Text
РАСЧЕТ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН
И ОБОЛОЧЕК
ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
БИБЛИОТЕКА
РАСЧЕТЧИКА
Редакционная
коллегия:
лауреат Ленинской премии,
заслуженный деятель науки
и техники РСФСР,
д-р техн. наук
проф. Н. Н. МАЛИНИН
(председатель);
д-р техн. наук
проф. Н. А. АЛФУТОВ;
лауреат Ленинской премии,
д-р техн. наук
проф. В. Л. БИДЕРМАН;
д-р техн. наук
проф. В. П. КОГАЕВ;
д-р техн. наук
проф. В. С. СВЕТЛИЦКИЙ
Н.А.АЛФУТОВ, П.А.ЗИНОВЬЕВ,
Б.Г.ПОПОВ
Расчет многослойных
пластин и оболочек
из композиционных
материалов
МОСКВА « МАШИНОСТРОЕНИЕ » 1984
Предисловие
В современных силовых конструкциях чаще всего применяют во-
волокнистые композиционные материалы, представляющие сравни-
сравнительно податливую матрицу, армированную высокопрочными и вы-
высокомодульными волокнами. Именно из таких композиционных ма-
материалов методами непрерывной намотки или укладки создаются
типичные элементы силовых конструкций — многослойные обо-
оболочки и панели, расчету которых посвящена книга.
В последние годы в нашей стране и за рубежом продолжает нара-
нарастать поток публикаций, посвященных вопросам механики компо-
композиционных материалов и расчета конструкций из них. Инженеру—
практику довольно трудно ориентироваться в обилии информации,
содержащейся в этих многочисленных и обычно узкоспециализи-
узкоспециализированных публикациях.
В настоящей книге предпринята попытка изложить, минимум
сведений, необходимых для выполнения всех основных этапов проч-
прочностного расчета оболочечных конструкций из композиционного
материала. В двух первых главах приведены зависимости для опи-
описания упругих свойств анизотропных тел и упругих характеристик
однонаправленных и многослойных композиционных материалов.
Кроме того, с помощью одной из наиболее простых структурно-
феноменологических моделей дано наглядное представление о спе-
специфике деформирования волокнистого композиционного материала
с полимерной матрицей. Основное внимание в книге уделено изло-
изложению вариационно-матричного метода расчета сложных оболочеч-
оболочечных конструкций применительно к многослойным конструкциям из
композиционных материалов. В приложениях даны некоторые спе-
специальные подпрограммы для ЭВМ.
Авторы ни в коей мере не претендуют на исчерпывающую глубину
изложения затронутых вопросов; они с благодарностью примут все
замечания читателей.
Глава 1
Элементы механики упругого
анизотропного тела
Композиционные материалы, как правило, анизотропны, что
определяет особую форму связи напряжений и деформаций. Более
того, конкретная форма записи соотношений между напряжениями
и деформациями зависит от структуры материала, ориентации ар-
армирующих элементов, соотношения характеристик арматуры и
связующего и т. д.
Для тонкостенных многослойных конструкций типичны пло-
плоское напряженное состояние и изгиб. Поэтому практически важен
переход от общих соотношений для линейно упругого анизотропного
тела к конкретным формам их записи для этих напряженных состоя-
состояний. Особенно важны вопросы, связанные с преобразованием ха-
характеристик однонаправленного материала — основного элемента
современных силовых тонкостенных оболочек, в характеристики
многослойных материалов, составленных из разноориентированных
слоев однонаправленных материалов.
§ 1.1. Обобщенный закон Гука
Рассмотрим деформируемое тело в декартовой системе коорди-
координат хи х2, xs (рис. 1.1). Компоненты тензора деформаций определим
линейными соотношениями
где ии и2, и3 — проекции полного перемещения соответственно на
координатные оси хъ х2, х3. Вследствие парности касательных на-
напряжений и структуры соотношений A.1) выполняются равенства
ои = оп; ег/ = ЕЛ Aф}). A.2)
В классической линейной теории упругости рассматривают обы-
обычно изотропное тело, упругие свойства которого одинаковы по всем
направлениям. В этом случае при одноосном растяжении или сжатии
независимо от направления закон Гука, связывающий напряжения
и деформации, имеет вид
е = -^а, A.3)
отсюда а — Ее, где а — нормальное напряжение; 8 — соответству-
соответствующее ему относительное удлинение; Е — модуль упругости ма-
материала.
6
При сложном напряженном состоянии изотропного тела закон
Гука обычно записывают в форме
1 _ v _ v _ . а», . 1
822
°22
v
Т
V V | 1
833 р- Оц F" СТ22 Т ~ЕГ (
712—
A.4)
где о?;;— компоненты тензора напряжений (i, j= I, 2, 3); v —
коэффициент Пуассона; G — модуль сдвига, связанный с Е и v
формулой
Входящие в A.4) величины углов сдвига yi} выражаются через
компоненты тензора деформаций: yi} = (е^ + гп) = 2ги (i ф}).
Независимые компоненты тензора напряжений и тензора дефор-
деформаций можно объединить в матрицы-столбцы:
т12
I
82
728
713
Via
A.5)
Здесь и далее фигурными скобками {...] обозначены матрицы-
столбцы. Компоненты матрицы-столбца могут быть выписаны
в строку:
{о}~{аъ а2, ая, т23, Ti3, t12};
{е} = {еъ 82> е3) 723, 7ib Viz}.
но и в этом случае фигурные скобки определяют матрицу-столбе ц.
Для обозначения матрицы-строки используем обозначение |...}т,
где индекс «Т» указывает на операцию транспонирования.
Компоненты матриц-столбцов A.5) связаны с компонентами тен-
тензоров напряжений и деформации следующим образом:
- = аи = а л; уц = 2г„ = 2г
Рис. 1.1.
A.5А)
¦*1
Тогда обобщенный закон Гука для изотропного тела в матричной
записи примет вид, формально аналогичный закону Гука для одно-
одноосного растяжения или сжатия A.3):
И = [S] \о\, A.6)
где матрица податливостей [S] определяется
1
— v
1
— V
О
О
О
2A+v)
О
О
О
О
сим.
2A
зависимостью
О
О
О
О
v) О
2A+v
A.7)
Важнейшей особенностью обобщенного закона Гука для изо-
изотропного тела является то обстоятельство, что матрица податливо-
податливостей A.7) инвариантна по отношению к выбору системы координат
и формируется с использованием только двух независимых кон-
констант, полностью определяющих упругие свойства изотропного тела.?
Кроме того, при сложном напряженном состоянии изотропного тела
относительные удлинения ег- не зависят от касательных напряжений
%ij, но связаны со всеми нормальными компонентами напряжений о~,
в то время как углы сдвига yir зависят лишь от соответствующих
касательных напряжений xi}. Поэтому для упругого изотропного
тела главные оси напряженного состояния всегда совпадают с глав-
главными осями деформированного состояния.
Упругое тело называют анизотропным, когда его упругие свой-
свойства различны в различных направлениях. Поведение под нагруз-
нагрузкой такого тела даже при линейной зависимости деформаций от на-
напряжений принципиально усложняется по сравнению с описанием
поведения изотропного тела. Как показали опыты с анизотропными
телами, любая из компонент тензора напряжения Оц может привести
к возникновению всех компонент ги тензора деформаций. Например,
если брус прямоугольного поперечного сечения, изготовленный из
анизотропного материала, равномерно растягивать вдоль оси, то
в общем случае анизотропии такой брус кроме удлинений вдоль
оси и изменений размеров поперечного сечения (различных в каждом
направлении) будет претерпевать и деформации сдвига во всех трех
плоскостях, приводящие к изменению первоначально прямых углов
между его гранями.
Обобщенный закон Гука для анизотропного тела можно сформу-
сформулировать так: в каждой точке тела компоненты г1} тензора дефор-
деформаций являются однородными линейными функциями компонент сго-
тензора напряжений.
Воспользовавшись введенными ранее матричными обозначениями,
можно записать эту формулировку аналитически в виде, анало-
аналогичном A.6):
{8}= [S] {о}, A.8)
8
где компоненты матрицы [Si — коэффициенты податливости ма-
материала (иногда их называют константами или постоянными подат-
податливости, а также просто податливостями).
Для анизотропного тела коэффициенты податливости зависят
от выбора системы координат. В общем случае для анизотропного
тела коэффициенты податливости образуют полностью заполненную
матрицу [S] размером 6x6. Нетрудно показать, что в силу теоремы
взаимности работ для компонент матрицы податливости выполня-
выполняется условие smn = snm- Поэтому в матрице коэффициентов подат-
податливости независимыми являются лишь шесть диагональных коэффи-
коэффициентов и половина недиагональных, т. е. всего 21 коэффициент, и
закон Гука в развернутом виде записывается следующим образом:
i
82
83
iY23
Уи
Tl2
sil S12 S13
S33
СИМ.
Sl4
S24
S34
S44
Sl?
S25
S35
S45
,s65
S46
See
T2,
4'A.9)
b 14
Обобщенный закон Гука можно записать и в виде линейной за-
зависимости напряжений от деформаций:
{а} = [G] {г}, A.10)
где [G] — матрица жесткости материала размером 6x6. Компо-
Компоненты матрицы [G] можно выразить через компоненты матрицы по-
податливости [51, решая систему уравнений A.8) относительно на-
напряжений {а}.
Возможность перехода от записи закона Гука в виде A.8) к вы-
выражению A.10) достаточно очевидна, так как в упругом теле по
определению существует взаимно однозначная связь между напря-
напряжениями и деформациями.
Анизотропия самого общего вида у реальных материалов, когда
матрица коэффициентов податливости (S) содержит 21 независимый
коэффициент, — явление редкое. Обычно структура материала та-
такова, что его упругие свойства в некоторых направлениях иденти-
идентичны. В этих случаях число независимых коэффидиентов в матрице
коэффициентов податливости (и, следовательно, в матрице коэффи-
коэффициентов жесткости) уменьшается, и при надлежащем выборе си-
системы координат упрощается запись закона Гука.
•"- Плоскость упругой симметрии. Если в анизотропном теле его
упругие свойства идентичны в любых двух направлениях, симмет-
ричных'относительно некоторой плоскости, то такая плоскость назы-
называется плоскостью упругой симметрии. В "этом случае число неза-
независимых коэффициентов, описывающих свойства материала, со-
сокращается до тринадцати [29], а закон Гука принимает более про-
простой вид при совмещении одной из координатных плоскостей с пло-
плоскостью упругой симметрии. Например, совместив с плоскостью
9
s12 sl3
So S
S33
СИМ.
и
0
0
s44
и
0
0
s
sie
S26
S36
0
0
симметрии координатную плоскость (xlt х2), можно матрицу коэффи-
коэффициентов податливости в A.9) представить в виде
A.11)
В частности, при одноосном растяжении анизотропного тела в на-
направлении, перпендикулярном плоскости упругой симметрии,
?i = Sis^s". e2 = s23o3; e3 = -Чзз^з; Тгз = 0; yi3 = 0; 712 = s3no3.
При таком напряженном состоянии материал претерпевает де-
деформации сдвига только в плоскости (хи хг). Из A.11) следует,
что если одна из главных осей напряженного состояния перпенди-
перпендикулярна плоскости упругой симметрии, то одна из главных осей
деформированного состояния тоже будет перпендикулярна этой
плоскости. Поэтому направление, перпендикулярное плоскости уп-
упругой симметрии, называют главным направлением (или главной
осью) упругости.
Ортотропный материал. Если в анизотропном теле имеются две
взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии, то не-
нетрудно показать, что перпендикулярная им плоскость будет тоже
плоскостью упругой симметрии. Пусть две главные оси напряжен-
напряженного состояния перпендикулярны двум имеющимся в теле плоскостям
упругой симметрии, т. е. совпадают с двумя главными направле-
направлениями упругости материала. Тогда с этими направлениями будут
совпадать и две главные оси деформированного состояния. Следова-
Следовательно, третья главная ось деформированного состояния тоже будет
совпадать с третьей главной осью напряженного состояния, и пер-
перпендикулярная им плоскость будет плоскостью упругой симметрии
тела. Тело, обладающее тремя взаимно перпендикулярными пло-
плоскостями упругой симметрии, называют ортотропным. Для орто-
ортотропного тела число независимых коэффициентов, характеризующих
упругие свойства, равно девяти [29]. .: ¦¦¦¦¦¦ - <¦'¦•'' '¦'¦(•'''•:' • ' .
Закон Гука для ортотропного тела наиболее естественно и просто
записывается при совмещении координатных плоскостей с пло-
плоскостями упругой симметрии; тогда матрица податливости в A.9)
и s12 sls 0 0 0
A.12)
10
22 SM
S33
СИМ.
9
0
0
s44
0
0
0
S55
0
0
0
0
s«6
Если выразить коэффициенты податливости (и жесткости) через
технические постоянные (модули упругости, модули сдвига и коэффи-
коэффициенты Пуассона), то вместо A.12) получим
. A.12A)
О
О
О
v.zl/E2
v,JE,
0
0
0
— v3i/?;
— Ъ-ilE-
VE3
0
0
0
» 0
» о
0
1/G03
0
0
0
0
0
0
1/Gi,
0
0
0
0
0
0
1/G12
Здесь Ei, E2, E3 — модули упругости в соответствующем направ-
направлении; Gi2, Gl3, G23— модули сдвига соответственно в плоскостях
(хъ xt), (xlt х3), (х2, х3); \ц — коэффициенты Пуассона; первый
индекс указывает направление действующего напряжения, а вто-
рой — направление возникающей при этом поперечной деформации.
> УЧисло независимых коэффициентов в A.12А) сохраняется рав-
равным девяти, поскольку вследствие симметрии матрицы коэффициен-
коэффициентов податливости выполняются равенства
Eiv3l. A.13)
Из A.13) следует, что
Введенная здесь традиционная система технических постоян-
постоянных не является единственно возможной. Иная система техниче-
технических постоянных описана, например, в работе [36].
Закон Гука в виде, разрешенном относительно напряжений,
дает соотношение A.10). Воспользовавшись техническими постоян-
постоянными, в случае ортотропного тела получим
?n = ?i(l-v23v32)/A;
gs3 — E3(l —vnv2l)/A;
g12 = E, (vl2 + Vi3v32)/A = Ei (v2l + v23v3I)/A;
gr13 = E3 (v13 + v12v23)/A = jE1! (v3l -f v32v21)/A;
g23 = Е,л (v2J + v2lv13)/A = E2 (v32 -L-
^44 = G23;
§¦55 = Gj3;
A.14)
где
= det
1 v 1
1 —V12 —
21
1
V23
L — V31 — V32 1
vI2v21 — v2jv32 — v3lvl3 — 2vuv23v31.
Отметим еще частный случай ортотропного тела, в котором упру-
гие свойства одинаковы по всем трем главным осям упругости.
Тогда число независимых коэффициентов в матрицах податливости
и жесткости сокращается до трех. Если для описания упругих свойств
такого ортотропиого тела воспользоваться техническими постоян-
постоянными, то в A.12) и A.14) следует принять
Ei = Ег = Е3 ¦-= Е; G12 = G13 = G23 = G;
В отличие от изотропного тела в этом частном случае модуль
упругости Е, модуль сдвига G и коэффициент Пуассона v являются
независимыми величинами, характеризующими упругие свойства
тела.
Плоскость изотропии; трансверсально изотропное тело. Плоскость,
в которой упругие свойства во всех направлениях идентичны, назы-
называют плоскостью изотропии, а тело, обладающее такой плоскостью,
называют трансверсально изотропным. Число независимых коэффи-
коэффициентов, характеризующих упругие свойства такого тела, оказыва-
оказывается равным пяти [29]. Совместив координатную плоскость {хъ х2)
с плоскостью изотропии, получим следующие выражения для ма-
матрицы податливости:
[S] =
Sl2
СИМ.
или
\S] =
сим.
sl3 0
s13 0
s33 0
S44
— V
— v2
0
0
0
0
S44
HE,
0
0
0
0
0
0
0
0
G2
0
0
0
0
Q
0
0
0
0
0
A.16)
A-17)
Здесь Ex — модуль упругости в направлении, перпендикулярном
плоскости изотропии; Е2 — модуль упругости в плоскости изотро-
изотропии; Gx = EJ2 A + Vj) — модуль сдвига в плоскости изотропии;
G2 — модуль сдвига в плоскостях, перпендикулярных плоскости
изотропии; Vj, v2 — коэффициенты Пуассона, характеризующие со-
сокращения в плоскости изотропии и в направлении, перпендикулярном
этой плоскости, при растяжении в плоскости изотропии.
В трансверсально изотропном теле все направления в плоскости
изотропии и направление, перпендикулярное этой плоскости, явля-
12
ются главными направлениями упруго-
упругости. Поэтому для такого тела главные
оси деформированного состояния совпа-
совпадают с главными осями напряженного
состояния, если одна из главных осей
напряженного состояния перпендику-
перпендикулярна плоскости изотропии.
Следует подчеркнуть, что вид («за-
(«заполненность») матриц податливости и
жесткости определяется не только типом
упругой симметрии материала, но и вы-
выбором системы координат. Тип симмет-
симметрии материала однозначно определяет число независимых коэффици-
коэффициентов в этих матрицах, однако для любого анизотропного тела мат-
матрицы податливости и жесткости в произвольной системе координат,
никак не согласованной с упругой симметрией материала, будут
в общем случае целиком заполненными.
Надлежащий выбор системы координат позволяет существенно
упростить исходные матрицы податливости и жесткости, если ма-
материал обладает симметрией упругих свойств. Рассмотрим, например,
композиционный материал, состоящий из упругого связующего,
регулярно армированного в одном направлении упругими волокнами
(рис. 1.2). Для описания деформационных свойств такого материала
можно воспользоваться моделью однородного анизотропного упругого
тела. В произвольно ориентированной системе координат матрица
податливости (и жесткости) будет целиком заполненной, а число
подлежащих определению независимых коэффициентов не ясным.
В системе координат (хъ х2, х3) плоскость (хг, х3) можно считать
плоскостью упругой симметрии; матрица коэффициентов податли-
податливости в этом случае будет иметь структуру A.11). Еще более полно
симметрия упругих свойств рассматриваемого материала выявляется
в системе координат (х[, х'2, #j): плоскость (х[, х'2) тоже можно счи-
считать плоскостью упругой симметрии. Следовательно, теперь все
координатные плоскости — плоскости упругой симметрии, материал
является ортотропным и матрица коэффициентов податливости имеет
структуру A.12). Более того, при равномерном распределении ар-
армирующих волокон допустимо считать, что упругие свойства во всех
направлениях в плоскости (х[, х'2) идентичны. Теперь становится
ясным, что рассматриваемый материал является трансверсально
изотропным, матрицы его коэффициентов податливости имеют вид
A.16) и A.17), а число подлежащих определению независимых коэффи-
коэффициентов, полностью характеризующих упругие свойства, равно пяти.
Отметим, что выше были рассмотрены некоторые случаи упругой
симметрии анизотропных тел в декартовой системе координат. В та-
такой системе координат удобно рассматривать тела, обладающие так
называемой прямолинейной анизотропией. Аналогично может быть
описана локальная симметрия упругих свойств тел, обладающих
криволинейной анизотропией; в этом случае вместо декартовых ис-
используют триортогональную криволинейную систему координат [29 ].
13
§ 1.2. Упругие характеристики
однонаправленного композиционного материала
при плоском напряженном состоянии
Ранее композиционный материал рассматривался как однородное
анизотропное тело. Реальные материалы, как правило, на микро-
микроуровне неоднородны. Коэффициенты жесткости и податливости та-
таких материалов определяются свойствами компонентов компози-
композиционного материала и его внутренней структурой. Определение
макроскопических характеристик материала по известным харак-
характеристикам армирующих элементов и связующего — задача струк-
структурной механики композитов или теории армирования. В настоящем
параграфе эта задача решается для однонаправленного волокни-
волокнистого композиционного материала, характер взаимодействия эле-
элементов которого весьма сложен.
Предложено значительное число методов решения указанной за-
задачи [10, 11, 14, 31, 48, 49, 50]. Первые результаты были полу-
получены в процессе создания простейших моделей материала, анализ
которых может быть проведен с помощью методов, применяемых
в сопротивлении материалов. При некоторых упрощающих предпо-
предположениях (прежде всего предположении об упорядоченности струк-
структуры материала, т. е. представлении ее в виде одинаковых армиру-
армирующих элементов, регулярно размещенных в связующем) оказалось
возможным получить точные решения ряда задач с использованием
методов теории упругости. В последние годы для решения задач
теории армирования активно используются современные численные
методы.
Совершенствование методов анализа позволяет заметно уточнить
решения задач, полученные с использованием простейших моделей
материала. Вместе с тем было установлено, что удовлетворительного
соответствия данным экспериментов в ряде случаев достигнуть не
удается, а разброс последних часто перекрывает результаты «уточ-
«уточнения». По-видимому, дело в том, что многие особенности реальных
композитов пока не учитываются в существующих методах анализа.
Геометрические параметры структуры композита — местоположе-
местоположение («упаковка») армирующих волокон, форма и характерные раз-
размеры их сечений — случайные параметры. В ряде случаев волокна
искривлены вследствие несовершенства технологии изготовления
материала. На границе раздела связующего и армирующего матери-
материалов, как правило, протекают сложные физико-химические процессы,
в результате которых происходит изменение характеристик компо-
компонентов вследствие их взаимодействия, образование трещин и отсло-
отслоений на границе раздела и т. д.
С учетом сказанного, при определении упругих характеристик
однонаправленного материала мы ограничимся рассмотрением одной
из простейших моделей такого материала [9]. Представим одно-
однонаправленный материал в виде пластины, состоящей из чередую-
чередующихся слоев, обладающих свойствами волокон или матрицы
(рис. 1.3, а). При этом объемная доля «волокна» в модельном мате-
14
Рис. 1.3.
риале равна его объемной доле в реальном композите. Будем считать,
что связь волокон и связующего идеальна, волокно и матрица ли-
линейно упруги.
Введем следующие обозначения: е1Ч, е23, Yi23> 8ш> 8гм> Ti2M
— деформации, <т13, <т2В, т]2В, ош, <х2М, т]2М — напряжения
(буквенные индексы указывают на принадлежность к волокну или
матрице); сгь сг2, т12 — средние напряжения в однонаправленном
материале, равные отношению сил к суммарной площади попереч-
поперечного сечения композита (см. рис. 1.3, б), и elt e2, у12 — деформации,
соответствующие им. Установим связь между напряжениями и
деформациями в волокне и матрице и средними напряжениями в ком-
композите, между упругими характеристиками волокна и матрицы и
приведенными или эффективными характеристиками композита.
В принятой модели материала выполняются следующие очевидные
условия равновесия и совместности деформаций:
8i = 8ib = 8im;
сг2 = а2В = сг2М;
Т12 = Т12В = Т12М-
При рассмотрении деформирования материала в случае нагру-
жения композита в направлении укладки волокон, ортогональном
направлении и сдвиге в плоскости слоя нетрудно установить, что
A.19)
82 = 82В^ + ( 1 — ¦Ф) 82М;
Yl2 = Y12B41 "Г" О — 4-7 Yl2M>
где ^ — объемная доля волокна; A — г|з) — объемная доля матрицы.
Полученные соотношения отражают так называемое «правило
смесей»: вклад компонента пропорционален его объемной доле.
Запишем закон Гука для волокна и матрицы, полагая, что оба
компонента изотропны:
8ib = -щ^ (<?ib — vBa2B);
82В = — (<*2В — vBa1B);
A.20)
15
82М — ~?— (°2М — vM°1m)'>
— ~7— ^-1
1.21)
Преобразовав соотношения A.18)—A.21), выразим напряжения
в волокне и в матрице через средние напряжения в композите:
A.22)
= . A.23)
+ A —
01В =
Для средних деформаций могут быть получены выражения
• A — \|>) vm
¦ °2>
..-(
т|)?м + A -
A - 4-)
2
+ A —
A.24)
A.25)
Сопоставим A.24)—A.26) с законом Гука — [см. A.9) и A.12А)]. ,
Для ортотропного тела при плоском напряженном состоянии (а3 =
— т-.'з = Т1з = 0) этот закон совпадает с законом Гука для транс-
версально изотропного тела с плоскостью изотропии 2—3, см.
рис. 1.3:
1/'Е1 — v,l/?'2 0 п
ei-:} = [5°] {а12} или
0
0
A.27)
Находим выражения для технических постоянных однонаправленного -
композита через упругие постоянные и объемные доли компонентов:
A.28)
A.29)
в -
Пренебрегая членами, имеющими порядок квадрата коэффици-
коэффициентов Пуассона в сравнении с единицей, можно привести A.29)
к более простому виду:
Для модуля сдвига имеем аналогичную по структуре формулу
Gh = *г... > п 1 чл п., ¦ (l -30)
16
В A.30) модули сдвига изотропных волокна и матрицы соот-
соответственно равны
WB~ 2(l + vB) • "м~ 2A
Коэффициенты Пуассона однонаправленного материала имеют вид
I 1/1 I \ ^12Еа / 1 QOS
Vi2 == U'Vg —f- I 1 — w) Vjv\, Voi ^ . у 1 <o?)
Формулы для модуля упругости Е1 и коэффициента Пуассона v12
достаточно точны для использования в инженерных расчетах. Со-
Соотношения A.29)- A.3D для модулей Е2 и G12 могут быть рекомен-
рекомендованы для прикидочных расчетов. Целесообразно уточнить их по
результатам экспериментов с применяемым материалом.
В свою очередь, коэффициенты матрицы жесткости [G0] в законе
Гука для однонаправленного материала при плоском напряженном
состоянии
{cr12} = [G0] {е12}, или
в?,
имеют вид
2 0
2 О
0 0 g606
?>12
?2
712
— v12v21
— v12v21
A.33)
A.34)
1 — v12v2i
Коэффициенты матриц жесткости и податливости связаны сле-
следующими соотношениями:
A.35)
1
1
_ vi2 _ Vai .
"~~ Ех ЁТ'
%б — ~zn- — ¦
A.36)
Наконец, технические постоянные упругости выражаются через
компоненты матриц жесткости и податливости следующим образом:
V -— Sl2 __ S12
я. Oli _^_ 111
21 rrO To
S66
A.37)
17
§ 1.3. Преобразование упругих характеристик
однонаправленного материала
при повороте системы координат
Рассмотрим преобразование упругих характеристик однонаправ-
однонаправленного материала при переходе от естественных для однонаправлен-
однонаправленного материала (связанных с его микроструктурой) осей координат
A, 2, рис. 1.4) к некоторой произвольно ориентированной системе
координат (х, у), полученной вращением осей A, 2) вокруг оси,
ортогональной плоскости /—2 на некоторый угол ср.
Соотношения связи между средними напряжениями и деформаци-
деформациями в однонаправленном слое при плоском напряженном состоянии
имеют вид [см. A.33)]
К} G° {е12}] A.38)
или
CTl
Т12
о
о
о о
81
Б2
712
A.38A)
Преобразование компонент тензоров напряжений и деформаций
к новым осям в общем случае осуществляется по известным форму-
формулам [311:
ее/- = tiiUulj'f, i', j' = x, у, z (i, /=1, 2, 3). A.39)
При повороте осей A, 2) на угол ср (см. рис. 1.4) матрица напра-
направляющих косинусов имеет вид
A.40)
Подставив A.40) в A.39), для плоского напряженного состояния
получим соотношения преобразования
напряжений в виде
К) - [7\] {Стц}
lyl
1хг L3 '
h-i 1уз
hi 'гЗ
COS (f
sin ф
0
— sin ф
cos cp
0
o-
0
1
A.41)
или
SC
s2 — 2sc ¦
с2 2ьс
-SC C2 — S?__
A.41A)
где обозначено s = sin ф и с = cos ср.
Соотношения A.39) применимы к
компонентам тензоров. Используя связь
матричных и тензорных обозначений деформаций, выраженную
A.5А), можно записать
= [Й] Ь22 , A.42)
где [Q ] = | 1, 1, 2 | — диагональная матрица.
Получим
Здесь {еЛ.,,} = {ел., еу, уху} — матрица-столбец деформаций
в осях (л', у).
Тогда {еху} = [Q] [7\] [QJ-1 {е12}
или
/о \ . гТ 1 /о I Л 4.4Л
где [Го] — матрица преобразования для матричных компонент
деформаций, имеющая следующий вид:
с- s2 — sc
[Т2] = [Q] [Л] [ЯГ -
s2
С2 SC
-2sc с2 - s2 J
A.45)
Из A.41) и A-44) получим формулы обратных преобразований:
Ы = [Т1Г{охи} A.46)
Матрицы обратных преобразований
s2 с2 — 2sc
C2 — SC
2sc c2 - s2.
A.47)
имеют вид
A.48)
A.49)
При проведении вычислений удобно воспользоваться следующими
тождествами-
PTiJ-1 = № [7'8]-1=[7'1]'-; )
(lTt]-})T=[T1); ([7'1]-I)T = [7'2]; A.50)
[Л (ф)Г1 = [Л (- ф)]; • [Т2 (ф)]-1 - \Tt (- (f)]. J
Найдем связь средних напряжений и деформаций в слое в осях
(а', у). Для этого подставим в A.38) соотношения A.46) и A.47):
A.51)
19
т. е.
Ы = [GJ {гху};
A.51А)
Компоненты матрицы жесткости [G] однонаправленного слоя,
отнесенного к осям (х, у):
[G] =
811 8n 8i«
Ё22 #26
сим.
имеют вид
gll = C gll Г Ь g22 + ^ U
— Г л2 0 «2 О /О
^ic = Iо от,, — S ft™ -X~ I i?io -f-
5 ID L oil &Zi I \bl* i
gee J
, + 2g6°6) ^;
A.52)
Запишем выражение, обратное A.38):
A.53)
Подставив в A.53) формулы A.47) и A.46), получим
Ы = [S°] [Tj-i {axy}
A.54)
Соотношения A.54), обратные соотношениям A.51), позволяют
записать формулы для компонент матрицы податливости слоя
в осях (х, у):
[S] = [Т2] [S°] [Г2]т;
S-I2=(я?, + 42 - 4) М + (s4
- 2&g, + Bs?2 + «
2)] sc;
s66 = Ds?, - 8s?2 + 44) A» + (s2 - C2Js6°6.
A.55)
20
Можно воспользоваться следующими тригонометрическими тож-
тождествами:
s4 = C - 4 cos 2ф 4- cos 4ф)/8;
&с = B sin 2ф — sin 4<p)/8;
sW = A — cos 4ф)/8; I A.56)
sc3 = B sin 2ф 4- sin 4ф)/8;
с4 = C -J- 4 cos 2ф + cos 4ф)/8.
Подставив тождества A.56) в A.52), получим иную форму записи
компонент матрицы жесткости [62]:
gn = Vi + Vo, cos 2ф -I- Vs cos 4ф;"
gl2 = V1-2Vi-V3cos4(P;
1
= y Vi sin 2cp +
Vx-f-V4cos2<p
3 sin 4cp;
V3cos4<p;
= — K2 sin 2ф - V3 sin 4cp;
A.57)
Здесь коэффициенты Уь У2. ^3 и У4 выражаются через компо-
компоненты матрицы жесткости слоя в главных осях слоя (/, 2) (см.
рис. 1.4) следующим образом:
, + 2g?2 + 3g2o2 + 4gO6)/8;
V, -
A.58)
В A.57) шесть коэффициентов матрицы жесткости слоя §гу
в осях (х, у) записаны через четыре независимых коэффициента Vh-
Число коэффициентов Vh не случайно равно четырем. Оно отражает
то обстоятельство, что независимо от преобразований системы коор-
координат число независимых характеристик определяется лишь типом
симметрии материала. При плоском напряженном состоянии транс-
версально изотропный однонаправленный материал имеет четыре
независимых характеристики жесткости (податливости), которые
могут быть представлены в одном из взаимосвязанных вариантов:
(?,, Е2, G,2, v]2), (gu, gn, g22, gib), (s?i, s°i2, S22, sS6) или, как это
сделано в A.57), (Кь V,, V3, Vt).
В соотношениях A.57) можно выделить два инварианта жесткости
слоя относительно поворота вокруг оси, ортогональной плоскости
1—2 (см. рис. 1.4):
Li = ёп + g22 Jr 2gl2 = 4 (V, - V4) = g°, + S& + 2g?2;
к - See - Sl2 - 3V4 - V, = g^ _ ^. A-59)
21
Инвариантами являются и комбинации, составленные из инва-
инвариантов Lx и L2. Поэтому инвариантами являются и коэффициенты
Vx и V4, так как
+ 4L2)/8.
Если слой изотропен, то
Из A.58) видно, что в этом случае
A.61)
Поэтому можно считать, что коэффициенты Vb V4 в A.58) ха-
характеризуют средние жесткости однонаправленного слоя соответ-
соответственно при растяжении и сдвиге. Они могут быть использованы для
сравнения средней жесткости анизотропных композиционных ма-
материалов с жесткостью конкурирующих с ними изотропных материа-
материалов [62]. Если анализировать среднюю жесткость композитов (она
важна, например, при равномерном двухосном растяжении матери-
материала), то сравнивать Vx с ?7A — v2) более целесообразно, чем сравни-
сравнивать модуль ?¦] однонаправленного материала с модулем упругости Е
конкурирующего изотропного материала. Если же анализировать
применение материала в условиях одноосного нагружения, последнее
сравнение более разумно.
С другой стороны, коэффициенты V-2 и V3 характеризуют степень
анизотропии материала. Диапазон изменения коэффициентов жест-
жесткости gtj может быть просто оценен из A.57), поскольку величина
тригонометрических сомножителей V2 и V3 изменяется в пределах
от 1 до —1.
Подставив A.56) в A.55), получим следующие формулы для
коэффициентов податливости однонаправленного материала в осях
(*. У):
5ц = Qi + Q2 cos 2ф -\- Q3 cos 4ф; '
s-22
= Qi — 4~^4~ Qscos4q>;
h» = Q2 sin 2ф + 2Q3 sin 4ф;
= Qi — Q2 cos 2ф -f- Q3 cos 4ф;
28 = Q2 sin 2ф — 2Q3 sin 4ф;
sllo = Qt — 4Q3 cos 4ф.
A.62)
22
Здесь
Q, = Cs?, -г 2s?2 r 3& + sg6)/8;
A.63)
Можно показать, что коэффициенты Qt и Q4 являются инвари-
инвариантами податливости относительно поворота слоя вокруг оси, орто-
ортогональной плоскости /—2, т. е. не изменяются при таких поворотах.
§ 1.4. Упругие характеристики многослойных
композитов при плоском напряженном состоянии
Пусть композит образован несколькими разноориентированными
слоями однонаправленного материала. Введем следующие системы
координат: общая, «глобальная» (х, у); местные, локальные одно-
однонаправленных слоев A, 2)(*> (рис. 1.5). Здесь k — номер однона-
однонаправленного слоя в пакете многослойного материала.
Необходимо определить характеристики многослойного компо-
композита, если известны характеристики жесткости (податливости) вхо-
входящих в него слоев.
Многослойный параллелепипед единичной длины и ширины по-
показан на рис. 1.6, а. Силы Тх, Ту, Тху, приходящиеся на единицу
длины сечения, определяются из следующих очевидных уравнений
равновесия:
4=1
ft=l
где п — число слоев в пакете.
Рис. Г.5.
Рис. 1.6.
23
Разделив правые и левые части уравнений A.64) на суммарную
п
толщину пакета слоев Н = 2 /i<*>, получим
A.65)
Здесь ая, Сту, тс4, — средние по толщине пакета слоев напряжения
TJH 7уЯ jH ft(*) Л<*>/Я
д я, у с4, р
равные ах = TJH, ои =
и ixy =
р
ft(*) = Л<*>/Я —
р и у y j
относительная толщина &-го слоя (см. рис. 1.6, б). Подставив в со-
соотношения A.65) закон Гука для k-vo слоя A.51 А): {огЛ,,}<*> =
— [U J \8ДГ1// , И УЧТЯ, ЧТО &х — Ех , Ej, — by , ухц — уху ,
получим уравнение связи средних напряжений со средними дефор-
деформациями многослойного материала при плоском напряженном со-
состоянии:
К,} = [G] {гху}
или
где
gll
gu
a — V
gif — 2j
gu
Уху
A.66)
A.67)
Из A.67) непосредственно следует, что порядок чередования
слоев в пакете многослойного материала не имеет значения при
подсчете его жесткостей gtj. Если каждый слой из некоторой группы
слоев имеет одинаковые жесткости gffl (например, это слои одного
однонаправленного материала, уложенные с одинаковыми углами ср),
то эта группа слоев может считаться одним слоем с толщиной, рав-
равной сумме толщин слоев, входящих в эту группу.
Установим вид уравнений A.66) при повороте системы координат
вокруг оси г на угол 6. Рассмотрим случай, когда все слои много-
многослойного материала выполнены из одного однонаправленного мате-
материала, и, следовательно, имеют одинаковые значения коэффициентов
Vi, V2, V3, V4 в соотношениях A.57).
Углы армирования всех слоев изменятся на угол Э, например
ФA) примет значение срA) - 0, и т. д. При использовании в соотно-
соотношениях A.66) формул A.57), придется иметь дело со следующими
тригонометрическими преобразованиями:
cos 2 (ф — 9) = cos 2ф cos 29 -f sin 2ф sin 29;
cos 4 (ф — 9) = cos 4ф cos 49 -(- sin 4ф sin 4(r,
sin 2 (ф — 0) = sin 2ф cos 29 — cos 2ф sin 29;
sin 4 (ф — 9) = sin 4ф cos 49 — cos 4ф sin 49.
A.68)
24
Учитывая, что 9 — величина постоянная для всех слоев, полу-
получим следующую формулу для подсчета gn @):
п
&п (9) = 2 (Vi + У г cos 2q><*> COS 20 + V2 sin 2q><*> sin 20 +
+ V3 cos 4ф(*> cos 40 -f V3 sin 4ф(А) sin 40) hw =
= Vi -f- K2 cos 20 fj й<*> cos 2Ф(*> -f V, sin 20 fj й(*> sin 2ф(А) +
+ lA,cos 40 S йй) cos 4ф(*> - V3 sin 40 ? /»* sin 4Ф(А:). A.69)
Аналогично можно получить выражения и для остальных коэффи-
коэффициентов gu @).
Найдем их средние значения в плоскости х, у:
2Л
<Ы=аИ ^0)^0. A.70)
о
Так, для (glx) получим
2л
*=1
Встречающиеся в выражении для (gu) и других коэффициентов
2л 2л 2л 2л
(gtj) интегралы J cos20d0, j sin2Ouf0, j cos40d0, j sin40d0
0 0 0 0
равны нулю. Поэтому средние значения коэффициентов жесткости
(g«,) = 0; (g26) = 0; (g«) = V4. A.71)
Таким образом, средние значения коэффициентов жесткости
многослойных материалов, составленных из слоев однонаправлен-
однонаправленного материала, не зависят от структуры пакета слоев (углов
укладки слоев и их относительных толщин) и полностью опреде-
определяются свойствами однонаправленного материала.
Для многих частных видов структуры пакета слоев многослойного
материала формулы A.67) заметно упрощаются. Рассмотрим три вида
структур, часто используемых при создании конструкций из компо-
композиционных материалов.
25
Ортогонально армирован-
армированные материалы. Такие мате-
материалы состоят из п слоев, из
которых часть уложена под
углом ф<'> = 0°, а остальные
слои — под углами ф<2) = 90°
(рис. 1.7). Суммарная относи-
относительная толщина слоев пер-
первого типа ft*1), второго типа
/г<2>. Все слои выполнены из однонаправленного материала с оди-
одинаковыми жесткостными характеристиками.
Обращаясь к формулам A.52), A.67), получим
ф
X
•р
= 0'
Рис. 1.7.
l
1
A.72)
Структура матрицы жесткости этого материала (g1B = g2B = 0)
позволяет считать его ортотропным. Главные оси ортотропии сов-
совпадают с осями х, у.
Перекрестно армированные материалы. Такие материалы состоят
из 2/г слоев, из которых п. слоев уложены под углом ср к оси х, а ос-
остальные под углом —ф (рис. 1.8).
Обращаясь к формулам A.52) и A.66), получим
gi\
\
gel') = g
) = gee,
A.73)
8u = gia = 0.
При укладке слоев под углом ф = ±45° из A.57), A.73) имеем
gn = g22 = (g°
g°22 + 4g8e)/4;
= g26 = 0.
1.74)
Заметим, что перекрестно армированный материал с углами ф =
= ±45° является, по сути дела, ортогонально армированным ма-
материалом с 6<'> — й<2) =0,5, рассматриваемым в осях,, повернутых
на угол 45е относительно осей системы координат предыдущего при-
примера. Анализ формул A.74) и A.72) показывает, что равенство жест-
костей материала в двух ортогональных направлениях (gn = g22
при йО = йB) = 0,5) в формулах A.72) еще не означает изотропии
в плоскости (х, у).
26
Рис 1.8.
Квази-изотропные материалы. Рассмотрим многослойный ком-
композит с ориентацией слоев одинаковой толщины под углом ф<*> =
=- Ып (k = 1, 2, ..., п), п ¦>, 3.
Простейшие примеры таких материалов — композиты со схемой
укладки слоев [30°; —30°; 90°] или [0°; 45°; 90°-, —45°].
Из A.57) и A.66) значение коэффициента жесткости материала
1 V*
Т 2j
cos
cos
A.75)
при условии, что й(А) =--—
Суммы 2j cosBn^/«), 2j cosDn^/«), входящие в A.75), равны
k=l к=1
нулю. Эти же суммы входят в выражения для g22> ?12. ёвв> поэтому
gn = ?22 = Vu gu =Vi— 2V4> gM = Vt.
В аналогичных A.75) выражениях для ^1в, g2e присутствуют
суммы 2 sin Bnk/n) и 2j sin
*i *i
также равные нулю. Поэ-
тому gle = g2e =. 0, что позволяет считать материал ортотропным.
Определяя технические постоянные упругости материала по форму-
формулам A.37), пригодным для любого ортотропного материала при пло-
плоском напряженном состоянии, можно убедиться в том, что EL — Е2 =
= 4V4 A - VJVi) - Е, v12 = v21 = 1 - 2VJV, = v, G12 = V4 --=
~ ?V|2 A + v)], а рассматриваемый материал изотропен в плоскости
х, у. Естественно, что значения его коэффициентов жесткости равны
средним жесткостям многослойного композита A.71).
Для определения технических постоянных упругости многослой-
многослойного композита рассмотрим растяжение многослойного компо-
композита в направлении оси х. Уравнения A.66) для этого случая при-
принимают вид
0 = gVi?x +
0 =
y +
A-76)
Выразив е^ и Vxy в функции гх из двух последних уравнений
системы A.76) и подставив их в первое уравнение системы A.76),
получим
g
27
или
Ех =
?22*66 —?26
Здесь Ag есть определитель матрицы [G]:
A.77)
Д„ = det
gn g*2
_gl6 &26
Аналогичным образом получим выражения для модулей
G -
а также для коэффициента Пуассона:
v
822866
A.78)
A.79)
A.80)
В случае ортотропного композита (gu = g2e = 0) получим из-
известные формулы типа A.37):
г. _ 8\2 . р ??2
iiL
g22
A.81)
Система координат х, у, г может быть повернута вокруг оси г
на любой заданный угол 0. При этом коэффициенты жесткости gtj (9)
в A.77)—A.80) как функции угла 9 могут быть определены по форму-
формулам типа A.69). Тогда соотношения A.77)—A.80) пригодны для
определения технических постоянных упругости в новой системе
координат.
§ 1.5. Изгиб многослойных композиционных
материалов
Установим соотношения упругости при изгибе многослойных
композитов [6]. Будем считать, что слои материала идеально свя-
связаны между собой (отсутствует проскальзывание слоев). Классиче-
Классическая теория пластин, основанная на гипотезах Кирхгофа—Лява,
дает следующие выражения для деформаций (см. § 4.2):
или в матричном виде
28
Уху ==
A.82)
A.82А)
где {е} = {ех, еу, еху}\ {к} = {хх, *у,
¦х.ху}\ z — расстояние от некоторой коор-
координатной плоскости, за которую может
быть принята любая плоскость, парал-
параллельная границам слоев многослойного *
композита (рис. 1.9); {/.} — матрица-
столбец изменений кривизн пластины.
Подставив A.82) в выражения для
напряжений в k-ы слое A.51i, получим
С)
Рис. 1.9.
Для следующего в пакете слоя запись аналогична:
{) + {}
Из этих соотношений видно, что, несмотря на линейное рас-
распределение деформаций по толщине пакета слоев, напряжения в об-
общем случае распределены кусочно-линейно и при [G]<*> Ф [G](*+1)
скачкообразно изменяются на границах слоев.
Характеристиками напряженного состояния композита могут
служить силы и моменты, действующие на единицу длины коорди-
координатной плоскости:
A.84)
4=1 *<*-»
A *(*>
Тху =
J <&>tdz,
Мхи =
n г(*)
2 j
A.85)
Использование в A.84) и A.85) сумм интегралов позволяет учесть
кусочно-линейный характер распределения напряжений по толщине
пакета.
Подставив в A.84) и A.85) выражения для напряжений A.83),
получим выражения для сил:
п 4k) п *(*>
=2 j [G]{k)dz{e}+^ j [Glwzdz{*}, A.86)
где {T} = {Гя, TF, ГХ4,}, и моментов:
29
A.87)
где {УИ} - {/W.x, Л1,, УИ^}.
Объединив {Т} и {/И}, получим
или
A.88)
{Q} = {{T}, {M}}, {E} = {{e}, {x}}.
В развернутом виде соотношения A.88) можно представить в виде
( Т
1 .г
1 ху
мх
м„
dn dn d13 du dlb die
«22 3 4 6 6
СИМ.
33 4
«44
«35
dib
5
«36
«*40
0
d**
er
Используя матричные блоки (подматрицы), перейдем к следующей
компактной записи:
[DTe] \Dn
A.88A)
Здесь [D]e] — матрица мембранных " жесткостей; ШМи] — ма-
матрица изгибных жесткостей; lDTyi] = lDMe]—матрицы мем-
бранно-изгибных жесткостей, отвечающие за взаимосвязь сил и
изменений кривизн, моментов и деформаций. Равенство нулю
всех компонент матриц [DTx], [DMe] говорит об отсутствии такой
связи.
Матрицы [DTe], [DTM], WMe] и ЮМм] симметричны, а их
компоненты, как это следует из A.86) и A.87), определяются так:
г(*)
г<*>
J [G]lk)zdz;
г(*)
.( [5
*=12(*-D
Часто используется следующая сокращенная, запись:
П 2<*)
([ОГе], [От*], ]DMX])=2
A.89)
A.89А)
30
о оо о
о о о о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
•
о
•
о
•
о
О
•
Рис. 1.10.
Если коэффициенты матрицы [Gl(*> постоянны в каждом из слоев
пакета, то, выполнив интегрирование в A.89), получим
п
\DTA= 2 [G)lk)B{k) -?(*-!,) Г
А-----1
\DTK) = -g-
A.90)
Сопоставив A.67) и первое уравнение A.90), заметим, что №Те] =
- [G]H.
Конкретный вид выражений A.90) зависит от структуры.пакета
слоев многослойного композита и расположения координатной
плоскости. Для ряда частных случаев соотношения A.90) заметно
упрощаются. Рассмотрим три конкретных примера, относящихся
к одному из наиболее распространенных типов многослойных ком-
композитов — перекрестно армированному, т. е. образованному слоями
однонаправленного материала, ориентированными под углами <р
и —ф. Во всех случаях в качестве координатной поверхности вы-
выбрана срединная плоскость, т. е. плоскость, делящая толщину мно-
многослойного композита Н на две равные части.
Симметричная структура пакета слоев с нечетным общим чис-
числом слоев п (рис. 1.10, о). (Здесь и далее на подобных рисунках
светлые срезы волокон соответствуют слоям с ориентацией волокон ср,
а зачерненные — слоям с ориентацией —ф.) Формулы A.90) для
рассматриваемого случая принимают следующий вид:
(dn, d12, d,2, dS3) = (gu, gn, gM, gm)H;
(dl3, di3) = (gltt, g26)H/n;
du = 0 для i = 1, 2, 3, / = 4, 5, 6
и для i = 4, 5, 6, / = 1, 2, 3;
(d4i, dib, dbi, dee) = (gn, g12, g22, gw
2ц2 2 H3
{d d) (g- g-)
31
Компоненты d13, d23, die, db9 имеют знак, соответствующий знаку
угла армирования ср внешних слоев пакета, остальные d:1 > 0.
Симметричная структура пакета слоев с четным общим числом
слоев п (п = 4, 8, ...) (см. рис. 1.10, б). Формулы A.90) дл^ этого
случая принимают вид
(du, d12, 4г, dss) = (gn, gn, g2i, g6A) H;
(dl3, dM) = 0;
du = 0 для i = 1, 2, 3, / = 4, 5, 6
и для i = 4, 5, 6, / = 1, 2, 3;
(^44, di6, d66, dj = (gn, gl2, g22, gm)Hs/l2\
Ds, d56) = (gie, gi6) H*/4n.
Компоненты di6, db6 также имеют знак угла армирования внеш-
внешних слоев пакета,. Равенство нулю компонент матриц [DTii], [DMe]
характерно не только для рассмотренных примеров, но и для сим-
симметричных структур общего вида.
Антисимметричная структура пакета слоев с четным общим чис-
числом слоев п (см. рис. 10, в).
Формулы A.90) для этого случая принимают вид
(du, dn, d22, 4з) — (ёп, gu, g22, gee) H\
(di3, d23) == 0;
(du, dl6, d21, djj, dS6) = 0;
(di6, 4se, ^34. ^36) = (gi6. гге. Ёп, &ге) Н2/2п;
(dM, di6, d&6, d6e) = (gu, g12, g22, gw)HAl\2\
Компоненты d16, d3i и d26, d36 имеют знак угла армирования
внешнего слоя при положительном z.
Особенность всех рассмотренных примеров заключается в том, ,
что коэффициенты жесткости d^, не равные нулю и определяемые
через gi} с индексами 16, 26, уменьшаются при увеличении числа
слоев п. Поэтому «дробление» общей толщины перекрестно армиро-
армированных компонентов позволяет значительно «улучшить» структуру
матрицы жесткости композита, уменьшая величину коэффициентов, i
ответственных за взаимосвязь изгибных и мембранных параметров
напряженно-деформированного состояния. Так перестройка струк-
структуры пакета слоев, представленного на рис. 1.11, позволяет умень-
о о о о
о о о о
о о о о
о
о
о
•
о
о
о
•
о
о
о
о
4»
О
о
•
Рис. 1.11.
32
шить при неизменной общей толщине пакета величину коэффици-
коэффициентов dl6, d3i и d26, d3b по сравнению с вариантом а в варианте б —
в 2 раза, а в варианте в — в 3 раза.
Из рассмотренных примеров, в частности, следует, что пару слоев
с углами армирования ±ф (если таких пар достаточно много) можно
рассматривать как единый ортотропный слой. Равенство нулю коэф-
коэффициентов жесткости gl6 и gi6 такого слоя автоматически обеспе-
обеспечивает равенство нулю и всех коэффициентов жесткости многослой-
многослойного материала, определяемых через жесткости g16 и gi6. Использо-
Использование такой модели двойного слоя особенно разумно в конструкциях,
полученных методом непрерывной спиральной намотки, у которых
слои с углами армирования ф и —ф периодически меняются ме-
местами при движении вдоль слоя.
Соотношения A.88А) могут быть обращены. При частичном
обращении
M\^[\DMT}\D'MK]
п
где [Sct], Ют], ШмгК W'mv.] —матрицы, определяемые следу-
следующим образом:
[SeT] = [Drf1; [DeK] =
[DMT] = [DTK] lDTer\ [D'MK] = [DMK] - [
Наконец, при полном обращении A.88А)
J [[S]IS}\\m\\ (Lyi)
где
[SKT] = lSeM] = - [DtcV1 [D7k] [DmkI; I
[SKM] = Г^мкГ1 + [ОмуТ1 [DTk] [DtX1 [DTy\ [DmJ-1 . J ( • )
Для материалов с симметричной структурой пакета, у которых
[DTx] = 0, формулы A.92) значительно упрощаются:
[SeT] = [DTeY\ [SeM] = [SKT] = 0; [SKM] = [DMK]-K
Компоненты матрицы \DTK] при симметричной структуре пакета
слоев многослойного материала обращаются в нуль лишь в том слу-
случае, когда в качестве координатной плоскости выбрана срединная
плоскость пакета. Если структура пакета несимметрична, выбор
в качестве координатной плоскости срединной не приводит к упро-
упрощению соотношений A.88А). В этом случае при выборе координатной
плоскости могут оказаться решающими другие соображения. Так,
при расчете оболочек вращения переменной толщины и структуры,
полученных намоткой ленты однонаправленного материала на оп-
оправку заданной формы, удобно в качестве координатной поверхности
выбирать внутреннюю поверхность оболочки.
2 АлфутОВ И. Л. И
Др.
КОПОХ2А
33
НЕ БОЛЕЕ »И КНИГИ В I
ОДНИ РУКИ И 2Х В ДВЕ ]
§ 1.6. Примеры расчетов упругих характеристик
Определим модуль упругости при одноосном деформировании
двух типов композитов: перекрестно армированного материала
(со структурой армирования [±ф]) и однонаправленного материала
при растяжении под углом ср к направлению армирования.
Технические постоянные упругости многослойных композитов
в общем случае определяются соотношениями A.77)—A.80). Рас-
Рассмотрим для определенности деформирование в направлении оси х.
В соответствии с A.77) модуль упругости Ех = Ag/(g22g&6— gf6) •
Перекрестно армированный материал со структурой армирова-
армирования [±ф] является ортотропным материалом [см. A.73)]. Коэффи-
Коэффициенты жесткости gu, gi2, g12, g66 перекрестно армированного мате-
материала в системе координат х, у согласно A.73) равны соответству-
соответствующим жесткостям однонаправленного материала в той же системе
координат: gn = gn, g2i = g22, gV2 ='g12, gM = g66, а жесткости
?ie и g26 равны нулю.
В случае растяжения однонаправленного материала под углом ср
к направлению армирования композит состоит из одного слоя,
повернутого на угол ср к оси х. Поэтому все жесткости gtj компо-
композита в целом совпадают с соответствующими жесткостями gu одно-
однонаправленного материала в системе координат х, у: gn -- gu,
?22 — g22. ?12 — ?12. gie = gie> g2e ~ ?26. gee — gее-
Таким образом, матрицы жесткости рассматриваемых материа-
материалов выглядят следующим образом:
Г?п gu.
gl2 §22
L о о
о
[G(±q>)] = \gi2 g22 0
§11 §12
§12 §22
отличаясь лишь значением коэффициентов жесткости gu, g2e.
Различие в структуре матриц жесткости может заметно ска-
сказаться и на величинах технических постоянных упругости. Проведем
численный анализ для стеклопластика со следующими характери-
характеристиками однонаправленного материала: Ег = 46 000 МПа, Е2 =
= 18 000 МПа, G12 = 4500 МПа, v12 = 0,2.
Вследствие симметрии матрицы жесткости материала коэффи-
коэффициент Пуассона
v21 = ^L = 0,078.
Коэффициенты жесткости материала в «естественной» системе
координат (/, 2) (см. рис. 1.4) в соответствии с A.34) равны
§?, = -j—?* = 46 700 МПа;
1 — V12V2l
= 3660 МПа;
¦== 18300 МПа;
§66 == 1*12 == 4OUU ml 1а.
34
По A.58) определим коэффициенты Vt:
V, = Cg°n + 2g°i2 + 3^2 + 4g6°6)/8 = 27 500 МПа;
V2 = (g°ll-g°22)/2= 14200 МПа;
Vz = (gn - 2g?2 -f g°22 - 4g6°6)/8 = 4960 МПа;
Vt = (gu - 2g°l2 -f- g°22 + 4gg6)/8 = 9460 МПа.
Коэффициенты жесткости однонаправленного материала в си-
системе координат х, у, повернутой на угол ф относительно «естест-
«естественной» системы координат (/, 2), определяются в соответствии
с A.57) следующим образом (числовые значения приведены для
Ф = 15°):
Ёп = Vi + V2 cos 2ф + Vs cos 4ф = 42 300 МПа;
giz = Vi — 2Vi — V3 cos 4ф = 6140 МПа;
gu = -^-V2 sin 2ф + Vs sin 4ф = 7850 МПа;
g22 = Vi — V2 cos 2ф + V3 cos 4ф = 17 700 МПа;
g2e = i- V2 sin 2ф - V3 sin 4ф = —750 МПа;
get = V4 — V3 cos 4ф = 6980 МПа.
Величина определителя матрицы жесткости однонаправленного
материала (она не зависит от угла ф) равна 3 780 000 МПа3. Тогда
модуль упругости Ех A5°) в соответствии с A.77)
?хA5°)= - Ла(ф) - =30700 МПа.
?22?вв — 8а
Структура матрицы жесткости ортотропного перекрестно арми-
армированного композита позволяет использовать менее громоздкие
формулы A.81):
Ex(±\bc) = gn -4^-= 40 200 МПа.
822
Результаты вычислений для ряда углов ф сведены в табл. 1.1.
Рис. 1.12.
20000 -
10000
30 IS 60 IS if,'
35
1.1. Значения модулей упругости
Модули
Ех (ф), МПа
Ех (±ф), МПа
Углы укладки, °
0
46 000
46 000
1
15
30 700
40 200
0,76
30
17 900
25 300
0,71
45
13 750
14 400
0,95
60
13 800
14 100
0,975
75
16 800
16 800
~1
90
18 000
18 000
1
Соответствующие графики представлены на рис. 1.12. Разница
в определяемой величине модуля упругости в рассмотренном слу-
случае может составить ~30 %.
Глава 2
Модель композиционного материала
с хрупким полимерным связующим
Эксперименты со многими композиционными материалами позво-
позволили обнаружить ряд явлений, не описываемых в рамках линейно
упругого представления о деформировании. К основным особен-
особенностям поведения композиционных материалов при нагружении
можно отнести: заметную нелинейность диаграмм деформирования ¦
ряда материалов, зависимость характера диаграмм от вида напряжен-
напряженного состояния и структуры материала, различие диаграмм одно-
одноосного растяжения и сжатия, первого и последующих нагружении
и др. Теории нелинейного деформирования и разрушения современ- I
ных композитов далеки от завершения, даже если речь идет о наиболее
распространенном и весьма представительном классе композитов
с хрупкой полимерной матрицей.
В гл. 2 внимание сосредоточено на особенностях поведения компо-
композита с хрупкой полимерной матрицей, вызванных появлением и
развитием системы микротрещины во всем объеме связующего.
Именно эти процессы в основном ответственны за проявление компози-
композитами с хрупкой полимерной матрицей неупругих свойств. В главе
обосновывается одна из возможных моделей деформирования и разру-
разрушения многослойных композитов при плоском напряженном состоя-
состоянии. Развиваемую модель можно отнести к числу структурно-фено-
структурно-феноменологических. Феноменологический подход используется для опи-
описания поведения однонаправленного композиционного материала
(монослоя), структурный — для рассмотрения многослойных компо-
композитов, составленных из разноориентированных монослоев. Основные
36
достоинства модели — наглядность и минимальный объем исходной
информации о свойствах материала. По сути дела, ее требуется
не больше, чем для описания деформирования и прочности линейно
упругих композитов. Тем не менее показано, что рассматриваемая
модель во многих случаях позволяет вполне удовлетворительно
описать прочность и процессы деформации современных композитов.
§ 2.1. Прочность однонаправленного
композиционного материала
при плоском напряженном состоянии
Прочность однонаправленного композита, так же как и прочность
композиционных материалов вообще, может быть исследована •
с использованием двух основных подходов: структурного и феномено-
феноменологического.
Один из простейших вариантов первого подхода был использован
в предыдущей главе для определения жесткостей однонаправленного
материала. Для исследования прочности однонаправленного мате-
материала на структурном уровне необходимо составить некоторую
структурную модель материала, определить поля напряжений
(деформаций) в волокне и матрице и сопоставить эти напряжения
(деформации) с предельными для волокна, матрицы и границы
раздела волокна и матрицы.
Подобные теории, получившие название структурных (или микро-
микромеханических) теорий прочности, активно развиваются в последнее
время (см., например [49, 57]). Трудности, стоящие на пути создания
достоверной структурной теории прочности, весьма значительны.
Прежде всего следует отметить, что сохраняются те из них, которые
в предыдущей главе (§ 1.2) были названы в качестве основных пре-
препятствий, стоящих перед создателями структурных теорий жесткости
(податливости) композитов. К ним следует добавить прежде всего
повышенные требования к точности определения напряженно-дефор-
напряженно-деформированного состояния компонентов композита, поскольку начало
разрушения композита обычно связано с локальными физическими
процессами. Отсюда — принципиальная невозможность использова-
использования многих простейших структурных моделей, достаточных для
анализа интегральных (например, жесткостных) характеристик ком-
композита. Серьезно затрудняет оценку прочности композита в рамках
структурного подхода необходимость рассмотрения кинетики разру-
разрушения материала, так как локальные значения параметров напря-
напряженно-деформированного состояния компонентов композита часто
достигают предельных значений уже на начальных этапах нагруже-
ния композита, что, однако, не приводит к исчерпанию его несущей
способности.
Современное состояние структурного подхода к прочности таково,
что не позволяет получить надежные количественные данные о проч-
прочности композитов. Поэтому основное внимание уделим феноменологи-
феноменологическому подходу, состоящему в создании достаточно простой мате-
37
матической модели, максимально учитывающей экспериментальные
данные о прочности композитов.
При отсутствии тепловых, временных, химических и радиацион-
радиационных воздействий на материал его разрушение обычно связывают
с напряженным состоянием тела; тогда критерий прочности (разру-
(разрушения) можно записать в виде
f(ou, F) = 0, B.1)
где F — некоторые характеристики прочности материала.
Уравнение B.1) для анизотропного материала отличается от
аналогичного уравнения для изотропного материала прежде всего
тем, что в случае изотропии параметр материала F представляет собой
единственную скалярную константу, а для анизотропного материала
F может быть совокупностью многих параметров материала, вид
которой определяется конкретной записью критерия прочности.
Феноменологические критерии прочности не выводятся аналити-
аналитически, они постулируются или предлагаются на основе обобщения
экспериментальных данных. Следствием имеющейся относительной
свободы в формулировке критериев прочности явилось значительное
число попыток создания таких критериев [7, 15, 16, 31].
Одна из наиболее общих формулировок критерия прочности
анизотропных тел имеет вид [16]
(Fioif + (Ftfltoj)» + (FubOtopb)* + • ¦ • = 1 B.2)
(t, /, k, ... = 1, 2, .... 6),
где Fit Fij, FiJh, ... —матричные обозначения так называемых
тензоров поверхности прочности второго, четвертого, шестого и
последующих четных рангов. В [16] наиболее полно был разработан
вариант критерия B.2), в котором принято, что а = 1, р = 1/2,
у = 1/3, и т. д. В этом случае критерий B.2) представляет собой
однородную функцию тензора напряжений.
Более удобным для практического применения оказался вариант
критерия, в котором показатели степени в B.2) приняты равными
единице: а = р = у = ... = 1,
и
FiOt + FtfitOj -!- Fmo,p/oh ^ = 1. B.2A)
Форма записи B.2А) получила название тензорно-полиномиаль-
ного критерия прочности [15, 31 ].
Феноменологический подход имеет ряд серьезных недостатков.
В первую очередь для однонаправленных композитов это необхо-
необходимость повторения всех экспериментов по определению компонент
тензоров поверхности прочности при любом изменении характеристик
волокна и матрицы, объемной доли компонентов, технологии изго-
изготовления материала и т. д. Экспериментальное определение нужного
набора констант прочности однонаправленного материала, как пра-
правило, является весьма трудоемкой технической задачей.
Проведенные эксперименты с типичными однонаправленными
композитами позволяют установить, что вид разрушения зависит от
38
во*
::
H
:::
tut
•
I
tlOtDt
1У
H
1
1 t
t)
типа напряженного состояния [50, 57]. Некоторые из характерных
видов разрушения однонаправленного материала схематично пред-
представлены на рис. 2.1: разрушение при растяжении вдоль волокон,
сопровождающееся разрывом волокон (о); разрушение при сжатии
вдоль волокон, вызванное «сколом», расслоением, сопровождающи-
сопровождающимися потерей устойчивости волокон или сдвиговой формой потери
устойчивости (б); разрушение связующего и (или) адгезионной связи
волокон и связующего при растяжении поперек волокон (в); разру-
разрушение композита, вызванное сдвиговыми напряжениями при сжатии
поперек волокон (г); расслоение материала, вызванное сдвиговыми
напряжениями в плоскости образца (д).
Простейшая гипотеза о поведении однонаправленного материала
состоит в том, что эти виды разрушения взаимно независимы и разру-
разрушение наступает тогда, когда предельных значений (определенных
в-эксперименте) достигают в отдельности напряжения alt cr2 или т12.
Произвольное плоское напряженное состояние однонаправленного
композита может быть изображено точкой в системе координат
(аи а2, т12). Условие прочности определяет в этой системе координат
некоторую предельную поверхность, выход за которую означает
исчерпание несущей способности материала.
Согласно введенной гипотезе предельная по-
поверхность в пространстве (аь о2, т12) представ-
представляет собой прямоугольный параллелепипед
(рис. 2.2). Условие прочности может быть
записано в виде
F+1\
B.3)
—F_2<a2<F+2;
¦|t12|<F12,
где F — соответствующие пределы прочно-
прочности; знаки «+» и «—» в индексах означают
соответственно растяжение и сжатие.
Рис. 2.2.
39
Критерий B.3) представляет собой комбинацию критериев наи-
наибольших нормальных напряжений и наибольших касательных напря-
напряжений, записанных в главных осях анизотропии материала. В работе
[15] показано, что представление критерия B.3) в виде
(ах - F+1) @! + F_0 (ета - F+i) (<т2 4- F_2) (т12 - F12) (т12 + Fl2) = О B.4)
позволяет [после раскрытия скобок в B.4) ] записать его в инвариант-
инвариантной тензорно-полиномиальной форме. При этом, однако, запись кри-
критерия прочности B.3) переходит в соотношение весьма громоздкого
вида, включающее тензоры прочности вплоть до двенадцатого ранга:
F2a2 4- Fna2i -\- 2F[2O\O2 4- Ftsp\ 4 F66ol -f
f 3Fu^a2 4-
Q Q Q О О 0 0
f 3^1660106 4- 3^2660206 -}- 4/r1i22aia2 + 4/rn66aia6 -\-
Q О Q 0 0
+ 4^1266010206 + 4/722660206 + §F[\ 266010206 +
-|- 5^12 266010206 + 6^112 26601*0206 = 1 • B,5)
Компоненты тензоров прочности в B.5) не являются независимыми
константами. Они определяются (при плоском напряженном состоя-
состоянии) через введенные в B.3) пределы прочности следующим образом:
С) р i 1 J l i .
Г+1Г_2 /*_1Г_2 ^-]/ + 2 ^+1^+2
; B-6)
Q/Г i
7
__!_/_! ' ! ,_! I V
~~~ F" \ F F ~ F F "' F F F F /
12 266 р чР f2 ^ f+1 f~T/ '
1
1
112 266 =
Только здесь индекс в обозначении предела прочности однонаправ-
однонаправленного материала при сдвиге заключен в прямые скобки, отличаю-
отличающие его от обозначения компоненты F12 тензора поверхности проч-
прочности четвертого ранга.
40
Приведенные значения компонент тензоров прочности B.6)
соответствуют системе координат, совпадающей с главными осями
анизотропии однонаправленного материала (или любого ортотроп-
ного материала).
Компоненты тензоров прочности однонаправленного материала
в любой другой системе координат могут быть получены по обычным
правилам преобразования тензоров при повороте систем координат.
Возможность такого преобразования — главное достоинство записи
критерия прочности B.3) в форме B.5)—B.6).
Прямоугольный параллелепипед — одна из простейших геометри-
геометрических моделей предельной поверхности однонаправленного мате-
материала, которая, конечно, может уточняться, налример, по резуль-
результатам экспериментов по разрушению материала при различных ком-
комбинациях напряжений аь а2, т12. Однако эффективность такого
уточнения не всегда соизмерима с потребными затратами. Проиллю-
Проиллюстрируем сказанное примером.
Влияние прочностных характеристик материала на несущую
способность конструкции часто определяется предельной величиной
первого инварианта тензора напряжений 1Х (То), воспринимаемой
материалом без разрушения [20]. В случае плоского напряженного
СОСТОЯНИЯ 1г (То) = 0j + СГ2-
На рис. 2.3 линии равных значений / первого инварианта аг +
+ а2 = const равнонаклонены к осям координат. Там же изображен
прямоугольник 2, соответствующий критерию наибольших напря-
напряжений, и прямая 3, соединяющая экспериментально определенные
точки F+1 и F+2. Ее уравнение
Экспериментальные результаты, соответствующие разрушению
материала при различных комбинациях ах и а2, обычно укладываются
в зоне, ограниченной прямыми 2 и 3 (см. например, [15]). Штриховой
линией 4 на рис. 2.3 изображена некоторая «действительная» пре-
предельная линия.
В случае критерия наибольших напряжений предельное значение
первого инварианта тензора напряжений, соответствующее точке А
на рис. 2.3, [/j (Го)]пред = F+1 -f- F+2, а в случае использования
прямой 3 [/j (То)]пред = F+1, если для определенности рассмотреть
случай F+1 > F+2. Этому предельному значению соответствует точка
В на рис. 2.3. Отношение указанных
предельных значений (F+1JrF+i)/F+1=
- 1 + FJF+1.
Для современных высокопрочных
однонаправленных полимерных ком-
композиционных материалов предел
прочности при растяжении материала
в поперечном направлении составляет
обычно от одной до восьми сотых пре- ftt 6i
дела прочности при растяжении вдоль Рис. 2.3.
41
3
A
2 >t
| / у
1
\
к
\
\
\\
A
\
в
волокон: F+2 «=« @,01^-0,08) F+1. Соответственно различие несущей спо-
способности при использовании сравниваемых критериев прочности также
составляет 0,01—0,08 по сравнению с единицей. Отношение F+2/F+1
(если говорить о первом октанте пространства напряжений av ст2,
•%) дает представление о потребности в уточнении формы предельной
поверхности с точки зрения правильной оценки предельной несущей
способности материала в рационально спроектированной конструк-
конструкции. KJ
Условия прочности B.3) легко могут быть использованы для
исследования зависимости предельного напряжения ох при одно-
одноосном нагружении образцов, вырезанных из однонаправленного
материала под углом ср к направлению армирования (рис. 2.4). При
этом, как следует из § 1.4, напряжения оь оъ т12 определяются
зависимостью
СО82ф 81П2ф — 2 Sin ф COS ф
= | sin2 ф cos2 ф 2 sin ф cos ф
sin ф cos ф —sin ф cos ф cos2 ф — sin2 ф J I. т
¦xy
CTi =
При одноосном нагружении в направлении оси х (ау = тху = 0)
= о cos2 ф; а = о sin2 ф; х i
cos
а2 = ох sin2 ф; хп = ох sin ф cos ф.
B3) б
х ф; 2 ох sin ф; хп ох sin ф cos ф.
Тогда условие прочности B.3) будет иметь вид:
при растяжении
COS2 ф
ох<
sin2 ф
Ох < -Л
при сжатии
-Р-
cos2 ф '
Sin фСОБ ф
sin ф cos ф
Для случая растяжения эти условия представлены на рис. 2.5.
Здесь легко различимы три диапазона углов ф, соответствующие трем
различным механизмам исчерпания несущей способности материала.
0 IS 30 iS SO 7S p/
Рис. 2.5.
§ 2.2. Деформирование однонаправленного
композиционного материала в составе пакета
слоев многослойного материала
Однонаправленные материалы деформируются практически ли-
линейно упруго вплоть до разрушения. Условия разрушения могут
быть определены с помощью феноменологического критерия проч-
прочности, если речь идет о поведении изолированного однонаправлен-
однонаправленного материала. В том случае, если однонаправленный материал
является одним из слоев многослойного материала, составленного из
разноориентированных однонаправленных слоев,-его поведение может
быть значительно более сложным.
Рассмотрим одноосное растяжение трехслойного материала, край-
крайние слои которого образованы однонаправленным материалом,
армированным в направлении растяжения, а средний слой армирован
в ортогональном направлении (рис. 2.6) [37]. Толщины внешних
слоев одинаковы (/гA> = /z<3>).
Запишем очевидное условие равновесия
2№> + c№2)) = cr,, B.7)
где /г<'> — относительные толщины слоев, например /г<'> =
= /z(I)/2 (/zA> + /zB>). Будем считать, что деформации ех, гу для всех
слоев одинаковы. Рассмотрим для определенности случай плоской
деформации гу = 0. Тогда напряжение в слоях в направлении оси х
„A)
тB)-
Деформации слоев одинаковы, они определяются следующими равен-
равенствами:
(О
= 0, (i=
Здесь ?\ и Ег ¦— модули упругости однонаправленного материала
соответственно в продольном и поперечном направлениях. При
увеличении приложенных к пакету слоев напряжений ах деформации
слоев е^ и напряжения в них а*' возрастают вплоть до разрушения
одного из слоев. У современных полимерных однонаправленных ком-
композиционных материалов со-
соотношение упругих и проч-
прочностных характеристик в на-
направлениях вдоль и поперек
волокон таково, что предель-
предельные деформации в поперечном
направлении (соответствую-
(соответствующие выполнению условия
= ^+г) существенно меньше
1
-С
А
ж
(обычно в 3—5 раз) пред ель- Рис. 2.6.
43
t
7777Г.ТГ|
г
—.
ных деформаций материала при
растяжении в продольном направле-
направлении (о1 = f+i). Поэтому разрушение
материала, показанного на рис. 2.6,
начинается со второго слоя. Напря-
Напряжение ст.;, соответствующее разре-
разрешению этого слоя, определим ис
Рис. 2.7.
равенства B.8):
их — г* ?* 1" ~у х^2" /• IZ.i/
Предположим, что при этом уровне напряжений во втором слс;.
появляется трещина, параллельная плоскости yz и расположенная
в случайном сечении, ослабленном, например, по причинам техноло-
технологического характера (рис. 2.7).
Представим напряжения в слоях после образования первой
трещины в среднем слое следующим образом:
_(i) _(i)
>х — «хО
ггB)-
Ох
тB) гтB)
xO — Ох ?
B.10
где GXQ — основные напряжения, определяемые ранее выражеииямр
B.8); волной сверху отмечены дополнительные напряжения, вызван-
вызванные образованием трещины. Дополнительное напряженное состояние
является самоуравновешенным: сг^'/г0' = ст^2)йB).
Все компоненты напряженного состояния слоев материала могут
быть выражены через дополнительные напряжения crl2) [37:
B.11)
где тA> и т'2> -— касательные напряжения в соответствующих слоях
в плоскости xz.
В свою очередь дополнительные напряжения а[2) могут быть
определены из следующего дифференциального уравнения:
2д2 °х , ^4- B) __ q
общее решение которого можно записать в виде
дх2) = е"*1* (С, sin
44
B.12)
cos kax) -\- zklX (С3 sin hx -[- C4 cos k2x). B.13)
Учитывая граничные условия задачи, можно показать, что
напряженное состояние в окрестности трещины определяется соотно-
соотношениями
= о<!>> + а<20>
'х (? sin ***-\- cos *2
а*2' = а$ Г1 - е
~*'х
i- sin ?2* + cos k2x) ] ;
,B)
[г _ (/,<•> -l ftW)] ^L.(k]+kV) e"*1* sin kox;
A'2
2/1D
CTB) „
B) _ ox0 i Л
az — 2~ '
— k2 cos
— ^2 cos А4
B.14)
Параметры fex и k» определяются выражением klt 2 = I 0,5 (Ь2
где, в свою очередь,
2J1,A) v /
?^ "F2- B
3
9ABL
J
1 [-/i<2>» 2ft<2>4
2? I 5 3
Графики, дающие качественную картину распределения напряже-
напряжений вблизи трещины в соответствии с формулами B.14), приведены
на рис. 2.8.
Напряжения о^2), тB) и аг2) весьма быстро затухают при удалении
от края трещины и уже при х = 2n/k2 практически равны нулю.
Анализируя второе уравнение из группы B.14), можно установить,
что напряжения во втором слое (нормальные к направлению армиро-
армирования) принимают наибольшее значение на расстоянии я'7г2 от края
трещины. Наибольшее напряжение в слое
-he~^r). B.15)
Важно отметить, что наибольшее напряжение превышает уровень
напряжения ai2), установившийся вдали от трещины, при котором
произошло появление первой трещины. Этот уровень (ai2)) превзойден
п в зоне длиной п!к.г, расположенной вблизи трещины (см. рис. 2.8, а).
45
Касательные напряжения в среднем
слое (см. рис. 2.8, б) достигают максимума
в точке с координатой хг = (arctg kjkx)lk2.
Наибольшее значение касательного на-
напряжения на границе первого и второго
слоев может быть найдено из четвертого
равенства B.14) подстановкой х = хг,г =
Характер изменения нормальных на-
напряжений о<2> представлен на рис. 2.8, в.
Наибольшей величины напряжения а<2)
достигают на краю трещины (х = 0). Здесь
на границе раздела слоев (z = hB))
B.16)
а в центре второго слоя (г = 0)
Рис. 2.8.
B.17)
Максимальные положительные (растягивающие) напряжения
имеют место при х — хп, где хц определяется из выражения
хп ---= -J- arctg -grrjp ¦
Дальнейшее поведение слоя зависит от соотношения пределов
прочности слоя при растяжении по-
1) перек волокон, при межслоевом
* сдвиге и нормальном (межслоевом)
отрыве. В зависимости от соотноше-
соотношения названных характеристик воз-
возможно (рис. 2.9): появление трещины,
,; параллельной начальной, вызванное
" напряжениями о^2) (а); появление
трещины между слоями, вызванной
касательными напряжениями (б); по-
появление трещины между слоями (или
'> внутри слоя), вызванной межслое-
межслоевыми нормальными напряжениями
I)
•
:::::::
*/*г
;:::": II"
< -^1
Рис. 2.9.
46
Рис. 2.10.
ctj2) (в); появление во втором слое трещины (трещин) не параллельной
осям координат (г). Поясним на примере последнюю из названных
возможных причин образования новых трещин. Напряженное состоя-
состояние в окрестности начала координат (х = 0, г = 0) близко к одно-
одноосному сжатию, при этом напряжения определяются формулой B.17).
Максимальные касательные напряжения имеют место на площадках,
наклоненных под углом 45° к оси г. Абсолютная величина этих напря-
напряжений равна половине напряжений ai2): при х =-- z = 0
B.18)
Комбинация действующих напряжений а(х2), а*2>, тB) может
явиться причиной появления новых трещин и в других точках вто-
второго слоя.
Практика показывает, что чаще всего реализуется первый из
названных механизмов образования трещин и возникает трещина,
параллельная начальной. Расстояние между начальной и новой
трещиной близко к nlk2, поскольку при х = n'k2 напряжения а*2)
достигают максимума, определяемого формулой B.15). Все сказанное
применимо и к вновь образовавшейся трещине. Таким образом, при
напряжении ах, определяемом формулой B.9), в среднем слое рас-
рассматриваемого материала появляется система трещин, делящая его
на отдельные блоки (рис. 2.10). Средняя длина блока равна n!k2.
Однако в области
хш -\-n/k2>x>xlu, B.19)
где xlu = [arctg (—k2ikl) ],'k2, напряжения oi2) также превышают
уровень а*2) и отличаются от максимальных напряжений а*2) обычно
не более чем на 1 %. Поэтому появление блоков любой длины, при-
принадлежащей диапазону B.19), практически равновероятно.
Рассмотрим для определенности напряженное состояние блока
длиной n/k2 (см. рис. 2.10).
Решение уравнения B.12) в этом случае удобно представить
в виде
д{х} = Ci sh kix sin k2x -;- C2 sh k\X cos k2x - j- C3 ch kxx sin k2x -j-
+ C4 ch kxx cos k2x. B.20)
В силу симметрии распределения напряжений относительно на-
начала координат С2 = Ся = 0. Постоянные Сх и С4 определяются
с учетом соотношений B.11) из граничных условий на краю трещины:
при х = n/2k, al2) = 0 и тB) = 0.
47
Напряженное состояние блока описывается следующими зави-
зависимостями:
(О
я 1ц
-р- ch /jjA" COS /^2X -|- Sll k\X Sin
,<2> = a<2) [~1 Lp- (A- ch Л,* cos ,
sin
!•
,B)
(*? + *1)
2k,
z sh fetx cos k2x,
2 sh
X
2k,
X (fei ch kyX cos Л2дг — fe2 sh kxX sin fe2x
QB) L [г2 B) 1 B)) go (fe'
X
B.21)
x (&i ch ^x cos /?2Jc — k2 sh ^дг sin k2x).
Графики, дающие качественную картину распределения напряже-
напряжений в отдельном блоке, приведены на рис. 2.11.
Максимальные нормальные напряжения oi2) (см. рис. 2.11, а)
имеют место в центре блока (х = 0). Они равны
B.22)
Ik,
Касательные напряжения на границе раздела слоев г = /i<2>
достигают максимума в точке х\\ (см. рис. 2.11,6), координата
х/2к2
*)
Рис. 2.11.
48
которой определяется из соотношения
Хорошим приближением для х\\ является следующее выражение:
Максимальное значение касательных напряжений может быть най-
найдено подстановкой x!V в четвертое уравнение из группы B.21).
Укажем также значения нормальных межслоевых напряжений
в центре блока и на его границе. Они определяются следующими
выражениями:
прИ
„ри х = 0, г =
2k,
B)
B)
B.25)
Максимальное значение положительных (растягивающих) напря-
напряжений al2) имеет место в точке 2 = 0, лг = ху (см. рис. 2.11, в), коорди-
координата которой определяется из соотношения
th fcjxv ctg fe2n = -
Рассматривая поведение слоя, разделенного на блоки длиной
n,'kit при последующем нагружении следует вновь проанализировать
возможные f механизмы трещинообразования с использованием
B.21)—B.26). Такой анализ обычно выявляет, что доминирующим
остается механизм образования трещин, вызванных нормальными
напряжениями ау, поскольку их максимальное значение в центре
блока, определяемое формулой B.22), практически равно о®о. Таким
образом, новые трещины делят средний слой на блоки, длина которых
близка к nl2k2. Важно отметить, что образование первой трещины,
появление системы трещин, делящей слой на отдельные блоки, и
последующее деление блоков пополам происходят практически при
постоянном уровне напряжений ох> определяемом формулой B.9).
Уравнение B.20) может быть решено и для случая блока с длиной,
равной n/2k2. Численный анализ, проведенный для ряда полимерных
композиционных материалов, показывает, что для блоков такой длины
доминирующими механизмами образования новых трещин становятся
типы механизмов, схематично изображенных на рис. 2.9, б и г.
Таким образом, становятся возможным развитие трещин по границе
слоев и ветвление трещин, происходящее при дальнейшем деформи-
деформировании ортогонально армированного композита.
49
На рис. 2.12 приведены некоторые результаты анализа микрофото-
микрофотографий поперечного сечения ортогонально армированного стекло-
стеклопластика на различных этапах нагружения [56]. Сплошной линией
отражены результаты аналитического решения. Цифрой / отмечен
этап появления первой трещины и последующего за этим деления
среднего слоя на блоки. Этап // соответствует последующему делению
блоков (число трещин на единицу длины возрастает вдвое). Этап ///
соответствует еще одному делению блоков согласно первому из назван-
названных механизмов. Число трещин на единице длины при реализации
этого механизма должно еще раз удвоиться. Точками на рис. 2.12
отмечены экспериментальные результаты. Они свидетельствуют о том,
что после первого разрушения слоя число трещин быстро возрастает,
находясь в хорошем соответствии с результатами аналитического
решения (этапы / и //), но далее остается практически постоянным.
На микрофотографиях, соответствующих этому этапу нагружения,
замечено разветвление трещин и выход их на границу раздела слоев,
что косвенно подтверждает предсказанную расчетами возможность
смены механизма развития трещин.
Приведенные результаты свидетельствуют о существовании неко-
некоторого нижнего предела длины блока, выделенного трещинами из
среднего однонаправленного слоя, растягиваемого в поперечном
направлении. Простейшая оценка минимальной длины блока может
быть сделана по аналогии с известной оценкой критической длины
хрупкого волокна в податливом композите [28].
Рассмотрим равновесие полублока, считая, что касательные на-
напряжения постоянны по его длине (рис. 2.13). Условие равновесия
выделенной половины блока единичной ширины запишем следующим
образом: 2/гB)а^2) = 2/т. Отсюда может быть найдена критическая
длина блока, при которой в середине блока нормальные напряжения
ох ' достигают предельной величины F+2:
4р = 2-^B)- B.27)
Напряжения т в B.27) можно трактовать как предельные напря-
/8г жения межслойного сдвига. При раз-
развитии трещины на границе слоев их
можно трактовать как силы трения,
приходящиеся на единицу поверхно-
5 >2\- in сти. Если длина блока превышает /кр,
о i г з
Рис. 2.12.
S бх/0*
г ^
* б
Рис. 2.13.
50
dx,MHa
60
20
^—¦
/
/
(А
/у
У
,
^/\
У
0,5
1.0
Рис. 2.14.
Рис. 2.15.
то при возрастании нагрузки напря-
напряжения о^"' в центре блока могут пре-
превышать предел прочности F+2. При
' < ^кр увеличение нагрузки может
привести к образованию и развитию
трещины на границе слоев.
Этапы развитого трещинообразования в слое, сопровождающиеся
сложными процессами ветвления и пересечения трещин, взаимодей-
взаимодействия контактирующих берегов трещин, пока не имеют аналитиче-
аналитического описания. Некоторую косвенную информацию об этих процес-
процессах можно получить из описываемых далее экспериментов.
На рис. 2.14 приведена типичная диаграмма деформирования
стеклопластика с ортогональным расположением слоев. На диа-
диаграмме заметен характерный перелом (точка А), соответствующий
началу трещинообразования в слоях, растягиваемых в направлении,
ортогональном армирующим волокнам. В предположении о том, что
деформирование слоев, растягиваемых в направлении армирования,
остается упругим, из диаграммы деформирования композита 1
выделена диаграмма деформирования слоев, ортогональных направ-
направлению растяжения (кривая 2). В этих слоях уровень напряжений
остается близким к постоянному, отмеченному цифрой 3. Сложение
диаграммы деформирования 3 с линейной диаграммой деформирова-
деформирования слоев, армированных в направлении растяжения, дает диа-
диаграмму деформирования композита 4, удовлетворительно описываю-
описывающую эксперимент. Касательный модуль упругости композита до
точки перелома А диаграммы 4 имеет значение Ех = EJi^ +
+ Е2 A —й'1)), а после точки перелома Ех = ЕХШ1К Здесь й<'> —
относительная толщина слоев, армированных в направлении растя-
растяжения.
На рис. 2.15 приведена диаграмма деформирования углепластика
со схемой армирования [457—45°]в, взятая из работы [58]. При
одноосном растяжении перекрестно армированного материала
с углами укладки слоев +45° нормальные напряжения в однонаправ-
однонаправленном материале Oj и о2 далеки от предельных, поэтому диаграмма
51
в,МПа
400
300
200
too
Ay
/У
в
f
/
с/
0.6
1,2
Рис. 2.16.
на рис. 2.15 характеризует в основном
поведение однонаправленного мате-
материала при сдвиге в плоскости слоя. По
внешнему виду диаграмма деформирова-
деформирования такого материала при активном на-
гружении напоминает диаграмму дефор-
деформирования упруго-идеально пластич-
пластичного тела, качественно совпадая с диаг-
диаграммой деформирования однонаправ-
однонаправленного материала, входящего в состав
многослойного композита, при растя-
растяжении в направлении, ортогональном
волокнам [37].
На рис. 2.15 даны также диаграммы
цикла разгрузка — повторное нагруже-
ние. Подобные диаграммы для ортого-
ортогонально армированного стеклопластика
при растяжении в одном из направлений
армирования, взятые из работы [56], приведены на рис. 2.16 (разгрузка
начинается в точках Л, В, С). Их анализ позволяет сделать'ряд
выводов. Во-первых, остаточные деформации, фиксируемые при
разгрузке, значительно меньше деформаций, достигнутых до начала
разгрузки при активном нагружении; относительно малая величина
остаточных деформаций соответствует структурным представлениям ;
о возможном закрытии трещин при разгрузке. Во-вторых, средний •
модуль цикла разгрузка — повторное нагружение (отмечен штрихо-
штриховой линией на рис. 2.15) существенно зависит от уровня деформации,
с которого начинается разгрузка; величина этого среднего модуля
ближе к величине секущего модуля диаграммы, чем к величине на-
начального модуля материала. В-третьих, наличие нескольких циклов ,
разгрузка — повторное нагружение практически не влияет на вид
диаграмм деформирования вне этих циклов.
§ 2.3. Модель поведения монослоя
Будем считать, что деформирование однонаправленного мате- ;
риала монослоя в составе пакета слоев многослойного композита
происходит в соответствии с модельными диаграммами, изображен-
изображенными на рис. 2.17.
Деформирование однонаправленного материала в направлении
волокон полностью упруго (рис. 2.17, а). При достижении предель-
предельных напряжений F+1 или F_t слой считается разрушенным.
Поведение слоя при нагружении в направлении, ортогональном
волокнам, существенно сложнее (рис. 2.17, б). При деформировании
слоя в пределах участка 0—1 он монолитен и линейно упруг. В точке
/ начинается процесс трещинообразования в связующем, который
развивается на участке деформирования 1—2. Изолированный
монослой в точке 1 разрушается. Разгрузка с_ любой точки участка
1—2 происходит с разгрузочным модулем ?2, равным секущему
52
02
А
Рис. 2.17.
модулю диаграммы. Остаточные деформации равны нулю, что соот-
соответствует предположению о полном закрытии трещин. Поэтому при
последующем сжатии монослоя (участок диаграммы 3—4) полностью
восстанавливается начальный модуль материала. Повторное дефор-
деформирование однонаправленного материала при положительных значе-
значениях напряжений а2 происходит по участку 3—2 и далее по участку
2—2'. Диаграмма деформирования на рис. 2.17, б построена в функ-
функции приведенной деформации ё2 = е2 + v12ej, что позволяет учесть
влияние деформирования в направлении укладки волокон на растре-
растрескивание связующего. Разгрузочный модуль Е2 определяется сле-
следующим выражением:
е*,+
B'28)
где индекс * — знак наибольшего алгебраического значения пара-
параметра за предысторию деформирования.
Поведение монослоя при сдвиге во многом аналогично его поведе-
поведению при деформировании в направлении, ортогональном волокнам
(см. рис. 2.17, в). На участке 0—/ монослой деформируется линейно
упруго. Участок диаграммы /—2 соответствует этапу развития тре-
щинообразования в связующем монослоя. Разгрузка (участок 2—3)
происходит с разгрузочным модулем сдвига GJ = t*2/v*2- Процесс
сдвигового деформирования не зависит от знака напряжения тп.
Поэтому на участке 3—4 деформирование также происходит с разгру-
разгрузочным модулем G12. Повторное деформирование в область положи-
положительных напряжений т12 происходит по траектории 4—3—2 и далее
по участку 2—2', где возобновляется трещинообразование в связую-
связующем. Если напряжения а2 достигают предельной величины F_2,
не зависящей от предыстории нагружения, слой считается разру-
разрушенным.
Процессы образования трещин при сдвиге и деформировании
монослоя в поперечном направлении взаимосвязаны. Будем считать,
что появление системы трещин, независимо от причины их появления,
одновременно сказывается на поведении монослоя и при сдвиге и
53
при деформировании в поперечном направлении. Началу трещино-
образования в монослое соответствуют напряжения а2 и т'2 (см.
рис. 2.17, б, в). При этом возможны два варианта:
|тГ2| = Л2; aS<F+3 B.29)
или
Таким образом, в соответствии с рассматриваемой моделью
поведения монослоя [24], кроме двух естественных его состояний —¦
начального (монолитный материал) и конечного (материал разру-
разрушен) — существует группа промежуточных состояний: материал
с трещинами в полимерном связующем. В этой группе, в свою оче-
очередь, можно выделить группу состояний материала с открытыми тре-
трещинами (трещины разомкнуты) и группу состояний материала
с закрытыми трещинами (трещины сомкнуты). Знак напряжения а2
определяет группу состояний материала: при положительных значе-
значениях а2 трещины открыты, при отрицательных (сжатие) — закрыты.
В соответствии с моделью в группе состояний материала с откры-
открытыми трещинами выделяются четыре состояния монослоя, отличаю-
отличающиеся величинами достигнутых деформаций ё2 и | Yi21 и знаками
приращений этих деформаций Дё2, Л | Yiz I- Так, на диаграмме
рис. 2.17,6 можно выделить участок /—2—2', соответствующий
состоянию активного («пионерного») деформирования, которое сопро-
сопровождается трещинообразованием. При этом ё2 = ё2 и Лё2 > 0.
Напротив, деформирование в пределах участка диаграммы 2—3
(разгрузка и повторное нагружение), при котором ё2 < Ц, не сопро-
сопровождается новыми необратимыми изменениями монослоя. Аналогич-
Аналогичные участки можно отметить и на диаграмме сдвигового деформиро-
деформирования (см. рис. 2.17, в). Общее число комбинаций возможных этапов
деформирования монослоя при сдвиге и растяжении в направлении,
ортогональном волокнам, в группе состояний материала с открытыми
трещинами равно четырем.
Если монослой сжат в поперечном направлении (а2 < 0) и тре-
трещины закрыты, то в зависимости от этапа сдвигового деформирова-
деформирования можно выделить еще два типа состояний монослоя. Первое из
них соответствует активному трещинообразованию при сдвиге
(| 7i21 = IyM- A 17i21 > 0). второе —деформированию в уже
«освоенном» диапазоне деформаций (| 7J1 < I yh |).
Введем матрицу-столбец параметров эффективной жесткости
монослоя {i|)j, ip2, ip]2}, которые определим следующим образом:
*i = #; *. = ¦&¦! ** = ¦%?¦• B.зо)
Здесь Ей Е°, G?2 — начальные, а Еи Е2, Gi2 — текущие значения
касательных модулей упругости монослоя.
В зависимости от знака напряжений а.,, величины деформаций
^2 и | Yxs I и знака их приращений матрица-столбец параметров
эффективной жесткости монослоя с трещинами принимает одно из
шести возможных значений, приведенных в табл. 2.1.
54
2.1. Параметры эффективной жесткости материала с трещинами
Состояние
монослоя
Трещины
открыты
ог> 0
Трещины
закрыты
02<О
Параметры деформиро-
деформированного состояния
в попереч-
поперечном направ-
направлении
82<ё?
F2 = ё?
Af s > 0
при сдвиге
1 Vl2 К
1 У» 1 =
Д|Т,2|>
0
1Тм1<
1
1
1
1
1
1
Е2/Е°,
0
0
1
1
,,
0J2/0J,
0
0
0
~Gja,
В начале деформирования (когда материал монолитен) матрица-
столбец параметров эффективной жесткости имеет значение {т^, i|J,
г|I2} = {1, 1, 1}, а при полном разрушении монослоя [т. е. выполне-
выполнении условий аа = F+1 или ах = F_x или (и) а2 = F_2] все ее компо-
компоненты равны нулю: {i^, i|J, i|I2} = {0, 0, 0}. Таким образом, общее
число возможных состояний монослоя равно 8.
Будем считать, что коэффициент Пуассона v12 не изменяет своего
значения в процессе деформирования. Тогда, полагая, что для каса-
касательных модулей упругости выполняется соотношение ?iv21 = ?2v12,
и учитывая, что параметр 1\р1 для всех состояний материала, вплоть
до разрушения, равен единице, имеем
V2,
V21 -т
B.31)
Параметры эффективной жесткости используются при формиро-
формировании матрицы жесткости монослоя, связывающей приращения
напряжений и деформаций:
A jal2} = lG0']A {е12} B.32)
или
Aa2
Ат13 J
( 1 - V°2
0
0
*, GI2*12J
Аед
Ае2
•
B.32А)
55
Компоненты матрицы жесткости в B.32А) зависят от текущего
напряженно-деформированного состояния монослоя и предыстории
его деформирования (табл. 2.1).
Отметим, что структурная интерпретация состояний монослоя,
использованная в этом параграфе (например, представления о закры-
закрытых и открытых трещинах) весьма упрощена и схематизирована.
Можно не прибегать к ней, считая изложенный подход чисто фено-
феноменологической моделью процессов деформирования однонаправлен-
однонаправленного материала в составе пакета слоев многослойного композита.
§ 2.4. Алгоритмизация задач о деформировании
и прочности многослойных композитов
Описанная в § 2.3 модель поведения монослоя может быть при-
применена для анализа процессов деформирования и разрушения много-
многослойных композитов, составленных из нескольких разноориентиро-
ванных монослоев. Будем считать, что на всех этапах деформирова-
деформирования композита связь его слоев идеальна, т. е. деформации всех слоев
в системе координат композита (х, у) одинаковы и равны средним
деформациям композита в целом.
Разработанная модель предназначена для определения вида
состояния каждого из слоев композита и учета соответствующих
этому состоянию жесткостей при определении средних (приведенных)
параметров композита. Для многослойных композитов эта процедура
весьма трудоемка. Поэтому в настоящем параграфе рассматриваются
возможные алгоритмы проведения необходимых вычислений на ЭВМ.
Наиболее естественным для реализации модели является алгоритм
последовательных нагружений. Пусть на п-м шаге нагружения
средние напряжения, приложенные к композиту, увеличиваются на
величину шага по нагрузке А {оху}п — {Аах, Аоу, Ахху}п.
Найдем соответствующие этому шагу приращения средних дефор-
деформаций композита
A{exy\n = [G']n-iA{oxu\n, B.33)
где матрица жесткости композита [С ] была определена на предыду-
предыдущем шаге нагружения по формуле A.67).
Полные средние деформации композита после л-го шага нагру-
нагружения становятся равными сумме: {еХ4,}„ = {?Хц}п-1 + А {гху)п-
Найдем соответствующие им деформации слоев в координатах, свя-
связанных с направлениями армирования слоев A((), 2('>). Так, для
г-го слоя {e12}<,° = [Т^Ц {гху)п и А {е12}</> ^ {ег2}^ - {е12}<'2,.
Здесь матрица преобразования координат [Т1]п1\ определена на
предыдущем шаге нагружения по формуле A.41А).
Определим приращение напряжений и полные напряжения
в слоях:
56
Теперь известны все параметры напряженно-деформированного
состояния слоев, необходимые для определения матрицы параметров
эффективной жесткости каждого слоя в соответствии с логикой мо-
модели, отраженной в табл. 2.1: {^}i° = / ({ст12}<0, {е„}?°, А {е1в}?°).
Параметры эффективности жесткости слоев используем для фор-
формирования их матриц жесткости [G0' ]^> в соответствии с правилом
B.32 А).
Используя найденные матрицы жесткости слоев \G°']n'\ вычислим
уточненные (с индексом I) значения приращений напряжений в слоях:
A {ai2}n? — '[G0'}ir!) A {e12}J,(), и полные напряжения в слоях:
{аиДО - ЫЙ + A {ou}W.
Относительно небольшая жесткость при сдвиге многих современ-
современных полимерных композиционных материалов нередко приводит
к заметному изменению исходных углов укладки монослоев за счет
деформаций сдвига. Этот вид нелинейностей, связанный с изменением
геометрических параметров (углов укладки слоев) структуры много-
многослойного композита, назовем структурной нелинейностью. Прибли-
Приближенный учет этого вида нелинейности может быть проведен путем
коррекции углов укладки слоев следующим образом: ц>п1) = срй -f-
Новые значения углов армирования <р«' используем при определе-
определении матрицы преобразования координат [7\ li'\ а ее, в свою очередь,
используем для вычисления матрицы жесткости композита на п-м
шаге нагружения [см. A.67), A.51 А)]:
м
IV J.'i— Zj L-* lJn Iй in I* ll'i « •
1=1
Проведем контроль положительной определенности полученной
матрицы [С ].j. Обычно для этого достаточно убедиться в том, что
g'u > 0, g'22 > 0, gee > 0.
Определим уточненные значения средних напряжений в пакете
слоев, полученные с использованием матриц n-го шага:
м
Матрица-столбец уточненных напряжений {oxy}n\ в общем случае
может отличаться от заданного уровня средних напряжений, равного
произведению числа проведенных шагов нагружения на величину
одного шага по напряжениям пА {<зху}. Используем разность этих
матриц для контроля точности проведенных вычислений. Найдем
модуль невязки (корень квадратный из суммы квадратов компонент
? = | {аху}„1 — пА {аху} | и отнесем его к модулю вектора прира-
приращения напряжений |А{атг,}|. Относительную (нормированную)
невязку ? — ? /| А {оХу} \ сопоставим с заданной допускаемой
погрешностью г). Если ? >г), возвратимся к формуле B.33) и повто-
повторим все последующие вычисления, используя вместо матриц п — 1-го
57
шага матрицы, полученные в первом приближении на л-м шаге.
Число итераций по уточнению состояния слоев полезно контроли-
контролировать, и если оно превышает некоторые разумные пределы, необхо-
необходимо уменьшить шаг по нагрузке.
Если ? < 1], считаем, что {оху}п = пА {сг^}, и переходим
к (п -j- 1)-му шагу нагружения.
На первом шаге нагружения определение необходимых для .рас-
.расчета матриц ведем, считая, что характеристики слоев и углы армиро-
армирования равны исходным значениям.
Приращения напряжений продолжаем до разрушения композита.
Будем считать, что многослойный композит разрушен, если хотя бы
в одном из его слоев выполнены условия а\° = F^!} или а[° = F{1\,
или (и) аBп = F%
Как показывают результаты экспериментов, это предположение
вполне оправдано, по крайней мере, для многослойных композитов,
составленных из небольшого числа групп (до 4—5) разноориентиро-
ванных слоев.
Изменение жесткостных характеристик слоев при деформирова-
деформировании нередко приводит к тому, что матрица жесткости композита
[С ] становится сингулярной и не имеет обратной матрицы, необходи-
необходимой для вычислений по формуле B.33). В этом случае в соответствии
с используемой моделью композит получает возможность неограни-
неограниченного деформирования при заданной нагрузке. Эту ситуацию
можно трактовать как потерю устойчивости процесса деформирова-
деформирования композита. При потере положительной определенности матрицы
[С ] нагружение заканчивается и несущая способность композита
считается исчерпанной.
Описанный алгоритм пошагового нагружения может быть исполь-
использован для построения предельных поверхностей композита (выход за
которые означает разрушение или изменение состояния слоев)
в пространстве напряжений (ах, ау, хху). Рассмотрим алгоритм
построения предельных поверхностей на примере алгоритма опреде-
определения исходной информации для построения линий предельного со-
состояния на плоскости (ах, ау). Зададим нужное число лучей нагру-
нагружения N. Лучом нагружения будем называть прямую линию, прове-
проведенную из начала координат на плоскости (ах, ау), которой соответ-
соответствует некоторое заданное отношение оу1ах. На рис. 2.18 штрихо-
штриховыми линиями показаны 12 лучей нагружения, делящих плоскость
@Х, ау) на равные зоны. Угловое расстояние между лучами нагруже-
нагружения равно 2л/N. Если задан шаг приращения напряжений |AcrXJ,|,
то компоненты матрицы-столбца приращения напряжений для /-го
луча определяются следующим образом:
Acrx
Аа„
С(»Bя/7Лт
sin Bя//Л0 .
О J
Последовательно решая N задач, каждой из которых соответствует
свой шаг по напряжениям А {оху},-, фиксируя этапы смены состояний
58
s
\
\
\
\^
/
/
/
"у
/
/
\
\
/
/
t
\
\
\
\
б„,МЛа
800
боок
400
200
200 VH 600 б,, МПа
Рис. 2.18.
Рис. 2.19.
отдельных слоев и соединяя аналогичные точки, принадлежащие
различным лучам, можно построить линии предельных состояний
композита на плоскости (ах, а„).
В качестве примера на рис. 2.19 приведены линии предельного
состояния в 1-м квадранте плоскости (ах, ау), построенные для
стеклопластика квазиизотр.опной структуры [±30790°]: штриховые
линии соответствуют смене состояний слоев композита, а сплошные —
полному разрушению материала. Надписи у линий поясняют при-
причины изменений состояния материала. Например, запись «а™ = F+2»
означает начало трещинообразования в слоях, уложенных под
углами +30°, вызванное напряжениями а2. Кружками на рис. 2.19
отмечены экспериментальные результаты [25]. При вычислениях
использованы следующие исходные данные для однонаправленного
стеклопластика: Ех ¦-= 46500 МПа, ?2 = 7000 МПа, G12 = 7000 МПа,
v12 =' 0,25, F+1 =-- 1600 МПа, F_x = 500 МПа, F+2 =- 40 МПа, F_2 -¦=
= 200 МПа, F12 — 60 МПа. Эти исходные данные (если специально
не указаны другие характеристики) приняты во всех последующих
примерах этой главы.
Описанные алгоритмы реализованы в программе ААА (см. прило-
приложение 1). Они относятся к алгоритмам силового нагружения, когда
на каждом шаге нагружения задается приращение нагрузки (напря-
(напряжений). Могут быть построены и алгоритмы деформационного нагру-
нагружения [25], в которых на каждом шаге нагружения задается прира-
приращение деформаций. Достоинством последних алгоритмов является
отсутствие требования положительной определенности матрицы
[С ], что позволяет исследовать и участки неустойчивого деформи-
деформирования материалов.
Параметры материала (исходные данные для расчета) по сути
своей — случайные величины. При наличии достаточной информации
о законах их распределения алгоритм модели может быть исполь-
использован для статистического моделирования деформативности и проч-
прочности реальных материалов [27].
59
§ 2.5. Одноосное нагружение
перекрестно армированных композитов
Поведение многослойных композитов, составленных из почти
линейно упругих однонаправленных слоев, часто оказывается каче-
качественно значительно более сложным, чем поведение составляющих
их слоев. В зависимости от структуры материала и вида напряжен-
напряженного состояния характер диаграмм деформирования и прочность
материала могут меняться в широких пределах.
Рассмотрим поведение перекрестно армированных композитов
при одноосном растяжении или сжатии. Проведем параллельный
анализ теоретических диаграмм деформирования, построенных по
алгоритмам, изложенным в § 2.4, и имеющихся экспериментальных
результатов [25].
В зависимости от величины угла ф укладки слоев перекрестно
армированного композита возможны несколько вариантов исчерпа-
исчерпания несущей способности композита (рис. 2.20). Каждому из них
присущ свой вид диаграммы деформирования.
На рис. 2.20 сплошные линии соответствуют расчетному пределу
прочности композита, а штриховая — расчетному пределу монолит-
монолитности, т. е. выполнению условий начала трещинообразования в моно-
монослоях. Надписи у линий поясняют определенную расчетом причину
смены состояния или разрушения материала. Экспериментальные
результаты получены при испытаниях цилиндрических трубчатых
стеклопластиковых образцов [25] на осевое растяжение (на рис. 2.20
они отмечены крестиками) или растяжение в окружном направлении
(отмечены на рис. 2.20 кружочками). Характеристики однонаправ-
однонаправленного стеклопластика, использованные в расчетах, приведены
в § 2.4.
При изменении угла ф в пределах 0—20° разрушение материала
связано с разрывом армирующих волокон (аг = F+1). При углах ф,
меньших ~4°, диаграмма деформирования материала линейна вплоть
до разрушения, а разрушение — единственная стадия изменения
состояния материала. Диаграммы, полученные при окружном растя-
растяжении образцов с углами армирования ф = ±75° (что соответствует
на рис. 2.20 углу ф, равному 15°), приведены на рис. 2.21, а. На
б,МПа
1600
1200
800
I
\
\
\
\
Л
4
к
?
Рис. 2.20.
10 20 30 </0 SO CO 70 SO </>,'
60
WOO
@0
600
то
200
!
/
//
i
\
Г
J
7
1
?- —
if =15°
200
бу,НПа
S*eT"
11 i i ¦
1
45°
Рис. 2.21.
этом рисунке (и далее на однотипных) сплошные линии — экспери-
экспериментальные диаграммы, штриховые — теоретические. При ау =
= 520 МПа согласно расчету в связующем начинается процесс тре-
щинообразования, поскольку сдвиговые напряжения достигают
предела прочности при сдвиге т12 = Fi2. В расчете модуль G12 стано-
становится, равным нулю, а Е2 остается неизменным, поскольку а2 < 0.
На теоретических диаграммах образуется излом в точке А (см.
рис. 2.21, а). Диаграммы деформирования такого вида характерны
для материалов с углами армирования 4° <С ф <С 20°. Стрелки на
диаграммах рис. 2.21, а и однотипных рисунках далее указывают на
то, что приведена лишь часть диаграммы деформирования. Величину
разрушающей нагрузки можно определить по графику предельных
напряжений на рис. 2.20.
В диапазоне углов 20° < ф < 45° процесс исчерпания несущей
способности материала проходит в две стадии. Сначала при некотором
уровне напряжений а (см. рис. 2.20), соответствующем выполнению
условия т12 = Fi2, материал теряет монолитность, что приводит
к изменению его жесткости. Деформирование продолжается, нагрузка
заметно возрастает. Разрушение материала в этом диапазоне углов
армирования вызвано сжатием однонаправленных слоев в направле-
направлении, перпендикулярном армированию (а4 = F-i)- Типичные для
этого диапазона углов диаграммы деформирования приведены на
рис. 2.21, б. Они отличаются прежде всего четко выраженной нели-
нелинейностью. При растяжении в окружном направлении образца с уг-
61
лами армирования ф = ±60° (что соответствует ср = 30° на рис. 2.20)
привлекает внимание эффект резкого изменения соотношения окруж-
окружных и осевых деформаций. Анализ диаграмм деформирования, при-
приведенных на рис. 2.21, б, показывает, что величина отношения —ед./еу
(коэффициент Пуассона v^.), равная на начальном участке деформи-
деформирования 0,67, в результате трещинообразования в связующем за-
заметно увеличивается, достигая значения 1,3. Теоретическая модель
в целом правильно описывает названное явление. Наибольшее рас-
расхождение между расчетом и экспериментом наблюдается в местах
излома теоретических диаграмм. Это, по-видимому, обусловлено
кусочно-линейной аппроксимацией кривых деформирования одно-
однонаправленного материала, которая принята при построении модели.
Диаграммы деформирования композита со структурой армирова-
армирования ф = ±45° (рис. 2.21, в) внешне похожи на диаграммы деформи-
рования пластичных металлов и принципиально отличаются от
диаграмм деформирования, например, материала с углами укладки
слоев ф = ±75° при растяжении в направлении оси у (см.
рис 2.21, а). При этом композит, составленный из слоев, предельная
деформация которых не превышает 0,6—3,5 % (в зависимости от
направления нагружения), деформируются без разрушения до
уровня 9—10 %. Высокая податливость не является только недостат-
недостатком материалов этого типа. Эффекты «псевдопластичности» могут
быть с успехом использованы при проектировании конструкций. '¦¦
На конечном этапе деформирования заметно увеличение жест-
жесткости (касательного модуля) материала, вызванное изменением углов
армирования, т. е. проявлением структурной нелинейности. Теорети-
Теоретические кривые деформирования на рис. 2.21, в, г получены с исполь-
зованием алгоритма деформационного нагружения.
В диапазоне углов 45° < ф «< 90° нарушение монолитности мате-
материала приводит к исчерпанию его несущей способности без разделе-
разделения образца на отдельные части. В этом диапазоне структур армиро-
армирования материалы также весьма податливы (сказанное относится
к поведению в эксперименте трубчатых образцов; плоские образцы
в этом диапазоне углов армирования после нарушения монолитности
разрушаются). Однако в отличие от предыдущего диапазона после-
нарушения монолитности на экспериментальных кривых не отмечено '¦
увеличения нагрузки. В ряде случаев (см. рис. 2.21, г) она падает.
По-видимому, этот вид исчерпания несущей способности материала*
можно трактовать как проявление неустойчивости процесса деформи-
деформирования. Осевое растяжение материалов в диапазоне углов армиро-
армирования 45° <С ф < 90° после нарушения сплошности материала (сг2 >>
> 0, Е2 = G12 = 0) происходит при постоянной нагрузке, которая
и считается предельной.
Качественное представление о возможном характере деформиро-
деформирования перекрестно армированных структур дает следующая механи-
механическая модель [60]. Рассмотрим ромб с жесткими ребрами, заполнен-
заполненный полимерным связующим (рис. 2.22). Будем считать, что ребра
этого модельного ромба соединены между собой шарнирно, и если
полость ромба не заполнена связующим, он представляет собой
62
Рис. 2.22.
механизм, геометрические параметры которого изменяются при
произвольно малой нагрузке. Иным будет поведение ромба при
заполнении его полости связующим. Для деформирования ромба к его
вершинам теперь потребуется приложить необходимые силы, опре-
определяемые свойствами связующего. При некоторой величине послед-
последних в хрупком связующем могут появиться трещины, делящие его на
отдельные блоки. Дальнейшее поведение модели зависит от величины
угла при вершине ромба, к которой приложена сила. Если угол
в вершине ромба ф меньше 45° (рис. 2.22, а), то площадь ромба при
деформировании уменьшается, трещины в связующем закрыты и ромб
способен воспринимать возрастающую нагрузку, предельная вели-
величина которой определяется прочностью его ребер. Если же угол
в вершине ромба, к которой приложена сила, больше 45° (рис. 2.22, в),
то после разрушения связующего площадь ромба возрастает, остатки
связующего не препятствуют деформированию ромба, который пре-
превращается в механизм. Ромб, полуугол в вершине которого равен
45° (квадрат), занимает промежуточное положение между рассмотрен-
63
6,=F-i
X
^—
—T
/
100
Рис. 2.23.
-ех,МПа
400
200
0 15 30 . ¦»/ SO IS (f°
Рис. 2.24.
ными случаями (рис. 2.22, б). По--
скольку квадрат является ромбом с
максимальной при заданной длине:
ребер площадью, ее изменение при.
малых деформациях ромба после раз-
разрушения связующего близко к нулю.-
При конечных перемещениях вершин ромба площадь его умень-
уменьшается, а жесткость системы несколько возрастает. Диаграммы-
деформирования рассмотренной механической модели (см. рис. 2.22):^
качественно совпадают с описанными ранее диаграммами деформиро-f
вания реальных материалов. Близкая модель использовалась в ра-1
боте [41 ] для определения условий разрушения (достижение предель-¦
ных напряжений сдвига или разрыв армирующих волокон) пере-?
крестно армированных материалов.
Описанная модель позволяет провести качественный анализ
поведения перекрестно армированных материалов и при одноосном
сжатии. В этом случае при углах ср, меньших 45°, площадь ромба при"
деформировании возрастает, и после появления трещин в связующем-
он превращается в механизм. Напротив, при ср >• 45° площадь ромба^
при деформировании уменьшается, система воспринимает возрастаю-?*
щую нагрузку и после появления трещин в связующем. Ожидаемый^
вид диаграмм деформирования при сжатии рассматриваемого класса;
материалов дан на рис. 2.22, г, д, е. -
Диаграммы деформирования перекрестно армированных мате*?
риалов при сжатии, рассчитанные по описанным в § 2.4 алгоритмам,^
приведены на рис. 2.23.
При этом использованы следующие исходные данные: Ег
= 47000 МПа, Е2 = 13000 МПа, G12 — 4500 МПа, v12 = 0,25, F+1 =i
= 1000 МПа, F_j, = 550 МПа, F+a = 30 МПа, F_2 = 340 МПа,'
F12 = 40 МПа. Изменение углов укладки однонаправленных слоев
приводит к качественному изменению вида диаграмм деформирова-'
ния. В широких пределах изменяются податливость и несущая,
способность (рис. 2.24) материала.
§ 2.6. Многослойные композиты в условиях
двухосного растяжения и сдвига
Для обсуждения особенностей поведения многослойных мате-
материалов при одном из видов плоского напряженного состояния —
64
двухосном растяжении.— важное значение имеет понятие равновес-
равновесной структуры армирования. Равновесной будем называть структуру
армирования, при которой под действием заданной системы нагрузок
ах, оу = kox происходит равномерное растяжение материала (гх —
= гу = е}1') = е|'> = е, у\^ — 0). Воспользовавшись законом Гука
A.66) для симметрично армированных относительно осей х, у мате-
материалов, получим ах — (gn + g12) e и ау = (g12 + gi2) e.
Структура материала может считаться равновесной для данного
случая нагружения, если выполнено соотношение
k = -gg- = g12 + g22 • B.34)
Для перекрестно армированных материалов "установлено [(см.
1.73I, что коэффициенты жесткости gtj, входящие в B.34), равны
соответствующим коэффициентам жесткости однонаправленного мате-
материала, записанным для системы координат (х, у): gn — gn, g12 = g12,
gM = §22» которые, в свою очередь, могут быть выражены [(см. 1.57) ]
через коэффициенты У, (t = 1, ..., 4). Проведя необходимые преобра-
преобразования, приведем B.34) к виду
2-1^-4тГ- B.35)
Из B.35), в частности, следует, что при k — 1 (ау — ах) равновес-
равновесный угол не зависит от коэффициентов жесткости монослоя и равен
л/4.
Выражая коэффициенты Vt [(см. 2.35)] по формулам A.58) через
коэффициенты жесткости монослоя g°/, получим
cos 2ф - & + *& + & ±±
cos/ф- g?i
Если пренебречь несущей способностью монослоя при сдвиге и
растяжении поперек волокон (gu — gw = 0). получим
cos 2ф = 4-хт- • B-36)
Последнее упрощение обычно принимается для сетевого анализа,
широко используемого в проектировании конструкций [37]. Выра-
Выражение B.36), записанное для системы перекрестных нитей, делает
более «прозрачным» и сам термин равновесная структура: только
при углах укладки нитей, удовлетворяющих формуле B.36),, нити
находятся в равновесии. В иных случаях при заданных нагрузках
(оу = kax) система нитей превращается в механизм.
Проведя преобразование, запишем B.36) в иной, чаще используе-
используемой форме:
k = tg2 ф. B.36 А)
Вернемся к механической модели перекрестно армированного
материала (см. § 2.5) — ромбу с жесткими, шарнирно соединенными
ребрами, заполненному связующим. Нетрудно установить, что пло-
3 Алфутоп Н. А. и др. 65
щадь ромба уменьшается при деформировании, если выполнены
следующие условия:
при 90°>ф:
?>tg^ при
?<tg2<p при
при 45°;
ох
к >
*>0;
ая<0;
г ф > О3
при стл. >О;
при стл. <О.
B.37)
Неравенства B.37) могут служить ориентиром при прогнозирова-
прогнозировании поведения перекрестно армированных материалов в условиях
плоского напряженного состояния. При выполнении неравенств B.37)
после начала трещинообразования в связующем трещины закрыты и
несущая способность системы сохраняется.
Для соотношения напряжений оу1ах — 2 равновесный угол
близок к 55° [формула B.36) дает значение ср = 54,74°]. В соответ-
соответствии с неравенствами B.37) углы армирования, при которых нару-
нарушение монолитности связующего не приводит к потере несущей
способности, заключены в диапазоне 45° < <р < 55°.
Количественные данные о поведении перекрестно армированных
материалов при двухосном растяжении получены при проведении
вычислений в соответствии с алгоритмом, изложенным в § 2.4, и
представлены на рис. 2.25. Кружками на рис. 2.25 отмечены резуль-
результаты эксперимента, полученные при соотношении напряжений
ау1ах = 2, а крестиками — при соотношении напряжений ау1ах =
= 1/2. В последнем случае действительный угол армирования ср на
рис. 2.25 заменен дополнительным углом 90° — <р. Максимальные
для этого вида испытаний разрушающие напряжения имеют место
при ф = 55°. Теоретическая и экспериментальная диаграммы дефор-
деформирования для материала с такой структурой (рис. 2.26, о) имеют
два характерных участка (/ и 2) и хорошо согласуются между собой.
После нарушения сплошности связующего (в расчете ст2 — F+2,
Е2 = 0) диаграммы деформирования гх (ау) и гу (ау) — практически
параллельные прямые, что свидетельствует об отсутствии прираще-
приращений сдвиговых деформаций Ау'Р в монослоях, пропорциональных
изменению разности гу — еЛ.. Разрушение сопровождается разрывом,
бу,МПа
1200
800
400
»»| 0у = 2бх
к
—т—1 <
о /
" 1
Рис. 2.25.
20 30 W 50 SO TO
80 (f,°
66
б„,МПа
BOO
500
A
V
Cx
'j
¦и
V/
к
<f=SS°
1
с,7, о i 2 з • 4 s f.%
Рис 2.26.
волокон, причина разрушения в расчетах — выполнение условия
Значительно более сложный и качественно иной вид имеют диа-
диаграммы деформирования стеклопластика с углами армирования
Ф = ±50°, представленные на рис. 2.26, б (хотя угол армирования
в сравнении с предыдущим примером изменился лишь на 5°). До
уровня напряжений ау «=* 200 МПа деформирование идет в целом
аналогично деформированной структуре ф — ±55°, но после начала
процесса разрушения связующего оно резко изменяется. Осевая (для
образца) деформация гх начинает уменьшаться, а затем меняет знак.
Причиной столь резких изменений в поведении материала оказыва-
оказывается достижение предельных напряжений о2 = F+2. Сразу после
начала трещинообразования в связующем происходит разгрузка по
напряжениям ст2> и разгрузочный модуль Е2 равен начальному. В то
же время касательный модуль сдвига G12 уменьшается до нуля
(реализуется четвертое из возможных состояний материала с трещи-
трещинами, см. табл. 2.1 в § 2.3). Увеличение сдвиговой податливости
материала делает возможным приближение углов армирования к рав-
равновесной сетевой структуре <р = ±55°. Теоретические кривые на
рис. 2.26, б верно описывают характер деформирования материала, но
условие мгновенного изменения касательного модуля G12 (с началь-
начального значения до нуля) оказывается в данном случае излишне силь-
сильным.
Заметим, что изменение знака приращений отдельных компонент
тензоров деформаций и напряжений (и даже знака самих компонент)
при непрерывном возрастании нагрузки является характерным для
многих случаев. При изменении матрицы-столбца средних напряже-
напряжений {аху} в соответствии с правилами простого нагружения, когда ее
компоненты изменяются пропорционально некоторому параметру,
монослои, составляющие композит, могут находиться в условиях
сложного нагружения. Соотношения компонент матриц напряжений
и деформаций монослоев {а<?>}, {е]2}<'> при этом могут изменяться
в широких пределах.
3* 67
*- о*
¦да
200
/
f=4S°
^—
¦—¦
^-—
1.
О 7 2 с,'/, 0 1.2 3
h,Mfla
S. 6
</.
-—\
— —
е»
1
Рис. 2.27.
0 12 3
S 6 7 с,'/
Нарушение сплошности связующего в диапазонах углов армиро-
армирования 0° < ф < 45° и 60° < ф < 90° приводит к исчерпанию несущей
способности материала. Дальнейшее деформирование неустойчиво,
увеличение деформаций происходит при постоянной нагрузке, что
отмечено и в экспериментах [25].
Для соотношения напряжений oJax = 1 равновесный угол арми-
армирования ф= +45° [см. B.35)]. Диаграммы деформирования для
этого случая нагружения приведены на рис. 2.27, а. Диаграммы
ех (ву) и гу (ау) одинаковы. Нарушение сплошности связующего
(в расчете а2 = F+2) вызывает лишь незначительное изменение каса-
касательного модуля на теоретической диаграмме деформирования,
близкой к экспериментальной. Разрушение материала в экспери-
эксперименте, сопровождаемое разрывом волокон, происходит при ау =
= сгд. «* 800 МПа.
Отход от равновесной структуры резко изменяет характер диа-
диаграмм деформирования. При ф = ±50° (рис. 2.27, б) диаграммы
существенно нелинейны. После первого разрушения монослоя окруж-
окружные деформации меняют знак на обратный. Теоретические диаграммы
имеют те же характерные особенности, что и экспериментальные, но
условие мгновенного изменения касательного модуля Е2 при потере
монолитности связующего здесь оказывается излишне сильным.
Разрушение материала в эксперименте сопровождается разрывом
волокон (в расчетах аг = F+1) и происходит, согласно теоретическим и
экспериментальным данным при оу = ах?ы 680 МПа (рис. 2.28).
Материалы с углами армирования вне диапазона 37° < ф < 53°
теряют несущую способность без разрушения волокон. Пример
такой диаграммы дан на рис. 2.27, в для материала со структурой
армирования ф = ±60° (диаграммы для образца со структурой арми-
армирования ф = ±30° после перестановки индексов х, у совершенно
68
Рис. 2.28.
50
60
70
ВО <fr°
идентичны). Экспериментальные кривые деформирования имеют
ярко выраженный максимум. Теоретическое значение предельной
нагрузки несколько ниже экспериментального. Тем не менее модель
верно передает характер деформирования и потери несущей способ-
способности (неустойчивость деформирования) материала.
Диаграммы деформирования композита с более сложной структу-
структурой армирования [307—30790°] значительно «спокойней» (рис. 2.29).
Это характерно для материалов, армированных по трем направле-
направлениям и более. Композит со структурой армирования [307—30790°]
в упругой области является квазиизотропным. Однако при неупру-
неупругом поведении материала нет полного подобия однотипных диаграмм
деформирования, приведенных на рис. 2.29, а, б, в, г. Не наблюда-
наблюдается и полной симметрии линий предельного состояния относительно
луча од = ах на рис. 2.19. Теоретические диаграммы деформирова-
деформирования и оценки несущей способности этого композита вполне удовлетво-
удовлетворительно совпадают с экспериментальными результатами.
Интересно поведение перекрестно армированных материалов при
другом виде плоского напряженного состояния — чистом сдвиге.
бу1МПа
400
200
Oj,H.na
if
1
S
'У
600
400
200
У ш
1
1
у
У
/
7
6„/бх
f
= 1/2
*,/.
О 12 3
Рис. 2.29.
69
,,МПа
20 40 SO во if,
Вследствие различного поведения монослоев при растяжении и
сжатии (в неупругой области) состояния симметрично уложенных
слоев перекрестного армированного композита в общем случае раз-
различны, а процесс исчерпания несущей способности материала явля-
является многофазным.
Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих особенности дефор-
деформирования и разрушения при сдвиге. Экспериментальные данные,
используемые ниже, получены при испытаниях стеклопластиковых
трубчатых образцов [21 ]. Однонаправленный стеклопластик имел
следующие характеристики (определенные в специальных предвари-
варительных экспериментах): ?1 = 46 000 МПа, ?2=18 000 МПа
Оц - 4500 МПа, v12 = 0,2; F+1 = 1800 МПа, F г = 600 МПа, /=\, =
= 60 МПа, F_2 = 160 МПа, Fu = 45 МПа.
При кручении образцов со структурой армирования q> =s ±75°
при напряжениях хху = 80 МПа происходит потеря сплошности
слоев, вызванная сдвиговыми напряжениями (в расчете т12 = F12),
а при хху = 207 МПа разрушается второй слой (рис. 2.30) от сжатия
вдоль волокон.
Образцы со структурой армирования ф = ±60° на первом этапе
деформируются линейно упруго. Материал сохраняет свою сплош-
сплошность до уровня касательных напряжений (в расчете) хху = 114 МПа,
при котором во втором слое начинается растрескивание связующего,
вызванное растяжением слоя поперек волокон. При т^ = 215 МПа
растрескивание связующего начинается и в первом слое, но здесь
причина трещинообразования — сдвиговые напряжения тЦК На-
Наконец, при напряжениях хху = 330 МПа происходит полное исчерпа-
исчерпание несущей способности материала, вызванное сжатием второго
слоя вдоль волокон. Все названные характерные точки отмечены
крестиками на рис. 2.30.
Отметим, что при испытаниях на кручение образцов со структурой
армирования ср = ±45°, обладающих согласно традиционным пред-
представлениям максимальной несущей способностью при кручении,
не отмечено заметного повышения предельных напряжений по
сравнению с материалом со структурой армирования ф = ±60°. Это
связано^ (согласно расчету) с изменением механизма исчерпания
несущей способности: у образцов со структурой армирования ф =
70
= ±45° при напряжениях хху = 118 МПа происходит потеря сплош-
сплошности, вызванная растяжением второго слоя поперек волокон, а за-
затем, при ххи = 340 МПа, первый слой разрушается от сжатия поперек
волокон.
Результирующие линии предельного состояния перекрестно арми-
армированных стеклопластиков при кручении представлены на рис. 2.31.
Г л а в а 3
Вариационно-матричный подход
к расчету конструкций
Большой интерес к вариационным формулировкам задач дефор-
деформирования многослойных оболочечных конструкций объясняется
в первую очередь тем, что на основе исходных гипотез, применяя фор-
формальные математические приемы, можно избежать трудоемкого этапа
составления уравнений равновесия статическим методом и прибли-
приближенно свести трехмерную задачу теории упругости к одномерной
или двумерной задаче. При этом соответствующие разрешающие
уравнения и граничные условия строго соответствуют исходным
допущениям и определяются единственным образом. Кроме того,
вариационные формулировки являются основой для эффективных
приближенных методов расчета, которые позволяют получить на
выбранном классе аппроксимирующих функций наилучшие в энерге-
энергетическом смысле приближенные решения.
В гл. 3 с единых позиций принципа возможных перемещений рас-
рассмотрены формулировки задач статики, устойчивости и динамики.
Полученные уравнения в вариациях для упругих консервативных
систем являются голономными и представляют условия стационар-
стационарности соответствующих функционалов, записанных в перемещениях.
Вид самих функционалов в большинстве случаев не приводится, по-
поскольку для дальнейшего решения необходимы лишь вариационные
формулировки. В общем случае показано, как с использованием этих
формулировок удается получить разрешающие дифференциальные
уравнения или приближенные решения.
Для одномерных задач показаны этапы вывода вариационно-
матричным способом канонических систем дифференциальных урав-
уравнений, а также получения с помощью фундаментальных решений
матриц жесткости одномерных элементов. Изложены основные поло-
положения метода конечных элементов, включая аппроксимацию реше-
решений, составление для элемента приведенных матриц жесткости,масс,
начальных напряжений. Кратко рассмотрены методы решения задач
Динамики и нелинейной статики.
71
Используемая в главе векторно-матричная символика позволяет
проследить общие этапы решения широкого круга задач, компактно
записать уравнения и значительно облегчить процесс составления
программ расчета на ЭВМ. Текст и описание вспомогательных
программ расчета приводятся в приложении 2.
С другими вариационными формулировками можно ознакомиться
в работах [40, 46].
§ 3.1. Принцип возможных перемещений
Рассмотрим механическую систему, состоящую из произвольного
деформируемого тела и приложенных к нему распределенных объем-
объемных и поверхностных сил {g} = {gi, g2, g3} и {р} = {ръ р.г, р3).
Тело закреплено в пространстве с помощью некоторых связей, исклю-
исключающих его перемещения как жесткого целого (рис. 3.1). Будем
считать, что рассматриваемая система находится в состоянии равно-
равновесия. Действительные перемещения, соответствующие переходу
точек тела из начального ненагруженного состояния в равновесное
обозначим {и} — {tiy, и2, и3}, действительные напряжения — матри-
матрицей-столбцом {сг} = {olt а2, а3, х23, т13, т12}, компонентами которого
являются нормальные и касательные напряжения в декартовой си-
системе координат. Деформированное состояние тела, вызванное дей-
действительными перемещениями, опишем матрицей-столбцом {е} =
= {elt e2, е3, у2д, у13, у12}, компонентами которого являются относи-
относительные удлинения и углы сдвига в декартовой системе координат.
Деформации в теле будем считать достаточно малыми, а объем и по-
поверхность тела в деформированном состоянии будем отождествлять
с его объемом и поверхностью в начальном недеформированном
состоянии.
Наряду с действительными перемещениями мысленно дадим телу
возможные перемещения б {и} — {Ьи1у Ьи2, Ьи3}; функции 6и1; 6и2,
Ьи3 можно рассматривать как малые изменения (вариации) действи-
действительных перемещений ы1? и2, и3. В объеме тела функции Ьиъ Ьи2,
Ьи3 непрерывны, имеют непрерыв-
непрерывные производные нужного порядка
и обращаются в нуль на той части
поверхности тела, где соответству-
соответствующие перемещения запрещены или
имеют заданные значения. Воз-
Возможные перемещения не нарушают
внутренних и наружных связей
системы, т. е. являются кинема-
кинематически (или геометрически) до-
допустимыми.
Согласно принципу возможных
перемещений сумма работ всех
внешних и внутренних сил на
возможных перемещениях тела из
равновесного состояния равна
72
нулю. Сумма работ всех внешних сил
C.1)
где V и 5 — соответственно объем и поверхность рассматриваемого
тела; Т — знак транспонирования. При подсчете суммы работ всех
внутренних сил учтем, что деформации {е} для напряжения {сг}
являются обобщенными перемещениями. Поэтому для сообщения телу
дополнительных деформаций б {е}, вызываемых возможными пере-
перемещениями б {и}, необходимо затратить работу
{e\T\o\dV. ' C.2)
В соответствии с принципом возможных перемещений запишем
6Л — 6Я = 0.
Работа внутренних сил в последнем выражении имеет знак «ми-
«минус», поскольку на дополнительное деформирование тела нужно
затратить работу. Использовав C.1) и C.2), получим уравнение
в вариациях, представляющее математическую формулировку прин-
принципа возможных перемещений для деформируемого тела:
J (б {в}* {а}) - б {м}т \g\ dV - j б {uF \p\ dS = 0.
V S
C.3)
Это уравнение в вариациях позволяет получить уравнения
равновесия элемента рассматриваемого тела и совокупность всех
вариантов граничных условий на поверхности тела. Для этого необ-
необходимо конкретизировать связь между деформациями {е} и переме-
перемещениями {и}. Тогда условие C.3) позволяет получить соответству-
соответствующие уравнения равновесия и граничные условия. Последнее
обстоятельство оказывается особенно важным при построении раз-
различных вариантов приближенных теорий, основанных на тех или
иных кинематических гипотезах (гипотеза плоских сечений, прямой
нормали, ломаной нормали и т. д.). Зададим, например, связь де-
деформаций с перемещениями линейными соотношениями
(„1 ГМ1/.1 /Ч Л\
II — L J 1 Г* \ /
где [L] — матрица линейных дифференциальных операторов, име-
имеющая в декартовой системе координат вид
д п п л д
[Ц =
0
О
о
д
дх2
о
о
0
0
о
д
д ~
дх2
д
дХ1
0
C.5)
д
дх3
д д
дх3 дх2
Тогда связь дополнительных деформаций б {е} с возможными
перемещениями б {и} определится той же самой матрицей [L]:
73
Воспользовавшись C.6), выразим в уравнении C.3) величины т
б {е} через возможные перемещения. Получим ;
{«И/»} dS = O. C.7) :
Для того чтобы избавиться от дифференциальных операторов
матрицы [L], действующих на вариации перемещений б {и}, первое
слагаемое в уравнении C.7) проинтегрируем по частям:
} б {и}т ([?•] {а} - {g}) dV+]& |«}т ([Lv] \а\ - \р\) dS = 0. C.8)
V S
Здесь [L* ] = —[L]T, a матрица направляющих косинусов [Lv]
выглядит так:
lyi 0 0 0 /v3 /v2"
0 /v2 0 /v3 0 /vl
0 0 /v3 /v2 /vl 0 .
где /vb /%2, /ч3 — косинусы углов между внешней нормалью к по-
поверхности и осями Xi, х%, х3.
Условие C.8) должно удовлетворяться при любых возможных
перемещениях б {«}; поэтому внутри объема рассматриваемого тела
должно выполняться уравнение
[L*]{o\ — \g}=:0, C.9)
а в каждой точке поверхности должно быть задано
либо б«; = 0 (т. е. щ = п,), либо /г = 0 (i = 1, 2, 3), C.10)
где U; — заданное значение перемещения «,-; /,- — t'-я компонента
матрицы-столбца {/} = [Lv] {а} — {р}.
В общем случае выражение C.10) представляет собой граничные
условия смешанного типа. На той части поверхности, где заданы
все перемещения, граничные условия будут чисто геометрическими:
б {и} = 0, т. е. {«} = {п}. На части поверхности, полностью сво-
свободной от закреплений, граничные условия будут чисто силовыми:
[Lv]\o\ - \р) = 0. C.11)
Матричное уравнение C.9) дает не что иное, как дифферен-
дифференциальные уравнения равновесия элементарного параллелепипеда,
вырезанного из тела, а C.11) — уравнения равновесия элементар-
элементарной пирамиды, боковые грани которой параллельны координатным
плоскостям, а основанием является площадка поверхности тела
с заданным направлением внешней нормали v. Действительно,
выполнив матричное умножение в выражениях C.9) и C.11), при-
придем к обычным уравнениям равновесия и силовым граничным ус-
условиям: fr :..••
^Г Ti* + ^7 °* + ^~ т*» + ?2 = 0;
74
'vl°l "Г 'v2T12 I" 'v3T13 = Pi\
'vlTl2 "'" 'v2°2 : *v3T23 == Pit
Принцип возможных ^перемещений является наиболее общим
принципом механики. Он справедлив при любых реологических
свойствах тела, т. е. при любых зависимостях между деформациями
и напряжениями в материале тела; его можно использовать и в слу-
случае неконсервативных внешних сил. Основные соотношения этого
параграфа получены при линейных кинематических связях дефор-
деформаций с перемещениями, задаваемых матрицей C.5), но сам принцип
возможных перемещений остается в силе и для более общего вида
таких связей, в частности, при нелинейных кинематических зави-
зависимостях (в этом случае нелинейные слагаемые появятся в уравне-
уравнениях равновесия и граничных условиях).
Принцип возможных перемещений носит статико-геометрический
характер, и матрица дифференциальных операторов [L* ] в уравне-
уравнениях равновесия C.9) полностью определяется исходными кинема-
кинематическими связями, задаваемыми соотношениями типа C.4). Поэтому
использование принципа возможных перемещений оказывается
весьма удобным при построении методов расчета многослойных
конструкций, когда в качестве исходных берутся достаточно сложные
кинематические соотношения по толщине пакета.
§ 3.2. Функционал Лагранжа
и уравнения равновесия упругого тела
Задача определения напряженно-деформированного состояния
твердого тела в общем случае внутренне статически неопределима,
и для ее решения необходимо дополнить уравнения равновесия
конкретными зависимостями между напряжениями и деформациями.
Рассмотрим нелинейно упругое тело, у которого напряжения яв-
являются однозначными функциями деформаций, не зависящими от
истории деформирования. Частный случай такого тела (линейно
упругого) был подробно описан в гл. 1.
Для упругого тела можно ввести понятие удельной потенциаль-
потенциальной энергии деформации UQ, являющейся функцией деформаций
и обладающей тем свойством, что
L ?¦}. C-12)
где
dUo\ = <dU0 dU0 dUQ dU0 dU0 dU0 )
дг J { dst ' д?2 ' <Эе3 ' ду23 ' ду13 ' ду12 J '
Уравнение в вариациях C.3) и вытекающие из него уравнения
равновесия и граничные условия справедливы при любом характере
1 75
внешних сил. Ограничимся случаем консервативных внешних сил,
действующих на упругое тело.
Консервативными будем считать такие силы, работа которых на
любом допустимом перемещении тела, к которому они приложены,
не зависит от пути деформирования, а определяется только началь-
начальной и конечной конфигурацией тела. Примером консервативных
сил служат «мертвые» объемные и поверхностные силы, т. е. силы,
не изменяющиеся по величине и направлению при любых дефор-
деформациях тела.
Механическую систему, состоящую из упругого тела и действу-
действующих на него объемных и поверхностных консервативных сил,
называют консервативной. Для такой системы можно ввести понятие
полной потенциальной энергии (функционала Лагранжа)
Э = U + П, C.13)
где U — потенциальная энергия деформации тела; П — потенциал
внешних сил. Значение U подсчитывается путем интегрирования
по объему тела удельной потенциальной энергии деформации:
U=\uodV. C.14)
v
Для подсчета потенциала внешних сил необходимо конкретизи-
конкретизировать характер зависимости внешних сил от перемещений системы.
Например, при «мертвых» объемных и поверхностных силах
П = ~\ \и\т \g\dV - \\u\t \p\dS. C.15)
V S
Знаки «—» перед интегралами соответствуют случаю, когда
объемные {g} и поверхностные {р} силы направлены так же, как
и перемещения {«}; тогда с ростом перемещений потенциал внешних
сил уменьшается.
В положении равновесия системы функционал Лагранжа при-
принимает стационарное значение. В этом нетрудно убедиться, если
подсчитать первую вариацию функционала Лагранжа 63 = 6U + 6Я.
Учитывая C.12), формально запишем
Ш = \ б
.= { б |8}т [a] dV.
V
Первая вариация потенциала внешних сил П C.15) равна
ЬП = - J б \u\t \g\ dV - } б |«}Т \р\ dS.
V S
Сравнивая два последних выражения с равенством C.3), при-
приходим к вариационному уравнению Лагранжа
63 = 8U + 8П = 0, C.16)
которое означает, что в положении равновесия функционал Ла-
Лагранжа C.13) принимает стационарное значение. Справедливо,
76
естественно, и обратное утверждение: если значение функционала
Лагранжа стационарно, то система находится в положении рав-
равновесия.
Существует также теорема [3], которую часто называют прин-
принципом минимума полной потенциальной энергии или теоремой
Лагранжа: в состоянии равновесия консервативной системы ее пол-
полная потенциальная энергия принимает стационарное значение,
причем в устойчивом состоянии равновесия это стационарное зна-
значение — минимум. Подчеркнем, что принцип минимума полной по-
потенциальной энергии охватывает все консервативные системы —
как линейные, так и нелинейные. Нелинейность консервативной
системы может быть обусловлена двумя причинами: геометрическими
и физическими. Геометрические нелинейности обычно связаны с боль-
большими перемещениями гибких тонкостенных систем типа стержней,
мембран или оболочек. Физическая нелинейность — это нелиней-
нелинейность зависимости между напряжениями и деформациями в упругом
твердом теле.
В классической линейной теории упругости принята следующая
постановка задачи: уравнения равновесия формулируются для
недеформированного состояния, компоненты деформаций связаны
с перемещениями линейными зависимостями, а материал подчи-
подчиняется закону Гука, т. е. напряжения и деформации связаны между
собой линейными зависимостями. В этом случае задача определения
напряженно-деформированного состояния сводится к линейным диф-
дифференциальным уравнениям, всегда имеющим единственное решение.
Нетрудно показать, что напряженно-деформированное состояние,
соответствующее этому единственному решению, является устой-
устойчивым.
Для линейного упругого тела, как это следует из C.12), удельная
потенциальная энергия Uo должна быть квадратичной функцией
деформаций. В общем случае можно записать
?/о = 4-Ит1°^еЬ C-17)
где [G] — симметричная матрица коэффициентов упругости. За-
Заметим, что в такой форме с симметричной матрицей [G] можно запи-
записать любой однородный квадратичный полином аргумента |е}.
Поскольку для деформирования всякого реального тела необходимо
затратить энергию, то квадратичная форма C.17) является положи-
положительно определенной, т. е. Uo > О при любых, не равных нулю,
значениях {е}.
Из выражения C.17) и условия C.12) следует матричная запись
закона Гука:
\o\ = [G]\&\, C.18)
а формула C.14) в этом случае принимает вид
e}T[Gl{*\dV C.19)
77
или
Связь между деформациями и перемещениями в классической
линейной теории упругости задается соотношениями C.4). Как уже
отмечалось, в положении равновесия 83 = 0, т. е. полная потен-
потенциальная энергия принимает стационарное значение. Для выясне-
выяснения характера соответствующей стационарной точки необходимо
исследовать вторую вариацию полной потенциальной энергии 623.
Учитывая, что в соответствии с C.15) вторая вариация 62Я = О,
находим 623 = 62?У = |
Другими словами, в линейных задачах теории упругости вторая
вариация полной потенциальной энергии выражается той же поло-
положительно определенной квадратичной формой C.17), что и удельная
потенциальная энергия деформации. Следовательно, 623 > 0, и
всякое положение равновесия упругой линейной системы устойчиво,
поскольку полная потенциальная энергия имеет минимальное зна-
значение.
Условие стационарности функционала полной потенциальной
энергии C.16) для линейно упругого тела позволяет достаточно про-
просто получить разрешающие дифференциальные уравнения и гранич-
граничные условия, записанные через перемещения. Для этого в функцио-
функционале потенциальной энергии деформации C.19) следует заменить
деформации {г} их кинематическими выражениями. В случае малых
перемещений эти выражения имеют вид C.4). Тогда функционал
Лагранжа, выраженный через перемещения, определится как
Э = i- f «Ш М)т \G\ \Ц {«} - {«}т {g}) dV - J {иУ {р) dS,
v ¦ s
а условия стационарности C.16) будут иметь вид вариационного
уравнения
6.9 == } (([L] б {«})т [G] [/,] {и} - б {«}т {?}) dV - J б {иу {р} dS = 0.
V S
C.20)
Для получения разрешающих уравнений воспользуемся известным
приемом вариационного исчисления. Выполним интегрирование по
частям и избавимся в C.20) от дифференциальных операторов при
вариациях перемещений. Тогда
' 6Э- [
v
78
Откуда получим уравнения Эйлера для вариационной задачи
C.20):
[I*] [G] Щ {и} - {g} = 0,
и граничные условия для любой точки поверхности рассматривае-
рассматриваемого тела:
б {«}т ([L4 [G\ \Ц {и} - {р}) = 0. C.21)
В общем случае условие C.21) дает набор граничных условий,
аналогичных C.10): либо ы; = «; (геометрическое условие), либо
/; = 0 (силовое условие), где под компонентой /, понимается диффе-
дифференциальное соотношение, определяющееся г-й "строкой матричного
уравнения: {/} = [Lv] [G] \L] {и} — {р}. Геометрические гранич-
граничные условия иногда называют главными, силовые граничные усло-
условия — естественными.
С другими вариационными постановками задач для упругих
систем можно ознакомиться в работах 140, 46].
§ 3.3. Формулировка задач устойчивости
Известны два эквивалентных варианта формулировки статиче-
статического критерия устойчивости консервативных систем [3]. В одном
из них критическая нагрузка определяется как наименьшее из тех
значений нагрузки, при которых изменение полной потенциальной
энергии при отклонениях системы от начального состояния равно-
равновесия имеет стационарное значение. В этом случае аналитическая
формулировка критерия устойчивости выглядит так:
б (A3) = 0, C.22)
где изменение полной потенциальной энергии ЛЗ подсчитывается
с точностью до квадратов перемещений системы, отсчитываемых
от того начального состояния равновесия, устойчивость которого
исследуется. Условие C.22) используют как для получения линеари-
линеаризованных уравнений устойчивости, так и для построения прибли-
приближенных решений (например, с помощью прямых вариационных
методов).
Во втором варианте критическая нагрузка разыскивается как
наименьшее из значений нагрузки, при которых у системы суще-
существуют состояния равновесия, смежные с тем начальным состоянием,
устойчивость которого исследуется. Следуя этому определению,
линеаризованные уравнения устойчивости обычно получают непо-
непосредственно из условий равновесия системы в отклоненном от на-
начального состоянии. Однако часто оказывается удобнее (например,
для сложных систем типа многослойных конструкций) линеари-
линеаризованные уравнения устойчивости получать с помощью принципа
возможных перемещений.
Рассмотрим консервативную механическую систему, состоящую
из упругого тела и приложенных к нему «мертвых» объемных и по-
поверхностных сил. Пусть начальное равновесное состояние, устой-
устойчивость которого исследуется, определяется перемещениями {мо}>
79
деформациями {е0} и напряжениями {о0}. Перемещения системы
в состоянии, смежном с начальным, запишем в виде
{и} = {«„} + {и,}, C.23)
где {«*} — дополнительные перемещения первого порядка малости,
отсчитываемые от начального равновесного состояния системы (би-
(бифуркационные перемещения).
Деформации, вызываемые перемещениями {и}, подсчитаем с точ-
точностью до величин второго порядка малости и для состояния системы,
смежного с начальным, получим |е} = {е0} + {е*} + {е**}. Здесь
деформации первого порядка малости |е„.} выражаются через на-
начальные и дополнительные перемещения по формулам [35 ]
. = , +Л?^ др_ ди^_ ди^ др_ дщ /f=1 2,3);
дх, ' дх, дх, ¦ дх, дх, ¦ дх, дх, v '
''у Л7- ' йа;; ' &; dxj ~^~ дх, dxj ¦ дх, dxj
1 dxj дх, dxj дх, ¦ dxj dxi \ ' ' ¦> v '
В матричной записи
где элементы матрицы [20] определяются формулами C.24)., На-
Например,
'(il ~ дхг Г дХ1 дХ± + дх2 dXi '
В задачах устойчивости силовых конструкций часто используют
дополнительное упрощающее допущение: докритическое начальное
напряженное состояние системы определяют по уравнениям линей-
линейной теории упругости и полностью пренебрегают изменением гео-
геометрии тела в начальном состоянии равновесия. Другими словами,
используют такую модель: до потери устойчивости тело напряжено,
но не деформировано. В этом случае в формулах C.24) следует от-
отбросить подчеркнутые слагаемые, и тогда матрица [201 C.25) пере-
переходит в матрицу [L ], определяемую выражением C.5).
Деформации второго порядка малости {&*%} определяются со-
соотношениями [35]
Напряжения в системе для положения равновесия, смежного
с начальным, запишем в виде, аналогичном выражению C.23):
{о} - Ы + Ш, C.27)
где {а*} — дополнительные напряжения первого порядка малости.
80
Теперь на основе принципа возможных перемещений сформули-
сформулируем условие равновесия, смежного с начальным состоянием. Для
этого в качестве возможных перемещений сообщим системе переме-
перемещения б {«*}. С учетом возможных деформаций
{в„} C.28)
принцип возможных перемещений C.3) можно записать в виде
J (F {е,} + б (8„})т ({а0} 4- {о,}) - б К}т {g0}) dV -
Ограничившись величинами до второго порядка малости включи-
включительно и отбросив произведение б {8,^|т {о*} как величину высшего
порядка малости, запишем *
(б (eJT {(То} - б К}т {go}) dV-{& {м*}т Ы ds\ +
•s J
Выражение, стоящее в фигурных скобках, равно сумме работ
всех внешних и внутренних сил на возможных перемещениях б {«„.},
отсчитываемых от начального состояния. Поскольку начальное со-
состояние равновесно, то это выражение равно нулю. Таким образом,
условие равновесия состояния, смежного с начальным, принимает вид
J (б {ЧУ К} + б (8„}т {(То}) dV = 0. C.29)
v
Из этого условия получим линеаризованные уравнения и однород-
однородные граничные условия для решения задач устойчивости консерва-
консервативных систем. Выразив деформации первого порядка малости {&%}
через дополнительные перемещения {«.,.} по формулам C.24) и вы-
выполнив интегрирование по частям, преобразуем первое слагаемое
в условии C.29) к виду
f 6 К}т К) dV = J б {и,у [20'] К} dV ¦!- J б К}Т [gv] {a,} dS.
V V S
Входящие сюда матрицы [% ] и [8„ ] формулируются следующим
образом. Матрица [851 получается из матрицы линейных дифферен-
дифференциальных операторов [Йо] путем транспонирования, смены знака
при дифференциальных операторах -^— и их переноса налево через
* По той же причине в выражении C.27) нет смысла удерживать напряжения
второго порядка малости: при подсчете работы внутренних сил на возможных дефор-
деформациях C.28) онн приведут к слагаемым высшего порядка малости.
81
ди
множители -gj—• Например, коэффициенту /в1 матрицы [Йо] будет
соответствовать коэффициент /*6 матрицы [2oJ:
у* О О OUI
Мб "¦— п„ э.. ^Т.
Зхг
Матрица направляющих косинусов [4% ] получается из матрицы "
?0 ] путем транспонирования и замены дифференциальных операто-
ров -s— на направляющие косинусы /v,-. Например, коэффициент
s—
матрицы [%*
iv ; , ди% , . ди°х
Мб — 'V2 1 3Z 'V2 "I 3Z
Второе слагаемое в условии C.29) преобразуем следующим об- :г
разом: ' ,;
\ б (е**}т Ы dv=\ (IV] б (г/*})т [Т] [V] {«*} t/У, C.30) !
где
IVJ J
; [Л =
; [т0] =
Т12 ^2 T2j
0 0 0
Tj3 T23 CT3
Выполнив интегрирование по частям и использовав соотношения ¦¦¦_
C.11), представляющие силовые граничные условия для начального i
состояния, получим ;¦
[ ([V] б {н^})т [Г] IV] {««} dV=\b («Л1 [V*] [Т] [V] {«*} dK -f- i
I
[V] {«*}
где
i = ivvjm= Ыт ; ivv]
IPolT-
fPo]T = [Pu P2> РзУ,
Таким образом, условие C.29) приобрело форму
j б («,}т ([«51 {a.} -i- [V*] [Л [V] {«.}) dV -!-
>*][\>\{um})dS = 0.
82
Отсюда в силу произвольности вариации б {и%} следуют одно-
однородные линеаризованные уравнения
[251(o.}-r-[Vl[74lVlK} = 0. C-31)
и однородные граничные условия:
либо {и.} == 0, либо [Syj {a.} + [P-] [V] {«.} = 0. C.32)
Для решения конкретных задач устойчивости необходимо знать
связь дополнительных напряжений {а*} с дополнительными дефор-
деформациями {ej. В случае линейно упругого тела эта связь определяется
законом Гука {<**} = [G] {е^}, где [G] — матрица коэффициентов
упругости. Для нелинейно упругого тела {oj) = [С ] {е*}, где
[G' 1 — матрица коэффициентов упругости в приращениях.
В изложенной формулировке задач устойчивости не учитывается
изменение объема и поверхности тела в начальном состоянии рав-
равновесия, и поэтому под напряжениями понимаются некоторые
условные, а не истинные напряжения. Однако такой подход, пред-
предполагающий малость деформаций, вполне оправдан для исследова-
исследования устойчивости тонкостенных силовых конструкций. Кроме того,
действующие на тело силы считаются «мертвыми», т. е. неизменными
при переходе системы в состояние, смежное с начальным. Это огра-
ограничение непринципиально: условие C.29) и вытекающие из него
уравнения C.31) и граничные условия C.32) нетрудно обобщить и
на тот случай, когда действующие на тело консервативные силы из-
изменяются при сообщении системе перемещений {ы*}. Тогда для си-
системы в состоянии, смежном с начальным, можно записать {g} =
= Ш + {?*}; {Р} = W + {р*}. где {g?} и {/?*} — дополни-
дополнительные объемные и поверхностные силы, линейно зависящие от
перемещений {и?} и их производных (так называемые позиционные
силы). Величины {gM} и {/?*} следует учитывать при подсчете ра-
работы внешних сил на возможных перемещениях б {«*}. В резуль-
результате такого учета вместо условия C.29) получим
I" (б Ыт Ы + 6 К*}т Ы ~ б К}? {?*}) dV -
{«,}T{pJdS = O, C.33)
а в уравнениях C.31) и C.32) появятся дополнительные слагаемые
соответственно {g*} и {р*}:
[П\ К} 4- [VI [Т] [У] {и.} - {g.} = 0;
Кинематические граничные условия остаются такими же, как и
для C.32).
§ 3.4. Формулировка задач динамики
Согласно принципу Даламбера введем в систему фиктивные
инерционные силы и рассмотрим равновесное положение системы.
Для получения разрешающих уравнений и вариационных формули-
83
ровок снова обратимся к принципу возможных перемещений, кото- -
рый с учетом инерционных сил запишется в виде (без учета демпфи- ¦
рующих сил) ;
J (б {е}т {а} - б {иу {g} л- б {«}* р {и}) dV - \ 6 {«}* {/>} dS = О, C.34) ";
V S |
где {й} = {йъ й2, й3} — вектор ускорений; р — плотность мате- .
риала. Считая перемещения малыми, воспользуемся связью возмож-
возможных деформаций б {е} с возможными перемещениями б {и} в форме
б {е} = [L] 8 {и}. В этом случае после стандартных операций ин-
интегрирования по частям выражение C.34) позволяет получить
уравнения движения
lL*\{o}-{g} + p{u} = 0, C.35) .
а также геометрические и силовые граничные условия на поверх- \
ности 5 для любого момента времени т: \
либо {и} = {п}, либо [Lv\ {а} - {р} = 0. C.36) *
Для линейно упругого тела уравнения движения C.35) и силовые
граничные условия C.36) можно записать через перемещения.
Для этого необходимо воспользоваться законом Гука C.18) и связью
деформаций с перемещениями C.4). После подстановки этих выраже-
выражений в C.35), получим
[L*] [G] [L] {и} -{g} + p {й} = 0. C.37)
Для интегрирования уравнений движения C.37) кроме гранич-
граничных условий C.36) необходимо задавать и начальные условия, ко- !
торые представляют распределения перемещений и скоростей в на- :_
чальный момент времени т = т0: Г«
{ы(то)} = {й}, {й(то)} = {п}. C.38) ;
При решении задач динамики бывает необходимо в ряде случаев
оценить влияние предварительного нагружения конструкции на
частоты и формы собственных колебаний или исследовать устойчи-
устойчивость неконсервативных систем с использованием динамического под- «
хода. Для таких задач вначале решается задача статики и опреде-
определяется начальное напряженно-деформированное состояние системы |
(если это необходимо). Далее рассматривается движение системы •-
в окрестности начального состояния. Вариационную формулировку
задачи можно получить, если повторить выкладки § 3.3 с учетом .'
инерционных сил. В результате будем иметь
f (б {8,}т К} + б {eJT (ffo} + б К}т (р {й j _ {gt})) dV _
V
f{«$}T{P,}ds = o. C.39)
s
84
Для случая «мертвых» нагрузок в C.39) следует принять {g*} = О,
W == 0:
1 (8 {ЧУ Ы + S {ем}т Ы + S {«*}/ р {й *}) W - 0. C.40)
v
При исследовании гармонических процессов, считая, что {и*} =
= —w2 {и*} (и — круговая частота), получим
j S (eJT Ы + § (е^}т Ы _ р(й2б К}т К}) dK = о. C.41)
v
Выражение C.41) при w = 0 переходит в вариационную форму-
формулировку задачи устойчивости. В случае отсутствия начальных на-
напряжений выражение C.41) позволяет сформулировать задачу о соб-
собственных колебаниях, а при постоянных начальных напряжениях
дает возможность исследовать влияние предварительного нагруже-
ния на частоту колебаний системы.
§ 3.5. Получение разрешающих уравнений
для одномерных задач
Одномерные и квазиодномерные задачи механики описываются
системами обыкновенных дифференциальных уравнений. К одно-
одномерным можно отнести задачи о деформировании стержней, балок,
а также круглых пластин и оболочек вращения при осесимметрич-
ном нагружении. В ряде случаев для трехмерных и двумерных
задач теории упругости можно применить метод разделения пере-
переменных и решать задачу в рядах Фурье или методом Канторовича.
Задачи, для которых тем или иным способом возможно приближенно
перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным
уравнениям, называются квазиодномерными. Для расчетов на ЭВМ
наиболее удобной формой представления разрешающих дифферен-
дифференциальных уравнений является система дифференциальных уравнений
первого порядка, или каноническая система. Для таких систем раз-
разработаны стандартные программы интегрирования, а также различ-
различные вычислительные приемы, обеспечивающие достаточную точность
решения краевых задач [20, 33].
Ниже рассмотрим вариационно-матричный способ [4, 38, 39]
получения систем дифференциальных уравнений первого порядка
для одномерных и квазиодномерных задач статики, устойчивости
и колебаний. При выводах будем пользоваться векторно-матричной
символикой, которая позволяет формально описать модель деформи-
деформирования упругой системы, компактно выполнить необходимые пре-
преобразования и составить программы для ЭВМ.
В общем виде систему разрешающих дифференциальных урав-
уравнений первого порядка можно представить в виде
¦±{Z} = [A]{Z} + {H}, C.42)
где {Z} = {{X}, {к}} — вектор состояния, с помощью которого
в сечении одномерной системы определяются все неизвестные обоб-
85
щенные кинематические {X} и силовые {к} факторы; {#} — вектор ."
свободных членов; s — координата одномерной системы, для опре- ;
деленности положим, что s = x^. Выбранные в сечении одномерной
системы компоненты векторов обобщенных перемещений {X}
должны быть достаточны для обеспечения необходимой гладкости .-
геометрической стыковки отдельных сечений. Через компоненты *
вектора {X} для одномерной задачи записываются главные (геоме- %
трические) граничные условия.
Распределения перемещений и деформаций по сечению устанавли- ¦
ваются согласно исходным гипотезам деформирования и в общем '
виде могут быть записаны следующим образом: ;
{и (хь х2, х3)} = [Fx (х,, хо)] {X (s)} + [F2 (х„ х3)] {Y (s)}, C.43) t
{г (хъ х2, х3)} = [Ц (х2, х3)] {X(s)} + [L2 (дг2> ха)\ {Y (s)}, C.44) .;
I
где s — xt; {Y} — вектор-столбец обобщенных производных, коэф-*
фициентами которого являются первые производные по s от компо-«,
нент вектора обобщенных перемещений {X} или их комбинации *
с перемещениями, необходимые для записи распределения переме- *
щений и деформаций; [Fx], [F2] и [Lx], [L2] — матрицы, которые*
содержат заданные функции аргументов х2, х3, аппроксимирующие г
решение в сечении.
Характерной особенностью записи выражений C.43), C.44)"
является то, что аппроксимирующие матрицы не содержат в своих"
коэффициентах дифференциальных операторов dlds, поскольку все
необходимые первые производные присутствуют в компонентах ,
вектора {Y}. По этой же причине между векторами {X} и {Y} можно!
установить дифференциальную связь, которую в общем случае-
удобно представить в виде ''*
-jjr{X]-lC1]{X}-lC,]{Y} = 0.- C.45),;
Дифференциальное уравнение связи C.45) учитывается в качестве;!
дополнительного условия при выводе разрешающих уравнений. |
Воспользуемся принципом возможных перемещений. Для одно-4"
мерной системы запишем его в следующей форме: ;t
sk sh :-
j \(8{e}T{o}-8{u}T{g})dx,dXids-8\X}T{I}\ = 0, C.46):
где F — площадь поперечного сечения; s0, sk — начальная и конеч-
конечная координаты одномерной системы; {K}\s , {^.}L —внешние-
силовые факторы, приложенные к системе при s = s0 и s = %.
Поскольку дифференциальное уравнение C.45), устанавлива-
устанавливающее связь между обобщенными перемещениями {X}, их производ-
производными —— {X} и вектором {Y}, должно выполняться также и для ;.
86
возможных перемещений, то оказывается справедливым выражение
= 0 C.47)
для произвольных множителей {X}.
Объединим выражения C.46), C.47) и заменим вариации векторов
перемещений б {и} и деформаций б {е} согласно C.43), C.44) вы-
выражениями
б{ы}= IF1]8{X} + IF2]8{Y};
6{е} = [Li] &{X}+ [L8] 8{Y}.
После этого получим окончательную формулировку задачи в ва-
вариациях:
i] б {X} !~ [Ft] б {Y}f {g}) dx3 dx2
- &{Ху{Ц\ = 0. C.48)
Выполнив интегрирование по частям и избавившись в C.48)
от производных при вариациях б {X}, будем иметь
j (б \Х\Т {WJ + б {Y}T {W2}) ds -f б {Xf {?3} I = 0, C.49)
где векторами {Ч',} (I = 1, 2, 3) обозначены
№> - J AЦ]т{о) -- [ЛГ {&}) ^з^2 " [CJ1 {/,} - -^ {Я};
J ([L«1T М - lF2f {g}) dx, dx2 - [C.f {k}; C.50)
sh
По физическому смыслу компоненты вектора неопределенных мно-
множителей {к} соответствуют обобщенным усилиям в сечении. По-
Поскольку компоненты векторов б \Х\, б {Y} — произвольные допу-
допустимые функции, то для равновесного состояния согласно C.49)
должны выполняться условия:
{4^ = 0; {Щ = 0. C.51)
87
При заданных силовых граничных условиях на краях одномер
ной системы при s = s0, s = sk необходимо, чтобы
№Но = 0; {?3}|Sft=0. C.52)
В случае задания геометрических граничных условий на краях
известными считаются обобщенные перемещения. Эти условия можно
записать в следующем виде:
(%Но = 0, D^=0, C.53)
где {?4} {}{}
В случае смешанных граничных условий задаются либо компо-
компоненты векторов {^з}, либо компоненты {Ч1^}-
Рассмотрим линейно упругую одномерную систему. Соотношения
упругости записываются в виде закона Гука C.18) или с учетом C.44)
в виде
{о) = IG]^] {X} + [L2] {Y}). C.54)
Приравняем нулю вектор-функции {^i}, {^2} Цсм. 3.50)],
тогда с учетом C.54) получим одно дифференциальное и одно алге-
алгебраическое векторные уравнения:
[Snl {X} + [S12] {Y} - {ЛГХ} - [Сх]т {1} - -jg- {X,} -= 0, C.55)
[S21] {^} + [522] {Г} - {ЛГ2} - [С2]т {X} = 0, C.56)
где
[S,,] = j [L,]T [G] [L/] d*a dAr3 (i, j = 1, 2), C.57)
{Л^,} = J [F,f {g} dx2 dx3 (t = l, 2). C.58) I
Здесь матрицы [FJ, [F2] и [LJ, [L2] задаются исходными {
аппроксимациями перемещений и деформаций C.43) и C.44). Ал- f
гебраическое уравнение C.56) позволяет выразить вектор {Y}
через векторы обобщенных перемещений {X} и силовых факторов
{к}:
{Y} = [S22]-' ({N2} + [С2]Т{Я} - [Sa] {X}). C.59) |
Воспользуясь C.59), исключим {Y} из дифференциальных урав- ;
нений C.45), C.55). Тогда получим искомую каноническую систему -
C.42), которую представим в блочном виде
ПЛц] [Л12]1 [X]
где
[Ап] = ld]-lb] [S21]; W12] - [&] [C.F;
[Л21] = \sn] - [dj [Sai; [л22] = - [сх]т+id] [C2]T=- [Ли]т; C.61);
{Я,} = [b\ {N2}; {Яа} = -{^} + Id] {N2};
Система дифференциальных уравнений C.60) в качестве неиз-
неизвестных функций аргумента s содержит компоненты векторов обоб-
обобщенных перемещений {X} и обобщенных силовых факторов {к}.
Граничные условия задачи определяются выражениями C.52) и
C.53). Блоки разрешающей системы и вектор свободных членов
были получены формальным вариационно-матричным способом.
Для их вычисления согласно C.61) необходимо иметь в качестве
исходной информации законы распределения по сечению перемеще-
перемещений и деформаций [матрицы [Fi], [F21 и [LJ, [L2] (см. C.43) и
C.44)]; соотношения упругости (матрица [G]), матрицы связи
ICil, [C2] [см. C.45)] и вектор внешних распределенных нагрузок
{g}. Представленные соотношения C.57), C.58) -и C.61), определя-
определяющие алгоритм получения канонических систем, являются общими
для широкого класса одномерных систем.
Рассмотрим некоторые свойства симметрии матричных блоков
[Аи] [см. C.61)] системы разрешающих уравнений C.60). Поскольку
матрица коэффициентов упругости [G]— симметричная (lG]T =
= [G]), то для матриц IS if] C.57) справедливо условие [S;>]T =
= ISjiY, тогда для матричных блоков [Аи] канонической системы
[Al2F = U12], L421F= L421], UU]T = —UM]. C.62)
Другое доказательство этих свойств симметрии с помощью тео-
теоремы о взаимности работ приводится в [8]. Соотношения C.62)
для разрешающей системы будут выполняться при условии, если
скалярное произведение вектора обобщенных силовых факторов и
вектора обобщенных перемещений пропорционально работе вну-
внутренних сил в сечении.
Для нелинейно упругих материалов уравнения C.51), C.52),
C.53) можно рассматривать как систему нелинейных уравнений.
Решение этой системы получим итерационным путем с использова-
использованием метода Ньютона. Будем считать, что известно т-е приближение
к решению задачи, т. е. известны значения векторов {Х}т, {Y}m,
{Ц,п, -fo{tym- Воспользуемся C.44), определим деформации в се-
сечении, по ним подсчитаем напряжения {о} = {/ (е)} и вычислим
согласно C.50), C.53) значения {Чут, {Щт, (?3}m> {V4}m, кото-
которые в случае приближенного решения не равны нулю. Для опреде-
определения поправки к решению выполним линеаризацию функций от-
относительно m-го состояния и примем
= 0 для k=l, 2, 3, 4, C.63)
Уравнения C.63) и дифференциальное условие связи C.45),
записанное для поправок {ЛХ}т+1, {ДК}т+1, позволяют получить
89
искомую систему дифференциальных уравнений первого порядка:
WAXj ПЛ„] [Л12]||АХ| (AHA
ds \М jm+l [ [Ап] [Аю] J I AX L+1 + 1Л
где {AH^ = [ft] {^2}m> {Atf2}m = {%}„, - Id] fF2}m. ;j
Матричные блоки [Ац] вычисляются по формулам C.61); не- Z
обходимые для их вычисления матрицы [Si}] определяются выра- ?
жениями, аналогичными C.57), при замене матрицы [G] на матрицу :?
коэффициентов упругости в приращениях, т.е. на IG']. \
Полученная система C.64) позволяет вычислить поправки для 1|
обобщенных перемещений {АХ}т+1 и обобщенных силовых факто- 3
ров {АЦт+1, а затем перейти к новому (т + 1) -му приближению |
{Х}т+1 = {Х)т + (АХ}т+1, {Цт+1 = {Цт + {АЦт+1. В случае J
необходимости процесс уточнения повторяется. ь
Рассмотрим в общем виде вариационно-матричный способ полу-
получения разрешающих систем дифференциальных уравнений для реше- -
ния задач о собственных колебаниях и устойчивости одномерных *;,
линейных систем. В качестве исходной вариационной формулировки '¦;.
воспользуемся условием C.41) для случая «мертвых» нагрузок. ?
Оставим в прежней форме общую запись распределения дополни- |
тельных перемещений {и*} и деформаций {ej по сечению, т. е. >г
как и для C.43), C.44), примем "}_
где {Х%} — дополнительные обобщенные перемещения первого по-
рядка малости. Общий вид дифференциальной связи между компо-
нентами векторов (XJ и {Y^} будет аналогичен C.45):
Дополнив вариационную формулировку C.41) условием связи
вида C.65) для вариаций б {Х„}, б {К+}, получим
J (S (e,}T (aj + б {е^}т {а0} - рсо^б {uJT {uj) dV +
d) = v> C-66) ;
So
где {к^.} — вектор неопределенных множителей Лагранжа. С уче-
учетом того, что второе и третье слагаемые в первом интеграле C.66)
в общем случае можно представить в виде
\ б {ч*У ы <tv=
s0 F
90
где \Т] — матрица начальных напряжений; Л — параметр нагру-
жения, и
\ 8 {и JT (>со2 {и,} dV = со2 [ J р ([/?,] 8 {XJ -f-
V s*0 F
+ [/=] б {KJ)T ([F,] {XJ -r [Fa] {YJ) dx3 dx2 ds
уравнения Эйлера для вариационной задачи C.66) будут
[5„] {X,} + [S12] {К,} - [С,]1 {X,} - ^ {>-*} = 0, C.67)
[5И] {**} + [S22] {KJ - [C2]T{XJ = 0. C.68)
В задачах устойчивости и колебаний матрицы [S^] в уравнениях
C.67) и C.68) отличаются от аналогичных матриц C.57) тем, что они
дополняются матрицами, характеризующими начальное напряжен-
напряженное состояние и инерционные свойства системы:
[S</]= J[^1T[G] [LjYdXsdXi + Л \[Ri]TlT] [Rj]dx3dx, -
F F
^\p\FSC\Ft\dxidxl (i, / = 1,2). C.69)
— W
F
Определив из уравнения C.68) вектор {К*} и подставив его
в дифференциальные уравнения C.65) и C.67), получим искомую
систему дифференциальных уравнений
1 JK1 C70)
где [Ajj] — матричные блоки определяются выражениями C.61)
при матрицах [S,-j], вычисленных по зависимостям C.69). -^
Для однородной системы дифференциальных уравнений гранич-
граничные условия будут тоже однородными. На краях одномерной си-
системы при s = s0, s — sft должны быть заданы условия: либо {Х^} = 0
(геометрические), либо {к^} = 0 (силовые). Полученная система
дифференциальных уравнений C.70) позволяет решить следующие
задачи на собственные значения: при со = 0 и [Т] Ф 0 определить
критические нагрузки Лкр; при Л = 1, [Т]фО, р Ф 0 — найти
собственные частоты и формы колебаний упругой системы с учетом
предварительного нагружения (в частном случае при [Т] = 0
определить частоты и формы ненагруженной системы).
Приведенные в данном параграфе матричные соотношения для
определения коэффициентов канонических систем не дают явных
аналитических зависимостей, но позволяют для конкретного сече-
сечения получить числовые значения коэффициентов. Для сокращения
вычислительных операций, выполняемых ЭВМ на каждом шаге чис-
численного интегрирования, в случае переменных коэффициентов можно
воспользоваться приемом аппроксимации. Для этого разобьем одно-
одномерную систему по координате s на участки длиной А (рис. 3.2).
91
О S,
Рис. 3.2.
Будем вычислять матрицы разрешающей
системы только в узлах разбивки. В пре-
пределах каждого участка все коэффици-
коэффициенты матрицы \А ] [см. C.42) ] интерпо-
интерполируем, например, по четырем точкам
в виде кубического полинома:
[A (s)] ~ [/ (s)] = [В,] + [Bt] (s - s2) +
+ [Вя ] (s — s2) (s — sa) +
+ Wt] (s - s^ (s - sa),
для s2 <: s « s3, C.71)
где sv s2, s3, s4 — координаты сечений,
в которых вычислены точные значения
матрицы разрешающей системы. Аппроксимация C.71) интер-
интерполирует приближенное значение коэффициентов матрицы [А ]
на участке [s2, sa]. Для определения коэффициентов матриц интер-
интерполяции [Bt} (i = 1, 2, 3, 4) будем считать, что аппроксимирующая
матрица [/ (s)] совпадает с матрицей разрешающей системы на
краях участка интерполяции, т. е. при s2, s3 выполняются равенства
[/ (s2) ] = [A (s2) ]; [/ (s3) ] = [A (sa) ]. C.72)
Кроме того, выполним следующие сопряжения участков аппро-
аппроксимации по первым производным:
C.73)
s=s,
После подстановки в C.72) и C.73) выражений для [/ (s)] C.71) »
А
и -j- [/ (s) ] получим следующую систему матричных уравнений:
г
= [А,];
+ [Вл] А2 - -^- [[Л! -
из которой последовательно определяются
[Si] = [Л,]; [В2] = -I" N4,] - [Л
[BJ [[Л]2[
[5J = -и!" Н^1 - 3 [ Д,] + 3 [А,] - [Л]],
где [Лг] = [Л (s,) ] (i = 1, 2, 3, 4) — известные матрицы разре-
разрешающей системы, вычисленные в узловых точках. Для решения
92
задач статики аналогичным образом может быть аппроксимирована
изменяющаяся вдоль координаты s внешняя распределенная на-
нагрузка.
§ 3.6. Численное интегрирование
разрешающих дифференциальных уравнений
для одномерных систем
В общем виде система разрешающих уравнений может быть све-
сведена к канонической форме
где s — координата одномерной системы; {Z} — вектор состояния;
[А ] — матрица разрешающей системы; {#} — вектор свободных
членов.
При решении задач устойчивости и колебаний имеем однородную
систему и {#} = 0. Для краевых задач механики, описывающихся
дифференциальными уравнениями вида C.74), разработаны эффек-
эффективные алгоритмы численных решений [8, 20, 33]. Рассмотрим спо-
способ решения, основанный на делении одномерной системы по коор-
координате s на отдельные элементы и стыковки отдельных элементов
по геометрическим и силовым факторам с использованием матриц
жесткости.
Разобьем всю длину одномерной системы на отдельные элементы.
Для отдельного элемента (рис. 3.3, а) обозначим начальное сечение
цифрой /, конечное сечение — цифрой 2. Такую нумерацию сечений
назовем местной. Ввиду линейности исходного дифференциального
уравнения связь вектора состояния в конце элемента (сечение 2)
с вектором состояния в начале элемента (сечение /) можно предста-
представить в виде
{Z2} = [со] {Z,} + {Z«™}, C.75)
где [ю] —матрица фундаментальных решений на отдельном эле-
элементе (МФР); {Z4acTH} — вектор частных решений (для однородных
исходных дифференциальных уравнений в C.74) {#} = 0 и, следо-
следовательно, {Z4acTH} = 0). Заполнение матрицы [ю] можно предста-
представить так. Решается задача Коши для элемента при {#} = 0 [см.
C.74) ] при начальных условиях, когда только /-я компонента
вектора состояния в первом сечении равна единице, остальные
компоненты — нули. В результате интегрирования C.74) в сечении 2
получим определенный вектор
состояния. Этот вектор заносится Xх'} {"-} {*'} {*¦?}
как /-й столбец в матрицу [и]. | - р*~ г—*"
Получив решения всех 2п задач <= =г> ™»|
Bл — размерность вектора {Z}) лд7 г/*Л(*Д7 zh,\
с единичными начальными уело- к J ijij \ */
виями, полностью заполним мат- "^ '
рицу фундаментальных решений. рИс. з.з.
93
Вектор частного решения получается после интегрирования неод- ¦-
породного уравнения C.34) при нулевых начальных условиях. :
При численной реализации процедур заполнения МФР в ряде^
случаев (например, для моментных оболочечных элементов или.
балочных на упругом основании) участки выбираются достаточно
короткими. Это связано со спецификой разрешающей системы диф-
дифференциальных уравнений, для которой возможны быстровозраста-;.
ющие и быстрозатухающие решения, а также с неизбежными погреш- '*
ностями округления при вычислении на ЭВМ. При большом участке;
интегрирования векторы решений в МФР при расчете на ЭВМ могут!*
стать практически линейно зависимыми или вычисляться недоста-1-
точно точно. По этой причине метод начальных параметров, который»
используется при расчете стержней, для моментных оболочек при-,
меняется очень редко. ;,->
Если в качестве компонент вектора состояния {Z} выбраны обоб-j
щенные перемещения {X} и соответствующие обобщенные силовые"
факторы {Ц, то в блочном виде связь C.75) можно представить»
в виде %
Х2\ Г [«и]
Хч
части
C.76);»
Используя условие взаимности работ, можно доказать следующие!
свойства матричных блоков МФР C.76): *
[fflulT [ео2а] — [со21]т [а>12]_ = IE]; f
[con]T [co21] = [со21]т [сои];
[со12]т [со22] = [co22F [со12], C.77)'f
где [Е] — единичная матрица (п х п). Кроме того, на оснований
C.77) или условий симметрии матричных блоков канонической си-»
стемы C.62) можно показать, что определитель матрицы фундамент
тальных решений для любого участка интегрирования должен быть
равен единице:
det ([со]) = 1. C.78)
Условие C.78) можно использовать как необходимое (но, к сожа->1г
лению, недостаточное) при контроле за точностью численного ин-
интегрирования, т. е. если решение верно, то равенство C.78) выпол-'
няется, или если C.78) не выполняется, то решение заведомо неверно^
Для удобства стыковки элементов перейдем от внутренних сило-'
вых факторов {Kj}, {A.2} в сечениях /, 2 (см. рис. 3.3, а) к реакциям-
IM> IM. Для компонент которых положительные направлений
совпадают с положительными направлениями соответствующих ком-
компонент векторов обобщенных перемещений {XJ, {Х2}. На рис. 3.3, б,
где условно изображен этот переход, видно, что
{М = -{М- {*.> = {*»>¦ C-79)
Связь векторов состояния в сечениях /, 2, представленная с по-
помощью матрицы фундаментальных решений и частного решения:
C.76), а также соотношения C.79), позволяют выразить реакции;
94
{h)> {^2} через перемещения
сечений и приведенные к сече-
сечениям нагрузки, т. е. полу-
получить зависимость
где
Рис. 3.4.
C.80)
\К12) = -[со,,]-1; \Ки) = \К12] М;
[ff21] = [/Ci2]T; [/U = -[«>,,] [/Си];
{Pi} = 1К12] {X4—}; {Ра} = -{A,4""»} f [со22] {Л}..
Здесь матрица, связывающая в элементе обобщенные узловые
реакции с обобщенными перемещениями, есть матрица жесткости
элемента (МЖЭ); {Pi}, {Р2} — векторы приведенных к узлам эле-
элемента внешних нагрузок. На основании теоремы о взаимности
работ можно показать, что матрица жесткости элемента является
симметричной, т. е.
[Ки\ = [Kuf'y IK21] = l/<i/; [Kn\ = [/СИ]Т-
Рассмотрим условия сопряжения двух одномерных элементов.
На рис. 3.4, а изображены элементы, имеющие номера ей/. Сечения
сопряженных элементов (или узлы) имеют номера i, j, k, которые
представляют целые числа, определяющиеся после нумерации всех
сечений одномерной системы, разбитой на отдельные элементы.
Такую нумерацию узлов в отличие от местной называют глобальной.
Если в /-м сечении для стыковки обобщенных перемещений не тре-
требуется дополнительных преобразований, то кинематические условия
сопряжения будут выглядеть так: (Х/| = [х)\ = {Xj}, где верх-
верхний индекс указывает номер элемента, нижний — номер узла;
{Xj} — вектор обобщенных перемещений в /-м сечении. На рис. 3.4, б
условно изображена окрестность сечения /. Будем считать, что в се-
сечении / приложены внешние силы, которые условно изображены
вектором {Tj}. Считается, что компоненты вектора {Т,} упорядо-
упорядочены так, что скалярное произведение б {Xj}r {Tj} равно работе
внешних сил на возможных перемещениях б {Л",-} у-го сечения.
Реакции элементов е, I на рисунке обозначены {t)\, [t]). Условия
равновесия сечения / запишем в виде Щ\ -\- [t)\ = {Tj}.
Воспользуемся глобальной нумерацией и выразим реакции эле-
элементов е и I через обобщенные перемещения сечений:
ы
C.81)
95
С использованием C.81) условие равновесия /-го сечения можно
записать через перемещения:
Ш {Xi} + ([*//] + [К),]) {X,} + [К1/*] {**> = {Tj} + [Р)\ + IP';}-
Используя глобальную нумерацию, достаточно просто записать
общий случай стыковки г одномерных элементов в /-м узле (рис. 3.5).
На рисунке номера элементов обозначены elt ег, ...,ет, ...,ег. Номера
/j, /2> •••> *т> •••> 1г соответствуют номерам узлов элементов, не при-
мыкающих к узлу сопряжения /. Будем считать, что на /-й узел
действуют сосредоточенные внешние силы {Tj} и реакции оболочеч-
ных элементов. Запишем уравнение равновесия /-го узла (рис. 3.5, б):
^ {/} C-82)
Поскольку реакция ет-го элемента в узле / связана с перемеще-
перемещениями сечений im и / следующим образом:
то C.82) можно записать через перемещения:
2
После анализа структуры уравнения равновесия в форме C.83) ¦,
можно отметить, что в правой части стоят внешние силы, действу- ¦
ющие в сечении / и сумма приведенных к узлу / поверхностных'
нагрузок, действующих на сопрягаемые элементы; в левой части,
стоят произведения матричных блоков МЖЭ и узловых степеней
свободы. При формировании уравнений равновесия для /-го узла:?
участвуют лишь блоки матриц жесткости элементов, у которых -
первый индекс (по глобальной нумерации) равен /. Расположение"
этих блоков' в /-й матричной строке в общей системе уравнений рав-
новесия (т. е. для всех узлов) определяется вторым индексом.
Полученные таким образом уравнения равновесия всех сече-
сечений одномерной конструкции с учетом геометрических граничных
условий задачи представляют разрешающую систему линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых пере-
перемещений. Полученную матрицу системы называют глобальной ма-
матрицей жесткости или матрицей жесткости конструкции. Эта ма-
96
трица является симметричной и обладает ленточной структурой.
Для решения таких систем в настоящее время разработаны эффек-
эффективные программы для ЭВМ. Полученные в результате решения
системы перемещения позволяют определить реакции элемента
C.81), внутренние силовые факторы 1см. C.79) J, вектор {Y} C.59),
а также деформации C.44) и напряжения C.54).
При решении задач устойчивости или задач о собственных коле-
колебаниях в качестве исходных дифференциальных уравнений исполь-
используют однородную каноническую систему C.70) или
-L{ZJ = \A\{ZJ, _ C.84)
где под компонентами вектора {Z*} понимаются дополнительные
обобщенные перемещения и силовые факторы. Коэффициенты ма-
матрицы \А ] в общем случае зависят от координаты одномерной си-
системы s, а также от параметра нагружения Л (для задач устойчи-
устойчивости) или частоты колебаний со (для задач динамики). Система
C.84), дополненная однородными граничными условиями, опреде-
определяет задачу на собственные значения — требуется найти такие
значения параметра Л (или ©), при которых имеются нетривиальные
решения. Для задач устойчивости практический интерес представ-
представляет только наименьшее по модулю собственное значение А = | Л |mln,
которому соответствуют значения критических нагрузок.
После выполнения процедур построения матриц фундаменталь-
фундаментальных решений для отдельных элементов и стыковки элементов по гео-
геометрическим и силовым факторам с учетом однородных граничных
условий получим однородную систему алгебраических уравнений
относительно дополнительных перемещений. Формально эту систему
представим в виде
\К (р)} {X} = 0, C.85)
где р = К (для задач устойчивости) или р = со2 (для задач о собствен-
собственных колебаниях). Для нетривиального решения полученной системы
линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно ра-
равенство нулю ее определителя. Этот случай соответствует одному из
собственных значений параметра р. Расчет выполняют следующим
образом. Для различных значений параметра р производят инте-
интегрирование системы C.84), осуществляют стыковку элементов, вы-
вычисляют определитель системы C.85) и следят за сменой знака опре-
определителя. Недостатком такого приема определения собственных
значений является то, что для каждого р приходится заново интегри-
интегрировать систему C.84), что требует значительных затрат машинного
времени. Для сокращения вычислительных операций можно исполь-
использовать прием линеаризации по параметру р матрицы связи реакций
элемента с узловыми перемещениями элемента, т. е. представить
в следующем виде связь реакций с перемещениями:
4 Ал^утоп Н. Л. н др. 97
В этом случае после стыковки отдельных элементов получим;
вместо C.85) разрешающую систему алгебраических уравнений:
следующей структуры:
Эту систему можно рассматривать как обобщенную задачу на -
собственные значения относительно параметра Др. -
Показанный выше прием линеаризации существенно уменьшает
время расчета, так как матрицы [/(] и [/С] определяются лишь за ,1
два приема интегрирования, т. е. для р — р0 и р — р0 + Лр0. ;
В случае необходимости полученное собственное значение р — р* .-
можно уточнить, при этом линеаризацию матриц следует провести
относительно р0 = /?„.. :
§ 3.7. Формулировка нелинейных задач )
Поскольку структурные изменения в многослойном композици- i
онном материале могут происходить на различных этапах нагруже-f
ния и деформативные свойства конструкции во многом зависят от -у
истории деформирования отдельных слоев, будем поступать следу- '*
ющим образом. Процесс статического нагружения мысленно свяжем ''],
с некоторым условным временем т. Будем считать, что на интервале *
времени (т, т -f- At) известны конкретные приращения внешних
нагрузок. %.-
Пусть в начальный момент времени т = 0 рассматриваемый ,
объект имел исходную недеформированную конфигурацию. Просле- '¦,
дим за изменением этой конфигурации в процессе нагружения. ;>¦
На рис. 3.6 позициями /, 2, 3 условно показаны координаты точки J
тела в процессе деформирования в моменты т = 0, т, т + Ат. Дадим ,|
порцию нагружения на интервале времени (т, т + Ат). Истинные |
приращения перемещений, которые требуется определить, обозна- ?.
чим {«}. Поскольку задача нелинейная, в общем случае переме- Ъ
щения {и} определяются не за один шаг, а требуют итерационного §
процесса. Такой итерационный процесс можно организовать с исполь- %
зованием линеаризации формули- *
/,,,, ровки принципа возможных переме- j*
щений, записанного для равновесного <*
/ положения тела в момент времени i
т -f Ат. Будем считать, что т-я ите- ?
рация должна приводить к положе-1
нию равновесия. В этом случае можно*
записать 1
j б {Aefm {a}m dV - 6А = 0, C.86) -
где
ЬА =
4- f 8{Au}Jn{Px^T}dS
98
представляет работу внешних сил. Будем считать, что суммарные
напряжения на т-й итерации
{а}т = {ат} г 2] {Да}, f {Ло}т. C.87)
- k=\
а деформации {Ле}т содержат линейные и нелинейные слагаемые:
<г {Дт1}от. C.88)
Индексы тит+ Ат подчеркивают принадлежность к той или иной
конфигурации. Порцию нагружения {Ag}, {Ар}, будем давать до-
достаточно малой, чтобы, считать связь приращений напряжений
с приращениями деформаций линейной:
{Ла}„, =-¦ [Gi] {Ле},,,, C.89)
где [G'x] — матрица касательных модулей, определенная для кон.
фигурации т.
Сохранив члены первого и второго порядков малости с учетом
C.87)—C.89), запишем принцип возможных перемещений C.86),
после чего будем иметь
j (б {Ае}1 [G'x] {AeU + б {Ац}7 {ах} + б {Ае}? {<х}м_,) dV - ЬА = 0.
v
C.90)
Формулировка условия равновесия, записанная в виде C.90),
позволяет получить разрешающие уравнения для определения пере*
мещений {Аи}т и выполнить итерацию:
{U}m — {U)m
Об объеме, по которому выполняется интегрирование, можно
сказать следующее. Наиболее удобным при реализации оказываются
два варианта: в одном из них интегрирование проводится по исход-
исходному недеформированному объему, т. е. для конфигурации т = 0,
во втором — для конфигурации предыдущего равновесного состоя-
состояния, соответствующего моменту времени т. При этом в декартовой
системе координат для вычисления линейных составляющих прира-
приращений деформации при интегрировании по Vo следует воспользо-
воспользоваться выражениями, аналогичными C.24) (индекс итераций т
опущен):
-т- дх.
дх. -t -^7 дх. -т- дх. дх. -т- дх. дх.
. uuu; - j . °ui (ЭЛ«1 . ди2 дАи2
Ь Ч dxj """ dxi dxi dxj """ dxt dxj ~"~ dxi dxj
dux
4* 99
Во втором варианте, поскольку конфигурация т включает пере
мещения {и%}, для вычисления компонент {ДЭ} следует восполь-
воспользоваться зависимостями
Нелинейные составляющие приращений деформаций для первого
и второго вариантов определяются как
,
дЛи3 дЛи3
Будем считать, что в физических соотношениях C.89), связы-
связывающих приращения напряжений и деформаций, матрица касатель-
касательных модулей [Gtl, вычисленная для равновесной конфигурации т,
сохраняет неизменными свои компоненты на итерациях в пределах
этапа нагружения. Кроме того, будем считать деформации малыми,
поэтому при использовании соотношений C.89) не будем делать
различия в матрицах [Gi] для двух указанных выше вариантов
интегрирования. Эти варианты вычислений соответствуют записи
принципа возможных перемещений в форме Лагранжа. Более по-
подробно с вычислительными и теоретическими аспектами решения
нелинейных задач можно ознакомиться в работе [59]. Такой метод
решения нелинейных задач можно назвать шаговым с промежуточ-
промежуточной итерационной коррекцией модифицированным методом Ньютона.
На рис. 3.7 условно показан процесс вычислений. Здесь р и и обозна-
обозначают нагрузку и перемещения. Как видно из рисунка, жесткость
системы на интервале нагружения (т, т + Ат) сохраняется посто-
постоянной.
§ 3.8. Общие этапы решения задач
с помощью МКЭ
Полученные ранее на основе принципа возможных перемещений
формулировки задач статики, устойчивости и динамики позволяют
построить эффективные приближенные методы решения. Рассмотрим
основные этапы решения указанных задач с помощью метода конеч-
конечных элементов (МКЭ) [22, 40, 43, 59, 61 ]. Одна из трактовок МКЭ
связана с методом Рэлея—Ритца. Характерной особенностью для
МКЭ явилось то, что аппроксимация искомых решений стала вы-
выполняться не во всей области, а в пределах отдельных простых
элементов, на которые разбивается тело. Отдельные элементы сты-
стыкуются между собой по вершинам (узлам) и граням. Координатные
функции, как правило, выбираются в виде кусочно-полиномиаль-
кусочно-полиномиальных функций. Каждая функция равна нулю на большей части об-
КТО
и,
Рис. 3.8.
ласти и отлична от нуля лишь в пределах элементов, окружающих
данный узел. Если каждая функция выбирается так, что она равна
единице в своем узле, непрерывна в области элементов, примыкающих
к узлу, и равна нулю во всех остальных узлах, то в качестве коэф-
коэффициентов, подлежащих определению, можно рассматривать зна-
значения перемещений узловых точек. Кусочно-полиномиальную аппро-
N
ксимацию перемещений можно представить в виде их = 2j Ф№ц\
N N • =
и2 = ? 0»w2b «з= 2j <уМз!> где i — номер узла; N — число узло-
вых точек; ф1 — координатные кусочно-полиномиальные функции
аргументов хи х2, х3; ult, u2i, u3i — значения перемещений узловых
точек. Обозначим вектор неизвестных узловых перемещений ии,
ы2ь u3i (i = 1, 2, 3, ..., N) через {q} и представим распределение
перемещений в матричном виде
{и}=1ф]{д}, C.91)
где матрица [ф] содержит указанные выше координатные функции
$;. Для одномерного случая пример аппроксимации решений по-
показан на рис. 3.8. Для аппроксимированных в виде C.91) полей
перемещений воспользуемся дифференциальными соотношениями
C.4) и Определим связь деформаций с узловыми перемещениями:
{8},= [B]{q}, C.92)
где [В]~ [L] [ф].
В силу линейной связи деформаций с узловыми перемещениями
возможные деформации б {г} будут связаны с возможными переме-
перемещениями узлов б {q} аналогичной зависимостью, т. е. б {е} ?=
= [B]b{q].
Соотношения упругости для линейно упругого тела записываются
согласно закону Гука и с учетом C.92) могут быть представлены
в следующем виде:
{а} = [G] lB]{q}. C.93)
101
Для получения разрешающих уравнений задачи статики осталось
использовать принцип возможных перемещений
J (« {е}Т М - S («Г {§})dV - \ б {и}7 {р} dS == О,
v s
который следует записать с учетом исходных аппроксимаций МКЭ
полей перемещений C.91), деформаций C.92) и напряжений C.93).
Выполнив указанные подстановки, получим
J (([Я] б {q})T [G] [В] {q) - (\ф\ б {q))\{g}) dV -
v
или 8{?}
где [/С] = J [SjT [G] [В] dV; {/>} = j [ф]1 {g} dV + j [ф]т {р} dS.
V V S
Матрица IK 1 и вектор {Р} называются соответственно матрицей
жесткости конструкции и вектором приведенных к узлам нагрузок.
В силу произвольности возможных узловых перемещений 6 {q}
из принципа возможных перемещений получим уравнения равно-
равновесия:
C.94)
Разрешающая система алгебраических уравнений C.94) позво-
позволяет определить неизвестные узловые перемещения.
Характерной особенностью МКЭ является то, что, поскольку
координатные функции фг, а следовательно, и компоненты матрицы
[5] [см. C.92)] равны нулю на большей части рассматриваемой
области, то матрица [К] разрешающей системы уравнений C.94)
является слабозаполненной и, как правило, имеет ленточную струк-
структуру. Это обстоятельство позволяет построить эффективные и эко-
экономичные вычислительные алгоритмы решения больших систем
линейных алгебраических уравнений [22].
Рассмотрим другую трактовку МКЭ, соответствующую методу
перемещений при решении задач теории упругости. Будем считать,
что элементы взаимодействуют между собой лишь в узловых точках.
Решение задачи проведем по следующей схеме. Выделим отдельные
элементы и в узловых точках приложим силы реакций отброшенных
частей. Для заданной аппроксимации перемещений в пределах
элемента, используя принцип возможных перемещений, получим
уравнения равновесия элементов и определим связь сил реакций
с перемещениями узлов элемента и внешними нагрузками, действу-
действующими на элемент. Далее соединим в узлах элементы и запишем
условия равновесия отдельных узлов. Для этого приравняем нулю
для каждого узла сумму сил реакций от отдельных элементов, при-
примыкающих к рассматриваемому узлу. Полученная система алге*
браических уравнений позволит определить неизвестные узловые
102
обобщенные перемещения, через которые в дальнейшем можно
вычислить деформации и напряжения в элементах.
Условно разделим тело на множество конечных элементов простой
формы. Присвоим номера всем элементам, а также в определенной
последовательности обойдем все узлы и пронумеруем по порядку
все степени свободы (или обобщенные перемещения) в узлах. Такую
нумерацию степеней свободы в дальнейшем будем называть глобаль-
глобальной. Рассмотрим отдельный элемент с номером е. В заранее установ-
установленной последовательности обхода для элементов данного типа
обойдем все узлы элемента и пронумеруем по порядку, начиная
с единицы, все степени свободы в узлах элемента.-Такую нумерацию
степеней свободы назовем локальной. Пусть общее число степеней
свободы в элементе будет п. Таким образом, для элемента имеются
две нумерации: локальная и глобальная. Условно их представим
в виде следующих упорядоченных массивов номеров или индексных
массивов:
{п}' = {1, 2, 3 к, .
{N}e={N{, Ne2, Nl, ..., Nek
где Nek — целое число, равное номеру степени свободы в глобальной
нумерации и соответствующее степени свободы с номером k в локаль-
локальной нумерации для элемента е.
Например, для плоской задачи (рис. 3.9) для второго элемента
индексный массив глобальной нумерации будет содержать следую-
следующие номера степеней свободы: {Лг}2 = {3, 4, 7, 8, 5, 6}.
Отметим, что для элементов, имеющих общие узлы, в индексных
массивах номера степеней свободы, принадлежащие общим узлам,
равны. В дальнейшем индексными массивами будем пользоваться
при записи уравнений равновесия узлов.
Рассмотрим отдельный элемент с номером е. Аппроксимируем
поле перемещений в пределах элемента
{u}e=[(p)e{qy, C.96)
где {и}е = {«!, м2, и3\е; [ф]е — матрица функций аппроксимаций
полей перемещений в элементе или матрица формы; \q\e — вектор
обобщенных узловых перемещений или узловых степеней свободы.
С использованием геометрических соотношений связи деформаций
с перемещениями C.4) определяется
распределение деформаций в области,
занимаемой элементом:
8
{в}' = 1В\'{Чу, C.97)
где [В\е = \L] \ф}е. Матрица [В]е будет
содержать функции, аппроксимирую-
аппроксимирующие распределение деформаций. После
определения узловых перемещений {q}e
с помощью соотношения C.97) можно
определить деформации в любой точке
ЮЗ
элемента. Для этого нужно вычислить коэффициенты матрицы [В\е
в точке с нужными координатами и выполнить операцию умноже- •
ния C.97).
Связь напряжений в элементе с его деформациями для линейно
упругого тела запишем в виде
{а}е = [С]е{ь}е. C.98)
С учетом C.97) напряжения \о}е также можно связать с переме-
перемещениями узлов {q}e следующим выражением:
{o}e = [G)e[B]s{q}e. C.99)
Будем считать, что на элемент действуют внешние объемные
нагрузки {g}e, на части поверхности элемента Se действуют внеш-
внешние поверхностные нагрузки {р}г (если Se принадлежит поверх-
поверхности рассматриваемого тела) и в узлах элемента приложены обоб-
обобщенные силы реакций \t\e. Предположим, что положительные
направления обобщенных сил реакций совпадают с положительными
направлениями обобщенных перемещений {q}e. Для элемента, на-
находящегося в равновесии, воспользуемся принципом возможных
перемещений. В этом случае будем иметь
\{[B]'b{qYY\G\e\BUqYdV - J ([ф]е б {qYY {g}e dV -
ve ve
\TT{tY = O. C.100)
После интегрирования C.100) по объему элемента Vе и поверх-
поверхности Se получим
(&{qYL[K\'{qY-{P}e-{tY)=0, C-101)
где
[K\e=\{[B\e)T[G\e[B\edV C.102)
— квадратная матрица размерности (пХп), называемая матрицей
жесткости элемента (МЖЭ);
— вектор приведенных к узлам внешних нагрузок.
В силу произвольности вектора обобщенных узловых переме-
перемещений б {q}e из C.101) определяется связь вектора реакций {t}e
с перемещениями {q}e в следующем виде:
После обхода всех элементов и вычисления их матриц жесткости -
C.102) и векторов приведенных к узлам внешних нагрузок C.103)
можно приступить к составлению уравнений равновесия узлов. ¦¦
104
В каждом узле сумма вкладов реакций от отдельных элементов, ок-
окружающих узел, должна равняться нулю. Причем должна равняться
нулю любая составляющая обобщенных суммарных реакций, направ-
направление которой соответствует направлению обобщенного перемещения.
Для направления обобщенного перемещения с номером i (в глобаль-
глобальной нумерации) приравняем нулю соответствующую составляющую
суммы реакций от окружающих данный узел элементов:
0.
C.105)
В C.105) указано, что суммирование идет по.тем элементам, ко-
которые в индексных массивах глобальной нумерации степеней свободы,
т. е. в массивах \N}e [см. C.95)], содержат номера i. Уравнения рав-
равновесия C.105) с учетом C.104) запишем через перемещения:
s-=l
C.106)
Уравнение C.106) записывается для i = 1, 2, ..., N (N —¦ сум"
марное число незапрещенных узловых степеней свободы в рассматри-
рассматриваемом теле), и таким образом формируется разрешающая система
алгебраических уравнений. Полученная матрица коэффициентов
системы носит название глобальной матрицы жесткости, или матрицы
жесткости конструкции (МЖК).
При реализации расчета на ЭВМ формирование матрицы жестко-
жесткости конструкции с помощью индексных массивов выполняется доста-
достаточно просто и наглядно. После обработки отдельного элемента, т. е.
после получения его матрицы жесткости C.102) и вектора приведен-
приведенных к узлам нагрузок C.103), сразу же можно производить рассылку
этих коэффициентов в матрицу жесткости конструкции и в вектор
правых частей C.106). Для коэффициента МЖЭ, находящегося
в k-й строке и s-м столбце, вычисляются с использованием C.95)
номер строки i и номер столбца / в матрице жесткости конструкции:
i = N\\ j = Nes. По этому адресу (i, j) в матрицу жесткости кон-
конструкции отсылается коэффициент keks, где производится суммиро-
суммирование с находящимся там числом. Для k-то коэффициента вектора
приведенных нагрузок р% вычисляется
только номер строки i = N\ и также про- j 4 ГЛ в S 6
изводятся отсылка и суммирование. На-
Например, для элемента с номером 2 (см.
рис. 3.9) на рис. 3.10 представлена струк- 3
тура его матрицы жесткости. Коэффициент [Т]
МЖЭ, находящийся во 2-й строке и 3-м 7
столбце, т. е. k2S (отмечен точкой на в
рис. 3.10) будет направлен в 4-ю строку 5
и 7-й столбец матрицы жесткости конст- 6
рукции (на рис. 3.10 номера даны в рамке).
Рассмотренный выше прием формирования рИс, ЗЛО.
105
1
2
3
4
5
6
7
2
J
1
ц
S
е
МЖК называется поэлементным. Рассылку коэффициентов матриц г
жесткости элементов и векторов приведенных нагрузок согласно гло- \
бальной нумерации следует рассматривать как формирование уравне- |
ний равновесия узлов, принадлежащих рассматриваемому элементу. ;•
В заключение отметим еще два обстоятельства, связанные с фор- $
мированием матрицы жесткости конструкции. Часто описание г
деформирования элемента удобно выполнять в некоторой местной -»
системе координат. Если обобщенные перемещения узлов в локаль- !*
ной системе координат \q\e связаны с обобщенными перемещениями ;
узлов в глобальной системе координат линейным преобразованием '
{q} = [С] {q}s, C.107) ;•
то, выполнив процедуры, аналогичные C.96)—C.103) в локальной [
системе с учетом C.107), получим >
)T[K]e[Cf; C.108) ,
V
где [К ]е, {Р\е — матрица жесткости элемента и вектор приведенных
к узлам элемента внешних нагрузок, вычисленные в локальной си- .
стеме координат.
Рассмотрим задание граничных условий. Поскольку уравнения :
C.106) представляют уравнения равновесия узлов, то силовые
граничные условия формируются автоматически. Из геометрических
условий рассмотрим лишь простейший случай, когда запрещены в гра-
граничных узловых точках некоторые обобщенные перемещения в гло- f
бальной системе координат. В этом случае запрещенные степени сво- |
боды можно сразу исключить и формировать систему уравнений j
C.106) только относительно активных (т. е. незапрещенных) степе- ?
ней свободы. Указанное исключение удобно выполняется с помощью
индексных массивов C.95). Признаком запрещения k-и степени сво-
свободы в элементе е можно положить N% = 0. Более общие случаи
задания геометрических граничных условий приводятся в [22, 61 ].
Рассмотрим способ решения задач статики с помощью МКЭ
для нелинейно-упругих систем [22]. Будем считать, что определяю-
определяющие соотношения, описывающие нелинейно-упругие свойства мате-
материалов, разрешимы относительно напряжений, т. е. по известным
деформациям всегда можно однозначно вычислить напряжения
{а} -{а (г)}, C.109)
кроме того, примем, что в любой точке пространства компонент
деформаций существует единственная матрица коэффициентов упру-
упругости в приращениях
[С] =[?]¦ (ЗЛЮ)
На основании принципа возможных перемещений в положении
равновесия должно выполняться условие
[ F {е}т {о} - б {и}т {g}) dV ~ \ б {и}т {р} rfS = П. C.111)
106
Аппроксимацию полей перемещений и деформаций согласно МКЗ
примем, как и раньше, в виде
{и} = [ф] {q\;
Тогда с учетом введенных аппроксимаций и нелинейных связей
C.109) рассматриваемое тело с бесконечным числом степеней сво-
свободы будет приближенно соответствовать нелинейной механической
системе с конечным числом степеней свободы. И вместо вариацион-
вариационного условия C.111) для конечно-элементного аналога можно будет
записать принцип возможных перемещений в'следующем виде:
8{<7}Т( \(\B\T{o}-WT{g})dV- \[cf>\T{p}dS\=O. C.113)
В силу произвольности вектора обобщенных перемещений 6 {q}
выражение при б {q}r, стоящее в круглых скобках в C.113), можно
рассматривать как нелинейную вектор-функцию:
Ы = f ([В\Т {о} - [ф]т {g}) dV - \ [ф\т {р} dS, C.114)
v s
которая для равновесного состояния должна обращаться в нуль.
Отметим, что нелинейность вектора-функции {%} согласно C.109)
и C.112) заключается в соотношениях связи напряжений с переме-
перемещениями.
Для решения нелинейной системы уравнений {%} — 0 восполь-
воспользуемся методом Ньютона. Будем считать, что известно /п-е прибли-
приближение к решению задачи, т. е. известны значения {q}m- Восполь-
Воспользуемся C.112), C.109) и вычислим значения {е}т и {ст}т, после чего
определим вектор-функцию {%}т [см. C.114)]. Для приближенного
решения коэффициенты вектора {%}т не равны нулю. Для опреде-
определения поправок к решению выполним линеаризацию {у} относительно
т-го состояния и потребуем, чтобы
Поскольку {%} неявно зависит от {q}, то для вычисления матрицы
первых производных -?- необходимо воспользоваться соотно-
соотношениями C.110) и C.112), после чего получим
где [С ]т — матрица коэффициентов упругости в приращениях,
определенная при деформациях {е}т.
Для вычисления поправки к т-му приближению воспользуемся
уравнением C.115), которое с учетом C.116) примет вид
=-{x}m. (З.П7)
107
Рис. 3.11.
После решения C.117) новое приближение {q}m+i определится
как {q}m+1 = {q}m + {kq)m+l. В случае необходимости итерацион-
итерационный процесс можно продолжить по указанной ранее схеме.
Иллюстрация рассмотренного итерационного процесса для одно-
одномерного случая приведена на рис. 3.11, а. Если на каждом шаге приб-
приближения не проводить корректировку матрицы [G' ]т (значит остав-
оставлять прежней матрицу жесткости конструкции), а лишь уточнять
невязки {х}т, то итерационный процесс будет соответствовать мо-
модифицированному методу Ньютона (рис. 3.11, б). На практике для
решения нелинейных задач деформирования многослойных кон-
конструкций из композиционных материалов часто применяют пошаго-
пошаговое нагружение. В пределах шага по нагрузке уточнение выпол-
выполняют модифицированным методом Ньютона. Матрица касательных
модулей корректируется при изменении нагрузки.
Проиллюстрируем общую схему решения задач устойчивости с по-
помощью МКЭ. Нагрузки будем считать «мертвыми», поэтому сразу
воспользуемся условием C.29). Будем считать, что начальное напря-
напряженно-деформированное состояние известно и все параметры, имею-
имеющие индекс «О», определены. В пределах элемента воспользуемся ап-
аппроксимацией дополнительных перемещений в виде
{«*}! = (Ф/{<7*}% C-П8)
где {q^y — вектор узловых дополнительных перемещений. С исполь-
использованием C.25) и C.118) получим распределение дополнительных
деформаций в теле: {г^}е = [В^]е {q*}e; [B^]e = [2] \ф*].
Тогда, выполнив интегрирование первого слагаемого C.29) в преде-
пределах элемента, получим
f в ЫТ Ы dV = F {qjf [KJ Ш°,
где
C.119)
Выражение C.119) определяет матрицу жесткости элемента для
решения задачи устойчивости.
108
Второе слагаемое в C.29) получим с использованием преобразо-
преобразования C.30). Вычислив предварительно матрицу [R%]e = IV] \ф%]е,
запишем второе слагаемое C.29) в следующем виде:
J « К*Г Ы dV = (б {qf)r [SJ {qt)e,
ve
где
dV. C.120)
ve
Матрица [Т] C.30) содержит информацию о начальном напряжен-
напряженном состоянии. Матрицу [S#]e C.120) называют матрицей приведен-
приведенных начальных напряжений элемента.
Выполнив стандартные процедуры МКЭ по сборке отдельных эле-
элементов, получим однородную систему линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестных узловых перемещений. Эту
систему в общем случае можно представить в виде
([ff.] + [SJ)fa.} = 0, C.121)
где [К*], [S*] — матрица жесткости и матрица приведенных на-
начальных напряжений. Для нетривиального решения C.121) необхо-
необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю.
При пропорциональном нагружении критический параметр нагру-
жения определяется из условия а,.р — min {laljdet ((Л*! +
+ I5,I) = 0}.
Реализация решений задач динамики с помощью МКЭ возможна
на основе формулировки C.34). Формальное отличие от рассматри-
рассматриваемого выше решения задачи статики [см. C.94]) состоит в опреде-
определении приведенных инерционных нагрузок системы. Для этого от-
отдельно рассмотрим лишь третье слагаемое в C.34). Воспользуемся
аппроксимацией перемещений в пределах элемента, такой же как
C.96), тогда, выполнив интегрирование в пределах отдельного эле-
элемента, получим *
где \М\е= р (\ф}еУ [ф}° dV
— матрица приведенных масс элемента.
После объединения всех элементов определится искомое уравне-
уравнение движения конечно-элементной модели рассматриваемой системы:
[М] {q} + [К\ {д} = {Р}- C.122)
Формирование матрицы [М] приведенных масс конструкции осу-
осуществляется аналогично описанной выше процедуре формирования
матрицы жесткости конструкции \К]- Для решения задачи о соб-
собственных колебаниях в C.122) полагают {Р} — 0 и ищут решения
в виде
{q (т)} = {q} е-'ах, C.123)
109
где {q} — амплитудное значение узловых обобщенных перемеще-
перемещений; со — круговая частота колебаний. Подстановка C.123) в C.122)
приводит к обобщенной задаче на собственные значения
([/(].-юМЛП) {g} = 0, C-124)
решение которой позволяет определить частоты и формы собственных
колебаний системы.
Для численного решения уравнения движения известно большое
число шаговых численных методов. Конечно-разностные операторы
по времени, представляющие ускорение {q}, разделяются на две
группы: условно устойчивые и безусловно устойчивые. Условно
устойчивые методы (например, метод центральных разностей) ста-
становятся неустойчивыми, если шаг интегрирования Ат больше неко-
некоторого критического значения. Безусловно устойчивые методы (на-
(например, метод Хубольта), устойчивы вне зависимости от выбора
величины шага но времени, однако при этом усложняется процесс
интегрирования и возникает влияние фиктивного затухания, вноси-
вносимого в модель конечно-разностными операторами. При решении ме-
методом Хубольта вектор узловых обобщенных ускорений \q} в момент
времени т0 + /Дт (у — номер временного шага) аппроксимируется
в разностном виде с интерполированием назад:
B {) ~ 5 {*Ь-1 + 4 Мм - Мм)- (
Подстановка C.125) в уравнение движения C.122) приводит к си-
системе алгебраических уравнений, которая позволяет определять уз-
узловые обобщенные перемещения на /-м временном шаге
([К\ + «11ЛГ]) {<?}/ - {P)i + [М] (о2 MM + а3 {q),_t + a4 {q},_a),
где ах = 2/(АтJ, сс2 = 5/(АтJ, а3 = —4/(АтJ, сс4 = 1/(ЛтJ.
На начальных этапах решения задачи для временных шагов / = 1,
/ = 2 необходимо задать, кроме начальных условий {9H1 {<?}о>
также значения {<7}-i, {q}-2, которые можно определить из следую-
следующих уравнений:
{</}„ - B {q}, + 3 {q0} - 6 {qU -f (<7}.2)/(бАт); C.126)
где вектор начальных ускорений {q}0 вычисляется из уравнения
движения в начальный момент времени [М ] {#}о + \К\ {q}o —
= {Я}0. В частном случае при нулевых начальных условиях {<7}0 =
= 0, {q}0 = 0, и при отсутствии нагрузки {Р}0 = О ({^}о ~ 0)
из C.126) получим {q}-i = {q}i, {?}_2 = — 8 {q}v
В настоящее время для выбора временного шага Ат не сущест-
существует определенных рекомендаций. Для того чтобы избежать сущест-
существенного влияния, привносимого затуханием, на тона с диапазоном
частот меньше со,., шаг интегрирования ориентировочно подбирают,
как Ат < 1/D@*).
При решении линейно-упругих задач динамики с помощью МКЭ
кроме численного интегрирования по времени часто используют метод
ПО
суперпозиции форм [61 ]. Вначале решается задача на собственные
значения C.124) и определяются k собственных векторов и частот
системы. Собственные векторы {q°} ортогональны по отношению
к матрице масс и нормированы:
С помощью собственных векторов заполняется матрица [q0]:
Для матрицы собственных векторов согласно C.127) оказы-
оказываются справедливыми соотношения
; C.128)
<}, C.129)
где Е — единичная матрица (kxk); [со2] = fсо?, со|, ..., со^J —диа-
—диагональная матрица, содержащая в качестве коэффициентов квадраты
собственных частот системы. После умножения C.129) на lq°]T
с учетом C.128) будем иметь
[<7°]т [К\ [q°] = [со2]. C.130)
Вернемся к решению уравнений движения C.122). Решение
{q (т)} будем искать в виде разложения
{q(x)} = [</>] {л (т)}, C.131)
где {ц (т)} — вектор-столбец обобщенных координат, зависящих
от времени и подлежащих определению.
Подстановка (f (т)} из C.131) в уравнение движения C.122)
приводит к уравнению
[М] [<Я {4} + [К] [q°\ {ц} = {Р (т)}. C.132)
После умножения правой и левой частей C.132) на транспониро-
транспонированную матрицу форм [q°]r с учетом C.128) и C.130) получим
{ii} + [«2]{il} = {^0W}, C.133)
где {Р° (т)} = [q°]r {P (т)} — вектор-столбец, коэффициенты ко-
которого зависят от времени. Полученная система дифференциальных
уравнений C.133) значительно проще исходной системы C.122),
поскольку является несвязанной (матрица [со2] диагональная)
н допускает независимое интегрирование коэффициентов вектора {у}}:
лН-аЧ = ^?(т). C.134)
В качестве начальных условий для интегрирования C.133)
будут служить выражения {г| @)} = [q°]r [M] {q}0, {i\ @)} =
= [<7°] [М] {q}0. При решении C.134) обычно поступают следующим
образом. Разбивают интервал интегрирования на отдельные участки.
В пределах участка значение Р° (т) полагают равным среднему зна-
значению и используют аналитическое решение. Значения узловых
перемещений восстанавливаются по соотношению C.131) при извест-
известном {ii (т)}.
В случае необходимости произвести оценку влияния предвари-
предварительного нагружения на частоты и формы гармонических колебаний
можно воспользоваться вариационной формулировкой C.41). Тогда
при решении задач с помощью МКЭ приходим к разрешающей си-
системе алгебраических уравнений вида
A**1 + [5J - со* [Л*J) {qj = 0, C.135)
где [М* ] — матрица приведенных масс, вычисленная с учетом ко-
нечно-элементных аппроксимаций перемещений; [/С*]—матрица
жесткости; IS*]—матрица приведенных начальных напряжений.
Решение задачи на собственные значения C.135) позволяет исследо-
исследовать влияние предварительного нагружения на частоту колебаний.
Для решения с помощью МКЭ физически и геометрически нели-
нелинейных задач статики можно воспользоваться линеаризованной фор-
формулировкой задачи C.90) и получить систему уравнений относительно
приращений обобщенных узловых перемещений на /л-й итерации:
t
где [/Ст1 = f/Cxi + fSt
Для элемента с номером е соответствующие матрицы и векторы
вычисляются по формулам
[5т|е - J ([RfY |7\] [Rf dV; \R\e = [v] [ф)'\
ve
{Pr+Ar}e = j A0]')T teW dV + [ [ф]е {priAr} dS;
ve se
№_,= \(\В]е)т{а}пи1с1У.
ve
Здесь т — условное время, соответствующее предыдущей равновес-
равновесной конфигурации; [81—матрица, связывающая линейные при-
приращения деформаций {А^}„, [(см. C.88) ] с приращениями переме-
перемещений {Аи},„.
§ 3.9. Примеры использования
вариационно-матричных формулировок
Пример 1. Устойчивость многослойной цилиндрической трубы,
нагруженной внешним равномерным давлением.
Используя полученную в § 3.3 формулировку критерия устойчи-
устойчивости, найдем критическое значение внешнего гидростатического
давления, действующего на длинную цилиндрическую многослой-
многослойную оболочку. Оболочку считаем настолько длинной, что влия-
влиянием условий закрепления ее торцов на величину критического дав-
давления можно пренебречь; задача устойчивости такой оболочки,
112
Рис. 3.12.
очевидно, сводится к задаче
¦устойчивости кругового коль-
кольца единичной ширины (рис.
3.12, а). Многослойное кольцо
считаем состоящим из N сло-
слоев, причем каждый f'-й слой
обладает своим модулем уп-
упругости на растяжение в ок-
окружном направлении Et; для
простоты коэффициенты Пу-
Пуассона всех слоев положим
равными нулю. Кроме того,
многослойный пакет в целом считаем тонкостенным, т. е. прини-
принимаем hIR С 1, где h — толщина пакета, R — радиус некоторой ко-
координатной окружности (рис. 3.12, б) (за координатную окружность
может быть взята любая концентрическая окружность, лежащая
внутри пакета).
При решении обратим внимание на две особенности рассматри-
рассматриваемой задачи. Во-первых, внешняя нагрузка при изгибе оболочки
меняет свое направление: гидростатическое давление в каждой точке
оболочки действует по нормали к деформированной поверхности.
Во-вторых, начальное напряженное состояние оболочки неоднородно
по толщине пакета.
Критическое значение внешнего давления определим при следую-
следующих упрощающих допущениях: начальными деформациями будем
полностью пренебрегать (см. § 3.3), а изгиб кольца при потере устой-
устойчивости будем описывать с помощью обычной гипотезы плоских
сечений.
В качестве исходного берем условие C.33), учитывающее изме-
изменение внешних сил при переходе системы в смежное состояние;
в рассматриваемой задаче объемных сил нет, поэтому имеем
J (б КГ К) + б {Ч*)Т Ы) dV-\b {и У {pj dS=0. C.136)
В качестве дополнительных бифуркационных перемещений берем
нормальные и касательные перемещения точек координатной окруж-
окружности {и*} = {w, v).
В соответствии с принятой гипотезой плоских сечений нормаль-
нормальные перемещения постоянны по толщине пакета, а касательные из-
изменяются по линейному закону:
где § — угол наклона касательной к координатной окружности.
Окружные удлинения первого порядка малости е* по толщине па-
пакета также изменяются по линейному закону
dv\ ../ он» dv ^ C]37)
из
Окружные удлинения второго порядка малости г^ постоянны
по толщине пакета и равны
?** 2~ "" "" ~2
/ dw v_y
V R dy R I '
Напряжения ст* связаны с удлинениями е% законом Гука, поэтому
можно записать а^ = Егг^.
Начальные напряжения ст0 в общем случае различны в различных
слоях пакета; с внешней нагрузкой начальные напряжения связаны
условием равновесия элемента кольца в докритическом состоянии:
f aodz = У aoi (zt - z,_i) = pR, C.138)
Zo I —I
где Zi, 2j_! — координаты наружной и внутренней поверхности
t-ro слоя (см. рис. 3.12, б); ст0; — начальное напряжение в t'-м слое.
Бифуркационные перемещения w = w (ц>), v = v (ц>) естественно
конструировать в виде рядов
. W = ^J Wn COS Лф, V = S vn Sin Лф.
n n
Нетрудно проверить, что гармоники с различными л в решении
не взаимодействуют, поэтому в дальнейшем знак суммы опускаем
и все выкладки ведем для некоторого фиксированного п.
Перейдем к вычислению интегралов, входящих в исходное ус-
условие C.136). Учитывая зависимость C.137), найдем
( ) ]
Тогда
2л гдг
б
где {<7*} = {ьу„, и
-ft3 В«2 + 2-Ь-л2 + -^
Здесь В, С и D — жесткостные характеристики пакета, определяемые г
формулами • -
n n ;
114
В частности, для однослойного кольца,
взяв в качестве координатной окружности
среднюю линию, получим В = Eh; С — 0;
D = (Eha)/\2.
При подсчете второго интеграла учтем
условие равновесия C.138), тогда а
где
[S*]==~np
/г2 п
Для вычисления третьего интеграла определим вектор допол-
дополнительных нагрузок. В начальном состоянии на элемент кольца АВ
(рис. 3.13, а) действует давление р, равнодействующая от которого
равна рАВ. При переходе в смежное состояние элемент поворачи-
поворачивается на угол Ф и получает удлинение е„.. Поэтому величина повер-
повернутой равнодействующей равна рАВ A + е*). Таким образом, век-
вектор дополнительных нагрузок на элементе кольца А'В' (см.
рис. 3.13, б) равен {р%} = {—р%, рЩ. Окончательно находим
где
—1
Сложив все три найденных интеграла и приравняв сумму нулю,
получим б {<7*}т ([/(J+ [SJ + IZJ) Ы = 0.
В силу произвольности вариаций б {qj} приходим к однородной
системе алгебраических уравнений
В развернутом виде матрица этой однородной системы уравнений
имеет вид
Вп + С(л3 + «)т^«3]
Вп2 + 2Сп2 + Dn2 ]'
\В + 2Сп- f D/i4~ p(n2- 1)
[ Bn + C(n3 + n)^Dn3
где В = BIR, С = C/R2, Ъ = D/R3.
Из условия равенства нулю определителя полученной системы
находим собственные значения рп, наименьшее из которых даст кри-
критическую величину внешнего давления ркр:
(nKV = 2).
Входящий в последнюю формулу комплекс Dm[a — (D — С2/В)
не зависит от выбора координатной окружности и является факти-
115
a)
Рис. 3.14.
ческой изгибной жесткостью
многослойного кольца. Вхо-
Входящий в знаменатель этой
ц=~гф формулы комплекс CIBR
имеет порядок hlR; поскольку
решение получено для тонко-
тонкостенных колец, то не имеет
смысла сохранять в формуле
этот комплекс. Наконец, сла-
слагаемое Dmln/BR2 возникает
в результате учета растя-
растяжимости кольца; это слага-
слагаемое имеет порядок (hlRJ и также должно быть отброшено.
Окончательно получим ркр = 3DmiJR3. Интересно отметить, что
при решении нам не понадобились конкретные значения начальных
напряжений ooi в отдельных слоях; в решении было использовано
лишь интегральное условие равновесия C.138). Поэтому распреде-
распределение начальных напряжений никак не влияло (если оставаться
в рамках теории изгиба тонких колец) на величину критического
давления. В частности, устойчивость многослойной оболочки совер-
совершенно не связана со всякого рода самоуравновешениыми началь-
начальными напряжениями в ее слоях.
Пример 2. Получение канонических систем для решения задач
изгиба и устойчивости прямолинейного стержня с учетом деформаций
поперечного сдвига.
На рис. 3.14 изображены сечения стержня до и после деформации.
В отличие от классической гипотезы Бернулли предположим, что
сечение стержня остается плоским, но поворачивается на угол \|\
отличный от угла поворота нормали dwldx. Будем считать, что во-
волокна не деформируются в направлении оси г, т. е. проведем расчет
без учета деформаций поперечного обжатия. За обобщенные переме-
перемещения в примере приняты нормальное перемещение w и угол пово-
поворота сеченияг|з, т. е. {X} = {w, я|з}. В качестве компонент вектора {Y}
примем {Y} = {а/, о|>'}, где (-)' = -^-(.).
Распределения перемещений по сечению стержня согласно при-
принятым гипотезам будут иметь вид ы(г) = —гг|5; ш(г) = w или {и} —
= f/?1]{X}+ lFt]{Y), где
Деформации растяжения-сжатия гх продольных волокон и де-
деформации поперечных сдвигов ухг определяются через перемеще-
перемещения и(г)> w(z):
д
dw,
Ухг =
(г)
дх
¦%>¦--'-*
116
или в матричной форме
где
{г} = {гх, ухг};
ГО 01 ГО —г
Условие связи между компонентами векторов {X}, {Y} запишем
аналогично C.45)
где
1 О
Для определения коэффициентов разрешающей системы предва-
предварительно вычислим интегралы матричных произведений C.57).
Ширину стержня будем считать единичной:
Л/2
-ft.2
и! л.
\Snl= J [Uf[G][L1]dz =
ft /2
0 01\Е 0
-?][
0 01 Г0 0
j [
О -1 ||O G
-ft/2
ft/2
b\;
-ft/2
ft/2
[¦Г О ПГ? 01 ( 01 Г0 —fil
ft/2
[SM]= J [L2]T[G][L2]dz =
01 Г0 —zl
ji oj*-lo
Здесь ? — модуль упругости при растяжении вдоль оси х; G — мо-
модуль поперечного сдвига; В = Gh и D = Ehsl\2 — сдвиговая и из-
гибная жесткости; h — толщина стержня.
Будем считать, что на стержень действует внешняя распределен-
распределенная нагрузка, направленная вдоль оси г, поэтому в качестве векто-
векторов {Nt}, {N2} [см. C.58)] примем {Nt} = {р, 0}; {N2} = 0.
117
После выполнения Матричных умножений согласно C.61) полу-
чим матричные блоки канонической системы
"О Ц [\/В О
[Л12] =
О О
О MD
0
и саму систему
d
dx
0
0
0
0
1
0
0
0
: \/В
0
0
_1
0
1/0
0
0
W
Q
м
-4-
0
0
-р
0
C.139)
М' - —Q.
C.140)
Как видно из рис. 3.15, последние два уравнения C.140) пред-
представляют уравнения равновесия элемента стержня.
Геометрические граничные условия будут задаваться на компо-
компоненты вектора {X}, т. е. на перемещение w и угол поворота сечения if
(заметим, что на до' граничные условия не задаются), силовые усло-
условия будут задаваться на компоненты вектора {А,}, т. е. на перерезы-
перерезывающую силу Q и изгибающий момент М.
Полученная разрешающая система дифференциальных уравне-
уравнений C.139) достаточно проста и позволяет без особых трудов построить
фундаментальные и частные решения для случая постоянных по
длине жесткостей В, D и нагрузки р:
w(x)'
У(х)
Q(x)
М(х)
0
0
0
х xl В -
1
0
0
- r7FD)
kVBD)
1
— X
x-/BD)
x/D
0
1
до@)
4@)
Q@)
M@)
- xVBB)]
— px
рхг/2
где компоненты вектора обобщенных внутренних силовых факто-
факторов {к} обозначены: {А,} = {Q, М) и представляют перерезывающую •;
силу Q и изгибающий момент М в сечении. В развернутом виде си-
система C.139) запишется так:
а/ = ^ — Q/B;
г}/ = MID;
Q' = -у";
C.141)
118
t f I
dx
М+йН
Рис. 3.15.
В форме C.141) решение записано через
начальные параметры с помощью матрицы н
фундаментальных решений и вектора част-
частного решения. Такая форма записи весьма
удобна для решения задач. Два начальных
параметра определяются граничными усло-
условиями при х = 0. Два остальных параметра
находятся из решения системы линейных ал-
алгебраических уравнений, которая представляет запись граничных
условий при х = / с использованием C.141).
Получим решения для консольно защемленного стержня (при
х — 0, w @) = 0, о|> @) = 0), нагруженного на правом краю (х = /)
перерезывающей силой Р. Распределенная нагрузка р равна нулю.
Поэтому согласно C.141) запишем граничные условия при х = /:
Q (/) = Q @) = Р;
М (/) = — IQ @) + М @) = 0.
Отсюда получим Q @) = Р, М @) = PL Тогда с использованием
C.141) определим решения
w (х) = -=,
pl2 Г _ _L / JLV j. / JLX\ ¦
~d~ L 2 V il ' V / )\'
Q (x) = P\
Максимальный прогиб при х = I
В данном примере учет деформаций поперечного сдвига при-
привел к поправке D/(BP), которая для изотропных материалов имеет
порядок (h/lf.
В случае нагружения на правом краю изгибающим моментом 9№
согласно C.141) получим Q @) = 0, М@) = 9Л, и решение опре-
определится в виде
5ШР х
Q (х) = 0;
м (х) = т.
Оно ничем не отличается от классического решения изгиба балки.
Такое совпадение объясняется тем, что в данной задаче перерезы-
перерезывающая сила в любом сечении равна нулю, и поэтому изгиб стержня
происходит без деформаций поперечных сдвигов.
Рассмотрим получение канонической системы дифференциальных
уравнений для решения задач устойчивости стержней с учетом де-
119
формаций поперечного сдвига. Для дополнительных перемещений
и деформаций оставим те же выражения, что и при изгибе. Распре
деление начальных осевых усилий ст0 по длине стержня будем счь
тать известным. Поскольку дополнительные деформации второгг
порядка малости для стержня
«J
то для учета начальных напряжений в C.66) получим
( Л/2
{Ett)T{o0}dV=\ j bw;aow'tdzdx,
\ j
0 -ft/2
или в матричном виде
I ft/2
=\ J ([Ra)8{Y,}riT][Ra]{Y,}dzdx,
0 ft/2
\ J
0 -ft/2
где [R2] = [1 0]; [T] = [а0].
Согласно C.69) уточнению подлежит лишь матрица
[Sa]= j
[G] [L2]
[Г] [Ra]) dz.
-Л/2
Она для рассматриваемого случая
\B-\-T 0]
[•$22] = Л П '
А.'2
где Т= j aodz.
-ft/2
Выполнив стандартные матричные операции C.6П.
каноническую систему
d
dx
IS)
\Ь
Q*
м
0
0
_0
1/A
т/п
+ Т/В)
0
0
-i- TIB)
i/(B + Л
0
0
— 1/A-1-Г/В)
о -
W
0
0
щ
у*
Q*
м
C.142
Однородные геометрические граничные условия накладываются
на нормальный прогиб w.? и угол поворота ij^. Однородные силовь^
условия могут накладываться на обобщенную перерезывающую
силу Q, = Q + Tw\ (рис. 3.16) и изгибающий момент М*.
Рис. 3.16.
120
Для стержня с постоянными по длине жесткостными характери-
характеристиками, нагруженного сжимающими усилиями Т = —N, для
системы C.142) фундаментальными решениями будут
О cos kx
О О
О — kDsm kx
Q*(x)
(^sinkx~~x) -_(i_cosAuc)
--rr (cos&x— 1)
1
kD
TFT
ku
Л'
где
¦s'mkx
N
0
cos kx
C.143)
В качестве примера рассмотрим решение задачи устойчивости
шарнирно опертого стержня: ш* @) = 0, М# @) = 0, ш* (/) = 0,
М» (/) = 0.
Согласно C.143) данные граничные условия приводят к системе
@) ^-{±.
@ = i\ @) ^- sin kl + ^
Л1, (/) = — if* @) ^D sin JW -
^ 0;
@) ~ sin « = 0.
Раскрыв и приравняв нулю определитель системы, получим
A — NIB) sin kl = 0.
Отсюда критическое значение сжимающей силы JVKP будет опре-
определяться как наименьшее:
Л'э
ЛГкр = min
В
J+Tf
Л'ч
где jV,, = n2Dll2 — критическая сила для шарнирно опертого стержня
без учета деформаций поперечного сдвига. Аналогичный ход реше-
решения используется и для более сложных вариантов граничных усло-
условий.
Отметим, что при получении канонических систем и матриц
фундаментальных решений в данных примерах наиболее трудоемкие
операции матричных перемножений, обращений, интегрирований
выполнялись аналитически с целью детально показать последова-
последовательность вариационно-матричного способа. Для более сложных
моделей деформирования аналогичные операции разумно выполнять
на ЭВМ.
Глава 4
Расчет тонких слоистых пластин
и оболочек
Учет специфики анизотропных и деформативных свойств, нераз-
неразрывно связанных с самой структурой композиционных материалов,
потребовал развития теоретических подходов к расчету многослой-
многослойных оболочек. Обзоры основных направлений и результатов иссле-
исследований по этим проблемам можно найти в работах [1, 18].
В гл. 4 основное внимание уделено многослойным оболочкам
вращения, у которых упругие характеристики отдельных слоев
примерно одинаковы. Для описания деформирования применяются
два подхода. Первый основан на гипотезах Кирхгофа—Лява, вто-
второй — на обобщении гипотез С. П. Тимошенко. Рассмотрены способы
решения с помощью МКЭ и численного интегрирования систем диф-
дифференциальных уравнений задач статики, устойчивости и колеба-
колебаний, а также вопросы стыковки оболочек с кольцевыми подкрепляю-
подкрепляющими элементами. Приводится решение задач об осеснмметричном де-
деформировании тонкой многослойной оболочки, выполненной из ком-
композиционного материала с хрупкой полимерной матрицей, с учетом
геометрической, физической и структурной нелинейностей.
Разрешающие уравнения и граничные условия получены вариа-
вариационным путем. Методы решения ориентированы на использование
в расчетах ЭВМ.
§ 4.1. Краткие сведения из теории поверхностей
Рассмотрим гладкую поверхность общего вида, которую для
удобства зададим в параметрической форме [8, 17, 34, 55]:
xi = Xt К, а2) (i = 1, 2, 3), D.1)
где хъ х2, х3 — координаты точки поверхности в декартовой системе
координат; ах, а2 —параметры; Хх (ах, аг), X, (ах, а2), Х3(аъ а2)—
заданные функции аргументов аи а2. Пояснения будем проводить
для частного случая оболочек — оболочек вращения. Для этих
оболочек в качестве параметра а2 удобно принять угол fJ, определяю-
определяющий положение меридиана (рис. 4.1). За параметр ах обычно прини-
принимают одну из величин: t, г, 8, s (рис. 4.2), где t — координата вдоль
оси вращения, г — радиус параллели, 8 — угол между осью враще-
вращения и нормалью N; s — расстояние по дуге меридиана. При этом счи-
считается, что радиус параллели г и координата t однозначно опреде-
определяются заданными функциями аргумента а,: г = г (о^), t — t (а^.
Положение точки М (см. рис. 4.1) определим радиусом-вектором
{R}, который в декартовой системе координат будет иметь компо-
компоненты {R} = {Xlt Xit X3}.
122
/V
Рис. 4.1.
Рис. 4.2.
Здесь и в дальнейшем иод вектором {R} понимается вектор-
столбец, компоненты которого представляют проекции на оси 0хи
0хъ 0х-л выбранной декартовой системы координат. Для оболочки
вращения вектор {R} имеет своими компонентами (см. рис. 4.1):
{#} = {г cos a.,, rsina2,/}. D.2)
Линии на поверхности оболочки, соответствующие значениям
параметров ах — const и а.г — const, будем называть соответст-
соответственно а2- и аглиниями. На рис. 4.3 показано семейство ar и а2-
линий для оболочки вращения (аглинии называют меридианами,
а2-линии — параллелями).
Рассмотрим векторы, касательные к ах- и а2-линиям (см.'рис. 4.3):
В декартовой системе координат компоненты векторов {R, i),
fry \ /у У У \ /1 —-*.Q\ (d. Ъ\
где нижним индексом после запятой отмечен параметр, по которому
выполнена операция частного дифференцирования. Для оболочки
вращения согласно D.2) получим
{R, i} = {г' cos сб2, г' sin as, t'},
2> rcosa2, 0},
D.4)
где (•)' = -75Г(-)-
Модули касательных векторов {7?, Л1,
{7?, 2} обозначим коэффициентами Av A2
и вычислим
i}T {/?,i} A=^.2). D.5)
Коэффициенты Ах, А2 называют пара-
параметрами Ламе. Воспользовавшись выраже- Рис. 4.3.
123
ниями D.4), D.5) для оболочек вращения, получим
Рассмотрим приращение вектора {R} при переходе от точки по-
поверхности с параметрами (ах, аг) в точку с параметрами (ах + dav
а2 -f- da2). Линейная часть этого приращения, или первый диффе-
дифференциал, обозначается d {R} и определяется следующим образом:
d {Ry= {Rt j} da-i -f- {R, 2} da-i. D-7)
Модуль вектора d {R} представляет длину элементарной дуги
между точками (ах, а2) и (ах -f- dalt а2 -f- da2):
D.8)
Стоящая в подкоренном выражении D.8) величина d {R}T d {R}
называется первой квадратичной формой поверхности. С учетом D.7)
ее можно записать в виде
(dtf = {R, ,}T {R, ,} da] + 2 {R, ,}T {R, 2} da, da* + {R, 2}T {R, 2} da%.
Коэффициенты {R, ,}т {R, x}; {R, ,}T {R, 2}; {R, 2}T {7?, 2}
называют коэффициентами первой квадратичной формы. Эти коэф-
коэффициенты можно определить через параметры Ламе Ах, Л2 и угол %
между касательными векторами:
В случае, когда cos % = 0, аг и а2-линии ортогональны. Нетрудно
убедиться, что для оболочек вращения av и аа-линии в любой точке
поверхности ортогональны (см. рис. 4.3), поскольку согласно D.4)
{R, iV {R, 2} - 0.
Введем в рассмотрение единичный вектор нормали к поверхности
оболочки (см. рис. 4.3), который определяется векторным произ-
произведением:
Для вычисления компонент вектора {N} в декартовой системе
координат воспользуемся правилом векторного произведения:
A A sin х
(Х1,1Х2,2-Х1>2Х2I)}) D.9)
где Xitj (i, j t= 1, 2, 3) — компоненты касательных векторов в декар-
декартовой системе координат D.3). Для оболочек вращения, восполь-
зуясь D.4) и D.9), получим
t, r'}, D.10)
где параметр Ламе Ах определен выражением D.6). Тройку единич-
единичных векторов -т- {R, х}; -г- (R, 2); {Л^} называют основными век-
торами поверхности, или основным триедром,
124
Рассмотрим векторы вторых производных от радиуса вектора {R}.
В декартовой системе координат эти векторы будут иметь компо-
компоненты
{R,u} = {Xi,4, X,tU, X3}iJ) (i, j=l, 2).
Для оболочек вращения выражение этих векторов получим с ис-
использованием D.4):
{R, п) = {г" cos a.-, /-"since.,, Г};
{#> м} = {— rcostx2, — rsina2, 0}; D.11)
{R, и} = {~r' sin a2. r' cos a2, 0}..
С помощью векторов {R, n}; {R, 22}; {#. и) можно определить
приращение радиуса-вектора при переходе от точки (alt a2) к точке
(ах -\- dalt a2 -f- da2) с точностью до величин второго порядка малости
+ ~Y ({#. и} da? + 2 {#, 12} do, da2 + {Я, 22} dai)
и вычислить проекцию этого вектора на нормаль к поверхности.
Поскольку векторы {R, j}, {R, 2} перпендикулярны вектору {/V},
{/V}TA {;?} = 4" (L" da? + 2L'2dcti da2 + L22da2),
где
R,l2) D.12)
Коэффициенты Lu, L22; L12 называют коэффициентами второй
квадратичной формы. С помощью коэффициентов первой и второй
квадратичных форм определяются кривизны нормальных сечений,
проходящих через ar и аглинии [17]: kn = — LnIA\ A ч* 2);
/2j2 ^^ '-'X2' ^*1 2*
Координатные ах- а2-линии на поверхности оболочки, для кото-
которых касательные векторы {R, x}; {R, г} ортогональны" и коэффи-
коэффициент L12 второй квадратичной формы равен нулю, называют ли-
линиями кривизны. В этом случае кривизны обозначают kx — kn,
k2 = /г22 и называют главными кривизнами:
-7f" 0**2) (Lla = 0). D.13)
Для оболочек вращения ах- и а2-линии (см. рис. 4.3) являются
линиями кривизны. Воспользовавшись выражениями D.10) для
вектора нормали {N} и D.11) для векторов {R, n), {R, 22}, получим
согласно D.12), D.13) главные кривизны:
_r"t'-r'f. ._ f
При расчете оболочек вращения понадобятся такие геометрические
характеристики, как параметры Ламе Аъ А2, главные кривизны klt
k2, косинусы и синусы углов между нормалями и осью вращения
(cos 9, sin 9), а также коэффициент $¦ = . . -^- ¦ Формулы, вы-
J25
ражающие эти характеристики для оболочки, полученной вращением
плоской кривой, заданной параметрическими функциями г (о^),
t (а:), следующие:
Ах
sinO = -
й = л; Л, = '-^-пг^; h =
D.14)
cosG
Ниже приведены примеры расчета геометрических характеристик
D.14) для некоторых типов оболочек вращения.
1. Конус (рис. 4.4). Исходные данные: начальный радиус г0 н угол Эо между
осью вращения н нормалью. В качестве параметра cci возьмем расстояние по обра-
образующей от сечения с радиусом г0. В этом случае параметрическое уравнение образую-
образующей будет иметь вид
/¦ = r0 -f a,, cos Bo;
t — — cci sin Эо.
Тогда г' — cos Эо; /' == —sin Эо; г" = t" = 0; согласно D.14) получим
S'" ° ;
-= r0
кх - 0; к2 =
sin0 = sin60: cos Э — cos 00; f =
2
Частными случаями конической оболочки будут круглая пластинка (Эо = 0)
и цилиндрическая оболочка @0 = л/2).
2. Эллиптический тор (рис. 4.5). Исходные данные: размеры полуосей а, Ь
и смещение центра эллипса d. В качестве параметра aj удобно взять угол между
нормалью {N} и осью вращения [33]. В этом случае параметрическое уравнение
образующей кривой записывается в виде
г — d
sin
t = — cos alf
D.15)
где с = Y& sin* ax + &* cos» щ, •
Рис. 4.4.
Рис. 4.5.
126
• о
Рис'4.6.
Рис. 4.7.
Первые и вторые производные по параметру ccj от функций г (<Xi) и t (txx) [(см.
4.15)] будут иметь следующий вид:
!
,/=-._
(с sin Я] -f- Зс' cos а{}\ I" -— —
(с cos С4 — Зс' sin а^,
где с' = tklda.1.
Геометрические характеристики D.14) для эллиптического тора имеют вид
a2 sin а, , 1
—~: > *i ~ ~Г
ь. —
sin
= sina1; cosG = cosa1;
cos aj
Частными случаями эллиптического тора будут сфера (d — 0, a = & = Л),
круговой тор (d ф 0, a = 6 = /?), эллипсоид вращения (d = 0, a =^= t).
3. Поверхность вращения, образоваииая плоской кривой, для описания которой
в качестве параметра используется координата, отсчитываемая вдоль оси вращения
(рис. 4.6). В этом случае
/¦ = /¦(«!); *:=—с
тогда согласно D.14)
sin в ^-- 1/^!; Mi ^ l(i2)
4. Поверхность вращения, образованная плоской кривой, для описания которой
в качестве параметра используется радиус параллели (рис. 4.7). В этом случае
— a.1, t -
/¦'= 1; f =--¦
г"-^0; г" = -
тогда для геометрических характеристик получим
sin В= —t'/Af, cos В= lMi; г|) =
5. Квадратичная аппроксимация угла наклона касательной к меридиану. При
решении задач с помощью МКЭ для описания геометрии элемента оболочки вращения
часто используется следующий прием 151]. В качестве параметра at выбирается
расстояние s вдоль меридиана от первого узлового сечения до текущего сечеиия
127
О
Рис. 4.8.
Рис. 4.9.
(рис.( 4.8). Аппроксимируется угол ф, характеризующий наклон меридиана (ф =
= я,2—Э), в виде полинома второй степени:
Ф= Oo + ^s+aaS2. D.16)
Константы аппроксимации а0, а^, я2 определяются из трех условий:
L
f sin (ф — грс) rfs = 0,
о
D.19)
где L — длина дуги меридиана элемента; ф1, ф2 — углы наклона меридиана в узло-
узловых сечениях 1 и 2 (см. рис. 4.8 и 4.9, a); (fc — угол наклона хорды меридиана:
D.20)
Условия D.17) и D.18) очевидны (см. рис. 4.9, а). Условие D.19) требует
того, чтобы дуга меридиана [длиной L проходила через заданные точки 1 и 2
(рис. 4.9, б). Для достаточно пологих элементов [max {| ф-— фс |} = 3 ~- 6°]
можно положить (см. рис. 4.9, в)
Sin (ф — фе) !» ф — фе-
Тогда из системы уравнений D.17)—D.19) получим
¦ — 4ф] — 2ф2 . _ Зф] -f Зф2 — 6фс
L » 2 j^2
D.21)
= Ч'1> а1=
Зная координаты узловых окружностей (см. рис, 4.9, а), определим длину
хорды меридиана
l=V(r,-r1)t + (tt-t1)*; D.22)
используя условие (см. рис. 4.9, бив)
L
I = cos (ф — фг) ds,
вычислим длину дуги меридиана
L =
Щ — Ьф, + 2Ы
30
D.23)
128
где &i = Ф1 — фс, b-i — ф2—<fc- При получении D.23) считается, что для малых
углов ф—фс приближенно можно положить
cos (ф — <р<:) » 1 — -5- (ф — фс)
D.24)
Изменение радиуса параллели в пределах элемента определяется следующим
образом (см. рис. 4.9, а):
S
j sin ф ds.
D.25)
Для получения достаточно точного и простого аналитического ныражения для г
в выражении D.25) сделаем замену sin ф = sin [(ф—фс) + фс], воспользуемся
формулой для синуса суммы углов и тогда с учетом D.21) и D.24) получим
D.26)
г - с0
C3S3
c5s5
где
cts*
. Г 1
co = i; ci = (ao — Фс) cos if с + 1 5" (a° —
ca = -g- [<h cos фс — («o — Фс) «i sin фс];
c3 = — a2 cos фе — (a0 — ф,;) a, sin ф«; ^- a\ sin фе ;
1
10
sin фс.
Полученные формулы позволяют вычислить геометрические характеристики
элемента. Выполняется это в^следующем порядке. В качестве исходных данных по
элементу даются координаты узлов г\, ti, r2, tt и углы наклона меридиана ф1, фг
?м. рис. 4.9, а). С использованием D.20) определяется угол наклона хорды (рс.
алее вычисляются длины хорды D.22) и дуги D.23) меридиана. Для сечения с коор-
координатой s вычисляется радиус параллели D.26). Согласно данной параметрической
аппроксимации D.16) при определении геометрических характеристик D.14) следует
положить
г' = sin ф; /' = —cos ф;
dm „ dw .
- cos ф; г = -?- sin ф,
ds ""¦'T' ' ds
после чего получим
<*i = s; -4i = 1; ,42 = r; fei = Oi—2a2s; A2 = cos ф/г;
sin В = cos ф; cos Э = sin ф; ij; = sin <f/r. D-27)
Как видно из D.27), при переходе от элемента к элементу для оболочки вращения
общего вида кривизна меридиана ki меняется скачком, что при редкой разбивке
иа элементы вносит определенные погрешности в гео-
геометрические характеристики оболочки.
В дальнейшем при получении основных
соотношений будем пользоваться векторами,
заданными своими проекциями на оси основ-
основного триедра (рис. 4.10). В качестве системы
координатных at-, a2-линий будем выбирать
линии кривизн. Чтобы отметить тот факт, что
вектор {/} задан проекциями на оси основного /L
триедра, будем этот вектор обозначать * '
строчными буквами. Касательные векторы Рис. 4.ю.
i/S
5 Алфутов Н. А. и др.
129
{R, i}, {R, 2}> заданные проекциями на основной трнедр, обозначим
через {г, i}, {r,,}, в качестве компонент этих векторов будут служить
{г, i) = {Alt О, 0}, {г, 2} = {0, Л„ 0}. D.28)
Для единичного вектора нормали соответственно запишем {и} =
= {0, 0, 1}.
Приведем без вывода правило дифференцирования по парамет-
параметрам <хг вектора {/}, заданного проекциями flt f2, /3 на оси основного
триедра (см. рис. 4.10). При дифференцировании по а;:
{Л »} = {_/.*}-МЛН/} («=1, 2), D.29)
где
{/} = {Л, к /»}, {/, ,•} = {/ь ь /2, ь/з,«} (« = 1, 2);
О ф12 kx
-Ф„ О О
—kx О О
О -Фи О"
ф21 О К
О — ko О
D.30)
Векторы {/, х}, {Д 2} называют векторами локальных производ-
производных, матрицы [/\7, 1/1 характеризуют вращение основного триедра
при движении вдоль аг, а2-линий.
§ 4.2. Связь деформаций с перемещениями
Пусть для произвольной гладкой оболочки радиус-вектор
{г (а1( а2)} определяет некоторую поверхность и в качестве аг,
а2-линий выбраны линии кривизны. Эту поверхность будем назы-
называть исходной или координатной. Положение точки, принадлежа-
принадлежащей оболочке, определим тремя координатами: аи а2, а3, где а3 =
= z — расстояние по нормали {и} к исходной поверхности. Чтобы
подчеркнуть то обстоятельство, что точка отстоит на расстояние z
от координатной поверхности, радиус-вектор точки обозначим
{/•(z)}; выразим его через радиус-вектор координатной поверхности
{г} и вектор нормали {я}:
M = {r) + z{n). D.31)
Касательные векторы к поверхности z-ro слоя определим част-
частными производными
{'<*>.»} = {'. i} + z {л, i} 0**2). D.32)
Поскольку для выражения D.32) векторы определены проекциями
на основной триедр, то для векторов {п, i}, {n, 2} следует воспользо-
воспользоваться правилом дифференцирования [(см. D.29)]. Тогда с учетом
выражений для компонент касательных векторов {г, х}, {г, 2} D.28)
получим компоненты касательных векторов {Г(г),\}, {г(г),2} для z-ro
слоя:
{г(„. •> = {",, 0,0};
{г(г),2}^{0, Я„ 0}, D33)
130
где Я, ¦= At (I + ktz) A *±2) — называют параметрами Ламе z-ro
слоя. Отметим, что согласно D.31) касательный к координате z
вектор совпадает с нормалью, поэтому
{'«>.з} = {я} = {0, 0, 1} D.34)
и параметр Ламе Н3 = 1.
Пусть в результате внешнего воздействия оболочка деформиро-
деформировалась. Рассматриваемая точка с координатами а,, а2, z получила
перемещение {%)}. Вектор {fB>} будем задавать компонентами vlt
v2, v3, которые представляют проекции перемещения на оси основ-
основного триедра исходной поверхности {vu)} = {vt, v.,, v3}. При полу-
получении выражений для деформации в дальнейшем понадобятся век-
векторы частных производных от вектора перемещений {?>(?)} по криво-
криволинейным координатам аь а2. Выражения для этих векторов полу-
получим согласно D.29):
В развернутом виде компоненты векторов {и(г), i}, {V(Z).2} будут
, 2 T 4-21^1 ""Г «2уз;. \— иЗ, 2 ~
Для частной производной по координате z будем иметь
{УB),з} = {У1,з, v2,з, Уз,з}. D.36
Радиус-вектор точки z-ro слоя после деформирования
{'?»>)*-{'"<*>} +{»<•>>• D-37))
Длина элементарного отрезка z-ro слоя, ориентированного вдоль
«глинии, до деформации составляла
После деформирования оболочки длина отрезка
W = da, 1/г71М}т1г?„./1 = Я?dtz, (I = 1, 2, 3),
где
1Л,м}т{г7гМ) (t=l,2, 3) D.38)
— параметр Ламе деформированной поверхности.
Деформацию элементарного отрезка определим как
e. = fLzfl пли e.= ^L__i ^- = ^2,3). D.39)
5* 131
С учетом D.37) вычислим параметр Ламе Н\ D.38):
т=#, j/i + Jjt ы. ,}т ы. л+-^ {vMllr К).,} (.•=1,2, з).
D.40)
Предполагая деформации малыми, Н\ D.40) можно представить
следующим образом:
М}Т{У(г),,}+_1_{У(г),,}т{У(гЬ.}\ (f=i, 2, 3)
D.41)
и получить выражение для деформации элементарного отрезка D.39I
(*=1. 2- 3). D.42)
Сдвиговые деформации у12, у23, Ti3 определим как изменения
в результате деформирования углов между векторами {r(z), 1} и {rU), 2};
(г(г), г} и {г(г),3}; {г(г),\} и {г(г). 3}- Вычислим деформацию ytj.
Будем считать, что деформация сдвига мала, тогда cos (я/2 — уи) —
= sin уи я« у^ (/, /=1, 2, 3 «=/=/).
Косинус угла л/2 — yfJ- определяется скалярным произведением
единичных векторов —— [r"(zh ,-J и —— {/"(z),/} деформированной
оболочки. Таким образом,
тч — К,).-!1^»./!- D-43)
Оставаясь в рамках допущений о малости деформаций, выраже»
ние D.43) можно упростить, если принять, что Н\Н) ** HiH/.
Тогда с учетом D.37) получим
{t, /—1, 2, 3 /#/). D.44)
Получить полные выражения для нелинейных деформаций до-
достаточно просто. Нужно воспользоваться выражениями для каса-
касательных векторов D.33), D.34), векторов частных производных от
вектора перемещений D.35), D.36) и выполнить скалярные перем-
перемножения, указанные в выражениях для деформаций [см. D,42)
и D.44)]. После этих процедур получим
1 /1 , , L Л , _1_ 1 v
2 A +kizJ Л
X [ (7 ^1,1 + Ф12У2 + МзJ + (-^7 «4, 1 —
e,i = Уз, з
132
хVl-2
,1 — Ф12У1) (-^- «2,2 + фгЛ +
+ ( -j^ щ, 1 — *vi) (-j^- ^s, 2 — ^2) ]; D-45)
TT
r^.1 f
У2, 3 ("^- ^ ! - ф12У! ) 4" У3> 3 (-^" ^3, 1 - АЛ) ] A Ч± 2),
Приведенные выражения есть полные нелинейные деформации
для трехмерного тела, записанные в криволинейной ортогональной
системе координат.
Для деформирования тонких оболочек предполагается справед-
справедливой кинематическая гипотеза Кирхгофа—Лява, согласно кото-
которой [8, 17, 34, 55] — прямолинейные элементы оболочки, нормаль-
нормальные до деформации к срединной поверхности, остаются прямоли-
прямолинейными, нормальными к деформированной срединной поверхности
и сохраняют свою длину. С использованием выражений D.45) эту
гипотезу можно записать:
Vis = 0; Y23 = 0; е3 « 0. D.46)
Приближенное решение системы нелинейных уравнений D.46)
получим с помощью разложения перемещений в степенные ряды от-
относительно аргумента z [34 ], при этом ограничимся удержанием пер-
первых двух членов, т. е.
Vi = щ -f z\|>j (t = 1,2,3). D.47)
Подставим D.47) в уравнения D.46), записанные с учетом D.45)
и согласно правилам решения с помощью степенных рядов положим
в этих уравнениях z = 0. Система D.46) даст два линейных и одно
нелинейное уравнение для определения функций ^, *1>2, tya'-
Ь A + ft) +1>»«1 - 0 + Ь) «1 = 0 A ** 2); ,
где
ei = —д~Щ., 1 -\- ф12ыа-\- k\tis A^±2)— D.49)
деформации;
щ = —.— ы2,1 — Ф12Ы1 A ^ 2) — D.50)
углы сдвига;
¦&! = -д- «3,i + ^i«i A:?±2)— D-51)
углы поворота нормали, #¦
КОЛОХ2А *f ldd
ss^ssuizssJ I 0CK0P*?A I
Решение системы D.48) можно записать в виде
4"i = —— A -f- ¦фз) A*±:2); \jK = аззХ — 1> D.52)
где
При дополнительном допущении о том, что удлинениями, сдви-
сдвигами и квадратами углов поворота, нормали можно пренебрегать по
сравнению с единицей, решение D.52) упростится до вида ^ = 0^
¦ф2 = фа; -фз = 0. И искомое распределение перемещений по толщине
оболочки будет
Vl = Ul + z&! (I =f± 2); D.53)
v3 -= и3.
Распределение деформаций elf e2, у12 по толщине оболочки полу-
получим согласно D.45), D.53). Будем считать, что для тонких оболочек
можно принять
-^L—^l—kjz A^*2). D.54)
Тогда для слоя с координатой z
е, = ех -{- zx, + -—¦ ^1 A=^2); D-55)
где
A**2);
-f Т2 — ^©x — ^8©2 « 2Tj — Vl2 ~
i — ©2) = 2t8 — Vm — ki (ws — ®i)i D-56)
Различные варианты записи изменения параметра кривизны х12
получены с использованием равенства тх + ^а, = т2 + ^jaj, ко-
которое вытекает из тождества [г°{г), i}T [г\г), 32) = {/"(«>. г}Т \г\г).г\\
При 2=0.
При расчете тонких оболочек часто применяются формулы для
изменений параметров кривизны, отличающиеся от выражений
D.56) на величины kxev k2et, (kx -f kt) en:
xl2 =* 2 (xt + fejco2) e 2 (т8 + AjceO =, D.57)
«» Tj + т2
m
что является следствием неполного учета соотношений D.54). Од-
Однако вносимые при этом погрешности практически не влияют на
результаты расчетов тонких оболочек.
§ 4.3. Применение МКЭ для расчета
многослойных оболочек вращения
К наиболее распространенному виду многослойных оболочек из
композиционных материалов относятся оболочки вращения. Ана-
Анализ прочности, устойчивости и динамики тонких многослойных
оболочек вращения проведем с использованием кольцевого оболо-
чечного элемента. Специфика многослойной структуры элемента бу-
будет характеризоваться интегральными жесткостными свойствами
по толщине пакета, которые подробно рассмотрены в гл. 1.
Для удобства перейдем к следующим обозначениям:
а =г о^; р = а2; А = Ль В = Л2; i|) = ср21;
U(Z) = v\\ v{z) = v2; w{z) = v3; D.58)
и = tii, v = и2; w = и3.
где tii = vt (z = 0).
Согласно последовательности решения задач с помощью МКЭ
для отдельного элемента зададим аппроксимацию полей перемеще-
перемещений. Следуя гипотезам Кирхгофа—Лява для тонких оболочек, бу-
будем считать, что касательные и нормальные перемещения изме-
изменяются по координате z следующим образом:
щг) = и (а, р) + zdx (а, р);
v(z) = v (а, р) + г§2 (а, р); D.59)
w{z) = w (а, р),
где и, v, w — перемещения координатной поверхности (г — 0);
fti. $2 — углы поворота нормали:
Ь = --тъг +k^ ^ = - тг-ж + Kv- D-60)
В силу периодичности решений по окружной координате р пере-
перемещения и, v, w можно разложить в тригонометрические ряды и пред-
представить в виде
оо оо
и (а, Р) = 2 йп (a) cos n$ -f 2j «n (a) sin «P;
оо оо
v (а, Р) = 2 уп (а) sin «Р - S 5п (а) cos «P; D.61)
п=0 п=0
оо оо
ну (а, Р) = 2j a»n(a)cosnP + S й)„ (a)slnnp,
n=0 n=0
или в матричной форме
S [Pn]{f7n}+S lPn]{t/n}. D-62)
n=0 n=0
135
где
{U) = {и, v, w);
{Un} = {un, vn, wn};
{Un\={un, vn, wn}. D-62A)
Здесь [ря], [р„ ] — диагональные матрицы:
iPnl = r~cos«p, sin/ф, cos«P_|;
[Рл] = p"sin гф, —cosnp, sin/гр |.
Коэффициенты разложений {Un} и {0п} соответствуют симме-
симметричным и кососимметричным (относительно нулевого меридиана
Р = 0) составляющим решений и являются функциями коорди-
координаты а. Знак «—» в разложении v [см. D.61)] при кососимметрич-
ных гармониках поставлен специально. Такой выбор знаков позво-
позволяет формировать одинаковые матрицы жесткости элементов для косо-
симметричных и симметричных составляющих.
В дальнейшем, если для величин или выражений, отмеченных
индексом п, не указывается принадлежность к симметричным или
кососимметричным составляющим, то подразумевается, что такая
запись справедлива как для симметричных, так и для кососимме-
тричных составляющих". Например, вместо D.62А) сокращенно
можно записать {{/„} = {и„, vn, wn}.
При решении задач методом конечных элементов нужно обеспе-
обеспечить необходимую гладкость сопряжения элементов между собой.
Разрешающие уравнения МКЭ будут получены с использованием
интегральной формулировки принципа возможных перемещений [(см.
3.3)]. Входящие в подынтегральное выражение деформации содер-
содержат первые производные по а от касательных перемещений и, v
и вторые производные от нормального перемещения ш. Поэтому при
переходе от элемента к элементу необходимо обеспечить непрерыв-
непрерывность по а как самих функций и, v, w, так и первых производных
от w. Таким условиям удовлетворяют аппроксимации следующего
вида [51 ]:
ип (а) = cln -f c2na;
vn(a) = c3n~\-cina; D.63)
wn (a) = сы + свпа -f c7na? -f c8na3,
справедливые как для симметричных, так и для кососимметричных
составляющих. В матричной форме аппроксимации по а запишем
следующим образом:
{Un\=[N]{Ca}, D.64)
где
V-'n} == \^ln> ^2nt Сзп> ^4п> Cbn> С«п> ^
№ =
1
0
0
а
0
0
0
1
0
0
а
0
0
0
1
0
0
а
0
0
а2
0
0
а3
D.65)
136
Для удобства сопряжения элементов пе-
перейдем к обобщенным узловым перемещениям,
которые (в отличие от неопределенных коэф-
коэффициентов {С„}) имеют наглядное геометриче-
геометрическое представление: амплитудные значения
гармоник разложения перемещений и углов
поворота нормали к плоскости меридиана
(рис. 4.11). Согласно определению запишем
обобщенные перемещения в узловых сечениях
/ и 2: {q} = {u1, v\ w\ Ц, и2, v\ w\ Ъ\}.
Здесь верхние индексы указывают на при-
принадлежность соответствующему узловому се-
сечению. Разложение компонент вектора {q} по
угловой координате Р в тригонометрические
оо оо
ряды представим в виде {q} = Е [Р„п] {qn} -j- S [P?nl {Яп},
n—0 л=0_
где {qn} r= \un, v\, w\, b\n, u\, v\, wl, ¦&?„}; [fiqn], [р?л
нальные матрицы, содержащие функции разложения:
- <*-,
Рис. 4.11.
— диаго-
диаго[P<?n] = Pcos гф, s'lnnp, cosnp, cosnP, cosnp, sinnp, cosnp, cosnp_j;
IP?,;] = psin'np, — cosnP, sinnP, sinnp, sinnp, —cosnp, sinnp, sin
С использованием аппроксимации перемещений D.63) для сим-
симметричных составляющих обобщенных перемещений запишем:
Л»
Здесь А0, Л
vn |«=o = v]t; vn |<х=д = уй ;
Wn |a=0 = ^n; ЙУя |a= Д = ^л I
.0.. I Al . 1 *»n
D.66)
а=0
1«п |а=Д = ^1я
— параметры Ламе и кривизны меридиана для
начального и конечного сечений; А — значение параметра а для
второго сечения (см. рис. 4.11). Когда в качестве параметра а вы-
выбирается длина дуги меридиана s, А равняется L (см. рис. 4.9).
После подстановки в уравнения D.66) аппроксимации перемещений
D.63) получим линейную систему восьми уравнений относительно
неопределенных коэффициентов с1п — с8п. Решение этой системы
позволяет выразить неопределенные коэффициенты через обобщен-
обобщенные узловые перемещения {qn}:
137
где
о
о
о
о
1
о
3
А2
2
А3
О
О
О
О
о
—Л"
4Л°
А
ЗЛ°
О
1/А
О
О
О
о
Д2
Д2
о
о
о
1/А
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
3
А2
о
о
о
о
о
о
А\
А
2
IF
Д2
D.67)
после чего аппроксимации по а амплитудных значений гармоник
перемещений D.64) можно записать через обобщенные узловые пере-
перемещения:
, D.68)
где
[ф] =z [N] [х\] — матрица функций формы.
D.69)
Окончательно распределение перемещений координатной поверх-
поверхности в пределах элемента D.62) принимает следующий вид:
п=0
л=0
D.70)
Получим распределение углов поворота нормали D.60) в преде-
пределах элемента. Для этого воспользуемся выражениями D.61), D.63),
D.67) и выполним действия согласно D.60).
Тогда
W = S IP»»] &п
л=0
D.71)
где
о„] = fTcos«Р, sinnp_|; [P#n] =
cosnp
Амплитудные значения симметричных и кососимметричных со-
составляющих гармоник разложения углов поворота нормали {&„}
и {&„} могут быть выражены через обобщенные узловые переме-
перемещения:
{Ъп) = и«]Ш. D-72)
138
где
[Jn] = 1Кп] N;
[A M О О О — 1/Л —2а/Л —За2/Л]
[О О Uj ?2а га «а «а2 «а3 J
окончательный вид распределения углов поворота будет следующим:
Щ = 2 IP*»J Wn] {Яа) + 2 \Ш [/„J {?„}¦
Далее получим распределение линейных деформаций и изменений
кривизн, соответствующих выбранным аппроксимациям перемеще-
перемещений. Предварительно выполним разложения в тригонометрические
ряды выражений D.49), D.50), D.57):
{?} = S №MJ {?,} + S 1Ре,1 {?»}. D-73)
л=0 1=0
где
{Е} = {еъ е2, е12,
Здесь диагональные матрицы [Ре„], [ре„] содержат следующие
компоненты:
[рел ] = Pcos np, cos «p, sin np, cos «p, cos «p, sin «p_|;
[Pgn] = | sin np, sin np, — cos np, sin «p, sin n|3, — cos «P_J. D.73A)
Для симметричных компонент п-й гармоники разложения по уг-
угловой координате р согласно D.49), D.50), D.57) получим следую-
следующие выражения:
+ k2wn; D.74)
|_ cPwn 1_ М_ dwn , J_ dki . Ji_ dun .
1/1 ~ Л2 da? ^ A3 da da ^ A da ""^ A da '
= 2 (n "X"^- - *1пия - ф (пдап + fe2un) -f fe2 —
Подстановка аппроксимаций перемещений в форме D.63) в выра-
выражения G.74) дает связь искомого распределения деформаций и изме-
139
нений кривизн с коэффициентами {С„}: {?„} = [Всп] {Сп}, где
Па. На2 На3
k2a k2a2 k2a3
—п —па —т]) 1/Л — г|;а О О О О
А'/Л3 2А'а/А3— ЗЛ'а2/Л3—
— 2/Л2 — 6а/Л2
1/Л
1|:а
—па
[а!А +
0
Я
—1]>
0
0
па
1/Л — г];а
0
*i
k2
0
0
— Зг|;а2/Л
tyna-\ 2Цпа2-\ 2i['na3 +
¦ 2й/Л -(- 4ла/Л -
л' dA -
А =-Ш' n =
В результате специального выбора знаков в разложениях v
[см. D.61)] и е12, и12 [см. D.73А)] полученное выражение справед-
справедливо как для симметричных, так и для кососимметричных состав-
составляющих. Окончательно с учетом D.67) распределение деформаций
и изменений кривизн представим в виде
{?} = S IPeJ {?Л + S (Penl (Ёп), D.75)
{?n} = [Sn]{?/i}1 D.76)
где [Вп] = [Веп] [ц].
Для получения разрешающих уравнений метода конечных эле-
элементов воспользуемся принципом возможных перемещений. Как
и прежде (см. § 3.8), рассмотрим отдельный элемент, нагруженный
поверхностными нагрузками {р} и реакциями отброшенных частей
{t}. Согласно принципу возможных перемещений в положении рав-
равновесия должно выполниться условие
2я
= 0, D.77)
ve se °
где Vе, Se — соответственно объем и площадь поверхности элемента;
{q} — обобщенные перемещения узловых сечений.
Рассмотрим последовательно каждое слагаемое, входящее в D.77).
Первое слагаемое, характеризующее работу внутренних сил, можно
представить следующим образом:
Д 2я
J б {е}т {a} dV = J j j (б {<?} + z8 {и»т {a} dzAB df>da. D.78)
ye 0 0 Л
Здесь {<?} = {eu e2, en}\ {x} = {xlt x2, x12}; {a} = {oj, a2, т12};
h — толщина многослойной оболочки. Выполним в выражении D.78)
но
Интегрирование no координате г'.
J (б {е} + гб {и})Т {о} dz = б {<?}Т {Г} + б {и}* (УМ) - б {?}т {4}, D.79)
А
= {{<?}, {и}}; {Q} = {{Г},
J
А
где
Векторы {Г}, {М}, по определению, представлянэт векторы
погонных усилий и моментов. В развернутом виде компоненты век-
вектора линейных деформаций и изменений кривизны {?} были при-
приведены выше для выражения D.73). С использованием интегральных
по толщине соотношений упругости, полученных для многослойного
пакета [см. A.88)], запишем
{Q} = [D]{E}, D.80)
после этого интеграл D.79) примет следующий вид:
D.81)
С учетом разложения {?} по угловой координате р в тригоно-
тригонометрические ряды D.75) выполним следующее интегрирование:
2л 2Л / оо
f 6{?}T[D]{?}dp=J 2[рм]б{?я}-Ь
0 0 \л=0
[D (fj №„,]{?„} + ? [рм]{?я}) dp. D.82)
\л=0 л=0 .' '
В выражении D.82) после выполнения операций умножения будут
встречаться интегралы, для которых
2Л 2я
[ [PeJT ID] [РЕт] dp = [ [PEJT [D] [Pem] dp = 0 D.83)
0 0
при любых номерах гармоник п и т. А также интегралы
2л 2Л
j [JUT [D] [рот] ф = dn [D], D.84)
о
2я 2я
где dn = J cos «p sin mfi dp = j cos /ф cos /np dp =
о о
0 при п Ф m;
я при п =
Отдельного рассмотрения требует случай п = т = 0. Можно
показать, что матрица жесткости элемента распадается на две не-
независимые матрицы, характеризующие жесткости на осесимметрич-
ный изгиб и осесимметричное кручение, поэтому без потери общности -
141
для D.84) можно положить dn = 2л при п ~ т — 0. С учетом D.83)
и D.84) интегрирование по координате р даст
[D] {E} dp =
л=0
Отметим, что свойства интегралов D.83), D.84), определяющиеся
структурой матрицы коэффициентов упругости [D ] для слоистой
оболочки с ортотропными слоями (см. § 1.5), позволяют разделить
[см. D.85)] осесимметричные и кососимметричные составляющие
решения.
Последнее интегрирование для выражения D.78) выполняется
по координате а. С учетом D.85) и D.76) окончательно получим
— матрица жесткости элемента для п-х симметричных и кососиммет-
ричных составляющих гармоник разложения.
В последующем, в силу разделения отдельных составляющих
гармоник разложения, воспользуемся сокращенной записью и,
например, вместо D.86) будем записывать
(
¦Vе ]п
подразумевая при этом, что полученная запись справедлива как для
симметричных, так и для кососимметричных составляющих п-н
гармоники разложения.
Интегрирование по координате а выражения D.87) выполняется
численно на ЭВМ с использованием квадратурных формул. Как
показала практика расчета, достаточно точные результаты полу-
получаются при использовании 4—8 точек интегрирования [26].
Второе слагаемое в записи принципа возможных перемещений
[см. D.77)] определяет работу внешних поверхностных нагрузок на
возможных перемещениях. Прежде чем приступить к интегрированию
по площади элемента, разложим поверхностные нагрузки в триго-
142
неметрические ряды по угловой координате |3 аналогично тому, как
это было сделано для перемещений координатной поверхности:
{/>}=? [Р«]{ря>+?[Ря]{рл}. D-88)
где {р} = {ръ р2, Ра}, {рп} = {pln, p2n, Psn); (PJ, (PJ — ма-
матрицы, приведенные ранее для выражения D.62). Коэффициенты
разложений {/>„} и {р„} считаются известными функциями коорди-
координаты а. С учетом D.62) и D.88) получим
д
(\b{U)-t{p}dS) =dn\b{Uny\pn).
V In о
Далее воспользуемся функциями формы D.69) и выполним инте-
интегрирование по а, после чего получим
b{UY{p)dS\ =dn6{qny{Pn}, D.89)
In
д
где {Рп} = \ №T{Pll}ABda
о
— вектор приведенных узловых сил для п-х составляющих нагрузок.
Рассмотрим последнее слагаемое в уравнении D.77). Под компо-
компонентами вектора реакций {t} будем понимать действующие в узловых
сечениях погонные усилия (направления их совпадают с направле-
направлениями и, v, w) и погонный изгибающий момент (направленный в сто-
сторону положительного направления угла поворота ux), умноженные
на соответствующие радиусы сечений гг и г2. Интегрирование по
координате р выполним с учетом разложения в тригонометрические
ряды. После чего получим
/2л \
I j б{?}Т{0йр1,г = 4бЫт{^}- D.90)
Таким образом, после выполнения необходимых интегрирований
всех слагаемых принцип возможных перемещений, сформулиро-
сформулированный для кольцевого оболочечного элемента D.77), может быть
представлен в следующем виде:
46 {</,}т (\Кп\ Ы - {Рп} - (U) = 0- D-91)
Отсюда в силу произвольности вариаций б {qn} для n-х гармоник
составляющих решений получим
{tn) = lKn]{qn)-{Pn). D.92)
При стыковке отдельных элементов между собой в случае излома
меридиана в сопрягаемом сечении удобней записывать условия
сопряжения геометрических и силовых факторов в общей или гло-
глобальной системе координат. Формулировка принципа возможных
перемещений D.91) позволяет достаточно просто осуществлять пере-
переход к другим обобщенным перемещениям и соответствующим сило-
143
вым факторам. Вместо нормального и каса-
касательного перемещений w и и будем* пользо-
пользоваться радиальным и осевым перемещениями
? и ? (рис. 4.12). В этом случае
и = I cos 0 -f ? sin 0;
и, =- g sin 0 - I cos 0. { '
Выбрав в качестве новых обобщенных
перемещений узловых сечений вектор {q}a
с компонентами
{<7}.= {Е\ vl, Ъ\ 0J, Г, о2. С2, «П. D-94)
запишем старые обобщенные перемещения с
учетом D.93). В матричном виде связь векто-
векто{} {} б ющим
D.95)
0
Рис. 4.12.
где
[С) =
г
{
~ COS0! 0
1
СИМ.
ров {q}
образом:
и1, v\ w1
sinOj
0
—COS 0!
и {
¦ft
0
0
0
1
q}s будет
2 S
0
0
0
о ¦
cos 02
n
0
0
0
0
0
1
выглядеть с.
0
0
0
0
sinO2
0
—cos 02
1еду1
0 ~
0
0
0
0
0
0
1
Здесь 01? 02 — углы между нормалью и осью вращения в сечениях /
и 2 (см. рис. 4.12). С использованием преобразования D.95) прин-
принцип возможных перемещений D.91) можно записать через новые
обобщенные перемещения:
46 {qn)l [С]т {[Кп] [С] {qn}s - {Л,} - {*»}) = 0.
Отсюда вместо условий равновесия D.92), сформулированных
в локальной системе координат, получим соответствующие условия,
записанные в глобальной системе:
где {*n}s = [C)?{tn}; {Pn}s = lC)i{Pn}; 1Кп), = (CF [JCJ
Дальнейшее объединение ансамбля элементов, формирование
геометрических граничных условий и решение разрешающей системы
уравнений выполняется с помощью стандартных процедур МКЭ
(см. § 3.8). В случае осесимметричного нагружения деформирование
и решение системы осуществляются один раз для нулевой гармоники
разложения п = 0. При неоседимметричном нагружении общего
144
вида получают отдельно решения для всех удерживаемых гармоник
разложения и осуществляют суммирование в сечениях вывода ре-
результатов с учетом развертки по угловой координате р\
Рассмотрим применение кольцевого элемента для решения задач
устойчивости оболочки вращения при осесимметричном нагружении.
Будем считать, что начальное напряженное состояние оболочки
определяется решением задачи статики в линейной постановке, а пе-
перемещения в начальном состоянии тождественны нулю. Такие пред-
предположения соответствуют модели напряженного, но недеформиро-
ванного тела в докритическом состоянии. Нагрузки будем считать
«мертвыми», т. е. не изменяющимися при переходехистемы в смежное
состояние. В этом случае решение задачи устойчивости можно полу-
получить из вариационного условия C.29), соответствующего для упру-
упругих систем вариационному критерию в форме Брайана. Выделим
из оболочки отдельный кольцевой элемент. С учетом работы сил
реакций отброшенных частей на дополнительных перемещениях
первого порядка малости запишем условие смежного равновесного
состояния
2Л
J F {е,}т {а,} + Л6 {е„Р {а„}) dV - J 6 {?,}т {t,} d$ = 0, D.96)
ve о
где {а*} = {а*, а*, т*2}, {е*} = {ef, e2*, yfe} — векторы, компо-
компоненты которых представляют соответственно дополнительные на-
напряжения и деформации первого порядка малости: Л — параметр
нагружения; {а0} = {а?, а"} — вектор начальных напряжений;
{е**} = {е**> е2*} — вектор дополнительных деформаций второго
порядка малости; {q^} — вектор дополнительных обобщенных пере-
перемещений узловых сечений оболочки; {?,.} — вектор дополнительных
реакций.
Решение задачи будем искать в виде разложений по угловой
координате р в тригонометрические ряды. По координате а восполь-
воспользуемся, как и прежде, аппроксимацией [см. D.68)] и представим
дополнительные перемещения координатной поверхности оболочки
в виде, аналогичном D.70),
TO = S [Р»1 1Ф] Ш + S [Р„] 1Ф) {Я*п}- , D.97)
Здесь и в дальнейшем величины, отмеченные одной звездочкой,
соответствуют дополнительным величинам первого порядка малости.
Там, где не дается развернутого представления векторов, отмечен-
отмеченных звездочкой, следует иметь в виду, что последовательность их
компонент такая же, как в соответствующих выражениях для за-
задачи статики.
С учетом аппроксимации D.97) распределение углов поворота
нормали представим аналогично D.71), D.72):
{0.}= S 1Ро«] I®.*} + S №•«]{#.«}. D.98)
||=0 /1=0
145
где {&*п} = \Jn ] {<7*„}. а распределение дополнительных деформа-
деформаций и изменений кривизн — аналогично D.75), D.76):
оо оо
{?*}= S [P?n]{?*n}+ S [ftmU^n},
где {?*„} = lBn]{qw).
Для определения связи дополнительных реакций {^} с допол-
дополнительными обобщенными перемещениями первого порядка малости
{q%} рассмотрим более детально каждое слагаемое выражения D.96).
Выполнив, как и для задачи статики, преобразования D.78)—
D.87), получим
=dnb{q,nyiKn\{q*n}, D.99)
(J.
А
где [/(„]=] [5„]т [?>] [В„] А В dot,— матрица жесткости элемента.
б
Второе слагаемое в уравнении D.96) характеризует начальное
напряженное состояние. Согласно выражениям для деформаций
D.55) дополнительные деформации второго порядка малости ef*
и е|* имеют следующий вид: ef =-5-(OfJ, Aч=&2). Подынтеграль-
Подынтегральное выражение для второго слагаемого из D.96) удобно представить
следующим образом:
¦ 60? |т Га? О j f Of
После выполнения интегрирования по толщине получим
где [То] -~- \~Т°, Тг_]—диагональная матрица. Величины Т°, Тг
представляют начальные погонные меридиональные и окружные
усилия, возникающие в оболочке от действия внешних осесимме-
тричных нагрузок. С учетом разложения {$*} в тригонометрические
ряды D.98) и структуры матрицы [То] интегрирование по угловой
координате |3 дает разделение симметричных и кососимметричных
гармоник:
- dnb {$ъП}^ [To
Окончательно после интегрирования по а получим
'\ =dnb{qbnY\Sn\{q.^}, D.100)
I
146
д
где [Sn]=j [Jn]T [T0][Jn]ABda — матрица приведенных начальных
о
напряжений для n-й гармоники волнообразования.
Работа сил дополнительных реакций на возможных дополни-
дополнительных перемещениях может быть представлена в виде, аналогич-
аналогичном D.90),
/2я \
Таким образом, после выполнения интегрирования D.99), D.100),
D.101) условие существования смежного равновесного состояния
D.96) запишется в виде
dnb {<7*п}т (([/С„] + Л [Sn]) {qw} - {tw}) = 0.
Отсюда в силу произвольности коэффициентов б {<7*л} получим
искомую связь реакций с перемещениями:
{'.„} = (!*»] +MS»]) {?.»}• D-102)
Поскольку реакции оболочечного элемента для симметричных и
кососимметричных форм D.102) одинаковы, то при определении кри-
критических нагрузок можно рассматривать лишь одни формы волно-
волнообразования, например симметричные.
Перевод матрицы жесткости элемента и матрицы приведенных
начальных напряжений в глобальную систему координат осуществ-
осуществляется с помощью матрицы преобразования 1С] D.95):
\Knh = [С\т 1Кп\ [С|; [Sn]s = [С|т [5„] [С\. D.103)
При стыковке отдельных элементов с учетом однородных геоме-
геометрических граничных условий формируются глобальная матрица
жесткости и матрица приведенных начальных напряжений кон-
конструкции. При этом используются стандартные процедуры метода
конечных элементов. Полученная система линейных уравнений,
однородная относительно обобщенных перемещений для п-й гармо-
гармоники разложения, представляет задачу на собственные значения.
Для этой задачи ищется наименьшее по модулю собственное значе-
значение Лп. Критическое значение параметра нагружения Л* опреде-
определяется как наименьшее из всех Ап, т.е. Л* = min {] ЛЛ j}. Соб-
по п
ственный вектор и номер гармоники п, соответствующие Л*, харак-
характеризуют форму потери устойчивости.
Рассмотрим использование кольцевого оболочечного элемента
применительно к решению задач динамики. Для получения матрицы
приведенных масс элемента будем пренебрегать инерционными
членами, связанными с угловыми ускорениями сечений. В этом
случае для конечного элемента принцип возможных перемещений
147
с учетом «работы» сил ннерцни запишется 6 следующем виде:
J б {е}т {a} dV - J б {U}T {p} dS -
ve se
2л
J 4?}T{0dP+ f pb{U}T{U}dV = 0, D.104)
0
ye
где p — удельная плотность материала; (•) = -г— (•) обозначает
дифференцирование по времени. Для внешних нагрузок будем счи-
считать, что в любой момент времени т известны функции Фурье для
симметричных и кососимметричных составляющих. Воспользуемся,
как и прежде, представлением решений {U} в виде D.70), однако
при этом будем считать, что обобщенные перемещения зависят от
времени:
{Щ = ZJ 1Рп][0]{$„(т))+ S [Р„][0]{?п(т)}. D.Ю5)
Тогда для вектора ускорений получим следующее выражение:
S [Рп][чЫбп (т)} + ? ГЫ№1{1(т)}. D.Ю6)
1 0
Преобразование первых трех слагаемых, входящих в уравнение
D.104), выполняется аналогично тому, как это было сделано для
задачи статики. Поэтому отдельно стоит рассмотреть лишь последнее
слагаемое, представляющее согласно принципу Даламбера «работу»
сил инерции на возможных перемещениях. С учетом D.105), D.106)
после интегрирования по объему элемента получим
л
где [М] = j [0]T [(p]PABda; (P = Jpdz) — матрица приведенных
о h
масс элемента. Таким образом, принцип возможных перемещений в
формулировке D.104) в окончательном виде записывается следующим
образом:
dnb Шт ([Кп] Ы + [М] {qn} - {Рп} - {Q) = 0.
Отсюда в силу произвольности 6 {qn} в любой момент времени т
получаем искомую связь реакций:
Ы = [Кп] Ы + [М] {qn} - {Рп}. D.107)
Формирование разрешающей системы и численное интегрирова-
интегрирование уравнений движения было кратко рассмотрено ранее в § 3.8.
При определении собственных частот колебаний оболочки пола-
полагают {р\ = 0 и ищут решение, изменяющееся по времени, в виде
гармонической функции, например {q (т)} ~ sin сот, где со — кру-
148
говая частота колебаний. Тогда связь реакций с перемещениями
D.107) записывается в следующем однородном виде:
В случае исследования колебаний системы с учетом предвари-
предварительного осесимметричного напряженного состояния инерционными
слагаемыми дополняется уравнение D.96). Тогда для дополнитель-
дополнительных реакций получаем
{W = ([К„] + Л [Sn] - со* [М]) {^п}. D.108)
Выражение D.108) позволяет формулировать при со = 0 задачу
устойчивости и определять А*п: при Л = 0 — задачу о собственных
колебаниям, при Л Ф 0 — задачу о колебаниях системы с учетом
предварительного нагружения (для «мертвых» внешних сил).
При записи условий стыковки отдельных элементов в глобаль-
глобальной системе координат матрица приведенных масс преобразуется
так же, как и матрица жесткости элемента:
[M]S = [C]T[M][C|, D.109)
где [С] — матрица связи обобщенных перемещений в локальной
и глобальной системах координат [см. D.95)].
§ 4.4 Получение канонических систем
для решения задач статики, устойчивости
и колебаний многослойных оболочек вращения
Математическое описание деформирования тонких многослойных
оболочек вращения может быть сведено к системам обыкновенных
дифференциальных уравнений. Для решения таких систем в на-
настоящее время разработаны эффективные численные методы. Наиболее
удобной формой для интегрирования на ЭВМ является представле-
представление разрешающих дифференциальных уравнений в виде системы
дифференциальных уравнений первого порядка (или канонической
системы). В § 3.5 был представлен в общем виде вариационно-ма-
вариационно-матричный способ получения канонических систем. Ниже рассмотрим
конкретную реализацию этого способа для оболочек вращения.
Введем понятие вектора обобщенных перемещений {X} в сече-
сечении оболочки. В качестве компонент вектора примем те кинемати-
кинематические факторы, которые определяют главные граничные условия
в сечении оболочки при а = const, ими будут
{X) = {u,v,w,Q1}, D.110)
т. е. касательные и нормальное перемещения координатной поверх-
поверхности и угол поворота нормали в плоскости меридиана. Поскольку
в выражениях для деформаций и изменений кривизны D.49), D.50)
и D.57) присутствуют также производные по а от перемещений и, v
и угла поворота ftlt введем в рассмотрение вектор {Y} с компонен-
компонентами
149
С учетом разложения решений по угловой координате р будет
достаточно компонент векторов {X} и {Y}, чтобы через них выра-
выразить все перемещения, углы поворота, деформации и изменения
кривизн. Прежде чем приступить к получению этих выражений,
отметим, что компоненты векторов {X} и {Y} не являются неза-
независимыми, между ними существует очевидная дифференциальная
связь:
= 0, D.112)
где
0
0
К
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
—1
0
Г 1 0 0
0 1 0
0 0 0
_0 0 1
Эту связь в дальнейшем будем учитывать при получении разре-
разрешающих дифференциальных уравнений.
В силу периодичности решений по угловой координате Р все
компоненты будем раскладывать в тригонометрические ряды. Таким
образом, представим компоненты обобщенных перемещений {X}
в виде
где
{X} = S (Ы {*„} г S |ряп] {хп},
п=0 л=0
{Хп} =={«„, vn, wn, flln};
= Pcosnp, sinnp, cosnp, cos лгр [;
D.113)
а также компоненты вектора {Y}:
л=0
где
=|_sinnp, —
/1=0
= -j--^r{un, vn,
, cosnp_|;
, sin«P_J.
С помощью обобщенных перемещений выразим перемещения
координатной поверхности. С учетом разложения в тригонометри-
тригонометрические ряды получим
= Е IP,.]
0
D.114)
D.115)
150
где
= {«, v, w); [F) =
10 0 0
0 10 0
0 0 10
Остальные компоненты векторов и матриц были приведены для
выражения D.62).
Для углов поворота нормали будем иметь следующее выражение:
л=0
71=0
D-П6)
где
Г0 0 0 11
<*> = <*i.<U, [/?»] = |0 ,2 я 0J. * =
Матрицы [р#п], [р#«] были приведены ранее для выражения
D.71).
Для определения выражений деформаций и изменений кривизны
через компоненты векторов обобщенных перемещений {X} и вектора
производных {Y}, как и прежде, воспользуемся разложением по
угловой координате р* D.73):
11=0
1=0
D.118)
где
= {еь е„, еп,
С учетом того, что симметричные составляющие векторов {?„}
связаны с {Хп} и {Yn} так же, как кососимметричные составляющие
{?„} с {Хп}, {Yn}:
e u\kw;
ип-[-k.2wn;
1271 = nU>l — №п
__1 I
Xln~~A~ d
получим выражение для {?„}:
{?„} - [^i,,] {Xn}
J d_
A da
¦vn,
D.119)
151
где
о
h
¦—п
О
О
О
*1
о
о
л2
о
о
о
о
—2\|;гё — 2п
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
2k,
0
0
0
1
0
0
Таким образом установлена искомая связь перемещений D.114),
D.115); углов поворота нормали D.116), D.117), деформаций и из-
изменений кривизны D.118), D.119) с компонентами векторов обоб-
обобщенных перемещений {X} и их производными {Y}.
После выполнения подготовительных операций приступим к ва-
вариационной формулировке задачи статики. Рассмотрим кольцевой
элемент оболочки вращения, нагруженный внешними поверхност-
поверхностными нагрузками и реакциями отброшенных частей. Для получения
разрешающих .уравнений воспользуемся принципом возможных
перемещений. Чтобы считать независимыми переменными как коэф-
коэффициенты вектора обобщенных перемещений {X}, так и коэффи-
коэффициенты вектора производных {Y}, введем с помощью множителей
Лагранжа {jx} условие связи D.112), записанное для возможных
перемещений, тогда
2Я
б {е}т {a} dV-J6 {Uy {p} dS - j б {X1}* {?} dp -
е Se О
2л
-- J б {xr {t>} dp + J D- JL б {X} - [Cx] б {X} -
0 se
)Т{ц}<К = 0. D.120)
Рассмотрим отдельно каждое слагаемое, входящее в уравнение
D.120). Для первого слагаемого интеграл по толщине и окружной
координате Р с учетом соотношений упругости вычисляется анало-
аналогично D.85):
\ve In
Далее, воспользовавшись выражением для деформаций и изме-
изменений кривизны в форме D.119), получим
б {е}т {a} dV) = dn J (б {Xn}T ([Su] {Xn} + [512] {Yn}) +
\ye /л О
+ б {Г„}т ([521] {Xn} + [Se] {Г„})) Л dec,
где
152
(i, j=l, 2).
D.121)
D.122)
Отметим, что в силу симметрии матрицы соотношений упругости
[D] матрицы [Sjj] D.122) обладают следующими свойствами:
[SJ;]T = [S,,1 (i, /=1.2).
Работу поверхностных нагрузок на возможных перемещениях
запишем с учетом представления перемещений в форме D.114) и
D.115). Тогда после интегрирования по угловой координате р будем
иметь
д
{р} dS\ = dn \ б {Х„}т {Nn} A da, D.123)
где {Nn} = В [F]T {/?„}; {pn} представляют симметричные {рп}
или кососимметричные {/?„} составляющие разложения поверхностной
со сю
нагрузки в тригонометрические ряды {/?}= UlPn]{pn} -f Ц(Рп]{рп}-
п=0 п=0
Работу сил реакций на торцовых перемещениях преобразуем
также с учетом разложения в тригонометрические ряды:
(/=1,2), D.124)
где верхние индексы / = 1 и i = 2 соответствуют начальному и
конечному торцовым сечениям.
Отдельного рассмотрения требует последний интеграл в уравне-
уравнении D.120), учитывающий дополнительное дифференциальное усло-
условие связи между компонентами вектора обобщенных перемещений
{X} и их первыми производными {Y}. Разложив в тригонометриче-
тригонометрические ряды по угловой координате Р аналогично D.113) множители
Лагранжа {fx}, выполним интегрирование по f$:
\S 'n
=dn I D- -жб <х"> - ici]б ^х"> - ic»iб {r"> )T <*»>л da- D-l25)
о
о
где {Хп} = 5 {ц„}.
Далее в выражении D.125) путем интегрирования по частям изба-
избавимся от дифференциальных операторов -з—, стоящих при ва-
вариациях б {Х„}, и получим
[С2]т {Л„}) Л dfct + rfn6 {Х2„Г [к*п\ - dn6 (Х!,}т (Я'}• D.126)
153
Таким образом, после выполненных преобразований D.121),
D.123), D.124), D.126) исходную вариационную формулировку
условия равновесия D.120) можно представить следующим обра-
образом:
д
j ( ( {Хп} + [Su] {Yn} - [CJT {Xn} -
- [C2]7{bn}))Ada- 8 fX' )T(('n) + (^)) - б (Х2„}т({'«) - {Я2я}) = 0.
D.127)
Структура уравнения D.127) справедлива как для симметричных,
так и для кососимметричных составляющих.
В силу произвольности вариаций б {Х„}, б {Yn}, б {Хп}, б {Х?}
получим, что в пределах области элемента должны выполняться
уравнения
[5ц] {*п} + [512] {Yn} - {Nn} -\~ <*"> - fCl'T <Я"> = 0; D-128)
[Sail {Хп} + [S22] {Yn} - [С2]т {Х„} = 0, D.129)
а на торцах оболочки силовые граничные условия
при а=0 {Щ = -{?„};
при ее-A {XS} = {^}. DЛ<3 ^
В случае задания геометрических граничных условий будем
иметь б {Хп} = 0, б {Х^} = 0, то соответствует: при а = 0 {Х„} =
= \хЪп\; при а = Л{Х2} = [Х\п) {[Х\п), [Xln\ — гармоники
разложения заданных обобщенных торцевых перемещений).
Полученные уравнения D.128), D.129) и условие связи D.112)
записанное для n-й гармоники разложения:
^>[С]^}[С]{Г} = 0, D.131)
позволяют получить искомую каноническую систему. Для этого,
воспользовавшись алгебраическим уравнением D.129), определим
{Yn} = [SM]-» ([С2]т Я} - [Sal {Xn}) D.132)
и исключим его из уравнений D.131), D.128). После этого получим
Хп\ \[Ап] [Л1аП (Хп) , { 0
_ D.133)
где
[Агг] = [Ь] [С21Т; [Л21] = [Sn]—[d\ [S21I; [Л22] = — [Ли]т;
[b] = [С21 [SM1-'; [dl = [S21]T [Sal • D.134)
154
Отметим, что для кососимметричных составляющих решений
матрица канонической системы остается такой же, как и для симме-
симметричных составляющих.
Полученная система дифференциальных уравнений D.133) сфор-
сформулирована для обобщенных перемещений {Хп} и обобщенных
силовых факторов \кп}, соответствующих я-й гармонике разложения.
Проследим этапы получения разрешающей системы. Во-первых,
необходимо выбрать компоненты векторов обобщенных перемеще-
перемещений {X} D.110) и векторов производных {Y} D. 111), которые опре-
определяются моделью деформирования оболочки, и установить между
ними дифференциальную связь D.112). Далее с использованием
связи деформаций с перемещениями получить матрицы [Lln], [L2n]
D.119) и с учетом соотношений упругости подсчитать матрицы [5,/]
D.122). Для получения блоков матрицы разрешающей системы
необходимо выполнить матричные операции D.134). Указанная
последовательность получения матриц разрешающей системы легко
программируется (см. приложение 2).
Покажем, как с использованием системы D.133) можно полу-
получить матрицу жесткости элемента \Кп 1 и вектор приведенных узло-
узловых сил {Рп}. Для этого с помощью методов численного интегрирова-
интегрирования получим на участке кольцевого элемента частотное и фунда-
фундаментальные решения и представим компоненты кинематических и
силовых факторов в конечном и начальном сечениях (см. § 3.6)
в виде связи
Xl\ Г[со„]
xl J llm] [codJ I*' J ! (Гастн У *DЛ35)
где [<»(/] (/, / = 1, 2) — блоки матрицы фундаментальных решений
для а — Д; векторы {Хчастн}, {Хчастн} определяются частным
решением при а = Д. Установленная матричная связь D.135) и
определение реакций с помощью внутренних силовых факторов
D.130) позволяют получить выражения для матрицы жесткости
элемента и вектора приведенных узловых сил:
{*п) = 1Кп)Ш-{Рп}, D.136)
где
[К12] = -
[Р\\ = [Кп] {Хчастн}; [Pl\ = - (Хчастн} + [со22] \Р\\.
Полученная с помощью численного интегрирования канониче-
канонической системы D.133) матрица жесткости элемента (МДЭ) не связана
155
с аппроксимацией полей перемещений и является точной в отличие
от МЖЭ, полученной в предыдущем параграфе. В этом случае можно
утверждать, что уравнения равновесия внутри элемента выпол-
выполняются строго и соответствующие поля перемещений элемента со-
содержат необходимые перемещения жесткого тела.
Дальнейшее решение включает следующие процедуры. В резуль-
результате стыковки отдельных элементов и присоединения граничных
условий формируется система линейных алгебраических уравнений
относительно узловых обобщенных перемещений. После ее решения
по известным узловым обобщенным перемещениям определяются
реакции элемента [см. D.136)] и узловые внутренние силовые
факторы [см. D.130)]. С помощью выражения D.132) определяется
вектор производных {Yn} в узловом сечении, после чего с исполь-
использованием D.119) вычисляются деформации и изменения кривизн.
Рассмотрим получение вариационно-матричным способом кано-
канонической системы дифференциальных уравнений для решения задач
устойчивости и колебаний. При получении разрешающих уравнений
будем считать, что в исходном невозмущенном состоянии оболочка
напряжена, но не деформирована. Исходное напряженное состояние
определяется решением- задачи статики в линейной постановке.
При составлении уравнений движения в окрестности исходного
состояния будем учитывать начальное напряженное состояние.
В деформационных соотношениях кроме линейных составляющих
будем учитывать нелинейные слагаемые, связанные с дополнитель-
дополнительными углами поворота нормалей. При решении задач рассмотрим
только осесимметричное начальное напряженное состояние. Будем
считать, что действующие на конструкцию внешние нагрузки при
движении системы не изменяются ни по величине, ни по направле-
направлению. В целом систему, включая внешние нагрузки и условия связи,
будем считать консервативной. Исследование движения системы
относительно начального состояния проведем без учета демпфиру-
демпфирующих свойств.
Выберем в качестве дополнительных обобщенных перемещений
{Х#} компоненты, аналогичные тем, которые брали при решении
задачи статики D.110), т. е. {Х#} = {и*, v*, со*, #'}. Вектор про-
производных от дополнительных обобщенных перемещений представим
аналогично D.111):
tir \ 13 / » ...
Дифференциальная связь между векторами {Х*} и {У*} также
сохраняет прежний вид:
Рассмотрим гармоническое движение кольцевого оболочечного
элемента относительно исходного состояния. С учетом принципа
Даламбера запишем вариационную формулировку задачи, присоеди-
присоединив к ней в качестве дополнительных условий дифференциальную
связь D.137) для возможных перемещений:
(б К)т {*.} + Аб {в..}* {а0} - со^рб {?/.}т {Uf)) dV_
Vе
2Я 2Л
— J б {XiJT {*>.} dp - | б {Х2.}т {/2} dp
-f
где А — параметр нагружения; со — круговая частота колебаний;
{и*} — вектор множителей Лагранжа.
Поскольку выражение для связи дополнительных деформаций
с дополнительными перемещениями остается таким же, как и при
решении задачи статики, то отдельного рассмотрения в уравнении
D.138) требуют лишь второе и третье слагаемые. Второе слагаемое
характеризует начальное напряженное состояние. После интегри-
интегрирования но толщине это слагаемое в развернутом виде можно пред-
представить следующим образом:
Д 2я
} б {et У {сто} dV = J } (б*Г#1*Г? 4- б$2#2 71) АВ dp da, D.139)
V* '0 0
где 71?, Т° — начальные погонные меридиональные и окружные
усилия. С учетом представления дополнительных углов поворота
нормали в форме, аналогичной D.116), D.117), после интегрирования
по угловой координате р для выражения D.139) получим
Ы dV\ - dn j б {Хм}т [Я„]Т [Г] [Я„] {*„
где [Т] = [~~Т°, T2_J — диагональная матрица, содержащая началь-
начальные погонные усилия.
Для третьего слагаемого в уравнении D.138), характеризующего
инерционность системы, воспользуемся представлением дополни-
дополнительных перемещений в форме, аналогичной D.114), D.115); тогда
после интегрирования по толщине и по угловой координате р получим
[ \ рб {Uty {UJ dV) =dn\P8 {Х„\? [F)T [F] {X,n} AB da,
\V In 0
где P = J p dz.
157
Окончательный вид вариационной формулировки D.138) для
n-й гармоники разложения можно представить следующим образом:
д
J (б {Х.пу ([Sf,] {Х.п} + [512] {Y,n} - [С,]т {Х.и} - 4" Т5Г <Х
о
+ б {Г,„}т tt«d {**«} + [S22] {Пя} - [С2]т {**„})) Ada-
- б {xUT ({*!„} -;- |>.У) - б {X?,,} ({и,] - {X?,,}) = 0, D.140)
где
[Sf,] = Л([/.,„]* [D] [Z.,,,] + A [Rnf [T\ [R,,] - со2Р [ff [/?]); D.141)
[Sgl] = [Slg]T = fi [L^F [D] [Lln]; |S22] = fi [L, ,]T [D] [L2n];
{^„} = В {ц„}.
Выражение D.140) справедливо как для симметричных, так и
для кососимметричных составляющих решения.
В силу произвольности вариаций б {Х^п}, б {К*,,} следует по-
потребовать, чтобы в области элемента выполнялись уравнения
[S«] {Х,„} + [522] {Г,„} - [C2jT {X,n} = 0. D.142)
Уравнения D.142) совместно с условием связи D.137), записанным
для я-й гармоники разложения:
позволяют получить искомую каноническую систему дифференциаль-
дифференциальных уравнений для решения задач устойчивости и колебаний:
T da \\fn } [[Aid [А„] JU,n
где
ЮН - [Ь] [Su]; [Л12]«[ft] [C2]T;
[5Г,] - [d]
Отличие матрицы канонической системы D.143) от матрицы раз-
разрешающей системы дифференциальных уравнений для решения
задачи статики D.133) заключается в вычислении для блока MliJ
матрицы [Su ] [см. D.141)], в которую входит искомый параметр Л
(параметр нагружения) для решения задачи устойчивости или со2
(квадрат угловой частоты) для решения задачи колебаний. Система
дифференциальных уравнений D.143) позволяет для тонкой много-
многослойной оболочки вращения решать задачи устойчивости и опреде-
определять критический параметр нагружения. При этом в выражении
iSfi ] D.141) следует положить со2 = 0. Для определения частот ко-
154
лебаний оболочки вычисление матрицы lS*i 1 1см. D.141I выпол-
выполняется при Л = const. В частном случае при А = 0 определяются
частоты ненагруженной системы.
Поскольку искомый параметр собственного значения Л (или со2)
входит в коэффициенты матрицы разрешающих дифференциальных
уравнений, то коэффициенты матрицы фундаментальных решений
[см. D.135I, а следовательно, и коэффициенты матрицы жесткости
[см. D.136I будут иметь нелинейную зависимость от Л (или со2).
В случае разбивки оболочки на короткие элементы для каждого
элемента можно применить прием линеаризации матрицы жесткости
по параметру собственного значения (см. § 3.6)- и выделить для
элемента матрицу, аналогичную матрице приведенных начальных
напряжений (или матрице приведенных масс). В случае необходимо-
необходимости стыковки отдельных элементов в глобальной системе координат
преобразования матриц и векторов выполняются в соответствии
с зависимостями D.103), D.109), которые были приведены в преды-
предыдущем параграфе.
§ 4.5. Условия сопряжения
с кольцевыми подкрепляющими элементами
В многослойных оболочечных конструкциях при стыковке отдель-
отдельных элементов, а также в ряде случаев для создания дополнитель-
дополнительной жесткости применяются подкрепляющие силовые элементы.
Ниже приводится описание деформирования и условия сопряжения
с оболочками вращения кольцевых подкрепляющих элементов
(шпангоутов).
Рассмотрим замкнутое круговое кольцо. Введем для него мест-
местную систему координат а, р*, г, центр которой поместим в центре
тяжести сечения кольца. Ось а направим вдоль оси оболочки, ось
Р — в окружном направлении, ось г — перпендикулярно к ней в сто-
сторону внешней нормали (рис. 4.13). При выводе основных соотноше-
соотношений воспользуемся гипотезой плоских сече-
сечений, согласно которой пренебрегается дефор-
деформациями в плоскости поперечного сечения
кольца и депланациями сечений. В этом слу-
случае распределение радиальных, касательных
и осевых перемещений \, v и ? но сечению
кольца можно представить в следующем виде:
i> = i? + о&а + 205; D.144)
? = ?420;,
где \r, vr, t,r — соответственно радиальное,
касательное и осевое перемещения центра тя-
тяжести сечения кольца, направления которых
совпадают с направлениями координатных
Рис. 4.13.
159
осей г, р, а; ¦&[—угол поворота кольца вокруг центра тяжести се-
сечения (угол закручивания); Щ, §? — углы поворота сечений кольца
вокруг осей a, z соответственно. (Здесь и в дальнейшем индекс г
будет указывать на принадлежность к кольцу). Согласно кинема-
кинематическим гипотезам углы поворота
Окружную деформацию кольцевой линии с координатами a, z
запишем через перемещения и углы поворота линии центров тяжести
сечений:
e2 = e2 + zx\ + ахз + — ^у* + — 1*У> D.146)
где е2 = -я--ЩГ + -я~
— окружная линейная деформация линии центров тяжести сечений.
Изменения кривизн в плоскости кольца и из плоскости кольца н[,
х? определяются следующими выражениями:
1 d% I d% f>[
И» ~ R df, ' K*~ R df, ~ R -
Нелинейную составляющую окружной деформации будем опре-
определять лишь квадратами углов поворота нормали [подчеркнутые
слагаемые в выражении D.146)].
Будем считать, что деформации сдвига в плоскости сечения
кольца, связанные с кручением, распределены в сечении по следу-
следующему закону:
Y' = Ь(а, г)х, D.147)
где
— относительный угол закручивания; b — функция кручения, опре-
определяющая закон распределения сдвиговых деформаций и зависящая
от формы сечения.
При выводе основных соотношений воспользуемся матричной
символикой. Введем в рассмотрение вектор обобщенных перемещений
кольца. В качестве компонент этого вектора примем радиальное,
касательное и осевое смещения линии центров тяжести сечений,
а также угол закручивания;
{Х)г - {V, vr, ?', flj>. D.149)
В силу периодичности решения разложим компоненты вектора
{Х}г в тригонометрические ряды по угловой координате р:
Р {Ь м {„}
п=0 /(=0
где, как и прежде, компонентами векторов {Хп}г, {Х„}г являются
160
Коэффициенты матриц [рл.„], [рлп] были определены ранее для
выражений D.113).
С использованием матричной символики распределение переме-
перемещений в сечении кольца D.144) с учетом разложения решений в три-
тригонометрические ряды по координате Р представим в следующем
виде:
где
Здесь
п=0
D.150)
[Фп\г =
1
о
0 —а
zh I -f z/R сел 0
0
0
1
n = n/R.
Углы поворота Щ, % D.145) будут связаны с компонентами век-
вектора обобщенных перемещений следующими зависимостями:
'1=0
»».]
D.151)
где
5, sin /ф |; [P^i]r = Pr—cos/ф, —cosnp |;
—n 1/K 0 0 1
0 0 —л 0 J •
Для линейных составляющих деформаций кольца [см. D.146)—
D.148)] связь с обобщенными перемещениями с учетом разложения
в тригонометрические ряды по угловой координате р в матричной
форме запишется в виде
где
2 [Рел1г{Я}г+Е \
л=0 и=0
{Еп)г = Цп]г{Хп)г,
D.152)
]r = rcoSrtP, sinrcpj, |Pen]r=Fsinrtp, —
h\-znlR сел2 — alR
0
l"RV*
-о/К]
После того как полностью установлена кинематика деформирова-
деформирования кольцевого подкрепления, приступим к формулировке условий
сопряжения. Для простоты вначале рассмотрим стыковку одного обо-
Ь Алфутов Н. А. и др.
161
Рис. 4.14.
Рис. 4.15.
лочечного элемента со шпангоутом. На рис. 4.14 изображен узел
стыковки. Принадлежность к оболочечному элементу будем отме-
отмечать нижним индексом s; для кольцевого элемента (шпангоута)
оставим индекс /\ Номера сечений оболочечного элемента отметим
индексами г, /.
Геометрические условия сопряжения свидетельствуют о том, что
для окружности сопряжения i (иногда будем называть точкой сопря-
сопряжения) обобщенные перемещения оболочки равны обобщенным
перемещениям шпангоута. Таким образом, для i-й точки сопряжения
{Х% = {Х<}Г, D.153)
где {X'}s — обобщенные перемещения оболочки (в глобальной си-
системе координат [см. D.94)]) для узловой окружности с номером i:
D.154)
кольца,
вы-
вы\Xl}s=\ll, »', г;', *{}s;
{X'}r — соответствующие обобщенные перемещения
численные для узловой линии сопряжения i:
Условия D.153) с учетом разложения в тригонометрические ряды
выглядят следующим образом:
Для i-й точки сечения шпангоута с координатами (a,, z,) (рис. 4.15)
соответствующей окружности сопряжения, с использованием D.150)
можно установить, что
{Xn}r = [Qn]{Xn}r, D.155)
где
- 1
ггп
0
_ 0
0
+ Zj/*
0
0
0 ~at~
l atn 0
1 Zi
0 1 _
и записать в окончательном виде геометрические условия сопряже-
сопряжения D.153). Для
fl=0
п=0
162
имеем
\Х'„\, = Ш{Хп}г. D.156)
Как видно из соотноше- /бч^^* {*% It1] V
ний D.156), обобщенные AsSr 's
перемещения оболочки в
узле сопряжения одноз- Рис 4.16.
начно определяются через
обобщенные перемещения шпангоута. Полученная матрица сопряже-
сопряжения [Qln] [см. D.155) ] позволяет по обобщенным перемещениям шпан-
шпангоута формировать нужные векторы обобщенных перемещений
стыкуемой оболочки. В рассматриваемом примере сопряжения
в силу того, что компоненты векторов обобщенных перемещений
оболочки D.154) и шпангоута D.149) имеют схожие компоненты,
матрица [Q'n] отличается от единичной матрицы лишь учетом эксцен-
эксцентриситетов точки сопряжения. Для более сложных моделей деформи-
деформирования оболочек (как, например, трехслойные оболочки с учетом
деформаций поперечного сдвига) размерность и содержание матриц
сопряжения [Q'n] меняются, однако формальная запись геометриче-
геометрических условий сопряжения сохраняется.
Для формулировки силовых условий сопряжения мысленно отде-
отделим шпангоут от оболочки и введем, как условно показано на рис. 4.16,
обобщенные силы реакций {tl}r, действующие на шпангоут со сто-
стороны оболочки, и обобщенные силы реакций (в глобальной системе
координат) {t'}s, действующие на оболочку со стороны шпангоута.
В этом случае силовые условия сопряжения будут выглядеть так:
П + П = 0. DЛ57)
При решении задач с помощью МКЭ (в варианте метода перемеще-
перемещений) нужно уметь получать с помощью уравнений равновесия выраже-
выражения для обобщенных реакций. Получим эти выражения для кольце-
кольцевого подкрепляющего элемента. Воспользуемся принципом возмож-
возможных перемещений. Для равновесного состояния шпангоута, нагру-
нагруженного внешними погонными нагрузками {р}п совершающими
работу на обобщенных перемещениях {Х}г, и приведенными реак-
реакциями {t'}r, совершающими работу на обобщенных перемещениях
{Х'}п принцип возможных перемещений запишем в виде
2я 2л
J б {E}J{a}rdV - J R6{X}J{p}rd$ - J б {X')J {t'}r dP = O, D.158)
yr 0 0
где Vr — объем кольцевого подкрепления.
Рассмотрим первое слагаемое в условии D.158), характеризующее
работу внутренних сил. Полагая, что материал шпангоута подчи-
подчиняется закону Гука, связь напряжений с деформациями представим
в следующем виде:
{o}r = [G]r{E},, D.159)
6* 163
где
{cr,} = {cr$, т'}; _
{Er) = &, у); l ir [ О
Здесь ?? — модуль на растяжение в окружном направлении; Gr —
модуль сдвига в плоскости поперечного сечения шпангоута. В общем
случае модули ?j, Gr считаются известными функциями аргумен-
аргументов а, г.
С учетом соотношений упругости D.159) и разложения дефор-
деформаций в тригонометрические ряды D.152) последовательно выпол-
выполним интегрирование по координате р и по площади шпангоута Fr,
после чего получим для п-и гармоники разложения
2л
( J б {Е}] {а)г dV\ =\\ ([pF/Ijr б {En)rf [Gl [%,,}r {En)r RdpdF =
\ vr J n pr 0
= dn f б {Enfr [G]r {En)r RdF = d,fi {Xnfr [Kn\r {Xn}r,
где
[Knl = l[Ln]J[G\r[L,]rRdF
Fr
представляет матрицу жесткости шпангоута. В развернутом виде
коэффициенты матрицы жесткости будут определяться следующими
выражениями:
kn k12 k13 ku
[Kn\r =
СИМ
k3i
D.160)
ku = Bo/R + tfDtR
== nB0 + n3Dt + (MR + n
k33
= n2B0R +
« + n3D1!t;
+ n2Dh/R;
== ЯС3 + nD13lR\
== ~naD3 - n*Dh;
Здесь
D, =
C3 = } ?2ra df;
Fr
22 d?; D3 =
D,з = J ?2» dF; Dk = J G'&2 rff.
161
Для изотропного материала шпангоута выражения упрощаются:
где
J1=\z2dF; J3= \a?dF;
Fr Fr pr
Jk — приведенный момент инерции на кручение. Для приближен-
приближенного вычисления Jk иногда пользуются формулой [33 ] Jh *»
*« AJtJa/Wi + J3).
Второе слагаемое в уравнении D.158) определяет работу внеш-
внешних погонных нагрузок. С учетом разложения перемещений и на-
нагрузок в тригонометрические ряды по угловой координате р после
интегрирования получим
j
R8{X}rr{p}dp\ =dn6{Xn}J{Pn}r,
}
где
{p}r={prz, Ре, Ра, шг].
Здесь ргг, рр, рга — соответственно погонные радиальные, окружные
и осевые нагрузки; Tir — погонный момент, выкручивающий шпан-
шпангоут из плоскости; {рп)г — векторы, содержащие симметричные
или кососимметричные составляющие разложения вектора {р}г.
Для последнего слагаемого в условии D.158) после выполнения
интегрирования запишем
) dn6{Xln\J{tln\r, D.161)
где {Xl}r — перемещения i-й узловой окружности сопряжения шпан-
шпангоута с оболочкой. Принимая во внимание, что перемещения [Х„)
однозначно определяются через обобщенные перемещения линии
центров тяжести сечений шпангоута [см. D.155)], выражение D.161)
можно преобразовать к следующему виду:
/2я
В окончательном виде вариационная формулировка условия рав-
равновесия шпангоута D.158) будет выглядеть следующим образом:
dnb {Xn}J ([Kn]r {Xn)r - {Pn)r - [Q^]T \tln)r) = 0.
Откуда в силу произвольности вариаций 6 {Хп}г получим урав-
уравнения равновесия, записанные для п-х гармоник разложения сим-
симметричных и косоеимметричных составляющих:
[Q'nV %}г = [Кп]г {Хп}г - {Рп)г- D.162)
165
В уравнениях равновесия D.162) можно исключить реакции
{t'n}r, приходящие на шпангоут со стороны оболочки. Для этого
предварительно рассмотрим уравнения равновесия оболочечного
элемента s (см. рис. 4.16). Как было показано в §§ 4.3 и 4.4, реакции
оболочечного элемента с узлами i, / можно представить в виде
{^. = [/с«ь№. + [/с*/],{х'я},-{К}5;
D. loo)
{xln}s + [/С//], {х'„\, - {р'п}„
где [Kuh; IKijU [Кah; [/С/, ]s — блоки матрицы жесткости обо-
оболочечного элемента для n-й гармоники разложения. Так как для
узла сопряжения i обобщенные перемещения оболочки {Xln}s опре-
определяются через обобщенные перемещения шпангоута \Х1п\г [см.
D.153) и D.155)]:
{Х1п}$ = Ш{Хп}г, D.164)
то в выражениях для реакций D.163) можно исключить {Xn}s:
\tn}s = iKtt]s[Qln]{xn}r + [Kii]Ax'n}s- [Pi,]*;
Wn\s = [Kuh Ш {Xn}r + [Kn]s {Х'Л - {PUs-
Далее воспользуемся силовыми условиями сопряжения D.157),
согласно которым
{tf,}r = -№}.- D.166)
Тогда уравнения равновесия D.162) с учетом D.166) и D.165)
можно записать следующим образом:
{[К«\г + Шг [Kuh Ш) {Xn}r -f- Шт [Kah {Ws -
= ШТ[Р'п}. + {Рп)г. D-167)
Полученное уравнение D.167) представляет матричную строку
в системе алгебраических уравнений относительно узловых обобщен-
обобщенных перемещений-
Уравнение равновесия шпангоута D.167) можно получить дру-
другим способом, не рассматривая силовые условия сопряжений D.157).
При вариационном способе получения уравнений равновесия до-
достаточно лишь кинематических условий D.164). Рассмотрим целиком
узел конструкции (см. рис. 4.14), включая шпангоут и оболочку.
Согласно принципу возможных перемещений в положении равно-
равновесия для рассматриваемого узла будем иметь следующее условие:
d.,6 {Xnfr(lKn]r {X,,}r - {Pn)r) + dnb ЫТ ([*„], {q,,}s -
-{Pn),-{tnh) = 0, D.168)
где
пи \" nils»
li\ [KjA.
1 "ls IIK»
166
Причем в векторе {tn)s для сил реакций в сечении i для оболй-
чечного элемента следует положить [t'n\^ = 0, так как узел кон-
конструкции рассматривается в сборе. Геометрические условия сопря-
сопряжения D.164), показывающие, что для оболочки в сечении i обоб-
обобщенные перемещения однозначно определяются обобщенными пере-
перемещениями шпангоута, можно рассматривать как дополнительные
кинематические условия для оболочки. В этом случае для элемента
оболочки можно перейти к новым обобщенным перемещениям:
Ы. = [#ШЬ> D.169)
где
r, {X!n}s};
т. е. в сечении i вместо обобщенных перемещений [Xln\s рассматри-
рассматривать обобщенные перемещения шпангоута {Хп}г.
Воспользовавшись новыми обобщенными перемещениями для
граничного оболочечного элемента, условия равновесия D.168)
запишем следующим образом:
+ dnb {q'n} (\K'n]s{q'nh - {P'nh - {Qs) = 0, D.170)
где
[Кп\> = [Н']т1Кп),[Н'У, D.171)
Ws = [Я'Т {Pn}s\ {Qs = [H']T {tn}s = {tn}s.
Представив входящие в D.170) матрицы в блочном виде, работу
внутренних и внешних сил для элемента оболочки запишем следу-
следующим образом:
dnb {Хп}1 ([Kn]r {Xn)r - {Pn}r) + dn F {Xn}Tr ([Q'nf [Kith [Qn] {Xn)r -f
+ [QnV [KU]s {X'nls - [QnY {Ptis) + б \Х1}1 ([K,t], [Qn] {Xn)r +
Отсюда в силу произвольности возможных перемещений б {Хп}г
получим то же самое уравнение равновесия, что и D.167).
Подводя итог, можно сказать, что кинематические условия со-
сопряжения D.164) позволяют для граничного оболочечного элемента
перейти к новым обобщенным перемещениям D.169), в соответствии
с которыми преобразуются матрица жесткости элемента и вектор
приведенных сил. В случае стыковки в шпангоуте нескольких обо-
оболочек преобразования D.171) выполняются для каждого оболочеч-
оболочечного элемента, после чего уравнения равновесия формируются стан-
стандартным способом МКЭ.
Получим условия сопряжения шпангоута и оболочки для реше-
решения задач устойчивости и колебаний. Рассмотрим сопрягаемый
узел конструкции (см. рис. 4.14). Для дополнительных возможных
167
перемещений с учетом работы инерционных сил для смежного рав-
равновесного состояния запишем
J (б {е.}7 {а,)г + Лб {е..}7 {ао}г - ргсо2б {U.}J {U.}r) dV +
(е,}J {a,}s + Лб {e,,}J {ao}s - psco26 {^,}J {?/.}s) dF —
2я
-J 6 {?.}!{/.}, dp = 0, D.172)
о
где pr и ps — плотности материалов шпангоута и оболочки.
Отдельного рассмотрения в условии D.172) требуют второе и
третье слагаемые в первом интеграле. Преобразования остальных
слагаемых особой сложности не представляет. Выражение
2я
J б {е„}гг Ыг dV = } } FOr.2*r.2 + 6Ъ'Ж,ь) oroR dF dp D.173)
yr 0 pr
учитывает начальное напряженное состояние шпангоута (бг0 — на-
начальное окружное напряжение в шпангоуте). После выполнения
интегрирования выражение D.173) преобразуется к виду
/1с/ \Т / \ JI/\ J & f V W f О I ? X/ \
J ° \г**)г {OofrdV = a,fi {А,П}Л [o,i\r {A,,,}r,
\V hi
где
[Sn]r = N0R \Rnfr [Rn]r; No = J or0dF.
У
Здесь No представляет начальную окружную силу в шпангоуте,
матрица [Rn]r была определена ранее для выражения D.151).
С помощью матрицы [5„ ]Г для шпангоута учитывается для п-й
гармоники волнообразования начальное напряженное состояние.
Третье слагаемое в D.172) после выполнения интегрирования
запишется следующим образом:
(| Ргб {U,}J {U,}r dV\ = dn8 {X,nfr [Mn]r {Xtn}r,
где
[Mn]r=R
Fr
— матрица приведенных масс для шпангоута.
Геометрические условия сопряжения шпангоута с оболочкой,
сформулированные для дополнительных перемещений, будут иметь
вид, аналогичный D.164), т. е.
}r. D.174)
168
Принимая во внимание D.174), вектор дополнительных обобщен-
обобщенных перемещений для оболочки преобразуется, как и при решении
задачи статики D.169):
{Ы. = [Н1] [q'.nl, D.175)
где
}s, \xin}s\.
Тогда принцип возможных перемещений, сформулированный для
смежного состояния D.172), можно записать следующим образом:
б {X.n}J AК„]г + Л [Sn]r - со2 [М„]г) {-Х.п}г +
+ б W'n\l (([K'nh + Л [S'n)s - со2 [М'„Ь) {?'.„}, - {/'.«}.) = 0, D.176)
где
[Knh = [я']т [/(„ь [я1]; [s'nl = [я']т [Sni, [я'];
[л*;]5 = [я']т[ли[я']; Ul«}. = [я']т{Mi =(М.- D-177)
Полученные матрицы D.177) представляют преобразованные
согласно связи D.175) матрицы жесткости, начальных напряжений
и масс элемента оболочки. Из условия D.176) получим уравнения
смежного равновесного состояния шпангоута, записанные через
обобщенные перемещения:
([Кп\г -Ь Л [Sn]r - СО2 \Мп]г + [QnV (iKtth + Л [S«J, -
- со2 [Ми],) Ш) {X.n}r -f ШГ ([Knh + Л [S(/l, -
-co2[Afl7]s)(X(.^s = 0. D.178)
Уравнение D.178) используется при формировании общей си-
системы уравнений для дополнительных узловых перемещений при
решении задач устойчивости и колебаний.
Полученные в данном параграфе условия сопряжения шпангоута
и оболочечных элементов сформулированы - в достаточно общей
форме, которая в дальнейшем будет использоваться и для более
сложных моделей деформирования трехслойных оболочек.
§ 4.6. Уточненные модели
ортотропных слоистых пластин и оболочек
В тех случаях, когда относительная толщина слоистой оболочки
(рис. 4.17) значительна и (или) материал некоторых слоев обладает
пониженной жесткостью при поперечном сдвиге, теория оболочек,
построенная на основе гипотез Кирхгофа — Лява, приводит к су-
существенным погрешностям в результатах расчетов. Для расчета
оболочек разработан ряд вариантов уточненных теорий, построенных
на гипотезах, отличных от гипотез Кирхгофа-Лява. При изложении
простейших методов расчета, основанных на уточненных моделях
деформирования слоистых пластин и оболочек, воспользуемся ва-
вариационным принципом Рейсснера [40, 44, 46].
169
Запишем принцип возможных
перемещений в следующем виде:
+6{е}т {a}) dV— J б {V}1 {p} dS = 0,
D.179)
где {а} = {аи а2) а3, т23, т13, т12};
{V} = {уь у2, у3}; {е} = (ei. е2.
3' i 23' 113 > 1121 *
Рис 4.17. 2 выражении D.179) мы приба-
прибавили и вычли слагаемое б {е}т {а},
равное работе внутренних сил на возможных перемещениях. При
этом для уменьшения громоздкости математических выкладок, но без
потери общности рассуждений дополнительно предположим, что
объемные нагрузки {g} отсутствуют, а перемещения на контуре
равны нулю.
Воспользуемся соотношениями:
обобщенного закона Гука, связывающего деформации с напря-
напряжениями:
{e} = [G]{a} D.180)
([G] — матрица коэффициентов податливости) и линейной связью
деформаций с перемещениями
{e} = [Lj{F}, D.181)
где коэффициенты матрицы [L] определяются с использованием
выражений D.45) без учета нелинейных составляющих, т. е.
1 ' Х ' ' ' Ч A—2); е3 = 1»3>8; D.182)
7l2 =
7i3 = "
_J
+ k2z
Используя выражения D.180), преобразуем первые два слагае-
слагаемых в D.179):
б {8}т {а} - б {е}т {а} = б {а}т ([G] {а} - [G] {а}) =
= 6{a}T([G]-'{a}-{e}). D.183)
Принимая во внимание D.183), условие равновесия D.179)
запишем в следующем виде:
J б {a}T ([G]-i {а} - {е}) dV -f f б {е}т {a} dK - f б {F}T {/;} rfs = 0,
V V S
D.184)
где под деформациями {е} принимается их представление через
перемещения D.181),
170
Полученное вариационное уравнение D.184) представляет фор-
формулировку принципа Рейсснера. Независимому варьированию
в D.184) подлежат как напряжения, так и перемещения. В силу
произвольности вариаций Ь {а} и б {V} D.184) распадается на
два условия:
J б «([С] {а} - Щ {V}) dV = 0; D.185)
v
j ([LI 6{F})T {a}dV - j б {V}T {p} dS = 0. D.186)
v s
При точном выполнении закона Гука условие D.185) обращается
в тождество, так как связь напряжений с перемещениями согласно
D.180) и D.181) определяется выражением
{а} = [G] [L] {V}. D.187)
Условие D.186), представляющее запись принципа возможных
перемещений, после интегрирования по частям дает дифференциаль-
дифференциальные уравнения равновесия элемента
Ц,*] {а} = 0, D.188)
где [L* ] — матрица дифференциальных операторов, возникающих
после интегрирования по частям. В развернутом виде уравнения
равновесия D.188) можно представить в виде [6]
ь 8 - a^^2) , = 0. D.189)
Для приближенных аппроксимаций напряжений и перемещений
уравнения D.187) и D.188) могут полностью точно не выполняться,
однако условие D.185) позволяет получить интегральные соотно-
соотношения упругости, которые в дальнейшем могут использоваться
в 'интегральном условии D.186).
Воспользуемся рассмотренным вариационным принципом и при-
применим его к слоистым ортотропным оболочкам. Запишем в разверну-
развернутом виде интегральное (по толщине многослойного пакета) условие
D.185):
h
J s12a2 + s13a3 — ег) -f 6a2 (s^at -j- si2a2 + s23a3 - e2) +
+ s33a3 — e3) -f 6ti3 (s44t23 — y23) -f 6т1з (s55t13 —
+ бт12 («вет» - 7иI ^i^2 dz = 0. D.190)
Здесь /i — толщина оболочки; координатная поверхность (г — 0)
соответствует внутренней поверхности оболочки; коэффициенты
матрицы податливости sit- считаются известными кусочно-постоян-
кусочно-постоянными функциями аргумента г. Считается, что для любого слоя оси
упругой симметрии совпадают с направлениями координатных ли-
171
ний. В поперечном направлении материал предполагается абсолютно
жестким, т. е. для любого слоя
-§?--> оо, if—»-00- <4191)
Рассмотрим аппроксимацию напряжений. Для напряжений ох,
ст2, т12, которые предполагаются основными, введем допущение о раз-
разрывном кусочно-линейном распределении по координате г, подчи-
подчиняющемся зависимости
г {с}), D.192)
где
a2,
2, ds}; [Ga] =
. с3};
gn gn 0
gl2 g22 0
L О О ?Г66
Коэффициенты матрицы [Ga] есть коэффициенты матрицы упру-
упругости, определенные с учетом D.191):
gn= i_Vl2v21 (]^-h gn= i_Vl2v21 ' ?66-G12.
Они считаются известными кусочно-постоянными функциями от г.
Коэффициенты аппроксимации напряжений {d} и {с} подлежат
определению (и, как ожидается, должны соответствовать деформа-
деформациям и изменениям кривизн).
Аппроксимацию для напряжений ст3 рассматривать нет необхо-
необходимости, так как, принимая во внимание условие D.191), коэффи-
коэффициенты податливости s33, s13, s23 обращаются в нуль. Тогда согласно
D.190) получим е3 = 0. Поэтому при записи работы внутренних
сил вклад слагаемого бе3ст3 также будет равен нулю.
С аппроксимацией напряжений поперечного сдвига дело обстоит
несколько сложней. Как указывается в [6]: «анализ достаточно
точных решений задач изгиба толстых плит и оболочек, а также
специальные исследования, посвященные вопросу выбора аппрокси-
аппроксимирующих функций, показывают, что некоторые неизбежные неточ-
неточности, которые допускаются при выборе этих функций, незначи-
незначительно влияют на основные расчетные величины оболочки вдали от
линий искажения. Некоторый произвол при разумном выборе функ-
функций не может внести в уточненную теорию недопустимых погреш-
погрешностей». Вариационный принцип Рейсснера позволяет достаточно
гибко подойти к этому вопросу. Вид аппроксимирующих функций
можно найти, исходя из структуры уравнений равновесия D.189).
Интегрируя первое уравнение по г, получим [6]
т13 = -ЯГ2Яг' J [Я, (Я*!,),, - HiH2, ,а2 + (Я?т,2). J А + ф,| A^2),
172
Где фх (ах, а2) — произвольная функция аргументов аг, а2. С уче-
учетом D.192) напряжения поперечного сдвига представим в следующем
виде:
{2
j [tfi#2 (ft Л, i + gi2d2, i + 2ft iCi, i + Zgi2C2, i) +
0
I, 2 -f" гёб6сЗ, 2) -\~ 2/lii/l, 2
) + (En — ?22) Ds + zc2))] dz -f ф,
D.193)
Считая, что поверхности оболочки z = 0 и 2 = А свободны от
касательных нагрузок, и ориентируясь на подчеркнутые слагаемые
в D.193), которые характеризуют градиенты от моментов, аппрокси-
аппроксимируем напряжения поперечного сдвига в виде
{Т(г)} = [/] {т}, D.194)
где
{T(z)} = {Т13, Тгз}; {Т} ~ {ТЬ Т2> Т3> Т4. Т5, Тб}",
/п /« ы ооо
о о о /24 /25 /26
Коэффициенты аппроксимации {т} подлежат определению. Для
функций распределения касательных напряжений поперечного сдвига
примем следующие выражения:
Z 2
/п = 6Г26г J 6162 (г — hi) ft! dz, fl2 = 8\ 62' J 6162 B — A2) ft2 dz,
[/) = [
0
г
/13 = 6Г2бг' I 6?(г — A3)gmdz, f2i = 8\%2 j 8i8o(z ~h4)gi2dz, D.195)
о о
г г
-1 -2 f -1 -2 f 2
/25 = 61 62 J 6162 (г — As) g22 dz, /26 = 01 62 J 62 (г — A6) g66 dz,
о и
где 6j = 1 + M A =«* 2).
Константы ht для приведенных выражений выбираются из усло-
условия равенства нулю соответствующей функции fki при г = А. Ана-
Аналогичная аппроксимация D.195) применялась Рейсснером [44] для
слоистых анизотропных пластин симметричного строения. В этом
случае бх = б2 = 1, Аг = А/2.
При более простой аппроксимации можно сократить число не-
неизвестных и для E.194) положить
{т} = {т,, т2}; [/] = ГЛ. hJ;
1г A^2). D.196)
173
Для пологих многослойных ортотропных оболочек (&х — 62 = 1)
аппроксимация, аналогичная D.196) использовалась в работе 147]
для формулировки статической гипотезы. Для случая изотропного
материала пластин распределение напряжений сдвига D.196) опре-
определяется квадратичной параболой.
Распределение перемещений при использовании вариационного
принципа D.184) не связано с распределением напряжений и выби-
выбирается независимо от него. Приближенные выражения для пере-
перемещений будем искать в наиболее простом виде:
vl = u1 + z$l A^2); v3 = u3, D.197)
где ult u2, us, о^!, oj).2 — функции, подлежащие определению.
Воспользовавшись зависимостями D.182), получим соответству-
соответствующие выражения для деформации, которые представим в векторной
форме:
{<<*)> = Ы +* {к}; D.198)
где
{<?(*>} = {еь ?2,
{eo} = {«i, e2, ei2}; {y0} = {е13,
{к} = {х1> х2, кп}\ {%} = {%13, Х23}.
Компоненты указанных выше векторов связаны с перемещениями
ии и2, и3 и углами поворота Hplt ty2 следующими зависимостями:
* A^2;) е12 = coj -f- w2;
A ^ 2);
i A-2); D.200)
^ + ^«~*A (!
«12 = 4 +
В большинстве расчетов коэффициентами вектора {х} пренебре-
пренебрегают и считают постоянным распределение деформаций поперечного
сдвига по толщине.
После того как установлены приближенные аппроксимации
напряжений D.192) и D.194), перемещений D.197) и соответству-
соответствующих этим перемещениям деформаций D.198) и D.199), приступим
к получению интегральных соотношений вариационного принципа
D.184). Сначала получим интегральные соотношения упругости.
Для этого в силу независимого варьирования напряжений восполь-
воспользуемся первой частью вариационного условия D.184) и потребуем,
174
чтобы оно выполнялось интегрально по толщине многослойной
оболочки:
h h
J6{a}T([Gr' {a}- {e}N,62dz=JF{a(l)}T([Ger1 {щг)} - {г(г)}) +
о о
+ 4^,)}T(lGxrl{T{z)}-{yw}))8l82dz = 0, D.201)
где
{ог(г)} = {<Ti, a2, т12},
lGt]=
{т(г)} = {т13) т23};
В общем случае модули поперечного сдвига G13, G23 считаются
известными кусочно-постоянными функциями аргумента г. С учетом
выражений для напряжений D.192), D.194) и деформаций D.198),
D.199) условие D.201) преобразуем к следующему виду:
в {df ([?>«] <d> + [Dw] {с} - [D№] {e0} - [Dex] {и}) +
+ б {с}т ([D?X1T {d} -f [DKK] {с} - [D?K]T {e0} - [DKX| {x}) +
+ б {т}т ([W\ {х} - [У0]т Ы - [^]Т {X» = 0,
где
[D№] = j [Ga] 6,6, dz; [Dm] = j z [Ga] 6A dz;
о о
ft ft
= J г2 [Ga] ^2 dz; 1^1 - j [/]T [GxF1 If] 6Л Л;
r6!62rf2. D.202)
j j
о о
/г ft
Отсюда в силу произвольности вариаций б {d}, б {с}, б {т}
получим
{d} = {е0}; {с} = {х}; D 2(K)
М - [ Wr1 [V0]T {vo} f [WT1 [l/J1 {у.}.
Далее воспользуемся второй частью вариационного условия
D.184), которую преобразуем с учетом конкретного представления
деформаций D.198), D.199) и напряжений D.192), D.194):
v
ft
= j J (б Ы + гб {x})T[Ga) (\d\ + z {с}) 6А dz +
s \o
ft
JF{Yo} r?6{X})T[/i{T}6162^-6{K}T{/7})dS-0. D.204)
175
С помощью полученных соотношений D.203) и D.204) нетрудно
получить окончательную вариационную формулировку задачи:
J F {?}т [D] {?} - 6 {V}1 {р}) dS = 0, D.205)
1 Дс \Е*) — ll'-'O/» t^/' XfO/» \Л// — \"\* ^2)^12i ^1» ^2>Л12> ^хз» ^23»
Хм. Хгз}> а матрица [D ] определяет интегральные соотношения уп-
упругости:
0 0
° ° D.206)
\иуу\ \_иух\
СИМ.
В условии равновесия D.205) под компонентами обобщенных
деформаций {?} следует понимать их представления через пере-
перемещения [см. D.200I. Интегрирование D.205) по частям приводит
к разрешающим уравнениям равновесия в перемещениях, а также
определяет компоненты кинематических и силовых условий.
Получим каноническую систему дифференциальных уравнений
для решения линейных задач статики слоистых ортотропных обо-
оболочек вращения с использованием данной модели деформирования.
При этом, как и прежде, воспользуемся вариационно-матричным
способом и обозначениями D.58) для оболочек вращения. После
анализа выражений для деформаций и изменений кривизн D.200)
в качестве компонент вектора обобщенных перемещений примем
{X} = {и, v, w, fc, ^2}. D.207)
Для вектора производных {К} будем иметь следующие состав-
составляющие:
Дифференциальная связь векторов {X} и {V} очевидна:
l 0. D.208)
В отличие от более общего вида связи [см. D.112)!, в этом слу-
случае матрица [С{] является нулевой, а [Сг] — единичной.
Воспользуемся для оболочек вращения разложением решений
в тригонометрические ряды по угловой координате р. Получим
соотношения для п-х гармоник разложения составляющих решения.
При использовании выражений D.200) и при учете того, что для
оболочек вращения dA/dfi = 0, связь обобщенных деформаций {?}
с перемещениями можно записать в следующей форме:
{En} = [Lln][Xn}~\ [L2n]{Yn}, D.209)
'76
где компоненты вектора {Еп} представляют амплитудные значения
гармоник разложения {?}, а матрицы [Lln], \L2n] представляют
собой следующие
таблицы
~ 0
— Я
0
0
*?
0
f^-2/t] =
1
0
0
-k
0
0
0
0
0
0
0
я
— 1
0
~k2
#1
0
— k
0
1
я
2
0
0
1
0
0
~k2
0
0
0
0
кг
h
0
-А?
_А|
0
0
— й
0
Кя
0
0
0
0
0
0
1
0
-kx
0
0
0
0
0
ч>
— я
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
-
0~
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
я
0
1
0
~k,_
dB
Учитывая связь деформаций с перемещениями D.209), с помощью
вариационной формулировки задачи D.205) легко получить разре-
разрешающие уравнения. Для того чтобы считать компоненты векто-
векторов {X} и {Y} независимыми, дополним D.205) условиями
связи D.208):
Л 2л
о о
где {ц} — вектор множителей Лагранжа. Выполнив операции интег-
интегрирования по угловой координате E и избавившись путем интегри-
177
рования по частям от производных при б {X}, с учетом D.209)
получим следующие уравнения Эйлера:
[Sn] {Хп} + [Si,] {Yn} - {Nn} --L.JL(kn} = 0;
[Sal {Х„} + [S,2] {Yn} - {K\ = 0, D.210)
где {К} = В {цп}; [Su] = В [Lin]^ [D] [L,n] (i, / = 1, 2).
При действии только нормальной нагрузки р3 для вектора {Nn}
будем иметь компоненты {Nn} — {0, 0, BpJn, 0, 0}.
Уравнения Эйлера D.210) и условие дифференциальной связи
D.208) позволяют получить искомую каноническую систему
j_ j_ (Xn) _ [\Ап] [А12]
А ~3^\К\~[[АЛ] [ЛМ]Л).„| > [-.
где
[А21] = [Sn] ~ [S21]T [Si2rl [Sal; [Л22] = - [An]J.
Полученная система сформулирована для я-х гармоник разло-
разложения компонент обобщенных перемещений {X} D.207) и соответ-
соответствующих обобщенных (по Кирхгофу) силовых факторов. Система
имеет десятый порядок. Но торцах оболочки геометрические условия
задаются компонентами вектора {Хп}, силовые — компонентами
вектора {Кп}.
Наиболее трудоемким этапом в подготовительных процедурах
решения задачи является определение интегральных жесткостных
характеристик D.206) и в первую очередь блока [DT{], поскольку
исходные аппроксимирующие функции имеют достаточно сложный
вид D.195) или D.196). При расчетах на ЭВМ необходимое интегри-
интегрирование можно выполнить численно.
Если слои обладают примерно одинаковыми упругими харак-
характеристиками, то можно воспользоваться следующими упрощенными
аппроксимациями:
Г/W 0
. 0 /(г
где
т. е. представить распределение напряжений поперечного сдвига
по толщине оболочки в виде квадратичной параболы. Вычисленные
значения т^ тг дадут приближенные величины максимальных на-
напряжений сдвига на срединной поверхности. С использованием
указанных допущений в работе [33] приведены в развернутом виде
канонические системы для решения геометрически нелинейных осе-
симметрнчных задач статики, а также линейных задач колебаний
и устойчивости оболочек вращения. Для таких оболочек с постояц-
178
ными по толщине Модулями поперечного Сдвига согласно D.202)
получим
t, = 4-G«V« (t=l, 2),
а матрица приведенных жесткостеи на поперечный сдвиг [см. D.206) ]
имеет следующий вид:
"G13 0
0 G23
Наиболее простой из всех гипотез об изменении сдвиговых на-
напряжений является гипотеза, предполагающая "постоянство каса-
касательных напряжений по толщине оболочки, т. е. для аппроксима-
аппроксимации D.211):
/(z)-l. D.212)
Согласно D.193) такая гипотеза вполне имеет право на суще-
существование, например, для пластин, у которых модули упругости
материала Elt E2, G12 существенно меньше, чем модули поперечного
сдвига G13, G23, и широко используется для описания деформиро-
деформирования заполнителя в трехслойных конструкциях. Если модули
поперечного сдвига переменны по толщине, то согласно принципу
Рейсснера для аппроксимаций D.212) с учетом гипотезы прямых
нормалей D.197) получим
о
Отсюда
h
о
или в развернутом виде
\rj~[ 0 G2C3PJb23j
где осредненные модули сдвига G;3P определяются из выражения
h
1 \ С dz
0
Для случая однородного материала, естественно, получаем G^3 =
Все представленные выше аппроксимирующие функции в "силу
непрерывности по г обеспечивают сопряжение отдельных слоев
по напряжениям сдвига, а функции распределения перемещений
D.)97) — геометрические условия стыковки отдельных слоев. Поря-
Порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений не зависит
от числа слоев оболочки, а также от числа коэффициентов, аппрок-
аппроксимирующих напряжения.
179
§ 4.7. Силовые граничные условия
Пусть на боковой грани оболочки вращения а = const действуют
напряжения orv tJ2 т?3, которые представляют известные функции
аргументов р, г (рис. 4.18). Поскольку гипотезы как уточненной
теории, так и классической приводят задачу трехмерной теории
упругости к двумерной, то в каждой точке боковой грани удовлет-
удовлетворить заданным напряжениям невозможно. Определим, каким
интегральным силовым факторам можно удовлетворить при исполь-
использовании кинематических допущений указанных теорий. Для этого
запишем работу, совершаемую внешними напряжениями на воз-
возможных перемещениях, и сгруппируем силовые факторы при неза-
независимых переменных.
Для уто.чненной теории в качестве обобщенных перемещений
используются и, v, w, г|?г, i|J. В этом случае распределение переме-
перемещений на боковой грани оболочки а = const определяется как
Щг) = и + zips, y(z) = v -f zi|>2; ww=w. D.214)
С учетом D.214) работу внешних напряжений на возможных
перемещениях можно представить следующим образом:
где
= j FuT\ -f 6vT[2 -f 8wQ[ -f Щ-iMl -f б\|-2Л1[2
*
h h
M\ = J a[zb2 dz; M\2= \ vb zb2 dz, F2 = 1 + k2z) D.215)
о о
соответственно погонные усилия и моменты, возникающие от дей-
действия внешних напряжений; |30, |3,( —
координаты, определяющие границы
боковой грани.
При получении канонических систем
дифференциальных уравнений для ре-
решения задач статики оболочек вращения
в качестве обобщенных перемещений {X}
были приняты и, v, w, 4-1, г)-2. Соответ-
Соответствующие им внутренние силовые фак-
факторы обозначались {А,}. Если на торце
Рис. 4.18.
180
оболочки заданы силовые граничные условия, то с помощью компо-
компонент вектора {Ц они будут выглядеть следующим образом:
. D.216)
При решании задач с помощью гипотез Кирхгофа—Лява рас-
распределение перемещений задается в виде и(г, = и + z&t, и(г) =
= v + г&2, W{z) = w.
Тогда работа внешних напряжений
6ЛГ = j (биП + &Т\2 + 8wQ\ -\- WiMl + ЩМ\2)Вф, D.217)
где погонные силовые факторы вычисляются согласно D.215) без
учета изменения метрики (б2 = 1). Поскольку угол поворота нор-
нормали ¦в'г связан с первой производной по р от нормального пере-
перемещения w, то в выражении D.217) выполним дальнейшее преоб-
"разование, связанное с интегрированием по частям последнего
слагаемого:
Ъ2М\2В tfp = j (- -i-
J (б^4-ЖМ'2+би^М'2) Bdfi-[Mria8w]l*. D.218)
Р
С учетом D.218) работу внешних торцевых напряжений можно
записать в окончательном виде
h
4"
\ [8иП + 8v (T[2
+ 601 Mi]Вф-
Таким образом, при произвольном распределении напряже-.
ний а[, т[2, т[3 на боковой грани оболочки при использовании ги-
гипотез Кирхгофа—Лява можно удовлетворить силовым условиям:
по нормальной силе
h
T\ = \o\dz;
о
по обобщенной сдвигающей силе
h
ГТ2 — A2Af Гг = J т[2 A + k2z)dz;
о
181
по обобщенной перерезывающей силе
h
1 д . .г Г / г , 1 д
м \ ^
h
о
по изгибающему моменту
М\ = \o\zdz.
о
В случае, если точки (а = const, р) и (а = const, р\) являются
угловыми, то в них со стороны грани а = const действуют сосредо-
сосредоточенные силы ±-М\„. Эти точки являются особыми.
Для оболочек вращения, при расчете которых принимаются
гипотезы Кирхгофа—Лява, в качестве обобщенных перемещений {X}
используются и, v, w, Oj. С помощью обобщенных силовых фак-
факторов {к} на торце оболочки могут быть заданы следующие сило-
силовые условия:
D.219)
При решении неосесимметричных задач условия D.219) и D.216)
формируются для амплитудных значений гармоник разложения.
§ 4.8. Решение осесимметричных нелинейных задач
В ряде случаев при эксплуатации тонкостенных конструкций из
композиционных материалов (КМ) возможны большие перемещения,
которые требуют учета в расчетах геометрической нелинейности.
Также возможны структурные изменения отдельных слоев, связан-
связанные с трещинообразованием от сдвиговых напряжений и напряжений
поперек армирования. Как указывалось ранее в гл. 2, проведение
многочисленных испытаний образцов и опыт эксплуатации много-
многослойных конструкций из КМ показывают, что исчерпание несущей
способности рационально спроектированных конструкций наступает
гораздо позже первых этапов структурного изменения. Образова-
Образование первых трещин в многослойном композите приводит к пере-
перераспределению напряжений в слоях и обусловливает его физическую
нелинейность. По этой причине уточненные поверочные расчеты
следует проводить с учетом более детального рассмотрения внутрен-
внутренних механизмов деформирования.
Рассмотрим тонкую многослойную оболочку вращения, выпол-
выполненную из КМ, при действии осесимметричных нагрузок. Получим
основные исходные матрицы для решения методом конечных эле-
элементов физически и геометрически нелинейной задачи деформиро-
деформирования такой оболочки. Воспользуемся шаговым методом нагруже-
ния, интегрирование будем проводить по предыдущей равновесной
конфигурации (см. § 3.7).
182
Для описания кинематической модели деформирования восполь-
воспользуемся гипотезами Кирхгофа—Лява. Тогда распределение переме-
перемещений по толщине оболочки будет определяться выражениями:
"(г) = « + Z&U
W(z) — W,
а распределение деформаций
1 2
е, = <>!-)- zxi-f-K-fli;
где
Ж
dB
и, w — касательные и нормальные перемещения координатной по-
поверхности г = 0 конфигурации оболочки в момент времени т. Глав-
Главные кривизны &!, ki и параметры Ламе также считаются опреде-
определенными для предыдущего равновесного состояния.
В пределах отдельного конечного элемента перемещения ниш
будем аппроксимировать линейным и кубическим полиномами:
и = Ci + cw
о» = с3 + с4« + c5a2 + Ara3. D.220)
Переход от неопределенных коэффициентов аппроксимации {С} =
= {сц с2, с3, с4. с5, Св} к обобщенным перемещениям торцов конеч-
конечного элемента {<7} = {и1, ш1, О}, ы2, да2 д2}
логично D.67), т. е.
выполняется ана-
анаD.221)
где
1
-1/Д
0
аХ
ааЧ\
А
ЗЛ°Л?
Д2
0
0
1
0
3
Д2
2
Д3
0
0
0
-А*
4Л°
Д
зл°
Д2
0
1/Д
0
0
AAk*
д
AAkf
Д2
0
0
0
0
3
Д2
2
Д3
0
0
0
0
лд
д
лд
Д2
Здесь используются обозначения § 4.3. Параметр А, характери-
характеризующий длину элемента, определен для конфигурации т.
183
Аппроксимации перемещений D.220) с учетом D.221) позволяют
записать в пределах элемента распределение следующих кинемати-
кинематических характеристик:
перемещений: {U} = [ф] {q},
где {Щ = {u,w}, [ф] = [N] [т|];
угла поворота нормали: {$} = [J] {q},
где {Щ = {®х}; [J] = [N&] [ц];
линейных деформаций и изменений кривизн: {?} = [В] {q},
где {?} = {ех, е2, щ, х2}; [В] = [Вс] [i\].
Матрицы IN], [Nq], [Bc] приводятся ниже.
Матрица перемещений [ЛП:
П а 0 0 0 0 1
[iV] = [o 0 1 а а2 а3]"
Матрица углов поворота [N& 1
[Ni>] = [k1 kxa 0 —¦ 1/Л — 2а/Л —За2/Л].
Матрица линейных деформаций и изменений кривизн [Вс]:
0 1/Л ki kxa kxa2 kxa3
ill il*fv с* Ь a b ct*^ t? n
*|'/Л *;а/Л + k\lA 0 Л'/Л3 2Л'а/Л3—2/Л2 ЗЛ'а2/Л3—ба/Л2
Такие же аппроксимации применяются и для приращений пере-
перечисленных выше величин при т-й итерации вычислительного про-
процесса на интервале нагружения (т, т + Ат).
Полученные выше матрицы [ф], [J], [В] позволяют для эле-
элемента е получить связь приращений реакций {At}em с приращением
обобщенных перемещений {Aq}1n на /я-й итерации. Для этого сле-
следует воспользоваться формулировкой условия равновесия C.90)
и выполнить необходимые интегрирования, аналогичные тем, кото-
которые были подробно рассмотрены в § 4.3. После чего получим
где е — номер элемента,
д
[К'х]' = \[B\T[D'x]\B\ABda, D.223)
о
д
[Sx]e = | [/]т [7\] [/] AB da, D.224)
о
д
{/Trn-i = J [B\r {Q}m_, AB da, D.225)
о
д
{Рт+Дт} = [[ф]т{рт+ДтИ5й!а. D.226)
о
184.
В вычислении матрицы жесткости^ [Кх V D.223) участвует сим-
симметричная матрица Шх], устанавливающая связь приращений по-
погонных усилий и моментов с приращениями линейных деформаций
и изменений кривизн. Эта матрица имеет следующую структуру:
Матричные блоки \Dtj] вычисляются аналогично A.89А):
п zW
([Д,], [Д2], [D22])=2 J lG'x]{k)(l,_z, z2)dz,
гд,е~п — число слоев в многослойной оболочке; г'*', г(*> — коор-
координаты г внутренней и внешней поверхностей &-го слоя, [G'x] —
матрица кэсательных модулей &-го слоя, преобразованная к осям а, р
оболочки [G'x}w = [Г,]<*> [G°T} ([Т1]{к))т.
BX3) BX3)
Здесь матрица" [T?kK необходимая для пересчета жесткостных
"*BХЗ)
характеристик &-го монослоя при переходе от системы координат
слоя к системе координат оболочки, согласно A.41) имеет компо-
компоненты
s2 ~2sc] ^A
У
где ф<*) — угол укладки &-го слоя, отсчитывается'от направления
а-линии оболочки. Коэффициенты матрицы [G0' ], характеризующие
жесткость однонаправленного КМ в осях слоя, подробно^объясня-
подробно^объяснялись в § 2.3 [см. B.32)]. При вычислении [G0'] параметры"ifo, if2, ifia
(табл. 2.1), зависящие от напряженно-деформированного состояния,
следует подсчитывать на этапе предыдущего состояния равновесия,
соответствующего т.
Матрица [Гт], использующаяся при вычислении матрицы при-
приведенных напряжений [Si Y D.224), содержит всего лишь один
коэффициент, равный погонному меридиональному усилию Т\,
возникающему к моменту времени т. Вектор внутренних погонных
силовых факторов {Q}m_i, необходимый для подсчета вектора
Jj,_i D.225), содержит следующие компоненты: ^
{Q}{7' T M)
т. е. суммарные погонные меридиональные и окружные усилия: Тъ Г2
и моменты: Ми М2, которые вычисляются на предыдущей (пг—1)-й
итерации:
Т\ (т—1) = ^j J O\ m—\
А=1 г(*-1)
(*)
J aJU-izrfz
п 2
J
k=\ z(*-i)
185
В качестве компонент вектора внешних поверхностных сил {рг+дх}.
с помощью которого вычисляются приведенные узловые внешни^
силы, выступают полные касательные и нормальные нагрузки:
{р^+дт} = {pi, Рз}т+Дт, действующие на этапе нагружения т +- Ат.
После выполнения стандартных процедур по сборке отдельных
элементов с учетом граничных условий получаем линейную систему
алгебраических уравнений для определения приращений узловых
перемещений:
[Кг] \Aq}m = {Рт+дх} - {F}m.u D.227)
где [/CJ = [/Ст] + \SX], в результате решения которой вычис-
вычисляются перемещения {Aq}m, позволяющие уточнить предыдущее
решение:
где для т = 1 {q}0 = 0.
Рассмотрим кратко алгоритм расчета. Для описания геометрии
многослойной оболочки вращения общего вида удобно профиль
меридиана задавать по точкам и воспользоваться приемом, подробно
разобранном в примере 5, помещенном в § 4.1 (см. рис. 4.9). Такой
способ описания, примененный к отдельному конечному элементу,
удобен еще и тем, что позволяет отслеживать геометрию координат-
координатной поверхности оболочки в процессе деформирования. Для описа-
описания физико-механических свойств отдельных слоев можно восполь-
воспользоваться моделью деформирования КМ с хрупкой (§ 2.3) матрицей.
Рассмотрим общую последовательность решения задачи. При
известной геометрии, внутренних силовых факторах и жесткостных
свойствах конструкции, определенных в предыдущем положении
равновесия, соответствующего времени т, а также при внешних
силах {рт+дт} решаются последовательности задач D.227) и нахо-
находятся приращения узловых перемещений. Этим приращениям соот-
соответствуют приращения параметров напряженно-деформированного
состояния, которые суммируются с параметрами, найденными на
предыдущих шагах нагружения.
Далее производятся анализ состояния слоев оболочки в соответ-
соответствии с моделью деформирования, оценка их жесткости, а также
возможная корректировка углов армирования, связанная с учетом
деформаций сдвига в отдельном слое [26] (структурная нелиней-
нелинейность).
По известным приращениям перемещений также подсчитываются
новые координаты контура деформированной оболочки. Для новой
конфигурации, соответствующей времени т + Ат, вычисляется воз-
возможная невязка {%т+дт}т_ъ связанная с погрешностями предыду-
предыдущего итерационного процесса, а также с переходом к новой гео-
геометрии:
где т — номер последней итерации. В том случае, если норма век-
вектора невязки велика и не удовлетворяет условию
\\{%4A<U-i\\ < MICW} - {^+дт}||, D-228)
186
[в правой части неравенства стоит норма приращения вектора внеш-
внешних узловых сил, ц — допускаемая относительная погрешность
(|я «^ 0,1-т-0,01)], то производится снова итерационное уточнение
предыдущего решения:
[КЧ+дт]
до тех пор, пока не будет выполняться условие D.228). После этого
находится новая матрица [/Ст+дтЬ дается очередная порция нагру-
жения и начинается новый итерационный процесс, аналогич-
аналогичный D.227).
В том случае, если при переходе к новой конфигурации невязки
незначительные и условие D.228) выполняется, то сразу дается оче-
очередная порция нагрузки и в итерационном процессе продолжает
использоваться «старая» матрица жесткостей.
§ 4.9. Примеры расчетов оболочек
из стеклопластиков
Пример 1. Цилиндрическая оболочка с днищами, имеющими оди-
одинаковые полюсные отверстия (одна половина ее показана на рис. 4.19),
нагружена внутренним давлением р. В районе полюсного отверстия
на оболочку действует дополнительное контактное давление ph,
статически эквивалентное действию давления на крышку, закры-
закрывающую полюсное отверстие радиуса г0. Это давление аппроксими-
аппроксимируется линейной функцией от г. В средней части цилиндрической
оболочки заданы условия симметрии.
Оболочка образована геодезической перекрестной спиральной
намоткой ленты стеклопластика .в четыре слоя (№№ 1—4), (см.
рис. 4.19). На цилиндрической части имеет место кольцевая под-
подмотка шестью слоями (№№ 5—10) стеклопластика. Контур днища
и закон изменения угла армирования рассчитан по зависимостям
[37]. Толщина стенки днища рассчитана с учетом ширины ленты
стеклопластика, поэтому непосредственно на полюсе она равна
нулю. Днище аппроксимировано 60 конечными элементами с длиной
Рис. 4.19.
137
меридиана в пределах от 1,176 до 1,123 мм, а цилиндрическая часть—
35 элементами длиной 1,143 мм в районе сопряжения с днищем и
5 элементами длиной 16 мм — в средней части.
Однонаправленный материал имеет следующие характеристики:
Ех = 5,4'104 МПа, Е2 = 1,2-10* МПа, Gia = 0,5-10* МПа, v12 =
= 0,28, F+2 = ^.2 = 40 МПа.
Проводилось пошаговое нагруженне 40 порциями по Ар =
= 0,25 МПа. Учитывались физическая, геометрическая и структур-
структурная нелинейности. На рис. 4.20, а и б приведены результаты расчета
относительных перемещений в осевом ? и радиальном | направле-
направлениях, где
О/ г- О
е = oi/ti, CTi =
ра
2Aacos2(pa
Здесь а? — напряжения в днище в направлении армирования, под-
подсчитанные согласно сеточному анализу [37], <ра—-угол армиро-
армирования днища на экваторе (г = а).
Как видно на рис. 4.20 (цифрами 1, 10, 20, 30, 40 отмечено число
шагов нагружения), по мере нарастания нагрузки меняется харак-
0 10 20 30 40 SO 60 70
Рис. 4.20.
№
г-о
\о
30
Г—-
to
Номер элемента
го
30
60
Рис. 4.21.
тер деформирования днища, сглаживаются краевые возмущения.
Начиная с 5-го шага "нагружения в оболочке происходит разрушение
связующего, что приводит к изменению ее жесткости. Наличие
растягивающих меридиональных усилий также вносит коррективы
в изгибную жесткость оболочки. Характер деформирования днища
стабилизировался примерно к 30-му шагу нагружения.
Оценку прочности сосуда давления разумно проводить по мак-
максимальным значениям напряжений аг в направлении армирования.
О характере их распределения можно судить по рис. 4.21. На первых
шагах нагружения (на рис. 4.21, а даны результаты расчета для
1-го и 10-го шагов нагружения) по всей длине меридиана напряжения
на внутренней (г = 0) и наружной (г = К) поверхностях различны,
т. е. оболочка находится в «моментном» напряженном состоянии.
С ростом нагрузки (на рис. 4.21,6 даны результаты для 30-го и
40-го шагов нагружения) состояние днища приближается к безмо-
ментному на всей длине (за исключением зоны действия дополни-
дополнительного контактного давления).
Если учитывается только физическая нелинейность, изменение
жесткостей однонаправленного материала при деформировании может
привести к образованию в отдельных зонах оболочки участков с по-
пониженной изгибной жесткостью — псевдопластических шарниров.
Если при этом не учитывается влияние мембранных усилий на из-
изгибную жесткость оболочки (эффекты геометрической нелинейности),
деформации (и напряжения) могут принимать совершенно нереаль-
нереальные значения.
При учете только эффектов геометрической нелинейности уже при
нагрузках, равных 15—20 % от разрушающей, в сосудах давления,
изготовленных из современных композиционных материалов (стек-
(стеклопластиков, органопластиков), напряжения аа и т12 достигают пре-
пределов прочности однонаправленного материала. Дальнейший рас-
расчет в физически линейной постановке не имеет смысла. Таким об-
образом, эффекты геометрической и физической нелинейности в подоб-
подобных конструкциях взаимосвязаны,
189
wo
1 .
/
/
/
/
/
/
/
/
\
1 2 J <f 5 61b 21
Рис. 4.22.
6х,МПа
200
WO
/
__«яШ
—.—'
0 0,k 7,2 2,0 2,8 3,6 ?x,%
Рис. 4.23.
0,*
0,2
— 1—
?'0,1 мм
ч
да
\n
— \
N
IS 30
Рис. 4.24.
60
75. 90x,hh
В рассмотренной задаче деформации сдвига Y12 малы и учет из-
изменения углов армирования в процессе нагружения — структурной
нелинейности практически не влияет на результаты расчета. Это
естественно, поскольку условие малости касательных напряжений т12
закладывалось при проектировании баллона [37]. Для демонстра-
демонстрации влияния структурной нелинейности рассмотрена другая задача.
Пример 2. Жестко защемленная на краях цилиндрическая обо-
оболочка нагружена растягивающими усилиями (рис. 4.22). Оболочка
образована намоткой стеклопластика под углами ±40° к образую-
образующей. Характеристики однонаправленного материала те же, что и
в предыдущей задаче. На диаграмме деформирования перекрестно
армированного под углами ^40° стеклопластика (рис. 4.23) при
растяжении в направлении оси х видно, что при вх = 0,6 %, когда
начинается разрушение связующего, имеет место излом, величина
касательного модуля Ех уменьшается на порядок, а затем по мере
роста уровня деформаций несколько растет за счет уменьшения
угла армирования. Распределение радиальных перемещений w
вдоль образующей при различных значениях приращений общей
длины оболочки А дано на рис. 4.24. Как видно, характер деформи-
деформирования существенно изменился при возрастании значения Д от 0,1
до 3 мм, сгладилось краевое возмущение от заделки, увеличилась
зона его действия. В этой задаче проявились все три вида нелиней-
ностей.
190
Глава 5
Численные методы расчета
трехслойных пластин и оболочек
с многослойными обшивками
Среди многослойных силовых конструкций трехглойные пластины
и оболочки занимают особое место. Их давно широко применяют
в тех случаях, когда требуются повышенная жесткость и минималь-
минимальная масса. Высокая удельная изгибная жесткость в трехслойных
конструкциях достигается простым приемом разнесения на некото-
некоторое расстояние (за счет промежуточного легкого слоя заполнителя)
двух жестких несущих слоев. В качестве заполнителя часто исполь-
используют различные пенопласты, соты из металлической фольги или
полимерной бумаги, гофры, ячейки и др. Для несущих слоев приме-
применяют различные металлические сплавы, а также композиционные
материалы с высокими удельными жесткостными характеристиками.
Для обеспечения совместного деформирования несущие слои скреп-
скрепляются со слоем заполнителя, например, с помощью высокопрочных
клеев.
Особенности расчета трехслойных конструкций в основном свя-
связаны с учетом деформаций поперечного сдвига и сжатия маложесткого
слоя заполнителя. Вопросам расчета трехслойных пластин и обо-
оболочек посвящена обширная литература, насчитывающая к настоя-
настоящему времени несколько тысяч публикаций. С обзорами основных
результатов исследований можно ознакомиться в работах [1, 2, 181.
В главе основное внимание уделено описанию различных кине-
кинематических моделей деформирования трехслойных оболочек враще-
вращения и условиям стыковки со шпангоутами. Весьма трудоемкий этап
получения разрешающих уравнений задач статики, устойчивости и
колебаний предлагается выполнять вариационно-матричным способом
и включать его непосредственно в общую программу расчета на ЭВМ.
§ 5.1. Особенности деформирования
Для построения модели деформирования трехслойной оболочки
(рис. 5.1) воспользуемся кинематическим подходом, в основе которого
лежат гипотезы о распределении перемещений по толщинам слоев
оболочки. Это позволит достаточно простым способом приближенно
свести трехмерную задачу теории упругости к двумерной. Для обо-
оболочек, согласно определению, величина измерения по координате г
гораздо меньше двух других измерений. Используя это обстоятель-
обстоятельство, перемещения vv и2) v3, направленные вдоль координатных
линий аъ ait z (рис. 5.2), можно искать в виде степенных рядов от-
191
Рис. 5.1.
носительно аргумента г:
Рис. 5.2.
(а1( а2, г) = ^ а4 («j, а,) г*;
А=0
, а2) г) =
i. а2)г*;
E.1)
va(a1, а2, г) =
1( а2)г*
где m + 1, п + 1 — числа удерживаемых членов разложения;
аА> V ck — коэффициенты разложения, представляющие функции
аргументов а„ а'2.
Для получения результатов достаточной степени точности при
решении задач теории оболочек ограничиваются, как правило, удер-
удержанием небольшого числа первых членов разложения. Приведем
несколько примеров. При удержании только первых членов разло-
разложения E.1), т. е. в предположении, что касательные и нормальные
перемещения постоянны по толщине, получим уравнения безмомент-
ной теории оболочек. Если удержать в E.1) для касательных пере-
перемещений Vy, v2, два члена разложения, а для нормального пере-
перемещения v3 ограничиться первым членом, то получим уравнения
теории оболочек, соответствующие гипотезам С. П. Тимошенко.
При дополнительном условии об отсутствии деформаций попереч-
поперечного сдвига получим классические гипотезы Кирхгофа—Лява и
соответствующие им уравнения. В приведенных примерах эффекты,
связанные с деформациями поперечного сжатия, оказались вне рас-
рассмотрения, поскольку для нормальных перемещений удерживался
только первый член разложения. При построении моделей более
высокого порядка эти эффекты можно легко учесть.
Перейдем к рассмотрению моделей деформирования элемента
трехслойной оболочки. Толщины слоев обшивок /iA>, /i<2> (см. рис. 5.2)
для трехслойных конструкций значительно меньше толщины слоя
заполнителя /iC>, поэтому для описания кинематики деформирования
обшивок можно ограничиться мембранной схемой или гипотезами
Кирхгофа—Лява.
192
Рис. 5.4.
Ниже рассмотрим три модели слоя заполнителя.
На рис. 5.3, а, 5.4, а и 5.5, а представлен трехслойный пакет
в исходном состоянии, на рис. 5.3, б, 5.4, б и 5.5, б — в деформи-
деформированном.
Первая модель предполагает линейное распределение по тол-
толщине заполнителя касательных перемещений и несжимаемость мате-
материала в поперечном направлении, т. е. Vy = а0 + ayZ, v2 = b0 +
+ byZ, Уз -= c0. Для моментных несущих слоев эта модель соответ-
соответствует гипотезе ломаной линии [19] для трехслойного пакета.
С помощью этой модели в слое заполнителя приближенно учиты-
учитываются основные деформации — деформации поперечного сдвига.
Подавляющее большинство результатов расчета трехслойных кон-
конструкций получено с использованием именно этой модели.
Вторая модель в первом приближении учитывает в заполнителе
кроме деформаций поперечного сдвига деформации поперечного
сжатия. Для этого в аппроксимации E.1) для всех перемещений
удерживаются по два первых члена разложения: Vy ~ а0 + ayZ;
Щ — Ьо + byZ; v$ = с0 + CyZ. Такая модель соответствует линейным
законам распределения перемещений по толщине слоя заполни-
заполнителя (рис. 5.4) [11 ].
Дальнейшее уточнение деформаций поперечного сдвига и сжатия
слоя заполнителя возможно при большем числе членов разложения
касательных и нормальных перемещений. На рис. 5.5 представлена
форма трехслойного элемента до и после деформирования. Касатель-
Касательные перемещения распределяются в этом случае по кубической
параболе аргумента г, а нормальный прогиб — по квадратичной
параболе:
vу = а0 + ciyZ -f а2г2 + a3z3;
v2 = b0 + byZ + Ь,г2 + Ьзг3;
Уз == Со ~т C\Z ~г C2Z .
В дальнейшем для выбранных
моделей деформирования аппрок-
аппроксимацию перемещений будем пред-
представлять не через неопределенные
коэффициенты разложения аА, bh,
ch [см. E.1I, а через перемещения
Va7 Алфутов Н. А. и др.
Li-
О <*,
Рис. 5.5.
193
и углы поворота некоторых ха-
характерных поверхностей (на
рис. 5.3, б, 5.4, б, 5.5, б обозна-
обозначены ы{'>, ы<*> и \[V В этом слу-
случае подлежащие определению
функции аргументов ах, а2 будут
иметь наглядное геометрическое
представление, а также более
удобно будут записываться и
граничные условия задачи.
Определим комплексы гео-
геометрических и упругих харак-
характеристик трехслойной конструк-
конструкции, в соответствии с которыми
в заполнителе будут преобладать те или иные деформации. Такие
предварительные оценки, пусть даже грубые, полезны, поскольку
они помогают выбрать соответствующую модель деформирования
и приближенно оценить трудоемкость предстоящего расчета.
Рассмотрим трехслойную пластину (рис. 5.6), подвергающуюся
изгибу. Воспользуемся энергетическими оценками 111]. Представим
плотность потенциальной энергии деформации слоя заполнителя
в следующем виде:
Рис. 5.6.
/C)
/()
= U01
1,C) ,
U02 -\~
где
//C) _ 1 ЛтC)оC> J_ <тC>рC> I
Um — -9- vCTi ei 1 °2 R2 т
l2 Yl2 )
— плотность энергии деформаций заполнителя в плоскости пла-
пластины;
— плотность энергии деформаций поперечных сдвигов;
//О) _ 1 „C)рC)
<^оз = -g- стз е3
— плотность энергии деформаций поперечного сжатия.
Для получения энергетических оценок требуется провести сравне-
сравнение указанных слагаемых 1/{0\\ U^V, l/'^ плотности потенциальной
энергии деформации заполнителя.
Рассмотрим упругие характеристики материалов. Для обшивок
примем, что их модули упругости имеют порядок Е : ?<'> ~ E[l) ~
~~ G$ ~ E (i = 1,2). Величину Е будем называть характерным
модулем. Для слоя заполнителя соотнесем его модули упругости
с характерным модулем Е:
G\f
E.2)
194
С помощью чисел q>lt ф2, ф3 устанавливаются порядки отношений
модулей заполнителя к характерному модулю.
Будем считать, что напряженно-деформированное состояние об-
обшивок с заданной точностью описывается гипотезами Кирхгофа—
Лява. Порядок основных напряжений положим равным а: а{'> ~
~ а<" ~ т[$ ~ о (i = 1,2), а порядок основных деформаций опре-
определим, используя соотношения упругости:
е,@ ~ 4° ~ у^ ~ о/Е = е (i = 1, 2). E.3)
Порядки напряжений поперечного сдвига и сжатия в обшивках
можно приближенно установить, воспользовавшись уравнениями
равновесия элемента:
1 1
ох\2 ,
дХ! '
13
12 |
дх2 '
да21) ,
dxt
, ^Т23 ,
дт\3
дх3
to®
дхз
= 0;
— 0-
= 0,
E-4)
где i = 1, 2; х3 = г.
Если принять, что изменяемость напряженного состояния вдоль
координатных линий хъ х2 и х3 характеризуется масштабными коэф-
коэффициентами / и h (см. рис. 5.6):
д д 1 . д J_
где/i*') < /г < Я, то согласно E.4) можно получить следующие оцен-
оценки для напряжений поперечного сдвига и сжатия обшивок: т<?> ~
~ т)а; т^> ~ т)а; а<') /~ i]2a (i = 1, 2), где т) — hll.
Для анализа напряженно-деформированного состояния запол-
заполнителя рассмотрим характерные эпюры распределения напряжений
по толщине трехслойного пакета (рис. 5.7). Поскольку напряжения
поперечного сдвига и сжатия при переходе от слоя к слою не терпят
разрывов, то
¦ tri"
тJа.
(t=l, 2).
E.5)
Порядки соответствующих деформаций поперечного сдвига и
сжатия с учетом представления упругих характеристик заполнителя
Рис. 5.7.
195
в виде E.2) будут равны
У?з ~ Ум' ~ 11е/(Г2; ^
C) 2 , E-6)
где е — порядок основных деформаций E.3). Так как деформации
в плоскости пластины при переходе от слоя к слою не терпят раз-
разрывов, то
^~^~у§~е, E.7)
а соответствующие напряжения заполнителя определяются с исполь-
использованием упругих характеристик E.2)
<т[3> ~ о<3> ~ т,B3) ~ <р,?е. E.8)
Принимая во внимание полученные оценки для напряжений и
деформаций в слое заполнителя [см. E.5)—E.8)], плотность потен-
потенциальной энергии заполнителя можно представить в виде
?/<3> = ?/<?> -j- (J® -!- 1/$ ~ Ее2 (Ф, + г,2/ф2 + т,7фз)-
В зависимости от соотношения параметров фх, 1]2/ф2, 1]4/фз прове-
проведем классификацию заполнителей следующим образом. Если для
трехслойной конструкции
<Pi > т12/ф2; Ф1 > 1]4/ф3, E.9)
то (У = ± ( + + 7{)
Такой слой заполнителя ничем не будет отличаться от слоя,
деформирование которого описывается с использованием гипотез
Кирхгофа—Лява.
Если для трехслойной конструкции
Ч1~-П2/Ф2; Ф1>Ч*/Ф», E-10)
,„ ц{Л) ! /г„C)„C) 1 „C)„C) , тC).,C) , _C) C) , тC),,C)\.
ТО Со =-g-\Oi Ь\ -f-02 ?2 + Т12 ?12 +^13?13 ~\~ ^23 ?23 Г
В этом случае в заполнителе следует учитывать как напряжения,
параллельные срединной поверхности, так и напряжения попереч-
поперечного сдвига. Такой заполнитель называют «жестким».
Если параметры таковы, что
Л2Лр2»<!У> т]2/ф2» V/Фз. E-11)
C) __ • (T^).J'i) | _C) C)
о -у (Tl3 Yl3 Т" Т23 Y23
тп //C) __
ТО Со —
^).J'i) | _C) C)\
3 Yl3 Т" Т23 Y23 /
и в заполнителе учитывают лишь напряжения поперечного сдвига.
Такой заполнитель называют «легким» или «мягким».
В случае, если
112/ф.,~1]4/ф3»Ф1, E.12)
ТО Со —= -g- VTI4 713 ~|- ^23 Y23 ~Г СТ3 &3 ft
и заполнитель называют трансверсально «мягким». Для таких запол-
заполнителей, как видно из E.12), при ф., ~ ф3 должно выполняться ус-
условие / ~ h. В этом случае под / понимается масштаб изменения
напряженно-деформированного состояния, которое имеет локаль-
196
.ный характер [11]. Такое деформирование возникает, например,
в окрестности точек приложения сосредоточенных сил, закреплений,
а также при коротковолновых изгибных колебаниях и местных фор-
формах потери устойчивости.
§J>.2. Решение задач статики
трехслойных оболочек с использованием гипотезы
ломаной линии
В тех случаях, когда можно пренебречь поперечным сжатием
заполнителя, но необходимо учесть податливость заполнителя на
поперечный сдвиг, расчет трехслойных оболочек выполняют с ис-
использованием гипотезы ломаной линии [19]. Согласно этой гипотезе
нормальные перемещения всех слоев принимаются одинаковыми.
Касательные перемещения в пределах каждого слоя распределяются
линейно по координате г и формируют в общем случае ломаный про-
профиль сечения, как это показано на рис. 5.3.
Рассмотрим подробно распределение перемещений по толщине
трехслойного пакета. Принадлежность к слоям обшивок или запол-
заполнителя будем отмечать индексом, заключенным в круглые скобки.
Для внутренней обшивки принят индекс 1, для внешней обшивки —
2, для слоя заполнителя — 3. Обшивки трехслойной оболочки, как
правило, выполняют в виде тонких слоев из жестких материалов,
поэтому для описания деформирования обшивок в большинстве
случаев пользуются гипотезой Кирхгофа—Лява. Согласно этой
гипотезе распределение перемещений в пределах обшивки (рис. 5.8)
можно записать аналогично D.53):
где <у<0 == г — г<'>; t = 1, 2.
Перемещения и[1\ ы<°> и1{) есть перемещения поверхностей об-
обшивок, примыкающих к заполнителю. Углы поворота нормалей
обшивок Ь['\ Ф|'> определяются через пе-
ремещения следующим образом:
С помощью коэффициентов б'1'), 8|'> учи-
учитывается дискретное изменение метрики
при переходе от координатной поверхности
г = 0 к слою с координатой г(г): бр =
= 1 + kjzM (I =r* 2).
В соответствии с допущениями о распре-
распределении перемещений в слое заполнителя
в аппроксимациях E.1) принимается т = 1,
п = 0, что приводит к следующим выраже-
7 Алфутов Н. А. и др
Рис. 5.8,
197
ниям:
v\3) = a0 _|_ axz, v^ = b0 i-hz, 43)=c0. .E.13)
От неопределенных функций a0, ..., c0 аргу-
аргументов alt a2 можно перейти к более наглядным
геометрическим представлениям, если принять
в качестве неизвестных перемещения и1г иъ и3
срединной поверхности заполнителя и углы
поворота сечений заполнителя г|;х, ^2 (рис. 5.9).
Полагая
получим пять уравнений, которые позволяют определить коэффи-
коэффициенты а0, ..., сй: ао = их — г'3»^; Ьо = иг — гC'4'2; % = tyu h =
= \|J; с0 = и3.
Тогда вместо E.13) получим следующую запись распределения
перемещений в слое заполнителя:
= .
E.14)
где у№ =г — 2C>.
С использованием выражений E.14) выполним кинематическое
сопряжение слоев, которое согласно рис. 5.8, 5.9 вполне очевидно:
(О __ C) /_@\ /I __>. о1»- и'1') = и (; = 1 2)
Отсюда получим
it(i) |. _i ~@ .и /1 -^—>¦ о\. .ЛО . /с 1 с\
где с«> = гО —2<3>; t = 1,2.
Тогда распределение перемещений в обшивках и углы поворота
нормалей с учетом E.15) можно представить в следующем виде:
° = ы3 i=l, 2; E.16)
A^2) i=l,2. E.17)
Таким образом, гипотеза ломаной линии позволяет с помощью
перемещений срединного слоя заполнителя ыь ы2, ы3 и углов пово-
поворота сечений заполнителя ^ь \|з2 вычислить перемещения в любой
точке трехслойной оболочки. Для обшивок следует воспользоваться
зависимостями E.16), E.17) для заполнителя — E.14). Перемеще-
Перемещения «1, и2, и3 и углы поворота ^ь ip2 являются независимыми пере-
переменными и подлежат определению.
Рассмотрим распределение деформаций по слоям. Из общих
выражений для деформаций D.182), принимая во внимание, что
1
1
193
распределение деформаций в пределах каждого слоя можно предста-
представить в виде постоянной составляющей и составляющей, линейно
зависящей от y('):
{е«>} = {ew} 4- v@ {*«>} i = 1, 2, 3, E.18)
где 7(t) — 2 — z('>.
Для слоев обшивок (t = 1,2) в выражении E.18) под компонен-
компонентами векторов понимаются следующие:
E.19)
где {е<*>} — деформации поверхностей z(/) (t = 1, 2); {х<'>} — изме-
изменения кривизн в обшивках. Представленные в E.19) компоненты
связаны с независимыми переменными ии ы2, «3, tyi, ^2 следующими
зависимостями:
ец = шр + сор; E.20)
*i'> = -^zr ("IT ^И'х
где
ei = -j- "i, i + ф12 + kjtis A^2);
1 E-21)
К М A =Ffc 2).
Углы поворота нормалей обшивок Ь[1\ Щ1>> вычисляются сог-
ласно E.17)
Если заполнитель трехслойной оболочки считается «жестким»
[см. E.10I, то в выражении E.18) составляющими векторов будут
{е<3>} = Ы3\ ej»>f у®, у®, у®};
199
а их представления через перемещения иь и2, ы3 и углы поворота
сечения заполнителя ^ь ip2 согласно E.14) и D.182) имеют вид
E.22)
vC) _
0=^2),
где elt e2, ©ь со2 вычисляются согласно E.21).
Для случая «легкого» или «мягкого» заполнителя [см. E.11)]
деформации е{3), бг3), yi^' не рассматриваются, поэтому в выраже-
выражении E.18) компоненты векторов будут следующие:
= {vf?, vfi'l; {^3)} = {^)
Рассмотрим соотношения упругости. Пусть обшивки трехслойной
конструкции представляют тонкие многослойные оболочки. Будем
считать, что каждый отдельный слой обшивки выполнен из ортот-
ропного материала и оси упругой симметрии в общем случае не
совпадают с- направлениями координатных линий. Для линейно
упругого материала связь напряжений с деформациями будет под-
подчиняться обобщенному закону Гука, который в случае плоского
напряженного состояния можно представить как
{О@} = [G<] {е«>} / = 1, 2. E.23)
Здесь
а»),
={е|0
|0, е@,
сим.
т@
12
г@
где коэффициенты матрицы [GW ] считаются известными кусочно-
непрерывными функциями аргумента г. В случае совпадения осей
ортотропии с координатными линиями коэффициенты [# $
= 0, остальные определяются соотношениями
A
i-vf!40>
-G@. E.24)
200
Для слоя заполнителя матричная запись соотношений упру-
упругости остается аналогичной E.23):
{аC)] = [О<3>]{в<8>}, E.25)
но компонентами в ней будут для случая «жесткого» заполнителя
6
()
22
СИМ.
о о
о о
о о
ей».
При совпадении осей упругой симметрии с координатными ли-
линиями коэффициенты g\l\ giV, gif обращаются в ноль, gsi* = G13,
g{i> = G23, остальные коэффициенты определяются аналогично E.24).
Если заполнитель неоднороден по толщине, то под модулями сдвига
Gis, G23 будем понимать осредненные модули [см. D.213) ].
В случае «легкого» или «мягкого» заполнителя в записи соотно-
соотношений упругости E.25) будут следующие компоненты: -_j
Jtt& 8&
I сим. gffi
Для получения разрешающих уравнений решения задачи ста-
статики воспользуемся принципом возможных перемещений, который
применительно к трехслойным оболочкам можно записать в виде
3 2
<=1 S
'=1 г
E.26)
где S — площадь координатной поверхности оболочки; Л('' — тол-
толщины обшивок (t = 1,2) и заполнителя (i = 3); Ь{{\ б<() — коэф-
коэффициенты, учитывающие изменение метрики отдельных слоев; {UW}
и {р(''} — векторы, имеющие следующий вид:
U/<'>} = М'>, «4°, «40); {P(l)l=eloeio{pi0, pS°, Pi0!, (< = i. 2);
они представляют собой соответственно перемещения слоев обши-
обшивок [см. E.15)] и поверхностные нагрузки, действующие на об-
обшивки. Г — часть контура координатной поверхности, на которой
201
приложены к слоям внешние напряжения {а{.()}; бг° —коэффициент,
учитывающий изменение метрики отдельных слоев на контуре.
Преобразуем выражение для работы внутренних сил с учетом
представления деформаций в виде E.18) и напряжений в виде
E.23):
3 3
=2f J (в {««>} +
i=l S ft(O
@ ix@|) b\4l) dzdS =
J
<=1 S
<06 {x@))T
i=is
где {?(()} — вектор обобщенных деформаций слоя, содержащий
компоненты векторов {е(()} и {х<'>} : {f*} = {{е''*}, {х(()}}.
Матрицу приведенных соотношений упругости слоя [/Э(<) ] удобно
представить в блочном виде:
Г
(Ol
Отдельные матричные блоки определяют следующие интеграль-
интегральные упругие характеристики слоя:
Работу внешних напряжений \oll)\, приложенных на боковой
поверхности контура Г, можно представить в виде работы внешних
интегральных силовых факторов на обобщенных перемещениях,
которые соответствуют выбранной модели деформирования:
J \
\ Г hU)
Г
где {Ur} = {uv, ut, uz, %, vj),, Ov}; {fir} — вектор, представляющий
интегральные силовые факторы, сопряженные с обобщенными пере-
перемещениями {Ur}; uv, и, — составляющие тангенциального пере-
перемещения срединного слоя заполнителя, направленные по нормали v
и по касательной / к контуру Г; \f>v, \f; — углы поворота сечений
заполнителя вокруг касательной и нормали к контуру; Ov — угол
поворота нормали базовой поверхности оболочки в плоскости vz.
Для частного случая, когда граница контура совпадает с сс2-линией,
работа внешних напряжений на элементе боковой поверхности может
202
быть предстаблена в следующем виде:
где
7f>= f^; й |[2; ?}
A<0
Внешние напряжения a[, %\2, X13, действующие на боковую по-
верхность (см. рис. 4.18), считаются известными функциями аргу-
аргументов z и сс2. Для «легкого» заполнителя следует положить Т\3) =
= т,B3) = м!3) = м№ = о.
После выполнения интегрирования по толщине трехслойного
пакета в окончательном виде можно представить вариационную фор-
формулировку задачи статики следующим образом:
б {?"¦>} [D('4 {?<'>) dS - 2 J б {U{l)}T[Pil)) dS -
i=l S
{(/r}T{Mrldr = 0, E.28)
где {Я*0}, {^(()}> {^г} — векторы, под компонентами которых
следует понимать их представление через независимые переменные %,
«2» "з> ^i» ^г- Формулировка условия равновесия в виде E.28) после
выполнения^интегрирования по частям позволяет получить разре-
разрешающие уравнения в перемещениях, а также геометрические и си-
ловые'граничные условия на контуре. При решении задачи с помощью
МКЭ^выполняется аппроксимация полей перемещений ии и2) ы3
и углов \|)i, i|>2 в пределах элемента, после чего перемещения {^(()}
и обобщенные деформации {?(()} представляются в форме {?/A)} —
= [ф<'> ] {</} (i == 1, 2) и {?<•)} = ffl<0 ] {<,} (j = 1, 2, 3), где {q} -
вектор обобщенных узловых перемещений элемента, включающий
для отдельного узла компоненты перемещений иь ы2> "з> углы пово-
203
рота сечений заполнителя г^, \|.\>,
а также углы поворота нормалей
#1, ¦О';. Вариационная формули-
формулировка E.28) позволяет получить
выражение для узловых реакций
элемента {t} : {t} = IK] {q} - {P},
t
Рис 5.10,
i=l se
ветственно матрица жесткости трехслойного элемента и вектор при-
приведенных узловых сил.
Рассмотрим формулировку задачи статики при учете стационар-
стационарного теплового воздействия на трехслойную оболочку с «мягким»
заполнителем. При этом будем считать, что задачи теплопроводности
и деформирования не связаны и в результате решения задачи тепло-
теплопроводности определены температурные поля в оболочке.
Рассмотрим случай, когда распределение температур по слоям
с достаточной точностью можно принять в виде линейных зависи-
зависимостей: Т@ = Ti° + 7('>ДТ<0 A=1, 2, 3), где Т$'\ ЛТ(() - из-
известные функции аргументов аь а2. Причем в силу непрерывности
распределения температур Т[1) = 7f > + с<0 ДТC) (i = 1,2).
В случае учета температурных деформаций соотношения упру-
упругости для несущих слоев записываются в соответствии с законом
Дюгамеля—Неймана:
"=1. 2),
E.29)
где {вт''} — известные деформации, вызванные тепловым расшире-
расширением; {е<?>} — полные деформации, связанные с перемещениями
зависимостями E.18). Рассмотрим более подробно вычисление де-
деформаций {4°}- В общем случае будем считать, что обшивки пред-
представляют слоистые оболочки, каждый слой которых имеет два глав-
главных направления 01' и 02' (рис. 5.10), и коэффициенты температур-
температурного расширения для этих направлений соответственно равны ${'\
Р|'-). Направление оси 01' составляет с направлением касательной
к оси cci угол ф(<). Для слоистой структуры коэффициенты Рр, р<*>
и углы <р('> в пределах отдельной обшивки будем считать известными
кусочно-постоянными функциями аргумента г. Линейные темпера-
температурные деформации для t-й обшивки в осях а1( а2 можно получить
следующим пересчетом:
(р('I гт(гI fo't'M iK чел
где
204
= {е;<<\ ей0, о); eiT> = pf
= 2).
С помощью матрицы [т)<'> ] в выражении E.30) осуществляется
преобразование деформаций, определенных в осях 1 и 2, в дефор-
деформации, определенные в осях cq и а2 [см. A.45)]:
с2
s2
2sc
s2
с2
—2sc
—sc
sc
Здесь с — cos фA>, s = sin <p<'>.
Для получения вариационной формулировки воспользуемся прин-
принципом возможных перемещений E.26). Отдельного рассмотрения
требует выражение для работы внутренних сил, при преобразова-
преобразовании которого необходимо принимать во внимание соотношения
упругости, представленные для материала обшивок в форме E.29):
2 J J б {eU))T {а«>) 8{"в^> dzdS= 2 j S [Ell))T [Dlt)] {E(t))dS -
1=1 S hU) t=\ S
t\b{E'C)}r{F^}dS, E.31)
где
= \ [GU)] {е<<->1 6\{%{)dz;
J
ft@
С использованием E.31) получим в окончательном виде вариацион-
вариационную формулировку задачи статики с учетом теплового воздействия:
б {?«>} [] {} }
i=l S
- }
Г
j
г=1 S
Под компонентами векторов {?(')}, {U{i)}, {Ut} следует пони-
понимать их представления через независимые переменные иъ ы2> Щ,
Рассмотрим получение канонических систем дифференциальных
уравнений для решения задач статики трехслойных оболочек вра-
вращения с жестким заполнителем. Будем считать, что оси упругой
симметрии как заполнителя, так и каждого слоя в обшивках совпа-
совпадают с направлениями"координатных линий. За координатную по-
поверхность 2=0 примем срединную поверхность заполнителя.
В этом случае будем иметь с('> = zA> (i — 1, 2); zC) = 0; 6jC> =
-б^3>= 1.
В качестве вектора обобщенных перемещений {X} в сечении обо-
оболочки примем те геометрические факторы, относительно которых
необходимо обеспечить гладкость сопряжения отдельных кольце-
кольцевых участков трехслойной оболочки. С учетом обозначений D.58)
20S
ими будут перемещения срединной поверхности заполнителя, углы
поворота сечений заполнителя и угол поворота нормали
= {и, v, w,
где
Следует отметить, что всевозможные геометрические условия
закрепления на торцах оболочки также могут быть сформулированы
с использованием ' компонент вектора {X}.
Из анализа выражений для деформаций и изменений кривизн
E.20), E.22) видно, что для их записи необходимо кроме компонент
вектора {X} располагать также некоторыми производными. Эти
производные сгруппируем в вектор
хж1и- v> *i- ъ^).
Дифференциальную связь между компонентами векторов {X}
и {Y} будем учитывать при выводе разрешающих уравнений. В мат-
матричном виде дифференциальное условие связи запишется следую-
следующим образом:
где
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0"
0
J
0
0
0
. ic2]
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
В силу периодичности решений по угловой координате Р все
компоненты векторов {X} и {У} разложим в тригонометрические
ряды:
W=2 1Ы{хп}+2 I
n—0 n=0
E.33)
где [рж„], ..., [ру„] — диагональные матрицы, содержащие сле-
следующие компоненты:
[рдп] = |~cos «p, sin «P, cos«p, cos«p, sin/ф, coS/'^PjJ;
[Pxnl = P'sinnP, —cosnP, sinnP, sinnp, — cosnp, slnn|J_/J;
[$yn] = [7cos «p, sin/ф, cosn|3, sin«p, cosnp^|;
[Pi/nl = P".sin/?p, —cos«p, sin «p, — cos «p, sin«PjJ.
206
Здесь п — номер гармоники разложения; {Хп}, ..., {Yn} — век-
векторы, представляющие амплитудные значения соответствующих
гармоник разложения. . ?
Компоненты векторов {?''>} также разложим 'в тригонометри-
тригонометрические ряды:
S Ш ЮТ + S [Рея] ЮТ, E.34)
п=0 п=0
где для слоев обшивок (i = 1,2)
{?<'>} = {*!", ^>, 4», х}'>, 4'Y^M,
[Pen] = P"cosnp, cos«p, sin «p, cos «p, cos«p, sin «P_J;
[p^)] = p7sln«|3, sin«p, — cosnP, sin«P, sin«|3, —cos«|3_?j.
Для слоя заполнителя (i — 3)
43), eii>, eg>, x!3), xJ8>, xg>, И1C3), xg>); ¦
= P"cos«P, cos«p, sinnp, cosnp, sin «p, coSttP,...-»-
...->-cos «p, sin«p, cosnP, sin «p_|;
[Pen5] = P"sln ttP, Sin«P, — COS «P, Sin«P, —COS гф, ...
...->-sin op, sin «p, —cos«p, sin«p, —cos«P_J.
Векторы {Еп1)} и {Ёп1)\, представляющие амплитудные значе-
значения осесимметричных и кососимметричных составляющих дефор-
деформаций, с учетом разложения E.33), E.34) могут быть выражены для
п-й гармоники через компоненты векторов обобщенных перемеще-
перемещений {Хп} и производных {Yn} следующим образом:
n} + [L^>] {Yn} i = 1, 2, 3.
Коэффициенты матриц [Li^], [L^n] приведены для слоев обши-
обшивок (t=l,2) и для слоя заполнителя ниже:
0 k\l) 0 0 0
n«> ft('> V°c@ «(°c@ 0
—i|)C) 0 —h(th(i) _^,(')C(O о
0 _(^(OJ2 0 0 0
0 (n^J- ib(')c(°X 0 ib<')/f
207
@1
О
О
О
О
(<¦)
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
>/ё
о
о
где
Г г (?I
п —
о
о
о
о
<4° = jfejj/ej
1 дВ
п
—\|э
О
-к
О
О
О
АВ да '
О О
О О
о о
о
1
о
о
nk2
о
о
-а5
о
о
1
о
In
/vo
о
о
о
—1
о
о
о
о
kl
о
1
0
0
0
0
кг
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
—,
0
0
о
о
о
о
о
—п —\|з
—кг. О
О —h
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 О О
0 0 0
О 1 О
0 0 0
0 0 0
Перемещения, на которых совершают работу внешние поверх-
поверхностные нагрузки, приложенные к обшивкам, обозначим {UV)}.
Для тонких несущих слоев в качестве этих перемещений можно взять
перемещения поверхностей обшивок, примыкающих к заполни-
208
телю {?/<'>} = {и('>, у<'>, до<<>}, г = 1,2. Принимая во внимание
условия стыковки перемещений обшивок и заполнителя E.15),
компоненты векторов {?/(()} можно выразить через компоненты век-
вектора обобщенных перемещений {X}:
где
Для получения канонической системы воспользуемся вариацион-
вариационной формулировкой условий равновесия в форме E.28), которую
дополним условием связи [см. E.32) ]:
ak 2я 2 ah 2л
^ J { б{?<">}т[?«>]{?('>} АВdf,da- j J J 6 {?/<*>}т {р<*>} x
<=1 a0 о (=1 a0 о
2n
о
X {fx} AB d$ da ~ 8 {X}? {t,} |a_ao - б {Х}т \t2) |a=afe = 0, E.35)
где a0, ak — начальная и конечная координаты по меридиану;
(У» {^а} — внешние силовые факторы, заданные на торцах оболочки;
{ц.} — вектор неопределенных множителей, с помощью которых
вводится условие связи E.32). В выражении E.35) под векторами
(Б1*')}, {?/(<)} понимается их представление через компоненты обоб-
обобщенных перемещений {X} и производных {Y}. Опуская промежу-
промежуточные выкладки, связанные с интегрированием по угловой коор-
координате Р и интегрированием по частям слагаемого, учитывающего
условие_связи (см. § 4.4), получим следующие уравнения Эйлера:
[Su] {Хп} + [51г] {?„} - {Nn} - -L JL {К} - [Сх]т {К} = 0, E.36)
[Sal {Хп} + [SM) {Yn} - [C2F {Xn} = 0, E.37)
где
[Sif] = B i [Ltt>]T[D<*>][L}*>] • (I, /= I, 2);
ft=i
{К} = в Ы; {^„} = в S [F«)]T {p<'>}
и при а = a0 и a = aft: б {Xnf ({Xn} - {^ln}) = 0; б {XX (-{К} ~
- (U) = 0.
С помощью этих соотношений можно сформулировать полный
набор геометрических и силовых граничных условий на торцах
оболочки. Аналогичные соотношения получаются и для кососим-
метричных составляющих решения.
209
После исключения из уравнения E.37) вектора {Yn} —
~ [5221 ([С2 ]т {X.n}— [S21] {Xn}) и подстановки выражения {Yn}
в уравнение E.36) и условие связи E.32), записанное для соответ-
соответствующей гармоники разложения, получим искомую каноническую
систему
kHk JUJ E-38)
где
[Аи\ = [Сг] - [Ь] [521]; [Ап] = [Ь] [C.F;
H21]-[5u]-[d][S21]; [Л22] = - [Ли]Т; E.39)
[ft] = [CJ [SM]->; [d]
Коэффициенты матрицы разрешающей системы, определенные
соотношениями E.39), справедливы как для симметричных, так и
для кососимметричных составляющих решений.
§ 5.3. Устойчивость и колебания
трехслойных оболочек
Рассмотрим вариационную формулировку задач устойчивости и
колебаний трехслойных оболочек, деформирование которых описы-
описывается с использованием гипотезы «ломаной линии». Будем считать,
что в исходном невозмущенном состоянии оболочка напряжена, но
недеформирована. Для консервативной системы с использованием
принципа Даламбера запишем условие существования смежного
равновесного состояния C.40):
l
J I l} }
1=1 s hU) i=i s h(O
+ S ! ! б (°}Т{й(.°} р('W>dz dS = 0, E.40)
«=1 S h(i)
где {«!/)}, {e</>}, {cr^*} — дополнительные перемещения, дефор-
деформации и напряжения, возникающие в слоях оболочки при пере-
переходе в смежное положение; {(?<'>} — начальные напряжения; {е^,*} —
дополнительные деформации второго порядка малости.
Поскольку исходное состояние считается недеформированным,
то дополнительные деформации первого порядка малости связаны
с дополнительными перемещениями теми же зависимостями, что и
при решении линейной задачи статики:
lei°] = {«!'»}+Т(Ок°) ('=1.2, 3),
где {е</>}, {и</>} — векторы, компоненты которых выражаются.соот-
выражаются.соотношениями, аналогичными E.20)—E.22), в которых вместо неза-
независимых переменных иъ и2, us, tylt г^ следует использовать дополни-
дополнительные перемещения и углы поворота и*, «1. "з, ^Г, ^2-
210
Будем считать, что деформации второго порядка малости, как
и в классической теории, в основном определяются углами поворота
нормали:
|р(О] _ Г " (О ¦• (О „"@1
е2
(t=l,
где
Тогда слагаемые, учитывающие начальное напряженное состоя-
состояние в условии E.40), можно представить в следующем виде:
Si
;=i s
где
Здесь
IT0(O
1
Г02(о
@ _ f
= J
ft(O
Zj,
Г0
У 12
ft(O
— начальные погонные усилия в слоях.
Для подсчета слагаемых, учитывающих инерционные свойства
системы, представим распределение перемещений по слоям еле
дующим образом. В несущих слоях не будем учитывать перемещения"
связанные с углами поворота нормалей обшивок, {и^} = [/<'> ] {?/*'
(/= 1, 2, 3,), где («</>} = {«;<'>, u^l\ ul{% {UJ={ul u2> ul, tf f}
1 О О со О
0 10 0 с«>
0 0 10 О
C)
1 0 0 v
0 10 0
0 0 10
v<3>
0
Тогда S [ }
1 S (
»=i s
где
[m«>J = J
E.41)
Для гармонического колебательного движения, полагая, что
^} = —(о2 {?/*}, в окончательном виде вариационное условие
211
существования смежного равновесного состояния можно представить
в следующей форме:
1=0 S
-ш*6 {?/„}* [m<'>] {?/„}) dS = 0. E.42)
Вариационное условие E.42) позволяет получить разрешающие
уравнения в перемещениях для решения задачи устойчивости и
колебаний трехслойных оболочек, а также сформулировать однород-
однородные граничные условия задачи.
Рассмотрим получение канонических систем для трехслойных
оболочек вращения. В качестве обобщенных дополнительных пере-
перемещений с учетом обозначений D.58) примем {XJ = {и*, v*, w*,
У\> №> #*}• Компонентами вектора производных {У %} будут {У%} =
4
Как и раньше, условие связи между векторами {X.J и
запишем в виде дифференциального уравнения
где [Сц], [С»] — матрицы, определенные для уравнения E.32).
Воспользовавшись условиями периодичности по угловой коор-
координате р, для оболочек вращения решения будем искать в виде раз-
разложения в тригонометрические ряды:
{*} {м} + Ф {*
п=0 п=0
{У*} = S 1Р»„] {^*л} + S [P««l {^*n}; E-44)
Е 1№ №) + ? [Р^] \Ё^) A=1 2, 3);
л=0 л=0
n=0 n=0
где
[p^] = Fcosnp, sin«p_yj; [p^l] = Fsln«p, ~cos«p_J.
Остальные матрицы, содержащие тригонометрические функции
разложения, приводились для выражений E.33), E.34)."Амплитуд-
E.34)."Амплитудные значения составляющих векторов 'разложения деформаций и
углов поворота могут быть выраженьГчерез амплитудные значения
векторов разложения обобщенных перемещений и производных:
{»#) = [R(nl)] {X.n) (i = 1, 2, 3), E.45)
212
где
0
0
rt(
0
AS0
(°
0 к
h(i)
A-2);
я/вР;
0
;@
rt =
0
= 2
я/Я
@
('¦> -
l/ef°
0
-zC);
*('>=*
Коэффициенты матриц [L{^], [L^] были представлены на с. 207,
208. Аналогичным образом записываются выражения и для косо-
симметричных составляющих.
Поскольку при получении разрешающих уравнений в качестве
независимых переменных будут выступать компоненты векторов {X*}
и {^*)> то перемещения {?/*}, фигурирующие в E.42) при записи
работы сил инерции, удобно формально представить в виде
— tn^J,
E.46)
где
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
После выполненных подготовительных операций воспользуемся
для оболочки вращения вариационным уравнением E.42), которое
дополним условиями связи E.43):
= 0.
E.47)
Для оболочек вращения рассмотрим тот случай, когда оси упру-
упругой симметрии слоев совпадают с направлениями-координатных ли-
линий и начальное напряженное состояние является осесимметричным.
Тогда гармоники разложения можно рассматривать независимо
друг от друга. Принимая во внимание разложение в тригонометри-
тригонометрические ряды E.44) и соотношения (!>.45) и E.46), для n-й гармоники
разложения из вариационного уравнения E.47) получим уравнения
Эйлера:
ISU) {Х,п}
[Si2]{Y.n}-±-4-.
\- [S
221
= 0,
= 0; E.48)
E.49)
213
где
{Кп} = В {\im};
[St,] = В 2J. [LWY [D^] [Lin] (i, / = 1, 2);
[Sn] = [Sn]-{-B\A
\ 1=1 ' i=\
E.50)
Л — параметр пропорционального нагружения (при этом считается,
что ?у> определяет то начальное напряженное состояние, для кото-
которого условно принято значение Л = 1), [т<'> ] — матрицы, которые
вычисляются согласно E.41). Однородные геометрические гранич-
граничные условия формируются компонентами вектора обобщенных пере-
перемещений {Хт}, силовые — с помощью компонентов вектора обоб-
обобщенных силовых факторов {Кп}-
Уравнения E.48), E.49) совместно с условием связи E.43), запи-
записанным для /1-й гармоники разложения, позволяют получить иско-
искомую каноническую систему
А ^\Кп\ LM2i] [Л.
где
[Ail = [Сх] - [b] [Sa)\ [Alt] = [b] [C2]T;
[Ал] = [Sfi] - [d] [S2il; [A22] = - [Лц]т;
[Ь] = [C8] IS,,]-1; [d] = [Sn]T[SM]-1.
Полученная матрица канонической системы разрешающих диф-
дифференциальных уравнений E.51) отличается от соответствующей
матрицы системы для задачи статики [см. E.38) ] матричным бло-
блоком W:i], при вычислении которого матрицей [Sfi 1 [см. E.50)]
учитываются начальное напряженное состояние и инерционность
системы. Параметр нагружения Л для решения задачи устойчивости
(со2 — для задачи колебаний) является искомым собственным зна-
значением для п-й гармоники волнообразования.
§ 5.4. Условия сопряжения
трехслойных оболочек вращения со шпангоутами
Предварительно рассмотрим переход от местной системы коор-
координат к глобальной. На рис. 5.11 показан элемент трехслойной обо-
оболочки с номерами узлов i, j. & качестве обобщенных перемещений
в местной системе координат используются независимые переменные
{) {{X' ' {Щ * {' l i { Щ {Х
р у р
{Я) = {{X'}, ' {Щ, где {*'} = {и', v\ wl, x\i, i{, Щ; {Х>} -
= {и!, V', wi, г|з{, \|;|. Щ}- Здесь индексы г", /' указывают на принадлеж-
принадлежность к узлу i или /. В качестве обобщенных перемещений в глобаль-
глобальной системе координат вместо перемещений срединной поверхности
слоя заполнителя «', до1', и', до'" будем пользоваться радиальными и
214
Рис. 5.11.
Рис. 5.12.
осевыми перемещениями \l, ?' и V, V (см. рис. 5.11). Таким образом,
компонентами вектора обобщенных перемещений в глобальной
системе координат будут {q}3 = {{Xl}3, {X'}s}, где {Х'}5 = {?',
v', V, Гг. ч& ЧУ, №. = №, vt, у, w, щ, Ц}-
Поскольку связь касательного перемещения и и нормального
перемещения до с радиальным и осевым перемещениями ? и ? осу-
осуществляется с помощью соотношений и — % cos 9 + t, sin 9; w —
= E sin 0 — t, cos 0 @ — угол между осью вращения и внешней
нормалью), то перевод в глобальную систему можно осуществить
с помощью преобразования
{q} = [C]{q}s,
где
cos 0ft
СИМ.
0
1
Г [С,]
L [0]
Sin 0ft
0
-cos Oft
[0]
[Cj.
0
0
0
1
1
и
0
0
0
0
1
7
0
0
0
0
0
1
=i, j).
Углы 0ft (k = i, j) показаны на рис. 5.11.
Будем условно считать, что трехслойная оболочка соединяется
со шпангоутом по кольцевой окружности i (рис. 5.12). Введем для
шпангоута систему координат Oapz, начало которой поместим в центре
тяжести сечения шпангоута. Тогда координаты узловой окруж-
окружности i, в которой соединяется шпангоут и трехслойная оболочка,
будут at, zt.
Как отмечалось в § 4.5, перемещения любой точки сечения шпан-
шпангоута однозначно определяются перемещениями, углами поворотов
215
Линии центров тяжести сечения и координатами рассматриваемой
точки. Таким образом, для точек, принадлежащих окружности
с координатами а,-, ги будем иметь
E.52)
где ?г, о', ?г — перемещения точек линии центров тяжести сечений
шпангоута (а = 0, г = 0 на рис. 5.12); ¦&[, #?, 0|— углы поворота
шпангоута вокруг осей а, |3, z (см. рис. 4.13) причем
E.53)
При сопряжении по углам поворота трехслойной оболочки
со шпангоутом будем считать, что шпангоут накладывает на трех-
трехслойную оболочку условия жесткой диафрагмы, которая запре-
запрещает относительное перемещение слоев обшивок (рис. 5.13). Таким
образом,
(
E.54)
На рис. 5.13 поясняется различие деформирования трехслойного
элемента в случаях, если в сечении i отсутствует жесткая диафраг-
диафрагма (рис. 5.13, а) и если диафрагма установлена (рис. 5.13, б).
Для л-й гармоники разложения решений по угловой координате
геометрические условия сопряжения [см. E.52) и E.54)] можно
представить следующим образом:
{Xn}t=[Qn]{Xn}rt E.55)
где
№ =
' 1
zfi
О
О
п
О
О — at'
О
О
MR
О
1
О
О
О
2;
1
О
1
{Хп}г=\1Гп, ^ S» Of»}-
Для кососимметричных составляющих решения коэффициенты
матрицы [Qln] не изменяются. Индексы s и г указывают на принад-
216
Рис. 5.13.
лежность величины к оболочечному
и кольцевому элементам соответст-
соответственно.
Силовые граничные условия
можно представить в виде уравне-
уравнений равновесия шпангоута, на
который кроме внешних нагрузок
{Р}г действуют реакции трех-
трехслойной оболочки. Получим эти
уравнения с использование прин-
принципа возможных перемещений.
При этом будем считать, что известны для п-х гармоник разложения
матрицы жесткости шпангоута [Knh [CM- D.160)] и матрицы жест-
жесткости трехслойного элемента 1Кп\> которые вычисляются по стан-
стандартным процедурам интегрирования канонической системы диффе-
дифференциальных уравнений статики и последующего преобразования
[см. D.135), D.136)]. Для узла конструкции, содержащего шпан-
шпангоут и примыкающий элемент оболочки, согласно принципу воз-
возможных перемещений для равновесного состояния будем иметь
8 {Xn}J ([Kn]r {Хп}г - {Рп}г) + 8 {<7n}sT ([Knh {qn)s - {Pn}s - {tn}s) = 0,
E.56)
где
{Pn}s={{Pn)s
[Кп]°-
[[Кп] [К„1У
Здесь {^}s — вектор реакций отброшенной части оболочки.
Принимая во внимание геометрические условия сопряжения
[см. E.55) ], показывающие, что на обобщенные перемещения в месте
стыковки трехслойной оболочки со шпангоутом наложены допол
нительные связи, перейдем в элементе s к новым обобщенным
перемещениям {q'n}s-
Ш, = [Н']{Чп}„ E.57)
где
^Ч^о]1 1[Е\\' ^—
Условие E.57) показывает, что для узловой окружности i трех-
трехслойной оболочки ее обобщенные перемещения однозначно опре-
определяются обобщенными перемещениями шпангоута.
Подстановка E.57) в условие равновесия E.56) приводит к тому,
что матрица жесткости трехслойного элемента и вектор приведен-
приведенных узловых нагрузок преобразуются к следующему виду:
E.58)
217
или в блочном представлении с учетом структуры матрицы [Н{)
JK'] _\lKh] [K'i]]. /p'l _|/p<'l [p/'i 1 ли,
lAnJs— rfc" l г Л" 1 ' \"n]s=\\rn]$j\"n]s]t (О. Oil)
L lA/f] [A.//J J
где
[/(«] - [Q»]T [K«] [Qnl; [#/] = Шт [Kt,];
Раскрыв скалярные произведения в условии E.56) с учетом
E.59), в силу произвольности компонент векторов б {Хп}г полу-
получим искомые уравнения равновесия шпангоута:
+[К«1) {Xn}r + [K't,] [Х'п\, = {Pn}r + \Pn Is-
Таким образом, при решении задачи с помощью МК.Э стыковку
трехслойной оболочки со шпангоутом формально можно рассмат-
рассматривать как сопряжение элементов, у которых имеются различные
числа узловых обобщенных перемещений. Причем на перемещения
примыкающего узла трехслойной оболочки накладываются допол-
дополнительные кинематические условия [см. E.57) ], в соответствии с ко-
которыми перестраиваются матрица жесткости элемента [см. E.58)]
и вектор приведенных узловых нагрузок.
При решении задач устойчивости и колебаний для дополнитель-
дополнительных перемещений геометрические условия сопряжения остаются
такими же, как и при решении задачи статики E.57), поэтому для
трехслойного элемента его матрица приведенных начальных напря-
напряжений и матрица приведенных масс преобразуются таким же об-
образом, как и матрица жесткости элемента, т. е. с использованием
соотношений E.58).
§ 5.5. Расчет трехслойных оболочек с учетом
трансверсальнои податливости слоя заполнителя
Для толстостенных трехслойных оболочек с податливым слоем
заполнителя при исследовании локальных краевых эффектов в ок-
окрестности приложения сосредоточенных сил и закреплений, а также
при коротковолновых формах потери устойчивости и колебаний
расчет проводят с учетом деформаций поперечного сдвига и сжатия
в слое заполнителя. Наиболее простая модель, позволяющая в пер-
первом приближении учитывать указанные деформации, может быть
получена с использованием предположения о линейном законе рас-
распределения всех компонент вектора перемещений по толщине за-
заполнителя [11]. Рассмотрим основные соотношения и вариационные
формулировки решения задач статики, устойчивости и колебаний,
соответствующие данной модели.
На рис. 5.4 поясняется кинематика деформирования трехслой-
трехслойного пакета. Примем в качестве независимых переменных касатель-
218
ные и нормальные перемещения нижней и верхней поверхностей
заполнителя u[l), 4'\ «з'\ uf\ ui2), uC2).
Тогда распределение перемещений в слое заполнителя t»J3) =
= «Г» — 7<3)Ф/ (» = 1. 2, 3),
где
«{3)=4-КЧ"'-2>); */ = -sir(«i2)-«i!)) ('= 1.2.3); E.60)
= 2 — 2<3>.
Здесь/iC> — толщина слоя заполнителя; z<3> — координата г средин-
срединного слоя заполнителя.
Будем рассматривать достаточно тонкие обшивки трехслойной
оболочки, чтобы для описания распределений перемещений восполь-
воспользоваться гипотезами Кирхгофа—Лява:
4l) = up (i=l, 2),
где у(') = г — г(').
Углы поворота нормалей обшивок i3p, ¦вг|'"> связаны с перемещени-
перемещенионошея
ями соотношениями
где 8('> = 1 + kizW> A ч± 2) i = 1, 2; z<'>, z<2> — нормальные коор-
координаты поверхностей нижней и верхней обшивок, примыкающих
к слою заполнителя.
Рассмотрим распределение деформаций, соответствующих выб-
выбранной модели. Из общих выражений для линейных деформаций
D.182), принимая во внимание, что
1 ki у'
и ограничиваясь линейными относительно уA) слагаемыми, получим
{e(')} = {e(«)}4-Y('){>c(')} (i= 1,2,3), E.61)
где для слоев обшивок (i = 1, 2) в качестве компонент векторов имеем
} { YJJ} {} { ф $) {} { ф}
Компоненты векторов {е(()} определяют деформации поверх-
поверхностей г = z(() (i = 1, 2):
rAi)
219
а компоненты вектора {и<'>} — изменения кривизн обшивок:
-±-
E-63)
Слой заполнителя будем считать трансверсально мягким, вос-
воспринимающим лишь напряжения поперечного сдвига и сжатия
поэтому в качестве компонент векторов в выражении E.61) доста
точно рассмотреть следующие:
где
E.64)
i43) = 0.
Здесь под перемещениями срединной поверхности слоя запол-
заполнителя и нормальными составляющими градиентов перемещений
понимаются их представления в виде E.60). При использовании
в расчетах осредненных значений деформаций поперечного сдвига
компонентами вектора {х<3>} можно пренебречь.
Соотношения упругости для слоев запишем в матричном виде:
A=1,2,3), E.65)
где для слоев обшивок {а<1>} = {сг('>, ар, т|?>} (t = 1, 2) и коэф-
коэффициенты матриц [GO} имеют структуру такую же, как в выраже-
выражениях E.23), E.24). Для слоя заполнителя в качестве компонент
вектора {аC)| выступают: {аC)} = [тЦ\ %$, af'). В случае
совпадения осей ортотропии с координатными линиями матрица [GC> ]
имеет диагональную структуру: [GC> ] = [^gtt, gu, ёзз^}, где для
однородного по толщине материала g5S = G13> g44 = G23, g33 =
= ^з/A - Лз).
Здесь тK = riiVgi + ti3v32;
V12V23 „ _ у2з +
— l-vi2v2l ' Ъ- l-vl2v21
G13, G23 — модули поперечных сдвигов; Я3 — трансверсальный мо-
модуль; vtj — коэффициенты поперечной деформации.
220
Воспользовавшись, как и в § 5.2, принципом возможных пере-
перемещений и соотношениями упругости E.65), получим вариационную
формулировку задачи статики, аналогичную E.28):
2 f в {?(°}т [0<'>] {?(°} <# - 2 J s"{
t=l S i=\ S
-\8{Ur}t{iir}dr = 0, E.66)
r
где
' e?\ e\i\ x,«\ >4°, «#} (i=l, 2);
MS>, «Й», «i8), x|§>, 4l\ o};
@,
=l. 2);
Перемещения «v°i «(/' представляют для поверхностей г = zt
тангенциальные перемещения, направленные по нормали и по каса-
касательной к контуру Г; ¦O't0 — углы поворота нормалей обшивок в
плоскости vz (v — нормаль к контуру Г). Компоненты вектора {\ir}
представляют сопряженные с обобщенными перемещениями {0г}
внешние силовые факторы. Матрицы [DC> ] вычисляются аналогично
E.27).
Вариационная формулировка E.66) задачи статики с использо-
использованием соотношений E.62)—E.64) позволяет получить разрешающие
уравнения в перемещениях и граничные условия.
Определим необходимые исходные матрицы, которыми можно
воспользоваться при получении вариационно-матричным способом
канонических систем дифференциальных уравнений для оболочек
вращения. В качестве компонент вектора обобщенных перемещений
для данной модели деформирования с учетом обозначений D.58)
следует принять
Компонентами вектора производных {Y} будут
Дифференциальное условие связи между векторами {X} и
{Y} записывается в стандартной форме:
j^ffl- Юг) {X} - [Са] {Y} = 0, E.67)
221
где
0
0
К
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
—8'1'
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
к
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о-
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
•
Воспользовавшись условиями периодичности решений по угло-
угловой координате р, разложим все компоненты искомого решения
в тригонометрические ряды. Связь амплитудных значений компонент
обобщенных деформаций {?A)} с амплитудными значениями век-
векторов обобщенных перемещений ,{Х} и вектора производных
{Y} запишем в матричном виде:
{Е™} =
} + [ф\ {Yn} {i=\, 2, 3),
E.68)
где [Lin], [Lin] — матрицы, имеющие следующую структуру:
ш=[to] u\m
Матрицы [/{„>], [#>], U
0=1,2)
0
i|)<0
—п«'>
0
Г/BI _ rrni Г/РП- Г/CI
[Зп] приводятся ниже:
0 k\l)
n{i) kBl)
—ifC) 0
о _(*!<>)'
= 0.
0
0
0
0
—2
n@
222
(/=1, 2)
где
1
ЛC)
0
0
0
1
2
0
0
0
п C)
2
1
Лсз)
0
(
(C) )
о
о
О
О
О
о
о
о
О
О
о
/6{
о
о
as
№ =
26J3'
о
ДО)
26?»>
О
0
0
0
0
0
0
бр(
1 \
C)
ЛC)
о
ЛC)
О
Перемещения {?/<'>}, на которых совершают работу внешние
поверхностные нагрузки, формально можно выразить через компо-
компоненты вектора обобщенных перемещений:
E.69)
где
= [Я«>]{Х> (
Г С1 11. I-^IJ
с ill;
t =
-i
0
0
о
1
0
2),
0
0
1
0
0
0
Здесь матрица [0 ] обозначает нулевую матрицу размерности C х 4).
С использованием полученных для данной модели деформиро-
деформирования матриц l&], [C2], [Lft], [L$], [DU)], [F(l)] каноническая
система разрешающих дифференциальных уравнений для /i-й гар-
223
моники разложения получается с помощью стандартных операций
E.39).
Аналогично тому, как было показано в § 5.4, перевод в глобаль-
глобальную систему координат матриц жесткости элемента трехслойной
оболочки осуществляется с помощью матрицы преобразования [С]:
[C] = [
I [C];
cos Qk О
1
sin 0ft
0
0
0
0
1
[0]
0
0
0
0
COS 0ft
сим.
[0]
[Cj]
0
0
0
0
0
1
;
0
0
0
0
sin 0ft
0
—COS 0ft
o-
0
0
0
0
0
0
1
(*='. /).
где 8г, в/ — углы между осью вращения и нормалями,
восстановленными в узловых сечениях /, / (см. рис. 5.11). Обобщен-
Обобщенными перемещениями для сечений оболочки в этом случае будут
выступать
/2> \
k =
При стыковке трехслойной оболочки со шпангоутом формальные
преобразования матрицы жесткости примыкающего элемента ана-
аналогичны E.58):
HQ^lH'flKnhlH1], E.70)
где
Здесь
I [Ok
[E]
0 —с
0
0
1
0
0
0
0
0
i+zm
0
0
1
0
0
a?
1
0
224
aj1', zF\ aJ2\ 2|-2) — координаты окруж-
окружностей сопряжения (рис. 5.14). Матрицы
[0]12, [0]2iH [E] имеют размерности (8x8),
(8 X 4) и (8x8) соответственно. В резуль-
результате преобразования E.70) матрица жест-
жесткости трехслойного элемента имеет раз-
размерность A2 х 12).
При получении условий сопряжения
используются следующие предположения.
Для точек A) и B), принадлежащих ок-
окружностям сопряжения (см. рис. 5.14),
выполняются следующие равенства по перемещениям, и углам по-
поворота:
где индексами s и г отмечается принадлежность к оболочке или шпан-
шпангоуту; k t= I, 2 — номер окружности сопряжения.
В свою очередь, перемещения точек шпангоута, лежащих на k-й
окружности, однозначно определяются перемещениями центра тя-
тяжести сечения шпангоута и его углами поворота:
Рис. 5.14.
(k=l, 2),
где •&?, •&? — углы поворота, определяющиеся выражениями E.53).
При решении задачи устойчивости и колебаний трехслойных
оболочек с учетом трансвер саль ной податливости слоя заполни-
заполнителя'будем пользоваться следующим вариационным условием су-
существования смежного равновесного состояния:
з
2
2 j W
где
= о,
{??'>} = {в* (О, е*('), в* «О, х*«'), х*«'), х*«)} (f=
/иCI ( *3 * C) * C) * C) * C) п\.
\Ey] = \ei3, е23 , е3 ;, Щз >, x23v', 0);
{t/#} = {М* О, V* A), да* О, М* B), у* B), да* B)};
{ОД = №(|). **«')} (^=1, 2);
[«(')]= J [/(O]T[/«)]p(O6(O6(')d2 (t=l, 2, 3);
= № [0]]; [/<2>] = [[0] [?]];
[/*] = [кх[?] к2 [?]];
\ v<3) . - 1
2
2);
225
Здесь компоненты, отмеченные звездочкой, — дополнительные
величины первого порядка малости; [Е], [0] —единичная и нуле-
нулевая матрица размерности C х 3). Поскольку начальное состояние
считается напряженным, но недеформированным, все полученные
ранее деформационные соотношения остаются справедливыми и
для дополнительных величин.
При получении канонических систем дифференциальных урав-
уравнений в качестве компонент вектора дополнительных обобщенных
перемещений первого порядка малости примем
• {X,} = {«*<'), v* <>>, ш*<»>, G* <»>, м*<2>, у*<2>, ш*<2>, О*<«}.
В этом случае матрицы связи [Ci], [C2] остаются такими же,
как в уравнении E.67). Матрицы [Ц'п], [Ц'п], определяющие де-
деформационные соотношения, были приведены для уравнений E.68).
Матричные блоки канонической системы разрешающих уравнений
вычисляются по зависимостям, представленным ранее для урав-
уравнения E.51), при этом матрица ISu 1 вычисляется следующим об-
образом:
ш=is,,]+в (л ij №*>г м> ш>] ]
где
[Л = [ [0] [^]J
Здесь матрица [Ег] имеет тот же вид, что и для выражения E.69);
Л — параметр нагружения; со — круговая частота.
§ 5.6. Устойчивость и колебания
прямоугольных трехслойных пластин,
цилиндрических панелей и оболочек
с многослойными обшивками
Рассмотрим метод расчета критических нагрузок и частот коле-
колебаний трехслойных прямоугольных пластин, цилиндрических па-
панелей и оболочек [42]. Расчетные схемы исследуемых объектов пока-
показаны на рис. 5.15.
Верхняя и нижняя обшивки в общем.случае представляют много-
многослойные тонкие панели, отдельные слои которых выполнены из раз-
различных ортотропных материалов и могут иметь различные толщины.
При использовании композиционных материалов отдельный слой
может быть перекрестно-армированным (см. рис. 5.10). Материал
заполнителя ортотропный, главные направления его упругих свойств
совпадают с осями х, у, г. Для конструктивно-ортотропных запол-
226
Рис. 5.15.
нителей с дискретной структурой в качестве упругих характерис-
характеристик рассматриваются их приведенные характеристики. .
Идеализированные граничные условия, которые будут рассмот-
рассмотрены ниже, соответствуют шарнирному опиранию обшивок по всему
контуру.
Трехслойная пластина, панель или оболочка нагружаются по
обшивкам тангенциальными равномерно распределенными погон-
погонными усилиями (рис. 5.16). Погонные усилия Г°(<), Т°у{1) (i = 1,2)
могут задаваться отдельно для нижней и верхней обшивок, а также
в виде суммарных величин Т°х, Ту. В последнем случае погонные
усилия будем распределять по обшивкам пропорционально жест-
костям несущих слоев. Для цилиндрической панели или оболочки
возможно также задание внешнего равномерного давления pz.
При решении задачи устойчивости нагружение будем считать про-
пропорциональным, ' при определении частот — фиксированным.
Сформулируем основные допущения. Для описания деформиро-
деформирования многослойных обшивок будем использовать гипотезы Кирх-
Кирхгофа—Лява. Для приближенного учета всех компонент напряженно-
деформированного состояния в слое заполнителя принимается аппро-
аппроксимация распределения касательных перемещений по нормальной
координате z в виде кубической параболы, для нормальных переме-
перемещений — в виде квадратичной параболы.
Внешние нагрузки считаются «мертвыми»,
т. е. не изменяющими своего направления
при потере устойчивости. Предполагается,
что в исходном невозмущенном состоянии
конструкция напряжена, но не деформиро-,
вана. Напряженное состояние безмо-
ментное.
Для учета деформаций поперечного
сдвига и сжатия в слое заполнителя ис-
используется кинематический подход, согла-
согласно которому вводятся гипотезы распреде-
227
ления перемещений по толщине слоя. Перемещения раскладываются
в степенные ряды относительно аргумента г. Для аппроксимаций
нормального перемещения v^ удерживаются первые три члена раз-
разложения, для касательных перемещений v{3), vi3) — четыре:
Vs3) = То + 27i + -у ^Чг,
v\3) = «о + га, + -i" г*а2 + "Г г"аз ~
^з>=Ро+zpi ¦+¦ 4- ^+4- ^ - ~
где Уз3), uiC), ^23> — нормальное и касательные безразмерные пере-
перемещения слоя заполнителя. Здесь и ниже под безразмерными следует
понимать величины, отнесенные к размеру а (см. рис. 5.15). Коэф-
Коэффициенты а0, ах, ..., у2 — искомые функции аргументов х, у; х,
у, z — безразмерные координаты пластины, панели, оболочки.
Выбранная аппроксимация перемещений E.71) позволяет достаточно
устойчиво осуществить предельный переход к тонким оболочкам
и пластинкам.
Распределение перемещений в обшивках принимается согласно
гипотезам Кирхгофа—Лява:
E.72)
> (/=1, 2).
Здесь wit щ, vt — перемещения поверхностей сопряжения обшивок
и заполнителя:
») C)(@) p(z") (i=l, 2);
z<') — координаты поверхностей сопряжения, углы поворота норма-
нормалей обшивок:
E-73)
где k = MR, б<') = 1 + kzW.
Для цилиндрической панели связь линейных деформаций слоев
с перемещениями устанавливается согласно соотношениям
tj-^ (/=1, 2, 3);
228
При решении задачи с помощью метода Рэлея—Ритца движение
системы будем считать периодическим с круговой частотой со. Для
граничных условий типа шарнирного опирания функции, аппрок-
аппроксимирующие распределение перемещений E.71), разложим в двой-
двойные тригонометрические ряды по координатам х, у:
ak = sin cor 2 2 akmn cos tnx sin ny;
in n
f»/? = sin cox 2 2 Pkmn sin tnx cos ny, E.74)
tn n
уi = sin сот 2 2 Уипп sin tnx sin ny, .
m n
где& ^ 0, 1, 2, 3, / = 0, 1, 2, m = mn, n = nn/X, X = Ыа. Для замк-
замкнутой круговой цилиндрической оболочки % = nR/a.
Функции, аппроксимирующие распределение перемещений, при-
примем в качестве обобщенных перемещений {q} и для более компакт-
компактной формы записи разложение E.74) представим в векторно-матрич-
ном виде:
{q} = sin сот 2 2 [P,mn] {<7m,,}, E.75)
in n
где '
{<?} = {Рз, «з, Рг, «2, Va, Pi, ai, ?i, Po, «o, To}- E.76)
Диагональные матрицы [p,mn], содержащие тригонометрические
функции разложения, согласно E.74) имеют следующий вид:
[Р?'нп] = Psinrax cos ny, cos fhx sin ny, sin mx cos ny, cos mx sin ny,
s\n mx sin ny, sin fhx cos ny, cos fhx sin ny, sinwxsinm/,
sin fhx cos ny, cos fhx sin пг/, sin fhx sin %_J,
где {qmn} — вектор, содержащий соответствующие {q} E.76)
амплитудные значения гармоник разложения.
Аналогичным образом можно представить распределение пере-
перемещений по слоям:
{U{i)} = sin сот 2 2 WuL] M (i=l, 2, 3), E.77)
т п
где \U{i)] =¦ {vin, v[l), У20); [р^„] = \~s\nfhxsinny, cosmxsinny,
sin fhx cos nyjj.
Связь перемещений слоев с коэффициентами аппроксимаций
для амплитудных значений гармоник разложения устанавливается
с использованием соотношений E.71), E.72) и может быть представ-
представлена в матричном виде:
{Uf&} = [FW]{qim} A=1,2,3), E.78)
где матрицы [Fj,'xl] приводятся ниже:
229
о
о
« о
ig
~ 'S 1!?
+ с
о —• о
о о —
во
О N О
О О N
*эд
4-
о о % Iе*3
- ю
О)
Распределение углов поворота нормалей в обшивках устанав-
устанавливается с учетом E.73):
{fl@| =sinorc E S №n] № (»= 1, 2), E.79)
т п
где
{*">} = {о*°, <>};
1$тп] — (~cos rax sin ny, sin raxcos ш/_|;
{^} = [/?^]{<7m«} (i=l, 2).
Коэффициенты матриц [/??«] даются ниже:
m(z) „,
0 0 0 0 2 ; 0 0 т2A) 0 0 т
— J X
ч,
С использованием выражений E.71) и принимая во внимание
E.75), связь деформаций с обобщенными перемещениями также
представим в векторно-матричной форме:
{e(')} = sina»TS S[p^]{e^); E.80)
щ п
{е^} = [В<&] {qmn} (/=1,2,3), E.81)
где для несущих слоев
Iе ) — \Ех , ?у , Уху I (.' — 1, ^,
[fiemn] == F~sin mx sin йг/, sin rax sin ny, cos mx cos ny_\;
для слоя заполнителя
/Р(ЗП fpC) -C) „C) C) C) .,CI.
[рётп] = [~sin rax sin Яг/, sin rax sin ny, sin rax sin ny, cos mx cosily,
cos rax sin ny, sin rax cos ny |;
[RC)l If CI r/7C)l I r?" I
\Dmn\ — [Lmni ["mn\ ~]~ [rmn\-
Коэффициенты матриц [Lmn] (i — 1. 2, 3) и [Fmn] приводятся ниже:
0 га 0
Kt 0 — rt/6C
0 п/6<О га
231
[f'mn] =
и
0
0
0
0
0
CI
0
0
0
0
22
0
=
0
0
0
0
0
2
" 0
—т
0
0
0
0
0
т
с
0 -
«я
0
—hit
0
0
z
0
тг2
2
~2~
C)
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
tt/6<3>
т
0
0
1
0
tti 7
—nz
т
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
га/6C>
0
—щ _
о ¦
0
0
0
—— III
—п
Используя вариационную формулировку условия существования
смежного равновесного состояния [см. E.40) J и учитывая представ-
представления перемещений, углов поворота и деформаций слоев [см. E.77)—
E.81)], придем к следующему виду обобщенной задачи на собствен-
собственные значения:
([**„] + Л [Ттп] - со3 [Мтп]) {qnn} = О,
где [Kmnh 1Ттп], Штп 1 — приведенные матрицы жесткости, на-
начальных напряжений и масс; Л — параметр нагружения.
Для вычисления матрицы жесткости [Ктп) исходными являются
соотношения упругости для слоев и связи деформаций с перемеще-
перемещениями. Матрица жесткости [/Cm?l] состоит из трех слагаемых, ко-
которые определяются матрицами жесткости обшивок и заполнителя:
з
[Ктп] = Zj [Kmnl-
При слоистой структуре обшивок и заполнителя матрицы
E.82)
где л<') — число слоев (предполагается, что заполнитель состоит
из одного слоя, яC) = 1); / — номер слоя; гI\, г}0 — начальная
и конечная координаты г для /-го слоя i-й обшивки; z</> = г<'' (i —
= 1, 2) представляют координаты поверхностей сопряжения обши-
обшивок с заполнителем; для слоя заполнителя z?3) = z(!>, zi3)-^zB);
[Bml\ — матрицы, определяющие для т—л-и гармоники волнооб-
волнообразования связь амплитудных значений деформаций с амплитудными
значениями коэффициентов аппроксимаций {qmn} [см. E.81) ]; [Gj°J —
матрица коэффициентов упругости соответствующего слоя.
Интегрирование E.82) по координате z удобно выполнять чис-
численно на ЭВМ с использованием квадратурных формул Котеса вто-
второго порядка для слоев обшивок и шестого порядка для слоя запол-
заполнителя.
232
Матрица начальных напряжений \Ттп\ формируется по задан-
заданным напряжениям в обшивках и матрицам связи углов поворота с амп-
амплитудными значениями коэффициентов аппроксимации {qmn}:
где
[о0 A) 0
о ;<}
Ох10. о°у{1) — начальные напряжения в t-й обшивке.
Матрица приведенных масс Шт„] вычисляется по известным
плотностям отдельных слоев и распределениям перемещений по
нормальной координате:
где
„(о *Г
{
(P/° — удельная плотность /-го слоя t-й обшивки; р}*' — удельная
плотность заполнителя).
§ 5.7. Примеры расчетов трехслойных
конструкций
Пример 1. Устойчивость трехслойной прямо-
прямоугольной пластины. Исследуем влияние схем укладки
однонаправленных слоев углепластика в обшивках трехслойной
пластины на критические нагрузки шарнирно опертой по контуру
трехслойной прямоугольной пластины при одноосном равномерном
нагружении- Рассмотрим варианты укладки несущих слоев: [ф,
90°, —ф] и [ф, 0°, —ф], углы укладки отсчитываются от оси
х, вдоль которой действует нагрузка. Упругие характеристики
однонаправленного слоя примем равными: Ег = 15-10* МПа, Е2 =
= 0,8-104 МПа, G12 == 0,5-10* МПа, v12 = 0,28 [направление оси
/ (см гл. 1) совпадает с направлением армирования ]. Толщина одно-
однонаправленного слоя 0,18-10~3 м. Приведенные упругие характерис-
характеристики заполнителя принимались равными: Gxz = 26 МПа, Gyz =
= 17 МПа, Ez = 100 МПа, Ех = Ev = Gxy = 0. Толщина запол-
заполнителя 3,0-10 м. Габариты пластины а = Ъ = 1 м.
Проведенный расчет по совместному исследованию несимметрич-
несимметричной (общей) и симметричной (типа «сморщивания») форм потери
устойчивости (см. § 5.6) показал, что им соответствуют два локаль-
8 А.1футов Н. А. и др.
КОЛОХ2А
233
НЕ БОЛЕЕ 1Я КНИГИ В !
ОДНИ РУКИ И 2XS ДВЕ ]
б.,мпа
300
200
wo
X
JO
BO
Рис. 5.17.
ных минимума критических нагрузок.
На рис. 5.17 представлены результаты
расчета, полученные с использованием
программы [42]. Величина а* опреде-
определяет средние критические напряжения.
Сплошными линиями представлены ре-
результаты расчета для варианта укладки
несущих слоев [ф, 90°, —<р], пунктир-
пунктирными — для [ф, 0°, —ф]. Кривые 1, 2
соответствуют несимметричным формам
потери устойчивости; кривые 3, 4 —
симметричным.
Как видно из графиков, для дан-
данных параметров трехслойной пластины
Ф > 20—25° реализуются симметрич-
потери устойчивости. При ф =
при углах армирования
ные коротковолновые формы
= 45° расчет на устойчивость без учета сжимаемости заполнителя
в поперечном направлении приводит к завышению критических на-
нагрузок для первой структуры примерно на 70%, для второй —
на 40 %.
Пример 2. Исследование весовой эффектив-
эффективности применения углепластиковых мате-
материалов. Для трехслойной цилиндрической панели, нагру-
нагруженной внешним давлением, определим весовую эффективность
применения углепластика. Длина панели вдоль образующей 4 м,
длина криволинейного контура 2 м, внутренний радиус R — 2,75 м,
толщина заполнителя 8,6• 10 м. Приведенные упругие характе-
характеристики заполнителя: Gxz = 150 МПа, Gyz ~ 270МПа, Ег = 103 МПа,
удельная масса заполнителя 53 кг/м3. В качестве материала несу-
несущих слоев рассмотрим углепластик со следующими характеристиками
однонаправленного слоя: Ег = 0,14-10° МПа, Ег = 0,94-104МПа,
G12 — 0,65-104 МПа, v12 = 0,25, толщина слоя 0,12-10~3 м, удельная
масса 1,35-103 кг/м3. Для панели примем восьмислойные углепластико-
вые обшивки со структурой укладки [±ф/0790°/90о/0°/±ф] (углы
отсчитываются от прямолинейной образующей).
Под эффективностью конструкции принято понимать отноше-
отношение предельной нагрузки, которую способна выдержать конструк-
конструкция, к весу конструкции, т. е. Э = PlW, где Р — предельная на-
нагрузка, W — вес конструкции. Для простейших конструкций их
эффективность, как правило, может быть определена произведе-
произведением двух сомножителей Э ^ km, где k — показатель нагружен-
ности, т — критерий эффективности материала. Показатель нагру-
женности k определяется внешними нагрузками и габаритными раз-
размерами, критерий эффективности материала — механическими ха-
характеристиками материала, такими как удельная масса, модули
упругости, пределы прочности и другие.
Критерий эффективности материала неразрывно связан с рас-
рассматриваемой конструкцией. В различных конструкциях критерий
эффективности определяется различными комбинациями механи-
234
0,2
0,1
^s
- -
"-—
30
во
Рис. 5.18.
ческих характеристик материала. Для
трехслойных цилиндрических панелей,
рассматриваемых в данном примере, прак-
практически невозможно получить аналитиче-
аналитические решения и выделить один комплекс,
характеризующий эффективность трех-
трехслойного материала. При оценке эффек-
эффективности применения углепластиковых
материалов в трехслойных конструкциях
будем поступать следующим образом.
Трехслойную углепластиковую конструк-
конструкцию будем сравнивать с аналогичной трехслойной конструкцией, в ко-
которой несущие слои выполнены из материала Д16, при этом габаритные
размеры и расчетные нагрузки для конструкций будем выдерживать
одинаковыми. В этом случае показатели нагруженности в определении
эффективностей оказываются равными для конструкций из различ-
различных материалов. Сравнение эффективностей материалов определим
критерием относительной эффективности Э = ткыу/тт, т. е. от-
отношением критериев эффективности материалов углепластика и
Д16. В этом случае критерий относительной эффективности Э будет
показывать, во сколько раз конструкция из материала Д16 тяжелее,
чем аналогичная конструкция из углепластика (или во сколько раз
применение углепластика эффективней в весовом отношении, чем
применение материала Д16).
Расчеты по определению критических нагрузок для панелей,
нагруженных внешним давлением р и осевыми погонными сжимаю-
сжимающими нагрузками pR/2, проводились по программе [42]. Опреде-
Определение разрушающих нагрузок выполнялось с использованием мето-
методики (см. § 2.4). Результаты расчета представлены на рис. 5.18.
Сплошной линией показана зависимость критического давления от
угла армирования ф для данной структуры обшивок, штриховой —¦
зависимость предельного давления по условию прочности. Из гра-
графика видно, что данная конструкция при всех вариантах несущих
слоев будет разрушаться вследствие потери устойчивости. Наиболь-
Наибольшие критические давления соответствуют углам укладки 45—60°.
Для определения относительной весовой эффективности были
проведены расчеты критических нагрузок для аналогичных трех-
трехслойных панелей с обшивками из материала Д16. На рис. 5.19 по-
показана зависимость критического давления р для трехслойных па-
ТТПТПтптт
0,4- 0,6
Рис. 5.19.
0,5
О 30
Рис. 5.20.
SO
235
нелей от толщины обшивок h. Результаты расчета относительной
эффективности Э использования углепластика по сравнению с ма-
материалом Д16 приведены на рис. 5.20. Как видно из графика, наи-
наибольшая относительная эффективность Э для рассматриваемой кон-
конструкции достигается при углах укладки ср = 45—60°. Снижение
веса конструкции при этом составляет 30—27%.
Пример 3. Оценка критической нагрузки
шарнирно опертой трехслойной оболочки.
Рассмотрим трехслойную цилиндрическую оболочку с симметрич-
симметричной структурой трехслойного пакета, нагруженную внешним гидро-
гидростатическим давлением. Для получения приближенных оценок кри-
критической нагрузки воспользуемся основными допущениями полу-
безмоментной теории [3]. Предположим также, что окружные де-
деформации и сдвиги срединной поверхности пренебрежимо малы:
е2 = kw '- kv л = 0;
• ' '* ' E.83)
1'i2 = ku, p -i- v, y =0,
где и, v, w — касательные и нормальные перемещения срединной
поверхности заполнителя; k — кривизна оболочки, равная MR,
где R — радиус оболочки; р, х — угловая и осевая координаты.
Обшивки оболочки будем считать безмоментными, деформациями
сдвига V12* в обшивках будем пренебрегать. Заполнитель оболочки
примем «легким» и несжимаемым в поперечном направлении. Будем
считать, что деформации поперечного сдвига в осевом направлении
¦у!!' значительно меньше деформаций поперечного сдвига в окружном
направлении 723* • Энергию деформации, обусловленную yW, также
как и энергию изгиба в осевом направлении, в расчете учитывать
не будем.
Условия E.83) позволяют ввести функцию перемещений и =
= Ф,„ v = — *Ф,р, w = ?Ф,рР.
Распределение перемещений по слоям представим согласно ги-
гипотезе «прямой линии» (§ 5.2) и с учетом сделанных выше допуще-
допущений:
ЫО) = ф?х, ш<'> = *ф>рр (i=l, 2, 3);
0@ = — кФ, р + сОф; с») = +Л<3>/2 A = !, 2); ( '
о<з> = _*ф|Э +zi|>,
где *|> — угол поворота сечения (соответствует углу ф2, см. § 5.2).
Для кинематической модели деформирования [см. E.84) ] де-
деформации слоев определяются следующим образом:
г\1) = Ф,хх (i=l, 2);
•4° = с<0*ф.а (*'=!, 2);
уя =к2(Фт+ <
а угол поворота нормали срединной поверхности заполнителя в плос-
плоскости (Р, 2)
Ог = _6*(Ф, ррр + Ф,р).
236
Соотношения упругости для слоев представим в следующем виде:
v {a«>} = [G«>] {в*')} (»=1,2,3), E.85)
где для обшивок
ie 'i =
для заполнителя
ls J '
Для получения разрешающих уравнений воспользуемся вари-
ционным условием C.33), которое в нашем случае примет следую-
следующий вид:
/ 2Л / / 3 \
о о Wi о
J
о о
-f б {U} т р Щ I R ф dx = 0, E.86)
где {ft} = {д2}; [Го] != [р/?]; {б'} = {v}; p — внешнее гидроста-
гидростатическое давление. Последнее слагаемое в условии E.86) представ-
представляет работу дополнительных нагрузок на возможных дополнитель-
дополнительных перемещениях (см. рис. 3.13).
В случае шарнирного опирания цилиндрической оболочки при-
примем
Ф = 2j 2j Фтп sin '"* sin «P"i
т я
t|' = 2j 2j Ifmn sin '"•^ cos "P.
m n
где m = irrn/l; I — длина оболочки; m — число полуволн в осевом
направлении; п — число волн в окружном направлении.
В силу симметрии соотношений упругости E.85) условие E.86)
можно рассматривать для отдельной гармоники волнообразования.
Кроме того, поскольку интегрирование E.86) по координатам х,
Р для каждого слагаемого дает одинаковый сомножитель л//2, то
можно выполнить все операции лишь для амплитудных значений.
Воспользуемся этим обстоятельством и представим все необходимые
соотношения в следующем матричном виде:
} (t=l, 2, 3);
= [Rmn\ {U;
237
где
0
{i=1' 2);
О —к
Затем согласно условию E.86) получим обычную формулировку
задачи на собственные значения:
{[Ктп\ - Р [Snn]) {Япп} = 0, E.87)
где
з
\Ктп\ = 2j [A'mnJ; [A'mnJ = J [Bmn] [G J [Bmn] d.Z\
В развернутом виде матрица системы E.87) выглядит так:
t4 + B23?V (я2 - 1 J — — I
- pk3n*(п* — \) , E.88)
—B.nk2n{n2- 1)
где
1 = 2E1h; 623 =
Коэффициенты /?!, В23 представляют жесткости на растяжение
в осевом направлении и на сдвиг; коэффициент D2 определяет жест-
жесткость трехслойного пакета на изгиб в окружном направлении.
Приравняв определитель матрицы E.88) нулю, положив т =
= 1 и, перейдя к безразмерному виду, получим собственные зна-
значения параметра давления р в зависимости от числа волн в окружном
направлении:
-+ У2~1}. E'89)
я4 (п2 -
где
=л(-т)(—) {sir) •
Считая, что число волн п много больше единицы, можно анали-
аналитически проминимизировать выражение для р E.89) и получить
значение критического давления
РкР = Ро[-^+4BД1/0], E.90)
где
238
\
—¦ .
о,*
Рис. 5.21.
0,8
Рис. 5.22.
Число волн, образующихся при потере
устойчивости, якр — у ?я0. Как видно из
представленных выше соотношений, зна-
значения р0 и п0 равны критической нагрузке
" и числу волн, получающихся по формулам
Папковича [3]. Стоящий сомножитель при
Ро в выражении для критического давления
E.90) характеризует податливость оболочки на поперечный сдвиг.
На рис. 5.21 показан график зависимости отношения р1(р/ро от
параметра а.
Пример 4. Численное решение задачи о на-
напряженно-деформированном состоянии трех-
трехслойной конструкции. Конструкция, нагруженная
внешним равномерным давлением р, состоит из двух трехслой-
трехслойных оболочек конической и цилиндрической формы и двух шпан-
шпангоутов — торцового и промежуточного (рис. 5.22). Нижний край
оболочки жестко защемлен. Геометрические размеры оболочек
принимались равными: /?х = 450 мм, R2 — 600 мм, L = 800 мм,
6 = 70°. Каждый несущий слой трехслойного пакета состоял из пяти
слоев однонаправленного композиционного материала, уложенного
по следующей схеме: [07907079070° ] (углы укладки отсчитыва-
ются от направления меридиана). Для однонаправленного слоя
толщина принималась равной 0,12 мм, а упругие характеристики:
Е1 = Е, Е2 = 0,067 Е, G12 = 0,046?, v12 = 0,25. Рассматривался
0[ 0,25 0,5\ 0,75 1 1,75 р J/L
О,О7
'0,0В
Рис. 5.23.
1,2
0,8
О
-0,4
-0.S
-1,2
-1,6
Рис. 5.24.
_ J
I 0,25 V
и
)
/0,75 1 1,25 1,6
г
г
г
SIL
1
1
239
йх/р-10
Чр
д
\ U, 25 0,
А" '"
А
i
i
1
i
К
w
«5 1,1
3i
"S
Рис. 5.25.
-0,2
Рис. 5.26.
изотропный заполнитель с модулем упругости, равным 0,146-10 3 Е
и коэффициентом Пуассона, равным 0,22. Толщина слоя заполни-
заполнителя составляла 20 мм. Модуль упругости материала шпангоутов
равнялся 0,51?. Геометрические характеристики соответственно
торцового (и промежуточного) шпангоутов принимались равными:
А = 3,84-10* D,92-104)
мм'
4.
J3 = 3,21 -103 F,07-104)
мм*
= —2,66-Ю3; @) мм4, Jk = 7-Ю4 A,Ы05) мм4, F = 6,48-10\(8,1 х
X 102) мм2.
Расчет проводился с использованием гипотезы ломаной линии
(§ 5.2). На рис. 5.23—5.26 представлены графики изменения нормаль-
нормального прогиба, деформаций поперечного сдвига и продольных напря-
напряжений в обшивках подлине конструкции. Кривые 1, 4 соответствуют
внутренней и наружной поверхностям трехслойного пакета, кривые
2,3 — поверхностям внутренней и внешней обшивок, примыкающих
к слою заполнителя. Как видно из графиков, вблизи шпангоутов
и заделки имеют место ярко выраженные краевые эффекты.
Приложения
1. Программа АЛА для расчета диаграмм деформирования и условий
разрушения многослойных полимерных композиционных материалов
при плоском напряженном состоянии
Назначение программы. Программа предназначена для количественного описа-
описания процесса деформирования и разрушения многослойных композиционных мате-
материалов (К.М) с полимерным связующим (стеклопластики, углепластики, органопла-
органопластики и т. д.) при плоском напряженном состоянии.
Программа выполняет расчеты: диаграмм одноосного растяжения (сжатия)
многослойного материала; диаграмм деформирования материала при чистом
сдвиге; диаграмм деформирования при заданном соотношении главных средних
напряжений, приложенных к многослойному материалу; заданного числа диаграмм
деформирования для различных «лучей нагружения» с целью построения предельной
поверхности многослойного материала.
Информация, получаемая в результате работы программы, позволяет опреде-
определить приведенные упругие характеристики многослойных КМ; протяженность
(область) упругого деформирования материала; параметры напряженно-деформи-
напряженно-деформированного состояния (НДС), соответствующие началу растрескивания полимерного
связующего в одном или нескольких слоях материала; причины трещинообразования
в связующем каждого из слоев; параметры НДС, соответствующие исчерпанию несу-
несущей способности многослойного КМ.
Варианты использования программы ААА следующие: выбор рациональ-
рациональных структур КМ для заданных случаев нагружения; прогнозирование механиче-
механических характеристик, характера деформирования и разрушения новых многослой-
многослойных КМ; оценка возможных изменений механических характеристик многослойных
ДМ прн изменений свойств однонаправленного слоя; исследование влияния техно-
технологических отклонений параметров КМ (углов укладки монослоев, их толщин
и характеристик) на свойства КМ; включение программы в системы расчета и
проектирования конструкций из КМ.
Используемый алгоритм. Программа ААА реализует процесс пошагового увели-
увеличения вектора {аху}: определяется вектор средних деформаций пакета {гХу} и соот-
соответствующие ему векторы {ог^}*'' и {612}'''; параметры НДС 1-го слоя используются
для идентификации состояния (одного из возможных восьми), в котором этот слой
находится. Затем делается следующий шаг по нагрузке (см. § 2.4).*
Процесс нагружения прекращается, если хотя бы в одном слое достигнуты
предельные напряжения CTi = F+1, CTi = F_i, или (и) с2 = F_2. Процесс нагруже-
нагружения прекращается также тогда, когда матрица [G"] теряет положительную опреде-
определенность и процесс деформирования многослойного КМ становится неустойчивым
(деформации возрастают без увеличения нагрузки). Программа учитывает изменение
начальных углов армирования при нагружении (структурную нелинейность).
Язык программы — ФОРТРАН. Программа предназначена для использования
иа всех ЭВМ Единой Серии (ЕС).
Состав исходных данных. В табл. 1п приведен перечень идентификаторов в про-
программе, используемых при задании исходной информации
Пример подготовки исходных данных. Требуется провести подробное исследова-
исследование поведения в первом квадранте (предельная поверхность, диаграммы деформиро-
деформирования) гибридного КМ, содержащего слои углепластика общей толщиной 1 мм,
уложенные под углом 90° к оси7.*:, I слои стеклопластика, расположенные под углами
(р = ±30°, суммарная толщина" которых 1,5 мм. Характеристики однонаправлен-
однонаправленного углепластика ?i= 160 000 МПа, Е.г = 7000 МПа, Gu = 4700 МПа,
vl2=0.25, Р+1=800МПа, F л = 360 МПа, Р+2=10МПа, F.t = 80 МПа,
Fl2 = 30 МПа. Характеристики стеклопластика' Et = 56 000 МПа, Е2 = 7000
МПа, Gi2=5000 МПа, vl2 = 0,26, F+1= 1500 МПа, F i = — 600 МПа, F+2=
= 30 МПа, F_2= —160 МПа, Fl2= 45 МПа.
Дадим в первом квадранте 20 лучей нагружения с шагом по напряжениям
2,5 МПа (в^четырех квадрантах было бы 80 лучей). Информацию будем выводить
через 40 шагов по нагрузке.
241
Таблица In
Идентификатор
в программе
Содержание идентификатора
Примечание
NPROB
NPLY
NTP
JW
NF
NPF
STEP C)
FT B, NPLY)
NST (NPLY)
EPD, ...)
FLTE, ...)
Число последовательно решаемых
самостоятельных задач. Для ка
дой из задач вводится свой па-
пакет исходных данных
Число слоев в многослойном
(не более 9)
КМ
Тип задачи: 0 — расчет одной диа
граммы деформирования; 1 — рас-
расчет NF диаграмм деформирования
для построения предельной поверх'
ноет и
Шаг печати (указывает, через
сколько шагов по нагрузке произ-
производится печать)
Число лучей нагружения на
плоскости (ах, ау)
Число реализуемых лучей нагру-
нагружения. NPF не должно превы-
превышать число NF
Шаг по нагрузке. Содержи!
(Аах, Аву, Дтед) в случае
NTP = 0. При NTP = 1 струк-
структура массива (До"^, 0. 0)
Массив углов армирования
толщин для каждого слоя
Массив идентификации слоев по
упругим и прочностным характе-
характеристикам
Массив экесткостных характерис-
характеристик однонаправленного материа-
материала. Содержит последовательно
значения ?t, E2, G12, v12
Массив прочностных характе-
характеристик однонаправленного мате-
материала. Содержит последователь-
последовательно F+1, F-t, F+t. F-2, Р1г
Для каждого 1-го оригинального
слоя вводится сначала массив
ЕР D, I), а затем FLT E, I), да-
далее так же для следующего ори-
оригинального слоя
Не путать с числом «лучей нагруже-
нагружения»
Указывается число слоев, отлича-
отличающихся углом армирования и (или)
жесткостиыми и (или) прочностны-
прочностными характеристиками. Толщины
одинаковых в этом смысле слоев
суммируются, и все они считаются
одним слоем
Обычно достаточно 16 — 40 лучей
Пример определения NPF. Если
необходимо построить лииин пре-
предельных состояний только в первом
квадранте плоскости (ах, af), то
NPF = NF/4 J
Рекомендуется выбирать Да и
я A/4-J-1/20) Fmln. Полезно, что-
чтобы произведение Да- JW давало
целое число, удобное при построе-
построении диаграмм деформирования
а) См. примечание к идентифика-
идентификатору NPLY;
б) может задаваться относительная
толщина слоя в пакете;
в) значения углов — в градусах
Пример определения NST. В 6-слой-
ном КМ 1-й, 3-й и 5-й слои выпол-
выполнены из одного материала; 2-й н
4-й — из другого материала, а
6-й — из третьего. Массив NST F)
имеет вид
12 12 16
Всего в КМ три «оригинальных»
материала (отличающиеся упруги-
упругими и (или) прочностными характе-
характеристиками)
Вводится только для «оригиналь-
«оригинальных» слоев
Может вводиться абсолютное зна-
значение пределов прочности. Знаки
программа формирует автомати-
автоматически
Примечание. Все целые числа вводятся по формату 14. действительные — по
формату Е 13.4.
242
Таблица 2п
Идентификатор
NPLY
NTP
JW
NF
NPF
STEP C)
FT B, 3)
Значение
3
1
40
80
20
2,5; 0.0; 0,0
90,0; 1,0
Идентификатор
NST C)
ЕР D. 1)
FLT E, 1)
ЕР D. 2)
FLTE, 2)
Значение
30,0; 0,75
— 30,0; 0,75
1; 2; 2
160 000; 7 000; 4 700; 0,25
800; 360; 10; 80; 30
56 000; 7 000; 5 000; 0,26
1 500; 600; 30; 160; 45
Вводимая информация приведена в табл. 2п. Она переносится на перфокарты
в соответствии с форматами программы ААА.
Порядок распечатки исходных данных н результатов расчета. При выводе ре-
результатов расчета в программе приняты следующие обозначения
ТХ — ах TY — о„ TXY — тад
ЕХ —еж EY —е„ EXY — yxy
Т1 — oi Т2 — о2 Т12—т12
Е1 — 6i Е2 — е2 Е12 —vi2
Тексты сообщений, выдаваемых программой, приведены в табл. Зп.
Таблица Зп
Текст сообщения
Расшифровка сообщения
«Диаграмма деформирования»
«Предельная поверхность»
«Число лучей нагружения =
«Число слоев в пакете = ...»
«Структура пакета слоев»
«Упругие характеристики»
«Прочностные характеристики»
«Нагружение N = ...»
«Шаг по нагрузке»
«Разрушение 1-го слоя при
растяжении вдоль волокон»
«Разрушение 1-го слоя при
сжатии вдоль волокон»
«Разрушение 1-го слоя прн
сжатии поперек волокон»
«Потеря сплошности 1-го слоя
при растяжении поперек во-
локои»
«Потеря сплошности 1-го слоя
прн сдвиге»
«Число итераций более 5»
«Погрешность ...»
«Далее деформирование неус-
неустойчиво»
Сообщение разделяет информацию, относящуюся к раз-
разным лучам нагружения
Тип задачи — расчет данных, необходимых для построе-
построения предельной поверхности. Введено значение NTP =
Не требует комментария
То же
»
В распечатке ниже этого сообщения даны упругие харак-
характеристики слоев в координатах 1@, 2@ в следующем по-
порядке: Еи Е2, G12, v12
В распечатке ниже этого сообщения приведены прочиост-
ные характеристики слоев в следующем порядке; F+l,
F-,, F+2, F.2, F12
Печатается номер луча нагружения. Первое иагруженне
(а = 0) имеет N = 0. В этой же строке далее печатается
шаг по нагрузке, соответствующий этому лучу
Под этим сообщением распечатывается шаг по нагрузке,
заданный прн вводе массивом STEP C)
В 1-м слое напряжение or, достигло величины F+l. Нагру
жение остановлено. В распечатке под сообщением даны
соответствующие значения а
х.
Е„, ух„
В 1-м слое напряжение о", достигло величины K-t
В 1-м слое напряжение а2 достигло величины F_j
В 1-м слое напряжение а2 достигло величины F+i. Нагру-
жеине продолжается. В распечатке под сообщением даны
соответствующие значения ах, а , т и ех, е . ух„
В 1-м слое начинается растрескивание'связующего, вы-
вызванное сдвиговыми напряжениями | т121 = Fu. Нагру-
женне продолжается. В распечатке выведены соответству-
соответствующие средние напряжения и деформации в пакете
Итерационный процесс определения действительного со-
состояния слоев затягивается. Проверить исходные данные.
Уменьшить шаг нагружеиня
Выводится значение модуля нормированного вектора не-
невязки по напряжениям, если он превосходит принятое
в програмуе значение 0,01
Потеряна положительная определенность матрицы.жест-
матрицы.жесткости КМ. Деформации увеличиваются неограниченно
при уровне нагрузки, зафиксированном в предыдущем
сообщении в распечатке ' "
243
Текст программы *
С PROGRAM AAA
С ПРОГРАММА ДЛЯ РАСЧЕТА ДИАГРАММ
С ДЕФОРМИРОВАНИЯ И УСЛОВИЙ РАЗРУШЕНИЯ
С МНОГОСЛОЙНЫХ ПОЛИМЕРНЫХ
С КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
С ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
DIMENSION STEPC),EPD,9),
* FLTE,9),ESD,9),FFF(9),
*FTB,9),NST(9),ESTA0,9)
COMMON AMD
NPR=0
READA,1)NPROB
100 READA, 1)NPLY,NTP,JW,NF
READA,1)NPF
PRINT 20
IF(NTP.EQ.0)GO TO 98
PRINT 4
PRINT 5, NF
F=6.283185/NF
NF=NF—1
98 CONTINUE
PRINT 6, NPLY
READA,2) STEP
PRINT 61
PRINT 10, STEP
PRINT 11
READA,12)((FT(I,J), 1=1,2),
*J=1, NPLY)
PRINT 14,(J,(FT(I,J), 1=1,
*2),J=1,NPLY)
DO 99 1=1, NPLY
99 FT(l,I)=FT(l,I)/57.2957
DO 96 J=l, NPLY
96 FFF(J)=FTA,J)
READA,1)(NST(I),I=1,NPLY)
DO 105J=1,NPLY
JM=NST(J)
IF(J.EQ.JM)GO TO 103
DO 1011=1,4
101 EP(I,J)=EP(I, JM)
DO 102 1=1,5
102 FLT(I,J)=FLT(I,JM)
GO TO 104
103 READA,2)(EP(I,J), 1=1,4)
READA,2)(FLT(I,J),I=1,5)
104 FLTB,J)=—ABS(FLTB,J))
105 FLTD,J)=—ABS(FLTD,J))
PRINT 13
PRINT 16,(J,(EP(I,J),I=1,
*4),J=1,NPLY)
PRINT 15
PRINT 17,(J,(FLT(I,J),I=1,
*5),J=1,NPLY)
PP=STEPA)
NN=—1
* Программа составлена А. И. Таракановым и П. А.
244
AMD=0.
DO 97 J=l,3
97 IF(STEP(J).NE.0.)
*AMD=AMD+STEP(J)* *2
AMD=SQRT(AMD)
106 DO 111 J=1,NPLY
NST(J)= 1
FTA,J)=FFF(J)
DO 107 1=1,10
107 EST(I,J)=0.
DO 108 1=1,4
108 ES(I,J)=EP(I,J)
111 CONTINUE
PRINT 18
NN=NN+1
PRINT 3
IE(NTP.EQ.0)GO TO 109
FF=F*FLOAT(NN)
STEPA)=PP*COS(FF)
STEPB)=PP*SIN(FF)
PRINT 19, NN.STEP
CALL NDEFRM(NPLY,EP,ES,FLT,
* STEP,FT,NST,EST,NTP,JW)
IF(NN.GE.NF)GO TO 110
IF(NN.GE.NPF)GO TO 110
GO TO 106
109 CALL NDEFRM(NPLY,EP,ES,FLT,
* STEP,FT,NST,EST,NTP,JW)
110 NPR=NPR+1
IF(NPR.LT.NPROB)GO TO 100
STOP
1 FOPMATB0I4)
2 FORMATEE13.I4)
4 РОРМАТD0Х,'ПРЕДЕЛЬНАЯ'
* 'ПОВЕРХНОСТЬ740Х,25('—'))
3 FORMATD0X,^HArPAMMA ДЕ',
* 'ФОРМИРОВАНИЯ'/40Х,25('—'))
5 FORMATA0X,'4HGnO ЛУЧЕЙ '
*'НАГРУЖЕНИЯ = ',14)
6 FORMATA0X,'ЧИСЛО СЛОЕВ'
*' В ПАКЕТЕ-=',14)
10 FORMATDG15.3)
11 FORMAT(/5X,'CTPyKTyPA ПА',
* 'КЕТА СЛОЕВ'/ЗХ.'ЮХ,
*'УГОЛ АРМИР.',2Х,'ТОЛЩИНА')
12 FORMATBE13.4)
13 FORMAT(/30X,'ynpyrHE XA'
* 'РАКТЕРИСТИКИ')
14 FORMAT(I4,2G15.3)
15 FORMAT(/30X,'nPO4HOCTHbIE ',
* 'ХАРАКТЕРИСТИКИ')
16 FORMAT(I4,4F15.3)
17 FORMAT(I4,5G15.3)
18 FORMATA20('.'))
19 РОРМАТC0Х,'НАГРУЖЕНИЕ N=',
*I4,2X,'TX-',G11.4,'TY=',
*G11.4,'TXY=',G11.4)
20 FORMAT(/////120('='))
61 FORMATA0X,'UIAr ПО НАГРУЗКЕ')
END
SUBROUTINE NDEFRM(NPLY,EP,
* ES,FLT,STEP,FT,NST,
*EST,NTP,JW)
DIMENSION STEPC),EPD,9),
* FLTE,9),ESD,9),FTB,9),
* NST(9),ESTA0,9),GGC),
* DDC),SEC),DC),SSC),TC),
* TTC),TTTC),STC),STTC),
*FID0)
COMMON AMD
NS=1
IV=0
IT=0
DO 299 1=1,3
ST(I)=0.0
TA)=0.0
GG(I)=STEP(I)
299 SE(I)=0.0
300 CONTINUE
B11=0.0
B12=0.0
B22=0.0
B33=0.0
H=0.0
DO 301 I=1,NPLY
U=1.-ESD,I)* *2*ESB,I)/
*ESA,I)
E1=ESA,I)/U
E2=ESB,I)/U
E3=E2*ESD,I)
S=SIN(FTA,I))
S=S*S
C=l.—S
cs=c * s
s=s*s
c=c*c
E4=(E3+ESC,I) #2.) *2. *CS
B11=(E1*C+E4+E2*S)*FTB,I)+
*BI1
B22=(E1 *S+E4+E2*C)*FTB,I)+
*B22
E4=(E1+E2)*CS-E4
B12=B12+(E3+E4)*FTB,I)
B33= B33+(ESC,1)+ E4) * FTB,1)
H=H+FTB,I)
301 CONTINUE
EN=B12/B22
EM=B12/B11
EY=(B22—B12*EM)/H
EX=(BU—B12*EN)/H
EPS=0.01*EPC,1)
IF(EX.LE.EPS)GO TO 350
IF(EY.LE.EPS)GO TO 350
IF((B33/H).LE.EPS)GO TO 350
DDA)=(GGA)=EN * GGB))/EX
DDB)=(GGB)—EM* GGA))/EY
DDC)=GGC)/B33*H
DO 310 J=l,3
¦ SE(J)=SE(J)+DD(J)
310 TTT(J)-=0.
246
DO 320 J=l, NPLY
S=SIN(FTA,J))
C=COS(FTA,J))
CS=C * S
C=C*C
S=S*S
DA)=DDA) * C+DDB) * S+DDC) * CS
DB)=DDA) * S+DDB) * C—DDC) * CS
DC)= (DDB)—DDA)) * 2. * CS+
* DDC) * (C-S)
FT(l,J)=FT(l,J)*DC)/2.
FI(J)=FTA,J)* 57.2957
UN=ESD, J) * ESB,J)/ESA,J)
AD=1.—UN*ESD,J)
SSA)=ESA,J)/AD * (D(l)+DB) *
*UN)
SSB)=ESB,J)/AD * (DB)+D(l) *
* ESD,J))
SSC)=ESC,J)*DC)
DO 321 1=1,3
EST(I,J)=EST(I,J)+D(I)
321 EST(I+7,J)=EST(I+7,J)+SS(I)
IF(EST(8,J).LT.FLTA,J))
*GO TO 210
Dl=l.—(EST(8,J)—FLTA,J))/
*SSA)
DO 323 1= 1 3
ST(I)=STT(lj+DD(I)*Dl
323 TT(I)=T (I)+GG(I)*D1
PRINT 1,J
PRINT 2,TT,ST
RETURN
210 IF(EST(8,J).GT.FLTB,J))
* GO TO 211
PRINT 3,J
D1= 1.—(EST(8, J)—FLTB, J))/
*SSA)
DO 324 1=1,3
ST(I)=STT(I)+DD(I)*D1
324 TT(I)=T(I)+GG(I)*D1
PRINT 2, TT, ST
RETURN
211 IF(EST(9,J).GT.FLTD,J))
* GO TO 212
PRINT 4,J
D1=1.-(EST(9,J)-FLTD,J))/
*SSB)
DO 325 1=1,3
ST(I)=STT(I)+DD(I)*D1
325 TT(I)=T(I)+GG(I)*D1
PRINT 2,TT,ST
RETURN
212 EE=ESTB,J)+EPD,J)*ESTA,J)
IF(EE.GT.ESTD,J))ESTD,J)=EE
IF(ABS(ESTC,J)).GT.ESTE,J))
* ESTE,J)=ABS(ESTC,J))
IF(NST(J).NE.1)GO TO 199
IF(EST(9,J).LT.FLTC,J))
* GO TO 198
NST(J)=3
ESC,J)=0.
Dl=l.—(EST(9,J)—FLTC,J))/
* SSB)
DO 326 1=1,3
ST(I)=STT(I)+DD(I)*D1
326 TT(I)=T(I)+GG(I)*D1
EST(9,J)=FLTC,J)
ESTA0,J)=ESTA0(J)+SSC) * Dl
PRINT 5,J
PRINT 2, TT, ST
198 IF(ABS(ESTA0,J)).LT.FLTE,
*J))GO TO 196
Dl=l.—(ABS(ESTA0,J))—
*FLTE,J))/ABS(SSC))
ESTA0,J)=SIGN(FLTE,J),
*ESTA0,J))
NST(J)=3
IF(EST(9,J).LT..0)NST(J)=2
IF(NST(J).EQ.3)EST(9,J)=
*EST(9,J)—Dl*SSB)
PRINT 6,J
DO 327 1=1,3
ST(I)=STT(I)+DD(I) * Dl
327 TT(I)=T(I)+GG(I)*D1
PRINT 2,TT,ST
196 IF(ESTF,J).LT.EST(9,J))
*ESTF,J)=EST(9,J)
IF(ABS(ESTA0,J)).GT.EST(
* 7,J))ESTG,J)=ABS(ESTA0,J))
GO TO 96
199 IF(EST(9,J).LT.0.)GO TO 197
NST(J)=3
ESB,J)=0.
IF(EE.LT.ESTD,J))ESB,J)= •
* ESTF,J)/(ESTD, J)-ESD,J)
* * *2*ESTF,J)/ESA,J))
IF(EST(9,J).GT.ESTF,J))
*EST(9,J)=ESTF,J)
GO TO 200
197 NST(J)=2
ESB,J)=EPB,J)
200 ESC,J)=0.
IF(ABS(ESTA0,J).GT.ESTG,J))
* ESTA0,J)=SIGN(ESTG,J),
*ESTA0,J))
IF(ESTE,J).LT.l.E-7)
* GO TO 96
. IF(ABS(ESTC,J)).LT.ESTE,J))
* ESC,J)=ESTG,J)/ESTE, J)
96 CONTINUE
TF=FTB,J)/H
TTTA)=(EST(8,J) *C+EST(9,J)
* *S— ESTA0,J)*CS*2.)*TF+TTTA)
TtTB)=(EST(8,J) *S+EST(9,J)
* *C+ESTA0,J)*CS*2.)*TF+TTTB)
TTTC)=((EST(8,J)—EST(9,J))
* *CS+(C—S) * ESTA0,J)) *
*TF+TTTC)
320 CONTINUE
ERR=0.
DO 328 1=1,3
STT(I)=SE(I)
248
T(I)=TTT(I)
GG(I)=STEP(I) * FLOAT(NS)-
* TTT(I)
328 ERR=ERR+GG(I)* *2
ERR=SQRT(ERR)
IF(ERR.GE.0.01)GO TO 330
IT=0
DO 329 1=1,3
329 GG(I)=GG(I)+STEP(I)
IV=IV+1
NS=NS-H
IF(IV.LT.JW)GO TO 300
IV=0
PRINT 7,TTT,SE
DO 331 J=1,NPLY
331 PRINT 8,J,(EST(I,J),I=8,10),
*(EST(I,J),I=1,3),FI(J)
GO TO 300
330 IT=IT+31
IF(IT.LT.9)GO TO 300
PRINT 9
PRINT 10.ERR
GO TO 370
350 PRINT 12
370 RETURN
1 FORMATA0X,'* * «РАЗРУШЕНИЕ',
*I4,'—ГО СЛОЯ ПРИ РАСТЯЖЕ',
*'НИИ ВДОЛЬ ВОЛОКОН* * *')
2 РОРМАТBХ,'НАПРЯЖЕНИЯ ТХ,
* TY,TXY',3E11.3,ЗХ,'ДЕФОР',
*'МАЦИИ EX,EY,EXY',3BPF11.4))
3 FORMATA0X,'* * «РАЗРУШЕНИЕ',
* 14,'—ГО СЛОЯ ПРИ СЖАТИИ'.ЗХ,
*'ВДОЛЬ ВОЛОКОН * * *')
4 FORMATA0X,' * * * РАЗРУШЕНИЕ',
* 14,'—ГО СЛОЯ ПРИ СЖАТИИ',ЗХ,
«'ПОПЕРЕК ВОЛОКОН* * *')
5 FORMATA0X,' * * * ПОТЕРЯ СПЛО',
. *'ШНОСТИ',14,'—ГО СЛОЯ'.ЗХ,
* 'ПРИ РАСТЯЖЕНИИ ПОПЕРЕК ВО',
* 'ЛОКОН * * *')
6 FORMATA0X,'* * * ПОТЕРЯ СПЛО',
*ШНОСТИ',14,'—ГО СЛОЯ ПРИ',
* 'СДВИГЕ * * * ')
7 РОРМАТ(/2Х,'НАПРЯЖЕНИЯ ТХ,',
*'TY,TXY',3F11.3,3X,'flEOOPM',
* 'AUHH',2X,'EX,EY,EXY',
* 3BPF11.4)/2Х,'НАПРЯЖЕНИЯ',
*' В СЛОЯХ',ЗХ,'Т1,Т2,Т12',
* 7Х/ДЕФОРМАЦИИ Е1,Е2,Е12',
* 10Х/УГОЛ АРМИРОВАНИЯ')
8 FORMAT(I5,3F11.4,2PF11.4,
*2PF11.4,2PF11.4,0PF11.4)
9 FORMATA0X,' * * * ЧИСЛО ИТЕРА',
'ЦИЙ БОЛЕЕ 5 * * * ')
10 FORMATA0X/ * * * ПОГРЕШНОСТЬ',
* Е11.4,' * * *')
11 FORMATDE13.4)
12 FORMATA0X,' * * * ДАЛЕЕ ДЕФОР',
*'МИРОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВО* * *')
END
2. Описание вспомогательных программ расчета многослойных
оболочек вращения
Ниже приводятся описания и тексты вспомогательных программ *, обеспечи-
обеспечивающих вариационно-матричный способ получения канонических систем дифферен-
дифференциальных уравнений для решения задач статики и устойчивости и колебаний много-
многослойных оболочек вращения; получение матриц фундаментальных решений и матриц
жесткости кольцевых оболочечиых элементов; формирование и решение систем ал-
алгебраических уравнений относительно неизвестных обобщенных узловых переме-
перемещений.
SUBROUTINE STMA 2 (С1, С2, Sll, S22, S21, Ql, Q2, А1, NX, NY, N,
ISTB, A, P, B, D, S) — подпрограмма получения канонической системы дифферен-
дифференциальных уравнений C.60). Формальные параметры: Cl, С2 — соответствуют матри-
матрицам связи [Ci], [С2] C.45); Sll, S22, S21 — массивы, в которых содержится
информация о матрицах [Sn], [S22], [S2il [см. C.57)]; Ql, Q2 — одномерные
массивы, передающие в программу векторы {Ni}, {УУ2} [(см. C.55), C.58)]. А1 —
параметр Ламе Л (ds — Ada). NX, NY, N — целые числа, указывающие размерности
векторов {X}, {Y} и число уравнений в канонической системе (N = 2NX), ISTB —
управляющий параметр: ISTB = I—для решения задач статики, ISTB = 2—
для задач устойчивости, ISTB =3 — для задач колебаний; А — массив, содержа-
содержащий матрицу [А] разрешающей системы; Р — массив, содержащий вектор свобод-
свободных членов (для задачи статики); в массивах В, D, S после работы подпрограммы
находятси вспомогательные матрицы [b], [d], [Згг!-
Поскольку дальнейшее интегрирование осуществляется по параметру а, то
в массивах А, Р содержатся матрица разрешающей системы и вектор свободных
членов, умноженные на параметр Ламе А (А1). Все массивы и переменная AI должны
быть описаны в вызывающей программе с двойной точностью.
Вызываемые подпрограммы: MATDP, MTM, MMT, MUM, SK.M.
SUBROUTINE API (D, A, B,L) — подпрограмма вычисления матриц аппрокси-
аппроксимирующего полинома [Bi], [В21. \В3], [В41 C.71) по известным матрицам в узловых
точках Mil, [Л2], [Л3], [УЦ].
Формальные параметры: D — длина участка, соответствует А = а,-+, — а.;
(i— 1, 2, 3); А — одномерный массив, в котором последовательно расположены
по столбцам матрицы [Ai\, \A2], \А3], [Л4]; В — одномерный массив, в котором
после работы программы располагаются по столбцам матрицы \Bi], [B2], [В3],
[RJ; L — задает число элементов в отдельной матрице [Л;] (или [В;]).
SUBROUTINE MFR1 (А, В, ВВ, QQ, N, M, ISTB, Y, Yl, Y2, Y3, Y4,
Z, S, Q) — подпрограмма вычисления матрицы фундаментальных решений и век-
вектора частных решений C.75). Формальные параметры: А, В — начальная и конечная
координаты элемента; ВВ — одномерный массив DN2), в котором располагаются
по столбцам матрицы аппроксимирующего полинома \Bt], \B2], [В3], [В4] (с по-
помощью указанных матриц в любой точке элемента восстанавливается значение
коэффициентов матрицы разрешающей системы C.71); QQ—одномерный массив
DМ), в котором последовательно располагаются по столбцам векторы аппроксими-
аппроксимирующего полинома для вектора свободных членов; N — указывает порядок системы
дифференциальных уравнений; М — число ненулевых компонент вектора свободных
членов для решения задач статики; при {Л^} Ф 0, {N2} Ф 0 задается М= N; при
{N{} = 0, {jV2} Ф 0, М = N12. При решении задачи устойчивости и колебаний М
автоматически задается равным единице и обнуляется вектор свободных членов;
ISTB = 1 — для задачи статики, ISTB Ф 1 — для устойчивости и колебаний;
Y — одномерный массив (N2 + N), в котором после работы подпрограммы распо-
лагаютси по столбцам матрицы фундаментальных решений и вектор частного решения;
Yl, Y2, Y3, Y4, Z— рабочие массивы длиной (N2 + N) каждый; S, Q — рабочие
массивы длиной (N2) и (М). Через блок COMMON.'RUNf передается переменная
КШ, определяющая число шагов интегрирования. Интегрирование иа элементе
выполняется методом Рунге—Кутта по четырехточечной схеме с постоянным шагом.
Вызываемые подпрограммы INTP1, DERV1.
* Программы разработаны Б. Г. Поповым и Э. В. Раман.
250
SUBROUTINE INTP1 (X, A, B, BB, QQ, L, M, S, Q) — подпрограмма
вычисления матрицы разрешающей системы и вектора свободных членов для теку-
текущего значения аргумента s с использованием интерполяционной зависимости C.71).
Формальные параметры: X — текущее значение аргумента s из интервала интер-
интерполяции (s2, s3); А, В — координаты отрезка интерполяции, соответствующие зна-
значениям s2, s3; BB, QQ, M — описаны ранее для подпрограммы MFR1; L = N2 (N—
порядок разрешающей системы); S (L), Q (М) — массивы, в которых после работы
подпрограммы размещаются матрица разрешающей системы (по столбцам) и вектор
свободных членов, вычисленные для текущего аргумента s.
SUBROUTINE DERV1 (DY, S, Y, Q, N1, N, M) — подпрограмма вычисления
производных для процедур интегрирования матрицы фундаментальных решений
и частного решения. Формальные параметры: DY — вектор производных (N2 + N);
S— матрица разрешающей системы (N2); Y — текущий вектор состояния для всех
решаемых задач Коши (N2+N); Q — вектор свободных членов (М); N1 — число
одновременно интегрируемых задач Коши; N — порядок системы дифференциальных
уравнений; М — число ненулевых компонент в векторе свободных членов.
SUBROUTINE STF1 (Y, N, N1, ISTB, S, Rl, R2, М) — подпрограмма полу-
получения матриц жесткости элементов и векторов приведенных к узлам нагрузок.
Формальные параметры: Y — массив, в котором располагаются матрица фундамен-
фундаментальных решений и вектор частного решения (для статики); N — порядок системы
дифференциальных уравнений: N1 = N для задач устойчивости и колебаний, N1 =
= N + 1 — для задачи статики; ISTB = 1 — для задачи статики; S — массив,
в котором после работы подпрограммы располагаются по столбцам матрица жест-
жесткости элемента и вектор приведенных к узлам нагрузок; Rl (MXM), R2 (МХМ) —
рабочие массивы; М = N/2. Вызываемая подпрограмма MATDP.
SUBROUTINE FORM2 (SK, R, ST, P, LIN, N) — подпрограмма формиро-
формирования матрицы жесткости конструкции и вектора узловых сил (сборка элементов).
Формальные параметры: SK — массив коэффициентов матрицы жесткости конструк-
конструкции (NBXNZ); R — массив коэффициентов приведенных узловых сил конструкции
(NZ); ST— рабочий массив (NXN) для считывания коэффициентов матрицы жест-
жесткости элементов; Р — рабочий массив (N) для считывания коэффициентов приве-
приведенных узловых сил элемента; LIN — рабочий массив (N) для считывания номеров
активных номеров степеней свободы элемента в глобальной нумерации (соответствует
вектору {Ще C.95); N — максимальное число степеней свободы элемента. Через
область COMMON/SOL/NB, NZ, NELS передаются значения: NB — полуширина
ленты, NZ — число уравнений (суммарное число активных степеней свободы),
NELS — суммарное число элементов в конструкции. Внешняя память организована
на магнитном диске в виде файла последовательного доступа. Отдельная порция
записи содержит: К, LIN, ST, P, где К — число степеней свободы элемента,
матрица ST записана по строкам. При формировании массива SK элемент с номером
строки i и номером столбца / (в глобальной нумерации) занимает место т в одномер-
одномерном массиве: т= b (i — 1) ¦+ k, где k = j—i +1, b = NB.
SUBROUTINE SOLV1 (SK, R) — подпрограмма решения симметричной лен-
ленточной системы алгебраических уравнений методом Гаусса. Формальные параметры:
SK — массив коэффициентов матрицы жесткости (верхняя половина ленты, сформи-
сформированная в подпрограмме FORM2, упорядоченная по строкам); R — вектор узловых
сил. Переменные области COMMON описаны в подпрограмме FORM2. После работы
подпрограммы решение располагается в массиве R.
SUBROUTINE MUM (А, В, С, М, N, L) — подпрограмма перемножения двух
матриц. Результатом работы будет матрица С = АХ В. Переменные М, N, L опре-
определяют размеры матриц: A (MXN), В (NX L), С (MXL). Для сокращения операций
с индексами матрицы представлены в одномерных массивах.
SUBROUTINE МТМ (А, В, С, М, N, L) — подпрограмма перемножения двух
матриц, первая из которых транспонирована. Результатом будет матрица С= АТХ В.
Переменные М, N, L определяют размеры матриц: A(MXN), В (MXL), С (N, L).
SUBROUTINE ММТ (А, В, С, М, N, L) — подпрограмма перемножения двух
матриц, вторая из которых транспонирована. Результатом будет матрица С = А * Вт.
Переменные М, N, L определяют размеры матриц A (MXN), В (LXN), C(MXL).
SUBROUTINE SKM (A, S, M, N) — программа умножения матрицы на ска-
скаляр. А— исходная и результирующая матрица; S—'скалярная величина; М, N —
целые числа, определяющие размер матрицы.
251
SUBROUTINE MATDP (A, E, N) — Подпрограмма обращения матриц. А —
исходная матрица; Е — обратная матрица; N — размер квадратных матриц. Обра-
Обращение производится методом Гаусса, без выбора главного элемента. В случае нуле-
нулевого диагонального коэффициента в матрице А выдается сообщение о сбое.
Тексты подпрограмм
SUBROUTINE STMA2(C1,C2,S11,
* S22,S21,Q1,Q2,A1,NX,NY,N,
* ISTB,A,P,B,D,S)
DIMENSION C1(NX,NX),C2(NX,
* NY),S11(NX,NX))S22(NY,NY),
* S21(NY,NX),Q1(NX),Q2(NY),
*A(N,N),P(N),B(NX,NY),
* D(NX,NY),S(NY,NY)
DOUBLE PRECISION C1,C2,S11,
* S22,S21,Q1,Q2,A1,A,P,B,D,S
DO 1 1 = 1,NX
IN=I+NX
DO 1 J=1,NX
A(I,J)=C1(I,J)
1 A(IN,J)=S11(I,J)
CALL MATDP(S22,S,NY)
CALL MUM(C2,S,B,NX,NY,NY)
CALL MTM(S21,S,D,NY,NX,NY)
CALL MMT(B,C2,C1,NX,NY,NX)
CALL MUM(B,S21,S11,NX,NY,NX)
DO 2 J=1,NX
JN=J+NX
DO 2 1=1,NX
IN=I+NX
A(I,J)=A(I,J)—Sll(I.J)
A(JN,IN)=—A(I,J)
2 A(I,JN)=C1(I,J)
CALL MUMfD^l.Cl.NX.NY.NX)
DO 3 1=1,NX
IN=I+NX
DO 3 J=1,NX
3 A(IN,J)=A(IN,J)—C1(I,J)
CALL SKM(A,A1,N,N)
IF(ISTB.NE.1)RETURN
CALL MUM(B,Q2,P,NX,NY,1)
I=NX+1
CALL MUM(D,Q2,P(I),NX,NY,1)
DO 4 I=1,NX
IN=I+NX
4 P(IN)=P(IN)-Q1(I)
CALL SKM (P, Al, N, 1)
RETURN
END
SUBROUTINE API (D, A, B, I.)
DIMENSION A A), В A)
DOUBLE PRECISION D, A, B,
* D2,D3,A2,A3
D2=D*D*2.
D3=D2*D
DO 1 11=1,L
I2=I1+L
I3=I2+L
M=I3+L
252
A2=A(I2)
A3=A(I3)
B(I1)=A2
B(I2)=(A3—A2)/D
B(I3)= (A3—2. * A2+ AA1))/D2
B(I4)=(A(H)—3. *A3+
*3. *A2—A(I1))/D3
RETURN
END
SUBROUTINE MFRl
*(A,B,BB,QQ,N,M,ISTB,
*Y,Y1,Y2,Y3,Y4,Z,S,Q)
DIMENSION BBA),QQA),
* YA),Y1A),Y2A),Y3A),
Y4()Z1)S()QA)
()()(),()
COMMON/RUN/KIN.
DOUBLE PRECISION A,B,BB,QQ,
* Y,Y1,Y2,Y3,Z,S,Q,Y4,H,H2,H6,X
N1=N+1
IF(ISTB.EQ.1)GO TO 1
N1 = N
M=l
DO 8 1=1,4
8 QQ(I)=0.
1 NN=N*N
II=N*N1
H=(B-A)/'KIN
H2=H/2.
H6=H/6
X=A
DO 2 1=1, II
2 Y(I)=0.
DO 3 1=1, N
L=I+N*(I—1)
3 Y(L)=1.
CALL INTP1(X,A,B,
* BB,QQ,NN,M.S,Q)
DO 7 INT=1,KIN
CALL DERV1
*(Y1,S,Y,Q,N1,N,M)
DO 4 I=1,H
4 Z(I)=Y(I)+Y1(I)*H2
X=X+H2
CALL INTP1(X,A,B,
*BB,QQ,NN,M,S,Q)
CALL DERV1
(Y2,S,Z,Q,N1,N,M)
t>0 5 1=1,11
5 Z(I)=Y(I)+Y2(I)*H2
CALL DERV1
*(Y3,S,Z,Q,N1,N,M)
DO 6 1=1,11
6 Z(I)=Y(I)+Y3(I)*H
X=X+H2
CALL INTP1(X,A,B,
* BB,QQ,NN,M,S,Q)
CALL DERVI
*(Y4,S,Z,Q,N1,N,M)
DO 7 1=1,11
()()+(()+
* (Y2(I)+Y3(I))+Y4(I)) * H6
RETURN
END
SUBROUTINE INTP1
*(X,A,B,BB,QQ,L,M,S,Q)
DIMENSION BBA),QQA),
SAA)
(),Q()
DOUBLE PRECISION X, A, B,
*BB,QQ,S,Q,T2,T3,T4
T2=X—A
T3=(X—B)*T2
•T4=T2*T3
DO 1 11=1,L
I2=I1+L
I3=I2+L
I4=I3+L
1 S(I1)=BB(I1)+BB(I2)*T2+
*BB(I3)*T3+BB(I4)*T4
DO 2 11=1, M
I2=I1+M
I3=I2+M
I4=I3+M
2 Q(I1)=QQ(I1)+QQ(I2)*T2+
*QQ(I3)*T3+QQ(I4)*T4
RETURN
END
SUBROUTINE DERV1
*(DY,S,Y,Q,N1,N,M)
DIMENSION DYA),SA),YA),QA)
DOUBLE PRECISION DY,S,Y,Q,D
K=N*N1—M
DO 1 1=1,К
1 DY(I)=0.
DO 2 1=1,M
K=K+1
2 DY(K)=Q(I)
L=—N
DO 3 K=l, N1
L=L+N
DO 3 1=1,N
IJ=I~N
KI=L+I
D=DY(KI)
DO 4 J=1,N
IJ=IJ+N
MJ=L+J
4 D=D+S(IJ)*Y(MJ)
3 DY(KI)=D
RETURN
END
SUBROUTINE STF1
*(Y,N,N1,ISTB,S,R1,R2,M)
DIMENSION Y(N,N1),
* S(N, N1), R1 (M,M), R 2(M, M)
DOUBLE PRECISION Y, S, Rl,
* R2,A.D
DO 1 J=1,M
JM=J+M
DO 1 1=1,M
1 R1(I,J)=Y(I,JM)
CALL MATDP(Rr,R2,M)-
DO 3 1=1,M
254
IM=I+M
DO 3 J=1,M
JM=J+M
A=0.
D=0.
S(I,JM)=—R2(I,J)
S(IM,J)=—R2(J,I)
DO 2 L=1,M
LM=L+M
A=A+R2(I,L)*Y(L,J)
2 D=D+Y(IM,LM) * R2(L,J)
S(I,J)=A
3 S(IM,JM)=D
IF(ISTB.NE.1)RETURN
DO 4 I=1,M
A=0.
DO 5 J=1,M
5 A=A—R2(I,J)*Y(J,N1)
4 S(I,N1)=A
DO 6 I=1,M
IM=I+M
A=-Y(IM,N1)
DO 7 J=1,M
7 A=A—Y(IM,J+M)*S(J,N1)
6 S(IM,N1)=A
RETURN
END
SUBROUTINE FORM2
*(SK,R,ST,P,LIN,N)
• COMMON/SOL/NB,NZ,NELS
DIMENSION SKA),RA),
*ST(N,N),LIN(N),P(N)
DOUBLE PRECISION SK,R,ST,
IS=NB*NZ
DO 1 1=1,IS
1 SK(I)=0.
DO 2 I=I,NZ
2 R(I)=0.
REWIND 9
DO 3 IEL=1,NELS
READ (9)K,
(LIN(I)I1K)
((),
*((ST(I,J),J=1,K),I=1,K),
(P(I)I1K)
((),)
DO 3 1=1, К
IS=LIN(I)
IF(ISK,3,5
R(IS)=R(IS)+P(I)
DO 3 J=1,K
JS=LIN(J)
JJ=JS-IS+1
IF(JJK,3,4
M=NB*(IS— 1)+JJ
SK(M)=SK(M)+ST(I,J)
CONTINUE
RETURN
END
SUBROUTINE SOLV1(SK,R)
DIMENSION SKA),RA)
COMMON/SOL/ N B, NZ, NE LS
DOUBLE PRECISION SK,R,C
DO 5 N=1,NZ
I=N
NNB=NB*(N—1)
DO 4 L=2,NB
1=1+1
INB=NB*(I-1)
NL=NNB+L
N1 = NNB+1
IF(SK(NL)I,4,1
1 C=SK(NL)/SK(N1)
J=0
DO 3 K=L,NB
. J=J+1
NK=NNB+K
IF(SK(NK)J,3,2
2 IJ=INB+J
SK(U)=SK(U)—С * SK(NK)
3 CONTINUE
SK(NL)=C
R(I)=R(I)—C*R(N)
4 CONTINUE
5 R(N)=R(N)/SK(N1)
N=NZ
6 N=N—1
1F(NI0,10J
7 L=N
NNB=NB*(N—1)
DO 9 K=2,NB
L=L+1
NK=NNB+K
IF(SK(NK)8,9,8
8 R(N)=R(N)-SK(NK)*R(L)
9 CONTINUE
GO TO 6
10 RETURN
END
SUBROUTINE MUM(A,B,C,M,N,L)
DIMENSION AA),BA),CA)
DOUBLE PRECISION A,B,C,D
DO 1 I=1,M
IM=I—M
JN=—N
IJ=IM
DO 1 J=1,L
IJ=IJ+M
JN=JN+N
IK=IM
D=0.
DO 2 K=1,N
IK=IK+M
KJ=JN+K
2 D=D+A(IK)*B(KJ)
1 C(IJ)=D
RETURN
END
SUBROUTINE MTM(A,B,C,M,N,L)
DIMENSION AA),BA),CA)
DOUBLE PRECISION A,B,C,D
II=—M
DO 1 1=1,N
IJ=I—N
266
JJ=—M
DO 1 J=1,L
IJ=IJ+N
JJ=JJ+M
D=0.
DO 2 K=1,M
KI=H+K
KJ=JJ+K
2 D=D+A(KI)*B(KJ)
1 C(IJ)=D
RETURN
END
SUBROUTINE MMT(A,B,C,M,N,L)
DIMENSION AA),B(O,CA)
DOUBLE PRECISION A,B,C,D
DO 1 1=1 ,M
IJ=I—M
II=IJ
DO 1 J=1,L
IJ=IJ+M
IK=II
JK=J—L
D=0.
DO 2 K=1,N
IK=IK+M
JK=JK+L
2 D=D+A(IK)*B(JK)
1 C(IJ)=D
RETURN
END
SUBROUTINE SKM(A,S,M,N)
DIMENSION A(l)
DOUBLE PRECISION A,S
MN=M*N
DO 1 1=1,MN
1 A(I)=A(I)*S
RETURN
END
SUBROUTINE MATDP(A,E,N)
DIMENSION A(N,N),E(N,N)
DOUBLE PRECISION A,E,T,BM
25 FORMATEX,'CБOЙ ПРИ',1Х,
* 'ОБРАЩЕНИИ МАТРИЦЫ')
DO 11 1=1,N
DO 11 J=1,N
IF(I.EQ.J)GO TO 10
E(I,J)=0.
GO TO 11
10 E(I,J)=1.
11 CONTINUE
DO 27 1=1, N
J=I
L=I
LD=0
12 IF(DABS(A(L,J))I6,13,16
13 LD=1
IF(L— N) 15,14,14
14 PRINT25
GOTO27
15 L=L+1
GO TO 12
16 IF(LD—1J6,17,26
17 DO18K=1,N
T=A(L,K)
A(L,K)=A(I,K)
A(I,KJ=T
T=E(L,K)
E(L,K)=E(I,K)
18 E(I,K)=T
26 BM=1./A(I,I)
DO19K=1,N
19 E(I,K)=E(I,K)*BM
11=1+1
DO20KI=H,N
K=N+I1-KI
20 A(I,K)=A(I,K)*BM
DO23L=1,N
IF(L.EQ.I)GOTO23
BM=A(L,I)
DO21K=1,N
21 E(L,K)=E(L,K)—E(I,K)*BM
11=1+1
DO22KI=I1,N
K=N+I1—KI
22 A(L,K)=A(L,K)-A(I,K)*BM
23 CONTINUE
27 CONTINUE
RETURN
END
Список литературы
1. Александров А. Ям Куршнн Л. М. Многослойные пластинки и оболочки. —
Тр. VII Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1970, с. 714—
721.
2. Александров А. Я-, Куршин Л. М. Трехслойные пластинки и оболочки. —
В кн.: Прочность, устойчивость, колебания. М.: Машиностроение, 1968. Т. 2,
с. 243—308.
3. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Маши-
Машиностроение, 1978, 311 с.
4. Алфутов Н. А., Попов Б. Г. Использование операторных матриц для рас-
расчета трехслойных цилиндрических оболочек, подкрепленных шпангоутами. — Изв.
АН СССР, Механика твердого тела, 1977. № 3, с. 74—80.
5. Алфутов Н. А., Попов Б. Г. Устойчивость и колебания трехслойных цилин-
цилиндрических панелей с многослойными обшивками. — Тр. XII Всесоюзн. конф. по
теории оболочек и пластин. Ереван: ЕГУ, 1980, Т. 1, с. 46—52.
6. Амбарцумяи С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974,
448 с.
7. Ашкенази Е. К., Гаиов Э. В. Анизотропия конструкционных материалов.
Л.: Машиностроение, Лениигр. отд-ние, 1972, 216 с.
8. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. М.: Маши-
Машиностроение, 1977, 488 с.
9. Бидерман В. Л. Пластинки и оболочки из ориентированных стеклопласти-
стеклопластиков. — В кн.: Прочность, устойчивость, колебания. М.: Машиностроение, 1968,
Т. 2, с. 211—242.
10. Болотнн В. В. Плоская задача теории упругости для деталей из армиро-
армированных материалов. — В кн. Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, вып. 72,
1966, 48—63 с.
11. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций.
М.: Машиностроение, 1980, 376 с.
12. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Маши-
Машиностроение, 1976, 278 с.
» 13. Ванин Г. А., Семенюк Н. П., Емельянов Р. Ф. Устойчивость оболочек из
армированных пластиков. Киев.: Наукова думка, 1978, 212 с.
• 14. Ваи Фо Фы Г. А. Теория армированных материалов. Киев: Наукова думка,
1971, 232 с.
15. By Э. М. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред.
Композиционные материалы/Под ред. Л. Браутмана, Р. Крока; Пер. с англ. Меха-
Механика композиционных материалов/Под ред. Дж. Сендецки. Т. 2. М.: Мир, 1978,
с. 401—491.
16. Гольденблат И. И., Копиов В. А. Критерии прочности и пластичности
конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968, 192 с.
17. Гольденвейзер А. Л. Теории упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976,
512 с.
18. Григолюк Э. И., Когаи Ф. А. Современное состояние теории многослойных
оболочек. — Прикладная механика, 1972, Т. VIII, вып. 6, с. 3—17.
19. Григолюк Э. И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных
оболочек. М.: Машиностроение, 1973, 170 с.
20. Григореико Я- М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения
переменной жесткости. Киев: Наукова думка, 1973, 228 с.
21. Деформирование и разрушение перекрестно армированных стеклопластиков
при растяжении и кручеиии/И. Н. Данилова, П. А. Зиновьев, Т. В. Соколова,
А. И. Тараканов — Изв. вузов. Машиностроение, 1982, № 5, с. 20—25.
259
22. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.
23. Зиновьев П. А. К теории проектирования конструкций минимального
веса. — Изв. вузов. Машиностроение, 1972, № 12, с. 32—36.
24. Зиновьев П. А., Тараканов А. И. О нелинейном деформировании слоистых
композиционных материалов. — В кн.: Применение пластмасс в машиностроении.
. М.: МВТУ, 1978, № 16, с. 72—80.
25. Зиновьев П. А., Тараканов А. И., Фомин Б. Я- Деформирование и разру-
разрушение композиционных материалов при двухосном растяжении. — В кн.: Приме-
Применение пластмасс в машиностроении. М.: МВТУ, 1982, вып. 19, с. 33—58.
26. Зиновьев П. А., Тараканов А. И., Фомин Б. Я- Нелинейное деформирование
цилиндрических оболочек из армированных материалов. — Труды XII Всесоюзн.
конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: ЕГУ, 1980, Т. 2, с. 157—163.
27. Исследование несущей способности слоистых цилиндрических оболочек
при помощи моделирования процесса разрушения на ЭВМ/В. Д. Протасов,
А. Ф. Ермоленко, А. А. Филипенко, И. П. Димитриенко. — Механика композит-
композитных материалов, 1980, № 2, с. 254—261.
28. Келли А. Высокопрочные материалы/Пер, с англ. М.: Мир, 1976, 262 с.
29. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977,
415 с.
30. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Маши-
Машиностроение, 1975, 400 с.
31. Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление полимерных
и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980, 572 с.
32. Методика расчета характеристик прочности сложных композиционных
материалов при плоском сложно-напряженном состоянии с учетом пластических
свойств монослоя. — В кн.: Проектирование, расчет и испытания конструкций из
композиционных материалов. М.: ЦАГИ, 1976, вып. IV, с. 13—19.
33. Мяченков В. И., Григорьев И. В. Расчет составных оболочечных конструк-
конструкций на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1981, 212 с.
34. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962, 431 с.
35. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958, 370 с.
36. Новожилов В. В., Черных К- Ф- Об упругих постоянных линейной теории
упругости. — В кн.: Современные проблемы механики и авиации. М.: Машинострое-
Машиностроение, 1982, с. 215—221.
37. Образцов И. Ф., Васильев В. В., Бунаков В. А. Оптимальное армирование
оболочек вращения из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1976,
144 с.
38. Попов Б. Г. О свойствах симметрии уравнений устойчивости для оболочек
вращения. — Изв. вузов. Машиностроение, 1979, № 9, .с. 9—-13.
39. Попов Б. Г. Получение канонических уравнений для многослойных оболочек
вращения из нелинейно упругих материалов. — Изв. вузов. Машиностроение,
1982, № 9, с. 45—49.
40. Постнов В. А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.:
Судостроение, 1977, 280 с.
41. Работнов Ю. Н. О прочности композитов, армированных в двух направле-
направлениях. — Механика полимеров, 1978, № 5, с. 832—834.
42. Расчеты и испытания на прочность. МР 30—81. Метод и программа расчета
на ЭВМ устойчивости и колебаний прямоугольных трехслойных пластин, цилиндри-
цилиндрических панелей и оболочек с многослойными обшивками/Сост.: Б. Г. Попов и др.
М.: ВНИИНМАШ, 1981, 69 с.
43. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и 'жесткость/
Н. Н. Шапошников, А. Д. Тарабасов, В. В. Петров, В. И. Мяченков. М.: Машино-
Машиностроение, 1981, 333 с.
44. Рейсснер Е. Непротиворечивое определение деформации сдвига в слоистых
анизотропных пластинах. — Ракетная техника и космонавтика, 1972, № 5, с. 193—
195.
¦ 45. Рикардс Р. Б., Тетере Г. А. Устойчивость оболочек из композитных мате-
материалов. Рига: Зинатне, 1974, 310 с.
46. Рознн Л. А. Вариационные постановки задач для упругих систем. — Л.:
ЛГУ, 1978, 223 с.
260
47. Рябов А. Ф., Рассказов А. О. К теории многослойных пластин несимметрич-
несимметричной структуры с ортотропными слоями. — Прикладная механика, 1974, Т. 10,
вып. 2, с. 62—68.
48. Сендецки Дж. Упругие свойства композитов. Композиционные материалы/
Под ред. Л. Браутмана, Р. Крока; Пер. с англ. Механика композиционных мате-
материалов/Под ред. Дж. Сендецки. Т. 2. М.: Мир, 1978, с. 61 — 101.
49. Скудра А. М., Булаве Ф. Я- Прочность армированных пластиков. М.: Хи-
Химия, 1982, 214 с.
50. Скудра А. М., Булаве Ф. Я- Структурная теория армированных пластиков.
Рига: Зинатне, 1978, 192 с.
51. Стриклин, Наваратна, Пиан. Усовершенствование расчета оболочек враще-
вращения методом перемещений. — Ракетная техника и космонавтика, 1966, № 11,
с. 252—254.
52. Тарнопольский Ю. М., Кинцис Т. Я- Методы статических испытаний арми-
армированных пластиков. М.: Химия, 1981, 272 с.
53. Тарнопольский Ю. М., Розе А. В. Особенности расчета-деталей из армиро-
армированных пластиков. Рига: Зинатне, 1969. 274 с.
54. Тетере Г. А., Рнкардс Р. Б., Нарусберг В. Л. Оптимизация оболочек из
слоистых композитов. Рнга: Зинатне, 1978, 238 с.
55. Фнлии А. П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройнздат, 1975, 256 с.
56. Цай С, Хаи X. Анализ разрушения композитов. — В кн.: Неупругие свой-
свойства композиционных материалов/Под ред. К- Гераковича; Пер. с англ. Механика.
Новое в зарубежной науке. М.: Мир, 1978, кн. 16, с. 104—139.
57. Чамис К- Мнкромеханические теории прочности. Композиционные мате-
материалы/Под ред. Л. Браутмана, Р. Крока; Пер. с англ. Разрушение и усталость/
Под ред. Л. Браутмана. Т. 5. М.: Мир, 1978, с. 106—165.
58. Экспериментальное исследование некоторых особенностей деформирования
и разрушения слоистого углепластика. — Механика композитных материалов/
П. А. Зиновьев, Е. М. Песошников, Б. Г. Попов, Л. П. Таирова, 1980, № 2, с. 241—
245.
59. Bathe K--J- The finite element procedures in engineering analysis. — Prentice-
Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1982, 615 p.
60. Kawata K- On the yielding—fracture criterion of angleply FW laminates. —
Proc. Int. Conf. Mech. Mat. Tokyo, Vol. 5, 1971, pp. 146—155.
61. Rao S. S. The finite element method in engineering — Oxford: Pergamon
Press, 1982, 626 p.
62. Tsai S. W., Pagano N. J. Invariant properties of composite materials. —
In: Composite materials workshop/Ed, by S. W. Tsai, J. С Halpin, N. J. Pagano.
Technomic Publishing Co., Inc., 1968, pp. 233—253.
Оглавление
Предисловие 5
Глава 1. Элементы механики упругого анизотропного тела . . . 6
§ 1.1. Обобщенный закон Гука 6
§ 1.2. Упругие характеристики однонаправленного композиционного ма-
материала прн плоском напряженном состоянии 14
§ 1.3. Преобразование упругих характеристик однонаправленного мате-
материала при повороте системы координат 18
§ 1.4. Упругие характеристики многослойных композитов при плоском
напряженном состоянии 23
§ 1.5. Изгиб многослойных композиционных материалов 28
§ 1.6. Примеры расчетов упругих характеристик 34
Глава 2. Модель композиционного материала с хрупким поли-
полимерным связующим 36
§ 2.1. Прочность однонаправленного композиционного материала прн
плоском напряженном состоянии 37
§ 2.2. Деформирование однонаправленного композиционного материала
в составе пакета слоев многослойного материала 43
§ 2.3. Модель поведения монослоя 52
§ 2.4. Алгоритмизация задач о деформировании и прочности многослойных
композитов 56
§ 2.5. Одноосное нагружение перекрестно армированных композитов ... 60
§ 2.6. Многослойные композиты в условиях двухосного растяжения и сдвига 64
Глава 3. Вариационно-матричный подход к расчету конструк-
конструкций 71
§ 3.1. Принцип возможных перемещений 72
§ 3.2. Функционал Лагранжа и уравнения равновесия упругого тела ... 75
§ 3.3. Формулировка задач устойчивости 79
§ 3.4. Формулировка задач динамики 83
§ 3.5. Получение разрешающих уравнений для одномерных задач . . 85
§ 3.6. Численное интегрирование разрешающих дифференциальных урав-
уравнений для одномерных систем 93
§ 3.7. Формулировка нелинейных задач 98
§ 3.8. Общие этапы решения задач с помощью МКЭ 100
§3.9. Примеры использования вариационно-матричных формулировок. . 112
Глава 4. Расчет тонких слоистых пластин и оболочек... 122
§ 4.1. Краткие сведения из теории поверхностей 122
§ 4.2. Связь деформаций с перемещениями 130
§ 4.3. Применение МКЭ для расчета многослойных оболочек вращения . . 135
§ 4.4. Получение канонических систем для решения задач статики, устой-
устойчивости и колебаний многослойных оболочек вращения 149
§ 4.5. Условия сопряжения с кольцевыми подкрепляющими элементами . . 159
§ 4.6. Уточненные модели ортотропных слоистых пластин и оболочек . . . 169
§ 4.7. Силовые граничные условия 180
§ 4.8. Решение осесимметричных нелинейных задач 182
§ 4.9. Примеры расчетов оболочек из стеклопластиков 187
262
Глава 5. Численные методы расчета трехслойных пластин
и оболочек с многослойными обшивками 1э1
§ 5.1. Особенности деформирования 191
§ 5.2. Решение задач статики трехслойных оболочек с использованием
гипотезы ломаной линии 197
§ 5.3. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек 210
§ 5.4. Условия сопряжения трехслойных ободочек вращения со шпангоу-
шпангоутами 214
§ 5.5. Расчет трехслойных оболочек с учетом трансверсальнои податливости
слоя заполнителя . . 218
§ 5.6. Устойчивость и колебания прямоугольных трехслойных пластин,
цилиндрических панелей и оболочек с многослойными обшивками 226
§ 5.7. Примеры расчетов трехслойных конструкций 233
Приложения.
1. Программа для расчета диаграмм деформирования и условий
разрушения многослойных полимерных композиционных ма-
материалов прн плоском напряженном состоянии 241
2. Описание вспомогательных программ расчета многослойных
оболочек вращения 250
Список литературы 259
Николай Анатольевич А Л ФУТОВ,
Петр Алексеевич ЗИНОВЬЕВ,
Борис Глебович ПОПОВ
РАСЧЕТ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН
И ОБОЛОЧЕК ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ
МАТЕРИАЛОВ
Редактор Т. Д. Онегина
Художественный редактор С. С. Водчиц
Технический редактор Л. П. Гордеева
Корректор А. П. Сизова
Сдаио в набор 07.02.84. Подписано в печать
Формат 60X90'/i«- Бумага типографская
№ I. Гарнитура литературная. Печать
высокая. Усл. печ. л. 16,5. Усл. кр.-отт. 16.5.
Тираж 5600 экз. Заказ 45. Цена 1 р. 40 к.
ИБ 3703
Убедительная просьба
Ип cctul- члйющинъ и рассматриваю
щииь книги, эстампы фоиг|лф|н и т д.
1) НикакМхъ годрисовот,. раскраши-
ванйй и 0ТЛ"ЪтСкъ не делать;
Z] при перелистывали страница Галь-
цы отнюдь не мочить;
3) перелистывать иедп^кно и аккуратно,
чтабь нечяяипо углы сгран^цъ ц пакле-
епныхъ рясуннов ь пе Загнуть пне смрть.
а тйкже проклавну и?ъ ^^пиросноИ bywa-
ги мешду рнсункапи не испортить,
4> при раэсетатривалт scTafflrOBbj фо-
Тограф!й и рисунчовьвъннигахъиенури-ь
h табачнымъ дымол-ь ихъ не сйвдвать,-
5) лерелт! начвпомъ pascMar^Bani» и
чтент pyi№ тщатйпьно мьлъ: ротными
рунами такие огнюдь не брать:
6] къ Серому рисунку tia эстэ^лакъ фо
та. рафю^ъ и т- Д. П^±.цамн не приковаться;
7) ОСгожку иги лереглетг книги пе-
ред-ь irehieF* DEepTb^aTb въ Oyriary:
8) листы ННКГИ Шй яалнти незагибвть,
Э^ въ карманахъ ннигъ п« носигь или
же употребляв при атомъ особою предосто-
ромнисть чтобы пниги he испач'
12.07.84. Т-12447.
Уч.-изд. л. 17,57.
Ордена Трудового Красиого Знамеии изда-
издательство «Машниостроенне», 107076,
Москва, Стромынский пер., д. 4
Ленинградская типография № 6 ордеиа Трудового Красного Зиаме!
Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соке
Союзполнграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
I93M4, г. Ленинград, ул. Моисеепко, 10.