Г, Р(Л)<6 вытекает неравенство
5l/(©)|dP(a>)<8 для всех f^ Ж. (19.1)
Доказательство. Чтобы установить необходимость условий (а)
и (б), заметим, что для каждой интегрируемой функции f и каждого
множества A g ¥
Sl/(co)|dP(co)<cPH) + E[|/c|]. (19.2)
А
Предполагая, что Ж равномерно интегрируемо, выберем достаточно
большое с таким, чтобы
E[|/J] <у Для каждого /g#f.
Полагая в (19.2) Л = £2, получаем утверждение (а). Наконец,
выбирая б = е/2с, приходим к утверждению (б). Обратно, допустим, что
свойства (а) и (б) выполнены. Зададим е > 0 и связанное с ним
б > 0, удовлетворяющее (б). Положим с = sup Е [ I /1 ]/б. Тогда конеч-
tZSK
ность с следует из (а). В формуле (19.2) возьмем теперь в
качестве А множество {|/|^с}, вероятность которого меньше б и в силу
неравенства Чебышева
■Ч1/1>'КтЕИ/1].
Тогда
] |/(со)|dP(<о)<е для каждого /6<%\
{1/1^4
что и доказывает равномерную интегрируемость семейства Ж.
Т20. Теорема. Пусть Ж—равномерно интегрируемое
подмножество в L1. Тогда его замкнутая выпуклая оболочка также
равномерно интегрируема.
Доказательство. Заметим, что замыкание в L1 равномерно
интегрируемого множества равномерно интегрируемо. Это непосредственно
следует из теоремы 19. Поэтому достаточно показать, что выпуклая
оболочка Ж равномерно интегрируема. Обозначим через U% сферу
радиуса е в пространстве L1, через Вс—сферу радиуса с в прост-
х) Можно доказать, что (а) является следствием (б), если мера Р не содержит
«атомов».

28
Гл. //. Вероятности и математические ожидания
ранстве L00, которое будем рассматривать как подмножество в L1.
Тогда определение 17 можно представить в следующем виде:
подмножество Ж в L1 равномерно интегрируемо тогда и только тогда,
когда для каждого е>0 найдется с > О, такое, что ЖаВс + 11€.
Очевидно, что эта сумма множеств выпукла, и поскольку она
содержит Ж, то она содержит и выпуклую оболочку множества Ж.
Замечание. Пусть Н и К—два равномерно интегрируемых
множества в L1. Очевидно, их объединение Н[] К и, стало быть,
выпуклая оболочка множества Н[}К равномерно интегрируемы. Тогда из
включения
-j (Н + К) с (выпуклая оболочка #11/0
следует, что сумма Н + К равномерно интегрируема. Этот результат
можно также получить из теоремы 19.
Следующий факт является обобщением теоремы Лебега.
Т21. Теорема. Пусть (fn)neti—последовательность интегрируемых
случайных величин, которая сходится почти всюду1) к случайной
величине /. Тогда f интегрируема и сходимость fn к f имеет место
по норме пространства L1 тогда и только тогда, когда величины fn
равномерно интегрируемы. Если случайные величины fn
неотрицательны, то для их равномерной интегрируемости необходимо, и
достаточно, чтобы
limE[//x]=E[/]<oo.
п
Доказательство. Предположим сначала, что величины fn
сходятся к / по норме (подразумевается, что функция / интегрируема),
и покажем, что выполняются условия (а) и (б) теоремы .19. Пусть
А — некоторое измеримое множество. Тогда
$|Uco)|dP(co)<$|/(G>)|dP(co) + ||/n-fll,- (21-1)
А А
Отсюда сразу получаем утверждение (а). С другой стороны,
выберем число N так, чтобы \\fn—f\\x <е/2 для всех n>N, и число б
таким, чтобы из неравенства Р(Л)^б следовало бы \\g\dP^e/2,
А
когда g пробегает конечную систему, состоящую из функций
Л» /2» •••» /м /• Когда Р(Л)<6, то первое слагаемое в правой
части неравенства (21.1) меньше е. Откуда следует, что условие (б)
также выполнено.
Обратно, пусть функции /„ равномерно интегрируемы.
Математические ожидания Е[|/„|] тогда равномерно ограничены, и из
1) Или только по вероятности.

§ 2. Равномерно интегрируемые случайные величины 29
леммы Фату вытекает неравенство Е [|/|] < оо. Покажем, что
функции /„ сходятся к / по норме. Имеем
E[|/B-n]<E[|/W'|]+E[|/lJ]+E[|/e|]. (21.2)
Зададим е>0 и выберем число с достаточно большим, так, чтобы
два последних математических ожидания правой части (21.1)
мажорировались величиной е/3 независимо от п. Выберем затем п
достаточно большим, так, чтобы первое математическое ожидание
мажорировалось величиной е/3 (это можно сделать в силу теоремы Лебега,
поскольку функции \fcn—fc\ равномерно ограничены и сходятся
к нулю почти всюду). Тогда Е[|/„—/|]^е, что и доказывает
сходимость по норме пространства L1.
Осталось показать, что если fn неотрицательны, то из сходимости
Е [fn] к Е [/] <оо вытекает сходимость Е[|/„ — /|] к 0 (и,
следовательно, равномерная интегрируемость величин /„). Чтобы это
сделать, запишем
/ + /„ = (/Л/„Ж/V/J.
В силу теоремы Лебега Е [/ Л fn] стремится к Е[/]. С другой
стороны, Е [/ + /„] стремится к 2Е[/]. Отсюда следует, что Е [/ V /Л]
стремится к Е [/]. Тогда из тождества
Un-f\=fVfn-fAfn
вытекает, что математическое ожидание Е[|/—fn\] стремится к 0.
Следующая теорема, принадлежащая Валле-Пуссену, проясняет
введенное понятие равномерной интегрируемости. Наибольший
интерес в этой теореме представляет импликация (2)=>(1), причем в
качестве функции G(t) обычно выбирается функция tp(p > 1). В
частности, каждое ограниченное в £г множество равномерно интегрируемо.
Т22. Теорема. Пусть Ж—подмножество Jg1, Тогда следующие
условия эквивалентны:
(1) Ж равномерно интегрируемо;
(2) существует неотрицательная возрастающая выпуклаях)
функция G(t), определенная на R + , такая, что
lim^=+oo
/-► + 00 t
и
sup Е [G о | /1 ] <оо. (22.1)
\ЬЖ
Доказательство. Для того чтобы установить импликацию
(2)=>(1), зададим е>0 и положим a = Af/e, где М — значение левой
части (22.1). Выберем число с настолько большим, чтобы G(t)/t^a
для />с. Тогда |/| <(Go|/| )/а на множестве {|/1 ^с) и, следова-
1) Это свойство не используется для установления перехода (2) => (1).

30
Гл. II. Вероятности и математические ожидания
тельно,
f |/|dP<l f (Go|/|)dP<4Af = e
{\f\>c\ {1/1^4
для каждой функции /€$f.
Чтобы установить обратную импликацию (1)=>(2), выберем функ-
цию G(t) в виде )g(t)dt, где g—неубывающая функция, стремя-
о
щаяся к +оо, когда / —* + оо, и принимающая постоянные
значения gn на каждом интервале [я, я+1) (n£N).
Для каждой функции /6^f положим
в.(Л = Р{|/1>лЬ
Беря go-^О» получаем
E[Go|/|]<ef1P{l<|/|<2} + (fifl + &)P{2<|/|<3}+...
... = 2*А(Л-
Осталось показать, что коэффициенты gnt которые стремятся
к бесконечности с ростом /г, можно выбрать так, что сумма 2#A(/)
п
будет равномерно ограничена. Используя равномерную
интегрируемость семейства Ж, выберем последовательность чисел сп,
стремящуюся к бесконечности, так, чтобы
sup J |/|Л><2-я.
f£M{\f\^cn\
Тогда
S |/|dP> 2 mP{m<|/|<m+l}>
{\f\^cn}
>2 Р{|/|>"*}= 2 аяф.
т=сп т=сп
со
Отсюда следует, что сумма 22а*(/) равномерно ограничена
п сп
для /6#f. Но эта сумма, очевидно, представима в виде 2#АЛ/)>
т
где gm равно максимальному целому числу п9 такому, что сп^т.
Теорема доказана.
Следующая теорема в дальнейшем сыграет большую роль. Она
будет доказана лишь частично, поскольку импликацию (2)=>(1)
установить труднее и это не так необходимо. Полное
доказательство этой теоремы можно найти в книге Данфорда и Шварца [1],

§ 2. Равномерно интегрируемые случайные величины 31
->Т23. Теорема (критерий компактности Данфорда—Петтиса).
Пусть &С—подмножество пространства L1, Следующие три
утверждения эквивалентны:
(1) &С равномерно интегрируемо;
(2) Ж относительно компактно в L1 в слабой топологии o^L1, L00);
(3) каждая последовательность элементов SK содержит слабо
сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Покажем сначала, что (1)=>(2). Пусть
U—ультрафильтр1) на SK. Для каждой функции /g^f и каждого
множества Е^¥ положим
/,(£)- \ f (со) dP (со).
£
Из соотношения |/Д£)КЕ [|/|] и условия (а) теоремы 19
вытекает, что величины [/^(f)! равномерно ограничены.
Поэтому предел
I (Е) = Um If (Е)
п
существует для каждого £€<F. Оневидно, функция множества
£-ллл-/(£) аддитивна и ограничена. В силу утверждения (б)
теоремы 19 для каждого е>0 найдется число 6>0, такое, что
из Р(£)<6 вытекает неравенство |/(£)|<е. Следовательно,
/ является мерой, абсолютно непрерывной относительно Р, Тогда
по теореме Радона—Никодима существует функция OgL1, такая,
что для каждого измеримого подмножества Е
/(£)=fO(co)dP(co).
х) Приведем здесь несколько определений, относящихся к теории фильтров,
которые используются на протяжении всей книги.
Непустое множество U подмножеств ffl называется фильтром на ffl, если
оно удовлетворяет следующим условиям:
1) jerrfU,
2) если Fgtt и FdGcL&C, то GCU,
3) если G£U и F£U, то FnG€:U
Множество всех фильтров на непустом подмножестве ffi индуктивно
упорядочено отношением Щс:!^ (теоретико-множественное включение на множестве
всех подмножеств 33 {$%)). Всякий фильтр на ffl, который максимален
относительно этого порядка, называется ультрафильтром на &£. В силу леммы Цорна
для любого фильтра U существует ультрафильтр, мажорирующий Ц.
Пусть $?—топологическое пространство и U — фильтр на ffl. Точку /£$£
называют пределом фильтра Ц (или говорят, что фильтр IX сходится к точке f),
если система всех окрестностей точки / входит в фильтр U.
Пусть h—отображение множества $% в топологическое пространство Y и
Ц—фильтр на 3%. Точку у$У будем называть пределом отображения h по
фильтру Ц, если для любой окрестности V точки у в Y существует множество
FgU, такое, что h(F)cV.
Ряд утверждений, связанных со свойствами фильтров и ультрафильтров
можно найти, например, в книге Бурбаки [1].— Прим. перев.

32
Гл. II. Вероятности и математические ожидания
Утверждение (2) будет установлено, если показать, что
ультрафильтр U сходится к Ф в слабой топологии. Очевидно,
UmE[f-g]=E[0-g]
п
для каждой функции ggjS?00, которая является конечной линейной
комбинацией характеристических функций. Теперь достаточно лишь
заметить, что любая функция g$.2™ является равномерным
пределом таких функций.
Эквивалентность утверждений (2) и (3) является следствием
одной трудной теоремы из теории топологических векторных
пространств (теоремы Эберлейна—Шмульяна, см. Данфорд и Шварц [1]
стр. 466). В дальнейшем нам понадобится лишь импликация (2)=>(3),
которая устанавливается следующим образом. Пусть
(fn)nes—последовательность элементов из J?7,1, соответствующие классы которых
принадлежат Ж. Обозначим буквой £Г а-алгебру, порожденную
функциями /„, а <£Г0 — минимальную систему подмножеств Q,
замкнутую относительно (U/, С) и содержащую множества вида {fn<a}
(/z£N, а рационально). Легко видеть, что <£Г0—счетная система,
порождающая а-алгебру ST. Используя диагональный процесс,
выделим из последовательности (/„) подпоследовательность (/J,)W6N,
такую, что выражения
$/;(co)dP(co) (£€<^о)
Е
стремятся к некоторым пределам при т—юо. Покажем, что
последовательность (fir) слабо сходится. Для этого достаточно показать,
что в соответствии с условием (2) эта последовательность имеет
единственную предельную точку в L1. Пусть Ф иФ'—две
предельные точки, тогда они п. н. совпадают с некоторыми с^Г-измеримыми
функциями (см, 9 (б)). Чтобы установить равенство п, н. этих
функций, достаточно показать [в силу 9 (а)], что
J Ф (со) dP (со) = $Ф' (со) dP (со)
Е Е
для каждого £g<JF\ Очевидно, это равенство выполняется дли
Е g <вГ0. Обозначим через <М систему подмножеств Е g <£Г, для
которой это равенство справедливо. Из теоремы Лебега вытекает, что о/Л
замкнуто при монотонном предельном переходе, а из I.T19 следует,
что <^ = <^Г. Таким образом, Ф=^Ф' п.н. Теорема доказана,
§ 3* Построение мер. Меры Радона
До сих пор у нас еще не было метода построения меры на
измеримом пространстве. В начале этого параграфа будут приведены
две теоремы, наиболее часто используемые для этой цели. Будет
приведена также и процедура, которая иногда позволяет расши-

§ 3. Построение мер. Меры Родона
33
рить а-алгебру, на которой первоначально определена мера. Для
простоты будем ограничиваться случаем вероятностных мер.
Почти все меры, которые встретятся в дальнейшем, будут
мерами Радона (в теории потенциала) или абстрактными мерами,
являющимися модификациями мер Радона (случайные процессы со
значениями в компактных пространствах). Четкое изложение теории
мер Радона имеется в книге Бурбаки [4]. Наше изложение будет
очень схематичным. Его цель состоит лишь в том, чтобы показать
ту роль, которую играют бэровские и борелевские а-алгебры
в теории меры.
В гл. III читатель сможет найти доказательства ряда теорем,
приводящихся в этом параграфе.
Теоремы о продолжении
Теорема (о продолжении) Даниеля доказана, например, в книге
Люмиса [1]; см. также III.Т25.
Т24. Теорема Даниэля. Обозначим Ж—векторное пространство
действительных функций, определенных на множестве Q,
содержащее константы и замкнутое относительно операции V. Пусть
I—неотрицательный линейный функционал на Ж, такой, что
/(1)=1. Тогда для существования на о-алгебре ST, порожденной
Ж, вероятностной меры Р, обладающей свойством:
каждая функция [€Ж V-интегрируема и
/(/) = S/(co)dP(co),
Q
необходимо и достаточно выполнение следующего условия:
для каждой убывающей последовательности (/„)
элементов Ж, такой, что lim/n = 0, lim/(/n) = 0. (24.1)
п п
Мера Р, удовлетворяющая этим условиям, единственна.
Следующую теорему можно получить из T24, взяв в качестве
Ж множество всех конечных линейных комбинаций
характеристических функций множеств из ¥0.
T25. Теорема (Каратеодори). Пусть ¥0 —непустая система
подмножеств Q, замкнутая относительно (Uf, С,),
[—неотрицательная аддитивная функция множеств, определенная на ¥0, такая,
что /(Q)=l, и ¥—о-алгебра, порожденная ¥0.
Тогда для существования вероятностной меры Р на ¥,
удовлетворяющей условию: Р(Л) = /(Л) для каждого А£¥0, необходимо и
достаточно, чтобы
для каждой убывающей последовательности (Ап)пен
элементов ¥0, таких, что иЛ„ = 0, Нш/(Лп) = 0. (25.1)
п п
Вероятностная мера Р единственна.

34
Гл. 11. Вероятности и математические ожидания
Внутренне пренебрежимые множества
026. Определение. Пусть (Q, ¥, Р) —вероятностное
пространство. Будем говорить, что множество AcQ внутренне
Р-пренебрежимо1), если его каждое ¥-измеримое подмножество имеет
вероятность, равную 0.
Т27. Теорема. Пусть dV*—система подмножеств Q,
удовлетворяющая следующим условиям:
1. <ЛГ замкнуто относительно (\}с)\
2. каждый элемент Jf внутренне Р-пренебрежим.
Йусть ¥' есть а-алгебра, порожденная ¥ и <ЛР. Тогда меру Р
можно единственным образом продолжить до меры Р' на ¥' так,
что каждый элемент Ж будет Р'' -пренебрежимым.
Доказательство. Выделим лишь основные моменты
доказательства, оставив детали читателю.
Пусть- (М— система всех подмножеств Q, содержащаяся в
некотором элементе из <ЛГ, #—система подмножеств вида F/\M(F£¥,
М£оЛ). Легко видеть, что $ является а-алгеброй. Поскольку oS
содержит пустое множество, то f cl Аналогично, оМсЗ.
Пусть А = F/\M— элемент $. Положим Q (А) = Р (F). Можно про*
верить, что Q(A) зависит только от Л и не зависит от представ*
ления А в виде F/\M.
Для того чтобы показать, что Q является вероятностной мерой
на $, рассмотрим последовательность (Ап)пеЫ непересекающихся
элементов $ и их объединение А. Каждый элемент этой последо*
вательности представим в виде Рп/\,Мп(Рп£¥, Mn£od).L Пусть F—
объединение Fn. Поскольку с точностью до пренебрежимых
множеств Fn не пересекаются, то P(F) = %Pn(Fn). С другой стороны,
п
А и F отличаются между собой лишь на элемент системы оЛ,
Таким образом, Q(A) = 2jQ(An) и мера Р' является сужением
п
меры Q на ¥'.
Для того чтобы установить единственность Р', рассмотрим
другую меру Р" на ¥', удовлетворяющую тем же условиям. Тогда
каждый элемент <М—внутренне Р"-пренебрежимый, и Р" можно
продолжить на $ так, что каждый элемент <Л> будет иметь нулевую
Р"-меру. Это продолжение совпадает с Q, откуда следует, что
Р' = Р".
28. Замечания, (а) Результат теоремы 27 часто применяется к
семействам Jf, состоящим из одного внутренне пренебрежимого
множества.
1) Множества, имеющие вероятность 0, часто называют Р-лренебрежимыми
множествами или множествами нулевой Р-меры.

§ 3. Построение мер. Меры Родона
35
(б) Из доказанной теоремы вытекает существование пополнения
вероятностного пространства (Q, <F, Р) (см. п.З). В этом случае off
означает систему всех подмножеств пренебрежимых множеств.
Пусть оГр —пополненная а-алгебра. Каждый ее элемент может
быть записан в виде F/\M, где F принадлежит ¥, а М
содержится в некотором Р-пренебрежимом множестве N £ ¥. Множество
F/\M заключено между F\N и F/\,N, которые принадлежат ¥ и
отличаются друг от друга на пренебрежимое множество. Тогда из
того, что измеримая функция может быть аппроксимирована
кусочно-постоянными функциями, вытекает следующее утверждение.
Действительная функция f является ¥? -измеримой тогда и
только тогда, когда существуют две ¥ -измеримые функции g и h
(со значениями б R), такие, что
g<f<ht P{g^/i} = 0.
(в) Пусть (Q, ¥)— измеримое пространство. Для каждой меры
Р на (Q, ¥) рассмотрим пополненную а-алгебру ¥р и обозначим
¥ пересечение (по Р) всех таких а-алгебр.
Измеримое пространство (Q, ¥) называется универсальным
пополнением (й, ¥). Читатель может легко проверить следующие
утверждения.
(1) Каждая мера Р на ¥ может быть единственным образом
продолжена до меры Р на <F, и Р-ллл*-Р является взаимно
однозначным отображением на множество всех вероятностных мер,
определенных на $".
(2) Пусть (£, <§) — измеримое пространство и /—измеримое
отображение (Q, ¥) на (£, <£); тогда / является также измеримым
отображением (Q, ¥) на (£, £).
Начнем изучение мер Радона с некоторых предварительных
замечаний о соотношениях между а-алгебрами и топологией.
Т29, Теорема. Пусть Е—компактное пространство.
Компактное множество К из Е принадлежит бэровской а-алгебре
тогда и только тогда, когда К является пересечением
последовательности открытых множеств в Е.
Доказательство. Пусть К—компактное бэровское множество Е
и fn — последовательность непрерывных функций, таких, что К
принадлежит а-алгебре, порожденной функциями fn (1.9). Пусть
/—непрерывное отображение (/„Wn компакта Е в RN. Тогда
существует измеримое множество А в RN, такое, чтоK = f"1(A) (1.12)
и, следовательно, /( = /"1(/(/С)). RN — компактное метризуемое
пространство. Компактное множество /(/С) является пересечением
последовательности открытых множеств G„. Поэтому К= fl f~1(Gn).
п
Предположим обратное, т. е. что компакт К&Е является
пересечением последовательности открытых множеств GM. Пусть gn—не-

36 Гл. 11. Вероятности и математические ожидания
прерывная функция со значениями в [0, 1], равная 1 на /(и Овне Gn.
Тогда компонент К представим в виде П {§п= 1} и» следовательно,
п
принадлежит бэровской а-алгебре.
ТЗО. Теорема. Пусть (£/)<<:/—семейство топологических про-
странств и Е—их произведение.
(а) Предположим, что каждое Е{ метризуемо и сепарабельно, а
1 счетно. Тогда борелевская а-алгебра 33(E) совпадает с произведем
нием а-алгебр Д 33(£.).
(б) Предположим, что каждое Е(—компакт (I произвольно).
Тогда бэровская о-алгебра $}0(Е) совпадает с JJ$0 (£,.).
i<z/
Доказательство. Поскольку для метризуемых пространств бэ-
ровские и борелевские а-алгебры совпадают, а произведение
пространств Е (в утверждении (а)) метризуемо, можно рассматривать
только бэровские а-алгебры. Обозначим через (Х()ш координатные
отображения на Е. Каждое Xh будучи непрерывным, является
измеримым отображением (£, 330{Е)) в (£,., $}0(Е()) [п.1.10, г].
Поскольку тождественное отображение (£, 33^ (Е)) на (£,
JJ<®0(£/)) также измеримо (I.T12), то произведение а-алгебр со-
держится в 33^ (Е). Установим обратное включение. В случае (а)
это вытекает из существования счетной базы топологии £,
элементы которой принадлежат произведению а-алгебр. В случае (б)
покажем, что каждая действительная непрерывная функция на Е
измерима относительно произведения а-адгебр. Это следует, в
частности, из теоремы Стоуна — Вейерштрасса 1)у согласно которой
каждая непрерывная функция может быть равномерно приближена
полиномами
где каждая fk (&== 1, ..., п) является непрерывной функцией на Е%
зависящей только от одной координаты. Очевидно, / измерима
относительно произведения а-алгебр2).
31. Пусть Е—топологическое пространство, А—
подпространство Е и i — каноническое отображение3) А в Е. Покажем, что
борелевские множества в А могут быть образованы пересечением с А
борелевских множеств в Е. Пусть с*Г—семейство всех таких
пересечений. Поскольку отображение i непрерывно, то <&"с:33 (А) [1.10, г].
Обратно, £Г является а-алгеброй, содержащей открытые множества из
1) Данфорд и Шварц [1], Люмис [1J, Бурбаки [2], § 4 п.2.
2) Утверждение (б) неверно для борелевских а-алгебр неметризуемых
компактных пространств даже для случая конечных произведений.
3) Каноническим отображением А в Е называется отображение А в £,
которое каждому элементу X из А относит X, рассматриваемый как элемент из Я
(см. Бурбаки [2], стр. 27). — Прим. ред.

§ 3. Построение мер. Меры Родона
37
А (пересечения с А открытых множеств £). Следовательно, £Г
содержит 33(A).
32. Пусть X и Y—два случайных элемента на вероятностном
пространстве (Q, ¥', Р) со значениями в сепарабельном
метрическом пространстве Е. Поскольку диагональ ЕхЕ принадлежит
53(ЕхЕ) = 53(Е)х$)(Е)9 то множество {X = Y} является событием.
Sfro событие имеет вероятность, равную единице, тогда и только
тогда, когда для каждой измеримой ограниченной функции /, или
хотя бы для непрерывной функции f (I.T20) выполняется равенство
Е[/(Х, Г)]=Е[/(Х, X)]. (32.1)
В силу I.T20 достаточно, чтобы равенство (32.1) выполнялось
для функций /, представимых в виде /(*, y) = g(x)h(y), где g и
h—ограниченные непрерывные функции соответственно от X и
от Y.
Меры Радона
Можно было бы опустить определение меры Радона, отослав
читателя к книге Бурбаки. Мы не будем, однако, этого делать,
поскольку у Бурбаки каждая мера Радона органически связана с
некоторой функцией множеств, определенной на а-алгебре
^-измеримых множеств. Для целей теории вероятностей следует
поступать несколько более деликатно в отношении а-алгебр и тщательно
проверять различные используемые определения. Случай
компактных пространств хорошо иллюстрирует это обстоятельство.
33. Пусть Е—компактное пространство. Напомним, что
положительная мера Радона на Е—это положительный линейный
функционал |х на пространстве # (Я), а мера Радона, т.е. линейный
функционал на # (£), представима в виде разности двух
положительных мер Радона (или, что то же — непрерывный функционал
в топологии равномерной сходимости).
Пусть ^—-положительная мера Радона.
Согласно классической лемме Дини1), каждая
последовательность непрерывных функций, убывающая к 0, сходится к 0
равномерно на Е. Таким образом, линейный функционал \х
удовлетворяет условию (24.1), и из теоремы о продолжении Даниэля
вытекает теорема «представления» Рисса.
—> Т34. Теорема. Пусть Ф—отображение, которое каждой
ограниченной положительной мере т на (£, 33Q (Е)) ставит в
соответствие линейный функционал / -ллл- J / (х) dm (х) на % (£), Тогда Ф
в
1) См. Бурбаки [2], § 4, п.1; см. также Х.6, ниже.

38
Гл. 11. Вероятности и математические ожидания
является биекциейг) множества ограниченных положительных мер
на множество положительных мер Радона.
С другой стороны, имеет место следующий результат:
—>Т35. Теорема. Пусть т—положительная ограниченная мера на
930(Е)\ тогда т может быть единственным образом продолжена до
меры т на S3 (£), обладающей следующим свойством:
Пусть (/С/)/ € /—семейство компактных множеств пространства В,
фильтрующееся влево2). Тогда
™(9*0=i?f™(W (35,1)
Мера т регулярна (см. II 1.28), т.е. для каждого борелевского
множества А
m(A) = sup т(К). (35.2)
КСА
К -компакт
Обозначим через \|? обратное отображение к биекции Ф (п.34).
Упростим нашу терминологию, называя «мерами Радона» исходную
меру |я, меру i|)(jx) на 330(Е) и ее продолжение ty(\i) на <©(£),
обозначая меры \|)([i) и \p(\i) также через \х. Если /—борелевская
функция, то интеграл от f по мере (я будем обозначать (х(/),
<|х, /> или \f(x)d\i(x).
Заметим, что полунепрерывная снизу функция является боре-
левской. Тогда имеет место следующее утверждение4), которое
является в некотором смысле обобщением теоремы 35, поскольку
характеристическая функция компактного множества
полунепрерывна сверху.
—»-Т36. Теорема. Пусть (f^tei—фильтрующееся вправо семейство
функций, полунепрерывных снизу. Тогда
И (sup //) = sup |i (ft). (36.1)
Левая часть (36.1) имеет смысл, поскольку функция sup/,- по-
с
лунепрерывна снизу. Подчеркнем, что этот результат справедлив
*) То есть взаимно однозначным отображением одного множества на
другое.— Прим. перев.
2) Бурбаки [4], гл. 4, § 1, теорема 1.
3) Упорядоченное множество &С называется фильтрующимся вправо
(соответственно влево), если любые два элемента Ж ограничены сверху (соответственно
снизу).
В отечественной литературе множества, фильтрующиеся вправо, называются
направленными множествами. — Прим. перев.
4) В частности, это выполняется, если компактные множества и их
пересечения принадлежат с®0 (£),

§ 4. Независимость. Условные математические ожидания 39
только для неотрицательных функций без требования их
интегрируемости.
Теоремы 35 и 36 можно рассматривать и с некоторой
«абстрактной» точки зрения (см. III. ТЗЗ и III. Т34).
37. Ограниченные положительные меры на борелевской алгебре <8{Е) немет-
ризуемого компактного пространства Е не обязательно являются мерами Радона.
Положительная мера X на <$ (Е) является мерой Радона тогда и только тогда,
когда она ограничена (на локально компактных пространствах это условие нужно
заменить условием конечности меры на компактных множествах) и удовлетворяет
одному из следующих (эквивалентных) условий:
1Q. Пусть /—неотрицательная ограниченная функция, полунепрерывная
снизу. Тогда
М/)= sup 1(g). (37.1)
8<f
2°. А, является регулярной мерой [т. е. выполняется (35.2)]. (37.2)
Отсюда, в частности, следует, что сумма ряда мер Радона сама является
мерой Радона тогда и только тогда, когда эта сумма ограничена.
Пополнение меры Радона
Следующее определение вводится для локально компактных
пространств.
038, Определение. Пусть \i—мера Радона на (Е, $(£)). Обо-
значим через 38^ пополнение Si (Е) относительно ц; элементы #
называются ^-измеримыми множествами. Элементы пересечения
Я,(Я) = П*,.
и
где (л пробегает систему всех положительных мер Радона на Я,
называются универсально измеримыми множествами.
Если Е метризуемо, то $а(Е) является в точности
универсальным пополнением 35(E) (28, в).
§ 4. Независимость. Условные математические ожидания.
Понятие независимости будет редко использоваться в этой книге.
Определения, приводимые ниже, в основном предназначены для
понимания условной независимости, существенно используемой в
теории марковских процессов.
Определение независимости
039. Определение. Пусть (X()[qi—конечное семейство случайных
элементов^ заданных на вероятностном пространстве (Й, <F, Р) со
значениями в измеримых пространствах (Eit З^ы; X—случайный

40
Гл. /У. Вероятности и математические ожидания
элемент (Х,)^/ со значениями в пространстве IJJ £,-,JJ <Si\ Будем
\iel iel J
говорить, что случайные элементы Х{ независимы, если
распределение X является произведением распределений Х(.
Пусть (X^isi —произвольное семейство случайных элементов.
Будем говорить, что Xt независимы, если случайные элементы
каждого конечного подсемейства независимы.
Этому определению независимости можно придать следующий
вид (п. 14):
Случайные элементы (Х,)/€/ независимы тогда и только тогда,
когда для каждого конечного множества Ус/ и каждого семейства
(Ai)iejt таких, что Л^о?/, для i£J, имеет место равенство
Р{Х,€Л/ Аля каждого /€</} = 1[Р {*/€ А(\.
ieJ
Приведем другую эквивалентную формулировку определения
независимости.
О40. Определение. Пусть (Q, ¥, Р)—вероятностное пространство
и (¥i)(ei — семейство о-подалгебр ¥'. Будем говорить, что эти о-ал-
гебры независимы, если для каждого конечного подмножества Jcl
и каждого семейства множеств (A;)iuj, таких, что At £¥t для
i£J, имеет место равенство
Р(П ЛЛ-ПРМ/).
Легко показать, что определения 39 и 40 эквивалентны.
Случайные элементы (Х/)*е/ независимы (в смысле 039) тогда и только
тогда, когда а-алгебры <&~(Х() независимы (в смысле О40).
Аналогично, а-алгебры {Ffret независимы тогда и только тогда, когда
случайные элементы Х( независимы (X,—тождественное отображение
(О, ¥) на (Q, ¥()).
Т41, Теорема. Пусть ¥х, ¥2, ..., ¥п—независимые о-алгебры
и /i» /2» •••t fn—CAyHauHbie величины, измеримые относительно
о-алгебр ¥х, ..., ¥ п, соответственно. Произведение fj2... /„
интегрируемо, когда интегрируема каждая из функций flf /2, ...,/„.
При этом имеет место равенство
Е[/1/2.../„]=Е[/1].Е[/г]...Е[.д.
42, Пусть X и Y—две независимые случайные величины, а К и\х—
соответствующие им распределения. Распределение пары (X, Y)
в R2 является произведением распределений Ji®jx. Распределение
случайной величины X + Y является образом этого произведения при
отображении (х, у) илл* х + у пространства R2 на R. Другими
словами, распределение X + Y является сверткой Х*\х распределений
к и Jit

§ 4. Независимость. Условные математические ожидания 41
Условные математические ожидания
Понятие условного математического ожидания при первом
знакомстве часто вызывает некоторые трудности. Однако его
использование в этой книге не вызовет затруднений, поскольку нам
понадобятся только формальные свойства условных математических
ожиданий, которые все будут приведены в этом параграфе.
Т43. Теорема. Пусть (Q, <SF, Р)—вероятностное пространство
и f—случайный элемент, определенный на (Q, <F), со значениями
в измеримом пространстве (£, £). Обозначим через Q образ меры Р
при отображении /. Пусть X есть Р-интегрируемая случайная
величина на (Q, <F). Тогда существует Q-интегрируемая случайная
величина Y на (£, <£), такая, что для каждого множества А£<§
[Y(x)dQ(x)=* S X((o)dP(co). (43.1)
А f-ЧА)
Если У—другая случайная величина, удовлетворяющая (43.1), то
Y = Y' п.н.
Доказательство, Утверждение, касающееся единственности,
вытекает немедленно из замечания 9(a). Для того чтобы установить
существование У, рассмотрим сначала случай, когда функция X
квадратично интегрируема относительно Р. С каждым элементом Z
из J?2(Ey <£, Q) свяжем число \(Zof)XdP, которое зависит только
Q
от класса эквивалентности элемента Z# Таким образом, построен
линейный функционал на L2(£, <£, Q) с нормой, не
превосходящей ||Х||2. Следовательно, найдется функция Y£L?t(Et &, Q) с
J (Zо/) X dP = \ Z. YdQ для каждого Z.
Q Е
Предположим, что случайная величина X неотрицательна. Тогда
интеграл от Y по каждому множеству А £ £ неотрицателен. Отсюда
следует, что случайная величина Y неотрицательна п.н. (см. 9(a)).
Рассмотрим теперь случай, когда функция X предполагается
только интегрируемой.
Докажем наше утверждение отдельно для ее положительной
части Х+ и ее отрицательной части X". Поскольку случайные
величины Х£ = Х+ /\я (п£Щ принадлежат L*(Q, <F, Р), то можно,
как это было сделано выше, связать с ними случайные величины Ул+.
В соответствие с предыдущим замечанием эти случайные величины
неотрицательны п. н., возрастают п.н., и их интегралы ограничены
числом Е[Х+]. Поэтому можно выбрать интегрируемую случайную
величину Y+t равную п.н. пределу случайных величин Yn+.
Совершенно аналогично, можно построить случайную величину У_,
отправляясь от случайной величины Х"# Интегрируемая случайная

42 Гл. //. Вероятности и математические ожидания
величина Y — Y+ — У_ удовлетворяет соотношению (43.1). Теорема
доказана.
044. Определение. Интегрируемая случайная величина У,
определенная на (Еу Sy Q) и удовлетворяющая соотношению (43.1),
называется условным математическим ожиданием случайной величины X
при заданной функции f1).
45. Замечания, (а) Если X является характеристической
функцией события В, то Y называется условной вероятностью события В
при заданной функции f. Важно помнить, что эта «вероятность» —
не число, а случайная величина, определенная только с точностью
до эквивалентности п. н.
(б) Рассмотрим разбиение множества Й на последовательность
измеримых множеств Ап и обозначим через / отображение Q в N,
принимающее значение п на Ап. Образ меры Q на N определяется
соотношением
Q ({/I}) =РИЯ).
Пусть X —интегрируемая случайная величина на Q. Легко
подсчитать, что
$XdP
Y (п) = А* А v для каждого /г, такого, что Р(Л„)=^0.
Если Р(Л„) = 0, то Y (п) можно выбрать произвольным образом.
Пусть теперь X — характеристическая функция события В. Тогда
Y(n) = P(Br\An)/P(An), если Р(Ап)ФО. Следует отметить, что
в элементарной теории вероятностей Y (п) называется условной
вероятностью события В при условии, что произошло событие Ап.
Легко поддаться искушению и в общем случае также назвать
величину Y (х) (х£Е) «условным математическим ожиданием при
условии, что / (со) = ху>. Эта терминология, однако, некорректна, поскольку
случайная величина Y определена с точностью до эквивалентности
п. н., и можно говорить о ее значении в точке х, только если
Щ{х\)ФО.
(в) Пусть X — неотрицательная неинтегрируемая случайная
величина. Монотонный предельный переход, используемый в
доказательстве Т43, приводит к неотрицательной случайной величине, не
обязательно конечной и определенной с точностью до
эквивалентности п. н. Эта величина удовлетворяет формуле (43.1) и называется
обобщенным условным математическим ожиданием.
При определении условного математического ожидания мы начали
с определения 44, поскольку считаем его интуитивно более
понятным. Определение, данное ниже, также очень важно и будет по-
*) Более точно, Y есть один из вариантов условного математического
ожидания X при заданной функции /.

§ 4. Независимость. Условные математические ожидания 43
стоянно использоваться. Для его формулировки в утверждениях
43—44 возьмем в качестве Е множество Q, в качестве <§—сг-под-
алгебру f, а в качестве /—тождественное отображение Q на себя.
В этом случае мера Q является сужением меры Р на &.
046. Определение. Пусть (Q, ¥, Р)—вероятностное
пространство, £ есть о-подалгебра W и X—-интегрируемая случайная
величина. Вариантом условного математического ожидания случайной
величины X относительно <§ называется интегрируемая ^-измеримая
случайная величина Y, такая, что
\ Х(со) (№ (со) = J Y (со) dP (со) для каждого А$£. (46.1)
А А '
В дальнейшем слово «вариант» будет опускаться, а для Y, как
правило, будет использоваться обозначение Е[Х|<£]1). Если <£
является а-алгеброй оГ(//, *£/), порожденной семейством случайных
величин, то будем говорить об условном математическом
ожидании X относительно ft, записывая его в виде E[X|//f i£l].
Если X—характеристическая функция события А, то будем
говорить об условной вероятности А относительно £ (или /,) и писать
Р (Л | <£) [или Р (А | /,, i £ /)]. Часто приходится рассматривать
условные математические ожидания вида Е [Е [/1 oFJ | <F2], где Wx
и <F2 суть а.-подалгебры <F. В этих случаях будет использоваться
обозначение менее громоздкое: Е [X|<F, |<F2].
Замечание. Согласно обозначениям п. 43—44, Е [X \У\ ^=Yof
п. н., где tf = £T(f)t Теорема 1.18 позволяет получить
определение 44 из определения 46.
Основные свойства условных математических ожиданий
—> 47. Здесь собраны все свойства условных математических
ожиданий, которые будут в дальнейшем использоваться. В частности,
определению 46 будет придана другая форма. Все рассматриваемые
случайные величины определены на одном и том же вероятностном
пространстве (Q, ¥, Р).
Свойство 1. Пусть X и Y—две интегрируемые случайные
величины; а, b и с—константы. Тогда для любой о-алгебры Sa¥
E[aX + bY-\-c\£]=aE[X\£]+bE[Y\£]+c п. н. (47.1)
Свойство 2. Пусть X и Y — интегрируемые случайные величины,
такие, что X < Y п. н. Тогда
E[X|tf]<E[K|tf].
*) Обозначение Е® [X] также будет широко применяться.

44
Гл. //. Вероятности и математические ожидания
Свойство 3. Пусть Xn, n^fi,—интегрируемые случайные вели-
чины, стремящиеся (возрастая) к интегрируемой величине X. Тогда
Е[Х\ё]=ПтЕ[Хп\#] п.н. (47.2)
п
Свойство 4 (неравенство Йенсена). Пусть с—выпуклое
отображение R в R и X — интегрируемая случайная величина, такая, что
соХ интегрируема. Тогда имеет место следующее неравенство:
соЕ[Х|<£]<Е[соХ|<£]. (47.3)
Доказательство. Функция с является верхней огибающей счетного
семейства линейных" функций Ln (х) = апх + Ьп. Случайные величины
LnoX интегрируемы, и поэтому
^оЕ[Х|^] = Е[^оХ|^]<Е[соХ|^].
Для завершения доказательства нужно в левой части неравенства
перейти к верхней огибающей. Если случайная величина X
принимает значения в некотором интервале / действительной прямой,
то, очевидно, достаточно, чтобы с была бы определена и выпукла на /.
Свойство 5. Пусть X — интегрируемая случайная величина.
Случайная величина Е[Х|<£] ^-измерима. Если X S-измерима, то
Х = Е[Х|<£] п.н.
(Доказательство следует непосредственно из определения
условного математического ожидания и его (п. н.) единственности.)
Свойство 6. Пусть S), <§—две о-подалгебры Ш', такие, что @)cl<§.
Тогда для каждой интегрируемой случайной величины X
E[X|tf|S>]=E[X|£>] п.н. (47.4)
В частности,
Е[Е[Х|<£]]=Е[Х]. (47.5)
(Первое равенство сразу следует из единственности. Второе
получается, если положить S>=^{0, Q}.)
Свойство 7. Пусть X — интегрируемая случайная величина, Y есть
^-измеримая случайная величина, такая, что произведение XY
интегрируемо. Тогда
Е[ХГ|<£] = УЕ[Х|<£] п.н. (47.6)
Доказательство. В случае, когда Y является элементарной
величиной, равенство (47.6) сразу вытекает из определения условного
математического ожидания. Общий случай получается путем
монотонного предельного перехода.
48. Свойства непрерывности. Применим неравенство Йенсена,
взяв в качестве с функцию х-ллл- |*|^(1 </? < оо). Тогда получаем
неравенство
ЦЕ[Х|Я||,<||Х||,. (48.1)

§ 4. Независимость. Условные математические ожидания 45
Это неравенство очевидно для /? = оо. Отображение X -ллл~ Е [Х|(£]
является оператором в Z/ (l^p^oo) с нормой ^1. Известно,
что каждый непрерывный линейный оператор в банаховом
пространстве В непрерывен в слабой топологии а (В, В') (см., например,
Бурбаки.[3], Данфорд и Шварц [1]). Таким образом, условное
математическое ожидание является оператором, непрерывным в
топологиях o(L\ L00) и o(L\ L2).
Пусть (Хп)п <= n — последовательность интегрируемых случайных
величин, которая сходится п. н. к интегрируемой случайной
величине X. Интересно выяснить, будет ли при этом иметь место
сходимость п. н. условных математических ожиданий Е [Х„|<£] к Е [Х\§]
для любой.а-подалгебры <§. Дуб показал, что ответ на этот вопрос
положителен, если каждый член последовательности мажорируется
по модулю одной и той же интегрируемой случайной величиной,
а Блекуэлл и Дубине [1] доказали, что это условие нельзя ослабить.
Условная независимость
Это понятие не будет использоваться до главы, посвященной
марковским процессам. Тем не менее доказательство теоремы 51
представляет собой хорошее упражнение на применение свойств 1—7,
и мы рекомендуем его изучить.
049. Определение. Пусть (Q, <F, Р)—вероятностное
пространство и ¥1У <F2, gF'g суть о-подалгебры ¥. Будем говорить, что ¥х
и ¥3 условно независимы относительно ¥2, если выполнено
следующее соотношение:
Е [^х^аI^2] == Е [Ух | F8] • Е [Г31F8] п. «., (49.1)
еде Yx> Ys —произвольные неотрицательные случайные величины,
измеримые относительно а-алгебр ¥х, ff\ соответственно,
50. Замечания, (а) Выбирая в качестве ¥2 а-алгебру {0, Q},
приходим к определению независимости (п. 39, 41). Аналогично
можно определить условную независимость нескольких о-алгебр
относительно заданной а-алгебры.
(б) С помощью обычной процедуры аппроксимации
кусочно-постоянными функциями легко показать, что если соотношение (49.1)
выполняется для характеристических функций множеств, то оно
выполняется и в случае, когда Yl9 К3, Yl-Y3 интегрируемы.
(в) Терминология, используемая здесь, довольно гибкая. Если
¥2 есть а-алгебра зГ(/), порожденная случайной величиной ft то
можно говорить об условной независимости ¥ х и ¥3 при
«заданной /»; если ¥х и <F3 суть а-алгебры, порожденные случайными
величинами /х и /3, то можно говорить об условной независимости fx
и /3 относительно ¥2 и т. д.
Т51. Теорема. Пусть ¥12 есть о-алгебра, порожденная ¥х и ¥2.
Тогда а-алгебры ¥ х и ¥ 2 условно независимы относительно ¥9 в том

46
Гл. П. Вероятности и математические ожидания
и только том случае, когда выполнено соотношение
ИП1^.2]=Е[Щ^] п. н. (51.1)
для каждой интегрируемой ff'^-измеримой случайной величины Y3.
Доказательство (а) (49.1) =^(51.1). Нужно проверить, что обе
части выражения (51.1) имеют один и тот же интеграл по любому
элементу из <F12. Система элементов §12, для которой это
выполнено, замкнута относительно операций ((jmct f)mc). С другой
стороны, семейство # всех конечных непересекающихся объединений
множеств вида Al(] A2(A1^Srlt А2£¥2) порождает а-алгебру JF12.
Поэтому в силу I.T19 достаточно проверить соотношение
Е[аАЕ[К1|*'11]=.Е[а1а,Е(К,|*'1)],
где аг и а2 означают соответственно характеристические функции
множеств Л, и А2. Тогда имеем (номера в скобках указывают
используемые свойства условных математических ожиданий):
Е [aAE [ К81Г12] = Е [Е [а,а2Г3 \fl2]) = (7)
-ЕКа^зН (5)
= Е[Е[й,а2К3|Г2]]= (5)
= E[a2E[a,K3|r2]]= (7)
= Е[а2Е[а1|Г2]Е[К3|Г2]]= (49.1)
= E[a2E(aIE[Ks|F2])|F2]]= (7)
-EfEKflAElKjrjJirj]- (7)
= E[aAE[F3|^2]]. (5)
(б) (51.1) => (49.1). Имеем
Е[К,Кз|Г2]=Е[К1К3|^12|Гг]== (6)
= E[(Y1E\Y,\Flt])\Srt] = (7)
= Е[(К1Е[К3|Г2])|1Г2] = (51.1)
-Е[К,|*МЕ[К,|Г,]. (7)
В дальнейшем свойства условных математических ожиданий
будут использоваться без специальных пояснений.

Глава 111
ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ МЕРЫ
Большая часть этой главы посвящена теореме Шоке о емкостях
(в ее абстрактной форме) и результатам, связанным с ней. В
последующих главах содержится несколько важных приложений
теоремы Шоке, особенно к теории потенциала, а также к общей
теории случайных процессов.
В отличие от двух первых параграфов, посвященных
результатам, которые можно считать классическими, последний параграф
содержит менее важные теоремы, представляющие интерес в
основном лишь для специалистов по теории вероятностей. Без особого
ущерба читатели могут его опустить (по крайней мере те, кто
хорошо знаком с мерами Радона).
§ U Компактные покрытия. Аналитические множества
1. Пусть Е—некоторое множество. Покрытием & на Е назовем
всякую систему подмножеств множества Е, содержащую пустое
множество. Пару (£, <£), состоящую из множества Е и покрытия <§
на £, будем называть множеством с покрытием. Эта терминология
используется только в настоящей главе и приложениях, связанных
с результатами этой главы.
Пусть (£;, (§;)( € /—семейство множеств с покрытием.
Произведением покрытий <§( (соответственно суммой покрытий <£,) назовем
покрытие на множестве JJ Е( /соответственно на V ЕЛ, содер-
I € / \ iul J
жащее подмножества вида JJ А( /соответственно 2 ^Л» где ^/^ А
iel \ tul J
для всех i (А( не совпадают с Et (соответственно с 0) только для
конечного числа индексов).
Важно отметить, что в случае, когда $t являются о-алгебрами,
произведение покрытий Si не совпадает с произведением о-алгебр
(последнее порождается произведением покрытий). Поэтому возможно
разночтение при использовании обозначений Д<£/ или <£x<F для
(el
произведения покрытий. Однако они все-таки будут использоваться,
но только в этой главе1).
1) Выход из этого положения можно было бы найти, употребляя знак (g)
для произведения а-алгебр, как в книге Неве [1]. Но, на наш взгляд, это вряд
ли принесло бы здесь пользу.

48
Гл. III. Дополнения к теории меры
Компактные и полукомпактные покрытия
2. Пусть (£, S)—множество с покрытием и (/С/)/€/—семейство
элементов покрытия g% Будем говорить, что это семейство
удовлетворяет свойству конечного пересечения, если Г) К(Ф0 для каж-
дого конечного подмножества 10с I. Это равносильно утверждению,
что множества /Q принадлежат фильтру или в силу теоремы об
ультрафильтрах1), что они принадлежат некоторому ультрафильтру
It на £.
03. Определение. Пусть (Е, g) — множество с покрытием.
Покрытие £ называется компактным (соответственно полукомпакт-
ным), если каждое семейство (соответственно каждое счетное
семейство) элементов <£, удовлетворяющее свойству конечного
пересечения, имеет непустое пересечение.
Например, если Е—топологическое хаусдорфово пространство,
то покрытие, состоящее из компактных множеств Е, является
компактным покрытием.
Свойства компактных покрытий
Т4. Теорема. Пусть g—компактное (соответственно
полукомпактное) покрытие на некотором множестве Е и <£' — покрытие,
полученное замыканием £ относительно операций (и/, Пя)
(соответственно (U/, Ос)). Тогда покрытие <§' является компактным
(соответственно полукомпактным).
Доказательство. Пусть ¥ — покрытие, полученное замыканием
S относительно (U/). Покрытие <£' получается замыканием ¥
относительно (Г) а) [соответственно относительно ( Г) с)]. Поскольку
замыкание относительно пересечений сохраняет компактность,
достаточно показать, что ¥ — компактное (соответственно полу
компактное) покрытие. Рассмотрим семейство (/(,)* 6/ (соответственно счетное
семейство) элементов покрытия ¥, удовлетворяющее свойству
конечного пересечения. Пусть U —ультрафильтр, такой, что /C/GU
для всех i£I. Каждое множество /Q является объединением \JKif
элементов <£, где J( — конечное множество индексов. Следовательно,
существует индекс //€«/,, такой, что /G/4€U*). Семейство (Ka^tsi
удовлетворяет свойству конечного пересечения, его пересечение
не пусто, и тем более не пусто пересечение семейства (/(/)*€/•
Теорема доказана.
1) Бурбаки [2], 3-е издание, гл. 1, § б, п. 4, теорема 1.
2) Бурбаки [2], 3-е издание, гл. I, § 6, п. 4, предложение 5. Это
доказательство было сообщено нам Г. Мокободзки,

§ 1. Компактные покрытия Аналитические множества 49
Т5. Теорема. Пусть (£,., Si)(€i—семейство множеств с
покрытием. Если каждое покрытие £t компактно (соответственно
полукомпактно), то их произведение Д<£,- и сумма 2 <£/ также ком-
пактны (соответственно полукомпактны).
Доказательство. Утверждение теоремы, относящееся к
произведению покрытий, очевидно. Пусть Ж—покрытие на сумме
множеств ^ ^/» состоящее из подмножеств вида ^Ah где Л£ = 0 для
всех индексов, за исключением самое большее одного из них, для
которого А{ принадлежит <£,. Очевидно, покрытие Ж компактно
(полукомпактно). Теперь достаточно только заметить, что сумма
покрытий получается замыканием Ж относительно операции (U/)-
Следующая теорема будет использоваться только для
полукомпактных покрытий, поэтому ее модификация для компактного
случая не приводится.
Т6. Теорема. Пусть (Е, <£)—множество с покрытием, и
f—отображение Е в множество F. Предположим, что для каждого x£F
покрытие, состоящее из множеств вида f~x({x})() А, А£<§,
полукомпактно. Тогда для каждой убывающей последовательности
(ЛП)ЛС n элементов покрытия <§
/(П ЛЛ=П f(Au).
Доказательство. Достаточно показать, что каждому x€f\f(An)
п
можно поставить в соответствие элемент у£ f] Ап, такой, что f(y)=x.
п
Для семейства множеств вида /~1({*})ПЛ„ выполняется свойство
конечного пересечения, поэтому пересечение этого семейства не
пусто, так что элемент у можно выбрать в этом пересечении.
W-аналитические множества
07. Определение. Пусть (F, <F)—множество с покрытием.
Подмножество А множества F называется £F-аналитическим, если
существуют вспомогательное множество Е с полукомпактным покрытием
£ и подмножество В с Е х F, принадлежащее (£ х оП^, такие,
что А является проекцией В на F.
Покрытие на F, состоящее из ^-аналитических множеств,
обозначается через <А(¥)1).
1) Эти множества совпадают с ^-суслинскими множествами, получаемыми
применением Л-операции Сусли на к элементам ^. Этот результат можно легко
доказать методом Шоке [2]; см. также Сион [2,3]. Наше определение легче
использовать в построении теории емкостей и в теории случайных процессов.

50
Гл. 111. Дополнения к теории меры
Т8. Теорема. ¥ содержится в А(¥). Покрытие Л(¥) замкнуто
относительно операций (lie, О с).
Доказательство. Для доказательства включения ¥ а. Л (¥)
возьмем в качестве Е множество, состоящее из одной точки. Чтобы
доказать второе утверждение, рассмотрим последовательность
^-аналитических множеств (ЛП)П6М. По определению для каждого
индекса п существуют:
множество Еп с полукомпактным покрытием <£„;
подмножество Вп множества Еп х /\ принадлежащее (<£„ х ¥)аЬ
[и совпадающее здесь с пересечением последовательности
(B„Jm€N элементов (£п х ¥)0], проекцией которого на F
является множество Ап.
Без ограничения общности можно считать, что Еп£<8п поскольку
добавление всего пространства к множеству с полукомпактным
покрытием сохраняет полукомпактность. Пусть Е—произведение
множеств JJ Еп с полукомпактным покрытием JJ<£n; я—проекция
п п
Е X F на F. Обозначим через Сп цилиндрическое множество в ExF
с основанием ВПУ т. е. множество вида / JJ Ет\ хВп\ п Ап совпадает
\тФп ) п
ся/n^nV Таким образом, замкнутость относительно (Пс) будет
установлена, если показать, что множество f[Cn принадлежит
п
(<В X ¥)аЬ. Последнее очевидно, поскольку каждое Сп принадлежит
(<В X Г),г.
Пусть теперь Е означает сумму 2 Еп с полукомпактным покры-
п
тием ^<§п, я —проекцию Е х ¥ на F. Тогда я (^ВЛ =U Ап
/поскольку (%Еп\ X F совпадает с ^fEn*?)) • Теперь
достаточно показать, что ^Вп является элементом (<£ х ¥)аЬ. Но это
п
множество совпадает с П^^»». а 2^шя» очевиДно» принадлежит
т п п
(£х¥)а. Таким образом, замкнутость относительно (11с) установлена.
Т9. Теорема, (а) Пусть (£, <£) и (Z7, ¥)—два множества с
покрытием. Тогда
J(g) xA(¥)cA(<g х¥).
(б) Предположим, что покрытие & полукомпактно. Пусть А'
принадлежит А(<§ X ¥). Тогда множество Л, являющееся
проекцией А' на F, принадлежит Л(¥).
Доказательство. Пусть А х& принадлежит Л(£)хЛ (¥)\ из
определения 07 вытекает, что А содержится в некотором множестве
Аг € <£0» а В содержится в некотором Вх £ <^V Очевидно, Л (<§) х

§ 1. Компактные покрытия. Аналитические множества 51
х F с Л(<§ х (F); следовательно, ^xB^^^xf) в силу Т8.
Это же утверждение справедливо для Ах х В, а значит, и для
А хВ = (Л хВ,) П (Лх х В).
Докажем теперь (б). Поскольку Л' принадлежит </£(<£ x<F),
найдутся множество с полукомпактным покрытием (G, $) и
множество Л" с G х (ExF), принадлежащее (S х (^ X F))o5> такие, что
Л' является проекцией Л" на Е х F. Теперь заметим, что
покрытие % X S полукомпактно и Л является проекцией на F множества
Л", принадлежащего (G х Е) х F и входящего в систему множеств
((* X <§) X Г)*-
Т10. Теорема. Л(Л{¥))^Л(¥).
Доказательство. Пусть Л является «^(^-аналитическим
множеством. Тогда существуют множество Е с пол у компактным
покрытием и множество Л' £(«£ х </£(F))o8, такие, что Л является
проекцией Лл на F. С другой стороны, £ х Л (F) с: Л(<§) х Л (F) с
Cc/Z(<£X<F) (Т9 (а)), поэтому А' принадлежит e^(<£xF) (Т8).
Следовательно, включение А£Л(оГ) вытекает из Т9 (б).
Т11. Теорема. Пусть (Е, F) и (G, %) — два мнооюества с
покрытием и f—отображение F в G, такое, что f~l($) с Л(¥). Тогда
^(Л(^))сЛ(Зг).
Доказательство. Пусть Л—элемент Л($) и (В, <£)— множество
с пол у компактным покрытием, такое, что существует В g (<£xS)o8,
проекция которого на G совпадает с множеством Л. Обозначим
через Л отображение (х, у)-ллл- (л:, /(#)) произведения £ х F
в ExG. Множество C = h~x (В), очевидно, является элементом
системы (<£ х Л (F))o8 с (Л (<£ X Г)),ь с: Л (<£ X <F) (Т9 и Т8); f1 (А)
совпадает с проекцией С на F и, следовательно, является F-ана-
литическим множеством (Т9),
Т12. Теорема. Покрытие Л(оГ) содержит о-алгебру <£Г ($F)%
порожденную F, тогда и только тогда, когда дополнение каждого
элемента из <F является <F-аналитическим множеством.
Доказательство. Необходимость очевидна. Чтобы доказать
достаточность, рассмотрим систему £Г всех множеств В с/7, таких, что
В и СВ принадлежат Л(¥)\ $* является а-алгеброй, содержащейся
в c/Z(<F), а из условия теоремы вытекает, что f с^, Поэтому
^r(F)c^rc^(F).
Установленные выше факты достаточны для доказательства и
применений теоремы Шоке о емкостях. Поэтому читатель может опустить
последующий материал этого параграфа.
Начнем с результата, относящегося к образам аналитических
множеств.
Т13. Теорема. Пусть F '— сепарабельное метрическое пространство
и oF ~33{F)—его борелевская о-алгебра.

52
Гл. 111. Дополнения к теории меры
(а) Пусть Е—метрический компакт, <£ = ,®(£)— его борелевская
о-алгебра и f— измеримое отображение (Е, <§) в (F, <F). Тогда f (А)
является ¥-аналитическим множеством в F для каждого £-анали-
тического множества А в Е.
(б) Утверждение (а) остается в силе, если на пространство
(£-, g) наложить следующее условие.
Е{<§) —измеримое пространство; существует
метрический компакт Е' и измеримое отображение Ф (13.1)
из (£', $?(£")) на (Е, <£), которое отображает Е1
на Е.
(в) Пусть Е—польское пространство1), тогда измеримое прост-
ранство (Е, Si (£)) удовлетворяет условию (13.1).
Доказательство, (а) Пусть дС—покрытие на Е, состоящее из всех
компактных множеств Е\ ЭС порождает борелевскую а-алгебру $ и
дополнение каждого элемента 9С принадлежит Хс. Тогда З^с^с
сА(Х) (Т12) и, следовательно, <А(9С) = А(£) (Т10). Пусть G —
график функции /; g—отображение (х, y)-w~(f(x), у)
произведения ExF в FxF. График О, являясь прообразом диагонали в FxF
относительно отображения g, принадлежит Si (FxF), а следовательно,
и произведению а-алгебр ^(fxf) (11.31). Значит, G£<A(qFXqF)
(Т12). С другой стороны, g~l(¥ х¥)а<§х¥c^(9£)x<Fad^CxW),
и, следовательно, G£A(Xx¥) в соответствии с Т11. Пусть А
принадлежит Л ($) = А (9^). Множество А хF принадлежит A(XxqF) и
то же самое можно сказать о множестве (AxF)f]G. Проекция этого
множества на F есть f(A). Поэтому утверждение (а) вытекает из Т9.
(б) Пусть Ф — измеримое отображение Е' на Е и А есть
(^-аналитическое множество в Е. Тогда Ф"1(Л) = Л/ является
^(^-аналитическим множеством в Е' (Т11) и, в свою очередь, / (А) = (/оФ) (Л').
Применяя теперь утверждение (а)к /оФ, убеждаемся, что / (А) является
W-аналитическим множеством.
(в) Пусть Е—польское пространство, N—одноточечная компати-
фикация дискретного пространства N и■£' — метризуемое компактное
пространство NN. Построим борелевское отображение Ф: Е' на Е.
Для этого достаточно найти борелевское подмножество V в Е' и
непрерывное отображение / из V на Е, положив
0(x) = f(x), если х принадлежит V,
Ф(х) = х0; если х принадлежит CV,
где х0 — некоторая точка Е. С этой целью снабдим Е метрикой,
согласованной с его топологией, так, чтобы Е стало полным
метрическим пространством, и выберем для каждого п g N счетное покрытие
(Л^)ш6 n пространства Е замкнутыми множествами, диаметр которых
1) В соответствии с Бурбаки [2] топологическое пространство Е называется
польским, если оно сепарабельно и может быть метризовано так, что станет полным.

§ L Компактные покрытия. Аналитические множества 53
не превосходит 2"п. Для произвольной конечной последовательности
целых чисел s = (s(0), s(l), ... , s(n)) положим
As ~ ^s(o) П Л5(1) П ... П Ans(n)i
а для каждой бесконечной последовательности agNN—
К= П А„
где символ s-*>o означает, что а начинается с s, т. е. s = (a(0),
a(l), ... , о(п)) для некоторого п. Обозначим через U
(соответственно, через V) множество всех agNN, таких, что Аа пусто
(соответственно непусто). Поскольку Е полно, то из условия,
наложенного на диаметры покрытия, вытекает, что Аа = 0 тогда и только
тогда, когда As = 0 для некоторой конечной последовательности
s^o. Множество всех бесконечных последовательностей, которые
начинаются с фиксированной конечной последовательности, открыто
и замкнуто в NN, U—открыто; следовательно, V является
замкнутым множеством в NN и борелевским множеством в Е' = NN.
Предположим теперь, что а принадлежит V\ Аа непусто, его диаметр
равен нулю, и, следовательно, оно состоит из одной точки /(a).
Функция /, очевидно, отображает V на Е, и нужно только показать,
что / непрерывна на V. Действительно, пусть (ар)р 6 N —
последовательность элементов V, сходящихся к некоторому элементу а из V.
Если ор отличается от а, то пусть ip означает наименьшее целое т,
такое, что op(m)^=G(m)t а \р означает op(ip—\) = o(ip— 1). Точки
/(a) и /(Ор) принадлежат Л/£~\ и расстояние между ними не
превосходит 2'р~1.
Теперь осталось только заметить, что по определению
сходимости в NN L стремится к бесконечности, когда р стремится к
бесконечности. Теорема доказана.
Теорема отделимости
Здесь будет дан один из вариантов теоремы отделимости для
аналитических множеств. Пусть (F, ¥)—множество с покрытием, Л
и Л' —подмножества F, % (¥) —замыкание ¥[}{F) относительно
(IK, Г)с). Будем говорить, что Л и Л' можно отделить элементами
из % ((F), если найдутся два элемента В и 5', принадлежащие % (¥),
такие, что Вп5' = 0, ЛсВ, А'с В'.
Т14. Теорема. Предположим, что ¥—полукомпактное покрытие.
Тогда любые два непересекающихся ¥-аналитических множества А и
А1 можно отделить элементами из % (¥).
Доказательство. Начнем с доказательства следующего
вспомогательного утверждения. Пусть (Сп) и (Dm)—dee последовательности
подмножеств F, такие, что Сп и Dm можно отделить элементами

84
Гл. III. Дополнения к теории меры
из # (<F) для каждой пары индексов (пу т). Тогда 1)Сп и U Dm также
п т
могут быть отделены элементами из % (<F).
Действительно, выберем, для каждой пары (п, т) элементы Епт>
Fпт из ^ ffi)* такие, что Cncz.Enmy DmaFnmi Епт V\Fnm=0. Полагая
Е' = U П ЕптУ F' = U П Fnfnt получаем непересекающиеся элементы из
п т т п
% (<F), которые содержат соответственно UC„ и U Dm.
п т
Пусть теперь А и Л'— непересекающиеся ^-аналитические
множества. Используя вспомогательную конструкцию в произведении
пространств, рассмотрим (£, <£) —множество с полукомпактным
покрытием, такое, что Л и Л' являются проекциями на F следующих
подмножеств из ExF:
J = nujna, j' = nurnm,
п т п т
где Jnm = EnmxFnm, J'„m = E'ntnxF'ntn — элементы <£x<F. Будем
говорить, что два подмножества ExF отделимы, если их проекции на F
можно отделить элементами % (<F). В заключительном этапе
доказательства из предположения о неотделимости J и J' выводим, что
пересечение Л и Л' непусто.
Пусть ти т2, , •. , т1 — целые числа. Положим
Lmt% nii т/ = J im, П Jгтг П • • • П JimL П ( П U Jпт).
п>( т
Аналогично введем в рассмотрение множество L'mif mt , тг
Поскольку J = ULmi, J' = ULmf, множества J и J' неотделимы, то по лемме
найдутся целые числа ти т[, такие, что Lmi и Lm* будут также
неотделимы. Но Lmi=ULmxrn7, Lmx = UL^' m' и, согласно доказанному
вспомогательному утверждению, найдутся числа т2, т2, такие,
что Lmitmi и L'm' т' неотделимы. Продолжая этот процесс,
получим две бесконечные последовательности /и,, т2 ..., т[, m'2f ...
..., такие, что Lmxi т%% т. и L'm' t т> т*. неотделимы для любого
индекса /. Эти множества непусты, поскольку каждое подмножество
ExF отделимо от 0. Следовательно,
Егтх П Егяш П ... Е.щФ0у Е'гт'^ П £Ц' П ... Е\т\Ф 0.
Тем самым
(Л*, n F2mi п.. .Fini) n (f;w; n^m; п... /7«;) Ф 0,
поскольку эти два множества принадлежат # (<F) и содержат
соответственно А и Л'. Поскольку покрытия £ и ¥ полукомпактны, то

§ 1. Компактные покрытия. Аналитические множества 55
существуют х € U Eimiy х' = U Е\ mj§ г/ g U (Лт, П Л'тЛ . Тогда (*, у) 6
€«/, (*\ #)€«/' и, следовательно, у£А()А\ что и требовалось
доказать1).
Пространства Блекуэлла
Пространства, которые здесь будут описаны, введены Блекуэл-
лом- [2], назвавшим их пространствами Лузина. Мы не будем
придерживаться этого названия, поскольку оно приводит к путанице
с так называемыми «лузинскими пространствами» (см. Бурбаки [2]).
Ограничимся здесь только доказательством основного результата
Блекуэлла, отсылая читателя к работе Блекуэлла [2], где изложены
другие интересные свойства этих пространств.
Напомним сначала некоторые факты теории меры. Измеримое
пространство (Й, <F) называется сепарабельным, если сг-алгебра W
порождается некоторым счетным семейством ее элементов. Атомами
(Й, ¥) называются классы эквивалентности в Q, определяемые
соотношением
1А(х) = 14(у) для каждого /4£<Г.
Любая измеримая функция на (Й, IF) может быть
аппроксимирована элементарными функциями и, следовательно, является
константой на каждом атоме (это справедливо также для ЛКС-значных
случайных элементов). Если (Й, <F)—сепарабельно и <F порождается
семейством (Л„), то атом <F, содержащий х> является пересечением
тех Ап, которые содержат х. Таким образом, атомы являются
измеримыми множествами.
Обозначим X покрытие на R, состоящее из всех компактных
множеств /?; тогда (в силу п. 13) A{W) = A(3d(\l)). Элементы
пространства Л (Ж) будем называть аналитическими множествами R,
не упоминая о покрытии.
015. Определение. Измеримое пространство (й, <F) называется
пространством Блекуэлла, если выполнены следующие условия.
(1) Каждая точка й является атомом и о-алгебра W сепарабельна.
(2) Для каждой измеримой функции f на (й, <F) со значениями
в R и каждого Л^оГ образ f (А) является аналитическим
множеством в R.
Предположение об атомистичности й не существенно, и Блекуэлл
не включает его в определение. Однако это предположение, не
ограничивая общности, упрощает рассмотрение.
Читатель может легко установить, что предположение об
аналитичности /(й) эквивалентно (2).
Следующая теорема дает другое описание пространств Блекуэлла.
2) Простое доказательство теоремы 14, основанное на понятии емкости (см
далее § 2), можно найти в Lecture Notes, vol 191, стр.82.— Прим. автора к
русскому изданию.

56
Гл. Ill. Дополнения к теории меры
Т16. Теорема. Измеримое пространство (Q, <F) является
пространством Блекуэлла тогда и только тогда, когда оно изоморфно
некоторому пространству (А, ^Э(Л)), где А—аналитическое
подмножество R (или, более общо, А есть 93 (Е)-аналитическое
подмножество польского пространства Е).
Доказательство, Пусть Е — польское пространство и А является
$}(Е)-аналитическим подпространством Е. Обозначим через i
каноническое отображение А в Е. Описание 93(A), данное в 11.31,
показывает, что условие (1) из 015 выполняется. С другой стороны,
пусть /—действительная измеримая по Борелю функция на Л, В —
борелевское подмножество А и x£f(B). Полагая g = f-IB + x-/ а\в*
получаем борелевскую функцию на Л, такую, что g(A) = /(В).
Поскольку 93(A) совпадаете £Г(i), то из теоремы 1.18 вытекает
существование борелевской функции h на Е, такой, что g = hoi. Тогда
в силу Т13 образ h (Л) = g (А) является аналитическим множеством в R.
Обратно, пусть (Q, <F) — пространство Блекуэлла и (ЛJ
—последовательность, порождающая ¥. Рассмотрим борелевское
отображение Q в интервал [0,1]
п
и положим Л = /(£2). В соответствии с 15(2), Л—аналитическое
множество в R, а / — взаимно однозначное отображение по 15(1).
Для того чтобы доказать, что / является изоморфизмом (Й, <F) на
(Л, 91(A)), нужно только показать, что образ / (Н) множества #€<F
принадлежит 93(A). Пусть G —0\Я; /(G) и /(#) — аналитические
множества в R, имеющие пустое пересечение. Они могут быть
отделены непересекающимися борелевскими множествами G' и //' (Т14).
Теперь осталось заметить только, что G' П Л и Н' П Л являются
борелевскими подмножествами Л и совпадают соответственно с / (G)
и /(Я).
Т17. Теорема. Пусть (£2, <F)—пространство Блекуэлла, 93 —ъ-
подалгебра ¥ и # есть сепарабельная а-подалгебра W'. Тогда для
выполнения включения 93а<в необходимо и достаточно, чтобы каждый
атом из 93 являлся объединением мнооюеетва атомов из #.
Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность.
Пусть В—элемент из 93, В' — его дополнение и (С,,)
—последовательность множеств, порождающая #. Положим
И<о) = £-%£>.
Тогда /—измеримая функция, и классы эквивалентности по
соотношению Rf, ассоциированному с Z1), в точности являются атомами
*) См. Бурбаки [6J, гл. 11, $ 2, стр. 127,= /7/?ил*. перев*

§ 2. Ёмкости 57
<6. Из условий теоремы вытекает, что В и В' насыщены1) для Rf
и, следовательно, f (В) и f(B') являются непересекающимися
аналитическими множествами в R. Следовательно, их можно отделить
непересекающимися борелевскими множествами D и D1'. Тогда из
соотношений Bcf~l(D)y B'cif'1^') вытекает, что В совпадает с
/-1(D) и, следовательно, принадлежите.
Замечания, (а) Теорема перестает быть верной, если а-алгебра #
не сепарабельна. Например, пусть Q = R, <F = S = ^(R); в
качестве # возьмем а-алгебру, порожденную всеми одноточечными
множествами {*}, *€R- Тогда Sh i? имеют общие атомы, но не
совпадают.
(б). Пусть / и g—две случайные величины на (Q, <F).
Предположим, что между / и g существует функциональное соотношение
/ = ftog, где ft—некоторая функция из R в R. Тогда / является
измеримой функцией от g, т. е. существует измеримое отображение
ft' из R в R, такое, что / = ft'og. Действительно, а-алгебра &* (g)
сепарабельна и каждый атом из <§~ (f) является объединением
семейства ее атомов. Следовательно, <£Г (/)c<JT (g), / является £Г
(^-измеримой и в силу I.T18 f является измеримой функцией от g.
§ 2. Емкости
Для изучения этого параграфа нет необходимости читать
предыдущий; здесь будут использованы только определение
аналитических множеств и некоторые элементарные свойства компактных
покрытий (Т6).
018. Определение. Пусть F —множество с покрытием <F,
замкнутым относительно операций (Of, П/). Емкостью Шоке на F
(точнееу !F-емкостью) называется функция множества I со
значениями в расширенной действительной прямой, определенная для всех
подмножеств множества F и обладающая следующими свойствами.
(а) / не убывает (ЛзВ=>/ (А) > / (В)).
(б) Для каждой возрастающей последовательности (An)nefi под-
мнооюеств F
/(U 4.)-sup/(Л.). (18.1)
(в) Для каждой убывающей последовательности (Лп)яв N элементов!?
1(ПАп) = Ы1(Ая). (18.2)
Подмножество А из F назовем емким относительно /, если
/(Л)= sup 1(B). (18.3)
х) См. Бурбаки [6], гл. II, § 2, стр. \29,^Прим. перев.

$8
Гл. 11L Дополнения к теории меры
В классической теории потенциала «ньютонова внешняя емкость»
является ^-емкостью Шоке для покрытия <F, состоящего из
компактных подмножеств Rn (п ^ 3). В этом случае <F$ = <1Г, и равенство
(18.3) выражает тот факт, что внешняя емкость А может быть
оценена «изнутри». Ньютонова емкость обсуждается в работах Брело
[1,2].
->Т19, Теорема (Шоке). Пусть I есть ЯГ-емкость Шоке. Тогда
каждое W-аналитическое множество является емким относительно I.
Доказательство этой теоремы, состоящее из двух лемм,
заимствовано у Бурбаки [2, § 6].
Лемма 1. Каждый элемент из qFq1 является относительно I ем-
ким множеством.
Доказательство. Пусть А—элемент <Fa8, такой, что / (Л) > — оо1);
А является пересечением убывающей последовательности {Ап)п>\
элементов <FC, а каждое Ап в свою очередь является объединением
возрастающей последовательности (Апт)т>\ элементов <F. Покажем,
что для каждого а < / (А) существует элемент В в gF5, такой, что
В с: А и I (В)^а. Докажем сначала существование такой
последовательности (Вп)п>\ элементов из <F, что ВпаАп и / (Сп) > а, где
Сп = А(]В1(]В2(]...(]Вп.
Построим множество Вг. В силу (18.1)
l(A) = I(A(]Al)^supI(A[]Alrh).
т
Положим Вх = А1т, где т выбрано достаточно большим, так что
!(А(]А1я)>а.
Предположим, что в этом построении сделан (п— 1) шаг. Согласно
предположению индукции, Сп„хс:А, /(CWel)>a. Следовательно,
/ (Сп~г) - / (Сп-, П Ап) -sup / (Ся_г п Апт).
т
Возьмем в качестве Вп множество Апт, где т настолько велико,
что 1(Сп_х()Апт) = 1(Сп)>а.
Наряду с построенной последовательностью Вп положим
В'п = В1()В2()...()Вп. Тогда В = пВа = (\В'п. Множества B^gF
п п
образуют убывающую последовательность, а СпаВ'п. Следовательно,
1(В'п)>а и в силу (18.2) 1(В)^а. С другой стороны, ВпсАп и,
следовательно, BczA. Множество В удовлетворяет требуемым
условиям. Лемма доказана.
Пусть теперь А есть оГ-аналитическое множество. Это означает,
что существует вспомогательное множество Е с полукомпактным
1) Если У (Л) = =,00, то утверждение леммы очевидно ((18,3) выполняется с

§ 2. Емкости
59
покрытием <§ и элемент В из (<£x<F)o8, такой, что проекция В на F
совпадает с Л. Обозначим через п проекцию ExF на F, а через
£—покрытие, состоящее из всех конечных объединений элементов
ёх¥.
. Лемма 2. Функция множества У, определенная для каждого
HczExF выражением
/(#) = /(я (Я)), .
является ^-емкостью на FxF.
Доказательство. Функция У, очевидно, неубывающая и
удовлетворяет (18.1). Свойство (18.2) сразу вытекает из соотношения
П*(Я„) = я(ПЯя).
которое выполняется в силу Т6 и Т4 для каждой убывающей
последовательности (B„)„€N элементов S.
Теперь можно закончить доказательство теоремы. Множество В
является емким относительно J. Следовательно, существует
элемент D в »8, такой, что DczB и J (D)^J (В)—е (е > 0). Пусть С
совпадает с я(О). Тогда из последнего равенства вытекает, что С
является элементом <SF8, но CczA и 1(С)^1(А)—е. Теорема
доказана.
Построение емкостей
Весьма общие предположения теоремы Шоке иногда бывает
трудно проверить. Редко встречаются ситуации, когда функции
определены сразу на всех подмножествах множества F. Более
естественно рассматривать функции, определенные на покрытиях, и
пытаться продолжать их как емкость Шоке на все ^(F)1). Здесь
будут описаны, следуя Шоке, подобные процедуры продолжения
для «строго субаддитивных» функций множества. Мы ограничимся
случаем, когда эти функции положительны, но это предположение
не существенно.
О20. Определение. Пусть <F—покрытие на множестве У7,
замкнутое относительно операций (\Jf> Of), I —положительная и
возрастающая функция множествау определенная на ¥. Будем говорить,
что I строго субаддитивна, если для каждой пары (Л, В) элементов
из ¥ выполняется неравенство
I (A U В) +1 (А п В) < / (А) + I (В). (20.1)
Если знак <! заменить знаком =, то получим определение
аддитивной функции.
Т21. Теорема. Пусть ¥—покрытие на F, замкнутое
относительно операций (U/, П/), и I—положительная возрастающая
х) $Р (F) — система всех подмножеств множества F.^-Прин. ред,

60
Гл. III. Дополнения к теории меры
функция множества, определенная на ¥. Тогда следующие
утверждения эквивалентны:
(а) /—строго субаддитивна;
(б) /(РU Q U R) +1(#)</ (РU R) +1(QU R) для каждой тройки
множеств Я, Q, R€qF\
(в) I(Y\JY') + I(X) + I(X')^I(X[)X') + I(Y) + I(Y') для
каждой системы элементов X, X', Y, Y' из <F, такой, что XcY,
Х'сГ.
Доказательство. Чтобы доказать (а)=>(б), положим в (20.1)
А = Р U R, В = Q и /?. Получим
/(PuQU/?) + /((PnQ)U/?</(PU/?) + /(QU/?).
Поскольку / — возрастающая функция, то из этого неравенства
вытекает неравенство (б).
Чтобы доказать импликацию (б)=^>(в), положим в (б) P = Y,
Q = Y'9 R = X. Отсюда следует, что
I(Yl)Y'UX) + I(X)^I(Y[)X) + r(Y'[)X).
Прибавляя к обеим частям этого неравенства /(X') и учитывая
равенства
Y[)Y'l)X = Y[)Y'9 КиХ = К, ГиХ = Г'иХиХ',
получаем
I(Yl)Y') + I(X) + I(X')^I(Y) + [I(Y'l)Xl)X') + I(X')].
Положим в (б) P = Y\ Q=X, R = X'. Оценивая сверху величину,
стоящую в квадратных скобках правой части последнего
неравенства, приходим к соотношению (в)
I(Y\jY') + I(X) + I(X')^I(Y) + I(Y'[)X') + I(Xl)X') =
= I(Y) + I(Y') + I(X[]X').
Наконец, чтобы доказать (в)=>(а), достаточно в (в) положить
X = А Г) В, Y = В, X' = V = А. Отсюда вытекает, что
I(AvB) + -I{Af\B) + I(A)^I(A) + I(B) + I{A).
Теперь есть две возможности: либо /(Л) = + оо, тогда неравенство
(20.1) очевидно; либо /(Л)< + °°> тогда (20.1) следует из
написанного выше неравенства.
22. Замечания. Неравенство (в) можно обобщить по индукции.
Пусть Х19 Х2, ..., Х„, Ylt Y2, ..., Yn—элементы <F, такие, что
Х,сУх. для /=1, 2, ..., п. Тогда имеем
/(уК/)+^/(Х/)</(уХ/)+^/(К/), (22.1)

§ 2. Емкости
61
Если все величины / (Х{) конечны, это неравенство можно записать
в более удобной форме
/(уУ,)-/(уХ,)<£[/(У,)-/(Х,)]. (22.2)
.Неравенство (б) используется реже. Если все фигурирующие в
нем величины конечны, то его можно представить в виде
/(P[)Ql)R)—I(PUR) — I(QUR) + l(RXO.
Левая часть этого неравенства представляет собой «вторую
разность» функции множества /.
Наша ближайшая цель состоит в том, чтобы каждой
возрастающей и строго субаддитивной функции множества поставить в
соответствие «внешнюю емкость», а также выяснить условия, при
которых эта процедура дает нам емкость Шоке.
—>► Т23. Теорема. Пусть F—множество с покрытием <F, замкнутым
относительно операций (U/, Г)/). Обозначим через I конечную
положительную возрастающую строго субаддитивную функцию
множества, определенную на ¥ и обладающую следующим свойством:
для каждой возрастающей последовательности Ап элементов <F,
объединение А которых принадлежит W',
I (А) = sup 1(Ап). (23.1)
п
Определим для каждого множества A£qF0 величину
/•(4)= sup ЦВ). (23.2)
ВсА
Положим теперь для каждого подмножества С множества F
/•(С)= inff /•(А)1). (23.3)
АЭС
Тогда функция /* является возрастающей и удовлетворяет
следующим условиям.
(а) Для каждой возрастающей последовательности (Хп)п>\
подмножеств множества F
/• (U *„) = sup/•(*„).■ (23.4)
(б) Пусть (Хп), (Yn)—две последовательности подмножеств
множества F, такие, что XncY„ для всех п. Тогда
/*(ук„)+2/*<хв)</»(ухя)+51/*(к.). <23-5>
L) Величина /* называется внешней емкостью множества С, связанной с /.

62
Гл. III. Дополнения к теории меры
Функция I* является емкостью Шоке тогда и только тогда, когда
/•(П4.)«М/(4,) (23.6)
для каждой убывающей последовательности (Ап)п>\ элементов из ¥.
Доказательство. Заметим сначала, что формула (23.2) позволяет
продолжить / на ¥0> а определение (23.3) в свою очередь
позволяет продолжить /* на все *$(F). Другими словами, определение/*
является состоятельным. Ясно также, что /•—возрастающая
функция на ty(F).
(1) Пусть (Ап)п>\—возрастающая последовательность элементов
множества !¥а и Л = 11 Лп. Тогда I*(A) = sup 1*(Ап).
п п
Очевидно достаточно показать, что /(B)^sup/*(i4„) для
каждого В с: A (Bg<F).
Пусть (Апт)т>\—возрастающая последовательность элементов <F,
объединение которых совпадает с Ап. Заменяя, если это необходимо,
каждое Апт множеством Л^ = А1т [} А2т (J ... U Лпот, можно считать,
что последовательность (Апт) возрастает по п для каждого т. Тогда
sup/*(/4„) = sup /sup I (Апт)\ =sup/ (Апп). Пусть теперь В—элемент
п п \ т ) п
<F, содержащийся в А. Тогда В =z\J(B(]Ann) и в силу (23.1)
л
/ (В) = sup / (В п Апп) < sup / (Апп) = sup /• (Ап).
п п п
(2) Функция I* строго субаддитивна на ty(F).
Пусть сначала А и В—два элемента <FC, а (Лл), (Вп)—две
возрастающие последовательности элементов W> объединение каждой
из которых совпадает соответственно с Л и В. Тогда множества
Ап Л В„, Ап U Вп также принадлежат <F и
лпв = и(лйпв„), лив = и(Ллив„).
п п
Таким образом, в силу (1) имеем
/*(ЛиВ) + /*(ЛпВ)=Нт/(Л;аиВл) +
п
+ lira I (Ая П В„) < Ит [/ (Ап) +1 (В„)] = 1* (А) +/» (В).
п п
Пусть X и 7—два подмножества F. Обозначим Л и В элементы <Fa,
содержащие соответственно X и Y. Тогда
/*(ХиП + /*(ХПП</*(ЛиВ) + /*(ЛпВ)</*(Л) + /*(В).
Перейдя теперь к нижней грани по Л и В, получаем требуемое
неравенство

§ 2. Емкости
63
(3) Пусть {Хп)п^\—возрастающая последовательность
подмножеств множества F и X = UXn. Тогда /*(X) = sup 1*(Хп).
п п
Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда правая часть
этого равенства конечна. Пусть Л—некоторое число > 0. Наша
ближайшая цель показать, что существует возрастающая
последовательность (Yn)n>\ элементов <F0, такая, что Ynz>Xn и I*{Yn)^
</*(Х„) + Л. Тогда если Y означает объединение множеств Yn,
принадлежащих aFe и содержащих X, то в силу (1)
/• (X) < /* (У) = sup Г (Yn) < sup /• (ХЛ) + Л,
п п
4fo и будет доказывать теорему, поскольку h > 0 произвольно.
Построение последовательности начнем с того, что выберем для
каждого п множество Zn £ ¥ ^ удовлетворяющее условиям
Xn<zZn и I*(Xn)^I*(Zn)^I*(Xn)+±
Положим Kn = Z1u22 U-- \jZn и покажем по индукции, что
справедливо неравенство
/* (Х„) < /* (У„) < /* (Х„) + h (1 _1),
из которого вытекает требуемый результат. Для п = 1 неравенство
очевидно. Предположим теперь, что сделано п шагов. Тогда Уп+1=;
s=Yn\jZn+1 и из строгой субаддитивности вытекает неравенство
/*(У„+1)</*(2„+1)+[/*(К„)-/*(УпП2„+1)].
Величина выражения в квадратных скобках меньше чем h (\—^Л ,
так как множество Yn()Zn+l} являясь элементом <Fe, заключено
между Хп и Yп и по предположению индукции
/•(ХяХ/*(У),)</*(Л<,) + А(1-1).
Отсюда следует, что
/*(Х„+1)</*(П+1)</*(2„+1) + л(1~)<
</*(-Х«+1)+л(ага+1—i).
где последнее неравенство вытекает из определения Zn+1. Таким
образом, наше утверждение справедливо для (п+1)-го шага.
Свойство (3) доказано.
Теперь осталось только доказать (23.5). Это неравенство сразу
получается предельным переходом в соотношении

64
Гл. III. Дополнения к теории меры
которое является следствием свойства (2) [см. (22.1)]; законность
предельного перехода вытекает из свойства (3).
Наконец, непосредственная проверка показывает, что условие
(23.6) является необходимым и достаточным для того, чтобы /*
была (F-емкостью Шоке.
Приложение к теории меры
24. Пусть (Q, (F, Р) — полное вероятностное пространство и
Ъ—система подмножеств £2, содержащаяся в W. и замкнутая
относительно (U/, Г)/). Пусть /—сужение Р на S. Очевидно,
I* (А) = Р(А) для каждого элемента Л из §а ив силу (23.3)
/*(Л) = Р(Л) для каждого элемента А из S8. Условия (23.1) и
(23.6) также выполнены.
Пусть А есть ^-аналитическое подмножество Q. Из теоремы
Шоке вытекает равенство
supP(B) = infP(C)
В « & С е &
В СЛ CD А
Следовательно, существует элемент В' в Sea и элемент С в $аб$
такие, что В'аАсС и Р(В') = Р(С). Отсюда вытекает, в
частности, что множество А является «F-измеримым. Этот важный
результат был известен задолго до теоремы Шоке (см. Сакс [1]).
25. Вернемся к общей ситуации теоремы 23 и предположим,
что функция / аддитивна на <F. В этом случае из теоремы 23
вытекают все основные результаты теории меры.
Проиллюстрируем это обстоятельство доказательством теоремы
(о продолжении) Даниеля (II, Т24).
Сохраняя предположения Т23, будем считать, что / аддитивна
на f и выполняется равенство (23.6). Пусть (An)nsN и (Bn)„eN—
две убывающие последовательности элементов <F. Предельный
переход (законный в силу (23.6)) в выражении
/ (Л„ UBn) + I (Ап [\Вп) = 1 (Ап) +1 (Вп)
показывает, что /* аддитивна на <FY Пусть теперь А и В—два
элемента ^(<F), или более общим образом, два емких относительно
/ множества. Возьмем е>0 и выберем два множества А1 и В',
принадлежащие <Fj и содержащиеся соответственно в множествах
Л и В, таким образом, что
/*(Л')>/*(Л) — е; /*(В')>/*(В)—е.
Тогда
/* (A U В) + /* (А П В) > /* (А' и В') + /* (Л' П В') =*
= /* (Л') + /* (В7) > /* (Л) + /* ф)—2г.

§ 2. Емкости
65
Поскольку функция /* строго субаддитивна и е>0 произвольно,
получаем, что /* аддитивна на Л(¥).
Докажем теперь теорему Даниеля. Пусть Ж—векторное
пространство действительных функций, определенных на некотором
множестве Q, замкнутое относительно операций V и Д»
/—положительная линейная форма на Ж, удовлетворяющая условию Даниеля:
для каждой убывающей последовательности элементов hn из $f+,
такой, что lim/i„ = 0, имеет место
п
Шп/(А„) = 0.
п
Предположим сначала, что 1 € 9С и обозначим F множество
(R+\{0})xQ. Каждой неотрицательной функции g, определенной
на Й, поставим в соответствие множество Wg, состоящее из точек
множества У7, расположенных строго ниже графика g. Заметим, что
Wg={(t9 (o):t^g(со)}. Отображение g-ллл- Wg взаимно однозначно.
Обозначим <F покрытие, образованное множествами Why h$S%+.
В силу соотношений
это покрытие замкнуто относительно операций (и/, Г)/). Пусть
/—функция множества, определенная на <F равенством
j(wh) = i(h) (hew+).
Функция J аддитивна в силу равенства h1\Zh2-\-h1/\h2 = h1-{-h2t
С другой стороны, в силу условия Даниеля функция J обладает
свойством (23.1). Теперь можно ввести в рассмотрение функцию
множества У* на ф(/г) и положить
/*(gW*(l^)
для каждой неотрицательной функции g, определенной на Q. По*
кажем, что J также обладает свойством (23.6).
Проверка этого сводится к доказательству следующего
утверждения.
Пусть (fn)n€H — убывающая последовательность элементов SV+>
a (gn)nuH — возрастающая последовательность элементов $f+, таких,
что supg„>inf/„. Тогда /* (sup g„) > inf/(/„).
п п п п
Положим hn = f0—fn. Эти функции принадлежат S%+ и
возрастают с ростом п. В силу (23.4) из неравенства sup (gn + hn) > /0
п
вытекает соотношение
/* (sup (gn + К)) = sup [/ (gn) + I (hn)] ^ / (/0),
n n
которое и доказывает наше утверждение.
Пусть ^'—система <£Г (^-измеримых функций, таких, что
№(*-*>+€ Л (cF) и Wig.h)-£ <А (З") для любого h^&t. Система Ж1

66
Гл. 111. Дополнения к теории меры
содержит SK и замкнута относительно операций V, Л и
монотонного предельного перехода. Проверим, например, последнее
свойство. Пусть gn \ ^Нетрудно видеть, что W(g.h)- = U №(вп_Л)-.
Далее, W{g_h)+== и й^(^_Л-в)+, и полагая h—e='A€#ff находим, что
W{g~k)+= n^(gn-^)+. Следовательно, достаточно проверить
лишь, что W(gn_*)+€</£(<F), но это так, поскольку W{gn-k) =
- П^п+е-А)+Ы(Г).
Для того чтобы получить интеграл Даниеля, достаточно
положить
/(*) = /* (g+)-/*(g")
для каждой функции g€$?', такой, что это выражение имеет
смысл и конечно. Теорема Лебега о монотонной сходимости
сводится тогда к утверждению (23.4).
Емкости, непрерывные справа
Большинство емкостей, встречающихся в теории потенциала,
непрерывны справа в следующем смысле.
026. Определение, Пусть Е—хаусдорфово топологическое
пространство, <§ —покрытие на Е, замкнутое относительно операций (\Jf,
П/), /—положительная возрастающая функция множества,
определенная на g. Будем говорить, что 1 непрерывна справа (на £), если
она удовлетворяет следующему свойству:
для каждого множества К€<§ и каждого е> О существует
открытое множество U, содержащее /С, такое, что I (К')^ I (К) + е/оа \\
для каждого элемента К' из <£, содержащегося в О. \ t
Рассмотрим покрытие <£, состоящее из компактных подмножеств
хаусдорфова топологического пространства Е,замкнутое относительно
операций (и /, П /) и обладающее следующим свойством «плотности»:
для каждой пары множеств, состоящей из компактного
множества К и открытого множества U, содержащего /С, су- (26.2)
ществует множество /('€<£, такое, что KaK'aU.
Система компактных бэровских множеств локально компактного
пространства F удовлетворяет этому свойству. Действительно, пусть
/С —компакт, U — открытое множество, содержащее /(, и
/—функция с компактным носителем, принимающая значения в [0,1],
равная 0 вне U и 1 на /С. Тогда в качестве К' достаточно взять
множество
{*'•/(*)> у}.
--> Т27. Теорема. Пусть £—покрытие на £, обладающее свойством

§ 2. Емкости
67
(26.2), и I—конечная неотрицательная возрастающая строго субад-
дативная и непрерывная справа функция множества, определенная
на <§. Тогда функция /* является емкостью Шоке, непрерывной
справа на Л (<£).
Доказательство. Установим сначала один вспомогательный
топологический факт.
Пусть Ult U2—открытые множества, Кг> К2—компактные
множества, содержащиеся соответственно в V v, U2, и L—элемент <§,
такой, что K1[)K2^Lc:U1\jU2' Тогда существуют L, и
^—элементы <В, такие, что L = Lx\jL2, Kx^-L1c:U1 и /C2cLac£/2.
Рассмотрим множества H1=L\U2, H2 = L\Ul. Они компактны,
не пересекаются в пространстве L и содержатся соответственно в
Ux и £/2. Следовательно, в L существуют две открытые
непересекающиеся окрестности вида VX{\L, V2f\L, где можно считать, что
открытые (в Е) множества Vx и V2 содержатся соответственно в (/,
и U2\ заменив в случае надобности Кх на VX\K2 и V2 на У2\Кг,
можно предположить, что /(, Г) V2 = К2 П Vx = 0. Положим Мх = L\V2
и М2 = L\V1. Множества Мх и М2 компактны и их объединение
есть L. Включение КхсV2 влечет за собой включение К1аМ1, а из
H2 = L\Ulc:V2 вытекает, что M1 = L\VtcUl. Таким образом,
K1dM1czU1 и аналогично K2<=M2czU2, L = MX\}M2. Выберем
теперь два элемента Nt и N2 из £ так, что M1czN1c:U1, M2aN2czU2.
Тогда компакты L1=L(]N1 и L2 = L П N% удовлетворяют требуемым
условиям.
Этот результат распространяется по индукции на любую
конечную систему пар (K[f Ut), таких, что /C/Cii/,.
Пусть теперь (Кп)п>\ — возрастающая последовательность
элементов (§. Зададим е > 0 и с каждым множеством Кп свяжем
открытое множество Un, содержащее /(„, и такое, что I (K')^I (Kn) + xz
для каждого К' € <£, К' с Vп. Положим Vn = U1U U2 (J ... U Un, и
пусть L—элемент <£, заключенный между Kn (=/С2 UK2 U ... l)Kn)
n
и Vn. Тогда L можно представить в виде [JL:, где L,—элемент <£,
такой, что /C/cL/df/,.. Отсюда следует, учитывая (22.1), что
/(«-/(^«/(^^-/(и/С^в.
Таким образом, можно вывести неравенство / {K')^I (/Q + e для
каждого элемента К' из <§, содержащегося в Vn.
Положим V = \JVn. В силу свойства Бореля—Лебега каждое
п
множество Lg<£, содержащееся в V, содержится хотя бы в одном
Vn. Следовательно, /(L)<sup/ (Кп) + г. Отсюда вытекают
следующие результаты. п
Предположим, что объединение K = UKn принадлежит <£. Тогда
п
/ (/С) = sup / (/Cu); другими словами1 свойство (23.1) выполняется,
п

68
Гл. Ill. Дополнения к теории меры
Пусть Л— элемент <£0. Тогда существует открытое множество V,
содержащее Л, такое, что /(£)^/*(Л) + е для каждого элемента
L из <£, содержащегося в V.
Проверим теперь выполнение условия (23.6), из которого
вытекает, что /* является емкостью Шоке. Пусть (/(„) —убывающая
последовательность элементов $ и К — их пересечение. Покажем, что
inf / (Кп) < /* (Л) + е для каждого е> 0 и каждого А £ <£с,содержащего
п
/С. Для этого с множеством А свяжем открытое множество К, как это
было сделано выше. Имеем f\Kn(^Vt следовательно, Kn<=V для доста-
п
точно больших м, и, наконец, / (Кп) </* (Л) + е (для достаточно
больших п). Таким образом, первая часть утверждения теоремы доказана.
Пусть X —некоторое подмножество £, Л — элемент <£а,
содержащий X, для которого /*(Л) ^/* + 4-; пусть К—открытое
множество, содержащее Л, такое, что / (К) ^ /* (Л) + ~ для каждого
множества К£$, содержащегося в V. Будем считать, что
аналогичное свойство выполняется для каждого множества Lg^e,
содержащегося в V, поскольку L является пересечением убывающей
последовательности Кп элементов £ и Кп содержится в V при
достаточно больших п. Тогда
/*(В)</*(Х) + е
для каждого емкого подмножества В, содержащегося в V и, в
частности, для каждого В£<А(£). Теорема доказана.
Замечания. Если функция / непрерывна справа, то функция
множества /**, полученная заменой в формулах (23.2) и (23.3)
элементов <&а открытыми множествами, является емкостью Шоке
(см. Брело [1]).
Предположим, что Е—локально компактное пространство и <£—
семейство компактных бэровских множеств Е. Для каждой пары К,
(/, состоящей из компактного множества К и открытого множества
(/d/C, существует открытое множество V^<§Q, такое, что KczVczU.
В этом случае все рассуждения, проделанные выше, могут быть
проведены с открытыми бэровскими множествами, принадлежащими
£6. Тогда из непрерывности справа функции /* следует, что в
определении /* элементы <§д можно заменить открытыми
множествами, принадлежащими <£0.
§ 3. Регулярные меры
Содержание этого параграфа не связано ни с теорией
аналитических множеств, ни с результатами предыдущего параграфа. Здесь
будут изучаться только вероятностные меры.

§ 3. Регулярные меры
69
Определение регулярных мер
028. Определение. Пусть (Q, ¥, Р) — вероятностное пространство
и $?—полукомпактное покрытие на Q, элементы которого
¥-измеримы. Мера Р называется регулярной (относительно ЭС), если
выполнено следующее равенство:
Р(£) = 5ирР(Л) для каждого В£¥.
Как правило, слова, стоящие в круглых скобках предыдущей
фразы, будут опускаться. Очевидно, каждая мера, регулярная
относительно X, регулярна также относительно замыкания Ж при
(U/, fK) (Т4). Поэтому всегда можно считать, что Э? замкнуто
относительно этих операций.
Следующая теорема принадлежит А. Д. Александрову [1].
Т29. Теорема. Пусть ¥0 — система подмножеств Q,
содержащая 0 и замкнутая относительно операций (U/, Л/, С),
"куполу компактное покрытие, состоящее из элементов <F0. Обозначим
через ¥ о-алгебру, порожденную <F0, а через 9£ —замыкание системы
ЭС0 относительно операций (и/, Г\с).
Пусть Р—аддитивная положительная функция множества,
определенная на <F0, такая, что P(Q) = 1. Предположим, что
Р (В) = sup Р (А) для каждого В £ <F0. (29.1)
A ав
Тогда функция Р может быть единственным образом продолжена до
вероятностной меры на ¥, регулярной относительно 9С.
Доказательство. Существование (и единственность)
продолжения Р до вероятностной меры на ¥ будет следовать из теоремы
Каратеодори о продолжении (II. Т25), если показать, что Игл Р (5Л)=0
п
для каждой убывающей последовательности (Вп)п>1 элементов ¥0,
такой, что Г\Вп = 0, Возьмем число е>0 и для каждого п выбе-
п
рем множество Кп£Ж0, такое, что КпсВп и Р (/(J > Р (£„) — ^.
Положим Ln = Кх П К2 П ... П Кю тогда LnaBn и
Р (Вп) - Р (LJ < 2 [Р (Я/) - Р (*,)] < е.
t"=i
Поскольку пересечение всех Ln пусто, то £„ = 0 для достаточно
больших п. Следовательно, Р(Вп) меньше е для достаточно больших п.
Осталось показать, что полученное продолжение (которое мы
пока обозначим через Р), регулярно относительно 9£, Для
доказательства используем теорему 1,19, взяв в качестве # систему ¥0,

70
Гл. III. Дополнения к теории меры
а в качестве <М—систему, состоящую из всех подмножеств B€<F,
таких, что
Р(5)= БирР(Л).
А Ь&С
А сВ
Читатель может легко установить, что <М замкнута относительно
операций (\}тс, (]тс) и, следовательно, с^ = <Г.
Проективные пределы регулярных мер
Мы не будем рассматривать более общие проективные системы,
кроме тех, которые нам понадобятся в гл. IV, посвященной теории
случайных процессов.
Обозначения, используемые здесь, те же, что и в гл. IV.
30. Обозначим: (£, <£) —измеримое пространство, Т—множество
индексов и U—система конечных подмножеств множества Т.
Элементы из U будут обозначаться строчными полужирными
буквами: u, v, ....
Пусть и — элемент U (соответственно и и v—два элемента U,
такие, что и с v). Обозначим яи (соответственно nuv) каноническую
проекцию ЕТ на Еи (соответственно Ev на Еи). Отображения пи , яиу
измеримы относительно обычного произведения а-алгебр, и имеют
место соотношения
nuvnv=nu (u, v£U, ucv),
Jtuvttvw=ttuw (U, V, WgU, UCVCW).
Предположим, что на каждом измеримом пространстве (£u, <£u)(ug U)
задана некоторая вероятностная мера Р. Семейство (Pu)ueu образует
проективную систему вероятностных мер, если для каждой пары
элементов u, v из U, таких, что ucv, выполняется следующее
соотношение:
лиу(Ру) = Ри (30.1)
(см. 11.011). Будем говорить, что проективная система допускает
проективный предел, если существует вероятностная мера Р на
(ЕТУ <£т), такая, что
ди(Р) = Р0 для каждого ug U. (30.2)
Как сейчас будет видно, мера Р, если она существует, единственна.
Ее можно поэтому назвать проективным пределом мер Ри .
Система подмножеств из FJ вида я-1 (Ли) (u£U, Аи£(§а)
образует покрытие <£о> замкнутое относительно операций (U/t С). Если
доложить для А ^лй1 (Аи)€(§1
Р(А) = Ри(ЛиК

§ 3. Регулярные меры 71
то получим функцию множества Л, не зависящую от выбора его
представления. Действительно» пусть имеются два представления
множества Л вида л;1 (Ли) и n'l(Av) (u, vgU). Пусть
w—элемент U, содержащий и и v. Тогда n-^(Au) = n~*(Av) = nw(A) и
из (ЗОЛ) вытекает, что
Pu(Лu) = Pw(я-w1(Лu)) = Pw(лv"w1(Лu))=:Pv(Лv).
Если а-алгебра <£т порождается покрытием <£?, то единственность
проективного предела мер следует из теоремы I.T21: существует
не более одной вероятностной меры на <£т, индуцирующей функцию
Р на <£о. Проблема существования проективного предела мер
сводится к проверке условий Каратеодори (II.T25) для Р.
Следующая теорема (сообщенная нам Неве) дает простое
достаточное условие того, что проективная система (Ри) допускает
проективный предел. Несколько упростим обозначения, записывая
Р* вместо Р/л для конечного подмножества множества Т,
состоящего из единственной точки /.
Т31. Теорема. Предположим, что для каждого /£Т существует
полукомпактное покрытие 9^с:<$\ такое, что мера Pt регулярна
относительно Xt. Тогда проективная система (Pu)ueu допускает
проективный предел.
Доказательство. Можно считать, что Е принадлежит каждому
покрытию Xt. Обозначим Хи (соответственно Хт) замыкание отно*
сительно (U/» Л с) произведения покрытий J\Xt (соответственно
Ц З^Л. В силу Т4 этой главы каждое из этих покрытий полуком*
пактно. С другой стороны, обозначим Хт покрытие на £т, состоя*
щее из подмножеств вида ли1 (Ли) (и£ U, Ли £Хи)\ Хт содержится
в Хт и, следовательно, является полукомпактом.
Покажем сначала, что мера Ри регулярна относительно Хи«
Для этого в теореме 29 возьмем в качестве <F0 систему всех
конечных объединений множеств вида Ц At (Л, £<£), а в качестве Х0-~
систему всех конечных объединений множеств вида Д/С* (Kt €9^*).
Нужно доказать соотношение
Ри(П ал= suppm/сл.
\teu J Kt<zWt \^€u ;
KtCAt
С этой целью зададим е > 0 и возьмем числа et > О (/ € и)
удовлетворяющие условию S8*^6» Для каждого /£и выберем множество
feu
Kt€Xt, такое, что /С*сЛ, и P(At\Kt)^et. Обозначив Bt прообраз

72
Va. III. Дополнения к теории меры
в Еи множества At\Kt при проекции Еи на пространство с
индексом /,' имеем
Ри Г( П АЛ\( П КЛ] < Ри ( U ВЛ < 2 Р* (At\Kt) <е.
Таким образом, мера Pu регулярна относительно 9Си для
каждого ugU. Функция множества Р, определенная на <§\,
удовлетворяет предположениям Т29 относительно покрытия 9£т.
Следовательно, она может быть продолжена до регулярной относительно 9£т
вероятностной меры на <§>т.
Из следующей теоремы вытекает, что каждая вероятностная
мера на бэровской а-алгебре компактного пространства регулярна.
Т32. Теорема. Пусть X—полукомпактное покрытие на
множестве Q, замкнутое относительно операций (U/, Г) с), такое, что
дополнение каждого элемента X принадлежит 9СС. Тогда каждая
вероятностная мера Р на о-алгебре <F, порожденной 5£\ является
регулярной относительно ЭС.
Доказательство. Пусть <6 — система элементов из 9^0, дополнения
которых принадлежат Хс. Система # замкнута относительно
операций (U/, С). Обозначим <М систему элементов А из <F, таких, что
PH) = supP(/().
КеЖ
К СА
Тогда gcJ и сЛ замкнуто относительно операций (\Jmc, f]mc).
В силу I.T19 отсюда вытекает, что <М содержит а-алгебру,
порожденную #. Поскольку 9^ci?, то из этого получаем, что оМ и <F
совпадают.
Замечание. Пусть F—компактное метризуемое пространство
и Е — подмножество F, универсально измеримое в F (11.038). Тогда
каждая мера Р, определенная на а-алгебре 53(E), регулярна
(относительно покрытия 9£, состоящего из всех компактных
подмножеств множества Е). Чтобы это доказать, положим Q (В) = Р(Е ()В)
для каждого В g 93(F). В соответствии с Т32, вероятностная мера Q
на 93(F) регулярна, следовательно, регулярна и мера Q\
представляющая собой пополнение Q (11.28, б). Поэтому если А—боре-
левское множество в £, то Q' (4) = supQ(/(), где К пробегает
к
систему всех компактных подмножеств А. Это равносильно
регулярности Р.
• Хорошо известно, что каждое сепарабельное метризуемое
пространство Е может быть вложено в метризуемый компакт F. Если
Е — польское пространство, то Е является аналитическим
множеством в F (Т13) и, следовательно, универсально измеримым (п.24).
В соответствии с вышесказанным каждая мера 93(E) регулярна.
Другое доказательство этого результата, принадлежащего
Прохорову, можно найти в книге Неве [1].

§ 3. Регулярные меры
73
Меры, регулярные относительно компактных покрытий
Следующие теоремы иллюстрируют процесс продолжения меры,
приведенный в теореме 11.35. Читатель может заметить, что
основная идея состоит в замене полукомпактных покрытий компактными.
ТЗЗ. Теорема. Пусть (Q, <F, Р)—вероятностное пространство
с мерой Р, регулярной относительно компактного покрытия Sfcf.
Пусть далее (Ki)tui—фильтрующееся влево семейство элементов
покрытия Э£\ пересечение К которых принадлежит ¥. Тогда
P(/0-infP(^).
Доказательство. Можно считать, что Ж замкнуто относительно
операций (U/, Г\с). Пусть /'—счетное подмножество /, такое, что
inf Р (/<Г/) = inf Р (/С,) и К' = (\К;. Мы оставляем читателю доказать,
что Р(/С'\/С/) = 0 для каждого ig/. Докажем, что множество
К'\К пренебрежимо. В силу регулярности Р достаточно показать,
что Р (L) = 0 для каждого L £ 9£, содержащегося в множестве К'\К.
Поскольку LO(f]Ki) = 0> то из компактности Ж вытекает
существе/
вование /€/, такого, что LnK)—0. Следовательно, ЬаК'\Кр
откуда имеем P(L) = 0.
Т34. Теорема. Пусть выполнены предположения предыдущей
теоремы. Обозначим ЭС' компактное покрытие, полученное замыканием X
относительно операций (и/, Па), а ¥' обозначим о-алгебру,
порожденную f и Ж". Тогда существует мера Р' на ф\ регулярная
относительно 9£\ которая является продолжением меры Р. Мера Р'
единственна.
Доказательство. Рассмотрим частично упорядоченное
множество &, элементами которого являются тройки (j?, S, Q). Здесь
3?—покрытие, замкнутое относительно операций (U/» П/), такое,
что Э^с^сЗ^'; % — а-алгебра, порожденная f и .?; Q—мера,
являющаяся продолжением меры Р на $, регулярная
относительно J27. Зададим отношение -< на £f, считая, что («£*, 55, Q)-S
^{3", S', Q') тогда и только тогда, когда & аЗ' (отсюда следует,
что Self'), и Q' индуцирует меру Q на S. Множество £? непусто,
так как оно содержит (9£\ <F, Р), и можно легко доказать,
используя Т29, что & является индуктивной системой. По лемме Цорна %f
содержит максимальный элемент (3?> %, Q). Утверждение теоремы
относительно существования будет доказано, если показать, что
предположение 3'ФЭС' приводит к противоречию.
Пусть К принадлежит 9£'\JP; К является пересечением
фильтрующегося влево семейства (/С/)/е/ элементов 9£\ Сохраним за
/' и К' тот же смысл, что и в доказательстве ТЗЗ. Из
доказательства ТЗЗ следует, что К'\К внутренне Q-пренебрежимо.
Следовательно, мера Q может быть продолжена (IIJ27) до меры Q', опре-

74
Гл. Ill Дополнения к теории меры
деленной на сг-алгебре £', порожденной /Си #, так, чтоСГ (/С'\/С) = 0.
Пусть 3' — компактное покрытие, состоящее из всех множеств вида
(Hf)K)\JL, где Н и L принадлежат J?. Поскольку $' является
системой всех множеств вида (A n/C)U (BflC/C), где Л и В
принадлежат #, то проверка регулярности Q' относительно 3' легко
сводится к доказательству того, что Q' (С/С) = sup Q' (L), L£g\
LczC/C. Справедливость последнего утверждения вытекает из
соотношения Q'(C/C)==Q(C/C')==supQ(L), где L£3, Lc=C/C'. Следова-
L
тельно, (J?', $, Q')€e^» что противоречит максимальности элемента
(J2\ », Q).
Единственность меры Р' очевидна: ТЗЗ определяет значение
Р' (/С) для каждого /Сб ЭР', а условие регулярности обеспечивает
единственность Р' (А) для каждого Л€^'.
Следовательно, если Р является мерой Радона на бэровской
а-алгебре компактного пространства, то мера Р' является
каноническим продолжением меры Р на борелевскую а-алгебру.
35. Следующие утверждения предоставляются читателю в
качестве упражнений. Обозначим (Q, Ш', Р) вероятностное
пространство, такое, что мера Р регулярна относительно компактного
покрытия ЗР^оГ, замкнутого относительно операций (и/, Пя).
(1) Предположим, что мера Р полна. Пусть множество А таково,
что А П/С измеримо для каждого /С€9Р. Докажите, что А измеримо.
(2) Назовем множество UczQ открытым, если K\UZ%? для
каждого /С €9*?. Эти множества задают некоторую топологию на Q
(вообще говоря, не являющуюся хаусдорфовой). Пусть ({//)/€,—
семейство открытых множеств, фильтрующихся вправо, и U = [JU£.
Тогда P(i/) = supP(i//) (докажите, что каждое /С€9К\ содержаще-
еся в £/, содержится хотя бы в одном Ui9 а затем используйте
регулярность).
(3) Пусть функция / неотрицательна и полунепрерывна снизу
в этой топологии, и пусть б > 0. Обозначим Ukt #€N, открытое
множество {/ > бе} и положим
/ее N
Докажите, что функция /* полунепрерывна снизу (множество
{/• > кг} = Uk+1 открыто). Пусть (/,-)/€/—фильтрующееся вправо
семейство неотрицательных полунепрерывных снизу функций.
Тогда Е [/] = sup Е [/,]. (Сначала сведите задачу к случаю ограничен-
i €/
ных функций, а затем, используя /*, перейдите к случаю
полунепрерывных снизу функций, принимающих значения 0, е, 2е, ..., N..
Если g—такая функция, то Е [g] = 2 P{g>ke\. В заключение
используйте утверждение (2).)

Г лава IV
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ /. Общие свойства процессов
1. Обозначения. Обозначим через Т множество индексов, которое
будем интерпретировать как время. Заметим, что эта интерпретация
(часто будет говориться о «моменте /») требует по крайней мере
задания на Т структуры упорядоченного множества. Как правило, Т
будет либо интервалом или расширенной действительной прямой R
(«непрерывный случай»), либо множеством целых чисел, быть может,
компатифицированным добавлением точек +оо, —оо («дискретный
случай»).
Обозначим (£, £) измеримое пространство, которое будем
называть пространством состояний. В большинстве случаев Е будет
компактным метризуемым пространством или множеством,
погруженным в это пространство.
Определение случайных процессов
02. Определение. Случайный процесс [с множеством Т и
пространством состояний (Е, £)] — это система (Q, IF, Р, (Xt)tej),
состоящая из
вероятностного пространства (Q, <F, Р) и
семейства (Х*)/6т случайных элементов, определенных на (Q,<F), со
значениями в(Е,£).
Случайный элемент (Xt) называется состоянием процесса в
момент t. Отображение /-ллл^Х^(со) множества Т в Е назовем
траекторией, соответствующей данному со; измеримое пространство (Q, <F)
будет называться основным пространством1).
Обычно мы будем опускать слово «случайный» и, упрощая наш
язык, будем говорить: «процесс (Х,)*€т» или даже «процесс (Xt>.
Эквивалентные процессы
03. Определение. Рассмотрим два случайных процесса с одним и
тем же множеством Т и пространством состояний (£, <£):
(Q, Г, Р, (Xt)tsj) и (Q', ¥\ Р\ (Х;)/6Т).
х) В настоящее время наблюдается тенденция различать понятия случайного
процесса и случайной функции. Отличие состоит в том, что в последнем случае
вероятностная мера на основном пространстве не задана, Эта терминология
представляется нам очень удоби^й.

76
Гл. IV. Случайные процессы
Будем говорить, что процессы (Xt) и (X't) эквивалентны, если
Р{Хи$А19 Хи£А2, ...,Хь€Ап} =
=р'{х\^а19 х;,еа2У ...,x'ineAn} (зл)
для каждого конечного набора tly t2, ..., tnu любой системы
элементов AJt А2, ..., Ап пространства £.
4. Насколько важно понятие эквивалентности можно
проиллюстрировать следующими соображениями. Случайный процесс
является математической моделью некоторого физического явления
случайной природы. Представим себе, что наблюдается очень
большое число независимых реализаций этого явления. Тогда с любой
степенью точности (в силу закона больших чисел) для сколь угодно
большого числа моментов времени tx, t2, ...ttn можно вычислить
выражение, определяемое формулой (3.1), и никакой другой
информации наблюдения не могут дать. Иначе говоря, «природа может
давать случайные процессы только с точностью до эквивалентности».
Таким образом, у специалистов по теории вероятностей есть
свобода выбора случайного процесса в классе эквивалентных
процессов. Позднее будет показано, как эту свободу выбора можно
использовать.
Введем еще одно понятие (сходное с понятием эквивалентности,
но более узкое), которое будет часто использоваться в конце этой
главы.
05. Определение. Пусть (Х^щт и (Yt)t^j —случайные процессы,
определенные на вероятностном пространстве (Й, <F, Р) со
значениями в пространстве состояний (£, <£). Процесс (Yt)iuj назовем
модификацией процесса (Х^)/€т, если Yt~Xtn. н. для каждого t^T.
Первый канонический процесс
6. Рассмотрим случайный процесс (Q, <F, Р, (А^)/€Т). Обозначим /
отображение Q в£т, которое каждой точке со £ Q ставит в
соответствие точку (Xt(co))/€j в £т, т. е. траекторию, отвечающую со.
Отображение / измеримо, если в Е1 задана а-алгебра S1 (см. 1.12).
В этом случае можно говорить о мере /(Р) на пространстве (£т, <£т),
порожденной отображением /. Обозначим Yt координатное
отображение индекса / на £т. Тогда процессы (й, <F, Р, (Х,)/ет)и (£т,
<£т> / (Р)> (Yt)t<zT) эквивалентны, и можно дать следующее определение.
07. Определение. В обозначениях предыдущего пункта процесс
(Е\ <§\ /(Р), (У,),.т)
назовем первым каноническим процессом, связанным с процессом Хг
(или эквивалентным процессу Xt).
Два процесса (Xt) и (X't) эквивалентны тогда и только тогда,
когда они связаны с одним и тем же каноническим процессом.

§ 1. Общие свойства процессов
77
Когда множество Т несчетно, первый канонический процесс
непосредственно почти никогда не используется. Это объясняется тем,
что а-алгебра <§Т содержит на самом деле только такие события,
которые зависят от не более чем счетного числа переменных Yt.
в то время как наиболее интересные свойства процессов (например,
непрерывность траекторий) зависят от всех случайных переменных.
Как будет показано в дальнейшем, первый канонический процесс
в основном используется при построении более сложных процессов.
Построение процессов
8. Напомним ситуацию, описанную в п. 4. Наблюдается динамика
некоторого «случайного явления», для которого нужно дать
описание, пользуясь понятием случайного процесса. Естественно начать
с построения простейшего процесса в классе эквивалентных, т. е.
с построения первого канонического процесса. Для этого вводятся
в рассмотрение измеримое пространство (ЕТ, £т) и координатные
отображения (У,)/6Т. Осталось построить вероятностную меру Р на
этом измеримом пространстве, такую, что
P{Ytl£Alt...,Yu£AH} = 0(tl9 ...,/„; А19...,АЯ)
для каждого конечного подмножества u = {/lf ..., tn\ из Т и каждой
конечной системы Аг, ..., Ап измеримых подмножеств множества £,
где функция Ф может быть получена из наблюдений процесса. Это
построение возможно тогда и только тогда, когда функция множества
AxxAtx...xAn-w~<l>(tl9 /2, ..., tn\ Аи Л2, ..., Ап)
продолжается до вероятностной меры Ри на (£u, <£и). При этом
вероятностная мера должна единственным образом определяться по
функции Ф (в силу теоремы I.T21, примененной к системе конечных
объединений подмножеств из Еи вида Агх А2х ... X Лл). С другой
стороны, необходимо, чтобы
nuv(Pv) = Pu (8.1)
для каждой пары конечных подмножеств u, v из Т, таких, что
ucv, где яиу означает проекцию Ev на £u. В последнем
утверждении легко узнать определение проективной системы вероятностных
мер (И 1.30), из которого видно, что возможность построения меры Р
эквивалентна существованию проективного предела проективной
системы Ри. Этот проективный предел не обязательно существует.
Теорема III.Т31 дает простые достаточные условия его существования.
Элементарное доказательство существования меры Р, когда Е —
компактное пространство (этот случай наиболее интересен для
приложений), можно дать независимо от результатов гл. III.
—>Т9. Теорема. Пусть Е — компактное пространство и £—бэров-
екая о-алгебра на Е. Для каждого конечного подмножества и из Т

78
Гл. IV. Случайные процессы
обозначим через Ри вероятностную меру на (Еи, <£и). Если мерыРи
удовлетворяют условию (8.1), то существует вероятностная мера Р
на (£т, <£т), такая, что
яи(Р) = Ри для каждого конечного подмножества и из Т, где пи
означает проекцию ЕТ на Еи.
Мера Р, обладающая этим свойством, единственна.
Доказательство. Пусть ^/(£т)—векторное пространство
непрерывных функций, определенных на компактном пространстве ЕТ и
зависящих только от конечного числа переменных. В силу теоремы
Стоуна — Вейерштрасса i?/(£T) плотно в # (Ет). Пусть g—элемент
^/(£т). Тогда существуют в Т конечное подмножество и и
непрерывная функция guy определенная на Еи; такие, что g = guonu-
В силу соотношения (8.1) отсюда следует, что интегралы J gudPu
зависят только от функции g и не зависят от выбора ее
представления. Если каждой функции g€%f(ET) поставить в соответствие
этот интеграл, то на %f(ET) будет определена положительная
линейная форма (с нормой, равной 1), которая может быть продолжена
по непрерывности до положительного линейного функционала на
#(£т) с нормой, равной 1, т.е. продолжена до меры Радона Р на
£т. По определению Р
J guonu dP = J gu dPv
для каждого конечного подмножества и из Т и каждой
непрерывной функции g„ на Еи. Утверждение (9.1) теоремы теперь вытекает
из I.T20. Из этой же теоремы следует, что мера Р единственна.
Второй канонический процесс
10. Пусть Е — компактное пространство, <£ — 0BQ (£) — бэровская
а-алгебра на Е и (ХГ),6Т — процесс со значениями в (£, <§).
Обозначим (£т, <£т, Р, (Yt)tej) — первый канонический процесс,
связанный с процессом (Xt). Поскольку мера Р является мерой Радона
на компактном пространстве £т, ее можно продолжить до меры Р,
определенной на борелевской а-алгебре !В(ЕТ) и удовлетворяющей
условиям теоремы II.T35. Таким образом, построен новый процесс,
эквивалентный процессу (Xt)
(£Т,Я(£Т), Р, (У,)/€Т).
который назовем вторым каноническим процессом, связанным с
процессом (Xt). Следует заметить, что случайные элементы (Yt)
измеримы, если в Е задана борелевская а-алгебра.
Хотя а-алгебра Si (ЕТ) несравненно «богаче» а-алгебры <§т =
= ^0 (£т), второй канонический процесс еще не удовлетворяет всем

§ 2. Сепарабельные процессы
79
запросам теории. Он будет служить, скорее, инструментом для
построения «хороших» процессов, т. е. процессов, траектории
которых обладают свойством «регулярности».
§ 2. Сепарабельные процессы
Понятие сепарабельности является крайне важным. Отметим,
однако, что в оставшейся части книги мы будем по возможности
избегать его. Совершенно необходимыми пунктами этого параграфа
для дальнейшего являются только п. 20—22.
Все процессы, рассматриваемые в этом параграфе,
определены на некотором интервале Т расширенной прямой R и
принимают значения в компактном метризуемом пространстве Е.
Начнем с примера (принадлежащего Дубу), показывающего, что
для эквивалентных процессов одно и то же событие может иметь
различные вероятности.
11. Рассмотрим два процесса (Xt) и (Yt) на интервале [0,1]
с пространством состояний R и основным пространством (Q, W, Р),
представляющим собой интервал [0,1] с а-алгеброй ¥ лебеговских
множеств. Пусть Р—лебеговская мера.
Положим
Xf((D) = 0 для каждого о £[0,1],
если /=^со,
если / = со.
™-{*
Зги процессы эквивалентны, поскольку Xt — Yt п. н. для каждого /.
Множество тех точек со, которым соответствуют непрерывные
траектории, измеримо для обоих процессов. Оно имеет вероятность 1
для первого процесса и вероятность 0—для второго.
Определение сепарабельных процессов
12. Пусть (Xf)/6T—случайный процесс со значениями в £",
определенный на пространстве (й, <F, Р), I —некоторое подмножество
Т, К — компактное множество в Е. Обозначим V(l, К) множество
точек со, которым соответствуют траектории, «остающиеся» в К
в моменты времени, принадлежащие I:
1/(1, /С) = {со: Xt((o)€K для каждого /61}.
Предположим, что I — счетное множество. Тогда, очевидно, V (I, К) €
^ >И P[V(l /С)]= infP [V(u, К)]. (12.1)
и-конечно
U CI

80
Гл. IV. Случайные процессы
013. Определение. Пусть (Q, <F, Р, (Xt)t 6т)— процесс со значениями
в Е. Будем говорить, что этот процесс является сепарабельным
(относительно системы компактных подмножеств Е)у если для
каждого открытого интервала I и каждого компактного множества КсЕ
а) V(l, /С)€Г, (13.1)
б) P[V(l /t)] = infP[V(u, Я)], (13.2)
u
где и пробегает систему всех конечных подмножеств 1.
14. Замечания, (а) Свойства (13.1) и (13.2) должны, очевидно,
выполняться и для произвольного интервала IcT, не обязательно
открытого.
(б) Пусть /—непрерывное отображение, определенное на £, со
значениями в компактном пространстве F. Если процесс (Xt) се-
парабельный, то процесс (foXt) со значениями в F также будет
сепарабельным.
(в) Процесс (Xf), траектории которого непрерывны справа (слева),
является сепарабельным. Действительно, в этих предположениях
1/(1, /С) = V(I ПQ, К) для каждого открытого интервала I,
где Q—множество рациональных чисел. Таким образом, свойство
(13.1) выполняется, и можно легко доказать справедливость
равенства (13.2).
Пример сепарабельного процесса
15. Пусть (Xt)—процесс со значениями в компактном метризу-
емом пространстве Е.
Рассмотрим второй канонический процесс, связанный с
процессом (Xt) (см. п. 10):
(ЕТ9Я(Е7), Р,(^)/€т).
Обозначим: I—открытый интервал в Т, U\ — система конечных
подмножеств из I, К—компактное подмножество пространства Е.
Множества V (и, /С), V(I, К) компактны в ЕТ и, следовательно,
измеримы. Поскольку К(1, К) является пересечением
фильтрующегося влево семейства компактных множеств (V(и, К)иеи ), а мераР
является мерой Радона, то в силу II.T35 имеем
P\V(l, /С)]= inf P[K(u, К)].
Таким образом, второй канонический процесс является
сепарабельным. Следует отметить, что метризуемость Е не играет роли, а
предположение о том, что 1 является интервалом, не используется
(см. п. 26—29).

§ 2. Сепарабельные процессы
81
Этот пример показывает, что каждый процесс со значениями в Е
эквивалентен сепарабельному процессу. Последнее утверждение
является ослабленной формой одного результата Дуба, состоящего
в том, что каждый процесс допускает сепарабельную модификацию
(Т19). Этот результат, использующий метризуемость £, будет
доказан позднее.
Универсальные множества сепарабельности
016. Определение. В обозначениях /г. 13 счетное подмножество
ScT назовем множеством сепарабельности для пары (I, /С), если
P[V(Snl, /01= inf P[V(u, К)]. (16.1)
и конечно
u CI
Счетное множество ScrT, плотное в Т, будем называть
универсальным множеством сепарабельности, если S является множеством
сепарабельности для каждой пары (I, К).
Легко построить множество сепарабельности S для заданной
пары(1, /С). Для этого достаточно выбрать конечные подмножества ип
из I так, что для каждого n£ti
P[V(u„, /0]<infP[V(uf *)]+|.
и конечно
uCI
и положить S = Uun.
п
Из существования универсального множества сепарабельности
еще не вытекает сепарабельность процесса (Xt), поскольку
множество S является в то же самое время универсальным множеством
сепарабельности для любого (сепарабельного или несепарабельного)
процесса, эквивалентного (Xt).
Пример. Пусть (Xt) — процесс, траектории которого непрерывны
справа. Тогда каждое счетное, плотное в Т множество является
универсальным множеством сепарабельности.
Т17. Теорема. Для каждого случайного процесса со значениями в
метризуемом компакте существует универсальное множество
сепарабельности.
Доказательство. Сохраним обозначения предшествующих
пунктов. Пусть Ж— счетная система компактных множеств £, такая,
что дополнения элементов 9С составляют базу топологии Е.
Обозначим через 3 систему открытых интервалов I с рациональными
концами. Для каждой пары (I, /С) (1€#, К£Ж) рассмотрим
множество сепарабельности Sf, ^. Пусть S—счетное плотное в Т мно-

82
Гл. IV. Случайные процессы
жество, содержащее объединение множеств Si, к(1€#, К£9С).
Покажем, что S—универсальное множество сепарабельности.
Действительно, пусть J — открытый интервал Т и L — компактное
подмножество Е. J является объединением возрастающей
последовательности (Iw)m€N элементов 3, a L — пересечением убывающей
последовательности (Кп)п*н элементов ЭС. Поэтому достаточно
показать, что для каждого конечного подмножества и из J
P[K(SflJ, L)]<P(K(u, L)).
Но u^l/я для достаточно больших т, поэтому
P[l/(SflJ, D]=P[nf (SflJ, /C«)] = infP[V(SnJ, /CJ<
<infP[K(Snl«f Kn)]<iniP[V(u,Kn)]=P[V(u,L)].
n n
Следующая теорема позволяет исследовать свойства регулярности
траекторий сепарабельного процесса. Обозначим Х^(со) (где W —
некоторое подмножество Т) замыкание образа множества W при
отображении t-w~Xt (со). Очевидно, Xw((o) является пересечением
множеств К€Х, таких, что co^V^W, /q.
—>Т18. Теорема. Пусть (Q, <F, Р, (Xt)tsr)—процесс со значениями
в Е и S—универсальное множество сепарабельности этого процесса.
(а) Предположим, что процесс (Xt) сепарабельный. Тогда
существует Р-пренебрежимое множество A^W, такое, что для каждого
со€й\Л и любого открытого интервала J с Т
Xj(co) = Xsnj(co). (18.1)
(б) Обратно, если мера Р полна, то из условия (18.1) вытекает
сепарабельность процесса (Xt).
Теорема 18 будет доказана одновременно со следующей теоремой.
->Т19. Теорема. Если мера Р полна, то процесс (Xt) допускает
сепарабельную модификацию.
Доказательство. Оставим за обозначениями 3 и X тот же смысл,
что и в доказательстве Т16. Для каждой пары (I, К) (l€ J, К£Х)
положим
Л(1, /C) = K(Snl, K)\V(h К),
и пусть А означает объединение множеств А(\, К). Предположим,
что процесс (Xt) сепарабельный и S является универсальным
множеством сепарабельности. Тогда множество А Р-пренебрежимо. Пусть
J — открытый интервал, \т — возрастающая последовательность
элементов из 3, такая, что J = U I^> и со —элемент Q, не
принадлежи
жащий А. Проверим выполнение соотношения (18.1). Множество
Xj (со) (соответственно XsqjI00)) является замыканием объединения
множеств Х\т(а>) (соответственно Xsniw(w)). Следовательно, доста

§ 2. Сепарабельные процессы
83
точно проверить, что
Xim (со) = XSnim Н Для cof4.
Но левая (соответственно правая) часть этого соотношения является
пересечением элементов К из 9£\ содержащих со, т. е. таких
элементов К, что co£l/(Im, К) [соответственно со € V7 (S П IOT, К)]. Теперь
достаточно только заметить, что соотношения co£l/(IOT, К) и
cogK(SnIw, К) эквивалентны при со(£Л и К €9^.
Обратно, предположим, что условие (18.1) выполнено. Тогда
имеют место следующие соотношения (здесь К—компактное
множество в Е):
cogK(J, /С)<=^>х7Йс:/С,
Xj (со) с К <^=> XSn j (со) с: /С для со^Л,
Xsnj(co)c/(<^^>co€K(SnJ, /О-
Таким образом, множества K(J, /С) и K(SnJ, /С) отличаются друг
от друга лишь на некоторое подмножество множества Л, т. е. на
пренебрежимое множество. Итак, процесс (Xt) сепарабелен, a S
является универсальным множеством сепарабельности этого
процесса.
Продолжим теперь доказательство теоремы 19. Определим для
каждого /gT функцию У^(со) следующим образом. Положим
Kt(co) = Xt(co), если Х,(со)€ П *,ns(co), (19.1)
В противном случае будем считать, что К* (со) совпадает с
произвольной точкой множества П Ajns (со), которое не пусто, поскольку
является пересечением фильтрующегося влево семейства непустых
компактных множеств. Покажем теперь, что функции К* (со)
измеримы, а процесс (Yt) является сепарабельной модификацией
процесса (Xt).
Действительно, поскольку S—универсальное множество
сепарабельности, то для каждой пары (I, К) (16^. К€9С)
K(In(SU{/}), K)dV(lf]St К)
и
р[У(in(Su{/}), K)] = P[V(ins, К)].
Таким образом, множество 5(1, /<Г) = 1/ (I nS, /<1\K(I f|(SU {t}), К)
пренебрежимо. Объединение В множеств Б(1, К) (1<Е^> К£Ж)
также пренебрежимо. Итак, соотношение (19,1) проверено для со^В.

84
Гл. IV. Случайные процессы
Отсюда следует, что Xt = Yt п.н., Yt является случайным
элементом, а процесс (Yt) является модификацией процесса (Xt).
Очевидно, Xt (со) — Yt (со) для каждого со, когда / принадлежит
S. В силу этого и по построению Yt имеем
Yt((d)£ П Kins(co) для каждого / и каждого со. (19.2)
Пусть теперь J—открытый интервал Т и L—компактное
подмножество Е. В силу (19.2) соотношения
Yt (со) g L для каждого / g J
и
Kf(co)gL для каждого /gSflJ
эквивалентны. Отсюда следует, что процесс (Yt) является сепара-
бельным (см. 013).
Замечания. (1) Для каждого подмножества W в Т обозначим
Gw(co) множество в (Тх£) вида (/, Xt((o)) (для /£W). Условие
(18.1) эквивалентно соотношению
Gj (со) = Gsnj (со) для каждого со(£Л, (19.3)
каков бы ни был открытый интервал JcT (замыкание берется в
компактном пространстве Тх£). Проверка этого утверждения
предоставляется читателю. Приведем здесь одно из его следствий.
Пусть F — другое компактное метризуемое пространство и / —
непрерывное отображение ТхЕ в TxF. Предположим, что процесс
(Xt) удовлетворяет условию (18.1). Покажем, что процесс (Yt),
определяемый соотношением Kf(co) = /(/, Xj(co)), также
удовлетворяет условию (18.1). Для этого достаточно заметить, что
/ (Cj И) = / (Gj (со)) = / (GSflJ (со)) = / (GSnj (со)).
Проектируя эти множества на F, получаем для процесса (Yt)
равенства (18.1).
(2) Не следует считать, что из сепарабельности процесса
вытекает регулярность траекторий. Пусть/—произвольное отображение
Т в Е. Определим «детерминированный процесс», выбрав
пространство Q, состоящее из единственной точки со, и положив Xt((d)=f(t).
Этот процесс имеет только одну траекторию, которая может быть
очень иррегулярной. Тем не менее этот процесс сепарабельный.
Действительно, либо множество V(I, К) совпадает со всем
пространством Q (и тогда Р [V (и, К)] = 1 для каждого конечного
подмножества и из I), либо оно пусто (и тогда существует конечное
подмножество и в I, такое, что У (и, /С) = 0). Таким образом,
условия определения 13 выполнены.

§ 2. Сепарабельные процессы
85
Осциллирующие разрывы траекторий
20. Пусть / — отображение интервала Т расширенной
действительной прямой R в хаусдорфово топологическое пространство Е.
Будем говорить, что / не имеет осциллирующих разрывов1), если
существует предел справа
/(/+) = lira/(s)
s>/
в каждой точке t£T (за исключением правого конца Т) и также
существует предел слева
/(/-) = Iim/(s)
s-t
s<t
в каждой точке /gT (за исключением левого конца Т).
Сначала будут рассмотрены функции с действительными
значениями и дан (следуя Дубу) простой критерий отсутствия
осциллирующих разрывов.
21. Пусть /—отображение интервала Т в R. Обозначим а и b
два конечных действительных числа, таких, что а<й, а
и—конечное подмножество Т, элементы которого slf s2, ..., sn расположены
в возрастающем порядке. Определим по индукции моменты времени
*n t2> •••» *л€и следующим образом.
Пусть tx— первый из элементов s,£u, для которого [(s^^a.
Если такого элемента нет, то tx положим равным sn. Пусть tk для
каждого четного (соответственно нечетного) числа kt 1<£j^az,
равно первому из элементов s^u,-, такому, что s{ > tk_x и f(s()> b
(соответственно /(s/)<a). Если такого элемента не существует, то
положим tk = sn.
Рассмотрим последнее четное число 2&, такое, что f{t2k_l)<%a
и f(t2k)>b. Если такого числа не существует, положим & = 0.
Функция /, рассматриваемая только на и, меняется от а до b в
интервалах (tlf /2), (/8, t4), ..., (t2k_lt t2k) и от & до а в
промежутках между этими интервалами. Величину k назовем числом
пересечений снизу вверх (upcrossings) функцией / (рассматриваемой
на и) интервала [а, Ь] и обозначим ее через
£/(/; и; [а, Ь]). (21.1)
Аналогично определяется число пересечений сверху вниз (downcrossings)
функцией / (рассматриваемой на и) интервала [а, &], которое
обозначим
£>(/; u; [a, b]) = U(—f; и; [-&, -а]). (21.2)
*) В работах Бурбаки такие функции называются «правильными» («fonction
reglee»).

86
Гл. IV. Случайные процессы
Пересечения снизу вверх и пересечения сверху вниз также
определяются для интервалов вида (а, 6), заменяя в определении
моментов времени t{ строгие неравенства нестрогими.
Пусть теперь S — произвольное подмножество Т. Положим
£/(/; S; [a, b])= sup U(f\ и; [а, b]). (21.3)
и конечно
u cS
Аналогично определяется и D(f\ S; [a, &]). Важность введенных
понятий иллюстрируется следующей теоремой.
—>Т22. Теорема. Пусть f—функция с действительными значениями,
определенная на компактном интервале Т. Функция f не имеет
осциллирующих разрывов тогда и только тогда, когда U (/; Т; [a, Ь] )<оо
для каждой пары рациональных чисел а и b> а < 6.
Доказательство. Предположим, что существует точка / £ Т, в
которой функция / имеет осциллирующий разрыв. Например, в этой
точке у функции / не существует предела слева. Тогда можно найти
возрастающую последовательность tny стремящуюся к /, такую, что
lim inf / (tn) = c>d = lira sup / (tn).
П -*■ 00 П-+ 00
п нечетное n четное
Выберем теперь два рациональных числа а и b так, чтобы d<a<
<&<с. Непосредственно проверяется, что (/(/; Т; [а, 6]) = +оо.
Доказательство достаточности опирается на следующее простое
неравенство, вывод которого предоставляется читателю. Если г,
s, /—три момента времени, такие, что r<s<t, то
«/(/; М]; [*. Ч)<*/(/; ['■*]; Ml)+ */(/; Ml; [*.*]) + i.
Пусть а и р —концы интервала Т. Предположим, что функция /
не имеет осциллирующих разрывов. Тогда каждой точке /gT можно
поставить в соответствие открытый интервал \t, содержащий /,
такой, что колебание / на каждом из интервалов lt(](t, Р], [a, /)П lt
будет строго меньше, чем 6—а. Интервал Т можно покрыть
конечным числом интервалов I/,, I/t, ..., \tk. Расположим в
возрастающем порядке величины a, р, tly ..., tk и концы интервалов I,,, l,t,. ..
..., I/fc. Получим конечное множество точек a = s0 < slt ..., <s„=p,
таких, что колебание / на каждом интервале (sit si+l) меньше b—а.
Таким образом, U(/; (sh s/+1); [a, 6]) = 0 и, следовательно,
U(f\ [S{> si+1]\ [a, t])<l. Тогда из приведенного выше
неравенства вытекает, что
*/(/;Т; [а, &])<2л-1.
Достаточность доказана*).
х) Это доказательство было сообщено нам П. Габриэлем (P. Gabriel).

§ 2. Сепарабельные процессы
87
.Замечание. Пусть S—счетное плотное в Т множество.
Предположим, что функция / определена только на S и
[/(/; S; [а, Ь])<оо
для каждой пары рациональных чисел а и bf а < 6. Точно так же,
как это было сделано выше, можно доказать, что функция / имеет
левый и правый предел по S в каждой точке Т.
Т23. Теорема. Пусть (Q, JF', Р, (ХДет)—сепарабельный случайный
процесс со значениями в компактном метризуемом пространстве Е.
Тогда множество точек со £ £2, которым соответствуют траектории,
не имеющие осциллирующих разрывов, измеримо.
Доказательство. Пусть Ж счетная система непрерывных
действительных функций, разделяющих точки Е. (Это означает, что
для каждой пары различных точек ху у из Е существует
функция h£3%, такая, что h(x)^h(y).) Функция /-ллл-Х^со) не имеет
осциллирующих разрывов тогда и только тогда, когда каждая
функция /-ллл^/юХ* (со), h^SKy не имеет осциллирующих разрывов.
Обозначим £/Л(со; S; [а, Ь)) число пересечений снизу вверх
интервала [а, Ь] функцией / -^w^hoXt(со) (рассматриваемой на ScT).
Будем считать для простоты, что Т — компактный интервал.
Множество тех со б Q, которым соответствуют траектории, не имеющие
осциллирующих разрывов, является пересечением множеств вида
{со: £/Л(со;Т; [а, 6])<оо}, (23.1)
где а и Ь—два рациональных числа, а<Ь, Н^Ж. Поскольку это
счетная система множеств, то достаточно проверить измеримость
каждого множества.
Для того чтобы Uh (со; Т; [а, Ь\) = +оо необходимо и достаточно,
чтобы для каждого целого k > 0 нашлась система
непересекающихся открытых интервалов (с рациональными концами) 14, 12, ...
..., 1Л, содержащихся в Т и удовлетворяющих условию
(/Л(со; I/, [а, Ь])> 0 для /= 1, 2, ..., k.
Поскольку совокупность таких систем является счетным
множеством, то достаточно проверить только измеримость множества.
{со: £/Л(со; I; [а, Ь]) = 0}. (23.2)
Но множество (23.2) действительно измеримо, так как оно
совпадает с объединением
V(l, h'\ ([-оо, Ь])U/ U V(l, h-*[pt +оо))\.
I р рационально )
4 Р>а /
24. Замечания. Так как множество тех cogQ, которым
соответствуют траектории, не имеющие осциллирующих разрывов,
измеримо, то его вероятность не изменится, если меру Р пополнить.

88
Гл. IV. Случайные процессы
Пусть S—универсальное множество сепарабельности для процесса
(Xt). Если со не принадлежит исключительному множеству Л,
которое фигурировало в утверждении теоремы 18, то можно легко
показать, что
£/л(со; u; [a, &])<t/A(©; S; [а, Ь})
для каждого конечного подмножества и в Т и каждого h^Sft.
Отсюда следует, что для со (jt А
£/л(ю; Т; [а, 6])<£/д(ш; S; [а, Ь]).
Поскольку обратное неравенство очевидно, можно знак неравенства
заменить знаком равенства. Таким образом, для того чтобы
траектории процесса (Xt) не имели почти наверное осциллирующих
разрывов на компактном интервале Т, необходимо и достаточно, чтобы
Uh((x>\ S; [а, 6])<+оо п.н. для каждой функции Н^Ж и каждой
пары рациональных чисел а и Ь, а < Ь.
Следующая теорема будет полезна в теории марковских
процессов.
Т25. Теорема. Пусть (Q, <F, Р, (Xt)teT)—случайный процесс со
значениями в компактном метризуемом пространстве Е\
й^—множество тех co£Q, которым отвечают траектории, не имеющие
осциллирующих разрывов. Предположим, что Q0 имеет вероятность,
равную /, и для каждого /£Т
Xf(co) = Xf+ (со) п. н. на Q0,
где Xt+ (со) означает предел справа траектории со в момент
времени t. Тогда существует процесс, эквивалентный (Xt), траектории
которого не имеют осциллирующих разрывов и непрерывны справа.
Доказательство. Рассмотрим множество <F0 элементов <F,
содержащихся в Q0. Очевидно, <jF0 является а-алгеброй и Р0, сужение
меры Р на <F0, является вероятностной мерой на (Q0, <F0). На новом
вероятностном пространстве (Q0, <F0, Р0) рассмотрим процесс
Yt(<*) = Xi+(a) (t£T).
Очевидно, процессы (Xt) и (Yt) эквивалентны.
Часто используется следующая конструкция. Обозначим через
£(Т) семейство отображений Т в £, непрерывных справа и не
имеющих осциллирующих разрывов. £<т> является подмножеством ЕТ.
Пусть (Zj)/€t—сужение на £(Т) координатных отображений и S —
а-алгебра на £(Т), порожденная функциями Zt, t£T. Если каждой
точке cogQ0 поставить в соответствие функцию /-ллл^^(со), то
получим измеримое отображение / измеримого пространства
(&о> Fq) в (£<т\ »). Процесс (£<т>, 8f /(Р0), (Z,)/€T) эквивалентен
процессу (Xt), при этом его траектории столь же регулярны,
как и траектории процесса (Yt).

§ 3. Измеримые процессы. Моменты остановки
89
§ 3. Измеримые процессы. Моменты остановки
Этот параграф по существу является введением в терминологию,
которая будет в дальнейшем широко использоваться. На наш взгляд
читателю следует вначале ознакомиться лишь с основными
фактами, а затем возвращаться к ним по мере надобности.
Во избежание излишних нагромождений ограничимся
процессами, у которых множество Т представляет собой положительную
полупрямую R+. Читатель может легко приспособить все
результаты и для других обычно используемых множеств Т.
Процессы, согласованные с возрастающим семейством сг-алгебр
26. Пусть (Q, ¥*)— измеримое пространство и (Srt)teR+ —
семейство а-подалгебр <F, такое, что ¥s с ¥t для s^/. Будем называть
<Ft, /£R + » о-алгеброй событий до момента tt a (¥t)teR+ —
возрастающим семейством о-подалгебр ¥. Обозначим <Fa а-алгебру,
порожденную объединением а-алгебр ¥t, и положим
Ги= ПР* (<€R+).
s>t
Будем говорить, что семейство ¥t непрерывно справа, если ¥t =
= ¥t+ для каждого /£R+.
Замечания, (а) Семейство а-алгебр (¥t+)t^R+ непрерывно справа.
(б) Если вместо R+ в качестве множества индексов взять N (или
любое дискретное множество), то понятие непрерывности справа
и определение а-алгебр ¥t + 9 очевидно, теряют смысл.
027. Определение. Пусть (Xt)teR+ —случайный процесс,
определенный на вероятностном пространстве (Q, <F, Р), и (¥t)teR
+—возрастающее семейство о-подалгебр ¥. Процесс (Xt) называется
согласованным с семейством (¥t), если Xt §^-измеримо для каждого
Пример. Пусть (Xt) — случайный процесс. Тогда (Xt) согласован
с семейством а-алгебр
¥t = <F(X5, s</).
28. Интуитивный смысл сформулированных выше определений
состоит в следующем. Если интерпретировать параметр / как
время, а каждое событие A g ¥—как некоторое физическое явление,
то ¥х состоит из событий, появление которых происходит до момента
времени t (включительно). ¥ ^-измеримые случайные величины
зависят от эволюции процесса до момента времени / включительно.
В частности, представим себе, что наблюдатель ожидает появление
некоторого физического явления, и пусть Т (со) — первый момент,
когда это явление произошло. Событие {Г^/}, которое происходит
тогда и только тогда, когда рассматриваемое физическое явление

90
Гл. IV. Случайные процессы
появилось по крайней мере один раз до момента t или в момент t,
очевидно, предшествует моменту времени /. Сделанные замечания
позволяют дать следующее определение.
029. Определение. Пусть (й, <F) — измеримое пространство и
(oFt)teR+—возрастающее семейство о-подалгебр ¥. Положительная
случайная величина Г, определенная на Q, называется моментом
остановки1) [относительно семейства (<F*)], если Т удовлетворяет
следующему условию:
событие {T^t} принадлежит ¥х для каждого *£R+. (29.1)
30. Замечания, (а) Каждая случайная величина, равная
положительной константе, является моментом остановки.
(б) Пусть Т — положительная случайная величина, для которой
{Т <t}€¥t для каждого /6R + . (30.1)
Очевидно, {Т ^t}£¥t+t для каждого /£R + и каждого е>0.
Другими словами, Т является моментом остановки относительно
семейства а-алгебр (J^+)/6r+. В частности, если семейство (¥t)
непрерывно справа, то из соотношения (30.1) вытекает, что Т
является моментом остановки относительно семейства (¥t).
(в) Момент остановки часто может принимать значение -f-oo.
031. Определение. Пусть Т—момент остановки относительно
семейства о-алгебр (¥t)teR+- Обозначим через ¥Т систему событий
Л£оГа>, такую, что
A(]{T^t}€¥t для каждого /€R+. (31.1)
Будем называть ¥7 о-алгеброй событий, предшествующих моменту
остановки Т.
Нетрудно проверить, что эти события образуют а-алгебру. При
этом, если момент остановки является константой t, получаем
а-алгебру ¥t.
Свойства моментов остановки
Все моменты остановки, фигурирующие в следующих утвержде*
ниях, рассматриваются относительно одного и того же семейства
а-алгебр (<F,)/6r + .
Т32. Теорема. Пусть S и Т—моменты остановки. Тогда
случайные величины SAT и SVT являются моментами остановки*).
Доказательство очевидно.
1) Или марковским моментом.
2) Можно также показать, что 5 + Т является моментом остановки, но этот
результат нам не понадобится.

§ 3. Измеримые процессы. Моменты остановки
91
ТЗЗ. Теорема. Пусть Т—момент остановки. Тогда случайная
величина Т ¥т -измерима.
Доказательство очевидно.
Т34. Теорема. Пусть Т — момент остановки и S есть ¥ т-изме-
римая случайная величина, такая, что S^T.
Тогда S является моментом остановки.
Доказательство. Проверим соотношение {S^.t}£¥t для
каждого /£R + . Так как событие {S<T} принадлежит <Fr, то
{S</}n{T< /}€<F<. Теперь достаточно только заметить, что это
пересечение совпадает с событием {S^/}.
Имеет место следующее обобщение формулы (31.1).
Т35. Теорема. Пусть S и Т—два момента остановки и А
является элементом ¥s- Тогда
A(]{S^T}€¥T. (35.1)
Доказательство. Для того чтобы проверить, что
i4n{S<7,}n{7'</}€#'t для каждого *6R+,
достаточно левую ча%сть представить в виде
[А П {S< /}] Г) {Т < /} П {SAt < ТЛ *}.
Каждое из этих трех событий принадлежит ¥х. Действительно,
первое принадлежит ¥t, поскольку A£¥s; второе принадлежит
¥t, так как Т является моментом остановки. Наконец, третье
принадлежит ¥t в силу того, что функции Sf\t и ТAt
^-измеримы.
Т36. Теорема. Пусть S и Т—два момента остановки, такие,
что 5<Г. Тогда ¥sa¥T.
Доказательство. Пусть А—элемент ¥s. Тогда в силу Т35
A = A(){S^T}e¥T.
Т37. Теорема. Пусть S и Т—два момента остановки. Тогда
события {S < Г}, {S=T} и {S > Т) принадлежат а-алгебрам ¥s
и ¥Т.
Доказательство. В силу Т35 событие {S^.T}£¥T и,
следовательно, его дополнение {S>T}£¥T- Обозначим R момент
остановки SAT. Тогда момент R <F#-измерим (Т34) и, стало быть,
<Гг-измерим (Т36). Отсюда следует, что события {R = T} = {S = T},
{R < T} = {S < Т) принадлежат ¥т- Очевидно, эти события
принадлежат ¥s, так как S и Т входят в них симметричным образом.
Пусть (Тп)пен—последовательность моментов остановки.
Непосредственно проверяется,, что sup Тп также является моментом оста-
а

92
Гл. IV. Случайные процессы
новки. Отсюда вытекает, в частности, что предел возрастающей
последовательности моментов остановки является моментом
остановки. Этот результат можно дополнить следующей теоремой.
Т38. Теорема. Предположим, что семейство (tFt) непрерывно
справа. Пусть (Тп) — последовательность моментов остановки.
Тогда случайные величины lim inf Тп, lim sup Тп являются моментами
остановки. Предположим дополнительно, что последовательность Тп
убывает, и обозначим ее предел через Т. Тогда ff'T = f]SrTn.
п
Доказательство. Докажем только второе утверждение. В силу
Т36 о-алгебра <Frcn<^Vn. Обратно, пусть Л€П<^гп. Тогда
п п
А П {Тп <t}^Sri для каждого / g R + и, следовательно, U [А П
п
[){Тп < /}] = А П {Т < t}^3rt для каждого t. Отсюда вытекает, что
А Л {T^t\€&rt+ = <F^ для каждого t. Теорема доказана.
Часто будет использоваться следующее обозначение.
039. Определение. Пусть /^0 « п—положительное целое число.
Обозначим через t{n) число ^ (k£ N), если
При этом условимся считать +°°(л) =+°°- Пусть # = #(со)
положительная случайная величина. Через И(п) будем обозначать
случайную величину о)-ллл^(Я (со))(л).
Очевидно, что / < twt и lim t(n) = /.
Пусть Г —момент остановки. Тогда случайная величина Ткп)
также является моментом остановки.
Простейшие примеры моментов остановки
40, Пусть (<Ff) — возрастающее, непрерывное справа семейство
оподалгебр ¥ и (Xt)—случайный процесс с действительными
значениями, согласованный с семейством (<Fj) и имеющий непрерывные
справа траектории. Формулируемые ниже результаты верны также
для процессов со значениями в ЛКС-пространстве.
(а) Пусть В—открытое подмножество R. Положим
D fc!)*=/ inf{s: X,(со)€#}, если множество {•} не пусто,
в \ +оо в противном случае.
В силу того, что траектории процесса непрерывны справа,
{ш: Рд(со)<*}= U {со; Xr(co)€fi}#
г рационально

§ 3. Измеримые процессы. Моменты остановки
93
Следовательно, событие, стоящее в левой части равенства,
принадлежит <F,. Отсюда вытекает в силу замечания 30 (б), что DB —
момент остановки. Этот момент остановки называется моментом
первого попадания (или моментом первого вхождения) в
множество В.
(б) Предположим дополнительно, что траектории процесса (Xt)
не имеют осциллирующих разрывов. Определим по индукции систему
функций (Xs_ будет означать левый предел, а е—число > 0):
Т0 (со) = 0,
Т ( inf{s: 5>Г„(о>), |X,(co)-X^(<o)|>e},
л+| \ +°°» если написанное выше множество пусто.
Тогда эти функции являются моментами остановки. Покажем это
только для случая /i= 1. Общий случай доказывается по индукции
очевидным образом. Пусть / > 0. Зададим рациональное число
h < /, число е' > е и целое число m > 0. Рассмотрим множество
Dhm пар рациональных чисел (r, s), таких, что 0<r<s</i и
s — /• < —. Обозначим Ah%#%m событие
{со: \XS(со) — X,.(со)| > е' для некоторой пары (rt s)£Dhtm\.
Очевидно, Ан,г',т принадлежит §\. Из соотношения Т,(со)</
вытекает существование Л, е' и /л0, таких, что cog Ал,e\m Для
каждого m > т0 [рациональные числа г и s должны лежать по разные
стороны от Г, (со)]. Обратно, можно легко проверить, что из
существования Л, е' и т0 с этими свойствами вытекает соотношение
7\ (со) < /. Таким образом, множество \Т1 < /} ^-измеримо и,
следовательно, Тх является моментом остановки.
Отметим, что подобные доказательства нам придется проводить
довольно часто. Они в принципе не трудны, но довольно
утомительны. К счастью, существует общая теорема, которая позволит
избежать их (см. п. 48).
Измеримые процессы
041. Определение. Пусть (Q, <F, Р)—вероятностное
пространство и (oFf)/€R+— возрастающее семейство о-подалгебр ¥. Обозначим
(Xt)iuR + случайный процесс, определенный на этом пространстве,
со значениями в измеримом пространстве (£, <§). Будем говорить,
что (Xt) прогрессивно измерим относительно семейства (¥t)t если
для каждого /6R+ отображение (/, со)-ллл*Х* (со) из [0, /]xQ
в (£, <§) измеримо относительно о-алгебры $([0, /])х!Г*.
Процесс (Xt) называется измеримым (без указания семейства
а-алгебр), если отображение (/, со) ллл**Х((со) измеримо относи-

94
Гл. IV. Случайные процессы
тельно произведения SJ(R+)x<IF. Это определение в
действительности можно получить из предыдущего, полагая, что все ¥t
совпадают с ¥.
Процесс, прогрессивно измеримый относительно семейства (<F/),
очевидно, является согласованным с семейством (¥t) и
измеримым.
Следующая теоремах) показывает, что в некотором смысле
справедливо и обратное утверждение. Оно будет установлено только
для процессов с действительными значениями, хотя его можно
легко распространить на процессы со значениями в ЛКС-прост-
ранстве.
Т42. Теорема. Пусть (Xt) —измеримый процесс с действительными
значениями, согласованный с семейством о-алгебр (¥t)t<LR+. Тогда
существует модификация процесса (Xt), прогрессивно измеримая
относительно семейства (¥t).
Доказательство. Обозначим М пространство классов случайных
величин, определенных на (Q, <F, Р). Рассмотрим на М
псевдометрику я, определяющую сходимость по вероятности (II, п. 10).
Любой случайный процесс (Yt) определяет отображение R+ в М,
которое каждому /£R+ ставит в соответствие класс Yt,
соответствующий величине Yt. Рассмотрим такую систему процессов (Yt),
что
(1) отображение / -ллл- Yt принимает свои значения в сепара-
бельном подпространстве пространства М\
(2) прообраз каждой открытой сферы в М при этом
отображении является борелевским подмножеством в R + ;
(3) это отображение является равномерным пределом
последовательности элементарных измеримых функций со значениями в М.
Эти свойства не независимы. Из (3) вытекает (1) и (2), а из
(1) и (2) вытекает (3) в силу 1.17.
Каждый процесс (Yt) можно рассматривать как функцию на
R+ хЙ, а именно (/, со) -ллл~ Yt (со). Систему процессов,
удовлетворяющую условиям (1) — (3), можно считать векторным
пространством (в силу (3)), замкнутым относительно поточечной сходимости
последовательностей (в силу (1) и (2)). С другой стороны, оно
содержит все процессы вида
М*>) = /(/)>>),
где / — характеристическая функция интервала в R+, a
Y—ограниченная случайная величина. Следовательно, элементами этого
пространства являются все ограниченные измеримые процессы
(I.T20), а предельный переход показывает, что все измеримые
х) Заимствована из статьи Чжуна и Дуба [1], в которой содержатся также
факты, связанные с сепарабельностью модификации. Понятие прогрессивной
измеримости появилось впервые в этой работе»

§ 3. Измеримые процессы. Моменты остановки
95
процессы, обладающие свойствами (1), (2), (3), также принадлежат
этому векторному пространству.
Рассмотрим теперь измеримый процесс (Xt), согласованный
с семейством (<Ff). Для каждого п £ N определим процесс (X'J),
удовлетворяющий следующим условиям.
(1) Функция / -ллл~ Х" является элементарной и измеримой.
Другими словами, существует разбиение R+ на последовательность
борелевских множеств А\ и последовательность случайных величин
Щ (*€N), таких, что Х? = Щ для t£Al
(2) я [Xf — XI] <-2тгтт Для каждого t.
Модифицируем случайные величины Щ следующим образом.
Пусть sg—нижняя хрань множества Л£. Если sg принадлежит Л£,
положим
Если sg не принадлежит Л£, то обозначим через Gg случайную
величину, измеримую относительно <Fsn+ и удовлетворяющую
неравенству
n[Gt-Ht]K&+T- (42.1)
То, что такие случайные величины действительно существуют,
вытекает из следующих соображений. Без ограничения общности
можно считать, что процесс Xt принимает значения в отрезке
[—1, 1]. Тогда сходимость по вероятности эквивалентна
сходимости в L1 и вместо сходимости в псевдометрике л можно
рассматривать сходимость в /А Выберем последовательность (tp) с Л£,
такую, что tp<s% и \\Xt —-Щ\\ ,<2"(rt+1). Тогда в качестве Gg
можно взять один из вариантов слабого предела
последовательности (Х{ ), поскольку норма Ц-Ц, слабо полунепрерывна снизу
в топологии пространства /А
Легко проверить, что процесс (Ynt)t определяемый соотношением
K?-Gg для t£Ankt
прогрессивно измерим относительно семейства (<F^). С другой
стороны, отсюда следует, что
Положим теперь
(limK'J(co) для каждой точки (/, со), где этот
предел существует,
О в противном случае.

96
Гл. IV. Случайные процессы
Процесс (Yt) прогрессивно измерим относительно семейства (<Г*) и,
следовательно, в силу 11.10 является модификацией процесса (Xt).
В гл. VIII, посвященной теории мартингалов, будут подытожены
результаты, связанные с изучением модификаций случайных
процессов. Здесь же ограничимся пока построением примера
прогрессивно измеримого процесса.
Т43. Теорема. Пусть Е—Л КС-пространство и (Xt)—случайный
процесс со значениями в Е, согласованный с семейством о-алгебр
(!Ft) и имеющий непрерывные справа траектории. Тогда процесс
(Xt) прогрессивно измерим относительно семейства (<Ff). Это же
утверждение справедливо для процесса, имеющего траектории,
непрерывные слева.
Доказательство. Пусть />0 и п—положительное целое число.
Для каждого целого k < 2п и каждого
положим
Х?=ХЛ_±1/ и Х? = Х,.
Очевидно, отображение (s, со) -ллл- X? (со) пространства [0, /] х £2
в Е измеримо, где пространство [0, t] х й наделено сг-алгеброй
33 {[0, /]) х W%. Это же утверждение справедливо для отображения
(s, со)-ллл^Х^(со), являющегося пределом при я—► оо
последовательности отображений (s, со)-лл^Х?(со). Случай, когда траектории
непрерывны слева, рассматривается аналогично. Заметим, что эта
теорема остается справедливой, если Е является произвольным
хаусдорфовым пространством, наделенным борелевской а-алгеб-
рой (1.15).
Следующее понятие будет далее широко использоваться; при
этом в качестве Н будет браться момент остановки.
044. Определение. Пусть (X()/€R +— измеримый случайный про-
цесс, определенный на (Й, <F, Р), со значениями в пространстве
(Е, <§)\ Н—случайная величина, определенная на О, со значениями
в R+. Будем обозначать Хн случайную величину со-л/^Хя(й))(со).
Эта функция действительно является случайной величиной,
поскольку она представляет собой суперпозицию двух измеримых
отображений оо^\лл^(#(со), со) и (/, coj-w^ Xt (со). В дальнейшем
часто будет встречаться ситуация, когда множество значений
параметра t представляет собой R+|j (оо) и Н может принимать
значение -)-00- Следующая теорема остается справедливой и без
предположения конечности момента остановки.
Т45. Теорема. Пусть процесс (Xt)—прогрессивно измерим
относительно семейства (<1F\) и Т— (конечный) момент остановки. Тогда
случайная величина ХТ ¥т-измерима.

§ 3. Измеримые процессы. Моменты остановки
97
Доказательство. Требуется показать, что для каждого
измеримого подмножества А в пространстве состояний Е и каждого
/6R + справедливо соотношение
{Хг€Л}П{7,</}€^.
Положим S~T /\t. Тогда это множество можно представить в виде
[{Xs € A} n {S < /}] U [{Xt € А} п {Г = /}].
Таким образом, достаточно показать, что случайная величина Х5
^-измерима. Но это сразу следует из того, что Xs является
суперпозицией измеримых отображений:
co-ww(S(co), со) из (Q, Ft) в ([0, /] х Q, Ж([0, /]) X <F<) и
(s, со) -ллл- X, (со) из ([0, t] ХЙ, Ж ([0, t]) xft) в (£, <£).
Измеримость моментов первого попадания
46. Воспользуемся сейчас тем обстоятельством, что каждый
случайный процесс можно рассматривать как функцию на R+ х Q
(это обстоятельство будет систематически использоваться в гл. VIII).
Пусть функция X со-значениями в (£, <$) определена на R+xQ.
Обозначим Xt отображение со -ллл- X (/, со) и будем отождествлять
функцию X с семейством отображений (Xt)/6R + . Это позволяет
говорить, например, о процессе X, если семейство (Xt) является
случайным процессом. Будем называть множество А в R+ х й
прогрессивно измеримым относительно семейства (<Ff), если его
характеристическая функция отождествлена с некоторым процессом,
прогрессивно измеримым относительно (<F*). Легко проверяется,
что прогрессивно измеримые процессы можно отождествлять со
случайными величинами, определенными на произведении R + х Q,
наделенном а-алгеброй прогрессивно измеримых множеств.
047. Определение. Пусть А—подмножество в (R+ X Q).
Обозначим DA («дебют» множества А) функцию, определенную на Q
равенствами
D I inf{/: (/, со)€Л},
А^' \ + оо, если {t: (t, со)6*Л} пусто1).
Идея использовать теорему Шоке для доказательства
измеримости функций такого типа принадлежит Ханту. Приводимая ниже
теорема была установлена Блекуэллом и Фридманом.
—>Т48. Теорема. Предположим, что семейство (<F^)/6r+ непрерывно
справа и каждая в-алгебра Wt полна относительно меры Р. Пусть
А —прогрессивно измеримое множество в R+ хй. Тогда функция
DA является моментом остановки.
1) Каждый момент остановки Т можно рассматривать как «дебют»
прогрессивно измеримого множества {(/, со): *^Г(со)}.

98
Гл. IV. Случайные процессы
Доказательство. Поскольку семейство (¥t) непрерывно справа,
то достаточно проверить, что {DA </}€<F< для каждого /£R + .
Воспользовавшись полнотой а-алгебры ¥х относительно меры Р,
покажем, что множество {DA < /} является ^-аналитическим
(см. II 1.24). Это множество можно представить как проекцию на
Q множества Лп([0, /)хй), которое принадлежит а-алгебре
Й?([0, /]) х ¥и в силу прогрессивной измеримости множества А.
Пусть X—покрытие, состоящее из компактных подмножеств [0, t].
В силу III.Т12 каждый элемент а-алгебры 5?([0, t])x¥t является
аналитическим множеством относительно покрытия ЭС X ¥v Для
завершения доказательства нужно теперь лишь воспользоваться
III.T9.
Замечание. Пусть £Г—а-алгебра всех прогрессивно измеримых
множеств R+ х Q. Доказанная теорема остается справедливой,
если А является лишь ^-аналитическим множеством.
49. Предположим, что семейство (¥t) удовлетворяет
предположениям предыдущей теоремы. Обозначим (Xt) случайный процесс
со значениями в (£, (£), прогрессивно измеримый относительно
семейства (<Ft).
(а) Пусть В—элемент ^. Положим
DB(co) = inf{*: Xt((o)£B\.
Эта функция называется моментом первого попадания (процесса
(Xf)) в множество В. Она совпадает с дебютом множества
{(/, со): Х,(ю)€В}.
Это множество прогрессивно измеримо. Поэтому DB является
моментом остановки. Последнее утверждение остается справедливым
в силу II.T11 и сделанного выше замечания, если В
предполагается лишь ^-аналитическим множеством.
(б) Пусть /—действительная измеримая функция,
определенная на Е. Процесс ((/оХ0, /oXt))/eR+ со значениями в RxR,
очевидно, прогрессивно измерим относительно семейства (<¥t).
Функция от ш € Q
inl{t: \foX0((o)-foXt((o)\>e) (e>0)
является моментом остановки. Ее естественно назвать «первым
моментом, когда / отличается от своего начального значения
больше, чем на е».
(в) Вернемся к ситуации, описанной в п. 40 (б). Методом,
изложенным в п. 48, покажем, что функции Тп являются моментами
•остановки. В силу Т43 процессы (Xs) и (XSJ) прогрессивно
измеримы. Отсюда следует, что процесс (Xs—Xs_) также прогрессивно
измерим. Далее, будем рассуждать по индукции. По
предположению индукции Тп является моментом остановки. Следовательно,

§ 3. Измеримые процессы. Моменты остановки
99
множество
A = {(t9 со): />7\,(<о)}
прогрессивно измеримо. Значит, прогрессивно измеримо множество
Л' = {(Л со): |Xt(©)-Xf_((D)|>8}.
Теперь осталось только заметить, что Тп+1 является дебютом
множества А(]А'.
Системы и цепочки моментов остановки
Все моменты остановки, рассматриваемые ниже, связаны с
некоторым непрерывным справа семейством а-алгебр ($Ft).
Предполагается также конечность моментов остановки. Это ограничение
можно однако снять, рассматривая процессы на множестве
R + U { + °о}.
050. Определение. Пусть I—вполне упорядоченное множество.
Системой моментов остановки назовем такое семейство моментов
остановки (7^)* е/. что Tt^Tj для каждой пары (/, /) элементов
/, /</.
Пусть (Xt)—случайный процесс, прогрессивно измеримый
относительно семейства (<Ff). Случайный процесс (XTi)i 6 / будем
называть «преобразованием процесса Xt с помощью системы моментов
остановки 71,».
51. Примеры. Пусть Т — конечный момент остановки. Исходя из
Т можно получить две интересные системы моментов остановки.
(1) Множество / совпадает с R + , а момент остановки Т{ равен
T + i. Преобразование процесса заключается «в переносе начала
отсчета времени на величину Г».
(2) Множество / совпадает с R + , а момент остановки Т{ равен
Т Д i- Преобразование процесса состоит «в остановке процесса
(Xt) в момент Г». Отсюда пошло название «момент остановки».
Другие важные примеры систем моментов остановки, так
называемые «замены времени», будут изучаться в гл. VII.
Установим теперь одну теорему, сообщенную нам К. Л. Чжу-
ном, касающуюся важных свойств преобразованных процессов.
->Т52. Теорема. Пусть (Xt)—процесс со значениями в измеримом
пространстве (£, <£), прогрессивно измеримый относительно
семейства (<Ft), и Т—момент остановки. Тогда отображение
(s, со) ^w^ Xs A Т (со) (со) (62.1)
пространства (R+ х Й, SB(R+) х <Fr) в (£, <£) измеримо.
Доказательство. Сделаем предварительно одно замечание. Пусть
г—элемент R + . Тогда"
А П (R+ X {со; Т (со) ^ /*}) $ Si (R+) х Fr (62.2)

100
Гл. IV. Случайные процессы
для каждого множества Л g,@(R+) X <ГГ. Очевидно, что система
множеств Л, обладающих этим свойством, является а-алгеброй.
Поэтому соотношение (52.2) достаточно проверить лишь для
множеств вида / х J (/(E53(R+)> /б^г)» что сразу вытекает из
определения а-алгебры <Fr.
Теорема будет установлена, если показать, что
{(s, со): X,Ar(©)€t/}€*(R+)x*rr
для каждого множества U££. Для этого, очевидно, достаточно
доказать, что каждое из множеств
{(s, со): s>T(co), Хг(©)€*/}.
{(s, со): s<7(co), *,(*>)€ ^Ь
является элементом ,@(R + )XaFr. Первое множество, действительно,
принадлежит ,@(R+)x<Ff, поскольку три отображения (s, со) -ллл- s,
(s, со) -ллл- Т (со) и (s, со) -^\лл- Хт (со) измеримы относительно
а-алгебры S(R+)x<Fr. Второе множество представим в виде
U {(s, со): s<r, 7(со)>г, Х,(со)€^}.
г рационально
Но в силу прогрессивной измеримости процесса (Xt) каждое из
множеств, входящих в это объединение, является множеством типа
(52.2) с A = {(s, со): s<r,Xf((o)?(/)6S(R+)xl'r Тем самым
утверждение теоремы вытекает из (52.2). Теорема доказана.
Рассмотрим систему моментов остановки (Tt)teR+i
удовлетворяющую условию
отображения t -ч*~ Tt (со) возрастают и непрерывны справа. (52.3)
Обозначим (<St)iuR+ «семейство преобразованных а-алгебр»,
определяемых соотношением <St^§rTr В силу Т36 и Т38 это
возрастающее семейство непрерывно справа. Положим, наконец, Yt = Xrf
Тогда имеет место следующее утверждение.
Т53. Теорема. Процесс (Yt) прогрессивно измерим относительно
семейства ($t).
Доказательство. Процесс (Tt) в силу ТЗЗ согласован с
семейством ($t). По предположению его траектории непрерывны справа.
Таким образом, в силу Т43 он прогрессивно измерим относительно
семейства (Sf). Пусть t ^ 0. Поскольку отображение (s, со) -w* Ts (со)
измеримо относительно а-алгебры Й?([0, Л) х St, то отображение
(s, ю)-ллл~(Г,(ю), со) из ([0, *]xQ, #([0, /] X Ъг) в (R+xQ,
^(R+) X $t) измеримо. Так как в соответствии с предыдущей
теоремой отображение (и, со) -ллл*- XuATt(a>) из (R+ х Q, 53(R+)xS,)
в (£, <£) измеримо, то суперпозиция отображений (s, со) -ллл~
-а^Хг<лГ(Н = ^((о) измерима относительно ^([0, t]) х #*.
Теорема доказана.
Пусть Т — момент остановки и $t = <IFr+f.

§ 3. Измеримые процессы. Моменты остановки
101
-> Т54. Теорема. Положительная случайная величина S является
моментом остановки относительно семейства (S,) тогда и только
тогда у когда T + S является моментом остановки относительно
семейства (<Ff).
Доказательство. Предположим, что T + S является моментом
остановки относительно семейства (<Ff). Тогда в силу Т37
{S<t} = {T + S<T+t}$8rT+t = Vf
Обратно, предположим, что S является моментом остановки
относительно семейства ($t). Тогда
{T + S<t}= U {T<a}f){S<b}.
а + Ь < t
а и Ь рациональны и
положительны
Таким образом, достаточно показать, что множество
{Т<а} n {S<b\ = {T<a} П [{S<b} П {T + b<t}]
принадлежит <Ft. Но {Т <а} €¥а с $> {S < b} €Sb = <Fr+b и,
следовательно, {S<b} Г) {T+&</}€<F*.
055. Определение. Пусть s и t—два числа, такие, что 0^s<
</^ + оо. Цепочкой моментов остановки на интервале [syt]
назовем последовательность моментов остановки (Тп)пен> удовлетворяю-
щую условиям:
(1) T0 = s и Tn^Tn+1^t для каждого n£N;
(2) вероятность Р (Тп < /) стремится к О при п—+оо.
Т56. Теорема. Пусть (Sn) и (Тп) — две цепочки моментов остановки
на интервале [s, t]. Для каждого cogQ обозначим Rp((o) (p€N)
(р + \)-й элемент последовательности, полученной расстановкой в
порядке возрастания величин Sn (со), Тп (со) (п g N). Тогда случайные величины
Rp образуют цепочку моментов остановки, которую будем называть
суперпозицией цепочек ,(Sn) и (Тп).
Доказательство. Покажем по индукции, что каждое Rp является
моментом остановки, или, другими словами, что событие {Rp^a}
принадлежит ¥а для каждого a€R + . Очевидно, что это
справедливо для R0 = s. Событие {Rp^a\ является объединением событий
{RP-,<a}(){Rp^<Tm^a} (mgN)
и
{RP-i<a}n{RP.1<Sn^a} (ngN).
Эти события в силу Т37 и предположения индукции принадлежат <Fa.
Теперь очевидно, что последовательность (Rp) является цепочкой
моментов остановки,

102
Гл. IV. Случайные процессы
Замечание. Этот результат также легко можно вывести из Т48.
Действительно, пусть А — прогрессивно измеримое подмножество
из R+xQ, являющееся объединением графиков моментов остановки
Sn и Тп. Случайная величина Rp_x является моментом остановки
по предположению индукции. Обозначим через В прогрессивно
измеримое множество {(/, со): ^^(со)}. Тогда Rp является
дебютом множества А[\В и, следовательно, моментом остановки.

ЧАСТЬ 2
ТЕОРИЯ МАРТИНГАЛОВ
Глава V
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И ДИСКРЕТНЫЙ СЛУЧАЙ
Теория мартингалов—одна из основных частей теории
вероятностей. Большинство результатов, содержащихся в этой и
следующей главах, принадлежит Дубу. Общие теоремы марковских
процессов могут быть легко получены из теории мартингалов. Эта
теория находит также важные применения в теории потенциала.
§ /. Определения и общие свойства
Определение мартингала будет сформулировано с максимальной
общностью. Поэтому в этом определении будем считать Т
произвольным множеством, частично упорядоченным отношением ^. Но
вскоре нам придется вернуться к наиболее интересному случаю,
когда Т является интервалом действительной прямой.
Определение возрастающего семейства а-алгебр и согласованного
с этим семейством процесса (IV. 026 и 027) без труда переносится
на случай частично упорядоченных множеств.
01. Определение. Пусть (Q, <F, Р)—вероятностное пространство,
(¥t)t€T—возрастающее семейство в-подалгебр ¥ и
(Xt)tuj—действительнозначный случайный процессу согласованный с семейством (¥t).
Процесс (Xt) называется мартингалом (соответственно
супермартингалом, субмартингалом) относительно семейства (¥t)> если
(1) каждая случайная величина Xt интегрируема,
(2) для каждой пары элементов s и t из Т, s ^ t, справедливо
соотношение
E[Xt\¥s]=Xs п. н. (соответственно ^Xst ^Xs). (1.1)
2. Замечания, (а) Процессы, которые здесь названы
субмартингалами (соответственно супермартингалами), в книге Дуба [1]
называются полумартингалами (соответственно нижними
полумартингалами). Теперь эта терминология устарела.
(б) Пусть (Xt)~супермартингал. Тогда процесс
(—Х*)—субмартингал, и наоборот, Таким образом, теоремы будут доказываться

104
/\л. V. Общая теория и дискретный случай
лишь для какого-то одного процесса, как правило, для
супермартингала.
(в) Предположим, что случайные величины (Xt) положительны.
Тогда соотношение (1.1) имеет смысл и для неинтегрируемых Xt.
В этом случае будем говорить об обобщенном мартингале
(соответственно супермартингале, субмартингале).
(г) В том случае, когда не указывается семейство а-алгебр,
процесс Xt будем называть мартингалом (супермартингалом), если он
является мартингалом (супермартингалом) относительно семейства
¥х—оГ (Xs, s^t). Поэтому можно утверждать, что процесс,
эквивалентный мартингалу (супермартингалу), сам является мартингалом
(супермартингалом).
(д) Определение 1 можно расширить следующим образом.
Предположим, что для каждого /£Т задано измеримое пространство
(Qt, <Ff), а для каждой пары (s, t) элементов Т (s<t) задано
измеримое отображение nst множества Qt в Qs, такое, что nrsonsi = nrt
при г <s <t. Тогда меры \it (каждая из которых определена на
соответствующем пространстве) образуют мартингал, если \is = nst (iit)
при s</. Супермартингалы и субмартингалы определяются
аналогично. Определение 1 получается отсюда, если считать, что все Qt
совпадают с Q, все отображения nsi совпадают с тождественным
отображением Q на себя1), и что (Lit = XtP.
К сожалению, многие результаты теории мартингалов,
относящиеся к поведению траекторий процесса, на этом языке невозможно
сформулировать.
Примеры мартингалов
3. Ограничимся пока только двумя примерами. В дальнейшем
будут приведены и другие примеры.
(а) Пусть (Q, <F, Р)—вероятностное пространство и (оГ*)/€т —
возрастающее семейство а-подалгебр ¥. Для каждой интегрируемой
случайной величины Y положим Yt = E[Y\¥t]. Тогда процесс (Yt)
является мартингалом (относительно семейства (<Ff)).
(б) Пусть (Q, <F, Р) — вероятностное пространство. Обозначим Т
систему всех конечных а-подалгебр <F, упорядоченную по
включению. Пусть Q—положительная аддитивная функция множества,
определенная на ¥. Каждый элемент / из Т порождается (как
а-алгебра) некоторым разбиением пространства Q на конечное
число измеримых множеств А1$ Л2, ..., Ля. Обозначим Xt функцию
1) Более точно, с тождественным отображением (й, $\) на (й, ff s).

§ 1. Определения и общие свойства
105
доопределив отношение вида 0/0 произвольным образом. Очевидно,
что эта функция ^-измерима. Процесс (Xf)/€T является
супермартингалом. Он будет мартингалом, если Q(Ai) = 0 для каждого
множества А{, такого, что Р(Л/) = 0. Этот процесс будет
использоваться в гл. VIII.
Теоремы аддитивности и выпуклости
Т4. Теорема. Предположим, что (Xt) и (Yt)—dea мартингала
(соответственно супер мартингала) относительно одного и того же
семейства (!Ft) а-подалгебр <F, определенных на (Q, <F, Р). Пусть
а и b—две константы (соответственно две неотрицательные
константы). Тогда процесс (aXt + bYt)— мартингал (соответственно
супермартингал), а процесс (Xt A^t)—супермартингал.
Доказательство очевидно.
Т5. Теорема. Пусть (Xt)—супермартингал относительно
семейства в-алгебр (¥t). Тогда, для того чтобы (Xt) был мартингалом,
необходимо и достаточно, чтобы функция t -лл/w Е [Xt] являлась
константой.
Доказательство. Пусть s, t — элементы Т, s ^ t. Тогда Е [Xt \ £FS] ^
^Xs. п. н. Левая и правая части этого неравенства совпадают
п. н. тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же
математическое ожидание.
—>Т6. Теорема. Пусть (Xt) — мартингал (соответственно супермар-
тингал) относительно семейства а-алгебр (<Ff) и f—вогнутая
(соответственно вогнутая возрастающая) функция, определенная на R,
такая, что случайные величины foXt интегрируемы. Тогда процесс
(foXt)—супермартингал относительно семейства (¥t).
Доказательство. Пусть s и /—элементы Т, s^/. Положим
Ya = foXu, и£Т. Тогда в обоих случаях
Ys = foXs^foE[Xt\Fs] п. н.
Используя неравенство Йенсена (11.47, свойство 4), имеем
foE [Xt | W А > Е [foXt | FJ = Е [Yt | ?,}.
Теорема доказана.
Часто используется такое следствие этого факта. Пусть (Xt) —
мартингал и h^l, такие, что случайные величины \Xt\x
интегрируемы. Тогда процесс (|Xt|x) является субмартингалом.
Следующие лемма и теорема обобщают полученные выше
результаты. Они заимствованы из работы Дубинса [1], где с их
помощью получено несколько интересных неравенств. В последующем
тексте книги эти теоремы использоваться не будут.

106
Гл. V. Общая теория и дискретный случай
Т7. Лемма (обобщенное неравенство Йенсена). Пусть (Q, <F, Р) —
вероятностное пространство, X—интегрируемая случайная величина
на этом пространстве и % — о-подалгебра ¥. Обозначим Y вариант
условного математического ожидания Е[Х|#].
Пусть!—измеримое отображение fixR (с обычной о-алгеброй
произведения) в R, удовлетворяющее условиям:
(а) отображение (о-ллл-*/(со, /) ^-измеримо для каждого /gR;
(б) отображение /-ллл—/(со, /) выпукло для каждого cogQ.
Предположим, что случайная величина со-ллл^/(со, Х(со)) —
интегрируема. Тогда имеет место неравенство
£[/(•> ВД)|»]>/(«. УП) п.н. (7.1)
Не останавливаясь на деталях доказательства этой леммы, отметим
лишь, что сначала нужно установить справедливость (7.1), когда
X—элементарная случайная величина,' а затем совершить
предельный переход (который в данном случае следует осуществлять более
осторожно, чем обычно).
Т8. Теорема. Пусть qn, п^ 1 — измеримые отображения R" б R
и выполнены следующие условия:
(1) для каждого /г> 1 и каждой системы величин хх, ..., хп^1
функция xn-^Ar^qn(xli ...,*„_!, хп) является вогнутой и
возрастающей]
\^) QnK^V •••» Xn)^4n + l\Xl> •••» ^я-l» -*7i> %п)*
Пусть {Хп)п>1—супермартингал относительно семейства о-алгебр
(Srn)n>i* Предположим, что случайные величины
интегрируемы. Тогда (Уп) является супермартингалом относительно
семейства (<F„).
Доказательство. Неравенство Е [Yn+11 ¥п] ^ Yn п. н.
доказывается тем же методом, что и теорема в, используя вместо
неравенства Йенсена лемму 7.
§ 2. Основные неравенства
Неравенства, установленные в этом параграфе, будут
использованы в дальнейшем при изложении счетного и непрерывного
случаев. Другие интересные неравенства можно найти в статье
Дубинса [1].
Теорема Дуба о «преобразовании свободного выбора»
Терминология и обозначения будут те же, что и в гл. IV,
п. 31, 43 и 49,

§ 2. Основные неравенства
107
—>Т9. Теорема. П ред положим, что (Xn)n=l2t .. .t*—супермартингал
(соответственно мартингал) относительно семейства о-алгебр
(¥n)n=i, • • ■ *• Пусть (Tt)i=lf ..., р —система моментов остановки
относительно тех же о-алгебр. Тогда процесс (X t^i^i, ...
Р—-супермартингал (соответственно мартингал) относительно семейства
о-алгебр (eFr,)/=i, ...,р.
Доказательство. Неравенство
E[|Xr|]-S S |X/|dP<2E[|X/|]<oo
показывает, что случайная величина ХТ интегрируема для каждого
момента остановки Т. Докажем теперь утверждение теоремы,
касающееся супермартингалов. Случай, когда (Хп)—мартингал,
вытекает из рассмотрения двух супермартингалов (Хп) и (—Хп). С
другой стороны, в силу определения супермартингала достаточно
рассмотреть лишь случай двух моментов времени. Поэтому все
рассмотрения можно «свести к двум моментам остановки S и Т, S^7\
и установить супермартингальное неравенство
\xsdP^\xTdP (A£FS). (9.1)
А А
Предположим, что это неравенство установлено для случая,
когда разность Т — S не превосходит единицы, и покажем, что
общий случай сводится к этому. Действительно, пусть Rn =
= ГЛ(5 + я), л=1, ..., k. Эти случайные величины являются
моментами остановки (IV.T32) и, следовательно, A£¥ru для
каждого п (IV. Т36). В силу того, что Rn+1 — /?„< 1 для каждого
п, имеем
J Xs'dP > J" XRdP > ... > J X«xdP = S XrdP^
A A A A
что и доказывает неравенство (9.1).
Рассмотрим теперь случай, когда Т—S не превосходит
единицы. Тогда
UXs-*r)dP= J) $ (Xs-XT)dP =
* п=* An{s=n}n{T>s}
= 2 $ (xn-xn+1)dP.
"=1 An{s=n\n {T>n\
По определению a-алгебры ¥s событие Лп{5 = п}
принадлежит ¥п. Событие {Т>п\, являясь дополнением события {Т^п},
также принадлежит ¥п по определению момента остановки.
Поэтому в силу супермартингального неравенства интеграл от
величины (Хп—Хп+1) по множествам из a-алгебры ¥ п является
неотрицательной величиной. Теорема доказана.

108
Гл. V. Общая теория и дискретный случай
Т10. Следствие. Пусть (Хп)п=\ k — супер мартингал и Т
—момент остановки. Тогда
EIXJ^EIXJ^EI**]. (10.1)
Это утверждение следует из предыдущей теоремы, если в качестве
системы моментов остановки взять систему моментов (1, 7\ k).
Til. Следствие. Пусть (Хп)п=\ k—супер мартингал и
Т—момент остановки. Тогда
E[|Xr|]<E[X1]+2E[Xr]<3supE[|X/2|]. (11.1)
п
Доказательство. Имеем Е [| ХТ |] = Е [Хт] + 2Е [Хт]. Величина
Е [Хт] меньше или равна Е [XJ в силу Т10. Из Т4 следует, что
процесс (Хп Д 0) — супермартингал, поэтому (Х„)—супермартингал
и в силу Т10
Е[Х?]<Е[Х*-].
Два основных неравенства
->Т12. Теорема. Пусть (Xn)n=i, ... k—супермартингал и
X—положительная константа. Тогда справедливы следующие неравенства:
bP/supX^M^EtXj- J XkdP^E[Xx] + E[Xk] (12.1)
I п f /supXn<U
И
M>/infX„<-b\<- J XkdP^E[Xk]. (12.2)
У n f ilnf Xrt<-Xl
Доказательство. Чтобы установить первое неравенство, положим
Г (со) = inf {я: Х„(со)^Я} и Г(со) = Л, если множество {п: Хп((й)^Ц
пусто. Очевидно, что Т—момент остановки. Таким образом,
Е [Хг] > Е [Хт] ^ ХР I sup Хп > X) + J XkdP,
что и доказывает неравенство (12.1).
Чтобы установить второе неравенство, положим
7 (со) = inf {п: Хя(ю)<—Ц
и Т(со) = &, если множество {п: Хп(со)< — X) пусто. Тогда (12.2)
вытекает из неравенств
Е [Xk] < Е [Хт] <—ЯР i inf Хп <—Я\ + J XkdP
I п / /inf Xn>-U

§ 2. Основные неравенства
109
13. Пример применения. Пусть (Xn)n=i, . .,л — мартингал.
Предположим, что случайные величины Хп квадратично интегрируемы.
Тогда процесс (Х%) — субмартингал (Т6), и из неравенства (12.2)
вытекает, что
^P/sup|XJ>H<E[X|]. (13.1)
U< k f
В частности, предположим, что величина Хп имеет вид
Xn = Yl + Y2+...+Yn,
где случайные величины Yt независимы и квадратично
интегрируемы, а их средние равны 0. Неравенство (13.1) является хорошо
известным неравенством Колмогорова. Приведенное выше
доказательство заимствовано из книги Дуба [1].
Сохраним далее обозначения, введенные в IV.21. Пусть заданы
случайные величины,-Х1>9 ..., Xk. Обозначим через V(со; [а, Ь])
(соответственно D(cof [а, Ь])) число пересечений снизу вверх
(соответственно сверху вниз) функцией п-ллл*-Хп(со) (л=1, ..., k)
интервала [а, Ь]. Тогда имеет место следующая теорема, доказанная
Дубом для мартингалов и Снеллом—для субмартингалов.
Приводимое ниже доказательство принадлежит Ханту (см. статью Дуба [7]).
—> Т14. Теорема (неравенство Дуба). Пусть {Хп)п=\ .. .,к—субмар-
тингал относительно семейства о-алгебр (<Fn)rt=i, ...,*, а и Ъ—два
действительных числа, а<Ь. Тогда справедливы неравенства
E[^(>;[a,fe])irj<E[(X^fl)+^]""№"-fl)+ (14.1)
и
ЕР(.;[а,&])|У1]<Е[(Л*^.Т'У1]- <14-2>
Доказательство. Достаточно доказать эти неравенства для
открытого интервала (а, Ь). Обозначим сокращенно число пересечений
этого интервала снизу вверх и сверху вниз через V и D'. Они,
очевидно, мажорируют соответствующие числа для интервала [а, Ь].
Вместо процесса (Хп) и интервала (а, Ь) будем рассматривать
процесс (Yn) = ((Xn—а)+) (который в силу Т4 является
субмартингалом) и интервал (0, Ь—а). При такой замене величины U' и D'
не меняются. Определим по индукции моменты остановки 7\,.. *,Тк+1.
Положим 7\(со)=1; Т2—первый индекс /, для которого ^ = 0;
если такого i не существует, то T2-=k\ Т9(со)— первый индекс
г > Т2(со), для которого У, (со) ^6—а\ если такого ( не существует,
то Г8(со) = &. Чередуя таким образом моменты остановки, положим
в заключение Tk+1~k. Можно записать, что
Yk (со)-К, (со) = [YTi(co)-KTl (со)] +
+ [Yt.(со)-Гг,(со)] + ... + [YTk+1 (со)-Уп (со)]. (14.3)

по
Гл. V. Общая теория и дискретный случай
Рассмотрим в правой части этого равенства слагаемые, стоящие
на четных местах: (УТз — Ут2)> 0^т5—^т)у ••• • Выберем сначала
из этих слагаемых те,'которые соответствуют пересечению снизу
вверх траекторией п -ллл- Yn (со) интервала (О, Ь—а). Число таких
слагаемых равно W (со), и их вклад в сумму больше или равен
(Ь—а)сУ'(со). Оставшиеся слагаемые, стоящие на четных местах,
либо равны 0, либо соответствуют «неполному» пересечению снизу
вверх, так что их вклад в сумму неотрицателен. Возьмем теперь
условные математические ожидания относительно ¥х от левой
и правой частей (14.3):
*[Yk\Fl]-Yl^(b-a)E[U'\Fl] + 2 E[y^+l-K,jrj
п < k
п нечетно
Учитывая, что в силу Т10 каждое слагаемое в правой части
неотрицательно, получаем неравенство (14.1).
Неравенство (14.2) доказывается аналогичным образом. При
этом через Г2(со) нужно обозначить первый момент времени, когда
траектория достигает значения (Ь—а), а через Т'з(со) — первый
момент времени после Т,2(со), когда траектория достигает нуля, и т. д.
Из теоремы 10 вытекает неравенство
Z[(YT-YT2) + (YTb-YTA)+...\¥1]^0.
Слагаемые этой суммы соответствуют пересечению интервала
(0, b—а) траекторией п-ллл^Х„(со) сверху вниз, поэтому она не
превосходит величины —(b—a)E[D'1^]. Следовательно,
Е [{Xk-b)+ | Г г] > (Ь-а) Е [D' | JFJ,
откуда вытекает неравенство (14.2).
15. Замечания, (а) Наличие условного математического
ожидания в формулах (14.1) и (14.2) является некоторой роскошью. На
самом деле, как правило, используются формулы, полученные
интегрированием неравенств (14.1) и (14.2). Таким же образом,
как это было сделано в Т14, можно было бы ввести условные
математические ожидания и в неравенства (12.1) и (12.2).
(б) Пусть (Хп)—супермартингал. Применяя (в усредненной
форме) неравенства Т14 к процессу (—Хп) и интервалу (—ft, —а),
получаем следующие неравенства:
Е [D(.; [а, Ь])] < Е t№A^^A^ (i5.l)
Е[и(.;[а.Ь])]<*У^ (15.2)

§ 3. Счетный случай. Теоремы сходимости
111
Случай положительных супермартингалов
16. Положительные супермартингалы находят важные
применения в теории потенциала.
Здесь будут рассмотрены два неравенства, принадлежащие
Дубинсу [1], которые являются для случая положительных
супермартингалов уточнением неравенств (14.1) и (14.2). Обозначения
остаются прежними, только процесс (Xn)n=li ...,Л будет
положительным супермартингалом, а числа а и b—неотрицательными.
Неравенства Дубинса имеют вид (р —целое число ^1)
Р{и{.;[а,Ь])>Р}^Щ^($у-1 (16.1)
и
P{D(..; [a)&])>p}<iHi^)(|)p-1. (16.2)
Дадим набросок доказательства (16.1). Так же как в
доказательстве теоремы 14, положим Т1=1; обозначим через Т2 первый
момент времени, когда траектория примет значение <а, через
Т3 — первый момент времени после Г2, когда траектория примет
значение >&, и т. д. Событие {U^p} совпадает с событием
{Хт +1 > b, Т2р <k}. Из теоремы 10 вытекает неравенство
$' Xrip+1dP< J *г„Л». (16.3)
Г«,<*} {T*P<k)
Первый интеграл больше Ь? {U ^ р\, а второй интеграл для р> 1
мажорируется величиной
аР{Г2/,<й}<аР{Г2/,_1<Д;}.
Отсюда вытекает, что для р > 1
Р{и>р}<(т)*{т*р-1<к}<{т)*{и>р-11
Таким образом, Р {U >/?} < (у)'"1 Р {£/ > 1}.
Если же р равно 1, то второй интеграл в выражении (16.3)
можно оценить сверху величиной Е [Л^Дя] и получить сразу
неравенство (16.1). Дубинсом было показано, что эти неравенства не
могут быть улучшены.
§ 3. Счетный случай. Теоремы сходимости
Этот параграф, почти все результаты которого заимствованы из
книги Дуба [1], не претендует на полноту изложения. Читатель
может найти ряд других интересных теорем о сходимости в
работах Дуба [1], [7] и Чао [1].

112 Гл. V. Общая теория и дискретный случай
Через (Q, <F, Р) по-прежнему будем обозначать основное
пространство процесса с вероятностной мерой Р.
—>Т17. Теорема, (а) Пусть (Xn)nes—супермартингал относительно
возрастающего семейства (<F„),z€N о-подалгебр <F. Предположим, что
supE[X;r] <оо. (17.1)
п
Тогда случайные величины Хп сходятся с вероятностью единица
к интегрируемой случайной величине X».
(б) Условие (17.1) выполняется, в частности, если все Хп
положительны. В этом случае Е [X*] ^limE [Хп], причем знак равенства
п
достигается тогда и только тогда, когда случайные величины Хп
равномерно интегрируемы. Процесс (Xn)n€tiUi\ является
супермартингалом.
(в) Предположим, что случайные величины Хп равномерно
интегрируемы. Тогда выполняется условие (17.1), процесс (^n)„eNu{oo}
является супермартингалом, и Хп сходится к Х*> по норме L1.
(г) Предположим, что Хп—равномерно интегрируемы и процесс
(XJ„6N является мартингалом. Тогда процесс
(Xn)n£NUJ(Xt\—мартингал.
Доказательство, (а) Рассмотрим точки ш^Й, такие, что
lim sup Хп (со) > lim inf Хп (со).
П •+ 00 п -* 00
Выберем два рациональных числа а и Ъ, а < Ь, заключенные между
этими пределами. Тогда число пересечений снизу вверх интервала
[а, Ь) траекторией п-ллл*- Хп (со) есть U (со; [а, 5])=оо. Заметим,
что Хп сходятся п. н. тогда и только тогда, когда £/(со; [а, 6])<оо
п. н. для каждой пары рациональных чисел а и Ь, а < Ъ.
Проверка достаточности основывается на неравенстве (15.1), из
которого следует, что
E[U(.;[a,b))]^supE[iX»Zab)~].
п
Правая часть этого неравенства конечна в силу предположения (17.1)
и неравенства
(Хп-ЬГ^Х; + Ь+.
С другой стороны (п.11), для каждого k£N
E[|X*|]<E[X0]+2supE[X;r].
п
Из леммы Фату вытекает, что случайная величина Х<»
интегрируема.
(б) Пусть Хп неотрицательны. Тогда условие (17.1), очевидно,
выполняется и первая часть утверждения (б) является простым
следствием леммы Фату и теоремы II.T21. Покажем, что процесс

§ 3. Счетный случай. Теоремы сходимости
113
(Хп)п G N и / ^ i — супермартингал относительно семейства а-ал гебр
(<F„)„€NU{ i (определение <Гос см. в IV.26). Возьмем целые числа т
и и, л </я, и пусть Л—элемент Wп. В силу леммы Фату
неравенство
\XnW>\XJV (17.2)
сохраняется при т—>оо. Отсюда следует, что ХЯ^Е [Х«> \8гп] п.н.
(в) Предположим, что случайные величины Хп равномерно
интегрируемы. Тогда (17.1) вытекает из неравенства supE[|Xn|] < оо
п
(II.T19). Сходимость Хп к X» по норме пространства L1 следует
из II.T21, что в свою очередь позволяет перейти к пределу под
знаком интеграла в выражении (17.2).
(г) Если Хп равномерно интегрируемы, то достаточно
применить утверждение (в) к двум супермартингам (Хп) и (—Хп).
Следующая теорема (частично принадлежащая Полю Леви)
является дальнейшим развитием утверждения (г).
—> Т18. Теорема. Пусть (Хп) — случайный процесс, согласованный
с семейством о-алгебр (<Fn).
Для того чтобы процесс (Хп) являлся равномерно интегрируемым
мартингалом (относительно семейства (<F„))> необходимо и
достаточно, чтобы существовала интегрируемая случайная величина Y,
такая, что Хп = Е [Y \ !Fn] п.н. для каждого /i£N.
Существует единственная ¥ ^-измеримая случайная величина Yot
обладающая этим свойством. При этом п. я. YQ = limXni и Хп схо-
П -+ GO
дится к Y0 по норме пространства L1.
Доказательство. Предположим, что случайные величины Хп
равномерно интегрируемы. Тогда в силу Т17 (г) Хл = Е [X*, | <F„]
для каждого я, причем величину X*, можно выбрать
^«-измеримой. Следовательно, X(X>=limXn в смысле сходимости п. н. и схо-
п
димост^и по норме пространства L1.
Пусть Y есть oFoo-измеримая случайная величина, такая, что
Xn = E[Y\!Fn] для каждого п. Обозначим o/ft систему событий
A €<Fqo, для которых
[ YdP=[ X„dP.
Поскольку система оМ замкнута относительно монотонного
предельного перехода и содержит # — объединение а-алгебр <F„, то о£ = $Га>
(I.T19). Следовательно, в силу II.T9 Y = X<X> п. н.
Обратно, покажем, что каждый мартингал вида Xn^E[Y\$Fn]
равномерно интегрируем. Пусть Я— положительное число. По не-

114
Гл. V. Общая теория и дискретный случай
равенству Йенсена | Хп | < Е [| Y |] | <F„] и, следовательно,
$ I^JdP< J \Y\dP. (18.1)
{\Xn\>b} {\Хп\>к\
Осталось показать, что правая часть этого неравенства стремится
к нулю равномерно по п при А,—►<». Имеем
Р{|ХЯ|>Х}<Е[|ХЯ|]/Х<Е[|У|]А-
Для завершения доказательства* теперь осталось только применить
11.19 (б) к равномерно интегрируемой системе, состоящей из одной
случайной величины У.
Отметим, что предыдущие рассуждения не используют
упорядоченности множества значений параметра п. Поэтому можно
сформулировать следующий результат.
Т19. Теорема. Пусть Y—интегрируемая случайная величина.
Семейство случайных величин вида Е [Y \ V], где Ъ пробегает
систему о-подалгебр <F, равномерно интегрируемо.
Доказательство. Ограничимся случаем положительных Y.
Выберем положительную возрастающую выпуклую функцию g(t),
определенную на R + , такую, что lim ^-М = +оо и Е [goK] < оо (су-
t -* + 00 *
ществование такой функции следует из II.T22). В силу
неравенства Йенсена
«оЕ[У|»]<Е[«оУ|»],
и, следовательно,
supE[goE[K|S]]<+oo.
8
Отсюда вытекает по теореме II.T22, что случайные величины
Е [У | SJ равномерно интегрируемы.
20. Замечание. Интересно отметить, что теорема 18 справедлива
для мартингалов, у которых множество значений моментов
времени является фильтрующимся вправо упорядоченным множеством,
за исключением утверждения, связанного со сходимостью п> н. Это
утверждение неверно даже в счетном случае1).
Наметим основные идеи доказательства этого предположения
(см. Хелмс [1]).
Пусть Т—-множество с отношением порядка ^, фильтрующееся
вправо, и (<!Г*)/€Т — возрастающее семейство а-подалгебр W.
Предположим, что (Xt)i бт — равномерно интегрируемый мартингал
относительно семейства (<Г*)/6т. Покажем методом от противного,
что Xt сходится в L1 (по направленному множеству Т) к случайной
величине Хж. Действительно, пусть это не так. Тогда обобщенная
г) Дьёдонне, О теореме Йенсена, Fund, Math., 37 (1950), 242—248,

§ 3. Счетный случай. Теоремы сходимости
115
последовательность Xt не удовлетворяет критерию Коши. Другими
словами (при некотором е > 0), для каждого /gT можно найти
два элемента г и s в Т, такие, что /</*, /<s и || Хг—X, ||>е.
Это позволяет выбрать в Т возрастающую последовательность
(tn)neti, для которой Xtn не удовлетворяет критерию Коши.
Последнее обстоятельство противоречит теореме 18, поскольку
процесс (X/n)„€N является равномерно интегрируемым мартингалом.
Обозначим (Foo а-алгебру, порожденную объединением Wb /gT.
Очевидно, можно считать, что X» ¥ «-измерима. Соотношение
Х* = Е [Хоо |<Ff] для /£Т легко проверяется. При этом нетрудно
показать, что Х«> является (с точностью до эквивалентности п. н.)
единственной «Fao-измеримой случайной величиной, обладающей
этим свойством.
Обратно, пусть Y—интегрируемая случайная величина. Отсюда
и из Т19 следует, что случайные величины Е[У|(Г*] равномерно
интегрируемы.
Аналогичная теорема сходимости имеет место и для
фильтрующегося влево множества индексов. Ограничимся рассмотрением
случая отрицательных целых индексов.
->Т21. Теорема. Пусть (Хп)п€-н — супермартингал относительно
семейства о-алгебр (gFJ,2 6-n. Обозначим <F—« о-алгебру n <F„.
rt€-N
Предположим, что
supE[X„] <оо. (21.1)
п
Тогда справедливы следующие утверждения:
(а) Случайные величины Хп равномерно интегрируемы.
(б) Случайные величины Хп сходятся п. н. при п—> —оо /с
интегрируемой случайной величине Х-*,; эта же сходимость имеет
место и по норме пространства L1.
(в) Процесс (Хя)п€/ «Ли!-n} является супермартингалом
относительно о-алгебр (£Fn)nei оЛи{-м}-
(г) Предположим, что процесс (Хп)Пе—н — мартингал. Тогда
выполняется условие (21.1), и процесс (X„)rt6/00iu/N} также является
мартингалом.
Доказательство, (а) Покажем сначала, что величины Хп
равномерно интегрируемы. Зафиксируем е > 0 и выберем отрицательное
целое k так, что
lim Е[Х,]—Е[Хл]<е.
I -* — с©
Тогда 0<Е [Хп] —-Е [Xk] ^е для всех n^k, Пусть
X—неотрицательная константа, Покажем, что интеграл
J \Xn\dP (21.2)
\\хп\>х\

116
Гл. V. Общая теория и дискретный случай
меньше е для каждого /г, когда X достаточно велико. Это
утверждение достаточно доказать для п меньших k. Интеграл (21.2)
можно представить в виде
- J XndP + E[Xn]- J XndP. (21.3)
В силу супермартингального неравенства (1.1), это выражение
меньше
- J XkdP + E[Xn]- J XkdP. (21.4)
{хп<-%\ {ХП<К\
Воспользовавшись нашим выбором п и &, Е [Хп] можно заменить
величиной Е[ХЛ], изменив при этом (21.4) не более чем на е.
В результате получим интеграл
J \Xk\dP. (21.5)
{i хп\>к}
Теперь осталось только показать, что этот интеграл равномерно
по п стремится к 0 при Я—*оо. Поскольку процесс (Хп) является
субмартингалом, то
Е [| Х„ |] = Е [Хп] + 2Е [Хп] < sup Е [Хп] + 2Е [X;].
П
Вероятность Р {| Хп \ > Ц, мажорируемая величиной -у- Е [| Хп \],
стремится к 0 при К—юо равномерно по п. Тогда это же свойство
в силу II.T19 (б) справедливо и для интеграла (21.5). Тем самым
равномерная интегрируемость величин (Хп) доказана.
Не будем детализировать оставшуюся часть доказательства.
Сходимость Хп п. н., так же как в Т17, следует из неравенства Дуба
и соотношения supE [|Х„|] < оо. Сходимость по норме L1 вытекает
п
из сходимости п. н. и равномерной интегрируемости (II.T21).
Утверждения (в) и (г) сразу вытекают из равномерной
интегрируемости, которая позволяет перейти к пределу под знаком интеграла.
По аналогии с п. 20 доказанная теорема может быть обобщена
на случай упорядоченного множества, фильтрующегося влево.
Одна теорема Дуба
Чтобы не перегружать утверждения теорем 17 и 21, в них не
упоминалось о сходимости в L?{\ < р < оо). Сходимость в Lp будет
рассмотрена в следующей теореме, принадлежащей Дубу, Ему же
принадлежит и приводимое доказательство.

§ 3. Счетный случай. Теоремы сходимости 117
—>Т22. Теорема. Пусть р и q — два сопряженных1) числа, отличных
от 1 и оо.
Обозначим через (Хп)пен неотрицательный субмартингал, такой,
что
supE[Xg]<oo. (22 Л)
п
Тогда случайная величина supX„ принадлежит £?р и
п
II sup Хп ||,< q sup || Хп\\р. (22.2)
П П
Доказательство. Случайные величины Хп равномерно
интегрируемы (ILT22), поэтому существует их предел Х^, который по
лемме Фату принадлежит ^.Обозначим егоХи положим sup Xn = Y.
п
Из неравенства (12.2) для каждого Х^О вытекает, что
М>{7>Х}< J XdP.
Положим Р{У>Я} = /7(^). Тогда
Е [Yp] = — \ XPdF{%) = J F(X)d(XP)—lim [MF (*)]*<
0 0 Л-*оо
00 GO
<j> ()i)d(^)<ji/ ^ XdP\d(XP) =
о о \{Y>i} J
Y
Я 0
Следовательно,
E [Yp] < T^T E [ХУ1] = qE [XYP-t].
Правая часть этого неравенства мажорируется величиной
q\\Х\\р\\Yp'1 \\q (по неравенству Гёльдера). Но ЦК'-1^ равно
(Е [YP\yl\ а значит,
^[Ур]<Я\\Х\\р(Е[УР])^.
Аналогичное неравенство получаем, если вместо Y рассмотреть
величину Yn = Y /\п\
Z[Ypn]<q\\X\\p(E[YPn]y«i.

118
Гл. V, Общая теория и дискретный случай
Тогда, поскольку Е [Ypn] < оо,
(£[Ypn)y-««<q\\X\\p
и, следовательно, по лемме Фату
(E[v])*-i/«<<7imi,.
что эквивалентно неравенству (22.2).
23. Замечания, (а) Доказанное утверждение становится
неверным для р = 1. Аналогичным методом Дуб [1] показал, что из
'условия
sup Е [Хп log+ Хп] < оо (или Хоо log+ Хда € 2х)
вытекает интегрируемость supX„. Хотя этот результат очень по-
п
лезен, но здесь он доказываться не будет. Блекуэллом и Дубин-
сом [1] было показано, что не существует более общих условий,
наложенных только на Х<»> из которых следовала бы
интегрируемость sup Х„.
п
(б) Часто будет использоваться одно простое следствие теоремы 22.
Пусть (Хп)п€Н-— мартингал, для которого sup || Хп \\ < оо. Тогда
п
субмартингал (|Х„|) удовлетворяет предположениям теоремы 22,
Хп мажорируется по модулю элементом пространства Зр и
сходится к Хоо по норме пространства U
Разложение Рисса
024. По аналогии с классической теорией гармонических
и супергармонических функций (эта аналогия является довольно
глубокой) дадим следующие определения.
(а) Пусть (Хп)п€ы—супермартингал относительно семейства
а-алгебр (<F„),z€n, такой, что supE[X^] <оо. Случайную величину
п
Хп = lim Хп будем называть стохастической граничной функцией,
связанной с супермартингалом (Хп).
(б) Мартингал Х„ = Е [Х» |<F„] назовем стохастическим
решением задачи Дирихле, связанным с супермартингалом (Хп) (или со
случайной величиной Х«).
(в) Потенциал — это положительный супермартингал (Хп), такой,
что lim Е [Хп] = 0. (Это равносильно тому, что Хп—*0 при я—* оо
п -+ 00
в смысле сходимости п. н. и по норме пространства L1.)
Пусть (Хп) и (Yn) — два процесса с действительными значениями.
Будем говорить, что (Yn) мажорирует {Хп), если Xn^Yn п. н.
для каждого п.

§ 3. Счетный случай. Теоремы сходимости
119
Т25. Теоремэ (разложение Рисса.) Пусть (Хп) — супер
мартингал. Следующие два утверждения эквивалентны.
(а) С упер мартингал (Хп) мажорирует некоторый субмартингал.
(в) Существуют мартингал (Yn) и потенциал (Z„), такие, что
Xn = Yn-\-Zn для каждого п. Эти процессы определяются однозначно
(с точностью до модификаций). Мартингал (Yn) мажорирует всякий
субмартингал (Y'n)> такой, что (Y'n)^.(Xn).
Доказательство. Условие (а), очевидно, следует из условия (б),
поскольку мартингал (Yn) мажорируется процессом (Хп).
Предположим, что условие (а) выполнено, и субмартингал (У'п)
мажорируется процессом (Хп). Положим
ХЯ,Р = Е[ХЯ+Р\ГЯ] (/7 = 0, 1, ...).
Имеем
Х„,р+1 = Е [Хп+р+11 ¥п+р | ¥„ ] < Е [Хп+р | <ГЛ] = Хп% р п. н.
Поэтому Хп%р убывает п. н. при возрастании р. С другой стороны,
Хп,я>Е[П+р|<ГЛ]>Г; п. н.
Обозначим через Y„ ^„-измеримую случайную величину,
совпадающую п. н. с ИтХп%р. Процесс (Yn) мажорируется (Хп) и ма-
р -*• 00
жорирует (Yn). Поэтому
Е [Yn+11Fn] = lim Е [Хп+и Р\ГЯ] = lim Е [Хп+1+р \ Гп] - Yn п. н.
р-у оо р-+ со
Следовательно, (Yn)—мартингал. Теперь осталось только показать,
что положительный супермартингал (Zn) = (Хп — Yn) является
потенциалом. Действительно, из определения (Yn) вытекает, что
lim Е [Zn+p\¥п] = 0 п. н. для каждого п.
р-> 00
Используя теорему Лебега, получаем, что HmE [Z„+J =0. Следо-
р -» 00
вательно, процесс (Zn) является потенциалом.
Установим теперь единственность разложения. Пусть Xn = Yn +
-f-Z*—другое разложение, удовлетворяющее сформулированным
выше требованиям. Имеем
Е [Хп+р | ¥п\ = Е [Уп+Р | Г„] + Е [ZUP | Га].
Первое слагаемое правой части совпадает п. н. с Y*. Устремляя р
к бесконечности, получаем, что Yn = Y*n п. н. Теорема доказана.
26. Замечание. Пусть (Хп) — положительный или равномерно
интегрируемый супермартингал. Положим
Sn = E[X»\¥n]
и
Тп = Xn—Sn.

120
Г л, V. Общая теория и дискретный случай
Первый процесс является стохастическим решением задачи Дирихле,
связанным с (Хп). Этот процесс—равномерно интегрируемый
мартингал. Второй процесс является положительным супермартингалом,
стохастическая граничная функция которого равна 0 п. н. (Т18).
Таким образом, получено разложение, аналогичное предыдущему.
Единственность этого разложения легко проверяется.
§ 4. Теорема о «преобразовании свободного выбора»
в счетном случае
27. Теорема Дуба о «преобразовании свободного выбора»,
установленная в п. 9 для конечного случая, использовалась затем
для вывода основных неравенств теории мартингалов. Здесь будет
дано, следуя Дубу, обобщение этой теоремы на супермартингал
(Хп)пен относительно возрастающей последовательности сг-ал-
гебр (Yj/zeN.
Наложим на супермартингал (Хп) следующее условие:
существует интегрируемая случайная величина Y, такая, /r>7 i\
что X„^E[K|<F„] п. н. для каждого n£ti. \ - )
[Другими словами, требуется, чтобы супермартингал (Хп)п^н можно
было продолжить до супермартингала (Х„)я€Ми{ю1 (положив
X „=¥).]
Рассматриваемые далее моменты остановки могут принимать
значение + оо. Для каждого такого момента остановки Т положим
Xr(co) = F((o) на множестве {Г=+оо}. (27.2)
Мы назовем Y «случайной величиной на бесконечности».
Случай произвольной системы моментов остановки сводится
к рассмотрению системы из двух моментов остановки S и 7\ S ^ Т.
—>Т28. Теорема. Предположим, что супермартингал (Хп)пен удов-
летворяет условию (27.1). Тогда случайные величины Xs и ХТ
интегрируемы, и справедливо супермартингальное неравенство
Х5>Е[ХГ|Г5] п.н. (28.1)
Доказательство. Предположим, что мы умеем доказывать
теорему для следующих двух частных случаев:
(а) супермартингал (Хп) неотрицателен и случайная величина
на бесконечности равна 0;
(б) (Хп)—мартингал вида Е[У|<Г„], и случайная величина на
бесконечности равна Y.
Отсюда можно вывести общий случай, поскольку
Хя*=(Хп-Е[У\Га]) + Е\У\Гя].
Таким образом, достаточно разобрать отдельно случаи (а) и (б).

- § 4. «Преобразование свободного выбора» в счетном случае 121
Случай (а). Обозначим Sk, Tk моменты остановки S /\ kt Т /\ k
(k € N). В силу Т10 Е [Хтк] < Е [Х0] для каждого k £ N и
Хг< Нт Хтк. Из леммы Фату вытекает неравенство Е [Хт] < Е [Х0]
поэтому случайная величина Хт (так же как и Xs) интегрируема-
Пусть А—элемент Ws. Тогда множество 4f}{S<6}
принадлежит <f5k (IV.T35) и в силу Т9
J XShd»> $ XTkdP.
Ап{$<ь\ Af){s<k}
Правая часть этого неравенства только уменьшится, если
множество {Ss^/г} заменить на {Г^&}. Отсюда следует, что
J XsdP^ J XTdP.
An{s:<k) An{T<k\
Отсюда при k—*оо
J XsdP^ J XTdP,
что эквивалентно неравенству (28.1), поскольку Х5 = 0
(соответственно Хт = 0) на множестве {S = oo} (соответственно {Г = оо}).
Случай (б). Покажем теперь, что XT=E[Y\SrT] для каждого
момента остановки Т. Отсюда в силу включения <F5 C<Fr (IV.T36)
и равенств
Xs=E[Y\rs] = E[Y\FT\Fs]=E[XT\Fs]
будет следовать неравенство (28.1). Пусть А—элемент <FT. На
множестве АГ\{Т = оо} справедливо равенство XT = Y, поэтому
достаточно проверить соотношение
J XTdP= \ YdP. (28.2)
АП{Т<*>\ Ап{т<*\
Поскольку событие Лп{7^£} принадлежит ¥тк (IV.T35), то
отсюда следует в силу теоремы 9, что
S XTkdP= S XkdP= J YdP.
Ап{т<к\ An{T<k} Лп{т<к\
Устремляя теперь k к бесконечности и используя равномерную
интегрируемость случайных величин Хтк = Е [Y |<FrJ,
установленную в п. 19, получаем соотношение (28.2).
->Т29. Теорема. Пусть (Хп)пен—равномерно интегрируемый
мартингал, Хоо— случайная величина, совпадающая п. н. с lim Хп,
п-+ да
и Т —момент остановки (не обязательно конечный). Положим
Хг(о)) = Хоо (со) на множестве {Г = оо}.

122 Гл. V. Общая теория и дискретный случай
Тогда справедливо равенство
ХТ=Е[Х„\3ГТ] п.н. (29.1)
(Достаточно использовать предыдущее доказательство, полагая
Y = Xa>, что законно в силу Т18.)
Следующая теорема, как будет показано в гл. VI, вообще говоря,
не верна для супермартингалов с непрерывным временем.
ТЗО. Теорема. Пусть (Xn)nsu—равномерно интегрируемый супер-
мартингал и £Г — система всех конечных моментов остановки
относительно семейства (оГп). Тогда система случайных величин (ХТ)Те^-
равномерно интегрируема.
Доказательство. Разложение из п. 26 позволяет рассматривать
процесс (Хп) как сумму равномерно интегрируемого мартингала (Yn)
и положительного супермартингала (Zn), удовлетворяющего условию
lim Zn = 0 п. н. Отсюда вытекает в силу теоремы II.T20, что алге-
П •* со
браическая сумма двух равномерно интегрируемых подмножеств J271
равномерно интегрируема. Поэтому супермартингал (Zn) равномерно
интегрируем. Учитывая этот факт, можно ограничиться теперь
доказательством теоремы отдельно для процессов (Yn) и (Zn).
Для процесса (Yn) наше утверждение очевидно в силу Т29 и Т19.
С другой стороны, процесс (Zn) равномерно интегрируем. Поэтому
из соотношения lim Z„ = 0 п. н. вытекает, что lim E[Z„]=0.
/2-> со П-+ 00
Зафиксируем некоторое е>0 и выберем индекс достаточно
большим, так чтобы Е [Zk] ^ е. Тогда для каждого момента остановки Т
и каждого К > О
J ZrdP=2 5 ZtdP+ J ZTdP.
{ZT>b} l~l{T-t}n{zt».} {T>k)n{ZT>b}
Второй интеграл мажорируется величиной \ ZTdP, которая
в свою очередь мажорируется (событие {Т > k) принадлежит <Fft)
интегралом \ ZftdP^E [Zk] s^e. С другой стороны, сумма,
стоящая в правой части, оценивается сверху величиной
£ S ЪМ,
которая не зависит от Т и стремится к 0 при X—^оо. Таким
образом, равномерная интегрируемость установлена.

Глава VI
МАРТИНГАЛЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ПАРАМЕТРОМ
Эта глава по существу состоит из простых естественных
обобщений результатов предыдущей главы. Здесь будет рассмотрен
случай, когда множество значений моментов времени является
действительной полуосью R + . Изучаемые в этой главе супермартингалы
будут, как правило, иметь траектории, непрерывные справа п.н.
Такие супермартингалы для краткости назовем непрерывными
справа. Ряд дополнений к излагаемым здесь результатам можно
найти в книге Дуба [1].
Все супермартингалы и моменты остановки, рассматриваемые
в этой главе, будут, если не оговорено противное, определены на
одном вероятностном пространстве (Q, <F, Р) и связаны с одним
и тем же возрастающим семейством (¥t)teR+ ^-подалгебр ¥.
Предполагается, что вероятностное пространство является полным и
каждая о-алгебра ¥\ содержит все Р-пренебрежимые множества
из <F.
§ 1. Свойства регулярности траекторий
Основные неравенства
Пусть (Xt)/eR+ — супермартингал, Н — произвольное
подмножество R+, а и Ь—два числа, такие, что а<6. Обозначим
(/(со; Н; [at Ь]) число пересечений снизу вверх интервала [а, Ь]
функцией t-<w~> Xf (а)), рассматриваемой на Н (см. 11.21).
Аналогично D(cof Н; [а, Ь]) будет обозначать число пересечений сверху
вниз.
Понятие сепарабельности не является необходимым в этой главе
(впрочем, как и для дальнейшего). При желании здесь можно
ограничиться только изучением результатов, относящихся к непрерывным
справа супермартингалам, игнорируя утверждения, касающиеся
сепарабельных супермартингалов.
—► Т1. Теорема. Пусть (Xt)—супермартингал. Обозначим:
S—счетное плотное подмножество R+, I = [г, s]—компактный интервал
прямой R+ и X—положительная константа. Тогда справедливы
следующие утверждения,

124 Гл. VI. Мартингалы с непрерывным параметром
(1) Имеют место неравенства:
XP/sup Х,>Ц<Е[Х,] + Е[Хг]. (1.1)
MM inf Х,<-Я\<Е[|Х,|], (1.2)
Е[£/(-; Sni; [a, ft] )J < ii^iz^l, (1.3)
E[D(.; Sni: [a, fe])] <Е[(^л^~(^л6)1. (1.4)
(2) 27сла супермартингал (Xt) непрерывен справа или, более общо,
сепарабелен, то Sni в з/тшл: формулах можно заменить на I.
Доказательство. Пусть и—некоторое конечное подмножество
Sfll. Неравенства, полученные заменой Sni на и в (1.1), (1.2),
(1.3) и (1.4), сводятся соответственно к неравенствам (12.1), (12.2),
(15.2), (15.1) предыдущей главы. Тогда неравенства, связанные
с Sni, можно получить, устремляя и к Sni. Предположим теперь,
что супермартингал (Xt) непрерывен справа. Выберем счетное
плотное множество S, содержащее точку s. Очевидно, при этом левые
части неравенств (1.1)—(1.4) не изменятся от замены Sni на I.
Случай сепарабельного мартингала (Xt) рассматривается
аналогично, если в качестве S выбрать универсальное множество
сепарабельности, содержащее s и г (см. IV. 18 и IV.24).
2. Замечание. Таким же образом можно обобщить теорему V.22
на положительные и непрерывные справа (или сепарабельные)
субмартингалы (Xt). Пусть 1</?<оо и q—число, сопряженное
с р. Тогда
\\supXt\\p^qsup\\Xt\\p = q\\Xs\\p- (2.1)
/е i /вi
ТЗ. Теорема. (1) Пусть Xt—непрерывный справа (или только
сепарабельный) супермартингал. Тогда для каждого co£Q выполнены
следующие свойства:
а) траектория со не имеет осциллирующих разрывов,
б) траектория со ограничена на каждом компактном интервале.
(2) Пусть (Xt)—супермартингал и S—счетное плотное
множество в R+. Тогда сужение отображения /-ллл-Хг(со) на S для
каждого со£Й имеет правый и левый предел в каждой точке R + .
Доказательство. Предположим, что супермартингал (Xt)
непрерывен справа или сепарабелен. Тогда в силу неравенства (1.3) для
каждого /г б N и каждой пары рациональных чисел а и b, а < ft,
Е [£/(•; [0, л]; [а, &])] <оо.
Отсюда вытекает, что
(/(со; [0, п\\ [а, &])<оо п,л.

§ 1. Свойства регулярности траекторий
125
Свойство (а) следует из теоремы IV.22. Свойство (б) доказывается
аналогично, но с использованием неравенств (1.1) и (1.2).
Рассмотрим теперь случай произвольного супермартингала.
Обозначим НПу а> b множество
{со: £/(со; SП [0, п]\ [a, fc])=oo}.
Из неравенства (1.3) вытекает, что множество НПу 0t ъ пренебрежимо.
Это же утверждение справедливо и для объединения Н множеств
Нп, а, ь- Из замечания к теореме IV.T22 следует, что отображение
f-w-^X, (со) для каждого со(£# имеет правый и левый предел (по
множеству S) в каждой точке прямой R+. Чтобы быть более
точными, положим
Хи (со) = lim Xs (со); Xt. (со) =-- lim Xs (со)l)
s-W s-W
ses ses
s>/ s<i
для каждого /£R + и каждого со(£#. Доопределим эти функции
при cog Я, считая
Xt+ (со) = Xt_ (со) = 0 для каждого t£R+.
Заметим, что Р-пренебрежимое множество Н принадлежит каждой
а-алгебре ¥t (см. предположения, сформулированные во введении
к этой главе). Отсюда следует, что Xi+ измеримо относительно
а-алгебры ¥t+ = П <F*« Отметим также, что траектории процесса
{Xt+) непрерывны справа.
Существование непрерывных справа модификаций
Оставим за обозначениями S, Xt+ и Xt_ тот же смысл, что и в
предыдущем разделе. Пусть ¥t_ есть а-алгебра, порожденная
объединением Us<t¥s. Очевидно, Xt_ измеримо относительно ¥t_.
Следует отметить, что утверждение (3) следующей теоремы,
связанное с существованием непрерывных справа модификаций,
справедливо без условия сепарабельности.
—>Т4. Теорема. Пусть (Xt) — супер мартингал, тогда
(1) имеют место следующие неравенства:
Xi>Z[Xi+\¥t] п.н., (4.1)
Xt_^E[Xt\¥t_] п.н (4.2)
(2) процесс (Xt+)teR+—супермартингал относительно семейства
о-алгебр (oFf+),€R + (и (Xt+)teR+— мартингал, если процесс (Xt) —
мартингал).
1) В этом определении / > 0.

126
Гл. VI. Мартингалы с непрерывным параметром
(3) Предположим, что семейство (<Ft) непрерывно справа.
Супермартингал (Xt) имеет непрерывную справа модификацию тогда
и только тогда, когда функция /-ллл*-Е[Л\] непрерывна справа.
Доказательство. (1) Рассмотрим убывающую последовательность
(tn)nes точек множества . S, убывающую к t, tn> t. В силу
теоремы V. Т21 случайные величины Xtn равномерно интегрируемы.
Пусть А—элемент из ¥х. Перейдем к пределу при п—>оо в су-
пермартингальном неравенстве
\xtd?^\xudV (*€N).
А А
Тогда, используя 11.9(a), получаем неравенство (4.1).
Рассмотрим теперь возрастающую последовательность (tn)n 6 N
точек множества S, стремящуюся к t> tn < /.
Положим
Процесс (У*п) является положительным супермартингалом,
который сходится при п —► оо к величине Xt_ —Е [Xt| <Ft_] (см. V.T18).
Таким образом, неравенство (4.2) вытекает из положительности
этой случайной величины.
(2) Очевидно, величина Х*+ <Г^+-измерима. Пусть s и/, s</ —
два момента времени, (sn)—последовательность точек множества
S, t>sn>s, убывающая к s, и (/„) — последовательность точек
множества S, tn> t, убывающая к t. По теореме V. Т21
случайные величины (XSn) и (Xtn) равномерно интегрируемы. Переходя
к пределу при п—юо в неравенстве
\xSndV>\xtn<№ (Л6Г,+),
А А
в силу 11.9(a), получаем супермартингальное неравенство Xs+ ^
>E[Xt+|F,+].
(3). Предположим, что семейство (<Г*) непрерывно справа. Тогда
неравенство (4.1) эквивалентно неравенству Xt^Xt+ п.н., причем
эти случайные величины равны п.н. тогда и только тогда, когда
у них равны математические ожидания. Пусть (tn)neH—строго
убывающая последовательность точек множества S, стремящаяся к t.
По теореме V. Т21 случайные величины (Xtn) равномерно
интегрируемы, поэтому
E[X,+]=limE [*,.].
п -+ со
Таким образом, Xi = Xt+ п.н. тогда и только тогда, когда этот
предел равен E[Xt]. Поскольку функция s-w~E[Xs] убывает, то
это равносильно ее непрерывности справа в точке t.

§ 1. Свойства регулярности траекторий
127
Пусть (Yt) — непрерывная справа модификация супермартингала
(Xt). Тогда E[Xt]=E|Yf] для каждого /, так что функция
t-w+E[Xt]y в силу предыдущих рассуждений, непрерывна справа.
Наоборот, если функция t-w+E[Xt] непрерывна справа, то
процесс (Xt+) представляет собой искомую непрерывную справа
модификацию процесса.
Утверждение (3) неверно, если семейство (dFt) не является
непрерывным справа.
5. Замечание1). Применим лемму Фату к положительному
супермартингалу V/n —X/ft—Е [Xt|<F/J. Получим неравенство
Е [Х,_-Е [Xt\Ft_]] < lim Е [Хи-Е [Xt\Ftn]],
П -*■ со
в котором знак равенства достигается тогда и только тогда, когда
величины Ytn равномерно интегрируемы (II. Т21). Аналогично
E[Xt_]<IimE[X,n],
П -+ 00
при этом знак равенства достигается в том и только том случае,
когда величины Xtn равномерно интегрируемы (случайные величины
E[Xt|f/n] равномерно интегрируемы в силу V.T19).
Пусть (Xt) —супермартингал, такой, что функция t-w+E[Xt]
непрерывна, и I компактный интервал прямой R + . Тогда
случайные величины Xt(t£l) равномерно интегрируемы. Действительно,
если это не так, то существует монотонная последовательность
(tn)n € n элементов I, такая, что Xtn не будут равномерно
интегрируемы. На последнее обстоятельство вступает в противоречие
с теоремой V.T21, если последовательность (tn)n^^—убывающая,
и со сделанным выше замечанием, если эта последовательность
возрастающая.
Теоремы сходимости
Ограничимся здесь результатами, являющимися аналогами
теорем V.17 и V.21. Отметим сразу же, что новых трудностей в
доказательствах не возникает.
—>>Т6. Теорема. Пусть (Xt) — непрерывный справа (или только сепа-
рабельный) супер мартингал.
(а) Предположим, что
supE[Xr] <оо. (6.1)
Тогда случайные величины Xt сходятся п.н. при t—»оо к
интегрируемой случайной величине Х*>.
г) Это замечание, принадлежащее Джонсону и Хелмсу, будет использовано
только в п. 21.

128 Гл. VI. Мартингалы с непрерывным параметром
(б) Условие (6.1) выполняется, в частности, если Xt
положительны. В этом случае процесс (X^t ^r + u {<»} является
супермартингалом.
(в) Предположим, что случайные величины Xt равномерно
интегрируемы. Тогда условие (6.1) выполняется, процесс (Xt)ten+ и{<»}
является супермартингалом и сходимость Xt к X* имеет место по
норме пространства L1.
(г) Предположим, что случайные величины Xt равномерно
интегрируемы и процесс Xt—-мартингал. Тогда процесс (Xt)ten+u{*>}
является мартингалом.
Сформулируем одно следствие теоремы 6, которое часто будет
использоваться. Пусть Y есть еГ«>-измеримая интегрируемая
случайная величина и (Yt) — непрерывная справа модификация
мартингала (E[K|<Fd). Тогда Y=\imYt п.н.
Действительно, по теореме V.T19 случайные величины Yt
равномерно интегрируемы. Тогда из Т6 следует, что мартингал (Yt)
сходится п. н. и в силу V.T18 этот предел равен Y.
Сформулируем теперь аналог теоремы V.T21.
—> Т7. Теорема. Пусть (Xt)t>o — непрерывный справа (или только
сепарабельный) супер мартингал относительно семейства о-алгебр
(<?**)/> о. Обозначим (F0 о-алгебру f\ <F5. Предположим, что
s>0
supE[X,] <оо. (7.1)
Тогда случайные величины Xt сходятся п.н. при t—►() к
интегрируемой случайной величине Х0. Процесс (Xf)/6R+ является
супермартингалом относительно семейства (<Ff)/€R+, и сходимость Xt к Х0
имеет место также и по норме пространства L1.
8. Введем некоторые определения, которые облегчат нам работу
в этой и следующей главах.
Пусть (At)teR+ и (Bt)teR +—два действительнозначных
случайных процесса, у которых п. н. траектории непрерывны справа
(назовем их для краткости процессами, непрерывными справа). Будем
говорить, что (At) мажорируется (Bt) или (Bt) мажорирует (At),
и записывать (At)^.(Bt), если At^Bt п.н. для каждого t£ R+
(или хотя бы для каждого рационального /gR+). Из утверждения
в скобках в силу непрерывности справа вытекает, что
At(to)^Bt (со) для каждого t£R + ,
за исключением некоторого пренебрежимого подмножества в Q.
Предположим, в частности, что непрерывные справа процессы (At)
и (Bt) являются модификациями друг друга. Тогда их траектории
совпадают, и можно считать, что мы имеем один и тот же процесс.
Наконец, далее будем предполагать, что семейство а-алгебр
(<Ff)/€R+ непрерывно справа.

§ 2. «Преобразование свободного выбора» в непрерывном случае 129
Разложение Рисса
9. Пусть (Xt)—непрерывный справа супермартингал. Будем
говорить, что (Xt) является
а) потенциалом, если случайные величины положительны и
limE[XJ=0;
/ — 00
б) стохастическим решением задачи Дирихле, если процесс
(Xt)-—равномерно интегрируемый мартингал (случайная величина
X» = HmXf соответствует граничной функции).
/-00
—>Т10. Теорема (разложение Рисса). Пусть (Xt) — непрерывный
справа супермартингал. Следующие два условия эквивалентны:
(а) существует субмартингал, мажорируемый (Xt)',
(б) существует мартингал (Yt) и потенциал (Zt), такие, что
Xt = Yt + Zt п.н. для каждого /€R+.
Эти процессы единственны с точностью до модификаций.
Мартингал (Yt) мажорирует каждый субмартингал (Y't), удовлетворяю-
щий условию (Y't)^.(Xt).
Доказательство, приведенное для дискретного времени (V.T25),
полностью сохраняется и в данном случае.
11. Пусть (Xt) — непрерывный справа супермартингал,
положительный или равномерно интегрируемый. Обозначим (St)
непрерывную справа % модификацию мартингала (Е[Хоо|<Г*]) и положим
Tt = Xt—St. Супермартингал (Tt) положителен и
lim7, = 0 п.н.
/-00
Действительно, IimSt^=Xoo п.н. в силу Т6 и V.T18,
/-00
§ 2. Теорема о «преобразовании свободного выбора»
в непрерывном случае
12. Снова будем считать, что семейство (<F*) непрерывно справа.
Рассмотрим непрерывный справа супермартингал (Xt), обладающий
следующим свойством:
существует интегрируемая случайная величина К, такая, что
Х*>Е[У|<Г,] для каждого /gR+. (12.1)
Рассматриваемые ниже моменты остановки могут принимать
значение +оо. Положим для каждого момента остановки Т, так
же как и в V.27, Xt((u) = Y((x>) на множестве {Г = оо}.
Функция Хт, определенная в IV.43, измерима относительно
а-алгебры ¥т (IV.45). Так же как и в n.V.27, будем называть
Y «случайной величиной на бесконечности».

130 Гл. VI. Мартингалы с непрерывным параметром
->Т13. Теорема. Предположим, что для супер мартингала (Xt)
выполняется условие (12.1). Пусть S и Т моменты остановки, S^T.
Тогда случайные величины Xs и ХТ интегрируемы и справедливо
супермартингалъное неравенство
Х5>Е[ХГ|Г5] п.н. (13.1)
Доказательство. Пусть п—целое положительное число.
Обозначим Dn множество чисел вида k/2n. Рассмотрим дискретный
супермартингал (Xt)teDn относительно семейства а-алгебр (<Ff)/€Dn и
применим теорему V.T28 к этому супермартингалу и моментам остановки
S(n) и т{п) (см. п. IV.39). Тогда
Xs<") > Е [Лт<") | iFsw] п. н.
В частности, если А принадлежит <F5, то Atz&'sM и
А А
В силу непрерывности справа супермартингала (Xt)
п п
Таким образом, теорема будет установлена, если показать, что
случайные величины Xsw и XTw равномерно интегрируемы (II.T21).
Покажем это, например, для S. Момент остановки S{n~l) больше
чем S{n\ и принимает свои значения в D„. Следовательно, по
теореме V.T28
Положим теперь для каждого п g N
Процесс (Yk)ke~n является супермартингалом относительно
семейства а-алгебр ($д)*е-м- С другой стороны, Е [F_n] ^ Е [Х0]
(см. V.T28). Тогда из теоремы V.T21 вытекает, что случайные
величины Yk равномерно интегрируемы.
14. Замечания, (а) Предположим, что (Xt) — равномерно
интегрируемый мартингал. Тогда в силу Т6 (г) процессы (Xt) и (—Xt)
удовлетворяют условию (12.1). В этом случае неравенство (13.1)
можно заменить равенством.
(б) В теореме 13 можно снять условие непрерывности справа
супермартингала (Xt), если считать, что моменты остановки S и Т
ограничены константой а. На самом деле при доказательстве
использовалась лишь порядковая структура множества значений
параметра /, а между множествами [0, а] и [0, оо] существует
порядковый изоморфизм. С другой стороны, условие (12.1)
выполняется, если в качестве Y взять случайную величину Ха%

§ 2. «Преобразование свободного выбора» в непрерывном случае 131
Приложения
Следующая теорема является ослабленным аналогом «принципа
минимума» в теории потенциала, в соответствии с которым
положительная супергармоническая функция не может равняться нулю
в некоторой точке, не обращаясь в нуль всюду.
Т15. Теорема. Пусть (Xt)ten + — непрерывный справа
положительный супермартингал. Положим
T((o)='mi\t: Х,(ю) = 0 или Xt_ (ю) = 0}.
Тогда функция /-ллл^Х^(со) обращается в О при всех t^T(to) для
почти каждого cogQ.
Доказательство. Обозначим через Тп момент остановки
rn(o)) = inf|/: X,(a>)<Jj.
Тогда из непрерывности справа траекторий процесса Xt следует,
что Хгп(соХ1/Аг для каждого cog {ГЛ(со)<оо}. Отсюда вытекает,
что Тп — возрастающая последовательность моментов остановки.
С другой стороны, известно, что Тп^.Т. Положим S = supTn.
п
Наша цель—показать, что для почти всех cogQ траектории
обращаются в 0 после момента 5. В силу непрерывности справа для
этого достаточно показать, что Xf(co) = 0 п.н. на множестве {S</}
для каждого рационального числа t. Используем теорему 13 для
моментов остановки Тп и S\/tt полагая, что Y в формуле (12.1)
равно 0. Тогда для каждого п
E[XTn]^E[Xsvt].
Поскольку первое математическое ожидание меньше чем 1/я, то
Xsv* = 0 п.н. Теорема доказана.
В теории потенциала известно, что верхняя огибающая
возрастающей последовательности супергармонических функций является
супергармонической функцией. Следующая теорема является
аналогом этого результата в теории мартингалов.
—>Т16. Теорема. Пусть ((Xnt)tu^+)n€N — возрастающая
последовательность непрерывных справа супермартингалов. Положим
Xt(co) = supX?(co).
п
Тогда траектории процесса (Xt) п. н. непрерывны справа и не имеют
осциллирующих разрывов.
Доказательство. Из условий теоремы вытекает, что
Х?(ю)<Х? (©)<... <Х? (©)<... Для каждого /gR+
и при почти всех cogQ. Предположим сначала, что случайные
величины Xt положительны и интегрируемы. Тогда (X,)—супер-

132
Гл. VI. Мартингалы с непрерывным параметром
мартингал. Априори нельзя утверждать, что процесс (Xt) — сепа-
рабельный. Сохраним обозначения теоремы 1 и напомним, что
(/(со; I; [а, Ь]) и (/"(со; I; [а, Ь]) означают число пересечений
снизу вверх интервала [а, Ь] траекториями со процессов (Xt) и
(X?) соответственно. Из теоремы IV.21 вытекает, что
(/(со; 1; [а, Ь]) <lim inf (У"(со; I; [а, &]).
п
В силу неравенства (1.3) математическое ожидание правой части
конечно. Отсюда вытекает п.н. конечность левой части и (в силу
IV.Т.22) отсутствие осциллирующих разрывов у почти всех
траекторий процесса (Xt). Далее будет проще рассуждать, если считать,
что у всех траекторий нет осциллирующих разрывов. Этого всегда
можно добиться посредством тривиальной модификации процессов
(XI). Положим тогда
X*+H = lmiX5(cD) (/gR + , со€Й).
s + t
s>t
Теорема будет доказана (при частных предположениях,
сформулированных выше), если показать, что для каждого со g Q
Xt(<u) = Xi+ (со) при всех t£R + .
Заметим сначала, что функция /-ллл*-Х^ (со) является верхней
огибающей последовательности функций, непрерывных справа.
Следовательно, она «правосторонне полунепрерывна снизу», и
справедливо неравенство
^(ю)2^^** (<»>) для каждого / и каждого со. (16.1)
Покажем, что для каждого момента остановки
ХТ = ХТ+ п.н. на множестве {Г<оо}. (16.2)
Положим Тп = Т +1/п и используем Т13, считая, что все
случайные величины на бесконечности равны нулю. По теореме Лебега
в неравенстве Е [ХкТп] < Е [г] можно перейти к пределу при k—► оо.
Используя затем лемму Фату, находим, что
Е [Хт+] < lim inf Е [ХТп] < Е [Хт].
п
Из сравнения этого неравенства с (16.1) вытекает соотношение
(16.2).
Заметим теперь, что по теореме IV. Т43. процессы (X?) и (Xt+)
прогрессивно измеримы относительно семейства (dF*). Это же
утверждение остается справедливым для процессов (Xt)= /sup Х?\ и
(Yt) = (Xt+ — Xt). Пусть 8>0; случайная величина
7(co) = inf{/: Г,(со)>е}
является в силу IV.T48 моментом остановки. Поскольку
траектории процесса (Yt) «правосторонне полунепрерывны снизу», то

§ 2. ^Преобразование свободного выбора* в непрерывном случае 133
ут((й) = Хт+ (со)— Хг(со)^е на множестве {Г<оо}. Но это не
противоречит (16.2), только если Т — оо п. н., каково бы ни было
е>0.
Теперь можно снять предположение, сделанное в начале
доказательства. Пусть а и k—два положительных числа. Обозначим
(Aff)o</<A непрерывную справа модификацию мартингала
(Е [XI | <Г,]), а (У?)о </<а — процесс, определяемый соотношением
Пусть Yt — верхняя огибающая семейства Y?. Поскольку процессы
(Y?) и (Yt) положительны и интегрируемы на интервале [0, а], то
траектории процесса (Yt) непрерывны справа п. н. Для завершения
доказательства осталось только устремить а и k к бесконечности.
Изложенное доказательство по существу основано на идеях
Дуба, относящихся к убывающим последовательностям эксцессив-
ных функций.
Замечание. Часто бывает полезен следующий результат,
вытекающий из теоремы 16.
Пусть (X?) — возрастающая последовательность непрерывных
справа супермартингалов и (Yt) — непрерывный справа
супермартингал, такой, что для каждого /
Yt = supX? п.н. (16.3)
п
Тогда п.н.
Yt (со) = sup Xf (со) для каждого /6R+ (16.4)
п
и, в частности, для каждого момента остановки Т
YT(со) = supХпт(со) п.н. (16.5)
п
Для доказательства (16.4) рассмотрим процесс (Xt)= /sup Х?\,
который по теореме 16 непрерывен справа. В силу (16.2) п.н.
Yt (со) = Xt (со) для каждого рационального /.
Поскольку же процессы (Xt) и (Yt) непрерывны справа, то из
последнего соотношения вытекает (16.4).
Свойства равномерной интегрируемости
017. Определение. Пусть (Xf),€R+— непрерывный справа
супермартингал относительно семейства (£Ft)teR+ и <f—система всех конеч*
ных моментов остановки относительно (<Ff)/€R+ (соответственно
аГд—система всех моментов остановки, ограниченных
положительным числом а). Будем говорить, что (Xf) принадлежит классу (D)
(соответственно классу (D) на интервале [0, а]), если система слу«

134
Гл. VI. Мартингалы с непрерывным параметром
чайных величин ХТ, T£<f (соответственно T^eTJ, равномерно
интегрируема.
Будем считать (Xt) принадлежащим классу (DL) или
принадлежащим локально классу (D), если (Xt) принадлежит классу (D) на
каждом интервале [0, а] (0<а< оо).
18. Замечания, (а) Как показали Джонсон и Хелмс [1] (см. п. 21),
существуют равномерно интегрируемые супермартингалы, не
принадлежащие классу (D). В этом состоит основное отличие между
дискретным и непрерывным случаем (см. V. ТЗО).
(б) Пусть (X,) — супермартингал класса D. Тогда он равномерно
интегрируем, и из теоремы 6 вытекает существование случайной
величины Ха>= lim Xt. Таким образом, случайная величина ХТ
t -* 00
может быть определена для любого момента остановки Г, не
обязательно конечного. Из соотношения Хт= lim Хтлп и теорем
П -+ 00
II.T21, II. Т20 вытекает тогда равномерная интегрируемость всех
случайных величин Л г для любых моментов остановки Т.
Дадим несколько критериев принадлежности процесса классу (D).
—>Т19. Теорема, (а) Каждый непрерывный справа мартингал при-
надлежит классу (DL); каждый непрерывный справа и равномерно
интегрируемый мартингал принадлежит классу (D).
(б) Каждый отрицательный непрерывный справа супермартингал
принадлежит классу (DL).
Доказательство, (а) Пусть (Xt) — непрерывный справа мартингал
и а — некоторый момент времени. По теореме Т13 для каждого
момента остановки Т^.а
Хт=Е[Ха\^т] п. н.
Теперь достаточно применить теорему V. Т. 19. Аналогичное
рассуждение, с заменой Ха на Хда, проводится в случае, когда
дополнительно величины Xt равномерно интегрируемы.
(б) Пусть (Xt) — отрицательный непрерывный справа
супермартингал, а — некоторый момент времени и Т — момент остановки,
не превосходящий а. По теореме Т13
$■ |Xr|dP=- J xrdP<- J XadP.
{\хт\>ь} {IM>4 {l*rl>*}
Но Е[Хг]>Е[Ха] и, следовательно, ХР{\ХТ\ >М<Е[|ХГ|]<
<Е[|ХС|]. Таким образом, вероятность события {|ХГ|>^}
стремится к 0 при X—>оо равномерно по Т. В силу II.T19 третий
интеграл также равномерно стремится к 0 при А,—► оо, что дает
равномерную интегрируемость Хт.
Замечание. Равномерно интегрируемый супермартингал,
входящий в класс (DL), принадлежит также классу (D). Доказательство
этого результата аналогично доказательству теоремы V.T30.

§ 2. «Преобразование свободного выбора» в непрерывном случае 135
->Т20. Теорема1). Пусть (Xt) —положительный непрерывный справа
супермартингал у для которого
lim Xt = 0 п.н.
t -*»
Для каждого момента остановки Т положим
Хг((о) = 0 на множестве {Т = оо\. (20.1)
Обозначим Rn(n£N) момент остановки
Rn(®)=mi{t: Xt((o)^n\.
Тогда следующие утверждения эквивалентны2):
(а) процесс X/ принадлежит классу (D);
(б) lim Е [Хтп] =0 для каждой возрастающей последовательности
моментов остановки (Тп)п€н, сходящейся к + оо;
(в) HmE[X«J=0.
Доказательство. Будем доказывать импликации (а)=>(б)=>(в)=>
г>(а). Предположим, что (а) выполняется. Тогда случайные
величины Хтп в силу замечания 18 (б) равномерно интегрируемы.
С другой стороны, ПтХгп = 0 п.н. Поэтому по теореме II.T.21
lim Е [Хтп] =0. Импликация (б)=>(в) очевидна, поскольку моменты
П -* со
остановки Rn возрастают до оо в силу Т2.
Установим, наконец, импликацию (в)=>(а). Пусть Т —
произвольный момент остановки. Определим момент остановки 7", полагая
( Г (со), если Хг(со)>Аг,
Т'(<*) = { ,
( +°° в противном случае.
Тогда Rn^.T' и, следовательно, по теореме Т13 Е [Хдп] ^Е [Хг'].
Другими словами,
E[XRn]> $ XrdP
для каждого момента остановки Г. Следовательно, случайные
величины Хт равномерно интегрируемы.
21. Замечание. Здесь, следуя Джонсону и Хелмсу [1], для
читателя, знакомого с теорией броуновского движения, будет дана идея
построения равномерно интегрируемого мартингала, не
принадлежащего классу (D). Обозначим через (Bt) броуновское движение
в пространстве R3, начинающееся из некоторой точки agR3, отлич-
г) Джонсон и Хелмс [1).
2) Если не требовать условия (20.1), то Е [Хт ) в (б) нужно заменить на
ElA7Vy{rn<ao}b а £lXRn\ заменить в (в) на Е [XRJ^Rn < „j].

136
Гл. VI. Мартингалы с непрерывным параметром
ной от начала координат. Пусть г (х) — расстояние от точки х до
начала координат и Л—супергармоническая функция 1/г(х)
(ньютоновское ядро). Процесс (Xt) = (ho Bt) — положительный
супермартингал с непрерывными траекториями. Легко проверить, что Е [Xt] —
непрерывная функция /. Отсюда следует в силу замечания 5, что
супермартингал (Xt) равномерно интегрируем.
Но, с другой стороны, для непрерывного супермартингала (Xt)
Хцп = п на множестве {Rn <оо}.
Поэтому условие (в) теоремы 20 можно записать в виде
lim мР{/?п<оо} = 0. (21.1)
Пусть Dn—множество точек х, таких, что h(x)^n (шар радиуса
1/п с центром в 0). Вероятность Р {/?„<<»} совпадаете
вероятностью первого попадания в Dn процесса броуновского движения,
начинающегося в точке а. Эта вероятность равна
1, если г(а)<--,
—г-;» если г (а) > — .
пг (а) v ' ^ п
Таким образом, левая часть выражения (21.1) для достаточно
больших п равна константе 1/г (а). Следовательно, супермартингал
(Xt) не может принадлежать классу (D).
22. Замечание. Супермартингал, полученный остановкой
процесса (Xt) в момент времени Tn=;Rnf\n, принадлежит классу (D),
так как он мажорируется интегрируемой случайной величиной
ХтиУп. (Обозначения см. в Т20.)

Глава VII
РАЗЛОЖЕНИЕ СУПЕРМАРТИНГАЛОВ
В этой главе мы будем придерживаться соглашений и
предположений, принятых ранее (см. введение к гл. VI и п.VI.8). Если
явно не оговорено противное, будем допускать, что
рассматриваемые моменты остановки могут принимать значение +оо.
Используя без специального объяснения такое обозначение, как Хт, где
(X/) — случайный процесс и Т — момент остановки, мы всегда будем
неявно предполагать, что предел Х0о==НтХ/ существует п.н. и
ХГ = Х» на множестве {Г=оо}.
Напомним, что случайный процесс (Xt) может рассматриваться
как функция двух переменных t и со; это позволяет нам
использовать обозначения типа ^(Х?) (сумма ряда процессов с действи-
п
тельными значениями).
§ /. Дискретный случай
1. Пусть (<Fn)rt€N — возрастающее семейство а-подалгебр <F и
(Xn)nzu—супермартингал относительно (<F„). Определим случайные
величины Ynt Ап следующим образом:
Легко проверяются следующие утверждения:
(а) Xn = Yu—Ап для любого п\
(б) процесс (Yn)—мартингал;
(в) Ап получается из Ап_г прибавлением положительной
величины, т. е. траектории процесса (Ап) являются возрастающими
функциями п\
(г) Ло = 0; Ап ^.^измеримо для каждого п и интегрируемо.
Мы будем называть возрастающим процессом всякий процесс
(В„), согласованный с семейством (<FJ и обладающий следующими
свойствами:
(а) Вп интегрируемо для каждого п\ 50 = 0;
(Р) траектории процесса (Вп) являются возрастающими
функциями п%

138
Гл. VII. Разложение супермартингалов
Предыдущее построение показывает, что любой дискретный
супермартингал (Хп) равен разности мартингала и возрастающего
процесса. Этот факт был отмечен Дубом, который поставил задачу
существования такого разложения в непрерывном случае. В
настоящей главе мы решим эту задачу; мы увидим, что разложение
(которое будем называть разложением Дуба) существует для
определенного класса супермартингалов. Будет также исследована
возможность такого разложения супермартингала, для которого
возрастающий процесс обладает непрерывными траекториями.
2. Рассмотрим теперь вопрос о единственности таких
разложений. Исходя из возрастающего процесса (Вп) и мартингала (Zn),
образуем супермартингал (Xn) = (Zn) — (Вп) и построим процессы
(Уп) и (Ап), как и выше. Тогда Вп = Ап для любого п в том и
только том случае, когда Вп ¥п_х-измеримо при каждом п. Таким
образом, существует только одно разложение (Хп)
рассматриваемого вида с возрастающим процессом, удовлетворяющим
дополнительно условию (г). В непрерывном случае имеет место
аналогичная теорема о единственности, но «естественный» возрастающий
процесс, входящий в разложение, определяется более сложно.
Мы надеемся, что эти несколько замечаний помогут читателю
разобраться в содержании этой главы, которая начинается без
предварительных объяснений с целого ряда «технических» лемм
о возрастающих процессах (имеющих некоторый самостоятельный
интерес). Читатель при желании может ознакомиться сначала с
основными результатами, содержащимися в § 3 и 4.
§ 2. Возрастающие процессы
03. Определение. Пусть (At)reR+—случайный процесс с
действительными значениями, согласованный с семейством (<Ff). Будем
говорить, что (At)— возрастающий процесс, если
(1) функции t -ллл-Л;(со) равны нулю п.н. при /==0,
возрастают и непрерывны справа;
(2) случайные величины At интегрируемы.
Будем говорить, что возрастающий процесс (At) интегрируем,
если
supE[i4f] <оо. (3.1)
t
4. Замечания. Процесс, согласованный с семейством (<Г*),
удовлетворяющий условию (1), но не обязательно условию (2), будем
называть возрастающим процессом в широком смысле.
Из условия (1) вытекает существование случайной величины
Л» = Нт Л^. Возрастающий процесс интегрируем тогда и только
t-+ao
тогда, когда Е [Л*] < оо.

§ 2. Возрастающие процессы
139
05. Определение. Пусть (Xt) — непрерывный справа
супермартингал. Мы скажем, что (Xt) допускает разложение Дуба, если
существует непрерывный справа мартингал (Mt) и возрастающий
процесс *(At), такие, что
Xt + At = Mt для любого /€R + . (5.1)
Предположим, в частности, что (Xt) — равномерно
интегрируемый потенциал. Так как математические ожидания Е [Mt] и Е [Xt]
ограничены, условие (3.1) выполнено и величина Лоо интегрируема.
Поэтому случайные величины At, будучи ограничены величиной
Л,», равномерно интегрируемы; таковы же по предположению и
величины Xt, следовательно, равномерно интегрируем и мартингал
(Mt). Поэтому в силу VI.T6(r) /W, = E[Moo | <F,]. Далее, Х«> = 0, и
формула (5.1) принимает вид
Xt=E[A„ | ¥г]—А% п.н.
Это приводит нас к следующему определению.
06. Определение. Пусть (At) — интегрируемый возрастающий
процесс и (Mt)—непрерывная справа модификация мартингала
(Е [Лоо | Ft])\ процесс (Mt — At) называется потенциалом, порожден*
ным (At).
Модификация (Mt), о которой говорится в этом определении,
существует (VI.Т4). Выражение «потенциал, порожденный (At)»
следует понимать в соответствии с соглашением п.VI.8 об
отождествлении непрерывных справа модификаций процесса. Нам нужно
только оправдать употребление слова «потенциал».
—> Т7. Теорема. Пусть (Xf)—потенциал, порожденный
интегрируемым возрастающим процессом (At). Тогда
(1) (Xt) есть потенциал класса (D);
(2) для любого момента остановки Т
ХТ = Е [Лда | <Fr]— Ат п.н. (7.1)
Доказательство. Процесс (Mt) является непрерывным справа
мартингалом, а процесс (Л^ — непрерывным справа
субмартингалом, так что (Xt) есть непрерывный справа супермартингал. Для
каждого / € R +
Xt = E [Лх | (FJ— Л, = Е[Лоо — Ах | Ft] >0 п.н.
Таким образом, в силу непрерывности справа выборочные
функции процесса (Xt) положительны. Наконец, по теореме Лебега
lim Е [Xt] = Е [Лоо] — Hm Е [At] = 0.
Итак, (Xt)~потенциал.
Пусть <£Г — совокупность всех моментов остановки. Случайные
величины МТ(Т€<&~) в силу VI.T19 равномерно интегрируемы.
Случайные величины Ат (Г£^Г) ограничены величиной Лда и по-

140
Гл. VII. Разложение супермартингалов
этому равномерно интегрируемы. Следовательно, (Xt)
принадлежит классу (D).
Чтобы доказать утверждение (2), достаточно заметить, что
ХТ = МТ—АТ
и
МТ = Е[А* | Гг] п.н. (в силу VI.T13 и 14).
Позднее мы покажем, что верна и обратная теорема: каждый
потенциал класса (D) порождается интегрируемым возрастающим
процессом (не обязательно единственным). Это позволит нам найти
необходимые и достаточные условия для того, чтобы
супермартингал допускал разложение Дуба.
Оставшаяся часть этого параграфа посвящена изучению
интегрируемых возрастающих процессов. Мы начнем с нескольких
элементарных замечаний, не выделяя их как теоремы.
Свойства сильного упорядочения
• 08. Определение. Пусть (Л,) и (Вt)—возрастающие процессы.
Мы скажем у что (Bt) мажорирует (At) в строгом смысле, и будем
писать (At)<^(Bt)y если процесс (Bt — At) возрастающий.
Пусть (Xt) и (Yf) —непрерывные справа супермартингалы. Мы
скажем, что (Yt) мажорирует (Xt) в строгом смысле и будем
писать (Xt)<^(Yt)y если процесс (Yt — Xt)—положительный
супермартингал.
9. Замечания (а) Пусть (At) и (Bt)— интегрируемые
возрастающие процессы, такие, что (Л,) <$(£,), и (Xt) и
(У^—соответствующие им потенциалы. Тогда (Xt)<^(Yt).
(б) Аналогичное определение можно сформулировать, очевидно,
и для возрастающих процессов в широком смысле.
(в) Пусть (Л?) (п g N) — возрастающая в строгом смысле
последовательность возрастающих процессов. Предположим, что
sup Е [ЛЯ < оо для каждого /€R + > и положим Л, = sup Л?. Пока-
жем, что (Л,) — возрастающий процесс. Так как выборочные функции
процесса (At) п.н. возрастают и равны нулю при / = 0 и все
случайные величины Ai интегрируемы, нужно только показать, что
функции s -лл/w As(co) непрерывны справа. При s</
0<ЛЛ<*>) — Л5л((оХЛ,((о) — Л? (со) п.н.
Так как случайная величина Ах п.н. конечна, то сходимость Л?(со)
на интервале [0, /] равномерна, откуда вытекает непрерывность
справа предельной функции. Заметим для дальнейшего, что из
п.н. непрерывности процессов (Л?) вытекает непрерывность
процесса (At).

§ 2. Возрастающие процессы
141
Непрерывная и разрывная части возрастающего процесса
10. Пусть (At)— возрастающий процесс и е — положительное
число. Определим по индукции моменты остановки:
П+1 (со) = inf {*: / > А (со), А, (со) - Л,_ (со) > е}
(см. п. IV.40). Далее, для каждого /gR + положим
Л/еИ= 2 (ATf(®)-AT*_(®))
Tf(u)<t
(сумма скачков, больших в). Ясно,' что (Af) — возрастающие
процессы, мажорируемые в строгом смысле процессом (At), причем
последовательность (Л?) возрастает в строгом смысле при
уменьшении е. Поэтому эта последовательность сходится при е—^0 к
возрастающему процессу (Af), который называется чисто разрыв-
ной частью процесса (At). Возрастающий процесс (Act) = (At— Af)
имеет п.н. непрерывные траектории; он называется непрерывной
частью процесса (At).
11. Разрывная часть допускает еще одно разложение. Для
заданной убывающей к нулю последовательности (ея) строго
положительных чисел положим
B^Aetn+1- Л?п.
Возрастающий процесс (Af) есть сумма процессов (В1}). Все
траектории процессов (В1}) имеют конечное число точек разрыва на
каждом компактном интервале; обозначим Тпт(<о) момент т-го
разрыва функции / -ллл*- В" (со) и апт (со)— величину скачка в этот
момент. Легко проверить, что Тпт—момент остановки и апт
(Fr^-измеримо. Поэтому
ВГ(<о) = апт(<»)1{Тпт<{}(<»)
— возрастающий процесс; его траектории имеют самое большее
одну точку разрыва и
C4?)=2(fi?-m)-
п,т
Замена времени, связанная с возрастающим процессом
Замена времени будет играть важную роль как в теории
мартингалов, так и при изучении марковских процессов.
Следующий результат восходит к Лебегу.
Т12. Теорема. Пусть а—функция на R+ с положительными
значениями, не обязательно конечная, возрастающая и непрерывная
справа. Для каждого /£R + положим
c(/) = inf{s: a(s)>t}. (12,1)

142
Гл. VIJ. Разложение супермартингалов
Функция с возрастает у непрерывна справа и
fl(s)==inf{/: c(t)>s\. (12.2)
Предположим, что а(0) = 0, и пусть f —положительная борелевская
функция на R + ; тогда
оо а (<ю)
lf(t)da(t)= $ f(c(t))dt. (12.3)
о о
Доказательство. Функция с, очевидно, возрастает и
непрерывна справа в каждой точке tt такой, что c(t) — oo. Предположим,
что с не является непрерывной справа в некоторой точке /, такой,
чтос(/)<оо. Тогда существует число Л, удовлетворяющее для
каждого б > 0 соотношению с (t) < h < с (t -j- е). Из этого
соотношения для каждого е > 0 вытекают неравенства a(h) > t и а (Л)<
^/ + е, приводящие к противоречию. Следовательно, функция с
непрерывна справа.
Заметим, что c(a(s))7^s для каждого sgR+ и, значит,
c(a(s-fe)) ^ s + e > s для каждого е > 0. Поэтому
a(s + e)>inf {t: c(t) > s)
и, так как функция а непрерывна справа,
a(s)>inf {/: с (/) >s}.
Пусть / таково, что c(t)>s. Из определения функции с вытекает
неравенство a(s)<t. Следовательно,
a(s)^ inf{t: c(t) > s\.
Таким образом, соотношение (12.2) доказано.
Предположим, что а(0) = 0и, для простоты, что
а—ограниченная функция. Пусть сначала / — индикатор интервала [0, s]\
проверим соотношение (12.3). Выражение в левой части равно a(s)\
выражение в правой части равно длине интервала /, = {/: c(t)^s}t
т. е. в силу (12.2) равно ini{t: c(t)> s} = a(s).
Обозначим Ж векторное пространство ограниченных борелев-
ских функций /, для которых выполняется соотношение (12.3), и
%—совокупность индикаторов интервалов вида [0, t]. Теорема
I.T20 показывает, что Ж содержит все ограниченные борелевские
функции. Равенство (12.3) с помощью предельного перехода
проверяется для всех положительных борелевских функций.
013. Определение. Пусть (At) — возрастающий процесс в
широком смысле. Совокупность моментов остановки (q)/€R+i определяемых
равенствами
ct((o) = inf{s: As(to)>t},
называется заменой времени, связанной с (At),

§ 2. Возрастающие процессы
143
Пусть (Xt)—случайный процесс, прогрессивно измеримый
относительно семейства (<Ff). Процесс (XCl)(eR+ называется
преобразованием процесса (Xt) с помощью замены времени (ct).
Заметим, что
{ct < а) <£гг> (существует рациональное s < а, такое, что As > /).
Отсюда следует, что ct есть момент первого попадания
прогрессивно измеримого процесса As в (/, + оо).
Траектории процесса (ct) непрерывны справа. Таким образом,
непрерывность справа сохраняется при указанном преобразовании.
Интегрирование по возрастающему процессу
14. Пусть (At)—возрастающий процесс в широком смысле (для
простоты мы будем предполагать, что случайные величины At п.н.
конечны). Пусть (Xt) — измеримый процесс с положительными
значениями (см. IV.041). Так как в силу II.Т14 каждая из функций
/-ллл^Х^(со) измерима, мы можем рассмотреть для каждого со
интеграл Лебега—Стильтьеса на R+:
со
Jxt(©)rfi4<(o>).
о
По теореме Фубини (II.T14) этот интеграл является <!Г-измеримой
функцией от со.
Предположим, в частности, что процесс (Xt) прогрессивно
измерим относительно семейства ($Ft). Рассмотрим процесс (Yt),
определяемый равенством
У,= $Х,Л4,
О
(точка t включается в область интегрирования). По той же
причине, что и выше, Yt «^-измеримо для каждого /gR + . Кроме
того, процесс (Yt) имеет непрерывные справа траектории.
Следовательно, в силу IV.T43 он прогрессивно измерим относительно
семейства (<Ft). Пусть Т—момент остановки; случайная величина
т
YT = lxsdAs
О
в силу IV.T45 ^-измерима.
В последующих теоремах будем рассматривать только
положительные случайные величины, чтобы не останавливаться на
вопросах интегрируемости. Символ Е[-|-] будет обозначать обобщенное
условное математическое ожидание,

144
Гл. VII. Разложение супермартингалов
Т15. Теорема. Пусть (Xt) и (Yt) — измеримые случайные процессы
с положительными значениями (не обязательно согласованные с
семейством (оГ*), такие, что для каждого момента остановки Т
Е[Хг/{г<со}]-Е[Уг/{г<.}]. (15.1)
Тогда для любого возрастающего процесса (At) и каждого t^oo
Sx,A4,=E \YsdAs
Lo
(15.2)
Доказательство. Рассмотрим сначала случай / = -f-oo. Введем
замену времени (cs), связанную с возрастающим процессом (As).
Из теоремы 12 и теоремы Фубини следует, что
Г оо "I Г со "*1 оо
Е J Х/М, =Е J XC9I{cs<» }ds = J Е [XCSI(C8<„ }]ds.
Lo J Lo Jo
Процесс (Ys) удовлетворяет аналогичным соотношениям, так что
достаточно заметить, что так как cs — момент остановки для
каждого s, то
Z[Xc8I{cs<«}]=E[YC3I{Cs<„}].
В случае когда t конечно, можно применить полученный
результат к процессу (Bs):
при s^/,
при s> /.
Замечания. Пусть Т—момент остановки и Н—множество из ¥т
Определим новый момент остановки
Г"((°) = (оо при со^Я,
Применим формулу (15.1) к моментам остановки Тн, где
Я—всевозможные множества из ¥т. Получим следующий результат
(очевидно, более сильный):
На
Е \Хт1{т<а>)\¥т\ = Е [YTI{T<„\\ГТ] п. н.
(15.3)
Формула (15.2) может быть усилена аналогичным образом. Пусть
Г — момент остановки, Я —произвольное событие из <Fr; применим
(15.2) (при / = + оо) к возрастающему процессу (В^), определяемому
равенством
BS = IH(AS-AT)I{S>T}.
Тогда получим общую формулу
.hX,di4,|FrJ = EMJK,
dAAW-,
п. н.
(15.4)

§ 2. Возрастающие процессы
145
Приведем простое, часто используемое следствие предыдущей
теоремы.
Т16. Теорема. Пусть (Yt) — положительный непрерывный справа
мартингал и (At)—возрастающий процесс. Тогда для любого /6R +
E[AtYt]=E
\YsdA$
(16.1)
Если мартингал (Yt) равномерно интегрируем, это равенство
справедливо также и при t = ~\-oo.
Доказательство. Докажем сначала последнее утверждение. Так
как мартингал (Yt) непрерывен справа и равномерно интегрируем,
то для любого момента остановки Т YT = Е [У* \¥т] п. н. (VI.
Т13 и 14). Поэтому достаточно применить предыдущую теорему
к процессу (Yt) и постоянному процессу, сводящемуся к случайной
величине У».
Равенство (16.1) легко устанавливается непосредственно, но все
же проще его доказывать сведением к уже рассмотренному
случаю, замечая, что упорядоченные множества [0, t] и [0, оо]
изоморфны.
Следующее утверждение можно применить, в частности, к
интегрируемым возрастающим процессам, которые порождают один
и тот же потенциал. При употреблении выражения «возрастающие
процессы» мы неявно предполагаем, что они согласованы с
семейством (<F,). Но читатель заметит, что это предположение не
используется в доказательстве.
Т17. Теорема. Пусть (At) и (Bt)—возрастающие процессы, такие,
что
E[Bt-Bs\¥s\ = E[At-As\Fs] п. н. (17.1)
для любой пары чисел s, / (O^s^t <оо). Пусть (Yt)—процесс
с положительными значениями, согласованный с семейством (<Ft) и
обладающий п. н. непрерывными слева траекториями. Тогда для
любого /^+оо
Jk.^Ue \\YsdB,
Lo J Lo
(17.2)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда /
конечно и случайные величины Ys ограничены константой. К общему
случаю можно перейти с помощью предельного перехода в
монотонных последовательностях.
Итак, допустим, что процесс (Ys) ограничен, и положим для
любого целого п > О
Yn = Y ,
Y! = Ykt/n при s€(«//i, (k+l)t/n] (k$N).

146
Гл. VII. Разложение супермартингалов
Так как траектории процесса (Ys) непрерывны слева, достаточно
установить равенство (17.2) для процессов (F?) и, используй
теорему Лебега, устремить п к бесконечности. Имеем
/2-1
Е \Y»dAs
= ^ E[Ykt/n(A(k+i)t/n—Akt/n)] =
о J * = 0
= 2 Е [Ykt/n^ [A(k+\)t/n—Akt/n\oFkt/n]]-
Аналогичное соотношение имеет место для процесса (Bs). Теперь
остается только заметить, что в силу (17.1)
Е [A(k+\)t/n—Akt/n\3rkijn\ = Е [B(k+\)t/n—Bkt/nl&'kt/n] п. н.
Замечания, (а) В формуле (17.2) математические ожидания можно
заменить условными математическими ожиданиями E[-|<F0].
(б) Формула (17.2) может быть распространена на все
положительные процессы (У,), такие, что отображение (/, со) -л/vw Yt (со)
измеримо относительно а-алгебры подмножеств R+xQ,
порожденной процессами с непрерывными слева траекториями.
§ 3. Единственность разложения Дуба
Мы начнем с теоремы единственности, доказательство которой
значительно проще доказательства теоремы существования.
Натуральные возрастающие процессы
Определение «натуральных» возрастающих процессов, которое
мы сейчас дадим, на первый взгляд является довольно
искусственным. Мы увидим позднее, что «натуральные» процессы
представляют собой, грубо говоря, пределы возрастающих процессов
с непрерывными траекториями. Мы увидим также, что они
естественным образом появляются в доказательстве теоремы
существования.
018. Определение. Пусть (At)—возрастающий процесс. Мы
скажем, что (At)—натуральный возрастающий процесс, если
* 1 г t 1
$V,A4,Ue $У,-<М, (18.1)
о J Lo J
для любого /6R+ и каждого положительного ограниченного
непрерывного справа мартингала (Yt).
Это определение упрощается в важном частном случае, когда
возрастающий процесс интегрируем. Справедлива следующая
теорема,

§ 3. Единственность разложения Дуба
147
Т19. Теорема. Пусть (At) — интегрируемый возрастающий процесс.
(1) Процесс (At) натурален тогда и только тогда, когда
]YsdA,\ = E\]Yt_dA.
(19.1)
для каждого положительного ограниченного непрерывного справа
мартингала (Yt).
(2) Если выполнено (19.1), то для любого момента остановки 7\
гт т г т
Sk,A4,Le \Ys.dAs
(19.2)
(3) При условии (19.1) возрастающий процесс (Bt) с
Bt = AtI{t<T} + ATI{t>T)
натурален.
Доказательство. В силу теоремы Лебега о монотонной
сходимости (19.1) немедленно следует из условия (18.1). Наоборот,
предположим, что выполнено условие (19.1). Покажем сначала, что
со "1 Гоо
Yt_ dB,
(19.3)
где (Ys) и (Bs) имеют тот же смысл, что и в утверждении теоремы.
Положим
Zs = YsI{s<T} + YTl{s>T}.
Поскольку этот процесс получается из мартингала (Yt) остановкой
в момент Т, он также является положительным ограниченным
мартингалом (VI.T13 и 14). Поэтому в силу (19.1)
jjz,^,j=E^Z,_A4,J
Отсюда, вычитая из обеих частей конечную величину
ЕГ J ZsdAs]=E\ $ Z,_A4J,
[(Г, oo) J [(T, oo) J
получаем равенство (19.3). Заметим, что равенства (19.3) и (19.2)
эквивалентны; следовательно, из (19.1) вытекает (19.2), откуда в
свою очередь вытекает (если положить T = t), что процесс (At)
натурален.
С другой стороны, соотношение (19.3) означает, что процесс
(Bt) удовлетворяет (19.1), т. е. процесс (Bt) также натурален.
Часто оказывается полезным следующее обобщение
соотношения (19.1).

148
Гл. VII. Разложение супермартингалов
T20. Теорема. Пусть (At) — натуральный интегрируемый
возрастающий процесс и (Yt) — положительный непрерывный справа
равномерно интегрируемый мартингал. Тогда
]Y,dAs\ = E\]Yt_dA
(20.1)
Доказательство. Для каждого ngN обозначим (F?)
непрерывную справа модификацию ограниченного положительного
мартингала (Е [УооЛл |оГ*]) (такая модификация существует в силу VI.
Т4.). Тогда, поскольку процесс (At) натурален,
SV7^=E $>?-А4,
(20.2)
для каждого пg N. Из теоремы VI.T16 следует, что для почти
каждого со € Q
lim Ynt (со) = Yt (со) для любого /€R + .
Таким образом, выражение в левой части (20.2) по теореме Лебега
о монотонной сходимости стремится к Е J YtdAt . Далее, для
Lo J
каждого со £ Q
К?_(со)< Yfl1 (со) для любых t и п.
Положим Zf((o) = lim Y?-.((o). Аналогичные рассуждения мы можем
Л-»-00
применить и к выражению в правой части (20.2), если покажем,
что для каждого со g Q
Zf(co) = Ff_ (со) для любого /gR+.
Для любых е>0 и ngN в силу неравенства (VI.1.2) имеем
Pi sup(V,_—Z,_)>e\<P J sup(Kt—V7)>ej =
= P{inf(F?-Kt)<-eK-iE [Yt-Y7].
Отсюда следует, чтд выражение в левой части равно нулю.
Теорема доказана
Теорема единственности
—> Т21. Теорема. Пусть (Xt) — непрерывный справа супермартингал.
Существует самое большее один натуральный возрастающий процесс
(At)y такой, что процесс (Xt-\-At) — мартингал.
Доказательство1). Пусть (Bt)—другой натуральный
возрастающий процесс с тем же свойством. Мы покажем, что At = Bt п. н.
1) Это доказательство принадлежит Ф. Куррежу,

§ 4. Теорема существования
149
для любого /£R + . Это и будет требуемым результатом, так как
мы отождествляем непрерывные справа модификации одного и
того же процесса. Достаточно показать, что для любой
ограниченной положительной ^-измеримой случайной величины Y
E[YAt) = E[YBt]
(см. замечание 11.9(a)). Обозначим (Ys) непрерывную справа
модификацию мартингала (Е[К|^]). По теореме 16, в силу того что
процессы At и Bt натуральны,
E[YAt] = E
Е [YBt] = Е
L0
\YsdAs
О
t
\YsdBs
= Е
= Е
\Ys_dAs
О
/
\Y,_dB,
Так как процесс (Bt—At) — мартингал, то выполнено условие
теоремы 17, и получаем
.о J Lo J
Теорема доказана.
§ 4. Теорема существования
Мы установим сначала существование интегрируемого
возрастающего процесса, порождающего потенциал класса (D) (Т29).
Необходимое и достаточное условие существования разложения
Дуба будет дано в п. 31.
Основным звеном в доказательстве будет теорема о
равномерной интегрируемости (Т25). Мы докажем ее для всех натуральных
интегрируемых возрастающих процессов, но читатель заметит, что
для доказательства теоремы существования нужен менее общий
результат. А именно, в теореме существования используется этот
результат лишь для возрастающих процессов вида
At=\Hsds,
где (Ht) — процесс, согласованный с семейством (<Ft), с
положительными значениями и непрерывными справа траекториями.
Учитывая это замечание, можно сократить доказательство теоремы 29.

150
Гл. VII. Разложение су пер мартингалов
Свойства, связанные с равномерной интегрируемостью
22. Докажем сначала общую формулу для интегрирования по
частям, несколько отличную от кл-ассической.
Пусть / и g—возрастающие непрерывные справа функции на
R+, такие, что f(0)=g(6) = 0. Предположим также для простоты,
что величины /(оо) = lim/(/) и g(oo) = Iim g(t) конечны. Тогда
/(oo)g(oo)= J df(x)dg(y).
R + XR +
Обозначим D+ множество точек пространства R+xR + ,
расположенных выше (но не на) диагонали, и D~ — его дополнение.
Применяя теорему Фубини к интегралам ^ df(x)dg(y) и ) df(x)dg(y)t
D+ D~
получаем
СО 00
f(oo)g{oo)=\[g{*>)-g{u)]df{u)+\[f{<*)-f{u-)]dg{u)y (22.1)
о о
где f (и—) обозначает предел слева функции / в точке и. Отсюда
вытекает общая формула
СО 00
f(oo)g(oo) = lg(u)df(u)+lf(u-)dg(u). (22.2)
о о
Эта формула не симметрична относительно / и g. Ее
«симметризация» дает формулу интегрирования по частям, приведенную Хью-
иттом [1].
В следующей формуле р > 0—целое, /—возрастающая
непрерывная функция, равная нулю при / = 0:
00 со со
/(co)> = pl$d/(«,)$<*/(и,)... J df(up). (22.3)
О их Mp_t
Приводимое далее тождество (23.1) в менее общей форме впервые
использовалось Волконским [1].
Т23. Теорема. Пусть (Xt)—потенциал, порожденный
интегрируемым натуральным возрастающим процессом (At). Тогда
Е[Л^]=Е
\](Xt + Xt_)dAt
(23.1)
Доказательство. Обозначим (Л?) ограниченный интегрируемый
возрастающий процесс (Atf\n) (n£N) и (X?) — потенциал,
порожденный (Л?). Процесс (Х? + А?) есть непрерывная справа
модификация мартингала (Е [А% \ W*])> а (А^ — натуральный возрастающий

§ 4. Теорема существования
151
процесс, поэтому из Т16 и Т20 мы получаем
Е[А00Ап00]=Е
Следовательно,
2E[AOQArl]^E
оо "1 Гоо "1
l(X? + A?)dAt\ = E \\(XU + AU)dAt \.
О J LO J
\(Х1 + Х1- + А1 + АШАЛ.
Выражение в левой части этого равенства по формуле (22.2) равно
Lo . J Lo J
Так как второй интеграл конечен, мы приходим к соотношению
Теперь устремим п к бесконечности. Выражение в правой части
последнего равенства стремится к
](At + A^)dAt
-Е[Л1]
(формула (22.2)). С другой стороны, в силу VI.T16
lim XI (со) = Xt (со) для каждого / п.н.
п
Случайные величины Х?_ возрастают с ростом я. Поэтому
существует их предел при п—юо, который мы обозначим Yt. Покажем,
что
Ff(co) = Xf_ (со) для каждого / п.н.
Действительно, для любого е>0 по формуле (VI. 1.2)
P{sup(Xf_-y<)>e^<P{sup(Xf-X?)>e}<
^P{\ni(X?+A?-Xi-At)<-e}^^E[A00-An00]t
Так как последнее математическое ожидание стремится к нулю
при п—*оо, мы видим, что величина, стоящая в левой части, равна
нулю. Остается лишь применить теорему Лебега о монотонной
сходимости.
Т24. Следствие. Пусть (At)—возрастающий натуральный
интегрируемый процессу потенциал (Xt) которого ограничен константой с.
Тогда
Е[Лу<2А (24.1)

152
Гл, VII. Разложение су пер мартингалов
Доказательство вытекает из следующей цепочки неравенств:
ЕИ1]=Е
\](Xu + Xu_)dA»
Lo
;2сЕ[Лоо]=2сЕ[Х0]<2са.
Замечание. Теоремы 29 и 37, являющиеся основными
результатами этой главы, можно доказать, используя соотношение (23.1)
только для, возрастающего непрерывного процесса (At). В этом
случае соотношение (23.1) выводится очень просто. Действительно,
из (22.1)
Ai = 2][Aw-At]dAt.
Беря математическое ожидание от обеих частей этого равенства,
замечая, что Хг = Е[Л00 — At \ ¥т\ п.н. для каждого момента
остановки 7\ и применяя Т15, мы получаем
Е[Л^]=2Е
5(Л„-Л,)^=2Е $X,d,4f
Lo J Lo
что эквивалентно (23.1), когда процесс (At) непрерывен.
—>Т25. Теорема. Пусть (Yt) — непрерывный справа потенциал
класса (D) и Л—совокупность всех интегрируемых возрастающих
провесов, порождающих потенциалы, мажорируемые (Yt). Тогда
семейство случайных величин Аоо, связанных с процессами (At) £ Л, равномерно
интегрируемо.
Доказательство. Пусть с—положительная константа.
Обозначим 71с(со) момент остановки, равный
inf{/: УЛ<*)>с},
и пусть г (с) —математическое ожидание Е [Утс11тс<<*\ ]• BVI.T20
мы видели, что г (с) стремится к нулю, когда с стремится к оо.
Для каждого процесса (At) £ Л введем процесс
Act = Atl{t < Те\ + Агс/|/ >тс\.
Обозначим (Xt) и (Xct) потенциалы, порожденные (At) и (Act)
соответственно. Если мы покажем, что выполняются следующие
неравенства:
(1) Е[Л0О-Л^]<г(с),
(2) Е[(ЛСоо)2]<2с2,
то можно будет легко доказать равномерную интегрируемость.
Действительно, пусть е > 0; выберем с настолько большим, что

§ 4. Теорема существования
153
г (с) < е/2, и покажем, что
независимо от Л*,, если а достаточно велико. В силу соотношения (1)
этот интеграл ограничен величиной
r(c)+ J Ae„dP,
{А«>а}
и остается только показать, что выбором достаточно большого а
можно добиться, чтобы второе слагаемое было меньше е/2. Так как
в силу (2) случайные величины Ас„ равномерно интегрируемы (см.
II.T22), то достаточно убедиться, что вероятность Р {Л» > а)
ограничена некоторой функцией от а, стремящейся к нулю при а—>оо
(II.T19). Имеем
Р{Л„ > аК|Е [Л.] =|е [Х0] <±Е [Ув].
Установим теперь неравенства (1) и (2). Первое доказывается
следующим образом:
Е [A. — Ai.] =Е [Л„-ЛГо] = Е [Е [Л„- АТс \ ¥тв]\ =
= Е[ХГв]<Е[Уг.]=г(с).
Переходя ко второму неравенству, заметим, что процесс (Act)
натурален (Т19). Поэтому достаточно показать, что процесс (Хс{)
ограничен константой с, и затем применить Т24. Заметим, что
неравенство Ft(co)>c влечет за собой неравенство Tc(u>)^.t, и, значит,
Л£, (со) — Л£(со) = 0. Следовательно,
Х? = Е[Л^-ЛЯГ,]^Е[(Л^-Л?)/{у<<с}|^] =
= Е[Л^-Л?|^]/{у<<с}<Уг^кКс} п.н.
Для завершения доказательства осталось воспользоваться
непрерывностью справа процесса (XJ).
26. В п. 1 мы построили возрастающий процесс (Л„), связанный
с дискретным супермартингалом {Хп):
An=niiXk-E[Xk+1\rk]).
В непрерывном случае естественно искать аналогичную формулу,
в которой суммирование заменяется интегрированием, а «разностный
оператор» под знаком суммы—«производной». Последнее понятие,
однако, трудно определить. Поэтому мы используем разностные
отношения и перейдем к пределу.

154
Гл. VII. Разложение супермартингалов
027. Определение. Пусть (Xt)teR+—непрерывный справа потен-
циал класса (D) и Л > 0 — некоторое число. Обозначим (phXt)teR+
непрерывную справа модификацию супермартингала
Г* = Е[Х,+л|Г,]. (27.1)
(а) Покажем, что это определение корректно. Пусть s</. Тогда
Е [Yt | Fs] = Е [Xt4l | Wt | Ws\ - E [Х,+л | Г J =
= Е[Х,+Л|Г,+Л|Г,]<Е[Х,+Л|Г,]=Г, п.н.
Таким образом, процесс (Yt)— супермартингал. Так как функция
/-ллл^Е [Yt] =Е [Х*+л] непрерывна справа, по теореме VI.Т4
существует непрерывная справа модификация (Yt).
Для каждого / Yt^.Xt п.н. Отсюда следует, что
супермартингал {phXt) мажорируется (Xt); поэтому он является потенциалом
класса (D).
(б) Пусть Т — момент остановки (конечный или нет). Тогда
phXT = E[XT+h\FT] п.н. (27.2)
Действительно, обозначим (Тп) последовательность элементарных*)
моментов остановки, убывающую к 7\ например моменты
остановки Т{п) п. IV.39. Легко проверить, что
РьХтп = Е [Хтп^\^тп] п.н.
Пусть Л—множество из ¥т. Тогда
А А
При п—►оо величина, стоящая в левой части, в силу
непрерывности справа супермартингала (phXt) и равномерной
интегрируемости случайных величин рнХтп (чтобы показать это, надо
заметить, что супермартингал (phXt) принадлежит классу (D) или
воспользоваться V.T21 (а)) стремится к \phXTdP. Аналогично вели-
л
чина в правой части стремится к \ XT+hdP. Формула (27.2) уста-
А
новлена.
Замечание. Определение 27 может быть распространено на
любой непрерывный справа супермартингал; при этом формулу (27.2)
нужно применять с некоторыми предосторожностями. Константу h
можно заменить моментом остановки. Эти обобщения нам не
понадобятся.
1) То есть являющихся элементарными функциями ш.^Прим. перев

§ 4. Теорема существования
155
->. Т28. Теорема. Пусть (Xt) — непрерывный справа потенциал класса
(D) и (А1})—возрастающий процессу определяемый равенствами
M=lXs~£hXsds (*€R+).
(28.1)
(1) Возрастающий процесс (А1}) интегрируем и порождает
потенциал (Xt), мажорируемый (Xt). Для любого момента остановки Т
x^Hl
XT+Sds\ ¥т
п.н.
(28.2)
(2) Потенциалы (X?) возрастают при убывании Л; для каждого
момента остановки Т
lirn Х% — Хт в Ьх-норме.
h - о
(28.3)
Доказательство, Имеем
АЕ[Л?]=Е
Г h
' * 1 Г < И
J (Xs*-phXs)ds =E К (Xs-Xs+h)ds\ =
о J Lo J
= E
t+h
lXsds\ — E\ J Xsds < Je[XJ ds.
Поэтому величина HE [А1}] остается ограниченной при /—►со, что
означает интегрируемость возрастающего процесса (Ац). Пусть Т —
момент остановки, В—множество из WT и и > 0 — некоторое число.
Тогда
l(A%+u-A\)d9 = ^l\{XT+s-phXT,s)ds\dl>,
• в \о
Из (27.2) получаем
S Ph*t+s dP = S Е [XT+s+h | FT+S] dP = J XT+s+h dP,
и, следовательно,
г w
в lo
В \ 0 / В \ u /
dP =
dP.

156
Гл. VII. Разложение супермартингалов
Учитывая, что
[u + h -| h
\ XT+sds\^^E[XT+a+s]ds^hE[XT+u},
и J О
устремим и к бесконечности. Величина в правой части в последнем
соотношении при и—► «> стремится к нулю, поскольку (Xt)—
потенциал класса (D). Поэтому
j Х\ dP = J (Ai - Ahr) dP = J (± J Xr+, <fa) rfP,
s в в \ о /
что эквивалентно (28.2). Далее,
5 о \в /
Функция s -ллл** j Xr+,dP убывает, непрерывна справа и стремится
к \ XTdP при s —*0. Поэтому интеграл в левой части возрастает
в
при убывании Л. Отсюда следует (11.9(a)), что случайные величины XhT
возрастают п.н., когда h убывает. Так как интегралы от них
остаются ограниченными, существует предел в L1, который должен
совпадать с ХТ.
Пусть (Ля) — последовательность, убывающая к нулю.
Процессы (Х)п ) образуют возрастающую последовательность непрерывных
справа супермартингалов. Поэтому в силу VI.T16 для почти
каждого со £ й
Xt(to)= lim Х*п(со) для любого /£R + .
Перейдем теперь к теореме существования.
—>Т29. Теорема. Пусть (Xt)—непрерывный справа потенциал
класса (D). Тогда существует интегрируемый натуральный
возрастающий процесс (At), порождающий (Xt); этот процесс единствен. Для
любого момента остановки Т
Лг= lim AhT (29.1)
h ■+ О
в смысле слабой топологии сг(/Л L*).
Доказательство. Потенциалы {X1}), порожденные возрастающими
интегрируемыми процессами (Л?), мажорируются (Xt). Поэтому
в силу Т25 случайные величины Анм равномерно интегрируемы.
Пусть U — ультрафильтр1) на R+\{0}, сходящийся к 0. Из крите-
1) Читатель при желании может отказаться от использования ультрафильтров
и оперировать с последовательностями, стремящимися к 0, опираясь на
утверждение (3) II.T23.

§ 4. Теорема существования
157
рия компактности Данфорда—Петтиса (II.T23) следует, что
отображение Л-ллл-Л! имеет предел по фильтру 1Д в топологии о (L1,
L00). Этот предел обозначим Ах и непрерывную справа модификацию
мартингала (Е [Лда |<F*]) обозначим (Mt). Положим
At = Mt — Xt для любого /£R + . (29.2)
Покажем, что (Л,)-—натуральный интегрируемый возрастающий
процесс, порождающий (Xt).
Заметим сначала, что случайные величины Анж cFoo-измеримы;
поэтому ^«-измерим и их предел Аж (см. 11.9(6)). Следовательно,
lim Mt^.Acc п.н. (VI.T6 и V.T18). С другой стороны, IimX,-О
п.н. и, значит,
lim At = Л» п.н.
(29.3)
Пусть Т—момент остановки. Тогда
Л*=Е[ЛЦГГ]-ХЛ,.
Оператор условного математического ожидания непрерывен в
топологии o(Lly L00) (см. 11.48). Поэтому условное математическое
ожидание в правой части сходится по фильтру ЦкЕ [Л» \qFt] = Мт
п.н. Величина Х\ в силу Т28 сходится сильно к Хт. Таким
образом,
limAhT = MT—XT-=AT (29.4)
в смысле слабой топологии. В частности, для любых s и /, таких,
что s < /,
As = lim Л*<Нт Л? = At п.н.
и it
(см. замечание 11.9(a)). Ясно, кроме того, что А0 = 0 п.н. Так как
траектории процесса (At) непрерывны справа, отсюда вытекает,
что (At) — возрастающий процесс. Этот процесс интегрируем (в силу
(29.3)) и порождает (Xt) (см. (29.2)). Остается показать, что (At)
натурален.
Пусть (Yt) — ограниченный положительный непрерывный справа
мартингал. Поскольку процесс (Л?) непрерывен, то
$K,A4*Le \\Y^dA
о J Lo
(29.5)
Рассмотрим пределы обеих величин по фильтру U. Из Т16 и
определения слабой топологии (К» ограничено) получаем
НтЕ
ir
U
= lim Е [Y„A4.] = Е [УЛАФ\ = Е
\Y,dAt

158
Гл. VII. Разложение супермартингалов
Рассмотрим величину в правой части (29.5). Пусть е > 0; построим
индуктивно функции
Т = 0,
Тп+1 (со) = inf {t: t > 7\>); | Yt(co)-YTn(со)| > е}.
Читатель легко проверит, что эти функции являются моментами
остановки (см., например, IV.40 и IV.49). Далее, |YTn+t — Утп\^г
на множестве {7^+, < оо}, откуда, поскольку траектории (Yt) имеют
пределы слева п.н. в каждой точке, включая / = + °о, получаем,
что ГЛ —оо п.н. для достаточно больших л.
Следовательно,
Е
|S^-d^hEfS S Ys_dAs].
L0 J L n (Тп, rn + 1] J
С другой стороны, |K,_ — Угп|<е для любого s€(Tn, Тп+1].
Следовательно, сумма, стоящая под знаком математического ожидания
в правой части, отличается по модулю от 2 ^тп (^гЛ+1 — Атп) самое
п
большее на еЛ». Поэтому
5П.^| = Е[2^п(Лгп+1-ЛГп)]+сс,
где а ограничено по модулю величиной еЕ [Лто] =еЕ [Х0]. Пусть
С —константа, ограничивающая мартингал (Ff), ир — положительное
целое число. Тогда
+ Е
= Е
где Р ограничено по модулю величиной СЕ [А„—Ат,]=СЕ[Хтр].
Точно так же
2 УтААтп+,-АТл)
L/j=o
[со
\2УтЛАтл+,-АТл)
1п-р
|2 Утп(АТп+-АТп)
+
Е
\Ys-dA
2[УтЛА\п+-А\п) + рЛ + аА,
П = 0
где аЛ ограничено по модулю величиной еЕ [X{J] <еЕ [Х0], а РА—
величиной CE[Xj-p|<CE [ХТр]. Далее, в силу (29.4) и по
определению слабой топологии
Ит Е [2 Кг.И*г.+ - <,)] = Е Ру Уг.Мг.+.-Лг.)].
и L/2=o J L«=o J

§ 4. Теорема существования
159
Следовательно, разность между
не превосходит величины 2еЕ [Х0] + 2СЕ [ХТр]у которая может быть
сделана как угодно малой, поскольку е произвольно и Е [Хтр]
стремится к 0 при р—>оо.
Таким образом, в (29.3) переход к пределу можно осуществить
по фильтру Ц, и теорема 19 показывает, что (At)—натуральный
возрастающий процесс.
Теперь мы в состоянии завершить доказательство. Действительно,
мы знаем (Т21), что натуральный возрастающий процесс (Л*),
порождающий (Xt), единствен. Поэтому
Ат = ИшАт (в слабом смысле в L1)
и
для любого момента остановки Т и любого ультрафильтра U на
R+\{0}, сходящегося к 0. Следовательно,
Лг= Hm At.
Теорема полностью доказана.
Доказательство теоремы 29 может служить моделью для целого
ряда аналогичных доказательств, и мы будем к нему несколько
раз возвращаться. Следующая теорема доказывается точно таким
же образом; мы формулируем ее только для последовательности
потенциалов, хотя сходимость в ней имеет место по любому фильтру.
—>-Т30. Теорема. Пусть (Yt)—непрерывный справа потенциал
класса (D); (X?)(n€N) и (Xt) —непрерывные справа потенциалы,
мажорируемые (Yf). Предположим, что для любого момента
остановки Т:
lim Хт = Хт в топологии o(L\ L°°). (30.1)
Обозначим {А1}) (соответственно (At)) интегрируемый натуральный
возрастающий процессу порождающий (XI) (соответственно (Xt))9
Тогда для любого момента остановки Т
lim А т — А т в топологии o(L\ L°°). (30.2)

160
Гл. VII. Разложение супермартингалов
Эта теорема применима, в частности, к возрастающим
последовательностям потенциалов, мажорируемых потенциалом из класса D
(VI.T16).
Существование разложения Дуба
->Т31. Теорема. Непрерывный справа супермартингал (Xt) допускает
разложение Дуба
Xt = Mt—At (31.1)
(где (Mt) —непрерывный справа мартингал и (At)—возрастающий
процесс) тогда и только тогда, когда он принадлежит классу (DL)
(см. VI.017). Если (Xt)£(DL), то существует разложение (31.1),
в котором процесс (At) натурален; такое разложение единственно.
Доказательство. Предположим, что (Xt) имеет разложение вида
(31.1). Процесс (Mt) в силу VI.T19 принадлежит классу (DL) и
процесс (At)y очевидно, тоже. Поэтому супермартингал (Xt)
принадлежит классу (DL).
Наоборот, предположим, что (Xt) принадлежит классу (DL).
Пусть п > 0—целое число, g—непрерывная строго возрастающая
функция, отображающая [0, п) на [0, оо), и Л—обратная ей функция.
Для любого t£ [О, оо) положим
Супермартингал (Yt) относительно семейства (St) принадлежит
классу (D); разложим его на равномерно интегрируемый мартингал
и потенциал (Y't) класса (D) (VI.T11) и применим к (Y't) теорему
существования Т29. Существует натуральный интегрируемый
возрастающий процесс (Bt), такой, что процесс (Y't-\-Bt), а значит, и
(Yt-\-Bt) — мартингалы. Наконец, положим
A? = Bg{i) при /€[0, п).
Из теоремы единственности (Т21) немедленно следует, что процесс
(Л?+1) совпадает с (А?) на [0, /г). Поэтому существует натуральный
возрастающий процесс (At)y совпадающий с (Л?) на [0, п) для
каждого n£N. Таким образом, процесс (Xt + At) есть мартингал (Mt)y
и в силу Т15 разложение (31.1) единственно.
Замечание. Будем говорить, что положительный непрерывный
справа супермартингал (Xt) допускает обобщенное разложение, если
существуют непрерывные справа процессы (At)y (Mt) и
последовательность (Тп) моментов остановки, такие, что:
(а) Тп п.н. конечны и возрастают к +оо;
(б) Xt + At = Mt\
(в) остановкой в моменты Тп из (At) получаются интегрируемые
натуральные возрастающие процессы;

§ 4. Теорема существования
161
(г) процессы, полученные остановкой (Mt) в моменты Тп,
являются мартингалами.
К. Ито и Ш. Ватанабе, используя замечание VI.22
(принадлежащее им), доказали1) существование и единственность обобщенных
разложений для любых положительных супермартингалов.
Потенциалы класса (D) и ограниченные потенциалы
Следующая теорема является полезным следствием теоремы
существования.
—>Т32. Теорема. (1) Пусть (X?)—последовательность непрерывных
справа потенциалов класса (D) и (Xf) = 2(^?)- Тогда (Xt)—потен-
п
циал класса (D) в том и только том случае, когда Е [Х0] < оо.
(2) Каждый непрерывный справа потенциал класса (D) равен сумме
ряда ограниченных непрерывных справа потенциалов.
Доказательство. Предположим, что Е [Х0] <оо. Известно(VI.T16),
что (Xt) — непрерывный справа супермартингал. Пусть (Л?)
—интегрируемый возрастающий процесс, порождающий (X?), и (Л,)=2(Л?).
п
Тогда
EMJ = E[S^i]=SE[XS]=E[X0]<oo.
Из замечания 9(в) следует, что (А,) —интегрируемый возрастающий
процесс, и по теореме Лебега
Xt = E[A„\Ft]-At п.н.
Таким образом, в силу Т7 процесс (Xt) — непрерывный справа
потенциал класса (D).
Докажем теперь утверждение (2). Пусть (Х^) —непрерывный
справа потенциал класса (D) и (At) — интегрируемый возрастающий
процесс, порождающий (Xt). Для каждого /zgN обозначим (Л?)
интегрируемый возрастающий процесс {Atf\n)> потенциал которого
ограничен /г, и {В1}) — интегрируемый возрастающий процесс
(A?+1 — A'f), и пусть (X?) — потенциал, порожденный (В?). Ясно, что
при каждом п эти потенциалы ограничены и
№)=Sw).
п
l) Ito К. and Watanabe S., Transformation of Markov Processes by
Multiplicative Functional, Ann. Inst. Fourier, Grenohle, 15 (1965), 13—30.

162
Гл. VII. Разложение супермартингалов
Регулярные потенциалы и непрерывные возрастающие процессы
Так как натуральный возрастающий процесс (At), порождающий
потенциал (Xt)> однозначно определен, естественно задаться
вопросом, из какого свойства (Xt) вытекает, что (At) обладает некоторым
желаемым свойством. Мы сейчас найдем условие, при котором
траектории процесса (At) непрерывны. Наш метод основывается на
фундаментальной лемме, позволившей Шуру [1] исследовать
аналогичную задачу для марковских аддитивных функционалов
(отсутствие этой леммы в работе Мейера [2] было компенсировано
дополнительными предположениями, в действительности не необходимыми).
Для краткости мы будем говорить «непрерывные процессы» вместо
«процессы с п.н. непрерывными траекториями».
033. Определение. Пусть (Xt),€R+ — непрерывный справа супермар-
тингал класса (DL). Мы скажем, что супер мартингал (Xt)
регулярен, если для любой возрастающей последовательности (Тп)пен
моментов остановки, сходящейся к ограниченному моменту остановки 7\
HmE[Xrn] = E[Xr]. (33.1)
п
Замечания, (а) Всякий непрерывный справа мартингал регулярен.
(б) Предположим, что регулярный супермартингал (Xt)
принадлежит классу (D). Тогда соотношение (33.1) справедливо для любой
возрастающей последовательности моментов остановки (Тп),
конечных или нет, сходящейся к моменту остановки 7\ конечному или
нет. Действительно, разложим (Xt) на равномерно интегрируемый
мартингал (Mt) и потенциал (У*) класса (D). Так как
математическое ожидание Е [Мтп] постоянно (равно Е [Мт] в силу VI.T13 и 14),
то достаточно проверить, что
HmE[Kr.]=E[Kr].
П
Для любого t£R+ из (33.1) получаем
ПтЕ[ГглЛ/]-Е[У,л/].
п
Заметим теперь, что каждый из четырех интегралов
J YtdP, S YTndP, I YtdP и S YTdP
{Tn=t\ {Тп>*\ {T = t\ {T>t}
ограничен величиной E [Yf] (VI.T13), и эта величина произвольно
мала при достаточно большом /.
Последующие теоремы формулируются только для потенциалов
класса (D). Распространение их на супермартингалы из класса (DL)
не составляет труда, и мы предоставляем это читателю.
Сначала приведем несколько элементарных результатов для
регулярных потенциалов, которые будут использоваться при
доказательстве основной теоремы.

§ 4. Теорема существования
163
Т34. Теорема. Пусть (Xt)—потенциал класса (D), непрерывный
справа и регулярный.
(1) Всякий непрерывный справа потенциал (Yt), такой, что
(Yt)<^(Xt) (п. 8), регулярен.
(2) Существует последовательность регулярных ограниченных
непрерывных справа потенциалов (X?), такая, что (Xt) = 2(X?).
п
Доказательство. (1) Существует потенциал (Zt), такой, что
(Xt) = (Yt) + (Zt). Пусть Т—момент остановки и (Тп) —
возрастающая последовательность моментов остановки, сходящаяся к Т.
В силу VI.T13 для любого n£N
E[YTn]>E[YT]. E[ZrJ>E[Zr],
и, следовательно,
lim Е [YTn] > Е [YT] и lira Е [ZTfl] > Е [ZT].
П П
Эти два неравенства представляют собой на самом деле равенства,
потому что их сложение в силу регулярности (Xt) приводит к
равенству.
Чтобы доказать (2), достаточно рассмотреть ограниченные
потенциалы (X?), построенные в п.32, и заметить, что каждый из них
в силу (1) регулярен.
Т35. Теорема. Пусть (Xt)—потенциал класса (D), непрерывный
справа и регулярный. Тогда потенциал (phXt) (п.27) регулярен.
Доказательство. Пусть (Тп) — возрастающая последовательность
моментов остановки, сходящаяся к моменту остановки Т. По
формуле (27.2) получаем: Е[рнХТп}=Е[Е[ХТп+н\^тп]]^Е[Хтп+н]
и аналогично Е [phXT] = Е [Хт+h]. Теперь достаточно заметить, что
моменты остановки Tn + h возрастают к Т+h.
Приведем два результата, принадлежащих Шуру.
Т36. Теорема. Пусть (Xt)—регулярный непрерывный справа
потенциал класса (D).
(1) Пусть (X?)—возрастающая последовательность непрерывных
справа потенциалов, сходящаяся к (Xt). Для любого г > О положим
Тпе (со) = inf {t:Xt (со)—X? (со) > е}. (36.1)
Тогда моменты остановки Те возрастают с ростом п, и
lim Р{Ге <оо} = 0. (36.2)
п -* оо
(2) Пусть (Л?), n£N, (соответственно (At))—натуральный
интегрируемый возрастающий процесс, порождающий (X?)
(соответственно (Xt)). Предположим, что процесс (Xt) ограничен. Тогда
случайные величины Л£, Л*» принадлежат J?2, и
lim Е[(ЛЖ — Л£)2]=0. (36.3)
8-* CD

164
Гл. VII. Разложение супермартингалов
Доказательство. Процесс (Xt—X?) непрерывен справа. Из IV.40
следует, что Т% — момент остановки и, очевидно, Тпг возрастает
с ростом п. Положим T = limT". Применяя VI.T13 к процессу (X?),
п
получаем
НтЕГХ' 1>Е[Х£]
и в силу регулярности (Х^)
ПтЕГХ Л = Е[ХГ].
п-+ оо L е J
Таким образом, для каждого р
Е[Хт-Хрт]^ПтЕ\Хтп-Хртп] .
л-» ос L Е е J
С другой стороны, при р^п в силу (36.1)
откуда следует, что для любого p€N
Е[Хг — хЯ>еНтР{П< оо}.
П -у 30
Теперь можно вывести формулу (36.2), так как в силу VI.T16 и
теоремы Лебега величина в левой части стремится к нулю при р—►оо.
Далее, предположим, что процесс (Xt) ограничен константой с.
Тогда и каждый из процессов (X?) ограничен этой константой, что
влечет за собой в силу Т24 соотношения
E[(i4ee)"]<2c1 и Е[(Л2>)2]<2с2. (36.4)
Обозначим (Yt) процесс (Xt—X1) и (Bt) — процесс (At—Л?). Так
как случайные величины Аж и А% принадлежат J?2, то мы можем
доказать (23.1) и для процесса (Bt), который равен разности
натуральных возрастающих процессов. Получим
E[(/4.-i4»)»J = E[5i] = E
"оо ~]
l(Y. + YaJdBu\
Lo J
Разобьем последнее выражение на два интеграла
Е[ J (Ya + Ya_)dBa]
и
еГ S (у»+у«
-)dBu~\.
(36.5)
(36.6)

§ 4. Теорема существования
165
Но F8((o)<8, FD.((o)<e для любого agfo, Г£(со)). Поэтому
первый интеграл по абсолютной величине не превосходит
28ЕГ J d(Aa+Anu)'
[[о, т2)
Модуль второго интеграла ограничен величиной
< 2еЕ [Л. + А1] < 4еЕ [Х0].
$ 1{тп
{П«>}
[(Xu + Xnu + Xu„ + X»uJ>d(Au + AZ)dP^
а последнее выражение в силу неравенства Шварца и (36.4) не
превосходит
4с(Е [(Л J*])i/'(P {71 < оо})»/« +4с(Е [(Л» )•])»'» (Р {П< оо})»/»<
<8К2с2(Р{71<оо})1/2.
В силу (36.2) величина в правой части стремится к 0 при п—►оо.
Окончательно мы получаем
HmE[(i4.-i4i)»]<4eE[X,],
откуда ввиду произвольности е вытекает (36.3).
Следующая теорема так же важна, как и теорема 29.
(Обозначения (Л?), (Х1}) имеют тот же смысл, что и в п. 28 и 29.)
-> Т37. Теорема 1). Пусть (Xt) — непрерывный справа потенциал класса
(D) и (At)—натуральный интегрируемый возрастающий процесс,
порождающий (Xt) .
(1) Процесс (At) непрерывен moedd и только тогда, когда
потенциал (Xt) регулярен.
(2) Для любого момента остановки Т
limE [Цг — i4|] = 0. (37.1)
Доказательство. Предположим, что потенциал {Xt) порождается
непрерывным интегрируемым возрастающим процессом (At).
Обозначим (Тп) возрастающую последовательность моментов остановки,
сходящуюся к моменту остановки Г. Тогда по теореме Лебега Й
силу непрерывности (At)
llmE[ATn] = E[AT].
Отсюда следует равенство
ПтЕ[Хтп]=11тЕ[А„-Атщ] = Е[Ат — Ат]=Е[Хт}.
!) Мейер [4],

166
Гл. VII. Разложение супермартингалов
Таким образом, потенциал (Xt) регулярен.
Обратное утверждение докажем сначала в случае, когда
процесс (Xt) ограничен. Обозначим (Mt) (соответственно (М?))
мартингал (Xt + At) = (Е [ Л J Г,]) (соответственно (Х?+ А1}) = (Е [Ai | Г*])).
Из (36.3) следует, что
НтЕКЛ. —Л*)«] = 0.
Далее, сильная сходимость в L2 сильнее, чем сильная сходимость
в L1; поэтому для любого е>0 в силу VI.(1.1) и (1.2)
limP/sup|Aft — M?|>e\=0.
л-*о I t f
Иными словами, случайные величины sup | Mt — М}\ сходятся по
вероятности к нулю при h—► (). Аналогично, формула (36.1)
показывает, что sup|Xt — Х!}\ стремится к 0 по вероятности при h—>0.
t
Следовательно, sup|4t—Л?| стремится к 0 по вероятности. Значит,
мы можем найти последовательность (Лл), убывающую к 0, такую,
что
lim sup | Л^—Л? | = 0 п. н.
rt-*OD t
(см. 11.10). Так как траектории процессов (Л?п) непрерывны и
сходятся п.н. равномерно к траекториям процесса (At), последний
непрерывен и утверждение (1) доказано в случае, когда процесс
(Xt) ограничен1).
Предположим теперь, что.(Х^) принадлежит классу (D),
регулярен, но не обязательно ограничен. Мы знаем, что (Xt) равен
сумме ряда ограниченных регулярных потенциалов (X?) (см. Т34).
Каждый из них .порождается по доказанному выше непрерывным
интегрируемым возрастающим процессом (Л?). Поэтому
Е[2^] = Е[2^] = Е[^о] <оо,
так что замечание 9(в) применимо к ряду 2И?)» и> таким обра-
п
зом, интегрируемый возрастающий процесс 2И?) непрерывен. Этот
п
возрастающий процесс, очевидно, порождает (Xt). По теореме
единственности он равен (At). Утверждение (1) полностью доказано.
1) Это доказательство проще, чем в работе Мейера [4]. Оно было также
использовано Блюменталем и Гетуром в их работах по теории марковских
процессов.

§ 4. Теорема Существования
16?
Чтобы доказать соотношение (37.1), обозначим: (Yt)
(соответственно (Zt)) —потенциал 2(ХР,) (соответственно 2 (Xpt) ь (#t)
(соответственно (Ct)) — интегрируемый натуральный возрастающий
процесс, порождающий (Yt) (соответственно (Zt))\ (В?), (Cht) —
возрастающие процессы, построенные по потенциалам (Yt)t (Zt), как
в п. 28. Потенциал (Yt) ограничен, так что в силу Т36
Е[(Вв-В*)"]=0.
Так как ^-сходимость сильнее /^-сходимости и операторы
условных математических ожиданий уменьшают нормы, то
Ига Е [Внх | <F7] = Е [Boo | Г Т] в /Лнорме.
/2 — 0
Аналогично из Т28 мы получаем
lim F5 = YT в /Лнорме,
fc-U
и после почленного вычитания
limENB* — Вг|| = 0
для любого момента остановки 7\
Заметим теперь, что
E\\AT-AHT\]<E[\BT-BhT\} + E[CT}+E\C4rl (37.2)
Для данного 8 > 0 выберем п настолько большим, чтобы
2Е[Х?]<|;
п+1 °
тогда
E[Cr]<E[C„]=E[Z0] = I [X?]<-L
и аналогично
E[C*r|<E[Z*0]<E[Z0]<-|..
Поэтому величина в левой части (37.2) меньше е, если h настолько
мало, что Е f | вг—BhT\\ < е/3.
Соотношение (37.1) доказано.

168
Гл. VI1. Разложение супермартингалов
§ «5. Классификация моментов остановки
Исходя из определения 18, нелегко установить, является ли
возрастающий процесс натуральным. В этом параграфе мы дадим
более удобный критерий, основанный на классификации моментов
остановки, «содержащих» разрывы рассматриваемого процесса.
38. Обозначения. Следующие соглашения позволят нам обойти
некоторые трудности технического характера. Положим <Ff = <F0
для каждого t < 0; если (At) — возрастающий процесс, положим
At = 0 для каждого t < 0; если (Xt) — непрерывный справа
супермартингал, положим Xt = X0 для каждого / < 0. Таким образом,
множеством значений параметра рассматриваемых процессов будет
вся прямая, и точка 0 не будет играть исключительной роли.
Пусть (Sn)n € n —возрастающая последовательность моментов
остановки. Обозначим V<Fsn а-алгебру, порожденную объединением
а-алгебр IFsn. п
Пусть Т—момент остановки. Обозначим ofT совокупность всех
возрастающих последовательностей (S„)rt€N моментов остановки,
меньших 7\ Пусть Л—множество из <Fr; в конце п. 15 мы уже
использовали обозначение ТА для случайной величины,
определяемой соотношениями
ТА (со) = Т (со) при cog Л, ТА((д)=:+оо при со^Л.
В этом параграфе мы будем систематически его использовать. В силу
IV.T38 случайная величина ТА—момент остановки.
Моменты разрыва
Теория, которой мы посвятим этот параграф, принимает
особенно простую форму, когда семейство (<Г*) обладает следующим
свойством.
039. Определение. Мы скажем, что семейство (of,) о-алгебр не
имеет моментов разрыва, если для любой возрастающей
последовательности {Sn)nzH моментов остановки
fiimsn=Vfsn. (39.1)
п п
Это свойство выполняется в большинстве приложений теории
марковских процессов.
Нам понадобится также определение самих моментов разрыва.
С40. Определение. Пусть Т — момент остановки', Т называется
моментом разрыва семейства (dF t), если существуют событие А^^Т

§ 5. Классификация моментов остановки
169
и последовательность (SJ„eN €*?тА* такие, что событие
{со: Пт5Лсо) = Гл(со)| (40.1)
не принадлежит о-алгебре VoFsn1).
п
41. Проверим, что определения 39 и 40 совместимы. Для этой
цели нам понадобится следующее замечание.
Пусть (Sn)—возрастающая последовательность моментов оста-
новки и Н—множество из <F'». Тогда событие Н Г) /Hm Sn = оо \ при-
\ п f
надлежит VoFsn- Так как последняя а-алгебра содержит все пре-
п
небрежимые множества, в рассуждениях их можно не учитывать.
Положим S = IimS„ и обозначим (Yt) непрерывную справа модифи-
п
кацию мартингала (Е [lH\oFt\)\ в силу VI.Т6 lH = \\mYt п.н. и, сле-
довательно, IHnis=0i\ = limYsnIjs=^\ п.н. Теперь достаточно за-
метить, что последняя функция измерима относительно VoTs^
п
Предположим, что семейство (<F*) не имеет моментов разрыва
в смысле 039, и покажем, что оно не имеет моментов разрыва и
в смысле О40, т. е. событие /limSn^=TА принадлежит VoFsn. Дей-
\ п f п
ствительно, в силу IV.T41 это событие принадлежит dFiimSn» и
п
остается лишь воспользоваться 039.
Обратно, пусть существует последовательность (5П), для
которой соотношение (39.1) не выполняется; положим HmSn^S и по-
п
кажем, что S есть момент разрыва в смысле О40. Действительно,
пусть А — событие, принадлежащее первой а-алгебре в (39.1), но
не принадлежащее второй. Из приведенного выше замечания,
следует, что Лп{5<оо} не принадлежит V<Fsn. Имеем
4n{S<oo}= nimS/l = S\'7|{S<oo}.
Так как второе событие в правой части принадлежит VFsn, то
п
первое не должно принадлежать V oFsn, что и требовалось показать.
п
Достижимые моменты остановки. Элементарные свойства
042. Определение, (а) Момент остановки Т называется абсолютно
недостижимым, если Т не п.н. бесконечен и для любой
последовательности (Sn) £ tfr
) Пример момента разрыва будет дан в п. 54,

170
Гл. VII. Разложение супермартингалов
Pj(o: limS„((o) = r(co), Sn (со)< Т (со)< оо для каждого n€N}=0
(42.1)
(б) Момент остановки Т называется недостижимым, если
существует абсолютно недостижимый момент остановки S, такой, что
р{со: 7((o) = S(co)<cx)} >0. (42.2)
(в) Момент остановки называется достижимым, если он не
является недостижимым1). '
Смысл 042 поясняют следующие рассуждения. В п. IV.28 мы
видели, что каждый момент остановки Т может интерпретироваться
как момент времени, в который впервые происходит определенное
физическое явление (обозначим его е(Т)). Соотношение S^T между
моментами остановки выражает тот факт, что явление e(S)
«предшествует» е(Т). Пусть (Sn)— последовательность моментов остановки,
ограниченных Т\ соотношение
PiIimS„ = 7\ Sn<T для каждого п\ = 1
показывает, что наступление события е(Т) всегда можно точно
предсказать, основываясь на наблюдении предшествующих событий.
Соотношение
О < Р JHm Sn = Т, Sn<T для каждого п\ < 1
говорит о том, что такое предсказание возможно лишь в некоторых
случаях. Абсолютно недостижимые моменты остановки
соответствуют полностью непредсказуемым явлениям.
—> Т43. Теорема, (а) Пусть Т и Т'—абсолютно недостижимые
(соответственно достижимые) моменты остановки; тогда моменты
остановки Т/\Т' и Т\/Т' абсолютно недостижимы*) (соответственно
достижимы).
(б) Пусть Т — абсолютно недостижимый (соответственно
достижимый) момент остановки и А —событие из ¥Т, такое, что Р (А) > 0.
Тогда момент остановки ТА абсолютно недостижим (соответственно
достижим).
(в) Пусть (Тп)пец—возрастающая последовательность
достижимых моментов остановки; тогда момент остановки sup Тп
достижим. п
1) В п. 54 читатель найдет примеры, иллюстрирующие это определение.
2) В случае утверждения об абсолютной недостижимости момента ТуТ'
предполагается, что Г и Г' таковы, что Р{Г\/7,/ = оо}< 1.— Прим. ред.

§ 5. Классификация моментов остановки
171
Доказательство. Предположим, что Т и Т' абсолютно
недостижимы, и рассмотрим последовательность (Sn) g <2Ртлт'- Тогда (SJ £ <^г>
(S„)€*V и
/Нп^-ГЛ^'<оо, Sn<TAT' для каждого п\ =
= ilimS„ = r < оо, S„< Г для каждого п, T = TAT'X\J
X п /
U IUmSn = T' < оо, Sn<T' для каждого я, 7"=ГЛ7"\.
Последние два множества пренебрежимы, так что и множество в
левой части пренебрежимо, и, следовательно, Т/\Т' — абсолютно
недостижимый момент остановки.
Аналогично, рассмотрим последовательность {S^^&Tyr и
положим Tn = SnAT, T'n = SnAT'. Тогда (Тп)е<?т, (Гп)£&т, и
l\\mSn = T\/T' <оо% Sn<T\jT' для каждого п) =
X п /
= |НтГ„--Г< оо, ТЛ <Г для каждого л, Г = Г\/71,1и
е.-
U nimr; = 7'<oo, Г^Г' для каждого /г, Г=Т\/Г\.
Так как последние два множества пренебрежимы, мы видим, что
T\JT'— абсолютно недостижимый момент остановки.
Предположим, далее, что T\J Т' недостижим; тогда существует
абсолютно недостижимый момент остановки S, такой, что событие
{S = T\/T"< °°} имеет ненулевую вероятность. Это значит, что то
же самое можно сказать, по крайней мере, об одном из событий
{S = T <оо}, {S = r'<oo}. Таким образом, по крайней мере, один
из моментов остановки Г, Т' недостижим. Аналогично проводятся
рассуждения для ТAT'. Утверждение (а) доказано.
Подобным образом доказывается, что из достижимости момента
остановки Т вытекает достижимость ТА для любого А € <Fr.
Предположим, что момент Т абсолютно недостижим, и рассмотрим
последовательность (Sn) € *РтА* Обозначим Tn = SnAT; тогда (Тп) £ tfT и
Him Sn — TA < оо, Sn < ТА для каждого п\ =
X п (
= А f)llimTn = T < оо, Тп<Т для каждого п\.
Последнее множество пренебрежимо, поскольку Т — абсолютно
недостижимый момент остановки. Отсюда следует, что момент ТА
абсолютно недостижим.
Наконец, докажем утверждение (в), рассуждая от противного.
Предположим, что момент остановки T = limTn недостижим. Тогда
п
существует абсолютно недостижимый момент остановки 7", такой,
что Р{7 = Т"< оо} > 0. Обозначим последнее событие А и положим
Т" = Та\ согласно (б), этот момент остановки абсолютно недости-

172
Гл. VI/. Разложение супермартингалов
жим. Последовательность (Тп) принадлежит &т», и вероятность
Р llirnTn = T"< оо\ больше нуля. Поэтому существует целое /г,
I п \
такое, что Р{ГП = Т"< оо} > 0, что противоречит достижимости Тп
—>Т44. Теорема. Пусть Т—момент остановки. Существует
(единственное) разбиение множества {Т < оо} на два множества А и А'
из ¥Т, таких, что момент остановки ТА достижим, а момент
остановки Та' абсолютно недостижим1).
Доказательство. С каждой последовательностью (Sn)€<!?T
свяжем множество
К [(S„)] = /HmSn = 7 < оо, Sn<T для каждого п\
\ п \
и обозначим ЭС совокупность счетных объединений множеств такого
вида. В X существует событие Л максимальной вероятности. Пусть
Л'—дополнение А относительно {Г<оо}; тогда момент
остановки ТА' абсолютно недостижим. Действительно, если бы это было
не так, нашлась бы последовательность {Sn)£ofT ft такая, что
- Р flimSn = TA' < оо, Sn < ТА' для каждого п\> 0.
Эта вероятность равна также Р{Л' Г\К[(Тп)]}, причем
последовательность (Tn) = (Sn/\T) принадлежит <УГ. Поэтому, в противоречие
с тем, что событие А имеет максимальную вероятность,
P{Al)K[(Tn)]}>P(A).
Рассмотрим, далее, абсолютно недостижимый момент остановки R.
Покажем, что Р {ТА = R < оо} = 0. Действительно, это событие
содержится в Л; если бы его вероятность была ненулевой,
существовала бы последовательность (S„)£g?V, такая, что V {K[(Sn)](){TA =
= /?<оо}}>0. Полагая Rn=^Sn/\R, мы получили бы
последовательность, принадлежащую &\, существование которой
противоречит абсолютной недостижимости R.
Доказательство единственности мы предоставляем читателю.
Замечание. Только что проведенное доказательство так
характеризует достижимые моменты остановки: Т достижим тогда и
только тогда, когда Т = ТА> т. е. когда множество {Т < оо}, с
точностью до пренебрежимого множества, равно объединению
последовательности событий вида /C[(S„)].
В частности, существование последовательности (Sn)£ofT, такой,
что HmS„=^r п.н., Sn<T для каждого п, означает, что момент Г
п
достижим. Следующая теорема показывает, что такая
последовательность существует для любого момента остановки, если
семейство (<Ft) не имеет моментов разрыва. Мы уже отмечали, что эта
ситуация часто встречается в приложениях.
х) Или равен +оо, если момент Т достижим.

§ 5. Классификация моментов остановки
173
~-> Т45. Теорема. Пусть Т — достижимый момент остановки, не
являющийся моментом разрыва семейства (qFt)- Тогда существует такая
последовательность (Sn)n е n € <^г> что
PnimS„ = 7\ Sn<T для каждого n€Nl = l. (45.1)
Доказательство. Пусть %—совокупность событий A^WT>
обладающих следующим свойством: существует последовательность
(Sn) £ *?т> сходящаяся к Т п.н. и такая, что Sn (со) < Т (со) для
каждого п и почти каждого cog Л. Покажем, что счетные объединения
элементов совокупности % принадлежат 3.
Рассмотрим последовательность (Ар)рен элементов S и для
каждого из Ар последовательность (Sg)„6N €<^V с указанным свойством.
Для каждой пары целых чисел (т, р) выберем такое целое А ,
что
р|со: d(7», S^(a>))>^}<2-<"+'\
где
d^y) = \xTi-\+y\'
Мы можем предположить, что kmp возрастают с ростом т при
каждом р. Положим
Sm(co) = infS£ (о).
Моменты остановки Sm возрастают с ростом т, не превосходят Т
и строго меньше Т на множестве А = U ЛЛ Они сходятся п.н.кГ,
поскольку
Следовательно, Л принадлежит $; таким образом, $ содержит
событие В максимальной вероятности, т. е.
P(fi) = supP(4).
Ае$
Теорема будет установлена, если мы докажем, что Р(В)=1.
Предположим, что Р(В)< 1, и покажем, что это приводит к
противоречию.
Заметим сначала, что В содержит множество {Т = оо\.
Действительно, положим Тп = Т/\п. Тогда
{Г = оо} = llimTn = T, Тп<Т для каждого п\9
\ п \
так что {Т = оо\ принадлежит S. Пусть В' — дополнение В. Так
как момент остановки Т достижим и В' содержится в {Т < оо},

174
Гл. VIJ. Разложение супермартингалов
то существует такая последовательность (Rn) g tfT, что (мы
используем обозначение К [(/?„)] п. 44)
Р {В' ПК [(/?„)]} >0. (45.2)
Пусть е > 0. Событие Him Rn = T\ по определению 40 и в силу
I п (
сделанного относительно Т предположения принадлежит а-алгебре
V<F/?n. Поскольку эта а-алгебра порождается объединением U<F/?n,
п п
которое замкнуто относительно операций U/, П/, мы можем в силу
IV.24 найти множество С, равное пересечению убывающей
последовательности (Ck)ktH элементов 1)оГдп и такое, что
п
CallimRn = T\ и Р i/Km/?Я = П\С\ < е.
' п I \ \ /I / /
Выберем возрастающую последовательность целых чисел nk(k£N)y
такую, что Ck £ qFRnk для каждого ky и положим Qk (со) = #„л (со)
при со g Сл, Q^ (со) = оо при (х>(£Ски Sk = Qk /\Т. Последовательность
(Sk) моментов остановки возрастает и сходится всюду к Т. Далее,
Sk(co) = T (со) для достаточно больших k и со(£С, Sk (со) = Rnii (со)
для каждого £ при cog С. Следовательно,
/с [(sj] с/с [(/?„)]
и
Р { К [(#n)]\/4(S„m < Р {{lim/?„=Г}\С} < е.
Таким образом, если г достаточно мало, из (45.2) мы получаем
P{B'nK[(Sn)]}>0
или
P{BuK[(Sn)]}>P(B).
Так как множество B[]K[(Sn)] принадлежит 5?, то это
противоречит максимальности Р (В). Теорема доказана.
Достижимые моменты остановки и мартингалы
—>Т46. Теорема. Пусть Т — абсолютно недостижимый момент
остановки. Тогда существует равномерно интегрируемый
непрерывный справа мартингал, который имеет единственный разрыв,
являющийся скачком величины 1, в момент Т.
Доказательство. Рассмотрим интегрируемый возрастающий
процесс
utv°>-\ 1 при *>7(ю).
Пусть (Zt) — потенциал, порожденный (Ut), и (SJ — возрастающая
последовательность моментов остановки. Положим S = limS„. Со-

§ 5. Классификация моментов остановки
175
бытие {lim Usn¥= Us } совпадает с событием
п
{lim Sn Л Т -- Т < оо, Sn Л Т < Т для каждого п},
п
вероятность которого равна нулю, так как момент Т абсолютно
недостижим. Поэтому lim Е [Usn] = Е [Us ] и, значит, HmE[Z5J =
п п
= E[ZS], так что потенциал (Zt) регулярен. Следовательно, в силу
Т37 этот потенциал порождается непрерывным интегрируемым
возрастающим процессом (Vt). Имеем
E[U9-V9\Ft] = Ut-Vi9
и, значит, (Yt)=(Ut—Vt) является искомым мартингалом.
Эта теорема приводит к простой характеризации достижимых
моментов остановки, когда семейство (<Ft) не имеет моментов
разрыва.
—>Т47. Теорема. Предположим, что семейство (<Fj) не имеет
моментов разрыва, и пусть Т' — момент остановки. Момент Т
достижим тогда и только тогда, когда
YT-^YT- п. н. (47.1)
для любого ограниченного непрерывного справа мартингала (Yt).
Доказательство. Предположим, что момент Т достижим. В силу
Т45 существует возрастающая последовательность моментов
остановки (S„), такая, что п. н.
limS„ = r и Sn < Т для каждого п.
п
Пусть (К*) — равномерно интегрируемый непрерывный справа
мартингал. В силу VI.14 и V.T18
r7==E[yoo|rr]=E[yoo|vrsJ=limE[yoo|rSn] = limKSn=Kr. п.н.
п п п
Обратно, предположим, что момент Т недостижим. Тогда
существует абсолютно недостижимый момент остановки S, такой, что
Р {S = T < оо} > 0. Пусть (Xt) — непрерывный справа равномерно
интегрируемый мартингал, который имеет единственный разрыв
в момент S, являющийся скачком величины 1 (см. Т46). Этот
мартингал, вообще говоря, не ограничен. Пусть с > 0, момент остановки
Rc(<*) = ml{t:\Xt(«>)\>c},
и (Yt)—мартингал, полученный остановкой (Xt) в момент Rc. Ясно,
что этот мартингал ограничен по модулю величиной с+1 и
P{YT^Yr-\>0,
если с достаточно велико,

176
Гл. VII. Разложение супермартингалов
Достижимые моменты остановки и натуральные возрастающие
процессы
048. Определение. Пусть {А ^—возрастающий процесс и Т —
момент остановки. Мы скажем, что Т является точкой концентра-
ции для (At) («(At) charges Г»), если
Р{АТфАТ-)>0.
—>Т49. Теорема. Пусть (At)—интегрируемый возрастающий
процесс. Процесс (At) натурален тогда и только тогда, когда
выполняются следующие условия:
(1) для любой последовательности моментов остановки (S„)rt€N,
возрастающей к моменту остановки S, случайные величины As
измеримы относительно о-алгебры V<Fsu;
п
(2) абсолютно недостижимые моменты остановки не являются
точками концентрации для (At).
Доказательство. Предположим сначала, что (At) натурален, и
покажем, что выполняется условие (1). В п. 29 мы построили
непрерывные интегрируемые возрастающие процессы (Л?), такие, что
AT = \imA$ (в топологии а(/Л L00))
h -* О
для любого момента остановки Т. Ввиду непрерывности процесса
(Л?) каждая случайная величина А% измерима относительно а-
алгебры VoFsn- Это свойство сохраняется при переходе к слабому
п
пределу (см. II. 9(6)), и поэтому As измеримо относительно V<Fsn.
п
Теперь рассмотрим условие (2). Пусть Т — абсолютно
недостижимый момент остановки и (Yt) — равномерно интегрируемый
мартингал с единственным разрывом в момент 7\ являющимся скачком
величины 1 (см. Т46). Обозначим (Y?) мартингал, полученный
остановкой процесса (Yt) в момент
Rn=\ni{t:\Yt\>n\ (n€N).
Поскольку этот мартингал ограничен по модулю величиной я+1,
из натуральности (At) вытекает равенство
[(Yf-YUdAt
= E[AT-AT-)I{T<Rn}] = 0.
Отсюда при п—*оо следует, что Е [Ат — Лг-]=0, так что Т не
является точкой концентрации для (At)t т. е. выполняется условие (2).
Обратно, предположим, что (At) удовлетворяет условиям (1)
и (2); покажем, что (At) натурален. Ясно, что достаточно
рассмотреть случай, когда (At) — чисто разрывный процесс. Опираясь
на условие (1), «выделим» из (At) натуральные возрастающие
процессы.

§ 5. Классификация моментов остановки
177
Пусть (Sn) — последовательность моментов остановки,
возрастающая к моменту остановки S; положим
Я /мч_)0 при /<S(©)f
DtW- \\im[As (со) — Asn((*)] при />S(co).
Процесс (Bt) возрастает и строго мажорируется (Л*) (см. п. 8).
Покажем, что (Bt) натурален. Пусть (Yt) — ограниченный
непрерывный справа мартингал. Тогда
](Yt-Yl.)dB1
E[Ys-YS-m,
где Ф обозначает случайную величину Пт(Л5 — Asn), которая по
п
условию (1) измерима относительно а-алгебры \f£Fsn- Очевидно,
на множестве {ф=^0}, так что по-
равно Е [Ф lim (Ys—YSn)] =
что Ys-Ys_=hm(Ys-YSn)
п
следнее математическое ожидание
= limE [Ф(К5 — YSn)]. Обозначим Фп условное математическое ожи-
(по свойству
дание E[©|gFsJ; тогда Ф„ ортогонально
мартингала), и поэтому
Ys-Ys.
] (Yt-Yt_)dBt L lim E [(ф_фп)(Г5_Г5в)].
0 I п
Выражение в правой
1|Ф-Ф»1Н|Г5-*ЧН
части ограничено по
оо, стремящейся к нулю
модулю величиной
при п—► оо, так как
мартингал (Yt) ограничен и Фп сходится к Ф в /Лнорме в силу
V.T18. Таким образом, процесс (Bt) натурален.
Далее, пусть е>0 и Т1 — первый момент, когда (At)
претерпевает скачок, больший е. Из условия (2) вытекает, что этот
момент остановки достижим. Поэтому существует последовательность
моментов остановки (S^>i (/?^1), принадлежащая c^V1» такая,
что объединение множеств К [(5£Ь > \] п. н. равно {Т1 < оо} (см. п.44).
Мы можем теперь применить описанную выше процедуру к
процессу (At) и последовательности (S*) и получить в результате
натуральный возрастающий процесс (В}), удовлетворяющий, как
показано в первой части доказательства, условиям (1) и (2). Таким
образом, возрастающий процесс (Alt) = (At—В}) тоже удовлетворяет
этим условиям, и мы можем выделить из него с помощью
последовательности моментов остановки (S2n) натуральный возрастающий
процесс (В?). Положим (Af) = (Aj — В2) и продолжим описанную
процедуру. Возрастающий процесс (C})=^^(Bf)9 очевидно, нату-
р
рален, и легко видеть, что каждый скачок процесса (CJ) является
скачком (At) и что (At—С}) не имеет разрыва в момент Г1,

178
Гл. VII. Разложение супермартингалов
Указанным образом определим индуктивно натуральные
возрастающие процессы (С*), так что (Cf+1) строится, как и выше, по
процессу (At — С?). Наконец, положим (А*) =-- У (С?). Этот процесс
Т
также натурален, и процесс (Л^ — Л/) не имеет скачков, больших е.
Следовательно, при е—>0 (Л*) возрастает в строгом смысле к (Л^).
Таким образом, процесс (At) натурален. Теорема доказана.
Замечания, (а) Сравнение этого результата с построениями
в п. 10 и 11 показывает, что чисто разрывный натуральный
возрастающий процесс равен сумме ряда натуральных возрастающих
процессов с траекториями, имеющими самое большее один скачок.
б) Предположим, что семейство (SFt) не имеет моментов разрыва.
Тогда условие (1) выполняется для любого возрастающего процесса,
и натуральные возрастающие процессы — это процессы, для которых
абсолютно недостижимые моменты остановки не являются точками
концентрации. В частности, всякий возрастающий процесс, строго
мажорируемый некоторым натуральным возрастающим процессом,
сам натурален. В п. 54 мы увидим, что этот результат не верен,
когда семейство (<Ft) имеет моменты разрыва.
51. Пусть (At) — натуральный интегрируемый возрастающий
процесс и (X/) —потенциал, порожденный (At). Пусть
(Sn)—последовательность моментов остановки, возрастающая к моменту
остановки S. Процесс (Xt -f At) является мартингалом, так что
\(As-ASk)dP=\(XSk-Xs)dP
н н
для любого события #£<FsM и любого целого k > п. Устремляя
сначала &, а затем п к бесконечности, мы получаем
E[limM5-i4Sfc)|VrsJ=E[lim(XSfc-Xs)|vrsJ. (51.1)
k п k п
По условию (1) п. 44 выражение в левой части равно \im(As—ASk).
п
Таким образом, равенство (51.1) дает возможность вычислять скачки
натурального возрастающего процесса, порождающего (Xt).
Предположим, в частности, что семейство ((Ft) не имеет
моментов разрыва, и пусть S—достижимый момент остановки. Тогда
существует возрастающая последовательность (Sn) моментов
остановки, такая, что п.н. lim S„^S, Sn< S для каждого п (Т45).
п
Соотношение (51.1) в этом случае принимает особенно простую
форму:
Л5— As-=XS- — Xs п. н. (51.2)
Таким образом, достижимыми разрывами (Xt) являются
отрицательные скачки, совпадающие по модулю со скачками процесса (At).

§ 5. Классификация моментов остановки
179
Приведем другое следствие Т49, интересное в случае, когда
семейство (dF*) имеет моменты разрыва.
-> Т52. Теорема. Пусть Т — момент остановки. Возрастающий
интегрируемый процесс
A<(to)-i° пРи /<Г(°))' /ед П
A*W-\ 1 при t^T (со) (Ь2Л>
натурален тогда и только тогда, когда существует возрастающая
последовательность (Тп)пй^ моментов остановки, такая, что п.н.
limТп = Т, Тп<Т для каждого п. (52.2)
п
Доказательство. Предположим сначала, что условие (52.2)
выполнено. Тогда момент Т достижим, так что выполняется условие
(2) теоремы 49. Чтобы показать, что условие (1) также
выполняется, рассмотрим возрастающую последовательность моментов
остановки (Sn) и положим S = 1 im Sn. Имеем
п
^5=/{s<co,S>r}=/{s<»}[infsUP/{s„>rj]>
Р п
так что As измеримо относительно а-алгебры V<Fsrt.
п
Обратно, предположим, что процесс (At) натурален. Тогда
момент остановки Т достижим, и мы можем вернуться к
доказательству теоремы 45, основное звено которого состояло в том, чтобы,
опираясь на формулу (45.2), показать, что событие {Mm Rn = T}
п
принадлежит а-алгебре V<Ftfw. Мы можем показать это теперь,
п
используя тот факт, что процесс (At) натурален. Для этого
достаточно заметить, что //llm Rn=T < i — д11т Rny и использовать условие
п п
(1) п. 49.
53. Замечание. Пусть Т — момент остановки. Для любого
ограниченного непрерывного справа мартингала (Yt)
Е[К0]=Е[Уг-]
тогда и только тогда, когда
= 0,
\(Yt-Yt_)dAt
-О
где (At) определяется равенством (52.1). Иными словами,
последнее соотношение выполняется тогда и только тогда, когда процесс
(At) натурален или когда Т есть предел строго возрастающей
последовательности моментов остановки.
54. Примеры, (а) Рассмотрим пространство Q, состоящее из
двух точек со и со', с а-алгеброй <F--=$(Q) и вероятностью Р, опре-

180
Гл. VII. Разложение супермартингалов
деляемой равенствами
Р«©}) = Р({ш'}) = 1.
Введем следующее семейство а-подалгебр aF:
«• _/ {0. ^} при /<1,
^t~\ gr при t>X
Это семейство, очевидно, непрерывно справа. Интегрируемые
процессы (At) и (Bt), определенные так, что
( 0 при / < 1,
г tv (1 при /^ 1
5,И = 0,
<1,
[ 0 при /
в'^ = {2пРи/;
порождают один и тот же потенциал (X,):
( 1 при t< 1,
**<»>-*«<»'> = { 0 „р„ />,.
В силу Т52 процесс (At) натурален. Процесс (Bt) не
удовлетворяет условию (1) утверждения Т49 и, следовательно, не является
натуральным (момент остановки Т=1 есть момент разрыва:
положим Л = {со}, Sn=l — l//i; тогда событие /limSn = T,i4l ={со} не
I л /
принадлежит а-алгебре V(Fsn = {0, &}).
Случайная величина 7\
Г(со) = а, Г(со') = а' (0<а, а'<оо),
является моментом остановки тогда и только тогда, когда она
постоянна (а = а') или когда оба числа а и а' не меньше единицы.
Легко устанавливается, что все моменты остановки достижимы.
Заметим, что натуральный возрастающий процесс 2(At) строго
мажорирует(Bt), хотя последний не является натуральным (см. п. 50).
Это объясняется существованием моментов разрыва семейства (<Ff).
(б) Пусть (Q, Wу Р) — вероятностное пространство, достаточно
богатое, чтобы на нем могла быть определена случайная
величина S с экспоненциальным распределением
P{S >/} = £-' для любого />0,
Положим
М при t<S(<o),
А<((О)-\0 при />S(co)

§ 5. Классификация моментов остановки
Ш
и обозначим Wх а-алгебру, состоящую из множеств, которые
отличаются от множеств а-алгебры £Г(XSJ s^.t) лишь пренебре-
жимыми множествами. Очевидно, это семейство возрастает, и мы
увидим позднее, что оно непрерывно справа.
Заметим сначала, что
Действительно, случайная величина S/\t измерима относительно
первой а-алгебры, поскольку она есть верхняя грань рациональных
чисел s</, таких, что XS=L С другой стороны, каждая
случайная величина Xs(s^t) измерима относительно второй а-алгебры,
так как Xs = I{s<SAty
Таким образом, а-алгебра ¥<* равна £Г (S) (с точностью до
пренебрежимых множеств), и всякая ^«-измеримая ограниченная
случайная величина равна п. н. функции вида #oS, где Н —
ограниченная борелевская функция -на R+ (см. I.T18). Далее, мы
можем в явном виде записать специальную непрерывную справа
модификацию мартингала (E[HoS\3rt\):
со
[ H(x)e-*dx
E[HoS\SAt] = HoS-I{s<t} + I{s>t}^ . (54.1)
[ e-*dx
t
Покажем теперь, что семейство (¥t) непрерывно справа. Пусть
Л —элемент (F,+; выберем функцию Я, такую, что HoS^=IA, и
обозначим (Yt) модификацию, построенную выше. Мартингал (Yt)
имеет разрыв только в момент S, и S ф t п. н. Поэтому Yt = Yt_ п. н.
Так как Yt равно IА и ¥х содержит все пренебрежимые множества,
то A£¥t.
Далее, при s</
E[Xt-Xs\¥s]=-E[I{s<s<t}\¥s]=-[l-e'^]I{s<sh
Таким образом, процесс (Xt) есть ограниченный непрерывный
справа супермартингал; более того, он является потенциалом
класса (D), поскольку lim Xt = 0. Используя построения п. 28 и 29,
чтобы найти интегрируемый возрастающий процесс (Л,),
порождающий (Xt), мы получаем (символ «lim» обозначает слабый предел):
Так как этот процесс непрерывен, то (Xt)-— регулярный потенциал.
Отсюда сразу же вытекает, что
ИтХтп = ХТ п. н.
п

182
Гл. VI/. Разложение супермартингалов
для любой возрастающей последовательности моментов
остановки (Тп), сходящейся к моменту остановки Т. Иными словами,
момент остановки S абсолютно недостижим.
Покажем, наконец, что семейство (Wt) не имеет моментов
разрыва. Пусть (Тп) — последовательность моментов остановки,
возрастающая к Т\ рассмотрим некоторое событие А£¥т. Выберем
функцию Н так, чтобы HoS=IA> и обозначим (Yt) мартингал
(54.1). Очевидно,
lim YTn = YT п. н.,
п
поскольку мартингал (YT) имеет разрыв только в момент
остановки S, который абсолютно недостижим. Таким образом,
случайная величина Yn = IA измерима относительно V(Frn.
Набросок другой классификации моментов остановки
55. В одной из работ (см. Мейер [4]) нами была предложена
несколько иная классификация. Мы ограничимся здесь лишь
определениями и основными результатами. Читатель может без труда
провести доказательства по схеме, которой мы придерживались
выше. Более того, две классификации полностью совпадают в
случае, когда семейство (Wt) не имеет моментов разрыва.
Пусть Т—момент остановки. Мы скажем, что момент Т
абсолютно недостижим в слабом смыслеу если он не п. н. бесконечен и
Р {Sn < Т < оо для каждого п £ N} = О
для любой последовательности моментов остановки (S„),
возрастающей п. н. к Т. Назовем момент Т слабо недостижимым, если
существует момент остановки S, абсолютно недостижимый в слабом
смысле, такой, что P{S = T < сю} > 0. Если такого момента не
существует, мы будем говорить, что момент Т сильно достижим.
Пусть (Yt)-— непрерывный справа ограниченный мартингал и
Т—момент остановки, такой, что P{YT=£ YTmm) > 0. Тогда можно
указать такое е > 0, что Р [А] > 0, где А обозначает одно из
событий
{YT>YT_+e} или {YT<YT_-e}.
Момент остановки ТА абсолютно недостижим в слабом смысле.
Рассуждения в доказательстве теоремы 45 позволяют нам
установить следующий результат.
56. Пусть Т—момент остановки. Следующие четыре условия
эквивалентны:
(1) Т сильно достижим;
(2) Т достижим и не является моментом разрыва семейства (<F*);

§ 5. Классификация моментов остановки
183
(3) P{YT=^= YT_\ = 0 для любого ограниченного непрерывного
справа мартингала {Yt)\
(4) существует возрастающая последовательность моментов
остановки (S„), такая, что
limS„ = r п. я., Sn<T п. н. для каждого п и (Fr=V(FsfJ.
п
Следующая теорема может быть выведена из условия (3).
Пусть Т — момент остановки. Существует разбиение множества
{Г < со} на два подмножества В и В'', таких, что момент
остановки Тв сильно достижим, а ТВ' абсолютно недостижим в слабом
смысле1). Это разбиение существенно единственно.
(В равно, с точностью до пренебрежимого множества,
объединению множеств вида {YT^YT_\, где (Yt) — ограниченный
непрерывный справа мартингал.)
) Или равен +оо, если момент Т сильно достижим.

Глава VIII
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ МАРТИНГАЛОВ
В этой главе мы не приводим примеров применений, имеющихся
в книге Дуба [1]. Упомянем лишь те из них, которые нам
представляются наиболее интересными: теория сумм независимых
случайных величин; усиленный закон больших чисел; регулярность
траекторий процессов с независимыми приращениями; теорема
VIII.2,3 о регулярности траекторий броуновского движения.
£ /. Приложения теорем о сходимости
Симметричные случайные величины
Приводимые ниже теоремы принадлежат Хьюитту и Сэвиджу
(см. Хьюитт, Сэвидж [1], где они доказаны аналитически).
Доказательство, которое мы здесь даем, принадлежит, по-видимому, Дубу,
1. Пусть (Tt <£Г) — измеримое пространство; обозначим (£, $)
произведение пространств (TNy c*TN) и 2 — группу подстановок на
множестве N, перемещающих только конечное множество целых
чисел. Для каждого о € 2
является взаимно однозначным отображением на себя, сохраняющим
измеримость. Вероятностная мера Р на (£, £) называется
симметричной, если ее образ относительно ас равен Р для каждой
подстановки а £2. Случайная величина f на (£, <§) называется
симметричной, если foaa = f для каждого agS. Легко проверить, что
симметричные измеримые множества (т. е. множества с
симметричными индикаторами) образуют a-алгебру of на Е и симметричные
случайные величины — это ^-измеримые функции.
Обозначим (XJ^n координатные отображения, и пусть
с^л — оГ (Xj, Х2, ..., Хп),
ъп — & (Хп+Х> Хп+2У ...).
a-алгебры £п возрастают с /г, и их объединение порождает <£.
a-алгебры %п убывают при возрастании п\ обозначим % их
пересечение. Имеет место следующая лемма.

§ 1. Приложения теорем о сходимости
185
Т2. Лемма, о-алгебра Ъ содержатся в of.
Доказательство, а-алгебра £„ порождается множествами вида
{ХРг£А„ Хр^А„ ..., XPk£Ak)
(Pi. .... pk>n+l\ Л„ ..., Ак€&),
которые инвариантны относительно каждого отображения а0, такого,
что о перемещает только индексы 0, . .., я. Поэтому это свойство
распространяется на все %n (I.T19). Далее, пусть / — индикатор
некоторого множества из $, о — подстановка из 2. Пусть п — такое
целое число, что о не перемещает ни одного р > п\ так как
функция / $„-измерима, из предыдущих замечаний следует, что/ = /оа0,
откуда вытекает утверждение леммы.
Приведем основной результат Хьюитта и Сэвиджа.
->ТЗ. Теорема. Пусть Р—симметричная мера на (£, (£), и пусть
А—множество из of. Существует множество В из 55, такое\ что
А = В п. н.
Доказательство. Положим IA=*f\ из V.T18 и V.T19 следует, что
/ = JimE[/|^],
E[f\S]=*limE[f\Sp]9
р -*■ 00
где пределы понимаются в смысле нормы пространства ZA Пусть
дано е > 0; выберем п настолько большим, что
||/-Е[/|Х0, .... Хп]\\л<г, (3.1)
||E[/|S]-E[/|»e]||,<e. (3-2)
Обозначим о подстановку, которая меняет местами 1 и п+1, 2 и
п + 2, ..., п и 2п и оставляет на своих местах остальные числа.
Поскольку отображение аа сохраняет меру и / инвариантно
относительно него, из (3.1) следует
||/-Е[/|*.+11 .... *1я]||,<е. (3.3)
Поэтому в силу того, что оператор Е[-|$л] уменьшает норму,
получаем
1|Е[/|Хя+1 Х,я] —Е[/|*„]||1<е.
Наконец, сравнивая эти соотношения с (3,2) и (3.3), имеем
||/-Е[/|»]||,<Зв.
Отсюда в силу произвольности е вытекает наше утверждение.
Т4. Следствие. Пусть случайные величины Хп независимы и
одинаково распределены; тогда мерау индуцированная Р на &\ вырождена.

186
Гл. VIII. Приложения теории мартингалов
Доказательство. Мера Р является произведением одинаковых
мер; поэтому она симметрична, и можно применить теорему 3.
Таким образом, достаточно установить, что мера, индуцированная Р
на S, вырождена (закон нуля или единицы Колмогорова). Это
легко можно сделать следующими рассуждениями. Пусть
/—индикатор некоторого множества из $; тогда / = lim Е [f\<gn] п-н-
п
Поскольку / не зависит от <§п> Е [f\<Bn] = Е [/] п. н. Итак, / = Е [/].
Установим теперь теорему (принадлежащую де Финетти *)), из
которой вытекает утверждение, обратное предыдущему результату:
если Р симметрично, и если мера, индуцированная Р на &, вырождена,
то случайные величины Хп независимы (и, очевидно, одинаково
распределены).
—>Т5 Теорема. Пусть Р—симметричная мера. Тогда случайные
величины Л\, ..., Хп, ... условно независимы относительно о-ал-
гебры if \
Доказательство. Мы покажем (см. 11.49), что
Е[/1оХ1.../„оХ„|^] = Е[/,оХ1|^]...Е[/„оХ„|^] п. н., (5.1)
каковы бы ни были целое число п и индикаторы -/i» ••., fn мно*
жеств из ST. Обозначим of т а-алгебру, состоящую из множеств <§,
инвариантных относительно отображений ас, где а перемещает
только первые т целых чисел. Эти а-алгебры убывают при
возрастании /л, и их пересечение равно of. С другой стороны, положим
Skm = fkoXx + ... +fkoXm (6=1, 2, ..., п).
Ясно, что для каждого т > п
E[/*oX,|^J «S*/m (6=1, ..., п\ *=1, ..., п).
Таким образом, в силу V.T21 случайные величины S^/m сходятся
при /л—->оо п. н. к E[fkoХ(\о?]. Следовательно, п. и.
E[f1oXl\r]...E[fnoX„\#>]=\im Щ^ =
т-+ со '"
= lilT1 7& X fioXm<-"fn°Xmn.
т ~* °° 1 ^ ^^
Число слагаемых с различными индексами mv ..., тп равно
т(т—\) ... (т — п+ 1);
его отношение к тп стремится к 1 при т—► «>, что позволяет
пренебречь членами, у которых по крайней мере два индекса
совпадают. Выражение в левой части написанного выше равенства
А) См. Лоэв 11], гл. VII, § 27.

§ I. Приложения теорем о сходимости
187
равно в силу V.T21
1 < тх < m 1 < mn < m
-lira Е[/1оХ1.../„оХ„|(?я] = Е[/1оХ1.../„оХ„К] п. н.
Итак, равенство (5.1) установлено.
Теорема Шоке — Дени
6. Мы сейчас установим с помощью теоремы 4 интересный
результат Шоке и Дени1) [3], который Феллер [1] использовал
в качестве основы для его упрощенных доказательств теорем
восстановления. Вероятностное доказательство, которое мы приводим,
заимствовано из работы Дуба, Снелла и Уильямсона [1].
Пусть G — локально компактная абелева группа2) и
т—вероятностная мера на а-алгебре ,@0 (G). Действительная непрерывная
функция Л, определенная на G, называется х-гармонической, если
h(х) = ^ h(х + у)dx(у) для каждого x£G.
G
Обозначим 77 функцию
я-ллл- lf(x + y)dx(y),
G
где /—любая измеримая функция, такая, что рассматриваемый
интеграл имеет смысл. Тогда т-гармонические функции
характеризуются соотношением Th = h.
Следующая теорема является результатом Шоке и Дени.
->Т7. Теорема. Пусть h — действительная функция, ограниченная
и непрерывная на G. Функция h является х-гармонической тогда
и только тогда, когда она периодическая и любой элемент носителя
меры х является ее периодом.
Доказательство. Предположим, что каждый элемент носителя
5 меры т является периодом h. Тогда
J h(x + y)dx(y)- J h(x + y)dx (y) = \h(x)dx(y) = h(x).
G S S
Чтобы доказать обратное утверждение, рассмотрим множество
Q = GN; обозначим Х0, ..., Хп координатные отображения на нем.
) Полные доказательства приведены в работе Дени [2].
') Не все из аксиом, входящих в определение группы, будут использоваться.

188
Гл. VIII. Приложения теории мартингалов
Определим на Q а-алгебры
оГп = &Г (Х0, ..., Хп)
и меру Р, относительно которой случайные величины Хп (п £ N)
независимы и имеют одно и то же распределение т. Пусть х —
некоторый элемент G; положим Yn = x + Х0 + ... + Хп. Для любой
ограниченной измеримой функции / легко проверить формулу
Z[foYn+1\Fn]=TfoYn п. н.
Таким образом, процесс (h о Yn) является ограниченным мартингалом
относительно семейства (<F„). Следовательно, в силу V.T18
существует п. н. предел
Нх (со) = lim h (х + Х0 (со) + ... + Хп (со)),
п -* ОС
и hoYn = E[Hx\Srn] п.н. Ясно, что Нх—симметричная случайная
величина на GN. Таким образом, в силу Т4 Нх = Е [Нх] = h(х)
п. н., и, значит, hoY0 = h (х+Х0) = h(х). Другими словами, h(x + y) =
= ft(x) для т-почти всех у. Так как функция h непрерывна,
h(x + y) = h(x) для каждого y£S.
Следующая теорема, простое следствие Т7, также принадлежит
Шоке и Дени.
Т8. Теорема. Пусть и — мера на G (положительная или нет) с ко-
нечной полной массой. Соотношение1) ц, = т*^ имеет место тогда
и только тогда у когда каждый элемент носителя т является
периодом для (г.
Доказательство. Ясно, что указанное условие является
достаточным. Чтобы установить его необходимость, рассмотрим функцию
g€%w{G) и введем функцию
A: x-+N^\g(x + y)d\k(y).
G
Из соотношения (ы =т*|ы получаем
[h(x + z)dT(z)= J g(x + y + z)dT(z)d\x(y)=*
О GXG
■=\g(x + u)d\i'(u) = h(x).
G
Отсюда следует, что h—ограниченная непрерывная т-гармоническая
функция. Поэтому она периодическая, и каждый элемент носителя т
является ее периодом. Поскольку функция g произвольна, то же
самое имеет место и для ц,.
l) [i называется в этом случае т-гармонической мерой. Доказательство в
действительности использует более слабое предположение, чем ограниченность ц.

§ 1. Приложения теорем о сходимости
189
Приложения к теории меры
9. Пусть (Q, ¥)— измеримое пространство. Мы будем говорить,
что а-подалгебра # а-алгебры ¥ сепарабельна, если £ порождается
некоторой последовательностью (Ап)п&ы множеств из ¥. Положим
^п^^(А0У ..., Ап)\ тогда существует разбиение Q на конечное
число измеримых множеств Ап% v Ant2, ..., Лп,Шп, таких, что
каждое множество из %п равно объединению некоторых из них.
Пусть Р — вероятностная мера на (Q, ¥) и Q — ограниченная
мера на том же пространстве, абсолютно непрерывная
относительно Р (т.е. Р(Л) = 0=>О(Л) = 0). Положим
^»(©) = 2щт^^.'И, (9.1)
где отношениям вида 0/0 придается значение 0. В n.V.3 мы
отмечали, что процесс (Хп) является мартингалом относительно
семейства сг-алгебр ($п). Из этого факта и теорем сходимости для
мартингалов выведем различные теоремы теории меры. Ограничимся
лля простоты случаем, когда мера Q положительна.
Мы не использовали теорему Радона —Никодима в гл. V;
интересно, что эта теорема может быть легко получена как следствие
теоремы V.18. Для этой цели надо заметить, что
для любого е > 0 существует такое число ч\ > 0, что из соотношения
Р(А) < т], А£¥, следует неравенство Q (А) < е. (9.2)
Действительно, отсутствие такого г] означало бы существование
последовательности (А„)пен множеств из ¥, такой, что ^Р(Ап) < оо
п
и Q(An)^e для любого п. Положим /A~limnsupIAn\ тогда
00 со
Лег U Ап для каждого /?, следовательно, Р(Л)< У^Р(Ап)у и, зна-
п-р п=р
чит, Р(Л) = 0. С другой стороны, по лемме Фату (примененной для
множеств Q\Ап) Q (А) > lim„ sup Q (Ап) > е. Это противоречит
абсолютной непрерывности меры Q относительно Р.
Покажем теперь, что мартингал (Хп) равномерно интегрируем.
Ясно, что
J XndP = Q{Xn>c}. (9.3)
{Хп>с\
С другой стороны,
Таким образом, для достаточно больших с выражение в левой
части (9.4) меньше числа г\ из (9.2), и поэтому интеграл в (9.3)
меньше, чем е из (9.2), независимо от п.

190
Гл. VIII.'Приложения теории мартингалов
Итак, при п —* оо мартингал (Хп) сходится к некоторому
пределу в смысле нормы пространства L1. Этот предел, очевидно, есть
плотность Радона — Никодима сужения меры Q на % относительно
сужения меры Р на S. Таким образом, теорема Радона —Никодима
справедлива для любой сепарабельной а-алгебры.
Для каждой сепарабельной а-подалгебры % а-алгебры ¥
обозначим так построенную плотность Х<*. Эти случайные величины
образуют мартингал с индексами из множества (упорядоченного по
включению) сепарабельных а-подалгебр <F. Это множество,
очевидно, фильтрующееся вправо, и, как и выше, мы устанавливаем,
что мартингал (Ху) равномерно интегрируем. Поэтому в силу n.V.20
он сходится по норме пространства L1, и его предел, очевидно,
есть искомая плотность меры Q относительно Р.
10. Позднее нам понадобится следующий результат. Пусть а-ал-
гебра W сепарабельна, (7\ с*Г) — измеримое пространство и (Qt)teT,
(Р^)/€Г—два «^"-измеримых семейства1) ограниченных
положительных мер на (Й, <F), таких, что для каждого t£T Qt абсолютно
непрерывно относительно Pt. Тогда существует положительная
функция X(t, со), измеримая по паре (/, со), являющаяся для
каждого t£T полностью меры Qt относительно Pt.
Повторим, по существу, построение предыдущего пункта, взяв
сепарабельную а-алгебру $, равную <F, и положив, как в
равенстве (9.1),
Эта функция, очевидно, измерима по паре / и со. Мы знаем, что
для каждого / Xn(t, со) имеет Р-п. н. конечный предел; обозначим Н
(измеримое) множество пар (/, со)€Гхй, такое, что предел Xn(t, со)
не существует или бесконечен, и положим
( 0, если (/, со) 6 Я,
X(t, ю) = | Hin Xn(t, со), если (t, со)£Я.
Эта функция, как легко видеть, удовлетворяет условиям,
сформулированным в нашем утверждении.
Теорема о лифтинге
11. Мы приведем лишь часть этой важной теоремы. В работе
Ионеску-Тулча [1] доказано существование лифтинга («lifting»),
обладающего дополнительными алгебраическими свойствами,
которыми мы здесь не будем заниматься, (См, также Махарам [1].)
1) См. II. 013.

§ 1. Приложения теорем о сходимости
191
Пусть (Q, (F, Р) — полное вероятностное пространство и сДГ — а-ал-
гебра, состоящая из пренебрежимых множеств и их дополнений.
Для каждой случайной величины / (с действительными значениями)
обозначим /~ класс величин, эквивалентных / относительно
равенства п. н. Пусть % — а-алгебра на Q, такая, что ЖаИ/а¥\ мы будем
использовать обозначение Р как для меры на <F, так и для меры,
ею индуцированной на £. Пространство L*(Q, £, Р) может
рассматриваться как подпространство L°°(Q, <F, Р). Мы скажем, что $
обладает свойством лифтинга, если существует отображение g
банахова пространства L°° (Й, S, Р) в банахово пространство 3?™ (Q, %)
со следующими свойствами:
(а) g—положительная линейная изометрия;
(б) g(a~)=a для любой константы а\
(в) [g(x)]~=x для любого x£L°°(Q, S, Р).
Отображение g мы будем называть %-лифтингом.
—> Т12. Теорема, а-алгебра ¥ обладает свойством лифтинга.
Доказательство. Пусть R — множество пар ($, g), где S есть
а-алгебра, такая, что J\Tc!§c<F, и g есть #-лифтинг. Упорядочим /?
с помощью отношения -<>, определяемого следующим образом:
((S, £)-"*($', g'))<=^>(3c:3' и g' есть продолжение g).
Ясно, что R не пусто, так как существует о)\Р-лифтинг. Покажем,
что R имеет максимальный элемент. Для этого достаточно (в силу
теоремы Цорна) установить, что каждое вполне упорядоченное
подмножество R имеет верхнюю грань в R.
Обозначим / некоторое вполне упорядоченное множество, и пусть
I -лл/w ($/э g,) — строго возрастающее отображение / в R. Обозначим Ж
а-алгебру, порожденную U #,♦. Построим ^f-лифтинг А, являющийся
продолжением каждого из g(, рассмотрев отдельно два случая.
Пусть сначала / счетно. Тогда 3V = \J(Si, L* (Q, #f, P) =
= U L«>(Qy $iy P), и для каждого x €/.®(£2, #ff P) можно положить
«6/
A (*) = «/(*).
где i настолько велико, что xgL°°(Q, $,, Р).
Теперь предположим, что / несчетно. Тогда существует
последовательность (/J/ieN элементов /, такая, что каждое *£/
ограничено одним из in. Пусть Ц — ультрафильтр на N, сходящийся
к бесконечности. Для каждого xgL°°(Q, Ж, Р) положим
ft (*) = limg,n(E[*| £,,,])
п
(здесь условное математическое ожидание рассматривается как
элемент пространства Z,00 (Q, $,п, Р)). В силу V.T18 п.н.
А(*) = lim g/n(E[*|^J):=x', х'~ *=х,

192
Гл. VIIL Приложения теории мартингалов
так что h(x) — действительно ^-измеримая случайная величина.
Далее, h совпадает с gin на 1°°(^, S,-rt, Р), так как Е [*|£tp] =х
для любого х €£*(&, S;;), Р) и любого р^п. Остается проверить,
что h — положительная линейная изометрия. Положительность и
линейность очевидны. Более того, || Е [х\$] Цоо^Н^Ц» Для любого х
и, следовательно, ||ft(r || ^ || лгЦ». С другой стороны, функции
ИМ*) II—h(x) и ||Л (л:) || + Л(х) положительны, и, значит,
положительны и функции из их классов эквивалентности. Поэтому л;^ || h (х) \\
и — х<||Л(*)|| почти всюду, так что ||х\\<» < \\h(x) ||, и, значит,
h — изометрия.
Итак, в R существует максимальный элемент ($, g)\ покажем,
что а-алгебра Ъ совпадает с <F. Пусть А—элемент ¥ и А1— его
дополнение. Среди всех элементов #, содержащих п.н. Л,
существует множество В минимальной вероятности: из соотношений С£#
и АаС вытекает, что ВаС п.н. Аналогичным образом с А' свяжем
элемент В' из $. Пусть Ж — а-алгебра, порожденная % и А. Каждый
элемент х из L00 (й, Ж% Р) может быть записан в виде
х = а~(1л)~ + Ь~{1А-)~,
где а и Ь—элементы пространства L00 (Q, £). Рассмотрим другое
представление такого типа
х = аТ(1А)~ + Ь7(1А-)~.
Имеем: а = аг о, н. на Л, следовательно, а = а1 п. н. на В, и
aIB = axlB п.н. Аналогично, б/в-^Мв' п.н. Положим
Эта функция вполне определена, и легко проверяется, что /i—лиф-
тинг на L00 (Й, Ж, Р), являющийся продолжением g. Таким
образом, Ж = Ъ в силу максимальности (#, g), и, значит, А^Ъ.
Ввиду произвольности А имеем S = <F.
§ 2. Приложения к общей теории процессовх)
С помощью теории мартингалов мы продолжим сейчас
исследования в общей теории случайных процессов, начатые в п.IV.41.
При этом мы ограничимся только процессами с действительными
значениями, хотя распространение наших результатов на процессы
со значениями в ЛКС-пространстве не составит труда.
Стохастические интервалы
13. Пусть (й, gF, Р) — полное вероятностное пространство и
(Srt)teR+—возрастающее непрерывное справа семейство а-подал-
гебр ¥'. Предположим, как обычно, что <F0 содержит все прене-
брежимые множества.
) Результаты этого параграфа взяты из работы Мейера [6].

§ 2. Приложения к общей теории процессов
193
Пусть (Xt) и (Yt)—два случайных процесса, для которых
множество
{со: Xt (со) ф Yt (со) для некоторого /6R + }
пренебрежимо. Тогда нет основания различать процессы (Xt) и
(Yt) — точка зрения, уже принятая нами в n.VI.8. Таким образом,
множество R+xQ имеет естественный класс оЛГ пренебрежимых
подмножеств, имеющих Р-пренебрежимые проекции на Q. Далее,
мы будем отождествлять два множества, если они отличаются друг
от друга только на множество из JST; мы предоставляем читателю
сделать этот предварительный шаг в последующих рассуждениях,
чтобы не загромождать текст.
Пусть S и Т — моменты остановки, такие, что S^T;
обозначим [S, Т) («полуоткрытый стохастический интервал») множество
{(/, to)€R+xQ: S(co)</<r(co)}.
Замкнутый стохастический интервал определяется аналогичным
образом1). Интервал вида [7\ Т] будет обозначаться просто [Т].
Обозначим 3 покрытие R+xQ, состоящее из стохастических
интервалов вида [S, Г), и 3'—покрытие, состоящее из интервалов
вида [S, Г], где Г (со) < оо для каждого со, такого, что 5(со) < оо,
и момент остановки S достижим (VII.042). Каждый интервал
[S, Т] £ 3' является пересечением интервалов [S, T+l/n) (n£N)>
принадлежащих 3; поэтому а-алгебра ©Г(2'), порожденная 5',
содержится в <&~(3).
014. Определение. Пусть (Xt)—процесс со значениями в
измеримом пространстве (£, $). Мы скажем, что (Xt) вполне измерим2),
если отображение (/, со) -ллл- Xt (со) измеримо относительно о-ал-
гебры^(З).
Элементы а-алгебры £Г(3) называются вполне измеримыми
множествами.
Т15. Теорема. Каждый вполне измеримый процесс прогрессивно
измерим относительно семейства (<F*) (IV.041).
Доказательство. Достаточно доказать, что каждое вполне
измеримое подмножество R+xQ прогрессивно измеримо или, что экви-
валентно, что каждый стохастический интервал [S, Т) в 3
прогрессивно измерим. Это легко доказать непосредственно или
применяя IV.T43 к индикатору [S, Г).
__ х) В этих двух случаях мы имеем дело с подмножествами R + ХЙ, а не
R + ХЙ. Сечение интервала [5, Т] в точке со, такой, что 7,(со)= + оо, есть
поэтому интервал [S(co), oo)^R + .
2) В английском языке—well-measurable, во французском языке—bien mesu-
г able,— Прим. перев.

194
Гл. VIП. Приложения теории мартингалов
Приведем важный пример вполне измеримого процесса.
Т16. Теорема. Пусть (Xt)—процесс с действительными
значениями, согласованный с семейством (<F^), с траекториями,
непрерывными справа и не имеющими осциллирующих разрывов. Тогда (Xt)
вполне измерим.
Доказательство. Для заданного е>0 определим по индукции
следующие моменты остановки:
7\> = 0, 7\,+1H=inf{/: />7ЯИ. \Хг(<о)-ХТп(«>)\>г}. (16.1)
На множестве {Тп+1 < оо} в силу непрерывности справа
траекторий | Хгп+1 — ХгЛ|>е. Отсутствие осциллирующих разрывов влечет
за собой соотношение НтТ'Л = оо. Положим
п
Yt(<») = 2*г.(°>) /{г„</ < Tn+t) (со).
Тогда | Xf (со) — Ft (со) | ^ е для всех (/, со). В силу IV.T45 функция
Хтп оГ^-измерима, и поэтому следующие случайные величины
являются моментами остановки:
( Г„И, если *e<Xrm(co)<(*+l)e (*€Z),
*пк I + оо в противном случае,
n«W-^wvr„+1((o).
Процесс (Zt), определяемый равенством
Z<(co)= J *e/[r4m.r'ta) (Л»),
/feeZ
вполне измерим, и его значения отличаются от значений (Xt) меньше,
чем на 2е. Поскольку е произвольно, отсюда следует утверждение
теоремы.
Замечания, (а) Пусть (Xt) — процесс со значениями в
топологическом пространстве Е с а-алгеброй бэровских множеств,
удовлетворяющий условиям теоремы. Тогда по доказанному процесс (foXt)
вполне измерим для каждой функции /£#(£), откуда следует, что
и сам процесс (Xt) вполне измерим.
(б) Индикатор интервала [5, Т) g 3 является согласованным
процессом с непрерывными справа и имеющими пределы слева
траекториями. Следовательно, процессы с такими свойствами
порождают а-алгебру, содержащую <f(9).
(в) Утверждение теоремы можно распространить на
согласованные процессы с непрерывными справа траекториями (т.е. без
предположения о существовании пределов слева), если отождествлять
два процесса, отличающиеся лишь на множество из <ЛГ.
Действительно, пусть (Xt) — процесс с непрерывными справа траекториями;
вместо (16,1) с помощью трансфинитной индукции проведем еле-

§ 2. Приложения к общей теории процессов
195
дующее построение:
Гв = 0; ra+1(o)) = inf{/: t>Ta(a)9 | Xt(u)-XTu (®)| > *}
для каждого порядкового числа а;
Гр((о) = 5ирГаИ
а О
для каждого предельного порядкового числа р. Читатель может
легко установить существование счетного порядкового числа а,
такого, что Та=оо п.н. Затем так же, как и выше, можно
построить вполне измеримый процесс (Zt), отличающийся от (Xt) меньше
чем на 2е всюду, за исключением, быть может, множества точек
(/, со), таких, что 7,а(со)<оо.
Существование вполне измеримых модификаций
Т17. Теорема, (а) Пусть (Xt) — измеримый случайный процесс (см.
IV.41) со значениями в компактном интервале R. Существует вполне
измеримый процесс (Yt), такой, что для каждого (конечного) момента
остановки Т
YT = b[XT\^T} п.н. (17.1)
(б) Пусть (Xt) —случайный процесс с действительными
значениями, прогрессивно измеримый относительно семейства (<F*).
Существует вполне измеримый процесс (Yt), такой, что для каждого
(конечного) момента остановки Т
YT = XT п.н. (17.2)
Доказательство. Пусть Ж— векторное пространство, состоящее
из ограниченных измеримых процессов (Xt), для которых
существуют вполне измеримые процессы (Yt), удовлетворяющие (17.1).
Ясно, что Ж замкнуто относительно перехода к пределу в
монотонных равномерно ограниченных последовательностях. Поэтому
в силу I.T20 достаточно показать, что Ж содержит процессы вида
Xt((o) = a(t)X(co),
где а—индикатор интервала R+ и X—ограниченная случайная
величина на Q. Далее, пусть (Z,) — непрерывная справа
модификация мартингала (E[X\£Ft]) (см. VI.Т4 (3)); положим
K,(<o) = a(0Z,(<o).
Этот процесс вполне измерим (Т16) и в силу VI. 14 удовлетворяет
(17.1).
Из (а) следует, что (17.2) имеет место для каждого процесса
(Xt) со значениями в ограниченном интервале прямой R, так как
в силу IV.T45 ХТ = Е [XT\oFT] п.н. для любого конечного момента
остановки Т, К общему случаю можно перейти, рассматривая

196
Гл. VIII. Приложения теории мартингалов
ограниченный процесс
(т+тхтг)-
Замечание. Утверждение (б) остается справедливым для
процессов со значениями в полном сепарабельном метрическом
пространстве Е. Действительно, оно справедливо для прогрессивно
измеримых элементарных процессов со значениями в £, и каждый
прогрессивно измеримый процесс (Xt) является равномерным
пределом последовательности (X?) (n£N) таких элементарных
процессов, для которых существуют вполне измеримые процессы (F?),
удовлетворяющие (17.2). Теперь достаточно лишь выбрать
некоторую точку е£Е и положить
rlim)/?((o), если этот предел существует,
^(0))= "
[ е в противном случае.
Изучение покрытия 3'
Следующие несколько теорем сами по себе не очень интересны.
Они будут использоваться как вспомогательные в доказательстве
теоремы 21, которая является основным результатом этого
параграфа.
Т18. Теорема1), (а) Пусть S—достижимый момент остановки.
Тогда интервал [0, S) принадлежит 3'o6.
(б) Каждое множество о-алгебры ©Г (3') является
21'-аналитическим.
Доказательство. Ранее мы установили (см. замечание,
следующее за VII.Т45) существование моментов остановки Sntp(n£N,
/?€ N), таких, что
Sntp^SniP+1^S для каждых пир (18.1)
и для почти всех co£{S>0} существует я, удовлетворяющее
условиям:
lim Sn (a)) = S(co) и 5„i/7((o) <5(со) для каждого р. (18.2)
р -* со
1) Доказательство Т18 не совсем просто. В большинстве приложений
семейство (JFf) не имеет моментов разрыва. В этом случае утверждение (б) почти
очевидно. Для доказательства утверждения (а) пусть (Тп) — последовательность
конечных моментов остановки, возрастающая к S, причем Тп < 5 на {S > 0}
(VII.T45). Тогда [0, S)= U [0, Тп) и [0, Тп]= Г) [0, Тп+\/р). Далее, Г„-|-1/р-
п р
достижимый момент для каждого p£N. Поэтому [0, S) принадлежит и'^0, и
простыми рассуждениями (см. ниже, конец доказательства) устанавливается
справедливость важного свойства (б).

§ 2. Приложения к общей теории процессов
197
Удобно считать, что свойство (18.2) имеет место для каждого
со^й. Чтобы перейти к этому случаю, достаточно изменить Sn, р
на пренебрежимом множестве, что допустимо, поскольку по пред-
положению пренебрежимые множества принадлежат <F0.
Положим теперь
Ап= fSn,p<S для любого /?, lim5„t;, = S\.
Объединение этих множеств равно {5>0|. Не теряя общности,
можно, очевидно, предположить, что Р(Лп)>0 для любого п.
Опишем построение, которое будет затем несколько раз
использоваться.
Пусть U — момент остановки со следующими свойствами:
U достижим, (18.3)
(/(o))<S(0) для каждого (o£{U <оо\. (18.4)
Для заданного n£N обозначим D(co) подмножество R+U{oo},
состоящее из чисел Sn, p(v))\/U ((о) (р£ N). Определим индуктивно
случайные величины Vk(k£N):
j {/(со), если Sntя(со)<(/ (со) для каждого р\
0 ^ ^ \ inf {t: t £ D (со), / > U (со)} в противном случае;
( Ул(ю), если Vk (со) = U (со);
Уд+1(со) = < inf {/: /g D(to), t > Vk((i>)} в противном случае (как
{ обычно, считая inf {0} = + оо).
По индукции легко проверяется, что Vk являются моментами
остановки. По построению Кл+1(со) > Ул(со) на множестве {Vk+1^Uf
Va+i#°°}; поэтому момент остановки
V= lim Vk
не может совпадать с абсолютно недостижимым моментом остановки
Т на множестве {Т <оо}. Таким образом, V удовлетворяет (18.3)
и (18.4) и, кроме того, обладает следующими свойствами, которые
мы приведем, с тем чтобы использовать их в дальнейшем:
V(со) = 5(со) на множестве {U = S}[]An. (18.5)
Положим U' = U на {U<V}f £/'= + оо на {U = V} *Vk=(VkAk)\/U'9
Тогда
[£/, V) = [J[U'9 Vfk] принадлежит З'а. (18.6)
k
Далее, пусть р — целое число и «^—совокупность моментов
остановки /?, удовлетворяющих (18.3) и (18.4) и, в дополнение,
Обладающих свойствами:
/?(со) = 5(со) для каждого со^Л,, (18.7)
[О, /?)€*;• (-18.8)

198
Гл. VIII. Приложения теории мартингалов
Жр не пусто: беря в предыдущем построении (/=^0, п = р,
получаем момент остановки V, принадлежащий Жр. Кроме того,
множество Жр замкнуто относительно операции V и перехода к
пределу в возрастающих последовательностях (см. VII.T43(b)).
Поэтому существует максимальный момент остановки ЯР£ЖР, т. е.
такой, что
Я'ЬЖр^Я'^Яр п.н.
Покажем, что Rp(со) = S(со) п.н. на множестве {Rp<oo}.
Предположим, что это не так. Тогда должно существовать такое целое д,
что P{{RP <S} П Aq) > 0. Используя предыдущее построение,
возьмем U = Rp, я = <7- Т0ГДа из (18.5) и (18.6) следует, что
полученный при этом момент остановки V принадлежит Жр и строго
превосходит Rp на множестве {Rp<S}(\Agy что противоречит
максимальности Rp.
Пусть ([Sn, 7\,])/z€N — последовательность множеств из 3\ такая,
что [0, /?J= U [Sny Тп). Изменив, если нужно, Rpi Sn и Т„ на
Л€ N
множестве меры нуль, мы можем, очевидно, предположить, что
Rp (со) =5 (со) для каждого со £{/?,,<оо}. (18.9)
Теперь доказательство почти закончено. Действительно,
[0, 5)= П [0» /?»),-отсюда следует (а). Далее, рассмотрим интер-
вал {S, Т]£3'\ его дополнение является объединением интервалов
(7, оо) и [0, S). Первый представим в виде объединения
интервалов [7+1/я, Т + п], принадлежащих 3'\ второй принадлежит
З'ь в силу (а). Поэтому утверждение (б) следует из III.T12.
Следующее утверждение аналогично Т16.
Т19. Теорема. Пусть (Xt)—-процесс со значениями в ЛКС-про-
странстве Е с непрерывными слева траекториями у согласованный
с семейством (<Ff). Тогда отображение (/, со) -ллл*- Xt (со) измеримо
относительно о-алгебры <£Г (Э') подмножеств R + xft.
Доказательство. Достаточно показать, что {(/, со): Xt((o)£U}
принадлежит <&~(3') для каждого открытого множества ОаЕ.
Обозначим (Up)pus возрастающую последовательность открытых
множеств, такую, что V = U Uр, и положим
р
Hknp = {(t, (о): /€ [Jr. *Р], Х*/2. (©)€*/,} (*,«, p€N),
Hnp^ U Hknpy
Hp = lim ml H„p /или, что эквивалентно, 1ие = Hm inf 1Ипр\

§ 2. Приложения к общей теории процессов
199
И
я= и нр.
ре N
Читатель легко убедится, что множество {(/, со): X* (со)£ U} равно Я.
Таким образом, достаточно показать, что Hknp принадлежит <&~(3').
Имеем * . '
"кпр ~ * кпру * knp Т~ 2« I»
где моменты остановки Tknp определяются равенствами
_ f k/2n, если Xk/2*((*)€Upf
кпр~~\ + оо в противном случае.
Пусть S —абсолютно недостижимый момент остановки. Тогда
P{S = &/2"} = 0, следовательно,
P{S = 7^<ooH0,
и, значит, Tknp достижимо и Hknp принадлежит 3'. Теорема
доказана.
Т20. Теорема. Пусть (Xt) — вполне измеримый процесс с
действительными значениями. Тогда существует процесс (Yt)t обладающий
следующими свойствами:
(1) множество {(/, со):У,(со)€ В} принадлежит & (Э1) для
каждого борелевского множества В на прямой;
(2) существует последовательность (Тп) абсолютно недостижимых
моментов остановки, такая, что
{(*,©): Xt((o)^Yt(<*)} = U[Tn].
п
(3) ХТ=- YT п.н. для каждого достижимого момента остановки Т;
если в дополнение (Xt) — индикатор вполне измеримого множества,
в качестве (Yt) можно взять индикатор множества из <&~(9').
Доказательство. В п. 16 (замечание (б)) мы отмечали, что а-ал-
гебра оГ(2) порождается процессами, согласованными с семейством
((Ft), траектории которых непрерывны справа и имеют пределы
слева. Поэтому существует последовательность ((Z?)f6R+)„€N
процессов этого типа, такая, что функция (/, со)-ллл«-Xt (со) измерима
относительно а-алгебры подмножеств R+хй, порожденной этими
процессами (1.9). Обозначим Е компактное пространство RN, (Zt) —
процесс со значениями в £, определяемый равенством Zt(©) =
= (Z?(u>))„6N. Тогда процесс (Xt) измерим относительно а-алгебры,
порожденной процессом (Zt). Поэтому" существует борелевская
функция / на £, такая, что Xt(co) = foZt (со) для каждого t и
каждого со (I.T18). Определим процесс (Ut):
Ut (со) = / (Zt_ (со)) для каждого / и каждого со.
Этот процесс измерим в силу Т19 относительно а-алгебры <F{3').

200
Гл. VIII. Приложения теории мартингалов
Обозначим d метрику, определяющую топологию в £, и
определим индуктивно для каждого целого т^\ следующие моменты
остановки:
Н1ш т (со) = inf {/: / >0, d (Zt_ (о), Zt (со)) > ± },
Hn+U„((*)=inl{t: />#„,„»> d(Z,_(*>). Z,(a>))>i}
(см. п. IV.40 и IV.49 (в)). Запишем эти моменты остановки в виде
одной последовательности, которую обозначим (Rp)Pzu- Моменты
остановки Rp «содержат» все точки разрыва процесса (Zt) в том
смысле, что
{(*,©): Zt.(co)=^Z,(co)} = U[^].
р
Разложим теперь каждый момент остановки Rp на достижимую
часть Sp и абсолютно недостижимую часть Тр (VII.T44).
Обозначим s множество U[Sp]> s' —его дополнение и положим
р
^(co) = /s,/(Z^(co)) + /s/(Z,(co)).
Множество {(/, со): У* (со) =£Xt(a))} равно U [Тр]— факт, из кото-
р
рого следует утверждение (2) и в то же время утверждение (3),
являющееся непосредственным следствием (2). Остается убедиться,
что функция (/, со) -ллл~ Yt (со) измерима относительно £Г (3').
Множества s и s' принадлежат этой а-алгебре, так что достаточно
рассмотреть функцию
(*, со)-ллл~/5(/, co)/(Z,(co)).
С этой целью для каждого k£Z и каждого е>0 положим
ok в, ч / 5/>N> если *e</(ZSp(©)X(ft+l)ef
On (со) = <
v ' \ + оо в противном случае.
Эти случайные величины в силу VII.T43(6) являются достижимыми
моментами остановки. Поэтому множество
принадлежит <&~ (Э') и функция
(/, со)-лл/^ 2*е/$л .('» ^
измерима относительно <&~ (S'). Остается только устремить е к нулю,
учитывая, что эта функция сходится к функции (tf со)-ллл-
-A/vw/(Zf(a>))/s(/, со).
Предположим, наконец, что Xt((o) принимает только значения
0 и 1. Тогда в качестве / можно выбрать индикатор некоторого

§ 2. Приложения к общей теории процессов
201
множества, и, значит, Yt((u) будет тоже принимать только
значения 0 и 1.
Перейдем теперь к основному результату этого параграфа.
Напомним, что, поскольку вероятностное пространство (Q, <F, Р)
полное, проекция на Q измеримого относительно ,@(R+)x<F
подмножества R+хй принадлежит W (III.24).
—>Т21. Теорема. Пусть А—вполне измеримое подмножество R+xQ
и С—проекция А на Q. Для любого е>0 существует момент
остановки Т, такой, что
(Г (со), со)£Л для каждого со, такого, что Г(со)<оо; (21.1)
Р{Г <оо}>Р(С)-е. (21.2)
Если А принадлежит S' (3f), то, кроме того, Т можно выбрать
достижимым.
Доказательство. Индикатор А является вполне измеримым
процессом. Поэтому в силу Т20 существует множество В££Г(3) и
последовательность (Тп) абсолютно недостижимых моментов
остановки, такие, что
ЛДЯ = и[7\,].
п
Если А принадлежит с*Г(2'), мы берем просто В = А. Положим
j Г„И, если (7\», со)£Л,
| -foo в противном случае.
Множество [Rn] вполне измеримо; следовательно, Rn—момент
остановки.
Обозначим Зцп совокупность конечных объединений множеств
из 3'. Дебют (IV.047) каждого множества из Э\\п есть нижняя
грань конечного числа достижимых моментов остановки и, значит,
в силу VII.T43(a) достижим. Покрытие Э'цпь замкнуто
относительно операций (J/, Г\с. Сечение каждого элемента Н из 3iin в
каждой точке со^й является компактным множеством в R + , и
дебют Н, будучи пределом возрастающей последовательности
моментов остановки, в силу VII.43(b) достижим.
Обозначим Р* «внешнюю вероятность», отвечающую Р (Р*(£/) =
= inf P(V) для каждого i/cQ); в п. III.24 мы отмечали, что
Р* есть ¥ -емкость Шоке. Пусть л = л (#) —проекция подмножеств
из R+xQ на Q. Для каждого подмножества Я пространства R+хй
положим
1(Я) = Р*(я(Я)).
Эта функция множеств является емкостью относительно покрытия
Зппб. Действительно, свойства 111.18(a) и (б) очевидны, а свойство
Ш.18(в) легко следует из III.Т6. Поскольку множество В в силу

202
Гл. VJ/J. Приложения теории мартингалов
Т18 ^'-аналитическое, из теоремы Шоке об измеримости
относительно емкости вытекает существование элемента J покрытия З^шбэ
такого, что
JaB и I (У) > 1(B) —е/2.
Пусть S—дебют «/; тогда (5 (со), со) £7 для каждого со, такого, что
5(со)<оо. Поскольку момент остановки 5 достижим, то (5(со),
со)£ А для каждого со; для которого 5 (со) <оо. Этим заканчивается
разбор случая, когда А££Г(Э'). В общем случае положим
R (со) = /?1 (со)ЛЯ2 ИЛ. • • ARPН,
где целое р выбирается настолько большим, чтобы
Р(со: #(со) = оо; inf Rn (со)<оо) <~.
Тогда (У?(со), со)^Л для каждого со, такого, что #(со)<оо.
Положим, наконец, T = R/\S; этот момент остановки удовлетворяет
условию (21.1), и для него
Р {С\{Т <оо}} <Р {B\{S <оо}} + Р {{inf Rn <oo}\{R < оо}} < е.
§ 3. Квадратично интегрируемые мартингалы1)
Мартингалы, моменты остановки и т. п., рассматриваемые в
этом параграфе, всегда связываются с некоторым фиксированным
семейством а-алгебр (<Ff), которое удовлетворяет условиям,
сформулированным в предыдущем параграфе (п. 13).
022. Определение. Мы будем называть непрерывный справа
мартингал (Xt) квадратично интегрируемым, если
supE[X?]<oo. (22.1)
Это равносильно тому, что (Xt) является равномерно
интегрируемым мартингалом вида (Е [Y | oF<]), где Y принадлежит J?2. По
неравенству Йенсена Е [Х\] ^ Е [Y2] для любого момента
остановки Т.
Теория, которую мы построим, может быть распространена на
непрерывные справа мартингалы (Xt), такие, что Xt принадлежит
J?2 для любого /. Это обобщение мы предоставляем читателю.
23. Пусть (Xt)— квадратично интегрируемый мартингал и
(Mt) — непрерывная справа модификация мартингала (Е [Xt | dF*]).
Субмартингал Xf мажорируется (Mt) и поэтому принадлежит
классу (D) (VI.T19). Следовательно, процесс (Mi— Xf)
является потенциалом класса (D), порождаемым в силу VII.T29 одно-
*) Результаты этого параграфа получены Мейером [4],

§ 3. Квадратично интегрируемые мартингалы
203
значно определенным интегрируемым натуральным
возрастающим процессом (At). Мы будем говорить, что (At)— возрастающий
процесс, связанный с мартингалом (Л^)1) .Так как процесс (X]—At)
есть непрерывный справа мартингал, то для каждой пары
моментов остановки S, 7\ такой, что S<7\
Е [AT-AS | ¥s] = Е [Х\-Х% | Fs] = Е [(XT-XSY | <FS] п.н.
024. Определение. Мы будем называть квадратично
интегрируемый мартингал (Xt) квазинепрерывным слева, если для любой
возрастающей последовательности (Тп)пен моментов остановки
ХитТп^ИтХтп п.н. (24.1)
п п
Для квазинепрерывных слева мартингалов каждый момент
остановки Т, такой, что
Хт(и>) фХт_ (со) п.н. на множестве {Г<оо}
абсолютно недостижим (VII.042)2). Читатель может убедиться, что
верно и обратное: из этого свойства вытекает квазинепрерывность
слева (Xt).
Т25. Теорема. Возрастающий процесс (At), связанный с (Xt),
непрерывен тогда и только тогда, когда (Xt) квазинепрерывен слева.
Доказательство. Натуральный возрастающий процесс (At)
непрерывен тогда и только тогда, когда
УтЕ[Х2Т ] = Е[Х2Т] (25.1)
п п
для любой возрастающей последовательности (Тп) моментов
остановки, сходящейся к некоторому моменту остановки Т (см. VII.Т37).
Поскольку случайные величины Хтп равномерно интегрируемы,
это условие можно записать в виде
E[X2,]=E[(limXrn)2]. (25.2)
Теперь заметим, что lim ХТп = Е [Хт | V<Fтп]3) (VI.Т6). Поэтому
п п
Е [Х\] = E[(lim ХГп)2] + Е [^T-Um *г.)я].
и мы видим, что (25.2) эквивалентно соотношению: ХТ = ИтХтп п.н.
1) Это понятие используется главным образом в теории стохастических
интегралов, которой мы не будем здесь заниматься.
2) Или п.н. бесконечен.
3) Мы придерживаемся обозначений п.VI 1.38.

204
Гл. VIII. Приложения теории мартингалов
026. Определение. Мы будем говорить, что квадратично
интегрируемые мартингалы (Xt) и (Yt) ортогональны, если процесс (XtYt)
является мартингалом.
Пусть У0 = 0; тогда мартингалы (Xt) и (Yt) ортогональны в том и
только том случае, если E[XTYT]=0 для любого момента
остановки Т. Действительно, если процесс (XtYt) — мартингал, то
E[XTYT]=E[X0Y0]=0.
Обратно, если выполняется это соотношение, то Е [XtaYta] = 01)
для любого момента остановки Т и для любого события A g ¥т.
Это соотношение можно записать также в виде
\XTYT(№+ J XooKoodP^O,
A Q\A
или даже, поскольку Е [XooV»] =0,
lxTYTdP=\x„Y»dP,
А А
поэтому
Е[**Ув | SrT]=XTYT п.н.
Т27. Теорема. Пусть (Xt) и (Yt) —квадратично интегрируемые
мартингалы и (At) и (Bt)—возрастающие процессы, связанные с
(Xt) и (Yt) соответственно. Тогда (Xt) и (Yt) ортогональны в том
и только том случае, если возрастающий процесс, связанный с
мартингалом (Xt-\-Yt) равен (At + Bt).
Доказательство. Последнее условие означает (так как
возрастающий процесс (At-\-Bt) натурален), что (Xt-{-Yt)2—(At + Bt) —
мартингал. Поэтому достаточно заметить, что
2XtYt=[{Xt + Yty-(At + Bt))-[X>t-At}-[Y*t-Bt].
Первое разложение для квадратично интегрируемых мартингалов
Мы покажем, что каждый квадратично интегрируемый
мартингал можно разложить на квазинепрерывный слева мартингал и
мартингал, ортогональный любому квазинепрерывному слева
мартингалу.
Мы скажем, что непрерывные справа мартингалы (Mt) и (Nt)
не имеют общих точек разрыва, если п.н.
Nt(co) = Nt_ (со) для каждого /6 R + , такого, что Mt (со) Ф Mt_ (со).
Сначала приведем один вспомогательный результат.
Т28. Теорема. Пусть (S„)„€n—возрастающая последовательность
моментов остановки. Пусть S = limSrt и U — интегрируемая с квад-
п
*) Обозначение ТА было введено в п.VI 1.38.

§ 3. Квадратично интегрируемые мартигналы
205
ратом Ws-измеримая случайная величина, такая, что
Е[^ I Vr5J=0. (28.1)
п
Тогда
(а) процесс (Ut) = ((////> si) — квадратично интегрируемый
мартингал;
(б) (Ut) ортогонален любому квадратично интегрируемому
мартингалу (Mi), не имеющему общих с (Ut) точек разрыва;
(в) возрастающий процесс (At)> связанный с (Ut)> определяется
равенством
At = E[U*\ Vr5n]/{/>S} (<€R)- (28.2)
Доказательство. Достаточно установить справедливость (б) и
(в), поскольку тогда для доказательства (а) можно взять в
качестве (Mt) мартингал, тождественно равный 1.
Имеем (Уос = UIis<»\ = U. Действительно, U = 0 п.н. на
множестве {S = oo} (так как случайная величина UIfs«x>\ измерима
относительно а-алгебры VoFsn (VII.41)), и, значит, UIts=*\
ортогонально U. Поэтому
E[M„U„ \9rt] = E[M»UIit<s} \3~t]+E[M„UI{s<t} | Srt]. (28.3)
Первое слагаемое в правой части равно нулю. Действительно,
обозначим Н ограниченную ^-измеримую случайную величину.
Тогда
E[M„UI{t<s}H]=E[E[M„UI{i<S}H | Fs\]-=E[MsUI{t<S}H],
поскольку случайная величина UIit<s\H ^-измерима. С другой
стороны, Ms = limMsn на множестве {UФ0), так как мартингал
п
(Mt) не имеет общих с (Ut) точек разрыва. Далее, #///<si =
= lim HIn<sn\ измеримо относительно а-алгебры V<Fsrt. поэтому
п * ' п
случайная величина #///<siHmMsn ортогональна U, и желаемое
утверждение следует из произвольности Я.
Таким образом, выражение в правой части (28.3) сводится к
Е [M„UI{s<t} | Г,] =Е [Л*. | ft) Ul{s<t} = MtUt,
поскольку Ults^tX оГ^-измеримо. Следовательно, процесс (MtUt)—
мартингал, откуда вытекает (а) и (б).
Тот факт, что U принадлежит J^2, несуществен; достаточно
было бы предположить, что M«>U интегрируемо. Таким образом,
утверждение (а) остается справедливым и в случае, когда U
предполагается лишь интегрируемой величиной (можно взять Мж=1).
Положим V=U2 — E[U2 | V<Fsn]. Процесс (VIjt>S}) по
доказанному выше является мартингалом; он равен (U*—At). Остается

206
Гл. VIII. Приложения теории мартингалов
лишь убедиться, что возрастающий процесс (At) натурален. С этой
целью заметим сначала, что величина Uhsn=s\ <F5л-измерима и,
следовательно, ортогональна U. Поэтому (/ = 0 п.н. на множестве
{Sn=S}iMHU2=U4{sn<s для всех/2}. Пусть (Yt)—ограниченный
непрерывный справа мартингал. Тогда
Ю
Е!
S (Yt-Yt J dAt\ = E [(Ys-Ys_) E [[/■ | vFsJ] = .
[(YS-YS.)E [U4{Sn<S для ncex „} | V^s.]] =
= E [(K5-Ks_)/{Sn.<S для .cex n) E [{/» I VrSn] J =
= E[(Iim(ys-Ks,))E|-t/4 Vfs.]]=0,
так . как lim(K5—Ksn) ортогонален любой случайной величине,
п
измеримой относительно а-алгебры V<Fsn. Таким образом, процесс
п
(At) натурален (VII.018). Теорема доказана.
Т29. Следствие. Пусть (Xt)—квадратично интегрируемый
мартингал и Т — момент остановки, такойх что существует
возрастающая последовательность моментов остановки (Тп), для
которой P{TJT, Тп<Т для всех п}=\. Пусть V=XT — ХТ_. Тогда
процесс (Vt) = (VIft^T\) является квадратично интегрируемым
мартингалом, ортогональным любому квадратично интегрируемому
мартингалу, не имеющему общих с (Vt) точек разрыва.
Доказательство следует из теоремы 28.
->Т30. Теорема. Пусть (Xt)—квадратично интегрируемый мартингал.
Тогда существует единственное разложение (Xt) на сумму двух
квадратично интегрируемых мартингалов (Yt) и (Zt), обладающих
следующими свойствами: Y0 = 0\ {Yt) ортогонален любому
квазинепрерывному слева мартингалу; (Zt) квазинепрерывен слева.
Мартингал (Yt) ортогонален любому квадратично
интегрируемому мартингалу, не имеющему общих с ним точек разрыва.
Доказательство. Пусть (Rp)p^n—последовательность моментов
остановки, «содержащая» все точки разрыва мартингала (Xt)
(такая последовательность была построена при доказательстве Т20).
Обозначим Тр достижимую часть момента остановки Rp (VII.T44).
Тогда существует возрастающая последовательность моментов
остановки (S£*)n6N (££N), мажорируемых моментом Тр, такая, что
{Tp<oo}-^{JK[(SPnk)] п.н. (см. VII.T44, замечание). Пусть S'* =
k
= limS£* и /-— биекция N на NxN.

§ 3. Квадратично интегрируемые мартингалы
207
Определим
L п S» J {/>S/(0>}
xj =xt-vi
Мартингалы типа (У?) рассматривались в п.28, а процесс (Л|)
таков, что limX11(0) = X1 Uoy Эти мартингалы не имеют общих то-
п sn s
чек разрыва и, следовательно, ортогональны. Положим теперь
X1 = X}—V}
и аналогичным образом определим Vpt и Х?+1, р^2.
Единственность рассматриваемого разложения очевидна.
Второе разложение квадратично интегрируемого мартингала
Мы рассмотрим теперь квазинепрерывный слева мартингал (Xt)
и покажем, что его можно разложить на сумму квадратично
интегрируемого мартингала с непрерывными траекториями и
мартингала, являющегося суммой компенсирующих недостижимых
скачков. Это разложение, очевидно, аналогично разложению П. Леви
процессов с независимыми приращениями.
Мы начнем с вспомогательного результата, подобного тому,
который приведен в п.29.
Т31. Теорема. Пусть Т—абсолютно недостижимый момент
остановки и Y—положительная квадратично интегрируемая ¥Т-
измеримая случайная величина, равная нулю на множестве {Т = оо}.
Обозначим (At) интегрируемый возрастающий процесс (у1п>т\).
Существует единственный непрерывный интегрируемый возрастаю-
щий процесс (Bt)y такой, что процесс (£/*) = (At—Bt) удовлетворяет
условиям:
(а) (Ut)—квадратично интегрируемый мартингал;
(б) мартингал (Ut) ортогонален любому квадратично
интегрируемому мартингалу (Mt)t не имеющему общих с (Ut) точек разрыва.
Доказательство. Пусть (Pt) — потенциал, порожденный (At), и
(S„)n € n — возрастающая последовательность моментов остановки.
Так как момент остановки Т 'абсолютно недостижим, то
^iimsn = lim Asn п.н. Отсюда следует, что потенциал (Pt) регуля-
п п
рен (VI 1.033) и, значит, порождается единственным непрерывным
интегрируемым возрастающим процессом (Bt). Соотношение
Pt = E[A» \9ri]-At = E[B9 irj-Д, п.н.
показывает, что процесс (С/*)— мартингал, Остается показать, что

208 Гл. VIII. Приложения теории мартингалов
В* принадлежит^2. Из VII.T23 и непрерывности (Bt) вытекает, что
Е[В1]=Е
\(Pt + Pt_)dBt =2Е $Р,_ dfiJ = 2E \pt_dAt
(последнее равенство является следствием VII.Т17). С другой
стороны,
оо "I Г се "1
\Р%_ dAt < Е j (Pt_ + At_)dAt < E[(sup(At + P^ Л„],
и мы знаем, что sup(At-\-Pt) принадлежит J?2 (VI.2).
Пусть (Mt)—квадратично интегрируемый мартингал, не
имеющий общих с (Ut) точек разрыва; покажем, что Е [M^U^ | gF*] =
= MtUt п.н. Проведем рассуждения в случае / = 0. Общий случай
легко сводится к этому. Используя сначала VII.T15 (и
последующее замечание), затем факт отсутствия общих точек разрыва и,
наконец, VII.Т17 (и замечание (а), следующее за этой теоремой),
получаем
E[M„U„ |Г0]=Е
]MsdU,\F0 =Е $М,_Л/, |Fo
= 0,
так как Ut = At — Bt и процессы (At) и (Bt) порождают один и
тот же потенциал.
Замечание. Интегрируемый возрастающий процесс (Ct)f
связанный с мартингалом (Ut)t является натуральным (непрерывным)
интегрируемым возрастающим процессом, который порождает
тот же потенциал, что и процесс
(Dt)~Y4{l<T}.
Действительно, пусть (/,-)г=о п—конечное разбиение интервала
[t, оо] (t0 = t, tn = oo); тогда
E[Ce-Ct | F,] = E[^(Cil+t-Cti) | JFt] = E[^(£/,(+ -*/„)• | JFt].
Раскроем выражение в скобках в последнем члене и будем брать
все более мелкие разбиения. Тогда слагаемые (Bti.+t — Bti)2f
(Btl+i—Bti)(Ati+i—Ati) дадут выражение, стремящееся к 0, и
останется только сумма ^(Ati+t — Л/.)2, равная Y2Ih>t\- Таким образом,
Е [С.—С, | Ft] = Е [Doo-A | Ft].
Полученные нами результаты очевидным образом
распространяются на случайные величины F^JS?2, принимающие значения
произвольного знака,

§ 3. Квадратично интегрируемые мартингалы
209
Т32. Теорема. Пусть (Xt)—квазинепрерывный слева квадратично
интегрируемый мартингал. Тогда существует единственное
разложение (Xt) на сумму квадратично интегрируемых мартингалов (Yt)
и (Zf), обладающих следующими свойствами:
Уо = 0; (Yt) ортогонален любому непрерывному квадратично
интегрируемому мартингалу; (Zt) непрерывен.
Мартингал (Yt) ортогонален любому квадратично
интегрируемому мартингалу, не имеющему общих с (Yt) точек разрыва.
Доказательство. Покажем сначала, что для любого момента
остановки Т случайные величины Хт — Хт_ принадлежат J?2. Пусть
(//)*=<) п—разбиение интервала [0, оо] (/0 = 0, /п = оо), такое,
что Р [Т = /,.] = 0 для любого / Ф 0, п. Тогда
Е[(Х.-Х0)2] = ЕГ2(^+1-Х,,)21.
Пусть /(со)—наименьшее целое число /, для которого /;^Г(со).
Тогда
E[(X^-X0Y]^E[(Xtm-Xtm^].
Поэтому достаточно заметить, что Xtj—Xtj_i стремится к Хт — Хт_,
когда разбиение (t() становится все более и более мелким, и
применить лемму Фату.
Теперь рассмотрим, как и в п. 30, последовательность (Гп)„€м
моментов остановки, «содержащую» все точки разрыва мартингала
(Xt). Так как (Xt) квазинепрерывен слева, моменты Тп можно
предполагать абсолютно недостижимыми (VII.T44). Положим
(U°t) = (A4-B4),
где (B°t) — однозначно определяемая разность непрерывных
интегрируемых возрастающих процессов, такая, что (Л?—В")—квадратично
интегрируемый мартингал. Наконец, положим
(X}) = (Xt-U1).
Теперь, введя обозначение (Bf), имеющее тот же смысл по
отношению к (Apt), что и (В?) по отношению к (Л°), определим
индуктивно:
Yp=X"t —Х"т _,
W)-(K'/{< >,'}>.
(X?+l) = (X?-U?).

210 Гл. VIII. Приложения теории мартингалов
Доказательство теперь заканчивается точно так же, как в п. 30:
мартингалы (£/?) без общих точек разрыва попарно ортогональны;
по той же причине ортогональны мартингалы (Xpt+1) и (U°t + ... + Щ);
ряд 2^~ сходится в среднем квадратичном к случайной вели-
р
чине Y\ скачки (Xt) совпадают с разрывами мартингала (Yt) =
= (Е[У|<Г*]), так что мартингал (Zt) = (Xt—Yt) непрерывен и
ортогонален (Yt). Мы предоставляем читателю проведение
детального доказательства.

ЧАСТЬ 3
АНАЛИТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ
ПОТЕНЦИАЛА
Глава IX
ЯДРА И РЕЗОЛЬВЕНТЫ
§ 1. Ядра. Диффузии
01. Определение. Пусть (£, <§) — измеримое пространство. Ядро
на (£", <8) есть отображение
(jc, А) илл- N (х, А)
пространства Ех£ в R + , обладающее следующими свойствами:
(1) отображение х -ллл*- N (х, А) ^-измеримо для каждого
множества А £ £\
(2) отображение А -ллл-- N (х> А) вполне аддитивно для каждого
х$Е.
Мера А -л/vw N (ху А) будет часто обозначаться N(x,dy).
2. Предыдущее определение никоим образом не ограничивает
«размера» ядер. Например, существуют ядра, для которых
функция N (х, А) принимает только значения 0 и +оо. Поэтому
определение 1 дополняется следующими:
(а) ядро N называется субмарковским (соответственно
марковским), если
N (х, Е)^. 1 (соответственно N (х, Е) = 1) для каждого х£Е\
(б) мы будем говорить, что ядро N собственное, если
множество Е является объединением последовательности (/(„)« cn
измеримых множеств, таких, что отображения х -ллл~ N (х, Кп)
ограничены1).
Обобщение на функции и меры
3. Пусть f—положительная измеримая функция (конечная или
нет). Рассмотрим функцию
х ^ J N (х, dy) f (у).
Е
1) Несколько иное определение собственных ядер получится, если заменить
слово «ограничены» словом «конечны»; эти определения эквивалентны для ядер,
Удовлетворяющих принципу максимума.

212
Гл. IX. Ядра и резольвенты
Легко показать (аппроксимируя / измеримыми элементарными
функциями), что эта функция также измерима. Обозначим ее Nf.
В случае когда / неположительна, мы также будем
использовать это обозначение, понимая под ним функцию Nf+ — Nf~ при
условии, что эта функция определена (ни в какой точке не имеет
вида оо — оо).
4. Пусть &+ — совокупность всех положительных измеримых
функций, конечных или нет. Отображение / -ллл** Nf множества £+
в себя аддитивно, положительно-однородно и обладает следующим
свойством.
Пусть (fn)—возрастающая последовательность элементов из $+;
тогда
N(limfn^ = limNfn. (4.1)
Обратно, каждое отображение из S+ в S+, обладающее этими
свойствами, отвечает некоторому ядру.
Пусть Ъь— векторное пространство ограниченных измеримых
функций и N—субмарковское ядро. Отображение / -ллл» Nf есть
положительный оператор на Ъь с нормой ^ 1, обладающий
свойством (4.1) для любой последовательности (/„) положительных
функций из S6, ограниченных некоторой константой. Эти свойства
характеризуют операторы на $6, отвечающие субмарковским ядрам.
5. Пусть N — некоторое ядро и /—измеримая функция, такая,
что функция Nf вполне определена. Значение функции Nf в точке
х$Е будет обозначаться или N (х, f) (по аналогии с
обозначением N (ху А) для множеств), или Nf*. Эти обозначения более
предпочтительны, чем обозначение Nf(x), неудобное в сложных
формулах. Мы можем, кроме того, всегда прибегнуть к
обозначению <8АГ, Л/у>.
6. Пусть \х — положительная вполне аддитивная функция
множеств на <£, конечная или нет. Легко проверить, что функция
множеств
A -ллл- J ii (dx) N (х, А) {А 6 <£)
Е
тоже вполне аддитивна (теорема Лебега). Будем обозначать эту
функцию символом \iN. Мера N (a:, dy), таким образом, может быть
обозначена exN.
Мы можем так же, как и для функций, определить меру \xN и
в некоторых случаях, когда мера \х неположительна. Так, если
ядро N субмарковское, мера \lN определена и ограничена для
любой ограниченной меры \i. Пусть <МЬ—банахово пространство
ограниченных мер на (£, <§) с обычной нормой:
||X||=SUp<Xf/> {K£aSb)

§ 1. Ядра. Диффузии
213
(IIMl — «полная вариация» к). Отображение jn -ллл- цЛ/ есть
положительный оператор на с£ь с нормой, меньшей или равной 1. Мы не
будем пытаться охарактеризовать операторы этого типа свойством,
аналогичным (4.1).
7. Пусть / — положительная измеримая функция и ji —
положительная вполне аддитивная функция множеств. Имеет место
соотношение
Это равенство очевидным образом распространяется на меры и
функции произвольного знака при условии, что все
рассматриваемые объекты вполне определены.
Композиция ядер
8. Пусть М и N — ядра на (£, $). Из теоремы Лебега легко
выводится, что отображение
(x,A)^~\M(x,dy)N(y,A)
Е
Ех$ в R+ также является ядром; оно называется композицией М
и N и обозначается MN.
Пусть / — положительная измеримая функция. Так как / есть
предел возрастающей последовательности измеримых элементарных
функций, то
[MN] (х, f) = J М (х, dy) N (у, f) = M (х, Nf).
Е
Пусть L, М и N — ядра. Из приведенного выше соотношения
следует, что
[(LM) N] (х, f) = [LM] (xt Nf) = L (х, MNf).
Таким образом, композиция ядер является ассоциативной
операцией, что позволяет нам при записи некоторых сложных
выражений опускать скобки; например LMN, \xLMN, LMNf> LMNfx.
Заметим, что композиция двух субмарковских (соответственно
марковских) ядер есть субмарковское (соответственно марковское)
ядро.
Ядра на локально компактном пространстве
Предположим теперь, что Е — локально компактное
пространство. В этом случае существует несколько способов соотнесения
понятия ядра и структуры пространства Е. Мы выберем лишь
один из них. С другими читатель может ознакомиться, например,
по книге Бурбаки [4], гл. V, § 3,

214
Гл. IX. }1дра и резольвенты
09. Определение. Пусть Е—локально компактное о-компактное
пространство с о-полем 9Ви (Е) универсально измеримых множеств.
Ядром диффузии 1) (или просто диффузией) на Е называется ядро N
на (£, ЗЗи(Е)), обладающее следующим свойством.
Пусть \1 — мера Радона с компактным носителем на Е. Тогда
мера \iN есть каноническое продолжение на 33а меры Радона на Е.
Кроме того, мы будем говорить, что ядро N (или диффузия N)
(а) непрерывно, если функция Nf непрерывна для каждой функ-
(б) стремится к нулю на бесконечности, если функция Nf
стремится к нулю на бесконечности для любой функции /€#:*•;
(в) равномерно, если функция N1 ограничена;
(г) строго положительно, если все меры zxN отличны от
нулевой.
Сейчас мы не будем останавливаться на свойствах (б), (в) и (г),
исследованием которых займемся позднее, в теории потенциала;
их определения мы заимствовали у Шоке и Дени (см. Дени [3],
[4]). Термин «диффузия» также заимствован у Шоке, но у нас он
имеет несколько иной смысл.
Чтобы избежать трудностей, связанных с определением
универсально измеримых множеств в общих локально компактных
пространствах, мы ограничимся лишь а-компактными
пространствами.
10. Замечания, (а) Пусть N—диффузия и \л — положительная
мера Радона с компактным носителем. Тот факт, что мера \iN есть
продолжение на ЭЗи меры Радона, эквивалентен тому, что \iN
удовлетворяет условию:
<цЛ/, 1КУ конечно для каждого компакта К (W-1)
и, кроме того, обладает определенным свойством регулярности
(см. 11.37). Предположим теперь, что \i — произвольная
положительная мера Радона. Поскольку пространство Е а-компактно,
ц есть счетная сумма мер Радона с компактными носителями, так
что \xN есть счетная сумма мер Радона. Значит, ц,Л/ — мера Радона
тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию (10.1).
В частности, предположим, что диффузия N субмарковская.
Тогда \xN есть мера Радона для любой ограниченной меры ц.
(б) Пусть V—непрерывное ядро и /—положительная
полунепрерывная снизу функция. Обозначим /у совокупность функций
gg^+ , таких, что g^f* Верхняя огибающая совокупности lf
х) Во французском оригинале «noyau-diffusion».— Прим. перев,

§ 1. Ядра. Диффузии
215
равна /, так что из II.T36 вытекает
Vf= supVg.
Поскольку функции Vg непрерывны, функция Vf полунепрерывна
снизу. Аналогично можно проверить, что функция Vf
полунепрерывна сверху, если / полунепрерывна сверху, положительна и
имеет компактный носитель.
Т11. Теорема. Пусть V—положительное линейное отображение
%ж(Е) в %(Е)- Существует единственная непрерывная диффузия N
на £, такая, что
Nf = Vf для каждой функции f^(6^(E).
Доказательство. Линейный функционал f-w+Vf* на %^
положителен. Следовательно, он является мерой Радона Nх> которая
канонически продолжается на борелевское cr-поле и затем на
а-поле 93и. С другой стороны, пусть X—положительная мера
Радона с компактным носителем и [i—мера Радона, определяемая
соотношением
<,if/> = <*, К/> (/€**). (ИЛ)
Пусть Ж—совокупность ограниченных борелевских функций со
следующими свойствами: для каждого относительно компактного
открытого множества А
(а) функция x-w+Nx(gIA)—борелевская и Х-интегрируемая,
(б) функция gIA ц-интегрируема, и
Е
Множество Ж, очевидно, есть векторное пространство, замкнутое
относительно равномерной сходимости, и предел возрастающей
последовательности равномерно ограниченных положительных
элементов Ж принадлежит Ж. Докажем, что множество # всех
ограниченных положительных полунепрерывных снизу функций
содержится в Ж. Если g принадлежит #, то функция gIA является
верхней огибающей семейства, фильтрующегося вправо и
состоящего из функций /,-€#^.. Следовательно, функция х-ам+ Nx(gIA),
верхняя огибающая непрерывных функций Vfif полунепрерывна
снизу и, стало быть, является борелевской. Используя снова
П.Т36, мы получаем
<Ц. 8*л> = SUP <И. //> = sup <К Vf{> = Г dk(х) Nx (gIA).
Итак, свойства (а) и (б) проверены. Поскольку % замкнуто
относительно умножения, из LT20 следует, что Ж содержит все огра-

216
Гл. IX. Ядра и резольвенты
ничейные функции, измеримые относительно а-алгебры,
порожденной полунепрерывными снизу функциями, т. е. борелевской
а-алгебры.
Предположим теперь, что / — ограниченная универсально
измеримая функция с компактным носителем. Пусть ft и
/2—ограниченные борелевские функции с компактными носителями, такие, что
и
Из свойств (а) и (б) вытекает, что борелевские функции x-w~Nx (/2),
x-w~ Nx(f2) имеют один и тот же (конечный) интеграл по мере %.
Так как они ограничивают сверху и снизу функцию x-w+ Nx(f),
последняя Х-измерима и
<(х, f> = ^dk(x)Nx(f). (11.2)
Е
Таким образом, установлены следующие факты.
Пусть /—ограниченная положительная борелевская
(соответственно универсально измеримая) функция с компактным носителем.
Тогда функция x-w+Nx{f) борелевская (соответственно
^-измеримая для любой меры Радона К с компактным носителем).
Этот результат с помощью предельного перехода в монотонных
последовательностях немедленно распространяется на борелевские
(соответственно универсально измеримые) функции с компактными
носителями, но не ограниченные. Так как пространство Е а-ком-
пактно, мы не можем отказаться от ограничений на носители
меры к и функции /.
Пусть А—универсально измеримое множество. Положим
N(x, A) = NX{A).
Непосредственно из сказанного выше вытекает, что отображение
(х, A)^w^N(x} А) есть ядро на (Е, Зди(Е)) и соотношение
N{x,f) = Nx{f)
доказывается с помощью предельного перехода в монотонных
последовательностях для любой положительной универсально измеримой
функции /.
Сохраняя прежнее значение К и |л, из соотношения (11.2)
получаем
Так как \х—мера Радона и А,—произвольная мера Радона с
компактным носителем, ядро N является диффузией.
Остается только проверить единственность ядра N, вытекающую
из следующего замечания. Пусть N и М—ядра диффузии, такие,

§ 1. Ядра. Диффузии
217
ЧТо Nf = Mf для любой функции /€#^. Тогда ядра N и М
тождественны. Действительно, exN и гхМ для каждого х£Е суть меры
Радона, совпадающие на #^; поэтому они совпадают всюду, и,
значит, для любой положительной универсально измеримой
функции /
Mf* = <гхМ, /> = <*XN, /> = Nf*.
Доказательство следующей теоремы (значительную часть которого
мы опустим) очень похоже на доказательство теоремы И. Оно
несколько проще, поскольку мы предполагаем, что Е—ЛКС-про-
странство.
Т12. Теорема. Пусть Е—Л КС-пространство и $j0C—векторное
пространство локально ограниченных универсально измеримых
функций на Е.
(а) Пусть N—диффузия на Е. Тогда функция f-w+Nf
отображает Ъх в 81ос.
(б) Обратно, пусть V—положительное линейное отображение
%Ж в ^loc' тогда существует ядро диффузии N на £, такое, что
Nf = Vf для любой функции !€%£?* и это Я^Р° единственно.
Доказательство. Утверждение (а) мы будем доказывать от
противного. Предположим, что существует функция / £ #£•, такая, что
функция Nf не локально ограничена. Тогда можно найти
последовательность точек хп, содержащихся в некотором компактном
множестве, такую, что ряд 2 1/N (*«» /) сходится. Пусть |и — мера
Part
дона 2e*n/^ (xni f) с компактным носителем; ясно, что <|ы, Л//> = +оо
п
или, что эквивалентно, <jiAf, /> = +°°. Значит, мера \jlN не является
мерой Радона, а это противоречит предположению, что
N—диффузия.
Чтобы доказать утверждение (б), как и при доказательстве
предыдущей теоремы, нужно, обозначив Nx меру Радона, определяемую
равенством
Nx{f) = Vfx (/€**),
показать, что отображение х -ллл*» Nх (f) универсально измеримо,
сначала когда /—ограниченная борелевская функция с компактным
носителем, затем когда /—произвольная положительная борелевская
функция и, наконец, когда / — универсально измеримая функция.
13. Примеры ядер, (а) Пусть (£, (£) — измеримое пространство.
Положим
/(х,А) = 1А(х) (х£Е9 Л€<£).
Мы получили ядро /, удовлетворяющее соотношению If = f для
любой измеримой функции /, Оно называется единичным ядром.

218
Гл. IX. Ядра и резольвенты
(б) Пусть п(х, у) — положительная функция на множестве ЕхЕу
измеримая относительно а-поля <£х£, и X—фиксированная
положительная мера на Е. Мы получим некоторое ядро на (£, £),
положив
N(x,A) = \n{x,y)dk(y) (х€Е,А€£).
А
Очевидно, что
N(xtf)=[n(x,y)f(y)dK(y).
Е
Такая функция п (ху у) называется ядерной функцией. Следует
заметить, что, для того чтобы по ядерной функции построить ядро,
нужно задать некоторую меру X. Предположим, например, что Е
есть пространство R3 (с борелевским сг-полем и евклидовой
метрикой d). Ядерная функция
п(х, y)=l/d(x, у)
называется ньютоновой ядерной функцией в R3. Если X—лебегова
мера, функция
N(xy f)=\n(xty)f(y)dX(y)
R3
есть ньютонов потенциал распределения массы с плотностью (часто
рассматривают также потенциалы положительных мер вида
*-ллл-$ n(xt y)d\i(y),
R>
но сейчас нас эти потенциалы не будут интересовать).
Более общо, ядро порядка а в R" (0<а^2; в случае <х = 2
это — ньютоново ядро) есть ядро с ядерной функцией
[d(x,y)]'~a.
(в) Ядра свертки. Пусть Е — мультипликативная локально
компактная группа и \х — положительная мера на Е. Положим для
каждого х£Е и каждой положительной универсально измеримой
функции /
Nfx=[f{xy)dv(y).
Е
N — непрерывное ядро на Е. Пусть X—положительная мера на Е.
Тогда
<XNyf> = <XtNf>=^dX(x)^f(xy)dlx(y) = <X^yf>y
Е Е
где * обозначает свертку. Таким образом, XN = Х*ц, что объясняет
название «ядро свертки» для ядер этого типа (заметим, что
соотношение Nf = [i*f не верно).

§ 2. Теория потенциала; случай отдельного ядра
219
§ 2. Теория потенциала, соответствующая случаю
отдельного ядра
Следующая проблема настолько общая, что она содержит почти все
классические задачи теории потенциала: дано семейство (#,.)* 6/
диффузий на ЛКС-пространстве Е\ требуется изучить измеримые
функции / на Е> удовлетворяющие неравенствам
Njf ^ / для каждого / g /
(или меры Радона jx, удовлетворяющие неравенствам [iN{ <|ы). Нас
будет преимущественно интересовать очень специальный случай этой
проблемы, когда семейство (Л^) есть однопараметрическая
полугруппа субмарковских ядер. В качестве введения для этого уже
очень сложного случая мы коротко рассмотрим случай, когда
семейство (N;) сводится к одному ядру N. В этом параграфе,
содержащем в основном результаты Дени [1], [2] и Дуба, мы не будем
использовать вероятностные методы. Вероятностную интерпретацию
читатель может найти в работе Дуба [6].
Эксцессивные функции
14. Мы начнем с изучения эксцессивных функций. Это изучение
целесообразно проводить для ядер на абстрактном пространстве.
Пусть (£, <£) — измеримое пространство и N — ядро на (£,<£).
Положим № = / (единичное ядро) и обозначим Nn я-ю степень N
относительно композиции, п^1.
Функции, которые мы называем эксцессивными (соответственно
инвариантными), Дени называет супергармоническими
(гармоническими) и Дуб—суперрегулярными (регулярными).
015. Определение. Пусть f—положительная измеримая функция;
f называется эксцессивной относительно ядра Nf если
Говорят, что f инвариантна относительно ядра N, если она всюду
конечна и
Nf = f.
Слова «относительно ядра N» на протяжении этого параграфа
будут опускаться.
Пример. Ядро N является субмарковским (марковским) тогда
и только тогда, когда постоянная 1 эксцессивна (инвариантна).
Замечания, (а) Очевидно, что, если / эксцессивна, справедливы
неравенства
f^Nf^...^Nnf^Nn+1f^... .
Обозначим N"f предел Nnf при п—>оо (отображение ^-ллл-УУ00/
не является, вообще говоря, ядром).

220
Гл. IX. Ядра и резольвенты
(б) Определение 14 не накладывает ограничений на значения
эксцессивных функций. Постоянная +оо, например, часто является
не устраивающей нас эксцессивной функцией. Поэтому приходится
рассматривать определенные классы эксцессивных функций,
например, класс эксцессивных функций /, таких, что функция №°/ всюду
конечна, или класс эксцессивных функций /, таких, что функция
Nf всюду конечна. Функции из последнего класса называются
(в терминологии Дуба) эксцессивными функциями в строгом смысле.
Заметим, что для них множество {/ = оо} пренебрежимо для каждой
меры exN.
(в) Классическая теория потенциала имеет дело также с
супергармоническими функциями, которые не обязательно положительны.
Мы могли бы здесь ввести эксцессивные функции произвольного
знака, т. е. измеримые функции /, обладающие свойствами:
(а) — оо < / (#)< + оо для каждого х £ Е\ Nn (х, /") < + оо для
каждого х£ Е и любого п > 0,
(Р) Л7<Л
Первое условие означает, что все интегралы Nn (х, /) определены.
Понятие эксцессивной функции (произвольного знака) в строгом
смысле вводится заменой условия (а) условием N (х, | /1) < + °° Для
любого п > 0. Инвариантные функции произвольного знака
предполагаются конечными.
Эти определения заимствованы у Дуба. Мы не будем
использовать их в этой книге.
Т16. Теорема. Пусть f и g—эксцессивные функции, а и
р—положительные константы. Тогда функции af + $g и f/\g эксцессивны.
Пусть (fn)n €N—поточечно сходящаяся последовательность
эксцессивных функций. Тогда функция lim fn эксцессивна.
п -* со
Доказательство очевидно.
Потенциалы
017. Определение. Ядро потенциала, связанного с ядром N, есть
/2=0
Пусть f—положительная измеримая функция. Функция Gf
называется потенциалом f.
Мы часто будем использовать очевидное тождество
NG + I = GN + I = G.
Ядра вида XG, где G — ядро потенциала, связанного с ядром N,
и X—положительная константа, мы, следуя Дени, будем называть
элементарными.

§ 2. Теория потенциала; случай отдельного ядра
221
Т18. Теорема. Пусть f—положительная измеримая функция.
Тогда функция g = Gf эксцессивна, и в каждой точке х£Е
№°g* = 0 или №°gx = oo.
Обратно, каждая эксцессивная функция есть потенциал
некоторой положительной измеримой функции.
Доказательство. Ясно, что
во
N*Gfx=2iNnfx. (18.1)
Отсюда сразу же следует (при k= 1), что функция С/ эксцессивна.
Пусть х—такая точка, что N^Gf* < оо. Тогда существует целое k,
такое, что выражение в левой части (18.1) конечно и,
следовательно, ряд в правой части сходится. Таким образом,
00
lim 2#7* = Mm NPGfx = 0,
р-+ во р р -* 00
или N"Gfx = 0.
Обратно, пусть g—эксцессивная функция, такая, что функция
N*g принимает только значения 0 и оо. Пусть /—функция,
определяемая соотношением
I g(x) — Ngx в каждой точке х, где g(x) конечно,
" ' \ оо, если g(x) = oo.
Покажем, что Gf = g. Ясно, что это равенство выполняется на
множестве {g = oo}, так как С/^/ = оо. Пусть х—точка, в
которой g конечна. Тогда функция g интегрируема по каждой мере
Nk (xt dy) и то же самое можно сказать о функции /, которая
мажорируется g. Поэтому
откуда получаем
k
2 Nnfx = g(x) — Nk+1gx.
Наконец, соотношение Nccgx^.g(x) < оо влечет за собой равенство
№°£* = 0, так что
2 N»fx = g(x).
п = 0
Итак, Gf = g.
Т19. Следствие (разложение Рисса). Пусть g—эксцессивная
функция, такая, что функция N™g конечна; тогда g можно
представить единственным образом в виде суммы инвариантной функции
и потенциала,

222
Гл. /X. Ядра и резольвенты
Доказательство. Пусть я—точка Е и k—целое, такое, что
Nkgx <оо. Функция Nk"1g интегрируема по мере exN и
мажорирует функции NPg (p^k). Поэтому из теоремы Лебега следует,
что
<ех#, №>g> = lim <exN, №g> = Urn NP+1gx = N«>gx.
P -*■ CD P -* 00
Следовательно, функция N^g инвариантна. Пусть /—эксцессивная
функция g—N*>g. Ясно, что NCDf = 0, и из предыдущей теоремы
следует, что /—потенциал функции f—Nf.
Предположим, что имеет место разложение вида
где /'—эксцессивная и h—инвариантная функции. Тогда
N*g=N«f'+h,
и, значит, h^N^g, причем равенство имеет место тогда и только
тогда, когда Л/г°°/' = 0, т. е. когда f — потенциал. Отсюда вытекает
единственность разложения g на инвариантную функцию и
потенциал и, кроме того, N"g есть наибольшая инвариантная
миноранта функции g.
Т20. Следствие. Пусть g—конечный потенциал (или, более общо,
потенциал, такой, что N™g < оо всюду). Тогда каждая эксцессивная
функция, мажорируемая g, является потенциалом.
Т21. Теорема. Предположим, что ядро G собственное (п. 2).
Тогда каждая эксцессивная функция f есть предел возрастающей
последовательности конечных потенциалов.
Доказательство. Так как Е есть объединение
последовательности множеств с конечными потенциалами, функция G1 является
пределом возрастающей последовательности конечных
потенциалов gn. Пусть fn = ngn] потенциалы /„ сходятся всюду к +оо.
Теперь достаточно заметить, что функции fn /\f являются
потенциалами, монотонно сходящимися к /.
Ограничение эксцессивной функции на множество
Введем некоторые обозначения. Пусть А— измеримое множество
и А' — его дополнение. Обозначим JA (соответственно J А>) ядро,
определяемое равенствами JAf = fIA (соответственно JA> = flA,) для
каждой измеримой функции /; NА (соответственно NА>) — ядро NJA
(соответственно NJA>)\ GA (соответственно GA>) — ядро потенциала,
связанного с ядром NА (соответственно N А')-
Т22. Теорема. Пусть f — эксцессивная функция. Совокупность
рецессивных функций, мажорирующих [ на Л, имеет наименьший

§ 2. Теория потенциала; случай отдельного ядра 223
элемент, равный
JAf + JA>GA>NAf. (22.1)
(Эта функция называется ограничением1) f на А.)
Доказательство, Обозначим НА ядро Ja + JaGa'Na. Очевидно,
что HA = HAJA. Положим HAf = g. Неравенство
JAf+ItJA'N^NJ^f
очевидным образом выполняется при & = 0; покажем по индукции,
что оно верно для любого k. Применяя операцию N к обеим
частям неравенства, получаем
NJ + ^N^NJ^Nf.
Р=1
Применим теперь J # и к обеим частям прибавим JAf. Тогда
J Af + 2 Ja-N'a-NJ < J J + JA>Nf < /.
p = 0
Таким образом, получаем доказательство по индукции.
Установленное неравенство влечет за собой соотношение g = HAf^.f при
k—►оо. Ясно, что g = f в каждой точке Л.
Докажем, что g эксцессивна. Вычислим Л^, используя
тождество / + Na'Ga' = Ga'. Получим
Ng = NHJ = NJ + NA.GA.NAf = GA-NAf.
Таким образом, Ng = g в каждой точке А'. С другой стороны,
соотношение Ng^.Nf^f=g выполняется на Л. Так что Ng^g
в каждой точке, и g действительно эксцессивна.
Пусть h—любая эксцессивная функция, мажорирующая f на Л.
Тогда 1/}i^Ja\^ и поэтому HAh^HAf = g. Далее, h мажорирует
HAh\ поэтому h^gy и g действительно наименьшая эксцессивная
функция, мажорирующая / на Л.
23. Замечания, (а) Потенциал функции g—Ng не всегда равен
g\ он равен g, если N<»g = 0. Последнее имеет место по крайней
мере в следующих двух случаях:
(1) если функция / — конечный потенциал, поскольку тогда
N«g^N°>f = 0;
(2) если потенциал функции JJ конечен, так как тогда
GJJ^f на Л, так что GJAf^g всюду, и, следовательно, N*>g^
^№(GJAf) = 0.
Предположим, что ядро N субмарковское и потенциал G(IA)
конечен. Тогда ограничение функции 1 на Л есть потенциал,
который называется равновесным потенциалом А.
х) В оригинале reduite,-=- Прим. перев.

224
Гл. IX. Ядра и резольвенты
(б) Покажем, как характеризуются потенциалы в терминах
ограничений, подобно тому, как это делается в классической
теории потенциала.
Сохраняя прежние обозначения, предположим, что ядро G
собственное. Обозначим g эксцессивную функцию, такую, что
функция Ng конечна.
Мы покажем, что g есть потенциал тогда и только тогда,
KOzdalimHAng = 0 для любой убывающей последовательности (Ап)пйн
измеримых множеств с пустым пересечением.
Пусть g—потенциал; положим HAng = hn. Функции hn убывают
при возрастании /г, и мы уже видели, что Nhn=hn на Е\Ап.
Пусть h = \\mhn. Тогда по теореме Лебега Nh = ht откуда в силу
П-+Ф
Т19 вытекает равенство h = 0.
Обратно, предположим, что g не является потенциалом. Тогда
существует ненулевая инвариантная функция, ограниченная
функцией g. Мы сейчас построим убывающую последовательность
множеств Ап, такую, что HAnh = h для любого пи f\An = 0.
п
Пусть Л'—такое множество, что функция G^h конечна;
положим А = Е\А'. Тогда NAh-\-NA>h=zh и, следовательно,
HAh = JAh + JA<GA>NAh = JAh + JA>GA>(h—NA>h) = JAh + JA>h = h.
Так как ядро G собственное, мы можем выбрать возрастающую
последовательность измеримых множеств Вп, такую, что G(IBn) <оо
для любого пи U Вп = Е. Далее, положим
п
A'n = Bn(]{h^n\ и Ап = Е\А'п.
Для каждого п имеем GA'nh<nG (IВп) < <*>. Из предыдущих
результатов следует, что HAnh = h для любого п и, значит, ИтНАг£^
я-*со
>/i=^0, в то время как f\An = 0.
п
—>Т24. Теорема. Пусть h—положительная измеримая функция,
равная нулю на дополнении А, и f = Gh—ее потенциал. Каждая
эксцессивная функция, мажорирующая f на А> мажорирует ее всюду.
Доказательство. Пусть и—эксцессивная функция,
мажорирующая / на А и v—эксцессивная функция u/\f. Обозначим /
положительную функцию, равную v—Nv на множестве {и<оо} и +°°
на множестве {у=оо}. Потенциал / равен +°° на множестве
{и = оо} и v—N^v на множестве {v < оо}; поэтому он всюду меньше
v (Т18).
Применим операцию N к обеим частям неравенства v^Gh:
Nv^NGh.

§ 2. Теория потенциала; случай отдельного ядра
225
Отсюда, прибавляя h к обеим частям, получаем
h+Nv^h + NGh = Gh.
На А выполняется равенство Ghx = v(x), и, следовательно, в
каждой точке х множества А П {/ < оо}
А(*)0 (*) — Nvx = j(x).
Это неравенство очевидным образом выполняется и на {/ = оо}.
Значит, оно выполняется на всем множестве {Л>0}сЛ и,
следовательно, всюду. Поэтому
f = Gh^Q/^v,
так что v = f, т. е. /<«.
Т2б. Следствие (принцип мажорирования). Пусть g и
h—положительные измеримые функции и А — множество {ft>0}.
Соотношение
Ggx>Ghx для любого х$А
влечет за собой неравенство Gg^Gh.
Функция 1 эксцессивна, если ядро N субмарковское; это
утверждение справедливо и для функций вида a + Gg> где
g—положительная измеримая функция и а—положительная константа. Таким
образом, имеет место следующий результат.
Т26. Следствие (полный принцип максимума). Предположим,
что ядро N субмарковское. Пусть g и h—положительные измеримые
функции и а—положительная константа. Соотношение a-\-Ggx^
^ Ghx для любого х, такого, что h (х) > 0, влечет за собой
неравенство a + Gg^Gh.
Замечание. Этим двум «принципам» подчиняются также ядра,
пропорциональные G, т. е. элементарные ядра Дени (п. 17).
Интересно отметить, что эксцессивные функции могут быть
охарактеризованы без явного привлечения ядра N.
Т27. Теорема. Предположим, что ядро G собственное.
Положительная измеримая функция f эксцессивна тогда и только тогда,
когда она обладает следующими свойствами:
для каждой измеримой функции h {не обязательно
положительной) с потенциалом Gh, который вполне определен и конечен,
соотношение
f(x)^Qhx для каждого х, такого, что Л («*:)> О,
влечет за собой нерашвнство
f (х) > Ghx для каждого х^Е. (27.1)
Доказательство этой теоремы мы приведем позднее (в п. 70
и 72).

226
Гл. IX. Ядра и резольвенты
Эксцессивные меры
Теория эксцессивных мер в целом проще теории эксцессивных
функций, и мы часто будем к ней обращаться в дальнейшем.
Пусть Е — локально компактное а-компактное пространство и
N — ядро диффузии на Е. Все меры, которые мы будем
рассматривать будут положительными и определенными на ZBU(E).
Приводимые ниже результаты заимствованы из статьи Дени [3], где
используется несколько более общее понятие «ядра», более удобное
с точки зрения теории эксцессивных мер.
028. Определение. Мера Радона \л на Е называется эксцессивной
(соответственно инвариантной) относительно ядра N, если \xN ^ N
(соответственно \xN=±N).
Мера [iN в этом случае принимает конечные значения на
компактных множествах и, следовательно, является мерой Радона
(п. 10).
Следующая теорема соответствует теореме 16. Отметим, что
здесь семейство мер может быть несчетным.
Т29. Теорема, (а) Пусть К и \х—эксцессивные меры и <х и $ —
положительные числа. Тогда меры аХ -f (Зц и к /\ \х эксцессивны.
(б) Пусть |ы—мера Радона, являющаяся слабым пределом
семейства (ц,)^б/ эксцессивных мер, фильтрующегося либо вправо, либо
влево. Тогда мера \х эксцессивна.
Доказательство. Утверждение (а) очевидно. Чтобы установить
(б), достаточно показать, что <|ы, Af/>^<fx, /> для каждой
функции /€#*£•. Имеем <ц,, М/Х^-, /> и <ц, /> = Iim <(ы/, />. Таким
образом, нам нужно доказать соотношение
<|i, JV/><lim<|i„ Nf>. (29.1)
i
Оно очевидно, если семейство мер является фильтрующимся влево.
Предположим, что оно фильтруется вправо, и обозначим h(
плотность \л( отнреительно \х. Пусть U — относительно компактное
открытое множество. Функции hjy возрастают с /, и их интегралы
ограничены; следовательно, они сходятся в пространстве Ьх(\1).
Соотношение lim (ы, (g) = \i (g) выполняется для любой функции
й^Ьс с носителем в (У. Поэтому ^-предел функций hju равен
1и> и мы получаем
M/) = supM/)
для любой универсально измеримой функции /, положительной,
ограниченной и равной 0 на дополнении U. С помощью перехода
к пределу в монотонно возрастающих последовательностях это
соотношение распространяется на все универсально измеримые
положительные функции, откуда вытекает (29.1).

§ 2. Теория потенциала; случай отдельного ядра
227
30. Ядро G потенциала не обязательно является диффузией.
Мы будем говорить, что мера Радона |х принадлежит области
определения ядра G, если мера juG конечна на компактных
множествах (тогда последняя есть мера Радона). Если [х эксцессивна,
положим iiN™ ^limjuW*.
п
Т31. Теорема (разложение Рисса). Пусть \i—эксцессивная мера.
Тогда \х можно однозначным образом представить в виде суммы
инвариантной меры и потенциала.
Более точно, мера |х — \iN принадлежит области определения
ядра G, мера \lN*> = НтцМЛ инвариантна, и
п
li = (lx — liN)G + iiNC6.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
теоремы 19.
Так же, как в п. 20, можно показать, что каждая
эксцессивная мера, мажорируемая потенциалом \iG (где \л принадлежит
области определения ядра G), есть потенциал.
Следующая теорема очевидна. Мы приводим ее только из-за
названия.
Т32. Теорема (принцип единственности масс). Пусть X и \i —
меры, принадлежащие области G. Тогда соотношение XG = iiG влечет
за собой равенство А, = (ы.
Доказательство. Действительно, X + XGN = KG = \xG r= \i + jliGW ,
и меры Радона XGN и [iGN совпадают.
Следующая теорема соответствует теореме 22 (обозначения те
же). Доказательство ее мы не приводим.
ТЗЗ. Теорема. Пусть \i—эксцессивная мера. Совокупность эксцес-
сивных мер, мажорирующих \х на А, имеет наименьший элемент
v' = IxIa + \iNaGa>Ja>.
Эту меру можно было бы назвать «ограничением» меры (д, на А;
при обычном понимании «ограничения» это, вообще говоря, не так.
Так же, как и в п. 22, можно проверить, что меры \к' и \i'N
совпадают на А'.
Предположим, в частности, что \х— потенциал XG. Мера р/,
поскольку она мажорируется мерой |х, есть потенциал некоторой
вполне определенной меры X', которая называется выметанием1)
меры X на А. Имеем X' = \i' — \i'N, так что носитель X' вложен в А,
Утверждение, аналогичное теореме 24, справедливо для эксцес-
сивных мер (доказательство проводится почти без изменений).
Пусть X" — некоторая другая мера с носителем в Л, потенциал
которой совпадает с XQ на А. Потенциалы X'G и X"Q имеют одно
1) Во французском языке — ва1ауеё, в английском — bal ay age.—*Прим. перев.

228
Гл. IX. fid pa и резольвенты
и то же ограничение на А. Поэтому они равны, и, значит, К = \\
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Т34. Теорема (принцип выметания). Пусть X—мера,
принадлежащая области определения ядра G и А—универсально измеримое
множество. Существует единственная мера к' со следующими
свойствами:
(1) носитель меры Я' вложен в А;
(2) A/G ^ XG, и эти потенциалы имеют одно и то же
ограничение на А.
Приложение: связь с теорией мартингалов
35. Следующие замечания могут служить иллюстрацией
аналогии между теорией потенциала и теорией мартингалов.
Пусть (Q, <F, Р) — полное вероятностное пространство и
(<Fn),2€N — возрастающее семейство а-подалгебр ¥. Обозначим Е
множество NxS и $—ст-алгебру подмножеств Е вида
U {п}хАп9
nSN
где каждое множество Ап ^„-измеримо. Тогда ^-измеримые
отображения £ в R имеют вид
(/г, со)-лл^ХЛ((о),
где функция Хп при каждом п ^"„-измерима. Мы приходим, таким
образом, к определению стохастических процессов, согласованных
с семейством (<Fn).
Введем на множестве таких процессов отношение
эквивалентности ~, определяемое следующим образом:
(Хп)пен~(Уп)пен тогда и только тогда, когда Xn = Yn п. н. для
любого я£ N.
Пусть X = (Хп)п€ n — процесс с положительными значениями,
согласованный с семейством (<F„). Для каждого п обозначим Yn
некоторую модификацию условного математического ожидания Хп+1
при условии Wп и положим
N(X) = (YH)neH.
Отображение N не вполне определено из-за неопределенности
в выборе условных математических ожиданий, но с помощью
факторизации по отношению эквивалентности ~ можно получить
отображение, которое формально обладает всеми свойствами
субмарковского ядра — в частности, ведет себя так же при предельных
переходах в монотонных последовательностях. «Эксцессивными»
(соответственно «инвариантными») функциями относительно «ядра»
N являются классы эквивалентности обобщенных супермартингалов
(соответственно мартингалов), и вся элементарная теория, которую
мы изложили выше, без труда переносится и на них. Естественно,

§ 3. Полугруппы и резольвенты
229
с помощью этого метода нельзя получить никакой по-настоящему
важной теоремы о супермартингалах. В частности,
фундаментальные теоремы о поведении траекторий не имеют аналогий в теории
потенциала.
§ 3. Полугруппы и резольвенты
Результаты этого параграфа не являются глубокими, но могут
служить весьма ценным техническим орудием. Они заимствованы
в основном из работы Ханта [1].
Полугруппы ядер
036. Определение. Пусть (Е, $) — измеримое пространство. Се-
мейство (Nt)teR+ (соответственно (Nt)t>o) ядер на (Е, <§)
называется полугруппой ядер (соответственно полугруппой в широком
смысле), если соотношение
NsU = N5Nt
имеет место для любой пары (s, t) неотрицательных
(соответственно положительных) чисел. Полугруппа называется субмарковской
(марковской), если все ядра Nt дуб марковские (марковские).
Полугруппа рассеяний на локально компактном пространстве
представляет собой частный случай этого определения.
Полугруппа в широком смысле всегда может быть
преобразована в обычную полугруппу. Достаточно положить N0 = I
(единичное ядро). Мы будем, однако, различать эти два типа
полугрупп.
Пусть (Nt) полугруппа ядер. По ней можно построить новые
полугруппы ядер (N^) (где р—положительное число), положив
Эти полугруппы часто обладают более приятными свойствами, чем
сама (Nt).
Супермедианные эксцессивные функции I
037. Определение. Пусть (Nt)—полугруппа в широком смысле на
(£, g). Положительная функция /, определенная на Е, называется
р-супер медианной (р^О) относительно полугруппы (Nt)> если f
^измерима и
e-PtNJ^f для любого t > 0. (37.1)
Функция f называется р-эксцессивной, если, кроме того,
lim *-/>%/=/. (37.2)
/ -»о

230
Гл. IX. Ядра и резольвенты
Функция f называется р-инвариантной, если она всюду конечна и
e-PlNtf =f для любого t > 0.
38. Замечания, (а) О-супермедианные (О-эксцессивные) функции
называются просто супермедианными (эксцессивными) функциями.
(б) /7-супермедианные (р-эксцессивные) функции относительно
полугруппы (Nt) совпадают с супермедианными (эксцессивными)
функциями относительно полугруппы (Npt).
(в) /7-супермедианная (р-эксцессивная) функция является также
^-супермедианной (^-эксцессивной) функцией для любого q> р-
Поэтому можно сказать, что чем больше /?, тем больше имеется
р-супермедианных (/?-эксцессивных) функций.
(г) Соотношение (37.1) означает, что функция t-w~e~PfNtfx
убывает при каждом х£Е. Более того, если выполнено условие
(37.2), эта функция по теореме Лебега непрерывна справа.
(д) Пусть / есть р-супермедианная (р-эксцессивная функция).
Тогда NJ является /?-супермедианной (р-эксцессивной функцией)
для любого / > 0.
(е) Пусть (fn)n$H— последовательность р-супермедианных
функций. Из леммы Фату немедленно вытекает, что / = Hminf/„ есть
п
также /7-супермедианная функция. Предположим, что
последовательность (fn) возрастает и функции fn р-эксцессивны. Тогда
f=s\\\> /„ = sup sup e~*fNtfw=sup sup e~^Wt/„=sup e~piNtf,
n n t t n t
так что / также р-эксцессивна.
(ж) Подобным образом определяются супермедианные и эксцес-
сивные меры. Без дополнительных предположений мы не можем
существенно продвинуться в изучении эксцессивных мер. С
другой стороны, мы увидим, что при некоторых предположениях
относительно полугруппы (Nt) теория эксцессивных мер становится
очень простой—гораздо проще теории эксцессивных функций.
Резольвенты
39. Пусть (Nt) — полугруппа в широком смысле. Мы скажем,
что (Nt) — измеримая полугруппа, если функция
(/, x)-<^Nt(x9 f)
измерима (относительно естественной а-алгебры произведения
(0, оо) х Е) для любой положительной ^-измеримой функции /.
Если полугруппа измерима, для любого р^О положим
V*» A)=[e-PtNt(x, A)dt (A£f). (39.If

§ 3. Полугруппы и резольвенты
231
Ясно, что отображение (х, A)-w*>Vp(x9 А) есть ядро Vp и
обозначение Vp(xy /), таким образом, имеет указанный в начале этой
главы смысл. Семейство ядер (Vp)p>o называется резольвентой
полугруппы (Nt)9 а ядро V = V0 называется потенциалом
полугруппы (Nt).
Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть \х — ограниченная
мера на полупрямой R + . Определим ядро N соотношением
00
tf,(/) = WrfM0- (39.2)
О
Ядра Nt имеют этот же вид (при fi = et), так же как и ядра Vp
(в качестве ц в этом случае берется мера на R+ с плотностью е'**,
которую мы будем обозначать ер). Легко проверить, что
NxN^N^-N^-N^, (39.3)
где символ * обозначает свертку. Равенство
*Я + (Я—Р)ея*ер = ер,
где q и р—числа, такие, что ?>р>0, приводит нас к
фундаментальной формуле
Vq + (q-p)VqVp = Vp, (39.4)
называемой обычно резольвентным уравнением. Теперь мы на время
забудем об измеримых полугруппах и займемся изучением семейств
ядер, удовлетворяющих (39.4).
040. Определение. Резольвентой на измеримом пространстве
(£, <£) называется семейство (Vp)p > о ядер на (£, <£), такое, что
VpV9 = VgVp и Vp = Vg + (q-p)VgVp (40.1)
для любой пары чисел р и q, q> р > 0.
Резольвента (Vp) называется собственной (соответственно
субмарковской, марковской) у если все ядра Vp собственные
(соответственно суб марковские у марковские).
В дальнейшем мы будем интересоваться главным образом
субмарковскими резольвентами. Поэтому читатель может для простоты
предполагать, что все резольвенты, которые мы будем
рассматривать в оставшейся части этого параграфа, субмарковские.
41. Пусть /—положительная измеримая функция. В силу
соотношений (40.1) функция p-w~Vpf убывающая. Положим
V0f = Vf = supVpf = limVpf.
р р>о у
Пусть (/„)— возрастающая последовательность положительных
измеримых функций, сходящаяся к /. Имеем
V[ = sup V f = sup sup Vp fn = sup sup V fn = sup V[n,
p p n n p a

232
Гл. IX. Ядра и резольвенты
так что V—ядро. Легко проверяется, что
VVp = VpV; V = V„ + pW, (р>0).
042. Определение. Пусть f—положительная измеримая функция.
Функция Vrf (г > 0) называется г-потенциалом f. Функция Vf = VJ
называется потенциалом /.
043. Определение. Мы будем говорить, что резольвента (Vp)
замкнута, если ядро V собственное.
Предположим, что Е—локально компактное а-компактное
пространство. Тогда мы будем говорить, в несколько более строгом
смысле, что резольвента (Vp) замкнута, если все ядра Vp (р^О)
являются ядрами диффузии.
44. Пусть (Vp) — резольвента и г — положительное число. Семей-
ствр ядер
vrP=vp+r (Р>0)
есть снова резольвента. Предположим, что резольвента (Vp)
собственная. Тогда резольвента (Vrp) замкнута при любом г > 0.
Действительно, VJ/ = lim VD+J^Vrf для любой положительной
измерив F
римой функции / (позднее мы увидим, что на самом деле здесь
имеет место равенство). Это свойство является причиной,
вызывающей интерес к резольвентам (Vrp).
Предположим, что резольвента (Vp) связана с измеримой
полугруппой (Nt) соотношением (39.1). Тогда резольвента (Vrp) связана
аналогичным образом с полугруппой (Nrt) = (e~rfNt).
Супермедианные и эксцессивные функции II
Определим супермедианные эксцессивные функции относительно
резольвенты. Связь между этим определением и определением 37
будет анализироваться позднее (п. 65).
045. Определение. Положительная измеримая функция /,
определенная на £, называется г-супер медианной (г ^ 0) относительно
резольвенты (Vp)> если
pVp+rf^f для любого р>0. (45.1)
Функция f называется r-эксцессивной, если дополнительно
lim pVp+rf=f. (45.2)
Функция f называется г-инвариантной, если она всюду конечна и
pVp+rf ==/ для любого р > 0.
Слова «относительно резол ьвентыХ!^)» будут обычно опускаться.
О-эксцессивные (О-супермедианные, О-инвариантные) функции буду?

§ 3. Полугруппы и резольвенты
233
называться просто эксцессивными (супермедианными,
инвариантными).
r-супермедианные (r-эксцессивные) функции относительно
резольвенты (Vp) совпадают с супермедианными (эксцессивными)
функциями относительно резольвенты (Vrp).
Простейшие свойства
Будем предполагать здесь, что резольвента (Vp) собственная.
Т46. Теорема, (а) Пусть f—положительная измеримая функция
и х—точка из Е. Тогда функция p-w~Vpfx убывает, непрерывна
справа и непрерывна на каждом открытом интервале, на котором
она конечна.
(б) Пусть f есть г-супер медианная функция. Тогда функция
/?-ллл- pVr+pfx возрастает и непрерывна для каждого х£Е.
Доказательство. Тот факт, что функция р -ллл- Vpfx убывает,
следует непосредственно из резольвентного уравнения; этот факт
уже использовался. Пусть /?0, р, г — числа, такие, что 0 < р0 < /?,
О < е < р—pQ и VpJx < оо. Тогда
Vpfx = VP+JX + *VpVp+Jx и Vp_Jx = Vpfx + eVpVp_Jx,
где sVpVp_Jx и eVpVp+Jx мажорируются функцией (p—p0)VpVpJx=
=VpJx—Vpfx < оо. Поэтому функция p-w—Vpfx непрерывна на
интервале (/?0, оо). Далее, пусть р>0 — произвольное число. Так
как ядро Vp собственное, / является пределом возрастающей
последовательности положительных функций /п, таких, что функции
Vpfn конечны. Следовательно, функция q-w~Vgfx на (р, оо) равна
верхней огибающей непрерывных функций q-w^~Vqfn. Поэтому она
убывает и полунепрерывна снизу и, значит, непрерывна справа.
Итак, функция p-w+Vpfx убывает и имеет самое большее одну
точку разрыва р0, справа от которой она конечна и непрерывна,
а слева равна + оо.
Предположим теперь, что / есть r-супермедианная функция и
р и q таковы, что 0 < р <q. Тогда
pVr+Pf<f,
и, следовательно, применяя операцию Vr+gf получаем
р (q-p) Vr+gVr+pf < (q-p) Vr+gf,
и
pVr+gf + p(q-p)Vr+gVr+pf^pVr+gf + (q-p)Vr+gf = qVr+gf.
Так как функция в левой части в силу резольвентного уравнения
равна pVr+pf, мы видим, что функция р -ллл*- pVr+pf возрастающая.
Далее, в силу (а) эта функция может иметь только одну точку
разрыва р0, слева от которой она равна «f-oo, а справа конечна.

234
Гл. IX. Ядра и резольвенты
Но этого не может быть, поскольку наша функция возрастающая;
следовательно, она непрерывна.
Т47. Теорема. Пусть f—положительная измеримая функция.
(а) Функция f является г-с у пер медианной тогда и только
тогда, когда она s-cy пер медианная для каждого s> г.
(б) Предположим, что f есть г-супер медианная функция и суще-
ствует такое число s > О, что f s-эксцессивна. Тогда f есть г-экс-
цессивная функция.
Доказательство. В силу Т46 (а) соотношение pVr+pf^f влечет
за собой' неравенство pVs+pf^f для каждого s> г. Обратно,
соотношение pVs+pf^f для каждого s>r приводит ввиду
непрерывности справа функции s-w~Vs+pf к неравенству pVr+pf^f.
Пусть г и s—положительные числа. Равенства
Km pVr+pf = f и lim pVs+pf = f
р-+ оо р •+ СО
можно записать соответственно в виде
lim (p-r)Vpf = f и lim(p-s)Vy = /,
р-* со р -* со
т. е. они эквивалентны, поскольку отношение (р—r)/(p—s)
стремится к 1 при р—+оо.
Т48. Теорема, (а) Пусть fug суть г-супермедианные
(соответственно r-эксцессивные) функции и а и р—положительные
константы. Тогда функция oc/+pg является г-супер медианной
(соответственно г-эксцессивной). Функция f /\ g является г-супермедианной.
(б) Пусть (fn)n€N— последовательность г-супер медианных
функций. Тогда функция lim inf /„ является г-супер медианной.
(в) Пусть (fn)neN—возрастающая последовательность г-эксцес-
сивных функций. Тогда функция /= Hm/n г-эксцессивна.
п
Доказательство. Имеем
pVr+p (f Л g) < (pVr+pf) Л (pVr+qg) < / Л g,
т. е. функция / Л g r-супермедианная. Чтобы установить (б),
используем лемму Фату
pVr+p (Km inf fn) < lim inf pVr+pfn < lim inf fn.
n n n
Пусть (/„)«€ n —возрастающая последовательность r-эксцессивных
функций; в силу Т36 (б)
lim pVr+ f = sup pVr+ / = sup sup pVr+ Jn =
P-+ CD p P П Г
= sup sup pVr+ fn = sup /„ = /,
n p r n
так что / r-эксцессивна.

§ 3. Полугруппы и резольвенты
235
Т49. Теорема. Пусть q и г—положительные числа и f есть
г-супермедианная функция. Тогда функция Vqf тоже г-суперме-
дианная.
Доказательство. Для любого р > О
pVr+PVgf~Vg(pVr+J)<Vtf.
Резольвентные тождества
Т50. Лемма. Пусть f—положительная измеримая функция. Тогда
функция Vrf г-супер медианная.
(Мы увидим позднее, что в действительности, при очень
широких условиях, эта функция г-эксцёссивна.)
Доказательство. Утверждение является непосредственным
следствием резольвентного уравнения
pVr+pVrf + Vr+pf = Vrf. (50.1)
Т51. Лемма. Пусть [—положительная измеримая функция с
конечным r-потенциалом Vrf. Тогда функции вида
VPlVp% ... VPJ (рг>г, р2>г, ..., pk>r) (51.1)
конечны.
Доказательство. Пусть е—строго положительное число, такое,
что r + e^plf ..., r + е^р*. Функция (51.1) в силу Т49 и Т50
мажорируется функцией
(Vr+t)*-lVrf = -jL (eVr+,)*-* Vrf < J-j Vrf.
T52. Теорема. Пусть f—положительная измеримая функция,
такая, что все функции Vrf (г > 0) конечны. Тогда функция г -ллл*- Vrf
бесконечно дифференцируема на интервале (0, оо) и
JJl.Vrf = n\(-ir(Vrr+4y (52.1)
&rV,f = n\{-ir+*<yrr(/-rV,)f. (52.2)
Доказательство. Из резольвентного уравнения и Т46 (а)
получаем
Ит Ц^г- = ~ Iim V*Vrf = ~ <УгГ f-
q -+ г Ч q-+r
В общем случае формулы (52.1), (52.2) доказываются по индукции.
Мы предоставляем читателю провести детальное доказательство.
Следующие леммы позволят нам установить еще одно важное
тождество.

'236
Гл. IX. Ядра и резольвенты
у h A I p~~q V А
Т53. Лемма. Пусть г^Ои А — конечная положительная
измеримая функция, такая, что все функции Vp+rh (р > 0) конечны.
Предположим, что существует такое р > 0, что
pVp+rh = h. (53.1)
Тогда функция А г ^инвариантна.
Доказательство. Равенство
Vq+rh = Vp+rh + (p-q)Vg+rVp+rh
выполняется для всех q < р (это вытекает из резольвентного
уравнения) и для всех q > р, поскольку все входящие в него функции
конечны. Подставляя h/p вместо Vp+rh, получаем
±а+-^
р г Р
и, следовательно, qVg+rh = h для любого q > 0.
Т54. Лемма. Пусть f—положительная измеримая функция с
конечным г-потенциалом (г^О). Тогда нулевая функция является
единственной г-инвариантной функцией, мажорируемой Vrf.
Доказательство. В силу Т46 Vrf= limVr+J. Так как функция
Vrf конечна, то
Пт eVr+tVrf=lim (Vrf-Vr+j)=0.
е- 0 е -► 0
Пусть А есть r-инвариантная функция, мажорируемая Vrf\ тогда
А = eVr+ih = Urn eVr+th < Iim eVr+uVrf = 0.
e -* 0 е-* 0
Следующая теорема формулируется только для ядра V и
замкнутой резольвенты. Ее можно обобщить также на ядра Vr
(рассматривая резольвенты (Vrp) из п. 44) и затем, устремляя г к 0,— на
ядро V даже в случае незамкнутой резольвенты (Vp).
Т55. Теорема1). Предположим, что резольвента (Vp) замкнута и
р—строго положительное число. Справедливо тождество
00
PV^{pVpr. (55.1)
Доказательство. Так как в обеих частях доказываемого
равенства стоят ядра, причем в левой части —собственное ядро, то
достаточно проверить, что для любой положительной измеримой
функции / с конечным потенциалом Vf выполняется равенство
pV7 = £ W7-
л=1
*) Это тождество использовалось Дени (см п. 68).

§ 3. Полугруппы и резольвенты
237
Непосредственно из резольвентного уравнения
pVf = pV,f + p*V,Vf
следует, что для всех п > О
pVf = pVpf + (pVp)*f+ .. -+(pVpr-lf + (pVP)apVf.
Таким образом, нужно лишь показать, что
Iim (pVp)nVf = 0.
Стоящие слева функции убывают с ростом п и мажорируются Vf
(см. Т49 и Т50). Поэтому предел
Л= Hm(pVp)nVf
существует и, очевидно, удовлетворяет соотношению pVph = h
(теорема Лебега). Следовательно, он является в силу ТбЗ
инвариантной функцией и равен нулю в силу Т54.
Одно дополнительное предположение
56. Начиная с этого пункта, предположим, что резольвента (Vp)
удовлетворяет следующему предположению, которое будет детально
анализироваться в п.68.
Существует число s^O и возрастающая последовательность
конечных s-cynep медианных функций gn, такая, что
Hmg„=+oo. (56.1)
Мы будем, как и раньше, предполагать, что резольвента
собственная. Предположение (56.1) выполняется в двух очень
важных случаях.
(а) Когда резольвента субмарковская (s = 0 и gn = n).
(б) Когда ядра Vp строго положительны (т. е. когда все меры
exVp отличны от нулевой). Действительно, выберем любое s>0;
так как ядро Vs собственное, функция 1 равна пределу
возрастающей последовательности (hn) положительных функций с
конечными s-потенциалами. Функции gn = nVshn являются s-супермедиан-
ными (Т50), и, поскольку функция Vsl всюду строго положительна,
Hmgn = limnVsl = +оо.
п п
Приведем важное следствие сделанного предположения.
Т57. Теорема. Пусть f—положительная измеримая функция. Тогда
функция Vrf (г^О) г-эксцессивна.
Доказательство. Имеем
pVr+rVrf + Vp,rf = Vrf

238
Гл. IX. Ядра и резольвенты
Предположим сначала, что / ограничена одной из функций gn,
определенных в п.56. Тогда для достаточно больших р
Vp+rf<yp+r8n=p+lr_s(P + r — s)Vp+rgn^p+lr_sgnJ
и поэтому Hm Vp¥rf = 0, так что функция Vrf r-эксцессивна. Чтобы
перейти к общему случаю, достаточно заметить, что функции Vr (fAgn)
r-эксцессивны, и применить Т48.
Регуляризация супермедианных функций
Пусть / есть r-супермедианная функция (г ^ 0). Так как
p~w+*pVp+rf— возрастающая функция, мы можем определить
/ = lim pVp+rf.
р -> 00
Эта функция является r-супермедианной (Т49 и Т48) и
мажорируется /. Кроме того, /= lim pVp+sf для любого s^O, так что f
р -*> оо
зависит только от / и не зависит от г.
058. Определение. Функция f называется регуляризацией г-супер-
медианной функции /.
059. Определение. Пусть А—измеримое множество; А называется
множеством нулевого потенциала, если Vp(IA) = 0 для любого р^О.
Для того чтобы А было множеством нулевого потенциала,
достаточно, чтобы Vp(IA) = 0 для какого-нибудь р. Действительно,
последнее условие в силу Т46(а) означает, что Vg(IA) = 0 для
любого q > р> а для q < р
Vg(IA) = Vp(IA) + (q-p)VqVp(IA) = 0.
В последующем, если это не может привести к недоразумению,
мы будем употреблять выражение «почти всюду», подразумевая
под этим «всюду, за исключением множества точек нулевого
потенциала».
Пусть f и g—положительные измеримые функции, равные почти
всюду. Тогда потенциалы Vpf и Vpg равны при любом /?>0.
В частности, если fug суть r-эксцессивные функции, то
/= lim pVp+rf= lim pVr+pg = g.
p -*■ oo p -*■ 00
T60. Теорема. Пусть f есть r-супермедианная функция; тогда
функция f r-эксцессивна, равна f почти всюду и является
наибольшей г-эксцессивной функцией, мажорируемой /.
Доказательство. Функция pVr+pf является г-супермедианной
(Т49) и (г+р)-эксцессивной (Т57); следовательно, она г-эксцес-
сивна (Т47). Поэтому в силу Т48(в) функция / г-эксцессивна.

§ 3. Полугруппы и резольвенты
239
Пусть g есть r-супермедианная функция, мажорируемая почти
всюду функцией /. Тогда pVr+pg^pVr+pf для любого р и, значит,
g</. Таким образом, / — наибольшая r-эксцессивная функция,
мажорируемая /.
Осталось показать, что / = / почти всюду. С этой целью возьмем
/ > г и число s из п.56. Функции gn из п.56 и f являются ^-супер-
медианными, и /= Iim pVp+if. Функции fn = f/\gn тоже f-суперме-
р -+ 00
дианные и конечные, так что / = sup/n и
п
f = sup pVp+tf = sup sup pVp+tfn = sup sup pVp+tfn = sup /„.
p p n n p n
Таким образом, нужно лишь показать, что Jn = Jn почти всюду или,
поскольку функции fn конечны и мажорируют f„, что Vtfn=Vtfn.
Из соотношения pVt+pfn < /„ < оо получаем
Vtfn= HmVt (pVp+tfn)= b™(Vtfn-Vp+tfn) = Vtfn.
p -+ 00 p -+ 00
Эксцессивные функции и потенциалы
061. Определение. Пусть [есть r-эксцессивная функция (г^О),
Тогда f называется чисто г-эксцессивной или г-потенциалом, если
не существует г-инвариантной функции, мажорируемой f и
отличной от нулевой.
Выражение «/ есть г-потенциал» ни в коем случае не означает,
что существует такая положительная функция g> что f = Vrg\ оно
заимствовано из классической теории потенциала в единичном
круге, где супергармонические функции, удовлетворяющие
названному условию, суть потенциалы Грина (или положительные меры).
В этой главе мы будем придерживаться выражения «/ есть чисто
r-эксцессивная функция».
Т62. Теорема (разложение Рисса). Пусть f есть г-эксцессивная
функция, такая, что функция
h=- lim рУрЛ.г!
конечна. Тогда функция h г-инвариантна и функция f—h чисто
r-эксцессивна. Такое разложение f на сумму г-инвариантной и чисто
г-эксцессивной функций единственно.
Доказательство. Так как функция p-w+ pVp+rf возрастает,
а функция p-w*Vp+rf убывает, то h конечна тогда и только тогда,
когда все функции Vp+rf конечны.
Предположим теперь, что h конечна. По теореме Лебега
qVq+rh^ lim pqVg+rVp+rf = lim -^L-(Vp+rf-Vg+rf) = h.
p -*- Q p -* О Ч н

240
Гл. IX. Ядра и резольвенты
Следовательно, h r-инвариантна. Если Л' есть г-инвариантная
функция, мажорируемая /, то
Ы = pVp+rh' < pVp+rf для любого р > 0
и, значит, Л'^Л. Таким образом, h—наибольшая г-инвариантная
миноранта /. Отсюда вытекает, что функция /—h чисто г-эксцес-
сивна. (Если бы существовала ненулевая г-инвариантная
миноранта k функции /—h, то функция h + k была бы минорантой /,
большей чем h.) Мы предоставляем читателю доказать (что не
составляет труда) единственность разложения.
Т63. Следствие, Пусть f есть r-эксцессивная функция, такая,
что функции Vp+rf конечны для любого р > 0. Функция f чисто
г-эксцессивна тогда и только тогда, когда
lim pVp+rf=0.
Это следствие можно применить, в частности, к конечной
функции / вида Vrg (Т54).
Следующая теорема оказывается особенно полезной.
-> Т64. Теорема, (а) Любая r-эксцессивная функция (г > 0) является
пределом возрастающей последовательности конечных г-потенциалов
положительных функций.
(б) Если резольвента (Vp) замкнута, то свойство (а) сохраняется
также и для г = 0. Если резольвента субмарковская, то г-потен-
циалы в (а) могут предполагаться, кроме того, ограниченными.
Доказательство. Свойство (а) выводится из (б), если заменить
резольвенту (Vp) резольвентой (Vrp) из п.44. Поэтому мы установим
лишь (б), предполагая, что резольвента замкнута. Доказательство
разбивается на несколько этапов.
(1) Пусть /—чисто эксцессивная конечная функция. Положим
Dpf = p(f-pVpf) (р>0);
эта функция положительна. Так как все функции Vpf конечны при
р > 0 (по неравенству pVpf < /), то таковы же и функции
VqVpf «7, Р > 0)
и
VqDpf = Piyqf-pVqVpf) = p{(Vqf-{p-q)VqVpf)-qVqVpf) =
= p{Vpf-qVqVpf)<pVpf<J.
Отсюда следует, что функция VDpf конечна и равна pVpf —
— Vpf lim qVqf\. Но последний предел равен нулю, так как /
чисто эксцессивна. Таким образом, VDpf=^pVpf.
(2) Рассмотрим функцию VI. Если эта функция равна нулю
в точке х, то все меры pVp(x, dy) нулевые. Поэтому каждая
эксцессивная функция / равна нулю в точке х. Иными словами, если

§ 3. Полугруппы и резольвенты
241
определить
/= lim nVl,
то f = f/\j. Так как ядро V собственное, то функция, тождественно
равная 1, является пределом возрастающей последовательности
функций in с конечными потенциалами. Положим
jn = nVin.
Функции \п чисто эксцессивны (Т54), и их верхняя огибающая
равна /.
(3) Пусть /—произвольная эксцессивная функция. Положим
gn^fAin (/f\L/\n в субмарковском случае) и обозначим hn
регуляризацию супермедианной функции gn. Так как hn мажорируется /я,
то hn конечна и чисто эксцессивна. Последовательность (hn)
возрастает и сходится к /, поскольку ее предел является эксцессивной
функцией, равной / почти всюду. Функция
(/?, n)-w^pVphn
возрастающая по р и п. Поэтому
/ = sup sup pVphn = lim nVnhn.
n p n
Положим nVnhn = fn. В силу (1) последовательность (/„) возрастает
к /, и функции fn являются потенциалами положительных функций.
Мы можем теперь проанализировать связь между эксцессив-
ными функциями относительно измеримой полугруппы и эксцес-
сивными функциями относительно резольвенты этой полугруппы.
Ограничимся субмарковским случаем.
Т65. Теорема. Пусть (Nt) — измеримая полугруппа субмарковских
ядер и (V'р)—резольвента, связанная с этой полугруппой (см. п.39).
(1) Каждая г-супер медианная функция (г^О) относительно
полугруппы (Nt) является г-супер медианной относительно
резольвенты (Vp).
(2) r-эксцессивные функции относительно полугруппы и
относительно резольвенты совпадают.
Доказательство. Начнем с изучения случая г = 0, предполагая
резольвенту (Vp) замкнутой.
Пусть /—супермедианная функция относительно
полугруппы (Nt). Для любого х£Е
со со
pVpfx = J pe-PlNtfx dt < J pe-#fxdt = f(x)%
о о
так что f является супермедианной функцией относительно
резольвенты. Предположим теперь, что функция / является
супермедианной относительно (Nt). Так как функция /-ллл-Лу* убы-

242
Гл. IX. Ядра и резольвенты
вает, то
HmpVJx = lim Ntf*. (65.1)
В частности, если / эксцессивна относительно полугруппы (Nt)9
то lim pVpfx = f(x) для любого х и, значит, / эксцессивна относи-
р -* 00
тельно резольвенты.
Пусть g— положительная измеримая функция. Имеем
00
NtVgx - J Nsg*ds,
t
так что функция Vg эксцессивна относительно полугруппы. Пусть
теперь /—эксцессивная функция относительно резольвенты. Так
как последняя замкнута, существуют положительные функции gn
с потенциалами, возрастающими к / (Т46). Тогда функции Vgn
эксцессивны относительно (Nt) и в силу п.38(e) / тоже эксцессивна.
Теперь откажемся от предположения, что резольвента (Vp)
замкнута, и применим полученный выше результат к замкнутой
резольвенте (Vrp) (г > 0) и полугруппе (e~rtNt). Тогда мы докажем
утверждение теоремы в случае строго положительного г. В случае
г = 0 оно следует из того, что функция является супермедианной
(эксцессивной) тогда и только тогда, когда она г-супермедианная
(r-эксцессивная) для любого г > 0.
Соотношение (65.1) само по себе является важным результатом;
сформулируем его отдельно.
Т66. Следствие. (Сохраняем обозначения п.65.) Пусть f есть
г-супермедианная функция относительно полугруппы (Nt). Тогда
f = lim NJ.
t -* о
Теорема о мажорировании
067. Определение. Точка х£Е называется точкой непостоянства
(для резольвенты (Vp))y если мера exVp нулевая для любого р^О.
В противном случае х называется точкой постоянства.
Предположим, что существует р > 0, такое, что exVp = 0. Тогда
zxVq = 0 для любого q > р, а для q < р
exVg = exVp + (q-p)exVpVg = 0,
так что х является точкой непостоянства.
Обозначим Ер множество точек постоянства из Е. Имеем Ер =
= {х: VI* >0}, так что Ер измеримо.
Следующая теорема поясняет смысл предположения п.56.
Приведем сначала пример резольвенты, не удовлетворяющей
предположениям Т68. Пусть пространство Е состоит из двух точек а к Ь\

§ 3. Полугруппы и резольвенты
243
положим для любого р ^ О
гаУр = 0 и ebVp = ea.
Композиция VpVq есть тождественный нуль, так что выполнено
резольвентное тождество. Точка а не является точкой
непостоянства, и множество {а} не есть множество нулевого потенциала.
Трудная часть теоремы 68 (импликация (в) z> (г)) доказывается,
как а работе Дени [3].
->Т68. Теорема. Пусть (Vp)—собственная резольвента. Следующие
утверждения эквивалентны:
(а) условие (56.1) выполнено для некоторого s^O;
(б) точки непостоянства образуют множество нулевого
потенциала;
(в) условие (56.1) выполнено для любого s> 0 и для s^O, если
резольвента замкнута;
(г) пусть f—положительная измеримая функция, и—супер
медианная функция, такая, что
и (х) > Vfx для любого х, такого, что f (х) > 0;
тогда u^Vf;
(д) пусть f и g—положительные измеримые функции, такие, что
Vgx^Vfx для любого х, такого, что f(x)>0;
тогда Vg^Vf («принцип мажорирования»).
Доказательство. Начнем с установления эквивалентности (а),
(б) и (в). Множество Е0 точек непостоянства есть множество, на
котором супермедианная функция, тождественно равная + °°>
отличается от ее регуляризации, так что в силу Т60 (справедливой
при условии (а)) (а)^(б). Пусть выполняется условие (б); снабдим
множество Ер точек постоянства а-полем, индуцированным <£.
Так как множество Е0 пренебрежимо для каждой меры exVp, можно
определить резольвенту (Wp) на Ер, положив для каждых р^О,
х£Е и положительной измеримой функции / на Ер
Wp(x, f) = Vp(x, /'),
где F обозначает какое-нибудь измеримое продолжение / на Е.
Тогда ядра Wр строго положительны на Ер, откуда вытекает
существование для каждого s > 0 возрастающей последовательности
функций (hn) на Ер, конечных s-супермедианннх относительно
резольвенты (Wp) и стремящихся к + сю на Ер (этот факт был
установлен в п.56). Теперь, положив
ёп (*)
\:°
(х) для х б Ер,
для х£Е0,
мы получаем s-супермедианные функции относительно (Vp),
удовлетворяющие (56.1).

244
Гл. IX. Ядра и резольвенты
Импликация (в)г>(а) очевидна.
Рассуждения п.56 показывают, что функции gn существуют также
и при s = 0, если резольвента замкнута.
Оставшаяся часть теоремы будет доказываться по следующему
плану: (в)=^(г)=>(д)=>(б).
Достаточно доказать импликацию (в)г^>(г) в случае, когда
резольвента замкнута. Действительно, эта импликация будет, таким
образом, доказана для каждой резольвенты {Vrp) (г > 0). Так как
функция и r-супермедианная для любого г > 0, соотношение
u(x)^Vfx^Vrfx для каждого х> такого, что /(#)>0,
влечет за собой неравенство
и ^ Vrf для любого г > 0
и, значит, u^VJt что и требовалось установить.
Итак, предположим, что резольвента замкнута. Обозначим (gn)
возрастающую последовательность конечных супермедианных
функций, стремящихся к +оо. Положим fn = fAgn- Имеем
u(x)^Vfn для каждого ху такого, что /п(*)>0.
Покажем, что u^Vfn для каждого п. Для этой цели используем
элементарный принцип мажорирования из предыдущего параграфа
(Т24). Пусть р>0 и N—ядро pVp. Ядро потенциала, связанного
с N (в смысле п.17), в силу тождества п.55 равно I+pV. Каждая
супермедианная функция относительно резольвенты (Vp) эксцессивна
относительно N (в смысле п. 14). Следовательно, ввиду Т24
соотношение
gn (х) + ри (х) > fn (х) + pVfn (*) Для каждого х, такого, что fn (х) > 0,
влечет за собой неравенство
gn + PU>fn + pVfn-
Так как р произвольно и функции gn и fn конечны, отсюда
следует, что u^Vfn, и, значит, условие (г) выполняется.
Импликация (г)=>(д) очевидна. Докажем, наконец, импликацию
(д)=>(б). Функция V(IEq) равна нулю в каждой точке Е0. Поэтому
0 = V0X^V(IEo)x в каждой точке ху такой, что 1Бо(х)>0.
Таким образом, из (д) вытекает, что V(IEo) всюду, и, значит,
Е0—множество нулевого потенциала.
Следующий результат оказывается очень полезным.
Т69. Следствие. Условия (г) и (д) предыдущей теоремы
выполняются для любой субмарковской резольвенты и любой собственной
резольвенты со строго положительными ядрами.
Пусть (Vp)—замкнутая резольвента, удовлетворяющая
эквивалентным условиям п. 68. Иногда бывает нужным выяснить,

§ 3. Полугруппы и резольвенты
245
является ли функция g супермедианной относительно
резольвенты (Vp)y не прибегая при этом к функциям pVpg.
Т70. Теорема. Положительная измеримая функция g является
супермедианной тогда и только тогда, когда выполнено следующее
условие:
Для любой измеримой функции h (не обязательно положительной)
с вполне определенным и конечным потенциалом Vh соотношение
g(x)^Vhx для любого х, такого, что /i(x)>0, (70.1)
влечет за собой неравенство
g(x)^Vhx для каждого х£Е. (70.2)
Доказательство. Пусть g—супермедианная функция.
Соотношение (70.1) можно также записать в виде
g(x) + V(h~)x^ V(h+)x для каждого х, такого, что h+ (х) > 0.
Поэтому в силу Т68 (г)
g + V{h~)>V{h+),
что эквивалентно (70.2). Обратно, пусть g удовлетворяет условию
теоремы. Обозначим / положительную измеримую функцию,
мажорируемую gj с конечным потенциалом Vf. Тогда функция
h = p(f—pVpf) имеет вполне определенный и конечный потенциал,
равный pVpf, Далее,
g > pVpf = Vh на множестве {g—pVpf > 0}
и тем более на множестве {/— pVpf > 0} = {h > 0}. Следовательно,
g^Vh = pVpf всюду.. Так как ядро V собственное, g равна пределу
возрастающей последовательности функций fn с теми же свойствами,
что и /. Поэтому g^pVpgy т. е. g—супермедианная функция.
Псевдоограничение функции
Понятие, которое мы сейчас определим, не совпадает с
классическим понятием ограничения функции f (которым является
нижняя огибающая эксцессивных функций, мажорирующих / на Л).
Поэтому мы и вводим термин псевдоограничение. Полезность
следующей теоремы не совсем бесспорна, и мы только наметим ее
доказательство.
Т71. Теорема. Пусть А — измеримое множество и f—супермедиан*
ная функция относительно резольвенты (Vp). Совокупность
супермедианных функций, мажорирующих f на Ау имеет наименьший
элемент (который мы называем псевдоограничением функции f на А).
Доказательство. Для любого р > 0 положим Np = pVp и
обозначим gp ограничение- фуцкции / на А относительно ядра Np (п. 22).

246
Гл. IX. Ядра и резольвенты
Читатель может легко проверить справедливость следующих
утверждений:
(а) всякая эксцессивная функция относительно ядра N р эксцес-
сивна относительно каждого из ядер Nqy q^p;
(б) когда р растет, остается все меньше и меньше эксцессивных
функций относительно Mpt так что ограничение gp возрастает
^положим g= lim gp\ ;
(в) функция g является супермедианной относительно
резольвенты (Vp)\ она равна /на Л, и каждая супермедианная функция,
мажорирующая / на Л, мажорирует g всюду.
Отсюда следует, что g и есть искомое псевдоограничение
функции /.
Замечание. Пусть Л —множество нулевого потенциала. Тогда
псевдоограничение / на Л, очевидно, равно fIA. В случае
классического ограничения ситуация совершенно иная.
Связь между результатами § 2 и § 3
Пусть N — ядро и
G = / + W + #a+...
— ядро потенциала, связанного с N. Мы покажем, что можно
построить некоторую резольвенту (Vp) так, чтобы G = V0 и чтобы
эта резольвента отвечала некоторой полугруппе ядер.
Для любого числа а из (0,1] положим
Gfl = /+ aN + a*N*+... .
Пусть Ь таково, что 0 < Ъ < а. Тогда
GaGb = GbGa = I + (a + b)N + (a*+ab + b*) №+...,
и, следовательно,
(а—Ь) GbGa + bGb = (а—6) GaGb + bGb = aGa.
Положим, далее, для любого р^О
Ядра Vp образуют резольвенту, такую, что V0 = G.
С другой стороны, для любого t^O положим
Легко проверить, что ядра (Pt) образуют измеримую полугруппу
с резольвентой (Vp). Последнее вытекает из возможности
почленного интегрирования экспоненциального ряда.

§ 3. Полугруппы и резольвенты
247
Предположим теперь для простоты, что ядро G собственное
(можно было бы предположить лишь, что ядро Ga собственное
при любом а>0). Так как ядро G строго положительно,
резольвента (Vp) удовлетворяет условию п. 56. Пусть А — множество
нулевого потенциала. Соотношение GIA^IA показывает, что А
пусто, и из Т60 следует, что супермедианные функции относительно
резольвенты (Vp) эксцессивны.
Пусть /—эксцессивная функция относительно N. Тогда
^=Р-фт(/+Р-тт^+^Ь^+...)<
так что / является супермедианной (и, значит, эксцессивной)
относительно (Vp). Следовательно, / является пределом возрастающей
последовательности потенциалов (Т63 (б)), и, таким образом, она
эксцессивна относительно N.
Резольвентное уравнение является весьма полезным
аналитическим инструментом, и это сразу наводит на мысль об
использовании его в элементарной ситуации § 2. Теорема 27, например,
с его помощью немедленно сводится к теореме 70, доказательство
которой в терминах резольвент представляется вполне
естественным. Позднее мы приведем другие примеры использования
резольвент (Vp), связанных с ядром G.

Глава X
ПОСТРОЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТ И ПОЛУГРУПП
Обратимся, следуя Ханту, к изучению проблемы: дано ядро V,
удовлетворяющее полному принципу максимума; существует ли
субмарковская резольвента (Vp), такая, что V0 = V1 Связана ли эта
резольвента с некоторой полугруппой? Этот вопрос решен лишь
частично, но то, что уже известно, показывает, что все «хорошие»
ядратеории потенциала охватываются вероятностной теорией Ханта.
Для понимания следующей главы необходимы лишь п. 14 и 16.
В этой главе мы будем рассматривать лишь собственные ядра.
§ 1. Принцип мажорирования
01. Определение. Пусть V—собственное ядро на измеримом
пространстве (Е, <£). Мы скажем, что V удовлетворяет принципу
мажорирования, если для любой пары положительных измеримых
функций f, g соотношение
Vfx ^ Vgx для любого х, такого, что g (х) > О,
влечет за собой соотношение
Vfx^Vgx для любого х£Е.
IX.T25 и IX.T69 дают примеры ядер, удовлетворяющих принципу
мажорирования.
02. Определение. Говорят, что ядро V удовлетворяет полному
принципу максимума, если для любой константы а^О и любой
пары (/, g) положительных измеримых функций соотношение
a + Vfx^Vgx для любого х, такого что, g(Ar)>0,
влечет за собой соотношение
а + Vfx > Vgx для любого х£Е.
Ясно, что из*этого принципа вытекает принцип мажорирования.
Примеры ядер, удовлетворяющих полному принципу максимума,
были даны в IX.26 и IX.69 (субмарковский случай).
3. Приведем еще одну, очень удобную, форму принципа
максимума. Пусть / — измеримая функция (не обязательно
положительная), такая, что функция Vf определена и принимает строго
положительные значения в некоторых точках, Пусть Р = {x:f (х)>0).

§ 1. Принцип мажорирования
249
Если V удовлетворяет полному принципу максимума, то
sup V7* = sup V/*. (3.1)
хеЕ xzP
(Это свойство иногда называется «слабым принципом
положительного максимума».) Чтобы установить (3.1), обозначим а выражение
в правой части. Имеем
а+ -\-V(f)^V(f+) на множестве {x:f+ (х) > 0} = Р,
и, следовательно, а+ + V(f~)^ V(f+) всюду, так что a+^Vf.
Поскольку функция Vf принимает в некоторых точках строго
положительные значения, то а+ > 0 и, значит, а+=а, откуда
получаем (3.1).
Обратно, легко видеть, что из (3.1) вытекает (для собственного
ядра) полный принцип максимума.
Нас будет особенно интересовать случай, когда Е—локально
компактное а-компактное пространство с а-алгеброй универсально
измеримых множеств, V — непрерывное ядро диффузии на Е. В этом
случае следующая теорема дает возможность просто проверять
принцип мажорирования. Предположение о строгой
положительности V будет прокомментировано в п. 5.
Т4. Теорема. Предположим, что V—непрерывное строго
положительное ядро диффузии и соотношение
Vfx^Vgx для любого х, такого, что g(#)>0, (4.1)
влечет за собой соотношение
Vfx>Vgx для любого х$Е (4.2)
для любых fug, принадлежащих #^(£).
Тогда ядро V удовлетворяет принципу мажорирования.
Доказательство. Пусть / и g—положительные универсально
измеримые функции, такие, что
Vfx^Vgx для любого х, такого, что g(x)>0.
Покажем, что Vf ^ Vg.
Пусть Л/—множество полунепрерывных снизу функций,
мажорирующих /-, и Bg—множество ограниченных положительных
полунепрерывных сверху функций, мажорируемых g. Из классических
результатов теории мер Радона вытекают следующие соотношения:
у/= inf Vf', Kg= sup Vg'.
С другой стороны,
V (x, g') = J V (x, dy) g' (y) = sup J V <*■ *V) 2' (^
/ л1 К компактно и

250 Гл. X. Построение резольвент и полугрупп
Поэтому достаточно показать, что
vr>V(g'iK)
для каждой функции /' £ Afy каждой функции g' g Bg> и каждого
компактного множества К, содержащегося в {g' > 0}.
Пусть ф — положительная непрерывная функция с компактным
носителем, такая, что
Vyx > 0 для любого х £ /С.
Существование такой функции следует непосредственно из теоремы
Бореля—Лебега, поскольку ядро V строго положительно. Для
любого е > 0 имеем
V(f' + e<p)x>V(g'IK)x для любого х£К.
Обозначим С множество функций К 6 %ж (£), мажорируемых /' + еср.
Семейство функций Vh! (ti 6 С) фильтрующееся вправо, и /' + еср —
его верхняя огибающая; кроме того, функции из этого семейства
непрерывны, в то время как функция V(g'IK) полунепрерывна
сверху (см. IX. 10). Поэтому из теоремы 6 вытекает существование
такой функции Ь! £С, что
Vh'x>V{g'IK)x для любого х£К.
Так как функция Vh' непрерывна, а функция V(g'IK)
полунепрерывна сверху, существует компактная окрестность L множества К,
такая, что
Vh'*>V(g'IK)* для любого x£L.
Обозначим D множество функций /' € #^ (Е) с носителем в L,
мажорирующих g'IK. Так же как и выше, еще раз применяя
теорему 6, можно показать, что существует функция /'££>, такая, что
Vtix^Vj'x для любого xgL.
Это неравенство выполняется для каждого х> такого, что /'(#)>0,
и, следовательно, в силу (4.2) для любого х. Таким образом,
что ввиду произвольности е завершает доказательство.
5. Замечания, (а) Пусть Ер—множество точек постоянства ядра V
(см. IX.067):
Ер={х: VI*>0}.
Так как функция VI полунепрерывна снизу, Ер открыто. Вместо
предположения, что V строго положительно, допустим, что Е\Ер —
множество нулевого потенциала. Для каждой положительной боре-
левской функции /, определенной на Еру и каждого х£Ер положим
W (х, f) = V(x, /'), где /' обозначает любое борелевское продолже-

§ 1. Принцип мажорирования
251
ние / на Е. Так определенное ядро W на Ер непрерывно и строго
положительно; поэтому оно удовлетворяет принципу мажорирования,
если V удовлетворяет условию (4.2). Следовательно, и само ядро V
удовлетворяет принципу мажорирования.
(б) Предположим, что непрерывное ядро V удовлетворяет
полному принципу максимума для функций из ^^(Е); тогда точно
так же, как и выше, можно показать, что V удовлетворяет
полному принципу максимума. При этом не обязательно предполагать,
что V строго положительно: функцию Vf-\-eVq) в предыдущем
доказательстве можно заменить на Vf + e.
Приведем теперь вспомогательный результат, который мы
использовали в процессе доказательства и будем использовать в
дальнейшем. Он является обобщением классической леммы Дини.
Тв. Теорема. Пусть К—компактное пространство,
f—полунепрерывная снизу функция на /С, g—полунепрерывная сверху функция
на /С, такие, что
/ (*) > 8 (х) для любого х £ /С.
Пусть &С—множество непрерывных функций, фильтрующееся вправо,
с верхней огибающей /. Тогда существует такая функция h^SK, что
f>h>g на /С.
Доказательство. Для каждого х£К выберем функцию кх^Ж,
такую, что hx(x)> g(x). Так как g—полунепрерывная сверху
функция, hx(y)>g(y) для всех точек у из некоторой окрестности
Vx точки х. Существует конечное число окрестностей VXt, ..., VXn,
покрывающих в совокупности /С, и достаточно в качестве h взять
элемент Ж, мажорирующий hXi, ..., hXn.
Некоторые следствия принципа мажорирования
Результаты, которые мы сейчас приведем, заимствованы из
работы Дени [4].
Т7. Теорема. Пусть V—ядро, удовлетворяющее принципу
мажорирования, и f и g—конечные положительные измеримые функции,
такие, что функции Vf и Vg конечны. Тогда для любого р > 0 равенство
ffpVf = g+pVg
влечет за собой равенство /=g.
Доказательство. Положим f = f—(f/\g) и g'=g— (f/\g); тогда
/'Л£' = 0 и f'fpVf' = g' + pVg'. Неравенство Vg'*^Vf'x
выполняется в каждой точке х, такой, что g'(x) = 0, и, следовательно,
в каждой точке х, такой, что /'(л;)>0. Из принципа
мажорирования следует неравенство Vg'^Vf, но точно так же можно
показать, что Vf'^zVg', так что Vf =Vg' и, значит, /'=#', т. е. /=--£.

252
Гл. X. Построение резольвент и полугрупп
-> Т8. Теорема. Пусть V—собственное ядро, удовлетворяющее
принципу мажорирования. Тогда существует самое большее одна
резольвента (Vp), такая, что V0 = V.
Доказательство. Пусть (Vp) и (Wр)—такие резольвенты, что
V0 = W0 = V, и /—положительная конечная измеримая функция,
такая, что функция Vf конечна. Из резольвентного уравнения мы
получаем
(/ + pV) Vpf = (/ + pV) Wpf = Vf для любого p > 0.
Поэтому из предыдущей теоремы следует, что Vpf = Wpf. Поскольку
ядро V собственное, каждая положительная измеримая функция g
является пределом возрастающей последовательности функций с теми
же свойствами, что и /. Таким образом, Vpg = Wpg. Теорема доказана.
Приведем без доказательства следующий результат. Если ядро V
удовлетворяет принципу мажорирования, то ему удовлетворяют и все
ядра I + pV (р> 0). З^гот результат очевиден, когда существует
такая резольвента (Vp), что V0 = V(IX.T55 и IX.T25).
§ 2. Построение резольвент
9. Пусть V—ядро, удовлетворяющее полному принципу
максимума. В этом параграфе мы дадим достаточные условия
существования резольвенты (Vp), такой, что V0 = V. Такая резольвента, если
она существует, необходимо является субмарковской, поскольку
в силу полного принципа максимума и IX.T70 константа 1 есть
супермедианная функция.
Сначала приведем пример, показывающий, что такая
резольвента не всегда существует. Пусть (Uр)—замкнутая марковская
резольвента на измеримом пространстве (Е, <£); в силу IX.T69
ядро U — LJq удовлетворяет полному принципу максимума. Пусть
F—множество, полученное присоединением точки а к Е, и ¥ есть
а-алгебра, порожденная <£ и {а}. Для каждой положительной
^-измеримой функции / на F положим Vfx = Uf'x + f (а) для
любого х£Е и Vf* = f(a), где f обозначает сужение / на Е. Можно
легко проверить, что V— ядро, удовлетворяющее полному принципу
максимума. Покажем, что не существует субмарковской
резольвенты (Vp), такой, что V0 = V. Действительно, если бы такая
резольвента существовала, то для любой положительной измеримой
функции / выполнялось бы равенство
Предположим, что / обращается в нуль в точке а, и обозначим g
функцию, равную Upf на Е и нулю в точке а. Тогда
'V.+ pV)g = Vf- '.
и, следовательно, в силу Т7 Vpf = g. В частности,
PV,(/*) = /* -• ■

§ 2. Построение резольвент
253
Из этого равенства и неравенства pVp\ ^ 1 следует, что
Vp(lia\)x = 0 для любого х£Е.
Устремляя в этом равенстве р к нулю, получаем противоречие
с определением V.
Установим прежде всего, следуя Ханту [1], существование
резольвенты (Vp), связанной с равномерным ядром.
Т10. Теорема. Пусть V—ядро на измеримом пространстве (Е, <£),
такое, что функция VI ограничена, и удовлетворяющее полному
принципу максимума. Тогда существует субмарковская резольвента
(Vp)t такая, что V0 = V1).
Доказательство. Пусть $—множество ограниченных измеримых
функций, рассматриваемое как банахово пространство с нормой
равномерной сходимости (обозначаемой ||-||). Сужение
отображения /-ллл^К/ на S есть ограниченный оператор, который мы
снова будем обозначать V.
Пусть р > 0; существует самое большее один ограниченный
оператор Vр на $, такой, что
pWp = pVpV = V-Vp,
поскольку из этого соотношения следует равенство (I +pV)Vp = V9
и ядро, отвечающее оператору (I + pV), в силу Т8 ненулевое.
Предполагая, что указанный оператор Vр существует, перечислим
некоторые из его свойств.
(а) Vp положителен.
Пусть g€# — неположительная функция. Покажем, что
предположение, что функция Vpg принимает в некоторой точке строго
положительное значение, приводит к противоречию. Действительно,
Vpg = V{g-pVpg),
и, значит, если максимум функции Vpg строго положителен, то
в силу (3.1)
supVpgx= sup Vpgx>0.
хйЕ xe{(g-pVpg)>o}
Но это невозможно, поскольку Vpgx<0 в каждой точке х, такой,
что g (х) > pVpgx.
(б) IWK1.
Так как Vp — положительный оператор, достаточно проверить,
что pVpl < 1. Имеем
l^pVplx для любого х, такого, что 1— pVplx>0*
1 По теореме 8 эта резольвента единственна,

254
Гл. X. Построение резольвент и полугрупп
Иными словами,
l^V [p(l—pVpl)]x для любого ху такого, что р{\ — pVp\)x > О,
и, следовательно, в силу полного принципа максимума
l>V\p(\-pVp\)]=pVp\.
(в) Из существования Vp для некоторого р > 0 следует
существование Vp+i при 0<е</? (или 0<е < \/\\V\\ при р = 0).
Действительно, рассмотрим ряд из операторов
vp(i-evp + e»v*-... + (-i)n*nvnp +...);
он сходится при |е| < 1/||Кя|| и, следовательно, в силу (б) при
|е|</?. Для суммы ряда А получаем
eVpA = eAVp = Vp-A.
Оператор V коммутирует с Vp и, значит, с А. Поэтому
PV(Vp-A) = epWpA=B(V-Vp) А
или
pVVp + eVpA=(p+E)VA
и, наконец,
V—A=(p + e)VA.
Таким образом, мы можем положить Vp+t — A.
Рассмотрим теперь вопрос о существовании операторов Vp.
Положим V0=--V и используем написанный выше ряд для
определения Vp при р£ [0,1/1| У ||). На втором шаге определим Vp при
/>€ [0,2/|| V ||), на третьем — интервал определения удлинним вдвое
и т. д. Таким образом, оператор Vp можно определить для всех
/?^0. Ясно, что при таком построении Vp будет непрерывной
функцией р на [0, оо).
Пусть р и q—строго положительные числа. Проверим, что
выполняется соотношение
V,-V9 = (q-p)VFV9
(из которого, в частности, поменяв местами р и q> можно получить,
что операторы VD и Vq коммутируют). Поскольку ядро, отвечающее
оператору (I+pV)t ненулевое, достаточно показать, что
(/ + pV) (Vp-Vg) - (/ + pV) (q-p) VpVg.
Пусть {fn)ne n — убывающая последовательность ограниченных
положительных функций, сходящаяся к нулевой функции. Для
каждого р, ввиду того, что V—равномерное ядро,
Km V >„<liml//„ = 0.
р -+Q9 а -к»

§ 2. Построение резольвент
255
Следовательно, операторы Vp являются ограничениями на % ядер
на (£, <£) (для обозначения которых мы используем те же символы).
Соотношения:
Vpf=Vqf + (7-p)VpVgf (0</7<<7),
Vf = limVJ (=supVJ\ (непрерывность в точке р = 0)
р-о у \ р у )
выполняются для ограниченных положительных измеримых
функций f и следовательно, для положительных измеримых /. Таким
образом, ядра Vp образуют искомую субмарковскую резольвенту.
Замечание, Предположим, что Е—локально компактное
пространство и V—непрерывное ядро на Е> стремящееся к нулю на
бесконечности. Все наши рассуждения для банахова
пространства # можно применить и для банахова пространства (ё0(Е)у
откуда следует, что ядра Vp непрерывны и стремятся к нулю на
бесконечности.
Следующая теорема, по существу, принадлежит Ханту ([1]).
Она была усилена Лионом [1,2], у которого мы заимствуем
доказательство.
Напомним, что полный принцип максимума является
необходимым условием для существования резольвенты рассмотренного типа
(IX.T69) и что такая резольвента единственна (Т8).
—>Т11. Теорема. Пусть Е—локально компактное о-компактное1)
пространство и V—непрерывное ядро на £", стремящееся к 0 на
бесконечности и удовлетворяющее полному принципу максимума. Тогда
существует субмарковская резольвента (Vp) на Е, такая, 4moV0=V,
состоящая из непрерывных ядер, стремящихся к 0 на бесконечности.
Доказательство. Мы ограничимся построением ограничений
ядер Vp на пространство %0(Е), предоставляя читателю продолжить
их на универсально измеримые функции.
Пусть (Кп)п б n —последовательность компактных подмножеств
пространства £, такая, что Е = L)/Cn. Пусть /п для каждого п—непре-
п
рывная функция с компактным носителем со значениями в [0, 1],
равная 1 на /(„. Функция Vfn принадлежит #0; поэтому она
ограничена, и можно так выбрать коэффициенты Кп > 0, чтобы ряды
2\а И 2 К\\ У/л || СХОДИЛИСЬ. ПОЛОЖИМ
п п
в —2 *-»/... ав = (яа)Л1.
П
Функция а принадлежит #0, строго положительна всюду, и
функция Va принадлежит #0- Функции ап непрерывны и возрастают
г) Как всегда при рассмотрении ядер диффузии считается, что на Е задана
а-алгебра $)tt(£).

256
Гл. X. Построение резольвент и полугрупп
к 1 при п—>оо, причем для любого компактного подмножества К
пространства Е множество {я„= 1} не содержится в К при условии,
что п достаточно велико. Наконец, функции Van ограничены.
Далее, для каждого п и каждой положительной универсально
измеримой функции f положим
V"f = V(aJ).
Легко проверяется, что V"—непрерывное ядро, стремящееся к О
на бесконечности и удовлетворяющее полному принципу максимума.
Так как функция Vn 1 = V (ап) ограничена, существует субмарковская
резольвента (V$), состоящая из непрерывых ядер, которые
стремятся к нулю на бесконечности, и такая, что Vo = Vn.
Пусть т и п — положительные целые числа, п < т, и /—элемент
#^. Покажем, что
Обозначим функции, стоящие в левой и правой частях этого
неравенства, kn и km соответственно. Из резольвентного уравнения
мы получаем
K = V»(±-pkn)=V(f-paJi)
и аналогичное соотношение для km. Следовательно,
К—К = У (Pamkm — рапЮ-
Предполагая, что функция km — kn в некоторой точке принимает
строго положительное значение, приходим к противоречию.
Действительно, она может принимать строго положительные значения
только на множестве {p(ankn—amkm) > 0}; с другой стороны, на
этом множестве &„> km9 поскольку ап^ат.
Далее, функция / имеет компактный носитель; поэтому функция
Vp{flan) равна Vpf при достаточно большом п. Следовательно, предел
Vpf = \imV«f (11.1)
существует (и есть полунепрерывная сверху функция) для любой
функции /€##■. С помощью перехода к равномерному пределу это
свойство распространяется на элементы #£, а затем с помощью
соотношения ||/Л^||<1 и линейности —на все #0. Ясно, что
II pV,f II < 11/11-
Пусть g—элемент #&; функция Vg принадлежит #0, и поэтому
Vyg = X\mV$fg. (11.2)
п -+ со
Но тогда
W«-pi^-(£)-v(*)-^(^)-^-v?(^). (п.з)

§ 3. Построение полугрупп
257
Поэтому, полагая /г—►оо, находим, что Vg = pVpVg. Пусть /€#<рг.
Известно, что функции V J и pVpVf положительны, полунепрерывны
сверху и их сумма Vf£ ъ%. Поэтому каждая из функций Vpf и pVpVf
также принадлежит %%.
Отображение/-ллл^Уя/ является, таким образом, положительным
оператором на #0 с нормой, не превосходящей 1/р. Остается только
проверить, что эти операторы образуют'резольвенту, и что Vf =
= VQf = lim VJ для любой функции /€#ir.
р-0 И
Чтобы доказать первое утверждение, возьмем функцию /€#<?£
и отметим, что последовательность функций Vpfy начиная с
некоторого /г, монотонно убывает. Так как функции Vpf и Vpf
принадлежат #0, из классической леммы Дини следует, что функции
Vpf сходятся к Vpf равномерно. Отправляясь от соотношения
(q-p)VW*f = V1f-V$ (р> О, q> 0),
переходом к пределу можно показать, что Vр образуют резольвенту.
Для доказательства второго утверждения заметим, чтоНт/Л^ g=0
для всякой функции g€#<j£> поскольку
pVpg<pVg.
Из того же неравенства, а также в силу равномерной сходимости
UmpV g = 0 и для функций g€#o- Пусть теперь /—элемент #£•;
функция g = Vf принадлежит %%, и, следовательно,
limpVpVf = 0.
Очевидный предельный переход в (11.3) дает pVpVf = Vf—Vpf.
Поэтому
Р^ о у
что и завершает доказательство.
§ 3. Построение полугрупп
12. Построение предыдущего параграфа позволяет нам с каждым
«хорошим» ядром, которое удовлетворяет полному принципу
максимума, связать субмарковскую резольвенту. Мы сейчас дадим
достаточные условия того, что такая резольвента связана с
субмарковской полугруппой. Основную роль при построении полугруппы
будет играть теорема Хилле—Иосида, которую мы сформулируем
здесь без привлечения понятия инфинитезимального порождающего
оператора (с ним читатель может познакомиться по следующим
работам: Данфорд и Шварц [1], Хилле и Филлипс [1], Иосида [1],

258
Гл. X. Построение резольвент и полугрупп
а также Лоэв [1]; последняя книга обладает тем преимуществом,
что она знакомит читателя с работами советских математиков об
инфинитезимальных операторах марковских полугрупп *)).
Напомним сначала некоторые результаты из теории полугрупп и
резольвент в банаховых пространствах.
Пусть 93—банахово пространство с упорядочением,
определяемым замкнутым выпуклым правильным2) конусом 93* (мы полагаем
93* = {0}, если 93 не имеет естественной упорядоченной структуры).
Единственной топологией в S3, которую мы будем рассматривать,
будет сильная топология, определяемая нормой (которую мы будем
обозначать символом ||.||). Оператор А на 93 называется
субмарковским, если он положителен {Ах£93+ для любого х£ 93*) и ||Л|К1.
Субмарковская полугруппа на 93 есть семейство (Tt)t > о
субмарковских операторов на 93, такое, что
TsTt = Ts+t для любых s>0, />0.
Мы всегда будем дополнять это определение, полагая 70 = /, хотя
это соглашение не является необходимым. Полугруппа называется,
сильно непрерывной, если
UmTtX — x для любого х£93.
t - о
Легко видеть, что в этом случае функция /-ллл- Ttx непрерывна
на интервале [0, оо).
Субмарковская резольвента на 93 это семейство (Ур)р>о
операторов на 93, такое, что операторы pVp субмарковские и выполняется
резольвентное тождество
Vp—Vq = (q—p)VpVq для любых р > 0, q>0. (12.1)
Хотя это определение не является классическим, мы будем
называть резольвенту (Vp) сильно непрерывной, если
UmpVpx = x для любого х£93. (12.2)
Это определение можно дать в другой, очень удобной форме. Из
(12.2) непосредственно следует, что образ Vp(93) не зависит от р;
обозначим его S>. Резольвента сильно непрерывна тогда и только
тогда, когда S> плотно в 93. Действительно, из (12.2) следует, что £D
плотно. Обратно, соотношение x = Vgy влечет за собой равенство
lim pVpX= lim (Vgy—Vpy + qVpVqy) = Vgy = x.
P -*- 00 P -*■ CD
Поэтому соотношение (12.2) выполняется для любого x$S>. Так
как операторы pVp субмарковские, оно выполняется для любого
х£@) и, следовательно, для любого х, если 35 плотно.
1) См. монографию Дынкина [2]. —Прим перев.
2) Под правильным конусом мы понимаем конус Рй такой, чтоРП( — ^) = 0.

§ 3. Построение полугрупп
259
Пусть (Tt)—сильно непрерывная субмарковская полугруппа
на 3i. Тогда можно определить субмарковскую резольвенту на $?,
положив
00
Vpx = \е~РгТ^(И для каждого х£$}.
о
Пусть х'—непрерывный линейный функционал на ^,
ортогональный &), Легко проверяется, что
<*, х'> = lim <pVpx, х'> = 0.
р -* со
Поэтому х' = 0и 2) плотно в S по теореме Хана—Банаха.
Следовательно, резольвента (Vp) сильно непрерывна. Мы будем
называть ее резольвентой полугруппы (Tt).
Приведем теорему Хилле — Иосида. Доказательство, которое
мы дадим, заимствовано в значительной мере из работ Иосида [1]
и Неве1). Мы укажем только основные этапы доказательства,
предоставляя читателю провести его детально.
—>► Т13. Теорема. Пусть (Vp)—сильно непрерывная субмарковская
резольвента на 35. Тогда существует сально непрерывная субмар-
ковская полугруппа (Tt), для которой (Vp) является резольвентой,
и эта полугруппа единственна.
Доказательство. Предположим сначала, что существует
оператор V, такой, что для любого р > О
pWp = pVpV = V-Vp. (13.1)
Можно легко проверить, что V(33) = @). Положим S>2 = Va(^});
тогда &г^У\(33) для любого р > 0 и соотношение
lim (pVp)2x = x для каждого х£%
р -+ 00
показывает, что &)2 плотно в 3S. Отметим также соотношение
(I + pV)(I-pVp) = I. (13.2)
(а) Для каждого р > 0 положим
Ap = pU>Vp-I),
Тр = exp (tAp) = е-* exp (tp • pVp).
Легко проверяется, что операторы Тр* образуют сильно
непрерывную субмарковскую полугруппу (более того, lim || Т\р)—11| = 0).
/ -+ о
Покажем, что при р—юо эти полугруппы сходятся к искомой
полугруппе (Tt).
1) См. «Theory of Markov Semigroups», University of Calif., Publications in
Statistics, 2 (1958), 319—394.

260 Гл- Х- Построение резольвент и полугрупп
(б) С этой целью заметим, что из формулы foVp^ — Vp
(которая выводится из резольвентного уравнения) следует уравнение
Отсюда мы получаем
Если х принадлежит &>2У то, поскольку х имеет вид V2y,
±Ti»x-—^Ty>A}Vy—^Tr>(pVfry.
Норма оператора в правой части не превосходит /||y||/pS и,
интегрируя, мы приходим к оценке
||7Г*-7Г*||</|~-±.|.|М|.
Следовательно, для каждого х g S>2 существует предел TfX = lim Tt(p) х.
р •* со
Так как операторы Tf} субмарковские, этот предел существует
и для каждого а:^й)2 = Д и так определенный оператор Tt на й?
является субмарковским. Если х принадлежит S>2> то функция
t-w+TfX есть равномерный предел функций t-w+T^x на каждом
компактном интервале R + . Поэтому она непрерывна на Й)2, а
значит, и на ^>2 = 5}. Таким образом, в равенстве T<f)T(f) = T(sp^t можно
перейти к пределу по р и убедиться, что (Tt)—сильно
непрерывная полугруппа. Найдем отвечающую ей резольвенту.
(в) Имеем
!гр-£ехр(М,)-7УМ,
и, следовательно, поскольку операторы Т\р\ Ар и V' коммутируют,
± TpVx = TpApVx = — 7?> (pVp)x = — pVpT\»x.
Отсюда вытекает, что при р—+оо производная слева сходится
к — Ttx равномерно на каждом компактном интервале
положительной полупрямой, и мы получаем
J*TtVx — Ttx.
Обозначим (Wp) резольвенту полугруппы (Тр). Интегрирование
последнего равенства по частям дает
00 00 Q0
WpX = [ e-pfTtx dt = -\ е-Р' £ (Tt Vx) dt = Vx—p [ e-#TtVxdt
о о. 0

§ 3. Построение полугрупп
261
или Wp(I + pV) = V. Но Vp удовлетворяет такому же равенству,
а оператор I + pV в силу (13.2) обратим; таким образом, Wp = Vpf
что и требовалось.
(г) Пусть (T't)—другая сильно непрерывная полугруппа с
резольвентой (Vp) и х'— элемент пространства Эд\ дуального к SB.
Непрерывные функции t -Алл*- (TfXy х'У и t -ллл»- (Т\Ху х'У имеют
одно и то же преобразование Лапласа и, следовательно,
совпадают. Отсюда вытекает совпадение и самих полугрупп.
Остается освободиться от дополнительного предположения
о существовании V. Доказательство единственности, проведенное
выше, очевидно, не зависит от этого предположения. Возьмем
произвольную сильно непрерывную субмарковскую резольвенту
(Vp)p>o и определим для каждого s>0 резольвенту (VStP)p>o:
V —V
у s% р — v s+p*
Эти резольвенты удовлетворяют вспомогательному предположению,
Поэтому для каждой из них существует сильно непрерывная
субмарковская полугруппа (TSt f), такая, что
оо
О
Полугруппа (e-<s~r> * Tr% t) тоже удовлетворяет этому равенству
при любом r€[0, s]. Поэтому в силу уже доказанной
единственности
Ts,t = e-«-'»Tr%i (0<r<s).
Отсюда вытекает, что полугруппа (estTStt) не зависит от s; она
сильно непрерывная и субмарковская. Обозначим ее (7\). Ясно,
что резольвента полугруппы (7\) совпадает с (Vp).
Теорема Хилле—Иосида позволит нам завершить построение
полугруппы, связанной а ядром, удовлетворяющим полному
принципу максимума. Нам понадобится следующее определение.
014. Определение. Пусть Е—локально компактное ^компактное
пространство и (P,)/6r+—полугруппа субмарковских ядер диффузии
на Е. Мы будем говорить, что (Р^—феллеровская полугруппа,
если
(1) каждое ядро Pt непрерывно и стремится к нулю на
бесконечности;
(2) Р0 = / и для любой функции f g #0 (Е) lim Ptf = / равномерно
t » о
на Е.
Снабдим Е а-алгеброй ffiu(E). Такая полугруппа не обязательно
измерима (в смысле IX,39). Тем не менее с ней можно связать
некоторую резольвенту, используя следующий прием.
(а) Пусть /—функция из %&\ отображение t-w*Pxl простран-

262
Гл. X. Построение резольвент и полугрупп
ства R+ в #0 ограничено и непрерывно, что дает возможность
определить
Vpf= }е~Р*Р^сИ (интегрирование в #0).
о
Мы определяем, таким образом, положительное линейное
отображение %$£ в #0 (более того, оно продолжается до оператора на
#0 с нормой, не превосходящей \/р). Из IX.T11 следует, что
отображение f-w+Vpf является сужением на %^ оператора,
отвечающего некоторому ядру диффузии Vp на Е (непрерывному и
стремящемуся к 0 на бесконечности).
(б) Пусть Ж — совокупность ограниченных борелевских
функций /, таких, что функция /-ллл^<(и, Ptf> является борелевской
для любой ограниченной меры Радона \х на Е и выполняются
следующие соотношения:
00
<ц, ty>=Se-"<^, Pifydt (р>0), (14.1)
Vpf = Vqf + (Й-Р) VpVgf (р > О, q > 0). (14.2)
Совокупность Ж содержит ограниченные положительные
полунепрерывные снизу функции (это доказывается предельным переходом
в последовательностях непрерывных функций). Поэтому в силу
I.T20 SfC содержит все ограниченные борелевские функции.
(в) Пусть / — ограниченная универсально измеримая функция
и /' и /" — ограниченные борелевские функции, такие, что /' ^/</"
и <fiV/7> Г> = <\*Ур> /">• Тогда функция /-ллл-<|ы, /у> заключена
между двумя борелевскими функциями, равными п. н.; таким
образом, она измерима по Лебегу, и выполняется соотношение
(14.1). Точно так же можно проверить, что выполняется и (14.2).
Перейдем к теореме Ханта.
Т15. Теорема. Пусть V—непрерывное ядро диффузии наЕ,
стремящееся к 0 на бесконечности и удовлетворяющее полному принципу
максимума1). Предположим, что образ пространства %^(Е)
относительно V плотен в #0(£). Тогда существует феллеровская
полугруппа {Pt) на Е, такая, что
00
Vf=\ptfdt (15-1)
о
х) Иными словами, положительное линейное отображение V пространства
%~С в #0, такое, что неравенство a-\-Vfx^Vgx на {g > 0} (а—положительная
константа, (€%%£, #€^леО влечет за собой такое же неравенство для каждого х
(см. IX.T11 и Х.Т4).

§ 3. Построение полугрупп
263
для любой положительной универсально измеримой функции f. Эта
полугруппа единственна.
Доказательство. В п. 11 мы видели, что существует
субмарковская резольвента (Vp) на банаховом пространстве %0(Е)У такая,
что Vf = limVJ для любой функции /€ %&;(£).Соотношение
р -► о
Vf = Vp(I + pV)f (/€**)
показывает, что образ пространства #0 относительно Vp содержит
образ %££ относительно V. Поэтому резольвента (Vp) сильно
непрерывна и в силу Т13 существует сильно непрерывная
субмарковская полугруппа (Pt) на #0, такая, что для любого р>0 и
любого х£Е
00
VJ*=\e'*Ptf*dt </€**•).
О
Отсюда, устремляя р к нулю, выводим соотношение (15.1) для
функций / из #^.
В силу IX.T11 отображение f-w+~Ptf является сужением на #0
субмарковского ядра Pt (непрерывного и стремящегося к 0 на
бесконечности). Соотношения
во
17 = $/у л
И о
Ps+tf = PsPtf
теперь могут быть распространены, как и в п. 14, на универсально
измеримые функции. Таким образом, существование феллеровской
полугруппы, удовлетворяющей (15.1), установлено.
Пусть (P't)—другая феллеровская полугруппа с таким же
свойством и (Vp)—ее резольвента. Из (15.1) следует, что V'0 = V и в силу
Т8 Vp = Vp для каждого р. Пусть /—функция из ##•; непрерывные
функции t-w+Ptfx и /-лл/wPJ/* имеют одно и то же
преобразование Лапласа и, следовательно, совпадают. Значит, совпадают
и ядра Pt и Pi,
Замечание. Можно показать, что (Pt)—единственная полугруппа
субмарковских ядер, такая, что выполнено (15.1) и для любой
функции /€#<2Г функция (/, x)-w—Ptfx измерима относительно
а-алгебры SB{R + )x!Bu(E). Доказательство этого утверждения мы
опускаем.

264 Гл. X. Построение резольвент и полугрупп
Переход от субмарковского случая к марковскому
16. Предположим, что полугруппа (Pt), которую мы построили,
марковская. Позднее мы увидим, что, используя вероятностные
методы, в этом случае можно очень далеко продвинуться в теории
потенциала ядра V. Эти методы непосредственно не применимы
в субмарковском случае. Переход от субмарковского случая к
марковскому осуществляется следующим образом.
Пусть (Pt)—феллеровская полугруппа субмарковских ядер на
измеримом пространстве (£, <£). Присоединим к Е дополнительную
точку д, положив Е' = Е (J {<?}, и обозначим <§' а-алгебру,
порожденную S и множеством {д}. Определим ядра Р\ на (£", <§'):
P't(x, A) = Pt(x, А) при х£Е, АсЕ, A£g\
P't{*> {d})=l—Pt(xt Е) при х£Е\ (16.1)
РЖ А) = 1А(д) (Л€<£')•
Тривиальным образом проверяется, что эти ядра являются
марковскими и образуют полугруппу.
Мы будем придерживаться следующего важного соглашения:
мы будем отождествлять каждую функцию, определенную на Е,
с ее продолжением на £', обращающимся в нуль в точке д. Ясно,
что это соглашение означает, что Ptf = P'tf для каждой функции /
на Е и
Pif = f(d) + Pt(f-f(d)). (16.2)
если / определена на Е'. Субмарковская резольвента (Vp) на
(£, <§) может быть аналогичным образом продолжена до
марковской резольвенты (V'p) на (£', $') по формуле
pVpF = f(d) + pVp(f-f(d)). (16.3)
Заметим, что если (Vp) — резольвента полугруппы (/>,), то (^ —
резольвента (Pft).
Рассмотрим теперь случай, когда Е—локально компактное
а-компактное пространство и (Pt)—феллеровская полугруппа на Е.
Тогда Е' может рассматриваться как одноточечная компактифика-
ция пространства Е в смысле Александрова и д—как бесконечно
удаленная точка (изолированная точка, если Е компактно). В этом
случае полугруппа (P't) есть (марковская) феллеровская
полугруппа Е'. Аналогичное замечание относится к резольвентам,
отображающим #0(Е) в себя.
Резольвенты Рэя
17. Пусть Е—локально компактное а-компактное пространство
и (Vp) — субмарковская резольвента на банаховом пространстве
#0 (£). Предположение о сильной непрерывности этой резольвенты
ЙГрает существенную роль при построении полугруппы (Р<), свя-

§ 3. Построение полугрупп
265
занной с (Vp) в смысле теоремы Хилле—Иосида. Мы попытаемся
сейчас, следуя Рэю [1], заменить требование сильной
непрерывности менее ограничительным условием. Приводимые ниже
результаты не будут использоваться в следующей главе.
В п. 16 было показано, что без потери общности мы можем
ограничиться изучением ^марковских резольвент (Vp) на компактном
пространстве Е с ядрами, относительно которых пространство
% (Е) инвариантно.
Пусть с#%—выпуклый конус непрерывных /7-супермедианных
функций (1Л.Т45); заметим, что векторное пространство tf р—<У
не зависит от р, р > 0. Покажем это. Пусть р и q таковы, что
0 < р < q. Тогда каждая р-супермедианная функция является
<7-супермедианной (IX.T47), и поэтому достаточно показать, что
любая непрерывная ^-супермедианная функция / равна разности
непрерывных р-супермедианных функций. Имеем / = [/ + (q—p)Vpf] —
—(q—p)Vpf. Две функции, стоящие справа, непрерывны, и вторая
в силу IX.T50 является р-супермедианной. Следовательно,
достаточно показать, что h + (q—p)Vph есть /7-супермедианная функция
для любой <7-супермедианной функции А. Это так, когда h имеет
вид Vqg (g>0), поскольку в этом случае h + (q—p)Vpli = Vpg\
значит, это свойство выполняется и для любой эксцессивной функции
h (IX.T64). Остается лишь заметить, что при любом р в силу
IX.T60 функция является р-супермедианной тогда и только тогда,
когда она равна почти всюду некоторой р-эксцессивной функции.
Введем теперь следующее определение.
018. Определение. Пусть (Vp) — марковская резольвента,
состоящая из непрерывных ядер диффузии на компактном пространстве Ещ
Мы будем называть (Vp) резольвентой Рэя, если конус tf q
непрерывных q-cynepмедианных функций разделяет точки Е при
некотором q>0.
Если последнее условие выполнено для какого-то q > 0, то оно
выполнено и для любого q > 0. Конус &q замкнут относительно
операции Д. Поэтому пространство Sfq—ofq замкнуто
относительно операций Д и V, содержит константы и разделяет точки Е.
Следовательно, по теореме Стоуна — Вейерштрасса оно плотно в
Т19. Теорема (Рэй). Пусть (Vp) — резольвента Рэя. Тогда суще-
ствует единственная измеримая полугруппа (Pt) на измеримом
пространстве (£, $J0 (£)), для которой (Vp) является резольвентой,
обладающая следующим свойством: функция t-+N^Ptfx непрерывна
справа для любой функции /£#(£) и любого х£Е.
Доказательство. Пусть <7 > 0 и Э — замыкание в %(Е) образа
пространства Vp((6(E)). 3 является банаховым пространством,
инвариантным относительно операторов Vpi на котором резольвента
(KJ сильно непрерывна. Поэтому существует сильно непрерывная

266
Г л X. Построение резольвент и полугрупп
субмарковская полугруппа (Pt) на 5, такая, что
00
Vy = $e-"/yd/ (р>0, /€*). (19.1)
О
Функция, тождественно равная 1, прицадлежит 2, и Vpl = l/p.
Из однозначности соответствия преобразований Лапласа следует,
что Ptl = l для любого t^O.
Пусть / — некоторый элемент из ofq. При р—+оо функции pVp+gf
возрастают к /, <7-эксцессивной регуляризации / (IX.T46 и Т60).
Положим
Ptf=-limPt(pVp+qf) (19.2)
и, в частности, P0f = f. Продолжим, используя линейность,
отображение /-ЛЛЛ- ptf на ffq—tfq.
Чтобы показать, что отображение t-w~Ptfx непрерывно
справа и не имеет осциллирующих разрывов, рассмотрим сначала
случай, когда /имеет видК^, g€# (£). В этом случае
(оо ч со
$ e-isPsfds)=\ e-*sPsgds.
Поэтому функция t ~w~e~qtPtfx непрерывна и убывает.
Предположим, далее, что / принадлежит ofq\ функции Vp+qf
удовлетворяют предыдущему соотношению при g, равном положительной
функции (/—qVp+qf). Из (19.2) следует, что функция / -w+e~qiPtf*
убывает и полунепрерывна снизу, т. е. непрерывна справа.
С учетом линейности этот результат распространяется на
функции f£&q — &q.
Предположим теперь, что / принадлежит Qfq — ofq и
положительна. Тогда / равна разности непрерывных ^-супермедианных
функций g и Л, причем g^h. Последнее неравенство означает,
что pVp+qg^pVp+qh для любого р и, значит, в силу (19.2) Ptg^PJi
для любого /. Таким образом, из соотношения /^0 следует, что
Ptf>0.
Заметим, наконец, что, если / принадлежит ofqy функция Ptf
есть верхняя сгибающая возрастающей последовательности
непрерывных функций. Поэтому Ptf—бэровская функция. Линейность
позволяет распространить этот результат на функции из <ffq — <ifq.
В п. 18 мы видели, что пространство tfq — tfq плотно в #(£).
Положительность Pt влечет за собой соотношение ||Ptf||<||/||
(в равномерной метрике). Поэтому отображение / -ллл*- Ptf можно
продолжить по непрерывности до линейного отображения (с
единичной нормой) из % (Е) в $(£)— пространство ограниченных
Й?0 (£")-измеримых функций на Е (где 330 (Е)—а-алгебра бэровских
множеств на £). Далее, как и в IX.11—12, можно показать, что

§ 3. Построение полугрупп
267
так определенные отображения Pt являются сужениями на % (Е)
марковских ядер на измеримом пространстве (£, 5J0(£)), которые
мы будем обозначать теми же символами.
Покажем, что для любой ограниченной бэровской функции f:
(а) PsPtf = PsUf (s>0, />0); (19.3)
(б) функция (/, x)-w+Ptfx измерима относительно а-алгебры
33(R+)X530(£);
00
(в) Vpf =\e-p<Ptfdt (р>0).
О
Действительно, эти условия выполняются, когда / принадлежит
Э: (а) и (в) вытекают из теоремы Xилле—Иосида, а* (б)—из
сильной непрерывности полугруппы, откуда следует, что функция
(/, я)-ллл-/у* непрерывна. Далее, выполнение этих условий
доказывается с помощью (19.2) и теоремы Лебега о монотонной
сходимости в случае, когда / принадлежит of q> и затем, с учетом
линейности и непрерывности, для всех / из % (Е). Пространство Ж
ограниченных бэровских функций, удовлетворяющих (а), (б) и (в),
содержит %(Е) и замкнуто относительно предельных переходов в
монотонных последовательностях; поэтому в силу I.T20 оно
содержит все ограниченные бэровские функции. Таким образом,
существование искомой полугруппы установлено.
Пусть (Pt)—другая полугруппа с теми же свойствами и
/—элемент из #(£); тогда функции t-w+Ptfx и t-w^P'tf* непрерывны
справа и имеют одно и то же преобразование Лапласа. Поэтому
они совпадают, т. е. ядра Pt и Р\ тождественны.
В гл. XI мы изучим понятия, аналогичные тому, которое мы
сейчас определим, следуя Рэю. (Мы придерживаемся обозначений
предыдущих пунктов.)
О20. Определение. Мы будем называть точку х$Е точкой
ветвления для резольвенты Рэя (Vp), если существуют р>0 и
положительная мера fx единичной массы, отличная от ех, такие, что
<Ц> />^/(*) для любой функции f€<SPp. (20.1)
Т21. Теорема. Следующие условия эквивалентны:
(а) х не является точкой ветвления для (Vp)\
(б) ехР0 = ех;
(в) UmPtfx = f(x) для любой функции /€#(£);
t-+o
(г) limqVqfx = f (x) для любой функции /€#(£).
q-*co
Доказательство. По формуле (19.2) для любой функции /€<^я
PJx = UmqVp+qf*^f(x).
q-*<x>

268
Гл. X. Построение резольвент и полугрупп
Таким образом, мера гхР0 удовлетворяет неравенству (20.1), так
что из (а) следует (б). Импликация (б) => (в) вытекает из
непрерывности справа функции /-ллл*-Р,/* в точке / = 0. Импликация
(в) => (г) представляет собой хорошо известное свойство
преобразований Лапласа, так что остается только показать, что (г) влечет
за собой (а).
Пусть (х—положительная мера единичной массы, такая, что
М/)^/М Для любой функции /(Е^. Пусть g—непрерывная
функция со значениями в [0, 1]. Проинтегрируем по \i обе части
равенства
l=pVPg + pVp(l-g).
Оба потенциала справа принадлежат &ру так что <|li, Vpg> = Vpgx.
Поэтому из соотношения f=HmqVp+qf вытекает, что для каждой
функции /б 3 имеет место равенство <ц, Vpg> = Vpgx. Далее, по
условию (г) }(x) = f(x)'t соотношение /^/ приводит к неравенству
<|х, f>^f(x) для любой функции /€<5%. Так как мера \i
удовлетворяет (20.1), то здесь на самом деле мы имеем равенство.
Поскольку пространство &р—Jfp плотно в % (Е), то ц = ел, откуда
следует (а).

Глава XI
ВЫПУКЛЫЕ КОНУСЫ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Основная цель этой главы—доказать фундаментальную теорему
Шоке об интегральном представлении компактных выпуклых
множеств. Эту теорему можно рассматривать теперь как частный
случай теории «выметания», определяемой выпуклым конусом
непрерывных функций, заданных на компактном множестве. Поскольку
эта теория не имеет пока других важных приложений, она будет
изложена (чтобы не затруднять читателя, интересующегося только
выпуклыми конусами) после теоремы Шоке в § 3.
В § 1 собраны некоторые результаты о компактных
множествах, часть из которых трудно найти в литературе.
Все векторные пространства, рассматриваемые в этой главе,
предполагаются действительными.
§ 1. Компактные выпуклые множества
Сублинейные функции
01. Определение. Пусть Е—векторное пространство»
Действительную функцию р, заданную на £, назовем сублинейШй, если она
субаддитивна:
Р(х + У)<Р(х) + Р(У) (*. У$Е)>
и положительно однородна:
p(hx) = Xp(x) (х€Е, Jl>0).
Будем говорить, что линейный функционал / на Е мажорируется р>
если /(*)</?(*) для каждого х^Е.
Нам понадобится теорема Хана—Банаха в следующей
формулировке.
Т2. Теорема. Пусть Е—векторное пространство,
р—сублинейная функция на Е, F—подпространство Е и f—линейный
функционал на F, такой, что
f(x)^p (х) для каждого x£F.
Тогда существует линейный функционал g на £, мажорируемый р и
являющийся продолжением f на все Е%

270 Гл. XI. Выпуклые конусы и экстремальные элементы
Доказательство1). Пусть 9*—множество всех упорядоченных
пар (Л, Я), где Я—подпространство £, содержащее F, и
h—линейный функционал на Я, являющийся продолжением / на Я и
мажорируемый р. Очевидно, 3s не пусто и индуктивно упорядочено
отношением порядка ^:
((Л, #)<(ft', Я/))<^г>(Яс:Я' и А' является продолжением К).
По лемме Цорна в множестве 3* существует максимальный
элемент (g, G). Теорема будет установлена, если показать, что G = £.
Этот факт сразу вытекает из следующей леммы.
Лемма. Пусть (А, Я)—элемент 5>, а—элемент £, яе
принадлежащий Я, а И'—векторное пространство HQ)Ra. Обозначим через
К линейный функционал на Я', определяемый соотношением
h'(x + ra) = h(x) + rX (х£Я, rgR).
Тогда К мажорируется функцией р на Я' тогда и только тогда,
когда
sup [Л(а:)— /?(*—a)] <Jt<inf [р(# + я)-~Л(#)].
Доказательство. Поскольку h' и р положительно-однородны,
то К мажорируется функцией р тогда и только тогда, когда
h' (x-\-a) = h(x) + l^p(x + a),
h' (x—a)=^h(x)—K^p(x—a)
для каждого х£Н. Утверждение леммы следует из неравенства
Н(х) + к(у) = к(х + у)^р(х + у)^р(х—а) + р(у + а),
из которого видно, что для каждого х£Н и каждого у£Н
h{x)—p(x—a)^p (y + a)—h(y).
Проиллюстрируем применение предыдущей теоремы при
доказательстве существования продолжения положительного линейного
функционала, использованного Шоке [16] при изучении проблемы
моментов.
ТЗ. Теорема. Пусть Е—упорядоченное векторное пространство,
Я—подпространство Е и Я—векторное пространство, состоящее
из элементов £, которые мажорируются элементами Я и
мажорируют их. Тогда каждый положительный линейный функционал h,
определенный на Я, может быть продолжен до положительного
линейного функционала на Н.
Доказательство. Рассмотрим на Я сублинейную функцию
p(x)=inlh(u) (х£Й)у
иен
г) Заимствовано у Данфорда и Щварца [1]; см. также п.4 (б), ниже.

§ 1. Компактные выпуклые множества
271
которая равна h на Я. Тогда существует линейный функционал Ы
на Я, мажорируемый р и являющийся продолжением Л. Для
каждого х ^ О, принадлежащего Я, р (х) ^ 0 и, следовательно, Л' (#) ^0.
Стало быть, линейный функционал W положителен.
4. Сделаем теперь • несколько замечаний по поводу теоремы 2
(обозначения сохраняются прежними).
(а) Пусть х—точка Е. Обозначим: F—векторное пространство
Rx, /—единственный линейный функционал на F, для которого
f(x) = p(x). Тогда из сублинейности р получаем соотношение
0<р(х)+ /?(—*) и, следовательно, /H) = -pW<pH).
Таким образом, р мажорирует / на F. Функционал / можно
продолжить на все Е так, что это продолжение мажорируется р. Отсюда
вытекает следующий результат:
каждая сублинейная функция р является верхней огибающей се-
мейства линейных функционалову мажорируемых р.
Отметим одно важное следствие этого результата.
Для существования единственного линейного функционала f,
мажорируемого /?, необходимо и достаточно, чтобы функционал р
сам являлся линейным функционалом.
(б) Предположим теперь, что Е—локально-выпуклое
топологическое векторное пространство (ЛВП), а сублинейная функция р
непрерывна. Обозначим: Е'—произведение Rx£, А'— открытое
выпуклое множество {(/, х}£ E':t > р(х)} (множество точек £',
лежащих выше графика функции р), М'—линейное многообразие
{(t, x):x£Ft t = f(x)\ (график функционала /). Тогда существует
замкнутая гиперплоскость Я', содержащая М' и не
пересекающаяся с А' (Бурбаки [3]). Непосредственно проверяется, что Я'
представляет собой график непрерывного линейного функционала,
мажорируемого р и являющегося продолжением /.
Доказательство теоремы 2 можно было бы провести, используя
подобные рассуждения, поскольку в каждом векторном
пространстве существует сильнейшая локально-выпуклая топология (в
которой все конечные выпуклые функции непрерывны).
Компактные выпуклые множества
5. Пусть Е есть ЛВП и К—выпуклое компактное
подмножество пространства Е. Обозначим Л векторное пространство
непрерывных аффинных функций на /С, т. е. непрерывных функций / из
/С в R, таких, что
tf(x) + (l-t)f(y) = f(tx + (l-t)y) (*,*€*, /€[0, 1]).
Подпространство в Л, состоящее из сужений на К непрерывных
аффинных функционалов на £, разделяет точки К\ это утверждение
тем более справедливо для самого^. Обозначим^ выпуклый конус
в % (/С), состоящий из вогнутых непрерывных функций. Этот конус

272 Гл. XI. Выпуклые конусы и экстремальные элементы
замкнут относительно операции Л- Следовательно, векторное
пространство if—<ff замкнуто относительно операций Л и V» содержит
константы и разделяет точки /С По теореме Стоуна — Вейерштрассаг)
ff—of плотно в банаховом пространстве % (К).
Пусть £"—сопряженное пространство к Е. Топология,
индуцированная на К слабой топологией а(£, Е') на Е, является хаус-
дорфовой и более слабой, чем исходная топология на /С.
Установим теперь два результата, заимствованных из работы
Мокободзки [2]. Заметим, что Т6 может быть выведена из Т7 и
леммы Дини.
Т6. Теорема. Каждая непрерывная аффинная функция f на К
является равномерным пределом на К непрерывных аффинных
функций на Е.
Доказательство2). Обозначим F локально-выпуклое
пространство RxE. Положим а= inf f (х) и рассмотрим в F два подмно-
жества
*/ = {('• *)€Rxtf: a—e<f</(*)—е}
и
V={(t,x)£RxK: t>f(x)}9
где 8—некоторое число, большее нуля. Эти множества не
пересекаются, U — выпуклый компакт, "а V — выпукло и замкнуто. Тогда
существует замкнутая аффинная гиперплоскость Я3),
разделяющая U и V. При этом Н не параллельна прямой Rx{0}, поскольку
каждая такая гиперплоскость, пересекающая /У, также пересекает и
V. Следовательно, Н является графиком непрерывной аффинной
функции g, отличающейся от / на множестве К не более, чем
на е.
Пример применения. Пусть В—банахово пространство и Б' —
его сопряженное пространство со слабой топологией. Возьмем
в качестве К единичный шар в В' и рассмотрим линейный
функционал / на В', сужение которого на К слабо непрерывно.
Функционал / является равномерным пределом на К
последовательности (fn)neu слабо непрерывных линейных функционалов на В'.
Эти функционалы, представляющие собой элементы В, образуют
последовательность Коши в В. Отсюда следует, что само / является
элементом В. Таким образом, получена важная теорема,
принадлежащая Банаху (см., например, Бурбаки [3], Данфорд и
Шварц [1]).
Далее, выражение «g строго мажорируется /» будет означать,
что g(x)<f(x) для каждого х£/С.
1) См. Бурбаки [3].
а) Это доказательство было сообщено нам Р. Фелпсом.
3) Бурбаки [31, гл. II, § 3, п, 4; Данфорд и Шварц [1], V.2.7, теорема 10.

§ 1. Компактные выпуклые множества 273
Т7. Теорема, (а) Пусть f—конечная выпуклая полунепрерывная
снизу функция, определенная на /С Обозначим через Af множество
сужений на К непрерывных аффинных функций на £, строго
мажорируемых на К функцией f. Тогда
/= sup g. (7.1)
(б) Предположим дополнительно, что f—аффинная функция.
Тогда Aj—фильтрующееся вправо множество.
(в) Пусть f — конечная выпуклая полунепрерывная сверху
функция, определенная на /С. Тогда множество %/t состоящее из
непрерывных выпуклых функций на /С, строго мажорирующих /,
фильтруется влево и
/= mi g. (7.2)
Доказательство. Докажем утверждение (а). В обозначениях
теоремы Т6 положим
W = {(t, х): RxK: t^f(x)}.
Множество W является замкнутым выпуклым подмножеством
в F = RxE. Для каждой точки z = (sfy) из Rx/C, такой, что
s<f(y)> существует гиперплоскость Я, строго разделяющая z и
W. Эта гиперплоскость не параллельна прямой Rx{0}.
Следовательно, она является графиком некоторой функции g£Af. Отсюда
вытекает соотношение (7.1).
Предположим дополнительно, что /—аффинная функция. Чтобы
доказать утверждение (б), напомним, что выпуклая оболочка
объединения двух выпуклых компактов В и В' из F компактна (она
является образом [0, 1]хВхВ' при отображении (/, х, y)~w^tx +
+ (1 — t)y). Пусть h и h'—элементы Af и а—константа,
мажорируемая Л и Л' на /С. Обозначим В компактное выпуклое
множество {(/, x)£RxK: a^t^h(x)} и В1 — аналогичное множество,
где h заменено на А'. Непосредственно проверяется, что из
аффинности / вытекает дизъюнктность множества W и выпуклой
оболочки С множества В[}В'. Так как С—компакт, то существует
замкнутая гиперплоскость, строго разделяющая множества С и W.
Эта гиперплоскость является графиком аффинной функции gf
которая мажорирует Л и А' и строго мажорируется на К функцией /.
Утверждение (б) доказано.
Предположим, наконец, что / выпукла и полунепрерывна
сверху. Пусть g и g'—две выпуклые ограниченные
полунепрерывные снизу функции на КУ строго мажорирующие /. Покажем, что
существует функция h g^, мажорируемая g и g'. Отсюда, в
частности, будет следовать, что #f—фильтрующееся влево множество.
Пусть а—константа, мажорирующая g и g\ Обозначим В ком-

274 Г л, XI. Выпуклые конусы и экстремальные элементы
пактное. выпуклое множество
{(*,*)6RxK: g(z)^t^a\,
а В'— аналогичное множество, где g заменено на g\ Пусть С —
выпуклая оболочка объединения В[)В'\ С — компакт. Положим
k(x)=\nf{t: (t,x)£C}.
Эта функция выпукла, полунепрерывна снизу и строго
мажорирует /. В силу утверждения (а) она совпадает с верхней
огибающей семейства Jtk. Обозначим Ж множество функций
A0VAiV...VA„ («€N,A0f ..., А눫/**).
Ж является фильтрующимся вправо семейством непрерывных
функций. Тогда по теореме Х.Т6 найдется функция h^ffl, строго
мажорирующая /.
Теперь осталось только показать, что нижняя огибающая
семейства #f совпадает с /. Для доказательства этого факта в силу
изложенного выше достаточно для каждой точки х£К и каждого
t>f(x) построить выпуклую полунепрерывную снизу
функцию gt%x на /?, которая строго мажорирует / и для которой
gUx(x) = t. Выберем число Ь, мажорирующее / на К (такое число
существует, поскольку / полунепрерывна сверху и конечна), и
обозначим через GtiX выпуклую оболочку точки (/, х) и
множества {й}х/С. Положим
&fX(y) = inf {s£R: (s9y)£GUx\.
Легко убедиться, что функция gt%x обладает требуемыми
свойствами.
Крайние точки компактных выпуклых множеств
8. Обозначим с^+ (соответственно <ЛХ) совокупность
положительных (соответственно положительных с единичной массой) мер
Радона на /С. Барицентр меры \i^aSt будем обозначать через &(|ы).
Напомним некоторые элементарные свойства барицентров.
(а) Пусть \i—мера изо/ИХ с барицентром х и f—выпуклая
(соответственно аффинная) конечная полунепрерывная сверху или снизу
функция на К. Тогда
f(x)^[f (у)d\i (у) (соответственно f(x)=[f(y)dii(y)\. (8.1)
к V к I
Если / — непрерывная аффинная функция, то равенство f{x) =
~\f(y)dii(y) есть в сущности определение барицентра х = Ь(\л).
к
Используя Т7(а) и II.T36, от этого равенства нетрудно перейти в
случае непрерывных или полунепрерывных снизу выпуклых функций

§ 1. Компактные выпуклые множества
275
к неравенству (8.1). Случай выпуклых полунепрерывных сверху
функций вытекает из Т7(с) и II.T36. Наконец, равенство для
полунепрерывных снизу или сверху аффинных функций
получается рассмотрением выпуклых функций / и —/.
(б) Пусть L—компактное подмножество /С. Замкнутая
выпуклая оболочка L совпадает с мнооюеством барицентров мер jliGg^i"»
сосредоточенных на L.
Это хорошо известный факт (см., например, Бурбаки [4], гл. III,
§ 4, предложение 7).
(в) Каждая мера Х^о/ЯХ представлена в виде слабого предела
дискретных мер из <МХ, барицентры которых совпадают с
барицентром X.
Покажем (следуя Шоке), как строить такие меры. Поскольку
Е—локально выпуклое пространство и К—компакт, то
существует сколь угодно «мелкое» покрытие /С, состоящее из конечного
числа выпуклых открытых множеств <о19 со2, ..., соп. Пусть
е. = (д.\ и со, (/=1, 2, ..., п) и Xi=^IeX. Обозначим J множество
{f: Х{ФЩ. Положим
и
e=2Mi)e«,.
Каждая точка xt принадлежит со,., мера 6 дискретна и имеет
тот же барицентр, что и мера X. С другой стороны, для любой
непрерывной функции ff колебание которой на каждом со,, не
превосходит т], справедливо неравенство \X(f)— 6(/)|<т). Отсюда
следует, что 0 слабо сходится к % при измельчении покрытия.
9. Напомним, что точка х£К называется крайней, если ее
нельзя представить в виде
x = ty + (l-t)z (/€[0, 1], у£К, г£К), (9.1)
за исключением тривиального случая, когда / = 0 или 1, или
y = z = x. Приведем здесь некоторые свойства крайних точек.
(а) Точка х является крайней тогда и только тогда, когда
множество мер \х£&%Х* таких, что b(\i) = x, состоит из
единственной меры гх.
Предположим, что х допускает нетривиальное представление
(9.1). Тогда мера /еу + (1 — t)zz отлична от ех и х является ее
барицентром.
Обратно, предположим, что существует мера )х^<М\, отличная
от гх и такая, что b(\i) = x. Пусть уфх—точка носителя меры fi
и V—замкнутая выпуклая окрестность точки у, не содержащая х.
Тогда 0<|i(V)<l. Положим V' = K\V, a.= /K-n/fi(K), К =*

276 Гл. XL Выпуклые конусы и экстремальные элементы
*=/у-И'/Н'ОО» У==ь(^)у z = b(k') и / = |ы(У). Тогда точка х
допускает нетривиальное представление x = ty+(l—t)z и,
следовательно, не является крайней.
(б) Пусть Y—компактное подмножество множества К и
Z—замкнутая выпуклая оболочка Y. Тогда каждая крайняя точка Z при-
надлежит Y.
Каждая точка x£Z является барицентром меры ^^о/Я\
сосредоточенной на Y (п. 8 (б)). Если х принадлежит Z\Yt то эта мера
отлична от ех, и в силу 9 (а) х не может быть крайней точкой Z.
(в) Будем называть (следуя Шоке) каждое пересечение
множества К с открытым полупространством из Е слоем /С. Шоке
доказал следующее утверждение.
Точка х£К является крайней тогда и только тогда, когда
слои множества /С, содержащие х, образуют фундаментальную си-
стему окрестностей точки х.
Предположим сначала, что х не является крайней точкой, и
рассмотрим нетривиальное представление x=ty-\-(\ — t)z. Каждый
слой множества /С, содержащий х, содержит по крайней мере
одну из точек у, г. Пусть теперь V и W — окрестности точки ху
не содержащие соответственно точек у и г. Окрестность V (]W не
содержит слоя /С, содержащего х.
Обратно, пусть х—крайняя точка множества /С. Поскольку
топология К индуцируется слабой топологией о(Е, £'), то каждая
окрестность х содержит конечное пересечение
Г1П7\}Г)...П7\,
слоев множества /С, содержащих х. Пусть С19 С2, ...,
Сп—(компактные и выпуклые) дополнения слоев 7\, Г2, ..., Тп
соответственно. Поскольку точка х крайняя и не принадлежит
объединению С1[}С2(} ... UCn, то она не может принадлежать выпуклой
оболочке С этого объединения. Множество С — компакт.
Следовательно, существует замкнутая гиперплоскость Я, строго
отделяющая С от х. Эта гиперплоскость определяет слой Т в /С,
содержащий х и содержащийся в 7\ П Т2 П ... П Тп.
Теорема Крейна — Мильмана
Если компакт К метризуем, то теорему Шоке можно легко
доказать, не обращаясь к теореме Крейна—Мильмана (это будет
сделано в § 2). Однако теорема Крейна—Мильмана необходима
для доказательства теоремы Шоке в неметризуемом случае.
Дальнейшее изложение будет следовать работе Бауэра [1].
010. Определение. Гранью1) компактного выпуклого множества К
назовем непустое выпуклое подмножество F из /С, обладающее свой-
1) Гранями компактного выпуклого многогранника К (Г Rn обычно называют
компактные выпуклые подмножества F из /С, удовлетворяющие условию (10.1).

§ 1. Компактные выпуклые множества
277
ством:
каждая мера [i^odt* такая, что b(\i)£F
сосредоточена на F. (ЮЛ)
Пусть х—точка /С. Множество {л:} является гранью тогда и
только тогда, когда х—крайняя точка.
Т11. Теорема, (а) Пусть (F()iej—семейство граней множества К
с непустым пересечением F. Тогда F является гранью К.
(б) Пусть F—грань множества К и f—конечная
полунепрерывная снизу вогнутая функция на К. Тогда множество
G^{x£F: /(*)= inf/(y)}
yeF
является гранью множества /С.
(с) Каждая грань множества К содержит по крайней мере одну
крайнюю точку.
Доказательство, (а) Пересечение двух граней множества К>
очевидно, либо пусто, либо является гранью /С. Таким образом,
можно считать, что семейство (Z7,-)^/ фильтруется влево. Пусть
теперь |i—элемент пространства <М\, такой, что b(\i)£F> Поскольку
(i(Fl-)=l для каждого i'g/f то по теореме II.T35 ji(/7)=1.
Следовательно, F является гранью /С.
(б) Так как / полунепрерывна снизу, то множество G—непусто
и компактно. Положим а = inif(y). Неравенство \i(f)^a спра-
yeF
ведливо для каждой меры jxgc^", сосредоточенной на/7, при этом
знак равенства достигается тогда и только тогда, когда \х
сосредоточена на G. Рассмотрим теперь меру \^о/И\, такую, что 6(A)gG.
Поскольку F является гранью, то к сосредоточена на F, Так как
функция / вогнута, то в силу 8 (а)
a = f(b(k))>k(f).
Следовательно, мера К сосредоточена на G, откуда вытекает, что G
является гранью.
Семейство граней множества /С, согласно (а), индуктивно
упорядочено по включению. Следовательно, каждая грань по лемме
Цорна содержит минимальную грань. Таким образом,
утверждение (в) будет доказано, если показать, что грань F, содержащая
по крайней мере две различные точки у и г, не является
минимальной. Действительно, обозначим / непрерывную аффинную
функцию, разделяющую точки у и г. Множество G точек из F, где /
достигает минимума на F, является (в силу (б)) гранью множества /С.
Эта грань содержится в F и не совпадает с Т7, что противоречит
минимальности F.
Приведем теперь несколько важных следствий этой теоремы.
Начнем с так называемого «принципа минимума» Бауэра.

278 Гл. XL Выпуклые конусы и экстремальные элементы
Т12. Теорема. Пусть f—конечная полунепрерывная снизу вогнутая
функция на К, положительная в каоюдой крайней точке /С. Тогда
f положительна на /С.
Доказательство. Множество точек из /С, в которых / достигает
минимума, является гранью множества /С, содержащей, согласно
Т11 (в), крайнюю точку. Следовательно, минимум функции /
положителен.
Это утверждение также справедливо, когда /—конечная
полунепрерывная сверху вогнутая функция. В этом случае / является
нижней огибающей семейства непрерывных аффинных функций,
мажорирующих /. В силу предыдущей теоремы эти функции
положительны1).
Т13. Теорема. Пусть К и К'—два компактных выпуклых
множества, и—непрерывное аффинное отображение К на К' и х' —
крайняя точка /('. Тогда существует по крайней мере одна крайняя
точка х£К> такая, что х' = и (х).
Доказательство. Непосредственно проверяется, что множество
и'1 [{х'\] является гранью множества /С.
Т14. Теорема (Крейн—Мильман). Замкнутая выпуклая оболочка
множества крайних точек из К совпадает с /С.
Доказательство. Пусть L—замкнутая выпуклая оболочка
множества крайних точек. Если существует точка x£K\L, то
найдется непрерывная аффинная функция h на Е> такая, что f(x) <0
и inf/(y)^0, что противоречит Т12.
yeL
Выпуклые конусы с компактным основанием
15. Неоднократно отмечалось, что компактное выпуклое
множество К в ряде случаев можно рассматривать как основание
замкнутого выпуклого конуса С с вершиной в 0, т. е. как
пересечение конуса С с замкнутой гиперплоскостью, не проходящей
через 0. На самом деле такое рассмотрение справедливо всегда.
В этом легко убедиться, если отождествить К с подмножеством
/^' = {1}х/С произведения RxE и положить C=^{tx: t£ R+, л;6/С'}.
Модифицируем теперь некоторые определения этой главы.
(а) Каждую действительную функцию /, определенную на /С,
можно рассматривать как сужение на К единственной положительно
однородной функции, определенной на С, которую также будем
обозначать через /. Поэтому естественно обозначить через #
(соответственно через d, of) множество непрерывных (соответственно,
непрерывных аффинных, непрерывных вогнутых) положительно
однородных функций, определенных на С.
) Эти результаты усилены в работе Бауэра [6].

§ 2. Теорема Шоке
279
(б) Каждый положительный линейный функционал на
пространстве % («коническая мера» на С) можно записать в виде f -w+[l (/),
где |х — положительная мера на /С. Будем обозначать ех(х£С)
коническую меру f-w+f(x). Очевидно, etx = tex для каждого /^0.
Пусть jn—элемент о£+. Точку х£ С, определенную соотношением
/ (л:) = |ы (/) для каждой функции \$.А, назовем результантом |ы,
обозначая его через г (|ы). (15.1)
Другими словами, г(0) = 0, г (\i) = \i (1) -6 (jut/fx (1)) для каждой
меры fi^O. В частности, г (|ы) = 6(|ы), если |ы принадлежит <Л\*
Из неравенства (8.1) вытекает, что
/HfiKH/) (15.2)
для каждой меры \л£оЛ+ и каждой положительно однородной
выпуклой функции / на С, полунепрерывной снизу или сверху.
(в) Точка х£К является крайней тогда и только тогда, когда
из соотношения x = y + z (у, г£С) вытекает существование числа
*€[0, 1], такого, что y=tx и z = (l— t)x или, другими словами,
если каждый элемент у£С, мажорируемый (в смысле внутреннего
порядка конуса С1)) элементом х, пропорционален х.
§ 2. Теорема Шоке
Сохраним обозначения п. 15. Идея доказательства теоремы Шоке
с помощью отношения порядка на <Л+ принадлежит Бишопу и
де Лю [1]. Но отношение порядка, которое сейчас будет
рассмотрено, впервые было использовано Шоке [9].
016. Определение. Обозначим -<> отношение порядка на &М+,
определяемое следующим образом:
(А,-^)«==с>(Я(/) ^|ы (/) для каждой функции f€of). (16.1)
17. Замечания, (а) Формула (16.1) на самом деле задает
отношение порядка, поскольку векторное пространство £f—& плотно
в ^ (в топологии равномерной сходимости на /С).
(б) Из соотношения X-*>\i вытекает, что X(/) = (i(/) для каждой
функции f£A и, следовательно, г (X)~r(\i).
(в) Для каждого х£ С и каждой меры (ы*Е<^+, таких, что г(|ы)=л;,
выполняется соотношение гх-<>\1. Таким образом, меры ех(х£С)
являются минимальными элементами с£+ относительно порядка -<>.
(г) Соотношение X-<>\i означает, что \х «ближе к границе
множества /С», чем X. Мы стремимся изучать такие меры на /С,
которые «максимально близки к границе /С», т. е. меры, максимальные
относительно порядка -*. Эти меры будем в дальнейшем называть
просто максимальными.
*) Внутренний порядок конуса С определяется следующим образом; (х^ у) <==>
(для некоторого г £ С, х-^-г = у) (х, у£С).

280 Гл. XL Выпуклые конусы и экстремальные элементы
(д) Положительные меры fx, такие, что Х^>\х, называются
выметаниями меры X. Этот термин будет объяснен в п. 50.
Следующее определение, заимствованное нами из работы Мо-
кободзки [1] (в разных формах оно встречается и у других
авторов), будет играть в дальнейшем фундаментальную роль.
018. Определение. Пусть f—элемент пространства <ё. Функцию
infg
gJ (18.1)
*>/
будем называть верхней огибающей функции f и обозначать }.
Аналогично определяется нижняя огибающая f [/ = — (—/)].
Очевидно, верхняя огибающая функции / положительно
однородна, вогнута и полунепрерывна сверху; /</ и }(у) <sup/(;t)
хек
для каждой точки у£К> следовательно,/ ограничена. Таким
образом, для любой меры Х(£оЛ+ можно положить
M/) = M/)=inf X(g). (18.2)
g>f
Второе равенство вытекает из II.T36, поскольку of замкнуто
относительно операции /\.
Следующие свойства очевидны:
/ = /, если fetf;
(tf) = tf для каждой функции /£# и каждого /^0;
(/ + £)</ + £ (Л *€*).
Отсюда получаем, что функция /-ллл*-рх (f) сублинейна на <6.
Т19. Теорема. Пусть X—положительная мера. Линейные
функционалы на #, мажорируемые сублинейной функцией ръ совпадают
с положительными мерами на /С, являющимися выметаниями меры X.
Доказательство. Пусть \х — выметание меры X. Для каждой пары
функций /g# и g£of> таких, что g^f> справедливо неравенство
М/)^^ (£)^М#). Переходя к нижнему пределу по g, получаем
И/)<М/)<л(/)-
Обратно, пусть |ы — линейный функционал на #, мажорируемый
сублинейной функцией рх. Из неравенства /^0 вытекает, что
Рх(/)^0 и» следовательно, (х(/)<0. Стало быть, |ы —
положительная мера на /0 Пусть /—элемент из &>. Тогда / = f, p\(f) = X(f) и
[i(f)^.X(f). Отсюда следует, что ц является выметанием меры X.

§ 2. Теорема Шоке
281
Т20, Следствие. Для каждой меры Х£оЖ+ и каждой функции f€%
рх(/) = sup И/)- (20.1)
Доказательство. Сублинейная функция рх является верхней
огибающей семейства линейных функций, которые она мажорирует
(п. 4). В силу предыдущей теоремы эти линейные функции
являются выметаниями меры X.
Существование и характеризация максимальных мер
->Т21. Каждая мера X£oS+ допускает максимальное выметание.
Доказательство. Обозначим оЖу семейство выметаний меры X,
упорядоченное отношением -$. Достаточно доказать в силу леммы
Цорна, что о/И^ индуктивно упорядочено. Пусть t-A/vwfx,- —
возрастающее отображение линейно упорядоченного множества I в оЛ.
Так как меры |j,£. положительны и обладают одной и той же общей
массой, то множество этих мер имеет в слабой топологии
предельную точку \х. Отображение i-ллл-^. (/) убывающее, поэтому |х(/) =
= \im\i;(f) для каждой функции f$£f. Поскольку &—<>? плотно
в %у то р является слабым пределом \х( и одновременно точной
верхней гранью семейства мер ц,. относительно порядка -$.
Теорема доказана.
Приведем теперь здесь один из наиболее важных результатов,
относящих к максимальным мерам. Этот результат принадлежит
Мокободзки [1],
Т22. Теорема. Пусть X—положительная мера на /С. Тогда следую-
щие утверждения эквивалентны:
(а) мера X максимальна;
(б) X(f)=X(f) для каждой функции /£#;
(в) X(f) = X (f) для каждой функции f g — £f\
(г) мера X сосредоточена на каждом из множеств
5/ = {^€/С: /(*)=?(*)} (/€-£0-
Доказательство. Мы знаем, что мера X максимальна тогда и
только тогда, когда множество выметаний меры X состоит из
единственного элемента X или, другими словами (Т19 и п. 4), когда<
Я=рх. Таким образом, утверждения (а) и (б) эквивалентны, а
утверждение (в) вытекает из (б).
Покажем, что из (в) следует (а). Действительно, пусть \i —
выметание меры X. Для каждой функции f€ — of справедливо
неравенство \i(f)>h(f) и, кроме того, fi (Л < Рх (Л = МЛ в силУ
утверждения (в). Поскольку пространство |Р—& плотно в % относительно

282 Гл. XI. Выпуклые конусы и экстремальные элементы
равномерной сходимости на /С, то ц = Х. Отсюда следует, что мера К
максимальна. Наконец, из неравенства /^/ сразу вытекает
эквивалентность утверждений (в) и (г).
Максимальные меры и крайние точки (метризуемый случай)
Обозначим дк множество крайних точек множества К (заметим,
что это множество еще не рассматривалось). Первый
формулируемый результат не требует метризуемости /(.
Т23. Теорема, (a) f(x) = }(x) для каждой точки х£дк и каждой
функции /£#;
(б) дк= n Bf\
(в) Пусть X—положительная мера на /С, такая, что каждое
компактное подмножество из /С, непересекающееся с дк> К-пренебре-
жимо. Тогда мера X максимальна.
Доказательство. Если х — крайняя точка, то каждое выметание
меры 6^ совпадает с гх (9(a)). Тогда утверждение (а) следует из
формулы (20.1). Таким образом, дк cz П В,. Обратно, пусть х —
fs-ST
точка из этого пересечения. Тогда по теореме 22 мера вх
максимальна. Каждая мера [i^oS+t такая, что г(ц,) = #, совпадает с гх
(17(c)), и в силу 9(a) точка х крайняя.
Предположим, наконец, что К удовлетворяет условиям (в), и
пусть /—элемент пространства %. Функция /—/ полунепрерывна
сверху, поэтому K\Bf является пересечением последовательности
компактных множеств {/—/^ 1/п} (п£ N). Эти множества не
пересекаются с дк, их объединение Х-пренебрежимо, и мера А,
сосредоточена на Bf. Тогда по теореме 22 мера К максимальна.
Идея использования строго выпуклых функций в доказательстве
приводимой ниже теоремы принадлежит Бонзалу [1]. Эта работа
содержит очень короткое и изящное доказательство теоремы Шоке
в метризуемом случае. Оно послужило основой для излагаемого
здесь доказательства.
Т24. Теорема. Предположим, что компакт К метризуем. Тогда
множество дк является пересечением последовательности открытых
множеств. Мера %£<М+ максимальна тогда и только тогда, когда
она сосредоточена на дк.
Доказательство. Поскольку компакт К метризуем, пространство %
(наделенное топологией равномерной сходимости на К) содержит
счетное плотное множество. Так как пространство of—§f плотно
в #, то существует последовательность (/n)«€N элементов
пространства (— of), разделяющих точки из /(. Можно считать, что значе-

§ 2. Теорема Шоке
283
ния этих функций лежат между —1 и 1. Положим
Эта функция выпукла, непрерывна и не является линейной на
любом открытом сегменте, содержащемся в /(. Поскольку функция /
вогнута, то/(*)>/(*) в каждой не крайней точке xg/C. Отсюда
следует в силу Т23(а), что Bf = dK. Таким образом, дк— является
пересечением последовательности открытых множеств {/— / < 1/п}
(n£N), и по теореме 22(г) каждая максимальная мера X
сосредоточена на дк. Обратно, если мера X сосредоточена на дк> то
в силу Т23(а) А, сосредоточена на каждом из множеств Bg(g£— ^f)
и, следовательно, по теореме 22 (г) является максимальной мерой.
Теперь можно сформулировать теорему существования Шоке
в метризуемом случае.
-*• Т25. Теорема. Предположим, что компакт К метризуем. Тогда
каждая точка х£К является результантом меры fi, сосредоточенной
на множестве крайних точек компакта К-
Доказательство. Пусть \i — максимальное выметание меры гх
(Т21). Тогда r(\i)=x и мера \х сосредоточена на дк.
Теорема единственности
Вариант теоремы единственности, который здесь будет приведен,
заимствован из статьи Люмиса [2] (см. Картье, Фелл, Мейер [1]).
Установим сначала эквивалентность между отношением порядка -<>
и «строгим» отношением порядка, введенным Люмисом.
Т26. Теорема. Пусть X и \i—положительные меры на /С.
Следующие утверждения эквивалентны:
(а) Xr<\i-
(б) Для каждого конечного семейства (\)ы\ п положительных
п
мер на К у таких, что Х=^Х[У найдется конечное семейство
(\ij)i=\ п положительных мер на /С, удовлетворяющее условиям
п
Р1 = 2 Iх/ и \- -4 Н7 для / = 1, ..., п.
(в) В утверждении (б) условие Xi^>\xi можно заменить условием
Доказательство1). Предположим, что выполнено условие (а).
х) Заметим, что первую часть доказательства можно обобщить следующим
образом. Пусть Е — векторное пространство, plt р2> . . ., рп — сублинейные
функции на £, х'—линейный функционал, мажорируемый Р1 + Р2 + - • - + /V Тогда
можно найти линейные функционалы лгх, *2, . . ., хп на Е, мажорируемые
соответственно рг, р2 Рп и такие, что */ев*1 + *2+ • • • + *«• Не будем здесь
вдаваться в детали, поскольку в п. 51 будет приведено обобщение этого
результата на «непрерывные суммы» сублинейных функций.

284 Гл. XI. Выпуклые конусы и экстремальные элементы
Пусть Е—произведение векторных пространств %п и
F—подпространство в Еу состоящее из элементов пространства Е вида
(/»/» •••»/) (/€#)• Рассмотрим сублинейную функцию р на £,
п
определяемую формулой
р(л. /.. • • •> fn)=K(h)+K(h)+... +м?„).
Линейный функционал на F вида (/, /, ..., /) -ллл^ \i (f) мажорируется
р на F. Следовательно, по теореме 2 его можно продолжить на
все пространство Е до линейного функционала, мажорируемого р.
Этот функционал записывается в виде
(Л. Л. • ■ • . /n) -W- 1*1 (Л) + И* (Л) +...'+ Vn (fn)>
где (ilf ..., |а„—линейные функционалы на #. Но fi|(/)^^/(/)»
t = l, 2, ..., п, для каждой функции /€#. Следовательно, по
теореме 19 ц, является выметанием меры А,,, и 2(1/ = Н" Утверждение
(б) доказано.
Из (б), очевидно, вытекает (в). Покажем, что из (в) следует (а).
Возьмем функцию / £ Ъ и число е > 0. Покроем К конечным числом
замкнутых выпуклых множеств со^ со2, ..., со„, на каждом из
которых колебание функции / меньше е. Положим
e^iofW 0У (* = 1, ...,/г) и К( = 1' %.
Существуют меры [iz. (i=l,2, ...,ai), сумма которых равна fx,
такие, что г (Х;) = г (\1() для каждого /. Тогда из условия,
наложенного на колебание (положительно однородной) функции / на со,,
вытекает, что
m=$w>^\f{r{bi))-&iW]-
Правая часть совпадает с
^/(r(|i,))-eX(l)>^J^(/)-A(l) = ^(/)-eX(l)
в силу (15.2). Следовательно, А,-^ц и теорема доказана.
27. Пусть х—элемент из С. Подразбиением элемента х назовем
некоторое конечное семейство (X/)/=it2 п элементов из С, такое,
п
что х= 2*t- Аналогично определяется подразбиение меры^€^+.
На множестве всех подразбиений элемента х можно ввести
отношение частичного порядка. Пусть s = (*;)*= i, 2 п и
t = (yj)i=zi 2 k—два подразбиения х. Будем считать, что «s строго
меньше /», обозначая это символом s-\t9 если существует разбие-

§ 2. Теорема Шоке
285
ние множества {1, 2, ..., k) на п подмножеств /1Э ..., Jni такое,
что1)
*/= 2 У( для всех i==l> 2> • • •» п-
ITji
С каждым подразбиением s = (#,)/= i,...fп элемента х свяжем меру
п
zs = 2 е*г Из отношения s -| /, очевидно, вытекает, что е^ ~> et.
*=1
Отношение e,-{|i, где |х—элемент о£+, эквивалентно в силу Т26
существованию подразбиения (fi^i п меры \i9 такого, что
JC/ = г (i*/) для каждого i.
Пусть 5—совокупность подразбиений элемента х, фильтрующаяся
вправо относительно порядка -]. Будем для краткости называть S
фильтрующимся множеством. Такие множества естественным
образом возникают в некоторых приложениях теории Шоке, в частности
в теории представлений групп, из которой возникла упомянутая
выще работа Люмиса.
Пусть [х — положительная мера на /С, (fA,-)*= 1,2 п и
(|Л/)/=1,2 k—два подразбиения меры |л. Тогда существуют
положительные меры Х/7 (1 ^ i ^ /г, 1 <: / ^ &), такие, что \i{ = У]Ку
для каждого i и И7 = 2^// Аля каждого /2). Обозначим через S^
совокупность подразбиений элемента x = r(p,), представимых в виде
('*(И'/)'=1.2 л), где (fi/)/=it2 п — подразбиение меры \i.
Очевидно, Sp—фильтрующееся множество.
Следующая теорема является основным результатом теории
Люмиса.
Т28. Теорема, (а) Пусть К и \х—две положительные меры» Тогда
соотношения %^\л и SxaS^ эквивалентны.
(б) Пусть R—фильтрующееся множество подразбиений элементах.
Тогда множество мер г5 (s g R) имеет верхнюю грань е#
относительно порядка -^, при этом RaS/e у Если само R является мно-
оюеством вида S^(ii€q£+), то е^ = jji.
(в) Каждое фильтрующееся множество R содержится в некотором
максимальном фильтрующемся множестве.
(г) Фильтрующееся множество R максимально тогда и только
тогда 9 когда существует максимальная мера ц(£о^+, для которой
/? = S[Jl. Эта мера единственна.
Доказательство. Утверждение (а) является простой
перефразировкой Т26. Поскольку отношение -^ на самом деле является
отношением порядка, то из равенства SX = S^ (\if К^о£+) вытекает, что
*) Заметим, что из (s—\t и /Hs) не следует, что s=/.
2) Пусть // (соответственно //)—борелевские функции на К со значениями
в [0, 1], для которых m = fiii (соответственно fx/=//|x). Тогда можно положить

286 Гл. XI. Выпуклые конусы и экстремальные элементы
Х = |г. Чтобы доказать (б), заметим, что из f€<£P и отношения s-\'t
следует <е5, />><et, />. Так как множество &—& плотно в #, то
отображение s-w+es из R в &%+ имеет по фильтру сечений частично
упорядоченного множества R единственную предельную точку в
слабой топологии. Таким образом, у этого отображения существует
слабый предел е^; при этом легко проверяется, что eR является
верхней гранью мер es (s£R). По теореме 26 из соотношения
Zs^Zr Для каждого подразбиения s£R вытекает, что /?cS/e \
Наконец, если R является множеством вида 5Ц, то е5^|ш для
каждого s£R, и, стало быть, e^-^jx. С другой стороны, R = S[Lc:Sfe у
поэтому (я-^ед и, следовательно, jx = е^.
Совокупность фильтрующихся множеств подразбиений элемента х
индуктивно упорядочена по включению. Таким образом,
утверждение (в) оказывается прямым следствием леммы Цорна.
Предположим .теперь, что R — максимальное фильтрующееся
множество, и пусть мера \х такова, что RaS^. Тогда RcS,e у
RczS^t следовательно, R = S^=z=S,e ч и, наконец, |л — е^. Другими
словами, мера (а, для которой RcS^ может быть только вида eR.
Отсюда, в частности, вытекает, что мера eR максимальна.
Обратно, пусть (г — максимальная мера и # —максимальное
фильтрующееся множество, содержащее S^, существующее в силу
(в). Тогда мера eR максимальна и |i-<se#- Следовательно, |ы = е^.
Отсюда вытекает, что 5^ = /? и, значит, 5^ является максимальным
фильтрующимся множеством.
Из теоремы 28 следует теорема единственности,
принадлежащая Шоке.
-> Т29. Теорема. Следующие два утверждения эквивалентны.
(а) Конус С является решеткой1) относительно своего
внутреннего порядка.
(б) Для каждой точки х£С существует единственная
максимальная мера \i£oS+9 для которой г(\х) = х.
Доказательство. Предположим, что конус С является решеткой.
Пусть**—элемент из С, (*Д-=1 п и (*/)/= i, ....л—два
подразбиения элемента х.
По «лемме о разбиении» (см. Бурбаки [4], гл. II, § 1, п. 1)
существуют элементы уц (1<*<я, l^j^k) из С, такие, что
*/ = 2#// для кажД°Г0 * и */ = 2&У для каждого /• Другими
словами, множество всех подразбиений элемента х является
фильтрующимся. Следовательно, оно является единственным максимальным
фильтрующимся множеством, и утверждение (б) вытекает из Т28,
г) Решеткой называется частично упорядоченное множество, которое вместе
с любыми двумя элементами содержит их верхнюю и нижнюю грани. В отечест*
венной литературе употребляется также термин структура.—Прим. перев.

§ 2. Теорема Шоке
287
Чтобы доказать обратное, заметим сначала, что множество (М^
максимальных мер, будучи всегда выпуклым конусом, является
решеткой относительно внутреннего порядка этого конуса.
Действительно, пусть X и |я—две максимальные меры. Тогда К и |ы
сосредоточены на каждом из множеств Bf (/€—&\ см. п. 22). Это же
утверждение остается справедливым и для мер Х + [а, X/\\i и X\/\i
(операции Л» V рассматриваются относительно естественного
порядка на сЛ+). Следовательно, по теореме 22 эти меры максимальны.
Отсюда вытекает, что сЛ^—конус, а Х/\\1 и X\/\i являются
соответственно inf и sup мер К и \i в о££. Функция [i -ллл*- г (\i)
отображает оЛ+г на С (Т21). Эта функция аддитивна и является
возрастающей, если а4% и С упорядочены внутренним образом.
Предположим теперь, что выполнено условие (б). Тогда это отображение
является изоморфизмом и, следовательно, С—решетка.
Будем говорить (следуя Шоке), что К—симплекс, если конус С
является решеткой.
Другие варианты теоремы единственности можно найти в
работе Шоке и Мейера [1].
Следующая теорема будет позднее обобщена (п. 36).
ТЗО. Теорема. Предположим, что К—симплекс. Пусть для
каждого х£К> \лх—единственная максимальная мера с барицентром х.
Тогда отображение x-w**iix(f) борелевское для каждой функции
/£#. Пусть К—положительная мера. Единственная максимальная
мера ц, такая, что Я-*$|1, задается формулой
м/)==5мл<ад. (зол)
к
Доказательство. Для каждой меры h^oS* и каждой функции
/€— <У в силу (20.1)
M/) = M/) = sup6(/) = ji(/),
где |л—единственная максимальная мера, для которой г (\х) = г (к).
Полагая к = ех (х£К), получаем
/(*) = М/) (/€-^).
Следовательно, функция x-w+\ix(f) полунепрерывна сверху, когда
/ принадлежит (—&). Она является борелевской, если /
принадлежит <У — <У. Равномерный предельный переход на К показывает, что
функция х -аьм~ \кх (/) остается борелевской для каждого элемента
Пусть К и \i удовлетворяют сформулированным выше условиям,
Тогда для каждой функции /€ — & справедливы равенства
И (/) = * (/) = $ / (*) Л (х) = J ixx (/) A (х).
к к

288 Гл. XI. Выпуклые конусы и экстремальные элементы
Таким образом, (30.1) выполняется при /g—<Zf и, следовательно
(в силу линейности и непрерывности), для каждого /£#.
Максимальные меры и крайние точки (общий случай)
Положение дел в общей ситуации гораздо хуже, чем в метри-
зуемом случае. Будет показано, что максимальные меры только в
некотором слабом смысле «сосредоточены» на множестве крайних
точек. Далее излагается доказательство Шоке.
Т31. Теорема. Пусть \i — максимальная мера и fn—убывающая
последовательность положительных непрерывных функций на /С,
стремящихся к 0 в*каждой точке дк. Тогда
Шп|1(/Я) = 0.
П-+ со
Доказательство. Для каждой функции с <Е % выполняется \х (—с) =»
= (i (-с) (Т22), т. е.
ji(c)= sup \i(g).
g<c
Используем это соотношение для индуктивного построения
последовательности непрерывных функций gv g2, ..., принадлежащих
(—of) и удовлетворяющих следующим условиям (е > 0):
А<Л. ptei)>p(fi)—у;
ft <&Л/,. ц (g2)> [i (g1Af2)—т;
С f
• *
• «
gn<gn-lAfn> ^ (ft) > ^ (ft-lA/J—J .
Тогда справедливы неравенства
V(fn-gn) = V»{fn—fnAgn-i) + (fnAgn-i— ftXM/«-i-ft-i) + |;.
Легко проверяется по индукции, что последнее выражение меньше
е (1—о«)^е» Обозначим g выпуклую полунепрерывную сверху
функцию, равную inlgn, В точках множества дк она неположи-
п
тельна и, следовательно, неположительна на всем К (Т12). Таким
образом, fi (inf/Л <fx /4nf/„—g\ <e. Теорема доказана.
Следующая теорема, заимствованная из статьи Шоке и Мейера
[1], усиливает результат Бишопа и де Лю [1].
Покрытие, состоящее из компактных подмножеств множества
Л, будем обозначать 9С.

§ 2. Теорема Шоке
289
Т32. Теорема. Всякая максимальная мера [\ сосредоточена на
каждом W-аналитическом множестве, содержащем дк.
Доказательство. Покажем сначала, что мера ц сосредоточена
на каждом элементе множества 9Са, содержащем дк. Пусть Л—
элемент 9С0 и В—его дополнение. Достаточно доказать', что \i(C) = 0
для каждого компакта СаВ. Представим В в виде пересечения
убывающей последовательности (GJneN открытых множеств.
Выберем теперь убывающую последовательность (/n)rt€N положительных
непрерывных функций, такую, что fn= 1 на С и 0 вне Gn. Из
предыдущей теоремы вытекает, что \i nimfn\=0 и, следовательно,
|i(C) = 0.
Положим теперь для каждого подмножества Л из К
ii*(i4) = inf|i(B).
В € &с
ВЭ А
Эта функция в силу III. Т23 является емкостью Шоке относительно
покрытия ЭС. Таким образом, каждое ^-аналитическое множество
Л, содержащее дк, является емким. Внешняя емкость такого
множества равна ц(1), следовательно, внутренняя емкость его также
равна ц(1). Отсюда вытекает, что мера ц сосредоточена на Л.
Пусть В—компактное бэровское множество, непересекающееся
с дк. По теореме II. Т29 дополнение В является 9^-аналитическим
множеством. Следовательно, мера |х сосредоточена на этом
дополнении. Таким образом, множество К\дк внутренне пренебрежимо
относительно сужения меры \i на бэровскую о-алгебру в К.
33. Из теоремы 32 вытекает, что множество максимальных мер
совпадает с множеством мер, сосредоточенных на дю когда дк
является 9^-аналитическим множеством (в частности, когда дк —
компакт).
С другой стороны, построены примеры немаксимальных мер,
сосредоточенных на каждом ^-аналитическом множестве,
содержащем дк (Мокободзки, см. статью Шоке и Мейера [1]); примеры
максимальных мер, содержащих массу на компактных подмножествах,
не пересекающихся с дИ (Бишоп и де Лю [1]),
Существование дилатаций1)
34. Рассматриваемая ниже проблема изучалась несколькими
авторами. Упомянем, в частности, работу Блекуэлла [1] (в
которой была доказана теорема 36 для интервала действительной
прямой) и работу Шермана [1] (где эта теорема доказана для
дискретных мер). Существенное продвижение было сделано в неопуб-
) Dilatation (англ., фр.)—расширение, распространение.*- Прим. перев.

290 Гл. XI. Выпуклые конусы и экстремальные элементы
ликованной работе Фелла (который рассматривал «строгий» порядок
Люмиса вместо отношения порядка -^>). Теорема 36 была также
доказана Мокободзки (неопубликовано).
Обозначим (Л пространство мер на К в слабой топологии.
Отображение x-w~ex позволяет отождествить К с компактным
подмножеством оЛ+. Пусть D—замкнутый выпуклый конус в
произведении топологических векторных пространств оЛхоМ>
состоящий из пар (%> |ы), таких, что Я-<>(я. Множество А пар (k> ji)£D,
для которых Л(1)= 1 (= |л(1)), является компактным основанием
конуса D. Наконец, будем обозначать D0 компактное множество
элементов D вида (ех, ч\)(х€К).
Предположим, что компакт К метризуем. Будем говорить, что
марковское ядро Т на борелевской а-алгебре К (см. начало гл. IX)
является дилатацией, если г(гхТ)=х для каждого *g/(.
Т35. Теорема (Картье). Пусть (X, fx)—элемент D. Тогда
существует положительная мера 6 на D0, результант которой (в
пространстве <rft>X(M) равен (А,, [а).
Доказательство. Поскольку утверждение теоремы, очевидно,
справедливо для пары (0, 0), то, не ограничивая общности, можно
рассматривать лишь случай, когда (А,, |ы) принадлежит А. В силу 8
(в) нужно доказать, что А является замкнутой выпуклой оболочкой
множества D0, или в силу (Т14), что каждая крайняя точка
множества А принадлежит D0. Пусть (а, Р)—-элемент А, не
принадлежащий £)0. Мера а является суммой двух непропорциональных
положительных мер а' и а". Тогда по теореме 26 найдутся две
меры р' и р", такие, что а'-^Р', а*-*р" и Р = Р' + Р". Таким
образом, (а, Р) = (а', Р') + (а", Р"). Пара (а, Р) является суммой двух
непропорциональных элементов множества D0 и, следовательно,
не может быть крайней точкой D0. Теорема доказана.
Заметим, это это утверждение справедливо без предположения
о метризуемости К. В следующей теореме это предположение
является существенным.
Т36. Теорема (Картье). Предположим, что К метризуемо. Пусть
% и (х—положительные меры на /С. Тогда соотношение X-^fx
эквивалентно существованию дилатации 7\ такой, что А,Г = |ы.
Доказательство. Предположим, что существует дилатация 7\
для которой XT = \i. Пусть /—элемент §f\ тогда из (15.2) следует,
что
И/) = 5Г<*> f)dX(x)^lf(x)dX(x) = X(f)
к к
и, следовательно, X-4|i.
Обратно, предположим, что l-$\i. Рассмотрим меру 0 на D0,
соответствующую паре (X, \х) из предыдущей теоремы, и обозначим h
непрерывное отображение (ех> т^-ллл^л; множества D0 на /С. Ком-

§ 2. Теорема Шоке
291
пакт К метризуем, и, следовательно, этим свойством обладают
компакты <М\ и Д. Поскольку образ 0 при отображении h совпадает
с Я, то
е=$е,А(*),
к
где (9*)* € к—измеримое семейство вероятностных мер на D0 (в смысле
11.013; в компактных метрических пространствах К и DQ
естественным образом заданы борелевские а-алгебры), таких, что 6*
сосредоточена на Л'ЧМ) Для каждого лг^/С1).
Обозначим Тх результант дх (в <М)\ Тх является элементом <М\%
а отображение л:-ллл^Тх(Л) борелевское на К для каждого боре-
левского подмножества А из /С. Следовательно, существует
марковское ядро Т на /С, такое, что ехТ = Тх для каждого х. Поскольку
результант 9 в gSxqS есть (К, |ы), то ] Txdk(x) = XT =z[i. Теорема
к
доказана.
Эта теорема будет обобщена ниже (п, 52).
Обобщение на некоторые конусы с некомпактным основанием
37. Пусть £—локально-выпуклое пространство и С—замкнутый
выпуклый конус в £ с вершиной в 0, не содержащий прямой линии.
Будем говорить, что точка xg С, отличная от 0, принадлежит
крайнему лучу конуса С, если из соотношений x = y + z, у£С, zgC
вытекает существование числа t£ [0,1], такого, что y = tx, г = (1—t)x.
Возникает вопрос, при каких условиях на С справедливы следующие
свойства (которые имеют место для конусов с компактным
основанием).
(1) Замкнутая выпуклая оболочка объединения крайних лучей
конуса С совпадает с С (обобщение теоремы Крейна—Мильмана).
(2) Каждая точка х£С является результантом положительной
меры |л на компактном подмножестве в С, сосредоточенной, в
определенном смысле, на объединении крайних лучей конуса С.
(Обобщение теоремы Шоке.)
Замечания Шоке по этому поводу приведены в библиографии.
Здесь же ограничимся рассмотрением процедуры, которая иногда
позволяет свести вопрос к теории компактных выпуклых множеств.
Следуя Шоке, будем называть компактное подмножество в С
вида{Л<1} шапкой С, где h—отображение С в R+U{ + oo}, удов-
1) Бурбаки [5], гл. VI, § 3, п. 1, теорема 1. Обобщение Т36, которое будет
приведено в п, 52, не использует эту теорему.

292 Гл. XI. Выпуклые конусы и экстремальные элементы
летворяющее следующим условиям:
А(0) = 0,
h(x + y) = h(x) + h(y) (х, у£С)9
h{tx) = th{x) (х£С, /6R+).
Так как множество {А^1} замкнуто, то функция h
полунепрерывна снизу на С.
Пусть х0—точка С, отличная от 0. Предположим, что *
принадлежит шапке {/i<l}. Можно считать, что А(х0)=1. Положим
Н = {х: А(*)<1}
и
#! = {*: А(х) = 1}.
Будет показано, что хотя множество Я1Э вообще говоря, не
компактно, оно может играть роль основания конуса С для
интегрального представления элементов из Я. Хотелось бы найти крайние
точки Я. Очевидно, 0 является крайней точкой, поскольку С не
содержит прямой. Для каждого у£Н, отличного от нуля, Н(у)Ф0,
поскольку в противном случае компактное множество Я содержало
бы луч R+y. Возьмем точку у, для которой 0ф1г(у)Ф\, и пусть
Ух = ylh (У) hi € #i). Тогда у допускает представление у = [ 1 — h (у)] х
x0 + h(y)-yx и, следовательно, точка у не является крайней.
Другими словами, ft(*)=l для каждой крайней точки хфО.
Пусть теперь х = у + z—разложение х (у £ С, z £ С), такое, что уфО,
гфО. Положим ft вщ. г1 = Щ"- Тогда
^ = Л(У)-Й + А(г).г1.
Поскольку х—крайняя точка, то t/i = z1 = ;c. Следовательно, # и 2
пропорциональны #, откуда вытекает, что х принадлежит крайнему
лучу конуса С.
Обратно, непосредственно проверяется, что каждая точка
множества Нц принадлежащая крайнему лучу, является крайней
точкой Я. Другими словами, крайними точками множества Ях, кроме
точки 0, являются также точки Н1У расположенные на крайних
лучах С. Обозначим множество этих точек через д1н.
По теореме Шоке, примененной к точке х0(А(х0) = 1) и
выпуклому компакту Я, существует максимальная вероятностная мера,
барицентр которой находится в точке х0. Так как аффинная
функция h полунепрерывна снизу на Я, то (п. 8)
А(*0)=1 = $А(*,)^(</).
н
Следовательно, множество {А<1} не содержит массы меры \i.
Отсюда, в частности, следует, что \i не имеет массы в точке 0.
Известно (Т32), что максимальная мера \х сосредоточена на
замыкании дИ% Поскольку мера \л не имеет массы в точке {0}, то \л

§ 2. Теорема Шоке
293
сосредоточена на замыкании множества дн. Следовательно, х0
принадлежит замкнутой выпуклой оболочке дн. Полученный результат
является естественным обобщением теоремы Крейна—Мильмана.
Предположим, что Н метризуемо. Тогда максимальная мера [i
сосредоточена на дн и не имеет массы в точке {0}. Следовательно,
она сосредоточена на дн и справедливо обобщение теоремы Шоке.
Пусть s = (^)/ai,2 п—подразбиение х0 (п. 27). Поскольку
функция h возрастает, то точки xt принадлежат Н и теоремы 26 и 28
применимы без всяких изменений к мерам X и р, на Н с
барицентром х0. Предположим, в частности, что конус С—решетка. Тогда 5,
множество всех подразбиений элемента дс0, является фильтрующимся
множеством и точка х0 представляет собой барицентр единственной
максимальной меры ц, сосредоточенной на Я. Эта мера задается
формулой
fi(/) = lim<e„ />
для каждой положительно однородной и непрерывной функции /,
определенной на С; предел берется по направленному множеству S.
Заметим, что шапка Н не входит в эту формулу. Последнее
обстоятельство позволяет сделать следующий вывод. Пусть Н = {/i<! 1}
и H' = {h' < 1}— шапки на С, такие, что h(x0) = h' (х0)= 1.
Предположим, что \х и [г' — меры с барицентром в х0, сосредоточенные
соответственно на Я и Я' и максимальные на этих шапках. Тогда
li(f) = ti'(f) для каждой непрерывной и. положительно однородной
функции / на С. Другими словами, (ниц' определяют одну и ту
же «коническую меру» на С.
Приведем теперь очень важный случай приложения построенной
теории.
Т38. Теорема. Пусть X—локально-компактное, а-компактное
пространство и С—конус положительных мер на X, замкнутый
в слабой топологии. Тогда каждая точка С содержится в некоторой
шапке конуса С.
Доказательство. Пусть ц0 — элемент С и (Хл)л€м —
последовательность открытых, относительно компактных подмножеств
пространства X, объединение которых есть X. Для каждой положительной
меры |ы и каждого n£li ji(X„)<oo. Следовательно, можно найти
последовательность строго положительных чисел (an)«6N, такую, что
п
Для каждой положительной меры \л положим
Л(ц) = 2а„и(*„).

294 Гл. XI. Выпуклые конусы и экстремальные элементы
Эта функция линейна и полунепрерывна снизу на оЛ+ (X).
Множество положительных мер jx, удовлетворяющих условию h(fi)< 1,
слабо компактно. Следовательно, множество Я = {|ы 6 С: h {\л\I ^ 1}
является шапкой конуса С, содержащей [д,0.
Применение теоремы Крейна—Мильмана
Шоке предложил простое доказательство известной теоремы
С. Н. Бернштейна о вполне монотонных функциях. Обозначим
R+ открытую полупрямую R+\ {0}. Пусть /—действительная
функция на R\ и h—положительное число. Будем обозначать AJ
функцию x-w~f (x + h)—f(x). Аналогично определяется итерация
разностных операторов АЛ1АЛа ... Д/>л. Можно легко показать, что
эти операторы коммутируют. *
039. Определение. Пусть f—действительная функция,[определенная
на R+. Будем говорить, что /—вполне монотонна, если она
бесконечно дифференцируема и
(-l)PDPf^O, р = 0, 1, 2, ... • (39.1)
Любая такая функция / положительна, убывает и выпукла.
Т40. Пусть f—действительная функция, определенная на R+.
Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) /—вполне монотонна;
(2) функция f положительна; для каждого целого р^\ и каждой
конечной последовательности положительных чисел (А1Э h2t ..., hp)
(-1)*ДЛДЛ, ... ДЛг/>0; (40.1)
(3) существует положительная мера \i на R+, такая, что
СО
f (х) = 5 е"хЧ\к (t) для каждого х > 0; (40.2)
о
мера \i единственна.
Доказательство. Импликация (3)г>(1) и единственность меры jx
являются элементарными и хорошо известными фактами из теории
преобразования Лапласа. Для доказательства (1)^(2) заметим
сначала, что из вполне монотонности g вытекает вполне
монотонность функции—А^. Действительно, операторы Дл и Dp, очевидно,
коммутируют. Поэтому
(-l)PDPAhg(x) = (-l)r(DPg(x + h)-DPg(x)) = (-l)PDP+*g(x±u),
где и пробегает интервал [0, А]. Следовательно, первый член этих
равенств отрицателен. Отсюда легко вывести, что правая часть
в (40.1) есть вполне монотонная и, следовательно, положительная
функция. Утверждение (2) доказано.
Покажем, что из (2) вытекает (3). Начнем со случая
ограниченных функций. Обозначим С множество всех ограниченных функций,

§ 2. Теорема Шоке
295
удовлетворяющих (40.1). С—выпуклый конус, элементы которого^
убывающие выпуклые функции. Следовательно, существует lim f (t)
для каждой функции f£C. Обозначим этот предел /(0), а Сх
обозначим множество всех /£ С, для которых /(0X1.
Введем в С топологию равномерной сходимости на R + . Тогда,
очевидно, Сг является компактом. С другой стороны, все элементы
Сх выпуклые и, следовательно, непрерывные функции. Таким
образом, топология, индуцированная на Clt совпадает с топологией
поточечной сходимости на счетном плотном множестве.
Следовательно, Сх является метризуемой шапкой С, соответствующей
полунепрерывной снизу линейной функции /-ллл^/(0).
Докажем теперь, что каждая ненулевая крайняя точка множества
Сх является экспоненциальной функцией t-w+e~xt (быть может,
постоянной)1). Действительно, пусть /—крайняя точка, f(0)= 1 и /
принадлежит некоторому крайнему лучу конуса С (п. 37).
Представим f(x) в виде
f(x) = f(x + h) + (f(x)-f(x + h)).
Функции х -ллл- / (л: + К) и x^w^f(x)—f(x + h) принадлежат С.
Поскольку /—крайняя точка, то эти функции должны быть
пропорциональны /. Следовательно, существует константа ft, такая, что
f(x-\-h) = kf(x). Полагая * = 0, получаем ft = /(/i). Соотношение
f(x + h) = f(x)f(h) показывает, что /—или убывающая экспонента,
или константа, равная 1.
Обозначим Е подмножество С1э элементами которого являются
убывающие экспоненты, константы 1 и 0. Множество Е замкнуто
и содержит крайние точки множества Сх. Следовательно, каждая
точка из Сх является барицентром вероятностной меры,
сосредоточенной на Е (теорема Крейна—Мильмана). Заметим теперь, что
С= U tCx. Таким образом, представление (3) доказано для огра-
ничейных вполне монотонных функций.
Пусть /—неограниченная функция, удовлетворяющая (2), и h > 0.
Функция x-w+f(x + h) принадлежит С и, следовательно, допускает
представление
GO
f(x + h)^\e-xtdixh(t) (jc>0). (40.3)
о
Тогда для каждого k > 0
со со
f(x + h + k) = le^e^diih(t)=le'^diih+k(t)t
о о
х) В действительности можно легко доказать, что крайними элементами
множества Сх являются убывающие экспоненты и константа 1.

296 Гл. XI. Выпуклые конусы и экстремальные элементы
откуда вытекает, что d\ih+k(t)~e~ktd\)ih(t) (единственность
преобразования Лапласа). Следовательно, мера \х, определяемая
соотношением d\i{t)=ehtd\ih{t), не зависит от Л и в силу (40.3)
00
/(* +А) = $*-*+*>'ф(*).
о
Заменяя x-\-h на х, получаем представление (40.2).
§ 3. Выметания, определяемые выпуклым конусом в про-
странстве функций
Во всех классических аспектах ньютоновской теории потенциала
появлялись некоторые выпуклые конусы функции
(супергармонические функции, полисупергармонические функции, вогнутые
функции, эксцессивные функции), которые играли там фундаментальную
роль. Эти конусы замкнуты относительно операции Д, а входящие
в них функции, как правило, полунепрерывны снизу. Таким
образом, «общую теорию потенциала» можно грубо представлять себе
как изучение выпуклых конусов в пространстве функций,
обладающих двумя этими свойствами. Однако такое толкование «общей
теории» слишком широко и не очень соответствует ее нынешнему
состоянию. В настоящее время основные интересы теории состоят
в понимании с некоторой общей точки зрения давно известных
результатов (теорема Шоке, граница Шилова) и упрощении ряда
доказательств. Это вполне оправдывает нижеследующее изложение.
При этом основные идеи будут продемонстрированы на изучении
выпуклых конусов в пространстве непрерывных функций.
Результаты этого параграфа принадлежат Бауэру [2] и Моко-
бодзки.
041. Определение. Пусть X — компакт и У*—подмножество
в % (X).Обозначим -3 отношение частичного порядка на <Л+ху такоеу что
(X _-> fx) <=г> (X (/) > |ы (/) для каждого /€#).• (41.1)
Пусть К и \х—положительные меры, такие, что %-4\i. Будем
называть \i выметанием меры X (относительно gf).
Замечания, (а) Пусть ^' — замкнутый выпуклый конус в % (Х)у
порожденный подмножеством £f. Множества У и §Р определяют
одно и то же отношение частичного порядка. Два замкнутых
выпуклых конуса из % (X) совпадают тогда и только тогда, когда
они определяют одно и то же отношение частичного порядка на
о4+ (X) (теорема Хана —Банаха).
(б) Пусть ^—выпуклый конус в %\Х) и ^—система функций
вида fx Л h Л . •. Л /я (п € N, flt ..., /„ £ &). Тождество
Л //+ . Л gj= Л (ti + gj)
1</<т

§ 3. Выметания
29?
показывает, что ifx— выпуклый конус, замкнутый относительно
операции Л- Пусть-4и -^ означают отношения частичного порядка,
определяемые соответственно if и ifx. Из того что X-^jx вытекает,
что i-<>fi, а соотношения ех-**к и гх^гХ эквивалентны для каждого
х б X. Действительно, из неравенств ji (/t) < /х (х), ..., \х (/„) < /„ (л;)
вытекает, что
|i (А Л h Л .. • Л /„) < Л (*) Л •. • Л к (*) = е, (fx д ... Л/я).
(в) Предположим далее', что if содержит константу 1. Тогда,
из того что Х-з[л, получаем Х(1)>|ы(1). Следовательно, семейство
выметаний меры i слабо компактно.
Пример. Пусть X — компактное выпуклое подмножество
локально-выпуклого пространства и if—система непрерывных вогнутых
функций на X. Тогда отношение -<> совпадает с частичным
отношением порядка, использованным в предыдущем параграфе.
042. Определение. Будем говорить, что точка x£if является
точкой границы множества X (относительно if), если не
существует выметания меры гх, отличного от ех.
Границу будем обозначать дсуХ.
Из замечаний 41 (а) и (б) вытекает, что граница не изменится,
если множество if заменить замкнутым выпуклым конусом,
порожденным множеством if и замкнутым относительно операции Д.
пример. Предположим, что существует функция f£if,
достигающая строго отрицательного минимума в точке х:
f (х) < 0; f (у)> f (х) для каждого у £ Х\{х}.
Тогда точка х принадлежит границе. Действительно, пусть
fi—выметание меры е^. Отсюда следует, что р<(/)^/(#) и
|х(/) = ИМ)/М+ S f(y)dii(y)>
>li({x})f(x) + \i(X\{x})f(x) = ii(\)f(x).
Причем последнее неравенство является строгим, если \х (Х\{*}) = 0.
Из того что 1 £ £ft вытекает, что \к (1) ^ 1. Следовательно,
ц0)/(*)^/(*)« Это неравенство будет строгим, если ц,(1)<1.
,Сравнивая полученные неравенства, заключаем, что \i (Х\{х}) = 0,
|л(1) = 1 и, следовательно, ц = е^.
043. Определение. Пусть А—подмножество X. Будем говорить,
что А является шиловским множеством (относительно if), если из
соотношений
f$if; inf /(х)>-1 (43.1)
хйА
вытекает неравенство inf f (х)^ — 1.
хбХ

298 Гл. XL Выпуклые конусы и экстремальные элементы
Замечания, (а) Множество X всегда является шиловским. Пустое
множество является шиловским тогда и только тогда, когда
каждая функцияf£ gf положительна.
(б) Пусть А — компактное подмножество X. Тогда определению
43 можно придать следующую форму. Множество А является
компактным шиловским . множеством тогда и только тогда, когда
каждая функция, принимающая отрицательные значения, достигает
минимума в некоторой точке множества А.
(в) Шиловские множества не меняются, если §f заменить
замкнутым выпуклым конусом, порожденным У и выдерживающим
операцию Л-
044. Определение. Предположим, что if—выпуклый конус, зам-
кнутый относительно операции /\ и содержащий положительные
константы. Пусть А—шиловское множество. Для каждой функции
f £ % (X) будем полагать
1а = inf g. (44.1)
Вместо fx будем писать просто }.
Замечания, (а) Из того что /^ 1, вытекает, что/д^ 1.
Поскольку А — шиловское множество, то из неравенства f^ — 1 следует,
что fA ^—1. Таким образом, fA является ограниченной функцией
для каждой функции/g#(X). Поскольку fA полунепрерывна сверху,
то она интегрируема по каждой мере K^gS* (X). Так как конус %f
замкнут относительно операции Д» то
<k}A>~ inf <К g>.
(б) Положим
Ра,хФ = <К /> (44.2)
Эта функция конечна и сублинейна на # (X). Тогда в
предположениях 044 справедлива следующая теорема, обобщающая
теорему Т19.
Т45. Теорема. Пусть А—компактное шиловское множество.
Линейные функционалы на # (X), мажорируемые сублинейной
функцией рА%х совпадают с выметаниями меры К, сосредоточенной на А.
Доказательство. Пусть fi — выметание меры Я, сосредоточенной
на А. Тогда \i (/)<\i (g) <i(g) для каждой функции g£<§f, которая
мажорирует на множестве А функцию /. Следовательно, jn (/) ^
*^Ра,\(П- Обратно, пусть Ф—линейный функционал на % (X),
мажорируемый рАу\. Из неравенства /^0 вытекает, что Ра,\(П^
<0 и, следовательно, Ф(/)<Д Стало быть, мера Ф положительна.

§ 3. Выметания
299
Из того что />0 и / = 0, на Л получаем, что /?л,х(/)^0-
Следовательно, Ф(/)^0. Отсюда вытекает, что мера Ф сосредоточена на
множестве А. Наконец, если /6еЛ то рАу х(/) <>,(/). Поэтому
Ф(/)^М/) и» значит, Ф является выметанием меры к.
Т46. Следствие. Справедливо равенство1)
Pji.x(/) = sup(i(/).
ц сосредоточено на Л
(Доказательство сразу вытекает из п. 4 и 45.)
Приведем еще один результат, являющийся следствием
теоремы 45. Он был получен в работе Шоке и Дени [1] другим
методом.
Т47. Теорема. Пусть of—замкнутый выпуклый конус в # (X),
содержащий положительные константы. Тогда следующие два
условия эквивалентны:
(а) конус §f замкнут относительно операции Д;
(б) существует множество пар (eXii fi,-)^/» таких, что
^ = {/ € * (X): f (*,) < |i, Ц) для каждого i £ /}. (47.1)
Здесь х{ — точка из X, a \ii—положительная мера на X с общей
массой, не превосходящей единицы.
Доказательство. Система функций, определяемая (47.1),
очевидно, является замкнутым выпуклым конусом, содержащим
положительные константы и замкнутым относительно операции /\.
Обратно, пусть if—конус, обладающий этими свойствами.
Обозначим -3 отношение частичного порядка на множестве £f, a if'—
систему функций f, удовлетворяющих неравенству |х(/)^/(л;) для
каждого х£Х и каждой меры fx, являющейся выметанием меры е^.
Поскольку конус if' удовлетворяет условию (б), то достаточно
показать, что if = if'. Пусть теперь -*>'— отношение частичного
порядка на множестве if'. Очевидно, соотношения ех-^|г и гх-<'\к
эквивалентны. Формула
f(x) = sup ii(f)
и аналогичное выражение, где -< заменено на -«>', показывают,
что определяемые ими функции / совпадают для обоих конусов if
и if'. Тогда в силу теоремы 45 заключаем, что выметания
относительно if и §f' каждой положительной меры К совпадают. По
теореме Хана — Банаха отсюда следует, что и сами конусы сов*
падают.
) Мокободзки обобщил этот результат на полунепрерывные сверху функции.

300 Гл. XL Выпуклые конусы и экстремальные элементы
Т48. Теорема (Бауэр). Предположим, что выпуклый конус У*
замкнут относительно операции Л» содержит положительные
константы и разделяет точки множества X.
(а) Каждая функция f£of> которая может принимать
отрицательные значения, достигает своего минимума в некоторой
граничной течке.
(б) Компакт А является шиловским множеством тогда и только
тогда, когда он содержит границу1).
Доказательство. Ограничимся случаем, когда конус §f
содержит все -константы. Общий случай можно свести к этому с помощью
процедуры, описанной в п. 49. Если конус У* содержит все
константы, то условие, наложенное на функцию / в утверждении (а),
становится излишним.
Назовем гранью множества X непустое компактное подмножество
F в X, обладающее тем свойством, что каждое выметание меры гх
сосредоточено на F для любого x£F. (Например, само множество
X является гранью.) Следующие утверждения могут быть получены
методами, уже использованными при доказательстве теоремы 11.
1) Каждая грань содержит минимальную грань.
2) Пусть F—грань и /—элемент из §f. Тогда множество точек,
в которых / достигает минимума на F, является гранью.
3) Каждая минимальная грань является точкой границы.
Очевидно, утверждение (а) теоремы 48 является простым
следствием этих фактов. Чтобы доказать утверждение (б), заметим
сначала, что в силу (а) граница является шиловским множеством.
Следовательно, любой компакт, содержащий границу, также
является шиловским множеством. Обратно, пусть А — компактное
шиловское множество и х—точка, не принадлежащая А. Тогда
существует линейный функционал на #(Х), мажорируемый
сублинейной функцией f-w^fA (х). Мера ц, являющаяся выметанием
меры гХУ сосредоточена на А и, следовательно, не совпадает
с мерой гх. Таким образом, установлено, что точка х не
принадлежит границе. Другими словами, d<f> X с А.
49. Обобщение. В теории потенциала довольно часто приходится
иметь дело со следующей ситуацией. В качестве X фигурирует
локально-компактное пространство, в качестве ^—выпуклый конус
в пространстве #0(^)> замкнутый относительно операции Д>
разделяющий точки X и удовлетворяющий условию:
существует фильтрующееся вправо семейство элементов из £f,
верхняя огибающая которого равна 1. (49.1)
Приведем конструкцию (весьма схожую с методом, использованным
в п. Х.16), которая позволяет свести эту ситуацию к случаю ком-
1) Замыкание границы д „Х называется границей Шилова множества X
(относительно (У).

£ ЗВыметания
301
пактного пространства и конуса непрерывных функций,
содержащего все константы.
Обозначим Х = Х[){д} александровскую компактификацию
пространства X (если X — компакт, то бесконечно удаленная точка д
является изолированной). Отождествим #0 (X) с системой
непрерывных функций на X, обращающихся в 0 в точке д. Очевидно,
можно считать, не изменяя отношения частичного упорядочения
и шиловские множества, что конус §f замкнут в #0 (X). Обозначим
& систему функций вида f + k (/€<^> ^€R)» определенных на X.
Множество $ является выпуклым конусом, содержащим константы,
разделяющим точки X и замкнутым относительно операции Д.'
Действительно, для f££ft /' £of и Х^Х' имеем
Последняя функция совпадает в силу (49.1) с верхней огибающей
фильтрующегося вправо семейства элементов §f. Следовательно,
по лемме Дини (примененной к X) она принадлежит множеству of.
Пусть Jt—ограниченная положительная мера на X и
|ы—выметание меры X (относительно §f). В силу (49.1) ц,(1)<А,(1). Тогда
мера
£ = |i + (Ml)-|i(l))ed
является выметанием (относительно §f) меры К. Обратно, легко
показать, что каждое выметание (относительно $) меры X предста-
вимо в этой форме. Отсюда уже легко следует справедливость
соотношения
д#Х = дрХ[){д).
Сделаем еще несколько простых замечаний. Пусть А—шиловское
множество в X относительно of. Тогда множество A (J {д} является
шиловским относительно <^. Обратно, пусть В—компактное
шиловское множество относительно $\ Тогда граничная точка д
принадлежит В (в силу Т48) и множество В \ {д} является шиловским
относительно <£Л
Отсюда следует, что теорема 48 остается справедливой и в
предположениях этого пункта. А именно, шиловские относительно &
множества, замкнутые в X, являются замкнутыми множествами,
содержащими границу д^Х.
50. Пример. Возьмем в качестве X открытый единичный шар
в R* (п^2), а в качестве $f—выпуклый конус, состоящий из
положительных супергармонических функций, непрерывных в
единичном шаре и обращающихся в нуль на его границе. Каждый
элемент конуса §f имеет вид f/v, где v — положительная мера,
a U—гриновское ядро. Конус У содержит все функции вида Uf>

302 Гл. XL Выпуклые конусы и экстремальные элементы
где /—положительная непрерывная функция с компактным
носителем, содержащимся в X. Хорошо известно, что £f удовлетворяет
предположениям п. 49.
Пусть К и \х— ограниченные положительные меры на X. Из того
что X-^ji, вытекает, что для каждой функции /€#jsrW
<W, /> = <*,' t//>><|x, Uf> = <\iU, />. (50.1)
Следовательно,
W^iiU. (50.2)
Обратно, из последнего соотношения следует, что X-^ji, поскольку
<Х, Uv> = <W, v>^<|i(/, v> = <[i, Uv>
для каждой функции g = Uv£§f [v £©*+(Х)]. В частности, пусть
|и — выметание меры К (в классическом смысле) на открытом
множестве (осХ. Известно, что XU^\iU на X и W = \iU на со.
Поэтому А,Чц и, следовательно, \х является выметанием меры X
(в смысле определения, данного в этой главе). Это обстоятельство
оправдывает использованную здесь терминологию.
Поскольку функции из kf положительны, ех^0 для каждого
х£Х и, следовательно, граница пуста. Твким образом, каждое
компактное множество АаХ является шиловским. Функция }А
определена для каждой функции /€<^. Она хорошо известна в
классической теории потенциала, где ее называют ограничением
функции / на Л.
Теоремы существования диффузий
Перейдем теперь к обобщению теоремы 36 предыдущего
параграфа (о существовании дилатаций) на выметание, определяемое
выпуклым конусом §f. Сначала будет приведен весьма общий
результат, принадлежащий Штрассену [1], из которого вытекают
многие теоремы существования диффузий.
Введем предварительно несколько новых понятий. Обозначим Е
банахово пространство (с нормой ||-||) и 5—совокупность
сублинейных функций на Е. Рассмотрим отображение q: со-ллл^со
измеримого пространства (Q, ¥) в 5. Будем говорить, что q ограничено,
если существует положительная константа /С, такая, что |<7о>(*)1^
^ К || х || для каждой пары х> со (х£Е> cogfi)1). Назовем
отображение q слабо измеримым, если действительная функция со-ллл^^*)
измерима для каждого х£Е.
х) Легко проверить, что при этом будет справедливо неравенство |<7и>(*)—•
*-QwiJt)l^K\\х—У\\* из которого вытекает непрерывность функций gw на £,

§ 3. Выметания
303
Т51. Теорема (Штрассен). Пусть Е—сепарабельное банахово
пространство и (Q, IF) —измеримое пространство с полной
ограниченной положительной мерой L Пусть р: со-лал*^—ограниченное
слабо измеримое отображение пространства Q в множество 5#
Обозначим s сублинейную функцию
s(x)=\p«>(x)dl((o) (х£Е). (51.1)
Пусть х'—элемент пространства Е'', являющегося сопряженным к Еш
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(а) линейный функционал х' мажорируется сублинейной
функцией s(<a;', x>^s(x) для каждого х£Е);
(б) существует ограниченное слабо измеримое отображение co^ww^
пространства Q в £', такое, что х© мажорируется р^ для почти
всех со по мере X, причем
<х', х>= J <х'т х>с1Х((о) для каждого х£Е. (51.2)
Доказательство. Очевидно, что из (б) следует (а). Чтобы
установить обратное, напомним сначала некоторые факты теории меры.
Функция /, определенная на Q, со значениями в Е называется
измеримой, если она представима в виде равномерного предела
измеримых элементарных функций. Измеримая функция /
интегрируема, если величина
и / lb=S и/и н^ и
Q
конечна. Обозначим 3?\ векторное пространство интегрируемых
функций со значениями в Ef Le—фактор-пространство (по
подпространству функций, п.н. равных 0) пространства J?e. Можно
показать, что Le с нормой Ц-Ц, (определенной выше) является
банаховым пространством.
Поскольку мера X ограничена, то отображения Q в Е, при
которых образ является постоянным, интегрируемы. Очевидно,
можно считать, не ограничивая общности, что X является
вероятностной мерой. Обозначим 0 отображение, которое каждой точке
х£Е ставит в соответствие класс эквивалентности постоянных
функций на £, равных х. Отображение 6 является изоморфизмом Е
на подпространство в Le, которое в дальнейшем будем
отождествлять с Е.
Пусть /—действительная функция и х—элемент £. Обозначим
fx интегрируемую функцию со -ллл^ / (со) х со значениями в Е%
Можно легко показать, что векторное пространство, порожденное
классами таких функций, плотно в Le*

304 Гл. XI. Выпуклые конусы и экстремальные элементы
Пусть G —непрерывный линейный функционал с нормой, равной
/С, на нормированном пространстве «^^-(или, переходя к фактор-
пространству, на пространстве Le). Можно показать1), что
существует слабо измеримое отображение со -w*- g' (со) со значениями
в единичном шаре радиуса К банахова пространства Е\ такое,
что. для каждой интегрируемой функции / со значениями в Е
справедливо равенство
G(/) = S<g»> /(©)>£&(©). (51.3)
Q
Вернемся к доказательству теоремы 51. Пусть /—интегрируемая
функция со значениями в £. Поскольку действительная функция
со -ллл*- рш (/ (со)) интегрируема, то сублинейную функцию s,
заданную на X, можно продолжить на Le, положив
*(Я = $Рш(/И)Л(<о) (/№).
Линейный функционал х* на Е, мажорируемый s на £, по теореме
Т2 можно продолжить до линейного функционала £' на Le,
мажорируемого s. Этот линейный функционал имеет вид
!'(/)=$ <*i, /(©)><&(<©) (/€Le). (51.4)
где со -ллл*- xi означает ограниченное слабо измеримое отображение
из Q в £'. Формула (51.2) указывает на то, что £' является
продолжением х'. Следовательно, теорема будет установлена, если
показать, что х^ мажорируется рш для почти всех со. Пусть
(хп)пен — последовательность, плотная в Е. Очевидно, достаточно
проверить, что <х^, хп> К:р^(хп) п.н. для каждого ngN. Чтобы
это показать, надо представить соотношение £' (IAxn) ^ s (1Ахп)
для каждого /4gf в виде
S <*«, ^ Л (<о) <$/>„(*„)<&(©)
А А
и затем применить замечание II.9 (а). Теорема доказана.
Приведем одно следствие теоремы 51. Пусть X и
Y—компактные метризуемые пространства, а А,—положительная мера на X.
1) Приведем здесь краткое доказательство этого факта. Для каждого х£Е
рассмотрим линейный функционал / -ллл*- G (fx) на пространстве L1 с нормой,
не превосходящей /С||х||. Поскольку L00 является сопряженным пространством
к L1, то существует единственный элемент /ix^L°° с нормой, не превосходящей
/е||*|| и такой, что G (fx) = Е [fhx] для каждой функции f^L1. Очевидно, пх+у=
= hx-\-hy и htx = thx. Пусть р — линейный изометричный лифтинг L00 в J?00
(см. VII. Т12). Обозначим Нх функцию р(^0€^°°» a g'—линейный функционал
х -ллл*- Цх (со) на Е. Отсюда легко следует выполнение требуемых свойств.

§ 3. Выметания
305
Обозначим К множество положительных мер на 7 с общей массой,
не превосходящей единицы. Множество К является метризуемым
компактом в слабой топологии. Пусть х-ллл- Мх—отображение про-,
странства X в множестве непустых компактных выпуклых
подмножеств из /С. Предположим, что множество пар {(х, 0) € X Х/С; 9 € Мх\
замкнуто в Хх/С. Для каждой функции /€#00 положим
/(*) = sup <9, />.
9емя
Легко проверить, что функция / ограничена и полунепрерывна
сверху на X. Следовательно, можно положить
Тогда справедлива следующая теорема.
Т52. Теорема. Пусть |х—положительная мера на Y. Следующие
утверждения эквивалентны:
(а) |х (/) < рх (/) для каждой функции / € # (У);
(б) существует борелевское семейство (Тх)хех положительных мер
на У, таких, что fx= \ TxdX(x) и Тх принадлежит Мх для почти
х
всех х£Х по мере X.
Доказательство. Очевидно, что из (б) следует (а). Чтобы
доказать обратное, используем предыдущую теорему, взяв в качестве
(Q, <F) пространство X с а-алгеброй ^-измеримых множеств, в
качестве Е—пространство % (Y), и положим р* (/) = /(*) для каждой
функции /£#00 и каждого х£Х. Покажем, что существует слабо
измеримое отображение t\x-w^tx метризуемого компакта X в
пространство qS(Y) (сопряженное к # (У)), обладающее свойствами:
р (/) = [ < txt / >dl(х) для каждой функции /€#00.(52.1)
X
<**<'*. f>^px(f) для каждой функции /€#00 и почти всех х£Х.
(52.2)
Пусть (/„)«€N — последовательность, плотная в #(У). Функции
x-w^<tx, fn >, которые А,-измеримы, совпадают п.н. с
некоторыми борелевскими функциями. Следовательно, существует
отображение T:x-w+*Tx из X в /С, почти наверное совпадающее с / и
такое, что функции л:-ллл*(7х, fn) для каждого п являются
борелевскими. Семейство (Тх)хеХ удовлетворяет требуемым условиям.
Теорема доказана.
Замечание. Пусть ех£Мх для каждого х£Х. Тогда семейство
(Т'х)хех9 определяемое соотношением
( ТХУ если Тх принадлежит Мх>
Тх~\
\ гх в противном случае,

306 Гл. XL Выпуклые конусы и экстремальные элементы
является борелевским семейством и Т'х£Мх для каждого х£Х. На
самом деле можно показать, что всегда существует некоторое боре-
левское семейство, совпадающее п.н. с (Тх)Хех и обладающее этим
свойством.
Приведем здесь один результат, являющийся непосредственным
обобщением теоремы 36. Пусть X —компактное метризуемое
пространство, е/7—выпуклый конус непрерывных функций на X,
содержащий положительные константы и замкнутый относительно
операции /\. Обозначим Ч отношение частичного порядка,
определяемое конусом §f. Назовем ядро Т на X (с а-алгеброй боре-
левских множеств) ^-дилатацией, если гх^>гхТ для каждого
х£Х.
Т53. Теорема. Пусть X и \i—положительные меры на X. Следу-
ющие утверждения эквивалентны:
(а) A,-^fx;
(б) существует kf-дилатация Т на X, такая, что XT = [i.
Доказательство. Применим предыдущую теорему, положив Y = X
и обозначив Мх множество выметаний меры гх. По теореме 45
утверждения 52 (а) и 53 (а) эквивалентны.
Теория максимальных мер
54. Вернемся к ситуации п. 48. Пусть X — компакт (не
обязательно метризуемый) и ^—выпуклый конус в пространстве
непрерывных функций, замкнутый относительно операции Д»
содержащий положительные константы и разделяющий точки. Тогда
отношение частичного порядка, определяемое §f> является порядком
(поскольку по теореме Стоуна—Вейерштрасса of—of плотно в # (X)).
Теперь легко дать некоторое обобщение теории максимальных мер,
изложенной в предыдущем параграфе. Приведем несколько
результатов.
Каждая положительная мера допускает максимальное выметание.
Положительная мера X максимальна тогда и только тогда, когда
X(f) = X (f) для каждой функции / 6 и (X) (следствие пА и теоремы 45).
Предположим, что X метризуемо. Тогда граница является
пересечением последовательности открытых множеств. Мера X
максимальна тогда и только тогда, когда она сосредоточена на границе1).
1) Доказательство этого факта мало отличается от доказательства теоремы
Т24. Заметим сначала (например, в силу Т46), что отображение /-ллл*-^
непрерывно в топологии равномерной сходимости. Пусть теперь (/П)Л 6 N —
последовательность, плотная в *ё (X). Мера X максимальна тогда и только тогда, когда
А. (/п) = М/„) Для каждого п. Следовательно, мера X сосредоточена на
множествах {x:fn(x) = Jn(x)}y пересечение которых совпадает с границей.

§ 3. Выметания
307
Теоремы 31 и 32, относящиеся к неметризуемому случаю, также
могут быть легко обобщены. Однако критерий единственности
максимальных мер в общем случае до сих пор неизвестен.
Это обобщение теории максимальных мер в действительности
не представляет очень большого интереса для анализа. Лишь
только теория границы, связанная с векторным пространством
непрерывных функций (развитая в работах Бишопа и де Лю [1] и Бауэра
[2]), находит важные приложения. Однако можно показать (см. § 6
работы Шоке и Мейера [1]), что эта теория целиком сводится к
случаю выпуклых конусов с компактным основанием. Ряд
относящихся сюда деталей можно найти в упомянутой работе.

КОММЕНТАРИЙ
Главы I и II
Результаты этих глав могут считаться классическими. Те из
них, которые приведены без доказательств, можно найти в таких
работах по теории меры, как, например, Данфорд и Шварц [1],
Халмош [1], Лоэв [1] и Бурбаки [4] в части, касающейся теории
мер Радона. При доказательстве теорем И. 35 и 11.36, без которых
нельзя обойтись в теории потенциала, мы можем сослаться только
на Бурбаки. Понятие бэровской а-алгебры было введено в книге
Халмоша [1], откуда заимствованы теоремы 29 и 30. Отступление,
посвященное сходимости по вероятности в п. 22, принадлежит
П. Картье. Теоремы о равномерной интегрируемости принадлежат
Витали (1907), за исключением Т22 (Валле-Пуссен, 1915) и
критерия компактности Данфорда—Петтиса (установленного в работе
Данфорда [1] и обобщенного в работе Данфорда и Петтиса [1]).
В изложении результатов, касающихся условной независимости,
мы следуем Лоэву [1].
Глава III
Теоремы о компактных покрытиях имеют очевидную
топологическую интерпретацию (теорема 4, принадлежащая Александеру,
использовалась Келли при доказательстве теоремы Тихонова;
см. Келли [1]). Понятие полукомпактного покрытия не допускает
аналогичной интерпретации, но и не представляет такого интереса.
Изложение теории аналитических множеств новое. Теорема об
отделимости суслинских множеств заимствована из книги Куратов-
ского [1].
Мы не касались теорем об униформизации борелевских или
аналитических множеств. Их можно найти в работах Куратовского
[1], Бурбаки [2] и Сиона [1]. Вообще, мы рекомендуем работы
Сиона читателям, желающим углубить свои знания по теории
аналитических множеств.
Работа Блекуэлла [2] показывает естественность применения
теории аналитических множеств в теории вероятностей: к ней
приходится обращаться, если возникает необходимость преодолеть
препятствия, связанные с некоторыми патологическими свойствами
вероятностных пространств.
«Топологическая» форма теоремы Шоке (в отличие от
«абстрактной» формы) заимствована из работы Шоке [1], глубину которой

Комментарий
309
трудно переоценить. Превосходное изложение этой теоремы дано
в работах Брело [1] и [2], где можно найти также ее основные
приложения к теории потенциала. Работы [4] —[7] Шоке посвящены
близким вопросам: определениям емкостей, приложениям, теоремам
об измеримости относительно емкости при ослабленных
предположениях. Штрассен в работе [1] указывает некоторые связи между
теорией информации и теорией емкостей.
Теория регулярных мер в основном развита Александровым.
Ей также посвящены публикации Марчевского и Рылл-Нарджевского
в журнале Fundatnenta Mathematica (1953). В последнее время
интерес к этой теории заметно возрос. Сначала выяснилось, что
регулярные меры на квазикомпактных (т. е. нехаусдорфовых
компактных) пространствах являются естественным аналитическим
инструментом гармонического анализа на неабелевых группах.
С другой стороны, как показано в неопубликованных работах
Л. Шварца и Н. Бурбаки, локально ограниченные регулярные меры
на борелевской алгебре хаусдорфова пространства обладают
практически всеми «хорошими» свойствами мер Радона. Специалисты по
теории вероятностей хорошо знакомы с регулярными мерами на
польском пространстве благодаря известной работе Прохорова [1J.
Глава IV
Доказательство теоремы 9, известной читателям Бурбаки, было
опубликовано в статье Нелсона (Ann. Math., 69, 1959). Пример 11
принадлежит Дубу, как и все результаты, связанные с
сепарабельностью, числом пересечений снизу вверх и сверху вниз и т. д.
(см. классическое изложение этих вопросов в книге Дуба [1]).
Доказательство теоремы 22 близко к доказательству Бурбаки одной теоремы
о «линейчатых» функциях («Функции действительного переменного»,
М., «Наука», 1965, тл. II, § 1, теорема 3). Приложение ко второму
параграфу заимствовано из работы Мейера [1]; некоторые моменты
его позднее были развиты Фелдманом [1]. К сожалению, нам не
известны приложения приведенных там теорем. Следует также
заметить, что Чжуном (см. Чжун и Дуб [1]) было введено заслуживающее
интереса понятие сепарабельности справа процессов, более сильное,
чем обычная сепарабельность.
Моменты остановки использовались, без формального олределе-
ния, еще со времени возникновения теории случайных процессов.
Впервые понятие моментов остановки было строго определено Дубом
в 1936 году. Он использовал их затем систематически в теории
мартингалов наряду с возрастающим семейством сг-алгебр. Затем
эти понятия были перенесены в теорию марковских процессов, где
они играют теперь существенную роль. Большинство результатов
об измеримых процессах и моментах остановки элементарны по своей
природе. Многие из них можно найти в книге Дынкина [1], где они
формулируются как леммы, используемые далее в исследовании

310
Комментарий
марковских процессов. Систематическое изучение понятий моментов
остановки, предпринятое Дубом, Чжуном и автором, привело
к появлению ряда новых полезных результатов. Работа Чжуна и
Дуба [1] в этом направлении идет существенно дальше, чем наша.
О моментах остановки см. также работы Куррежа и Приуре,
указанные в списке дополнительной литературы.
Теорема 53 о моментах первого попадания в модифицированном
виде взята из доклада Блэкуэлла и Фридмана на семинаре по теории
вероятностей в Беркли. Можно заметить, что теорема об
измеримости относительно емкости используется лишь частично: нужно
знать только, что аналитические множества измеримы относительно
любой меры (Сакс [1]).
Глава V
За исключением нескольких результатов, все теоремы этой главы
принадлежат Дубу ([1] или [7]); часть из них ранее не публиковалась.
Общие теоремы о сходимости (для произвольного
фильтрующегося множества индексов) исследовались Хелмсом [1], Чао [1] и [2],
Крикебергом [1] и Крикебергом и Пауком [1]. Подробную
библиографию можно найти в конце последней работы. Мы привели только
один результат Хелмса. Последнее его исследование связано с
введением «условий Витали», влекущих род сходимости почти наверное.
К сожалению, эта теория гораздо сложнее теорем сходимости,
которые мы приводим здесь.
Глава VI
Все результаты этой главы тоже принадлежат Дубу, за
исключением теорем 15 и 16, публикуемых здесь впервые (хотя теорема 15
входит в «мартингальный фольклор», а теорема 16 очень близка
к результату Рэя для марковских процессов). Класс (D) был введен
Дубом для некоторых мартингалов. Теоремы 19, 20 взяты из работы
Мейера [3].
Приложения теории мартингалов к теории потенциала можно
найти в работах Дуба [2] — [5].
Глава VII
Теорема о существовании разложения Дуба сначала была
получена для супермартингалов вида (/oXt), где (Xt)—марковский
процесс и / — эксцессивная функция. В этом случае искомый
возрастающий процесс есть марковский аддитивный функционал.
В такой форме после фундаментального исследования Волконского
[1] задача была решена независимо Шуром [1] и Мейером [2].
В частном случае, когда (Xt)—броуновское движение, другие ре-

Комментарий
311
шения были получены Вентцелем1) иМаккином и Танакой 2). Теорема
о единственности (в несколько отличной форме, более естественной
в теории марковских процессов) была получена в работе Мейера [2].
Обобщение этой теоремы на мартингалы и ее приложение к теории
энергии и были даны в работах Мейера [3], [4], [7].
Мы знакомы с работой Ш. Ватанабе по марковским процессам,
где получены и используются некоторые результаты об энергии.
Наконец, укажем, что более общая задача, чем задача разложения
Дуба (разложение процесса на сумму мартингала и процесса с
траекториями ограниченной вариации), исследовалась и частично решена
Фиском [1]. К сожалению, формулировка результата Фиска сложна.
К. Ито и Ш. Ватанабе стали рассматривать чрезвычайно
интересное разложение положительного супермартингала в произведение
мартингала и натурального убывающего процесса. Этим
исследованиям посвящена их статья, указанная в списке дополнительной
литературы.
Глава VIII
Некоторые библиографические справки, относящиеся к § 1, можно
найти в тексте. Приложения к общей теории процессов излагаются
по переработанному варианту статьи Мейера [6], где устранены
некоторые ошибки и неточности. § 3 представляет собой переработку
конца статьи Мейера [4]. С приложениями к теории стохастических
интегралов более подробно можно познакомиться по работам Кур-
режа [1], [2].
Главы IX и X
Результаты § 1 гл. IX классические. Об источниках
результатов § 2 говорится в тексте. Теорема 27 (или 70), вероятно, новая.
Приложение к § 2 проясняет связь теории потенциала с
результатами работы Снелла [1]. Связь между теорией элементарных ядер
и теорией дискретных мартингалов на самом деле можно
проследить дальше, вплоть до разложения Дуба в дискретном случае
(гл. VII, § 1). Результаты § 3 в случае субмарковских полугрупп
принадлежат Ханту; мы систематически работаем с резольвентами
вместо полугрупп. Теорема 68 для субмарковского случая
принадлежит Ханту и для общего случая—Дени. Источники теорем гл. X
указываются в тексте. Идея перехода от субмарковского случая
к марковскому в п. 16 с помощью присоединения бесконечно
удаленной точки (используемая и в дальнейшем) принадлежит Дубу
(1957).
1) ДАН СССР, 137 (1961).
2) Mem. Coll. Sci, Univ. Kyoto, 33 (1960),

312
Комментарий
Результаты этих двух глав могут быть дополнены в нескольких
направлениях. Мы не исследуем здесь связь различных «принципов»
теории потенциала. В частности, мы уделяем мало внимания
понятиям мер и выметания и оставляем в стороне вопросы, связанные
с энергией. Читателю, интересующемуся этим, следует обратиться
к статье Шоке и Дени [2] (теория потенциала конечного множества)
и к Трудам семинара Брело—Шоке—Дени. Распространение
результатов гл. X на ядра свертки можно найти в работах Дени
[5] и [1].
Глава XI
В этой главе мы использовали материал, излагавшийся на
семинаре по теореме Шоке, руководимом Р. Фелпсом, в Университете
штата Вашингтон. Формулировка теоремы Хана — Банаха в п. 2
является, очевидно, хорошей; в этой форме она была доказана самим
Банахом. Содержание п. 8 (в) и 9 (в) основано на некоторых
результатах Шоке (не опубликовано). Источники результатов § 2
указываются в тексте. Эрве [1] дает другое, очень простое доказательство
теоремы существования Шоке в метризуемом случае. Первое
упрощенное доказательство теоремы единственности (в форме:
единственность максимальной меры, представляющей точку, для конуса,
являющегося решеткой) было дано Мейером, но не было
опубликовано, потому что этот результат был сразу же значительно усилен
Шоке. В усиленной форме это доказательство опубликовано в работе
Шоке и Мейера [1]. Связь между теориями Люмиса и Шоке (включая
вопросы существования дилатаций) изучались Феллом и Мейером,
но их статьи не были опубликованы из-за открытия Картье
тождественности порядков Люмиса и Шоке (см. Мейер [8]).
Теория, изложенная в § 3, может быть распространена на конусы
полунепрерывных снизу функций. Это было сделано Эдвардсом.
Мокободзки предложен элегантный способ редукции случая
полунепрерывных снизу функций к случаю непрерывных функций, и
ему принадлежат интересные результаты, обобщающие на конусы
полунепрерывных функций его теорему о выпуклых функциях (Т7),

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Александров А. Д.
[1] Аддитивные функции множеств в абстрактных пространствах. II, Машем, сб.,
9(1941), 563—628.
Бауэр (Bauer Н.)
[1] Minimalstellen von Funktionen und Extremalpunkte, Arch. Mat., 9(1958),
389—393.
[2] Frontiere de Shilov et probleme de Dirichlet, Seminaire de Theorie du Poten-
tiel M. Brelot —G. Choquet —J. Deny, Institut Henri Poincare, Paris, 3e annee,
1958—59.
[3] Minimalstellen von Funktionen und Extremalpunkte II, Arch. Mat., 11(1960),
200—205.
[4] Shilovscher Rand und Dirichletsches Problem, Ann. Inst. Fourier, Grenoble,
11(1961), 89—136.
[5] Supermartingale und Choquet Rand, Arch. Mat., 12(1961), 210—223.
[6] Kennzeichnung kompakter Simplexe mit abgeschlossener Extremalpunktmenge,
Arch. Mat., 14(1963), 415—421.
Бишоп (Bishop E.), де Лю (De Leeuw K.)
[1] The Representations of Linear Functionals by Measures on Sets of Extreme
Points, Ann. Inst.Fourier, Grenoble, 9(1959), 305—331.
Блекуэлл (Blackwell D.)
[1] Comparison of Experiments, Proceedings of the Second Berkeley Symposium on
Math. Stat, and Prob., 1950, Berkeley and Los Angeles, University of
California Press, 1951 , 93—102.
[2] On a Class of Probability Spaces, Proceedings of the Third Berkeley
Symposium on Math. Stat, and Prob., 1954—55, Berkeley and Los Angeles,
University of California Press, 1956, vol. II, 1—6.
Блекуэлл (Blackwell D.), Дубине (Dubins L. E.)
[1] A Converse to the Dominated Convergence Theorem, Illinois J. Math., 7(1963),
508-514.
Бонзал (Bonsall F. F.)
[1] On the Representation of the Points of a Convex Set, J. London Math. Soc.t
38(1963), 332—334.
Брело (Brelot M.)
[1] Elements de la theorie classique du potentiel, Paris, 1959. (Русский
перевод: Основы классической теории потенциала, М., изд-во «Мир», 1964.)
[2] Lectures on Potential Theory, Bombay, 1960.
Бурбаки (Bourbaki N.)
[1] Elements de Mathematique, Livre III, Topologie Generale, Hermann 1961,
Chap. 1, 2. (Русский перевод: Общая топология. Основные структуры, М.,
изд-во «Наука», 1968.)
[2] Elements de Mathematique, Livre III, Topologie Generale, Hermann, 1961,
Chap. 9, 10.
[3] Elements de Mathematique, Livre V, Espaces Vectoriels Topologiques, Hermann,
1951. (Русский перевод: Топологические векторные пространства, М., ИЛ,
1959.)
[4] Elements de Mathematique, Livre VI, Integration, Hermann, 1952, Chap. 1—5.
(Русский перевод: Интегрирование. Меры. Интегрирование мер, М., изд-во
«Наука», 1967.)

314
Список литературы
[51 Elements de Mathematique, Livre VI, Integration, Hermann, 1952, Chap. 6.
(Русский перевод: Интегрирование. Мера Хаара. Свертка и представления,
М., изд-во «Наука», 1970.)
[6] Theorie des ensembles. Ill (Act. SC. Ind., 1243), Paris, 1956. (Русский
перевод включен в книгу Бурбаки Н., Теория множеств, «Мир», М., 1965.)
Бюльманн [Buhlmann Н.]
[1] ZAMartingales and Orthogonal Decomposition, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie,
1(1963), 394—414.
Волконский В. A.
[1] Аддитивные функционалы от марковских процессов, Тр. Моск. матем. о-ва,
9(1960), 143-189.
Данфорд (Dunford N.)
[1] A Mean Ergodic Theorem, Duke Math. У., 5(1939), 635—646.
Данфорд (Dunford N.), Петтис (Pettis В. J.)
[1] Linear Operations on Summable Functions, Trans. Am. Math. Soc., 47(1940),
323—392.
Данфорд (Dunford N.), Шварц (Schwartz J. T.)
[1] Linear Operators. Part I: General Theory, Interscience Publishers, 1963.
(Русский перевод: Линейные операторы. Общая теория, М., ИЛ, 1962.)
Дени (Deny J.)
[1] Families fondamentales, noyaux associes, Ann. Inst. Fourier Grenoble, 3(1951),
73—101.
[2] Sur Pequation de convolution jli = u#a, Seminaire de Theorie du Potential
M. Brelot—G. Choquet—J. Deny, Institut Henri Poincare, Paris, 4e annee,
1959—60.
[3] Les noyaux elementaires, Seminaire de Theorie du Potentiel M. Brelot —
G. Choquet —J. Deny, Institut Henri Poincare, Paris, 4e annee, 1959—60.
[4] Les principes fondamentaux de la theorie du potentiel; elements de la theorie
du potentiel par rapport a un noyau de Hunt, Seminaire de Theorie du
Potentiel M. Brelot —G. Choquet —J. Deny, Institut Henri Poincare, Paris, 5e annee,
1960—61.
[5] Noyaux de convolution de Hunt et noyaux associes a une famille fondamen-
tale, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 12(1962), 643—667.
[6) Les principes du maximum en theorie du potentiel, Seminaire de Theorie du
Potentiel M. Brelot—G. Choquet—J. Deny, Institut Henri Poincare, Paris,
6-e annee, 1961—62, Vol. 2.
Джонсон (Johnson G.), Хелмс (Helms L. L.)
[1] Class (D) Supermartingales, Bull. Am. Math. Soc.t 69(1963), 59—62.
Дуб (Doob J. L.)
[1] Stochastic Processes, J. Wiley & Sons, Chapman & Hall, 1953. (Русский
перевод: Вероятностные процессы, М., ИЛ, 1956).
[21 Semi-martingales and Subharmonic Functions, Trans. Am. Math. Soc.t 77(1954),
86-121.
[3] A Probability Approach to the Heat Equation, Trans. Am. Math. Soc.t
80(1955), 216—280.
[4] Probability Methods Applied to the First Boundary Value Problem, Proceedings
of the Third Berkeley Symposium on Math. Stat, and Probability, 1954—55,
Los Angeles, University of California Press, Berkeley, 1956, vol. II, 49—80.
[5] Probability Theory and the First Boundary Value Problem, Illinois J. Math.,
2(1958), 19-36.
[6] Discrete Potential Theory and Boundaries, J. of Math. Mech.t 8(1959), 433—458.
[7] Notes on Martingale Theory, Proceedings of the Fourth Berkeley Symposium
on Math. Stat, and Prob., Los Angeles, University of California Press,
Berkeley, 1961, vol. II, 95-103.
Дуб (Doob J. L.), Снелл (Snell J. L.), Уильямсон (Williamson R. E.)
[1] Application of Boundary Theory to Sums of Independent Random Variables,
Contributions to Probability and Statistics, 182—197, Stanford, Stanford Univ.
Press. I960.

Список литературы
315
Дубине (Dubins L. Е.)
[11 Rises and Upcrossings of Nonnegative Martingales, Illinois J. Math., 6(1962),
226—241.
Дынкин E. Б.
[1] Основания теории марковских процессов, М., Физматгиз, 1959.
[2] Марковские процессы, М., Физматгиз, 1963.
Ионеску Тулча (Ionescu Tulcea С. А.)
[1] On the Lifting Property 1, J. Math. Anal. Appl., 3(1961), 537—546.
Иосида (Yosida K.)
[1] Lectures on Semi-Group Theory and Its Application to Cauchy's Problem in
Partial Differential Equations, Bombay, Tata Institute of Fundamental
Research, 1957.
Картье (Cartier P.), Фелл (Fell J. M. G.), Мейер (Meyer P. A.)
[1] Comparaison des mesures portees par un ensemble convexe compact, Bull. Soc.
M. France, 92(1964), 435—445.
Келли (Kelley J. L.)
[1J General Topology, D. Van Nostrand Co., 1955.
Келли (Kelley J. L.), Намиока (Namioka I.)
[1] Linear Topological Spaces, D. Van Nostrand Co., 1964.
Кендалл (Kendall D. G.)
[1J Extreme-Point Methods in Stochastic Analysis, Z. Wahrscheintichkeitstheorie,
1(1963), 295—300.
Крикеберг (Krickeberg K.)
[1] Convergence of Martingales with a Directed Index Set, Trans. Am. Math. Soc.t
83(1956), 313—337.
Крикеберг (Krickeberg К.), Паук (Раис С.)
[1] Martingales et Derivation, Bull. Soc. Math., 91(1^63), 455—544.
Курреж (Courrege P.)
[1] Integrates stochastiques et martingales de carre integrable, Seminaire de Theorie
du Potentiel M. Brelot—G. Choquet —J. Deny, Institut Henri Poincare, Paris,
7e annee, 1962—63.
[2] Integrates stochastiques associees a une martingale de carre integrable, Compt,
Rend., 256(1963), 867—870.
Куратовский (Kuratowski C.)
[1] Topologie I, 3rd ed., Polskie Towarzystwo Matematychne, 1952. (Русский
перевод: Топология, т. I, М., изд-во «Мир», 1966.)
Лион (Lion G.)
[1] Construction du semi-groupe associe a un noyau de Hunt, Seminaire de Theorie
du Potentiel, M. Brelot—G. Choquet—*J. Deny, Institut Henri Poincare,
Paris, 5e annee 1960—61.
[2] Theoreme de representation d'un noyau par Г integrate d'un semi-groupe,
Seminaire de Theorie du Potentiel, M. Brelot —G. Choquat—«J. Deny, Institut
Henri Poincare, Paris, 6e annee, 1, 1961—62.
Лоэв (Loeve M.)
[1] Probability Theory, 2nd ed., D. Van Nostrand Co., 1960). (Русский перевод:
Теория вероятностей, М., ИЛ, 1962.)
Люмис (Loomis L. Н.)
[1] An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. Van Nostrand Co., 1953.
(Перевод: Введение в абстрактный гармонический анализ, ИЛ, М., 1956.)
[2] Unique Direct Integral Decompositions on Convex Sets, Am. J. Math., 84 (1962),
509—526.
Махарам (Maharam D.)
[1] On a Theorem of Von Neumann, Proc. Am. Math. Soc, 9 (1958), 987—994,
[2] On Two Theorems of Jessen, Proc. Am. Math. Soc, 9 (1958), 995—999.
Мейер (Meyer P. A.)
[1] Separabilite des processus stochastiques, Compt. Rend., 248 (1959), 3106—3107.
[2] Fonctionelles multiplicatives et additives de Markov, Ann, Inst. Fourier,
Grenoble, 12 (1962), 125—230.

316
Список литературы
[3] A Decomposition Theorem for Supermartingales, Illinois J. Math., 6 (1962),
193—205.
[4] Decomposition of Supermartingales: The Uniqueness Theorem, Illinois J. Math.,
7(1963), 1-17.
[5] Sur les demonstrations nouvelles du theoreme de Choquet, Seminaire de Theorie
du Potentiel, M. Brelot —G. Choquet —J. Deny, Institut Henri Poincare, Paris
6e annee, II, 1961—62.
[6] Une presentation de la theorie des ensembles sousliniens. Application aux
processus stochastiques, Seminaire de Theorie du Potentiel, M. Brelot—G.
Choquet—J. Deny, Institut Henri Poincare, Paris, 7e annee, 1962—63.
[7) Interpretation probabiliste de la notion d'energie, Seminaire du Theorie du
Potentiel, M. Brelot—G. Choquet—J. Deny, Institut Henri Poincare, Paris 7e
annee, 1962—63.
[8] Progres recents dans le theorie des cones convexes a base compacte, Seminaire
de Theorie du Potentiel, M. Brelot—G. Choquet—J. Deny, Institut Henri
Poincare, Paris, 8e annee, 1963—64.
Мокободзки (Mokobodzki G.)
[1] Balayage defini par un cone convexe de fonctions numeriques sur un espace
compact, Compt. Rend., 254 (1962), 803—805.
[2] Quelques proprietes des fonctions numeriques (s.c.i. ou s.c.s.) sur un ensemble
convexe compact, Seminaire de Theorie du Potentiel, M. Brelot—G. Choquet—
J. Deny, Institut Henri Poincare, Paris, 6e annee, 1961—62.
Неве (Neveu J.)
[1] Bases mathematiques du calcul des probabilites, Masson et Cie, 1964. (Русский
перевод: Математические основы теории вероятностей, М., изд-во «Мир», 1969.)
Прохоров Ю. В.
[1] Сходимость случайных процессов и предельные теоремы вероятностей, Теория
вероятностей и ее применения, I, № 2 (1956).
Рэй (Ray D.)
[1] Resolvents, Transition Functions, and Strongly Markovian Processes, Annals
Math., 70 (1959), 43—72.
Сакс (Saks S.)
[1] Theory of the Integral, 2nd ed, Warszawa, Monografie Matematychne np 7,
1937. (Русский перевод: Теория интеграла, М., ИЛ, 1949.)
Сион (Sion М.)
[1] On Uniformization of Sets in Topological Spaces, Trans, Am. Math. Soc., 96
(1960), 237—246. ,
[2] Topological and Measure Theoretic Properties of Analytic Sets, Proc. Am. Math.
Soc, 11 (1960), 769—776.
[3] On Analytic Sets in Topological Spaces, Trans. Am. Math. Soc., 96 (1960),
34i 354
[4] Continuous Images of Borel Sets, Proc. Am. Math. Soc.$ 12 (1961), 385—391.
[5] On Capacitability and Measurability, Ann. Inst. Fourier., Grenoble, 13 (1963),
83—98.
Сион (Sion M.), Бресслер (Bressler D. W.)
[1] The Current Theory of Analytic Sets, Can. J. Math., 16 (1964), 207—230.
Снелл (Snell J. L.)
[1] On a Theorem of Hardy, Littlewood, Polya, and Blackwell, Proc. Nat. Acad.
Sciences, 37 (1951), 826—831.
Суслин M.
[1] Sur une definition des ensembles mesurables (B) sans nombres transfinis,
Compt. Rend., 164 (1971), 88—91.
Фелдман (Feldman J.)
[1| On Measurability of Stochastic Processes in Product Space, Pacific J. of M.t
12 (1962), 113-120.
Феллер (Feller W.)
£ 1J A Simple Proof for Renewal Theorems, Comm. Pure AppL Math., 14 (1961),
285—293.

Список литературы
317
Фиск (Fisk D. L.)
[1] Quasimartingales and Stochastic Integrals, Department of Mathematics Research
Monographs, Kent State University, Kent, Ohio, 1964.
Халмош (Halmos P. R.)
[1] Measure Theory, D. Van Nostrand Co., 1950 (Русский перевод: Теория меры,
М , ИЛ, 1958.)
Хант (Hunt G. А.)
[1] Markoff Processes and Potentials 1, II, Illinois J. Main., 1 (1957), 44—93,
316—362. (Русский перевод: Марковские процессы и потенциалы, М., ИЛ,
1962.)
Хелмс (Helms L. L.)
[1] Mean Convergence of Martingales, Trans. Am. Math. Soc, 87 (1958), 439—446.
Хилле (Hille E.), Филлипс (Phillips R. S.)
[1] Functional Analysis and Semigroups, American Mathematical Society colloquium
publications, 1957. (Русский перевод: Функциональный анализ и полугруппы,
М., ИЛ, 1962.)
Хьюитт (Hewitt Е.)
[1] Integration by Parts for Stieltjes Integrals, Am. Math. Monthly, 67 (1960),
419—423.
Хьюитт (Hewitt E.), Сэвидж (Savage L. J.)
[1] Symmetric Measures on Cartesian Products, Trans. Am. Math. Soc.t 80(1955),
470-501.
Чао (Chow Y. S.)
[1] Martingales in a a-Finite Measure Space, Indexed by Directed Sets, Trans. Am.
Math. Soc, 97 (1960), 254—285.
[2] Convergence Theorems of Martingales, Z. W ahrscheinlichkeitstheorie, 1 (1962—63),
340—346.
Чжун (Chung K. L.), Дуб (Doob J. L.)
[1] Fields, Optionality and Measurability, Amer. /. Math., 87 (1965), 397—424.
Шерман (Sherman S.)
[1] On a Theorem of Hardy, Littlewood, Polya, and Blackwell, Proc. Nat. Acad.
Sciences, 37 (1951), 826—831.
Шоке (Choquet G.)
[I] Theory of Capacities, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 5 (1955), 131—295.
[2] Ensembles e#*-analytiques et <P£*-sousliniens. Cas general et cas metrique, Ann.
Inst. Fourier. Grenoble, 9 (1959), 75—81.
[3] Forme abstraite du theoreme de capacitabilite, Ann. Inst. Fourier, Grenoble,
9 (1959), 83—89.
[4] Sur les fondements de la theorie fine du potentiel, Seminaire de Theorie du
Potentiel, M. Brelot—G. Choquet—J. Deny, Institut Henri Poincare, Paris,
lere annee, 1957.
[5] Diametre transfini et comparaison de diverses capacites, Seminaire de Theorie
du Potentiel, M. Brelot—G. Choquet—J. Deny, Institut Henri Poincare, Paris
3e annee, 1958—59.
[6] Theoremes de convergence, Seminaire de Theorie du Potentiel, M. Brelot—G.
Choquet—J. Deny, Institut Henri Poincare, Paris 3e annee, 1958—59.
[7] Etudes dcs encombrements et capacites associes a un noyau, Seminaire de
Theorie du Potentiel, M. Brelot—G. Choquet—J. Deny, Institut Henri Poincare,
Paris, 3e annee, 1958—59.
[8] Existence et unicite des representations integrales au moyen des points extre-
maux dans les sones convexes, Seminaire Bourbaki, Insitut Henri Poincare,
Paris, Decembre 1956.
[9] Le theoreme de representation integrale dans les ensemble convexes compacts,
Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 10 (i960), 333—344.
[10] Limites projectives d'ensembles convexes et elements extremaux, Compt. Rend.,
250 (I960), 2495—2497.
[II) Representation integrale dans les cones convexes sans base compacte, Compt.
Rend., 253 (1961), 1901—1903,

318
Список литературы
Fl2] Ensembles et cdnes convexes faiblement complets, Compt. Rend., 254 (1962),
1908—1910, 2123—2125.
[13]Mesures coniques maximales sur les cones convexes faiblement complets, Semi-
naire de Theorie du Potentiel, M. Brelot—G. Choquet—J. Deny, Institut Henri
Poincare, Paris, 6e annee, 2, 1961—62.
[14] Axiomatique des mesures maximales. Application aux cones convexes faiblement
complets. Compt. Rend., 255 (1962), 37—39.
[15] Etude des mesures coniques. Cones convexes saillants faiblement complets sans
generatrices extremales, Compt. Rend. 255 (1962), 445—447.
[16] Le probleme des moments, Seminaire at Seminaire d'Initiation a TAnalyse.
Institut Henri Poincare, Paris, lere annee 1962.
Шоке (Choquet G.), Дени (Deny J.)
[1] Ensembles semi-reticules et ensembles reticules de fonctions continues, J. Math.
Pures Appl., 9 (1957), 179—189.
[2] Modeles finis en theorie du potentiel, J. d'anal. Math., 5 (1956—57), 77—135.
[3] Sur l'equation de convolution u. = u.*6, Compt. Rend. 250 (1960), 799—801.
Шоке (Choquet G.), Мейер (Meyer P. A.)
[1] Existence et unicite des representations integrates dans les ensembles convexes
compacts quelconques, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 13 (1963), 139—154.
Штрассен (Strassen V.)
[1] Messfehler und Information, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie, 2 (1964), 273—305.
[2] The Existence of Probability Measures with Given Marginals, Ann. M. Stat.,
36 (1965), 423—439.
Шур M. Г.
[11 Непрерывные аддитивные функционалы от марковских процессов и эксцессив-
ные функции, ДАН СССР, 137 (1961), 800—893.
Эрве (Herve М.)
[1] Sur les representations integrates а Г aide des points extremaux dans un ensemble
compact convexe metrisable, Compt. Rend.t 253 (1961), 366—368.

ДОПОЛНЕНИЕ К СПИСКУ ЛИТЕРАТУРЫ
I. В томе 15(1965) Ann. Inst. Fourier опубликованы Труды коллоквиума по
теории потенциала (Орсей, июнь 1964).
Среди работ, могущих представить интерес для читателя благодаря связи с
содержанием этой книги, отметим следующие:
Deny /., "Principe complet du maximum et contractions" (259—274);
Fuglede В., "Le theoreme du minimax et la theorie fine du potentiel" (65—88);
Ito K.f Watanabe S.f "Transformation of Markov Processes by Multiplicative
Functionals" (13—30);
Neveu J., "Relations entre la theorie des martingales et la theorie ergodique"
(31—42).
II. Следующие работы содержат полезные результаты о моментах остановки,
дополняющие теорию гл. IV:
Courrege Ph., Priouret P., "Temps d'arret d'une fonction aleatoire, theoremes de
decomposition", Compt. Rend., 259 (1965), 3933—3935;
Courrege Ph., Priouret P., "Temps d'arret d'une fonction aleatoire: Relations
d'equivalence associees et propvietes de decomposition", Publ. Inst. Statist. Univ.
Paris, XIV, 3 (1965), 245—274.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
а-алгебра 13
— борелевская 13
— бэровская 15
— сепарабельная 189
Атом 55
Барицентр 274
Броуновское движение 135
Вероятностное пространство 20
полное 20
Вероятность 20
— условная 42
Внутренний порядок конуса 279
Выметание 227 , 229 , 280
Граница Шилова 296
Грань выпуклого компакта 276
— множества 300
Дебют множества 97
Дилатация 290
Диффузия 214
Емкость внешняя 61
ньютонова 58
— непрерывная справа 66
— Шоке ((f-емкость) 57
относительно покрытия 289
Замена времени 99
связанная с возрастающим в ши
роком смысле процессом 142
Каноническое отображение 36
Компактификация Александрова 301
Композиция ядер 213
Крайний луч 291
Крайняя точка 274
Критерий Коши 115
Лемма Дини 37
■*- Фату 22
Лемма Цорна 73
Лифтинг 191
Мартингал 103
— квадратично интегрируемый 202
квазинепрерывный слева 203
ортогональность 204
— непрерывный справа 123
— обобщенный 104
— с непрерывным параметром 123
Мартингалы , не имеющие общих точек
разрыва 204
Математическое ожидание 21
условное 42 , 43
Мера вероятностная 20
— т-гармоническая 188
— инвариантная 226
— максимальная 279
— регулярная 68
проективный предел 70
относительно компактного
покрытия 73
— Радона 37
— порожденная отображением 24
— принадлежащая области
определения ядра 227
— эксцессивная 226
Множество аналитическое 55
— <f-аналитическое 49
— внутренне пренебрежимое 34
— вполне измеримое 193
— емкое относительно %f-емкости Шоке
57
— fx-измеримое 39
— направленное 38
— нулевого потенциала 238
— прогрессивно измеримое 97
— сепарабельности 81
универсальное 81
— с покрытием 47
— универсально измеримое 39
— фильтрующееся вправо (влево) 38
— шиловское 297
Модификация случайного процесса 76
Момент остановки 90
абсолютно недостижимый 170
* •■ в слабом смысле 182

Предметный указатель
321
Момент остановки достижимый 170
сильно 182
недостижимый 170
слабо 182
— первого попадания 93
— разрыва семейства о-алгебр 168
Независимые а-алгебры 40
— случайные элементы 39
Неравенство Гёльдера 117
— Дуба 109
— Дубинса 111
— Йенсена 44
обобщенное 106
— Колмогорова 109
-— Чебышева 27
Оператор субмарковский 258
Осциллирующий разрыв траектории 85
Подразбиение элемента 284
Покрытие 47
— компактное 48
— полукомпактное 48
Полугруппа сильно непрерывная 258
— субмарковская 258
— феллеровская 261
— ядер 229
измеримая 230
марковская 229
субмарковская 229
Последовательность Коши 272
Потенциал 118 , 129
— ньютонов 218 , 296
— полугруппы ядер 231
— порожденный возрастающим
процессом 139
— равновесный 223
— связанный с ядром 220
— функции 232
г-потенциал 239
— функции 232
Преобразование процесса с помощью
замены времени 143
системы моментов
остановки 99
Принцип выметания 228
— единственности масс 227
— мажорирования 225 , 243 , 248
— максимума полный 225 , 248
положительного слабый 249
Продолжение меры , теорема
Александрова 69
Проективная система вероятностных
мер 70
Проективный предел мер 70
Произведение а-алгебр 15
— покрытий 47
Пространство Блекуэлла 55
Пространство измеримое 13
сепарабельное 55
— ЛВП 271
— ЛКС 15
— Лузина 53
— основное 75
— польское 52
— состояний 75
Процесс возрастающий 137 , 138
в широком смысле 138
интегрируемый 138
натуральный 146
непрерывная часть 141
связанный с мартингалом 203
чисто разрывная часть 141
— вполне измеримый 193
Псевдоограничение супермедианной
функции 245
Разложение Дуба 138 , 139
обобщенное 160
— Рисса 119 , 129 , 221 , 239
Расширение а-алгебры 32
Регуляризация супермедианной функции
238
Резольвента 231
— замкнутая 232
— марковская 231
— полугруппы ядер 231
— Рэя 265
— сильно непрерывная 258
— собственная 231
— субмарковская 231 , 258
Резольвентное уравнение 231
Результант меры 279
Свойство Бореля — Лебега 67
— конечного пересечения 48
— плотности покрытия 66
Семейство о-алгебр без моментов
разрыва 168
возрастающее 89
непрерывное справа 89
— вероятностных мер измеримое 24
Симметричная вероятностная мера 184
— случайная величина 184
Слой 276
Случайная величина 16
элементарная 16
Случайные величины независимые 39
ортогональные 23
сходимость последовательности
24
— процессы эквивалентные 75
Случайный процесс 75
измеримый 93
прогрессивно 93
мажорирующий 118
непрерывный справа 128

322
Предметный указатель
Случайный процесс с непрерывными
справа траекториями 92
связанный с ним канонический
процесс второй 78
первый 76
сепарабельный 79
Стохастическая граничная функция 118
Стохастический интервал 193
Стохастическое решение задачи
Дирихле 118
Супермартингал 103
— класса (D) 133
(DL) 134
регулярный 161
Теорема Александрова о продолжении
меры 69
— Бернштейна о вполне монотонных
функциях 296
— Валле-Пуссена 29
— Даниэля о продолжении 33 , 64
— Дуба о преобразовании свободного
выбора 106 , 120
о сходимости супермартингалов
116
— Каратеодори 33
— Крейна — Мильмана 276
— Лебега о мажорируемой сходимости
21
о монотонной сходимости 22
обобщение 28
— Радона — Никодима 22
— Рисса представления 37
— Стоуна — Вейерштрасса 36
— Де Финетти 186
— Фубини 24
— Хана — Банаха 269
— Ханата 262
— Хилле — Иосида 259
— Хьюитта — Сэвиджа 185
— Шоке 283 , 286
— Шоке — Дени 187
— Эберлейна — Шмульяна 32
Точка ветвления для резольвенты Рэя
267
—- концентрации для возрастающего
процесса 176
— крайняя 274
— непостоянства для резольвенты 242
— постоянства для резольвенты 242
Ультрафильтр 31
Условная вероятность 42
— независимость а-подалгебр 45
Условное математическое ожидание 42 , 43
Фильтр 31
Функция аддитивная 59
— т-гармоническая 187
— инвариантная 219
— р-инвариантная относительно
полугруппы ядер 230
резольвенты 232
— правильная (без осциллирующих
разрывов) 85
— строго субаддитивная 59
— сублинейная 269
— р-супермедианная относительно
полугруппы ядер 229
резольвенты 232
— эксцессивная 219
в строгом смысле 220
ее ограничение 223
— р-эксцессивная относительно
полугруппы ядер 229
резольвенты 232
чисто 239
— ядерная 218
ньютонова 218
Шапка 291
Ядро 211
— гриновское 301
— диффузии 214
непрерывное 214
равномерное 214
стремящееся к нулю на
бесконечности 214
строго положительное 214
— единичное 217
— марковское 211
— порядка а 218
— потенциала 220
— свертки 218
— собственное 211
— субмарковское 211
— элементарное 220

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 7
Введение 9
ЧАСТЬ 1
ВВЕДЕНИЕ В ВЕРОЯТНОСТНУЮ ТЕОРИЮ
Глава I. о*-алгебры и случайные величины 13
§ 1. а-алгебры и события 13
§ 2. Случайные величины 16
Глава II. Вероятности и математические ожидания 20
§ 1. Основные результаты теории интегрирования 20
§ 2. Равномерно интегрируемые случайные величины 26
§ 3. Построение мер. Меры Радона 32
§ 4. Независимость. Условные математические ожидания 39
Глава III. Дополнения к теории меры 47
§ 1. Компактные покрытия. Аналитические множества 47
§ 2. Емкости . 57
§ 3. Регулярные меры 68
Глава IV. Случайные процессы 75
§ 1. Общие свойства процессов 75
§ 2. Сепарабельные процессы 79
§ 3. Измеримые процессы. Моменты остановки 89
ЧАСТЬ 2
ТЕОРИЯ МАРТИНГАЛОВ
Глава V. Общая теория и дискретный случай 103
§ 1. Определения и общие свойства 103
§ 2. Основные неравенства 106
§ 3. Счетный случай. Теоремы сходимости 111
§ 4. Теорема о «преобразовании свободного выбора» в счетном случае 120
Глава VI. Мартингалы с непрерывным параметром 123
§ 1. Свойства регулярности траекторий 123
§ 2. Теорема о «преобразовании свободного выбора» в непрерывном
случае i 129
Глава VII. Разложение супермартингалов 137
§ 1. Дискретный случай 137
§ 2. Возрастающие процессы 138
§ 3. Единственность разложения Дуба 146
§ 4. Теорема существования 149
§ 5. Классификация моментов остановки 168

Глава VIII. Приложения теории мартингалов 184
§ 1. Приложения теорем о сходимости 184
§ 2. Приложения к общей теории процессов 192
§ 3. Квадратично интегрируемые мартингалы 202
ЧАСТЬ 3
АНАЛИТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
Глава IX. Ядра и резольвенты 211
§ 1. Ядра. Диффузии 211
§ 2. Теория потенциала, соответствующая случаю отдельного ядра . 219
§ 3. Полугруппы и резольвенты 229
Глава X. Построение резольвент и полугрупп 248
§ 1. Принцип мажорирования 248
§ 2. Построение резольвент 252
§ 3. Построение полугрупп 257
Глава XI. Выпуклые конусы и экстремальные элементы . 269
§ 1. Компактные выпуклые множества 269
§ 2. Теорема Шоке 279
§ 3. Выметания, определяемые выпуклым конусом в пространстве
функций 296
Комментарий 308
Список литературы 313
Дополнение к списку литературы 319
Предметный указатель 320

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ/
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по
адресу:
129820 Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2,
издательство „Мир".

П.-А. МЕИЕР
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛЫ
Редактор И. А. Маховая
Художник В. М. Новоселова
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор И. К. Дерва
Корректор И. П. Максимова
Сдано в набор 11/V 1973 г.
Подписано к печати 17/IX 1973 г.
Бумага тип. № 1 бОХЭО'Лв-10,25 бум. л.
20,50 печ. л.
Уч.-изд. л. 18,17. Изд. № 1/6788
Цена 1 р. 52. к. Зак. 818
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Отпечатано в ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградской типографии №2 им. Евгении
Соколовой Союзполиграфпрома при
Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли, 19S052, Л еьинград,Измайловский пр.,29,
с матриц ордена Трудового Красного Знамени
Первой Образцовой типографии им. А. А. Жда
нова Союзполиграфпрома при Государственном
комитете Сов-ета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, Ж-54. Валовая ул., 28