Text
                    gg^ Оптическая I
W голография

Optical Holography Robert J. Collier Christoph B. Burckhardt Lawrence H. Lin Bell Telephone Laboratories Murray Hill, New Jersey 1971 Academic Press New York and London
Р. Кольер, К. Беркхарт, Л. Лин Оптическая голография Перевод с английского под редакцией Ю. И. ОСТРОВСКОГО Издательство «Мир» Москва 1973
УДК 535 + 778.3 Настоящая книга представляет собой капитальную монографию, написанную известными американскими специалистами, активно работающими в области оптической голографии. Книга содержит полное изложение теоретических принципов голографии, подробное описание методики голографических экспериментов и получающихся при этом результатов. Большой интерес представляют разделы, посвященные практическим применениям голографии. Книга рассчитана на научных работников и инженеров, занимающихся голографией, и специалистов смежных областей, желающих ознакомиться с ее возможностями. Она полезна также аспирантам и студентам-старшекурсникам соответствующих специальностей. Редакция литературы по физике К 0234-049 041(01)73 © Перевод на русский язык, «Мир», 1973
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Всеобщий интерес, проявляемый в настоящее время к голо- графии и ее применениям, обусловлен не только модой — голо- графические методы явились мощным средством физических и тех- нических исследований. Развитие голографии заставило по-новому взглянуть на устоявшиеся и казавшиеся ранее завершенными раз- делы физической оптики. Книга Кольера, Беркхарта и Лина представляет собой капи- тально написанный учебник по оптической голографии. Она до- ступна студентам старших курсов технических вузов и физиче- ских факультетов университетов и содержит последовательное и систематическое изложение оптической голографии и многих ее применений. Достоинством книги является ее физичность. Авторы не злоупотребляют математическими абстракциями, хотя и про- водят детальный анализ явлений, когда это необходимо. В книге, на наш взгляд, удачно выдержаны пропорции между теорией и экспериментом. Человек, внимательно изучивший предлага- емую книгу, сможет читать оригинальную литературу по голо- графии и работать в этой области. Авторы книги, начиная с 1965 г., активно работают в области экспериментальной оптической голографии и известны своими пионерскими работами по голографической интерферометрии, по многоцветной голографии, по исследованию свойств голографиче- ских изображений, новых сред для записи голограмм и т. д. При переводе мы старались по возможности ближе придержи- ваться оригинального текста и не делали сокращений даже в тех случаях, когда это представлялось нам целесообразным. Добав- ления к списку литературы, сделанные нами, минимальны и от- носятся главным образом к русским эквивалентам книг, на ко- торые ссылаются авторы. В заключение хотелось бы поблагодарить авторов и фирму «Белл телефон лэбораторис» за присланные для русского издания оригиналы иллюстраций и список исправлений. Перевод книги сделан Е. Н. Шедовой (гл. 4—8,11), Г. В. Остров- ской (гл. 3, 9, 12, 15, 20), В. Н. Синцовым (гл. 2, 10, 16—19) и Г. В. Дрейден (гл. 1, 13, 14). В редактировании гл. 14 суще- ственную помощь оказал В. К. Соколов. Ю. И. Островский
•ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ Через несколько месяцев после выхода в свет американского издания этой книги Дэннис Габор был удостоен Нобелевской премии по физике за изобретение голографии. Исходя из основ- ных законов дифракции и интерференции света, в 1948 г. Габор создал свой новый метод, причем дал не только его математиче- ское обоснование, но и экспериментальное подтверждение. Все последующие работы в области голографии были развитием вы- двинутой Габором основной идеи о том, что комплексная ампли- туда световой волны может быть зафиксирована на светочувстви- тельном материале и впоследствии восстановлена. Однако голография имеет глубокие исторические корни, ибо в ее основе лежат исследования и других ученых, в том числе и Нобелевских лауреатов. Так, Габор как одного из своих пред- шественников называл Лоуренса Брэгга, которому удалось, используя рентгеновские лучи, получить оптическое изображение атомной структуры. Более того, по мнению Ван Хирдена, закон Брэгга для дифракции света на атомных плоскостях кристалла лежит в основе понимания объемной голографии. В то же время ключ к полному объяснению принципов объемной голографии мож- но найти в тех методах цветной фотографии, за которые в 1908 г. получил Нобелевскую премию Габриель Липпман. Обобщая и сочетая идеи Липпмана и Брэгга, Ю. Н. Денисюк получил отра- жательные голограммы, которые позволяют восстанавливать записанную на них информацию при освещении белым светом, а не при монохроматическом освещении, как это требуется обычно. Однако именно наиболее монохроматический источник излуче- ния — лазер, изобретенный в начале шестидесятых годов, поста- вил голографию на практический фундамент. Вскоре после того, как появились первые лазеры, Э. Лейт и Ю. Упатниекс заложили основы современной голографии.
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 7 Прежде всего они рассмотрели голографический процесс с точ- ки зрения современной теории связи, а затем, когда в их распоря- жении оказались лазеры, получили поразившие всех трехмерные голографические изображения, реализовав таким образом потен- циальные возможности изобретения Габора. Мы видим, следовательно, что голография прекрасно иллю- стрирует путь научного прогресса: прежде всего требуется актив ное понимание всего, что было сделано предшественниками, а за- тем начинается этап творчества. Авторы надеются, что данная книга послужит необходимым фундаментом для тех читателей, которые, возможно, продолжат этот процесс. 5 апреля 1972 г. Роберт Кольер
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ Развитию голографии способствовали совместные усилия спе- циалистов, работающих в разных областях науки: электронной микроскопии, электротехнике, оптике, физике и химии. Бес- спорно, такой всесторонний интерес к голографии, проявленный учеными разных специальностей вскоре после изобретения лазе- ров, привел к широкому размаху исследований в этой области. В то же время это обстоятельство явилось также причиной потока публикаций, написанных на языках разных наук и рассеянных по множеству журналов. Как и следовало ожидать, уровень пер- вичных знаний, необходимый для чтения этих публикаций, суще- ственно различен. Вопреки целям авторов, эта лавина публикаций может нарушить взаимопонимание между учеными, работающими в области голографии, и теми, кто будет использовать на прак- тике голографические методы. Наша книга адресована тем, кто хочет узнать, как можно ис- пользовать голографические методы для решения технических проблем. Мы пытались дать здесь основу, отталкиваясь от которой, можно было бы создавать новое. Для чтения книги достаточно знаний, которыми обладают студенты старших курсов физических и технических специальностей. Необходимы элементарные сведе- ния по оптике, знакомство с уравнениями Максвелла и аппаратом фурье-преобразований. В настоящей книге основное внимание уделяется свойствам голограмм, полученных с помощью видимого света. Мы исходим из того, что читатель не является специалистом в физической оптике. Поэтому прежде всего излагаются основные представле- ния физической оптики, на которых основана голография. Затем для объяснения специфических свойств простых голограмм ис- пользуются геометрические представления. В гл. 4—6 дано крат- кое математическое и физическое введение в фурье-оптику. Эти главы являются основой для теории плоских и объемных голо- грамм, изложенной в следующих главах — 8 и 9. Этим главам предпослана гл. 7, предназначенная для тех, кто, возможно, захо- чет попытаться своими руками получить голограмму, прежде чем перейти к дальнейшему изучению. В этой главе обсуждаются требования к лазерам непрерывного действия, описаны необхо- димые оптические детали и даны схемы простейших эксперимен- тов, которые могут быть осуществлены со сравнительно простым
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ 9 оборудованием. Для улучшения результатов голографист-экспе- риментатор должен также подобрать наиболее подходящий для данной задачи материал для регистрации голограмм (гл. 10). Если голографируемый объект нестабилен, для получения голо- грамм приходится использовать импульсные лазеры. Техника импульсного голографирования описана в гл. 11. За исключением гл. 19, в которой рассмотрены голограммы, синтезированные с помощью электронно-вычислительных машин, вторая часть книги посвящена возможным применениям голо- графии: повышению разрешения изображений, получению изо- бражений через рассеивающие среды, пространственной филь- трации, опознаванию образов и кодированию, интерферометри- ческому исследованию смещений и получению контурных карт рельефа, хранению информации, получению монохроматических и цветных трехмерных изображений и объемному телевидению. Здесь также обсуждаются трудности, которые еще предстоит пре- одолеть. К ним относятся низкая дифракционная эффективность, шумы, искажения, нелинейные эффекты, низкая чувствительность высокоразрешающих регистрирующих материалов и пятнистая структура, наблюдаемая при освещении голограмм лазерным светом. Книга задумана как учебное пособие, а не как сборник статей по голографии. Поэтому из значительного количества литературы по голографии мы отобрали лишь тот материал, который является наиболее подходящим для учебных целей. В соответствии с этим в списки литературы, помещенные в конце каждой главы, вошли лишь те работы, которые были использованы при написании соот- ветствующих глав. Читатель, который захочет глубже позна- комиться с вопросом, может обратиться к работам, перечисленным в кратком списке литературы после предисловия; в этих работах можно найти и более полную библиографию Мы высоко ценим поддержку, оказанную нам фирмой «Белл телефон лэбораторис», а также благодарим за личную помощь, оказанную нам многими из наших коллег. Мы особенно призна- тельны X. Бьючемпу и Е. Доэрти, помогавшим нам в получении нужных голограмм и других иллюстраций к книге. ЛИТЕРАТУРА 1) CAUFIELD Н. J., SUN LU, The CHAMBERS R. Р., COURTNEY- Applications of Holography, New PRATT J. S., Bibliography on York, 1970. Holograms, Journ. Soc. Mot. Pict. Telev. Eng., 75, 373, 759 (1966). x) Здесь и далее звездочкой отмечены работы, добавленные редактором перевода.— Прим. ред.
10 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ CHAMBERS R. Р., STEVENS В. А., Bibliography on Holograms, Journ. Soc. Motion Pict. Telev. Eng., 76, 392 (1967). DE VELIS J. B., REYNOLDS G. 0., Theory and Applications of Ho- lography, Reading, Massachu- setts, 1967. [Имеется перевод: ДЖ. ДЕ ВЕЛИС, ДЖ. О. РЕЙ- НОЛЬДС, Голография (теория и приложения), М., 1970.] FRANCON М., Holographie, Paris, 1969. (Имеется перевод: М. ФРАНСОН, Голография, изд-во «Мир», 1972.) GOODMAN J. W., Introduction to Fourier Optics, New York, 1968. (Имеется перевод: ДЖ. ГУД- МЕН, Введение в фурье-оптику, изд-во «Мир», 1970.) KIEMLE Н., ROSS D., Einfiihrung in die Technik der Holographie, Frankfurt am Main, 1969. KOCK W. E., Lasers and Hologra- phy: An Introduction to Cohe- rent Optics, New York, 1969. (Имеется перевод'. У. KOK, Лазеры и голография, изд-во «Мир», 1971.) LATTA J. N., A Classified Biblio- graphy on Holography and Re- lated Fields, Journ. Soc. Motion Pict. Telev. Eng., 77, 422, 540 (1968). ОСТРОВСКИЙ Ю. И., Голография, Л., 1970. SMITH Н. М., Principles of Holo- graphy, New York, 1969. STROKE G. W., An Introduction to Coherent Optics and Holography, 2nd ed., New York, 1969. (Имеет- ся перевод 1-го изд.: ДЖ. СТРОУК, Введение в когерент- ную оптику и голографию, изд-во «Мир», 1967.) ♦BUTTERS J. N., Holography and its Technology, London, 1971. ♦ОСТРОВСКИЙ Ю. И., Голография и ее применение, Л., 1973. ♦ПАПУЛИС А., Теория систем и преобразований в оптике, изд-во «Мир», 1971. ♦СОРОКО Л. М., Основы гологра- фии и когерентной оптики, М., 1971. ♦VIENOT J. CH., SMIGIELSKI Р., ROYER J., Holographie optique, Paris, 1971 (готовится русский перевод). ♦Applications of Holography. Proc, of the United States-Japan Semi- nar on Information Processing by Holography (October, 1969), New York — London, 1971. ♦Applications of Holography. Proc, of the International Simposium (Besanjon, 1970), Besanjon 1971. ♦The Engineering Uses of Hologra- phy, ed. E. R. Robertson and J. M. Harvey, Cambridge, 1970. ♦Голография и оптическая обработка информации, Библиографиче- ский указатель (721 ссылка), Дубна, 1968. ♦Материалы первой, второй и треть- ей Всесоюзных школ по голо- графии, Л., 1971, 1972.
ПОСВЯЩАЕТСЯ СЬЮЗЕН, АННЕ-МАРИИ И СИЛЬВИИ Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В связи с созданием лазеров начался новый этап в развитии оптической науки: возник практический интерес к изучению коге- рентного света и появились возможности осуществления некоторых старых идей. К их числу относится метод восстановления волно- вого фронта, который был впервые предложен Габором в 1948 г. [1.1—1.3]. Возрождение интереса к этому методу в значительной степени связано с широким распространением лазеров, дающих излучение с высокими когерентными свойствами. Восстановление волнового фронта, или голография, как ее теперь называют,— это способ восстановления трехмерного изображения предмета по его несфокусированной дифракционной картине. Цель, кото- рую ставил Габор при разработке своего метода, состояла в улуч- шении разрешения изображения, полученного с помощью элек- тронного микроскопа. Хотя Габору не удалось продемонстрировать применимость своего принципа к электронным волнам, он смог получить восстановленное изображение в видимом свете. Однако в то время отсутствовали источники когерентного излучения доста- точной мощности даже в видимой области, из-за чего голографию долго относили к числу оптических диковинок. Столкнувшись со значительными трудностями и не получив сколько-нибудь ценных результатов, первые исследователи отказались от даль- нейшей разработки метода. В течение десяти лет казалось, что этому методу суждено остаться в неизвестности. Обстановка про- яснилась в начале 60-х годов благодаря работе, которая была выполнена в Научно-техническом институте Мичиганского универ- ситета. В 1962 г. Лейт и Упатниекс [1.4—1.6] начали публика- цию серии статей, в которых использовался новый подход к опти- ческой голографии, основанный на методах теории связи. К 1964 г. они сумели убедительно доказать практическую ценность голо- графии и показать, что при этом большое значение имеет исполь- зование лазерного света. Действительно, трехмерные изображе- ния, которые получили Лейт и Упатниекс, освещая фотопластин- ки лазерным светом, поразили воображение всех, кто их видел,
12 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. и побудили многих начать свои собственные исследования в обла- сти голографии. Теперь голография широко известна как прак- тический способ регистрации и последующего восстановления волновых фронтов. Запись, сделанная на светочувствительном материале, называется голограммой. В отличие от фотографических негативов на поверхности голо- граммы виден лишь серый фон; ничто не указывает на то, что в ней скрыто изображение предмета (фиг. 1.1). Обычная фото- ФИГ. 1.1. Фотография голограммы. графин приучила нас к тому, что видимые признаки регистрируе- мого объекта воспроизводятся на пластинке или пленке в виде двумерного изображения. Чтобы собрать свет, рассеиваемый каждой точкой объекта, и сфокусировать его в соответствующие точки изображения, необходима линза. Отсутствие деталей изо- бражения на поверхности голограммы показывает, что в голо- графии можно обходиться без линз, воспроизводящих изображе- ние. Для регистрации несфокусированного света, рассеянного объектом, который освещается лазером, требуется только фото- графическая пластинка и когерентная опорная волна. Этот несфо-
§ 1- ОПТИЧЕСКАЯ ГОЛОГРАФИЯ 13 кусированный свет или дифракционная картина представляет собой наложение световых волн от многих точек объекта. Кар- тина, получаемая при этом, обычно макроскопически однородна по интенсивности. Несмотря на кажущееся отсутствие зарегистри- рованной информации, при освещении экспонированной и прояв- ленной голограммы в пространстве формируется объемное изо- бражение предмета. Это изображение, которое может быть лока- лизовано на некотором расстоянии от голограммы, обладает глу- биной и параллаксом, обычно свойственным реальному объекту. Как мы увидим далее, голография может найти гораздо более широкое применение, чем получение объемных изображений. Познакомившись с этим методом ближе, мы увидим, что он может быть использован для хранения и обработки информации, а так- же в интерферометрии и микроскопии. В этой главе вводятся основ- ные понятия, необходимые для понимания принципов голографии. Многие из затронутых здесь вопросов будут рассмотрены более строго в последующих главах. § 1. Оптическая голография Голография — это интерференционный метод регистрации све- товых волн, дифрагировавших на объекте, который освещен коге- рентным светом. При этом дифрагированные волны должны проин- терферировать с согласованной с ними по фазе опорной волной- Если волны обладают достаточной степенью когерентности, раз. ность фаз между предметной и опорной волной остается постоян- ной во времени: в результате возникает наблюдаемая интерфе- ренционная картина с определенным распределением интенсив- ности. Фотографическая запись этой картины — голограмма — содержит информацию и о фазе и об амплитуде дифрагированных волн, благодаря чему возможно их восстановление. Восстановле- ние волнового фронта происходит на втором этапе, когда голо- грамма освещается опорной волной. Сохранение воспроизводимой информации о фазе является уникальной особенностью голографического процесса. В противо- положность этому фотография может сохранить только простран- ственное распределение интенсивности света в предметной сцене (объекте); с помощью линз фотоаппарата оно воспроизводится в сфокусированном изображении и записывается на фотослое, поскольку количество образовавшегося серебра зависит от интен- сивности. Однако интенсивность представляет собой величину, усредненную по всем фазам световой волны, и поэтому не содер- жит информации о фазе волны, идущей от объекта. В голографи- ческом методе информация об амплитуде и фазе несфокусирован- ной волпы, идущей от объекта, кодируется с помощью опорной волны еще до регистрации.
14 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. Голографический метод применим ко всем волнам: электрон- ным, рентгеновским, световым, микроволнам, акустическим и сей- смическим при условии, что они достаточно когерентны для соз- дания требуемых интерференционных картин. И действительно, голограммы были получены с каждым из этих видов волн. Однако голографический метод, по-видимому, наиболее пригоден в опти- ческом диапазоне электромагнитного спектра. После создания лазеров оптическая голография стала быстро развиваться, в то время как работа в более коротковолновом диапазоне тормозится отсутствием источников когерентного излучения. Что касается другого конца шкалы длин волн, то активные исследования прово- дятся в настоящее время лишь в акустической голографии. Раз- рабатываются новые методы формирования акустических голо- грамм, но сколько-нибудь интересных результатов пока не полу- чено. Поэтому мы ограничимся рассмотрением видимого света и оптической голографии. Прежде чем приступить к более под- робному обсуждению голографического метода, дадим краткое изложение некоторых разделов физической оптики. § 2. Световые волны Распространение механической энергии, связанной с упругими деформациями, распространение звука и света можно рассматри- вать как волновое движение. При распространении механиче- ской энергии, скажем, по поверхности океана, непосредственно видно, что волновое движение является поперечным. Гораздо труднее наблюдать продольные звуковые волны в воздухе. Вместо непосредственного наблюдения молекул воздуха мы должны судить об их движении по воздействию на мембрану. Еще труд- нее обнаружить волновой характер распространения света. Так как частота электрического и магнитного полей в световой волне достигает 1015 Гц, то не существует детектора, который был бы настолько малоинерционным, чтобы с его помощью можно было регистрировать мгновенные значения электрического и магнит- ного полей. Волновые свойства света были впервые продемонстрированы в 1802 г. Томасом Юнгом, который наблюдал интерференцию света, исходящего из двух различных точек волнового фронта. Он обнаружил, что в разных точках экрана, освещенного двумя такими вторичными источниками, может происходить не только взаимное усиление интенсивности света, но и взаимное гашение. Это явление трудно объяснить с точки зрения корпускулярной теории, но его легко понять на основе волновых представлений. Экспериментальное устройство Юнга для получения интерферен- ции от двух световых источников показано на фиг. 1.2. Точечное отверстие Ро освещено параллельным пучком света. Сферическая
§ 2. СВЕТОВЫЕ ВОЛНЫ 15 волна, возникающая при дифракции на отверстии Ро, падает на расположенный на некотором расстоянии непрозрачный экран с двумя одинаковыми отверстиями Pi и Р2. Эти отверстия выре- зают небольшие участки волнового фронта, в результате обра- зуются две вторичные согласованные по фазе сферические волны. На экране S, который помещен параллельно первому экрану, в том месте, где волны перекрываются, наблюдаются чередую- щиеся светлые и темные интерференционные полосы, расположен- ные перпендикулярно линии, соединяющей Pi и Р2. Получение голограмм тесно связано с таким способом наблю- дения волновых свойств света, поскольку и в том, и в другом ФИГ. 1.2. Схема опыта Юнга. случае производится регистрация интенсивности светлых и тем- ных полос, возникающих в месте пересечения когерентных свето- вых волн. Пространственное распределение интенсивности, полу- чаемое при этом, называется интерференционной картиной или картиной стоячих волн. Последнее название связано с тем, что пространственное распределение интенсивности полос остается постоянным во времени. Именно благодаря этому мы можем наблю- дать интерференционные полосы в эксперименте Юнга, а также измерять их интенсивность и расстояние между ними. Образо- вание интерференционных полос доказывает, что свет обладает волновыми свойствами, а измерение расстояния между полосами и их контраста позволяет определить такие характеристики, как длина волны и степень когерентности. Хотя невозможно непосредственно наблюдать световые колеба- ния, убедительным доказательством их существования может служить успех теории Максвелла, которая предсказывает элек- тромагнитные, в частности световые, волны. Согласно теории
16 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. Максвелла, в световой волне существуют два векторных силовых поля — электрическое и магнитное. Эти поля способны распро- страняться через пространство, не содержащее какого-либо веще- ства, и мы можем наблюдать только усредненные по времени эф- фекты их взаимодействия с приемником. Голография имеет дело Падающая волна Отраженная волна ФИГ. 1.3. Схема эксперимента Винера. с взаимодействием световых волн со светочувствительным материа- лом, например зернами галоидного серебра в фотослое. На первый взгляд может показаться, что необходимо учитывать оба силовых ноля, каждое из которых может взаимодействовать с регистри- рующей средой. Однако это не так, о чем свидетельствует опыт
§ 3. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ КАРТИНЫ 17 Винера со стоячими волнами, выполненный в 1890 г. (фиг. 1.3). Винер показал, что стоячие световые волны создают наибольшее почернение на фотопластинке в области пучностей электриче- ского поля и совсем не вызывают почернения в области пучностей магнитного поля. Таким образом, именно электрическое поле электромагнитной волны ответственно за образование голограммы. Это справедливо не только для фотослоев, но и для всех других светочувствительных сред, которые используются для получения голограмм. (Свет взаимодействует с электронами, которые нахо- дятся в покое или движутся со скоростью, значительно меньшей скорости света, так что вкладом магнитного поля можно пре- небречь.) Таким образом, мы пренебрегаем влиянием магнитного поля на формирование голограммы и проводим рассмотрение так, как будто в световой волне имеется только электрическое поле. При восстановлении изображения по голограммам, записанным на немагнитных материалах, опять существенно лишь взаимо- действие электрического поля с регистрирующей средой. § 3. Интерференционные картины Получение голограммы в сущности является регистрацией интенсивности интерференционной картины. Если разность фаз между интерферирующими волновыми полями постоянна в течение какого-либо времени, то пространственное распределение интен- сивности полос в интерференционной картине будет также по- стоянно во времени. В этом параграфе мы рассмотрим распреде- ление интенсивности в такой интерференционной картине. При этом мы ограничим наше рассмотрение интерференцией монохро- матических волн одинаковой частоты, полученных от одиночного непрерывно излучающего источника. Таким образом, мы имеем в виду идеальный случай абсолютно когерентного света. Разность фаз и интенсивность интерференционной картины постоянны во времени. При этом существенно упрощается описание основных явлений. Частично когерентный свет будет рассмотрен в § 9. Прежде чем переходить к дальнейшему изложению, поста- раемся более точно представить суть взаимодействия света с фото- графической средой. Почернение единицы объема фотослоя или отбеливание единицы объема фотохромного материала есть функ- ция энергии, поглощенной этим объемом и усредненной за время, большое по сравнению с периодом световых колебаний. Из теории Максвелла мы знаем, что и — энергия на единицу объема, или плотность энергии электрического поля световой волны, в системе единиц МКС описывается выражением 1 - - и = СР • V,
18 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1 где е — диэлектрическая проницаемость среды, в которой распро- страняется волна, и v — вектор электрического поля. Запишем усредненное по времени значение и следующим образом: т т (и)=-^- \ и dt = у е \ v-v dt = -^ е (v-v), -т -т где 2Т — интервал времени, по которому производится усредне- ние, а скобки ( ) означают усреднение по времени. В любой точке световой волны вектор Пойптинга определяет величину и направление потока энергии за единицу времени через единичную площадку, нормальную к потоку. Усредненную по времени величину этого вектора в классической оптике называют интенсивностью света в точке. Если обозначить интенсивность через 1Р, то 1 1Р = s {и} = -тг se (v - v), Л где s — скорость света в среде. В системе МКС интенсивность 1Р выражается в ваттах на квадратный метр. С другой стороны, в голографии принято сокращенное определение интенсивности: 1 = 2 (р-р). (1.1) Как показывает последующее рассмотрение монохроматических волн, интенсивность I сводится к квадрату амплитуды световой волны и является очень важным п аметром в теории голографии. Хотя выбор термина интенсивное ь для квадрата амплитуды до некоторой степени неудачен, обычно всегда можно понять, какая интенсивность имеется в виду в данной ситуации. К тому же бла- годаря пропорциональности между I и 1Р мы можем с равным успехом выражать относительные интенсивности либо через I, либо через 1р. Таким образом, если — радиус-вектор точки в световом пучке, а г2— радиус-вектор другой точки, то относи- тельные интенсивности в двух точках определяются отношением I (ri) _Тр(г1) I (г2) Iр (г2) Используя определение интенсивности 1Р, мы можем теперь описать взаимодействие света с фоточувствительным материалом, пользуясь величиной экспозиции Е. Пусть свет проходит с очень малым поглощением через слой галоидосеребряной фотоэмульсии. В любом объеме фотослоя число центров скрытого изображения, образующихся за единицу времени, есть функция средней элек-
§ 3. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ КАРТИНЫ 19 трической энергии, полученной этим объемом за единицу времени. Рассмотрим объем с единичным поперечным сечением, нормаль- ным к потоку энергии. Поток энергии, проходящий через этот объем в единицу времени, равен интенсивности 1р. Общее число центров скрытого изображения (т. е. число зерен галоидного серебра), способных к проявлению и образующихся за время экспозиции хе в нашем объеме, описывается некоторой функцией экспозиции Е = 1рХе Тхе. Следовательно, почернение (или уменьшение пропускания пластинки) после проявления этих зерен может быть также выражено как функция экспозиции Е (см. гл. 2, § 5, п. 1). Правильное представление о сущности интерференционных процессов можно получить, подставляя выражения для соответ- ствующих волновых амплитуд в выражение (1.1) для интенсивно- сти. Если электрическое поле v существует как физическая вели- чина, оно должно быть действительной функцией координат и времени, а если оно соответствует строго монохроматической волне, оно должно быть простой гармонической функцией вре- мени. Пусть / — частота волновых колебаний, тогда электриче- ское поле описывается выражением v = a cos (2л/£ + <р), (1.2) где а и <р — амплитуда и фаза, являющиеся функциями только пространственных координат. Подстановка выражения (1.2) в выражение (1.1) дает г Z = -^r j [1 + cos (4л/г + 2<р)] dt = а>а для (1.3) -т = а2 = + + azt (1-4) где ах, ауп az — проекции вектора а на оси декартовых координат. Интенсивность, таким образом, равна квадрату амплитуды элек- трического поля. Как ясно видно из (1.4), измерение интенсив- ности одной волны не дает информации о фазе волны. Необходимым условием образования интерференционных кар- тин является одновременное присутствие более чем одной волны. Поэтому мы должны вначале выяснить, как производится сло- жение нескольких интерферирующих монохроматических волн, а затем применить выражение (1.1). Каждая волна может быть представлена в виде vt = а; cos (2nft + <р;), где частота / имеет одно и то же значение для всех волн (кг — вектор электрического поля в области интерференции). Сумма этих синусоидальных 2*
20 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. функций есть синусоида, и, таким образом, мы имеем а± cos (2n/i + <р±) + а2 cos (2л ft + <р2) + • • • = = a cos (2л ft + <р). (1.5) Это выражение может быть представлено в виде Re [at exp [i (2л ft + <Pi)]] + Re [a2 exp [i (2л ft + <p2)]] + • = = Re [a exp [i (2л ft + <p)U, (1.6) где Re [ ] означает действительную часть комплексной вели- чины, стоящей внутри скобок. Использование комплексных вели- чин упрощает вычисления, тем более что мы можем упростить запись, опуская символ Re [ ] и, таким образом, не напоми- ная, что волновая функция — действительная величина (но имея это постоянно в виду). На этой стадии мы обратим внимание на несколько формул, которые мы будем применять к комплексной волновой функции пространства и времени, входящей в правую часть соотношения (1.6). Комплексная величина -1) —► v = a exp (i <р) exp (2ni/i), которая содержит фазовый множитель, зависящий от времени и меняющийся с частотой колебаний /, называется комплексным вектором электрического поля; комплексная величина —► -> а = a exp (i <р) содержит только амплитуду и фазовый множитель, который не меняется с частотой f и называется комплексным вектором ампли- туды, а его действительная часть а — просто вектором амплитуды. Когда мы имеем дело со скалярными волнами (см. ниже), слово «вектор» из этих выражений исключается. (Общее определение комплексного электрического поля дается в приложении II.) Опуская символ Re [ ] в соотношении (1.6) и деля каждый член на exp (2ni/i), получаем exp (i <Pi) -|- a2 exp (i <p2) + = a exp (г <p) = a. (1-7) Таким образом, комплексный вектор амплитуды суммы монохро- матических волн получается сложением комплексных векторов амплитуды индивидуальных врлн согласно правилам сложения комплексных чисел. х) Комплексные величины обозначаются жирным шрифтом.
ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ КАРТИНЫ 21 § 3. Теперь мы можем записать интенсивность I в выражении (1.3) через а, составляя произведение —> —> —> —> —> а-а* = [a exp (I <р)] - [а ехр (— i <р)] = а-а, так что I = а -а = а -а* = exp (i <р±) + а2 exp (i <р2) + . • •] X X [ai exp (— i <р±) + а2 exp (—i <р2) + • • •], (1-8) где звездочкой обозначены комплексно-сопряженные величины. 1. Интерференция двух волн Голография обычно имеет дело с интерференцией двух волн: предметной волны и опорной волны. В этом случае интенсивность I в выражении (1.8) принимает вид I = а-а = -а^ а2 'd2 -|- + а±-а2 {exp [i (<р2 — <р±)] + exp [— i (<р2 — <Pi)]} ИЛИ I = 1г “Ь Г2 “Ь 2aj -а2 cos (<р2 — <pi). (1-9) Таким образом, интенсивность в любой точке интерференционной картины, образованной двумя волнами, является суммой интен- сивностей отдельных волн плюс интерференционный член. В этом не зависящем от времени интерференционном члене содержится информация о разности фаз. Отметим, что для того, чтобы интерференционный член не был равен нулю, вектор а2 должен иметь компоненту, параллельную щ. Две световые волны, которые поляризованы во взаимно перпен- дикулярных направлениях, дают, согласно выражению (1.9), вклад в интенсивность, равный только сумме интенсивностей, и не могут привести к возникновению ни интерференционной картины, ни голограммы. С другой стороны, если две интерфери- рующие волны поляризованы параллельно друг другу, то резуль- тирующая интенсивность I может быть и больше и меньше суммы их интенсивностей. Например, если волны имеют постоянные и равные амплитуды |а1| = |а2| = (Д)1/2 = (Г2)1/2, то из выражения (1.9) следует, что максимальная величина общей интенсивности I в четыре раза больше интенсивности Zj или 12, а минимальное значение суммарной интенсивности I равно нулю.
22 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. Из выражения (1.9) видно, что только параллельные друг другу векторные волновые компоненты могут создать интерферен- ционные картины (или голограммы). При анализе процесса обра- зования голограммы мы можем рассматривать взаимодействующие волновые амплитуды как скалярные величины. Это, конечно, при- водит к упрощению записи. Далее почти везде будет применяться скалярный волновой анализ. ФИГ. 1.4. Структура интерференционной картины, образующейся при пересечении двух плоских волн. Пространственное распределение амплитуд и фаз интерфери- рующих волн определяет специфический вид интерференционной картины, или картины стоячих волн. В качестве наиболее про- стого и наглядного примера обратимся к интерференции плоских воли, что понадобится нам в дальнейшем при рассмотрении голо- графии. Предположим, что плоские волны исходят от одинаковых абсолютно когерентных источников и пересекаются под углом 20, как показано на фиг. 1.4. Для таких волн точки постоянной фазы лежат в одной плоскости (плоский волновой фронт). Для
§ 3. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ КАРТИНЫ 23 упрощения чертежа на нем представлены только положительные максимумы амплитуды, или гребни волновых фронтов и F2, нормальных к плоскости чертежа. Эти максимумы расположены на расстоянии длины волны Л друг от друга х). Следы пересечения этих фронтов с плоскостью чертежа изображены пунктирными линиями. Две системы периодически расположенных линий пред- ставляют последовательный ряд волновых фронтов в каждом вол- новом цуге. Волновые нормали 1 и 2, находящиеся в плоскости чертежа, перпендикулярны к фронтам и указывают направление распространения волн. Линии пересечения плоскостей и F2 перпендикулярны плос- кости чертежа (фиг. 1.4). На этих линиях, положение которых отмечено жирными точками, гребни волн складываются. Посколь- ку волны распространяются в направлении их нормалей, линии пересечения волновых фронтов движутся, образуя плоскости мак- симальной результирующей амплитуды света, которые делят пополам угол между волновыми нормалями. Эти плоскости нор- мальны к плоскости чертежа и локализованы там, где частота вертикальной штриховки на фиг. 1.4 максимальна. Усредненный по времени квадрат результирующей амплитуды, т. е. интенсив- ность, также максимален вдоль этих линий или полос. Такие плоскости являются местом интерференции всех волн, для кото- рых в выражении (1.9) <р2 — Ф1 = 2пл; п = 0, 1, 2, .... Если принять во внимание и другие разности фаз, при которых проис- ходит сложение амплитуд, то мы приходим к синусоидальному распределению интенсивности в интерференционной картине по направлению у. Это показано плотностью вертикальной штри- ховки на фиг. 1.4. (Анализ интерференции плоских волн прово- дится в гл. 9, § 1.) Рассматривая треугольник, изображенный жирными линиями на фиг. 1.4, легко установить, что период синусоидального рас- пределения интенсивности описывается формулой 2d sin 0= %. (1.10) Заметим, что 0 — угол скольжения, образованный каждой вол- новой нормалью с плоскостями максимумов интенсивностей (плос- костями пучностей). Если угол 20 между волновыми нормалями возрастает, период d уменьшается. Чтобы можно было зарегистри- ровать интерференционную картину, которая образуется при получении голограммы, разрешающая способность используе- мой фотографической среды должна составлять не менее 1/d линий на единицу длины. х) Если не оговорено иное, то символ X означает длину волны света в среде, в которой он распространяется.
24 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. § 4. Дифракция При получении голограмм производится запись дифракцион- ных картин. Дифракцией называют явление, заключающееся в ис- кривлении волновых нормалей (лучей) при встрече света с пре- пятствием, оптическое пропускание или отражение которого зна- чительно изменяется на расстояниях, близких к длине волны света. На маленьких отверстиях в экранах дифрагирует весь свет, прошедший через них, па больших же отверстиях дифрагирует ФИГ. 1.5. Дифракция света на плоской решетке. только свет, прошедший вблизи краев отверстия. Свет, проходя- щий через центральную часть большого отверстия, не испытывает дифракции. Дифракция является основной темой гл. 5, и поэтому здесь нет необходимости подробно останавливаться на отдельных деталях. Однако для понимания материала, изложенного в остав- шейся части настоящей главы, полезно привести два уравнения, которые описывают дифракцию на плоских и объемных решетках. Голограмма сама по себе есть вызывающий дифракцию объект, обладающий некоторыми специфическими свойствами. Отвле- каясь от сложной микроструктуры голограмм, их можно разде-
§ 4. ДИФРАКЦИЯ 25 лить на два вида, а именно: голограммы, ведущие себя 1) подобно плоским дифракционным решеткам и 2) подобно объемным диф- ракционным решеткам. На фиг. 1.5 показана в разрезе плоская дифракционная решетка. Решетка может состоять из ряда перио- дически расположенных прозрачных щелей на непрозрачном экране. Для плоской волны, падающей на решетку, условие ФИГ. 1.6. Дифракция света на объемной решетке. DB' + В'Е = 2d Bin б = А (закон Брэгга). синфазности дифрагированных пучков, ведущей к их взаимному усилению, является уравнением решетки: d (sin i + sin 6) = %, (1.11) где d — постоянная решетки, i — угол падения и 6 — угол ди- фракции. Как видно из фиг. 1.5, при выполнении условия (1.11) под углом 6 образуется главный максимум дифрагированной плос- кой волны. Кроме того, возможны отрицательные и более высо- кие порядки дифракции. (Здесь мы ограничились рассмотрением дифракции первого порядка.) На фиг. 1.6 показана (в разрезе) объемная дифракционная решетка, содержащая периодически расположенные рассеиваю- щие плоскости, освещенные плоской волной. Здесь справедлив тот же самый принцип: интенсивность имеет максимальную вели- чину в том направлении, в котором происходит синфазное сложе- ние световых волн, рассеянных последовательными плоскостями. Условие образования главного максимума дифрагированной
26 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. плоской волны, которое имеет вид 2d sin 0= %, (1.12) называется законом Брэгга по имени Уильяма Брэгга [1.7], получившего его для случая дифракции рентгеновских лучей от атомных плоскостей в кристалле. Брэгг предположил, что ди- фракция в кристалле обусловлена отражением падающей волны от кристаллических плоскостей. Максимум дифракции возникает, когда углы, образованные падающим и отраженным лучами с кри- сталлической плоскостью, равны, как показано на фиг. 1.6, при- чем угол 0 удовлетворяет условию (1.12). Сравнение выражений (1.11) и (1.12) обнаруживает, что послед- нее накладывает более жесткие условия на наблюдение максиму- ма дифракции. Для объемной решетки выбор угла падения опре- деляет и длину волны и угол дифракции. Для плоских решеток это не так. Уравнение (1.11) допускает произвольный выбор и угла падения и длины волны. § 5. Образование голограмм Перейдем теперь к рассмотрению основ самого голографиче- ского метода, начав рассмотрение с описания получения голо- грамм. Габор образовал название голограмма от греческого слова 6%оп, означающего «весь» или «целый», подчеркнув тем самым, что регистрация как фазовой, так и амплитудной информации обеспечивает более полное описание световой волны. Метод сохра- нения фазовой информации заложен в выражении (1.9), из кото- рого видно, что информация о фазе сохраняется в интерференцион- ной картине при двухлучевой интерференции. Таким образом, для того чтобы получить голограмму, когерентный свет, идущий от лазера, необходимо разделить на два пучка, один из которых освещает объект, а другой служит опорным (фиг. 1.7). В качестве опорной волны, как правило, используются немо- дулированпые волны со сферическими или плоскими фронтами. Опорный пучок направляется таким образом, чтобы он пересекся со светом, прошедшим через объект или отраженным от объекта. Если оба пучка абсолютно когерентны, то интерференционная картина образуется во всем объеме, в котором перекрываются пучки. Светочувствительная среда, помещенная в область пере- крытия, будет претерпевать определенные химические или физи- ческие изменения, обусловленные воздействием световой энергии. После окончания экспозиции и после того, как фоточувствитель- ная среда подверглась соответствующей обработке, требующейся для преобразования этих изменений в вариации оптического про- пускания, мы получаем голограмму.
§ 5. ОБРАЗОВАНИЕ ГОЛОГРАММ 27 Когда регистрирующей средой служит галоидосеребряный фотослой, изменение пропускания может быть вызвано увеличе- нием поглощения, обусловленным превращением галоидного се- ребра в металлическое серебро в результате экспонирования и про- явления. При таких обстоятельствах получаются поглощающие (амплитудные) голограммы. Если ту же самую голограмму отбе- лить, т. е. превратить серебро в прозрачное соединение, пока- затель преломления которого отличается от показателя преломле- ния желатина, то интерференционная картина регистрируется как вариации показателя преломления эмульсии. Голограмма тогда ФИГ. 1.7. Схема получения голограммы. называется фазовой голограммой. При получении амплитудных голограмм экспозиция и процесс проявления выбираются так, чтобы пространственное распределение коэффициента поглоще- ния голографической пластинки соответствовало распределению интенсивности падающего света. При получении фазовой голо- граммы добиваются того, чтобы пространственная фазовая моду- ляция, налагающаяся на волну при ее прохождении через голо- грамму, соответствовала распределению интенсивности падаю- щего света. Интенсивность интерференционной картины, образованной про- стыми немодулированными плоскими или сферическими волнами, обычно можно представить в виде трехмерной контурной карты. Контурные поверхности на такой карте соответствуют зонам мак- симальной интенсивности света, для которых выполняется условие <р2 — Ф1 = 2лп в выражении (1.9). Если очень тонкая светочув- ствительная среда помещена в область интерференции и соответ- ствующим образом проэкспонирована, то на ней будут зареги- стрированы линии пересечения этих контурных поверхностей с плоскостью эмульсии (серебряные линии в случае тонкого фотослоя).
28 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. На фиг. 1.8 представлена фотография увеличенного участка такой голограммы. Если относительно толстая светочувствитель- ная среда помещается в область интерференции, то в толще среды регистрируются сами контурные поверхности. Голограммы, реги- стрируемые в тонкой среде, обладают свойствами, подобными свой- ствам плоских дифракционных решеток, и называются плоскими ФИГ. 1.8. Фотография увеличенного участка голо- граммы. голограммами. При использовании более толстой среды голограм- ма начинает приобретать свойства объемной дифракционной ре- шетки. Голограмма, у которой преобладают трехмерные свойства, называется объемной. § 6. Восстановление волнового фронта Серебряные линии на плоской голограмме и серебряные по- верхности в объемных голограммах расположены очень близко друг к другу и, следовательно, могут сильно дифрагировать свет. Когда голограмма освещается исходным опорным пучком, то часть дифрагировавшего на ней света вновь воссоздает волновой
§ 6. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА 29 фронт, который при регистрации голограммы шел от объекта. Восстановленная волна исходит из голограммы точно так же, как первоначальная предметная волна. Наблюдатель, видящий 1 / Мнимое изображение пучон ФИГ. 1.9. Образование мнимого изображения пред- мета при освещении голограммы исход- ным опорным пучком. волну, идентичную исходной предметной волне, совершенно есте- ственно воспринимает ее как бы исходящей от мнимого изображе- ния предмета, расположенного точно там, где ранее находился предмет (фиг. 1.9). С другой стороны, если обратить опорный пу- чок так, что все лучи обращенного пучка будут направлены про- тивоположно лучам первоначального опорного пучка, то такой ФИГ. 1.10. Образование действительного изображе- ния предмета при освещении голограммы пучком, сопряженным исходному опор- ному пучку. сопряженный пучок, освещающий обратную сторону голограммы, создаст действительное изображение предмета в месте первоначаль- ного расположения предмета (фиг. 1.10). Поскольку свет схо-
30 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. дится к изображению, действительное изображение может быть непосредственно зарегистрировано фотопластинкой или фото- приемником без применения линз. Следовательно, голограмма — это зарегистрированная картина интерференции определенной предметной и определенной опорной волн. На этой картине проис- ходит дифракция света; она действует и как регистрирующая и как проекционная система, которая при освещении опорной вол- ной дает изображение исходного предмета без помощи добавоч- ных линз. Нетрудно видеть, как происходит восстановление волнового фронта в случае элементарной голограммы, образованной пересе- чением двух плоских волн. Прежде чем рассмотреть эту проблему, мы можем качественно установить ее связь с практическим слу- чаем, когда предметный пучок несет информацию и имеет слож- ную структуру. Для этого рассмотрим произвольный объект, осве- щенный лазером. Произвольную волну, прошедшую через объект, можно, воспользовавшись анализом Фурье, разложить на сумму плоских волн. Каждая из них будет интерферировать с плоской опорной волной, образуя налагающиеся голограммы простого типа, которые мы будем рассматривать. Каждая такая голограмм- ная компонента действует на падающий свет так же, как и эле- ментарная голограмма, образованная плоскими волнами. Выше (фиг. 1.4) мы уже приводили интерференционную карти- ну для двух плоских волн. Та же картина изображена на фиг. 1.11, где добавлены только горизонтальные границы регистрирующей среды, имеющей толщину Т. Если предположить, что интерферен- ционная картина зарегистрирована в фотографической эмульсии, то частота вертикальной штриховки теперь соответствует оптиче- ской плотности фотослоя. (Связь оптической плотности с интен- сивностью интерференционной картины определяется кривой почернения, которая является характеристикой конкретной эмульсии и метода ее обработки.) Если рассматривать области максимальной плотности, как было сделано при обсуждении фиг. 1.4, то мы снова обнаружим ряд периодически располо- женных плоскостей — на этот раз ряд серебряных рассеивающих плоскостей. Их пространственное расположение определяется выражением (1.10), 2d sin 0 = %, где 0 — угол между нормалью к волновому фронту каждой из плоских волн и плоскостями мак- симальной плотности среды. Сравнение фиг. 1.11 с фиг. 1.6 показывает, что голограмма представляет собой объемную дифракционную решетку. Пусть плоская волна (длина волны %) падает на эту решетку. Чтобы дифракция была заметной, угол скольжения 0, который нормаль к волновому фронту падающей волны составляет с плоскостями решетки, должен подчиняться закону Брэгга, 2d sin 0 = %. Выра- жения (1.10) и (1.12) совпадают, откуда следует, что при освеще-
§ 6. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА 31 нии голограммы любой из образовавших ее плоских волн и любой из сопряженных им волн, т. е. плоских волн, распространяю- щихся в направлении, противоположном направлению исходной волны, мы получим максимальную интенсивность дифрагирован- ного света. Из фиг. 1.11 видно, что, когда волна 1 освещает элементарную голограмму под углом Брэгга 0, она дифрагирует (отражается) в соответствии с законом Брэгга в направлении волны 2. Соответ- ственно этому волну 1 можно рассматривать как волну, восстанав- ливающую волну 2 с помощью голограммы. То же самое получает- ся при освещении волной 2. Освещение голограммы волной, сопряженной волне 1, восстанавливает волну, сопряженную вол- не 2, и наоборот.
32 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. § 7. Геометрия образования плоских и объемных голограмм Чтобы показать, как геометрия получения голограммы влияет на ее дифракционные свойства, рассмотрим интерференцию сфери- ческой волны, исходящей из точечного источника S, находящегося ФИГ. 1.12. Поперечное сечение семейства пучно- стей стоячих волн, образованных при интерференции плоской волны и сфери- ческой волны, исходящей из точки S. Изображены характерные положения пла- стинки, соответствующие разным схемам по- лучения голограмм. на определенном расстоянии от регистрирующей среды, и опор- ной плоской волны, распространяющейся сверху вниз, как пока- зано на фиг. 1.12. Точечный источник представляет собой эле- ментарный объект, а сферическая волна, исходящая из него,— предметную волну. [Как будет показано в дальнейшем, более сложный объект можно рассматривать как совокупность элемен- тарных точечных источников. Светлот каждого из них интерфери- рует с опорной волной, а взаимной (перекрестной) интерферен-
§ 7. ГЕОМЕТРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГОЛОГРАММ 33 цией сейчас можно пренебречь.] На фиг. 1.12 представлено одно из поперечных сечений семейства поверхностей максимальной интенсивности, образующихся при интерференции плоской опор- ной волны и предметной волны от точечного источника. В этом поперечном сечении, которое содержит точечный источник и нор- маль к плоской волне, следами поверхностей являются параболы. Если выделить любую малую часть сферической предметной вол- ны, интерферирующей с плоской опорной волной, то результи- рующая интерференционная картина будет подобна изображенной на фиг. 1.4. Направление луча от источника S и нормали к плос- кой волне, а также расстояние между соседними плоско- стями максимальной интенсивности удовлетворяют выражению (1.10). Некоторые характерные положения пластинки при регистра- ции голограммы обозначены на фиг. 1.12 цифрами 1—4. Габор (1948) [1.1], не имевший в своем распоряжении лазера и вынуж- денный максимально использовать свет от источников с низкой когерентностью, при получении своих голограмм помещал пла- стинку в положение 1. Здесь среднее направление света от точки 5 и направление опорной волны коллинеарны, поэтому получен- ные таким образом голограммы были названы голограммами с осевым опорным пучком, или осевыми голограммами. Точечный рассеиватель, помещенный в плоскую волну в точке S, создает сферическую волну, а оставшийся нерассеянным свет служит плоской опорной волной. Для интерферирующих волн, получен- ных этим способом, разность хода предметной и опорной волн минимальна в положении голограммы 1, что позволяет использо- вать источники с низкой когерентностью. Относительно большое расстояние между соседними поверхностями максимумов сни- жает требования к разрешающей способности регистрирующей среды. Лейт и Упатниекс (1962) [1.4—1.6] получили внеосевые голо- граммы с таким взаимным расположением пучков, которое экви- валентно помещению голографической пластинки в положение 2. Благодаря использованию лазерного света в их установке раз- ность хода для света, распространяющегося от источника к голо- грамме в предметном и опорном пучках, могла иметь большую величину. Внеосевое расположение позволяет преодолеть труд- ности, возникающие при получении габоровских осевых голо- грамм, а большая когерентность лазерного света позволяет вос- станавливать трехмерные изображения. Именно этот последний результат работы Лейта и Упатниекса в наибольшей степени привлек внимание к голографии и способствовал ее возрож- дению. В положении 2 среднее направление света от точечного источ- ника образует острый угол с направлением опорной волны. Если 3—0990
34 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. толщина регистрирующей среды мала по сравнению с расстоянием между поверхностями максимумов, то голограмма, полученная в этом положении, действует как двумерная дифракционная решетка. Падающий луч в этом случае может взаимодействовать только с одной поверхностью при прохождении через среду. Сле- довательно, голограмма по существу представляет собой систему линий на поверхности. То же самое справедливо, конечно, для габоровских осевых голограмм. Для голограмм, получаемых в положении 3, угол между сред- ним направлением света от точечного источника и направлением плоской волны составляет приблизительно 90° и расстояние между соседними поверхностями интерференционных максимумов (пуч- ностей) в соответствии с (1.10) имеет меньшую величину. Если толщина голограммы Т больше этого расстояния, то регистри- рующую пластинку можно рассматривать как объемную дифрак- ционную решетку. Ван Хирден (1963) [1.8] описал дифракционные- свойства объемных голограмм и трактовал голограмму как ряды частично отражающих плоскостей, селективный отклик которых на падающий свет соответствует закону Брэгга. Голограммы, зарегистрированные в положении 3, получили название брэг- говских. Пеннингтон и Лин (1965) [1.9] использовали селектив- ные свойства брэгговской дифракции, чтобы преодолеть трудно- сти, связанные с переналожением цветов в двумерных голограм- мах, и получить первые голограммы, дающие многоцветное изо- бражение. В положении 4 плоская волна падает на голографическую пластинку с одной стороны, а сферический волновой фронт — с другой. В этом случае расстояние между интерференционными поверхностями составляет примерно М2, и эти поверхности близ- ки к плоскостям, параллельным поверхности голографической пластинки. Денисюк (1962) .[1.10, 1.11] впервые описал получение голограмм в этом положении. При регистрации интерференцион- ной картины в галоидосеребряной эмульсии образуется боль- шое число близко расположенных частично отражающих серебря- ных плоскостей, которые действуют как отражательный интерфе- ренционный фильтр. Даже в эмульсии толщиной лишь 12—15 мкм может образоваться около 50—100 серебряных слоев. Поскольку эти слои подобны слоям, образующимся в методе цветной фото- графии Липпмана и поскольку дифракция света на них происхо- дит в соответствии с законом Брэгга, такие объемные голограммы называют голограммами Липпмана — Брэгга — Денисюка. Их также называют отражательными, поскольку освещающая волна во время процесса восстановления волнового фронта ка- жется отраженной в направлении предметной волны. Строук и Лабейри (1966) [1.12] показали, что такая голограмма действует как интерференционный фильтр, селективность которого доста-
§ 8. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ 35 точна для восстановления предметной волны в белом свете 1). По указанным причинам такие голограммы получили также название голограмм, восстанавливаемых в белом свете. Голограммы характеризуются не только углом, который со- ставляют предметный и опорный пучки при их регистрации. В последующих главах будут проанализированы свойства линзо- вых и безлинзовых голограмм Фурье, фраунгоферовских голо- грамм, голограмм сфокусированных изображений и других раз- новидностей голограмм. § 8. Основные уравнения голографии Основные понятия голографии, введенные в предыдущих па- раграфах путем рассмотрения волновых фронтов и конфигураций пучка, можно сформулировать в более общей форме. Обратимся ФИГ. 1.13. Общая схема получения голограммы. к фиг. 1.13, где предметы 1 и 2 в общем случае могут отражать свет диффузно. Оба предмета освещаются когерентным светом от одного и того же источника. Отраженные лучи интерферируют в области, где помещена светочувствительная пластинка. Как при получении голограммы, так и при восстановлении волнового фронта нас будут интересовать только комплексные амплитуды света непосредственно вблизи светочувствительной пластинки. Комплексную амплитуду света, попадающего на пластинку от. предмета 1, можно записать в виде at = exp (i<Pi), где аг и Экспериментальное доказательство этого и даже измерение спект- ральной селективности голограмм содержится еще в первых работах Ю. Н. Денисюка.— Прим. ред. 3*
36 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. являются функциями пространственных координат пластинки. Аналогично этому комплексная амплитуда света, достигающего пластинки от предмета 2, записывается как а2 = а2 ехр (йр2). Обозначим через а* и а* величины, комплексно-сопряженные амплитудам а! и а2. Будем считать, что экспозиция светочувствительной пластинки при регистрации интерференционной картины, образованной вол- нами а4 и а2, выбрана правильно, пластинка должным образом проявлена, а голограмма относится к абсорбционному (амплитуд- ному) типу. В этом случае, как будет показано в гл. 2, § 6, п. 2, пропускание t полученной голограммы (отношение амплитуды света, пропущенного голограммой, к амплитуде света, падающего на нее) содержит член пропорциональный экспозиции Е = = 1рХе и, следовательно, пропорциональный интенсивности I. (Интересующие нас здесь основные положения голографии проще всего получить, ограничившись рассмотрением плоских ампли- тудных голограмм. Фазовым и объемным голограммам посвящены гл. 7—9.) Умножая сумму амплитуд at и а2 на величину, ком- плексно-сопряженную, так же, как в выражениях (1.7) и (1-8), мы можем написать для интенсивности 1= (ai + аг) (ai + a2)*> (1-13) Предположим, что между /и Е и, следовательно, между t и I суще- ствует линейная зависимость следующего вида: Амплитуда прошедшего света f (1 14) Амплитуда падающего света око > \ • ) Где to— пропускание неэкспонированной пластинки. Экспери- ментальные кривые зависимости t от Е, приведенные на фиг. 10.7 и 10.8, показывают, что это предположение достаточно хорошо выполняется в некотором интервале экспозиций. Более точное приближение, содержащее нелинейные члены, приведено в гл. 12 {формула (12.1)]. Постоянная часть пропускания t0 и константа к здесь не представляют интереса; свет дифрагирует на вариациях пропускания, т. е. на той его части, которая пропорциональна изменяющейся в пространстве функции I. Раскрывая выражение (1.13), получаем I = а^а* -|- а2а2 -|- ata2 -|- а*а2 = Ii -|- Z2-|- aia2 Ч- а*а2, (1.15) где Zt и 1г— интенсивности отдельных волн. Предположим, что мы хотим, освещая голограмму волной от предмета 1 (фиг. 1.14), восстановить волновой фронт, который ра- нее приходил к пластинке от предмета 2. Комплексная амплитуда света, прошедшего через голограмму, равна произведению ампли- туды падающего света а4 на пропускание голограммы t. В этом произведении основную роль играют комплексные амплитуды
§ 8. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ 37 волн, дифрагированных на вариациях пропускания tE, завися- щих от экспозиции w ~ (71 -|-12) + а^аг -Ь 7iaz- (1.16) В последнем выражении знак равенства заменен символом пропор- циональности, поскольку мы опустили константу к в выражении (1.14). Каждый из членов в формуле (1.16) — комплексная ампли- туда одной из волн, выходящих из голограммы. Наибольший ФИГ. 1.14. Восстановление волнового фронта от объекта 2 на фиг. 1.13 при освещении голограммы волновым фронтом объекта 1. При такой схеме наблюдатель видит мнимое изображение объекта 2. интерес представляет последний член. При постоянном значении 71 он описывает дифрагированную волну, амплитуда которой пропорциональна амплитуде волны, падавшей на голограмму от предмета 2 во время регистрации голограммы. Наблюдатель, вос- принимающий восстановленную расходящуюся волну, увидит мнимое изображение предмета 2, конечно, при том условии, что другие дифрагированные волны, описываемые другими членами формулы (1.16), не налагаются на нее. В первых работах по голографии основная проблема как раз и состояла в том, чтобы избежать наложения других дифраги- рованных волн, описываемых остальными членами формулы (1.16). Возможности первых исследователей были ограничены плохой когерентностью источников света, поэтому тогда было трудно или даже невозможно использовать решения, которые позднее стали осуществимыми благодаря появлению лазера. На- пример, боковое смещение двух источников интерферирующих волн
38 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. (предметы 1 и 2 на фиг. 1.13) и использование рассеивателей света были введены в практику только в начале 60-х годов, в период воз- рождения голографии. Если предметы 1 и 2 отражают свет диффузно, мы можем счи- тать освещенности, создаваемые на голограмме несфокусирован- ным отраженным от них светом, макроскопически постоянными. Иначе говоря, пространственные изменения Zj и 1г в плоскости голограммы происходят настолько быстро, что их невозможно разрешить глазом. Тогда Ц и 12 можно считать константами, и первый и последний члены в правой части формулы (1.16) пред- ставляют восстановленные волны, идущие от предметов 1 и 2. Поскольку предметы 1 и 2 не перекрываются, их мнимые изобра- жения также не перекроются. Второй член в правой части выра- жения (1.16) представляет диффузную волну, которая не форми- рует изображения. Этот член, однако, может давать однородный фон в изображениях, образованных другими волнами, умень- шая их контраст. Предмет 1 на фиг. 1.14 можно рассматривать как опорный ис- точник и at — как комплексную амплитуду опорной волны. Вме- сто того чтобы использовать диффузную опорную волну, проще применять плоскую или сферическую волны. Это можно осуще- ствить, заменив объект 1 на фиг. 1.13 и 1.14 плоским зеркалом. Интенсивность 1^ света, отраженного зеркалом к голограмме, практически постоянна по всей плоскости голограммы, так что в результате вновь восстанавливается волна от предмета 2. Для практики это важно потому, что, отражая лазерный свет от любого плоского зеркала, можно получить освещающий пучок, который дублирует опорный. Таким образом, для восстановления может быть всегда использован исходный предмет 1. В гл. 8 (см. также гл. 2, § 6) мы, следуя Лейту и Упатниексу [1.4—1.6], покажем, что, когда угол между направлением немодулированного опор- ного пучка и средним направлением света от предмета достаточно велик, можно получить неискаженное мнимое изображение пред- мета 2. Первые исследователи, которые помещали и источник немодулированной опорной волны и объект на одну и ту же нор- маль к (осевой) голограмме и использовали нерассеивающие объек- ты, установили, что второй член в правой части уравнения (1.16) создает действительное изображение предмета. Наблюдение как мнимого, так и действительного изображения было затруднено из-за наложения несфокусированного света, идущего от другого изображения. Во внеосевом методе Лейта и Упатниекса (методе с наклонным опорным пучком) эти помехи исключались, что спо- собствовало развитию голографии. Действительное изображение предмета 2 в общем случае легче всего получить, освещая голограмму волной, сопряженной опор- ной волне. Мы называем одну волну сопряженной другой, когда
§ 9. ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ 39 в любой плоскости их амплитуды являются комплексно-сопряжен- ными и когда они распространяются антипараллельно друг другу. Волну, сопряженную опорной, просто получить в случае плоской опорной волны. Тогда сопряженной волной будет плоская же волна, направленная антипараллельно первоначальной. Из выра- жения (1.15) в этом случае получаем, что в плоскости голограммы справедливо следующее соотношение: w,~a?Z = aT(Z1 + Z2)4-Z1a! + a?aIa2. (1.17) Второй член правой части пропорционален комплексной амплиту- де волны, сопряженной первоначальной волне, которая расхо- дится от предмета 2. В рассматриваемом случае она представ- ляет собой сходящуюся волну (все лучи направлены противопо- ложно соответствующим лучам в первоначальной волне). Волна сходится к действительному изображению предмета 2, но вслед- ствие ее сопряженности изображение является псевдоскопическим, т. е. имеет перевернутую глубину и необычный параллакс (см. тл. 8, § 1). Наличие или отсутствие перекрытия дифрагированных волн зависит от выбора угла между средними направлениями предметного и опорного пучков. § 9. Частичная когерентность До сих пор мы обсуждали свойства световых волн и голограмм, считая свет абсолютно когерентным. Мы предполагали существо- вание точечного источника, испускающего бесконечно длинный монохроматический волновой цуг сферических или плоских волн. При этих условиях разность фаз для двух фиксированных точек вдоль направления луча не зависит от времени, или, что то же самое, разность фаз, измеренная в одной точке пространства в начале и в конце фиксированного интервала времени Ai, не изменяется со временем. Мы сформулировали критерий абсолют- ной временной, или продольной, когерентности. Аналогично раз- ность фаз для двух фиксированных точек в плоскости, перпенди- кулярной направлению луча, не зависит от времени. Последнее условие представляет собой критерий абсолютной пространст- венной, или поперечной, когерентности. Реальные источники света характеризуются ограниченной степенью когерентности. Несмотря на это, результаты, которые мы получили в предыдущих параграфах, используя идеализиро- ванное представление об абсолютной когерентности, остаются все же применимыми, хотя и с некоторыми ограничениями. Прак- тически эти ограничения означают, что мы должны пересмотреть процесс усреднения по времени, которое мы производили при расчете интенсивности интерференционной картины. Особый ин-
40 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. терес представляет интерференционный член [см. выражение (1.9)]. Влияние частичной когерентности в основном проявляется в том, что глубина модуляции интенсивности в интерференцион- ной картине уменьшается [коэффициент при члене с косинусом в выражении (1.9) становится меньше], вследствие чего минималь- ное значение интенсивности уже не равно нулю. В результате дифракционная эффективность голограммы снижается по срав- нению с эффективностью голограммы, полученной с помощью абсолютно когерентного света (см. гл. 7). 1. Длина когерентности и временная когерентность При оценке временной когерентности весьма полезно пользо- ваться понятием длины когерентности источника. Предположим, что источник излучает монохроматический волновой цуг опреде- ленной длины I и что мгновенные значения амплитуды можно одно- временно измерить в двух точках zt и z2, расположенных на одной нормали к волновому фронту. Если разность Az = z2 — zt не- много меньше чем I, то в течение короткого периода распростра- няющийся монохроматический волновой цуг может существо- вать в обеих точках Zj и z2 и в течение этого короткого периода может казаться, что источник обладает временной когерентно- стью. Когда волновой цуг смещается так, что бн больше не укла- дывается в интервал Az, признаки временной когерентности исче- зают. Интервал Az = I, для которого сохраняется некоторая сте- пень постоянства разности фаз во времени, есть мера длины коге- рентности волнового источника. (Более строгое определение длины когерентности дается в гл. 7.) Длину когерентности I можно выразить через произведение I = с At, где At — время, в течение которого источник излучает непрерывный цуг, и с— ско- рость света. В голографии, как мы увидим, длина когерентности накладывает ограничение на допустимую разность в длине пути опорного и предметного пучков. Это фактически ограничивает глубину предмета. Длину когерентности можно выразить через другие величины, разложив одночастотный волновой цуг продолжительностью At на фурье-компоненты. Комплексную напряженность электриче- ского поля v импульса продолжительностью At и частотой /о, можно представить в виде _ ( а0 ехр (2ш/оО Для — -у- < t < 4^-, ( 0 вне этого интервала; здесь а0— константа и t — время. (Мы произвольно выбрали фазу <р равной 0.) Спектр интенсивности света пропорционален
§ 9. ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ 41 квадрату фурье-образа функции v, который можно записать в виде- At/2 I V (/) I2 = ( «о exp (2ш'/оО exp (— 2nift) dt J = — At/2 d-i8> Первые нули известной функции [(sin х)/х]2 (фиг. 1.15) отвечают значению / — /о = ± 1/Ai. Полуширину центрального максиму- ма этой функции можно принять за ширину полосы частот А/. ФИГ. 1.15. Спектр интенсивности одночастотного импульса продолжительностью At. Ширина полосы А/ = l/At. Тогда А/ = 1/Ai. Подставляя Ai = Цс в выражение для ширины полосы А/, получаем полезное соотношение между длиной коге- рентности и шириной полосы 1 = -£р (1-19) Поскольку монохроматические компоненты Фурье соответствуют бесконечно длинным волновым цугам, понятие ограниченной когерентности, определяемое в этом приближении, связано с нали- чием волн многих различных частот, падающих согласованно и несогласованно друг с другом. Такой подход применяется, когда точки наблюдения zt и z2 находятся на большом расстоянии, так
42 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. что между Zj и z2 может накапливаться значительный фазовый сдвиг. Понятие одночастотных импульсов является до некоторой степени более реалистическим, чем понятие бесконечно длинных волновых цугов. Тепловые источники света состоят из атомных осцилляторов, излучающих в случайные моменты времени серии конечных волновых цугов случайной длины. Их частоты ме- няются при тепловом движении и под действием локальных полей. Наблюдатель ФИГ. 1.16. Схема, поясняющая применение интер- ферометра Майкельсона для амплитуд- ного деления пучка и сравнения фазы волны в двух точках наблюдения, рас- положенных на расстоянии 2Az. Однако если спектр испускания может быть описан колоколо- образной кривой с полушириной А/, то отношение I « с/А/ можно считать практическим определением длины когерентности тепло- вого источника. Из этого определения ясно, что только те тепловые источники, которые излучают в очень узкой полосе частот А/, могут иметь желательную для голографии большую длину коге- рентности. (Когерентность лазерных источников обсуждается в гл. 7 и 11.)
•§ 9 ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ 43 Временную когерентность можно связать с контрастом полос интерференционной картины. Методы амплитудного деления пуч- ка (например, с помощью интерферометра Майкельсона) позво- ляют сравнивать фазы плоской волны в различных точках вдоль направления распространения (фиг. 1.16). Если наклонить одно из зеркал, то сравнение облегчается, поскольку в этом случае плоские волны, выделенные из пучка, пересекаются, как на •фиг. 1.4, и образуют систему линейных интерференционных по- лос, интенсивность которых в плоскости наблюдения дается выражением (1.15): I = li + 12 + *4*12 “Ь а*а2. Более общее выражение для интенсивности, справедливое и для частично когерентного света, можно получить, заменяя комплекс- ные амплитуды at и а2 комплексными напряженностями электри- ческих полей Vi и v2 и добавляя скобки, означающие усреднение по времени [как в формуле (1.1)]. В результате имеем Z = Zi-|-Z2-|- (vivl -Ь V*v2) — /i-|-/2_l_2 Re [(viV2)]- (1.20) Следует отметить, что операция усреднения по времени дает раз- ные результаты в случае частичной и в случае абсолютной коге- рентности. Это проявляется в видности V полос, которую Майкель- <сон определил следующим образом: у -^макс -^иин 21) •^макс + ^мин При Zj = 12 видность V имеет максимальное значение, равное единице, что соответствует абсолютной когерентности [см. выра- жение (1.9)]. Поскольку интерференционные полосы представ- ляют собой сечение распределения интенсивности стоячих волн, отношение интенсивностей в стоячей волне также рав- но V. Прежде чем переходить к дальнейшему рассмотрению частич- ной когерентности, покажем с помощью выражения (1.20), что две монохроматические волны, различающиеся по частоте, взаим- но некогерентны. Когда эти волны пересекаются, они не создают картины стоячих волн, поскольку интерференционный член 2Re [(viv2*)] обращается в нуль. Чтобы убедиться в этом, поло- жим, что комплексная амплитуда каждой волны равна единице и что комплексные напряженности электрического поля имеют вид Vi = exp и v2 = exp (2ni/2i).
44 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. Тогда т Re [<ViV2>] = Re j exp {2ni (/i — /2) t} dt^ = — T sin 2n (fa — /2) T ~ 2n (/i —/2) T При T l/(/i — /2) эта величина стремится к нулю. Таким обра- зом, мы не можем ожидать, что, например, зеленый лазерный свет будет интерферировать с голубым. Аналогично этому не могут интерферировать и две волны одной и той же частоты, если разность фаз <р хаотически изме- няется в течение времени наблюдения Т. В этом случае произведение vjv* становится равным exp (2n,tfit + i <р) X X (exp (— 2n,ifit) = exp (iq>). Если для коротких случайных пе- риодов в течение времени наблюдения Т фаза <р принимает все возможные значения между 0 и 2л, то средняя величина фазового множителя exp (i<p) равна нулю (статистика случайных процессов рассматривается в гл. 12, § 3, п. 3). Так, например, световые волны от двух не согласованных по фазе гелий-неоновых лазеров не ин- терферируют. 2. Комплексная степень когерентности Общие положения теории частичной когерентности подробно изложены в гл. 10 книги Борна и Вольфа [1.13]. В гл. 7 настоя- щей книги, где проводится количественное рассмотрение коге- рентных свойств лазерных и тепловых источников света, нам потребуются некоторые результаты, содержащиеся в книге Борна и Вольфа. Мы приведем их здесь без доказательств. Эти результаты используются главным образом в гл. 7 и 11, где рассматриваются лазеры непрерывного излучения и импульсные лазерные источ- ники. Предположим, что световые волны выходят из отверстий Pi и Р2 в непрозрачном экране и интерферируют на экране £ (фиг. 1.17). Отверстия освещаются протяженным частично коге- рентным источником. Интенсивность в любой точке Q на экране £ описывается выражением (1.20), где Vj и v2— комплексные на- пряженности электрического поля волн, идущих от Pi и Р2 и дости- гающих точки Q. Как показано в книге Борна и Вольфа [1.13], усредненное по времени значение интерференционного члена (V1V2 + V*v2) = 2 Re [(viv§>] можно выразить через комплексную степень когерентности Y12 (т), которая устанавливает связь между электрическими полями в точках Pi и Р2 и усредненным по времени интерферен-
§ 9. ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ 45 ционным членом в точке Q. Так как последняя величина выра- жается через видность интерференционных полос, то Y12 (т) можно связать с измеряемой величиной. Покажем, что это действительно так. Пусть vp/i) и Vp2(i) — комплексные напряженности элек- трического поля в точках Pt и Р2, а 2 (vp/^vp/i)) и ФИГ. 1.17. Схема опыта Юнга при использовании протяженного источника. 2 (vp2(i)vp2(i)) — соответствующие интенсивности света. Тогда, согласно Борну и Вольфу, комплексная степень когерентности •^12 (т) определяется как нормированная корреляция между тР1 (i) и vp2 (i): <vp1(i+T) v>2(0> 12 [<vP1 (0 у Pi (0> <VP2 (О VP2 (*)>]1/2 т™ S vP1(t+T)v*2(t)dt =--------------f---------------------------т--------------------- . (1.22) [ ( J v₽i(i) v₽i ® dt) (j™ 4f J (i) (i) dt) ]1/2 Связь между Y12 и 2Re [(viv*)] устанавливается формулой 2 Re [<v1V!>] = 2 (Д/2)1/2 Re [Y12 (т)] = = 2 (Л/2)1/21Y12 (t) I cos p12 (t), (1.23) тдо Ц и I2— интенсивности света, приходящего в точку Q из Pj м Р2 соответственно; т — разность во времени прохождения света
46 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. в точку Q из точек Pj и Р2; Pi2— фаза величины у12 (т). Величина Y12 (г) есть мера взаимной когерентности света в точках Pj и Р2 и заключает в себе как предельные случаи и временную и про- странственную когерентность. Мы можем теперь подставить (1.23) в (1.20) и определить максимальное и минимальное значения ин- тенсивности I'. /макс = 11 + /гЧ- 2 (ZjZ2) | У121, когда cos|J12=l и /мин = /1 + h — 2 (Z1Z2)1/21Y121, когда cos 012 = — 1. Подставляя эти величины в выражение (1.21) для видности, полу- чаем TZ . I У12 [_____I У12 I___ /Л О/V 2(Л + Л) _ (Л/Л)1/2-4- (Л//1)1/2’ k У Когда интерферирующие волны имеют равную интенсивность, абсолютная величина степени когерентности равна наблюдаемой; видности (контрасту) интерференционной картины. 3. Пространственная когерентность При т-> 0 видность полос, полученных в установке с двумя отверстиями (фиг. 1.17), по существу является мерой простран- ственной когерентности (взаимной когерентности в точках и Р2). Если протяженный источник F состоит из ряда некоррели- рованных пространственно разделенных осцилляторов, то каж- дый осциллятор, освещающий оба отверстия, создает свою интер- ференционную картину на экране S. Какое значение интенсивности данной интерференционной картины — максимальное, минималь- ное или промежуточное — будет наблюдаться в точке Q, зависит от соотношения между фазами света, приходящего в точки Pi и Р2 от данного осциллятора. Соотношение между фазами в свою очередь зависит от расположения осциллятора внутри источника и от угла, под которым виден от источника отрезок PiP2. Может оказаться, что некоторые осцилляторы дадут на экране S интер- ференционные полосы, максимумы которых будут совпадать с минимумами полос, образованных другими осцилляторами. Тогда результирующая интенсивность однородна и контраст ра- вен нулю. Отсюда следует, что протяженная совокупность некор- релированных осцилляторов малопригодна в качестве источника для интерферометрии и голографии — методах, связанных с ре- гистрацией интерференционных полос. Согласно теореме Ван-Циттерта — Цернике (см. [1.13]), сте- пень пространственной когерентности связана с поперечным раз-
§ 9. ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ 47 мерой источника посредством преобразования Фурье. (В оптике обычно имеют дело с преобразованиями Фурье, которые связы- вают распределение сигнала по пространственным координатам с распределением его по пространственным частотам или угловым направлениям. Преобразования Фурье обсуждаются в гл. 4.) Мы здесь ограничимся формулировкой этой теоремы. Для протя- женного источника, содержащего взаимно некогерентные осцил- ляторы, излучающие в узкой спектральной полосе шириной Av, ФИГ. 1.18. Степень пространственной когерентно- сти ||xs| как функция радиуса источника и угла, под которым из источника виден отрезок прямой, соединяющей две рас- сматриваемые точки. теорему Ван-Циттерта — Цернике можно сформулировать сле- дующим образом: когда малый источник освещает две близко рас- положенные точки, лежащие в плоскости, находящейся на большом расстоянии от источника, степень когерентности комплексных электрических полей в этих двух точках дается величиной нормиро- ванного фуръе-образа распределения интенсивности источника. Для однородного по яркости кругового источника радиусом гй степень пространственной когерентности | jns I представлена на фиг. 1.18, где параметрами являются 0 — угол, под которым от источника виден отрезок, соединяющий обе точки, и г0— радиус
48 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1. источника. Мы видим, что в области центрального максимума степень пространственной когерентности тем больше, чем меньше источник и чем он дальше находится (т. е. чем меньше угол 0). ЛИТЕРАТУРА 1.1. GABOR D., Nature, 161, 777 (1948). Новый принцип микроскопии. 1.2. GABOR D., Proc. Roy. Soc., A 197, 454 (1949). Микроскопия на основе метода восстановления волнового фронта. 1.3. GABOR D., Proc. Phys. Soc., В 64, 449 (1951). Микроскопия на основе метода восстановления волнового фронта, II. 1.4. LEITH Е. N., UPATNIEKS J., Journ. Opt. Soc. Amer., 52, 1123 (1962). Восстановление волнового фронта и теория связи. 1.5. LEITH Е. N., UPATNIEKS J., Journ. Opt. Soc. Amer., 53, 1377 (1963). Восстановление волнового фронта в случае непрерывных тоновых объектов. 1.6. LEITH Е. N., UPATNIEKS J., Journ. Opt. Soc. Amer., 54, 1295 (1964). Восстановление волнового фронта от объемных предметов при диффузном освещении. 4.7. BRAGG W. L., Proc. Camb. Phil. Soc., 17, 43 (1912). Дифракция коротких электро- магнитных волн на кристалле. 1.8. VAN HEERDEN Р. J., Appl. Opt., 2, 393 (1963). Теория хранения информации в твердых телах. 1.9. PENNINGTON К. S.,LINL.H., Appl. Phys. Lett., 7, 56 (1965). Восстановление многоцветного волнового фронта. 1.10. ДЕНИСЮК Ю. Н., ДАН СССР, 144, 1275 (1962). Об отображении оптических свойств объекта в волновом поле рассеянного им излуче- ния. 1.11. ДЕНИСЮК Ю. Н., Оптика и спектроскопия, 15, 522 (1963). Об отображении оптических свойств объекта в волновом поле рассеянного им излуче- ния. 1.12. STROKE G. W„ LABEYRIE А. Е., Phys. Lett., 20, 368 (1966). Восстановление голографиче- ских изображений в белом све- те при использовании дифрак- ционного эффекта Липпма- на — Брэгга. 1.13. BORN М., WOLF Е., Princip- les of Optics, Oxford, 1964. (Имеется перевод: М. БОРН, Э. ВОЛЬФ, Основы оптики, М., 1970.)
Глава 2 РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ Первоначальное назначение голографии заключалось в соз- дании электронно-микроскопического метода получения изобра- жений объектов атомных размеров. К 1947 г., когда была изобре- тена голография, разрешающая способность электронно-оптиче- ских систем микроскопов имела величину порядка 10 А, и было ясно, что сферическая аберрация ограничивает предельное раз- решение величиной около 5 А. Габор пришел к мысли, что абер- рационное изображение, созданное объективом микроскопа, со- храняет всю информацию об объекте, хотя и в закодированной некоторым образом форме. Если бы удалось как-то декодировать аберрационное изображение, то предел разрешения электронного микроскопа можно было бы свести к 1 А, что позволило бы наблю- дать атомную структуру. Габор решил вообще избавиться от объектива электронного микроскопа и производить операцию декодирования фотографи- ческой записи несфокусированных электронных волн, дифрагиро- вавших на объекте. Запись электронного волнового поля, или голограмма, декодируется при освещении ее когерентным види- мым светом, причем часть освещающей волны дифрагирует на голограмме. Волны, возникающие при процессе вторичной ди- фракции, являются оптическим эквивалентом несфокусированных электронных волн. Они создают увеличенное оптическое изобра- жение исходного объекта. Чтобы добиться желаемого результата, световой пучок, освещающий голограмму, должен быть точной по масштабу имитацией электронного пучка. При этом масштаб задается отношением длины волны видимого света и электронных волн. Если голограмма подвергается увеличению в соответствии с этим масштабом, возникает свободное от искажений оптическое изображение с увеличением, соответствующим отношению длин волн. Чтобы проверить правильность теории, Габор получил первую голограмму в видимом свете, а не в электронных волнах. Хотя этот сдвиг в оптический диапазон спектра оказался шагом в нуж- ном направлении, все его значение могло быть оценено только после того, как в распоряжении исследователей появились ла- зерные источники света. 4—0990
50 РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ ГЛ. 2- § 1. Рентгеновский микроскоп Брэгга Идея создания подобного двухступенчатого безлинзового ме- тода микроскопии, основанного на восстановлении волновых фронтов, возникла в рентгеновской кристаллографии, где в тече- ние ряда лет производились исследования расположения атомов в кристаллах, несмотря на отсутствие объективов для рентгенов- ских лучей. Еще в 1929 г. Лоуренс Брэгг смог получить оптиче- ское изображение расположения атомов в кристалле диопсида [2.1]. Метод Брэгга основывался на оптическом фурье-синтезе. Как указывалось в гл. 1, § 6, любое пространственное распреде- ление света, в частности оптическое изображение атомов в кри- сталлической структуре, может быть разложено на фурье-ком- поненты, т. е. на ряд синусоидальных составляющих (решеток). Суперпозиция этих составляющих дает изображение. Брэгг созна- вал, что полученные обычным способом данные о дифракции рентгеновских лучей содержат сведения об амплитуде и ориента- ции этих синусоидальных решеток. Идея его работы заключалась в построении систем полос, соответствующих дифракционным данным, и в совмещении их на фотопластинке, что привело к соз- данию так называемого «рентгеновского микроскопа» [2.2, 2.3]. Габор в своей первой статье по голографии [2.4] указывает, что этот рентгеновский микроскоп послужил отправной точкой при разработке его идей. Краткое рассмотрение метода Брэгга откроет основу, на которой Габор построил голографию. Брэгг смог до- стичь успеха в построении различимого изображения атомной структуры благодаря непосредственному применению принципа суперпозиции систем синусоидальных полос. На экран проеци- ровалось несфокусированное изображение фотоснимка системы непрозрачных цилиндрических стержней (расположенных так, что их оси были параллельны плоскости фотопластинки, а рас- стояние между осями в два раза превышало диаметр). На экране возникала приблизительно синусоидальная система полос. Сорок таких систем полос, расстояние между которыми и ориентация определялись рентгеноспектральными данными диопсида, после- довательно проецировались на укрепленную на экране фотобу- магу. После ее проявления на ней получалось изображение рас- положения атомов в кристалле. Многократное экспонирование приводило к падению контраста изображения, и Брэгг искал метод, который позволял бы сразу же сформировать весь набор требуемых систем полос в плоскости изображения. Он выбрал схему Юнга, в которой система синусоидальных полос возникала в результате интерференции света на двух отверстиях. Непро- зрачная пластинка, в соответствующих местах которой были про- сверлены отверстия, при освещении когерентным светом созда-
§ 1. РЕНТГЕНОВСКИЙ МИКРОСКОП БРЭГГА 51 вала требуемую суперпозицию множества систем полос, что при- вело к улучшению изображения. Важным аспектом этой работы было то, что Брэгг сознавал фундаментальную связь между своими опытами и теорией форми- рования оптического изображения, разработанной Аббе. В 1873 г. ФИГ. 2.1. Схема, иллюстрирующая образование изображения по теории Аббе. (По Брэг- гу [2.1].) Аббе дал описание получения оптического изображения с помо- щью объектива как процесса двойной дифракции. Его теорию легче всего понять для того случая, когда изображаемый объект представляет собой одномерную дифракционную решетку (фиг. 2.1). На первой стадии этого процесса плоская волна осве- щает решетку и линза формирует в задней фокальной плоскости совокупность ярких фокальных точек St, соответствующих кар- тине дифракции в дальнем поле (дифракции Фраунгофера) ре- шетки. На второй стадии эти фокальные точки рассматриваются 4*
52 РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ ГЛ. 2 как источники, создающие вторичную дифракционную картину в плоскости изображения. Свет, расходящийся от фокальных точек, образует суперпозицию систем полос Юнга, которая син- тезирует изображение объекта в плоскости изображения. В ме- тоде рентгеновской микроскопии, предложенном Брэггом, в ре- зультате первой стадии — освещения кристалла пучком рентге- новских лучей — также возникает набор точек. Если кристалл ориентирован нужным образом в падающем пучке и дифрагирован- ные рентгеновские лучи регистрируются в нужной области про- странства, то можно считать, что рентгеновские лучи рассеиваются проекцией атомов кристаллографической ячейки на плоскость. В таком случае картина фраунгоферовской дифракции рентгенов- ских лучей на элементарной ячейке представляет собой набор фокальных точек, расположенных в одной плоскости. Связь с теорией Аббе легко понять, если представить себе, что в непро- зрачной пластинке проделаны отверстия так, чтобы они соответ- ствовали фраунгоферовской картине дифракции рентгеновских лучей. При освещении пластинки когерентным видимым светом (вторая стадия) отверстия играют роль вторичных источников, создающих вторую дифракционную картину, которая, согласно Аббе, образует оптическое изображение. Чтобы в действительности получить изображение, взаимное расположение отверстий должно точно соответствовать положению максимумов картины фраунгоферовской дифракции рентгеновских лучей. Диаметры отверстий должны в определенном масштабе соответствовать значениям амплитуды дифракционной картины. (Эти значения можно получить, измеряя интенсивность пучка рентгеновских лучей, но такие измерения не дают информации о фазе.) Помещая пластинку с отверстиями вблизи объектива и освещая ее когерентным светом, можно получить картину фраунгоферовской дифракции в задней фокальной плоскости объектива. Это не что иное, как картина вторичной дифракции Аббе, полученная в оптическом диапазоне длин волн вместо рентгеновского диапазона. При должном выборе объекта съемки эта картина будет представлять собой хорошее увеличенное изображение элементарной ячейки кристаллической структуры. Процесс двойной дифракции, который мы схематически рас- смотрели, математически может быть описан как два последова- тельных преобразования Фурье. Как мы увидим в гл. 5, фраун- гоферовская картина объекта приблизительно соответствует его фурье-образу. Вторая дифракция и второе преобразование Фурье восстанавливают предметную функцию (определение фурье-образа см. в гл. 4). Однако рентгенограммы не записывают полностью фурье-образ. Амплитуда может быть найдена как квадратный корень из значения интенсивности, однако информация о фазе не сохраняется. С помощью таких измерений нельзя получить
ГОЛОГРАФИЯ В ЭЛЕКТРОННОЙ МИКРОСКОПИИ 53 изображение кристаллографической элементарной ячейки, если только фурье-образ не окажется действительным. Брэгг был до- статочно предусмотрительным, чтобы выбрать элементарную ячейку с центральносимметричным расположением атомов, фурье- образ которой является действительным. Только знак амплитуды дифрагированной волны (положительный или отрицательный) в этом случае не определен. Однако знак амплитуды во всех участках дифракционной картины можно сделать одинаковым, если выбрать такую элементарную ячейку, у которой тяжелый атом расположен в центре симметрии. Амплитуда рентгеновских лучей, рассеянных тяжелым атомом, будет сравнительно большой и сможет служить опорной амплитудой, к которой прибавляются или из которой вычитаются меньшие амплитуды волн, дифрагиро- ванных остальными частями ячейки. Следовательно, фурье-образ ячейки модулирует однородную фоновую амплитуду с глубиной, недостаточной для изменения ее знака. Кристалл диопсида удо- влетворяет требованию о тяжелом центре симметрии. Для более общего класса объектов, не имеющих центра симметрии, фурье- образ характеризуется пространственным изменением фазового множителя. Потеря же фазовой информации при записи первой дифракционной картины недопустима, если мы хотим при второй дифракции получить изображение. § 2. Голография в электронной микроскопии Габор дополнил брэгговский процесс двойной дифракции на двух различных длинах волн способом, позволяющим осущест- влять одновременную запись распределения как амплитуды, так и фазы дифракционной картины. Это привело к общей интерпре- тации процесса получения изображения и дало возможность при- менять его к более широкому классу объектов. Однако даже этот новый принцип, по крайней мере в форме, которую Габор считал приемлемой для электронной микроскопии, накладывал ограни- чения на вид объекта. Объект должен обладать большими про- зрачными участками, чтобы при когерентном освещении его элек- тронными волнами через него на регистрирующую пластинку проходила сильная недифрагированная составляющая. В ре- зультате интерференции этой недифрагированной, или фоновой, волны с волнами, дифрагировавшими на краях непрозрачных частей объекта, возникает распределение интенсивности, записы- ваемое в виде голограммы. Фаза недифрагированной волны слу- жит опорной фазой, с которой можно сравнивать пространствен- ные изменения фазы дифрагированных волн. Относительная фаза кодируется в виде косинусоидального множителя интерферен- ционного члена [см. выражение (1.9)]. Оптическое декодирование,
54 РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ ГЛ. 2. или восстановление волнового поля (вторая дифракция), проис- ходит при освещении увеличенной голограммы волной, оптически подобной недифрагированной волне с соответствующим измене- нием масштаба. Габор смог включить в первое сообщение о «новом принципе микроскопии» [2.4] чисто оптическое подтверждение метода. На фиг. 2.2 приведены некоторые из полученных им результатов. Видимый свет использовался как на стадии записи, так и на стадии восстановления. Однако, несмотря на значительные после- дующие усилия, главным образом Хейна и др. [2.5, 2.6], приме- нение голографии в электронной микроскопии (регистрация элек- ФИГ. 2.2. Результаты некоторых ранних гологра- фических экспериментов Габора. (По Га- бору [2.17].) Слева — объект, в центре — голограмма; справа — восстановленное изображение. тронной волны и оптическое восстановление изображения) ока- залось бесплодным занятием. Наилучшее разрешение, получен- ное при помощи этого метода, уступало разрешению, которое достигалось тогда обычным способом. Хейн и Малви [2.6] в на- чале пятидесятых годов первыми провели опыты как с исходной схемой Габора получения голограмм, названной методом проек- ции, так и с более выгодной схемой, названной методом пропус- кания [2.5]. С помощью этих методов они пытались одновременно получить: 1) высокую пространственную когерентность, чтобы иметь высокий контраст интерференционных полос; 2) достаточно большое расстояние между полосами, чтобы была возможна их раздельная регистрация; 3) как можно меньшее расстояние между голограммой и источником, чтобы свести к минимуму длительность экспонирования. В методе проекции, схематически показанном на фиг. 2.3, объект должен быть расположен очень близко к источнику элек- тронной волны и сравнительно далеко от регистрирующей пла-
§ 2. ГОЛОГРАФИЯ В ЭЛЕКТРОННОЙ МИКРОСКОПИИ 55 стинки. Как будет показано в гл. 3 [см. выражение (3.9)], в этой схеме максимально расстояние между полосами, т. е. минимальна пространственная частота системы полос. Однако, поскольку •объект расположен близко к источнику, телесный угол 0, под которым объект виден из источника, велик. Чтобы пространст- венная когерентность была высокой, произведение радиуса источ- ника на угол 0 должно быть малым (фиг. 1.18). Источник, необ- ходимый для достижения эффективного разрешения 1 А, может быть получен путем уменьшения обычного источника электрон- ного пучка в 106 раз с использованием электронной оптики. Однако цена, уплачиваемая за это, высока; происходящие при таком уменьшении сильнейшие искажения формы пучка не могут быть скомпенсированы путем оптической имитации в процессе восста- новления. Эти искажения ограничивают используемое число полос и, следовательно, апертуру голограммы, что в свою очередь ограничивает разрешающую способность. В методе пропускания (фиг. 2.4) используется источник боль- шей величины. Чтобы получить достаточную пространственную когерентность, источник и объект расположены на таком рас- стоянии друг от друга, чтобы угол 0 был мал. Голограмма распо- лагается вблизи объекта, чтобы сократить длительность экспо- нирования. Однако полосы дифракции в ближнем поле (дифракция Френеля) расположены близко друг к другу, и чтобы зареги- стрировать их на фотографическом материале, необходимо уве- личить их с помощью электронно-оптической системы. В сущ- ности, эта схема представляет собой электронный микроскоп, работающий на пропускание с дефокусировкой, причем объект расположен в нормальном положении перед объективом. К источ- нику электронов добавлена щелевая система, при помощи которой регулируется пространственная когерентность. Основным пре- имуществом метода пропускания является то, что в нем устранены
56 РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ ГЛ. 2. сильные искажения пучка, обусловленные его уменьшением. Несмотря на это преимущество, главным препятствием на пути достижения высокого разрешения является недостаточная сте- пень пространственной когерентности. Чтобы получить нужную Голограмма Увеличенное и изображение"*’’"1 плоскости Н ФИГ. 2.4. Получение голограммы с помощью элек- тронной волны методом пропускания. пространственную когерентность, источник следует задиафраг- мировать до площади порядка 1 мкм2, что сильно снижает интен- сивность пучка и соответственно увеличивает длительность экспо- нирования примерно до 2 ч. Нестабильность напряжения, тепловые деформации, вибрации и загрязнение объекта в этом случае действуют как факторы, совместно ограничивающие разре- шение голографической структуры, и, как следствие этого,— изображения. § 3. Рентгеновская голография Габор не предполагал использовать голографию в рентгенов- ской микроскопии, так как казалось, что создание интенсивного источника когерентных рентгеновских лучей сопряжено даже с большими трудностями, чем создание достаточно когерентного источника электронов. Однако другие исследователи, например Баэз, Эль-Сам и Киркпатрик [2.7, 2.8], из-за отсутствия объек- тива для рентгеновских лучей прибегли к голографическому методу. В 1952 г. Эль-Сам и Киркпатрик смогли получить види- мое изображение тонкой проволоки при освещении ее рентгенов- ской дифракционной картины, зарегистрированной за 20 лет перед этим Келлстромом. Этот двухступенчатый процесс восста- новления волнового фронта оказался единственным важным успешным опытом в области рентгеновской голографии. В пяти- десятых годах были сделаны попытки продемонстрировать полез- ность голографической рентгеновской микроскопии, однако при
§ 4. ПЕРВЫЕ ОПЫТЫ ПО ОПТИЧЕСКОЙ ГОЛОГРАФИИ 57 этом не удалось получить дифракционные картины, содержащие более одной интерференционной полосы. (Одна полоса недоста- точна для восстановления волнового фронта. Келлстрому удалось получить четыре или пять полос с хорошим контрастом с каждой стороны от неиспользуемой центральной области.) Главной причи- ной получения полос с недостаточным контрастом была недо- статочная пространственная и временная когерентность источ- ника рентгеновского излучения. В настоящее время рентгеновское излучение, обладающее необ- ходимой степенно когерентности, можно получить с исполь- зованием эффекта Мессбауэра, однако при этом интенсивность очень мала. Необходимая пространственная когерентность может быть достигнута диафрагмированием источника (до нескольких ангстрем в поперечнике) или удалением объекта от источника. В любом случае за улучшение когерентности приходится распла- чиваться потерей интенсивности, и ограничивающим фактором становится проблема стабильности. Из этого рассмотрения, по- видимому, вытекает, что при существующих сегодня источниках излучения рентгеновская голография не представляет практиче- ской ценности. § 4. Первые опыты по оптической голографии Первым исследователем собственно оптической голографии был Роджерс [2.9]. Работая главным образом с ртутной дуговой лам- пой высокого давления, Роджерс в 1952 г. сообщил о ряде опы- тов, в значительной степени предвосхищающих большинство голографических исследований, выполненных более чем через 10 лет с помощью лазера. К наиболее интересным результатам его работы относятся: 1. Голографическая регистрация волны, восстановленной дру- гой голограммой (метод, сейчас используемый для получения копий голограмм). 2. Получение трехмерного изображения (возможность, пред- сказанная Габором). 3. Осуществление вычитания изображений при наложении «негативной» и «позитивной» голограмм. 4. Получение рельефных фазовых голограмм с высокой диф- ракционной эффективностью. 5. Неудачная попытка получения многоцветной составной голограммы с использованием красителей с селективным погло- щением. 6. Инициирование работы по расчету голограмм (предвосхи- щение сегодняшних работ по синтезу голограмм с помощью ЭВМ).
58 РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ ГЛ. 2. Кроме того, Роджерс развил предположение Габора о тесной связи между голограммой точечного источника и зонной пластин- кой Френеля. Аналогия с зонной пластинкой полезна для пони- мания формирования оптического изображения голограммой и может быть получена из простых геометрических соображений 12.9] (см. также [2.8]). 1. Геометрический анализ элементарной голограммы Габора Как указано в § 2 настоящей главы, объект голографирова- ния по схеме Габора должен иметь малые непрозрачные участки на сравнительно большом прозрачном фоне. В последующем ана- лизе мы будем рассматривать объект, представляющий собой идеализацию объектов Габора, а именно единичный точечный рассеиватель. Характеристики пространственной и временной когерентности источника освещения также идеализированы, а именно: предполагается, что он представляет собой точечный источник монохроматических сферических волн. Наконец, пред- полагается, что светочувствительная среда, на которой произво- дится запись голограммы, является достаточно тонкослойной (плоской). С этими допущениями схема, аналогичная схеме экс- перимента Габора, представлена на фиг. 2.5. Точечный источник S, находящийся на расстоянии v от плоскости голограммы Н,
§ 4. ПЕРВЫЕ ОПЫТЫ ПО ОПТИЧЕСКОЙ ГОЛОГРАФИИ 59 освещает рассеивающий центр Р, находящийся на расстоянии и от Н. Мы хотим получить выражение, описывающее распределение интенсивности света в плоскости голограммы, возникающее вслед- ствие интерференции света, рассеянного точкой Р, с когерентным фоном. Общее выражение, описывающее интенсивность картины двух- лучевой интерференции, имеет вид [см. (1.9)] I = Ц + 12 + 2(110.2 cos (<р2 — Ф1)- Мы предполагаем, что амплитудное пропускание голограммы пропорционально I. Вследствие пространственной модуляции разности фаз А<р = <р2 — <р± (а4 и а2 почти постоянны во всей плоскости голограммы) при освещении голограммы возникает диф- ракция света. Разность фаз А<р в некоторой точке Q голограммы может быть выражена через разность хода световых лучей, рас- пространяющихся между S и Q по прямому пути (опорная, или референтная, волна), и лучей, идущих от S к Q через точку Р (пред- метная, или сигнальная, волна). Допустим, что источник непре- рывно излучает световую волну (длиной % и частотой F), абсо- лютная фаза которой Ф = 2л Ft является линейной функцией времени. Волновой фронт, приходящий в Q в момент времени Zg, имеет абсолютную фазу, пропорциональную интервалу времени, прошедшему с момента его испускания. Если скорость распро- странения волны равна с, то фаза волнового фронта,прибывающего в Q в момент Zg по пути SPQ, составляет Ф5 = 2л F (Zg — — (SPQIc)). Аналогичным образом фаза волнового фронта, одно- временно прибывающего в точку Q по пути SQ, равна Фг = = 2л F (tQ — (SQ/c)). Поскольку SPQ > SQ, то Фг > Ф5 и Фг - Фв = (SPQ - SQ) = <р2 - <Pi = Аф = • В тех случаях, когда AZ = nk. где п = 1, 2, 3, . . ., имеем cos А<р = 1, и интенсивность интерференционной полосы макси- мальна. Анализ можно ограничить плоскостью хина фиг. 2.5, по- скольку при расположении как S, так и Р на оси z распределение интенсивности симметрично относительно оси z. Из фиг. 2.5 сле- дует AZ = (г s) — t — (v — и 4- s) — t = v — u-\-s —1 = = v — и + (и2 + z2)1'2 — (у1 + x2)1/2 « a:2 x2 / 1 1 \ 2v 2 \ и v ) при соблюдении условий х Габора. Введем определение и та х <t^v, что соответствует опыту 1_ __ _1_______£ / и V ’ (2.1)
60 РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ ГЛ. 2. тогда условие (2.2) определяет радиусы хп системы колец максимальной яркости с центром в точке О. 2. Зонная пластинка Находя значение хп из выражения (2.2), получаем хп = (А)1/2-(2га)1/2, (2.3) т. е. радиусы колец пропорциональны квадратным корням из четных целых чисел. ФИГ. 2.6. Зонная пластинка Френеля. Условие, описываемое выражением (2.3), идентично условию, описывающему распределение прозрачных зон зонной пластинки Френеля [2.10]. (Зонную пластинку, изображенную на фиг. 2.6, можно изготовить, вычерчивая на белой бумаге концентрические окружности, радиусы которых пропорциональны квадратным корням из последовательных целых чисел 1, 2, 3, .... Эти окруж- ности образуют кольцевые зоны, которые следует зачернить
§ 4. ПЕРВЫЕ ОПЫТЫ ПО ОПТИЧЕСКОЙ ГОЛОГРАФИИ 61 через одну. Затем изготовляется уменьшенная фотокопия этого чертежа; полученный диапозитив и представляет собой зонную пластинку [2.10].) Поскольку выражение (2.3) описывает периодичность как зонной пластинки, так и голограммы точечного источника, следует ожидать сходства их дифракционных свойств. Это в общем верно, с тем исключением, что кривая пропускания зонной пластинки имеет прямоугольную, а не синусоидальную, ФИГ. 2.7. Фокусирующие свойства зонной пла- стинки. как у голограммы, форму. При дифракции на синусоидальной решетке возникают только волны + 1-го и — 1-го порядков, тогда как на решетке с прямоугольной модуляцией возникают и спектры высших порядков, или гармоники. Таким образом, дифракционные свойства голограммы Габора могут быть выве- дены из известных свойств зонной пластинки [2.11], если огра- ничиться рассмотрением первого порядка дифракции. Зонная пластинка представляет собой дифракционную решетку с фокусирующими свойствами. Она одновременно является поло- жительной и отрицательной линзой. Величина / в выражении (2.2) есть фокусное расстояние зонной пластинки или голограммы. Выражение (2.1) аналогично формуле линзы, определяющей рас- стояние от линзы до изображения и в зависимости от фокусного расстояния / и расстояния от линзы до объекта v. Если зонная пластинка освещается точечным источником S и мы рассматри- ваем только первый порядок дифракции, то, как показано на фиг. 2.7, возникают два изображения: мнимое изображение Р,
62 РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ ГЛ. 2. из которого исходит расходящаяся волна + 1-го порядка дифрак- ции, и действительное изображение Р', в которое сходится волна —1-го порядка дифракции. Согласно этой аналогии, голограмма точечного объекта также ведет себя подобно дифракционной ре- шетке с фокусирующими свойствами и подобно отрицательной и положительной линзе, создающей мнимое и действительное изображения. Предположим, что голограмма освещается точеч- ным источником S в его исходной позиции — на расстоянии v от голограммы. Согласно выражению (2.1), голограмма создаст мнимое изображение источника S па расстоянии и от голограммы. Это изображение можно рассматривать или как мнимое изобра- жение источника 5, или как мнимое изображение исходного рас- сеивающего центра Р, поскольку это изображение расположено в той точке, где ранее находилась точка Р. Если принять послед- нюю концепцию, то сферическую волну, дифрагировавшую на голограмме и расходящуюся из Р, можно рассматривать как восстановленную волну, ранее рассеивавшуюся точкой Р. Аналогия между свойствами зонной пластинки и голограммы точечного объекта позволяет объяснить отображающие свойства более общего класса голограмм. Обычный протяженный объект можно рассматривать как совокупность точечных объектов. Свет, рассеянный каждой из этих точек, интерферирует с опорной вол- ной, в результате чего возникает суперпозиция многих гологра- фических зонных пластинок. (При этом предполагается, что рас- сеянные волны значительно уступают по интенсивности опорной, так что взаимной интерференцией рассеянных волн можно пре- небречь.) Когда вся голограмма освещается опорной волной, каж- дая индивидуальная голограмма создает мнимое изображение соот- ветствующей ей точки объекта, и в процессе восстановления эти изображения в совокупности создают образ протяженного объекта. § 5. Осевые голограммы Вопреки предположению Габора о гом, что в оптической об- ласти, «где существуют способы расщепления пучков, будут най- дены методы создания когерентного фона, позволяющие улучшить разрешение предмета по глубине, а также подавить влияние сопряженной волны», в оптической голографии в пятидесятых годах по-прежнему использовалась первоначальная осевая схема. Отсутствие хорошего источника когерентного света, по-видимому, было препятствием на пути экспериментальных работ. Источник и объект размещались на оптической оси, перпендикулярной к поверхности фотографической пластинки. Чтобы вскрыть неко- торые трудности и ограничения, присущие этому методу, вернемся к анализу, основы которого заложил Габор (см. гл. 1. § 8). В этом
§ 5. ОСЕВЫЕ ГОЛОГРАММЫ 65 анализе основное внимание уделяется амплитудам падающих на плоскость голограммы волн и волн, выходящих из нее. Рассмотрим лежащий на оси объект, пригодный для получе- ния голограмм Габора. При освещении его когерентным светом общую комплексную амплитуду и света, падающего на фотослой в плоскости голограммы, можно представить как комплексную функцию пространственных координат и = и0 ехр (г <ри). Часть амплитуды и представляет собой амплитуду недифрагированпой фоновой, или опорной, волны г = г0 exp (г<рг), а часть — амплитуду волны, дифрагировавшей на объекте а = а0 exp (г<ра). Тогда и = г + а (2.4)’ и для интенсивности в плоскости голограммы получаем I = uu* = (г + а) (г 4- а)* = = r20 -I- а20 + га* + г*а = r20 + а20 + 2r0a0 cos (<рг — <ра). (2.5} 1. Отклик фотографического слоя При записи голограмм на фотопластинке фотослой должен быть проэкспонирован светом с интенсивностью I, проявлен, отфиксирован, а затем освещен опорной световой волной с целью восстановления изображения. Возникает вопрос, какую роль играет отклик фотослоя во всех этих операциях. Хертер и Дриф- филд в 1890 г. характеризовали отклик фотопластинки при помо- щи характеристической кривой (называемой также кривой почер- нения); эта кривая представляет собой график зависимости опти- ческой плотности проявленной фотопластинки от логарифма экспозиции. Они определили оптическую плотность следующим образом: £ = lg4, tj где — пропускание по интенсивности, т. е. отношение интен- сивности света, прошедшего через фотослой, к интенсивности падающего света. Экспозиция определяется как Е = 1Р хе ~ 1те (см. гл. 1, § 3), где тР— длительность экспонирования; 1Р, или, в сокращенной форме записи, I [см. выражение (1.1)],— интен- сивность света, падающего на пластинку во время экспонирова- ния. Общая форма характеристической кривой приведена на фиг. 2.8. Хотя эта кривая удобна для фотографии и использова- лась в ранних работах по голографии, она не лучшим образом характеризует отклик фотослоя с точки зрения процесса форми- рования голограммы.
64 РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ ГЛ. 2 Вид характеристической кривой зависит как от свойств фото- графического слоя, так и от методики последующей химико-фото- графической обработки. Прямолинейная часть характеристиче- ской кривой может быть описана выражением v=ig-y=v(igE-igK), ч4=Чт)’- <2-6> или J = КУЕ-ч ~ E~V ~I~V. В этих выражениях у — наклон прямолинейной части кривой, a 1g К — точка пересечения продолжения этой прямой с осью ФИГ. 2.8. Характеристическая кривая. lg Е. В случае когерентного освещения нас обычно интересует не J, а коэффициент амплитудного пропускания t = Из при- веденных выше выражений следует, что t-TiP. (2.7) Предположим, что фотослой, подвергнутый экспонированию светом с интенсивностью I, обработан с получением негатива.
§ 5. ОСЕВЫЕ ГОЛОГРАММЫ 65 Тогда амплитудное пропускание tn -Г'*'2. Если же с негатива печатают позитив, то освещенность при печа- тании пропорциональна Уп— пропусканию (по интенсивности) негатива — и результирующее амплитудное пропускание пози- тивного отпечатка составляет tP = (<?р)1/2 - (Jn)-V2 ~ (Z-’n)-V2 ~ Zr/2, (2.8) где = Г. Индекс р в этом случае относится к позитивному отпечатку. 2. Восстановление Габор в своих опытах использовал позитивную голограмму, освещаемую исходной опорной волной г. Комплексная амплитуда светового поля после прохождения сквозь голограмму равна w = г£р ~ г/1?2. Если условия проявления подобраны так, что Г = 2, то w ~ г/ = г (г2 + + га* + г*а) = г2г Д- га2 + гга* + г2а, w ~ г20 (г + а) + г2 -^1 exp (i<pr) + r20 exp (i2<pr) а*, ^2‘9^ где гг* = г2 и г = г0 ехр (г <рг). Если амплитуда опорной волны одинакова во всей плоскости голограммы (г20 = const), то первый член правой части выражения (2.9) описывает волновой фронт, комплексная амплитуда которого пропорциональна амплитуде исходной волны и в выражении (2.4). Далее, если амплитуда опор- ной волны настолько велика, что а2/г0 1, то вторым членом можно пренебречь. Наконец, для опорной волны, фаза которой почти постоянна во всей плоскости голограммы (как, например, в схеме получения габоровских голограмм методом пропускания), третий член пропорционален величине, сопряженной комплекс- ной амплитуде объектной волны. Он создает второе, сопряженное изображение объекта. Если используется метод пропускания (фиг. 2.4), то сопряженное изображение является действительным (см. гл. 3, § 3, п. 1). В этом случае при разглядывании освещаю- щего источника сквозь голограмму будут видны этот источник, мнимое изображение объекта и сопряженное действительное изо- бражение объекта. (Напомним, что осевая голограмма ведет себя подобно набору наложенных друг на друга зонных пластинок, и две волны, соответствующие мнимому и действительному изо- бражениям, могут быть восстановлены одновременно.) Если на- 5-0990
66 РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ ГЛ. 2 блюдатель фокусирует глаз на мнимом изображении, то двойник последнего, действительное изображение, оказывается несфоку- сированным. Наоборот, если поместить белый экран в той плос- кости, где дифрагированные лучи сходятся и создают действи- тельное изображение, на нем обнаруживается несфокусированный световой поток от мнимого изображения. Эти взаимные световые помехи от изображения-двойника в направлении наблюдения являются тем недостатком осевого метода голографии, который Габор и его последователи старались устранить. 3. Контраст осевых голограмм Прежде чем переходить к рассмотрению некоторых методов, применяемых для решения проблемы двойного изображения, поинтересуемся, как скажется на восстановленном изображении отличие Г от 2. Комплексная амплитуда дифрагированных волн в плоскости голограммы может быть представлена в общей форме в виде w ~ г/г/2 = г (Гд + а% + га* + г*а)г/2 = г / л I °о I г * I г* \г/2 =-г?"о а » X '0'0 ' 0 i г / 4 , Г . Г г * , Г г* . \ «rr0 (1+ттг+-2'7г а +'2'72- а— • • •) • Если Гц а%, так что второй член пренебрежимо мал, получаем, умножая все члены на г, г / , Г \ .Сопряженный член, соответствующий ~ г° \ т- 2 ) "т" действительному изображению. При фокусировке на мнимое изображение имеем, пренебрегая несфокусированным световым потоком от действительного изо- бражения, w~r-L-|-a. (2.10) Из выражения (2.10) вытекает, что значение Г определяет контраст, т. е. отношение амплитуды сигнала к амплитуде фона. Например, при Г = + 2 (позитивная голограмма) w представляет собой восстановленную исходную волну и = г -]- а, где свет от объекта суммируется со световым потоком от фона; при Г = — 2 (нега- тивная голограмма) w = г — а и свет от объекта вычитается из фоновой засветки. В последнем случае возникает негативное изо- бражение. Значения Г, лежащие между -]- 2 и — 2, приводят к получению различающихся по контрасту изображений.
§ 5. ОСЕВЫЕ ГОЛОГРАММЫ 67 4. Устранение проблемы второго изображения Мы видим, что для получения осевых голограмм, характерных для раннего периода голографии, требуется соблюдение следую- щих условий: 1) объект должен состоять из малых непрозрачных участков на большом прозрачном фоне, чтобы выполнялось тре- бование rj аа0‘, 2) с исходной голограммы необходимо сделать позитивный отпечаток; 3) чтобы восстановить исходный контраст объекта, результирующее значение Г должно быть равно + 2. Хотя все эти условия приводили к определенным ограничениям, наиболее серьезным недостатком было наложение несфокусирован- ного изображения на сопряженное с ним второе сфокусированное изображение. Некоторые из ранних работ были направлены на устранение помех от двойникового изображения при сохранении осевой геометрии. Первой такой попыткой был метод двух голо- грамм, предложенный Брэггом и Роджерсом [2.12]. Этот метод основан на простом рассуждении: если пригодный для получения осевой голограммы объект осветить параллельным пучком коге- рентного света и зарегистрировать его дифракционную картину на голограмме 1, а затем после проявления убрать объект и осве- тить голограмму исходным пучком, то возникнет мнимое изобра- жение объекта в исходном его положении и = — / [см. выраже- ние (2.1) для случая v = оо]. На расстоянии f с противоположной стороны голограммы возникнет действительное изображение. Однако в плоскости действительного изображения находится также нежелательная дифракционная картина, образованная вол- ной, которая кажется расходящейся от мнимого изображения. Поскольку мнимое изображение и объект занпмают одно и то же положение, отстоящее на расстоянии 2/ от плоскости действитель- ного изображения, Брэгг и Роджерс пришли к мысли, что эта нежелательная дифракционная картина идентична картине диф- ракции, образуемой объектом на расстоянии 2/. Они предложили зарегистрировать на расстоянии 2f от объекта негатив дифрак- ционной картины, т. е. голограмму 2. Чтобы наблюдать действительное изображение, устранив при этом помехи от его двойника, надо осветить голограмму 1 в исход- ном положении и зарегистрировать голограмму 2 картины помех в плоскости действительного изображения. Запись негатива на голограмме 2 должна устранить картину дифракции от мнимого изображения; должно остаться только действительное изображе- ние на равномерно освещенном фоне. На практике не происходит полного подавления фона, так что успех метода нельзя считать полным. Более того, метод приводит к увеличению уровня шума и применим только к действительному изображению. Эль-Сам [2.7] предложил другие способы устранения двой- никового изображения, а Ломани [2.13] разработал метод, основан- 5*
68 РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ ГЛ. 2. ный на фильтрации картины дифракции Фраунгофера. Ни эти методы, ни метод Брэгга — Роджерса не были достаточно эффек- тивны и удобны. Важная проблема оставалась нерешенной. Преж- де чем перейти к рассмотрению решения этой проблемы, предло- женного Лейтом и Упатниексом, укажем, что в некоторых случаях осевая голограмма в состоянии создать нужное изображе- ние без существенных помех со стороны сопряженного изображе- ния. Томпсон и др. [2.14] смогли получить голограммы движу- щихся частиц аэрозоля при освещении импульсным лазером, используя осевой метод. (Длина когерентности примененного в этих опытах лазера была недостаточной, поэтому именно осевой метод позволял обойти эту трудность.) Частицы аэрозоля были столь малыми, что голограмма, полученная в ближнем поле для ансамб- ля частиц, по отношению к каждой индивидуальной частице находилась в дальнем поле. Если рассматривать действительное изображение такой частицы, то кажется, что ее мнимое изобра- жение находится в очень отдаленной плоскости. Поэтому в плос- кости действительного изображения дифракционная картина точечного мнимого изображения выглядит равномерным фоном — сферической волной постоянной амплитуды — и не мешает наблюдению изображения. В этом случае можно наблюдать чет- кое действительное изображение. § 6. Внеосевые голограммы Отказавшись от осевой геометрии голографического экспери- мента и введя опорный пучок под углом к пучку, идущему от объ- екта, Лейт и Упатниекс изобрели наиболее общий и самый успеш- ный метод устранения двойникового изображения (а также неди- фрагированного света) из восстановленного изображения. На фиг. 2.9 показана первоначальная схема Лейта и Упатниекса [2.15], в которой использовалась ртутная лампа. Две линии из картины дифракции Фраунгофера на дифракционной решетке слу- жат вторичными источниками света, находящимися в определенном фазовом отношении. Один из них играет роль источника опорной волны, а другой освещает объект на просвет. Голограмма может быть зарегистрирована в любом месте области перекрытия пучков. Сходство схемы этого опыта со схемой опыта Юнга очевидно. Хотя, по-видимому, целесообразнее отложить объяснение вне- осевого метода до введения понятия пространственной частоты (гл. 5), некоторые преимущества этого метода можно оценить, пользуясь представлением о зонных пластинках. Обратимся к фиг. 2.10, на которой представлено изображение зонной пла- стинки, образованное при интерференции плоской опорной волны со сферической волной, рассеянной точечным рассеивателем, нахо-
§6. ВНЕОСЕВЫЕ ГОЛОГРАММЫ 69 дящимся в Р. В осевом методе мы помещаем небольшую фотогра- фическую пластинку (прямоугольник, очерченный пунктиром) в центре интерференционной картины так, что нормаль к его поверхности проходит через Р параллельно направлению распро- странения плоской опорной волны. Если используется нелазер- ный источник света, то из-за ограниченной длины когерентности на голограмме может быть записана лишь часть интерференцион- ной картины, в пределах, ограниченных окружностью малого радиуса с центром на оси. По мере того как длина оптического пути ФИГ. 2.9 Первоначальная схема получения вне- осевых голограмм. (По Лейту и Упат- ниексу [2.15].) от источника до голограммы через объект увеличивается по срав- нению с длиной прямого пути, проходимого опорной волной, вид- ность полос уменьшается и в конце концов, когда разность хода достигает длины когерентности, становится равной нулю, и интер- ферограмма более не дифрагирует свет с достаточной эффектив- ностью. Из фиг. 2.10 видно, что по мере удаления от центра интер- ференционной картины разность хода растет. Небольшая голо- грамма, которую можно зарегистрировать, освещается плоской опорной волной. На этой голограмме дифрагирует волна, кото- рая кажется расходящейся от мнимого изображения в точке Р, и вторая волна, которая сходится в действительное изображе- ние в точке Р'. Наблюдению любого из изображений вдоль оси мешает несфокусированный свет от сопряженного изображения и недифрагированный свет. Предположим, однако, что длина когерентности света доста- точна для создания нужной видности полос на значительно боль- шей площади зонной пластинки. Тогда небольшую фотопластинку можно настолько удалить от оси, что ее не будут пересекать осе-
70 РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ ГЛ. 2. вые лучи, идущие от Р. В этом случае, как показано на фиг. 2.10, все лучи, исходящие от мнимого изображения в точке Р, не пере- крываются с лучами, сходящимися в Р', и проблема двойного изображения устраняется. Часть освещающей опорной волны, кото- рая не испытывает дифракции на голограмме, также не перекры- вается с волнами, идущими от изображений. [Обращаясь к выра- жению (2.5), мы видим, что наряду с интерференционными ФИГ. 2.10. Простая внеосевая голограмма. членами и постоянной опорной интенсивностью на голограмме за- писывается интенсивность предметной волны а%. Освещающая голо- грамму опорная волна претерпевает дифракцию на любой про- странственной модуляции оптической плотности голограммы, обу- словленной членом а%. Таким образом, угол 0 на фиг. 2.10 должен быть достаточно большим, чтобы избежать наложения вол- ны, образующей изображение, на освещающую волну, дифрагиро- ванную на а*. Для произвольных объектов взаимодействие с аг0 при-
§ 6. ВНЕОСЕВЫЕ ГОЛОГРАММЫ 71 водит к появлению света, дифрагировавшего в некотором интер- вале углов, симметричном относительно направления распростра- нения опорной волны.] 1. Контраст внеосевых голограмм Поскольку образующая изображение дифрагированная волна и прошедшая сквозь голограмму освещающая волна не перекры- ваются в пространстве, регистрируемый наблюдателем восстанов- ленный волновой фронт, например, мнимого изображения описы- вается только вторым членом выражения (2.10), а именно членом Га/2. В этом случае значение или знак Г не влияют на контраст изображения. При Г = — 2 восстановленное изображение не будет негативом оригинала. Наблюдаемая интенсивность вол- ны, образующей изображение, описываемая произведением (— Га/2) (— Га*/2), по-прежнему пропорциональна интенсивности первоначальной волны, и мы получаем позитивное изображение. Таким образом, одной негативной голограммы уже достаточно для получения позитивного изображения, контраст которого соответствует контрасту объекта. 2. Линейность отклика С появлением внеосевого метода стало ясным, что описывать свойства фотослоя величиной наклона прямолинейного участка характеристической кривой неудобно [2.16]. Разумеется, любой метод оценки свойств должен указывать пути получения записи, наиболее точно восстанавливающей предметную волну при осве- щении ее опорной волной. Такое точное восстановление дости- гается в том случае, когда амплитудное пропускание проявленной голограммы линейно зависит от интенсивности интерференцион- ной картины. В этом случае амплитуда волны, образующей мни- мое изображение, в соответствии с выражением (2.9) равна г°а, т. е. пропорциональна а, если обеспечено постоянство rjj по пло- щади голограммы. Таким образом, важной с точки зрения голо- графии экспозиционной характеристикой является график зави- симости амплитудного пропускания t от экспозиции Е, показан- ный на фиг. 2.11,а. Для регистрации голограммы необходима такая экспозиция, при которой амплитудное пропускание попа- дает в пределы линейного участка кривой. Если максимальным или минимальным значениям интенсивности в плоскости голо- граммы соответствуют значения пропускания, выходящие за пре- делы линейного участка, в восстановленном изображении воз- никнут искажения. Как видно из фиг. 2.11, б, линейный участок зависимости t (Е) для обычно используемых фотопластинок Кодак 649F соответствует начальному участку классической характе-
72 РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ ГЛ. 2. ристической кривой. В этом случае трудно установить правиль- ную экспозицию, пользуясь обычной кривой. Интересно отметить, что значение экспозиции, соответствующее середине линейного участка кривой t (Е), существенно меньше значения, соответ- ствующего середине прямолинейного участка классической кривой. ФИГ. 2.11. а — зависимость амплитудного коэффи- циента пропускания от экспозиции; б — характеристическая кривая, на ко- торой отмечена область, соответствую- щая линейному участку кривой t (Е). (По Когельнику [2.18].) Таким образом, для одного и того же фотослоя голографическая экспозиция обычно меньше, чем фотографическая, и проявленные пластинки имеют меньшую оптическую плотность (фит. 1.1). 3. Другие эффекты, связанные с применением внеосевой опорной волны и увеличением когерентности Благодаря использованию внеосевой методики оптическая голография освободилась от ограничений, возникших в первых работах по электронной и рентгеновской голографии. Стало оче- видным, что благодаря применению светоделителей даже при осе- вой геометрии отпадает необходимость в использовании части недифрагированного света, проходящего через объект, в каче- стве опорной волны. Эти преимущества, а также возможность использования лазерных источников, обладающих весьма высокой когерентностью, дали возможность применять голографию для
ЛИТЕРАТУРА 73 любых прозрачных или отражающих объектов, например полуто- новых транспарантов или отражающих трехмерных объектов. При использовании внеосевого метода, в отличие от осевой голографии, интенсивность опорного пучка не обязательно долж- на существенно превышать интенсивность предметной волны. Однако интенсивность опорного пучка должна быть достаточно большой по сравнению с его модуляцией, накладываемой пред- метной волной, чтобы результирующая экспозиция не выходила за пределы линейного участка кривой t (Е). ЛИТЕРАТУРА 2.1. BRAGG W. L., Zs. Kristal- logr., 70, 475 (1929). Оптический метод представле- ния результатов рентгеновско- го анализа. 2.2. BRAGG W. L., Nature, 143, 678 (1939). Новый тип рентгеновского ми- кроскопа. 2.3. BRAGG W. L., Nature, 149, 470 (1942). Рентгеновский микроскоп. 2.4. GABOR D., Nature, 161, 777 (1948). Новый принцип микроскопии. 2.5. HAINE М. Е., DYSON J., Nature, 166, 315 (1950). Модификация дифракционного микроскопа, предложенного Габором. 2.6. HAINE М. Е., MULVEY Т., Journ. Opt. Soc. Amer., 42, 763 (1952). Получение дифракционного изображения с помощью элек- тронов в дифракционном ми- кроскопе Габора. 2.7. EL-SUM Н. М. A., KIRK- PATRICK Р., Phys. Rev., 85, 763 (1952). Микроскопия с помощью вос- становленных волновых фрон- тов. 2.8. EL-SUM Н. М. A., Ph. D. The- sis, Stanford Univ., 1952. Микроскопия с восстановлени- ем волнового фронта. 2.9. ROGERS G. L., Proc. Roy. Soc. (Edinburgh), 63A, 193 (1952). Опыты по дифракционной микроскопии. 2.10. MYERS О. Е., Jr., Amer. Journ. Phys., 19, 359 (1951). Исследование прозрачных зонных пластинок. 2.11. SUSSMAN М., Amer. Journ. Phys., 28, 394 (1960). Элементарная дифракционная теория зонных пластинок. 2.12. BRAGG W. L., ROGERS G. L., Nature, 167, 190 (1951). Устранение нежелательного изображения в дифракцион- ной микроскопии. 2.13. LOHMANN A., Opt. Acta, 3, 97 (1956). Передача боковой частоты в оп- тическом диапазоне примени- тельно к микроскопу Габора. 2.14. THOMPSON В. J., WARD J., ZINKY W., Journ. Opt. Soc. Amer., 55, 1566A (1965); Appl. Opt., 6, 519 (1967). Применение голограммной тех- ники для определения размера частиц. 2.15. LEITH Е. N., UPATNIEKS J., Journ. Opt. Soc. Amer., 52, 1123 (1962). Восстановленные волновые фронты и теория связи. 2.16. К OZMA A., Journ. Opt. Soc. Amer., 56, 428 (1966). Фотографическая регистрация пространственно-модулирован- ного когерентного света. 2.17. GABOR D., Research, 4, 107 (1951). Дифракционная микроскопия. 2.18. KOGELNIK Н„ Proc. Symp. Mod. Opt., New York, 1967, p. 605. Отклик при восстановлении и эффективность голограмм- ных решеток.
Глава 3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА В гл. 2 рассмотрение осевых голограмм Габора и голограмм Лейта и Упатниекса (с внеосевым опорным пучком) основывалось на представлении об интерференции световых волн, приходя- щих от двух точечных источников. Несмотря на ряд упрощений, анализ голограмм точечного источника позволяет проиллюстри- ровать многие важные особенности голографии. С помощью такого анализа можно многое узнать о частоте интерференцион- ных полос на голограмме, о свойствах образующихся мнимого и действительного изображений и об увеличении изображения, получаемом при восстановлении. В природе не существует точечных источников, однако про- тяженные источники и освещенные предметы мы можем рассма- тривать как набор точечных источников. Пусть а1; а2 . . . и т. д. представляют собой комплексные амплитуды световых волн, приходящих на голограмму от такой совокупности предметных точечных источников. Если г — комплексная амплитуда опорной волны в плоскости голограммы, то полная комплексная амплитуда в той же плоскости будет ai “Г а2 + . . . + г. Полная интенсивность, которая регистрируется на голограмме, равна I = (в! + а2 + . . . + г) (а* + а* + . . . + г*) = = а^* + а2а* + . . . + rr* + (ata* + а2а* +...)+ + г (а* + а* 4- . . .) + г* (at + а2 + . . .). Если не учитывать перекрестных членов (члены ata* + а2а* + + . . .), которые соответствуют интерференции между компонен- тами предметной волны, то точечные источники можно считать независимыми. Что касается влияния перекрестных членов на восстановление изображений, то его можно устранить способами, о которых говорилось в гл. 2. В случае габоровской (осевой) голо- графии амплитуда опорной волны намного больше, чем амплитуда предметной волны. В этом случае перекрестными членами можно пренебречь. В случае внеосевой голографии угол между предмет- ной и опорной волнами выбирают настолько большим, чтобы дифрагированные волны, соответствующие изображению и пере-
§ 1. РАСЧЕТ РАЗНОСТИ ФАЗ 75 крестным членам, распространялись под разными углами. (Волны, соответствующие перекрестным членам, распространяются в на- правлениях, близких к направлению освещающего пучка.) Поскольку предметные точечные источники можно в данном случае считать независимыми, мы здесь ограничимся рассмотре- нием одного точечного предметного источника. Опорный источ- ник также будем считать точечным. Будем считать, что все волны распространяются слева направо. Предположим, что 1) освещаю- щие волны полностью когерентны, 2) голограмма экспонируется и проявляется таким образом, чтобы ее амплитудное пропускание было пропорционально интенсивности интерференционной кар- тины и 3) голограммы действуют как плоские (двумерные) дифрак- ционные решетки. Читателей, которые сами собираются получать голограммы и хотят наблюдать свойства голограмм, описанные в этой главе, следует предостеречь относительно выбора светочувствительного материала. Большинство эффектов, которые рассмотрены ниже, например одновременное наблюдение действительного и мнимого изображений и влияние на восстановленное изображение изме- нения угла падения или длины волны восстанавливающего пучка по сравнению с применявшимися при съемке голограммы, наи- лучшим образом проявляются, если голограмма на самом деле действует как плоская дифракционная решетка. Толщина высоко- разрешающих фотографических эмульсий, обычно используемых в голографии, лежит в пределах от 6 до 15 мкм, поэтому, чтобы избежать угловой и спектральной селективности объемных реше- ток, следует использовать малые углы между опорным и пред- метным пучками. Достаточно малую толщину имеет термопластик [3.1]; записанную на нем голограмму можно рассматривать как плоскую решетку (см. также гл. 10). Такие голограммы обладают всеми рассмотренными ниже свойствами. § 1. Расчет разности фаз между предметной и опорной волнами Будем считать, что предметная, опорная и освещающая волны в любой точке Q в плоскости голограммы (фиг. 3.1) характери- зуются фазой в этой точке по отношению к фазе в фиксирован- ном начале координат О. (Предполагается, что амплитуда сферической волны, исходящей из каждого точечного источника, приблизительно постоянна в плоскости голограммы.) Пусть про- странство по обе стороны от голограммы имеет одинаковый пока- затель преломления; тогда, считая голограмму очень тонкой, относительные фазы можно рассчитать по геометрическим разно- стям хода световых лучей. Мы используем здесь метод расчета
76 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ ГЛ. 3 Мейера [3.2], справедливый в параксиальном приближении. (Расчеты для непараксиального случая см. в работе [3.3].) Пусть а = aQ exp (i сра) — комплексная амплитуда световой волны, приходящей в плоскость голограммы из точечного пред- метного источника, и г = r0 exp (i <рг) — комплексная амплитуда опорной волны в плоскости голограммы. Тогда, как и в гл. 2, § 5 ФИГ. 3.1. Параметры, необходимые для расчета разности фаз <рг — <ра. (но не ограничиваясь рассмотрением осевых голограмм), для ин- тенсивности, регистрируемой в плоскости голограммы, получим / = а„-]-Го + га* + г*а. (3.1) Наибольший интерес для нас представляют интерференцион- ные члены га* + r*a = 2a0r0 cos (<рг — <ра), (3.2) которые описывают периодические пространственные вариации интенсивности, т. е. интерференционные полосы. Пространственная частота полос на голограмме определяется скоростью изменения аргумента косинуса, т. е. разности фаз <рг — сра. Рассмотрим теперь схему получения голограммы (фит. 3.1). Предметный точечный источник Р расположен в плоскости х^у^, отстоящей от начала координат О на расстоянии Zj = — d. Начало координат О лежит в плоскости голограммы х2у2 (штрихи будут сохраняться до тех пор, пока мы не дойдем до рассмотрения увеличения голограммы). Опорный точечный источник R рас- положен в некоторой произвольной плоскости хтуг на расстоянии зг от плоскости голограммы. Если R находится слева от голо-
РАСЧЕТ РАЗНОСТИ ФАЗ 77 граммы и опорная волна исходит из R, то zT < 0 (как на фиг. 3.1); если R находится справа от плоскости голограммы и опорная волна сходится в точку R. то zT > 0. Мы хотим рассчитать вели- чину срг — фа в произвольной точке Q в плоскости голограммы. Чтобы определить число периодов колебания интенсивности на единицу расстояния вдоль координатных осей, т. е. простран- ФИГ. 3.2. К определению знака разности фаз в точках Q и О. а — для расходящейся предметной волны; б — для сходящейся опорной волны. ственную частоту, продифференцируем величину (1/2л) (фг — фа) по пространственной координате. Тогда мы узнаем, сколько полос на единицу длины в данном направлении должно быть заре- гистрировано фотографической эмульсией в зависимости от взаим- ного расположения точек Р, R и голограммы. Начальные фазы волн, исходящих из Р и R, совершенно про- извольны. Пусть они выбраны так, что в точке О в плоскости голограммы фазы обеих волн одинаковы. Мы можем считать эти значения фаз равными нулю. Поскольку Р и R — точечные источ- ники, каждый из них излучает сферическую волну, фаза которой в любой точке пространства пропорциональна радиальному рас- стоянию от этой точки до источника. Тогда, вычислив разность хода PQ — РО, мы получим фазу фа световой волны, приходящей в точку Q из точки Р. Аналогично можно рассчитать фазу фг для волны, приходящей в точку Q из точки R. Следует обратить вни- мание на знак фазы в точке Q относительно фазы в О, для чего рассмотрим две схемы (фиг. 3.2). Величина разности фаз фа, соответствующая разности хода PQ — РО, равна | Фа I = = (2л/Х) | (PQ — РО) |, где X — длина волны. Если Р — реаль- ный точечный источник, испускающий расходящуюся сфериче- скую волну, и если PQ > РО, то волновой фронт, пришедший
78 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ ГЛ. 3. в точку Q, испущен источником раньше, чем волновой фронт, одновременно достигший точки О (фиг. 3.2, а). Поэтому фаза волнового фронта в точке Q должна быть меньше фазы в О (пред- полагается, что фаза возрастает со временем) и, следовательно, сра = — (2л/Х) (PQ — РО). На фиг. 3.2,6 изображена сходя- щаяся опорная волна. Здесь R представляет собой точку, в кото- рой фокусируется опорная волна. Эта точка находится по другую сторону от голограммы по отношению к точке Р. Для RQ > RO фаза волнового фронта в Q больше, чем в О, поскольку волно- вой фронт, достигший точки Q, был испущен позднее. Таким обра- зом, для сходящейся опорной волны фг = + (2л/%) (RQ — RO), в то время как в обычном случае расходящейся опорной волны фг = — (2л/Х) (RQ — RO). Теперь вернемся к вычислению разности фаз фг — фа для случая, когда и Р, и R являются источниками расходящихся сферических волн, расположенными по одну сторону от голо- граммы. Для фазы предметной волны в Q получаем <t.= -¥pPQ-P°) = = — {[(^ — *,)’ + (si — У1)2 + — и + = где — длина волны излучения, используемого для получения интерференционной картины, и где предполагается, что значение zt отрицательно, так что знак фа остается отрицательным. (Та- ким образом, вид волны, т. е. является она расходящейся или сходящейся, определяется знаком z^) Если как Р, так и Q рас- положены не слишком далеко от оси z и если z^ достаточно велико, то фа можно в первом приближении представить в виде Фа -77 [-^7 (ж22 + У? ~ 2ж2а:1— 2^i) ] • (3-3) Здесь мы ограничились членами, пропорциональными 1/zj. Следующими членами разложения будут члены третьего порядка относительно 1/zj. [Приближение первого порядка оказывается удовлетворительным в большинстве случаев, рассматриваемых в данной главе. Во всех случаях, когда выражения, выведенные с помощью приближенного равенства (3.3), отличаются от выве- денных другими способами, это будет оговорено особо.] Фаза Фг (^> У^ опорной волны в точке Q может быть рассчитана анало- гичным способом; в результате получаем фг« [1ST +У2> ~ 2х'2Хт ~ 2у'2УгУ> ] <3-4>
§ 1. РАСЧЕТ РАЗНОСТИ ФАЗ 79 Тогда разность фаз предметной и опорной волн в точке Q дается выражением 1*-т-=Т(г[К,+|0 (2b- гЬ) - <3-5> Величина в квадратных скобках представляет собой разность хода AZ между световыми волнами, пришедшими в точку Q из то- чек Р и R. 1. Осевая голограмма В этом случае как предметный, так и опорный точечные источ- ники находятся на оси z, так что в (3,5) Xi, у1у хт и ут равны нулю. Если мы в соответствии с гл. 2, § 4, п. 1, обозначим zt = — и и zT = — v, то разность хода в (3.5) примет вид «+/;> (|) (£--£-)= =^*+^(l)(4-4)=^F=€- Здесь мы использовали (2.1) и ввели обозначение /-1 = и~х — ц-1; кроме того, через р = (х22 + у'2) 1/2 обозначено радиальное рас- стояние от начала координат в плоскости голограммы. Светлые полосы в интерференционной картине образуются, если AZ = = п где п — целое число. Поскольку разность хода AZ сим- метрична относительно начала координат, полосы имеют вид окружностей и интерференционная картина представляет собой зонную пластинку, описываемую выражением A!=^+rtl(±_±) = ₽i_„X,. (3.7) В соответствии с (3.2) интенсивность интерференционной картины меняется в пространстве по косинусоидальному закону, cos (срг — сра) = cos (SnAZ/Xi). Если бы зависимость AZ от про- странственных координат была линейной, то интенсивность менялась бы по косинусоидальному закону с постоянной частотой. Обычно это не так, однако можно определить локальную про- странственную частоту интерференционных полос v (р). (Здесь р — пространственная переменная, отсчитываемая в направле- нии, перпендикулярном интерференционным полосам, и v рассма- тривается как функция р.) Частоту v можно определить как делен- ную на 2л пространственную скорость изменения фазы интерфе- ренционной картины в точке Q: v(P)=ifcsi.^=^(«). (3.8)
80 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ ГЛ. 3. Если AZ определяется выражением (3.7), то V(p) = ^-. (3.9) Таким образом, по мере удаления от центра голограммы частота полос увеличивается пропорционально р. При некотором значе- нии р частота v может превысить разрешающую способность vm светочувствительной среды. Это значение р определяет предель- ную апертуру и разрешающую способность голограммы. Сравнивая требования к разрешающей способности регистри- рующей среды для случая осевой голографии и для других голо- графических схем, которые будут рассмотрены в этой главе, мы увидим, что удобно и достаточно рассматривать только компо- ненту пространственной частоты v в направлении ж'. Для даль- нейшего упрощения предположим, что R находится на бесконеч- ности (т. е. опорная волна плоская и zT = оо). Для этого слу- чая [см. (3.6)] имеем t'__ а(фг Фа) _ хг /Q S — 2л. ~ Z1X1 ' k ' Чем дальше расположен предмет от голограммы, тем реже полосы и тем легче их зарегистрировать. Габор пытался исполь- зовать это в своем «проекционном методе» (см. гл. 2, § 2). К сожа- лению, при этом падает разрешающая способность, если значе- ние ж' ограничено. 2. Внеосевая голограмма Подставляя в (3.5) AZ = получаем и = «•+Й-)(4)(А-А.)_ т. е. уравнение окружности с координатами центра: __ Z1%T ZrXj 2— Zj—Zr г %1Ут ггУ1 Zi—zr и радиусом р, определяемым формулой Р2 = Zi zr Ziyr — Zj-yi \2 ZT ) ZL— zr (3.11) (3.12) (3.13) Рассмотрим внеосевую голограмму, образованную при интер- ференции аксиальной плоской опорной волны (хт = ут = 0, = оо) со сферической предметной волной, исходящей из точки, смещенной относительно оси (xj, = 0, zt). Координаты центра системы круговых интерференционных полос, радиусы которых
§ 1. РАСЧЕТ РАЗНОСТИ ФАЗ 81 соответствуют целым значениям п в (3.13), определяются выраже- нием (3.12) и равны ж' = ж4 и у'2 = 0. Таким образом, центр интер- ференционной картины, имеющей вид зонной пластинки, является основанием перпендикуляра, опущенного из Р на плоскость голо- граммы (фиг. 3.3). Если центр фотопластинки находится в точке О, ФИГ. 3.3. Голограмма, образованная точечным объектом Р, расположенным не на оси, и аксиальной плоской опорной волной. то будет зарегистрирована внеосевая часть интерференционной картины, что соответствует схеме получения голограммы по Лей- ту и Упатниексу. Частоту интерференционных полос в направ- лении ж' можно найти, дифференцируя величину Д//Х15 опреде- ляемую выражением (3.11), при условии хт = yr = yi = 0 и zr = 6-0990
82 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ ГЛ. 3. = оо. В результате получаем ^'=--4—1-4-. (3.14) Предполагая, что центр голограммы находится в О, сравним значение определяемое выражением (3.14), с соответствующей величиной, найденной для осевой схемы голографирования [см. (3.10)]. В центре осевой голограммы (ж' = 0) частота полос равна нулю, в то время как для внеосевой схемы частота в центре равна xjztkt. По мере удаления от центра в направлении отрицательных значений ж' (фиг. 3.3) частота полос в обеих интерференционных картинах растет пропорционально х'2 и разность частот сохра- няется постоянной. Краю голограммы соответствуют наиболее высокие пространственные частоты интерференционной картины. Для того чтобы на внеосевой голограмме была зарегистриро- вана интерференционная картина, разрешающая способность све- точувствительной среды должна быть на xjziki больше, чем для осевой голограммы. Из (3.11) следует, что для внеосевой опорной волны {хТ 0, xTlzT = tg 0Г « 0Г) разность частот равна _ JhzdL, (3.15) где 0j — средний угол между осью z и предметной волной, т. е. угол, который лучи, идущие от Р к центру голограммы О, состав- ляют с осью z. Таким образом, различие в максимальной частоте интерференционных полос на внеосевых и осевых голограммах определяется средним углом между предметным и опорным пучками. В реальном случае либо размеры предмета, либо размер голо- граммы могут оказаться такими, что частота полос будет пре- вышать разрешающую способность регистрирующей среды vm. Если голограмма мала по сравнению с предметом, то главную роль в (3.14) играет последний член [или (0! — в (3.15)]. Максимальная частота на голограмме будет определяться точеч- ным источником, расположенным на самом удаленном краю пред- мета. Если > vm для крайних участков предмета, то эти участ- ки не будут зарегистрированы. С другой стороны, если фотопла- стинка намного больше предмета, то главную роль в (3.14) будет играть первый член. За пределами некоторой величины х'2 всем точкам предмета будут соответствовать зонные пластинки с ча- стотой • стинки, используемой для записи голограммы. т. Величина х2 определяет предельный размер пла- 3. Безлинзовая фурье-голограмма Рассмотрим теперь представленную на фиг. 3.4 схему, в кото- рой предметный и опорный источники находятся в одной плоско- сти. Предметный точечный источник находится в точке Р с коор-
§ 1- РАСЧЕТ РАЗНОСТИ ФАЗ 83 динатами = 0, z15 опорный источник — в точке R с коорди- натами хт, уг = 0, zT = zP Тогда разность фаз (3.5) принимает вид -icr(v-rW <316) Дифференцируя (<рг — фа)/2л по ж', получаем, что частота полос постоянна и равна Г = (3-17) Поскольку интенсивность интерференционной картины не зависит от у' [см. (3.16)], полосы в этом случае имеют вид вертикальных ный угол. прямых линий, расположенных на равных расстояниях друг от друга. В направлении ж' их интенсивность меняется по косину- соидальному закону. (Эта схема эквивалентна схеме опыта Юнга, соответственно одинаков и вид интерференционной картины. Такой метод был предложен Винтропом и Вортингтоном [3.4] для голографии в рентгенрвской области и Строуком [3.5] для оптической голографии.) Как видно из фиг. 3.4, в первом приближении xTlzi = tg 0r « « 0Г и аналогично ^/zt та 0!- Величину фг — фа в (3.16) можцо записать в виде фг-фа = 47(61-0г)^- (3-18) Это выражение зависит только от угла, под которым из голо- граммы виден отрезок, соединяющий точки Р и R. Выражение 6*
84 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ ГЛ. 3. (3.18) остается справедливым и в том случае, когда точки Р и R находятся на бесконечном расстоянии от голограммы (zr = Zi = = оо, a xTlzT « 0Г и x^Zi « 0t конечны). Волны, приходящие на голограмму от точечных источников, находящихся на бесконеч- ности, являются плоскими. Они представляют собой картину дальнего поля, или фурье-образ точечных источников. Следо- вательно, можно считать, что система прямых полос, описываемая выражением (3.18), возникает в результате интерференции плос- кой опорной волны с фурье-образом предметного точечного источ- ника Р. Чтобы восстановить плоскую волну, являющуюся фурье- образом точки Р, голограмму, полученную по схеме фиг. 3.4, не обязательно освещать исходной опорной волной, идущей из точки R; с равным успехом можно использовать любую плоскую волну. В последнем случае для того, чтобы получить изображение точки Р, нужно наблюдать восстановленную волну в дальнем поле. Необходимое для этого второе фурье-преобразование можно осу- ществить оптически, помещая за голограммой линзу и наблюдая картину в задней фокальной плоскости линзы. О безлинзовой фурье-голографии см. также гл. 8. Помещая опорный источник рядом с предметом, можно сделать величину Xi — хт в (3.17) малой; тогда частота полос будет низкой. В случае когда справедливо приближение (3.3), частота будет постоянной на всей голограмме и можно использовать фотопластинки с низкой разрешающей способностью. Для протя- женных предметов rq — хт зависит от ширины предмета. Частота полос, образованных краевыми участками предмета, может пре- высить разрешающую способность фотопластинки, так что эти участки не будут зарегистрированы. Однако для небольших объек- тов схема безлинзовой фурье-голографии дает равномерно низ- кочастотную систему интерференционных полос на голограмме большой площади. Поэтому эти голограммы могут иметь высокую апертуру, что обеспечивает восстановление изображений с высо- ким разрешением. С помощью (3.18) можно определить расстояние между полоса- ни d = 1/£' для интерференционной картины, образованной при пересечении двух плоских волн: d=s^- Пусть, как и в гл. 1, § 1, 0Г = — 0t. Подставляя это значение 0Г в (3.19), получаем 2eld = ‘k1, (3.20) что соответствует выражению (1.10) 2d sin 0 = X в случае малого угла 0.
§ 2. ВОССТАНОВЛЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА 85 То обстоятельство, что безлинзовая фурье-голограмма экви- валентна голограмме, образованной двумя пересекающимися плоскими волнами, легко понять, если заметить, что <рг — сро представляет собой выражение для разности фаз двух сфериче- ских волн равной кривизны, но различных по направлению. Поэтому вклад в разность фаз, обусловленный кривизной вол- новых фронтов, компенсируется и остается только его часть, обу- словленная различием средних направлений волн. § 2. Восстановление с помощью точечного источника Рассмотрев различные схемы получения голограмм, перейдем теперь к процессу восстановления. Предположим, что получен- ную голограмму можно до восстановления увеличить или умень- шить. Чтобы это учесть, обозначим теперь координаты в плоско- сти голограммы через х2 = тх'г и уг = шу', где т — линейное ФИГ. 3.5. Освещение голограммы, расположенной в плоскости х2, У г, точечным источни- ком С (хс, г/с, zc). Если плоскость изображения расположена на положительном расстоянии z3 от голограммы, как показано здесь, то изображение действи- тельное; если расстояние z3 отрицательно, то изображение мнимое. увеличение. Кроме того, длина волны Х2 при восстановлении не обязательно должна быть равна длине волны использовавшейся при получении голограммы; их отношение обозначим через р. = = Восстанавливающая (или освещающая) волна исходит из точечного источника С (хс, ус, zc) (фиг. 3.5). Мы не будем тре-
86 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ ГЛ. 3. бовать, чтобы источник С совпадал с исходным опорным источни- ком; это может быть источник расходящейся волны или фокус сходящейся волны. Если голограмма соответствующим образом зарегистрирована на фотоэмульсии, то ее амплитудное пропускание t пропорцио- нально интенсивности I, определяемой выражением (3.1) (см. также гл. 1, § 8), где интенсивности сферических волн Д = а* и 12 = Гд приблизительно постоянны в плоскости голограммы. Следовательно, в случае голограммы точечных источников ди- фракция происходит только за счет пространственных вариаций пропускания, обусловленных членами га* + г* а. Комплексные амплитуды дифрагированных волн в плоскости голограммы пропорциональны произведению комплексной ампли- туды освещающей волны с на записанные вьппе члены пропуска- ния: era* + сг*а, где с = с0 exp (i <рс). В гл. 1, § 8, указывалось, что первый из этих членов, содержащий а*, дает действительное изображение, в то время как второй член, содержащий а, образует мнимое изобра- жение. Как мы увидим, это не всегда так. Тем не менее фазу дифрагированной волны era* = coroao exp li (<рс + <рг — <ро)1 мы обозначим через х) фн = Фе + фг — Фа, (3-21) а фазу волны сг*а — через фу = Фс — Фг + фа- (3.22) Как и при расчетах <ра, мы положим фазу <рс волны с равной нулю в начале координат О и вычислим относительную фазу в не- которой произвольной точке (х2, у2) в плоскости голограммы. Таким образом, Фе (^2, z/2)«-^-[-^-(^-t-z/1 —2х2хс —2z/2z/c)J. (3.23) Расстояние zc по оси z может быть либо положительным, либо отрицательным в зависимости от того, освещается ли голограмма соответственно сходящейся или расходящейся волной. Подставив х) Индексы R и V в формулах (3.21) и (3.22) происходят от англий- ских слов real (действительное) и virtual (мнимое).— Прим. ред.
СВОЙСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ 87 теперь величины <рс, фо и фг из (3.23), (3.3) и (3.4) в (3.22), находим ) + , 2л (1\ I x'22 + y22—2xixi—2y2y1 \ _ Л.1 \ 2 / \ zi ) 2л / 1\ / х'г2 + у’г2 — 2х’2хт — 2у’гут \ \ 2 ) \ zT I' Вводя величины ж2 = шх2, у2 = шу'2 и р = Х2/Х15 получаем <РН*2, Уг) = ^[М+у1) (-^+^-7fc)- -2.г2(^ + -^1—^-2и2 (2<=.+ а \ zc ‘ 7П21 mzr / \ zc mzi mzT / J (3.24) Аналогично <Pr(^2, Уг) = -^~\№ + у\) (-1- /»2 L- ' "С пЬЦ fftr м-р f — 2x2 (—— । .^ 2„2 Д--ЯЕЦ1. \ zc znzj 1 mzT I a \ zc mZi mzT I J (3.25) Если голограмма действительно восстанавливает изображение точечного источника Р, то фазы восстановленных волн в плоско- сти голограммы фу и фн должны соответствовать фазам сфериче- ских волн. В первом приближении распределение фазы сфериче- ской волны в плоскости голограммы можно записать в соответст- вии с (3.3): Ф (ж2, Уг) = (^ + у1— 2ж2ж3 — 2z/2z/3)] . (3.26) В этом равенстве z3— расстояние от голограммы до плоскости изображения, а х3 и у3 — координаты изображения точки Р в плоскости изображения (фиг. 3.5). Мы должны попытаться при- вести фу и фн к такому же виду, как ф. Если это удастся сделать, то восстановленные волны в первом приближении будут сфериче- скими, сходящимися или расходящимися в зависимости от знака Фу и фн- Они соответствуют в первом приближении изображению точечного источника. Члены высших порядков, которыми мы пре- небрегли в выражениях для ф, фу и фн, могут, однако, отличаться; эти члены соответствуют аберрациям (см. § 4 настоящей главы). § 3. Свойства изображений Если вынести за скобки коэффициент при (^ + у2) в выраже- ниях (3.24) и (3.25), то можно записать фу и фн в желаемой форме. Это свидетельствует о том, что в первом приближении восстанов-
88 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ ГЛ. 3. ленное изображение будет представлять собой точечный источник с координатами (z3V, y3V, z3V) для сру и (хзн, y3R, z3R) для срн, где (1 , р. р. \ -1 m2zczizr zc "т" nfizi rrflz^. J Tn2zizr+Pzczr — Pzczl ’ __m'2xcZizr + n>nxizczr — nmxrzczi ,q jn. Tn2z1zr + pzczr — pzczi ‘ ' 7n2yezlzr + P”4/lzezr —P'»yrzezl “sv m2zjzr + pzczr — pzczi fl p Ц \ -1_____________m2ZeZpr__________ \ zc m2Zj ~ m2zr / m2zizr — pzczr -|- p.zczi ’ m2xczizr— ixmxizczr -|- pzraa:rzczi nfiz^zr — pzczr + pzczj ’ m2yezizr — WlZezr + \ктугз^ mPziZf — pzczr + pzczi (3.28) Наряду с соотношениями, определяющими положение вос- становленного изображения, мы можем найти выражение для поперечного увеличения Л/попер, равного л/г ______ dx3 dy3 попер Из (3.27) и (3.28) имеем З/попер, v = т 4 попер, R = m (1 Для углового увеличения 2Иугл получим d(хэ/гэ) d (^i/zj) I М У™ । m (3.30) 1. Восстановление изображений с помощью осевых голограмм Индексы V и R соответствуют восстановленным волпам сг*а и era*. Будут ли образованные этими волнами изображения на самом деле мнимыми или действительными, зависит от того, яв- ляются они сходящимися или расходящимися, т. е. от знака z3V и z3R. Отрицательный знак соответствует расходящейся волне и мнимому изображению, а положительный знак — сходя-
§3. СВОЙСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ 89 щейся волне и действительному изображению. (Заметим, что Zi — расстояние от объекта до голограммы — отрицательно, если объект представляет собой действительный точечный источник.) Рассмотрение свойств изображений мы начнем со случая осевых голограмм, когда опорный, предметный и освещающий источ- ники лежат на одной оси, так что хт = Xi = хс = 0. Мы будем рассматривать только координаты изображения х и z, поскольку рассмотрение координаты у не дает дополнительной информации. В «проекционном» методе Габора предмет должен распола- гаться вблизи источника, т. е. zr = Zi + Д, где Д — отрицатель- ная величина и Д/zj 1 (см. гл. 2, § 2). Пусть ц = m = 1 и zc = = zr (это соответствует первому оптическому опыту Габора, под- твердившему его идею). Подставляя указанные вьппе значе- ния х и z в (3.27) и (3.28), получаем x3v = 0, z3y = z1 = zc—Д, /2 1 . (о.о1), ^зн —0» z3H= (—----------—) «гс-|-Д. Изображения располагаются симметрично относительно осве- щающего источника на небольшом расстоянии от него. Поскольку значение zc отрицательно, оба изображения мнимые. Чтобы их сфотографировать, Габору пришлось использовать линзу, обра- зующую действительные изображения на фотопластинке. Для р = m = 1 поперечное увеличение [см. (3.29)] принимает вид Л^попер. V = Н +^1 (—----1 > Г Iе . 1Г \ -1-1 (3-32) jVnonep,H-[l —2! (— + —)] • Если освещающий источник расположен в той точке, где нахо- дился исходный опорный источник, т. е. zc = zr, то MnonePjy = = 1 и Л/Попер,н — 1 (напомним, что zjzr « 1). (Увеличение, равное — 1, в случае мнимого изображения, образованного вол- ной фн, соответствует перевернутому изображению.) Если осве- щающий волновой фронт имеет в плоскости голограммы меньшую кривизну, чем опорная волна, т. е. | zc | > | zr |, то поперечное увеличение возрастает. При zc—> оо, т. е. когда освещающая волна становится плоской, поперечное увеличение стремится к zjk. Однако при этом увеличивается и расстояние z3 от голограммы до- плоскости изображения. Угловое увеличение 7Иугл = ц/ш. = 1 остается постоянным.
§0 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ ГЛ. 3. Первоначальный план Габора состоял в том, чтобы получить голограмму с помощью электронных волн, а при восстановлении использовать волны оптического диапазона. Для этого случая р = X2Ai Ю5. Для устранения аберраций он предлагал уве- личить голограмму в ц = т раз и поместить освещающий источ- ник на расстоянии zc = mzT от голограммы. Поперечное увеличе- ние при этих условиях составляет Л^попер = + т = + Ц, (3.33) но угловое увеличение остается равным единице. Следовательно, расстояние от голограммы до плоскости изображения оказы- вается в ц раз больше расстояния от объекта до голограммы. Главная особенность метода «пропускания» Хейна и Дайсона (см. гл. 2, § 2) состоит в том, что объект располагается вблизи голограммы, т. е. | Zi | | zT |. Снова, положив хТ = х^ = хс = 0, р = т = 1 и zc = zr, из (3.27) и (3.28) получим x3v = 0, z3v = Zi, _л _ I 2 1 \-1 (3.34) язн-0, z3H-^—. Если используется плоская опорная волна, так что zT -> оо, то мнимое изображение образуется на расстоянии zls а действитель- ное на расстоянии — zt. Изображения симметричны относительно голограммы. Оба изображения при этом прямые, поскольку ЛГпопер >v = -^ГПопер?н = Рассматривая голограмму, освещаемую плоской волной (zc = оо), длина волны которой отличается от использованной при регистрации голограммы (р > 1), можно получить результат, который имеет общее значение, а не ограничен только голографи- ческими схемами с осевым опорным пучком. При условии, что масштаб голограммы остается неизменным (т = 1), поперечное увеличение 717попер = (1 — Zi/Zr)"1 зависит от отношения zjz?, но не зависит от изменения длины волны. Если, кроме того, и опор- ная волна была плоской (zr = оо), то в процессе восстановления вообще невозможно получить увеличение. Конечно, изменение размера голограммы позволяет получить значительное попереч- ное увеличение, даже если используются плоские опорная и вос- станавливающая волны. Однако оптическое увеличение голо- граммы представляло бы собой неудобную и нежелательную сту- пень безлинзового процесса восстановления изображений. Кроме того, оптическое увеличение голограммы приводит к тому, что плоскость изображения оказывается на значительном расстоя- нии от голограммы. Например, если zc = zr = оо и ц = т. то для расстояния от действительного изображения до голограммы имеем z3R = — mzt = — pzj.
§ 3. СВОЙСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ 91 2. Схема Лейта и Упатниекса с внеосевым опорным пучком В схеме Лейта и Упатниекса объектный, опорный и освещаю- щий источники располагаются не на одной оси. Поэтому теперь нет необходимости ограничивать положение опорного источника осью z, как мы делали в § 1, п. 2, настоящей главы. Нетрудно про- иллюстрировать влияние изменения длины волны и угла падения освещающей волны по отношению к опорной на примере плоских волн. Здесь и далее до конца главы мы будем считать, что размеры голограммы остаются неизменными, т. е. т = 1. Мы снова огра- ничимся рассмотрением х- и z-координат изображения. При сделан- ных упрощающих предположениях выражения (3.27) и (3.28) примут вид *3v=*i + (-g-)-y-(v)Z1 = *1+Z1 (тг-0Г) ’ Z3y=7-’ / ес . Q \ Zi Z3R=Z1 — Zi l-T-i-Or) , 2ЗН=-- х / Н где 0С « tg 0С = xc/zc и 0Г « tg 0Г = xr/zr — углы, которые освещающий и опорный пучки составляют с положительным направлением оси z (фиг. 3.6).
92 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ ГЛ. 3. Если освещающая волна идентична опорной (р, = 1 и 0С = 0Г), то мнимое изображение появится в том месте, где располагался исходный объект (а^, zt), а действительное изображение образуется в плоскости, расположенной на расстоянии zt от голограммы по другую сторону относительно освещающего источника. Оба изо- бражения — прямые. Так же как в гл. 1, § 4, удобно описывать процесс восстановле- ния как дифракцию освещающего пучка на решетке, рассматривая углы падения и дифракции. Поскольку голограммы, обсуждае- мые в этой главе, подобны плоским дифракционным решеткам, следует вычислить угол дифракции при освещении голограммы плоской волной, составляющей с плоскостью голограммы угол 0С. Для дальнейшего упрощения положим 0С = 0Г = 0 (фиг. 3.7). Тогда из (3.35) находим угол дифракции, соответствующий дифрагированной волне с фазой фу: А ___ &3V _ А иду —--------- *3V Zi (для Zi < 0 угол отрицателен), и угол, соответствующий волне с фазой срн: бзв — Жзя 2зн £1 Z1 «-0! (для Zi < 0 угол положителен). Направления восстановленных волн показаны на фиг. 3.7. Из- менение длины волны освещающего пучка приводит к изменению угла дифракции в р раз, где р — отношение длин волн. Если же
§ 3. СВОЙСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ 93 |.i=l, но 0С 0Г = 0, то к обоим углам 03V и 0ЗН добавляется угол 0С, т. е. дифрагированные пучки поворачиваются вокруг оси у. В общем случае, когда плоские опорная и освещающая волны идут под углом к оси, для углов дифракции, которые можно найти из (3.35), имеем 63У = |Л01 + 0С — |Л0Г И 0ЗН = — |Л0! + 0С + |Л0Г- (3.36) Часто при получении голограммы выбирают углы так, что 04 = = — а, 0Г = 4- а и 0С = + а. Если ц = 1, то углы дифракции 0ЗУ = — а и 0зК = + За (фиг. 3.8). ФИГ. 3.8. Внеосевая голограмма, образованная симметричными относительно нормали предметным и опорным пучками и осве- щенная исходным опорным пучком. До сих пор все наши результаты были получены в приближении первого порядка. Наше рассмотрение, если его применить к обра- зованию элементарной голограммы и освещению ее плоской вол- ной, должно было бы привести к известной формуле плоской дифракционной решетки [см. (1.11)] d (sin i + sin 6) = X2- Однако приближение первого порядка позволяет получить фор- мулу (1.11) только в приближении малых углов. Чтобы это пока- зать, запишем (1.11) в виде, соответствующем голографически полученным решеткам. Рассмотрим решетку, образованную при интерференции двух плоских волн на фотослое (фиг. 1.4). В этом случае каждый из углов можно принять равным 01? так что d = = Xi/2 sin0j. Подставляя d в (1.11) и предполагая, что освещающая волна падает под углом i = 0Ь получаем для угла дифракции 6
94 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ ГЛ. 3. (в настоящей главе мы обозначали этот угол 03) следующее выра- жение: sin 6 = sin 03 = 2 jy sin 0! — sin0j = (2p— l)sin0!. (3.37) Теперь вычислим угол дифракции 03V из (3.36) при тех же усло- виях. Производя замену 0j = — 0Г и 0С = 0Г, получаем 0ЗУ = 0J (2р. - 1), (3.38) что соответствует в первом приближении равенству (3.37). Таким образом, результаты, полученные путем геометрического рас- смотрения в приближении первого порядка, справедливы только- в том случае, когда sin 0 « tg 0 0. 3. Восстановление изображений в случае, когда все источники находятся на одинаковом расстоянии от голограммы Пусть предметный и опорный источники лежат в одной и той же плоскости, т. е. z4 = zr и освещающая волна идентична опор- ной (хс = хг, zc = zr)- Тогда (3.27) и (3.28) примут вид 3-3V = %Г (1 ц) ЦХ1, Zgy = Zj, /д дд\ Ж3Н = (1 + р) — ЦЖь Z3R = Zi- ' ' Такая схема соответствует получению безлинзовой фурье-голо- граммы. В этом случае оба изображения мнимые и расположены в той плоскости, где находился объект при съемке голограммы. Если опорный источник находится на оси z, то изображения сим- метричны относительно этой оси. Изображение с координатами (^зя, z3H) — перевернутое. Любая из этих волн может сходиться в точке, которая нахо- дится на положительном расстоянии от плоскости голограммы. Пусть предметный пучок представляет собой такую сходящуюся волну, так что расстояние Zi положительно, и пусть zr = zc = = — Zj. Тогда zi и изображение, соответствующее фу, действительное для 2р > !• С другой стороны, для изображения, соответствующего фн, гзя— 2р+1 ’ и оно является мнимым. Наоборот, если освещающая волна будет сходиться в точке на положительном расстоянии от голограммы,
§ 4. АБЕРРАЦИИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 95 то анализ формул для z3V и z3R в (3.27) и (3.28) показывает, что оба изображения в этом случае действительны; изображение в точке (х3у, z3V) тогда перевернуто. § 4. Аберрации третьего порядка Выражение (3.26), описывающее распределение фазы в плоско- сти голограммы, представляет собой только приближение первого порядка относительно l/z3. Приближение следующего порядка содержит несколько членов, пропорциональных (l/z3)3. Это, конечно, относится также и к выражениям для сра, <рг и фс [см. (3.3), (3.4) и (3.23) соответственно]. Чтобы получить члены третьего порядка в выражениях для фу или фн, нужно в соответствии с (3.21) или (3.22) сложить члены третьего порядка в (3.3), (3.4) и (3.23). Разности фаз между членами третьего порядка в (3.26) и членами третьего порядка в выражениях для фу (или фн) пред- ставляют собой аберрации. Мейер [3.2] вычислил разные типы аберраций голограмм, соот- ветствующие в общепринятой классификации сферической абер- рации, коме, астигматизму, кривизне поля и дисторсии. Он пока- зал, что если освещающая волна идентична опорной, то одна из дифрагированных на голограмме волн образует изображение, свободное от аберраций. Увеличение в этом случае равно единице. Увеличения можно достичь, либо освещая голограмму сфери- ческой волной, кривизна которой отлична от кривизны опорной вол- ны, и сохраняя р. = т = 1, либо используя для освещения световой пучок с длиной волны, отличающейся от использованной при полу- чении голограммы (р. #= 1), либо изменяя размеры голограммы (т 1). Первым из этих способов нельзя получить безаберрацион- пое изображение. Если в качестве опорной и освещающей волн использовать плоские волны, то свободное от аберраций изобра- жение, соответствующее волне с фазой фу, образуется, если р. = т и 6С = 0г, в то время как безаберрационное изображение, соответствующее волне с фазой фн, получается при условии р. = т, 0с = — 0г (изменение масштаба голограммы связано, однако, с применением линз и ухудшением изображения). Если опорный и предметный источники находятся на одинаковом рас- стоянии от голограммы (схема безлинзовой фурье-голографии, zt = zr), то можно без оптического увеличения голограммы полу- чить увеличенное изображение с нулевыми сферическими абер- рациями. Увеличение достигается за счет использования большей длины волны (р, > 1). Однако при этом имеют место аберрации по крайней мере одного из других видов.
§6 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ ГЛ. 3. ЛИТЕРАТУРА 3.1. URBACH J. С., MEIER R. W., Appl. Opt., 5, 666 (1966). Регистрация голограмм на фототермопластиках. 3.2. MEIER R. W., Journ. Opt. Soc. Amer., 55, 987 (1965). Увеличение и аберрации третьего порядка в голографии. 3.3. CHAMPAGNE Е. В., Journ. Opt. Soc. Amer., 57, 51 (1967). Формирование изображений в непараксиальных лучах, увели- чение и аберрации в голографии. 3.4. WINTHROP J. Т., WORTHIN- GTON С. R., Phys. Lett., 15, 124 (1965). Рентгеновская микроскопия с последующим преобразованием Фурье. 3.5. STROKE G. W., Appl. Phys. Lett., 6, 201 (1965). Метод без линзового фурье-пре- образования в голографии.
Глава 4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В основу анализа голограмм точечного источника (см. гл. 3) было положено рассмотрение разности хода лучей от источника до голограммы, образуемой сферическими или плоскими волнами. Для таких простых волн нетрудно найти распределение комплекс- ных амплитуд света непосредственно вблизи голограммы, поэтому такая характеристика поля используется далее для описа- ния основных принципов записи и восстановления волнового фронта. Однако если во входной плоскости имеется более слож- ное распределение комплексных амплитуд и требуется определить, как оно изменяется при прохождении света через однородное про- странство, оптические элементы, голограмму и т. п., то рассмо- трение следует проводить в более общем виде. Электромагнитные волны могут быть промодулированы во времени или, что характерно для волн в оптическом диапазоне, в пространстве. При временной модуляции распространение волны можно рассматривать в любой из двух областей: временной или частотно-временной. Аналогично распространение пространствен- но-модулированной волны, которое нас здесь интересует, можно рассматривать либо в координатной области, либо в пространст- венно-частотной. В координатной области комплексная амплитуда а’ (ж, у) выражается как функция пространственных координат х, у плоскости наблюдения, через которую проходит свет. То же самое распределение может быть выражено через ортогональные пространственные частоты £ и т). Если к произвольному двумерному распределению комплекс- ных амплитуд света применить основную теорему анализа Фурье, то это распределение можно записать в виде дискретной или не- прерывной суммы синусоидальных составляющих. Величина, обратная пространственному периоду любой из компонент суммы, измеренному в выбранном направлении в плоскости наблюдения, называется пространственной частотой этой компоненты в ука- занном направлении. Разлагая пространственный период по ортогональным направлениям х и у, получаем соответствующие компоненты £ и р пространственной частоты. Таким образом, мы можем выразить распределение комплексных амплитуд а (ж, у) в координатной области через другую функцию А (£, р) в обла- сти пространственных частот. Функция А (£, р) определяется дву- 7-0990
98 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ГЛ. 4 мерным фурье-образом ^[а (ж, у)] функции а (х, у)'. оо оо ер [а (х, у)] = j j а (ж, у) ехр (2зи£г) exp (2nvt\y) dx dy = — ОО —оо = А(£, л). (4.1) Соотношение (4.1), из которого следует, что А (£, р) есть фурье- образ функции а (ж, у), в символической записи имеет вид а (ж, у) zo А (£, т]). С другой стороны, а (х, у) есть обратный фурье-образ .F-1 [А (£, р)] функции А (£, т]): 00 оо jr-1[A(£, Л)]= j j A(g, т])ехр( — 2ni&r)exp( — 2лй]у) о!£сй] = — ОО —00 = а(ж, у). (4.2) То обстоятельство, что функция а (х, у) является обратным фурье-образом функции А (£, р), символически можно записать как А (£, л) с а (х, у). Заметим, что если знак zd указывает на прямое преобразование Фурье, ас — на обратное, то запись а (х, у) с А (|, р) может читаться в обоих направлениях. При этом говорят, что А (£, р) и а (х, у) образуют пару преобразова- ний Фурье х). Операция преобразования Фурье, связывающая координатную и частотную области, отражает физическую сущность действия оптических систем. Преобразование можно рассматривать как разложение сложной световой волны на множество плоских солн, направляющие косинусы которых соответствуют пространствен- ным частотам. Анализ распространения и дифракции плоской волны достаточно прост, но в то же время позволяет понять основ- ные физические принципы этих явлений. Хотя прямой (4.1) и обратный (4.2) фурье-образы определяются интегралами с бесконечными пределами, в большинстве случаев их можно заменить интегралами с конечными пределами и выпол- нить преобразование оптическим методом. В гл. 6, например, показано, что пространственные распределения комплексных амплитуд света в передней и задней фокальных плоскостях сфе- рической линзы образуют пару преобразований Фурье. Это позво- ляет получать голограммы Фурье, интересные особенности *) Знаки в экспоненциальных множителях в (4.1) и (4.2) выбраны в соответствии с определением понятия плоских волн, которое вводится в гл. 5 [см. (5.7)]. Распределению амплитуд в координатной области, описывающему плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении осей х и у, соответствует функция положительных про- странственных частот в частотной области.
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ 99 которых связаны с преобразованием Фурье. В настоящей главе мы рассмотрим основные свойства преобразования Фурье, пред- полагая, что читатель уже знаком в общих чертах с этой теорией. Более полное изложение вопроса можно найти в работах [4.1 — 4.31. § 1. Линейные пространственно-инвариантные системы и преобразование Фурье Будем рассматривать оптическую систему, показанную на фиг. 4.1, как «черный ящик»; иными словами, нас будет инте- ресовать не содержимое ящика, а только то, как он действует. ФИГ. 4.1. Оптическая система, рассматриваемая как «черный ящик». Мы хотим знать выходную функцию в плоскости Р2 при заданной входной функции в плоскости Р^. При использовании когерентного света входной и выходной функциями могут быть, например, функции распределения ком- плексных амплитуд света в плоскости предмета и в плоскости изображения. Предположим, что входной функции at (х, у) соот- ветствует выходная функция bi (х, у), а входной функции а2 (х, у) соответствует выходная функция Ь2 (х, у). Систему называют линейной, если выполняется свойство суперпозиции, т. е. для всех входных функций at (х, у) и а2 (х, у) и для всех постоянных и с2 входная функция (х, у) -j- с2а2 (х, у) преобразуется в выходную функцию Cibi (х, у) -j- с2Ь2 (х, у). Систему называют пространственно-инвариантной, если входная функция а! (х — — и, у — и) преобразуется в выходную bt (х — и, у — и) для всех at (х, у). Здесь и и и — постоянные; масштаб системы коор- динат на выходе выбран так, что увеличение равно единице. Заме- 7*
100 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ГЛ. 4. тим, что оптические системы очень часто не являются пространст- венно-инвариантными по всей входной и выходной плоскости. Однако обычно они пространственно-инвариантны внутри доста- точно малых областей, которые называют изопланарными участка- ми. Тогда для любого изопланарного участка систему считают линейной и пространственно-инвариантной. Линейные и пространственно-инвариантные системы обладают свойством преобразовывать синусоидальный сигнал на входе ФИГ. 4.2. Двумерная синусоидальная функция с периодом Л и пространственными частотами | и ц. в синусоидальный сигнал той же частоты на выходе. Синусоидаль- ная двумерная функция показана на фиг. 4.2. Такая зависящая от х и у функция с периодом Л описывается формулой —► —► а(х, у) = А (и, Л) cos2n , (4.3) —► —► где А (п, Л) — амплитуда косинусоидальной функции; г = 1х + 4* 1У — радиус-вектор; i и j — единичные векторы в направлении осей х и у, ап — единичный вектор в направлении, соответствую- щем периоду Л. Из фиг. 4.2 видно, что п = i cos а j cos |3; тогда а (ж, у) = A (£, т]) cos 2л + ру), (4.4)
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ 101 где пространственные частоты s_______________________cos а cos 3 есть величины, обратные пространственным периодам, измерен- ным по осям х и у соответственно. Вещественную функцию а (х, у) можно представить в виде Re [а (х, у)] (гл. 1, § 3), где а (х, у) — комплексная величина, и затем использовать в расчетах величину а (х, у), опуская символ Re. Тогда получим а (х, у) = A (£, р) ехр [—2т. + ру)1 = = А (£, р) ехр (—2лг£ж) ехр (—2 ягцу). (4.5) Таким образом, для линейной пространственно-инвариантной системы выходная функция Ь (х, у), соответствующая входной функции а (х, у), имеет те же пространственные частоты, что и а (х, у), и Ь (х, у) = S (£, р) А(£, р)ехр (—2я1%х) ехр (—2л гр у), (4.6) где S (£, р) — частотная передаточная функция (см., например, 14.1]). Это простое соотношение между входной и выходной синусо- идальными функциями показывает, что для описания линейной пространственно-инвариантной оптической системы может слу- жить частотная передаточная функция S (£, р). Обычно входные функции оптических систем не являются синусоидальными, но в соответствии с (4.1) и (4.2) их можно разложить по синусоидаль- ным функциям с помощью прямого и обратного преобразований Фурье: ОО оо А (£, р) = J j а(х, у) ехр (2лг£я) ехр (2лгру) dx dy — оо —оо И оо оо а (ж, у) = § j А(£, р) ехр (— 2лг£я) ехр (— 2лгру) d£dp. — оо —оо Функцию А (£, р) часто называют спектром функции а (х, у). Предположим, что в формуле (4.2) а (х, у) является входной функ- цией линейной пространственно-инвариантной системы, и нас интересует выходная функция Ь (х, у). В соответствии с (4.6) мы должны каждую фурье-компоненту умножить на соответствую- щую частотную передаточную функцию S (£, р). Выполняя эту операцию, получаем следующее выражение для выходной функции
102 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ГЛ. 4. ь (ж, у): b(x, z/)= j j А(£, Ti) S (£, т])ехр( — 2лг£я) exp (—2лгт]г/) — оо —оо (4.7) Из формулы (4.7) следует, что выходная функция линейной про- странственно-инвариантной системы есть фуръе-образ произведе- ния спектра входной функции на частотную передаточную функ- цию. Выражая тот же результат через пространственные частоты (в пространстве Фурье), получаем, что спектр выходной функции линейной пространственно-инвариантной системы равен произ- ведению спектра входной функции на частотную передаточную функцию, т. е. В (£, р) = A (£, р) S (£, р). (4.8) § 2. Формулы соответствия и преобразования Фурье Формула (4.8) устанавливает связь между входным и выход- ным сигналами линейной пространственно-инвариантной системы посредством операции умножения в области пространственных частот. Как мы увидим, в координатной области тоже существует операция, определяющая связь между входным и выходным сигналами. Такое соответствие между операциями в двух областях обусловлено общими свойствами преобразования Фурье; можно было бы привести много других подобных примеров. Вообще гово- ря, существует два типа соответствий между частотной и коорди- натной областями. К первому типу относится соответствие опера- ций. Каждой операции в координатной области, например сложе- нию или умножению двух функций, соответствует операция в обла- сти пространственных частот, причем не обязательно совпадающая с операцией в координатной области. Ко второму типу соответствий относится соответствие функций. Каждой функции в координатной области соответствует другая функция в частотной области. (Существуют такие нерегулярные функции, которые не имеют фурье-образов, но мы их здесь не рассматриваем.) Хотя входные и выходные функции оптических систем обычно являются двумерными, основные задачи оптики часто могут быть рассмотрены с помощью одномерного анализа. Это упрощает математические выражения и графическое представление. Кроме того, двумерную функцию, записанную в соответствующей систе- ме координат, часто можно представить как произведение двух одномерных функций. Фурье-образ такой функции равен произ-
§ 2. ФОРМУЛЫ СООТВЕТСТВИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 103 ведению фурье-образов двух одномерных функций. Прямое и об- ратное фурье-преобразования одномерной функции имеют вид ОО А (Е) = j а (х) ехр (2л^х) dx, (4.9) — ОО со а (х) = j А (£) ехр (—2at&) d^. — СО (4.10) Некоторые функции, являющиеся двумерными в прямоуголь- ной системе координат, могут быть представлены как одномерные в полярной системе координат. Примерами таких функций, инте- ресных для голографии, являются функция Гаусса и функция круговой апертуры. Функцию Гаусса ехр (— 3Tgr8), где g — постоянная и г8 = х2 у8, можно представить как произведение ехр (— ngx8) ехр (— ngy2), так что ее фурье-образ можно найти путем двукратного примене- ния соотношения (4.9). Вычисление фурье-образа одномерной функции производится следующим образом: СО А (£) = j ехр (—ngx2) ехр (2ш£х) dx = — ОО —л; (gx2 — 2i£x)] dx = = ехр(—j exp [ — л (Kgx—-^2]dx = — oo где интеграл с бесконечными пределами в предпоследней строке равен единице. Тогда для функции A (v), являющейся фурье-об- разом функции ехр (— 3igr2), имеем . , . 1 / лЕ2\ 1 / лр2\ 1 „ / nv2\ A (v) = —_ехр (-А.) --«р ( - т) , где V2 = + Т]8.
104 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ГЛ. 4. Функция круговой апертуры rect (г/2с) равна единице в круге радиусом с и нулю при г > с. Чтобы найти ее фурье-образ, следует записать (4.1) в цилиндрических координатах. Положим х = г cos 0, у = r sin 0, g = vcoscp, Т] = v sin ср, а (х, у) = rect (-£-) = Для Для г < с, Г^> с. Тогда формула (4.1) принимает вид с 2я A (v) = j £ j ехр [ 2л irv cos (0—ф)] d0 J о о г dr = [2л Jo (2nrv)] r dr = W j (2nvr) J° d (2nvr>= 0 = ^Л(2л™) = лС8 Ji (2jivc) me Здесь мы воспользовались следующими соотношениями: 2л 2лJo (х) = j ехр (ix cos 0) и j xJ0 (x) dx = xJ\ (ж) 0 (cm. [4.4]), где Jo и Л — функции Бесселя первого рода соответ- ственно нулевого и первого порядков. Функция Ji (2лус) тс имеет максимальное значение, равное единице, при v = 0, следо- вательно, функция A (v) достигает своего максимального значения, равного лс8, в начале координат частотной плоскости. Функция A (v) показана на фиг. 4.7. Ширину кривой A (v) принимают рав- ной величине v0 = 0,61/с, т. е. полуширине центрального пика. В литературе имеются подробные таблицы фурье-преобразо- ваний (см., например, [4.5]), на которые мы при необходимости будем ссылаться. Однако полезно рассмотреть здесь некоторые из основных операций фурье-анализа и привести в наших обозна- чениях наиболее употребительные соотношения между функциями. Для обозначения функций в координатной области мы будем поль- зоваться строчными буквами, для обозначения функций в частот- ной области — прописными, а символом о будем указывать на фурье-соответствие функций в частотной и координатной обла- стях. Каждому соответствию, обозначенному символом о, отве-
§ 3. ОПЕРАЦИЯ СВЕРТКИ 105 чает обратное соответствие, обозначаемое символом с, за исклю- чением соотношений (4.20) и (4.21), относящихся к операции сдви- га, а также соотношения (4.33). § 3. Операция свертки Рассмотрение операций, устанавливающих соответствие меж- ду функциями в разных областях, начнем со следующего соотно- шения: ОО Ь(ж) = j a(w)s(;r—и) du => А (£) S (£) =В (£). (4.11) — ОО Интеграл, стоящий слева, называется интегралом свертки; его часто записывают следующим образом: ОО j a (u) s (ж—и) du = а (х) * s (ж), — ОО где символ * означает операцию свертки. Соотношение (4.11) выражает очень важную теорему свертки, согласно которой фуръе-образ свертки двух функций равен произведению их фуръе- образов. Соотношение (4.11) легко доказать с помощью определе- ний фурье-образа (4.9) и (4.10): ОО ОО ОО ja(w)s(x—u)du= j a (u) j S (£) exp [ — 2ni (x—u)^]d^,du = — co — oo —oo = j S ф [ J a (u) exp (2niu£) du J exp (— 2nix%) ей; = — oo —oo oo = J A © S(I)exp (- 2nixl) d^A (£, 7]) S & 7]). — OO Заметим, что по виду последнего интеграла нельзя сказать, кото- рая из функций, стоящих под интегралом свертки, имеет сдвиг. Следовательно, операция свертки коммутативна, т. е. а (х) * s (х) = s (ж) * а (х). В гл. 14 будет использовано следующее свойство операции свертки, относящееся к влиянию сдвига одной из функций, стоя- щих под интегралом свертки: если функция а (х) смещена на рас- стояние с относительно своего начального положения, то свертка
106 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ГЛ. 4. а (х — с) * s (ж) может быть выражена через смещенную свертку начальных функций а (х) и s (ж). Пусть ОО а (х) * s (х) = j а (и) s (х—и) du = h (х), — ОО тогда ОО а(х—c)*s(x) = § а (и—с)в(х—u)du = — СО 00 = j a(v)s[(x—с) — v]dv = h(^—с), (4.12) — 00 где v = и — с. Смысл интеграла свертки можно уяснить с помощью фиг. 4.3, на которой показаны вещественные функции а (г/), s (и), а также ФИГ. 4.3. Иллюстрация операции свертки. Площадь под кривой а (и) s (х — и) численно равна значению свертки Ъ (х) в точке х. функция s(—и), являющаяся зеркальным отражением функции s (и) относительно оси ординат. Для нахождения интеграла (4.11) нужно построить зеркальное отражение функции s (и), полученную функцию сдвинуть по оси и вправо на отрезок х, умножить сдвину- тую функцию s (х — и) на а (и} и вычислить площадь под кривой а (и) s (х — и). В результате мы получим одно значение функции Ъ (х). Повторяя указанные действия для различных значений сдви- га х, можно построить функцию Ъ (х). Фиг. 4.4 иллюстрирует операцию свертки двух простых пря- моугольных функций. Сдвинутая функция s (х — и) перемещается
i 3. ОПЕРАЦИЯ СВЕРТКИ 107 вдоль функции а (и) (верхняя часть фиг. 4.4). Свертка этих двух функций отлична от нуля только для тех значений сдвига х, при которых функции перекрываются. Ширина свертки, изображенной как функция от х (нижняя часть фиг. 4.4), равна сумме ширин функций, подвергаемых операции свертки. Последнее справедли- во для функций произвольной формы. Если функцию А (£), стоящую в правой части соотношения (4.11), рассматривать как частотный спектр входной функции линейной пространственно-инвариантной системы, a S (£) как частотную передаточную функцию, то В (£), согласно равенству (4.8), есть частотный спектр выходной функции Ь (х). Вид выход- ной функции, выражаемой интегралом свертки, определяется видом входной функции и передаточными характеристиками системы. В соотношении (4.11) а (х) можно рассматривать как вход- ную функцию, фурье-образ которой равен А (£); следовательно, для нахождения выходной функции остается определить вид функ- ции s (х). Для этого сначала рассмотрим некоторые полезные свойства 6-функции Дирака: 6 (х) = 0 при х 0, (4.13а) 6 (ж) = 6 (—ж), (4.136) j 6 (х) dx — 1, (4.13в) — ОО б (а^) = -]4|-6(ж), (4.13г) j /(ж) 6 (ж—a)dx = f (а). (4.13д) — ОО Свойство (4.13д) называют фильтрующим свойством 6-функции. Оно выражает тот факт, что свертка какой-либо функции с 6-функ- цией равна самой функции. Предположим, что на вход системы подан импульс, т. е. вход- ная функция а (х) представляет собой 6-функцию. Заменяя в (4.11) а (и) на 6 (и), получаем ОО 00 Ь(х)= j 6 (и) s (ж—и) du= § s (и) 8 (х—и) du = — ОО —ОО ОО = j s(w)6(w—x)du = s(x). (4.14) — ОО Здесь мы использовали соотношение (4.13д), коммутативность операции свертки [см. доказательство соотношения (4.11)] и сим-
108 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ГЛ. 4. метричность 6-функции. Итак, видно, что s (х) представляет собой выходную функцию, или отклик системы, соответствующий импульсу на входе. Импульсный отклик з (ж) в оптике называют функцией рассеяния. Она характеризует распределение комплекс- ной амплитуды света в выходной плоскости, соответствующее точечному источнику света, т. е. 6-функции во входной плоскости. Согласно (4.11), s (ж) => S (£), (4.15) т. е. для линейной пространственно-инвариантной системы фуръе- образ функции рассеяния есть частотная передаточная функция. ФИГ. 4.4. Свертка двух прямоугольных функций. Вверху показано перемещение одной функции относительно другой. Внизу представлена свертка как функция от х, откуда видно, что ширина свертки равна сумме ширин функций, подвергаемых операции свертки. Кроме того, соотношение (4.11) можно интерпретировать сле- дующим образом: выходная функция линейной пространственно- инвариантной системы равна свертке входной функции и функции рассеяния. Другим примером, поясняющим смысл операции свертки и ее связь с линейной пространственно-инвариантной системой, может
§ 3. ОПЕРАЦИЯ СВЕРТКИ 109 служить функция Г / \ 1 х ® I (#) = тг~ rect -j—, ' 7 Ди Ди (4.16) т. е. симметричная относительно оси ординат узкая прямоугольная функция, определенная в области от — Ди/2 до + Ди/2 и имеющая высоту 1/Ди (фит. 4.5, а). Пусть функции I (х) на входе системы соответствует функция s(x) на выходе (фит. 4.5, б). Выразим через I (х) произвольную входную функцию а (х). Вещественная входная функция а (х), показанная нафиг. 4.5, в, представлена в виде сово- купности прямоугольных функций шириной Ди. Для каждого ФИГ. 4.5. Свертка входной функции с откликом системы на узкую прямоугольную функ- цию. а—прямоугольная функция I («); б — отклик линейной пространственно-инвариантной сис- темы на входную функцию I (х); в — входная функция, представленная в виде совокупности прямоугольных функций; г — схема, показы- вающая, что свертка для любого значения х равна сумме ординат при данном х всех кривых, представляющих собой отклики. значения х, х = и, высота прямоугольной функции равна а (и) и функция сдвинута на и от центра функции I (х). Высота а (и) в а (и) раз больше высоты функции I (х). Следовательно, пря-
110 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ГЛ. 4. моугольную функцию при х = и можно представить в виде а (и) I (х — и) &и. Учитывая свойство линейности, получаем, что выходная функция, соответствующая такой входной, будет в а (и) &и раз больше выход- ной функции, соответствующей I (х). Из пространственной инва- риантности системы следует, что смещение входной функции на и вызывает в свою очередь такое же смещение выходной функции s(x), не изменяя ее вида. Следовательно, выходная функция, соот- ветствующая функции а (и)1 (х — и) &и, равна а (и) s (х — и) &и. Тогда совокупности прямоугольных функций, составляющих a (х)„ соответствует сумма выходных функций 2 а (и) s (х—и) что и показано на фиг. 4.5, г. Совершим теперь переход Ди-> du, т. е. заменим конечное приращение Ди бесконечно малым du. При этом сумма переходит в интеграл, стоящий в соотношении (4.11) ОО b (х) - § a(w)s(x—и) dut (4.17) — ОО где для общности функции а (х) и s (у) взяты комплексными. Таким образом, вследствие линейности и пространственной инвариант- ности системы выходная функция представляет собой свертку входной функции и отклика на узкую импульсную функцию. § 4. Другие виды соответствия операций Ниже мы рассмотрим некоторые операции в координатной обла- сти и те операции, которые соответствуют им в частотной области. Для первой из них, операции корреляции, теорема фурье-преобра- зования доказывается аналогично теореме свертки. Доказатель- ство остальных также не вызывает затруднений и может быть найдено в книге [4.1]. а. Операция корреляции § а* (и) s (х4-и) du => А* (|) S (Е). (4.18) — ОО
§ 4. ДРУГИЕ ВИДЫ СООТВЕТСТВИЯ ОПЕРАЦИЙ 111 Интеграл слева называется кросс-корреляцией функций а (х) и s (х) и может быть записан в виде ОО с(ж) = j а* (и) s (х-|- и) du = а* (х) *s (ж), (4.19) — ОО где символ * означает операцию корреляции. Заметим, что опера- ция корреляции не является коммутативной, она отличается от операции свертки тем, что для ее нахождения берется комплекс- но-сопряженная функция'а* (ж) и функция s (ж), а не ее зеркальное отражение относительно оси ординат. Соотношение (4.18) означает, что фурье-образ кросс-корреляции двух функций есть произведение комплексно-сопряженного фуръе-образа одной функции и фуръе- образа другой. Если в (4.19) а (х) = s (х), то с (х) называется автокорреляцией. б. Операция сдвига Смещение функции в координатной области приводит не к сме- щению соответствующей функции (ее фурье-образа) в частотной об- ласти, а к умножению фурье-образа несмещенной функции на фа- зовый множитель, фаза которого является линейной функцией частоты: а (х — с) => А (£) ехр (2ш£с). (4.20) Соотношение (4.20) используется для описания оптических схем опознавания образов. Если мы теперь произведем смещение функции в частотной области, то найдем, что в координатной обла- сти это приведет к умножению соответствующей функции (обратного фурье-образа) на фазовый множитель, являющийся линейной функцией координат: А (Н — с) с: а (х) ехр (—2nicx). (4.21) Заметим, что показатели экспоненты в соотношениях (4.20) и (4.21) отличаются знаками. в. Теорема подобия Если в координатной области произведено «сжатие» координат, то в частотной области это вызовет «растяжение» координат: а (сх) =)-ц А (-1). (4.22) г. Сложение и умножение на число а (х) + Ь (х) => А (£) + В (%) (4.23) и са (х) => сА (£). (4.24)
112 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ГЛ. 4. д. Инверсия Инверсия функции в координатной области вызывает инверсию в частотной области а (-х) => А (-£). (4.25) е. Фуръе-образ комплексно-сопряженной функции и свойство сим- метрии а* (± ж) о А * (+ £). (4.26) Если функция в координатной области действительная и цель- ная, т. е. а (х) = а (—х), то из (4.25) следует, что А (£) = А (—£). Из соотношения (4.26) имеем А (£) = А* (£). Следовательно, -g- rect (-|~) ФИГ. 4.6. Пары преобразований Фурье, соответ- ствующие соотношениям (4.27), (4.28), (4.31).
§ 4. ДРУГИЕ ВИДЫ СООТВЕТСТВИЯ ОПЕРАЦИЙ 113 действительной и четной функции в координатной области соот- ветствует действительный и четный фурье-образ. С учетом этого Брэгг выбрал для своих экспериментов по рентгеновской микро- скопии объекты, имеющие центр симметрии, т. е. объекты, струк- тура которых описывается действительными четными функциями (см. гл. 2, § 1). Если а (ж) дэ А (£) и а (х) —действительная функция, то, соглас- но (4.26), имеем а (х) d А* (—£) и А (£) = А* (—£) Из послед- него выражения следует, что функция А (£) эрмитова х). Следова- i 3(£ + -|-) + 2 Т1 COS 7ГСХ (4-32) х) См. [4.6].— Прим, перев. 8-0990
114 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ГЛ. 4. тельно, фурье-образом действительной в координатной области функции является эрмитова функция. Это значит, что фурье-образ действительного сигнала можно полностью определить, если изве- стны его частоты в положительной области, и при решении задач, в которых рассматриваются действительные сигналы (например, электрические), можно ограничиться только этими частотами. § 5. Некоторые соответствия функций Ниже приводятся наиболее важные пары преобразований Фурье; большая часть из них изображена на фиг. 4.6 и фиг. 4.7. В каждой из этих пар возможна взаимная замена переменных х и В, за исключением соотношений (4.29) и (4.30), являющихся наиболее простыми примерами операции сдвига, а также соотношения (4.33) ехр(—псх2) zd ехр ( — л , (4.27) 6(z)zz>l, (4.28) 6 {х -|- с) zd ехр (—2лгВс), (4.29) exp (2тсх) zd 6 (В-г с), (4.30) sin лея: 1 . I Е \ ,, ------zd—recti — ), (4.31) ЛСХ С \ С I ' ' cosncx=>-|-6 (в + -|-)+-|-6 (в—£-)» (4.32) sinnCxzD-i-6^_^)_±6(B + ^-), (4.33) rect (-2-) zd -c/1 (^cv). (4.34) В соотношении (4.34) функции rect (г/2с) и cJ\ (2ncv)/v, где г2 = ж2 + у2 и v2 = В2 + р2, обладают осевой симметрией; через Ji обозначена функция Бесселя первого рода первого порядка.
ЛИТЕРАТУРА 115 4.1 . BRACEWELL R., The Fou- rier Transform and Its Appli- cations, New York, 1965. 4.2 . PAPOULIS A., The Fourier Integral and Its Applications, New York, 1962. 4.3 . JENNISON R. C., Fourier Transforms, Oxford, 1961. 4.4 . JAHNKE E., EMDE F., Tab- les of Functions, 4th ed., New York, 1945. (Имеется перевод первого издания: Е. ЯНКЕ, Ф. ЭМДЕ, Табли- цы функций, М.—Л., 1949.) 4.5 . CAMPBELL G. A., FOSTER R. М., Fourier Integrals for Practical Applications, New Jersey, 1961. ЛИТЕРАТУРА 4.6*. СМИРНОВ В. И., Курс выс- шей математики, т. 2, 3, М., 1967. 4.7 *. ГУДМЕН ДЖ., Введение в фурье-оптику, изд-во «Мир», 1970. 4.8 *. ЯНКЕ Е., ЭМДЕ Ф., ЛЕШ Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, М., 1968. 4.9 *. ХАРКЕВИЧ А. А., Спектры и анализ, М., 1962. 4.10 *. ПАП УЛИС А., Теория систем и преобразований в оптике, изд-во «Мир», 1971. 4.11 *. СОРОКО Л. М., Основы голо- графии и когерентной оптики, М., 1971. 8*
Глава 5 РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА При получении голограммы на пути света, испущенного источ- ником, приходится помещать различные препятствия. Ими могут быть светоделители, зеркала, микрообъективы, линзы, диафрагмы, а также объект голографирования и фотопластинка. Каждый из этих элементов по-своему воздействует на световой пучок. Так как их размеры конечны, то они оказывают влияние лишь на часть пучка, вызывая потери оптической информации. Дифракция на препятствиях не является единственной причи- ной изменения световой волны. Даже в процессе обычного рас- пространения света в пространстве происходит изменение поля его комплексных амплитуд. Примером этого может служить рассмат- риваемое далее в гл. 6 свойство тонких линз выполнять преобра- зование Фурье распределения амплитуд в световой волне. Мы увидим, что для осуществления преобразования Фурье необхо- димо не только, чтобы свет прошел через линзу, но и чтобы оп про- шел после этого путь, равный фокусному расстоянию линзы. Про- цесс получения голограмм и их изображающие свойства можно объяснить с помощью теории дифракции. В этой главе мы рассмотрим распространение и дифракцию плоских волн сначала на препятствиях простой, а затем более сложной формы. Будет установлена связь между распределением комплексных амплитуд света в плоскости объекта и в плоскости, удаленной от него на некоторое расстояние в направлении распро- странения волн. Анализ проводится в области пространственных частот. Хотя этот подход отличается от принятого во многих учеб- никах по оптике, мы увидим, что он естественно вытекает из исход- ных представлений. При обычном методе анализа, т. е. в коорди- натной области, связь между амплитудами светового поля в двух плоскостях устанавливается с помощью интеграла Френеля — Кирхгофа. Мы покажем эквивалентность того и другого подхода к решению задач о дифракции. § 1. Волновое уравнение и его решение для монохроматической волны Уравнения Максвелла устанавливают связь между производ- ными по координатам и времени от векторных величин, характери- зующих электромагнитное поле. Для волн, распространяющихся
§ 2. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ 117 в свободном пространстве, из уравнений Максвелла можно полу- чить волновое уравнение у, (5.4) (см. [5.1]). В соответствии со сказанным в гл. 1, § 2, будем рассма- тривать только вектор электрического поля у; через с обозначена скорость света; t — время, V2 — оператор Лапласа, а х, у, z — декартовы координаты. Из условий интерференции, выведенных в гл. 1, § 3, п. 1, вытекает, что в уравнении (5.1) векторные величи- ны можно заменить скалярными, т. е. ^»(х, у, z, (5.2) где v (х, у, z, t) — одна из двух взаимно перпендикулярных компонент электрического поля, колеблющихся в плоскости, пер- пендикулярной направлению распространения волны. Если, как в предыдущих главах, рассматривать монохрома- тический свет с частотой /, то решением уравнения (5.2) будет синусоидальное скалярное поле v (х, у, z, t) = а (х, у, z) cos [2лД + ср (ж, у, z)], (5.3) или, по аналогии с (1.6), v (х, у, z, t) = Re [а (х, у, z) ехр (5.4) где а (х, у, z) — комплексная амплитуда, или фазор, определяю- щий как амплитуду, так и фазу волны, а (х, у, z) = а (х, у, z) ехр [гср (ж, у, z)]. (5.5) Для удобства математических выкладок символ Re [ ] отбрасы- вают и в (5.2) величину v заменяют комплексной величиной v. Делая эту замену, следует помнить, что в действительности физи- ческая величина электрического поля вещественна. § 2. Решение волнового уравнения для случая плоской волны Волна называется плоской, если ее амплитуда и фаза в любой момент времени постоянны по всей плоскости, уравнение которой имеет вид т.п = const, (5.6) где, г — радус-вектор точки в пространстве, а п — единичный вектор, нормальный к рассматриваемой плоскости (фиг. 5.1).
118 РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА ГЛ. 5. Положим, что удовлетворяющая волновому уравнению комплекс- ная величина электрического поля v имеет вид v (х, у, z, t) = ащхр (—ikr-n) ехр (i2n/7), (5.7) где а± — постоянная амплитуда волны, а 7с — константа, физиче- ский смысл и величину которой мы определим далее. Если произве- дение r-п постоянно по всей плоскости, то, согласно (5.7), фаза ФИГ. 5.1. Плоская волна в прямоугольной системе координат х, у, z. волны в любой момент времени тоже постоянна по всей этой плоско- сти. Для конкретных значений г = и t = фаза волны будет равна 2л/^ — -п = cpi (rj, 7t). В более поздний момент време- ни tz > то же значение <р± фаза будет иметь на большем расстоя- нии г2 -п > г1 -п, в то время как на прежнем расстоянии -п она возрастет. Таким образом, плоскости постоянных фаз перемещают- ся в пространстве, и решение волнового уравнения, имеющее вид (5.7), представляет собой плоские волны. Направление вектора п, нормального к плоскости постоянной фазы, является направлением распространения волны. Если cos a, cos р и cos у — направляю-
§ 2. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ 119 щие косинусы вектора п (фиг. 5.1), то равенство (5.7) можно запи- сать в виде v (ж, у, z, t) = ехр [—ik (х cos а + у cos р + + z cos у] ехр (i2n/z), (5.8) —► где х, у и z — компоненты вектора г в декартовых координатах. Подстановка решения вида (5.8) в волновое уравнение (5.2) дает — к2 (cos2 а + cos2 р -Ь cos2 у) = ——(5.9) где к — длина волпы света. Поскольку направляющие косинусы удовлетворяют соотношению cos2 а + cos 2Р + cos 2 у = 1, (5.10) то v является решением волнового уравнения при условии к = ^. (5.11) Величина Zc называется волновым числом. Соотношение (5.8) можно записать в виде / .л [ г> ./ cos а , cos 6 . cosv\1 ,.п ... у(ж, у, z, t) = alexp — 2лцж——\-у + ехР = = at ехр [—2т (£ж -|- ру -|- £z)] ехр (i2nft) = = а (ж, у, z) ехр (i2nft). (5.12) В этой главе мы будем рассматривать только монохроматический срет. Тогда множитель ехр (i2nft) можно опустить и для описания электрического поля пользоваться только комплексной амплиту- дой а (ж, у, z). Величины £, р, £, определяемые равенствами = (5.13а) £ = -^, (5.13в) называются пространственными частотами. Они обратны про- странственным периодам волны, измеренным соответственно по осям ж, у и z. Пространственная частота измеряется в обратных миллиметрах (1/мм). Следует отметить, что пространственные частоты могут прини- мать как положительные, так и отрицательные значения. Если направление распространения волны составляет с соответствую- щей осью угол меньше 90°, то пространственная частота положи-
120 РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА ГЛ. 5. тельна, если больше 90°, то она отрицательна. Если ориентировать систему координат так, чтобы, например, ось z совпала с направ- лением распространения волны (£ = т] = 0, £ = 1/Х), то легко видеть, что в (5.12) фаза волны в фиксированный момент времени уменьшается с увеличением расстояния от источника. (Читатель должен обратить внимание на то, что в некоторых книгах введено обратное правило выбора знака, конечно, в равной мере законное. Важно только в дальнейшем последовательно придерживаться того или иного выбора.) Пространственные частоты £, т] и £ часто выражаются через углы 0! = 90° — а, 02 = 90° — р и 03 = 90° — у; тогда они запи- сываются следующим образом: g=sinei, (5.14а) £ = -5^-. (5.14в) А На фиг. 5.2 изображена плоская волна, распространяющаяся в плоскости yz. Мы видим, что 02 и 03 представляют собой углы, образованные направлением распространения волны с плоскостя- ми xz и ху соответственно. Величины £, ц, £ не являются незави- симыми, их связь можно получить из (5.10). При подстановке (5.13а) — (5.13в) в (5.10) получаем X2 £2 + XV + Х2£2 = 1, (5.15) или £ = ±4(1-^2-%2т]2)1/2’ (5.16) где знак определяется направлением распространения волны в соответствии с принятым ранее правилом знаков [см. обсужде- ние после формул (5.13)]. Теперь мы можем записать комплексную амплитуду а (ж, у, z) плоской волны [см. (5.12)] в следующем виде: а (ж, у, z) = Г о . I cos а . cos 6 , cos у \ “I = a1exp|_-2nl^-^- + y-r^Vz-TJL)J = =atexp [—2ni (£ж+т1у)] ехр [— ^)z(l—Х2£2—X2T]2)1/2J = = а (ж, у, 0) ехр £—i (y-)z(l—Х2£2—XV)1/2J. (5.17)
§ 3. ДИФРАКЦИЯ НА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ 121 Выражение (5.17) очень полезно при рассмотрении задач о дифрак- ции волн. Из него видно, что величина комплексной амплитуды плоской волны на произвольном расстоянии z равна произведению комплексной амплитуды волны при z = 0 и экспоненты, убываю- щей при увеличении z. § 3. Дифракция на периодических структурах Рассмотрим теперь, что происходит со световой волной, встре- чающей на своем пути какое-либо препятствие. Чтобы получить точное решение задачи о дифракции волн, необходимо решить волновое уравнение (5.2) при граничных условиях, соответствую- щих выбранному препятствию. К сожалению, такой прямой под-
122 РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА ГЛ- 5. ход годится только для предметов очень простой формы. Даже в этом случае решение получается очень сложным и громоздким. Поэтому обычно представляющие практический интерес задачи дифракции решают приближенными методами. В большинстве задач оптики точность этих решений оказывается вполне удовлет- ворительной. Причины этого выяснятся в дальнейшем. ФИГ. 5.3. Прохождение плоской волны с ампли- тудой at через транспарант, амплитуд- ное пропускание которого меняется как cos у. Непосредственно за транспарантом возни- кают три плоские волны. Сначала рассмотрим плоскую волну с амплитудой распро- страняющуюся в направлении положительной полуоси z и падаю- щую на прозрачный объект (транспарант), находящийся в плоско- сти z = 0. Пусть транспарант, показанный на фиг. 5.3, имеет амплитудное пропускание t (х, у) = t0 ti cos 2лт]г/, (5.18)
§ 3. ДИФРАКЦИЯ НА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ 123 являющееся периодической функцией от у с пространственной частотой т), a to и — вещественные постоянные х). [Предполагает- ся, что t (х, у) — вещественная функция, т. е. транспарант не вносит фазового сдвига.] Непосредственно за транспарантом амплитуда волны а (х, у, 0) равна произведению амплитуды пада- ющего света и пропускания t: а(х, у, 0)=a^(x, y) = alt0-[-altlcos2m\y = 1 1 = a.1t0-}—=-a1t1 ехр (2шт]г/) ехР (—2ш’т)у). (5.19) Заметим, что второй член в (5.19) и решение (5.12) волнового урав- нения одинаково зависят от ху, если в (5.12) £ = 0, а т] <0. Поэто- му можно считать, что второй член описывает плоскую волну, которая распространяется параллельно плоскости yz (т. е. перпен- дикулярно оси х, а = 90°), и направление ее распространения образует отрицательный угол 02 с осью z (фиг. 5.3), поскольку, согласно (5.146), sin 02 = %тр Аналогично третий член (5.19) описывает плоскую волну, которая также распространяется параллельно плоскости yz, образуя при этом с осью z положитель- ный угол 02 (фиг. 5.3). Первый член в (5.19) не зависит от ху [в (5.12) этому соответствует £ = т] = 0] и описывает плоскую волну, распространяющуюся в направлении оси z. Итак, при падении плоской волны, распространяющейся вдоль оси z, на транспарант с синусоидальным в направлении у амплитудным пропусканием за транспарантом возникают три плоские волны: первая, с ампли- тудой а^о, распространяется вдоль оси z (недифрагированная волна); вторая, с амплитудой а^12, распространяется в плоскости yz вниз от оси z, образуя с осью z угол | 02 | = arcsin(%T]) (дифра- гированная волна —1-го порядка); третья, с амплитудой а^12, распространяется в плоскости yz вверх от оси z, образуя с осью z такой же угол | 02 | (дифрагированная волна + 1-го порядка). Мы рассмотрели один из важных случаев дифракции. Транс- паранты с периодическим распределением амплитудного пропу- скания называются дифракционными решетками. В большинстве случаев голограмму можно рассматривать как транспарант с периодически промодулированным амплитудным пропусканием. Поэтому можно ожидать, что голограмма будет воздействовать на падающий свет примерно так же, как обычная дифракционная решетка. х) Как следует из (4.3) и (4.4), понятие пространственной частоты применимо к синусоидальной составляющей пространственного распре- деления любой физической величины, например пропускания или отра- жения, а не только к распределению комплексных амплитуд света. Прост- ранственная частота синусоидальной составляющей в 2л раз меньше ско- рости пространственного изменения фазы данной составляющей в выбран- ном направлении.
124 РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА ГЛ. 5. Продолжим рассмотрение дифракции плоской волны на поме- щенном в плоскости z = 0 транспаранте с синусоидальным ампли- тудным пропусканием t (х, у) и определим комплексную амплитуду света в плоскости ху при z = d. Непосредственно за транспарантом возникают три плоские волны, комплексные амплитуды которых в плоскости z = 0 описываются выражением (5.19). С помощью (5.17) можно определить комплексные амплитуды этих волн при z = d. Результирующая комплексная амплитуда при z = d является их суммой и имеет вид а(я, у, d) = a1toexp (-~г-у-) + + у ехр (i2nr]z/) ехр £ — i (1—^2г12)1/2^| + Д~а1£1ехр(— i2nT]z/) ехр £—i (1 — %2т]2)1/2 J . (5.20) [Первый член (5.20) получается из (5.17) при |= ц =0, а второй и третий при | = 0.] Поскольку зависящие от z показатели экспо- нент, взятые в (5.20) приз = d, являются мнимыми, каждый из трех членов в (5.20) описывает распространяющуюся волну. Однако для некоторых длин волн % показатели экспонент стано- вятся вещественными. При %т] —1 угол дифракции 02 = arcsin Хц увеличивается, приближаясь к 90°. Для больших значений длин волн, удовлетворяющих неравенству Х2ц2 > 1, (5.21) выражение (1 — ^т)2)1/» становится мнимым. Если взять отрица- тельный знак перед корнем, то экспоненциальный множитель при- нимает вид ехр £ — I (— i) (Х2ц2—l)1/2j = ехр (—bd), (5.22) где Ъ имеет положительное и вещественное значение. В этом случае второй и третий члены в (5.20), соответствующие первому порядку дифракции, будут описывать поверхностные волны — волны, рас- пространяющиеся вдоль поверхности транспаранта и затухающие по экспоненте с увеличением расстояния от нее. (Выбор знака, таким образом, соответствует физически реализуемому явлению.) Если неравенство (5.21) записать в виде % >. 1/т), то видно, что поверхностные волны возникают при падении на решетку света, длина волны которого больше периода решетки 1/т). Их амплитуда является функцией расстояния d от решетки и при d X стремится к нулю [см. (5.22)]. Условие затухания волн, выраженное через пространственные частоты, может быть записано в виде т] > 1/%. Таким образом, в распределении поля на расстоянии d^> % от транс- паранта не содержится никакой информации о его простран- ственных частотах, превышающих 1/%.
§ 4- ПОСТАНОВКА ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ О ДИФРАКЦИИ 125 § 4. Постановка общей задачи о дифракции Рассмотрим теперь дифракцию на предметах более сложной формы. Пусть амплитудное пропускание предмета является периодической функцией от у, которая может и не быть простой косинусоидальной функцией вида (5.18). Например, транспарант может состоять из чередующихся непрозрачных и прозрачных полос. Тогда амплитудное пропускание можно записать в виде ряда Фурье. В более общем случае, когда амплитудное пропуска- ние является комплексной периодической функцией двух перемен- ных х и у, его можно представить в виде суммы членов, каждый из которых имеет вид ехр (—i2n^x) ехр (—12т\у) [см. (4.5)J. Умно- жая каждый член на соответствующий коэффициент, получаем для комплексного амплитудного пропускания t (х, у), периодичес- ки (но в остальном произвольно) зависящего от х и у, следующий ряд Фурье: t (х, у) =23 ехР (— i2ntix) ехр (— £2лрьг/). (5.23) i k Суммирование проводится по всем членам, необходимым для описа- ния двумерной функции. Пусть транспарант с пропусканием t (х, у) помещен в плоскость z = 0, и на него падает плоская волна с амплитудой ai,распространяющаяся в направлении осиз. За транс- парантом возникает набор плоских волн, распространяющихся в различных направлениях. С помощью (5.17) и (5.23) для суммар- ной амплитуды а2 (х, у, d) этих волн в плоскости z = d имеем а2 (х, у, d) = aj 2 2 [ *№ ехР (— 12я&х) ехр (— i 2nphy) х I h X ехр (-I (1 - - %2л1)1/г) ] = = «122 [tuexp( -i^l(l- A,2|?-X2pg)1/2) X 1 h X exp (—12л^>1х) exp ( —i2nphj/)]. (5-24) Если t (x, y) — непериодическая функция, то ряд Фурье заме- няется интегралом Фурье [5.2J, а коэффициенты — произве- дением Т (£, р) dSdp, где t (х, у) zd Т (£, р). Тогда (5.24) прини- мает вид а2 (х, у, d) = j j (|, р) ехр ( — i (1—%2|2 — X2p2)1/2j J X X ехр(—г2л£ж)ехр( — i2npy) d£ dp, (5.25) где интегрирование производится по всем | и р, удовлетворяющим неравенству (£2 + р2) 1Д2. Анализ преобразования Фурье
126 РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА ГЛ- 5. (5.25) дает следующий результат: Если плоская волна с амплитудой а^, распространяющаяся а направлении оси z, падает на помещенный в плоскости z = О транспарант с амплитудным пропусканием t (х, у), то спектр А2 (£, Л) комплексной амплитуды волны в плоскости z= d имеет вид А2 (В, Л) kd = «1Т (В, Л) ехр [ - i (1 - КТ - W)1/2J . (5.26) Если лучи считать параксиальными, т. е. т) 1/К, то квад- ратный корень в (5.26) можно записать в виде (1-V£2 — Vp2)1/2« 1--1 V£2--|- Vt]2, (5.27). и и а (5.26) аменить приближенным выражением Аг (В, Л) \z=d «Д' (£, л) ехр [inKd (|2 + л2)]. (5.28) Фазовый множитель ехр (—i2nd/K), постоянный в плоскости ху, в (5.28) опущен. (Отбрасывание фазового множителя, постоянного по всей плоскости, эквивалентно сдвигу начала отсчета времени.) Поскольку в (5.28) фаза ср = nKd (|2 -|- ц2) = nXdv2 является пара- болической функцией координат %, т|, то приближение (5.28) называют параболическим. Мы часто будем пользоваться этим приближением, поэтому следует установить границы его приме- нимости. Определим при л — 0 верхний предел значений про- странственной частоты |, для которых параболическое приближе- ние справедливо. Заметим, что в (5.27) следующий (опущенный) член разложения равен V£4/8. Для определения искомого предела мы должны задать допустимую ошибку в фазе. Известное правило Рэлея (см. [1.13]) гласит, что любая хорошая оптическая система не должна искажать фазу волнового фронта больше чем на л/2. Принимая этот критерий, запишем 2nd _я ,r qq. X 8^2’ откуда (5-зо) Приведем числовой пример. Пусть d = 10 см, К = 0,5 мкм. Из условия (5.30) получим, что верхнее предельное значение простран- ственной частоты, для которого справедливо параболическое при- ближение, равно | = ИЗ мм-1. § 5. Связь с интегралом Френеля—Кирхгофа В координатной области решение задачи о дифракции формули- руется с помощью интеграла Френеля — Кирхгофа следующим образом: если плоская волна с амплитудой распространяющая-
§ 5. СВЯЗЬ С ИНТЕГРАЛОМ ФРЕНЕЛЯ — КИРХГОФА 127 ся в положительном направлении оси z, падает на предмет с ампли- тудным пропусканием! fe, z/i), помещенный в перпендикулярной оси z плоскости z = О, то комплексная амплитуда света а2 (х2, у2, d) в плоскости z = d имеет вид -}-ОО 4“°° a? {х2, у2, d) = j j t(xi, z/i) X Xl = —OO yi = — oo X -xp {~г-(2?А) [d2 +(*2-+ (У2~yi)2]1/2}cos edXidyi. (5.31) [d* + (z2-ztf + (y2- Вывод интеграла Френеля—Кирхгофа приведен, например, в книге [5.3]. Через 0 обозначен угол между положительным направ- лением оси z и отрезком прямой, соединяющим точки fo, г/15 0) и (•r2, J/2, d), a cos 0 называют коэффициентом наклона. Геометри- ческая схема, используемая при выводе интеграла Френеля — Кирхгофа, приведена на фиг. 5.4. Следует отметить, что неболь- шие изменения граничных условий приводят к изменению коэффи- циента наклона. Коэффициент наклона, введенный Зоммерфель- дом, совпадает с входящим в (5.31), тогда как у Кирхгофа он равен (1 + cos 0)/2. Если угол 0 не слишком велик, то различие между этими коэффициентами мало. Заметим, что выражение (5.31) имеет форму интеграла свертки, т. е. для нахождения комплексной амплитуды света при z = d необходимо подвергнуть операции свертки амплитудное пропуска- ние t (х, у) со второй функцией под знаком интеграла в (5.31). Это соответствует умножению в (5.26) фурье-образа пропускания
128 распространение и дифракция света гл. 5. t (х, у) на функцию пространственной частоты. Можно показать, что запись комплексной амплитуды света через интеграл Френе- ля — Кирхгофа в виде (5.31) и запись в частотной области в виде (5.26) полностью эквивалентны. Поскольку доказательство этого довольно громоздко, оно приведено в приложении I. Здесь мы покажем эту эквивалентность только для параболического при- ближения (5.28) и для приближенной формы выражения (5.31), которую сейчас получим. Пусть в (5.31) (х2 — х^) d и (у2 — У1) d; тогда cos 0«1. Разложим в ряд аргумент экспоненты в (5.31): [d2 + (^-xiy + (y2-yiy]1/2^d+ (У2^— <5-32) и заменим знаменатель в (5.31) его приближенным значением, равным d. С такими приближениями выражение для комплексной амплитуды света при z = d имеет вид 4“ОО -j-oo а2 (х2, y2,d) = -^^ t (xlt yi) х «1 = —оо у1=-оо X ехр {— ^.[(^2 — + — z^)2]} dxidyi. (5.33) Здесь опущен постоянный по всей плоскости z = d множитель. Отсюда видно, что функция t (rt^, z/i) подвергается операции сверт- ки с функцией Ь^’г/) = т?ехр[-'й’(а:2 + л]' (5-34) Эквивалентность рассматриваемых приближений в координатной и частотной областях будет доказана, если мы сможем пока- зать. что амплитуда а2 (х2, у2, d) в виде (5.33) и спектр А2 (£, ц) в виде (5.28) связаны преобразованием Фурье. Поскольку, как уже отмечалось, t (х, у) дз Т (£, ц), то из теоремы свертки (4.11) следует, что h (х, у) zd Н (£, ц), где Н (£, Л) = ехР [inXd (£2 -|- т]2)] (5.35) является третьим сомножителем в (5.28). Запишем функцию Н (£, т]) в виде произведения Н (£, ц) = ехр (in%d£2) ехр (inWr]2) (5.36) и вычислим ее обратный фурье-образ. Мы можем сделать это в два действия. Сначала проведем преобразование относительно |, счи- тая т] постоянной, а затем сделаем преобразование относительно т], считая постоянной х. С помощью соотношения (4.27) получим
§ 5. СВЯЗЬ С ИНТЕГРАЛОМ ФРЕНЕЛЯ — КИРХГОФА 129 искомый обратный фурье-образ функции Н (£, ц): ~ ( —iXd)1/2 еХР ) (_iA,d)V2 еХР ( ikd ) — =id ехР [ —S' &+^)]=h что и требовалось доказать. Как отмечалось в гл. 2, § 1, комплексную амплитуду дальнего поля (дифракционную картину Фраунгофера) можно приближенно представить как фурье-образ амплитудного пропускания транс- паранта. Используя (5.33), можно проверить это утверждение для случая освещения плоской волной транспаранта с амплитуд- ным пропусканием t (ж1т z/j). Представим экспоненциальный мно- житель в (5.33) в виде ехР [ ~S' & + УЪ ] ехр [ - in ] X X ехр {{2л (§) +У1 (»]}• Первый сомножитель не зависит от переменных интегрирования Xi и у± и может быть вынесен из-под знака интеграла. Если даль- ним полем считать область, расстояние d до которой больше разме- ров транспаранта, так что выполняется условие дальнего поля < d, (5.37) то второй сомножитель приблизительно равен единице. Производя замену 1=^ и т) = 45-, (5-38) получаем а2 (х2, уd) = 4g- ехр [ — -g- (з* + у2)] х ОО ОО X J J t (xt, yi) ехр [i2n (&С1 + tiz/i)] dxi dy± = — oo —oo = -Й-“1>[-П-«+Й)]т(8,Ч), (5.39) где фазовый множитель сферической волны медленно меняется в плоскости х2у2 и где мы использовали определение фурье-образа (4.1). Если умножить выражение (5.39) на комплексно-сопряжен- ное с ним, то получим, что интенсивность в дальнем поле равна квадрату абсолютной величины фурье-образа функции t. Для дальнего поля, т. е. при выполнении условия (5.37), | и ц определяются выражениями (5.38), аналогичными выражениям 9-0990
130 РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА ГЛ. 5. (5.14а) и (5.146), согласно которым £ = (sin и ц = (sin 02)/Х. На фиг. 5.5 схематически изображена плоская волна, падающая на прозрачный объект (транспарант), помещенный в плоскости Размеры транспаранта малы по сравнению с расстоянием от плоскости х1у1 до плоскости наблюдения x2yz- Световые лучи, дифрагировавшие на транспаранте, можно представить в виде пучков света с одинаковым поперечным сечением, распространяю- щихся в направлениях, соответствующих пространственным часто- там транспаранта. Один из таких пучков, проходящий под углом 02 к оси z, изображен на фиг. 5.5. Его сечение плоскостью х2у% представляет собой сравнительно небольшую область с центром в точке у2- Если расстояние d достаточно велико, так что у2 гораздо больше размеров сечения пучка, то Хп = sin 02 ~ или и « . 1 “ а ' м Аналогично t ~ Х2 ~ W Прежде чем закончить этот параграф, необходимо сказать несколько слов об основных допущениях теории Френеля — Кирх- гофа. Как было показано в § 3 настоящей главы, интеграл Френе- ля — Кирхгофа и эквивалентная ему запись в частотной области не дают точного решения задачи с граничными условиями. Физиче- ский смысл основного допущения этой теории можно проиллю- стрировать на примере плоской волны, падающей на непрозрачный
ЛИТЕРАТУРА 131 экран с отверстием, причем амплитудное пропускание в пределах отверстия равно единице, а за его пределами — нулю. На самом деле это справедливо лишь для участков, удаленных от края отвер- стия, так как вблизи них на световое поле оказывают влияние опти- ческие свойства материала экрана. Именно этим влиянием прене- брегают в теории Френеля — Кирхгофа, поэтому она справедлива для задач о дифракции на предметах, размеры которых велики по сравнению с длиной волны света. Это условие выполняется во многих задачах оптики. Однако в некоторых случаях, особенно в голографии, интегра- лом Френеля — Кирхгофа или его эквивалентом в частотной области пользуются и тогда, когда отдельные детали предмета ненамного превышают длину волны света. В этом случае теория дает по крайней мере качественное решение задачи. Примером этого может служить рассмотрение синусоидальной амплитудной решет- ки, описываемой выражением (5.18). При этом мы не считали, что пространственный период решетки 1/т] значительно больше X. Тем не менее наша теория предсказывает в соответствии с действи- тельностью существование трех плоских волн, суммарная ампли- туда которых сразу за транспарантом изменяется с частотой, равной частоте решетки т]. Точное решение задачи с граничными условиями также дает три волны, и в этом смысле приближенная теория справедлива. Приближенное решение может отличаться от точного лишь значениями амплитуд этих волн, а что касается большинства задач голографии, то для них нет необходимости знать точное значение амплитуды волны. ЛИТЕРАТУРА 5.1. ВАМО S., WHINNERY J. R., ‘Fields and Waves in Modern Radio, 2nd ed., New York, 1953. 5.2. JOOS G., Theoretical Physics, New York, 1950, p. 51—54. 5.3. O’NEILL E. L., Introduction to Statistical Optics, Reading, Mas- sachusetts, 1963. (Имеется пере- вод: Э. О’НЕЙЛ, Введение в статистическую оптику, изд-во «Мир», 1966.) 9*
Глава 6 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ Сферические линзы могут формировать не только распределе- ние амплитуд света, соответствующее изображению, но и созда- вать картину, являющуюся фурье-образом этого распределения. Следовательно, с помощью простой линзы можно добиться того, чтобы распределение освещенности, создаваемое предметной вол- ной в плоскости голограммы, представляло собой фурье-образ некоторого исходного изображения. Записанный на голограмме фурье-образ обладает свойствами, имеющими важное значение для оптического опознавания образов и оптической памяти. Линзу как устройство, способное формировать изображение, используют в голографии для получения голограммы сфокусиро- ванного изображения. В этом случае линза фокусирует изображе- ние голографируемого предмета на плоскость голограммы, где оно интерферирует с опорной волной. Такой метод получения голо- грамм позволяет значительно уменьшить требования к степени когерентности излучения, используемого при восстановлении. Полученная надлежащим образом голограмма сфокусированного изображения может быть освещена при восстановлении обычной лампой накаливания с матовым стеклом J). Эти причины, а также возможность использования линз для формирования световых пучков нужной конфигурации делают необходимым анализ некоторых свойств оптических систем, содер- жащих тонкие линзы. В этой главе мы выведем условия, при ко- торых линза формирует либо а) фурье-образ входного распреде- ления комплексных амплитуд, либо б) изображение этого распреде- ления. Хотя условие формирования изображения можно было бы вывести на основе принципов геометрической оптики (пренебре- гая дифракцией), этого нельзя сделать для условия формирования фурье-образа, которое должно быть получено с помощью теории дифракции. Поэтому мы рассмотрим то и другое условие с точки зрения физической оптики, принимая во внимание ко- нечность длины волны света и связанные с этим дифракционные эффекты. !) Уменьшаются требования и к протяженности опорного источника, используемого для получения голограммы,— он также может иметь про- извольные размеры.— Прим. ред.
§ 1. СФЕРИЧЕСКАЯ ЛИНЗА 133 § 1. Сферическая линза Простая сферическая линза состоит из прозрачного материала, ограниченного двумя сферическими поверхностями. В материале линзы свет распространяется в п раз медленнее (п — показатель преломления материала линзы), чем в вакууме. Такая линза изоб- ражена на фиг. 6.1, причем ее центр и центры ограничивающих ее сферических поверхностей лежат на оси z декартовой системы координат. Пусть на линзу падает плоская волна с длиной вол- ны X, распространяющаяся вдоль оси z слева направо. Определим комплексную амплитуду света аг в плоскости, нормальной к оси z и касательной к поверхности правой половины линзы. Выразим аг через ai, где а/ — комплексная амплитуда света в аналогичной плоскости, касательной к левой поверхности линзы. Если считать, что в линзе отсутствует поглощение, то задача сведется к нахож- дению фазового множителя, на который надо затем умножить аг. Для его получения мы должны вычислить изменение фазы волны при ее прохождении между плоскостями z = z2 и z = z3 (фиг. 6.1). Допустим далее, что величина d = z3 — z2 столь мала, что плоско-
134 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ. 6. сти z2 и z3 почти совпадают, т. е. будем считать линзу тонкой. При таком условии луч света, падающий в точку с координатами (х0, уо) на левой поверхности линзы, выходит в точке практически с теми же координатами (ж0, у0) на правой поверхности. Следова- тельно, фазовую модуляцию падающей волны, осуществляемую тонкой линзой, можно рассматривать как модуляцию транспаран- том, который имеет пропускание t (х, у) = ехр [j Д<р (х, у)] и рас- положен в плоскости ху, нормальной оси линзы и проходящей через ее центр. Правая поверхность линзы описывается уравнением сферы радиусом i\: a^ + ^ + z^r2. Здесь zr — координата произвольной точки на правой поверхно- сти линзы. Решая уравнение относительно zr, получаем zr = (г2-а;2-у2)1/2. (6.1) Аналогично левая поверхность описывается уравнением сферы радиусом г2: ^2 + j/2 + (zi —zz)2 = r|, где zi — координата произвольной точки на левой поверхности линзы, a z( — координата центра кривизны левой поверхности; они связаны следующим соотношением: Zi = Z1-(rl-x^-y^12. (6.2) Толщина материала линзы, через которую проходит световая вол- на, зависит от х и у, а именно: Т(х, y) = Zr-Zl = (ri-x^-y^-Zi + (rl-x^y^/2. (6.3) После прохождения линзы испытывать фазовый сдвиг, в месте с толщиной Т волна будет равный 2nT 2лп7' ,, где X' — длина волны в материале линзы; п — показатель прелом- ления линзы (относительно воздуха); X = nk' — длина волны в воз- духе. (Знак «минус» соответствует уменьшению фазы при увеличе- нии расстояния от источника.) Путь в воздухе, который проходит световая волна между плос- костями z = z2 и z = z3, равен d — Т. Ему соответствует фазовый сдвиг Дф2= -^(d-T), (6.5)
§ 1. СФЕРИЧЕСКАЯ ЛИНЗА 135 где d = z3 — z2. Полный фазовый сдвиг при прохождении волны от z2 до z3 выражается суммой Д<р = Л<р1 + Л(р2= (6.6) Мы можем опустить последний член в (6.6), так как он не зависит от а:и у и представляет собой фазовый сдвиг, постоянный по всей плоскости ху при z = z3. Тогда (6.6) принимает вид Д<Р = -^-(п-1)Т(х, у). (6.7) Подставляя теперь в (6.7) выражение (6.3) для Т (х, у), получаем Л<Р= —^(n-1) [(г2 —а:2 —у2)1/2 + (г2 —а:2 —у2)1/2]. (6.8) Здесь, как и прежде, мы опустили не зависящую от а: и у часть фазового сдвига + (2л/Х) zt. Чтобы получить искомое соотноше- ние между аг и а/, заменим квадратные скобки в (6.8) их разложе- ниями, в которых сохраним члены только первого порядка; тогда (^ - а;2 - у^ « Г1 (1 - ^1), (6.9) (r|-a:2-y2)'/2«r2(l-^l). (6.10) Такое параксиальное приближение справедливо, если (а:2 + у2) г2 или (а:2 4- у2) г|. Опять опуская фазовые сдвиги, не завися- щие от х и у, получаем вместо (6.8) л \ Г1 ^2 / Произведение (п — 1) (1/г± 4- 1/г2) связано с фокусным расстоя- нием / тонкой линзы известной формулой (см., например, [6.1]) 7=<'-1>(л + ч)- <6Л2> и фазовый сдвиг теперь можно записать в виде Д<р = -^-(а:2-|-г/2). (6.13) Если рассматриваемая линза достаточно тонкая и изменяет толь- ко фазу падающего на нее света, то на основе (6.13) мы можем полу- чить соответствующее линзе комплексное пропускание t (а:, у). Его двумерное распределение в плоскости ху, проходящей через
136 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ. 6. центр линзы, описывается выражением t(z,z/) = exp (iA<p) = ехр [yj(z? + z/2)] . (6.14) Комплексная амплитуда света аг справа от линзы непосред- ственно вблизи нее равна произведению пропускания t (ж, у) и комплексной амплитуды аг света, падающего на линзу слева: аг = аг ехр (ж2 + у2) ]. (6.15) Если сравнить зависящее от а: и у распределение фазовой модуля- ции Д<р, описываемое выражением (6.13), с фазовыми распределе- ниями, описываемыми выражениями (3.3), (3.4) или (3.26), то видно, что оно в приближении первого порядка соответствует сферической волне, сходящейся в точку на оси z, расположенную на расстоянии / от линзы (/ > 0). § 2. Простейшая оптическая система Рассмотрим теперь оптические системы, состоящие из тонких линз и свободных промежутков между ними. Самые разнообраз- ные оптические системы, например лупа, микроскоп, телескоп, действительно не содержат иных элементов, кроме линз и свобод- ных промежутков. (Читателю, знакомому с материалом гл. 5, не покажется странным включение свободного пространства в чис- ло элементов оптической системы.) Рассмотрим сначала очень простую оптическую систему, которая, однако, способна выпол- нять операцию преобразования Фурье. Это поможет нам понять принцип работы более сложных систем, которые будут рассмотре- ны в следующем параграфе. Интересующая нас система изобра- жена на фиг. 6.2. Она состоит из сферической линзы с фокусным расстоянием /, помещенной в плоскости z = 0, и расположенного вплотную к ней транспаранта с комплексным амплитудным про- пусканием! (xt, у^. На линзу падает распространяющаяся в поло- жительном направлении оси z плоская волна. Ее комплексная амплитуда слева непосредственно вблизи линзы равна ар Опреде- лим комплексную амплитуду в плоскости z = /. Согласно (6.15), комплексная амплитуда ar(.ri, z/i) справа от линзы непосредственно вблизи нее описывается формулой аг (Ж1, У1) = аг ехр (х* + у?)] • (6-16) Затем волна "доходит через транспарант, и ее комплексная ампли- туда сразу за транспарантом выражается произведением а/ (хь у1) = ar (xt, yi) t (xlt yt) = = ait(xt, z/j) exp (^i+ z/i)J . (6.17)
§ 2. ПРОСТЕЙШАЯ ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 137 [Если линза тонкая, то совершенно неважно, справа или слева от нее находится транспарант. В любом случае произведение (6.17) будет состоять из одних и тех же сомножителей.] Справа от транспаранта волна распространяется в свободном простран- стве. Комплексную амплитуду волны в плоскости z = / можно выразить через ее амплитуду в плоскости z = 0 либо в координат- ной области, либо в области пространственных частот (см. гл. 5). ФИГ. 6.2. Простейшая оптическая система, выпол- няющая преобразование Фурье. Выберем координатную область и воспользуемся соотношением (5.33); тогда комплексная амплитуда а2 (х2, г/2) в плоскости z = f запишется в виде а2 (ж2, z/2) = -^у j j a, (xj, z/i) X X ехр | [(ж2 — zcj)2 + (z/г — г/i)2]} dxt dy± = = Tf J J * (x‘’ exP [ V (Ж1 + J'i)] x X exp yy [(z2 —Zi)a + (*/2 —J/i)2]} dxidyt. (6.18) Здесь интегрирование производится по всей поверхности линзы. Упрощая выражение (6.18), получаем а2 (х2, z/2) = -уу j j t (Xi, yi) X X exp [-§-(2зд + 2у1у2 — х\ — z/l)] dx^y^. (6.19)
138 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ 6. Поскольку интеграл берется в плоскости хгуг, можно вынести из-под знака интеграла множитель, зависящий только от х2 и у2; это дает а2 (ж2, J/г) = уу- ехр [ — (ж| + z/|)J X X j j t fa, yj) exp C(зд + z/jz/г)] dyr. (6.20) Если положить £ = (6.21) И л = < (6-22) и подставить эти выражения в (6.20), то комплексную амплитуду при z = / можно представить в виде а2 (ж2, г/2) = -уу ехр [ — (ж| + yl) ] х X J J t (Xi, У1) ехр [i2n (х^ + г/1П)] ^У1- (6.23) В интеграле (6.23) легко узнать двумерное преобразование Фурье при условии, что функция t (xt, yt) равна нулю за пределами поверхности линзы. Последнее условие позволяет расширить пре- делы интегрирования до +оо и —оо, что и требуется для преобра- зования Фурье. Множитель, стоящий перед интегралом, пропор- ционален пропусканию, которое может быть приписано тонкой рассеивающей линзе с фокусным расстоянием —/, помещенной в плоскости z = /. Экспонента представляет собой фазовый мно- житель сферической волны. В данном случае он описывает распре- деление фазы в плоскости х2у2, которую пересекает сферическая волна, расходящаяся от расположенного на оси источника. Итак, мы можем заключить, что если на тонкую линзу с примыкающим к ней транспарантом падает плоская волна, то в задней фокальной плоскости линзы образуется распределение комплексных амплитуд, пропорциональное произведению фазового множителя сферической волны и фуръе-образа пропускания транспаранта. Выражения (6.21) и (6.22) являются определениями, связываю- щими пространственные частоты £ и ц света, дифрагировавшего на транспаранте, с координатами (х2, у2) формирующегося в фо- кальной плоскости линзы фурье-образа пропускания транспаран- та. Этим выражениям, безусловно, можно придать вид, эквивалент- ный определениям пространственных частот в гл. 5. В приближе- нии малых углов, которое согласуется с приближениями, принятыми выше, можно применять исходные выражения (5.14а)
§ 2. ПРОСТЕЙШАЯ ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 139 и (5.146) для £ и т]. Последнее утверждение иллюстрируется фиг. 6.3, где в соответствии с (5.146) плоская волна, испытавшая дифракцию на транспаранте и распространяющаяся под углом 0 к оси z, характеризуется пространственной частотой ц = (sin 0)/Х. Луч, проходящий через центр линзы без отклонения (в случае тонкой линзы), в фокальной плоскости х2у2 встречается с прелом- ленными лучами на расстоянии +у2 от оси z- Для малых углов ФИГ. 6.3. Геометрическая схема, поясняющая соотношение между пространственными частотами и координатами фокальной плоскости. имеем у2// ~ 0 ~ sin 0 = гД, поэтому ц « УгЩ- Аналогичные соображения справедливы для £ и х2. В § 3 мы видели, что пространственные частоты картины, возникшей в результате дифракции света на предмете, являются пространственными частотами двумерных фурье-компонент пред- мета. Поэтому если известна максимальная пространственная частота предмета, то с помощью (6.21) или (6.22) можно вычислить максимальную протяженность его фурье-образа, сформированного в задней фокальной плоскости данной линзы. Рассмотрим числен- ный пример только для одной координаты. Положим максималь- ную пространственную частоту предмета равной умеренной вели- 411116 I £макс I = Ю мм-1; кроме того, примем, что / = 500 мм, а X = 0,5 мкм = 5 -Ю-4 мм. Тогда максимальная протяженность фурье-образа в положительном направлении оси х получается весьма малой: х2, макс = 2,5 мм. В некоторых случаях, когда важна только интенсивность света, эффекты, обусловленные наличием фазового множителя сфериче-
140 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ. 6. ской волны в (6.23), не играют роли. В других случаях от них ста- раются избавиться. Для этого в плоскости z = f помещают соби- рающую линзу с фокусным расстоянием /. Из (6.15) и (6.23) очевидно, что сразу за этой второй линзой мы получим фурье- образ, не содержащий фазового множителя сферической волны. Оптическая система, выполняющая такое преобразование, изобра- жена на фиг. 6.4. Вернемся к рассмотрению системы, показанной на фиг. 6.2, полагая при этом, что транспарант совершенно прозрачен, т.е. t (zi,J/i) = 1- Тогда амплитуда в плоскости z = / в соответствии с (6.23) будет равна а2 (ж2, у2) = ехр [ ( —(ж| + у2) ] X j j ехр [i2n (х& + z/jT])] dxr dylt (6.24) ФИГ. 6.4. Оптическая система, выполняющая точ- ное преобразование Фурье. Линзы Lt и Ь, имеют одинаковые фокусные расстояния f. Допустим, что линза имеет неограниченные размеры; тогда преде- лы интегрирования можно распространить до бесконечности и ин- теграл будет представлять собой фурье-образ единицы. Из соот- ношения (4.30) при с = 0 следует, что интеграл равен 6 (£) -6 (ц) = = 6 (£, ц) = 6 (ж2/Х/, у2/Х/) и обращается в нуль всюду, кроме ж2 = У2 = 0. Тогда (6.24) принимает вид <6-25’
§ 3. ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА БОЛЕЕ ОБЩЕГО ВИДА 141 мы видим, что падающая на линзу с положительным фокусным расстоянием / плоская волна сходится в математическую точку, лежащую в плоскости, удаленной от линзы на ее фокусное расстоя- ние. Тот факт, что фокальным пятном линзы оказалась математи- ческая точка, обусловлен сделанным нами допущением о неогра- ниченности размеров линзы. Линза конечных размеров образует протяженное световое пятно с центром в точке с координатами ж2 = У2 — 0- Влияние конечных размеров линзы будет рассмот- рено в § 4 настоящей главы. § 3. Оптическая система более общего вида Кроме систем, изображенных на фиг. 6.2 и 6.4, существуют и другие оптические системы, которые могут выполнять преобра- зование Фурье. Это станет очевидным после того, как мы рассмот- ФИГ. 6.5. Оптическая система более общего вида. Линза имеет фокусное расстояние f. рим оптическую систему более общего вида. В этом параграфе мы выведем не только условия формирования фурье-образа, но и усло- вия формирования изображения. Рассматриваемая система пока- зана на фиг. 6.5. Сферическая волна падает на транспарант с ком- плексным амплитудным пропусканием t fo, j/i)- Радиус кривизны волны равен т. е. волна расходится из точки, удаленной на рас- стояние влево от транспаранта t (жр z/t). На расстоянии d2 спра- ва от транспаранта помещена сферическая линза с фокусным расстоянием /. Наша задача — определить комплексную ампли- туду волны в плоскости, находящейся па расстоянии d2 справа от линзы.
142 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ. 6. Для решения задачи воспользуемся приближенной формулой (5.33) (свертка в координатной области), описывающей распростра- нение волны в свободном пространстве, и приближенной форму- лой пропускания линзы (6.15). Анализировать прохождение света через оптическую систему, состоящую из свободного пространства и линз, было бы проще с помощью одних только мультипликатив- ных форм, однако легко убедиться, что это невозможно. Действи- тельно, если для описания распространения волны в свободном пространстве мы выберем область пространственных частот, то можем воспользоваться мультипликативной формой (5.28). Одна- ко выражение (6.17), описывающее прохождение света через линзу, имеет мультипликативную форму в координатной области, и в обла- сти пространственных частот мы должны заменить его сверткой. Если же выбрать в качестве исходной координатную область, то получим, что выражение для распространения света в свободном пространстве имеет форму свертки, а для прохождения через лин- зу — мультипликативную форму. Выбор может быть сделан про- извольно, и мы проведем рассмотрение в координатной области. Анализ системы, изображенной на фиг. 6.5, включает в себя две операции умножения и две операции свертки. Для упрощения записи мы воспользуемся обозначениями операций и допущения- ми. введенными Вандер Люгтом [6.2]. Это наиболее краткая и удобная форма записи уже выведенных нами соотношений. 1. Форма записи операций Из равенства (6.14) следует, что тонкая линза является тран- спарантом, пропускание которого описывается формулой g(z, y) = exp[-^-(.r2 + z/2)]. (6.26) Функция g (ж, у) по форме очень похожа на функцию h (х, у), определяемую выражением (5.34). Эта функция, которая подвер- гается свертке с входным пропусканием, если распространение волн в свободном пространстве рассматривается в координатной области, имеет вид h^’ ^=ijexp[—(6'27) Основываясь на сходстве выражений (6.26) и (6.27), можно ввести функцию: ф(.т, у; р) = ехр^—^(.r2 + z/2)] , (6.28) где р — произвольный параметр. Тогда для описания прохожде- ния волны через сферическую линзу с фокусным расстоянием
§ 3. ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА БОЛЕЕ ОБЩЕГО ВИДА 143 / комплексную амплитуду света, падающего на линзу, нужно умножить на ф* (х, у; F). Звездочка обозначает комплексно- сопряженную величину, и F = j- (6.29) Волна, прошедшая в пространстве расстояние d, описывается сверт- кой комплексной амплитуды и выражения (i/X) D-ip (х, у, D), где х) D = ±. (6.30) Приведем ряд свойств функции ф (ж, у; р), которые в дальней- шем будут нам полезны. В справедливости следующих равенств можно убедиться подстановкой выражения (6.28): ф (ж, у; р) = ф* (х, у; —р), (6.31) ф (—х, —у; р) = ф (х, у; р), (6.32) Ф (*, г/; Pi) ф (ж, у; Pz) = Ф (ж, у; Pi + Pz), (6-33) ф (х, у, pi) Ф* (х, у; р2) = Ф (^, у; Pi — р2) = (6.34) = Ф* (ж, у; Pz — Pi). чр (сх, су; р) = ф (х, у; с2р), (6.35) ф(ж — и, у — v; p) = ty(x, у; p)ty(u, v; р) ехр (их-)- vy) J . (6.36) Соотношение ф* (х, у; 0) = 1 (6.37) выражает тот факт, что линза с бесконечно большим фокусным расстоянием не изменяет распределения амплитуд поля, падаю- щего на нее. Применим приведенную форму записи к анализу оптической системы, изображенной на фиг. 6.5. Расходящаяся сферическая волна, падающая на помещенный в плоскости Pi транспарант t (xt, yi), описывается функцией ф (xlt ур, Di) [см. обсуждение выражения (6.23)]. Амплитуда света, прошедшего через транспа- рант, выражается произведением а/ (ль yi) = ф (ж±, ур, t (х^ у^. (6.38) Свертка а/ и (iZ)2/X) ф (х, у; D2) дает распределение амплитуд на левой поверхности линзы az (ж2, У2) = j j а, (х^ yi) ф (х2 — xlt у2 — ур, D2) dxt dyr, (6.39) _____ -Pi -1) Заметим, что в работах Вандер Люгта использованы прописные буквы F и D для величин, обозначенных у нас строчными буквами / и d, и наоборот. Кроме того, Вандер Люгт применяет противоположный нашему знак зави- симости фазы от времени. Выбор знака обсуждался в гл. 3, § 1, и в гл. 5, § 2.
144 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ. 6. а умножение аг на функцию -ф* (ж2, z/2; F), описывающую пропу- скание линзы, дает распределение комплексных амплитуд на пра- вой поверхности аг (ж2, у2) = аг (ж2, у2) ф* (х2, у2, F). (6.40) Наконец, вычисляя свертку аг с функцией (iD3/k) ф (х, у, D3), получаем комплексную амплитуду а (х3, у3) в плоскости ху на рас- стоянии d3 от линзы: а(жз, Уз)=^~ § § »г(^2> У2) Ф (х3—х2, у3 — у2; D3)dx2dy2. (6.41) Рг Выражение (6.41) можно привести к более удобному виду, если 1) представитьф-функции, входящие в (6.39) и (6.41), в виде мно- жителей, зависящих от координат только одной плоскости [исполь- зуя (6.36)]; 2) подставить (6.39) и (6.40) в (6.41); 3) сгруппировать множители, зависящие от координат х, у одной плоскости [воспользовавшись равенствами (6.31) — (6.34)]. В результате получим а (*з. уз) = — (-^т2-) Ф (хз, Уз', D3) х X j jjj Ф(Ж!, z/j; + ZJ2)t(Ж!, yi)^(x2, y2; D2 — F + D3) X Pi P2 X exp [x2 (D2Xi + D3x3) + y2 (D2yi + D3y3)]} x X dx{ dyt dx2 dy2. (6.42) 2. Условие формирования изображения В первую очередь покажем, что выходная функция а (х3, у3) в (6.42) имеет такой же вид, как и входная функция t (xlt у^, а потому является ее изображением (если формирование изображе- ния рассматривается в приближении геометрической оптики). Последнее условие, записанное через параметры оптической систе- мы, показанной на фиг. 6.5, имеет вид или, используя обозначения, введенные в этой главе, D2+D3 = F. (6.44) Подставляя (6.44) во второй ф-множитель, стоящий под знаком интеграла в (6.42), получаем, что ф (х2, у2; D2 — F + D3) = 1,
§ 3. ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА БОЛЕЕ ОБЩЕГО ВИДА 145 и для интеграла по плоскости Р2 находим Рг = 6 ( (6.45) 1 - ехр [х2 (D2xl -]- D3x3) + у2 (D2yl + D3y3)] J- dx2 dy2 — D2Xi + D3x3 D2yi-\-D3y3\ к ’ к I Здесь мы применили соотношение (4.30) при с = 0. Записывая 6-функцию следующим образом: С Г ^2 I 1 2>3 \ ^2 I I ^3 \ ~| S L— (®1+ ПГ*3) ’ — М ’ и используя свойство (4.13г) для случая двумерной 6-функции, т. е. 6 (ах, by) = (1/ | ab |) 6 (х, у), получаем 6 ( D^+D^., D^+D^ } = 6 (Ж1 + х3, У1 + у3) . (6.46) Подстановка в (6.42) найденных выше соотношений дает a(z3, Уз) = — Уз', D3) $ $ ф (ж±, z/j; + D2) t (xt, yt) x 2 Pi X 6 +-p|- x3, z/i + z/3) dxY dyi = = -%Ф [*з, Уз', D3 + 2 (A + A)] X Xt(-^,-^). (6.47) Здесь мы учли, что свертка любой функции с 6-функцией равна исходной функции [см. (4.13д)], а чтобы придать соотношению более компактный вид, использовали (6.32) — (6.35). В (6.47) ф-функция является фазовым множителем сферической волны, который при получении изображения, как правило, играет незна- чительную роль. В большинстве случаев в качестве изображения регистрируется распределение интенсивностей аа*, так что фазо- вый множитель выпадает (фф* = 1). При таких условиях на фор- мирование изображения не влияет кривизна Di волнового фронта. В (6.47) остается распределение амплитудного пропускания, т. е. <6'48> которое является перевернутым увеличенным изображением исход- ного распределения t (xlt z/j); увеличение равно М=-^-=--т-. (6-49) D3 d2 7 10-0990
146 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ. 6. 3. Условие формирования фурье-образа Возвращаясь к (6.42), определим условия, при которых выход- ное распределение комплексных амплитуд а (х3, у3) в плоскости х3у3 является фурье-образом входного пропускания t (xlt у^. Поскольку искомое преобразование Фурье должно связывать комплексные амплитуды в плоскостях хгуг и х3у3, то из (6.42) необходимо исключить члены, зависящие от координат х2, у2 плос- кости Р2. Для наглядности запишем (6.42) в виде а (х3, у3) = ( —Ф (хз, Уз', D3) х X J J ф(Ж1, z/i; Di + D2)t(x1, y^lzdxidyi, (6.50) Pi где I2= j j ф (ж2, y2; D2-F + D3) exp |i2n [x2 _]_ Pi + Уг ( Д2У1 + Дз;/з j J | dx2 dy2 = (6.51) = j Ф (x2, У 2, D2 — F + D3) exp {i2n, (x2Z, + y2Tf\)} dx2dy2 (6.52) p2J и g Д2Ж1+Д3Ж3 Д2У1+Д3У3 (6 53) Переменные x2 и y2 можно исключить, если вычислить интеграл Фурье (6.52). Функция ф (х2, у2; D2 — F + D3) является дву- мерной функцией Гаусса и ее фурье-образ 12 (xlt х3), определяе- мый соотношением (4.27), с учетом свойств ф-функций приводится к виду 12 хз) = цд2_^_|_дз) X хГ^1 + ^Хз,у1+^уз; д2Л+д3)• (6'54> Применяя (6.36) и (6.35), получаем окончательный результат для 12: J2-цд2-д+д3)г1’ У1' D2-F+D3) Г3’ Уз’ D2-F+D3) х X ехр ( д2^у4.дз) (зд + У1Уз)} • (6.55) Подставляя 12 в (6.50) и группируя с помощью (6.34) ф-функции, зависящие от координат одной плоскости, получаем следующее выражение для распределения комплексных амплитуд в плоско-
§ 3. ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА БОЛЕЕ ОБЩЕГО ВИДА 147 сти, находящейся на расстоянии d3 от линзы: а (*з. Уз) = Х,(Д2—т?+Д3) Ч (жз. Уз, D3 — D2_F3+Da ) X X J J Ч {*i> Уй Di+D2— } t (xt, z/t) x Pi X exp 112л [ Х ] (Ж1Ж3 + z/iz/з)} dxt dyt. (6.56) Интеграл по плоскости Pi в (6.56) имеет вид фурье-образа, если 4>-функция, стоящая под знаком интеграла, равна единице. Послед- нее имеет место при условии л+д2-д- DiLnr=0- <6-57> ^2 — Г "Г-ь'з Положим, что транспарант t (ж15 yi) освещается плоской волной, так что Di = Udi = 0 и di = оо. Тогда D3 = F или d3 = / (6.58) и (6.56) принимает вид а(ж3, г/3) = -у^Ч [хз, Уз, F—X X j j t (Х1, У1) exp (ад, + z/iPs)] dxi dyi. (6.59) Pi Таким образом, когда на помещенный перед линзой транспарант t (^i, yi) падает плоская волна, в задней фокальной плоскости линзы, если не учитывать фазовый множитель сферической волны, возникает распределение комплексных амплитуд, которое имеет вид фурье-образа функции t (xt, yi). Это справедливо независимо- от расстояния d2 между линзой и транспарантом. Фазовый мно- житель сферической волны можно сделать равным единице, поло- жив D2 = F, (6.60) т. е. поместив транспарант в переднюю фокальную плоскость лин- зы. Такая система, применяемая на практике для получения фурье-образа входного транспаранта, изображена на фиг. 6.6, С учетом (6.60) выражение (6.59) принимает вид а(^з, Уз) = -^- § j t(^!, yi) ехр [12л (х£ + У1Т])] dxi dyi, (6.61) Pi где * = и = # <6-62> являются координатами в плоскости пространственных частот. 10*
148 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ. 6. ФИГ. 6.6. Другая оптическая система, выполняю- щая точное преобразование Фурье. Фокусное расстояние линзы равно f. Следует заметить, что если £ и р взяты положительными, то знак показателя экспоненты под интегралом в (6.61) соответствует плоскость частот или плоскость плоскость фурье-образа ФИГ. 6.7. Ориентация координатных осей в пло- скостях, в которых формируются фурье- образы. преобразованию пространственного распределения в частотное, но не наоборот. При положительных | и т] показатель экспоненты имеет знак плюс во всех формулах аналогичных преобразований, осуществляемых оптическими системами, подобными изображен-
§ 4- ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ЛИНЗЫ 149 ной на фиг. 6.6. Чтобы привести оптические преобразования в соот- ветствие с определениями (4.1) и (4.2), координаты в задней фокаль- ной плоскости линзы, где формируется пространственное распре- деление, должны иметь знаки, обратные знакам координат в перед- ней фокальной плоскости, являющейся плоскостью пространст- венных частот. Если же пространственное распределение образо- вано в передней фокальной плоскости, то координаты в задней плоскости берутся с теми же знаками, что и в передней. Иллю- страция этого правила дана на фиг. 6.7. Если входной транспарант t (xi, yj) освещен сферической вол- ной (.Dj 0), то из (6.56) легко видеть, что плоскость, в которой формируется фурье-образ, не совпадает с задней фокальной плос- костью линзы Ю3 определяется из соотношения (6.57)]. Кроме того, поскольку теперь D3 и F не равны друг другу, масштабный множитель преобразования Фурье ____^2^3____ Z, (-О2—Р + #з) будет функцией/)2- Это позволяет создавать системы, выполняющие преобразование Фурье с переменным масштабным множителем [6.2]. § 4. Влияние конечных размеров линзы 1. Влияние на спектр пространственных частот Для анализа оптического преобразования Фурье в § 2 было принято допущение о бесконечном радиусе линзы. Это позволило описывать пропускание линзы чисто фазовым множителем с беско- нечными пределами. Теперь положим, что линза имеет конечный радиус с, и рассмотрим снова интеграл Фурье в (6.24) для случая t (^1, У1) = 1: ОО Л = j j ехр [i2n (xil + z/jT])] dXi dy^ — OO Если li выразить через цилиндрические координаты как в коор- динатной, так и в частотной области, а интегрирование проводить в пределах радиуса линзы с, то для 1\ получаем Л - [rect (^) ] - («’) Agsa (6.63) (см. гл. 4, §|2), где ер обозначает преобразование Фурье. Функция [J"i (2nvc)]/nvc имеет максимальное значение, равное единице, при v = 0, следовательно, максимум функции Ц лежит на оси и его значение равно лс2. На фиг. 4.7 построены функция Ц и ее фурье-образ rect (г/2с). Таким образом, если линза с бесконечными
150 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ. 6. размерами фокусирует плоскую волну в математическую точку [6-функция в (6.25)], то линза с конечным радиусом с преобразует падающую на нее часть плоской волны в пятно конечной ширины. За размер пятна обычно принимают половину расстояния между нулями функции Бесселя, что соответствует интервалу в области пространственных частот, равному v0 = 0,61/с мм-1. Пользуясь соотношением v = (^ + n2)1/2 = ^(^ + ^)1/2 = ^ , (6.64) вытекающим из (6.21) и (6.22), можно перейти от ширины полосы в частотной области к расстоянию в координатной области; в результате для ширины (диаметра) пятна в плоскости х2у2 нахо- дим А = 0,61-у-. (6.65) Ширину А в (6.65) можно считать мерой степени неопределенности, с которой точка плоскости х2у2 пространственных частот соответ- ствует пространственной частоте аксиальной плоской волны, падающей на линзу конечного радиуса с. Эта неопределенность является следствием того, что линза конечных размеров собирает лишь часть пространственной информации, которую несет свето- вая волна. Рассмотрим теперь транспарант, пропускание которого уже не равно единице и в полярных координатах описывается функцией t (г, 0). Интеграл Фурье в (6.23), описывающий результат оптиче- ского преобразования Фурье, которое осуществляет система, изображенная на фиг. 6.2, теперь имеет вид Ii=^[t(r, 0)rect (-£-)] = T(v, у)* [ле2 А^vc) ] , (6.66) где t (г, 0) гэ Т (v, ф). Как указывалось в гл. 4, § 3, свертка двух функций представляет собой результат сканирования одной функ- ции с помощью другой. Функцию Т (v, ф), являющуюся фурье- образом пропускания t (г, 0), сформированным бесконечно большой линзой, можно рассматривать как совокупность идеальных точек или 6-функций. При свертке каждой 6-функции с функцией пятна лс2 [Ji (2nvc)/nvc], имеющего ширину А = 0,61 Х//с, 6-функция уширяется до значения А. 2. Влияние конечных размеров линзы на выбор системы, формирующей изображение или фурье-образ Рассмотрим сначала, как сказывается конечность размеров линзы на формировании изображения. Для получения качествен- ного изображения необходимо, чтобы линза собирала всю световую
§ 4. ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ЛИНЗЫ 151 волну, переносящую информацию о предмете. Заведомо плохая в этом отношении система изображена на фиг. 6.8. Плоская волна падает на предмет, которым является транспарант с пропусканием t (#i, г/i). Будем рассматривать распространение волны в плоско- сти yz. Можно мысленно представить, что входное пропускание t разложено на фурье-компоненты, описывающие пропускание сину- соидальных решеток. Пусть одна из них имеет пространственную частоту т]. Наша система подобна системе, изображенной на фиг. 5.3, за исключением того, что здесь поперечное сечение ФИГ. 6.8. Система, формирующая изображение при освещении плоской волной. падающего на решетку пучка света ограничивается протяженно- ствю транспаранта t уг). Если плоская волна падает на ре- шетку неограниченных размеров, то, как указывалось в гл. 5, § 3, дифрагировавшие волны будут плоскими, и их комплексные амплитуды справа от транспаранта t уг) непосредственно вблизи него будут описываться выражением (5.19): 1 1 a^i, y1) = a1t0 + -^-a1t1exp(2n.i‘r\yl)-\--^-a1t1exp( — 2m'r]y1), (6.67) а углы дифракции определяться формулой 92 = ± arcsin Хт,. Если пренебречь дифракцией на краях транспаранта, то можно считать, что любой малый пучок лучей, падающий на произволь- но выбранный малый участок решетки, дифрагирует под углом 92. Рассмотрим сначала пучок лучей, осью которого является ось z (фиг. 6.8). Максимальный угол, под которым дифрагируют лучи, еще попадающие на линзу с радиусом г2, определяется отношением r2ld2 = tg 92- Для простоты положим r2/d2 = tg 92 « sin 92. Тог-
152 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ. 6. да для центральных лучей получим, что максимальная простран- ственная частота т]Макс входной решетки, которую линза может преобразовать в изображение, определяется условием sin 02 = ^Лмакс ! т. е. не превосходит величины 'п,“акс<_5г- (6-68) Предположим теперь, что транспарант t имеет форму крута радиу- сом i\, и рассмотрим пучок лучей, падающих на область, располо- женную в непосредственной близости от края круга z/j = Чтобы на линзу попадали все лучи, идущие от этой области тран- спаранта, угол дифракции 0' не должен превышать величины (r2 — i\)/d2, т. е. tg 0; « sin 0; = Х%акс<, пли ЛмаксС-^. (6.69) Таким образом, максимальная пространственная частота предме- та, преобразуемая в изображение, является линейной убывающей функцией его радиуса. Если пространственные частоты не удовлет- воряют условию (6.69), то происходит потеря информации. Прежде чем рассматривать оптическую систему, более полно передающую информацию о предмете, воспользуемся проведен- ным выше анализом системы на фиг. 6.8, чтобы выявить преиму- щество осуществляющей преобразование Фурье оптической систе- мы, изображенной на фиг. 6.2 (или 6.4) по сравнению с системой, показанной на фиг. 6.6. Если на фиг. 6.8 расстояние d3 равно фокусному расстоянию линзы, то мы получим выполняющую пре- образование Фурье оптическую систему, которая при неограни- ченных размерах линзы будет формировать фурье-образ Т (£, ц) в плоскости х3у3 независимо от величины d2. [От величины d2 зависит фазовый множитель сферической волны из (6.59), который мы здесь не учитываем.] Однако в действительности линза имеет конечный радиус г2, и из (6.68) и (6.69) видно, что максималь- ная пространственная частота света, попадающего на линзу, обрат- но пропорциональна расстоянию d2 между линзой и транспарантом t (%i, У1). Если же d2 = 0 (как на фиг. 6.2 или 6.4), то линза преобразует все пространственные частоты предмета, и в задней фокальной плоскости формируется полный спектр функции t (#i, 1/1)- В этом отношении подобная система обладает преимуще- ством перед показанной на фиг. 6.6 системой, где d2 = /.
§ 4. ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ЛИНЗЫ 153 Система, формирующая изображение и сохраняющая наиболее полно переносимую светом информацию о предмете, изображена на фиг. 6.9. Соприкасающаяся с предметом-транспарантом t (xlt у^ первая линза Lr формирует сферический волновой фронт, который фокусируется в расположенный на оси центр второй линзы L2. Поскольку линза L2 находится в задней фокальной плоскости пер- вой линзы, на поверхности линзы L2 формируется фурье-образ, или спектр, функции t (xt, уг). В свою очередь линза L2 преобра- зует этот фурье-образ в изображение транспаранта, возникающее Фокусное расстояние линз Li и равно соот- ветственно d2 и f. в плоскости х3у3. Ограничиваясь анализом в плоскости yz, рас- смотрим опять фурье-компоненту [одну из синусоидальных реше- ток, составляющих пропускание t (х1, z/i)] с пространственной частотой т]. На этот раз решетка освещается сферической волной. Если в (6.67) вместо аг подставить фазовый множитель, соответ- ствующий сферической волне, которая сходится в точку, находя- щуюся на расстоянии d2 от t (xlt у J, то третий член в правой части (6.67) примет вид у ехр (— 2т^\у^ — ехр р -у- } (x2t + z/f) J х X ехр [ — ?-^(Xt])z/iJ = = ехр р -у- (у^-) [^i + z/i — 2 (d2 sin 02) г/i] j- . (6.70)
154 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ. 6. Для малых углов имеем d2 sin 02 « d202 « z/2. Подставляя в (6.70) у2, получаем для фазы (₽=4L (it) ^ + ^1-2^]. (6.71) Сравнение выражений (6.71) и (3.26) показывает, что <р представ- ляет собой распределение фаз сферической волны, фокусирующей- ся в расположенную вне оси z точку с координатами (z/2, z = d2), положение которой определяется углом 02. Вообще говоря, при ФИГ. 6.10. Когерентная передаточная функция rect (v/2vMaKC) оптической системы, изоб- раженной на фиг. 6.9. освещении синусоидальной решетки сходящейся сферической вол- ной, как и при освещении плоской волной, возникают три волны: одна недифрагированная, фокусирующаяся в точку на оси, и две другие, дифрагирующие под средними углами 02 = ± arcsin Хт] и фокусирующиеся в плоскости z = d2 в точки с координатами ±у2- Рассмотрим опять падающий на t (х^, узкий пучок лучей с вершиной на оси z. Как видно из фиг. 6.9, максимальный угол, под которым эти лучи могут дифрагировать, попадая при этом на линзу, составляет tg 02 « sin 02 = Хт]макс = (6.72) Однако это же условие справедливо (в пределах наших допущений) и для лучей, падающих на края предмета. Если обобщить прове- денный анализ на произвольно ориентированные синусоидальные
§ 4. ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ЛИНЗЫ 155 решетки, то (6.72) можно записать в виде Jv — Г2 лумакс — ИЛИ ^макс =' ! (6.73) где v = (£2 + ц2)^, как в (6.64). Из (6.73) следует, что линза в оптической системе на фиг. 6.9 независимо от расположения предмета во входной плоскости преобразует в изображение всю световую информацию о предмете, которую несут компоненты с пространственными частотами вплоть до vMaKc. Если- простран- ственная частота какой-либо компоненты пропускания превышает vMaKC, то соответствующая ей информация теряется. Если записать полученные результаты, применив понятие частотной передаточ- ной функции [см. определение (4.6)], то в нашем случае она имеет постоянное значение для частот вплоть до vMaKC и равна нулю для частот, превышающих vMaKC- Эта функция изображена на фиг. 6.10. Для систем, формирующих изображение в когерентном свете, ее называют когерентной передаточной функцией. 3. Влияние конечных размеров линзы на разрешение изображения Чтобы получить функцию рассеяния s (х3, у3) для изображенной нафиг. 6.9 системы, формирующей изображение, мы должны, со- гласно (4.15), найти обратный фурье-образ частотной передаточной функции S (v). Последняя изображена на фиг. 6.10 и является функцией вида rect (v/2vMaKC), фурье-образ которой определяется соотношением (4.34). В данном случае фурье-образ зависит от пе- ременных, принадлежащих координатной области, и функция рас- сеяния (нормированная на максимальное значение, равное еди- нице) имеет вид S (г) = (2лУМаксг) (6.74) ^макс7* где г = (ж| + г/з)1/2- График функции s (г) приведен на фиг. 6.11. Мы уже знаем, что если пучок света фокусируется в плоскости линзы, строящей затем изображение, как в системе на фиг. 6.9, то частотная передаточная функция одинакова для любого поло- жения предмета во входной плоскости и vMaKc не зависит от коор- динат входной плоскости. Следовательно, разрешение изображе- ния, которое определяется функцией рассеяния, тоже не зависит от положения предмета на входе. Согласно гл. 4, § 3, выходная функция линейной пространственно-инвариантной оптической системы (изображение) равна свертке входной функции и функции рассеяния. При свертке каждая точка входной функции, описы-
156 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ. 6. ваемая 6-функцией, расширится на выходе в пятно шириной Д = 0,61/умакс = 0,61 d2X/r2- Величина Д есть ширина наимень- шего разрешаемого системой пятна на изображении. [Здесь мы полагаем, что увеличение равно единице. В противном случае Д умножается на dzld2', см. (6.49).] Показанную на фиг. 6.8 оптиче- скую систему, в которой для освещения используется плоская волна, а также системы со сферическими волнами, фокусирующи- мися вне плоскости линзы, формирующей изображение, невозмож- но описать одной только передаточной функцией. Такие системы, ФИГ. 6.11. Функция рассеяния для формирующей изображение системы, представленной на фиг. 6.9. в которых разрешение меняется в зависимости от положения пред- мета во входной плоскости, называются пространственно-неинва- риантными. Мы рассмотрели некоторые ограничения свойств оптической системы, обусловленные конечными размерами реальных линз. Если ограничение, вносимое линзой, вызвано только конечностью ее размеров, то такая линза называется дифракционно-ограничен- ной. В нашем анализе мы неоднократно пользовались приближе- нием малых углов. Если же световые лучи падают на тонкие линзы под большими углами, значения которых выходят за рамки этого приближения, то наблюдается ухудшение свойств системы по срав- нению с оптимальными свойствами дифракционно-ограниченной системы. Это происходит, когда размеры предмета велики и он рас- положен не на оси, а отношение диаметра линзы к ее фокусному расстоянию уже нельзя считать малым.
§ 5. КОГЕРЕНТНЫЕ И НЕКОГЕРЕНТНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ 157 § 5. Когерентные и некогерентные передаточные функции Хотя для голографии получение изображений в некогерентном свете обычно не представляет интереса, здесь уместно сделать крат- кое отступление и сравнить частотные передаточные функции опти- ческих систем, освещаемых когерентным и некогерентным светом. Пусть в оптической системе, освещаемой когерентным светом, входным комплексным амплитудам а! (х, у) или а2 (х, у) отвечают соответственно выходные амплитуды (х, у) или Ь2 (х, у). Если система линейна, то входной комплексной амплитуде а! (х, у) + а2 (х, у) должна соответствовать на выходе комплексная амплитуда с (ж, у) = bi (ж, у) + Ь2 (ж, у). Выходная интенсивность I = сс* будет при этом иметь вид многочлена I = bib! + b2b| + bib! + b*b2 = Ц +12 + bib! + btb2, (6.75) где Zi — выходная интенсивность при действии на входе только волны ai, а/2 — при действии только волны а2. При когерентном освещении все четыре члена в (6.75), вообще говоря, не равны нулю. Следовательно, в этом случае система нелинейна по интенсивно- сти. Однако при некогерентном освещении выходная интенсив- ность складывается только из входных интенсивностей I = Л + 1г,
158 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ. 3. т. е. системы, освещаемые некогерентным светом, линейны по интенсивности. Для характеристики таких систем можно пользо- ваться функцией рассеяния и частотной передаточной функцией для интенсивности. Последнюю называют оптической передаточной функцией, а ее модуль — модуляционной передаточной функцией. Функция рассеяния для интенсивности описывает распределе- ние интенсивности света в выходной плоскости, соответствующее импульсной функции во входной плоскости, и, следовательно, равна квадрату абсолютной величины комплексной амплитудной функции рассеяния. Для представленной на фиг. 6.9 системы, формирующей изображение, она имеет вид (г) = Г - 71 (2ял,макСг)П 2 . (6.76) L л^максГ J В соответствии с аналогичными соотношениями для когерентной системы оптическая передаточная функция является фурье-обра- зом функции Sj (г) и, согласно (4.18) и (4.34), представляет собой автокорреляцию когерентной передаточной фунции rect (v/2vMaKC). Как оптическая передаточная функция, так и когерентная пере- даточная функция обладают круговой симметрией и зависят толь- ко от V. Двумерные проекции абсолютных величин этих функций представлены на фиг. 6.12. ЛИТЕРАТУРА 6.1. JENKINS F. A., WHITE Н.Е., Fundamentals of Optics, 3rd ed., New York, 1957. 6.2. VANDER LUGT A., Proc. IEEE, 54, 1055 (1966). Обозначения операций при ана- лизе и синтезе оптических си- стем обработки данных.
Глава 7 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ОПТИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА Как только для получения голограмм стали применяться лазе- ры, голография встала на практический фундамент. До откры- тия лазеров в качестве источников света обычно использовались ртутные лампы, в которых достигался оптимальный компро- мисс между требованиями к когерентности и к интенсивности излучения. Увеличения пространственной когерентности можно было добиться только путем уменьшения светящейся поверхности источника, что приводило к значительному ослаблению интенсив- ности. В противоположность этому лазерное излучение обладает одновременно и высокой когерентностью и большой интенсивно- стью. Однако даже при использовании лазеров попытка получить голограмму может оказаться безуспешной, если экспериментатор не знаком со свойствами лазеров и техникой оптического экспери- мента. В этой главе мы рассмотрим когерентные свойства источников непрерывного излучения в связи с получением голограмм и вос- становлением волнового фронта. Обсуждаются также способы раз- деления лазерного пучка на предметный и опорный, рассматривает- ся пример простейшей голографической установки и процесс голо- графирования. § 1. Источники света для получения голограмм Требования, которые предъявляются в голографии к источ- никам света, определяются свойствами предмета и расположением элементов оптической схемы. На фиг. 7.1, а и б показаны два рас- пространенных способа получения предметного и опорного пучков от одного источника. На фиг. 7.1, а показано так называемое деле- ние фронта световой волны, а на фиг. 7.1, б — амплитудное деле- ние. И в том и другом случае волны, достигающие голограммы, испускаются источником в пределах угла 20о. Как показано на фиг. 1.18, степень пространственной, или поперечной, когерент- ности | 1 определяется не только размерами источника, но и углом 0О. Чтобы разность фаз предметной и опорной волн суще- ственно не зависела от времени (условие, необходимое для получе- ния интерференционной картины), излучение источника должно обладать достаточной пространственной когерентностью в угле
160 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. 20о. Кроме того, оно должно характеризоваться достаточной вре- менной, или продольной, когерентностью. Точнее говоря, наиболь- шая оптическая разность хода световых лучей, идущих от источ- ника к голограмме (и испытывающих отражение от поверхности б ФИГ. 7.1. Методы получения голограмм, основан- ные на делении волнового фронта (а) и на амплитудном делении (б). предмета или зеркал, используемых для формирования опорного пучка), должна быть меньше длины когерентности. В гл. 1, § 9, п. 2, мы видели, что комплексная степень когерент- ности Y12 (т) [см. (1.22)] включает в себя и пространственную
§ 1. ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ 161 и временную когерентность. Если в выражении (1.22) положить т—>• 0, то можно рассматривать только поперечную компоненту когерентности. Если же корреляция величин v₽1 и Vp2 в (1.22) зави- сит только от т, то мы будем иметь дело лишь с продольной коге- рентностью. Такой подход к рассмотрению когерентности несколь- ко схематичен, но полезен для выявления недостатков обычных тепловых источников по сравнению с лазерами. В настоящей главе мы рассмотрим только газовые лазеры непрерывного действия, и в частности гелий-неоновый и аргоновый лазеры. Получение голограмм с помощью импульсных лазеров обсуждается в гл. 11. Полупроводниковые лазеры в настоящее время в голографии поч- ти не используются из-за малой мощности излучения в видимой области и низких когерентных свойств. 1. Требования к пространственной когерентности Когерентные свойства лазерного пучка тесно связаны с его модовой структурой. Исчерпывающий анализ модовых структур дан в работе [7.1]. Что касается голографии, то излучение лазера, генерирующего в любой одной поперечной моде, можно считать пространственно-когерентным. Желательно, чтобы генерировалась мода наиболее низкого порядка, ТЕМ00, так как при этом можно получить большую равномерность освещения, чем в том случае, когда лазер генерирует моду более высокого порядка. Кроме того, генерация моды высокого порядка является существенно менее стабильной, так как при этом существует тенденция к одно- временной генерации двух или более мод. Почти все изготавливае- мые промышленностью лазеры генерируют моду наинизшего порядка или могут быть настроены на такой режим. В противоположность лазерному, излучение обычных источни- ков обладает значительно меньшей пространственной когерентно- стью. Чтобы улучшить пространственную когерентность источни- ка произвольных размеров, нужно задиафрагмировать его излу- чающую поверхность, выделив небольшую ее часть. Если задать- ся определенным значением минимальной пространственной коге- рентности, то, воспользовавшись теоремой Ван Циттерта — Цернике (см. гл. 1, § 9, п. 3), можно определить максимальную протяженность нелазерного источника, при которой еще возмож- но получение голограмм с помощью методов, показанных на фиг. 7.1, а и б. Для этого рассмотрим схему на фиг. 7.2. Через точечное отвер- стие S в плоскости х'у' на плоскость ху, находящуюся на расстоя- нии R от х'у', попадает излучение только от небольшой части поверхности источника. Выберем в плоскости ху точки Pi и Р2 с координатами (0, 0) и (ж, у) соответственно. Угол, под которым из центра точечного отверстия виден отрезок равен 0. Схема 11—0990
162 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7 на фиг. 7.2 подобна схеме па фиг. 1.17. Согласно выражению (1.22), для комплексной степени когерентности имеем V12 (Т) = т jVpi v*2 ®dt —т ~ Т Т ’ L ( VP1 (f) VP1 (f) dt ) ( J * V₽2 (i) V*2 (f) dt) ]1/2 — T -T где vp4 и vp2 — комплексные амплитуды электрического поля в точках Pi и Р2, ат — разность времен прохождения светом рас- стояния от точек Pi и Р2 до точки наблюдения Q (фиг. 1.17). Для ФИГ. 7.2. К рассмотрению пространственной коге- рентности теплового источника. случая, когда т = 0 и расположение точек Pi и Р2 соответствует фиг. 7.2, величину у12 (0) = p.s (ж, у) можно записать в виде У v (0, 0, t) v* (х, у, t) dt (*, У) = —------------—----------й--------------------------- • (7Л) [ J v (0, 0, t) v* (0, 0, t) dt у v (ж, у, t) v* (ж, у, t) dt]1/2 — оо —оо Величина представляет собой измеренную в плоскости ху комплексную степень пространственной (поперечной) когерентно- сти диафрагмированного источника.
ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ 163 С помощью теоремы Ван Циттерта — Цернике [7.2] мы можем выразить степень пространственной когерентности | | через абсолютную величину нормированного фурье-образа распределе- ния интенсивности излучения источника в плоскости диафрагмы: 1 Ив (ж, у)| = ОО оо У У /(ж', j/')exp[2ni(ga:' + llj/')<la:'dj/' — ОО —оо оо оо У $ I , у') dx'dy' — ОО —оо (7.2) где | = x/XR, т] = уГ/Л [как в (5.38)], а X — средняя длина волны излучения, испущенного источником. Теорема справедлива при следующих условиях: 1. Излучение источника является квазимонохроматическим, т. е. средняя длина волны X гораздо больше спектральной шири- ны ДА,. 2. Расстояние R между отверстием и плоскостью ху гораздо больше размера отверстия и расстояния г. 3. Излучение слева от точечного отверстия пространственно некогерентно. 4. Длина когерентности излучения источника с/Д/ = А,2/ДА, гораздо больше максимальной оптической разности хода лучей между каждой из выбранных точек и произвольной точкой источ- ника. (Здесь / — временная частота.) Все эти условия могут выполняться на практике; спектральную ширину ДА, можно сделать сколь угодно малой, пропустив излу- чение через узкополосный фильтр. Если предположить, что интенсивность излучения источника однородна в плоскости круглого отверстия радиусом г0, то, инте- грируя (7.2), получаем с помощью (4.34) (2nvr0) (2nvr0) nvr0 nvr0 (7.3) Как указывалось в гл. 4, функция Ji (2nvr0)/nvr0 имеет максималь- ное значение, равное единице. Пространственная частота v может быть выражена следующим образом: V = (В2 + л2)1/а = -V = IT ~ Т ’ Лл КК Л где 0 — угол, показанный на фиг. 7.2. Тогда выражение для сте- пени пространственной когерентности принимает вид Л (2яг09/А) _ яг09/А На фиг. 7.3 приведена зависимость [ p.s ] от го0/А,. 11*
164 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. Предположим, что мы хотим получить голограмму одним из ме- тодов, схемы которых представлены на фиг. 7.1, и выберем 20о = = 30°, т. е. 0О = л/12. Если, кроме того, потребовать, чтобы сте- пень пространственной когерентности | | была не меньше 1/1/2 = 0,707 (произвольный критерий, выбор которого будет обоснован ниже), и положить X = 0,5 мкм, то из фиг. 7.3 найдем, что (гоОо/^)макс = 0,25, и максимальный допустимый диаметр диафрагмы 2г0 ж 1 мкм. Если для получения достаточной про- странственной когерентности излучения теплового источника использовать точечное отверстие, диаметр которого не превышает ФИГ. 7.3. Зависимость степени пространственной когерентности от го0/Х. 1 мкм, то мы резко уменьшим полезную мощность излучения источ- ника. Среди нелазерных источников наибольшую мощность излу- чения с единицы поверхности дают ртутные дуговые лампы высо- кого давления. Обычно она достигает 100 Вт/см* 1 2 * * * * * В при X = 5461 А и ДА, « 50 А. Диафрагма диаметром 1 мкм уменьшает полезную мощность излучения источника до 1 мкВт. При использовании узкополос- ного монохроматического фильтра, улучшающего временную коге- рентность, мощность излучения уменьшается еще сильнее. В противоположность этому от лазеров непрерывного действия легко получить полезную мощность, равную 100 мВт.
§ 1. ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ 165 2. Временная когерентность обычных (нелазерных) источников непрерывного излучения Временная когерентность излучения полностью определяется его спектральным составом. Если лазер работает в режиме гене- рации одной аксиальной, или продольной, моды (и, разумеется, одной поперечной моды), то для голографии временную когерент- ность его излучения можно считать абсолютной. Хотя большинство выпускаемых лазеров можно настроить на генерацию одной попе- речной моды самого низкого порядка, они обычно не рассчитаны на одночастотный режим генерации, т. е. от них нельзя получить излучение, содержащее только одну продольную моду. Временная когерентность излучения обычного (многомодового) газового лазе- ра ненамного лучше временной когерентности спонтанного излу- чения, возникающего при том же атомном переходе в газовом раз- ряде, происходящем в аналогичных условиях. В этом параграфе мы в первую очередь установим критерий для оценки временной когерентности, а затем рассмотрим временную когерентность неко- торых обычных газоразрядных источников. Из выражения (7.4) следует, что степень пространственной когерентности света в точках Pi и Р2 плоскости ху (фиг. 7.2) зави- сит от координат этих точек только через угол 0 между световыми лучами, идущими от протяженного источника в данные точки. Рассмотрим случай, когда Pi и Р2 расположены на пути одного и того же луча, исходящего из точечного источника, так что 0 = = 0, | fxs | = 1 и комплексная степень когерентности зависит только от т. Чтобы выделить этот случай, заменим в (1.22) у12 (т) на комплексную степень временной когерентности (т), a vpj (i) = vp2 (i) на v (i) и vpj (t + т) на v (t + т); тогда получим T ОО lim —Г v (t-f-т) v* (t) dt f v (t + t) v* (t) dt 41 J J Ит(т)=-----------, (7.5) lim -^=- C v (t) v* (t) dt \ v (t) v* (t) dt T“>oo J J -T -oo где v (t) и v (t + t) — комплексные амплитуды электрического поля соответственно в точках Р2 и Pi (причем точка Pi ближе к источнику, чем Р2). Выражение (7.5) справедливо при ампли- тудном делении световой волны (фиг. 7.1, б), когда лучи, получен- ные из одного исходного, проходят неодинаковые пути до точки наблюдения. При таком расположении т — временной интервал, соответствующий разности хода лучей, оказывается не равным нулю, даже если точки Pi и Р2 совпадают. Величина т может быть выражена через оптическую разность хода AL = ст, где с — ско- рость света. Выберем длину когерентности kLH = схн так, чтобы
166 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. I Мт (тн) I = 1/]/2. В следующем параграфе мы увидим, что этот критерий играет важную роль в голографии. Для успешного получения голограммы разность хода любой пары лучей, идущих от источника до произвольной точки регистрирующей среды, должна быть меньше kLH. Чтобы определить Д£н для данного источника, нужно построить график зависимости | (т) | от т. Для этого выразим (7.5) через частоту / и подставим туда спектр излучения источника. Выражение (7.5) примет вид j Ф (/) ехр (2лг/т) df Мт(т) = -^^--------------, (7.6) У ф(/)й/ — оо где Ф (/) = V (/) V* (/) — спектр излучения, а V (/) — временной фурье-образ функции v (т). [Более общее определение v (т) см. в приложении II.] Эквивалентность выражений (7.5) и (7.6) легко доказать, приравнивая их числители и знаменатели по отдельности. Равенство числителей вытекает из теоремы автокорреляции, спра- ведливой как для временнйх, так и для пространственных пере- менных [см. (4.18)]. Равенство знаменателей следует из частного случая той же теоремы при т = 0. Если функции | p.s (ж, у) | и I (х'. у') в (7.2) связаны преобразованием Фурье в координатной области, то функции | (т) | и Ф (/) связаны преобразованием Фурье в временной области. Используя (7.6), определим степень временной когерентности I Мт (т) I для некоторых обычных (нелазерных) источников. Среди нелазерных источников излучение с наиболее высокой когерент- ностью дают газоразрядные лампы. Для выделения какой-либо одной линии из спектра излучения разряда обычно применяется соответствующий фильтр или монохроматор. Контур Ф (/) спек- тральной линии, испускаемой газоразрядной лампой низкого дав- ления, может быть описан функцией Гаусса [7.3]: Ф(/) = ФОТвхр{-[2<!1а^=«-]2}, (7.7) где / — частота, соответствующая центру спектральной линии и Д/д — допплеровская ширина линии, взятая на уровне поло- вины максимальной интенсивности. Подставив (7.7) в (7.6), можно видеть, что числитель выражения (7.6) есть смещенный фурье- образ функции Гаусса. Его можно вычислить с помощью соотно- шений (4.21) и (4.27), заменив в них пространственную перемен- ную временной. Знаменатель формулы (7.6) можно найти по таб- лицам интегралов, в результате получаем Мт (т) = ехр (- 2ш/т) ехр [ - (2] ,
§ 1- ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ 167 <7-8> Форма линий в спектре излучения газоразрядных ламп высокого давления лучше описывается формулой Лоренца [7.3]: Ф(/) = Ф(7)[1 + {-2^_}2]-1 , (7.9) где Д/£ — лоренцева ширина линии, обусловленная столкнове- ниями атомов газа и заряженных частиц. Подставляя (7.9) в (7.6) ФИГ. 7.4. Степень временной когерентности излу- чения теплового источника с гауссовым и лоренцевым контуром спектральной линии. и используя теорему сдвига, соотношение (444) из работы [7.4]1) и таблицу интегралов, находим Цт (т) = ехр (—2 л г/т) ехр (—лтД/l), | Цт (т) ] = ехр (— лтД/ь). (7.10) Теперь с помощью выражений (7.8) и (7.10) или фиг. 7.4, где представлена зависимость | | от т Д/с и тД/l, можно опреде- х) Это соотношение имеет вид йг ( 1 \ _ ехР [ —Р (6)] \4n2z2-|-PM 2Р Прим. ред.
168 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. лить Д£н = схя. Для | | = 1/]Л2 = 0,707 имеем xHkfD = 0,32, тогда как хн ДД, = 0,11. Соответствующая этим значениям длина когерентности составляет с V2 In 2 _ 0,32с — лД/д — Д/д __ с In 2 __ 0,11с Я ~ 2nAfL ~ Д/д (газовый разряд низкого давления), (7.11) (газовый разряд высокого давления). (7.12) Одна из наиболее узких линий, испускаемых нелазерными источ- никами, — оранжевая линия 6058 А криптона-86. Можно добить- ся того, чтобы допплеровская ширина этой линии не превышала 4,5-Ю8 Гц [7.5]. Тогда, согласно (7.11), для длины когерентности имеем kLH х 21 см. Если бы при этом для получения необходи- мой пространственной когерентности не приходилось ограничивать размеры источника, уменьшая тем самым выходную мощность излучения, то такой источник можно было бы использовать в голо- графии. Гораздо большей интенсивностью обладает зеленая линия 5461 А излучения ртутной дуговой лампы высокого давления. Однако ширина этой линии &fL составляет 5 -1012 Гц (ДХ х 50 А), так что длина когерентности ДДи ~ 8 мкм. Для использования такого излучения в голографии нужно уменьшить ширину линии с помощью фильтра или монохроматора. Вычислим теперь длину когерентности спонтанного излучения неонового и аргонового газовых разрядов с длиной волны, равной соответственно 6328 и 4880 А. В дальнейшем мы сравним получен- ный результат с длиной когерентности лазерных линий на тех же длинах волн. Если условия, при которых происходят рассматрива- емые газовые разряды, сходны с условиями в гелий-неоновом и аргоновом ионном лазерах, то допплеровская ширина прибли- зительно равна 1,5 -109 Гц для линии 6328 А и 7,5 • 109 Гц для линии 4880 А. Следовательно, согласно (7.11), длина когерентности излу- чения атомов неона на длине волны 6328 А (красная линия) состав- ляет приблизительно 6,4 см, а для излучения ионов аргона на длине волны 4880 А (синяя линия) она равна 1,5 см. 2. Временная когерентность излучения газовых лазеров Рассмотрим теперь временную когерентность излучения лазера и некоторые способы получения генерации на одной продольной моде (одночастотный режим) в лабораторных условиях. Вначале
§ 1. ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ 169 положим, что лазер сконструирован или настроен на генерацию поперечной моды самого низкого порядка (ТЕМ^), но при этом может генерировать несколько продольных мод. Тогда структура продольных мод полностью определяет спектр излучения Ф (/) и, следовательно, временную когерентность излучения лазера. Рассмотрим продольную модовую структуру более подробно. Обычный лазерный резонатор представляет собой два сфери- ческих зеркала, помещенных на расстоянии I друг от друга. Соб- ственная частота га-й моды резонатора определяется формулой = (7.13) где п — целое число и с — скорость света. Генерация возникает на всех частотах /п, находящихся внутри частотного интервала A/g, для которого коэффициент усиления активной среды превы- шает потери света в резонаторе, включая потери на выходе. Частот- ный интервал генерации A/G может быть больше или меньше доп- плеровской ширины A/D. Спектральная ширина каждой моды А/м определяется потерями в резонаторе и стабильностью резонатора по отношению к механическим и тепловым воздействиям. Типич- ная величина А/м « 10в Гц (при времени наблюдения порядка нескольких минут). Предположим, что лазер генерирует только одну продольную моду, спектр излучения которой Ф (/) описывает- ся функцией Гаусса, имеющей на половине максимума интенсив- ности ширину А/м = 10в Гц. Длина когерентности А£н для такого одночастотного лазера, согласно (7.11), равна 1 -10в см = 1 км. Почти во всех голографических исследованиях оптическая длина пути света гораздо меньше 1 км. Поэтому мы вправе считать, что А7)н —> оо и что спектр излучения (контур линии) может быть пред- ставлен 6-функцией. Если лазер генерирует серию продольных мод, то Ф (/) можно аппроксимировать несколькими сдвинутыми 6-функциями. Как определяется длина когерентности лазера, когда он гене- рирует несколько продольных мод? Сначала рассмотрим случай возникновения генерации только на двух продольных модах. Этот режим осуществляется, когда частотный интервал A/G, в котором лазер имеет достаточный для генерации коэффициент усиления, в два раза превышает расстояние /n+i — /п между модами, т. е. Д/с _ с ~2 Jn+1 Jn~ 21 ‘ Спектр излучения такого двухмодового лазера может быть пред- ставлен с помощью двух 6-функций: Ф (/) = Л6 (/ - /п) + Л+16 (/ - /п+1),
170 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. где 1п — полная мощность излучения в одной моде. Подставляя Ф (/) в (7.6), получаем Нт (т) = /n_|_1/n+1 [Л ехр (2ni/nr) + In+i ехр (2ni/n+iT)] = = ехр (2л1’/пт) [ an + an+i ехр ( 2лi т j J , (7.14) где мы использовали выражение для расстояния между модами /п+1 — fn = с/21 и где Дп= 7 , Дп+i — г ----- и ап + ап+1 = 1. Jn~r-In+1 JnTJn+l Тогда выражение для степени когерентности | цт (т) | принимает вид | нт (т) | = | ап + ап+1 ехр | = = | [an + aLn +2anan+i cos(7.15) Функция | Нт (т) | Для двух значений параметра b = | an+i — ап | ФИГ. 7.5. Степень временной когерентности излу- чения лазера, генерирующего две про- дольные моды (для двух значений пара- метра Ь). показана на фиг. 7.5. Параметр Ъ представляет собой минимальное значение | Нт (т) |. Если b = 0, то ап = ап+1 = 1/2 и । ! . I I Г 1 . 1 лет "I1/! I I лет I IMt)I = |L-t+tC0S— J | = | “2ГГ
§. 1. ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ 171 Если мощность излучения в одной моде вдвое больше, чем в дру- гой, т. е. b = 1/3, ап = Vg, an+i = 2/3, то I /XI I I 5 \Х/2 Г . 4 лет Л1/2 I I Иг (т) 1 = 1 (-9-) |_l+-cos—J ]. Для двухмодового режима генерации независимо от значений параметра b функция | (т) | является периодической по т с периодом 2Z/c. Условие | /лт (т) | = 1/|Л2 выполняется для ряда кратных значений т, как показано на фиг. 7.5. Наименьшее из этих значений обозначим тн и за длину когерентности примем величину Д£н = стн. Если Ь = 0, то тн = Z/2c и длина коге- рентности Д£н = Z/2. Для длин путей в интервале от 0 до 2Д£Н степень временной когерентности меняется монотонно при возра- стании разности хода, подобно тому как это имеет место в случае нелазерных источников, аналогичная зависимость для которых изображена на фиг. 7.4. Длина резонатора Z = 2Д£Н типичного газового лазера равна 1 м. Тогда при получении голограмм раз- ность хода пучков не должна превышать величины kLH = Z/2 = = 0,5 м. Так как колебания температуры приводят к изменению длины Z резонатора, величина Ъ может изменяться в некоторых пределах. Однако если область Д/е, в которой возможна генерация (т. е. усиление превышает потери света) гораздо меньше допплеровской ширины линии Д/д, то мощность излучения в каждой моде при- мерно одинакова и b « 0. Из фиг. 7.5 видно, что даже если мощ- ность излучения в одной моде в два раза больше мощности излуче- ния в другой (Ь = 1/3), то значение тн (соответствующее | (т) | = = 0,707) практически не отличается от значения и при Ь = 0. Поэтому далее мы будем считать, что мощность излучения в каж- дой моде одинакова. Заметим, что для лазера с длиной резонатора 1 м при переходе от одномодового режима генерации к двухмодовому длина коге- рентности резко падает от 1 км до 0,5 м. Если лазер генерирует N мод, то спектр излучения можно записать в виде ф (/) = (/— /л) + In+i 6 (/ — /п+1) +• • • +Ai+lV-16 (/ — fn+N-i)- Подставляя это выражение в (7.6), получаем для степени когерент- ности | (т) | = | ехр (2ni/nT) + ехр (2nZ/n+1r) + ... + ехр (2ni/n+JV-iT)|. (7.16) При выводе этой формулы мы воспользовались условием 1п = = /п+1 = . . . = In+N^. Вводя в выражение (7.16) расстояние
172 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. c/2Z между модами и вынося множитель ехр (2hZ/,1_1t) за скобки, получаем )Цт(т)| = | «Р<2у„-.Ч х X [ехр (+ ехр ( “2.) + ... + ехр ( ] | = И ехр (2iti/n_iT) q [ [ехр (nicx/l)] [ехр (Nnicx/l)—1] 1 |_ N J t ехр (nicx/l)—1 J ]— __I ехр (2лг/пх) Г ехр (Nnicx/l)— 1 "ll ] N L exp (nicx/l)—1 J|' Здесь мы использовали известную формулу суммы геометрической прогрессии со знаменателем ехр (лгст/Z). Если выражение, стоящее ФИГ. 7.6. Степень временной когерентности лазе- ра, генерирующего одну (I), две (II), три (III) и четыре (IV) продольные моды. под знаком абсолютной величины, умножить на комплексно-сопря- женное, извлечь квадратный корень и найти абсолютную величи- ну полученного результата, то | (т) | будет иметь вид । / ч |_ [ 1 I i —cos (Nncx/l) \х/2 I _ I sin (Nncx/2l) I /7-174 I Mr W I — I -fi- ( 1 — cos (ncx/l) I ] | TV sin (ncx/2l) ] ’ ' ' Как и при двухмодовой генерации, степень когерентности | (т) | представляет собой периодическую функцию т. На фиг. 7.6 пока- зана функция | (т) | для случаев, когда лазер генерирует одну, две, три и четыре моды. Главные максимумы этих кривых (равные
5 1- ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ 173 единице) находятся па одинаковых расстояниях т = 21/с друг от друга независимо от числа мод N. Функции принимают нулевые значения при т = (mlN) (21/с), где т = 1, 2, 3, . . но m/N 0, 1, 2, 3, . . . . Из изложенного очевидно, что наиболее желателен одночастот- ный режим генерации. Длина когерентности излучения такого лазера практически неограниченна, в то время как при генерации всего нескольких мод она резко уменьшается (фиг. 7.6). Если для получения голограммы используется излучение с малой длиной когерентности, то это накладывает ограничения на глубину пред- мета и требует уравнивания оптических путей предметного и опор- ного пучков, что часто оказывается трудоемкой операцией. К сожа- лению, получить стабильный одночастотный режим генерации довольно трудно, к тому же при достижении этого режима мощ- ность излучения резко уменьшается. 4. Методы получения одночастотного режима генерации Наиболее очевидный метод получения одночастотного режима генерации состоит в уменьшении длины резонатора до величины, удовлетворяющей условию / п+1 /п 2/ В таком случае достаточно усиления, которое обеспечивало бы возникновение генерации в полосе частот A/G, равной расстоянию между модами. В результате будет поддерживаться генерация только на одной моде. Если полосу A/G взять примерно равной допплеровской ширине линии Д/с = 1,5-109 Гц, то для гелий- неонового лазера (X 6328 А), работающего в одночастотном режи- ме, длина резонатора должна составлять I = c/2/\fD — 10 см. В таком коротком резонаторе объем активной среды очень мал, и, следовательно, выходная мощность лазера составляет лишь доли милливатта [7.5]. Длина резонатора аргонового ионного лазера (X 4880 А) для получения одночастотной генерации должна быть всего 2 см, что служит серьезным препятствием к созданию такого лазера. Более эффективный метод получения одночастотной генерации состоит в использовании двух связанных резонаторов, при этом только для одной моды, общей для обоих резонаторов, усиление имеет достаточную величину, необходимую для генерации. Чтобы увеличить объем активной среды, оптическую длину Zj одного из резонаторов выбирают большой, а чтобы развести как можно дальше общие для резонаторов моды, оптическую длину Z2 Дру- гого — малой [см. (7.13)]. Если длину Z2 для гелий-неонового лазе-
174 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. ра взять равной 10 см, а для аргонового ионного лазера — 2 см, то получим одночастотную генерацию, так как в коротком резо- наторе сможет возбудиться только одна мода. Светоделитель Зернало М, Лазерная трубна Зернало Мз б ФИГ. 7.7. Схемы связанных резонаторов для полу- чения одночастотного режима генерации, о — схема о эталоном Фабри — Перо внутри резонатора; б — интерференционный резо- натор. На фиг. 7.7, а и б показаны схемы получения одночастотного режима генерации с помощью связанных резонаторов. Достоинство первой схемы [7.6, 7.7] — простота, тогда как вторая [7.8—7.11] позволяет получить более высокую мощность излучения. В схеме на фиг. 7.7,а вторым резонатором, осуществляющим селекцию мод, служит обычная плоскопараллельная пластина из плавленого кварца, играющая роль эталона Фабри — Перо. Геометрическая толщина эталона t связана с его оптической толщиной 12 соотно- шением Z2 = tni, где rii — показатель преломления плавленого
§ 2 ВИДНОСТЬ (КОНТРАСТ) ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ полос 175 кварца. Чтобы на длине 12 укладывалось целое число полуволн в соответствии с (7.13), эталон обычно наклоняют на небольшой угол к оптической оси. Во многих случаях используется эталон без всяких покрытий, улучшающих отражающие свойства его поверхности. На фиг. 7.7,6 второй резонатор, осуществляющий селекцию мод, состоит из зеркал М2 и М3 и светоделителя. Данная конфигурация обладает высокими потерями для всех мод, за исключением общих для связанных резонаторов. Кривизна зеркал Mi и М3 выбирается так, чтобы на поверхности светоделителя волновые фронты совпадали друг с другом. Наибольшая выходная мощность излучения, полученная в одночастотном режиме генерации, составляет около 50 мВт на длине волны 6328 А для гелий-неонового лазера и около 1 Вт на длине волны 4880 А для аргонового ионного лазера. Основная трудность получения одночастотного режима генерации методом связанных резонаторов заключается в сохранении размеров обоих резонаторов неизменными. Указанная трудность возрастает, если мощность генерации велика, так как температура окружающей среды повышается. Если Ц 12, то во время генерации доста- точно подстраивать только длину 12. Такую подстройку можно осуществлять, изменяя наклон пластины на фиг. 7.7, а или изменяя положение зеркала М3 на фиг. 7.7,6. Для контроля за длиной 12 резонатора применяют также системы автоподстрой- ки, с помощью которых поддерживается неизменной частота гене- рации /, соответствующая центру линии. На практике, не поль- зуясь системой автоподстройки, можно добиться стабильности частоты излучения лазера в течение нескольких минут. Обычно этого вполне достаточно для получения голограммы. § 2. Видность (контраст) интерференционных полос при регистрации голограмм Для успешной регистрации голограммы прежде всего должно выполняться условие высокого контраста интерференционных полос. Интенсивность интерференционной картины, образован- ной двумя пучками, описывается выражением (1.9) I = Л + Л + 2aja2 cos (<р2 — <Pi)- Высокий контраст, или большая глубина модуляции, означает, что амплитуда изменяющегося в пространстве косинусоидального члена сравнима по величине с постоянным членом Ц + 12. Чем больше амплитуда косинусоидального члена, тем больше ампли- туда дифрагированной на голограмме волны н.а стадии восстанов- ления. Таким образом, от контраста интерференционной картины
176 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. (7.18) зависит яркость восстановленного изображения, и, следова- тельно, он должен быть как можно более высоким. (Дифракцион- ная эффективность плоских и объемных голограмм рассматри- вается соответственно в гл. 8 и 9.) В этом параграфе мы оценим также точность, с которой восстанавливается предметная волна, причем ограничимся рас- смотрением плоских голограмм. Для точного восстановления исходной предметной волны при использовании, например, ампли- тудной голограммы, необходимо, чтобы амплитудное пропускание голограммы линейно зависело от интенсивности регистрируемой на ней интерференционной картины. Мы рассмотрим, как можно получить интерференционные полосы высокого контраста и как осуществить линейную запись волнового фронта. 1. Получение интерференционных полос высокого контраста Количественно контраст характеризуется видностью полос, которая определяется формулой (1.21): у Лиакс ^мин ^мако + ^мин где /Иако и ^мин означают максимальную и минимальную интен- сивности интерференционных полос в плоскости наблюдения. Видность полос в разных местах плоскости наблюдения может быть различной, поэтому ее определяют для какой-либо малой области, размеры которой, однако, превышают расстояние между полосами. Как мы увидим ниже, видность полос зависит от степе- ни когерентности | у12 (т) | между интерферирующими пучка- ми, от угла Q между направлениями поляризации пучков х) и от отношения R интенсивностей обоих пучков (все величины берутся в плоскости наблюдения). Для упрощения вывода формулы, устанавливающей связь между V и параметрами | у12 (т) |, Q и R, потребуем, чтобы последние были постоянными в любой малой области плоскости наблюдения, и будем рассматривать опти- ческую схему, показанную на фиг. 7.8, в которой и опорную и предметную волны получают от одного и того же лазерного источника. Все волны являются сферическими, причем опорная волна исходит из точечного источника R, а предметная кажется исходящей из мнимого точечного источника Р. Мы исследуем интерференцию света в очень малой области А плоскости наблю- дения. Область А достаточно велика, чтобы можно было измерить х) Здесь и далее авторы под направлением и плоскостью поляризации понимают соответственно направление электрического вектора и плоскость, в которой находятся электрический и волновой векторы.—Прим. ред.
§ 2. ВИДНОСТЬ (КОНТРАСТ) ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС 177 видность полос, но в то же время достаточно мала, чтобы опорную и предметную волны можно было считать плоскими, а параметры | Y12 (т) | и Q — постоянными. Анализ проводится в предположе- нии, что оба волновых вектора лежат в плоскости xz. Предположим, что лазер работает в режиме генерации одной поперечной, но нескольких продольных мод. Тогда пространствен- ную когерентность излучения такого лазера можно считать абсо- лютной и вместо степени когерентности | у12 (т) | рассматривать степень временнбй когерентности । (т) |. Прежде чем присту- пить к рассмотрению интерференции волн, показанных на фиг. 7.8, выделим в выражении (7.5) для (т) быстро меняющийся во времени фазовый множитель, входящий в выражение для комплек- сной напряженности электрического поля V. Напомним, что в гл. 1, § 3, комплексная напряженность электрического поля монохроматической волны была определена следующим образом: v = а ехр (i<p) ехр (2ni/£). Для излучения с несколькими близкими по величине частотами v можно записать в виде v = а ехр (i<p) [с0 ехр (2л; i/i) + ехр {2ni (f + st) t] + + c2 exp {2ni (/ + 82) t} + ...] = = a exp (i<p) exp (2лг‘Д) [c0 + щ exp (2nteit) + + c2 exp (2nie2t) + ... ], 12-0990
178 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7 ИЛИ v (7) = а ехр (i<p) g (t) ехр (2лift), (7.19) где g (t) = 2 ct exP (2л£ег£) изменяется значительно медленнее, чем ехр (2ni/7), если <^/. Легко видеть, что выражение, опи- сывающее комплексную напряженность электрического поля для излучения в узкой полосе частот, имеет тот же вид, что и для моно- хроматического излучения, если в качестве комплексной ампли- туды взять a (f) = а ехр (i<p) g (2). (7.20) Как и в случае монохроматического излучения, мы можем заме- нить v (7) на а (2). Подставляя (7.19) в выражение (7.5) для (т), получаем т lim, j g («+*) g* (0 М Цт (т) =- exp (2лг/т)-------------------------= !im f g (t) g* (t) dt T->oo 41 J -T = exp (2ju/t) <g(*+t) g* (*)> <g(0 g* ИЛИ Иг (t) = (t) exp ( — 2nifx) = . (7.21) Вернемся к рассмотрению интерференции частично когерент- ных опорной и предметной волн (фиг. 7.8). Комплексную амплиту- ду опорной волны в области А запишем следующим образом: г = г ехр (ftp) g (t + т) = г ехр (2л^гж) g (t + т), (7.22) где пространственная частота Ег соответствует средней длине вол- ны X. Параметр т определяется величиной ст, где с — скорость света и ст — оптическая разность хода опорного и предметного пучков от лазерного источника до области А. Интенсивность опорного пучка в А описывается выражением 1Т = <гг*) = г2 (g (t + т) g* (t + т)). (7.23) Мы можем разделить предметную волну на две компоненты так, чтобы направление поляризации одной из них совпадало с направ- лением поляризации опорной волны. Комплексная амплитуда этой компоненты в области А имеет вид ац = а ехр (2л1%ах) g (f) cos Q, (7.24) а интенсивность — Za|| = <anafi) = a2 cos2 R (g (t) g* (t)). (7.25)
§ 2. ВИДНОСТЬ (КОНТРАСТ) ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС 179 Здесь Q — угол между направлениями поляризации опорного и предметного пучков, а — пространственная частота предмет- ной волны, соответствующая средней длине волны. Для комплекс- ной амплитуды компоненты с направлением поляризации, пер- пендикулярным направлению поляризации опорной волны, имеем a_L = а ехр (2л1^аж) g (t) sin Q, (7.26) а для интенсивности получим Ia± = <a±ai) = a2 sin2 Q (g (t) g* (0). (7.27) Далее нам нужно сделать следующее: 1) подставить (7.22) — (7.27) в выражение для интенсивности интерференционной карти- ны, образованной волнами г, ац и ajj 2) установить связь между распределением интенсивности в интерференционной картине и степенью временной когерентности | (т) |; 3) найти максималь- ное и минимальное значения интенсивности и определить по фор- муле (7.18) видность V. Формулу (1.20) для интенсивности интер- ференционной картины, образованной двумя волнами, / = Д +/г+2 Re [(vivS)] (7.28) можно записать через их комплексные амплитуды и применить для описания интерференционной картины, образованной волна- ми г, ац и а_ц. Заметим, что полная интенсивность предметной вол- ны есть 1а = /а|| + 7а± = а2 (g (t) g* (t)) [согласно (7.25) и (7.27)] и что в интерференционный член входит лишь та компонента пред- метной волны, направление поляризации которой совпадает с направлением поляризации опорной волны. Тогда интенсивность интерференционной картины в области А складывается из интен- сивностей отдельных волн и интерференционного члена: 7 = Тг + Taj| + Taj_4- 2 Re [(raj])] = = r2 <g (t-j- т) g* (t + t)> + a2 <g (t) g* (£)) -j- 2 Re [<raj])]. Величину (raj]) можно определить с помощью (7.22) и (7.24); это дает (raj]) = га cos Q ехр [2ni (?r — %а) х] (g (t + т) g* (£)) = = га cos Q ехр [2ni (£г — £Q) x] iiy (т) (g (t) g* (ф = = ra cos Q exp [2ni (|r — %a) x] | (т) | exp [г£ (т)] X X <g (t) g* (t)), (7.29) где мы использовали (7.21), учли, что | Цт (т) | = | (т) |, и представили (т) в виде произведения его модуля | (т) | на фазовый множитель ехр [ (т) ]. Подставляя (7.29) в выражение 12*
180 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. для интенсивности I в области А, получаем I = г2 <g (t + Т) g* (t + т)) + a2 <g (t) g* (t)) + + 2Re {ra cos Q | (t) | exp [2ni (^r — £a) x + it, (т)] X X <g (t) g* (f))}. Величины в скобках, обозначающих усреднение по времени, не зависят от пространственных координат и равны между собой ФИГ. 7.9. Интерферометр Майкельсона. [см. (7.19)] с точностью до постоянного множителя, который мож- но опустить, тогда I = г2 + а2 + 2га | (т) | cos Q cos [2л (£г — £а) х + £ (т)] = = г2 + а2 + 2га | (т) | cos Q cos Р (х, т), (7.30) где Р (х, т) = 2л (£г — la) х + t, (т). Интерференционная картина имеет максимальную интенсив- ность 1мако ПРИ cos Р (я, т) = +1, а минимальную 7МИН — ПРИ cos р (х, т) = —1. Подставляя экстремальные значения интен- сивности в (7.18), получаем для видности полос Т7_ 2га | р.т (т) | cos Й _ 2 | Цт (т) | ф/л cos Й ,7о.. ~ Л4-1 ’ v-ol)
§ 2. ВИДНОСТЬ (КОНТРАСТ) ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС 181 где R = (rid)'2' — отношение интенсивностей опорной и предметной волн. Заметим, что видность полос не зависит от пространственной частоты опорного и предметного пучков и что V (7?) = V (1/7?). Видность достигает максимального значения, равного единице, когда каждая из величин | (т) |, 7? и cos £2 равна единице. Степень временной когерентности | (т) | излучения лазера, генерирующего несколько продольных мод, описывается выра- жением (7.17). График ее зависимости от т представлен па фиг. 7.6, ФИГ. 7.10. Экспериментальная зависимость видно- сти V от оптической разности хода Д£. откуда видно, что | (т) | достигает единицы при малых значе- ниях т. Точнее, значение т должно быть мало по сравнению с вели- чиной тн, для которой степень временной когерентности равна 0,707. Мы сможем добиться выполнения этого условия, если оптическую разность хода ДА = ст опорного и предметного пучков сделаем меньше длины когерентности кЬн = стн. Если в (7.31) 7? = 1 и cos £2 = 1, то наблюдение видности полос в зависимости от разности хода пучков может служить простым способом опре- деления зависимости | (т) | от ДА. Для этого можно восполь- зоваться интерферометром Майкельсона (фиг. 7.9), который обес- печивает выполнение условий 7? = 1 и cos £2 = 1. На фиг. 7.10 представлена экспериментальная зависимость V от ДА, получен- ная для гелий-неонового лазера с длиной резонатора 1 м'(Х = = 6328 А). Длина когерентности ДАН при V = 1/]Л2 составляет примерно 12 см. В голографии информация о предмете передается путем про- странственной модуляции предметной волны, поэтому условие
182 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. R = 1, необходимое для получения максимально высокой вид- ности полос, не может выполняться по всей плоскости голограммы. В лучшем случае путем изменения интенсивности опорной волны ФИГ. 7.11. Желательное и нежелательное направ- ления поляризации. можно добиться выполнения условия R = 1 в тех местах голо- граммы, где интенсивность предметной волны имеет наибольшую ФИГ. 7.12. Изменение направления вектора поля- ризации с помощью полуволновой пла- стинки. величину. Далее мы увидим, что для обеспечения линейной записи волнового фронта по всей поверхности голограммы должно выпол- няться требование R > 1.
§ 2. ВИДНОСТЬ (КОНТРАСТ) ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС 183 Лазерное излучение, как правило, линейно поляризовано, и добиться оптимальной видности за счет выполнения условия cos Q = 1 нетрудно. Однако, как видно из фиг. 7.11, желательно, чтобы направления поляризации опорного и предметного пучков были перпендикулярны плоскости, образованной их волновыми векторами. (Если пучки распространяются параллельно плоскости оптического стола, то направление их поляризации должно быть перпендикулярно этой плоскости.) В этом случае cos Q = 1 независимо от величины угла 0 между волновыми векторами, С другой стороны, если лазерный свет поляризован в плоскости волновых векторов, т. е. в плоскости чертежа па фиг. 7.11, то угол Q = 0. Тогда если при получении голограммы пучки пересе- каются под прямым углом, то cos Q, а следовательно, и видность полос равны нулю. Направление поляризации света можно, конечно, изменить так, чтобы оно было перпендикулярно плоскости стола, для чего в пучок вводят ориентированную должным обра- зом полуволновую пластинку (фиг. 7.12). Некоторые предметы деполяризуют отражающийся от их по- верхности свет. В таких случаях компоненту с нежелательным направлением поляризации можно устранить с помощью второго поляризатора и добиться оптимальной видности, изменяя соотно- шение интенсивностей опорного и предметного пучков. 2. Линейная запись Рассмотрим связь между линейностью записи волнового фронта на голограмме и видностью голографических интерференционных полос. Толщину фоточувствительного материала будем считать малой, так что его амплитудное пропускание будет зависеть только от х и у. Предположим, что фотоматериал подвергается экспозиции (см. гл. 2, § 5, п. 1) Е (х, у) = 1Р (х, у) хе = kJ (х, у) те, (7.32) где те — время экспозиции; Zc± — коэффициент пропорциональ- ности между интенсивностями 1Р и I, введенный нами в гл. 1, § 3, и I — интенсивность интерференционной картины, описывае- мая выражением (7.30). Амплитудное пропускание экспонирован- ной и проявленной голограммы определенным образом зависит от экспозиции Е. Обозначим часть пропускания, зависящую от экспозиции, через tE. (Здесь мы считаем, что голограмма может осуществлять не только амплитудную, но и фазовую модуляцию.) Подставляя (7.30) в (7.32), получаем Е (ж) = frjTe [г2 + а2 + 2га | (т) | cos Q cos Р (х, т)] = = Ео + Ei (х), (7.33)
184 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. где Ео = к1Хе (г2 + а2) и Ei. (х) = 2kiXera | (т) | cos Q cos 0 (х, т) = = к^га | (т) | cosaQ ехр [i£ (т)] ехр [2ni (£г—Еа) х] + + к^хега | (т) | cos Q ехр [—it, (т)] X X ехр [—2ni — la) х]. (7.34) Поскольку при выводе (7.34) была использована формула (7.30), ограничения, наложенные ранее па размер области А, сохраняют свое значение и для формулы (7.34). Если отношение интенсивно- стей пучков R > 1, то Ei всегда меньше Ео, и мы можем разло- жить амплитудное пропускание tE в пределах области А в ряд Тейлора: + • (7.35) Если голограмма с пропусканием tE освещается исходной опорной волной г = г ехр (2n.ilTx) (предполагается, что для вос- становления используется монохроматический свет), то комплекс- ная амплитуда промодулированного света, прошедшего через участок А, составляет W = rtE. Если в (7.35) коэффициенты при членах ряда, содержащих Ei во второй и более высоких степенях, малы, то при восстановле- нии получится волна, амплитуда которой прямо пропорциональна амплитуде волны от предмета а = а ехр (2ni£aa;). Тогда, учитывая только второй член из (7.34), для восстановленной волны, прошед- шей через А, получаем w„ = rE1tE (Ео) = = {kiXerHE (Ео) ехр [—it, (т)] | (т) | cos Q} а ехр (2n.ilax) = = (const) а ехр (2л^аж); (7.36) здесь tb(£o)=-^|Eo=coiist’если 5^=°- Учитывая выражение (7.31) для видности V, запишем (7.36) в виде w„ = —kiXertE (Ео) ехр [ — it, (т)] [2га | (т) | cos Q] ехр (2ni^,a;) = = у rts (Ео) ехр [ — it, (т)] EgV ехр (2ш1ах). (7.37) Для интенсивности восстановленной волны имеем TD = ±[rtHEo)EoV]2. (7.38)
§ 2. ВИДНОСТЬ (КОНТРАСТ) ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС 185 В § 1, п. 2 настоящей главы мы приняли минимальную допусти- мую степень временной когерентности излучения, применяемого для получения голограммы, равной | (тн) | = 1/1^2. Поскольку У ~ | Цт (т) |, то при таком выборе интенсивность восстановлен- ной волны составляет не менее 50% интенсивности волны, вос- станавливаемой с голограммы, полученной при использовании излучения с идеальной временной когерентностью. Голографическая запись волнового фронта называется линей- ной и пространственно-инвариантной, или просто линейной, если по всей плоскости голограммы комплексная амплитуда восста- новленной волны пропорциональна исходной амплитуде предмет- ной волны. Запись будет линейной в том случае, если произ- водная комплексного пропускания t голограммы по экспозиции Е имеет постоянную величину = const, (7.39) dE ’ ' ' и не меняется во всем диапазоне экспозиций, воздействующих на различные участки голограммы. Диапазон экспозиций Етъ <Z < Е < Ем&ка можно получить из (7.33) и (7.31), причем ЕЫИП — значение экспозиции при cos Р = —1, а Ем&ка — при cos Р = +1. Выражая диапазон экспозиций через максимальную видность полос Гщако в произвольной области голограммы, имеем Ео (1 - Гмакс) < Е < Ео (1 + Гмакс). (7.40) Выполнение условия dtldE = const во всем диапазоне, определяе- мом (7.40), зависит от свойств фотоматериала, используемого для записи голограммы (см. гл. 10). Выведем некоторые общие для различных фотоматериалов условия линейной записи, рассмотрев по отдельности получение плоских амплитудных и плоских фазовых голограмм. Комплекс- ное амплитудное пропускание светочувствительного материала, пригодного для получения плоской голограммы, может быть записано в виде t = t ехр (up); его производная по экспозиции составляет 5- = _2FexP^(₽) + l7exp W 41 • (7-41> Под воздействием света, падающего на светочувствительный слой, могут меняться и модуль t и фаза <р его пропускания. Хотя фото- чувствительные материалы реагируют на действие света изме- нением как той, так и другой величины, у большинства обычно используемых материалов заметно изменяется лишь одна из них. Если dt/dE имеет конечную величину и dyldE = 0, то будет полу-
186 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. чена амплитудная голограмма, а если dyldE имеет конечную величину и dtldE = 0, то фазовая. Если мы хотим получить амплитудную голограмму па фотослое, то условие линейной записи (7.39) принимает вид dt —= const. Для определения области линейности данного фотослоя нужно построить кривую зависимости амплитудного пропускания от экспозиции (t — Е-кривую). Запись голограммы будет линейной, если диапазон экспозиций Ео (1 — Гмак0) < Е < Ео (1 + Емакс) ФИГ. 7.13. Зависимость амплитудного пропускания от экспозиции. соответствует линейному участку t — Е-кривой (фиг. 7.13). Эту кривую можно получить экспериментально, измеряя зависимость пропускания по интенсивности Д от экспозиции Е и затем вы- числяя t = В гл. 10 приведены t — Е-кривые для некоторых широко используемых в голографии фотослоев. Для записи фазовой голограммы может быть использован, например, термопластик. В этом случае из (7.39) и (7.41) получаем следующее условие линейности: ,. . d<p (£) ехр (j<p) = const (7.42)
§ 2. ВИДНОСТЬ (КОНТРАСТ) ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС 187 [где <р (Е) — зависящая от экспозиции часть фазы амплитудного пропускания светочувствительного материала]. Легко видеть, что (7.42) имеет только тривиальное решение: <р = const и dqldE = О, т. е. линейная запись фазовых голограмм, строго говоря, невоз- можна. Однако для малых, но конечных значений <р (Я) экспо- ненциальный множитель в (7.42) становится близким к единице, т. е. ехр (i<p) « 1, и условие линейной записи принимает вид = const, <р(£)«1. (7.43) Типичная кривая зависимости <р от Е показана на фиг. 7.14. Только для небольшого диапазона экспозиций, соответствующего ФИГ. 7.14. Зависимость фазы амплитудного про- пускания от экспозиции. прямолинейному участку кривой, <р (£) принимает малые значе- ния и запись является действительно линейной. Для более широ- кого диапазона экспозиций и соответственно больших значе- ний <р (£) запись становится нелинейной. На практике фазовые голограммы могут иметь высокую дифракционную эффективность без заметных нелинейных эффектов. Это означает, что сущест- вует значительный интервал экспозиций и соответствующий ему умеренный диапазон значений <р (£), в котором запись голограммы производится без существенных отклонений от линейности. У многих материалов, используемых для записи голограмм, например фотопластинок или фотопленок, прямолинейный участок кривой не доходит до значения Е = 0. Поскольку нижняя граница
188 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. линейного диапазона экспозиций есть Е$ (1 — Емак0), видность не может достичь своего максимального значения, равного едини- це. Если во всей плоскости голограммы интенсивность опорного пучка больше интенсивности предметного, то минимальное значе- ние отношения интенсивностей пучков 7?мин везде больше единицы и, таким образом, максимальное значение видности Емак0 везде меньше единицы. § 3. Расширение лазерного пучка Диаметр пучка света, испускаемого лазером, обычно составляет около 1 мм, в то время как в большинстве случаев требуется осветить предмет и получить голограмму гораздо больших разме- ров. Кроме того, необходимо обеспечить как можно большую равномерность освещения. Расширить лазерный пучок можно с помощью одной или нескольких линз или сферических зеркал. При этом не происходит значительных потерь мощности излу- чения или заметного изменения распределения интенсивности в пучке. Что же касается равномерности освещения, то она может быть достигнута только за счет использования лишь части выход- ной мощности лазера. Распределение интенсивности в лазерном пучке определяется структурой его поперечных мод. Для всех мод, кроме моды самого низкого порядка, TEMqq, в поперечном сечении пучка имеются один или несколько темных участков. Поэтому при наличии в лазерном излучении мод высоких порядков нельзя получить равномерного освещения. Если пренебречь дифракционными эф- фектами, обусловленными конечностью размеров активной среды лазера, то радиальное распределение интенсивности излучения в Т ЕМ 00-мо де описывается функцией Гаусса '•'>=2444 <7-44) где Pt = j I (г) 2лг dr] о — полная выходная мощность лазера; г — расстояние от центра до произвольной точки сечения пучка, a w — полуширина пучка. (При г = w интенсивность пучка в е2 раз меньше, чем в центре.) Это плавное изменение интенсивности по сечению пучка может нарушаться из-за дифракционных эффектов, возникающих на краях активной среды лазера, например на стенках газоразряд- ной трубки. Дифракция играет заметную роль, если лазерный резонатор образован двумя зеркалами большого радиуса, тогда
§ 3. РАСШИРЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА 189 как при использовании полусферического резонатора ее можно не принимать во внимание. Если распределение интенсивности в пучке описывается глад- кой функцией Гаусса, т. е. не искажается шумами и дифракцией, то проще всего расширить лазерный пучок, отражая его от перед- ней поверхности вогнутого или выпуклого зеркала. Главное достоинство этого способа заключается в отсутствии многократных отражений, однако падающий на зеркало и отраженный пучки должны составлять некоторый угол, что приводит к возникновению ФИГ. 7.15. Расширение пучка и пространственная фильтрация. аберраций в расходящемся пучке. Аберрации можно уменьшить, если для получения пучка, имеющего нужное сечение на заданном расстоянии, применять зеркало с возможно большим радиусом кривизны. Если распределение интенсивности в пучке не является строго гауссовым, а искажается шумами, то их можно полностью устра- нить с помощью метода пространственной фильтрации. Для этого лазерный пучок фокусируется линзой и в фокальную точку поме- щается точечное отверстие х). Для фокусировки пучка и одновре- менно для его расширения можно использовать обычный микро- объектив (фиг. 7.15). Через точечное отверстие проходят только самые низкочастотные компоненты, соответствующие медленно меняющемуся гауссовому распределению, тогда как высокочастот- ные шумы задерживаются. За отверстием распространяется сфери- ческий волновой фронт практически с чисто гауссовым распре- делением интенсивности. (Для получения плоского волнового фронта следует добавить коллимирующую линзу.) -1) Для той же цели можно использовать сужающийся волоконный све- топровод, выходной торец которого играет роль точечного отверстия [7.18].— Прим. ред.
190 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. Оценим теперь диаметр точечного отверстия, необходимый для осуществления пространственной фильтрации, считая распре- деление интенсивности пучка по-прежнему гауссовым. Если диаметр фокусирующей линзы значительно больше ширины па- дающего пучка, то изменением распределения интенсивности в пучке, обусловленным дифракцией на краях линзы, можно пре- небречь. Комплексная амплитуда света, падающего на линзу, равна квадратному корню из выражения (7.44) и пропорциональ- на ехр (—Pj/zz^) (wj — радиус, или полуширина, падающего пучка в передней фокальной плоскости линзы, а — расстояние от центра до какой-либо точки в этой плоскости). Ее фурье-образ формируется линзой в плоскости отверстия и (в соответствии с изложенным в гл. 4, § 2) определяется соотношением ехр ( — j зэ const ехр (— л2«ф v2 j =э const ехр ( , (7.45) где v = г2/Х/ (/ — фокусное расстояние линзы; г2 — радиальное расстояние в плоскости отверстия). Для нахождения интенсивно- сти пучка в задней фокальной плоскости линзы нужно возвести в квадрат правую часть соотношения (7.45), что дает Л~ехр -------; при этом полуширина пучка составляет Подставляя в (7.46) типичные значения величин X = 0,63 мкм, / = 16 мм и Wi = 1 мм, находим, что полная ширина лазерного пучка вблизи фокуса 2ш2 = 6,4 мкм. Такой пучок легко пройдет через диафрагму диаметром 10 мкм, выбранную в качестве про- странственного фильтра, а пространственные частоты, превы- шающие v = rJK-f = 5 мкм/(16 мм X 0,63 мкм) = 0,5 мм-1, будут ею задержаны. Пространственные частоты, обусловленные диф- ракцией, рассеянием на пылинках и многократным отражением в линзах, имеют еще большие значения, а потому полностью задерживаются отверстием диаметром 10 мкм. Предположим, что после расширения лазерного пучка рас- пределение интенсивности в нем осталось приблизительно гауссо- вым. Равномерность освещения предмета или фотопластинки таким пучком определяется максимальным радиусом г0 той части пучка, которая пересекается с предметом (фотопластинкой). Если предметом служит круглый диск радиусом г0, то интенсивность
§ 4. РАЗДЕЛЕНИЕ И ОСЛАБЛЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА 191 светового пучка па краю диска составляет [см. (7.44)] /е=/оехр(-М), (7.47) где Io = 2Ptln,u? — интенсивность света в центре диска, a Pt и w — соответственно полная мощность излучения и полуширина лазерного пучка в плоскости диска. Мощность лазерного излуче- ния, фактически освещающего диск, найдем, интегрируя (7.44) по радиусу г: Го J ехр ( -5) ^rdr = Pt [1-ехр ( -М)]. О Выражая экспоненту через (7.47), получаем т,+т, = *• <7-48) Если, например, мы хотим, чтобы интенсивность света на краю Диска составляла по крайней мере 50% интенсивности в центре, то для освещения мы сможем использовать только 50% полной мощности лазера. Если нужно добиться равномерного освещения гауссовым пуч- ком диска радиусом г0, то необходимо использовать фильтр с таким пропусканием, чтобы интенсивность прошедшего света в любой точке сечения пучка была такой же, как на его краю. Для этого пропускание фильтра по интенсивности должно иметь вид Г2 (г2 — г§)-] . j = J ехР|_—~2 J Для г<го, 0 вне указанной области. Теперь мощность лазера, используемую для освещения, можно записать в виде произведения интенсивности / (г) [определяемой выражением (7.44)], пропускания J и площади диска лг2: = 2Р, (Л)’ехр (-^). (7.49) Дифференцируя (7.49) по г0, находим максимальное значение Pt. При г* = ш2/2 оно равно Л,маКО=:7- = 0,37Л. § 4. Разделение и ослабление лазерного пучка Для получения голограммы лазерный пучок нужно разделить так, чтобы одну его часть использовать для освещения предмета, а другую — для формирования опорной волны (фиг. 7.1). Если
192 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. требуется осветить предмет с нескольких сторон (для устранения теней), то необходимо делить лазерный пучок па несколько пуч- ков. В большинстве случаев применяется амплитудное деление (фиг. 7.1, б), а не деление волнового фронта, так как при этом достигается большая равномерность освещения и требуется мень- шее расширение пучка. Разделение пучка может быть произведено до или после его расширения. Разделение до расширения обладает двумя преимуществами: 1) светоделитель может иметь небольшую апертуру; 2) дифракционные эффекты, обусловленные пылинками и дефектами поверхности светоделителя, могут быть затем устра- нены схемой пространственной фильтрации (микрообъектив — точечное отверстие), используемой для расширения пучка. Преимущество разделения после расширения состоит лишь в том, что при этом требуется только один набор оптических элементов для расширения пучка. Наиболее просто деление лазерного пучка на два осуществляет- ся с помощью полупрозрачных посеребренных или алюминирован- ных зеркал или же зеркал с диэлектрическим покрытием. Для устранения интерференции, обусловленной отражением света от другой поверхности зеркала, на нее наносят просветляющее покрытие. Вместо полупрозрачного зеркала можно использовать светоделительный кубик, составленный из двух прямоугольных призм, склеенных по гипотенузным поверхностям. Перед склеива- нием на одну из поверхностей наносят полупрозрачное покрытие. По сравнению с зеркалами светоделительные кубики обладают рядом преимуществ: они не создают поперечного смещения про- шедшего пучка, а их посеребренная поверхность не может быть повреждена при чистке. С другой стороны, выходящие из кубика пучки распространяются почти под прямым углом друг к другу. Отношение интенсивностей пучков, выходящих из светоделите- ля, должно быть таким, чтобы видность полос в плоскости голо- граммы была оптимальной. Конечно, величина оптимального отно- шения будет меняться в зависимости от условий получения голо- граммы. Поэтому желательно иметь светоделитель, с помощью которого можно было бы менять это отношение при наименьших потерях света. Такой светоделитель особенно необходим для голографической интерферометрии в реальном времени, поскольку оптимальное отношение интенсивностей пучков различно при получении голограмм и восстановлении волнового фронта. Простейшим устройством для получения пучков с различным отношением интенсивностей является зеркало, на которое нанесено отражающее покрытие в виде круга с монотонно изменяющимся по азимуту коэффициентом отражения. Для получения необходи- мого отношения интенсивностей пучок должен попадать на опре- деленный участок посеребренной поверхности. Очевидный недоста-
§ 4. РАЗДЕЛЕНИЕ И ОСЛАБЛЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА 193 ток такого устройства заключается в наличии градиента коэффи- циента отражения, что приводит к неоднородности деления по сечению пучка. Наиболее совершенным является поляризационный светодели- тель, изготовленный из материала, обладающего двойным луче- преломлением, например кальцита или кристаллического кварца. В качестве примера па фиг. 7.16 изображена схема, в которой светоделителем служит призма Фостера — Сили [7.12]. С помощью полуволновой пластинки А можно произвольно изменять направ- ление линейной поляризации лазерного пучка, падающего затем на призму Фостера — Сили В. Призма вырезана и посеребрена таким образом, что необыкновенный луч, поляризованный пер- пендикулярно плоскости чертежа, проходит через нее без изме- нений, а обыкновенный луч, поляризованнный параллельно плоскости чертежа, испытывает преломление и отражение и выхо- дит из призмы под углом 90° к необыкновенному лучу. Поворачи- вая пластинку А, можно получить любое отношение интенсивно- стей выходящих из призмы пучков. Неподвижная полуволновая пластинка С изменяет направление поляризации обыкновенного луча так, чтобы оба луча были поляризованы перпендикулярно плоскости чертежа, как требуется в большинстве случаев. Полу- волновые пластинки можно заменить компенсаторами или электро- оптическими кристаллами. Такие светоделители можно исполь- зовать для света с любой длиной волны. Электрооптические кри- сталлы дают возможность изменять отношение интенсивностей пучков с помощью электрического поля. Если из двух пучков в дальнейшем используется только один, то светоделитель в этом случае работает как аттенюатор. Однако 13-0990
194 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. более экономично для ступенчатого ослабления использовать нейтральные фильтры, а для плавного — две поляризационные призмы или два поляроида. Имеется два типа нейтральных фильтров, а именно фильтры, ослабляющие интенсивность излучения за счет поглощения и за счет отражения части энергии. Фильтры первого типа обычно используются для ослабления излучения небольшой мощности, примерно до 1 Вт/см2. Интерференция, обусловленная многократ- ными отражениями между поверхностями фильтра, устраняется благодаря поглощению. При более высокой мощности излучения в фильтре такого типа будет выделяться большое количество тепла, что может привести к его повреждению. § 5. Роль механической стабильности в получении голограмм Значение наибольшей пространственной частоты интерферен- ционной картины, регистрируемой на голограмме, определяет, с какой точностью положение светочувствительного материала относительно этой картины должно оставаться неизменным. Будем считать, что интерференционная картина неподвижна. При полу- чении голограмм в большинстве случаев наименьшее расстояние между полосами приблизительно равно длине волны используемо- го света. Отсюда следует, что за время экспозиции сдвиг фото- материала не должен превышать долей длины волны. В лаборатор- ных условиях достичь такой стабильности нетрудно, если для крепления фотоматериала применить сконструированный должным образом держатель. Что же касается получения стабильной интер- ференционной картины, то эта задача несравненно сложнее. Созда- ние стабильной интерференционной картины — традиционная про- блема прецизионной оптической интерферометрии. Неподвижность интерференционной картины обеспечивается тщательным и надежным креплением на массивной оптической скамье или столе оптических элементов, включая предмет, источ- ник света и фотоматериал. Нередко используются столы из грани- та, бетона, стали или алюминия, вес которых достигает нескольких тонн. Большая масса необходима для того, чтобы сделать собствен- ную частоту колебания стола (около 1 Гц) много меньше частот колебаний здания. Защитить оптический стол от вибраций здания можно, поместив стол в ванну с песком, или с помощью системы пневматических амортизаторов. Например, недорогая система амортизаторов состоит из нескольких автомобильных камер, напол- ненных воздухом при низком давлении. Другим примером может служить более дорогостоящая система на воздушной подушке.
ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ 195 Возмущения окружающего воздуха, имеющие как акустичес- кий, так и тепловой характер, также могут явиться причиной нестабильности интерференционной картины. Избавиться от них значительно труднее, чем от механических вибраций. В связи с этим во время экспозиции лучше выключать кондиционеры и вентиляторы. Источники тепла, например лампы накаливания и электрическое оборудование, должны быть по возможности заранее удалены от оптической установки. Чтобы уменьшить влияние указанных факторов, оптическую длину пути пучков, особенно между светоделителем и голограммой, делают как можно меньше. При уменьшении времени экспозиции влияние механической нестабильности и возмущений окружающей среды сказывается, конечно, в меньшей степени. Поэтому важно полнее использовать выходную мощность лазера, выбирая оптимальное соотношение между интенсивностями пучков и сводя к минимуму количество оптических элементов, а следовательно, и потерь в них. В некото- рых случаях для стабилизации интерференционной картины при- меняют электронные системы с обратной связью [7.13, 7.14]. Однако их использование возможно только в том случае, когда сдвиг полос, обусловленный механической нестабильностью или возмущениями окружающей среды, можно компенсировать изме- нением оптической длины пути опорного или предметного пучков или изменением частоты генерации лазера. § 6. Источники света для восстановления волнового фронта Если необходимо восстановить с минимальными аберрациями записанный на голограмме исходный волновой фронт, то восста- навливающий пучок должен иметь то же направление распростра- нения и тот же радиус кривизны, что и опорный пучок, исполь- зовавшийся при получении голограммы. Разрешение изображения, образованного восстановленной волной, ограничивается только протяженностью голограммы и когерентными свойствами восста- навливающего пучка. Чтобы восстановить изображение с наибольшим возможным разрешением, нужно использовать источник с такой же коге- рентностью, как и при записи голограммы. Однако во многих случаях такое разрешение не только не необходимо, но даже неже- лательно. Мощный лазер, генерирующий большое число продоль- ных мод, с успехом используется для освещения голограммы, полученной с одночастотным лазером, и по сравнению с последним дает более яркое изображение без заметного ухудшения его каче- ства. В некоторых случаях без существенного ухудшения разре- 13 *
196 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. шения на стадии восстановления применяются дуговые лампы или лампы накаливания. В этом параграфе мы рассмотрим влия- ние когерентности источника на разрешение элементов восстанов- ленного изображения. Мы видели, что степень пространственной когерентности нела- зерного источника определяется его протяженностью [см. (7.4)]. Для точечного источника, т. е. при г0 = 0 в (7.4), степень про- странственной когерентности | jis | максимальна и равна единице. Для проведения анализа предположим, что имеется реальный ФИГ. 7.17. Схема, иллюстрирующая влияние раз- меров восстанавливающего источника на изображение точки Р. источник конечных размеров, обладающий, следовательно, мет- шей пространственной когерентностью, но имеющий очень высо- кую временную когерентность. Предположим, что этот протя- женный источник используется для освещения голограммы, полу- ченной с идеальным точечным опорным источником, и рассмотрим, как сказывается на разрешении изображения уменьшение про- странственной когерентности восстанавливающего излучения. Для источника малых размеров влияние пространственной когерентно- сти восстанавливающего излучения можно оценить, исходя из выражений (3.27), определяющих координаты мнимого изображе- ния: ZiZr-j- [lzczr — [iZcZi ---- JMr (7.50) ZlZp-j- [lzczr — flZcZi--------------'
§ 6. ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ 197 где масштабный коэффициент тп, входящий в (3.27), принят рав- ным единице; хс, zc — координаты освещающего источника; р, = = а смысл остальных величин ясен из фиг. 7.17. (3 а м е- ч а н и е: результаты гл. 3, используемые далее, справедливы для плоских голограмм.) Фиг. 7.17 иллюстрирует процесс восста- новления. Голограмма Н освещается находящимся на расстоянии zr от нее исходным точечным опорным источником 7?; при этом изображение предмета Р формируется в его исходном положении (xt, г,). Теперь рассмотрим второй точечный источник излучения R', находящийся на том же расстоянии zc = zr от голограммы и излучающий свет с той же длиной волны, что и источник R [в (7.50) р, = 1]. Из (7.50) находим, что второе мнимое изображе- ние Р' имеет координаты = Xt -|-(хс — хг), z3y = zi. (7.51) zr Введем обозначения Дз/2 = xsv — xY и Дг/2 = хс — хт. Будем считать, что нелазерный источник конечных размеров состоит из совокупности точечных источников, экстремальные координаты которых Xf. = хт + \т!2, zc = z,.. Длина отрезка вдоль оси х, на котором могут расположиться изображения точки Р при вос- становлении источником шириной Дг, с учетом (7.51) выражается в виде Дз= 2 (vC3V—xt) = 2— (хс — хг), zr или Дз = —Дг. (7.52) zr Таким образом, степень пространственной когерентности излуче- ния источника, определяемая его диаметром Дг, задает минималь- ное разрешаемое на изображении расстояние Дз. Пусть, например, при восстановлении источником служит ртутная дуговая лампа с диаметром излучающей зоны 0,3 мм, излучение которой проходит через узкополосный монохромати- ческий фильтр. Если и источник и изображение находятся на рас- стоянии z,. от голограммы, то наименьший размер Дз детали, кото- рый можно разрешить на изображении, составляет 0,3 мм. При Zi = zT = 1 м такое разрешение приближается к разрешению человеческого глаза, находящегося непосредственно за голограм- мой, и его вполне достаточно для большинства визуальных наблю- дений. Из (7.52) следует, что, чем ближе находится изображение к плоскости голограммы, тем меньшие требования предъявляются к пространственной когерентности излучения источника, осве- щающего голограмму. Наименьшими они являются в том случае, когда центральное сечение изображения совпадает с плоскостью голограммы.
198 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. Рассмотрим качество изображения, восстановленного с голо- граммы, которая была получена с точечным опорным источником с идеальной временной когерентностью, а восстанавливается с помощью теплового источника очень малых размеров, испускаю- щего излучение конечной спектральной ширины Д%. Для этого мы воспользуемся формулой (3.35). Если положить, что восстанавли- вающий пучок (как и опорный) представляет собой плоскую волну, исходящую из удаленного точечного источника с координатами (xr, zr), то координаты мнимого изображения в соответствии с (3.35) можно записать в виде 3V zT z4 и 1) “V 1 ’ sv~~ I* ’ Обозначая x3V — xt = Да, xT/zT = 0r, — Х2 = Д%, получаем Да = 0гг1^-, Zsy_Z1 = ^Z1. (7.53) Предположим, что предмет находится на оси, тогда небольшие изменения его положения в направлении z не вызывают уменьшения разрешения изображения в плоскости, перпендикулярной направ- лению наблюдения. Поскольку определяет положение предмета, а при освещении голограммы исходным опорным источником излучения с длиной волны — и положение изображения, то Да представляет собой отклонение от Xt координаты изображения, возникающее при восстановлении волнового фронта источником излучения с длиной волны %2 — Таким образом, при освещении голограммы очень маленьким немонохроматическим источником со спектральной шириной излучения Д% изображение точки растягивается до размеров Да, описываемых формулой (7.53). Если в качестве примера рассмотреть опять излучение ртутной дуговой лампы высокого давления со спектральной шириной 50 А и средней длиной волны 5461 А и взять в (7.53) обычные значения величин 0Г= 15° и z4 = 100 мм, то размер размытого изображения точки будет составлять 0,24 мм. Заметим, что спек- тральная ширина источника, соответствующая сравнительно низ- кой степени когерентности, накладывает ограничения на глубину изображения, в которой можно различать мелкие детали объекта, а также на угол 0Г падения опорного пучка на голограмму. Если центральное сечение трехмерного изображения совпадает с плос- костью голограммы (zt = 0), а угол 0Г мал, то возможно восста- новление в белом свете. Изображение объекта, восстановленное в некотором объеме вблизи голограммы, будет казаться ахромати- ческим, т. е. цветовая дисперсия будет пренебрежимо мала т) (см. гл. 17, § 4). х) Цвет такого изображения будет изменяться при изменении направ- ления наблюдения.— Прим. ред.
§ 6. ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ 199 Если для восстановления используются нелазерные источники, то размеры источника и спектральная ширина его излучения являются важнейшими факторами, определяющими размер наименьшей разрешаемой детали на изображении. При восста- новлении в лазерном свете главную роль часто играют другие параметры. Так, излучение гелий-неонового лазера, генерирующе- го несколько продольных мод, обладает достаточно высокой вре- менной когерентностью, так что при получении голограммы на стандартной фотопластинке высокого разрешения размером 9 X X 12 см разрешение определяется главным образом дифракцион- ными эффектами (т. е. угловой апертурой голограммы) 1). Рас- смотрим формирование действительного изображения точки по схеме, показанной на фиг. 7.18. Максимальный линейный размер hm голограммы определяется степенью временной когерентности источника. Действительно, оптическая разность хода AL лучей, идущих через голограмму от источника до изображения, не должна превышать длины когерентности kLH. Величину hm найдем, выра- зив AL через линейный размер h голограммы (для источника, расположенного на бесконечности). Из фиг. 7.18 имеем AZ/ = /jsin0r+(^2 + zi)1/2 —zb (7.54) !) Дифракционное угловое разрешение Да голограммы указанных раз- меров Да = X/Z> = 5-Ю-6 рад. Однако на практике такого разрешения достигнуть не удается как из-за несовершенства фотоматериалов и про- цесса их обработки, так и вследствие ограниченной когерентности источ- ников (в том числе и лазерных).— Прим. ред.
200 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. Возьмем обычные значения 0Г и z;, а именно 0Г = 30° и zt = 2/j; тогда AL = 0,736Д. Заменяя AL на \LH, находим Пт 0,736 " Длина когерентности \LH излучения гелий-неонового лазера с длиной резонатора 1 м составляет 10 см, что дает для hm значе- ние около 13 см. (Заметим, что для аргонового лазера, генери- рующего несколько продольных мод и обладающего длиной коге- рентности &LH » 2 см, значение hm составляет всего 1/5 указан- ной величины.) § 7. Техника простейшего голографического эксперимента В предыдущих параграфах этой главы мы подробно рассмотре- ли те свойства источников излучения и оптических элементов, которые желательны для большинства применений в голографии. ФИГ. 7.19. Схема простой установки для получе- ния голограмм. Безусловно, требования к оптическим элементам меняются в зави- симости от условий их применения. В этом параграфе мы дадим описание простейшей голографической установки, которая позво- ляет получать хорошие голограммы и восстанавливать трехмерные изображения высокого качества. Кроме того, в этой установке
§ 7. ТЕХНИКА ПРОСТЕЙШЕГО ЭКСПЕРИМЕНТА 201 используется минимальное число недорогих оптических эле- ментов . Схема оптической установки для получения голограмм показа- на на фиг. 7.19, а на фиг. 7.20 приведена ее фотография. Все оптические элементы тщательно прикреплены к массивному сталь- ФИГ. 7.20. Фотография действующей установки, собранной по схеме фиг. 7.19. пому оптическому столу, который покоится на нескольких нака- чанных камерах от колес самолета. Светоделители и зеркала прикреплены воском к металлическим стержням, зажатым в гнез- дах штативов, которые в свою очередь крепятся болтами к столу. В качестве источника света используется гелий-неоновый лазер, генерирующий несколько продольных мод. Его выходная мощ- ность составляет 1,8 мВт, а длина волны излучения 6328 А. Свето- делителем служит стеклянная пластинка толщиной примерно 5 мм, от каждой поверхности которой (передней и задней) отражается около 5% падающего излучения. Излучение, отраженное от перед- ней поверхности, используется в качестве опорного пучка,
202 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. а оставшиеся 90% проходят через пластинку и освещают предмет. Два 20 X микрообъектива (фокусное расстояние 8 мм, числовая апертура 0,5) увеличивают диаметр пучков от 1 мм до 7 см вблизи ФИГ. 7.21. Фотография голограммы, полученной на установке, показанной на фиг. 7.20. объекта S и голограммы Н. Два зеркала Mt и М2, на передних поверхностях которых свет испытывает отражение, расположены так, что средние оптические длины путей BMtSH и ВМ2Н при- близительно одинаковы. Чтобы дать представление о качестве результатов, которых можно достичь с помощью этой установки, была получена голо- грамма расположенных друг за другом трех керамических букв высотой 2 см. Средняя интенсивность света, попадающего от этого предмета на голограмму, составляла 0,2 мкВт/см2, а опорного пучка 1 мкВг/см8. Для записи голограммы использовалась фото- пластинка Кодак 649F, а время экспозиции составляло прибли- зительно 50 с. Экспонированная пластинка обрабатывалась в проявителе типа Кодак D-19 или HRP, предназначенном для эмульсий с высоким разрешением. После проявления проводи- лись обычные этапы фотообработки (фиксирование, отбеливание, промывка), которые более подробно описаны в гл. 10. На фиг. 7.21
§ 7. ТЕХНИКА ПРОСТЕЙШЕГО ЭКСПЕРИМЕНТА 203 приведена фотография полученной голограммы. На ней видна гру- бая дифракционная картина, обусловленная рассеянием света на пылинках, которые, вероятно, попали на микрообъективы, исполь- ФИГ. 7.22. Схема установки для восстановления. ФИГ. 7.23. Изображение, полученное с голограм- мы, показанной на фиг. 7.21. зуемые для расширения световых пучков (голографические поло- сы, представляющие собой запись волнового фронта, имеют слиш- ком большую пространственную частоту и видны лишь при увели-
204 ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА ГЛ. 7. чении). Полосы, образованные дифракцией на пылинках, не ока- зывают существенного влияния на качество изображения, восста- новленного с голограммы, однако при желании их можно устра- нить с помощью пространственной фильтрации, помещая вблизи фокуса микрообъектива диафрагму диаметром 10 мкм (см. § 3 настоящей главы). Простая схема восстановления исходного предметного волново- го фронта показана на фиг. 7.22. Свет от лазера попадает на микрообъектив, который расширяет пучок и формирует для освещения голограммы волновой фронт, тождественный исходному опорному. Волна, восстановленная таким способом, образует мни- мое изображение, размеры и положение которого относитель- но голограммы совпадают с размерами и положением исходного предмета. На фиг. 7.23 приведена фотография восстановленного изображения. ЛИТЕРАТУРА 7.1. KOGELNIK Н., LI Т., Appl. Opt., 5, 1550 (1966). Лазерные пучки и резонато- ры. 7.2. BORN М., WOLF Е., Prin- ciples of Optics, 3rd ed., Ox- ford, 1965. (Имеется перевод: М.БОРН, Э. ВОЛЬФ, Основы оптики, М., 1970.) 7.3. MITCHELL А. С. G., ZE- MANSKY М. W., Resonance Radiation and Excited Atoms, London — New York, 1961. (Имеется перевод 1-го пзд.: А. МИТЧЕЛЛ, М. ЗЕМАН- СКИЙ, Резонансное излуче- ние п возбужденные атомы, М.. 1937.) 7.4. CAMPBELL G. A., FOSTER R. М., Fourier Integrals for Practical Applications, New Jersey, 1961. 7.5. GORDON E. I., WHITE A. D., Proc. IEEE, 52, 206 (1964). Одночастотные газовые лазе- ры с длиной волны излучения 6328 А. 7.6. LIN L. Н., LoBIANCO С. V., Appl. Opt., 6, 1255 (1967). Экспериментальная техника получения многоцветных го- лограмм при восстановлении в белом свете. 7.7. BARBER Н. Р., Appl. Opt., 7, 559 (1968). Увеличение длины когерент- ности He-Ne-лазеров. 7.8. SMITH Р. W., IEEE Journ. Quant. Electron., 1, 343 (1965). Стабилизированный одноча- стотный лазер с длинным ре- зонатором. 7.9. SMITH Р. W., IEEE Journ. Quant. Electron, 2, 666 (1966). О стабилизации мощного одно- частотного лазера. 7.10. ZORY Р., Journ. Appl. Phys., 37, 3643 (1966). Измерение мощности одноча- стотного аргонового лазера п изотопического сдвига линии 6328 А неона с помощью ин- терферометрического лазера. 7.11. RIGROD W. W., JOHNSON А. М., IEEE Journ. Quant. Electron., 3, 644 (1967). Резонансный призматический селектор мод для газовых ла- зеров. 7.12 . CAULFIELD Н. J., BEYEN W. J., Rev. Sci. Instr., 38, 977 (1967). Двупреломляющие светодели- тели в голографии. 7.13 . NEUMANN D. В., ROSE Н. W., Appl. Opt., 6, 1097 (1967). Улучшение качества записи голограмм с помощью систем с обратной связью
ЛИТЕРАТУРА 205 7.14 . ROSE Н. W., PRUETT Н. D., Appl. Opt., 7, 87 (1968). Стабилизация голографиче- ских полос с помощью систем с обратной связью, осущест- вляющих модуляцию частоты. 7.15 *. BUTTERS J. N., Holography and Its Technology, Camb- ridge, 1971. 7.16 *. ОСТРОВСКИЙ Ю. И., Голо- графия, Л., 1970. 7.17 *. ОСТРОВСКИЙ Ю. И., Голо- графия и ее применение, Л., 1973. 7.18 *. ОСТРОВСКИЙ Ю. И., Авт. свид. па изобр. № 300919, 1969.
Глава 8 АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ Расстояние между полосами на небольших осевых голограм- мах, зарегистрированных при недиффузном освещении, значитель- но превышает толщину фотослоя. Каждый луч, освещающий такую голограмму, при прохождении через нее взаимодействует только с одной зарегистрированной на ней полосой. Следовательно, действие, оказываемое голограммой на пучок света, подобно действию плоской дифракционной решетки, обладающей фокуси- рующими свойствами. Габор рассмотрел эти свойства для случая строго двумерной голограммы. Полученные им выводы оказались в хорошем согласии с экспериментальными данными. В предложенном Лейтом и Упатниексом методе с наклонным опорным пучком образуются голограммы с большей частотой полос, чем в случае осевых голограмм. Разность частот пропор- циональна величине угла между предметным и опорным пучками [см. (3.15)]. Типичное значение расстояния между полосами на голограмме с наклонным опорным пучком можно получить, рас- смотрев интерференцию двух плоских волн. Расстояние между полосами d связано с углом 0 (равным половине угла между направлениями пучков) и длиной волны А, соотношением (1.10): 2d sin 0 = А,. Для 0 = 15° и А, = 0,5 мкм (зеленый свет) имеем d = 1 мкм. Толщина фотослоев, используемых для регистрации внеосевых голограмм, составляет обычно 15 мкм, и, следовательно, зарегистрированные на них голограммы по сути дела уже нельзя считать двумерными. Тем не менее Лейт и Упатниекс [8.1, 8.2], используя представления теории связи, распространили двумер- ный анализ и на случай внеосевых голограмм. Несмотря на то что двумерная модель на самом деле обычно не реализуется, такой подход создал хорошую базу для дальнейшего развития гологра- фии. Однако его применение к тем голограммам, которые правиль- нее было бы рассматривать как объемные дифракционные решетки, дает результаты, выполняющиеся лишь частично, и оставляет необъясненными многие наблюдаемые на практике свойства голо- грамм. Поэтому важно помнить, что выводы, полученные в результате анализа плоских голограмм, строго выполняются лишь для голо- грамм, зарегистрированных на достаточно тонких слоях. В каче- стве примера такого слоя можно назвать термопластик, толщина которого может быть сравнимой с длиной световой волны. Наблю-
§ 1. ПОЛУЧЕНИЕ ГОЛОГРАММ С НАКЛОННЫМ ОПОРНЫМ ПУЧКОМ 207 даемые свойства голограмм, зарегистрированных на термопласти- ке, правильно предсказываются теорией плоских голограмм. Используя математический аппарат, разработанный в теории дифракции (см. гл. 5 и 6), рассмотрим теперь те свойства плоских голограмм, которые нельзя было получить с помощью геометри- ческого анализа, проведенного в гл. 3. На теории дифракции основано и обсуждение фурье-голограмм. Мы выведем условие разделения формирующих изображение волн, дифрагирован- ных внеосевой голограммой, рассмотрим факторы, влияющие на качество изображения, и найдем максимальное значение диф- ракционной эффективности амплитудных и фазовых голограмм. § 1. Получение голограмм с наклонным опорным пучком при недиффузном предметном пучке Получение голограммы с помощью опорной волны, интерфери- рующей с предметной под некоторым углом, было описано в гл. 2, § 6, как один из наиболее эффективных методов разделения двойни- ковых изображений. Пространственно-частотный анализ этого метода приводит к понятию несущей, или опорной, волны, про- странственная частота которой модулируется информацией о пред- мете. Таким образом, выражение голограмма с несущей частотой эквивалентно выражению внеосевая голограмма. При использова- нии метода несущей частоты отпадает необходимость получения опорной волны за счет света, прошедшего через предмет. Вследствие этого при применении внеосевых голограмм, в противоположность габоровским голограммам, нет необходимости ограничиваться транспарантами с большими прозрачными участками. На фиг. 8.1 показан простой способ деления волнового фронта, позволяющий освещать прозрачный транспарант когерентной плоской волной и получать наклонную плоскую опорную волну от того же источника. В качестве предмета можно взять полутоно- вый транспарант. Пусть а (х, у) — комплексная амплитуда пред- метной волны в плоскости голограммы, г = г ехр (2ni%rx) — комплексная амплитуда плоской опорной волны. Пространствен- ная частота опорной волны 5Опорн = —5г = —(sin 0)/^ соответ- ствует волновому вектору опорной волны, направленному вниз от оси z, где 0 — угол, образованный им в плоскости xz с осью z. Как и в гл. 1, § 8, мы будем рассматривать получение амплитудной голограммы. Пусть после записи интерференционной картины, образованной волновыми фронтами а (х, у) и г, и полной фотогра- фической обработки мы получили голограмму с амплитудным пропусканием (8-1) t = to — kl,
208 АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ ГЛ. 8. где t0 — пропускание неэкспонированной (но проявленной) пла- стинки; к — постоянная, а I — интенсивность интерференционной картины. Согласно (1.15), интенсивность описывается выражением I — аа* + гг* + »г* + а*г = = аа* + г2 + аг ехр (—2л^г;т) + а*г ехр (2тЕ,гх). (8.2) ФИГ. 8.1. Простая схема получения голограммы с внеосевым опорным пучком. Если на стадии восстановления голограмма освещается исходной опорной волной, для комплексной амплитуды поля сразу за голо- граммой имеем w (х, у) = rt = tor ехр (2n,i%rx) — к [аа*г ехр (2л^га;) + + г3 ехр (2л^г;т) + аг2 + а*г2 ехр (4л^га;)]. (8.3) 1. Разделение дифрагированных волн В гл. 1, § 8, мы без доказательства утверждали, что при соот- ветствующем направлении опорной волны можно отделить нужную восстановленную волну от остальных, дифрагированных голо- граммой. На фиг. 2.10 геометрически показано, что для этого необходимо иметь достаточно большой средний угол между пред- метным и опорным пучками. Чтобы связать условие углового разделения дифрагированных волн с максимальной пространствен- ной частотой пропускания предмета, проведем пространственно- частотный анализ выражения (8.3) [8.1]. Пусть голографируемый транспарант имеет пропускание s (х, у) и спектр S (f, ц), где
§ 1. ПОЛУЧЕНИЕ ГОЛОГРАММ С НАКЛОННЫМ ОПОРНЫМ ПУЧКОМ 209 s (х, у) S (5, т]). Протяженность спектра S (5, р) лежит в пре- делах от ^макс Д° “Ь^макс и от Лмакс ДО “ЬЛмакс Возможное спектральное распределение | S (£, т]) | в плоскости ?г| приведено на фиг. 8.2. При освещении транспаранта распространяющейся вдоль оси z плоской волной комплексная амплитуда предметной ФИГ. 8.2. Спектр транспаранта. волны, падающей на голограмму, равна а (х, у). Соответствующий этой функции спектр определяется выражен