B.C. Шипачев
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
Под редакцией
академика Л.Н. Тихонова
Издание второе,
СТЕР1.ОТИПНО1-:
Допущено
Государственным комитетом СССР
по народному образованию
в качеств учебни ка
для студентов нематематических
специальностей высших учебных
заведений
МОСКВА „ВЫСШАЯ ШКОЛА"
1990

ББК 22 I 1
Ш63
УДК 51
Репе н тент ы кафедра высшей математики Московского автомобиль
но дорожного института ( iati кафедрой докт физ мат наук проф Ю А Рн
бов)
Шипачев В. С.
Ш63 Высшая математика: Учеб для немат. спец. вузов / Под ред.
акад. А. Н Гихоноиа. 2-е изд., стер М.: Высш. шк , 1990. -
479 с, ил
ISBN 5-06-000624-7
И \ ч сои и ко и.' id г «акт -I теории ч нм/к A1 н теории нрсд( лов 1 1С менты а и ал in иче
с кои кочкчрпи и высшей н пебры основы дифференциального и ioitoi рнльного исчис
Т( пин (\)\ iih.it и и одной и uti ко it, к и х п( ременных теории рядов и дифферен низ л ьных
\ р<]ЩК'НИИ 'I сорстпч ее кип мн горилл сопровож;ыетсн большим кол ич(Ч твом примеров
и ытач ГГсрвое издание выпью в l(i8o i
1602010000 D309000000) -242 ББК 22.11
ш о7Г<^Г^ 90-90
ISBN 5-06-000624-7 'О Ипательство «Высшая школа», 1085

ПРЕДИСЛОВИЕ
ТИТУЛЬНОГО РЕДАКТОРА
В век научно-технического прогресса во все области человече-
человеческой деятельности проникают математические методы исследования
Смежные науки используют различный объем математических зна-
знаний и ставят новые задачи в изучении самой математики. Матема-
Математика как учебная дисциплина прочно заняла место в учебных пла-
планах нематематических специальностей высших учебных заведений.
Изучение математики развивает логическое мышление, сооб-
сообщает необходимые сведения для понимания комплекса сложнейших
задач, стоящих перед народным хозяйством.
Настоящий учебник написан автором на основе его же учебного
пособия «Курс высшей математики», вышедшего в издательстве
МГУ, получившего признание математической общественности и
отмеченного бронзовой медалью ВДНХ в 1983 г.
Автор в течение многих лет читал курс лекций по высшей мате-
математике и вел практические занятия на геологическом факультете
Московского государственного университета. Одновременно он
преподавал на Всесоюзных курсах повышения научной квалифика-
квалификации учителей математики средних школ при МГУ. Ему были при-
присвоены звания: отличник народного просвещения РСФСР и отлич-
отличник просвещения СССР. Многолетняя педагогическая работа авто-
автора на разных уровнях наложила отпечаток как на подбор материа-
материала учебника, гак еще в большей степени на характер изложения.
Учебник написан с необходимой полнотой, четким ясным языком
и вместе с тем компактно, что соответствует его назначению. Доста-
Достаточное количество примеров и задач, иллюстрирующих основные
понятия и теоремы, будет способствовать глубокому усвоению сту-
студентами основ высшей математики и даст им представление о при-
применении ее в решении прикладных задач. Это поможет в деле под-
подготовки высококвалифицированных специалистов для народного
хозяйства страны.
Удачное сочетание в учебнике простоты и строгости изложения
материала, тщательно подобранные примеры позволят использо-
использовать его в качестве основного учебника для студентов нематемати-
нематематических специальностей высших учебных заведений.
Академик А. Н. Тихонов

ПРЕДИСЛОВИЕ
В учебнике излагаются основы высшей математики, поэтому
он может быть использован как в университетах, так и в высших
технических учебных заведениях, а также в гимназиях, лицеях
и колледжах, где различные разделы высшей математики объедине-
объединены в один курс
Автор стремился изложить материал но возможности полно,
строго и доступно, преследуя цель не просто сообщить те или иные
сведения по высшей математике, а вызвать интерес к математике,
расширить кругозор и привить математическую культуру
В основу написания книги положен дидактический принцип —
от простого к сложному Так, например, понятие предела сначала
изучается для числовых последовательностей, затем для функций
одной переменной, далее вводится понятие предела интегральных
сумм и, наконец, рассматривается понятие предела для функций
нескольких переменных
Вещественные числа вводятся с помощью аксиоматического ме-
метода, который дает во шожность наиболее кампактно изложить
необходимые сведения о числах и проще перейти к непосредствен-
непосредственному изложению основного материала
Основу учебника составляет математический анализ,включаю-
анализ,включающий дифференциальное и интегральное исчисления, где изучается
важнейшее понятие высшей математики — понятие функции Это
понятие рассматривается уже в курсе элементарной математики
Однако полное и систематическое его изучение проводится именно
в высшей математике Следует отметить, что понятие функции опре-
определяется через понятие множества, что отвечает современному
уровню преподавания математики
При написании учебника автор учел, что в настоящее время
в средних школах изучаются начала высшей математики В учеб-
учебнике изложен в основном теоретический материал, поэтому для
практических занятий следует использовать рекомендованные сбор-
сборники задач Материал учебника соответствует программе общего
курса высшей математики объемом до 300 учебных часов На тех
факультетах, где изучается высшая математика с меньшим коли-
количеством часов, часть материала может быть прокушена без наруше-
нарушения целостности содержания курса
Автор выражает глубокую благодарность акад А Н Тихонову,
профессорам А Г Свешникову, Д П Костомарову, Н М Матвее-
Матвееву, А А Шестакову за активное участие в работе над учебником
Автор хотел бы выразить благодарность чл -кор АН Азербай-
Азербайджанской ССР, проф А А Бабаеву, проф Г И Чандирову и всем
преподавателям кафедры математики физического факультета
Азербайджанского государственного университета им С М Киро-
Кирова, принявшим участие в обсуждении рукописи учебника и сделав-
сделавшим полезные замечания
Автор благодарит проф В Ф Бутузова и доц В М Говоро-
Говорова — талантливых математиков и педагогов, чей труд во многом
способствовал созданию учебника
Автор

Ни одно человеческое исследование
не может называться истинной
наукой, если оно не прошло через
математические доказательства.
Леонардо да Винчи*
ВВЕДЕНИЕ
Математика — самая древняя и в то же время самая юная из
наук. Она стала складываться во втором тысячелетии до нашей
эры, когда потребности торговли, землемерия и мореплавания за-
заставили упорядочить приемы счета и измерения, начало которых
уходит в еще более глубокую древность. Уже строители египетских
пирамид владели математическими знаниями.
В Древней Греции начиная с VI в. до н. э. математика приобре-
приобретает статус самостоятельной науки. Окончательно как наука мате-
математика оформилась в III в. Евклидом в его бессмертных «Началах».
По этой книге или по ее более доступным изложениям изучали
геометрию более двух тысяч лет. Отсюда видно, что математика
значительно отличается от всех других наук. Теоретические пред-
представления Аристотеля в области физики сейчас кажутся несколько
наивными, они стали достоянием истории науки, хотя они обобщили
все имевшиеся к тому времени знания об окружающем мире. Тео-
Теорема же Пифагора и поныне составляет одну из основ геометрии.
Сложившись, математика не перестает развиваться, разрабаты-
разрабатываются новые методы, открываются новые области, совершенству-
совершенствуются символика и научный аппарат. Возникновение физики Нового
времени было связано с непосредственным применением математики
Кеплером и Галилеем для изучения небесных и земных явлений.
Великий поворотный пункт в истории математики наступил в
XVII в., когда Декарт создал аналитическую геометрию, а Ньютон
и Лейбниц — дифференциальное и интегральное исчисление. Эти
открытия в огромной степени создали возможность как для соб-
собственного развития математики, так и для развития других наук,
таких, как физика и астрономия.
Бурное развитие математики, последовавшее за этими откры-
открытиями, привело на рубеже XIX—XX столетий к новой научной
революции, связанной, в частности, с признанием правомерности
неевклидовых геометрий (Лобачевского, Римана, Бойяи) и созда-
созданием Кантором теории множеств. До сих пор математика продол-
продолжает развиваться, поражая воображение многообразием специаль-
специальных областей, новизной и необычностью используемых представ-
представлений и понятий, неожиданным своеобразием методов, особенно-
особенностями языка. Процесс дифференциации наук охватил и математику,
приведя к возникновению внутри нее множества отраслей.
* Леонардо да Винчи. Избранные естественнонаучные произведения М., 1955.
5

Одновременно с разнитием методов и отраслей математики про
исходило и ее внедрение в другие науки, шел процесс так называе
мой математизации науки В силу логики развития самой науки
математика превратилась в метод научного исследования Если
в период классической физики математика служила нреимуще
ственно для обработки экспериментальных данных, установления
точного количественного отношения между физическими явлениями
и процессами, то уже ь концу XIX в математические вычисления
стали предварять физические гипотезы и открытия С помощью
математики уже не только обрабатывались показания приборов и
результаты экспериментов, но стали создаваться такие математи-
математические модели, реальный физический смысл которых еще был не
известен и его еще предстояло выяснить
Именно этот факт нередко получал неправильное истолкование
как самих ученых, так и идеалистических философов и был зафик-
зафиксирован в известном афоризме «материя исчезла, остались одни
уравнения», истинный смысл которого, равно как и искажения
его, были вскрыты В И Лениным в его классическом труде «Мате
риализм и эмпириокритицизм»
Суть этого явления состоит в том, что, используя математиче-
математические методы, можно проникать в еще не исследованные области
физического мира, пока не доступные для исследования физиче-
физическими методами, открывать в них математические закономерности,
создавать математические модели неизвестных физических процес-
процессов и, тем самым, направлять мысль экспериментатора В наше
время физик-теоретик — это прежде всего математик «Математика
для физика,— говорит крупный американский ученый Ф Дж Дай-
сон,— это не только инструмент, с помощью которого он может
количественно описать любое явление, но и главный источник
представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые
теории»*
Наглядным примером роли математического мышления для фи-
физических открытий может служить общая теория относительности
А Эйнштейна, которая была завершена до экспериментальной про-
проверки, результаты которой практически совпали с предсказанными
теорией
Не менее убедительный пример — история возникновения кван
товой механики, которая была первоначально построена чисто
математическим путем, на основе некоторых известных, но не объ-
объясненных в то время физических данных, в результате гениального,
но чисто «умозрительного скачка математического воображения»
(Ф Дж Дайсон) Ока не только была подтверждена соответствую-
соответствующими экспериментами, но явилась источником и стимулом дальней
шего развития физики микромира со всеми ее впечатляющими ре-
результатами, роль которых в XX в хорошо известна
У всех, кто изучал историю математики и ее применения в нау-
науках о природе и в технике и размышлял об отношении математики
* Дайсон Ф. Дж. Математика в физических науках В кн Математика
н современном мире М , 1967

к объективному миру, будь это сами математики, физики или фило-
философы, неизбежно возникал вопрос о чудесной способности матема-
математики давать правильное описание или отображение физических
процессов, поведения физической вселенной. Ученые, стоявшие
у колыбели современной науки, такие, как Кеплер и Галилей,
пораженные достигнутыми ими результатами, считали, что книга
природы написана ее божественным творцом на языке математики,
так что ученому остается только прочитать эти записи. С тех пор
высказывалось множество предположений о природе математики
и ее познавательной способности, по ни одно из них не получило
всеобщего признания
В XX в. одним из западных философов Витгенштейном была
высказана поразительная мысль, что вся математика есть не что
иное, как совокупность тавтологий, а математические доказатель-
доказательства представляют собой тавтологические преобразования. Эта
теория объясняла абсолютную достоверность математики и ее уни-
универсальную применимость. Но она была бессильна объяснить спо-
способность математики открывать повое в мире, т. е. ту ее способ-
способность, которая является важнейшей дя развития науки и позво-
позволяет все более широко применять математику в специальных нау-
науках.
Следует подчеркнуть, что математика оперирует не только абст-
абстракциями (как и все науки), но абстракциями весьма высокой сте-
степени. Даже любое из самых обычных натуральных чисел, например
4, есть абстракция, отвлекающаяся от всех специфических особен-
особенностей каких-либо четырех предметов (деречьев, ножек стола,
углов дома и т. д.), характеризуя лишь класс, имеющий четыре
члена. Понятие же натурального числа — это абстракция еще
более высокая, поскольку оно представляет собой класс всех клас-
классов, имеющих не менее одного члена.
Сила математики именно в ее способности создавать все более
высокие абстракции, оперировать ими и изучать их особенности
и закономерности. Именно поэтому математические методы можно
применять в различных пауках помимо физики по мере того, как
они сами становятся теоретическими, т. е. начинают создавать
достаточно высокие абстракции и использовать их.
Немецкий философ XVIII в. Иммануил Кант сказал, что наука
тем более заслуживает названия науки, чем больше в пей матема-
математики. В то время математика была неотъемлемым элементом лишь
механики, физики и астрономии. В наше время настолько повы-
повысился теоретический уровень наук, а методы математики настолько
разнообразились и усовершествовались, что их слияние оказалось
не только возможным, но и абсолютно необходимым как для разви-
развития этих наук, так и для самой математики.
Естественно, что процесс математизации не в одинаковой степе-
степени затронул все науки. Огромным успехом является применение ма-
математических методов в науках о неживой природе, а также в ис-
исследованиях в области •биологии. Это оказалось возможным глав-
главным образом благодаря проникновению биологии во внутриклеточ-

ные процессы и анализу их на молекулярном уровне. В качестве
примера можно привести исследования функционирования и пост-
построение моделей некоторых функций нейрона и изучение проблем
наследственности и расшифровки генетического кода.
В общественных науках, которые были больше всего изолиро-
изолированы от математики, если не считать прменения статистических
методов r исследовании некоторых социальных процессов и явле-
явлений, можно также назвать различные области, такие, как проблемы
демографии и проблемы структурнолингвистики, где применение
математики дало хорошие результаты Но, пожалуй, наиболее зна-
значительным научным достижением было внедрение математических
методов в экономическую науку и в управление экономическими
процессами. В наше время научное управление этими процессами
в условиях плановой экономики может быть осуществлено только
на основе применения точных математических методов во всех
сферах народного хозяйства - - от прогнозирования размещения
полезных ископаемых до изучения спроса на товары широкого
потребления п бытовые услуги, от изучения потребности в рабочей
силе до планирования транспортных артерий, пассажирских пере-
перевозок и экспериментов по искусственному воздействию па атмосфер-
атмосферные явления. Короче гоиоря, жизнь современного человека невоз-
невозможна без математики.
О какой, однако, математике здесь идет речь: о так называемой
«чистой» или прикладной? Но это традиционное разграничение
в настоящее время становится все более и более условным и утра-
утрачивает свой первоначальный смысл. Даже наиболее абстрактные
разделы «чистой» математики могут, оказывается, получить конк-
конкретное приложение в самых неожиданных областях науки и тех-
техники. В то же время необходимость решения специфических теоре-
теоретических и практических проблем стимулирует разработку новых
абстрактных методов и отраслей математической науки.
Последние десятилетия ознаменовались бурным развитием
средств и методов вычислительной математики. Математическое
моделирование позволяет рассчитать с помощью методов вычисли-
вычислительного эксперимента такие процессы, которые даже недоступны к
постановке опыта (проблемы управляемого термоядерного синтеза,
физики плазмы, лазеров и другие задачи). «Фактически за послед-
последние два десятилетия сложилось новое направление в теоретических
физических исследованиях,— утверждает академик А. А. Самар-
Самарский. - На основе математической модели с помощью ЭВМ прово-
проводится изучение устройств и физических процессов, «проигрывает-
«проигрывается» их поведение в различных условиях, находятся оптимальные
параметры и режимы действующих или проектируемых конструк-
конструкций. Сейчас можно проводить математическое прогнозирование
сложных явлений и технических устройств, изучение которых дру-
другими способами затруднено»*.Открылись качественно совершенно
новые возможности математики.
* Самарский А.,Л. Математическое моделирование и вычислительный экспе-
эксперимент Вестник ЛИ СССР, 1979, № 5

Эпоха научно-технической революции есть эпоха математизации
науки, техники, экономики и управления. Этим определяется место
математики в системе высшего образования. Современный научный
работник или инженер должен не только знать основы математики,
но и хорошо владеть всеми новейшими математическими методами
исследования, которые могут применяться в области его деятель-
деятельности. Сегодня никакая серьезная научная и инженерная работа
невозможна без математики. Еще К- Маркс говорил, что наука
тогда достигает совершенства, когда начинает пользоваться мате-
математикой. Можно смело сказать, что изучение математики способ-
способствует формированию современного научного мышления, а ее ши-
широкое использование является условием дальнейшего прогресса
па пути развития науки и техники.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Г Л А II Л !
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Множества. Обозначения Логические символы
Понятие множества являемся одним m основных в математике
Оно принадлежит к так называемым первичным, неопределяемым
понятиям Слова «совокупность» семейство», «система», «набор»
и т и — синонимы слова «множество» Примерами множеств могут
служить множество студентов данной аудитории, совокупность тех
из них, кто сдал вступительные экзамены без троек, семейство звезд
Большой Медведицы, система трех уравнений с тремя неизвестными,
множество всех целых чисел и т д Из приведенных примеров еле
дуег, что множество может содержать конечное или бесконечное
число произвольных объектов
Объекты, из которых состоит множество, называются его эле-
элементами или точками Множества часто обозначают большими,
а их элементы — малыми буквами Если х — этемент множества X,
го пишут х^Х(х принадлежит X) Если х не является элементом
множества X, то пишут хфХ(х не принадлежит X) Рели .*:,,
, *,— некоторые элементы, то запись Х=[х{, , л:,,} означает,
что множество А" состоит из элементов xt, х„ Аналогичный смысл
имеет запись А" = {х,, х„ > ,, )
Пусть X и Y - дна множества Нети X и }' состоят из одних
и тех же элементов, то говорят, что они совпадают, и пишут Х= Y
Если в X нет элементов, не принадлежащих V, то говорят что X
содержится в Y или что X - подмножество множества Y В этом
случае пишут XczY или V =э X (Y содержит Л") Если А" не со
держится в Y, то пишут ХфУ В математике часто используется
пустое множество Оно не содержит пи одного элемента и обозпа
чается символом 0 Пустое множество является подмножеством
любого множества
В дальнейшем нам придется иметь дело с различными множе
ствами вещественных чисел* Всюду, где это не может привести
к неточности, для краткости вещественные числа будем называть
просто числами
* Вместо термина «muiei гвемные 'ик и» чгкто ичиньдуют термин *гдет г
нительные чиси»

Пусть Р (х) — какое-то свойство числа х. Тогда запись {jc | Р (х)}
означает множество всех таких чисел, которые обладают свойством
Р(х). Например, множество {лг | jc2 — 3* + 2 = 0} есть совокупность
корней уравнения х2 — Зл: + 2 = 0, т. е. это множество состоит из
двух элементов: 1 и 2; \х | 3 <; х < 7}— множество всех чисел,
удовлетворяющих неравенствам 3<jc<7;(ji;U>7hji;<3| =
= 0, т. е. это пустое множество.
Если Х\, ..., хп — произвольные числа, то запись х = max \x\, ...,
..., Хп\ (х = min [xi, ..., Хп})' означает, что число х максимальное
(минимальное) из чисел Х\, ..., хп.
В математических предложениях (формулировках определений,
теорем и т. д.) часто повторяются отдельные слова и целые выраже-
выражения. Поэтому при их записи полезно использовать экономную логи-
логическую символику.
Здесь мы укажем лишь несколько самых простых и употреби-
употребительных логических символов. Вместо слова «существует» или «най-
«найдется» используют символ 3 [перевернутую латинскую букву Е
(от английского слова Existence — существование)], а вместо слов
«любой», «каждый», «всякий» — символ V [перевернутое латин-
латинское А (от английского слова Any — любой)]. Например, запись
Эх е X..., означает: «существует число х из множества X, такое,
что ...». Запись Vjc e X означает: «для любого числа х из множе-
множества X», а запись V* е Х:а означает: «для любого числа х из мно-
множества X выполняется (или имеет место) утверждение а».
Для облегчения понимания и чтения утверждений, записанных
с помощью логических символов, все, что относится только к каж-
каждому из них, заключают в круглые скобки. Так, например, запись
(Ve > 0)(Э8 > 0)(Vjc^ ха, \х - ха < б): \f(x) - А\ < е
читается так: «для любого е > 0 существует б > 0 такое, что для
всех х, не равных хо и удовлетворяющих неравенству \х — xq\ <С б,
выполняется неравенство \f (x) — А\ <. е».
Символ ¦ в тексте означает конец доказательства.
§ 2. Вещественные числа и их основные свойства
В курсе элементарной математики дается некоторое представле-
представление о вещественных числах. Из этого курса известно, что множество
вещественных чисел состоит из рациональных и иррациональных
чисел. Рациональным называется число, которое можно предста-
представить в виде p/q, где р и q — целые числа, причем q ф 0. Иррацио-
Иррациональным называется всякое вещественное число, которое не явля-
является рациональным. Всякое рациональное число является либо
целым, либо представляется конечной или периодической беско-
бесконечной десятичной дробью. Иррациональное же число представ-
представляется непериодической бесконечной десятичной дробью. Напри-
Например, рациональные числа 3/4 и 1/3 можно представить в виде сле-
Ог латинского maximum (minimum) — наибольший (наименьший)
II

дующих десятичных дробей 3/4 = 0,75, 1/3=0,333 , иррацио
нальные числа v2 и л. — в виде непериодических бесконечных
десятичных дробей л]2— 1,41421356 ,л = 3,14159
Систематизируем сведения о вещественных числах, перечислим
основные свойства вещественных чисел, а :)атем выведем из них
некоторые следствия
I Сложение и умножение вещественных
чисел
Для любой пары а и b вещественных чисел определены и притом
единственным образом днл вещественных числа а-\-Ь и а-b, назы-
называемые соответственно их суммой и произведением, причем имеют
место следующие свойства Каковы бы ни были числа а, Ь и с
1°. а + Л = А+а( и ер с меститель и ое свойство)
2°. a+(b + c) — (a + b) + c (сочетательное свойство)
3°. а ¦ b = b ¦ а (переместите л ьное свойство)
4°. а -{Ь ¦ с) = (а • Ь) • с (с о ч е т а т е л ь н о е свойство)
5°. {а-\-Ь) ¦ с = ас-\- be (распределительное свой-
свойство)
6°. Существует единственное число 0 такое, что а-\-0 = а
для любого числа а
7°. Для любого числа а существует такое число ( — а), что а-\-
+ (-а) = 0
8°. Существует единственное число 1 ф0> такое, что для любого
числа а имеет место равенство а • \=а
9°. Для любого числа аф() существует такое число а ', что
а ¦ а~' = 1, число а ' обозначают также символом —
\\ Сравнение вещественных чисел
Для любых двух вещественных чисел а и b установлено одно
из отношений а = Ь(а равно Ь), а>Ь(а больше Ь) или Ь>а
Отношение = обладает свойством если а=Ь и Ь = с, то а = с
Отношение > обладает следующими свойствами Каковы бы
ни были числа a, b и с
10°. Если а>Ь и ЬУ-с, то а>с
11°. Если а>Ь, то а + с>Ь+с
12°. Если а>0 и 6>0, то а-6>0
Вместо а>Ь пишут также b<ca(b меньше а) Запись а^Ь
(или, что то же, Ь^а) означает, что либо а=Ь, либо а>Ь
Соотношения a<Cb, a^b, a>b, a~^b называются неравен-
неравенствами Неравенства а<;6 и а>Ь — строгие неравенства
III Непрерывность вещественных чисел
13°. Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных
чисел Тогда, если для любых чисел хеХ и y^Y выполняется
неравенство х^.у, то существует хотя бы одно число с такое,
что для всех таких х и у выполняются неравенства
12

Отметим, что свойством непрерывности обладает множество всех
вещественных чисел, но не обладает множество только рациональ-
рациональных чисел. Действительно, пусть множество X состоит из рацио-
рациональных чисел х, для которых выполняется неравенство
а множество У состоит из рациональных чисел у, для которых вы-
выполняется неравенство r/>V~2. Тогда, очевидно, для любого
хеА" и любого уеК выполняется неравенство х^у, однако
не существует рационального числа с такого, чтобы для всех таких
х и у выполнялись неравенства Jt^c^t/. В самом деле, таким чис-
числом могло бы быть только л/2, но оно, как известно, не является
рациональным.
Из свойств [, [[, Ш вытекают все остальные свойства веще-
вещественных чисел. Познакомимся лишь с некоторыми из них, но адалЪ-
нейшем будем использовать и другие, не проводя их формального
доказательства.
Каковы бы ни были числа а, 6, с и d:
14°. Число *=6-f-(— а) является решением уравнения а + х=6.
Действительно, согласно свойствам 1°, 2°, 6°, 7° имеем: а-\-Ь-\-
+ (-а) = Ь.Ш
Число Ь-\-( — а) называется разностью чисел 6 и а и обознача-
обозначается Ь — а. Отметим, что если а<сЬ (или, что то же, Ь>а), то
разность 6 — а>0. В самом деле, из неравенства Ь>а в силу 11°
получаем: Ь -+-( — а)>а-\-( — а) или Ь — а>0
15°. Число x=ba~s является решением уравнения ах = Ь, если
а=/=0.
Действительно, согласно свойствам 3°, 4°, 8°, 9° имеем: а • Ьа ' =
= Ь. Ш
Число Ьа~' называется частным чисел Ь и а и обозначается —
или Ь:а.
16°. Если a<ib, то —а> — Ь.
В самом деле, так как а<6, то 6—а>0. Следовательно, на
основании свойства 11° Ь — а + ( —6)>0 + ( —6), откуда полу-
получаем: — а> — Ь. Ш
В частности, если а>0, то —а<0, а если а<0, то —а>0
(здесь использован тот факт, что —0 = 0, действительно, согласно
свойству 6° ( — 0) + 0= — 0, а на основании свойства 7° (— 0) +
+ 0 = 0, откуда следует, что —0 = 0).
17°. Если а>Ь и с>^, то a + Ob + d.
В самом деле, если а>Ь и Ой, то в силу свойства 11° а-\-О
>Ь-\-с и c-\-b>d-\-b. Поэтому согласно свойству 10°а-)-О
Ш
18°. Если a<Cb и c>d, то a — c<b — d.
В самом деле, так как Od, то согласно свойству 16° —с< — d.
Складывая почленно неравенства а<.Ь и —с< — d (это можно
делать в силу свойства 17°), получаем: a — c<b~d. ¦
19°. а — а = 0.
13

В самом деле, а — а==а-\-{ — а) = 0 ¦
20°. а -0=0.
В самом деле, а • 0 = a- (b — b) = ab — ab = 0
21°. -(-а) = а
В самом деле, —(— о) = ( — (— а)) -+-( — а) + а
22°. (-а) Ь= — аЬ.
В самом деле, ( — о) 6 = ( — а) Ь + аб ¦+-( — о6) = | ( — а) -\-а\ ¦ b —
¦
Отметим, что при замене суммы ( — а) 6 +об произведением
l( — a)-\-a] b, использовано свойство 5°. Из свойства 22°, в частно
сти, получаем- (— 1) а= —а
23°. Если а<0 и 6>0, го а6<0.
В самом деле, так как а<0, то —а>0, поэтому в силу свой-
свойства 12°. (— а)Ь>0 Следовательно, (— а) Ь — — ab>0 и, значит,
24°. Если а<0 и 6<0, го ab>0
В самом деле, так к.)к 6<0, то — 6>0 Поэтому в силу свой
ства 23° (— 6) а<0 Следовательно, ( — Ь)а~— а6<0 и, значит,
25°. Если афО, то а-а=а2>0
Справедливость данного утверждения следует из свойств 12°
и 24°. В частности, 1 — 1:>>0, т е 1 >0
26°. Если а>0, то а~'>0
В самом деле, согласно свойствам 9° и 25° аа '= 1 >0, а если
предположить, что a~'s^0, то в силу свойств 20° и 23° имеем.
aa~'^0, т е получено противоречие Следовательно, a '>0 ¦
Итак, мы видим, что из основных свойств I — FII вещественных
чисел вытекают остальные их свойства Поэтому можно сказать,
что вещественные числа представляют собой множество элементов,
обладающих свойствами I—III Такое определение вещественных
чисел называется аксиоматическим, а свойства [—III — аксиомами
вещественных чисел.
В заключение отметим, что, исходя из свойств I — III, любое
вещественное число можно представить в виде бесконечной деся-
десятичной дроби Однако останавливаться на рассмотрении этого во
проса не будем
§ 3. Геометрическое изображение вещественных чисел
1. Изображение вещественных чисел точками на координатной
прямой. Введем ряд предварительных понятий Рассмотрим произ-
произвольную прямую На ней можно указать два взаимно противопо-
противоположных направления Выберем одно из них и на рисунке будем
обозначать его стрелкой (рис. I). Пусть, кроме того, выбрана мас-
масштабная единица для измерения длин отрезков. Прямая с выбран-
выбранным на ней направлением называется осью.
Рассмотрим на оси цве произвольные точки А и В Отрезок
с граничными точками А а В будем называть направленным, если
14

указано, какая из точек Л и В считается началом, а какая — кон-
концом отрезка. Направленный отрезок с началом в точке А и концом
в точке В обозначим АВ и будем считать, что он направлен от на-
начала к концу. Отметим, что в записи АВ буква, обозначающая на-
начало направленного отрезка, пишется первой, а буква, обозначаю-
обозначающая его конец, :— второй. Длина направленного отрезка АВ обозна-
обозначается так: \АВ\ или \АВ\.
Для направленных отрезков, лежащих на оси (или параллель-
параллельных оси), вводится понятие величины направленного отрезка.
Величиной АВ направленного отрезка АВ называется число, рав-
равное \АВ\, если направления отрезка и оси совпадают, и равное
— \АВ\, если эти направления противоположны. Для отрезков
АВ и CD, изображенных на рис. 2, /4В = — АВ , CD = \CD\.
Ось В А С Б
Рис Рис 2
Заметим, что величины направленных отрезков АВ и ВА при
любом направлении оси отличаются знаками:
АВ = — ВА.
Если точки А и В совпадают, то величину направленного от-
отрезка АВ будем считать равной нулю.
Для любых трех точек А, В и С на оси справедливо равенство
АВ + ВС = АС,
которое назовем основным тождеством (в дальнейшем оно неодно-
неоднократно используется).
Справедливость основного тождества легко устанавливается из
рисунка, но при этом нужно рассмотреть различные случаи взаим-
взаимного расположения точек А, В и С на оси. Если все три точки А,
В и С различны, то таких случаев шесть (рис. 3). В каждом из этих
случаев основное тождество проверяется элементарно.
Перейдем теперь к геометрическому изображению вещественных
чисел. Рассмотрим какую-нибудь прямую. Выберем на ней на-
направление (тогда она станет осью) и некоторую точку О (начало
координат). Прямую с выбранным направлением и началом коорди-
координат назовем координатной прямой (считаем, что масштабная единица
выбрана). Пусть М — произвольная точка на прямой (рис. 4, а).
Поставим в соответствие точке М число х, равное величине ОМ
направленного отрезка ОМ. Число х называется координатой
точки М. Тем самым каждой точке координатной прямой будет
соответствовать определенное вещественное число — ее коорди-
координата. Справедливо и обратное: каждому вещественному числу х
соответствует некоторая точка на координатной прямой, а именно
такая точка М, координата которой равна х.
15

Таким образом, вещественные числа можно изображать точками
на координатной прямой. Поэтому около точки на координатной
прямой часто указывают число —ее координату (рис. 4, б).
Пусть точка М, имеет координату *,, а точка М2 — координату
х2 (рис. 5.). Выразим величину М,М2 направленного отрезка М,М2
через координаты точек М, и М2. Согласно основному тождеству
ОМ, + М,М,= ОМ.и
откуда М,М2 = ОМ. — ОМ,. Но ОМ, = х,, ОМ., — х2, поэтому
М ,М 2 = х2 — х,.
Эту формулу будем часто использовать в аналитической геометрии.
j А В С о м
ж—? 5 §—. а1
т-Л ? ?__ о х_
в
А
g
С
С
С
А
А
С
В
с
в
А
А
В
ш-х в «>_^ рис б[
М,(х,) 0 Mt(xtl
Рис 3 Рис Г)
2. Некоторые наиболее употребительные числовые множества.
Пусть а и Ь — два числа, причем а<Ь. Будем пользоваться сле-
следующими обозначениями:
jjt|a^jt^6( = [ a, 6|; {jcja<jt:^ 6) =(a, b\\ [x\a^x<Cb\ =\ a, b);
{x\a<x<b\=(a,b);
{jt|a^Jt| =[ a, -(- оо); (л:|а<л:| ={а, -f- oo),
{x\x^b} = { — oo,b\;{x\x<b}={—oo,b).
Множество всех вещественных чисел будем обозначать так:
|jc| — оо < х < -\- оо) или(— оо, -)- оо).
Все эти множества называются промежутками, причем [а, 6]
отрезок (сегмент), [a, b), (a, b], \a, -f- оо) и (— оо, 6] —полуинтер-
—полуинтервалы, а (а, 6), (а, +оо), (— оо, Ь) и (— оо, +оо) — интервалы. Про-
Промежутки [а, Ь\, (а, 6], [а, 6) и (а, Ь) называются конечными; а и b
называются их концами. Остальные промежутки называются бес-
бесконечными.
Числовым промежуткам соответствуют промежутки на коорди-
координатной прямой. Например, сегмент [*„ х.2] изображается на коор-
координатной прямой отрезком М,М2 таким, что точка М, имеет коор-
координату х,, а точка М2—координату х.2 (рис. 5). Изображением
множества (— оо, +оо) всех чисел служит вся координатная пря-
прямая. Поэтому множество (—оо, -f- оо) называется также числовой
прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть а — произ-
произвольная точка числовой прямой и 6 — положительное число. Ин-
Интервал (а — й, о + 6) называется ^-окрестностью точки а.

§ 4. Грани числовых множеств
Говорят, что множество X ограничено сверху (снизу), если су-
существует число с такое, что для любого х е X выполнено неравен-
неравенство х^.с(х^с). Число с в этом случае называется верхней (ниж-
(нижней) гранью множества А".
Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограни-
ограниченным.
Так, например, любой конечный промежуток (\а, b], [a, b),
(а, 6], (а, 6)) ограничен. Интервал (a, -j- сю) есть множество, огра-
ограниченное снизу, но не ограниченное сверху; а вся числовая прямая
(— оо, -\- оо) есть множество, не ограниченное ни сверху, ни снизу.
Очевидно, что любое ограниченное сверху (снизу) множество X
имеет бесконечно много верхних (нижних) граней. В самом деле,
если число с является верхней (нижней) гранью множества X,
то любое число с', большее (меньшее) числа с, — также верхняя
(нижняя) грань множества А', так как из справедливости неравен-
неравенства х <; с [х ^ с) следует, что х ^ с' (х ^ с').
Естественно, возникает вопрос о существовании наименьшей из
верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей
из нижних граней ограниченного снизу множества.
Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множе-
множества X называется точной верхней гранью множества X и обозна-
обозначается символом sup X*, а наибольшая из нижних граней ограни-
ограниченного снизу множества X называется тонной нижней гранью
этого множества и обозначается символом inf X**.
Примеры. Пусть X = {а, Ь). Тогда число Ь является точной
верхней гранью множества Л', а число а — его точной нижней
гранью, т. е. Ь = sup X, а = inf X. Пусть X = (а, + сю). Тогда
a=infX, а верхних граней и в том числе точной верхней грани
данное множество не имеет.
Точная верхняя грань (sup X) обладает следующим важным
свойством. Как бы мало ни было число е > 0, найдется х е X
такое, что jt>sup X — е***. В самом деле, если бы такого числа х
не нашлось, то число sup X — е. было бы также верхней гранью
множества X и тогда число sup X не было бы точной (т. е. наимень-
наименьшей) верхней гранью. Другими словами, данное свойство выра-
выражает тот факт, что число sup X является наименьшим среди чисел,
ограничивающих множество X сверху, и не может быть уменьшено.
Отмеченное свойство точной верхней грани можно переформули-
переформулировать следующим образом: если с = sup X, то для любого числа
с' < с существует число х е X такое, что х > с'**** цтобы убе-
убедиться в равносильности данных формулировок, достаточно взять с'
и е, связанные равенством с' = с — к, из которого следует, что усло-
условие 8 >¦ 0 эквивалентно условию с'<с.
* Mjpremum (лат ) — наивысшее
** inlinum (лат ) наинизшее
Ил» с помощью логических символов (Ve >0) C*e А") л>яирА' — ь
1 L T№I^CIU (Vc'<c) (Зле V) х>с'
17

Аналогичным свойством обладает и точная нижняя грань —
как бы мало ни было число г>0, найдется хеХ такое, что
х<цп1Х-\-г (Сформулируйте данное свойство в другом виде
самостоятельно )
Возникает вопрос, всегда ли ограниченное сверху (снизу) мно-
множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань Ответ на этот
вопрос дает следующая зажная теорема
Теорема 1.1. Любое непустое ограниченное сверху (снизу)
числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань
Доказательство Пусть X — непустое множество, огра-
ограниченное сверху Тогда множество У чисел, ограничивающих X
сверху, не пусто Из определения верхней грани следует, что для
любого JteX и любого уеК имеет место неравенство х^.у
В силу свойства непрерывности вещественных чисел существует
такое число с, что для любых х и у выполняются неравенства
*<с<у A)
Из первого из неравенств A) следует, что число с ограничивает
множество А" сверху, т е является верхней гранью, а из второго, —
что оно наименьшее из таких чисел, т е является точной верхней
гранью
Случай существования точной нижней грани у не пустого огра-
ограниченного снизу множества рассматривается аналогично ¦
Если множество X не ограничено сверху (снизу), то условимся
писать sup X= -f- оо (inf X= — оо)
§ 5. Абсолютная величина числа
Понятие абсолютной величины числа и неравенства, связанные
с абсолютными величинами, в дальнейшем часто используются
Определение. Абсолютной величиной (или модулем) числа х
называется само число х, если х^О, число —х, если х<0
Абсолютная величина числа х обозначается символом \х\ Та-
Таким образом,
х, если х ^ О,
- х, если х < О
Из определения вытекает ряд свойств абсолютной величины
числа
1°. Ы|>0 Действительно
1) если Jt^O, то UI = Jt^O,
2) если х<0, го Ы = —х, но — *>0, так как *<0, т е
Ы>0 Из 1) и 2) получаем, что Ы^О
2°. Ы = I — х\ Действительно
1) если Jt^O, то —*=С0, и тогда | — х\ = —(—jt) = jt=U|,
2) если x<Z(), то —х>0, и тогда | — х\ =—jc = U|, так как
Из I) и 2) получаем, что \х
=1 — х
3°. — Ы<л:<Ы Действительно
18

П если * ~> 0, то |*| = * и — * ^ 0. Отсюда |*| ^ — *, т. е.
— |*| <*= \х\\
2) если * < 0, то \х\ = — х, откуда — |* = *. Далее, так как
*<0, то 2*<0, или * + *<0, откуда * < — *, т. е. *<|*|.
Итак, — |*| = * < |*|.
Из 1) и 2) получаем, что — |*| ^ * ^ |*|.
Поскольку следующие три свойства очень важны, докажем их
в виде теорем.
Теорема 1.2. Пусть е — положительное число. Тогда нера-
неравенства |*|^еи—е^*^е равносильны*
Доказательство. Пусть |*| ^ е. Тогда:
1) если *>0, то |*| = * и, значит, * ^ е, откуда 0^*^е.
2) если *<0 то |*|=—* и, значит, — ^ е, откуда —е^
^ * =С 0. Объединяя I) и 2), при любом * получаем: —е^*^е.
Пусть справедливы неравенства — е^*^е. Это означает, что
одновременно выполняются неравенства *^е и *^ — е. Из по-
последнего неравенства имеем: — *^е. Так как, по определению,
|*| есть либо х, либо — *, то |*| ^ гШ
Теорема 1.3. Абсолютная величина суммы двух чисел не
больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е. \х + у\ ^
< \х\ + \у\.
Доказательство. Пусть * и у — любые числа. Согласно
свойству 3° для них справедливы неравенства
Складывая их почленно, получаем
По теореме 1.2 это двойное неравенство равносильно неравенству
1 + 1Ы Ыя
1* + «/1<Ы + Ыя
Заметим, что \х — у\ < |* + \у\.
Теорема 1.4. Абсолютная величина разности двух чисел
не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е. \х — у\ ^
>\х\-\у\.
Доказательство. Для любых чисел * и у имеем
х = У+(х — у).
По теореме 1.3 справедливо неравенство
|*| = |у + (А'-у)|<|у| +\Х-у\.
Откуда получаем: |* — у\ > U| — у\.Ш
Заметим, что |* -)- у\ ^ UI — \у .
В заключение отметим, что каковы бы ни были два числа хну,
имеют место легко проверяемые соотношения:
\х ¦ у\ = 1*1 • |у| и -ij = -у-, если у ф 0.
Это утверждение с помощью логических символов можно записать так'
19

ГЛАВА I
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Понятие предела и понятие функции - фундаментальные по-
понятия математического анализа. Начало изучению понятия пре-
предела положено в элементарной математике, где с помощью предель-
предельных переходов определяются длина окружности, объем цилиндра,
конуса и т. д. Оно также было использовано при определении суммы
бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Операция пре-
предельного перехода является одной из основных операций анализа.
В настоящей главе рассматривается простейшая форма операции
предельного перехода, основанная на понятии предела числовой
последовательности. Понятие предела числовой последовательности
позволит в дальнейшем определить и другие более сложные формы
операции предельного перехода.
§ 1. Числовые последовательности
1. Числовые последовательности и арифметические действия над
ними. Числовые последовательности изучают уже в средней школе.
Примерами таких последовательностей могут служить: 1) последо-
последовательность всех членов арифметической и геометрической прогрес-
прогрессий; 2) последовательность периметров правильных п-угольников,
вписанных в данную окружность, 3) последовательность *,= 1,
х2= 1,4, *.,= 1,41. . приближенных значений v 2
Уточним и расширим понятие числовой последовательности.
Определение. Если каждому числу п из натурального ряда чисел
1, 2, 3, . , п, ...
поставлено в соответствие вещественное число х„, то множество
вещественных чисел
*,,*.,, х„ ...,*„,... A)
называется числовой последовательностью или просто последова-
последовательностью*
Числа л:,, х,2, *.„ ..., хп, ... будем называть элементами (или
членами) последовательности A), символ хп — общим элементом
(или членом) последовательности, а число п его номером. Сокра-
Сокращенно последовательность A) будем обозначать символом {*„}.
Так, например, символ {—1 обозначает последовательность 1,
±± ±
2' 3' 'я'"'
Последовательность считается заданной, если указан способ
получения любого ее элемента. Например, формула хп= 1 +(— 1)"
* Другими словами, числовую последовательность можно определить как
множество пар чисел (п, xj, в которых первое число принимает последова-
последовательно значения 1, 2, 3,
20

задает последовательность: 0,2, 0,2, ... Обращая дробь — в десятич-
десятичную и оставляя один, два, три и т. д. знака после запятой, полу-
получаем последовательность
*, = 0,3; *2=0,33; *3= 0,333,...; хп= 0,333...3,...
По самому определению, последовательность содержит бесконеч-
бесконечное число элементов: любые два ее элемента отличаются, по крайней
мере, своими номерами.
Геометрически последовательность изображается на координат-
координатной прямой в виде последовательности точек, координаты которых
равны соответствующим элементам последовательности. На рис. 6, а
и б изображены соответственно последовательности {*„} = {—| и
¦ I 1
кккхмз о
¦Ит И {
-о-оооооооо-о-
S7 S \ г X
5)
Рис 6
Введем арифметические действия над числовыми последователь-
последовательностями. Пусть даны последовательности {.v,,} и {у,}.
Произведением последовательности {.?„} на число т назовем
последовательность тхь тх2, ..., тхп,...;
суммой данных последовательностей назовем последователь-
последовательность х,+у„ х.2 + у2,..., хп + уп,...;
разностью — последовательность хх — у,, х2 — у2, ..., хп — уп, ...;
произведением — последовательность ххуь х^у^ ..., х„уп, ...;
частным — последовательность —, —, ..., —, ..., если все члены
V у/ у.
последовательности [уп\ отличны от нуля.
Указанные действия над последовательностями символически
записываются так:
ш{хп} = {тх„},{х„\ + {у„} = \хп + у„),
W {} { }{} ] {Ь
2. Ограниченные и неограниченные последовательности. Опре-
Определение 1. Последовательность {хп) называется ограниченной сверху
(снизу), если существует число М (число т) такое, что любой эле-
* уп фО означает, чтозначения у отличны от нуля при любом п.
21

мент х„ этой_ последовательности удовлетворяет неравенству
Хп<М(Х„>т)-
Определение 2. Последовательность {*„} называется ограничен-
ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т. е. существуют числа
m и М такие, что любой элемент хп этой последовательности
удовлетворяет неравенствам m<lxn-^LM.
Пусть ,4 = max(|m|, \М\\. Тогда условие ограниченности
последовательности можно записать в виде \хп\ ^ А.
Определение 3. Последовательность \х„] называется неограни-
неограниченной, если для любого положительного числа А существует эле-
элемент хп этой последовательности, удовлетворяющий неравенству
х„\ > А (т.е. либо х„ > А, либо х„ < — А).
Из данных определений следует, что если последовательность
ограничена сверху, го все ее элементы принадлежат промежутку
(—оо, М|; если она ограничена снизу — промежутку \ш, -(-оо),
а если ограничена и сверху и снизу — промежутку [ т," М\ Неогра-
Неограниченная последовательность может быть ограничена сверху
(снизу).
Рассмотрим примеры ограниченных и неограниченных последо-
последовательностей.
1. Последовательность 1, 2, 3, ..., п, ... ограничена снизу, но
не ограничена сверху.
2. Последовательность — 1, — 2, —3, ..., — п, ... ограничена
сверху, но не ограничена снизу.
3. Последовательность 1, Г/2, 1/3, ..., 1 /п, ... ограничена, так
как любой элемент хп этой последовательности удовлетворяет нера-
неравенствам 0 < *„< 1 (пг = О, М = 1).
4. Последовательность — 1, 2, — 3, 4, — 5, ...,(— \)"п, ...неогра-
...неограниченная. В самом деле, каково бы ни было число А среди элемен-
элементов хп этой последовательности, найдутся элементы, для которых
будет выполняться неравенство |хп| > А.
С помощью логических символов данные выше определения
можно записать следующим образом:
последовательность [хп] ограничена сверху, если (ЗМ)(Ух„):х„ ^
<М;
последовательность {л-я} ограничена снизу, если {3m\Vхп)'.хп^
т\
последовательность {х,,} ограничена, если (ЗА > 0)(Ух„): \х„\ ^
последовательность \хп) неограничена, если (V/1 >0)(VxH): \xn\ >
Сравнивая запись с помощью логических символов двух по-
последних определений, видим, что при построении отрицаний сим-
символы 3 и V заменяют друг друга.
3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Определение 1. Последовательность [хп] называется бесконечно
большой, если для любого положительного числа А Существует но-
номер N такой, что при n>N* выполняется неравенство хп > А.
* «При п > N» означает «дли нсех элементов последовательности с номе-
номерами п > /V»
22

Символическая запись определения бесконечно большой после-
последовательности:
(У А > 0)C/V)(Vn > Л/) : \х„\ > А.
Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая
последовательность является неограниченной. Однако неограничен-
неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.
Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, ..., 1, п,
I, n + I, ... не является бесконечно большой, поскольку при
А > 1 неравенство |;с„|>/1 выполняется не для всех элементов хп
с нечетными номерами.
Определение 2. Последовательность {а„} называется бесконечно
малой, если для любого положительного числа г существует номер
N такой, что при « > N выполняется неравенство |а„| < е.
Символическая запись определения бесконечно малой последо-
последовательности:
(Ve > 0)C/V)(Vn > ЛО: |а„| < е.
Пример 1. Используя определение 1, докажем, что последова-
последовательность {п) является бесконечно большой.
Возьмем любое число А > 0. Из неравенства |л:„) = |п|>Л
получаем п>А. Если взять N^A, то для всех п > N будет
выполняться неравенство |л:„|>Л, т. е. согласно определению I
последовательность {п} бесконечно большая.
Пример 2. Используя определение 2, докажем, что последова-
последовательность {1 /п] является бесконечной малой.
Возьмем любое число е > 0. Из неравенства |а„ =|1/п|<е
получаем п > 1 /г. Если взять /V = [l/e]*, то для всех п> N
будет выполняться неравенство п^[1/в] + 1 > L/e, откуда \/п =
= \ап < е. Таким образом, согласно определению 2 последова-
последовательность {1/п} является бесконечно малой.
Докажем теорему, устанавливающую связь между бесконечно
большими и бесконечно малыми последовательностями.
Теорема 2.1. Если {хп) —бесконечно большая последова-
последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность
|—I бесконечно малая, и, обратно, если {а„} —бесконечно малая
последовательность и а„ Ф 0, то последовательность |—I—бес-
|—I—бесконечно большая.
Доказательство. Пусть {х,,} — бесконечно большая по-
последовательность. Возьмем любое е>0 и положим А =—. Соглас-
Согласно определению 1 для этого А существует номер N такой, что при
n> N будет \хп > А. Отсюда получаем, что —
1 i
* Символ [лг| обозначает целую часть числа х, т. е. наибольшее целое число,
не превосходящее х. Например, |1| = 1, [3, IJ = 3, |0, 7] = 0, [—0, 5] = — !,
| - 172,9| = — 173 и т д. Очевидно, [*| + 1 > х.
23

для нсех n>N. А это значит, что последовательность (—1 бес-
бесконечно малая. "
Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.И
4. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
Теорема 2.2. Сумма и разность двух бесконечно малых по-
последовательностей есть бесконечно малые последовательности.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {а,,} и {C,,} — бесконечно малые
последовательности. Требуется доказать, что последовательность
{а„±Р„} бесконечно малая Пусть? произвольное положительное
I С
число, N, -номер, начиная с которого |а„|<;—, a N.2— номер, на-
начиная с которого |р„|<-гр (Такие номера Л/, и ,V2 найдутся по опре-
определению бесконечно малой последовательности.) Возьмем N =
= max{,V|, N.,}\ тогда при п> N будут одновременно выполняться
два неравенства: |otyIj<C—^-, |р„ <С-^-- Следовательно, при n>N
а„
а
jp,J < -?¦ + -?- = е.
Это значит, что последовательность {a,,zhp,,} бесконечно малая.И
Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа
бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая
последовательность.
Теорема 2.3. Произведение двух бесконечно малых после-
последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть {а,,} и {(}„} - бесконечно малые
последовательности. Требуется доказать, что последовательность
|а„-р„} бесконечно малая. Так как последовательность {а,,} беско-
бесконечно малая, то для любого е>0 существует номер /V, такой, что
а„ <Се При n>N,, а так как {р„} также бесконечно малая последо-
последовательность, то для е=1 существует номер N, такой, что ||i,,| < 1
при n>/V2. Возьмем /V==max{/Vh N2\; тогда при п>М будут вы-
выполняться оба неравенства. Следовательно, при п> N
\а„
= |а„
Это означает, что последовательность {а„-р\,} бесконечно малая.И
Следствие. Произведение любого конечного числа бесконеч-
бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последова-
последовательность.
Замечание. Частное двух бесконечно малых последователь-
последовательностей может не быть бесконечно малой последовательностью и
может даже не иметь смысла. Например, если а„=1/«, E„=1/«,
то все элементы {а„/р„} равны единице и данная последователь-
последовательность является ограниченной. Если а„=1/л, р„= 1/л'2, то после-
последовательность {а„/р„} бесконечно большая, а если а„=1//г2,
Р„=1/«, то бесконечно малая. Ести, начиная с некоторого
номера, элементы {р,,} равны нулю, то {а„/р„} не имеет смысла.
24

Теорема 2.4. Произведение ограниченной последовательно-
последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последователь-
последовательность.
Доказательство. Пусть {хп} —ограниченная, а {а„} —
бесконечно малая последовательности. Требуется доказать, что
последовательность [хя- а,,} бесконечно малая. Так как последова-
последовательность [хг1] ограничена, то существует число А > 0 такое, что
любой элемент x,t удовлетворяет неравенству хл ^Л. Возьмем
любое е > 0. Поскольку последовательность {а,,} бесконечно малая,
для положительного числа —г существует номер N такой, что при
n>N выполняется неравенство |а„| <-4-. Следовательно, при
n>N
Это означает, что последовательность [хп ¦ а,,} бесконечно малая.!
Следствие. Произведение бесконечно малой последователь-
последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.
Перейдем теперь к одному из важнейших в математическом
анализе понятию предела числовой последовательности.
§ 2. Сходящиеся последовательности
I. Понятие сходящейся последовательности. Определение.
Число а называется пределом последовательности {хп), если для
любого положительного числа г существует номер N такой, что при
п > N выполняется неравенство
х„-а\<г. A)
С помощью логических символов это определение можно запи-
записать в виде
(Ve > 0)CiV)(V« > N) : \хп — fll < к.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Если последовательность {лгя} сходится и имеет своим пределом
число а, то символически это записывается так:
lim х„ = а* или хп-*-а при п -*¦ оо. B)
/I -к ОО
Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется
расходящейся.
Пример. Используя определение предела последоватльности,
докажем, что lim ——р= 1.
Возьмем любое число г > 0. Так как хп— 1|= ——j—
= —-j—г, то для нахождения значений п, удовлетворяющих не-
* limes (лат ) — предел
25

равенству \хп — 1 <е, достаточно решить неравенство 1/(« +
-|-1)<е, откуда получаем л>A—е)/е. Следовательно, в
качестве N можно взять целую часть числа A—е)/е, т. е. N =
= [A—е)/е]. Тогда неравенство \х„ — l|<e будет выполняться
при всех п> N. Этим и доказано, что lim ——р= 1.
Замечание 1. Пусть последовательность \х„) имеет своим
пределом число а. Тогда {ап} = {хг1 — а] является бесконечно
малой последовательностью, так как для любого е>0 существует
номер N такой, что при n>N выполняется неравенство |а„| =
= \хп—а|<<е. Следовательно, любой элемент хп последователь-
последовательности, имеющей пределом число а, можно представить в виде
хя = а + а,„ C)
где а„ — элемент бесконечно малой последовательности {а,,}. Оче-
Очевидно, справедливо и обратное: если хп можно представить в виде
хя=а-\-ап, где {а„}—бесконечно малая последовательность, то
limjrn=a. Представление C) используется при доказательствах
теорем о пределах последовательностей.
Замечание 2. Неравенство A) равносильно неравенствам
— е < хп — а < е или а — f, < хп <; а -\- е,
которые означают, что элемент хп находится в е-окрестности точки а
(рис. 7). Поэтому определение предела последовательности можно
сформулировать следующим образом: число а называется пределом
последовательности \хп), если для любой е-окрестности точки а
существует номер N такой, что все элементы хп с номерами п>N
находятся в этой е-окрестности.
Замечание 3. Очевидно, что бесконечно большая последо-
последовательность {хп) не имеет предела. Иногда говорят, что она имеет
бесконечный предел, и пишут
lim х„ =>оо.
Если при этом, начиная с некоторого номера, все члены последо-
последовательности положительны (отрицательны), то пишут
lim хп = -f- оо Mim хп = — оо J.
Предел последовательности, как он был определен ранее, будем
называть иногда в отличие от бесконечного предела конечным пре-
пределом.
Замечание 4. Очевидно, всякая бесконечно малая последова-
последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число а=0.
2. Основные свойства сходящихся последовательностей. Дока-
Докажем лемму, которая понадобится при доказательстве теоремы 2.5.
Лемма 2.1. Если все элементы бесконечно малой последова-
последовательности (а„} равны одному и тому же числу с, то с — 0.
26-

Доказатель с т в о. Предположим противное, т. е. что
Положим е = ~5-. Тогда по определению бесконечно малой
последовательности существует номер N такой, что при ,f
выполняется неравенство |а„|<р. Так как а„ = с, а е = -^-, то
м Id
последнее неравенство можно переписать в виде к|<-я-, откуда
1 <— Полученное противоречие доказывает, что неравенство
сфО не может иметь места и, значит, с = 0. Ш
Теорема 2.5. Сходящаяся последовательность имеет только
один предел.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что
сходящаяся последовательность {*„} имеет два предела а и Ь. Тогда
по формуле C) для элементов хп получаем
х„ = а + а „ и хп = Ь + Р „,
где а„ и р„ — элементы бесконечно малых последовательностей
{а,,} и {Р„}. Приравнивая правые части этих соотношений, найдем,
что а„— р„=6 — а. Так как все элементы бесконечно малой
последовательности [а.,,— Р„) равны одному и тому же числу Ь — а,
то по лемме 2.1 b — а = 0, т. е.
Ь = а. Ш
Теорема 2.6. Сходящаяся у^^~ ^T^Ni
последовательность ограничена. а-е о хп а*е х
Доказательство. Пусть
{хп} — сходящаяся последователь- рис у
ность и число а— ее предел. Пусть,
далее, е — произвольное положительное число и N — номер, начи-
начиная с которого выполняется неравенство хп—а|<е. Тогда
хя\ = \{хя - а) + а\ < \хп -а\ + \а\ < \а\ + г
для всех n>/V. Пусть Л = тах{|а| + е, |*,|, х2, ..., \хы\}.
||
Очевидно, |л:;1|^Л для всех номеров п, что и означает ограничен-
ограниченность последовательности {лсн}. I
Замечание. Ограниченная последовательность может и
не быть сходящейся. Например, последовательность —1, 1, —1, ...,
(— 1)", ... очевидно ограничена, но не сходится. Докажем это. Пред-
Предположим, что данная последовательность имеет предел число а.
Тогда для н = 1/2 существует номер N такой, что при n>N
будет \хп — а<1/2. Так как хп принимает попеременно значения
1 и — 1, то |l—а|<1/2 и |(—1) —а|<1/2. Используя эти
неравенства, получаем
2 = |l -а + а-(- 1I <|l -а\ + \а-{- 1I < 1/2 +
+ 1/2= 1,
т. е. 2<1. Полученное противоречие доказывает расходимость
данной последовательности.
27

Теорема 2.7. Сумма (разность) двух сходящихся последова-
последовательностей {х„} и [у„\ есть сходящаяся последовательность, предел
которой равен сумме (разности) пределов последовательностей
Ы и \уп).
Доказател ьство. Пусть а и b — соответственно пределы
последовательностей [х,] и {у„}. Тогда по формуле C):
хя= а + а„, у„= Ь + Р„,
где {a,J и {р„} — бесконечно малые последовательности. Следова-
Следовательно,
(х„±уя) -(а±Ь) = а„± р„.
По теореме 2.2 последовательность {а„±Р„} бесконечно малая.
Таким образом, последовательность {(х„±уп) — (а±Ь)} также
бесконечно малая, и поэтому последовательность {хп + уп\ сходится
и имеет своим пределом число а±Ь. Щ
Теорема 2.8. Произведение сходящихся последовательностей
{ха} и [уп] есть сходящаяся последовательность, предел которой
равен произведению пределов последовательностей {хп) и {у„}.
Доказательство. Пусть а и Ь — соответственно пределы
последовательностей {хп} и {y,J. Тогда но формуле C):
*„=¦¦ а + а„, у„ = b + ря,
где [ап\ и {р„| —бесконечно малые последовательности. Следова-
Следовательно,
хпУп — ab = а$п + Ьап + а?п.
Согласно теоремам 2.2—2.4 последовательность [а$„-\-Ьап-\-ап$„
бесконечно малая. Таким образом, последовательность {x,jyn — ab
также бесконечно малая, и поэтому последовательность [х„уп\
сходится и имеет своим пределом число ab. ¦
Теорема 2.9. Частное двух сходящихся последовательностей
{*„} и {у„\ при условии, что предел {ул} отличен от нуля, * есть
сходящаяся последовательность, предел которой равен частному
пределов последовательностей {хп} и {у„\-
Доказательство. Пусть а и Ь (ЬфО) — соответственно
пределы последовательностей {хп) и {у„}. Тогда по формуле C):
ха= а + а„,уп = b + рв,
где {а„} и {р„} —бесконечно малые последовательности. Следо-
Следовательно,
^_ а __ Ч - аУ« _ b(a + gJ ~ a(b + Рл) _ I / <La\
уп ~Ь Ьуп ~ Ьуп ~ уп \а" b P^J-
В силу свойств бесконечно малых последовательностей после-
последовательность {а„—тгр бесконечно малая. Покажем, что
* В силу условия lim у ф 0 элементы уп, начиная с некоторого номера /V,
не обращаются в нуль, поэтому частное { *„/!/„} имеет смысл для всех п > N
28

—I — ограниченная последовательность. Так как уп-*-Ь при
\ь\
п-*-оо, то для е = ~2" найдется номер N такой, что для всех
п> N будет \уп— Ъ <—гг- Поэтому
I
т. е. \у„
\ь\
»-я- и, следовательно,
всех n>N, что
и означает ограниченность последовательности J —
Щ
По теореме 2.4 последовательность |—(а„ й~Рл)| бесконечно
Г хп а. )
малая, поэтому последовательность I т-| также бесконечно
малая. Следовательно, последовательность |—} сходится и имеет
своим пределом число —. Ш
Теоремы, доказанные в этом пункте, имеют большое не только
теоретическое, но и практическое значение.
Пример. Найдем lim —тт~Ц—¦
Л — ос. 3rt I
При n-voo числитель и знаменатель дроби стремятся к беско-
бесконечности, следовательно, применить теорему о пределе частного
нельзя, так как в условии этой теоремы предполагается сущест-
существование конечных пределов. Поэтому сначала преобразуем дан-
данную последовательность, разделив числитель и знаменатель на я2.
Затем, применяя теоремы о пределе частного и о пределе суммы,
наиДем _ а а hm B+1/я+1/я»)
lim —7-7 = l'm ^~~,—т—— " ^°° =
"~°" ' " "" ' hm C—1/и2)
/I - - сю
lim 2+ lim (l/n)+ hm A/я-)
П--+ОО П -*¦ oo
2 + 0 + 0
3-0 3 "
lim 3— hm A/n2)
3. Предельный переход в неравенствах. Теорема 2.10.
Если элементы сходящейся последовательности [хл], начиная с не-
некоторого номера, удовлетворяют неравенству хп^Ь (х„^б), то
и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству
Доказательство. Пусть все элементы х„, начиная с неко-
некоторого номера, удовлетворяют неравенству х^Ь. Требуется дока-
доказать неравенство а~^Ь. Предположим противное, т. е. что a<cb.
Так как а — предел [хП], то для е = 6 — а существует номер N
такой, что при n>N выполняется неравенство \хп — а|<6 — а,
которое равносильно следующим двум неравенствам: —(Ь — а)<
29

<,xn — a<cb — а. Из правого неравенства получаем: xn<zb
при «>/V, а это противоречит условию теоремы. Следовательно,
а^Ь. Случай хп-^.Ь рассматривается аналогично.И
Следствие 1. Если элементы сходящихся последовательно-
последовательностей \хп) и {у,}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют
неравенству xn-^Lyn, то их пределы удовлетворяют неравенству
lim *„< lim у„.
П - - ос И * ос
В самом деле, начиная с некоторого номера, элементы после-
последовательности [уп—я,,} неотрицательны, а поэтому неотрицателен
и ее предел: lim (у„ — *„)= I'm у„— lim хп^0. Отсюда следует,
п * ос, и -щ, и •¦%
что lim jrn<; lim yn.
I]-r ОС II * ОС
Следствие 2. Если все элементы сходящейся последова-
последовательности [хп\ сходятся на отрезке [а, Ь], то и ее предел с также
находится на этом отрезке.
В самом деле, так как а^хп^Ь, то а^с^Ь.
Следующая теорема играет важную роль в различных прило-
приложениях.
Теорема 2.11. Пусть даны три последовательности {хп\,
[у,] и {zn), причем x^y^z,, для всех п, и пусть последователь-
последовательности [хп\ и {2,,} имеют один и тот же предел а. Тогда последова-
последовательность {ytl\ также имеет предел а.
Доказательство. Возьмем любое е>0. По этому е
для i оследовательности {хп\ найдется номер /V, такой, что
\хп— а <е при га>Л/|, т. о.
По тому же г для последовательности {г,} найдется номер /V2
такой, что 2„ — а <е при n>Nb т. е.
а - е < г„ < а + р.. E)
Пусть A/ = max{jV,, jV2). Тогда при n>N будут выполняться одно-
одновременно неравенства D) и E). Используя подчеркнутые неравен»
ства, а также неравенства, данные в условии теоремы, получаем
а — к < х„ < у„ ^ 2„ < а -\- г при п> N.
Отсюда , .
а — е < у„ < а + е или \уп — а\ <с е при я > ,V.
Это означает, что предел последовательности {у,,} равен а.Щ
§ 3. Монотонные последовательности
1. Определение и признак сходимости монотонных последова-
последовательностей. Определенно. Последовательность [х^ называется воз-
возрастающей, если х„<<ая.. , для всех п\ неубывающей, если х,,^.
^хп+1 для всех п; убывающей, если xn>xn^i для всех п\ невозра-
стающей, если хп~^хп,, для всех п.
.40

Все такие последовательности объединяются общим названием
монотонные последовательности Возрастающие и убывающие по-
последовательности называются также строго монотонными
Рассмотрим примеры монотонных последовательностей
1. Последовательность 1, 1/2, 1/3, , 1/я, убывающая и
ограниченная
2. Последовательность 1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, \/п, 1/я,
невозрастающая и ограниченная
3. Последовательность 1, 2, 3, п, возрастающая и неогра-
неограниченная
4. Последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3, , п, п, неубываю-
неубывающая и неограниченная
5. Последовательность 1/2, 2/3, 3/4, , п/(п-\-\), возрас-
возрастающая и ограниченная
Отметим, что монотонные последовательности ограничены, по
крайней мере, с одной стороны неубывающие последовательно-
последовательности— снизу (xn^xt для всех п), невозрастающие — сверху (xns^L
<;.*:, для всех п) Оказывается, что если монотонная последова-
последовательность ограничена с обеих сторон, т е просто ограничена, то
она сходится Немонотонные последовательности этим свойством
не обладают Например, немонотонная последовательность {(—1)")
ограничена, но не сходится (см замечание к теореме 2 6)
Имеет место следующая основная теорема о монотонных после-
последовательностях
Теорема 2.12. Монотонная ограниченная последовательность
сходится
Доказательство Рассмотрим случай неубывающей по-
последовательности
Пусть лс„^лсл), для всех п и существует число М такое, что
все элементы хп не больше М, т е *„^:М Рассмотрим числовое
множество X, состоящее из элементов данной последовательности
По условию это множество ограничено сверху и непусто Поэтому
в силу теоремы 1 1 множество X имеет точную верхнюю грань
Обозначим ее через а и докажем, что а является пределом данной
последовательности
Так как а -точная верхняя грань множества элементов после-
последовательности {*„}, то согласно свойству точной верхней грани
для любого е>0 найдется номер N такой, что xv>a —e По-
Поскольку [хп\ — неубывающая последовательность, то при п>N
будет хп>а — е С другой стороны, по определению верхней
грани xn-^a<ia-\-e. для всех п Таким образом, при n>N
получаем неравенства a — e<xn<ia-\-t, т е *„ — я|<е при n>N
Это и означает, что число а - предел последовательности \х]
Случай невозрастающей последовательности рассматривается
аналогично ¦
Замечание Ограниченность монотонной последовательности
является необходимым и достаточным условием сходимости
31

В самом деле, если монотонная последовательность ограни-
ограничена, то в силу теореуч 2 12 она сходится; если же монотонная
последовательность сходится, то по теореме 2.6 она ограничена.
2. Число е. Рассмотрим последовательность \х] с общим чк1-
ном *„ = ^1 +—
!,'.(¦ + 4)-. ..A+4)'--
Докажем, что она сходится Для этого достаточно доказать, что
последовательность (л:,,) — возрастающая и ограничена сверху
Применив формулу бинома Ньютона* [п 6, § 3, м 4, формула A0)|,
получим
. . 1 . п (п — 1 ] I п ¦: п — 11 ¦ п — 2) 1
Х"= ' +" —+ 2< — + V — +
. п (';[ — 1) :и — 2) \п — in - I :; 1
¦ Н п~< ~-
Представим это выражение н следующей форме-
¦¦1]
Аналогичным образом представим xnJr{
v о |
A i 1 ^ —Г~ —Г.
¦¦¦ + (л + II (' ^Г+Т) (' ~ л + l) ¦¦ К} ~ п-\ \)
1—^")*<('—п _|_ 1 ) "Р" 0<^<п По-
Поэтому каждое слагаемое в выражении для х„ ,, больше соответ-
соответствующего слагаемого в выражении для хп и, кроме того, у х,1+1
по сравнению с хп добавляется еще одно положительное слагаемое.
Следовательно, хп<.ха + ь т. е. последовательность \хп] возраста-
возрастающая.
Для доказательства ограниченности сверху данной последова-
последовательности заметим, что каждое выражение а круглых скобках в со-
соотношении A) меньше единицы. Учитывая также, что — <-
при п>2, получаем
а-„ < 2+4+4 + - + v < 1 +1 + 4 + тт + ¦¦+т~
Используя формулу суммы геометрической прогрессии, придем
к неравенству
* Ньютон Исаак A642 -1727) поликий анпийскми фи.шк механик, аиро
ном и математик

Таким образом, доказано, что последовательность {A-(-1/п)"} —
возрастающая и ограничена сверху. По теореме 2.12 она имеет
предел. Этот предел обозначают буквой е. Итак, по определению,
/ 1 \"
е = lim [ 1 -\ ) .
Отметим, что число е играет большую роль во многих вопросах
математики. Оно, в частности, является основанием натуральных
логарифмов. В настоящем параграфе дано только определение
числа е. Далее будет рассмотрен способ вычисления этого числа
с любой степенью точности.
Здесь лишь отметим, что так как х„<3 и из A) непосредственно
очевидно, что 2<х„, то число е заключено в пределах 2^е^3.
Доказано, что число е иррациональное.
Докажем теорему, которая в дальнейшем неоднократно исполь-
используется при доказательстве других теорем.
§ 4. Теорема о вложенных отрезках
Пусть дана последовательность отрезков [а,, й,], [ а,„ Ь.,\, •••,
[ а,„ Ь,,\, ... таких, что каждый последующий содержится в преды-
предыдущем: [ а,, и,] 131 а у, b,,\ id... -)[ а„, Ьп\ =)..., т. е.
а„ < ал м < Ь„ ,,< Ьп для всех п, A)
и пусть lim [bп — а„) = 0. Будем называть эту последовательность
л . .^
последовательностью вложенных отрезков.
Теорема 2.13. Для любой последовательности вложенных от-
отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем от-
отрезкам этой последовательности.
Доказательство. Из неравенств A) следует, что левые
концы отрезков образуют неубывающую последовательность
а, <а2<а(<...<а„<а„ ,,<..., B)
а правые концы — невозрастающую последовательность
Ь^Ь,^Ь^..'^Ь„^Ь„,^... C)
При этом последовательность B) ограничена сверху, а последо-
последовательность C) ограничена снизу, так как а„^6,, а 6„^а,, для
любого п. Следовательно, на основании теоремы 2.12 эти последо-
последовательности имеют пределы. Пусть lim an=c', a lim b, = c". Тогда
из условия
lim (bn — an) = lim bn — lim an = с" — с' = О
следует, что с' = с", т. е. последовательности {а,,} и [bn] имеют
общий предел. Обозначая этот предел буквой с, получаем, что для
любого п справедливы неравенства an^Lc^Lbn, т. е. точка с при-
принадлежит всем отрезкам последовательности A).
33
2-1032

Докажем теперь, что такая точка только одна. Допустим, что
существует еще одна точка с^с^с), принадлежащая всем отрез-
отрезкам последовательности A). Тогда для любого п должно выпол-
выполняться неравенство й„ — а„^|с| — с и, следовательно,
lim (Ь„ — а,,)^ с, — с\ ^=0, что противоречит условию теоремы.И
Замечание. Теорема неверна, если вместо отрезков рас-
рассматривать интервалы. Например, для последовательности вло-
вложенных интервалов
@, 1) =>@, 1/2) =э@, 1/4) =э ... =>@, 1/2") =э ... D)
не существует точки, принадлежащей всем интервалам. В самом
деле, какую бы точку с на интервале @, 1) ни взять, всегда най-
найдется номер N такой, что мри n>N будет 1/2"<Сс и, следова-
следовательно, точка с не будет принадлежать интервалам последователь-
последовательности D), начиная с интервала @, 1 /2 v* ').
Для дальнейшего изложения нам понадобятся некоторые све-
сведения из аналитической геометрии. Поэтому следующая глана
посвящена этому разделу математики.
Г Л Л Н \ (
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Аналитическая геометрия - область математики, изучающая
геометрические образы алгебраическими методами. Еще в XVII в.
французским математиком Декартом был разработан метод коор-
координат, являющийся аппаратом аналитической геометрии.
В основе метода координат лежит понятие системы координат.
Мы познакомимся с прямоугольной (или декартовой) и полярной
системами координат.
§ 1. Прямоугольная система координат
Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее
начало О и одинаковую масштабную единицу (рис. 8), образуют
прямоугольную систему координат на плоскости.
Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу -- осью ординат, а обе
оси вместе — осями координат. Точка О пересечения осей назы-
называется началом координат. Плоскость, в которой расположены
оси Ох и Оу, называется координатной плоскостью и обознача-
обозначается Оху.
Пусть М — произвольная точка плоскости. Опустим из нее
перпендикуляры МА и MB на оси Ох и Оу.
Прямоугольными координатами хну точки М будем называть
соответственно величины ОА и ОВ направленных отрезков ОА
нШ:х=ОА,у=ОВ.
34

Координаты хну точки М называются соответственно ее абсцис-
абсциссой и ординатой. Тот факт, что точка М имеет координаты х и у,
символически обозначают так: М (х; у). При этом первой в скоб-
скобках указывают абсциссу, а второй — ординату Начало коорди-
координат имеет координаты @; 0)
Таким образом, при выбранной системе координат каждой
точке М плоскости соответствует единственная пара чисел (х; у)* —
ее прямоугольные координаты, и, обратно, на каждой паре чисел
(х; у) соответствует, и притом одна, точка М плоскости Оху
такая, что ее абсцисса равна х, а ордината у.
Итак, введение прямоугольной системы координат на плоско-
плоскости позволяет установить взаимно однозначное соответствие между
множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел, что дает
возможность при решении геометрических задач применять алге-
алгебраические методы.
У ,
—оМ
ж
к.0, у>0
Ш
xt.0, y<0
У
0
Х-!
к
I
0, у >0
Ш
уО, у <-0
Рис 9
Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их назы-
называют четвертями, квадрантами или координатными углами и
нумеруют римскими цифрами I, II, III, IV так, как показано на
рис. 9. На рис. 9 указаны также знаки координат точек в зависимо-
зависимости от их расположения в той или иной четверти.
§ 2. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
1. Расстояние между двумя точками. Теорема 3.1. Для
любых двух точек М,(.к,; у,) и М2(х.2; у.2) плоскости расстояние d
между ними выражается формулой
-XlJ + (y2-yiJ. (I)
Доказательство. Опустим из точек М, и М2 перпен-
перпендикуляры М{В и М2А соответственно на оси Оу и Ох и обозначим
через /(точку пересечения прямых М{В и М2А (рис. 10). Точка К
* Здесь речь идет об упорядоченной паре чисел, т. е. о наборе из двух
чисел, в котором указано, какое число является первым, а какое — вторым
Если кфу, то пары (дг, у) и (у, х) различны, так как в первой из них пер-
иым числом является х, а во второй - у
35

имеет координаты (х2, у,), поэтому (см. гл 1, § 3)
\М.К
-= х,— х.
М2К\ = \у-2 — у.
Так как треугольник М,М2К — прямоугольный, то по теореме
Пифагора
V Г )'2
d = Л/(МЛJ -г- [M,Kf = Y(x, - л-,)'2 + (у, - ук _
2. Площадь треугольника. Теорема 3.2. Для любых то-
точек A (xh у,), В (*>; у>) и С (х-,, у,), не лежащих на одной прямой,
площадь s треуголпника ABC выражается формулой
s = 4И (** - хд (У. - У.) - (^. - *i) (^ - У|)Н- B)
Доказательство. Площадь треугольника ABC, изоб-
изображенного на рис 11, можно найти так.
^lirii' sAnn> — площади соответствующих трапеций.
где s/WIO
Поскольку
-^ .1/1/ I —
sbci i- —
'S'/1.4/ /) —
\лп\ -v \с.г\
\Л1У
( Л) — х\
2
2
)(
V,
I 'Л)
2~
подставив выражения дня этих площадей в равенство C), полу-
получим формулу
из которой следует формула B). Для любого другого расположе-
расположения треугольника ABC формула B) доказывается аналогично.^
у
У,
//
/S 0
м,1',.у,1
л
в к
У2 <ЧУг)
X
Ри< 1П Рис II
Пример. Даны точки ЛA; 1), ВF, 4), С {Я; 2). Найти площадь
треугольника ABC По формуле B):
3. Деление отрезка е. данном отношении. Пусть па плоскости
дан произвольный отрезок М,Л4, и пусть М -любая точка этого
отрезка, отличная от точки Мг (рис. 12).

Число к, определяемое равенством
|м,м|
Л —— \ »л »л I ¦
называется отношением, в котором точка М делит отрезок М^М2.
Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том,
чтобы по данному отношению к и данным координатам точек М,
и М2 найти координаты точки М.
Решить эту задачу позволяет следующая теорема.
Теорема 3.3. Если точка М (х; у) делит отрезок М{М2
в отношении к, то координаты этой
точки определяются формулами ^
__
0
(лг,; у,) — координаты точки М,;
(х2; у2) — координаты точки М2.
Доказательство. Пусть пря-
прямая М{М2 не перпендикулярна оси Ох.
Опустим перпендикуляры из точек М(,
М, М2 на ось Ох и обозначим точки их
пересечения с осью Ох соответственно Рис- |2
через Р„ Р и Р., (рис. 12). На основании теоремы элементарной
геометрии о пропорциональности отрезков прямых, заключенных
между параллельными прямыми, имеем
м м\
= к,
но \Р1Р\ = \х — х, , \РР2 = х2— х\ (см. гл. 1,§ 3).
Так как числа (лг— х,) и (лс2 — х) одного и того же знака (при
*,«<*, они положительны, а при х{>х2- отрицательны), то
Поэтому
х — х, х +;
-—— =А., откуда лс = —г-г-
Если пря-
мая М|М2 перпендикулярна оси Оле, то jc, = лса= лс и эта фор-
формула также, очевидно, верна. Получена первая из формул E).
Вторая формула получается аналогично. Щ
Следствие. Если М,(л::; у,) и М2(лс2; у2) — две произволь-
произвольные точки и точка М (х; у) — середина отрезка М^МЪ т. е.
\М ,М| = ММ2|, то к = 1, и по формулам E) получаем
х. ~г *о У\ "г Уо
X =
- У =
" •у ~ 2 •
Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полу-
полусумме соответствующих координат.
Пример. Даны точки М, A; 1) и М2G; 4). Найти точку М (х; у),
которая в два раза ближе к М „ чем М.>
Решение. Искомая точка М делит отрезок М\М2 в отношении
А,= 1/2. Применяя формулы E), находим координаты этой точки:
лс=3, у=2.
37

§ 3. Полярные координаты
Наиболее важной лосле прямоугольной системы координат
является полярная система координат. Она состоит из некоторой
точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее луча ОБ —
полярной оси. Кроме того, задается единица масштаба для изме-
измерения длин отрезков.
Пусть задана полярная система координат и пусть М — про-
произвольная точка плоскости. Пусть р — расстояние точки М от
точки О; ф — угол, на который нужно повернуть полярную ось
для совмещения с лучом ОМ (рис. 13).
Полярными координатами точки М называются числа р и ф.
При этом число р считается первой координатой и называется
полярным радиусом, число ф -- второй координатой и называется
полярным углом.
Рис 13
Рис 14
Точка М с полярными координатами р и ср обозначается так:
М (р; ф). Очевидно, полярный радиус может иметь любое неотри-
неотрицательное значение: 0^р< + оо. Обычно считают, что поляр-
полярный угол изменяется в следующих пределах: 0^ф<2л. Однако
в ряде случаев приходится рассматривать углы, большие 2л, а также
отрицательные углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси
по часовой стрелке.
Установим связь между полярными координатами точки и ее
прямоугольными координатами. При этом будем предполагать, что
начало прямоугольной системы координат находится в полюсе,
а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.
Пусть точка М имеет прямоугольные координаты х и у и полярные
координаты р и ф (рис. 14). Очевидно,
х = р cos ф, у = р sin ф. A)
Формулы A) выражают прямоугольные координаты через поляр-
полярные. Выражения полярных координат через прямоугольные сле-
следуют из формул (I):
р =-- V*2 + у\ tg ф = у/х. B)
Заметим, что формула tgф = y/Jr определяет два значения по-
полярного угла ф, так как ф изменяется от 0 до 2л. Из этих двух зна-
38

чений угла ер выбирают то, при котором удовлетворяются равен-
равенства A)
Пример. Даны прямоугольные координаты точки: B, 2). Найти
ее полярные координаты, считая, что полюс совмещен с началом
прямоугольной системы координат, а полярная ось совпадает с по-
положительной полуосью абсцисс
Решение По формулам B) имеем
р= 2\/2, tgcp= 1
Согласно второму из этих равенств ср = л/4 или <р = 5л/4 Но так
как а = 2>0 и y = 2>0, то нужно взять ф = л/4
§ 4. Преобразование прямоугольных координат
При решении многих задач аналитической геометрии наряду
с данной прямоугольной системой координат приходится вводить
и другие прямоугольные системы координат При этом, естественно,
изменяются как координаты точек, так и уравнения кривых Воз-
Возникает задача' как, зная координаты точки в одной системе коор-
координат, найти координаты этой же точки в другой системе коорди-
координат Решить эту задачу позволяют формулы преобразования коор-
координат.
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных коорди-
координат
1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение на-
начала координат, а направления осей остаются прежними,
2) поворот осей координат, когда обе оси поворачиваются в одну
сторону на один и тот же угол, а начало координат не изменяется
1. Параллельный сдвиг осей. Пусть точка М плоскости имеет
координаты (х; у) в прямоугольной системе координат Оху Пере-
Перенесем начало координат в точку О' (а; Ь), где а и b координаты
нового начала в старой системе координат Оху Новые оси коор-
координат О'х' и О'у' выберем сопаправленными со старыми осями
Ох и Оу Обозначим координаты точки М п системе О'х'у' (новые
координаты) через (х', у') Выведем формулы, выражающие связь
между новыми и старыми координатами точки М Для этого про-
проведем перпендикуляры MM x-LOx, MM 4-LOy, O'O' xl.Ox,
О'О'4.LOy и введем обозначения Мл и Мt) для точек пересечения
прямых ЛШГ и ММу соответственно с осями О'х' и О'у' (рис. 15)
Тогда, используя основное тождество (гл 1, § 3), получаем
х= ОМ,= 00',+ О\МЛ = ОО\ + О'МЛ = а + х',
у = ОМ„ = 00'у + О'ЦМЦ = 00'ц + О'МЧ = Ь + у'
Итак,
* = *' + а,у = у' + Ь A)
или
х'= х — а,у'= у —b B)
Это и есть искомые формулы
39

2. Поворот осей координат. Повернем систему координат Оху
вокруг начала координат О на угол а в положение Ох'у' (рис. 16).
Пусть точка М имеет координаты (х; у) в старой системе коор-
координат Оху и координаты (*'; у') в новой системе координат Ох'у'
Выведем формулы, устанавливающие связь между старыми и но-
новыми координатами точки М. Для этого обозначим через (р; Bi
полярные координаты точки М, считая полярной осью положитель-
положительную полуось Ох, а чере* (р; 0') — молярные координаты той же
точки М, считая полярной осью положительную полуось Ох'
У
/
У
\
\
0
My
\
ь
у.
му,
0'
х —
__—
\
м, t
X
мх
Рис И)
Далее,
Рис 15
Очевидно, в каждом случае р=|ОМ|, а 9=6'
согласно формулам A) из § 3
х = р cos 9, у = р sin В
и аналогично
х' = р cos 9', у' = р sin 9'.
Таким образом,
х = р cos 6 = р cos @' + а) = р (cos 6' cos а — sin 0' sin а) =
— р cos В' cos а — р sin 0' sin а = х' cos а — у' sin а;
у = р sin 9 = р sin (9' + а) = р (cos 9' sin а + sin В' cos а) =
= р cos 6' sin а + р sin 9' cos а = х' sin а + у' cos а.
Итак,
{х = х' cos a — у' sin а,
у ¦= х' sin а + У' cos а.
Выражая из этих равенств х' и у' через х и у, получим
< х' =- х cos а -\- у sin a,
\ у' — — х sin а -\- у sin a.
Пример. Определить координаты точки М C; 5) в новой си-
системе координат О'х'у', начало 0' которой находится в точке
(— 2; 1), а оси параллельны осям старой системы координат Оху.
Решение. По формуле B) имеем
х' = 3 + 2 = 5, у' = 5 — 1 = 4,
т. е в новой системе координат точка М имеет координаты E; 4).
C)
40

§ 5. Уравнение линии на плоскости
Рассмотрим соотношение вида
F(x;y) = 0, A)
связывающее переменные величины х и у. Равенство A) будем назы-
называть уравнением с двумя переменными х, t/.если это равенство спра-
справедливо не для всех пар чисел хну.
Примеры уравнений: 2*-|-3</=0, х2-\-у2 — 25=0, sinx +
+ sin у— 1=0.
Если равенство A) справедливо для всех пар чисел х и у, то
оно называется тождеством.
(x-\-yf —х2 — 2ху — у'2 = 0,
(х-\-
Примеры тождеств:
+ у) (х-у)-х2 + у2=0.
Важнейшим понятием аналитической геометрии является по-
понятие уравнения линии. Пусть на плоскости заданы прямоуголь-
прямоугольная система координат и некоторая линия L (рис. 17).
Рис 17
Рис 18
Определение. Уравнение A) называется уравнением линии L
(в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетво-
удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не
удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой
линии.
Из определения следует, что линия L представляет собой мно-
множество всех тех точек плоскости, координаты которых удовлетво-
удовлетворяют уравнению A). Будем говорить, что уравнение A) определяет
(или задает) линию L.
Понятие уравнения линии дает возможность решать геометри-
геометрические задачи алгебраическими методами. Например, задача на-
нахождения точки пересечения двух линий, определяемых уравне-
уравнениями л:-)-у = 0 и х2-\-у2= 1, сводится к алгебраической задаче
решения системы этих уравнений.
Линия L может определяться уравнением вида
где (р; ф) — полярные координаты точки.
Рассмотрим примеры уравнений линий.
41

1) х — у=0 Записав это уравнение в виде </ = *, заключаем,
что множество точек, координаты которых удовлетворяют дан-
данному уравнению, представляет собой биссектрисы I и III коорди-
координатных углов Это и есть линия, определенная уравнением х — у=
= 0 (рис 18)
2) х1 — у2=0 Представив уравнение в виде (х — у)(х-\-у) —
— 0, заключаем, что множество точек, координаты которых удо-
удовлетворяют данному уравнению, — это две прямые, содержащие
биссектрисы четырех координатных углов (рис 19)
3) *2-|-</2=0 Множество точек, координаты которых удовлет-
удовлетворяют этому уравнению, состоит из одной точки @, 0) В данном
случае уравнение определяет, как говорят, вырожденную линию
4) х2 + у2 + 1 = 0 Так как при любых х и у числа х~ и у2
неотрицательны, то хЧу2 + 1>0 Значит, нет ни одной точки,
координаты которой удовлетворяют данному уравнению, т е ни-
никакого геометрического образа на плоскости данное уравнение не
определяет
м
Рис 19
Рис 20
5) p = acos<p, где a — положительное число, переменные р
и ф — полярные координаты Обозначим через М точку с полярными
координатами (р, <р), через А—точку с полярными координатами
(а, 0) (рис 20) Если p = acoscp, где 0<ф<л/2, то угол ОМА —
прямой, и обратно Следовательно, множество точек, полярные
координаты.которых удовлетворяют данному уравнению, это окруж-
окружность с диаметром О А
6) р = аф, где а— положительное число, р и ф — полярные
координаты. Обозначим через М точку с полярными координатами
(р, ф) Если ф = 0, то и р = 0 Если ф возрастает, начиная от
нуля, то р возрастает пропорционально ф Точка М (р, ф), та-
таким образом, исходя из полюса, движется вокруг него с ростом ф,
одновременно удаляясь от него Множество точек, полярные ко-
координаты которых удовлетворяют уравнению р = аф,- называется
спиралью Архимеда (рис 21) При этом предполагается, что ф
может принимать любые неотрицательные значения
Если точка М совершает один полный оборот вокруг полюса,
то ф возрастает на 2л, ар — на 2ал, т е спираль рассекает любую
42

прямую, проходящую через полюс, на равные отрезки (не считая
отрезка, содержащего полюс), которые имеют длину 2ал.
В приведенных примерах по заданному уравнению линии иссле-
исследованы ее свойства и тем самым установлено, что представляет со-
собой эта линия.
Рассмотрим теперь обратную задачу: для заданного какими-то
свойствами множества точек, т. е. для заданной линии L, найти
ее уравнение.
Пример. Вывести уравнение (в заданной прямоугольной системе
координат) множества точек, каждая из которых отстоит от точки
С (а; Р) на расстоянии R.
Иными словами, вывести урав-
уравнение окружности радиуса R
с центром . в точке С (а; Р)
(рис. 22).
у
Рис 21
а
Рис 22
Решение. Расстояние от произвольной точки М (х\ у) до
точки С вычисляется по формуле |МС|= v(x — af-\-(y — РJ.
Если точка М лежит на окружности, то |МС| = /? или МС2 =
= /?2, т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению
(х - аJ + (у - рJ = R2. B)
Если же точка М (х; у) не лежит на данной окружности, то МС2ф
=7^=/?2, т. е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению B).
Таким образом, искомое уравнение окружности имеет вид B).
Полагая в B) а=0, Р=0, получаем уравнение окружности ра-
радиуса R с центром в начале координат: x'2-\-yi=R2.
§ 6. Линии первого порядка
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть дана
некоторая прямая. Назовем углом наклона данной прямой к оси Ох
угол а, на который нужно повернуть ось Ох, чтобы ее положи-
положительное направление совпало с одним из направлений прямой.
Угол а может иметь различные значения, которые отличаются друг
от друга на величину ± «л, где п — натуральное число. Чаще
43

всего в качестве угла наклона берут наименьшее неотрицательное
значение ума а, на который нужно повернуть (против часовой
стрелки) ось Ох, чтобы ее положительное направление совпало
с одним из направлении прямой (рис. 23). В таком случае 0
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым
коэффициентом этой прямой и обозначается буквой k:
* = lga. A)
Из формулы A), в частности, следует, что если а=0, г. е.
прямая параллельна оси Ох, то /г=0. Если а=л/2, т. е. прямая
перпендикулярна оси Ох, то k — tg a теряет смысл. В таком слу-
случае говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконеч-
бесконечность».
Выведем уравнение данной прямой, если известны ее угловой
коэффициент k и величина b отрезка ОВ*, который она отсекает на
оси Оу (рис. 23) (т. с. данная прямая не перпендикулярна оси Ох).
Обозначим через М произвольную точку плоскости с коорди-
координатами х и у. Е:сли провести прямые BN и NM, параллельные
осям, то в случае кф-0 образуется прямоугольный треугольник
BNM. Точка М лежит па прямой тогда и только тогда, когда ве-
величины NM и BN удовлетворяют условию
NM
[
но NM=CM — CN=CM — OB = y — b, BN = x. Отсюда, учи-
учитывая формулу A), получаем, что точка М (х; у) лежит на данной
прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют
уравнению
Уравнение B) после преобразования принимает вид
У = kx + Ь. C)
Уравнение C) называют уравнением прямой с угловым коэффици-
коэффициентом. Если k = 0, то прямая параллельна оси Ох, и ее уравнение
имеет вид у= Ь.
Итак, любая прямая, не перпендикулярная оси Ох, имеет урав-
уравнение вида C). Очевидно, верно и обратное: любое уравнение вида
C) определяет прямую, которая имеет угловой коэффициент k и
отсекает на оси Оу отрезок величины Ь.
Пример. Построить прямую, заданную уравнением
i/=C/4)jf + 2.
Р е ш е н и е. Отложим на оси Оу отрезок Ой, величина кото-
которого равна 2 (рис 24); проведем через точку В параллельно оси Ох
* Более того, b является величиной направленного отрезка ОВ па оси Оу
Однако для краткости будем говорить просто «величина отрезка ОД»
44

отрезок, величина которого BN=\, и через точку /V параллельно
оси Оу отрезок, величина которого /VM = 3 Затем проведем пря-
прямую ВМ, которая и является искомой. Она имеет угловой коэф-
коэффициент /г = 3/4 и отсекает на оси Оу отрезок величины ft = 2.
2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с дан-
данным угловым коэффициентом. В ряде случаев возникает необхо-
необходимость составить уравнение прямой, зная одну ее точку М, (ду, у,)
и угловой коэффициент k. Запишем уравнение прямой в виде C),
где ft — пока неизвестное число. Так как прямая проходит через
точку М, (л„ у,), то координаты этой точки удовлетворяют урав-
уравнению C): у, = kxt -\- b. Определяя b из этого равенства и подстав-
подставляя в уравнение C), получаем искомое уравнение прямой:
Замечание. Если прямая проходит через точку М, (*,; у,)
перпендикулярно оси Ох, т. е. ее угловой коэффициент обраща-
обращается в бесконечность, то уравнение прямой имеет вид х — jc, = O
Формально это уравнение можно получить из D), если разделить
уравнение D) на k и затем устремить k к бесконечности.
У,
в
0
-
N
X
Phi 23 Рис Ъ\
3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть даны две точки М, (*,; у,) и М,{хг, у.2) (рис. 25). Запишем
уравнение прямой MtM.2 в виде D), где k —пока неизвестный
угловой коэффициент Так как прямая MtMj проходит через точку
Мъ то координаты этой точки удовлетворяют уравнению D):
у2 — у,= k (*._, — *,) Определяя k из этого равенства (при усло-
условии хх=^х,) и подставляя в уравнение D), получаем искомое урав-
уравнение прямой:
У-У* =
у
Это уравнение, если у{=?у2< можно записать в виде
у - ц х - х
E)
Если У\ = У'^ то уравнение искомой прямой имеет вид y=ys.
В этом случае прямая параллельна оси Ох Если л:, = л:2, то пря-
прямая, проходящая через точки М, и М-,, параллельна оси Оу, и ее
уравнение имеет вид * = *,.
45

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки
М,C; 1) иУИ2E; 4).
Решение. Подставляя координаты точек М, и М2 в соот-
соотношение E), получаем искомое уравнение прямой:
* — 3 и — 1 п
—2— = -~з—, или Зх — 2у — 7 = 0.
4. Угол между двумя прямыми. Рассмотрим две прямые L,
и L2. Пусть уравнение L, имеет вид y=k,x-\-bt, где /j| = tga,,
а уравнение L2— вид у = k2x -\- b2, где fc)=tga.> (рис. 26). Пусть
ф — угол между прямыми L, и L,: 0^ф<л.
Из геометрических соображений устанавливаем зависимость
между углами а,, а,, (р: а,= а|-|-ф или ф=а2 — а,. Отсюда
tg Ф = tg (a, - a,) =
или
Формула F) определяет один из углов между прямыми. Второй
угол равен л — ф.
Рис 20 Рис 26
Пример. Две прямые заданы уравнениями у=2х-\-3 и </ =
= —3* + 2. Найти угол между этими прямыми.
Решение. Очевидно, 6, = 2, k.2= — 3, поэтому по формуле
F) находим
tg ф = (- 3 - 2)/A + (- 3) • 2) = - 5/- 5=1.
Таким образом, один из углов между данными прямыми равен л/4,
другой угол л —л/4 = Зл/4.
5. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Если прямые L, и L2 параллельны, то ф=0 и tg ф = 0. В этом
случае числитель в правой части формулы F) равен нулю: k2 — &,=
= 0, откуда
46

Таким образом, условием параллельности двух прямых является
равенство их угловых коэффициентов
Если прямые Lt и L.2 перпендикулярны, т е ф = я/2, то а2 =
,)= — ctga,= — l/(tga,),T e
Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит
в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и про-
противоположны по знаку Это условие можно формально получить из
формулы F), если приравнять нулю знаменатель в правой части F),
что соответствует обращению tg cp в бесконечность, т е равенству
Ф=л/2
6. Общее уравнение прямой. Теорема 3.4. В прямоуголь-
прямоугольной системе координат любая прямая задается уравнением первой
степени
Ах + By + С = 0, G)
и обратно, уравнение G) при произвольных коэффициентах А, В, С
(А и В не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую
в прямоугольной системе координат Оху
Доказательство Сначала докажем первое утверждение
Если прямая не перпендикулярна оси Ох, то, как было показано
в п 1, она имеет уравнение y=kx-\-b, т е уравнение вида G),
где А = k, й= — 1 и С = Ь Если прямая перпендикулярна оси
Ох, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине а
отрезка, отсекаемого прямой на оси Ох (рис 27) Уравнение этой
прямой имеет вид * = а, т е также является уравнением первой
степени вида G), где Л=1, fi = 0, C=—а Тем самым первое
утверждение доказано Докажем обратное утверждение Пусть дано
уравнение G), причем хотя бы один из коэффициентов Л и Я не
равен нулю
Если B=jt=O, то G) можно записать в виде
АС
У x
Полагая k= — А/В, Ь = — С /В, получаем уравнение y=kx-\-b,
т е уравнение вида C), которое определяет прямую
Если В = 0, то А=/=0 и G) принимает вид Х— — С/А Обозна-
Обозначая — С/А через а, получаем х — а, т е уравнение прямой, пер-
перпендикулярной оси Ох Ш
Линии, определяемые в прямоугольной системе координат урав-
уравнением первой степени, называются линиями первого порядка
Таким образом, каждая прямая есть линия первого порядка и,
обратно, каждая линия первого порядка есть прямая
Уравнение вида Ах-{-Ву-\-С = 0 называется общим урав-
уравнением прямой Оно содержит уравнение любой прямой при соот-
соответствующем выборе коэффициентов А, В, С
47

7. Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой
«в отрезках». Рассмотрим три частных случая, когда уравнение
Ах +¦ Ву-\- С=0 является неполным, т е какой-то из коэффи-
коэффициентов равен нулю
1) С=0, уравнение имеет вид Ах-\- Ву=0 и определяет
прямую, проходящую через начало координат
2) fi = 0 (АфО), уравнение имеет вид Ах-\-С=0 и опре
деляет прямую, параллельную оси Оу Как было показано в тео-
теореме 3 4, это уравнение приводится к виду * = а, где а= — С/А,
а — величина отрезка, который отсекает прямая на оси Ох (рис 27)
В частности, если а = 0, то прямая совпадает с осью Оу. Таким
образом, уравнение *=0 определяет ось ординат.
3) А = 0 (ВфО), уравнение имеет вид Ву-\-С=0 и опреде-
определяет прямую, параллельную оси Ох Этот факт устанавливается
аналогично предыдущему случаю. Если положить —С/В=Ь, то
уравнение принимает вид у= Ь, где Ь — величина отрезка, кото-
который отсекает прямая на оси Оу (рис 28). В частности, если Ь=0,
то прямая совпадает с осью Ох Таким образом, уравнение у=0
определяет ось абсцисс
1-,
Рис 27
Рис 28
Пусть теперь дано уравнение Ах-\- Ву-\- С = () при условии,
что ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю Преобразуем
его к виду
-- С/А ~ - С/В
Вводя обозначения а= — С /А, Ь = — С/В, получаем
(8)
Уравнение (8) называется уравнением прямой «в отрезках». Числа
а и Ь являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на
осях координат. Эта форма уравнения прямой удобна для геомет-
геометрического построения прямой.
Пример. Прямая задана уравнением 3* — 5у-|-15=0. Со
ставить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить пря-
прямую.
48

Решение. Для данной прямой уравнение «в отрезках» имеет
ВИД
построить эту прямую, отложим на осях координат Ох
и Оу отрезки, величины которых соответственно равны а=— 5,
/? = 3, и проведем прямую через точки Af, (— 5; 0) и М, @; 3)
(рис. 29).
8. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до
прямой. Пусть дана некоторая прямая L. Проведем через начало
координат прямую п, перпендикулярную данной, и назовем ее
нормалью к прямой L. Буквой /V отметим точку, в которой нормаль
пересекает прямую L (рис 30, а). На нормали введем направле-
направление от точки О к точке /V. Таким образом, нормаль станет осью.
Если точки N и О совпадают, то в качестве направления нормали
возьмем любое из двух возмож-
возможных.
Обозначим через а угол, на
который нужно повернуть про-
против часовой стрелки ось Ох до
совмещения ее положительного
направления с направлением
нормали, через р — длину от-
отрезка ON.
ч
My
^^5
i
f
-3
r
у
G =
-2
-5
i
-1
y,
M,
-
0
3
2
1
X
Рис
['ис 30
Тем самым, 0^а<2я, р~^0. Выведем уравнение данной пря-
прямой, считая известными числа аир. Для этого возьмем на пря-
прямой произвольную точку М с полярными координатами (р; ф),
где О — полюс, Ох — полярная ось. Если точки О и N не совпа-
совпадают, то из прямоугольного треугольника ONM имеем
р = р cos (а — ф) = р (cos а cos ф + sin а sin ф).
Это равенство можно переписать в виде
р cos ф cos a -\- p sin ф sin а — р = 0. (9)
Так как точки, не лежащие на данной прямой L, не удовлетво-
удовлетворяют уравнению (9), то (9) —уравнение прямой L в полярных

р
Умножая его на р,
ж
Ло
\
координатах. По формулам, связывающим прямоугольные коор-
координаты с полярными, имеем: рсоэф^л:, р sin ф=</. Следова-
Следовательно, уравнение (9) в прямоугольной системе координат прини-
принимает вид
xcos а +¦ у sin а — р = 0. A0)
Если точки О и N совпадают, то прямая L проходит через начало
координат (рис. 30, б) и р=0. В этом случае, очевидно, для лю-
любой точки М прямой L выполняется равенство соэ(ф — а) = 0.
получаем р cos (ф — а) = 0, откуда
р cos ф cos a-f-p sin ф sin a= 0
или
x cos a -+- у sin a = 0.
Таким образом, и в этом случае
уравнение прямой можно предста-
представить в виде A0).
Уравнение A0) называется нор-
нормальным уравнением прямой L.
С помощью нормального урав-
уравнения прямой можно определить
расстояние от данной точки плос-
плоскости до прямой.
Пусть L — прямая, заданная
нормальным уравнением: *cosa-|-
-\-у sin a—р = 0, и пусть М„ (*„; у„) — точка, не лежащая на
этой прямой. Требуется определить расстояние d от точки М(|
до прямой L.
Через точку Ми проведем прямую Lo параллельно прямой L.
Пусть Nu -точка пересечения /,„ с нормалью, /?„—длина отрезка
ON,, (рис. 31).
Если точки /V и /Vo лежат по одну сторону от точки О, то нор-
нормальное уравнение прямой Lo имеет вид х cos a,-\-y sin a — р„=
= 0. Так как точка Ми(х„; j/0)g=L0, to x0 cos а-\-у„ sin a—p,,=
= 0, откуда pa = jc0cos a + i/,,sin a. В этом случае
d = |р0 — р = х„ cos a -+- Уо sin a — р\-
Если же точки N и N,, лежат по разные стороны от точки О,
то нормальное уравнение прямой Lo имеет вид х cos a, -\-y sin a,—
— ро=О, где а, отличается от а на я. Следовательно, р„ =
= *Acos a, + t/,| sin a, ^ — *Acos a — y0 sin a. В этом случае
К
Рис 31
d— |
s'n
= |*o cos
s'n a—
| = | — xa cos a —
Таким образом, в каждом из рассмотренных случаев получаем
формулу
d =
A1)
\xQ cos a + y(, sin a — p .
Отметим, что формула A1) пригодна и в том случае, когда точка
о (х{)', у а) лежит на прямой L, т. е. ее координаты удовлетворяют
50

уравнению прямой L: ха cos a + y0 sin а—р=0 В этом слу-
случае по формуле A1) получаем d = 0. Из формулы A1) следует,
что для вычисления расстояния d от точки Мо до прямой L нужно
в левую часть нормального уравнения прямой L поставить вместо
(х, у) координаты точки М, и полученное число взять по модулю
Теперь покажем, как привести общее уравнение прямой к нор-
нормальному виду Пусть
Ах + Ву + С = 0 A2)
— общее уравнение некоторой прямой, а
х cos а -+- у sin а — р = 0 A3)
— ее нормальное уравнение
Так как уравнения A2) и A3) определяют одну и ту же пря-
прямую, то их коэффициенты пропорциональны Умножая все члены
уравнения A2) на произвольный множитель ц=И=О, получаем урав-
уравнение
\лАх + \iBy + \лС = О
При соответствущем выборе ц полученное уравнение обращается
в уравнение A3), т е выполняются равенства
цЛ = cos a, (.ifi = sin а, \iC = — р A4)
Чтобы найти множитель ц, возведем первые два из этих равенств
в квадрат и сложим, тогда получаем
М.2 (А2 + В2) = cos" a + sin'2 a = 1
Отсюда
\i=± , ' - A5)
У> 4 В'
Число [I называется нормирующим множителем Знак норми-
нормирующего множителя определяется с помощью третьего из равенств
A4) Согласно этому равенству цС число отрицательное, если
СфО Следовательно, в формуле A5) берется знак, противопо-
противоположный знаку С Если С = 0, то знак нормирующего множителя
можно выбрать произвольно
Итак, для приведения общего уравнения прямой к нормальному
виду надо найти значение нормирующего множителя ц, а затем
все члены уравнения умножить на \i
Пример. Даиы прямая За —4у-(-10 = 0 и точка М D, 3)
Найти расстояние d от точки М до данной прямой
Решение Приведем данное уравнение к нормальному виду
Для этого найдем по формуле A5) нормирующий множитель:
42 = - 1 /5
Умножая данное уравнение на ц, получаем нормальное уравнение
51

По формуле A1) находим искомое расстояние:
d = |(- 3/5) • 4 + D/5) • 3 - 2| = I- 2| = 2
§ 7. Линии второго порядка
Рассмотрим три вида линий: эллипс, гиперболу и параболу,
уравнения которых в прямоугольной системе координат являются
уравнениями второй степени. Такие линии называются линиями
второго порядка.
1. Эллипс. Определение. Эллипсом называется множество всех
точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных
точек, называемых фокусами, есть вели-
величина постоянная, большая, чем рассто-
расстояние между фокусами.
Обозначим фокусы эллипса через Fx
и F.,, расстояние \FtF.2\ между фоку-
фокусами через 2с, сумму расстояний от
произвольной точки эллипса до фокусов
через 2а. По определению, 2а>2с или
а~>с.
Для вывода уравнения эллипса вве-
введем на плоскости прямоугольную сис-
систему координат так, чтобы фокусы эллипса лежали на оси абсцисс,
а начало координат делило отрезок F,F2 пополам. Тогда фокусы
имеют координаты: /¦",( — с; 0), F2(c, 0) (рис. 32). Выведем урав-
уравнение эллипса в выбранной системе координат.
Пусть М (х; у) произвольная точка плоскости. /Обозначим
через л, и г, расстояния от точки М до фокусов/\r t = \F tM ,
л2= FjM)) Числа л, и г.г называются фокальными радиусами
точки М. Из определения эллипса следует, что точка М (х; у) бу-
будет лежать на данном эллипсе в том и только в том случае, когда
F,(-c,o)
F2tC,O)
Рис
По формуле A) из § 2 находим
u\r,2= V(
У2-
Подставляя эти выражения в равенство A), получаем
V(* + с)"' + у2 + V(x - сJ + у2 = 2а.
B)
C)
Уравнение C) и есть искомое уравнение эллипса. Однако для
практического использования оно неудобно, поэтому уравнение
эллипса обычно приводят к более простому виду. Перенесем вто-
' рттй" радикал в правою/часть уравнения, а затем возведем обе ча-
части в квадрат; - ~—г4—
+ с)" + у1 = 4а-' -
-су + у2 + (х-с)- + у\
или
D)
52

Снова возведем обе/чарти уравнения .в квадрат
|^Wf ±l^yJW - 2а2сх + clx\
Отсюда ?(Тл-/-- '
(а' - с2) х2 4 aY = а2 (а2 - с2). E)
Введем в рассмотрение новую/величину
w> = V?2 -^Г F)
геометрический смысл которой раскрыт далее. Так как по усло-
условию а>с, то а1 — г2>0 и, следовательно, Ь—число положи-
положительное. Из равенства F) имеем
Ь2=а2-с2.
Поэтому уравнение E) можно переписать в виде
Ь2х2-\-а2у2 = a2b2
Разделив обе части на a2b2, окончательно получаем
? + ?-'• <7>
Так как уравнение G) получено из уравнения C), то коорди-
координаты любой точки эллипса, удовлетворяющие уравнению C), бу-
будут удовлетворять и уравнению G). Однако при упрощении урав-
уравнения C) обе его части дважды были возведены в квадрат и могли
появиться «лишние» корни, вследствие чего уравнение G) могло
оказаться неравносильным уравнению C). Убедимся в том, что
если координаты точки удовлетворяют уравнению G), то они удо-
удовлетворяют и уравнению C), т. с. уравнения C) и G) равносильны.
Для этого, очевидно, достаточно показать, что величины г, и г.,
для любой точки, координаты которой удовлетворяют уравнению
G), удовлетворяют соотношению A). Действительно, пусть коор-
координаты хну некоторой точки удовлетворяют уравнению G). Тогда,
подставляя в выражение B) значение у2= b A — х2/а2), получен-
полученное из G), после несложных преобразований найдем, что г,=
= \ (а-\-сх/аJ. Так как Ы<!а [это следует из G)] и с/а<\,
то а+ <:л'/а>0, и поэтому rl = a-\-cx/a
Аналогично найдем, что г.,= а—сх/а. Складывая почленно
эти равенства, получаем соотношение A), что и требовалось уста-
установить. Таким образом, любая точка, координаты которой удовлет-
удовлетворяют уравнению G), принадлежит эллипсу, и наоборот, т. е.
уравнение G) есть уравнение эллипса. Уравнение G) называется
каноническим (или простейшим) уравнением эллипса Таким обра-
образом, эллипс — линия второго порядка.
Исследуем теперь форму эллипса по его каноническому урав-
уравнению G). Заметим, что уравнение G) содержит только члены
с четными степенями координат х и у, поэтому эллипс симметричен
относительно осей Ох и Оу, а также относительно начала коорди-
координат. Таким образом, можно знать форму всего эллипса, если уста-
53

новить вид той его части, которая лежит * I координатном угле.
Для этой части у~^0, поэтому, разрешая уравнение G) относи-
относительно у, получаем
ц = —Vfl2 - х2. (8)
-a '
Из равенства (8) вытекают следующие утверждения.
1) Если х=0, то у=-Ь. Следовательно, точка @; Ь) лежит
на эллипсе. Обозначим ее через В.
2) При возрастании х от 0 до а у уменьшается.
3) Если х=а, то </ = 0. Следовательно, точка (а; 0) лежит
на эллипсе. Обозначим ее через А.
4) При х>а получаем мнимые значения у. Следовательно,
точек эллипса, у которых х>а, не существует.
Итак, частью эллипса, расположенной в 1 координатном угле,
является дуга ВА* (рис. 33).
Произведя симметрию относительно координатных осей, по-
получим весь эллипс.
Замечание. Если а=Ь, то уравнение G) принимает вид
х2-\-у2=а2. Это уравнение окружности радиуса а. Таким обра-
образом, окружность — частный случай эл-
эллипса. Заметим, что эллипс можно по-
получить из окружности радиуса а, если
сжать ее в а/Ь раз вдоль оси Оу. При
таком сжатии точка (х\ у) перейдет в
точку (*; у,), где </, = </(fr/a)- Подставляя
у = у^(а/Ь) в уравнение окружности,
получаем уравнение эллипса
Рис. 33
а''
= 1.
Оси симметрии эллипса называются его осями, а центр симмет-
симметрии (точка пересечения осей) — центром, эллипса. Точки, в кото-
которых эллипс пересекает оси, называются его вершинами. Вершины
ограничивают на осях отрезки, равные 2а и 2Ь. Из равенства F)
следует, что а^Ь. Величины а и b называются соответственно
большой и малой полуосями эллипса. В соответствии с этим оси
эллипса называются большой и малой осями.
Введем еще одну величину, характеризующую форму эллипса.
Определение. Эксцентриситетом эллипса называется отноше-
отношение —, где с — половина расстояния между фокусами, а — большая
полуось эллипса.
Эксцентриситет обычно обозначают буквой е: е = —. Так как
с<Са, то 0^е<1, т. е эксцентриситет эллипса меньше еди-
* В гл. 6 будет введено понятие направления выпуклости графика функ-
функции у = 1(х) и показано, что дуга НА направлена выпуклостью вверх.
54

ницы. Принимая во внимание, что с'2= а2— Ь2, найдем
откуда
4-v,-
...
f,(-c,o\ o
f27c,o)
У\1
Из последнего равенства легко получается геометрическое истолко-
истолкование эксцентриситета эллипса. При очень малом г числа а и b
почти равны, т. е. эллипс близок к окружности. Если же е близко
к единице, то число Ъ весьма мало но сравнению с числом а и эллипс
сильно вытянут вдоль большой оси. Таким образом, эксцентриси-
эксцентриситет эллипса характеризует меру вытянутости эллипса.
Как известно, планеты и некоторые кометы движутся по эллип-
эллиптическим траекториям. Оказывается, что эксцентриситеты планет-
планетных орбит весьма малы, а кометных — велики, т. е. близки к еди-
единице. Такимобразом,планеты движутся
почти по окружностям, а кометы то
приближаются к Солнцу (Солнце нахо-
находится в одном из фокусов), то значи-
значительно удаляются от него.
. 2. Гипербола. Определение. Гипер-
Гиперболой называется множество всех точек
плоскости, для которых модуль раз-
разности расстояний от двух данных
точек, называемых фокусами, есть ве-
величина постоянная, меньшая, чем рас-
расстояние между фокусами.
Обозначим фокусы гиперболы через F, и F2, расстояние \FiF2\
между фокусами через 2с. а модуль разности расстояний от произ-
произвольной точки гиперболы до фокусов через 2а~"По~определению,
а<2с или а<Сс. ' '
Для вывода уравнения гиперболы введем на плоскости прямо-
прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы гиперболы лежали
на оси абсцисс, а начало координат делило отрезок Т7,/7,, пополам.
Тогдя~фСк'усы гиперболы имеют координаты Ft(— с; 0), F2(c; 0)
(рис. 34). Выведем уравнение гиперболы в выЗргГннои сйстёме~"ког
ординат. Пусть М (х\ у) — произвольная точка плоскости. Числа
F,М и \F2M\ называются фокальными радиусами точки М и
обозначаются через г, и г2. Из определения гиперболы следует,
что точка М (х; у) будет лежать на данной гиперболе в том и только
в том случае, когда \г, — г2\ = 2а. Отсюда
Г] — r2= ± 2а. (9)
По формуле A) из § 2 находим
рис 34
Подставляя эти выражения в равенство (9), получаем
+ сI + у2 - л/(лг-сJ+ у2 = ± 2а.
A0)
(И)
55

Уравнение A1) и является искомым уравнением гиперболы. Упро-
Упростим это уравнение аналогично тому, как..было упрощено уравне-
уравнение C) для эллипса. Перенесем второй радикал в правую часть
уравнения, после чего воздедем-еб^-части в квадрат. Получаем
(х +¦ сJ + у'2 = 4а'2'±)\а\(х — сJ + у2 \- (х — сJ + у2 или
A2)
a2y2f
Снова возведем обе части уравнения в квадрат:^
Отсюда // -э '>
(с2 - а2) х2 -(a2y-j= а2(с2 - а*);
Введем в рассмотрение новую величину
геометрический смыс^т коте рой\ раскрыт далее. Так как
то с'2 — а2>0 и b
имеем
число
A4)
пол
тельное. Из равенства A4)
Ь2 = с*
Уравнение A3) принимает вид
b-x2f^fa2y2 ¦
a2b2
или
Как и для эллипса, можно доказать равносильность уравне-
уравнений A5) и A1). Уравнение A5) называется каноническим уравне-
уравнением гиперболы.
Исследуем форму гиперболы по ее каноническому уравнению.
Так как уравнение A5) содержит члены только с четными степе-
нями координат х и i/, то гипербола симметрична относительно
осей Ох и Uy, а также относительно начала координат. Поэтому
достаточно рассмотреть только часть гиперболы, лежащую в [ ко-
координатном угле. Для этой части у~^0, поэтому, разрешая урав-
уравнение A5) относительно у, получаем
У = ^х2-а2. A6)
Из равенства A6) вытекают следующие утверждения.
1) Если 0^л:<а, то у получает мнимые значения, т. е. то-
точек гиперболы с абсциссами 0^л:<:а нет.
2) Если х=а, то у=0, т. е. точка (а; 0) принадлежит гипер-
гиперболе. Обозначим ее чере? А.
3) Если х~>а, то ц>0. причем у возрастает при возрастании х
и !/->- + оо при *->-^j-oc>. Переменная точка М (х; у) на гипер-
гиперболе движется с ростом х «вправо» и «вверх», ее начальное поло-
56

жение — точка А (а; 0) (рис. 35). Уточним-, как именно точка М
«уходит в бесконечность».
Для этого кроме уравнения A6) рассмотрим уравнение
_ ь
A7)
которое определяет прямую с угловым коэффициентом k=b/a,
проходящую через начало координат. Часть этой прямой, распо-
расположенная в F координатном угле, изображена на рис. 35. Для ее
построения можно использовать прямоугольный треугольник ОАВ
с катетами ОА = а и Лй=Ь
Покажем, что точка М, уходя по гиперболе в бесконечность,
неограниченно приближается к прямой A7), которая является
асимптотой гиперболы.*
Рис 35
Возьмем произвольное значение х(х^а) и рассмотрим две
точки М (х; у) и N (х; Y), где
Ь .1 .) о ,, b
и = —V х' — а' и Y = — х.
я а а
Точка М лежит на гиперболе, точка N— на прямой A 7). Поскольку
обе точки имеют одну и ту же абсциссу х, прямая MN перпенди-
перпендикулярна оси Ох (рис. 36). Найдем длину отрезка MN.
Прежде всего заметим, что при
v - — — — лГ~2 JL
Y ~~ а Х ~ а Х > а
Это означает, что при одной и той же абсциссе точка гиперболы
лежит под соответствующей точкой асимптоты. Таким образом,
-a2 =
\mn\ = v-y = 4* - 4^*2 - °2 = 4 (* - ^2 - °2) =
b {х - \J'x! -а2)(х+ у/х2'- а7) _ ab
а
x +
x + \j x2 — a2
"?«
* В гл 6 будет дано определение асимптоты графика функций y = f(x)
и показано, что прямая у = — х является асимптотой гиперболы. Там же
рассмотрен вопрос о направлении выпуклости гиперболы.

Из полученного выражения следует, что
v "УЦ№ при у->-4-ОО, Т^К ияк~анпмРший
а числитель есть постоянная величина аЬ.
Обозначим через Р основание перпендикуляра, опущенного из
точки М на прямую A7). Тогда \МР\ — расстояние от точки М
до этой прямой. Очевидно, \MP\<\MN\, а так как |M/V|->-
->О, то и подавно \МР\-*-0 при je-»- + oo, т. е. точка М не-
неограниченно приближается к прямой A7), что и требовалось по-
показать.
Вид всей гиперболы теперь можно легко установить, исполь-
используя симметрию относительно координатных осей (рис. 37). Гипер-
Гипербола состоит из двух ветзей (правой и левой) и имеет две асимп-
* ь
тоты: у = —х и у = х, первая из которых уже рассмотрена,
а вторая представляет собой ее симметричное отражение относи-
относительно оси Ох (или <х-и Оу).
Рис 37
Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симмет-
симметрии (Точка"пересечения п]?еи; — ц/мцтплГгцпербдлы^Ппнн H.'-t 'псей
пересекается сттпТ5рболой в двух точках, которые" называются
ее вершинами (они на рис. 37 обозначены буквами А' а А). Эта
ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не
имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой осью гипер-
гиперболы. Прямоугольник BB'di'C со сторонами 2а и 2ft (рис. 37) назы-
называется основным прямоугольником гиперболы. .^Величины а _и b
называются соответственно) действительной и мнимой полуосями
гиперболы.
равнение
также определяет гипе^юлу. Она изо
тирными линиями; вершины ее лежат "я
рис. 37 пунк-
пункгилрр^ола
р р / р
называется сопряженной по отношению к гиперболе A5). Обе эти
гиперболы имеют одни и те же асимптоты.
58

Гипербола с равными полуосями (а=Ь) называется равносто-
равносторонней и ее каноническое уравнение имеет вид
2 2 2
х — у = а
Так как основной прямоугольник равносторонней гиперболы
является квадратом, то асимптоты равносторонней гиперболы пер-
перпендикулярны друг другу.
Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отно-
отношение —, где с — половина расстояния между фокусами, а — дей-
ствительная полуось гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы (как и эллипса) обозначим буквой г.
Так как Оа, то е>1, т. е. эксцентриситет гиперболы больше
единицы. Заметив, что г = а2-\-Ь2, найдем
откуда
Из последнго равенства легко получается геометрическое истол-
истолкование эксцентриситета гиперболы. Чем меньше эксцентриситет,
т е. чем ближе он к единице, тем меньше отношение b/а, а это озна-
означает, что основной прямоугольник более вытянут в направлении
действительной оси. Таким образом, эксцентриситет гиперболы
характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и
форму самой гиперболы.
В случае равносторонней гиперболы (а=6) е = v2.
3. Директрисы эллипса и гиперболы. Определение 1. Две пря-
прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные сим-
симметрично относительно центра на расстоянии а/е от него, на-
называются директрисами эллипса (здесь а — большая полуось, е —
эксцентриситет эллипса).
Уравнения директрис эллипса, заданного каноническим урав-
уравнением G), имеют вид
а а
X = И X = .
е е
Так как для эллипса е<1, то а/е>а. Отсюда следует, что
правая директриса расположена правее правой вершины эллипса,
а левая — левее его левой вершины (рис. 38).
Определение 2. Две прямые, перпендикулярные действительной
оси гиперболы и расположенные симметрично относительно цен-
центра на расстоянии а/е от него, называются директрисами гипер-
гиперболы (здесь а — действительная полуось, е — эксцентриситет ги-
гиперболы) .
Уравнения директрис гиперболы, заданной каноническим урав-
уравнением A5), имеют вид
а а
X =- И X =
t к
59

Так как для гиперболы е>1, то а/г < а. Отсюда следует,
что правая директриса расположена между центром и правой
вершиной гиперболы, а левая — между центром и левой вершиной
(рис. 39).
С помощью понятий директрисы и эксцентриситета можно сфор-
сформулировать общее свойство, присущее эллипсу и гиперболе. Имеют
место следующие две теоремы.
Теорема 3.5. Если г — расстояние от произвольной точ-
точки М эллипса до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от той же
точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отноше-
отношение —г есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса.
Доказательство. Предположим для определенности,
что речь идет о правом фокусе F2 и правой директрисе. Пусть
М (х; у) — произвольная точка эллипса (см. рис. 38). Расстояние
Рис 38 Рис 39
от точки М до правой директрисы выражается равенством
A8)
которое легко устанавливается из рисунка. Из равенств B) и D)
имеем
= r,= ^{x-cf + yi=a-^x.
Полагая с/а=е, получаем формулу расстояния от точки М до
правого фокуса:
г = а — гх. A9)
Из соотношений A8) и A9) имеем
г а — г* (а — ех)е _
Т ~ ~а = а-сх ~ е- ¦
Теорема 3.6. Если г — расстояние от произвольной точки
М гиперболы до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от той же
точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отноше-
60

ние r/d есть величина постоянная, равная эксцентриситету* гипер-
гиперболы.
Доказательство. Предположим для определенности, что
речь идет о правом фокусе F2 и правой директрисе. Пусть М(х; у) —
произвольная точка гиперболы (рис. 39). Рассмотрим два случая.
1) Точка М находится на правой ветви гиперболы. Тогда рас-
расстояние от точки М до правой директрисы выражается равенством
d = х - -^-, B0)
которое легко устанавливается из рисунка. Из равенств A0) и A2)
имеем
г = r-i = v (л: — сJ + у2 = -^-х — а.
Полагая с/а=е, получаем формулу расстояния от точки М до
правого фокуса:
г=ех-п. B1)
Из соотношений B0) и B1) имеем
г _ tx --а (ьх а)ь
d a tx — a
х
2) Точка М находится на левой ветви гиперболы. Тогда рас-
расстояние от точки М до правой директрисы выражается равенством
(рис. 39)
</=-*+А B2)
Аналогично B1), можно получить формулу расстояния от точки М
до правого фокуса:
л =
= — (—X — а)=— (?х - а) B3)
Из соотношений B2) и B3) имеем
г — (ех — а) ( ьх -\- a) t
d a (- ьх [ а)
- х \ —
f
¦= F.
Установленное свойство эллипса и гиперболы можно положить
в основу общего определения этих линий: множество точек, для
которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей
директрисы является величиной постоянной, равной г, есть эллипс,
если е<1, и гипербола, если f>1.
Естественно, возникает вопрос, что представляет собой множе-
множество точек, определенное аналогичным образом при условии е = 1.
Оказывается, это новая линия второго порядка, называемая пара-
параболой
61

j Параболой называется множество
всех l Ькек" клШШсп^Иа'ждая из которых находится на одинако-
одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от дан-
данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Для вывода уравнения параболы введем на плоскости прямо-
прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила
через, фокус перпендикулярно директр^е, и б\?Д?м_ считать ее по-
поло житель-нъггоГшГправлением напттагв71етГё'"от директрисы к фокусу;
начало координат расположим посередине между_фщ}?СШ4- и ди-
директрисой. Выведем уравнение параболы, в выбранной системе ко-
координат.
Пусть М (х; у) — произвольная точка плоскости. Обозначим
через__л_?ассхйшше от_ точки_.М.До фокуса F (л = \м\), через^--—
расстояние от точки М до дирецтрисы, а через р — расстояние
от фокуса додиректрисы (рис; ~Щ~:Ъ€м\чяиу р называют парамет-
77ШГТПГраболы, его геометрич"ёский смысл раскрыт далее. Точка М
будет лежать на данной параболе в том и только в том случае,
когда
r = d. B4)
Фокус F имеет__кшд^.ина'гы__(?/2; 0); поэтому по формуле A) из
§ 2 находим " ~'^
г = \FM\ = V(jc - р/2J + у2. B5)
Расстояние of, очевидно, выражается равенством (рис. 40)
d = \MQ\ = x + -§-. B6)
Отметим, что эта формула верна только для х~^0. Если же
jc<0, то для точки М (х; у), очевидно, r>d, и, следовательно,
такая точка не лежит на параболе. Заменяя в равенстве B4) г и d
их выражениями B5) и B6), найдем
Vt~-s-
B7)
Это и есть искомое уравнение параболы. Приведем его к более
удобному виду, для чего возведем обе части равенства B7) в квад-
квадрат. Получаем
jc'2 — рх + р'2/^ + у2 = ? + рх + jr?4, или
у'2=2рх. ' ' B8)
Проверим, что уравнение B8), полученное после возведения
в квадрат обеих частей уравнения B7), не приобрело «лишних»
корней. Для этого достаточно показать, что для любой точки
М {х; у), координаты которой удовлетворяют уравнению B8),
выполнено соотношение B4). Действительно, из уравнения B8)
вытекает, что х^О, поэтому для точки М (х; у) с неотрицатель-
неотрицательной абсциссой d = p/2-\-x. Подставляя значение у из B8) в вы-
выражение B5) для г и учитывая, что х^О, получаем г = р/2-\-х,
62

т. е. величины г и d равны, что и требовалось показать. Таким обра-
образом, уравнению B8) удовлетворяют координаты точек данной па-
параболы и только они, т. е. уравнение B8) является уравнением
данной параболы.
Уравнение B8) называется каноническим уравнением параболы
Это уравнение второй степени. Таким образом, парабола есть ли-
линия второго порядка
Исследуем теперь форму параболы по ее уравнению B8). Так
как уравнение B8) содержит у только в четной степени, то пара-
парабола симметрична относительно оси Ох. Следовательно, достаточно
рассмотреть только ее часть, лежащую в верхней полуплоскости.
Для этой части у~^0, поэтому разрешая уравнение B8) относи-
относительно у, получаем
у = V2px. B9)
Из равенства B9) вытекают следующие утверждения.
1) Если jc<0, то уравнение B9) дает мнимые значения у.
Следовательно, левее оси Оу ни одной точки параболы нет, что
уже отмечалось ранее.
'М(х;у)
F(f;o)
Рис. 40
Рис 41
2) F-сли jc = 0, то у = 0. Таким образом, начало координат
лежит на параболе и является самой «левой» ее точкой.
3) При возрастании х возрастает и у, причем если jc->- + oo,
то и у-*~-\- оо.
Таким образом, переменная точка М (х; у), перемещающаяся
по параболе с ростом х, исходит из начала координат и движется
«вправо» и «вверх», причем при х->~-\-оо удаление точки М как
от оси Оу, так и от оси Ох является бесконечным.
Производя симметричное отражение рассмотренной части па-
параболы относительно оси Ох, получим всю параболу (рис. 41),
заданную уравнением B8).
Точка О называется вершиной параболы, ось симметрии (ось
Ох)—осью параболы. Число р, т. е. параметр параболы, выра?-
жает расстояние от фокуса до директрисы. Выясним, как влияет
параметр параболы на ее форму. Для этого возьмем какое-нибудь
определенное значение абсциссы, например * = 1, и найдем из урав-
63

нения B8) соответствующие значения ординаты: у=±у 2р. Полу-
Получаем на параболе две точки МД1; -{-л[2р) и М2{\, — д/2р,/ сим-
симметричные относительно ее оси, расстояние между ними равно
2"\/2р. Отсюда заключаем, что это расстояние тем больше, чем
больше р Следовательно, параметр р характеризует «ширину»
области, ограниченной параболой. В этом и состоит геометриче-
геометрический смысл параметра р
Парабола, уравнение которой у2=— 2рх, р>0, расположена
слева от оси ординат (рис 42,а) Вершина этой параболы совпа-
совпадает с началом координат, осью симметрии является ось Ох.
а)
в)
Уравнение х2=2ру, р>0, является уравнением параболы,
вершина которой совпадает с началом координат, а осью симмет-
симметрии является ось Оу (рис. 42,6). Эта парабола лежит выше оси аб-
абсцисс. Уравнение х2— — 2ру, р>0, определяет параболу, лежа-
лежащую ниже оси Ох, с вершиной в начале координат (рис. 42,в)
§ 8. Общее уравнение линии второго порядка
Важной задачей аналитической геометрии является исследова-
исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его
к простейшим (каноническим) формам.
Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий
вид.
Ах'2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0, {1)
где коэффициенты А, 2В, С, 2D, 2Е и F* — любые числа и, кроме
того, числа А, В и С не равны нулю одновременно, т. е. А2-\-В2-\-
+ CV0
1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к про-
простейшему виду. Лемма 3.1. Пусть в прямоугольной системе
координат Оху задано уравнение A) и пусть АС— В2ф0 Тогда
с помощью параллельного сдвига и последующего поворота осей
* Для удобства преобразований уравнения (I) коэффициенты при ху,
х к у обозначены соответственно через 2fl, 2D и 2Е
64

координат уравнение A) приводится к виду
А'х + С'у + F' = 0, B)
где А', С, F' — некоторые числа, (х", у") — координаты точки
в новой системе координат
Доказательство Пусть прямоугольная система коор-
координат О'х'у' получена параллельным сдвигом осей Ох и Оу, при-
причем начало координат перенесено в точку О' (*„, уп) Тогда старые
координаты (х, у) будут связаны с новыми (х', у') формулами
х = х' + х0, у = у' + yQ
(см формулы A), § 4) В новых координатах уравнение A) при-
принимает вид
Ах'2 + IBx'y' + Су'1 + 2D'x' + 2Е'у' + F' = О, C)
где
D' = AxQ + Вуй + D,E'= BxQ + Су0 + Е,
Г = Axl + 2Bxti)Q + Су* + 2DxQ + 2EyQ + F
В уравнении C) коэффициенты D' и Е' обращаются в нуль, если
подобрать координаты точки (*0, у0) так, чтобы выполнялись ра-
равенства
Л*о + flj/o + О = О,
Бь0 6 Цы „б Е 7 0 D)
Так как АС — В2ф0, то система D) имеет единственное решение
относительно х0, у0
Если пара чисел xQ, y0 представляет собой решение системы D),
то уравнение C) можно записать в виде
Ах'2 + 2Вх'у' + Су'2 + F' = 0 E)
Пусть теперь прямоугольная система координат О'х"у" полу-
получена поворотом системы О'х'у' на угол а Тогда координаты х', у'
будут связаны с координатами х", у" формулами
х' = х" cos а — у" sin а, у' = х" sin а -f- у" cos а
(см формулы C), § 4) В системе координат О'х"у" урав-
уравнение E) принимает вид
А'х"'2 + 2В'х"у" + Су"'2 + F' = 0, F)
где
А' = A cos2 а + 2В cos а sin а + С sin'2 а,
В' = — A sin а cos а -4- В (cos2 а — sina а) -\- С sin а cos а,
С = A sin2 а — 2В cos а sin а + С cos2 а
Выберем угол а так, чтобы коэффициент В' в уравнении F) обра-
обратился в нуль Это требование приводит к уравнению 2В cos 2a=
= (А — С) sin 2а относительно а Если А = С, то cos2a=0,
и можно положить а=л/4 Если же АфС, то выбираем а=
3^1032 65

I , 2fl /C1
= ~2- arctg ._„, и уравнение (о) принимает вид
А'а"'2+ Су"'2 + F' = О,
т с получили уравнение B) ¦
Замечание Уравнения D) называются уравнениями цен-
центра линии второго порядка, а точка (х,„ уЛ), где х№ у„— решение
системы D), называется центром этой линии Заметим, что необхо
димым и достаточным условием существования единственного ре-
решения системы D) является отличие от нуля числа АС — В2, назы-
называемого определителем системы (см гл 10 § 2)
2. Инвариантность выражения АС — В2 Классификация ли-
линий второго порядка. Коэффициенты А, В и С при старших членах
уравнения A) при параллельном переносе осей координат, как
следует из доказательства леммы 3 1, не меняются, но они меня-
меняются при повороте осей координат Однако выражение АС—В2
остается неизменным как при переносе, так и при повороте осей,
т е не зависит от преобразования координат Действительно, при
параллельном переносе этот факт очевиден |см формулы A) и
E)], проверим его при повороте осей Для этого воспользуемся
выражениями для коэффициентов А', В' и С уравнения F) Имеем
А'С — В'-= U cos2a + IB sm a cos a+ Csirr'a) X
X {A sin2 a — 2B sm a cos a + С cos2 a) —
— I (C — A) sm a cos a -)- В (cos' a — sin'2 a)l
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим
А'С — fl/2=/lC(cos2a+sin'aJ— B'2(cos''a + sm2 a)'= ЛС — В2,
что и требовалось показать
Величина АС —В2 называется инвариантом общего уравне-
уравнения линии второго порядка Она имеет важное значение в иссле-
исследовании линий второго порядка
В зависимости от знака величины АС — В'2 линии второго по-
порядка разделяются па следующие три типа
1) эллиптический, если АС — В2>0,
2) гиперболический, если АС — В2<0,
3) параболический, если АС — В2=0
Рассмотрим линии различных типов
1) Эллиптический тип Поскольку АС — В2>0, со-
согласно лемме 3 1, общее уравнение линии второго порядка может
быть приведено к виду (для удобства записи опускаем штрихи
у коэффициентов и координат)
Ах2 + Су'2 + F = 0
Возможны следующие случаи
а) Л >0, С>0 (случай Л<0, С<0 сводится к случаю
Л>0, С>0 умножением уравнения на —1) и f<0 Перене-
Перенесем F в правую часть уравнения и разделим на него Уравнение
66

принимает вид
где aL>= — F/A, h2= — F/C. Сравнивая полученное уравнение
с уравнением эллипса [см. формулу G), § 7], заключаем, что оно
является каноническим уравнением эллипса.
б) А>0, С>0 и F>0. Тогда, аналогично предыдущему,
уравнение можно привести к виду
— 4--^-- - 1
а-' + b-' ~
Этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки
плоскости. Оно называется уравнением мнимого эллипса.
в) А>0, С>0, F = 0. Уравнение имеет вид ia2=A, с2=С):
a V + с V = 0.
Ему удовлетворяют координаты только одной точки * = 0, i/ = 0.
Такое уравнение назовем уравнением пары мнимых пересекающих-
пересекающихся прямых.
2) Гиперболический тип. Поскольку ЛС— B2<z0,
согласно лемме 3.1 общее уравнение линии второго порядка при-
приводится к виду
Ах' 4- Су'2 + F = 0.
Возможны следующие случаи:
а) Л>(), С<0 (случай Л<0, С>0 сводится к случаю
Л>0, С<0 умножением уравнения на —1) и F=?ti. Пусть,
например, F<0. Перенесем F в правую часть уравнения и раз-
разделим на него. Уравнение принимает вид
_^ «i _ I
a-' ft2 ~~ '
где а'2= — F/A, b'2=F/C. Сравнивая с уравнением гиперболы
[см. формулу A5), § 7], заключаем, что полученное уравнение
является каноническим уравнением гиперболы.
б) Л>0, С<0 и F = 0. Уравнение принимает вид (а2=А,
с2=-С):
а'х'2 — с2у~ = 0 или {ах — су) (ах 4- су) = 0.
Последнему уравнению удовлетворяют только координаты точек
плоскости, расположенных на прямых [ах — су) = 0 и (ах-\-су) =
^0, пересекающихся в начале координат, и, таким образом, имеем
пару пересекающихся прямых.
3) Параболический тип. Если АС — В2=0, то пово-
поворотом осей координат на такой же угол а, как и в лемме 3.1, об-
общее уравнение линии второго порядка может быть приведено к виду
Ах2 4- Су2 + 2Еу 4- 2Dx 4- F = 0. G)
з* 67

Здесь АС = О и, следовательно, один из коэффициентов А или С
равен нулю.
Пусть Л = 0, С =7^=0. Представим уравнение G) в виде
ИЛИ
C (У + -г) + 2Dx + F* = °-
где F* = F— Е2/С. Перенесем начало координат параллельно
оси Оу в точку @, —Е/С), т. е. перейдем к новым координатам по
формулам jc' = jc, у' = у-\-Е/С. Получаем уравнение
Су'2 + 2Dx' + F* = 0.
Возможны следующие случаи:
a) D=^=0. Запишем уравнение в виде
Перенесем теперь начало координат параллельно оси Ох' в точку
(— F*/BD); 0), т. е. перейдем к новым координатам по формулам
х" = х' -\-F*/BD), у" —у'. Получаем уравнение
Су + 2D.v" = 0, или у"'2 = 2рх",
где р= — D/C. Сравнивая последнее уравнение с уравнением
параболы [см. формулу B8), § 7], заключаем, что оно является
каноническим уравнением параболы,
б) ?) = 0. Уравнение имеет вид
Су'2 + F* = 0.
Если С и F* имеют разные знаки, то, полагая \F*/C\ = a\
уравнение можно записать в виде (у' — а) (у'-\-а) = 0. Это урав-
уравнение определяет пару параллельных прямых.
Если С и F* имеют одинаковые знаки, то уравнение принимает
вид у'2-\-а'2=О. Этому уравнению не удовлетворяют координаты
никакой точки плоскости. Оно называется уравнением пары мни-
мнимых параллельных прямых.
Наконец, если F* = 0, то уравнение принимает вид у'2=0
и определяет ось О'х'. Это уравнение можно рассматривать как
предельный случай при F*—>-0, т. е. как уравнение пары совпав-
совпавших прямых.
Заканчивая исследование общего уравнения линии второго по-
порядка, сформулируем полученные результаты в виде теоремы.
Теорема 3.7. Пусть в прямоугольной системе координат за-
задано общее уравнение линии второго порядка
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2D.v + 2Еу + F = 0.
68

Тогда существует такая прямоугольная система координат, в ко-
которой это уравнение принимает один из следующих девяти кано-
х'1 и1 х1 if
нических видов 1) —-f--^--= 1 (эллипс), 2) —-f--j-= —1 (мни-
(мнимый эллипс), 3) а'2х'2-{- с~у~= О (пара мнимых пересекающихся пря-
пря)
мых), 4) -^—jz= 1 (гипербола), 5) а-х2— с'2у2=0 (пара пересе-
пересекающихся прямых), 6) у'2=2рх (парабола), 7) у2 — а2=О (пара
параллельных прямых), 8) #--|-aL>=0 (пара мнимых параллельных
прямых), 9) {/'2= О (пара совпавших прямых)
ГЛАВА 4
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Начинаем изучение важнейшего понятия математического ана-
анализа —понятия функции В этой главе будет введено понятие пре-
предела функции, а также понятие непрерывности функции
§ 1. Понятие функции
I. Определение функции. Определение. Пусть X и Y — не-
некоторые числовые множества Функцией называется множество f
упорядоченных пар чисел (х, у)* таких, что хеХ, y^Y, и каж-
каждое х входит в одну и только одну пару этого множества, а каж-
каждое у входит, по крайней мере, в одну пару При этом говорят, что
числу х поставлено в соответствие число у, и пишут y = f{x)
Число у называется значением функции ( в точке х Переменную у
называют зависимой переменной, а переменную х — независимой
переменной (или аргументом), множество X— областью опреде-
определения (или существования) функции, а множество Y — множест-
множеством значений функции
Кроме буквы / для обозначения функций используют и другие
буквы, например у = у(х), y=g(x), y = q>(x), у = А{х), у =
= F (х) и т д Другими буквами могут обозначаться зависимая
и независимая переменные Иногда зависимую переменную также
называют функцией
Наряду с термином «функция» употребляют равнозначный
термин «отображение», а вместо записи y = f(x) пишут / х\->-у
и говорят, что отображение / отображает число х в число у, или,
что то же самое, число у является образом числа х при отображе-
отображении /
При вычислениях запись y = f(x) обычно удобнее записи
вида / х\-*-у Например, запись f(jt) = x2 значительно удобнее
* Напомним что илр:\ чисел х и у н<).1ываотер упорядоченной, если ука
яано какое из этих чисел считается первым а какое вторым Упорядоченную
пару чисел записывают в виде (д у) где х первое число у — второе число
69

и проще использовать при аналитических преобразованиях, чем
запись /: хн>~х2.
Функция, все значения которой равны между собой, называ-
называется постоянной. Постоянную функцию часто обозначают буквой С.
Про функцию f (x), определенную на некотором множестве X,
говорят, что она ограничена сверху (снизу) на этом множестве,
если существует число М (ш) такое, что для любого х^Х выпол-
выполняется неравенство f (x)^.M {f (x)~^m). Функция, ограничен-
ограниченная сверху и снизу на множестве X, называется ограниченной
на этом множестве. Условие ограниченности функции f (х) можно
записать в виде: существует число М>0 такое, что для любого
х^Х выполняется неравенство |/(jc)|^M. Например, функция
^ (jc) = sin jc ограничена на всей числовой прямой, так как fsinjcl^
^ 1 при любом х, а функция /(jc)=1/jc не является ограниченной
сверху на интервале @; 1), так как не существует числа М такого,
что для любого jc<= @; 1) выполняется неравенство 1/х^М.
На плоскости функция изображается в виде графика — мно-
множества точек (х; у), координаты которых связаны соотношением
y=f(x), называемым уравнением графика.
График функции может представлять собой некоторую «сплош-
«сплошную» линию (кривую или прямую), а может состоять из отдельных
точек, например график функции у = п\ (рис. 45).
Заметим, что не всякая линия является графиком какой-либо
функции. Например, окружность лг'-|-г/2= 1 не является графи-
графиком функции, так как каждое хе. (— 1; 1} входит не в одну, а в две
пары чисел (х; у) этого множества с разными значениями у:у,=
= vl—х2 и у.2= — ч \ — х\ что противоречит требованию одно-
однозначности в определении функции (рис. 43). Однако часть
окружности, лежащая в_нижней полуплоскости, является графи-
графиком функции у=—Vl— х\ а другая ее часть, лежащая в верх-
верхней полуплоскости, — графиком функции у= V 1 —х1.
2. Способы задания функций. Задать функцию f — значит ука-
указать, как по каждому значению аргумента х находить соответству-
соответствующее ему значение функции f (х). Существуют три основных спо-
способа задания функций: аналитический, табличный и графический.
1) Аналитический способ. Этот способ состоит в том,
что зависимость между переменными величинами определяется
с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно выпол-
выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному
значению аргумента.
Рассмотрим примеры.
1. Формула #=jr задает функцию, область определения ко-
которой— числовая прямая (—оо; +оо), а множество значений —
полупрямая [0, -f-oo) (рис. 44,а).
2. Формула y=vl— х2 задает функцию, областью опреде-
определения которой является отрезок [ — 1, 1], а множеством значений —
отрезок [0, 1| (рис. 44, б).
70

3. Формула у = п\ ставит в соответствие каждому натураль-
натуральному числу (т. е. целому положительному числу) п число г/ =
= 1 ¦ 2 ¦ 3 • ...• п. Например, если я = 3, то г/ = 3! = 6. Таким обра-
образом, формула у = п\ задает функцию,область определения ко-
которой {1, 2, 3, ..., я, ...), а множество значений—{1!, 2!, 3!, ...
..., п\, ...} (рис. 45).
4. у = sgn jc* =
( + 1,ес/
< 0, си
I — 1, ecv
если х>0,
, если jc = O,
ли jc<0.
Данная функция задана с помощью нескольких формул. Она
определена на всей числовой прямой (—оо, -(-оо), а множество
ее значений состоит из трех чисел: — 1, 0 и -)- 1 (рис. 46).
У,
1
V
0
1
J (
х -1
У;
1
0
Л
1 'X
5)
Рис 43
Рис 44
5. Функция Дирихле**
_ ( 1,если х — рациональное число,
1 0, если* — иррациональное число.
Эта функция определена на всей числовой прямой ( — оо, -(-оо),
а множество ее значений состоит из двух чисел: 0 и 1.
Заметим, что функцию Дирихле изобразить графически не
представляется возможным.
2) Табличный способ. Приведем следующую таблицу:
X
У
0
- 1
0,1
10
0,2
1
3
-- 2
0,6
- 8
4
0,5
0,8
- 2
1,5
5
2
7
Поставим в соответствие каждому х, записанному в первой
строке таблицы, число у, стоящее во второй строке под этим чис-
числом х, и будем говорить, что полученная функция задана табли-
таблицей. Областью определения данной функции является множество,
состоящее из девяти чисел х, перечисленных в первой строке таб-
* Термин sgn происходит от ла~инского слова signum знак
** Дирихле Петер Г'устав Лежен A805 — 1859) — немецкий математик.
71

лицы, а множеством ее значений —- множество, состоящее из де-
девяти чисел у, перечисленных во второй ее строке.
С помощью таблицы можно задать функцию только при конеч-
конечном числе значений аргумента. Таблицы часто используют для за-
задания функций. Так, хорошо известны, например, таблицы три-
тригонометрических функций, таблицы логарифмов и многие другие.
Примером табличного способа задания функции может служить
расписание движения поезда, которое определяет
местоположение поезда в отдельные моменты вре-
времени.
3) Графический способ. Графичес-
Графический способ задания функции обычно используют
в практике физических измерений, когда соот-
соответствие между переменными х и у задается по-
посредством графика. Во многих случаях такие гра-
графики чертятся с помощью самопищущих приборов.
—о
Рис 46
Так, например, для измерения давления атмосферы на различных
высотах используют специальный самопишущий прибор — барог-
барограф, который записывает на движущейся ленте в виде кривой
линии изменение давления в зависимости от высоты.
3. Классификация функций. Постоянная функция f(x) = C,
G= const, степенная функция ха(а — любое число), показатель-
показательная функция а'@<саф\), логарифмическая функция log^je @<
<аф\), тригонометрические функции: sin x, cos x, tg*, ctg x
и обратные тригонометрические функции: arcsin x, arccosjc, arctg x,
arcctg x называются простейшими элементарными функциями.
Все функции, получаемые с помощью конечного числа ариф-
арифметических действий над простейшими элементарными функциями,
а также суперпозицией (или наложением) этих функций, состав-
составляют класс элементарных функций. Примерами элементарных
функций являются:
f(x)=\x\ (U|=\A^); / (jc)=lg3 arctg 2Л +sin Зх; / (*)= Ig |sin 3x\ —
Имеет место следующая классификация элементарных функций.
1) Функция вида
Р(х) = аХ1 + а,
+ ... + ат_,х + ат,
72

где m^O — целое число; а0, а,, ..., ат — любые числа — коэф-
коэффициенты (а„=^=0), называется целой рациональной функцией или
алгебраическим многочленом степени т. Многочлен первой степени
называется также линейной функцией.
2) Функция, представляющая собой отношение двух целых
рациональных функций
„ , . = "„*"'+у" ¦ + . +а„ 1х + ат
v +¦ *х' ' + +6.,- Iх + ь„'
называется дробно-рациональной функцией.
Совокупность целых рациональных и дробно-рациональных
функций образует класс рациональных функций.
3) Функция, полученная с помощью конечного числа супер-
суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функ-
функциями как с целыми, так и с дробными показателями и не являю-
являющаяся рациональной, называется иррациональной функцией.
Например,
- - -- , ,1
f(x)=-\/x, Цх)=х+л!х, /"(*)= V( 5х-+Ах—7)/(Зх'2—8х+4) + (Ух+х)
и т. д. — иррациональные функции.
4) Всякая функция, не являющаяся рациональной или ирра-
иррациональной, называется трансцендентной функцией. Это, напри-
например, функции / {х) = sin х, / {х) = sin х-\-х и т. д.
§ 2. Предел функции
I. Предел функции при a-*-jc0. Пусть функция f (х) опреде-
определена на некотором множестве X и пусть точка хо^Х или хофХ.
Возьмем из X последовательность точек, отличных от х0:
х{,х,,х^...,хп,..., (I)
сходящуюся к **„. Значения функции в точках этой последователь-
последовательности также образуют числовую последовательность
/(*,),/(*,),/(*,)...../(*„) B)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.
Определение I. Число А называется пределом функции f (х)
в точке х = л,, (или при х -*¦ хп), если для любой сходящейся к х0
последовательности (I) значений аргумента х, отличных от х0,
соответствующая последовательность B) значений функции схо-
сходится к числу А.
Символически это записывается так: \irnf {х) = А.
Функция f (х) может иметь в точке xQ только один предел. Это
следует из того, что последовательность {/(*„)} имеет только один
предел.
Рассмотрим примеры.
I. Функция f (х)= С= const имеет предел в каждой точке х0
числовой прямой. В самом деле, если (I) —любая последователь-
* Предполагается, что такая последовательность существует
73

ность, сходящаяся к лс0, то последовательность B) имеет вид С,
С, ..., С, ..., т. е. /(*„) = С. Отсюда заключаем, что f(x,,)-*-C
при /г-voo или lim f (jc) = С.
2. Функция f(x) = x имеет в любой точке xQ числовой прямой
предел, равный х0. В этом случае последовательности A) и B)
тождественны, т. е. /(*„) = *„• Следовательно, если хп-*-хп, то
f (jc,,)->-jcA при п-*-оо или lim f (х) = lim к = f (xa) = х0.
3. Функция /(jc) = sin (\/x) (рис. 47), определенная для всех
фО, в точке х=0 не имеет предела. Действительно, возьмем
две последовательности значений аргумента х: 1/л, 1/Bл),
1/(Зл) 1/(пл), ... и 2/л, 2/Eл), 2/(9я)- ..., 2/[Dп-3)л[, ...
сходящиеся к нулю. Для них соответствующими последователь-
последовательностями значений функции являются: f (—V / (~2^\ f ("з^"I ¦¦¦
±\ f (J-\ f / 2 )
как
при любом п /(i)=sin пя = 0, а / ( D^3) л ) = sin D" 23)Я=1'
то для первой последовательности lim /(*„)— lim sin«n = 0,
Л—*-оо n-*-oo
а для второй последовательности lim /(*„)= lim sin " = 1.
Таким образом, для двух сходящихся к нулю последовательно-
последовательностей значений аргумента х
соответствующие последова-
последовательности значений функции
имеют разные пределы. А это
по определению предела фун-
функции и означает, что lim/(jc)
х -О
не существует.
4. ФунКЦИЯ f(X)= J-:
имеет в точке х = 0 предел,
равный 1. Действительно,
возьмем любую последовательность значений аргумента х, сходя-
сходящуюся к нулю, т. е. lim *„ = 0, и хпф0, тогда в силу теорем
2.7 2.9 имеем
У,
Л Г
ж If
\
п
~1
\
А Г~~
11/ X
1 и
Рис 47
lim / (хп) = lim
| Mm х \
lim xt —
X — 1
¦= 1.
lim xn — \
Таким образом, существует lim Дл:я)=1, и так как он не зави-
зависит от выбора последовательности {хп}, сходящейся к нулю, то
на основании определения предела функции заключаем, что
\'\mf(x)=l.
5. Функция Дирихле, значения которой в рациональных точ-
точках равны единице, а в иррациональных — нулю, не имеет предела
74

ни в одной точке х0 числовой прямой Действительно, для сходя-
сходящейся к точке хп последовательности рациональных значений ар-
аргумента предел соответствующей последовательности значений
функции равен единице, а для сходящейся к точке х0 последова-
последовательности иррациональных значений аргумента предел соответ-
соответствующей последовательности значений функции равен нулю
Существует другое определение предела функции
Определение 2. Число А называется пределом функции f (x)
в точке х = xt), если для любого числа е > 0 существует число б > О
такое, что для всех х е X, х Ф хп, удовлетворяющих неравенству
|лс — лсо| < б, выполняется неравенство \f (х) — А\ < е.
Используя логические символы, определение 2 можно записать
в виде
(Ve>0)C6>0)(VxeA\ хфхй, \х — *0|<б) \f{x) — A\<z
Отметим, что неравенства х Ф х0, * — *0 < б можно записать
в виде 0 < х — х{)\ < б
Первое определение основано на понятии предела числовой
последовательности, поэтому его часто называют определением
«на языке последовательностей» Второе определение называют
определением «на языке к — б»
Теорема 4.1. Первое и второе определения предела функ-
функции эквивалентны
Доказательство I) Пусть А — предел {(х) в точке х0
согласно первому определению Покажем, что А — предел со-
согласно второму определению Предположим обратное, т е А не
является пределом этой функции согласно второму определению
Это значит, что не для любого е>0 можно указать такое б>0,
чтобы из неравенства 0<|* — хо| < б следовало бы неравенство
\f {х) — /1|<8, т е существует такое е, = fo>O, для кото-
которого, какое бы б >0 ни взять, найдется хоть одна точка х Ф х0
такая, что х — хо\ < б, но \f {х) — Л|^р0 Будем выбирать
в качестве б последовательно числа
j i_ j_
1' 2' з ' ' п '
Тогда
для б = 1 в А" существует такое jc, Ф х0, что х, — *0| < 1,
a|/(*,)-^|>e0,
для б = 1 /2 в А" существует такое х7 Ф х0, что |х7 — хо\ < 1 /2,
а |р (х \ /i| > g
для б = 1/3 в А" существует такое jc5 Ф х0, что \х^ — х0 < 1/3,
для б = \/п в X существует такое хп Ф хп, что \хп — хп\ < 1/я,
|
В результате получается последовательность точек, отлич-
отличных от хп
Х[> Х2> ХЛ> ¦ > Хп* ¦ >
75

сходящаяся к точке х0, так как хя — xQ\< 1 /п-*¦ 0 при я-*-оо.
Поэтому, согласно первому определению предела функции, соот-
соответствующая последовательность {/(*„)} значений функции схо-
сходится к числу А. Следовательно, для е(| найдется номер N такой,
что для всех n>N будет выполнено неравенство |/ (*„) — Л|<
<е„. Но этого быть не может, так как для всех х„ выполняется
неравенство |/ (лс„) — Л|^е0. Полученное противоречие дока-
доказывает, что число А — предел функции / (х) в точке х0 согласно
второму определению.
2) Пусть теперь А — предел f (x) в точке х0 согласно второму
определению. Это значит, что для любого е>0 существует 6>0
такое, что из неравенства 0<|* — лсо|<6 следует неравенство
\f (х) — /4|<е. Покажем, что А — предел f (х) согласно пер-
первому определению. Возьмем любую последовательность точек
Хи Хо, X ,, ..., Хп, ...,
сходящуюся к точке х1](^хпфхо). Тогда для данного значения
6>0, соответствующего е по второму определению, найдется
такое N, что при n>N будут выполнены неравенства 0< хп — хо\<С
<б. Но вместе с этим в силу второго определения будет
выполняться и неравенство |/ (х„) — А <е. А так как е было
выбрано произвольно, то это и означает, что /(*„)->/1 для лю-
любой последовательности {*„}, сходящейся к точке х0 (хпфх0),
т. е. число А является пределом f(х) в точке ха согласно первому
определению, щ
Итак, установлена эквивалентность обоих определений предела
функции и можно использовать любое из них в зависимости от
того, какое более удобно при решении той или иной задачи.
Заметим, что определение предела функции «на языке после-
последовательностей» называют также определением предела функции
по Гейне*, а определение предела функции «на языке е—б»—
определением предела функции по Коши**.
2. Предел функции при х-+х0 — и при х-*-хп-\-. В даль-
дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов
функции, которые определяются следующим образом.
Определение 3. Число А называется правым (левым) пределом
функции f (х) в точке х0, если для любой сходящейся к х0 последова-
последовательности A), элементы хп которой больше (меньше) х0, соответ-
соответствующая последовательность B) сходится к А.
Символическая запись: lim f(x)=A[ lim f(x)=A).
В качестве примера рассмотрим функцию /(x) = sgn x***. Она
имеет в точке х=0 правый и левый пределы: lim sgnjc=l,
lim sgn*= — 1. В самом деле, если A) —любая сходящаяся
х--а-
* Гейне Генрих Эдуард A821—1881) -немецкий математик
** Коши Огюстен Луи A789 1857) — французский математик
*** Определение функции /(jt) = sgn x приведено в п 2, § 1
76

к нулю последовательность значений аргумента этой функции,
элементы хп которой больше нуля (*„ > 0), то sgn xn = 1 и
lim sgn xn = 1 Следовательно, lim sgn x = 1 Аналогично уСТа-
,7— ос х — 0-\-
навливается, что lim sgn x = — 1
Г-.0-
Можно дать равносильное определение односторонних преде-
пределов функции «на языке е. — б» число А называется правым (ле-
(левым) пределом функции f (х) в точке х(), если для любого г > 0 су-
существует б > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравен-
неравенствам х() < х < х0 -f- б (х,| — 6 < х < Сц), выполняется неравен-
неравенство |/ (х) — А\ < е Символическая запись
(W>()) C6>0) (V*, jco<jc<jco +
+ Ь{хо-Ь<х<хп)) \f(x) — A\<f
Связь между односторонними пределами и пределом функции
устанавливает следующая теорема
Теорема 4.2. Функция f (x) имеет в точке х0 предел тогда
и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так
и левый пределы, и они равны В этом случае предел функции равен
односторонним пределам
Доказательство Пусть lim f {x) = lim f (x) = А
х .г„- х -хи +
Тогда, согласно определению предела функции слева и справа,
для любого е > 0 существуют числа б, > 0 и б2 > 0 такие, что для
всех х, удовлетворятих неравенствам xQ — 6, < х <. xQ, и для
всех х, удовлетворяющих неравенствам ха < х < х0 -|- 62, выпол-
выполняется неравенство |/ (х) — А\ < е. Возьмем б = mm {б,, 62}
Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенствам \х — х()| <
< 6, х =?= хф будет выполняться неравенство If (х) — А] < е
А это, согласно определению 2, и означает, что lim f (x) = А
X 4-Х,,
Обратно, пусть \im ((х) = А Тогда, согласно определению
х—х0
предела функции в точке х„, для любого е > 0 существует
число 6 >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам
\х — хо\ < б, х Ф х0, выполняется неравенство \f (х) — А\ < е
Тем самым, как для хп — 6 < х < хп, так и для ха < х < х0 -)- б,
справедливо неравенство I/(*)—А\ < е А это, согласно опреде-
определению односторонних пределов, и означает, что lim f (x) =
= lim f(x) = A U Х~Х;>"
х >хь +
3. Предел функции при х -+ оо, при х -у — оо и при х -*¦ -f- oo
Кроме рассмотренных понятий предела функции при х -*¦ xQ и
односторонних пределов существует также понятие предела функ-
функции при стремлении аргумента к бесконечности
Определение 4. Число А называется пределом функции f (x)
при x-voo, если для любой бесконечно большой последовательно-
последовательности (I) значений аргумента соответствующая последовательность
B) значений функции сходится к А
77

Символическая запись: lim /(*) = Л.
X—*-ОО
Определение 5. Число А называется пределом функции f (х)
при jc->-(-oo (х-*- — оо), если для любой бесконечно большой
последовательности значений аргумента, элементы хп которой
положительны (отрицательны), соответствующая последователь-
последовательность значений функции сходится к А.
Символическая запись: lim /(*) = Л( lim /(*:) =/4 1
Рассмотрим пример. Пусть /(*) = —• Эта функция имеет пре-
предел, при *->оо равный нулю. Действительно, если [хп]—беско-
[хп]—бесконечно большая последовательность значений аргумента, то соот-
соответствующая последовательность значе-
значений функции: \/х{, \Iхъ ..., \/хп ..., по
теореме 2.1 является бесконечно малой
и поэтому имеет предел, равный нулю,
т. е. lim (\/x) = 0 (рис. 48).
* Определения 4—5 даны «на языке по-
последовательностей». Можно дать равно-
равносильные определения «на языке е -- 6»
и записать их с помощью логических
символов. Рекомендуем сделать это
48 самостоятельно. В качестве примера
сформулируем определение предела функции при jc-*--f-oo.
Определение 6. Число А называется пределом функции f (x)
при х-*--\-оо, если для любого числа е>0 существует число б
такое, что для всех хеХ, удовлетворяющих неравенству *>6,
выполняется неравенство \f (х) — Л | < е.
§ 3. Теоремы о пределах функций
Определение предела функции «на языке последовательностей»
дает возможность перенести доказанные выше теоремы о преде-
пределах последовательностей на функции. Покажем это на примере
двух теорем.
Теорема 4.3. Пусть функции f (х) и g (x) имеют в точке х0
f (х)
пределы В и С. Тогда функции f (x)±g (x), f (x) g (x) и —т-- (при
имеют в точке х0 пределы, равные соответственно В±С,
ВСи-1-
Доказательство. Пусть {хп) (х„=^х0) - произвольная
сходящаяся к х0 последовательность значений аргумента функций
f ix) и g{x)- Соответствующие последовательности {/(-к,,)} и (g(*n)}
значений этих функций имеют пределы В и С. Но тогда в силу тео-
теорем 2.7—2.9 последовательности {/ (xn)±g (*„)}, {f (xn) g (*„)}
и [f (xn)/g (xn)) (при СФО) имеют пределы, соответственно рав-
равные В±С, ВС и В/С. Согласно определению I предела функции
78

это означает, что
Um[f{x)±g(x)] = B±C, Um If (х) в (х)] = ВС, lim -^г= -§•.
Теорема 4.4. Пусть функции f (x), g (х) и п(х) определены
в некоторой окрестности точки х(|, за исключением, быть может,
самой точки хп, и функции f (x), h (x) имеют в точке х0 предел,
равный А, т. е. lim / {x)= lim h {x) = А. Пусть, кроме того, вы-
полняются неравенства f {x)^g (x)^Lh (x). Тогда
Доказательство. Пусть {*„} {ха=?х0) — произвольная
сходящаяся к х0 последовательность значений аргумента функций
f (х) и h(x). Соответствующие последовательности {f (х)} и [h(x)}
значений этих функций имеют предел, рав- т
ный А, т. е. f(xa)-*-A, h(xH)-*-A при
п—>~оо. Используя неравенства, данные в
условии теоремы, можно записать
f (-О < 8 0„) < Л (*.)¦
Отсюда по теореме 2.11 следует, что g (*„)->-
-*-А. Согласно определению 1 предела функ-
функции это означает, что
limgU) = А.щ
>¦ *\, Рис. 49
Замечание. Теоремы 4.3 и 4.4 верны также и в случае,
когда хA является одним из символов оо, -4- оо или — оо.
§ 4. Два замечательных предела
1. Первый замечательный предел. Докажем, что
.. sin х .
lim —— = I.
д >О Х
Рассмотрим дугу окружности радиуса /?= 1 с центральным
углом, радианная мера которого равна х @<х<4р) (рис. 49).
Тогда
ОА = 1, sin jc= MA:,tgJC= AT. A)
Очевидно, что площадь треугольника ОАМ меньше площади сек-
сектора ОАМ, которая меньше площади треугольника ОАТ, или,
что то же самое, A/2) ОА • МК<{\/2) ОА-АМ<{\/2) ОА-АТ.
Принимаявовнимание равенства (I), последнее соотношение можно
записать в виде A/2) sin х<A/2) *<A/2) tg x, откуда получаем
sin х < *<tg x. B)
70

Разделив эти неравенства на sin х, получим 1 >(sin jc)/x>cos x,
откуда находим: 0<1 — (sin х)/х<с 1 — cos x. Так как sin (х/2)<;
<1, то sin2(jc/2)<Csin (х/2). Поэтому, учитывая первое неравен-
неравенство B), для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0<С*<:л/2,
получаем 1 —cos * = 2 sin2(jc/2)<2 sin (jc/2)<2 (х/2) = х.
Итак, 0<1 — (sin *)/*<* при 0<*<л/2.
Возьмем любое е>0 и положим 6 = гшп{е, л/2}. Тогда для
всех х, удовлетворяющих неравенствам 0<Jt<6, будет выпол-
выполняться неравенство х<Сг. поэтому
О < 1 — (sin х)/х < е, откуда 11 — (sin x)/x
г.
^ . . й II I Л
Это означает, что 1 ЯЕияется правым пределом функции ——
в точке jc = O, т. е. lim ——=1. Заметим теперь, что функция
х -0 |- Х
. , . sm х , , . sin( — х) sin л: . ,
f (x) = четная, так как / ( — х) = —^ = =/ (х). Поэто-
Поэтому и левый предел функции — в точке х = 0 равен 1. Отсюда
в силу теоремы 4.2 следует, что lim = 1. И
х--0 х
Замечание. Используя неравенства sin ж* и 1 —cosjc<
<Сх при 0<Сх<.л/2, полученные при рассмотрении первого
замечательного предел.ч, легко доказать, что limcosjc=l,
lim sin jc= 0. Сделайте это самостоятельно.
С помощью первого замечательного предела вычисляются мно-
многие другие пределы.
_ « LJ - I- ' —COS X
Пример 1. Найти lim .
Решение. Знаменатель дроби при jc—>-0 стремится к нулю.
Поэтому теорема 4.3 здесь неприменима. Для нахождения предела
преобразуем данную дробь:
.. 1 — cos x .. 2 sin2 (x/2) .. sin(A/^, . n.
lim = lim K-L-L= hm ^—sin (x/2) =
t .0 x x-*0 X t > () Xll
= lim s'n(,x/2) lim sin (x/2) =1 -0 = 0.
x .0 X/ ^ t—0
Пример 2. Найти lim ——.
Решение. Имеем
.. ts x .. sin x 1 .. sin x ,. I . 1 .
lim -=— = lim = lim lim = l . _ = 1.
x--0 x x-rO X COS x К--П X x rO C0S x '
5x
Пример 3. Найти lim . . .
Решение. Имеем
5/4
>П lim (sin 4jc)/Djc)
,. 5jc 5/4 5/4 5/4
lim . , = lim , . . ,... , = = -4- = 1,25.
, n sin 4x n (sm 4лг)/Dлг) I
80

2. Второй замечательный предел. Докажем, что
lim
Как известно, lim (\ -\- \/п)" = е (см. гл. 2, § 3, п. 2). Пусть
п—*¦ оо
х~>\. Положим « = [*]; тогда х=п-\-а, где п — натуральное
число, а а удовлетворяет условию 0^а<1. Так как
<л+1, l/(n + 1)<1/х< 1/п, то
A + \/(п + !))"<( 1 + \/х)'<(\ + 1/пI.
При Jt-»--|-oo (tt-voo)
lim A + 1/п)" + ' = lim A + 1/п)" lim A + 1/п) = е • 1 = е
П * ос п -* оо и -» ос
и
lim (I + 1/(я + 1))"г'
— = -f = e-
lim (I + 1/(п + 1))
Отсюда по теореме 4.4 получаем
Mm A + 1 Mr= e.
Пусть теперь х<с — li положим х= —у. Тогда
(~^ ' \ '' ¦ / ' \ч
1 ) = lim A4 г 1 =
= „'IT. (' + У^т) Лт~ (' + Т^г) =е • ' = е
при JC-v — oo.
Объединяя оба случая, окончательно имеем
lim A + 1/*)*= е. ¦
Второй замечательный предел имеет широкое применение.
С его помощью находятся многие другие пределы.
Пример. 4. Найти lim A + х)]/х.
х-* О
Решение. Сделаем замену переменной, полагая \/х = а.
Тогда очевидно, что a-voo при х-у'О. Поэтому ^
lim A + x)]/r = lim (I + l/a)a= e.
Пример 5. Найти lim A + 3/х)\
Решение. Положим д: = 3/. Тогда при д:->-оо и /->-оо.
Следовательно,
Iim(l+3A)X =lim(l
Х-+-ОС t * OO I-*(X>
= lim A + 1/0' Mm A + 1//)' lim A + \/t)' = e • e • e = e:!.
t *¦ OO (-*¦ OO t " VK>
81

log A 4- x) i
Пример 6. Найти lim —
x - О Х
Решение Для нахэждения предела преобразуем данную
дробь
lim
¦ о
-= lim [ — loga(l +*)] =
= lim logfl(l т-*)'Л= l°ga I l|m A +-^I/Л1
x -» 0 L х -* О J
Но lim A -(-л:)I/Jr=e (см пример 4) Поэтому hm—"—^-—-=logae
„ , In 1,1 + X) .
В частности, hm = 1 при а = e
д¦ > (I X
§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
1. Бесконечно малые функции. Определение 1. Функция fix)
называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно ма-
малой) в точке х = х{) (или при х -*¦ х()), если lim / (х) = О
X - X,,
Аналогично определяются бесконечно малые функции при
X —>-oo,jc—v-)-oo,jc—*¦ — оо, jc —v JC0 — И JC —*¦ X,t -\-
Можно дать равносильное определение бесконечно малой фупк
ции «на языке е — б» функция f (x) называется бесконечно малой
в точке х = хи, если для любого г -*- О существует б -*¦ 0 такое,
что для всех х е X, х Ф х{), удовлетворяющих неравенству \>с —
— Х(|<б, выполняется неравенство \f(x)\<Ce,, или с помощью
логических символов
(Ve > О)(Эб > O)(Vjc е X, х ф х0, \х - хо\ < 6) |/(je)| < к,
и «на языке последовательностей», функция f (х) называется беско-
бесконечно малой в точке *=*0, если для любой сходящейся к х0последо-
вательности {х„} значений аргумента х, отличных от х{), соответ-
соответствующая последовательность {/(*„)} является бесконечно малой
Имеет место следующая теорема
Теорема 4.5. Для выполнения равенства lim f (x) = А не-
X -» Х„
обходимо и достаточно, чтобы функция
а (л-) = f{x)-A
была бесконечно малой при х —>¦ хп
Доказательство. Необходимость. Пусть lim / (х) = А.
X -* Д„
Рассмотрим разность f {х) — А = а (х) и покажем, что а(х) — бес-
бесконечно малая функция при .v —>-jc0 Действительно, пределы каж-
каждой из функций f (x) и А при х-*-х0 равны А, и поэтому в силу
теоремы 4.3
lim a(x)= hm \f(x) — A\= hm j (x) — lim A = A — A = 0.
¦**¦*,) X •* X ) x * д(| x *¦ x.t
82

Достаточность. Пусть / (х) — А = а(х), где а (х) — беско-
бесконечно малая функция при х-*-х{) Покажем, что lim f (х) = А.
Так как f (x) = А -\- а (*), то
lim f (х) = lim [A + а(х)\ = lim A + lim а(х) = А + 0 = А Ш
Из теоремы 4.5 получаем специальное представление для функ-
функции, имеющей в точке х = х0 предел, равный А:
f (х) — А + а(лг), где lim a{x) = 0.
[Три этом обычно говорят, что функция f(x) в окрестности точки
хпотличается от А на бесконечно малую функцию.
Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами,
что и бесконечно малые последовательности. Справедлива следую-
следующая теорема.
Теорема 4.6. Алгебраическая сумма и произведение конеч-
конечного числа бесконечно малых функций при х -*¦ х„, а также произве-
произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию
являются бесконечно малыми функциями при х -*¦ хи.
Эта теорема непосредственно вытекает из первого определения
предела функции и теорем 2.2—2.4.
Все сказанное о бесконечно малых функциях при дг —*- дс0 спра-
справедливо и для бесконечно малых функций при х ->¦ оо, х ->--)- оо,
х —>¦ — оо, х —>¦ х()— и х —>¦ х()-\-.
2. Бесконечно большие функции. Определение 2. Функция f (x)
называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно
большой) в точке х = хп (или при х -»- х„), если для любого е > 0
существует б > 0 такое, что для всех х е А", х Ф xw удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенству х — х„ < б, выполняется неравенство \f (х)\ > и.
В этом случае пишут lim / (х) = оо и говорят, что функция
стремится к бесконечности при х —>¦ хф или что она имеет бесконеч-
бесконечный предел в точке х = х0.
Если же выполняется неравенство /' (х) > к (/ (х) <. — е), то
пишут lim f (x) = + оо Him f (x) = — оо ) и говорят, что функция
имеет в точке хйбесконечный предел, равный + оо (— оо)
Используя логические символы, определение 2 можно записать
в виде
По аналогии с конечными односторонними пределами определя-
определяются и бесконечные односторонние пределы:
lim f [х) = -}- оо, 1пп / (х) = — оо, lim / (х) = -}- оо,
lim / (х) = — оо.
Так, например, пишут lim f (х) = + оо, если для любого
е > 0 существует б > 0 такое, что для всех х е Л", удовлетворяю-
83

щих неравенствам л:п<с*<;л:п-|-6, выполняется неравенство
/ (лс)>е. Символическая запись
(Ve > О)(Эб > 0)(V* е= X, хо<х<*„ + б) : f {х) >е.
«На языке последовательностей» это же определение записывается
так: Him f(x)= + °°, если для любой сходящейся к х0 последо-
вательности \хп\ значении аргумента х, элементы хп которой больше
х(Ь соответствующая последовательность {/(*„)} значений функции
является бесконечно большой положительного знака.
Точное определение других подобных пределов рекомендуем
сделать самостоятельно.
Аналогично определяются бесконечно большие функции при
лг-voo, х-*-\-оо и х-*- — оо. Так, например, функция f (х) назы-
называется бесконечно большой при дг-voo, если для любого р>0
существует 6>0 такое, что для всех ле1, удовлетворяющих
неравенству 1*|>8, выполняется неравенство |/(*)|>е. При
этом пишут lim f {х)= оо.
X -+-ОС
Символическая запись определения бесконечно большой функ-
функции при л:—>-оо:
(Ve > 0)(Зв > O)(Vjc е X, \х\ > 6) : |/(*)| > г..
Если же выполняется неравенство f (jc)>e {f (.v)< — e), то
пишут lim / (x) = + оо Nim / (x) = — оо \
Предлагаем самостоятельно сформулировать определение бес-
бесконечно большой функции при д:->--|-оо и д:-»—оо.
В заключение покажем, что между бесконечно малыми и беско-
бесконечно большими функциями существует такая же связь, как и
между соответствующими последовательностями, т. е. функция,
обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, и на-
наоборот.
В самом деле, пусть lim/(.v) = 0 и f (х) Ф 0 при х^=хп. Дока-
жем, что lim-f7-T=o°- Зададим произвольное е>0. Так как
х ,х„ I W
f (х) — бесконечно малая функция в точке х0, то для числа 1/е
существует 6>0 такое, что для всех х<=Х, удовлетворяющих
неравенствам 0<|а' — л:п|<6, выполняется неравенство (/(.х:)!-^
<1/е. Но тогда для тех же х выполняется неравенство |1//Ч*)|>е,
т. е. \/f(x) бесконечно большая функция в точке х = х0, что и
требовалось доказать. Обратное утверждение рекомендуем дока-
доказать самостоятельно.
§ 6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
Как было показано, сумма, разность и произведение бесконечно
малых функций являются бесконечно малыми функциями. Этого, во-
вообще говоря, нельзя сказать о частном: деление одной бесконечно
малой на другую может привести к различным результатам. Так,
84

например, если а (х) = х, р (х) = 2л:, то
.. а (х) .. х 1
lim -т—- = lim -s- = -<г.
л >О Р(л;) г -0 1х 1
Если же <х(х) = х, р (*) = лг, то
lim „ , = lim — = оо, lim , , = lim x = 0.
Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций.
Пусть при х-*-х0 функции а{х) и р (х) являются бесконечно
малыми. Тогда:
а. (х)
1) если lim „ ' = 0, то а(х) — бесконечно малая более высо-
х .х„ Р \х>
кого порядка, чем р (х) (говорят также, что а(х) имеет более
высокий порядок малости, чем р (х), мри х-*-хо)\
а (х)
2) если lim = А Ф 0 (А -число), то а(х) и р (х) — беско-
бесконечно малые одного порядка;
а (к)
3) если lim „ •' ' = I, то а(х) и fj(jc) — эквивалентные бесконечно
х .х0 Р (Х>
малые. Эквивалентность обозначается так: а(х)—^р (х).
В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бес-
бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка,
чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому
вводится следующее правило:
4) если lim —^—=АфО, то а(х) — бесконечно малая п-го
х -хп Р" (X)
порядка относительно р (х).
Существуют аналогичные правила для сравнения бесконечно
малых функций при х—>-оо, х—>—оо, х—»--)-оо, а также при
х-*-ха справа и слева.
Рассмотрим примеры.
1. Функции sin х и х являются при х—vO эквивалентными бес-
.. sin х
конечно малыми, так как lim = 1
г -0 Х
2. Функции sin 3jc и sin x являются при х-*-0 бесконечно ма-
малыми одного порядка, так как
.. sin За' .. C sin 3;c)/Cjt) _ .. sin Зх .. х ,.
im = im -—-.—тт—- = 3 hm —=— im = 3.
,,0 sin* х ,n (shia-)A x,() Зх ,.o sin.v
3. Функция a (x) = 1 — cos x является при x-+Q бесконечно
малой второго порядка малости по отношению к бесконечно малой
х, так как
.. 1— cos а- .. 2 sin- 2
hm= hm
- (а/2) 1 / sin (
a-' 2 x_^n \ x/
,-u х- x .,, a-'
При сравнении бесконечно малых функций часто используют
символ о («о малое»). Если функция a(jc) — бесконечно малая в
в точке хп более высокого порядка, чем бесконечно малая в этой же
85

точке р (х), то это условно записывается так: ;
а(х) = о(р(*)).
Если функции а(х) и р (х) — бесконечно малые в точке хп, то
функция а(х) р (х) имеет более высокий порядок малости, чем каж-
каждый из сомножителей. В самом деле,
.. а{х) й (х) ,. . г,
llm я Л = lim a (*) = °
и поэтому а(х) р (х)=о (p tx)), a(x) p (х) = о(а(х)).
Если a(jc)~a,(jc) и p(jc)~p,(.v) при дс—»-лг0 и существует
u) ai № .. а(х)
= lim
11171 Ш' т0 сУЩествУст и lim -jn^1 "Ричем
В самом деле, имеем
™, ^Т^ = 1™., | "JUT TIF "Ш J =
а (х)
Доказанное утверждение во многих случаях упрощает вычис-
вычисление пределов
„ sin Ьх
Пример. Найти lim -.
д- .п х + t'
Решение. Так как sin 5jc — 5jc, jc -(- jc ' •—• л: при jc -*¦ 0, то
.. sin 5лг .. 5х _
lim = lim — = о.
+ > х
.0
Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные
правила сравнения.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Функции а(дс) = ( 1 -\-х)/х и р (х) = I /х являются при
*-»-0 эквивалентными бесконечно большими, так как
lim(l +x)= I.
х -0
В этом случае говорят также, что a(jc) и р(лг) имеют одинаковый
порядок роста при х-*-0.
2. Функция а(х) = xljrA является при л;->оо бесконечно
большой более низкого порядка, чем р (*)=*'— 2 (имеет менее
высокий порядок роста), так как
а(х) .. х- + 4 ,. 1 + 4/х2 ,. 1 „
lim -ft-L4= lim , о = lim 0 . - = lim — = 0.
Р") '2 д „»• х-2/х- х .к х
3. Бесконечно большие при jc->-oo функции а(х) =
и р (х) = jr — I имеют одинаковый порядок роста, так как
.. 2х- + I .. 2+ I// „
lim ----— = hm тт = 2.
86

4. Функция а(х)= jc4 + jc-(- 1 является при *->-оо беско-
бесконечно большой второго порядка по отношению к бесконечно боль-
большой р (х) = х2-\- 1,так как
lim ^1±± = Пт Г+Л+'. = lim ' + У* + ^ = 1.
§ 7. Понятие непрерывности функции
Понятие непрерывности функции является одним из основных
понятий математического анализа.
1. Определение непрерывности функции. Пусть функция f (х)
определена в некоторой окрестности точки ха.
Определение 1. Функция f (х) называется непрерывной в точке х0,
если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.
"im/W = /W*. О)
Так как lim *=*п, то соотношение A) можно записать в сле-
дующем виде:
lim / (х) = /
(lim х ),
\д .*„ I
т. е. для непрерывной функции можно переставить знак функции
и знак предела.
Приведем равносильное определение непрерывности функции
«на языке последовательностей»: функция f (х) называется непре-
непрерывной в точке ха, если для любой последовательности значений
аргумента х: х„ х2, х„ ..., хп, ..., сходящейся к хп, последователь-
последовательность соответствующих значений функции: f (x,), f (jc2), f{xt), ...,
f (xn),... сходится к f(xn).
Сформулируем определение непрерывности функции «на языке
к — б».
Определение 2. Функция f (x) называется непрерывной в точке х0,
если для любого а>0 существует 6>0 такое, что для всех х,
удовлетворяющих неравенству х— х0 <б, выполняется неравенство
||
|
Эквивалентность этих определений очевидна.
Запишем определение 2, используя логические символы:
(Vb > 0) C6 > 0)(V* e= X, \х - ха\ < б) : \f (х) - f (ха)\ < в.
Если lim f (x) = f (ха) ( lim / (x) = f (xa) Y то функцию f(x) на-
*-.*,, , \д .д„- /
зывают непрерывной в точке ха справа (слева). Если функция f (х)
непрерывна в точке ха и слева и справа, то она непрерывна в этой
точке. Действительно, в силу теоремы 4.2 в данном случае предел
функции в точке хA равен ее значению в этой точке.
* Из определения следует, что если функция непрерынна н точке х(|, то
она определена н этой точке, т е сушестнует /(х(|) Заметим, что при опре-
определении предела функции в точке *п этого не требовалось.
87

Приведем еще одно определение непрерывности функции, ко-
которое по существу является перефразировкой первого определения.
Перенесем в равенстве A) / (*0) в левую часть и внесем / (дг„) под
знак предела. Так как условия х-*-хп и (х — *(|)-»-0 равносильны,
то получаем
^UmJf(x)-f{x{))\=0. B)
Разность х — хп называется приращением аргумента х в точке х{)
и обозначается, как правило, Ах, а разность f (х) — f (ха) — при-
приращением функции в точке ха, вызванным приращением аргумента
Ах, и обозначается Ау. Таким образом,
Ах = х — х0, Ау = f (ха + Ах) — f (x0).
Отметим, что при фиксированной точке д:0 Ау является функцией
аргумента Ах. Геометрический смысл приращений ясен из рис. 50.
Равенство B) в новых обозначениях принимает вид
lim Ay = 0. C)
Соотношение C) и является еще
одним определением непрерывности
функции, которое можно сформули-
сформулировать так.
Определение 3. Функция f (x) на-
называется непрерывной в точке хп,
~0 хо*-йх х если ее приращение в этой точке
Рис 50 является оесконечно малой функци-
функцией при Адг->-0.
Последнее определение для практического использования бы-
бывает иногда более удобным, и им будем также пользоваться.
2. Арифметические действия над непрерывными функциями.
Теорема 4.7. Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны в точке *„.
Тогда функции f (x)±g (x), f (x) g (x) и - также непрерывны
в этой точке (последняя при g (ха) Ф 0).
Доказательство. Так как непрерывные в точке х()
функции f (x) и g [х) имеют в этой точке пределы, равные f (xt)) и
g (х0), то по теореме 4.3 пределы функций f [x) ± g (x), f (x) g (х)
и -Ц-у существуют и соответственно равны f(xa)±g(x()), f(jc0) g(x0),
. . Но эти величины равны значениям соответствующих функ-
функций в точке х0. Следовательно, согласно определению 1 функции
f{x)±g (x), f О) g О) и -j^-непрерывны в точке х0. щ
§ 8. Непрерывность некоторых элементарных функций
Одним из важных свойств элементарных функций является их
непрерывность в каждой точке, в окрестности которой они опреде-
определены. На примере некоторых функций проверим данный факт, ис-

пользуя определение непрерывности функции в точке и теорему 4.7.
1. Непрерывность рациональных функций. Простейшим приме-
примером функции, непрерывной в любой точке ха числовой прямой,
может служить постоянная функция /(jc)=C. Действительно,
в этом случае lim / (*) = C=f (ха) (см. пример I, § 2), т.е. по-
стоянная функция непрерывна в каждой точке числовой прямой.
Непрерывна также в каждой точке х() числовой прямой функция
f(x) = x, так как lim x = xn= f (хп) (см. пример 2, § 2), т.е.
предел функции в точке *,, равен ее значению в этой точке. Из ска-
сказанного и теоремы 4.7 следует, что в любой точке хп функции
*2 = jc-jc, x^ = x2-x, хА = хл-х, ..., х" = х" ~[ • х (п — натуральное
число) непрерывны. Как известно, функция f(x) = x" наз1э1вается
степенной, а функция вида
Р (х) = Спх" + С,х" "' + С2х" -'+... + С .,* + С,
где я^О— целое число; Со, С,, С,, ..., Сп любые числа, — ал-
алгебраическим многочленом.
Каждое из слагаемых
есть произведение двух непрерывных функций (постоянной и сте-
степенной). По теореме 4.7 оно непрерывно в любой точке х. Много-
Многочлен Р (х) является, таким образом, суммой функций, непрерывных
в любой точке х, и, следовательно, непрерывен в любой точке х.
Дробно-рациональная функция, т. е. функция вида
где Р {х) и Q (х) — алгебраические многочлены, непрерывна во
всех таких точках х, в которых ее знаменатель не равен нулю (т. е.
во всех точках, за исключением корней знаменателя), как частное
непрерывных функций.
Например, функция R (х) = {Зх2-\-7х— l)/(x2— 1) непрерыв-
непрерывна во всех точках х, отличных от -4-1 и — 1.
2. Непрерывность тригонометрических функций. Рассмотрим три-
тригонометрические функции sin х, cos x, igx, dgx, sec x, cosec x.
Покажем, что функция sin x непрерывна в любой точке х. Вос-
Воспользуемся определением 3 непрерывности функции. Задав аргу-
аргументу х приращение \х, получим приращение функции
Лу = sin (х -\- Ах) — sin х, или
Лу = 2 cos ( х -\—^) sln -Q--
Переходя к пределу в левой и правой частях равенства при А*-»-0,
получаем
89
lim Лу = 2 lim I cos (х -\- -?-) sin -^ = О,

так как |cos (x-\-Ax/2)\^ 1,
.. Ах sin (Ajc/2) .. Ах I . пл
lim sin -s- = lim —. /0 hm -я- = -s- • I • lim Д* = О*,
а произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть
бесконечно малая. Таким образом, функция sin x непрерывна в лю-
любой точке х.
Непрерывность функции cos x в любой точке х доказывается
аналогично.
Из непрерывности функций sin* и cos* по теореме 4.7 следует
непрерывность функций tg л:= sin лг/cos лг и sec х = 1 /cos x во всех
точках, где соэдг^О, т.е. во всех точках, кроме * = л/2 + пл,
и функций ctg х = cos лг/sin х и
cosec *= 1 /sin x во всех точках, кроме
х=пя(п = 0, ±1, ±2, ...).
3. Непрерывность функции / (х)=
= U|. Функция /(jt) = U|, график
которой изображен на рис. 51, опреде-
определена и непрерывна во всех точках чис-
числовой прямой. Действительно, в точках
полупрямой @, +°о) она непрерывна,
так как при х>0 /(*) = * (см. п. 1).
В точках полупрямой (—оо, 0) функция
/ (х) также непрерывна, так как при
д:<:0 / (х)=—х, ее можно представить как произведение двух
непрерывных функций (—1) и х и применить теорему 4.7 о непре-
Йгвности произведения. Чтобы установить непрерывность функции
в точке х=0, вычислим односторонние пределы функции
в этой точке:
lim Ы = lim (— х) = — Mm х = 0; Mm Ы = lim x = 0.
Jt-*O- х »0— х »0 х ¦-(>-(- jc-*O-t-
Итак, пределы функции в точке *=0 слева и справа совпадают
и равны значению функции в этой точке. Отсюда следует, что функ-
функция \х\ непрерывна в точке д:=0 и, следовательно, непрерывна
во всех точках числовой прямой.
Таким образом, рассмотренные функции непрерывны в каждой
точке, в окрестности которой они определены. На основании тео-
теоремы 4.7 о непрерывности суммы, разности, произведения и част-
частного можно утверждать, что функции, получаемые из них с помощью
конечного числа арифметических действий, являются также непре-
непрерывными функциями в каждой точке, в окрестности которой они
определены.
Будем говорить, что функция / (х) непрерывна в интервале (а, Ь),
если она непрерывна в каждой точке этого интервала; непрерывна
*3десь использован периый замечательный предел, который получается
. ,. . sin Ax/2 sin /
в результате замены переменной t = \x/2- lim —-—rj-—= Mm = 1 (оче-
д*-*о д*/2 /-о '
видно, что t = Ах/2^-0 при Ах-+0).
90

на отрезке [а, Ь\, если она непрерывна в интервале (а, Ь),и не-
непрерывна в точке а справа, а в точке Ь слева, т.е.
Игл /(*) = /(a), a
lim
к *Ь—
§ 9. Классификация точек разрыва функции
1. Определение и классификация точек разрыва функции. Опре-
Определение. Точка хп называется точкой разрыва функции f (х), если
f (х) в точке ха не является непрерывной.
Разрывы функций классифицируются следующим образом.
Разрыв 1-го рода. Точка хп называется точкой разрыва
1-го рода функции f (x), если в этой точке функция / (х) имеет конеч-
конечные, но не равные друг другу
правый и левый пределы:
lim
lim f(x)
-3 -2 -1
о
I LJ
—п
~П I
2 J 4 5
-1
-г
-э
Рис 52
Пример. Для функции [(х) =
^sgn х точка х = 0 является точ-
точкой разрыва 1-го рода (см.рис.46),
так как lim sgnx=l, lim sgn.*: =
x »(|. x -0-
= —1.
Разрыв 2-г о рода. Точ-
Точка ха называется точкой разрыва
2-го рода функции f (x), если в
этой точке функция / (х) не имеет,
по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы
один из односторонних пределов бесконечен.
Пример. Для функции f (х) = — точка дг=О является точкой
разрыва 2-го рода (см. рис. 48), так как lim A /х) = -\- оо,
х »0f
lim (\/х) = — оо.
х «О—
2. Кусочно-непрерывные функции. Функция f (х) называется
кусочно-непрерывной на отрезке \а, Ь\, если она непрерывна во всех
внутренних точках \а, Ь\, за исключением, быть может, конечного
числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет
односторонние пределы в точках а и Ь.
Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой,
если она кусочно-непрерывна на любом отрезке.
Пример. Функция /(лг) = |дг] кусочно-непрерывна как на любом
отрезке, так и на всей числовой прямой. Напомним, что символ
[х\ обозначает целую часть числа х. График функции f(x) = \x\
изображен на рис. 52, функция [ х\ в точках х—п {п~0, ± 1, ±2, ...)
непрерывна справа и разрывна слева. Во всех других точках она
непрерывна как справа, так и слева.
91

§ 10. Основные свойства непрерывных функций
1. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Тео-
Теорема 4.8. Пусть функция f (х) непрерывна в точке xQ и /(хо)^=О.
Тогда существует б>0 такое, что для всех лге (х0 — б, jco-}-6)
функция f (х) имеет тот же знак, что f (*„).
Доказательство. Пусть / (jc())>0 (рис. 53). Тогда в силу
второго определения непрерывности функции для любого е>0
существует 6>0 такое, что неравенство |/ (х) — /(*())|<е вы-
выполняется для всех х, удовлетворяющих условию \х — xo|<;fi,
или, что то же самое, выполняются неравенства
/ (х0) - г < l(x)< f (х0) + г A)
для всех х^(х0 — б, Jco-i-6). Возьмем е = /(л;()). Тогда из левого
неравенства A) получаем: f (х)>0 для всех хе(хо — б, хо + 8),
что и требовалось доказать.
Если же /(*„)<;0, то рассмотрим функцию —f(x). Так как
— /(*о)>О, то по доказанному существует ft-окрестность точки х(Ь
в которой — f (х)>0 и, следовательно, f (x)<.0. Ш
2. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточ-
промежуточное значение. Рассмотрим теорему о прохождении непрерывной
функции через нулевое значение при смене знаков.
Т е о р е м а 4.9 (первая теорема Больцано —
Ко ш и)*. Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь\ и на
концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует
точка с е (а, Ь), в которой f (с) = 0.
Доказательство. Пусть для определенности f (а) <0
и f(b)>0 (рис. 54). Разделим отрезок \а, Ь\ пополам. Если значе-
значение функции в середине отрезка [а, Ь\ равно нулю, то теорема дока-
доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных отрез-
отрезков, на концах которого функция имеет значения разных знаков,
и обозначим его [а„ ft,]. Разделим отрезок [a,, ft,] пополам. Если
значение функции в середине отрезка [a,, b ,] равно нулю, то теорема
доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных
отрезков, на концах которого функция f (х) имеет значения разных
знаков, и обозначим его уаъ Ь2]. Если продолжить этот процесс не-
неограниченно, то либо на каком-то /г-м шаге значение функции
в середине отрезка [ak, bk] окажется равным нулю и тогда теорема
доказана, либо получим последовательность
[а,Ь\ =э [а„ Ь,| :=> \а2,Ь.2] =э ... ^\ал,Ьл\ =э ...
вложенных отрезков, причем Ь„ — ап = {Ь — а)/2"-*-0 при я-»-оо
и на концах каждого отрезка \аа, b„] функция имеет значения раз-
разных знаков.
По теореме 2.13 о вложенных отрезках существует точка с,
принадлежащая всем отрезкам. Докажем, что /(с) = 0. Действи-
Действительно, если допустить, что f(c)~>0, то по теореме 4.8 об устойчи-
*Больцано Бернард A781 — 1848) -чешский математик
92

вости знака непрерывной функции существует окрестность точки с,
в которой I (х)>0. В эту окрестность при достаточно большом п
попадет отрезок [ ап, ?>„], следовательно, на отрезке ( а„, brt\ будет
выполнено неравенство f(jc)>0. Но это противоречит тому, что
на концах отрезка [ а„, Ь„\ функция имеет значения разных знаков.
Аналогично доказывается, что f (с) не может быть меньше нуля.
Остается принять, что f(c) = O. При этом очевидно, что точка
с<=(а, Ь). ¦
Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл: не-
непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, границей
которой является ось абсцисс, в другую пересекает эту ось.
Рассмотрим теорему о прохождении непрерывной функции через
любое промежуточное значение.
Теорема 4.10 (вторая теорема Больцано —
К о ш и). Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь\, причем
f (a) = А, f(b) = B. Пусть, далее, С — любое число, заключенное
между А и В. Тогда на отрезке {а, Ь\ найдется точка с такая, что
1{) С
Рис 53
Рис 54
Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного
значения к другому принимает и все промежуточные значения.
Доказательство. Пусть для определенности А<.В и
А <С<В (рис. 55). Рассмотрим вспомогательную функцию
(f(x) = f(x) -С.
Эта функция непрерывна на отрезке [а, Ь\ (как разность непрерыв-
непрерывных функций) и принимает на концах этого отрезка значения раз-
разных знаков:
ф (а) = f (а) — С = А — С < 0,
ф (b) = f (b) — С = В — С > 0.
По теореме 4.9 существует точка с^(а, Ь) такая, что ц>{с) =
= ((с) — С= 0. Отсюда / (с) = С.Щ
Следствие. Если функция f(x) определена и непрерывна на
некотором промежутке X, то множество ее значений Y также
представляет собой некоторый промежуток.
Прежде чем доказать это следствие, введем понятие точных гра-
граней функции. Пусть функция y = f(x) определена на множестве
93

X, a Y—множество ее значений. Если множество Y ограничено
сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
Точная верхняя (нижняя) грань множества Y называется точной
верхней (нижней) гранью функции y = f(x) на множестве X и обо-
обозначается sup f (x) (inf f (x)j. Иными словами, определение точной
верхней (нижней) грани функции y = f(x) на множестве X можно
сформулировать так: число М (ш) называется точной верхней (ниж-
(нижней) гранью функции у= f (х) на множестве X, если выполнены два
условия:
1) / (x)^.M(f(x)^m) для любого xeJf;
2) для любого числа М'<.M{m'>m) найдется такая точка
х'(=Х, 4T0f(x')>M'(f(x')<m').
Первое из этих условий показывает, что число М (пг) является
одной из верхних (нижних) граней функции y = f(x) на множестве
X, а второе условие показывает, что М(т) — наименьшая (наиболь-
(наибольшая) из верхних (нижних) граней функции, т. е. точная грань.
Рис 56
Если множество Y не ограничено сверху (снизу), то пишут
sup f(x)=-\-oo (\ni f (x)= — oo\ В этом случае для любого числа А
существует такая точка х' е X, что / (х') > А (/ (х')<.А).
Докажем теперь следствие теоремы 4.10.
Доказательство. Пусть m = \n\f{x), M = supf(.*:).
Возьмем любое у из У, не равное т и М, и выберем два значения
У\ и Уч функции f (х) так, чтобы выполнялись неравенства
(если М—+ оо(т = — оо), то г/2<М (/Жг/,)). Существование
таких значений функции f (х) следует из определения точных гра-
граней. Тогда по теореме 4.10 о промежуточных значениях непрерыв-
непрерывной функции существует точка х такая, что / (х)=у. Следовательно,
множество Y представляет собой некоторый промежуток (конечный
или бесконечный) с концами т и М, которые в зависимости от конк-
конкретного случая могут ему принадлежать или не принадлежать.И
3. Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке.
Напомним, что функция f(x) называется ограниченной на отрезке
94

лучаем ]/' (х)\ =
\a, ft], если существует число М~>0 такое, что для всех д:е[а, Ь\
выполняется неравенство |/(*)|^М или — М^/(х)^М, т. е.
график f (х) не выходит из полосы, ограниченной прямыми у= М
и у=—М (рис. 56).
Теорема 4.11 (первая теорема Вейерштрас-
с а)*. Если функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [а, Ь\,
то она ограничена на этом отрезке.
Предварительно докажем следующую лемму.
«Лемма. Функция f (x), непрерывная в точке х№ ограничена в не-
некоторой ее окрестности.
Доказательство. Пусть г = 1; тогда согласно второму
определению непрерывности функции в точке для данного с. суще-
существует 6>0 такое, что для всех х^(хп—8, хп-\-8) выполняется
неравенство |/ (х) — f (хп)\<. 1. Используя это неравенство, по-
П*> - /W) + 1(Ч)\ < \f{x) - f(xo)\ +
/(*,,)j, т. е. \f(x)\ <М, где М = 1 + \f(xa)\.
Отсюда заключаем, что функция / (.v) ограничена в 6 - окрестности
точки х„Ш
Доказательство теоремы 11редположим обратное,
т. е. допустим, что функция f (х) неограничена на отрезке [а, Ь\.
Разделим отрезок [a, b\ пополам, тогда, по крайней мере, на одном
из двух полученных отрезков функция f (х) неограничена (в про-
противном случае она была бы ограничена па \а, Ь]). Обозначим этот
отрезок через [a,, fe,|. Разделим [а., А,| пополам и обозначим через
\а2, Ь2\ тот отрезок, на котором функция f (х) не ограничена, и т. д.
Продолжая этот процесс неограниченно, получаем последователь-
последовательность
\а,Ь\ :=> [ о,, ft ,| id [ a2, ft2| =з... id [ а„, ft,,| id ...
вложенных отрезков, на каждом из которых f (х) не ограничена,
, b — а .
причем о„— а, = —— *¦[) при га^-оо.
По теореме 2.13 о вложенных отрезках существует точка с,
принадлежащая всем отрезкам. Функция f (х) но условию определе-
определена и непрерывна в точке с, следовательно, согласно доказанной
лемме в некоторой окрестности точки с она ограничена. При доста-
достаточно большом п в эту окрестность попадет отрезок | а,„ Ь„\, на кото-
котором функция f (х) также ограничена. Но это противоречит тому,
что f {х) не ограничена на каждом из вложенных отрезков. Полу-
Полученное противоречие доказывает теорему. Н
Замечание. Теорема неверна, если отрезок [a, b\ заменить
интервалом (a, ft). Так, например, функция f(x)=\/x непрерывна
на @,1), но не ограничена, так как lim A /х) = + оо. Доказатель-
ство теоремы для интервала «не проходит» там, где утверждается,
что в точке с функция определена и непрерывна. Для интервала
*Вейерштрасс Карл A815—1897) -немецкий математик
95

точка с может совпадать с его концом и тогда / (jc) не будет опреде-
определена и непрерывна в точке с.
4. Теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке,
своих точных граней. В том случае, когда точные грани функции
являются значениями функции, говорят, что функция достигает
своих точных граней. Однако [см. формулу A), гл. 1, теорему 1.1]
не всякому множеству принадлежат его точные грани. Следующий
пример показывает, что точные грани функции не всегда дости-
достигаются.
Пусть на отрезке [О, Ь], 6^3=1, определена функция f (jc)=
= х — [х], график которой изображен на рис. 57. Множеством ее
значений является [0,1). Функция ограничена и сверху и снизу,
имеет на данном отрезке точную верхнюю грань, равную 1, и точ-
точную нижнюю грань, равную 0. Очевидно, функция принимает зна-
значение, равное 0, но не принимает значения, равного 1. Следователь-
Следовательно, можно сказать, что функция
достигает своей точной нижней и
не достигает своей точной верхней
грани. у
м
2 3
Рис. 57
Рис 58
Установим, при каком условии функция достигает своих точных
граней.
Теорема 4.12 (вторая теорема Вейерштрас-
с а). Если функция f (x) непрерывна на отрезке \а, Ь], то она дости-
достигает на этом отрезке своих точных граней, т. е. существуют точки
jc,, x2e[ a, b] такие, что (рис. 58)
/ (jc ) = М = sup / (x), f (x2) = m = inf / (jc).
[а,Ь\ а,Ь\
Доказательство. Так как функция f (х) непрерывна
на отрезке [а,Ь], то по теореме 4.11 она ограничена на этом отрезке.
Следовательно, согласно теореме 1.1 существуют точная верхняя М
и точная нижняя m грани функции / (х) на отрезке [а, Ь].
Покажем, что функция f (х) достигает М, т. е. существует такая
точка X|e[a, b], что /(x,) = Af. Будем рассуждать от противного.
Пусть функция / (jc) не принимает ни в одной точке [ а, Ь\ значения,
равного М. Тогда для всех дге[а, Ь] справедливо неравенство
{(х)<.М. Рассмотрим на [а, Ь\ вспомогательную, всюду положи-
положительную функцию
F W = M -f(x)-
96

По теореме 4.7 функция F (х) непрерывна как частное двух
непрерывных функций. В этом случае согласно теореме 4.11 функ-
функция F (х) ограничена, т. е. найдется положительное число ц такое,
что для всех xsla, b\
М-±.
F(x) =
Рис 59
м-/(*)< И.»ткуда [(х)
Таким образом, число М—1/|д, меньшее М, является верхней
гранью } (х) на отрезке \а, Ь\. Но это противоречит тому, что число
М является точной верхней, т. е. наименьшей верхней гранью
функции / (х) на отрезке \а, Ь\. Это противоречие и доказывает,
что существует точка х,е[ а, Ь\, в которой / (xt) = M.
Аналогично доказывается, что функция / (х) достигает на \а, Ь\
своей точной нижней грани
т. ¦
Замечание 1. После
того как доказано, что фун-
функция f (x), непрерывная на
отрезке \а, Ь\, достигает на
этом отрезке своих точных
верхней М и нижней т гра-
граней, можно назвать точную
верхнюю грань максималь-
максимальным значением, а точную
нижнюю граньминимальным
значением функции f(х) на
этом отрезке и сформулировать теорему 4.12 в следующем виде: не-
непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке максимальное
и минимальное значения.
Замечание 2. Разность между наибольшим и наименьшим
значениями непрерывной функции j (х) на отрезке \а, Ь\ называ-
называется колебанием непрерывной функции на этом отрезке и обозна-
обозначается буквой ш: (о = М — т, где
М = max / (х), т= min / (х).
\а Ь ¦ и Ь\
5. Понятие равномерной непрерывности функции. К числу дру-
других свойств функции, непрерывной на отрезке, относится очень
важное свойство, называемое равномерной непрерывностью. Оно
широко используется при доказательстве ряда фундаментальных
теорем.
Пусть / (х) — функция, непрерывная на некотором промежутке
X, и пусть точка хо^Х. Так как функция f (х) непрерывна в точке
х„, то согласно второму определению непрерывности для любого
(¦•>0 найдется 6>и такое, что |/ {х) — f (xo)|-<e при х — хо<.
<б. Ясно, что б зависит от f, но б зависит также и от х0. При изме-
изменении х„ в пределах рассматриваемого промежутка (при постоянном
t) число б будет различным для разных xtl. Чем «круче» идет
график функции / (х) в окрестности точки х„ тем меньше будет 6,
соответствующее этой точке (рис. 59).
97
4-1032

Таким образом, при ладанном е каждой точке х рассматривае-
рассматриваемого промежутка соответствует некоторое б > 0. Если бы точек
было конечное число, то из конечного множества чисел б можно
было бы выбрать наименьшее положительное б, которое зависело
бы только от а и было «пригодно» для всех х. Для бесконечного
числа точек этого, вообще говоря, сделать нельзя, так как этим точ-
точкам соответствует бесконечное множество чисел б, среди которых
могут найтись и сколь угодно малые.
Возникает вопрос, существуют ли непрерывные функции, опре-
определенные на некоторых промежутках, для которых по любому
е>0 находилось бы б > 0, не зависящее от х, т. е. 6 было бы об-
общим для всех х из рассматриваемого промежутка. Это приводит
к понятию равномерной непрерывности функции.
Определение. Функция f (х) называется равномерно-непрерывной
на промежутке X, если для любого е > 0 существует б > 0 такое,
что для любых двух точек х\ х" е X, удовлетворяющих неравенству
\х" — х'\ < б, выполняется неравенство \f (х") — / (х')\ < г.
В логических символах это определение имеет вид
(V8>0)C6>0)(Vx', х"е=Х; U"-*'|<6): |/(*")-/(*')!<«¦
По самому определению, б зависит только от е и является
общим для всех х', х" промежутка X. Из определения очевидно, что
равномерно-непрерывная функция на X является непрерывной на
этом промежутке.
Следующая теорема устанавливает условие, мри котором непре-
непрерывная функция является и равномерно-непрерывной.
6. Теорема о равномерной непрерывности функции. Теоре-
Теорема 4.13 (теорема Кантора)*. Если функция f (х) непре-
непрерывна на отрезке [a, ft], то она и равномерно-непрерывна на нем.
Доказательство. Докажем сначала, что если функция
f (х) непрерывна на \а, ft|, то для любого г > 0 отрезок [a, ft] можно
разбить на конечное число отрезков, любые два из которых или
не имеют общих точек, или имеют только одну общую граничную
точку и на каждом из которых для любых двух точек х', х" будет
выполняться неравенство \\ (х") — f (x')\ < е.
Предположим обратное, т. е. допустим, что существует е>0,
для которого такое разбиение отрезка [a, ft] невозможно. Разделим
[a, ft| пополам и выберем тот из полученных отрезков, для которого
такое разбиение невозможно. Обозначим его [a,, ft,]. Разделим
теперь отрезок [a,, ft,] пополам и выберем тот из полученных двух
отрезков, для которого такое разбиение невозможно, и т. д. Продол-
Продолжая этот процесс неограниченно, получаем последовательность
вложенных отрезков
[а, Ь\ =>[а„ Ь,\ =>|а2, Ь2] =>...=>[ая, Ь,,\ =>...,
* Кантор Георг A845- 918) -немецкий математик, основатель современ
ной теории множеств
98

обладающих тем свойством, что ни один из них нельзя разбить
на конечное число отрезков, на каждом из которых для любых
двух точек х' и х" будет выполняться неравенство If {х") — f (х')\<С
<е. По теореме 2.13 о вложенных отрезках существует точка с,
принадлежащая всем отрезкам. Так как функция f (х) непрерывна
в точке с то для рассматриваемого е найдется б такое, что
\f (x) — f (с)|<Ге/2 для любого х из й-окрестности точки с. Тогда
для любых двух точек х' и х" 6-окрестности точки с будет вы-
выполняться неравенство
If (*") - f (*')! = \Q(x") - f (с)) + (f (с) - f (x'))\ <
< If (x") - f (c)\ + If (c) - f (x')\ < e/2 + e/2 = e,
\f{x")-f(x')\<s.
В 6-окрестность точки с при достаточно большом «попадет отрезок
[ а„, ?»„], и, следовательно,для любых двух точек х' и х" этого от-
отрезка справедливо неравенство If (х") — f (*')!<?, а это проти-
противоречит выбору после-
последовательности вложен-
вложенных отрезков.
Перейдем теперь не-
непосредственно к дока-
доказательству теоремы. По
только что доказанному
для любого ?>0 су-
существует разбиение
\а,Ь\ на конечное число
отрезков, r каждом из
которых разность меж- <
ду любыми двумя зна-
значениями функции I (х) '
по абсолютной величи-
величине меньше е/2. Обозна-
Обозначим через б длину
наименьшего из отрезков разбиения и рассмотрим любые две точ-
точки х' и х" отрезка [а, Ь\, отстоящие друг от друга меньше, чем на
б, т. е. \х" — л;'|<б. Возможны два случая: 1) точки х' и х" при-
принадлежат одному отрезку разбиения; 2) точки х' и х" принадлежат
двум соседним отрезкам разбиения. В первом случае If (х")—f(V)|<
<е/2 < е; во втором случае, обозначая через xt) общую
граничную точку соседних отрезков, имеем
If {х") - {(х')\ = (f {х") - f (*„)) + (f (хй) - f (х'))\ <
< |f (x") - f (х„) + |f (О - f (*')| < e/2 + e/2 = e.
Таким образом, для любого е>0 найдется 6>0 такое, что
для любых двух точек х' и х" отрезка [а, Ь\, удовлетворяющих
неравенству \х" — х'\<Ь, выполняется неравенство |/(jc") — f(jc')|<e,
что и требовалось доказать. ¦
Следствие. Пусть функция f [x) непрерывна на отрезке
[а, Ь\. Тогда для любого е>0 существует б>0, таков, что если
x,-S
Рис 60
х,+8 *
99

[a, b\ произвольно разбить на конечное число отрезков с длинами,
меньшими б, то на каждом из них колебание ы функции f (x) будет
меньше г.
Доказательство. Действительно, по доказанной тео-
теореме функция f(x) равномерно-непрерывна на [а, Ь\. Следовательно,
для любого е>0 найдется б>0 такое, что для любых точек х'
и х" отрезка [а, Ь\, удовлетворяющих неравенству \х"—л:'|<б,
выполняется неравенство \f (x") — f (х')\<1г. Разобьем отрезок
[а, Ь\ произвольным образом на конечное число отрезков с длинами,
меньшими указанного б. Поскольку функция f (jc) непрерывна на
[а, Ь\, на каждом из частичных отрезков можно указать такие точки
х' и х", что f (x') — m, a f [х") = М, где m и М — точные нижняя и
верхняя грани функции f (х) на данном частичном отрезке. Так как
\х" — х'\<6, то \f (х") — f (х')\ <е. Но / (*") — f (jc') = M —
— пг = (й, поэтому а)<;е. ¦
Замечание. Теорема неверна, если отрезок [а, Ь\ заменить
интервалом или полуинтервалом.
Пример. Рассмотрим функцию /(*)=!/* на интервале @, 1).
Данная функция непрерывна на интервале @, 1), но не является
равномерно-непрерывной на нем. Это следует из того, что для лю-
любого фиксированного еХ), какое бы 6>0 мы не взяли, всегда
найдутся точки х' и х", достаточно близкие к нулю, расстоякиемеж-
ду которыми меньше б, а модуль разности \f (х") — f {х')\ больше е
(рис. 60).
§ II. Понятие сложной функции
Определение. Если на некотором промежутке X определена
функция 2 = <р(*) с множеством значений Z, а на множестве Z
определена функция y=f(z), то функция y — f[(((x)\ называется
сложной функцией* от х, а переменная z — промежуточной пере-
переменной сложной функции.
Пример. Функция y=sinx2 — сложная функция, определен-
определенная на всей числовой прямой, так как у = f (z)= sin z, z = q>(x)=
Теорема 4.14. Пусть функция z=(p(x) непрерывна в точке
х0, а функция y=f(z) непрерывна в точке 20 = ф(д:0). Тогда сложная
функция у = f \ ф (*)] непрерывна в точке х0.
Доказательство. Возьмем из X любую последователь-
последовательность точек
ЛГ|, ЛГо, Ху ..., XnJ ...,
сходящуюся к точке х0. Тогда в силу непрерывности функции
z=(f(x) в точке х0 имеем: Mm 2„= Mm ф (*„) = ф (х0) = г0, т. е.
*Наряду с термином «сложная функция» используют равнозначный термин
«композиция (или суперпозиция) функций»
100

соответствующая последовательность точек
2„2,, Z3, .... 2„, ...
сходится к точке z0. В силу же непрерывности функции f (г)
в точке z0 получаем lim / (zn) = / (г,,), т. е. lim / [ф (*n)j = /[ф(*<>)]•
Следовательно, предел функции /Up(jt)| в точке х0 равен ее зна-
значению в этой точке, что и доказывает непрерывность сложной
функции / [ ф (х)} в точке хп. Ш
Пример. Доказать непрерывность функции y = s\nx2 в точке
х = 0.
Решение. Функция z=x2 непрерывна в точке jc = O, a
функция i/ = sinz непрерывна в точке 2 = 0, поэтому по дока-
доказанной теореме сложная функция у = $\пх2 непрерывна в точке
0
§ 12. Понятие обратной функции
1. Определение обратной функции. Будем говорить, что функ-
функция f(x) не убывает (не возрастает) на множестве X, если для любых
л:,, хгеХ, удовлетворяющих условию xt<Cx.,, справедливо нера-
неравенство /(*,)</ (х2) (f (*,)>/ (jc2)).
Неубывающие и невозрастающие функции объединяют общим
названием монотонные функции.
Если для любых а,, х.,^Х, удовлетворяющих условию Х\<.хъ
справедливо неравенство f (*,)</ (*2) {f(xi)>f (-^2))> то функция
f (л-) называется возрастающей (убывающей) на множестве X. Воз-
Возрастающие и убывающие функции называются также строго моно-
монотонными.
Примеры. 1. Функция f(x) = sgnx является неубывающей на
всей числовой прямой.
2. Функция f(x) = x является возрастающей на всей числовой
прямой.
Введем теперь понятие обратной функции.
Определение. Пусть X и Y — некоторые множества и пусть
задана функция f, т. е. множество пар чисел (х\ у)(х^Х, {/еУ),
в котором каждое число х входит в одну итолькоодну пару,а каждое
число у, — по крайней мере, в одну пару. Если в каждой паре этого
множества числа х и у поменять местами, то получим множество
пар чисел (у; х), которое называется обратной функцией ф
к функции /.
Обратную функцию будем обозначать символом х — ф (у).
Отметим, что обратная функция, вообще говоря, не является
функцией, так как каждое число у может входить не только в одну,
но и в несколько нар. Так, например, для функции у=х обратная
функция х = у — однозначна (каждое число у входит в одну пару),
для функции у = х2 обратная функция х= + \[у — двузначна
(каждое число у входит в две пары), а обратная функция х =
= Arcsiny для функции y = sinjt — многозначна (каждое число у
101

входит в бесконечное чи<\по пар) Геометрически данный факт оче-
очевиден
Из определения следует, что если обратная функция однозначна,
т е является функцией в обычном смысле, то множество значений
У функции / является областью определения обратной функции <р,
а область определения X функции / — • множеством значений обрат-
обратной функции ф Пусть, например, функция y = f(x) определена
на отрезке \а, ft], отрезок [а, р] является множеством ее значений
и каждое i/e[a, р] соответствует ровно одному х из [a, ft] Тогда,
по определению, на отре:ке | а, р) определена однозначная обратная
функция х = ц>(у), множеством значений которой служит отре-
отрезок^, ft] (рис 61)
Таким образом, фунщия y = f(x) и обратная функция х-=<р(у)
имеют один и тот же i рафик Так, например, функция у = эх и
обратная функция х—1/5у изображаются графически одной пря-
прямой
а Ьа fix
Рис 61
Если оси Ох и О у поменять местами, дпя чего следует повернуть
в пространстве плоскость Оку вокруг биссектрисы первого коорди
натного угла на 180°, то новое положение графика обратной функ
ции Jt = cp(y) является графиком обратной функции y = (p(jt)
(рис 61)
2. Теорема о непрерывности обратной функции. Теорема 4.15.
Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна
на некотором промежутке X и пусть Y — множество ее значений
Тогда на множестве Y обратная функция х = у(у) однозначна,
строго монотонна и непрерывна
Доказательство Пусть для определенности функция
f (х) возрастает на X, т е для любых xt, x2^X, удовлетворяющих
условию jc,<;jc2, выполняется неравенство yt<y2 (У\ = !(х)>
У>=Ях>)) (рис 62)
Однозначность обратной функции х = <р(у) следует из того, что
в силу возрастания функции y = f(x) на Л справедливо неравен-
неравенство У\—!(х1)ф{(х^-=у2 при х1фх2 и, значит, каждому
уеУ соответствует единственное значение х<=Х
Докажем теперь, что обратная функция х = ((,(у) возрастает
на У Действительно, если t/i< t/2. то и jc, <C x2{xt = (p(y,) и jcl,=
102

= ф(#2)). так как если бы было х{^х2, то из возрастания f (x)
следовало бы, что ух~^у2, что противоречило бы предположению
У\<Уь Таким образом, факт строгой монотонности обратной функ-
функции х=ц>(у) установлен.
И наконец, покажем, что обратная функция х = ф(у) непре-
непрерывна на У. Согласно следствию теоремы 4.10 множество Y явля-
является промежутком с концами т и М, где m = inf f(x), M = sup f (x).
Пусть уое Y, хо~<р(Уо)- Рассмотрим сначала случай, когда
т<^уа<СМ (рис. 63). В этом случае точка хп является, очевидно,
внутренней точкой промежутка X. Возьмем е>0 таким, чтобы
( )Х ( )J[
(хо — е)<=Х и (xj + e)eJ[, и
= f(jco-(-e). Тогда в силу воз-
возрастания /(х) получим
У\ <Уо<У-2-
Возьмем теперь 6>0 таким, что-
чтобы выполнялись неравенства
положим
, = Длг0—е) и у,г=
ч
м
Тогда, если у удовлетворяет
неравенствам
уа — б < у < yQ + б,
то
у, <у <у2,
и, следовательно, в силу возрас-
возрастания <р(м) имеем
() ()
что (p(yi) = xQ—e = (p(yn) — e и
получаем: ср (у0) — е<ф (у)<Ф (у())
Учитывая,
= ф(Уо) + е, получаем: ср (у0) — е<ф (у)<Ф (у()) + е при усло-
условии у0— й<у<Уо + 8.
Таким образом, доказано что для любого достаточно малого
е>0 существует 6>0 такое, что для всех у, удовлетворяющих
неравенству \у — л/0|<сfi, выполняется неравенство [<р (у) — <f>(yo)|<s,
т. е. обратная функция ф (у) непрерывна в точке уа.
Но у0 — произвольная точка интервала (т, М). Значит, обрат-
обратная функция ц> (у) непрерывна на (m, M).
Если те К или МеК, то с помощью аналогичных рассужде-
рассуждений можно доказать непрерывность ц> (у) справа в точке т и слева
в точке М.
Итак, факт непрерывности обратной функции х = ц>{у) на Y
доказан.
В случае убывания функции f(x) доказательство теоремы ана-
аналогично. ¦
Замечание. Если обратная функция х = (р(у) однозначна,
то, очевидно, функция y = f(x) является обратной для функции
х = (р(у). Такие функции называют также взаимно обрат-
обратными.
103

OrCSLH X
Пример. Функция у= sin лс на отрезке [—л/2, л/2] возрастает,
непрерывна и множеством ее значений является отрезок [ — 1, I]
По теореме 4 15 на отрезке | —1, 1| существует непрерывная воз-
возрастающая обратная функция с множеством значений [ —л/2, л/2
Эту обратную функцию обо
шачают х= агсып у График
ее совпадает с графиком фун
кции t/=smjc, рассматрива-
рассматриваемой при — л/2^х<Гл/2
(рис 64)
F ели теперь х и у поме
пять местами, т о если рас
сматривать функцию у —
— arcsinjc, то получится
1 рафик, изображенный на
рис М сплошной линией
п
2
Рис 61
Г ] \ Ч Л )
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
§ 1. Понятие производной
I. Определение производной. Пусть на некотором промежут
ке Л" определена функция y=f(x) Возьмем любую точку ^ef
и зададим аргументу х в точке л„ произвольное приращение Ах
такое, что точка v,,-)-A.t также принадлежит Л" Функция получит
приращение \у = [ (а(|+Л.г) — / (л:,,)
Определение. Производной функции y=j(x) в точке х{) назы
вается предел при 4л:-И) отношения приращенич функции в этой
точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел су-
существует)
Для обозначения производной функции у = [(х) в точке х„
используют символы у' (х„) или /' (jc,,)
Итак, по определению,
/ (а-,, = lim -^г=
Если для некоторого значения *„ выполняется условие
• -\У , / Лу \
lim -г— =¦ + оо (или игл -1г- =¦ — оо I
\i .о '-" \ \i -II Л1 /
то говорят, что в точке х„ функция имеет бесконечную производную
знака плюс (или знака минус) В отличие от бесконечной произ-
производной определенную выше производную функции иногда назы-
называют конечной производной Если функция / (jc) имеет конечную
производную в каждой 'очке х^Х, ю производную f (x) можно
рассматривать как функ1 ию от л\ также определенную на X
104

Из определения производной вытекает и способ ее вычисления.
Пример. Найти производную функции f(x) = x2'B точке х = х0.
Решение. Давая аргументу х в точке ха приращение А*,
найдем соответствующее приращение функции:
Ау = I (х0 -\- Ах) — j уха) = [х{) -\- Ах) — х,] =
9 '2 О °
V- _1— у у \ у —1— ( \ у\ Y" О v Л v _1_ ( \ у\ ~
Составим отношение -г—:
2х \х
Ллг
Найдем предел этого отношения при A.t-»-0:
lim -/-= lim —-—т— =
Следовательно, производная функции / (х) = xQ в точке х() равна
числу 2х0, что в принятых обозначениях можно записать так:
2. Геометрический смысл производной. Пусть функция y=f(x)
определена па интервале (а, Ь) и пусть точка М на графике функции
соответствует значению аргумента х(Ь а точка Р — значению jcl,+
+ Ал\ Проведем через точки М и Р прямую и назовем ее секущей.
Обозначим через (р(Ах) угол
между секущей и осью Ох (рис.
65). Очевидно, что этот угол
зависит от Ах.
Если существует lim ф(Ах)=
<\х—-О
= Фп, то прямуюсугловым коэф-
коэффициентом fc = tg<p0, проходя-
проходящую через точку М (х0; / (х„)),
называют предельным положе-
положением секущей МР при Але->О
(или при Р-»-ЛТ).
Определение. КасательнойБ
к графику функции у = /(-*:)
в точке М будем называть предельное положение секущей МР при
Ajc-^O, или, что то же, при Р-*-М.
Из определения следует, что для существования касательной
У='
"„ Хд+йХ Ь
Рис 65
достаточно, чтобы существовал предел
lim
\x--0
= ф„, причем
предел ф„ равен углу наклона касательной к оси Ох.
Докажем, что если функция y = f (x) имеет в точке х{) производ-
производную, то существует касательная к графику функции y=f(x)
в точке М (jc0; / (x{)), причем угловой коэффициент этой касатель-
касательной (т. е. тангенс угла наклона ее к оси Ох) равен производной
Г(х0).
105

Действительно, из тр^чтольника MNP получаем, что
tg(p(U; = — = Гх
Отсюда
Перейдем в равенстве (I ) к пределу при \к-->-() Так как существует
производная /' (х,), то существует и предел
11 m -г— = /' (х ,)
\. .и «*
Отсюда и из непрерывности функции arctg-r^- следует, что суще-
существует предел правой части равенства A)
lirn arctg-r-^ = arete Inn —— = arctg/"'(к,,)
Следовательно, существует предел и левой части равенства (I)
Таким образом, получаем
hm ф(Лг) = arcle /' (*„)
Но это и означает, что существует предельное положение секущей
МР, т е существует иасательпая к графику функции /у=/(лг)
в точке М (*„, /(*„)), причем утл наклона (р,, этой касательной
к оси Ох равен arclg/"'(*„) и, значит, угловой коэффициент каса-
касательной tg ф,>=/' (*о), что и требовалось доказать
Итак, производная функции y-=f(x) в точке х, равна угловому
коэффициенту касательной к i рафику функции y=f(x) в точке
М{хл, {(х,,))
3. Физический смысл производной. Предположим, что функция
y=f(x) описывает закон движения материальной точки М по
прямой линии, т е у-=([х) путь, пройденный точкой М от
начала отсчета за время х
Тогда за время х„ прзйдеи путь y—f(xy)), а за время л:, путь
// = /(л',). За промежут(ж времени \x — xt—хп точка М пройдет
отрезок пути \у = f (к,) — f (а„) = /' (л„-(- Лл) — /' (л:,,) (рис. 66).
Отношение-г-на )ываетси среОнеи скороеiыо диижеиия (уч,) за время
Лл:, а предел отношения -г— при \к--»-() определяет мгновенную
скорое ih точки в момент времени ^,,(уЧ1||)
Понятие скорости, заимствованное и( физики, удобно при иссле-
исследовании поведения нроишолыюй функции Какую бы зависимость
ни отражала функция /;=p.vj, отношение -г^- есть средняя ско-
скорость изменения у относительно изменения а, а у'{хл) мгновен-
мгновенная скорость изменения у при х-= х„

Значение производной состоит в том, что при изучении любых
процессов и явлений природы с ее помощью можно оценить скорость
изменения связанных между собой величин.
4. Правая и левая производные. Используя понятие правого
и левого предела функции, введем понятия правой и левой произ-
производных функции y=f(x) в точке хп.
Определение. Правой (левой) производной функции y = f(x)
в точке ха называется правый (левый) предел отношения -р- при
Ajc->-0 (при условии, что этот предел существует).
Обозначение:
/\(*о) = lim -^
Если функция / (jc) имеет в точке х0 производную, то она имеет
в этой точке правую и левую производные, которые совпадают.
Вместе с тем существуют функции, имеющие в данной точке х0
правую и левую производные, но не имеющие производной в этой
точке. Это, например, функция
/(я)=Ы, которая имеет в точке
я=0 правую производную, рав-
ную f _,(())= lim -т-=1 (при -0=0 о/ ¦ -f \M, _
лдг-о+ ах —Я —ft т * у
Ау = \х), и левую производную, Г(и,\ м0 лут^-пы
равную /'_@) = д1пт1^= — 1 Рис ^
(при jc<0 Лу=—Лх), но не имеет в этой точке производной,
так как /'+ @)?=f.. @).
§ 2. Понятие дифференцируемости функции
1. Понятие диффереицируемости функции в данной точке. Опре-
Определение. Функция y = f{x) называется дифференцируемой в точке
jc0, если ее приращение Лу в этой точке можно представить в виде
Ау = A^x + а(\х)\х, A)
где А — некоторое число, не зависящее от Ajc, а а (Ах) — функция
аргумента Ах, являющаяся бесконечно малой при Ajc—>-0, т. е.
lim a(Aje)=O.
л*, о
Установим связь между дифференцируемостью функции в точке
и существованием производной в той же точке.
Теорема 5.1. Для того чтобы функция у=/(л;) была диф-
дифференцируема в точке jc0, необходимо и достаточно, чтобы онаимела
в этой точке конечную производную.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция у =
= f(*) дифференцируема в точке jc0, т. е. ее приращение в этой
точке можно представить в виде A): Ау = А Ах-\-а (Ах) Ах. Поде-
107

лив это равенство на At (при Аа-^=0), получим
^А+(А)
Переходя к проделу при Лдг-^О, имеем
Mm -^ = ll[n (/1 +" «(Ах)) = А
Отсюда следует, что производная в точке х„ существует и равна
Достаточность Пусть существует конечная производная f (х„),
т е Inn -\7=/'(^(|) Пусть /'(*„) = Л, тшда функция a(A*j=
= —; А является бесконечно малой при Да—>-0 (см теорему 4 5)
Из последнего равенства имеем
\у = Л Лх -f а(Лл-),
где Inn а(Лл-)=0 Получено представление A), тем самым до
\> -О
казано, что функция y = f (х) дифференцируема в точке х„ Щ
Таким образом, для функций одной переменной дифференци
руемость н существование производной — понятия равносильные
Позтому операцию нахождения производной часто называют диф
ференцированием
Замечание Введенная при доказательстве достаточности
функция а(Лх)=Лу/Л* — А не определена при Ла'=0 Следо-
Следовательно, полученное для Лу выражение (I) гакже не определено
при Лл —0 Если определить а@) произвольным образом, то
равенство A) будет справедливо и при Л* —0 Для дальнейшею
целесообразно условиться, что в выражении A) функция а(\х)
определена при \х = 0 по непрерывности, т е а@)= hm a(/\x) =
U .(I
2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерыв-
непрерывности.
Теорема 5.2. Если функция y=f(x) дифференцируема в
данной точке хп, ю она и непрерывна в этой точке
Доказательство Так как функция y=j(x) дифферен-
дифференцируема в точке х„, то ее приращение в о»той точке может быть
представлено соотношением (I) Тогда, переходя к пределу при
\а—>¦ 0, получаем
Iim Ay = Л Iim Да- + lirn al\x) lim Да = 0,
\х—П 1( -II \t >l) \x -I)
что и означает непрерывность функции y = f(x) в точке х„ согласно
третьему определению непрерывности функции в точке ¦
Замечание Обратное утверждение неверно Функция мо-
может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой,
т е не иметь производной в ^той точке
108

Примером такой функции служит функция /(х)=|х|, ко-
которая непрерывна в точке л=0, но, как показано в п 4, § 1,не
имеет в этой точке производной, т е. не является дифференцируемой.
Если функция fix) имеет производную в каждой точке неко-
некоторого промежутка (дифференцируема в каждой точке этого про-
промежутка), то будем говорить, что функция fix) дифференцируема
на указанном промежутке
§ 3. Понятие дифференциала
1. Определение и геометрический смысл дифференциала. Пусть
функция y=f(x) дифференцируема в точке х,„ т е. ее прираще-
приращение Ау в этой точке можно записать в виде суммы двух слагаемых:
\у = А Ах -f- а (Ах) Лж,
где lim а(Ах) = 0. Слагаемое ДАх является при Ах->-0 беско-
нечпо малой одного порядка с Ах (при АфО), оно линейно
относительно Ах. Слагаемое а(Ах)Дх при \х-*-0 —бесконечно
, . / . а(Л-с) Л.г ,,\
малая более высокого порядка, чем Ах I lim г = ()).
\ \х -О '" /
Таким образом, первое слагаемое (при АфО) является глав-
главной частью приращения функции y=f(x)
Определение. Дифференциалом функции у = /(х) в точке
х0 называется главная, линейная относительно Ах, часть прира-
приращения функции в этой тонне:
dy = А\х A)
Если 4 = 0, то /1Лх=0, и поэтому слагаемое ЛЛх уже не
является главной частью приращения Лу, так как слагаемое
а(Ах)Ах, вообще говоря, отлично от нуля Однако и в этом слу-
случае по определению полагаем дифференциал функции в точке х)
равным ЛАх, т. е здесь dy = O
Принимая во внимание теорему 5 1, т е учитывая, что А =
= /' (х,), формулу A) можно записать в виде
dy = Г (*„) Л* B)
Пусть /(х) = х Тогда но формуле B)
dt/= dx = (x,)'Лх=Лпт1—-—; )Ах=( lim -r^-) Ах= 1 • Ах= Ах
Дифференциалом независимой переменной х назоЕ)ем прира-
приращение этой переменной dx=Ax Соотношение B) принимает те-
теперь вид
dy = f'{x)dx C)
Заметим, что с помощью равенства C) производную/'(х,) можно
вычислить как отношение дифференциала функции dy к дифферен-
дифференциалу Ах независимой переменной, т. е.
109

Дифференциал функции имеет геометрический смысл. Пусть
точка М на графике функции у=/(х) соответствует значению
аргумента хп, точка Р — значению аргумента х„ + Лх, прямая
MS— касательная к графику у = /(х) в точке М, а-угол
между касательной и осью Ох Пусть, далее MN\\Ox, PN\\Oy,
Q — точка пересечения касательной MS с прямой PN (рис. 67).
Тогда приращение функции Лу равно величине отрезка NP. В то
же время из прямоугольного треугольника MNQ получаем: <VQ =
- f (х()) Лх = Лу г. е. дифференциал функции Лу ра-
равен величине отрезка NQ. Из геометри-
Ч
У^
ческого рассмотрения видно, что вели-
величины отрезков NP и NQ различны.
Таким образом, дифференциал Лу
функции у = /(х) в точке хA равен при-
приращению «ординаты касательной» MS
к графику этой функции в точке М (х(|;
/(хA)), а приращение функции /\у есть
приращение «ординаты самой функции»
y = f(x) в точке х(„ соответствующее
приращению аргумента, равному Лх.
2. Приближенные вычисления с по-
помощью дифференциала. Из определения
дифференциала следует, что он зависит
линейно от Ах и является главной частью приращения функции
\у. Само же \у зависит от \х более сложно Например, если
f(X) = х\ то Лу = (дго+ Ал)' х) ЗхгДх + Лх(\х)г
время как
хо+йх x
Рис 67
= /'
+ Ал)' — х,)= ЗхгДх + Лхо(\х)г + (\х)\ в то
/ (X +¦ \Х)' - Xt\\
\x == I lim —-—~ Ajt = ?,x^
Во многих задачах приращение функции в данной точке прибли-
приближенно заменяют дифференциалом функции в ;>той точке:
Лу яг Лу.
Абсолютная погрешность при такой замене равна |Лу— Лу\ и
является при Лх-»-0 бесконечно малой более высокого порядка,
чем \х
Пример. Покажем, что если а мало, то можно использовать
приближенную формулу
v'l +^« I +а/2.
Решение. Рассмотрим функцию f(x)=\jx. При малых Лх
имеем
Лу — д/х,, -\- Ах — д/х0 як dy, или д/х{) -(-Ах — д/х,, т
\х = \ lim
/
(
\
= / lim
\х
¦)
Л
,\х =
Лдг,
IK)

откуда, положив хп = I, Ах=а, получим
\/Н- а« I + а/2.
В частности, V 1,0003 « 1,00015 при а= 0,0003.
Установим теперь правила дифференцирования и вычисления
производных простейших элементарных функций. Заметим только,
что при выводе формул и практическом вычислении производных
обычно пишут не хп, а просто х, но при этом х считают фиксирован-
фиксированным.
§ 4. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения
и частного
Теорема 5.3. Если функции и = и (х) и v = v (х) дифферен-
дифференцируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное
этих функций (частное при условии, что v(x)=^=0) также диффе-
дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы.
i \i i /I \/ /г / / " \/ u'u — uv' ,.,
(Ц ± у)' = U ± V , (« • О)' — U'V -\- UV , (—) = ; (П
Доказательство. Для вывода формул (I) воспользу-
воспользуемся определением производной, равенством f (x -\-Ax) = f (jc) +
+ А и теоремой 4.3. Тогда получим:
(и
Г и (дс + \х) - и (х) v (х + А*) — v (х) 1
woL *х ~ Лх J
. U (X -j- Ьх) — U (X) ,. V (X -j- \Х) — J (X)
= lim ^ ± lim ^ =
, Ли ,. Ли , ,
= lim -д- ± lim -г- = и' ± v'\
I Л' — 1т " (t + Ла) у[х + Ад:) — ц (х) у (х)
\uv) — nm д
.. \и(х) +\и\ \v(x) + Au| - u(x) u(v)
lim
= lim
Л* -0 **
и (x) v (x) -\- Auci (x) + a (x) Au -j- AuAu — и [х) v (x)
r
Г \и - , i\v Ли 1
— и Inn -r—\- и lim -^- -\- lim Лу lim -r- =
= ум' + иу' + 0 • и' = u'v + uv'.
Ill

так как lim \а = 0, а множители и и v не зависят от Л.у,
it ;-v+ \х) и 1.x;
/ и \ , . и i с 4- \х 1 и ( х) , и ¦; v f \х) ;¦ i.x) — a:x) yi v -
( — 1 = lim г = lim —: ;
•¦' 4- \"^' — 'u> — u V'
—^— и —— v 11in — u dm ~
lull \U
§ 5. Вычисление производных постоянной, степенной,
тригонометрических функций и логарифмической функции
1. Производная постоянной функции. Производная функции
y=j(x) = C, где С ¦- постоянное число, выражается формулой
У' = °
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любых х и \х имеем /' <х -\- \х) =
= С и \<у=/':л f \.у) — / i у) = 0 Отсюда -^- = 0 при любом
\х Ф 0 и, следовательно,
у' -= lim -т-^ = 0 g
2_;___П_2оиз_водна.я__сте.п?щшй функции.— Производная функции
U^jdL. показатель а котощж__является /цсчпым положиiельны м
числом] вьГражается формулхш " /--"
!/' = п ¦ <" '
Д о к а з а т е л ь с т и о Используя формулу бинома Ньютона,
можно запи1'ат:>
\у = (х +- \.у)" — .у" =
.у ' + п.у" Ч,у -j-—'^—-у" j(\.y) -\- +¦! Vyj
— ах" Чу + " ",, - -у ' Ч\.уГ'+ + '• V.y]"
Таким образом, при \хфО имеем
— =пх + j, х- - \х + + ( \х)
Так как hm \.y=0, lim :\лТ = <), , lim i \.у)" -= 0, то
у' = lim -т- = rix '
112

Замечание. Случай степенной функции, показатель кото-
которой tЯвлj^eJxя_любым_jншAeJ^fвe^^ в п. 2, § 9.
3. Производные тригонометрических функции.
1) Производная функции y = sinx выражается формулой
у' = cos х.
Доказательство. Имеем
Ay = sin (х -+- Ах) — sin х = 2 sin (Ах/2) cos (x -\- Ax/2).
Таким образом, при Ах=^0
\у 2 sin (Лх/2) cos (л: + \х/2) sin •; Ajc/2)
==
\х/2
CGS
_ ..sin (Л.к/2) . л, „ ,
Так как lim —г—-^—=1 (первый замечательный предел),
a lim cos (х +Ах/2) = cos x в силу непрерывности функции cos х, то
•и—о
у' = lim -г- = cos х. щ
\х -\) ЛХ
2) Производная функции y:=cosx выражается формулой
у' = — sin х.
Доказательство. Имеем
Ay = cos (х + Ах) — cos х = — 2 sin (Ax/2) sin (x + Ах/2).
Таким образом, при Лх=^0
\у 2 sin (Адг/2) sin (х \- \х/2) sin (\x/2) . ,
"а7 = : а7 = л.г/2 Sltl (x + Д-к/2).
Так как lim sin (х-)--^-) = sin x в силу непрерывности функ-
\.г ,11 V Z /
ции sin х, то
Ли
у' = lim -^- = — sin х. ¦
3) Производная функции y=:tgx выражается формулой
Доказательство. Так как tg x^ sin x/cos x, то по тео-
теореме 5.3 получим
, ^ЫП х)' COS X — ЫП X (COS х)' COS Л: COS X —Slfl Л (— Sin X) COS- ДГ -(-Sltl- X
cos- х
следовательно,
J cos- .г
113

4) I Ipoii жодная функпни y = ct^.v выражается формулой
у' == — (х ф л л)
sin v
Л о к «I ' <i i l 1 '> с 1 в ( Так как etg х=соь */siii v то ana
ло[ичи( про 1ыд\пиviv имеем
/ ^ V 11 t ( -1 \ >|П V - ^111 X SI1I Л' W>S X t OS Л Sill Л \ COS Л'
ill I Sill I MM X
С.,К%;1<Ы 1П IbllC)
4 Производная логарифмической функции. Производная фумк
ции ?/=г|о? .г <А)<г'и ф 1) пыражаекя формулой
1 . I
у == — 1ой с = т^?
Д с; к л > а 1 с i ь i 1 в о Именем
\у ~ lo^ г | \х) оо х = 1ой„-Ц— = log
ak'HM (Nr><J i )Vt | ^
' I /1 . ^ \ ' v I /11 Vv \
-,TI.)K (I 4 )-= l(^(' +),или
f —V и;
\'У 1( / i , Vv \ Sl
-г- = — loir I I I -|
llouiidii ^/\>— h имеем hm l\-\-.\x/x) --= lirn A -f I /h) = e
(вк)|)ол ta\ie'iaie,ii>HbiH предел), а гак как лсл арифмичеекая функ
ция яН|ЯС|(%я непрерывной то
и и е / {ли
§ Ь. Теорема о производной обратной функции
IIvmi> Цинния 1/=((л) у до is i >|>ж i условиям юоремы 4 I г>
оо о )|j,i поп (j)v пкцпи п ф/имш i ф(у) являекя для нее обра>
и )ii Foi bi hviili Mtcio tJk'.iv'i" 1 i)i теорема
Теорема .14 f-сли фчакцин i/—lix) имеш в /очке л,
п,»,и iiKn)niiii) l'[x )-/-(), in пора/пая функция .г=ф(?/1 также
имен в инч fit / с f tii, ющей i >чке (/,—/(л,) производную причем
to aid ( 1 ь с 1 во Ыт,и\1 api у мои i у у обратной функ
чип > | (/> нем» орое п )ира1ценис \у-р[) в сочке <уп Функция

х = <р{у) получит некоторое приращение Ajc, причем в силу воз-
возрастания (или убывания) обратной функции кхфО. Следова-
Следовательно, можем записать:
Лдг _ [
\у &у/\х'
Перейдем в этом равенстве к пределу при Ау->-0. Так как обрат-
обратная функция х = (р(у) непрерывна в точке у0 (см. теорему 4.15),
то Ajc->-0 при Ау->-0. Но при А*->-0 предел правой части ра-
равенства существует и равен I //' (xQ). Следовательно, существует
предел и левой части равенства, который по определению равен
ф' ((/о)- Таким образом, получаем
У
Доказанная теорема имеет простой ге-
геометрический смысл. Рассмотрим в неко- ,
торой окрестности точки х0 график функ-
функции t/ = /(jc) (или обратной функции х =
= ф(у)). Пусть точке хп на этом графике
соответствует точка М (рис. 68). Как из-
известно, производная f'(x0) равна тангенсу '
угла а наклона касательной, проходящей
через точку М, к оси Ох. Производная
обратной функции ф' (у0) равна тангенсу угла р наклона той же
касательной к оси Оу. Поскольку углы а и р в сумме составляют
л/2, то формула A) выражает очевидный факт:
i I II
68
ф {Уо) — tg Р —
ctg (л/2 - а)
§ 7. Вычисление производных показательной функции
и обратных тригонометрических функций
Используя доказанную выше теорему 5.4, продолжим вычисле-
вычисление производных простейших элементарных функций.
1. Производная показательной функции. Производная функ-
функции у = а* @<Саф 1) выражается формулой
k* In-
Доказательство. Показательная функция у = ах яв-
является обратной для логарифмической функции *=logay. Так
как
то в силу теоремы 5.4 о производной обратной функции и извест-
известного из элементарной математики соотношения loga6 == 1 /log^a
us

получаем
и' (х) = —,—г = -г-^— = ах In a
С л едстви е. Если у =е', ти у' = (е')' = е'.
2. Производные обратных твнгопом&цщческих функций.
1) Производная функции/у = агсзт хувыражается формулой
у = /,r~,(W< *>
V I - х-
Доказательство. Функция у = агсыпл: является об-
обратной для функции x=s\uy. Так как х' (у)—cos у, то по тео-
теореме 5 4 о производной обратной функции получаем
Корень взяг со знаком плюс, так как cosy положителен на интер-
интервале ——<~У<--т Учитывая, что smy = x окончательно имеем
,/' (х) = I ш
V I — х
2) 11рои людная функции y=arccos.ir выражается формулой
у (х) ='
V 1 х1
Доказательство анало! ично предыдущему.
3) Прои.шодная функции y = arctgx выражается формулой
>
Д о к a i а г е л ь с г в о. Функция y = arctg x является обрат-
обратной для функции х—tgy.
Так как х' (//)— I /cos'2 у, то у' {х)= I /х' (у) = соа'^ у. Но
I /cos ' i/ = 1 -)•- tg'" (/ — 1 -f- -^"', следовательно,
4) Производная функции y=arcctgx выражается формулой
Дока.1.-1тельстио анало! ично предыдущему
§ Н. Правило дифференцирования сложной функции
Теорема 5.5. Если функция v=<p(/) имеет производную
о гочке tt, а функция у= f [х) имеет производную в соответствую-
соответствующей ючке ^п==ф(ч/„), то сложная функция /Ч(р(/I имеет произ-
llh

водную в точке /0 и справедлива следующая формула:
у' (',,) = Г (О ф' {tQ). A)
Доказательство. Так как функция y = f(x) дифферен-
дифференцируема в точке хй, то приращение этой функции в точке х{) может
быть записано в виде
Ay = f (Х(]) \х + а (А*) Ах, B)
где lim а(Дх) = 0. Поделив равенство B) на Ai, получим
ТГ=Г (х^-^ + а^х)-^. C)
Равенство C) справедливо при любых достаточно малых /\х. Возь-
Возьмем Ах равным приращению функции х = ц>A), соответствующему
приращению At аргумента t в точке /0, и устремим в этом равен-
равенстве At к нулю. Так как по условию функция л' = <р(/) имеет в точке
/0 производную, то она непрерывна в этой точке. Следовательно,
согласно третьему определению непрерывности функции в точке,
Ajc-^O при At ->О. Но тогда и a(Ajc) также стремится к нулю,
т. е. имеем
lim (а{Ах)-^-)= lim a(Ajc) lim ~= 0 • ц/ (Q = 0 D)
В силу соотношения D) существует предел правой части равен-
равенства C) при А/->-0, равный f (*„) ф' (/„). Значит, существует
предел при А/->-0 и левой части равенства C), который, по опре-
определению производной, равен производной сложной функции у =
= f\(f(t)\ в точке /0. Тем самым, доказана дифференцируемость
сложной функции и установлена формула A). ¦
Замечание 1. В данной теореме рассмотрена сложная
функция, где у зависит от / через промежуточную переменную х.
Возможна и более сложная зависимость — с двумя, тремя и боль-
большим числом промежуточных переменных, но правило дифференци-
дифференцирования остается таким же.
Так, например, если y=f(x), где х = <р(и), а ы = г|з(у) и
v = х (/), то производную у' (() следует вычислять по формуле
y'(t) = f'(x)<9'(u)V(o)x'(t) E)
Пример 1. Вычислить производную функции у = еяга!Г\
Решение. Данную функцию можно представить в виде
у = еи, где u = arcig х. Тогда по формуле A)
у' (х) = у' (и) и' {х) = е" у^г
Заменяя и на arctgx, окончательно получим
Пример 2. Вычислить производную функции y — tg2vx'2+\.
117

Решение. Данную функцию можно представить в виде у —
= и2, где u=tgv, a v=vw и w — x'-\-\. Используя формулу E),
получаем
у'(х) = у' (и) и' (v) v' (w) w' (х) = (и1)' (tg v)' (\jw)' (x2 + 1)' =
,, I n '2x lg \J r' + I socJ \j xl + 1
= 2u sec v —-— 2x = :
2v-
3 а м е ч а н и е 2. Иногда производную приходится вычислять
непосредственно исходя из ее определения. Найдем, например,
производную функции
¦ _ ( х' sin ( 1 /х) при х Ф О,
1 0 при х = 0.
При хфО производная вычисляется по формулам и правилам
дифференцирования:
f —/ -' • ' \' — ( -')'¦• 1 _, ^ / - . 1 \' / ' V — 9 ' '
' *¦ \ к } s " л¦ ' у" х J \ х J ' х v
Этим выражением нельзя воспользоваться при а' = 0. В точке
х = 0 производную можно вычислить, используя определение про-
производной:
/'(())= Нш—^-= lirri \xsin-r-=0
(произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть
бесконечно малая). Таким образом,
I /к) — cost 1/х) при хф(),
0 при х= 0.
§ 9. Логарифмическая производная. Производная степенной
функции с любым вещественным показателем. Таблица
производных простейших элементарных функций
1. Понятие логарифмической производной функции. Вычислим
производную функции /у= 1п \х\ {хфО). Так как (lnx)'=l/jc
и (in (—jc))' = ( — х)'/ — х==\/х (последнее равенство получено на
основании правила дифференцирования сложной функции), то
производная данной функции выражается следующей формулой:
у> = (.In \х\У = —¦ A)
Учитывая формулу A), вычислим производную сложной функ-
функции у=1п|м|, где и =/ (х) —- дифференцируемая функция.
Имеем
118

или
/ Ч
(\n\f(x)\)' = ^-. B)
Производная (in I/ (jc)|)' называется логарифмической произ-
производной функции f(x). Для упрощения записи при логарифмическом
дифференцировании знак модуля у функции f (х) обычно опуска-
опускается.
Вычислим с помощью логарифмической производной производ-
производную показательно-степенной функции у = и (х)"'1\ где и и v —
некоторые функции от х(ы">0), имеющие в данной точке х про-
производные и'(х) и v1 (х) Так как \ny=v{x) Init(jc), то, исполь-
используя формулу B), получаем
— = \v(x) In и(х)\" = и' (х) In и(х) + v(x)
ч'(х)
и (х) ¦
Отсюда, учитывая, что y==u(x)J', получаем следующую фор-
формулу для производной показательно-степенной функции:
у' = и
In и (х) + v (х)
C)
Пример. Вычислить производную функции у = х\
Решение. Данную функцию можно представить в виде у =
= u(xfk\ где и{х)=-х и о(д:)=х. Используя формулу C),
получаем
' = Xх Г I 111 X + Х-^1 = Л-1 AП X + I).
у
Производную показательно-степенной функции у=и(х)"'']
можно вычислить и другим способом. Представим функцию в виде
l
= e"ix;lr""ti и вычислим у':
у, = [e
,it.lnu.x;j,
|п
= у [ о' (*) In и (х) + у (jc) ±
подставляя у=и (х)~ ', приходим снова к формуле C).
Логарифмическая производная очень удобна при нахождении
производной степенной функции с любым вещественным показа-
. •fTp'6'изводная функции П7=* / (а—любое веществен^]
4 число) выражается формулой
(Доказательство. Так как у = х\ то In y=fa In
П<р формуле B) находим

Отсюда, учитывая, что ;/ = ха, получаем формулу для производ-
производной степенной функции'
Таким образом, натяи вычислены производные всех простейших
элементарных функций и мы можем составить следующую таб-
таблицу.
3. Таблица производных простейших элементарных функций.
I (С)' = 0.
II. (х'*)' = ах'1 ', в частности
III (log,, х)' = — logn е, в частности (In х)' = —.
IV (а*)' = а' In а, в частности, (е')' = е1
V. (sin х)' — cos х
VI (cos х)' = — sin к
VIII (ctgje)'= --.
4 ° ' Sin' А
IX. (arcsin x)' = -^ .
V I - v-
X. (arccos xY = ;—
V i - v
XI (arctgx)'=T^-
XII (arcctgx)' = --'
1 4- x2'
Формулы, приведенные в таблице, а также правила дифферен-
дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и правило
дифференцирования сложной функции являются основными фор-
формулами дифференциального исчисления. На основе правил и фор-
формул дифференцирования можно сделать важный вывод, производ-
производная любой элементарной функции также -элементарная функция.
Таким образом, операция дифференцирования не выводит ич класса
элементарных функций
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков
I. Понятие производной я-го порядка. Как уже отмечалось
в § I данной главы, производная f (х) функции y=f(x) сама
является некоторой функцией аргумента х. Следовательно, по от-
отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и
нахождении производной
Назовем /' (х) произвидной первого порядка функции / [х)
Производная от производной некоторой функции называется
производной вюроги порядка (или второй производной) этой фупк
ции. Производная от второй производной называется производной
третьего порядка (или третьей производной) а г. д Производные,
начиная со второй, пазы даются производными высших порядков и
120

обозначаются у", у'", </(), у5', ..., у"', ... (вместо у" и у'" иногда
пишут у'Л] и ylV'),iwH f" (x), f'"(x), f4) (jc), /;5) (х), ..., р' (х), ...
Производная n-го порядка является производной от производ-
производной (п — 1)-го порядка, т. е. у'"'=(у{" ' "К
Производные высших порядков имеют широкое применение
в физике. Ограничимся физическим истолкованием второй произ-
производной /" (х). Если функция y = f(x) описывает закон движения
материальной точки по прямой линии, то первая призводная
/' (х) есть мгновенная скорость точки в момент времени х, а вто-
вторая производная равна скорости изменения скорости, т. е. уско-
ускорению движущейся точки в этот момент.
2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
1) Вычислим п-ю производную степенной функции у=ха(х>
>0) (а— любое вещественное число). Последовательно диффе-
дифференцируя, имеем*:
у' = ал" \у'=а(а — \) ха~ \ уЛ)=а{а— \)(а — 2) х*, ...,</"" =
= а(а—1)(а —2) .. [ а— (п — 1 )| ха~".
В частном случае, если а=т, где т — натуральное число,
получаем
(л-'")'" = т(т — \)(т — 2) .. \т — (т — 1I ¦ I = т\,
(х"')'"= 0 при и >т.
2) Вычислим п-ю производную показательной функции у = ах
{0<аФ I). Последовательно дифференцируя, имеем
у' = ах In а, у''2' = а1 (In аJ, ум: = aJ (In а) , ., у "' = av(ln а)".
В частности, если у = е\ то для любого п
(е*):"' = е\
3) Вычислим п-ю производную функции y = sinx. Последо-
Последовательно дифференцируя, имеем
у' = co?,x = s\n(x-\-^Yy"-'• = — sin x = sin (x + л) = Slin (x -\- 2-^-),
у'и = — cos х = sin (x + 3-^-V .. , у'л: = sin (х + п -^
Таким образом, производную любого порядка от sin x можно
вычислять по формуле
(sin x)" = sin
Например, (sin х)''"' = sin (х -\- 10 (л/2)) = sin (х -+- л) = — sin x.
4) Аналогично можно получить формулу п-и производной функ-
функции y = cos x:
(cos х)'"' =
os х)'"' = cos (х -\- п -^).
*ГТрн строгом выводе формул п-х производных следует применить метод
математической индукции
121

3. Формула Лейбница для я-й производной произведения двух
функций. Пусть у = и-и, где и и и - некоторые функции от пере
менной х, имеющие прои водные любого порядка Тогда
ч' ^ u'v f uv', )" = u"v \- u'v' \- u'v' + uv" =
= u"v + 2u'v + uv" = u'v + 2u'v' + uv ',
y'" =-- u'"v f u"v' + 2u"v' + 2u'v" + u'v" + uv'" =
= u'"v + 3u"v' + 3u'v" + uv'" =- и v + 3« ' o' + 3u'v ' + uv '
Правые части полученных равенств похожи на разложения ргн
личных степеней бинома (u-\-v)" по формуле Ньютона, но вместо
показателей степени сточт числа, определяющие порядок прои i
водных, а сами функции и и v для полной аналогии с форму юи
Ньютона нужно рассматривать как «производные пулевого по-
порядка» и'1' и у" Учшьвая это, запишем общий вид п и нрош
водной произведения дву< функций
(/" = (uv) ' — и "v -\- пи " ' и' -\- ''.,,—-и ' ' v" +
H j, и ' ''v' + + uv ¦• i 1)
Форм\ла (I) называется формулой Лейбница* Докажем зту фор
мул\ методом математической индукции
При п = 1 зта формула принимает вид {uv)'= u'v-\-ui>', чго
совпадает с формулой ди(рферепцирования произведения двухфунк-
ций Дти п = 2 и и = 3 она также проверена Поэтому достаточно,
предположив справедливость формулы A) для некоторого п, дока
зать ее справедливость для п-\-\ Продифференцируем эту фор-
м улу, т с и а й де м у "" '' = (у "')
и " - ' = и " ¦' v + и " v' + п I и " v' + и " ' v"\ +
+ u'u" + uv '"'¦'
Р^аскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем
,/" • ' = и " * ' v + (п + 1) " " V + (л + -^т^1) « " ' V" +
+
/I ui - 1) Щ - к + 2i ui/i - 1; (л — fe + I] | „ t., t
tf П1 1 V Iй ° +
*Лойбнпц Готфрид Пмльгельм (l(L('i- 171A) немецкий философ и
математик
122

Но выражение, стоящее в квадратных скобках, можно предста-
представить следующим образом:
п(п— 1) (п - ft + 2) п(п — I) (л ~ А + 1)
(ft - 1)' ' ft1 ~
n(n— 1) (П - 2) . (n - k + 2)(n - ft + l)(rt - k)(n — k - \)\n — k -2) . 1
(ft - II (л — ft + 1) (л - ft) [n - ft - 2) i
iUn—\) (n-ft+l)(n-fe)(H —A—l)(n —ft —2} 1
"i ft'(n — A)(n - ft - 1)(н — ft —2) i
rt! «' / _1 i__L\_
ь i i T ь
\k— DM.rt — k+ \Y ' fc'(n-fe)' (ft— l)'(n — feI
_ n1 H + l _ (/г —j- 1)'
(ft ])'(«- ft)' kin — A+l) ft'(n — A + 1)'
(и + 1) н iл — 1) (« - 2) in — ft -4- 2) (n — ft + 1) X
_ Xfn — A)(rt — ft— l)(rt — ft - 2) 1
A'(n — ft+ l)(rt — ft)(n — ft — l)(n — ft — 2) 1
(n + 1 )nin — l)(n — 2) (rt — ft + 2)
= Ji •
Поэтому
"-D_ :«•• liy I in j_ м ii, / I (" + ')» ,n I.,// I
Формула A) доказана. I
Пример 1. Вычислить пятую производную функции у=х''с'.
Решение. Полагая и = х° и v = e\ найдем: и' — 5х\
и" = 20х\ uw = 60r, uu=\20x, u'r = l20; v'= v" = v'"= ^4; =
= ц':1=е1. Подставляя эти выражения в формулу A) при п = 5,
получаем
у[Г"= 120 е'+5- 4Й
Пример 2. Вычислить п-ю производную (и^2) функции у=
= Х" COS X.
Решение. Полагая и = cos x и v = x", найдем
u-"-=cos
Подставляя в формулу (I), получаем
у "' = cos ( х + и~т) A'i + 2n cos л- + (п — \)-j х +
2п (л — I) Г . . ,. л "I
Н pr^cos |^х + (и - 2)-2-J.
4. Дифференциалы высших порядков. Рассмотрим дифференци-
дифференциалы высших порядков. Для удобства будем наряду с обозначе-
обозначениями дифференциалов символами dy и dx использовать обозна-
обозначения Ьу и Ьх.
123

Пусть функция fix) дифференцируема в каждой точке х неко
горого промежутка Тогда ее дифференциал
Лу = /' (х) dx,
который назовем дифференциалом первого порядка, является функ-
функцией двух переменных аргумента х и его дифференциала dx Пусть
функция f ix), в crok) очередь, дифференцируема в некоторой
точке х Будем рассматривать с\х в выражении для 6у как посто-
постоянный множитель Тогда функция dt/ представляет собой функцию
только аргумента к и ее дифференциал в точке х имеет вид (при
рассмотрении дифференциала от di/ будем использовать новые
обозначения для дифференциалов)
Л (Ау) = Ь \ {' ( и с л-| =| f (х) dJfl' 6* = f" (x) dx 6 v
Дифференциал 6(dy) от дифференциала Ay в точке х, взятый
при Лл' — dx, называется дифференциалом второго порядка функ-
функции / (л.) в точке а' и обозначается Aч/, т с
<Гу=- /" (x)(dx)'
В свою очередь, дифференциал fi(d'y) от дифференциала сНу, взя
тый при 6A = dA', называется дифференциалом третьего порядка
функции fix) и обозначается d ]y и т д Дифференциал S(d" ]y)
от дифференциала d" ', взятый при 6a'=cU, называется диффе-
дифференциалом п-го порядка (или п м дифференциалом) функции fix)
и обозначается d"у
Докажем, что для п го дифференциала функции справедлива
формула
d"y = y:'"(A-)(dx)",rt =1,2, B)
Доказательство проведем по индукции Для rt=l и п = 2 фор
мула B) доказана Пусть она верна для дифференциалов порядка
п - ¦ 1
d" у= у1" ' (x)idx)"~\
и функция у" ' (л;), в свою очередь, дифференцируема в некото-
некоторой точке х Тогда
d"«/=8(d" 'у) =--Ь\у' ' (x)(dx)" '] =
=- I у ' ' (х) idx)" ']' bx --- у1"' (х) 8х (dx)"~'
Полагая 6jt=(Ia', получаем
d'«/-.= fi(d" 'у)
= У" (х){дх)
что и требовалось доказать
Из формулы B) след/ет, что для любого п справедливо равен
ство
1-24

т е п-я производная функции y=f{x) в точке х равна отноше-
отношению п-го дифференциала этой функции в точке х к n-й степени
дифференциала аргумента
Пример 3. Вычислить дифференциал сРу функции у = хА—
Решение Последовательно дифференцируя, получаем
у' (х) = Ах¦' - 6*. у" (х) = 12х2 - 6, у'" (х) = 24х
Следовательно, d'y = у'"' [х) (dxf = 2Ах (Ах)
§ П. Параметрическое задание функции
и ее дифференцирование
1. Параметрическое задание функции. Пусть даны две функции
* = Ф@, «/ = Ч>@ (I)
одной независимой переменной /, определенные и непрерывные
в одном и том же промежутке Если х=ф(/) строго монотонна,
то обратная к ней функция / = Ф(х) однозначна, также непрерывна
и строго монотонна Поэтому у можно рассматривать как функцию,
зависящую от переменной х посредством переменной t, называемой
параметром
У= г|з[Ф(х)|
В этом случае говорят, что функция у от х задана параметрически
с помощью уравнений A)
Отметим, что функция ч|э IФ (х)\ непрерывна в силу теоремы
о непрерывности сложной функции
Пример 1. Пусть x=/?cos/, y= R sin / @^/^л) Так как
функция x = Rcost убывает при 0^/^л, то данные уравнения
задают параметрически функцию у от х Если выразить i через х
из первого уравнения и подставить во второе, то получим иско
мую функцию переменной х в явном виде
Это еще легче сделать, если заметить, что
х1 + у'2 = R2 (cos2/ + sin2/) = R2
Отсюда y=\R'2 — x2 или y= — 4R2 — x'2 Так как функция у —
= R sin / неотрицательна для 0^/^л, то перед радикалом
выбираем знак плюс у= V/?' — х2
Если л < t < 2л, то у = — ^R2 — х2
Таким образом, можно сделать вывод, что когда / изменяется
от 0 до 2л, то формулы x-=Rcost и y=/?sm/ определяют две
функции переменной х, графики которых образуют окружность
радиуса R
Пример. 2. Пусть х = а cos /, y= b sin / @^/<2л)
Данные равенства являются параметрическими уравнениями
эллипса, так как (см замечание п 1, § 7, гл 3) эллипс получается
из окружности радиуса а сжатием ее в а/b раз вдоль оси Оу Из
125

примера I следует, что параметрическими уравнениями окружно-
окружности jr' + y'=cr являются уравнения jc = acos*, y = asirW@<
^/^2л). Итак, параметрические уравнения эллипса получаются
из параметрических уравнений окружности умножением правой
части уравнения для ординаты у на Ь/а и имеют вид- x = acast,
у= b sm t @^/^2л). Можно поступить проще. Исключая из
этих уравнений параметр / (разрешая их относительно cos / и
sin/, возводя полученные равенства в квадрат и складывая), по-
получаем
(х/а)" -\- (y/by = coi't -f- sirr t = 1 или х1 /a1 -f- у2/\г = 1
— уравнение эллипса.
Параметрическое задание функции имеет особо важное значе-
значение при изучении движения точки. Если точка движется на пло-
плоскости, то ее координаты х, у являются функциями времени /
Задав эти функции х=ф(/), y=$(t), мы полностью определим
движение точки. Для к.аждого промежутка времени, в котором
функция ц)(() строго монэтонна, можно, как и раньше, определить
| \
функцию у=
Ф(х)|, графиком которой является кривая, опи-
описываемая за этот промежуток времени движущейся точкой. В по-
последнем примере функции описывали движение точки по эллипсу.
2. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
Предположим теперь, чго функции x = y(t) и у=ф(/) имеют
производные, причем ф'(/)^=() на некотором промежутке Из
последнего неравенства вытекает (как будет показано) строгая
монотонность функции x = ip(t) (см. теорему 6.7, гл. VI) и, сле-
следовательно, однозначность обратной функции г = Ф(х). По тео-
теореме 5.4 о производной обратной функции функция Ф (х) имеет
производную
ф' (х) = -pL.,
а по теореме 5.5 о производной сложной функции функция у =
= 1р|ф(дг)| имеет производную
у' (х) = ф' (Ф (X)) Ф'-(Х).
Следовательно,
B)
Таким образом, доказано, что производная функции, заданной
параметрически, выражается формулой B).
Пример 1. Найти у' (х), если x = Rcost, y=/?sin/
Решение. По фоэмуле B) получаем [здесь t = *
= arccos {x/R)\
... R со;, I
У ix) ~
R sin t
! - d I
Г
I -
V 1 — cos t
12b

Если воспользоваться явным выражением для функции у от
х:у = V/?2 — х\ то получим, разумеется, тот же результат:
У' (*) =
- 2х
± R)
2 \[R- "-'x V' Я' - *J
Пусть существуют вторые производные функций ¦[>'(/) и гр' (/)
в некоторой точке / Тогда можно вычислить вторую прои(вод-
прои(водную функции, заданной параметрически Заметим, иго функция
t' (I)
, в свою очередь, задана параметрически урав-
-Фи;
нениями у' .= ( ,(П = ф,@ и х=ф(/). Следовательно, но формуле B)
имеем
С)
!>' (Л
|-' I/)
Здесь использовано правило дифференцирования частного
Итак,
у" (х) — -t———; ¦ 2_^-
ч ','
3)
Аналогично можно получить производную от у по хлюбою порядка
Пример 2. Найти у" (х), если x"=cos/, у-=- sin / (O^/s^n)
Решение у'@=соь/, у" {t)= — sin (/), х'{1)= — sin/,
х"(/)=—cos / Подставляя в формулу C), найдем
,. , ч ' - Sin I) (— Sin /] — ( COS /] ''COS /I
и" (x) =
(— sin /)
sin2 t -j- C'os' /
(— Sill /)
Sltl1 I
A - v1!
I I Л II Л ti
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
В предыдущей главе мы познакомились с дифференцированием
функций. Рассмотрим теперь методы исследования функции и по-
построение графиков, которые широко используются как в теории,
так и на практике. /
§ 1. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема 6.1 (теорема Ферма)*. Пусть функция
f (х) определена на интервале (а, Ь) и в некоторой точке x'lt этого
*Ферма Пьер A601— 1665) - французский математик
127

интервала имеет наибольшее или наименьшее значение Тогда,
если в точке х(| существует производная, то она равна нулю, т с
Г (*.,) = о
Д о к а з а 1 е л ь с т в о Пусть для определенности функции
f (х) в точке х0 имеет наибольшее значение, т е / (x)^Lf (х0) дли
любого хе(а, Ь) Это значит, что Лу —/ (хо + Лд:) —/ )
для любой точки х„4-Лге(а, Ь) Поэтому, если Ла->0 ()
то Ду/Лх^О и, следовательно,
/'. чх0)= Mm ^7<0,
если же Лх<0 (х< х„), то Лу/Лх^О и, следовательно,
f *„) = lim -rr^O,
\i -и ¦'
т с правая производная в точке х„ неположительная, а левая
неотрицательная По условию, /"'(*,,) суиичтвует и, значит, /' t (x(l) =
= f (xt)) = f (х(]) Это возможно только в случае, когда /' , (х{]) —
= /' (а-„) = () Но тогда и/'(*„)= О
Аналогично рассматривается случай, когда в точке х(| функция
f (x) имеет наименьшее значение щ
Геометрическим смысл теоремы Ферма состоит в том, что если
в точке ха дифференцируемая функция f (х) имеет наибольшее или
наименьшее значение, то в точке (х,„ /(*,,)) касательная к графику
функции f (х) параллельна оси Ох (рис 69)
60
Рис 70
Замечание Теорема неверна, если функцию f (х) рассмат
ривать на отрезке [ а, Ь\ Так, например, функция i(x) — x на от
резке [0, I] в точке х = 0 принимает наименьшее, а в точке х= 1 -
наибольшее значение, однако как в той, так и в другой точке произ
водная в нуль не обращается, а равна единице (рис 70)
Т е о р е м а 6.2 (теорема Р о л л я) * Пусть на \ а, Ь\
определена функция f (х) причем 1°) f (х) непрерывна на [ а, Ь\, 2°)
f (х) дифференцируема на (а, Ь), 3°) f(a) = ((b) Тогда существует
точка се(а, ft), в которой f (c) = 0
*Рол 1ь Мишель A652-1/19) -- французский матемнгик
128

Доказательство. Так как функция f (х) непрерывна
на [а, Ь\, то по второй теореме Вейерштрасса она имеет на этом
отрезке максимальное значение М и минимальное значение т,
т. е. существуют такие точки х,, х2е[а, ft], что /(х,) = т, /(х2) =
= /Vf и выполняются неравенства
т ^ /(х)< /Vf.
Возможны два случая: 1) М = т; 2) т<М.
В первом случае /(х) = const = /Vf = т. Поэтому производ-
производная /' (jc) равна нулю в любой точке \а, ft|, и теорема доказана.
Во втором случае так как f(a) = f(b), то хотя бы одно из двух
значений, т или /Vf, не принимается на концах отрезка [a, ft], т. е.
существует точка се(а, ft), в которой функция f (х) принимает
наибольшее или наименьшее значение на интервале (а, Ь). В этом
случае, так как f (х) дифференци-
дифференцируема в точке с, изтеоремыФерма
следует, что /' (с) = 0. ¦
Геометрически теорема Ролля
означает, что у графика непрерыв-
непрерывной на отрезке [а, Ь\ и дифферен-
дифференцируемой внутри этого отрезка
функции, принимающей на его
концах равные значения, сущест-
существует точка (с; / (с)), в которой
касательная параллельна оси Ох
(рис. 71). На рис. 71 в точке с функция f (х) принимает наиболь-
наибольшее значение.
Следует отметить, что все три условия теоремы Ролля сущест-
существенны. Чтобы убедиться в этом, достаточно привести примеры функ-
функций, для которых выполнялись бы два условия тоеремы, а третье
не выполнялось и производные которых не обращались бы в нуль
ни в одной точке. Так, например, функция /(*) = *, хе\0, 1]
(см. рис. 70) удовлетворяет условиям 1° и 2°, но не удовлетворяет
условию 3° и для нее не существует точки с такой, что f (с) = 0.
Рассмотрим еще два примера.
f(aj'ffb)
Рис 7]
Рис 72
Рис. 73
Функция / (ж), равная х, если 0<х<1, и равная 0, если
х= 1 (рис. 72), удовлетворяет условиям 2° и 3°, но не удовлетво-
удовлетворяет условию 1°. Функция /(х)=|х|, хе[ — 1, 1) (рис. 73)
5-1032
129

удовлетворяет условиям 1° и 3°, но не удовлетворяет условию 2°.
Для этих функций также не существует точки, в которой их про-
производная обращалась бь в нуль.
Отметим, что в математике существенность тех или иных усло-
условий доказываемых теорем проверяется построением соответствую-
соответствующих примеров, когда невыполнение того или иного условия тео-
теоремы приводит к тому, что утверждение теоремы становится не-
неверным.
Теорема 6.3 (теорема Лагранжа)*. Пусть на
(а, Ь\ определена функция f (х), причем: 1°) /(х) непрерыная на
(а, Ь\\ 2°) / (х) дифференцируема на (а, Ь). Тогда существует точка
се (а, Ь) такая, что справедлива
формула
fib)
flat
Доказательство. Введем
в рассмотрение на \а, Ь\ вспомо-
вспомогательную функцию
i i
_^.. Функция Fix) удовлетворяет
* всем трем условиям теоремы Ролля:
р 74 1) F(x) непрерывна на [а, Ь\
(как разность двух непрерывных
функций /' (х) и линейной функции f (а)-\ ^_ (х — а));
2) F (х) дифференцируема на (а, Ь), т. е. внутри [а, Ь\ имеет
производную, равную F' [x) = f (х) ^———;
3) F{a) = 0 и F{b) = O, т. с. F{a) = F(b).
Следовательно, по теореме Ролля существует точка се(й, Ь)
такая, что F'(c) = 0, т. е. f (с) 1,_а" = 0. Отсюда получаем:
f<c)= щ
l yL> Ь-а ' ¦
Установим геометрический смысл теоремы Лагранжа (рис. 74).
Величина — !,_ является угловым коэффициентом секущей,
проходящей через точки М,(а; f (а)) и M.2(b fib)) графика функ-
функции y = f(x), a f (с) — угловой коэффициент касательной к гра-
графику в точке (с; f(c)). Из теоремы Лагранжа следует, что сущест-
существует точка с такая, что касательная к графику в точке (с; f (с))
параллельна секущей М,М2 Таких точек может быть и несколько,
но, по крайней мере, одна всегда существует.
Замечание 1. Равенство
f'ic)ib-a), a<c<b, (]}
Лягранж Жозеф-Луи A '36— 1813) —французский математик
130

называется формулой Лагранжа или формулой конечных прираще-
приращений.
Замечание 2. Так как точка с лежит между а и А, то с =
= a-\-Q (b — а), где 0<6<1. Учитывая это, формулу Лагранжа
можно записать в виде
f(b)-f{a) = f'(a + Q(b - а)) (Ь -а), гдеО<6<1.
Замечание 3. Если положить а = х, b — x-\-kx, то по-
получим
f{x + bx) — f (х) = f (х + Q Ьх) Ах, где 0 <9< 1.
Такая запись формулы Лагранжа часто бывает удобнее, чем запись
в виде A).
Как будет показано в дальнейшем, теорема Лагранжа лежит
в основе доказательства многих формул и теорем анализа.
Теорема 6.4 (теорема Кош и). Пусть функции f (х)
и g(х) непрерывны на [а, Ь\ и дифференцируемы на (а, Ь). Пусть,
кроме того, g' (х)фО. Тогда существует точка с^.{а, Ь) такая,
что справедлива формула
1(Ь) -f(a) _ Г (с)
s (Ь) - g (а) ~УТ$' ^i
Доказательство. Покажем сначала, что g(b)^g(a),
т. е. что формула B) имеет смысл. Действительно, если допустить,
что g (b) = g (а), то по теореме Ролля для функции g (х) найдется
точка |е(а, Ь), в которой g'(?) = 0. А это противоречит усло-
условию, что g' (х)Ф0 на (а, Ь). Перейдем к доказательству формулы B).
Рассмотрим иа [а, Ь] вспомогательную функцию
Fix) = f(x) - /(а) - W Z'^a) fg W ~ g(Q)l-
Нетрудно заметить, что F (х) на [а, Ь] удовлетворяет условиям
теоремы Ролля. В самом деле, F (х) непрерывна на \а, Ь\, диффе-
дифференцируема на (а, Ь), и, кроме того, подстановка х = а и х = й
дает F(a) = 0 и F{b) = Q, т. e. F(a)=F(b). По теореме Ролля
для F (х) существует точка с, a<ic<Cb, такая, что /7'(с) = 0.
Так как f (x)= f (x)- ^Z'JZ ? (*)¦ то
Откуда, учитывая, что g' (c)^=0, получаем формулу B). ¦
Замечание. Формула B) называется формулой Коши или
обобщенной формулой конечных приращений.
§ 2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
1. Раскрытие неопределенности вида -д-. Будем говорить, что
/ (*)
отношение двух функций —-А- при х->-а есть неопределенность
5* 131

вида -Q-, если
lim f{x) = lim g(x) = 0
x -*¦/ x ¦¦<;
Г^аскрыть эту неопределенность — значит вычислить предел
lim —p-, если он существует, или установить, что он не сущест-
существует Следующая теорема устанавливает правило для раскрытия
неопределенности вида -т-
Теорема 6.5. (теорема Л о п и т а л я) * Пусть функции
f (x) и g (x) определены и дифференцируемы в некоторой окрест-
окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а.
Пусть, далее, lim / (x)=-- lim g (x)= 0** и g'{х)ф() а указанной
х >-а х-*-а
окрестности точки а. Тогда, если существует предел отношения
производных lim jt . (конечный или бесконечный), то существует
и предел lim г'Д, причем справедлива формула
Inn , — lim ' ,.
Доказательство. Пусть {х„} — произвольная последо-
последовательность значений аргумента, сходящаяся к точке а, причем
ха ф а. Доопределим функции f (х) и g (x) в точке а, положив их
равными нулю, т. е. / (а) = g{a)= 0. Тогда, очевидно, функции
f (х) и Я (х) непрерывны на [а, х„\, дифференцируемы на (а, хп) и,
по условию, g' (x)^=0. Таким образом, для f (х) и Я(^) выполнены
все условия теоремы Коши на \а, хЛ\, т. е. внутри [а, хп\ сущест-
существует точка |„ такая, что
g(xn) -tr(a) я'(ч,)' 6" V ' ";'
По доопределению, f [a)== g (a] = 0, следовательно,
Пусть теперь в формуле (I) п ->¦ оо Тогда, очевидно, с,п-*-а
при и->-оо (рис. 75). Так как lim г, существует, то правая
х •-а Ь \Х'
часть формулы A) имеет при п->-оо предел, равный lim Г/Л-
Следовательно, при п-+оо существует предел и левой части
формулы A), причем
lim —7-rv- = lim ,.,\* .
*Лопиталь Гильоч Франс /а A661 — 1704) французский математик
**Теорема остается спргвеллнвой и в случае, когда х *а - или х *а \
132

Так как {хп} — произвольная последовательность значений
аргумента, сходящаяся к а, то отсюда заключаем, что lim-j—^г
х—а 8 \Х1
существует и j^^
Доказанную теорему обычно называют правилом Лопиталя.
Замечание 1. Если производные f (x) и g' (х) удовлетворя-
удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции f(x) и g (х), то пра-
правило Лопиталя можно применить повторно. При этом получаем
,. I (х) ,. fix) ,. I" (х)
Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда
jc-*-oo, x->--(-oo и х-*—ос. В самом деле, пусть, например,
lim / (x)= lim g (x) = 0 и
х—*-оо
/' (х)
нечный или бесконечный).
Сделаем подстановку х= Рис 75
= \/t\ тогда /^0 при jc^-oo и / (x) = f{l/t)->-0, g {x)= g(\/t)^0
при /-»-0. Применяя к функциям /A//) и g(l/t) теорему 6.5 и
правило дифференцирования сложной функции, получаем
Рассмотрим примеры.
. .. 1— cos* .. sin х 1 .. sin х 1 1
1. lim =lim—:y—=-s-lim—-—= —.•1=-^-.
,. x — sin x ,. 1— cos x ,. sin x 1 ,. sin x 1 , 1
2. lim — = lim——.—=hm—я—=-r lim——=-*-• 1 =---.
x~a x3 x..a 3x2 x^0 &x 6 x^a x 6 6
3. lim =lim-r= lim ex= 1.
2. Раскрытие неопределенности вида —. Будем говорить, что
/ (*)
отношение двух функции , . при х-*-а есть неопределенность
вида —, если
lim / (х) = lim g {x) = оо, + оо или — оо.
х-*-а х-*а
Для этой неопределенности справедливо утверждение, анало-
аналогичное теореме 6.5, а именно: если в формулировке теоремы заме-
заменить требование lim / (*)= lim g (x)= 0 на условие \\mf(x) =
х-+и х -*-а х—+а
= lim g (x)= оо, то теорема останется справедливой.
Рассмотрим примеры.
1. lim = lim 1JrJ-= lim —=0.
133

. X" ПХ" ' И (И — \) X" "' .. rt1 -
2. lim —= lim = lim — - =...= lim — =0.
3. lim vx In x= lim —гт —
=_2 lim Vjc =
i,m 2 lim
A..o; (-1/2) х- .„(„
3. Другие виды неопределенностей и их раскрытие. Неопреде-
Неопределенности вида 0 • оо и оо — оо можно свести к неопределенно-
неопределенностям -jr- и -^-. Покажем это на примерах.
Пример 1. Найти lim x In x
х -0 I
Решение. Имеем неопределенность вида 0-оо. Но xlnx =
In х оо ,-.
= -ту-, и получена неопределенность вида —. Применяя правило
Лопиталя, имеем
.. . . (In х)' .. \ Iх .. „
lim х In x = lim , . ., = Inn = — lim x — 0
U/JCJ I/JC'
Пример 2. Найти lim (secx —tgx).
Решение. Имеем неопределенность вида оо — оо. Но
, 1 sin < I — sin х п
sec x — tgx = = , и при том же условии х—>-л;/2
& COS X COS f COS X h J '
0
получена неопределенность вида -*-.
Воспользовавшись правилом Лопиталя, получим
.. , . . / I — sin д: \ . — cosjc n
Imysec х - tg х) = l.m^ ( cos , ) = }™г~=Ш7 = 0.
И наконец, рассмотрим неопределенности вида ()", Г*', оо".
Такие неопределенности имеют место при рассмотрении функций
y=f(xfx>, если при х^-а функция fix) стремится соответ-
соответственно к 0, 1 и оо, д (х) — соответственно к 0, оо и 0. Эти не-
неопределенности с помощью тождества
сводятся к неопределенности вида 0-оо, которая уже рассмотрена.
Пример 3. Найти lim хд
х -О
Решение. Имеем неопределенность вида 0". Но xx = cxU'\
и в показателе степени получена неопределенность вида 0-оо,
которая нами уже рассмотрена (см. пример 1). Следовательно,
lim xl = lim е"= е'"''''Д " * = с" = 1.
,¦ .(|- 1.0.
I
I
Пример 4. Найти lim A +x
Решение. Имеем неопределенность вида 1 ^°. Но
134

и в показателе степени получена неопределенность вида —. При-
Применяя правило Лопиталя, получаем
lim |п('+*12"('+*>)
_ ..
С — \ — х ,.,о е1 —
2
(с- -
Следовательно,
=е2.
-О
Пример 5. Найти lim (tg*)""^'
i -.л/2
Решение. Имеем неопределенность вида оо". Но
-' In Ig r
и о показателе степени получена неопределенность вида —. При-
Применяя правило Лопиталя, имеем
,. 2lntgjc n ,. In tg x n l/(tgx)sec-x
= 2 lim -^li = 2 lim 'sec g? = lim cos x = 0.
x —л/'i tg- X л—л/2 2 tg X SCC- X л ,:l/-.
Следовательно,
lim 2 oos a In Ig л-
lim (tg x)" "ls * == e1""'! = e" = 1.
§ 3. Формула Тейлора
Рассмотрим одну из главных формул математического анализа,
имеющую многочисленные применения как в самом анализе, так
и в смежных дисциплинах.
1. Формула Тейлора. Теорема 6.6 (теорема Тейло-
Тейлора)*. Пусть функция f (x) имеет в точке а и некоторой ее окрестно-
окрестности производные порядка л+1**. Пусть х — любое значение аргу-
аргумента из указанной окрестности, хфа. Тогда между точками
а и х найдется точка Z, такая, что справедлива следующая формула:
f(x) = f{a) + ^P-(x-a) + -^-(x- af + ...
4- ^" <а^ \п -Л- ' '''' '''' ! )" И {П
* Тейлор Брук A685 — 1731) — английский математик
**Отсюда следует, что сама функция f (х) и ее производные до порядка п
непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности.
135

Доказательство Обозначим через (р(х, а) многочлен
относительно х степени п, стоящий в правой части формулы A),
т е положим
а) = /(а) + ^р-(х -а) + J^L(X - а)'
(Он называется многочленом Тейлора степени п для функции f{x) )
Далее обозначим через R (, (х) разность
R,, | U) = / (л:) — ф (х, а)
Теорема будет доказана, если установить, что
я,,.(*) = пгпт-и-<*)''' "< = <*
Фиксируем любое значение х из указанной окрестности Для
определенности считаем х>а Обозначим через / переменную не
личину, изменяющуюся на отрезке a^t^x, и рассмотрим па
отрезке \а, х\ вспомогательную функцию
(х - I) ' ' Я . . ix)
F(t) = i(x)-(f{x,t) т B)
\х — а) '
Функция F (/) удовлетворяет на | а, х\ всем условиям теоремы
Ролля 1) из формулы B) и из условий, наложенных па функцию
/ (х), вытекает, что F (t) непрерывна и дифференцируема на \ а, х\,
так как f {[) и ее производные до порядка п непрерывны и диффе
ренцируемы на j а, х\,
2) полагая в B) t = a, имеем
F(a) = f(x) - ц>{х, a) — R , , [х)= R,, , (х) - R, н (х) = О
Полагая в B) / = х, получаем
F{x) = fix) - l(x) - Ц^(х - х) - -Цт^и - х)! -
f (х) ., ix-x) ' R >,х)
к — х) : = О
(х - а) '
Таким образом, условие F (a)= F (х) выполнено
На основании теоремы Ролля внутри отрезка [ а, х\ существует
точка ?, такая, что
Р(|) = 0 C)
Вычислим производную Р (t) Дифференцируя равенство B) по t,
имеем
tin , i f " ¦•/) in + \)(x - /)/?,, u:
4nlxt) L^ixt) +^
Нетрудно замегить, что все члены в правой части равенства, за
исключением двух последних, взаимно уничтожаются Таким об-
136

разом,
f«-n. it) „ (и + I) \x — t)" R , (x)
F> @ = - L^1^x - 0 + ¦ т-г1^-
" (x-a)
Полагая в D) t=?, и используя равенство C), получаем
(x-af
откуда
Формула A) называется формулой Тейлора, а выражение для
R,,+ [ (x) — остаточным членом в форме Лагранжа. Его можно пере-
переписать в другом виде. Так как точка | е (а, х), то найдется такое
число 0 из интервала 0<0<1, что |=а + 0(х — а), и оста-
остаточный член принимает вид
Эту форму остаточного члена наиболее часто используют в прило-
приложениях.
2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена. Часто
формулу Тейлора (I) записывают в ином виде. Положим в (I) а = х0,
х — а= Ах, х = х^-\- Ах. Тогда
f (х„ + Ах) - f (х0) = -Щ- Ах + -Ц^- (АхJ + ...
1""(х) . /"''(х, + fl M n i
... + ^4Л(Ах)" + Д;,), '(Ах)" • ', 0 < 0 <1. E)
При п = 0 из E) получается формула Лагранжа
f (х0 + Ах) - i (лс0) = у (х + G Ах) Ах.
Покажем, что если функция /"""(л:) ограничена в окрестности
точки а, то остаточный член Rn+]{x) является бесконечно малой
более высокого порядка, чем (х — а)" при х->-а:
lim "H =lim \ , ', ' =lim ; ,'" (х-а) = 0,
так как функция f"''(|) ограничена, а (х —а)->-0 при х-»-а.
Таким образом,
Я„+, (х) = о[(х — а)"| при*-»-а. F)
Формула F) называется остаточным членом в форме Пеано*.
3. Формула Маклорена. Формулой Маклорена** называют фор-
формул^ Тейлора A) при а = 0:
* Пеано Джузеппе A858—1932) — итатьянский математик.
** Маклорен Колин A698 1746) —шотландский математик
137

Остаточный член имеет нид:
1) в форме Лагранжа /?й + |(х) = -^Гру-х'1 + |, 0<8<1;
2) в форме Пеано R.,, |(х) = о(х")
4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле
Маклорена.
1) / (*) = е*- Так как
/ {х) = /'(') = Г U)=- =f"n(x)= e\
П()) = Г(С) = Г@)=...= ГнЧ0)= 1,
то формула Маклорена имеет вид
е'= 1+-?+-?-!--?-+...+ -?+о U"). G)
2) / (х) = sin х. Так кяк
О при п четном,
(— \у"~'1/2 при и нечетном,
то формула Маклорена имеет вид
s\nx = х— — + — — —+¦¦¦+(—I) ш_ 1}, + ои ;. (8)
3) / (x) = cos х. Так как
f"' (х) = cos (х + « ~т\ /'" @) = cos (п -^-) =
0 при п нечетном,
(— \)'" при п четном,
то формула Маклорена имеет вид
COS Х= 1 тГ + -Т! ГГ +¦¦¦+(— П" ,п м + О ix2" ' '). (9)
В формуле (8) остаточный член записан в виде о(х2"), а не
в виде о [х2п "'), так как следующий за последним член равен нулю
[то же самое относится к формуле (9) |.
4) / (х) = A -+- хI, где а — вещественное число. Так как
Г'{х) = а(а— 1). (а- п+ \)(\ + xf ",
/¦"'(О) == а (а— 1) ...(а— п + 1),
то формула Маклорена имеет вид
где остаточный член в форме Лагранжа равен
Rn^] (х) = а1а~^ iy~n] (I + 6xf~'" + llx" + l, 0< 6
138

В частном случае, когда а=-п — натуральное число, /("+|'(*) = (),
следовательно, R,l + l (*) = 0, мы получаем известную из элементар-
элементарной математики формулу бинома Ньютона
A1+ х) = 1 + — х + —у—,—'-х2 + ... +х". A0)
Приведенные выше разложения показывают, что с помощью
формулы Маклорена функции можно с определенной степенью
точности заменять многочленами, являющимися наиболее простыми
элементарными функциями. Над многочленами удобно выполнять
арифметические действия, нетрудно вычислить значение много-
многочлена в любой точке и т. д. Формулы Тейлора и Маклорена позво-
позволяют приближенно заменять многочленами и более сложные функ-
функции. Кроме того, эти формулы имеют широкий круг приложений.
Мы ограничимся рассмотрением двух.
5. Использование формулы Маклорена для вычисления пре-
пределов. Формула Тейлора является эффективным средством для вы-
вычисления пределов функций, с которыми часто приходится иметь
дело при исследовании функций.
_ „тт„ I. sin* — х
Пример I. Найти lim .
Решение По формуле (8) при п = 2 имеем
г1 1 о(х')
1 im = 1 im
n nii- i • e~~'~/J —cos x
Пример 2. Найти lim .
,_o & smx
P e ш е н и е. По формулам G), (8) и (9) имеем
.. е '"'- -cosx . 1 — *72 + *'/8 + о(:с') — 1 +х2/2 — г'/24
х-о х' sm х r.,.o xi (х + о (х))
.. x'/8-x724 + oi^') .. 1/8—1/24 +а (х) 1 1 1
= ПГП ;—;—: = lim г~, Г^ = ~а К7— То"
(здесь символом а(х) обозначена величина —-—, являющаяся
бесконечно малой при JC-+-O).
6. Вычисление числа е. В п. 2, § 3, гл. 2 было введено число е
как предел последовательности {(l + 1/n)"} и получена грубая
оценка 2^е^3.
Покажем, как вычислить число е с любой необходимой точно-
точностью. Для этого запишем формулу G) с остаточным членом в форме
Лагранжа:
e'=1+-F+T+- + f+l^TnT*"<e<i- (">
139

Если заменить функцию е" ее многочленом Тейлора степени п, то
получим приближенное равенство
е'«1+4 + -?+ +-J-. A2)
абсолютная погрешность которого
Если рассматривать функцию е1 для — 1 <; «<11, то
Полагая в A2) х=\, получаем приближенное значение числа с:
При этом абсолютная погрешность меньше 3/(л + 1)' Если требуется
вычислить значение е с точностью до 0,001, то число п определяется
из нераненстна , . ( <0,001, или (« + 1)! >3000. Следовательно,
если взять га=6, то требуемое неравенство удовлетворяется.
Таким образом, используя формулу Маклорена, можно вычис-
вычислить число е с любой точностью, при этом алгоритм вычисления
числа е, основанный на формулах A1) и A3), легко реализуется
на ЭВМ.
§ 4. Исследование поведения функций и построение графиков
1. Признак монотонности функции. Теорема 6.7. Пели
функция f (х) дифференцируема на интервале (а, Ь) и f (х)^()
(f (х)^.0) на (а, Ь), то функция fix) не убывает (не возрастает)
на (а, Ь).
Доказательство. Для определенности рассмотрим слу-
случай /' (х)>0. Пусть jc, и х2 —- две произвольные точки из [а, Ь)
и хх<сх/, тогда на отрезке (х,, х.2\ выполняются все условия теоре-
теоремы Лагранжа, согласно которой имеем
/ К> - ! (*|) = {' (С) (X, - X,), С €Е (Х„ Х2).
По условию, f'(c);5(), х, — х,>0, поэтому /' (х2) — / (х,)^0
или / (х.,)~^1"(Х|), т. е. функция /'(л:) не убывает на (u, fe)
Доказательство для случая /' (х)^0 аналогично ¦
Замечание. Точно так же можно доказать, что если f (x)>0
(<0) на (а, Ь), то fix) возрастает (убывает) на {а, Ь).
2. Отыскание точек локального экстремума функции. Определе-
Определение. Точка Хп называется точкой строгого локального максимума
(минимума) функции f (х), если для всех х из некоторой ^-окрест-
^-окрестности точки хп выполняется неравенство f (x)<f (xn) (f (x)>/ (x ,))
при хфхп (рис. 76)
140

Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объеди-
объединяются общим названием локальный, экстремум.
Из определения следует, что понятие экстремума носит локаль-
локальный характер в том смысле, что неравенство / (*)</ (*0) (/ (*)>
>/(*о)) может и не выполняться для всех значений х в области
определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой
окрестности точки х0. Очевидно, функция может иметь несколько
локальных максимумов и несколько локальных минимумов, при-
причем может так случиться, что иной локальный максимум окажется
меньше какого-то локального минимума.
max
! I
хо-5
хо*б
Рис 76
Теорема 6.8 (необходимое условие локаль-
локального экстремума). Если функция f (х) имеет в точке х0
локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то\' (лсо) = О.
Доказательство. Так как в точке х0 функция ((х)
имеет локальный экстремум, то существует такой интервал (хп—б,
хо+й), в котором значение / (х()) является наибольшим или наи-
наименьшим среди всех других значений этой функции. Тогда по тео-
теореме Ферма производная функции в точке хп равна нулю, т. е.
хг х3
Рис. 77
Рис. 78
Теорема 6.8 имеет следующий геометрический смысл. Если
xv х2 и х3—: точки локального экстремума и в соответствующих
точках графика существуют касательные, то эти касательные па-
параллельны оси Ох (рис. 77).
141

Иногда такие точки называют стационарными; мы будем назы-
называть их точками возможного экстремума. Если точка х0 — точка
возможного экстремума, т. е. /'(л:0) = 0, то она может и не быть
точкой локального максимума или минимума. Например, если
}(х) = хя, то f (х) = Зх'2==0 при х=0, но, тем не менее, в точке
х = 0 нет локального экстремума (рис. 78). Установим достаточное
условие существования локального экстремума. Этому посвящается
следующая теорема.
Теорема 6.9 (достаточное условие локаль-
локального экстремума). Пусть функция / (х) дифференцируема
в некоторой d-oKpecTHOCTii точки х„. Тогда, если /'(х)>0 (/'(х)<0)
для всех х из (х„—б, *„), a f (x)<cO{f (х)>0) для всех х из (х(),
х()-\-6), то в точке xQ функция [ (х) имеет локальный максимум
(минимум); если же f (л) во всей ^-окрестности точки xQ имеет один
и тот же знак, то в точке х{) локального экстремума нет.
Другими словами, если /' (х) при переходе через точку х() меняет
знак с « + » на «—», то хA — точка локального максимума; если
(' (х) в точке хи меняет шак с «—» на « + », то х0 — точка локаль-
локального минимума; если же /' (х) в точке х„ знака не меняет, то в точке
xQ экстремума не существует.
Доказательство. Пусть f (x) при переходе через точку
х0 меняет знак с « + » на « —» и пусть xe(jtQ— й, х{)). Применим
формулу Лагранжа к функции f (х) на отрезке [х, ха\. Получаем
/ (х{)) - / (л) = у (с) (ха - х), се (х, *,,).
Так как {'(х)>0 на [х0 — й, хп), то ('(с)>0, и, кроме того,
хп — х>0, следовательно,
/(*„)-/(*) > 0, или/(*„) > ^(дс). (I)
Рассмотрим теперь случай, когда х е (х„, ха + 6). Применим
формулу Лагранжа к функции f (х) на отрезке [ х0, х\. Получаем
f(x)-I (*.) = V [с) (х - ха), с <= (х0, х).
Так как f (х)<сО на [хп, х„ + б), то f'(c)<0, и} кроме того,
х — л;0>0, следовательно,
f(x)-}(xn)<0, или/(*„) >/(*). B)
Из неравенств (I) и B) следует, что в рассматриваемой окрестности
точки хи выполняется неравенство f (x)<cf (х^ при хфх{), а это
означает, что в точке х(, функция fix) имеет локальный максимум.
Аналогично рассматривается случай перемены знака /' (х) с «—»
на « + ».
Осталось рассмотреть случай, когда /'(х) знака не меняет
Пусть У (х)>0 в некоторой окрестности (х„ —6, х„-)-6); тогда
по теореме 6.7 функция f (х) не убывает на (х„—б, х„+б), т. е
для любых x<xQ выполняется неравенство f(x)<.f(xa), а для
любых х>л;„ выполняется неравенство f (х)>[ (хи). Это означает,
что точка х0 не является точкой локального экстремума. ¦
142

вопрос об
) = х^ — Зх.
Решая
отыскании точек
Находим произ-
уравнение 3 (х2—
Замечание.- Теорема 6.9 остается справедливой, если функ-
функция / (х) в самой точке хп не дифференцируема, а только непрерывна.
Так, например, функция f(x) = \x\ в точке х = 0 непрерывна,
но не дифференцируема.
В качестве примера рассмотрим
локального экстремума функции / (
водную: [' (х)=Зх2—3 = 3(х2—\).
—1)=0, получаем две точки возможного экстремума: лг,=
= —1 и х,= 1. Дальнейшее исследование удобно вести, нарисовав
вспомогательный чертеж (рис. 79). Отметив на нем точки лс,= — I
и х2= I и исследовав знак /' и) в окрестности этих точек, получаем:
f (х) в точке Jt|= — I имеет локальный максимум, а в точке х.2= I —
локальный минимум. Далее находим: ymdK= f {— l) = 2, </,,„„=
На рис. 79 видны и интервалы монотонности f (х): (— оо, — I),
(—I, 1) и (I, -у-оо), причем в первом и третьем из них функция воз-
возрастает, а во втором — убывает.
3. Направление выпуклости
и точки перегиба графика фун-
функции. Пусть функция y=f(x) -' «| т *
дифференцируема на интервале
(а, Ь). Тогда существует каса- Рис 79
тельная к графику функции y=f(x) в любой точке М (х; f (x))
этого графика {а<х<сЬ). причем касательная не параллельна оси
Оу, поскольку ее угловой коэффициент, равный f (x), конечен.
Определение 1. Будем говорить, что график функции y=f(x)
имеет на (а, Ь) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он рас-
расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции
на (а, Ь) (рис. 80).
Теорема 6.10. Если функция y=f(x) имеет на интервале
(а, Ь) вторую производную и f" {x)^0 if" [x)^LQ) во всех точках
[а, Ь), го график функции y=f{x) имеет на (а, Ь) выпуклость,
направленную вниз (вверх).
Вверх
х 0
Рис. 80
Ь х
Доказательство. Для определенности рассмотрим слу-
случай f" (х)^0 на (а, Ь). Обозначим через с произвольную точку
(а, Ь) (рис. 81). Требуется доказать, что график функции у= f(x)
лежит не ниже касательной проходящей через точку М (с; f[c)).
143

Запишем уравнение этой касательной, обозначая текущую орди-
ординату ее точек через Y: Y—f(c) = f {с) (х — с) или
Y =--f (с) + Г (с) (х - с). C)
Разложим функцию f (х) в окрестности точки с по формуле
Тейлора при п=\. Получим
y=f(x) = f(c)+^(x-c)+^(x-c)\ 5e(c,4 D)
Формула D) справедлива для любого х из (а, Ь).
Вычитая равенство C) из равенства D), имеем
- сJ
E)
Так как, по условию, f" (х)^0 на (а, Ь), то правая часть равен-
равенства E) неотрицательна, т. е. y—Y^O для всех х из (а, Ь) или
y^Y. Последнее неравенство и доказывает, что график функции
y=f(x) всюду в пределах (а, Ь) лежит не ниже касательной C).
Аналогично доказывается теорема для случая (" (x)^LQ. Щ
о %0 о л
Рис. 82
Определение 2. Точка М (х„; f (х„)) называется точкой перегиба
графика функции y = f(x), если в точке М график имеет касатель-
касательную, и существует такая окрестность точки х(), в пределах которой
график функции y=f(x] слева и справа от точки х„ имеет разные
направления выпуклости
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график
функции, так как с одной стороны от этой точки график лежит
под касательной, а с другой — над нею, т. е. в окрестности точки
перегиба график функции геометрически переходит с одной стороны
касательной на другую и «перегибается» через нее. Отсюда и про-
произошло название «точка перегиба» (рис. 82).
Теорема 6.11 (необходимое условие точки
перегиба). Пусть график функции у=[(х) имеет перегиб
в точке М (jcq; / (х(|)) и пусть функция y = f(x) имеет в точке хп
непрерывную вторую производную. Тогда \" (х) в точке xQ обращается
в нуль, т. в. \" (xQ) = 0.
144

Доказательство. Предположим обратное, т. е. допу-
допустим, что \" (хо)фО. Тогда в силу непрерывности второй произ-
производной по теореме 4.8 об устойчивости знака непрерывной функции
существует окрестность точки х0, в которой / (х)<0 (/" (лс)>0),
и, значит, согласно теореме 6.10 график функции y=f(x) имеет
определенное направление выпуклости в этой окрестности. Но это
противоречит наличию перегиба в точке М (хо\ f (*0)) (Рис 82).
Полученное противоречие доказывает теорему. Ш
Следует заметить, что не всякая точка М (х0; f (д:0)), для которой
^"(л:0) = 0, является точкой перегиба. Например, график функ-
функции f(x) = x'1 не имеет перегиба в точке @; 0), хотя f" (х)= 12х2=0
при х = 0 (рис. 83). Поэтому равенство нулю второй производной
является лишь необходимым условием перегиба. Точки /И (xQ; f (х0))
графика, для которых f" (хс) — 0, будем называть критическими.
Необходимо дополнительно исследовать вопрос о наличии перегиба
в каждой критической точке, для чего сле-
следует установить достаточное условие пере-
перегиба.
Теорема 6.12 (достаточное
условие точки перегиба).
Пусть функция y=f{x) имеет вторую произ-
производную в некоторой окрестности тонки хп.
Тогда, если в пределах указанной окрест-
окрестности \" [х) имеет разные знаки слева и
и справа от точки х0, то график y=f{x)
имеет перегиб в точке М (х0; / (*„)).
Доказательство. Из того, что
/" (х) слева и справа от точки х„ имеет раз- Рис 83
ные знаки, на основании теоремыб.Юзаклю-
чаем, что направление выпуклости графика функции слева и справа
от точки х0 является различным. Это и означает наличие перегиба
в точке М (хо\ /(хо)).И
Замечание. Теорема остается верной, если / (х) имеет
вторую производную в некоторой окрестности точки х0, за исключе-
исключением самой точки х0, и существует касательная к графику функции
в точке М. Тогда, если в пределах указанной окрестности \" (х)
имеет разные знаки слева и справа от точки ха, то график функции
y=f(x) имеет перегиб в точке М (х0; f(x^j). Доказательство дан-
данного факта аналогично доказательству теоремы.
Рассмотрим пример: /(х) = х|/3. Эта функция в точке х = 0
имеет бесконечную производную, а касательная к графику функ-
функции в точке О @; 0) совпадает с осью Оу. Вторая производная в точ-
точке х=0 не существует. Однако график функции у = л;|/3 имеет
перегиб в точке О @; 0), так как вторая производная /"(*)=2/(9л:5/3)
имеет слева и справа от точки х = 0 разные знаки (рис. 84).
Итак, вопрос о направлении выпуклости и точках перегиба гра-
графика функции исследуется с помощью второй производной.
В качестве примера возьмем функцию f (x) — x3—Зх, которую
начали рассматривать в п. 2 Знак второй производной будем отме-
отмечать на вспомогательном чертеже, изображенном на рис. 79. Нахо-
145

дим вторую производную: /"(х) = 6х. Из уравнения 6л==0 полу-
получаем одну критическую точку: О@; 0). Отметив точку х=0 на
вспомогательном чертеже (рис. 85) и исследовав знак /" (х) в ее ок-
окрестности, получаем: слева от точки х=0 /"(*)¦<0 (выпуклость
графика направлена вверх), а справа— f" (х)>0 (выпуклость
графика направлена вниз), т. е. точка 0@; 0) является точкой
перегиба графика рассматриваемой функции. Этот график схема-
схематически изображен на рис. 86.
Докажем теперь, что часть эллипса (—г+ —= I \ располо-
расположенная в верхней полуплоскости (у^О), имеет на интервале
(— а, а) выпуклость, направленную вверх. В самом деле, из урав-
уравнения эллипса имеем у =— va2 — x'2. Далее находим: </' =
b х Ьа ,.
= — —, у = . Из выражения для второй про-
а Vtf-*- 4-jfif
изводной В!э1текает, что она отрицатель-
отрицательная на интервале (—а, Щ. Значит, дан-
данная кривая на всем интервале ( — а, а)
имеет выпуклость, направленную вверх
(см. рис. 33).
3ndKf"(x)
Рис 84 Рис «5
Аналогично можно показать (сделайте это самостоятельно),
что часть гиперболы I——— = 1 1, расположенная в верхней полу-
полуплоскости, на интервалах (а, -|-оо) и (—сю, —а) имеет выпук-
выпуклость, направленную вверх.
4. Асимптоты графика функции. При исследовании поведения
функции на бесконечности, т. е. при х—»--|-оо и при х-*- — оо или
вблизи точек разрыва 2-го рода, часто оказывается, что график
функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой.
Такие прямые называют асимптотами*.
Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные
и наклонные.
Г" Определение 1. Прямая х = х0 называется вертикальной асимп\
\тотой графика функции y = f(x), если хотя бы одно из предельнык
значений lim [(х)или lim / (х) равно -)- оо или—оо. I
+
¦Понятие асимптоты уже встречалось в аналитической геометрии при
рассмотрении гиперболы (см гп 3 § 6. п 2)

В этом случае расстояние tot точки Mix; f (х)) до прямой x = xQ
равно d—\(x — xoJ + if(x) — f(x)y=\x — xo\ и, следовательно,
d—>-0 при х—>-ха.
Например, график функции у= f (х) = I /х (рис. 87>) имеет
вертикальную асимптоту-?х =-- 0, так как f (x)-*¦ + ос при jc-vU^-
й / (х}^->— оо'при jc—?1^^Г
Определение 2. Прямая у = А называется горизонтальной
асимптотой графика функции yr=zfix) при х->~-\- <х> (х-*-—оо),
если lim f(x) = A.
В этом случае расстояние от точки Mix; fix)) до прямой у = Л
равно d=v(x — xJ-{-if{x) — A)' = \fix) — А\ и, следовательно,
d-vO при дг-voo, так как lim \f (x) — A\ = 0.
X-roo
Например, график рассмотренной выше функции у=\/х имеет
горизонтальную асимптоту г/=0 при jc-v-f-oo и при х-*—оо,
так как 1 /х ->-0 при лс ->- -j- оо и при х-*- — оо.
Ук
Рис 86
Рис 87
Определение 3. Прямая у= kx-\- Ь [кф§) называется наклон-
наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при х— + оо (*->- — оо),
если функцию ( (х) можно представить в виде
f(x) = kx + b + a(x), F)
где а (х)-»-0 при х->--\- оо {х-*- — оо).
Рассмотрим геометрический смысл наклонной асимптоты. Для
определенности разберем случай, когда jc-v+oo. (Случай х-*- — оо
рассматривается аналогично).
Пусти М (х; у) — точка графика функции y = f{x) и пусть
прямая ц = кх + Ькшштся наклонной асимптотой графика функ-
функции при"* > | оегЧ'екущую ординату точки на асимптоте обозна-
обозначим через у, точку на асимптоте — через Mix; у) (рис. 88). Тог-
Тогда \MN\ = \y-y\=\f (И - (kx + b)\ = la Ml -v"D при х + Ц- оо.
Опустим из точки М перпендикуляр МР на асимптоту.
Расстояние d от точки М до асимптоты равно |AfP| = \MN\ cos a,
где a—угол между асимптотой и осью Ох, и, следовательно,
lim d = 0.
147

Таким образом, расстояние от точки М(х, у) графика функции
до асимптоты стремится к нулю при jc-v+oo, т е график функции
неограниченно приближается к асимптоте при х-*--\-оо
Рассмотрим способ отыскания наклонной асимптоты, т е спо-
способ определения чисел k и b в уравнении асимптоты Разделив ра
венство F) на х и перейдя к пределу при x-v + oo, получим
Um
¦ == lim
Итак,
k = lim
К')
G)
Далее, из соотношения F) получаем: lim [f(x) — kx] =
= lim
a{x)\ = b Таким образом,
— kx\
(8)
b = lim
X—±IX
Доказано, что если прямая y=kx-\-b — наклонная асимп-
асимптота, то числа kub находятся по формулам G) и (8) Обратно,если
оба предела G) и (8| существуют, причем кфО, то прямая
y=kx-\-b является наклонной асимптотой графика функции
y=f{x) при jc-v + oo
Рис НИ Рис 89
В самом деле, полагая a(x) = f(x) — kx — b и используя ра-
равенство (8), получаем, что lim a(jc)=0 Следовательно, спра-
X »--f- ОС
ведливо равенство F). / (х) = kx-\-b-\-a(x), где lim a(je)=0, т е
прямая y=kx-\-b является наклонной асимптотой графика функ-
функции при x-v + оо
Практически целесообразно искать асимптоты в следующем по-
порядке I) вертикальные асимптоты, 2) горизонтальные асимптоты,
3) наклонные асимптоты
х'2 4- 2 к — i
Пример I. Найти асимптоты графика функции у= ¦—-

Решение. 1) Находим" вертикальные асимптоты. Точка х = 0
— точка разрыва 2-го рода данной функции, причем у-+-\-оо при
jf-vO —, y-v — оо при х-*-0-\-. Следовательно, ось ординат
(х = 0) — вертикальная асимптота.
2) Находим горизонтальные асимптоты:
lim —
¦= lim (х -+- 2 \= + оо(— оо)
( X.-* — ОО 1 'Г c-OOl
следовательно, горизонтальных асимптот нет.
3) Находим наклонные асимптоты:
= Ит
1Ш= lim A+1-4)=!,
b = lim I/ (jc) — Axl = lim x \ =
x»+™ i-i« L * J
= lim (^-)= Mm B -A) = 2.
Следовательно, прямая у = х-)-2 является наклонной асимпто-
асимптотой графика данной функции как при x-v + oo, так и при х->- — оо.
График функции схематически изображен на рис. 89.
X2 if
Пример 2. Доказать, что гипербола ———= I имеет своими
ь
наклонными асимптотами прямые у=±—х.
Решение. Так как у= +—ч х'?— а'1,
то
= lim
.. Цх) .. I b / а \2 Ь
lim -—-= Urn н -\/1 — (—) =н ;
:Х-*- — ос) иг -*¦ — .»)
.. г , , , ,, .. Г Ь -. I 2" ' ~2 _ Ь 1
lim / (.if) — fex = lim H v jf — a -\ x =
>.)x ' ^ ^ + 00 L~ " " J
к *¦ оо ; ', j »¦ — oo i
rA(^-72-x)l = ±4 lim , ~al =0.
V r а х \ ч
а \ — а
• X * oc i
Следовательно, прямые у= ±—х являются наклонными асимпто-
асимптотами данной гиперболы как при x-v-|-oo, так и при х-* — оо.
5. Схема исследования графика функции. Рассмотрим пример-
примерную схему, по которой целесообразно исследовать поведение
функции и строить ее график.
1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения графика функции с осями коорди-
координат.
3. Найти асимптоты.
4. Найти точки возможного экстремума.
5. Найти критические точки.
149

6. С помощью вспомогательного чертежа исследовать знак пер-
первой и второй производных. Определить участки возрастания и убы-
убывания функции, найти направление выпуклости графика, точки
экстремума и точки перегиба.
7. Построить график, учитывая исследование, проведенное
в п. 1—6.
При этом в начале исследования полезно проверить, является
данная функция четной или нечетной, чтобы при построении ис-
использовать симметрию графика относительно оси ординат или на-
начала координат.
В качестве примера построим по изложенной выше схеме график
х' + \
функции у = х_]-.
1. Областью определения функции является множество всех
вещественных чисел, кроме х=1, при котором обращается в нуль
знаменатель.
2. Так как уравнение х2-\~\ = 0 не имеет вещественных корней,
то график функции не имеет точек пересечения с осью Ох, но пере-
пересекает ось Оу в точке @; — 1)
знак f'fx)
¦ + + + +
знак fix) 1-v2 -
Рис 90
3. Выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем по-
поведение функции вблизи точки разрыва х=1. Так как у-*- — оо
при лг-И—, у-»--)-оо при *¦->-1 +, то прямая х= 1 является
вертикальной асимптотой графика функции.
Если х-»--)- оо (х-*- — оо), то у-*- -\- оо (у-*- — оо), следователь-
следовательно, горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее, из существо-
существования пределов
, .. f(x) ,. х2 + I I + I /х- ,
k= lim -i-i-i-= lim !—= lim , ' . = I,
r-4-oo X- — X
(r* —o
- 4X
b= lim \f{x)-kx\= lim
r ¦ +
^-*— oo )
вытекает, что при jc->--)-oo и при х-*- — оо' график функции имеет
наклонную асимптоту у=-х-\-\.
150

4. Для нахождения точек возможного экстремума вычислим
первую производную функции:
2х (х - I) - (л2 + 11 _ 2х> - 2х - х'1 - 1 _ х1 - 2х - 1
' W~ U-l/ ~ (-"if ~ (х- If ¦
Решая уравнение х'2— 2х— 1 = 0, получаем две точки возмож-
возможного экстремума: л:, = 1 — v2 и х2— 1 -)- "у2.
5. Для нахождения крити-
критических точек вычислим вторую
производную:
(х- I)'
Так как f" (x) в нуль не
обращается, то критических
точек нет.
6. Нарисуем вспомогатель-
вспомогательный чертеж и исследуем знак
первой и второй производных
(рис.90). Получаем, что функ-
функция на ( — оо, \-\J2) возра-
возрастает, на (l—л/2, 1+Л/2/
убывает, а на (l + v2, +00/
снова возрастает. Точки экстремума:
= I — V2, причем / (I — V2) = 2 — 2 V2;
= 1+л/2, причем /(l +л/2) = 2 + 2л/2.
ние выпуклости графика вверх, а на A, + оо) — вниз.
7. Используя полученныеданные, строим эскиз графика (рис.
91).
§ 5. Интерполяция функций
Интерполяция применяется при решении многих как теорети-
теоретических, так и прикладных вопросов, связанных с вычислениями.
I. Постановка задачи. Пусть на отрезке [а, Ь] заданы значения
функции у = / (х) в точках а^.хп<^х1<х2<С.<^хГ1^.Ь:
f (*o) = У* f (* 1) = </h / {х?) = Уь -, / (хп) = У„.
Требуется найти многочлен не выше «-й степени:
Рй(х) = а^с" + а.х" -' + а^" + ¦¦•+ ая ,х + а„, A)
1)
2)
На
Рис 91
максимум
минимум
(-ОО, 1)
при jc =
при х =
направле-
который в точках х0, х.
х„ принимает те же значения, что и
данная функция, т. е. выполняются равенства
PH(x) = f{x) = yfli = 0,\,2 п.
B)
Другими словами, требуется найти такой многочлен вида A), кото-
который на отрезке [a, b) являлся бы приближением для функции
151

y=f(x). Поставленная задача называется задачей интерполяции,
многочлен A) - интерполяционным многочленом, а точки х„, хь ..,
..., хп — узлами интерполяции. Решение данной задачи дает воз-
возможность находить приближенные значения функции f(х) в точках
х, лежащих между узлами. Эго важно, когда функция задана только
в точках х„, xh . ., хи, а нужно уметь находить ее значения и в про-
промежутках между этими точками, а также когда функция f (х) за-
задается формулой на всем отрезке \а, Ь], но вычисление ее значений
по этой формуле очень трудоемко.
Покажем, что всегда существует и притом единственный интер-
интерполяционный многочлен (I), удовлетворяющий условиям B). Для
простоты ограничимся случаем гс = 2, т. е случаем многочлена
второй степени
Подставляя в уравнение C) вместо х последовательно числа х„, xt
и х, и принимая во внимание, что в этих точках многочлен прини-
принимает соответственно значения уA, у, и у,, получаем систему трех
уравнений первой степени с тремя неизвестными коэффициетами
а„, а,, а/.
,,Х| -\- о.\Ху -\- и> = У\,
и^_ 4- а^х, + а,= у,.
Так как числа х,„ л:, и >, различны, то определитель этой системы
отличен от нуля'
Л|| X [|
1
= (*, — х0) (х, — х„) (х{ — х,)
0.
X, X,
х-, х, I
Следовательно (см. гл. 10, § 3), решение данной системы суще-
существует и оно единственно, что и доказывает утверждение. Геометри-
Геометрически это означает, что через три точки М„ (х„; у0), М, (х,, у,),
Мо (х2; у2) проходит единственная линия, определяемая уравне-
уравнением C). Таким образом, интерполяционный многочлен A) всегда
существует и единствен. Далее будут рассмотрены различные формы
интерполяционного многочлена.
2. Интерполяционная формула Лагранжа. Рассмотрим вопрос
об отыскании коэффициентов интерполяционного многочлена A).
Подставляя этот многочлен в систему B), получаем систему п-\-\
уравнений первой степени с п -\-1 неизвестными коэффициентами
а„, а,, ..., ап:
а„ + a,xn + ¦¦¦+ а, А = У<ь
а„ + а,л, + ...+ а„х'- = у,,
152

решая которую найдем значения коэффициентов а,„ а„ ..., ап.
Подставляя эти значения в равенство A), получаем искомый интер-
интерполяционный многочлен. Однако на практике, как правило, реше-
решение системы связано с громоздкими вычислениями. Поэтому интер-
интерполяционный многочлен A) будем искать в виде
' я \л) u(i V л \) V лу ¦¦¦ \л х п) ~Г и | \л ла) \л л..2) ...ул. л. я) -\-
1 .. / у у \ ( у у \ ( у у \ (у у \ ( Л \
... -р u п у л, л (,j у л л \j ул л..2) .. .ул. лп_|^. \t}
Полагая в D) х = х„ и принимая во внимание условия B), полу-
получаем
Уп —  \X0 X \) \X0 XV ¦¦¦ \X(I Xn)'
откуда
a(i = i x — к W x — x \ ( x - x\ '
Полагая затем в D) x = xh имеем
/i (i { у V- \ I Y У 1 IV У I
ИI ul V I "/ V I 2/ ¦" V I "/'
откуда
Аналогично найдем
_ у,
а'2 = (*-*)(^-*)(*
Подставляя найденные значения коэффициентов а0, ah .., ап
в формулу D), получаем искомый интерполяционный многочлен
(х — х) (х— х\ (х х) ( х— х) (х — х\ .(х — х)
¦ ¦ ¦ + 7 х-х) (х -х) (х -х )У"- ^
Формула E) называется интерполяционной формулой Лагранжа.
Пример. В результате эксперимента в точках х()=\, Х| = 3,
х.,= э получены значения функции f{x), соответственно равные
Уо=2, У|:=1) (/2=8. Найти многочлен второй степени Р2(х),
приближенно выражающий функцию / (х).
Решение. По формуле E) находим
+ [х2~ л-Г|)(л-,-х)У2= (| _ 3) A — 5) ^ "^ C-1) C-5) ' + E-1) E-3) Н;
+ П/2.
3. Интерполяционная формула Ньютона. Рассмотрим частный
случай, когда разность h между соседними узлами интерполяции
153

величина постоянная: х,— х,__ , = /г. Введем следующие обозначе-
обозначения:
ЛУо=У\ — Уи, Ау , = {/.,— у„ \у-2=Уч — у->
Л 'у „ = Лу, — Лу (), Л2 у, = Лу, — Лу,, Д 2у 2 = Лу < — Л у,
Д"уо=Д"-'у,-Л" ^„Л-у.^Л" '/у,—Л" 'у ,
называемые разностями первого, второго, третьего п-го поряд-
порядков.
Найдем интерполяционный многочлен п-й степени, принимаю-
принимающий в точках х„, Х| = х„-(-/г, х2=хA+2/г, ..., xt,= xo-\- nh
соответственно значения у,„ у,, у.„ ..., у„. Сначала найдем многочлен
первой степени,принимающий в точках х,„ Xi = xA+/i значения
у0, у,. Подставляя в формулу E) вместо х, число х, = х() + /г,
[голучаем
' I \х) == У и ~~т~ Ауц т- .
Аналогично находим
Р> (х) = у„ + АУи —^ + ~^jt(х — х«) (х — х0-
Vil
и вообще
^4^
¦¦+^U-^u)(^-^l)(^--^) ..(JC-JT,,.,). F)
Формула F) определяет искомый многочлен и называется
интерполяционной формулой Ньютона.
Задача интерполяции имеет единственное решение, поэтому
формулы Лагранжа и Ньютона для данных значений х, и у, тожде-
тождественны и отличаются лишь группировкой членов. На практике
формула Ньютона более удобна. Особенность ее заключается в том,
что в случае добавления новых узлов интерполяции в формуле
Лагранжа надо пересчитывать заново все коэффициенты, а в фор-
формуле Ньютона добавятся только новые слагаемые, а старые остают-
остаются без изменения.
Существуют и другие формулы интерполяции, среди которых
наиболее употребительна эрмитова интерполяция Задача ставится
так" заданы п узлов, п значений функции f (х) и п значений ее
производной /'(х) в узлах, требуется найти многочлен степени
154

не выше 2п-^.\ .такой, чтобы ¦
Р (х) = / (*,) = у„ Р' (х) = Г (О = «/,' = 1, 2, ..., п.
На решении этой задачи останавливаться не будем, а только заме-
заметим, что если все х, различны, то существует единственное реше-
решение, которое находится аналогично предыдущему.
4. Остаточный член интерполяции. Для оценки близости интер-
интерполяционного многочлена Рп(х) к фунции f (х) необходимо иссле-
исследовать разность между функцией и интерполяционным многочленом
R(x) = f(x)-Pn(x),
называемую остаточным членом интерполяции.
Предположим, что на отрезке [а, Ь\ существует (« + 1)-я непре-
непрерывная производная f" + i](x). Тогда
#1"+1)(*) = Рп+и(х), а<х<6, G)
так как Р[п"+1](х)^=0. Пусть х — любое фиксированное число,
а^.х^.Ь, не совпадающее с узлами интерполяции, t — перемен-
переменная величина, a^.t^.b. Положим
О) {х) = (х — ЛГ„) (х — Xt) (х — Х2) ... (х — Хп)
и рассмотрим на отрезке [а, Ь\ вспомогательную функцию
Функция F (х), очевидно, л+1 раз дифференцируема на отрезке
[а, Ь], причем в силу G) и того факта, что coifl+" (t) = (n-\-1)!,
имеем
Далее, функция F (t) обращается в нуль в п-\-2 точках: х0, хи ..., хп
и х(х — фиксированное). Поэтому по теореме Ролля ее первая
производная обращается в нуль, по крайней мере, в п-\-\ точке
отрезка [а, Ь\, вторая производная обращается в нуль, по крайней
мере, в п точках этого отрезка и т. д. По индукции получаем, что
(п+1)-я производная функции F (t) обращается, по крайней мере,
один раз в нуль внутри отрезка [а, Ь\. Следовательно, существует
точка |, а<|<6, такая, что
F" + li(?) = 0. (9)
Полагая в (8) /=| и используя (9), находим
откуда
Равенство A0) определяет остаточный член интерполяции. Обозна-
Обозначая через k наибольшее значение функции |f"+l)(jt)| на отрезке
155

a, b\, получаем форму ту оценки остаточного члена для любого
[ a, b\
§ 6. Методы приближенного вычисления корней уравнений
В этом параграфе рассмотрим вопрос о приближенном вычисле-
вычислении корней уравнения /(х) = 0, где f (х) некоторая непрерывная
функция
Из элементарной математики известен способ нахождения кор-
корней уравнения ({х) = п, если / (х) линейная или квадратичная
функция Для более сложных функций обычно приходится прибе-
прибегать к различным методам приближенного вычисления корней
уравнения Познакомимся с методом «вилки» и методом касатель-
касательных*
1. Метод «вилки». Пусть интересующий нас корень уравнения
f(x)=Q является внутренней точкой отрезка [а, Ь\ и других кор-
корней на |а, Ь\ нет Предположим, что функция f (х) непрерывна на
[а, Ь\ и имеет на концах этого отрезка значения разных знаков
На практике обычно грубой прикидкой находят такой отрезок
Назовем «вилкой» любой отрезок, на концах которого f (х) имеет
значения разных знакои
Для определенности будем считать, что /(а)<0, /(/>)>()
Разделим | а, Ь] пополам и выберем тот из полученных отрезков,
на концах которою / (х) имеет разные знаки Обозначим его [ а,, />,|
(Если бы значение / (х) ei середине | а, Ь\ равнялось нулю, то корень
был бы найден ) Разделим [а,, />,] пополам и выберем тот из полу-
полученных отрезков, на концах которого f (x) имеет разные знаки, и т д
Продолжая этот процесс неограниченно, получаем последователь-
последовательность вложенных отрезков — вилок
a,b\ zd [a,, ft,| zd [а_„ b,] =э =э[а,„йя]=з ,
обладающих тем свойством, что для любого п f(a,,)<0, /(&„)>0
По теореме 2 13 о вложенных отрезках существует точка с, принад
лежащая всем отрезкам к которой сходится каждая из последова-
последовательностей [ап\ и \b,,}
Докажем, что точка г и является искомым корнем, т е f(c) = O
Поскольку f (х) непрерыина в точке г, каждая из последовательно-
последовательностей {/ (а,,)} и (/ (Ь„)} сходится к / (с) Но тогда из условий / (а„)<0
и /r(ft,)>0 по теореме 2 10 получаем, что одновременно справед-
справедливы неравенства /(г)^СО и j (с)^0 Отсюда /(г) = 0, что и тре-
требовалось доказать
Теперь нетрудно понять, как вычислить приближенно корень
х = с За приближенное шачение этого корня можно взять середину
отрезка [а„, Ь„\, т е точку (а, + Ь„)/2 Так как длина (а,„ Ьц]
равна (Ь — а)/2", а расстояние от корня с до точки (yan-\-br)/2
*Этот метод называется также методом Ньютона
156

не превышает половины длины отрезка \ап, Ь„\, то число (а„-\-Ьп)/2
отличается от точного значения корня не более чем на (Ь — а)/2п+{.
Таким образом, описанный метод позволяет вычислить искомый
корень с с любой точностью, если взять достаточно большое п.
Этот метод удобен тем, что требует однотипных вычислительных
операций. Поэтому его часто используют при проведении вычисле-
вычислений на современных быстродействующих вычислительных машинах.
2. Метод касательных. Этот метод является одним из самых
эффективных методов приближенного вычисления корней уравне-
уравнения / (*) —0.
Пусть по-прежнему корень х = с является внутренней точкой
\а, Ь\. Предположим также, что на [а, Ь] функция / (х) имеет непре-
непрерывные знакопостоянные про-
производные /' (х) и f" (x), а ее зна-
значения f (а) и f (b) имеют разные
знаки. Так как знак /' (х) по-
постоянен, то функция f (х) на [а,
Ь\ либо возрастает, либо убы-
убывает, и, следовательно, в обоих
случаях график функции у=
= /(*) пересекает ось Ох только
в одной точке, т. е. х = с яв-
является единственным корнем на
[а, Ь]. Аналогично, так как знак
/"(х) постоянен, то направле-
направление выпуклости графика функции y=f{x) на этом отрезке не ме-
меняется.
Для определенности рассмотрим случай, когда /'(х)>0 и
/"(х)<0. В этом случае f(a)<0, f (b)>0 и график направлен
выпуклостью вниз (рис. 92). Проведем через точку В (b; f (b)) каса-
касательную к графику функции y = f(x). Ее уравнение имеет вид
у — f(b) = f'(b)(x — b).
Полагая у=.О, найдем абсциссу точки пересечения касательной
с осью Ох:
х, = b
Рис 92
Г(ЬУ
Так как ,,,/ >0, то xt<b, а так как график функции (/ =
расположен не ниже касательной, то х{>с. Итак, c<jc.
Возьмем за первое приближенное значение корня точку xt. Далее
проведем касательную к графику через точку В, (л:,; f (л;,)) и, посту-
поступая аналогично, возьмем за пторое приближенное значение корня
точку х2:
Хп — X,
км
157

При этом c<jc,<jci. Продолжая этот процесс неограниченно,
для любого п получаем формулу
'(Л)
fix)' (¦')
выражающую х„+1 через х„. Таким образом, имеем последователь-
последовательность приближенных значений корня с, причем
х] > х2 > х3 > .. > хп > хп Г| > .. > с. B)
Формула A) является основной расчетной формулой метода каса-
касательных. Он представляет собой метод последовательных прибли-
приближений (итераций), который строится с помощью формулы (I).
Докажем, что последовательность \хп) сходится к искомому
корню с и оценим погрешность, т. е. отклонение приближенного
значения хп от точного значения корня с. Действительно, в силу B),
последовательность {*,] убывает и ограничена снизу числом с.
Следовательно, по теореме 2.12 она имеет предел с'~^с. Переходя
к пределу в равенстве A), учитывая непрерывность ((х) и /' (х),
получаем
11?1
откуда следует, что f(c') = O, т. е. с' — корень уравнения Дх) = 0.
Но так как на [ а, Ь\ имеется только один корень с, то с' = с. Итак,
последовательность [хп\ сходится к корню с.
Оценим теперь отклонение n-го приближения хп от точного зна-
значения корня с. Применяя к выражению f (xn) = f (xn) — f (с) фор-
формулу Лагранжа, имеем / (х„) = (х„ — с) f (?„), где с<1„<:х„.
Отсюда получаем следующую оценк
где т — наименьшее значение \f (x)\ на отрезке [а, Ь\. Формула
C) позволяет оцепить отклонение приближенного значения х„ от
точного значения корня с через значение модуля функции f (x)
в точке х„ Отметим, что оценка C) справедлива не только для ме-
метода касательных, но и вообще для любого метода приближенного
вычисления корня при условии тфО.
Мы рассмотрели случай, когда /'(х)>0 и f" (х)>0 на [а, Ь\.
В зависимости от комбинации знаков f (х) и f" (х) возможны еще
три случая: I) f (х)>0, ^"(д:)<0; 2) f {x)<0, f" {x)>0;
3) f (jc)<0, /"(х)<0, в каждом из которых обоснование метода
касательных аналогично рассмотренному случаю.
Пример. Вычислить корень уравнения х2—5=0 методом ка-
касательных.
Решение. Рассмотрим функцию f(x) = x2 — 5. Эта функция
непрерывна на всей числовой прямой. Найдем отрезок, на концах
которого функция {(х) имеет значения разных знаков. Так как
f{2)= — I, /C) = 4, то таким отрезком является отрезок [2, 3].
158

Внутри него находится искомый корень уравнения. Функция f (x)
имеет на этом отрезке непрерывные положительные производные
^'(х)=2х и f" (х) = 2. Следовательно, первую касательную к гра-
графику функции y=f(x) следует проводить через точку C; 4). Поло-
Положив в формуле A) хо=3, получим первое приближение корня:
4 1 1
ЛГ| = 3—2~з=2—• Положив теперь в формуле (I) х, = 2—, по-
1 2 5
лучим второе приближение корня: х.2=2-^ 2Т=^~2р и> нак0'
нец, положив х., = 2-^- в формуле (I), получим третье приближе-
2 2
ние корня: х,= 2-^ ^=2,23607 и т. д.
Для нахождения погрешности приближения х^ воспользуемся
формулой C). Так как производная f (х)=2х на [2, 3] возрастает,
то наименьшим ее значением на этом отрезке является /'B) = 4,
т. е. т = 4. Найдем f (x3): f (хл) = х^-5 = B,23607)!-5г=
= 0,00001. Теперь по формуле C) имеем
0,00001
х, — с
=0,0000025 =2,5- 10-
Если но условию задачи такая точность вычисления корня доста-
достаточна, то процесс построения приближений следует прекратить,
в противном случае этот процесс следует продолжить.
ГЛАВА 7
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл
1. Понятие первообразной функции. Одной из основных задач
дифференциального исчисления является отыскание производной
заданной функции. Разнообразные вопросы математического ана-
анализа и его многочисленные приложения в геометрии, механике,
физике и технике приводят к обратной задаче: по данной функции
f (х) найти такую функцию F (х), производная которой была бы
равна функции / (х), т. е. F' (х)= {(х).
Восстановление функции по известной производной этой функ-
функции —одна из основных задач интегрального исчисления.
Определение I. Функция F (х) называется первообразной для
функции f (х) на некотором промежутке X, если для всех значений х
из этого промежутка выполняется равенство F' (х)= Дх).
Рассмотрим примеры.
1. Функция /r(x) = sinx является первообразной для функ-
функции / (x) = cos х на всей числовой прямой, так как при любом зна-
значении х (sin х)' = cos х.
2. Функция F (х) = х'Л — первообразная для функции f (x) =
= 3х2 на всей числовой прямой, ибо в каждой точке х(хЛ)'=Зх2.
159

3. Функция F (x)= v 1 — х1 -первообразная для функции
/ (х) = — х/V I — х'2 на интервале (—I, +1), так как в любой
точке х этого интервала \ V | — лг/' = —х/V | — х~.
Задача отыскания по данной функции f (х) ее первообразной
решается неоднозначно Действительно, если F (х) — первообраз-
первообразная для /(х), т. е. F'(x) = f(x), то функция F(x)-\-C, где С —
произвольная постоянная, также является первообразной для / (х),
так как IF (х)-\-С\' = ((х) для любого числа С. Например, для
/(x) = cosx первообразной является не только sin x, но и функция
sin х-\- С, так как (sin x-)-C)' = cos x
Теперь покажем, что множество функций F{x)-\-C, где F {х) —
некоторая первообразная для функции f {х), а С -произвольная
постоянная, исчерпывает все первообразные для функции f (х).
Лемма 7.1. Функция, производная которой на некотором про-
промежутке X равна нулю, постоянна на этом промежутке.
Доказательство. Пусть во всех точках промежутка X
производная функции f (х) равна нулю, т. е. f'(x) = Q. Для любых
двух точек xh jt,eJf по геореме Лагранжа получаем
/ (х/) -1(х) = Г (I) (х, - х{), х, < I < *.,
Так как f (с,) = 0, то f(x,) = /(.v,) Это и означает, что значения
функции во всех точках промежутка одинаковы, т. е. f(x) = C,
где С - некоторое число. ¦
Теорема 7.1. Если F (х) —первообразная для функции ( (х)
на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для
f (х) на том же промежутке может быть представлена в виде F (х) -\-
-\- С, где С — произвольная постоянная.
Доказательство. Пусть Ф (х)—любая другая перво-
первообразная для функции f (х) на промежутке X, т. е Ф' (х) = f (x).
Тогда для любого х е А"
[Ф(х)- F{x)\' = Ф'(х) - F'(x) = f(x) -f(x) = 0,
а (по лемме 7.1) это означает, что функция Ф(х) — F (х) постоянна,
т. е. Ф(х) — F(x)=C, где С—некоторое число. Следовательно,
Ф(х)=Р(х) + С.ш
Из доказанной теоремы следует, что множество функций F (х)-\-
-\-С, где F (х) ¦- одна из первообразных для функции f (х), а С —
произвольная постоянная, исчерпывает все семейство первообраз-
первообразных для f (х).
2. Неопределенный интеграл. Определение 2. Если функция
F (х) — первообразная для функции f (х) на промежутке X, то мно-
множество функций F(x)-\-C, где С — произвольная постоянная, на-
называется неопределенным интегралом от функции f (x) на этом
промежутке и обозначается символом
\f(x)dx= F(x) + C.
160

При этом функция f (х) называется подынтегральной функцией,
f (x) dx — подынтегральным выражением, а переменная х — пере-
переменной интегрирования.
Символ if(x) dx обозначает, таким образом, совокупность всех
первообразных для функции /(х). Но иногда будем понимать его
как любой элемент из этой совокупности, т. е. как какую-то из
первообразных.
Восстановление функции по ее производной, или, что то же,
отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной
функции, называется интегрированием этой функции. Интегриро-
Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.
Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирова-
интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при
этом подынтегральную функцию.
В этой главе не рассматривается вопрос существования перво-
первообразных (а значит, и неопределенных интегралов) для широких
классов функций. Отметим, что в гл. 8, § 6 будет доказано, что
любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке
первообразную (а следовательно, и неопределенный интеграл).
Примеры.
1. [Зх2 dx= х3+ С, так как (л::)+ С)' = Зх2.
2. \cos х d* = sin x-\-C, так KaK(sin x-\- C)' = cos x.
3. [-idjc = ln Ы + С, так как (In
4. [e-2xdx=—je-2x+C, так как ( — ^-е" 2х+ с\ = Е-2х, и т. д.
§ 2. Основные свойства неопределенного интеграла
Из определения неопределенного интеграла непосредственно вы-
вытекают следующие его свойства.
1 °. Производная неопределенного интеграла равна подынтеграль-
подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению, т. е.
\ \
Действительно, ($/ (*) d*)' = (F {х) + СУ = F' (х) = f (x) и
d\f (x) dx=(\f (x) dx)' dx = f (x) dx.
2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой
функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т. е.
\dF(x)= F(x) + C.
В самом деле, так как dF {x) = F' {х) dx, то \F' (x) dx=F{x) + C.
3°. Постоянный множитель можно вынести из-под знака инте-
интеграла, т. е. если ft = const=#=0, то
\kf{x)dx= k\f(x)dx.
6-1032 161

Действительно, пусть F(x)— первообразная для функций f{x),
т. е. F' (x) = f (x). Тогда kF (х) — первообразная для функции
kf (л): (kF (х)У = kF' (x) = kf (x). Отсюда следует, что
k\f{x)dx= k\F [x) + С] = kF {х) + С, = \kf (x) dx,
где С|= kC.
4°. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух
функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций
в отдельности, т. е.
\\f{x)±g (л-I dA- = j/ (x) dx ± \g (x) dx.
Действительно,'пусть F (х) и G {х) — первообразные для функ-
функций f (х) и g (x):
F'(x) = f(x),G'(x) = g(x).
Тогда функции F(x)±G(x) являются первообразными для функ-
функций f (x)dzg (x). Следовательно,
\f (a-) dx±\g (x)dx = [F(x) + Cl\±\G (x) + С,} =
= I F (х) ± G (л-)] + [ С, ± С,] =[F(x)±G(x)]+C=\\f(x)±g (x)\ dx.
Отметим, что это свойство справедливо для любого конечного
числа слагаемых функций.
Таблица основных интегралов
Приведем таблицу основных интегралов. Часть формул этой таб-
таблицы непосредственно следует из определения интегрирования как
операции, обратной дифференцированию, и таблицы производных.
Справедливость остальных формул легко проверить дифференци-
дифференцированием.
^-\). VIII.
П. \-~ln \х\ + С. IX.
in Г dx n
III. \ 2 = arctg х-\-С. X.
IV. [ d---. = arcsinx-f С. XI.
V. [ахдх = ~+С(О<аф\). XII.
x + a
= ln
+C.
VI. \e'dx = ez-\-C. XIII. ( —^Ц= —arete — + С.
¦' J х'2 + а2 О- ° а [
VII. Uinjt<k=-cosjH-C- XIV- ^ r-U .=arcsin4+C-
J J \j a2 — x2
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть
табличными.
162

§ 4. Основное методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов
с помощью непосредственного использования таблицы простейших
интегралов и основных свойств неопределенных интегралов назы-
называется непосредственным итегрированием.
Пример 1. W5 cos х +2 — 2>х2-\— ;——\ Ах =5 \ cos xAx -\-
—4 arctg x -\-C.
Ux x \2 f о x x
sin -TT+cos -я-] d* = \ (sin -я- + 2 sin -^-cos-
2 2) J l l
+cos2-^-) Ax = \ (I +sin x) Ax — \ Ax -\- \ sin xd* =jc —cos x -\-C.
Пример 3. \ tg2 jcdjc = С (sec2 jc — 1) d* = \—^ \ djc=tg
-x+C.
2. Метод подстановки. Во многих случаях введение новой пере-
переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного
интеграла к нахождению табличного интеграла, т. е. перейти к не-
непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом
подстановки или методом замены переменной. Он основан на сле-
следующей теореме.
Теорема 7.2. Пусть функция x=q>(t) определена и диффе-
дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть X — множество
значений этой функции, на котором определена функция f (x).
Тогда, если на множестве X функция f (x) имеет первообразную,
то на множестве Т справедлива формула
\f{x)Ax = \f\(f{t)\ ф'@ d/. A)
Доказательство. Пусть F (х) — первообразная для f (х)
на множестве X. Рассмотрим на множестве Т сложную функцию
F[(p(t)]. По правилу дифференцирования сложной функции, учи-
учитывая, что F' (x) =f (x), получаем
т. е. функция f\(f(t)} ф' (t) имеет на множестве Т первообразную
F \ ф (t)\ и, следовательно,
\f\if{t)\ (f'(t)At =F[if(t)\ +C.
Замечая, что F\(p(t)\ +C=(F(x)+C) =\j(x)Ax
X =Ц |
, полу-
полу' =4 (О
чаем формулу (I). Н
Формула A) называется формулой замены переменной в неопре-
неопределенном интервале.
Пример 1. Вычислить HHTerpaj
«* 163

е н и е. Положим ' х—1 = /; тогда 1 лг= /-(- 1. "> Отсюд^
По формуле A)
= 4 t'2 + '^ + 3 In |/Г- -J- + С.
Возвращаясь к переменной лг, окончательно получаем
?= 4-(*- 1J+3(х- 1) +3ln U- l| -—^
2
г 4( +
х - 1Г 2
Замечание. При замене переменной в неопределенном ин-
интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию t, а, наобо
рот, задавать ( как функцию от х-—„,
г, " Л -ь Уf J^d* I
- -Яример 2. Вычислтпъ интеграл \ ——-. - ^^
Р е иг е н и е. Положим лс^+ТЦ/, d/^5jc4djc; тогда
так что
Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляв'
известные трудности. Для их преодоления необходимо овладет!
техникой дифференцирования и хорошозн,ать табличные интегралы
Пример 3. Вычислить интеграл, у— =4
Решение. Положим
= dt. Таким образом,
dx
так что
J
ух2-\-а-\-х^=
t, откуда
/—
\\Jx! + a
1- 1 \dx =
)
\!x2
"'Пример 4. Вычислить интегратГ^'зГгГТаПГх Ах.
Решение. Положим t = srn x, d&^&ysTftx" Тогда
f ¦ „ , Г,„ j, J —г-г+(' = п—гС при«=^= —
\ sin лс cos дс djc= у df = < "+1 «+'
¦^ _„ v in И + C= In Isinxl + C прил= —
Пример 5. Вычислить интеграл \ — , пф\.
** (х-1- -\- 1У
Решение. Положим!*2 + 1 = /, 2х (Lt= dt; тогда
дг djt 1 Г d/ '""Г ~ 1 ' , „ I 1
164

При гс=1 аналогично получим
С xdx I
х>
I
с.
3. Метод интегрирования по частям. Метод интегрирования по
частям основан на использовании формулы дифференцирования
произведения двух функций.
Теорема 7.3. Пусть функции и(х) и и (х) определены и
дифференцируемы на некотором промежутке X и пусть функция
и' (х) v (х) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на
промежутке X функция u(x)v'(x) также имеет первообразную
и справедлива формула
(j и (х) v' {x) dx= и (х) v (х) — J v (х) и' (х) dx. B)
Доказательство. Из равенства
[ и (х) v (х)}' = и' (х) v (х) + и (х) и' (х)
следует, что
и (х) v' О) = [ и (х) v {х)\' - и' (х) v (jc).
Первообразной функции | и (х) v (х)\' на промежутке X является
функция u(x)v(x). Функция и'(х) v (х) имеет первообразную на X
по условию теоремы. Следовательно, и функция и (х) v' (x) имеет
первообразную на промежутке X. Интегрируя последнее равенство,
получаем формулу B). ¦
Формула B) называется формулой интегрирования по частям
в неопределенном интеграле.
Так как v'(x)dx=dv, u'(x)dx=du, то ее можно записать
в виде
и dv = и • v — [ v du.
Эта формула позволяет свести вычисление \udv к вычислению
и du, который может оказаться более простым.
и = arctg х, du •
и = x, d« = djc
dy = ex dx, \ dv
л
9
* Здесь вертикальными черточками отделены вспомогательные записи
Отметим также, что в качестве и можно взять любую функцию вида х + С, где
С — постоянная. Мы взяли и = х, т. е С = О
165

Пример/3. \x\nxdx=f\ , г с ,
< J '\Av= xdx, \du= Vjedje, v=-%
—J = — In*- J—— dx = — In jc T+C.
Иногда для вычисления интеграла формулу интегрирования по -
частям приходится применять несколько раз.
и=х2, du—2xdx
Пример 4Ax2cosxdx=
г*™ t.. -¦_ ??- -
dx =
do = sin x dx, \du=\sin.vdx, v=—cosx
, = x2 sin x + 2Led cosx = x2sin x -\- 2xcosje — 2^i cos xdx =
= x2 sin x -\- 2x cos x — 2 sin x -\- C.
Таким образом, интеграл ^x2cos * dx вычислен двухкратным
интегрированием по частям.
В заключение вычислим интеграл
(п — целое положительное число), который понадобится в следую-
следующем параграфе. При п=1 имеем табличный интеграл
/, = arctgx + С
Пусть п>\. Представив 1 в числителе как разность (х2-\- l) — х2,
получим
I — [ dx Г j
J (jt2 + I)" ' J U>
t2 + I)" ' J U> + \f
Во втором интеграле применим метод интегрирования по
частям:
х йх ? х Ах
и = х, dM = djr, du
(см. п. 2, пример 5),
тогда
i
B„-2) (**
Г х1 их х Г
J (x^ + Vf Bn — 2)(x24-\)" J Brt —2'
i'
следовательно,
откуда
Bп-2)(х2
/„ =
Bи - 2)
' 2n - 2 ' «"
2n - 2
166

Таким образом, интеграл /„ выражен через /„_,¦
Г Ах х 2п — 3 [ Ах
\ Г= — + ^-п 2~\ ГТ («>1- C
J <х* 4- П (In - 2W ^ 4- I V Jn — 2 J ¦ ¦
^Формулы типа C) на
Пример 5. Вычислить
екуррентными формулами"
/Решение По рекурр"е"нТТЮй формуле C) имеем
[ 6х = i +±[ Лх
J (х* 4- lV 41 yi 4- П2 4 J fjt-2 4- \)'2'
— = arctg x,
/ поэтому окончательно имеем
' Г (U x , За: . 3 . . _
O7^= 777ГТ7 + "^То + ir-^- + с
§ 5. Интегрирование рациональных функций
Важный класс функций, интегралы от которых всегда выража-
выражаются через элементарные функции, образуют рациональные функ-
функции, т. е. функции, которые можно представить в виде дроби
Р(х)
Q(x)'
где Р (х), Q (х) — многочлены.
Если степень многочлена в числителе равна или больше степени
многочлена в знаменателе, то, выполнив деление, получим
где 1У(дг) — некоторый многочлен, а /?(х)—многочлен степени
ниже, чем Q (х)
2х2 - 6х 4- 2
х" + ^ - х3 + I
х' - 2х 4- I
- 2х + 1 '
В высшей JJIllUBfW"TfffthlWi"Elie"S8?CH^"чТЬ каждый многочлен может
быть представлен в виде произведения
Q(x) = A{x — а) (х - р) ... (х - v),
где А — коэффициент при старшей степени многочлена Q (х), а
а, р у — корни уравнения Q(x) = 0. Множители {х — а) (х-
— Р). (х — у) называются элементарными множителями Если среди
167

них имеются совпадающие, то, группируя, получаем представление
Q(x) = A х-а)'(х-$У (х-у)', B)
где г, s, , t целые числа, которые называются соответственно
кратностями корней а, р, , у, причем r-\-s-\- +/ = п, п —
степень многочлена Q (х)
Среди корней представления B) могут быть и комплексные
В алгебре доказывается, что если a.= a-\-bi — /"-кратный комплекс-
комплексный корень многочлена с вещественными коэффициентами, то этот
многочлен имеет также сопряженный саг кратный корень а =
= а — hi Лругими словами, если в представление B) входит мно-
множитель (х — а), где а-= а -+- hi (b ф 0), то оно содержит также
и множитель {х — а ) Перемножив эти два множителя, получим
(а- - а)'{х -^Г)'== ([а-- {а + 601 \х-{а — bi)\)r =
= I х2 — х (а + Ы) — х (а — Ы) -\- а2 + И' =
= \х2 — 2ах \- а2 + И' = ix2 + 2рх + qY,
где р=—а, q = a'-\-b2y o2—q<Q, p и q—вещественные числа
Поступая аналогично с остальными комплексными корнями,
запишем представление B) в виде
Q{x) = A{x — a)'(x-$y (х2 + 2рх + q)'(.х2 + 2их + v)" , C)
где а, р, , р, q, ы, у, — вещественные числа
В высшей алгебре доказывается следующая теорема
Теорема. Если рациональнная функция Q имеет степень
многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе,
а многочлен Q (х) представлен в виде C), то эту функцию можно
единственным образом представить в виде
где At, А2, , Л„ , yVf,, Nu M2, N2, , М„ N., - некоторые
вещественные числа
Выражение D) называется разложением рациональной функции
на элементарные дроби
Равенство D) имеет место для всех х, не'являющихся вещест-
вещественными корнями многочлена Q(х)
Чтобы определить числа Л„ А2, , Ап , Ми N]t , М„ N„ ,
умножим обе части разложения D) с неизвестными пока А„ А2,
на Q (х) Поскольку равенство между многочленом R{x) и много-
многочленом, который получится в правой части, должно быть справед-
справедливо для всех х, то коэффициенты, стоящие при равных степенях х,
должны быть равны межт,у собой Приравнивая их, получаем си
стему уравнений первой степени, из которой найдем неизвестные
числа А „ А2, ,АГ , М,, Л'„ ,M,,Nn
168

Такой метод отыскания коэффициентов разложения рациональ-
рациональной функции называется методом неопределенных коэффициентов.
Пример 1. Разложить рациональную функцию —-— на
элементарные дроби.
Решение. Так как лг2 — 5х-\-(з = (х — 3) (х — 2), то по
формуле D) имеем
2х - \ _ А В
#—5х + 6~ * — 3 "¦ х — Т
Умножая обе части равенства нал: — 5*+ 6, получаем
2х — 1 = А (х — 2) + В (х — 3), или 2х — 1 = (А + В) х — 2А — 3S.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
систему уравнений первой степени относительно Л и 6:
Г А + 6 = 2,
12/4 + 36 = 1,
откуда А = 5, В = — 3.
Таким образом,
2х — 1 _ 5 3
г* - 5* + 6 ~~ *-3 7^2"-
Пример 2. Найти разложение рациональной функци
на элементарные дроби.
Решение. Квадратный трехчлен х'2-\-1 имеет комплексные
корни, поэтому по формуле D) имеем
х2 — I _ А Вх + С Dx + F.
Умножая обе части равенства на х (лг2+ 1) , получаем
х2 - J = А (х2 + if + (Вх + С) U2 + 1) х + (Dx + Е) х
или
х2 - 1 = (А + В) х* + Сх3 + BА + В + D) х- + (С + Е) х + А.
Приравнивая коэффициенты при ха, х\ х2, хл и х\ придем к системе
уравнений
х4: А + В = О,
х2:2А + fi + D = 0,
х1: С + Е = О,
х°:А = - 1.
решая которую найдем /4 = — 1, 6=1, С=0, D = 2, ? = 0,
и поэтому искомое разложение имеет вид
х2 — 1 _ I х А- 2х
169

Из изложенного следует, что задача интегрирования рациональ-
рациональной функции A) сводится к интегрированию многочлена W(x) =
= al)x"'-\-alx"''''+ ¦+<!,„, интеграл от которого является таб-
табличным:
J W (х) Ах = a ,-f^j + a, -^ -f- ... + a,t!x + С,
., , R ix)
и интегрированию рациональной функции Q, ., что приводит
к нахождению интегралов следующих четырех типов *:
ix—aj (r - 1) (x — a)' '
III.
IV
x-
Ах -\- b
Г Ах -
q)
При этом многочлен xJ-|-2p.f-\-q не имеет вещественных корней,
так что pi — q<Q
Вычислим интеграл 111 типа, который часто встречается на прак-
практике. Выделим из трехчлена в знаменателе полный квадрат
.г* + 2рх + q = (х + рI + q - р2.
Это представление «подсказывает» подстановку x-\-p = t, откуда
x = t — p, dx=dt. Положим далее q — p2=h>0 и перейдем
к переменной /. В результате интеграл преобразуется к виду
) x' \2px + q J t'—h 2 ] (-'_)_/; ' v ' ' J /-'-(-/г
Первый интеграл н правой части берется непосредственно
[ -ЕЁ- = 1„ |fa + h| + С = In U' + 2/jjc + </l + С
Второй интеграл вычисляется по формуле XIII таблицы основных
интегралов.
А
Пример 3. Вычислить А —-—дх.
) х' f Ax + 9
Решение. Выделим" -в" знаменателе полный квадрат: х'-\-
-|-4х-(-9 = (х + 2)' + 5. Сделаем подстановку x-\-2=t, откуда
x = t — 2, dx=d<, поэтому
* Интегралы 1 и II типов интегрируются элементарно с помощью подста
новки t — x — a
170

Возвращаясь к переменной х, получаем
Вычислим теперь интеграл IV типа: \ dx, q—/?2
J (x> + 2px + q)'
>0, г>1. Для этого введем новую переменную z no формуле
z — {x-\-p)l v q — /j2, откуда x=zvq—p2 — p, dx=\q — p2dz. E)
Далее, имеем
22 _|_ j = (x + pf j _ ^ + 2px + q /c,
q-p2 q-tf
Таким образом, используя подстановку E) и принимая во вни-
внимание F), получаем
qr
Г Mz+N , . . Г zAz . ., Г
= \ —dz = M\ \-N\
J(Z» + |)' J(Z2 + 1)' J
где М и jV — числа, значения которых ясны из предпоследнего ра-
равенства.
Ко второму интегралу можно применить рекуррентную формулу
[см. § 4, п. 3, формулу C)]. Положив в первом интеграле 22+1 = /,
получим
zdz MCdt M I Л/ I
Пример 4. Вычислит/ь \
dx
% | % |
Решение. Положим 2= , . _ = —^—, откуда x=
v 5 — 1 i
= 2 dz, a x2 — 2x + 5 = 4 (z2-\- ]), следовательно,
t 5 PA2)+ Ci2
4
Ho
42(z''+l)-
dz
zdz I I f dz _ z , 1
i7^-TT^H)+ 2arctg2-
7
Таким образом,
S5* + 3 . 5
4z — 5 .1
+
Возвращаясь к переменной х, получаем
Г 5 + 3 . 2л:— 7
171

Итак, установлено, что интегрирование любой рациональной
функции сводится к интегрированию многочлена и конечного числа
элементарных дробей, интегралы от которых выражаются через
рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Иными словами,
любая рациональная функция интегрируется в элементарных функ-
функциях.
§ 6. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций
Предварительно введем обозначение рациональной функции от
двух переменных и и и, т е. функции, получающейся из двух пере-
переменных и и v и некоторых постоянных, над которыми производятся
только операции сложения, вычитания, умножения и деления:
R (и, v). Такова, например функция
R(U,V) =
Если переменные и и у, н свою очередь, являются функциями
переменной х: и=<р(х), у = г|з(х), то функция R[(p(x), ф (лс)]
называется рациональной функцией от (р(х) и гр (лс). Например,
функция
x1 -5V*- - I
является рациональной функцией от х и от Vx2—1: f {x) =
= R\x, Vjc'j—l); здесь /?(u, a) = " + tf! . " = *, y = Vjr— l,
u- — 5a
а функция
sin- x — cos- x
f X) =
sin1 x + 2 cos x
является рациональной функцией от sin x и от cos x: f (х)=
= /? (sin л:, cos x).
Рассмотрим теперь интегралы от некоторых простейших ирра-
иррациональных и трансцендентных функций и покажем, что в ряде
случаев они сводятся к интегралам от рациональных функций (или,
как говорят, рационализируются) и могут быть вычислены мето-
методами, рассмотренными в § 5.
.и ("п / и / ах 4- Ь \ . . ,
1. Интеграл вида \R ух, ~у lax, где а, о, с, а — некото-
некоторые числа (-^ф—\ т — натуральное число, R — рациональная
, m I ax-\- b „
функция от х и от у——г. Покажем, что такой интеграл рацио-
рационализируется подстановкой
172
b_
+ d-

В самом деле,
b-dr
ctm —a'
mr
-be)
(cr-a)
так что
И*'Л
Пример
ax + b
cx-\-d
(cr-ay
\. Вычислить
1 +jc
л
1 —л: 1 — Jtf
Решение. Сделав подстановку / =
l+x , 2 /'- — 1 , At At
_2 /2 —1
-, получим /2=
-. Далее, имеем
= 2t — 2 arctg
Пример 2. Вычислит^ \-
Решен и е. Имеем ~~
^- 2 arctg
= 2\/Jc —3 + V+ +
2. Интеграл вида (/? (лг, ч ax'2-\- bx-\-c) dx, где а, 6, с —
R рациональная функция от х
торые числа;
неко-
; R — рациональная функция от х и от
Если трехчлен ах2-\-bx-\-с имеет вещественные корни *,, х2
фх^) и а>0,то
Следовательно,
t-.t2)
^4
x Л| /
т. е. получаем интеграл, рассмотренный в п. 1.
Если х i = x2, то
v ax2+ bx-\- c= \x— xjVa,
т. е. под знаком интеграла находится рациональная функция от х.
173

Поэтому интересен случай, когда трехчлен ах'2-\-Ьх-\-с не имеет5
вещественных корней и а>0. Покажем, что в данном случае инте-
интеграл рационализируется подстановкой Эйлера *:
/ = Vajr + bx + с + хл[а. **
Возводя обе части равенства v ax'2-\- bx-\-c = t — x \ а в квадрат,
получаем bx + c = t'2—2л/а(х, так что
1-'—с .Г 2 , , "~ Mat2+Ы+Ыа
х = —-г- , V ах2+Ьх-\-с = г—¦ ,
2\at + b _ 2\jat-\-b
Таким образом,
\R {х,л1~ах'2+Ьх + с) dx =
= [R C^?
J
где Rt(t) — рациональная функция от /.
Если же в трехчлене ах2-\-bx-|~с а<0, а с>0, то для рацио-
рационализации интеграла можно применить другую подстановку Эйлера:
Пример 3. Вычислить;
у
t
Решение. Поскол1.Ту трехчлтП''л:2-|-д:+1 имеет комплекс-
комплексные корни, сделаем подстановку Чх2-\-х-\- 1 = / — х. Возводя обе
части равенст'ва в квадрат, получаем
¦ x'2-\-x-\-\ = t - — 2/х + х2или х-\- 1 =/ '2 — 2tx\ отсюда
= 2 — d/.
1 + 2Г A + 2/ f
Тогда
<- '-' + '+' dL
Далее, имеем
2< -' + 2^ + 2 ^_ в Р
2/Г~т !+2'+ (i +
Умножая обе части равенства на * A -+- 2t) , получаем
2t'2+2t + 2 = A (I +2tf + Bt{\ +2t) + Dt, или
B) t + A.
* Эйлер Леонард A707 -1783) — выдающийся математик, механик, физик
и астроном, член Петербурге^ой Академии наук, большую часть жизни провел
в России, по национальности швейцарец
** Можно положить / = д/а,^ -\-bx-\-c — х\ а
174

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях /, получаем
систему уравнений первой степени относительно А, В, D:
D/1 + D + В = 2,
/4 = 2,
откуда А = 2, 5 =—3, /)=—3 Следовательно,
2 3 3
и оконча гельно
d* с г 2 33-i .
d?3 Г d (I +203 f d (I + 2t)
J )
_9f_d? 3 Г d (I +20 3 f
) ' 2 J 1+2/ 2 )
(\+'21)
3 ,
2(l+2* + 2V*-' + *+l)
Пример 4) Вычислить,!.— * i.
Решение. Здесь трехчлен 1+ji—х2 имеет комплексные
корни и а<0, О 0, поэтому воспользуемся подстановкой
vl+jc — xl= tx—1. Возводя обе части равенства в квадрат,
получаем
1 +x — x2=t2x2—2tx+ 1 или 1 — x=t2x — 2t\
отсюда
1+2/ 2A—' — О .. J", 2 /2+/—I
*= ... ., dx = —^ -^d/, v I +jc — x'—
Таким образом,
—г-; ; d/=
= _2 arctg V'+'-^ + ' + '+ с.
Заметим, что вычисление интегралов с помощью подстановок
Эйлера обычно приводит к громоздким выражениям и трудоемким
выкладкам, поэтому их следует применять, только если данный
интеграл не удается вычислить более коротким способом.
3. Интеграл вида f/? (sin Jt, cos x) Ax, где R — рациональная
функция от sin x и от cos x. Покажем, что интеграл рационали-
рационализируется подстановкой
/ = tg -?-, — я < х < я.
175

Действительно,
,.: 2lg(*/2) _ 2/ „_ .,_ l-lR"'U/2)_ I-/1.
так что
|+tg-(jf/2) |+/2'COSJC "|+tg-""u/2) 1+/-"
, 2 cl /
d
где /?,(/)— рациональная^ф^щкция от /.
Пример 5. Вычислить)! | J
Решение. Применя'ячтеяеТановку t = tg (х/2), получаем
?/ „ . , , 2A/
sin x = TtТ7' * агс g ' Т+77'
Таким образом,
=
l+sinx
4. Интеграл вида \/?(e')d/ Покажем, что данный интеграл
рационализируется подстановкой
t = e1
В самом деле, так как х= In t\\ dx = —, то
где R (t) — рациональная1(^ищ^ия от /.
Пример 6. Вычислите \ dx.,""*
Решен и е. Полаг*б1м "Г=е*. Отсюда Aл' = —т-. Следовательно,
—' d< С ^< - (И-1) н,
= 21пA +0 — I" f + C=21n(l+e') — x + C.
В заключение отметим, что рассмотренные методы и приемы
интегрирования не исчерпывают всех классов аналитически ин-
интегрируемых элементарных функций. В то же время из всего изло-
изложенного следует, что техника интегрирования сложнее по срав-
сравнению с дифференцированием. Необходимы определенные навыки
и изобретательность, которые приобретаются на практике в ре-
результате решения большого числа примеров.
Отметим также, что если дифференцирование не выводит из
класса элементарных функций, то при интегрировании дело об-
обстоит иначе. Существуют такие элементарные функции (например,
,-' 1 sin х
е , -у^, —— и т. д. ), первообразные от которых не являются
элементарными функциями. Такие первообразные не только су-
176

ществуют, но и играют большую роль как в самом математическом
анализе, так и в его приложениях. Они хорошо изучены, для них
составлены таблицы и графики, помогающие их практическому
использованию.
Если первообразная не является элементарной функцией, то
говорят, что интеграл «не берется» в элементарных функциях.
Г Л Л В Л 8
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение определенного интеграла
Пусть функция y = f(x) определена на отрезке fa, b\, a<.b.
Разобьем этот отрезок на п произвольных частей точками:
а = х() < л:, < дг2 < ... < х,_| < х, < ... < хп = Ь.
Обозначим это разбиение через т, а точки х0, *h ..., хп будем назы-
называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных
отрезков [*,.,, х,] выберем произвольную точку |, (х,_, ^ ?, ^
^*,). Через Ах, обозначим разность xt — xt_t, которую условимся
называть длиной частичного отрезка [*,_,, х,\.
Образуем сумму:
п
а = f (|,) Axt + f (|2) Ах2 + ...+ / (?я) Ахп = ? f (g,) Ах„ A)
i—i
которую назовем интегральной суммой для функции f (х) на fa, b],
соответствующей данному разбиению [ а, Ь\ на частичные отрезки
и данному выбору промежуточных точек |,. Геометрический смысл
суммы а очевиден: это сумма площадей прямоугольников с основа-
основаниями Л*,, Ах2, ..., Д*„ и высотами /(?,), / (?2). ¦¦¦ / (?«) (Рис- ^)
(если /(*)>0).
Обозначим через X длину наибольшего частичного отрезка
разбиения т: Х= max {Ддг,}.
Определение. ?с^гы существует конечный предел I интегральной
суммы A) яры X-vO, то этот предел называется определенным
интегралом от функции f (х) по отрезку {а, Ь\ и обозначается сле-
следующим образом:
= \f (х) их B)
или
\f(x)dx=\\m
177

В этом случае функция f (х) называется интегрируемой на [а, Ь\
Числа а и b называются соответственно нижним и верхним преде-
пределами интегрирования, f (х) — подынтегральной функцией, х — пе-
переменной интегрирования.
Сделаем ряд пояснений, так как имеет место не совсем обычный
предельный переход. В самом деле, интегральная сумма зависит
or точек разбиения xt и промежуточных точек ?,. Число тех и дру-
других точек стремится к бесконечности при А,—>-0. Поэтому само
понятие предела интегральной суммы требует уточнения. Сначала
дадим соответствующее определение на «языке последовательно-
последовательностей». Пусть отрезок [а, Ь\ по-
последовательно разбивается на
части сначала одним способом,
затем вторым, третьим и т. д.,
причем длина "Кк наибольшего
частичного отрезка к го разбие-
разбиения стремится к нулю, когда
k стремится к бесконечности.
В каждом разбиении выберем
произвольно промежуточные точ-
точки |,. Таким образом, по-
получаем последовательность раз-
ь=х„~х биения {т(,}, у которой Mm Л,А = 0
k *-оо
рис 93 и можно дать определение опре-
определенного интеграла на «языке
последовательностей»: функция f(x) называется интегрируемой на
[а, Ь\, если для любой последовательности разбиений [ik\, у которой
limX,t=0, соответствующая последовательность интегральных
сумм [ак\ стремится к одному и тому же числу I.
Можно дать определение определенного интеграла и «на языке
е —б»: число I называется определенным интегралом от функции
f (х) по отрезку [а, Ь\, если для любого е>0 существует б>0
такое, что при Х<й (т. е. если отрезок разбит на части с дли-
длинами Ax,<6j независимо от выбора точек ?, выполняется нера-
неравенство
t fit) to,-
1-1
Доказательство эквивалентности обоих определений можно про-
провести аналогично доказательству эквивалентности двух определе-
определений предела функции. Определение «на языке последовательно-
последовательностей» дает возможность перенести основные понятия теории пре-
пределов и на этот новый вид предела.
Из определения определенного интеграла следует, что вели-
величина интеграла B) зависит только от вида функций f (х) и от чисел а
и b Следовательно, если заданы f (х) и пределы интегрирования,
то интеграл B) определяется однозначно и представляет собой
178

некоторое число. Отсюда, в частности, следует, что определенный
интеграл не зависит от выбора обозначения для аргумента подын-
подынтегральной функции, т. е. от обозначения переменной интегриро-
интегрирования:
h b
\f(x)dx= \f(t)dt=
§ 2. Условия существования определенного интеграла
1. Ограниченность интегрируемой функции. Теорема 8.1
(необходимое условие интегрируемости
функции). Если функция f (х) интегрируема на отрезке \а, Ь\,
то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Предположим обратное, т. е. допу-
допустим, что / (х) не ограничена на [а, Ь\. Покажем, что в этом случае
интегральную сумму а можно за счет выбора точек |,, |q, ..., ?„
сделать сколь угодно большой при любом разбиении отрезка [а, Ь\.
Действительно, так как / (х) не ограничена на [а, Ь], то при
любом разбиении отрезка [а, Ь\ она обладает этим свойством хотя
бы на одном частичном отрезке разбиения, например на [хф х,].
Выберем на остальных частичных отрезках точки \г, %& ..., ?„
произвольно и обозначим
а> = f (?2) А*2 + / (?3) АлСч + ¦¦¦+ f (|„) hxn.
Зададим произвольное число Л4>0 и возьмем такое ?, на
[xQ, jc,], чтобы
\а'\ + М
^ Ч '
Это можно сделать в силу неограниченности функции f (х) на
\х0, х,]. Тогда
т. е. интегральная сумма а по абсолютной величине больше лю-
любого наперед заданного числа. Поэтому интегральная сумма а
не имеет конечного предела при Х->-0, а это означает, что опреде-
определенный интеграл от неограниченной функции не существует. ¦
Замечание. Обратная теорема неверна, т. е. условие огра-
ограниченности функции f (х) необходимое, но не достаточное условие
интегрируемости функции. Поясним это утверждение примером.
Рассмотрим функцию Дирихле на отрезке [0, 1]:
f, . ( 1, если * рациональное число,
^ ' \ 0, если х иррациональное число.
Функция Дирихле, очевидно, ограничена. Однако она не ин-
интегрируема на [0, 1]. Покажем это. Если при любом разбиении
отрезка [0, 1] выбрать рациональные точки ?,(¦*,-! ^1,^*,).
179

то получим
1=1 I-1
а если взять |, иррациональными, то получим
П п
Таким образом, при разбиении на сколь угодно малые частичные
отрезки интегральная сумма может принимать как значение, рав-
равное 0, так и значение, ранное 1. Поэтому интегральная сумма а
при Х-+-0 предела не имеет.
Таким образом, для существования определенного интеграла
от некоторой функции / (х) последняя, помимо ограниченности,
должна обладать дополнительными свойствами, обеспечивающими
ее интегрируемость. Для установления этих свойств необходимо
ввести понятия нижних и верхних сумм.
2. Суммы Дарбу*. Пусть функция f (х) ограничена на отрезке
[а, Ь\ и т разбиение этого отрезка точками: а = хо<сх^<с...
... <*,_|<*,<... <>:„= Ь. Обозначим через т1 и М1 соответ-
соответственно точную нижнюю и точную верхнюю грани этой функции
на отрезке [*,_|, *,] и составим следующие суммы:
s =
п
rn2\x2 -\- ...+ гпп\хп = У
Эти суммы называются соответственно верхней и нижней суммами
или верхней и нижней суммами Дарбу функции j (x) для данного
разбиения т отрезка\а, Ь\.
Из определения нижней и верхней граней следует, что
mi < f {if) < М при^, е [х,. ,, jc,]. Отсюда
и п п
s - ? m Ддс, < 0 = ^ / F.) Ддс, < ^ М?х, = S,
т. е. любая интегральная сумма и суммы Дарбу для данного раз-
разбиения связаны неравенствами
,9<CT<S. A)
Суммы Дарбу имеют простой геометрический смысл. Рассмот-
Рассмотрим неотрицательную непрерывную функцию f (х) на [а, Ь\ и кри-
криволинейную трапецию, т. е. фигуру, ограниченную графиком функ-
функции f (х), двумя вертикальными прямыми, проведенными через
* Дарбу Гастон A842 1917) французский математик
180

точки а и Ь оси Ох, и осью Ох (рис. 94 и 95). Поскольку функция
f (х) непрерывна на [а, Ь\, она непрерывна и на [*,_,, *,]. По вто-
второй теореме Вейерштрасса функция f (х) достигает на [*,_„ х]
своих точных граней, и, следовательно, т1 и М, — соответственно
наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке. По-
Поэтому сумма S равна площади заштрихованной на рис. 94 ступен-
ступенчатой фигуры, «описанной» около криволинейной трапеции, а сум-
сумма s равна площади заштрихованной на рис. 95 ступенчатой фи-
фигуры, «вписанной» в данную криволинейную трапецию.
Следует особо отметить, что суммы Дарбу зависят только от
разбиения отрезка [a, ft], в то время как интегральная сумма о
зависит еще и от выбора точек ?, на частичных отрезках [ х, ,, *,].
При фиксированном разбиении отрезка [a, ft] суммы s и S — не-
некоторые числа, а сумма о — переменная величина, так как точки ?,
произвольны.
3. Свойства сумм Дарбу. 1°. Для любого фиксированного раз-
разбиения т и для любого е>0 точки |, на отрезках [*,..„ *,] можно
выбрать так, что интегральная сумма а будет удовлетворять
неравенствам O^S —о<е. Точки ?, можно выбрать также и
таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять
неравенствам О^а — s<e.
JL
Рис 94
Рис 95
Доказательство. Пусть т—некоторое фиксированное
разбиение отрезка \а, Ь\. Докажем, например, неравенства 0^
^S — а<е. Согласно свойству точной верхней грани М, для
данного е>0 на [*,_„ х,] можно указать такую точку Е,„ что
0<M,-f(g<T^_/= 1,2,..., п.
Умножая эти неравенства на А*, и затем складывая, получаем
i — а<е. Аналогично устанавливаются неравенства 0^
г —s<e. ¦
2°. От добавления к данному разбиению т отрезка [a, ft] новых
точек разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя —
не увеличивается.
Доказательство. Для доказательства достаточно огра-
ограничиться добавлением к данному разбиению т еще одной точки
181

разбиения х', так как добавление нескольких точек разбиения мож-
можно провести, добавляя их по одной. Предположим, что эта новая
точка х' попала на отрезок f л-?_,, х,] (рис. 96). Обозначим соответ-
соответственно через s и s' — нижние, а через S и S' — верхние суммы
Дарбу для данного разбиения т и полученного из него добавле-
добавлением точки х' разбиения т'.
Проведем доказательство для нижних сумм Дарбу s и s'. Обо-
Обозначим через т', и т", точные нижние грани функции f (х) соот-
соответственно на отрезках [лс,„ ,, лс,| и \х\ х,\. В сумму s входит слагае-
слагаемое т,Ах„ а в сумму s' вместо него слагаемые m't (x — *,_,) +
-\-т(х1—х'). Остальные слагаемые в суммах s и s' одинаковы.
Так как т'^т,, т"^т, (точная нижняя грань на части [*, . „
х] не меньше точной нижней грани на всем [*,_ h jrj ), то
т\ (х' — xt_,) + т", (х, — х') > т, (х' — х, ,) + т, (*, — х') = т^х,
Отсюда следует, что s' ^ s.
Аналогично доказывается, что S' ^ S.¦
3°. Нижняя сумма Дарбу для любого разбиения т' не превосхо-
превосходит верхней суммы для любого другого разбиения т".
Доказательство. Пусть s' и S', s" и S" — нижняя и
верхняя суммы Дарбу соответственно для разбиений т' и т". Рас-
Рассмотрим разбиение т, сос-
тоящее из всех точек, вхо-
дящих в разбиения т' и т".
Обозначим его суммы Дар-
Рис % бу через s и S. Так как
разбиение т может быть
получено из разбиения т' добавлением к нему точек разбиения
т", то согласно свойству 2°, учитывая очевидное неравенство
s^S, получаем
s' < s < S < S'.
Но разбиение т может быть также получено из разбиения т" до-
добавлением точек разбиения т'. Поэтому
s" < s < S < S".
Сравнивая установленные неравенства, получаем s' ^ S", s" ^
S' ¦
4°. Множество [S] верхних сумм Дарбу данной функции f (х)
для всевозможных разбиений отрезка[а, Ь\ ограничено снизу, а мно-
множество [s\ нижних сумм Дарбу ограничено сверху, причем точная
верхняя грань множества [s\ не превосходит точную нижнюю грань
множества \S).
Доказательство. Это свойство непосредственно следует
из свойства 3°. Действительно, множество всех верхних сумм Дар-
Дарбу (S) ограничено снизу, например, любой нижней суммой Дарбу
s, а множество всех нижних сумм Дарбу {s\ ограничено сверху,
например, любой верхней суммой Дарбу S. Поэтому по теореме 1.1
множества (S) и [s\ имеют точные грани. Обозначим через /* точ-
182

ную нижнюю грань множества (S), а через /• — точную верхнюю
грань множества {s}:
Г = inf {S},/. = sup{s).
Покажем, что /•<;/*. Пусть /•>/*. Обозначим их разность
через е, так что /. — /*=е>0. Из свойства точных граней /.
и Г вытекает, что существуют числа S' и s", представляющие со-
собой соответственно верхнюю и нижнюю суммы Дарбу некоторых
разбиений т' и л." отрезка [а, Ь\, такие, что I* -\-e/2>S' и /«—
— e/2<s". Вычитая второе неравенство из первого, получаем
S' —s"</*-/. + e. Но /*-/.= -?, поэтому S'- s"<0,
т. е. s">S', что противоречит свойству 3°. Следовательно, /.^
<г.ш
4. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Имеет
место следующая основная теорема.
Теорема 8.2. Для того чтобы ограниченная на отрезке
[а, Ь\ функция f (х) была интегрируемой на этом отрезке, необ-
необходимо и достаточно, чтобы
lim(S-s) = 0. B)
i -о
Условие B) означает, что для любого е>0 существует 6>0
такое, что при к<с& выполняется неравенство \S — s|<e.
Так как s^S, то последнее неравенство равносильно неравенству
S - s < е. C)
Доказательство. Необходимость. Пусть функция f (х)
интегрируема на отрезке \а, Ь\, т. е. существует определенный
Ь
интеграл /= ^ / (*) d*. Это означает, что для любого е>0 сущест-
вует 6>0 такое, что для любого разбиения т, удовлетворяющего
условию k<6, независимо от выбора точек ?, выполняется нера-
неравенство
|о-/|<е/4. D)
Зафиксируем любое такое разбиение т. Для него согласно свой-
свойству 1° можно указать такие интегральные суммы а' и а", что
S - а' < е/4, а" - s < г/4. E)
Отметим, что обе интегральные суммы а' и а" удовлетворяют не-
неравенству D). Из соотношения
S - s = E - а') + (а' _/)+(/_ а") + (а" - s)
и неравенств D) и E) следует, что
5 — s < е,
а это и означает выполнение условия C).
183

Достаточность. Пусть выполнено условие C). Согласно свой-1
ству 4° s^/»^/*^S для любых нижних и верхних сумм
Дарбу, поэтому 0^/* — /.^S — s, откуда согласно C) сле-
следует, что 0^/* — /•<? для любого ?>0. Значит, 1—1,=
= 0, т. е. /*=/*. Полагая /=/* = /,, получаем, что для
любого разбиения выполняются неравенства
s < / < S. F)
Если же интегральная сумма о и суммы Дарбу s и S отвечают
одному и тому же разбиению т, то, как известно [см формулу A)],
.s < а < S. G)
Из неравенств F) и G) следует, что
|ст — /| < S — s. (8)
По условию для любого е>0 существует 6>0 такое, что при
Ж б выполняется неразенство C): S—sO1. Но тогда из не-
неравенства (8) следует, чго и
|о — /| <С г при X <С б,
а это означает, что число / является пределом интегральной суммы
а при Х,->0, т. е. функция f (х) интегрируема на отрезке [а, Ь\. Ш
В дальнейшем понадобится другая форма записи необходи-
необходимого и достаточного условия интегрируемости. Обозначая колеба-
колебание М,— т[ функции f {х) на отрезке f jc,_,, xt\ через ш,, имеем
// п п п
S — s = У M,Ajc, — У т,/\х1 = У (М, — /и,) Ах, = У шДлс,.
i-i
Так как М^т, и Д^,>0, то каждое слагаемое в последней
сумме неотрицательно, и условие существования определенного
интеграла можно переписать так: для любого к>0 существует
6>0 такое, что
п
У о), Ах, <С е при Я, < б.
i= i
В таком виде его обычно и применяют.
§ 3. Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных
функций
Теорема 8.3. Если функция f (x) непрерывна на отрезке
[а, Ь\, то она интегрируема на нем.
Доказательство. Так как функция f (х) непрерывна на
отрезке [а, Ь\, то по теореме Кантора она* равномерно-непрерывна
на нем. Пусть дано любое е>0. Согласно следствию из теоремы
Кантора для положительного числа е/(Ь — а) найдется б>0
такое, что при разбиении отрезка (а, Ь\ на частичные отрезки
[*,-|, *,|. длина которых Ax,<Ct>, все колебания а>, меньше в/(Ь — а).
184

Отсюда
п п
S — s = Y соДдг, < ь ^_— У Ад:, = е при к < б.
Следовательно, для непрерывной на отрезке [а, Ь\ функции f (х)
выполнено достаточное условие интегрируемости, а из него выте-
вытекает существование определенного интеграла. И
Как следует из теоремы, условие непрерывности функции яв-
является достаточным условием интегрируемости функции. Но это
не означает, что определенный интеграл существует только для
непрерывных функций. Класс интегрируемых функций гораздо
шире. Так, например, существует определенный интеграл от функ-
функций, имеющих конечное число точек разрыва. Докажем это.
Теорема 8.4. Если функция f (x) ограничена на отрезке
\а, Ь\ и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то
она интегрируема на этом отрезке.
=0 х, хг xj х-^х' х-»-— л„_, i =ля
Рис 97
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, ког-
когда между а и b имеется лишь одна точка разрыва х'. Пусть М и
т — точные грани функции f (х) на fa, ft], Q = M — т — ее ко-
колебание на данном отрезке. Возьмем любое достаточно малое
е>0 и рассмотрим отрезки [а, х'— e/(8Q)J и \х' -\-г/(8Ы), b\
(рис. 97). На каждом из этих отрезков f (х) непрерывна, и, сле-
следовательно, найдется б'>0 такое, что при разбиении их на ча-
частичные отрезки [х',_ |, *',] с длинами Дх',<;б' все колебания ш',
Пусть 6 = minF', e/(8Q)}. Рассмотрим теперь произвольное
разбиение \ а, Ь\ на частичные отрезки, длина которых Л6
(рис. 97). Для этого разбиения сумму V <оДх, разобьем на слага-
1—1
емые У шДх,+У <о,Дх„ где в первую сумму входят частичные
отрезки, лежащие целиком вне е/(8О)-окрестности точки х', а во
вторую — частичные отрезки, либо заключенные целиком внутри
е/(8^2)-окрестности точки х', либо имеющие с ней общие точки.
Для первой суммы, как и при доказательстве предыдущей
теоремы, имеем
У шДх, < е/2,
что касается второй суммы, то заметим, что длины отрезков, цели-
целиком попавших внутрь е/(8Й)-окрестности точки х', в сумме меньше
или равны e/DQ); число отрезков, лишь частично попавших в эту
185

окрестность, не больше двух, поэтому сумма их длин меньше
Ш). Следовательно,
" ш,\х. fC Q У" Ajc, < il -^j = 4f.
Таким образом, окончательно имеем
п
S — s = У (о,Ах, = У' шДг, -f- У" w/U, < -i- -)- -j- = к при к < 6
1 — 1
Это и доказывает интегрируемость функции / (jc) на [а, Ь\. |
Следствие. Кусочно-непрерывная на отрезке функция ин-
интегрируема на этом отрезке.
§ 4. Основные свойства определенного интеграла
1°. Интеграл \ / (jc) dx был введен для случая а<.Ь Обобщим
а
понятие определенного интеграла на случай, когда пределы инте-
интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего. По
определению полагаем
а
f(x)Ax=i), A)
рассматривая эту формулу как естественное распространение по-
понятия определенного интеграла на отрезок нулевой длины.
Также по определению полагаем
и Ь
j) (х) dx = - \ / (х) dx, B)
Ь а
рассматривая формулу B) как естественное распространение по-
понятия определенного интеграла на случай, когда отрезок \а, Ь\
при a<ib пробегается в направлении от b к а. В этом случае точки
разбиения jc, отрезка \а, Ь\ занумерованы в порядке следования
от 6 к а и в интегральной сумме все разности Ajc, = jc, — jc, ., имеют
отрицательный знак.
2°. Каковы бы ни были числа о, Ь, с, имеет место равенство
Ь I b
\ { {х) dx=\f{x)dx+\f (х) dx. C)
a a l
(Здесь и в § 4 и 5 предполагается, что интегралы, входящие в дока-
доказываемые формулы, существуют).
Доказательство. Допустим сначала, что а<с<,Ь.
Так как предел интегральной суммы а не зависит от способа раз-
разбиения отрезка \а, Ь], то будем разбивать [а, Ь\ так, чтобы точка с
была точкой разбиения. Если, например, с = х„„ то а можно раз-
186

бить на две суммы:
а= ?/(Е,)Л*,= Zf(l)bx,+ I f(t) Ax,.
1=1 1—1 i=m+l
Перелодя в этом равенстве к пределу при к-^-0, получаем равен-
равенство C).
Суть доказанного свойства состоит в том, что определенный
интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям.
Доказательство для другого расположения точек а, Ь, с легко
сводится к рассмотренному случаю. Пусть, например, а<.Ь<.с\
тогда по доказанному имеем
с Ь с
\f(x)dx = \f(x)dx + \f(x)dx,
a a b
откуда, учитывая B), получаем
beech
\f(x)dx=\f(x)dx-\f (x) dx=\f(x)dx+\f (х) dx,
а а Ь а с
т. е. опять пришли к равенству C). ¦
3°. Постоянный множитель можно выносить эа знак определен-
определенного интеграла, т. е.
ь ь
\ kf (x) dx = k\f (x) dx. D)
а а
Доказательство. Действительно, для любого разбиения
отрезка [ о, Ь\ и любого выбора точек ?,
? kf (t) Ах,= к^( (I) Ах,.
Переходя к пределу при >.->-0, имеем
b n n
\kf (х) dx = lim ? kf (?,) Ax, = lim k ? f E,) Ax, =
,i Ь
= /Him 2 Hi) Ax,= k \f(x)dx,
т. е. получено равенство D). ¦
4°. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций
равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.
b b D
\[f(x)±g (x)\ dx=\f(x)dx±\g (х) dx.
а а а
187

Доказательств э Действительно, для любого разбие-
разбиения отрезка [ а, Ь\ и любого выбора точек ?,
Так как
n h n h
lim V / (I) Ax,= \f (x) dx и lim У g (?,) Лх, = U (z) dx,
TO
/I II
'(x)±g(x)\ dx= lim У|/(с,)±§(Е,)| \x,=
= lim У / (?) Лх, ± lim
' -",-I ""
= i/W dx ± ^й (х) dx.B
Замечание. Свойство 4° имеет место для любого конеч-
конечного числа слагаемых.
§ 5. Оценки интегралов. Формула среднего значения
1. Оценки интегрален (всюду в этом параграфе считаем, что
а<Ь). 1°. Если всюду на отрезке \а, Ь\ функция /(jc)^O, то
b
\ f (x) dx > О
Доказательство. В самом деле, любая интегральная
/1
сумма о— У / (I) Лх, для функции f (x) ita \ а, Ь\ неотрицательна,
так как
/(!,) > 0, Лх, = х, — х,_ , > 0, i = 1,2 п.
п
Переходя к пределу при к-*-0 в неравенстве
получаем
ь
f{x) (!*>().¦
2°. Если всюду на отрезке \ a, b\ f (x)<g (x), то
188

Доказательство. Применяя оценку 1° к функции
g (x) — f(x)^0, имеем
ь
Но согласно свойству 4°
b
\\8(x)-f(x)\ dx= \g(x)dx-
откуда получаем неравенство (I). ¦
3°. Для функции f (х), определенной на отрезке \а, Ь\, имеет
место неравенство
\ f(х) dx
B)
Доказательство. Применяя оценку 2° к очевидным
неравенствам — |/ (х)|</ (x)s^\[ (x)\, получаем
* ь ь
- \\\{x)\dx^ \f(x)dx^ \\!(x)\dx,
а а а
а это равносильно неравенству B). ¦
Следствие. Если всюду на отрезке \а, b\ \f{x)\^ik, то
\f(x)dx
Действительно, из неравенства
что
k(b- a). C)
х)|^/г и оценок 2° и 3° следует,
f{x)dx
Отсюда, замечая, что
\ |/ (х)\ dx < J k dx = k \ dx.
\ dx = tim У 1 ¦ Ax, = b — a,
D)
получаем соотношение (З)
4°. Если m и М — соответственно наименьшее и наибольшее
значения функции f (x) на отрезке (а, Ь\, то
m{b -a)
- a).
E)
Доказательство. По условию для любого хе|а, Ь\
имеем
189

Применяя оценку 2° к этим неравенствам,имеем
т
\| dt < \f (х) dx < М jj djt.
откуда с учетом D) получаем неравенства E). ¦
2. Формула среднего значения. Теорема 8.5 (теорема
о среднем). Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, ft],
то на этом отрезке существует точка с такая, что
= f(c)(b-a).
F)
Доказательство. Так как f (х) непрерывна на [a, ft],
то по второй теореме Веиерштрасса существуют числа т и М та-
такие, что
min f (x) = т ^ / (х) ^ М = max / (х).
\а ft! [а Ь\
Отсюда в силу оценки 4° получаем
ь
н, следовательно,
ь
Положим
b х
Рис 98
6 - а
Ь — а
¦ = \i (ш
М.
М).
Так как число \i заключено между наименьшими и наибольшими зна-
значениями непрерывной функции f (х) на [а, Ь\ (рис. 98), то по тео-
теореме 4.10 о прохождении непрерывной функции через любое про-
промежуточное значение существует точка с^[а, Ь\ такая, что f (с) =
= \i. Поэтому
ь
f{x) их
а это равносильно равенству F). Щ
Равенство F) называется формулой среднего значения, а вели-
величина f (с) — средним значением функции f (х) на отрезке fa, ft].
Замечание. Теорема о среднем имеет геометрический смысл:
величина определенного интеграла при f (х)^0 равна площади
прямоугольника, имеющего высоту f (с) и основание ft — a.
190

§ 6. Интеграл с переменным верхним пределом
До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с посто
янными пределами интегрирования а и b Если изменять, напри
мер, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы отрезка [а, ft],
то величина интеграла будет изменяться Другими словами, инте
грал с переменным верхним пределом представляет собой функцию
своего верхнего предела
Рассмотрим интеграл \f{t)dt*
ним пределом а и переменным верхним
этого интеграла является функ-
функцией верхнего предела х Обо
значим этуфункциючерез Ф (х),
т е положим
с постоянным ниж-
пределом х Величина
Ф(х) =
= \((t)
d/
(i:
0
У-*
W/
I
a
ж
I
I
1
t j
Рис 99
и назовем ее интегралом с пе-
переменным верхним пределом Ге
ометрически функцияФ(х)пред
ставляет собой площадьзаштри
хованиой на рис 99 криволи-
криволинейной трапеции, если /(*)>0
Значение интеграла с переменным верхним пределом раскры
вает следующая георема
Теорема 8.6. Производная интеграла от непрерывной функ-
функции по переменному верхнему пределу существует и равна значе-
значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу,
т е
= f(x)
B)
Доказательство Возьмем любое значение ,(Ё|а, Ь\
и придадим ему приращение A.t^=0 такое, чтобы x-\-\x^\a, ft],
т е а^х-]- Аде^b Тогда функция Ф (х), определенная выра
жением A), получит повое значение
= \ Ht)At
а
Согласно свойству 2° определенного интеграла (см § 4) имеем
\ иоа/ = Ф(дО+ \ f(t)dt
* Для удобства переменную интегрирования обозначили буквой / так как
х - верхний предел интегрирования
191

Отсюда находим приращоние функции Ф(х):
х (¦ \х
Ф{х + \х) — Ф(х) = \ f{t)dt.
Применяя теорему 8.5, получаем
Ф (л: + Ах) — Ф (х) = / (с) Л*,
где с -число, заключенное между числами х и х-\-Ах. Разде-
Разделим обе части равенства на А*:
Ф(х + Ах) -Фи) _ .
Л* ~~ ' {С>-
Если теперь Ддг->0, то с-*-х, и тогда, в силу непрерывно-
непрерывности функции f (х) на \а, b], f (c)-*-f (х). Поэтому, переходя к пре-
пределу при Ля—>-0 в последнем равенстве, получаем
lim .' i = lim f (с) = lim f {с) = f (x)
или Ф' (x) = f(x). ¦
Таким образом, установлено, что любая непрерывная на отрезке
о, Ь\ функция f (x) имеет на этом отрезке первообразную, причем
функция Ф (х) -интеграл с переменным верхним пределом —
является первообразной для /(х). А так как всякая другая перво-
первообразная для функции f (x) может отличаться от Ф (х) только на
постоянную (см. теорему 7.1), то установлена связь между неопре-
неопределенным и определенным интегралами в виде
\fix)dx= \f(t)dt + C,
а
где С — произвольная постоянная.
§ 7. Формула Ньютона—Лейбница
Вычисление определенных интегралов методом, основанным на
определении интеграла как предела интегральной суммы, как пра-
правило, связано с большими трудностями. Существует более удоб-
удобный метод вычисления определенных интегралов, который, как
будет показано, основан на установленной в § 6 связи между неопре-
неопределенным и определенным интегралами.
Выше установлено, что функция f (х), непрерывная на отрезке
\а, Ь], имеет на этом отрезке первообразные, причем одной из них
является функция
(b(x)=\f(t)dt.
а
192

Пусть F (х) — любая другая первообразная для функции / (х)
на том же отрезке [а, Ь\. Так как первообразные Ф(х) и F(х) отли-
отличаются на постоянную, то имеет место равенство
\ f (/) d/ = F (x) + С, а < х < Ь,
а
где С — некоторое число. Подставляя в это равенство значение
х = а и используя формулу A) из § 4, имеем
а
\ f (t) dt = F (a) + С, 0 = F (a) + С, С = - F (а),
a
т. е. для любого хё|й, b\
\f(t)dt= F(x)-F(a).
а
Полагая x=ft, получаем основную формулу интегрального исчис-
исчисления
/>
\f(x)dx=F(b)-F(a), (I)
а
которая называется формулой Ньютона—Лейбница.
Разность F (b) — F (а) принято условно записывать так:
F(x)|* или [F (*)]?,
и поэтому формула A) принимает вид
ь
\f(x)dx= F (х) \ьа.
а
Подчеркнем, что в формуле (I) в качестве F (х) можно взять
любую первообразную для f (х) на отрезке [а, Ь].
Формула A) дает простой метод вычисления определенного
интеграла: определенный интеграл от непрерывной функции равен
разности значений любой ее первообразной, вычисленных для верх-
верхнего и нижнего пределов интегрирования. Эта формула открывает
широкие возможности для вычисления определенных интегралов,
поскольку задача вычисления определенного интеграла сводится
к задаче вычисления неопределенного интеграла, которая доста-
достаточно полно изучена.
Рассмотрим примеры.
1. [ sin х dx = — cos х |* = cos a — cos b.
2
2. JCx2- I) dx = [x3-xJ,;=BJ-2)-l0)-0) = 6.
о
7-1032 193

3. \^=
= In 2-In 1 = In 2
4.
dx
I +x-
j = arctg x f_, = arctg 1 — arctg (— 1) =
л / л \ л л л
5. \ ,
J v 1
-+ ^'
+ V'
3 а м о ч а н и с. Формула Ньютона Лейбница была выведена
в прел положении, что подынтегральная функция f (х) непрерывна.
При некоторых условиях формула Ньютона -Лейбница имеет ме-
место и для разрывных функций.
§ 8. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 8.7. Пусть fix) — непрерывная функция на от-
отрезке [а, Ь\. Тогда, ecsu: I) функция x = <p(t) дифференцируема
на [а, р1] и ф' (/) непрерывна на [а, р"|; 2) множеством значений
функции А'=ф(/) является отрезок \а, Ь\\
3) <р(а) = а и Ф(Р) = й (рис. 100), то
справедлива формула
a ft
J/(.«)djc= (Лф@1 ф' (/) d/. A)
ь -
Доказательство
11ьютона —Лейбница
По формуле
fi t
Рис 100
/ (х) Ах --= F (Ь) - F (а).
где F (х) — какая-нибудь первообразная для функции f (х) на
[а, Ь] С другой стороны, рассмотрим на отрезке [а, р1] сложную
функцию от переменной t: ФA)= F\y{t)\. Согласно правилу диф-
фенцирования сложной функции находим
Ф'@ = /=ф(/I ф'@ = /1ф@1 Ф'@-
Отсюда следует, что функция Ф (J) является первообразной для
функции fUpG)| ф' (/), непрерывной на [а, р|, и поэтому, согласно
формуле Ньютона Лейбница, получаем
-Ф(а) =
- F\(f(a)\ =
= F (b) — F{a)= \f{x)dx.
Этим доказана справедливость формулы (I).
194

Формула A) называется формулой замены переменной или под-
подстановки в определенном интеграле.
Замечание I. Если при вычислении неопределенного инте-
интеграла с помощью замены переменной от новой переменной / сле-
следует возвращаться к старой переменной х, то при вычислении опре-
определенного интеграла этого делать не нужно, так как теперь сле-
следует найти число, которое согласно доказанной формуле равно
значению каждого из рассматриваемых интегралов.
Пример 1. Вычислить t V 1 — х1 dx.
о
Решение. Рассмотрим подстановку ;r=sirW, 0^/^л/2.
Проверим законность такой подстановки.
Во-первых, функция f (х) = У \—х'2 непрерывна на [0, 1];
во-вторых, функция ;r = sin/ дифференцируема на [0, л/2] и х'',=
= cos/ непрерывна на [0, л/2] и, в-третьих, при изменении / от О
до л/2 функция .t:=sin/ изменяется от 0 до 1, причем ;г@) = 0
и х(л/2)=1. Таким образом, данная подстановка удовлетворяет
всем условиям теоремы 8.7. Применяя формулу A), получаем
I х/1 ._ .va
\ V 1 - х2 dx = \ V | - sin2 / cos / At = \ cos2 / At =
О A (]
л/2
= 4 \ A + cos 2t) dt = -J-.
о
Замечание 2. При использовании формулы (I) необхо-
необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий.
Если эти условия нарушаются, то может быть получен и неверный
результат.
Пример 2. Вычислить [ dx.
о
Решение. Имеем
С другой стороны,
л л л
Ах
С, __ Г Ах _ Г
) ) sin- х +cos2 х J cos- х( 1 + tg2 х)'
Q (I Q
Подстановка tgx=t формально приводит к следующему резуль-
результату:
Получен неверный результат, так как л=^0. Это произошло по-
потому, что функция ? = tg;r разрывна при х=л/2 и не удовлет-
удовлетворяет условиям теоремы 8.7.
195

§ 9. Формула интегрирования по частям
в определенном интеграле
Теорема 8.8. Если функции и{х) и v (x) имеют непрерыв-
непрерывные производные на отре же \ а, Ь\, то справедлива формула
= uv\i—
Доказательство Так как функция и {х) v(x) является
первообразной для функции \ и (х) v {х)\' = и[х) v' (x)-\-v (х) и'(х),
то по формуле Ньютона—Лейбница
b
и (а-) и' {х) -\- v {х) и' (х)\ dx = I и (х) и (х)\ *
Отсюда, используя свойство 4° определенных интегралов (см
§ 4), получаем
b b
и (х) о' (х) dx + \ v (х) и' (х) dx = \u (x) v (*))*,
или, чго то же самое,
h h
ij и dv + ^v Аи = iU'|';
11 (I
откуда и следует форму та (I) ¦
Формула A) называется формулой интегрирования по частям
в определенном интеграле
Пример 1. Вычислить [\п х dx
i
Решение Положим
и по формуле A) находим
Решение Положим и = \пх, du = dx, отсюда du = —, v =
I In x dx = x In x I', — \ x~ = ( x In x — x\ \ = I
Пример 2. Вычислить \ xcx dx
i
Решение Положим и = х, du = eAdx, отсюда du=dx, и = ел
и по формуле (I) имеем
— Jeldx= lcl(x — 1I, =
2
Пример 3. Вычислить [ arctg x dx
(i
196

Решение. Положим u = arctg x, dy = cU; отсюда d« =
х их
и = х, и по формуле A) находим
i i
J arctg х dx = x arctg x |' - J ¦ ( + ^ _
о о
Г 1 / «1 ' .я Г
= I лс arctg jc я-In U + * ' — ~1 In л/2.
L l Jo
1 +Х2'
§ 10. Некоторые физические и геометрические приложения
определенного интеграла
1. Площадь криволинейной трапеции. Пусть на плоскости
Оху дана фигура, ограниченная отрезком fa, b\ оси Ох, прямыми
Ь=х„
1
1 "х
Рис 101
Рис I02
х —a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной функ-
функции у=!(х) на [а, 6] Это криволинейная трапеция, площадь s*
которой может быть вычислена по формуле
s= \f(x)dx.
о:
Доказательство. Разобьем произвольно отрезок \а, Ь\
на п частей точками a = xo<.xi<xi<...<Lxl_i<Lx,<L...
..<х„=Ь, выберем на каждом частичном отрезке [*,_,, х,] про-
произвольно точку ll(xt ^I^jc,) и рассмотрим ступенчатую фи-
фигуру (рис. I01). Площадь s криволинейной трапеции приближенно
равна площади ступенчатой фигуры:
* О понятиях ггло!пади произвольной плоской фигуры, объема тела, пло
щади поверхности, а также о теоремах, которые будут приниматься без дока
штельства, см книгу Кудрявцев Л Д Курс математического анализа,
М , 1989 Т 1, 2
197

где
. = х, — х.
Естественно
считать,
что
при
к= max {Ал,} -»-0 плоиадь ступенчатой фигуры стремится к
1<1<Л
площади криволинейной трапеции. С другой стороны, площадь
ступенчатой фигуры является интегральной суммой для интеграла
A). Так как функция / (х) непрерывна на \а, Ь], то предел этой сум-
суммы при к= max {Ах) ->0 существует и равен интегралу от
функции I (х) по [а, Ь\ Следовательно, и площадь s криволиней-
криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу от функции
f(x)no[a,b\:
s=\\m
,= \f(x)dx.\
Итак, определенный интеграл от неотрицательной непрерыв-
непрерывной функции f (х) по \а, Ь\ численно равен площади криволинейной
трапеции с основанием \а, Ь], ограниченной сверху графиком функ-
функции у = /(х). В этом заключается
геометрический смысл определен-
определенного интеграла. 3
2
Ь л
Рис 103 Рис 104
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у = ха, а>0, прямой х= 1 и осью Ох (рис. 102).
Решение. По формуле A) имеем
Sv ^ И
v a A v I'
X а X = ;—г п ==
а +• 1 |0 а
Если а= 1, то s= 1/2; если а= 1, то s= 1/3, и т. д.
Пусть фигура ограничена снизу и сверху графиками функций
y = ft(x) и y=f.2(x), /,(jrX/2W, 'o<x<ft (рис. 103), где
/,(х), f.2(JC)—Двс непрерывные функции. Если обе функции не-
неотрицательны, то площадь s данной фигуры равна разности пло-
площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответ-
соответственно графиками функций y = f-2(x) и у = /,(х). Следовательно,
s= \f2(x)dx-\fl(x)dx=
B)
198

Заметим, что формула B) справедлива и тогда, когда /, (х)
и f2(x) не являются неотрицательными. В самом деле, в силу их
ограниченности существует число /г>0 такое, что функции
/!(*) = /| (лг)-г-Л, f*2 (x) = f2 (x)-\-h являются неотрицательны-
неотрицательными, и имеет место очевидное равенство
ь ь
\[f2(x) - f\(x)\ dx = \[f2(x) - j ^x)] dx
a a
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графи-
графиками функций y = f] (х) — х и у= /2U) = 2 — х1 (рис. 104).
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения прямой у = х
с параболой у = 2— х1. Решая систему уравнений
получаем х, = —2, х2=\. Это и есть пределы интегрирования.
Искомая площадь фигуры согласно формуле B) такова:
1 К I
4
= \ [/2 (*)-/, 001 d*= \ [''2—jc2)—j
2
4-
Замечание. Для вычисления площади криволинейной тра-
трапеции в случае, когда верхняя граница задана параметрическими
уравнениями лг = <р(/), У = 'ф@- a^f^p1, причем ф(а) = а.
Рис 105
Рис 106
ф(Р) = й, в формуле A) надо сделать замену переменной, поло-
положив x = q>(t), dx = (p' (t) dt. Тогда получим
сом
s= \ip(t)<?'(t)dt.
п.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллип-
х = a cos /,
у = Ь sin /,
О < t < 2л.
199

Решение. Эллипс симметричен относительно осей коорди-
координат, поэтому достаточно вычислить площадь части фигуры, на-
находящейся в I четверти (рис. 105). Следовательно, искомая площадь
равна
0 л/'2
s = 4 Ij ft sirW(acos/)'d/= 4aft lj sin2/d/ =
л/2 и
л/2
= 2aft ( (I — cos 2/) d/ = 2ab Г / — -i- sin 2/1 '^ =
В частности, если а=й=/?, то получаем известную формулу
площади круга л/?2.
2. Площадь криволинейного сектора. Пусть кривая АВ за-
задана в полярных координатах уравнением p = p(q>), a^cp^p1,
причем функция р (<р) непрерывна и неотрицательна на отрезке
[а, р|. Плоскую фигуру, ограниченную кривой АВ и двумя лучами,
составляющими с полярной осью углы аир, будем называть кри-
криволинейным сектором (рис. 106). Площадь s криволинейного сек-
сектора
Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [а, р]
на п частей точками а= ф(|<ф|-<ф2<:. .<ф,_|<ф,<..
...<Ф„=Р, выберем на каждом частичном отрезке [ф, ,, ф,]
произвольно точку ?, (ф,..|^?,^ф,) и построим круговые сек-
секторы с радиусами р (?,). В результате получим веерообразную
фигуру, площадь которой приближенно равна площади s криволи-
криволинейного сектора:
2
i- i
где Лф,= ф, — ф, , С другой стороны, площадь веерообразной
фигуры является интегральной суммой для интеграла C). Так
как функция р2(ф) непрерывна на отрезке [а, ($], то предел этой
суммы при \= max {Дф,} ->0 существует и равен интегралу C).
Следовательно, и площадь криволинейного сектора численно
равна этому определенному интегралу:
0
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной поляр-
полярной осью и первым витком спирали Архимеда: р = аф, где а —
положительное число (рис. 107)
200

Решение. При изменении ф от 0 до 2л полярный радиус
описывает кривую, ограничивающую криволинейный сектор ОАВС.
Поэтому по формуле C) имеем
а2 С .,
Sqahc = — \ Ф
—|о'
а1 8л>'
4 3 ,
Т Л а ¦
Расстояние от точки С до полюса равно р = 2яа. Поэтому
круг радиуса ОС имеет площадь л-ОС2=4л!а2=3-—nJa2=3s0/1BO
т. е. площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым
витком спирали Архимеда, равна !/3 площади круга с радиусом,
равным наибольшему из полярных радиусов витка. К этому вы-
выводу пришел еще Архимед.
*4
Рис 107
Рис 108
3. Длина дуги кривой. Пусть плоская кривая АВ задана урав-
уравнением y=f(x), a^.x^b, где / (х) -непрерывная функция
на отрезке [а, Ь\. Разобьем кривую АВ на п произвольных частей
точками А = Ма, М,, М2, ..., М,_„ М„ ..., М„=В в направле-
направлении от А к В. Соединив соседние точки хордами, получим неко-
некоторую вписанную в кривую А В ломаную, длину которой обозна-
обозначим через Р (рис. 108). Через /, обозначим длину одного звена
М,_,М, ломаной, а через ц — длину наибольшего из ее звеньев:
ц= max {/,}.
Определение. Число L называется пределом длин ломаных Р
пра |л-»-0 (Z. = limP), если для любого е>0 существует б>0
такое, что для всякой ломаной, у которой ц<6, выполняется
неравенство
\L-P\<Z e.
Если существует предел L длин Р вписанных в кривую ломаных
при ц->-0, то этот предел называется длиной дуги АВ.
¦ 1^с7ПГТ|)уНкий'я~ Д"лс}*нёпрерывна вместе с /' (х) на отрезке [а, Ь\,
го длина L дуги А В выражается формулой
h .
. L= jvi+/'2WdJc. D)
201

Доказательство. Обозначим через (*,; / (лг,)) коорди-
координаты точки М„ так что для абсцисс этих точек получим: a = jcn<
<Lxl<ix.2<i...<ixl_l<ixl<'...<ix, = b. Тогда длина /, од-
одного звена ломаной равна
По формуле Лагранжа
Следовательно,
/, = VT+ Г (U А*„ Ад:, = *, - *,_,.
Таким образом, длина всей ломаной равна
Правая часть равенства представляет собой интегральную сумму
для интеграла D). Функция \ \ -\-f'2 (х) непрерывна на [а, Ь],
о
5\
2Па х
По
Рис 109 Рис 110
поэтому предел этой суммы при Х= max {\х\ ->-0 существует и
равен определенному интегралу D). Так как >i^|j,*, то \->-0
при |л-»-0. Следовательно,
L = lim Р = lim У Vl
. = И •
+
Пример 5. Вычислить длину дуги полукубической параболы
= х:у\ если 0<х<5 (рис. 109).
Решение. Из уравнения y = jci/2
Следовательно, по формуле D) получим
находим: y' = -^-
335
,)", откуда
202

Замечание 1. Для вычисления длины дуги в случае, когда
кривая АВ задана параметрическими уравнениями x = y(t), у —
= г|з(/), а<:<г*;р, где а и р" — значения параметра t, соответ-
соответствующие значениям jc = a и х=Ь, т. е. а = ф(а), 6 = ф(Р),
* г- -¦ —
в формуле ? = \ V 1 -|-у (x)dx надо сделать замену переменной,
положив д: = ф ((), dx = (p' (() dt. Тогда получим
= ( Jtf* {t) + у'2 (t) dt. E)
Пример 6. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды*:
x = a(t — srn t), y = a(\ —cos t), 0<^<2л (рис. ПО).
Решение. Из уравнений циклоиды находим: ф'@ = аA —
— cos 0. ty'(t) = a sin t. Когда х пробегает отрезок [0, 2ла|, пара-
параметр t пробегает отрезок [0, 2л|. Следовательно, искомая длина
дуги
2л а .- 2л
L = \ V 1 + у'2 (X) АХ == ^ Л/ф'2 (/) + ^'2 (/) d/ =
(I (I
2л . Ъ.
= ( аУA — cos О2 + sin2/d^ = 2a [ s\n-^dt= — 4а cos -^-|g"=
Замечание 2. Для вычисления длины дуги в случае, когда
кривая АВ задана в полярных координатах уравнением р = р(ср),
а^Ф^Р, где р (ф) имеет непрерывную производную р' (ф)
на отрезке (а, р], и точкам А и В соответствуют значения ф, рав-
равные аир, нужно перейти от полярных координат |см. гл. 3, § 3,
формулу A)] к прямоугольным. Тогда получим параметрическое
задание кривой АВ уравнениями л: = р(ф)созф, y = [)^)simp,
а^Ф^Р (ф—параметр). Так как
х' (ф) = р' (ф) c°s ф —Р (ф) sin ф, у' (ф) = р' (ф) sin Ф + р (ф) cos ф,
то формула E) принимает вид
L = \ /рТф) + р'2 (Ф) dV. F)
а
Пример 7. Вычислить длину первого витка спирали Архимеда:
р = аф (см. рис. 1 07).
Решение. Первый виток спирали образуется при изменении
полярного угла ф от 0 до 2л. Поэтому по формуле F) искомая
* Циклоида — плоская кривая, которую описывает точка М окружности
радиуса а, катящейся без скольжения по прямой линии
203

длина дуги равна
L = j VVy + a2 dcp = a \ Vqr + 1 dcp =
= a
4 1п
4. Объем тела вращения. Пусть функция f (х) непрерывна и
неотрицательна на отрезке [а, Ь\. Тогда тело, которое образуется
вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной
сверху графиком функции y—f(x), имеет объем
v = л \ f2 (x) dx.
G)
Доказательство. [Разобьем произвольно отрезок [а, Ь\
на п частей точками а = х{) < jc, <ix.2 <C ... < лс,_, < х, < ...
...<jc,, = b. На каждом частичном отрезке [л., ,, х,\ построим пря-
прямоугольник (рис. 111). При вра- yi
щении вокруг оси Ох каждый пря-
Рис. Ill
моугольник опишет цилиндр. Найдем объем /-го цилиндра, обра-
образованного вращением прямоугольника PMNQ:
v, = nf2 (xi -1) Ах„
где \x, = xl—xl ,.
Сумма объемов всех п цилиндров приближенно равна объему
данного тела вращения
л/2
А*,.
С другой стороны, эта сумма является интегральной суммой для
интеграла G). Так как функция f~ (х) непрерывна на \а, Ь\, то пре-
предел этой суммы при к= max {Лх,} -vO существует и равен
определенному интегралу G). Таким образом,
v = lim V л/2 (*,_,) \х,= л (/2 (дг) dx. ¦
204

Пример 8. Вычислить объем тора. (Тором называется тело,
получающееся при вращении круга радиуса а вокруг оси, лежа-
лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра круга (Ь^а). Форму
тора имеет, например, баранка.)
Решение. Пусть круг вращается вокруг оси Ох (рис. 112).
Объем тора можно представить как разность объемов тел, полу-
полученных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE
вокруг оси Ох.
Уравнение окружности LBCD имеет вид
- bf = a\
причем уравнение кривой BCD
а уравнение кривой BLD
-x\
- х2.
Используя формулу G), получаем для объема v тора выражение
ала
v = 2л \ у] Ах - 2л \ у\ Ах = 2л \ (у] - у2) djc =
(I О О
= 2л \[(ь + ^а2-х2J -(b- Ja*-x2)\ Ax =
о
= 8лЬ \ Vfl2 - х2 Ах = 2п2а'2Ь.
о
5. Площадь поверхности вращения. Пусть функция / (х) не-
неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной
на отрезке[а,6]. Тогда поверх-
поверхность, образованная вращением
графика этой функции вокруг
оси Ох, имеет площадь Р, ко-
которая может быть вычислена
по формуле
ь t _.
72/
P=2n\f(x)^\+f'\x)Ax. (8)
а
Доказательство. Ра-
Разобьем произвольно отрезок [а,
Ь] на п частей точками a=jco<
<*l<.»:2<...<*,__, <*,<...
...<х„ = Ь. Пусть Ап, А„ А2 Д, .,, А„
щие точки графика функции f (х). Построим ломаную Ап, Аь А2, ...,
..., Ап (рис. 1 13). При вращении этой ломаной вокруг оси Ох полу-
получим поверхность, составленную из боковых поверхностей усечен-
усеченных конусов (цилиндров). Площадь боковой поверхности усечен-
усеченного конуса (цилиндра), образованного вращением /-го звена ло-
205
Рис 113
А„ —соответствую-

f(xi ) + f(x)
маной, равна 2л '—^ —/„ где /, — длина хорды А, ,Л„ т. е.
По формуле Лагранжа
/ (*,) - / (х, ,) = /' (?,) (х,
Полагая х, — jc,._, = Дх,,получаем
Итак, площадь Р поверхности вращения приближенно равна пло-
площади поверхности, полученной от вращения ломаной
fix ) 4- /('
1—1
Представим эту сумму в виде двух сумм
7'7a)A-v| О)
Первая сумма в правой части последнего равенства является ин-
интегральной суммой для интеграла (8), и при л= max {Л*,} ->-0
в силу непрерывности функции / (х) V 1 -\- f2 (х) имеет своим пре-
пределом этот интеграл. Покажем, что выражение в фигурных
скобках в правой части равенства (9) имеет при Х-»-0 предел,
равный нулю. Действительно, так как функция f (х) равномерно-
непрерывна на [а, Ь\, то по теореме Кантора для любого е>0
существует б>0 такое, что при ?i<;6 выполняются неравенства
f (*,_,)— /(!,)|<е и \f (x)—f A)\<г. Если обозначить через М
максимальное значение функции "V 1 -\-f2(х) на отрезке [а, Ь\, то
выражение в фигурных скобках при X<ib оценивается сле-
следующим образом:
2Мг ^ Ах, = 2М (Ь — а) г.
Так как е произвольно мало, то отсюда следует, что предел
указанного выражения равен нулю при л-»-0.
206

Таким образом, переходя в равенстве (9) к пределу при ?i-vO,
имеем
ь
P=2n\f(x) vl+7'2 (x) dx,
т. е. получена искомая формула (8). ¦
Замечание. Если поверхность получается вращением во-
вокруг оси Ох кривой АВ, заданной параметрическими уравнениями
л- = ф(/), y=tp(/), а</<р, причем ty (t)^Q, <p (t) изменя-
изменяется от а до Ь при изменении t от а до р, <р(ос) = а, ф(Р) = 6, то,
производя в интеграле (8) замену переменной x = y(t), получаем
Наконец, если кривая задана уравнением в полярных коорди-
координатах: р=р(ф), а^фй^р, где р (ф) имеет непрерывную про-
производную на [а, р|, то этот случай, как уже отмечалось в п. 3, сво-
сводится к параметрическому заданию кривой л: = р(ф)со5ф, у =
= р (ф) sin ф, а<!ф<:р, и формула A0) принимает вид
P = 2л \ р (ф) sin ф \/р2 (ф) + р'- ftp) dtp.
01
Пример 9. Вычислить площадь Р поверхности шарового по-
пояса, образованного вращением полуокружности /(jc)=v^2 — х2,
— R<Ca<C.x^.b<iR, вокруг оси Ох.
Решение. По формуле (8) получаем
ч ь
¦f о/ , dx = 2n[R dx = 2nR (b — a)=2nRh,
где h — высота пояса.
Пример 10. Вычислить площадь Р поверхности, полученной
вращением одной арки циклоиды х = а (i — sin t), y = a A — cos t),
0^.t^.2n, вокруг оси Ох.
Решение. По формуле A0) имеем
-'л г ;
Р = 2л \ а A — cos t) V (a sin tf + (а A — cos /)J At =
о
2л
= 2л/2яа2 Wl - cos t)V2 dt = -^-ла2.
6. Работа переменной силы. Из рассмотренных выше задач,
связанных с геометрическим приложением определенного инте-
интеграла, следует, что для их решения применяется один и тот же вы-
вычислительный метод: приближенное значение искомой величины
представляется в виде интегральной суммы, а затем предельным
207

переходом получается точное значение в виде интеграла. С по-
помощью этого же метода решается целый ряд других задач механи-
механики, физики и техники. В качестве примера вычислим работу пере-
переменной силы.
Пусть материальная точка перемещается под действием силы F,
направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину,
зависящую от х. Требуется определить работу А, совершаемую
силой F по перемещению материальной точки вдоль оси Ох из
точки х = а в точку x~b(a<Lb). Функция F (х) предполагается
непрерывной на отрезке [а, Ь\ (рис. 114).
Разобьем произвольно отрезок [а, Ь\ на п частей точками а =
= xn<.X\<.x2<L~-<Lxl_ ,<;*,<;...<.х„= Ь. Выберем на каж-
каждом частичном отрезке х, ,, х,\ точку ?,. Сила, действующая на
материальную точку на отрезке [*,_,, *,], изменяется от точки к
точке. Но если длина отрезка мала, то
значение силы в точках отрезка | *,_,, х,\
мало отличается от ее значения в любой
точке |,е[лс, ,, *,], так как F (х) непре-
Рис lit Рис 115
рывна. Поэтому работу /1„ совершаемую силой F на [x,_h *,],
можно считать приближенно равной работе, совершаемой на том
же отрезке постоянной силой F (?,), т. е.
A,*F (|,) А*,.
Проводя аналогичные рассуждения для каждого отрезка раз-
разбиения, получаем приближенное значение работы А силы F на
всем отрезке:
a^y.f u.)Лх'-
I- I
С другой стороны, сумма в правой части равенства является ин-
интегральной суммой для функции F (х). Так как функция F [х)
непрерывна на [а, Ь\, то предел этой суммы при Я,=
— max (Д*,1 ->-0 существует и равен определенному интегралу
от функции F (х) по отрезку [а, Ь\. Таким образом,
А = lirn У F(ll)\xl= \ F{x)dx.
> - о .f-, i
(И)
208

Пример 11. Определить работу А, необходимую для запуска
тела массой т с поверхности Земли вертикально вверх на высоту h
(рис. 115).
Решение. Обозначим через F силу притяжения тела Землей.
Пусть тл — масса Земли. Согласно закону Ньютона
mm,
F= G—-+
где х — расстояние от тела до центра Земли. Полагая Gmm3 =
= К, получаем F (х) = К/х'2, /?<х</г + /?, где R —радиус-
Земли. При x=R сила F (R) равна весу тела P=mg, т. е. K/R2 =
= Я, откуда /С=Р/?", и F (.к) = PR2/x2. Таким образом, по фор-
формуле A1) получаем
А _ J „ (х) „, _ PR,j ц
ц _ да ,г _ .
§ 11. Несобственные интегралы
Вводя определенный интеграл как предел интегральных сумм,
мы предполагали, что отрезок интегрирования конечный, а подын-
подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Если хотя бы
одно из этих условий не выполнено, то данное выше определение
определенного интеграла теряет смысл. Так, в случае бесконеч-
бесконечного отрезка интегрирования нельзя разбить отрезок на п частей
конечной длины, а в случае неограниченной функции интеграль-
интегральная сумма не имеет конечного предела. Однако и на эти случаи
можно обобщить понятие определенного интеграла. В результате
такого обобщения и появилось понятие несобственного интеграла.'
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами инте-
интегрирования. Определение. Пусть функция f (x) определена на про-
промежутке [а, +°°) и интегрируема по любому отрезку [a, R\, т. е.
R
существует определенный интеграл [ f(x) dx при любом R>a.
а
Тогда, если существует конечный предел
R
Mm \if{x)dx, A)
то его называют несобственным интегралом первого рода и обозна-
обозначают
\ f{*)dx. B)
а
Таким образом, по определению,
\ f(x)dx = Mm \ f(x) dx.
209

В этом случае говорят, что интеграл B) существует или схо-
сходится. Если же предел A) не существует или бесконечен, то гово-
говорят, что интеграл B) не существует или расходится.
Аналогично интегралу B) вводится несобственный интеграл
по промежутку (— оо, Ь\:
h Ь
\ t(x) Ах — lim \ i (х) Ах C)
»- ~*
Наконец, как сумму интегралов вида B) и C) можно опреде-
определить несобственный интеграл с двумя бесконечными преде-
пределами, т. е.
• ос С } эо
\ /Wdx=t \ f(x)dx+ \ f(x)Ax,D)
.ТО ОС Г
где с — любое число, при условии су-
существования обоих интегралов справа.
0 я ** Установим геометрический смысл не-
р , .f собственного интеграла первого рода.
Пусть f(x)^0. Тогда определенный инте-
интеграл \ f (x) dx выражает площадь области, ограниченной сверху гра-
а
фиком функции f (х), снизу — осью Ох, слева — прямой х = а,
справа — прямой x = R. Естественно считать, что несобственный
[ со
интеграл [ f (х) Ах выражает конечную площадь бесконечной об-
а
ласти, ограниченной сверху графиком функции f (х), снизу осью
Ох, слева прямой х = а (рис. 116). Аналогичная интерпретация
имеет место для интегралов C) и D).
Рассмотрим несколько примеров вычисления несобственных
интегралов первого рода.
+ ос R
Пример I. \ -—-—= lim \-—^Ц-= lim arctg*|* =
о о
= lim arctg R = -?-,
к • + -*>
т е данный интеграл сходится.
-*-сю R
Пример 2. ( cos х dx = lim [ cos x dx = lim sin x |„ =
= lim sin R,
но предел функции sin/? при R->-\-oo не существует, следова-
следовательно, интеграл расходится
roc 0 , ос
Пример 3. [ ед dx — \ е dx -(- { ех dx,
210

интеграл расходится, так как
+ <*= R
[ e*dx = lim (e*d* = lim е*|ц = lim (ей — l)=oo.
J R—l-oo J R —-l-oc R . f oo
_ , f dl
Пример 4. \ —, a —
некоторое число.
]) Если cl^=\, то для любого /?>0
при а> 1,
оо приа<1.
/? i- - i
lim \—= lim _-a|| = lim —, a = S '~a
2) Если a= 1, то для любого /?>0
lim \— = lim In jc |* = lim In R = oo.
R > + « J Л Д -+oo R * + ao
Таким образом, данный интеграл сходится при а> 1 и расхо-
расходится при а<! 1.
Заметим, что в рассмотренных примерах вычисление несобствен-
несобственного интеграла было основано на его определении.
2. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Опре-
Определение. Пусть функция f (х) определена на промежутке [а, Ь).
Точку х= Ь будем называть особой, если функция f (x) неограни-
чена в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом
отрезке [а, Ь — е], заключенном в [ а,
Ь) (рис.117). Пусть на любомотрезке
[а, Ь — е] функция f (х) интегри-
интегрируема, т. е. существует определен-
определенный интеграл [ f (x) dx при любом
а
е>0 таком, что Ь — е>а. Тогда,
если существует конечный предел
6-е
lim \ f (x) dx.
E)
D-S Ь
Рис 117
то его называют несобственным интегралом второго рода и обозна-
обозначают
\f(x)dx.
F)
В этом случае говорят, что интеграл F) существует или сходится.
Если же предел E) не существует или бесконечен, то говорят, что
интеграл F) не существует или расходится.
211

Аналогично, если х = а — особая точка, то несобственный
интеграл определяется так:
Ь II
(jf (х) cijc = lim \ i(x) Ax.
Если функция f (х) не ограничена в окрестности какой-нибудь
внутренней точки feja, b\, то при условии существования обоих
интегралов справа по определению полагают
li < h
[ ! (х) Ах = \f (х) Ах -+- \ I (х) Ах
j j j
и а с
Наконец, если а и b особые точки, то если оба интеграла
справа существуют, несобственный интеграл определяется как
сумма
\}(х)Ах= \!(х)Ах + \f(x)Ax,
(I <1 С
где с любая точка из (a, b).
i
Пример 5. \ —-, а>0 — некоторое число.
о
1) Если аф 1, то
при а > I,
при 0 < а <1.
2) Если а= 1, то
i
lim \ — — lim In x\l = lim (— In e) = oo.
, .0 - J X t .0 - • -0 +
Таким образом, данный интеграл сходится при 0<а<1 и
расходится при а^ 1
3. Признак сходимости несобственных интегралов. Рассмотрим
вопрос о сходимости несобственных интегралов вида \ f (х) Ах.
и
Теорема 8.9 (признак сравнения н е с о б с т-
в е и и ы х и и т е г р а л о в). Если функции f (x) и g (x) непре-
непрерывны на полупрямой [а, +оо) и удовлетворяют на ней условию
" (x)^Zg (x), то из сходимости интеграла
. fdr .. X1 ' ., .. I -t} ¦ J °°
lim \—= lim -: '=¦ lim —: = •> I
\ g(x)Ax G)
следует сходимость интеграла
\ fix) Ах, (8)
а
212

а из расходимости интеграла (8) следует расходимость интегра-
интеграла G).
Доказательство. Введем обозначения
к R
F(R)=\f(x)dx,G(R)=\g(x)dx.
Так как 0<;/ (x)<g (лс) при х^а, то в силу оценок 1° и 2° (см.
§ 5) справедливы неравенства
0< F(ff)< G(R) при /?>а, (9)
и, кроме того, функция /¦"(/?) [а также G (R)\ является неубываю-
неубывающей на полупрямой [а, -|-оо). В самом деле, если /?/?
Я.,
то ( f (x) djc^O и, следовательно,
я
ft! j П I <\ •}
dx^ \f(x)dx=F(Rl).
а а /?1 а
Пусть интеграл G) сходится, т. е. функция G (R) имеет конечный
предел при /?->- + оо. Отсюда в силу неубывания G (R) следует,
что функция G (R) ограничена на [а, -|-оо) Но тогда согласно ра-
равенству (9) и функция F (R) ограничена на \а, -\- оо) и, следова-
следовательно, имеет на [а, -(-оо) точную верхнюю грань. Пусть
sup F (/?) = /. По определению точной верхней грани для
любого е>0 найдется такое Rf^a, что ()<!/—FG?f)<;e.
Так как функция F (R) не убывает на [a, -b00), то для любого
R>Re выполняется неравенство F (R)^F (/?р) и, значит, 0<
</ — F(R)<e при /?>/?,.
Таким образом,
|F(/?) — /| < е при R > /?„.
Это означает, что lim F(R) = I, т. е. интеграл (8) сходится.
R^ + oc
Пусть теперь интеграл (8) расходится. Тогда, если предполо-
предположить, что интеграл G) сходится, то в силу доказанного выше ин-
интеграл (8) сходится, что противоречит условию. Следовательно,
интеграл G) также расходится. ¦
Замечание. Аналогичный признак сравнения для несоб-
несобственных интегралов второго рода можно сформулировать следую-
следующим образом: если функции f (х) и g (x) непрерывны па полуинтер-
полуинтервале (а, Ь\ и для всех точек х в некотором интервале (а, а-\-г)
выполняются условия 0^/ (x)<^g (x), то из сходимости инте-
b b
трала [g{x) dx следует сходимость интеграла [f(x)dx, а из расходи-
а а
Ь Ь
мости интеграла \ f (x) dx следует расходимость интеграла \ g (x) dx.
а а
213

Пример 6. Исследовать сходимость \ —
I
Решение. Сравним подынтегральную функцию -
с функцией — на полупрямой 1 ^х< -+- оо. Очевидно, что
xHl t-c-') ^ *
Но интеграл \ -^ сходится, так как а=2>1 (см. пример 4).
Следовательно, согласно признаку сравнения сходится и данный
интеграл.
-t- эс
SV X
Ах.
I -\- X
I
V х
Решение. Сравнивая подынтегральную функцию с функ-
I -\~ X
1 „ .
циеи —г-на полупрямой 1 ^х< + оо, имеем
2V.t
\х
х + х
Но интеграл \ —х— расходится, так как а=—-<1 (см.
J 2\lx z
при-
мер 4). Следовательно, согласно признаку сравнения и данный
интеграл расходится.
4. Пример использования несобственного интеграла. Вычислим
вторую космическую скорость тела, т. е. начальную скорость,
при которой оно способно выйти из поля притяжения Земли в меж-
межпланетное пространство.
Ранее (см. § 10, п. 6, пример 1 1) с помощью определенного инте-
интеграла была вычислена работа, необходимая для запуска тела мас-
массой т с поверхности Земли на высоту h:
А= ^ F (x) dx = R + h,
R
Выход тела в межпланетное пространство означает запуск его па
бесконечную высоту (Л=оо). Вычислим необходимую для этого
работу:
ос.
SPRh PR
F (x) dx = lim p = lim = PR = mgR,
R
где m — масса тела; g — ускорение свободного падения у поверх-
поверхности Земли (трение и притяжение других планет при этом не учи-
учитываются). Эта работа совершается за счет изменения кипетиче-
214

ской энергии тела. Поэтому кинетическая энергия тела в началь-
начальный момент должна быть не меньше этой работы, т. е. начальная
скорость тела v должна быть такая, чтобы
mgR или v
= л/2 • 10-6 400 000 м/с =
= 1,4 • 8000 м/с =11,2 км/с.
Если начальная скорость тела равна 11,2 км/с, то его траектория
движения представляет собой параболу. При начальной скорости,
большей 11,2 км/с, траектория будет представлять собой гипер-
гиперболу, а при начальной скорости, меньшей 1 1,2 км/с, тело будет
двигаться по эллиптической траектории, при этом либо упадет
на Землю, либо станет искусственным спутником Земли.
§ 12. Приближенное вычисление определенных интегралов
При решении физических и технических задач приходится на-
находить определенные интегралы от функций, первообразные кото-
которых не выражаются через элементарные функции. Это привело к не-
необходимости вывода приближен-
приближенных формул вычисления опреде-
определенных интегралов. Познакомим-
Познакомимся с двумя из них: формулой тра-
трапеций и формулой парабол.
I. Формула трапеций. Пусть
требуется вычислить интеграл
[ f (х) Ах, где / (х) — непрерывная
функция. Для простоты рассуж-
рассуждений ограничимся случаем, когда
f (х)^0. Разобьем отрезок [а, Ь\
па п равных отрезков точками
...<Lxk_\<Lxk<C~-<Lxn= b и с помощью
строим п прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы
на рис 118). Сумма площадей трапеций приближенно равна пло-
площади криволинейной трапеции, т. е.
Рис 11 8
а— *„<*1
прямых x = xk по-
где /(*?_,) и f(xk) соответственно основания трапеций; хк—
— хк_! = (Ь — а)/п — их высоты.
215

Таким образом, получена приближенная формула
Ь , л-1 \
/ (х) dx « ~ / (а) + / (ft) + 2 ? / (О ,
которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точ-
точнее, чем больше п.
i
Рассмотрим в качестве примера интеграл \ л:2 dx Точное зпа-
0
чение этого интеграла находится просто:
1
[ jc2dx = -Jl'> = -1= 0,3333...
о
Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенное зна-
значение. Пусть я = 5. Тогда имеем: а = хо=О, л:, = 0,2, х2=0,4,
x,t=0,6, х4=0,8, x<J=\ = b и соответственно /(хо) = О,
/(*,) = 0,04, f (ж2) = 0,16. /(л:,) = 0,36, / (х<) = 0,64, /(*,)=!¦
Следовательно,
x2<ix&-^{\ + 2 [0,04 +0,16 +0,36+ 0,64| I = -^ = 0,34.
о
Точное значение интеграла равно 0,3333..., поэтому абсолютная
ошибка меньше 0,007. Во многих технических задачах эта точность
достаточна.
Если увеличить число п, то точность будет большей. Так, на-
например, при гс= 10
i
х2 dx « 4) I' + 2 • 2-85> = -W = °'335-
т. е. абсолютная ошибка меньше 0,002.
В более полных курсах высшей математики доказывается, что
если функция f (х) имеет на [а, Ь\ непрерывную вторую производ-
производную, то абсолютная величина погрешности формулы трапеций не
больше, чем
[Ь - а)'
где k — наибольшее значение \{" (х)\ на отрезке \а, Ь\.
Следует отметить, что с увеличением п увеличивается не только
точность вычисления определенного интеграла, но и объем вычис
лительной работы Однако здесь на помощь приходят ЭВМ.
Вычислим по формуле трапеции интеграл \ при п =
J ' т х
о
= 10. Разобьем отрезок [0, 1] на 10 равных частей точками хц=0,
216

jc , = 0,1, ..., л:я = 0,9, Х|0=1. Вычислим приближенно значе-
значения функции f (x)=- 1 . в этих точках: /@)= 1,0000, /@, 1) =
= 0,9091, /@,2) = 0,8333, / @,3) = 0,7692, / @,4) = 0,7143,
/@,5) = 0,6667, /@,6)= 0,6250, /@,7) = 0,5882, / @,8) = 0,5556,
/ @,9) = 0,5263, / A) = 0,5000.
По формуле трапеций получаем
Г <Ц „ ,(l,0000+0,5000
J 1 +x ~ 10 l 2 '
о
+ 0,7692 + 0,7143 + 0,6667 + 0,6250 + 0,5882 + 0,5556 + 0,5263) =
= 0,69377 ^ 0,6938.
Оценим погрешность полученного результата. Так как / (*) =
= 1/A+*), то /'(*)= — 1/A+jcJ, Г (*) = 2/A+*)''. На от-
отрезке [0, 1) имеем |/"(jc)|^2. Поэтому погрешность полученного
результата не превосходит величины
/г (й-а)' 2 I
Вычислим точное значение данного интеграла по формуле Нью-
Ньютона—Лейбница:
= 1пA + х)\1= In 2 « 0,69315.
Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапе-
трапеций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с данной выше
оценкой погрешности.
Идею, которая была использована при построении формулы тра-
трапеций, можно использовать для получения более точных приб-
приближенных формул для вычисления, определенного интеграла.
2. Формула парабол. Докажем предварительно две леммы.
Лемма 8.1. Через любые три точки М,(*,; у,), М2(*2; у2),
М;|(х3; Уз) с различными абсциссами можно провести единствен-
единственную кривую вида
у = Ах2 + Вх + С. A)
Доказательство. Подставляя в уравнение параболы A)
координаты точек М,, Мъ М3, получаем систему трех уравнений
первой степени с тремя неизвестными А, В, С:
Ах] + Вх2 + С = у2,
Ах\ + Вх3 + С = Уз-
217

Так как числа хи х2, лгч различны, то определитель этой системы
(гл. 10, § 3) отличен от нуля:
Д =
X] Xs 1
x\ x, 1
x\ x% 1
= (x2 — X]) (a:., — x2) (a:, — x,) ф О
Следовательно, данная система имеет единственное решение, т. е
коэффициенты А, В, С определяются однозначно. ¦
Отметим, что если АфО, то кривая A) является параболой,
если /1 = 0, то прямой
м,
мг
ш.
О Хц'О X, Г.,
Рис 119
F>nc 120
Лемма 8.2. Площадь s криволинейной трапеции, ограничен-
ограниченной кривой у = Ах2-\- Вх-\-С, проходящей через точки М, ( — h, у,),
М,@, у,), МЛ(Н, уi) (рис. 119), выражается формулой
Доказательство. Подставляя в уравнение у = Ах1-\-
-\-Bx-\-C координаты точек М,, М.2, М,, получаем y, = Ah2 —
— Bh + C, y2=C, y.,= Afr-\-Bh + C, откуда следует, что
+ 2C = yi+y;i;C = y.2. C)
Учитывая соотношения C), имеем
Л А
2 + Вх + С) djc = $ (Л*2 + С) dx + В \ х dx =
-А --А
+ С) djc = ^BAh2 + 6С) = 4 (У. + 4-V, + уч).
s =
= 2
Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную
произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [а, Ь\ на In
равных отрезков точками a = x,.,<*,<*.,<.. <x.lk<.xik H<
<«М+2< ¦ <*2«-1<*2я=*. Э КРИВУЮ «/=/(*) С ПО-
ПОМОЩЬЮ прямых л: = лг^. на 2rt соответствующих частей точками
Мп, М„ М,, . , M2lp M2MI, Af2t+2. , М.,я_2, М,2п .„ М2„ (рис. 120).
218

Через каждую тройку точек
МAМ,М2, ,AI2tM.2K1iMa),, , М2п .2Af2,,..,M2,,
проведем кривую вида у = Ах2-\-Вх-\-С (см лемму 8 1) В ре-
результате получим п криволинейных трапеций, ограниченных сверху
параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис 120)
Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответству-
соответствующей отрезку [х2к, x2k+2] < приближенно равна площади соответ-
соответствующей «параболической» трапеции, то по формуле B) имеем
[в данном случае h = (b — а)/Bп)\
fi) d ^(+ 4 +У )
где yk=f(xk), fc = O, 1, 2, , 2/г Складывая почленно эти приб-
приближенные равенства, получаем приближенную формулу
\ f (х) дх а: —г—-
или в развернутом виде
ь
2 (у, + у4 + + у2а
Эта формула называется формулой парабол или формулой Симп-
сона *
В формуле парабол значение функции f (х) в нечетных точках
разбиения лг,, д:л, , х.2п_, имеет коэффициент 4, в четных точках
х>, х4, , х2„..2 — коэффициент 2 и в двух граничных точках хо =
= a, x-in= Ь — коэффициент 1
Геометрический смысл формулы Сим пеона очевиден площадь
криволинейной трапеции под графиком функции f (х) на отрезке
а, Ь\ приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих
под параболами (прямыми)
В полных курсах высшей математики доказывается, что если
функция f{x) имеет на [а, Ь\ непрерывную производную четвертого
порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона
не больше чем
м
2880м1 '
где М — наибольшее значение [/4 (х)\ на отрезке (а, Ь\ Выше
отмечалось, что погрешность формулы трапеций оценивается чис-
* Сичпсон Томас A710 -1761) —английский математик

±^L (* =-max !/"'*)I \
^n~ \ ah. /
лом
Так как п* растет быстрое, чем п\ то погрешность формулы Симп-
сопа с ростом п уменьшается значительно быстрее, чем погреш-
погрешность формулы трапеций Этим и объясняется, что формула Симп-
сона позволяет получить большую точность, чем формула тра-
трапеций.
Для сравнения точности прибпиженных формул вычислим еще
раз интеграл \ * , но теперь по формуле Симпсона при п = 4.
I)
Разобьем очрезок [О, I] на четыре равные части точками х„=0,
лг,= 1/4, х2= 1/2, лг,= 3/4, л-,= 1 и вычислим приближенно
значения функции / [х>= 1 /(I -\-х) в этих точках ?/„=1,0000,
у, = 0,8000, у,= 0,6667, у,= 0,5714, у,= 0,5000
По формуле Симпсона получаем
У, + 2у, + 4 (,/, + У 0| =
= J_I±| 1,0000 + 0,5000 + 2-0,6667 +4@,8000 + 0,5714)] ж0,69325.
Оценим погрешность полученного результата. Для подынтеграль-
подынтегральной функции f (х)= 1/( 1 -\-х) имеем: / 4' (х)= 24/(I -\-х)\ от-
откуда следует, что па отрезке | 0, 1| |/' [х) ^24. Следоиательно,
можно Е)зять М = 24, и погрешность результата не превосходит
величины 24/B880 • 4')<;0,0004. Сравнивая приближенное зна-
значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата,
полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011. Это находится
в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того,
свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее фор-
формулы трапеций Поэтому формулу Симпсона для приближенного
вычисления определенных интегралов используют чаще, чем фор-
формулу трапеций
Как отмечалось выше, приближенные формулы для вычисления
определенного интеграла применяют в тех случаях, когда перво-
первообразная подынтегральной функции не выражается через элемен-
элементарные функции.
Вычислим, например, интеграл \е v Aл* по формуле Симпсона
:1
с точностью до 0,001
* Рассматриваемый ими грач но иыражаето! Mi'piM псментярные функции,
но имеет большое тпаченне в статнсшческой физике, ic-ории теплопроводности
и диффузии
220

Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности
число 2п, найдем f'r'{х) Последовательно дифференцируя функцию
/ (jf) = e ", получаем
/¦•"(*) = 4е-*"Dлг1— 12t- + 3)
Так как на отрезке [0, 1] е~*^1, U*4—12х" + з|^5, то
|f""(x)|^20 Следовательно, можно взять М = 20 Исполь-
Используя формулу оценки погрешности, имеем 2 0/2880га4< 1/1000,
откуда «4> 1000/144 Для того чтобы выполнялось это неравен-
неравенство, достаточно взять «=2, т е 2п=4
Разобьем теперь отрезок [0, 1] на четыре равные части точ-
точками Jff,= O, лг,= 1/4, х2= 1 /2, х3=3/4, х4= 1 и вычислим
приближенно значения функции f(x) = e~"' в этих точках yQ—
= 1,0000, у,= 0,9394, у2= 0,7788, (/,= 0,5698, у4= 0,3679 При-
Применяя формулу Симпсона, получаем
[ е *'¦' dx ж -i- [1,0000 + 0,3679 -f 2 • 0,7788 +
+ 4 @,9394 + 0,5698)] ~ 0,7469
i
Таким образом, \е~* dx ж 0,747 с точностью до 0,001 Итак, раз-
п
бив отрезок [0, 1] всего на четыре равные части и заменив рассмат-
рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы
Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью
В заключение отметим, что каждый из изложенных методов
приближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм
их нахождения, что позволяет широко применять эти методы
для вычислений на ЭВМ Таким образом, указанные методы —
эффективное средство вычисления интегралов Для интегралов,
которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью
ЭВМ и простейших приближенных методов можно составить таб
лицы их значений

ЧАСТЬ ВТОРАЯ¦
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Перейдем теперь к изучению функций двух и более переменных.
Предварительно ознакомимся с некоторыми понятиями аналитиче-
аналитической геометрии в пространстве, которые используются далее для
геометрической интерпретации функций нескольких переменных.
В этой части рассмотрены также такие понятия высшей алгебры,
как матрица и определитель, важные не только для изучения мате-
математического анализа, но и имеющие широкое применение в других
разделах математики.
Г Л А В Л 9
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Прямоугольная система координат в пространстве
Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве опреде-
определяется заданием масштабной единицы измерения длин и трех пере-
пересекающихся в одной точке О взаимно перпендикулярных осей:
Ох, Оу и Oz. Точка О — начало коорди-
координат, Ох — ось абсцисс, Оу — ось орди-
ординат, Oz — ось аппликат.
Пусть М — произвольная точка про-
пространства (рис. 121). Проведем через
точку М три плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярные координатным осям Ох, Оу и Oz.
Точки пересечения плоскостей с осями
j 7"м *у обозначим соответственно через МГ1 Му
^ и Мг. Прямоугольными координатами
точки М называются числа
Рис 121 Х ~
т. е. величины направленных отрезков ОМ х, ОМУ, ОМ2\ при этом
х называется абсциссой, у — ординатой, a z — аппликатой точки М.
Таким образом, при выбранной системе координат каждой точ-
точке М пространства соответствует единственная упорядоченная
тройка чисел (х; у; z)* — ее прямоугольные координаты и, обрат-
* Тройка чисел х, у и г называется упорядоченной, если указано, какое
из этих чисел считается первым, какое — вторым и какое третьим В записи
(х, у, г) х означает первое число, у — второе, г — третье
222

но, каждой упорядоченной тройке чисел (х, у, z) соответствует,
и притом одна, точка М в пространстве.
Итак, прямоугольная система координат в пространстве уста-
устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством
всех точек пространства и множеством упорядоченных троек чисел
Плоскости Оху, Oyz, Oxz называются координатными плоско-
плоскостями Они делят все пространство на восемь частей, называемых
октантами
§ 2. Понятие вектора
1. Скалярные и векторные величины. Многие физические вели-
величины полностью определяются заданием некоторого числа Это,
например, объем, масса, плотность, температура тела и др Такие
величины называются скалярными В связи с этим числа иногда назы-
называют скалярами. Но есть и такие величины, которые определяются
заданием не только числа, но и некоторого направления. Например,
при движении тела следует указать не только скорость, с которой
движется тело, но и направление движе-
движения Точно так же, изучая действие какой- ? ^
либо силы, необходимо указать не только а В
значение этой силы, но и направление ее
т- Рис 199
действия Такие величины называются
векторными Для их описания было введено понятие вектора,
оказавшееся полезным для математики.
2. Определение вектора. Любая упорядоченная пара точек А и В
пространства определяет направленный отрезок, т. е отрезок вместе
с заданным на нем направлением. Если точка А первая, то ее назы-
называют началом направленного отрезка, а точку В — его концом.
Направлением отрезка считают направление от начала к концу
Определение I. Направленный отрезок называется вектором.
Будем обозначать вектор символом АВ, причем первая буква
означает начало вектора, а вторая - его конец Вектор также
обозначают и одной буквой с черточкой наверху, например а
Направление вектора на рисунке указывают стрелкой (рис. 122)
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нуле-
нулевым и обозначается 0 или просто О
Расстояние между началом и концом вектора называется его
длиной и обозначается АВ или \а \
Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на
одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные век-
векторы могут быть направлены одинаково или противоположно
Нулевой вектор будем считать направленным одинаково с любым
вектором; длина его равна нулю, т е 10 | = О
Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух
векторов
Определение 2. Векторы а и b называются равными (а = b ),
если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны
223

На рис 123 изображены слева неравные, а справа — равные
пекторы а и b Из определения равенства векторов следует, что
если данный вектор перенести параллельно самому себе, то полу-
получится вектор, равный данному В связи с этим векторы в аналити-
аналитической геометрии называют свободными
3. Проекция вектора на ось. Пусть в пространстве заданы ось
и и некоторый вектор АВ Проведем через точки А и В плоскости,
перпендикулярные оси и Обозначим через А' и В' гочки пересече-
пересечения этих плоскостей с осью (рис 124)
Проекцией вектора АВ на ось и называется величина А'В'
направленного отрезка А'В' на оси и Напомним, что
А'В'= А'В' , если направление А'В' совпадаете
направлением оси и,
А'В' = — |/ТВ'I, если направление А'В' противо-
противоположно направлению оси и
Обозначается проекция вектора Ли на ось итак при АВ
Рис 123
Рис 124
Имеет место следующая теорема
Теорема 9.1. Проекция вектора АВ на ось и равна длине
вектора АВ, умноженной на косинус угла между вектором А В
и осью и, т е
пр„ АВ = АВ\ cos ф,
B)
где ф — угол между вектором АВ и осью и (рис 125)
Доказательство Если ф^ л/2 (рис 125, а), то в силу A)
при АВ = \А'В'\ = \АВ
Если же ф>л/2 фис 125, б), то в силу A) пр„ АВ =
==-\А'В'\ = — АВ\ cos (л — ф)= АВ ф
Таким образом, для любого угла ф справедливо равенст-
равенство B) ¦

Замечание 1. Пусть А [В[ = А.2В2 и задана какая-то ось и.
Применяя к каждому из этих векторов формулу B), получаем
[ф„Л,в, = пр„ А.2В.2,
т. с. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.
4. Проекции вектора на оси координат. Пусть п пространстве
заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольный
векгор АВ. Пусть, далее, A"=npv/lfi, Y=np4AB, Z=npzAB.
Проекции X, Y, Z вектора АВ на оси координат называют его
координатами. При эгом пишут
~АВ ={Х; К; Z]
Теорема 9.2. Каковы бы ни были две точки А (х:; у,; 2,)
и В (х,; </_„ z2), координаты вектора АВ определяются следующими
формулами:
X = х, -х„ У = у, - у„ Z = z, — г,. C)
Д о к а з а г е л ь с т » о. Проведем череч точки А и В плоскости,
перпендикулярные осп Ох, и обозначим точки п\ пересечения
с осью Ох соответственно через А' и В'. Точки А' и В' на оси Ох
А'
А' и
а)
Рис 125
Рис 126
имеют координаты х, и х2 (рис. 126). По определению, Х =
= upГ~АВ = Л'В'. Но А'В' = х, — х1 (см. гл. 1, § 3) Поэтому
X— х, — xv Аналогично устанавливаются и остальные форму-
формулы C). Н
Замечание 2. Если вектор АВ выходит из начала коорди-
координат, т. е. х| = у, = 2,= 0, и xz = x, y2=y, z.2= z, то координаты
А", К, Z вектора /IS равны координатам его конца:
X = х, Y = у, Z = z.
5. Направляющие косинусы вектора. Пусть дан произвольный
вектор а =\Х\ У; Z-; будем считать, что а выходит из начала
координат и не лежит ни в одной координатной плоскости.
Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям.
Вместе с координатными плоскостями они образуют прямоуголь-
8-1032 225

ный параллелепипед, диагональю которого служит отрезок ОА
(рис. 127). Из элементарной геометрии известно, что квадрат
длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме
квадратов длин трех его измерений. Следовательно,
Но
образом, получаем
или
таким
= X1 + YJ + Z\
Z\
D)
Формула D) выражает длину произвольного вектора через его
координаты.
Обозначим через а, р\ у углы
между вектором а и осями коорди-
координат. Из формул B) и D) получаем
cos а = Х
V X" +- V2 -f 7.'
COS V =
7,
127
cos a, cos p, cosy называются на-
направляющими косинусами вектора а .
Возводя в квадрат левую и пра-
правую части каждого из равенств E)
и суммируя полученные результаты,
имеем
cos2 a + cos2 p -\- cos? у = 1, F)
т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора
равна единице.
В заключение пункта рассмотрим задачу. Пусть даны две
произвольные точки М¦.(*,; <у,, 2,) и М,(х2; у,; 2?). Найдем рас-
расстояние d между ними. Используя теорему 9.2 и формулу D),
сразу получаем искомый результат
MtM2 = [х., — х,; у, — i/ii z, — 2,},
а так как d — длина вектора М{М2, то
d =
М.М.-,
— xt)' + (у, — у,)" + (г, — г,)'. G)
§ 3. Линейные операции над векторами
и их основные свойства
Линейными операциями над векторами называются операции
сложения и вычитания векторов и умножения векторов на числа.
1. Сложение двух векторов. Пусть даны два вектора а и b .
Суммой а + b называется вектор, который идет из начала векто-
226

pa а в конец вектора b при условии, что вектор b приложен
к концу вектора а (рис. 128, а).
Замечание 1. Действие_в_ычитания векторов обратно дейст-
действию сложения, т. е. разностью b — а_ векторов Ь и_а называется
вектор, который в сумме с вектором а дает вектор b (рис. 128, б).
Замечание 2. Определив сумму двух векторов, можно найти
сумму любого числа данных векторов. Пусть, например,_^даны три
вектора а , Ь we. Сложив_а и Ь , получим векто_р_а -\-_Ь . Приба-
Прибавив теперь к нему вектор, с , получим вектор а -\- b -\- с .
2. Произведение вектора на число. Пусть даны вектор а фп
и число ХфО. Произведением Ха называется вектор, который
коллинеарсн вектору а , имеет_длину, равную \Х\ \а |, и направ-
направление такое же, как и вектор а , если Х>0, и противоположное,
если Х<0 (рис. 129).
о)
Рис 128
Рис 129
Геометрический смысл операции умножения вектора а =/=0 на
число ХфО можно выразить следующим образом: если |х|>1,
то при умножении вектора а на число X вектор а «растяги-
«растягивается» в X раз, а если Ы<1— «сжимается» \/X раз. При
Х<0 вектор изменяет направление на противоположное. На
рис. 129 изображен случа^|х|> 1.
Если Х=0 или а =0, то произведение Ха считаем равным
нулевому вектору.
Замечание 3. Используя определение _у_множения вектора
на_число^ нетрудно доказать, что если векторы а и b коллинеарны
и а_Ф 0 ,_то существует (и притом только одно) число X такое,
что b —Ха (докажите это утверждение самостоятельно).
3. Основные свойства линейных операций.
1П. а -\- b = b -\- а (переместительное свойство
сложения).
Доказательство. Приложив векторы а и b к одной точ-
точке О, построим на них параллелограмм (рис. 130). Тогда
^Г = ~ОА_, Т_ = ~АС_, ![_ + ~Ь~ =
ь = ob,~cT_=1ic,Y
Следовательно, ОС = а + b -= b -\-a . ¦
2°. (a -\-b)-\-c =а + (b -\- с ) (сочетательное
свойство сложения).
+ а = ОС.
227

Доказательство Расположим рассматриваемые векторы
так, чтобы вектор h был приложен к концу вектора а , а вектор
с — к концу вектора Ь Обозначим буквой О начало_вектора а ,
буквой А — его конец, буквой В - конец вектора b и буквой
С — конец вектора с (рис 131) Тогда
(а~ + Т) + Т = [ОА + Ж) +JBC = Ш_ + ~ВС_ = Ш_,
a +(b + с )_^_ОЛ_ + {АВ +_ВС)_= OA_-\-j4C = ОС
Следовательно, ОС = {а -\- b) -\-с = a -\-(b + с ) ¦
Рассмотрим еще три свойства линейных операций, два из ко
торых относятся одновременно к сложению векторов и умножению
вектора на число Пусть X и ц произвольные числа, а и b
любые векторы Тогда
3°. k(\ia ) = (X\i) а (сочетательное свойство
умножения),
4" (X + \i) а =Ха +ца (распределительное свой
с т в о относительно суммы чисел),
5" X (а -\-Ь) = \а -\-ХЬ (распределительное свой
ство относительно суммы векторов)
130
Рис 131
Если хотя бы одно из чисел
Дока ж_е м свойство 3"
или вектор а равны нулю, то_обе части равенства 3" обращаются
в нуль Если ХфО, ц=^0, а =И-0, то векторы х(ца ) и (Хц)а
коллинеарны, одинаково направжмш (их направления либо совпа-
совпадают с направлением вектора а , если X и ц имеют одинаковый
знак, либо противоположны направлению вектора а . если X и и.
разных з^ков) и имеют одинаковые длины JjX {ца )| = |х| \\ia | =
р
= Ы|и.|
JjX {
|а|),
следовательно.
мею одиков
и |(Хи.) а \ = \\\>\ \а
они равны ¦
Докажем свойство 4° Пусть X и и. имеют одинаковые
знаки и а Ф0 Тогда векторы (Х+u.) а и U -fjia коллинеарны
и одинаково направлены (при i>0, u.>0 их направления совпа-
совпадают с направлением__вектора а , а при X<jO, ц<0 противопо-
противоположны направлению а ) Так ка_к Bejcjopbi Xa и \ia направлены
одинаково, тодлина вектора Xa +ЦЛ, равна \Ха +ца | = |ха | +
+ |и.а| = |х| а I + |ц| а |=(|я,| +.lji[ U |, а так как X и ц одного
знака, то |(Х +u.) a |== U+u.| |a =(Ы + |и.|) \а |, т е длина
вектора Ха +ца равна длине вектора (X-\-[i)a Таким образом,
228

векторы (k-j-ц) а и ка -4- \ia коллинеарны, одинаково направлены
и имеют равные длины, следовательно, они равны
Пусть теперь к и \i имеют разные зн_аки и_для определенности
|Я,|>|ц| В этом случае векторы (к-\-у,)а_ и ka_-\-\ia направлены
так же, как_вектор ка_ Длинавектора ка |
= \ка \ — Щ \=\к\\а \-\^ \а \ = {\к\-\а\)
| \ \ || т е длина вектора ка +\ia равна
а \ = {\к\ — ||л|)_|а
-И±д
)\а |,
равна
a
ка
а | =
длине вектора_[Я, -f- ^J_a Следовательно, и в этом случае векторы
(Х+ц)а и ка -\- ца равны Если же |я.| = |ц| и знаки к и ц
различны, то обе части доказываемого равенства равны нулю
Равенство 4° очевидно, если _хотя бы
одно из чисел к, \i или вектор а равны
нулю ¦
Д_о_к а ж е м свойство 5° Пусть
а и b неколлинеарные векторы и ^
Построим векторы ОВ = а -\-Ь , ОА' =
= ка и OB' = h(a +b ) (рис 132) Из
подобия треугольников ОАВ и ОА'В' и
определения операции умножения век
тора на число следует, что А'В'—kb ,
а из треугольника 04^6' _нолучаем ОА' + А'В' = ОВ' Таким
образом, ка -\-kb =к\а -\- Ь ), т е доказываемое равенство спра-
справедливо Случай_>*<0 рассматривается аналогично
Если а и b — коллинеа_р_ные_векторы и а =И=0, то вектор Ь
можно представить в виде b =\ia , и искомое равенство следует
из равснств_ 3° и 4" Действительно^ к {а + Ъ )_==к\а -\- \ла ) =
= к(\ -\-\i) a =(k-{-k\i) a =ka +k\ia =ka -\-к(ца)= ка +kb
Доказываемое равенство очевидно, если один из векторов а , b или
число к равны нулю Ш
Замечание 4 Доказанные свойства линейных операций
имеют фундаментальное значение, так как дают возможность
производить над векторами обычные алгебраические действия
Например, в силу свойств 4" и 5° можно выполнять умножение
скалярного многочлена на векторный многочлен «почленно»
§ 4. Теоремы о проекциях векторов
Теорема 9.3. Проекция суммы двух векторов на ось равна
сумме их проекций на_эту ось, те
пРи(а 1 4- а 2) = |ф„ а , -f прц а ,
Доказательство Пусть точки А и А, — соответственно
начало и конец вектора а ,, точки At и А2— начало и конец
вектора а , (рис 133) Обозначим через А', -4, и А., соответст-
соответственно проекции на ось и точек А, А, и А7 По определению,
пр„а [=А'А,, npua ,= AtAh при(а ,+ а .2)=приАА.2=А'А2 Соглас-
Согласно основному тождеству (см гл 1, § 3) А'А2= А'А 1-\-А1А2 Отсю-
Отсюда прДа , + а ,) = пр„а , + пр„а 2 ¦
229

Теорему можно обобщить на случай любого числа-слагаемых.
Теорема 9.4. При умножении вектора а на число к его
проекция на ось также умножается на это число, т. е.
\риХа = к пр. а . A)
Доказательство. Пусть (р — угол между вектором а и
осью и, а ф' —угол между вектором ка и осью и (рис. 134).
Тогда, если ^>0, то векторы а и ка направлены одинаково и
Ф = ф'. Если же к<сО, то векторы а и ка имеют противополож-
противоположные направления и ф'=:л —ф По теореме 9.1 имеем: при 0
пр„ ка = \ка | cos ф' = к
при к < О
пр„ ка = \ка | cos q/ == \к\ \а
= — к
cos ф' = к\а I cos ф = к пр„ а ,
cos ф' = — к a cos (л — ф) =
cos ф = л, пр„ а ;
{— COS ф) = к
при к = 0 равенство A) очевидно. Таким образом, при любом к
ири ка =к при а . Щ
Из доказанных теорем вытекают два важных следствия.
Следствие 1. Из теоремы 9.3 вытекает, что если а =
= {X1;yl;Zl} и ft"={X2;y2;Z2},ToI""
Рис 134
С л е д с т в и_е_ 2. Из теоремы 9.4 вытекает, что если а =
= {А"; К; Z}, то >^а =(>.А"; kY; kZ\ для любого числа к
Отсюда легко выводится условие коллинеарности двух векторов
в координатах. В самом деле, равенство Ь =ка равносильно ра-
равенствам Х<2=кХ1, Y2=kYit Z,2=kZl или
Т.
B)
т. е. векторы а и Ь коллинеарны в том и только в том случае,
когда их координаты пропорциональны.
230

§ 5. Разложение вектора по базису
Пусть векторы I , ] , к —единичные векторы осей координат,
т е |i 1 = 1/ l = |fe =1, и каждый из них одинаково направлен
с соответствующей осью координат (рис. 135) Тройка векторов
i ,] ,k называется базисом Имеет место следующая теорема
Теорема 9.5. Любой вектор а может быть единственным
образом разложен по базису i , / , k , г е. представлен в виде
~а~ =>~ + ^Т + v~k~, (I)
где X, ц, v — некоторые числа
Доказательство Приложив вектор а к началу координат,
обозначим его конец через 4 Про
ведем через точку А плоскости, пер-
перпендикулярные осям координат
Пусть А„, А у, А, — точки пересече-
пересечения этих плоскостей с осями коор
динат По определению сложения
векторов имеем
а =0В + 0А2,0В = О А х+ О А у
Из равенств B) получаем
BJ
а = О А , + О А + О А г C)
Рис 135
и k коллинеарны, то
Так как векторы ОА х и I , ОАЧ и / , ОА
1ЭАХ = XT', ~ОАЧ = vT, ~OA! = vF, D)
где X, ц, v — некоторые числа
Из равенства C) и соотношений D) получаем
~а = хТ + \l~j~ + vF
Для доказательства единственности представления A) уста-
установим, что
X = X, \i =^_Y, v = Z,
где -V, Y, Z — координаты вектора а .
Покажем, например, что Х = Х Так как Х= ОАХ, если ОА х
имеет то же направление, что и вектор i , и Х=— ОАХ, если
вектор ОА х имеет направление, противоположное направлению
вектора i , то ОА x=Xi Сравнивая с равенством ОАЛ = Х1 , полу-
получаем Х=Х.
Аналогично показывается, что \i=Y и v = Z. Ш
§ 6. Скалярное произведение векторов
1. Определение и основные свойства скалярного произведения.
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векто-
векторов а и Ь называется число (скаляр), равное произведению длин
231

этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один
из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение
по определению полагаю! равным нулю.
Скалярное произведение векторов а и й обозначают а -Ь .Итак,
a b = a b \ cos ф,
где ц: - угол между векторами а и b (рис.136).
Так как \а cos ср = пр— а , !b \ cos ф= up—b , то можно записать
b = \b | пр а =
пр- b
W
Типичным примером скалярного произведения в физике является
формула работы
Л =
\b \ cos
где вектор а - сила, точка приложения которой перемещается
из начала в конец вектора h (рис. 137).
zzr v>\ ь _
Рис 136
'////////////////////////////////////У////,
Рис. 137
Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения.
|". а ¦ b = b ¦ а (свойство перестановочности
с о м и о ж и т е л е й).
Доказательство. По определению скалярного произве-
_...._¦_ ._,!_ f_||_|
дения а ¦ b =
а
= 1И|а|,
а \\Ь Icoscji и b • а =|b \\а ] cos ф, по
поскольку это произведение чисел Следовательно, а ¦ b = h ¦ а . |
2". (к а ) • b =k(a ¦ h ) (свойство сочетательности
относительно умножения на число).
Доказательство. По формуле A) имеем
(к а
но согласно теореме 9.4
• Ь = Ь
"Рг1
- (la ) = к
пр7,
Таким образом,
(ка ) ¦ b =\b п\)--{ка ) = b к up- a = к
С другой стороны, по той же формуле A)
\~Ь ир- а = а • b .
Следовательно, {ка ) • b = к (\Ь "р-а ) = к (а • b ).
"Рг
2У1

3 а м е_ч а_н и е 1. Из свойств 1п и 2П следует, что {к а ) • {\ib ) =
— {к • ц_да -_Ь ). Действительно, UaJ_- (p,ft ) = >.( а -(м-Ь)| =
= к\ {цТ) ¦ сГ] =_х[ и. (У • а! | ={k-jx) {~а~ ¦ V).
3°. a-{b-\-c)=a-b-\-a-c (свойство распреде-
распределительности суммы векторов).
Доказательство. По формуле (I)
~а ¦ GГ + 7") = \~а~\ нр-- {V + Т),
но согласно теореме 9.3
np-(ft 4- с ) = up- ft -4- пр— с .
Таким образом,
а -{Ь + с ) = |а|прт(й + с ) = 1а |(np-ft + п
1 —' — —I —
= а пр-Ь + а !пр в,
С другой стороны, по той же формуле A)
|
) =
пр-с
= а
с = а ¦ b -\- а
а | пр—b = а • Ь и а
Следовательно,
a -{b + с )='а пр -ft + |а | нр
Замечание 2. Доказанное свойство дает право при скаляр-
скалярном умножении векторных многочленов выполнять действия
почленно. В силу свойства 1П можно при этом не заботиться
о порядке сомножителей, а свойство 2° позволяет (см. замечание 1)
объединить числовые коэффициенты векторных сомножителей.
Например,
Bа~ + 5Т) -(зТ_+ Ы~)= B<Г_+ 5Т)_ЛSc~)_+ Ba~-j-5ft M4Т) =
= Bа )-Cc^_+_Eft )-Cc|+Bo_)-_(_4d )+Eй_) ¦ Drf ) =
= 6а -с +15й -с +8а • d +20ft ¦ d .
4" а~-а~=|п~Г.
Доказательство. По определению скалярного произведе-
произведения а -а =\а\\а\ cos 0 =
если \а 1=^0, т е. если а
0
Если же а = 0 , то также, по определению, а • а =0 Но в этом
случае а 1 = 0 и, значит, равенство а • а = а | также справед-
справедливо. В
Скалярное произведение а -а называется скалярным квадратом
вектора а и обозначается а . На основании только что доказан-
доказанного мы имеем: а =!а ! ; отсюда, в частности,
а
а =
5". а_ -_Ь_ =_0_, если a _l_ b , и, обратно, a _l_ b , если а ¦ b = 0
и а фО , ft ^=0
Доказател ь,_с_т в о. По определению скалярного произве-
дения a -ft =\a \b I cos ф. Если ф=я/2, т. е. векторы а и ft
перпендикулярны друг другу, tocos ф = 0; отсюда а -ft =0.
Обратно,_если_а -ft =0 и a \b
т. е. векторы а и ft перпендикулярны.
то
ф = 0 и
= л/2,
233

Замечание 3. Из свойств 4° и 5" для базисных векторов * ,
/ , k (рис. 138) непосредственно получаем следующие равенства:
i ¦ j = i ¦ k — j ¦ i = j ¦ k = k ¦ i = k ¦ j = 0.
2. Выражение скалярного произведения через координаты
векторов.
Т е о_р е м а 9.6. Если_векторы а и b заданы своими координа-
координатами: а ={Х1; V,; Z,}, b ={X2; Y2; Z,}, то их скалярное произ-
произведение определяется формулой
а ¦ b = XtX.,+ YJ2 -fZ,Z.,
Доказательств о^_Разложим векторы^ и b _по_базису_/ ,
j , k : a = Xti -(- К|/ + Z\k ,b = X2i -4-
-\-Y.2j -\-Z.,k . Используя замечание 2,
получаем
Откудад_и?пользуя равенства B), на-
находим: a -b =XlX,2+YlY,,+Z]Z,i. ¦
Из теоремы 9.6 вытекают два важ-
важных следствия.
Рис 138 С л е д с т в и е 1. Необходимым и до-
статочным условием перпендикулярности
векторов а ={Х]\ К,; Z,} и b ={A",; К,,; Z.,} является равенство
XtX,+ YJ.J+ ZtZ2= 0. (-А)
Это утверждение непосредственно следует из свойства 5"
и теоремы 9.о.
Следствие 2. Угол между векторами а ={Х,; К,; 2,) и
Ь ={Х.,; У',,; Z ,} определяется равенством
= ¦-.¦_'_¦'¦ D)
Действ^гтельно, по определению скалярного произведения а • b =
= а \\Ь I cos ю, откуда — —
E)
В силу теоремы 9.6 и формулы D) § 2 из формулы E) следует
формула D).
Пример. Даны три точки А(\; I; 1), йB; 2; 1) и С B; 1; 2).
Найти угол ф=^1ЙЛС
Решение. Применяя теорему 9.2, найдем АВ = \\; 1; ()},
/1С = {1;0; 1). Отсюда на основании формулы D) получаем
I • I + I ¦ 0 + 0 ¦ I I 1
COS ф = -j-^--. : = —, — = ~Т.
л/ [¦! + и + О-1 V 1 -' + 0-' + 1 -' V 2 v 2 1
Следовательно, ф = 60°.
234

§ 7. Векторное произведение ¦ '
I. Определение векторного произведения. Векторы а , Ь и с
называются компланарными, если они лежат в одной плоскости
или в параллельных плоскостях.
Тройка векторов называется упорядоченной, если указано,
какой из них считаетс^первым^какой вторым и какой третьим.
Например, в записи (а ; b ; с ) вектор а считается первым,
Ь — вторым, с —третьим; в записи \Ь ; с ; а ) вектор b —
первый, с — второй, а —третий.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется
правой, если после приведения их к общему началу из конца
третьего вектора кратчайший пово-
повода Рот от первого ко второму виден
совершающимся против часовой
стрелки. В противном случае тройка
называется левой.
Рис 139
Рис 140
Определение. Векторным произведением вектора а на вектор b
называется вектор а _Х b , который определяется тремя условиями:
1) длина_вектора а X b равна \а \\Ь |sin ср, где ф — угол между
векторами а и_Ь ;
2) вектор а Х_Ь_перпендикулярен каждому из векторов а и b ;
3) векторы а , Ь , а X Ь образуют правую тройку векторов
(рис. 139).
Заметим, что условия 2) и 3}_ относятся к _сдучаю, когда
а \\Ь I sin уфО, т. е. вектор а X Ь ф®. Если же__ а Ц^_| sin <p= 0
(т. е. либо, по крайней мере, один из вектор_о_в а_и h нулевой,
либо sintp=O), то векторное произведение_а X 6 определяется
только условием 1): в этом случае а X b = 0 .
Понятие векторного произведения имеет свой источник
в механике.
Пусть в точке М твердого тела приложена сила F = МК и
0 — некоторая точка пространства. Как известно из механики,
моментом силы F относительно точки О (точка приложения мо-
момента) называется вектор L, который: I) имеет длину, равную
1 ОМIIМК\ sin (р, где if — угол между векторами ОМ и МК;
2) перпендикулярен плоскости л, проходящей через точки О,
М, К, 3) направлен так, что из конца его сила F представляется
вращающей плоскость л вокруг точки О против часовой стрелки
235

(рис. 140). Из рисунка, на котором ОА = МК, видно, что L
представляет собой векторное произведение ОМ X МК-
2. Основные свойству векторного произведения.
1°. а X Ь = 0, если а и b — коллинеарн_ые векторы.
Доказательство. ..Если^ектргзы,^ и Ь коллинеарны, то
sin ф = 0. Следовательно,
Ьсл и ве ктр?Ь1 _а
а ХЬ \ = \а lift
5Ш(р = 0,_г. е. длина
вектора а X Ь равна нулю, а значит, и сам вектор а X Ь равен
нулю. ¦
2°. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов а
и h равна площади s параллелограмма, построенного на этих
векторах (см. рис. 139).
Доказательство. Как известно из элементарной геомет-
геометрии, площадь параллелограмма равна произведению его смежных
сторонка синус угла между ними. Отсюда |а||б | sin ф = s, т. е.
\а Х
ОхЬ
ь*а
Рис
141
Рис 142
Рис
3". а X b = — b X а (свойство а н т и перестановоч-
перестановочности сомножителей).
Д о к а з а т е л ь с т в о._Если_векторы а и b коллинеарны, то
свойство очевидно. Пусть а и b неколлинеарны. Из определения
векторного произведения следует, что векторы аХЬ и b Xa имеют
одинаковые длины (длина векторного произведения не зависит
от порядка сомножителей), коллинеарны (они перпендикулярны
одной и той же плоскости, в которой лежат векторы а и Ь_), но
на[фавлены_ пдотивопо^жно (рис. 141), так как векторы a, b ,
а_Х b_ и h^_a ,_Ь Ха образуют правые тройки. Следовательно,
а X b = — h_X a_^ ¦ _ _
4°. (ха )х b =k (a X b ) (с в о й с т в о сочетатель-
сочетательности по отношению к скалярному множителю).
Доказательство. Если а и b коллинеарны или ). = 0, то
свойство очевидно. Пусть а и b неколлинеарны и _Х=^0. Из
определения векторнрго__произведения_ следует, что \k{axb)\ =
= Ы|а [им sin <?_ и _\\ka )x b \ = |х||а II6 I sin cp, поэтому векторы
{ка )х b и Х\а X Ь ) имеют одинаковую длину^роме этого, они
перпендикулярны к каждому из векторов а и b и, значит, кол-
236

линеарны друг другу Наконец, они одинаково направлены
(рис 142) (при ^>-0 это очевидно, так как одинаковое направ
ление имеют векторы ка и а , при >^<0 векторы ка на имеют
противоположные паправления^поэтому вектор \ка )Х_Ь направлен
противоположно вектору axb , но пр21_этом_вектор Да Xb) также
направлен _ппотивоположно_ вектору a Xb , значит, и при А.<0
векторы {ка )х b и а(й_Х Ь_)_имеют_одинаковое направление) Сле-
Следовательно, векторы \Ха )Х b ик\а х b ) равны ¦
Используя _свойства 3" и 4°, докажите самостоятельно, что
5° (а + Ь )хс = а X с +Ь X с (свойство распреде-
распределительности относительно с_у м^1_ы векторов)
Д о_к азательство Если векторы_а и Ь_ коллинеарны век-
вектору с или хотя бы один из векторов а , b , с нулевой, то свой-
свойство очевидно В остальных случаях введем для доказательства
единичный вектор с„, одинаково направ-
направленный с вектором с Проведем через его
^чало О плоскость л, перпендикулярную
с,и и рассмотрим треугольник О/lfi такой,
что ~ОА=~а, ~АВ=~Ь~ и ~ОВ=~а +Y
(рис 143) Спроектируем треугольниками
на плоскость л, в результате получим тре-
треугольник ОУ1,Й( (если точка /1, лежит на
прямой Ой,, то треугольник ОА ,В, вырож-
вырождается в отрезок) Повернем треугольник
по часовой стрел
ОА1В1 вокруг с0 па 90
ке, если смотреть из конца с0, в резу ль
тате получим треугольник О А 32 Обо
значим через ф угол между векторами
ределенности 0<ф<л/2 (как на рис
угла ф рассматриваются аналогично
Рис 144
с,, и а Пусть для оп
143) Остальные случаи
Рассмотрим вектор ОА „ Длина этого вектора ОА ,
ОА
cos (л/2 — ф)— \а \\с{)\ ып ф, так как с„ = 1 Кроме этого,
ОА,А-С0, ОА 2_L а и векторы а, с„, ОА „образуют правую тройку
Следовательно, по определению векторгюго произведения
~ОА, = "о" X Та
Проводя аналогичные рассуждения для каждого из векторов
получаем
Та Л- ~Ь
OB2u
Ш,2 =
X 0, Л2В2 = Т X
^ то
~ ~ ^ + Т X 7^
A)
Умно-
Нотак как ОЙ2= ОА 2-\-
_ (Т + У)х~с~> = ~а _ _ _
Вектор с направлен так же, как с 0 Поэтому с =\с
жив_обе ^асти_равенства A_)_ на число с I, получим \с \ \\а -\-b )х
X t0] = с \{а Xto-\-b X tn) Отсюда согласно свойству 4°
237

{a + b )x\c~\cl)=a X\c \c^t+b X\c \cn Заменяя \с \сA на с ,
окончательно имеем (a -\-b)xc =a Xc -\-b Xc Ш
Замечание 1 Доказанное свойство дает право при вектор
ном умножении векторных многочленов выполнять действия
почленно, а свойство 4" — объединить числовые коэффициенты
векторных_сомно_жителей Напдимер^
Bа +36 )х_Dс _±5d )_=Ba_+3ft_)x4?. + Ba +Ы )x5d =
= 2а Х4с +3~Ь_Х4с_ + 2а Х5^_+36 Xqd_ ==_
= 8 (а Хс ) +12 ( Ь X с ) +10 (а X d ) + 15 (Ь Хй)
Следует, однако, помнить, что порядок сомножителей вектор
ного произведения является существенным и при перестановке
сомножителей _знак_векторпого_ npoji3ведения 2И/ЖН0 изменить
Например, _ (a +_b +_c )xB_^ +3c )=2(_a Хр ) +2{b Xj ) +
+2(с_Х Ь_} +3( а_Х с_)_ +3( Ь_Х с_) +з( с_Х с_} =2{а Х± ) -
-2U Х.с )+i{a Xc )+s(b Xc )=2(a Хй )+(й Хс ) +
+3(а Хс )
Замечание 2 Согласно определению и свойствам I" и 3"
векторного произведения для базисных векторов i , / , k
(рис 144) получаем следующие равенства
LXL=I"^' *! =Oj_!_><k_^=i , B)
k Xi =l',k Xi =—i,kXk=()
3. Выражение векторного произведения через координаты
векторов. Теорема 9.7. Если векторы а и b заданы своими
координатами a ={Xt, У,, Z,}, b =[ X,2, Y2, Z2], то векторное
произведение вектора а на вектор b определяется формулой
У,
У,
Z;
г,
А",
У;
У,
Эту формулу с помощью определителей второго порядка* можно
записать в виде
~ахТ
Доказательство Разложим векторы а н b по базису
г, г.*"
a =X{i +У,у + Z,A:,/? = Х2г +У_,у +Z ,А:
Используя замечание 1, получаем
п \у h Y Y ( , \у , \ [ Y V ( I \у . \
а до — Л|Л.Д( X' ) -\-л ti л i х | )
Отсюда, на основании равенств B), находим
\а b i
* Определителем второго порядка I называется число, равное
а, Ь —а„Ь
238

d x'b ={
a Xb =
+(z;x2-zixl)j +(х,г,-х2у,)*
или
+
i +
X, Y2
k .
Получено разложение вектора а X Ь по базису / , / , k ; коэффи-
коэффициенты этого разложения, представляют собой координаты век-
вектора а Xb . Таким образом,
~~ ~~ C)
Yi
z,
z2
; Y =
z2
а X
*i
Хо
b =
X;
Xi
Y
л\
Пример. Даны векторы а ={2; 5; 7} и b ={l; 2; 4). Найти
координаты векторного произведения а X b .
Р е ш е и не. По формуле C) находим
x =
=6; V =
= —1
Итак, a Xb ={6; —1; —1}.
§ 8. Смешанное произведение трех векторов
I. Определение и геометрический смысл смешанного произ-
произведения.
Определение. Смешанным произведением трех векторов а , b , с
называется число, равное скалярному произведению вектора а на
векторное произведение векторов b и с ,т. е.
~а ¦ (У X Т).
Следующая теорема выражает геометрический смысл смешан-
смешанного произведения.
Теорема 9.8. Смешанное произведение а • (Ь X с ) равно
объему v параллелепипеда, построенного на векторах а , b , с ,
взятому со знаком «+», если тройка а , b , с —правая, со зна-
знаком « — », если тройка а , b , с — левая. Если же а , b с ком-
компланарны, то a -{b X с ) =0. Другими словами:
{и, если а , b , с правая тройка,
—V, если а , b , с левая тройка,
0, если а , b , с компланарны.
Доказательство. Пусть даны некомпланарные векторы а ,
b , с , образующие правую тройку. Обозначим через v объем па-
параллелепипеда, построенного на этих векторах, через s — площадь
параллелограмма, построенного на векторах b и с , а через h —
высоту параллелепипеда (рис. 145). Тогда по определению ска-
скалярного и векторного произведений
Ь X с ) =
cos 0 =
sin ф I a \ cos В,
sin ф cos 0 =
239

b*C
где ф - угол между векторами b » с , а 9 — угол между векто-
векторами а и b Хс Так как b If | sin ф=_х1 \а cosO = /j. то
a -(b Хс )=sh=v. Если тройка a, b , с —левая, то Л =
= a cos (л — 0)=—(о | cos 9. Поэтому а .(b X с '=—sh= — v
Первое утверждение теоремы доказано
Докажем второе утверждение Пусть векторы а , b , с компла-
компланарны. Если а = 0 , то, очевидно, а ЛЬ X с ) = 0 Пусть а ф{\ .
Тогда либо b Хс = 0 (если векторы b н с коллинеарны), либо
(b Хс )_1_а (если b и с неколлинеарлы). В любом случае
Т-(б~Х~) = 0. ¦ _ _ _
Итак, доказано, что если векторы а , Ь , с компланарны, то
a -(b X с ) = 0 Верно и обратное, если а -\Ь Хс )=0, то векторы
а , b , с компланарны. Действительно, если бы векторы а , b , с
были некомпланарпы, то по теореме 9.8 смешанное произведение
a -{b Хс )=±с'7^0, что противоречит
условию.
Следе т в п е Из георемы легко
выводится следующее тождество
т. е знаки • и X а смешанном про-
произведении можно менять местами
Действительно, согласно свойству
1" скалярного произведения
Далее, но теореме 9 8 имеем
а -{Ь Хс )=±ci,r -{аХЬ )=±а C)
Так как тройки а , b , с и с , а , b имеют одинаковую ориентацию,
т е. либо обе правые, либо обе левые, то, на основании теоре-
теоремы 9.8 в правых частях равенств C) нужно брать один и тот же
знак. Таким образом, имеем
и на основании равенства B)
т. е. получено тождество A).
В силу тождества A) смешанные произведения а • \Ь X с ) и
(a Xb )-с можно обозначить более простым символом a b с .
2. Выражение смешанного произведения через координаты
векторов. Теорема 9.9. Если векторы а , b , с заданы своими
координатами
Рис 145
то смешанное произведение a b с определяется формулой
a b с =
Z2
2S
X,
А",
240

Доказательство.
По теореме 9.7
Имеем: а Ь с = a -{b X с ).
Ь Хс =
Y,
Z2
z, х.
x.2
x,
Умножая скалярно вектор а ={
и используя теорему 9.6, получаем
Y2 Z2
Y3 Z.,
К,; Z,} на вектор Ь X с
Х-2
X,
X, У2
Пример. В пространстве даны четыре точки: А(\; 1; 1),
В D; 4; 4), С C; 5; 5), 0B; 4; 7). Найти объем тетраэдра ABCD.
Решение. Как известно из элементарной геометрии, объем ут
тетраэдра ABCD равен одной шестой объема параллелепипеда,
построенного на векторах АВ, АС и AD; отсюда и из теоремы 9.8
заключаем, что vT равен 1/6 абсолютной величины смешанного
произведения АВ ¦ АС ¦ AD. Найдем это смешанное произведение.
Прежде всего определим координаты векторов АВ, АС и AD.
По теореме 9.2 имеем: АД = {3; 3, 3), ~АС =\2\ 4; 4), ~Ш=
= A; 3; 6). Используя теорему 9.8, получаем
AB-AC-AD=3
Отсюда
4 4
3 6
+ 3
3
2 4
1 3
= 3- 12 —3-8 + 3-2=18.
18=3.
§ 9. Уравнения поверхности и линии
Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz, произ-
произвольная поверхность S (рис. 146) и уравнение
F (х; у; г) = 0. A)
Будем говорить, что уравнение A) является уравнением поверх-
поверхности S в заданной системе координат, если ему удовлетворяют
координаты любой точки М (х; у; г)е5, и не удовлетворяют
координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.
С точки зрения данного определения поверхность S есть множе-
множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению A).
Пример. В прямоугольной системе координат уравнение
х' + у* + г2 _ я* = о или х1 + tf + z2 = R2
определяет поверхность, являющуюся сферой радиуса R с центром
в точке О @; 0; 0) (рис 147).
В самом деле, если М (х; у\ z) - произвольная точка, то по
формуле G) (см. § 2, п. 5)
\М
= Vjr + у* + Г.
Следовательно, заданному уравнению удовлетворяют координаты
тех и только тех точек, которые удалены от точки О на расстоя-
241

ние R Таким образом, множество точек, координаты которых удов
летворяют этому уравнению, есть сфера с центром в начале коорди
нат и радиусом R
Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение
двух поверхностей, т е как множество точек, находящихся одно
временно иа двух поверхностях, и соответственно этому определять
линию заданием двух уравнений Таким образом, два уравнения
( F, (х, у, z) = О,
F,{x, у, 2) = О
B)
называются уравнениями линии L, если им удовлетворяют коорди
наты любой точки, лежащей на L, и не удовлетворяют координаты
никакой точки, не лежащей на линии L
Рис 146
Например, уравнения двух сфер
Рис 147
-3J= 10,
совместно определяют лежащую в плоскости Оку окружность, ра-
радиус которой равен единице с центром в начале координат
§ 10. Уравнение цилиндрической поверхности
Пусть в плоскости Оху лежит некоторая линия L (рис 148)
Проведем через каждую точку линии L прямую, параллельную
оси Oz Множество этих прямых образует некоторую поверхность S,
которая называется цилиндрической Указанные прямые называются
образующими поверхности S, а линия L — ее направляющей
Аналогично определяется цилиндрическая поверхность с обра
зующими, параллельными осям Ох и Оу
Для определенности будем рассматривать цилиндрическую по-
поверхность S с образующими, параллельными оси Oz, и докажем,
что она определяется уравнением вида
F {х. У) = 0
(I
242

Действительно, пусть (l))LU уравнение направляющей L. Возь-
Возьмем на S любую точку М {х; у; г). Эта точка лежит на какой-то
образующей. Если Мо — пересечение этой образующей с плоско-
плоскостью Оху, то точка M(lei и ее координаты х и у удовлетворяют
уравнению A). Но тогда числа х, у, z также удовлетворяют этому
уравнению, поскольку F (х; у) от z не зависит. Итак, координаты
х, у, z произвольной точки MeS удовлетворяют уравнению A).
Очевидно, если М (х; у; z)^S, то М0(х\ у)ф.Ь, т. е. координаты
х и у не удовлетворяют уравнению A). Это доказывает, что A)
является уравнением поверхности S.
Таким образом, уравнение цилиндрической поверхности с обра-
образующими, параллельными оси Oz, не содержит координаты z и сов-
совпадает с уравнением направляющей. Например, если направляю-
направляющей является эллипс
л3
B)
то соответствующая цилиндрическая по-
поверхность называется эллиптическим
цилиндром, а B) — ее уравнением.
Рис 148
Рис. 149
Заметим, что на плоскости Оху уравнение F (х; у)=0 опреде-
определяет линию L, но эта же линия в пространственной системе коорди-
координат Oxyz задается двумя уравнениями
F (х; у) = О
Так, например, в пространственной системе координат Oxyz урав-
уравнение х2-\-у2 — R2 = 0 определяет цилиндрическую поверхность —
круговой цилиндр (рис. 149), а направляющая L этого цилиндра
(окружность), лежащая в плоскости Оху, определяется двумя
уравнениями
z = 0.
243

§ П. Уравнения плоскости
Покажем, что поверхности первого порядка плоскости и только
плоскости, и рассмотрим два вида уравнений плоскости.
1. Общее уравнение плоскости. Пусть заданы: прямоугольная
система координат Oxyz, произвольная плоскость л; точка
А1„ (jc0; yn\ г,)ел; вектор N =\А\ В; С}, перпендикулярный плоско-
плоскости л, где А, В, С — его координаты (рис. 150).
Рассмотрим произвольную точку М (х\ у\ z). Точка М лежит
на плоскости л тогда и только тогда, когда векторы М(}М и /V
взаимно перпендикулярны. Так как координаты вектора МпМ
равны х — jc0, у — уа, z — za, то в силу условия перпендикуляр-
перпендикулярности двух векторов [см. § 6, формулу C)| получаем, что точка
М (х; у; z) лежит на плоскости л
тогда и только тогда, когда
Рис
Это и есть искомое уравнение плос-
плоскости л, так как ему удовлетворяют
координаты х\ у; z любой точки М,
лежащей на плоскости л, и не удов-
удовлетворяют координаты никакой точки,
не лежащей на этой плоскости.
Раскрывая скобки, приведем урав-
уравнение (I) к виду
-AxQ-Bya-Cz0) = Q.
Далее, обозначая число —Ах, — Ву„ — Сг„ через D, получаем
Ах i By + Cz -f- D = 0.
B)
Уравнение B) называется общим уравнением плоскости. Таким об-
образом, плоскость является поверхностью первого порядка, так как
определяется уравнением первой степени.
Верно и обратное: всякое уравнение первой степени вида B)
определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость.
Действительно, пусть заданы прямоугольная система коорди-
координат Oxyz и уравнение Ах-\-Ву-\- Cz-\-D = 0 с произвольными
коэффициентами Л, В, С и D, причем из коэффициентов А, В и С
хотя бы один отличен от нуля. Данное уравнение заведомо имеет
хотя бы одно решение лг„, //„, 2„ (если, например, СфО, то,взяв иро-
А В П.
из вольные х„ и у0, из уравнения получим: 2„= ттХи тгг/„ тг).
Таким образом, существует хотя бы одна точка М„ [хп; уп\ 20),
координаты которой удовлетворяют уравнению, т. е. АхЛ-\-Вуу]-\-
-\-Cztl-\-D = 0. Вычитая это числовое равенство из уравнения
244

Ax-\-By-\-Cz-\- D = О, получаем уравнение
A (x - jc0) + В {у - y0) + C(z- 20) = 0,
эквивалентное данному. Полученное уравнение (а стало быть, и
уравнение Ах-\-By-\-Cz-\- D = 0) совпадает с уравнением A)
и, значит, определяет плоскость л, проходящую через точку
M()(jt(); уп\ 20) и перпендикулярную вектору N = [A; В; С\.
Вектор Л/ ={А; В; С\, перпендикулярный плоскости, называется
нормальным вектором этой плоскости.
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку МоA; 1; 1) перпендикулярно вектору iV = {2; 2; 3}.
Р е ш е н и е. По формуле A) искомое уравнение таково:
2{х- I) + 2 (у - 1) + 3B - !) = 0 или 2х + 2у + Зг - 7 = 0.
В заключение докажем следующую теорему.
Теорема 9.10. Если два уравнения A lx-\-B]y-\- Clz-{-D] = 0
и -42A: + B.2y + C_J + D.2=0 определяют одну и ту же плоскость,
то их коэффициенты пропорциональны.
Доказательство. Действительно, векторы NI = {AI\ В,;
С,} и N 2 = {Аъ В2, С2) перпендикулярны этой плоскости и, сле-
следовательно, коллинеарны. Но тогда числа Л,; В,; С\ пропорцио-
пропорциональны числам А,; В,; С, (см. формулу B), § 4), т. е.
"л, в., с"
~~\ = ~п~< = ~ = ц>
или Л 2= |j./4 ,, flj^M-^i' Сj^ М-С1 (|х — множитель пропорцио-
пропорциональности). Умножая первое из заданных уравнений на ц и вычи-
вычитая из второго, получаем D,2—цО, = 0, т. е. D,= |xD,, и, следо-
следовательно,
Л ~ й, ~ с, - о, - *¦ ¦
2. Угол между двумя плоскостями. Рассмотрим две плоскости
л, и л2, заданные соответственно уравнениями
Alx+Bly + Cfz + Dl = 0, A jc + B& + C.2z + D2=0.
При любом расположении плоскостей л, и л2 в пространстве
один из углов ф между ними равен углу между их нормальными
векторами Ы1 = [А1; В^, С,} и N 2={А 2, В2; С,} и вычисляется по
следующей формуле:
CQS ф =
Второй угол равен 180° — ср.
3. Условие параллельности плоскостей. Если плоскости л, и л.2
параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы iV, и /V,,
и наоборот. Но тогда
A-A-ii D)
л2 ~~ в, ~ с/ w
245

Условие D) является условием параллельности плоскостей
4. Условие перпендикулярности плоскостей. Если плоскости
я, и я2 взаимно перпендикулярны, то их нормальные векторы
N1 и N , также перпендикулярны друг другу (ср=я/2), и наоборот.
Поэтому из формулы C) непосредственно получаем условие перпен-
перпендикулярности плоскостей л, и л.,:
/1,4, + Я,Д2+ С,С,,= 0.
5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до
плоскости. Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz
и произвольная плоскость л (рис 151). Проведем через начало
координат прямую, перпендикулярную плоскости л. Будем назы-
называть ее нормалью. Обозначим через Р точку, в которой нормаль пере-
пересекает плоскость я. На нормали впе-
дем направление от точки О к точке
Р. Если точки О и Р совпадают, то
возьмем любое из двух направлений
на нормали. Пусть о, р, у — углы,
которые составляет направленная
нормаль с осями координат; р - длина
отрезка ОР.
Выведем уравнение данной пло-
плоскости я, считая известными числа
cos a, cos р, cos у и р. Для этого вве-
введем единичный вектор п на нормали,
направление которого совпадает с
Рис 151
положительным направлением нормали.
Так как п — единичный вектор, то
п = (cos a; cos р, cos у). E)
Пусть М (х; у; z) — произвольная точка. Она лежит на плоскости л
тогда и только тогда, когда проекция вектора ОМ на нормаль рав-
равна р, т е.
F)
пр-ОМ = р.
Заметим теперь, что ир-ОМ = п • ОМ и ОМ = \х, у; z). По теоре-
теореме 9.6, учитывая равенство E), имеем
ир-ОМ = п ¦ ОМ = х cos a + у cos p + z cos у. G)
Из равенств F) и G) получаем, что точка М (х; у; z) лежит на
плоскости я тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетво-
удовлетворяют уравнению
х cos а + у cos р + z cos у — р = 0, (8)
которое и является искомым уравнением данной плоскости. Урав-
Уравнение плоскости в виде (8) называется нормальным.
246

Теорема 9.11. Если гонка М* имеет координаты х*, у*, z*,
а плоскость задана нормальным уравнением
х cos a -f- у cos Р + 2 cos у — Р = О,
го расстояние d от точки М* до этой плоскости определяется по
формуле
d = \х* cos а -\- у* cos р + 2* cos -у — р|
Доказательство. Пусть Q — проекция точки М* на
направленную нормаль (рис. 151); тогда в силу основного тожде-
тождества (см. гл. 1, § 3) PQ = OQ — OP, откуда
d = \PQ\ = \OQ - ОР\
Но OQ = up-OM*, ОР = р, следовательно,
d =
ир-ОМ* — р\ (9)
Вектор ОМ* = {х*\ у*; **|, а пр ОМ*=л • ОМ* По теореме 9.5,
учитывая равенство E), найдем
пр(| ОМ* = ~п ¦ ОМ* = х* cos a + У* cos p1 -f z* cos 7- A0)
M:s равенств (9) и A0) окончательно получаем
d = \х* cos а. -\- у* cos fi + z* cos у — p\. Ш
Покажем теперь, как привести общее уравнение плоскости
к нормальному виду. Пусть
Ах + Ry + Cz + D = 0 (II)
— общее уравнение некоторой плоскости, а
х cos а + у oos Р + 2 cos у — р = 0 A2)
-ее нормальное уравнение. Так как уравнения A1) и A2) опреде-
определяют одну и ту же плоскость, то но теореме 9 К) коэффициенты этих
уравнений пропорциональны. Это означает, что умножая все чле-
члены A1) на некоторый множитель и, получаем уравнение
аАх + цВу + \iCz + |xD = 0,
совпадающее с уравнением A2), т е. имеем
\iA = cos a, \iR = cos p, \iC = cos 7, uD = — p. A3)
Чтобы найти множитель ц, возведем первые три из равенств A3)
в квадрат и сложим; тогда получим
|Х2 (Л2 + В' + С2) = COS" Oi + COS2 Р + COS2 у.
Но согласно формуле F) из § 2 правая част!) последнего равенства
равна единице. Следовательно,
ц = ± —
\Ja* + в- + а
247

Число и., с помощью которого общее уравнение плоскости преобра-
преобразуется в нормальное, называется нормирующим множителем этого
уравнения. Знак ц определяется равенством \iD--p, т. е. ц
имеет знак, противоположный знаку свободного члена общего урав-
уравнения (II).
Если в уравнении (II) D=(), то знак нормирующего множителя
выбирается произвольно
Пример. Даны плоскость х -{-2у-\- 2г — 8 = 0 и точка М* A, 1,1)
Найти расстояние d от точки М* до данной плоскости.
Решение. Чтобы использовать теорему 9.11, надо прежде
всего привести данное уравнение к нормальному виду. Для этого
найдем нормирующий множитель
ц= I/V1-+ 2'+ 2'= 1/3
Умножая данное уравнение на ц, получаем искомое нормальное
уравнение плоскости
-Ljr + 4.y + 42--7=o
Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки М*,
имеем
d = |l/3 + 2/i -f 2/3 - 8/3| = I- 3/3| = 1.
§ 12. Уравнения прямой
Как уже было отмечено, линию в пространстве можно рассмат-
рассматривать как пересечение двух поверхностей и определять заданием
двух уравнений. В частности, каждую прямую линию можно рас-
рассматривать как пересечение двух плоскостей и соответственно
этому определять заданием двух уравнений первой степени.
Пусть заданы некоторая прямоугольная система координат Охуг
и произвольная прямая /. Обозначим через л, и л,, две различные
плоскости, пересекающиеся по прямой /., заданные соответственно
уравнениями
А ]Х -f Вху + С,2 + D, = 0, Ал + В,у + С>г + D, = 0. {I)
Два уравнения вида A) совместно определяют прямую L в том и
только в том случае, коьга плоскости л, и л_, не параллельны и
не совпадают друг с другом, т е. нормальные векторы этих плоско-
плоскостей iV, = {/4|, Д,, С,} и N } = \А ь В,; С 2\ не коллипеарпы (коэф-
(коэффициенты А,, Я,, С, не пропорциональны коэффициентам A2,BZ,C2)
Уравнения (I) называются общими уравнениями прямой.
1 Канонические уравнения прямой. Для решения задач уравне-
уравнения A) не всегда удобны, поэтому используют специальный вид
уравнений прямой.
Пусть дана какая-нибудь прямая L и ненулевой вектор а , ле
жащий па данной прямой или параллельный ей (рис. 152). Вектор а
называется направляющий вектором данной прямой. Выведем ура в-
248

нения прямой, проходящей1 через данную точку Мо (лс0; уа; z0) и
имеющей данный направляющий вектор а ={/; т\ п) (рис. 152).
Пусть М (х\ у; г) — произвольная точка Она лежит на прямой
тогда и только тогда, когда вектор М0М = {х —дг0; у — у0; z — zQ\
коллинеареи направляющему вектору а ={/; т\ п\, т. е. когда
координаты вектора МпМ пропорциональны координатам век-
вектора а :
Уравнения B) и являются искомыми. Они называются канони-
каноническими уравнениями прямой.
Для того чтобы составить канонические уравнения B), если
прямая L задана уравнениями A), необходимо:
1) найти какую-нибудь точку М„ (х„; уа\ zo)eL; для этого сле-
следует задать числовое значение одной из неизвестных координат
х.„ у0, zn и подставить его вместо соответствующей переменной
в уравнения A), после этого две другие координаты определяются
в результате совместного решения уравнении A);
м
/V2
Рис 152
Рис 153
2) найти направляющий вектор а ={/; т; п\. Так как прямая L
определена пересечением плоскостей л, и я2, то она перпендикуляр-
перпендикулярна каждому из нормальных векторов /V, и N2 (рис. 153). Поэтому
в качестве_вектора а можно взять любой вектор, перпендикулярный
векторам /V , и /V2. например их векторное произведение a =yV|X/V2.
Так как координаты векторов N, и N2 известны: N] = {Al; В,; С,},
N2={А2\ В,2; С2}, то по тео
в, с,
)еме 9.7 найдем координаты вектора а :
А, В,
\={1; /и; л}
ClAl
С2А,2
Пример 1. Найти канонические уравнения прямой
у + \г — 11 = О,
— Зг— 1 = 0.
Решение. Полагая, например, хо= 1, из системы
Г 2«/0 +- 420 - 8 = 0,
( у0 - 3zu + 1 = О
249

получаем у„ = 2, 2„= 1 Таким образом, точка Mfl(l, 2, I) прямой
найдена. Теперь определим направляющий вектор а . Имеем: /V,=
= {3, 2, 4), ЛГ,= B; I, —3), отсюда o~=7v , х~Л/".2=( — 1 0; 17; —1|,
т. е. /= — 10, т=\7, п= — \. Подставляя найденные значения
хп, у1ь 2„ и /, т, п в равенства B), получаем канонические уравнения
данной прямой-
-¦ -J_ _ _i/ 2 _ j 1_
ИГ ~~ ~ТГ~ ~~ - 1 ¦
2. Параметрические уравнения прямой. Иногда прямую полезно
задавать не в виде канонических уравнений B), а иначе. Пусть
прямая L задана уравнениями B). Обозначим через / каждое из
равных отношений. Тогда
а х I/ — ц.: г - ги
откуда
х = xtl -\- U, у = уи + ml, z = 2„ + nt. C)
Равенства C) называются параметрическими уравнениями прямой L,
проходящей через точку М„(х ; /у„; 2„) и имеющей направляющий
вектор а ={/; т; п\. В уравнениях C) / рассматривается как
произвольно изменяющийся параметр ( — оо </ +оо); х, у, z —
как функции от /. При изменении / величины х, у, z изменяются,
так что точка М (х\ у; z) движется по данной прямой.
Параметрические уравнения удобны и тех случаях, когда тре-
требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью. В самом
деле, пусть непараллельные плоскость л и прямая L заданы соот-
соответственно уравнениями
Лх -\- By + Cz + D = 0 и
х = xtl + //, у = //„ -f mt, z = г„ + nt.
Для определения точки пересечения прямой и плоскости подставим
выражения для х, у, z из урав�