/
Author: Дэвис Б.Ф. Мубин Дж.
Tags: математика справочные издания по математике задачи по математике детское развитие естественные науки история математики увлекательная литература
ISBN: 978-5-00169-086-3
Year: 2020
Text
о
ЗАЧЕМ НУЖНА
4
МАТЕМАТИКА?
ЗАЧЕМ НУЖНА
МАТЕМАТИКА?
УДК 51 (035)
ББК22.1Я2
Д94
[dk|
Издано с разрешения Dorling Kindersley Ltd
На русском языке публикуемся впервые
I :аучно-популярное издание
Для младшего школьного возраста
Зачем нужна математика?
Авторы текстов Бен Ффранкон Дэвис, Джунайд Мубин
Иллюстратор Кларисса Хассан
Переводчик канд. физ.-мат. наук Евгений Поникаров
Шеф-редактор Алена Яицкая
Ответственный редактор Анна Бойцова
Научный редактор канд. физ.-мат. наук Иван Ефишов
Литературный редактор Ольга Дергачева
Арт-директор Елизавета Краснова
Верстка обложки Елизавета Саратовцева
Верстка Ирина Гревцова
Корректоры Надежда Болотина,
Юлия Молокова
Тираж 4000 экз.
Отпечатано в Словакии
Импортер: ООО «Манн, Иванов и Фербер»
123104, Россия, г. Москва, Б. Козихинский пер., д. 7, стр. 2, оф. 24
mann ivi.nov-ferber.ru
facebook.com/mifdetstvo
vk.com/mifdetstvo
instagram.eom/i nifdetstvo
This book was designed, produced and published in 2020 by
Оригинальное название: What's the Point of Maths?
Dorling Kindersley Limited
80 Strand, London, WC2R ORL
© Dorling Kindersley Limited, 2020. A Penguin Random House Company
© Издание на русском языке, перевод. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2021
ISBN 978-5-00169-086-3
Все права защищены. Никакая часть данной книги
не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме
без письменного разрешения владельцев авторских прав.
A WORLD OF IDEAS:
SEE ALL THERE ISTO KNOW
www.dk.com
ЗАЧЕМ НУЖНА
МАТЕМАТИКА?
ОГЛАВЛЕНИЕ
6 ЗАЧЕМ НУЖНА МАТЕМАТИКА?
8 ЧТО ТАКОЕ ЧИСЛО
И СЧЕТ?
10 Как следить за временем
14 Как считать с помощью своего носа
16 Как посчитать скот
20 Как из ничего сделать число
24 Как быть отрицательным
28 Как взимать налоги
32 Как пользоваться долями
34 Как узнать неизвестное
36 ЧТО ТАКОЕ ФИГУРЫ
И ИЗМЕРЕНИЕ?
38 Как создать фигуру
40 Как использовать симметрию
42 Как измерить пирамиду
46 Как измерить свое поле
50 Как измерить Землю
54 Как ухватить кусочек пи
56 Как узнать, который час
60 Как использовать координаты
64 ЧТО ТАКОЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ
И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ?
66 Как предсказать визит кометы
70 Как стать триллионером
74 Как использовать простые числа
76 Как представить бесконечность
78 Как сохранить тайну
84 ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА?
86 Как произвести впечатление
90 Как поймать мошенника
94 Как оценить население
98 Как изменить мир с помощью чисел
102 Как вычислять большие числа
Рядом с некоторыми датами написано:
«до н. э.» и «н. э.». Так обозначают пери-
оды «до нашей эры» и «нашей эры».
Если точная дата события неизвестна,
используется сокращение «ок.» —
от слова «около». Оно показывает, что
дата приблизительная.
106 ЧТО ТАКОЕ ВЕРОЯТНОСТЬ
И ЛОГИКА?
108 Как спланировать маршрут
112 Как выиграть в телеигре
116 Как избежать тюрьмы
120 Как написать историю
126 Словарь
1TJ Ответы
ЗАЧЕМ НУЖНА
МАТЕМАТИКА?
возникла в глубокой ^ревностны и развивалась вместе с Челове-
чеством. Этпа на^ка^ала лкдям универсальный Я3Ы.К, который помогаем
изучать окружцоЦий мир. Мы во многом обязаны матпематпике великими
достижениями и невероятным развитием современных технологий. Давай
разберемся, в Чем помогает^ математика.
ОПРЕДЕЛИТЬ
ВРЕМЯ
От древности, когда дни
отсчитывали, следя за луной,
до наших дней, когда атомные
часы отмеряют доли секун-
ды, — математика с нами
каждую секунду каждого часа.
ОРИЕНТИРО-
ВАТЬСЯ
Математика всегда помога-
ла людям определять, где
они находятся, — от коор-
динат на карте до высоко-
технологичных методов
триангуляции, которые
применяются в современных
системах GPS.
СОБИРАТЬ УРОЖАЙ
Тысячи лет назад люди пытались
предсказывать, когда созреют пло-
ды. Современные фермеры собира-
ют максимальный урожай с помо-
СОЗДАВАТЬ
ШЕДЕВРЫ
Как написать картину с иде-
альными пропорциями или
спроектировать абсолютно
симметричное здание? Мате-
матика дает ответы — будь
это золотое сечение древних
греков или расчеты для
построения перспективы.
МУЗИЦИРОВАТЬ
Кажется, что между математикой
и музыкой ничего общего. Но как
без математики отсчитывать такты
или следить за ритмом? Она помо-
гает понять, как сложить разные
ноты, чтобы получилась гармония.
ИЗУЧАТЬ
ВСЕЛЕННУЮ
Математика помогала людям по-
стигать Вселенную уже с тех времен,
когда они впервые взглянули на звездное
небо. Наши предки отмечали черточками
фазы луны. Ученые Возрождения изучали
орбиты планет, а современные астрономы —
расстояния до других звезд. Математика —
это ключ к секретам Вселенной.
ИССЛЕДОВАТЬ
КОСМОС
Чтобы создать ракету
СТРОИТЬ ГОРОДА
Математика лежит в основе
любого решения архитекторов,
строителей и инженеров. Это
особенно важно в современ-
ном мегаполисе. Например,
здания без стен появились
только в XX веке с развитием
геометрии и, конечно, созда-
нием новых материалов.
л
и запустить ее в космос,
необходимо точно рас-
считать орбиту Земли,
траекторию полета и мно-
гое другое. На основе
догадок сделать это
не получится.
СПАСАТЬ ЖИЗНЬ
Без математического анализа
данных врачи и ученые
не смогли бы испытывать
СЧИТАТЬ ДЕНЬГИ
Экономика не может существовать
без математики. В древности люди
вели счет доходам, а сегодня слож-
ные математические модели объяс-
няют, как действует международный
бизнес и торговля, управляют ими
новые лекарства, выполнять
сложные операции или изучать
опасные болезни — а значит,
спасать жизни.
РАЗРАБАТЫВАТЬ
КОМПЬЮТЕРЫ
В XIX веке Ада Лавлейс напи-
сала алгоритм для вычисли-
тельной машины, который считается пер-
вой в мире компьютерной программой.
Сегодня компьютеры и смартфоны произ-
водят колоссальные вычисления, а благо-
и прогнозируют их развитие.
даря высокоскоростному интернет-соеди-
нению передаются гигабайты данных.
7
ЧТО ТАКОЕ
ЧИСЛО И СЧЕТ?
Число — главное понЯтпые маупематпыки. Начиная с простейших
систем сЧетпа, Koy^opbiMu пользовались кати предки, и закан-
чивая сравнениями, KOT^opbie поМогакпщ оЗьЯснЯупЬ принцип^.
Ссупройсуп^а ^селенной, Числа и бЬьЧислениЯ дакпщ ЙозМоЖносупЬ
понять и описать окрсжакхции мир.
КАК СЛЕДИТЬ
ЗА ВРЕМЕНЕМ
ИстпориЯ сЧет^а босходитщ ко бремени пербех луодей б Африке — не ме-
нее 35 тпесЯЧ летп на^ад. Истпорики сЧитпаклть Чтпо идти предки ЧертпоЧ-
каМи обмечали равнее фа^е луне и цодсЧитпебали количество про-
иледщих ^ней. Этпо бело крайне бажно^ля бежибаниЯ: племена
охо-упникоб и собирателей могли следить 3а Перемещением страд Жи-
ботрнех и .даже прогнозиробатпЬ, когоа cojpejoYn определеннее плоде
и Ягоде
К середине цикла
луна стпано&ппсЯ
Полной; она круглая,
ЗолЬшая и яркая.
3 начале цикла
луна выглядит^
узкой полоской.
1Люди давно за-
метили постоян-
ные, циклические
изменения формы
луны.
2 Они поняли, что
если следить
за такими изменения-
ми, то можно спрогно-
зировать будущие со-
бытия.
10
Когда луна д(лла пол-
ной, использовали
Черточку подлиннее.
3 Древние люди вели счет и с по-
мощью линий записывали чис-
ла и величины. Добавляя новые
линии-отметки каждый раз, когда
луна увеличивалась или уменьша-
лась, они создали первый в мире
календарь.
КАК ВЕСТИ СЧЕТ
Простейший способ счета — ставить какие-нибудь отметки. Самая
древняя форма такой записи — черточки, изображающие количе-
ство предметов. Для поштучного счета это удобно. Но записывать
так большие числа утомительно. Только представь, сколько време-
ни придется рисовать черточки для числа 100! Для упрощения люди
стали группировать отметки по пять.
Ж1
ин ж/
4wio5bt записать
Число 5, пятая
ЧертоЧка ставит-
ся наискосок —
Через Четыре
Пред(л^Ш,ие.
Число 10 поЛ^Чает^сЯ,
Для Числа 6 ^о-
За£лЯетсЯ сле-
10
ког^а диагональная
линия перечеркивает
втпор^к) Четверку
5
^КХЦаЯ линия.
СЧЕТ ТОЧКАМИ И ЛИНИЯМИ
Со временем появилась система, в которой использовались
точки и линии. Числа от 1 до 4 обозначались точками, а дальше
добавлялись линии. В итоге получилась группа из десяти
элементов: четыре точки и шесть линий, соединяющих их
по сторонам и крест-накрест.
4mo5bi записать
Число 5, Межэд
^^МЯ точками
Про^о^итсЯ линия.
Такие же Линии по/Лоаа-
кщ оЗознаЧищЬ Числа 6,
? и S’. Число 8 ^(лглЯуит
как квадрат-
10
Наконец, для Чис-
ла 10 Про&эдиупсЯ
вторая диагональ.
Чуг|0§(л записать Число 9.
Проводится диагондлЬ.
СЧЕТ ШТРИХАМИ
В Китае создали особую систему. В ней
группа из пяти элементов изображается
в виде иероглифа, который рисуется
в пять штрихов.
ЗАД*4**
Какие числа здесь записаны?
Сначала посчитан, сколько
здесь групп по 5 и по 10.
Изображение ндЧина-
ет^сЯ с длинно и. гори-
Зон^алЬной линии.
Штрихи приба&ля-
улчсЯ Г)° одному.
ЗдесЬ их Четг^я-ре.
жж»
ЖЖЖН1
Em,e одни aopujon-
тполЬная л лния
внизу Завершает
группу. С которой
ПЯтЬ штрихов.
IЛ
2
3
ПОПРОБУЙ
ПОСЧИТАТЬ
ПО СТАРИНКЕ
Черточками удобно считать
количество животных — на-
пример, в саду или в парке.
Когда видишь новое живот-
ное, ты не пишешь каждый
раз новое число, а просто
добавляешь еще одну чер-
точку.
А теперь — твоя попытка!
Запиши черточками, сколько
собак, кошек и птиц ты
увидел за час наблюдений.
Собаки 1111
Koluki i ЖЖ 1
Птицы Ж II
в РЕАЛЬНОМ МИРЕ
Кость Ишанго
Эту кость бабуина нашли в 1960 году
в местечке Ишанго (Конго). Ей больше
20 тысяч лет, и она испещрена насечка-
ми по всей длине. Некоторые ученые
считают, что это самый древний инстру-
мент для математических подсчетов.
Правда, никто не знает, что наши предки
записывали с помощью таких отметок.
13
КАК СЧИТАТЬ С ПОМОЩЬЮ
СВОЕГО НОСА
БервЬьм сЧетлнЬил ^стл рой стлвом Sbuio нате тлело. До тлоао, как л>оди начали. записЬсватлЬ Числа,
они ПоЧтли наверняка отлсЧитлЬсвали их с поМоЩЬуо палЬцев. Так в русском St^bixe Число
^ПЯтлЬ^ происходит^ отл пЯстли, тл° естлЬ ладони с пЯтлЬуо пальцами. У ЗолЬщикстлва народов
систлемЬь сЧетла основания на Числе 10, поскольку лкдей
стлолЬко палЬцев. Однако в кекотлорЬях цивилизациях
Придумали cnocoSbi, aje исполЬзовалисЬ cjp^aue
Частей тлела — ^аже кос!
СЧЕТ ДЕСЯТКАМИ
Счет по пальцам, вероятно, привел к появ-
лению системы счисления, которой мы
сейчас пользуемся. Она называется деся-
тичной, потому что мы думаем и считаем,
группируя предметы по 10 штук.
СЧЕТ ДВАДЦАТКАМИ
Майя и ацтеки использовали два-
дцатеричную систему счисления.
Видимо, дело в том, что у чело-
века 10 пальцев на руках
14
СЧЕТ ПО 60
Древние вавилоняне большим пальцем
руки прикасались к фалангам осталь-
ных пальцев (их получалось 12). Чтобы
обозначить количество групп по 12,
загибали пальцы на другой руке.
Если умножить 12 на 5, то получит-
ся 60. Сейчас мы используем эту
систему для счета времени: в минуте
60 секунд, а в часе 60 минут.
СЧЕТ ПО 27
У племен Папуа — Новой Гвинеи основа-
ние счисления — 27, оно тоже связано
с частями тела. Человек начинает счи-
тать на пальцах одной руки (1-5), про-
двигается вверх до плеча (6-11), идет
по лицу к носу (12-14), а затем точно так
же спускается от носа к пальцам другой
СЧЕТ У ИНОПЛАНЕТЯН
Если у жителей какой-нибудь
планеты восемь пальцев или
восемь щупалец, то весьма
вероятно, что им подойдет
восьмеричная система счис-
ления — по основанию 8.
От нашей десятичной она
будет отличаться лишь
внешне.
КАК ПОСЧИТАТЬ
СКОТ
БолЬще щестли тпЬьсЯЧ лети назад на плодородна равнинах Месопотамии, где
сейчас находиться Ирак, процветьала цивилизация шумеров. Лкди освоили
Земледелие и скотьоводстлво. Они вЬяраЦивали пшеницу разводили овец
и коров. У шумерских скотьоводов, тьорговцев и сЗорЦиков налогов возникла
ПотьреЗностьЬ запысЬьватьЬ имуцестьво, с^олги и налоги. ЛоЭтьом^ они разра-
Зотъали Золее слохнЬьй спосоЗ, Чем отьметьки на стьене наших пецернНх
Предков или сЧеть по ЧастьЯМ тлела.
1 Шумерским скотоводам
и сборщикам налогов
надо было записывать коли-
чество скота или величину на-
лога. Поэтому они создали си-
стему для подсчета имущества.
16
2 Из кусочка глины лепили фигурки, которые
изображали скот или другую собственность.
Имущество каждого человека подсчитывали и нуж-
ное количество фигурок клали в полый шар из сы-
рой глины. Когда она засыхала, фигурки внутри уже
нельзя было достать и подделать.
3 Разбивать шар каждый
раз было неудобно, по-
этому шумеры стали прижи-
мать фигурки к его поверхно-
сти, пока глина еще была
влажной. Получались оттиски.
1
YYY
YY
УТУ
ТУТ
Корова
Фигурки Збчли
неЗолЬшие —
ОУП 1 <jo 3 сЛ1
4
ш ггп
TY
8
10
12
Числа на алинянЬле упаЗлиЧки на-
клеили заостренной палочкой, ко-
торая оставляла УПре^голЬн!ле
оуплеупинЬи
Позже народы Месопотамии
придумали для цифр симво-
лы и смогли записывать большие
количества предметов или живот-
ных.
YYY
YYY
ЬерупикалЬнЬш клин означал Л а аори-
ЗогЧтпалЬнЬш — 1Q. TIoSynoAVy Число 12
изоЗражалосЬ о^ни/л горизоктпалЬнЬиА
и^>ул\Я берупикалЬнЬиМи клиньями.
17
ЧИСЛА В ДРЕВНОСТИ
Свои числовые системы были не только
у шумеров. Древние египтяне ключевые
числа изображали иероглифами, а римляне
записывали буквами.
ЕГИПЕТСКИЕ ИЕРОГЛИФЫ
Чтобы записывать слова, древние египтяне
использовали особые значки — иерогли-
фы. А за три тысячи лет до н. э. они с помо-
щью иероглифов стали записывать числа.
У них были отдельные символы для 1,10,
100 и так далее.
РИМСКИЕ ЦИФРЫ
Римляне записывали числа буквами по опре-
деленным правилам. Если меньшая цифра
стоит после большей, то их нужно сложить:
например, XIII — это 10 + 3. Если же меньшая
цифра написана перед большей, то первую
надо вычесть из второй. Например, IX означает:
10-1 = 9.
10 100 1000
I II
1 2
10000
100000
1000 000
1 000 000 — Человек
VI
6
XX
20
VII
7
50
Ill IV
3 4
VIII IX
8 9
С D
100 500
V
5
X
ю
м
юоо
В РЕАЛЬНОМ МИРЕ
Древние числа сегодня
Римские цифры используют до сих пор. Монархи до-
бавляют их к своим именам, например королева Ели-
завета II. Римские цифры встречаются на циферблатах
часов: иногда при этом 4 записывается как 1111, а не как
IV. Века в книгах тоже записывают римскими числами.
18
СОВРЕМЕННЫЕ ЧИСЛА
В Индии в III веке до н. э. из обычных отметок для счета появились цифры,
написанные письмом брахми. КIX веку их начертание поменялось — чис-
ла стали называться индийскими. Арабские ученые позаимствовали эту
систему, а позже западно-арабская форма записи распространилась
в Европе. Нынешняя европейская форма индо-арабских цифр применяет-
ся в мире чаще всего.
Цифр1я Зрахми
начинались К4К
П ростре ЧертпоЧ-
ки^лЯ счетца.
Брахми> III век ^о н. э.
jbna цифра превратпиласЬ
б современник? 3.
Г Ч> 7
8
Со временем гори- _____
ЗокгпалЬнЬяе линии
соединились и оЗ- *
радовали символ(я |
1. 2 и 3.
Пн^ийские, IX век
Западно-арабские цифры
Европейская форма
индо-арабских цифр
12 3 4 5 6 7 8 9
ПОПРОБУЙ
ЗАПИСАТЬ СВОЙ ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ
Знаменитый русский египтолог Владимир Семёнович Голе-
нищев родился 29 января 1856 года. Как бы он записал
дату дня рождения египетскими иероглифами или римски-
ми цифрами?
Египетские
иероглифы
9Wnnni
арр A hi
Римские цирры
XXIX • I
MDCCCLVI
А теперь запиши египетскими иероглифами или
римскими цифрами дату твоего дня рождения.
19
КАК ИЗ НИЧЕГО
СДЕЛАТЬ ЧИСЛО
Т1у*пЬ отлп аЗстпрактпкой идеи «ниЧупо^о реального Числа ноль ЗЬип долгим. Свой.
вк/iaj внесли цивилизации со всего Мира. Сейчас цифра 0 ~ важнЬш Элементу
►bi в записи Числа
О ноль означает^
Количество единиц, а в Числе 1.01 — количество ^есЯтпков. МолЬ — сам по се5е
Число: Mbi можем приЗавлЯтпЬ его, вЬьЧитпатпЬ или улножатпЬ на него. £ русском
ЯзЬъке Этп° слово пишемся и как ^нолЬ», и как «нулЬ3».
Позиционной сист^еми сЧислениЯ, в которой значение цифр1
Забиситп отп ее положения (разрЯоа). Например, S Числе iiC
ПУСТОЕ МЕСТО
Вавилоняне первыми из народов мира
использовали позиционную систему
для записи чисел, однако поначалу они
не рассматривали 0 как число, и поэто-
му долгое время для него не было
знака. Вместо этого они оставляли
пустое место. Однако тут легко запу-
таться, потому что, например, числа
101 и 1001 записывались одинаково.
1 1 = 101,1001
7 или 10000001?
Если 3U цисррЬь нолЬ не с^Щестп-
(?O&U1O, ТТ|О 5(ЯЛО Sbl Tfflp^KO
Понять, какое Число записано.
э.
СОВСЕМ НИЧЕГО
У римлян не было даже идеи нуля,
потому что в их системе он был просто
не нужен. Позиционной системы счис-
ления в Древнем Риме не существовало:
там всего лишь обозначали буквами
некоторые числа. Поэтому, например,
число 1201 записывали без нуля
ЛЛСС1 = 1000 +100 +100 +1 = 1201
20
CI = 100 + 1
Ml = 1000 +1
НЕПРИЯТНЫЕ
ВЫЧИСЛЕНИЯ
У древних греков нуля также не было.
Древнегреческому философу Аристотелю
не нравилась сама идея такого числа:
когда он пытался разделить что-нибудь
на ничто, это приводило к беспорядку
в вычислениях.
РАКОВИНЫ МАЙЯ
Для изображения нуля майя в Центральной
Америке использовали раковину. Однако
возможно, что она показывала не число ноль,
а обозначала пустое место, каку вавилонян.
628 г-и-
е«н
Деление на ноль
Невозможно разделить на ноль.
Например, разделить несколько
яблок на ноль — значит не дать
яблок никому: ни себе, ни дру-
зьям, а затем спросить, сколько
получил каждый. Бессмыс-
ленный вопрос, правда?
ПРАВИЛА
ДЛЯ НУЛЯ
Индийский математик Брахмагупта был первым
ученым, который рассматривал ноль как число.
Он вывел правила, как производить вычисления
с ним.
Если к какому-нибудь числу добавить или вычесть
ноль, число не меняется.
Если какое-нибудь число умножить на ноль, полу-
чится ноль.
Ноль, деленный на ноль, равен нулю.
Первые два правила считаются верными и сейчас.
А вот делить на ноль нельзя.
ПУТЕШЕСТВИЕ НУЛЯ
Великий ученый Мухаммед аль-Хорезми,
живший и работавший в Багдаде, создал
много трудов по математике. Он использо-
вал индийскую систему записи чисел, в ко-
торую включался и ноль. Его произведения
были переведены на многие языки. Это
помогло распространить знание о том, что
ноль тоже число.
НОЛЬ В СЕВЕРНОЙ
АФРИКЕ
Арабские купцы, путешество-
вавшие по Северной Африке,
распространили идею нуля
среди торговцев, которые
приезжали из других частей
света. Купцы из Европы, где
все еще были в ходу римские
цифры, быстро восприняли
новую идею.
XI век
РАССЕРДИЛИСЬ ИЗ-ЗА НИЧЕГО
Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи,
познакомился в Северной Африке с арабской
математикой. Он изложил эти знания в «Книге
абака», в которой ввел ноль как самостоятельное
число. Однако новая цифра не понравилась свя-
щенникам — они подозревали, что в ней
сокрыто зло. В1299 году власти Фло-
ренции даже ее запретили. Правители
опасались, что люди будут мошенни-
чать — ведь 0 легко превратить
в 6 или 9. Однако цифра оказалась
такой удобной, что ею продолжа-
ли тайно пользоваться.
ЯЗЫК КОМПЬЮТЕРОВ
XIII век
вое тысячелетие — это годы
КАК ЗАПИСАТЬ
НИЧТО
Собственную систему
записи чисел разработа-
ли и в Китае. Начиная
примерно с VIII века китай-
ские математики оставляли для
нуля место, но к XIII веку стали
вместо этого рисовать окружность.
НОВЫЕ ДОСТИЖЕНИЯ
К XVI веку к индс-арабским цифрам
в Европе окончательно привыкли,
а ноль широко распространился. Он
позволял выполнять сложные вычисле-
ния, которые были невозможны при
использовании громоздких римских
цифр. Это позволило Исааку Ньютону
и другим математикам XVII века значи-
тельно продвинуться в своих исследо-
ваниях.
Без нуля не могут обойтись компьюте-
ры, смартфоны и другая техника, в кото-
рой используются цифровые техноло-
гии. В них применяется двоичный код,
где все команды преобразуются в по-
следовательности из нулей и единиц.
1010T1G0011D010100101011101010010
1(1010100101011110101010" 1100 100
15111010101110000011 IlOOOIOiOiulO
OlOIOI01 mini 10101010100101001010
IUU1O1OOIO1UU1OO1OIOO1O1O1DO1OW1
ar П100101 Cli '1 1D01 GO 1101000’001
001010 ( 10100100100100101101111
I 01000111000 ' lOOlul 1110‘1-ul ЮК 11
Нулевой год
Многие люди праздновали
новое тысячелетие с насту-
плением 2000 года. Однако
новое тысячелетие нача-
лось 1 января 2001 года.
Ведь нулевого года нашей
эры не было, поэтому пер-
с 1 -го по 1000-и, а второе —
годы с 1001 -го по 2000-и.
23
1 Чтобы вести подсчеты,
торговцы в Древнем Ки-
тае красными палочками обо-
значали прибыль, а черны-
ми — траты, выкладывая их
на бамбуковой счетной доске.
КАК БЫТЬ
ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ
Самое раннее известное ^поминдкие 0TnpuUya^e>nbHbix Чисел отпноситпсЯ
К Древнему Китпауо, где торговце использовали, сЧетпнЬье палоЧки из сло-
новой костей или бамбука, Чт^обе следить 34 своими сделками и не по-
пасть в^олги. Краснее палоЧки обозначали положительнее Числа, а Чер
Hbie — отг)риЦ4тпе^ЬнЪ1е. Позже индийские МатпеМатп^ки тпоЖе стлали
оперировать отлрицатпелЬнеми Числами, однако иногда помечали их сим-
волом +, противоположно тлому как Mbiделаем сейчас.
2 Счетная доска
Древнего Китая —
пример десятичной по-
зиционной системы
счисления, в которой
столбцы обозначали
разряд числа.
3 Вертикальные па-
лочки обозначали
числа от 1 до 5. Когда
к ним добавляли горизон-
тальную палочку, получа-
лись числа от 6 до 9.
Вертикальные цифры
Тысячи Сотни Десятки Единицы
2601
-8042
IIHI
иг
-568
До изоЗретпенаЯ симво-
ла, 0 нолЬ изображался
ггустпЬил MecrrioM.
ЛалоЧкаМл вЬшоЖенЬс
S тп(лсЯЧ, 0 согбен,
4 десяти Kd и 2 едини-
цы» ЧернЬш цветп гово-
рим} о уцом, Чтг|о Число
отрицательное шло
естг]Ь Зипо -5*042.
Зтт^а позиционная си—
стпелм не отплиЧаетпсЯ
отт1 нашей. Две вер^и-
калЬн!ле палоЧки в Этпом
стполЗце Показ1явакпг|.
ЧТТ|О ЭТТ|О Число 2,
но в стцолЗце сотцен.
они обозначали 5(% 200.
320
4 В столбце десятков
все наоборот: для
цифр 1-5 палочки распо-
лагаются горизонтально,
а начиная с 6 добавляет-
ся вертикальная.Таким
образом происходит че-
редование во всех стро-
ках.
Горизонтальные цифры
5
В этой системе крас-
ные палочки означа-
ют положительные чис-
ла — «чжэн», а черные
палочки — отрицатель-
ные числа, «фу».
25
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Проще всего представить себе отрицательные числа
следующим образом. Нарисуем числовую ось с нулем
в середине. Все числа справа от нуля положительны,
а слева от нуля — отрицательны. Сейчас отрицатель-
ные числа обозначаются с помощью знака минус перед
первой цифрой.
Отрицательные числа
Положительные числа
1 I------------------------------------1
1-----1------1-----Г
2 3 4 5
Перед отприцатпелЬнЫм Числом
всегда стлавиупсЯ знак
Если у Числа нетп никакого знака.
ohjo сЧитпаетпсЯ ПолоЖитлелЬнЫм
СЛОЖЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ
И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Если складывать положительные числа, происходит
сдвиг вправо по числовой оси. Если прибавлять отрица-
тельное число, результат сдвигается уже влево: то же
самое, что вычитать соответствующее положительное
число.
(-2) + 3 = 1
При вычислениях отпри-
иатпелЬное Число Частно
Заклкэчаклп в скоЗки —
тпак у^оЗнее Чиупатф.
ЧупоЗЫ ПриЗавитлЬ поло-
Жи-уцелЬное Число, нужно
переМестлитлпЬсЯ по Число-
вой оси вправо.
БриЗавитлЬ отрица-
тельное Число — ул0
самое, Чуло вЫЧестлЬ тра-
ков Же Положительное.
Например, можно приЗа-
витг)Ь - 2, а можно вЫ-
ЧестлЬ 2 — pejyibmna'Hi
З^детл одинаковым.
1 + (-2) = -1
ВЫЧИТАНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ
И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Если вычитать из отрицательного числа положительное,
происходит сдвиг влево по числовой оси — как при
обычном вычитании. Если вычесть отрицательное число,
то получается «двойное отрицание». Два знака минус
уничтожают друг друга и создают плюс, в результате
получается сложение.
Если вЬсЧищатлпЬ и,} отцрица-
т^елЬного Числа положи-
тпелЬное, тг]о сдвиг направлен,
влево по Числовой оси, как
-2
О 1 2
Два Манаса
^а)<лп Г|Л)ос.
(-2) - (-4) = 2
(-2) + 4 = 2
ПОПРОБУЙ
НАЙТИ РАЗНИЦУ
ТЕМПЕРАТУР
Температура в разных местах на Земле
очень сильно различается. Самая вы-
сокая, +57 °C, зарегистрирована
10 июля 1913 года в Долине Смерти
(Калифорния, США). Самое низкое зна-
чение -89 °C зафиксировали 21 июля
1983 года на станции «Восток» в Ан-
тарктиде.
На сколько градусов отличаются эти
температурные рекорды?
Чтобы узнать разницу между двумя
числами, нужно меньшее число
вычесть из большего: 57 - (-89).
Чему это равно?
РЕАЛЬНОМ МИРЕ
Уровень моря
Отрицательные числа ис-
пользуют, чтобы обозначать
рельеф суши ниже уровня
моря. Город Баку в Азер-
байджане лежит на отметке
28 метров ниже уровня
моря (его высота составля-
ет -28 метров). Это самая
низкорасположенная сто-
лица в мире.
27
КАК ВЗИМАТЬ
НАЛОГИ
С и >оценм<1Ми луоди. м° и. дело смалкиватомсЯ 6 повседнев-
ной жизни — силл скидки, в с^пермаркеме уо уровня заряда
Затпареи. на м^лесроне. Один проценту — Эмо одна сомаЯ
ЧасмЬ Числа. Уже 6 Древнем Риме для расЧемов исполЬ^о-
валисЬ дроби, коморЬяе $1яли крамнЬь И100, Такие дроби
омЛиЧно подходили, Чмоб(я определЯмЬ величину налогов.
ПонЯтпно, Чтпо брамЬ со всех Подряд одинаков^ сулму
несправедливо — ведЬ у ра^нЫх луодей благосостояние
различаемся. РоЭмом^ в казну отп каждого Человека
Посм^пала одна и ма Же доля сосмоЯниЯ.
2 Этот человек
очень беден.
Он отдал сборщику
сотую часть своих
денег.
Лол^ЧилосЬ
совсем мало —
всего однд
Монетта.
Сборщик выяснял,
сколько у челове-
ка денег, и в качестве
налога взимал одну со-
тую долю.
У Этпо?.о
Человека
немного
Монету
Займемся математикой
ПРОЦЕНТЫ
Слове «процент» восходит к латинскому
языку, где означает «сотая часть». Процент
обозначается символом %. Например,
если у нас есть сто монет и одна из них
золотая, мы скажем, что 1% монет — это
золотые монеты.
••••••••••
••••••••••
••••••••••
100-это1%
о — это 75%
28
ЗЭтот человек тоже от-
дал сборщику сотую
часть своих денег. Он состоя-
тельнее первого, поэтому
сумма получилась больше.
4 Эта женщина богаче
остальных. Она тоже
принесла сборщику сотую
часть своих денег. Ее взнос
оказался еще больше. Однако
все люди отдали одну и ту же
долю своего состояния.
0,t ОТТ^ОЛ
ЗолЬше Чем
ЗеонЬш,
но менЬще,
Чем ЗогатпЬш.
У Энного Чело-
ЗолЬше всех.
У Энного Человека
ЗолЬше ^енег,
Чем у Зе^няка,
но менЬше, Чем
у Зогатпого.
Ц3 тпрех Чело-
век женщина
внесла ЗолЬше
всего ^енег.
1%
от 100 монет
= 1 монета
1%
от 3000 монет
= 30 монет
1%
от 10 000 монет
= 100 монет
Чтобы узнать, сколько
заплатил каждый человек,
нужно разделить общее
количество его монет
на 100. Получится 1% — со-
тая часть, которая и стала
налогом. Это справедли-
вее, чем заставлять всех
платить одинаковую сумму.
ПРОЦЕНТНЫЕ ДОЛИ
Предположим, что римский император собрал налоги и у него
есть 250 000 монет. Он хочет потратить 20% на строительство
новых дорог, а оставшиеся 80% — на снаряжение для армии.
Сколько монет уйдет на строительство новых дорог, а сколько
останется на армию?
ЗАДАЧКА
Цена смартфона
уменьшилась на 25%,
и он стал стоить
24 000 руб. Сколько
он стоил первона-
чально?
Сначала подели 250 000 на 100,
чтобы узнать, чему равен 1 %
от этой суммы.
250 000:100 = 2500
Чтобы понять, сколько монет
в 20%, умножь 2500 на 20.
2500 х 20 = 50 000 монет
Именно столько император
потратит на новые дороги.
Поскольку всего у императора было
250 000 монет, остаток можно узнать
с помощью вычитания:
250 000 - 50 000 = 200 000
Значит, на нужды армии у импера-
тора 200 000 монет.
ОБРАТНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
В задачах на обратные проценты, наоборот, нужно
найти всю сумму, когда известна доля.
Император решил потратить 40% собранных нало-
гов на строительство статуи, эта сумма составляет
16 000 монет. Сколько налогов было собрано?
Чтобы найти, сколько было собрано монет (100%),
нужно узнать, чему равен 1 %, а затем умножить
результат на 100. Мы знаем, что 16 000 — это 40%.
Поэтому, разделив 16 000 на 40, мы поймем, чему
равен 1%:
16 000:40 = 400 монет
Теперь умножаем на 100 и получаем исходную
сумму:
400 х 100 = 40 000 монет
Сборщики налога получили 40 000 монет.
монет
30
ПОПРОБУЙ
ВЫГОДНО КУПИТЬ
В магазине акция: один товар продают со скидкой, а к другому предлагают подарок. Что
выгоднее? Нужно посчитать, сколько стоит единица товара: например, если это моро-
женое — определить цену одного грамма.
Предположим, что 500-граммовое ведерко мороженого стоит 390 руб. Магазин делает
сегодня два специальных предложения. Какое предложение лучше — А или Б?
Предложение А
500 г мороженого
+ 50% бесплатно,
то есть 750 г
за 390 руб.
50% бесплатно
Скидка 40%
500 г мороженого
со скидкой 40%
от обычной цены
390 руб.
Чтобы сравнить эти предложения, нужно
узнать цену за единицу товара: определить
стоимость одного грамма мороженого.
Для предложения А
Общее количество мороженого:
500 г + 50% дополнительно (250 г) = 750 г
Цена за один грамм = общая цена: число
граммов = 390:750 = 0,52 руб./г.
Спортивные
достижения
Спортивные комментато-
ры часто используют
процентные показатели,
чтобы определить
успешность действий
игроков. Например,
в теннисе часто говорят
о проценте попадания
на первой подаче.
Для предложения Б
Нужно узнать цену 500-граммового ведер-
ка после скидки. Если цена уменьшилась
на 40%, то новая составит 60% от первона-
чальной.
Сначала найдем 1% от полной стоимости:
390:100 = 3,9 руб.
Потом вычислим новую стоимость моро-
женого (60% от старой цены):
3,9 х 60 = 234 руб.
Теперь можно узнать цену за один грамм:
Цена за один грамм = общая цена : число
граммов = 234: 500 = 0,47 руб./г.
Из этих двух предложений лучше вто-
рое — скидка в 40% выгоднее, чем бес-
платные 50% к ведерку.
Когда пойдешь в магазин, попробуй
найти выгодные предложения и те,
которые кажутся таковыми.
31
КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ
ДОЛЯМИ
Числз noKd^btfojorn колиЧестп^о целЬьх предметно#: 1, 2, 50,
$9 и. тп<лк с^олее. 05biKH.o(?eHHbie и. ^есЯтпиЧкЕяе ^ро5и оциси&цотл Част^Ь целого.
Для одного и. тпого Же Числа Можно ucnoJib^o&XYnb и оЗЬиснобеннук», и, десЯтпиЧ-
H^yo^poSb. ₽Ьь5ор забиситп отп ситуации.
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДРОБИ
Обыкновенная дробь — это отношение
двух чисел: числителя и знаменателя.
Знаменатель показывает, на сколько
частей разделено целое, а числитель —
сколько таких частей взяли. Например,
если ты разделишь пиццу на две равные
части, то каждый кусок будет состав-
лять Уз пиццы. Если ты разрежешь пиццу
уже на три части, каждый кусок будет
равен Уз, если на четыре — то У4.
ti ихнее Число
ЧислитпелЬ.
ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
Среди дробей встречаются такие, у которых
в знаменателе стоят десятки, сотни, тысячи,
например Ую, 5/юо. Такие дроби предложили
записывать короче и называть их десятичными:
0,2; 0,05. Представь забег на стометровке, кото-
рую все четыре атлета преодолели за 10 секунд.
Тебе непонятно, кто победил. Секундомер
с более точным подсчетом време-
ни увеличит точность. Если ты
узнаешь, что бегуны пересек-
ли финишную черту через
10,2; 10,4; 10,1 и 10,3 се-
кунды, то точно ска-
жешь, кто пришел
первым.
1 о
ДесЯтпиЧнЬяе ^роЗи janucbt-
ва)€ЛТ|сЯ с Г)О/Аои1,Ьк>^есЯтпиЧ
ной 5<дпЯтпой: она отпаеЛЯе'я)
Цел^о ЧастГ)Ь отл сродной.
отп запятой —
^роЗнаЯ ЧасщЬ
Числа.
ЦифрЬя. слева
отп запятпой —
целая ЧастпЬ
Числа.
Целое Число JZ. пре^стьа^Лено
(? виде целого прямоугольника.
Если Этг)отт1 прямоугольник разделись Посе-
редине, получаться ^ве полосинЬи Каждую
из них можно записать % или 0,5.
72 или 0,5
72 или 0,5
7з или 0,333...
7з или 0,333...
74 или 0,25
74 или 0,
Уб или 0,1666... Уб или Уб или 0,1666... 0,1666... 7б или 0,1666.. 7б или 0,1666... 7б или 0,1666...
’/7 ИЛИ ’/7 ИЛИ ’А или yh или ’А или 7? или 77 или
0,1428... 0,1428.. . 0,1428... 0,1428... 0,1428... 0,1428... 0,1428...
7в ИЛИ 7в или 7в или Ve или 7в или 7в или 7s или 7в ИЛИ
0,125 0,125 0,125 0,125 0,125 0,125 0,125 0,125
79 или 7? или 79 или 79 или 79 или 79 или 79 или 79 или 79 или
0,111... 0,111... 0,111... 0,111... 0,111... 0,111... 0,111... 0,111... 0,111...
Vic или Vic или 7ю или 7юили Уюили 7юили L 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 /ю или 710 или 7ю или 7ю или г 0,1 0,1 0,1 0,1
Когда прямоугольник раз-
делен на io равнВсх Ча-
стьей, каждая ЧастьЬ пред-
стьавляетц или 0i
Линия Между Числителем и знамена-
телем наз(лваетьсЯ^ро5ной Чертьой.
33
КАК УЗНАТЬ
НЕИЗВЕСТНОЕ
АлгеЗра — Этп° ЧастпЬ матп^матпыки, 6 которой. неизвестнее
величине оЗо^нлЧауотпсЯ З^квоми и^р^гими символами. Эу^и
величине можно оцределитпЬ с помоЦЬуо и^бестпнЬях величин
и Пробил алгеЗре АлгеЗраиЧеское мЬидление кройке важно
в саме* pojHbtx оЗластпЯх — в технике, физике или инфор-
МОУПике.
О
АЛ-ДЖАБР
Слово «алгебра» происходит от араб-
ского слова «ал-джабр» — восполне-
ние. Оно появилось в названии книги
«Краткая книга об исчислении
ал-джабра и ал-мукабалы», написан-
ной около 820 года математиком
Мухаммедом аль-Хорезми. Идеи
этого ученого легли в основу
новой ветви математики, кото-
рую мы сейчас называем алге-
брой.
JJce горЬки на оЗеих
чашках весов имеютп
одинаковою массу
На лесой Чашке
Весов — Зриллиантп
две гирЬки.
ВЗВЕШИВАНИЕ
ЛЕКАРСТВ
Чтобы вылечить больного, важно дать
ему точное количество лекарства.
Алгебра помогает врачам узнать
правильную дозу — в зависимости
от болезни, общего состояния паци-
ента, эффективности других лекарств
и многих других факторов, которые
влияют на выздоровление.
друг взял 6 конфет, и у тебя
осталась треть от общего
количества. Сколько конфет
было изначально?
АЛГЕБРА НА ДОРОГЕ
Алгебра позволяет компьютерам и искус-
ственному интеллекту управлять автомо-
билем без водителей. Компьютер вычис-
ляет, когда нужно затормозить, повернуть,
остановиться или ускориться. Для этого
компьютер использует информацию
о скорости автомобиля, направлении его
движения и окружающей обстановке.
На правой Чашке
весов — 6 гирек.
£ алгеЗраиЧеских
уравнениях оЗе
стпоронЬя. уравно-
веиденЬи
Ч>поЗи найтпи вели-
чину х. в(лЧтпи 2
U0 оЗеих Частей
уравнения.
"ПустлЬ Зуква х
оЗо^наЧаетлп /Месу
Зриллиантпа.
> По 2 гирЬки с оЗеих
ос7Т]<Днугг|СЯ в равнове-
знйЧитп Чтт|о Масса ЗриЛ-
лиантпа равна массе 4 гирек.
Если уЗрат^Ь
Чашек, вес(я ос
сии.
РАВНОВЕСИЕ
Любое алгебраическое уравнение
можно рассматривать как рычажные
весы, чаши которых уравновешиваются
набором гирек. Если что-то добавить
или убрать на одной чашке, то для
сохранения баланса нужно сделать то
же самое и на другой чашке. В примере
нужно узнать массу бриллианта. Из-
вестно, что бриллиант и 2 гирьки весят
столько же, сколько 6 гирек. Если
решить уравнение, то получается, что
масса бриллианта равна 4 гирькам.
итпоге Злаго^арЯ
алгеЗре у^нал,
Чило х = 4-
35
о
ЧТО ТАКОЕ
ФИГУРЫ И ИЗМЕРЕНИЕ?
ГеоМетприЯ — одна из старейших о5ластпей Матпе№тпики. Невозможно
ПонЯтпЬ окру>ЫКМЦи,й Мир оез геометрии, которая из^Чаетп фигуры.,
размеры, и простпранстпво. На протяжении истории Человечества Me-
тподЫ. измерения ^длин, п^ои^адей и о5ЪеМов — заодно и времени —
становились все 5олее тпоЧнЫМи. Нои сегодня идеи и тпеории, котпорЫ.е
Появились еце в древние времена, исполЬзуюпщсЯ повскхэд — отп стпрои-
. Местоположения с поМо-
тпелЬстпва прекрасных зданий 30 определения
ЦЬуо навигационных систем 6BS и ГЛОНАСС.
КАК СОЗДАТЬ
ФИГУРУ
ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ
Гифе Четыре тт^сЯЧи Лету) HOJOg геоМетпрЩО
и^Чоли древние вавилонЯке и. егигппЯне.
Греческий МатпематпиК Евклид изложил ос-
н.овн1ле принцип^ геометрии ок. 300 года
до к э. (! книге «Мачала». Геометрия важна
для мореплавания, архитпвк^рЬя и астроно-
мии. Да и не тгуолЬко: даже Чтт|о5(% повесить
на стпен^ картину нужно знатпЬ геометрию.
ПЧЕЛЫ-СТРОИТЕЛИ
Пчелы строят из воска шестиугольные
соты, в которых живут личинки, хранится
мед и пыльца. Такая форма идеально
подходит для сот: шестиугольники стыку-
ются друг с другом, заполняя плоскость.
Воск используется оптимально: в шести-
гранные соты входит больше меда, чем
поместилось бы в четырехгранные или
в трехгранные, если потратить на них
такое же количество материала.
Круг
Плоская фигура,
все точки на грани-
це которой нахо-
дятся на одинако-
вом расстоянии
от ее центра. Это
расстояние назы-
вается радиусом.
Треугольник
Плоская фигура
с тремя сторонами.
Какими бы ни были
стороны треуголь-
ника, сумма его
внутренних углов
равна 180°.
Квадрат
Плоская фигура
с четырьмя сто-
ронами равной
длины и четырь-
мя углами по 90°.
Такие углы назы-
ваются прямыми
Пятиугольник
Плоская фигура с пя-
тью сторонами.
В правильном пя-
тиугольнике все
стороны равны
и каждый внутрен-
ний угол равен 108°.
К -уг\ому лее благодаря -палкой
форме каждая З^дуцоя пчела
одогреваекп се§Я шестф
своих дууущих сестер.
38
ОБЪЕМНЫЕ ТЕЛА
Шар
Объемное тело, все
точки на границе
которого находятся
на одинаковом
расстоянии от его
центра
НУЖНЫЕ ФОРМЫ
Геометрия помогает подобрать
для предметов подходящие им
формы. Представь, что тебе пред-
ложили поиграть в футбол кубиче-
ским мячом — он не покатится!
Что бы ни проектировали люди
и как бы ни менялась природа,
предметы имеют наилучшую
форму либо она постоянно
улучшается.
Пирамида
Объемное тело —
многогранник. Одна
из ее граней называ-
ется основанием
и может быть любым
многоугольником,
а остальные гра-
ни — треугольни-
ки — имеют общую
вершину.
Куб
Объемное тело —
многогранник,
у которого 6 квад-
ратных граней,
8 вершин
и 12 ребер.
Рерщинд
Додекаэдр
Объемное тело —
многогранник,
у которого 12 гра-
ней. Все они —
правильные
пятиугольники.
У додекаэдра
20 вершин
и 30 ребер.
МИЛЫЕ УЗОРЫ
Если какие-либо фигуры соединить
в повторяющемся узоре, то такой узор
называется замощением. Его можно
использовать как в декоративных це-
лях — например, сделать мозаику, так
и для решения практических задач —
например, определить, как укладывать
кирпичи, чтобы стена стала прочнее.
39
ЗЕРКАЛЬНАЯ
СИММЕТРИЯ
Объемное тело называется
зеркально-симметричным, если
существует плоскость, которая
делит его на две части так, что одна
половина тела будет зеркальным
отражением другой. Эта плоскость
называется плоскостью симметрии.
Аналогично определяется зеркаль-
ная симметрия для плоской фигу-
ры, только здесь фигуру делит
на две части прямая, которая
называется осью симметрии.
У некоторЬсх фигур естЬ
Это плоскость даже не одна, а несколько
симметрии для осей или плоскостей
ПирамидЬи симметрии
Каждая пунктирная
линия — осЬ симметрии
для -треугольника.
КАК ИСПОЛЬЗОВАТЬ
СИММЕТРИЮ
Фигура симметлриЧна, если, после поворота или зеркального отражения вокруг оси пол^Ча-
етлсЯ она Же. Например, мищенЬ для стлрелЬЗЬя или 5лк>дЦе оЗладактл враЦатлелЬной сим-
метрией: если тлО повернешь их вокруг центра на лк>5ой ^гол, они остлануглсЯ тлакими Же.
Твое тлело оЗладаетл зеркальной симметрией; правая р^ка в зеркале воглядитл как левая,
и наоЗоротл. Цилиндрический винтл с резЬЗой оЗладаетл винтовой симметрией: он повтлорЯетл-
сЯ при повороте с одновременном движением вперед.
СИММЕТРИЯ
В АРХИТЕКТУРЕ Ж
Все симметричное людям видится
красивым, поэтому архитекторы
стараются придерживаться этого
принципа. Мавзолей Тадж-Махал
в Индии совершенно симметри-
чен — можно смотреть хоть спере-
ди, хоть сверху. Симметрию под-
черкивают четыре башни
по углам — минареты.
40
ВРАЩАТЕЛЬНАЯ
СИММЕТРИЯ
При вращательной симметрии
плоская фигура повторяет себя
при вращении вокруг опреде-
ленной точки, а объемное
тело — вокруг прямой линии.
Порядком вращательной
симметрии называют количе-
ство совпадений с исходной
фигурой, которые произойдут
при повороте на 360°.
У *1ирал\ид(л с ква^ра^нкил
основанием — одна осЬ
симметрии.
Порядок вращения равно-
стороннего треугольника
равен 3.
СИММЕТРИЯ
В ПРИРОДЕ
В природе симметрия встречается
очень часто — даже человек почти
симметричен. При замерзании воды
образуются ледяные кристаллы
с шестисторонней симметрией — это
всем известные снежинки. Морские
звезды обладают порядком враще-
ния, равным 5. Крабы-скрипачи
асимметричны — у них нет ни одной
плоскости симметрии.
ЗНАЕШЬ ЛИ ТЫ?
Бесконечная симметрия
У окружности и круга ко-
личество осей симметрии
бесконечно. А сфера и шар
обладают бесконечным чис-
лом осей и бесконечным чис-
лом плоскостей симметрии.
Не все живоипн£ле сиММе-
•уПриЧнЬи У кра5ов-скри-
пачей одна клешня на-
много 5олЬше другой.
Огромной конеЧностпЬк»
они отпугивании врагов,
а маленькой — е^Яп
симметрии — 5.
41
КАК ИЗМЕРИТЬ
ПИРАМИДУ
Ложно ли ujMepuvnb бЬясотт^ предметна, если келЬ^Я за5р<дтпЬсЯ ндберх с р^Летг)-
кой? Для решения Зтпой ^djdMu можно исполЬзобсДтпЬ сбойстп&1 ПрЯМо^голЬнЕях
тпре^голЬнихоб. РеликзЯ пирамида Хеопса б Египте сложена u<j Миллионоб
каменнЬих . локоб. Когда ^ребнегреЧеский матпе>^атпик Фалес приехал бЕгипетп
Примерно б 600 2-од^^о н. 3., он спросил местпнЬях Жрецоб про бЬясотт^ пирами-
^д(ж Huktqo не смог ^атпЬ отпбетп. Тогда ^ЧенЕяй решил бЕяЧислитпЬ ее сам
а
Длина т^ени Фалеса
тцакая Лее, как и его роотту
1 Фалес знал, что при
определенном поло-
жении солнца на небе дли-
на тени человека равня-
ласо его росту.
Займемся математикой
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ
ТРЕУГОЛЬНИКИ
Рост человека, длина его тени и линия сол-
нечного луча образуют воображаемый пря-
моугольный треугольник. У таких треугольни-
ков один угол прямой (90°), а два других
в сумме составляют 90°. Если эти углы равны,
то и две стороны треугольника равны.
2 Тело Фалеса
и его тень пред
ставляют две сторо-
ны воображаемого
прямоугольного тре-
угольника.
Если Этпотп угол
состцаИлЯетт\ ^5 ,
тпо и <}р^гой угол,
котпорЬсй не я(>-
ЛЯетпсЯ прЯМЬил
Ч5‘
Я0‘
Если ^ва ^гла
По 45*,
стпоронЬя. тпоЛсе
^олленЬь Sbcnjb
ра(?н1я.
а
а
42
ЗВ этот момент любые предметы
отбрасывают тень, которая об-
разует сторону воображаемого тре-
угольника. Для пирамиды Хеопса од-
ной стороной такого треугольника
будет ее высота, а другой — длина
тени плюс половина основания пира-
миды.
ч
b
TIupaMuga имеете ЗолЬшое основание, поэтому <)ЛЯ в(лЧислениЯ
нижней стпоронЬс прямоугольного треугольника нужно
сложить .длину тпени и половину основания пираМи^Ви
огромное, п^Эт^оМу
Можно сЧитпатпЬ, 4yt|O
его луЧи практически
Параллельная, и падать
Под одинаковЬиМ углом
и на Фалеса, и на пира-
миду.
4 Эти стороны вообра-
жаемого треугольни-
ка равны. Поэтому, измерив
длину тени и добавив к это-
му половину основания пи-
рамиды, Фалес получил вы-
соту сооружения.
Фалес знал: когда лучи солнца падали под
углом 45°, две стороны получившегося тре-
угольника были равны и имели длину а. Иными
словами, рост Фалеса и длина его тени одина-
ковы. Это же должно быть верным и для пира-
миды. Фалес измерил длину тени и половину
основания пирамиды и определил ее высоту.
История не сохранила величину, которая полу-
чилась у ученого, однако важен сам принцип.
а
Если а - а..
1,7 гл - 1,7 м
...то b = b
1%,5 м = 1%,5 м
43
ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
Потом ученые поняли, что не обязательно ждать, пока лучи солнца
упадут строго под углом 45°! Высоту пирамиды можно определить
в любое время. Рассмотрим два треугольника: стороны одного обра-
зуют человек и его тень, а стороны другого — пирамида и ее тень.
Эти треугольники подобные, то есть их углы равны, а соответствую-
щие стороны — пропорциональны.
Из подобия этих двух треугольников
можно найти высоту пирамиды, если
мы знаем остальные величины. Отно-
шение роста а к длине тени у равно
отношению высоты пирамиды b
к величине z (то есть размеру тени
плюс половине длины основания).
Из этой пропорции можно найти
неизвестную высоту Ь.
Предположим, что человек ростом
1,7 м отбрасывает тень длиной 3,4 м.
Мы измерили длину тени и основание
пирамиды и получили, что длина тени
плюс половина основания — это
293 м. Тогда выходит, что высота
пирамиды равна 146,5 м.
ЭтЦО рОСТП ------
Человека.
Этпо ^Линд тлена
Человека.
— xz = b
Зипо неа^вестлндя
±гпо ^линд тлена
плк>с п оловинд
в1ясотлд пырд/Augbu
основания пи-
х 293 = 146,5 м
Этло в(лсотла
цирали^Ьи
44
в РЕАЛЬНОМ МИРЕ
Триангуляция в сотовых сетях
Треугольники используют для измерения рас-
стояний. Слово «триангуляция» означает «по-
крытие треугольниками». С ее помощью можно
засечь положение твоего мобильного телефона
(то есть и твое). Вышка сотовой связи примерно
определяет, на каком расстоянии от нее нахо-
дится твой телефон. А вот три вышки, поймав-
шие сигнал, точно определят его местоположе-
ние.
Этлпотлп расчету проще. Чем
€ случае rjupciMugbL, потому
Чтпо стпенд у школЬь нд(?ер-
ПОПРОБУЙ
ИЗМЕРИТЬ СВОЮ
ШКОЛУ
В солнечный день твоя школа отбрасы-
вает тень длиной 4 м. Твой рост 1,5 м,
и ты отбрасываешь тень 0,5 м. Какова
высота школы?
Подставим эти числа в формулу.
b=— xZ = ^x4 = 12m
У 0,5
Получилось, что высота здания
равна 12 м.
А теперь — если светит солнце —
почему бы тебе не измерить высоту
своего дома?
ЗНАЕШЬ ПИ
Измерение с помощью треугольников
Древнегреческий ученый Гиппарх был блестящим ма-
тематиком. Его называют «отцом тригонометрии». Этот
раздел математики, в частности, изучает, как с помо-
щью треугольников измерить различные предметы.
Сегодня мы используем тригонометрию повсюду —
от проектирования зданий до космических полетов.
45
КАК
ИЗМЕРИТЬ
СВОЕ ПОЛЕ
Kcofcgbtu год 6 Египте р<й0Лшв<хлсЯ. Мол. Ври, ЭтпоМ
река сМявала границЬг ^Частг^ков земледельцев.
И каждому Человеку приходилось заново отцМерЯтлЬ
тпакое же количество земли, какое 5(яло у него
до половодья. Как Же Jtqo делали?
1 Каждый разлив Нила при-
носил плодородный ил, ко-
торый обогащал почву. Но когда
вода спадала, было трудно по-
нять, где чей участок.
Займемся математикой
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПЛОЩАДИ
Натянув веревку в виде прямоугольного
треугольника, египтяне измеряли пло-
щадь участков земли.
46
2 Египтяне поняли, что
площадь участка мож-
но определить с помощью
веревки. Если завязать
на ней узлы через равные
расстояния, получится
своеобразная линейка.
ЗЛюди натягивали верев-
ку в форме прямоуголь-
ного треугольника. Затем они
считали, сколько треугольни-
ков помещается на участке,
и записывали результат. После
разлива Нила можно было
отмерить такую же площадь.
па сменой с^ороме
Кого прЯ/АоугилЬнога
TffipeyaoTibHUXd 5tn.no тори
рдйн1чх cnnpejKd.
на второй — челу|Сяр&
п на ттшет^Ьеи — пят^Ь
Древние египтяне умели находить
площадь треугольника: высоту
умножали на основание и делили
результат на 2.
площадь = 3^4 = 6 м2
треугольника 2
Затем они могли замо-
стить такими треугольни-
ками весь участок и опре-
делить общую площадь
участка, зная, что площадь
одного треугольника б м2.
47
ТРЕУГОЛЬНИКИ
И ПРЯМОУГОЛЬНИКИ
Площадь прямоугольника можно вычислить,
умножив его основание на высоту. Площадь
треугольника с такими же основанием и высо-
той будет меньше ровно в два раза.
4 см
площадь прямоугольника =
= основание х высота
4x5 = 20 см2
5 см
площадь _ основание х высота
треугольника ” £
4*5 = ю см2
2
4 см
ПАРАЛ Л ЕЛ ОГРАММЫ
Параллелограмм — это четырехугольник с двумя парами
параллельных сторон. Чтобы найти площадь параллело-
грамма, нужно умножить его основание на высоту, как
и в случае прямоугольника.
Формула £ернд
лю31лх тпре-
^голЬников.
ПЛОЩАДЬ
СЛОЖНЫХ ФИГУР
А что делать, если нужно опреде-
лить площадь сложной фигуры?
Если стороны у нее прямые, ее
можно разделить на прямоугольные
треугольники, найти их площади
и сложить, как это делали в Древнем
Египте. Если же стороны кривые,
можно примерно оценить площадь:
нарисовать поверх фигуры сетку
из одинаковых квадратов и посчи-
тать их площадь.
Площадь:
6x11 = 66 м2
’ Ьт]о5(л оценытлЬ площадЬ точ-
нее, Что некоторое
квадрат^ попали в фи.г^р\)| це-
ликом, а Нйкотт1ор1ле — Частич-
но. Посчитаем количество ква-
дратов, окупавшихся внутри
фигурЬь полностлЬк» а количе-
ство квадратов, покр(ят1лх ею
частично, разделим на 2.
Частично попавший
квадрат своего их
Т1олн1яй квадрат
(всего их 44)
Площадь:
44+(31:2) = 59,5 м2
ПОПРОБУЙ
ПОСЧИТАТЬ ПЛОЩАДЬ
КОМНАТЫ
Тебе нужно застелить ковром большую
комнату неправильной формы. Справа
на рисунке показаны ее размеры. Один
квадратный метр ковра стоит 2000 рублей.
Сколько будет стоить ковер для комнаты?
Раздели сложную фигуру на более простые
и найди площадь каждой.
э - 3 х 2 э
Зеленый треугольник = = 3
xiz - 2x2-
Желтый треугольник = = 2
Оранжевый прямоугольник = 5 х 6 = 30
Синий прямоугольник = 6 х 4 = 24
Розовый квадрат = 2x2 = 4
Общая площадь = 63 м2
Общая стоимость = 63 х 2000 =
= 126 000 рублей
Измерь площадь своей комнаты. Узнай,
сколько будет стоить ковер для нее
при такой же цене за квадратный метр.
49
КАК ИЗМЕРИТЬ ЗЕМЛЮ
₽ 2^0 году до и. Э. Живший в Египту6 ^ЧенЬьй Эратосфен смог и^МеритлЬ окружность
Земли.. Он знал, Чтт) о в полдень в самЕяй длиннЕяй денЬ года солнце освеи^аетл дно колод-
цев в городе Сиене. Также он ^ЧитлЬьвал еЦе одно условие: в один и тлотл же МоМентл
солнеЧнЕяе л^Чи в ра^нЕях городах падактл на поверхность Земли под ра^нЕяМи углами.
Если знатлЬ Этли ^гл(я и расстояние межд^ городами, можно наитии размер Земли. Удиви-
тельно, 3а тлЕясЯЧи летл до изо5ретлениЯ слоЖнЕях совреМеннЕях инстлр^Ментлов Эратос-
фен установил pajMepbi планетлЕя с оЧенЬ вЕясокой тлоЧностлЬуо.
Блестящий математик
Эратосфен управлял зна-
менитой Александрийской би-
блиотекой в Египте. Ему было
известно, что в городе Сиене
каждый год наблюдалось ин-
тересное явление.
2 В полдень самого
длинного дня солнце
освещало дно глубокого ко-
лодца. Значит, в этот момент
оно стояло прямо над голо-
вой и его лучи падали
на Землю вертикально.
5000 стадиев
УЧенЬш знал, 4yt|o Земля круглая и Чтщо
именно Этт]о являемся причиной pa^Hu-
ц1л в углах. Для в(лЧислениЯ размера
Земли нужно еЦе 5(яло знатг]Ь рассто-
яние между Александрией и Сиеной.
3 Однако в Александрии
в полдень самого длин-
ного дня солнце не стояло пря-
мо над головой, как в Сиене.
Эратосфен воткнул в землю
шест, который отбросил
а это означало, что свет
под небольшим углом.
Эратпосфен сЧитеал, Чтт|о
луЧи солнца параллельная.
Поскольку оно оЧенЬ
далеко отп Земли.
i Александрия
УЧенЬш измерил вЬьсотпу шестка и дли-
ну тцени, а ПотпоМ определил, Чтпо по лу-
ЧившийсЯ угол состпавляетп примерно
.1/50 долю окрчжно 'тли. JJ окружностей
360 , тпак Чп|о сейчас м1л 5(я сказали,
Чп|о у него получился угол величиной
360/50 = 7,2 (Эратпосфен, конечно,
не оперировал градусами).
Александрии go Сиен1л
рно 5000 стпадиев.
4 Шагомеры —
люди, которые
мерили расстояния
между городами, — оп-
ределили, что от Алек-
сандрии до Сиены
5000 стадиев. Этого было
достаточно Эратосфену
для вычисления размера
планеты.
Сиена
pOjHbix мер:
олонский стадий, греческий стпадий, египетский стпадий
и Множество других.
51
Займемся математикой
УГЛЫ И СЕКТОРА
С полученными измерениями Эратосфен мог
вычислить окружность Земли, используя свои
знания об углах и секторах.
Аи сЧитлпаеМ, Чтт]О солкеЧн£яе
л'уЧи параллелЬни, поскольку
солнце оЧенЬ ^алек'
Белая линия цзо5ражаетп
шести % Александрии,
на котиорий л^Ч светла
Падаетг] под \/глом /,2
(или 2/50 окруЖмостпи).
УГЛЫ
Эратосфен знал, что если прямая пересекает
две параллельные прямые, то на них получа-
ются одинаковые углы.
120‘
60 ч
60
Когда пу^ли-р*^51 линия пе-
ресекаетп оранжевук линик,
оЗразукуцсЯ ql 1 пар(л ооина-
\ 120--------kocUx 'углов.
бо:
°Оос.
"‘^е
120
Этпо колодец
в Сиене.
Л^Чи солнца
najdKwi стпрого
вертпикалЬно.
и У Ж 60°
Когда п^нктпирная линия 20 \
Пересекает^ втпоруо оран- \
Же&ук Линик, одраэдКУПсЯ
с^е пари тпаких Же 'углов
Эратосфен представил две линии, пересекающиеся
в центре Земли. Одна — это продолжение луча
в Сиене, вторая — продолжение шеста в Алексан-
дрии. В результате у него получились две парал-
лельные прямые (солнечные лучи) и пересекаю-
щая их линия (продолжение шеста). Поэтому два
угла, обозначенные синим цветом, — один у шеста,
другой в центре Земли — должны быть равны. .
Секторы круга
Сектор — это часть круга, которая образо-
вана двумя отрезками, исходящими из его
центра, и дугой, которая соединяет их
концы. (Такую форму имеет кусочек пиццы.)
Угол сектора можно вычислить, разделив
360° на количество секторов.
Синий сектор oSpa^o-
&н .дугой (равной
расстоянию Между
Александрией и Сие-
ной) и двумя радиуса-
ми, соединяющими
Этт)и города с Центром
гианетг]1%.
В центре они пересекаются под
\глом оЗо^наЧ нн1ям синим и,ве1Т|ОМ
О к должен равен другому синему
углу кгптюрЧй Эраттосфен измерил, —
Примерно U50 окружностпи.
Эратосфен пррд сщавил
Чт^о Этпид( ; Линии :5ли-
жаклпсядруг стругом
и п|ресекакмт|сЯ в Центре
>емли.
Расчеты Эратосфена 1
Найденный угол составляет примерно
1/50 окружности. Следовательно, рассто-
яние между городами в 50 раз меньше,
чем длина окружности.
Если от Александрии до Сиены 5000 ста-
диев, то окружность нашей планеты
составляет 5000 х 50 = 250 000 стадиев.
Именно это число и получил Эратосфен.
Увы, никто не знает, какой именно стадий
подразумевал мудрец. Если взять египет-
ский стадий (172,5 м), то окружность
планеты получится 43 125 км. Если взять
олимпийский (176,4 м), результат будет
равен 44 100 км. Нередко берут самый
льстящий Эратосфену вариант — дорож-
ный, 1 57 м. Тогда получается 39 250 км —
а это почти не отличается от современно-
го значения 40 008 км.
Какой бы стадий мы ни взяли, результат
Эратосфена все равно близок к реальной
величине. А ведь ученый получил его
самыми простыми средствами! j
СЕЧЕНИЕ ЗЕМЛИ
53
КАК УХВАТИТЬ
КУСОЧЕК ПИ
Po^bMeM луоЗой кр^г — хотдЬ тулкой мдленЬкий, как П^аовиид хотдЬ тдзкой огромней, как
JU.CK солнца. Если разделись длинзу его окружности нд длину отг^ре^ка, проходящего
отд края до края Через центпр кр^га (диаметра), тт^одля лк>5ого кр^га полдЧитпсЯ
3^14^59... Эупо Число можно продолжать бесконечно. М(я называем его «пи» и обоз-
начаем символом тт — первой буквой греческого слова Tre^L(j>£^£ia («периферейа3*) —
«окружность». Число пи необходимо тпам, где нужно решись задачи с окружностями
или периодическим движением.
ЧТО ТАКОЕ ПИ?
Граница круга называется окружностью.
Диаметр — это отрезок между двумя
точками окружности, проходящий через
ее центр. Значение п никогда не меняется,
потому что соотношение длины окружно-
сти и диаметра всегда одинаковое.
ЗНАЕШЬ питЫ?
Космическое пи
Пи невероятно полезно для изуче-
ния космоса: с его помощью можно
рассчитывать движение планет,
маршруты космических полетов
и даже размеры Вселенной!
Длина
окружности
Диаметр
= л = 3,14159...
Пи в природе
Английский математик Алан Тьюринг
в 1952 году вывел уравнения, описывающие,
как в природе образуются узоры на шкуре
животных. Его работа показала, что пятна
леопарда или полоски зебры тоже определя-
ются числом пи.
54
ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ ПИ
Число пи иррационально. Это означает, что его нельзя пред-
ставить в виде обыкновенной дроби. Оно записывается в виде
десятичной дроби: цифры после запятой продолжаются беско-
нечно, и в них не обнаруживается никаких повторов и законо-
мерностей. Поэтому число пи часто используется для провер-
ки вычислительной мощности компьютеров.
Сегодня М(л /ЛоЖеМ ^(лЧислитпЬ
nu с 31415 926 535 897
Знаками. после запятой.
3,141592653589793238462643383279
5028841971693993751058209749445
923078164062862089986280348253421170679821
480865132823066470938446095505822317253594
08128481117450284102701938521105559644622948
95493038196442881097566593344612847564823378678316
527120190914564856692346034861045432664821339360726
02491412737245870066063155881748815209209628292540
917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094
33057270365759591953092186117381932611793105118548074462379
9627495673518857527248912279381830119491298336733624406566
4308602139494639522473719070217986094370277053921717629317
675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917
3637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956
11212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804
9951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261
931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468
73115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642019893809525720.
55
КАК УЗНАТЬ,
КОТОРЫЙ ЧАС
•оЖ4й ugtvice сколько бремени осталось
ЛредстпабЬ се5е, Чупо Никттр ке ЗНДетп, какое сейчас бремя дня или года! Миктпо не £наеуп,
когда лучше сажатпЬ растления или уЗиратпЬ урожай и даже сколько бремени остпалосЬ
до конца дня. Как хорошо, Чут)о тпеперЬ нам и^бестпно, Чтг^о Земля 3а сутлки (24 Часа) делаетл
оЗоротл бокруг сбоей оси. Кроме тлого, Mbi уберенЬь, Чтло Земля браЦаетлсЯ бокруг Солнца,
собершая один оЗоротл примерно 3а 365 сутлок и 6 Часоб. Эщо бремя на^ЬьбаетлсЯ годом
ок. 1500 г. РР
Т1о отп/Летпком
нд сосках /Ложно
Sbijio узндтпЬ,
котпорЬьй Час.
СолнеЧнЬяе Час1я не ра-
5отп<1ли б о5лачюук>
Погосту или ноЧЬк.
ЛУННЫЙ календарь
Старейший из лунных календарей со-
хранился в Шотландии. В земле выко-
пано 12 углублений. В каждое из них,
вероятно, ставили деревянный столб,
отмечая месяцы. Предположительно
охотники использовали календарь,
чтобы прогнозировать движения
мигрирующих животных.
ТЕНЬ ОТ СОЛНЦА
Древний Египет и Вавилон были первыми
цивилизациями, использовавшими сол-
нечные часы. Палка или столб отбрасыва-
ли тень, которая перемещалась по кругу
из-за движения солнца. Длина и положе-
ние тени примерно указывали на час.
п
ВОДА И ПЛАМЯ
Египтяне делили день на два 12-часовых
периода. Чтобы следить за временем,
они использовали два сосуда: вода
медленно перетекала из одного в другой.
Гораздо позже появились огненные часы,
популярные в Китае и Японии. В них
время отмечала постепенно сгорающая
свеча.
КАЛЕНДАРЬ МАЙЯ
Древние майя создали невероятно
точный календарь. На самом деле он
сочетал три календаря: 260-дневный
религиозный (цолькин), 365-дневный
солнечный календарь (хааб) и цикл
длинного счета на 1 872 000 дней. Когда
в 2012 году закончился цикл длинного
счета, многие люди считали, что наступит
конец света. Но на самом деле по кален-
дарю майя цикл начался заново.
Лю^ая со-
стояла из
Частпей, взЯт^(хх
из календарей
цолЬкик и хаа5.
Такие oSbegu-
неннЬсе yxvnbt
Покорялись
каЖд(ле 52 года,
Этно называлось
календарным
кругом.
ИСЛАМСКИЙ
КАЛЕНДАРЬ
Исламский календарь основан
на движении луны. В нем 12 ме-
сяцев, в каждом из которых
29 или 30 дней. Летоисчисле-
ние ведется от хиджры — пере-
селения пророка Мухаммеда
ЮЛИАНСКИЙ
КАЛЕНДАРЬ
В старом римском календаре даты
постепенно смещались относитель-
но времен года, поэтому Юлий
Цезарь реформировал его. В году
стало 365 дней и 12 месяцев. Один
раз в четыре года добавлялся
дополнительный день — такой
из Мекки в Медину.
год называется високосным.
Без этого «лишнего» дня
не обойтись, потому что Земля
совершает оборот вокруг
Солнца примерно за 365 дней
и 6 часов и за четыре года
набегают еще одни сутки.
Месяц июлЬ назван в Чест^Ь
ЮлиЯ Це^арЯ. Следующий
3<д ним Месяц августу назван
в Чест^Ь Авг^устпа — наслед-
ника Цезаря. Некслт|ор(ле
другие иМператпо^Ы 1Т|оЖе
пЬппалисЬ назвать
какой-Huctygb месяц в свою
ЧестпЬ, но названия
ПЕСКИ ВРЕМЕНИ
Песочные часы надежно
отмеряют время: струйка
песка с постоянной скоро-
стью пересыпается из одной
стеклянной колбы в другую.
Считается, что их изобрели
в VIII веке. На кораблях они
использовались в течение
нескольких столетий, по-
скольку, в отличие от водя-
ных часов, не протекали
и не могли замерзнуть или
запотеть.
не
ПриЛсилисЬ.
57
ПН НН
НН НН
МЕХАНИЧЕСКИЕ
ЧУДЕСА
Потребовалось время,
прежде чем появились
хорошо работающие
механические часы. Одни
из самых первых создал
китайский изобретатель
Чжан Сисунь. Он усовер-
шенствовал спусковой
механизм, который обе-
спечивал равномерный
ход, и установил его
в астрономических
башенных часах.
Коле5анллЯ лмятпникл
Позволяют тпоЧно
сппмерЯтпЬ бреМЯ.
МАЯТНИКОВЫЕ
ЧАСЫ
Голландский ученый
Христиан Гюйгенс
создал первые часы
с маятником — качаю-
щимся стержнем,
закрепленным с од-
ной стороны и имею-
щим груз на другой. Вместе
со спусковым механизмом
это значительно увеличило
точность часов: ежедневная
ошибка уменьшилась
с 15 минут до 15 секунд.
ГРИГОРИАНСКИЙ
КАЛЕНДАРЬ
Папа Григорий XIII исправил юлианский
календарь, в котором с каждым годом
кй накапливалась ошибка в 11 минут. В ре-
зультате после 4 октября 1582 года
сразу шла дата 15 октября 1582 года!
Новый календарь назвали григориан-
ским. Он распространялся довольно
медленно, но сейчас наиболее попу-
. лярен в мире. _
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОЛГОТЫ
Морской хронометр Джона Гаррисона за день
давал ошибку не более трех секунд. Это помог-
ло решить старую проблему мореплавате-
лей, которые не могли определить долготу
корабля (на каком меридиане он находится).
Например, если хронометр, установленный
по лондонскому времени, показывает
полдень, а по местному времени пол-
V ночь, то корабль находится на меридиа-
не, противоположном лондонскому.
58
РЕВОЛЮЦИЯ!
После революции во Франции
изменился отсчет времени.
В1793 году в стране приняли новый
революционный календарь, кото-
рый начинался в сентябре. В каждом
месяце было три недели по 10 дней.
Сутки поделены на 10 часов, каждый
час состоял из 100 минут, а каждая
минута — из 100 секунд. От этой
идеи отказались в 1805 году.
if
Точность хода Лучших
совреМеннЬис атпо/днЬях
Часов — менЬше одной
сек^ндЬг 3а /Лиллиок
летг
АТОМНОЕ ВРЕМЯ
КРИСТАЛЬНО ЯСНО
Д949 г.
СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ
ПО ГРИНВИЧУ
До появления железных дорог время в каждом
городе было своим — его показывали город-
ские часы. По мере распространения железно-
дорожного сообщения появилась необходи-
мость в согласованном времени, поэтому были
введены часовые пояса, которые начинались
с Гринвича.
Атомные часы отмеряют
время точнее всех других
часов благодаря колебани-
ям электронов в атомах.
Чаще всего используется
элемент цезий.
В кварцевых часах канадского
инженера Уоррена Маррисона
механизм для отсчета времени
управлялся колебаниями крохот-
ного кристалла кварца. Эти часы
оказались точнее всех предыду-
щих: они отставали или уходили
вперед всего на одну секунду
за три года.
ВИСОКОСНЫЕ
СЕКУНДЫ
Чтобы компенсировать посте-
пенное замедление вращения
Земли, время от времени
вводят дополнительные
секунды. Поскольку боль-
шинство людей определяют
время по цифровым
устройствам, подсоеди-
ненным к интернету,
такие изменения обновляются
без проблем.
59
КАК ИСПОЛЬЗОВАТЬ
КООРДИНАТЫ
Как описатЬ положение мухи, летакЦей у т®5я в комнате? По легенде,
над Этим вопросом задумался живший в XVII веке французский матема-
тик и философ Рене Декарт и в результате придумал координат^ —
изуМителЬно простую систему в которой Числа описьвакт положение
о5ьект°б. С помоифк» координат можно обозначить точку в которой
находится кто угодно и Что угодно — и крохотная муха на потолке,
и гигантские корабли в Море, и даже планетЬь Солнечной системой
Декарт u в результате придумал координатЬь —
К> систему, ъ которой Числа описЬявакт положен!
Займемся математикой
КООРДИНАТЫ
Декартова система координат на плоскости исполь-
зует для описания положения объекта два числа,
которые определяют расстояние от исходной точки:
от нуля, или начала координат. Первая координа-
та — это положение по горизонтали: насколько
далеко влево или вправо относительно нуля нахо-
дится объект. Вторая — положение по вертикали:
насколько объект выше или ниже нуля.
60
М\ха находился
На Четыре е^и-
ницН правее 0.
(4; 2)
2 Пока муха потира-
ла лапки, Декарт
обдумывал, как можно
описать ее положение.
7
8
3 Вообразив потолок
в виде сетки, Декарт
понял, что может точно объ-
яснить, в каком месте сидит
муха, используя всего два
числа (в нашем примере это
4 и 2). Эти числа показывают
расстояние от мухи до двух
стен комнаты.
Покажем другое положение мухи на плоско-
сти с помощью чертежа. Горизонтальная
линия называется осью х, а вертикальная —
осью у. Муха — это точка. Число, которое
отражает положение мухи по горизонтали,
называется координатой х, а число по верти-
кали — координатой у.
Чертеж» показывающий положение м\|хи
61
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ
КООРДИНАТЫ
Что делать, если нужно описать
положение точки левее или
ниже начала координат? Про-
длим оси х и у, чтобы добавить
отрицательные числа. На оси х
отрицательные числа будут
слева от 0, а на оси у — ниже 0.
х
ТРЕТЬЕ ИЗМЕРЕНИЕ
Ось Ч
Наш чертеж с осями х и у располага-
ется на плоскости, то есть в двух
измерениях. Если нужно что-то
изобразить в трехмерном простран-
стве (например, коробку в комнате),
математики добавляют третью
ось — z. Она также проходит через
начало координат.
> Ось X
(2; 0; 3)
Ось Z
По
тпоЧка оупстпоитп
ОУП начала координату
на 2 единииД г>о оси х,
на 0 единиц по оси у
и на 1. единицу по оси z.
в РЕАЛЬНО!* МИРЕ
У Этуои туоЧки туакие лее координату(л
х
и у, Чгуо и у первой, но она ^алЬше
отпетуоиту оту начала координату
оси z ~ ее координатой z ра(?на 3.
Археологические раскопки
Когда археологи проводят раскопки,
они с помощью веревки создают
на участке сетку: она позволяет опре-
делять и записывать координаты най-
денных исторических предметов.
62
ПОПРОБУЙ
НАЙТИ ПОТЕРЯННЫЕ
СОКРОВИЩА
Ты нашел старую карту острова сокровищ
с загадочной надписью на обратной сторо-
не. Следуй этим указаниям и найди спрятан
ный клад.
™ ~ ти горы (
"У™ на север, гае Гкт tin I г
п М У е1рот 11ертъеча reSa жает
Уда к Ногиле Пирата на юг о восток аоап г
/'/ . дорога тесУя поведет
Шагай к юго-западу смело - 9
п. ?У яа пе/1есе'«иь п свои се.,
« точке пересеченья копай - такой м
такоК мои последний собет
ты нашел клад? Тогда нарисуй свою карту сокровищ. Рас-
1Ы НаШсП гчлан* 'г „лгмлтпы ГЛЛОГХ/Т
скажи друзьям, что такое координаты, и посмотри, m у
вещь, и пусть друзья ее ищут!
63
ЧТО ТАКОЕ
ЗАКОНОМЕРНОСТЬ 1
И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ?
Закономерностей и ПоследоватеелЬностеи встереЧактесЯ ё МатееМатеике
ПовсеМестено — оте теа5лицЬя умножения jo загадоЧнЬх просте(хх Чисел.
Уже 5олее j^fyx те(лсЯЧелетеий луода исГ)ОЛЬ^)0те ьсх ^ЛЯ создания на-
^еЖнЬях kojoS и шифров. С их поМоЦЬуо Можно многое узнатеЬ о природе:
ЗаконоМерностеЯМ и посЛе^оватеелЬностеЯМ По^ЧинЯКПесЯ и извержения
гейзеров, и появление комете.
КАК ПРЕДСКАЗАТЬ
ВИЗИТ КОМЕТЫ
Английский магпематпик Эдмонд Галлей изучал стпарЬяе записи. оЗ астрономических на-
ЗлкдениЯх. Когда он. составил список появления коМсуп 3а много летп, "гпо понял, Чтпо
одна и тпа Же «хвостпатп^Я звезда» Могла наведЬьватпЬсЯ несколько раз- Галлей предска-
зал, Чгпо в след^уоЦий раз комета вернетпсЯ 6году и оказался прав. УЧенЬш умер
в 17^2 году и не ^дожилдо подтверждения своего предсказания. Sarno комету назвали
в его ЧестпЬ, ^вековеЧив имя астпронома.
Z Галлей увидел
закономерность
и понял, что это одно
и то же небесное тело,
которое возвращается
к Солнцу каждые I
75-76 лет. 1
Займемся математикой
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Для того чтобы предсказать появление этой кометы,
к дате предыдущего появления нужно прибавить 75
или 76 лет. Последовательность, в которой числа увели-
чиваются (или постоянно уменьшаются) на одну и ту же
величину, называется арифметической прогрессией,
а величина изменения — разностью прогрессии.
66
28 47 66 ..
/1 /1
+ 19 +19 +19
Разность прогрессии
Кометой
ЗеМЛЯ
1910
1835
1986
1758
Орбита кометы
Комета — это небесное тело из камня,
льда и пыли, которое двигается вокруг
Солнца по орбите, похожей на овал.
Когда комета приближается к Солнцу,
лед в ядре разогревается, испаряется
и порождает облако газа, пыли и льда
в виде хвоста.
3 Галлей предположил, что
комета вернется в 1758 году.
Он оказался прав — эта комета
возвращается раз в 75-76 лет.
85 104 123 ?
+ 19 +19 + 19
Разность прогрессии
Разность этой арифметической прогрессии
равна 19. Это число нужно прибавить к преды-
дущему числу, чтобы найти следующее число.
Годы появления кометы Галлея не дают точной
арифметической прогрессии: комета возвраща-
ется в среднем через 76 лет, но может появить-
ся на год-другой раньше или позже. Однако
математики могут учесть это и внести нужные
исправления. В следующий раз комету Галлея
стоит ждать в июле 2061 года.
67
КАК РАБОТАЮТ ♦
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ*
Вот простая арифметическая прогрессия, разность которой
равна 3. Чтобы найти следующее число, нужно прибавить 3.
Любую арифметическую прогрессию,
включая эту, можно записать с помощью
букв.
а —
Первое Число
в прогрессии.
а + d a + 2d
a + 3d a+4d
Буквой а обозначается первое число, а буквой d — разность
прогрессии. Чтобы продолжить нашу прогрессию, нужно
вычислить а + 5d. Подставим числа вместо букв: а = 2, d = 3,
получается 2 + (5 х 3) = 17.
d — ре^НО'Тф
Прогрессии.
ГРУППИРОВКА ЧИСЕЛ
В конце XVIII века один учитель из Германии
решил надолго занять своих учеников и дал им
непростую задачу. Он предложил им вычислить
сумму всех чисел от 1 до 100.
1 + 2 + 3 + ...+98 + 99 +100-?
Калькуляторов в те времена не было, поэтому
на вычисления ушло бы очень много времени.
Однако один школьник дал ответ почти сразу.
Как же он посчитал так быстро?
Мальчик сгруппировал числа по два, так что
они образовали пары: 1 и 100, 2 и 99 и так
далее. Всего таких пар 50. Очевидно, что в ка-
ждой паре чисел сумма равна 101. Потом уче-
ник умножил количество пар на сумму и полу-
чил ответ: 50 х 101 = 5050.
♦
ОПРЕДЕЛЕНИЕ N-ГО ЧИСЛА .
ПРОГРЕССИИ
А если надо найти двадцать первое число прогрессии?
Или сто двадцать первое? Складывать 21 число очень
долго, поэтому стоит придумать какую-нибудь формулу.
Формула для получения n-го числа в арифметической
прогрессии, где п указывает на порядковый номер
числа, выглядит так:
а — первое Число
Прогрессии.
А1я умножаем ра^но стпЬ
Прогрессии d на Число п _ i-
(количество шаго(>, разделЯуо-
Цих первое Число (а) и тпо,
которое нужно найтпи).
a+dx(n-l)
П ~ номер тцого Числа,
которое Mbt хотциМ найтци.
ПОПРОБУЙ
ПОСЧИТАТЬ СТУЛЬЯ
В школьном театре 15 рядов стуль-
ев. В первом ряду 12 стульев. Чем
дальше от сцены, тем ряды стано-
вятся длиннее — в каждом следую-
щем ряду на два стула больше, чем
в предыдущем.
С помощью формулы для п-го
числа арифметической прогрес-
сии определи, сколько стульев
в последнем ряду.
d — разность
Прогрессии.
Для получения второго числа прогрессии мы прибав-
ляем d один раз, для третьего — два раза, для четвер-
того — три раза, для двадцать первого — двадцать раз.
2+Зх(21-1) = 62
Для нашей прогрессии а = 2, d = 3. Поэтому двадцать
первое число в последовательности 2, 5,8,11... равно 62.
.100 сложи с 1,
99 ~ с 2, 93 ~ с 3
и тт|ак палее.
Мальчика звали Карл Фридрих Гаусс. Он стал
одним из величайших математиков: приду-
мал метод наименьших квадратов, с помо-
щью которого вычислил орбиту первого
обнаруженного астероида Цереры
р каждой паре
сумма равна 1Q1.
БАЛЬНОМ №И₽В
Гейзеры
Регулярные извер-
жения гейзера Ста-
рый Служака (США)
хорошо изучены.
Промежутки време-
ни между изверже-
ниями немного раз-
ные, но в среднем
его поведение похо-
же на арифметиче-
скую прогрессию.
69
КАК СТАТЬ
ТРИЛЛИОНЕРОМ
Какое Число 5удетп сле^кхЦиМ в ПосЛедоватпеяЬностпи i, 2, 4,
5, .16?.. Оупветлгр 32. Каждое новое Число в Эт^ой последователь-
ности пол^ЧаетпсЯ умножением предыдущего на 2. Индийская
легенда о5 и^оХретпатпеле шахматп показываем, как ЗЫсмро рас-
vnyvn Числа в геометрической прогрессии.
2 Сначала царь
обиделся,
что мудрец по-
просил так мало.
Но вскоре оказа-
лось, что числа
увеличиваются
настолько быстро,
что становятся
невообразимо
большими.
Г
7. Г
Умножение зерен риса
1 Однажды индийский царь ре-
шил вознаградить изобретате-
ля шахмат и предложил ему самому
выбрать себе награду. Мудрец по-
просил положить на первую клетку
доски зернышко риса, на вторую —
два зернышка, на третью — четыре
и так далее, удваивая количество
с каждым шагом.
Займемся математикой
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Число зерен на очередной клетке доски
получается умножением предыдущего числа
на 2. Последовательность, в которой следую-
щее число получается умножением преды-
дущего на одну и ту же величину, называется
геометрической прогрессией. Величина,
на которую умножают, называется знамена-
телем прогрессии.
70
w
3
больше 18 миллио-
нов триллионов
чеством риса мож-
но было засыпать
Умножение чисел
В итоге царь
должен был
ЗНА£^Ь
отдать мудрецу
зерен. Таким коли-
все царстве
Складывание бумаги
Представь, что ты согнул
вдвое лист бумаги. Если ты
проделаешь это 54 раза, лист
будет такой толщины, что до-
стигнет Солнца. Конечно, на-
стоящий лист бумаги так сло-
жить не удастся — уже через
несколько действий он ста-
нет слишком толстым.
Если заменить зернышки риса числами,
ты увидишь, как работает геометриче-
ская прогрессия. За четыре шага ты
доберешься от 1 до 16, а еще через
четыре шага получится 256’ Теперь ты
понимаешь, почему так впечатляюще
росли горы риса у изобретателя шахмат?
71
ЦАРСКАЯ ДОСКА
На каждой клетке шахматной доски
написано число зерен, которое царю
пришлось бы положить на эту клетку.
Посмотри, как быстро увеличиваются
эти числа!
Можешь ли ты прочитать вслух
число на правой нижней клетке?
в РЕАЛЬНОМ^
Датировка углеродом-14
Ученые используют геоме-
трическую прогрессию,
чтобы установить возраст иско-
паемых растений и животных. Количество
вещества под названием углерод-14, содержащегося
в биологических остатках растений и животных,
уменьшается вдвое примерно каждые 5730 лет. Если
знать, сколько углерода-14 сохранилось в остатках,
то можно выяснить, когда организм жил.
п ГО 4 8 16 32 64 128
256 512 1024 2048 4096 8192 16 384 32 768
65 536 131 072 262144 524 288 1048 576 2097 152 4194 304 8 388 608
16 777 33 554 67108 134 217 268 435 536 870 1073 2147
216 432 864 728 456 912 741 824 483 648
4 294 8 589 17179 34 359 68 719 137438 274 877 549 755
967296 934 592 869184 738 368 476 736 953 472 906 944 813 888
1099511 627776 2199 4398 8 796 17592 35184 70 368 140 737
023 255 046 511 093 022 186 044 372 088 744177 488 355
552 104 208 416 832 664 328
281 474 562 949 1125 2 251 4503 9 007 18 014 36028
976710 953 421 899 906 799 813 599 627 199 254 398 509 797018
656 312 842 624 685 248 370 496 740992 481 984 963 968
72057 144115 288 230 576 460 1152 921 2305 843 4 611686 9 223 372
594037 188 075 376151 752 303 504 606 009 213 018427 036 854
927 936 855 872 711 744 423 488 846 976 693 952 387 904 775 808
72
СТЕПЕНИ
Если какое-то число нужно умножить
на себя несколько раз, можно это запи-
сать так: ахахахахахахахахаха.
Но есть более компактный способ — а10.
Такая запись называется возведением ] 1 X 21
встепень. Степени записывают маленьки- ч ч _
"Ч X ’ X.
ми числами в правом верхнем углу. Спра-
ва ты видишь число зерен риса, записан-
ное с помощью степеней.
4 8
1х22 1х23
Эмо Число, с которого
начинаемся геометри-
ческая прогрессия.
П означаем ПорЯ^ковЬш
номер в прогрессии
ЗнлАМенйтпелЬ Эмой
Прогрессии равен 2.
ПомоМу Чмо первое Число
Прогрессии не умножаемся
на знаменамелЬ.
Найдем тесмое Числи в прогрессии, мо есмЬ
Число, написанное на щесмо i КЛемке jocku.
С помощью этой формулы ты
можешь найти число, написан-
ное на любой клетке царской
шахматной доски. Для этого
тебе нужно знать: первое
число в прогрессии (у нас
это 1), знаменатель прогрессии
(у нас это 2) и номер клетки.
Сможешь найти двадцатое
число последовательности?
Возможно, тебе понадобится
калькулятор.
1 х 2|6-,| = 1 х 25 = 32
Шесмое Число в прог-
рессии равно 32.
ПОПРОБУЙ
УВЕЛИЧИТЬ СВОИ
СБЕРЕЖЕНИЯ
У тебя есть 2 монеты. Ты кладешь их в банк под
очень большие проценты: на второй год у тебя
6 монет. Сколько получится на пятый год?
Таким образом, на пятый
год у тебя будет
2 х З4 = 162 монеты.
Сможешь ли ты узнать,
сколько денег у тебя
будет на пятнадцатый
год? Используй форму-
лу 2 хЗ(п1).
Число монет увеличивается каждый год в соответ-
ствии с геометрической прогрессией — в три
ГодЧ
2хУ = 54
Год 5
ZxV = 1Ь2
КАК ИСПОЛЬЗОВАТЬ
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
Броское Число ^елиглсЯ тлолЬко на единицу и. на само се5я.
Ocyn<VlbHbie Числа назЬябакплсЯ состл^бн&Ми. Единица не сЧитлаетлсЯ
ни npocynbiA ни состлабнЬяМ Числом. ДлЯ Матл^Матликоб Простое
Числа броде стлроитлелЬнЬх кирпичей, бедЬ Л|о5ое составное
Число яблЯетлсЯ произведением каких-тло простлЬях.
г1 26
8
10
12 13
Т1росчп1яе Числа (>buje-
ленН кр<асн1лм цбетпом.
Н<ап риМер, ? — простое
Число, оно j сличи сЯ
чполЬко нд сс5я и нд 1.
&
ЗАГАДОЧНЫЕ
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
Простых чисел бесконечно много. Однако
математикам пока не известна закономер-
ность, по которой их можно найти. Число 2 —
единственное четное простое, ведь все
остальные четные числа делятся не только
на себя и на 1, но и на 2, то есть будут
составными.
ЗНАЕШЬ ЛИ ТЫ?
Наибольшее простое число
Самое большое простое число
на сегодняшний день состоит
из 24 862 048 цифр, оно было
найдено в 2018 году. Поиски
следующего простого числа
продолжаются...
•\Д5
Ab j
Ab*
%
0£[
101
б£ Ofr-
74
СЕТЕВАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ
При оплате товаров по интернету приме-
няется секретный код. Для его создания
используются простые числа. Кодом для
сделки является какое-нибудь огромное
составное число, а «ключами» — два про-
стых множителя этого числа. Не зная этих
множителей, можно потратить несколь-
ко тысяч лет на их вычисление.
87
17
116
143
44
Попробуй раз-
ложить число
589 на два про-
стых множителя.
# 201
167 166
I 186
IV ™
%
№
II
СостпавнЪье ЧасЛ4 ^Ь^еленЬе
Желти (ям цёетпом. Например,
12 .можно рдзложитиЬ на про-
стпЬье множители 2 х 2 х 3.
ЗАДАЧА ЦИКАД #
Некоторые насекомые — цикады — живут под
землей и выходят на поверхность один раз в 13
или 17 лет, чтобы отложить яйца. Ученые предпола-
гают, что это позволяет им уменьшить ущерб от хищ-
ников. При 12-летнем цикле цикады становились бы
добычей для хищников с жизненным циклом в 2,
3,4 или 6 лет. А под простое число охотникам
за цикадами сложнее подстроиться.
75
КАК ПРЕДСТАВИТЬ
БЕСКОНЕЧНОСТЬ
НекотпорЬье oSbeKTnbt Можно посЧитпатпЬ, например
КолиЧестпво стирании, в Этпой книге. Но количество
> Число людей на планетке или
Количество старании, 6 Этпои книге. Но количество ЦелЫх Чисел или радиксов у кр^-
га посЧитпатпЬ нелЬ^Я — оно 5есконеЧно. Бесконечность — Эт^о не Число, а понятие,
которое почтой невозможно пре^стпавитпЬ. Тем не менее благодаря ему в матпема-
тпике появилось множество революционных идей.
ОТЕЛЬ ГИЛЬБЕРТА
Математик Давид Гильберт предложил
мысленный эксперимент, который пока-
зывает, как причудлива математика
бесконечности.
В гостинице бесконечное количест-
во комнат с номерами 1,2,3 ..., все
номера заняты, но приехал новый гость.
2 Владелец отеля нашел выход. Он
попросил жильца из комнаты № 1
переселиться в № 2, из комнаты №2 —
в № 3 и так далее. Для нового гостя ос-
вободилась комната № 1. Получилось,
что бесконечность + 1 = бесконечность.
ЗНа следующий день прибыло беско-
нечное число гостей. Но владелец го-
стиницы снова справился с проблемой.
Жильца из комнаты № 1 он уговорил пере-
браться в № 2, из № 2 — в № 4, из № 3 —
в № 6 и так далее. Каждый человек пере-
местился в комнату с удвоенным номером.
4 Теперь все жильцы отеля находятся
в комнатах с четными номерами,
а комнаты с нечетными номерами свобод-
ны. Их бесконечное число, и в них можно
поселить бесконечное число гостей! По-
лучилось, что 2 х бесконечность = беско-
нечность.
76
АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХА
Древнегреческий ученый Зенон задумался,
что будет, если расстояние разделить
на бесконечное количество отрезков. Он
описал соревнование Ахиллеса и черепа-
хи. Герой мчится туда, где была черепаха.
За это время она проползает вперед. И так
каждый раз: когда Ахиллес сокращает рас-
стояние — черепаха проползает еще впе-
ред. Следовательно, Ахиллес никогда
не догонит черепаху. Это рассуждение на-
зывается парадоксом, потому что мы, как
и Зенон, понимаем, что герой, конечно же,
обгонит черепаху. Парадокс Ахиллеса и че-
репахи показывает, что с идеями беско-
нечности нужно обходиться очень
аккуратно.
]} начале Черепаха полу4а-
етп преимущество и нахо-
до местпа, оттуда
начала двигаться
Черепаха.
...ил Черепаха сноба перемес-
тпиласЬ. ДоЭтпому Ахиллес,
согласно Зенону никогда
не сМоХетп догнать соперницу
Ахиллес додрался
до Этпого мест^а... -
уЖ,е немного
to- сдвинулась.
I 111 I iiminnTTTnnii nj । м । ел и и гтттттпп п л«»штс
ЗНАЕШЬ ЛИ ТЫ?
Странные названия
Огромнее Числа записы-
ваются (> (?иде степеней
(например, 107\ Чтпо5(я
их ЗЫло ддоЗнее Чит^атлЬ.
1,Зх107м
Большие числа часто получают
странные названия. Гугол — чис-
ло, равное единице с сотней ну-
лей, или 10100. Гуголплекс — чис-
ло, равное 1 (У*™, то есть 1010100.
Диаметр Земли
Степени подходят^ и для
записи HebooSpa^uMo
малСях чисел. ТолЬко тогда
у степени ставится
Знак - (например, iO"10).
<----------->
1х10-10м
Размер атома
ЗАПИСЬ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
В некоторых числах так много цифр, что записы-
вать их полностью неудобно. Их записывают
в виде степеней (например, 107). Такая запись
позволяет выразить размер наблюдаемой Все-
ленной (8,8 х 1026 м), количество клеток в челове-
ческом организме (примерно 3,72 х 1013) или
атомов в каком-нибудь предмете.
3/5 3/6 2/4 1/3 1/6 4/6
КАК СОХРАНИТЬ
ТАЙНУ
Как надежнее бсего хранись секрет^Ьь? С поМоШруо МатпеМа-
тлпulkul! С дребних бремен, лкди оЗерегали сбои тпайнЬь отп лю-
SoribiTnHbtx гла^, поэтому исполЬзобали Kogbt (когда целЬяе
слаба писали другими З^кбами, цифрами и прочими симбола-
Ми) и uuucppbi (когда заменялись от^делЬнЬье З^кбЬь).
Криптография
Слово «криптогра-
фия» происходит
от греческих слов
«криптос», что зна-
чит «скрытый»,
и «графо» —
«пишу».
СООБЩЕНИЯ ОГНЕМ
Древнегреческие воины использовали прикреплен-
ные к сигнальной стене факелы, чтобы передавать
сообщения. Число зажженных факелов соответство-
вало строке и столбцу квадратной сетки с алфавитом.
Такая сетка называется «квадрат Полибия». Напри-
мер, три факела справа означают третью строку,
а пять факелов слева — пятый столбец. Поэтому
такой сигнал передавал букву П.
1 1 3 ч СП G
1 А Б в г д Е
Z Ё Ж 3 U С1 К
3 Л н н 0 п Р
ч с т У ф X U
5 ч ш щ ъ ы ь
ь э ю я -
Чтобы «написать огнем»
слово «привет», понадо-
бятся такие пары чисел:
78
ШИФР ЦЕЗАРЯ
Для сохранения тайны римский полко-
водец Юлий Цезарь использовал шифр
простой замены. Каждая буква заменяет-
ся другой, номер которой в алфавите
больше на 3. То есть вместо буквы А
писали Г, вместо буквы Б — Ди так
далее. Последним буквам — Э, Ю, Я —
соответствуют начальные буквы алфави-
79
языке.
ЗАДАЧКА
Расшифруй
Ты наткнулся на загадочное
ПОПУЛЯРНЫЕ БУКВЫ
Арабский философ и математик аль-Кинди про-
анализировал шифры из древних текстов. Он
понял, что некоторые буквы встречаются чаще
других. Ученый сделал такой вывод: на каком бы
языке ни записали зашифрованное сообщение,
самый часто встречающийся символ, вероятно,
будет означать самую популярную букву в этом
ВРАЩАЮЩИЕСЯ ДИСКИ
Итальянский архитектор Леон Баттиста Альберти
создал устройство, которое называют диском Аль-
берти. Оно состоит из двух дисков разного размера.
На внешнем написан алфавит, а на внутреннем — бук-
вы в произвольном порядке. Чтобы расшифровать
сообщение — например, ЮИЫФИО, — внутренний
диск поворачивают, пока первая буква закодирован-
ного сообщения (в нашем случае Ю) не совпадет
с заранее согласованной начальной буквой (напри-
мер, с). Затем можно прочесть текст, заменяя соответ-
ствующие буквы на дисках. У нас получится сообще-
ние «секрет». Взломать этот шифр было намного
труднее, чем шифр Цезаря, поскольку сообщение,
кроме букв, содержало еще и указания, как нужно
повернуть диски (и перейти к новому алфавиту).
СПРЯТАНО
В КНИГАХ
вг
А
Якоб Сильвестри изобрел книж-
ный шифр. Отправитель и получа-
тель должны заранее договорить-
ся использовать определенную
книгу. Чтобы зашифровать слово,
отправитель ищет его в книге
и кодирует его числами — напри-
мер, номер страницы, строки
и номер слова в этой строке.
Поскольку у адресата есть такая
же книга, он по полученным
числам находит нужные слова.
На внутреннем
jucne
На внешнем — 3x/KL_.
алфавита, кэтпор(ям
Записано исходное
сообщение.
— 5укв(% шифра.
;ШНеМ — 5мкв(л
ШИФР ВИЖЕНЕРА
Так называют усложненный вариант шифра
Цезаря. В нем при шифровании буквы сдвига-
ются не на одинаковую величину, а на раз-
ную. Величина сдвига определяется буквой
в слове-ключе, который нужно записать
несколько раз под исходным сообщением.
На протяжении веков этот шифр было прак-
тически невозможно взломать.
3
КОД МОРЗЕ
Изобретение телеграфа дало возмож-
ность передавать сообщения на огром-
ные расстояния почти мгновенно
по электрическим проводам. Амери-
канский изобретатель Сэмюэл Морзе
предложил заменять буквы алфавита
точками (короткие сигналы) и тире
(длинные сигналы).
I
1586 г.
ЗДДДЧКА
Азочка Порзе
э
я
Тайное послание
Попробуй написать
секретное сообщение
другу с помощью азбу-
ки Морзе.
ЗАГОВОР РАСКРЫТ
Мария Стюарт считала себя законной королевой
Англии. В шифрованной переписке она поддер-
жала идею заговора против королевы Елизаветы I.
Однако использованный ею шифр простой замены
был ненадежен, поэтому его взломали. Увы, Марию
Стюарт казнили.
81
У
ппы
А.
Г_
Ж
В
Е
U
Ф
ъ
Б.
Д
3
ШИФР «КРЕСТИКИ-НОЛИКИ»^
Этот простой подстановочный шифр использовали
военнопленные во время Гражданской войны в США
(1861-1865). Каждая буква алфавита находится
в одной из четырех разных сеток. Вместо буквы
ставится значок, показывающий форму той части
решетки, откуда надо взять нужную букву. Для букв
от К до Т добавляется точка, а для букв о У до Ы
добавляются две точки.
м
п
п
о
с
к
н
р
_х_
ш
ы
□СНГ >FPL EdFCL = беги этим путем
000*^)00000
СЕКРЕТЫ ВОЕННОГО ВРЕМЕНИ
/М'^ематпики. ё БлетпЧтил-парке
ucno/ibjo&viLi ^(яЧаслитпелЬнсу)О
которая помогала ^ewucppocavrib
немецкие тпекстг|(л.
Во время Второй мировой войны немецкая армия ис-
пользовала для шифрования машину под названием
«Энигма», которая для каждого зашифрованного сообще-
ния давала 158 000 000 000 000 000 000 возможных
решений, а одинаковые буквы исходного сообщения
преобразовывались каждый раз в разные. Однако это
оказалось и недостатком машины. Так что группа дешиф-
ровки Великобритании создала систему, способ-
ную вскрыть шифр «Энигмы».
ЗНАЕШЬ
Машина «Энигма»
В немецкой армии настройки
шифрования «Энигмы» меня-
ли каждый день. Поэтому
криптоаналитики факти- Л
чески соревновались
со временем в попыт- |
ках дешифровать
сообщения.
ЗНДЕШЬЛИ^
Нерешенная загадка
В 1990 году американский художник
Джеймс Санборн поставил перед
штаб-квартирой Центрального раз-
ведывательного управления США
скульптуру с зашифрованным тек-
стом и назвал ее «Криптос» (что зна-
чит «скрытое»). Пока никто не смог
расшифровать послание — разгада-
но только три части из четырех.
ЦИФРОВЫЕ
СЕКРЕТЫ
Сегодня шифры обеспечивают
безопасность в интернете.
Криптографы создают все более
сложные шифры, которые
Послание содерЖшп
сведения о Челове-
ческой ДНК и. о по-
ложении Земли
в Солнечной
систпеме.
ЗдесЬ картинка
раскрашена, Чтпо5(л
показать pa^Hbie
Частей послания.
ПОСЛАНИЕ
ИНОПЛАНЕТЯНАМ
Из обсерватории Аресибо в Пуэрто-Рико
ученые отправили радиосигнал к шаровому
звездному скоплению М13 в созвездии Герку-
леса — в надежде, что его когда-нибудь полу-
чат и прочитают жители других планет. Радио-
волны дойдут до М13 только через 25 тысяч
лет, и еще столько же времени придется ждать
возможного ответа. Послание состоит
из 1679 двоичных цифр, где 0 обозначает
черный цвет, а 1 — белый цвет.
Число JZ679 разлага-
емся на^ва просмЬис
множителя: 23 и 73.
Если инопланетяне
дога^акмсЯ Предсма-
КимЬ послание
из ApecuSo £ (>иде
Прямоугольника
из 73 стпрок
и 23 стполЗцов,
они увидЯтп тпакое
изображение.
СТАТИСТИКА?
ЧТО ТАКОЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
Mbt Живем в век информации. Сейчас в нашей Жи^ни ЗолЬше даннЬях,
Чем когда-лиЗо в истории. Матпематпики рцзраЗотпали множество
спосоЗов сЗора и. представления информации. МатпематпиЧескаЯ
стпатпистпика помогает^ соЗират^Ь и оЗраЗатпЬьватпЬ информации для
Получения законоМерностпей и других выводов. А для наглядностпи
данное помецак^п в диаграммой
КАК ПРОИЗВЕСТИ
ВПЕЧАТЛЕНИЕ
ТоЧнЬье матлеМатлиЧеские вычисления не всегда Можно
вЬяпоЛНитлЬ с ходу, цоЭтлоМу матлеМатлики частно приме-
няю™ приближенною оценко. Этпо поМогаетл разомно
НЯкпп Приближенную оценку. Этло ПоМогаетл ра^умнс
ПредстлавитлЬ, каким МоЖетл 5(ятлЬ отлветл на вопрос.
Столкнувшись с вроде 5bt нереалистлиЧнЬяМ подсче-
том, один мудрец понял. Что Можетл примерно
оценитлЬ и вЬьсказатлЬ оЧенЬ правдопо-
добную ^ога^ку.
1В одной индийской
легенде некий чело-
век однажды похвастался
своему попутчику, что
знает, сколько листьев
на дереве.
2 Спутник не поверил,
срубил дерево и тща-
тельно пересчитал все ли-
стья. Ответ оказался почти
точным! Но как мудрец его
получил?
Займемся математикой
ОКРУГЛЕНИЕ И ОЦЕНКА
Мудрец не стал считать все листья на дереве.
Вместо этого он примерно оценил их количе-
ство. Для этого он сначала сосчитал число
листьев на нескольких ветках. На большин-
стве веток росло примерно по 20 листьев.
1Я листьев 20 листьев 21 лист
Затем мудрец посчитал, сколько веток на ка-
ждом суку. На суках было от 4 до 6 веток, и он
предположил, что на большинстве суков
по 5 веток.
Ч ветки t веток 5 веток
20 листьев х
5 веток х
10 суков =
1000 листьев
Наконец, мудрец выяснил количество суков —
их было немного, и он мог посчитать точно.
Получилось 10 суков. Перемножив все числа,
он узнал, что на дереве примерно 1000 листьев.
87
ОКРУГЛЕНИЕ
Округление — это замена какого-нибудь числа
приближенным значением. Такое действие часто
упрощает расчеты. Представь, что предмет имеет
длину между 18 и 19 см. Если измерить точно, то
размер будет 18,7 см. Если же округлить число
до 19 см, считать станет проще.
Если последняя цифра Если от 5 до Я, то
от I до Ч, то округляют Вниз. округляют Kfcepx.
СЧ СО LQ \О 00
00 оо' со' со' со' со' со оо' оо'
Количество значащих цифр Округленное число
4 1171
3 1170
2 1200
1 1000
ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ
При округлении нужно решить, какая
необходима точность. Для этого исполь-
зуют количество значащих цифр. Можно
округлять число до ближайшего целого
числа, либо до десятков, либо до сотен
и так далее. Представь, что нужно округ-
лить число 1171. В нем четыре значащие
цифры. При округлении до 1170 в записи
будут три значащие цифры; при округле-
нии до 1200 — две, при округлении
до 1000 — одна.
Количество знаков после запятой Округленное число
3 8,152
2 8,15
1 8,2
0 8
ЗНАКИ ПОСЛЕ ЗАПЯТОЙ
Числа в десятичной записи, у которых есть
знаки после запятой, тоже можно округ-
лять. Это очень удобно, когда приходится
иметь дело с измерениями расстояния,
массы или температуры. Как правило, при
обычных расчетах вполне хватает двух
знаков после запятой.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ
ВЫЧИСЛЕНИЯ
Округление поможет провести сложные вычис-
ления без калькулятора. Округлив числа вверх
или вниз, ты посчитаешь быстрее, а примерный
ответ часто будет близок к точному.
Найтли 3TW
+ 743 = 911
3НАЕШЪ ЛИ ТЫ?
Сколько слов в книге?
Как ты думаешь, сколько слов
в этой книге? Ты можешь при-
мерно оценить их число. Для
этого надо посчитать количе-
ство слов на одной странице
и умножить на число страниц
в книге.
Если окр^алитпЬ ^170
163$) 170.
а 743 5о 740, ОЛЛ
сЧитпатпЬ 5^етп w W
Проьце.
740 = 910
700 = 900
ПОПРОБУЙ
КУПИТЬ БЫСТРО
Если ты покупаешь сразу много предметов
и хочешь узнать их общую стоимость, округли
цены до десятков, сотен или тысяч, а потом
сложи их. Например, пусть велосипед стоит
15 999 руб., фары — 1779 руб., а шлем —
5210 руб. Округли до тысяч: велосипед стоит
примерно 16 000, фары — примерно 2000,
шлем — 5000 руб. Получилось примерно
23 000 руб., а точный ответ — 22 988 руб.
В следующий раз в магазине попробуй округ-
лить цены на товары и сложить их в уме, а за-
тем сверь свой результат с суммой, которая
получилась в чеке. _
СлоЛсшцЬ 200 и. 700 в \)|Ме — Этг)о
легко. Полечившийся Приближен-
ный отпветп 900 по-прежнему
близок к истпиннол^е ЭИ-
в РЕАЛЬНОМ МИРЕ
Посчитать людей
Чтобы прикинуть, сколько людей
в толпе, можно разделить занимае-
мую ими площадь на квадраты, по-
считать количество людей на одном
квадрате, а затем умножить на число
таких квадратов.
89
КАК ПОЙМАТЬ
МОШЕННИКА
₽ XIX беке So Францией, матпематпик Анри. Пуанкаре каждЬш ^енЬ покупал
Заподозрил, Чтпо Зугючник оЗманЬьбаетп клиеюпоб и. каждЬш Затпон беситп
1 хлеЗ. Он
каЖдЬш Затпон бесигп меньше
Положенного килограмма. Пуанкаре решил проберись, тпак ли Этпо. Он посчитал
средний бес Закона и улиЧил боробатпого пекаря.
2 Каждый день в течение
года Пуанкаре покупал
батон, взвешивал его, записы-
вал результат. Постепенно он
все больше уверялся в своей
правоте.
1 Пуанкаре считал, что
хлеб, который продают
в местной булочной, весит
меньше, чем утверждает про-
давец. Он решил собрать до-
казательства.
90
3 Через год Пуанкаре вычислил,
что средняя масса купленных
батонов была 950 г — на 50 г меньше
положенного. Пуанкаре обратился
в полицию, и она оштрафовала не-
честного булочника.
Займемся математикой
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ
Чтобы вывести мошенника на чи-
стую воду, Пуанкаре узнал среднюю
массу купленных им батонов. Чаще
всего используются три вида средне-
го значения: среднее арифметиче-
ское, медиана и мода. Математик
опирался на среднее арифметиче-
ское: он сложил массу всех батонов,
а затем разделил на их количество.
На рисунке показано семь бато-
нов — столько Пуанкаре покупал
за неделю.
950г + 955г
+ 915 г
960 г
+ 1005г + 850г
+ 1015 г
= 6650 г
Теперь делим общую полученную
массу на число батонов, то есть на 7.
6650г
950г
Получилось, что средняя масса ку-
пленных батонов — 950 г. Некоторые
батоны весили даже больше положен-
ного килограмма, однако в среднем
батон получается меньше, чем заявлял
булочник.
91
ПОСТРОИМ ГРАФИК
Чтобы предоставить полиции доказа-
тельства, Пуанкаре изобразил получен-
ные данные на графике. Там было
показано количество батонов с различ-
ной массой. Как видно из графика,
у большинства батонов масса пример-
но равнялась 950 г.
Пасса батона
МЕДИАНА
Среднее значение можно представить и по-другому — с помощью
медианы. Чтобы ее найти в каком-нибудь наборе чисел (такой набор
называется выборкой), расставим их по порядку. Число, стоящее в сере-
дине, и будет медианой. Иными словами, количество чисел, меньших
медианы, равно количеству чисел больше нее. Иногда медиана лучше
показывает среднее значение, чем среднее арифметическое. Представь,
что одно из чисел намного больше или меньше остальных. Такое не-
обычное значение (математики называют его выбросом) сильно влияет
на среднее арифметическое, а вот на медиану — слабо.
Эттотп Затпон намно-
го тпЯЖелее дру-
гих — Этпо вЬшрос.
850 г 920 г 950 г 955 г 960 г 1005 г
1500 г
Медиана — Этцо Число строящее в се-
редине списка, упорядоченного п° &>$-
растпаникх 3 нашем случае Этт)о 955 г.
Среднее арифметическое всех Законов
равно 1020 г, и этпо ЗолЬше, Чем масса
каждого uj шестли Законов слева.
92
МОДА
Мода — еще один вид среднего значения. Это
значение, которое встречается чаще остальных.
Иногда мода полезнее, чем среднее арифмети-
ческое или медиана, — например, если ты
хочешь знать, какое пирожное в кафе покупают
чаще всего.
лЛЛ/
БолЬше всего
лиды поиущ-
КЛП шоколзс;-
ное пирожное,
Mojo,
ПОПРОБУЙ
НАЙТИ СРЕДНИЙ РОСТ
Представь, что ты хочешь посчитать
средний рост учеников в классе. Обыч-
но это делается так: измеряют рост
каждого, показатели складывают
и делят на число учеников. Например:
150 см +142 см +160 см +
155 см +137 см +140 см +
155 см +152 см +155 см +
170 см +145 см = 1661 см.
Шоколадное 7^
Клубничное 6
Лимонное 3
1661
11
= 151 см
Мудрость
толпы
ш
а
X
5
S
О
X
л
§
о.
со
Если спросить
группу людей,
сколько конфет
лежит в банке,
то вполне
вероятно, что
медианное
значение их
ответов будет
близко к истинному. Если
кто-то назовет очень большое
или очень маленькое число, это
не скажется на медиане.
Сумеешь найти медиану и моду для
этого набора чисел? А сможешь опре-
делить среднее арифметическое,
медиану и моду в своем классе?
Что, по твоему мнению, лучше всего
использовать в этом случае: среднее
арифметическое, медиану или моду?
А что хуже всего?
93
КАК ОЦЕНИТЬ
НАСЕЛЕНИЕ
Как посЧитпатпЬ население стпранК если. нелЬ^Я провести перепись?
Этпа ^ajaMa Устлала nepej фракц^скиМ /М^е/МУликоМ БЬероМ-СиМоноМ
Лапласом 61783 zojy. Для оценки. Численности, населения Франции
он нашел ХлестлЯЦее решение, в котором соЧетлалисЬ стлрогаЯ логика
и ^дибитлелЬно простая арифметика.
В 1783 году Ла-
плас задался це-
лью оценить населе-
ние своей родной
страны — Франции.
взаимосвязь между _дв^мя величинами наз(лваетт)сЯ отно-
шением: М1я исполЬзуем^воетпоЧие ^ЛЯ разделения ^аннЬос
Займемся математикой
СБОР ДАННЫХ
Лаплас понял, что он может примерно опреде-
лить общее количество людей, если будет
знать, сколько в среднем взрослых приходится
1 новорожденный: 28 взрослых
на одного новорожденного младенца. В то вре-
мя мало где велись записи о числе жителей,
но в некоторых городах это делали, и Лаплас
использовал такие данные в своих расчетах.
94
2 В большинстве
городов не име-
лось записей обо всем
населении, но младен-
цы, родившиеся за год,
все-таки учитывались.
Франция
ЗВзяв документы
из нескольких раз-
ных городов, Лаплас уста-
новил, что во всей стране
за год рождается пример-
но 1 000 000 детей.
Ученый выяснил, что в среднем в год на каждые 28 человек
во Франции рождается один ребенок. Ему осталось умно-
жить миллион новорожденных на 28 и примерно оценить
население страны — 28 миллионов человек.
Такой метод оценки населения получил название «отлов —
мечение — повторный отлов». Почему? Давай разберемся.
28x1000000 =
= 28000000
95
ОЦЕНКА ПОПУЛЯЦИИ
Метод Лапласа можно использовать для оценки количества животных
в популяции. Представь, что ты хочешь узнать, сколько птиц одного
вида живет в лесу. Сначала отловим несколько птиц и пометим их —
например, привяжем метку на ногу. Это будет первая выборка. Выпу-
стим птиц на волю, чтобы они присоединились к своей популяции,
а через некоторое время снова поймаем несколько птиц. Получится
вторая выборка. У некоторых птиц из нее будет метка на ноге —
значит, они попадали и в первую выборку.
Ока^ОЛосЬ, Чтпо (?о второй
(?(%5орке 4 ПТпицЬь
с метиками. Зна^ити, они
5(яли и в первой (?Ьс5орке.
Выборка I- о птиц
К^ая птцица в &ь5орк Выборка Ъ Ю птиц, из них Ч помечены
ЗЬяла помечена. Затеем их
вЬигустли ли.
Итак, во второй выборке 10 птиц, из них 4 помечены. Значит,
отношение числа помеченных птиц к числу всех птиц равно
4:10, или 1:2,5.
Поскольку мы считаем, что все птицы перемешались равномер-
но, такое же соотношение (1:2,5) будет справедливым и для всех
птиц в лесу. Мы знаем, что всего 8 меченых птиц. Значит, общее
число птиц в 2,5 раза больше, что дает нам примерную оценку
в 20 птиц.
Тигры в дикой природе
8 х 2,5 = 20 птиц
В реальном мире
Ученые используют метод отлова —
мечения — повторного отлова, чтобы
оценить численность тигров. Они ста-
вят фотоловушки на лесных тропах.
Чтобы не посчитать одно и то же жи-
вотное два раза, ученые внимательно
изучают узор из полос: он уникален,
и с его помощью можно уверенно опо-
знать каждого тигра.
96
УТОЧНЕННАЯ ОЦЕНКА
Для более точного результата можно повторить эти
действия несколько раз. Получится несколько разных
оценок числа птиц. Если взять среднее значение этих
оценок, то получившееся число будет более надежной
оценкой, чем отдельные результаты.
Число пойманных Чнсло помеченных Оценка популяции
I-Q отлоЕ 10 4 20
2-й отлоЕ 12 6 16
1 и отлоЕ 9 4 18
Среднее _ 20 + 16 + 18
арифметическое ” “ птиц
Этпо Число
(?ЗЯтг1Ь1х ёЬяЗорок.
3 перёЬш Mix реши-
ли, Чтг)О ё лес'/ 20 ПТИи-Ц.
Теперь оценка Пол^Чи-
ласЬ Золее тпоЧной.
ПОПРОБУЙ
ОЦЕНИТЬ
КОЛИЧЕСТВО
У тебя есть большая банка с крышкой,
наполненная красными бусинами,
и ты не знаешь, сколько их.
Возьми 40 красных бусин из банки
и замени их 40 синими. Закрой банку
крышкой и хорошенько потряси ее,
чтобы бусины перемешались.
Теперь надень повязку на глаза
и достань из банки 50 бусин. Бери их
по одной и клади в тарелку.
Сними повязку и посчитай, сколько
синих бусин среди этих 50. Предполо-
жим, что их 4.
Можешь оценить, сколько всего
бусин в банке? Используй метод,
описанный на странице слева:
вычисли соотношение и получи
оценку общего количества бусин.
КАК ИЗМЕНИТЬ МИР
С ПОМОЩЬЮ ЧИСЕЛ
Р1353-1856 годах шла КрЫмскаЯ война Межд^ Российской империей, с одной стлоронЫ,
и £елико5ритланией, Францией, Сардинским королевством и Османской империей — с ^р^~
гой. ОжестлоЧеннЫе сражения проходили в КрЫму где погибли ^есЯтлки тлЫсЯЧ солдату
Английские генералы сЧитлали, Чтло 5олЬшинстлво солдату умерло отл пол^ЧеннЫх ранений.
Но сестпра милосердия Флоренс Найтлингейл думала иначе. ИсполЬэдя матлематлику она
решила ^ока^атпЬ, Чтло на самом ^еле главными причинами смертей стлали антлисаншлар-
нЫе условия в госпиталях и инфекции, переносимые крЫсами и 5лохами.
IB 1853 и 1854 годах
в военных госпита-
лях в Крыму погибло
много солдат.
2 Найтингейл вместе с по-
мощницами приехала
в Крым в 1854 году. Она не только
ухаживала за ранеными, но и со-
бирала данные, записывая при-
чины смерти каждого человека.
98
Займемся математикой
НАГЛЯДНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
ДАННЫХ
Подсчеты сестры милосердия показали: большинство солдат
умерли не от боевых ран, а из-за болезней. Значит, множество
смертей можно предотвратить, если улучшить больничные
условия. Найтингейл решила отобразить собранные данные
не в таблице, а на круговой диаграмме. Благодаря простоте
и наглядности она мгновенно стала популярной, и ее перепеча-
тали многие газеты. Сделав так, что данные стали понятными
для всех, а не только для математиков, Найтингейл убедила
генералов тратить больше денег на улучшение госпиталей.
3 каждом секторе
Представленье jaHHbte
^ля конкретного ме-
сяца, а размер секто-
ра отп ражаетщ количе-
ство солдату умерших
в Этпом Месяце.
/854
СО
г?
Причины английских военных потерь Е Крым^
(июль 1854 года - март 1855 года)
Смертей, в1лзванн1ле ранами,
ПолуЧеннВсМи на поле 5оЯ
Смертей, в!лзванн1ле другими причинами —
I несЧастлнЬсМи случаями или уже имевщи-
МисЯ заболеваниями
Смертпи, в(лзваннЬее инфекциями — холерой,
т^ифом, ^дизентерией, котпорЬее распростра-
нялись uj-ja антписанитпарнЬпх условий
%
3?
£ каждом секторе —
ТПр и разноцветпнЬсе Частей.
/8ss
99
НАГЛЯДНЫЕ ФАКТЫ
Флоренс Найтингейл была не единственной, кто использо-
вал собранные данные в борьбе за реформы. Английский
врач Джон Сноу и французский инженер Шарль Жозеф
Минар в спорах о необходимости перемен также представ-
ляли данные в наглядном виде.
Красными прямоугольни-
ками отаМеЧенИ случаи
холеры. Чем ЗолЬше пря-
моугольник, таем ЗолЬше
случаев заболевания.
ЛЕЧЕНИЕ ХОЛЕРЫ
В 1854 году в лондонском районе Сохо
вспыхнула эпидемия холеры, унесшей
сотни жизней. В то время считалось, что
болезнь распространяется «нездоро-
вым воздухом». Однако врач Джон Сноу
доказал, что настоящая причина — гряз-
ная вода. Он взял карту и отметил
на ней места заражения людей. Оказа-
лось, что умершие люди пользовались
одной водозаборной колонкой. Чтобы
предотвратить вспышки заболевания,
надо обеспечить чистоту воды.
ОТСЛЕЖИВАНИЕ
ПОГИБШИХ
В1869 году некоторые французские общественные деяте-
ли сетовали, что в последнее время у них нет военных
побед. Инженер Шарль Жозеф Минар попробовал напом-
нить им о страшных людских потерях в войнах. На карте
он наглядно показал, сколько французских солдат не вер-
нулись домой из наполеоновского похода в Россию.
Информативная карта Минара получила большую попу-
лярность. Ранее он уже создал карты, где показал движе-
ние товаров или отразил железнодорожное сообщение
между французскими городами.
В начале наступления во французской армии
насчитывалось Золее 400 000 солдата.
Аестао колонки
Из~за пр^-восходстава русских
и в преддверии зимЫ Францу-
зы повернули оЗратано.
ТолШцна красной линии
ПоказЫваета Численность
наполеоновских войск. Она
ПостаоЯнно уменьшается
uj-ja сражений с ру<
ской армией.
Москва
Начало
похода
Река
Неман
fl fl
лп
Начало
отступления
4epej пЯтаЬ с полови-
ной Месяцев к Неману
вернулись всего лишЬ
iO ООО солдата.
Сужающаяся серая
старелка ПоказЫваета
таающую При отпетпу-
Плении арМию Напо-
леона: солдата Ы уми-
рали ота Золезней,
голода и оЗморожениЯ.
llllllll'l
100
ДИАГРАММЫ И ГРАФИКИ
Графики и диаграммы представляют число-
вые величины в наглядном виде — их
легко читать и понимать. Это, в свою оче-
редь, облегчает анализ данных, помогает
находить закономерности и делать выво-
ды. Диаграммы бывают нескольких видов,
и у каждой есть свои достоинства.
пи«’
Уильям Плейфэр
В XVIII веке инженер и секретный агент
Уильям Плейфэр изобрел столбчатые
диаграммы и диаграммы-графики. Он
утверждал, что цветные изображения
объясняют информацию намного луч-
ше, чем таблицы.
Столбчатая диаграмма
Позволяет быстро сраЙниЕать
величины между собой.
Круговая диаграмма
Представляет данные £ 8иде секторов
Отлично показывает, как данные
изменяются £о времени.
круга. Такие диаграммы удобны, когда
надо показать часть каждой величины
В общем объеме.
ПОПРОБУЙ
УБЕДИТЬ СВОИХ
РОДИТЕЛЕЙ
Школьница уговаривает родителей, чтобы
они разрешили ей пойти на вечеринку
на всю ночь. Девочка решила показать, как
усердно училась и работала по дому —
по сравнению с просмотром телевизора
и играми. Из возможных 20 ч с понедельни-
ка по пятницу школьница 5 ч выполняла
обязанности по дому, 10 ч провела за до-
машними заданиями, 2,5 ч смотрела телеви-
зор и 2,5 ч потратила на видеоигры. Эти дан-
ные отображены на круговой диаграмме.
Попробуй узнать, как проходит твой день.
Сначала запиши, сколько времени в неде-
лю ты проводишь за разными занятиями,
а потом построй круговую диаграмму.
и помогает обнаружить
закономерности.
2,5 часа
101
КАК ВЫЧИСЛЯТЬ
БОЛЬШИЕ ЧИСЛА
ИаЧиндЯ с древних времен луодей возникала потпреЗностпЬ складЫватпЬ, вЫЧитпатпЬ и Пе-
ремножать Числа. СлоЖнЫе расЧет^Ы с 5олЬтиМи Числами, ког^а в поМосЦЬ естпЬ всего
jecRvnb палЬцев, в определенной степени 5Ыли испЫтпанием^лЯ мЫслитпелЬнЫх спосо5но-
стпей. Т1оЭтт)ом^ лкди закупались, как можно о5легЧитпЬ вычисления. Р итпоге стлали появ-
ляться вычислительные ^стлройстлва — отл простлЫх сЧетлов jo сложнЫх ЗлектлроннЫх
машин, котлорЫе могущ вычислить масс^ галактики (мЫ называем их компьютерами).
СЧЕТЫ
Самые ранние счеты, которые исполь- to 10 1 1 ОтщделЬнЬяе
зовали древние шумеры, назывались 3t00 10 I I V стцол5цИ
абак. Это были глиняные плитки. IU | | Предназнача-
На каждой — пять столбцов, в которых too %00 to Ю I I лись для еди-
размещали глиняные значки с числами IH 1 1 ниц, десят- ков, Чисел, кратпнЬи 60, 600 и 3600.
разных разрядов, расположенных по возрастанию. to IU 1 1
7200 + 600 +180 + 40 + 8 = 8028
ОК. 200 г. до н. э. ок. 100 г. до н. э.
па сМеннЫх дисках
аст]роля5ии — сетг)ки
не5есн1ях координатп.
ПОМОЩЬ
В НАВИГАЦИИ
Астролябия позволяла морякам
определять местоположение корабля
(широту, то есть на какой параллели он
находится), используя положение звезд
и солнца на небе. Арабские изобретатели
усложнили ее, добавив сменные диски,
на которые нанесены сетки небесных коор-
динат для разных географических широт.
МЕХАНИЧЕСКИМ
КАЛЬКУЛЯТОР
В 1901 году у греческого острова
Антикитера на корабле, затонувшем
более 2000 лет назад, нашли механи-
ческое устройство с бронзовыми
шестернями и циферблатами. Оказа-
лось, что с его помощью можно рас-
считывать движение звезд и пла-
нет для любой даты. Можно
сказать, что это первый
известный компьютер.
Механизм 5(ял сильно по-
^рехден, Поскольку Про-
бел под водой 5оЛЬше двух
тпСясЯЧ летп.
102
ПАЛОЧКИ НЕПЕРА
Шотландский ученый Джон Непер
придумал счетный прибор в виде
палочек, чтобы умножать многознач-
ные числа. В первом ряду каждой
палочки была написана цифра, а под
ней — результат ее умножения на чис-
ла от одного до девяти.
г 1 о 5
ч
лес £ Этг)цх окошках
Появлялась числа.
Если ё результате
вычисления оказы-
валось, Чтпо Число
5олЬше девяти, тр
к Числу в окне слева
автполдатпиЧески у>-
Завляла<.Ь единица.
При вычислениях палочки
прикладывали друг к другу
в определенном порядке
При вычислениях совмесца-
клп отг|ме-ж|ки на шкалах,
расположенных на подвиж-
ной и неподвижной Частях.
У каждой палочки
5Ыло ЧетпЫре грани
с разными цифрами
на сличай, если одна
и тпа же цифра
в Числе встречалась
несколько рнл.
НАЛОГОВАЯ АРИФМЕТИКА
Восемнадцатилетний француз Блез Паскаль
построил свою первую суммирующую машину,
чтобы помочь отцу, который собирал налоги.
Этот агрегат умел только складывать. Машина
не всегда была надежной, но это было самое
совершенное вычислительное устройство того
времени.
183?Г
БЭББИДЖ И ЛАВЛЕЙС
Английский математик Чарльз Бэббидж разработал
«аналитическую машину». Если бы ее построили, это был
бы первый в мире механический паровой компьютер.
Математик Августа Ада Лавлейс написала множество
комментариев о возможностях машины. Среди
прочего она придумала алгоритм для вычисления
чисел Бернулли, который считается первой компью-
терной программой.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
ЛИНЕЙКА
Английский математик Уильям Отред
изобрел логарифмическую линейку,
которая позволяла быстро произво-
дить сложные вычисления. Такие
устройства использовались 350 лет.
Только в 1980-х годах их сменили
электронные калькуляторы.
103
ТЬЮРИНГ И «БОМБА»
Британский математик Алан Тьюринг
во время Второй мировой помог
взломать зашифрованные немец-
кие сообщения. Он участвовал
в создании «Бомбы» — электро-
механического устройства для
дешифровки. Позже в своих
работах Тьюринг зало-
жил основы теории
искусственного интел-
лекта.
КАРМАННЫЙ
КАЛЬКУЛЯТОР
В конце 1950-х годов появились
громоздкие настольные электрон-
ные калькуляторы. Благодаря ми-
кросхемам устрой-
ства стали меньше
и были созданы
портативные кальку-
ляторы на батарей-
ках. Они оказались
очень удобными
и быстро приобрели
популярность.
ЭЛЕКТРОННО-
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ
МАШИНЫ
В 1949 году в Кембриджском универси-
тете создали электронно-вычислитель-
ную машину EDSAC. Это был первый
компьютер, который хранил программы
в памяти, и работать на нем могли даже
неспециалисты — большой шаг
> на пути к современной
мощной технике.
1946 г.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МИКРОСХЕМЫ
Джек Килби и Роберт Нойс независимо друг от друга
изобрели интегральные микросхемы, которые объеди-
няли множество электронных компонентов на малень-
кой кремниевой пластинке-чипе. Микросхемы помогли
уменьшить размеры компьютеров, но при этом увели-
чили вычислительные мощности. Благодаря этому
изобретению в 1970-х годах начали появляться
домашние компьютеры.
104
ВЕК ИНТЕРНЕТА
Когда появилась Всемирная паутина, объеди-
нившая компьютеры, пользователи получили
возможность найти любую информацию.
Студенты Алан Эмтейдж, Питер Дойч и Билл
Хилан создали первую поисковую систему для
интернета, названную Archie. Сегодня в Сети
больше двух миллиардов сайтов, для работы
с которыми используется множество поиско-
вых машин. Каждая из них организует поиск
по собственным алгоритмам.
1990 г.
СУПЕРКОМПЬЮТЕРЫ
Суперкомпьютер D-Wave обладает такой же
вычислительной мощностью, что и 500 мил-
лионов настольных машин. Суперкомпьюте-
ры используются для сложных задач — на-
пример, прогноза погоды или дешифровки
сообщений. Еще один способ повысить
производительность — использовать
облачные вычисления: много связанных
между собой компьютеров объединяют
свои ресурсы для решения задач, которые
не под силу отдельной машине.
Се^
Люди-компьютеры
Когда-то существовала профес-
сия — вычислитель. Эти люди
производили расчеты на бумаге
для астрономических исследо-
ваний и для строительства, уча-
ствовали в работах, связанных
с первыми полетами в космос.
Теперь такой профессии
нет — за людей считают
компьютеры.
ШАХМАТНЫЙ ЧЕМПИОН
Со временем вычислительная техника становилась
все мощнее. Важным событием стал шахматный матч
между компьютером Deep Blue, созданным компани-
ей IBM, и чемпионом мира Гарри Каспаровым. И Deep
Blue победил. Во время матча электронный
«шахматист» в среднем оценивал 128 милли-
онов ходов в секунду.
105
ЧТО ТАКОЕ
ВЕРОЯТНОСТЬ
И ЛОГИКА?
Логика — на^ка о законах после^оватпелЬнЫх рассук^ений. /Аатле-
матлика основана на логике. Применяя ее, можно ^оказЫ-ватлЬ
ЗаконЫ, или решатпЬ сложнее задачи. Теория вероЯглностлей —
раздел матпематпики, из^чауоа^ий сл^чайнЬяе со5ы.тлиЯ Она 40360-
ЛЯетл бЬьЧислЯтлЬ вероЯтлностлЬ разлиЧнЫх со5Ьплий и^аЖе Пред-
сказатпЬ 5^Цее, рассЧитпаб, насколько бероЯтпнЫми могуяп Sbtvnb
Последствия тле* и-Ли инЫх coSbi-vnuu.
КАК СПЛАНИРОВАТЬ L
МАРШРУТ
Р XVIII беке житпели города Кёнигс5ерга (современный Калининград) пЬппа-
ЛисЬ реииитпЬ одну задачу. Р городе 5ьйло семь Мостпов, но ник*по не Мог о5ой-
тпи все МостпК пройдя г>о каждому тполЬко один раз. Реликий матпематпик
Леонард Эйлер понял, почему задача не имеете решения.
1В центре Кенигс-
берга расположи-
лись два больших
острова, омываемых ре-
кой Прегель (современ-
ное название Преголя).
Они соединены друг
с другом и с берегами
семью мостами.
II
4 ▼ Hinn
| Ullin
111111
HIIIII
Illlllllll
2 Местных жителей инте-
ресовало, получится ли
посетить все части города,
пройдя по каждому мосту
только один раз. Никто
не мог этого сделать и не мог
объяснить, почему это не-
возможно.
*
предложил
математическое объясне-
нарисовал карту
:хемы, показыва-
ющей острова, берега реки и мо-
сты между ними. Затем он дока-
зал, что невозможно построить
маршрут, который проходил бы
по каждому из мостов только
один раз.
1111111
1111111
1111111
109
Займемся математикой
ГРАФЫ
Например, начни
свои пу*пЬ здесЬ...
Занявшись этой задачей, Эйлер быстро
понял, что такого маршрута не существует.
Где бы ни начать путь, по одному из мостов
придется шагать дважды. Эйлер сообразил,
что размер и форма островов не играют
роли. Все, что нужно иметь в виду, — есть
четыре части города (два берега и два
острова) и семь мостов, их соединяющих.
эйлеров путь
...и ты. увидишь, что
пройти по всем мостам
не получится.
Эйлер упростил карту и начер-
тил схему, которая сейчас
называется графом. Каждая
часть города обозначена
прямоугольником, а мосты —
линиями. Эйлер заметил, что
от каждого прямоугольника
отходит нечетное количество
линий.
НЕВОЗМОЖЕН, ПОТОНУ ЧТО...
Ка:ждая ли-
ния изоЗра-
Жает мост-
Число на прямо-
угольнике означает^
количество линий,
ведущих к нему.
КаждСяй прямо-
угольник изоЗра-
жает ЧастЬ города.
Оказалось, Что
у каждого пря-
моугольника
нечетное Чис-
ло линий.
Математик подумал: если человек при-
шел в какую-то часть города по одному
мосту, то уйти оттуда он должен уже
по другому. Значит, для построения
нужного маршрута из каждой части
города (кроме первой и последней)
должно выходить четное число мостов.
Для начала и конца маршрута годится
нечетное число — ведь первую часть
города мы покинем, а в последней ока-
жемся в итоге.
БЫЛ БЫ ВОЗМОЖЕН, ЕСЛИ БЫ...
Построили еще
один. Мост- Тогда
осталось 5(л все-
го два прямо-
угольника с не-
ЧетнЫм Числом
линий.
Вернемся к схеме. Прямоугольников
с нечетным числом линий может быть
максимум два: для начала и конца маршрута.
Но на схеме для Кёнигсберга их четыре. Следо-
вательно, нужный путь невозможен. Если
добавить еще один мост или убрать один
из существующих, то получится пройти по всем
мостам. Теперь такой маршрут называется
эйлеровым путем.
Теперь Эйлеров путЬ возможен — можно Ь.йти
из одной Части города с неЧетнЫм Числом мостов
и закончить свой путЬ в другой.
РЕАЛЬНОМ МИРЕ
JJ городе Че-ут)1яре
Перекрестка
ПОПРОБУЙ
НАЙТИ ЛУЧШИЙ
МАРШРУТ
Рекламный агент должен пройти по всем
улицам и заглянуть в каждый дом. Он
пытается разработать оптимальный
маршрут. Можно ли проложить путь так,
чтобы по каждой улице прошагать толь-
ко один раз?
УЛицЬь Г)ОК<\3<1К1л линиями,
d Перекрестки. — ЧернЕяМи
дочками. Число нл них oj-
ндЧаетп Количество @еэд-
Щих к ним \лиц.
Всемирная паутина
Всемирную паутину тоже можно представ-
лять в виде графа, который нарисовал
Эйлер. Веб-страницы аналогичны частям
города, а гиперссылки между страница-
ми — мостам. Конечно, интернет намного
сложнее, чем граф с мостами. В нем милли-
арды страниц и гиперссылок, и их количе-
ство постоянно растет!
От каждого перекрестка отходит три улицы.
Если начертить схему и посчитать перекрестки
с нечетным количеством улиц, то мы увидим,
что таких перекрестков больше двух, значит,
требуемый маршрут невозможен.
Выбери на карте своего города четыре точ-
ки — например, дома своих друзей. Возможен
ли маршрут между ними, при котором надо
побывать во всех четырех местах и при этом
по каждой улице пройти только один раз?
2
У каких из этих
графов существует
эйлеров путь? Ка-
кие из них ты мо-
жешь обвести ка-
рандашом, пройдя
по всем линиям
только один раз,
не отрывая каран-
даша от бумаги?
1Ты счастливчик! Тебя выбрали
для участия в телеигре. Побе-
дителя ждет приз! Правила очень
простые. Тебе показывают три
двери. Все, что требуется, — вы-
брать одну, за которой скрыт
приз!
КАК ВЫИГРАТЬ
В ТЕЛЕИГРЕ
Многие тпелебизионнЫе игрЫ оснобанЫ нд ^даЧе. Можно ли. ^белиЧитпЬ сбои.
илансЬя нд noSejy? Дел, можно! УЧелстпникам ojhou игры отпбетп сначала ка-
зался нелогичном — были оз^аЧенЫ^аже некоторые /Мтпематпики. Объ-
яснение ндшлосЬ благодаря тпеории бероЯтпностпей.
112
2 3а одной из дверей — новень-
кий автомобиль, а за другими —
козы. Они, конечно, очень милые,
но будем считать, что ты мечтаешь
о машине.
ЗПора сделать выбор. Тревожная
музыка, приглушенный свет,
зрители затаили дыхание. Ты в свете
прожекторов. Оттягивать выбор нель-
зя — ведущий требует ответа. И ты
указываешь на синюю дверь.
4 Прежде чем открыть
синюю дверь, веду-
щий держит интригу. Как
минимум за одной из не-
выбранных дверей нахо-
дится коза — и ведущий
открывает, например, зе-
леную дверь, и все видят
там козу. Осталось еще две
двери. Ведущий спрашива-
ет, не хочешь ли ты переду-
мать. Ты можешь остаться
со своим первоначальным
выбором или предпочесть
розовую. Что ты сделаешь?
ПАРАДОКС
МОНТИ ХОЛЛА
Эта задача известна как парадокс Монти
Холла. Она названа по имени ведущего
американского шоу «Давай заключим
сделку», которое было устроено так же,
как наша телеигра.
В начале игры вероятность выиграть
автомобиль равна 1/3.
Пересу тщем как ведущий отпкр(лл
Зеленее дверь, бероЯтлиостлЬ
щого, Что о лдтинд ндходитпсЯ
За синей, состпд(?лялд i/3.
рероЯтпностпЬ тпого. ^1°
д(лтр/Ло5илЬ 3d другими
д^ерЯМи, — 2/3.
Теперь перед тобой две двери. За одной
машина, за другой коза. Изменить реше-
ние или нет? Кажется, что никакой раз-
ницы нет — в обоих случаях вероят-
ность получить автомобиль равна 1/2.
Но это неправильное рассуждение.
На самом деле исходные вероятности
не изменились.
ЗНАЕШЬ ЛИТЫ?
Не пустяк
Перетасуй колоду из 52 карт. Скорее
всего, никто никогда не держал в ру-
ках колоду с тем же порядком. Суще-
ствует 80 658 175 170 943 878 571 660
636 856 403 766 975 289 505 440 883
277 824 000 000 000 000 способов пе-
реставить между собой 52 карты —
больше, чем атомов в нашей планете.
Поэтому вероятность того, что поря-
док карт повторится, исчезающе мала.
РероЯтпкостпЬ оондр^-
ЖшпЬ лдшинд з<д Этпи-
МидвдМЯ дверями все
еще 2/3.
рероЯтпностпЬ ндй-
•Yflu д£гГ|ОМо5илЬ
Зд Этной д(?ерЬк>
По-прехнеАу ИЗ.
Реющий зндетц, гое двтпомо-
5илЬ, а где K03L71, Поскольку
кдк ЖниМуМ 3d одной не-
^(лЗрднной д(?ерЬк> находил-
ся козд. он всегдд отцкрЬп.-
£детп дберЬ с K030U.
114
МЕНЯТЬ ВЫБОР ИЛИ НЕТ?
Теперь ты знаешь: вероятность того, что машина за зеленой
дверью, равна нулю. Значит, вся вероятность, которая приходи-
лась на две двери (2/3), теперь перешла к розовой двери. Итак,
выбранная сначала синяя дверь дает вероятность 1/3, а розо- Теперь бероятпнлстпь тпоао,
вая — 2/3. Значит, стоит изменить решение. Это не гарантирует, Ломо5иль ро^о-
что ты выиграешь машину, но твои шансы повышаются в два раза. / ои5^еРЬк>' “ -2/3.
ПОПРОБУЙ
НАЙТИ
ВЕРОЯТНОСТЬ
Твой друг подбрасывает две оди-
наковые монеты. Это означает,
что монета выпадает орлом или
решкой с равной вероятностью.
Друг говорит, что как минимум
на одной монете — орел.
Чему равна вероятность, что
на второй монете тоже орел?
Ответ — не 1 /2! Чтобы дока-
зать это, запиши все возмож-
ные результаты при подбра-
сывании двух монет.
0-0 (орел - орел)
О-P (орел - решка)
Р-0 (решка - орел)
Р-Р (решка - решка)
Нам известно, что хотя бы
один орел точно выпал. По-
этому ты можешь вычерк-
нуть вариант Р-Р. Остается
три возможных случая: 0-0,
О-P, P-О. В одном из них
вторая монета тоже выпала
орлом, а в двух других —
решкой. Поэтому вероят-
ность, что на второй монете
тоже орел, равна 1/3.
Попробуй решить такую
задачу. Бросили два оди-
наковых игральных куби-
ка с числами от 1 до 6.
Известно, что при этом
выпала шестерка. Чему
равна вероятность, что
на обоих кубиках выпа-
ли шестерки?
В реальном мире
Падение астероида
Каждый раз, когда какой-
нибудь астероид сближает-
ся с Землей, астрономы
оценивают вероятность
столкновения. К счастью,
пока она очень мала!
115
КАК ИЗБЕЖАТЬ
ТЮРЬМЫ
ПолициЯ арестовала двух Человек и оЗвинЯетп их в ограЗлении Занка. ДоказатпелЬстпв
кражи нетп, но известпно, Чтпо оЗа взломали дверь и заЗралисЬ в Занк. Заключенное
ожидают допроса в разнОх камерах и должно решитпЬ, Чу^о сказать полиции. Ложно
оЗвиншпЬ напарника в краже в надежде на освоЗоЖдение. Ложно хранись молчание
и надеяться, Чтпо оЗвинЯУп только во взломе ~ а с|
малЬнОм Чупо делат^Ь — оЗвинятлЬ или молчать?
рок наказания 3d Эттр З^/детп Мини-
1Два человека аре-
стованы. Их подо-
зревают в ограблении.
Полиция знает, что оба
ворвались в банк,
но не может доказать,
что они взяли деньги.
Заключенный Б
Заключенный А
Заключенный Б
Заключенный .
Г
Заключенный А
Заключенный Б
Заключенный А
Заключенный Б
ЗЕсли оба обвинят
друг друга в краже
денег, то оба получат
по 10 лет тюрьмы.
4 Если заключенный Б
молчит, а заключен-
ный А обвиняет его в краже,
то заключенный Б получит
10 лет тюрьмы, а заключен-
ного А освободят за помощь
следствию.
И наоборот, если заключен-
ный А молчит, а заключен-
ный Б взваливает на него
всю вину, то заключенного
А осудят на 10 лет тюрьмы,
а заключенного Б освобо-
дят за помощь следствию.
5 Если оба будут мол-
чать, то их обвинят
только во взломе и оба по-
лучат более короткий срок
заключения — всего по два
года.
117
ПЛАТЕЖНАЯ МАТРИЦА
Представь себя на месте заключенного А. Ты не знаешь, что собирается делать Б.
Не следует ли тебе позаботиться, чтобы твое наказание было как можно менее
строгим? Таблица, в которой показаны все возможные стратегии поведения, назы-
вается платежной матрицей. Она помогает решить, как лучше всего себя вести.
Если £?(я oSd оЗвините друг
gpyzd, (?dc оЗоих осудят
3d KpdXy. KdXgbw поЛуЧат
По 10 лет ЗйКЛК>ЧениЯ —
cdMbiu плохой из 603М0Ж-
Hbtx исходов.
Очиняет
По 10 лет
за кражу
QJ
Q
s
d
Заключенный А
Полнит
Заключенный А
получает 10 лет
за кражу
Заключенного Б
Заключенного А
Если тЬя промол-
чишь, но 34КЖ>Чен-
нЬсй Б теЗя оЗви-
нит, он в(лйдет
Hd своЗоду, d mb.
Просидишь 10 лет
в тк>рЬме1
Если o5d Про-
молчите. 3d KpdXy
не осудят никого.
Это gdcm Hdu-
ЛуЧший результат
для оЗоих — Золее
короткий срок ,3d—
, кЛюЧениЯ.
Заключенный Б
получает 10 лет
за кражу
По 2 госр
за Взлом.
ТЕОРИЯ ИГР
Эта задача называется дилеммой заключенно-
го. Она относится к теории игр — области
математики, которая представляет жизнен-
ные ситуации в виде игры. Каждый участник
использует какие-то стратегии, чтобы побе-
дить. Государственные, коммерческие и дру-
гие организации применяют теорию игр,
чтобы спрогнозировать, как люди будут
принимать решения. Например, компания
может таким образом определить оптималь-
ную цену какого-нибудь товара.
118
Если mbi оЗ^инишЬ другого Чело^ек^ естЬ шине.
Что теЗя ос(?оЗодЯт, (УЛКЛкЧеннЬи! Б ПолуЧит
Ю Лет тКрЬМЬи Но здесЬ содержится и риск:
если и он оЗвинит те5я, то &я. o5d получите
мзксималЬнЬсй срок.
о
И
ПОПРОБУЙ
УСТАНОВИТЬ ЦЕНУ
У ворот школы два владельца открыли
конкурирующие киоски с лимонадом.
Каждый решил продавать лимонад
по 100 руб. за стакан. Лимонад стало
покупать 40 человек: 20 покупателей
предпочитают киоск А, а 20 покупате-
лей — киоск Б.
Если один владелец снизит цену
до 75 руб., к нему перейдут покупате-
ли конкурента. Но при этом с каждой
бутылки напитка он будет получать
меньше денег. Если оба владельца
снизят цены до 75 руб., то у каждого
останется по 20 покупателей, но они
будут получать меньше денег за то же
количество продаваемого лимонада.
Напиши платежную матрицу и узнай,
как каждый владелец может увели-
чить свой доход.
Лимонадный киоск А
Лимонадный киоск Б
реальном
(ЛИРЕ
Летучие мыши — вампиры
В
Вампировые летучие мыши питаются
кровью. Самки этих животных делят-
ся едой с другими особями. Часть до-
бытой крови они отдают тем мышам,
которые не смогли найти добычу,
хотя это означает, что им самим до-
станется меньше еды. Зато если они
сами не смогут добыть пищу, они по-
лучат ее от других. Вампиры погиба-
ют, если не едят две ночи подряд, по-
этому такое сотрудничество
помогает выживанию вида.
КАК НАПИСАТЬ
ИСТОРИЮ
Матпемдтт)ик<1 и, изобретения, cjejidHHbte с ее помотаю, — отп калЬкулЯ-
тпора jo интпврнетпа — важная ЧзстпЬ ндшей повседневной Жизни. За Этт^о
najo по5лагодаритпЬ многих и многих уЧенЬгх. Луоди, изображенное
на Этной временной шкале, лишЬ малая Част^Ь т^ех, ктп° Применял матпе-
Матпику во всех областях Человеческого знания — отп стпроитпелЬстпва
jo навигации и космических исследований. _
ГИПАТИЯ
Чтобы учиться
у Гипатии, жив-
шей в египетском
городе Александрии,
студенты приезжали
издалека. Она написала
комментарии к антич-
ным математическим
текстам.
Математик Древнего Китая
Лю Хуэй опубликовал прави-
ла работы с отрицательными
числами, вычислил с боль-
шой точностью число п,
нашел объем различных
геометрических тел.
МУХАММЕД
АЛЬ-ХОРЕЗМИ
Известный как «отец алге-
бры», аль Хорезми написал
одну из первых книг по ал-
гебре — «Краткую книгу
об исчислении ал-джабра
и ал-мукабалы», а также
способствовал распро-
странению индо-арабских
цифр.
о
Q
ЛЮ ХУЭИ
ФИБОНАЧЧИ
Мвекн. э.
Леонардо Фибоначчи изложил
в «Книге абака» почти все арифме-
тические и алгебраические знания
своего времени. Благодаря ему Европа
узнала о числе 0. Однако известен он
прежде всего исследованием последо-
вательности чисел, в которой каждое
число равно сумме двух
предыдущих. Сейчас мы
называем ее последователь-
ностью Фибоначчи.
ок. П70 — ок. 1240 гг.
ПИФАГОР
Пифагор по праву считает-
ся первым математиком.
Именно в его школе мате-
матика стала наукой и полу-
чила свое название. Пифа-
гор учил, что в основе всех
вещей лежит число. Кроме
того, он математически
объяснял гармонию в музы-
ке на примере кифары.
ЕВКЛИД
Евклид написал книгу «Начала»,
в которой излагалась вся извест-
ная в то время геометрия и ариф-
метика и которая использовалась
как учебник больше двух тысяч лет!
Этого ученого называют «отцом
геометрии».
°к- 570 — ок. 496 гг. до н. э.
IV век до н.
АРХИМЕД
Архимед не только получил множество выда-
ющихся результатов в геометрии, но и приме-
нял математику для создания машин, напри-
мер гигантских катапульт. Имя Архимеда носит
открытый им закон: на тело, погруженное
в жидкость, действует выталкивающая сила,
пропорциональная объему погруженной
части тела.
ок. 287 — ок. 212 гг. Д° Э
МАДХАВА
ИЗ САНГАМАГРАМЫ
Сохранилось всего две работы
этого индийского математика,
но на его труды ссылались
многочисленные последовате-
ли. Он основал Керальскую
школу астрономии и матема-
тики.
ЛЕОНАРДО
ДА ВИНЧИ
ок. 1350 — ОК. 1425 гг.
Великий итальянский ученый
и художник был также и мате-
матиком. В живописи Леонар-
до использовал геометриче-
ские правила
перспективы и про-
порции.
7452-1519 гг.
ДЖОРДЖ БУЛЬ
Джордж Буль применил
математическую запись
к логике, записывая слож-
ные высказывания в виде
простых уравнений. Булева
алгебра является основой
компьютеров и искусствен-
ного интеллекта.
и
1831-1879 гг.
СОФИ ЖЕРМЕН
1776-1831 гг
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ
1623-1662 гг.
АДА ЛАВЛЕЙС
Августа Ада Лавлейс сделала множе-
ство комментариев по поводу воз-
можностей аналитической машины
Чарльза Бэббиджа. Среди
прочего она рассмотрела
алгоритм для вычисления
чисел Бернулли, который
считается первой
компьютерной
программой.
ПЬЕР ДЕ ФЕРМА
Французский юрист Пьер де
Ферма занимался математикой
в свободное время. Он стоял
у истоков теории вероятностей
вместе с Блезом Паскалем,
а его исследования касатель-
ных к кривым впоследствии
помогли Ньютону создать
математический анализ.
rr
ДЖЕЙМС КЛЕРК
МАКСВЕЛЛ
Джеймс Клерк Максвелл ис-
пользовал математические
методы в физике и механике.
Он ввел понятие электромаг-
нитного поля и предсказал
открытие электромагнитных
к волн, без которых не было
I бы мобильных телефонов.
Софи Жермен не могла посещать Выс-
шую политехническую школу, потому
что была женщиной. Однако она пере-
писывалась с другими математиками
под мужским именем и доказала
частный случай Великой теоремы
Ферма, названной в честь француз-
ского математика Пьера де Ферма,
который утверждал, что нашел
доказательство, однако
не оставил его.
Как и Ферма, Паскаль решал
задачи по теории вероятностей.
Кроме того, Паскаль был одним
из основателей проективной
геометрии. Он создал первую
счетную машину, умевшую
складывать числа. Также он
известен как выдающийся
литератор и философ.
122
ГОДФРИ ХАРДИ
ЭММИ НЁТЕР
Годфри Харолд Харди считал,
что математика должна быть
чистой, а не прикладной — то
есть не использоваться в биз-
несе, инженерном или военном
деле. В одной из своих книг он
писал: «Я никогда не делал
чего-нибудь "полезного". Тем
не менее его имя носит один
из законов генетики.
Многие считают Эмми Нётер
самой выдающейся женщиной-
математиком в истории. Ее рабо-
ты применяются в современной
физике, она разрешила одну
из проблем теории относитель-
ности, чем поразила самого
Альберта Эйнштейна. Основные
ее труды относятся к области
абстрактной алгебры.
1882-1935 гг.
МАРИЯ ГАЭТАНА
АНЬЕЗИ
ЭМИЛИ ДЮ ШАТЛЕ
Мария Аньези написала
книгу «Основы анализа».
Она была второй женщи-
ной (после Лауры Басси),
получившей звание
профессора — в Болон-
ском университете.
1718-1799 гг.
Эмили дю Шатле перевела главную
работу Ньютона «Математические
начала натуральной филосо-
фии» с латыни на французский |
язык, добавив свои коммен-
тарии. Она была принята
в Болонскую академию
наук.
ИСААК НЬЮТОН
Английский математик и физик
Исаак Ньютон разработал
новые области математики —
дифференциальное и инте-
гральное исчисления. С помо-
щью математических методов
он исследовал движение
планет и скорость звука, изло-
жил закон всемирного тяготе-
ния и три закона механики.
1706-1749 гг.
ГОТФРИД ЛЕЙБНИЦ
Немецкий математик Готфрид
Лейбниц создал дифференциаль-
ное и интегральное исчисления
независимо от Ньютона. Он опи-
сал двоичную систему счисления,
которая применяется в совре-
менных компьютерах. Также
он создал более совершен-
ную, чем Паскаль, счетную
машину.
1642-1727 гг.
1646-1716 гг.
123
СРИНИВАСА РАМАНУДЖАН
Индийский математик-самоучка написал
письмо английскому профессору Харди
с несколькими формулами, неизвестными
науке. Впечатленный талантом Рамануджана,
Харди пригласил его в Кембридж для сов-
местной работы. Здесь Рамануджан получил
множество необычных результатов.
В частности, его работы стали основой
для одного из самых быстрых способов
вычисления числа п.
AQO3-w57 "
/887-1920 гг.
л9А8-2020 гг.
род. 1953 Г.
БЕНУА МАНДЕЛЬБРОТ
Бенуа Мандельброт создал фрак-
тальную геометрию. Фракталами
называют множества со свойством
самоподобия, когда часть имеет ту
же форму, что и целое. Примеры
таких объектов — береговые
линии или границы облаков. Кста-
ти, слово «фрактал», происходящее
от латинского fractus — «сломан-
ный», придумал сам Мандельброт.
124
ДЖОН ФОН НЕЙМАН
Джон фон Нейман создал теорию
игр — математические методы для
определения оптимальной страте-
гии в играх. Он принимал участие
в создании атомной бомбы, помо-
гал в разработке компьютера
ENIAC, внес большой вклад в ин-
форматику, теорию множеств,
топологию, геометрию и в другие
области математики.
КЭТРИН ДЖОНСОН
Американский математик-
вычислитель Кэтрин Джонсон
работала для НАСА, выполняя
расчеты для полета астронавтов
на Луну. Впоследствии она
трудилась над программой
«Спейс Шаттл» и над планами
полета на Марс.
ЭНДРЮ ДЖОН
УАЙЛС
Английский математик Эндрю
Уайлс в юности был очарован
Великой теоремой Ферма.
Много лет он работал
только над ней, и в итоге
проблема, над которой
люди бились 358 лет, была
решена.
ГРЕЙС ХОППЕР
АЛАН ТЬЮРИНГ
Грейс Хоппер преподавала в уни-
верситете, а затем пошла в военно-
морской флот США. Она
занималась компьютерами
и участвовала в разработке
удобного для пользователей
языка программирования
COBOL, который до сих
пор используется в раз-
личных бизнес-
приложениях.
1ДШ
В 1936 году этот английский
математик представил «маши-
ну Тьюринга» — абстрактное
вычислительное устройство.
Он показал, что при наличии
подходящего алгоритма та
справится с любой матема-
тической задачей.
1906-1992 П-
ооо«
ЭДВАРД ЛОРЕНЦ
Может ли взмах крыльев
бабочки в Бразилии вызвать
ураган в Техасе? Эдвард
\ Лоренц — один из осново-
/ положников теории хаоса.
Он изучал математические
системы, которые на первый
взгляд кажутся простыми,
но их поведение практически
невозможно предсказать
в будущем.
ПАЛ ЭРДЁШ
Эксцентричный венгерский
математик Пал Эрдёш полве-
ка путешествовал по всему
миру. Он опубликовал боль-
ше 1500 статей по самым
разным темам и получил
много интересных результа-
тов при изучении простых
чисел.
1917-2008 гг.
1913-1996 гг
МАРИАМ МИРЗАХАНИ
ЭММА ХАРУКА ИВАО
Мариам Мирзахани родилась в Иране,
и в школе учитель сказал ей, что она слаба
в математике. Мариам доказала, что учи-
тель ошибался. В 2014 году она стала пер-
вой женщиной, получившей премию
Филдса — самую престижную
награду для математиков. Она
занималась математикой
криволинейных поверхно-
стей.
В 2019 году в день числа п (14 марта)
Эмма Харуко Ивао поставила мировой
рекорд, вычислив 31 триллион знаков
после запятой числа п. Результат занима-
ет 170 терабайт данных. Ивао потребова-
лись 121 день, 25 компьютеров и сервис
Google Cloud, предназначен-
ный для облачных вычисле-
ний.
125
СЛОВАРЬ
АЛГЕБРА
Раздел математики, где величины обозна-
чаются буквами или символами, чтобы
исследовать математические зависимо-
сти в общем виде.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ
Последовательность, в которой числа по-
стоянно увеличиваются (или уменьшают-
ся) на одну и ту же величину, которая на-
зывается разностью прогрессии.
БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Математическое понятие, обозначающее
величину, которая больше любого числа.
ВЕРОЯТНОСТЬ
Количественная оценка возможности на-
ступления какого-либо события.
ВЫБОРКА
Маленькая группа объектов, на основе
анализа которой делается оценка всех
подобных объектов.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬ
Профессия людей, занимавшихся расче-
тами.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ
МОЩНОСТЬ
Характеристика скорости работы ком-
пьютера. Обычно измеряется числом
операций в секунду.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ
Последовательность, в которой следую-
щее число получается умножением пре-
дыдущего на одну и ту же величину (она
называется знаменателем прогрессии).
ГЕОМЕТРИЯ
Раздел математики, изучающий фигуры,
тела, размеры и пространство.
ДАННЫЕ
Информация, которая собрана с целью
анализа.
ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА
Система записи чисел, в которой всего
две цифры — 0 и 1. Цифровые устрой-
ства хранят и обрабатывают данные, за-
писанные в двоичной форме.
ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ
Десятичная дробь записывается с помо-
щью десятичной запятой. Цифры справа
от запятой обозначают десятые доли,
сотые доли и так далее. Например, если
записать обыкновенную дробь в виде
десятичной дроби, получится 0,25.
ДИАГРАММА
Рисунок, показывающий взаимоотноше-
ния между двумя или несколькими мно-
жествами чисел.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Математическое рассуждение, показыва-
ющее, что какое-либо утверждение верно.
ЗНАМЕНАТЕЛЬ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
ПРОГРЕССИИ
Величина, показывающая, во сколько раз
отличаются соседние числа в геометри-
ческой прогрессии.
КООРДИНАТЫ
Числа, которые описывают положение
точек, линий или фигур.
КРИПТОГРАФИЯ
Наука о методах шифрования и взлома
шифров.
МЕДИАНА
Если упорядочить все числа в выборке
по величине, то медианой называется чис-
ло со средним по порядку номером. Дру-
гими словами, сколько чисел больше ме-
дианы, столько чисел и меньше медианы.
МОДА
Это самое частое значение в выборке чисел.
ОБЪЕМНОЕ ТЕЛО
Геометрический объект, имеющий длину,
ширину и высоту.
ОБЫКНОВЕННАЯ ДРОБЬ
Отношение двух целых чисел, которые
называются числителем и знаменателем.
Дроби показывают части целого.
ОКРУГЛЕНИЕ
Замена числа приближенным значением
с меньшим числом значащих цифр.
ОСЬ КООРДИНАТ
Одна из линий, от которой отсчитывается
положение точки в системе координат.
ОСЬ СИММЕТРИИ
Прямая, относительно которой симме-
трична какая-либо фигура.
ОТНОШЕНИЕ а
Соотношение двух чисел вида
ОЦЕНКА
Приближенный ответ, полученный на ос-
нове анализа данных.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Прямые на одной плоскости, которые
не пересекаются.
ПИ
Число, являющееся отношением длины
окружности к длине ее диаметра. Обо-
значается греческой буквой тт.
ПЛОСКАЯ ФИГУРА
Фигура, имеющая только длину и ширину.
ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА
СЧИСЛЕНИЯ
Система счисления, в которой значение
цифры в записи числа зависит от ее по-
ложения (разряда).
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
Упорядоченный набор чисел, который
получается по какому-нибудь правилу.
Например, 2,4,6,8,10... — последова-
тельность четных чисел. 1,11,111,1111,
11111... — последовательность чисел,
составленных только из единиц.
ПРОПОРЦИЯ
Соотношение между четырьмя числами
а _ с
вида £" Это выражение можно прочи-
тать: а относится к Ь так же, как с относит-
ся Kd.
ПРОСТОЕ ЧИСЛО
Это число, у которого ровно два делите-
ля — само число и 1.
ПРОЦЕНТ
Сотая часть числа, обозначается знаком %.
126
РАЗНОСТЬ АРИФМЕТИЧЕСКОМ
ПРОГРЕССИИ
Величина, показывающая, на сколько от-
личаются соседние числа в арифметиче-
ской прогрессии.
СИММЕТРИЯ
Объект обладает симметрией, если он
остается таким же после определенных
геометрических преобразований — на-
пример, после поворота, отражения от-
носительно оси или плоскости симме-
трии.
СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ
Это сумма всех чисел в выборке, делен-
ная на их количество. Часто его называют
просто средним.
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ
Типичная или средняя величина в каком-
то наборе данных. Используются разные
виды среднего значения: среднее ариф-
метическое, медиана, мода.
СТЕПЕНЬ
Возведением в степень называется умно-
жение числа на себя несколько раз, на-
пример: 23 = 2x2x2 = 8. Здесь число 2
называется основанием степени, а число
3 — ее показателем.
УГОЛ
Геометрическая фигура, образованная
двумя лучами, выходящими из одной точ-
ки. Величину углов измеряют в градусах,
например прямой угол равен 90°.
УРАВНЕНИЕ
Математическое выражение, приравни-
вающее две величины, например:
2 + х = 4.
ФОРМУЛА
Правило или утверждение, записанное
математическими символами.
ЦИФРЫ
Символы от 0 до 9, которые используют-
ся для записи чисел.
ШИФР
Система замены букв в тексте другими
буквами, цифрами или символами, соз-
данная, чтобы скрыть истинный смысл
текста.
ОТВЕТЫ
Страница 13
38,25,16.
Страница 27
146 °C.
Страница 30
32 000 руб.
Страница 35
9.
Страница 63
Сокровище закопано
в точке (6; 4).
Страница 67
Следующее число прогрес-
сии —142.
Страница 69
У нас а = 12, d = 2, п = 15.
Поэтому получается
12 + 2 х (15 - 1 ) = 40 стульев.
Страница 72
Девять квинтиллионов двести
двадцать три квадриллиона
триста семьдесят два трилли-
она тридцать шесть миллиар-
дов восемьсот пятьдесят че-
тыре миллиона семьсот
семьдесят пять тысяч восемь-
сот восемь.
Страница 73
1 хг00"1^ 1 х2,9 = 524 288.
2хЗ(,5-11 = 2хЗ,4 =
= 9 565 938 монет.
Страница 75
31 х 19 = 589.
Страница 79
Сдвигая буквы на три пози-
ции, можно прочитать: «ВРАГ
ОСАДИЛ ГОРОД».
Страница 93
Медиана равна 152 см (меньше
ее пять чисел: 137,140,142,
145,150, а больше ее тоже пять
чисел: 155,155,155,160,170).
Мода равна 155 см (такой рост
есть сразу у трех человек). Луч-
ше всего для оценки среднего
роста подходит среднее ариф-
метическое (151 см). Меньше
всего подходит мода.
Страница 97
Во второй выборке 50 бусин,
из которых 4 — синие. Значит,
отношение равно 4:50, или
1:12,5. Поскольку в первой выборке было 40 синих бусин, то оцен-
ка для общего количества бусин в банке такова: 40 х 12,5 = 500.
Страница 111
Можно обойти графы б и в. В обоих случаях надо начинать в од-
ной из вершин с нечетным числом линий.
Страница 115
Всего есть одиннадцать способов бросить два кубика, чтобы
выпала цифра 6. Это 1 -6, 2-6,3-6,4-6 5-6,6-6,6-5,6-4,6-3,
6-2,6-1. Из них только в одном случае на обоих кубиках выпа-
ли цифры 6. Поэтому вероятность равна 1/11.
Страница 119
Киоск А
Сохранить цену в 100 рублей Уменьшить цену до 75 рублей
Киоск Б Сохранить цену в 100 рублей Оба владельца продают по 20 стаканов лимонада и получают по 2000 руб- лей каждый или 4000 рублей в сумме. Это наилучший результат Все клиенты идут к владельцу киоска А. Он продает 40 стаканов лимонада, получив 3000 рублей. Владелец Б не получает ничего
Уменьшить цену до 75 рублей Все клиенты идут к вла- дельцу киоска Б. Он про- дает 40 стаканов лимона- да, получив 3000 рублей. Владелец А не получает ничего Оба владельца продают по 20 стаканов лимонада и получают по 1500 руб- лей каждый, или 3000 рублей в сумме
127
УКАЗАТЕЛЬ
алгебра 34-35
Альберти, Леон Батти-
ста 80
альКинди 79
аль-Хорезми, Мухаммед
ибн Муса 22,34,120
Аньези, Мария Гаэтана
123
Аристотель 21
арифметическая про-
грессия 66-69
Архимед 121
архитектура 40
астролябия 102
бесконечная симмет-
рия 41
бесконечность 76-77
большие числа 77,
102-105
Брахмагупта 21
Буль, Джордж 122
Бэббидж, Чарльз 103
вероятность 112-115
Виженер, Блез де 80
время 6,10-11, 56-59
Вселенная 7,54,77
Галлей, Эдмунд 66-67
Гаусс, Карл Фридрих
68-69
геометрическая про-
грессия 70-73
геометрия 38-39
Гильберт, Давид 76
Гипатия 120
Гиппарх 45
граф 110-111
график 101
датировка с помощью
углерода-14 72
Декарт, Рене 60-61
десятичная дробь 32-33
Джонсон, Кэтрин 124
диаграмма 101
диаметр 54,77
длина окружности Зем-
ли 50-53
додекаэдр 39
Евклид 38,121
Жермен, Софи 122
закономерность 66,101
замощение 39
Зенон 77
знаменатель геометриче-
ской прогрессии 70-73
Ивао, Эмма Харука 125
игр теория 116-119
иероглиф 13,18-19
измерение 42-53
индо-арабские цифры
19,23,120
интегральная микро-
схема 104
искусственный интел-
лект 35,104,122
календарь 10-11,56-59
калькулятор 102,104
карта 63,100,109-111
квадрат 38
комета 66-67
координаты 60-63
кость Ишанго 13
криптография 78
круг 38,41,53-54
круговые диаграммы
99,101
куб 39
Лавлейс, Ада 7,103,122
Лаплас, Пьер-Симон
94 -95
Лейбниц, Готфрид 123
Леонардо да Винчи 121
логарифмическая ли-
нейка 103
Лоренц, Эдвард 125
луна 10-11,57
Лю Хуэй 120
Мадхава из Сангамагра-
мы 121
Максвелл, Джеймс
Клерк 122
Мандельброт, Бенуа 124
медиана 91-93
метод определения чис-
ла людей в толпе 89
Минар, Шарль Жозеф
100
Мирзахани, Мариам 125
мода 91,93
Монти Холла парадокс
114-115
Морзе код 81
навигация 102
Найтингейл, Флоренс
98-100
налоги 16-17,28-30,103
Нейман, Джон фон 124
Непера палочки 103
Нётер, Эмми 123
ноль 20-22
Ньютон, Исаак 23,
122-123
обратные проценты 30
объемное тело 39,40-41
обыкновенные дроби 32
округление 87-89
окружность 54
основание 39,43-44,48
ось симметрии 40-41
отлов — мечение — по-
вторный отлов 95-97
отрицательные коорди-
наты 62
отрицательные числа
24-27
оценка 86-87,94-97
параллелограмм 48
Паскаль, Блез 103,122
пирамида 39,42-44
Пифагор 121
платежная матрица
118-119
Плейфэр, Уильям 101
плоская фигура 38,40-
41
плоскость 62
плоскость симметрии
40-41
площадь 46-49
подобные треугольники
44
позиционная система
счисления 20-21,25
положительные числа
24-27
популяция 96-97
порядок вращательной
симметрии 41
последовательность 23,
66,69,70
пропорция 6,44
пространство 62
простые числа 74-75
процент 28-31
прямоугольник 48
Пуанкаре, Анри 90-92
пятиугольник 38-39
радиус 38,53,76
разность арифметичес-
кой прогрессии 66-69
Рамануджан, Сриниваса
124
римские цифры 18-19,
22-23
Санборн, Джеймс 83
сбор данных 94-98
сектор круга 52-53,101
сетевая безопасность
75,83
Сильвестри, Якоб 80
симметрия 6,40-41
система счисления 14-15
Сноу, Джон 100
солнце 42-43,50-52,
56-57,66-67
составные числа 74-75
среднее арифметиче-
ское 91-93,97
среднее время по Грин-
вичу 59
степень 73,77
суперкомпьютер 105
счеты абак 102
температура 27
треугольник 38,42-49
трехмерный 62
триангуляция в сотовых
сетях 6,45
Тьюринг, Алан 54,82,
104,125
Уайлс, Эндрю Джон 124
угол 38,42-43,50-53
уравнение 34-35
уровень моря 27
Фалес 42-43
Ферма, Пьер де 122
Фибоначчи Леонардо
22,120
фигуры 38-41,49
фракталы 124
Харди, Годфри Харолд
123
Хоппер, Грейс 125
цифры 18-19
цифры значащие 88
частота 79
часы 6, 58-59
число 17-19
число пи 54-55
шар 17,41
Шатле, Эмили дю 123
шифр 78-83
Эйлер, Леонард
108-111
эйлеров путь 110
Энигма 82
Эратосфен 50-53
Эрдёш, Пал 125
Юлий Цезарь 57,79,80
БЛАГОДАРНОСТИ
Издательство Dorling Kindersley благодарит
за помощь в подготовке згой книги:
Ники Фореман — за дополнительные тексты;
Келси Бесо — за редакторскую помощь; Гуса
Скотта — за дополнительные иллюстрации;
Нимеш Агравал — за подбор изображений;
бильд-редактора Тайиба Хатун; Панкай
Шармер — за вырезание и ретушь; Хелен
Петерс — за составление указателя; Викторию
Пайк — за корректуру.
Издательство Dorling Kindersley благодарит
следующих лиц за любезное разрешение
воспроизвести свои фотографии:
{Обозначения: н — внизу, в — вверху, л — сле-
ва, п — справа)
13 Королевский бельгийский институт
естественных наук (нп).
18 агентство стоковых фотографий Alamy:
Дадли Вуд (нп).
27 агентство Getty Images: Уолтер Бибикоу /
DigitalVision (нп).
31 агентство Getty Images: Джулиан Финни /
Getty Images Sport (нл).
45 агентство стоковых фотографий Alamy:
Нипифон На Чиангмай (вп).
62 агентство Getty Images: Кейти Дейте /
Photolibrary (нп).
82 агентство стоковых фотографий Alamy:
INTERFOTO (нп).
83 Science Photo Library (нп).
89 агентство стоковых фотографий Alamy:
Directphoto Collection (нп).
93 агентство стоковых фотографий Alamy:
Джо Фэйри (нл).
96123RF.com: Дэниэл Ламборн (нп).
111 Dreamstime.com: Акодисингхе (вп).
115 NASA: NASA/JPL (нп).
119 Avalon: Стивен Далтон (нп).
Все остальные изображения: © Dorling
Kindersley
Дополнительная информация на www.
dkimages.com
- Как
сохранить
8 тайну Ъ
9
Возможно, ты не замечал, но математика присутствует во всех сферах
человеческой жизни. И твоей в том числе! Решил повесить на стену
картину? Геометрия поможет сделать это аккуратно. Нужно оплатить
карточкой новый девайс? Произведение простых чисел защитит твои
деньги. Думаешь, не потратить ли последние сбережения на лотерейный
билет? Теория вероятностей подскажет, стоит ли это делать.
8
Из книги ты узнаешь, как можно применить математику в повседневной
X
жизни, и даже сможешь поэкспериментировать с новыми знаниями.
Например, измерить высоту своей школы или сосчитать все листья
на дереве. Представляешь, как все удивятся?
Примеры настолько наглядны, что самые сложные математические
понятия покажутся тебе простыми, как дважды два.
6
МИФ
АЕТСТВО
Детские книги на сайте
maan-ivjnov-ferber.ru
гз faceboak.carn/mifdetstvo
а U coin. irifdetstvc;
Q instagram com/птfdetstvo
III
ъ
Qo
Как
определить
победителя