/
Author: Kurczab M. Kurczab E. Swida E.
Tags: matematyka klasa 3 nauki ścisłe nauki przyrodnicze
ISBN: 978-83-7594-081-7
Year: 2016
Text
Zakres rozszerzony
Marcin Kurczab
Elżbieta Kurczab
Elżbieta Świda
Projekt okładki
Stefan Drewiczewski, FPstudio
Rysunki i łamanie
Eryk Krawczyński
Redaktor
Jan Baranowski
© Copyright by Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Sp.
Warszawa 2014 r.
Druk i oprawa
DRUK-SERWIS Sp. z o.o.
ul. Tysiąclecia 8 b, 06-400 Ciechanów
W ydanie III, W arszawa 2016 r.
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Sp. z o.o.
ul. Kościańska 4, 01-695 Warszawa
www.pazdro.com.pl
e-mail: pazdro@pazdro.com.pl
ISBN 978-83-7594-081-7
S p is treści
1
Funkcja w ykładnicza i funkcja logarytm iczna
Potęga o wykładniku rzeczywistym - p o w tó rz e n ie .....................................................7
Funkcja wykładnicza i jej w ła sn o śc i.............................................. ................ ................ 10
Przekształcenia w ykresu funkcji wykładniczej. Rozwiązywanie
zadań z zastosow aniem w ykresów funkcji w ykładniczych................................. .... 12
Równania w y k ła d n icze ................................................................................................ . . . 15
Nierówności w ykład n icze.................................................................................................. 19
Zastosow anie równań i nierówności wykładniczych
w rozw iązyw aniu z a d a ń .................................................................................................... 22
Logarytm - powtórzenie w ia d o m o ści............................................................., ........... 23
Funkcja logarytmiczna i jej w ła s n o ś c i................................................... .......................26
Rozwiązywanie równań, nierówności oraz układów równań
z zastosowaniem wykresu funkcji logarytmicznej ................................................... 28
Równania logarytmiczne................................................................................................... 31
Nierówności lo g arytm iczn e............................................................................................ 34
Równania i nierówności logarytmiczno-wykładniczo-potęgowe......................... 36
Zastosowanie równań i nierówności logarytmicznych
w rozwiązywaniu z a d a ń ................................................................................................... 37
Zastosowanie funkcji wykładniczej i funkcji logarytmicznej do
rozwiązywania zadań umieszczonych w kontekście praktycznym ........................39
Test sprawdzający do rozdziału 1.................................................................................... 40
Zadania powtórzeniowe do rozdziału 1........................................................................ 43
2.
Analiza m atem atyczna
Powtórzenie i uzupełnienie wiadomości o granicach c ią g ó w ...............................46
Granica funkcji w punkcie..................................................................................................47
Obliczanie granicy funkcji w punkcie.............................................................................49
Granice jednostronne funkcji w punkcie....... ..............................................................50
Granica funkcji w nieskończoności.................................................<• • ------- -------52
Granica niewłaściwa fu n kcji................................................ ............................................53
Ciągłość funkcji w p u n k c ie ...............................................................................................55
Ciągłość funkcji w zbiorze..................................................................................................57
Asymptoty wykresu funkcji................................................................................................59
Pochodna funkcji w punkcie...................................................
Funkcja pochodna
......................................61
.............................................................................. ..............................62
Styczna do wykresu funkcji................................................................................................64
Pochodna funkcji a monotoniczność funkcji................................................................64
Ekstrema lokalne funkcji.........................................................
...................
65
Największa i najmniejsza wartość funkcji w p rze d zia le ...........................................67
Badanie przebiegu zmienności funkcji.................................
...................................... 68
Zadania o ptym alizacyjn e.................................................................................................. 69
Test sprawdzający do rozdziału 2..................................................................................... 7 1
Zadania powtórzeniowe do rozdziału 2..........................................................................75
3 . G e o m e tr ia a n a lit y c z n a
W e k to r w u k ła d z ie w s p ó łrz ę d n y c h . W s p ó łrz ę d n e ś ro d k a o d c in k a ............................ 79
K ąt m ię d zy n ie z e ro w y m i w e k to ra m i .................................. f ................. ..............................................81
R ó w n a n ie k ie ru n k o w e p r o s t e j.........................'.......................................................................................... 82
R ó w n a n ie o g ó ln e p r o s t e j............................................................................... . ..............................................8 4
K ąt m ię d zy p r o s t y m i......... .................................................................................................................................. 8 5
O d le g ło ść p u n k tu od p ro ste j. O d le g ło ść m ię d z y d w ie m a p ro s ty m i
ró w n o le g ły m i.................................................................
89
Pole tró jk ą ta . Po le w ie lo k ą t a ................................................................ .......................................................90
R ó w n a n ie o k rę g u . N ie ró w n o ść o p is u ją c a k o ł o .............................................................................91
W za je m n e p o ło że n ie p ro ste j i o k rę g u . S ty c zn a d o o k rę g u ........................................... V . 94
W za je m n e p o ło że n ie d w ó ch o k r ę g ó w ..................................................... .......................................... 97
Je d n o k ła d n o ść. Je d n o k ła d n o ś ć w u k ła d z ie w s p ó łr z ę d n y c h ................................................98
Z a sto so w a n ie a n a liz y m a te m a ty c z n e j w ro z w ią z y w a n iu za d a ń
10 1
z g e o m e trii a n a lity c z n e j ......................................
Te st s p ra w d za ją c y d o ro zd ziału 3 .............................................................. ............................................ 103
Zad an ia p o w tó rz e n io w e do ro zd ziału 3 ...................... .....................................................................106
4 . K o m b in a to ry k a i ra c h u n e k p ra w d o p o d o b ie ń s tw a
Reguła m n o że n ia i reg u ła d o d a w a n ia ................................................................................................ 109
W a r ia c je .........................................
111
P e rm u ta cje ..........................
1 14
K o m b in a c je ..........................................................................................................................
1 16
K o m b in ato ryka - zad an ia ró żn e .......... ............................................................................................... 119
D ośw iad czen ie lo s o w e ................................................................................................................................... 122
Z d arze n ia. D ziałan ia na z d a r z e n ia c h ....................................... ........................................................123
O k re śle n ie p ra w d o p o d o b ie ń stw a ............... ......................................................................................1 27
P ra w d o p o d o b ie ń stw o k lasyczn e ..... ...................................................................................................1 28
D ośw iad czen ia lo so w e w ie lo e t a p o w e ............................................................................................134
P ra w d o p o d o b ie ń stw o w a r u n k o w e ......... .............
136
T w ie rd ze n ie o p ra w d o p o d o b ie ń stw ie c a łk o w it y m ..................................................................138
N iezależn o ść z d a r z e ń ..................................................... ...
Test s p ra w d za ją cy do rozd ziału 4 ...................... ..
H ‘. . . . . . . ------- . . . ------ - • 140
.‘‘l ....................................................142
Z ad an ia p o w tó rz e n io w e do ro zd ziału 4 ..........................................................................................1 44
5 . E le m e n ty s ta ty s ty k i o p is o w e j
P o d sta w o w e p o ję cia sta ty s ty k i. S p o so b y p re z e n to w a n ia d a n y ch
ze b ran ych w w y n ik u o b s e rw a c ji s t a t y s t y c z n e j...........................................................................1 31
Ś re d n ia z p r ó b y .............................................................
1 53
M e d ian a z p ró b y i m o da z p r ó b y ..........................
157
W a ria n c ja i o d ch yle n ie s ta n d a rd o w e ...................................................................................................1 6 0
Te st sp ra w d za ją cy do rozd ziału 5 ......................
162
Z ad an ia p o w tó rz e n io w e do ro zd ziału 5 ............................................................................................. 1 65
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
r— V 2
/
l
IP
d)
Nj
1.7 Oblicz:
-5
( l , 4 )"5- [ y j
i i
i i
+ 52 -52 + 72 -72
a|
1
(li I N U
ggfajji i
"
t3
|,1
1 1
+ 23i -235 -23i
6 - 112 6 + 112
w/
f— -28°
l 8i
— \2
~
1.8. Porównaj liczby:
a) x=10248iy = 8120
b) x = i - ~ j
c) x=^2>/2 )28iy= —
t m r im
l 04 }
1.9. Uporządkuj rosnąco liczby x, y, z, t, u, je śli:
a) x = (0,125)"®, y = 641-5, z = 128, t = (0,5)-12, u= yfl6
b) x = ( 3 V 3 ) v y = (# 2 7 )1?, z = 814; t = 2435 , u = | ^
1.10. Oblicz x , jeśli:
a) x - ( ^ 3 + ^ ) ( ^ 3 - ^ ) = > / 4 8 - > / 3 2
b) 4-0,25_ 20,5 = ------- _ L ------4 -°^
I
i
3/25-5 2
(
ly=243’*
Lf^cjo wykładnicza
1*11. Rozwiąż równania:
a)
(2>/3-x)(V3 + 1) = 7 + ^/3
■i
________
b)
>/2x2 + 2>/3x = —72
d)
1
1.12.
(>/2 + l ) x 2
Wykaż, że:
a) Vl3-4V3 =2V3-1
b)
c)
d)
Vl7^12^-(3+2>/2)i
1.13.
1.14.
a) ~ - x
>/5-2>/6-(49+20V6 )4 = 1
Nie korzystając z kalkulatora, wykaż, że:
a)
l>/3
= -l
J
\3 0
b) U s - y / i - Ć y l s + y f c J > 10 + 4y/5
Oblicz wartość wyrażenia:
dla x = ^/>/3 + V 2 +>/V3->/2
b) x® + 3x dla x = t f js + 2 - y p S ^ 2
1.15. Wykaż, że:
a)
V20 + V 3 9 2 + ^ 2 0 -> /3 9 2 = 4
1.16.
b) ^ 7 + 5 > /2 -^ 5 > /2-7 = 2
Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci:
\2
4 x -9 x
a)
( l + x- 1)_2 - ( l - ; r 1)~a
b)
x-4 + 3 x
—----- - +— ;----- 2x 2 - 3 x
2
x2- x
2
10
Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3.
3
I
2
+
i
V? ]
iW H
| i
:
4
M
x4 +y4
d)
\ ■
9
x +8
i
x 3 +2
x 3 + 8x 3
x 3- 2 x 3+4
l- x 3
i
Funkcja wykładnicza i jej własności
1.17.
Wykaż, że w ykresy funkcji y = (0,8)* oraz y = (1,25)* są symetryczne względem
osi OY.
1.18. Do wykresu funkcji wykładniczej f(x) - a* należy punkt A(- 2 ,4 ) . Napisz wzór
fun kcji/. Naszkicuj w ykres fu n k c ji/i na jego podstawie ustal, dla jakich argumentów
fun kcja/p rzyjm u je wartości większe od 2 .
1.19.
Do wykresu funkcji wykładniczej f(x) = o* należy punkt 8 ^ , 4 J . Napisz wzór
funkcji/ . Naszkicuj wykres fu n k cji/i na jego podstawie ustal, dla jakich argumentów
fun kcja/p rzyjm u je wartości niemniejsze niż 1 .
1.20.
a)
Uporządkuj w kolejności rosnącej liczby:
(75)Jj5,/=
(^ f
1.21. Poniższe nierówności są prawdziwe. Jaki związek zachodzi między wykładni
kami m i n, jeśli:
i
11
1. Funkcja wykładnicza i funkcjo logarytmiczna
1.22.
Wywnioskuj na podstawie poniższych równości, czy liczba x jest dodatnia,
czy ujemna, jeśli:
6X= 2
a)
b) (0,12)x = 4
c) (>/5) = 0 ,4
e) (0,75)* = 12
f)
1
d) 10* = 5
2
1 .2 3 . Wykaż, że jeśli ciąg wybranych argumentów (xlf xv x3, ...) funkcji wykładniczej
f[x) = 7 * jest ciągiem arytmetycznym, to ciąg wartości tej funkcji {f{xl)>f[x2),f{x i )t ...)
jest ciągiem geometrycznym.
1.24.
Zbadaj parzystość funkcji:
b) M
a )/ [x ) = 5 « + .i
c)
d) f[x) = | 7
f[x) = 2* + co sx
e) M
=y -
2* - 1
3
f) /(x)
= 3 — T ’ X3
2+1
I • sin x
-1
*1.25.
Funkcja określona wzorem f(x) = 9* + 9~*, x e R, przyjmuje dla pewnego ar
gumentu x 0 wartość równą 14. Jaką wartość dla tego samego argumentu przyjmuje
funkcja g(x) = 3 * + 3-*?
* 1 .2 6 . Funkcja określona wzorem f(x) = 4* + 4-*, x e /?, przyjmuje dla pewnego ar
gumentu x0 wartość równą 23. Jaką wartość dla tego samego argumentu przyjmuje
funkcja g(x) = 2* + 2 "*?
1.27.
a)
Wyznacz zbiór wartości funkcji/, jeśli:
/[x) = 9 * - 2 3* + 4
b) /[x) = - 3 6 * - 4 • 6 * - 5
c) /(x) = — —
2-25*
1 .2 8 .
a) f( x )-
c) /(x)
- 5‘ x
1
2
9
3
Wyznacz zbiór wartości funkcji/, jeśli:
2
3* +1
b )/(x ) =
-2-5*
5 '+ 4
2*+4
2X+ 1
- 3 ( 0 ,2 5 ) " - 5
d )/ W -
(0 ,2 5 )"+ 1
12
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa
*1.29. Dziedziną fu n kcji/jest zbiór D. Wyznacz zbiór wartości funkcji/, jeśli:
a) / M « f j l
b) M
, D =<1, 2)
= 2-"’ł5 , D = (-1,1)
/ «r“\X^—
2X"ł*3
c) / w =
,D = (0,3)
d) /¡x) = (^7 )
, 0 = <3, 5)
Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej.
Rozwiązywanie zadań z zastosowaniem wykre
sów funkcji wykładniczych
1.30. Naszkicuj wykres funkcji:
a) y = 2x+1- 4
b) y = -3 x + 2
/ 1 Y +2
d>y = - ( 5 )
-1
e) y = 3x+1- 2
i
i
.YiY
n m m
Wskaż na wykresie każdej funkcji dwa punkty o współrzędnych całkowitych.
1.31. Na poniższych rysunkach przedstawiono wykresy funkcji wykładniczych, któ
re powstały w wyniku przekształcenia wykresu funkcji/(x) = 3X, gdzie x e R. Wybierz
z ramki, znajdującej się pod tymi wykresami, wzór funkcji i przyporządkuj go odpo
wiedniemu wykresowi.
x
1. Funkcja wykładnicza I funkcja logarytmiczna
1 . 3 2 . W y k re s fu n k cji J\x) = 2X p rzesu n ię to ró w n olegle o w e k to r u = [2 , -1] i o trzy
m a n o w y k re s fu n k cji g.
a ) N apisz w z ó r fu n k cji g.
b) N aszkicu j w y k re s fu n k cji g.
c) O b licz w sp ó łrzę d n e p unktu w sp ó lneg o w ykre su fu n kcji g i osi OY.
d) S p ra w d ź , czy p u n k t 4 ( 4 2 , 1 6 10 - 3°) n ależy do w ykre su fu n kcji g.
1.33. D ana je s t fu n k cja w y k ła d n ic z a /, op isan a w zo re m f(x) =*
a ) N aszkicu j w y k re s fu n k cji g, w ie d zą c, że g(x) = -j\x) + 1 .
b) N apisz w z ó r fu n k cji g.
c) O d czytaj z w y k re su zb ió r argu m en tów , dla któ rych w a rto śc i fu n kcji g są w ię ksze
o d - 2.
d) O b licz w a rto ś ć fu n k cji g dla arg u m en tu - 4 .
1.34. N aszkicu j w y k re s fu n k cji w ykład n iczej f(x) = 2X, a n astęp n ie n aszkicu j w y k re s
fu n k cji g, w ie d zą c, że g{x) = f[-x) - 4 .
a ) N apisz w zó r fu n k cji g.
b) O b licz w sp ó łrzę d n e p unktu w spólneg o w ykre su fu n kcji g i osi OY.
c) S p raw d ź, czy liczba - 2 je s t m ie jscem ze ro w ym fu n kcji g.
d ) O d czytaj z w y k re su zb ió r w szystkich argu m en tów , dla któ rych fu n k cja g p rz y jm u
je w a rto ś c i u je m n e .
1.35. W y k re s fu n kcji w ykład n iczej f(x) = (0 ,5 )x p rzekształcon o przez s y m e trię o sio
w ą w zg lęd e m osi OY i o trzym an o w y k re s fu n kcji g.
a ) N apisz w zó r fu n kcji g.
b) N aszkicu j w y k re s fu n k cji g.
c) O d czytaj z w ykre su fu n kcji g arg u m en t, dla którego w a rto ś ć fu n k cji w y n o s i 8 .
d) Dla ja k ich a rg u m en tó w w arto ści fu n k cji g są w ię ksze od 4 ?
13
14
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
1.36.
Na rysunku obok przedstawiony jest wykres funkcji
wykładniczej f{x) = o*. Do wykresu funkcji /należy punkt
a) Napisz wzór funkcji/.
b) Naszkicuj wykres funkcji g(x) =
c) Wyznacz miejsce zerowe funkcji g, a następnie odczytaj z wykresu, dla jakich
argumentów funkcja g przyjmuje wartości nieujemne.
i
d) Sprawdź, czy do wykresu funkcji g należy punkt C
1.37.
r i
—— 2
Naszkicuj Wykres funkcji i omów jej własności.
a) y=
b) m m ą
c) y=
d) y= -3M+ 4
1.38. Naszkicuj wykres funkcji i omów jej własności,
a) y = 4 M +1'
b) y = 2W~3
c) y=(0,5)|x~1|"2|x+1l
d) y=2l*+2l-4W
1.39. Rozwiąż graficznie równania:
3 1
a) - 2x_1= - - x + -
b)
c) 4w= 5 - | x|
d)
2
2
=-2xJ - 8 x - 5
H W |
1.40. Rozwiąż graficznie nierówności:
a) i^ j
c)
SI
3
1
>-x 2+ 3 - x - l -
b) 2*-J < 5 - x
d) 2W< B - |X|
J. Fu n kcja w ykładnicza I fu n kcja logarytm iczna
1.41.
15
Rozwiąż graficznie układy równań:
¡y=2*-2h
1.42.
a)
Zbadaj liczbę rozwiązań równania w zależności od wartości parametru m ( m e R):
Ą*-1 = m + 2
b) 4 • 2^~^ = m
d)
*1.43.
2 |x_ 2I+x = /tj2
Dla jakich wartości parametru m, gdzie m e R - { - 1 , 1 }, równanie
3
2 -m
ma rozw iązanie?
*1.44.
Dla jakich w artości parametru m, gdzie m e R - {-3 }, równanie
4x + 4 2x + 43x + 44x +
m
m+3
ma rozw iązanie?
R ów nania w ykładnicze
1.45.
Rozwiąż równania:
a)
(0,4)x = 6,25
b) (0,375)x = 4
64
c) (0,75)x = l i
d)
(12,25)x = 3,5
e) (2,25)x = 5,0625
f) (0,8)x = 0,512
16
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
1.46. Rozwiąż ró w n an ia:
1.47. Rozwiąż rów nania:
2x-2
a)
(0, 8) ^
c)
(0 ,5 )'- * =
= ^ j 2X
b) (0 ,7 5 )* =
i
—— ( 1 "\x+2
—
d) ( ^ ) ' = 3 2' ł l
l 64,/
1.48. Rozwiąż rów nania:
b)
1.49. Rozwiąż rów nania:
1.50. Rozwiąż rów nania:
a) (0 ,5 )* -2**1= —
64
<N| LT)
17
1. Funkcja wykładnicza i fun kcja logarytmiczna
1.51.
Rozwiąż równania:
»
1
c)
d)
32*
f
(o - 5 )* '
(0,125)*’
1
-
23"*
1.52. Rozwiąż równania:
3 x -9
a)
^ .( 0 ,1 2 5 ) ; = - ^
3X^1
I
b) 2 3x-7 • yJ(0,25)2x-2 = 1
(^)
-5
c)
<J(Q,25)S 4
1.53.
Rozwiąż równania:
b)
j2 x + 5 . 3 - x + l _ 2 * + 6
e)
25x- 1-33x- 1 = G*+8 4x
1.54.
( 0 ,4 )
d)
d)
fj
3X+2 = 25 • 5X
5X+2.7 2x+4= 2 1x+2
g 3 x + 2 . 5 l0 x + 4 _ l $ 3 x + 2 . 2 5 ^
Rozwiąż równania:
c)
2X+2 —2*-1 = 14
8 • 5X+ 7 • 5X-1 = 22 + 5X+1
b)
d)
3X+1 - 3X- 3X_ **= 15
7 • 4x - 22x+1 = 26 + 7 • 4 X_1
e)
32x+ - = 2 - 32x+1- 9 x
f)
5 23x+ 8X—2 • 41,5x= 16
a)
27
1.55.
Rozwiąż równania:
2t/x- 1-1
a)
4 ^ + 1 _4
2
=7
c)
2x2_x+l + 5 • 2x2' x_1 = 26
b) 3|x+i|+i _ 5
. 3 \x + 1 \ - ^ =
1.56. Rozwiąż równania:
b)
72x + 4 - 7x- 5 = 0
d)
22x + 5 - 2 x + 6 = 0
l 2
1.57. Rozwiąż rów nania:
a) 43x-
7 . ą2* + 14 . 4* _ 8 = 0
b) 23x- 2 2x+3- 2 x+4+ 128 = 0
I 1U
c) 93x- 9
2 - 3 2x+ 3 = 0
d) 53x - 7 - 5 1+2x + 11 -S2+x -6 2 S = 0
1.58. Rozwiąż równania:
a)
3X+2
3X- 2
3x+3
3x - 3
3^“ 2 hiS
b) —- — + 2 1 _x= l
2 *-2
18
14
»Vx+2 i
3 ^ - 9 '3 (3 ^ - 3 )
2^ + 1
2 ^ -1
*1.59. Rozwiąż równania:
a) (2 + y/3]x+ ( 2 - ^ ) x=4
c) ^ 2 + s j
=*
b)
+ ^ 3 -2 ^ j
d) a/7+V48
+1 V7-v48 I =14
1.60. Rozwiąż równania:
a) 2 ^ - 4 • 2X+ 1 0^ -4 • 5X= 0
b) 6x - 9 • 2x - 1 5 x + 9 • 5X= 0
c) 3* . 2X+1- 1 6 • 3Jf= 2 x+4- 2 2x+1
10 x
d) 52x-2 + — = 5x+3 + 125 • 2X
25
1.61. Rozwiąż równania, gdzie x e N+:
3 + 6 + 9 + ...+ 3 *
aj ijl +3+5+7+„. +(2x-l) _
2jl00-2Q)f
= (1/5)'
g y2+4+6+...+2x
d)
4 l + 5 + 9 + 1 3 + ... + ( 4 * - 3 ) _ 0 4
1.62. Rozwiąż równania:
a) 4x+ 4x- 1+ 4x- 2+ ...^
- ^ ą x+1+ 2
3
y/lOO- 5 + 5
b) 5x + 5 x-2 + 5x_/
24
1.63. Rozwiąż układy równań:
f27x = 9y
a) j glx
F =243
b)
3 *5y = 75
„ j 3 x +3y =28
3y -5x =45
C
[3x+y =27
1
|3x - 2 2y =77
dM
32 - 2 y =7
19
1. Funkcja wykładnicza 1funkcja logarytmiczna
Nierówności wykładnicze
1 .6 4 . Rozwiąż nierówności:
a) 25* < -
b)
c) 11- I >0
(0, 6 ) * £ 2 -
9
f)
^ /49 NX“ 4
SS i CTl
e) (0,8)2x- 1^ ( l ł25)x+2
d)
1 .6 5 . Rozwiąż nierówności:
a)
2
ę g & r**
b) ( V l |
<4
/■ * \|x+2|
I
d ) (0 ,4 )l)f- 6 |< 2 ł5
S
1 .6 6 . Rozwiąż nierówności:
/ i \4x+8
i
a)
~^
6 4,
16
0 ,5 ^ 2 )
^
b) I 2 Y +2 i 3
4
£ ( 0 ,2 5 ) ? x r
2X+1J 27X ~ 3
Z ):
>i 8 J
,d )
j
I ± X~ 3
c 2x +6
1 .6 7 Rozwiąż nierówności:
b)
■
m
> i
1 .6 8 . Rozwiąż nierówności:
1
_\xJ - 9 x + i7,5
'•
a) (0 ,5 )
8
b)
MHgfcE
3<ł
0
r ^*v3
(’® P
c)
1
8 3 • 2 2x
1
- ----------- 1 <: —
^
64
42
:
d)
< 625
( ^ ) 8" " 54x
20
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
Rozwiąż nierówności:
1.69.
2x-3
1 ) x+2
IN
<81
4x-3
4
d) -
x+l
3 )*+2
> (2,5)7^
1.70. Rozwiąż nierówności:
ar**\X + 2
a) 2x+5 + 2X+4 + 5 • 2X+2 < 34
A
4 { 2)
4f 2 \
b) 3 [ 3 j
' 9{3j
.8
9
c) 33x+1- 4 - 27x~1 + 9ł'^- 1 <80
d) (0,4)x+3 -ł- (2,5)-x"2< 3,5
1.71. Rozwiąż nierówności:
a) 22x+1-1 7 -2 x+ 8 > 0 1I
b) 3 ^ + 2 - 2 * 3 x+ 2 - 2 7 < 0
c)
d) 16x+ 3 • 22x+1 + 8 < 0
8 . r | f T 3 0 . ( | r + 2 7 ,0
o
1.72. Rozwiąż nierówności:
a) 83x- 3 82x- 6 8x+ 8 ź 0
b) 53x- 2 • 52x- 5x+1- 5 0 >0
c)
d)
64 < | ^ |
• ( l + 22_x)
1.73. Rozwiąż nierówności:
a)
i
b) l6lx+2l-16lx- 3|<2x+31
/ 1 nIx+3I
c) 3,x+1l ^
,|x-2| + l
1.74. Rozwiąż nierówności:
a) 22x+10x>6x + 15x
c) 6x- 9 • 2x- 8 • 3x + 72> 0
e) 12x- 8 • 3X> 24x- 8 • 6X
d) l i j
• 8 I2- Xl> 2ixr * l
b) 6x- 3 • 5X< 10X- 3 X+1 t
d) 10x- 4 * 5 x < 125*2x- 5 0 0
f) 6X+ 3 • 7X< 21x + 3 • 2X
1.75. Rozwiąż nierówność
_2
a) 23x~2Z 5
2
c) 13 • 143x+ 23x- 73xś 1
b) 7x_ 3< 3 2x" 6
d) 62x+4- 3 3x- 2x+8>0
1. Funkcja wykładnicza I funkcja logarytmiczna
1.76.
Dane są f u n k c je / ^ ) = S2* + 22x o ra z/ 2(x) = 5x -4 + 2X+2 określone w zbiorze
liczb rzeczyw istych. Rozwiąż nieró w no ść/2(x + 2)
©
1 .7 7 . Dane są funkcje f x(x) = 4 X+3 - 7 ■3X+2 o ra z/ 2(x) = 3 3x+2 - 5 • 43x określone
w zbiorze liczb rzeczyw istych. Rozwiąż n ie ró w n o ś ć /^ - 2) > / 2^ * j •
1 .7 8 . Rozwiąż nierówności, jeśli wiadomo, że x e /V+:
a) 0 ,7 2+4+6+ - +2x £ ( 0 ,7 )12
b) 4 ,5 3+6+9+~+3x< 1 2
c)
21 • 26 • 211 • ... • 2(5x“ 4>£ 85
(3x-l)
1.79. Rozwiąż nierówności z niewiadomą x:
^ ( 0,1 f ” *
a)
i +±+±+ ...
b) 5* 3 9
8
c)
3"
> 125
1
.1 ■+•—1 + .—i ,+ —1 1
^4
16
|x+l|—|x| •
64
> 1“
81
27
2 4
d)
21
8
16
© r rir
1.80. Rozwiąż nierówności:
a)
2X + 2X- Ł + 2X_2 + ... < 2 • >/3-2x + 4
b)
0, 5X + 0 ,5 X+1 + 0 ,5 x+2 + ... > 2 ./ - +2
c)
2
2X + 4X + 8X + ... ^
+1
22
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
Zastosowanie równań i nierówności wykładni
czych w rozwiązywaniu zadań
Wyznacz wartość parametru m (m e /?), dla której liczby 2m, 22m- 47, 2m+18
1 .8 1 .
są kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego (a„).
Dla wyznaczonej wartości parametru m podaj wyraz ogólny tego ciągu.
32x + 71
Dla pewnej wartości x liczby: 3X+ 2,---------- , 3 ^ - 5 4 s ą trz e m a k o le jn y m i
1.82.
3 *-l
p oczątko w ym i w yrazam i niesko ńczo neg o ciągu a ry tm e ty c z n e g o . W y z n a c z x o ra z
su m ę d zie sięciu p oczątko w ych w y ra zó w tego ciągu .
1
83
Dla p ew n e j w arto śc i x liczb y: — 7 -—
K
4 +11
,2 * -1 ,1 6 * - 13
są k o le jn y m i p o czątk o -
w y m i w yrazam i nieskończonego ciągu g e o m e tryczn e g o ( o j .
a) W yzn acz x .
b) Napisz w yraz ogólny ciągu [an).
1.84. W yznacz te w arto śc i p a ra m e tru m (m e R), d la k tó ry c h lic z b y : 4 • (2m+ 1),
1 0 . 2m- 2, 9(2m + 1 ) są k o le jn ym i p o cz ą tk o w ym i w y ra z a m i n ie sk o ń czo n e g o ciągu
g eo m etrycznego ( o j . O blicz su m ę d zie się ciu p o cz ą tk o w y ch w y r a z ó w te g o cią g u .
1.85. W yznacz w szystkie w a rto śc i p a ra m e tru m (m e R), d la k tó ry c h ró w n a n ie
|x2+ 4x| =
1 . 86 .
m a d w a ro zw iązan ia u je m n e .
Dla ja k ich w a rto śc i p a ra m e tru m (m e
R)
ró w n a n ie
x +6
x +3
=(j)
- gd2ie
x * - 3 , m a w ię ce j ro zw iązań u je m n ych niż d o d a tn ic h ?
1.87. W yznacz w szystkie w a rto ś c i p a ra m e tru m (m e R), d la k tó ry c h r ó w n a n ie
x2—(2m—l ) x —3 • (4 m_1- 2m~2) = 0 m a d w a ro zw ią za n ia rz e c z y w is te ró żn y c h zn ak ó w .
1.88. W yznacz w szystkie w a rto ś c i p a ra m e tru m (m e R), d la k tó ry c h r ó w n a n ie
4X+ (m - 2 ) • 2*+ 4 = 0 m a d w a ró żn e ro zw ią za n ia .
W yznacz w szystkie w a rto ś c i p a ra m e tru
m(m e R), d la
32* -2 (m - 1 ) • 3X + m + 5 = 0 m a je d n o ro z w ią z a n ie .
k tó ry c h r ó w n a n ie
23
1. Funkcja wykładnicza I fu n kcja logarytm iczna
1.90. W yznacz wszystkie
wartości param etru m (m e R), dla których rów nanie
(m + 1 ) • 49x + 2(m - 3) • 7X + m - 1 = 0 nie ma rozwiązań.
1.91. W yznacz wszystkie wartości parametru m (m e R), dla których rów nanie
2x + 2x~1 + 2x_2 + ..,= 22x_1 + m ma jedno rozwiązanie.
1.92.
Dla jakich wartości parametru m (m e R) równanie
4* + ąx- i + ąx- 2 +
1.93.
a)
-j m _ i
. ą,2x nje ma rozwiązań?
Rozwiąż równanie:
21+2coi2* +
16slnix = 9 w zbiorze
n)
«fi*
¡¿ i
..
( -3n 3xc^ f —7t 7c1
b) 4ł^x = 80-2cosx wzbiorze I —
1.94. Rozwiąż nierówność:
1
a) 4 -3»"«- 9 < 3Cijs2x w zbiorze R
b) 3.4 V2cosx _ 2*«x <1 wzbiorze —
2
n 3n
2
ul . —, —
2 2
Logarytm - pow tórzenie w iadom ości
1.95. Oblicz:
a)
lo g i 8 1
b)
lo g 21 2 8
.
c)
lo g 97 2 9
d)
3
e)
lo g 7l
3
lo g 2 3 ^
f)
lo g x 6 4
g)
lo g 6 J L
h)
2 1 6
2
lo g j 1 6
4
1 . 9 6 . O b lic z :
a)
l o g g i e
e) l°g>/327^3
b)
l o g ^ 9>/3
f) logi 16ł/2
2
C)
lo g jS ^ S
d)
lo g j 3 6 ^ 6
5
6
g) logs125>/5
h) log37i8 1 ^
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
1.97. Oblicz:
a) >°83 i Z .
^243
»
d) I0g52^
„
5 « .§
H i 25
1.98. Oblicz wartość wyrażenia:
a) log24 8 -lo g23
b) log3ł +log36
3
d) (log516-log580)2
c) 2\og1 y/l + logi 5 2
2
e) log24 -2 lo g 23
f) lo g^ 5 0 -lo g ^2 5
g) logj 4 + logj 6 - logj 8
i
i
h) 2log18 -3 lo g ^ 9
4
i
1.99. Oblicz w artość w yrażenia:
log54 • l°g 230 - log56
a) 3 1 0 ^ 2 - logo 43 • log3125
b)
c) log49 • log3128
d) log , 3 • log37 • log7625
1.100. Oblicz:
a) 3 ^
b) 1001+k* 5
e) ł * ' *
f)
1.101.
c)
I 6lo^ ^ +0'25
g)
8^ = - i
d) 4 _1+log2 3
e
l l j
h)
W yznacz x, je śli:
a) log28 + x - lo g ^ 3 = log 1
b) (2 x - 3) • log416 = log218 - log29
c) log 3_ Ł - x • log ^ 4 = (x + 1 ) • log 100
27
d) (x + 2 )
log 3 - + lo g 321
= log44 x_1
e) log 332x_1- 3 l o g ^ i = x - ^
8
■
f) 2x • logs25 - (3x + 2) • log20,5 = log34 8 - 2 lo g 34
r
v9y
1
25
1. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna
1 .1 0 2 . W ykaż, że liczba:
a)
c)
—
log 2 6
+ —
b)
log 3 6
log1253 • lo g ^ 36 • log95
V l 0 2+0'sl° * 16
d) log tg ^ • log tg j
• log tg ^
je s t liczbą n atu raln ą.
1 .1 0 3 . Wykaż, że liczby m i n są równe, jeśli:
m = log 5log5 s p i
1 .1 0 4 .
i n = \og2\og2y[ ^ .
Wykaż, że liczby k i l są równe, jeśli:
3'og936 . j q 1- log2 j I - glog4ł/9 . 2Qlog2 +log5
1 .1 0 5 . W ykaż, że:
a)
1 - ,° g23
(lo g 2 3 + log 3 2 + 1 ) • log 2
C)
( lof c 7 + lo ^ 2 + 2 )'- IO- g l i = iog 7l 4
log 7 2 + l
= log23
b)
8 + lo g 2 5
d)
1
|;L
log5 1 6+ lo g 2 5 - 2
log 2 2
log 2 2 - l ) l o g 2 5
2
------------ ---------- = log —
log 2 5 + lo g s 2 + 2
5
1 .1 0 6 . W ied ząc, że:
a) log32 = a , oblicz log213,5
b) log25 = b, oblicz log2400
4
c) log37 = o, oblicz log75 —
d) log32 = a , oblicz loge16
1 .1 0 7 . W ied ząc, że:
a) logs2 = o i log57 = b, oblicz log12528
c) log32 = o i log65 = b, oblicz log216225
b) log62 = a i log65 = b, oblicz log 360,8
d) log23 = a i log35 = b, oblicz log27200
* 1 .1 0 8 . W ied ząc, że:
a) log142 = a i log145 = b, oblicz log750
c) log213 = o i log215 = b, oblicz log71125
d) log230 = a i log236 = b, oblicz log 9
b) log320 = a i log315 = b, oblicz log2360
26
Matematyka. Zbiór zadari. Klasa 3.
Funkcja logarytmiczna I jej własności
1.109. Naszkicuj wykres funkcji/(x) = log3x i omów jej własności.
a) Oblicz wartość funkcji/dla argumentu V W 9 .
b) Oblicz argument, dla którego wartość funkcji wynosi - 0 ,5 .
1.110.
Naszkicuj wykres funkcji f{x) = logj x i omów jej własności.
4
a) Odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów wartości fu n kcji/są większe od 0,5.
b) Sprawdź, czy do wykresu funkcji / należy punkt
a [(3
- 2-72) • (3 + 2-72),
o).
Liczba rzeczywista p należy do przedziału (Ar, Ar + 1 ), gdzie k jest liczbą całko
1 .1 1 1 .
witą. Wyznacz k, jeśli:
a)
p = log35
b) p = lo g 1 3
c) p = log157
d) p = l o g i 4
g) p = log750
h) p = logi 19
; 3
2
f) p = logi 5
e) p = log621
-i
8
1.112.
Określ, czy podana liczba jest dodatnia, ujemna czy równa zero, jeśli:
logi 3+ logs 5
log27
b )"
2
: . I~ —
logi 15
logi 3 + logą 8
5
k
logi 1 1 -lo g i 17
i Ti
log2 V 3 + lo g 0ł8-^-
log57 2 -lo g 56
d)
io g 8 7 n - i o g i 7 5
1.113. Liczby a i b należą do zbioru R+- {1}. Porównaj liczby a i b, jeśli wiadomo, że
poniższe nierówności są prawdziwe:
a)
log05 > log65
b) log0ł a< logbł
2
c) log„72 <logb72
2
d) logo0,75 > logb0,75
1.114. Rozwiąż nierówność liniową. Wskaż dwie liczby całkowite, które
zbioru rozwiązań tej nierówności.
a)
( 3 - lo g 25 )x > 2
b) xlog23 < 2 - x lo g 45
c)
x l o g i 4 < l + 3log32 x
d) x lo g i 5 > - x - 3
I
2
należą do
1. Funkcja wykładnicza I funkcja logarytmiczna
1 .1 1 5.
27
W y zn a c z d zie d z in ę f u n k c ji/ , je ś li:
a ) f(x ) = lo g i (3 - 2x)
b) f(x ) = log 2———
1 —x
I
c)
/ ( x ) = lo g v ? (x 2 + 5 x + 4 )
d) / ( x ) = log 5(x 4 - x 2)
e)
/ ( x ) = lo g ! (x 2 - 4 x + 4 )
f) / ( x ) = lo g 2 (4 ^ - 8 ^ )
1 .1 1 6 . W y zn a c z d zie d zin ę fu n k c ji/ , je ś li:
a ) f(x ) = logx+1(4 - x 2)
b j f(x ) = logx, (3 - x )
c ) / ( x ) = logx 2 l (x 2 - 2 x - 3 )
d ) / ( x ) = logx(2 x —16>/2)
e)
f(x ) = logx+3- x .
f) / ( x ) = log^_ u fx 3 - x 2 + 3 x - 3)
x+ l
1 .1 1 7 . W yzn a c z zb ió r w szystkic h w a rto ś c i p ara m e tru m {m e R), dla k tó rych d zie
d zin ą f u n k c ji/ je s t zb ió r w szystkic h liczb rze czyw istych , je ś li:
b) / ( x ) = log 2 (x2 + mx + 1)
I
a ) / ( x ) = logai* 2 + 3 x - 2m )
c) f(x ) = log (mx2 + 4 mx + m + 3 )
1.118.
d) / ( x ) = lo g [(m 2 + m - 6 JX2 + (m - 2 ) x + 1]
W yzn acz zb iór w szystkich w a rto ści p aram etru m [m e R), dla któ rych fu n k cja :
a ) f(x ) = log 2m_ 3X je s t ro sn ąca
b) f(x ) = log m2 x je s t m a le ją c a
c) f(x ) = log)4_ m,x je s t ro sn ąca
d ) f(x ) = log2ff| m2x je s t m a le ją c a .
* 1 .1 1 9 . W yk a ż, na p o d sta w ie d e fin icji, że f u n k c ja / o k r e ś lo n a w z o re m :
a ) / ( x ) = log jX je s t ro sn ąca w zb io rze ( 0, +oo)
b) f(x ) = lo g 2 x je s t m a le ją c a w zb io rze ( 0, +oo)
3
c) f( x ) = log22x je s t ro sn ąca w zb io rze ( 1 , +<»)
d) f[x ) = log32x je s t m a le ją c a w zb iorze ( 0, 1 ).
*1 .1 2 0 . D zie d zin ą f u n k c ji/ je s t zb ió r D. W yzn a c z:
a) n a jm n ie js z ą w a rto ś ć fu n k c ji/ ( x ) = lo g ^ (x 2 + 2 x + 3 ), je ś li D = ^ - 1 ^ ,0 ^
b) n a jw ię k s z ą w a rto ś ć fu n k c ji/ ( x ) = log 3(8 - x 2), je ś li D = <1, 2 )
c) n a jm n ie js zą w a rto ś ć f u n k c ji/ ( x ) = lo g j (x 2 + 4 x + 4 ), je ś li D = { - l , 2 )
2
d) n a jw ię k s zą w a rto ś ć fu n k c ji / ( x ) = log ^ (x 2 - 4 x ), je ś li D = ( - 2 , - 1 ) .
28
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
1 .1 2 1 . Wykaż, że:
a) funkcja /(x) = log2( l - x) - log2(x + 1 ) jest nieparzysta
b) funkcja /(x )= x 3log— - jest parzysta
2 +x
c) funkcja /(x) = log3cos 2x jest parzysta
d) funkcja /(x) = log(x + V l+ x 2 ) jest nieparzysta.
1 .1 2 2 . Wykaż, że jeśli wybrane argumenty xv x2, x3, ... funkcji /(x) = log3X tworzą
ciąg geometryczny, to wartości funkcji log3x1, log3x2, log3x3, ... tworzą ciąg arytme
tyczny.
1 .1 2 3 . Sprawdź, czy funkcje/i g są równe, jeśli:
a) /(x)= lo g 1 (x -2 )+ lo g 1 (x+2)
2
b) /(x) = log2(x - 1 ) - log2(3 - x)
g(x)= log1 (x2- 4 )
‘ ™
. WM I
l
■
i
c) /(x) ^ l 0g3X2
i
fif(x) = l0g3|x|
d)/(x) = logx4
i
fif(x) = 4logx.
.
2
Q(x) = l°g 2
Rozwiązywanie równań, nierówności oraz ukła
dów równań z zastosowaniem wykresu funkcji
logarytmicznej
1.124. Naszkicuj wykres funkcji f[x) =-log 3(x + 2).
a) Podaj dziedzinę funkcji/.
b) Oblicz wartość funkcji/dla argumentu 25.
c) Sprawdź, czy do wykresu funkcji/należy punkt A\ V2, log3
1 .125.
Naszkicuj wykres funkęji/(x) = logj (x + 3) - 1 .
a) Podaj dziedzinę funkcji/.
3
b) Oblicz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji/i osi OY.
c) Oblicz wartość funkcji dla argumentu 6. Odczytaj wykresu, dla jakich argumen
tów wartości funkcji/są większe od - 3.
29
1. Funkcja wykładnicza I funkcja logarytmiczna
1.126.
Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji y = g(x), który powstał
a ) N ap isz w z ó r fu n k cji g.
b ) U p e w n ij s ię , w y k o n u ją c o b liczen ia, że p unkty A[ 2, - 3 ) , B(3, - 2 ) , C(5, - 1 ) oraz
D (9 , 0 ) n a le żą do w y k re s u fu n kcji g, a n astęp n ie odczytaj z w ykre su :
-
d la ja k ic h a rg u m e n tó w fu n kcja g p rzyjm u je w arto ści z przedziału ( - 3, - 1 )
d la ja k ic h arg u m e n tó w w arto śc i fun kcji g są m niejsze od -2
-
d la ja k ic h arg u m e n tó w w arto śc i fun kcji g są d odatnie.
1 .1 2 7 . N aszkicu j w y k re s fu n k c ji/ (x ) = log 3(- x ) - 2.
a ) P o d aj d zie d zin ę fu n k c ji/ .
b) P o d aj w sp ó łrzę d n e p un ktu w spólneg o w ykre su f u n k c ji/ i osi OX.
c ) Dla ja k ic h a rg u m e n tó w fu n k c ja /p rz y jm u je w artości ujem n e?
1 .1 2 8 . N aszkicu j w y k re s fu n k c ji/ (x ) = 1 - log2(x + 3).
a ) O b licz w sp ó łrzę d n e p u n któ w w spólnych w ykre su fu n k c ji/z osiam i układu w spół
rzę d n ych .
b) O d czytaj z w y k re s u , dla ja k ich arg u m en tó w w arto ści fu n k c ji/ s ą w iększe od 1.
c) S p ra w d ź , czy p u n k t a [ 4 log2>^ , - 2 ) należy do w ykresu fu n k c ji/.
1 .1 2 9. N aszkicu j w y k re s f u n k c ji/ i o m ó w je j w łasno ści:
a ) / ( * ) = |log2( * + 4)|
b) / ( x ) = lo g i |x|
2
c) / (x ) = I lo g i |x + 2||
I
1
1 .1 3 0. N aszkicu j w y k re s y fu n k cji: / ( x ) = ~ log 2(x 2 - 6x + 9) oraz g(x) = log2(x - 3).
Po daj d zie d zin ę f u n k c ji/ i dziedzinę fun kcji g.
30
M atematyka. Zbiór zadań, K lasa 3 :
o
1 .1 3 1 . Naszkicuj wykres funkcji/(x) = lo g ,----- . Podaj dziedzinę funkcji/. Rozwiąż
- x +2
graficznie nierówność/(x) £ -3.
1 .1 3 2 . Naszkicuj wykres funkcji f(x) = log3(2x - X 2) - log3(2 - x ) . Podaj dziedzinę
i zbiór wartości funkcji/.
1 .1 3 3 . Naszkicuj wykres funkcji /(x) = log2 * . ~ 1 . Podaj dziedzinę i zbiór wartości
W“ 2
funkcji/.
1 .1 3 4 . Naszkicuj wykres funkcji /. Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji /.
a)
/(x) = n/io "*''
b)
/ r -xlog3(*2- 2x+l)
c)
iOg3X
/M = (V5)
1.135. Rozwiąż graficznie równania:
a) log2( x - l ) = 4 - x
b) log3(x + 2)= X2- 2x + 2
c) logjX+ - | x - l | = 0
d) log4|x| = l - x 2
a
1.136.
7
R o zw iąż g ra ficz n ie n ie ró w n o ś c i:
a)
log 2( x - 2 ) - 1 £ 4 x - x 2
b) |łog 3x | > j x - 2 j
c)
4
l- ło g ,x > i
*
d)
Jlog5|x|| £ |x| -
4
1 .1 3 7. Rozwiąż graficznie układy równań:
| > = - | x - 2 |- 2
a ) j y = l o g l ( x + 2)
b)
JĘ C ;
[ y = lo g 3 x
(
3
2
y = —x + 3 -
7
7
y = lo g 2( x + 4 ) + 2
iy = |lo g 3( x - l ) | + i
d)
[y = - ( x - lo )2+3
31
i. Funkcja wykładnicza I funkcja logarytmiczna
Równania logarytmiczne
1.138. Rozwiąż równania:
a) lo g 2X = lo g 2( 3 - x )
b) log7(3 - x) = log7(x - 6)
c) iog1- = logŁ4
d) log3x 2= log3(x + 2 )
i*
e)
i
f) log4
lo g ł ( l - x 2) = lo g 1 ( x - 5 )
S
1.139.
Rozwiąż równania:
/a
\
c) ! o g J - x - 4 j = - 2
a) log2(x - 1 ) = 3
b) log(x + 2) = 2
(
1^
d) log 2 |^x+2 - J = - 2
e) log4( 3 - x ) = -
1.140.
= log4(4 - x)
x -l
5
1
t
b) log1 (x2- l ) = - l
5
c) log1 (x2 + l ) = - l
d) log3(x2 + 5) = 2
b) log4| - - 2 I = 1
c) logj
d) log2 1 4 - - | = 3
- + B = -2
Rozwiąż równania:
=3
a)
^ 7
d)
log^S = - 2
1.143.
^
1
~X I s s ~ 3
Rozwiąż równania:
a) log3f l _ i " l = 2
1.142.
2
Rozwiąż równania:
a) log2(x2 - 4) = 1
1.141.
(1
f) |og27l
b) logx81 = ~2
c) logx64 = 2
e) logx32 = 5
f) log,1 0 = |
Rozwiąż równania:
a) logx_ 42x = 2
b) logx
4x j = 2
-x + t
2
c) log2x(4x —1) = 2
d) logx(6x - 9) = 2
e) logx+1(4x + l ) = 2
f)
lo g 3x +53 0 x =
2
32
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
Rozw iąż ró w n an ia:
a) logx _ 1( 3 x - 1) = 3
b) l°g x- i ( 2x 2 + 4 x - 6 ) = 2
c) logx(4 x 2 + x - 4 ) = 3
d) logx g . t 2 = 1
x
e) logx ł (x + 2 ) = l
f)
1084.^16 = 2
1.145. Rozwiąż rów n an ia:
a) Iog4(log 3x) = 0
c) log[3 + 2 lo g (l + x)] = 0
b) log 2(log 4x ) = 1
d) IOg2[ l - IOg3(x +
4)] aa 1
e)
log5[3 + log4(log 2X + 1 0 )] = 1
f)
log4{ 1 + log3[ l + log2(x + 3 ) ] } = i
g)
log3[7 + log 5(x 2 + 9)] = 2
h) logi log8x2~2x = 0
.2
*-3
1.146. Rozwiąż rów n an ia:
a)
b)
c)
d)
log 4(x + 3) - 2 = log4(x - 1 ) - log48
log(x - 3) - log(2 - x ) = log(x 2 - 4)
log 5 + log(x + 10 ) = 1 - log( 2x - 1 ) + log( 21 x logs( 3 x - 11) + log5( x - 27) = 3 + log s8
1.147. Rozwiąż rów n an ia:
a) 2 log3(x - 5) - log34 = log 3(3 x - 20)
b) log V 5 x - 4 + log V x + 1 = 2 + log 0 ,1 8
c) - lo g (x - 5) + lo g > /2 x -3 = log 3 0 - 1
d) log4>/^ + j » o g 4(x + 4 ) = |
*1 .1 4 8 . Rozwiąż rów n an ia:
a) log2X2- 2 = 2log2(x + l)
c) log 2(x 2 - 2) - ^ log2(x - 3 )2 = 1
*1 .1 4 9 . Rozw iąż ró w n an ia:
a) log(7x - 9)2 + log(3x - 4 )2 = 2
c) log2(x + l)2 + log2|x + l| = 6
b)
log 3(x 2 + 1 0 x + 2 5) = 2log3(3 - x ) + 4
d)
log 4(x 2 - 1 ) - ^ log4(x - 4 )2 = 1 j
b)
2log3(x - 2) + log3(x - 4 )2 = 0
d) lo g (x - 5 )2 + lo g (x + 6)2 = 2
1. F u n k c ja w y k ła d n icz a i fu n k c ja lo g a ry tm icz n a
1 .150. Rozwiąż równania:
a)
= _ i
b)
log(x+l)
C)
log(9-x3)
- r - i—--- - =3
log(3-x)
log*2 = 1
log(6x-5)
log(2x -19) - log(3x - 20) = 1
d)
logx
1 .151 . Rozwiąż równania
log22x - 6log2X + 5 = 0
log32x + 2log3x - 8 = 0
2
c) (log2x - 3 )log2x + - (log2x + 1 ) = 0
3
log43x + 2log4x + 3 = 0
a)
log53x + 2log52x - log5x - 2 = 0
log24(x —1) + 3log22( x - 1 ) - 4 = 0
1.152 . Rozwiąż równania:
a)
c)
— -— = log x + 1
lo g x -l
5-logx
l+logx
l+log(x—1) t
1
=1
1 —log2(x—1) l- lo g (x - l)
log2x + log x + 1 = — -—
lo g x -l
1.153. Rozwiąż równania:
a)
logxV5 + log,(5x)-2,25 = (log^Ts)2
logx10 + 2log10x10 - 3log100x10 = 0
c)
logr2 ■log2,2 = loglte2
2logx3 lo g 3x3 = log9>/i3
e)
logsx+ log^ x+log1x = 5
l°gx8 —log4x8 = loggie
25
log4x + log4y = 1 +log49
x + y -20 = 0
b)
l°gy x = logxy
2log2x+log2y = 3
d)
flogx + logy = 3
[logx-logy = l
log2 1 + - l= 2 -log 2y
J°g 4(xy) = i
33
34
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
Nierówności logarytmiczne
1 .1 5 5 . R o zw iąż n ie ró w n o ści:
a) log2(x - 1 ) > 2
b) log3( 2 - x ) £ l
c) logi (2x + 5) > -3
2
d) logi (3x —4) < -2
e) log^j (3x +1) £ 4
f)
lOg^j (3 —x) £ —2
T
5
1 .1 5 6. Rozwiąż nierówności:
a) log2| x - 3 | > l
b)
d) log4|x - 7| £ 0
e) log3 |X— 1| > 1
1 .157.
c) logi |x + 5| £ -3
2
logi |x + 2| > -2
f)
logs|x + 2| £ 2
R ozw iąż n ie ró w n o ści:
a) lo g ^ ( x 2 - 5 x + 6 ) < 2
b) log^ ( 5 + 4x - x 2) > - 3
2
c)
lo g ! (x* + 2 x + 1 ) ^ 0
d) log 3(x 2- 4 x + 3 ) < 1
1.158. Rozw iąż n ie ró w n o ści:
a) *060,25
> -l
b)
2- x
^ ^ ^ < 0
I x 1
c) log 8^ Ż l = > l
x
1
1.159. Rozw iąż n ie ró w n o ści:
a) l o g i X - 2 l o g ! X - 3 < 0
2
c)
b) - 2 log42x + 3log 4x - l > 0
2
log23x - 7 l o g 22x + 1 4 lo g 2 X - 8 > 0
d)
log^ x - 3 log* x - lo g iX + 3 < 0
5
3
3
1.160. R ozw iąż n ie ró w n o ści:
a)
1
2
5 - lo g x
lo g x + l
log 2 x - 4
log2 x
<1
b)
< 1 +-
log2 x
log 2 x - l
log 3 x - 2
log 3 x
1
d)
1.161. R ozw iąż n ie ró w n o ści:
a) logjjr • lo g i x < lo g i 81
i
m
1
b)
lo g j x - l o g i x ^ lo g j —
d)
lo g i x • log2x < log 23 -16
5
c) log 5x - log 2 x > log 2 5
5
>0
2
5
3
i 16
35
1. Fu n kcja w ykładnicza I fu n k cja logarytm iczna
1.162.
Rozwiąż nierów ności:
a) logi [log4(x2 - 5 ) ] > 0
b) logi ilo g 2
I
C) logi
2\
log 8
x 2 - 2x
<0
d)
>o
1+* /
lo g ^ lO fc il+ iiO
x -3
X44
1.163. Rozwiąż nierówności:
a) logi x > log^-2,5
b) log2(x - 1 ) - log2(x + 1 ) + log x + 12 > 0
x -l
log 2 * 4
c) logx 8 4 logx 8 <
2
1.164.
a)
4
d) logx2 • log2x2 • log24x > 1
log2 x 2 - 4
Rozwiąż nierówności:
b) log3x+4x2 < l
logx_ j 0,3 > 0
x+5
c)
2x 2 -
.
I°g x2_ x (x + 3 ) < 1
d) logM —
.
x
>1
1.165.
Rozwiąż nierówności:
a) log3x + log32x 4 log33x + ... < 1
b) log! (x 4 1 ) 4 logj (x 4 1 ) 4 logi (x + 1 )4 2
2
1 I
2
c) loggX 4 log82X 4 l0g83x 4 ... < ^
d) (1 - log x )2 + (1 - log x )3 4 ( 1 - log x )4 + ... < 3log X - 1
1.166.
Wyznacz dziedzinę funkcji/, jeśli:
a) /(x) = logx+5(x2-
ł)4 V6 - 2x
c) f(x) = log2[ l - log i (X2 -r 5 x 4 6 )]
1.167.
V lo g (9 - x 2)
b) f(x) =
d )/(x )=
2X - 4
logi
x -1
W yznacz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja
f{x) = logi ( 2 x 4 1) przyjmuje mniejsze wartości niż funkcja g(x) = logj (16 - x 2) 4 1 .
5
*1.168.
'
4 T
Dla jakich argum entów wartości funkcji f{x) = log2(100x) - log2(10x) są
mniejsze od wartości funkcji g(x) = 9 - log x ?
36
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
1.169.
Dla jakich argumentów wartości funkcji f[x) = logjX + lo g ^ x + log2 x są
mniejsze od 6?
2
1.170. Dla jakich argumentów funkcja f[x) = log4(x + 7) przyjmuje wartości większe
niż funkcja g(x) = log2(x +1)?
Równania i nierówności
logarytmiczno-wykładniczo-potęgowe
1.171. Rozwiąż równania:
a)
c)
log2(4x + 4) = log2(2x+1 + 3)
log2( 1 2 - 2 x) = 5 - x
b) log3(3x + 8) = 2 - x
d) log(102x+ 9) = x + 1
1.172. Rozwiąż równania:
a) log2(9 *-1+ 7 ) = 2 + log2(3x- 1 + l )
b) log2(9 - 2 * ) = 25logsy^~^
c) log2(25x+3 - 1 ) = 2 + log2(5x+3 + 1 )
d) lo g g ^ + i j - l o g g ^ - ^ + g j = log62 - 1
1.173. Rozwiąż nierówności:
y i xiog^^-ax+i)
/ n \ i°6i (x2~Sx+8)
a)
-
Is J
,
c)
0 3
4
b)
ś 2 '5
"
UJ
5
<1
H M , !
'.^
3x-l
3x+2 > 1
d)
0,2
>
*• ^ 0,0082I°ł x ‘ 1
1.174. Rozwiąż nierówności:
a) logz(3x* 1 +1) > 1 + log2(9"- 2)
b) logj (3 • 2X+ 3) < logx (4X—1)
c) log0łl|4*a+4x- 2 X*+4X
d) logj (9x+2 + 3x+2)> logj2
3
-
2 )> - l
3
2
2
1.175. Rozwiąż równania:
a) x
2log3x--logx
1—
2
= VlO
c) xlog*3*= 9
b) X2 _2l0,x _
d)
iq o
1. Fun kcja wykładnicza l funkcja logarytmiczna
1.176.
37
Rozwiąż układy równań:
IV • 2y =576
a) <
ilog4x + logj,2 = l
b)
l 2 ,og^ y = x 4
(> /2 )X .( ^ / 5 ) y = 8 0
[log5x + 3log,y =7
C j x y = 512
|og1( x - y ) = - l
I
Zastosowanie równań I nierówności logaryt
micznych w rozwiązywaniu zadań
1.177. Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla
których układ równań
f x - y l o g 2m = l
[x - log2 m —y = 0
jest oznaczony i spełnia go para liczb (x, y) taka, że x < y.
1.178. Wyznacz wszystkie wartości x, dla których ciąg (log 2, log(2x - 1), log(2x + 3))
jest ciągiem arytmetycznym. Podaj różnicę tego ciągu.
1.179. Liczby log2( x - 4 ) , log22x, log^2, dla pewnej rzeczywistej wartości x, są trze
ma kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego (an).
Wyznacz x oraz sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu (an).
1.180. Liczby 2log2( x - 2 ) ,
log2( x - 2 ) , - dla pewnej rzeczywistej wartości x, są trze
ma początkowymi kolejnymi wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego (bn).
Wyznacz x oraz wyraz ogólny tego ciągu.
1.181. Liczby lo g ^ , log4x2, log4x3 są kolejnymi początkowymi wyrazami nieskoń
czonego ciągu arytmetycznego (log4x„). Oblicz sumę 1001 początkowych wyrazów
tego ciągu, jeśli wiadomo, że x 1+ x 2+ x3= 84 i x4= 256.
1.182.
Wyznacz granicę ciągu (a n), jeśli wiadomo, że an= x 1+ x 2 + ... + x„ oraz dla
J lo B o , S * l = 3
każdego n e W+- {1} spełniony jest warunek
- | Og0 5 ) V i = 3 '
38
Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3
1.183. Wyznacz wszystkie wartości param etru m, dla których równanie
x2 + 2x + - log2(m + 1 ) = O ma dwa różne rozwiązania, których suma odwrotności
4
jest równa -8.
1.184. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których nierówność
X2 ■log3m + 2x - 1 < 0 jest spełniona przez dowolną liczbę rzeczywistą.
*1.185. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których nierówność
log2[m(xa +1)] < log2(4x 2+ 4x + 7) ma co najmniej jedno rozwiązanie.
1.186. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór tych punktów płasz
czyzny; których współrzędne spełniają poniższe warunki:
a)
log—
- log y =0
c) logy=log(y+2x)-logx
b) log2^ - log^ • logjy = 0
d) logx(y + l ) = logy+iX
1.187. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór tych punktów płasz
czyzny, których współrzędne spełniają poniższe warunki:
a)
lo g ^ + y jś l
b) log2 ( y + l ) £ x + l
2
1.188. Dla jakich wartości parametru m równanie sin4x - cos4x = logj (m + 4) ma
rozwiązanie?
*1.189. Rozwiąż równania:
a)
3log22sin x + log2( l - cos 2x) = 2
c) log2(cos x) + logj (—sin x) = 0
b) |og>^s,nx ( ! + cos x) —2
d) logcosx(sinx) + logsinx(cosx) = 2
2
1.190.
a)
Rozwiąż nierówności w przedziale <0,2n):
log^jcosx< —1
b) logi cos 2x£ -lo g 2sinx
2
c) log^ sin x < log^ cos x - 1
d)
log^ sin 2x < —
1. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna
Zastosowanie funkcji wykładniczej i funkcji lo
garytmicznej do rozwiązywania zadań umiesz
czonych w kontekście praktycznym
1.191. Pewna substancja radioaktyw na ma m asę 50 gram ów, a rozpad pow oduje
zm niejszenie je j m asy o 20% każdego roku.
a) Napisz w zó r funkcji M ( t ) opisującej m asę te j substancji po czasie t ( t - czas liczony
w latach).
b) Oblicz, po jakim czasie m asa substancji będzie rów na 2 5 ,6 gram a.
1.192. W laboratorium
podgrzano pojem nik z płynem , a następnie pozw olono, by
płyn wystygł. Tem peraturę płynu T (°C) opisuje w zór funkcji T (t) = 9 0 • l,5 " ° '2t, gdzie
t oznacza czas stygnięcia w m inutach.
a) Jaką tem p eraturę m iał płyn, gdy rozpoczynał się proces stygnięcia?
b) Jaka je st tem peratura płynu po piątej m inucie?
c) Oblicz, ile m inut potrzeba, aby płyn osiągnął tem p eraturę 40 °C .
1.193.
Pewien gatunek sosny ma średni przyrost roczny w ynoszący 7% . Posadzono
sosnę o wysokości 2 m.
a) Jaka będzie wysokość sosny rok po zasadzeniu?
b) Jaka będzie w ysokość sosny po 6 latach?
c) Podaj w zór opisujący w ysokość sosny po n latach, przy założeniu, że 7% przyrost
je s t stały.
d) Po ilu latach w ysokość drzewa przekroczy 20 m etró w ?
1.194.
Pan Kowalski założył lokatę bankową w w ysokości 80 00 zł. O procen tow anie
lokaty w ynosi 5% w skali roku.
a) Oblicz, ile złotych znajduje się na lokacie pana Kowalskiego po roku oszczędzania.
b) Napisz w zór opisujący stan konta pana Kowalskiego po n latach oszczędzania.
c) Po ilu latach oszczędzania na koncie pana Kowalskiego będzie kw ota rów na
9216 zł?
1.195.
Liczba m ieszkańców pewnego m iasta na początku 2010 roku w yn o siła
600 0 00. Przyrost naturalny w tym m ieście je s t stały i je s t rów ny 0,4% w skali roku.
a) Napisz w zó r funkcji opisującej liczbę ludności tego m iasta po n latach.
b) Oblicz liczbę ludności m iasta na koniec 2012 roku. W ynik zaokrąglij do pełnych
dziesiątek.
c) Oblicz, o ile procent zwiększyła się liczba ludności w tym m ieście na koniec 2 0 14
roku (po upływ ie 5 lat).
39
40
M atem atyka. Z biór zadań. Klasa 3.
1 .1 9 6 .
W artość samochodu maleje wraz z upływem lat.
W zór funkcji l/l/(tj = w0 • (0,8)f opisuje w artość samochodu po t latach od chwili
zakupu, gdzie w0 oznacza cenę nowego samochodu (w złotych).
a) Pan Nowak kupił nową Skodę Fabię za 40 000 zł. Oblicz, o ile złotych wartość
samochodu zmniejszy się po roku.
b) W artość samochodu pana Nowaka wynosi 20 480 zł. Ile lat użytkował ten samo
chód pan Nowak?
c) Po ilu latach użytkowania wartość samochodu pana Nowaka będzie stanowić
40,96% ceny zakupu?
T est sprawdzający do rozdziału 1 .
4 4 4 444 444
1 . Liczba
należy do zbioru:
555555555"
D.
C .( l- ,2
B. ( 1 , 1 -
A. (0 ,1 )
( 2 , + 00 ) .
2 . Liczba / 2 V 2 V 2 V 2 jest równa:
1
3
2_
A. 2 8
B. 2 8
C. 2 16
■
1
(
v )l
4+72
3 . W artość wyrażenia
,
i"
f
+ 4 -7 2
$
je st równa:
/
C. 2 V 7
B. 14
A. 8
4.
)
15
D. 2 16.
D. 4 ^ 7 .
Aby usunąć m ew ym ierność z m ianownika ułamka
4 # +k +9' W
VStarCZV
jego licznik i mianownik pomnożyć przez:
A.
\/9
5.
Wiadomo, że x = log 12 + (log410)_1. W obec tego 10* m a w arto ść:
A - 48
B. 3 / 3 - 3
B. 32
C. 2 ^ 3 + 3
C. 24
D. 2 ^ 3 - 3 .
D. 16.
41
1. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna
6 . W iadom o, że a = log25 i b = log3125. Zatem log2512 jest rów ny:
. 3a+2b
l
A . --------2 ab
6a+b
* ab + 3
C. ------6o
B . ------4 ab
2ab+6
D . --------- .
3o
7. Dane są liczby o = log tg 22° + log tg 68° oraz b = logntg 1. W obec tego:
4
B. o = b
A. o • b < 0
C .a > b
D .a< b.
9. W wyniku przekształcenia w ykresu funkcji f(x) = log^ przez sym etrię osiową
względem prostej y = x otrzymam y wykres funkcji:
B. f 2(x) = 2*
A. / 1(x) = logi (—x)
2
D./4(x ) = IOg2X.1
0
C. / 3(x) = 2“*
10. Dziedziną fun kcji/(x) = logsinxiLŹL? jest zbiór:
2- x
A. (-2 , 2)
B. (0, n)
C. (0 ,2 ) u j m
42
M atem atyka. Z b ió r zadań. K la ta 3.
,
r-S K
1 1 . Zbiorem w artości funkcji f[x) = ( 0 ,5 ) * - 3 je st zbiór:
44
A. fl+-
B.
(0, 3) u (3, +00)
C. (0, +00)
1 2 . W ykres funkcji f[x) = g1+lo«»(10+,f) lo* ( 5 *) prZecina jed n ą z osi układu współ
rzędnych w punkcie:
A.
( 0 ,1 1 )
B. (6 ,0 )
1 3 . Funkcja /(x) =
A.
C.
C. (0, 30)
D. (3 ,0 ).
je st m alejąca w tedy i tylko w tedy, gdy:
m € ( 0 ,1 ) u (1, 2)
m e ( 0 ,1 )
B. m e (1 ,2 )
D. m e (0 ,2 ).
1 4 . W ykres funkcji J\x) = log2(x2 - 10x + 25):
A. nie m a osi sym etrii
B. ma oś sym etrii o rów naniu x = - 5
C . m a oś sym etrii o rów naniu y = 5
D. m a oś sym etrii o rów naniu x = 5.
1 5 . Liczba m iejsc zerow ych funkcji f[x) = logx( 2 x - 1) - 2 je st rów n a:
A.
0
B. 1
C. 2
D. 3.
1 6 . Dziedziną funkcji f(x) = \og(mx2 + 2 mx + 1) je s t zbiór w szystkich liczb rzeczywi
stych wtedy i tylko wtedy, gdy:
A.
m e (0,1)
B . m e <0,1)
C . m e ( 0 , 1>
D . m e <0,1).
1 7 . Zbiorem rozwiązań nierówności 6X + 9* > 9 • 2* + 3 *+2 je st:
A.
(0, 2)
B (2, 4)
C. ( - 00, 2)
/ ' ' i V cosxl
Zbiorem rozwiązań nierów ności —
18.
A.
0
<I - I
D. (2, +00).
< 1
w p rzed ziale <-tc,
tc)
je st:
1. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna
43
19. Ciąg (an) jest określony wzorem an« logx„, gdzie (xn) jest ciągiem geometrycz
nym o wyrazach dodatnich. Wynika stąd, że ciąg (an):
A. jest ograniczony
B. jest rosnący
C. jest ciągiem arytmetycznym
D. jest ciągiem geometrycznym.
20. Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych (x, y) spełniających
warunek log2* = log2x przedstawia rysunek:
log„2
—1
ki
i—
1--
n
-24
I1
t\
1__
'
__i
i____
.
0
rr
i
w.
il Lw
6 X|
__
Zadania powtórzeniowe do rozdziału 1.
1.197. Wykresy funkcji f(x) = 2X~1- 3 oraz g(x) = log3(x + 3) + k mają z osią OY ten
sam punkt wspólny A. Oblicz k i podaj współrzędne punktu A.
1.198. Funkcje f(x) =
( l Y +3
Ś * tfj
- 1 oraz g(x) = log1(19+x) + p mają to samo miejsce
zerowe. Oblicz wartość parametru p.
44
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
1.199.
Dana je s t funkcja logarytm iczna f(x ) = log4(x - k) + 3, gdzie k je st parame
tre m . Dziedziną fu n k c ji/je s t p rzedział ( 2, +oo). Podaj w a rto ś ć p aram etru k, a następ
nie oblicz:
a) w arto ść fu n k c ji/d la argum entu 18
b) argum ent, dla którego w arto ść fu n k c ji/ je s t ró w n a 3 ,5
c) dla jakich argum entów funkcja / p rz y jm u je w a rto śc i d o d atn ie .
1.200.
Dana je st funkcja logarytm iczna f(x) = log 2 (x - 1 ) + p, gdzie p je st paramei
trem . W artość funkcji / dla argum entu 3 — w yn o si 3 . O b licz w a rto ść parametru p,
a następnie w yznacz:
a) argum ent, dla którego w arto ść funkcji / w y n o s i 6
b) zbiór wszystkich argum entów , dla których f u n k c ja / p r z y jm u je w artości mniejsze
od k
1.201. W yznacz:
a) najw iększą w artość fu n k cji/, gdzie f ( x ) = log 3( 6x - x 2)
b) najm niejszą w artość funkcji g, gdzie g(x) = log 04(4 - 3 x - x 2).
1.202.
Oblicz x , je śli w iadom o, że lic z b y - ^ 8 \ /2 j | , | x - l | , ^ j6 - > / il +j6+>lii^,
w podanej kolejności, tw orzą ciąg arytm e tyczn y. W yzn acz ró żn icę tego ciągu.
1.203.
Liczby
^ 4 x 2 - 1 2 x + 9 , > /2 5 + \/io + \ / 4 , w pod anej kolejności,
tworzą ciąg geometryczny. Oblicz x .
1.204.
Dla jakich x , liczby: 1, log 1 (2 x - 1), 2 5 , w p o d an e j k olejn ości, tworzą ciąg
i
geometryczny. Wyznacz iloraz tego ciągu.
1.205.
Liczby 4 ,3 • (-n/2 ) 2* 4,
, w p o d anej k o le jn o ści, są w yrazam i ciągu aryt
metycznego. O b lic zx oraz w yznacz różnicę tego ciągu.
1.206.
Rozwiąż rów nania:
a) 2* + 2 * '1 + 2*~a + ... = 2 ■V 8 - 2 * +t
b) i V l 2 - 3 " ł l = 3 * - 3 ' “ 1 + 3 " - 2 - 3 * - 3 + 3* - * +
45
1. Funkcja wykładnicza i fun kcja logarytmiczna
c) 1 + log2cos x + log22cos x + log23cos x + ... = 0,(6), gdzie x e R
d) 1 + log2sin 2x + log22sin 2x + log23sin 2x + ...= - , gdzie x e ( 0 ,
1.207.
te) .
Rozwiąż nierówności:
a) 2s,nx + 4s,nx + 8sinxrf ... £ 1
b) 2~cosx + 4"cosx + 8 'eosx + ... ś l
c) log(x - 2) + log2(x - 2) + log3(x - 2) + ... < 1
d) 1 + logi sin x + logj sin x + log* sin x + ... ś 2
2
2 Wk
2
*1.208.
Rozwiąż równania:
K|
a)
x2 -2x + 8 = 2x2 + 2x+2
c)
1.209.
'
3-log—
b) x
3 = 9 00
d) o ,4 l08sx l08j3x = ( 6 ,25)log3x2+2 ,
Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m e R), dla których równanie
25x + (1 - 2m) • 5X+ 9 = 0 ma dwa różne rozwiązania.
1.210.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m e R), dla których równanie
m • IG* + (2m - 1 ) • 4X+ 2 - 3m = 0 nie ma rozwiązań.
1.211.
Określ liczbę rozwiązań równania m • (4X- 2X) = 1 - m w zależności od war
tości parametru m (m e R). Naszkicuj wykres funkcji y = g(m), która każdej wartości
parametru m przyporządkowuje liczbę rozwiązań tego równania.
1.212.
Wykaż, że jeśli ciąg (log^, log^, log^) jest ciągiem geometrycznym, to
loga6 = logbc.
1.213.
Udowodnij, że jeśli ciąg (o, b, c) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach
dodatnich, to ciąg (log o, log b, log c) jest ciągiem arytmetycznym.
1.214.
2
jł
log(logz)
Wykaż, że jeśli y = 10x i z = 10y to x2 = — ^ — L .
1.215.
Wykaż, że jeśli a > 0 i b > 0, i o > 3b, i o2 + 9b2gg 7ab, to
log (o - 3 b) = log J c r b .
46
2
Analiza matematyczna
Powtórzenie i uzupełnienie wiadomości
o granicach ciągów
2 .1 . Oblicz granice ciągów:
.
..
t
2 /7 -1
a)
lim ------»-*» n + 3
c)
lim
•
(l- 3 n )(5 - 2 n )
3/7- 8 n "
lim — 5— —
b)
n->°o 2/7" + 1
d)
2n3 + 7 n 2 +4
lim
/>-*<» 4/7s + /7 + 1
2/7+ 1
1 -2 /7 + 3 /7 - 6 /7
% _
3/?4 + 8/?2 - 1 0
e) lim
f)
lim ---------- - ó—
/>-*»
n (2/7+ 1)"
b)
lim
/lr->00l
n-+*(2n2 -l){2 n 2 +1)
2 .2 . Oblicz granice ciągów
a) lim
/7->oo
c)
lim
1 - 4 /7
2/7 + 5
2/73 - 4 /7 2 + 2 n + 7
d)
lim
3 - /7 "
)
/»-►oo ( / 7 - ir
6/7(/7-ir
e) lim
nA n
(2/7 + 1)3
f)
lim
n 3 - 2n2 + 1
/?-»001
n-+<x>
2 .3 . Oblicz granice ciągów:
J i m [ ( 2/7+ l ) ( l - / 7) 2]
c)
I I
e)
lim (5 n 3 - 4/7 + 17)
b)
a) lim f l + 2/7- 3/72)
1 + 3 /7 -5 /7 2 - 6 / 7 3
lim -------------- 5—
n-*«o 7 -4 /7 —8/7
d)
lim
/»-►«
f)
lim
- 3 / r +9n + 7
4/7 —12
(n + 1)3
(2/7—3)2
2 .4 . Czy prawdziwe jest zdanie: J e ś li dany jest ciąg nieskończony (an) (o wyrazach
niezerowych), dla którego lim an = 0, to lim
n->oo
wiedź uzasadnij.
n—>ooq
1
1
= +oo lub lim — - - qow? Odpon->oo
47
2. Analiza matematyczna
Granica funkcji w punkcie
2 .5 .
Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz:
a)
lim ( 4 x - 8 )
x-ł2
b)
c)
lim ( 7 x - 3 )
x-*0
d)
e)
l i m ( 6 - 2x )
XH>-1
lim ( x 2 - 2x )
X->3
f)
lim (2 x 2 + 5 x - 1 )
llm ( - 2 x 2+ 4 x + 7)
2 .6 . K o rzy s ta ją c z d e fin ic ji H e in e g o g ra n ic y fu n k c ji w p u n k c ie , o b lic z :
.. x2- l
a) lim-----x -l
c)
e)
b) lim:
X-»l
..
4+x
lim -------r
x->-416-X2
d) lim-
x -9
lim —j=—
-Jx —3
f)
4+x
x->31
x->i6
lim
x->9
2 .7 . Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz lim /(x), jeśli:
- x 2 - 2x + 3
.
>*o =
x+ 3
a)
f(x)
c)
x 2- 4 x - 5
_
/(x) = -, -r
. , ' X° = 5
x^ -7 x+ l
e)
f(x)=-------------- 5-/*o =
6 -3x
1 2 -4 x-x2
x 2+ 5x + 6
.. .
3
—4
b)
/M :
x2
-2 x - 8'
-x
f i r u ...» i> = 7
+ 9 x-1 4
d)
M
f)
.
2x 2 + x - 6
/(* )% 2 c
_
2x -5 x + 3
—
o=
7 x o
= 1/5
2 .8 . Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz lim /(x), jeśli:
x—>x0
x3- l
- ' X0 = 1
x —1
x +2
x
3
o ' X0 “ 2
X3 - l
b)
x - l
x +2
d) / ( x ) —■
x 3+ 8'
+8
x-2 7
V x - 3 ,X° ” 27
'/ Xn = —1
yfx + 4
f)
/ (X ) =
x + 64
Matematyka. Z b ^ r zadań. Klasa 3^
48
.9 . Wskaż dwa ciągi (o„) i (bn), dla których jirn o
2 .9
0 y
¿e nie istnieje,granica funkcji /
lim /(on) 9t lim /(/>„)/ i na tej podstawie wykaż,
n->oo
n-*oo
w punkcie x0, jeśli:
a) / M “ t e | U - 6
x -6
x+ 7
b)
/W = ^
^ 7
7 j ' X»
-</x- 2 » =4
c)
/ ( x ) = ^ x 0= 0
2x
\ xi » |x 2 + 3 x +2|
e) f (*)='-— =-------/ Xq-=- l
x -1
d>
f)
, / * + ? - ! * =/ M = - i^ 4 T ' 0
2 .1 0 . Na podstawie wykresu funkcji / ustal, czy istnieje granica fu n k c ji/w punkcie a. Jeśli tak, to podaj tę granicę.
49
2. Analiza matematyczna
Obliczanie granicy funkcji w punkcie
2 .11. O b licz g ran ice :
a)
lim [ ( 2 x - 3 ) 5( x + 5)]
b)
lim [ ( 5 - x ) 2(3 x + 2 )3]
X-+-1
c)
lim >/2x +8
x-»4
d)
lim V ( l - x ) ( 4 - 2 x )
,.m ( 4 x - 5 ) ( 2 - x )
f)
( 5 x - 1 2 )2
2x 2 + 5 x - 9
lim
ó (7 x —6) ( x —12 )
2.12. O b licz g ran ice :
a)
c)
e)
x 2- 4
lim - — x->2 2 - X
lim
b)
x2
x 3 +8
d)
-2x - 4
lim
- x 2+ 1 0 x - 2 4
lim — ; --------------
x 4 - 8x 2 - 9
f)
-2 x -2 4
125- x 3
lim
,2
*-*5 4 x -1 0 0
lim
*->-3 x + 3 x
x 4- 5 x 2+ 4
x + 2x - 8
2.13. O blicz g ran ice:
1 1
a)
Ul
b)
lim - — —
x—>3 3 - x
.•
* +4
lim - — r
X—
>-4 1 1
—+ —
x
c)
e)
lim
x->2
x -2
x -2
d)
lim
x->-2 x 4 - 1 6
f)
lim
X->1
x -2
lim J —
X->1 x - l
_ ł_
l- x
4
x +8
x + 2 x-3
x 2+ 4 x + 6
x (x + l )
2
x4- l
x 4- l .
2.14. O b licz g ran ice :
V 2 X + 9 -3
a)
c)
e)
lim
x-*o
lim
x-»0
b)
V3X + 1 - 2
lim X->1
d)
lim
x-*ol
f)
3 x-6
lim
xX-*2
-+2 V 7 x + 2 - V 5 x + 6
5x
3 - y j9 + X
X
x-4
lim
x->4 V 2 X + 1 - 3
50
Matematyka. Zbiór zadań. Klaso 3.
*2.15. Oblicz granice:
.
..
f c - l - l
tfl-3 x + 2
a) lim---------
b) lim
x —1
x->l
2.16.
*-»3
x-3
Korzystając z twierdzenia otrzech funkcjach, oblicz granice:
a) lim I x 2s in -
b) lim x 4sin
c) lim 7 xsin -rr
d) lim -3 x s in
Wyznacz parametr a, wiedząc, że:
2 .1 7 .
a)
,im ł t * £ = i
b)
________
lim ^
±
I = -2
2 .1 8 .0 funkcji ciągłej/wiemy, że/(x) > 0, jeśli x> 5 ,/(x) < 0, jeśli x < 5. Oblicz lim /(x ).
Granice jednostronne funkcji w punkcie
2 .1 9 . Oblicz granice jednostronne fu n k cji/w punkcie x 0i na tej podstawie ustal, czy
istnieje lim / (x ), a następnie naszkicuj wykres fun kcji/, je śli:
x->x0
a) / M = £ - A *¿ = 1
|x - l|
.
c)
11 i f
l g
r
\*\
d) / W = l - 3 ) ' +2' X»= 3
I m i |2+*l3
e) /(x) = ---- ; — 1, x0 = -2
x+2
2.20. Oblicz granice jednostronne:
a)
Jimi ^2+Vl6-x2J
c) lim
*—
”« j g
e)
.
. x 3- 2 x
f(x)= ’ - ,x0=0
b)
lim 5x V x 2- 9
HI
aj
I!«, ----V5x +
1 2 -2
urn
■
------x->-6+ x + 4
f
lim
x+2
f)
lim - i^
*-*1+X - l
2. Analiza matematyczna
51
2 . 2 1 . Zb ad aj, czy istn ie je granica f u n k c ji/ w p unkcie x 0. Jeśli ta k , to oblicz tę g ran icę .
a) f M - {
f - 3 x + 5 , je ś li
x> l
| 2x ,
je ś li
x< l
f x +6
.
x 0= 1
0
---------, jeśli x >2
x 0= 2
b) / ( x ) = < 3 x - 2
x 2- l ,
x <2
je śli
x 3+ 5,
c)
/ (x )
je ś li
,
x ^ + 4 x - l , je ś li
| x - 2 |,
d) / ( x ) =
x> -3
x 0= - 3
x< -3
x > —1
je ś li
yj6 - 3 x , je ś li x < - l
f x 2- 1 6
f 5 . i—
e) f[x )= \ 4 - x
j eśl i
x> 4
3 x-4,
je ś li
x< 4
> /2 x+ 9 -3
f)
/W
.
*o = 4
je ś li
x >0
je ś li
x <0
,
x
2 x-3
4 x-9
2 . 2 2 . Z b ad aj, czy istn ie je granica f u n k c ji/ w punkcie x 0. Je śli ta k , to o b licz tę g ran icę .
-3 x2+ 5 x - 2
a)
x —1
/(x )
L,
je ś li
x< l
je ś li
x >1
je ś li
x e ( - 2, 2 )
je ś li
x e ( - o o ,- 2 )
Xn=l
V 2x - 1 - 1
,
x - l
9 x2+ 20x + 4
,
4 -x:
b) / ( x ) =
x„ = -2
,
x 2+ 3x+ 2
3x2-1 6 x + 2 1
,
je ś li
x< 3
je ś li
x >3
3 x-9
c) / ( x ) =
V x+ 6 -3
V x + l- 2 ,
x
2+ x -2
je ś li
x< -4
.
, je ś li
x> -4
| 2x + 6 |
d) / ( x )
x 2 + 1 3 x + 36
x+ 4
52
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
Granica funkcji w nieskończoności
2.23. Oblicz granice:
l-6x
b) Hm777“
x->-«l+3x
7x+6
. , 4x-5
lim -----*->+®2x+7
a)
c)
lim
2x+5
d)
*-++« 3 x - 2
-5
e) lim
*-++®6-7x
lim — -
x_> -« 7 - x
f) lim
12x-9
X-+-» 4x+l
2.24. Oblicz granice:
6x+5
x->+oo_ x2+2x +l
2x2+7x -1
b) lim
a) lim
*-++«6x-4x+5
8
l-3x+x2
c) lim
x-»-co2x -4x-9
d)
lim
x-»-»4x2-7 x +15
2
.,-(3 x + l)
f) lim V ® -----h
x-»+*x -(4x+2)
(2x-l)2
e) lim -------|
x->+«(l-3x)
Oblicz granice:
. .. -x2+6x-7
a lim , ~ — r
2.25.
b) lim
x->-«o
*-> + « > 2 x-9 x+ 2
8x 3 - 10 x 2 +
x
i-8x-10x
3
'
( 2x + l )
c) lim
X->+'
x->+»
e) lim
x4 —x3+ 6x2*t 7x
d) lim
^"®(l-2x) x
(5x-2)3
« -• (3 -7 x! )(5+ x! )
x->+«o (2+3x! )(2-3 x! )
2.26.
Oblicz granice:
a) lim
x->-«o
c) lim
X-+-00
e) lim
X->-00
m
5+ 3x
b)
-X
x+5
2x2+7 3-4 x2
x -5
3x-5
x+5
x->+oo
d) lim
X->+oo
2x+7
(3x+l)2 3x2-7
lim 3x--
f)
lim
X — >+oo
x +2x
V
( x2
x+5
1-X3 I
---
x - 11,
(x+ l)3 x3- l
W
x2 +1
¿ )ú
2. A nalizą matematyczna
2.27.
Oblicz granice:
a)
\lx2 + x + 5
l i m --------------X-M-ao
2 x -l
b)
V x2+ x + 5
l i m ---------- —
x->-oo 2 x - l
c)
lim
x->+oo
d)
V4x 2- 2 x + 7
lim ----------------x—
>-00
9 -3 x
e)
lim |3 x - 2 '
x->+°0 X - 1
f)
|3 x -2 |
lim J-------X-+-» x - l
2.28.
9 -3 x
Oblicz granice:
Ü
y / 2 -A x - y ll^ X
a)
VX + 1 -V 2 X + 5
lim --------------------X—►♦oo
^
b)
l i m --------- j = ------X-»-®
V -X
c)
lim ( V x 2 + 5 x + l - V x 2 + l )
x-+-oo\
1
d)
lim N x 2+ 7 - V
x->+«\
e)
lim ( | x + 5 | - | 6 - x | )
X->-oo
7
f)
lim ( | 7 - x | - | 3 + x | )
X->+00 '
2.29.
a)
x2-:
Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach, wykaż, że:
b) l m 4 £ ü . - 0
x->+oo X + 1
x-*-aoV x + 5
G ranica niew łaściwa funkcji
2.30.
Oblicz granice:
b)
a)
lim-^x-»0x ¿
r
c)
2x + 5
lim ------- r# 1
x_> _4 (x+ 4 )
d)
\ .. l - 4 x
e) lim -------x->3 | x - 3 |
2.31.
a)
c)
e)
I
Ijm — -— 7
* - 2.( x _ 2)2
B
3 x -8
lim 1------jx + 1 |
l,m '3 - 5x|
x-*7 |7 —X|
Oblicz granice:
lim ( x 3 - 5
x->+<®' *
x 2+3x
- 7)
b)
lim ( x 3 - 5 x 2 + 3 x - 7 )
lim ( - 3 x 5 + 2 x 4 + x + l )
/
lim ( - 3 x 5 + 2 x 4 + x + l )
d)
X“»—
00'
lim ( x 4 + 7 x 3 - 8x 2 - 1 0 j
f)
#-►-00' 1
X->+00';
X->+oo^
lim ( x 4 + 7x 3 - 8x 2 - 1 0
>
54
M a tem a tyka . Z b ió r zadań. K la sa 3.
2 . 3 2 . O b licz g ranice:
a) ,!lT » [(1- >f)z(x+ 3)]
b)
c) ,1 t I ( * - - 3)3(2 - 3 * ) 2]
d)
e)
f)
lim r-3x(2-x)(2+ x)"|
*->-00L .
V
lim £ ( 5 -
x)
( 3 - x )2( x + 2 )J
lim f ( 9 - 2 x ) 3( 7 - x ) 3l
x-*-a>Lv
J
#
2 . 3 3 . O b licz granice:
.
a)
c)
x 2 + 8 x + 10
hm ---------------*->+«
2x+ 3
lim
4 x 2 - 7 x + 15
X
-» + <
*-++oo
e)
lim
b)
d)
2 -x
x
lim
2x+ 3
4x2-7 x + 1 5
*->-00 7
2 -X
5x4 + x 3 + x 2 - 5
5x4 + x 3 + x 2 - 5
*->+«>
x + 8x+10
lim
X
-> -<
*->-oo
f)
- 2x + 8
lim
*->-oo
x -2 x+ 8
2 . 3 4 . Oblicz granice:
a)
b)
lim V x 2 + 7 x + 1 5
c)
d)
lim ( x V x 2 + 2 x + 1 0 )
V
/
x2+ 2x+ 10
lim |
X —> “ 00
*-> + 0 0
e)
lim
X—>—'00
X -> + C X )
2x V x 2 - x + 3
lim -----------------*-> + o o
4 -5 x
f)
x+3
lim ■
X —> - 0 0
2 . 3 5 . Oblicz granice:
a)
lim
*->o+
..
d)
u
2<2- 3
l i m --------*->2" x - 2
x
x +3
b)
lim
*->o-
e)
-X r+ 1
lim
*u>-3+ x + 3
2x
lim
*->2+ x - 2
f)
lim
*-> -3'
x
2 . 3 6 . Oblicz granice:
,
a)
S - 3 x - n
l i m ----------- ;—
«-5*
.
c)
e)
i
x -3 x -1 2
b) lim --------- irr(5 -x )
( S - X )2
..
4x+21
4x+21
lim ---------7
*->-2+( x + 2 )
d) lim ------- -
x2- 2
lim — — - r
x2-2
f) lim ——
^7
x->1+ ( x — l )4
-3
c)
* - - 2‘ ( x + 2 )
-x ^ + l
x +3
S
55
2. A naliza m atematyczno
2.37. Oblicz granice:
v
lt
x2- x -1 2
x2- x -1 2
a) lim -------- rx-» 4+
t
.
c)
(x - 4 )
b)
*->4
d)
lim
x 2- x - 2
x2- x -2
lim ------- —
x->-1+ ( x + l )
e)
(—
x - 47 J? ~
x -ł-l
(x + l)
x 2 - 2 x ;- 2 4
x2- 2 x - 2 4
lim
x“*6+ - 3 ( x - 6 )
f)
lim
_ 3 (x - 6 )3
2.38. Oblicz granice:
%
3x + 5
a) lim - f ----------x->r x + 4 x - 5
V
c)
.
e)
b)
4x+ 7
..
4x+7
lim — 5------- x-»-r - x - x + 6
..
3x+5
lim
x -4 i" x 2 + 4 x - 5
d)
lim
2
x -* -3 " - X 2 —X + 6
x-1 0
*-10
f)
lim - r — --------x-*T x 2 - 2 x - 3 5
lim
x->7_ x 2 - 2
x
-3 5
2.39. Oblicz granice:
x+ l
lim
_ -» ^ 2
X—
x
- f-r x - 2x + l
b)
x+l
lim
x-*-i- x 4 - 2x 2 H
c)
_____ 3
3 -- 2 x
lim
5 ? x 3 - 8x 2 + 2 0 x - 1 6
d)
3 -2 x
lim
x ^ r x 3 - 8x 2 + 20x - 1 6
e)
8 - 2x
lim
x—
>4+x 3 - 12x 2 + 4 8x - 64
f)
lim
C ią g ło ść funkcji w punkcie
2.40. Zbadaj ciągłość fu n k c ji/w
a) M
b)
f(x )=
x e (-o o /- 2 )
W, _
| 2x + 7 / jeśli
x e ( - 2 /+oo)
°
[ - x 2 + 2,
jeśli
14 - 3x ,
jeśli. x ę ( l , + 00)
x+7
c) /(x ) =
punkcie x0: | J
jeśli
fx + 5 ,
x e ( - o o ,l )
jeśli
x e ( - o o /2)
2 - 3x - x 2, jeśli
x e ( 2,+oo)
x -3 '
8 - 2x
x->4* x 3 - 1 2 x + 4 8 x - 6 4
56
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
I \/9—4x,
jeśli xe(-o o ,0 )
^+5x-,
2+ x
jeśli xe(0,+oo)
xn = 0
d) /(x) =
e) /(x)
2x2- 2 x - 2 4 ,
jeśli x e (-o o ,-3 )
x0 — 3
3x2+10x+3, jeśli xe(-3,+ oo )
x3- 2 x 2+ 5 x - l,
m
f)
4x2+ 10x-2,
jeśli x e ( - 00, - 1 )
x0 — 1
jeśli x e (-l,+ o o )
2 .4 1 . Zbadaj ciągłość funkcji / w punkcie x0:
f2x2- 5 x - 3
. ...
'eśh
a)
7,
3x3 +7x2 +5x-łrl
. ...
-------------- jeśli x ^ j- l
x+l : m
\ p
1
2x2- l l x + 5
. ...
------------1 jeśli x * 5
C) /(X)=| x2 -10 x + 2 5
(9, jeśli X = 5
-5
[ x2 - x - 2 0
....
I a
r
, jeśli x * - 4
d) / ( x ) J i x 2 +5 x + 4
a
[3, jeśli x = -4
e) /(x)M
*0
X
■S
i-»
p
1
*?5
'
i/y.
b) /(x) f i
x0 = 3
jeśli x=3
fV 9+ 12x2 - 3
. „.
X2
■ )ei"
X0 = 5
x0 = - 4
x# = 0
[2, jeśli x = 0
f) f ( x ) = i
[V i2 + 4 x 2 - 4
. „.
Wm
---------------- , jeśli x * l P
.
X —1
Xq = 1(
[1, jeśli x = l
2.42. Zb ad aj, czy istn ieje taka liczba o, dla której fun kcja
[ x2 - 9
-------- ,
/ lx )= i |x |- 3
je śli
x
* 3 a x # -1
la, je śli x = 3 v x = s - 3
je s t ciągła w p unktach - 3 i 3.
2 .4 3 . Zbadaj, czy funkcja / ( x ) = lim - nx+ * t gdZje x e ^ j est ciągła w punktach -% 0 , 1.
n->°° n x +2
2
2 .4 4 . Zbadaj, czy funkcja f(x ) = lim ---- —, gdzie x e R , jest ciągła w punktach - 1 , 0 , 1.
'- ► « l+ x
2 .4 5 .
W ykaż, że fu n k c ja /n ie je st ciągła w punkcie x 0:
[ x2 -4
V
*/
X
«) / M H
J
------- je śli
x -2
[3 ,
b)
jeśli
X *2
P * 8 ' , je śli
/(x ) = j x - 8
ll,
jeśli
x 0= 2
x =2
x *8
x 0= 8
x =8
2 . 4 6 . Dana je st funkcja f(x ) -
x + 3 x,
18,
jeśli
jeśli
xeC w
acz te |jczby całkow ite,
x£C
w których funkcja / je s t ciągła.
C ią g ło ść funkcji w zbiorze
2 .4 7 .
io 2x + o , jeśli x e ( - 00, 3)
W yznacz p aram etr a tak, aby funkcja f( x ) = {
*
,
x była
[5ox-15, jeśli X € (3,+ oo)
ciągła w zbiorze R.
x2 + ox, jeśli x e (-oo, -2 )
2 .4 8 .
W yznacz p aram etry o, b, dla których funkcja / ( x ) b,
= jeśli x € (-2 ,5 )
je st ciągła w zbiorze R.
2 x -3 , jeśli x e(5,+oo)
3 x + l , je śli x € ( - oo,- 3 )
2 .4 9 .
W yznacz p aram etry o, b tak, aby funkcja /(x)= <
ax+b, je śli x e (- 3 ,5 > )
była ciągła w zbiorze R.
- 6x + 6 , je śli xe(5,+oo)
2 .5 0 .
W yznacz param etry er,
b ta, aby funkcja
. . . .
,
była ciągła w zbiorze R.
*• '
a,
2 .5 1 .
W yznacz o,
b tak,
gła w przedziale (—2, 2).
\ax2 -ł-b, jeśli x e (j—oo,—¿'j
/(x) = 1 x - a, jeśli x e ( - 2 ,3 )
1—+ b,
Vx
jeśli
4 —x 2
jeśli
xe(3,-v-ao\
x
’
x = —2
aby funkcja f(x) = f -- '
jeśli
\ B —V x + 7
Ib , jeśli x = 2
x e ( - 2 ,2 '\ była cią.
■
* 2 . 5 2 . D ziedziną i zbiorem w artości funkcji ciągłej y = f ( x ) jest przedział <p, V). Wykaż,
że ró w n a n ie /(x ) = x m a rozw iązanie w przedziale (.0, l ) .
2 . 5 3 . Funkcja / je s t ciągła w przedziale <—2, 7 ) o raz f ( —1) = —6 i f{ 7 ) > O. Czy funk
cja g, g dzie g(x) = / (x ) + 5 m a m iejsce zero w e w przed ziale <—2 , 7 ) ? O dpow ied ź uza
sa d n ij.
2 . 5 4 . W y k a ż , k o r z y s ta ją c z t w ie r d z e n ia D a rb o u x , ż e w y k r e s y f u n k c ji f{x ) = X4 - 7x,
x € R i g (x ) = —3 x 3 - 4 x + 8 , x g R , p r z e c in a ją s ię w p u n k c ie o o d c ię t e j n a le ż ą c e j do
p r z e d z ia łu (—3 , —2 ).
2 .55 . Wykaż, korzystając z twierdzenia Darboux, że funkcja /(x) = X4 —5x^ - lx 2 + 3,
x e /?, przyjmuje wartość —160.
2 .56 . Wykaż, że równanie 3x5 + Bk3 -i-1 = 2x4 + 6x2 + >/2x ma rozwiązanie należąc
do przedziału (0,1).
71X
, x e R. Wykaż, że równanie ftx j - |\x
T
ma w przedziale (2 ,6 ) co najmniej dwa rozwiązania (nie rozwiązując tego równć
2 .57 . Dana jest funkcja f ( x ) —cos
2 .58. Wykaż, że równanie sini — = 2 x ma w przedziale (0,
rozwiązania.
V3
co najmni
59
2. Analiza matematyczna
2 .5 9 . Wyznacz zbiór wartości funkcji f :
1
a) / (x ):
/ x e (- 5 , 3)
b)
x + 2 x-2 4
c)
/ (x )= - ^ - ,
sinx
\4
6 /
X € <4,6)
/ (x ) = —
x -4 x +3
d) / ( x ) = —
cosx
,x e ( ^ ^ )
\ 4
3 /
A s y m p to ty w y k r e su funkcji
2 .6 0 . Zbadaj, czy wykres funkcji /m a asymptoty pionowe. Jeśli tak, wyznacz rów
nania tych asymptot:
a)
c)
/(x ) =
2x+8
b) / ( x ) =
3x + l
5
4 x-5
/(x ) =
d) / ( x ) =
x
( x - 2)2
-6x
3
e) / (x )=
6 x +2
x-5
f)
/(X ):
5x2- 1 0 x
x +3x
2 .6 1 . Zbadaj, czy wykres funkcji /m a asymptoty pionowe. Jeśli tak, wyznacz rów
nania tych asymptot:
a) / (x ) =
yr - 3 x + 2
b) / ( x ) =
x -2
C)
2 .6 2 .
/ (X ) =
2 .6 3 .
/(x ) =
2 .6 4 .
d) / ( x ) =
+4
|x 2 - 9 [
x +3
|J T - 4 |
e) f( x )
x2+4x
(x + 4 )(x + 5 )
(x + 3 )(x - l)
2x - x - 6
3x2+ 8 x + 4
6x 2 - x - 2
f)
/ (x )=
2x2+ 3 x + 5
Wyznacz wartości parametrów a, b, dla których wykres funkcji
X2 + 2 x + 6
m a d w ie asym p to ty p io n o w e o ró w n a n ia ch x = - 3 i x = 2.
x + a x+ b
W yzn acz w a rto śc i p a ra m e tró w a, b, dla k tó rych w y k re s fu n k cji
x + 2 x-2 4
m a tylko je d n ą asym p to tę p io n o w ą o ró w n a n iu x = 4 .
x 2 + ax+ b
W yzn acz w a rto ś c i p a ra m e tró w o , b, dla któ rych w y k re s fu n k cji
“f* x
6
f ( x ) = —----------- m a tylko je d n ą a sym p to tę p io n o w ą o ró w n a n iu x = 4 .
x + a x+ b
60
r
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3 .
2 .6 5 . Zadaj, czy istnieją takie wartości parametrów a, b, dla których wykres funkcji
/ ( x ) = ~ ^ ^ x + a m a d w ie a s y m p to ty p io n o w e o ró w n a n ia c h x = 1 i x = - 5 .
x + a x+ b
2 .6 6 . W y k a ż , że p ro sta k je s t a sym p to ta u ko śn ą w y k re s u f u n k c ji/ , je ś li:
a)
x
/ (x ) =
+ 5x+ 2
, k :x - y + 5 = 0
2x2+ 6 x - 3
b) / ( x ) =
k: 2 x - y + 4 = 0
x+ l
3x
c)
/(x )=
2 , fc: 3 x + y + 2 4 = 0
8x - x
d) f(x ) =
(^ - i)
k: 2 4 x - 9 y - 4 4 = 0
3 x2+ x
e ) / ( x ) = V x 2 - 9 , k : x - y = 0 - asym p to ta u kośna p raw o stro n n a
f)
/ ( x ) = V x 2 + 3 x , k :2 x + 2y + 3 = 0 - asym p to ta u kośna le w o stro n n a
2 .6 7 . Z b ad aj, czy w y k re s fu n k cji / m a a sym p to ty u kośn e (p o zio m e ). Je ś li ta k , w y
zn acz ró w n a n ia tych asym p to t:
a ) f[ x ) =
c)
f(x )=
e) / (x ) =
x 2+ 3 x
b)
,, .
2x - 6
x 3+8
x
5x 3 +2 x 2
d)
+4
, , x 1 " x3
/ x ) = - -----
2+x
x 3- 7
2x 2 + 5x - 1 7
3
-
2 . . ...
x 3- 3 x 2+ 21
f)
2 .6 8 . W yzn acz a sy m p to ty u ko śn e (p o zio m e ) w y k re s u f u n k c ji/ , je ś li:
a) / (x ) =
3 x2+1
b)
/(x ) =
|x | + 5
4 x-3
|x | + 2
16- x 2
c)
/(x )=
| x + 2j - 2
e ) / ( x ) = ^ / x 2 + 6x
d)
/ (x )=
|x + i| + l
f)
/W = V 4
x2
-
x
61
2. Analiza matematyczna
2 .6 9 .
W yznacz asym p toty ukośne (poziom e) w ykresu fu n k cji/:
,
je śli
x +5
x£ l
x-B
a) f(x )
b) / ( x ) —
2- x 3
,
,
x 3 +2
je śli
x >1
,
je śli
|x|< !4
- 2x 3
2 |x |
[5 x + 2,
je śli
jeśli
3x 2
d) / (x )=
,
x> -3
x +1
x 2+ l
c) / ( x ) =
x ś -3
jeśli
2x+ 4
jeśli
|x | + 6
|x |> 4
|x|<3
|x |> 3
x +x +5
2 .7 0 .
W yznacz rów nania w szystkich asym ptot w ykresu funkcji:
5 -2x
a) / ( x ) =
c)
b) / ( x ) = ~2
x 2- x - 1 2
/ (x ) =
d) / (x ) =
e) / ( x ) =
f)
/(X) =
x2- l
2 .7 1 .
2 x 2- 3 x + 8
x2 -
x+ l
3 x 3 - 2 x 2 +6
x+ 5
rX -6
x+ 7
2 x+1
X5 + X +1
x 2- 6 x +9
W yznacz rów nania w szystkich asym ptot w ykresu fu n k cji/:
x 2+ 4 x - 1 2
a) / ( x )
x 2- 4
x 2- 3 x + 2
c) m =
x
b) / (x ) =
x 3 - 2x 2 - 3 x
x2+
d) / ( x ) =
3 - 3x 2 + 2x
2x +1
2x 3 - 6x 2 - 8x
x 2- 3 x - 4
6x~
e) / ( x ) —
y x 2+ 9
-x+ 3
[x| + 1
f)
/ (x H
____ 1 _
,
jeśli
=,
jeśli
| x |£2
| x |<2
P o ch od n a funkcji w punkcie
2 .7 2 .
Korzystając z definicji, oblicz pochodną f u n k c ji/ w punkcie x0:
a) M = - 2 x ,x 0 = 3
b) f[x) = 3 x - 5 , x 0 = - l
c) f[x) = 4 x 2 + 3 x, x 0 j = - 2
d) f[x) = -X 2 + 5, x Q= 5
e) / M = - ^ T . * o = 4
f)
A T D
X —3
2 .7 3 . Korzystając z definicji, oblicz pochodną funkcji/w punkcie x0:
a) /(x) = 2x3, x0 = 5
b) f[x) = -X 3 + X2 - x, x0 - -2
d) / ( x ) = - ^ , x 0 = - 2
x+ l
e) /(x) = V 3 x + 6 ,x 0 = l
2 .7 4 .
f)
/ ( x ) = n/ i - 5 x , x0 = - 3
Zbadaj, czy istnieje pochodna funkcji/w punkcie x0:
(3 x 2 + 4 x , jeśli x £ - 2
Xn = -2
|-8x-12, jeśli x > -2
a) /(x) =
Jx 3, jeśli x £ 0
b) /(x) —
[ - x 2, jeśli x > 0
f-2x + 5, jeśli x< ;i
c) /(x) =
[-3 x + 6 ,
2x2 +1,
f) /(x)=
-3,
x0 —1
jeśli x > l
i *— 1 , jeśli x * - 3
d) /(x) = j 2x+6
[-3, jeśli X = -3
e) /(x) =
x0 = 0
jeśli x < 0
x0 = - 3
x0 —u
jeśli x > 0
( x - 2 ) 2+4, jeśli x £2
4, jeśli x >2
Funkcja pochodna
2.75. Wyznacz pochodną funkcji:
a) /(x) = 7
c) /(x) = 6 x - 8
b) /(x) = -3x
d) /(x) = -X 2 + 7
e) /(x) = 5x2 + 3 x - V 2
f) /(x) = x3 - 4x2 + 5x
2.76. Wyznacz pochodną funkcji:
a)
b) /(x) = X5 - 2x4 + x +1
m = i x ‘ - l x 3 +2x2
4
3
c) /(x)= -3x8 + 5x4 + 6 '
d) /{x) = 5 + 2x3- 6 x 6
e) /(x )= V 6x + x 7- ~ X 8
f) /(x)= x10 + x100 + x1000
63
2. Analiza matematyczna
2 . 7 7 . W yzn acz p o ch o d n ą fu n k cji:
b) m = 1 ~ T x--
+ 2x
a ) /<x) = ^
X
c)
f( x ) = X2+ i + y f i + j 2
X
d) / ( x ) = 2x 4 - V
e ) / ( x ) = x 5 - 2x 3 + x + ?
X
f)
x
+5
f(x ) = yl7+y[x
2 . 7 8 . W yzn acz p o ch o d n ą fu n k cji:
a ) / ( x ) = ( 4 x - l ) ( x 5 + 2)
b) / (x ) = (2 x 2- 3 )(4 x 2 + 3x)
c) / ( x ) = (x 3 + X 2 + x )( x 2 + x + 1)
d) f(x ) = (2X 4 + 4 x 2)(x 3 + x + 3)
e ) / ( x ) = (2 y/x + x 2+ l ) f X
/ ( x ) j g | x 2+ x + i j ( V x + x )
|
2 . 7 9 . W yzn acz p och o dn ą fu n k cji:
a) / ( x ) =
.
c)
~~
x+ 5
b)
„
,
5x+ l
/(x ) =
-4 x+ 2
d)
X 2 —4
-
e)
-2 x
/r (, x )1= ;------3 x-l
v
. f)
r+ 1
3x 2 + 7 x
/ W = 6X + 1
x -5
2 . 8 0 . W yzn acz pochodną fu n kcji:
x
r , A 4 x 2- 5 x
b) / ( * ) = 2
x + x +2
3-2
3) / W = 3 x * + x
d)
c) / W = ^ 7 7
,
e
,
x 4+ 3x+ 2
f(x )—
/w=7 r k i
f)
3
X +1
X -1
2 . 8 1 . Z b ad aj, czy istn ie ją takie w arto ści p aram etró w k, m (k, m e R), dla któ rych
f u n k c ja / je s t różn iczkow an a w zbiorze R. W y z n a c z / '.
4x + m ,
a) / ( * ) =
je ś li
x< l
kx2 +2x, je ś li x 'L l
2x2+ k2x , je ś li x <2
C) / ( x H
- x 2- k x ,
b) / ( x ) =
x + m , je ś li x £ 2
je ś li
x< 3
4
S—
lx
2, je ś li x £ 3
fmx2 + (k + l) x ,
je ś li
x< -l
d) / ( x ) =
[kx2-3 m x, je ś li x £ - l
64
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
Styczna do wykresu funkcji
2.82. W yznacz rów nanie stycznej do w ykresu f u n k c ji/ w p unkcie P, je ś li:
a) / (x ) = x 2 + 4 x - 7, P ( l , - 2 )
b) f(x ) = - 2 x 2 + x + 3 , P(-2, -7)
P(-2, yQ). Następnie w yznacz w spółrzędne drugiego punktu w spólnego te j stycznej
z w ykresem fu n k cji/.
X
2.84. W yznacz rów nanie stycznej do w ykresu funkcji / ( x ) = - — — w punkcie
P(Xo, - 8). Ile punktów wspólnych z w ykresem f u n k c ji/ ma ta styczn a?
X 2 —Ą
2.85. W yznacz rów nanie stycznej do w ykresu funkcji / ( x ) = ^ + 2 X + \ w P un^c|6
p
. Ile punktów w spólnych z w ykresem funkcji m a ta styczn a?
X2
2.86. W yznacz rów nanie stycznej do w ykre su fun kcji f M = ~ ^
w Punkcie
I
p(x0l - 9 ). Ile punktów wspólnych z w ykresem funkcji / m a ta styczn a?
2.87.
Styczna do w ykresu funkcji f(x) = x 3 - 6x 2 + 1 2 x - 4 , x e R, w punkcie A prze-
cina ten w ykres w punkcie 8 (0 , - 4 ), różnym od punktu A.
a) W yznacz współrzędne punktu A.
b) W yznacz rów nanie stycznej do w ykresu f u n k c ji/ w punkcie A.
Pochodna funkcji a m o n o to n iczn o ść funkcji
2.88.
W yznacz m aksym alne przedziały m o notoniczno ści fu n k c ji/ :
a) / (x ) =
2X3-
9x 2- 24 x + 1
c) / M = i x 4 - 2x 3 + 5
4
65
2. Analiza matematyczna
2 .8 9 .
Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji/:
a) / (x ) = - x 4 - ~ x 3- x 2 + x + 6
c) / ( x ) = ^ x 5 + x 4 - x
3-2
b) / ( x ) = - x 4 — x 3 — x 2 + —x
4
3
8
4
d) / ( x ) = ^ x 5- | x 3+ 4 x - 6
2 .9 0 . W yzn a c z m ak sym aln e p rzed ziały m onotoniczności fu n k c ji/:
. , , . x 2+ 3 x +l
a) / (x ) =
x +3
c)
.
d) / ( x ) =
x 2- 5 x + 6
2 .9 1 .
2x 2- 8 x +8
x-4
x 2+ 5 x - 6
/(x )
rt .
b) / ( x )
x 2- 5 x + 1 4
x 2- 5 x - 1 4
Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji/:
V + ll
a) / (x )=
7 7 ? iei"
- 2x 2,
2 .9 2 .
X<2
je ś li
W /< x)=
x £2
je ś li
x <2
5x2- 1 7
,
je ś li
x >2
Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji/:
lx + il
|*2- x - 2 [
a) / ( x ) = 4 ^
2 .9 3 .
,
x2+ l
b)
O funkcji/(x) = - X 3 + ox 2 + bx + 6, x € R, wiadomo, że:
/ '( x ) > 0 o x e
(
y
' 1) '
a ) O b licz w sp ó łczyn n ik i a, b.
b) W yzn acz m ak sym aln e p rzed ziały m o notoniczno ści fu n k c ji/.
E k str e m a lo k a ln e funkcji
2 .9 4 .
Wyznacz ekstrema lokalne (o ile istnieją) funkcji/:
a ) f( x ) = ~ x 3 + x 2 - 1 5 x - 1 0
c)
/ (x ) = i x 3- 2 x 2+ 8 x - 3
b) / ( x ) = y x 3 + 5 x 2 - 2 4 x + 5 7
d) / ( x ) = y x 3 + x 2 - x + 18
66
M atem atyka. Z bió r zadań. K lasa 3.
2 .9 5 .
Wyznacz ekstrema lokalne (o ile istnieją) funkcji/:
a)
/(x ) = i x 5~ Y ^ 3 + 9 x - 1 0
b)
/(x) = —x 4 - 2 x 3 + 4 —x2 +7
c)
/ ( x ) = —x 5 ~ x 4 - 4 x 3 + 8 4
d)
/ ( x ) = —x 5 + 3 x 3 + 1 8 x - 1 2 3
2 .9 6 .
Wyznacz ekstrema lokalne (o ile istnieją) funkcji/:
a)
/ (x ) = 5x+ -
c)
/ (X )*
d)
/ (x ) =
16
-5
x 2+2
W y z n a c z e k s tre m a lo k a ln e (o ile is tn ie ją ) f u n k c ji/ :
8x 2 + 2 1 x + 1 8 ,
a)
/ ( x ) = x 2 +x
3x - 5x + 9
2 .9 7 .
b)
je ś li
x < -2
/ (x )= lx 2_4
je ś li
x > -2
r —x 3 - l l x 2 - 4 0 x - 4 8 /
je ś li
x< -3
b ) / ( X ) J 9 _ X2
;
je ś li
x> -3
x 2+ 4
2 .9 8 .
W y z n a c z e k s t r e m a lo k a ln e (o ile is t n ie ją ) f u n k c j i/ :
a) / ( x ) #
b) /(x)=
x |- 4
x + |2 x -5 |
|x 2 + 2 x - 3 |
d) /(x) =
c) /(x)=x + |7 - 2 x |
2 .9 9 . Wyznacz ekstrema lokalne funkcji /(x) = V 8 x - x + 1
2 .1 0 0 . Wyznacz ekstrema lokalne funkcji / ( x ) = x V x - 6 x + 3
2 .1 0 1 . Funkcja /(x) =
x -a x+ b
ma w punkcie 3 maksimum lokalne równe 1.
x-5
Wyznacz o, b oraz pozostałe ekstrema tej funkcji.
2. Analiza matematyczna
192
2 .1 0 2 . D a n a je s t fu n k c ja f ( x ) = —r + a x+ b , x e R — {0 } z p a ra m e tra m i a i b. Do
x
w y k re s u fu n k c ji / n a le ży p u n k t o w sp ó łrzę d n ych ( 8 ,1 8 ) , a w p un kcie 4 fu n k cja / m a
e k s tre m u m lo k a ln e .
a) W y z n a c z a i b.
b) O k re śl ro d za j e k s tre m u m w p un kcie 4 .
* 2 .1 0 3 . N iech / ( x ) = ^ ^ ^ x 3 - 4 x 2 + ( 8 - m ) x + 5 , g d z i e x € R. Dla ja k ic h w a rto śc i
p a ra m e tru m:
a ) f u n k c j a / je s t ro sn ą ca w zb io rze R
b) f u n k c j a / m a ty lk o je d n o e k stre m u m lo k aln e ; o kreśl rodzaj tego e kstre m u m
c) f u n k c ja / m a d w a e k s tre m a lo k aln e w p un ktach d o d atn ich ?
N a jw ię k s z a i n a jm n ie jsza w a rto ść fu n kcji
w p r z e d z ia le
2 .1 0 4 . W yzn a c z n a jw ię k szą (M ) i n ajm n ie jszą (m ) w a rto ść fu n k cji / w p od anym
p rz e d zia le :
a) / (x ) = ^
b )
c)
x
3 + x 2 - 8 x - 8 , x € <-5,3>
/ ( x ) = 3 x 4 - 8x3 + 6x2 - 5 , x
g
( - 1 , 2>
f( x ) = ± x 5+ ± x Ą- j X 3 - x 2, x e ( - 2 , 2 )
d) / ( x ) = | x s - x 4 + | x 3 - l , x e < - l , 3 )
2 .1 0 5 . Wyznacz wartości (o ile istnieją) funkcji /: największą (M ) i najmniejszą (m )
w podanym zbiorze:
c)
/ ( x ) * ~ — , x e ( 0, 10 )
A +1
jr -4
67
68
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
2.106. W yznacz zbiór w artości fu n k cji/:
a) / ( x ) = - x 3 - 3 x 2 + 9 x - 7 ^ , x e ( 2 ,5 )
b) / ( x ) = ^ x 3 " X 2 - 6
x
+ 4 ^ / x e ( - 3 ,2 )
c) f ( x ) = - x Ą- 2 x 3 - 2 x 2 + 2 4 x + 1 0 , x e (0, 7)
4
d) / ( x ) = —x 4 + —x 3 ——x 2 + 3 x + 6 ,x € (- 2 ,2 )
4
3
2
Badanie przebiegu zm ienności funkcji
2 .1 0 7 . Zbadaj przebieg zm ienności i naszkicuj w ykres fu n k cji/:
a) / (x ) = X3 + 3x 2—4
b) / (x )= ^ 4 x 3 + 12x 2- 9 x + 2
c) / (x ) = 3x4 - 6x 2 + 4
d) / (x ) = x 4—6x 2 + 8x + 24
2 .1 0 8 . Zbadaj przebieg zm ienności i naszkicuj w ykres fu n k c ji/:
a) f(*)= ,
.
v ,V + 4
b) / ( x ) =
c) / ( x ) = ^
d) / ( x ) =
_ 2x 2
e) / M = .
1
(* + l)
f)
/(*)= >
2 .1 0 9 . Zbadaj przebieg zm ienności i naszkicuj w ykre s fu n k c ji/:
a) / ( x ) =
b) / ( x ) =
x+ l
x V
x -2
d) / (x )= -
t ) / ( x ) —•
l- x "
2 .1 1 0 . Zbadaj przebieg zm ienności i naszkicuj w ykre s fu n k c ji/:
a) f(x )= x - 3 +
2 x-6
x +2
4 x-1 2
b) / ( x ) = x - 2 +
x -2
2 .1 1 1 . Zbadaj przebieg zm ienności i naszkicuj w ykre s fu n k c ji/:
ji
a) / (x )=
me
x -2
* - S + ( x - 5 )3
b) / ( * ) *
69
2. Analiza matematyczna
Zbadaj liczbę rozwiązań równania -=— =m w zależności od wartości
x -9
parametru m, m e R.
2 .1 1 2 .
2 .1 1 3 . Z b a d a j lic zb ę ro zw ią za ń ró w n a n ia 1 + (X2 - 3 x + 1) +
(X2 - 3 x +
1)2+ . . . = m
w za le żn o ści od w a rto ś c i p a ra m e tru m.
2x2
2 .1 1 4 . Na p o d sta w ie w y k re s u fu n k cji / ( x ) = -------- - o kreśl liczbę ro zw iązań rów -
(2 -x f
2x2
n a n i a ---------- - = m w za le żn o ści od w a rto ś c i p a ram etru m ,m e R.
(2 - M )
Z a d a n ia o p ty m a liz a c y jn e
2 .1 1 5 . Z k w a d ra to w e g o arku sza b lach y o boku długości 8 0 cm w y cię to w n arożach
c z te ry p rz y sta ją c e k w a d ra ty o boku długości x . O trzym an y pro fil o d p o w ie d n io zgię
to , s ty k a ją c e się k ra w ę d zie zlu to w a n o i w te n sposób o trzym an o p ro sto p ad ło ście n n ą s k rz y n ię (b e z g órn eg o w ie k a ). Dla ja k ie j w a rto śc i x p o je m n o ść o trzym a n e j sk rzyn i
je s t n a jw ię k s z a ? W yzn a c z tę p o je m n o ść z d o kład n o ścią do 0 ,1 litra.
2 .1 1 6 . N ale ży w y k o n a ć sk rz y n ię w k ształcie p ro sto p ad ło ścian u (bez górnego w ie
k a ), k tó re g o p o d staw a je s t k w a d ra te m . Po jem n o ść skrzyn i m a być ró w n a 32 litry.
Ja k ie w y m ia r y (w c e n ty m e tra c h ) p o w in no m ie ć to p udełko, ab y je g o p ole po
w ie rz c h n i b yło n a jm n ie js z e ?
2 .1 1 7 . Z kawałka drutu mającego długość 96 cm wykonano model prostopadło
ścianu o podstawie kwadratowej i największej objętości. Jakie są wymiary tego pro
stopadłościanu?
2 .1 1 8 . N a le ży s p o rz ą d z ić sk rz y n ię (z p o k ryw ą ) w kszta łcie p ro sto p ad ło ścian u o o b
ję to ś c i 7 2 c m 3. S to s u n e k dług ości kraw ę d zi p o d staw y teg o p ro sto p ad ło ścian u m a
b yć ró w n y 1 : 2 . J a k ie p o w in n y b yć w y m ia ry s k rzyn i, a b y na je j k o n stru k cję zu żyć ja k
n a jm n ie j m a te ria łu ?
2 .1 1 9 . S u m a d łu g o ści trz e c h k raw ę d zi p ro sto p ad ło ścian u w ych o d zą c ych z je d n e g o
w ie rz c h o łk a je s t ró w n a 5 4 cm . D ługość je d n e j z tych k raw ę d zi je s t d w a razy w ię k sza
od d ru g ie j. J a k ie s ą d ług ości k ra w ę d zi teg o p ro sto p a d ło ścia n u , k tó ry m a n a jw ię k s zą
o b ję to ś ć ?
70
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
2.120. Z kawałka kątownika mającego długość 9,6 m zrobiono szkielet akwarium
w którym stosunek długości krawędzi podstawy jest równy 2 : 3. Jakie są wymiary
tego akwarium, jeśli jego objętość jest największa?
2 . 1 2 1 . Do pewnej liczby a dodano jej kwadrat, a następnie odjęto sześcian liczby o.
Czy istnieje taka liczba o, dla której wartość otrzymanego wyrażenia jest największa,
jeśli:
a ) o € (0 , +oo)
b) o e R?
2.122.
Czy is tn ie je p rz e d s ta w ie n ie liczb y 10 w p o staci d w ó ch sk ła d n ik ó w , d la któ
rych ilo ra z su m y k w a d ra tó w tych sk ła d n ik ó w p rzez ilo czyn ty ch sk ła d n ik ó w je s t n a j
m n ie jszy , je ś li:
a ) ob a sk ła d n ik i są d o d a tn ie
b) je d e n ze s k ła d n ik ó w je s t u je m n y ?
2.123.
W yzn a c z d w ie n ie u je m n e liczb y x , y , k tó re s p e łn ia ją ró w n a n ie 2x + y = 1 , ta k
a b y s u m a ich s ze ścia n ó w X3 + y 3 b yła :
a ) n a jm n ie jsza
2.124.
b) n a jw ię k sza .
W yd a jn o ść p racy p ew n e g o ro b o tn ika zm ie n ia s ię w ciągu o śm io g o d zin n e g o
dnia p racy i po t g odzinach od je j rozpoczęcia osiąga w a rto ś ć w(t) = 5 0 + 9 t - t 2- i ^ t 3,
gdzie t e ( 0, 8) . O k tó re j g od zin ie w y d a jn o ś ć ro b o tn ika je s t n a jw ię k s z a , je ś li rozpo
czyn a on p racę o godz. 6m?
2.125.
W tró jk ą c ie p ro sto k ątn ym w y so k o ść p o p ro w a d zo n a z w ie rz c h o łk a kąta pro
steg o je s t ró w n a h. D zieli o n a p rz e c iw p ro s to k ą tn ą na o d cin k i m a ją c e d łu g o ść x oraz
y - x . W yzn acz y ja k o fu n k cję x i o b licz n a jm n ie js z ą w a rto ś ć te j fu n k c ji.
*
2.126.
Pó łp ro ste OA~> i O B -* z a w ie ra ją s ię w p ro styc h p ro sto p a d ły ch , CD 1 BD oraz
|ĆD\ = 2 i \DO\ = 3 (zo b acz ry s u n e k p o n iże j).
Oznaczmy długpść odcinka OA przez x.
a) Wyznacz długość L(x) odcinka A B jako funkcję x.
b) Dla jakiej liczby x funkcja L przyjmuje najmniejszą wartość?
71
2. Analiza matematyczna
2 .1 2 7 . W pewnej firmie koszt wytworzenia x sztuk towaru w ciągu jednego dnia
wyraża się wzorem K{x) = ( l i *3 + 675, gdzie x e (5,40). Ile sztuk tego towaru trzeba
dziennie wyprodukować, aby koszt wytworzenia jednej sztuki był najmniejszy?
2 .1 2 8 . Dzienny koszt zasadzenia x drzew w parku wyraża się K(x) = x 2 - x + 250,
gdzie x e <4,65). Ile dziennie trzeba zasadzić drzew w tym parku, aby koszt zasadze
nia jednego drzewa był najmniejszy?
Test sprawdzający do rozdziału 2.
|
.
„ x2-2 x + l . 4 .
1 . G ranica lim — r------- je st rów na:
x-n x —x
A.
+oo
B. ~<50
C. 0
D. 1.
x2-9
2. Równość lim----- - 6 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy:
x-*3 x + a
A.
_
o=3
_
B. o = - 3
V x+ 4 -2 .
C. o e f ł - { 3 }
D .o e / ? - {- 3 }.
C .- 4
0 .4 .
,
3 . G r a n ic a l i m ---------------j e s t r ó w n a :
x->0
A.
i
4
x
B. —
4
4 . Niech W (x ) = a x 3 + 2 x z - x + a , gdzie x e R.
A. Jeśli o * O, to
lim W ( x ) = lim W ( x )
X — >+00
B. Jeśli a * O, to
C. Jeśli o = 0 , to
lim W ( x ) = - lim W (x)
x-++oo
x->-oo
lim W ( x ) = lim W ( x ) = - oo
X — >+00
D. Jeśli o = 0 , to
X — >-00
X — >-00
lim W (x) = -oo
i
jf_>+<»
f2 + x
------ .
5 . F u n k c ja / ( x ) = j x - 6
(2 x - 3 ,
A.
B.
C.
D.
lim W (x) = +«>.
X+-CO
. ...
_
je śli x < 5
je ślj x ^ 5
je s t ciągła w punkcie 5
je s t lew o stro n n ie ciągła w punkcie 5
je s t praw o stro nnie ciągła w punkcie 5
nie je s t ani lew o stro nnie ciągła w punkcie 5, ani nie je st praw ostronnie ciągła
w punkcie 5.
6 . N ie ch d a n a b ęd zie fu n k cja y = W(x), gdzie W(x) je s t w ie lo m ia n e m . W iad om o, że
W (l) > O, W(2) > O, W (3 ) < O, W(4 ) > 0 . Z tego w y n ik a , że ró w n a n ie W(x) = 0:
A . n ie m a ro zw ią za ń w p rzed ziale ( 1 ,2 )
B . n ie m a ro zw ią za ń w p rzed ziale ( 2 ,4 )
C . m a ty lk o je d n o ro zw ią za n ie w zb iorze R
D. m a co n a jm n ie j d w a ro zw iązan ia w zb iorze R.
| 8 , je ś li x e C
7 . F u n k cja / ( x ) = <
je s t:
| 2 x 2, je ś li x e R - C
A . n ie cią g ła w każd ym p un kcie b ęd ącym liczbą całk o w itą
B . cią g ła w p u n k cie 4
C . cią g ła w p u n k cie -A
D. cią g ła w p u n k cie - 2 .
P f c ijjł8 . D an a je s t fu n k cja / ( x ) = j
x -1
[ 3,
je ś li
Z a te m .
* Z a te m *
je ś li x=% |
A . f u n k c ja / je s t ciągła w p un kcie 1
B.
lim / ( x ) n ie istn ie je
x—>1
C.
Iim / (x ) = l
X->1*
D.
lim f[ x ) = - 1 .
x -> r
A.
B.
C.
D.
3x 2 - 5 x + 4
, gdzie x e /? - {1} ma asymptoty obustronne:
x -l
p io n o w ą x= l i ukośnąy = -2 x + 3
pionową x = -1 i ukośną y - -2 x + 3
pionową x = 1 i ukośną y = 3x - 2
pionową x = -1 i ukośną y = 3x - 2.
9. Wykres funkcji /(x) =
10. O funkcji y = f ( x ) wiadomo, że jest funkcją wymierną, która w punkcie xmin ma
minimum lokalne, a w punkcie xmax ma maksimum lokalne. Zatem:
A- /(xmln)</(x„J
B. /(xmax) jest największą wartością funkcji/
C* / ( > W
D.
/ (* m a x )> °
jest możliwy przypadek, w którym /(xmln)> / (x max).1
11. Niech dana będzie funkcja/określona w zbiorze R.
A. Jeśli funkcja/jest ciągła i rosnąca w zbiorze R, to jest różniczkowa Ina w zbiorze R
i/'(x) > 0 dla każdej liczby x e R.
B. Jeśli fu n k cja /je st ciągła i rosnąca w zbiorze /?, to jest różniczkowalna w zbiorze R
i f'(x) > 0 dla każdej liczby x € R.
C. Jeśli fu n k c ja / je s t różniczkowalna i rosnąca w zbiorze R, to /'(x) > 0 dla każdej
liczby x e R.
D. Jeśli funkcja / jest różniczkowalna i rosnąca w zbiorze R, to /'(x) > 0 dla każdej
liczby x e R.
1 2 . Dana jest funkcja f[x) =
gdzie x e R - {-2, 2}.
x -4
A. Funkcja / nie ma ekstremów lokalnych wtedy i tylko wtedy, gdy b = 2a.
B. Jeśli o = 0 i b > 0,
C. Jeśli a = 0 i b > 0,
D. Jeśli o * 0 i b = 0,
to funkcja / matylko jedno ekstremum lokalne - maksimum.
to funkcja / m a tylko jedno ekstremum lokalne - minimum.
to funkcja / m a dwa ekstrema lokalne.
I B . Dziedziną funkcji ciąg łej/jest przedział otwarty. Zatem:
A. zbiorem wartości funkcji/m oże być przedział domknięty
B. zbiorem wartości funkcji/m oże być suma dwóch przedziałów rozłącznych
C. zbiór wartości fun kcji/jest zawsze przedziałem otwartym
D. funkcja/zaw sze przyjmuje wartość najmniejszą i największą.
1 4 . Na rysunku obok dany jest wykres pewnej funkcji kwa
dratowej/. Wśród czterech wykresów poniżej jest jeden, który
przedstawia wykres pochodnej funkcji/. Wskaż ten wykres.
74
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
15. Dziedziną funkcji ciągłej/jest zbiór R.
A. Jeśli funkcja / jest różniczkowalna i f'( x 0) = 0, to w punkcie x0 jest ekstremum
lokalne funkcji/.
B. Jeśli w punkcie x0jest ekstremum lokalne funkcji /, to/'(><<,) = 0 lub /'(x0) nie ¡ist
nieje.
C. Jeśli /'(x0) nie istnieje, to w punkcie x0funkcja /ma ekstremum lokalne.
D. Jeśli funkcja/jest różniczkowalna i rosnąca w zbiorze R, to/'(x0) > 0 dla każdej
liczby x e R.
16. Funkcja/(x) = X4- 4x3+ 5, gdzie x e R:
A. ma ekstremum lokalne w punkcie 0 :
B. jest malejąca w przedziale (-oo, 3>
C. jest malejąca w przedziale <0, +oo)
D. przyjmuje największą wartość.
x2
•■
J
...
17. Funkcja /(x)= —— , gdzie x e R - {-4,4}:
|x[-4
A. jest różniczkowalna w punkcie O
B. ma dwa maksima lokalne
C. jest malejąca w zbiorze (0,4) u (4,8)
D. jest rosnąca w przedziale f-4 ,4)..,
18. Funkcja f(x ) = |x-1| + |x+l|, gdzie x e R:
A. ma tylko jedno miejsce zerowe
B. jest malejąca w przedziale (-oo, 1)
C. nie jest różniczkowalna w punkcie O
D. w każdym punkcie przedziału <-1,1) ma minimum lokalne.
19. Dana jest funkcja f(x ) = X3 + 2x2- 3x - 4, gdzie x e R.
A. Równanie f'(x ) = 1 ma dwa rozwiązania całkowite.
B. Istnieją dwie styczne do wykresu funkcji /nachylone do osi 0 X pod kątem 45°.
C. Styczną do wykresu funkcji /w punkcie (-2, 2) opisuje równanie y = - x .
D. Styczna do wykresu funkcji /w punkcie (-2, 2) przechodzi przez punkt (1, 6).2
0
20. Dana jest funkcja /(x) = X3 + mx2 + 3x + 2, gdzie x e /?.
A. Funkcja/jest malejąca w zbiorze R wtedy i tylko wtedy, gdy m e (-oo, -3) u (3, +oo).
B. Funkcja/jest malejąca w zbiorze R wtedy i tylko wtedy, gdy m e (-oo, -3 ) u (3, +oo).
C. Funkcja/jest rosnąca w zbiorze R wtedy i tylko wtedy, gdy m e (-3,3).
D. Funkcja/jest rosnąca w zbiorze R wtedy i tylko wtedy, gdy m e <-3,3).
2. Analiza matematyczna
Zadania powtórzeniowe do rozdziału 2.
2.129.
.
Zbadaj, czy istnieje granica funkcji/w punkcie Xq, jeśli:
.
| x | 3- 5 x 2
b) /(x )J
a) /W = LJr^ 2— / x0= 0
Jeśli granica istnieje, to ją wyznacz.
2.130. Zbadaj, czy istnieją
poniższe granice. Jeśli istnieją, to je
2x2 - 6
a) lim
b)
wyznacz.
4x + 8
lim
x->3 x 3 - 4 x 2 + x
c) lim
x2 + 2x -1 5
*-» 3 2 x
e)
lim
x + 4
- 4 x - 6
x3 + 2x2+ x
x-> -l
X
f)
lim
X2 + X - 6
x^2 x 2 - 4
-1
x
+4
2.131. Wyznacz granice jednostronne:
v
3x2 - 2 x - l
a) lim —
x -> i*
c) lim
"-fr-.—r., j
b)
\ X2 - 4
x2- 3 x - 4
X2 + 4 x - 2 1
x-+3+
x
x2- 2 x - 4
lim
x->2" X 2 + 3 x —1 0
d)
- x - 6
lim
x-> -r - x 2 - 2 x - l
f)
lim
x->- 2+xr + 4 x + 4
lim
x 2-1 0 x+ 2 4
x-*4+ x 2i- 8 x + 1 6
2.132. Wyznacz granice:
a) lim f—2(1 - 2x)(x +3)(1 - 3x)l
X->+oOL
J
,
- 3 x 3+ 2x2+ x + l
c) lim ---------=--------- =—
x - > + * ( l - 2x z) ( l+ 2x 2)
,
2 .1 3 3 .
Temperaturę
T wrzenia
b)
lim
xt > - o°
d)
2x 2 + 4 x + 5
3 (1 - 2 x )(x - 1 )
4x3 - 3 x2 + 5x
lim — *rn----- r —
(4 x -l)2
wody (w °C) w zależności od wysokości h (w me
trach) nad poziomem morza (n.p.m.) opisuje w przybliżeniu funkcja
T{h) = 103,79 - 0 , 1 8 9 5 + 4 0 0 , gdzie h e <0, 2000)
Wykaż, korzystając z twierdzenia Darboux, że pomiędzy 800 m n.p.m. a 900 m
n.p.m. jest taki punkt, w którym woda wrze w temperaturze 97°C.
76
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
2 .1 3 4 . M a ły ku listy kam ień w y strze lo n o p io n o w o do góry. O d leg ło ść s(t) kam ienia
od zie m i (w m e tra ch ) po t se ku n d ach od w y strze le n ia (do u padku na zie m ię ) opisuje
fu n k cja
.
I
s (t) = 1 ,5 + 3 4 ,3 t - 4 ,9 i 2
a) Z ja k ie j w yso k o ści nad zie m ią w ystrze lo n o k am ie ń ?
b) Na ja k ie j w yso ko ści był kam ień po 3 seku n d ach od w y s trz e le n ia ?
c) Jak a była śred n ia p rędkość kam ien ia m ięd zy 2 a 3 se ku n d ą od w y s trz e le n ia ?
d) Jak a była p rędkość ch w ilo w a w 3 i w 4 seku n d zie po w y s trze le n iu k a m ie n ia ?
e) Na ja k ą m aksym alną w yso ko ść w zn ió sł się kam ie ń ?
f)
Po ilu seku n d ach od w ystrze le n ia kam ień spadł na z ie m ię ? W yn ik podaj z d o kła d
n o ścią do 0 ,0 1 sekundy.
2 .1 3 5 . Spuszczenie wody z basenu zajmuje 80 minut. Ilość wody w basenie (w li
trach) po t minutach od rozpoczęcia spuszczania wody opisuje funkcja
V(t) = 2 50 • (8 0 - t)2, gdzie t e < 0 ,80 )
a ) Ile m e tró w sześciennych w o d y m ieści się w n ap ełn ion ym b a se n ie ?
b) Ile m e tró w sześciennych w o d y pozostanie w b asen ie po 2 0 m in u tach od rozpo-
i
częcia spuszczania w o d y?
c) Ile - śred n io - litró w w o d y na m in u tę w yp łyn ie z basen u w czasie 2 0 p o czątko
w ych m in u t od rozpoczęcia spuszczania w o d y?
d) Jaka będzie prędkość w yp ływ an ia w o d y z b asenu (w litrach na m in u tę ) w 2 0 m i
nu cie od rozpoczęcia spuszczania w o d y?
2 .1 3 6 . O fun kcji c ią g łe j/ w ia d o m o , że je ś li x e ( 7 ,1 0 ) , t o / '( x ) > 0 . S tyczn a w punkcie 4 (1 0 , 8 ) należącym do w ykre su fu n kcji / m a w sp ó łczyn n ik k ie ru n k o w y rów ny
zero. Ponadto f u n k c ja / je s t m ale jąca w p rzed ziale < 1 0 ,1 5 ). Spo śró d pon iższych zdań
w yb ie rz zdania p raw d ziw e. U zasadn ij sw ó j w ybó r.
a) W p unkcie 10 fu n k c ja / m a m in im u m lo kaln e .
b) W p unkcie 1 0 f u n k c ja / m a m aksim u m lo kaln e .
c) W punkcie 10 fun kcja / n ie m a e kstrem u m lokalnego .
d) Styczn ą do w ykre su fu n kcji / w p un kcie A o p isu je ró w n a n ie y = 8 .
e) Styczną do w ykre su f u n k c ji/ w p unkcie A o p isu je ró w n a n ie y = 1 0.
f) Styczną do w ykre su f u n k c ji/ w p un kcie A o p isu je ró w n a n ie y = 1 0 x.
2 .1 3 7 . Rysu n ek obok p rzed staw ia szkic w y k re
su f u n k c j i/ ( x ) = - x 3 + 3x2 + 2 4 x - 7 2, g d z ie x e R.
P u n kty A, B, C, D należą do w yk re su fu n k cji / .
W yzn acz w sp ó łrzę d n e tych p un któw , w ie d zą c,
d od atko w o , że:
-
p u n k ty A, B należą też do osi OX
-
styczna do w yk re su fu n kcji / w p un kcie C je s t
-
styczna do w yk re su f u n k c ji/ w p un kcie D je s t
op isana ró w n an ie m y = 2 4 x - 68
rów noległa do osi OX.
I
77
2. Analiza matematyczna
2 .1 3 8 . Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykres funkcji /, której dziedziną
jest przedział (- 3 ,5 ). Wykres ten składa się z dwóch odcinków i fragmentu paraboli.
a) Podaj zbiór, w k tó rym f u n k c ja / je s t różniczkow alna.
b) O b licz: f { - 2 ), / ' ( l ) , f (3 ), / '( 4 ) .
2 .1 3 9 . W yk aż, że n a jm n ie jszy k ąt, pod ja k im może być nachylona do osi OX styczn a
do w y k re s u fu n k cji j\x) = X3 - 6 x2 + 1 3 x - 8 , gdzie x e R, je s t rów n y 4 5 °.
2 .1 4 0 . Dla ja k ich w a rto śc i p aram etru k (k e R) funkcja
[2fcx2 + 3 ,
je ś li x < l
....
.
Ita'
je s t:
a ) ciągła w zb iorze R
b) różn iczko w aln a w zb iorze /??
2 .1 4 1 . D ana je s t fun kcja / ( x ) = X3 + 4 x 2 - 3 x - 12, gdzie x
e R.
a) W yzn acz m ie jsca ze ro w e fu n k c ji/.
b) W yzn acz e kstre m a lokalne fu n k c ji/.
c) N apisz ró w n a n ie styczn e j do w ykre su funkcji / w punkcie A, w któ rym w y k re s
fu n k cji / p r z e c in a oś OY.
d) P u n k t B n ale ży do w ykre su fu n k c ji/ . Styczna do w ykre su w tym punkcie je s t rów
noległa do styczn e j w punkcie A. W yznacz w spółrzęd ne p unktu B oraz ró w n an ie
styczn e j do w y k re su f u n k c ji/ w tym punkcie.
2 .1 4 2 . M a ksym a ln y p rzed ział, w któ rym fu n k c ja / (x ) f ^
x e R, je s t m a le ją c a , to p rzed ział ( - 5 ,3 ) .
a) O blicz w sp ó łczyn n ik i a, b.
b) W yzn acz e k stre m a lokaln e fu n k c ji/.
+ ox2 + bx + 7 , gdzie
78
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
2.143.
Dana jest funkcja f[x) = ¿ X 4J - X 3,- —x2 + 9x + 1 , gdzie x e R.
4
3
2
a) Wyznacz ekstrema lokalne funkcji/.
b) Wyznacz zbiór wartości funkcji/.
10
2.144.
Dana jest funkcja/(x) = — + 3 + 2,5x, gdzie x e <-5, 0) u (0, 5). Wyznacz
x
zbiór wartości funkcji/.
2.145.
Wyznacz zbiór wartości funkcji /(x) = x 3 +
gdzie x e /?—{0}.
x
2.146.
1
4
Wyznacz asymptoty wykresu funkcji/(x) = - x - ^- + 3, gdzie
x e (-3 ,0 ) u (0, +oo).
2
x
2.147. Mały zakład może produkować dziennie x wieszaków, gdzie x e <20, 200).
Na dzienne koszty działalności zakładu składają się następujące elementy:
- 4 zł to koszt związany z wyprodukowaniem każdego wieszaka;
_
22 5gg to koszty bieżące działalności zakładu, serwis urządzeń produkcyjnych;
x
- 600 zł to wynagrodzenie pracowników.
a) Zapisz wzór funkcji y = K(x), gdzie K(x) oznacza dzienny koszt działalności zakładu
przy wyprodukowaniu x wieszaków.
b) Oblicz, ile wieszaków dziennie powinien wyprodukować ten zakład, aby jego
dzienny koszt działalności był najmniejszy.
2.148. Kierowca samochodu osobowego z silnikiem benzynowym ma do przeje
chania autostradą odcinek mający długość 490 km. Rozważa dwa warianty:
1 ) jazda z prędkością, przy której średnie spalanie jest najniższe,
2) jazda z maksymalną dopuszczalną prędkością (140 km/h).
Wiadomo, że średnie spalanie f[x) w tym samochodzie (w litrach na 100 km) w za
leżności od średniej prędkości x, opisuje funkcja
x 2 + 23450
/(*) = — ----— — 28,5 gdzie x e <5,140),
4x + 530
a cena jednego litra benzyny jest równa 5,50 zł. Oblicz:
a) ile czasu zajmie przejazd samochodu w wariacie 1 ) i w wariacie 2 )
b) o ile złotych tańszy będzie przejazd w wariancie 1 ) (uwzględniamy wyłącznie
koszt benzyny).
79
3
• Geometría analityczna
W e k to r w u k ła d z ie w sp ó łrzę d n ych .
W s p ó łr z ę d n e śr o d k a o d cin k a
3 .1 . Dane są punkty A i 8. Oblicz współrzędne i długość wektora AB. Narysuj wektor
AŚ w układzie współrzędnych.
a)
A (7 , 2 ), 6 (3 , - 1 )
b) A{ 0 , - 3 ) , 6 ( - l , 0)
c)
A ( - 4 , - 7 ) , 6 (1 , 5)
d) A (- 5, 3 ), 6 (0 , - 2 )
3 .2 . D an y je s t p u n k t A o raz w e k to r AB. O blicz w sp ó łrzę d n e punktu 6.
a ) A (0 , - 3 ) ,
a
2 = [2 , - 1 ]
T i
^ —i
c) A 7 - , - 6 , A 8 =
l 2
J
. ,3
-4 , 7 4
b) A ( - 4 ,0 ), AŚ = [3 , 5]
d) a (>¡3, 2 V 3 ), Á 3 = [
+ 3 ,1 - 2 ^ 3 ]
3 .3 . Dany jest punkt 6 oraz wektor A i . O blicz w sp ó łrzę d n e punktu A.
b) 8 (- 7 , 3 ), AB = [- 4 ,5 ]
a) 8 (3 ,2 ), A Ś = [ - 1 ,0 ]
c) 6 (0 , - 8 ) , AB = [- 3 , - 2 ]
3 .4 . S p ra w d ź, czy w e k to ry AB oraz CD są ró w n e :
a) A( 1, 2 ), 8 (3 , 6 ), C ( - l , 5 ), D ( l, 9)
c)
b) A ( t 2 , 6 ), 8 (1 , 2 ), C ( 3 ,1), 0 (0 , 5)
A[—2, - 1 ) , 6 (4 , 2 ), C(7 , - 5 ) , D ( l , - 2 ) d) A ( 3 ,8 ), 6 (- 4 , 2 ), C ( l, - 1 0 ) , D (- 6 , - 1 6 )
3 .5 . Sprawdź, czy wektory AŚ oraz CD są przeciwne:
a) A (4 , 3 ), 8 (5 , 2 ), C (2 , 2 ), 0 (1 , 3 )
b) A( 2, 5 ), 8 (8 , 7 ), C (-4 , - 7 ) , 0 ( 2 , - 5 )
c) A( 2 , - 7 ) , 8 (5 , 8 ), C ( - l l , 3 ), 0 (4 , 6)
d) A(-A, 2), 8 (3 , - 1 ) , C ( - 3 ,1), 0 (4 , - 4 )
3 .6 . W yk a ż, że je ś li n ie ze ro w e w e k to ry a = [ąv a2] oraz b = [bv b2j są ró w n o le g łe ,
to axb2 - a2b2 = 0 .
3 .7 . K o rzystając z ró w n o leg ło ści w ek to ró w , sp raw d ź, czy od cinki AB i CD są ró w n o
ległe, je ś li:
a) A (- 1 0 , - 4 ) , 6 ( - V = 2 ), t^ S , 1 ), 0 ( 1 1 ,4 )
b) A (0 , 2 ), 6 (4 , 0 ), q 0 ,4 ) , 0 (0 , 6)
c) A ( - 4 , - 1 ) , 8 (3 , 6 ), C( 1, - 3 ) , 0 (2 , - 2 )
3 .8 . Wyznacz liczbę m, dla której wektory u = [m2-1 , ~m) oraz ?= [- 1, m] są:
a) równe
b) przeciwne
c) równoległe.
3 .9 . D an e są w e k to ry :
g o ść w e k to ra :
a) u + v
3.10.
u = [2 , - 4 ] , v *
b) z —u
[ - 3 ,4 ] , z = [1 0 , - 2 ) . O blicz w sp ó łrzę d n e i dłu
c) 3v
d) ^ u - v + 2 z
W yzn acz w sp ó łrzęd n e środka odcinka AB, je ś li:
a ) 4 ( 0 , 4 ) , 8 ( - 2 , 0 ),
b) 4 ( - 3 ,1 ) , 8 ( 3 ,5 )
c)
d) 4(>/2, - 3 ) , 8 ( V 2 ,7 )
4 ( 4 , - 1 ) , 8 ( - 1 0 ,9)
3.11.
W yzn acz w spółrzęd ne punktu Ax będącego obrazem p unktu 4 w symetrii
śro d ko w e j w zględem punktu P, je ś li:
a) 4 ( - 3 , 0 ), P (- 1 ,2 )
c)
4 (0 , - 2 ) , P (- 2 , 1)
3.12.
a)
b)
c)
d)
na
na
na
na
b) 4 (6 , 2 ), P ( 3 ,0)
d) 4 ( - 3 , - 3 ) , P (4 , 5)
W yznacz w spółrzęd ne punktów podziału odcinka AB:
dw a odcinki rów n ej długości, je śli 4 ( - 3 , 4 ), 8 (2 , - 7 )
czte ry odcinki ró w n ej długości, je śli 4 ( - 5 , - 7 ), 8 ( 3 ,5 )
trzy odcinki rów n ej długości, je śli 4 (2 , - 3 ) , 8 (- 1 0 , 3)
sześć odcinków rów n ej długości, je śli 4 ( - l , 3 ), 8 (5 ,1 5 ).
3.13. Dane są dwa w ierzchołki rów noległoboku ABCD i punkt P przecięcia się prze
kątnych. Oblicz w spółrzędne pozostałych w ie rzch o łkó w rów noległo boku, je śli:
a) 4 (- 3 , 5), 8 (- 2 , - 1 ), P(3 ,1 )
b) 8 (4 , - 2 ), C(2, 7 ), P (- 1, 2 ).
N arysuj rów noległobok ABCD w układzie w spółrzęd n ych .
3.14.
Dane są trzy w ierzchołki rów noległoboku ABCD. Oblicz w sp ó łrzę d n e czwarte
go w ierzchołka oraz w spółrzędne punktu P przecięcia przekątn ych , je ś li:
a) 4 ( 4 ,1 ) , 8 (2 , 6 ), C (-8 , 3)
b) 4 ( - 5 , - 2 ) , 8 ( 3 ,1 ) , D(- 2, 5 ).
N arysuj rów noległobok 4 8 C D w układzie w spółrzęd nych.
3.15.
Oblicz w spółrzędne punktu 5 p rzecięcia środ ko w ych w tró jką c ie ABC, jeśli:
a) 4 ( 0 ,0 ) , 8 (9 ,0 ) , C(0, 6)
b) 4 ( - 4 , 0 ), 8 ( - 2, - 5 ) , C (0, 2)
c) 4 ( - 2 , 7 ), 8 (1 , 2 ), C ( 4 ,0)
d) 4 ( - 4 , - 6 ) , 8 (2 , - 1 1 ) , C (5, 5 ).
81
3. Geometria analityczna
K ą t m ię d zy niezerow ym i w ektoram i
3.16.
a
O blicz sin u s kąta
utw orzonego przez w ekto ry
u = [>/3, >/6], v = [ 2 ,0 ]
a)
c) u = [7 , - 1 ] , v = [- 2 , 2]
3.17.
a)
d) w = [1 2 ,- 5 ], v = [ 6 ,8 ]
O blicz co sin u s kąta a utworzonego przez w ekto ry u i v, je śli:
u = [2 y j2 , 1], v = [0, - 5 ]
b) u = [- V 5 , 2], tf = [>/5, 0]
c) u = [- 4 , 8 ], v = [1, 2]
3.18. W yzn acz
d) u = [V 6 ,3 > /2 ],ł/= [2 > /2 ,4 ]
m iarę kąta a utworzonego przez w ektory u i v, je śli:
a) u = [ 1 ,2 ] , v = [4, - 2 ]
c)
u i v, je śli:
b) u = [ - 3 ,4 ] , v = [0 ,5 ]
b) u = [- 3 ,3 ] , v = [2 ,0 ]
o= [-V5,l],?=[l,0]
3.19.
d)
u = [ - ^ ,- l] ,v = [ 2 V 3 ,- 2 ]
Oblicz długości boków oraz miary kątówtrójkąta ABC, jeśli:
a) A(—7 , 1), 8 (1 , - 1 ) , C ( - 2 ,4)
b) A ( - 4, —2>/3),
8(2, - i j s ) , c(-4,4Vi)
c) A(>/3, >/b ), S (3 , >/3), C (3 + > /3 ,3 -ł- %/b )
d) /\(0, 3 ), 8(3>/3, 6 ), c(-3 > /3 , 6)
3.20. Dane są wektory u i v. Wskaż pary wektorów równoległych oraz pary wekto
rów prostopadłych, jeśli:
a) u = [2, 5 ], v = [>/28, 5 - Ji ]
b) u = [2 V 3 , - 9 ], v = [9, V l2 ]
c) u = [3o, - 2 o ], v =
a
a
, a e R - { 0}
1
~ 0
d) u = 2 a, - , V= — / 5 , a e R - { 0 }
2
5_
3.21.
W ykaż, że przekątne czworokąta ABCD są prostopadłe. Następnie oblicz pole
czw o ro kąta, je ś li:
a) A(-A, 1), 6 (- 2 , 3 ), C (-4 , 5), D (-6 , 3)
b) A (- 8 ,0 ) , 8 ( - l , 1), C(4, 6), 0 (- 3 , 5)
c) >4(-8, 3 ), 8 (- 3 , 2), C ( 0 ,11), D (-9 , 8)
d) A(—7, - 7 ) , 8 (7 , - 7 ) , C(4 ,4 ) , D (-4 , 4)
3 . 2 2 . W y zn a c z w s z y s tk ie w a rto ś c i p a ra m e tru a (a e R), d la k tó ry c h w e k to r y
u = [a, —2] i v = [—4 - a, o j są ró w n o le g łe .
3 . 2 3 . W y zn a c z w s z y s tk ie w a rto ś c i p a ra m e tru o (o e R), dla k tó ry c h w e k t o r y
u = [o —2, 3 ] i v m [o - 2 , o 2 + 2 o + 4 ] są ró w n o le g łe .
3 . 2 4 . D a n e są w e k to r y u = [1 , 2], v - [3 , - 6 ] , p =
m e tru o , je ś li w ia d o m o , źe w e k t o r y
- j J . W y z n a c z w a rt o ś ć para
(o + 1 ) • u + v i p, są p ro sto p a d łe .
3 . 2 5 . D a n e s ą w e k t o r y u = [3 , - 1 ] , v = [ - 2 , 5 ] , p = [1 , - 2 J . W y k a ż , że je ś li w e k t o r y p
i~r= a • u —b • y, są p ro sto p a d łe , to 1 2 b + Sa = 0 .
R ó w n a n ie k ie r u n k o w e p r o s t e j
3 .2 6 . W y z n a c z w s p ó łc z y n n ik k ie r u n k o w y p ro s te j p rz e c h o d z ą c e j p rz e z p u n k ty 4 i B,
jeśli:
a ) >4(2, - 3 ) , ß ( 6 , 7 )
b ) 4 ( - 4 , 1 ), 8 ( 2 , 7 )
d) 4 M , 1 -
,8
3 .2 7 . Prosta / p rz e c h o d z i p rz e z p u n k t 4 , a j e j w s p ó łc z y n n ik k ie r u n k o w y je s t rów
n y m . W y z n a c z r ó w n a n ie k ie r u n k o w e p ro s t e j /, je ś li:
a) m = - 3 ,4 ( 5 , 6)
b) m = 2 , 4 ( - 1 0 ,12)
c)
d) m =
m = - , 4 ( —1 , - 9 )
3
4 (2 4 , - 3 6 )
4
3 .2 8 . Napisz r ó w n a n ie k ie r u n k o w e p r o s t e j p r z e c h o d z ą c e j p rz e z p u n k t y 4 i B, je ś li:
a)
4 ( —1 0 , 5 8 ) , 8 ( 2 , 2 2 )
c ) 4 ( —1 0 , 7 ), 8 ( 5 , - 3 )
b) 4 ( - 8 , - 9 5 ), 8 (4 , 2 5 )
d ) 4 ( - 6 , - 2 ) , 8 ( 2 4 ,4 )
3 .2 9 .
Prosta przechodzi przez punkty 4 i 8 . Podaj (z dokładnością do jednego stop
nia) miarę kąta nachylenia prostej do osi OX, jeśli;
a) 4 (-4 , 2), 8(1, 8)
b) 4(5, 6 ), 8(9, -4 )
c)
4(12, -3 ), 8 (6,15)
d) 4 (2 , -3 ), 8 ( - l , -1 9 )
83
3. Geom etria analityczna
3 .3 0 . Dane jest równanie prostej k. Podaj miarę kąta nachylenia tej prostej do osi
OX, jeśli:
a) k : y - x - l
d)
k: y = - x + 2
b) k : y = >/3x + >/2
c) f c :y = l- > / 3 x
e) k : y = - ^ - x + ~
3
2
f) k : y = - ^ ■
6
3 .3 1 . W yznacz równanie kierunkowe prostej k przechodzącej przez punkt P i na
chylonej do osi OX pod kątem a, jeśli:
a)
P ( 0 ,0), a = 135°
b) P (0,6), a = 30°
c) P (4 ,0), a = 120°
d)
P (3 ,-4 ), a = 4 5°
e) P (-2yfs, 5), a = 60°
f) P(4Ś, yjs), a = 150°
3 .3 2 . W yznacz równanie prostej / przechodzącej przez punkt A, która tworzy z osią
odciętych kąt o mierze dwa razy większej od kąta, jaki tworzy z tą osią prosta k, jeśli:
a)
fc:y = 3 x + l , 4 ( 1 6 , - l )
b)
k: y = 0,5x + 3, A(6, - 8)
3 .3 3 . Dany jest trójkąt o wierzchołkach: ¿ ( - 4 ,3 ) , 6(4, -5 ) i C(8, 1). Wyznacz:
a) długość środkowej AS
b) równanie kierunkowe prostej zawierającej środkową AS
c) współrzędne środka ciężkości trójkąta ABC.
3 .3 4 . W trójkącie
ABC dany jest
wierzchołek <4(-6, -2), środek £(0, -1 ) boku
AB
i wektor 6 C = [- 8,4 ] . Wyznacz równania kierunkowe prostych, w których zawierają
się boki trójkąta
ABC.
3 .3 5 . W trójkącie ABC punkt K(-5 ,1 ) jest środkiem boku AC, zaś punkt L- środkiem
boku
BC.
W iedząc,
żeAK=
[1, 6] oraz^L = [8, 4], wyznacz równania kięrunkowe
prostych, w których zawierają się boki trójkąta
3 .3 6 .
W trójkącie ABC dane są: A (- 3, -3 ),
ABC.
AB -
[ 7 , 0 ] oraz środek ciężkości
si 3 ^ , -1^ T. Oblicz miarę kąta rozwartego ABC tego trójkąta.
3 .3 7 .
Dwa wierzchołki trójkąta równoramiennego
ABC znajdują
się na paraboli
1
o
równaniu
y = —( x -
4)2, zaś trzecim wierzchołkiem trójkąta jest wierzchołek para4
boli. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta, jeśli wiadomo, że kąt roz
warty tego trójkąta ma miarę 120 °.
Równanie o g ó ln e prostej
3 .3 8 .
P rze d sta w ró w n a n ie prostej
Ar w postaci ogólnej:
Ł •* -= ---a j» Ar:
3
3
3 .3 9 . W yzn acz ró w n a n ie ogólne prostej k, do której należą p u n k ty A i B, je ś li:
b) A(3, - 4 ), B( 11, ~4)
a) A(0, 8), B {2 ,4)
d) A(~2, 6), B(y/2,-3y/2)
c) A (—3, 2), B(4, 9)
3 .4 0 .
W yzn acz równanie ogólne prostej k przechodzącej przez d w a p u n k ty P i
(sk o rzysta j bezpośrednio z ró w n a n ia ogólnego prostej), jeśli:
a)
P(0, -4 ), 0 (3 ,1 )
b j P (y fŚ ,- 3 ),Q {y [Ś ,B )
c)
P (2 ,2 ),Q (-1 ,0 )
d j P(3 ,1 ), Q (- l, - 7 )
3 .41. Wyznacz równanie ogólne i kierunkowe (o ile istnieje) p ro s t e j k p rostopadłej
do wektora u i przechodzącej przez p u n k t P, jeśli:
a j u = [- 1 ,2 ], P (3 ,4)
b j u = [6, - 1 ], P(2, 5)
c) u ,^ [5 ,0], P (- 7 ,8)
d j u = [0 , - 3 ] ,P ( 1 2 ,- 9 )
3.42.
Wyznacz wartość parametru p , dla której proste k, I, m przecinają s ię w jed
nym punkcie, jeśli: k : x + y + l = 0 , l : x + p = 0 , m : 3 x - y - 9 = 0.
3 .43 .
Wyznacz wartość parametru m, dla k tó re j p ro s t e : Ar - p ro s t o p a d ła d o w ekto ra
u = [2, -3 ] I przechodząca przez p u n k t P (-1, 6 ) o ra z p : x + y - 5 = 0
i n: —x + (m + 2)2y - 7 = 0 przecinają się w jednym p u n k c ie .
3 .44 .
Dla jakiej wartości parametru m p ro s te k : m x + (m + 4 )y - 5 = 0 o ra z
/: (m + l ) x - m y - 10 = 0 przecinają się na osi o d c ię t y c h ?
3 .4 5 .
Dla jakiej wartości parametru m p ro s te k : x - m y + m + 4 = 0 o r a z
1 :2 m x+ y~ m - l = 0 przecinają się na osi rzędnych?
3 .4 6 .
podaj miarę kąta, jaki tw orzy z osią O X p ro s t a d a n a r ó w n a n ie m o g ó ln y m :
a)
x+ y-7 =0
d)
V 3 x -3 y+ 1 5 = 0
b) y / 3 x - y + 90 = 0
e) x - V 3 = 0
c) > /3 x + y + l = 0
f) y - y
= o
3 . 4 7 . O b licz p o le tró jk ą ta ograniczonego osiam i układu w spółrzędnych oraz p rostą
k p ro sto p ad łą do w e k to ra u = [3 , - 1 ] i p rzechodzącą przez punkt P(4 ,2 ) .
3 . 4 8 . W p ro sto k ącie ABCD d ane są : w ierzch o łek C(2, 4) i w e k to r AŚ = [4, 4 ]. W y
znacz ró w n a n ie ogólne p ro stej zaw ie rające j p rzekątną AC tego p rostokąta, je śli w ia
d om o, że w ie rz ch o łe k A n ależy do prostej k : x - y - 4 = 0.
3 . 4 9 . W tró jk ą c ie ró w n o ram ie n n ym ABC (pAC| = 18C|) dane są: w ierzch ołek C(—6, 2)
oraz w e k to ry CD = [ - 6 ,4 ] i AB - [- 4 , —6 ], gdzie CD je st w ysokością tró jkąta popro
w ad zo n ą z w ie rzch o łk a C. W yznacz rów nania ogólne prostych, w których zaw ierają
się boki tego tró jk ą ta .
K ą t m ięd zy prostym i
3 .5 0 .
Dane są rów n an ia ogólne prostych k i /. Czy proste k i / są rów noległe? Odpo
w ie d ź u zasad nij.
a) /c: 2 x - 3 y + 6 = 0
/ :- x + l - y - 2 = 0
b) k: 3 x —4 = 0
c) k: 7x + 21y - 3 = 0
/ :2 y + 5 = 0
/ :x - 3 y - l = 0
d) k :2 x + 7 = 0
1:3 x - 5 = 0
3 .5 1 .
N apisz rów n an ie ogólne prostej / równoległej do prostej:
a) X: 3 x - 2 y + V 3 = 0 i przechodzącej przez punkt P(- 1 ,1 )
b) k: 4 x + 9 y = 0 i p rzecinającej oś OK w punkcie P ( 0 ,5)
c) k: 2 x - 1 1 = 0 i p rzecinającej oś OX w punkcie P ( - 4 ,0)
d) k: y - 5 = 0 i przechodzącej przez punkt P(7, >/2)
3 .5 2 .
Dane są rów nania ogólne prostych k i /. Czy proste k i / są do siebie prosto
p adłe? O d p ow iedź uzasadnij.
a) X: 5 x + 3 y - 2 = 0
/ :- 1 5 x + 25y + 1 0 = 0
b) X: 5 x + 7 = 0
c) X : 4 x - 2 0 y + 30 = 0
d) k:
3 .5 3 .
2
3
„
- x -----y + 1 = 0
3
4
/ :3 y - 2 = 0
¿15 x-3 y-2 = 0
/: l , 5 x - l —y + 2 —
3
5
Napisz rów n an ie ogólne prostej / prostopadłej do prostej:
a) k: 5 x - y + 3 = 0 i przechodzącej przez punkt P ( - l , 2)
86
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
b) k: y + 4 = O i przechod zącej przez p unkt P(—J 7 , y fl)
c) k\ 1 0 x - 7 = 01 przechodzącej przez p unkt P(3 ,8 )
d) k: - 3 x + 2 y = 0 i p rzecin ającej oś OY w punkcie P(0 , - 2 )
3 .5 4 .
O blicz b raku jące w spółczynniki w rów naniu ogólnym pro stej /, w ie d zą c, że:
a ) pro sta l:A x - 2 y + C = 0 je st rów noległa do prostej k: 5 x + 1 4y - i = 0 i przechodzi
p rzez p un kt P( 1 , 0)
b) p rosta /: x + By + C = 0 je st równoległa do prostej k: - 3 x + 4 y - 5 = 0 1 przechodzi
przez punkt P( 1, - 3 )
c) pro sta /: 3 x + By + C = 0 je st prostopadła do prostej k: - 2 0 x + 1 5 y - 7 = 0 hprzechodzi przez początek układu współrzędnych
d) prosta l:A x+ y + C = 0 je st prostopadła do prostej k: 2 x + 4 y - 1 3 = 0 i przechodzi
3 . 5 5 . W yznacz liczbę m, dla której proste k oraz / są rów noległe, je ś li:
k :((m
m -- l)
+ (m
{m + l)y
m =
=0
a) k:
l)x +
l ) y -- 55m
b) k: 3 m x + 4 y - 8 = 0
1:3 x - 2 y + 4 = 0
/: (m + 3 )x + 2 y - 9 = 0
3.56. W yznacz liczbę a, dla której proste Ar i / są prostopadłe, je ś li:
a) k : - x + ( 2 o - l ) y - 1 0 = 0
7: (o + 7 )x + 2 y + 8 = 0
b) k: -ax + (3 - a)y + 6 = 0
/: (a + l ) x + y + 2 = 0
3 .5 7 . Na podstaw ie danych z rysunku poniżej w yznacz w spółczynniki A, B w rów
naniu ogólnym prostej I:
87
3. Geometría analityczna
3 .5 8 . W y z n a c z ró w n a n ie o g ó ln e s y m e tra ln e j o d cin ka 4 8 , je ś li:
a ) 4 ( - 4 , 5 ), 6 ( 6 ,1 )
b) >4(0,7), 6 (0 , - 3 )
c) 4 ( - l , - 2 ) , 6 (3 , 2)
d) 4 ( - l , 8 ), 6 (- 5 , 8)
3 .5 9 . D a n e są p u n k ty 4 ( 1 , 0 ) o raz 6 (5 , 2 ). Na p ro stej k ró w n o le g łe j do p ro ste j AB
i p rz e c h o d zą ce j p rzez p u n k t P(4 ,4 ) w yzn acz w sp ó łrzę d n e p unktu C, k tó ry je s t ró w n o
o d le g ły od p u n k tó w A i 6 . W y k a ż, że tró jk ą t >46Cjest pro stokątny.
3 .6 0 . P u n k ty >4(1, - 1 ) , 6 ( 3 ,5 ) i C (- 7 ,1 1 ) są w ie rzch o łk am i tró jk ą ta . W yzn acz w s p ó ł
rzę d n e śro d ka o k ręg u o p isan e g o na tym tró jk ą c ie .
3 .6 1 . O b licz o d le g ło ść śro d ka okręg u op isanego na tró jką c ie o w ie rz ch o łk a ch :
> 4(1,7), 8 ( - 5 , 1 ), C (7 , - 5 ) , od środ ka ciężkości tego tró jk ą ta .
3 .6 2 . W yzn a c z w s p ó łrzę d n e p un ktu Q sym etryczn eg o do punktu P (- 1, - 4 ) w zg lę
d e m p ro ste j k: 5 x + 4 y - 2 0 = 0 .
3 .6 3 . D w a boki ró w n o le g ło b o k u z a w ie ra ją się w prostych k: 5 x - 2 y - 11 = 0
je s t śro d kiem sym e trii tego ró w n o leg ło b o ku .
W yzn a c z ró w n a n ia og óln e p ro stych , w których zaw ie ra ją się d w a pozostałe boki
teg o cz w o ro k ą ta .
3 .6 4 . P u n k ty >4(—2 , - 1 ) oraz D ( 2 ,2 ) są w ie rzch o łkam i rom b u , którego p rzekątn a AC
je s t za w a rta w p ro ste j o ró w n an iu x - 3 y - 1 = 0 . W yzn acz w sp ó łrzę d n e p ozostałych
w ie rz c h o łk ó w teg o ro m b u .
3 .6 5 . Je d n a z p rzek ątn ych kw ad ratu ABCD zaw ie ra się w p rostej k :2 x - y = 0. W ie
d ząc, że 4 ( 1 , - 3 ) , w y zn a cz w sp ó łrzę d n e w ie rzch o łka C i oblicz pole tego k w a d ra tu .
3 .6 6 . W tró jk ą c ie ABC d an e są: 4 (2 , 1), 4 6 = [7 , 3] oraz
= [- 6 , 1 ]. W yzn acz
ró w n a n ie p ro ste j, w któ re j zaw ie ra się w yso ko ść tró jkąta poprow ad zona z w ie rz
ch o łka C.
3 .6 7 . D w ie w yso k o ści tró jk ą ta ABC zaw ie ra ją się w prostych /r: 5 x - 3 y + 5 = 0 o raz
I: x + y - 1 = 0 . W ie d zą c p on adto, że 4 ( - 2 , 1 ), w yzn acz ró w n an ia ogólne p ro stych ,
w k tó rych za w ie ra ją się boki tego tró jk ą ta .
3 .6 8 . P u n k ty 4 ( - 4 , 4 ), 6 (4 , 0 ) są w ie rzch o łk am i tró jką ta ABC, a p un kt M ( 3 , 4 ) je s t
p u n k te m p rze cię cia w yso k o ści tego tró jk ą ta (o rto c e n tru m ). W yzn acz w sp ó łrzę d n e
w ie rz ch o łk a C.
88
Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3.
3 .6 9 . Punkty A(2, -3 ) i 8 (5 ,1 ) są wierzchołkami trójkąta ABC. Bok BC zawiera się
w prostej k: x + 2 y - 7 = 0, zaś środkowa AM zawiera się w prostej m: 5 x - y - 13 = 0.
Wyznacz równanie ogólne prostej, w której zawiera się wysokość trójkąta poprowa
dzona z wierzchołka C.
3 .7 0 . Punkty A(0, -5 ) oraz D(-3, -1) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równo
ramiennego ABCD, którego osią symetrii jest prosta o równaniu x + 2y = 0. Oblicz
współrzędne pozostałych wierzchołków oraz długość odcinka łączącego środki ra
mion tego trapezu.
3 .7 1 . Wyznacz miarę kąta ostrego, jaki tworzą dwie proste k i l o równaniach:
a) fr:x - 8 = 0 o r a z / :x - y -2 0 0 = 0
b) k: y = x - 1 0 oraz /: y = (2 - > /!)*+ 15
3 .7 2 . Wyznacz miarę kąta rozwartego, jaki tworzą dwie proste ki l o równaniach:
a) k :y = 3x + 5 o ra z / :y = -2 x + 4
b) k: > / 3 x - 3 y - 3 = 0oraz/:>/3x + 3 y - 6 = 0
3 .7 3 . Wyznacz równania prostych przechodzących przez początek układu współ
rzędnych, które tworzą z prostą k: 2x - y + 5 = 0 kąt o mierze 45°.
3 .7 4 . Wyznacz równania prostych przechodzących przez punkt A (-2 , 4), które two
rzą z prostą k: -3 x + 2y + 1 = 0 kąt o mierze 45°.
3 .7 5 . Wyznacz równania prostych przechodzących przez początek układu współ
rzędnych, które tworzą z prostą k: y/3x - y + 2 = 0 kąt o mierze 60°.
3 .7 6 . Wyznacz równania prostych przechodzących przez punkt >4(1, h 1), które two
rzą z prostą k : x - y + 1 = 0 kąt o mierze 30°.
* 3 .7 7 . Trójkąt ABC jest równoramienny, w którym \AC\ = |BC|. Podstawa AB zawiera
się w prostej k: 3x - 7 y +35 = 0, zaś ramię BC zawiera się w prostej 1:5x - 2y - 1 9 = 0.
Wyznacz równanie prostej, w której zawiera się bok AC tego trójkąta, jeśli wiadomo,
że punkt P(-2 , 0) należy do boku AC.
89
3. Geometria analityczna
Odległość punktu od prostej. Odległość między
dwiema prostymi równoległymi
3 .7 8 .
O b lic z o d le g ło ść p u n k tu P ( - 2 , 3) od p ro stej k, je ś li:
a)
k :x - 7 = 0
b) k : y + 1 = 0
c)
fc: 7 x - y + 1 7 = 0
d) f r :3 x + 4 y + 5 = 0
3 .7 9 .
O b licz o d le g ło ść m ię d zy p ro stym i rów n oległym i k i /, je ś li:
a ) k :x + y + 2 = 0
l:x + y - 4 = 0
b) k :x + 6 = 0
/: 5 x - 1 0 = 0
c) k : 2 x - y + 3 = 0
/ :- 3 x + l , 5 y - 2 = 0
d ) fc: 5 y + 7 = 0
/ :3 y - 2 0 = 0
3 . 8 0 . W y k a ż, że p ro sta k : 2 x - y - l - 0 je s t ró w n o oddalona od prostych
n r. 2 x - y + 9 = 0 o ra z n : 2 x - y - 1 1 = 0 .
3 . 8 1 . F ig u ra F je s t s u m ą d w ó ch p ro stych o ró w n an iach : 3 x - 4 y + 1 4 = 0 oraz
3 x - 4 y - 2 = 0 . S p ra w d ź , czy p od ana prosta je s t osią sym etrii tej figury, je śli:
a) f c : 3 x - 4 y + 6 = 0
b) m :4 x + 3 y + 5 = 0
c) n :3 x - 4 y + 14 = 0
d) p :2 x + y - l = 0
3 . 8 2 . D an a je s t p ro sta k: 4 x - 3 y + C = 0 oraz punkt P ( - l , 1). W yznacz liczbę C, dla
k tó re j o d le g ło ść p u n k tu P od p ro stej k je s t rów n a:
a) 1
b) 15
c) 0
d) yfl
3 . 8 3 . D an a je s t p ro sta k: 8 x - 1 5y +. 7 = 0 . W yznacz liczbę o, dla której odległość
p u n k tu P (a , 3 ) od p ro ste j k je s t ró w n a:
a) 2
b) 0
c) 13
d) 10
3 . 8 4 . D an a je s t p ro sta k: -2 x + y+ 3 = 0 . W yznacz liczbę o, dla której punkt P leży
w o d le g ło ści 2y/5 od p ro ste j k, je ś li:
a) P ( l , o )
b) P (3 o , 4 )
c) P(o, 2o)
d) P(o + 2 , o - l )
3 . 8 5 . D an y je s t tró jk ą t ABC, gdzie A (- 2, 3), 0 ( - 2 ,2), C(2 ,0 ) . W yznacz:
a ) ró w n a n ia o g ó ln e p ro stych zaw ierających boki tego tró jkąta
b) d ług ości w yso k o ści teg o tró jkąta.
3 . 8 6 . D an y je s t tra p e z ABCD, gdzie A( 3 , - 2 ) , 0 (3 , 3 ), C(0 ,4 ) , D (- 1 5 ,4).
a) K tó re boki tra p e zu są ró w n o le g łe ? O dpow iedź uzasadnij,
b) O b licz d ług o ść w yso k o ści tego trap ezu .
90
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
3.87.
N a o si OX w y z n a c z p u n k t P, k tó ry je s t ró w n o o d le g ły od p ro sty c h
/ r : x - y + 3 = 0 o r a z m : 7x + y - i * s 0 .
3.88.
N a o si OY w y z n a c z p u n k t P, k tó ry je s t ró w n o o d le g ły od p ro sty c h
k : 2 x + y - 1 = 0 o ra z m: l l x - 2 y + l = 0 .
3.89.
W y z n a c z ró w n a n ie p ro ste j, d o k tó re j n a le ż y p u n k t P[ 1, - 1 ) i t a k ie j, że o d le
g ło ś ć p u n k tu Q (8 , - 2 ) od te j p ro ste j w y n o s i 5.
3.90.
W y z n a c z r ó w n a n ie p ro ste j, do k tó re j n a le ży p u n k t P (- 6 ,1 5 ) i t a k ie j, że o d le
g ło ś ć p u n k tu Q (4 , - 5 ) od t e j p ro ste j w y n o s i 1 0 .
3.91.
W y z n a c z ró w n a n ia p ro sty c h , w k tó ryc h z a w ie ra ją s ię d w u s ie c z n e k ą tó w , pod
ja k im i p rz e c in a ją s ię p ro ste k: 4 x + 2 y + 1 = 0 i m : l l x - 2 y + 7 = 0 .
3.92.
W y zn a c z ró w n a n ie p ro ste j, z a w ie ra ją c e j d w u s ie c z n ą te g o k ą ta , u tw o rzo n e g o
p rz e z p ro ste k : x + 3 y - l = 0 o raz m: 6 x - 2 y + l j j g 0 , d o o b sza ru k tó re g o n a le ż y p unkt
P( 3 , 1 ) .
Pole trójkąta. Pole wielokąta
3.93.
O b licz p o le tró jk ą ta o w ie rz c h o łk a c h A [ 1 ,1 ) , 5 ( 3 ,5 ) , C ( - l , 3 ).
3.94.
B o ki tró jk ą ta z a w ie ra ją s ię w p ro sty c h o ró w n a n ia c h :
3 x - y - 9 = 0 ,2 x + y - l = 0 , x + y - 3 = 0 . O b lic z p o le te g o tró jk ą t a .
3.95. W
ró w n o le g ło b o k u ABCD d a n e są w ie rz c h o łk i: A (2 , 4 ), 5 ( 6 ,3 ) , C (4 , - 1 ) , O blicz:
a ) p o le teg o ró w n o le g ło b o k u
b ) w s p ó łrzę d n e w ie rz c h o łk a D
c) m ia rę kąta a u tw o rz o n e g o p rzez w e k t o r y A K i A l , g d z ie K — ś r o d e k b o ku BC,
L - ś ro d e k boku CD.
3.96.
P ro sta k : 3 x - y - 3 = 0 p rz e c in a p a ra b o lę o r ó w n a n iu y = - x 2 - 2 x + 3 w punk
ta c h A i 5 .
a ) O b licz w s p ó łrzę d n e p u n k tó w A i 5 .
b ) O b licz p o le tró jk ą ta ABW, g dzie W je s t w ie rz c h o łk ie m p a ra b o li.
c ) O b lic z o d le g ło ść p u n k tu W od p ro ste j k.
91
3. Geometria analityczna
3 . 9 7 . N a p ła s z c z y ź n ie d a n e są p u n k ty : 4 ( 1 ,2 ) , 0 ( 5 ,4 ) , C (3 ,6 ) , 0 ( 0 ,8 ) . Przez p un kt D
p o p ro w a d z o n o p ro stą k p ro sto p a d łą do p ro stej 4 8 . W yzn acz na p ro stej k taki
p u n k t E, a b y p o la t r ó jk ą t ó w ABC i ABE b yły ró w n e .
3 .9 8 . P u n k ty 4 ( 6 , 2 ) i C ( - 4 , - 4 ) są w ie rz ch o łk a m i tró jką ta ró w n o ram ie n n eg o ABC,
w k tó ry m |4C | = |8 C |. W y s o k o ś ć p o p ro w ad zo n a z w ie rzch o łk a C z a w ie ra się w p ro stej
k : x - y = 0. O b lic z :
w s p ó łrz ę d n e w ie rz c h o łk a B
a)
b) pole tró jką ta ABC.
3 .9 9 . Na o si OY w y z n a c z ta k i p u n k t C, ab y pole tró jkąta ABC, gdzie 4 ( - 2 , - 4 ) ,
0 (8 , - 1 ) , b yło ró w n e 3 2 .
3 .1 0 0 . Na o si OX w y z n a c z ta k i p u n k t 8 , ab y p ole tró jką ta ABC, gdzie 4 (2 , - 3 ) , C ( 6 ,3 ),
b yło ró w n e 1 2 .
3 .1 0 1 . N a p ro ste j k o ró w n a n iu x - 3 y - 3 = 0 w yzn acz punkt B t a k , ab y pole tró jkąta
ABC, g dzie 4 ( - 4 , 1 ), C (4 , 8 ) b yło ró w n e 3 5 .
3 .1 0 2 . W ro m b ie ABCD, któ re g o pole je s t ró w n e 10, d an e są przeciw leg łe w ie rz
ch o łk i 4 ( 1 , 1 ) i C (3 , 5 ). W y zn a c z w sp ó łrzę d n e pozostałych w ie rzch o łkó w rom b u.
3 .1 0 3 . W t ró jk ą c ie p ro sto k ą tn ym ABC (|< 4 8 C | = 9 0 °) dw a w ie rzch o łki m ają w sp ó ł
rzę d n e 4 ( 4 , - 5 ) i C ( - 8 , 5 ). W yzn a c z w sp ó łrzę d n e w ierzch ołka 8 , w ie d zą c, że pole
tró jk ą ta 4 B C je s t ró w n e 6 1 .
Równanie okręgu. Nierówność opisująca koło
3 . 1 0 4 . N ap isz p o sta ć k an o n iczn ą ró w n an ia okręgu o środku S (xs, ys) i pro m ien iu r,
je ś li:
a)
S ( 0 , 0 ), r = 4
b) S ( 0 , 4 ) , r - V 2
c)
S ( - l,0 ) ,r = l
d) S ( - l , 2 ), r =
e)
S (4 , - 3 ) , r =
i
f)
S (-> /2 ,
n/3
-V I), r = 8
3 . 1 0 5 . P o n iższe ró w n a n ia o p isu ją okrąg o środku w p unkcie S(xs, y5) i pro m ieniu
r (r > 0 ). Po d aj w s p ó łrzę d n e śro d ka okręgu i jego p ro m ień , je ś li:
a) x 2 + y2 = l
b) ( x —l ) 2 + y2 = 2 ,2 5
c)
d) ( - x - 3 ) 2*f ( ~ l~ y ) 2 = 81
(1 + x ) 2 + (2 - y )2 = 25
3 .1 0 6 .
W y z n a c z w s p ó łrz ę d n e śro d ka i p ro m ie ń o k ręg u o p is a n e g o ró w n a n ie m :
a) x 2 + y2- 2 x - 4 y - 4 = 0
b) x 2 + y 2 + 1 0 x + 2 4 = 0
c)
d) x 2 + y 2 + 4 x + 8 y + 16 = 0
e)
x 2 + y 2 + 6 x + 10y + 33 = 0
x 2 + y2- x - 0 ,5 y -
59
=
0
f)
x 2+ y2- 2 > / 3 y - 6 = 0
16
3 .1 0 7 .
Dane jest równanie okręgu w postaci zredukowanej: x2+ y2+ a x + b y + c = 0
( a
gdzie a2 + b2 > 4c. Wykaż, że środek tego okręgu ma współrzędne 51 —
b)
r jl,
:2 ^ 2
a długość promienia tego okręgu można obliczyć ze wzoru: r2 = — + ----- c.
4
3 .1 0 8 .
4
K o rzy sta ją c z w ła s n o ś c i o m ó w io n e j w zad an iu 3 .1 0 7 ., w y z n a c z w sp ó łrzę d n e
ś ro d k a i d łu g o ść p ro m ie n ia o k rę g u :
a) x 2 + y2- 8 x + 7 = 0
b) x 2 + y 2 - 2 > / 2 y - 6 = 0
c)
d ) x 2 + y 2 - 3 x + y - 1 ,5 = 0
x 2 + y2 + x - - y - — = 0
3 .1 0 9 . S p ra w d ź , k tó re z p o n iższych ró w n a ń o p isu ją o krąg .
a)
x 2+ y2- 2 x - 6 y + 9 = 0
c) x 2 + y 2 - 6 x + 2 y + 1 0 = 0
b) x 2 + y 2 + 4 y - 5 = 0
d) x 2 + y 2 + 1 0 x + 2 y + 25 = 0
3 .1 1 0. U d o w o d n ij, że r ó w n a n ie x2 + y2- a x + 2 b y - 0 ,7 5 a2 + 2ab = 0 o p is u je okrąg
dla d o w o ln ych różnych liczb rze czy w isty ch a i b. Po d aj w s p ó łrz ę d n e śro d ka i długość
p ro m ie n ia o kręg u .
3 .1 1 1.
N apisz ró w n a n ie o kręg u p rzech o d zące g o p rzez p u n k t A, o śro d ku w punk
cie S , je ś li:
a ) A( 3 ,4 ) , S ( 0 ,0 )
b) A( 4 , 2 ), S ( 2 , 1)
c) 4 ( 3 ,1 0 ) , S(—3, 2)
d) 4 ( 4 , 7 ), S ( - 2 , 1)
3 .1 1 2 . N apisz ró w n a n ie okręg u p rzech o d zące g o p rzez p u n k ty 4 , B, C, je ś li:
a)
4 ( —1 ,0 ) , 8 ( 7 ,0 ) , C ( 0 ,1)
b) 4 ( 1 , 3 ), 8 ( 5 ,1 ) , C (4 ,4 )
c)
4 ( 1 , 5 ), 8 (8 , - 2 ) , C(9 ,1 )
d) 4 ( - 1 4 , - 1 ) , 8 ( 3 ,1 6 ) , C ( l l , 4 )
3 .1 1 3 . N apisz ró w n an ie okręg u p rzech o d zące g o p rzez p u n k ty 4 i 8 , któ re g o środek
zn a jd u je się na p ro stej k, je ś li:
a)
k :y = - 2 x - 2 ; 4 ( 5 ,1 0 ) , 8 ( 3 ,1 2 )
b) k: y = i x - l i ; 4 ( 6 , 4 ), 8 ( - l , 3)
c)
k :y = 2x + 4 ; 4 ( 3 ,0 ) , 8 ( 4 ,1 )
d ) k :y = x - 5 ; 4 ( 7 ,4 ) , 8 ( - 5 , ^ 12)
93
3. Geometria analityczna
3 .1 1 4 . D a n y je s t o k rą g o : x 2 + y2 - 4 x + 6 y - 3 = 0 . W yznacz ró w n an ie okręgu o1
b ę d ą c e g o o b ra z e m o k ręg u o w s y m e trii śro d ko w e j w zg lęd em p un ktu :
a) 0 ( 0 ,0 )
b) 4 ( - 4 ,6 )
c) fl(5 ,1 )
d) C ( 3 ,- 2 )
3 .1 1 5 . D a n y je s t o k rą g o : (x - 3 )2 + (y + 1 )2 = 7 . W yznacz ró w n an ie okręgu o1 będą
ceg o o b ra z e m o k rę g u o w s y m e trii o sio w e j w zg lęd em prostej k, je ś li:
a) k :x - 4 = 0
b ) k :y + 2 = 0
c) k :y = x - 2
d) fr:2 x + y - l = 0
3 .1 1 6 . N a p isz ró w n a n ie okręg u sym e tryczn e g o do okręgu o :x 2+ y 2+ 6 x - 2 y - 1 5 = 0
w zg lę d e m p ro ste j k: x - 3 y - 4 = 0 , a n astęp n ie oblicz pole tró jkąta, którego w ie rz
ch o łk a m i s ą ś ro d k i ty c h o k rę g ó w i p o czątek układu w spółrzędnych.
3 .1 1 7 . N ap isz ró w n a n ie og óln e w sp ó ln e j osi sym e trii okręgów
o 1: x 2 + y2 - 2 x + 4 y + l = 0 o raz o 2: x 2 + y2 + 2 x - 4 y - 4 = 0.
3 .1 1 8 . D an y je s t o k rąg o : X2 + y 2 - 2 x - 8 = 0 . W yznacz rów n an ie okręgu o2 będące
go o b ra ze m o k ręg u o w p rzesu n ię ciu rów noległym o w ek to r u, je śli:
a) u = [ - 3 ,0 ]
b) u = [0 , 2]
c) u = [ l , - 3 ]
d) i = [ - 4 ,j 5 ]
3 .1 1 9 . D an e je s t p rze k szta łce n ie P płaszczyzny określone w zorem :
P ((x , y)) = ("“Xfl y + 1 )/ gdzie x , y e R.
a) W y k a ż , że p rz e k szta łce n ie P je s t izo m etrią.
b) W y zn a c z ró w n a n ie ob razu okręgu o: x2 + y 2 - 2y - 4 = 0 w tym przekształceniu.
c) W y zn a c z ró w n a n ia osi sym e trii figury, która je st sum ą okręgu o i jego obrazu
w p rz e k szta łce n iu P.
3 .1 2 0 . P rze k szta łc e n ie P o kreślo n e je s t w zorem P ((x, y)) = [y + 2, - x + 1), gdzie
x ,y e f i.
a ) W y k a ż , że p rze k ształce n ie P je s t izo m etrią.
b) W y zn a c z ró w n a n ie ob razu okręgu o: x 2 + y 2 - 4 x + 6y + 12 = 0 w przekształce
niu P .
c) O b licz p o le tró jk ą ta , którego w ierzch ołkam i są: środek S danego okręgu, środek
5' - o b razu o kręg u w p rzekształceniu P oraz punkt 4 ( 2 ,0 ) .
3 .1 2 1 . N ap isz ró w n a n ie okręgu o2 o prom ieniu r = 4 , w spółśrodkow ego z okręgiem
ox: x2 + y 2 + 2 x - 6 y + 9 = 0 . Oblicz pole P pierścienia kołowego ograniczonego okrę
gam i
i o 2.
3 .1 2 2 . P ro sta k : x - y + 1 = 0 przecina parabolę o rów naniu y = - x 2 + 2x + 3 w punk
ta ch A i B . N apisz ró w n a n ie okręgu o prom ieniu r = >/5, którego cięciw ą je st odci
n e k AB.
3 .1 2 3 .
Podaj nierówność opisującą koło o środku S(x5t y5) i promieniu r (r > 0 ), jeśl
b) s(-4, V 2 ), r = i
a) S ( l ,- 3 ) , r = >/2
c) 5(2, - 5 ),r = 6
3 .1 2 4 . W p ro s to k ą tn y m u k ła d zie w s p ó łrzę d n y ch z ilu s tru j z b ió r p u n k tó w , których
w s p ó łr z ę d n e s p e łn ia ją p o d a n e n ie ró w n o ś c i:
b)
( x - l ) 2 + y2^ l
d)
X2 + y 2 + 4 x + 2 y - 1 1 ^ 0
4
c) x2 + (y + 3)2<4
3 .1 2 5 . W prostokątnym układzie współrzędnych zilustruj zbiory:
A = { ( x ,y ) :x e R a y e R a x 2 + y 2 + 4 x - 2 y - 4 = 0 }
B = { ( x , y ) : x e R a y e R a x 2 + y 2 - 4 x + 4 y - 8 = 0 },
a n a s tę p n ie w y z n a c z z b io ry : A u B, A - B , B - A , A r \ B .
3 .1 2 6 . W p ro sto k ą tn ym u k ła d zie w s p ó łrzę d n y ch z ilu s tru j z b io ry :
A = { ( x ,y ) :x e R a y e R a x 2 + y 2 + 6 x - 8 y + 2 1 ^ 0 }
B = { ( x ,y ) :x e R a y e R a x 2 + y z + 2 x + 2 y - 1 4 < 0 } /
a n a s tę p n ie w y z n a c z z b io ry : A u B , A - B , B - A , A n B .
I
3 .1 2 7 . D la ja k ic h w a rto ś c i p a ra m e tru m {m e R) p ro ste k: 2 x - 5 y - m — 6 = 0 1
ip :x + y - m
+3 =0
5 ( 2 ,1 ) i p ro m ie n iu
p rz e c in a ją się w p u n k c ie , k tó ry n a le ż y d o o k ręg u o środku
I
VŚ?
I
3 .1 2 8 . D la ja k ic h w a rto ś c i p a ra m e tru m [m e R) p ro ste k : x + y - m - 1 = 0
\ p :2 x + y - 2 m = 0 p rz e c in a ją s ię w p u n k c ie , k tó ry n a le ż y d o koła o śro d ku 5(0,1) I
i p ro m ie n iu r = V l 0 ?
Wzajemne położenie prostej i okręgu. Styczna
do okręgu
3 .1 2 9.
a)
O k re śl w z a je m n e p o ło że n ie p ro ste j / i o k rę g u o , je ś li:
o : ( x - l ) 2 + (y + 4 )2 = 16
4
b) o : (x + 5 )2 + y 2 = 1
c) o : x 2 + y 2 - 8 x + lO y + 3 3 = 0
d) o : x 2 +
y2+ 8 x -
2 y + 13 = 0
/ :y = l
/: y = x - 5
/ :y = x
95
3. G eom etria analitjKzna
3 .1 3 0 .
W y z n a c z w s p ó łrz ę d n e p u n k tó w w s p ó ln y c h (o ile is tn ie ją ) p ro ste j / i o k rę g u o.
a) o :x 2 + y 2 = 9
l:y = - x - 1
b) o :x 2 + y 2 = 41
/: x - y = 1
c) o :x 2 + y2 + 6 x + 2 y = 0
/ :x + y = - 8
d ) o : x 2 + y 2 + 8 x + 4 y + 1 9 = 0,
/: - x + y + 2 = 0
2
3 .1 3 1 . P ro s ta o r ó w n a n iu x - 2 y + 2 = 0 p rz e c in a o k rąg o :
X2 + y 2 - 6 x - 1 6 = 0
w p u n k ta c h 4 i 8 .
a ) W y z n a c z r ó w n a n ie o g ó ln e s y m e tra ln e j m c ię c iw y 4 8 .
b) W y z n a c z w s p ó łr z ę d n e ta k ie g o p u n k tu M e m, d la któ re g o tró jk ą t A B M je s t p ro
s to k ą tn y .
3 .1 3 2 . D a n y je s t o k rą g o : x 2 + y 2 - 8 x - 2 y - 8 = 0 . W y zn a c z ró w n a n ie o g ó ln e p ro
s te j k, k tó ra je s t s ty c z n a d o te g o o k ręg u w p u n k cie :
a) 4 ( 9 ,1 )
b ) 8 (4 , - 4 )
c ) C (0 , 4 )
d ) D (7 , 5 )
3 .1 3 3 . N ap isz ró w n a n ie k ie ru n k o w e styczn ych do d an eg o o kręg u o i ró w n o le g ły c h
d o p ro ste j k, je ś li:
a) o : ( x - 2 ) 2 + ( y - l ) 2 = 4
k :y = 2x
b ) o : ( x + 3 )2 + ( y —5 )2 = 1 6
k :y = x
c) o : x 2 + y 2 - 2 x - 1 5 = 0
k :y - -3x
d) o :x 2 + y 2 - 8 x - 6 y + 16 = 0
k :y = - x
3 .1 3 4 . Napisz równania kierunkowe stycznych do danego okręgu o i prostopadłych
do prostej k, jeśli:
a ) o: (x + 2 )2 + (y - 3 )2 = 1
k :y = x
b) o: ( x - 5 ) 2 + y^ = 9
k:y=^~x
c ) o :X 2 + y 2 — 2 x + 1 2 y + 2 8 = 0
k :y = -0 ,5 x
d) o :x 2 + y 2 - 1 4 x + 2 4 = 0
k: y= - 0 ,7 5 x
3 .1 3 5 . N a p isz ró w n a n ia k ie ru n k o w e styczn ych do d an eg o o kręg u o i n a ch ylo n ych
d o o si OX p od k ą te m a , je ś li:
a) x 2 + y 2 = 1 ; a = 6 0 °
b) ( x - l ) 2 + y 2 = 4 ; a = 1 2 0 °
c)
x 2 + y2- 1 0 x = 0 ; a = 150°
d) x 2 + y 2- 2 x + 4 y - 3 = 0 ; a = 1 35 °
3 .1 3 6 . N a p isz ró w n a n ia o g ó ln e styczn ych do d an eg o okręg u o i p rz e c h o d zą cyc h
p rzez p u n k t A, je ś li:
a) o: x 2 + y 2 = 4 ,4 ( 6 , - 2 )
b) o: X2 + y 2 = 9 , 4 ( - 5 , 3 )
c)
o :X 2 + y 2 - 6 x — 4 y + 3 = 0 , 4 ( - 4 , 3 )
e) o :x 2 + y 2 + 1 0 x - 6 y + 30 = 0 ,4 ( - 7 , 9)
d) o : x 2 + y 2 + 6 x + 2 y + 5 = 0 , 4 ( - 2 , 2)
f)
o: x 2 + y2 - 6 x + 8 y + 21 = 0 , 4 ( 5 , - ! )
3 .1 3 7 . Sieczna k :x + y - 1 = 0 przecięła okrąg o:x 2+ y2- 2 x + 4 y + 1 = 0 w punktach
A i B. Następnie w punktach A i B poprowadzono styczne do danego okręgu. Wyka;
że styczne te tworzą kąt prosty.
3 .1 3 8 . Sieczna k : x - y + 1 = 0 przecina okrąg o :x 2 + y2- 6 x - 2 y + l = 0 w punk
tach A i B. Przez punkty A i B poprowadzono styczne do okręgu, które przecinają się
w punkcie C. Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC.
3 .1 3 9 . Oblicz tangens kąta ostrego, jaki tworzą styczne do okręgu
o: X2 + y2- 8x - 6y + 21 = 0, przechodzące przez punkt P(2, -1).
3 .1 4 0 . Zbadaj liczbę punktów wspólnych okręgu o z prostą /, w zależności od war
tości parametru m[m e R), jeśli:
a) o: (x + 2)2 + (y + 4)2 = 2 ;/ :y = -x + m
b) o :(x - 3 ) 2 + ( y - 2 ) 2* 8 ; / : y = x+ m
c) o : ( x - l ) 2 + ( y - l ) 2 = m ;/:x + y - l = 0 d) o :x2 + y2 = 25;/:4x + 3 y - m = 0
* 3 .1 4 1 . Dane są zbiory: A = {(x, y): x e R a y e R a x + y - 2 £ 0},
B = {(x ,y ):xe R a y e f l a X2 + y2- 2mx + 2y + m2- 1 = 0}. Wyznacz te w arto ści
parametru m e R, dla których zbiór Ar\B jest jednopunktowy.
* 3 .1 4 2 . Dane są zbiory: A = {(x, y): x e R a y e /? a y £ x - 2},
B = [(x,y):xe R a y e /? a X2 + y2 + 2 x - 2*y + k1- 1 = 0}. Wyznacz te wartości
parametru k&R, dla których zbiór A n B jest jednopunktowy.
3 .1 4 3 . Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A i stycznego do obu
osi układu współrzędnych, jeśli:
a) 4(2 ,0)
b) 4(0 ,3)
c) 4(2 ,1)
d) 4(1 ,2)
3 .1 4 4 . Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie S(3, -2) i stycznego do pro
stej/r: 3x - 4y - 1 2 = 0.
3 .1 4 5 . Wyznacz współrzędne środka okręgu stycznego do prostej
k: \ j3 x - y - 2 - 2V3 = 0 i jednocześnie stycznego do dodatnich półosi układu współ
rzędnych.
3 .1 4 6 . Okrąg przechodzi przez punkt 4(4, 1), zaś jego środek należy do prostej
k: x - y = 0. Wiedząc, że okrąg ten jest styczny do prostej /: y - 5 = 0, wyznacz jego
równanie.
3 .1 4 7 . Wyznacz równanie okręgu o promieniu 5, który jest styczny do osi
nocześnie styczny do prostej k: 3x + 4 y - 6 = 0.
OY i jed
3 . G eom etria analityczna
3.148.
W y z n a c z r ó w n a n ie o k rę g u p rz e c h o d zą c e g o p rzez p u n k t 4 ( 1 , 2 ) i s ty c z n e g o
je d n o c z e ś n ie d o p ro s ty c h k: 2 x + y = 0 i m: 2 x + y - 2 0 = 0 .
Wzajemne położenie dwóch okręgów
3 .1 4 9 . O k re ś l w z a je m n e p o ło że n ie o k rę g ó w d a n ych ró w n a n ia m i:
a ) o Ł: (x + 2 )2 + (y - 1 )2 = 4 ; o 2: X2 + y 2 - 4 x + 4 y - 8 = 0
b ) O y X2 + y 2 - 1 0 x + 4 y + 2 0 = 0 ; o 2: X2 + (y + 2 )2 = 4
c) O j: ( x - 3 )2 + ( y + 4 ) 2 = 8 ; o 2: X2 + y 2 - 4 x + 6 y + 11 = 0
d ) o 2: (x + 4 )2 + (y + 1 )2 = 2 5 ; o2: (x + 2 )2 + (y + 2 )2 = 2
e ) o 1: x 2 + y 2 - 8 x + 1 5 = 0 ; o 2: x 2 + ( y - 3 ) 2 = 4
f)
o 1: x 2 + y 2 + 8 x + 4 y - 5 = 0 ; o 2: ( x + 4 )2 + (y + 2 )2 = 5
3 .1 5 0 . W y z n a c z w s p ó łrz ę d n e p u n k tó w w sp ó ln y ch d w ó ch o k rę g ó w (o ile is t n ie ją ).
W k a żd ym p rz y p a d k u w y k o n a j ry s u n e k .
3 .1 5 1 . D la ja k ic h w a rto ś c i p a ra m e tru m (m e R) o kręg i o p is a n e r ó w n a n ia m i:
| | (x - m)2 + (y - 2 m )2 = 1 o ra z o2: ( x —2 )2 + (y + 1 )2 = 16 są w z a je m n ie z e w n ę t r z n e ?
3 .1 5 2 . D la ja k ic h w a rto ś c i p a ra m e tru m (m e R) o kręg i o p is a n e ró w n a n ia m i:
(x - m)2 + (y + 1 )2 = 8 o ra z o2: (x + 1 )2 + (y - m)2 = 2 są z e w n ę trz n ie s ty c z n e ? D la
0 {.
zn a le zio n y c h w a rto ś c i p a ra m e tró w w y k o n a j ry s u n e k . O b licz w s p ó łrz ę d n e p u n k tu
s ty czn o śc i A.
3 .1 5 3 . D la ja k ic h w a rto ś c i p a ra m e tru m (m e R) o kręg i o p is a n e r ó w n a n ia m i:
ox: (x - m)2 + [y + 2)2 = 20 o ra z o2: (x + 1 )2 + (y - 2 m)2 = 5 są w e w n ę t rz n ie s ty c z n e ?
Dla z n a le zio n y ch w a rto ś c i p a ra m e tró w w y k o n a j ry s u n e k . O b licz w s p ó łrz ę d n e p u n k
tu s ty c zn o śc i A.
3 .1 5 4. D la ja k ic h w a rto ś c i p a ra m e tru m (m e R) o kręg i o p is a n e r ó w n a n ia m i:
4 | (x + 1 )2 + (y - m)2 = 4 o ra z o2: (x + m )2 + (y - 2 )2 = 1 m a ją d o k ła d n ie je d e n p u n k t
w s p ó ln y ?
97
98
M atem atyka. Z b ió r zadań. K la sa 3.
m(m e R) okręgi opisane równaniami:
o{. (x + 5 )2 + (y + m)2= 16 oraz o2: (x - 2m )2 + (y + m)2= 9 przecinają się w dwócj
3 .1 5 5 Ola jakich wartości parametru
punktach?
3 .1 5 6 . Dla jakich wartości parametru m (m e R) okręgi opisane równaniamil
Oy (x - m)2+ (y + 1)2= 1 oraz o2: (x+ 2 )2+ (y - m + 3 )2= 25 są rozłączne wewnętrznie?!
3 .1 5 7 . Wykaż, że obrazem okręgu o: x2 + y2 + 6x - 2y + 6 = 0 w przekształceniu p|
określonym wzorem P((x, y)) = (1 + 3x, -3 y - 2), gdzie x ,y e R, jest okrąg. Zbadaj]
wzajemne położenie okręgu i jego obrazu.
3 .1 5 8 .
Wykaż, że obrazem okręgu o: x 2 + y2- 4x + 6y + 1 2 = 0 w przekształceniu
określonym wzorem P((x, y)) = | ^ y+ 1 , 2 r - i x |, gdzie x , y e R , jest okrąg. Z ^ H
wzajemne położenie okręgu i jego obrazu.
3 .1 5 9 Wyznacz równanie prostej k, względem której okręgi
0 {. x 2 + y 2+ 4 x + 8y + 1 9 = 0 oraz o2: x 2 + y 2- 1 2 x +35 = 0 są wzajemnie symetryczne.
3 .1 6 0 . Wyznacz równanie okręgu o najmniejszym promieniu, stycznego zewnętrz
nie do okręgu o: (x + 3 )2 + y 2 = 25 i jednocześnie stycznego do prostej
k: 4x + 3 y - 3 8 = 0.
* 3 .1 6 1 . Wyznacz równanie zbioru środków wszystkich okręgów zewnętrznie stycz
nych do okręgu o: x2 + y 2 = 4 i jednocześnie stycznych do prostej k: y + 2 = 0.
Jednokładność. Jednokładność w układzie
współrzędnych
3 .1 6 2 . Dany jest odcinek AB. Punkty Ov 0 2, 0 3, 0 4 dzielą ten odcinek na pięć rów
nych części (patrz rysunek poniżej). Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe?
a) Ą W =B
b)
c) J \ W = B
d
A
Q ( B )
=A
99
3 . Geometria analityczna
3 .1 6 3. Zaznacz na płaszczyźnie dwa różne punkty S oraz X. Następnie wyznacz ob
raz punktu X w jednokładności o środku w punkcie 5 i skali k, jeśli:
b) k = - 1
a) k - 2
d)
c)
k = — , gdzie m i n oznaczają długości dwóch odcinków oraz m > n > 0.
n
3 .164. Na p łaszczyźn ie zaznacz d o w o ln e d w a różn e p u n k ty X oraz Xv N a stę p n ie
w y zn a cz śro d e k S je d n o k ła d n o śc i J, w ie d zą c, że X1=7S*(X), g dzie:
a) k = - 3
b) k = - 0 ,7 5
c ) k = - 0 ,5
d )k = 2
3.165. N arysuj d w a okręg i o^A{, 1 ,5 cm ) i o2(A2; 3 cm ) ta k , ab y \AtA2\= 6 cm . Z n ajd ź
śro d ek S ta k ie j je d n o k ła d n o śc i, która przekształca okrąg o1 na okrąg o2 (p a m ię ta j, że
istn ie ją d w a ro zw ią za n ia ). W yzn acz odległość punktu 5 od śro d kó w okręg ó w .
3.166. W yzn acz w sp ó łrzę d n e p unktu Av k tó ry je s t ob razem p unktu A w je d n o k ła d
ności J o środku w p un kcie 0 ( 0 ,0 ) i skali k, je ś li:
a) A (- 2 , 4 ), k = 0 ,5
b) ¿ ( - 9 ,1 2 ) , k = - £
3.167. W yzn acz w sp ó łrzę d n e punktu Bv któ ry je s t obrazem p un ktu 6 w je d n o k ła d
ności J o środku w p unkcie 5 (- 4 , 5) i skali k, je ś li:
a) B (—1 0, - 8 ) , k = -
b) B (5 , 7 ), k = -2
c) B ( l , 2 0 ) , k = 6
d) B (- 4 , 9 ) , k = ~ ~
3.168. O d cin ek A ^ je s t obrazem odcinka AB w je d n o kład n o ści o środ ku 0 ( 0 , 0 )
i skali k. W yzn acz w spółrzęd n e środka E odcinka Ax&jy je ś li:
a) ¿ ( —2 0 , 6 ), B ( 1 0 ,4 ), k = 3
b) ¿ ( 1 3 , - 1 ) , B (5 , 7 ), k = - 2
c) ¿ ( - 8 , - 2 7 ) , B (- 1 2 , - 1 3 ) , k = 0 ,1
d) ¿ ( 2 7 ,1 0 8 ) , B ( - 2, - 3 ) , k = - 0 ,2
3.169. O d cin ek ¿ ^ je s t obrazem odcinka AB w je d n o kład n o ści J o środ ku w p un k
cie S (- 2 , - 1 ) i skali k. W yznacz w spółrzęd ne końców odcinka A1BV je ś li:
a) ¿ ( 1 0 , - 6 ) , B (—1 ,4 ) , k = - 5
b) ¿ ( 0 , 6 ), B(—4, 0 ), k = 3
c) ¿ ( - 8 , 4 ) , B (0 , 0 ), k = 0 ,5
d) ¿ ( 3 , 8 ), B ( - 5 , 1 3), k = - 0 ,3
100
M atem atyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
3.170.
D a n e s ą p u n k ty A ( 3 , 2 ) i A x(- 3 , 5 ) . W ia d o m o , ż e A 1= Jsk{A). W y z n a c z w spójj
rz ę d n e ś ro d k a
S te j je d n o k ła d n o ś c i, je ś li
a) - 2
3.171.
b)
i
3
sk a la k je s t r ó w n a :
c)
5
d) - 4
P u n k ty 4 i A 1 są je d n o k ła d n e , p rzy czym ś ro d k ie m je d n o k ła d n o ś c i je s t p u n k i
0 ( 0 , 0 ) . O b lic z s k a lę k te j je d n o k ła d n o ś c i, je ś li:
a ) A {- 3 , 1 ) , 4 ^ 6 , - 2 )
b ) 4 ( 5 , 5 ), 4 1( - 1 , - 1 )
c ) 4 ( - 2 , 0 ), 4 ^ 5 ,0 )
d ) 4 ( 0 , 3 ), 4 ^ 0 , - 3 )
3.172.
S p ra w d ź , cz y o d cin k i AB i CD są je d n o k ła d n e , je ś li:
a ) 4 ( 2 , - 3 ) , 8 (5 , 6 ), C (0 , - 1 ) , D ( l , 2 )
b) 4 ( - 2 , - 1 ) , 8 (4 , 2 ), C ( 2 , 1 ), 0 (1 0 , 5)
W p rzyp a d k u o d p o w ie d zi tw ie rd z ą c e j w y z n a c z śro d e k S i s k a lę jedn o kład n ości,
w k tó re j o b raze m o d cin ka 4 8 je s t o d cin e k CD.
3.173.
D an y je s t tró jk ą t ABC, w k tó rym 4 ( - 5 , - 5 ) , 8 (2 , - 3 ) , C ( - 4 , - 1 ) . T ró jk ą t A & c J
je s t o b raze m tró jk ą ta ABC w je d n o k ła d n o ś c i J o śro d ku S (2 , 0 ) i s k a li k, g dzie k < 0.1
W ie d z ą c , że śro d ko w a tró jk ą ta l4 # #
i
p o p ro w a d zo n a na b o k 8 ^
m a długość 10,1
o b licz:
a) sk a lę te j je d n o k ła d n o śc i
b) w sp ó łrzę d n e w ie rz c h o łk ó w tró jk ą ta 4 18 1C1
c) p ole tró jk ą ta 4 18 1C1.
3.174.
D ana je s t p ro sta m o ró w n a n iu y = 2 x - 3 o ra z p u n k t 0 ( 0 , 0 ) . W yzn acz ró w -l
n a n ie p ro ste j, któ ra je s t o b raze m p ro ste j m w je d n o k ła d n o ś c i J 0k, je ś li:
a) k = - 3
b) k = 2
c) k = i
d) * =
* 3 . 1 7 5 . P rosta k p rzech o d ząca p rzez p u n k t P(2 , 6 ) o g ran icza w ra z z d o d atn im i póło siam i układ u w sp ó łrzę d n ych tró jk ą t o p olu 2 5 .
a ) W yzn acz ró w n a n ie p ro ste j k.
b) W yzn acz ró w n a n ie p ro ste j m, k tó ra je s t o b ra ze m p ro ste j k w jednokładności
o śro d ku w p u n kcie 0 ( 0, 0 ) i sk ali s = 1
c)
O b licz pole tra p e zu o g ran iczo n eg o p rzez p ro ste k i m o ra z o s ie u k ła d u współrzęd
nych .
3.176. Wyznacz środek 5 i skalę k jednokładności J, która okrąg
o1:x 2 + y2 + 1 0 x - lOy + 4 1 = 0 przekształca na okrąg o2: x 2 + y2 - Ax - 2y + A = 0.
101
3. Geometria analityczna
3 .1 7 7 W yzn acz środ ek S i skalę fc je d n o k ła d n o ś c i/ która okrąg
ox: X2 + y2 + 1 2 x + 2y + 36 = 0 przekształca na okrąg o2: x 2 + y 2- 16x - 12y + 9 6 = 0.
3 .1 7 8 .
Dana je s t fun kcja y = / (x ). W ykres funkcji g je st obrazem w ykresu fu n k c ji/
w je d n o kład n o ści o środku 0 ( 0 ,0 ) i skali k. W yznacz w zór funkcji g, je śli:
a) /(x) =-2x2, /c= - i
c>
b) f ( x ) = j x 2,k = 3
f( x )= Z - l.k =
d) / (x ) =
X
N aszkicuj w y k re sy fun kcji / i g.
Z asto so w an ie analizy m atem atycznej w rozw ią
zyw an iu zad ań z geom etrii analitycznej
3 .1 7 9 . W yznacz w spółrzędne takiego punktu A, że styczna do w ykresu f u n k c ji/
w punkcie A je s t rów noległa do prostej k, je śli:
a) / (x ) = - 2 x 2 + x + 1, k: 5 x - y - 2 = 0
3
c) / (x ) = *—
x4
k :1 2 x - y - 8 = 0
b) / (x ) =
x+ 4
k :x -S y + Ś ± 0
3x2
d) / (x ) = — ^ , k :A x - 3 y - 2 1 = 0
2x - l
3 .1 8 0 . W yznacz w spółrzędne takiego punktu A, że styczna do w ykresu funkcji /
w punkcie A je s t prostopadła do prostej k, je śli:
a) / ( x ) = 3 x 2 + x - 2 ,
c)
k :x -5 y -1 0 = 0
/ ( x ) = — , f c :x + 1 0 y = 0
x
3 .1 8 1 .
b) / (x ) = l g £ , * :2 x + y - 5 = 0
d) / ( x ) g
2x2 +3x
-i ,, k : 2 x + 3 y - 3 = Q
4x+ 2
W ykaż, że styczna do paraboli o równaniu y = j X 2- 3 x - 2, poprowadzona w
punkcie P o odciętej 2, ogranicza w raz z osiam i układu w spółrzędnych tró jkąt o polu
rów nym 8 .
102
Matematyka, Zbiór zadań. Klasa 3.
3 .1 8 2 .
2 x —l
Wykaż, że styczna do hiperboli o równaniu y = ----- , gdzie x * - l , poprox+ l
wadzona w punkcie P o odciętej -2, ogranicza wraz z osiami układu współrzędnych
trójkąt o polu 2 0 ^ .
3.183.
Oblicz pole trójkąta ograniczonego dodatnimi półosiami układu współrzęd
n i
nych i tą styczną do wykresu funkcji f(x) = ------, która jest prostopadła do prostej
,
x-3
o równaniu 2 x - y - 3 = 0.
3.184.
Oblicz pole trójkąta ograniczonego ujemnymi półosiami układu współrzęd
2_x
nych i tą styczną do wykresu funkcji f(x) = ------, która jest równoległa do prostej
x+2
o równaniu 4x + y - 11 = 0.
3.185. Do paraboli o równaniu y - x 2 poprowadzono styczną w punkcie o odciętej
ujemnej, która wraz z osiami układu współrzędnych ograniczyła trójkąt o polu rów
nym 16. Wyznacz równanie tej stycznej.
3.186. W którym punkcie wykresu funkcji f[x) = - x 3 należy poprowadzić styczną
do tego wykresu, aby pole trójkąta ograniczonego tą styczną i osiami układu
współ
rzędnych było równe 54?
3.187.
I'I
l
W którym punkcie wykresu funkcji f(x) = f e gdzie x * 0, należy poprowax
dzić styczną do tego wykresu, aby pole trójkąta ograniczonego tą styczną i osiami
układu współrzędnych było równe 1 - ? ;
8
3.188.
P, aby styczna do
P ograniczała, wraz z prostymi o równaniach:
Na paraboli o równaniu y = - x 2 + 2x wyznacz taki punkt
tej paraboli poprowadzona w punkcie
x = 0, y = 0, x = 1, trapez o najmniejszym polu.
3.189.
Wyznacz wymiary prostokąta o maksymalnym polu powierzchni, którego
dwa wierzchołki należą do osi OX, a dwa pozostałe, o rzędnych dodatnich, należą do
paraboli o równaniu y = 3 - - x 2,
103
3. Geometria analityczna
3 .1 9 0 .
P ro sta k: y = ax + b, gdzie o > 0 , przechod ząca przez p un kt P (- 1, 2 ), od cin a
na o siach u k ła d u w sp ó łrzę d n ych od cin ki, któ rych sum a długości je s t n ajm n ie jsza.
W y zn a c z ró w n a n ie te j p ro ste j.
3 .1 9 1 .
Na p a rab o li o ró w n a n iu y = i x 2 w yzn acz taki punkt P, którego odległość od
p u n k tu A (4 , 1) je s t n a jm n ie jsza .
g
3 .1 9 2 .
Na gałęzi h ip e rb o li o ró w n an iu y = —, gdzie x e (0 , +oo), w yzn acz taki p un kt
x
P, k tó reg o o d le g ło ść od p un ktu A(2, - 2 ) je s t najm n iejsza.
3 . 1 9 3 . R o zp atru je m y o d cin ki ró w n oległe do osi OY, których je d e n koniec leży na
w y k re s ie fu n k cji f(x) = - V x , zaś drugi koniec na w ykre sie fun kcji g(x) = —, gdzie
x
x e (0 , +oo). W yk aż, że n ajk ró tszy z tych od cinków ma długość
^ > ¡2 .
3 . 1 9 4 . Na h ip erb o li o ró w n an iu y = —, gdzie x * 0 , obrano p un kty 4 ( 2 ,3 ) i ß ( 6, 1).
x
W yzn acz na te j h ip erb o li taki p un kt C o u jem n ej o d ciętej, aby pole tró jkąta ABC było
n a jm n ie jsze .
T e s t sp ra w d z a ją c y d o rozdziału 3 .
1 . T ró jk ą t ABC je s t rów nob oczny, w którym A(- 4 , 5). Punkt D (- 7 ,1 ) je s t środ kiem
boku BC. Z atem ob w ód tró jkąta ABC je s t rów n y:
A.
B. l o V i
C. 5
D. V ś .
2 . W e k to ry u = [3 + o , a] i v = [b + 1, b] są rów noległe w te d y i tylko w te d y, gdy:
A. o = 0 i b = 0
B. o + 3 = b
C. o = 3b
_
D. 3b + q = 0. 3
3 . Pole czw o ro kąta ABCD, gdzie A (- 5, - 2 ) , 6 ( 4 ,1 ) , Ć ( - 2 , 8 ), D(~6 , 3 ), je s t ró w n e :
A. 54
B. 53
C.
<
D. 51.
104
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
W tró jk ą c ie ABC dane są : A § = [1 ,3 ] i ĆA = [ - 7 2 , 2 ^ ] oraz |< 8AC| = a . Wówcza
4.
A.
a
= 30°
B. a = 60°
C.
a
= 45°
D.
a
= 1 3 5 °.
4
2
O d leg ło ść p unktu K ( - 3 , 2) od p ro stej k :y = —x - 1 0 - je s t:
5.
A . liczbą n ie w y m ie rn ą
B. k w ad rate m liczb y n a tu ra ln e j
C.
liczbą p od zieln ą przez 3
D. iloczyn em d w ó ch liczb p ie rw szych .
6.
W e k to r u = [ - 2 ,7 ] je s t p ro stop ad ły do p ro stej k. Pu n kt 4 ( 3 , 8 ) n ale ży d o pro stej
Z a te m :
B. k :2 x + 7 y - 6 2 = 0
A . /r: 2 x - 7 y + 5 0 = 0
k: 7 x + 2 y - 3 7 = 0
C.
D. * : 7 x - 2 y - 5 = 0 .
7 . O kręgi o ró w n an iach o{. x2 + y 2 - 2y - 3 = 0 i o2: (x - 3 )2 + (y - 3 )2 = 2 :
A . są styczn e ze w n ę trzn ie
B . p rzecin ają się
C. są rozłączn e ze w n ę trzn ie
D. są rozłączn e w e w n ę trz n ie .
8 . O b razem p un ktu P(4 , - 8 ) w je d n o kła d n o śc i o śro d ku S (- 3 , - 2 ) je s t p u n k t
P j- 5-
o |- Z atem skala te j je d n o kła d n o śc i je s t ró w n a :
r
9.
S tyczn a do p arab o li o ró w n a n iu y = —x 2 + 2 x + 8 p o p ro w a d zo n a w p un kcie o od
cię te j - 2 je s t ró w n o le g ła do p ro ste j o ró w n a n iu :
A . 3x + 3 y + 19 = 0
10.
B . 2 x - 2 y + 15 = 0
C .x + 2 y = 0
D . 2 y - x + 7 = 0.
K ąt o s try u tw o rz o n y p rzez p ro ste o ró w n a n ia c h
k: 3 x - 7 y - 875 = 0 i /: 5 x + 7 y - 3 5 0 = 0 m a m ia rę a t a k ą , że :
A. a e
ae
n
"k n
a e L-, —
6' 4
4
D. a e
3
n
n
3' 2
S tyczn a do o kręg u x 2 + y 2 = 5 m o że m ie ć ró w n a n ie :
11.
A. x = 5
12.
n
0,
B. 2 x + y - 5 = 0
C. y = - 5
D. 2 x + y = >/5.
D w a boki tró jk ą ta ABC z a w ie ra ją s ię w p ro s ty c h : /r: 4 x - 3 y
= 0 i /: 5 x -
D w u sie czn a kąta tró jk ą ta p rz y w ie rz c h o łk u 4 ( 0 , 0 ) m o że m ie ć r ó w n a n ie :
A- y = x
B. y = - x
6
. C. y = - x
4
D. y = - x .
9
12y = 0
105
3. G eom etría analityczna
IB.
S y m e t ra ln a o d c in k a PR, g d zie P(4 , 7 ) i / ? ( - 2 ,1 0 ) , z a w ie ra s ię w p ro s te j, k tó re j
w s p ó łc z y n n ik k ą t o w y j e s t r ó w n y :
A . - 0 ,5
B . 0 ,5
C. 2
D. - 2 .
1 4 . P u n k t K je s t ś ro d k ie m cię ż k o ś c i tró jk ą ta ABC, g dzie 4 ( 1 , - 9 ) , B( 7 , 6 ), C ( - 2 , 1 2 ) .
Z a te m w e k t o r CK m a w s p ó łr z ę d n e :
A . [4 ,- 9 ]
B . [ - 9 ,4 ]
C . [ 4 ,9 ]
D. M , - 9 ] .
1 5 . N a jd łu ż s z y b o k AB t ró jk ą t a ABC m a d łu g o ść y / llS o ra z Ć fl = [1 0 , - 1 0 ]
i CA - [ - 3 , - 3 ] . W o b e c te g o p o le koła o p isa n e g o na tró jk ą c ie ABC w y n o s i:
A . 5 4 ,5 rc
B . 109rc
D. 54 ^
C. ^ Z E
3
1 6 . P ro m ie ń o k rę g u o ró w n a n iu x 2 + y 2 - 2ax - Aby + la b + 3 b2 = 0 , g d zie a * b , m a
d łu g o ś ć :
A. a + b
B. a - b
C. \a + b\
D. | d —o|.
17. O b ra z e m p ro ste j k : 2 x - y - 3 = 0 w je d n o k ła d n o ś c i o śro d k u 0 (0 , 0 ) i sk a li
k = - 0 ,7 5 je s t p ro sta o r ó w n a n iu :
A . 8x - 4 y + 9 = 0
B. y = 2 x - 0 ,7 5
D. 8x - 4 y - 9 = 0 .
C. y = 2 x + —
4
1 8 . D a n y je s t p u n k t £ ( 0 , 2 ) i p ro sta p :y = - A . W szy stk ie p u n k ty p łaszczyzn y, k tó ry c h
o d le g ło ś ć o d p u n k tu E je s t ró w n a o d le g ło ści od p ro ste j p, n a le żą d o p a ra b o li o ró w
n a n iu :
1
A . y = —x 2 - l
'
9
19.
B . y = — x 2- 1
15
2
C. y = — x 2 - 1
12
1
1
D. y = T x 2 - 1.
8
O d le g ło ś ć m ię d z y p u n k ta m i 4 ( 1 - m, 2 ), B( 3 , m + 1) je s t n a jm n ie js z a w te d y
i ty lk o w te d y , g d y :
A. m = - l
B.
m --2
1
C. m - —
2
1
D. m = — .
2
2 0 . O b ra z e m o k rę g u o: (x - 2 )2 + y 2 = 3 , w p rz e k szta łce n iu P o k re ś lo n y m w z o re m
P((x, y)) = ( 2 x - 1 , 4 - 2 y ), g d zie x , y e R, je s t o k rą g o śro d k u S i p ro m ie n iu r. Z a te m :
A . S ( 3 , 4 ),/ * = 1 2
B . 5 (2 , 0 ), r = 2\[ b
C. S ( 3 ,4 ) ,r ^ V 6
D. 5 ( 3 ,4 ) , r = 2>/3.
106
Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3.
Zadania powtórzeniowe do rozdziału 3.
3 . 1 9 5 . W tró jkącie ABC d w ie w ysokości zaw ie rają się w p ro stych k: x + y - 4 = 0 or*
l : 2 x - y = 0. W yznacz ró w n an ia ogólne p ro stych , w któ rych zaw ie ra ją się boki te&
tró jk ą ta , w ie d zą c, że 4 ( 0 ,2 ) .
3.196. Punkt 4 ( - 4 , 2) je s t w ie rzch o łkie m tró jkąta ABC, którego d w ie środkow e z*
w ie ra ją się w p rostych o ró w n an iach : x = 0 o r a z x + y - 2 - 0 . W yzn acz współrzędne
p ozostałych w ie rzch o łkó w tego tró jkąta.
3 . 1 9 7 . P u n k ty 4 ( 2 ,3 ) i 9 (4 , - 1 ) są d w o m a kolejnym i w ierzch o łkam i k w ad ratu 4 6 C D
W yzn acz w spółrzęd n e pozostałych w ie rzch o łkó w tego kw ad ratu .
3.198. W okrąg o środku 5 (6 , 4 ) w p isan o tró jkąt rów n ob oczny ABC, którego jed
nym z w ie rzch o łkó w je s t p un kt 4 (2 , 6 ). O blicz w spółrzęd n e pozostałych w ierzchoł
ków tego tró jkąta.
3.199. W tró jkącie ABC w spółrzęd ne w ie rzch o łkó w w yn o szą : 4 ( - 2 , 1 ), 6 (3 , 0), I
C U , 2 ).
a) O blicz pole tró jkąta ABC.
b) O blicz długość w ysokości tró jkąta p oprow ad zonej na bok BC.
c) Napisz ró w n an ie okręgu opisanego na tró jką c ie ABC.
3.200. W rom b ie ABCD p rzekątne p rzecin ają się w p un kcie 5 (2 , - 1 ) . Dw a kolejne I
w ierzch ołki rom bu m ają w spółrzęd n e A (m , - 3 ) o raz B (m + 6, m - 5 ), gdzie m e R. I
W yznacz:
a) w spółrzęd n e w ie rzch o łkó w rom bu
b) pole rom bu
c) co sinus kąta rozw artego rom bu
d) ró w n an ie okręgu w pisaneg o w rom b ABCD.
3.201. Dane są p un kty 4 ( 3 ,0 ) i 6 ( - 3 , 0 ). W yzn acz ró w n a n ie lin ii u tw o rzo n e j przez
te w szystkie p un kty płaszczyzny, któ rych odległo ść od p un ktu 4 je s t 2 razy większa
od odległości od punktu 6 . Jaką figu rę g eo m e tryczn ą o p isu je ta lin ia ?
3 .202. W ykres fun kcji y = \x - 2| przecin a o krąg o: x2 + y 2 - 4 x - 4 = 0 w punktach
4 i 6.
a ) O blicz w sp ó łrzę d n e p u n k tó w 4 i 6 .
b) W yk aż, że tró jk ą t 4 6 5 , gdzie 5 je s t śro d kie m d an eg o o k ręg u , je s t prostokątny.
c) O blicz pole figu ry F = F 1r>F2, je śli F ^ i f a y Y ^ e R
F2= {(x, y): x e R
a
yeR
a
y £ |x - 2 |} .
a
yeR
a
x 2 + y 2- 4x - 4 ś 0},, I
107
3. Geometria analityczna
3.2 0 3 . W y z n a c z
w s z y s t k ie w a rt o ś c i p a ra m e tr u m (m e
R), d la
k tó ry c h p ro sta o r ó w
n a n iu y = ( m - l ) x + m + 2 m a d o k ła d n ie d w a p u n k ty w s p ó ln e z o k rę g ie m o ś ro d k u
5(1, 2 ) i p ro m ie n iu r = 1 .
3.204 .
Po d ja k im k ą te m w id a ć o k rą g o : x 2 + y 2 - 8y + 1 1 = 0 z p u n k tu P( 1 , 1 )?
3.2 0 5 .
S ty c z n e d o o k rę g u o : x 2 + (y + 2)2 = 3 ,2 p o p ro w a d z o n e p rz e z p u n k t A (- 2 , 1)
p rz e c in a ją o ś rz ę d n y c h w p u n k ta c h B i C.
a ) W y z n a c z r ó w n a n ia t y c h s ty c z n y c h .
b ) O b lic z , z d o k ła d n o ś c ią d o 1 ° , m ia rę k ą ta o stre g o , ja k i w y z n a c z a ją te s ty c z n e .
c ) O b lic z w s p ó łr z ę d n e p u n k tó w B i C.
d ) O b lic z p o le t r ó jk ą t a ABC.
3.206 .
W z b io rz e w s z y s t k ic h o k rę g ó w s ty c zn y c h z e w n ę trz n ie d o o k rę g u o r ó w n a
n iu X 2 + y 2 = 2 5 i s ty c z n y c h je d n o c z e ś n ie d o p ro ste j k: 3 x - 4 y - 5 0 = 0 is tn ie je o k rą g
0 n a jm n ie js z y m p r o m ie n iu . W y z n a c z je g o r ó w n a n ie .
3.207.
W y z n a c z w s p ó łr z ę d n e p u n k tu P ró w n o o d le g łe g o od p u n k tó w A (- 9 , 2 )
1 B ( 3 , 8 ) o ra z od p ro s te j k: 2 x - y - 4 = 0 .
3.208.
W y z n a c z r ó w n a n ie o k rę g u o śro d k u S ( 3 , 1 ), k tó ry o d cin a na p ro ste j
k: x - 7 y + 2 9 = 0 c ię c iw ę o d łu g o ści 5 <J2.
*3 .2 0 9 .
N a p is z ró w n a n ie o k rę g u p rz e c h o d zą ce g o p rzez p u n k t 4 ( 0 , - 1 ) , k tó ry je s t
je d n o c z e ś n ie s ty c z n y d o p ro sty c h k :y = 0 o ra z /: 4 x - 3 y + 2 2 = 0 .
* 3 .2 1 0 . Napisz równanie okręgu o promieniu 2>/l7, który odcina na osi OX cięciwę
o długości 1 6 , wiedząc, że do tego okręgu należy punkt A ( - 3 , 4 ).
3 .2 1 1 . D a n e s ą o d c in k i AB o ra z CD, g d zie 4 ( 3 , 1 ) , 8 (1 , 3 ), C ( 6 , 3 ), D (3 , 6 ). W y z n a c z
t a k ą je d n o k ła d n o ś ć Jsk, a b y Jsk(AB) = CD.
3 .2 1 2 . P ro s ta k o r ó w n a n iu y = ax + b, g dzie a e ( 0 ,1 ) , p rz e c h o d zą ca p rzez p u n k t
P (- 3 , 2 ) p rz e c in a d o d a tn ią p ó ło ś o si OY w p u n k cie A i u je m n ą p ó ło ś o si OX w p u n k
c ie B. P o le t ró jk ą t a OAB, g d zie 0 ( 0 , 0 ) je s t ró w n e 1 2 ,5 .
a ) W y z n a c z ró w n a n ie k ie ru n k o w e p ro ste j k.
b) P ro s ta m, k tó ra je s t o b ra z e m p ro ste j k w je d n o k ła d n o ś c i o śro d k u 0 ( 0 , 0 ) i sk a li
k = 6 , p rz e c in a o ś OY w p u n k c ie D, zaś o ś OX w p u n k cie C. O b lic z p o le tra p e z u
ADCB.
108
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
2~%
3 .2 1 3. Do w ykre su funkcji f(x ) = ------ poprow adzono w punkcie 4 styczn ą, która
x+ 4
je s t p rostopadła do prostej /: 6x - y + 4 = 0. W yznacz w sp ó łrzę d n e punktu 4 .
3.214. Do w ykre su fu n k c ji f( x ) = X2 + 2 x - 3 poprow adzono w p u n k c ie » s ty c z n ą !
która je s t rów noległa do prostej k: 2 x + y + 7 = 0. Napisz ró w n an ie k ieru n kow e pro
stej /, która je s t prostopadła do te j stycznej i przechodzi przez punkt A
3.215. Na paraboli o rów naniu y = — —x 2 w yznacz taki punkt P, którego $§łległośq
4
od p unktu >4(12,0) je s t najm niejsza.
3.216. Na gałęzi hiperboli o rów naniu y = —, gdzie x e H % 0 ) , w yzn acz taki punkt P,
,,J ; . ->X. j,
którego odległość od punktu A( 1, - 1 ) je s t n ajm niejsza.
3.217.
Na w ykre sie funkcji określo nej w zorem y = - x 3 w yzn acz taki punkt P o od
cię te j d odatniej, którego odległość od punktu A | 4 , - 1 ~ J je s t najm n iejsza.
3.218.
W śród prostokątów , których d w a w ierzchołki n ależą do paraboli o równaniu
y = (X + 3 )2, zaś dwa pozostałe na prostej k: y = 4 , zn ajd u je się ta k i, którego pole jest
najw iększe. Oblicz w spółrzędne w ierzch ołków tego p ro stokąta i jego pole.
*3.219. Do paraboli o rów naniu y ^ ¿ x 2 - 9 poprow adzono styczn e k i /, które prze
cin ają się w punkcie 4 ( 4 ,0 ) . W yznacz:
a) rów nania stycznych k i l
b) pole tró jkąta ABC, gdzie punkty B i C są punktam i stycznoścj prostych k i l i para
boli.
*3.2 20 . Styczna do w ykresu funkcji f[x ) = 16x2 + —, gdzie x * 0 , przech od ząca przez
x
p oczątek układu w spółrzędnych ma z p arabolą o rów n an iu y = 3 x 2 + 1 2 x - 1 2 dwa
p un kty w spólne A i B. Napisz rów n an ie okręgu, którego śred n icą je s t od cinek AB.
109
4
Kombinatoryka i rachunek
• prawdopodobieństwa
Reguła mnożenia i reguła dodawania
4 .1 .
Na ile sposobów możem y utw orzyć parę dziewczynka - ch ło piec, je śli m am y
do dyspozycji czte ry dziew czynki: Agatkę, Beatkę, Celinkę i Dorotkę oraz trzech
chłopców : Edw ina, Franka i Grześka.
W ypisz w szystkie m ożliw e pary w tabeli.
4 .2 .
Poniższa tabela przedstawia w szystkie m ożliwe liczby d w u cyfrow e u tw o rzon e
w taki sposób, że cyfra dziesiątek je st cyfrą ze zbioru { 1 , 2,3 , 4 } , a cyfra jedn o ści - ze
zbioru { 6, 7 , 8,9 } . Narysuj drzew o, w którym gałęzie p rzedstaw iają w szystkie u tw o
rzone liczby.
1
6
7
8
9
16
17
18
19
2
26
27
28
29
3
36
37
38
39
4
46
47
48
49
4 .3 . Ile je st liczb d w ucyfrow ych, w których cyfra jedności je st rów na 1 lub 2, zaś
cyfra dziesiątek je st w iększa od 5? Narysuj drzewo, w którym gałęzie p rzed staw iają
wszystkie utworzone liczby.
4 .4 . Ile je st liczb trzycyfro w ych, w których cyfra setek je st równa 1, 2 lub 3; cyfra
dziesiątek je st liczbą podzielną przez 5, a cyfra jedności je st w iększa od 6 ? N arysuj
drzewo, w którym gałęzie przedstawiają w szystkie utworzone liczby.
4 .5 . Z cyfr ze zbioru A = {1, 2, 3, 4, 5} tw orzym y w szystkie m ożliw e liczby d w u
cyfrow e, przy czym cyfry w liczbie mogą się pow tarzać. Zapisz w tabeli w szystkie
utworzone liczby. Ile spośród utworzonych liczb ma cyfrę dziesiątek m niejszą od
cyfry jedno ści?
4 .6 . z cyfr ze zbioru B = { 6, 7 , 8, 9 } tw orzym y wszystkie m ożliwe liczby d w u cyfro w e ,
w których cyfry nie mogą się powtarzać. Zapisz w tabeli w szystkie utw orzone liczby.
Ile jest wśród nich liczb podzielnych przez 4?
110
M atem atyka. Zbió r zadań. K lasa 3.
Z cyfr ze zbioru X = { 0 ,1 ,2 ,3 } tworzym y wszystkie liczby trzycyfrow e, przy czy^
4 .7 .
cyfry w liczbie nie mogą się powtarzać. Narysuj drzewo, w którym gałęzie przedsta.
w iają utw orzone liczby trzycyfrowe. Ile wśród nich je st liczb podzielnych przez 3?
4.8.
Pan M arek ma 3 marynarki, 4 krawaty i 5 koszul. Ile różnych zestaw ów (koszula(
m arynarka, krawat) może założyć do pracy?
4.9.
Ile je st różnych punktów o współrzędnych całkowitych (x, y), takich, że
x e (4, 20), y e <0,100)?
4.10.
Restauracja „Międzynarodowa" serw uje 12 dań kuchni polskiej, 10 dań k u c h
ni węgierskiej i 8 dań kuchni czeskiej. Na ile sposobów można w tej restauracji w y
brać dwa różne dania, z których:
a) jedno należy do kuchni polskiej, a drugie nie należy do kuchni polskiej
b) co najmniej jedno należy do kuchni polskiej?
4.11.
Dane są zbiory: X = {1, 2, 3}, / = {4, 5}, Z = { 0 ,1 , 2, 3, 4, 5}. Ile je st par u p o
rządkowanych (o, b) takich, że liczba a jest elem entem zbioru X i jednocześnie liczba
b jest elementem zbioru Z lub liczba o jest elem entem zbioru Y i jednocześnie liczba
b jest elementem zbioru X ?
4.12.
Dany jest zbiór X = {1, 2, 3 ,4 ,5 , 6, 7, 8, 9 ,1 0 }. Ile jest par uporządkowanych
(o, b) takich, że liczby a, b należą do zbioru X oraz:
a) liczba a jest mniejsza od 3 lub liczba b jest większa od 7;
b) liczba a jest większa od b lub liczba b je st większa od liczby a;
c) liczba a jest nie mniejsza niż 4 i jednocześnie liczba b jest podzielną przez 3 lub
przez 5;
d) liczba a jest liczbą pierwszą lub liczba b jest nie większa niż 6 ?
4 .1 3 .
Pewna dama ma 14 różnych torebek, oraz 16 różnych par pantofelków w róż
nych kolorach - według tabeli umieszczonej poniżej.
---------------------------- 1
Kolor beżowy
1
'T^
Kolor czarny
Kolor brązowy
Kolor czerwony
Torebki
5
4
2
3
Pantofelki
6
3
2
5
Na ile sposobów owa dama może skompletować parę torebka - pantofelki:
a) w jednym kolorze
b) w dwóch różnych kolorach - w brązie i w beżu?
4 .1 4 . G ru p a p ię c io la tk ó w z przedszkola z okazji Dnia Matki zaprosiła swojt mamy
na p rz e d s ta w ie n ie , w któ rych w ystą p ią jako skrzaty, mające czapki w trzech kolo
ra c h : c z e rw o n y m , n ie b ie sk im i zie lo n ym . Liczbę osób mających czapkę w danym ko
lo rze p rz e d sta w ia ta b e la p on iżej.
Czapka czerw o n a
Czapka niebieska
Czapka zielona
D zie w czyn ki
7
4
2
Ch łop cy
3
6
3
j
Ile je s t m o żliw o ści w y b o ru p ary - d ziew czyn ka, chłopiec, w której:
a) ob ie oso by m a ją czapkę w takim sam ym kolorze
b) co n ajm n ie j je d n a osoba m a czerw o n ą czapkę?
Wariacje
4 . 1 5 . Ile je s t różnych liczb trzycyfro w ych utw orzonych z cyfr 1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6, 7 , 8, 9 ?
4 . 1 6 . Ile różnych p ięcio lite ro w ych kodów można utw orzyć z liter A, B, C?
4 . 1 7 . O b licz, ile je s t różnych cztero cyfro w ych :
a) liczb
b) kodów PIN,
w któ rych c y fry m ogą się p ow tarzać.
4 . 1 8 . Na ile spo sob ów m ożna w rzu cić 5 kul ponum erow anych do 6 różnych szuflad,
je że li
a) kule w rzu cam y d ow oln ie
b) każda kula m a tra fić do innej szuflady?
4 . 1 9 . Na ile spo sob ów sekretarka może w rzu cić do trzech różnych szuflad 4 listy
zaad re so w a n e do różnych osób?
4 . 2 0 . N u m er karty p łatniczej M asterCard składa się z 16 cyfr. Pierw szą cyfrą je st 5,
drugą - je d n a z cy fr: 1, 2, 3 , 4 , 5 . Zakładamy, że pozostałe cyfry mogą być dow olne.
Ile je s t n u m e ró w kart płatniczych M asterCard?
4 . 2 1 . ile je s t liczb trzycyfro w ych , w których cyfra 3 w ystępuje tylko raz?
4 . 2 2 . ile je s t liczb d w u cyfro w ych , w których:
a) co n ajm n ie j je d n a cyfra je st parzysta
b) co n ajm n iej je d n a cyfra je st nieparzysta?
112
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
4.23.
a)
4.24.
a)
b) cyfra 1 lub cyfra 7?
Ile jest różnych liczb trzycyfrowych, w których zapisie cyfra 0 występuje:
co najwyżej raz
4.25.
a)
Ile jest liczb dwucyfrowych, w których zapisie występuje:
cyfra 1 i cyfra 7
b) co najmniej raz?
Ile jest różnych liczb trzycyfrowych, w których zapisie cyfra 1 występuje:
co najwyżej raz
b) co najmniej raz?
4 .2 6 . Każdej z pięciu osób przyporządkowujemy dzień tygodnia, w którym s ię uro
dziła. Ile jest możliwych wyników takiego przyporządkowania, jeżeli:
a) każda z tych osób mogła urodzić się w dowolnym dniu tygodnia
b) każda z tych osób urodziła się w innym dniu tygodnia?
4 .2 7 . Każdemu spośród czterech uczniów przyporządkowujemy ocenę roczną
z matematyki. Ile jest możliwych wyników tego przyporządkowania, jeżeli:
a) każdy z uczniów będzie miał inną ocenę
b) każdy z uczniów może uzyskać dowolną ocenę?
4 .2 8 . Na peronie czekają na pociąg cztery osoby. Podjeżdża skład złożony z-siedmiu
wagonów. Na ile sposobów czekające osoby mogą wsiąść do pociągu, jeśli:
a) każda z nich ma wsiąść do innego wagonu
b) każda z nich wybiera wagon dowolnie?
4 .2 9 . Ile sześcioliterowych napisów można utworzyć, posługując się literami nale
żącymi do zbioru {A, B, C, D, E, F, G, H, I}, jeśli:
a) litery mogą się powtarzać
b) litery nie mogą się powtarzać?
4 .3 0 . Pewna firma chce drukować ulotki, w których jedna strona ma mieć dwukolorowe tło (górna połowa ma mieć inny kolor niż dolna połowa). Ile jest wzorów takich
ulotek, jeśli firma ma do dyspozycji 7 kolorów?
4 .3 1 . Przedsiębiorca chce produkować chorągiewki składające się z trzech pozio
mych pasów równej szerokości, każdy w innym kolorze. Ile rodzajów takich chorą
giewek może produkować, jeśli ma do dyspozycji 8 kolorów?
4 .3 2 . Ile jest różnych czterocyfrowych:
a) liczb
b) kodów PIN,
w których cyfry nie mogą się powtarzać?
4. Komblnatoryka I rachunek prawdopodobieństwa
4 .3 3 . Ile ró żn yc h liczb cz te ro c y fro w y c h n ie p arzystych , w których w szystkie c y fry są
ró żn e , m o żn a u tw o rz y ć z c y fr 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ?
4 .3 4 . Ile ró żn yc h liczb p ię c io c y fro w y ch p arzystych , w których w szystkie c yfry są
ró żn e , m o żn a u tw o rz y ć z c y fr 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6, 7 , 8, 9 ?
4 .3 5 . Ile je s t ró żn ych liczb trz y cy fro w y ch o różnych cyfrach , utw orzonych z cyfr na
le żących do zb io ru {4 , 5 , 6 , 7 , 8, 9 } i je d n o cze śn ie w iększych od 666 ?
4 .3 6 . Ile je s t ró żn ych liczb trz y cy fro w y ch o różnych cyfrach , utw orzonych z cyfr na
le żących d o zb io ru {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } i je d n o cze śn ie m niejszych od 4 44 ?
4 .3 7 . Ile je s t ró żn ych liczb trz ycyfro w ych o różnych cyfrach , utw orzonych z cyfr na
le żących d o zb io ru {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8, 9 } i jedn o cześn ie m niejszych od 7 80 ?
4 .3 8 . Ile je s t ró żn ych liczb trz ycyfro w ych o różnych cyfrach i jedno cześnie:
a)
n ie p a rzystych
b) p arzystych ?
4 .3 9 . Ile je s t te le fo n ic zn y ch n u m eró w , które skład ają się z 8 cyfr takich , że:
a) p ie rw s zą c y frą je s t 4 , a pozostałe c yfry są różne od 4 i różne m iędzy sobą
b) d w ie p o czątk o w e c y fry są ró w n e 5, a ostatn ią cyfrą je st 1
c) p ie rw sza cyfra je s t p arzysta różna od zera, a pozostałe cyfry są liczbam i nieparzy
stym i
d) cyfra 7 w y s tę p u je tylko raz, początkow a cyfra je st pierw sza i w szystkie cyfry są
ró żn e ?
4.40. Ile je s t te le fo n ic zn ych n u m e ró w kom órkow ych, składających się z dziew ięciu
c y fr ta k ic h , że :
a) p ie rw szą c y frą je s t 5 lub 6 , trze cią cyfrą je s t 0, a pozostałe cyfry nie są ani piątką,
ani szó stk ą , an i ze rem
b) każda cyfra je s t in n a i na p ierw szym m iejscu nie w ystęp uje 0
c) każda k o le jn a c y fra tego n u m eru je s t liczbą o 1 m niejszą od poprzedniej
d) p ie rw sza , trz e c ia , p ią ta , siód m a i d ziew iąta cyfra je st taka sam a i je st liczbą nie
p arzystą, zaś p ozostałe c y fry są różnym i liczbam i parzystym i?
4.41. Ile różnych liczb d w u cyfro w ych podzielnych przez 3 można utworzyć z cyfr:
a) 1 ,2 , 4 , 5 , 7 , 8
b) 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 7
4.42. Ile różn ych liczb d w u c yfro w yc h :
a) p arzystych
b) pod zielnych przez 4
m ożna u tw o rz yć z c y fr 0 ,1 , 2, 3 ,4 , 5, 6 ?
113
4 .4 3 .
He różnych liczb dwucyfrowych podzielnych przez 6 można utworzyć 2 c
{0,1,2,3, 4 , 5, 6, 7}?
«v ^ <4
G?
'
He jest różnych liczb dwucyfrowych:
podzielnych przez 2 lub przez 3
podzielnych przez 4 lub 7
większych od 40 lub podzielnych przez 8
podzielnych przez 2 lub 5 i niepodzielnych przez 6?
4 .4 4 .
a)
b)
c)
d)
4 .4 5 .
a)
25
ile jest różnych liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, podzielnych przez:
b) 4?
ile jest różnych liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach i jednocześnie
podzielnych przez 25
b) większych od 5238?
4 .4 6 .
a)
Hejest różnych liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach i Jednocześnie
podzielnych przez 4
b) większych od 60 000?
4 .4 7 .
a)
Perm utacje
4 .4 8 .
Oblicz:
a) 41 -21 -31
101-4!
101
b) 51-2! *4!
e)
81-31
91-71
(9!)3
101 -(SI)2
(6 !?
Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci, wiedząc, że n e N:
(/7+3)i
a) (n + 2)(n + l)n\
b) (2/7 + l)(2n)l
c)
4 .4 9 .
(A7+2)!
(2/7+2)
w m
4 .5 0 .
e)
(/7+3)i(3/7)i
(3/7+ !)!(/?+2)!
f)
(n-3 )\
n> 2
Na ile sposobów można ustawić 3 osoby w szeregu?
biegu finałowym uczestniczy 8 sprinterów. Na ile sposobów mogą oni Zająć
kolejne miejsca, jeśli założymy, że wszyscy ukończą bieg?
4 .5 1 . w
4 Kom binaloryka i rachunek prawdopodobieństwa
115
4 . 5 2 . W z e s p o le ta n e c z n y m je s t 7 d zie w c zą t i 7 ch ło p có w . Każda d zie w czyn k a m a
t a ń c z y ć z c h ło p c e m . Ile je s t ró żn ych m o żliw o ści u tw o rz e n ia 7 p a r ta n e c zn y ch ?
4 . 5 3 . N a ile s p o s o b ó w m o że u s ta w ić się w szereg u grupa 4 ch ło p có w i 3 d zie w c zą t,
t a k a b y o s o b y t e j s a m e j p łci n ie s ta ły o b o k s ie b ie ?
4 . 5 4 . N a ile s p o s o b ó w m o że u s ta w ić s ię w szeregu grup a 5 ch ło p có w i 5 d zie w c zą t,
t a k a b y d w ie o s o b y t e j s a m e j p łci n ie sta ły ob ok sie b ie ?
4 . 5 5 . W lic e u m u c z ą s ię p o 4 k la sy p ie rw sze , d ru g ie i trz e c ie . Na ile sp o so b ó w m oż
n a p o ło ży ć n a b iu rk u je d e n na d ru g im d zie n n iki le kcyjn e tych k las, je ś li:
a ) n a s a m y m s p o d z ie m a ją le że ć w szy stk ie d zie n n iki klas p ierw szych
b ) n a s a m e j g ó rze le ż ą d zie n n ik i k las „A ", niżej d zien n iki klas „B ", jeszcze niżej d zien
n ik i k la s „ C " i n a jn iż e j d zie n n ik i k las „ D" ?
4 . 5 6 . M a m y 5 k s ią ż e k , w ty m książki A i B . U staw iam y je loso w o na pustej półce,
je d n a o b o k d ru g ie j. N a ile sp o so b ó w m ożna u sta w ić je ta k , ab y:
a ) k s ią ż k i A i B n ie s ta ły o b o k sie b ie
b ) p o m ię d z y k s ią ż k a m i A i B s ta ły d w ie in n e k siążki?
4 . 5 7 . S z e ś ć o s ó b , k tó re o z n a czym y lite ra m i A , B , C, D, E, F, ma zająć sześć sąsiedn ich
m ie js c w je d n y m rzę d z ie w k in ie . Na ile sp o so b ó w mogą one u siąść, ta k ab y:
a ) o s o b y D , E s ie d z ia ły o b o k sie b ie w p odanym porządku
b) o s o b y A , B , C , D s ie d z ia ły o b o k sie b ie w p odanym porządku
c) o s o b y A , B , C s ie d z ia ły o b o k sie b ie w d o w o ln ym porządku
d ) m ię d z y o s o b a m i A i B sie d z ia ły d w ie oso by?
4 . 5 8 . N a ile s p o s o b ó w m o żn a u sta w ić w szereg 8 osób ta k , aby:
a ) o s o b y A , B , C z a jm o w a ły o d p o w ied n io p ierw sze , drugie i trzecie m iejsce w tym
s ze re g u
b) o s o b y A i B s ta ły o b o k sie b ie o raz p om ięd zy tą parą osób a osobą C stały d w ie
in n e o s o b y
c ) o s o b y A i B n ie s ta ły o b o k sie b ie
d ) o s o b a A sta ła p ie rw s za w szereg u , a w dalszej części szeregu osoba B stała bliżej
A n iż o so b a C ?
4 . 5 9 . P rz y o k rą g ły m s to le u sta w io n o 6 je d n ako w ych krzeseł. Na ile sposobów może
u s ią ś ć p rz y t y m sto le 6 o só b , ta k ab y:
a ) o s o b y A i B sie d z ia ły o b o k sie b ie
b) o s o b y A i B u s ia d ły n a p rze c iw k o sieb ie
c) m ię d z y o s o b a m i A i B sie d ziała tylko osoba C
d ) o s o b y A i B s ie d z ia ły n ap rze ciw k o sieb ie i je d n o cześn ie osoby C i D siedziały na
p rz e c iw k o s ie b ie ?
Uwaga: Dwa rozmieszczenia przy stole uznajemy za różne, jeżeli w tych rozmieszczą
niach co najmniej jedna osoba ma różnych sąsiadów.
4 .6 0 .
Przy okrągłym stole ustawiono 12 krzeseł. Na ile sposobów może usiąść przy
tym stole 12 osób, tak aby:
a) osoby A, B usiadły obok siebie
b) osoby A, B usiadły naprzeciwko siebie
c) między osobami A, B siedziały tylko dwie osoby
d) osoby A, B siedziały naprzeciwko siebie i jednocześnie osoby C, D siedziały na
przeciwko siebie?
Uwaga: Dwa rozmieszczenia przy stole uznajemy za różne, jeśli w tych rozmieszcze
niach co najmniej jedna osoba ma różnych sąsiadów.
Kombinacje
4 .6 1 . Oblicz:
4 .6 2 . Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci, wiedząc, że n e N:
4 .6 3 . Wyznacz n, wiedząc, że n e N+:
fn\
a) n + 1
ii
= 15
j a f c - ą j p l 2n )
bj
+
=
18
4 . K o m b ln a to ryka i rachunek praw dopodobieństw a
117
4 .6 4 . W y p is z w s z y s t k ie d w u e le m e n t o w e p o d z b io ry zb io ru {a, b, c, d) i p o ró w n a j
lic z b ę t y c h p o d z b io r ó w z lic z b ą
4 .6 5 . O b lic z , ile je s t t r ó je le m e n t o w y c h p o d z b io ró w zb io ru s z e ś c io e le m e n to w e g o .
4 .6 6 . P e w ie n n ie p u s t y z b ió r m a 2 1 1 , co n a jw y ż e j d w u e le m e n to w y c h , p o d zb io ró w .
Ile e le m e n t ó w m a t e n z b ió r ?
4 .6 7 . O b lic z , n a ile s p o s o b ó w m o żn a w y b r a ć c z te ro o s o b o w ą d e le g a cję z g ru p y 7
o só b.
4 .6 8 . N a p ła s z c z y ź n ie z a z n a c z o n o n (n > 2 ) p u n k tó w , z k tó ry c h d o w o ln e trz y n ie
b y ły w s p ó łlin io w e . P u n k ty t e w y z n a c z y ły 3 6 p ro sty c h . O b licz n.
4 .6 9 . N a e g z a m in ie b y ło n t e m a t ó w (n > 2 ), z k tó ry c h s tu d e n t lo s o w a ł d w a . O b licz
n , w ie d z ą c , że s t u d e n t m ia ł 1 9 0 m o ż liw o ś c i w y lo s o w a n ia ze sta w u te m a tó w .
4 .7 0 . W t u r n ie ju s z a c h o w y m k a żd y z z a w o d n ik ó w ro ze g rał z każd ym d w ie p a rtie .
Ilu b y ło z a w o d n ik ó w , je ś li ro z e g ra n o w s u m ie 4 2 p a rtie ?
4 .7 1 . W t u r n ie ju s z a c h o w y m s t a rt o w a ło 1 0 zaw o d n ik ó w . W p ie rw s ze j fa z ie każd y
z z a w o d n ik ó w ro z e g ra ł p o d w ie p a rtie z k ażd ym z p o zo sta łych , po czym p e w n a liczba
z a w o d n ik ó w m u s ia ła w y je c h a ć n a z g ru p o w a n ie k a d ry i w d ru g ie j fa z ie każd y z pozo
s t a ły c h ro z e g ra ł z k a ż d y m p o je d n e j p a rtii. Ilu u c z e stn ik ó w w y je c h a ło na zg ru p o w a
n ie k a d ry , je ś li w o b u fa z a c h tu rn ie ju ro ze g ra n o łą c z n ie 1 1 1 p a rtii?
4 .7 2 . Z g ru p y 3 k o b ie t i 4 m ę żc zy zn w y b ie ra m y t rz y oso b y. Ile je s t ta k ic h sp o so b ó w
w y b o r u , a b y w ś ró d w y b r a n y c h o s ó b :
a ) b y ły s a m e k o b ie ty
b ) b y li s a m i m ę ż c z y ź n i
c ) b y ły d w ie k o b ie t y i je d e n m ę żc zy zn a ?
4 .7 3 . W p u d e łk u z n a jd u ją s ię c z te r y p o n u m e ro w a n e k u le : 2 b iałe i 2 cz a rn e . Na ile
s p o s o b ó w m o ż n a w y b r a ć 2 k u le , w ś ró d k tó ry c h co n a jw y że j je d n a b ęd zie c z a rn a ?
a ) W y p is z w s z y s t k ie m o ż liw o ś c i.
b ) D la c z e g o lic z b y s p o s o b ó w w p u n k cie a) n ie m o żn a o b liczyć w n a s tę p u ją c y sp o
s ó b : w y b ie r a m y je d n ą k u le b ia łą na j ^ J sp o so b y i d ru g ą ku lę ja k ą k o lw ie k z po
z o s ta ły c h k u l n a i ^ J sp o so b y , czyli raze m m a m y 2 - 3 = 6 s p o so b ó w ?
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
4.74. W klasie jest 15 dziewcząt i 16 chłopców. Spośród uczniów tej klasy trzeb,
wybrać czteroosobową delegację. Na ile sposobów można to zrobić, tak aby w <jJ
legacji znalazły się:
a) tylko dwie dziewczynki
b) co najmniej dwie dziewczynki
c) co najwyżej dwie dziewczynki?
4.75. W grupie 20 osób je st 12 kobiet. Ile je st sposobów w ybrania pięcioosobowej!
delegacji z tej grupy, tak aby:
a) znalazły się tam co najw yżej dwie kobiety
b) znalazła się tam co najm niej jedna kobieta
c) znalazły się tam co najm niej dw ie i nie w ięcej niż cztery kobiety?
4.76. W klasie je st 8 chłopców i 9 dziewcząt. W ybieram y cztery osoby. Ile jest moż
liw ych sposobów w yboru tych czterech osób, tak by wśród nich:
a) byli sam i chłopcy
c)
b) połowę stanowiły dziewczęta
były trzy dziewczynki i jeden chłopiec
d) był co najmniej jeden chłopiec?
4.77. W urnie je st 7 kul białych, 2 czarne i 1 zielona. Ile jest możliwych sposobów
w ybo ru dwóch kul z tej urny, tak by:
a) kule były różnych kolorów
c)
kule były tego samego koloru
b) obie kule były białe
d) przynajmniej jedna z kul była biała?
4.78. W urnie je st 5 kul białych, 4 czarne i 6 zielonych. Losujemy trzy kule. Ile jest
m ożliwych w yników losowania, jeśli:
a) każda z w ylosowanych kul musi być innego koloru
b) wszystkie trzy kule mają być tego samego koloru
c) wśród trzech kul dwie muszą być tego samego koloru?
4.79. Z talii 52 kart losujemy cztery karty. Ile jest możliwych wyników losowania,
jeśli wśród tych czterech kart mają być:
a) dwie damy i dwa asy
b) trzy karty młodsze od dziewiątki i jeden król
c) trzy figury (figury to: as, dama, król i walet) i jedna karta nie będąca figurą?
4.80. Z talii 52 kart losujemy cztery karty. Ile jest możliwych
je śli wśród nich mają być:
a) trzy kiery
b) co najwyżej trzy kiery
c) dwa kiery, jeden pik i jeden trefl?
wyników losowania,
4. Kom binatoiyka i rachunek prawdopodobieństwa
119
4 . 8 1 . K a ż d e m u z c z te r e c h g ra c zy n a le ż y p rz y d z ie lić 13 k a rt z t a lii 5 2 - k a r to w e j. N a
ile s p o s o b ó w m o ż n a to z ro b ić , t a k a b y g racze A i B o trz y m a li po d w a a sy, a g ra c z e C
i D p o d w ie d a m y ?
4 . 8 2 . G r u p ę 1 2 d ru ż y n s p o rto w y c h , w ś ró d k tó ry c h są d ru ż y n y A , B , C , d z ie lim y n a
t r z y ró w n e p o d g ru p y w ta k i s p o s ó b , że każd a z d ru ż y n A , B , C z n a jd u je s ię w in n e j
p o d g ru p ie . Ile je s t s p o s o b ó w ta k ie g o p o d zia łu ?
Kombinatoryka - zadania różne
4 . 8 3 . W lic e u m o d b y w a ją s ię za ję c ia SKS z sia tk ó w k i i k o szyk ó w k i. W p e w n e j g ru p ie
c h ło p c ó w t e j szk o ły d w u n a s tu ch o d zi na k o szyk ó w k ę , p ię tn a s tu na s ia tk ó w k ę , a t y l
ko p ię c iu n a o b y d w a z a ję c ia S K S . Ilu co n a jm n ie j ch ło p c ó w lic zy ta g ru p a ?
4 . 8 4 . W lic e u m 2 5 d z ie w c z ą t z k la s d ru g ich u częszcza na za ję c ia S K S : s ia tk ó w k i lu b
p iłki rę c z n e j. W ia d o m o , że s ia tk ó w k ę t re n u je 16 d z ie w c z ą t. Ile d z ie w c z ą t tre n u je
o b y d w ie d y s cy p lin y , je ś li w ia d o m o , że liczb a d zie w c zą t tre n u ją c y c h ty lk o p iłkę rę c z
n ą je s t ró w n a lic zb ie d z ie w c z ą t tre n u ją c y c h ty lk o s ia tk ó w k ę i je s t o n a n a jm n ie js z a
z m o ż liw y c h ?
4 . 8 5 . W g ru p ie 2 7 o só b p rz e p ro w a d z o n o a n k ie tę , z k tó re j w y n ik a ło , że 2 0 o só b zn a
ję z y k n ie m ie c k i, a 15 - ję z y k fra n c u s k i. Ile co n a jw y że j o só b zn a ty lk o je d e n z ty c h
ję z y k ó w ?
4 . 8 6 . W p e w n e j g ru p ie 6 0 % w s zy stk ic h osó b zna ję z y k h iszp a ń sk i, a 5 0 % - ję z y k
ro s y js k i. Ile p ro c e n t o só b co n a jm n ie j i ile p ro ce n t osó b co n a jw y że j zna o b yd w a
ję z y k i?
4 . 8 7 . W y k a ż , że w 2 5 -o so b o w e j k la sie są co n a jm n ie j trz y oso by, k tó re u ro d ziły się
w ty m s a m y m m ie s ią c u .
4 . 8 8 . Ile je s t ró żn ych liczb p ię c io c y fro w y c h , w k tó rych zap isie w y k o rz y s ta n o w s z y s t
kie c y fr y ze zb io ru { 0, 1 , 2 , 3 , 4 } :
a)
d o w o ln y c h
b) p o d zie ln ych p rzez 5 ?
4 . 8 9 . Ile je s t ró żn ych liczb sie d m io c y fro w y c h o n ie p o w ta rza ją c y ch się cy fra c h n a le
żących d o zb io ru { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } i je d n o c ze ś n ie :
a) p a rz y s ty c h
b ) p o d zie ln ych p rzez 4 ?
Matem atyka. Z bió r zadań. Klasa 3.
4 .9 0 . Ile ró żn y c h w y r a z ó w , m a ją c y c h s e n s lu b n ie , m o żn a u ło ż y ć , p rz e sta w ia ją c
lit e ry w y r a z u :
a ) S P A N IE L
b) TEM A T
c)
AGAW A
d) PO TO P?
4 .9 1 . Ile ró ż n y c h w y r a z ó w , m a ją c y c h s e n s lu b n ie , m o żn a u ło ży ć , p rze staw iając
lit e r y w y r a z u
a ) T O T A LIZ A T O R
4 .9 2 .
b) A BRAKAD ABRA ?
P o d c z a s ro z w ią z y w a n ia za d a ń z k o m b in a to ry k i w
p e w n e j k la s ie jeden
z u c z n ió w , d o s k o n a ły z b io lo g ii, ze zd z iw ie n ie m s tw ie rd z ił, że liczb a w y ra z ó w (m a
ją c y c h s e n s lu b n ie ) o trz y m a n y c h z p rz e s ta w ie n ia lit e r w y ra z u PR A W D O P O D O B IEŃ
S T W O je s t p o r ó w n y w a ln a z lic z b ą tz w . sy n a p s n e u ro n ó w (c zyli sty k ó w pom iędzy
n e u ro n a m i) w k o rze m ó zg o w e j c z ło w ie k a . Ile s y n a p s m a kora m ó zg o w a czło w iek a?
4 .9 3 . Ile je s t ró ż n y c h lic zb c z te ro c y fro w y c h , w k tó ry c h za p isie c y fra 5 w y s tę p u je :
a ) 2 ra z y
b ) n ie w ię c e j n iż d w a ra z y ?
4 .9 4 . Ile je s t lic zb s ie d m io c y fro w y c h , w k tó ryc h za p isie cyfra 4 w y s tę p u je trz y razy,
c y fra 5 - d w a ra zy, a c y fra 0 a n i ra z u ?
4 .9 5 . Ile je s t liczb o ś m io c y fro w y c h , w k tó ryc h zap isie 0 w y s tę p u je 5 razy, a^pozostałe c y f r y s ą n ie p a rz y s te ?
4 .9 6 . Ile je s t liczb p ię c io c y fro w y c h , w k tó ryc h za p isie 0 w y s tę p u je co n ajw yże j raz,
a c y fra je d n o ś c i je s t w ię k s z a od 6 ?
4 .9 7 . Ile je s t liczb o ś m io c y fro w y c h , w k tó rych za p isie c y fra 2 w y s tę p u je t rz y rś z y ,
c y f r ą d z ie s ią te k je s t 7 , a p o zo stałe c y fry są ró żn e i in n e niż w y m ie n io n e c y fry ?
4 .9 8 . S to n o g a - w b r e w n a zw ie - m a ty lk o Siedem p a r nóg. Na nogi rha w ło żyć sie
d e m p a r k a lo szy (każd a p ara je s t w in n ym k o lo rze ). Na ile sp o so b ó w m oże to Zrobić,
je ś li;
||
a ) n ie ro zró ż n ia k o lo ró w an i b u tó w le w ych i p raw ych
b ) ro z ró ż n ia k o lo ry (n a każd ą p arę nóg w ło ży b u ty w tym sam ym k o lo rz e );le c z nie
r o z ró ż n ia b u tó w le w y ch i p raw ych
c)
n ie ro z ró ż n ia k o lo ró w , le cz rozróżnia b u ty le w e i p raw e
d ) r o z ró ż n ia k o lo ry i ro zró żnia b u ty le w e i p ra w e ?
4 .9 9 . W p rz e d z ia le w ag o n u k o le jo w e g o je s t o sie m n u m e ro w an ych m ie jsc (w dwóch
r z ę d a c h n a p rz e c iw k o s ie b ie ). Do p rzed ziału w e sz ły cz te ry osoby. Na il& sp osob ów
m o g ą o n e z a ją ć m ie js c a w ty m p rzed ziale , ta k ab y:
a ) w k a ż d y m rzę d z ie s ie d z ia ły po d w ie o so b y n ap rze ciw ko osób siedzących w dru
g im rz ę d z ie
4. Kombinatoryka l rachunek prawdopodobieństwa
b) trz y u s ta lo n e o so b y sie d z ia ły p rzod em do kieru n ku jazd y, czw arta - n ap rze ciw ko
je d n e j z trz e c h o só b ?
4 . 1 0 0 . M a m y 12 k sią że k , w śró d któ rych są książki A , B, C. W k ład am y je do trzech
p o n u m e ro w a n y ch p u d e łe k , do każdego po 4 książki. Ile je s t m o żliw ości takieg o uło
żen ia k sią że k w p u d e łk a c h , a b y:
a) w p ie rw szy m p u d e łku zn alazły się książki A i B, a w trzecim - książka C
b) książk i A , B i C zn a la z ły się w tym sam ym p ud ełku?
4 . 1 0 1 . P ię tn a ś cie o só b trze b a p od zielić na trzy grupy, po p ięć osób w każdej g ru p ie.
Na ile sp o so b ó w m o żn a to zro b ić, je śli upo rządkow an ie w grupie nie ma znaczenia
o raz:
a) k o le jn o ść grup je s t isto tn a
b) k o le jn o ść grup n ie je s t isto tn a?
4 . 1 0 2 . Ile je s t w szystkich p o d zbio ró w zbioru:
a) c z te ro e le m e n to w e g o
b) pięcioelem ento w eg o?
4 . 1 0 3 . Ze zb io ru liczb {1 , 2 , 3 , . . . , 1 5} losu jem y jedn o cześn ie d w ie . Ile je s t m ożli
w y ch w y n ik ó w lo so w a n ia , ta k ab y:
a) su m a obu liczb była p arzysta
b) sum a obu liczb była nieparzysta
c) ilo czyn obu liczb b ył p arzysty
d) iloczyn obu liczb był podzielny przez 8 ?
4 . 1 0 4 . Ze zb ioru liczb { 1 , 2 , 3 , . . . , 1 1 } losu jem y jedno cześnie trzy. Ile je s t m o żliw ych
w y n ik ó w lo so w a n ia , ta k a b y:
a) su m a w ylo so w a n yc h liczb była nieparzysta
b) iloczyn w ylo so w a n yc h liczb był nieparzysty
c) iloczyn w ylo so w a n yc h liczb był parzysty
d) iloczyn w ylo so w a n yc h liczb był podzielny przez 10?
4 . 1 0 5 . Ile je s t liczb p iętn asto cyfro w ych , w których sum a cyfr je st rów na 3?
4 . 1 0 6 . Ile je s t liczb d w u d zie sto cyfro w ych , w których sum a cyfr je st rów na 4 ?
4 . 1 0 7 . Ile je s t liczb sze ścio cyfro w ych , w których zapisie cyfry tw o rzą ciąg rosnący?
4 . 1 0 8 . Ile je s t liczb sze ścio cyfro w ych , w których zapisie cyfry tw o rzą ciąg m alejący?
4 . 1 0 9 . Ile je s t liczb p ięcio cyfro w ych , w których zapisie w ystęp u je cyfra 7 i cyfry
tw o rz ą ciąg ro sn ący?
4 . 1 1 0 . Ile je s t liczb p ięcio cyfro w ych , w których zapisie w ystęp u je cyfra 6 i cyfry
tw o rz ą ciąg m a le ją c y?
121
122
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
4 .1 1 1 . Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie cyfry tworzą ciąg niemalejący?
* 4 .1 1 2 . Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie cyfry tworzą ciąg nlerosnący?
4 .1 1 3 .
a)
Ile jest liczb czterocyfrowych, w których zapisie cyfry tworzą ciąg:
rosnący
*4.114.
*b) niemalejący?
Ile różnych napisów trzyliterowych złożonych z różnych liter można otrzy-
m ać z 24 liter alfabetu, zakładając, że litery w każdym napisie należą do grupy skła
dającej się z pięciu stojących obok siebie w alfabecie liter?
* 4.115.
Rozważmy równanie x + y + z = 10. Jego rozwiązaniami są uporządkowane
trójki liczb. Ile jest takich rozwiązań, które składają się z trzech liczb naturalnych?
*4.116.
Ile jest rozwiązań równania x + y + Zf= 10, które składają się z trzech liczb I
naturalnych dodatnich?
Doświadczenie losowe
4.117.
Zapisz przestrzeń zdarzeń elementarnych dla następujących doświadczeń
losowych:
a) rzut kostką sześcienną, której trzy ściany pomalowane są na czerwono, je d n a na
biało, jedna na żółto i jedna na niebiesko
b) rzut dwiema kostkami sześciennymi (z oczkami odpowiednio od 1 do 6)
c) rzut kostką sześcienną i monetą
d) rzut trzema monetami.
4.118.
Zapisz przestrzeń zdarzeń elementarnych dla następujących doświadczeń
losowych:
a) losowanie jednej kuli z urny, w której są 3 kule białe, 2 czerwone i 1 niebieska
(kule w tym samym kolorze są rozróżnialne)
b) losowanie jednocześnie dwóch kul z pojemnika, w którym są 2 kule białe i 3 czer
wone
c) losowanie jednocześnie trzech osób z grupy złożonej z pięciu osób: A, B, C, D, E
d) losowanie grupy pięciu osób z grupy złożonej z sześciy osób A, B, C, D, E, F.
4. Kom blnatoryka I rachunek prawdopodobieństwa
4 .1 1 9 . Zapisz przestrzeń zdarzeń elementarnych dla następujących doświadczeń
losowych:
a) losowanie kolejno dwóch elementów: pierwszego ze zbioru {a, b, c}, drugiego ze
zbioru { 1 ,2 , 3 ,4 }
b) losowanie kolejno ze zwracaniem trzech liter ze zbioru {A, B, C, D, E}
c) losowanie kolejno bez zwracania trzech liter ze zbioru {A, B , C, D, E, F}
d) losowanie kolejno czterech cyfr ze zwracaniem ze zbioru {1 ,2 ,3 }.
4 .1 2 0 . Ze zbioru cyfr { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 } losujemy kolejno trzy cyfry I tworzymy liczbę
trzycyfrową, w której cyfrą setek, dziesiątek i jedności są odpowiednio wylosowane
kolejno cyfry. Opisz symbolicznie przestrzeń zdarzeń elementarnych tego doświad
czenia i określ liczbę tych zdarzeń elementarnych w przypadku, gdy:
a) losowanie odbywa się ze zwracaniem
b) losowanie odbywa się bez zwracania.
4 .1 2 1 . B a r t e k i H u b e r t g r a ją w p e w n ą g rę . K a ż d y w s w o je j k o le jc e w y k o n u je r z u t
t r z e m a m o n e t a m i o r ó ż n y c h n o m in a ła c h : 1 0 gr, 2 0 gr, 5 0 g r i z a p is u je n a k a r t c e
p o s z c z e g ó ln e n o m in a ły lu b w p is u je d la d a n e j m o n e t y w a r t o ś ć 0 , je ś li w y p a d ł o r z e ł.
W y p is z w s z y s t k ie m o ż liw e w y n ik i t a k ie g o r z u t u . Ile je s t w s z y s t k ic h z d a rz e ń e le m e n
t a r n y c h t e g o d o ś w ia d c z e n ia ?
4 .1 2 2 . P io t r e k z t a lii k a r t w y b r a ł s a m e f ig u r y , t z n . p o c z t e r y a s y , k ró le , d a m y , w a le t y .
N a s t ę p n ie p r z e t a s o w a ł w y b r a n e k a r t y i w y lo s o w a ł k o le jn o t r z y s p o ś ró d n ic h : p ie r w
s z ą o t r z y m a ła je g o s io s t r a T e r e s a , d ru g ą - b ra t J a n u s z , a t r z e c ią z a c h o w a ł d la s ie b ie .
Z a p is z s y m b o lic z n ie p r z e s t r z e ń z d a r z e ń e le m e n t a r n y c h i p o d a j lic z b ę t y c h z d a rz e ń
e le m e n t a r n y c h .
4 .1 2 3 . B a s ia m a w d w ó c h p u d e łk a c h k a rt k i z z a p is a n y m i c y f r a m i, p o je d n e j n a k a ż
d e j k a r t c e : w p ie r w s z y m p u d e łk u s ą 4 k a rt k i z c y f r a m i 1 , 2 , 3 , 4 , w d ru g im - d w ie
k a rt k i z c y f r a m i 5 i 6 . B a s ia c h c e w y b r a ć lo s o w o je d n ą c y fr ę w n a s t ę p u ją c y s p o s ó b .
W y k o n a r z u t m o n e t ą : je ś li w y p a d n ie r e s z k a , t o B a s ia w y lo s u je k a r t k ę z p ie r w s z e g o
p u d e łk a ; je ś li w y p a d n ie o r z e ł , t o d z ie w c z y n k a w y b ie r z e lo s o w o k a rt k ę z d ru g ie g o
p u d e łk a . W y p is z w s z y s t k ie z d a r z e n ia e le m e n t a r n e d a n e g o d o ś w ia d c z e n ia lo s o w e g o .
Zdarzenia. Działania na zdarzeniach
4 .1 2 4 .
N ie c h A , B b ę d ą d o w o ln y m i z d a r z e n ia m i z a w a r ty m i w p r z e s t r z e n iQ . Z a p iś z
za p o m o c ą A , B, A ' lu b B' n a s t ę p u ją c e z d a r z e n ia :
a ) z a s z ło c o n a jm n ie j je d n o ze z d a r z e ń A , B
b ) z a s z ło t y lk o je d n o ze z d a r z e ń A , B
123
124
M atem atyka. Z b ió r zadań. K la sa 3.
c) z a s z ły o b a z d a r z e n ia A i B
d) z a s z ło z d a r z e n ie A i n ie z a s z ło z d a r z e n ie B
e ) n ie z a s z ło z d a r z e n ie A a n i z d a r z e n ie B
f ) n ie z a s z ło z d a r z e n ie A lu b z a s z ło z d a r z e n ie B.
4.125.
D o ś w ia d c z e n ie lo s o w e p o le g a n a w y lo s o w a n iu j e d n e j k a r t y z t a l i i 5 2 k a r t .
O z n a c z m y z d a r z e n ia :
A
- w y lo s o w a n a k a r t a j e s t p ik ie m ,
B-
w y lo s o w a n a k a r t a j e s t k o lo r u c z e r w o n e g o ,
C - w y lo s o w a n a k a r t a j e s t a s e m . O p is z s ł o w a m i z d a r z e n i a : A n C, B n C,
A-
C, B ',
0 '- A > 4 'n C .
4.126.
Doświadczenie losowe polega na w ylosow aniu jed n ej liczby ze zbioru {10,
11, 12, 13, 14, 15}. Oznaczm y zdarzenia:
szą,
B-
A-
w yloso w an a liczba je st liczbą pierw
w ylosowana liczba je st w iększa od 12, C - w ylo so w an a liczba je st podziel-
na przez 3. Wypisz zdarzenia elem en tarn e sprzyjające zd arzenio m :
A, B,C, A - B,
4 'u C ,C n 8 ',> 4 'u 8 '.
4.127.
Rzucam y je d e n raz m o n etą i je d e n raz sze ście n n ą kostką do gry, która na
poszczególnych ściankach m a liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6. W yp isz zd arze n ia e le m e n ta rn e
^
sprzyjające zd arzenio m :
l
A - wypadł orzeł lub reszka i liczba 5
B - w yp ad ła reszka i liczba o czek b ę d ą ca liczb ą p ie rw szą
C - w yp ad ła liczba b ę d ą ca d zieln ikiem liczb y 12
D-
w y p a d ł o rze ł lub w yp ad ła liczba 1.
4.128. Klasa lila liczy 32 uczniów, z których 15 trenuje siatkówkę, 12 trenuje ko
szykówkę, a tylko 8 osób nie trenuje żadnej z wymienionych dyscyplin. Liczba osób
trenujących jednocześnie siatkówkę i koszykówkę jest najmniejsza z możliwych. Wy
bieramy losowo jedną osobę z tej klasy. Niech S oznacza zdarzenie: wybrana osoba
trenuje siatkówkę, zaś K - zdarzenie, że wybrana osoba trenuje koszykówkę. Opisz
zdarzenie S - K i podaj, ile zdarzeń elementarnych sprzyja temu zdarzeniu.
Zadanie to można rozwiązać w następujący sposób. Tworzymy diagram przedsta
z wyróżnionymi zdarzeniami S i K oraz podajemy moc poszcze
gólnych zdarzeń na diagramie. W tym celu ustalamy moc zdarzenia S n K (która jest
wiający przestrzeń
najmniejsza z możliwych):
S u K = 3 2 -8 = 24, stąd
S n K = 15 + 1 2 - 2 4 = 3
Otrzymujemy:
S - K zdarzenie, że losowo wybrana osoba trenuj
siatkówkę i jednocześnie nie trenuje koszykówki
5—A
C'= 12
125
4 . K o m b in a to ryk a i rachun ek praw dopodobieństw a
N a p o d s t a w ie p o w y ż s z e g o d ia g r a m u o p is z s ło w n ie z d a r z e n ia :
a)
i
(K - S )v (S - K )
b)
K 'n S '
p o d a j m o c k a żd e g o z ty c h zd a rze ń .
4.129.
P o n iż s z y d ia g r a m p r z e d s t a w ia , ile o s ó b je s t w k la s ie lllc o ra z ile s p o ś ró d n ic h
u c z y s ię p o s z c z e g ó ln y c h ję z y k ó w o b c y c h : ję z y k a a n g ie ls k ie g o [A), ję z y k a n ie m ie c k ie g o ( N) i ję z y k a f r a n c u s k ie g o (F). W ia d o m o , że ka żd a o s o b a z t e j k la s y u c z y s ię c o n a j
m n ie j je d n e g o ję z y k a o b c e g o . Z k la s y lllc w y b r a n o lo s o w o je d n ą o s o b ę . Ile z d a rz e ń
e le m e n t a r n y c h s p r z y ja z d a r z e n iu , że w y b r a n a o s o b a :
a ) u c z y s ię je d n o c z e ś n ie w s z y s t k ic h w y m ie n io n y c h j ę
zykó w
b ) u c z y s ię ję z y k a n ie m ie c k ie g o lu b fra n c u s k ie g o
c)
n ie u c z y s ię ję z y k a n ie m ie c k ie g o
d ) u c z y s ię c o n a jm n ie j d w ó c h ję z y k ó w
e ) u c z y s ię ję z y k a a n g ie ls k ie g o i n ie u c z y s ię ję z y k a
f r a n c u s k ie g o
f)
n ie u c z y s ię ję z y k a n ie m ie c k ie g o lu b n ie u c z y s ię j ę
z y k a f r a n c u s k ie g o ?
Z a p is z t e z d a r z e n ia za p o m o c ą z d a rz e ń A , F, N.
4.130. W
k la s ie llld j e s t 1 8 d z ie w c z ą t i 1 4 c h ło p c ó w , z k tó ry c h 2 2 o s o b y u c z ę s z c z a ją
n a k o ło c h e m ic z n e lu b k o ło b io lo g ic z n e ja k n a d ia g ra m ie p o n iż e j. Z t e j k la s y w y b r a n o
lo s o w o j e d n ą o s o b ę . N ie c h z d a r z e n ia A , B, C, D o z n a c z a ją o d p o w ie d n io z d a r z e n ia :
ABCD-
w y b r a n a o s o b a c h o d z i n a k o ło c h e m ic z n e
w y b r a n a o s o b a c h o d z i n a k o ło b io lo g ic z n e
w y b r a n a o s o b a je s t c h ło p c e m
w y b r a n a o s o b a je s t d z ie w c z y n ą .
Ile z d a r z e ń e le m e n t a r n y c h s p r z y ja z d a r z e n io m :
b) D n ( A u B )
a) 4 u C
d)
A' u B'
e)
B' r \ D
c )C n B '
f ) A n (C u 0 ) ?
O p is z s ł o w n ie p o w y ż s z e z d a r z e n ia .
4.131.
D o ś w ia d c z e n ie lo s o w e p o le g a n a je d n o k r o t n y m r z u c ie d w ie m a s z e ś c ie n
n y m i k o s t k a m i d o g r y : c z a r n ą i z ie lo n ą . Ile je s t t a k ic h w y n ik ó w d o ś w ia d c z e n ia , d la
k tó r y c h s u m a o c z e k n a o b u k o s t k a c h je s t p o d z ie ln a p rz e z 3 ?
Z a d a n ie t o
m o ż e m y r o z w ią z a ć , w y k o r z y s t u ją c p o n iż s z ą t a b e lk ę . W
p ie r w s z y m
w ie r s z u t e j t a b e lk i w p is u je m y lic z b y o c z e k , ja k ie m o g ą w y p a ś ć n a z ie lo n e j k o s t
c e , a w p ie r w s z e j k o lu m n ie o d le w e j - lic z b y o c z e k , k tó re m o g ą w y p a ś ć n a c z a rn e j
k o s t c e . W p o z o s t a ły c h p o la c h w p is u je m y s u m y o c z e k o d p o w ia d a ją c e p o s z c z e g ó l
n y m w y n ik o m d o ś w ia d c z e n ia .
4
5
6
Suma
1
2
3
1
2
3___
4
5
6
7
7
8
8
9
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
9
10
10
ii
WS
12
5
6
7
8
9
6
7
8
9
10
N a k o n ie c lic z y m y p o la , na k tó ry c h w y s tę p u ją lic z b y p o d z ie ln e p rz e z 3 : j e s t ich 1 2 .
P o s tę p u ją c a n a lo g ic z n ie , o b lic z , ile je s t m o ż liw y c h w y n ik ó w te g o d o ś w ia d c z e n ia , dla
k tó ry c h ilo c zyn o c ze k na o b u k o stk a c h je s t n ie w ię k s z y n iż 1 2 .
4 .1 3 2 . Ze zb io ru {1 , 2 , 3 , 4 , 5 } lo s u je m y d w a r a z y p o je d n e j lic z b ie . O b lic z , ile zd a
rze ń e le m e n ta rn y c h s p rzy ja zd a rze n iu A - s u m a w y lo s o w a n y c h lic z b je s t lic z b ą p a
rz y s tą , je ś li:
a)
lo s u je m y ze z w ra c a n ie m
b) lo s u je m y b ez z w r a c a h ia .
4 .1 3 3 . Ze zb io ru { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } lo s u je m y d w a ra z y p o je d n e j lic z b ie . O b lic z , ile
zd a rze ń e le m e n ta rn y c h sp rzy ja zd a rze n iu A - ilo c zyn w y lo s o w a n y c h lic z b je s t lic zb ą
p o d z ie ln ą p rzez 2 i p rzez 3 , je ś li:
a)
lo s u je m y b ez zw ra c a n ia
b) lo s u je m y ze z w r a c a n ie m .
4 * 1 3 4 . R zu ca m y trz y k ro tn ie m o n e tą . O zn aczm y z d a rz e n ia : A — re s z k a w y p a d ła co
n a jw y ż e j ra z, B - o rze ł w y p a d ł co n a jm n ie j ra z, C —reszka w y p a d ła d w a ra zy.
a ) W y p is z zd a rze n ia e le m e n ta rn e sp rzy ja ją ce zd a rz e n io m : A, B, C, A ', B', C .
b ) Ja k a za le żn o ś ć zach o d zi m ię d zy zd arze n iam i A i 8 , t i B , A
C i B o ra z B' i >4?
c ) C o m o żn a p o w ie d zie ć o zd a rze n ia ch : B u C', B' n i C ? i i
4 .1 3 5 . D o św ia d cz e n ie lo so w e polega na p ię cio k ro tn ym rz u c ie m o n e t ą . N ie c h A
o z n a cza zd a rz e n ie : co n a jm n ie j raz w y p a d ł orze ł, zaś B - reszka w y p a d ła co n a jw y ż e j
3 ra zy.
a ) O p isz zd a rze n ia p rz e c iw n e d o zd arzeń A i B . Podaj licze b n o ść z b io ró w A ' i B'.
b ) C zy p ra w d z iw e s ą ró w n o ś c i: ( A u B )' = A ' u B' o raz (A n B )' = A ' n B '? O d p o
w ie d ź u z a s a d n ij.
4 .1 3 6 . Z g ru p y d w ó ch k o b iet i cz te re ch m ężczyzn lo su je m y trz y o s o b o w ą d e le g a c ję .
a ) Ile je s t w s z y s tk ic h zd arze ń e le m e n ta rn ych teg o d o św iad cze n ia?
b ) W y z n a c z lic zb ę e le m e n tó w sp rzy jających zdarzeniu A - w w y b ra n e j d e le g a c ji
z n a jd u je s ię co n a jm n ie j d w ó ch m ężczyzn .
c ) W y z n a c z lic zb ę e le m e n tó w sp rzy ja ją cyc h zdarzeniu B - w w y b ra n e j d e le g a cji
z n a jd u je s ię co n a jm n ie j je d n a k o b ieta.
d ) W y p is z e le m e n ty sp rz y ja ją c e zd arze n iu A ' o B .
127
4 . K o m b in a to ry k a i ra ch u n e k p ra w d o p o d o b ie ń stw a
Z talii 52 kart losujemy 7 kart. Niech A oznacza zdarzenie - wylosowaliśm y
B - wylosowaliśm y 2 damy, C - wylosowaliśmy co najwyżej 3 trefle. W yznacz
4 .1 3 7 .
4 asy,
liczbę zdarzeń elem entarnych sprzyjających zdarzeniu:
a) A n B
b)4u8
c)C
d)4nC'
O kreślenie prawdopodobieństwa
4 .1 3 8 . Dane są zdarzenia A, B a f i. Wiadomo, że P(A u ß) = 0,5
i P(A) = P{A n B) = | . Oblicz P(B), P(B-A).
4 .1 3 9 . Dane są dwa zdarzenia A, Bez Cl takie, że P(A') = 0,69 i P(B') = 0,3. Czy zda
rzenia A i B się wykluczają? Odpowiedź uzasadnij.
4 .1 4 0 . Dane są zdarzenia A, Bez Cl takie, że P(A) = 0,12 i P(B') = 0,7 oraz
P{A u B) = 0,4. Oblicz: P(A p\ B), P(A - B), P(A' n B).
4 .1 4 1 . Dane są zdarzenia A, Bez Cl. Wiadomo, że P(7T) «= 0,83 i P(B') = 0,88 oraz
P(A n B) = 0,04. Oblicz: P(A u B), P((A u B) - A ) , P(A n B').
4 .1 4 2 . Dane są zdarzenia A, B ez Cl. Wiadomo, że P[A’) = 0,91 i P(A o ß) = 0,01 oraz
P(A u B ) = 0,21. Oblicz: P(B), P(B- (A n ß)), P[(A u B) - ( A n B)).
4 .1 4 3 . O pewnym zdarzeniu Acz
nego zdarzenia Bez
Cl zachodzi
Cl wiadomo,
że P(Ar) > 0,9. Wykaż, że dla dowol
nierówność P(A n B ) < 0,2.
•' 2 * ..¡
3
4 .1 4 4 . O zdarzeniach A, Bez Cl wiadomo, że P(A') > - , P(B) = - oraz
i
8
3
P(A n B ) > - . Wykaż, że:
a) P(A - B
)
4
1B B
b) P(4
12
4 .1 4 5 . Kostka sześcienna została wykonana z materiału, który nie jest jednorodny.
Ścianka z jednym oczkiem wypada dwa razy częściej niż każda z pozostałych ścianek.
W ykonujemy jed en rzut tą kostką. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania niepa
rzystej liczby oczek.
128
Ma tematyka Zbiór zadań K lata 3 .
4 .1 4 6 . W rzucie niesymetryczną, sześcienną kostką ścianka z dwoma oczkami
i śc ia n k a z sześcioma oczkami wypada trzy razy częściej niż każda z p o zo s ta ły c h ścia
n e k . Rzucamy jeden raz tą kostką. O b licz prawdopodobieństwo wypadnięcia ścianki:
a ) z je d n y m o c zk ie m
b ) z s ze ścio m a o c zk a m i
c ) z p a rz y s tą liczb ą o cze k.
4 .1 4 7 . W p u d e łku z n a jd u ją się k a rtk i z ró żn ym i n u m e ra m i. P ra w d o p o d o b ie ń s tw o
w y lo s o w a n ia k a rtk i z n u m e re m n ie w ię k s z y m n iż 1 0 je s t ró w n e —, a p ra w d o p o d o
4
b ie ń s tw o w y lo s o w a n ia k a rtk i z n u m e re m n ie m n ie js z y m n iż 1 0 je s t ró w n e ~ . Oblicz
p ra w d o p o d o b ie ń stw o w y lo s o w a n ia k a rtk i z n u m e re m 1 0 .
4 .1 4 8 . B ia tlo n ista w je d n e j s e rii s trz e la p ię ć ra zy d o c e lu . P ra w d o p o d o b ie ń stw o ,
4
że tra fi co n a jm n ie j trz y razy, je s t ró w n e —, a p ra w d o p o d o b ie ń s tw o , że t ra fi co n aj
w y że j trz y razy, w y n o s i — . Ja k ie je s t p ra w d o p o d o b ie ń s tw o , że b ia tlo n is ta w je d n e j
s e rii tra fi d o c e lu trz y ra zy ?
Prawdopodobieństwo klasyczne
4 .1 4 9 . R zu ca m y s y m e try c z n ą , s z e ście n n ą k o stką d o gry. O b licz p ra w d o p o d o b ie ń
s tw o zd a rze n ia :
a ) w y p a d ła p arzysta liczb a o cze k lu b m n ie jsza niż 3
b) w y p a d ła n ie p a rzysta liczb a o cze k i je d n o c z e ś n ie n ie b ęd ąca d z ie ln ik ie m liczb y 6 .
4 .1 5 0 . R zu ca m y s y m e try c zn ą d z ie s ię c io ś c ie n n ą k o stką d o g ry, z c y fra m i n a ś cia n
k a ch od 0 d o 9 . O b licz p ra w d o p o d o b ie ń stw o , że w y lo s o w a n a c y fra je s t :
a ) lic zb ą p ie rw s z ą i n ie je s t liczb ą n ie p a rzy stą
b ) w y lo s o w a n a cy fra je s t p o d zie ln a p rzez 3 lub je s t w ię k sza od 7.
4 .1 5 1 . S ze ścia n p o m a lo w a n o , a n a stę p n ie ro zcię to na 6 4 je d n a k o w e sze ścia n ik i,
k tó re w rz u c o n o d o p u d e łka i w y m ie s z a n o . O b licz p ra w d o p o d o b ie ń s tw o w y lo s o w a
n ia z te g o p u d e łka je d n e g o sze ścia n ik a , k tó ry b ęd zie m ia ł:
a ) t rz y ś c ia n y p o m a lo w a n e
b) je d n ą lu b d w ie ś c ia n y p o m a lo w a n e .
4. Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
4 .1 5 2 . Z ta lii 5 2 k a rt lo su je m y je d n ą k artę . Oblicz p raw d o p o d o b ie ń stw o w ylo s o w a
nia k a rty , k tó ra je s t :
a) treflem lub pikiem
b) asem i nie jest treflem
c) k ró le m lu b k ie re m
d ) k a rtą m ło d szą od sió d e m k i (szóstka lub piątka lub czw ó rka lub tró jka lub d w ó jka ).
4 .1 5 3 . Ze zb io ru liczb d w u c y fro w y c h lo su jem y je d n ą liczbę. O blicz p raw d o p o d o
b ie ń s tw o zd a rze n ia :
a ) w y lo s o w a n a liczb a je s t p od zieln a przez 2 i przez 5
b) w y lo s o w a n a liczb a je s t p od zieln a przez 2 lub przez 5
c) w y lo s o w a n a liczb a je s t pod zielna przez 10 lub przez 15
d) w y lo s o w a n a liczba je s t pod zielna przez 15 i nie je s t p odzielna przez 2 0.
4 .1 5 4 . Ze zb io ru liczb trz ycyfro w ych lo su je m y je d n ą liczbę. O blicz p raw d op od o
b ie ń s tw o w y lo s o w a n ia :
a ) lic zb y p o d zie ln e j p rzez 2 lub przez 3
b) lic zb y p o d zie ln e j p rzez 5 i n ie p o d zieln e j przez 3
c ) liczby, k tó re j reszta z d zie le n ia przez 4 je s t rów n a 3
d ) liczby, k tó re j reszta z d zie le n ia przez 5 je s t rów n a 2 lub 4 .
4 .1 5 5 . Rzucamy kolejno trzy razy symetryczną monetą. Wypisz wszystkie zdarzenia
elementarne. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
a ) o rze ł w y p a d n ie co n a jw y że j raz
b) reszka w y p a d n ie co n a jm n ie j raz
c) za d ru g im raze m w y p a d n ie orze ł, a za trzecim reszka.
4 .1 5 6 . R zu ca m y d w ie m a sym e try czn ym i, sześcien n ym i kostkam i do gry. Oblicz
p ra w d o p o d o b ie ń s tw o zd a rze n ia , że su m a liczb w yrzu co n ych oczek je s t:
a ) m n ie js z a o d 1 0
b) p a rz y sta
c) p o d zie ln a p rzez 3
d) d z ie ln ik ie m lic z b y 2 4 .
4 .1 5 7 . R z u c a m y d w ie m a sym e try czn y m i, sze ście n n ym i kostkam i do gry. O blicz
p ra w d o p o d o b ie ń s tw o zd a rze n ia , że iloczyn liczb w yrzu co n ych oczek je s t:
a) w ię k s z y od 4 i m n ie js z y od 12
b) p o d zie ln y p rzez 4 lu b p rzez 6
c) p o d zie ln y p rzez 5 i n ie je s t p o d zie ln y przez 10
d) n ie m n ie js z y od s u m y w y rzu co n y c h oczek.
129
130
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
4 .1 5 8 . Ze zb ioru c y fr { 5 , 6, 7 , 8 } lo su je m y kolejn o ze zw ra ca n ie m d w ie c y fry i tw o
rzym y liczbę d w u c y fro w ą . W yp isz w szystkie zd arzen ia e le m e n ta rn e teg o d o św iad
czen ia loso w eg o. O blicz p raw d o p o d o b ie ń stw o zd arze n ia:
a) u tw o rzo n a liczba je s t w iększa od 65
b) u tw o rzo n a liczba je s t p odzielna przez 4
c) su m a c y fr te j liczby je s t liczbą p ierw szą
d) cyfra d zie siąte k różni się od cy fry je d n o ści o 1 .
4 .1 5 9 . Ze zbioru cy fr { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } lo su je m y bez zw racan ia k olejn o d w ie c y fry i tw o
rzym y liczbę d w u c yfro w ą . O blicz p raw d o p o d o b ie ń stw o zd arze n ia, że:
a ) u tw o rzo n a liczba je s t p arzysta
b) u tw o rzo n a liczba je s t niepo dzielna przez 3
c) co n ajm n ie j je d n a z cy fr tej liczby je s t p ierw sza
d ) różnica cy fr te j liczby je s t podzielna przez 2 .
4 .1 6 0. Ze zbioru cyfr { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6, 7 , 8, 9 } lo su je m y ze zw racan ie m kolejno dw ie
c y fry i tw o rzym y liczbę d w u c y fro w ą . O blicz p raw d o p o d o b ie ń stw o zd arze n ia:
a) utw o rzon a liczba je s t podzielna przez 1 1
b) u tw o rzon a liczba je s t nieparzysta
c) iloczyn cy fr te j liczby je s t w ię kszy od 50
d) co n ajm n ie j je d n a cyfra te j liczby je s t p arzysta.
4.161. Ze zb ioru liczb d w u cyfro w ych dod atn ich lo su je m y kolejno d w a razy ze zw ra
can ie m je d n ą liczbę. O blicz p raw d op od obień stw o zd arzen ia:
a) za p ierw szym razem w ylo su je m y liczbę w ię kszą niż za drugim razem
b) su m a w ylo so w an ych liczb będzie liczbą m n iejszą od 30.
4 .1 6 2. Ze zbioru cy fr ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6, 7 , 8, 9 } lo su jem y kolejno d w ie c yfry bez zw ra
can ia i tw o rz y m y liczbę d w u c yfro w ą . O blicz p raw d op od obień stw o zd arzen ia, że
a ) o trzym an a liczba je s t w iększa od 35
b) o trzym an a liczba je s t p odzielna przez 6 .
4 .1 6 3 . R zucam y d w ie m a d ziesięciościen n ym i sym etryczn ym i kostkam i, każda
z liczb am i o d p o w ied n io 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6, 7 , 8, 9 na poszczególnych ścian kach . Oblicz
p ra w d o p o d o b ie ń stw o zd arzenia:
a ) su m a otrzym an ych liczb je s t podzielna przez 7
b) ilo czyn otrzym an ych liczb je s t podzielny przez 15.
4 .1 6 4 . C zte ry p o n u m e ro w an e kule um ieszczono losow o w czterech p on u m erow a
n ych szu fla d a c h . Oblicz praw d op od obień stw o zd arzenia:
a ) każda kula tra fi do innej szu flady
b) w s zy s tk ie kule tra fią do je d n e j szuflady.
4. Kom binatoryka i rachunek praw dopodobieństw a
4 .1 6 5 . Na parterze bloku mającego (oprócz parteru) 6 pięter wsiadło do windy
5 osób. Oblicz prawdopodobieństwo, zdarzenia:
a) wszystkie osoby wysiądą na jednym piętrze (kolejność wychodzenia z windy na
jednym piętrze nie jest istotna)
b) każda osoba wysiądzie na innym piętrze.
4 .1 6 6 . Rzucamy trzema czworościennymi symetrycznymi kostkami z liczbami 1, 2,
3 ,4 na poszczególnych ściankach. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma
wylosowanych liczb jest podzielna przez 3.
4 .1 6 7 . Rzucamy trzema symetrycznymi, sześciennymi kostkami do gry. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma otrzymanych oczek jest liczbą podzielną
przez 8 i jednocześnie niepodzielną przez 16.
4 .1 6 8 . W szeregu ustawiamy losowo 3 kobiety i 4 mężczyzn. Oblicz prawdopodo
bieństwo zdarzenia, że:
a) najpierw stoją kobiety, a potem mężczyźni
b) żadne dwie osoby tej samej płci nie stoją obok siebie.
4 .1 6 9 . Sześciu przyjaciół, wśród nich Jacek i Placek, wybrało się do kina. Mają bi
lety z kolejnymi miejscami w jednym rzędzie. Zakładając, że usiądą losowo na tych
miejscach, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
a) Jacek i Placek usiądą na miejscach najbardziej od siebie odległych
b) Jacek i Placek usiądą na dwóch pierwszych miejscach, w podanej kolejności,
licząc od lewej strony
c) między Jackiem i Plackiem usiądzie jeszcze jedna osoba.
4 .1 7 0 . Kasia w jednej szufladzie ma 3 czapki: białą, czarną i zieloną, a w drugiej
szufladzie cztery szaliki: biały, czarny i dwa zielone. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia, że wybierając losowo jedną czapkę i jeden szalik, Kasia wybierze czapkę
i szalik w jednym kolorze.
4 .1 7 1 . W pudełku znajdują się rozróżnialne kule: 5 kul niebieskich, 4 kule czerwo
ne i jedna zielona. Losujemy kolejno dwa razy po jednej kuli. Oblicz prawdopodo
bieństwo zdarzenia, że wylosowane kule są różnego koloru, jeśli losowanie odby
wało się:
a) bez zwracania pierwszej wylosowanej kuli do pudełka
b) ze zwracaniem pierwszej wylosowanej kuli do pudełka.
4 .1 7 2 . W klasie lllc jest 21 dziewcząt i 11 chłopców. Wybieramy kolejno dwie osoby
i tworzymy parę przedstawicieli klasy na szkolną uroczystość. Oblicz prawdopodo
bieństwo zdarzenia, że w wybranej parze znajduje się:
131
a) jedna dziewczynka i jeden chłopiec
b) co najmniej jedna dziewczynka.
Czy prawdopodobieństwa te ulegną zmianie, gdy wybierzemy od razu dwie osoby
(bez ustalania kolejności)? Wykonaj odpowiednie obliczenia.
4.173.
W pudełku znajdują się 4 losy wygrywające i 6 losów pustych. Losujemy
kolejno, bez zwracania, dwa razy po jednym losie. Oblicz prawdopodobieństwo wy
losowania:
a) dwóch losów wygrywających
b) co najmniej jednego losu wygrywającego.
Czy prawdopodobieństwa te ulegną zmianie, gdy wybierzemy od razu dwa losy (bez
ustalania ich kolejności)? Wykonaj odpowiednie obliczenia.
4.174.
Student umie odpowiedzieć na 30 spośród 50 pytań zamieszczonych w ze
stawie egzaminacyjnym. Losuje kolejno dwa pytania. Jeśli odpowie dobrze na przy
najmniej jedno z nich, to zda egzamin. Oblicz prawdopodobieństwo, że student zda
egzamin.
4.175. Na loterii znajduje się 6 losów wygrywających: jeden z wygraną 30 zł, dwa
- po 20 zł i trzy - po 10 zł. Pozostałe 4 losy są puste. Wybieramy losowo dwa losy.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wygramy kwotę równą 30 zł.
4.176. Partię 50 sztuk towaru poddaje się kontroli w następujący sposób. Losuje
się dwie sztuki i sprawdza ich jakość. Jeśli co najmniej jedna z nich jest wadliwa, to
odrzuca się całą partię. W przeciwnym przypadku partia zostaje przyjęta. Co jest bar
dziej prawdopodobne: odrzucenie partii zawierającej 4% sztuk wadliwych, czy przy
jęcie partii zawierającej 70% sztuk wadliwych? Wykonaj odpowiednie obliczenia.
4.177. Partię 60 sztuk towaru poddaje się kontroli przez wylosowanie trzech sztuk
i sprawdzenie ich jakości. Partię towaru odrzuca się, jeśli co najmniej jedna wyloso
wana sztuka jest wadliwa. W przeciwnym przypadku partia towaru zostaje przyjęta.
Co jest bardziej prawdopodobne: odrzucenie partii zawierającej 5% sztuk wadli
wych, czy przyjęcie partii zawierającej 65% sztuk wadliwych?
4.178.
W pudełku znajdują się rozróżnialne kule: 3 kule białe, 4 czarne i-5 nie
bieskich. Wybieramy losowo trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że
w ylosowane kule będą:
a) każda w innym kolorze
b) w jednym kolorze.
4. Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
133
4 .1 7 9 . Z ta lii 24 k art (asy, kró le, dam y, w ale ty, d ziesiątki, d zie w iątk i) lo su je m y
5 k art. O blicz p raw d o p o d o b ie ń stw o zdarzenia:
a)
w szystk ie w y lo s o w a n e k arty są tego sam ego koloru (p ik, kier, karo alb o tre fl)
b)
w śró d w ylo so w a n yc h kart zn ajd u ją się co najm n iej 3 asy
* c ) o trzym a liśm y je d n ą tró jkę (figu r lub dziesiątek lub d zie w iąte k) i je d n ą p arę
(fig u r lub d zie siąte k lub d zie w iąte k)
*d ) d w ie różne p ary (n p . d am a, d am a, d ziesiątka, d ziesiątka, kró l).
4 .1 8 0 . W k lasie lila je s t o 4 ch ło pców w ię ce j niż d ziew cząt. Praw d o p o d o b ień stw o ,
że lo so w o w yb ra n a osoba z te j klasy je st d ziew czynką, je s t rów n e J*-. O blicz, ile
16
osób je s t w klasie lila .
4 .1 8 1 . W pudełku z m askotkam i były m isie i pieski, przy czym m isió w było trz y razy
w ię c e j niż piesków . W yb ie ram y kolejno bez zw racania dw a razy po je d n e j m askotce.
P raw d o p o d o b ie ń stw o w ylo so w an ia za pierw szym razem m isia i za drugim razem
p ieska je s t ró w n e
O blicz, ile piesków i ile m isió w było na początku w p ud ełku.
76
4 .1 8 2 . Ze zbioru liczb { 1 , 2 , 3 , ..., n}, gdzie n e /Vv n £ 2, losu jem y kolejno d w a razy
je d n ą liczbę ze zw racan ie m . Praw do po do bieństw o otrzym ania za pierw szym razem
liczby w ię ksze j niż za drugim razem je s t rów ne ^
. Oblicz n.
4 .1 8 3 . Ze zbioru w ie rzch o łkó w pew nego w ielokąta w ypukłego w yb ie ram y loso w o
d w a w ie rz ch o łk i. P raw do po do bień stw o zdarzenia, że w yb ran e w ierzch ołki w y zn a
czają p rzekątn ą tego w ie lo k ą ta , je s t rów ne 0 ,8 . Ile w ierzch ołków ma w ie lo k ą t?
4 .1 8 4 . W k lasie lllb , liczącej m niej niż 30 osób, je st 15 d zie w cząt i p ew na liczba
ch ło pców . W yb ie ram y d w ie oso by z tej klasy. Praw dopodobieństw o zd arzen ia, że
w śró d w yb ra n yc h osób je s t je d n a d ziew czynka i je d e n chłopiec, je s t rów n e 0 ,5 . Ilu
ch ło p có w je s t w te j klasie ?
4 .1 8 5 . W p ud ełku je s t p ew n a liczba kul białych i je d n a kula czarn a. Losu jem y je d n ą
ku lę, za trzym u je m y ją , a następ n ie z pozostałych kul losujem y je d n ą kulę. Ile p o w in
no być kul białych w p ud ełku, ab y p raw d op od obieństw o w ylo so w an ia d w ó ch kul
2
białych było ró w n e - ?
4 .1 8 6 . W koszu je s t p ew n a liczba piłek do siatkó w ki i m niejsza liczba piłek do ko
szyków ki - razem 9 p iłek. Ile je s t w koszu piłek do siatkó w ki, je śli przy je d n o cze sn ym
loso w aniu d w ó ch p iłek p raw d o p o d o b ień stw o w ylo so w an ia piłek do te j sam e j d ys
cyp liny sp o rto w e j je s t takie sam o ja k praw d op od obieństw o w ylo so w an ia do d w ó ch
różnych d yscyp lin ?
134
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
4 .1 8 7 . W sklepie w kartonie znajduje się 20 żarówek, w tym pewna liczba żarówek
wadliwych. Wybieramy losowo dwie żarówki. Ile co najwyżej dobrych żarówek znaj
duje się w tym kartonie, jeżeli prawdopodobieństwo wylosowania jednej żarówki
dobrej i jednej wadliwej jest większe od 0, 1 ?
4 .1 8 8 . W pudełku znajduje się 8 losów pustych i pewna liczba losów wygrywają
cych. Wybieramy losowo dwa losy. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej
jednego losu wygrywającego jest większe od — . Ile było losów wygrywających w
45
pudełku przed losowaniem?
Doświadczenia losowe wieloetapowe
4 .1 8 9 . W rzucie niesymetryczną monetą prawdopodobieństwo otrzymania orła
iest równe f*
a reszki - - . Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dwóch orłów
5
w trzykrotnym rzucie tą monetą.
4 .1 9 0 . Na sześciennej, symetrycznej kostce do gry cztery ściany są pomalowane
na biało, a dwie na czerwono. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wykonując
trzy rzuty tą kostką, otrzymamy ścianę czerwoną:
a) tylko jeden raz
b) co najwyżej raz.
4 .1 9 1 . Symetryczna, sześcienna kostka do gry ma cyfrę 1 na jednej ścianie, cyfrę
2 na dwóch ścianach i cyfrę 3 na trzech ścianach. Wykonujemy dwukrotny rzut tą
kostką i z cyfr, które otrzymaliśmy, tworzymy liczbę dwucyfrową. Narysuj drzewo dla
tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
a) otrzymana liczba dwucyfrowa jest pierwsza
b) cyfra dziesiątek otrzymanej liczby jest większa od cyfry jedności.
4 .1 9 2 . Mamy sześcienną kostkę, w której na jednej ściance znajduje się cyfra 1, na
dwóch ściankach znajduje się cyfra 2, a na trzech pozostałych ściankach - cyfra 3.
Rzucamy trzykrotnie tą kostką i tworzymy liczbę trzycyfrową z otrzymanych cyfr.
Oblicz prawdopodobieństwo, że powstała liczba jest utworzona z jednakowych cyfr.
4 .1 9 3 . Michał trenuje koszykówkę. Średnio trafia do kosza z linii rzutów wolnych 8
razy na 10 rzutów. Sędzia podyktował trzy rzuty wolne w wykonaniu Michała. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia, że Michał trafi do kosza co najmniej dwa razy.
4 . K o m b ln a to ry k a i ra c h u n e k p ra w d o p o d o b ie ń stw a
135
4.194.
Strzelec trafia do tarczy z prawdopodobieństwem 0,7. Ma 4 naboje. Posta
nowił strzelać do pierwszego trafienia lub do wyczerpania nabojów. Oblicz prawdo
podobieństwo zdarzenia, że strzelec trafi do tarczy.
4.195.
Na strzelnicy w wesołym miasteczku można wygrać wielkiego pluszowego
misia w następujący sposób. Kupujemy 1 próbę polegającą na rzucie strzałką do krę
cącej się tarczy, na której znajdują się takiej samej wielkości 4 pola czerwone, 8 pól
żółtych i 12 pól czarnych. Jeśli strzałka trafi w pole czerwone, to wygrywamy misia;
jeśli w pole czarne, to przegrywamy; a jeśli w pole żółte, to powtarzamy rzut. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupując 1 próbę, wygramy misia w co najwyżej
dwóch rzutach.
4.196.
Ktoś wkłada losowo 12 biletów do kina (na numerowane od 1 do 12 miej
sca w jednym rzędzie) do 12 kopert, wśród których jest tyle samo kopert czerwo
nych co niebieskich (koperty tego samego koloru traktujemy jako nierozróżnialne).
Ile jest możliwości:
a) zupełnie dowolnego włożenia biletów do kopert
b) takiego włożenia biletów, aby bilety na miejsca oznaczone numerami parzystymi
znalazły się w czerwonych kopertach
c) takiego włożenia biletów, aby na pewno bilety na miejsca 1, 2, 3 i 4 znalazły się
w niebieskich kopertach?
4.197.
Paweł zaczął trenować strzelanie z łuku. Średnio trafia do tarczy 6 razy na 10
prób. Na koniec treningu chciał jeszcze raz trafić do tarczy, więc postanowił strzelać
tyle razy, aż trafi. Oblicz, przy ilu co najmniej próbach prawdopodobieństwo zdarze
nia, że Paweł trafi do tarczy, jest większe od 0,96?
4.198. Rzucamy siedem razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia:
a) co najmniej raz wypadła reszka
b) reszka wypadła co najwyżej jeden raz.
4.199.
Rzucamy czterokrotnie ośmiościenną kostką do gry z liczbami odpowiednio
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 na poszczególnych ścianach. Oblicz prawdopodobieństwo zda
rzenia:
a co najmniej raz wypadła liczba podzielna przez 3
b) liczba pierwsza wypadła dokładnie dwa razy.
4.200.
Rzucamy pięciokrotnie czworościenną, symetryczną kostką z liczbami od
powiednio % 2, 3, 4 na poszczególnych ścianach. Oblicz prawdopodobieństwo zda
rzenia:
a) liczba parzysta wypadła co najwyżej raz
b) liczba 1 wypadła trzy razy.
136
M atem atyka. Z b ió r zadań. K lasa 3.
Prawdopodobieństwo warunkowe
4.201. Oblicz P(A\B), jeśli wiadomo, że:
a) P(A u B) =
4
P(B) =
3
P(A) = -
4
b) P(B) =—,P (A ' n fi) = §
4
3
c) P(B\A) = - , P(A) =
P(A' n B) = 8
9
o
d ) P (A n 8 ') = i ,
P(A n 8 ) =
- , P (/ l u f l ) = -
4.202. Wykaż, że jeśli A, B e Cl, P(A) = 0,8 i P(B) = 0,6, to P(A\B) >
2
3'
4.203. Strzelec A trafia w cel z prawdopodobieństwem 0,7, strzelec B - z praw
dopodobieństwem 0,6, a strzelec C - z prawdopodobieństwem 0,5. Strzelcy A, B,
C oddali po jednym strzale do celu. Okazało się, że dwa pociski trafiły w cel. Co jest
bardziej prawdopodobne:
- strzelec C trafił w cel, czy też
- . strzelec C nie trafił w cel?
4.204.
Rzucamy raz dwiema symetrycznymi, sześciennymi kostkami do gry. Oblicz
prawdopodobieństwo, że suma oczek jest liczbą parzystą, jeśli wiadomo, że na kost
kach wypada różna liczba oczek.
4.205.
Rzucamy raz dwiema symetrycznymi, sześciennymi kostkami do gry. Oblicz
prawdopodobieństwo, że suma oczek jest większa od 8, jeśli wiadomo, żę przynaj
mniej na jednej kostce wypadło pięć oczek.
4.206. Rzucamy trzy razy czworościenną, symetryczną kostką do gry. Na ściankach
tej kostki wypisane są liczby od 1 do 4. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wyrzu
conych liczb będzie równa 7, jeśli na jednej kostce wypadła 1.
4.207.
Ze zbioru {1, 2 ,3 ,..., 9} losujemy kolejno, bez zwracania dwie liczby. Oblicz
prawdopodobieństwo, że druga z wylosowanych liczb będzie nieparzysta, jeśli wia
domo, że pierwsza z wylosowanych liczb jest:
a) nieparzysta
b) parzysta.
137
4 . K o m b in a to ry k a I ra ch u n e k p raw d o p od o b ie ń stw a
4.208.
Ze zbioru {1, 2, 3 ,..., 9} losujemy kolejno, bez zwracania dwie liczby. Oblicz
prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3, jeśli
wiadomo, że pierwsza z wylosowanych liczb jest:
a) liczbą pierwszą
b) liczbą podzielną przez 3.
4.209. Rzucamy trzy razy sześcienną, symetryczną kostką do gry. Jakie jest prawdo
podobieństwo, że wypadnie co najmniej raz pięć oczek, jeśli wiadomo, że za każdym
razem wypadła inna liczba oczek?
4.210.
Z talii 52 kart losujemy jednocześnie dwie karty. Oblicz prawdopodobień
stwo, że obie będą asami, jeśli wiadomo, że żadna z nich nie jest damą.
4.211.
Z talii 52 kart losujemy jednocześnie cztery karty. Oblicz prawdopodobień
stwo, że wśród nich są dwa króle, jeśli wiadomo, że jest wśród nich co najmniej
jeden as.
4.212.
Na trasie samochodu znajdują się trzy skrzyżowania z sygnalizacją świetlną.
Na pierwszym skrzyżowaniu samochód trafia na zielone światło z prawdopodobień
stwem 0,4. Jeśli samochód trafi na skrzyżowaniu na światło zielone, to prawdopo
dobieństwo, że na następnym skrzyżowaniu będzie miał też światło zielone, wzrasta
o 0,15 w stosunku do analogicznego prawdopodobieństwa na poprzednim skrzy
żowaniu. Jeśli samochód trafi na światło czerwone, to prawdopodobieństwo, że na
następnym skrzyżowaniu trafi na światło zielone, jest równe 0,4. Jakie jest prawdo
podobieństwo, że samochód:
a) przejedzie przez trzy skrzyżowania bez zatrzymywania
b) zatrzyma się po raz pierwszy na trzecim skrzyżowaniu
c) zatrzyma się tylko raz na drugim skrzyżowaniu?
4.213. Do restauracji dostarczono z hurtowni pudło zawierające 30 paczek herbaty
w trzech rodzajach, pochodzące z dwóch krajów. Liczbę paczek herbaty każdego
typu przedstawia tabela poniżej.
~ - - - -- - ^ ^ p o c h o d z e n ie
Cejlon
Chiny
czarna
12
8
owocowa
4
3
zielona
1
2
rodzaj herbaty
— —-
Z pudła wyjęto losowo jedną paczkę herbaty. Oblicz prawdopodobieństwo zda
rzenia:
a) wyjęto paczkę herbaty owocowej, jeśli wiadomo, że paczka ta została wyprodu
kowana na Cejlonie
138
Matematyka.
b) w yję to paczkę h erb aty w yprod u kow an ej w Chinach, jeśli wiadomo, że w yję to
paczkę he rb aty czarnej
c) w yję to paczkę h erb aty zielonej.
Twierdzenie o prawdopodobieństwie
całkowitym
4 . 2 1 4 . Wśród w yrobó w pierw szej i drugiej firm y w yro b y wadliwe s ta n o w ią odpo
w ie d n io 4% i 2%. Pierwsza z tych firm dostarcza do h u rto w n i trz y razy w ię c e j to w aru
niż druga. Oblicz praw dopodobieństwo, że losow o zaku pio n a w tej h u rto w n i jedna
sztuka tow aru okaże się dobra.
4 . 2 1 5 . Do pewnego magazynu pudełka dostarczają dwie fa b ry k i, p rz y czym 70%
dostaw pochodzi z pierwszej fabryki, a pozostałe - z drugiej. Wśród p u d e łe k do
starczonych przez pierwszą fabrykę pudełka wadliwe sta n o w ią 1 % każd ej d ostaw y,
a w śród pudełek dostarczonych przez drugą fabrykę 3% każd ej d o sta w y. O b licz p raw
dopodobieństwo, że losowo wybrane pudełko z tego m ag azyn u b ęd zie w a d liw e .
4 .2 1 6 .
Fabryka wyprodukowała ten sam model sam o ch o d u w trz e c h k o lo rach:
białym, czerwonym i niebieskim . Sto su nek liczby w yp ro d u k o w a n ych s a m o ch o d ó w
odpowiednio w tych kolorach był ró w n y 2 0 : 25 : 1 5 . P ra w d o p o d o b ie ń s tw o , że sa
mochód będzie m iał usterki pow łoki lakierniczej jest ró w n e : dla sa m o c h o d u białego
0 ,01, dla samochodu czerw onego 0 ,0 3 i dla sam o ch o d u n ie b ie sk ie g o 0 ,0 2 . Spo śró d
wyprodukowanych sam ochodów w yb ran o lo so w o jeden. O b licz p ra w d o p o d o b ie ń
stwo, że ten samochód będzie m iał u sterki p o w ło ki la k ie rn ic ze j.
4 .2 1 7 .
Sklep sprzedaje żarów ki w yp ro d u ko w an e w firm a c h O i P, p rz y cz y m w każ
dej z tych firm żarówki wadliwe stan o w ią o d p o w ied n io 1% i 4% p ro d u k c ji. W yzn acz
stosunek liczby żarów ek w yprod ukow anych p rzez firm ę O d o lic zb y ż a ró w e k w y
produkowanych przez firm ę P, sprzedawanych w ty m sk le p ie ta k , a b y p ra w d o p o
dobieństw o kupienia żarów ki w ad liw e j (p rzy lo so w ym je j za k u p ie ) b yło n ie w ię k s ze
niż 0, 02.
4 .2 1 8 .
W pierwszej urnie są 4 białe kule i 2 cz a rn e , a w d ru g ie j 2 b ia łe i 8 cz a rn y c h .
Rzucam y sześcienną, sym etryczną kostką do gry. Je ś li w y p a d n ie je d n o o c zk o , to losu je m yje d n ą kulę z pierw szej urny, w p rze ciw n ym w y p a d k u - je d n ą k u lę z d ru g ie j
urny. Oblicz praw dopodobieństwo w ylo so w a n ia ku li b ia łe j.
4. Komblnatoryka I rachunek prawdopodobieństwa
139
4 .2 1 9 . Do u rn y za w ie ra ją ce j 4 kule w rzucono jed n ą kulę białą, a następnie z tej
u rn y w ylo so w a n o je d n ą kulę. Oblicz praw dopodobieństwo, że w ylosow an o kulę
b iałą, je ś li w szystkie p rzypuszczenia o początkowym składzie kul (w edług kolorów )
są je d n ak o w o p raw d op od obn e.
4 .2 2 0 . W p ierw sze j u rn ie je s t 6 kul: 2 białe, 2 czerw one, 1 zielona i 1 niebieska,
a w drugiej u rn ie je s t 8 kul: 3 białe i 5 czarnych. W ybieram y losowo je d n ą kulę
z p ierw sze j u rn y i nie oglądając je j, w kład am y do urny drugiej. N astępnie z drugiej
u rn y lo su je m y je d n ą ku lę. Oblicz praw dopodobieństwo, że będzie to kula biała.
4 .2 2 1 . Z urn y zaw ie rające j 6 kul białych i 4 czarne losujem y jedną kulę i, nie ogląda
ją c je j, w kład am y do drugiej urny, w której początkowo było 7 kul czarnych i 4 białe.
N astęp n ie z drugiej urny losujem y jednocześnie dw ie kule. Oblicz praw dopodobień
stw o , że będą one różnego koloru.
4 .2 2 2 . W każdym z trzech pojemników znajduje się po 10 opakowań pewnego
produktu, przy czym w pierwszym pojemniku jest jedno opakowanie uszkodzone,
w drugim są dwa takie opakowania, a w trzecim - trzy. Mamy wylosować dwa opa
kowania. Możemy to zrobić na dwa sposoby:
1 ) w szystkie opakow ania zsypujem y do jednego pudełka i z niego losujem y je d n o
cześn ie dw a op akow ania;
2 ) n a jp ie rw losujem y pudełko, a następnie losujem y dwa opakowania z tego pudeł
ka.
Przy któ rym sposobie losow ania praw dopodobieństwo w ylosow ania dwóch opako
w ań uszkodzonych je s t w iększe?
4 .2 2 3 . D ane są dw a zbiory A = {1 , 2, 3 ,..., 2015, 2016} i B = {1 , 2, 3 ,..., 5 03, 504 }.
R zu cam y sześcien n ą, sym etryczną kostką do gry. Jeśli w ypadną mniej niż trzy oczka,
lo su je m y liczbę c ze zbioru A, w przeciwnym w ypadku losujem y liczbę c ze zbioru B.
O blicz p raw d op od obień stw o zdarzenia, że liczba c 2 + 1 będzie podzielna przez 10.
4 .2 2 4 . Z e staw te m a tó w egzam inacyjnych składa się z 25 tem ató w z analizy, 35
te m a tó w z g eo m e trii i n tem ató w z rachunku praw dopodobieństwa. Z zestawu usu
n ięto lo so w o je d e n te m a t, a następnie z pozostałych w ybrano w sposób losow y
je d e n te m a t. O blicz n, je śli w iad om o, że praw dopodobieństwo w ylosow ania tem atu
z rach u n ku p raw d op od obień stw a je st rów ne ^
.
4 .2 2 5 . Test w y k ry w a ją c y p ew ną chorobę je st efektyw ny w 99% dla osób chorych
(tzn . je ś li b ad an y je s t chory, te st w 99% potwierdza chorobę) i w 98% dla osób zdro
w ych (tzn . je ś li badan y je s t zdrow y, test w 98% w yklucza chorobę). W pew nym re
gionie śred n io 150 na 10 0 00 osób cierpi na tę chorobę.
140
M atem atyka. Z bió r zadań. K lasa 3.
a) Oblicz prawdopodobieństwo, że test wykonany na losowo wybranej osobie
z tego regionu wykaże u niej chorobę.
b) U losowo badanej osoby z tego regionu test wykazał chorobę. Oblicz prawdopo
dobieństwo, że w rzeczywistości ta osoba cierpi na tę chorobę.
4.226.
W pewnej firmie dwie maszyny produkują takie same detale używane do
produkcji komputerów. Liczby wszystkich wyprodukowanych detali przez te maszy
ny mają się do siebie jak 3 :5 . Pierwsza z maszyn produkuje 0,1% detali wadliwych,
a druga 0,06%. Z pojemnika, w którym były wszystkie detale wyprodukowane przez
obie maszyny, wybrano jeden, który okazał się wadliwy. Oblicz prawdopodobień
stwo, że został on wyprodukowany przez pierwszą maszynę.
4.227. Dwa zakłady, należące do tej samej firmy, dostarczają do sklepu żarówki
energooszczędne. Pierwszy zakład dostarcza cztery razy więcej żarówek niż dru
gi. W pierwszym z tych zakładów średnio 4 żarówki na 1000 wyprodukowanych,
a w drugim 8 na 1000 ma wady (tzn. psują się w okresie gwarancji). Klient kupił ża
rówkę, na której był tylko znak firmy, a nie zakładu, który ją wyprodukował. Żarówka
ta w okresie gwarancji zepsuła się. Oblicz prawdopodobieństwo, że została wypro
dukowana w pierwszej fabryce.
Niezależność zdarzeń
4.228.
7
1
Wiadomo, że zdarzenia A i B są niezależne oraz P(A u B) ^ — ,P(B') = - .
Oblicz P(A).
4.229.
12
2
2
2
Wiadomo, że zdarzenia A i B są niezależne oraz P(A' u B') = - , P{B) = ~.
Oblicz P(A).
4.230.
Zdarzenia A, B, C są niezależne. Oblicz P(C), wiedząc dodatkowo, że
P(A n B n C) = ^ i P(A) = 2P(B) = 4P(C).
4.231.
Dane są trzy zdarzenia A, B, C parami niezależne i takie, dla których
> (A n B n C ) = 0 oraz 2 P(A) = 3P(B) = 3P(C). Oblicz:
i) największą wartość jaką może przyjmować prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
A, B i C;
) prawdopodobieństwo zdarzenia A, dla którego prawdopodobieństwo sumy zda
rzeń A, Bi C przyjmuje największą wartość.
4 . K o m b ln a to ry k a l ra ch u n e k p raw dopodobieństw a
141
4.232. Wykaż, że jeśli P(B\A) m P(B|4'), gdzie P(A) > O i P(A') > O, to zdarzenia A i B
są niezależne.
4.233.
Rzucam y dw iem a sześciennymi kostkami do gry. Określamy zdarzenia: A na pierw szej kostce wypadła parzysta liczba oczek, fl - na drugiej kostce wypadły
trzy oczka. Czy zdarzenia A i B są niezależne?
4.234.
Rzucam y dw iem a sześciennymi kostkami do gry. Określamy zdarzenia: A w obu rzutach w ypadła parzysta liczba oczek, B - w drugim rzucie wypadły dwa lub
trzy oczka. Czy zdarzenia A i B są niezależne?
4.235.
Rzucam y dwiem a sześciennymi kostkami do gry. Określamy zdarzenia: A iloczyn liczby oczek na obu kostkach jest większy od 20, B - na obu kostkach wypa
dła parzysta liczba oczek. Czy zdarzenia A i B są niezależne?
4.236. Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Określamy zdarzenia:
a) A - w ylosow ana karta jest figurą (tzn. asem, królem, damą lub waletem)
B - wylosow ana karta jest koloru czerwonego;
w ylosow ana kartę jest starsza od piątki
B —wylosow ana karta jest damą lub kartą młodszą od siódemki.
Czy zdarzenia A i B są niezależne?
b)
A-
4.237. Ściany pewnego czworościanu foremnego pomalowano w następujący spo
sób: je d n ą na niebiesko, drugą na żółto, trzecią na czerwono, a czwartą w pasy,
w trzech wym ienionych wcześniej kolorach. Rzucamy czworościanem i patrzymy na
ściankę, na którą upadł. Oznaczamy zdarzenia:
A —na ścian ce, na którą upadł czworościan był kolor niebieskiB - na ścian ce, na którą upadł czworościan był kolor żółty
C - n a ścian ce, na którą upadł czworościan był kolor czerwony.
Zbadaj niezależność par zdarzeń A i B, B i C, A i C. Czy zdarzenia A, B, C są niezależne?
4.238. W ykonano dwa rzuty czworościanem foremnym opisanym w zadaniu 4.237.
O znaczam y zdarzenia:
A - w pierw szym rzucie czworościan upadł na ściankę, na której był kolor niebieski
B - w obu rzutach czworościan upadł na ścianki, na których był tylko kolor niebieski
lub tylko żółty.
Czy zdarzenia A
i B są
niezależne?
4.239. Hurtownia otrzym uje dostawy towaru niezależnie z trzech zakładów Zj, Z2,
Z3 z praw dopodobieństw em odpowiednio równym 0,6, 0,3 i 0,1. Oblicz prawdopo
dobieństw o, że:
a) hurtow nia otrzym ała dostawę tylkp z jednego zakładu
b) hurtow nia otrzym ała dostawę z co najmniej jednego zakładu.
142
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
4 .2 4 0 . O b w ó d e le k try c zn y skład a się z trzech e le m e n tó w p racu jących n ie zale żn ie .
P ra w d o p o d o b ie ń stw a a w a rii e le m e n tó w tego ob w o d u są o d p o w ied n io równe 0,1,
0,2 10 ,3 . O b licz p ra w d o p o d o b ie ń stw o , że n astąp i a w a ria o b w o d u , je ś li:
a ) e le m e n ty p o łączo n e są szereg o w o
b ) e le m e n ty p o łączo n e są ró w n o le g le.
4 .2 4 1 . W p ie rw s z e j u rn ie je s t 6 kul białych i 4 cz a rn e , w d ru g ie j u rn ie są 2 k u le b iałe
i 8 cz a rn y c h , w trz e c ie j u rn ie - 5 kul b iałych i 5 kul cza rn yc h . L o su je m y z każd ej u rn y
po je d n e j k u li. Oblicz p ra w d o p o d o b ie ń stw o , że w y lo s u je m y :
a ) trzy kule białe
b) d w ie k u le b iałe.
* 4 .2 4 2 . S trz e le c o d d a je n n ie zale żn ych strz a łó w d o ce lu , p rzy czym p raw d o p o d o b ie ń s tw o n ie tra fie n ia w c e l w k-tym strz a le je s t ró w n e
1
(k+if
-, g dzie k = 1 , 2 , . . . , n.
W y k a ż , że p ra w d o p o d o b ie ń s tw o tra fie n ia w e w szystk ic h n s trz a ła c h je s t ró w n e
n+2
2(n+l)'
T e s t sprawdzający do rozdziału 4.
1. Ile jest różnych liczb dwucyfrowych podzieInych przez 5?
A. 20
B. 18
Ć. 16
D. 14
2.
Pewna firma cateringowa ma w ofercie danego dnia 3 różne zupy, 2 drugie dania
i 2 desery. Na ile sposobów można wybrać jeden zestaw obiadowy, składający się
z zupy, drugiego dania i deseru?
A. na 7 sposobów B. na 8 sposobów
C. na 10 sposobów D. na 12 sposobów
3 . Ile jest różnych rozmieszczeń 3 różnych kul w dwóch różnych szufladach?
A. 9
B.8
C .6
D. 5
4 . Z miasta A do miasta B prowadzą 3 różne drogi. Na ile sposobów można pokonać
samochodem trasę A-B-A , aby nie jechać z B do A tą samą drogą, co z A do B?
A. na 3 sposoby
B. na 4 sposoby
C. na 5 sposobów
D. na 6 sposobów
5.
Ile jest różnych liczb trzycyfrowych o niepowtarzających się cyfrach?
B. 9 • 8 • 7
C. 9 • 9 • 8
D. 8 • 8 • 7
A. 10 • 9 • 8
6 . Na ile sposobów m o żn a 4 d z ie w c z y n k i i 4 c h ło p c ó w u s ta w ić je d n o c z e ś n ie w p a ry
dziew czynka-chłopiec?
A. 4
B .8
C. 16
D. 2 4
7 . Na przyjęciu sp o tk ało się 6 o s ó b , p rz y c z y m k a żd a p rz y w it a ła s ię z k a ż d ą in n ą
osobą. Liczba w szystkic h p o w ita ń b y ła r ó w n a :
A. 9
B . 12
C. 15
D. 18.
8 . Ile je st różnych liczb t rz y c y fro w y c h , w z a p is ie k tó ry c h w y s t ę p u je je d n a c y fr a 1
i jedna cyfra 0?
A. 8
B. 16
C. 24
D. 32
9 . Ile różnych c z te ro litro w y c h k o d ó w m o ż n a u t w o rz y ć , p rz e s t a w ia ją c lit e r y s ło w a
I N K A - ta k , żeb y s a m o g ło sk i n ie s ta ły o b o k s ie b ie ?
A. 6
B .8
10. ile p un któw
C. 12
D. 16
o w s p ó łrz ę d n y c h c a łk o w ity c h n a le ż y d o p ro s to k ą ta ABCD z n a jd u ją
cego się w u k ład zie w s p ó łrz ę d n y c h , g d zie A ( - l , - 2 ) , B (5 , - 2 ) , C ( 5 , l ) , D ( - 1 , 1 ) ?
A. 28
B. 24
C. 21
D. 18
1 1 . Ile liczb n a tu ra ln y c h d o d a tn ic h s p e łn ia n ie ró w n o ś ć n • (n - 1 ) < 3 0 ?
B. 5
C. 6
D. 7
A. 4
12. D o św iad czen ie
lo s o w e p o le g a n a je d n o k r o t n y m rz u c ie s y m e t ry c z n ą , s z e ś c ie n n ą
kostką do gry. N ie ch A o z n a c za z d a r z e n ie : „w y p a d ła lic z b a o c z e k m n ie js z a n iż 4 " , zaś
B - zd arze n ie: „w y p a d ła lic zb a o c z e k n ie w ię k s z a n iż 4 " . W ó w c z a s :
A . 4 =8
B . A u B =Q
C. A’ n 8 =0
D . A n B = A.
13.
Ze zb io ru X = {4 , 5 , 6 , 7 , 8 } w y b ie r a m y lo s o w o k o le jn o 2 ra z y je d n ą c y fr ę b ez
zw racan ia, a n a s tę p n ie z p o w s ta ły c h c y f r t w o r z y m y lic z b ę d w u c y fr o w ą . Liczb a
zdarzeń e le m e n ta rn y c h te g o d o ś w ia d c z e n ia lo s o w e g o s p r z y ja ją c y c h z d a rz e n iu A „u tw o rzo n a lic zb a je s t p a rz y s ta i je d n o c z e ś n ie w ię k s z a o d 6 0 " - je s t r ó w n a :
A. 6
14. Ze zb io ru
B. 7
C .8
D .9 .
{0 , % 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } w y b ie r a m y lo s o w o je d n ą lic z b ę . N ie ch A
oznacza z d a rz e n ie : „ w y lo s o w a n a lic z b a je s t p ie r w s z a " . W ó w c z a s :
A. A' = {2 , 3 , 5 , 7 }
B . A ' = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8, 9 }
C. A ' = { 0 , 1 , 4 , 6 , 8 , 9 }
D . A ’ = { 0 , 4 , 6 , 8, 9 } .
15. R zu ca m y d w a
ra z y s y m e t r y c z n ą , s z e ś c ie n n ą k o s tk ą d o g ry. Ile z d a rze ń e le m e n
tarn ych s p rz y ja z d a rz e n iu A - w p ie r w s z y m rz u c ie o t r z y m a liś m y lic z b ę o c z e k m n ie j
szą niż w d ru g im r z u c ie ?
A . 12
B . 15
C. 18
D. 21
144
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
16.
W p e w n e j firm ie p rz e p ro w a d z o n o a n k ie tę j . a n g ie lsk i
j . ro syjsk i
w ś ró d p ra c o w n ik ó w z za p y ta n ie m o ich zn a jo
m o ś ć ję z y k ó w o b cyc h . D iag ram o b o k p rz e d sta
w ia w y n ik i t e j a n k ie ty . P ra w d o p o d o b ie ń stw o ,
że lo s o w o w y b ra n a o so b a z g ru p y b ad an ych
zn a co n a jm n ie j d w a ję z y k i o b ce , je s t ró w n e :
A .H
15
17.
B .—
25
C .H
25
j . n ie m ie c k i
D. —.
2
D o s k le p u d o starczo n o w k a rto n ie m ie szan k ę w e d lo w s k ą , w k tó re j b y ły z m ie
s z a n e trz y ro d zaje c u k ie rk ó w : „B a je c z n e ", „ P ie r r o t y " i „N y g u s k i" w s to s u n k u W ago
w y m o d p o w ie d n io 3 : 2 : 3 . Z akład am y, że w s zy s tk ie c u k ie rk i m a ją ta k ą s a m ą w ag ę .
W y b ie ra m y lo so w o je d e n cu k ie re k z tego k a rto n u . P ra w d o p o d o b ie ń s tw o zd a rze n ia ,
że w y b ra n y c u k ie re k n ie je s t „B a je c z n y ", je s t ró w n e :
3
B. -Q
A . 0 ',6
18.
5
C. -O
D. 0 ,2 5 .
W sie d m io k ą cie p ro w a d zim y w szy stk ie p ro ste łą c z ą c e d w a d o w o ln e w ie rz c h o łk i
teg o w ie lo k ą ta , n a stę p n ie w y b ie ra m y lo so w o je d n ą z ty ch p ro sty c h . P ra w d o p o d o
b ie ń s tw o , że w y lo s o w a n a p ro sta za w ie ra p rz e k ą tn ą s ie d m io k ą ta , je s t r ó w n e :
3
19.
Ze zb io ru liczb ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , 1 4 ,1 5 } lo s u je m y je d n ą lic zb ę . P ra w d o p o d o b ie ń
stw o w ylo so w a n ia liczb y p o d zie ln e j p rzez 3 lub p rzez 5 je s t ró w n e :
20.
W p e w n e j klasie ch ło p c ó w je s t o 5 0 % w ię c e j, n iż d z ie w c z ą t. W y b ie ra m y lo so
w o je d n ą oso bę z te j klasy. P ra w d o p o d o b ie ń s tw o , że w y b ra n ą o so b ą j e s t c h ło p ie c ,
w y n o s i:
A . 0 ,5
B. 0 ,6
-
i
I
i
C. 3
D. 0 ,7 5 .
Zadania powtórzeniowe do rozdziału 4.
4.243.
W p e w n e j g ru p ie o só b w s zy s cy cz y ta ją k la sy k ę , z czeg o 1 4 o só b u w ie lb ia
liry k ę , a 2 0 osób ch ę tn ie czyta p ro zę. O b licz, ile o só b lic zy ta g ru p a , je ż e li 9 sp o śró d
n ich czyta za ró w n o liryk ę , ja k i p ro zę ?
4 .2 4 4 .
Ile liczb je s t w zb io rze { 1 , 2 , 3 , . . . , 2 0 1 5 }, k tó re s ą :
a) podzielne przez 5 lu b p rzez 7
b) podzielne przez 3 lub p rzez 5 lu b p rze z 7
c) podzielne przez 4 lu b p rzez 1 0 lu b p rze z 7 .
Dane są zd a rze n ia A, Bez O.. W ia d o m o , że P[A n B') = P (B n A'),
P(A u 8 ) = 0 ,7 5 i P(A n B ) = 0 ,2 5 . O b lic z P (B ), P(A - B).
4 .2 4 5 .
1
4.246.
1
Dane są zd a rze n ia A, B a f i . W y k a ż , że je ś li P(A) = — i P (B ) = - ,
4
3
t o ł ś P ( 4 u B ) £ — o ra z P(A n B ) ś - .
3
12
4
4.247.
Kostka s ze ś c ie n n a d o g ry zo sta ła w y k o n a n a z je d n o ro d n e g o m a te ria łu , ale
na niektórych ścia n k a c h lic z b y o c z e k s ą t a k ie s a m e . W ia d o m o , że w je d n o k ro tn y m
rzucie tą ko stką p ra w d o p o d o b ie ń s tw o o trz y m a n ia lic zb y o c ze k n ie w ię k s z e j niż 3
w ynosi —, a p ra w d o p o d o b ie ń s tw o o trz y m a n ia lic zb y o c ze k n ie m n ie jsze j niż 3 je s t
6
1
rów ne - .
2
a) Na ilu ś c ia n k a c h t e j k o stki s ą t r z y o c z k a ?
b) O blicz p ra w d o p o d o b ie ń s tw o o trz y m a n ia w je d n o k ro tn y m rz u c ie t ą ko stką liczby
oczek w ię k s z e j n iż 3 .
4.248.
W k la s a ch t rz e c ic h s zk o ły p o d s ta w o w e j zo rg a n izo w a n o koło ta n e c z n e , na
które u częszczają d z ie c i w e d łu g t a b e li za m ie s z c z o n e j p o n iże j.
K la sa
lila
lllb
D z ie w c z ę ta
5
6
C h ło p c y
10
3
lllc
9
,
7
Na ile sp o s o b ó w m o ż n a u t w o rz y ć p a rę d z ie w c z y n k a - c h ło p ie c , je ś li d zieci w te j
parze
a) m a ją c h o d z ić d o t e j s a m e j k la s y
b) m a ją c h o d z ić d o k la s y lila lu b d o k la s y lllb ?
4.249.
M a m y d w ie u r n y : w p ie r w s z e j je s t 8 ku l - 5 b ia ły ch i 3 c z e rw o n e , w d ru g iej
też je s t 8 kul - 3 b ia łe i 5 c z e r w o n y c h . Z k a żd e j u rn y lo s u je m y po je d n e j ku li.
a) O b lic z p ra w d o p o d o b ie ń s t w o w y lo s o w a n ia ku l w ró żn ych k o lo rach .
b) Ja k z m ie n iło b y s ię p ra w d o p o d o b ie ń s t w o w y lo s o w a n ia d w ó ch kul w różnych ko
lo ra c h w p rz y p a d k u lo s o w a n ia k u l (b e z z w ra c a n ia ) z je d n e j u rn y, w k tó re j je s t
8 kul b ia ły c h i 8 k u l c z e r w o n y c h ? O d p o w ie d ź u z a s a d n ij.
146
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
4 .2 5 0 . Rzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką do gry. Następnie od nie
mniejszej liczby wyrzuconych oczek na jednej kostce odejmujemy liczbę oczek wy
rzuconych na drugiej kostce. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymana
różnica jest:
a) liczbą podzieiną przez 3
b) dzielnikiem liczby 6.
4.251. Rzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopo
dobieństwo zdarzenia, że:
a) w pierwszym rzucie uzyskaliśmy liczbę oczek większą niż w drugim rzucie
b) co najwyżej raz wypadła „szóstka"
c) liczba parzysta oczek nie wypadła w żadnym rzucie
d) co najmniej w jednym rzucie wypadła liczba oczek nie mniejsza niż 5.
4.252. Rzucamy trzema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz praw
dopodobieństwo zdarzenia, że suma liczb oczek otrzymanych na poszczególnych
kostkach jest podzielna przez 3.
4.253.
ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których zapisie:
a ) w y s tę p u je je d n a cy fra 0, je d n a cy fra 1 i d w ie c y fry 2
b) n ie w y s tę p u je żad n a z c y fr : 1 , 2, 3 , 4 ?
4.254.
Ile je s t różnych liczb c z te ro c y fro w y c h , w k tó ryc h za p isie
a ) w y s tę p u ją d w ie ó se m k i i d w ie c y fr y n ie p a rzy ste
b) w y s tę p u ją 2 c y fry p a rz yste o ra z 2 c y fr y n ie p a rz y s te ?
4.255.
Ile je s t liczb d zie s ię c io c y fro w y c h , w k tó ry c h su m a c y fr je s t ró w n a 5 ?
4.256. T w o rz y m y
liczb ę d w u c y fro w ą w n a s tę p u ją c y s p o s ó b : ze zb io ru c y fr { 1 , 2 , 3 ,
4 , 5 , 6 , 7 } lo s u je m y cy frę d z ie s ią te k , zaś ze zb io ru { 0 , 1 , 2 , 3 } lo s u je m y c y frę je d n o ś c i.
O b lic z p ra w d o p o d o b ie ń s tw o zd a rze n ia , że u tw o rz o n a liczb a je s t :
a ) m n ie js z a od 53
b) p o d z ie ln a p rzez 4 lub p rzez 3.
4.257.
Ze zb io ru {1 , 2 , 3 , . . . , 2 n}, g d zie n g N+, lo s u je m y d w a ra z y je d n ą c y frę bez
z w ra c a n ia i t w o rz y m y lic zb ę d w u c y fro w ą . O b licz n, je ś li p ra w d o p o d o b ie ń s tw o zda
rz e n ia : „o b ie c y fr y o trz y m a n e j lic zb y są p a rz y s te " je s t ró w n e —
4.258.
Ze zb io ru liczb {1 , 2 , 3 , 4 , . . . , 9 , 1 0 } lo s u je m y k o le jn o b ez z w ra c a n ia d w ie
lic zb y i od p ie rw s z e j w y lo s o w a n e j lic zb y o d e jm u je m y d ru g ą . O b lic z p ra w d o p o d o
b ie ń s tw o o trz y m a n ia ró żn ic y w ię k s z e j od 2 .
4 . Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
147
4.259. Ze zbioru {1 , 2, 3 , . . . » n - 1 , n ), n e A/+, n 'Ł 2, lo s u je m y k o le jn o d w ie lic z
by bez zw racania. P ra w d o p o d o b ie ń stw o zd a rz e n ia , że w y lo s o w a n e lic z b y ró żn ią się
o 1, jest rów ne 0 ,1 . O blicz n .
4.260. Loteria składa się z 4 0 lo s ó w : p ię c iu lo s ó w u m o ż liw ia ją c y c h w y g ra n ie po
20 zł, dziesięciu lo só w u m o żliw ia ją cyc h w y g ra n ie po 10 zł i d w u d z ie s tu p ię c iu lo s ó w
pustych. Kupujem y d w a losy. Ile m a m y m o żliw o ś ci w y g ra n ia 2 0 zł?
4.261. U czestników tu rn ie ju szach o w e g o p o d zie lo n o na d w ie ro złą c zn e p o d g ru p y
A i B. Stosunek liczby g raczy w g ru p ie A d o lic zb y g ra c zy w g ru p ie B w y n o s ił 3 : 4 .
W grupie A każdy rozegrał z każd ym je d n ą p a rtię , a w g ru p ie B k ażd y z k ażd ym ro
zegrał trzy p artie. Łą czn ie w obu g ru p ach ro ze g ran o 2 1 p a rtii, ilu b yło u c z e s tn ik ó w
turnieju?
4.262. Ile różnych w y ra z ó w (m a ją c y c h s e n s lu b n ie ) m o żn a u ło żyć , p rz e s ta w ia ją c
litery w yrazu M ATEM A TYKA?
4.263. Spośród wszystkich wierzchołków sześciokąta foremnego o boku długości 1
losujemy dwa wierzchołki. Oblicz prawdopodobieństwo, że są one końcami odcinka
mającego długość >/3.
4.264. Spośród w szy stk ic h w ie rz c h o łk ó w sze ś c ia n u lo s u je m y trz y w ie rz c h o łk i.
Oblicz p raw d o p o d o b ie ń stw o w y lo s o w a n ia p u n k tó w b ę d ą c y c h w ie rz c h o łk a m i t ró j
kąta rów nobocznego.
4.265. Z talii 52 k art w y b ie ra m y w sp o só b lo s o w y 3 k a rty . O b licz p ra w d o p o d o b ie ń
stwo zd arzen ia:
a) w ylo so w an o je d n ą d a m ę i je d n e g o k ró la
b) w ylo so w an o co n a jm n ie j je d n e g o asa
c) w ylo so w an o k a rty w ty m s a m y m k o lo rze (p ik , k ie r, k a ro lub tre fl)
d) co n ajw yże j je d n a z w y lo s o w a n y c h k a rt je s t p ik ie m .
4.266. Na lo te rii zn a jd u ją się
2 lo sy z w y g ra n ą 1 0 0 zł, 3 lo sy z w y g ra n ą 5 0 zł o raz 25
losów p u stych . O b licz p ra w d o p o d o b ie ń s tw o z d a rz e n ia , że k u p u ją c trz y losy w y g ra
m y co n a jm n ie j 100 zł.
4.267.
W p e w n e j k la s ie 4 0 % w s z y s tk ic h u c z n ió w s ta n o w ią d zie w c zy n k i. W y b ie ra
m y loso w o k o le jn o d w ie o so b y z t e j k lasy. Ilu je s t w s zy s tk ic h u czn ió w w k la sie , je ś li
p raw d o p o d o b ie ń stw o w y lo s o w a n ia n a jp ie r w d zie w c z y n k i, a p o tem ch ło p ca je s t
,
36 .
r ó w n e «— ?
1 45
145
M atem atyka. Z b ió r zadań. K lasa 3.
4.268.
W worku znajdują się piłeczki pingpongowe: 4 białe, 5 pomarańczowych
i jedna zielona. Staś wyjmuje losowo jedną piłeczkę i - nie zwracając jej - losuje
jeszcze jedną piłeczkę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
a) wylosowane piłeczki są różnych kolorów
b) druga wylosowana piłeczka jest pomarańczowa.
4.269. Pewien roztargniony napisał 10 listów, zaadresował 10 kopert, a potem wło
żył listy do kopert i wysłał. Ile jest możliwości:
a) zupełnie losowego włożenia przez niego listów do kopert
b) takiego włożenia listów, aby co najmniej pierwsze dwa, które włożył do kopert,
dotarły do właściwego adresata?
4.270.
W k la s ie je s t 2 0 u c z n ió w . N a ile s p o s o b ó w ci u c z n io w ie m o g ą z a ją ć m ie jsca
w 10 ła w k a c h d w u o s o b o w y c h ?
4.271. W
s a li s to i p ię t n a ś c ie p o n u m e r o w a n y c h ła w e k . N a ile s p o s o b ó w m o żn a po
s a d z ić 1 5 d z ie w c z ą t i 1 5 c h ło p c ó w t a k , a b y :
a ) w k a ż d e j ł a w c e p o le w e j s t ro n ie c h ło p c a s ie d z ia ła d z ie w c z y n a
b ) w k a ż d e j ła w c e s ie d z ia ła d z ie w c z y n a i s ie d z ia ł c h ło p a k ?
4.272.
M a m y 5 k s ią ż e k , w ś ró d k tó ry c h s ą k s ią ż k i A i B . U s t a w ia m y j e lo s o w o na
p u s t e j p ó łc e w je d n y m s z e re g u . O b lic z p ra w d o p o d o b ie ń s t w o z d a r z e n ia :
a ) k s ią ż k i A i B b ę d ą s t a ły o b o k s ie b ie n a k o ń cu te g o rz ę d u (p o le w e j lu b p raw e j
s t r o n ie w d o w o ln e j k o le jn o ś c i)
b ) p o m ię d z y k s ią ż k a m i A i B b ę d z ie s ta ła je d n a k s ią ż k a .
4.273.
P r z y o k r ą g ły m s t o le p o s a d z o n o lo s o w o 4 o s o b y , w ś ró d n ic h s ą o s o b y A i B.
O b lic z p ra w d o p o d o b ie ń s t w o z d a r z e n ia , ż e :
a ) o s o b y A i B s ie d z ą o b o k s ie b ie
b ) o s o b y A i B s ie d z ą n a p rz e c iw k o s ie b ie .
4.274.
M a m y 9 r ó ż n o k o lo r o w y c h s z u fla d i 5 p o n u m e r o w a n y c h k u l, k tó re lo so w o
u m ie s z c z a m y w s z u fla d a c h . Ile je s t m o ż liw y c h ro z m ie s z c z e ń t y c h k u l, je ś li:
a ) k a ż d a k u la m o ż e z n a le ź ć s ię w d o w o ln e j s z u fla d z ie
b ) w s z y s t k ie k u le m a ją s ię z n a le ź ć w d w ó c h s z u fla d a c h ?
4.275.
D o w in d y n a p a rt e rz e o ś m io p ię t r o w e g o w ie ż o w c a w s ia d ło 4 p a s a że ró w .
O b lic z p r a w d o p o d o b ie ń s t w o z d a r z e n ia , że p a s a ż e ro w ie w y s ią d ą z w in d y
a ) k a ż d y n a in n y m p ię t r z ę
b ) n a d w ó c h ró ż n y c h p ię t r a c h .
149
4 . Ko m b ln a to ryka i rachun ek p raw dopodobieństw a
4 .2 7 6 .
Sześciu pasażerów wsiada do pustego tramwaju złożonego z trzech wago
nów, przy czym każdy z nich wybiera wagon losowo. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia, że przynajmniej jeden wagon zostanie pusty.
4 .2 7 7 .
Rzucamy n razy symetryczną monetą, n > 1. Prawdopodobieństwo zdarze-
31
nia, że otrzymamy co najmniej jednego orła, jest równe — . Oblicz n.
4 .2 7 8 . Rzucamy trzy razy czworościenną, symetryczną kostką do gry. Na ściankach
tej kostki wypisane są liczby od 1 do 4. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wy
rzuconych liczb będzie sześcianem liczby naturalnej, jeśli wiadomo, że co najmniej
raz wypadła liczba 4.
4 .2 7 9 . W urnie są trzy czarne kule i jedna biała. Losujemy jedną kulę. Jeśli wylo
sujemy kulę czarną - wkładamy ją z powrotem do urny. Jeśli wylosujemy kulę białą
- wkładamy ją z powrotem do urny i dokładamy jeszcze jedną kulę białą. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia, że wykonując trzy takie losowania, otrzymamy:
a) trzy razy kulę białą
b) trzy razu kulę czarną
c) dwa razy kulę białą i raz kulę czarną.
4 .2 8 0 . Kamil bawi się z kolegą w następującą grę. Każdy z chłopców rzuca kolejno
dwoma kółkami ringo do celu. Jeśli w pierwszej próbie dwa kółka trafiły do celu, to
kolejka jest zakończona. W przeciwnym przypadku dany chłopak ma drugą próbę.
Zbiera te kółka, które nie trafiły do celu, i powtarza nimi rzuty. Potem otrzymuje tyle
punktów, ile kółek trafiło w całej kolejce do celu. Wiedząc, że Kamil jednym kółkiem
trafia do celu z prawdopodobieństwem - , oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia,
że w jednej kolejce Kamil uzyska 2 punkty.
4 .2 8 1 . Z grupy złożonej z 8 dziewcząt i 10 chłopców losujemy trzy osoby, a na
stępnie z tych trzech osób losujemy jedną, która będzie reprezentantem tej gru
py w radzie szkoły. Oblicz prawdopodobieństwo, że grupę będzie reprezentować
dziewczyna.
" 4 .2 8 2 . Wiadomo, że zdarzenia A i fi są niezależne, P ( A - B) = - i P ( B - A ) = ~. Wy-
8
każ, że P(A u B) * - lub P(A u B) =
8
150
Matematyka. Zbiór sadań. Klata 3,
W każdej z trzech urn znajduje się 10 kul: w pierwszej 2 białe i 8 czarnych,
w drugiej - 3 białe i 7 czarnych, w trzeciej - 4 białe I 6 czarnych. Z każdej urny losu
jemy po jednej kuli i nie oglądając jej, wkładamy do czwartej urny. Następnie z tej
urny losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała.
4 .2 8 3 .
Dwóch strzelców oddało po jednym strzale do tego samego celu. Oblicz
prawdopodobieństwo, że pierwszy z nich trafił, jeśli wiadomo, że cel został trafiony
tylko jeden raz. Zakładamy, że prawdopodobieństwo trafienia w cel jest równe dla
pierwszego Strzelca 0,85, a dla drugiego 0,95.
4 .2 8 4 .
151
3
• Elementy statystyki opisowej
P odstaw ow e p o jęcia statystyk i.
S p o so b y prezen tow an ia dan ych zeb ran ych
w wyniku obserw acji statystyczn ej
5 .1 .
Odpowiedz na następujące pytania:
a) Czym zajm uje się statystyka op isow a?
b) W jaki sposób przeprow adza się o b serw ację statystyczn ą?
c) Co nazyw am y próbą?
d) Jakie cechy statystyczne nazyw am y cecham i m ierzalnym i, a jakie niem ierzalnym i?
Podaj przykłady cech m ierzalnych oraz cech niem ierzalnych.
5 .2 . Komendant policji przeanalizował wypadki drogowe spowodowane przez kie
rowców samochodów osobowych na terenie miasta w 2010 r., pod kątem przyczyn
tych wypadków. Wyniki pracy komendanta przedstawia poniższa tabela.
Liczebność
Przyczyna w ypadku
Przejazd przez skrzyżow anie na czerw onym św ietle
81
Jazda z nadm ierną prędkością
144
W ym uszenie pierw szeństw a
90
Jazda pod w pływ em alkoholu
135
Przedstaw zebrane dane w postaci diagram u kolum nowego i diagram u częstości
względnych.
5 .3 . Wychowawca klasy 3a przeprowadził w listopadzie badanie liczby spóźnień na
lekcję matematyki, która była pierwszą godziną lekcyjną w tygodniowym rozkładzie
zajęć tej klasy. Wyniki badań opracował w tabeli liczebności.
Liczba spóźnień
Liczebność
0
11
1
3
2
2
3
4
4
5 ” '
Sporządź diagram słupkow y oraz diagram kołow y p ro cen to w y spóźnień na lekcję
m atem atyki.
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
5.4. w pewnej klasie badano, ile czasu dziennie uczniowie poświęcają na odrabia
nie prac domowych, i uzyskano następujące dane (w godzinach) od losowo wybra
nych 20 uczniów:
0 ,5 1 3 3 2 ,5 0 ,5 1,5 2 3 4 0 ,5 1 1 1 1,5 2 ,5 4 3 2 1.
a) Przedstaw zebrane dane w tabeli liczebności oraz na diagramie kolumnowym.
b) Oblicz, jaki procent uczniów przeznacza na odrabianie prac domowych mniej niż
2 godziny.
5.5. Pewna firma badająca rynek gier komputerowych zapytała losowo wybranych
200 uczniów o liczbę posiadanych przez nich gier komputerowych. Otrzymane wy
niki przedstawia poniższy diagram.
□ brak gier
□ Igra
■ 2 gry
■ 3 gry
■ 4 i więcej gier
a) Ilu spośród badanych uczniów:
- ma co najmniej 3 gry komputerowe
- ma co najwyżej 2 gry?
b) Przedstaw powyższe dane na diagramie słupkowym.
5 .6 .
W pewnej firmie zbadano, jakimi środkami lokomocji dostają się do pracy jej
pracownicy. Wyniki przedstawiono na diagramie częstości względnych (rysunek po
niżej).
“
0,4
u
jo
* —
,3
samochód służbowy
|I
0,2
[ _
d >,12
0,1 _____ jii nw <
d
r
41
di3i 3
|
samochód własny
|
motocykl
J
rower
H
komunikacja miejska
środek lokomocji
a) Oblicz, jaki procent pracowników firmy dostaje się do pracy innymi środkami
transportu niż komunikacja miejska.
b) Ile osób przyjeżdża do pracy samochodem służbowym, jeśli wiadomo, że w fir
mie pracuje 50 osób?
c) Ile osób przyjeżdża do pracy na motocyklu lub rowerze?
d) Sporządź diagram kołowy zebranych wyników.
5. E le m e n ty sta tystyki opisow ej
5 .7 . Poniższy wykres przedstawia wyniki badań nad liczbą kierowców ukaranych
w ciągu godziny mandatami przez pewną liczbę patroli policji drogowej w Warszawie.
liczba mandatów
a ) J a k ą lic z b ę p a tr o li p o d d a n o t e m u b a d a n iu ?
b ) Ilu k ie r o w c ó w z o s ta ło u k a ra n y c h m a n d a t a m i? „
c ) O b lic z , ile m a n d a t ó w ś r e d n io p rz y p a d a n a je d e n p a tro l p o lic ji.
d ) P r z e d s ta w z e b ra n e d a n e w t a b e li c z ę s to ś c i w z g lę d n y c h .
Średnia z próby
5 .8 . W y z n a c z lic z b ę x , je ś li w ia d o m o , że ś re d n ia a ry tm e ty c z n a liczb 2 , 3 , 3 , 5 , 4 , 2 ,
x , 6, 9 , 1 je s t ró w n a 4 .
5 .9 . Ś re d n ia a r y t m e t y c z n a w ie k u d ru ż y n y p iłk a rs k ie j je s t ró w n a 2 4 la ta . G d y b y
u w z g lę d n ić w ie k t r e n e r a , t o ś r e d n ia a r y tm e ty c z n a w ie k u w s z y s tk ic h d w u n a s tu o só b
w y n io s ła b y 2 6 la t . Ile la t m a t r e n e r ?
5 .1 0 . P r z e p r o w a d z o n o s o n d ę t e le fo n ic z n ą , z a d a ją c p y ta n ie : „ Ile g o d zin d z ie n n ie
o g lą d a P a n (P a n i) t e le w iz ję ? " O tr z y m a n o n a s tę p u ją c e w y n ik i:
1 0 ,5 2 ,5 1 3 ,5 4 6 2 1 ,5 3 0 ,5 2 1 1 0 0 ,5 2 3 4 4 ,5 5 2 3 1 4 2 3 1 4 0 ,5 .
a ) P r z e d s t a w z e b ra n e d a n e n a d ia g ra m ie k o lu m n o w y m .
b ) J a k i je s t ś r e d n i c z a s o g lą d a n ia t e le w iz ji w cią g u d n ia ?
c ) J a k i p r o c e n t b a d a n y c h o s ó b o g lą d a t e le w iz ję w cz a s ie p rz e k ra c z a ją c y m ś re d n i
c z a s ? W y n ik z a o k r ą g lij d o je d n e g o m ie js c a po p rz e c in k u .
d ) Ile o s ó b s p o ś ró d b a d a n y c h p rz e z n a c z a d z ie n n ie na o g lą d a n ie te le w iz ji w ię c e j
c z a s u , n iż w y n o s i p o d w o jo n y ś re d n i c z a s ?
153
154
M a te m a ty k a . Z b ió r z a d a ń . K la s a 3 .
5 . 1 1 . Na d iagram ie kołow ym procen to w ym p rzed staw iono w yniki p om iaru w zro
stu u cz n ió w klasy p ierw szej p ew n ego liceum .
\ \ 152 cm
fcfrj 160 cm
M 162 cm
H
168 cm
■ 170 cm
a)
b)
c)
d)
¡|
Oblicz średni wzrost uczniów w tej klasie.
Przedstaw zebrane dane na diagramie częstości względnych.
Wiedząc, że w tej klasie zmierzono wzrost 25 uczniom, sporządź tabelę liczebności.
Ilu uczniów ma wzrost powyżej średniej?
5.12. W bibliotece szkolnej badano, ile książek wypożyczają uczniowie klasy lb pewnego technikum, w ciągu miesiąca. Uzyskane wyniki przedstawia poniższa tabela.
1
0
4
Liczba wypożyczonych książek
Liczba uczniów
2
4
8
3
*
3
8
1
* L ii
\
a) Oblicz średnią liczbę wypożyczonych książek w danym miesiącu dla klasy lb .
Wynik zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
b) Oblicz, jaki procent uczniów tej klasy wypożycza więcej książek, niż wynosi śred
nia dla klasy.
5 .13 . W pewnej firmie badano, ile zwolnień lekarskich biorą w ciągu roku jej pra
cownicy. Wyniki są przedstawione na poniższym diagramie.
2
9
3
M
nr
1 1
i s
' i
u
2
1
12
nj
¿2
]
.2
c
0
1
N
(0
Si
i
1— »— 1—
10%
i" i
f i i 1I TI ti
i m
■RS
m
i
. j
i i
1
■
,1 1 ; i i
L\
■ 4i
li
0%
rT T
|‘h r " L i
_1
. -1T
I
| 1 1 1
l
M ~ n T T
¡ 1
1
1 i i
1 1 1
i l ..]
V 1 I
D C us
4—j — i— i—
20%
30%
40%
50% 60%
procent pracowników
a) Jaka jest średnia liczba zwolnień w ciągu roku przypadająca na jednego prace
nika tej firmy?
b) W firmie pracuje 200 osób. Ile osób było na zwolnieniu lekarskim więcej ni
den raz w roku?
c) 0 ile procent więcej jest tych pracowników, którzy korzystali ze zw olnień'
skich, niż tych, którzy nie byli na zwolnieniu?
5. Elem e n ty statystyki opisowe)
155
5 .1 4 . W dwóch miastach A i B badano liczbę samochodów w rodzinie na losowo
wybranych równolicznych próbach. Oto wyniki przedstawione na diagramach:
a) Ile rodzin w m ieście A nie ma sam ochodu?
b) Oblicz średnią liczbę sam ochodów w rodzinie w każdym z miast.
c) Jaki procent rodzin w mieście B ma 2 samochody?
d) Oblicz średnią liczbę sam ochodów w rodzinie dla obu miast.
5 .1 5 .
W pewnej firmie pracują dwie zmiany pracowników. Stosunek liczby pracow
ników I zmiany do liczby pracowników II zmiany wynosi 3 : 2. Wszystkich pracowni
ków w firmie jest 50. Na każdej zmianie część pracowników nie wyprodukowała ani
jednego wadliwego detalu i żaden z pracowników nie wyprodukował ich więcej niż
cztery.
Na poniższym diagramie przedstawiono liczbę wadliwych detali, wyprodukowanych
przez pracowników tych zmian.
a) Która zmiana ma mniejszą średnią wadliwie wyprodukowanych detali przez jed
nego pracownika?
b) Oblicz średnią wadliwie wyprodukowanych detali przez jednego pracownika.
c) Ilu pracowników firmy nie wyprodukowało ani jednego wadliwego detalu? Jaki
to procent wszystkich pracowników?
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
5 . 16 . We wszystkich klasach trzecich pewnego liceum przeprowadzono próbną ma
turę z matematyki w zakresie podstawowym. W 32 osobowej klasie 3a średnia liczba
zdobytych punktów wyniosła 25; w 25 osobowej klasie 3b - 30; zaś w klasie 3c - 32.
Ilu uczniów z klasy 3c pisało próbną maturę z matematyki, jeśli wiadomo, że średnia
liczba punktów z próbnego egzaminu dla wszystkich klas była równa 28,575?
5 . 17 . Na jednym z wydziałów Akademii Ekonomicznej podczas rekrutacji na pierw
szy rok studiów bierze się pod uwagę wyniki pisemnego egzaminu maturalnego
z następujących przedmiotów: matematyka, geografia oraz język obcy nowożytny,
które uczeń zdawał w zakresie rozszerzonym. Z każdego z wymienionych przedmio
tów można było uzyskać maksymalnie 50 punktów. Postanowiono, że o przyjęciu na
studia decyduje średnia ważona punktów uzyskanych na maturze z wymienionych
przedmiotów. Ustalono wagi dla poszczególnych przedmiotów: matematyka - 0,6 5 ;
geografia - 0,2; język obcy nowożytny - 0,15.
Dwoje znajomych, Ela i Jacek, ubiega się o przyjęcie do Akademii Ekonomicznej na
ten wydział. Uzyskali następujące wyniki:
UJ
1
Jacek
Matematyka
38 pkt
26 pkt
Geografia
24 pkt
40 pkt
Język obcy nowożytnyj
48 pkt
50 pkt
K tó ra z t y c h o s ó b m a w ię k s z ą s z a n s ę d o s ta ć s ię n a w y m a rz o n e s tu d ia ?
5 .1 8 .
W ła ś c ic ie l k a w ia r n i, z a n im n a s ta łe w p ro w a d z i n o w ą k a w ę dla klientów , prze
p r o w a d z a b a d a n ie n a g ru p ie 20 o só b lo s o w o w y b ra n y ch sp o śró d b y w a lcó w lokalu.
W y b r a n e o s o b y o c e n ia ją k a w ę w trz e c h k a te g o ria ch : b — b arw y, s — sm ak u , z — za
p a c h u , p r z y z n a ją c w k a żd e j z tr z e c h k ateg o rii liczb ę p u n k tó w od 1 do 10. W łaściciel
o b lic z a ś r e d n ie a r y t m e t y c z n e : x b, x s, x z w te n sp o s ó b u zyskan ych punktów . Następ
n ie o b lic z a ś r e d n ią w a ż o n ą ze ś re d n ic h xb, xs, xz, nadając im o d p o w ie d n ie wagi:
2 ,5 ; 4 ; 3 ,5 . W p rz y p a d k u , g d y ś re d n ia w a żo n a je s t w ię k sza od 7, podejm uje decyzję
o w p r o w a d z e n iu k a w y d o s ta łe j sp rze d aży. Na d ia g ra m a ch p rzed staw io n e są wyniki
w p o s z c z e g ó ln y c h k a te g o ria c h d o ty c z ą c e k a w y „N u ta nadziei".
barwa
zapach
smak
U l 6 pkt
£ 3 8 Pkt
□
10 Pkt
liczba punktów
O c e ń , c z y k a w a „ N u ta n a d zie i" zo stan ie w p ro w a d zo n a do stałej sprzedaży.
157
5. E le m e n ty sta ty sty k i opisowej
M ediana z próby i moda z próby
5.19. Wyznacz modę (dominantę) oraz medianę zbioru danych statystycznych
przedstawionych w postaci:
a) zestawu liczb:
3112351233554213223145
b) tabeli liczebności:
Wartość
Liczebność
c)
3
7
12
2
5
4
diagramu kolumnowego:
wartość
d) diagramu słupkowego:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11
liczebność
e)
diagramu kołowego procentowego:
9
6
158
M a te m a tyk a . Z b ió r zad a ń. K la sa 3 .
f)
diagramu częstości względnych:
wartość
5.20. W biegu przełajowym zmierzono czas 28 pierwszym osobom, które przekro
czyły metę. Wyniki przedstawiono w postaci diagramu słupkowego.
|
l 8
§8
ra5
-Q Q
a 3
“ 2
p
1
30 31 32 34 40 42 52
czas [min]
Wyznacz modę, medianę oraz średnią arytmetyczną czasu uzyskanego przez zawod
ników.
5.21.
Uczniowie klasy trzeciej uzyskali z pracy klasowej z matematyki następujące
oceny:
3 1 2 4 4 2 3 3 2 1 4 2 3 5 2 3 3
3 3 2 1 4 5 2 3 4 2 3 4 1 3
3.
a) Przedstaw zebrane dane w tabeli liczebności.
b) Wyznacz modę i medianę ocen.
c) Oblicz średnią ocen z pracy klasowej.
d) Jaki procent uczniów otrzymało oceny pozytywne?
e) Jaki procent uczniów otrzymało oceny co najmniej dostateczne?
f) Sporządź diagram kołowy procentowy uzyskanych ocen.
5.22.
Pan Kowalski dojeżdża do pracy autobusem. Postanowił zbadać czas oczeki
wania na autobus. Poniżej podane są dane zebrane przez pana Kowalskiego (czas
oczekiwania w minutach) w kwietniu:
10 5 10 5 10 7 10 5 2 8 5 3 10 4 3 5 7 10 5 8 10 5.
a) Sporządź diagram częstości względnych czasu oczekiwania.
b) Wyznacz modę i m edianę czasu oczekiwania.
c) Oblicz średni czas oczekiwania na autobus.
d) Oblicz, jaki procent stanowiły dni, w których czas oczekiwania na autobus był
większy od średniej.
5. Elementy statystyki opisowej
159
5.23 . Pięćdziesiąt osób zdawało testowy egzamin z przepisów ruchu drogowego.
Liczba popełnionych przez nich błędów jest przedstawiona na diagramie kołowym
procentowym.
liczba błędów
E 3 1
■ *
m -
m *
a) Aby zdać egzamin, można było popełnić co najwyżej dwa błędy. Ile osób zdało
egzamin?
b) Oblicz średnią liczbę błędów.
c) Jaki procent zdających popełniło więcej błędów, niż wynosi średnia?
d) Wyznacz modę i medianę błędów.
5.2 4 . Maszynistka przepisywała książkę. Na żadnej stronie nie popełniła więcej niż
pięć błędów. Po przepisaniu policzono, ile błędów popełniła na poszczególnych stro
nach. Otrzymane wyniki są przedstawione na diagramie kolumnowym.
c 80
1 70
2 60
— 50'
40
30
20
10
0
a)
b)
c)
d)
1
2
?
4
5
liczba błędów
Ile stron liczyła książka?
Podaj modę błędów oraz medianę błędów.
Oblicz, ile średnio błędów popełniła maszynistka na jednej stronie.
Oblicz, jaki procent stanowiły strony, na których liczba błędów była mniejsza od
połowy średniej.
160
Klasa 3.
M atematyka.
Wariancja i odchylenie standardowe
5 .2 5 . Poniższa tabela przedstawia miesięczne wynagrodzenie pracowników pew
nej firmy.
Wynagrodzenie
miesięczne [zł]
850
1240
1300
2210
1820
2430
3840
1
4
Liczba pracowników
3
2
3
2
3
|
a) Wskaż modę i medianę miesięcznego wynagrodzenia w tej firmie.
4250
2
5400
|
1
|
b ) O b lic z ś r e d n ią p ła c ę m ie s ię c z n ą w t e j f ir m ie . W y n ik p o d a j z d o k ła d n o ś c ią d o je d
n e g o g ro s z a .
c ) J a k i p ro c e n t z a tru d n io n y c h w t e j f ir m ie m a p ła c ę m n ie js z ą , n iż w y n o s i ś re d n ia
m ie s ię c z n a ? W y n ik z a o k rą g lij d o je d n o ś c i.
d ) O b lic z o d c h y le n ie s t a n d a r d o w e o d ś r e d n ie j p ła c y m ie s ię c z n e j. W y n ik p o d a j z d o
k ła d n o ś c ią d o p e łn y c h z ło ty c h .
5 .2 6 . P r o d u c e n t c z e k o la d y d e k la r u je , że ta b lic z k a m a w a g ę 1 2 0 g ± 1 ,8 g. O rg a n iza
c ja k o n s u m e n c k a z b a d a ła w a g ę lo s o w o W y b ra n y c h 10 t a b lic z e k c z e k o la d y z p e w n e j
p a r t i i i o t r z y m a ła n a s t ę p u ją c e w y n ik i w g ra m a c h :
m 1 1 8 1 1 9 1 2 1 1 2 0 ,5 1 1 9 ,5 1 1 9 1 2 0 1 2 2 1 2 3 1 1 7 .
■
O b lic z ś r e d n ią w a g ę ta b lic z k i c z e k o la d y w b a d a n e j p ró b ie .
w) O b lic z o d c h y le n ie s t a n d a r d o w e o d ś r e d n ie j w a g i t a b lic z k i c z e k o la d y .
:)
O c e ń , c z y o r g a n iz a c ja k o n s u m e n c k a p o z y t y w n ie o c e n iła p ro d u c e n ta cze k o la d y,
c z y z w r ó c iła s ię d o n ie g o z r e k la m a c ją d o ty c z ą c ą t e j p a rt ii ta b lic z e k cz e k o la d y .
;.2 7 . W c e lu p o r ó w n a n ia w y n ik ó w d w ó c h łu c z n ik ó w z a n o to w a n o lic z b ę zd o b y ty ch
r z e z n ic h p u n k t ó w w d z ie s ię c iu t r e n in g o w y c h s e ria c h s trz a łó w .
I łucznik
II łucznik
2
3
20
24
28
30
liczba punktów
liczba strzałów
A /y zn a c z m e d ia n ę p u n k t ó w w d z ie s ię c iu s e r ia c h s t r z a łó w d la k a żd e g o łu c z n ik a .
) b l i c z ś r e d n ią lic z b ę p u n k t ó w z d o b y tą p rz e z k a ż d e g o łu c z n ik a .
) b lic z o d c h y le n ie s t a n d a r d o w e o d ś r e d n ie j lic z b y p u n k t ó w d la k a żd e g o łu c z n ik a .
V y n ik p o d a j z d o k ła d n o ś c ią d o je d n e g o m ie js c a p o p rz e c in k u . O c e ń , k t ó r y z z a
ro d n ik ó w m a b a r d z ie j s t a b iln ą f o r m ę .
5. Elementy statystyki opisowej
161
5.28. Kontrola jakości w firm ie produkującej śru by bada ich jako ść w edług n astęp u
jących zasad: pobiera z danej partii losowo 20 śrub i odrzuca p artię , je śli odchylenie
standardowe od średniej długości śruby je st w iększe niż 0 ,4 m m . Żądana długość
śruby to 25,5 mm. Kontrola jakości w ybrała 20 śrub z w yp ro d u ko w an ej p artii. Poniż
szy diagram kołowy ilustruje p rocentow y udział śrub o od p ow ied n iej długości w śród
losowo wybranych do badania.
długość śruby
|
25,4 mm
^
25,8 mm
|
25,2 mm
m
25,0 mm
|
25,6 mm
a) Oblicz średnią długość śruby w w ylo so w an e j do badania próbie.
b) Oblicz odchylenie standard ow e od śred n iej długości śruby.
c) Oceń, czy kontrola jakości w ypadła pom yślnie.
5.29. Firma transportow a „Z nam i szybko i b ezpiecznie", która zajm uje się prze
prowadzkami, zbadała liczbę zleceń w poszczególnych m iesiącach 2009 r. Dane są
zilustrowane poniżej na diagram ie kolum no w ym .
miesiące
a) Oblicz m edianę liczby zleceń .
b) Oblicz średnią m iesięczn ą liczbę zle ceń . W któ rych m iesiącach liczba zleceń prze
kroczyła śred n ią?
c) Oblicz odchylenie stan d ard o w e od śred n ie j m iesięczn ej liczby zleceń .
d) W których m iesiącach liczba zleceń była m niejsza niż x - cr?
5.30. Po ró w nyw ano sku te czn o ść d w ó ch drużyn p iłkarskich . W tym celu zbadano
liczbę zdobytych b ram ek każdej z d rużyn w 20 sp o tkan iach . W yniki p rzedstaw ia po
niższy diagram .
162
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
O b lic z d la każdej z d ru żyn śred n ią i od ch yle n ie sta n d a rd o w e liczb y zd ob ytych w m e
czu b ra m e k . S ch arak te ryzu j te d w ie d ru żyn y, ko rzystając z o b liczon ych w ie lko ści.
T e s t s p ra w d z a ją c y d o ro zd ziału 5 .
1 . Pe w n a firm a te le k o m u n ik acyjn a p rzep ro w ad ziła a n k ie tę te le fo n ic zn ą w śró d 300
lo so w o w yb ran ych ab o n e n tó w . Zap ytan o ro zm ó w cę o liczbę p o siad an ych telefo
n ó w k o m ó rko w ych . O trzym an e w y n ik i są p rzed staw io n e na poniższym d iagram ie.
Ile osó b spośród badanych m a co n ajw yże j d w a te le fo n y ko m ó rk o w e ?
A . 82
B. 65
C. 2 4 6
D. 186 .
163
5. Elem enty statystyki opisowej
2 . Poniższy diagram ilustruje wyniki z matematyki na półrocze, uzyskane przez
uczniów pewnej szkoły średniej.
Średnia ocen uczniów tej szkoły jest równa:
A. 3,275
3.
B. 3,315
C. 3,405
D. 3,425.
Przeprowadzono sondę uliczną, zadając pytanie: „Ile godzin w tygodniu przezna
cza Pan (Pani) na zajęcia sportowe?" Wyniki tego badania ilustruje poniższa tabela.
Liczba godzin
0
1
4
6
9
10
12
Liczba osób
5
12
6
15
4
10
2
Wobec tego moda liczby godzin przeznaczonych tygodniowo na zajęcia sportowe
wynosi:
A. 6
B. 15
C. 9
D. 12.
4 . W sklepie znajduje się 50 par spodni, wśród których jest 12 par spodni o długości
1,2 m każda. Pozostałe spodnie mają długość 1,24 m oraz 1,3 m. Średnia długość
wszystkich spodni w tym sklepie jest równa 1,264 m. Wobec tego stosunek liczby
spodni o długości 1,24 m do liczby spodni o długości 1,3 m jest równy:
A.4:7
B.3 :5
C.5:7
D.5:14.
( x 2- 1 ) •(2 x 3+ 1 8 x ) •( x 2- 5 x + 6 )
5 . Mediana wszystkich rozwiązań równania ------- — ----------- — ------------ - = 0
jest równa:
3x+6x+3
A. 2
B .l-
2
C.1
6 . Średnia arytmetyczna dwóch liczb dodatnich jest równa
liczb wynosi 0,16. Wskaż zdanie prawdziwe.
A. Suma tych liczb jest równa 0,6.
B. Liczby te są równe 1,3 oraz 1,1.
C. Wartość bezwzględna różnicy tych liczb wynosi 1.
D. Jedna liczba jest dwa razy większa od drugiej.
fk m
2
1 , 2 , zaś wariancja tych
164
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
7.
Niech M v M 2, M3 oraz MĄ oznaczają mediany danych statystycznych przedsta
wionych odpowiednio w punktach: I, II, III i IV.
i.
II.
1, 5, 7, 3, 3 ,5 ,1 ,1 , 6 ,1 ,1 2 ,5
*1
nl
III.
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
6
'o
5
€
%4
3
2
1
1
S
1
5
6
3
liczebność
Wskaż
A.
—1 = 4 -
2
2
B. M2> M4
C. M. = M ,
D. M2+ M3=9.
1 3
8 . Właściciel zakładu krawieckiego, przed wprowadzeniem nowego modelu sukien
ki, przeprowadza wśród wybranych klientek sondaż, badając gusta kobiet w trzech
kategoriach: F - fason (z wagą 6), M - rodzaj materiału (z wagą 3) oraz K - kolor
(z wagą 1). Każda zapytana klientka, przyznaje każdej z wymienionych kategorii oce
nę. Ocenę końcową modelu sukienki, właściciel oblicza jako średnią ważoną śred
nich ocen w poszczególnych kategoriach.
W wyniku tego badania okazało się, że xM= 5,6, xK = 9,5 oraz średnia ważona ocen
w poszczególnych kategoriach ma wartość 6,23. Zatem średnia ocena w kategorii F
jest równa:
B. 5
C. 6
D. 18.
Poddano kontroli dzienną dostawę soku jabłkowego pakowanego do 0,25-litro«/ych kartoników i dostarczanego przez producenta do sklepu osiedlowego. Umowa
)omiędzy sprzedawcą i producentem zakłada, że zawartość soku w kartoniku zawie
ra się w przedziale (x -<7,x + a), gdzie x jest średnią zawartością soku w kartoniku,
a a - odchyleniem standardowym.
Wyniki kontroli przedstawia poniższa tabela.
Zawartość soku w kartoniku [1]
Liczba kartoników
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
.2-
5
8
22
7
6
Okazało się, że średnia zawartość soku w kartoniku jest równa 0,2491, zaś wariancja
ma wartość 0,0001531.
Jaki procent dostawy nię spełnia warunków umowy?
A. 56%
B. 40%
C. 16%
D. 26%.
1 0. Skoczek narciarski wykonał 5 skoków o długości: 130 m, 120 m, 100 m, 126 m
oraz 124 m. Odchylenie standardowe w tej serii skoków jest liczbą z przedziału:
( 1
\
i8? 9)
l\
_ f i
c l 9?
\
D.
10/
(
1
\
1 0 - ,1 1 )
l
2
/
Zadania powtórzeniowe do rozdziału 5.
5 .3 1 .
W zestawie danych: 4, 7, 5, 8, x, 7, 3, 5, 9, 2 liczba x jest jedyną dominantą.
Mediana wynosi 6. Wyznacz liczbę x, a następnie oblicz średnią arytmetyczną tych
liczb, wariancję oraz odchylenie standardowe od średniej.
5 .3 2 .
a) Wyznacz liczby naturalne x oraz y, jeśli wiadomo, że średnia arytmetycz
na zestawu liczb 3, x, 4, 3, y, 2, 5 ,4 ,4 , 3 wynosi 3,6, a jedyną dominantą
jest liczba 3.
b) Wyznacz liczby naturalne x oraz y, jeśli wiadomo, że średnia arytmetyczna
zestawu liczbx, y, 3 ,5 , t , 7 ,8 ,1 2 ,1 5 ,1 0 jest równa 7,1, mediana M e- 7,5
i x < M e.
5 .3 3 .
Bibliotekarka w pewnym liceum sprawdziła, ile książek w I sem estrze wypoży
czyli uczniowie klas trzecich z biblioteki szkolnej. Wyniki przedstawiła na diagramie
słupkowym.
procent uczniów klas trzecich
a) Oblicz średnią liczbę wypożyczonych książek przypadającą na jednego trzeciokla
sistę.
b) Oblicz, ilu jest trzecioklasistów w tym liceum, jeśli wiadomo, że 80 uczniów wy
pożyczyło w I sem estrze w ięcej książek, niż wynosi średnia przypadająca na jed
nego ucznia.
266
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
5.34.
J a n e k rz u c ił 5 0 ra zy ko stką d o g ry i za każd ym raze m z a p is a ł w y n ik r z u t u . N a
s tę p n ie s p o rz ą d z ił d ia g ra m c z ę sto śc i w zg lę d n ych teg o d o ś w ia d c z e n ia , k tó ry p o d a n y
je s t p o n iże j.
a ) P o d aj m o d ę i m e d ia n ę lic zb y w y rz u c o n y c h o c ze k.
b) O b licz śre d n ią liczb ę o cze k w je d n y m rz u c ie .
c) O blicz w a ria n cję i od ch ylen ie stan d ard o w e od śred n ie j liczby o cze k w je d n y m rzucie.
5 . 3 5 . w p ry w a tn e j s p e c ja lis ty c z n e j p rz ych o d n i le k a rs k ie j p ra c u je o 4 le k a rz y w ię c e j
n iż p o zo stałych p ra c o w n ik ó w . Ś re d n ia p e n sja le k a rz y z a tru d n io n y c h w t e j p rzych o d gM
ni w y n o s i 3 8 5 0 zł, zaś śre d n ia p e n sja p o zo stałych p ra c o w n ik ó w je s t o 1 9 0 0 z ł n iższa.
Ś re d n ia p łaca w szy stk ic h p ra c o w n ik ó w t e j p rz y ch o d n i je s t r ó w n a 3 0 9 0 z ł. O b licz,
ilu le k a rzy p ra c u je w t e j p rz ych o d n i.
5.36.
M a cie k i G rze g o rz a n a liz o w a li w y n ik i s w o ic h p ra c k la s o w y c h z m a te m a ty k i.
K ażd y z ch ło p c ó w m a po p ię ć o c e n . M a c ie k u zy sk a ł n a s tę p u ją c e w y n ik i: 4 , 4 , 2 , 5 , 5 .
O kazało s ię , że śre d n ia o c e n G rze g o rza je s t o 1 m n ie js z a n iż ś re d n ia o c e n M a ćk a .
W ie d zą c , że w a ria n c ja o ce n każd eg o z c h ło p c ó w b yła ta k a s a m a i w y n o s iła 1 ,2 , u zu
p e łn ij o c e n y G rze g o rza z p ra c k la s o w y c h z m a te m a ty k i, je ś li w ia d o m o , że w ś ró d p ię
ciu o ce n s ą : 2, 3 , 3 .
5.37.
W śró d 3 2 -o so b o w e j k la s y 3 a (w k tó re j
k ażd y u czeń p o ch o d zi z in n e j ro d zin y ) p rz e p ro
w a d z o n o b ad an ia sta ty s ty c z n e d o ty c z ą c e p o s ia
d an eg o ro d ze ń stw a . W y n ik i b a d a n ia p rz e d s ta
w io n e są na d ia g ra m ie o b o k.
a ) O b licz m e d ia n ę i p o d aj m o d ę lic zb y d zie ci
w b a d a n e j ro d zin ie .
b ) O b licz śre d n ią lic zb ę d zie ci w b a d a n e j ro d zi
n ie .
c) O b licz o d ch y le n ie s ta n d a rd o w e o d ś re d n ie j
liczb y d zie ci w b a d a n e j ro d z in ie . W y n ik p o
d aj z d o k ła d n o śc ią d o ca ło ś c i.
liczba rodzeństwa
167
5. Elem enty statystyki opisowej
5.38.
Nauczyciel przedstawił uczniom następujący system klasyfikacji rocznej z ma
tematyki: Ocena roczna jest wystawiana jako zaokrąglona do liczby całkowitej średnia
ważona oceny za pierwszy semestr z wagą 0,4 i oceny za drugi sem estr z wagą 0,6.
Oceny semestralne wystawia nauczyciel jako średnie ważone (zaokrąglone do ca
łości) następujących liczb: k - średniej z prac klasowych z wagą 0,65, u - średniej
z odpowiedzi ustnych z wagą 0,25, d - średniej z prac domowych z wagą 0,1 (każdą
z tych średnich zaokrągla do jednego miejsca po przecinku).
Oblicz, jaką ocenę roczną otrzyma uczeń, który uzyskał następujące oceny:
Prace klasowe
Odpowiedzi ustne
Prace domowe
*
5.39.
1semestr
II semestr
3 ,4 , 2 ,3
4, 3 ,4 , 3
4 ,5 ,2
3 ,4 , 3
4 ,1
4 ,5
Suma trzech liczb x, y oraz z wynosi 6, a ich wariancja jest równa 21. Oblicz
sumę kwadratów tych liczb.
5.40.
Zestaw trzech liczb o, b i c ma średnią arytmetyczną X* i odchylenie stan
dardowe od średniej równe at. Zestaw trzech liczb o + 8, b + 8 i c + 8 ma średnią
arytmetyczną x2 i odchylenie standardowe a2. Wyznacz związek pomiędzy średnimi
arytmetycznymi i odchyleniami standardowymi obu zestawów danych.
*
5.41. Wiadomo, że wariancję zestawu danych xv x2, ..., x„ możemy obliczyć ze wzoru:
(1 )
S
( x 1 - x )2+ ( x 2 - x )2+ . . . + ( x „ - x )2
|
n
lub ze wzoru:
n
gdzie x jest średnią arytmetyczną liczb xv x2, ..., x„.
Udowodnij, że wzory (1) i (2) są równoważne.
168
6
• Geometria przestrzenna
P łaszczyzn y i proste w przestrzeni
6 . 1 . Dane są proste Ar, /, m. Ustal, ja k mogą być położone w zględem siebie proste k
i m, je ś li:
a) proste Ar i / są skośne oraz l\\m
b) proste k, I, m nie leżą w je d n e j płaszczyźnie, ale prosta / ma je d e n punkt wspólny
z prostą k i jeden punkt wspólny z prostą m.
6 . 2 . Niech n oznacza płaszczyznę, natom iast k, I niech będą prostym i w przestrzeni.
Czy praw dziw e je s t następujące tw ierd zen ie:
a) je śli i a n i k | | n, to k || /
b) je śli / c r jr i Ar |j /, to k |f .tt?
Odpowiedź uzasadnij.
6 .3 . Na rysunku poniżej prosta I jest kraw ędzią przecięcia płaszczyzn £% oraz ar2.
Wskaż punkt, w którym prosta Ar zaw arta w płaszczyźnie js£ i nierów noległa do kra
wędzi / przebija płaszczyznę Jt2. Odpowiedź uzasadnij.
6 .4 .
Dane są punkty A 5 należące do płaszczyzny jt oraz p un kt C poza tą płaszczy
zną. Punkt P należy do odcinka >4C, a punkt Q - do odcinka BC. W ykaż, że
a) jeśli \AP\ = |PC| oraz |0Q| = |QC|, to prosta PO je s t rów noległa do płaszczyzny rr
b) jeśli \AP\ • ICQI = IPCI • |0QJ, to prosta PO je s t rów noległa do płaszczyzny jr .
6 .5 .
Punkty A 0, C, 0 nie leżą w jednej płaszczyźnie. W iad om o, że |4 0 | = |0C|. Punkty
P, Q ,Rsą odpow iednio środkam i odcinków ¿ 0 , 0 0 , C 0 . W ykaż że
a) trójkąt PQ fl je s t rów noram ienny
b) płaszczyzna (PQ 0) je s t rów noległa do płaszczyzny (>40C).
169
6. Geometria przestrzenna
6 .6 .
W s z e ś c ia n ie ABCDA^CyD^ p u n k t P je s t ś ro d k ie m k ra w ę d z i B1C1, a p u n k t
Q - ś r o d k ie m k r a w ę d z i BB V W y k a ż , że c z w o ro k ą t AQPD1 je s t tra p e z e m r ó w n o r a
m ie n n y m .
Rzut równoległy na płaszczyznę. Rysowanie
figur płaskich w rzucie równoległym na płasz
czyznę
6.7. W
p e w n y m r z u c ie ró w n o le g ły m n a p ła s z c zy z n ę o b ra z e m o d c in k a je s t p u n k t. J a k
j e s t p o ło ż o n y t e n o d c in e k w z g lę d e m p ro s te j w y z n a c z a ją c e j k ie r u n e k r z u to w a n ia ?
6 . 8 . W p e w n y m r z u c ie r ó w n o le g ły m n a p ła s z c zy z n ę o b ra z e m p ię c io k ą ta je s t o d c i
n e k . J a k je s t p o ło ż o n a p ro sta w y z n a c z a ją c a k ie r u n e k te g o r z u to w a n ia , w z g lę d e m
p ła s z c z y z n y , w k tó re j z a w a r t y je s t p ię c io k ą t?
6.9.
W r z u c ie ró w n o le g ły m n a p ła s z c z y z n ę j i o b ra z e m d a n e g o ko ła je s t ko ło d o n ie
g o p r z y s ta ją c e . J a k s ą p o ło żo n e w z g lę d e m s ie b ie rz u tn ia i p ła sz czy z n a z a w ie ra ją c a
d a n e k o ło ?
6.10.
N a ry s u n k u p o n iż e j d a n y je s t o d c in e k AB o ra z AJBV b ę d ą c y rz u te m r ó w n o
le g ły m o d c in k a A B n a p ła s z c z y z n ę j i w k ie ru n k u p ro ste j AAV P u n k ty C , D n a le ż ą d o
o d c in k a A B o ra z |C£>( = 2 |4 C | i |4 D | = \DB\. W y z n a c z r z u ty ró w n o le g łe p u n k tó w C , D n a
p ła s z c z y z n ę j i . W ja k im s to s u n k u p u n k ty
6.11. W t r ó jk ą c ie ABC
Cv D1 d z ie lą
o d c in e k
AXB^
w y s o k o ś ć CD d z ie li p o d s ta w ę AB n a d w a o d c in k i, k tó ry c h
d łu g o śc i p o z o s ta ją w s to s u n k u 1 : 3 . O d c in e k CE je s t ś ro d k o w ą te g o t ró jk ą t a . N a ry s u j
rz u t r ó w n o le g ły te g o t ró jk ą t a w p rz y p a d k u , g d y b o k A B je s t ró w n o le g ły d o r z u tn i,
a p ła s z c z y z n a (ABC) n ie je s t ró w n o le g ła d o r z u tn i i n ie je s t ró w n o le g ła d o p ro ste j
w y z n a c z a ją c e j k ie r u n e k r z u t o w a n ia . Z a z n a c z rz u t w y s o k o ś c i CD o ra z rz u t ś ro d k o w e j
CE. W ja k im s to s u n k u p u n k t y Dx i Ex d z ie lą b o k A XBX t ró jk ą t a 4 j 8 j C ?
170
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
6 .1 2 . Naszkicuj rzut równoległy sześciokąta forem nego w przypadku, gdy dwa boki
sześciokąta są równoległe do rzutni, ale sześciokąt zaw iera się w płaszczyźnie nierównoległej do rzutni i nierównoległej do kierunku rzutow ania. N astępnie popro
wadź przekątne w danym sześciokącie i przekątne w rzucie. Co zauw ażyłeś?
6 .1 3 . Dany jest sześcian A B C D A fi& D y Niech płaszczyzna (A BCD ) będzie rzutnią,
a prosta ADX - kierunkiem rzutu równoległego na płaszczyznę (ABCD). Naszkicuj
obraz w tym rzucie:
a) kwadratu A & C &
b) trójkąta DBCX
c) trójkąta DCP, gdzie P ozna
cza środek odcinka DXCV
P rostopadłość prostych i p ła szczyzn w p rze
strzeni. Rzut pro sto kątn y na p ła szc zy zn ę
6 .1 4 . Dany je st trójkąt prostokątny ABC, w którym A C je s t p rzeciw prostokątną.
Odcinek BS je st prostopadły do płaszczyzny, w której zaw arty je s t tró jkąt A B C . Niech
punkt D należy do odcinka CS. Wykaż, że trójkąt ABD je s t prostokątny.
6 .1 5 . Dany je st sześcian, w którym punkt Q jest środkiem odcinka AB. Na podsta
wie danych na rysunku sprawdź, czy odcinek A B jest prostopadły do odcinka CD.
Odpowiedź uzasadnij.
6. Geometría przestrzenna
6 .1 6 . W równoległoboku ABCD przekątne przecinają się w punkcie O. Punkt 5 nie
należy do płaszczyzny (ABCD). W iadom o, że |AS| = |5C| oraz |50| = \SB\. Czy odcinek
SO je st prostopadły do płaszczyzny ABCD? Odpowiedź uzasadnij.
6 .1 7 . W tró jkącie prostokątnym ABC punkt O je st środkiem przeciwprostokątnej
AB. Punkt 5 nie należy do płaszczyzny (ABC). W iadom o, że |AS| = \SB\ = |SC|. W ykaż,
że odcinek 5 0 je st prostopadły do płaszczyzny (ABC).
6 .1 8 . Odcinek AB zaw arty w płaszczyźnie n ma długość 120 cm . Odległość punktu
C leżącego poza płaszczyzną n od punktu A je st taka sam a ja k od punktu B i w ynosi
61 cm . Rzut prostokątny punktu C na płaszczyznę n należy do odcinka AB. Oblicz
odległość punktu C od płaszczyzny n .
6 .1 9 . Dane są punkty d , B należące do płaszczyzny n oraz punkt C, który leży w od
ległości 9 cm od płaszczyzny n oraz w odległości V 106 cm od punktu A i 15 cm od
punktu B. W iedząc, że punkt C je s t rzutem prostokątnym punktu C na płaszczyznę
n oraz \<AC'B\ = 9 0 °, oblicz długość odcinka AB.
6 . 20 . Rzutem prostokątnym punktu A na płaszczyznę n je st punkt A'. Do prostej k
zaw artej w płaszczyźnie Jt i przechodzącej przez punkt A' należą punkty B, C, przy
czym punkt B leży m iędzy punktam i A' i C. W iedząc, że \AB\ = 10 cm , |BC] = 9 cm oraz
\AC\ = 17 cm , oblicz odległość punktu A od płaszczyzny ;r .
T w ierd zen ie o trze c h p ro stych p ro sto p ad łych
6 .2 1 . Punkty A, B C ,D nie leżą w je d n e j płaszczyźnie. Odcinek CD je st prostopadły
do odcinka AC i do odcinka BC. Punkt £ je st środkiem odcinka AB. W ykaż, że jeśli
ED 1 AB, to tró jkąt ABC je s t rów noram ienny.
6 .2 2 . W tró jkącie różnobocznym ABC punkt £ je st środkiem odcinka BC. Odcinek
AD je st prostopadły do płaszczyzny (ABC). Czy prosta DE je st prostopadła do prostej
BC? O dpow iedź u zasadnij.
6 .2 3 . Dany je s t kw ad rat ABCD. Odcinek DE je st prostopadły do płaszczyzny (ABCD).
Wykaż, że tró jkąty ABE oraz BCE są prostokątne.
6 .2 4 . W równoległoboku ABCD przekątna DB je st jednocześnie w ysokością popro
wadzoną na boki AD i BC. Proste DB i AC przecinają się w punkcie O. O dcinek £ 0 je st
prostopadły do płaszczyzny (ABCD). W ykaż, że tró jkąty BCE i ADE są prostokątne.
171
Matematyka, Zbiór nadań. Klanu 3,
6.25. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość: |AC| - 1 5 cm,
|BC| ®20 cm . Odcinek DC jest prostopadły do płaszczyzny (ABC) I ma długość 22,5 cm.
Oblicz wysokość trójkąta ABD poprowadzoną na bok AB.
6.26. W trójkącie prostokątnym ABC wysokość CD poprowadzona na przeclwprostokątną AB dzieli ją na odcinki długości: \AD\ ■ 9 cm I \DB\ = 4 cm . Odcinek EC
je st prostopadły do płaszczyzny (ABC). Wiedząc, że pole trójkąta ABC je st o 26 cm 2
mniejsze od pola trójkąta ABE, oblicz odległość punktu E od płaszczyzny (ABC).
6.27. W trójkącie ABC boki mają długość: \AB\ * 60 cm, \AC\ = |flC| = 50 cm . Odcinek
AD je st prostopadły do płaszczyzny (ABC). Odległość punktu D od prostej BC jest
równa 52 cm . Oblicz odległość punktu D od płaszczyzny (ABC).
Kąt między prostą a płaszczyzną.
Kąt dwuścienny
6 .2 8 . Prosta k przebija płaszczyznę n w punkcie A. Punkt B należy do prostej /, która
jest rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę n oraz \AB\ = 8 cm . Oblicz odle
głość punktu B od prostej k, jeśli kąt nachylenia prostej k do płaszczyzny jt ma miarę:
a) 30°
b) 45°
c) 60°.
6.29. Płaszczyzny jt2 i jt2 są prostopadłe, a krawędzią ich przecięcia je st prosta m.
Punkt A należy do płaszczyzny j i x i leży w odległości 8 cm od prostej m. Punkt B
należy do płaszczyzny jt 2 i leży w odległości 6 cm od prostej m. W iedząc, że rzutem
prostokątnym punktu A na płaszczyznę jz2 jest ten sam punkt co rzut prostokątny
punktu B na płaszczyznę jtv oblicz:
a) tangens kąta nachylenia prostej AB do płaszczyzny jt2
b) cosinus kąta nachylenia prostej AB do płaszczyzny n x.
6.30. Na płaszczyźnie ;r dany jest odcinek AB. Odcinek BC jest prostopadły do płasz
czyzny Jt. Punkt D jest środkiem odcinka BC. Oblicz sinus kąta nachylenia prostej
AC do płaszczyzny jt, wiedząc, że tangens nachylenia prostej AD do płaszczyzny jt
.2
wynosi - .
6.31. Oane są dwa przystające równoległoboki ABCD i DCEF o wspólnym boku DC.
Miara kąta ostrego obu równoległoboków jest rów na: |<CQ4| = ]< £0C | = 30°. Płasz
czyzny zawierające te równoległoboki tworzą kąt dwuścienny o m ierze 60°. W ie
dząc, że \AD\ = )0F| = 2 dm, óblicz odległość między prostymi AB i EF.
6. Geometria przestrzenna
173
6 .3 2 . Dane są dwa przystające romby ABCD i DCEF o w spólnym boku DC długości
4 cm . M iara kątów ostrych tych rom bów je st rów na: \<ADC\ = \<DCE\ = 4 5 °. Płasz
czyzny zaw ierające te rom by tw o rzą kąt d w uścienny o m ierze 120°. Oblicz odległość
między prostym i AB i EF.
6 .3 3 . Trzy punkty A, B, C leżące na płaszczyźnie n w yznaczają tró jkąt rów noram ien
ny, w którym \AC\ = |6 C| = 5 oraz \AB\ = 6 . Odcinek DC je st prostopadły do płaszczy
zny n, a jego długość je st rów na 8. Oblicz:
a) tangens kąta nachylenia prostej BD do płaszczyzny jt
b) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny ;r .
6 .3 4 . Trójkąt prostokątny ABC zaw iera się w płaszczyźnie ;r , przy czym \<ABC\ = 90°
oraz |4C| = 20, |>4fl| = 12. Odcinek DC je st prostopadły do płaszczyzny j i i ma dłu
gość 12. Oblicz:
a) sinus kąta nachylenia prostej AD do płaszczyzny jt
b) sinus kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny^.
6 .3 5 . Trójkąt prostokątny ABC zaw iera się w płaszczyźnie jt, przy czym \AB\ = 10,
|BC| = 6 oraz \ACB\ = 9 0°. Odcinek CD je st prostopadły do płaszczyzny n i ma dłu
gość 8. Oblicz:
a) m iarę kąta nachylenia prostej AD do płaszczyzny
b) cosinus kąta nachylenia prostej BD do płaszczyzny jt
c) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABD) do płaszczyzny ?r.
Graniastosłupy
6 .3 6 . Wykaż, że długość przekątnej sześcianu o krawędzi długości o je st równa a>/3.
a) W yznacz cosinus kąta nachylenia przekątnej sześcianu do płaszczyzny podstawy.
b) Oblicz a w przypadku, gdy przekątna sześcianu ma długość 3 cm .
6 .3 7 . W ykaż, że długość przekątnej prostopadłościanu o kraw ędziach długości a,
b, c je st rów na J a 2+b2+c 2 . Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu i m iarę
kąta nachylenia tej przekątnej do płaszczyzny podstaw y w przypadku, gdy kraw ę
dzie podstaw y m ają długość: a = 3 cm , b = 4 cm , zaś kraw ędź boczna ma długość
c = 5 cm .
6 .3 8 .
Stosunek długości kraw ędzi prostopadłościanu w ynosi 3 : 4 :1 2 , a długość
przekątnej prostopadłościanu je st rów na 26 cm . Oblicz długości przekątnych trzech
nieprzystających ścian.
174
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
6.39. W graniastosłupie praw idłow ym czworokątnym kraw ędź boczna je s t dwa
razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz:
a) tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstaw y
b) sinus kąta między przekątną ściany bocznej a przekątną podstaw y, w ychodzący
mi z tego samego wierzchołka
c) cosinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstaw y.
6.40. Krawędź boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość yf%,
a kraw ędź podstawy ma długość 2. Oblicz:
a) cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstaw y
b) sinus kąta między przekątną jednej ściany bocznej a kraw ędzią pod staw y zaw ar
tą w sąsiedniej ścianie bocznej, w ychodzącym i z tego sam ego w ierzchołka
c) m iarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedn iej ścian y bocznej.
6.41. Stosunek długości przekątnej ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego
trójkątnego do długości krawędzi podstawy je st rów ny yfe . Oblicz m iarę kąta na
chylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.
6.42. Podstawą graniastosłupa prostego je st romb, którego bok ma długość 5^3 cm.
W iedząc, że graniastosłup ma wysokość 8 cm , a dłuższa przekątna graniastosłupa
ma 17 cm , oblicz:
a) miarę kąta ostrego rombu
b) długość krótszej przekątnej tego graniastosłupa.
6.43. Podstawą graniastosłupa prostego je st romb. Graniastosłup ma wysokość
12 cm. Dłuższa przekątna graniastosłupa je st nachylona do płaszczyzny podstawy
pod kątem a = 4 5 ° , a krótsza pod kątemyS = 60°. Oblicz długość kraw ędzi podstawy.
6.44. Oblicz długości przekątnych graniastosłupa praw idłow ego sześciokątnego,
którego długość krawędzi podstawy je st równa 3 cm , a kraw ędzi bocznej - 8 cm .
6.45. Podstawą graniastosłupa prostego je st trapez rów noram ienny, którego pod
staw y mają długość a i b, a ramię ma długość c. W ysokość tego graniastosłupa je st
równa H. Wykaż, że długość przekątnej d tego graniastosłupa opisuje w zó r:
dz = hp + ab + c2.
6.46. Liczba naturalna parzysta n oznacza liczbę w ierzchołków pew nego graniasto
słupa.
a) W yznacz liczbę s ścian i liczbę k krawędzi tego graniastosłupa w zależności od n.
b) Oblicz liczbę ścian i liczbę krawędzi graniastosłupa w przypadku, gdy n = 10.
6. Geometría przestrzenna
175
6 .4 7 . W pewnym graniastosłupie liczba ścian jest o 5 mniejsza od liczby wierzchoł
ków. Oblicz liczbę wierzchołków, liczbę ścian i liczbę krawędzi tego graniastosłupa.
6 .4 8 . W pewnym graniastosłupie liczba krawędzi jest dwa i pół raza większa od
liczby ścian. Jakie wielokąty są podstawami tego graniastosłupa?
* 6 .4 9 . Trzy krawędzie prostopadłościanu mają wspólny koniec. Pozostałe końce tych
krawędzi wyznaczają płaszczyznę n. Wykaż, że płaszczyzna ta dzieli w stosunku 1 : 2
przekątną prostopadłościanu wychodzącą ze wspólnego końca danych krawędzi.
* 6 .5 0 . W graniastosłupie prostym trójkątnym każdy wierzchołek jednej podstawy
połączono odcinkiem z punktem przecięcia przekątnych ściany bocznej przeciwle
głej temu wierzchołkowi. Wykaż, że te trzy odcinki przecinają się w jednym punkcie,
który dzieli je w stosunku 1 : 2.
Ostrosłupy
6 .5 1 . Oblicz, ile ścian oraz ile krawędzi ma ostrosłup, którego liczba wierzchołków
jest równa:
a) 6
b) n, gdzie n e N+i n > 3.
6 .5 2 . W pewnym ostrosłupie liczba ścian jest o 6 mniejsza od liczby krawędzi.
Oblicz, ile wierzchołków ma ten ostrosłup.
6 .5 3 . W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest
równa 20 cm, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę
60°. Oblicz:
a) długość krawędzi bocznej
b) wysokość ostrosłupa
c) wysokość ściany bocznej.
6 .5 4 . W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest
równa 4^2 cm, a krawędzi bocznej - 5 cm . Oblicz:
a) wysokość tego ostrosłupa
b) wysokość ściany bocznej, poprowadzoną na krawędź podstawy
c) odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznej.
6 .5 5 . Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość
9 cm, a wysokość ściany bocznej je st równa 3>/3 cm . Oblicz:
a) miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
b) odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od ściany bocznej.
Matematyka. Zbiór tadań. Klasa 3.
6 .5 6 .
W o stro słu p ie p raw id ło w ym czw o ro kątn ym p rzeciw leg łe kraw ę d zie b oczne
s ą d o s ie b ie p ro sto p ad łe. W yzn acz tan gen s kąta a n ach yle n ia ścia n y b ocznej do
p łaszczyzn y p o d staw y i podaj przybliżoną m iarę tego kąta (z dokładn ością do 1 °).
6 . 5 7 . W ostrosłu pie p raw id łow ym czw orokątnym kraw ędź p od staw y ma długość V 6 .
K ą t d w u ś d e n n y m ięd zy sąsie d n im i ścian am i bocznym i je s t ró w n y 1 2 0 °. O blicz:
a ) od le g ło ść spodka w ysokości tego ostrosłupa od kraw ęd zi b ocznej
b ) w y so k o ść o stro słu p a.
6 . 5 8 . W o stro słu p ie p raw id ło w ym tró jkątn ym kraw ęd ź p o d staw y m a długość
12 d m , a k raw ę d ź boczna 8 d m . Oblicz:
a ) w yso k o ść tego ostrosłupa
b) m ia rę kąta nach ylen ia kraw ędzi b ocznej ostrosłu pa do płaszczyzny pod staw y.
6 . 5 9 . D any je s t czw o ro ścian fo rem n y o w ysokości H i kraw ęd zi długości o.
a ) W yk aż, że 3H 2 = 2o 2
b) W ie d ząc d odatkow o, że w yso ko ść je s t o 1 krótsza od k raw ę d zi, ob licz o. W ynik
p rzed staw w postaci a + b j c , gdzie o, b ,c e N.
6 . 6 0 . W ostrosłu pie p raw id ło w ym tró jkątn ym o w ysokości 3 0 cm kąt d w u ścien n y
przy p od staw ie ma 6 0 °. O blicz:
a) w yso ko ść ścian y bocznej
b) długość kraw ęd zi podstaw y.
6 . 6 1 . W ostrosłupie p raw id ło w ym tró jkątn ym ścian a boczna tw o rz y z płaszczyzną
p o d staw y kąt 4 5 °. Oblicz sin u s kąta nach ylen ia kraw ęd zi bocznej tego ostrosłu pa do
płaszczyzny podstaw y.
6 . 6 2 . O blicz m iarę kąta nachylenia kraw ęd zi b ocznej o strosłu pa p raw id łow eg o tró j
kątnego do płaszczyzny podstaw y, je ś li:
a) w yso ko ść ostrosłupa je st trzy razy krótsza od kraw ęd zi p od staw y
b) w yso ko ść ostrosłupa je s t rów na kraw ędzi podstaw y.
6 . 6 3 . W ysokość praw idłow ego ostrosłupa sześcio kątnego je s t rów n a 5>/3 cm , a kąt
m ię d zy przeciw ległym i kraw ęd ziam i bocznym i m a 6 0 °. Oblicz su m ę długości w szyst
kich kraw ęd zi tego ostrosłupa.
6 . 6 4 . W ostrosłupie praw id łow ym sześcio kątnym w yso ko ść ścian y b ocznej je st
ró w n a IO a/ 3 cm , a kąt nachylenia ścian y bocznej do p łaszczyzny p od staw y m a 6 0 °.
O b licz pole p od staw y tego ostrosłupa.
6. Geometria przettrzenna
177
6 .6 5 . Po dstaw ą ostrosłupa je st prostokąt o bokach długości 6 cm i 8 cm , a kraw ę
dzie boczne m ają po 13 cm długości. Oblicz:
a) w ysokość ostrosłupa
b) w ysokości hx i h2 dwóch różnych ścian bocznych ostrosłupa.
6 . 6 6 . Podstaw ą ostrosłupa prostego ABCS jest trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości: |4C] = 6 cm i |BCj = 8 cm . Wysokość tego ostrosłupa je st równa
12 cm . Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej CS do płaszczyzny podstawy.
6 .6 7 .
Podstaw ą ostrosłupa je st tró jkąt, którego jeden z kątów jest równy 120°,
a najdłuższy bok ma długość V243 cm . W iedząc, że wszystkie krawędzie boczne
ostrosłupa m ają taką sam ą długość rów ną 15 cm , wyznacz wysokość tego ostrosłupa.
6 . 6 8 . Podstaw ą ostrosłupa prostego je st trójkąt równoramienny, którego dwa boki
m ają długość 17 cm , a trzeci bok 16 cm . Wszystkie krawędzie boczne są nachylone
do płaszczyzny podstaw y pod kątem ostrym a takim , że sin a = — . Oblicz wysokość
tego ostrosłupa.
6 .6 9 .
Podstaw ą ostrosłupa prostego je st trójkąt, którego boki mają długość: 21 cm,
17 cm , 10 cm . W ied ząc, że w ysokość ostrosłupa je st równa 5 - cm , oblicz cosinus
kąta nachylenia kraw ędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
6 . 7 0 . Podstaw ą ostrosłupa je st trapez równoramienny. Krótsza podstawa i ramię
tego trap ezu są tej sam ej długości. W szystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają
długość 61 cm , a w ysokość ostrosłupa to 60 cm. W iedząc, że środek okręgu opisa
nego na trap e zie je s t środkiem dłuższej podstawy trapezu, oblicz pole tego trapezu.
6 . 7 1 . Po dstaw ą ostrosłupa ABCS je st trójkąt prostokątny ABC, w którym przyprosto kątn e m ają długość: \AC\ = 9 cm , \BC\ = 16 cm . Spodkiem wysokości ostrosłupa
je s t w ie rzch o łe k C. W ied ząc, że wysokość ostrosłupa je st równa 12 cm , oblicz:
a) długość boków tró jkąta ABS
b) tangens kąta nachylenia płaszczyzny (ABS) do płaszczyzny podstawy tego ostro
słu p a.
6 . 7 2 . Po dstaw ą o strosłupa je s t kwadrat, a spodek wysokości znajduje się w jednym
z w ie rzch o łk ó w tego kw ad ratu. W iedząc, że wysokość tego ostrosłupa je st równa
kraw ęd zi podstaw y, oblicz:
a) m iarę kąta nachylenia ścian bocznych, które nie zaw ierają wysokości ostrosłupa,
do płaszczyzny podstaw y
b) co sinus kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej ostrosłupa do krawędzi
podstaw y.
1
________________________________ Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.____________________________ ________
6.73.
Podstaw ą ostrosłupa jest romb o boku długości 20 cm i kącie ostrym miary
6 0 ° . P u n kt przecięcia się przekątnych jest spodkiem wysokości ostrosłupa, która jest
ró w n a 5 ^ 6 cm . Oblicz:
a) w yso ko ść ściany bocznej, poprowadzonej na krawędź podstawy
b) sin u s kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
6.74. Podstaw ą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają
długość 6 dm i 8 dm. Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszI
czyzny podstaw y pod kątem ostrym a takim, że cos a s r - . Oblicz wysokość tego
o strosłupa.
6.75. Podstawą ostrosłupa jest trapez prostokątny, którego podstawy mają długość
6 cm i 3 cm , a ramiona 4 cm i 5 cm. Wszystkie ściany boczne są nachylone do płasz
czyzny podstawy pod tym samym kątem ostrym miary a . Wyznacz sinus kąta a , jeśli
w ysokość ostrpsłupa jest równa 6 cm.
S iatk a wielościanu.
P ole powierzchni wielościanu
6.76. Narysuj:
a) cztery różne siatki sześcianu
b) dwie różne siatki prostopadłościanu, którego żadna ściana nie jest kwadratem.
6.77. Narysuj siatkę graniastosłupa:
1
r
a) prawidłowego czworokątnego
b) prawidłowego trójkątnego
c) prawidłowego sześciokątnego ,
d) prostego, którego podstawą jest równoległobok.
6.78. Narysuj siatkę ostrosłupa:
a)
b)
c)
d)
prawidłowego czworokątnego
prawidłowego trójkątnego
prawidłowego sześciokątnego
prostego, którego podstawą jest prostokąt.
6.79. Narysuj siatkę ostrosłupa, którego podstawą jest trójkąt prostokątny
a) o przyprostokątnych pozostających w stosunku 2 : 3, a spodek wysokości jest
wierzchołkiem tego trójkąta przy kącie prostym
b) równoramienny, a spodek wysokości jest środkiem przeciwprostokątnej tego
trójkąta.
6. Geometria przestrzenna
179
6 .8 0 . Na podstawie inform acji umieszczonych poniżej na siatce ostrosłupa w yznacz
wysokość tego ostrosłupa, jeśli w iadom o, że jego podstawą je st:
a) kwadrat
b) tró jkąt prostokątny
6 .8 1 . Oblicz pole powierzchni całkow itej sześcianu, je śli:
a) przekątna ściany bocznej ma długość 2 dm
b) przekątna sześcianu ma długość 8>/3 cm .
6 .8 2 . Przekątna podstaw y graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma dłu
gość 6yj2 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, je śli:
a) wysokość graniastosłupa je st rów na 5 cm
b) krawędź podstawy stanow i 75% krawędzi bocznej.
6 .8 3 . Podstawą prostopadłościanu je st kw adrat. Oblicz pole powierzchni całkow i
tej tego prostopadłościanu, jeśli przekątna ściany bocznej ma długość 30 cm oraz
a) kąt m iędzy tą przekątną i przekątną prostopadłościanu, w ychodzącym i z tego
samego w ierzchołka, ma 30°
b) kąt między tą przekątną i przekątną sąsiedniej ściany bocznej, wychodzącym i
z tego samego w ierzchołka, ma 6 0°.
6 .8 4 . Pole pow ierzchni całkow itej prostopadłościanu w ynosi 50(3 + 2yfŚ) cm 2.
Przekątna jedn ej ze ścian bocznych je st nachylona do płaszczyzny podstaw y pod
kątem 4 5 °, a przekątna sąsiedniej ściany bocznej je st nachylona do płaszczyzny pod
staw y pod kątem 6 0°. Oblicz długości kraw ędzi tego prostopadłościanu.
6 .8 5 . Pole pow ierzchni bocznej graniastosłupa praw idłow ego trójkątnego stanow i
50% pola pow ierzchni całkow itej. W yznacz tangens kąta nachylenia p rzekątnej ścia
ny bocznej do płaszczyzny podstawy.
6 . 8 6 . W graniastosłupie prostym podstawa je st rom bem , którego przekątne mają
długość 30 cm i 16 cm . Dłuższa przekątna graniastosłupa je st nachylona do płasz
czyzny podstaw y pod kątem 4 5 °. Oblicz pole pow ierzchni całkow itej tego graniasto
słupa.
180
Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3.
6 . 8 7 . Podstaw ą graniastosłupa prostego je st równoległobok o bokach długości
2 dm i 4 d m , którego kąt ostry je st rów ny 60°. Krótsza przekątna graniastosłupa
tw o rzy z płaszczyzną podstawy kąt 30°. Oblicz pole pow ierzchni całkow itej grania
stosłupa.
6 . 8 8 . Podstaw ą graniastosłupa prostego je st trapez rów noram ienny, którego kąt
VI
o stry ma 6 0°. Rzut prostokątny długości
dm przekątnej graniastosłupa na płasz
czyznę podstaw y tw orzy z tą przekątną kąt 30° i zaw iera się w d w usiecznej kąta
ostrego trapezu. Oblicz:
a) sum ę długości wszystkich krawędzi graniastosłupa
b) pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.
6 . 8 9 . Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi
136>/I cm2, a pole podstawy jest równe 64
VI cm2. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.
6 .9 0 . W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym w ysokość je s t rów na 2 V I cm,
a kąt między wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej m a 3 0 °. Oblicz
pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
6 .9 1 . Oblicz długość krawędzi podstawy prawidłowego ostrosłupa czw orokątne
go, wiedząc, że krawędź boczna ma długość 5, a pole p ow ierzchni całkow itej jest
równe 16.
6 .9 2 . Oblicz pole powierzchni całkowitej czworościanu forem nego, którego w yso
kość je st równa H.
6 .9 3 . Wysokość ściany bocznej prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego je s t rów
na h, a prom ień okręgu wpisanego w podstawę je st rów ny r. W ykaż, że pole po
w ierzchni całkow itej ostrosłupa wynosi 2V I •(/’ +/?) •/'.
6 .9 4 .
Podstawą ostrosłupa prostego je st tró jkąt prostokątny rów n oram ien n y, któ
rego ramię ma długość 6V I cm . W iedząc, że w ysokość ostrosłupa je s t rów na 8 cm ,
oblicz:
a) długość kraw ędzi bocznych
b) pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
6 .9 5 .
Podstaw ą ostrosłupa je s t kw adrat o boku długości 1 d m , a spo dkiem w yso
kości ostrosłupa je s t je d e n z w ierzchołków tego kw ad ratu. Dw ie ścian y boczne są
nachylone do płaszczyzny pod staw y pod kątem 6 0°. Oblicz:
a) długość kraw ęd zi bocznych ostrosłupa
b) pole p ow ierzch n i całkow itej tego ostrosłupa.
6 . Geometria przestrzenna
181
6 .9 6 . Podstaw ą ostrosłupa je st tró jkąt p rostokątny o przyprostokątnych długości
30 cm i 4 0 cm . Spodek w ysokości ostrosłupa je st w ierzch ołkiem kąta prostego tego
trójkąta, ścian a boczna o n ajw iększym polu je s t nachylona do płaszczyzny podstaw y
pod kątem ostrym a takim , że tg a - 1 ^ . Oblicz pole pow ierzchni całkow itej tego
ostrosłupa.
6 .9 7 . Podstaw ą ostrosłupa je st rom b, którego przekątne m ają długość 6 dm i 8 dm .
W ysokość ostrosłupa je st rów na 10 cm , a spodek w ysokości ostrosłupa je st środ
kiem okręgu w pisanego w ten rom b. Oblicz pole p ow ierzchni bocznej ostrosłupa.
6 .9 8 . Podstaw ą ostrosłupa je st tró jkąt rów noboczny o boku długości o. Jedna ze
ścian bocznych, będąca rów nież tró jkątem rów nobocznym , je s t prostopadła do
płaszczyzny podstaw y. Oblicz pole pow ierzchni bocznej ostrosłupa.
O b ję to ść figury przestrzennej.
O b ję to ść w ielościanów
Objętość graniastosłupa
6 .9 9 . A kw arium do hodow li rybek ma następujące w ym ia ry: długość 80 cm , sze
rokość 40 cm i w ysokość 0 ,5 m . Oblicz, ile co najw yżej litrów w od y należy w la ć do
tego akw ariu m , aby poziom lustra w ody znajd ow ał się w odległości nie m niejszej niż
1 dm od górnej kraw ędzi akw ariu m .
6 .1 0 0 . Blaszana form a do pieczenia ciasta ma kształt
graniastosłupa prostego. Uw zględniając w ym iary po
dane na rysunku obok, oblicz:
a) ile cm 2 blachy potrzeba na w ykonanie tej form y;
w yn ik podaj z dokładnością do 1 cm 2
b) pojem ność form y. W ynik podaj z d okładnością do
0,1 litra.
6 .1 0 1 . Jeżeli każdą kraw ęd ź danego sześcianu przedłużym y o 2 cm , to jego obję
tość pow iększy się o 98 cm 3. Oblicz długość kraw ędzi danego sześcianu.
6 .1 0 2 . W prostopadłościanie A B C D A & C ^ podstaw a ABCD je st kw ad ratem .
W ysokość Cx£ tró jkąta BCXD X dzieli przekątną D1B na odcinki długości: |Dxf | = 2 dm ,
|£B| = 8 dm . Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
182
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
. 1 0 3 . Przekątna ściany bocznej graniastosłupa praw idłow ego tró jkątnego ma dłu
gość 6 cm i je s t nachylona do sąsiedniej ściany bocznej pod kątem 3 0 °. Oblicz obję
to ść tego graniastosłupa.
6 . 1 0 4 . W graniastosłupie praw idłow ym sześciokątnym dłuższa przekątna ma dłu
gość yfs d m , a krótsza przekątna je st nachylona do płaszczyzny p od staw y pod ką
tem 3 0 °. Oblicz pole pow ierzchni bocznej i objętość tego g raniastosłupa.
6 . 1 0 5 . Podstaw ą graniastosłupa prostego je st rom b, którego kąt o stry ma m iarę
3 0 °. W szystkie kraw ędzie graniastosłupa m ają jednakow ą długość. W ied ząc, że pole
p ow ierzch n i całkow itej tego graniastosłupa je s t rów ne 180 cm 2, oblicz objętość tego
graniastosłupa.
6 . 1 0 6 . Podstawą graniastosłupa prostego je s t trap ez, którego p odstaw y m ają dłu
gość 3 cm i 24 cm , a ram iona - 1 0 cm i 17 cm . Ściana boczna o najm n iejszym polu
je s t kw adratem . Oblicz pole pow ierzchni całkow itej i objętość tego graniastosłupa.
6 .1 0 7 . Podstawą graniastosłupa prostego je s t tró jkąt ABC, w którym \<BAC\ = 30°,
\ACB\ = 105°. Przekątna ściany bocznej o najm niejszym polu tw o rzy z płaszczyzną
.
podstaw y kąt 4 5 °. W iedząc, że w ysokość graniastosłupa je s t rów na 2 dm , oblicz
w jego objętość.
* 6 . 1 0 8 . W graniastosłupie praw idłow ym sześciokątnym najdłuższa przekątna pod
staw y ma długość d i tw o rzy z przekątną ścian y bocznej w ych od zącą z tego sam ego
wierzchołka kąt a . Oblicz objętość graniastosłupa. W yznacz te w arto ści a , dla któ
rych zadanie ma rozw iązanie.
* 6 . 1 0 9 . W czworokątnym graniastosłupie praw id łow ym przekątna p o d staw y ma
długość d i tw orzy z przekątną ścian y bocznej w ych od zącą z tego sam ego w ie rzch o ł
ka k ą t a . Oblicz objętość i pole pow ierzchni całkow itej tego g ran iastosłu p a. W yznacz
te w artości a , dla których zadanie ma rozw iązanie.
Objętość ostrosłupa
6 . 1 1 0 . W ostrosłupie p raw idłow ym czw o ro kątnym kraw ęd ź p o d staw y ma dłu
gość o. Kąt m iędzy kraw ędzią boczną i kraw ędzią p o d staw y w ych o d zącym i z tego
sam eg o w ierzchołka ma m iarę a , przy czym a e (4 5 °, 9 0 °). O blicz ob ję to ść i pole
p ow ierzch n i całkow itej tego ostrosłupa.
6 . 1 1 1 . Podstaw ą ostrosłupa praw idłow ego je s t o śm io kąt. O blicz o b ję to ść tego
ostro słu p a, w iedząc, że jego kraw ędź boczna ma długość 10 cm , zaś kąt m ię d zy k ra
w ęd zią boczną a płaszczyzną podstaw y je s t rów n y 3 0 °.
183
6 Gmomttrjg prwettnmna
6 .1 1 2 .
O b licz o b ję to ść p raw id ło w eg o ostrosłupa tró jkątnego , m ając daną długość r
p ro m ie n ia o kręg u w p isan e g o w p o d staw ę ostrosłupa i m iarę a kąta płaskiego ściany
b o cznej p rzy p o d sta w ie , a € (3 0 °, 9 0 °).
6 .1 1 3 .
O b ję to ść o stro słu p a praw id łow eg o czw orokątnego w yn osi
dm 3. Kąt
n a ch yle n ia k ra w ę d zi b ocznej do płaszczyzny p od staw y je s t rów n y 4 5 °. W yznacz od
ległość spo dka w yso ko ści
a) od k ra w ę d zi b o cznej
6 .1 1 4 .
b) od ściany bocznej ostrosłupa.
P o d staw ą o stro słu p a je s t pro stokąt o polu rów nym 1 m 2. D w ie ściany bocz
ne tego o stro słu p a są p ro stop ad łe do płaszczyzny podstaw y, a d w ie pozostałe tw o
rzą z n ią k ą ty o d p o w ied n io ró w n e 3 0 ° i 6 0 °. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
6 .1 1 5 .
Po d staw ą o stro słu p a je s t tró jkąt, którego dw a boki m ają długość 6 cm ,
a d ługość trzecie g o boku w yn o si 8 cm . W szystkie kraw ęd zie boczne m ają jednako
w ą długość, ró w n ą 9 cm . O blicz o b jęto ść tego ostrosłupa.
6 . 1 1 6 . Po dstaw ą ostro słu p a je s t tró jkąt, którego dwa boki m ają długość 39 cm ,
a długość trzecieg o boku w yn o si 30 cm . Każda ściana boczna tw o rzy z płaszczyzną
p o d sta w y kąt 4 5 ° . O blicz o b jęto ść tego ostrosłupa.
6 . 1 1 7 . Po dstaw ą o strosłu pa je s t rom b ABCD. W ysokość rom bu DE poprow adzona
z w ie rzch o łk a kąta rozw arteg o d zieli bok AB na odcinki takie , że \AE\ = 6 i \EB\ = 4 .
W szystk ie ścian y boczne ostrosłupa są nachylo ne do płaszczyzny p od staw y pod tym
s a m ym k ą te m . W ie d ząc, że pole p ow ierzchni bocznej tego ostrosłupa je s t rów ne
1 7 0 , o b licz:
a ) w yso k o ść o stro słu p a
b) ob jęto ść tego ostrosłupa.
6 . 1 1 8 . P u n k ty K, L, M są środkam i kraw ęd zi AB, BC i BBXsześcianu ABCDA-fi^Dy
a ) Ja k ą część ob ję to ści sześcianu stan o w i ob jęto ść ostrosłupa KLM B ?
b) W ie d zą c d o d atko w o , że odległość w ierzch ołka B od płaszczyzny (KLM) je s t ró w n a
VI, o b licz d ług ość k raw ę d zi sześcian u .
6 . 1 1 9 . W o stro słu p ie w szystkie ścian y są tró jkątam i. Trzy kraw ęd zie w ych o d zące
z d an eg o w ie rzch o łk a są p aram i pro stop ad łe i m ają długość: 6 d m , 8 d m , 8 d m .
O blicz o d le g ło ść teg o w ie rzch o łka od przeciw leg łej ścian y ostrosłu pa. W yn ik podaj
z d o k ła d n o ścią d o 0,1 d m . *
* 6 . 1 2 0 . W o stro słu p ie p raw id ło w ym czw o ro kątn ym kąt m ięd zy d w ie m a p rzeciw
ległym i k ra w ę d zia m i bocznym i m a m iarę 2a, a e (0 °, 4 5 °). O dległość w ie rzch o łk a
p o d staw y o stro słu p a od p rzeciw leg łej kraw ęd zi bocznej je s t ró w n a d. O blicz o b ję
to ść tego o stro słu p a .
184
Matematyka. Zbiór zadań Klata 3.
* 6 .1 2 1 . W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt między dwiema sąsiednimi kra
wędziami bocznymi ma miarę 2a, gdzie a € (0 °, 30°). Odległość wierzchołka pod
stawy należącego do jednej krawędzi bocznej od sąsiedniej krawędzi bocznej jest
rów na d. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Przekroje w ielośclanów - konstrukcje
6 .1 2 2 . Na rysunku poniżej odcinek AB i punkt C należą do płaszczyzny n . Wyznacz
przekrój sześcianu płaszczyzną (ABC).
6 .1 2 3 . Na rysunku poniżej punkty P, Q, R należą do płaszczyzny j i . W yzn acz prze
krój ostrosłupa płaszczyzną (POR).
6 .1 2 4 . Na rysunku poniżej punkty P, Q, R należą do płaszczyzny n . W yzn acz prze
krój sześcianu płaszczyzną (POR).
fi ( )untnutł]o ¡ifitWiltPMtitm
6 . 1 2 5 . D any je s t ostrosłup p raw id łow y czworokątny. Naszkicuj przekrój tey/> 'ńi/o
słupa płaszczyzną:
a) zaw ierającą d w ie przeciw ległe kraw ądzle boczne ostrosłupa
b) zaw ie rającą d w ie przeciw ległe w ysokości ścian bocznych
c) w yznaczoną przez p rzekątną podstaw y ostrosłupa i środek kraw ędzi b o cz n e j
n iem ającej p un któw w spólnych z tą przekątną
d) w yznaczoną przez środki dwóch sąsiednich kraw ędzi podstaw y i Wier//>✓ /*-,
ostrosłupa.
W każdym przypadku w yzn acz kąt a , jaki tw o rzy przekrój daną płaszczyzną / płat./
czyzną podstaw y tego ostrosłupa.
* 6 .1 2 6 . W ykonaj rysu n ek ostrosłupa praw idłow ego czworokątnego. N astępnie po
prow adź przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną wyznaczoną przez kraw ędź p od staw /
i środek w ysokości tego ostrosłupa. Jakim czworokątem je s t otrzym any p rzekrój?
* 6 . 1 2 7 . W ykonaj rysunek ostrosłupa praw idłow ego trójkątnego. N astępnie popro
w adź przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną wyznaczoną przez kraw ędź podstaw y
i środek przeciw ległej kraw ędzi bocznej tego ostrosłupa. W yznacz konstrukcyjnie
p unkt, w któ rym w ysokość ostrosłupa przebija otrzym any przekrój.
P rzek roje w ielościan ów - zadania
6 . 1 2 8 . Sześcian ABCDA1B1C1Dl o kraw ędzi długości a p rzecięto płaszczyzną p rze'
chodzącą przez punkty Av B, Cv Oblicz odległość punktu Bx od otrzym anego prze*
kroju.
6 . 1 2 9 . Długości boków prostopadłościanu pozostają w stosunku 3 : 4 : 5 , Przez
najdłuższą kraw ędź i przekątną najm niejszej ściany poprow adzono przekrój, któ re
go pole je s t rów n e 100 cm 2. Oblicz pole p ow ierzchni całkow itej tego prostopadło
ścianu.
\K
186
Matematyka. Zbiór tadań. Klasa 3.
6 .1 3 0. Po dstaw ą graniastosłupa prostego je s t trapez ró w n o ram ien n y, którego w y
sokość je s t rów n a 5 cm , a odcinek łączący środki ram ion m a długość 12 cm . W ie
d ząc, że p rzekrój tego graniastosłupa płaszczyzną zaw ierającą kraw ęd ź boczną gra
n iasto słu p a i p rzekątną jego podstaw y ma pole rów n e 130 cm 2, oblicz o b jęto ść tego
g ran iastosłu p a.
6.131. W sześcianie A B C D A ^ C ^ poprow adzono przekrój płaszczyzną zaw ie ra ją
cą przekątną BD i przechodzącą przez punkt Cv W yznacz (w przybliżeniu z d okładno
ścią do 1°) m iarę kąta nachylenia tego przekroju do płaszczyzny (ABCD).
6.132. Przez przekątną podstaw y sześcianu m ającego kraw ęd ź o długości a po
prowadzono płaszczyznę, która tw o rzy z płaszczyzną p od staw y kąt 4 5 °. O blicz pole
otrzym anego przekroju sześcianu tą płaszczyzną.
*6 .1 3 3 . Przez przekątną podstaw y sześcianu m ającego kraw ęd ź o długości a popro
wadzono płaszczyznę, która je s t nachylona do płaszczyzny po d staw y pod kątem 6 0°.
Oblicz pole otrzym anego przekroju sześcianu.
6.134. Przekrojem sześcianu je s t sześciokąt forem ny, którego
w ierzchołkam i są środki odpow iednich kraw ędzi sześcianu (zo
bacz rysunek obok). W iedząc, że pole tego sześciokąta je s t ró w
ne 6>/3 , oblicz długość przekątnej sześcianu.
6.135. Pole podstawy graniastosłupa prostego tró jkątnego je s t ró w n e P. Przez kra
wędź podstawy tej bryły poprowadzono płaszczyznę, która przecina przeciw ległą
krawędź boczną i je st nachylona do płaszczyzny p od staw y pod kątem 4 5 ° . Oblicz
pole otrzymanego przekroju.
6.136. Podstawą graniastosłupa prostego je s t tró jkąt ró w n o ram ien n y, którego
boki m ają długość 10 cm , 10 cm , 16 cm . Przez najdłuższy bok p o d staw y poprow a
dzono płaszczyznę, która przecina przeciwległą kraw ędź boczną i je s t n achylo na do
płaszczyzny podstawy pod kątem 3 0°. Oblicz pole otrzym anego p rzekroju.
6.137. Wysokość ostrosłupa podzielono na cztery rów n e części i przez p un kty po
działu poprowadzono płaszczyzny rów noległe do podstaw y. Pole p o d staw y tego
ostrosłupa je st rów ne 400 cm 2. Oblicz pola otrzym anych przekrojów .
6.138. Pole przekroju równoległego do płaszczyzny p o d staw y o strosłu pa je st
o 36% m niejsze od pola pow ierzchni podstawy. W jak im stosunku p rzekrój ten dzieli
objętość ostrosłupa?
6. Geometria przestrzenna
6 .1 3 9 .
187
Przekrój ostrosłupa praw idłow ego czworokątnego płaszczyzną zaw ierającą
dwie przeciwległe kraw ędzie boczne ma pole rów ne P. W ied ząc, że w szystkie kra
w ędzie ostrosłupa m ają taką sam ą długość, oblicz objętość tego ostrosłupa.
6 .1 4 0 .
Podstaw ą ostrosłupa je st rom b, którego bok ma długość 8 - , a jedn a z prze
kątnych ma długość 13 - . Spodek w ysokości ostrosłupa je st środkiem sym etrii pod
stawy. Przekrój tego ostrosłupa w yznaczony przez w ysokości przeciwległych ścian
bocznych je s t tró jkątem równobocznym . W yznacz pole tego przekroju.
6 .1 4 1 .
Ostrosłup praw idłow y czworokątny przecięto płaszczyzną zaw ierającą prze
kątną podstaw y i jednocześnie równoległą do jedn ej z kraw ędzi bocznych. Oblicz
pole otrzym anego przekroju, w iedząc, że kraw ędź podstaw y ma długość o, nato
m iast kraw ędź boczna ma długość b.
6 .1 4 2 . Krawędź boczna prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego ma długość
8 dm, a krawędź podstaw y - 4 dm . Przez środki dwóch sąsiednich kraw ędzi podsta
w y poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do podstawy. Oblicz pole otrzym anego
przekroju.
6 .1 4 3 .
Wysokość prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego je s t rów na H, a kra
w ędź podstawy ma długość o. W yznacz pole przekroju wyznaczonego przez krótszą
przekątną podstaw y i w ierzchołek ostrosłupa.
6 .1 4 4 . Ostrosłup p raw idłow y czworokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą
przez w ierzchołek ostrosłupa i środki dwóch sąsiednich kraw ędzi podstawy. Oblicz
pole otrzym anego przekroju, jeżeli krawędź podstaw y ma długość 20 cm , a ściana
boczna tw o rzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°.
6 .1 4 5 . Ostrosłup praw idłow y czworokątny przecięto płaszczyzną prostopadłą do
jedn ej z kraw ędzi bocznych ostrosłupa i jednocześnie zaw ierającą przekątną podsta
w y. O trzym any przekrój je st trójkątem rozw artokątnym , którego kąt rozw arty ma
m iarę 2a . W yznacz cosinus kąta nachylenia płaszczyzny tego przekroju do płasz
czyzny podstawy.
* 6 . 1 4 6 . W szystkie kraw ędzie prawidłowego ostrosłupa czworokątnego mają dłu
gość o. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną poprowadzoną przez środ
ki dwóch sąsiednich krawędzi podstaw y i środek w ysokości ostrosłupa.
6 .1 4 7 .
W ostrosłupie praw idłow ym trójkątnym poprowadzono przekrój płaszczy
zną zaw ierającą krawędź podstaw y i prostopadłą do przeciwległej krawędzi bocznej.
188
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
W ie d ząc, że kąt m iędzy dw iem a sąsiednim i kraw ędziam i bocznymi ma m iarę 2a,
gdzie a e (0 °, 4 5 °), oblicz:
a) cosinus kąta (3 przy w ierzchołku przekroju należącym do kraw ędzi bocznej
b) cosinus kąta y nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny p od staw y ostro
słupa.
6.148.
Przez kraw ędź AB podstaw y ostrosłupa praw idłow ego tró jkątnego ABCD
poprow adzono płaszczyznę, do której należy środek 5 kraw ędzi CD. W ied ząc, że
otrzym an y przekrój tw o rzy z płaszczyzną podstaw y kąt 4 5 °, oblicz cosinus kąta ASB.
* 6.149.
W czw orościanie forem nym o kraw ędzi długości 6 cm poprow adzono prze
krój płaszczyzną przechodzącą przez w ysokość podstaw y i środ ek kraw ędzi bocznej
n ie m ającej punktów wspólnych z tą w ysokością. Oblicz odległość płaszczyzny pod
sta w y od punktu, w którym w ysokość ostrosłupa przebija płaszczyznę przekroju.
*6 .1 5 0 . Podstawą ostrosłupa prostego ABCD je st tró jkąt pro stokątny ABC, którego
przyprostokątne m ają długość: |A0| = 6 cm , |BC| = 8 cm . W ysokość ostrosłupa jest
rów na 12 cm . Środki kraw ędzi AB, BC, CD i AD w yzn aczają płaszczyznę przekroju
tego ostrosłupa. Oblicz:
a) tangens kąta nachylenia tej płaszczyzny do płaszczyzny p od staw y
b) pole przekroju ostrosłupa tą płaszczyzną.
Bryły obrotowe.
Pole powierzchni brył obrotowych
Walec
6.151. Sto su nek pola p rzekroju osiow ego do pola p o d staw y w a lca w yn o si 4 : n.
O blicz m iarę kąta m iędzy przekątnym i przekroju osio w eg o w a lca .
6.152. P o w ierzch n ia boczna w alca je s t p ro sto kąte m , którego je d e n bok p rzystający
do w yso ko ści w alca m a długość 20, a przekątn a tego p ro sto kąta tw o rz y z drugim
b okiem kąt 3 0 °. O blicz pole p ow ierzch n i całk o w ite j tego w a lca .
6.153. Pole p o d staw y w alca je s t ró w n e Pv a pole je g o p rzek ro ju o sio w e g o - Pr
W yzn acz pole p o w ie rzch n i całk o w ite j tego w a lca .
6 .154. Boki p ro sto kąta m ają długość 4 cm i 6 cm . O b licz pole p o w ie rzc h n i c a łk o w i
te j w a lca o trzym an e g o w w yn ik u ob ro tu teg o p ro sto kąta w o k ó ł:
a ) dłuższego boku
b) kró tszeg o b oku.
6. Geometria przestrzenna
189
6.155. D an y je s t p ro sto k ąt, któ reg o długości b oków pozostają w sto su n ku 1 : 2.
W w yn iku ob ro tu teg o p ro sto kąta w o k ó ł d w ó ch różnych je g o osi sy m e trii p o w stają
dwa w a lce . O b licz sto su n e k pól p o w ierzch n i całk o w itych tych w a lcó w .
6.156. Przez d o w o ln y p un kt >4 okręg u g órn ej p o d staw y w alca p o p ro w ad zo n o p rze
krój płaszczyzną z a w ie ra ją cą oś w a lc a . W d o ln e j p o d staw ie w a lca p opro w ad zo n o
średnicę BC, p ro sto p ad łą do p rzekro ju o sio w e g o . W ie d zą c, że p ro m ie ń p o d staw y
w alca je s t ró w n y r o raz \<BAC]=a, a e ( 0 ,9 0 ° ) , o b licz w yso k o ść w a lca .
*6 .1 5 7 . W ysokość w a lca je s t ró w n a 6 cm , a p ro m ie ń p o d staw y w yn o si 5 cm .
Poprow adzono o d cin e k AB o długości 10 cm ta k i, że p un kt A n ale ży do okręgu gór
nej podstaw y, p un kt B n ale ży do okręg u d o ln e j p o d staw y w a lc a . W yzn acz długość
najkrótszego o d cin ka, którego je d e n z ko ń có w n ale ży do osi w a lc a , a drugi n ależy
do odcinka AB.
Stożek
6.158. Dany je s t p ro m ie ń p o d sta w y r i tw o rz ą ca / sto żka. O b licz m iarę kąta środ ko
w ego o d p ow iadającego w y cin k o w i k o ło w e m u , k tó ry tw o rz y p o w ie rzch n ię boczną
stożka, je ś li:
a) r = l d m , / = 4 d m
b) r = 3 c m , / = 1 5 c m
c ) ' r = 0 ,5 m ,/ = 7 5 c m .
6.159. W ysokość stożka je s t ró w n a h, a p ro m ie ń p o d staw y stożka r. O b licz m iarę
kąta środkowego o d p o w iad ają ce g o w ycin k o w i k o ło w e m u , k tó ry t w o rz y p o w ie rzc h
nię boczną stożka, je ś li:
a) h = A cm , r = 3 cm
b) h = 4\[s cm , r = 1 cm
c) h = 2>j22 cm , r= 10>/2 cm .
6.160. Prom ień w ycin k a kołow ego o kącie 1 2 0 ° je s t ró w n y 3 m . W y c in e k zw in ię to
i u tw o rzon o w te n spo sób p o w ie rzc h n ię b oczną sto żka. O b licz w yso k o ść i p ro m ień
p od staw y tego sto żka.
6.161. K ąt ro zw arcia stożka m a m ia rę a . O b licz m ia rę łu ko w ą kąta środ ko w eg o
ro zw in ię te j p o w ie rzc h n i b o czne j teg o sto żka.
6.162. W yzn acz m ia rę łu k o w ą k ąta śro d ko w e g o p o w ie rzch n i b ocznej sto żka, je ś li
w ysokość stożka je s t ró w n a h, a p ro m ie ń p o d sta w y w y n o si r.
6.163. T w o rząca stożka m a d ług ość 2 0 c m . O b licz p o le p o w ierzch n i b ocznej stożka,
je ś li:
a) tw o rz ą ca stożka je s t n a ch ylo n a d o p łaszczyzn y p o d sta w y pod kąte m m ia ry 4 5 °
b) w yso k o ść stożka je s t ró w n a 16 cm .
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
6 .1 6 4 . S to s u n e k w y s o k o ś c i sto żk a d o p ro m ie n ia p o d s ta w y w y n o s i 3 : 4 , a p ole
p o w ie rz c h n i b o cz n e j sto żk a je s t ró w n e 80rc c m 2. O b lic z d łu g o ś ć tw o r z ą c e j s to żk a .
6 .1 6 5 . S to s u n e k p ro m ie n ia p o d sta w y sto żk a d o w y s o k o ś c i w y n o s i 3 : 4 . J a k ą czę
ś c ią p o la p o w ie rz c h n i c a łk o w ite j je s t p o le p o w ie rz c h n i b o c z n e j te g o s to ż k a ?
6 .1 6 6 . S to s u n e k p ola p o w ie rzc h n i b o czn e j sto żka d o p o la je g o p o w ie rz c h n i ca łk o
w ite j je s t ró w n y 2 : 3 . W y zn a c z m ia rę kąta n a c h y le n ia t w o rz ą c e j sto żk a d o p łaszczy
zn y p o d sta w y.
6 .1 6 7 . D an y je s t tró jk ą t p ro sto k ą tn y o p rz y p ro s to k ą tn y c h d łu g o śc i 6 d m i 8 d m .
O b lic z p o le p o w ie rzc h n i ca łk o w ite j b ry ły o trz y m a n e j w w y n ik u o b ro tu tró jk ą ta
w o k ó ł:
a ) k ró tsz e j p rz yp ro sto k ą tn e j
b) d łu ższe j p rz yp ro sto k ą tn e j
c ) p rz e c iw p ro s to k ą tn e j.
6 .1 6 8 . Ś re d n ica o kręg u je s t ró w n a 2 9 cm . Przez je d e n z je j k o ń c ó w p o p ro w a d zo n o
c ię c iw ę d ług ości 2 0 cm . C ię c iw a ta o b raca się w o k ó ł d a n e j ś re d n ic y . O b lic z p o le po
w ie rz c h n i o trzy m a n e j bryły.
6 .1 6 9 . T ró jk ą t ró w n o b o czn y o b raca się raz w o k ó ł b o k u , a d ru g i ra z w o k ó ł w y s o k o
ś c i. O b licz sto su n e k pól p o w ie rzch n i o trzy m a n y c h b rył.
6 .1 7 0. Sto żek o p ro m ie n iu p o d sta w y R p rz e c ię to p łaszczyzn ą ró w n o le g łą d o pod
sta w y, która pod zieliła w y so k o ść stożka w sto su n ku m : n, lic zą c od w ie rz c h o łk a stoż
ka. O blicz p ole o trzym an e g o p rze k ro ju .
6.171. W ysokość stożka i p ro m ie ń p o d sta w y m a ją ta k ą sa m ą d łu g o ść R. P rze z w ie rz
ch o łek stożka p o prow ad zon o p łaszczyzn ę, któ ra w y zn a cz a na p o d sta w ie sto żk a cię
ciw ę o d p o w iad ają cą kąto w i śro d ko w e m u 9 0 ° . O b licz p o le o trz y m a n e g o p rz e k ro ju .
6.172. Przekró j o sio w y stożka je s t tró jk ą te m ró w n o b o cz n y m , a p ro m ie ń p o d sta w y
stożka je s t ró w n y R. O blicz p ole p rzek ro ju teg o stożka p łaszczyzn ą p o p ro w a d zo n ą
przez d w ie tw o rz ą c e , w ie d zą c, że kąt m ię d zy ty m i tw o rz ą c y m i je s t ró w n y 3 0 ° .
6 .1 7 3. D an y je s t sto żek o w yso k o ści h i p ro m ie n iu p o d sta w y r. O b licz d łu g o ść k ra
w ę d zi sze ścian u w p isan e g o w sto że k w te n sp o só b , że d o ln a p o d sta w a s ze ś cia n u za
w ie ra się w p o d staw ie sto żka, a w ie rz ch o łk i g ó rn ej p o d sta w y n a le żą d o p o w ie rzc h n i
b o czne j sto żka.
6. Geom etria przestrzenna
6 .1 7 4 . W stożek wpisano walec w ten sposób, że dolna podstawa walca zawiera się
w dolnej podstawie stożka, a okrąg górnej podstawy walca zawiera się w powierzch
ni bocznej stożka. Wiadomo, że promień podstawy walca jest trzy razy krótszy od
promienia podstawy stożka, a pole przekroju osiowego stożka jest równe 18. Oblicz
pole powierzchni bocznej walca.
Kula i sfera
6 .1 7 5 . Kulę o promieniu 41 cm przecięto płaszczyzną w odległości 9 cm od środka.
Oblicz pole otrzymanego przekroju.
6 .1 7 6 . Promień kuli ziemskiej ma (w przybliżeniu) 6300 km. Oblicz długość równo
leżnika odpowiadającego szerokości geograficznej:
a) 30°
b) 45°.
Wynik podaj z dokładnością do 100 km.
6 .1 7 7 . Pewne miasto leży na 60° szerokości geograficznej północnej. Jaką drogę
zakreśla to miasto (na skutek obrotu Ziemi dookoła osi) w ciągu jednej godziny?
Zakładamy, że Ziemia wykonuje pełny obrót w ciągu 24 godzin.
6 .1 7 8 . Stosunek pól powierzchni dwóch kul jest równy 9, a różnica ich promieni
wynosi 10 cm. Oblicz promienie tych kul.
6 .1 7 9 . Pola powierzchni dwóch kul różnią się o 644 n cm2, a promień jednej z tych
kul jest dłuższy od promienia drugiej kuli o 7 cm. Oblicz pola powierzchni obu kul.
6 .1 8 0 . Dwie równoległe płaszczyzny przecinają kulę i wyznaczają przekroje o po
lach 49 tc i 47i. Odległość między tymi płaszczyznami jest równa 9. Oblicz pole po
wierzchni kuli.
6 .1 8 1 . Na powierzchni kuli o promieniu 7 cm znajdują się dwa przystające okręgi,
które przecinają się w dwóch punktach, a ich płaszczyzny są do siebie prostopa
dłe. Odległość między wspólnymi punktami jest równa 2 cm. W yznacz promień tych
okręgów.
6 .1 8 2 . Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt m ający boki o długości 6 cm,
8 cm i 10 cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 24 cm. W yznacz promień kuli
opisanej na tym graniastosłupie.
6 .1 8 3 . W czworokątnym ostrosłupie prawidłowym wysokość jest równa 8 cm,
a krawędź podstawy ma długość 12 cm. W yznacz promień r kuli w pisanej w ostro
słup i promień R kuli opisanej na ostrosłupie.
191
6 .1 8 4 . T w o rz ą c a sto żka o d ług o ści d je s t n a ch y lo n a d o p łaszczyzn y p o d sta w y pod
k ą te m a . W y z n a c z p ro m ie ń r ku li w p is a n e j w te n s to że k I p ro m ie ń R k u li o p is a n e j na
ty m sto żk u .
Objętość brył obrotowych
6 .1 8 5 . O b licz o b ję to ść w a lc a , któ re g o p ole p o w ie rzc h n i c a łk o w ite j je s t ró w n e
7 0 2 tt c m 2, a o b w ó d p rze k ro ju o sio w e g o w y n o s i 8 0 cm .
6 .1 8 6. O b ję to ść w a lc a w y n o s i — cm 3. O b licz p ole p o w ie rzc h n i b o czn e j teg o w a lc a ,
n
w ie d z ą c , że po ro zw in ię c iu je s t on a k w a d ra te m .
6 .1 8 7 . P rze k ą tn a p ro sto k ą ta m a d ług ość 3 0 cm , a je g o p o le Je st ró w n e 4 3 2 c m 2.
Z n a jd ź o b ję to ś ć b ry ły o trzy m a n e j przez o b ró t teg o p ro sto k ą ta d o o k o ła d łuższego
boku.
6 .1 8 8 . P rze k ą tn e p ro sto k ąta o polu 3 d m 2 p rz e c in a ją s ię pod k ą te m 6 0 ° . O blicz
o b ję to ś ć w a lc a p o w stałe g o w w yn iku ob ro tu teg o p ro sto k ą ta w o k ó ł kró tszeg o boku.
6 .1 8 9 . W yso k o ść w a lca je s t ró w n a 6 d m . K ąt m ię d zy p rz e k ą tn y m i p rz e k ro ju o sio
w e g o m a 6 0 ° . O b licz o b ję to ść tego w a lc a . R ozw aż d w a p rzyp a d k i.
6 .1 9 0 . P o w ie rzch n ia boczna w alca je s t p ro sto k ą te m , któ re g o p rz e k ą tn e m a ją d łu
g o ść 12 d m i p rze cin ają się pod kąte m 3 0 ° . O b licz o b ję to ść teg o w a lc a . R o zw aż d w a
p rzyp a d k i.
6 .1 9 1 . Je że li zw ię kszym y w yso k o ść p ew n e g o w a lca o 4 c m , to je g o o b ję to ś ć z w ię k
szy s ię o 1 9 6 k cm 3. O blicz p ro m ie ń p o d sta w y w a lc a .
6 .1 9 2. O bw ód p o d staw y b laszan e j b eczki w k szta łc ie w a lc a w y n o s i 1 5 7 cm .
W yso k o ść b eczki je s t ró w n a 1,1 m . Do b eczki w la n o 1 5 7 litró w w o d y. O b licz o d le
g łość lu stra w o d y od brzegu b eczki. W y n ik p o d aj z d o k ła d n o śc ią do 1 cm .
6.193. P iw n ica m a kszta łt p o ło w y w a lca
i
>długości 6 m i ś re d n icy 5 m (zo bacz rysu-
[ n e k). O b licz k u b a tu rę p iw n ic y oraz je j p ole
p o w ie rzc h n i ca łk o w ite j
(s k le p ie n ie
w ra z
z p odłogą i p io n o w ą ś cia n ą na końcu p iw
n icy ). W yn ik i zao krą g lij do ca ło ści.
6. Geometria przestrzenna
6.194. Boki równoległoboku m ają długość 6 cm i 4 cm , a kąt o stry je s t rów ny 60°.
Oblicz objętość V i pole pow ierzchni całkow itej Pc bryły pow stałej w w yniku obrotu
równoległoboku w okół dłuższego boku.
6.195. Dany je s t rom b, którego kąt o stry je s t rów ny 3 0 °. W ykaż, że objętość bryły
powstałej z obrotu tego rom bu w okół jego boku je s t cztery razy m niejsza od obję
tości bryły pow stałej w w yniku obrotu kw adratu o takim sam ym boku w okół tego
boku.
6.196. Oblicz prom ień podstaw y w alca, w iedząc, że je śli w ysokość w alca zw iększy
my o k, to jego objętość w zrośn ie o v.
6.197. Przekątna przekroju osiowego w alca ma długość d i je s t nachylona do płasz
czyzny podstaw y pod kątem a . Oblicz objętość tego w alca.
6.198. Pole p ow ierzchni bocznej w alca je s t rów ne P, a objętość w ynosi V. Oblicz
tangens kąta nachylenia p rzekątnej przekroju osiowego w alca do płaszczyzny pod
stawy.
6.199. Przekrój o sio w y stożka je s t tró jkątem prostokątnym o polu 18 cm 2. Oblicz
objętość V i pole p ow ierzchni całkow itej Pc tego stożka.
6 . 200 . Oblicz objętość stożka, którego pole p ow ierzchni bocznej w ynosi 6571 cm 2,
a wysokość je s t rów na 12 cm .
6.201. Pole p ow ierzchni całkow itej stożka je s t rów ne 9671 cm 2, a tw o rząca ma dłu
gość 10 cm . Oblicz ob jęto ść tego stożka.
6.202. Stosunek długości przyprostokątnych tró jkąta prostokątnego w ynosi 4 : 3,
a przeciwprostokątna m a długość 25 cm . Oblicz objętość b ryły pow stałej w w yniku
obrotu tego tró jkąta w okół:
a) krótszej przyprostokątnej
b) dłuższej p rzyprostokątnej
c) przeciw prostokątnej.
6.203. W ysokość stożka podzielono na trzy rów n e odcinki i przez punkty podziału
poprowadzono płaszczyzny rów noległe do podstaw y. Oblicz stosunek objętości po
wstałych brył.
6.204. W tró jkącie p rostokątnym w ysokość poprow adzona z w ierzchołka kąta pro
stego dzieli p rzeciw p rostokątną na odcinki, których długości pozostają w stosunku
1 : 3 . Oblicz stosunek ob jęto ści brył pow stałych w w yn iku obrotu tego tró jkąta w o
kół dłuższej i krótszej przyprostokątnej.
193
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
6 .2 0 5 . W walec o wysokości H wpisano stożek w ten sposób, że podstawa stożka
jest podstawą walca, a wierzchołek stożka jest środkiem drugiej podstawy walca.
Pola powierzchni bocznych stożka i walca są równe. Oblicz objętość i miarę a kąta
rozwarcia stożka.
6 .2 0 6 . W stożek wpisano walec w ten sposób, że dolna podstawa walca zawiera
się w podstawie stożka, a okrąg górnej podstawy walca zawiera się w powierzchni
bocznej stożka. Kąt rozwarcia stożka jest prosty. Pole powierzchni całkowitej walca
jest równe polu powierzchni bocznej stożka. Wykaż, odległość wierzchołka stożka
od górnej podstawy walca jest równa połowie długości tworzącej stożka.
6 .2 0 7 . Objętość kuli ^ jest 27 razy większa od objętości kuli Kr Oblicz:
a) stosunek promieni obu kul
b) stosunek pól powierzchni tych kul.
6 .2 0 8 . Woda kapie z kranu co dwie sekundy. Zakładając, że kropla wody ma kształt
kuli o promieniu 3 mm, oblicz, ile litrów wody wycieknie z kranu w ciągu 1 doby.
Wynik podaj z dokładnością do 0,1 litra.
6.209. Dwie małe kulki o promieniach 2 cm i 3 cm zawarte są w jednej dużej kuli.
Odległość między środkami małych kulek wynosi 6 cm. Oblicz promień dużej kuli
o możliwie najmniejszej objętości.
6.210. Punkty A i B należą do brzegu kuli o środku 5. Kąt zawarty między odcinkami
A B i BS ma 45°, a odcinek AB ma długość 6 -Jl cm. Oblicz objętość i pole powierzch
ni kuli.
6.211. W naczynie w kształcie walca częściowo zapełnionego wodą wrzucono kul
kę, która zanurzyła się całkowicie. Oblicz, o ile centymetrów wzrósł poziom wody
w naczyniu, jeśli średnica podstawy naczynia ma 12 cm, a promień kulki jest równy
3 cm.
6.212. Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą
o takim samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest czte
ry razy dłuższa niż promień półkuli. Wiedząc, że objętość kapsuły jest równa ^ m3,
oblicz największą długość odcinka SP, gdzie 5 oznacza wierzchołek stożka, a P punkt należący do sfery danej półkuli.
6.213. Na kuli opisano walec. Ile razy objętość walca jest większa od objętości kuli?
6. Geometria przestrzenna
6.214. W kulę w p isan o stożek, którego kąt ro zw arcia je s t prosty. W yznacz stosu n ek
objętości stożka do objęto ści kuli.
6.215. Tw orząca stożka o ob jęto ści t/je s t nachylona do płaszczyzny p o d staw y pod
kątem a . Oblicz ob jęto ść kuli w p isan e j w ten stożek.
6.216. Na kuli op isano stożek, którego w ysokość je s t d w a razy dłuższa od śred n icy
kuli. U dow odnij, że pole pow ierzch n i całkow itej stożka je s t d w a razy w iększe od pola
powierzchni kuli oraz że ob jęto ść stożka je s t dw a razy w iększa od o b jęto ści kuli.
* 6.217. Długość tw o rzące j stożka w yn o si d, a prom ień p o d staw y je s t ró w n y R. Oblicz
objętość kuli op isanej na tym stożku.
* 6.218. Stożek o w ysokości H w p isan o w kulę. Oblicz ob jęto ść ku li, w ie d zą c, że je s t
ona cztery razy w iększa od ob jęto ści stożka.
Z astosow anie an alizy m atem a tyczn ej w rozw ią
zywaniu zad ań z geom etrii p rzestrzen n ej
6.219. Rozpatrujem y w szystkie g raniastosłup y p raw id ło w e czw o ro kątn e , których
suma długości w szystkich kraw ęd zi je s t rów na 48 cm . W yznacz w y m ia ry tego graniastosłupa, któ ry m a n ajw ię kszą ob jęto ść. Oblicz ob jęto ść tego gran iastosłu p a.
6.220. Rozpatrujem y w szystkie p ro stop ad łościany o ob jęto ści 9 litrów , któ rych je d
na z kraw ędzi p od staw y je s t dw a razy dłuższa od drugiej.
a) Napisz w zór funkcji op isu jącej pole p ow ierzchni całkow itej P takieg o pro stop a
dłościanu w zależności od długości x krótszej kraw ędzi podstaw y.
b) W yznacz w y m ia ry tego p ro stop ad łościanu, któ ry m a n ajm n iejsze pole po
w ierzchni całko w itej.
6.221. W śród stożków o tw o rzą ce j m ające j długość 4 cm , zn ajd u je się te n , którego
objętość je s t n ajw iększa. W yzn acz prom ień r p o d staw y i w yso ko ść h tego stożka.
Podaj jego n ajw iększą o b jęto ść V.
6 . 2 2 2 . Rozważ stożki o tw o rzą ce j m ające j długość p.
a) Napisz w zó r i zbadaj przebieg zm ien n o ści fun kcji op isu jącej ob jęto ść stożka
w zależności od jego w yso ko ści.
b) W ied ząc, że m aksym alna o b ję to ść stożka je s t rów na 16>/37i cm 3, oblicz długość
tw o rzące j tego stożka.
195
6 .2 2 3 . Szynka konserwowa pakowana jest do puszek w kształcie walca o pojem
ności 1287t cm3. Oblicz, jakie wymiary powinna mleć ta puszka, aby na jej wyprodu
kowanie zużyć jak najmniejszą Ilość blachy.
6 .2 2 4 . W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi bocznej mającej
długość b, poprowadzono płaszczyznę zawierającą krawędź boczną i wysokość
ostrosłupa. Wiedząc, że otrzymany przekrój ma największe pole powierzchni, oblicz
długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa.
6 .2 2 5 . Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu równym
9 \iŚ cm2. W ten stożek wpisujemy walce w taki sposób, że jedna podstawa walca
jest zawarta w podstawie stożka, a okrąg drugiej podstawy walca jest zawarty w po
wierzchni bocznej stożka. Wyznaczymy objętość tego walca, który ma największą
objętość.
6 .2 2 6 . Dany jest stożek o promieniu podstawy 6 cm i wysokości 8 cm. W stożek
ten wpisujemy prostopadłościany tak, że jedna podstawa zawiera się w podstawie
stożka, a wierzchołki drugiej podstawy należą do powierzchni bocznej stożka. Wie
dząc, że stosunek długości krawędzi podstawy jest równy 3, oblicz wymiary tego
prostopadłościanu, którego objętość jest największa.
6 .2 2 7 . W kulę o promieniu R wpisujemy stożki. Wyznaczymy promień r podstawy
i wysokość h tego ze stożków, który ma największą objętość.
6 .2 2 8 . Na kuli o p ro m ien iu 6 o p isu je m y stożki o b ro to w e . W yzn acz wysokość h
i pro m ień p o d staw y r stożka o n ajm n ie jsze j o b ję to ści. W yk aż, że o b ję to ść tego stoż
ka je s t ró w n a p o d w o jo n e j o b ję to ści kuli.
6 .2 2 9 . W kulę o promieniu
wpisujemy prostopadłościany o polu podstawy
równym 4. Wyznacz wymiary prostopadłościanu o największej objętości.
6 .2 3 0 . W kulę o promieniu r wpisujemy ostrosłupy prawidłowe trójkątne w ten
sposób, że wierzchołek ostrosłupa jest środkiem kuli, zaś wierzchołki podstawy na
leżą do powierzchni kuli. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa, któ
rego objętość jest największa.
6 .2 3 1 . W kulę o promieniu 3 wpisujemy ostrosłupy prawidłowe czworokątne w ten
sposób, że wierzchołek ostrosłupa jest środkiem kuli, zaś wierzchołki podstawy na
leżą do powierzchni kuli. Napisz wzór funkcji opisującej objętość V(x) ostrosłupa
w zależności od długości krawędzi x jego podstawy. Wyznacz maksymalną objętość
ostrosłupa.
6 . Geometria przestrzenna
197
T est sp raw dzający do rozdziału 6.
1 . Przekątna sześcianu ma długość
A. 2>f2 cm 3
B. 4 cm 3
cm . Objętość tego sześcianu je s t rów na:
C. 4>/2 cm 3
D. 8 cm 3.
2. W g raniastosłupie praw idłow ym czworokątnym przekątna ma długość 10 cm ,
a kraw ędź podstaw y - 3 V2 cm . Wysokość tego graniastosłupa je st rów na:
A. 4 cm
B. 6 cm
C. 6^2 cm
D. 8 cm .
3. Podstaw ą prostopadłościanu je st kwadrat. Kąt m iędzy przekątną prostopadło
ścianu a ścianą boczną je s t zaznaczony na rysunku:
A.
B.
C.
D.
4 . W ysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego i w ysokość podstaw y m ają
taką sam ą długość, rów ną T Ś . Pole powierzchni całkow itej tej bryły je s t ró w n e:
A . 5> /I cm 2
B. 6>/3 cm 2
C. 7y/Ś cm 2
D. 8>/3 cm 2.
5 . Dw ie różne p rzekątne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego m ają dłu
gość: 13 cm i 12 cm . Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa je s t rów n a:
A . 12 cm
B. 10 cm
C. 5 cm
D. Sy/s cm .
6 . W ostrosłupie praw idłow ym czworokątnym kąt m iędzy przeciw ległym i kraw ę
dziam i bocznym i je s t prosty. W ów czas:
A . w szystkie kraw ęd zie ostrosłupa m ają jednakow ą długość
B. kraw ędź boczna ostrosłupa je st dwa razy dłuższa od kraw ędzi podstaw y
C. kraw ęd ź p od staw y ostrosłupa je st dwa razy dłuższa od kraw ędzi bocznej
D. przekątna p od staw y ostrosłupa je s t dwa razy dłuższa od kraw ędzi bocznej.
7 . W ostrosłu pie praw id łow ym czworokątnym kraw ędź boczna je s t nachylona do
płaszczyzny p o d staw y pod kątem 4 5 °. Niech a oznacza kąt nachylenia ściany bocz
nej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy. W ów czas:
A . a g (3 0 °, 4 5 °)
B. a = 4 5 °
C. a e (4 5 °, 6 0°)
D .a = 6 0°.
198
Matematyka. Zbiór zadań, Klasa 3.
8 . W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie mają jednakow ą
długość, rów ną o. W ówczas wysokość ostrosłupa je st równa:
a
.s ń
2
* 3
* 4
D —
4
9 . Trzy kraw ędzie ostrosłupa trójkątnego mają wspólny koniec i są do siebie param i
prostopadłe i m ają odpowiednio długość 3 cm, 4 cm, 5 cm . Objętość tego ostrosłu
pa je s t rów na:
A.
OH
cm 3
cm 3
B.
4
C. 60 cm 3
D. 10 cm 3.
3
1 0 . Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku 12 cm , a spodek wysoko
ści tego ostrosłupa znajduje się w jednym z w ierzchołków tej podstawy. Największa
ściana boczna tego ostrosłupa je st nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
6 0 °. Zatem wysokość ostrosłupa ma długość:
A . 6 cm
B . 8 cm
C. 18 cm
D. 16 cm .
1 1 . W ostrosłupie prostym podstawą je st trójkąt prostokątny ABC, w którym
i )<ACB\ = 9 0° oraz |/tCj = 6 i |SC| = 8. W ówczas spodek wysokości tego ostrosłupa
znajduje się w odległości:
A. 5 od punktu C
B. 6 od punktu A
C 8 od punktu B
D. 0,5^ 3 9 od punktu C.
1 2 . Pole powierzchni bocznej walca o promieniu podstawy 5 cm i w ysokości 8 cm ,
je s t rów ne:
A . 4 0 cm 2
B. 130 tt cm 2
C. AOn cm 2
D. 80 ti cm 2.
1 3 . Pole podstawy walca je st rów ne 9 n dm2, a pole przekroju osiowego w ynosi
24 dm2. Zatem objętość walca w ynosi:
A . 36n dm 3
B. 327C dm 3
C. 30n dm 3
D. 24rc dm 3.
1 4 . Wysokości dwóch w alców są rów ne. W iadom o, że drugi w alec ma 4 razy w ięk
szą objętość od pierwszego w alca. W ówczas promień podstaw y drugiego w alca je st
w iększy od promienia podstawy pierwszego w alca:
A . dw ukrotnie
B. czterokrotnie
C. ośm iokrotnie
D. szesnastokrotnie.
1 5 . Kąt rozwarcia stożka je st rów ny 30°, a pole przekroju osiowego w ynosi 4 dm 2.
Tw orząca stożka ma długość:
A . 2 dm
B. 4 dm
C. 2</3 dm
D. 2^3 dm .
6. Geometría przestrzenna
199
16. Stożek o o b ję to ści 80071 m a w yso k o ść ró w n ą 2 4 . T w o rząca stożka m a długość:
A . 10
B . 25
C. 26
D. 30.
17. Tangens kąta n ach yle n ia tw o rz ą ce j stożka do płaszczyzny p od staw y je s t rów
ny 1 ^ . N iech Pb o znacza p ole p o w ierzch n i bocznej, zaś Pc- pole p ow ierzch n i całko
w ite j tego sto żka. W ó w cza s:
A. Pc = 2Pb
B.
Pc= l,5 P b
C .A f
=
|p ,,
18. W ysokość stożka je s t ró w n a \ / 4 4 , a p ro m ień p o d staw y - 10. Zatem kąt środko
w y w ycin ka koła tw o rzące g o p o w ierzch n ię boczną stożka m a m iarę :
A . 180 °
B. 210°
C. 2 4 0 °
D. 3 0 0 °.
19. Jedna kula m a o b ję to ść 27 razy w ię kszą od d ru g ie j. W te d y sto su n ek obw odu
w ielkieg o koła d u żej kuli do ob w od u w ie lkie g o koła m ałej kuli w y n o s i:
D. 27.
A. 3
B. 6
C. 9
20 . M iasto A leży na ró w n o le żn iku 2 0 ° szerokości geogra
ficznej p ó łn o cn e j. Je że li p rzyjm ie m y, że Ziem ia je s t kulą
o pro m ieniu R = 6 3 0 0 km o raz n « 3 , to od ległość d m ia
sta A od ró w n ika (zo bacz rysu n e k ob ok) je s t w p rzybliżeniu
ró w n a:
A . 1050 km
B . 2 1 0 0 km
C. 3 1 5 0 km
D. 4 2 0 0 km .
Z ad an ia p o w tó r ze n io w e d o ro zd ziału 6 .
6 .2 3 2 . Je że li każdą k raw ę d ź sze ścian u p rzed łu żym y o 1 d m , to je g o o b ję to ść zw ię k
szy się 125 razy. O blicz d ług ość kraw ę d zi teg o sze ścian u .
6 .2 3 3 . O b ję to ść p ro sto p ad ło ścian u ABCDA^^D^ je s t ró w n a 1 44 cm 3, pole
p o d staw y ABCD je s t ró w n e 12 cm 2, a p ole p rzekro ju p łaszczyzną ABC±L \ w yn o si
12yjw cm 2. O b licz d ług ość p rz e k ą tn e j p ro sto p ad ło ścian u .
6 .2 3 4 . W g ran iasto słu p ie p ra w id ło w ym cz w o ro ką tn ym w yso k o ść je s t d w a razy
dłuższa od kraw ę d zi p o d staw y. W yzn acz:
a) co sinus kąta n a ch yle n ia p rz e k ą tn e j g ran iasto słu p a d o ś cia n y b ocznej
b) sin u s kąta m ię d zy p rze k ątn ą g ran iasto słu p a i k ra w ę d zią b oczną w ych o d zą cym i
z tego sam eg o w ie rz ch o łk a .
200
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
6 .2 3 5 .
W graniastosłupie praw idłow ym trójkątnym sinus kąta nachylenia przekąt
nej ścian y bocznej do sąsiedniej ściany bocznej je st rów ny —
Oblicz stosunek
w yso ko ści graniastosłupa do długości krawędzi podstawy.
6 .2 3 6 . Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 720>/3 cm3,
a wysokość ma długość 20 cm. Oblicz pole przekroju graniastosłupa płaszczyzną
przechodzącą przez krawędź podstawy i przeciwległą krawędź boczną, jeśli ta płasz
czyzna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 6 0°.
6 .2 3 7 . Podstaw ą graniastosłupa prostego ABCDA1B1CXD1 je s t trapez prostokątny,
którego długości podstaw w ynoszą: \AB\ = 6 cm , \DC\ = 3 cm , a w ysokość trapezu:
\AD\ = 4 cm . W iedząc, że wysokość tego graniastosłupa to 12 cm , oblicz:
a) długości dwóch różnych przekątnych graniastosłupa
b) cosinus kąta dwuściennego między płaszczyznami (ABCXD J i (ABCD).
6 .2 3 8 . Oblicz cosinus kąta ostrego dwuściennego w yznaczonego przez dw ie są
siedn ie ściany czworościanu forem nego.
6 .2 3 9 . Podstawą ostrosłupa je s t tró jkąt ABC, w którym : (J&j = 13 cm , |fiC] = 13 cm
i \AB\ = 24 cm . W ysokość ostrosłupa CS je st rów na 12 cm . Oblicz pole pow ierzchni
całkow itej tego ostrosłupa.
6 .2 4 0 . Podstawą ostrosłupa je st rów noległobok o bokach długości 3 cm i 7 cm ,
którego jed n a z przekątnych ma długość 6 cm . Spodkiem w ysokości ostrosłupa je st
punkt przecięcia przekątnych podstawy. W iedząc, że w ysokość ostrosłupa je s t rów
na 4 cm , oblicz długość kraw ędzi bocznych.
6 .2 4 1 . Podstawą ostrosłupa je s t rom b, którego bok m a długość 15 cm . Każda ścia
na boczna tw o rzy z płaszczyzną podstaw y kąt 6 0 °. W ied ząc, że pole pow ierzchni
bocznej ostrosłupa je s t rów ne 360 cm 2, oblicz objętość tego ostrosłupa.
6 .2 4 2 . W yznacz w ysokość praw idłow ego ostrosłupa tró jkątnego , którego kraw ędź
p od staw y ma długość a, zaś pole p ow ierzchni bocznej je s t d w u kro tn ie w iększe od
pola podstawy.
6 .2 4 3 . W pew nym ostrosłupie o objętości 2 400 cm 3 podstaw a je s t w ie lo k ąte m ,
którego obwód je s t rów ny 100 cm , a pole w yn osi 600 cm 2. W szystkie ścian y boczne
ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny p od staw y pod tym sam ym k ąte m . W yznacz
m iarę tego kąta.
201
6. Geometria przestrzenna
6.244. Podstawą ostrosłupa je st tró jkąt, którego boki m ają długość 13 cm , 14 cm ,
15 cm. Oblicz objętość ostrosłupa, w iedząc, że w szystkie kraw ędzie boczne m ają
6.245. W ostrosłupie prostym o objętości V podstaw ą je st p rostokąt, którego prze
kątne mają długość d i przecinają się pod kątem a . Oblicz tangens kąta/? nachylenia
krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
6.246. W ysokość ostrosłupa je s t rów na 16 cm , a pole podstaw y w yn osi 512 cm 2.
W jakiej odległości od podstaw y znajduje się przekrój rów noległy do płaszczyzny
podstawy o polu rów nym 50 cm 2?
6.247. W ostrosłupie praw idłow ym czw orokątnym poprow adzono przekrój płasz
czyzną zaw ierającą przekątną podstaw y i prostopadłą do je d n e j z kraw ędzi bocz
nych. W iedząc, że kraw ęd zie podstaw y i kraw ędzie boczne m ają odpow iednio dłu
gość a i 2a , oblicz pole otrzym anego p rzekroju.
6.248. W ostrosłupie p raw id łow ym czw orokątnym kąt m iędzy kraw ęd zią boczną
i płaszczyzną p od staw y je s t rów ny a . Odległość spodka w ysokości ostrosłupa od
krawędzi bocznej w yn osi d. W ykaż, że pole pow ierzchni bocznej tego ostrosłupa je st
ró w n e ----- w------------ .
sin a - c o s a
6.249.
W czw o ro ścian ie forem n ym p oprow adzono p rzekrój płaszczyzną zaw ie ra
jącą wysokość p o d staw y i przechodzącą przez środ ek kraw ęd zi bocznej n ie m ającej
punktu wspólnego z tą w ysokością podstaw y.
a) Wyznacz cosinus najm niejszeg o kąta tego p rzekroju.
b) W iedząc d od atkow o, że pole tego przekroju je s t ró w n e
krawędzi czw o ro ścian u .
6.250.
oblicz długość
4
Podstaw ą o strosłu pa je s t tró jk ą t p ro sto kątn y ró w n o ram ie n n y. W ysokość
ostrosłupa je s t trz y razy dłuższa od p rzyp ro sto kątn e j tró jką ta w p od staw ie , a spodek
wysokości je s t w ie rzch o łk ie m kąta prostego tró jką ta w p o d staw ie . Przekrój o stro słu
pa płaszczyzną p rzech od zącą przez p rz e ciw p ro sto k ątn ą p o d staw y i w yso ko ść o stro
słupa je s t n ach ylo n y do p łaszczyzn y p o d staw y pod kąte m a ta k im , że tg a = >12.
W iedząc, że pole tego p rzekro ju je s t ró w n e 8>/3, ob licz o b ję to ść o stro słu p a.
202
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
6 .2 5 1 . K raw ęd ź sześcianu ma długość 20. Sześcian p rzecięto płaszczyzną przecho
d zącą przez środki trzech różnych kraw ędzi w ychodzących z tego sam ego w ie rz
ch o łka. O b licz:
a ) pole otrzym an eg o przekroju
b) od legło ść płaszczyzny przekroju od w ierzchołka w spólnego dla tych kraw ędzi.
6 .2 5 2 . W ostrosłupie p raw id łow ym czw orokątnym w szystkie kraw ęd zie m ają je d
n ak o w ą długość, rów ną 20. Ostrosłup p rzecięto płaszczyzną przechodzącą przez
środ ki kraw ęd zi w ychodzących z jednego w ierzchołka przy podstaw ie. Oblicz:
a) pole otrzym aneg o przekroju
b) odległość tej płaszczyzny od punktu w spólnego tych kraw ędzi.
6 .2 5 3 . Oblicz prom ień p od staw y w alca, w iedząc, że objętość w alca je s t rów na
5 n d m 2, a pole jego pow ierzchni całkow itej je s t rów n e 13 tc dm 2.
6 .2 5 4 . Pole pow ierzchni bocznej w alca je st rów ne IO tc dm 2. Prom ień podstaw y
w alca je s t o 4 dm dłuższy od jego w ysokości. Oblicz objętość tego w alca.
6 .2 5 5 . R ów noległobok o polu 30 cm 2 ma boki długości 6 cm i 10 cm . W yznacz
o b jęto ść V i pole pow ierzchni całkow itej Pc bryły pow stałej w w yn iku obrotu tego
rów noległoboku w okół krótszego boku. W yniki podaj w zaokrągleniu, z dokładno
ścią od p o w ied n io do 0,1 cm 3 i do 0,1 cm 2.
6 .2 5 6 . Po w ierzchnia boczna stożka je s t w ycin kiem koła, którego prom ień ma
12 cm , a kąt odpow iada kątow i środkow em u 2 7 0 °. Oblicz pole pow ierzchni całko
w ite j tego stożka.
6 .2 5 7 . Kulę o prom ieniu r przecięto płaszczyzną odległą od środka kuli o - r . Prze
kró j m a pole 27n; cm 2. Oblicz objęto ść i pole p ow ierzchni kuli.
6 .2 5 8 . Przez środ ek w ysokości stożka poprow adzono prostą rów noległą do tw o
rzą ce j stożka, która m a długość d. W ykaż, że długość odcinka będącego częścią
3d
w s p ó ln ą te j pro stej i stożka je s t rów na — .
4
6 .2 5 9 . W yk aż, że je śli kąt rozw arcia stożka ma 1 20 °, to pole pow ierzchni bocznej
te g o stożka je s t ró w n e polu pow ierzchni bocznej w alca o takie j sam ej podstaw ie
i w y so k o ści.
6. Geometria przestrzenna
203
* 6 .2 6 0 . W kulę o p ro m ien iu R w p isa n o stożek, którego tw o rz ą ca je s t n ach ylo n a do
płaszczyzny p o d staw y pod kątem a . O blicz pole p o w ierzch n i całk o w ite j Pc i o b ję to ść
stożka V.
* 6 .2 6 1 . R ozp atru jem y w szystkie sto żki, k tó rych tw o rz ą ca m a długość 6 . W yzn acz
objętość tego stożka, którego p rzekrój o sio w y m a n ajw ię ksze p ole.
6 .2 6 2 . T rójkąt p ro sto kątn y o p rzeciw p ro stokątn ej m ają ce j długość 2
VI cm ob raca
się dookoła je d n e j z p rzy p ro sto kątn ych . Ja k ą długość p o w in n y m ie ć p rzyprostokątne, aby o b jęto ść o trzym an e j b ryły była n ajw ię ksza?
6 .2 6 3 . R ozp atru jem y w szystkie o tw a rte pudełka (bez g órnej p o d staw y) o p od sta
w ie kw ad rato w ej i o b ję to ści 0 ,5 litra. W yzn acz w y m ia ry tego p ud e łka, któ re m a n aj
m niejsze pole p o w ierzch n i całk o w ite j.
6 .2 6 4 . W kulę o p ro m ie n iu 6 cm w p isan o o stro słu p p ra w id ło w y tró jk ą tn y o n aj
w iększej o b ję to ści. W yk aż, że o strosłu p ten je s t czw o ro ścian e m fo re m n ym , którego
kraw ędź m a długość 4>/6 cm .
6 .2 6 5 . W śród w a lcó w w p isan ych w kulę o p ro m ien iu 5 cm zn ajd u je się ta k i, k tó re
go pole p ow ierzch n i b ocznej je s t n ajw ię ksze . O blicz o b ję to ść tego w a lca .
204
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
Odpowiedzi do zadań
1. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna
Potęga o wykładniku rzeczywistym - powtórzenie
1.1.
b) 18
a) 1470
d ) 1110
c) 54
17
13
17
1 . 2.
a) 2 6
b) 5 4
c )65
1.3.
a) x = 12 , y = 1 , 8 —%
1 .4.
a) n
1 .5,
a) 2,4
1 .6.
a) 2
b) X = 0,24 , y = 9, 3750%
b )m
b) 1,2
b) 4
c )1 0 ^
a) 0,65
b) 1
1 .8 .
a )y > x
b )x > y
1.9.
a) u < t < y < t < x
1 . 1 1 . a )2 - > / 3
d) 125
d) 0,05
c) 12,5
b) - l i
1 . 10 . a) 4
d) 56,25
c) 2,25
1.7.
c )x > y
d )- 4 ,5
c) 25
w
d)y > x
b) y < u < t < x < z
-y/6+yl2
* - 1 1
2
C>7 '7
2
b )4
1.14.
1.16.
19
d) 3_ s
a)
-A)C
b) 9 x
d)5y/x + y[x*
c) —
xy
Funkcja wykładnicza i jej własności
1 .18. M
a
f(x) > 2 dla x e (-a>, - 1 )
1 .19. Ax) = 16*, Ax) £ 1 dla x e <0, -K»)
1 . 20. a )n < p < l< k < m
1 .2 1 . a ) m e n
1 . 22 . a) dodatnia
1.24 .
1.25 .
b )m < n
b )n < l< m < p < k
c )m > n
d )m > n
b) ujemna
c) ujem na
f) ujem na
d) dodatnia
e) ujemna
a) parzysta
b) nieparzysta
e) parzysta
f) nieparzysta
c) ani parzysta, ani nieparzysta
4 ; wskazówka: Zauważ, że (3* + 3-*)2 = 9* + 9“* + 2.
d) parzysta
Odpowiedzi do zadań
1.26. 5
1.27. a) (3 ,+«o)
1.28. a) (0,2)
1.29.
b ) H v -5)
b) (1,4)
, /1024 65536\
6561 /
a)( w
♦
C) <0, -ko)
M )
b) <256,512)
205
d) (-oo, -12)
d) (-5, -3)
c) 0 ,1 ^
d) <49,117 649)
Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej. Rozwiązywanie zadań z zastosowa
niem wykresów funkcji wykładniczych
206
M a tem a tyka . Z b ió r za d a ń . K lasa 3.
1.32. a) g(x) = 2X_2- 1
r
3
n
°
' "
I
d) należy
fą \ *
1.33. b) g(x) = -
+1
1.34. a) g(x) =
-4
1.35. a) g(x) = 2
X
1.36. a)/(x) =
c) (-1, +oo)
b) (0, -3)
c) 3
d) -80
d) (-2, +<»)
d) (2, +oo)
b) wskazówka: g(x) = 2* - 2.
c) <1, +oo)
d) tak
207
O d p o w ied zi d o zadań
i 1Y~2
1.38. a) y
—
, jeśli
4*,
jeśli
x e (-o o ,
l)
—
x e ( l,
+ oo)
—
i
-j
.......r
T f T ]
ig |
1
□
II
ic l
r jT
i
1 A -1L
Ł*ł
ti
iI
1
—
}
____
I
J
____ i
1 3 -1 — | .
I ____
1
t i? r tI
||
|1
j
... j
1.1. 1
1—
irx
■
H
i•
I i
g
-7-
I jy =
f ’i
i
____ j
—
i
J_
■
/ _-j_
1 T
I
L _
J
3 _______
1
A
i
i
M
L i L ... i J
i• i
i
}
5
M l
i
i
i
1
u
t - ° i
|
b) y
____ i
j
. J
1
A ___ 1
/ - V +
_____i
s
■ i
L
. c ____ 1
r
- t r ■1
n
3
jeśli xe(-oo, 0)
v 2 y
x-3
jeśli xe(0,
+oo)
1
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
jeśli x e ( - < » , - l )
jeśli x e ( - l , l )
jeśli x e ( l , + °o)
, jeśli xe(-oo, - 2 )
d)y=
ł
8 3,
, jeśli x e (- 2 , O)
jeśli x e (0 , +oo)
a) x e {1, 3)
b ) x s ( -2 ,-1 }
1 .4 0 . a) x e (-<»,O)
b ) x e (-ao, 3)
1 .4 1 . a) x = —2, y = 4 lub x = 1, y = 0,5
d) x = —3, y = 1 lub x = 1, y = 4
1 .3 9 .
1 .4 2 .
c) x e { - 1 , 1 }
d) x = 2
c ) x e (-ao, 1 ) ( 2 , +oo)
d) x e ( - 1 ,1 )
b) x = 1, y = 3
c) x = 4, y = 1 lub x= 5, y = 3
a) równanie nie ma rozwiązań dla m e (-ao, - 2 ) ; ma jedno rozwiązanie dla m e (-2 , +oo)
b) równanie nie ma rozwiązań dla m e (-oo, 4); ma jedno rozwiązanie dla m = 4; ma
dwa rozwiązania dla m e (4, +oo)
Odpowiedzi do zadań
209
c) równanie nie ma rozwiązań dla m e (-1,1); ma jedno rozwiązanie dla
m € (-oo, —T i) u f-1 ,1} u (>/3f +oo); dwa rozwiązania dla m e {-> ¡3 , -1) u (1, >/3)
d) równanie nie ma rozwiązań dla m e(-2,2); ma jedno rozwiązanie dla
m e(-oo, -2) u (2, +oo); ma nieskończenie wiele rozwiązań dla m e {-2,2}
1.43. m € (“ oo, - I ) u (1 ,2 )
1.44. m € (-oo, -3) u (0, +oo)
Równania wykładnicze
1.45. a) x = -2
b) x = 2
1.46. a)x=-3
b)x=2
1.47. a )x = l
b)x = 2
1.48. a )x e | ^ , ° |
c)x = -l
d )x = i
c) równanie
sprzeczne
b)x e {->/5,-1, J E )
b )x e {2 ,5 }
1.50. a)x e {-2,4}
b)x e {-1,4}
1.51. a) x € {-2, -1, 2}
b )x = l^
1.53. a)x=0
b )x= -2
1.54. a)x=2
b)x = 2
1.55. a) x= 1 4
b) x e {-3,1}
1.56. a) x e (-2, -1}
jo, - ,.l j
c)x = l
b), x e {0,2}
1.61. a)x=10
b)x= 4
d )x = l,5
c) X(ę
d )k ± f
d )x € {-7 ,8 }
d jx = -2
b) x e (0,2}
c) x= 3
d)x € | - 1 ,“ j
:i c) x e {-1,6,3} ‘
c)¡xs-2
b) x e {-2,2}
1.60. a) x = 2
d )x e {-4 ,2 J
' c) x e {-1,2}
b) x e {2,3}
1.58. a) równanie sprzeczne
1.59. a) x s (-1,1}
l-d )x s {-2( ^ , >¡2}
c)x e j - 4 , i j
c)x = -6
b) x =0
j
c )x = j
c)x =24
f)x = 3
d) x e |-1^., 1
c ) x e { l,4 }
b) x ś (-1,1}
1.52. a ) x e | ~ , 3 j
e)x= 2
2
c)x= ^
1.49. a) x e {0,17}
1.57. a) x e
d)x= -
e)x = 4,5f ) x = - |
e )x = -l,5
f)x=^-
d) x = -3t
d) równanie sprzeczne
jo, ~j
d) xte. {1,2}
c) x e {-2,2}
c )x e {- 2 ,2 }
d) x = 2
d )x e {-2 ,2 J
( d) xr=5 {>
c)x= 3 d) równanie sprzeczne
210
jfatematykg. Zbiór zadań. Klasa 3.
b) x = -1
1.62. a ) x * - -
1.63. a)
x*2
x ■1
c) | x = 0 u
fx * 3
d )|x - 4
y= 3
y*2
[y * 3
\y = 0
\y *ł
U
Nierówności wykładnicze
1.64. a)xe
jJ
^ X€ H 0*-2)
c)xe R
d)xe (-co,0)
e)xe ^-oo,-J~ j
f ) x € | - « #- l i
1.65.
a) x € (-oo, -3) u (-1, +oo)
b) x e (-3,5)
d) nierówność tożsamościowa
1.66. a) x e (-oo, -1)
b) x e (-oo, 4)
1.67. a) x e (-oo, -9)
b) x e |^-oo,l^
1.68. a ) x € (-oo,4)* j (5, +oo)
c) nierówność sprzeczna
c)’x e M ”, +'»j
d) x e (8, +oo)
c)x e (-7, •*»)
d) x e ( - i , +oo)
b )x e j - o o , ^ u ( l , +oo)
c ) x € (-oo,-2 ) u (4, +oo)
d ) x € < - il)
. a )x e (-oo,0 )u(^+oo)
b )x 6 (-op,-3)u^O,+oo)
e) X € (-00,1) u (7, +oo) i
d )x e
f) X
\3 /
1.70. a) x € (- 00, -1)
b) x e (-oo, 0)
1.71. a) x € (-oo, -1) u (3, +oo)
i) x € ( - o o ,- 2 ) u + o o j
M
c) x e (^», 1)
b) x e (-oo, 1)
d) x e
+00) 0
c) x e i-oo, -
u K & +°oj
d) nierówność sprzeczna
1.72. a ) * s ( - » ,0 ) u / 2 ,+ o o j: b)x.f (1,- ho) ■c ) x e . ( i , + Ą y l ’>) '
1.73. a) x e {2}
1.74. a) x e (-oo,(j)
e )x e f e j j
1.75. a ) x e ^ ,+ o o j
1.76. x e (-oo, 3}
c c)x € <2, +co)
d) x
h lj
b)x e (O, +°o) 1| c f x t (-oo, 2) v ( 3 , +o°)
U (8, +00)
d) x € (2,3)
f)xe'(-óO/ 0);U(1, +o°)
b) x e (3, +oo) . c)x €
d) X e (-00,4)
h ś
211
Odpowiedzi do zadań
1.77. x e <2, +oo)
b) x e {1, 2}
1.78. a) x e {1,2,3}
c)x € {1,2}
b) x € (-2,0)
1.79. a ) x € ^ - 2 , j j
d )x e {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 }
c) x e <0, +oo)
d) x € (-«o, 1>
b) x € (-oo, -1)
1.80. a) x € (-oo, 2)
c) x e (-oo, -1)
d) x € (2, +oo)
Zastosowanie równań i nierówności wykładniczych w rozwiązywaniu zadań
1.81. m = 3; a„ = 9n - 1
1.82. x = 2; Sw = 470
b)an - 3
1.83. a)x = 2
Ąn~7
1.84. m = l ;S w = 1359,960938
1.85. m = 1
1.86. m e i-o o , - 5^\ u (-5, +oo)
1.87. m e (0, +ao)
1.88. m e (-oo, -2)
1.89. m e (-oo, -5) u {4}
i
"i
i
J
1.90.
m e (-oo,- 1 ) u
1.91.
m € (—oo, 0) u {2}
1.92.
m e (-oo, 0)
1.93.
a) x e <- tc, ----- , — , O, —, — , n
;
f
-271
1
—7t
3
_
3
TC
2 tc
3
3
.94. a ) x e / ł - | o :o = ^+i(:Tc,kec|
—4tc -2 tc —TC TC 2tc
b)x €
T ' T ' T ' 3' T '
b)x e ^ ,
Logarytm - powtórzenie wiadomości
1.95. a)-4
b) 7
c) 3
1.96. a) 2 3
b) 7,5
1.97. a ) l 4
b )-8 6
1.98. a) 4
b) -2.,
1.99. a) 3
b) 1
1.100. a) 2
b) 2500
d) -1
c) -1,5
c M -ł12
c)-4
c) 7
d) 1
e) 0
d) -2,25
f)-6
e),2
f)-4 3
e) 6,5
d )l —
12
e);
h) —2
g)-3
g) 3,5
h) 2 —
9
7
20
f) 2
g )-l
h)-15
e) 4
f) 18
g )|
d) —4
c) 62 i
d ,2 i
h) 37,5
212_
Matematyka Zbiór zadań. Klata 3
1.101, a ) x - ~ l i
b ) x * ll
c )x *--
*
4
5
d )**-5
e )x *-l
f)x = -i
~*ł
1.103, m * n * - 3
1.104. K r« / * 30
1.106. a) —
o
c )^ i
b )2 6 + 4
d) —
o+ l
a
w 2 o -6
1.107. a)
3
'
2 (l+ o 6+ 6)
2
C*
M 3 o -6 + 5
1.108. a)
3+2o6
3 (l+ a)
1
, 2o+36
b ) ---------
..
c ) -------
o -6 + l
3o
2 6 -4
d ) ---------
l- o
2+ 2o - 6
F u nkcja logarytm iczna i je j własności
Ji
b )y
1.110. a)x€ | 0 , - j
1.111. a) 6« 1
g )* * 2
1.112. a) ujemna
1.113. a)o<6
b)tak
b)Ar*-2
h )6 *-3
b)zero
b)o<6
c) ujemna
c)o>6
.114. a)x€^log? 4/+ooj; np. 5; 6
1.114
c) * e ^ o g Ą , +ooj;; np. 0;1
1.115. a) 0 * ^-oo,l¿ j
d)k=-2
c)6 *0
d) dodatnia
b)xe (-oo, log^4); n p .-l;0
d)x € I -oo, log5 8 |; np. 2; 1
c)D - (-oo, -4) u (-1, +oo)
e)D = R-{2}
e )0 = (-3, -2) u (-2, -1) u (0, +oo)
h - 1?)
b) m e (-2,2)
d ) O s U i +oo
f)0 = (l, 2) u (2, +oo)
c) m e (0,1)
1.118. a) m e (2, +oo)
b) m e ( - 1 ,0 ) u (0,1)
d) m e (0,1) u (1,2)
1.120.
a) log^2
f)D=(0,- ko)
b ) D = (-oo,-1 )u (-1,0) u (0,1)u (1,3)
c ) 0 s ( ^ ,W 2 ) u H / i,- lM 3 ,+ o o )
1.117. a) m e
f)k = - l
d)o>6
b )0 = (O,1)
1.116. a)0»(-1/0)u (0/2)
e )k = l
b)logj7
c)-4
d)me ^ -o o ,-4
c) m e (-oo, 3) u (5, +oo)
d) log^5
LU | |s j
1.109. a) 0,5
7
213
Odpowiedzi do zadań
1.123. a) nie są równe, bo Df = (2, +oo), Dg=(-00 - 2 ) u (2, +oo)
d) nie są równe, bo Df = R - {0 }, Dg = (0, +oo)
b) są równe
c) są równe
Rozwiązywanie równań, nierówności oraz układów równań z zastosowaniem
wykresu funkcji logarytmicznej
a )D = (-2 , +oo)
b) - 3
a) D = (-3 , + oo)
c) należy
c) x e ( - 3 , 6)
b) (0, - 2 )
a) g(x) = log2(x - 1 ) - 3 b) x e <2, 5>; g(x) < - 2, jeśli x € ( 1 ,3 ) ; g(x) > 0, jeśli x e ( 9, +oo)
1.126.
— ii— i
f—H
i -J
i—
-H
—--
~1
H
1_ i
H
¡5
l--- i
u —iN H
1
— i
? “1
1
_
3
¡W!= lejlgj(i
:--- 1
a) D = (-oo, 0)
r2 j
1
Hi
_
d JL__ 41i *Y
=T
-J l
__ d1—
—J
1
H
□
b) (- 9 ,0 )
c) x e (- 9 ,0 )
b) x e (- 3 , - 2 )
c) należy
214
Matematyka. Zbiór tadari. Klata 3 .
Q
X
i
E
n i
,3§
t
j—
1
n
/ r
7 .... U - ,
/ i
X " Sn
♦3 3 -a
- I f
1
j i
__3
*
i
3
k M U
•2
1
J
i
t
__ 1-I I J
1.131. Df = (-2, +oo);/ w = logj
]
ii
= logj 8 - logj (x+ 2 ) = - 3 - l o g j (x + 2); x 6 <-1, +<»)
i * * 2
2
I 1'
1
n -j►o£t
*4i" J p £ 5 Í.AÍ+-;
n
ôj
I
r
r
...
1
II I
i
1
1
_1
J
1.132. /(x) = logjX» D = (0,2), ZW = (- 00, log32)
2
2
Odpow iedzi do zadań
1.133. D = /?-{-2, 2},/(x)
log2(x + 2) dla x e (0 , 2) u (2, + 00) ^
log2(2 -x) dla xe(-oo, - 2 ) u (2, 0)
1.134. a)/(x) = |x|,D = /?-{0},
ZIV = (O, -f-oo)
b)/(x) = 2, D = (0, l ) u ( l , -H»),
ZW ={ 2}
c) f(x) = \x-l\,D = R - {1},
ZW = (0, +oo)
d) /(x) = 2, D = (0,1) U (1, +oo),
ZIV = {2}
215
z w = { 1, 2) u (2,+oo)
216
M a te m a ty k a . Z b ió r za d a ń . K la s a 3 .
1 .1 3 5 . a) x = 3
b )x = 1
1 .1 3 6 . a ) x € ( 4 , +oo)
1 .1 3 7 . a) (2, - 2 )
c) x e {1, 3}
b) x e (O, 9)
b) ( 3 ,1 )
d ) x e { - l , 1}
c ) x e ( 2 ,+ » )
c) (-3 , 2), (4, 5)
d) x e (-5 , 5> - {0}
d) (1 0 ,3 )
Równania logarytmiczne
1 .1 3 8 .
a) x = 1,5
d)
b) rów nanie sprzeczne
x e { - 1 , 2}
1 .1 3 9 . a) x = 9
c) x = 16
b ) x = 98
1 .1 4 0 . a) x e { - 7 6 , 7 6 }
c) x = 1
b )x e {6 -4 7 1 , 6 + 471}
c) x = 8
b) rów nanie sprzeczne
1 .1 4 5 . a ) x = 3
b ) x = 16
x = 64
e) x = 2
d )x = - 3 -
g ) x e { - 4 ,4 }
b) rów nanie sprzeczne
b )x = 8
d) x = 2
3
e )x = 2
f)x = 0
c ) x e j 1 - , 10
d )x = 3 7
d )x = 4
; wskazówka: D = ( - 1 ,0 ) u (0, -*»). Zapisz rów nanie w postaci
d) x e { - 1 1 ,3 }
1.149. a ) x e | ^ , 2|
b )x e {3 ,3 + > / 2 }
1.150. a ) x =
d) x =
h ) x e { 4 , 6}
c)x = 6
{-4, 2}
e
x = 100
2
2log2|x) - 2 = 2log2 (x + 1 ), a następnie w postaci log2 1*1
c) x
f)
c) rów nanie sprzeczne
c)x = 4
c ) x = - 0 ,9
f)x = 1
1.147. a ) x e { 7 ,1 5 }
1.148. a) x = —
d )x = —
5
f) rów nanie sprzeczne
1 .1 4 4 . a) x = 3
1 .1 4 6. a ) x = 5
d ) x e { - 2 ,2 }
4
1.143. a ) x = 8
e)
f)x = —
6
d )x = —
b )x = —
9
x= 2
e) x = 1
c ) x e { - l,l}
1 .1 4 2 . a ) x = 3
e)
f) x e {2, 3}
d )x = ~ —
4
b) x 6 {-2 , 2}
b) x =
1 .1 4 1 . a) x = -
c) x = 0,25
e) rów nanie sprzeczne
-1 + 7 5
1.151. a ) x e j ^ ' 9 !
b) x = 5
c ) x € { - 5 ,3 }
c) x = 1
b ) x e {2, 32}
=
1.
b) x = 2 —
X+1
d )x e
- l- 7 l6 1
„ „ - l +^ 6 l)
------1------ / - 5 , 4 , ------ ------- }
d) x = 10
c ) x e { 7 2 ,4 }
d )x e
I i 5
2 5 '5 '
e )x = —
f ) x 6 <1—,3
1.152. a ) x e i — ,100
llO O
b ) x e {1 0 0 ,1 0 0 0 }
c) x = 100
d) rów nanie sprzeczne
Odpowiedzi do zadań
1.153, a) x e ( 7 Ś ,5}
b )x = ^ ł£
»><{#'•)
C^X € j ^ ' 4}
[]
:
1.154. a) (2,18), (18,2)
217
b) (100,10)
^ X € { g ' 9}
®)*® 25
:
,
d ) ( 2, 2 )
c) (2, 2), ¡ 8 ,
N ie ró w n o śc i lo g a ry tm ic z n e
1.155. a) x e (5, -h»)
b) x e ( - l, 2)
e ) x e | — ,1 )
c) x e
400)
00
d) x e (-co, 6) u (8, + )
1.159, a) x e
2j
1.160. a) x e jo ,
d )x e
f) x e (-27, -2) U (-2,23)
1.163.
a) x e
H uH )
1) V (3» 5)
b) x e (2,4)
c)x
c) x ę ;<*-2,- 1 } 0 >
M
c) x s (2,4) u '(16, +<?b)
d) x e f c j j | T U *3,
00
u (100,1000) u (100 000, +00)
b) x € (0, l) u (2; + ) -
d) x e (0/ 1 ) W (9, +°°)
00
0 ( 9 ,+ )
c )x e
b )x ie i ( - , 4 )
14
jo,49 u (81,+00)
1.162. a) x e ( - 3 , -7 6 ) ó (76, 3)
d)
00
e) x e
00
00
| 0 , i )
4 'H
c) x e (-opł -13) vj (3,,+ )
b) x e (i, + )
c) x e (0, 1 ) v (16, + )
1.161. a ) x e
9
b) x € (-11, -2) u (-2,7)
1.157. a) x e (0, 2) u (3,5)
b)
d) x e (0,1) u (3,4)
0,1
d) x e
f ) x e (0,3)
1.156. a) x e (—oo, 1) u (5,
1.158. a )x e
r & 4 l
2' 2 )
b) x e (0,
+00j
ć ) x e (3,4)'£i (6/W )’
x e (—4, —3) o (8, +00 ) j t
(0 ,1 ) u ( 7 3 , 9 )
d )x € ^ ,
1.164. a ) x e (1,- hx >)
b )x e (3 ,-+ o o ) *
c) x e (0 ,2 ) u ( 4 , -K»);
iju (l, ;
b )x e
- 1 , OKU (0 ,4 )
218
Matematyka. Zbiór Madań. Kłosa 3.
c)x € (-3,-1)u
o ju|l,
u (3, +00)
d ) x e ( A 100)
1.165.
1.166. a) D = (-5, -4) u K
-2) u (2,3)
b) 0 = ( - 2 ^ 2 , 2>*j { 2 , 2>/2 >
1.167. x e (1,4)
1.168. x e (0,100)
1.169. x 6 (0,27)
1.170. x 6 (-1,2)
Równania i nierówności logarytmiczno-wykładniczo-potęgowe
1.171. a)x=0
b)x=0
c)xe {2,3}
1.172. a)xe {1,2}
b)x=0
1.173. a)xe (1,4>
xe [
d)xe{0, log9}
c)x=-2
°
'
d ) x e H ,l *
U
3]
c )x e
d)xe (1,2) u (64, +oo)
|
1.174. a) x e ^log3S , log32 j j
b)xe(0;l>
c)x e (-2 - >/6, -2 - yfŚ) u (-2 4-y/E, -2 + >/6)
1.175.
a)x€
1.176.
a) (2,6)
b)x= 100
b) (2,4)
d) x e (-oo, -2)
c)x e
c) (125,4), (625,3)
d) (8, 5)
Zastosowanie równań i nierówności logarytmicznych w rozw iązyw aniu zadań
1.177.
Układjest oznaczonyjeśli m e
-1
log2m - l
log2m - l
1.178. x = log25; różnica ciągu / = log 2
1.179. x=8,520=420
u (2, +oo)
--- 1
219
Odpowiedzi do zadań
1 .1 8 0 . X = 4 ,b „ = 22~n
1 .1 8 1 . 5 0 1 5 0 1
1
1 .1 8 2 . 1 .1 8 3 . m - 1
1.184. me |o,
1 .1 8 5 . m e ( 0 , 8 )
1.186. a)
im
b)
1
1
f
1 „ I c.
■2
A
J jt ó
3
■3
1
y » 2 ,x > 0
X
1
-1
„-----------1---- 1
n
▼
0
1
2
3
1
4
IW
l ™
5 Xł
—i
-1
M
1
:
m m (
| t
i _iY
Ł ]
V
-5
\\
c)
ft
I
ł ' = 7 r i + i ' ,f > 0 ' X > 0 , *
■4
—i
3 ” 1 y =~ ~ 1
3
4
y
x
\
/<
e ( 0 ,1 ) w ( 1 , +co)
' y e ( - 1 ,0 ) u ( 0 , +oo)
s— > c - - - - 1- - - - - - 1- - - - - - 1- - - - - J
. 4
5 X
HL*<<
2
¿*S
2 --
J^
■Jjj
i
1i
V ------
m
i- -
- 2 - - - 1|- - - - - W
j
°
fcI
\
\
i
i
-i
d)
,______ 1
_______1__
w.
1_______1
I-------1
-w
2 s 3:
4
5 X
1—----- 1
0
1
5 X
220
1 - 1 8 8 . m e ( - -3 - , - 2 ^
- n + 2kn, k e C
1-189- a ) x = 2 + 2 /f7t v x =
6
b ) x = - + 2kn, k e C
6
c) * = ~ 7 + k n ,k e C
4
3
d ) x = ^ + 2kn, k e C
4
371 5 tc\
1-19 0 . a ) x € |
J
W
b,xs( f 1 1
' 1
T ' 6/
177t\
C )X €
(°'f)
h
12/
\ 12
12 /
Zastosowanie funkcji wykładniczej i funkcji logarytmicznej do rozwiązywania
zadań umieszczonych w kontekście praktycznym
1 .1 9 1 . a ) M (t) = (0 ,8 )* • 5 0 , g d zie t > 0
1 .1 9 2 . a ) 9 0 ° C
b) 6 0 °C
b) p o 3 la ta ch
c ) 1 0 m in u t
g)
W(n) = 2 - ( 1 ,0 7 ) " , g d zie n e N+
1 .1 9 3 . a ) 2 ,1 4 m
b) 3 m
1 .1 9 4 . a ) 8 4 0 0 z ł
b ) K{n) = 8 0 0 0 • (1 ,0 5 )"
c ) p o 3 la ta c h
1 .1 9 5 . a ) L(n) = 6 0 0 0 0 0 • (1 ,0 0 4 )" , g d zie n e N +
1 .1 9 6 . a ) o 8 0 0 0 z ł
b) 3 la ta
d ) po 3 5 la ta c h
b) o k . 6 0 7 2 3 0
c) o k . 2 %
c ) p o 4 la ta c h
Test sprawdzający do rozdziału 1.
f
N u m e r z a d a n ia
1
2
.3 .
4
5
6
7
8
9
10
O d p o w ie d ź
C
O
B
D
A
A
C
B
B
D
N u m e r za d a n ia
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
O d p o w ie d ź
A
C
A
D
A
B
D
D
C
A
Zadania powtórzeniowe do rozdziału 1.
1 .1 9 7 . k = - 3
1 .1 9 8 . p = 4
1 .1 9 9 . a ) 5
1 .2 0 0 . p = 5
b) 4
c) x € ( 2 — ,
V 84
a) l | ,
b )x e
fö
1_
16'
1 .2 0 1 . a ) 2
b ) —2
1 .2 0 2 . x = - 9 l u b x = 1 1 ;
1 .2 0 3 . x = 0 l u b x = 3
12
O d p o w le d tl d o zadań
221
1.204. x = 1 6 - , wówczas q = - 5 lub x = ~ , wówczas q = 5
2
64
1.205. x = 4, r = 8
1 .206. a ) x = l
b )x = 0
c) x = - + 2kn łub x =*- - + 2kn, k e C
4
4
1 .207. a ) x = — + 2 k n , k e C
d )x e j- ii —
to
8
b)x = 2knt k e C
d )x e /~+2/fn, -^-+2kitJ,k e C
c)x e ^ 2 ^ , 2 + > /l0j
1.208. a) x e {-2 ,1 ,2 }; wskazówka: Zapisz równanie w postaci (2X- 2)(x2- 4) = 0, następnie
skorzystaj z własności iloczynu.
b) x € {30,100}
c)x = 4
1.209.
d ) x e |^ ,2 4 3
m e j 3 - , +oo
1.210. m e
3->/5
8
2
' 3
1.211.
2. Analiza matematyczna
Powtórzenie i uzupełnienie wiadomości o granicach ciągów
t 3 „
e ,4
d) 8
e) 0
_ -3 ,
a) 2
b )- 4
2.2.
a) 2
b) 4
2.3.
a ) -oo
2.4.
(-1)"
1
nie jest prawdziwe; np. jeśli an = '— — , gdzie n > 0, to lim an= 0 i lim — nie istnieje
O
fl—
/I—
>00Q
b) +oo
c) 3
d) 0
2.1
c)j
c) +oo
d) -oo
f) 2
e)+oo
f) +oó
222
Matematyka. Zbiór zadarł. Klasa 3.
Granica funkcji w punkcie
2 .5 .
a) 0
2.6 .
a) 3
b) 8
c )-3
e )ll
d) 3
b) 2
d) 1
f)7
f )6
e) 7
c ,i
2 .7 .
a) 4
c) 0
2 .8 .
a) 3
2 .9 .
c) np. o » “ - .
e ) 27
b) 1
V I*
u
-oc
1
n
2 .1 0 .
f)7
•»!
«7
b' T
f) —
48
lim f( a „ }
lim o„ = lim bn = 0
n—
>oo
a ) is tn ie je g ra n ic a ; lim / (x ) = 3
2
n-k»
W
—
n-w
b) n ie is tn ie je g ran ica
X-KT
c)
is tn ie je g ran ica; lim / (x ) = 3
x-»o
e)
is tn ie je g ra n ic a ; lim / (x ) = 4
d) istn ie je g ra n ic a ; lim f(x) = 3
f) n ie is tn ie je g ran ica
Obliczanie granicy funkcji w punkcie
2. 1 1 .
a )7
2. 12 .
a )-4
c) 4
b) —36
b) —16
6 )2
<
C |3 Ś
a ,T
. -7
e) —
9
e) - 6 3
c) —3
b' f
2 .1 3 .
2 .1 4 .
d) 2 - ^ 0
e) 3
a )Ts
»
I
d |T
c ,f
2 .1 5 .
b )T
- S
2 .1 6 .
a )0
2 .1 7 .
a ) a = 64
2 .1 8 .
b) 0
c) 0
d) 0
b )a = 36
0
Granice jednostronne funkcji w punkcie
2 .1 9 .
a) granica w punkcie 1 istn ie je i je s t ró w n a 0.
b) granica w punkcie - 2 n ie is tn ie je
c) g ranica w punkcie 0 n ie istn ie je
d) g ranica w p unkcie 3 istn ie je i je s t ró w n a 2
e ) granica w p unkcie - 2 n ie istn ie je
f) gran ica w punkcie 0 istn ie je i je s t ró w n a 1
2 .20 .
a) 2
b) 0
c)
—
1
d) 1
e ) —1
f)~
.. - 1
f) —
8
f) 0
f) T4
f) 12
2
223
Odpowiedzi do zadań
2.21. a) 2
b) nie istnieje
c)-22
2.22. a) 1
b) nie istnieje
Ł
e) nie istnieje
d)3
f)
^
d) 5
Granica funkcji w nieskończoności
2.23. a) 2
2.24.
3)I
b) —2
‘>1
d) —7
b) 0
«ł
d) 0
2.25. a)0
*»T
2.26. a)-5
b) 0
2.27.
3)I
2.28.
a) 0
b,T
b )l
c) 4
d) 2
c) 17
d) -5
c)-
f
c) -2,5
e) 0
•ł
e) 0
e) 22
£f
d) 0
f)3
f) 3
e>3
e ) - ll
f)-10
Granica niewłaściwa funkcji
2.30. a)+oo
b) +oo
c) -oo
2.31. a)+oo
b) -oo
c)
2.32. a) +oo
b) -oo
2.33. a) +oo
2.34. a)+oo
—
00
d )-o b ■ e )-o o
f) +oo
d)+oo
e)+ c o
f) +0Ó
c)+oo
d )-o o
e) -oo
f) +00
b) -oo
c) —oo
d) +oo
e) +oo
f) +00
b)+oo
c)+oo
d )-o p i
e )-o o
f) —90
f) +00
+00
2.35. a)+oo
b) -oo
c)
d )-o o
e) -oo
2.36. a)-o o
b) -oo
C) +00
d) +oo
e) -oo
f) —00
2.37. a)+oo
b )-o o
c) -oo
d) -oo
e) -oo
f)^00
2.38. a)+oo
b) -oo
C) -00
d)+oo
e) -oo
f) +00
2.39. a)+oo
b) -oo
C) +00
d) +oo
e) -oo
f) —
OP
Ciągłość fu n k cji w p un kcie
c) nie jest ciągła
2.40. a) jest ciągła
b) jest ciągła
d) jest ciągła
e) jest ciągła f) nie jest ciągła
c) nie jest ciągła
2.41. a) jest ciągła
b) jest ciągła
d) jest ciągła
e) jest ciągła f) jest ciągła
2.42. o = 6
2.43. / ( * ) -
jeśli x * 0
jeśli
gła w punkcie 0
; funkcja/jest ciągła w punktach -1,1, natomiast nie jest cią
224
Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3
0,
2.44.
jeśli
x e ( -a o ,- l) u ( l, + oo)
/(x) = 1, jeśli x e { - l , 1}
2,
jeśli
x e ( - l , 1)
funkcja jest ciągła w punkcie O i nie jest ciągła w punktach - 1 ,1
2.46.
3 ;- 6
Ciągłość funkcji w zbiorze
2.47.
o = 3 lub a = 3
2.48.
o = -1,5; b = 7
2.49.
a = —2, b = —14
53
2.50.
2.51.
2.52.
11
a = 0, b = 24
w skazówka: Rozważ funkcję g(x) =/(x) - x , gdzie x e <0,1). Korzystając z twierdzenia
Darboux, wykaż, że funkcja g ma miejsce zerowe.
2.53.
tak
2.54.
wskazówka: Rozważ funkcję y = h(x), gdzie h(x) =/(x) - g{x). Wykaż, że funkcja h ma
miejsce zerowe należące do przedziału (-3, -2).
2.55.
wskazówka: Rozważ równanie/(x) = -1 6 0 i zapisz je w postaci/(x) + 160 = 0. Oznacz
W(x) =/(x) + 160 a następnie oblicz W(3) i W(4).
2.56.
wskazówka: Zapisz równanie w postaci W(x) = 0, gdzie W(x) jest wielomianem. Sko
rzystaj z twierdzenia Darboux.
2.57.
wskazówka: Rozważ funkcję g, gdzie g(x) = f(x ) - f ( x + 1), x e <2,6). Następnie oblicz
g(2), g(4), g(6) i skorzystaj z twierdzenia Darboux.
2.59.
a)
c ) Z W = ( l , 2)
b) Z W =
d) ZW = ^ -2, ~ ~ j
A sym ptoty w yk re su funkcji
2.60.
a) x = 5
b) nie ma asymptot pionowych
e )x = 0 ,x = 2
2.61.
a) x = -3
e) x = -2 , x =
c) x = 2
b )x = - 4 , x = -5
-2
c )x = - 2
d) nie ma asymptot pionowych
f) nie ma asymptot pionowych
3
2.62.
d) x = 0
f)x = -3
o = 1, b = - 6
2.63.
o = -8 , b = 16
2.64.
(o = -1 i b = -12) lub (o = - 6 i b = 8) lub (o = - 8 i b = 16)
2.65.
nie istnieją
225
O dpow iedzi d o zadań
2.67.
a) y = jX + 3
e)y = 0
b) y = x
c) y «=5
d) nie ma asymptot ukośnych
f)y = 2x + 7
2.68. a) y = 3 x - 15 asymptota ukośna prawostronna y = -3 x - 1 5 asymptota ukośna lewo
b)
c)
d)
e)
f)
2 .6 9 .
stronna
y - 4 asymptota pozioma prawostronna y = - 4 asymptota pozioma lewostronna
y = -x asymptota ukośna prawostronna y = x - 4 asymptota ukośna lewostronna
y = x - 2 asymptota ukośna prawostronna y = - x asymptota ukośna lewostronna
y = x +3 asymptota ukośna prawostronna y = - x - 3 asymptota ukośna lewostronna
y= 2x—
4
stronna
asymptota ukośna prawostronna y = -2 x+ — asymptota ukośna lewo4
a ) y = 3 x + 9 a sy m p to ta u k o śn a le w o s tro n n a y = - 1 a s y m p to ta p o zio m a p ra w o s tro n n a
b) y = - 2x a s y m p to ta u k o śn a p ra w o s tro n n a , b ra k a s y m p to ty u k o ś n e j le w o s tro n n e j
c) y = 0 a s y m p to ta p o zio m a o b u s tro n n a
d ) y = - 3 x - 1 8 a s y m p to ta u k o śn a le w o s tro n n a , y = 3 x - 18 a s y m p to ta u k o śn a p ra w o
s tro n n a
2 .7 0 .
a) x = - 7 a s y m p to ta p io n o w a ; y = - 2 a s y m p to ta p o zio m a
b) x = 2 , x = - 3 a s y m p to ty p io n o w e ; y = 0 a s y m p to ta p o zio m a
c) x = - 1 a s y m p to ta p io n o w a ; y = x - 2 a s y m p to ta u k o śn a
d) x = 1 a s y m p to ta p io n o w a ; y = 2 a s y m p to ta p o zio m a
e ) x = 1 , x = - 1 a s y m p to ty p io n o w e ; y = 3 x - 2 a s y m p to ta u k o śn a
f ) x = 3 a s y m p to ta p io n o w a ; b ra k a s y m p to t u k o śn ych
2 .7 1 .
a) x = - 2 a s y m p to ta p io n o w a , y = 1 a s y m p to ta p o zio m a
b) x = - l a s y m p to ta p io n o w a y = x - 4 a s y m p to ta u k o śn a
c) x = 0 a s y m p to ta p io n o w a , y = 0 a s y m p to ta p o zio m a
d) y = 2x a s y m p to ta u k o śn a
e ) x = 3 a s y m p to ta p io n o w a y = 1 a s y m p to ta p o zio m a le w o s tro n n a y = - l a s y m p to ta
p o zio m a p ra w o s tro n n a
f ) x - - 2 a s y m p to ta p io n o w a p ra w o s tro n n a , x = 2 a s y m p to ta p io n o w a le w o s tro n n a ,
y = 6 x - 6 a sy m p to ta u ko śn a p ra w o s tro n n a , y = - 6x - 6 a sy m p to ta u ko śn a le w o
stro n n a
Pochodna funkcji w punkcie
2.72. a )f(3 ) = -2
b )/’(- l) = 3
c)/'(-2 )= -1 3
d )/'(5 )= -10
e )m = ^
2.73. a)/'(5) = 150
e )f (l)= J
2.74. a) istnieje
f) istnieje
b )/ '(- 2 )= - i7
'; c ) f ( l) - = £ y
d )/'(-2 )= -3
f )/ '( - 3 ) = Y
b) istnieje
c) nie istnieje
d) istnieje
e) nie istnieje
Matematyka. Zbiór zadań. Klasa 3.
F u n k c ja p o c h o d n a
2 .7 5 .
2 .7 6 .
a ) / ' ( x ) = x 3- x * + 4 x
c)
a)/'(x) = —Ł r
c) /
e)
2 .7 8 .
'( x ) = 2 x - A
e ) / '( x ) = 1 0 x + 3
d) / '( x ) = 6x 2 - 36x*
f ) / '( x ) = 10x® + 1 0 0 x " + lOOOx999
b)/'(x) = ~ + 4
+2
2v x
d ) / '( x ) = - 2 x
b ) / '( x ) = 5x 4 - 8 x 3 + 1
> '(x) = - 2 4 x 7 + 20X 3
e ) / '( x ) = V 6 + 7 x * - x 7
2 .7 7 .
c ) / '( x ) = 6
a ) / '( x ) = 0
b )/ '(x ) = - 3
f ) / '( x ) = 3x 2 - 8 x + 5
4x
+ - ^
r
d, m
= 8 x 3 - ^
/ '( x ) = 5 x 4 - 6 x 2 + l ^ - r
f)
a) /'(x) = 24x® - 5X4 + 8
b) /'(x) = 32x3 + 18X2 - 2 4 x - 9
c )f'(x ) = 5X4 + S x 3 + 9X2 + 4 x + 1
d ) / '( x ) = 14x* + 30X4 + 2 4x* + 12x* + 2 4 x
j=
e ) / '( x ) = 3 x 2 + 4 r + 3 > —7=
/ x f f «) f /i 'x( x) 1
) =H3 x! 2++¿2xx++-\xxv4xx ++- \v jxx ------
x fx
-3
2 .7 9 .
a) / '( x ) =
( x + fX « „
d) f'(x ) =
2
e)
/ '( x ) =
c) / '( x ) =
( - 4 x + 2 )2
- 2x 2 - 1 0
10x
f) fix ) —
(6 x +1)! P
2 .8 0 .
a )/ '(x ) =
t*2- 5)2
3x4+2 x3+12x + 2
9x2+ 1 6 x -1 0
b) f ( x ) =
( x 2 + X + 2)
(3 X 2 + x )2
c\ f ' { x ) =
X2 + 4 x - 8
- 2 0 x 3- 1 5 x 2
d) / '( x ) =
( x 4 4-x 3 + l )2
e) / '( x ) =
-4 x5-1
x 6 - 2 x 3- 6 x 2 + 3
f)
f'(x )=
x5- l
(x3+1)2
2 .8 1 .
Ji
( 4 . je ś li x < l
a ) k = l,m = - l- , f'(x )= \
J Jgf
= 12 ; / '( x ) =
=
je ś li
x2>l
—A
8
—- x + ~ ,
3
3
je ś li
( 2x + 2,
b )k = - 2| , m
2xVx
14
b) f'(x ) —
( 3 x - l )2
18x2+6 x +7
2
je ś li
x< 3
x£3
x2
. . .
. . .
. '
i4 x+ < c? ,
c)
nie istn ieje ta kie k, m: f ix) = <
J
\ l , je ś li
je ś li
x >2
x< 2
Odpowiedzi do zadań
227
Styczna do wykresu funkcji
2.83. y = - 5 x + 5; (4 ,- 1 5 )
y = - 8; jeden punkt wspólny
2.84.
1
4
—1
1 1f
4
2
1 HI
y = — x + 1 - , dwa punkty w spólne; y <=— x + - , dwa punkty wspólne
2.85.
36
2.86.
9
y = —x - 4 - , jeden punkt wspólny; y = - 3 x - 18; jeden punkt wspólny
4
2
2.87.
a) 4 (3 ,5 )
b )y = 3 x - 4
Pochodna funkcji a monotoniczność funkcji
2.88.
a) fu n k cja /je st rosnąca w przedziałach: (-«o, - 1 ), (4 , +oo), a malejąca w przedziale:
(—1» 4)
b) fu n k cja /je st rosnąca w przedziale: ( 3,5 ) , a m alejąca w przedziałach:
(-oo, 3), (5, +oo)
c) fu n k cja /je st rosnąca w przedziale ( 6, +oo),a m alejąca w przedziale (-oo, 6)
d) fu n k cja /je st rosnąca w przedziałach: (-°°, -4)/ (1# 4 ), a malejąca w przedziałach:
( - 4 ,1 ) , (4 , +oo)
c) fu n k cja/je st rosnąca w przedziale ( 1 ,3 ), a malejąca w przedziałach (-oo, 1), (3 , +oo)
d) fu n k c ja /je s t rosnąca w przedziałach: (-oo, - 2), ( - 1 , 1 ), ( 2, -foo), a malejąca w prze
działach: ( - 2, - 1 ), <1 , 2)
2.90.
a) fu n k cja /je st rosnąca w przedziałach: (-<», - 4 ), (- 2 , +oo), a malejąca w przedziałach
<-4, - 3 ), ( - 3 ,- 2 )
b) funkcja / je s t rosnąca w przedziałach: (-oo, 2), ( 6, +oo), a malejąca w przedziałach
(2/ 4 ), (4 ,6 )
c)
funkcja / je st rosnąca w przedziałach: <0, 2),
a m alejąca w przedziałach:
228
Matematyka. Zbiór tadań. Klasa 3.
d)
f u n k c ja / je s t rosnąca w p rzed ziałach: (—
—2), ^ 2 ,2 —j , a m alejąca w przedzia
ła c h : / 2 ^ , 7 J , (7 , +00)
2 .9 1 .
a) f u n k c ja / je s t rosnąca w p rzedziale {0 , +<»)» a m alejąca w p rzed ziale (- 00, 0 )
b) fu n k c ja /Je s t rosnąca w przedziałach: (- 00, 0 ) , <2, +<»), a m alejąca w przedziale (0 ,2 )
2 .9 2 .
a) fu n k c ja / je s t rosnąca w przedziałach: (- 00, - 3 ) , (- 3 , - 1 ) , a m ale jąca w przedziałach
< - 1 ,3 ), ( 3 ,+ « )
b) fu n k c ja / je s t rosnąca w p rzed ziałach: ( - 00, —1)» (2 , + °°), a m alejąca w przedziałach
< - i,0 ),(0 ,2 )
2 .9 3
a) o = - 2 , b = 7
b) fu n k c ja / je s t rosnąca w przedziale l - j - t l \ i m alejąca w prze
d zia ła ch : f-OO, M p * (1/ +00)
Ekstrema lokalne funkcji
2.94.
a ) / młx(- 5 ) = 4 8 i / mln(3) = - 3 7
c) brak ekstrem ó w lokalnych
2 .9 5 .
b )/ mIn(4 )= 1 9 | , / max(6) = 21
d) brak e kstrem ó w lokalnych
a ) / mtx(- 3 ) = 4 | , / ml0( - l ) =
= - 4 ^ , / ml„(3> = -^ 2 4 |
b)
/ m,„(0) = 7
c)
/ mto(6 ) = - 5 2 0 ^ / młXf - 2 ) = 9 3 |
d) b rak e kstrem ó w lokalnych
2 .9 6 .
= - 2 > / 5 ,/ mln^
j = 2>/5
b)
/ mln(2) =12
c)
f mln( ^ / 3 ) = 6 S - 5 //mm( - j 3 ) = - 6 - 7 3 - 5
d )/ min (0 )= - 2 ,5
2 .9 7 ,
li (~7\
-4
K
a ) / m, x(- 3 ) = 0 X , n [ y l = — i / m.x (- 2 ) = 0 ,/ mln( 0 ) = - 4
4
,
9
„
/ -10 \
= - ł /min(-3) = 0ł / max(0 )= b)/m,n(~4) = 0/ / max(^—
J
2 .9 8 .
a ) / min(- 8 ) = 1 6 ,/ młX(0 ) = 0 ,/ mln(8 ) = 16
' b )/ młn(0) = 0 , / „ w J
|
“
Odpow iedzi do zadań
c) / „ ,n(0) = 0 , ^ 1 0 =
- J
d) /m*o(—
3) * 0. /mln(l) = o,
2.99 .
229
J
f mJ 2 ) = 3
2.10 0 / młn(1 6 ) = - 2 9
2 .10 1 . o = 5 , b = 4 , / mln(7 ) = 9
2.10 2 . a)
er= 6 , b = - 3 3
2.10 3 . a) m € ( 0 , 6 )
b ) / mln(4 ) = 3
b)
m =- 2 ,
m a k s im u m
c)
m
e ( - 2 ,0 ) u ( 6 ,8 )
Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale
2.10 4 . a) M = 1 8 - , m = - 1 7 3
3
d)
c )M = 7 - , m = —
15
b)M-
M = 5 , m - n ie is t n ie je
2 .10 6 . a ) Z W = ( 1 , 4 )
n ie is t n ie je ,
m=
4>/2 - 6
d ) M - n ie is t n ie je , m - n ie is t n ie je
b )Z W = ( - 6 ^ ,1 2 ^
c ) Z W = < - 2 6 ,38>
Badanie przebiegu zmienności funkcji
2 .10 7 .
30
M = 2 —, m = - 3 A r
5
15
2 .10 5 . a) M = 9 , m = - 1 6 ^
c)
b ) M = 1 2 ,m = - 5
a) f ’(x) = 3 x (x + 2 )
b ) / ' ( x ) = - 3 ( 2 x - 3 )(2 x - 1 )
d ) Z W = ^ - 8 ^ ,8 ^
230
Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3.
c) / '(x ) = i2 x (x - l ) ( x + 1)
d )/'(x ) = 4 ( x - l ) 2(x + 2 )
231
Odpowiedzi do zadań
-4 x
e) /'(*) =
(X + 1 )3
b) f(x) =
x (x -4 )
(x - 4
X2 (x - 2>/3 ) ( x + 2>/3 j
C) / 'M =
jr - 4
I - x 2( x - V i ) ( x + ^ )
d) r ( x ) ^v j i a 2—
^
P fr
232
Matematyka. Zbiór zadań. Klaw Ą
(x -2 )(x -5 )
„ , (x -3 )(x + 2 )
2.110. a) / ( x ) - i ------¿i------
b) /(*)->
/J 6
X
en .
(x
X2 + 6
X c (-w, -4) u (0, + c o ) , / ( X ) *
,
- x ( x + 4)
X « (-00/ 4) W (•/ +c°)'
x € ( - o o ,- 2 ) u ( - 2 ,0 )
(x +2 f
2 .111. a) f ( x ) =
jeśli x e ( 0, 2 ) u ( 2,+oo)
(x -2 )2
'
4 )(x ~ 8 )
(7 - s f
233
Odpowiedzi do zadań
jeśli x e ( - ° o , - l ) u ( - l , 0)
b) /'(*) =
jeśli x e ( 0 , l ) u ( l ,+ a o )
2.112. ró w n an ie m a je d n o ro zw ią za n ie , je śli m e i-9 > /3 ,9 > /3 j , m a d w a ro z w ią z a n ia , je śli
m = - 9 y f i lub m = 9>/3, m a trzy ro zw ią za n ia , je ś li m e ( - o o , - 9 - s / 3 ^ u (9>/3 , + ooj
2.113. ró w n an ie n ie m a ro zw ią za ń , je ś li m e|^-oo, - ) , m a d w a ro z w ią z a n ia , je ś li
1
m e | —, + 00
2.114.
ró w n an ie n ie m a ro zw ią za ń , je ś li m e ( - 00 , 0 ), m a je d n o ro z w ią z a n ie , je ś li m = 0 , m a
dw a ro zw ią za n ia , je ś li m e (0, 2 ), m a c z te ry ro z w ią z a n ia , je ś li m e (2, + 00 ).
Zadania optymalizacyjne
2.115.
x = 1 3 - c m ; 3 7 ,9 litra
3
2.116. 4 0 cm na 4 0 cm n a 2 0 cm
2.117. 8 cm na 8 cm na 8 cm
2.118. 3 cm na 6 cm na 4 cm
2.119. 12 cm , 2 4 c m , 18 cm
2.120. 64 cm na 9 6 cm na 8 0 cm
2 .121.
a) tak, a = 1
b) n ie ; w skazów ka :
lim (a + a 2 - o 3) = + 00
O—>-00
( J2
2 .122.
a) tak; 10 = 5 + 5
b) n ie ; w skazów ka: lim
o-> 0"
x
+ (1 0 -x ) 2 \
x (1 0 -x )
234
M a te m a ty k a . / b l ó r nadań Miana
2 .1 2 3 . a) x = ~ . ' Ą i
y _ 2n /2-l
7
b) x = O, y = 1
7
wskazówka: W yzn a cz n a jm n ie js z ą I n a jw ię k s z ą w artość funkcji f(x ) * x 3 + (1
2x)\
gdzie x e / o , - \ .
2 .1 2 4 . o godz. 9®*-
h2
2 .1 2 5 . y (x ) = x + — , x e (0 , -k o ); n a jm n ie js z a w a r t o ś ć f u n k c ji je s t równa 2h I p rz y jm o w a n a
x
je s t d la a rg u m e n tu h
9xz
2 .1 2 6 . a ) L(x) = J x 2 +
-, g d zie x e ( 2 , +oo)
x -4 x +4
b) dla x = 2 + \ / l 8 ; wskazówka: R o zw a ż fu n k c ję / ( x ) = x 2 +■
9x2
-4 x + 4
g dzie x e (2, -k o ).
2 .1 2 7 . 15 s ztu k ; wskazówka: K o szt w y p r o d u k o w a n ia je d n e j s z t u k i t o w a r u (p rz y zało żeniu ,
K (x)
że w y p ro d u k o w a n o x sz tu k ) wyraża fu n k c ja / ( x ) = ------, g d z ie x e ( 5 , 4 0 ) . W yznacz
n a jm n ie jszą w a rto ś ć f u n k c ji/ .
2 .1 2 8 . 16 d rz e w
Test sprawdzający do rozdziału 2.
N r zad an ia
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O d p o w ie d ź
C
B
A
B
C
D
D
A
C
D
N r zad an ia
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
O d p o w ie d ź
D
B
A
A
B
B
A
0
B
D
Zadania pow tórzeniowe do rozdziału 2.
b ) g ra n ic a n ie is t n ie je
2 .1 2 9 . a) g ran ica is tn ie je ; lim / ( x ) = - 5
x ->0
2 .1 3 0 . a) - 2
2 .1 3 1 . a) 0
2 .1 3 2 . a) -oo
b) 0
c) 1
d) 1
b) -k o
c) 2
d ) -«o
b) —
c) 0
e) 0
f ) g ra n ic a n ie is t n ie je
e ) -k o
f ) -oo
d ) -ko
2 .1 3 3 . wskazówka: F u n k cja T je s t fu n k c ją c ią g łą .
2 .1 3 4 . a) 1 ,5 m
d)
b) 6 0 ,3 m
c) 9 ,8 m /s
p rę d ko ść c h w ilo w a w 3 s e k u n d z ie : 4 ,9 m / s (k a m ie ń s ię w z n o s ił ) ; p rę d k o ś ć ch w ilo
w a w 4 s e k u n d z ie : - 4 ,9 m /s (k a m ie ń s p a d a ł)
2 .1 3 5 . a) 1 60 0 m 3
b) 9 0 0 m 3
c ) 3 5 0 0 0 l/ m in
w ie lk o ść je s t ró w n a t / '( 20 ).
e ) 6 1 ,5 2 5 m
f ) p o 7 ,0 4 s
d ) 3 0 0 0 0 l/ m in ; w skazów ka: Szukana
2. 136 . zd an ia p ra w d z iw e : b ), d )
A ( - ,6
^
2 ), S ( 3 , 0 ) , q 2 , - 2 0 ) , D ( - 2 , - 1 0 0 )
0
2 .137.
2 .138. a) ( - 3 , - 1 ) u ( - 1 , 2 )
u
( 2 ,5 )
b ) / '( - 2 ) = 3 , / ' ( l ) = 0 ,/ '( 3 ) = 0 ,/ '( 4 ) = - 2
2 .139. wskazówka : U d o w o d n ij, że z b ió r w a r t o ś c i f u n k c ji p o c h o d n e j/ ' t o p rz e d z ia ł <1, +oo).
2.140 a ) k = - 1 lu b k =
b) k =
2.14 1 . a ) m ie js c a z e r o w e : - 4 , - 7 3 , 7 3
c)
b ) / max( - 3 ) = 6 , / mln( ^ J = - 1 2 ^
d )B ^ - 2| , 5H j ,
y = - 3 x - 12
2 .14 2 . a ) o = 1 , b = - 1 5
y = _ 3 x_ 2l i
b ) / mJ - 5 ) = 6 5 ^ / „ ln( 3 ) = - 2 0
2 .1 4 3 . a ) / mln( - 3 ) = - 3 7 i
/ max( l ) = 5 ^ , / min( 3 ) = - l i
b )Z W = ^ -3 7 ±
+ co j
2 .14 4 . Z W = (-oo, - 7 ) u <13, +oo)
2 .1 4 5 . ZW = (—oo, - 1 0 8 ) O < 108, +oo)
2 .1 4 6 . x = 0 - a s y m p to ta p io n o w a o b u s t r o n n a , y = i x + 3 - a s y m p t o t a u k o ś n a p ra w o s tro n n a
2
22 500
2 .1 4 7 . a) K(x) = 4 x + ----------+ 6 0 0 , g d z ie x € <20, 2 0 0 )
x
b ) 7 5 w ie s z a k ó w
2 .1 4 8 . a ) w w a r ia n c ie 1 ): 7 g o d z in , w w a r ia n c ie 2 ) : 3 ,5 g o d z in
b) o o k . 1 21 zł
3. Geometria analityczna
Wektor w układzie współrzędnych. Współrzędne środka odcinka
3 .1 .
a) Â B = [ - 4 , - 3 ] , |A B | = 5
b ) A B = [ - 1 , 3 ],1 Â B | = 7
c) A B = [ 5 , 1 2 ] , |A B | = 1 3
d ) A B = [ 5 , - 5 ] , |A B | = 5 7 2
c)
b(
3 Ï î :;i | 1
3 .2 .
a) 8(2, -4)
b) B(—1, 5)
3 .3 .
a) A(4, 2)
b) A(-3, —2)
3 .4 .
a) tak
b) nie
c) nie
d )tak
3 .5 .
a) tak
b) nie
c) nie
d) nie
3 .7 .
a) nie
b) nie
c) tak
d) tak
3 .8 .
a) m = 0
c) A(3, -6 )
b) m = 7 2 v m = -y f l
i
Ô
d ) B ( 2 7 3 + 3 ,l)
d) a Î i ~ ,’272^j
c ) m e { - 7 2 ,0 , 7 2 }
3.9.
a) u + v= [- 1, OJ; 1
d)
b) z - u = [8, 2]; 2>/Í7
c) 3v = [-9 , 12]; 15
i j - v + 2 z = [2 4 ,-1 0 ]; 26
3.10.
a) (- 1 ,2 )
3.11.
a) > M M )
b) (0 ,3 )
d) ( V 2 , 2)
c ) (- 3 ,4 )
b) 4 j(0 , -2 )
c ) ^ ( - 4 ,4 )
d ) 4 j ( l l , 13)
b) S 1(—3, -4 ), 52( - l , -1 ), S3( 1 ,2 )
d)
c) S j{-2 , - 1 ), S 2(- 6, i )
St( 0 ,5), S 2( l , 7), S3(2 ,9), 54( 3 ,11), 5S( 4 ,13)
b) 4 (-4 , -3 ), D{-6,6)
3.13.
a) C(9, -3 ), D(8, 3)
3.14.
a) D{-6, -2 ), P{-2,2)
3.15.
a) 5 (3 ,2 )
b) q 6, 8), p (^ , 3 j
b) S(-2, -1 )
c ) 5 ( l,3 )
d ) 5 ( l,- 4 )
Kąt między niezerowymi wektorami
m
•
d) sin
63
a=—
65
d )co s a - ń i ł £
6
3 .1 8 .
a) a = 9 0 °
b ) « = 135°
c ) « = 150°
d ) a = 120°
3.19. a )|4 8 | = V 68, |ą q = | K | = V Í 4 , cc=0 = 4 5 ° ,y = 90°
b) |48| = 6 , |4 q =
6V 3, |e q
= 12, a = 9 0 °, P = 6 0 °,
y = 30°
c) |48| = 3 - V I , |8 q = 2 V Í , |AC\ = 3 V Í , a = 4 5 °, fi = 1 2 0 °, y = 1 5 °
d) |48| = |4 q = 6, | s q =
3 .2 0 .
w ek to ry rów noleg łe:
3 .2 1 .
a) 8
b) 30
3 .2 2 .
a e { - 2 ,4 }
3 .2 3 .
a e ( - 1 , 2}
a e {-2,-1}
3 .2 4 .
6y¡3, a = 1 2 0 °, 0 = y = 3 0 °
a)
i c)
c) 4 8
w ek to ry p ro sto p ad łe:
b)
i d)
d) 121
Równanie kierunkowe prostej
3 .2 6 .
a) 2 ,5
3.27.
a )y = -3 x + 2 1
3.29. a) ok. 50°
b) 1
c )1 8
d )-1 6
b ) y = 2 x + 32
b)ok,112°
c)y~
c)ok.l08°
d ) y ^ - ix - 1 8
d)ok.79‘
Odpowiedzi do zadań
3
30. a) 45° b)60°
331. a) k :y = -*
c)120°
d) 135°
b )fcy = -~ x + 6
d) *: y = x - 7
e) 150°
237
f)30°
c)fr:y=->/3x+4>/3
e) f r :y = - 7 3 x + ll
3.32.
a ) / :y = - jx + H
3.33.
a)5>/5
b ) / :y = ^ x - 1 6
b )y = -^ x + l
l
c ) |2 * ,- ł
3
3
i
i
3.34. AB: y = - x - 1 , BC: y = — x + 3, AC: y = l - x + 7
6
2
1
2
2
6
3.35. AB: y = - x - 2, BC: y = - - x + 5 - , AC: y = 6x+31
3.36.
135°
3.37. (4,0),
12+4-73
1
-, 1 -
3
1 2 -4 7 3
3
3
11
'
3
Równanie ogólne prostej
3.38. a ) x - 6 = 0
b )x + 4 y -5 = 0
3.39. a ) 2 x + y - 8 = 0
3.40. a)-5 x+ 3 y+ 1 2 = 0
b )y + 4 = 0
c)x + 6 y - 7 = 0
c)x -y + 5 = 0
b )x -y fś= 0
d)3x + y = 0
c)-2 x + 3 y -2 = 0
I
d )-2 x + y,+ 5 = 0
i
i
3.41. a) równanie ogólne: x - 2 y + 5 = 0; równanie kierunkowe y = - x + 2 -
2
2
b) równanie ogólne: 6x - y - 7 = 0; równanie kierunkowe y = 6x - 7
c) równanie ogólne: x + 7 = 0; równanie kierunkowe nie istnieje
d) równanie ogólne: y + 9 = 0; równanie kierunkowe y = -9
3.42. p=-2
3.43. m € {-3 ,-1 }
3.44. m = l
3.45. m e {-2 ,2}
3.46. a) 135°
b) 60°
c) 120°
d) 30°
e) 90°
g f) Q°
3.47. 163
3.48. AC: 7 x - y - 10 = 0
wskazówka: Wyznacz najpierw równanie ogólne prostej zawierającej bok BC tego
prostokąta (prostopadła do wektora AB i przechodząca przez C). Następnie oblicz
współrzędne punktu B oraz A.
3.49. AB: 3x - 2 y+ 48 = 0, BC: x + 8y - 1 0 = 0, AC: 7x + 4y + 34 = 0
I
—> 1 —>
wskazówka: Wyznacz współrzędne punktu D, a następnie zauważ, że AD = -A B .
238
Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3.
Kąt między prostymi
3.50.
a) tak
3.51.
a ) /:3 x - 2y + 5=0
b) nie
3.52.
a)tak
3.53.
a )/:x + 5 y - 9 = 0
b )l:x+ > /7 = 0
3.54.
a M = - y , C= 5
b) 8 = - l j , C = - 5
3.55.
a)m = - ^
b)tak
c) nie
d) tak
b)/:4x + 9 y - 4 5 = 0
c) nie
d )y -V 5 -0
c ) / :y - 8 = 0
d ) I: 2x + 3y + 6 = 0
c ) 8 = 4, C = 0
d) 4 = - 2 , C « - 6
b)m = 6
3.56.
a) a = 3
3.57.
a)/\ = 3 ,fl = - l , 5
b M = 2 ,8 = 6
3.58.
a )5 x -2 y + l = 0
b )y -2 = 0
3.59.
c )x + 4 * 0
d) tak
b) o = 1 v o = -3
cM = 8 * l
c)x + y -l = 0
d M « 1 2 ,B * - 2
d )x + 3 « 0
C(2,3)
wskazówka: Punkt C jest punktem wspólnym prostej k i symetralnej odcinka AB.
3.60.
[-4 -, 4 1 3
9
wskazówka: Środek okręgu opisanego na trójkącie jest punktem przecięcia się syme*
tralnych boków trójkąta.
3.61.
3.62.
Q (9,4)
3.63.
5 x - 2 y + 1 3 = 0 ,x + 2 y - 7 = 0
3.64.
8(3, —1), C(7, 2)
3.65.
C(-3, -1), pole kwadratu jest równe 10
3.66.
7x + 3y - 36 = 0
3.67.
3 x + 5 y + l = 0 , x - y + 3 = G, 7x + y - 1 9 = 0
3.68.
C(4,6)
3.69.
3x + 4 y - 1 5 = 0
3 .7 0 .
8 ( 4 ,3 ) , a - l , 3 ); 3 ^ 5
3.71.
a) 45°
3.72.
a) 135°
b) 30°
b) 120°
3.73. x - 3 y = 0 o r a z 3 x + y = 0
3.74. x - 5 y + 2 2 = 0 o raz5 x + y + 6 = 0
3.75.
V Ś x + y = 0 oraz y = 0
3.76.
( V 3 - 2 ) x + y + 3 -> /3 = 0 o ra z(2 + V 3 ) x - y - 3 - > / 3 = 0
3 .7 7 .
2x+ 5y+ 4 = 0
wskazówka: Wykorzystaj fakt, że kąt ostry utworzony przez proste Ar i / ma taką samą
miarę jak kąt utworzony przez prostą k i prostą zawierającą bok AC.
239
Odpowltdil do zadań
Odległość
punktu od prostej. Odległość między dwiema p rostym i
3.78.
a) 9
b) 4
c) 0
3.79.
a) 3 V I
3.81.
osiami symetrii figury
3.82.
a ) C s 12 lub C = 2
b )8
d )2 ^
c) y
d )8 ^
F są proste k i m
b ) C * - 6 8 l u b C = 82
c )C = 7
d )C = 7 — 5 V 7 l u b C = 7 + 5 V 7
3.83.
a)
a = 9 lub o = 0,5
b) a = 4,75
c ) a » 3 2 ~ lub
8
a ■- 2 2 8
d) a = 26 lub o = - 1 6 ,5
3.84.
b) 0= -
a) o = 9 lub o = - 1 1
c) nie istnieje taka liczba
3.85.
a
-
lub o = 2 -
2
d)
6
a = 8 lub a = - 1 2
a) pr. AB: x + 2 ■ 0, pr. BC: x + 2y - 2 = 0, pr. AC: 3x + 4 y - 6 = 0
b)
0,8, bc = 4
3.86.
a) DA || CS
b) b
3.87.
Px( 8 ,0) lub P2
(-H
3.88.
Pi
P2 0 ,1
0 ,-
lub
= 1,5>/IÓ
3.89.
3 x - 4 y - 7 = 0 1 u b 4 x + 3 y - l= s 0
3.90.
x + 6 = 0 lub 3x + 4 y - 4 2 = 0
3.91.
2x - 1 4 y + 9 = 0 , 4 2 x + 6y + 1 9 = 0
3.92.
4x - 8y + 3 = 0
Pole trójkąta. Pole wielokąta
3.93.
6
3.94.
10
3.95.
a) 18
3.96.
a M ( - 6 ,- 2 1 ),B (l,0 )
3.97.
Ei I l f ,
3.98.
a) B ( 2 ,6)
3.99.
CŁ( 0 ,3) lub C2 ^ 0 , - 9 ^
b) D (0 ,0 )
I l ub
c )4 5 °
b) 35
■(4 !)
b) 32
c) V I Ó
ró w noleg łym i
240
Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3.
3.100. 8^0, 0) lub S2(8,0)
3.101. 8^6,1) lub82f - 2 6 ^ , - 9 ^ J
3.102. (0,4), (4,2)
3.103. 82(3,6) lub 82(-7, -6)
R ó w n a n ie o k rę g u . N ie ró w n o ść o p isu ją ca koło
3.104. a)x2+ y2= 16 b)x2+ (y-4)2= 2
c j^ + l^ + y2» !
d) (x + l)2+ (y-2)2= 3 e) (x-4)2+ (y + 3)2= 0,25
f)(x + ^ ) + (y + V 31**64
3.105. a)5(0,0), r = 1
b)S(l,0),r=l,5
c)S(-l, 2),r=5
d )S(-3 ,-l),r= 9
3.106. a)S(l,2),r = 3
b)S(-5,0), r = 1
c)S(-3,-5), r = 1
d)Si-2,-4),r=2
« t$ (i/ | j$ r * 2
3.108. a) 5(4,0), r = 3
f)s(o,>/3),r=3
b ) s(o, J l ) , r = 2>/2
ę ) S ^ - | , ^ (r = 1
3.109. równania a), b), d) opisują okrąg
3.110. s i^ ,-b J,r= | o -b |
3.111. a)x2+y2= 25
b) (x - 2)2+ (y-1)2- 5
c) (x+ 3)2+ (y - 2)2= 100
d) (x+ 2)2+ (y - 1)2= 72
3.112. a) ( x - 3)2+ (y + 3)2= 25
b) (x-3)2+ (y-2)2= 5
c) (x - 4)2+ (y - 1)2= 25
d) (x + 2)2+ (y - 4)2= 169
3.113. a) (x + 3)2+ (y - 4)2= 100
b) (x - 3)2+ y2= 25
c)x2+ (y-4)2= 25 d) (x-1)2+ (y+ 4)2= 100
3.114. a) (x+2)2+ (y - 3)2= 16
b) (x + 10)2+ (y - 15)2= 16
c) (x - 8)2+ (y - 5)2= 16
d) (x - 4)2+ (y + 1)2= 16 1
3.115. a)(x-5)2+ (y+l)2 = 7
b) (x-3)2+ (y + 3)2= 7
c )( x -l) 2+ (y-1)2= 7
d)
f x + ^ l +( y + 2 | ) ~ 7
3.116. (x + 1)2+ (y + 5)2= 25; P = 8
3.117. 2x+y = 0
3.118. a) (x + 2)2+ y2= 9 b) ( x - l) 2+ (y-2)2= 9
c) (x - 2)2+ (y + 3)2 = 9
d) (x + 3)2f (y-5)2= 9
3.119. b)x2+ y2- 4 y - i = 0
c)x = 0orazy = l^
3.120. b) (x + 1)2+ (y + 1)2 = i
C) 4 5
3.121. (x -fr l)2+ (y - 3)2 = l 6; p= i 5 jt '
3.122. X2+ (y - 2)2 = 5 lub (x—l )2 + (y —i )2 = 5
241
Odpowiedzi do zadań
3.123. a ) (x - 1)2 + (y + 3 )2 :£ 2
b) ( x + 4 )2 + ( y - <Ji)2 £ 0 ,2 S
3 .1 2 4 . a ) koło o śro d ku w punkcie 5 (0 ,0 ) i p ro m ien iu f = —
b) koło o środ ku w p un kcie 5 ( 1 , 0) i p ro m ieniu r = 1
c) koło o śro d ku w p unkcie 5 ( 0, - 3 ) i p ro m ien iu r - 2
d ) koło o śro d ku w punkcie 5 ( - 2, - 1 ) i p ro m ieniu r = 4
c) ( x - 2 ) 2 + (y + 5)2 <;36
242
Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3
37
3 .128. m € ( - 2 ,4 )
W z a je m n e p o ło że n ie p ro ste j i o k rę g u . S ty c zn a d o o k rę g u
3.129. a) prosta jest rozłączna z okręgiem
b) prosta je st styczna do okręgu
c) prosta je st styczna do okręgu
d) prosta je st rozłączna z okręgiem
3.130. a) A(3 ,0 ) , B m
L - 1 |J
b) A(-A, - 5 ), 8 (5 ,4 )
c) A(-4, -4), B{-6, - 2)
d) prosta je st rozłączna z okręgiem
3.131. a) m: 2x + y - 6 = 0
3.132. a) k: x - 9 = 0
b)
0, 6 ) lub M 2(4, - 2)
c) k: 4 x - 3 y + 12 = 0
b )/ r :y + 4 = 0
3.133. a ) y = 2 x - 3 + 2>/5 lub y = 2 x - 3 - 2 V 5
b )y = x + 8 + 4>/2 lu b y = x + 8 - 4 > / 2
c ) y = —3x + 3 + 4 >/lÓ lu b y = - 3 x + 3 - 4 > ^ Ó
l
3.134. a ) y = - * + l - > / 2 lu b y = - x + l + >/2
c ) y = 2 x - 8 + 3>/5 lu b y = 2 x - 8 - 3\fŚ
d ) * :3 x + 4 y - 4 1 = o
d ) y = - x + 7 + 3V2 lu b y = - x + 7 - 3 V 2
b ) y = x - 5 + 3 V 2 lu b y = x - 5 - 3 > / 2
d ) y = ^ x - 1 lu b y = ~ x ~ 17^
3.135. a ) y = >/3x + 2 lu b y = > / 3 x - 2
b)
y = - 7 i x + > / i + 4 lu b y * : - > ^ x + ^ - 4
c) y =
lu b y = —^ x + 5>/3
3
d)
3
,3
y = - x + 3 lu b y = - x ~ 5
3.136. a ) y + 2 = 0 lu b 3x + 4 y - 1 0 = 0
b ) y - 3 = 0 lub 15x + 8y + 51 = 0
c ) 9 x + 1 3 y - 3 = 0 lu b x - 3 y + 1 3 = 0
d) 2x + y + 2 = 0 l u b x - 2 y + 6 = 0
e) x + 7 = 0 lub 4 x + 3y + 1 = 0
f) x - 5 = 0 lub 5 x - 1 2 y - 37 = 0
243
Odpou/ledzi do zadań
a) 0 p u n k tó w w sp ó lnych dla m e (-oo, - 8 ) u (- 4 , +oo)
3 .1 4 0 .
1 p un kt w sp ó ln y dla m e {- 8 , - 4 }
2 p u n k ty w sp ó ln e dla m e (- 8 , - 4 )
b) O p u n k tó w w sp ó lnych dla m e (-oo, - 5 ) u (3 , +oo)
1 p u n k t w sp ó ln y dla m € { - 5 ,3 }
2 p u n k ty w sp ó ln e dla m e ( - 5 ,3 )
c) dla m e (-oo, 0 ) ró w n an ie ( x - l ) 2 + ( y - 1 ) 2 = m nie op isu je okręgu
1 p un kt w sp ó ln y dla m = —
d)
O p u n k tó w w sp ó lnych dla m e (-oo, - 2 5 ) u (2 5 , +oo)
1 p un kt w sp ó ln y dla m e { - 2 5 ,2 5 }
2 p u n k ty w sp ó ln e dla m e (- 2 5 ,2 5 )
3 .1 4 1 . m = 5
3 .1 4 2 .
k= -5
3 .1 4 3 . a) (x - 2)2 + (y - 2 )2 = 4 lub (x - 2 )2 + (y + 2 )2 = 4
b) (x - 3 )2 + (y - 3 )2 = 9 lub (x + 3 )2 + ( y - 3 )2 = 9
c) ( x - 1 ) 2 + ( y - 1)2 = 1 lub ( x —5 )2 + ( y - 5 )2 = 25
d) (x - 1)2 + (y - 1 )2 = 1 lub (x - 5 )2 + (y - 5 )2 = 25
3 .1 4 4 . ( x - 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 1
3 .1 4 5 . 5 ( 2 ,2 )
3 .1 4 6 . (x + 2y/2 )2 + (y + 2 J
2 ) 2 = (5
+ 2J
2 ) 2 lub
( x - 2>/2)2 + ( y - 2y/2)2 = (5 -
2J 2)2
lub (x + 5 )2 + (y + 1)2 = 25
3 .1 4 8 . (x - 5 )2 + y 2 = 2 0 lub (x - 1 ,8 )2 + (y - 6 ,4 )2 = 20
Wzajemne położenie dwóch okręgów
3 .1 4 9 . a) okręgi m ają d w a p un kty w sp ó lne (p rzecin ają się)
b) okręgi są styczn e ze w n ętrzn ie
c) okręgi są w e w n ę trzn ie styczne
d) okręgi n ie m ają p un któ w w spólnych i koło w yzn aczon e przez okrąg o2 zaw ie ra się
w kole w yzn aczo n ym przez okrąg ox
e) okręgi są w za je m n ie zew n ętrzn e
f) okręgi są w spółśrod kow e
244
Matematyka. Zbiór sadań. Klata 3.
3. 150 . a) 4(2, 3)
b) 4(0, 3), B(l, 2)
c) 4( 4,0), 0( 2,2)
d) okręgi nie mają punktów
wspólnych
3.151. m e (-» , -2) u (2, +°o)
3.152. dla m e (2, -4} okręgi są styczne zewnętrznie; dla m = 2 punkt styczności ma współ
rzędne 4(0,1); dla m - -4 punkt styczności ma współrzędne 4(-2, -3)
3.153. dla m e (0, -2} okręgi są wewnętrznie styczne; dla m = 0 punkt styczności ma współ
rzędne 4 ( - 2 ,2); dla m = -2 punkt styczności ma współrzędne 4(0, -6)
3.154. okręgi mają tylko jeden punkt wspólny dla m e
jl
2
1 '
3 - V l7
#
2
3 łV l7
'
2
3.155. dla m e (-6, -3) u (-2,1)
3.156. dla m € (-2,2)
3.157. ox: (x + 8)2 + (y + 5)2 = 36; okręgi o i 0t przecinają się
3.158. o{. (x + 0,5)2 + ( y - 1 ) 2 = 0,25; okręgi o i ot są rozłączne zewnętrznie
3.159. fc2x + y - 2 = 0
3.160. (x - 3)2 + (y- 4,5)2 = 6 4
3.161. szukanym zbiorem punktów jest figura będąca sumą paraboli o równaniu y= - x * -2
8
bez punktu o współrzędnych (0, -2) i części osi OY, do której należą punkty o rzędnej
y < -2
Jednokładność. Jednokładność w układzie w spółrzędnych
3 .1 6 2 . p ra w d z iw e s ą s tw ie rd z e n ia a ) i b )
3 .1 6 3 . d ) wskazówka: S k o rz y s ta j z t w ie rd z e n ia T a le s a .
3 .1 6 5 . wskazówka: O z n a cz śro d k i je d n o k ła d n o ś c i p rzez S x i S 2.
O trz y m a s z : { ^ f = 2 c m , ^ j ł j = 4 c m , \Aj S2\ = 6 c m , \A^S2\ = 1 2 c m .
3 .1 6 6 . a
(- 1 , 2)
b) 4 X(3 , - 4 )
3 .1 6 7 . a ) B2
b) m - 2 2 , 1 )
D
3 .1 6 8 . a ) £(-- 1 5 ,1 5 )
b ) £ (- 1 8 , - 6 )
3 .1 6 9 . a )A 1\[ - 6 2 , 2 4 ), B,( - 7 , - 2 6 ) ;
c )A ,|
1
<
c) 4 1(9 , - 4 )
Ifii
2.)
u 4 2 , 11
1l
d) 4 ‘i H L, - 1 6 )
c) B 1(2 6 , 9 5 )
c ) £ (—1 , - 2 )
d) S i( - 4 ,3)
d) f j
- I - ” ;)
b) 4 j ( 4 , 2 0 ), B 1(- 8 , 2 ) ;
.7'
d ) 4 / - 3 - ,- 3
t f ii ( - i —
1 0 , 1 11
10
l
2
<
3 .1 7 0 . a ) 5 ( 1 ,3 )
b )S
H )
3 .1 7 1 . a )k= 5 - 2
b) k
:
c) S ( - 7 ,7)
1
c )k = - 2 ^
5
(
d )k
i
5
1
,
i
5 j ‘
5y
1
245
Odpowiedzi do zadań
3 .1 7 2 . a ) * = \ i
3
S (-l, 0 )
b )* = l^
i s f l —, V 4
|
A)
I S ( - 1 4 , - 7 ) lu b / r = - l i i s f 3 ^ , 1 ^
3 .1 7 3 . a ) k = - 2
b) 4 ^ 1 6 ,1 0 ) , 8 ^ 2 ,6 ) , CX{1A, 2 )
3 .1 7 4 . a ) y = 2 x + 9
3 .1 7 5 . a) ky
lu b * = - 3
b )y = 2 x - 6
y= -4 ^ x
‘ c ) P = 52
c )y = 2 x - l
d )y = 2 x + l^
+ 1 5 lu b k2: y = - 2 x + 1 0
3
-
j
.
)
| ij
b ) ff)j — J q{q o) ( * x), K d zie iriy y ——4 —x + 2 2 3
o ra z m2 = J^0 0) {k2), g d zie m 2: y = - 2 x + 1 5
c) p o le tra p e z u (w o b u p rz yp a d k a ch ) m a w a rto ś ć 3 1 ,2 5
3 .1 7 6 . * -
f .s ( i ,2 )
lu b * .
3 .1 7 7 . k = - 2 , S ^ - l ^ , l | j
3 .1 7 8 . a) g(x) = 4x*
|
;
lu b k = 2 , S (- 2 0 , - 8 )
b )g (x )= - x 2
9
c) g (x) = - ^ , x * 0
x
:
d) g ( x ) = - ^ - - , x * ^
,
2x+ l
2
Zastosowanie analizy matem atycznej w zadaniach z geometrii analitycznej
3 .1 7 9 . a ) 4 ( - 1 , - 2 )
b ) 4 ( - 9 , 2 ) lu b 4 ( 1 , 0 )
3 .1 8 0 . a ) 4 ( - l , 0 )
b) 4 ( —1 ,2 ) lu b 4 ( 3 , 0 )
d ) 4 ( 0 , 0 ) lu b 4 ^ - 1 , i j
3 .1 8 3 . - lu b 2 0 4
4
3 .1 8 4 . -
8
lu b 3 6 -
8
3 .1 8 5 . y = - 8 x - 1 6
3 .1 8 6 . (3 , - 2 7 ) lu b ( - 3 , 2 7 )
3 .1 8 7 . K
3 .1 8 9 .
M
! . ! )
,
^
w y m ia r y p ro s to k ą ta : 2 > / 3 ,2
c) 4 (1 , - 3 )
d ) 4 ( - l , - 1 ) lu b 4 ( 2 ,4 )
c ) 4 ( - l , 2 ) lu b 4 ( 1 , - 2 )
i
246
Mohwwiukfl ¿bitte Mtbirt Kiami !t
3 .1 9 0 .
f c y « 7 2 x + 2 + 72
3 .191. P(2 ,2 )
3.192. P(4 ,2 )
3.194. C(—2>/B, —>/3)
Test sprawdzający do rozdziału 3.
Numer zadania
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Odpowiedź
B
C
B
D
D
A
C
B
B
C
Numer zadania
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Odpowiedź
B
D
C
A
A
D
A
C
D
D
10
Zadania powtórzeniowe do rozdziału 3.
3.195. pr. AB: x + 2y - 4 = 0, pr. AC. x - y + 2 = 0 , pr. BC: 2 x + y - 8 ■ 0
3.196. 6 (4 ,- 2 ), C (0 ,6)
3.197. 0 ,(0 , - 3 ), D ,( - 2 ,1) lub C ,( 8 ,1), 0 ,( 6 ,5 )
3.198.
(8- 75,3 - 275), (8 + 75,3 + 275)
3 .1 9 9 .a )4
b )2 7 5
3.200. a) 4 (0 , - 3 ), 8 (6 , - 5 ), C ( 4 ,1), D ( - 2 ,3)
d) ( x - 2)2 + ( y + l ) 2= 6 ,4
b) 32
c) cos a — 0 ,6
3.201. okrąg o środku w punkcie 5 ( - 5 ,0 ) i prom ieniu r = 4
3.202. a) 4 (0 ,2 ) , B ( 4 ,2)
c) 6n
3.204. 90°
3.205. a) x + 2 y = 0 oraz 2 9 x + 2 y + 56 = 0
b ) o k .6 6 °
c) 8 ( 0, 0 ) , C (0 ,- 2 8 )
3.208. (x-3)2+ ( y - l) 2= 25
3.209. (x +3)2+ (y + 5 )2 = 25 lub (x - 7)2+ (y + 2 5 )J = 625
3.210. (x-4> £ +3)2+ (y + 2)2= 68 lub (x + 4>£ + 3)2+ (y + 2)2= 68 lub
(x + ll)2+ ( y _ 2)2 = 68 lub(x-5)2+ ( y - 2)2= 68
3.211 istnieją dwie takie jednokładności: 7**, gdzie S ,(3 ,3) i jt, = —1 ^ oraz
gdzie S2(-3, -3) i Ar, = l i
2
Ą,
d)28
Odpowiedzi do zadań
3 .2 1 2 . a) y =
+ 3~
b) 437,5
3 .21 3 . A ( - 1 0 ,- 2 ) lub 4 ( 2 ,0 )
3 .2 1 4 . 1:y= - x - 2
3 .21 5 . P(4 , - 4 )
3 .21 6 . P i-1,-2)
3'217' ' H )
11;
3.218. ( - 3 + | < / l J N
- H
( _ 3 + | V 3 .li ) ( - 3 - | ^ l f ) ;
pole p ro s to k ą ta :------9
3 .219. a) 1 8x + y - 72 = 0 oraz 2 x - y - 8 = 0
b) PABC=250
3 .22 0 . x 2 + y 2 = 580
4. Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Reguła mnożenia i reguła dodawania
4 .1.
Na 12 sposobów
E
F
G
A
(A , E)
(A ,F )
(A , G)
B
(B , E)
(B , F)
(B, G)
C
(C, E)
(C, F)
(C, G)
D
(D ,E )
(D ,F )
(D, G)
4 .2 .
6
4 .3 .
8 liczb
4 .4 .
18 liczb
4 .5 .
W szystkich liczb je st 25. Liczb, w których cyfra dziesiątek je s t mniejsza od cyfry jed
ności, je s t 10.
247
4.6.
Trzy liczby są podzielne przez 4.
6
6
7
8
9
X
67
68
69
7
76
X
78
79
8
86
87
X
89
9
96
97
98
X
4.7.
Jest 10 liczb podzielnych przez 3.
4.8.
60 zestawów
4.9.
1515 punktów
4.10.
a) 216
4.11.
24 pary
4.12.
a) 44
b) 90
4.13.
a) 61
b) 29
4.14.
a) 51 możliwości
b) 282
c) 35
d) 76
b) 102 możliwości
Wariacje
4.15.
93 = 729
4.16.
35 = 243
4.17.
a) 9000 liczb
b) 10 000 kodów
4.18.
a) na 7776 sposobów
4.19.
na 81 sposobów
4.20.
5 • 1014 numerów
b) na 720 sposobów
4.21.
225
4.22.
a) 65 liczb
b) 70 liczb
4.23.
a) 2 liczby
b) 34 liczby
4.24.
a) 891
b) 171
4.25.
a) 873
b) 252
4.26.
a) 75 = 16 807
b) 2520
4.27.
a) 360
4.28.
a) na 840 sposobów
b) 1296
4.29.
a) 531441 napisów
4 .3 0 .
4 2 w zo ry
b) na 2401 sposobów
b) 60 480 napisów
249
Odpowiedzi do zadań
4 .3 1 .
3 36 rodzajów
4 .3 2 .
a) 4 5 3 6 liczb
4 .3 3 .
4 8 0 liczb
4 .3 4 .
6 7 2 0 liczb
4 .3 5 .
72
4 .3 6 .
105
4 .3 7 .
378
b) 5 0 4 0 kod ów
4 .3 8 .
a) 3 2 0
4 .3 9 .
a) 1 8 1 4 4 0
b) 3 28
4 .4 0 .
a) 1 6 4 7 0 8 6
4 .4 1 .
a ) 18 liczb
b) 14 liczb
4 .42 .
a ) 24 liczb y
b) 12 liczb
4 .43 .
9 liczb
b) 10 5
c) 3 12 5 00
d) 6 04 8 00
b) 9 • 9 !, czyli 3 2 65 9 2 0
4.44 .
a) 6 0
b )3 2
4 .45 .
a) 22
b) 160
c )6 3
4 .46 .
a ) 1 54
4 .47 .
a) 6 7 2 0
c) 2
d )6 0 0
d )3 9
b) 2 3 8 8
b) 12 0 9 6
Permutacje
4 .48 .
4 .49 .
a) 12
a ) ( n + 2 )l
f)
4 .50 .
b )72
c) 15
b )(2 n + l ) l
d )5 ,5
e ) 4 ,9
c )n + 3
f) 8 ,1
d) (2n + 2)(2/i + 1 )
e) n + -
(n - l ) { n - 2 )
3n + 1
na 6 sp o so b ó w
4 .5 1 .
na 4 0 3 2 0 sp o so b ó w
4 .5 2 .
5 04 0 m o żliw o ści
4 .5 3 .
144
4 .54 .
28 8 0 0
4 .55 .
a) 9 67 6 8 0
4 .56 .
a) 72
b) 129 6
b) 24
4 .57 .
a) na 120 sp o so b ó w
4 .58 .
a) 120
b) 1 9 2 0 ;
b) na 6 sp o sob ów
c) na 144 sposoby
d) na 144 sposoby
wskazówka : Rozw aż przypad ki, gdy oso by A i B sto ją na d w ó ch
p ierw szych lub d w ó ch ostatn ich m ie jscach , na drugim i trzecim m iejscu lub na szó
stym i siód m ym m ie jscu itd.
4 .59 .
a) na 4 8 sp o so b ó w
4.60 .
a) 2
1 0!
b) 101
c) 8 ! - 1 4 - 6 1 = 3 0 2 40
b) na 2 4 spo sob y
c )2
10!
d) 10 • 8!
Kombinacje
4.61 .
a) 120
b) 70
c) 25
d ) 13
d) 252 0
c) na 12 sp o so b ó w
e)
91
f) H
6
d) na 8 sp o sob ów
250
Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3.
4 .6 2 .
a)
4 .6 3 .
a )n = 5
4 .6 5 .
20
4 .6 6 .
20
4 .6 7 .
35
4 .6 8 .
n=9
4 .6 9 .
n = 20
4 .7 0 .
7
4 .7 1 .
3
bl n+1
3
—
n+1
b'
b )n = 3
4 .7 2 .
a) 1
4 .7 3 .
a) {*>!, b2}, {b 1# e j , {blt c2}, {b2/ c j , {b 2/ c2}
4 .7 4 .
a) na 12 600 sposobów
4 .7 5 .
a) 4592 sposoby
b )4
c) 12
4 .7 6 .
a) 70
b) 1008
4 .7 7 .
a) 23
b) 21
4 .7 8 .
a) 120
4 .7 9 .
a) 36
4 .8 0 .
a) 1 1 1 5 4
4 .8 1 .
4 .8 2 .
b) 15 448 sposobów
c) 672
c) 22
b) 34
b) para {b j, b2} je s t liczona podwójnie
b) na 2 1 2 4 5 spo sob ów
c) na 22 8 2 0 sposobów
c) 13 8 1 6 sposobów
d )2 2 5 4
d) 42
c) 301
b) 1 3 1 0 4
c) 2 0 1 6 0
b) 270 0 10
c) 13 182
na 1a l w T u T z T i i ) sposobów
10 080
K o m b in a to r y k a - za d a n ia ró ż n e
4 .8 3 .
22 chłopców
4 .84 .
7
4 .8 5 .
19
4 .8 6 .
co najm niej 10%, co najw yżej 50%
4 .88 .
a) 96
4 .89 .
a) 61 + 1 5 • 5 !, czyli 2520
4 .90 .
a) 5040
4 .91 .
a) 1 663 200
b) 24
b) 60
b
b)) 4 - 54 !• 5! + 8 • (51 - 41), czyli 1248
c) 20
b) 83 160
4 .92 .
ok. 30 bilionów, czyli 30 • 1012
4 .93 .
a) 459
4 .9 4 .
10 290
b) 8964
4 .9 5 .
2625
4 .96 .
3 • 94 + 3 • 93 • 3, czyli 26 244
d) 30
251
Odpowiedzi do zadań
4.97.
7 - 6 - 5 , czyli 54 600
4.98.
a) na 141 sposobów
d) na 71 sposobów
4.99.
a) na 144 sposoby
4.100. a ) 1260
b) na 27 - 71 sposobów
c) na 71 - 7! sposobów
b) na 72 sposoby
b) 1890
i 15
f 15 V 10^ i
4.101. a) 1 5
5 , czyli 672 672 sposoby
4.102. a) 16
b) 32
4.103. a) 49
b) 56
c) 77
4.104. a) 80
b) 20
c) 145
[S
b)
, czyli 1 12 1 12 sposobów
d) 23
d) 71
4.105. 120; wskazówka: Rozważ trzy przypadki. Wśród cyfr liczby piętnastocyfrowej:
1) je st jedna 3 (1 liczba)
2) je st jedna 2 i jedna 1 (28 liczb)
3) są trzy 1 (91 liczb).
4.106. 1540; wskazówka: Rozważ pięć przypadków. Wśród cyfr liczby dwudziestocyfrowej:
1) je st jedna 4 (1 liczba)
2) są dwie 2 (19 liczb)
3) je st jedna 1 i jedna 3 (38 liczb)
4) są d w ie 1 i jedna 2 (513 liczb)
5) są cztery 1 (969 liczb).
4.107.
4.108.
4.109.
4.110.
9
ii
8
, czyli 84
, czyli 210
czyli 70
czyli 126
4.111. 165; wskazówka: Rozważ trzy przypadki. W zapisie liczby trzycyfrow ej w ystępują:
1) trzy jednakow e cyfry (9 liczb)
2) tylko dwie jednakow e cyfry (72 liczby)
3) trzy różne cyfry (84 liczby).
4.112. 219 liczb
4.113. a) f ^ j , czyli 126
b) 495; wskazówka: Rozważ pięć przypadków. W zapisie liczby czterocyfrowej:
1) jedna cyfra w ystępuje 4 razy (9 liczb)
2) jedna cyfra występuje 3 razy I jedna cyfra 1 raz (72 liczby)
3) dwie cyfry występują po 2 razy (36 liczb)
4) jedna cyfra występuje 2 razy i dwie cyfry występują po 1 razie (252 liczby)
5) występują cztery różne cyfry (126 liczb).
4.114.
•3I+ 1 9 G )
• 31, czyli 744
4.115. 66 rozwiązań
4.116. 36 rozwiązań
D ośw iadczenie losow e
4.118. a) f i = {b1# b2, b3, % c2, n)
fi= {{b v Cj}, (b2, c2), (bj, c3), (b2, c j , (b2, c2), {b2/ c3), {bv b2), (Cj, c2}, (c^ c j , {c* Cjfl
b)
4.119. b) f i * {(©i, ©2, ©3):
©2, co3 e (A, B, C, D, E}}
c) f i = {(©!, ©2, ©3): © i, ©2/ ©3 e {A, B, C, D, E, F)
4.120. a) 343
a
©, * ©y d la ; * / }
b) 210
4.121. 8
4.122. 3360
4.123. f i = {(R, 1), (R, 2), (R, 3), fc, 4), ( 0 ,5), (Ó, 6)}
Zdarzenia. Działania na zdarzeniach
4.124. e) A' O B'
4.125. A' n C - zdarzenie, że wylosowana karta jest asem kier lub asem karo lub asem trefl
4.126. A' U B' = (1 0 ,1 1 ,1 2 ,1 4 ,1 5 }
4.127. C - { ( 0 ,1), (R, 1), (O, 2), (R, 2), (O, 3), (R, 3), ( 0 , 6), (R, 6)}
4.128. a) 21
b) 8
b) 26
4.129. a) 3
f) 22,
4.130. a) 21
c) 12
d) 12
e) 23, ( A n f ) u ( A n N ) u ( F n N )
c) 6
d) 23
e) 8
N 'u F
b) 10
f) 18
4.131. 23
4.132. a) 13
b) 8
4.133. a) 26
b) 28
4.134. b) A c B (zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B), C czB ,A u C = B (zdarzenia A u C
i B są identyczne), B' n A = 0 (zdarzenia B' i A się wykluczają)
c ) B u C '-zdarzenie
pewne, B' n C -zdarzenie niemożliwe
4.135. a) A' = 1
£P = 6
b) nie
Niech © = (O, R, R, R, R). Wówczas © € B', więc © e A' u B'. Je d n o c ze śn ie © e A, więc
©e
(A u B), czyli
©e (A u B)'. Analogicznie ©e
(A n
d)
{kx, k2, m j, (kx, k2, m2}, {k1# k2, m3), {k2, k2, m4}
fi)' i a £ A' n 8'.
Odpowiedzi do zadań
Określenie prawdopodobieństwa
P (B -A ) = 6
4.138. P(B) = 0,5
4.139. nie
4.140. P(A n B ) = 0,02
P(A - B) = 0,1
4.141. P(A u B) = 0,25
P ( ( A u B ) - A ) = 0 ,08
4.142. P(B) = 0,13
P(A' n B) = 0,28
4
4.145. 7
4.146. a) 0,1
b) 0,3
c) 0 ,7
4.147. —
20
4
4.148. —
15
Prawdopodobieństwo klasyczne
4.149. a) -
b) -
4.150. a) 0,1
b) 0,5
6
4.151. a) 0,125
6
b) 0,75
d)
4.152. a)
4.153. a) 0,1
4.154. a) -
4.155. a) -
4.156. a) -
6
4.157. a) —
36
b) 0 ,6
b )Ts
c)
c)
15
0,25
—
13
« n i
18
d)
0,4
. 1
b' i
b) 0,5
b )H
36
17
c) 5
- 4
36
#
P ( A n B ') = 0,13
P((A u B) - (A n B )) = 0,2
P(B - (A n B)) = 0,12
$
36
253
.1 1
4 .158. a —
16
4 .159. a) 0,4
.3
b ,J
c ,i
d ,I
c) 0,9
d) 0,4
b) 0 ,6
ui 5
4 .160.
a ,i
* 10
b ,I
. 89
4.16 1 . a ) ----180
4.16 2 .
.. 1
d )5 £
81
C ,i i
b) —
1620
. 13
a ,l i
4.16 3 .
a’ £
4.164.
a,l
4.16 5 . a) —
1296
4.166.
64
« ■ i54
11
32
4.167.
7_
72
4.16 8 .
c)
4.16 9 .
4.17 0 .
_4_
15
1
3
29
4 .17 1 .
45
I 231
4 .17 2 . a —
496
4 .1 7 3 .
50
441
b ) ----496
b) -
praw dopodobieństw a będą takie sam e
praw dopodobieństw a będą takie sam e
15
4 .17 4 .
207
245
4 .17 5 .
2
9
4 .1 7 6 . w iększe je s t praw dopodobieństw o przyjęcia partii 70% sztuk wadliwych
O dpow iedzi d o zadań
4.177. większe jest prawdopodobieństwo odrzucenia partii zawierającej 5% sztuk wadli
wych
4.178.
a,n
4.179. a
b) —
44
1
b)
1771
65
30
3542
1771
4.180. 32 osoby
4.181. 15 misiów, 5 piesków
4.182. n = 8
4.183. 11 wierzchołków
4.184. 10 chłopców
4.185. 5 kul białych
4.186. 6 piłek do siatkówki
4.187. co najwyżej 18 dobrych żarówek
4.188. co najmniej 3 losy
Zdarzenia wieloetapowe
4.189.
125
4.190. a) H
27
» 1
13
4.191. a) —
36
4.192. H
6
4.193. 0,896
4.193. 0,896
4.194. 0,9919
4.195. i
9
4.196. a) 924
b) 1
c) 28
4.197. przy czterech próbach
,
» 127
4.198. a ) ---128
»Te
4.199. a) —
256
» 1
4.200. a) —
16
360
d)
1771
255
256
Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3
Prawdopodobieństwo warunkowe
4 .2 0 1 . a ) i
4
b) 9
c) 7
d) —
11
4 .2 0 2 . P{A n B ) = P{A) + P{B) - P[A u 8 ) £ 0 ,8 + 0 ,6 - 1 * 0 ,4
4 .2 0 3 . b ard zie j p raw d o p o d o b n e je s t, że s trz e le c C tra fił w ce l
4 .2 0 4 . 5
4 .2 0 5 . —
11
4 .2 0 6 . i
3
4 .2 0 7 . a ) -
2
4 .2 0 8 . a ) ~
32
4 .2 0 9 .
I
I
4 .2 1 1 .
2
b) -
8
b) 4
-
e n ? Ii] (3
i521
i48!
U rUJ
1 09 2
, czyli
a ) 0 ,1 5 4
a )T i
b) 0 ,0 6 6
b)i
76145
c) 0 ,0 7 2
c )5
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
4 .2 1 4 . 0 ,9 6 5
4 .2 1 5 . 0 ,0 1 6
4 .2 1 6 . —
48
4 .2 1 7 . ró w n y 2 lu b w ię k s z y od 2
P{A\B)
P (y A o B )
PW
4.218. —
18
4.219. 0,6
4.220. —
27
4.221. ! »
330
4.222. przy pierwszym sposobie losowania
W
4.223.
864
4.224. n = 21
4.225. a) 0,03455
297
b) — (*0,43)
691
4.226. 0,5
4.227. 1
3
Niezależność zdarzeń
4.228. -
6
4.229. 0,5
1
6
49
64
£ 232
4.233. zdarzenia są niezależne
4.234. zdarzenia są niezależne
4.235. zdarzenia nie są niezależne
4.236. a) zdarzenia są niezależne
b) zdarzenia nie są niezależne
4.237. zdarzenia są parami niezależne; zdarzenia A, B, C nie są niezależne
4.238. zdarzenia są niezależne
4.239. a) 0,514
b) 0,748
4.240. a) 0,496
b) 0,006
wskazówka: Przy połączeniu szeregowym awaria obwodu nastąpi, jeśli uszkodzeniu
ulegnie co najmniej jeden element tego obwodu. Przy połączeniu równoległym awa
ria obwodu nastąpi, jeśli uszkodzeniu ulegną wszystkie elementy tego obwodu.
4.241. a) 0,06
b) 0,34
Test sprawdzający do rozdziału 4.
r i 9
Numer zadania
1
2
3
4
5
6
7 1n
Odpowiedź
B
D
B
D
C
D
C
E
Numer zadania
11
12
13
14
15
16
17
18
----
Odpowiedź
B
D
B
C
B
D
C
[ 10 ]
C lj A
s
Ll J B
]
Zadania powtórzeniowe do rozdziału 4.
4 .2 4 3 . 25 osób
4 .2 4 4 . a) 633 liczby
4 .2 4 7 .
b) 1094 liczby
c) 8 06 liczb
P {A -B ) = 0 ,25
4 .2 4 5 . P (B ) = 0 ,5
a) na dwóch ściankach
b ,i
4 .2 4 8 . a ) 131
4 .2 4 9 . a) ~
b) 143
b) praw dopodobieństwo w ylosow ania z je d n e j urn y d w óch kul w różnych
kolorach je s t w iększe
1
—
3
5
12
Łł 2
b 3
. . 35
b —
36
, 1
c T
4
„ 5
d 9
4 .2 5 2 . 3
4 .2 5 3 . a) 9
4 .2 5 4 . a) 150
b) 1080
b) 3375
4 .2 5 5 . 7 15; wskazówka: Rozważ pięć przypadków. W śród cyfr liczby dziesięciocyfrow ej:
1) je s t jedna 5 (1 liczba)
2) je st jedna 4 i jedna 1 (18 liczb)
3) je st jedn a 3 i jedna 2 (18 liczb)
4 ) są dw ie 2 i jedna 1 (108 liczb)
5) są dw ie 1 i jedna 3 (108 liczb)
6) są trzy 1 i jedna 2 (336 liczb)
7) je st pięć 1 (126 liczb).
, 19
4 .2 5 6 . a —
28
4 .2 5 7 . n = 11
14
4 .2 5 8 . —
45
4 .2 5 9 . n = 20
. * 13
b) —
28
Odpowiedzi do zadań
259
4 .2 6 0 .1 7 0 m ożliw ości
4 .2 6 1 . 7
4 .2 6 2 .1 5 1 2 0 0 w yra zó w
4 .2 6 3 . 0 ,4
4 .2 6 4 . 7
, czyli
4 .2 6 5 . a)
176
b) 1
5525
d)
361
425
4 .26 6 . —
203
4 .26 7 . 30 u czn iów
29
4.26 8 . a) =
45
1
b) ±
2
4 .26 9 . a) 3 6 2 8 8 0 0
b) 4 0 3 2 0
4 .27 0 . na 2 0! spo sob ów
4 .2 7 1 . a) (1 5 !)2
b) 2 » * (1 5 !)2
4 .2 7 2 . a) 0 ,2
b )0 ,3
4 .2 7 3 . a) 3
b) 3
4 .27 4 . a) 59 0 4 9
b) ^
j (2 5 -
2 ); wskazówka : N a jp ie rw za sta n ó w s ię , na ile sposobów
m ożna w y b ra ć d w ie szu flady, w któ rych u m ie ścim y k u le.
. *
105
4 .27 5 . a ) ----256
. t 49
b ) -----
512
4 .2 7 6 . —
81
4 .27 7 . n = 5
4 .27 8 .
4.27 9 .
4 .28 0 .
—
37
a) —
20
—
81
64
C) —
200
260
M a la ia a llik a Z b ió r nadań. K la sa 'i
czyli
4.281.
4
9
4.283. 0,3
4.284.
17
74
5. Elementy statystyki opisowej
P o d s ta w o w e p o ję c ia s ta ty s ty k i. S p o so b y p r e z e n to w a n ia d a n y c h statysty czn ych
z e b ra n y c h w w y n ik u o b s e rw a c ji s ta ty s ty c z n e j
5.2.
diagram kolumnowy
przyczyny wypadków
□
□
■
■
przejazd przez skrzyżowanie na czerwonym świetle
jazda z nadm ierną prędkością
wym uszenie pierw szeństw a
jazda pod w pływ em alkoholu
diagram częstości względnych
□
0
■
■
przejazd przez skrzyżowanie na czerwonym świetle
jazda z nadm ierną prędkością
wym uszenie pierw szeństw a
jazda pod w pływ em alkoholu
261
Odpowltd*! do tadart
5.4.
diagram kolumnowy
a) tabela
Liczba godzin
liczebność
0,5
3
1
5____
1
1,5
2
2
2
2,5
2
3
4
1
4
liczba godzin
2.-Z
b) 50%
5.5.
a) 116; 84
b) diagram słupkow y
10 20 30 40 50 60 70 80 90100
liczba uczniów
5.6.
a) 56%
5 .7.
a) 30
b )4
b) 70
c )9
c) 2^
Średnia z próby
5 .8.
x =5
5.9.
48 lat
5 .10.
a) diagram kolum nowy
b) 2,3 godzin
c) 4 3,3%
d) 2 osoby
262
Matematyka Zbiór zadań Klasa 3
5- ll.
a) 159,6 cm
b) diagram częstości względnych
c
■p
0 ,5 1
I
|0 ,4 .
o ^
tS 0,3*
— '—
u
0,2-
0,1*
152
=
162
160
1E .
170
168
wzrost [cm]
C)
d)
W zrost [cm]
152
160
162
168
170
Liczebność
7
5
10
2
1
18 uczniów
5.12.
a) 2,5
5.13.
a) 0,81
5.14.
a) 56
5.15.
a) zm iana I (średnia na I zm ianie: 1,5; zaś na II zm ianie: 1,7)
5.16.
23
■
5.17.
Ela
*
5.18.
xb = 5,8; xs = 8,1; xz = 6,65; xw > 7, zatem kawa zostanie w prow adzona do sprzedaży
c)
b) ok. 47%
2
b) 46 osób
c)o 2 2 -%
b) w m ieście A: 1,2; w m ieście B: 1,12
c) 22%
d) 1,16
b) 1,58
20 pracowników; 40%
Mediana z próby i moda z próby
5.19.
a )M 0 = 3 ,M e = 3
d )M a = 4 ,M e = 4
b )M 0 = 3 ,M e = 5
e) M 0 = 7, M e = 4
c) są dw ie m ody 7 oraz 9, M e = 8
f) M 0 = l , M e = l
5.20.
M 0 = 34 min lub M a = 42 min, M e = 37 min, x « 37,4 min
5.21.
a) tabela liczebności
Ocena
1
2
3
4
5
Liczebność
4
8
12
6
2
b) M 0 = 3, M e = 3
c) x « 2,8
d) 87,5%
e) 62,5%
Odpowiedzi do zadań
263
5 .2 2 .
czas oczekiwania [min]
b) M 0 = 5 lu b M 0 = 1 0 ; M e = 6
5 .2 3 .
a) 33
b ) 2 ,0 2
5 .2 4 .
a ) 1 8 6 s tro n
c ) o k . 6 ,7 m in
d) 50%
d )M 0 = 2 ,M e = 2
c )3 4 %
b) M 0 = 2 lu b M 0 = 3 ; M e = 2 ,5
c ) x * 2 ,4
d ) o k . 2 5 ,8 %
c )6 2 %
d ) o k . 1 2 8 4 zł
Wariancja i odchylenie standardowe
5 .2 5 .
a ) M 0 = 1 8 2 0 z ł, M e = 2 2 1 0 zł
5 .2 6 .
a ) 1 1 9 ,9 g
5 .2 7 .
a ) dla łu czn ik a I - M e = 2 6 ; d la łu c z n ik a II - M e = 2 8
b ) 1 ,7 1 g
b )2 4 0 5 z ł7 1 g r
c ) o c e n iła p o zy ty w n ie
b) d la łu czn ik a I - x , = 2 5 ,4 ; d la łu czn ik a II - x„ = 27
c)
o ,« 3 ,4 ;
a , , « 2 ,1
b) a « 0 ,3 m m
5 .2 8 .
a ) x = 2 5 ,3 5 m m
5 .2 9 .
a) M e = 40
5 .3 0 .
d la I d ru ż y n y : x = 1 ,4 ; a * 1 ,1 6 ; d la d ru g ie j d ru ż y n y : x = 1 ; a « 1 , 1 8
c)
b) x = 4 2 ; m a rz e c , m a j, c z e rw ie c , listo p a d i g ru d zie ń
a * 18
d ) w sty czn iu i lu ty m
Test sprawdzający do rozdziału 5.
N u m e r za d a n ia
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O d p o w ie d ź
C
A
A
D
B
D
D
C
D
D
264
Matematyka. Zbiór nadań. Klata 3.
Zadania powtórzeniowe do rozdziału 5.
5 .3 1 .
x * 7; x * 5,7; o2 = 4 ,6 1 ; a * 2 ,1 5
5 .3 2 .
a )x = 3 iy =
5
5 .3 3 .
a) 2 ,9 8 4
b) 125
5 .34 .
a) M0 = 5; Mt = 3,5
5 .3 5 .
12 lekarzy
lub x = 5 1y = 3
5 .3 6 .
5 oraz 2
5 .3 7 .
a) Mt = 2, Mg = 2
5 .3 8 .
ocenę „d o b ry "
5 .3 9 .
75
5 .40 .
x 2 = Xj + 8,
b) x = 3 ,5 4
c) O *
b) x = 2
C) a2 - 2 ,5 6 8 4 ; a « 1 , 6
1
= o2
6. Geometria przestrzenna
Płaszczyzny i proste w przestrzeni
6 .1 .
a) proste k i m są skośne lub proste k i m się p rzecin ają
6 .2 .
a) nie
b) p ro ste k i m są skośne
b) tak
6 .4 .
wskazówka: W ykaż, że PQ || AB.
6 .5 .
wskazówka: W ykorzystaj tw ie rd ze n ie o linii łączące j środ ki b oków w tró jkącie.
6 .6 .
wskazówka: U dow odnij, że PQ || fiC2 oraz BCt || ADV N astęp n ie w ykaż, że IDjPf = |AQ„
Rzut równoległy na płaszczyznę. Rysowanie figur płaskich w rzucie równoległym
na płaszczyznę
6. 10. 14^ 1: 1^
1: 10^1 = 1 : 2 :3
6.11. I^DJ : |D1f 1| : IfjfiJ = 1 : 1 : 2
Prostopadłość prostych i płaszczyzn w przestrzeni. Rzut prostokątny na płaszczyznę
6.14 .
wskazówka: W ykaż, że prosta AB je s t prostopadła do płaszczyzny (ASC).
6.15 .
a) tak
6 .1 6 .
tak
b) nie
c) nie
d) ta k
e) nie
f) tak
6.17 .
wskazówka: W ykaż, że SO X AB oraz że tró jk ą ty AOS, BOS i COS są przystające.
6.18 .
11 cm
6 .1 9 .
13 cm
6 .2 0 .
8 cm
Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych
6 .2 2 .
nie
6 .2 5 .
25,5 cm
Odpowiedzi do zadań
265
6.26. 8 cm
6.27.
20 cm
Kąt między prostą a płaszczyzną. Kąt d w u ścien n y
8.28.
b) 4>/2 cm
a) 4 cm
6,29.
a) 1 -
6.30.
0,8
6.31.
ld m
6.32.
2y/6 cm
6.33.
a) 1,6
6.M .
, 3^34
a) —
6.35.
a) 45 °
b )0 ,8
b) 2
b) 0 ,6
b ) 0 ,6
c )l|
Graniastosłupy
y/3 cm
6.36.
a) —
6.37.
d= SyJl cm ; 4 5 °
6.38.
dt = 10 cm , d2 = 8 V l Ó cm , d3 = 6> /i7 cm
6.39.
a) 2
b)
-I
10
6.40.
6
o
m
O
6.41.
c) 30'
6.42.
a) 60°
6.43.
4> /3cm
6.44.
d j = 10 cm ,
6.46.
a )s= “ + 2,
b) V l 3 9 cm
d2 = >/91 cm
k= ^
6.47.
w = 14, s = 9, Ar = 21
6.48.
dziesięciokąty
b ) s = 7, Ar = 15
J
266
Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3.
Ostrosłupy
6 .5 1 .
a ) 6 ś c ia n , 1 0 k ra w ę d zi
6 .5 2 .
8
6 .5 3 .
a)
6 .5 4 .
a ) 3 cm
6 .5 5 .
a) 30°
6 .5 6 .
tg a * 7 2, a * 5 5 °
6 .5 7 .
a) 1
6 .5 8 .
a) 4 d m
6 .5 9 .
b) flf = 3 + y/e
6 .6 0 .
a )2 0 > /3 cm
6 .6 1 .
£
6 .6 2 .
a) 30°
6 .6 3 .
9 0 cm
6 .6 4 .
150>/3 cm 2
6 .6 5 .
a ) 12 cm
20yf2
cm
b) n ś c ia n , 2 (n
b) 1 0 7 6 cm
b )- T l7 cm
c ) 10-77
c ) 2 ,4 cm
b )2 i
1
b ) 0 ,5 7 6
b) 3 0 °
b) 6 0 cm
5
6 .6 6 .
b) 6 0 °
b) /?1= 4 V lÓ c m , h2 = 3 V l 7 i
5 J
13
6 .6 7 .
12 cm
6 .6 8 .
«19
9 — cm
30
6 .6 9 .
15
17
6 .7 0 .
363-73 — 2
1
Ul II
4
6 .7 1 .
a ) \AB\ = -7 3 3 7 , |A5| = 15 c m , |85| = 2 0 cm
V 337
b)
12
7 .7 2 .
a) 45°
6 .7 3 .
a ) 15 cm
»
#
Odpowiedzi do zadań
6 .7 4 .
6 .7 5 .
3 — dm
4
3>/IÓ
10
Siatka wielościanu. Pole powierzchni wielościanu
6 .8 0 .
a) 4
6 .8 1 .
a) 12 d m 2
6 .82 .
a) 1 20 cm 2
6 .83 .
a) 6 0 0 ( l + 2>/2) cm 2
6 .84.
5 cm , 5-71 cm , 5-73 cm
6 .86.
2 52 0 cm 2
6 .87.
8 ( 3 + ^ ) dm 2
6.88 .
a) 14 dm
6.89 .
5-71cm
6.90 .
48 cm 2
6 .91 .
-72
6 .92 .
b) 12
b) 3 8 4 cm 2
b) 1 92 cm 2
b) 2 7 0 0 cm 2
b) 5 d m 2
2
6 .94 .
1 2(4 + -7 4 1 ) cm 2
6 .95 .
a) y/3 d m , 2 d m , 2 d m , -JE dm
6 .9 6 .
2 7 2 0 cm 2
6 .9 7 .
26 d m 2
b) (3 + - T I) d m 2
4
Objętość figury przestrzennej. Objętość wielościanów
6 .9 9 .
128 litró w
6.10 0 . a) (7 8 0 + M yfE) cm 2 ( « 9 6 8 cm 2)
6 .10 1 . 3 cm
6 .10 2 . 4 0> /l5
dm3
6 .1 0 3 .1 8 -7 2 cm 3
6 .10 4 .
Pb * 6 dm2, V= 1 ,5 >/I dm3
b) 1260>/5 cm 3 (» 2 8 1 7 cm 3 * 2 , 8 1)
_267
268
Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3.
6 .1 0 5 .1 0 8 c m 3
6 .1 0 6 . Pc = 3 7 8 c m 2, V = 3 2 4 c m 3
6 .1 0 7 . 2 ( l + V 3 ) d m 3
3^3 ,
6 .1 0 8 . ------ d'
16
-1
—16 ó
4 cos a
Pc = d 2 - ( l+ y l 2 t ^ a - 2 j> a e ( 4 5 ( , 90°)
v
6 .1 0 9 . V = — J t g 2a - 1
4
6.110. V = E -x/í ¡V ^ I ,p c = o2(l + tga)
6
6 .111. 250 V 2 cm 3
6 .1 1 2 . r3 ^9 tg2a - 3
V6
6 .113 . a) l d m
b) —
6 .114 . i m 3
3
6 .115 . 48 cm 3
6 .116 . 18 0 0 c m 3
6 1 1 7 . a) 7 ,5
b) 20 0
6 .118 . a) —
24
b) 3
6 .119 .
6. 120.
6. 121.
d m (» 4 ,ld m )
17
d3
6 c o s a sin 2 a
d 3v 4 c o s 2 a - 1
12cos2a
sin 2 a
Przekroje w ielościanów
,
dm
a e (60°
O dpow iedzi d o zadań
.269
6.126. Przekrój je s t trap ezem ró w n o ram ien n ym
6.127. wskazówka: Przekró j je s t tró jk ą te m , którego p od staw ą je s t kraw ędź podstaw y ostro
słupa. Poprow adź jego środ ko w ą na tę pod staw ę.
Przekroje wiełościanów —zadania
6.128.
a-J3
T
6.129. 376 cm (2
6.130. 600 cm 3
6.131. ok. 5 5°
6.132.
2
6.133. ^ (V 6 - l ) o 2; wskazówka: P rzekro jem je s t trap ez rów noram ienny.
6.134. 2>/6
6.135.
Pyli
6.136. 32>/3
6.137.
Px= 25
6.138. 6 4 :6 1
6.139. - Jp *
3
6.140. 16 yJŚ
6.141.
4
cm 2
P2= 100
cm 2
P39 2 2 5
cm 2
27 0
M atem atyka. Z b ió r zadań. K lasa 3.
6 .1 4 2 . 3 dm 2
6 .1 4 3 .
4
6 .1 4 4 . 50y/7 cm 2
6 .1 4 5 . c o s /ł = ctg a
6 .1 4 6 .
16
6 .1 4 7 . a) C0S-^g
2 co s2a
6 .1 4 8 .
b) — J 4 c o s 2a - 1
3 v
J5^
11
6 .1 4 9 . —
wskazówka: Rozpatrz dodatkow o przekrój płaszczyzną w yzn aczon ą przez wy-
8
sokość p od staw y i w ysokość ostrosłupa.
b) 6^29 cm 2; wskazówka: Spodek w ysokości ostrosłu pa je s t środkiem
6 .1 5 0 . a) j
kraw ędzi AC. Przekrój ostrosłupa d aną płaszczyzną je s t rów n oległo bokiem . Wyznacz
w ysokość tego rów noległoboku p oprow adzoną na krótszy bok.
Bryły obrotowe. Pole powierzchni brył obrotowych
W ale c
6 .1 5 1 .
90°
.
600 + 4 0 0 W 3
b .152. ----------------------
n
6 .1 5 3 .
2P1+ nP2
6 .1 5 4 . a) 80 ti cm 2
b) 120rc cm 2
6 .1 5 5 . 5 : 8
L
c ie c
2«
6 .1 5 6 . r . / c t g —
V
2
7
V co sa
1 = r --------.a
s in —
2
6 .1 5 7 . 3 cm ; wskazówka: Poprow adź d w ie rów noległe do sie b ie płaszczyzny zaw ie rające od
pow ied nio o d cinek AB i oś w a lca , n astęp n ie oblicz odległość m ięd zy n im i.
Sto żek
6 .1 5 8 . a) 9 0 °
6 .1 5 9 . a) 2 1 6 °
b) 7 2 °
b) 4 0 °
6 .1 6 0 . h - 2-Jz m , r = 1 m
c) 2 40 °
c) 3 00 °
CMłXX4M*vfot eto
u
6.161. 2ssin
2
6.162
k t
h
+
r
6.163, b) 200v 2 x cm 2
c) 240x cm;
6 .1 6 4 .1 0 cm
6.165. 8
6.166. 60°
6.167. a) 144* cm2
6.168.
6.169.
6.170.
b) 96* cm;
8400"
29
Wś
it / r m
(m + rif
3
6.171.
6.172. fi2
6.173.
2hr
2r+ h y /2
6.174. 8*
Kula i sfera
6.175. 1600* cm2
6.176. a) 34 300 km
b) 28 000 km
6.177. ok. 824 km
6.178. 15 cm, 5 cm
6.179. 900* cm2, 256* cm2
6.180. 212*
6.181. 5 cm
6.182.13 cm
6.183. r - 3 cm
fi = 8,5 cm
c , 0.
dsin2a
6.184. r = ---------------2(1 + cos a )
„
d
f i = --------2sina
c) 67,2* dm2
271
272
Matematyka Zbiór zadań K/c/w 3
Objętość brył obrotowych
6.185. 2366 k cm 3
6.186. 36 cm 2
6.187. 7776)1 cm 3
6.188. 3^27 )i dm3
6.189. 18 ti dm3 lub 162 ti dm3
6.190. — y / l-y / l dm3
71
+
lub
dm3
«
6.191. 7 cm
6.192. 30 cm
6.193. 87 m2, 59 m3
6.194. V = 7 2 tt cm2
6.196.
Pc = 4 o V 3 ti
/ v
J ----Vn - k
6.197. -i-cPsin aco s2a
4
P3
6.198. — —
16nV2
6.199. V= 187c>/2 cm3
Pc = 187c(l + yfe) cm 2
6.200. 1007t cm3
6.201. 96 n cm3
6.202. a) 2000)t cm3
b) 1500 ti cm3
6.203. 1 : 7 :1 9
6.204. 1 : 73
6.205. V=nH 3
6.207. a) 3
120 ° = a
b) 9
6.208. 4,9 I
6.209. 5,5 cm
6.210. 2887t cm3, 144 tc cm2
6.211. o 1 cm
2
6.212. 1 - m
3
6.213. 1,5 raza
6.214. 1 : 4
6.215. 41/ - tg3— • ctg a
c) 1200 ti cm 3
273
O d p o w ie d zi d o zadań
6.217. ------------- , ■ • ; wskazówka: Rozważ trzy przypadki: gdy środek kuli należy do
6 (d2-/?2)v d 2-/?2
wnętrza stożka, jest środkiem podstawy lub leży na zewnątrz stożka.
6.218. ~ n • H3 lub
—n • (>/5 - 2) • W3; zobacz wskazówkę do zadania 6.217
Zastosowanie analizy matematycznej w rozwiązywaniu zadań z geometrii prze
strzennej
6.219. 4 cm, 4 cm, 4 cm, V= 64 cm3; wskazówka: V(x) = -2X3 + 12X2, gdzie x e (0,6), x - dłu
gość krawędzi podstawy.
6.220. a) P(x) = 4X2+ — , gdzie x e (0,+ 00) b )l,5 d m , 3dm , 2dńi
x
6.221. r =
cm,
V
3
27
gdzie h e (0, 4), h - wysokość stożka,
wysokości h.
cm,
h=
3
cm3; wskazówka: V(h) = —(-/j3 + 16h),
Ufetoa
K g
3
1
- objętość stożka w zależności od jego
gdzie r e (0, +00), r - promień podstawy puszki, P(r) - pole powierzchni całkowitej
puszki w zależności od r.
6.224. krawędź podstawy ma długość b; wskazówka: P(x) = ^ V - x 4 + 2 b V ,
b jl} ,
x - długość krawędzi podstawy, P(x) - pole przekroju ostrosłupa w zależności od x.
6.225. 4 V I * cm3; wskazówka: V(R) = ®>/3 (-R3 + 3/?2),gdzie /? e (0, 3), /?- promień podsta
wy walca, V(R) - objętość walca w zależności od R.
274
Matematyka. Zbiór
tń. Klata 3
, , , c W lÖ
12yfÜÖ
2
,— .
0. 220.
cm na — - — cm na 2 — cm ; wskazówka: V[x) = 2 4 ** - 2 v l O **,
® '® 1U gdzie x e i n° . —
V\x) -
objętość prostopadłościanu w zależności od x.
6.227. r =
h = ^ ~ ; wskazówka:
V(/j) =
fr3 + 2Rh *), gdzie h
e
(0 , 2R), \Ąh) - obję
stożka w zależności od jego wysokości h.
tość
6.228. r =
długość krótszej kraw ęd zi p o d staw y prostopadłościanu.
6>/2, h
= 24; wskazówka: V[h ) = ^ ^ , gdzie A e (12, +»), /»- wysokość stożka,
h —12
V(/j) - objętość stożka w zależności od jego wysokości h.
6.229. 2 ,2 , 4 5 ; wskazówka: V(a)=
gdzi e o e ( ^ , 2>/2), o - długość
krawędzi podstawy prostopadłościanu, V(a) - objętość prostopadłościanu w zależności od a r.
6.230. r 4 2; wskazówka: V[x) = iV - x * +3r2x4, gdzie x
(o, rT Ś), x - długość krawędzi
e
podstawy ostrosłupa, W(x)-objętość ostrosłupa w zależności od x.
6.231.
= ^ V l8 x 4- x 6, gdzie x
6
(o, 3>/2); VmJ f l 4 l ) = 4^/5
e
Test sprawdzający do rozdziału 6.
1
N um er zadania
Odpowiedź
N um er zadania
Odpowiedź
|
2
A
11
A
°
12
3
6
13
| D | A
4
5
6
17 i
8
D
C
A
: C
B
15
16
14
1 A 1
B j
Zadania powtórzeniowe do rozdziału 6.
6 .23 2 .
2,5 cm
6 .2 3 3 .1 3 cm
6 .23 4 . a ) ^
6
b) —
3
6.235. 3 :4
6 .2 3 6 . 72>/3 cm 2
6 .2 3 7 . a) d j= 13 cm , d^= 14 cm
b)
10
C
17
1 D
18
0
1 9
D
19
A
1 10
C
20
B
1
Odpowiedzi do zadań
6238. 3
6.239. 372 cm2
6.240. 5 cm, 6 cm, 5 cm, 6cm
6.241. 360-71 cm3
6.242. -
2
6.243. 45°
6.244. 546 cm3
6.245.
tg 0 =
6.246.
11 cm
6.247.
^
6.249.
a) -
12V
d3sina
8
6
b) 6
6.250. 32
6.251. a) 50-71
wskazówka: a) Skorzystaj z twierdzenia o linii łączącej środki boków w trójkącie,
b) Oblicz objętość odciętego ostrosłupa na dwa sposoby.
6.252. a) 50
6.253. 2 dm lub
b)5-72
- 7 l4 - 2
2
dm
6.254. 25* dm3
6.255. V = 150* cm3* 471,2 cm3
Pc = 160* cm2* 502,7 cm2
6.2 5 6.1 89 * cm2
6.257. 288* cm3, 144* cm2
6.260. Pc =4 */?2-sin2a
•cosa •(1 +cos a) m 2nR2•sin 2a - sin a •(1 +cos a)
V = — R3■ sinĄa •cos2a = — R3 •sin2a •sin22 a;
wskazówka: Rozważ trzy przypadki:
3
3
gdy środek kuli należy do wnętrza stożka, jest środkiem podstawy lub leży na ze
wnątrz stożka.
6 .2 6 1 .18*-72; wskazówka: Pole przekroju osiowego jest równe ^ -62 -sin a i jest najwięk
sze, gdy sin a - 1.
275
276
Matematyka. Zbiór zadań. Klata 3.
6 .26 2 . 2 cm (w ysokość otrzym anego stożka), 2-Jl cm (p ro m ień podstaw y otrzymanego
ka); wskazówka: V(h) = j ( 1 2 h - h3), gdzie h e ( 0 , 2 > /I), h - wysokość otrzymanego
stożka, V(h) - objętość otrzym anego stożka.
AV
6 .2 6 3 .1 0 cm , 10 cm , 5 cm ; wskazówka: PA*) = x*+ — , gdzie x e (0, + » ), x - długość lu»
x
w ędzi podstawy.
6.26 4 . wskazówka: V(H) = — (- H 3 + 12H2) , gdzie H e (0 ,1 2 ), H - wysokość ostrosłupa,
4
- objętość ostrosłupa w zależności od jego w ysokości H. Oblicz długości wszystkich
krawędzi ostrosłupa.
c m3; wskazówka: P{h) = n J-H * +100H2, gdzie H e (0 ,1 0 ), H-wysokość
6 .265. —
2
w alca, P(W) - pole pow ierzchni bocznej w alca w zależności od jego wysokości W.