МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА НЕСТАЦИОНАРНОГО ИСТЕЧЕНИЯ

ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ ИЗ СОСУДА.
I.Цель задачи.

Целью задачи'является получение представления о критериях,
обеспечивающих подобие нестационарного процесса истечения жидкости
из "натурного" сосуда и из "модели", а также экспериментальное осу-
ществление моделирования изучаемого явления.

-	2.Элементы теории.

-- Рассмотрим процесс нестационарного истечения жидкости из сосу-
да с начальной глубиной жидкости в нем h0. Требуется узнать время
истечения из сосуда через круглое отверстие в дне диаметра d задан-
ного количества жидкости Q.

Очевидно, что в число определяющих параметров должны входить
параметры, задающие геометрию сосуда. Эти параметры можно выписать,
указав некоторый характерный линейный размер; например, диаметр
отверстия в дне d и отношение всех остальных линейных размеров 11 к
1	11

этому размеру, т.е —. Совокупность параметров^ и -------- полностью

d	d

определяет форму и размеры сосуда.

Необходимо также включить в число определяющих параметров на-
чальную глубину жидкости h0, ибо она определяет напор жидкости.
Очевидно, что при большой глубине скорость истечения жидкости будет
большей и заданное количество жидкости Q вытечет быстрее.

Причиной истечения жидкости является наличие весомости у жид-
кости. Поэтому ускорение силы тяжести g также должно быть включено
в список определяющих параметров. Наконец, могут быть существенными
характеристики жидкости, такие, как плотность р и вязкость, которую
можно характеризовать заданием динамического коэффициента вязкости
ц. Температуру жидкости можно специально не учитывать, считая, что
от неё существенно зависит коэффициент динамической вязкости ц, ко-
торый мы уже включили в число определяющих параметров.
Можно было бы учесть и такое свойство жидкостей, как поверхно-
стное натяжение, добавив к определяющим параметрам коэффициент по-
верхностного натяжения. Однако, поверхностное натяжение, как изве-
стно, может быть существенным лишь в том случае, если имеются уча-
стки поверхности с весьма малым радиусом кривизны. Учитывая масштаб
изучаемого явления, можно считать, что эффект поверхностного натя-
жения будет пренебрежимо малым, что позволяет не включать коэффици-
ент поверхностного натяжения в число определяющих параметров.

Очевидно, определяющим параметром является также объём жидкос-
ти Q, временем истечения которого мы интересуемся.

Ограничиваясь указанными определяющими параметрами, предполо-
жим, что может иметь место зависимость вида:

d, —, h0, g, р, ц, Q

(I)

Может оказаться, что мы не учли какие-то определяющие парамет-
ры или, наоборот, включили в их число некоторые несущественные. По-
следующие эксперименты покажут нам, правильно ли мы поступили или
совершили ошибку.

Воспользуемся теорией размерности.

Рассматривая системы единиц измерения, принадлежащие к классу
|ьмт|, т.е. такие, в которых основными являются единицы измерения
длины, массы и времени, выпишем размерности определяемых и опреде-
ляющих их параметров в этом классе:

d =L

g =LT

p =ML

ц 1=ML 1Т"1

Из числа определяющих параметров выберем величины с независи-
мыми размерностями: например, d, g, р. Далее составим для остальных
величин безразмерные комбинации:
1 _1 ’
(Г g

Р
^3 -	13

pg2 d2
где v =	- -коэффициент

7U — —- ' 7Г —	•

"41 ”	’	2 ~ я ’

d	d

(2)

V	Q

~1	3~ ’	~Тз	’

2 ,2	d

g d

кинематической вязкости (см. книгу

Л.И.Седова "Методы подобия и размерности в механике").

Тогда на

основании тс-теоремы можно написать, что

тс = ср( тси, тс2, тс^ тс4 )

или,' подставив вместо тс его значение

будем иметь для искомой

величины

(3)

Мы видим, что по сравнению с формулой (I), число аргументов у неиз-

вестной функции снизилось на 3 величины, однако вид функции неиз-

вестен и теория размерности не в состоянии указать его.

В том случае, если не требуется знать вид зависимости (2), то
необходимо узнать значение tq для конкретных значений Q в натурном
объёме, который может ещё находится в стадии проектирования и иметь
весьма большие размеры, следует прибегнуть к моделированию явления,
т.е. к выполнению опыта с "моделью", представляющей сосуд значи-
тельно меньшего, чем натурный, размера, но с которым можно работать
в лабораторных условиях с тем, чтобы, получив для него данные, пе-
ресчитать их на натурный объект.

Рассмотрим^как это делается на конкретном примере.

Ийеем натурный объект - бак, наполненный глицерином, требуется
узнать время истечения QH литров глицерина из него. Относительно
небольшие размеры "натуры" в этом случае позволяют узнать это время
опытным путем. С помощью секундомера мы можем узнать время истече-
ния QH литров глицерина (индекс н будет относится к "натуре", а ин-
декс"* м - к "модели").

Попробуем определить

это же время, выполнив опыт с моделью.

Соотношение (2) верно как

для натуры, так

и для модели, т.е.

t -	/ —

1Qh~ -/ g

Ьн

Чн

4

^он

4

г
н

~Т з

2 ^2
я d
Ьн Н

%
d3
н

(4)

Ф

t -	/ —

gM

Чм

4

я

~Т У

У Л2

S. о.

&м м

Ф

О м

%

м

Функция Ф -

неизвестна,

но,

если бы удалось поставить опыт с

моделью таким образом, чтобы

соответствующие аргументы функции (4)

и (5) были бы равны, то после деления (4) на (5) значения функции ф

сократились бы и имели вид:

Чн

T

ЬЦМ

(6)

^QH-

т.е. узнав на модели tQM :

и зная, во сколько раз отличаются у натуры

и модели диаметры отверстий и ускорения силы тяжести, можно полу-

чить значения tqH, т.е. искомую величину.

Посмотрим, что означает требование равенства значений аргумен-

тов формулы ф для натуры и модели.

Чн 4m

d dM
n	M

(7)

Означает, очевидно, что требование геометрического подобия мо-
дели натуре. Это легко осуществимое требование

*Чм
dH



м



t
Это требование того, что глубина жидкости в модели во столько
же раз меньше натурной, во сколько раз размеры модели меньше натур-
ных.

1	3 - 1	3	(9)

„2 ,2	2 ,2

б	б

n	M

Поскольку это требование можно записать так:

з
г d 12
м

VM = Ы —
L d„ J '
т.е. жидкость для модели должна иметь кинематическую вязкость в
3

' dH 12

-—	раз меньшую, чем натурная.

- $м J	-

Этого можно добиться разбавлением глицерина водой и пользуясь
для измерения кинематического коэффициента вязкости натурной и мо-

дельной жидкости вискозиметром (см. Д.С.Вилькер "Лабораторный прак-

тикум по гидромеханике" стр. 25).

(Ю)

Отсюда следует, что на модели надо интересоватся временем ис-

fcL
м

течения QM=QH $

н

з

литров жидкости. Таким образом, в этой задаче

опыт с моделью легко осуществить. Измерив tQM и умножив полученное

/ н

значение в соответствии с (6) на / д- , мы должны получить tQH и

сравнить полученное значение с найденным ранее непосредственно на

натуре.

Соотношения (7), (3), (9), (10) -носят название КРИТЕРИЕВ
подобия.

Воспользуемся моделью, имеющей размеры в п раз меньше натуры,
но геометрически подобной натуре (условие 7). В этом случае
1

а; = n"

Тогда, в соответствии с (9), для модели должна быть приготов-
лена жидкость, имеющая коэффициент кинематической вязкости в п

раз меньше, чем у натурной жидкости.

Измерив, пользуясь вискозиметром, вязкость натурной жидкости,

приготовим

После

жидкость нужной вязкости для модели, разбавляя её водой.

этого модельная жидкость заливается в модельный бак до

уровня в п

раз меньшего, чем в натуре (условие 8).

Далее

измеряется время истечения QM=QH

3
литров модельной

1

п

жидкости (условие 10).

Умножив найденное значение tQM на V п (формула 6), сравнива-
ем полученное значение с найденным ранее временем истечения QH лит-

ров жидкости из натурного бака. Вычисляем относительную погрешность

6 по формуле:

6

tqH3;tqHT юс»

bQH3

Если окажется, что

ченные непосредственным

времена истечения жидкости из натуры, полу-

измерением и с помощью модельного экспери-

мента близки по величине, то можно сделать вывод о правильности вы-

бора определяющих параметров явления, о правильности получения кри-
териев подобия и об эффективности метода моделирования, основанного

на использовании теории размерности.

При оформлении настоящей задачи следует схематически изобра-
зить "натуру" и "модель", а также дать схему устройства вискозимет-
ра, указав формулу, использованную для определения коэффициента ки-
нематической вязкости в опыте с вискозиметром.

Необходимо привести таблицу всех измеренных и вычисленных зна-
чений параметров и описать последовательность выполнения задачи.
В разделе "элементы теории" следует привести формулировку
тс-теоремы в дополнение к сведениям, содержащимся в настоящей разра-
ботке .

При сдаче зачёта по этой задаче необходимо уметь отвечать на
следующие вопросы:

I.	Единицы измерения основные и производные (определение).

2.	Системы единиц измерения (определение).

3.	Величины размерные и безразмерные (определение).

4.	Формула размерности (определение).

5.	тс - теорема (с доказательством).

6.	Динамическое подобие явлений, критерии подобия,
моделирование явлений.

О	°	'

7.	Принципиальнее устройстве приборов для измерения
коэффициента вязкости.

8.	Содержание настоящей задачи.

При подготовке к зачёту могут быть использованы следующие
руководства:

по вопросам I - 6: Л.И.Седов "Методы подобия и размерности в
механике". Глава I, §§ I, 2, 3, 4, 6, 7.

Глава 2, § 6.

по вопросу 7:	Д.С.Вилькер "Практикум по гидродинамике" стр. 25.
ВИСКОЗИМЕТР ВПЖ-2.

Схема прибора ВПЖ-2.

Вискозиметр капилярный стек-
лянный типа ВПЖ-2 предназначен
для определения кинематической
вязкости жидкостей.

Вискозиметр представляет
собой U - образную трубку, в
колено (I) которой впаян капилляр
(7). Измерение вязкости при по-
мощи капиллярного вискозиметра
основано на определении времени
истечения через капилляр опреде-
ленного объема жидкости из изме-
рительного резервуара (4).

Вискозиметр устанавливают
вертикально в жидкостной термо-
стат так, чтобы расширение (5)
было ниже уровня жидкости в тер-

мостате.

При температуре измерения
выдерживают прибор не менее 15

минут, после чего засасывают

(грушей) жидкость в колено (I) до одной трети высоты расшире-
ния (5). Сообщают колено (I) с атмосферой и определяют время
опускания мениска жидкости от отметки	до отметки

•

Вязкость определяется по среднему (из нескольких измере-
ний) времени истечения жидкости, по формуле

?=слрт

где

7 - кинематическая вязкость жидкости в сантистоксах,

Т - время истечения жидкости в сексот отметки до отм.Мг).

Спр- постоянная прибора.