MATHEMATICAL SURVEYS
NUMBER 11 '
THE THEORY OF RINGS by NATHAN JACOBSON
1943
Н. ДЖЕКОБСОН
ТЕОРИЯ КОЛЕЦ
Перевод с английского
Н. я. ВИЛЕНКИНА
1947
Государственное издательство ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва
Книга Н. Джекобсона является систематическим изложением теории колец, в первую оче* редь колец эндоморфизмов. Эта область абстрактной алгебры, возникшая в начале нашего столе» тия, получила дальнейшее развитие в работах Алберта, Артина, Э. Нетер и других, и в настоящее время продолжает быстро развиваться-
Книга рассчитана на научных работников-математиков, а также аспирантов и студентов старших курсов математических факультетов, специализирующихся по алгебре. Она может служить хорошим дополнением к работам советских ученых по современной алгебре, которые развивались по преимуществу в других смежных направлениях (см. книгу А. Г. Куроша «Теория групп* и работы И. М. Гельфанда по теории нормированных колец).
Заведующий Редакцией Математической Литературы академик А. //• Колмогоров.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория, составляющая предмет этой книги, ведет свое начало с 1927 г., когда Артином была перенесена веддербар-новская структурная теория алгебр на кольца, удовлетворяющие условиям обрыва цепей. В дальнейшем эта теория была значительно расширена и упрощена. Единственной книгой, посвященной этому вопросу, явился опубликованный в 1935 г. в серии «Ergebnisse» обзор Дейринга «Algebren» («Алгебры»). Новое изложение этой темы вполне оправдывается значительными успехами, достигнутыми с тех пор в этой области.
Чтение книги не требует почти никаких предварительных знаний. То, что это оказалось возможным в книге, посвященной результатам, относящимся к теореме Веддербарна, теории простых алгебр, развитой Албертом, Брауером и Нётер, и арифметической теории идеалов, еще раз показывает одно из наиболее замечательных свойств современной алгебры, а именно, простоту ее логической структуры.
Содержание книги распадается, в основном, на три части: структурную теорию, теорию представлений и арифметическую теорию идеалов. Первая из них возникла из структурной теории алгебр. Причиной ее возникновения было желание изучить и классифицировать «гиперкомплексные» расширения поля действительных чисел..
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Наиболее известными именами, связанными с этим периодом развития теории, являются имена Молина, Дедекинда, Фробениуса и Картана. Структурная теория алгебр над любыми полями ведет свое начало с опубликования в 1907 г. диссертации Веддербарна; на кольца же она была перенесена Артином в 1927 г. Теория представлений первоначально была связана с проблемой представления групп матрицами. Эмми Нётер перенесла ее на ' кольца и сформулировала в виде теории модулей. Изучение модулей составляет также важную часть арифметической теории идеалов. Эта часть теории колец начинается с дедекиндовской теории идеалов алгебраических числовых полей, а более непосредственным образом — с аксиоматического обоснования этой теории, данного Эмми Нётер.
На протяжении всей книги мы делали особое ударение на изучении колец эндоморфизмов. Введение регулярных представлений дало возможность рассматривать теорию абстрактных колец как специальный случай более конкретной, теории колец эндоморфизмов. Более того, теория модулей, а, следовательно, и теория представлений может рассматриваться как изучение совокупности колец эндоморфизмов, каждое из которых является гомоморфным образом фиксированного кольца о. Первая глава посвящена основам теории эндоморфизмов групп. Изложенные здесь понятия и результаты имеют фундаментальное значение для всех дальнейших рассмотрений. Во второй главе изучаются векторные пространства; она содержит результаты, некоторые из которых, по крайней мере для коммутативного случая, могли бы предполагаться уже известными, однако приведены здесь для полноты. Третья глава связана с арифметикой некоммутативных областей
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
главных идеалов. Многое в этой главе может рассматриваться как частный» случай общей арифметической теории идеалов, развитой в шестой главе. Однако методы, используемые здесь, носят более элементарный характер, и это обстоятельство может представлять интерес для изучающих геометрию, так как результаты третьей главы имеют много приложений в этой области. Читатель, которого в первую очередь интересует структурная теория или теория представлений, может опустить эту главу, за исключением § 3, Эти теории и некоторые приложения к теории представлений групп проективными преобразованиями и к теории Галуа тел излагаются в четвертой главе. В пятой главе мы переходим к изучению алгебр. В первой ее части рассматривается теория простых алгебр над произвольным полем. Вторая часть посвящена характеристическому и минимальному полиномам алгебры и критерию сепарабельности алгебры, выражаемому при помощи ее следа.
В последнее время наблюдается большой интерес к изучению колец, не удовлетворяющих условиям обрыва цепей, вместо которых налагаются топологические или метрические условия. Упомянем исследования фон Неймана и Мэррея о кольцах преобразований гильбертова пространства, теорию регулярных колец построенную Нейманом, и теорию нормированных колец. И. М. Гельфанда. Эти теории находят много применений в анализе. Вследствие условий, которые мы накладываем на изучаемые в этой книге кольца, наши рассуждения не могут быть непосредственно приложены к проблемам топологической алгебры. Однако можно надеяться, что методы и результаты чисто алгебраической теории укажут путь для дальнейшего развития топологической алгебры.
8
предисловие
Эта книга была начата во время 1940—1941 учебного года, когда я был приглашен читать лекции в университете Джона Гопкинса. Она служила основой прочитанного тогда курса и много выиграла от тщательного просмотра и критики д-ра Ирвинга Кохена, бывшего в то время одним из слушателей моих лекций. Я выражаю благодарность ему, а также профессорам Алберту, Шиллингу и Гуревичу за их поддержку и многие полезные советы.
Н. Джекобсом 7 марта, 1943 г
ГРУППЫ И ЭНДОМОРФИЗМЫ
1. Кольца эндоморфизмов. С каждой коммутативно#, группой SR мы можем связать кольцо (В (2)1), кольцо эндоморфизмов группы 2R (гомоморфизмов группы 2R в себя). С другой стороны, как мы увидим, каждое кольцо с единицей может быть получено, как подкольцо кольца эндоморфизмов его аддитивной группы. Поэтому мы можем воспользоваться теорией колец эндоморфизмов для построения теории абстрактных колец. Этот метод изучения, колец является одним из наиболее важных среди тех, которыми мы будем пользоваться в этой книге. Поэтому целесообразно начать наше изложение кратким обзором той части теории групп и эндоморфизмов, которая нам позже понадобится.
В дальнейшем нас будут интересовать в основном коммутативные группы. Однако, так как большинство результатов этой главы справедливо для произвольной группы 2)?, мы не будем предполагать сначала, что 2R коммутативна. Тем не менее, удобнее употреблять аддитивную запись: групповая операция будет обозначаться знаком-}-» единичный элемент через 0, обратный к а через — от. д.
Рассмотрим совокупность 2 (2Ji) однозначных отображений множества ЭК в себя, т. е. на подмножество множества 2)i. Как обычно, мы считаем, что отображения А и В равны, если образы хА и хВ одинаковы для всех х £ 2R. Теперь мы превратим X в алгебраическую систему, введя в ней две основные о ерации. Во-первых, если и В то сумма	определяется как
10
ГЛАВА 1
отображение, при котором образ каждого элемента х£ЭЯ получается сложением образов хА и хВ. Иными словами,
х (Л 4- В) = хА + хВ.
Произведение АВ является результатом последовательного выполнения А и В:
х (АВ) = (хА) В
Легко проверяются следующие факты, относящиеся к системе 2?.
1)	£ является группой относительно сложения. Единичным элементом этой группы является отображение О, определенное равенством х0 = 0. Обратный элемент для Л, —Д, задается определяющим уравнением х (—А)=~—хА.
2)	£ является полугруппой с единицей относительно умножения, т. е. (ДВ)С = А(ВС), и единичным элементом в $ является тождественное отображение 1, (х1=х).
3)	Имеет место дистрибутивный закон А (В С) — =АВ —J— АС.
Таким образом, система Т весьма похожа на кольцо. Однако она не является им, так как соотношения Д~|-В = = В-|-Л и (ВЦ-С)Д = ВД4-СД не всегда справедливы. Мы можем удовлетворить первому из этих соотношений, предположив, что ЭЯ коммутативна, но даже в этом случае второе условие может не быть выполнено.
Пример. Пусть ЭЯ — циклическая группа порядка 2 с элементами 0,1, где 1	1 == 0. % содержит четыре эле-
мента:
0 =
\О О/’
/0 1\
где всегда ) обознаечает отображение 0 -> at 1-*Ь. \а и /
9 Это равенство оправдывает наше обозначение хА. При его употреблении порядок записи соответствует порядку выполнения отображений.
группы и эндоморфизмы
1!
Таблицами сложения и умножения для %, будут соответственно:
|о| 1			А	В	1 0		1|Л		в
0	0	1	А	В	0	0	о|в		в
1	1	0	В	А	1	0	1|Л|В		
А	А	в| 0		1	А	0	А	1	в
В		А	1	О	В	0	В	0	в|
Так как ОД ф 0, то очевидно, что второй дистрибутивный закон не выполняется.
Мы рассмотрим теперь подмножество (S(SOt) в Z, состоящее из эндоморфизмов группы 2R, (2J?—произвольная группа). Напомним определение:
Отображение А группы называется эндоморфизмом, если оно является гомоморфизмом группы в себя, т. е. если
(х -|-у) А = хА -ф-уА.
Очевидно, что (5 замкнуто относительно умножения, определенного в %. Кроме того, если В и С являются элементами из £ и А £ й, то
(ВЦ-С)А = ВА-фСА.
С нашей точки зрения система (£ не является особенно интересной, когда ЯК будет произвольной группой, так как тогда (£ незамкнуто относительно сложения, определенного в Однако положение совершенно изменяется, когда ЯК коммутативна. В этом случае легко видеть, что если А и В входят в (£, то А-ф-В = В -ф- А, 0 и—А принадлежат (£. Так как дистрибутивный и коммутативный законы для умножения выполнены, то ® является кольцом. Таким образом, имеем основную теорему:
Теорема 1. Если ЭЛ является коммутативной группой, то множество эндоморфизмов ЯК является кольцом относительно операций А-\- В и АВ, определенных уравнениями
х(АфВ) = хА-\-хВ, х(АВ)=={хА)В.
12
Г .'I А В А 1
Примеры: 1) Пусть 2)1 — группа целых рациональных чисел с обычным сложением. Так как ЭК является циклической группой, образующей для которой будет I, каждый эндоморфизм А определяется его действием на 1. Если 1А = а и х = 1 4“ • • • + Ь то хА = ха, где
я
ха — обычное произведение целых чисел хи а. Так как (— х) A s — хА, то это равенство справедливо также для отрицательных х, а так как ОД = 0 = Оа, оно справедлива и для 0. Таким образом, любой эндоморфизм А группы 2)i является отображением, при котором каждый элемент х £ ЭК умножается на фиксированный элемент а. А однозначна определяет элемент а, и очевидно, что каждое целое число а может быть получено таким образом из некоторого эндоморфизма. Следовательно, (S находится во взаимооднозначном соответствии с ЭК. Если А—> а и В~> b в нашем соответствии, то
х (A -f- В)—хА хВ =* ха xb == х (а Ь)
и таким же образом x(AB) = x(ab). Следовательно, Д 4- В -> а 4- b иАВ~*аЬ, т. е. (S изоморфно кольцу целых рациональных чисел ЭК.
2) Обобщая пример 1, положим, что ЭК является прямой суммой п бесконечных циклических групп. Если образующими для ЭК являются е1г	то каждый
эндоморфизм А группы ЭК вполне определяется заданием образов etA—fp С другой стороны, мы можем выбрать, элементы произвольно в ЭК и определить А — = SfiXf, где целые Числа. Тогда А будет эндоморфизмом. Если
А OfU- 4~ ... 4~	» • • •» 'О»
где ati — целые рациональные числа, то соответствие Д -> (fly) будет взаимнооднозначным соответствием между (£ и кольцом всех матриц порядка п с целыми рациональными элементами. Если	то можно проверить, что
А 4-В-* (fiij) + (Ьц) и АВ —> (ду) (<7у). Следовательно, это соответствие является обратным изоморфизмом между (£ и кольцом матриц с целыми рациональными элемента
ГРУППЫ И ЭНДОМОРФИЗМЫ	13
ми1). Можно заметить, что ассоциативный и коммутативный законы для этих матриц выводятся при помощи нашего соответствия из ассоциативного и дистрибутивного законов для эндоморфизмов.
3) Если ЭК является прямой суммой циклических групп порядка т, то подобное рассуждение показывает, что кольцо эндоморфизмов группы ЭК обратно-изоморфно кольцу матриц с элементами из кольца целых рациональных чисел, приведенных по модулю т.
Вернемся к рассмотрению произвольной группы ЭК. Пусть ®(2К) является множеством взаимнооднозначных отображений ЭК на себя. Очевидно, что если Д£® (ЭК), то определено обратное отображение Д"1. Отсюда следует. что ® (ЭК) является группой относительно умножения.
Если теперь А будет эндоморфизмом, то и Д-1—также эндоморфизм. Следовательно, пересечение 21 (ЭК)» — ®(ЭК)Л® (ЭК) также является группой относительно умножения. Элементы этой группы, взаимнооднозначные эндоморфизмы группы ЭК на себя, являются автоморфизмами группы ЭК. Особенно интересными среди этих отображений являются внутренние автоморфизмы. Если а ЭК, то внутренний автоморфизм, соответствующий элементу у, определяется равенством xS =— s-j-x-h4 5- Если А является произвольным автоморфизмом, то х(Д_154)«= = — аД -f- х -f- sA, т. е. Д-15Д будет внутренним автоморфизмом, соответствующим элементу «Д. Это показывает, что совокупность внутренних автоморфизмов образует нормальный делитель во всей группе автоморфизмов.
Напомним, что в кольце с единицей элемент а называется обратимым, если он имеет как левый, так и правый обратные элементы. Непосредственно проверяется,
4 Если мы воспользуемся соответствием А-> где(я^)* получается транспонированием матрицы (ац), то мы получим изоморфизм. Однако в дальнейшем мы встретимся с подобным положением, причем там будет невозможно сделать такой пере-
ход от обратного изоморфизма к изоморфизму. По этой причине мы предпочитаем употреблять соответствие Л -> (ву).
14
ГЛАВА 1
что оба обратных элемента равны между собой и что никакой другой элемент кольца не может удовлетворять ни уравнению их= 1, ни уравнению хи = 1. Как обычно, мы обозначаем обратный элемент для и через «-1. Легко можно доказать, что множество обратимых элементов каждого кольца образует группу относительно умножения. Рассмотрим теперь коммутативную группу 3)i, её кольцо эндоморфизмов @ и ее группу автоморфизмов 21. Так как только взаимнооднозначные отображения множества имеют двусторонние обратные отображения, то очевидно, что ЭД будет группой обратимых элементов в ®. Следствием этого факта является то, что группа автоморфизмов прямой суммы ЭК п бесконечных циклических групп изоморфна мультипликативной группе целочисленных матриц порядка /г, детерминанты которых равны rtl. Для этого заметим, что кольцо эндоморфизмов группы 2R изоморфно кольцу целочисленных матриц порядка п, и используя мультипликативное свойство детерминанта, мы увидим, что обратимыми элементами последнего кольца являются матрицы с детерминантом, равным —1. Ц Ml
2.	Группы с операторами. Часто бывает полезно рассматривать группы 3JC относительно фиксированного множества эндоморфизмов 2, действующих в 3)1. Мы особо отмечаем подгруппы, называемые Q-подгруп-пами (или допустимыми), которые преобразуются в в себя ври каждом эндоморфизме, принадлежащем 2. Хотя в наших приложениях будет обычно бесконечной группой, следующие примеры показывают, что эта точка зрения полезна и при изучении конечных групп.
Примеры: 1) 2 пусто. Все подгруппы тогда будут допустимыми. 2) 2 состоит из внутренних автоморфизмов. Здесь 2-подгруппы будут нормальными делителями. 3) 2 является множеством всех автоморфизмов. 2-подгруппы являются характеристическими подгруппами группы 9Л.
Пусть в дальнейшем ЗЯ и 2 фиксированы. Если и $1% являются 2-подгруппами, то, очевидно, пересечение А является также 2-подгруппой. Объединение (Э^,
ГРУППЫ И ЭНДОМОРФИЗМЫ
15
определяемое как наименьшая подгруппа, содержащая 9li и 9t2, может быть охарактеризовано как множество конечных сумм элементов из 9^ и ЭТ2. Следовательно, (91 ь 9?2) является 2-подгруппой. Если 9ij является нормальным делителем, то (91р 9i2) = 9ii -ф- 912 = 9?2 -f- 9tp где 9^ + обозначает множество элементов вида хх4- х% при Xi £ yit.
Если 9t является 2-подгруппой, то эндоморфизм а£2 индуцирует в 9? эндоморфизм, который мы также будем обозначать через а. Конечно, различные отображения а и 3 группы 2R могут совпадать, если их рассматривать как отображения в 91. Заметим, что если = у £ 2 илгь а -ф- р = 8 £ 2, то эти соотношения остаются справедливыми и для отображений, индуцированных в 91-
Предположим теперь, что 9i и ф являются 2-подгруппами, причем ф нормальный делитель в 9i. Рассмотрим фактор-группу, состоящую из смежных классов ф+j, где у £91. Если а £2, то а следующим образом определяет отображение в 9£/ф. Если ф -ф- у является некоторым смежным классом, то смежный класс ф-|-.Уа не зависит от выбора представителя у и потому однозначно определяется смежным классом ф -[-.у и эндоморфизмом а. Следовательно, соответствие ф -ф- у —> ф -ф- уа является однозначным отображением. Мы снова обозначим это отображение , группы 91/ф через а, т. е. (ф4~У)а = Ф4~.Уа- Очевидно, что а будет эндоморфизмом группы 91/ф. Как и в случае подгруппы, соотношения = ч и a -J- = 8 в 91 влекут за собой те же соотношения для индуцированных отображений в 91/Ф-Мы можем повторять эти процессы, беря фактор-группу для фактор-группы, подгруппу в фактор-группе и т. д. Таким образом порождается целая иерархия S? групп, в которых исходный эндоморфизм а индуцирует однозначно определенные эндоморфизмы. Мы будем называть члены множества ^-группами.
Пусть 9? и 9i будут любыми двумя 2-группами. Отображение А группы 91 на всю группу 91 называется 2-гожо-морфизмом, если оно является обыкновенным гомоморфизмом и аА = Аа для всех а £ 2. Тогда 9£ называется гомоморф
'16
ГЛАВА 1
ным образом группы Si1). Если отображение А взаимнооднозначного оно является 0-изоморфизмом, и тогда St и Si будут Q-изоморфны. Если St^St, то мы употребляем термин Q-эндоморфизм. для 2-гомоморфизма, а если Si = Sc, то мы употребляем термин ^-автоморфизм для 2-изоморфизма.
3.	Теоремы об изоморфизме. Пусть Si и ф являются 2-группами, и ф- - нормальный делитель в St. Известно, что соответствие х->ф-|-х будет гомоморфным отображением А группы Si на группу St/ф. Так как (ф4-х)а = == ф-|-ха, то Аа = аА, и потому А будет 2-гомоморфизмом. Предположим теперь, что Si и Si являются 2-группами и что задан 2-гомоморфизм х—>х = хА группы St на группу St. Если ф— множество элементов из S1, отображающихся в 0, то ф будет нормальным делителем в Si, и соответствие ф -рх -» х = хА будет изоморфизмом между Si/ф и Si. Так как (уа) А = (уА) а «= Оа » 0 при у£ф, то ф является 2-подгруппой, а так как (ф-{-х)а — == (ф ха) -> (ха) А = (хА) а, то упомянутый изоморфизм будет 2-изоморфизмом между Si/Ф и St. Этим ‘доказана основная теорема о 2-гомоморфизмах:
Теорема 2. Если Si и ф являются Q-группами, причем ф—нормальный делитель в St, то $12-гожо-морфно отображается Hafllffi. Обратно, если St Q-гомо-морфно отображается на - Q-группу St и ф является множеством элементов, отображающихся в 0 при этом
Если (i«1,2) будут группами и — фиксированными множествами эндоморфизмов, мы можем говорить, что группа UJti (421, 42,)-гомоморфно отображается на группу 9J12, если существуют такие однозначные отображения xj -> х$ группы SJti на всю группу SJto и однозначное отображение at -> a2 множества йа все множество О8, что Хд +У1 -> Хг +_у2, xiat -> x2a2, если Xi -> -> х2, _У1 -> у2 и в] -» а,. Это отличается от определения Й-гомо-морфизма, так как для последнего соответствие отображений вполне определяется исходной группой 9)1. Для наших целей .важно только понятие О-гомоморфизма.
ГРУППЫ ^ЭНДОМОРФИЗМЫ	17
гомоморфизме, то ф является Q-нормальным делителем в 91, и группы 91 и 91/ф будут Q-изоморфны.
Если А является 2-гомоморфизмом группы 91 на группу 9? и 91—2-подгруппа в 91, то образ 914 подгруппы 91 является 2-подгруппой в 91. Если 91 является нормальным делителем в 91, то 914 будет нормальным делителем в 914 = 91. С другой стороны, если 91 какая-либо 2-подгруппа в 91 и 91 — множество таких элементов у из 91, что у А £ 91, то 91 будет 2-подгруппой в 91, содержащей множество ф элементов, отображающихся в 0 при гомоморфизме А. При этом, если 91 будет нормальным делителем, то и 91 также будет нормальным делителем. Если 91 является 2-подгруппой, содержащей ф, то каждый элемент из 91, отображающийся в элемент 91/1, лежит в 91. В самом деле, если хА=уА, где х£91 и у £91, то (х—>)4 = 0 и х—_у£ф. Следовательно, х — (х—,у)+.УС91. Эти результаты могут быть сформулированы следующим образом:
Теорема 3. Пусть А является Q-гомоморфизмом группы 91 на группу 91, и пусть ф — множество элементов, отображающихся в 0 при гомоморфизме А. Тогда 91 -> 914 = 91 будет взаимнооднозначным соответствием между Q-подгруппами группы 91, содержащими ф, и Q-подгруппами группы vi. Группа 91 будет нормальным делителем в 91 тогда и только тогда, если 91 — нормальный делитель в 91.
Пусть теперь 91 будет 2-нормальным делителем в 91. Если мы применим 2-гомоморфизм группы 91 на группу 91/91 после 2-гомоморфизма группы 91 на 91, мы получим 2-гомоморфизм группы 91 на группу 91/91. В 0 группы 91/91 будут отображаться элементы из 91. Следовательно, нами получена
Первая теорема об изоморфизме. Предположим, что Q-гомоморфно отображается на 91, 91 пусть является Q-нормальным делителем в 91, а 91 —
2 Зак. 748. Я. Дясекобсон.
18
ГЛАВА 1
совокупностью элементов^ отображающихся в 9?. Тогда 91/91 и 91/SR будут Q-изоморфны.
Очевидно, что отсюда вытекает
Следствие, Если 91 является Q-подгруппой в, 31, содержащей Q-нормальный делатель группы 91, и — нормальный делитель в 91/^3, то 91 будет нормальным делителем в 91 и будет Q-изоморфно группе
Предположим, что 9ilt 312, 9)1Х являются 2-группами, причем 91/ £ SXt и 312— нормальный делитель в 3)1^ Тогда наименьшей подгруппой, содержащей 911 и 312> будет 91 s9l1 + 9t2=9i8+9i1.
Группа 312 будет нормальным делителем в 91, и смежные классы в фактор-группе 31/312 имеют вид 912 + х1> где xt £91р Отсюда следует, что соответствие хх -+ 912-{- xi является 2-гомоморфизмом группы 91х на группу 31/312. Так как в 0 отображаются элементы из 91г П 312, то нами получена
Вторая теорема об изоморфизмах. Если 91ц 3t2, З)^ являются Q-группами, 91/и 312— нормальный делитель в ЗЛц то 1) 31/ + 312 = 9t2 + Зц, 2) 9ti П 312 является нормальным делителем в и 3) 91х + 912/91а Q-изоморфно группе 911/911П912-
4.	Теорема Жордана-Гельдера-Шрейера. Конечная цепь 2-групп 991t 3 3)12 Э ... 5 9Jtg+1 = 0 называется нормальным рядом в группе SD113 если каждая 3)1/ является нормальным делителем в 9Jl/_j. Фактор-группы 3R/_i/3)i/ называются факторами этого ряда; одна цепь называется уплотнением другой, если она содержит все ЭЛ/, принадлежащие последней. Мы будем называть два нормальных ряда изоморфными, если существует такое взаимооднозначное соответствие между их факторами, что соответствующие факторы 2-изоморфны.
Теорема 4 (Шрейер). Любые два нормальных ряда группы ЭЛ/ обладают изоморфными уплотнениями.
Пусть даны два нормальных ряда 2Л/	. £2 Ж+i= О
и Э)^ = 3ij2 • • • — 91i+1 = 0. Положим 9Jl/j=9)l/+1 -f-+(ЭЛ/ л 31,) при/ =1, 2, ... , i-f- 1 и 1 = 1, 2, ... , 5
ГРУППЫ И ЭНДОМОРФИЗМЫ
19
И 1 = °- Тогда ^«-1 = ^1.! и (Wi,=)Win5
5...	... 5sw2t5... эад 20.
Таким же образом полагаем Siy —
при I == 1, 2, ..., s-j- 1 и / = 1,2, .,., f, 94+ и = 0, и получаем, что Sij, s+, = 9ij+j>i и (Sii = )91ц^ • • • 2 = ^,-2^1= •••=^ = •••=^.« = 0.
При этом каждая цепочка состоит из $/4' 1 членов. Поставим Wi^/Wifj+i в соответствие с SV/Si^+v
Тогда наша теорема является следствием леммы:
Лемма Цассенхауза. Пусть 9i\, 9^, Si'2, Wii являются Q-группами, причем SifE^, 9i/ £ 91< и St/ является нормальным делителем в 9V Тогда 9i/ -[-(Sii П Si/) будет нормальным делителем в ?С14~(9*1 П Si2), ~Н (9*2 Л Si/) будет нормальным делителем в 9i/4" (9ta Л Sii) и соответствующие фактор-группы Q-изоморфны.
По второй теореме об изоморфизмах 91а П 9rt1z = = (9iaH Sti) G9i/ будет нормальным делителем в Sit Л 91.2, a 91х Л 9*а/ 91/ Л St2 и 9i/ 4- (9i, п 91а) / 31/ будут 2 -изоморфны. Таким же образом получаем, что Si^Si/, а, следовательно, и (91/ Л 9ig) + (Sii Л Si/) также будут нормальными делителями в 9tx Л Si2. При гомоморфном отображении группы Sii Л Si2 в 9*/ 4- (Sii Л 9*//9i/ группа (Si/Л Sia)4-(Sii Л Si2') отображается в (91/ 09^)4-4-(Sii П Si3')+9ii79i/ « (9ix П 9l/)+Sii73i/. Следовательно, по вышеприведенному следствию, (Э1х П St/) 4* 91/ будет нормальным делителем в (JRi П Sig) 4-Si/, а 91/4-(9ti Л Si2)/ Si/-j~ 4- (9?! П 9*/) и Sii Л 9ia1 (Sii П 91/) + (St,' П St9) будут 2-изоморфны.
По симметрии группа 9^ Л 91з / (Sii Л Si/) 4~ (St/ Л 9ia) Й-изоморфна группе Sig' 4- (St! Л 91а)/St/ 4- (Si2 Л Si/).
Сравнивая вторые члены этих изоморфных пар, мы видим, что лемма доказана.
5.	Условия обрыва цепей. Мы будем иногда предполагать, что в 2-группе 9i выполнено одно из следующих двух условий конечности:
Условие обрыва убывающих цепей. Если St = 9i, Si2 где Sl< является 2-нормальным делителем
2*
20
ГЛАВА 1
в 9ц~1, то эта последовательность может иметь лишь конечное число различных членов.
г'Условие обрыва возрастающих цепей. Если
=> • • • Л* — ф => 0 будет нормальным рядом в группе SR, то всякая цепь 2-подгрупп 0 с:фх с: *ра cz... , каждая из которых будет нормальным делителем в ф, конечна.
Разумеется, оба эти условия выполнены, если группа 5R конечна. С другой стороны, мы увидим, что эти условия могут быть использованы для замены предположения о конечности порядка при перенесении некоторых классических теорем о конечных группах на бесконечные 2-группы. Следующие примеры показывают независимость наших условий.
Примеры. 1) Аддитивная группа целых чисел. Эта группа удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей, но не удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей. Это справедливо также и для прямой суммы конечного числа бесконечных циклических групп (см. главу 3, § 3).
2) Прямая сумма 3)1 бесконечного числа циклических групп простого порядка р 1). Пусть элементы х2, ... образуют базис группы и пусть А будет эндоморфизмом, определенным равенствами ххА = 0, xjA = xi_1. Тогда группа удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей относительно 2 = но не удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей. Другим примером может служить группа, заданная образующими элементами Xj,х$, ... и соотношениями px1 = 0, pxi = xi_v Здесь мы считаем, что множество 2 пусто.
Следует отметить, что если группа -К коммутативна, то условие*обрыва возрастающих цепей может быть выражено в более простой форме: каждая цепь О'=ф1<=ф2<^ с.. . 2-подгрупп имеет конечную длину. Если одно из условий обрыва цепей выполнено в (произвольной) группе JR, то оно выполнено в каждом 2-нормальном делителе ф
г) Отметим, что относительно пустого множества эндоморфизмов эта группа не удовлетворяет ни одному из условий обрыва цепей.
ГРУППЫ И ЭНДОМОРФИЗМЫ
21
и в каждой фактор-группе 9£/ф. Если выполнены оба условия обрыва цепей, то -ft обладает композиционным рядом, т. е. нормальным рядом 91 = 91, зэ ... =>91Лгэ о, не имеющим собственного уплотнения. Здметим, что нормальный ряд является композиционным рядом, если все фактор-группы 9i/_,/9t< Q-простые, т. е. не имеют собственных 2-нормальных делителей. Для доказательства нашего утверждения предположим, что У1' является собственным 2-нормальным делителем в 9t Если 91/91' непростая группа, то существует такой нормальный делитель 91" в Д, что 91зэ9Г/^>91' s>0. Продолжая таким образом, мы получим после конечного числа шагов такой 2-нормальный делитель 912 группы 91 = 9i,, что 9t,/9t3 будет 2-простой группой. Повторяя этот процесс для группы 9%, мы получим 9ig и т. д. Таким образом, мы будем иметь нормальный ряд 91, зэ 9£2 =5 ..., который, в силу условия обрыва убывающих цепей, оборвется после конечного числа шагов и даст композиционный ряд для группы 9t.
Если 2 является множеством внутренних автоморфизмов, то композиционные ряды для 9J называются главными рядами, а если 2 является множеством всех автоморфизмов, мы получаем характеристические ряды. Следующее обобщение теоремы Жордана-Гельдера показывает, в частности, единственность (с точностью до изоморфизма) факторов как у этих, так и у обычных композиционных рядов, для которых 2 пусто.
Теорема 5. Каждые два композиционных ряда Q-группы 91 изоморфны.
Доказательство непосредственно следует из теоремы Шрейера.
Теорема 6. Для того, чтобы Q-группа обладала композиционным рядом, необходимо и достаточно, чтобы в ней были выполнены оба условия обрыва цепей.
Достаточность этих условий уже была доказана. Предположим теперь, что 9J обладает композиционным рядом из h членов. Если 9£ = 9£, 35 9£а 35 ... является убывающей цепью 2-подгрупп, то она имеет не более h членов, так как 9£, зэ 9ta зэ ...	является нормальной цепью
22
ГЛАВА I
и может быть уплотнена в композиционный ряд, обладающий k членами. Аналогичные рассуждения применимы и к возрастающей цепи.
Если 9lt =)..,=>	0 является композиционным ря-
дом для 91ц то h называется длиной группы 91,. Следовательно, группа 2-проста тогда и только тогда, когда она имеет длину один.
Если 91' является 2-нормальным делителем в 91,, мы можем предположить, что 91'— некоторый член композиционного ряда группы 91ц например, 91ftH. Тогда 91ft+, имеет длину h — k. По первой теореме об изоморфизме последовательность 9tj +1 => •••	91&/9lfr+1 zd о является
композиционным рядом для 911/9tfr+1, и потому эта фактор-группа имеет длину k. 2-эндоморфизм А группы 91 называется нормальным, если он коммутирует со всеми внутренними автоморфизмами Группы 91. Тогда для любых а и х имеем: — аА хА ф аА = —аф хА -j-а. Таким образом, аА = а -|- с (а), где с (а) — элемент, коммутирующий с каждым элементом из 91А. Если ф является 2-нормальным делителем, то фА при любом нормальном эндоморфизме А будет нормальным делителем в 91. Отметим еще, что произведение нормальных эндоморфизмов также является нормальным эндоморфизмом.
Если А какой-либо 2-эндоморфизм, то совокупность За таких элементов г, что zA — 0, образует 2-подгруппу. Очевидно, что 0 с За S- За» 5= • • • • Если За* = — За*+1 » то За*+1 = За*+2 = . •.. Таким образом, в цепи О с За Sr За» мы либо все время имеем знак с:, либо этот знак стоит перед £(^>0) членами, а далее стоят знаки равенства. Предположим теперь, что 91А = 91 и За Ф 0- Тогда За» => За • Действительно, каждый элемент г из За имеет вид хА при некотором х£91, и потому а,А = хАа = 0. Следовательно, если Заз = За, то хА = 0, т. е. каждое z = 0. Таким же образом мы получим, что О с За с За* с • • • - Итак, нами доказана
Теорема 7. Если удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей, и -если А — такой эндоморфизм, что 91А = 91, то За ~ °-
ГРУППЫ И ЭНДОМОРФИЗМЫ
23
Если А является нормальным эндоморфизмом, то цепь ЭД о ЭДА ЭДА2 => • • • будет нормальной цепью. Мы имеем либоЭД=>ЭДА=э • • • , либоЭД=>ЭДА=> ... = ЭДА* = ЭДА**1 = = . .. . Первая из этих возможностей выполняется всегда при За = 0 и ЭД^эЭДА. В самом деле, если ЭДА* = ЭДА*+1, то хА*+1 =уАк для любого х и соответствующего у. Следовательно, (хАк—уАк~х) А = 0 и хАк=уАк-1, т. е. ЭДА*-1 = ЭДА*. Таким образом, нами получена
Теорема 8. Если в ЭД выполнено условие обрыва убывающих цепей и если А является' таким нормальным эндоморфизмом, что 34 = 0» то ЭД = ЭДА.
Комбинируя обе предыдущие теоремы, получаем:
Теорема 9. Если в ЭД выполнены оба условия обрыва цепей и если А является Q-нормальным эндоморфизмом, то либо А является автоморфизмом, либо ЭДА с ЭД « За Ф 0-
Предположим снова, что в ЭД выполнено условие обрыва возрастающих цепей. Тогда для некоторого конечного k имеем 0czЗлс. ..g3АЙ. =ЗдН1= • • • Отсюда следует, что Злй П ЭДА* = 0. В самом деле, если w лежит в этом пересечении, то w = хАк и wAk — 0. Следовательно, хА2* = 0, и, так KaK3Afc = 342fe, то хАк — ^ — 0. Так как ЭДА*+1 с ЭДА*, то А индуцирует в ф = ЭДА* 2-эндоморфизм, а так как в ф нет таких отличных от нуля элементов z, что zA = О, то А будет изоморфизмом между ф и фА. Следовательно, если D является любым таким отображением в ф, что DA — 0, то £> = 0. Очевидно, что А индуцирует нильпотентный эндоморфизм (Ак — 0) в Зан-
если А — нормальный эндоморфизм и в ЭД выполнено условие обрыва убывающих цепей, то ЭД ... э ЭДАг = = ЭДАг+1==... Если х является любым элементом из ЭД, то для некоторого у имеем хА1 =уА*1, и потому
X =уАг -ф- (—у А1 -J- х) = х — у А1-ф- уАг £ ЭДАг +
-|-3a‘,“34',4-W.
24
ГЛАВА 1
Отображение, которое А индуцирует в нильпо-тентно. Если D—любое такое преобразование в ЭДАг, что AD = 0, где А — эндоморфизм, индуцированный в ЭДАг, то 0 = 0.
Если в ЭД выполнены оба условия обрыва цепей, то целые числа k и I последних двух абзацев равны между собой. В самом деле, ЭДА*ПЗдй = О и, следовательно, каждый элемент из ЭДА*, отображаемый в 0 эндоморфизмом А, равен нулю. Отсюда следует, что ЭДА* = ЭДА*+1, и потому I k. С другой стороны, из ЭДАг = (ЭДАг) А вытекает, что ЭДАг П За = 0- Таким образом, если уАг+1 == = (^Дг+1)А = 0, то уА1 = 0, а потому Здг+1 = 3дг и k < I. Итак, мы доказали важную лемму:
Лемма (Фиттинг). Пусть в ЭД выполнены оба условия обрыва цепей и А является нормальным Q-эндоморфиз-мом. Тогда для некоторого k мы имеем 31 = ЭДА* 4- 3^» ЭДА* И Здй = 0, причем эндоморфизм А нильпотентен в За* и является автоморфизмом в ЭДА*.
Замечание. Мы могли не предполагать в предыдущем рассуждении, что А является 2-эндоморфизмом. Вместо этого предположим, что 2 содержит внутренние автоморфизмы, и пусть А удовлетворяет условию А2 = 2А, т. е. для каждого а£2 найдутся а' £ 2 и а" £2, такие, что Да = а'Д и аД = Да". Так как 2 содержит внутренние автоморфизмы, то 2-подгруппы являются нормальными делителями. Группы ЭДА и За будут 2-подгруппами, и можно провести без изменений предыдущие рассуждения. Тем не менее, мы дадим эскиз более прямого доказательства последнего результата. Рассмотрим цепи ЭДЭДА2 ••• и О с За с ... Члены этих цепей являются 2-подгруппами и потому, в силу условий обрыва цепей, найдется такое целое т, что1 ЭДА™ = ЭДА«,+1 —... и Зд9)| ==ЗдШ+1 =... Положим Ат = В. Тогда 31В — ЭДВ2, Зв = Зв> и, следовательно, в силу условий обрыва цепей, 31В П Зв = 0.
Если х — произвольный элемент в ЭД, то для некоторого у имеем хВ2=уВ, и потому
х=уВ + (-уВ + х)^№-\-^
ГРУППЫ И ЭНДОМОРФИЗМЫ
25
6.	Прямые суммы. В дальнейшем, на протяжении всей этой главы, мы. будем предполагать, что 2 содержит все внутренние автоморфизмы группы 91- Мы также будем предполагать, что в 91 выполнены оба условия обрыва цепей. Из первого условия следует, что каждая 2-подгруппа является нормальным делителем и что все 2-эндоморфизмы нормальны. Условие обрыва возрастающих цепей может быть выражено поэтому в более простой форме: Каждая возрастающая цепь 0<= Зфс512с ... 2-подгрупп обрывается после конечного числа членов.
Мы назовем 91 прямой суммой 2-подгрупп 91;, z=l, 2,.. ., h, если
91; л (91х 4- 912 ф • •. 4~ -Ь н + Xh) = о
для всех I. Разложение называется собственным, если все 91; ф 0. Если не существует собственных разложений, отличных от 91 = 91, то группа 91 называется неразложимой. Для прямой суммы мы будем употреблять обозначение 91 = 9lj Ф .. -Ф ?<\. Так как 91; являются нормальными делителями, то 91; + 9tj = 9tj 4 -91;, и мы можем также писать: 91 = 91х/ф ... ©91ft для любой перестановки 1', . .., h’ индексов 1, ..., h. Если а £91; и ££91/, * j^i, то коммутатор —а — b 4~а ф- ££91; П 91; = 0.
Следовательно, а ф- b = b -ф- а, и любой элемент из 51; ’ коммутирует с любым элементом из 51/-
Для того, чтобы 91 = 51jФ . ..Ф91Л, где 91; являются 2-подгруппами, необходимо и достаточно, чтобы любой элемент х из 91 мог быть единственным образом выражен в виде Xj 4~ • • • 4“Фр где ф€91». Отсюда непосредственно следует, что если 91 = 91: Ф ... Ф91Л, то 91/= 91^ Й}'	4- ... ф- 91^! = 91; ф ... ф 91^, , и если 512' — 91?11} х ф-
%	+ • • •	91^+^» ..., 911 —	• • • +кг_} J ф ..  4-
ф.' 4- 9ц-» 1- • • • и то 51=91/© ... । 91/. Обратно, если , <( 91 = 914 ф ... ф 91>
^«^ф.-.ф^,..., 91/ = ©1+ . .. 1ИФ
’ < •	©...©91^....,,
26
ГЛАВА 1
то
д=^ф... ®лг.
Если 5t = 5?j ® 542, то из второй теоремы об изоморфизмах следует, что группа 542 2-изоморфна 54/541. Очевидно, что длина равна сумме длин и 542- Если 54j и 54а являются такими 2-подгруппами в 54, что 94 = 541 ф ф94а, И 543 = 54j n 942,то 54/54s = (ЯЛ)Ф(54М. Отсюда следует, что
длина 54 ф длина (5^ П 542) = Длина % ф длина 543.
Мы можем, конечно, заменить 54 через 54х ф 542 и получить это соотношение для любых 2-подгрупп в 54.
Если 51 = 51гФ.  • Ф94/р так что для каждого х мы имеем х = хх ф... ф х1ьУ где х^ 54г-, то при помощи равенства xEi = xi определяется отображение Е.(. Так как х разлагается единственным образом, то отображение Ei однозначно. Если y=yt ф ... фуд, то хфу = — <Х Ф >i) 1 •  • Ф (*ь Ф А)- Следовательно, (х ф фу) Е{е= xEi-4-yEi. Если а £2, то хж = х1аф ф .. . ф хпа, так что жЕ^ = Е^. Е^ является, таким образом, 2-эндоморфизмом. Очевидно, имеют место следующие соотношения:
E^=>Eit E^ — Q при Ej ф .. . фЕл=1. (1)
Отметим, что Et ф Еу = Ej ф Ei и что частичная сумма E{lф ... фEin также является эндоморфизмом.
Идемпотентный 2-эндоморфизм Е (Е2 = Е) мы будем называть проекцией. Эндоморфизмы Е^ соответствующие прямому разложению, являются проекциями. Предположим, обратно, что Е{ являются произвольными проекциями, удовлетворяющими соотношениям (1). Тогда 54Ei = 5tf будут такими 2-подгруппами,что 94 = 541Ф ... Ф94л и Et будут проекциями, соответствующими этому разложению. Кроме того, если Е является произвольной проекцией, a Ze — множеством таких элементов г, что zE — 0, то, по лемме Фиттинга или непосредственным рассуждением, мы получаем, что 54 = 54ЕФЗ£. Следовательно, существует такая проекция Е'что Е фЕ' = Е'фЕ = 1, ЕЕ' = Е'Е=0.
ГРУППЫ И ЭНДОМОРФИЗМЫ
27
Мы будем называть идемпотентный элемент Е произвола ного кольца примитивным, если его невозможно представить в виде Е = Е' Е", где Е' и Е" являются идемпотентными не равными нулю элементами, и Е'Е" — = Е"Е' ~ 0. Таким образом, группа Si неразложима тогда и только тогда, когда 1 является примитивной проекцией.
По лемме Фиттинга мы получаем:
Теорема 10. Пусть Si — Q-группа, причем Q содержит все внутренние автоморфизмы группы Si и в Si выполнены оба условия обрыва цепей. Если Si неразложима, то любой ^-эндоморфизм либо нильпотентен, либо является автоморфизмом.
7.	Теорема Крулл я-Шмидта. Предположим, что группа St разложима, т. е. что Si = Sij Ф Si2, где Si,-4= °-Если Sij разложима: Sii=Sin® Si12, то Si = Stii®SiI2®Si2. Итак, Si =>Slj => Sij j 0 и, продолжая подобным образом, мы получим такую неразложимую подгруппу Sij ...15 4ToSi = S?j ... j®Si/. Для упрощения обозначений напишем St == Sij©Si/, где группа Sij неразложима и не равна нулю. Если Sij' разложима, то мы получаем: Si/ = = Sla©Si2', где St2 неразложима и не равна нулю. Тогда Si = Sij®Si2®Si2'. Этот процесс приводит к убывающей цепи подгрупп Sij' => St/ => ... Следовательно, он обрывается, и мы получаем Si = Sij ф. . . © Sift, где подгруппы St^ неразложимы и не равны нулю.
Предположим теперь, что Si = ф... является вторым разложением, причем Й-подгруппы неразложимы и не равны 0. Пусть Е{ и F? являются проекциями, соответствующими этим разложениям. Так как любая сумма вида .. -\~Е/ , где все 1т различны, является эндоморфизмом, то, каков бы ни был эндоморфизм A, AE^-j-+ ... + ЛВ,п=Л(е,1 +. . .+Е,п)и£(1А+. .. +Е<„Л= — (Efl + •.. -гЯг- )А являются также эндоморфизмами. Если мы применим эндоморфизм F^Ej к подгруппе Sl15 то мы получим эндоморфизм этой группы, причем единичным эндоморфизмом в Sij будет Е, = EjEj + FjcE^. Мы хотим показать, что хотя бы один из эндо
28
ГЛАВА 1
морфизмов FiEt является автоморфизмом в ЭДХ. Это вытекает из следующей леммы.
Лемма. Пусть ЭД является Q-группой, причем 2 содержит все внутренние автоморфизмы группы ЭД, и в группе ЭД выполнены оба условия обрыва цепей. Если группа ЭД неразложима, а А и В являются такими Q-эндоморфизмами, что Д-ф-В=1, то либо А, либо В является автоморфизмом.
Так как A -ф- В = 1 и А и В — эндоморфизмы, то Д2 -ф- АВ = А2 -ф- В А и, следовательно, АВ —В А. Если ни А, ни В не являются автоморфизмами, то оба они нильпотентны. Тогда 1 = (А -ф- В)т будет суммой членов вида ArBs, где r-Fg — m. Для достаточо большого т либо Аг = 0, либо В8 = 0 и, следовательно, 1=0, т. е. мы приходим к противоречию.
Применим эту лемму к эндоморфизмам FjEx = А и F3EX -ф-... -ф- Fj-Ej = В, действующим в ЭДХ. Если FXEX не является автоморфизмом, то В является им и, следовательно, существует В-1. Но тогда F^F-1-ф-• • •+ -ф- Р/ф^В-1 — 1. Поэтому либо Е^Е^В-1, либо РЯЕХВ~1 -ф-... + FaEx5-1 является автоморфизмом. Продолжая таким образом, мы получим, наконец, что для некоторого J F,lE1B-1C~1 ... О-1 является автоморфизмом. Но так как В-1, С-1, ...—автоморфизмы в группе ЭДХ, то отсюда следует, что FjEr также является автоморфизмом в ЭДХ. Для простоты предположим, что j = 1.
Рассмотрим 2-гомоморфное отображение Fx группы ЭДХ в ЭДхЕхсдфр Так как FjEx—автоморфизм, то Fx будет изоморфизмом. Итак, ЭДХЕХ является 2-подгруппой в фх так же,’ как и подмножество фх таких элементов аг£фх, что гЕ1—0. Если у является любым элементом из ф1? то j'Ej — wF^Ej для некоторого да£ЭДх. Следовательно, у —(у— tv) Fi -j- tvF1, где у — ®/Ех^фх. Так как фх П ЭДХЕХ = 0, то в силу неразложимости фх, имеем фх = 0 и ЭДХЕХ = фх. Таким образом ЭДхЕх = фх и, следовательно, Fx является изоморфизмом между ЭДХ и фх, а Ех — изоморфизмом между фх и ЭДХ. Покажем, что Нх = EXFX -ф- Е34- ... -ф- Ей является 2-эндоморфизмом.
ГРУППЫ И7ЭНДОМОРФИЗМЫ
29
Это вытекает из следующего общего замечания: Предположим, что 31 = 9?! ф... ф 31л и что 31' ==3ri1'@. является 2-подгруппой группы 31. Если — 2-гомоморфизм группы 3li на группу 31/, то ЕгАх -}-••• 4~£И& будет 2-эндоморфизмом в группе 31- Зная, что Q (9^Н--f- ... -f-SRfc) = 0, а, следовательно, -ft'4~ 9t2 "Ь 4- ... -j- 31ъ. = Ф ^2 Ф • • • Ф мы получаем требуемый результат. Так как ?Н = 0 влечет за собой г = 0, то Hi является автоморфизмом, т. е. 3V =31-
Предположим теперь, что мы уже получили такое соответствие между ф* и 9^ для I— 1, 2, ..., г, что является 2-изоморфизмом между ф,г и 3if, а Л,- является 2-изоморфизмом между 31{ и ф^. Предположим также, что Эг = ф1ф...ффгф^г+1ф...ф^Л и что = является авто-' морфизмом. Так как внутренние автоморфизмы факторгруппы индуцируются внутренними автоморфизмами самой  группы, то 31 = 91/(ф1 4~ ... 4~ Фг) также удовлетворяет 4 нашим условиям, и мы получаем, что
Я=Я+1ф ...ф^ = фг+1ф ...ффь где_группы	4-... 4- фг 4- Яг) /С^ 4- ... + фг)
И ф, = ($,+ ... 4-фг4-фМФ1-Н..+Фг) 2-изомор-фны соответственно группам 31г и фу. При помощи вышеприведенного рассуждения мы можем сопоставить фг+1, например, с так, что соответствующие проекции Бг+1 и Fr+1 будут являться изоморфизмами между фг+1 4 и ^r+i- Мы получили, таким образом, равенство 31 = ' 	-&•„ ® 3^,®. • -® & Если х е («₽, + ... +фг1,) о
„ П (ЭТг+24_ • • • 4~^л)> т0 смежный класс
; 4	*=*+(Ф1+ —+Фг)€Ф,+1
Следовательно, х = 0 и х £ ф, + ... 4“ Фг- Так как  (Ф1+-.. +Фг)П(^.114- ••• +^) = 0, то х = 0. Таким образом
Ф1+ • • • +Фг+1Ч~^г+1+ • • •	=
^Ф1Ф...ФФг+1фэгг+аф...фэгЛ.
30
Г Л А В A 1
Следовательно, Hr+1 = E1F1	fr+1Fr+i + E‘rlj-|-
4~ ..4~ является эндоморфизмом. Так как Frn является изоморфизмом между 9£"г+1 и фг+1, то гг+1Гг+1^:0, если а,г+1^ЬО и гг+1 £ 91z+1. Следовательно, zH^ — 0 только тогда, когда г = 0; Нг+1 является автоморфизмом, и 9i«$i®...®$r+1®?Rr+a® ...Ф91й.
Этим доказаны следующие теоремы:
Теорема 11. (Крулль-Шмидт). Пусть 91 является Q-группой, причем 2 содержит все внутренние автоморфизмы, и в 91 выполнены оба условия обрыва цепей. Предположим, что 91 = 911© ... Ф91Л = ^1Ф .. • будут двумя разложениями группы 91 в прямую сумму неразложимых не равных нулю групп. Тогда h = k, и существует такой Q-автоморфизм И, что при соответствующей нумерации слагаемых 91,Н = фг « 9i = $Pi® ... ФфгФ91г+1® ... ®91д для любого r^h.
Теорема 11'. (Крулль-Шмидт, вторая формулировка). Пусть при сделанных выше предположениях Et и Fj будут такими примитивными проекциями, что
Et + • • • J- = 1, EiEi> — 0, если I ф I', Л + • • • + Г* — 1, FjFy = 0, если j^j'.
Тогда h = k, и мы можем так упорядочить эндоморфизмы Ft, чтобы существовал Q-автоморфизм Н, удовлетворяющий условию Ft = H-xEiH, и чтобы Нг = — E±Fj -|— ... —j— ErFr —|~ Ег । —j—.,. —|— E/i являлся Q-автоморфизмом.
В обеих теоремах мы берем H = E1F1 -|- ... -\-EhFfl.
Если 91 = 91' ©91" является прямым разложением, то существует продолжение этого разложения до разложения в прямую сумму неразложимых групп. Отсюда следует, что если выЩе соответствующим образом упорядочить то существует такой 2-автоморфизм Н, что
91'H=^®...©^ и ГЯ=^+1® ...<Ж-
8.	Полная приводимость. Если, как это имеет места в нашем случае, 2-подгруппы группы 91 являются нормаль*
ГРУППЫ И ЭНДОМОРФИЗМЫ
31
ными делителями, то они образуют дедекиндову структуру Й относительно операций П и -j-. В самом деле, дедекиндовский дистрибутивный закон
Я, П (Яа 4- 943) = 943 4- 94t П если 94, = 942
имеет место. Понятия приводимости и разложимости являются структурными понятиями. Подобно этому, будем говорить, что 94 вполне приводимо, если структура Й вполне приводима, т. е., если для каждой подгруппы 91' с: 91 найдётся подгруппа 94" с 94 такая, что 94 — = 94'Ф94". Элемент 94" называется дополнением Ж относительно 94.
Пусть ф, ф' £ й и ф' cz ф и пусть ф" является дополнением к элементу ф' относительно 94. Из 94 = ф'4~Ф" и из дедекиндова закона мы получаем, что ф = ф' 4~ + (ф" Л ф). Так как ф' Л ф" = 0, то (ф Л ф") является дополнением ф' относительно ф. Таким образом, всякая 2-подгруппа ф вполне приводимой группы 94 вполне приводима. Если 94 — 94х 94ао ... является бесконечной убывающей цепью элементов из й, то для i — 2, 3, . . .существуют такие элементы 94/ ф 0, что 94»-1 = 94<®94/. Тогда
94i = 94/ Ф 942= ... = 94/ф ... Ф94/Ф94,,
и 94/ с94 2' Ф 94/ с 94/ ф 94/ ф 94/ с . . . является бесконечной возрастающей цепью. Следовательно, если во вполне приводимой группе выполнено условие обрыва возрастающих цепочек, то выполнено и условие обрыва убывающих цепочек. Предположим теперь, что 0 с 94t с Э42 с ... является бесконечной возрастающей цепью. Определим 94/ таким образом, что 94 = 941Ф94/, и для i > 1 определим 94/ так, чтобы 9t/_i = (94^-1 Л 94») ©94/ Тогда 94, /-
94; 3 94^! и = 94,._г Следовательно, 94 =94< -}-94/. Так как 94'Л (94;Л 94J= 0, то (94J Л 94р Л 94;_t = 0, а так как (94t'Л 94,)^ 94;то получаем, что 94;Л94<==0, и 94 = 94j©94/. Отсюда и из соотношения 94; _t Z) 94; вытекает, что 94/ зэ 94/ ^>... является бесконечной убывающей
32
ГЛАВА ,1
цепью. Следовательно, условие обрыва убывающих цепей влечет за собой условие обрыва возрастающих цепей.
Теорема 12. Если группа 31 удовлетворяет обоим условиям обрыва цепей и вполне приводима, то 31 = = 31^. . . фЭ^л, где подгруппы простые. Обратно, если 31 = S'tj -|- . .. где — простые подгруппы, то вполне приводима и удовлетворяет обоим условиям обрыва цепей.
Предположим сначала, что К вполне приводима и что 3i — 3t/Sd .. ® 31^ где подгруппы 31} неразложимы. Если непростая группа, то она содержит 31/ ф 0 и не равную 31}. Так как 31} с 31, то 31} также вполне приводима. Следовательно, при подходящем Si/yhQ имеем — 31/фЗ^/> вопреки предположению о неразложимости
Пусть теперь =	где 3lf— простые
подгруппы, и пусть фх является 2-подгруппой в -ft. Тогда Ф1 П	и, в силу простоты группы либо
фх П 31 ( — 0, либо П = 31}, так что фх 31}. Если второе условие выполнено для всех I, тоф1 = Э1. В противном случае пусть такой индекс, что фх П %, — 0. Тогда фа == фх 31г, = фх Ф 3tiv Если мы будем рассматривать ф2 вместо ф15 то получим, что либо ф2 = У1, либо существует такое 3/г (12 ф !/), для которого ф2 П — 0. Тогда ф3 = ф2-|-^1 = ф2фЗ^<8. Продолжая таким образом, мы, наконец, дойдем до такого k, что = фл+1 = фл фЭ£= = Ф1ФЭЦФ .. Таким образом, ЭЦФ. . .®3t}k является дополнением к подгруппе фх относительно -ft. Если мы начнем с фх = 0, то получим разложение = = ЭЦ Ф.. . Ф 31гк. Следовательно,
Я = (Э^ Ф... Ф 31}к) => (%2 Ф • • - Ф %,) =>... => 3lik о 0 является композиционным рядом для 31, и, по теореме 6, выполнены оба условия обрыва цепей.
9.	в-модули. Введем теперь понятие модуля, имеющее особенно важное значение в теории представлений. Представление абстрактного кольца ’определим как го
ГРУППЫ и ЭНДОМОРФИЗМЫ
сЗ
моморфизм кольца о в кольцо эндоморфизмов коммутативной группы ЭЛ и обозначим эндоморфизм, соответствующий элементу а из о, через А. Тем не менее, мы будем считать более удобным обозначать результат хА действия А через ха и рассматривать этот элемент как «произведение» хфЭЛ и а^с. Очевидно, выполнены следующие соотношения:
(ху) а ='хауа, |
х (а -ф Ь) — ха -ф- хЪ, |	(2)
х (ab) = (ха) b j
для всех х, y^^Sl и а, д£с. Мы будем теперь называть коммутативную группу ЭЛ с-модулем, если для каждого элемента х из ЭЛ и для каждого элемента а из о определено произведение ха^ЭЛ, причем выполнены соотношения (2). Таким образом мы получили, что группу ЭЛ, в которой представляется кольцо с, можно рассматривать как с-модуль. С другой стороны, каждый о-модуль определяет представление. В самом деле, согласно первому равенству из системы (2), отображение х-+ха является эндоморфизмом в ЭЛ. Согласно второму и третьему равенствам, множество ©таких эндоморфизмов замкнуто относительно сложения и умножения. Кроме того, мы можем легко вывести, что х 0 = 0 и что х (— а) = — ха, так что © содержит нулевой эндоморфизм и обратный эндоморфизм для каждого эндоморфизма этого множества. Таким образом © является кольцом. Теперь, согласно второму и третьему равенствам, соответствие между элементом а и эндоморфизмом х -> ха является гомоморфным отображением кольца о в ©.
Так как кольцо о существует независимо от ЭЛ, то естественно сравнивать различные о-модули. Мы определяем о-гомоморфизм Н с-модуля ЭЛ в с-модуль Л как такое гомоморфное отображение группы ЭЛ в Э1, при котором для всех х £ ЭЛ и а £ с имеем (ха) Н = (хН) а. Если гомоморфизм Н взаимнооднозначен, то мы получаем о-изоморфизм. Сходным образом мы определяем ^-эндоморфизм и о-автоморфизм. Если Л является такой под-
3 Зак. 748. Н. Дяекобсон.
34
глава 1
группой D-модуля, что для всех у £ 91 и а £ в имеем уа У4, то является модулем относительно умножения уа. Тогда 91 называется подмодулем в модуле 9R. Полагая (х -j- 3t) а = ха 5R, мы замечаем, что эта функция однозначна для пар	из 9R/91 и а из о. Правила
(2) выполнены, и потому является модулем, фак-тсгр-модулем модуля 2R по подмодулю -Л. Модуль 9Л называется приводимым, если он содержит собственный 0-подмодуль. Сходным образом определяется разложимость и полная приводимость.
Мы увидим в дальнейшем, что в теории колец основным является следующее представление. Рассмотрим с как коммутативную группу относительно сложения, определенного в кольце о. Мы можем тогда превратить эту группу в ©-модуль, полагая ха равным произведению х и а как элементов кольца. Тогда равенства (2) следуют из дистрибутивного и ассоциативного законов. Следовательно, группа 0 является о-модулем. Отсюда следует, что соответствие между элементом кольца а и эндоморфизмом х -> ха является представлением. Обозначим эндоморфизм х -*• ха через аг и назовем это отображение правым умножением, определенным при помощи элемента а. Представление а -> аг является (правым) регулярным представлением кольца в. Если в обладает единицей 1, то из \ar=lbr следует, что а = Ь', следовательно, регулярное представление взаимнооднозначно, в-подмодулями относительно регулярного представления будут правые идеалы в в.
Все теоремы, доказанные нами для 2-групп, справедливы и для с-модулей. Изменения, которые нужно провести в утверждениях и доказательствах, очевидны. Например, если 2R является в-модулем, гомоморфно отображаемым на о-модуль то множество ф элементов, отображающихся при этом в [0, является подмодулем в 2R, причем 301/ф и будут е-изоморфны. Если в содержит единицу, то следующий метод дает нам возможность привести теорию в-модулей к теории Q-групп. Если 9)1 и 91 являются в-модулями, мы образуем прямую сумму <5 = = ф(Вв и определим {х-\-у-^-Ь)а = ха\-уа~уЬа,
ГРУППЫ И ЭНДОМОРФИЗМЫ
35
где x£2)i, у £91, и Таким образом мы получаем изоморфное о кольцо эндоморфизмов Q группы <5. Теперь ЭК и являются О-подгруппами и ©-гомоморфны (©-изоморфны) тогда и только тогда, когда они о-гомо-морфны (с-изоморфны).
Наконец, мы можем заметить, что некоторые проблемы, касающиеся 2-групп, могут быть приведены к вопросам, касающимся представлений. Для этого заменяют множество 2 содержащим его кольцом ©, определенным как наименьшее подкольцо кольца эндоморфизмов, содержащее все преобразования из 2. Тогда © определяет свое собственное представление, или, более точно, представление кольца о, изоморфного ©. Группа 951, в которой действуют эндоморфизмы, будет, таким образом, о-модулем.
10. Левые модули. Так как мы интересуемся, в первую очередь, некоммутативными кольцами, то понятие обратного гомоморфизма почти столь же важно для нас, как понятие гомоморфизма. Напомним определение: Отображение х->х' кольца о на кольцо о' называется обратным гомоморфизмом, если для любых х, у£о выполняются следующие равенства:

(ху)'-=Ух'.
Если при этом отображение взаимнооднозначно, то оно называется обратным изоморфизмом, а кольца о и о' обратно изоморфными. В том случае, когда о = о', мы получаем понятие обратного автоморфизма. Например, ставя каждой матрице в соответствие транспонированную матрицу, мы получаем обратный изоморфизм в кольце матриц с целыми рациональными элементами.
Если о является произвольным кольцом, то мы можем образовать множество о', элементы которого стоят во взаимнооднозначном соответствии с элементами из с (х —> ->х') и определить х'-^-у' как (x-t~_yY и х'у' как (_уХ)'. Получившаяся система является кольцом о', обратно изоморфным кольцу о; соответствие х -*• х' будет обратным изоморфизмом.
3*
36
ГЛАВА 1
Мы можем теперь сформулировать понятия, двойственные понятиям представления и 0-модуля. Мы определяем обратное представление кольца о как обратно гомоморфное отображение а —> /V кольца о в кольцо эндоморфизмов коммутативной группы 1R. В этом случае удобно обозначать величину хА', как функцию х и а, через ах. Тогда:
а (* + У) = ах Ч- аУ, (a -j- b) х = ах d~ bx, (ab) х = а (bx).
(3)
Мы приходим, таким образом, к определению левого о-модуля ЗК, как коммутативной группы, для которой определено произведение элементов х из ЗЛ и а из о, значение которого ах лежит в 5)1 и удовлетворяет соотношениям (3). Таким образом каждое обратное представление приводит к левому 0-модулю, и, обратно, если задан левый о-модуль, то соответствие а Д', где хД' = —дах, является обратным представлением. Определения изоморфизма, подмодуля и т. д. такие же, как и для обычных модулей. Как естественно ожидать, „обратная" теория параллельна обычной теории. Мы можем, в самом деле, привести ее к обычной теории, замечая, что левый о-модуль может рассматриваться как о'-модуль, где о' — кольцо, обратно изоморфное кольцу о. Тем не менее, во многих случаях нам будет удобнее непосредственно иметь дело с левыми модулями вместо того, чтобы проводить эту замену.
Как и ранее, аддитивная группа любого кольца о является левым о-модулем относительно функции, значениями которой являются произведения ах, где х лежит в аддитивной группе о и а в кольце о. Мы обозначим отображение х —>ах через аг и будем называть его левым умножением, определенным при помощи элемента а. Обратное представление а ->аг называется левым регулярным представлением. Очевидно, что подмодулями левого о-модуля с являются левые идеалы кольца 0.
Глава 2
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
1. Определение. В этой главе мы будем изучать коммутативную группу 91 относительно множества Ф эндоморфизмов, образующих тело (некоммутативное поле). Множество £ Ф-эндоморфизмов группы подобного типа является кольцом матриц над обратно изоморфным к Ф телом Ф'. Наше изучение эквивалентно, следовательно, изучению колец матриц. Один из основных результатов структурной теории колец (получаемый в главе 4) состоит в том, что всякое простое кольцо, удовлетворяющее некоторым условиям конечности, является кольцом матриц над телом. С помощью этой теоремы мы сможем показать, что наши кажущиеся весьма специальными рассмотрения занимают важное место в общей теории.
Уточним предположения, которые мы делаем относительно 9? и Ф:
1.	Если а, Р£Ф, то и а-|-Р£Ф и ар£Ф.
2.	О и 1 £Ф.
3.	Если а £ Ф, то и — а £ Ф, и если а ф 0, то а является автоморфизмом, и а-1 £ Ф.
Таким образом, множество Ф является подтелом кольца эндоморфизмов группы 9?. Мы называем 91 векторным пространством (линейным пространством) над Ф.
Так же, как и коммутативная группа относительно произвольного кольца эндоморфизмов, каждое векторное пространство 91 над Ф может быть рассматриваемо как ср-модуль, где ср является произвольным кольцом, изоморфным с Ф. Определенное в модуле произ-
38
ГЛАВА 2
ведение xl, где 1 является единицей в <р, равно х для всех х£ЗЕ С другой стороны, предположим, что © является произвольным телом и что 2R является модулем, в котором х 1 = х для всех х. Пусть Ф обозначает кольцо эндоморфизмов хха, определенных при помощи элементов а из ©. Тогда Ф будет гомоморфным ненулевым образом тела ср. Отсюда следует, что Ф изоморфно ср. Следовательно, Ф является телом, и так как Ф содержит тождественное отображение, то Ф удовлетворяет условиям 1—3. Таким образом, мы можем определить векторное пространство, как такой <р-модуль, что ср является телом, и х 1 = х для всех х из модуля. Ф-подгруппа <5 векторного пространства й над Ф называется подпространством в Мы ограничимся рассмотрением конечномерных векторных пространств, т. е. таких пространств, которые удовлетворяют следующему условию:
4.	Выполнено условие обрыва возрастающих цепей для подпространств.
Если х является некоторым вектором (элементом) из й, то множество (х) векторов вида ха, где а—-произвольный элемент из Ф, является неприводимым подпространством. В самом деле, если х ф 0 и некоторое у ф 0 лежит в подпространстве (5 пространства (х), то у = xf. Следовательно, ха=у^~1а^^, так что (х) = (5. Очевидно, что подпространства типа (х) являются единственными неприводимыми подпространствами, так как любое подпространство содержит подпространство такого вида.
Пусть <5 является подпространством ф й и пусть yL—вектор, не лежащий в <5. Тогда, так как (_yt) неприводимо, то ©j ==<5 4- (Vj) —	Если ф9t,
то мы можем найти	и тогДа = (5j ф (у%) =
<51®Су2) = (5 Ф(У1)Ф(У2)- Продолжая таким образом, мы получим возрастающую цепь подпространств <5# = = (5ф (_У1)Ф . .	Следовательно, в силу условия
обрыва возрастающих цепей, найдется такое целое г, что 9t =	. .Ф(уг)- Положив <5/ = (у1)ф... Ф(уД
мы получим разложение $Я = (5ф(5'. Следовательно, ЛЯ вполне приводимо. Если мы начнем с (5 = 0, то получим
ВЕКТОРНЫе ПРОСТРАНСТВА
39
множество таких векторов хп х2,..., хпф$, что 9? = == (Xj)® .. .Ф(хи)4- Каждый вектор х имеет единственное представление в виде %х&, где Ф; в самом деле, xfct определено элементом х, и х^ = хрг^ влечет за собой = т,{. Элементы х образуют базис пространства 9? над Ф.
По теореме Жордана-Гельдера, либо по теореме Крулля-Шмидта, их число п, размерность 91 над Ф, инвариантно. В следующем параграфе мы получим непосредственное доказательство этого утверждения.
Из инвариантности размерности следует, что изоморфные ©-модули имеют одинаковую размерность. Обратно, пусть 9^ и 91, являются ©-модулями, имеющими одинаковую размерность, и пусть x(i\ • • •> х(4 образуют базис для 9ii- Тогда соответствие Ех^а^-* Ex где является ©-изоморфизмом.
Если © является произвольным телом, мы можем построить векторное пространство любой размерности п над кольцом эндоморфизмов Ф, изоморфным ф. В самом деле, пусть 91 является пространством элементов
х= 0lt. .U, где
Мы будем считать, что х =у = (ц15..т]га), если и положим х4-^==($!	xa=($jaj,. . .$Ma)
для <х£ф. Тогда 91 является ©-модулем, в котором х 1=х. Следовательно, 9i является векторным пространством над
х) Если мы примем теорему о полном упорядочивании, то это утверждение может быть установлено без условия обрыва возрастающих цепей. В самом деле, пусть [уа] является множеством векторов из 9?, где а пробегает отрезок множества порядковых чисел. Если ® является подпространством, мы определим все @0, как наименьшее подпространство, содержащее @ и все ур при j3<a. Если	то положим уа = ха. Тогда элементы ха
линейно независимы и порождают дополнение к @. Приведенное выше рассуждение показывает, что условие обрыва возрастающих цепей влечет за собой условие обрыва убывающих цепей. Итак, из полной приводимости Э? вытекает, что условие обрыва возрастающих цепей следует из условия обрыва убывающих цепей. Это может быть также доказано непосредственно (глава 4, § 12).
40
ГЛАВА 2
кольцом Ф эндоморфизмов вида х-+ ха, и ф изоморфно Если мы положим х} = (1, 0,. .., 0),.. . ,хп = (0,. .., 0,1), то получим прямое разложение 91 = (.г1)©...ф (хп). Следовательно, 9ft обладает композиционным рядом, и, таким 4 образом, 91 удовлетворяет обоим условиям обрыва цепей. Размерность 91 равна п. Возможность построения векторного пространства над любым телом обеспечивает приг ложимость результатов, которые мы выведем для тел эндоморфизмов, к произвольным телам.
2. Изменение базиса. Векторы ууг из 91 над Ф называются линейно независимыми, если 3 = СУ])-4
... + (yr) = (J© © . .. © (уг), причем все yt ф 0. Эквивалентным этому условию является следующее: £_у<а^ = 0 тогда и только тогда, когда все = Предположим теперь, что элементы yi линейно независимы, и = = S является выражением элементов yt через базис
. . , хп. Если р является произвольным элементом изФ, то элементы УнУяфУ]?, Уз>    > Уг линейно независимы. В противном случае у2 -|- J'jp £ (j© -j~ Су3) -j-+  •  + (.У,), и, следовательно, у2 £ (yj © Оз) + • • - ф 4~Су4- Мы получаем, таким образом, что ® = ©1) ~г 4“ СУ2 + ^1Р)+ (З'з) “Ь • • + (УгУ Пусть	и положим р = —	рЯ1?. Тогда выражение для вектора У2)=!
=J’2®J'iP не должно содержать хП1. Подобным же образом мы можем найти такие векторы
У 3 )   • > У г в (-^t) + • • • 4" (•*»!— 1)4 (-^rai+1) 1 • • -Н С^п),
что у1У • • • ,Уг линейно независимы, и (5= (j® -ф-+ (У а}) + - • • + (У^)- Пусть теперь У)? = £ и предположим, что Полагая Уй)=У|)—У12)р22-1Рм) для 4 = 3,4,..., мы замечаем, что у($ф0 и что выражения для этих у{ь не содержат ни хИ1, ни х,ч. Кроме того, <5 =(_ух) ©(У^) ©(Уз1)®... Ф (у(г). После несколь
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
41
ких повторений этого процесса мы получаем (gsQ/J® Ф (У’а*) ® • • • Ф (У/ “гДе
У* = Xn^nji “Ь S Xflji О, ¥-• 0, $=1,2,...,/
J Ф ns
и все п-t различны. Соответствие между у{ и хП{ ясно показывает, что г п. Если <5 = 91, то элементы yi также образуют базис в 91, и потому, по симметрии, п-^г. Таким образом, еще раз доказано, что размерность 91 инвариантна.
Немного усложняя приведенный выше метод, мы получим такой базис zv,..., zr для (5, что
== “И У	О’
Умножая эти векторы на еи4г и переставляя их потом надлежащим образом, мы получим, наконец, такой базис
«г В <5, ЧТО = Хп. + J] Ъ ру< и tii < «2 <. .. .
Если 5> = 9i, то из инвариантности размерности следует, что г=п. Тогда вектора ut являются просто первоначальными векторами х^ Предположим, обратно, что г = п, т. е. что элементы yt линейно независимы, и нх число равно размерности R. Тогда ~ и потому элементы yt, равно как и элементы х^ образуют базис пространства 91. Надо отметить, что переход от базиса _У1,. . ., уп к базису «j = xt,. . ., ап = хп был выполнен при помощи последовательных замен одного из следующих типов:
I. yt ->yt для I ф г и yr -~yr + ЛР> S ф г. IL yt -+ у{ для i ф г и уг -+уга, а фО. HI. yi-*y{ ДЛЯ фг,5 иуг-^у8, у8-уг.
Последний тип нужен для правильного упорядочивания элементов базисов.
42
ГЛАВА 2
Если Xj, ..., хп и ylt.. ., уп являются двумя произвольными базисами для 31, мы можем предположить, что
и хз = ^УкЧу
Эти выражения однозначны. Так как
Уг — 2-Ула/у’ к.З
Х3 2х?сЗ?еТа«г ft, i
то мы получаем:
2 akj Pji =	2	= %ki
3	3
(8W—символ Кронекера). Таким образом, если мы положим В = (Ру), А ~ («у), то получаем АВ = 1 = ВА, где 1 обозначает единичную матрицу в кольце Фи всех матриц порядка п с элементами из тела Ф1).
С другой стороны, предположим, что В = (Ру) является произвольной матрицей, имеющей правую обратную Д(ВД=1). Положим _y< = 2xA<> где xi>--->xn образуют базис 3ft. Тогда
2vfc®jcj= 2xiPifcasy ~ 2xAj=xj'
*) Если 2( является кольцом, то 21й обозначает множество всех элементов вида ХеуДу, где Ду С 21, причем Хеу^у = =	тогда и только тогда, когда ау = &у. Мы положим
X "1“ “	===	И	A (S
= Еву	Получающаяся система является кольцом.
Подмножество элементов вида ХйуД является изоморфным с 2Г подкольцом 3(. Мы индентифицируем 21 с 2f. Если 2t содержит единицу 1, то Ч1п содержит такие элементы еу = еу1, что енвм = и ен + • •  + епп является единицей в кольце 2ГП. Каждый элемент а из 2Г„ может быть одним и только одним способом представлен в виде ХйуДу, где <?уДу обозначает теперь произведение <°у и «у, Ду £ 2(. Элементы из 21 коммутируют с ву. Обратно, пусть 25 является произвольным кольцом с единицей 1 и элементы йу из 25 удовлетворяют вышеприведенным условиям, причем £еу = 1; пусть, далее, SB содержит такое подкольцо 2t, что 1) 1 £ 2Г, 2)аеу~е^а для всех а из 2Г, и 3) каждый элемент из SB может быть одним и только одним образом записан в виде ХеуДу. Тогда 23^2Г?}.
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
43
Если элементы у$ линейно зависимы, мы можем выбрать из них такое линейное независимое подмножество yltуг, что (5 = (yj) ... + (Уп) = (^1)Ф---Ф(Л) является надлежащим разложением. Так как xlt..., хп £ <5, то & = $., и мы получили противоречие с инвариантностью размерности. Следовательно, элементы yt линейно независимы и потому они также образуют базис пространства и АВ = 1.
Теорема 1. Если Ф является телом, то Д8=1 в Фп тогда и только тогда, когда В А = 1.
Если элементы yi не образуют базиса, то они линейно зависимы и, следовательно, = где не все^ = 0. Если =	т0 = так что матрица
удовлетворяет условию BC — Q. Обратно, еслиС^О и ВС=0, то векторы 2*^7 линейно зависимы. Таким образом, нами доказана
Теорема 2. Если Ф является телом, то матрица из Ф,г тогда и только тогда обратима, если она не является левым делителем нуля.
Пусть Ф' является телом, обратно изоморфным телу Ф, и а—> а' будет обратным изоморфизмом между Ф и Ф', Тогда отображение («у) = Д Д* == (а^), где ау — ац, является обратным изоморфизмом между Фп и Фи'. Если АВ = 1, то В*А* = 1 в Фп', и если СВ — 0, то В* С* — 0. Отсюда следует, что мы можем в предыдущей теореме заменить слово «левый» словом «правый».
Мы видели, что можно было перейти от базиса ylt...,yn к хн •••, хп с помощью последовательности замен вышеописанных типов I, II и III. Матрицы, выра
44
ГЛАВА. 2
жающие новые элементы j/i через старые, имеют соответственно вид;
1 -.. 1 .... О
1
и называются элементарными матрицами. Если теперь {**}> {.У»} и {£•$} являются тремя различными базисами
В й И
V; =	=*	г0
где с=(-^) —ЛВ. Итак, нами получена
Теорема 3. Всякая обратимая матрица в Фп является произведением элементарных матриц.
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
45
Следует отметить, что последний тип элементарных матриц излишен. Действительно, при п = 2 мы имеем:
/О 1 \	/1 1\ / 1 о\/1 1\/ — 1 0\
\1 о/	vo 1Д—1 1До 1Д 0 1/’
и соответствующие изменения для п>2 очевидны.
3-	Векторные пространства над различными телами. Один из типов векторных пространств, часто встречающихся в теории колец и алгебр, получается следующим образом. Пусть является кольцом с единицей и ©—-подтелом кольца 51, содержащим ту же единицу. Мы видели, что эндоморфизмы х -* ха, где х£51 и <х£<р, образуют тело Ф, изоморфное ф. Так как Ф содержит тождественный эндоморфизм, то мы можем рассматривать 51 как векторное пространство над Ф. Сходным образом мы можем использовать эндоморфизм х —> ах == ха' и получить тело эндоморфизмов Ф', обратно изоморфное ф.
Предположим теперь, что является некоторым векторным пространством над Ф и что 2 является подтелом в Ф. Мы обозначим множество эндоморфизмов $ -> $а из Ф, где «£ S, также через 2. Предположим сначала, что размерность (91 : Ф) равна п и что (Ф : 2) = т. Если тогда ..., хп является базисом модуля 9? над Ф и Е1}... ,ВЖ — базисом Ф над 2, то каждый вектор из 9i имеет одно и только одно представление в виде где	Следовательно, xfy образуют базис
из тп элементов для 91 над 2- Обратно, если 91 имеет конечную размерность над 2, то очевидно, что, так как фз>2, 91 также имеет конечную размерность над Ф. Кроме того, если х является некоторым вектором в 91, х ф 0, то множество л$, где £ произвольно в Ф, является подпространством в 9i над £. Если ..., хИт образуют базис этого пространства, то Ер...,?» образуют базис тела Ф над 2, и потому Ф имеет конечную размерность над 2- Нами доказана таким образом
Теорема 4. Если 91 является векторным пространством, имеющим конечную размерность над Ф,
46
ГЛАВА 2
и 2 такое подтело в Ф, что Ф конечно над S, то : 2) — (Sft: Ф) (Ф: 2)- Обратно, если. 91 является любым векторным пространством над Ф a 9i конечно над подтелом 2 тела Ф, то и Ф конечно над 2-
Этот же результат справедлив для множества 2' эндоморфизмов вида $ —> а$. В дальнейшем на протяжении этой главы мы рассматриваем фиксированное векторное пространство 91 над фиксированным телом Ф.
4.	Кольцо линейных преобразований. Ф-эндомор-физм А пространства 91 называется линейным преобразованием пространства 91 над Ф. В произвольном кольце совокупность элементов, коммутирующих с элементами фиксированного подмножества кольца, образует подкольцо. Следовательно, совокупность линейных преобразований образует подкольцо £ в кольце всех эндоморфизмов.
Если А является линейным преобразованием и элементы хп ...,хп образуют базис пространства 91 над Ф, то А вполне определяется заданием образов xfA элементов xi. В самом деле, если х = т0 мы имеем хА —	С другой стороны, мы можем произ-
вольно выбрать п элементов yt и проверить, что отображение 2-х^г -► 2_Vi4 является таким линейным преобразованием А, что х^—у^ В частности, для каждого а £ Ф существует единственное линейное преобразование а' такое, что х4а' = хрх для всех I. Разумеется, а' зависит как от выбора базиса, так и от а. Совокупность всех а' образует подкольцо Ф' в £, обратно изоморфное телу Ф; соответствие а—>а' является обратным изоморфизмом.
Теперь мы можем рассматривать 9? как векторное пространство над Ф'. Так как каждый элемент х может быть только одним способом представлен в виде 2Х&, то хп..., хп образуют базис пространства 91 над Ф', и потому 91 имеет размерность п над Ф'. Эндоморфизмы а являются линейными преобразованиями в 91 над Ф' и, так как х<'х = х/а/, то а является эндоморфизмом, таким же
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
47
образом соответствующим эндоморфизму а' и базису х, каким а' соответствует а и базису х, т. е. (а')' = а.
Пусть Efj обозначает такое линейное преобразование в St над Ф, что х^ = Так как хг(Е^') = хг (а'Е^, то Ец<хг = а'Е^, и потому Ец также линейно в St над Ф'. Предположим теперь, что А является произвольным линейным преобразованием пространства St над Ф и что х A = E^®rj- Тогда, как легко проверить, А и ^Е^а^ имеют одинаковое действие на элементы х. Следовательно, A =	Обратно, если Д = Х£’^%-, то Л£Й и
хгД = X xjarj- Отсюда следует, что каждое А из Й может быть одним и только одним образом представлено в виде XlE^/, где а'£Ф'. Так как
Е{]Ек1 — S Ец = 1,	(1)
ТО й = Ф^.
В силу (1), мы получаем:
apq — S Efty (X E^ctij') E^j..	(2)
&
Следовательно, если А — X Е^а'^ коммутирует со всеми Ек1, то <Xpq = 0 при рф-q и арР = А, т. е. Д = а'£Ф'. Таким образом Ф' может быть охарактеризовано как множество элементов из Й, коммутирующих со всеми Е^. Мы можем также охарактеризовать Фг как совокупность всех эндоморфизмов пространства St, коммутирующих со всеми эндоморфизмами а и со всеми Е^-, или, проще, со всеми эндоморфизмами	В самом деле, усло-
вием для того, чтобы А коммутировало с Ф, является Л£й. Таким же образом мы видим, что Ф будет совокупностью всех й-эндоморфизмов пространства St. В частности, центр1) (£ кольца й содержится в Ф. Так как (£с=Й и элементы из (£ коммутируют со всеми Eik то &£ф'. Отсюда следует, что (£ = ФПФ'. Если тело Ф коммута-
!) Мы употребляем это название для совокупности элементов кольца, коммутирующих со всеми элементами этого кольца.
48
ГЛАВА 2
тивно, то преобразование аг = а и, таким образом, а' не зависит от выбора базиса. Поле Ф будет в этом случае центром в Вернемся к общему случаю, где Ф является телом, и применим найденные нами свойства кольца 8 для получения ряда структурных теорем.
Теорема 5. Кольцо 8 является простым.
Напомним, что кольцо 8 называется простым, если оно не содержит собственных двусторонних идеалов. Пусть S3 ф 0 будет двусторонним идеалом в 8 = Фп'. Если — В является ненулевым элементом в 23, то, в силу (2), мы получаем, что £25. По крайней мере одно из них, например	Но тогда 1 = $pq$pq £23.
Следовательно, 23 = 8.’
Теорема 6. Кольцо 8 является прямой суммой неприводимых правых (левых) идеалов.
Совокупность ЕЙЛ8, состоящая из элементов
является неприводимым правым идеалом. В самом деле, пусть 3 — ненулевой правый идеал, содержащийся в Екк£, и пусть В — ££jypfrj£3> гДе Тогда 3 содержит
л-t J
ВЕгк$м = Екк и, следовательно, все элементы из Екк%. Очевидно, что
8 = ЕXi £ ф • • • ф ^ппЯ‘
5.	Автоморфизмы и обратные автоморфизмы в 8. Пусть Ffj являются такими иа-линейными преобразованиями, что
Fijpkl = ^jk?ill ^11+ • • • ?пп~ !•	(3)
Если у — какой-либо ненулевой вектор, то найдется такое Fpp, что yFpp ф 0. Отсюда следует, что векторы yt = yFpi образуют базис пространства над Ф. В самом деле, если Е_УгР<=0, то
= SУ (FpiFjp) = (>^) Ру = 0
ВЕКТОРНЫЕ пространства
49
и, следовательно, Pj = O при у=1, ..., п. Относительно yi мы получаем, что
yrFij = y^pr^ij = ^р.) =	(4)
Если 5 является таким линейным преобразованием, что XiS=yi, то 6'-1 определяется равенствами у^-1— — Xi. Из (4) и из определения Е^ мы получаем, что Fij = S~1EijS. Важным приложением этого результата является следующая теорема:
Теорема 7. Каждый автоморфизм кольца 2 имеет вид '2lEija'ij-+ S-1	где а'-> а'3 является авто-
морфизмом в Ф'.
Пусть G будет автоморфизмом кольца 2 = Фи. Тогда преобразования = Е^ удовлетворяют условиям (3) и, следовательно, в £ найдется такое S, что Е®, = S~1EijS. Отображение А —>	== А3 является таким автомор-
физмом в 8, что Ец = Etj. Так как Ф' является совокупностью всех элементов, коммутирующих с Еу, то Н индуцирует автоморфизм s в Ф' и, следовательно, (S£<Xf)" = Тогда
Пусть теперь J — любой обратный автоморфизм в 2. Так как преобразования F^-E^t удовлетворяют условиям (3), то в £ существует такое 5, что Eji = S~1EijS. Соответствие А -> SAJS~X = А3 является обратным автоморфизмом, преобразующим Е^ в Е^. Оно индуцирует, таким образом, обратный автоморфизм t в Ф', и
Теорема 8. Кольцо 2 тогда и только тогда обладает обратным автоморфизмом, когда тело Ф обладает обратным автоморфизмом. При этом если £ обладает обратным автоморфизмом J, то AJ —
4 Зап. 748. И. Дясекобсон,
50
ГЛАВА 2
= 6’->(££>,') S, где S £ У, и а' -> а'* является обратным автоморфизмом в Ф'
Если обратный автоморфизм J является инволюцией, т. е. если J2 — 1, то Ei- — EJA = (SJS-1)E^S Следовательно, SJ = ~'S, где а'£Ф'. Если q ф — 1, то SJ4-S = (□' -j- 1)S~ Т, и (а'4-1) обладает обратным элементом в Ф'. Тогда	= Т-1	Т, где
TJ = Т и а'м=(о'-|~ l)a'f(a'4~ I)-1. Таким образом, мы можем предположить с самого начала, что AJ — — S~1AKS, где SJ = Az S и Ак= £Ефф- Так как Ак* = = S {SAJS~1)JS~i — А, то К—инволюция. Следовательно, t также является инволюцией. Заметим, наконец, что из SJ — S~XS^S = AzS следует SK ~ ±S.
Теорема 9. Кольцо g тогда и только тогда обладает инволюцией, когда тело Ф обладает инволюцией. Если 2 обладает инволюцией J, то AJ — S~x (2фрФ.) S, где а’-+Ф является инволюцией в Ф', a и удовлетворяет равенству а'. = <з'^.
Рассмотрим теперь частный случай, когда Ф коммутативно. Как следствие предыдущих теорем получается следующая
Теорема 10. Если Ф является полем, то всякий автоморфизм в Фи, оставляющий неподвижными элементы из Ф, является внутренним. Каждый обратный автоморфизм в Фи, оставляющий элементы из Ф неподвижными, имеет вид А —> S_1A'SsAJ, где А' является матрицей, получающейся транспонированием матрицы А. Обратный автоморфизм J будет инволюцией тогда и только тогда, когда S' = ± S.
6.	Перестановочные кольца эндоморфизмов. Предположим, что п — г$ и определим
1) Кольцо Ф тогда и только тогда обладает обратным автоморфизмом, когда им обладает Ф\
ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
51
8 — 1
|аг+₽, а» Р= 1’2,..., г, р.^0
H-ik =	^(х-1) r + p (Х —1) r + y> X, Л=1,2, ..., 5.
Т = 1
Легко проверить, что
^«Р^т8 —	^11 + • • • 4" Qr — 1’	(5)
нлн„ = »*н„, нп+ ... 4-н„=1,	(6)
^Atp^xX ^(x-llr+di —1) "1 Р -^хХ^ар*
Из (7) следует, что каждый элемент в 2 имеет вид ^Ga?Bs&, где является суммой 2ЯхХр*х, ^х(;Ф', и если £GepSap = 0, то Ва$ = 0. Отсюда следует, что (Ф/)г = Ф8г- Таким же образом, всякий элемент имеет одно и только одно выражение вида S/7xXCrt, где СхХ имеет вид £ <7а3уа₽, ь₽СФ'. Если 4 = SGepBep, то Ва? == = 2 0т<30рг Следовательно, условием коммутирования А со всеми Ояр является равенство А = Ваа = В^ — = 2ад 'Хх. Подобным же образом, для того, чтобы А коммутировало со всеми Нл, оно должно иметь вид 2
Пусть теперь Фг обозначает кольцо эндоморфизмов пространства SR, имеющих вид 2Са?р<ф где р £ Ф. ^-эндоморфизмами являются те Ф-эндоморфизмы, которые коммутируют со всеми Ga&. Следовательно, они являются элементами из й, коммутирующими со всеми Ga$. Они принадлежат, таким образом, множеству Ф/ эндоморфизмов вида S 7/хх₽хх- По симметрии, Фг может быть охарактеризовано как множество всех Ф/-эндоморфизмов в 91.
Предположим теперь, что 91 является коммутативной группой, в которой определено кольцо эндоморфизмов типа Фг, где Ф является телом, содержащим тождественный эндоморфизм. Мы предполагаем, таким образом, что 1) существует г2 эндоморфизмов ОаР в Фи удовлетворяющих условию (5), 2) для любого р из Ф имеет место
<1*
52
ГЛАВА 2
Gapp = pGap и 3) каждый эндоморфизм из Фг имеет единственное представление в виде £GapP«p. Мы предполагаем также, что для Фг-подгрупп выполнено условие обрыва возрастающих цепей. Так как ФГ^ФЭЬ то является векторным пространством над Ф, хотя a priori не ясно, что 9i имеет конечную размерность.
Пусть х будет ненулевым элементом из 9L Так как £ Gaa = 1, то существует такое G8S, что xGS3 ф 0. Положим ха = xGSa. Тогда эти элементы линейно независимы над Ф. Если обозначает множество элементов £хяря, где р£Ф, то 91х является Фг-подгруппой. Пусть 9ii =£91 и пусть у является не лежащим в 9ti вектором. Как и ранее, найдется такое О№, чтоyC^St}, и если положить xrl.e—yGt„, то элементы вида £хг+вра образуют Фг-под- • группу 912, независимую от 9tj в том смысле, что 9ii П 9^2 = 0- Если 91х + 9?2 ф 91, то мы можем повторить этот процесс, получая таким образом цепь 9tjc:9li~p-+ 9ta с .... Согласно предположению о конечности таких цепей, она оборвется, и мы получим 91 = 91хф...®9ts. Следовательно, 9? имеет конечную размерность п = rs над Ф.
Теорема 11. Пусть 91 — коммутативная группа и Фг— матричное кольцо эндоморфизмов группы 91, где Ф является телом. Если 9i удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для Фг-подгрупп, то она имеет конечную размерность п — rs над Ф и 91 — = 9ii ф.. - ®9is, где 91< являются неприводимыми Фг-подгруппами.
Неприводимость 91^ доказывается следующим образом: если z является некоторым ненулевым вектором в 9t, то существует такое С, что гОи, ..zGrr независимы над Ф. Следовательно, множество гФг = 91х для любого z ф 0 в 9^.
Если мы используем базис xlt ...,хп, определенный выше для 91 над Ф, и определим линейные преобразова- । ния Ец так же, как и выше, то получим: Ga^ = 8 — 1
= 2JEixr+a> v.r+?- Итак, преобразование Ga₽ линейно в 9?	3
^ = °	’	i
над Ф и производит то же действие на х*, как и
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
53
8 — 1
2 -Ер-г+а, ^г+р- Следовательно, мы можем использовать (JL = О
предыдущее рассуждение и получить следующую теорему.
Теорема 12. Пусть Фг является таким матричным кольцом эндоморфизмов в коммутативной группе 0?, что в нем выполнены условия предыдущей теоремы. Тогда кольцо эндоморфизмов, коммутирующих с данными эндоморфизмами, имеет вид Ф/, где Ф' является телом, обратно изоморфным телу Ф. Первоначальная совокупность эндоморфизмов Фг дудет полной совокупностью эндоморфизмов, коммутирующих с Ф8'.
7.	Изоморфизм матричных колец. Предположим теперь, что мы имеем такое кольцо, которое может рассматриваться и как матричное кольцо Ф„' и как Т/, где Ф' и являются телами. Тогда мы можем предположить, что Фя' является кольцом линейных преобразований п-мерного векторного пространства 01 над Ф, где Ф обратно изоморфно Ф'. Пусть Gk3 (а, = 1, ..., г) являются матричными единицами в Ф/. Эндоморфизмы £ Ga3pa3, где
£ Ф, образуют кольцо Ф,., и мы видели, что размерность 01 над Ф равна rs = п. Следовательно, г^п. Меняя местами Ф' и *F/, мы получаем, что п < г и, следовательно, г = п. Отсюда следует, что существует такое линейное преобразование 5, что Gy = S-^E^S, где Ец являются матричными единицами для Фга'. Так как элементы ф' из Чр/ могут быть охарактеризованы как линейные преобразования, коммутирующие с Gy, а элементы из Ф'— как линейные преобразования, коммутирующие с Е^, то мы получаем, что Т' = 5“1Ф'Г5'.
Теорема 13. Если Фп' = Ф/, где Ф' и ЧГ являются телами, то г = п, а Ф' и изоморфны, причем в Фп' найдется такой элемент S, что W = 3~1Ф'8 и Gij = — S~1EijS для соответствующих матричных единиц,
8.	Полулинейные преобразования. Мы рассмотрим сейчас один тип преобразований векторного пространства, впервые изучавшийся Сегре, который представляет собою
54
ГЛАВА 2
обобщение понятия линейного преобразования. Пусть 5 является автоморфизмом в теле Ф. Тогда преобразование Т пространства 31 называется полулинейным преобразованием 9? над Ф, если
(х-hy) Т=хТ-\~уТ, (ха)Г = (хТ)а5 (8)	|
для всех х,у из 9? и всех в£Ф. Если то Sоднозначно определяется преобразованием Т. В самом деле, тогда существует такой вектор и, что иТфО, и если 5 и S' являются такими автоморфизмами в Ф, для которых выполняется (8), то для всех а мы имеем (nT)as = = (иТ)а8'. Следовательно, as = <x8' и S — S'. Мы назовем S автоморфизмом преобразования Т.	;
Из условия аТ==Та8 следует, очевидно, что эндоморфизм Т коммутирует с множеством эндоморфизмов Ф. Если S=l, то Т, разумеется, коммутирует с каждым элементом из Ф, и Т является линейным преобразованием. Из перестановочности Т и Ф следует, что полулинейное преобразование отображает каждое подпространство ® cz 91 в другое подпространство. Очевидно также, что если ©j и <52 являются такими подпространствами, что <5j£=<52, то образ <^>iT содержится в образе Так как для любых двух подпространств <Sls Sa подпространство | + &2 может быть определено как наименьшее подпространство, содержащее и <52, то если Т является взаимнооднозначным полулинейным преобразованием, мы будем иметь (Sj -р <S2) Т=	Таким же образом
получаем (<Sj П <S2) Г = (S!?" Г1 <52Г. Поэтому всякое вза- <, имнооднозначное полулинейное преобразование векторного j пространства 91 индуцирует структурный автоморфизм в структуре подпространств пространства 91. По этой причине полулинейные преобразования применяются наравне с линейными преобразованиями в проективной геометрии.
Если Т является произвольным полулинейным преобразованием, то мы обозначим через 9£ = %(Г) пространство таких векторов z, что zT — 0, и предположим, что вектора ..., zr образуют базис этого пространства. Определим такое подпространство <5, что 91 = 91© <5, И пусть векторы ур ...,уп-г образуют базис в <5. Из
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
55
этого непосредственно следует, что угТ, . ..,уп_гТ является базисом для Следовательно, если мы назовем размерность 91Т рангом Т и размерность 91Т индексом дефекта Т, то получим следующее обобщение хорошо известной теоремы о линейных уравнениях:
ранг Т индекс дефекта Т — п.
Если ...,хп образуют базис (R над Ф, то мы можем написать х{Т = 2 xjTji и назвать (т^) матрицей преобразования Т относительно этого базиса. Полулинейное преобразование Т определяется своей матрицей и своим автоморфизмом, так как (2*Л) т =2 С помощью координат ($п .. . Дп) вектора х мы можем определить Т как преобразование, переводящее .. ., $га) в (т> •••. ''In).	Если теперь (т^)
является некоторой матрицей и S некоторым автоморфизмом, то равенство (2 Х<Ъ)Т = Xj определяет полулинейное преобразование, имеющее автоморфизм S и, относительно базиса хг, ..., хп, матрицу (ту).
Еслиур . .. ,уп является другим базисом пространства JR над Ф пу{ — 2 xj Руъ10 простое вычисление показывает, что матрицей полулинейного преобразования Т относительно этого базиса будет (р)-1 (т) ({3s), где (т) является его матрицей относительно базиса х1?..., хп. Следовательно, теория полулинейных преобразований соответствует теории матриц с элементами из тела, в которой две матрицы (т) и (а) считаются эквивалентными, если существует такая матрица (Р), что (<з) = (Р)-1(т) (₽s)> где S некоторый фиксированный автоморфизм.
Предположим теперь, что Г является некоторым множеством полулинейных преобразований. Если собственное подпространство в 91, инвариантное относительно всех Т£Г, то мы можем найти такой базис у1;. .., уп для (R, что элементы _у]5 ..., уг образуют базис в <S (0<г<п). Тогда матрица Т относительно этого базиса имеет вид ( q1-,) , где (tJ является матрицей преобразования?в ©и (т2) матрицей преобразования 7 в фактор-пространство
56
ГЛАВА 2
Обратно, при существовании базиса, относительно которого матрицы из Г имеют эту „приведенную" форму, пространство будет приводимо, если рассматривать его как группу относительно множества операторов 2 = (Г, Ф) — теоретико-множественной суммы Гиф. Принимая во внимание соотношение между матрицами полулинейного преобразования, мы можем сформулировать это условие также в следующей форме: если (г) является матрицей для Т относительно базиса хъ, .. ., хп и ^^является автоморфизмом преобразования Т, то существует такая /х
не зависящая от Т матрица (р), что (р)-1(т) (Р5) = 1 * )•
Пусть теперь 91 = э 9?s_i =>. . . о0 будет композиционным рядом в 9? относительно 2. Выберем такой базис у1г ..., уп для 9? над Ф, что _у15 . .., уп образуют базис для уП1+1, ...» Л»г+и2 базис для ^2 и т- д-Тогда если (Р) является матрицей перехода от базиса хг, ... t хп к базису _у1( ..., уп, то матрицей преобразования Т относительно элементов у будет
*
(Ю_1(г) (pS) =
(9)
lO
VS j
где (т4) является матрицей полулинейного преобразования, индуцированного в	преобразованием Т, а ниже
этих матриц стоят нули. Неприводимость	равно-
сильна следующим образом определенной неприводимости матрицы: невозможно найти такую не зависящую от Т матрицу (pf), чтобы (РЭ"9 1^) (V) имел0 приведенную
форму I il I. Обратно, если (р) является матрицей,
для которой имеет место (9), причем матрицы ('Q неприводимы, то (Р)-1^) (ps) получается указанным путем из композиционного ряда-
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
57
Подобным же образом мы находим, что если $R = = 9ti®.. .©9tg, где ^(г£0) являются Q-подгруппами, то существует такая матрица (р), что
для всех Т, причем в этом случае нули стоят по обеим сторонам диагонали, а (~г) является матрицей преобразования, которое Т индуцирует в 9^.
Отметим теперь следующие комбинаторные свойства множества полулинейных преобразований. Если 7\ и 7а являются полулинейными преобразованиями с автоморфизмами Sj и 52, то Т1 Т% будет полулинейным преобразованием с автоморфизмом Sj S2. Если 4 = S2 = 5, то 7\ -ф Т2 является полулинейным преобразованием с автоморфизмом S, а если преобразование Тг взаимнооднозначно, то Tf1 будет полулинейным преобразованием с автоморфизмом 5Г1.
Если теперь (tJ и (т2) — матрицы преобразований Ej и Т.2 относительно одного и того же базиса, то матрицей преобразования 7\ Г2 будет (т2)	Таким образом,
матрицей преобразования Тк будет (т) (г5) .,. (tsk~*) . Если Т взаимнооднозначно, то матрицей преобразования Г-1 является (т8-1)-1. Если Т, и Г2 обладают одним и тем же автоморфизмом, то матрицей преобразования 71-ф-Та будет (tj) © (%)• Из вышеизложенного следует, что соответствие между линейным преобразованием Т и его матрицей (т) является обратным автоморфизмом между кольцом линейных преобразованй Й и кольцом матриц Фп. Так как Ф связано инвариантным образом с 8, то это соответствие имеет известные преимущества по сравнению с ранее отмеченным соответствием между 2 и Ф'м.
58
ГЛАВА 2
Как приложения этих вычислений и результатов первой главы отметим следующие теоремы о матрицах из Фм.
Теорема 14. Если (гг-) (Z = 1, ..s) являются такими ненулевыми матрицами из Фп, что
0<)3 = О»), (О Оу) = 0, если izfzj и 2 0J = V то существует такая невырождающаяся матрица (р) в Фга, что
(?)’1Оа)(Р) =
(Ю)
о
Это получается при рассмотрении 0*) как матрицы таких линейных преобразований Еи что
Е< = Et ф 0, Et Ej = 0, если	0
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
59
Тогда	. .© и потому относительно под-
ходящего базиса мы получаем матрицы (10) для Eit Е%, .. .
Если Т является полулинейным преобразованием, то мы можем применить замечание, следующее за леммой Фиттинга, и получим разложение =	где и (5
являются инвариантными относительно Т подпространствами, причем преобразование Т нильпотентно в ЭД и не вырождается в <$. Отсюда вытекает следующая
Теорема 15. Если (т) является матрицей в Фм, a S — автоморфизм в Ф, то существует такая матрица (р), что
Л 0\
где (у) . . . (vs*) = 0 для достаточно больших k и матрица (а) обратима.
Глава 3
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
1. Определения и примеры. При изучении линейного преобразования, или, более обще, полулинейного преобразования Т с автоморфизмом 3, мы обычно интересуемся кольцом преобразований Ф [Т], порожденным преобразованием Т и скалярными умножениями х-^ ха. Очевидно,	I
что Ф [ 7J содержит преобразования а0 J- Та1 4"  • •
. .. 4~ С другой стороны, (Ра) (Р(3) = Тк+1а8^, и потому множество полиномов от Т замкнуто относительно умножения. Отсюда следует, что Ф [Г] совпадает с сово-	।
купностью этих полиномов. Нам будет удобно теперь	!
ввести некоторое кольцо Ф[/, 5] полиномов от неизвест-	•
ного t. Пусть сначала Ф является абстрактным телом, изоморфным кольцу эндоморфизмов Ф векторного пространства 51 *), и пусть Ф [/, S] обозначает совокупность полиномов	।
а0 4~ t<*i 4~ ^2(Х2 4_  • • 4~ tmam>
где t является неизвестным, и коэффициенты аг лежат в Ф. Мы будем считать, что «0 4~	4~ • • • 4“	— Ро4~
4*4	тогда и только тогда, когда а0=	«*
= р ctf =	.. .. Сложение полиномов определим по правилу (а0 4~ ^ai 4"  • •) 4“ (?о 4“	+••) = (ао + Ро) 4-
!) Для наших целей нет необходимости делать различие в обозначениях между этими двумя совокупностями.
некоммутативные области главных идеалов б!
ф- 7(at -j- Pj) ф- •   • Умножение мы определим с помощью дистрибутивного закона и формулы
(7*а)(7гР)=7й+га^р.
Легко проверить, что Ф [t, 5] является кольцом.
Мы можем теперь поставить в соответствие полиному «о + 7at ф- • • ^Ф" ^тат эндоморфизм а0 ф- Та1 ф- .. . ф-ф- Ттат^ Ф [Т]. Наше соответствие будет тогда представлением Ф [7, 5] в 91, и 9? будет Ф [7, S]-модулем.
Если a (t) — а0 ф- , .. ф- 7игаИ1, ат =# 0, то т называется степенью полинома а (7). Степенью нуля будем считать— сои заметим, что тогда
deg [а (7) ф- ₽ (01 = max (de£ « (Д deg Р W), deg [а (7) р (7)] = deg а (7) ф- deg р (7).
Второе равенство показывает, что в Ф [7, S] отсутствуют делители нуля, т. е. что ф [i, S] является областью целостности. Отметим также, что обратимыми элементами в этой области целостности будут лишь отличные от нуля элементы тела Ф. Пусть теперь Р (7) = р0 ф-... ф-7И1'рт', где рмг ф 0, и	Тогда а(7)—р (7) tm~W'(P ~^)sm т ат=
= ф-1ф-... ф-	Следовательно, если
мы продолжим этот процесс деления, то получим такие полиномы f (7) и р (7), что
«(О = Р(0т(О + р(О.
где deg р (7) < deg р (7). Подобным же образом мы можем найти такие полиномы у1 (7) и pt (7), что a (7)=Yj (7) р (7) ф- р t (7), причем degpj (7) < degp (7).
Пусть теперь 3 является ненулевым правым идеалом в ф [7, 5]. Выберем в 3 элемент р (7) =[= 0, имеющий наименьшую степень среди всех ненулевых элементов идеала 3-Тогда, если а (7) является произвольным элементом из то а (7) = р (7) 7 (7) ф-р (7), где deg р (7) < deg р (7), а так как р(7) = а(7) — р (7) f (7) £ 3» т0 р(7) — 0 в силу минимальности степени полинома р(7). Таким образом, а (7) = р (7) 7 (7), и потому 3 = Р (0 $ [7. <S], где Р (7) Ф [7, S] является идеалом, состоящим из правых крат-
62
ГЛАВА 3
них полинома р(/). Идеал такого вида мы будем называть главным правым идеалом. Аналогично, всякий левый идеал является главным в том смысле, что он имеет вид Ф [/, 5] р (^). Мы будем теперь называть область целостности с областью главных идеалов, если каждый правый идеал является правым главным идеалом ав и каждый левый идеал является главным левым идеалом оа. Таким образом, Ф [/, S] является примером области такого типа. Можно проверить, что следующие кольца также являются областями главных идеалов.
1)	Кольцо целых чисел.
2)	Любое тело.
3)	Подкольцо гамильтоновской алгебры кватернионов, состоящее из элементов вида 1а0 -ф-	-|--/а2 Г ^аз> где
коэффициенты аг либо все являются целыми рациональными числами, либо все они являются половинами нечетных целых чисел.
4)	Кольцо Ф \t,'\ дифференциальных полиномов. Кольцо этих полиномов определяется таким же образом, как и кольцо Ф [7, 5], причем правило at = tas заменяется правилом at—ta-^л' и (а рУ = а! Ц- Р', (ар)' = = ар' а'р.
В этой главе мы изучим детально теорию областей главных идеалов. Основные приложения, относящиеся к теории полулинейных преобразований, получаются при рассмотрении кольца Ф [/, 5].
2. Элементарные свойства. Пусть о является областью главных идеалов. Если а о и Ьо— ненулевые идеалы, причем а о h b, то b = ас, или, иными словами, а является левым делителем элемента Ь. Если ао = Ьо, то аи=^Ь и bv = а. Следовательно, а — аио и а (1 — uv) — О, а потому uv — 1, Подобно этому, vu = 1, и, таким образом, и и v являются обратимыми элементами в с. Следовательно, а и b ассоциированы справа. Подобное же замечание справедливо и для левых идеалов. В этой главе мы будем
г) Если о является областью целостности и uv — 1 в кольце В, то (1—vu)v = 0-, следовательно, также и vu = 1.
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ 63
иметь полный параллелизм между теорией правых и теорией левых идеалов, и поэтому все результаты будут выводиться и формулироваться лишь для правых идеалов.
Если а у а2о <=. .. является цепью правых идеалов, то их теоретико-множественное объединение также является правым идеалом и, следовательно, имеет вид а о. Так как для некоторого W мы имеем а £ а^о, то а о =	= • • •  Предположим теперь, что
является убывающей цепью и что все йг-х> содержат фиксированный отличный от нуля элемент Ь. Тогда b —	=	и, следовательно, Ь —
:=ai_i(ci_1bi) = ai_1bi^v Отсюда вытекает, что Ь^г = = Ci-xbi И 0 о — •1 • ’ а ПОТОМУ ДЛЯ достаточно большого ?V имеем ob^ = оЬ^+1 = ..  • Таким образом, элементы.с#, су+1,... обратимы, и aNc =	= . ... Отме-
тим, что условие обрыва убывающих цепей справедливо лишь в том случае, когда о является телом. В самом деле, предположим, что а является ненулевым элементом в а, и рассмотрим цепь ай дэ п2о • Пусть k является таким целым числом, что ако = пл+1о. Тогда ак+1 = а1си, где элемент и обратим, а поэтому и п==« является обратимым элементом.
Теорема 1. Для правых идеалов области главных идеалов о имеет место условие обрыва возрастающих цепей. Убывающая цепь правых идеалов, пересечение которых отлично от нулевого элемента, содержит лишь конечное число различных идеалов. Если условие обрыва убывающих цепей выполнено без ограничений, то с является телом.
Пусть а и b будут отличными от нуля элементами; рассмотрим идеал at> -j- Ьй, состоящий из всех элементов вида ах -ф- by, где х и у являются произвольными элементами кольца о. Этот идеал является наименьшим идеалам, содержащим ас> и bt>. Пусть теперь ao-\-bo = d&. Тогда d — ар-r bq будет общим наибольшим левым делителем элементов а и Ь, т. е. d является левым делителем а и Ь, и всякий левый делитель элементов а и b будет левым делителем элемента d. Элемент d определен
64
ГЛАВА 3
с точностью до обратимого правого делителя. Каждый из определенных таким образом элементов d мы будем обозначать через (а,6). Пусть теперь a—dax nb = db{. Тогда «(1—pa6) = da{—apav = bqay, и аналогично 6(1 — — qb^) = apbv Так как ни элемент р, ни элемент q не равны нулю, то тем самым доказано, что пересечение аоП6о = /га0^:О. Элемент т является общим наименьшим правым кратным элементов а и b в обычном смысле слова: т является общим правым кратным элементов а и Ь, причем всякое другое общее правое кратное элементов а и b является правым кратным элемента т. Обозначим элемент т через [а, 6], заметив при этом, что Он определен лишь с точностью до обратимого правого делителя.
Теорема 2. Любые два ненулевые элемента а и Ъ обладают общим наибольшим левым делителем (а, Ь) и общим наименьшим правым кратным [а, 6], которые определены с точностью до обратимого правого множителя.
Существование общих правых кратных, отличных от нуля, дает нам возможность применить обычную конструкцию дробей для получения тела отношений области с. Для этой цели рассмотрим пары (й, 6), где b Ф 0. Будем считать, что (й, Ь) эквивалентно (с, d), если при т = bdt = = dblt мы имеем ad1 = cbi. Это соотношение является симметричным, рефлексивным и транзитивным. Обозначим совокупность пар (с, d), эквивалентных паре (а, 6), через а/b. Определим a/h c/d^(adlcb^/m. Если нп — Ьс%— cb.2, то положим (a/b) (c[d) =acjdb2. Для с= 0 положим (a/6)(0/d) = О/d. Легко видеть, что сумма и произведение определены таким образом однозначно и что совокупность всех ajb, называющихся (правыми) дробями, образует тело Ф относительно определенных таким образом сложения и умножения. Тело Ф содержит подкольцо а , состоящее из элементов й/1, которые находятся в изоморфном соответствии с элементами кольца о. Таким образом, если мы заменим кольцо о кольцом о, то мы можем считать, что область о является подкольцом тела Ф. Элемент а/6 равен (а/1) (6/1)-1, и потому Ф является наименьшим подтелом в Ф, содержащим кольцо о.
НЕКОММУТАТИВНЫЕ обЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
65
3. о-модуль с конечным числом образующих. Предположим, что о является произвольным кольцом с единицей и что 2R является о-модулем, в котором для всех х х\—х. Напомним, что, по определению, для всех элементов х, у из 2)1 и для всех элементов а, & из о выполняются соотношения:
(х 4" .У)а = ха
х (а 4- Ь) — ха xb,
х (ab) = (ха) Ь.
Мы будем говорить, что модуль 2)1 имеет конечное число образующих, если в 2R существуют такие п элементов х1,х2, хп, называемых образующими, что любой элемент из 9)1 может быть представлен в виде х^, где Если для подмодулей модуля 2)1 выполнено условие обрыва возрастающих цепочек, то легко видеть, что модуль 2)1 имеет конечное число образующих.
Предположим теперь, что 91 является подмодулем модуля 2R, и пусть 2U ==	(91) обозначает совокупность
элементов ait встречающихся в качестве коэффициентов при х{ в элементах подмодуля 91, имеющих вид х^ 4~ 4-xiH1ai+14~ • • • -\-хпап. Тогда является правым идеалом. Очевидно, что если 91 лежит во втором подмодуле ф, то ЗкСЮ^ЗДФ)- С другой стороны, легко показать, что если 91 с ф и для всех i = 1, ..., п имеем & (9i) = = 3*(Ф)» Т(э 9? = ф. Это замечание позволяет нам доказать следующую теорему.
Теорема 3. Если о является кольцом, удовлетворяющим условию обрыва возрастающих (убывающих) цепей правых идеалов, то каждый й-моду ль 2R с конечным числом образующих удовлетворяет условию обрыва возрастающих (убывающих) цепей подмодулей.
В самом деле, пусть 9J4 с: 2R2 с,,, является возрастающей цепью подмодулей и пусть ==	• Тогда
3^!=	— • • • ) и> следовательно, найдется такое целое
число что для- всех i имеем 3*^ = 3^+1) = • • • • Отсюда
5 Зак, 7i8. Н. Дасакобсон.
66
ГЛАВА 3
следует, что i)t№ = .. .. Таким же образом рассматривается случай обрыва убывающих цепей.
Если элементы модуля 9И могут быть одним и только одним образом представлены в виде 2A’i£Zi’ то называется свободным модулем с базисом х1} ..., хп. Эквивалентным условием будет то, что элементы являются образующими модуля ЗК и ^х^{ = 0 ’ только тогда, когда все d{ = 0. Так же как и для тел (см. главу 2), мы можем для любого кольца о построить свободный модудь с заранее заданным числом элементов базиса. Но теорема инвариантности числа элементов базиса не будет справедливой, если на кольцо а не наложить никаких ограничений. Таким образом, может случиться, что в модуле 9)i существуют элементы	ут, порождаю-
щие все ЗЛ, причем щ<«. Мы покажем теперь, что теорема инвариантности справедлива при любом из следующих предположений:
1) о является подкольцом некоторого тела;
2) Для правых идеалов кольца о выполнено условие обрыва возрастающих цепей.
Предположим, в самом деле, что 9)1 имеет /п<« образующих у;£ =	9- Тогда каждый элемент
и, следовательно, xi=’^xia^Jsbiti. В силу единственности представления, имеем	= так чт0
(«)(&) =
' «11	•	 • «1»4	0.	:о		’ (’ll •	 (’im		• (’in
								
ат1	• -^яв	0.	.0		(’ml •	* Ьтт	(’mm+l'	• (’m)i
ат +11-	• • «»г +		.0	(	0 .	. 0	0 .	. 0
	• -атп	’О.'.	.0 .		. 0 ..	. 0	0	. о .
= 1.
х) В силу симметрии достаточно рассмотреть только этот случай.
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
67
Так как (Ь)(а)ф 1, го, в силу теоремы 1 из главы 2, это невозможно, если выполнено условие 1). Заметим далее, что отображение	является таким
о-эндоморфизмом А, что 2КД = 2)1. С другой стороны, множество Зд элементов, отображающихся в 0, при эндоморфизме А содержит элементы х,и+1, ..хп, а потому Зд ф 0. Но это невозможно в силу теоремы 7 из главы 12)-
Пусть теперь g является свободным ©-модулем с базисом ех, ..., еп и пусть 2)1 является некоторым ©-модулем с п образующими хх, ..., хп. Соответствие	^xiai
будет ©-гомоморфным отображением модуля g на 2)1. Следовательно, 2)1 изоморфно фактор-модулю g/2t, гДе является совокупностью элементов, отображающихся в О при этом гомоморфизме. Мы используем позже этот результат для изучения структуры ©-модулей с конечным числом образующих над областью главных идеалов о. о-модуль, порожденный одним элементом, называется циклическим. Если мы рассмотрим кольцо о как модуль относительно обычного умножения ха, то получим, что о является свободным циклическим модулем, так как а — 1а. Правый идеал из о будет ©-подмодулем. Идеал 3 будет циклическим модулем тогда и только тогда, когда он является главным идеалом, и % = ао будет свободным модулем тогда и только тогда, когда а не является левым делителем нуля. Если теперь 2)1 является циклическим о-модулем и х — образующим элементом модуля 2)1, то соответствие между и ха £2)1 является ©-гомоморфизмом. Таким образом, в этом случае 2)1 изоморфно фактор-модулю о/^, где 3 является правым идеалом, состоящим из таких элементов Ь, что :Ь = 0. Идеал называется порядком элемента х.
4. Циклические о-модули. В дальнейшем © будет обозначать область главных идеалов. Если 2)1 является ©-модулем и х — элементом из 2)1, то мы будем говорить, что х имеет конечный порядок, если 0. Предположим
i) Последний результат принадлежит С. J. Everett. Более полное рассмотрение этих вопросов содержится в его работе [3].
5*
68
ГЛАВА 3
теперь, что элементы х и у имеют конечные порядки JJj и 32. Тогда Зз = 31Л32#:0, и, так как для всех имеем (л; b = 0, то элемент х-\-у имеет также конечный порядок. Далее, если а является некоторым не равным нулю элементом из е, то ао fl	и,
если b является отличным от нуля элементом из т0 Ь = ас, где сфО. Тогда (ха)с~ xb = 0. Таким образом^ совокупность элементов конечного порядка образует подмодуль модуля 3D?.
Рассмотрим теперь циклический с-модуль 9)?, образующий элемент которого имеет конечный порядок, благодаря чему, не теряя общности, мы можем считать, что 3R = o/ao, где az/xf). Каждый подмодуль модуля o/tzo имеет вид где Ьо^ао и, следовательно, а = Ьс. Подмодуль bojao является циклическим, так как он порождается смежным классом, к которому принадлежит элемент Ь. Так как порядком смежного класса b -{- ао является со, то модуль Ьо/ао о-изоморфен модулю о/со. По второй теореме об изоморфизме модуль о/ао/^о/ао о-изоморфен модулю о[Ьо. Таким образом, с разложением а = Ьс не равного нулю элемента а мы можем связать цепь о-модулей о/ао 3 Ьо/ао^ ао/ао = 0, для которой фактор-модулями являются соответственнр о/bo и о/со, и обратно.
Найдем теперь условие, при котором для двух не равных нулю элементов а и b фактор-модули о/ао и о/bo будут о-изоморфны. Пусть 1а является смежным классом в о/ао, содержащим элементу 1. При изоморфизме он отобразится в смежный класс иъ фактор-модуля о/bo. Тогда 1ос соответствует иъс. Так как при изоморфизме 0 —»0, то иъа — Ьо. Если и является некоторый элементом из иь, то аа = bv = т. Так как смежный класс 1&, содержащий 1 в о/Ьо, имеет при некотором с вид ubct то мы получаем uc~l-\-bq. Следовательно, общим наибольшим левым делителем («, Ь) элементов и и b является 1. Так как иа^Ьо только тогда, когда ai=acl, то т является общим наименьшим правым кратным [и,Ь] элементов и и Ь. Следуя Ope [Ore], мы будем называть элементы а и b подобными справа, если существует такой элемент и£о, что = 1 и а = и~х [u,bj, или иао = иоПЬо и ио + ^о = о. Мы полу
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
69
чили, таким образом, что фактор-модули о/ао и о/до о-изоморфны лишь тогда, когда элементы а и b подобны справа. Обратное утверждение также справедливо, так как повторяя предшествующие рассуждения, мы видим, что отображение \ас—*иъс является изоморфизмом. Теперь условие т = иа — bv = [а, б] влечет за собой отсутствие общего правого делителя у элементов а и а, т. е. оа -ф-а из (a, b) = 1 следует, что т является общим левым наименьшим кратным элементов а и v. Таким образом, элементы а и b подобны слева в очевидном смысле слова. В силу эквивалентности правого и левого подобия мы будем называть это свойство просто подобием. Если рассматривать о как левый модуль относительно левого умножения, то получается
Теорема 4. г-моду ли о/ао и о/#о (а, ЬфО) изоморфны тогда и только тогда, когда левые модули с/оа и в[$Ь изоморфны. Для того чтобы каждое из этих условий имело место, необходимо и достаточно, чтобы элементы а и b были подобны.
Отметим, что элемент иа, а, следовательно, и элемент uav подобен элементу а, если и и v являются обратимыми элементами. Если кольцо о коммутативно, и т = иа == bv, то up -+-bq = 1-, тогда аир -ф- abq = h (vp-\-aq\ и потому b является делителем элемента а. Таким же образом а является делителем Ь. Следовательно, в этом случае элементы а и b подобны тогда и только тогда, когда они отличаются обратимым множителем.
Пусть а является необратимым отличным от нуля элементом. Тогда осоаосоО. Так как выполнены условия обрыва цепей, то о-модуль о/ао обладает композиционным рядом. Этот ряд соответствует такой цепи идеалов о=аоо э rodj о =>а2о Z). . . со амо = «о, что а^о/ао/а^о/ао и, следовательно, а^о/а^о неприводимы. Если ai+1=aibf+l и а0=1, то кольцо а^о/а^+1о изоморфно кольцу o/bi+1o. Следовательно, имеем а = Ьф2 ... Ьп, где элементы Z»{ неприводимы в том смысле, что они не являются ни нулями, ни обратимыми элементами и не имеют собственных делителей. Обратно, если а — ЬХЬ% ... Ьц, где элементы bit
70
ГЛАВА 3
неприводимы, то мы получаем композиционный ряд о/ас о Z’jO/tze	э...эО. Таким образом, мы можем
применить теорему Жордана-Гельдера и получить следующую теорему:
Теорема 5. Каждый элемент а, отличный от нуля и не являющийся обратимым элементом, может быть представлен в виде Ьх ... bn, где bt являются неприводимыми элементами. Если а — с} ... ст, где элементы Cj неприводимы, то т = п и элементы bt и с^ подобны при некотором, определенным образом установленном, однозначном соответствии между ними.
Число п неприводимых множителей в разложении а = Ьх . , . Ьп называется длиной элемента а. Оно является также длиной композиционного ряда модуля о/ад. Пусть Ъ является другим необратимым отличным от нуля элементом, и предположим сначала, что (я, й)=1. Тогда элемент а-1 [а, Ь] — Ь' подобен элементу Ь. Следовательно, длина Ь'— длине Ь. Пусть теперь (a, b} = d и a = da, b=^dbx. Тогда	и длина [a^J = длине
длина ax-r [а1( ’’J = длине a j-L длина Ьх. Так как [а, Ь]~ —d [аь />,], то длина [я, 6] = длине d Ц- длина ах -f- длина Ьх и длина [а, Ь] Ц- длина d = длине ах длина Ьх 2 длины d= —длине ab, и нами получена
Теорема 6. Если а и b являются отличными от нуля необратимыми элементами, то длина [a, Z»] Ц--р длина (а, Ь) => длине ab.
Собственное прямое разложение кольца о/аа связано с таким множеством идеалов а$, что втза^^ав, -р... -\-апо = о иа<а п(<40 -р • • •	+	+ • +
-j- anti) = ас. Таким образом элементы at являются собственными делителями элемента а, общий наибольший левый делитель (ах, . .., ап) = 1 и общее наименьшее правое кратное [а^, (а19..., at_v at+x,. . , <zn)] = а. Если а = atbt, то кольцо a^jac e-изоморфно кольцу cfbiC. Условием для неразложимости а^(ао является отсутствие таких собственных делителей />/ и элемента bi, что [bi ,b"\ = bi и (bi, bi")— 1, или отсутствие таких собственных делителей я/ и а/' элемента а, что [а/, tz/'] — а и
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
71
(а/, a")=ai. Нетрудно видеть, что это является интерпретацией теоремы Крулля-Шмидта. Более обычная интерпретация получается при помощи 'следующего теоретико-структурного рассуждения.
Пусть 2R является группой относительно множества 2 эндоморфизмов, которое содержит все внутренние автоморфизмы. Предположим, что 2ft = Ш?! ф... и, т. е. что
931 = ^4-.. .4-214,
+ -+ • - + « = о. (1) положим 4-... +	4- н +... 4-дам.
1 Тогда при помощи повторного применения дедекиндова дистрибутивного закона мы получаем (2lj П • • • П Л П Я+1 Л • • -nftп— 2)^. Следовательно,
я<+(я,п..-п5г<-1П5г<+1П---пад=м-	(2)
Обратно, если мы имеем множество подгрупп 94 удовлетворяющих этим условиям, то мы можем определить
П • • • Л 9V1 Л ^<+1 Л • • • Л 9W и получить = =шг14-...-ьэл_1 + дао14-...+э)ии>зл=шг1е...е
Таким образом мы имеем полный дуализм между этими двумя типами разложений. Отметим также, что факторгруппа 2R/9i^ 2-изоморфна 2)1р Следовательно, мы получаем следующую теорему, дуальную теореме Крулля-Шмидта:
Теорема 7. Пусть является такой Q-группой, что 2 содержит все внутренние автоморфизмы, и в УЛ выполнены оба условия обрыва цепей. Предположим, что . . . , 9?ге и 211,,.., 2l«' являются двумя удовлетворяющими условию (2) множествами отличных от 2R Q-подгрупп, причем 2R/9?^ и 2>1/9£/ являются неразложимыми группами. Тогда п — п', и существует такой Q-автоморфизм Н группы и соответствующее ему упорядочивание подгрупп 91/, что
В частности, группы и 2)t/9i/ будут Q-изоморфны.
72
ГЛАВА 3
Вернемся теперь к изучению области о и назовем элемент а неразложимым, если а является таким отличным от нуля необратимым элементом, что модуль о/ао неразложим. Последнее условие имеет место тогда и только тогда, когда не существует таких собственных делителей а' и д" элемента а, что а = [а', а"] и (д', а") = 1. Если а обладает таким разложением и а = а'Ь" — а"Ь', то а является общим наименьшим левым кратным элементов Ь' и Ь", и эти элементы не имеют необратимых общих правых делителей. Отсюда следует, что модуль о/яо неразложим тогда и только тогда, когда модуль r/оа неразложим. Из теоремы, дуальной к теореме Крулля-Шмидта, следует
Теорема 8. Отличный от нуля необратимый элемент а может быть представлен в виде [ср ... , сп], где элементы с{ неразложимы, и (ct., [ct, ... , ct_r, ci+1, . • cw]) = l. Если мы имеем другое разложение а — [dp ... , dn\ того же типа, то п — т и элементы dj могут быть так упорядочены, чтобы для всех I элемент ct был подобен элементу d{.
Области полиномов. Пусть х> является областью полиномов Ф [£,£]. Если	i™-1 aj	»т, где
7П>0, и d является некоторым элементом этой области, то d — aq-^r, deg г < deg а. Следовательно, в каждом смежном классе по аФ [^, 5] существует элемент, степень которого меньше т. Как легко видеть, такой элемент однозначно определен. Отсюда следует, что всякий смежный класс по аФ \t, SJ может быть представлен в виде { 1 } "И + •  • + {	где { б*} является смеж-
ным классом, содержащим tk, и Ф. Таким образом, рассматривая Ф [/, Sj-модуль Ф [/, 5]/й:Ф [/, S] как Ф-модуль, мы получим, что размерность его равна степени элемента а.
Следствием этого является равенство степеней подобных полиномов. Степени полиномов, получающихся при разложении произвольного элемента а на множители, являются, таким образом, инвариантами а. Предположим, что элемент а подобен элементу Ь, т. е., что а = и~1 [и, £], где (м, #) = 1. Если [и, Ь] — иа = bv, то положим
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
73
где degw^degZ» и deg deg а. Тогда Ь — q^a = bvl — иха.
Если qv Ф q& то степень в левой части deg<z в то время, как степень правой части <deg<z-|- deg Следовательно, qt = q$ и bvr = uva. Элементы b и не имеют необратимых общих левых делителей, а элементы и а не имеют необратимых общих правых делителей.
Следовательно, а^и^1 («ц Ь], где degur<deg&. Например, если b — t — р, где [3 £ Ф, то мы можем положить == а, а£Ф, и t—р = аа-1(/— р) = [а,/ — р]. Следовательно, подобные t — р элементы ассоциированы справа с полиномами вида a-1 (t— р) или t —
Пусть теперь Ф = R (I, j) является кватернионной алгеброй над действительно замкнутым полем: элементами Ф являются а0 +:«!-|-/«2 + (/а3, где /2=у2 =— 1 и (/ = =—ji. Положим 5 — 1. Если а (/) = а04- tax 4~/2аа Ц-4~ . • •	где ««£Ф, то определим а (/) как а0
+ tax -J- tza2 -j-.. . 4- tmam, где «04- /04 4-+ #a3 = = a0 — lat—/a9 — t/a3. Легко проверить, что
a(/)-|-£(7) = <z(0 4-£(<l> a (f) b (t) — b (t) a (f) (3) и
tz(O4~a(O> a (f) a (t) = a (7) a (f)	(4)
имеют коэффициенты в R. Таким образом а (/) а (£) может быть разложено на линейные множители в /?(/)[/]. Следовательно, неприводимые делители полинома a (?) в Ф линейны, и единственными неприводимыми полиномами в Ф [/] являются линейные полиномы. Как и в коммутативном случае, мы можем использовать тождество:
/к — fk —	---ry (/й-1	гА -1)
для доказательства того, что остаток при делении слева полинома а (7) = а0 -j- tat -ф- ... 4“ 1тат на — г равен а0 4~ rai '!'••• 4- гГпат- Следовательно, t— г является точным делителем полинома a (i) тогда и только тогда, когда г является левосторонним корнем a(t) в том смысле, что
74
ГЛАВА 3
<z0 4"	+  • • “F r”4n = 0- Таким образом, мы доказали,
что каждый полином, степень которого >0, обладает левосторонним корнем, и таким же образом мы находим, что эти полиномы обладают правосторонними корнями (а0 Ц-4-	4~ • • • 4* атгт — 0), в этом смысле Ф алгебраи-
чески замкнуто.
Пусть далее Ф = £>(г), где f2 = — 1 и R является действительно замкнутым полем. Предположим, что S является автоморфизмом а04*	> «о — ^ар Если полином а (if) =^4-^14- • •  4-^'"aw, где	лежит
в Ф [/, 5], то мы определяем a(f) = <z0 — ta^ 4’	—
— Az34~ • • • (или t =— t, = Тогда (3) выполнено, и а (/) а (^) = a (t) а (/) = а (/2), где а (Z2) является полиномом от /2 с коэффициентами из R. Мы можем разложить а (£й) на множители вида t2— а, где а£Ф, причем эти множители неприводимы в Ф [/, S], когда афЬЬ, т. е. когда а не является действительным и неотрицательным числом. Следовательно, всякое a (£) обладает линейными и квадратичными множителями, и наш результат дает те специальные формы, которым подобен каждый неприводимый полином.
5. Двусторонние идеалы. Каждый двусторонний идеал 3 имеет вид ао = оа/. Отсюда следует, что а~иа!, а' = = av и а = uav, а' — ua'v. Так как иа £ т0 иа — аи> и а = au'v, и потому u'v — 1. Следовательно, элемент v обратим. Аналогично, элемент и обратим, и ао = оа, а'о = »оа, т. е. каждый правый образующий элемент является левым образующим и обратно. Мы будем обозначать образующие двусторонних идеалов через а*, Ь*, .... Эти элементы характеризуются тем свойством, что для любого заданного элемента х найдется такой элемент x'(jc), что ха* =а*х' (а*х = ха*). Отсюда следует, конечно, что соответствие х —> х' (х -> х) взаимно-однозначно и, следовательно, является автоморфизмом в о.
Если 31 и Зэ являются двусторонними идеалами, то и 31 + 32 и 31 Л Зз также будут двусторонними идеалами, равно как и произведение З1З2, определенное как сово
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
75
купность сумм вида 2 У1У& гДеУ г € Зг г) • Если 31 = Л*0, 32 = б*р, то 313а == (я*о) (b*o) = a* ($Ь*) в = а* (b*t>) о = ~й*6*о. Очевидно, что 31 П Зз =5 SiSa- Предположим теперь, что Зэ^31^0; тогда а* = Ь*с, и если то найдутся такие элементы х и х, что ха* = а*х' и xb* = b*x. Следовательно, Ь*хс — ха* = а*х' = Ь*сх' и хс = сх'. Так как элемент х произволен, то с —с* порождает такой двусторонний идеал с*о, что <z*o = (д*о) (с*в). Очевидно, что с*о^а*о.
Лемма 1. Если 31 и За являются двусторонними отличными от нуля идеалами, то из Зз=!3х следует, что 31 = ЗзЗз» г$е Зз — двусторонний идеал, содержащий
Под максимальным двусторонним идеалом р*о мы будем понимать отличный от о двусторонний идеал, который не содержится ни в одном двустороннем идеале, отличном от о и р*о. Таким же образом мы определяем максимальный правый идеал ре>. Таким образом, идеал ро максимален тогда и только тогда, когда элемент р неприводим.
*
Пусть теперь является максимальным двусторонним идеалом, содержащим двусторонний идеал <z*oz£O, о. Такие идеалы существуют, так как с/а*о удовлетворяет условиям обрыва цепей. Мы получаем а*о = (/м) («1Р), где tZjO ф а*о, так как рхр ф 0. Если ai о = о, то а*о = =рг0. В противном случае имеем ах а = (р-2 о) (а2 о), где оа2 одз«io. Продолжая этот процесс, мы получаем следующую лемму:
Лемма 2. Каждый отличный от 0 и от а двусторонний идеал а*о может быть разложен следующим образом". (рхо)(р*2о) ... (р*сф где р^о являются максимальными (или неразложимыми) двусторонними идеалами.
1) Вообще если 31 и §8 являются подкольцами некоторого кольца, то 2133 определяется как множество элементов вида S ab, где а £ 91 и 6 £93. Имеют место следующие правила: ?Г (93®) « (9193) ®, 91 (93 + ®) = 3193 + 91®, (S3 + ®) 91 == 9391 + ®9Г,
76
ГЛАВА 3
Предположим, что идеал р*о является максимальным и содержит (или, что то же самое, является его делителем) идеал (й*о) (&*о). Если р*о г а*е>, то р*о Ц-a*t> = о и, следовательно, b*o = с>Ь* о — (р*в +	~ (Р*с) (£*о)+
4- (а*в) (b*o) c:p*s).
Лемма 3. Если максимальный идеал р*$ является делителем идеала (а*о) (Ь*с), то р*о будет либо делителем а*о, либо делителем Ь*й.
Пусть р*й и q*o являются максимальными двусторонними идеалами. Если р*о = q*o, то, очевидно, (р*в) (q*o) = " (<7*0) (Р*о)- Предположим теперь, что р*о ^q*t>. Идеал (р*о fl q*6) с^р*£>, и потому (р*о П <7*0) = (р*о) (?*о). Но
Е! (P*i>) (<7i0) и, так как q*o ф р*0, то q*o^qto. Следовательно, (р*о) (</*о) 2 С°*с П 9*°)- Так как обратное включение также справедливо, то (р*о) (<7*0) = (р*о Л д*в). По симметрии мы получаем лемму:
Лемма 4. Если р*с> и q*o являются максимальными двусторонними идеалами, то (р*в) (<7*0) = == (<7*о) (р*с).
Из этих лемм вытекает, как и в коммутативном случае,
Теорема 9. Двусторонние идеалы кольца о образуют коммутативную систему относительно умножения. Всякий двусторонний идеал, отличный от 0 и 0, обладает одним и только одним разложением в произведение максимальных двусторонних идеалов.
Из этой теоремы следует, что если а*0 = (р*0)е«... •. (р*8 б)в9, где идеалы р*{о являются максимальными и piO ф ру) при i ф j, то всякий двусторонний идеал, содержащий а*о, имеет вид (Р10)Л ... (Ps®/8, где /< < et. Следовательно, если а*о = (pi0)e‘ ... (р«0)ед и Ь*о~(ргоУ1. . . ... (pZo)4 где > 0 и > 0, то а*о -f- b*o = (p*o)hl..  ... (рвйУ1*, где ~ min (et, ft), и а*о Л b*o = (pi0)ffl... . ..(Рв0)^, где g-< = max(ei,/1). Если а*од*о = о, то а*0 Л Ь*о = (а*о) (#*о). Таким образом, для того, чтобы
Некоммутативные области главных идеалов
77
а*о = (р*о)в, где р*о максимальный идеал, необходимо и достаточно, чтобы идеал а*о нельзя было представить в виде	П с*о, где Ь*о и с*о являются
такими собственными делителями, что Ь*о с*в = о.
Двусторонние идеалы в Ф [I, S], Пусть а* = /»-[-tn-iai , 4-	где ak ф 0, порождает двусто-
ронний идеал в Ф [£,£]. Тогда, так как 1п~к порождает двусторонний идеал, -то это справедливо и для tk-\-4--f-... -j- «*. Следовательно, мы можем предположить, что k = и и	Если $ является произвольным
элементом из Ф, то существует такое V в Ф [t, 5], что
s +tn~ ч+• • • 4- ап)=ап+%+• • •+«»)
Следовательно, deg$' = O, т. е. £'£Ф. Тогда S' = ап 1Е«П. Если пД^О, то <4 = и потому = а^~Ч<хп. Таким образом, мы видим, что если ни одна степень автоморфизма S, за исключением 5°=1, не является внутренним автоморфизмом, то единственными элементами а* являются tka, и двусторонними идеалами являются tko = oik, k== = 0,1,2,... .
Предположим теперь, что	г>0, где через $
обозначена группа внутренних автоморфизмов тела Ф, и пусть Sr является наименьшей положительной степенью, обладающей этим свойством. Соответственно, пусть для всех $ имеет место £,s'r == Тогда, если 5й £ Я, то п является кратным числа г. Если а* = f"4"	*п’?з Ч
Н“...+₽в, причем л> «2>... и = а*?, где по необходимости $' =	то автоморфизмы Sn,
Snt,. .. являются внутренними. Следовательно, а* = tmr -J-_|_ tfm-i) Г Yj 4- .. . 4- Tfra, где ф 0, и для всех $ имеем 7^' =	Так как ta* = a*t', то t' = t и,
следовательно,	Обратно, условия

влекут за собой ха* = а*х' для х = $ £ Ф и x = t. Отсюда следует, что это справедливо для всех х из Ф [£, S]. Общей формой образующего элемента для двустороннего
78
ГЛАВА 3
идеала является, следовательно, tta*~(, где а* имеет вышеуказанный вид.
6. Ограниченные идеалы Правый идеал ао называется ограниченным, если он содержит отличный от нуля двусторонний идеал. Объединение двусторонних идеалов, содержащихся в до, является двусторонним идеалом, называющимся границей % = а*о = оа* идеала ао. Если г £2», то для каждого х£о имеем хг£ао и, следовательно, .г£3\ гДе 3' обозначает идеал, состоящий из аннуляторов фактор-модуля о/ао. Следовательно, если идеал ас ограничен, то	Обратно, если фО, то 13 '^ао, и
идеал ао является ограниченным с границей 3=?3'- Таким образом, 3 = 3 - Из этой характеристики границы следует, что если элементы а и b подобны, а идеал ао ограничен, то идеал Ьо также ограничен и имеет ту же самую границу. В частности, если ао=>а*о является двусторонним идеалом, то ао = Ьо.
Другая характеристика ограниченности и границы получается следующим образом. Пусть элемент b подобен некоторому правому делителю элемента а и пусть 3' = ^>о является пересечением всех идеалов Ьо такого вида. Предположим, что 3' Ф 0- Если х является некоторым элементом из в, то положим (х,а) = е, х = ех1, a = eat, так что (хр tjtj) = 1. Пусть mt = [xv «J = xLa2 = atx2. Тогда элемент aa подобен правому делителю аг элемента а. Следовательно, если d£%', то d = a2d' и xd = = expand' = еарс.рГ = ax2d' £ ао. Отсюда следует, что идеал ао ограничен и имеет границу 352/* С ДРУГ0Й стороны, пусть ао является ограниченным идеалом с границей 3" Тогда если элемент Ь подобен правому делителю а, то о/bo о-изоморфно подмодулю фактор-модуля о/ао, и, следовательно, если rf£3» то d=^ld^bo. Так как идеал Ьо произволен, то d^&bo^/S', и потому 3S2f-Следовательно, 3 = 3Л-
Теорема 10. Следующие условия эквивалентны'. 1) идеал ао ограничен; 2) существует такой элемент гфд, что для всех х xz^ao; 3) пересечение Д5о всех
некоммутативные области главных идеалов'
79
идеалов. Ьо, где элемент Ь подобен^некоторому правому делителю элемента а, отлично от нуля. Если эти условия выполнены, то границей ао является совокупность элементов г, удовлетворяющих 2), или множество &Ьо из условия 3).
Следствие. Если элементы а и Ь подобны, и идеал ао ограничен, то идеал Ьо ограничен и имеет ту же границу, что и ао.
Такие же определения имеют место и для левых идеалов. Если теперь ао 3 а*о, то рассмотрим идеал оа и положим оа -j- оа* => od. Тогда d = ka 4- /а*. Так как а*~ааг, то мы получаем, что dat = kaat la'^a^ = = kaa1 4~ lat'a* =* (ka-j-la^a) av Следовательно, d~ua, где u = k-\-la^. Тогда od^-oa, и оа* = a*o<^oa. Таким образом, идеал оа ограничен и имеет ту же границу, что и ао.
Теорема 11. Если идеал ао ограничен и имеет границу а*о = оа*, то и идеал оа ограничен и имеет границу а*о.
Если идеалы ао и Ьо ограничены с границами соответственно а*о и Ь*о, то а*о Q 5*о является отличным от нуля двусторонним идеалом. Следовательно, идеал ао f| Ьо ограничен, и его границей является, очевидно, а*о Q Ь*о. Из определения границы следует также, что если Ьо 5 ао и а = Ьс, причем идеал ао ограничен с границей а*о, то и идеал Ьо ограничен с границей Ь*о^_а*о. Таким же образом идеал ос, а следовательно, и со, ограничен, и его граница содержит а*о. Если мы сопоставим эти утверждения, то получим, что если идеал ао = 5cdo ограничен, то и идеал со ограничен, и его граница содержит а* о.
Теорема. 12.у. Если идеал ао = bcdo ограничен и имеет границу а*о, то и идеал со ограничен, и его граница с*о содержит а*о.
Пусть теперь элемент р неприводим. Тогда ро является максимальным правым идеалом. Предположим, что ро 5 (^*о). Если ро £ а*о, so ро-{- а*о~ о и, следовательно, Ь*о = (ро) (Ь*о)	(а*о) (Ь*о) <=zpo. Если идеал
80
ГЛАВА 3
ро ограничен, то отсюда следует, что его граница р*о является максимальным двусторонним идеалом.
Пусть теперь элемент q неразложим, и пусть идеал qo ограничен и имеет границу q*o. Предположим, что q*o = = 9*0 Г) 9*о, 9*о	9*о = о. Положим qy = 9*0 4" 90, 9г® =
= 9*0 + Тогда 9хо 9а° = ° и	= 9*0.
Если х £ 9*0	90, то х (9*0) с: 90, и также, если х £ 9*0 4~
Ц-90> то х (9*0) с 90. Следовательно, Х0С90 и х^90. Таким образом, 9хо р 93о = 90. В силу неразложимости идеала 90, мы получаем, что либо 9^ = 90, либо 9ао = 90. Соответственно, либо 90^9^0, либо 90 59*0- Так как 9*0 является границей идеала 90, то либо 9*0 = 9*0, либо 920 = 9*0. Отсюда следует, что 9*0 не может быть разложен в произведение собственных двусторонних взаимно простых множителей, т. е. 9*0 является степенью максимального двустороннего идеала.
Теорема 13. Если элемент р неприводим и идеал ро ограничен, то его граница р*о является максимальным двусторонним идеалом. Если элемент q неразложим и идеал qo ограничен, то его граница q*o является степенью максимального двустороннего идеала.
Элемент а называется полным делителем элемента b ф 0, если существует такой двусторонний идеал что «о 23 3 до. Таким образом, идеал ао ограничен, и его граница а*о содержит Ьо. Так как мы видели, что оа 5а*о, и так как очевидно, что оа* = a*o^ob, то мы получаем также, что оа 3 оа* э о Ь. Более симметричное условие, эквивалентное нашему, было дано Тейхмюллером, а именно: (ао п оа) 3 oZ»o. В самом деле, если (ао р оа) 3 obo, то ао содержит двусторонний идеал obo, содержащий Ьо. Обратно, если ао 3 а*о 3 Ьо, то а*о 3 о^о и ао о obo. Подобным же образом получаем, что оа 3 obo, и потому (ао р оа) 3 obo. Как вытекает из следующей теоремы, понятие полной делимости инвариантно относительно подобия.
Теорема 14. Если элемент а является полным делителем элемента Ь и а! подобно а, а Ь' подобно Ь, то а' является полным делителем элемента Ь'.
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
81
Мы видели, что если идеал ао ограничен, и элемент а' подобен элементу а, то идеал а'о ограничен и имеет ту же самую границу а*о, что и ао. Следовательно, если а является полным делителем элемента Ъ, то а1 также является полным делителем Ь. Предположим теперь, что Ь' — и-1 [а, Ь], где (и,Ь) = 1. Тогда ио Ьо = о, и если ao^a*o^bo, то	= Таким образом, элемент
и~х [и, а*\ подобен элементу а*, и так как а*о является двусторонним идеалом, то и-1 [и, а*] о = и иа* = = [м, а*]. Так как (ио П й*о)^ (ио р &о), то мы получаем, что uh1 — [и, 6] = [и, а*] с~иа*с. Следовательно, Ь' — = а*с и а*о Ь'о, а потому а является полным делителем элемента Ь'. Отсюда следует, что а' является полным делителем Ь'.
Ограниченные элементы в Ф Пусть Г является центром тела Ф, и предположим, что (Ф:Г) = /п (<со) и что существуют отличные от 5° степени S, являющиеся внутренними автоморфизмами. Пусть Sr является наименьшей положительной степенью, обладающей этим свойством, причем для всех Е £ Ф = у-1 $<1.. Тогда S индуцирует автоморфизм в Г и Sr = 1 в Г. Если Sf является наименьшей степенью индуцированного автоморфизма, равной тождественному автоморфизму, то t = г. В самом деле, как мы докажем позже (глава 5, § 9), если автоморфизм S* оставляет элементы Г на месте, то является внутренним автоморфизмом. Следовательно, t г, и так как очевидно, что то t = r. Если Гс является подполем, состоящим из элементов, остающихся на месте при автоморфизме S, то, в силу теории Галуа полей, имеем: (Г :Г0) — г !). Следовательно, (Ф :Г0) = тг.
Так как автоморфизмы S и Sr коммутируют и $sr== = то	= р.-Чр.. Следовательно, p.s=8y.,
где 8£Г. Отсюда следует, что 88s... 3sr“1 = i. Тогда, как мы покажем в § 9, 8 = т| (”qs)-1, где 7]£Г. Заменяя [л через tip- и изменяя обозначения, мы можем считать, что v-s = р-.
Ц См. главу 4 § 19.
6 Змк. 7*8. Н. Джекобсом.
82
ГЛАВА 3
Предположим теперь, что элемент а* — tmr\0 -у +	% -Ь  •. Ч- Ъи, где ъ» = 1 порождает двусторон-
ний идеал. Тогда элемент а* может быть записан в виде um80'|-	-j- • • • +8М, где 8М=1 и «==^-4 п2 =
=	... Так как я* порождает двусторонний идеал,
то 8< £ Го, и общей формой элемента, порождающего двусторонний идеал, является:
^(дт8о+„пг-181+...+8и1)ъ 8.СГо.
Если a (t) является полиномом степени h, то положим = а (0	(0 + rt (0, / = 0, 1, ..., mrh,
где degr*(0<A. Так как полиномы степени < h образуют пространство размерности mrh — N над Го, то в Го существуют такие элементы 80, 8t, ..., что ~S г* (0 = О-Следовательно, 2	(0 = а (0 Я (0, где Я (0 =
= 2^(07 8<и а (0 Ф[0 S] 5<г* (0 Ф[0 5].
Теорема 15. Если тело Ф имеет конечную размерность над своим центром и автоморфизм Sr, 0<г<со, является внутренним, то каждый идеал в Ф И, S] ограничен.
7. Матрицы с элементами из о. Если U и V входят в кольцо о№ матриц порядка п с элементами из о и UV — 1, то и VU = 1. Это является непосредственным следствием того, что кольцо в может быть вложено в тело. Таким образом, U является обратимым элементом в ом. Если А и В — некоторые мХг матрицы (н строк, г столбцов) с элементами из о и B — UAV, где U и У являются обратимыми элементами соответственно в и ог, то А и В называются ассоциированными матрицами. В этом параграфе мы рассмотрим проблему выбора канонической формы среди матриц, ассоциированных с данной. В следующем параграфе это будет применено для изучения структуры произвольного о-модуля.
Пусть а и b являются отличными от нуля элементами во и ао -j- bo = do, (ао f) bo) — то. Тогда существуют
некоммутативные области главных идеалов 83
такие элементы р, q, г, s, что ар 4“ bq — d, ar = где m — ar =—bs^EQ и or -}- os — с. Если a — daY, b ~ dbt и Ci, dx являются такими элементами, что qr-j--^^$==1, то мы полагаем и~ cLp A- dvq, и можно проверить, что
обратима в оа и
Следовательно, матрица
является обратимым элементом в ог. Если /-й строкой в А является (сг, .... q-lt а, с(+1, ... b, cJ+1, ..., сг), то i-й строкой в AV будет (q, ..., ct-v d, ci+1, .... cy_p 0, Cj+1, ..cr). Аналогичный результат имеет место для столбцов матрицы А.
Отметим далее, что следующие „элементарные" преобразования могут быть выполнены при помощи умножения матрицы А справа и слева на обратимые матрицы:
I. Прибавление к /-му столбцу у-го столбца, умноженного справа на q (/ ф. j). Это делается при помощи умножения А справа на	Для того чтобы прибавить
6*
84
ГЛАВА 3
к г-й строке /-ю строку, умноженную слева на q, надо умножить А слева на (1
П. Перестановка г-го и /-го столбцов (строк): надо образовать A (1 + «^ +	— еи — ejj) (или (1+е</ +
eji eii ejj) ^)-
III. Умножение г-го столбца (строки) справа (слева) на обратимый элемент и: надо образовать
А (1 +(« — !) е^) (или (1+ (« — !)
Пусть А ф 0 и ар^ ф 0 является элементом матрицы А, имеющим наименьшую длину среди ненулевых элементов А. Произведя операции типа II, мы получаем ассоциированную с А матрицу В~(Ьц), для которой	имеет
наименьшую длину. Если не является левым делителем хотя бы одного из то найдется соответствующая ассоциированная матрица BV, в которой на месте btl стоит элемент ЛфО, длина которого меньше, чем длина biV Таким же образом, если btl не является правым делителем всех bit, то Ьг1 может быть заменен элементом меньшей длины. После конечного числа таких замен мы получим ассоциированную с А матрицу С, в которой и является левым делителем каждого элемента clf и правым делителем каждого элемента ctl. Если Сц — c^q^ то мы умножаем последовательно первый столбец справа на — qi и складываем с 2-м, 3-м, . . ., r-м столбцом. При этом первый столбец остается неизменным, а элементы с1<9/> 1 заменяются нулем. Если мы применим подобную операцию к строкам, то получим ассоциированную с А матрицу D следующего вида:
(ф 0 ... О \
О rf2a ... d2r |,	д?! ф о.
О • • • d-nr '
Этот процесс, примененный к матрице (</^) и повторенный для ее подматриц, показывает, что А обладает ассоциированной с ней матрицей, имеющей диагональную форму {^1, .. d8, 0, . . О }, (^фО.
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
85
Можно предполагать, что каждый элемент является полным делителем элементов dj при j>i: если dt для каждого элемента b является полным делителем bdp то dto cdjO и, как мы видели, является полным делителем элемента dj. Пусть теперь существует такое Ьф®, что dr не является левым делителем bd2. Прибавим умноженную слева на b вторую строку к первой. Верхний угол получившейся матрицы имеет вид:
7
Ио
bd% d^
обладает ассоциированной матрицей вида
I	d'n	0	\
=	У	У	’
\	«13	«22	/
где является общим наибольшим левым делителем элементов dt и bd% и, следовательно, имеет меньшую длину, чем dv Эта матрица может быть приведена к диагональной форме, причем элемент, стоящий в первой строке и в первом столбце, будет иметь меньшую длину, чем Повторяя этот процесс, мы получим ассоциированную с А матрицу {.., es, 0, ..О }, в которой каждый элемент et является левым делителем всех Ье3- при j > i. Следовательно,
Теорема 16. Каждая прямоугольная матрица с элементами из о имеет ассоциированную с ней диагональную матрицу { et, ..ea, 0, ..О }, в которой каждый элемент Ci является полным делателем ej при j>i-
Мы можем заменить через где элементы ut и vt обратимы, и получить другую диагональную матрицу, имеющую те же свойства, что и { е1? . . es, 0, ..О }. Если о является телом, то мы можем поэтому предполагать, что ^=1. Таким образом мы получаем
Следствие. Если а является телом, то каждая прямоугольная матрица с элементами из в обладает ассоциированной матрицей вида { 1, ..1, 0, ..., О }.
86
ГЛАВА 3
Рассмотрим далее специально случай коммутативной области о. Пусть обозначает общий наибольший делитель всех миноров матрицы Л, имеющих i строк. Так как столбцы каждой матрицы А V являются линейными комби-• нациями столбцов матрицы А, то ht является делителем /-строчных миноров матрицы А V. Таким же образом получаем, что является делителем /-строчных миноров любой матрицы вида UA. Следовательно, если U и V являются обратными матрицами, то h( является общим наибольшим делителем всех /-строчных миноров матрицы UAV. Если теперь U и V выбраны так, что UA V = { е,, ..., е8, О,..., 0}, где et является делителем е^ при j > /, то очевидно, что hi = ех... et, и потому ei = hihiZ.\. Это позволяет нам непосредственно найти нормальную форму { е1г , .., es, 0, .... О } матрицы А. Можно также показать, что элементы et определены с точностью до обратимых делителей. В § 11 мы покажем, что в общем случае элементы е{ определяются матрицей А с точностью до подобия.
8. Структура е-модулей с конечным числом образующих. Мы видели, что любой 0-модуль с конечным числом образующих имеет вид ^/91, где g является свободным модулем с базисом х(, . .., хп, а 91—.его подмодулем. Мы рассмотрим сначала структуру 91.
Теорема 17. Если о является кольцом главных идеалов, а $ — свободным о-модулем, то каждый подмодуль модуля свободен. Число элементов базиса модуля 91 не превышает числа элементов базиса
Пусть 91 является подмодулем в $, и предположим, что 91 содержится в модулях (х1? ..., хД ..., (хИ1, ..., хм), но не в модуле (х„1+1, . .., хи), где вообще (уп .. .,уг} обозначает о-модуль, порожденный элементами yf. Коэффициенты при хП1 в элементах у £91 образуют правый идеал Ьпу zjz 0. Таким образом, существует элемент 7!—+	и> если 2 = хпАщ + S Xjd3 яв-
ляется некоторым элементом из 9с, то мы имеем dni = bnik.
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
87
Следовательно, z—•••> хп>- Рассмотрим далее о-модуль 9?! = Л (хЯ1+], . . ., хп). Применяя к нему те же рассуждения, мы найдем такое п2 > nit что 9^ c(xj, ..хя) при н0 ОЧ+i, • Следовательно, найдется такое у % = хпрПг -ф "S х^-, что для
J>w«
любого z £ Dtj существует fe£o, при котором г-—_y2fe£ €(-*4+i>	Если мы продолжим этот процесс, то
получим таких элементов _у1? . . .,_уг£92, где yi~ =	+	что любой эле-
j>ni _
мент z С 91 имеет вид	Элемент у можно предста-
вить в таком виде единственным образом, что легко следует из вида элементов уь.
Далее, мы можем заменить базис х$ модуля g базисом х4 — ^xyi^ где матрица (и) является обратимым элементом в оп. Также и элементы	могут быть за-
менены элементами yh — "^уу^, где матрица (-у) обратима в ог. Тогда мы получим —где матрица (е) =	(у) ассоциирована с {Ь}. Из теоремы 16 сле-
дует, что при подходящем выборе элементов хг- и yt мы получим ук — Хкек, где ек zfz 0 при k = 1, . . ., 5, и ек — О при &>у, причем каждый элемент ек является полным делителем элемента 9 при l'y>k. Мы снова переходим к первоначальным обозначениям и будем писать х и вместо х и у.
Рассмотрим теперь фактор-модуль g/9t Он порождается смежными классами { xi}, содержащими х». Если { xt} ct + •••+{ хп) сп = 0, то х1с1 -ф- ... -ф-хпсп£ 91, и, следовательно, 9^90 при j = 1, и 9 = 0 при />у. Так как х.у^У1 при	то является прямой сум-
мой циклических модулей {xj. При этом циклические модули {xj, ...,{xsj конечны, а циклические модули {Xg+J, {х„} бесконечны. Модуль {х;-} при изоморфен модулю 0/90, причем если элемент 9 обратим, то мы можем опустить соответствующее слагаемое {xj. Если ар ...,as являются произвольными элементами из О, то существуют такие элементы что а^ = еаЬ и,
88
ГЛАВА 3
если k является общим кратным элементов kt, то atk = — eBCi. Следовательно, ({xt} ах -j- . .. {xj a^k = 0. Отсюда следует, что модуль ф/9? смежных классов {xj ах 4~ -j- .. .	может быть охарактеризован как сово-
купность имеющих конечный порядок элементов из g/D'l. Фактор-модуль	является свободным модулем раз-
мерности п— s. Очевидно, что это число есть инвариант модуля §/9^. Если мы учтем, что всякий о-модуль с конечным числом образующих о-изоморфен фактор-модулю то получим следующие теоремы.
Теорема 18. Каждый о-модуль с конечным числом образующих разлагается в прямую сумму свободного d-модуля и подмодуля, состоящего из элементов конечного порядка.
Теорема 19. Каждый ъ-моду ль с конечным числом образующих разлагается в прямую сумму циклических о-модулей. Отличные от нуля порядки могут быть выбраны так, что при jZ>i элемент et является полным делителем элемента е^-.
При дальнейшем изучении о-модулей с конечным числом образующих мы можем ограничиться случаем, когда все элементы модуля имеют конечный порядок. Таким образом, в принятых нами обозначениях 5 = п. Из теоремы 19 следует, что неразложимый о-модуль является циклическим порядка ^о, где элемент qt неразложим. Каждый модуль является прямой суммой модулей вида По теореме Крулля-Шмидта элементы определены с точностью до подобия. Мы назовем эти элементы элементарными делителями модуля.
9. Ограниченные неразложимые элементы. Мы видели, что если фактор-модуль о/^о неразложим и идеал qt> ограничен, то его граница q*d является степенью (р*о)в максимального двустороннего идеала (р*б). Если
х) Обычная теория коммутативных групп с конечным числом образующих получается из теорем 18 и 19, если положить кольцо о равным кольцу целых рациональных чисел.
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
89
q — Pi ... Pt является разложением элемента q на неприводимые множители pi, то идеалы ppt ограничены, причем их границы содержат идеал 9*о. Так как идеал до максимален, то его граница является максимальным двусторонним идеалом. Следовательно, его границей является идеал р*о. Пусть теперь pn ...,pf—произвольные неприводимые элементы, имеющие то свойство, что границами идеалов рр> является р*о. Предположим, что pi4-1 ... ДО о(р*оУ-< Тогда PtPi Vi...pf^Pi (р*оУ~*=(рр>) (.P*op~i:EL ^(р*о) (p*ty~{ = (p*oy~i+1. Таким образом; мы доказали, что идеал д ... р?о ограничен и его границей является (р*о)в, где e^,f. Очевидно, отсюда следует, что границей идеала pt ... pkt И pfc к . pft> является (р*о)в, где е min (k, f—k).
Образуем теперь прямую сумму h циклических модулей, каждый из которых о-изоморфен модулю 0/90, где элемент q~p^ .. . pf неразложим, и предположим, что модуль цикличен. Тогда модуль будет о-изоморфен модулю tlqhti. Границей идеала qht> является (р*й)е, и длина 9Й равна fh. Таким образом, fh ek, где через k обозначена длина элемента р*. Рассмотрим теперь модуль — прямую сумму Л-j—1 модулей, изоморфных модулю 0/90. Покажем, что либо модуль -|(й+1 цикличен, либо 9fto = (p*o)e. В самом деле, если модуль 9^+1 не является циклическим, то он разлагается в прямую сумму s (где х>1) циклических модулей, порядками которых будут идеалы г4о, причем элемент ei является полным делителем элемента при j>i. По теореме Крулля-Шмидта, неразложимые делители элементов подобны элементу q и, следовательно, длина Уддины 9, причем границей eto является (р*о)в. Тогда длина е2^>ekf>fh= длине qh. Так как
длина qh -ф- длина q длина -ф- длина е2, то мы видим, что длина еа = длине qh = длине (р*)е. Следовательно, qnt> = (р*о)е. Если модуль цикличен, то мы строим модуль Э?й+2 и повторяем этот процесс далее. Так как длины элементов q!l} 9ЛМ, ... образуют возрастающую последовательность, ограниченную длиной элемента
90
ГЛАВА 3
(р*)е, то мы найдем такое целое число k', что модуль будет циклическим, в то время как модуль не будет таковым. Тогда qk'O = (р*о)е, и фактор-модуль о/(р*с)в разложим в прямую сумму k' модулей, иззморфных модулю 0/до. Тем самым доказана важная
Теорема 20. Если модуль о/до неразложим и идеал qo ограничен, причем его границей является идеал (р*о)0, где идеал р*о максимален, то фактор-модуль о[(р*о)в разлагается в прямую сумму k' модулей, D-изоморфных модулю o/qo. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы два неразложимых модуля о/до и о/го, где идеалы qo и го ограничены, были о-изоморфны, является совпадение границ идеалов qo и го.
Следствие. Если рхо^р*о и р2о^р*о, причем элементы неприводимы, то рх и р% подобны.
В самом деле, рру имеет границу р*о, и модуль о/рр) неразложим. В частности, все делители pt элемента q подобны.
Пусть р*о является произвольным не совпадающим с 0 и 0 максимальным двусторонним идеалом, и ро ф о является максимальным содержащим р*о правым идеалом. Если элементы рх, .. ph подобны р, то, как и выше, показываем, что идеал Pt ... ph0 имеет границу (p*o)h’, где Предположим, что мы уже определили такие элементы рх, . . ., рЛ, что границей идеала рх . . . pho является (р*о)й. Тогда существует такой элемент pfe+1, что границей идеала рх .. . ph+lo является (р*о)л+1. В противном случае для каждого р', подобногор, мы имели бы рх . . . ркр!о 3 (p*o)h-Так как пересечение &р'о = р*о, то брх ... php'o—p1... .. .ph(p*o) и содержит (р*о)\ Отсюда следует, что Pi    Рп° 3 (p*o')h~1 вопреки выбору элементов рх,... ,ph. Таким образом, для каждого целого числа е существуют такие элементы pt, i— 1, .. ., е, что границей рх . . . рео является (р*о)0. Тогда идеал рх . .. рво неразложим, так как в противном случае его границей был бы идеал (р*о)е', где е'<е. Из предыдущей теоремы вытекает теперь
Теорема 21. Пусть q~p1...pe, где элементы pi неприводимы, и идеал pto имеет границу р*о. Тогда
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
91
для того., чтобы элемент q был неразложим, необходимо и достаточно, чтобы границей идеала qo был идеал (р*о)е.
Сравнение длин показывает, что число k' неразложимых компонент в прямом разложении модуля о/(р*о)е равно длине k элемента р*. Мы будем называть это число емкостью идеала р*о. Отметим теперь некоторые важные следствия нашего критерия неразложимости.
Теорема 22. Если элемент q=rst неразложим и идеал qo ограничен, то элемент s неразложим, т. е. каждый подмодуль и каждый фактор-модуль неразложимого модуля o/qo, где идеал qo ограничен, неразложим.
Предположим, что r=pv ...рк, s=pk+l... pt,t=pl+l... рв, причем элементы pt неприводимы. Пусть р*о является границей р$о. Тогда границей qo является (р*о)е. Если идеал so разложим, то (so) 3 (р*о)г~л-1. Мы видели, что to 5 (р*о)в“г, и поэтому sfo3 s(p*o)e~z = ($о)(р*о)в-г 5 3	Таким же образом получаем, что rsto 5
о (р*о)е-1, вопреки тому факту, что границей rsto является (р*о)в.
Теорема 23. Если идеалы q{o и q2o содержат ограниченный идеал qo и элемент q неразложим, то либо qro э q2o, либо q^O^q^.
Если qxo f) g2o = gso, то q$ qo и, следовательно, элемент qs неразложим. Если границей идеала qto является (р*о)вС i = 1, 2, то границей идеала <?3о будет (р*о)ез, где е$= max (еп е2~). Следовательно, длина элемента qs равна наибольшей из длин элементов qx, q2, например длине q^ Тогда ?3о = qto q2o.
Из этой теоремы легко вытекает следующая
Теорема 24. Если элемент q неразложим и идеал qo ограничен, то модуль o/qo обладает лишь одним композиционным рядом.
Пусть теперь Ьо является ограниченным идеалом, граница которого имеет вид (р*о)в, где идеал р*о максимален. Предположим, что b ~ [qlf . .. ft] является прямым разложением Ь на неразложимые элементы, причем границей q^o
92
ГЛАВА 3
является (p*o)et, и е^ , ..	Очевидно, что е — ех.
Покажем, что ~K^k, где k обозначает емкость идеала р*о. Предположим, что Х>/г. Если <7/059*0, то [9/, q% ,.. .}=ф будет являться прямым разложением элемента q', так как мы имеем, очевидно, <7/0 -|- (q^o р  • • Г) 7 П Л Я 4+i° П • • •) = 0- Выберем делители 9/0 идеалов 9*0 так, чтобы они имели длину ек при / = 1, . . ., k, и образуем элемент q' — [9/, ...,9а/] или идеал 9/0 р  П Як® == Я 9* Так как 9'0 5 (p*0)efc и последний идеал разложим на k неразложимых идеалов длины ек, то мы получаем, что 9'0 = (р*0)г*. Таким образом (р*0)е*5 (9Д1 Л ••Л Ял$У С другой стороны, все идеалы 9й+10,. .970 содержат (р*о)вк, и мы приходим к противоречию с тем, что (q^ П • • Л П Як°) + Як+б> = °-
Теорема 25. Если идеал be имеет границу {р*б)е, где р*о является максимальным идеалом емкости k, то прямое разложение элемента b имеет не более k членов.
Приложения к случаю полиноминальных колец. Предположим, что о = Ф [fl, т. е., что 5=1. Двусторонние идеалы этой области порождаются полиномами, коэффициенты которых лежат в центре Г тела Ф. Пусть р является элементом из Ф, алгебраическим над Г в том смысле, что он является корнем полинома a (Z) из Г [<]. Тогда а (£) делится на t — р. Если а (7) имеет наименьшую степень среди полиномов, для которых р является корнем, то a (fl неприводим в Г [fl. Следовательно, если а является другим таким элементом из Ф, что а (а) = 0, то из следствия к теореме 20 следует, что t —-р и t — о подобны, поэтому с = (3_1рР. Так как наше предположение о том, что элементы р и а удовлетворяют одному и тому же неприводимому уравнению, эквивалентно предположению, что отображение $ (р) -> $ (а), где Si (fl cz Г [fl, является изоморфизмом между Г (р) и Г (а) над Г1}, то нами доказана
Теорема 26. Пусть Ф является телом с центром Г и пусть Г(р) и Г (а) являются изоморфными алгебраическими над Г подполями тела Ф. Тогда всякий
Г» т. е. изоморфизмом, оставляющим на месте элементы из Г.
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
93
изоморфизм между Г (р) и Г (о) может быть продолжен до внутреннего автоморфизма тела Ф.
Рассмотрим далее Ф [/, 5], где Sr = 1 для некоторого г>0, причем ни одна меньшая степень 5 не является внутренним автоморфизмом. Если мы используем определенную на стр. 77 форму элементов, которые порождают двусторонние идеалы, то увидим, что полином tr—7 порождает максимальный двусторонний идеал в том случае, когда 7 является произвольным отличным от нуля элементом, принадлежащим центру Г, причем 7s = 7. Для того чтобы полином F—7 делился на t—р, необходимо и достаточно, чтобы *[ = ;V(p)s pps., . р5’’"1. В самом деле, если у коммутирует с р, то из у = рр5 .. .psr-1 следует, что 7 = ps .. .psr-1p = N (ps) и обратно.
Так как
(^— 7) =(/-р) (/г-1 +^-2р^-1 + + . • • + ps • • • Psr_1) 4- (^V(p) - 7) = (''-14- ^-2psr_1 + 4-... + ps  • • Psr-1) (* - p) 4- W (ps) -1),
то наше утверждение очевидно. Так как tr — 7 порождает максимальный идеал, то любые два неприводимые множителя полинома if — 7 подобны. Кроме того, t — р и t — а подобны тогда и только тогда, когда 0 = Следовательно, нами получена
Теорема 27. Пусть Ф является телом и S—таким автоморфизмом в Ф, что =	0<г<оо, и ни
одна меньшая степень автоморфизма S не является внутренним автоморфизмом. Если элемент 7 лежит в центре тела Ф, 7s = 7 и р и с являются такими элементами тела Ф, что ДДр) = 7 = А7(<з), то существует такой элемент р£Ф, что а — р-^рр®.
Следствие. Для того чтобы ДГ(а)= 1, необходимо и достаточно, чтобы <з = р~1р8.
Отметим, что условия, наложенные на 5, равносильны утверждению, что S порождает конечную группу ® внешних автоморфизмов, т. е. что все нетождественные автоморфизмы, входящие в являются внешними. ПреДпо-
94	Г Л А В A 3
ложим теперь снова, что	= и пусть г^г^.
Пусть Yr‘ —^V(p)s где р£Ф. Тогда полином tr — Yri“ = (£’* — у) <7 (2) делится на t — р. Вследствие подобия всех неприводимых делителей полинома ir — Y* полином Р*— f будет делиться слева на некоторое подходящее t — о. Так как
tr* — Y =s (t — о) (Г1*"1 -j- . , . -j- as . . . asra—X) -f-
-j- (co6' . . . <5sr’~1 — 7),
to 7 ==aas... osr,~1. Но у £ Г, и, следовательно, Y = as . . . os’*~1a, а так как Ys == Y? T0 Y = °S  •  as’’a~1aSr‘-Таким образом, cgr* = o.
Теорема 28. Предположим, что Ф, 5 и y имеют тот же смысл, что и в предыдущей теореме. Если г =з г^д и -f1 является нормой некоторого элемента из Ф, то y =	•  • а®Га—1, где asr* = °-
10.	Ограниченные Го-модули, о-модуль ^называется ограниченным, если существует такой элемент Ь ф О кольца о, что xb — 0 для всех х £ Совокупность всех таких b образует двусторонний идеал 33 ф О, который мы назовем границей модуля ЗК. Это согласуется с определением, данным ранее для циклического случая. Легко видеть, что для того чтобы модуль 901 был ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы порядки любого множества образующих yf были ограниченными правыми идеалами. Граница порядка любого является делителем идеала S3.
Если <71,..., qu являются элементарными делителями модуля sl\, то мы видели, что эти элементы определены с точностью до подобия модулем 2)1. С другой стороны, любые два неразложимые элемента <7 подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую границу. Следовательно, нами получена основная
Теорема 29. Границы элементарных делителей ограниченного ъ-моду ля являются инвариантами модуля', они не зависят от различных разложений модуля.
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ 95
Пусть 33 ==	. (рг*&Уг будет разложением
границы модуля ЭК, причем максимальные идеалы р^о различны. Положим 93* == 93 (р4*0)~г* и обозначим через подмножество 9X93* конечных сумм элементов вида где 5* £23*. Так как 93^ является правым идеалом, то 9XW является подмодулем, и так как 231 -£ . . . -р -£23,.= в, то 9?i = 3RO)-f- ... -£9Х« Элементы из 9XW удовлетворяют уравнению х^(рУ^ = 0, и потому границей 2Х(^ является идеал (р*о)^, где Отсюда следует, что 2Х« П (2ХШ -£...-£ 9Xw“l) + ^(i+,) +   • +
2Х(*ф =» 0, и, следовательно, 2Х = 2ХР> Ф ... ФЗХС*''. Кроме того, так как для любого х имеем xpi*tx . .. pr*^r — О, то /*' — ft-	Предположим, что элемент у из ЗЛ
удовлетворяет при некотором k уравнению у (руо)к ~ Тогда, если мы представим у как у~У1-\- ••• 4~Тп yi&XW, то получим yi (pfo)k = 0, и так как (р/о)йЦ“ 4~(/?/*[>)л = о, то У{~$ при Таким образом, подмодуль 2Х(Т может быть охарактеризован как совокупность таких элементов^, для которых	при
некотором k. Отметим также, что если 21 является произвольным подмодулем модуля 9Х, то = ф.. .Ф91(г\ где №<> = 9Х^ Л 91.
Остановимся теперь на случае, когда r= 1, т. е. 23 = — (р*оУ- Пусть в этом случае 9Х = SXi©... Ф5ХМ является разложением 2Х на неразложимые е-модули и пусть (р*о)е* является границей циклического модуля 9Х*, причем ?t> ••• >еи. Очевидно, что et~f-
Рассмотрим сначала неразложимый о-модуль 91 с границей (р*й)9. Если х является образующим элементом в 91 и до является его порядком, причем q~P\-Pg> где элементы pi неприводимы, то xp-t.. . pg_i —У не равно нулю, и _у(р*о)=зО. Таким образом, подмодуль 910, состоящий из таких элементов _у0, что у^(р'Р) = 0, отличен от нуля. Так как 910с 2?, то он неразложим, а так как его границей является р*о, то подмодуль неприводим. Отметим также, что подмодуль 9i(p*a)J неразложим и его элементарный делитель имеет длину, равную шах (0, g-j).
96
ГЛАВА 3
В общем случае, когда Шг = Ф ... ф 9)1М, из у(р*о) = 0 и _y=_yt© ... где	следует,
что У4(р*о) = 0. Следовательно, и может быть охарактеризовано как длина подмодуля 2R0, состоящего из таких элементов yQ, что _у0 (р*о) = 0. Мы имеем также	=
= 9Л1(р*£>у© ... ФШ1М (р*о)А и, следовательно, число 3 (7, $£) тех границ (р*о)е\ показатели которых et больше чем /, является длиной пересечения	fl 2R0.
Если является подмодулем модуля 951, то9£(р*оус с.ЗИ(р*о)э и, следовательно, 31 (р*оУ Л 9% == 31(р*с>У П П 9Jt0 g (p*c)J Л 2R0. Отсюда следует, что 8 (7, 31) ©6 (7, Ш!), и поэтому, если (р*оХ‘, (р*о)й,. .. являются границами элементарных делителей модуля Э? и gy © ..., то мы получаем, что ру. Если мы применим этот факт и отмеченное выше разложение ЗЛ = = ЭК1) Ф ... Ф к тому случаю, когда модуль 9Д цикличен, то получим доказательство необходимости в следующей теореме.
Теорема 3 0. Предположим, что п=[уц, .
qlu^, ... ; . .., 7ГИГ] является прямым разложением элемента а на неразложимые элементы q^, причем границей идеала q^o является	и ец ец ...
Пусть также Ь == [su, .... siMi; ...; ,.., sri4J, где границей si:y является (Pi*o)Sii, и >• gfe >. • * > 0. Тогда для того чтобы Ь было подобно некоторому делителю элемента а, необходимо и достаточно, чтобы eij Sip
Для доказательства достаточности заметим, что существует делитель q^. элемента <7^, границей которого является
В самом деле, мы получим такой элемент, образовав произведение первых gq неприводимых делителей элемента qi:j. Отсюда следует, что а' = [<?н, ..., q'iU1; ...;
является делителем элемента а. Так как по теоремам 20 и 21 элемент q^ подобен элементу s^, то элемент а' подобен элементу Ь.
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
97
11.	Инвариантные множители. Пусть 9)i = 9)^ф .. .©i)ig является разложением конечного е-модуля 9К в прямую сумму модулей, о-изоморфных модулям о/^о, причем является полным делителем элемента при j>i. Мы хотим показать, что элементы е{ с точностью до подобия являются инвариантами модуля 9К.
Предположим сначала, что модуль 9)i ограничен. Разлагая элементы е{ на неразложимые элементы q^, где границей идеала является (pj*o)A<j7 (р/о — максимальный двусторонний идеал), мы получим разложение модуля 2R на неразложимые с-модули. Пусть является одним из идеалов pj*O, k — его емкостью и элементы q±, ...qu— теми неразложимыми частями элементов для которых границы идеалов q$ имеют вид (р*о)\. Напомним, что если границей идеала qp> является то длина элемента равна Если q является одним из элементов qit и q — неразложимая часть элемента ег, то ег+1 делится' на Следовательно, по теореме 30, элемент содержит не менее, чем k элементов qh длины hi которых больше или равны h. Так как k является емкостью идеала р*о, то этими элементами исчерпываются те из q^, которые входят в разложение элемента ег^1 и соответствуют элементу рй:. Таким образом, мы можем так упорядочить элементы чтобы в последовательности qx, ..., qk, qk+i^ . .. , q2k; ... ; qtk+i, • • • > Яцс+т длины элементов qi образовывали невозрастающую последовательность, причем элементы q\,...,qk являлись неразложимыми частями элемента es, qjc-n, ..., q2/t— неразложимыми частями элемента eg-i и т. д.
Если мы имеем второе разложение Ф. .. ф модуля 9)1 и модуль 9Л/ о-изоморфен модулю о/е/о, а элемент etr является полным делителем элемента е- при у> i, то мы можем таким же образом упорядочить неразложимые элементы q', соответствующие элементу р*. По теореме Крулля-Шмидта, элементы qi и qt' подобны, и число их одинаково. Таким образом, неразложимые части элементов • и могут быть так поставлены во
7 Зак. 74в. Н. Длкекобсоа.
98
ГЛАВА 3
взаимно однозначное соответствие, чтобы соответствующие части были подобны. Тогда и элементы e8~j и подобны, и s — s'.
Пусть теперь является произвольным модулем, 31 = = я*£> — границей идеала е8_то, 23 = Ь*о — границей идеала
10* Пусть У?й является подмодулем модуля Ш18, состоящим из таких элементов у, что j/ЗЙЗ =_у2321 = 0. Если е8 = са*> и у8 является образующим элементом модуля 9Jis порядка eso, то ysc£9la и его порядок равен а*$. Следовательно, если г8-—образующий элемент модуля У£8, то его порядок равен daat)> где элемент а подобен а*. Так как а*о является двусторонним идеалом, то а отличается от а* обратимым множителем, и потому порядок элемента za равен dsa*Q — a*dso. Предположим теперь, что Ус является подмодулем модуля 9Ji, состоящим из таких элементов у, что у 2(23 = 0. Очевидно, что подмодуль У? ограничен, и У{ — sJii Ф... ®£W8_i ф У?8 является разложением модуля У? на циклические модули, порядки которых ограничены, причем граница каждого порядка делит следующий порядок. Подобным образом мы получаем, что
у| = уд'®... фэд^фуС,
где УО’^У'С'- Следовательно, в силу результата, полученного для ограниченных модулей, s'—s и элементы е4 и е/ подобны при i — 1, ..., s — 1. Отсюда, применяя к модулю 9Ji теорему Крулля-Шмидта, мы получаем, что элементы г8 и е8 подобны. Мы будем называть элементы е4 инвариантными множителями модуля. Итак, нами получена
Теорема 31 (Накаяма). Инвариантные множители й-модуля 9Ji однозначно определены с точностью до подобия.
12.	Теория отдельно взятого полулинейного преобразования. Мы видели, что если Т является полулинейным преобразованием с автоморфизмом 5, которое действует в векторном пространстве 9i над телом Ф, то мы можем
некоммутативные области главных идеалов 9У
рассматривать 0i как е = Ф [I, SJ -модуль, полагая ха(/) = ~хх(Т). Если Ti и Та являются полулинейными преобразованиями в 0t, имеющими одинаковый автоморфизм S, то определенные ими Ф [Л Sj-модули изоморфны тогда и только тогда, когда существует такое линейное преобразование А, что Т2 = А~Х7\А. В самом деле, если А является Ф [/, 5]-изоморфизмом, то А линейно, так как —Ж при всех $ £ ф, и '1\А = АТ2, а потому 7’2 = A-17’M. Обратно, если это условие выполнено для некоторого автоморфизма А, то а (7\) А = Аа (Т2) при всех а(£), и А является изоморфизмом. Если матрицами преобразований Т'ьТ'з и А относительно базиса xit . .., хп будут соответственно (~i), (-^ и (а), то условие Т2 = А~11\А эквивалентно условию (\2)=(а)(т1)(а5)-1 (или (т2)= где (Р) = (а)~1),
Рассмотрим теперь фиксированное преобразование Т. Тогда, каков бы ни был вектор х, в последовательности векторов х, хТ, .. . найдется вектор хТм, который является линейной комбинацией векторов xl4, i<Zm, например, хТт = х'1т ... © х7’да-1Р1. Тогда х (Тт—— — ... —₽т) = 0, и потому каждый элемент Ф [/, .^-модуля 01 имеет конечный порядок. Из общей теории следует тогда, что 01 = 0^© .. . ©0fs, где 0tf являются циклическими модулями, образующие элементы которых имеют порядок ^Ф [t, S]. При этом	является полным
делителем 6j(i) при />/. Если 'степень инвариантного множителя et(t) равна я4-, то векторы ut, ..., u4-7'n»”1 образуют базис модуля 0tf над Ф. Следовательно,
... ; ..., ц87'и'>,“1 является базисом модуля 01 над Ф, и относительно этого базиса матрицей преобразования Т будет
тб)	1
т(2)
!{<)
*
7*
100
ГЛАВА 3
где
.	.	. . О .
О . . О 1	.
если (t) ~ tni — tni -1 —> ... — Если (а) является произвольной матрицей из Фи, то существует такая матрица (р), что матрица (р)-1 («) (ps) будет иметь указанный вид. Подобным образом мы можем получить каноническую форму матрицы (а\ соответствующую разложению 0i на неразложимые с-модули.
Рассмотрим в качестве примера случай, когда Т является линейным преобразованием, действующим в модуле 0t над Ф, где Ф =/?(/,)) является кватернионной алгеброй над действительно замкнутым полем. Мы видели, что в о = Ф [t] неприводимыми являются лишь линейные полиномы. Границей р* (t) идеала р(0 = (^— а) является t — а, если С другой стороны, имеем —а) = = (/ — а) (t—а). Мы получаем таким образом все неприводимые полиномы (со старшим коэффициентом 1) в ДО. Рассмотрим теперь идеал (t — а)ео. Его границей является (р*)ео. В самом деле, в противном случае^ — а)е являлось бы делителем полинома (р*У, где /<е. Но это, очевидно, невозможно, если p* = (t—«). Если же р* ф (t — а), то мы имеем
(Z — а)0	— ДГ (f)f = (t — и)? (t — a}f.
Так как a £ /? (a), то коэффициенты полинома q (t) лежат в (а), и так как это кольцо коммутативно, то мы приходим к противоречию с- теоремой о единственности разложения в 01 (a) [Z]. Отсюда следует теперь, что полином (/— а)в неразложим и что каждый неразложимый элемент подобен элементу такого вида. Следовательно, если (5 является неразложимым подпространством в 0i, то оно порождается вектором у порядка (t — a)ec. Если мы рас
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
101
смотрим в <&> базис y^^ytT—k= 1, . . ., е, то получим матрицу
а
1 а
(6)
1 а ч	<
Две такие матрицы подобны тогда и только тогда, когда их диагональные элементы и аа подобны; если а( и а2 подобны, то они являются корнями одного и того же неприводимого в У? [t\ полинома, и обратно. Любая матрица подобна матрице, имеющей вдоль главной диагонали «ящички» вида (6) и на остальных местах нули.
Вернемся к общему случаю и рассмотрим разложение 9? = 9?! ф... ф 9tg, где 91/ — циклические модули, порядки которых ег (/) являются инвариантными множителями. Для того, чтобы определить полиномы ег- (7), выберем базис хи . . ., Xj, модуля 9? над Ф и положим х.(Т = Тогда модуль 91 Ф [^, S]-изоморфен фактор-модулю свободного Ф 7, S] -модуля $, базис которого образуют еи ..., еп, по подмодулю 9?, содержащему элементы =
Покажем, что элементы Д образуют базис подмодуля 9i. В самом деле, если / является произвольным элементом из 9?, то мы можем выбрать полиномы ©j (7), . ..,tfy(7) таким образом, что f—где
Тогда = °> и потому р,- = 0. Таким образом Предположим теперь, что S/<4>«(0 = 0.
тогда (0 — Е'члЧ)! =0. и ;<|>дп = 2'[<лЮ. г=	Если некоторое ^(ОДО, и ©Д7) является
одним из таких полиномов, имеющим среди них максимальную степень, то равенство tz>k (/) = Ф невоз-можно. Следовательно, для всех I имеем <р/ (Л = 0. Отсюда мы получим, что <?/(/) являются диагональными элементами в нормальной форме матрицы 1-£ — (т), которая выражает элементы ft через et.
102
ГЛАВА 3
В случае, когда тело Ф коммутативно и преобразование Т линейно, кольцо Ф [Z] коммутативно и = =	где Z?O(Z)=1 и h{(t) является общим
наибольшим делителем всех миноров Z-ro порядка матрицы 1 • Z —(т). Последний инвариантный множитель es(f) — p,(Z) обладает тем свойством, что для всех х имеет место Х}л(7) = 0, В самом деле, мы имеем ui ;х(Т) = 0, где «г-является образующим элементом модуля Э?2-, и, так как каждый элемент х имеет ‘ вид	то хи. (Т) = 0.
Так как (/) ф [/, 5] является порядком элемента и8, то <x(Z) является полиномом наименьшей степени со старшим коэффициентом 1, для которого Т, или, что то же самое, матрица (т) преобразования Т является корнем. Так как другие инвариантные множители являются делителями полинома (Z) и характеристический полином f(t) = det(U— (т)) = = TIe{ (Z), то /(Z) и p.(Z) обладают одними и теми же неприводимыми множителями в Ф [Z] и могут отличаться лишь кратностями этих множителей. Это хорошо известная
Теорема 32. (Фробениус). Пусть (т) — матрица из Ф/г, где Ф — поле, и пусть р. (Z)— последний инвариантный множитель матрицы 1/ — (?) из (Ф Тогда 1) и.((т)) = 0; 2) p(t) является делителем любого полинома y(i), имеющего то свойство, что ,у((т)) = О, и 3) у- (Z) и характеристический полином, равный det(l/ — (т)), имеют в Ф [Z] одни и те же неприводимые множители.
Пусть теперь Ф такое тело, что (Ф : Г) = лг<со, где через Г обозначен центр тела Ф, и пусть S такой автоморфизм в Ф, что Sr, 0<г<со, является внутренним автоморфизмом, в то время как ни одна меньшая положительная степень 5 внутренним автоморфизмом не является. Если Го — подполе поля Г, состоящее из элементов, остающихся инвариантными при автоморфизме S, то (Г : Го) — г, и, следовательно, (Ф : Го) = тг. Мы видели, что $sr = где p.s = ji. Двусторонние идеалы кольца о — Ф [Z, 5] порождаются элементами вида &	4- •  • ЬЪ)> где //— Zrp~1 и у^Г0. Каж-
дый идеал кольца с ограничен.
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОБЛАСТИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
103
Если е1=Г0[«], то очевидно, что любой ь-модуль является Ь^модулем, и если два о-модуля о-изоморфны, то они и bi-изоморфны. Мы хотим доказать для модулей, не содержащих элементов порядка Zo, утверждение, обратное последнему результату. Для этой цели рассмотрим сначала неразложимый модуль 9?; такого типа. Тогда 9^ обладает границей (/?*)еь, где р* — uh ф	+ Ть
уфГ0 и ^ф0. Мы видели, что модуль 9?] может быть вложен в циклический модуль 9?, образующий элемент которого имеет порядок (р*)ео, и что 9? = 9?! ф ... ф9?%, где модули 91< с-изоморфны неразложимым о-модулям и k является емкостью идеала р*о. Мы можем получить разложение модуля 91 на неразложимые a-модули, разлагая модули 9?^. Это дает kl неразложимых bj-компонент модуля 9i. С другой стороны, мы можем применить также следующий способ. Пусть элементы рп .. ., ртг образуют базис тела Ф над Го. Так как векторы ztiu1, У = 0, .. ., г— 1, / = 0, ...,А—1, образуют базис модуля 9i над Ф, то векторы ztiuh.;, 1=1, ... , тг образуют базис модуля 9? над Го. Следовательно, 91 является прямой суммой тг2 циклических -модулей, образующими элементами которых являются ztipj,. Порядками этих модулей будут (/>*)%, и так как идеал р*о^ максимален в коммутативном кольце bj, то эти модули неразложимы. Отсюда следует, что тг2 = kl и что 9ti является прямой суммой -у неразложимых о3-модулей, порядками которых являются идеалы (/?*)%.
Пусть теперь 9it и 9?f являются двумя неразложимыми модулями, не содержащими элементов порядка to, и предположим, что 9?i и 9?j bj-изоморфны. Тогда, если /С:, е, k имеют для модуля 91^ тот же смысл, что и р*,е, k для модуля 9?i, то мы, очевидно, будем иметь k = k, и (р*)в = = (р:-)е. Таким образом, модули 9ij и ф имеют одинаковую границу, и потому они ь-изоморфны. Если мы применим теорему Крулля-Шмидта, то получим из этого специального случая следующую теорему:
Теорема 33. Предположим, что 91 а 91 являются Ф \i, S] -модулями, содержащими лишь элементы конеч-
104
ГЛАВА 3
него порядка, причем в них нет элементов порядка t^[t, <$]. Тогда для того, чтобы модули 31 и 91 были Ф [1, 5] -изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы они были Го [а] -изоморфны.
Следствие. При предположениях теоремы, модули 91 и Hi Ф [i, 8]-изоморфны тогда и только тогда, когда они Ф[и]-изоморфны.
Пусть теперь Т является полулинейным преобразованием в 91 над Ф, где Ф и S имеют прежний смысл. Условие отсутствия в 91 векторов порядка £Ф \t, 5] совпадает с предположением, что преобразование Т взаимнооднозначно. Наши результаты дают поэтому условия для подобия двух взаимнооднозначных преобразований Тг и Т2, обладающих одним и тем же автоморфизмом 5. Таким образом, следствие устанавливает, что преобразования Тг и Г2 подобны тогда и только тогда, когда линейные преобразования ZJ] = Т/р,-1 и U2 = Г/р-1 подобны. Если мы вспомним о связи преобразований и матриц, то получим теорему:
Теорема 34. Пусть Ф такое тело, что (Ф : Г) = = т<оо, где через Г обозначен центр тела, и пусть S такой автоморфизм в Ф, что — р-Цр, 0 < г< оо, ps = р и ни одна меньшая степень S не является внутренним автоморфизмом. Если (tj) и (т2) являются невырождающимися (т. е. обратимыми)матрицами в Фп, то для того, чтобы существовала такая невырождаю-щаяся матрица (3), что (т2) = (З)"1 (д) (₽s), необходимо и достаточно, чтобы матрицы Д/'(т1)р-1 = = (-rJCcf) . . . (51Г ) рь —1 и М(т2)р-1 были подобны в обычном смысле слова.
Другой интересный случай приведенной выше теоремы мы получим, если положим. г=1 иц=1: два линейных преобразования модуля 91 над телом Ф подобны тогда и только тогда, когда они подобны, как преобразования модуля 91 над центром Г тела Ф. Как легко видеть, в этом случае нет необходимости предполагать, что преобразования Тх и Т2 взаимооднозначны.
Глава 4
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ И АБСТРАКТНЫХ КОЛЕЦ
1.	Общая проблема. Специальные случаи. Рассмотрим произвольную коммутативную группу ЭЛ и фиксированное множество 2 эндоморфизмов a, j3, .. ., действующих в группе ЭЛ. Пусть 21 является множеством 2-эндоморфизмов, т. е. эндоморфизмов, коммутирующих с каждым эндоморфизмом из множества 2. 21 есть содержащее тождественный эндоморфизм подкольцо кольца эндоморфизмов группы ЭЛ. В этой главе мы наложим различные условия на структуру 2-подгрупп группы ЭИ и исследуем получающиеся от этого ограничения для кольца %. Эти результаты будут применены к изучению структуры абстрактных колец. Наконец, мы дадим некоторые приложения к теории проективных представлений групп и к теории Галуа тел.
Примеры. 1) ЭЛ — конечная коммутативная группа; множество 2 пусто.
2)	ЭЛ — векторное пространство над телом 2 = Ф. Здесь Л — кольцо линейных преобразований. Мы видели, что Л = ФИ', где Ф' обратно изоморфно телу Ф, или Л обратно изоморфно кольцу Фп. Напомним, что 21 — простое кольцо.
3)	ЭЛ — векторное пространство над телом Ф, и 2 — теоретике-множественная сумма Ф и некоторого множества преобразований Тг, Т^, ... . В этом случае 2( состоит из всех коммутирующих с Ти Т%, .. . линейных преобразований. Отсюда следует, что, если (Tj), (t8), ,..; 5Р Sa, ...
106
ГЛАВА 4
являются соответственно матрицами преобразований 7\, Т2, ... относительно некоторого фиксированного базиса и их автоморфизмами, то 51 обратно изоморфно подкольцу кольцй Ф,„, состоящему из таких матриц (а), что
Мы хотим показать, что любое кольцо 51 с единицей можно рассматривать, как кольцо Й-эндоморфизмов некоторой коммутативной группы ЭД?. В качестве группы ЭД? выберем аддитивную группу кольца 51. Мы видели, что правое умножение х ха = хаг является эндоморфизмом в ЭД? и что совокупность этих эндоморфизмов образует подкольцо 51г кольца эндоморфизмов группы ЭД?. Кольцо 51г изоморфно кольцу 51. Подобным же образом мы определили левое умножение аг с помощью равенства xat = ах и показали, что совокупность этих умножений образует кольцо 51;, обратно изоморфное кольцу 51.
Из ассоциативного закона вытекает, что если tzr£5lr и	то arbl~blar. С другой стороны, предположим,
что В является однозначным преобразованием в группе ЭД?, коммутирующим со всеми аг, и положим 1В = Ь. Тогда хВ = (1а) В = (IB) xr = Ьхг = Ьх. Таким образом В — Ьг, и 51г является множеством всех 51г-эндоморфизмов. Таким же образом 51г есть множество 51;-эндоморфизмов. Изоморфизм между 51г и 51 позволит нам поэтому применить теорию колец Й-эндоморфизмов к теории абстрактных колец. Сформулируем этот фундаментальный результат в следующей теореме.
Теорема 1. Любое кольцо 51 с единицей изоморфно кольцу 51г своих правых умножений и обратно изоморфно кольцу своих левых умножений. 51г является кольцом всех ^-эндоморфизмов, действующих в аддитивной группе ЭД? кольца 51, а 51; — кольцом ^-эндоморфизмов группы ЭД?.
51;-(51г-) подгруппы аддитивной группы кольца 51 являются его левыми (правыми) идеалами. (51;, 51г) -подгруппы являются двусторонними идеалами. Отметим также, что 51г 0 51; состоит из эндоморфизмов cr = cz, где с входит в центр (£ кольца 51. В самом деле, если ar~bi,
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
107
то laf.= Wl и а = Ь. Тогда при всех х имеем ах = ха, и потому а — с £ 6.
2. Алгебры над полем. Таким же образом наши результаты применяются к теории алгебр (гиперкомплексных систем). Алгебра определяется следующим образом: пустьФ является некоторым абстрактным полем; множество ЭД называется алгебрсй над полем Ф, если
1.	ЭД кольцо.
2.	Аддитивная группа кольца ЭД представляет собою Ф-модуль, причем для всех х £ ЭД имеем х1 = х, где через 1 обозначена единица поля Ф.
3.	агъ = a.ar, а1а = аа1 для всех л^ЭД и а £ Ф. Последнее условие может быть также записано в таком виде: для всех а, b £ ЭД и а£ф имеем (ab) а = («а) b = ~а(Ьа). Так как Ф является полем, то кольцо эндоморфизмов, соответствующих элементам этого поля, изоморфно полю Ф. Следовательно, если мы хотим изучать некоторую алгебру, то мы можем принять точку зрения главы 2 и рассматривать в качестве основного понятия не абстрактное поле, а множество эндоморфизмов. В настоящей главе мы будем придерживаться этой точки зрения. Свойства, Ф, как поля, не будут играть никакой роли. Таким образом, мы можем изучать кольцо ЭД относительно произвольного множества Ф эндоморфизмов а, р,. . ., которые коммутируют как с левыми, так и с правыми умножениями. Если мы предположим, что множество Ф пусто, то получим обычные кольца; если же предположить, чтоФ является полем, то получаются алгебры над этим полем. ЭД будет называться Ф-кольцом. Мы будем также изучать Ф-подкольца и Ф-идеалы кольца ЭД.
Если кольцо ЭД обладает единицей 1, то ха = х(1а) = ==(1а)х, и потому эндоморфизм а является как правым, так и левым умножением на элемент а. Отсюда следует, что элемент 1а лежит в центре кольца ЭД. Любой идеал кольца ЭД является поэтому Ф-идеалом. Следовательно, в формулировках многих важных структурных теорем мы можем, не теряя общности, опускать упоминание о множестве операторов ф.
108
ГЛАВА 4
Если мы хотим сравнивать две различные алгебры и ЭД2, то естественно предполагать, что поле Ф является одним и тем же для обеих алгебр. Таким образом, мы будем называть алгебры и ЭД3 изоморфными, если между ними существует взаимнооднозначное соответствие а\ й2> являющееся одновременно изоморфизмом колец 9Ц и ЭД2 и Ф-изоморфизмом из аддитивных групп: если а, -> а2 и Ьх -> то
а1а а2а»	а2^2-
Это соответствие называется изоморфизмом. Аналогично определяются гомоморфизмы, автоморфизмы, обратные автоморфизмы и т. д.
Рассмотрим теперь некоторые методы конструирования алгебр конечной размерности. Очевидно, что Фп является такой алгеброй, если определить аа, как произведение а на диагональную матрицу [ а , . .. , а }. Кольцо 2 линейных преобразований «-мерного векторного пространства HR над Ф также является алгеброй, если определить Аа, как произведение А на скалярное умножение а. Как мы видели, если xlf ... , хп образуют базис пространства над Ф и =	т0 соответствие между А и матрицей (а^.)
будет обратным изоморфизмом между алгебрами Й и Ф„. Пусть теперь ЭД — произвольная алгебра. Тогда умножения ,v -> ха и х -> ах будут линейными преобразованиями в алгебре ЭД, рассматриваемой, как векторное пространство над Ф. Так как х(аа) ~ (ха) а, и (аа)х = (ах) а, то (аа)г = ага и (аа)г — ага. Из этих равенств следует, что, если ЭД обладает единицей, то соответствие а -> аг является изоморфизмом между алгеброй ЭД и подалгеброй ЭДГ алгебры 2. Если мы скомбинируем это соответствие с одним из обратных изоморфизмов между 2 и Фм, то получим обратный изоморфизм между ЭД и подалгеброй алгебры Фи. Подобным же образом, комбинируя соответствие а -> аг с одним из обратных изоморфизмов между 2 и Фя, мы получаем изоморфизм между ЭД и подалгеброй алгебры Фп. Более точно, пусть х1( . .. , хп — базис алгебры ЭД над Ф, и пусть xta = xj (а) и ах(=>
структура колец эндоморфизмов
109
== 2	(а)‘ Тогда> если обозначить (ру (а)) через R(a) и
(^•(«))— через L(a), то соответствие а -> R (а) представляет собою обратный изоморфизм, а соответствие а -> L (а) — изоморфизм между % и подалгебрами алгебры Фи. Следует отметить, что мы можем также комбинировать обратный изоморфизм «—>/?(«) с обратным изоморфизмом (а) —> (а)', где через (а)' обозначена транспонированная матрица (а), и получить второй изоморфизм между 91 и подалгеброй алгебры Фя.
Если в 91 отсутствует единица, то мы образуем векторное пространство 23 = 2l-j-(x0) и определим
(хоа Д- а) (хор Д- b) = х0 (а?) Д- пф -j- ba ab,
где й, b £ 91.
Тогда 23 будет алгеброй с единицей х0, и 91 содержится в 23 в качестве подалгебры., Следовательно, 23, и тем более 91, изоморфна некоторой алгебре матриц. Таким образом нами доказана
Теорема 2. Любая алгебра с конечным базисом изоморфна подалгебре матричной, алгебры.
Эта теорема дает общий метод для получения алгебр конечной размерности. Существует также второй общий метод. Пусть 91 — векторное пространство над Ф с базисом х± ,.. . , хп. Выберем в Ф /г3 элементов и положим XjXj—’^XaXaij. Для того, чтобы это определение а
приводило к ассоциативной алгебре, необходимо, чтобы для элементов Ч-tjk было выполнено условие	=
= 2lwa ТаД- Тогда, если мы определим (2ХЛ) а
(SW=2ТО получим (х^)хк~ XitXjXb) и, следовательно, для всех х, у, z имеем \xy)z — х(уг). Очевидно, что (ху) a = (ха)у — х (уа) и что выполнен дистрибутивный закон. Следовательно, 91 — алгебра.
по
ГЛАВА 4
Примеры. I) В качества базиса выберем элементы xt, хч, хв, х4, положив
xtXi — Xi = XiX^, — la,
Х32 = 1р> Х42 =--- 1«£, Х2Х3 =---Х3Х2 = х4,
-^4-^2 == Х2Х4 =---X^J..
2) Пусть ®— конечная группа с элементами 1, s, . . . , и. Поставим их во взаимнооднозначное соответствие с элементами базиса некоторого векторного пространства и обозначим вектор, соответствующий элементу через xs. Тогда, если мы положим xBxt = xat, то условие ассоциативности будет выполнено. Следовательно, мы получаем алгебру, которая называется групповым кольцом группы ® над Ф.
3) Пусть 91 является фактор-алгеброй Ф [^]/(v (/)), где Ф [?] — обычная область полиномов, и (v (/)) является главным идеалом, порожденным полиномом v (И = fA — —	•••—Р». Тогда 91 обладает базисом, состоя-
щим из элементов 1, х— jf}, где {/} обозначает смежный класс, содержащий и	х'1-1. Таблица умножения
выводится из соотношения хп — хп~1Р1 -ф-. .. -ф- 13п и из ассоциативного закона.
3.	Предварительные результаты. Перейдем теперь к рассмотрению общей проблемы, сформулированной в § 1: даны коммутативная группа 9)1 и множество Й ее эндоморфизмов; что можно сказать относительно структуры кольца 91 всех 2-эндоморфизмов группы ?
Мы видели, что если 91 является 2-подгруппой группы и А £91, то 31-1 является некоторой 2-подгруппой. Множество элементов, отображающиеся в подгруппу 91 при эндоморфизме А, также будет й-подгруппой. С прямым разложением группы 2R —ЗЗ^ф. .. ф 9ЛМ, где 9Ji(— некоторые Й-подгруппы, связано разложение
1 = Ег -ф- .. . ф- Еи, EtEj = 0, если I фф Е? = Eiy (1) где Et являются проекциями на ЗЗф. Обратно, если даны такие эндоморфизмы для которых выполнены условия (1), то 931 — 931 £\ф • • • Ф9К£М. Й-группа неразло
СТРУКТУРА КОЛРЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
111
жима тогда и только тогда, когда 1 является примитивным идемпотентным элементом кольца 51.
Под вполне примарным кольцом 51 мы будем понимать кольцо, содержащее такой ниль-идеал 91 (т. е. идеал, все элементы которого нильпотентны), что 51/91 является телом. Если b—любой не лежащий в 91 элемент, то найдется такое с, что 6c=l(mod 91), или bc=\-\-z, где z £91. Если 2й» = о, то мы имеем (1 + z) (1—г £--|-г2—.. .= 1, и, следовательно, элемент b обладает обратным элементом с Ц —z -z2—...). Таким образом, Л может быть определено как совокупность всех вырождающихся (необратимых) элементов кольца 51, и потому 9i определяется однозначно. Из леммы Фиттинга (глава 1, § 5) вытекает следующая
Теорема 3. Если ЗЯ является неразложимой группой и удовлетворяет обоим условиям обрыва цепей, то кольцо 51 ее Q-эндоморфизмов вполне прамарно.
По лемме Фиттинга, любой элемент А £ 51 либо является автоморфизмом, либо, нильпотентен. Последний случай может иметь место либо когда 2)i4c:9R, либо когда существует такой элемент z ф 0, что гД=0 (эти два условия эквивалентны). Пусть 91 является совокупностью всех эндоморфизмов, не являющихся автоморфизмами. Если B£9i и А — произвольный эндоморфизм, то АВ и В А лежат в 9i. Предположим, что В^-В^-А является автоморфизмом. Тогда Q + С2 ~ 1, где = ^А-1 £ 91. Так как эндоморфизм С2 нильпотентен, то для некоторого г имеем Саг = 0, и, следовательно, Cj(l+C3 + +^25+.. •	4 == 1 = (1	С-2 + • • • + ^4 ) и
поэтому С} 91. Полученное противоречие показывает, что 9i является идеалом. Если А+91— смежный класс, не совпадающий с идеалом 91, то А — автоморфизм и, следовательно, (Д 4~	(24~1 + 91) = 1 + 91. Таким образом, 51/91
является телом. Сюда относится также следующий важный результат:
Теорема 4. (Лемма Шура). Если является неприводимой Q-группой, то 51 тело.
112	ГЛАВА 4
Если А ф 0 и А £ 51, то 2)14 = 9)i, и множество таких элементов г, что zA — 0, состоит лишь из элемента 0. Таки и образом, А является автоморфизмом и, следовательно, обладает в 91 обратным элементом.
4.	Кольца матриц.
Лемма. Пусть 91 будет произвольным кольцом с единицей и e{J, ij~X, ... , и,—множеством элементов из 51, удовлетворяющих соотношениям'.
1 = #11 © ' • • 4“ eij ekl	(2)
Тогда 91 = 23м, где 23 является подкольцом кольца 51, состоящим из элементов, коммутирующих со всеми е^. Кольцо 23 изоморфно кольцу е^ем.
Если «£91, то легко проверить, что = 2 ejnaejp лежит в 23, и tZ=2^Vaij- С Другой стороны, если а^ являются произвольными элементами из 23 и 2%йЧ/ = 0|’ то = 2 epi (2 eij aij) ejp— °- Следовательно, 91 =23м. Если а = 2 eijaij является произвольным элементом из 91, то efiaeit = еааи- Соответствие между ецае^ и а^£23 будет изоморфизмом.
Лемма. Если 2)1 = 2)^ © 2)ia и 1 — Е1ф Е2, где Et — проекция 2)i на 2)^, то кольцо Q-эндоморфизмов группы 2)it изоморфно Ефф, где 91 — кольцо 2-эндоморфизмов группы 9Ji.
Если А £ 21, то Е1АЕ1 индуцирует 2-эндоморфизм В в группе 2Xt и отображает 2)i2 в 0- Следовательно, если В — 0, то Еу4Е{ — 0, и соответствие между EiAEi и В будет изоморфизмом между £’191£') и подкольцом 9lj кольца 9© С другой стороны, если В £91], то Е^ВЕу^Е.В является элементом Е} (ЕфЕ^Ег из Е^Е], индуцирующим в 2)ii эндоморфизм В. Следовательно, 911 = 91!.
Теорема 5. Если 9)i = 2)ti© . .. ©ЭДМ, где подгруппы Уф Q-изоморфны, то 91 = $ВМ, где 23 изоморфно кольцу Q-эндоморфизмов одной из подгрупп 2)^.
Пусть Е: является проекцией, определенной этим разложением, a Bij — фиксированным 2-изоморфизмом между
Структура колец эндоморфизмов
113
9)6 и 9)6, 1ф 1. Положим Eti = Eb Eti = ЕпВ^Еи, Ец = = ЕиВЙ1£и и Ei} = ЕрЕц при z #=/, i	1. Тогда
легко проверить, что Е^ЕЫ — Ь^Еп при всех z, k, I. Поэтому наша теорема является непосредственным следствием предыдущих лемм.
5.	Вполне приводимые группы. Предположим, что 9)i является вполне приводимой 2-группой, удовлетворяю-ющей одному (и тем самым обоим) условию обрыва цепей. Тогда 9)i = 9)6 Ф . .. Ф 9)iM, где подгруппы 9)6 неприводимы. Перенумеруем эти подгруппы так, чтобы 9ЛЪ ... ,9)iMt были 2 - изоморфны,	,.. . , 9)iWli_Ws были
2-изоморфны между собой, но не 2-изоморфны и т. д.
Если теперь 96 и 96— произвольные неприводимые 2-подгруппы группы 9)£ и В является 2-гомоморфным отображением 96 на некоторую подгруппу группы Э?2, то очевидно, что либо 5 = 0, либо В являетсв 2-изоморфизмом между 96 и всей подгруппой 96- Если 1 = Ei 4" ф Е% ф ... фЕи является разложением 1 на проекции, соответствующие разложению 5Х = 9)6 ф ... ф 9)1М, и А является любым 2-эндоморфизмом, то EjAEj индуцирует 2-гомоморфное отображение 9)6 на некоторую подгруппу, лежащую в tylj. Следовательно, если i пробегает значения П\ • ф ф_1 ф 1, ... , «1 4" • • • ф пр и J пробегает значения Пу ф • • • ф«а_1 Ф 6 • • • » ф • • • Фф> причем р ф q, то EtAEj отображает подгруппу 9)6 в 0. Так как EjAEj отображает и все -остальные подгруппы 9)6 в 0, то мы получаем ЕфШ.,- = 0. Таким образом, если мы положим Еа) = £(ф... фЕш, E(2) = EBjTi4~ ...фЕП1^,... , ЕУ) = ЕП1+ . .. +п,_1+1 4-... 4- ЕП1+ . .. +nf, то получим 4 = 2 EtAEj = EMAEl1') . .. фЕ^АЕ^. Так как (ЕЮАЕ(рУ) (Е(ч)ЕЕ(Д)) = 0 при р =/= q, то Е<А) 91 ЕО) является двусторонним идеалом в кольце 21 и последнее
является прямой суммой т;аких идеалов. Мы видели, что кольцо ЕФ) изоморфно кольцу 2-эндоморфизмов группы 9ХЕ00, Так как неразложимые части 9)1 Е(р) не-
приводимы и 2-изоморфны, то, по предыдущей теореме и по лемме Шура, ’Д,, = Ф(й, где Ф^> является кольцом пр	пр
8 Зак. 748. Н. Джекобсок.
114
ГЛАВА 4
матриц над телом ф(?), изоморфным кольцу Q-эндоморфизмов группы ЭДП1+ . . 
Теорема 6. Кольцо Q-эндоморфизмов вполне приводимой группы, удовлетворяющей условию обрыва возрастающих (убывающих) цепей, является прямой суммой своих двусторонних идеалов, каждый из которых изоморфен кольцу матриц над некоторым телом.
6.	Нильпотентные эндоморфизмы. Предположим, что является 2-группой, для которой выполнены оба условия обрыва цепей, а 33 — замкнутым относительно умножения множеством нильпотентных 2- эндоморфизмов. Мы хотим доказать следующую теорему.
Теорема 7. Если s является длиной композиционного ряда группы ЭЛ, и Blt..., В8 лежат в 33, то В8..'.В1 = 0.
Пусть Л является такой 2-подгруппой, что и предположим, что 3tB8 ... Bt ф 0.
Так как	и каждое 31Вв.,.В1
является 2-подгруппой, то мы получаем следующую убывающую цепь 2-подгрупп:
Л2	а 2Ж6; 2 •  •
Если между двумя членами этой цепи стоит знак равенства, то то же самое имеет место для всех последующих членов. Так как Л имеет длину и ... Вх ф 0, то знак равенства должен иметь место между подгруппами ... Bi? = Л' и 2545^...^ при г <5. Так как то	и =	Тогда
существует такая бесконечная последовательность эндоморфизмов Biv Bi:l,..., что %l'BlP... ф 0. В самом деле, предположим, что уже найдены такие р членов Bix,..., В^ этой последовательности, что 91В; ...В^фО. Тогда + и так как WBi ...В^фО, то найдется такое L.,., что , ...
р 1	1
СТРУКТУРА КОЛРЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ	115
... Вуф®. Пусть k будет одним из индексов, бесконечное число раз встречающихся в последовательности В у, By,... Опуская достаточное число членов, мы можем предположить, что z’i «= k. Таким образом-, существует у таких эндоморфизмов С1у... ,С5£23, где Сг~В-Вк и BJ являются произведениями эндоморфизмов Bj, что У1'Са... Сг ф 0. Так как эндоморфизм Вк нильпо-тентен, то	, и, так как £ЭД'С< с ЭД‘Вк, то
ЕЭД'С^ЭД'. В силу сказанного в первой части доказательства, мы можем найти такую 2-подгруппу ЭД, причем ЭД^О и ЭД с ЭД' с ЭД, что ЭД = 2^.- Если мы^повторим это рассуждение, то получим такую подгруппу ЭД, отличную от нуля и содержащуюся внутри ЭД, и такие эндоморфизмы Di из 23, что ЭД = Таким образом, этот процесс приводит к бесконечной убывающей цепи 2-подгрупп, и, следовательно, предположение, что ЭДвя...
0, неприемлемо. Если мы применим этокЭД = ЭДф то получим, что Bg...£?j = O.
В качестве первого следствия этого результата отметим, что в случае неразложимости группы ЭД£, удовлетворяющей обоим условиям обрыва цепей, множество ЭД всех невзаимнооднозначных 2-эндоморфизмов является нильпотентным идеалом: имеет место ЭД* = 0, где s является длиной группы ЭДЕ
7.	Радикал кольца эндоморфизмов. В этом и следующем параграфах сохраняется предположение об обрыве возрастающих и убывающих цепей в группе ЭДЕ Пусть ЭДг = 9ЭД1®...®2ЭДМ, где подгруппы ЭД^ отличны от нуля и неразложимы; пусть, далее, 1 = Et -ф ... -ф Еи, где Et являются проекциями на подгруппы ЭДф-. Любой эндоморфизм А из 21 может быть одним и только одним способом представлен в виде £Ду, где Ду лежит в E^Ej. Эндоморфизм Ду отображает каждую подгруппу 9ЭДк, kz/zi, в 0 и индуцирует 2-гомоморфное отображение ЭД1^ на некоторую 2-подгруппу, лежащую в ЭДф.
Пусть ЭД обозначает множество эндоморфизмов вида j? = SSy, где ни одно из By не индуцирует 2-изомор-
8*
116
ГЛАВА 4
физма между и Таким образом, либо в 9К* существуют такие элементы zi ф 0, что ^В^ = 0, либо Мы хотим показать, что 31 являемся нильпотентным идеалом. Если ффк, то, так как Еу£);=0, мы будем иметь А^Вкг — 0 и B(jAM = Q. Если	=
то гффА^ — 0. Предположим теперь, что Уф ф фУфВц = Уф', но что ВцА^ индуцирует 2-изоморфизм между Уф и Уф. Тогда Ар индуцирует 2-изоморфизм между Уф' и Уф. Отсюда следует, что Уф = sDt/ где Уф" является подмножеством в 9Ji-, отображающимся в 0 при эндоморфизме Л^1). Но это противоречит предположению о неразложимости группы Уф. Таким образом, мы получили, что если 1ф £ St и А является произвольным 2-эндоморфизмом, то ЯуЛ^ЗЕ Кроме того, если Афф индуцирует 2-изоморфизм между и Уф, то Аы индуцирует 2-изоморфизм между Уф и 2)^ и, следовательно, /ф индуцирует 2-изоморфизм между Шс.г-и Уф, вопреки сделанному предположению. Таким образом, А£ф £ J)i.
Пусть теперь	Рассмотрим эндоморфизм
А^= Вц ф (ф. Если Atj индуцирует 2-изоморфизм Л.у между 3)^ и то положим А^ = Еффф. Тогда Е{ = Вфф ~Е (фА^, причем эндоморфизмы Вфф и (фА^ не будут автоморфизмами в Уф. Так как подгруппа неразложима, то это невозможно, и потому
Если мы сопоставим эти результаты, то получим, что ill является двусторонним идеалом в кольце s2l.
Если В £ ‘Ji, то рассмотрим такое разложение DJt = = 9R'®&i", что В являе1гея нильпотентным эндоморфизмом в 2R' и автоморфизмом в УЛ" (лемма Фиттинга). По теореме Крулля-Шмидта существует такой 2-автоморфизм U, что УФU = УФ, УФ' U = OJl**, где, при соответствующем упорядочивании подгрупп Уф, УЛ* — = Stlij Ф... ф Уф УЛ** — УЛцфФ... Ф Таким образом U-iBU~С лежит в 9J, и этот эндоморфизм индуцирует в автоморфизм С. Следовательно, если Е** =
г) См. доказательство теоремы Крулля-Шмидта, глава 1.
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
117
*
— £<+1ф ... 4~£м, то E'f^CEv*C~1E** = Е** лежит в 91, что невозможно, так как приТфи Efil, Е^, ... лежат в Et+]%Etil,... Таким образом, ЭЛ** = 0 = ЭЛ", ипотому эндоморфизм В нильпотентен. Так как каждый элемент из 91 нильпотентеи, то по теореме, доказанной в предыдущем параграфе, идеал 9? нильпотентен. Если теперь 91 является произвольным нильпотентным двусторонним идеалом в 91 и N=; ^Nij лежит в Э?, то и каждый эндоморфизм N{! = EiNEj лежит в Л. Отсюда следует, что Ny лежит в Л, так как в противном случае мы могли бы показать с помощью соответствующего умножения, что Ej^^i. Следовательно,
Теорема 8. Пусть ЭЛ = ЭХ t©... © 9ЛМ является разложением удовлетворяющей обоим условиям обрыва цепей Q-группы ЭЛ на неразложимые отличные от нуля подгруппы ЭЛ< и пусть Е/ являются соответствующими проекциями. Тогда множество эндоморфизмов вида где В,Г/ £ E^Ej, и. Bj не является взаимнооднозначным отображением ЭХ\- на Wlj, будет нильпотентным двусторонним идеалом 91 в кольце 91 всех Q-эндоморфизмов. 9? содержит каждый нильпотентный двусторонний идеал кольца 91.
Идеал 91 называется радикалом кольца 91.
8. Структура кольца эндоморфизмов произвольной группы. Упорядочим компоненты Тц таким образом, чтобы 9Xt,..., ЭЛ1?1 были Q-изоморфны, 9ХЯ1+1,... ,9ЛИ1ц-я, были Q-изоморфны между собой, но не 2-изоморфны ilij и т. д. Положим:
д){1ф... фЭЛП1, 5).(2. _ 5)jwi+1 ф... ф9ЛИ1+П2,...
£(1) = А ф ... ф ЕИ1, £(2) =ЕЯ1+1-{-... ф ЕП1у^ ...
Тогда ЭЛ = ЭЛС) ф...	Если I и j принадлежат
различным последовательностям nv ф ... ф flp-1 ф 1,..., П1ф...-Еф И ^ф ...ф ф_Хф 1, ... , ^ф ... ф Пд, ТО Е^Е.-, входит в радикал 9?. Следовательно,
118
ГЛАВА 4
при рф-q и	-j- JR является двусторонним
идеалом в кольце 51, которому соответствует двусторонний идеал в 51 = 51/91. Так как Е(рУЩЕр содержит Е&\ то	Очевидно, что 51 =	Мы видели,
что соответствие между Ар с Е(р)%Е(р) и индуцирован-, ным им эндоморфизмом подгруппы 2RO) является изоморфизмом между E(pV%E(p) и кольцом 2-эндоморфизмов группы	Отсюда следует, что радикал кольца
EIp^LEW) состоит из элементов ^В^ где i,J = n1 ... -j-	1, •••, л1+* -гар, и Вц не является взаимно-
однозначным соответствием между 9Jlj и sjr^ Таким образом, радикалом кольца	является (Е(р)51Е(/’) П
П 91) = E(p^EW и ЕЮШЯ/ЕЬЖЕЮ j) .
Предположим теперь, что группа 9R однородна в том смысле, что все ее неразложимые компоненты Т1г 2-изоморфны. Мы видели, что 5Х = ®м, где® изоморфно кольцу 2-эндоморфизмов подгруппы SR*. Мы видели также, что ®/<5 является телом, если® обозначает радикал кольца ®. Если 9? обозначает радикал кольца 51, то 91 П ® является нильпотентным двусторонним идеалом кольца ® и потому содержится в <5. С другой стороны, если Ец являются матричными единицами в 51 и Sy£<5, то множество элементов вида '£EijSij является нильпотентным идеалом кольца 5( и, следовательно, содержится в 91. В частности, SE4iS£9t и 91 П ® = 6. Если В = ^ЕцВц является произвольным элементом из 91, то By = ^ЕЫВЕ^ лежит в 91П® = (5. Таким образом, 91 = ®м и фактор-кольцо 51 = 51/91 изоморфно кольцу (®/<S)M матриц над телом. Так как кольца такого вида всегда будут простыми, то мы показали, что кольцо 51 просто. С другой стороны, мы видели, что 51 —5ЦФ...Ф51Р и потому> если кольцо 51 просто, то t — 1 и группа 9R однородна. Таким образом, нами установлены следующие связи:
!) Мы применяем теорему об изоморфизме: если $12® И 5Н является идеалом в Э1, то (®fl 91.
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
119
Группа 2К однородна -> 91 = 28й и 93 вполне при-марно —> кольцо 91/91 просто —> группа 2)? однородна. Следовательно, нами получена
Теорема 9. Следующие условия эквивалентны между собой’.
1.	Группа 9)1 однородна.
2.	23и, где 23 вполне примарно.
3.	Кольцо 91/91 просто.
Вопрос о единственности представления кольца 91 в виде 23м решается следующей теоремой.
Теорема 10. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы. Тогда, если 91 = 23М', где 23' вполне при-марно, то и — и и
Пусть Etj является новым множеством матричных единиц. Так как Ец%Ец ~ 23’, то Гц является единственным идемпотентным элементом в	Следова-
тельно, Е'а является примитивным идемпотентным элементом и компоненты разложения 2)1 =	..	нераз-
ложимы. По теореме Крулля-Шмидта « — и', и существует такой 2-автоморфизм А, что при соответствующем упорядочивании элементов Еи и ЕС имеем А-1 ЕцА —	.
Так как группа 9)1 однородна, то существует такой 2-автоморфизм Р, что Wl^P — Следовательно, если В = РА, то мы получаем В~гЕцВ — Ец. Тогда эндоморфизм B~1EijB индуцирует 2-изоморфизм между 901/ и 2)1/, и потому ^,B-1EjiBEij, а также и С = ^E^BEij являются 2-автоморфизмами. Очевидно, что Е^С=СЕц и Eij = CEijC-1. Так как 23 и 23' являются соответственно множествами эндоморфизмов, коммутирующих с E{j и Efj, то мы получаем, что 23 — C23ZC_1.
9. Прямые суммы. Рассмотрим теперь теорию абстрактных колец. Для того, чтобы включить в наши рассмотрения и случай алгебр, предположим, что 91
120
ГЛАВА 4
является кольцом и Ф является множеством эндоморфизмов аддитивной группы кольца 21, которые коммутируют с элементами из 21,. и из 21г. Начнем с некоторых элементарных замечаний относительно разложения кольца в прямую сумму Ф-идеалов. Первым из них будет специальный случай теоремы, связывающей прямые разложения и проекции, а именно:
Лемма. Если 21 является Ф-кольцом с единицей и 51 — 31Ф--ФХ — прямое разложение кольца 51 на левые Ф-идсалы, отличные от нуля, то 1==£1ф...
где е? = е,ф0, ejek~O приффй и 3 =: =ч-
Дадим прямое доказательство этой леммы. Пусть 1 = е1 Ц- ... ф еи, где еф 3j- Тогда любо’Э элемент а — аех ф... 4- аеи и аеф^. Если а = аф^, то aj ~ ajei Ф ••• Ф ajeu- Так как идеалы 37- независимы, то все ayk = 0 за исключением а^ = а^. Следовательно, 3; = 51^' и — е^ ф 0, efa = 0 при j ф k.
Предположим теперь, что кольцо 21 == 2^ Ф .. .ф21г является прямой суммой двусторонних Ф-идеалов. Если уфй, то 5lySisSij f] 5(fc~ 0. Следовательно, любой Ф-идеал (левый, правый или двусторонний) кольца 51?-является Ф-идеалом кольца 51. С другой стороны, пусть 3 является левым Ф-идеалом в 51. Тогда 3;=2^3 Sr 3 Г) 21^ является левым идеалом в 51у. Так как
3=1.3==9(3 = 31ф...ф3г>	(3)
то 3 12 21/^=3.7 и> следовательно, 3 12 21; = 3;- Разложение (3) показывает в частности, что 3 удовлетворяет условию возрастающих (убывающих) цепей для одно- или двусторонних идеалов тогда и только тогда, когда эти условия выполнены в каждом из 5lj.
Предположим, что 21,- являются неразложимыми двусторонними отличными от нуля Ф-идеалами, т. е. пусть 2lj = 2l/©2(// влечет за собой, что либо 5(/, либо 51/ равен нулю. Тогда идеалы 91у- однозначно определены. В самом деле, если 51 — Ф  • . Ф23„ является разложением 51 нд неразложимые отличные от нуля двусторонние
структура колец эндоморфизмов
121
Ф-идеалы, то 2lj П 23j = 0 для всех /, кроме одного, так как = (91х fl 23j)®... ©(^ Л ®м\ считая /=1, мы получим, что 211 = 211 Л St и, по симметрии, 231 ==21.! Л 231 = = Подобным образом, при соответствующем упорядочивании, находим, что ?13 = 582, ... и / = а.
Теорема 11. Если 21 является Ф-кольцом с единицей. и 21 = Sij © ... ф 2lt является разложением 21 в прямую сумму неразложимых отличных от нуля двусторонних Ф-идеалов, то любое разложение 21 в прямую сумму неразложимых отличных от нуля Ф-идеалов имеет те же компоненты, что и данное разложение.
10. Радикал. Напомним, что ниль-кольцом называется кольцо, содержащее лишь нильпотентные элементы, и нильпотентным кольцом — кольцо, конечная степень которого равна нулю. Таким образом, утверждение, что кольцо 21 нильпотентно, означает, что для некоторого числа у любое произведение аг а2.. . а8 равно нулю при произвольных ai £ 21. В частности, as = 0 при всех а, и потому 21 является ниль-кольцом. Замечательно, что утверждение, обратное этому почти тривиальному факту, имеет место, если в кольце 21 выполнено условие обрыва убывающих цепей для Ф-идеалов. Прежде чем проводить доказательство, отметим следующие леммы.
Лемма 1. Если 31 и За являются нильпотентными Ф-идеалами кольца 21, то и идеалу -\-‘^.1нильпотентен.
Пусть 3ir = ° и = Имеем	—
==S3i,3i9- • где /, = 1,2. Если k = r-[-s — 1, то каждое произведение содержит:не менее г раз идеал или не менее s раз идеал Jf2. В первом случае заменим любое За 31 в произведении на ^i- После конечного числа таких замен мы получим 3^ • • •	© З/Зз* — °- Подоб-
ным же образом, если существует, не менее а идеалов За, мы получаем 3<i • • •	© Зэ® 3/'»и- потому во всех случаях
3<,. -?ч- = 0 “ (31 + 3а)* = о. .
122
ГЛАВА 4
Лемма 2. Если 3 является нильпотентным левым Ф-идеалом кольца Э1, то 3 содержится в нильпотентном двустороннем Ф-идеале.
Так как $ЗЕЗ> т0 мы имеем (3 + З^)* 3* + 3*$1-Следовательно, если Зг = 0, то (3 ~Ь З^У =“ О* Очевидно, что 3 + 3^ будет двусторонним Ф-идеалом.
Из этих лемм вытекает следующая
Теорема 12. Пусть 91 является объединением всех нильпотентных левых Ф-идеалов Ф-кольца. Тогда 91 будет двусторонним Ф-ниль-идеалом.
Под объединением мы понимаем наименьшую подгруппу, содержащую все нильпотентные левые Ф-идеалы. Если b £ 91, то b £ 31 + • • • Ч- Sm в 3 Для некоторых нильпотентных левых Ф-идеалов 3j- По лемме I, идеал 3 нильпотентен и, следовательно, элемент b нильпотентен. По лемме 2 3£®, где <5 является нильпотентным двусторонним Ф-идеалом. Следовательно, при любом а имеем Ьа £ <5 с с 91, и потому 91 является как правым, так и левым идеалом.
Предположим теперь (и на протяжении всей главы сохраним это ограничение), что ЭД является Ф-кольцом, удовлетворяющим условию обрыва убывающих цепей для левых Ф-идеалов. Пусть й является левым Ф-ниль-идеалом кольца %. Так как произведение Ф-идеалов tHoea будет Ф-идеалом и й 5 9ia=) • • • > то найдется такое целое число £, что й* = й*+1, и, следовательно, й*=й*+1=91*+2=... Теперь, мы покажем, что Эй — й* = 0. Очевидно, Эй == Эй2 является левым Ф-ниль-идеалом. Если Эй ф 0, то пусть 3 будет минимальным левым Ф-идеалом, содержащимся в Эй и обладающим тем свойством, что ЭЙЗфО (существование такого идеала следует из условия обрыва убывающих цепей). Тогда найдется в 3 такой элемент Ь, что Эйд ф 0. Так как Эйд является левым Ф-идеалом, содержащимся в 3, и ЭЙ (Эйд) = ЭЙд, то мы получаем, что Эйд » 3-Отсюда следует существование такого элемента /п£ЭЙ, что mb — b. Но это невозможно, так как в этом случае мы имели бы при достаточно большом г b — mb = т*Ь = ==...== тгЬ = 0. Это противоречие показывает, что ЭЙ=О, и мы получим, таким образом, следующую теорему,'
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
123
Теорема 13. Если в Ф-кольце % выполнено условие обрыва убывающих цепей для левых Ф-идеалов, то любой левый Ф-ниль-идеал кольца ЭД нильпотентен.J)
В качестве следствия получаем, что определенный в теореме 12 идеал 9? нильпотентен. Если 3 является любым левым ниль-идеалом в кольце ЭД, то	Это
следует из того, что идеал 3 нильпотентен. Кроме того, 91 содержит каждый нильпотентный правый Ф-идеал. В самом Деле, как и выше, показываем, что каждый такой идеал содержится в двустороннем нильпотентном Ф-идеале и что этот последний содержится в 91. Мы будем называть 3? (левым) радикалом кольца ЭД. Таким же образом, если в ЭД выполнено условие обрыва цепей для правых Ф-идеалов, то ЭД обладает правым радикалом 91', который содержит все правые Ф-ниль-идеалы. Если выполнены оба условия обрыва убывающих цепей, то 9? = 91'. Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 14. Если Ф-кольцо ЭД удовлетворяет обоим условиям обрыва цепей для левых Ф-идеалов, то каждый левый Ф-идеал 3. содержащий ненильпотентный элемент, содержит отличный от нуля идемпотентный элемент.
ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО 3~31Ф$2’ где Зу являются левыми Ф-идэалами. Если и Зз ниль-идеалы, то они нильпотеитны, и, следовательно, идеал 3 нильпотентен. Таким образом, хотя бы один из идеалов не является ниль-идеалом, и потому мы можем предположить с самого начала, что идеал неразложим, если его рассматривать как группу относительно множества Q эндоморфизмов, являющегося теоретико-множественным объединением ЭДг и ф. Отображение у ->yb =уВ, где у и b лежат в является 2-эндоморфизмом. Следовательно, по лемме Фиттинга, либо эндоморфизм В нильпотентен, либо он является автоморфизмом. Если эндоморфизм В нильпотентен, то b является нильпотентным элементом, а так как, по предположению, 3 не является ниль-идеалом, то
х) Эта теорема принадлежит Гопкинсу. Я благодарен профессору Р. Брауеру за приведенное выше доказательство,
124
ГЛАВА 4
найдется такой элемент Ь, что соответствующее ему преобразование В является автоморфизмом. Тогда = и, следовательно, существует такой элемент чт0 еВ=Ь. Тогда eb = b и (е3— e)b = (e-— е)В~0 и потому е- ~ е тЬ 0 является идемпотентным элементом, лежащим в 3-
Таким же образом мы можем применить лемму Шура для доказательства следующей теоремы.
Теорема 15. Если 3 является неприводимым Левым Ф-идеалом, то либо ^3 = 0, либо ^ = 21с, где е— некоторый идемпотентный элемент.
Мы рассматриваем снова отображение у —> у’’ = уВ, где у и b лежат в Либо В = 0, либо В является авто-морфизом. Как и ранее, из второго предположения следует, что 3 содержит идемпотентный элемент е. Тогда 3 = ^»
11. Структура полупростых колец. Мы будем называть Ф-кольцо 21 полупростым, если 1) в нем выполнено условие обрыва убывающих цепей левых Ф-идеалов, и 2) оно не содержит нильпотентных левых Ф-идеалов. Из предыдущего параграфа следует, что 21 не содержит тогда отличных от нуля левых Ф-ниль-идеалов и нильпотентных правых Ф-идеалов. Если 21 является кольцом, удовлетворяющим условию 1), и 9? — его радикал, то фактор-кольцо 21 = 21/9? полупросто. В самом деле, если 3 является нильпотентным левым Ф-идеалом кольца 2(, то 5 = 3/3?> где 3 является левым Ф-идеалом кольца 21, и при некотором k имеем 2jftaz9?. Тогда при достаточно большом s получим 3^sc9?s = O. Следовательно, 3S-3? и 2, = 0. Следующая теорема имеет фундаментальное значение при определении структуры полупростых колец.
Теорема 16. Любое полу простое Ф-кольцо обладает единицей, и структура его левых Ф-идеалов вполне приводима. Обратно, если 21 является Ф-кольцом, которое обладает следующими свойствами-. 1) 21 обладает единицей, 2) структура его левых Ф-идеалов вполне
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
125
приводима и в ней выполнено условие обрыва убывающих цепей, то кольцо ЭД полупросто.
Предположим, что кольцо ЭД полупросто. Мы хотим показать сначала, что любой неприводимый отличный от ' нуля левый Ф-идеал 3 обладает дополнением. Так как t 32^Е0, то З“3(е,гдег— идемпотентный элемент, лежащий в 3- Пусть 3' является множеством таких элементов |	/>'£ЭД, что b'e — д). Тогда 3' будет левым Ф-идеалом и
3 Л 3' = О- Так как а — ае (а — ае) — b + где 6^3, *	д' СЗ'1 то 3' является дополнением идеала 3-
( Положим 3 = 3р е = еР Если идеал 3' не минимален, то пусть Зз = ЭД^2> где е^=е2, будет не-; приводимым, отличным от нуля, левым идеалом, содержа-щимся в 3 * Тогда ЭД = 32®За'’ гДе За' является левым ; Ф-идеалом, состоящим из таких элементов с', что с'е2 = 0.
Отсюда следует, что 3' = 32® S'7, где идеал З"—За' П 3' может быть определен как совокупность таких элементов У', что Ь"ег — Ь"е% = 0. Следовательно, ЭД = 31®За®3", J где 3"с3'- Если идеал 3" не является неприводимым, то мы повторяем наше рассуждение и получаем ЭД = = 31®'32®3з®3'"5 где идеал 3; = ЭД^фО неприводим, ejei = 0 при /</, pi2 = pf'^0, и 3"' является лежащим в 3" левым Ф-идеалом. Продолжая таким образом, мы получим, наконец, ЭД = 31®За®• •-®3м> гле идеал 3* = 9Ц- неприводим,	и <,<6^ = 0 при z<y.
Следовательно, мы показали полную приводимость структуры.
Если мы образуем элемент =
i <J
4“ • • • ® (—l)**-1 Pi е2... ettt то можно проверить, что ekv — ek приА=1,..., и. Так как любой элемент я = == 2 ак ек>то ПРИ всех а имеем ао — а. В частности, т»2 = ц. Множество таких элементов г, что г»г = 0, является <	правым Ф-идеалом, который мы обозначим через 33. Так
>	как	— (гри) г-а = (цг2) = 0 при zx, z2 4 33, то ЗЗ2 = 0
и, следовательно, 33 = 0. В силу того, что v (а — г»а) = 0, ? мы получим, что при любом а а—-ца = 0, и потому , ц — ш. Таким образом, v является также и левой единицей, и мы можем положить и = 1.
126
ГЛАВА 4
Обратно, если кольцо 51 обладает единицей и структура его левых Ф-идеалов вполне приводима, то любой левый отличный от нуля Ф-идеал имеет вид ^е, где еэ = е. В самом деле, = 3©S' и, следовательно, 1=вфе', где е' €X е2 ~ е Ф0, е'2=е' и ее' = = е'е = 0. Тогда 3 = Так как идеал 3 содержит отличный от нуля идемпотентный элемент е, то он не может быть нильпотентным. Если в кольце 51 выполнено условие обрыва убывающих цепей, то из доказанного следует, что оно полупросто. Поэтому наша теорема доказана, равно как и ее
Следствие. Любой левый Ф-идеал полупростого Ф-кольца является главным и порождается идемпотентным элементом.
Если мы вспомним общие теоретике-структурные рассуждения из главы 3 § 4, то получим следующую теорему, дуальную теореме 16.
Теорема 17. Если^{ является полупростым Ф-кольцом, то существуют такие максимальные левые Ф-идеалы ЭД1? . .. , ЭДМ кольца 51, что 0 = ЭДХ П ... П ЭДМ, ЭД, ф (ЭД! П ... П ЭД,_! Л ЭД, н Л ... Л ЭДИ) = 51.
В самом деле, если 5( = 31 ф • • • ®Х» гДе идеалы 3; неприводимы, то идеалы ЭД, = X ф ... ф X-i + ф ф ... ФХ удовлетворяют условиям нашей теоремы.
Этот результат приводит к интересной «арифметической» характеристике радикала, а именно:
Теорема 18. Пусть 51 является Ф-кольцом с единицей, в котором выполнено условие обрыва убывающих цепей левых Ф-идеалов. Тогда радикал 91 кольца 5( совпадает с пересечением всех максимальных левых Ф-идеалов кольца 51.
Так как фактор-кольцо 51 = 51/91 полупросто, то 0 = ЭДХ П ... Л ЭДи для подходяще выбранных максимальных левых Ф-идеалов ЭД, кольца 5(. Следовательно, если ЭД, является левым Ф-идеалом кольца 51, состоящим из элементов, отображающихся в ЭД,, то 9)^ Л ... Л ЭДМ = 91.
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
127
По первой теореме об изоморфизмах ^-группы *) 2(/2Л/ и 21/2)1/ изоморфны. Следовательно, группа неприводима, и 2)1/ является максимальным левым Ф-идеалом. Если мы обозначим пересечение всех максимальных левых Ф-идеалов через S, то мы доказали, таким образом, что S с 21. С другой стороны, пусть 2)1 является произвольным максимальным левым Ф-идеалом. Тогда либо 2)1 4- 21 = ЭК, либо 2R= В последнем случае 1 = щ 4- г, где т £ 2R и г £ 21 ... , и потому 1 = = (14- г 4 г2 4- ...) (1 —г) = (1 4- г 4~ г2 4- ... )/и £ 2)1. Это противоречит максимальности идеала 2)1 и доказывает, что 2)14~ 91 = 2)1» т* е- чт0 91 — 2R- Таким образом, 21 != <5, и теорема доказана.
Мы переходим теперь к основной теореме о полупро-стых Ф-кольцах. Мы основываем доказательство на двух фактах: 1) 21 изоморфно 2(г и 2) 21г является совокупностью всех ?(гэндоморфизмов. Оба эти факта являются следствиями того, что кольцо 21 обладает единицей. Но мы видели, что 21 = 31ф • • • фХ» гДе 3/—неприводимые 21-группы. Следовательно, в силу общей теории, данной в § 5, 2(г будет прямой суммой двусторонних идеалов, каждый из которых представляет собою кольцо матриц над телом. Таким образом, мы получили, что 21 = Рв1(1)ф... ф Рщ w» гДе РУ} являются телами. Но двусторонние идеалы 2(< = Pni^ будут Ф-идеалами, так как элементы, принадлежащие Ф, являются умножениями на элементы из центра 6 кольца 21. Если 1/ является единицей в кольце 2({, то эндоморфизм, индуцированный в 2(/ эндоморфизмом а, также будет умножением на элемент 1/а, принадлежащий центру (£/ кольца 2lf. Так как РУ) 3 6/, то PW является Ф-подкольцом кольца 2(. Тем самым доказана первая часть структурной теоремы:
Теорема 19. Каждое полупростое Ф-кольцо является прямой суммой своих двусторонних идеалов, каждое из которых представляет собою кольцо матриц над Ф-телом, и обратно.
!) Нам не нужно упоминать здесь Ф, так как Й{ОФ,
128
ГЛАВА 4
Для того, чтобы доказать вторую часть теоремы, достаточно, в силу сказанного в § 9, доказать, что кольцо матриц над телом полупросто. Мы видели в главе 2, что кольцо такого типа будет прямой суммой неприводимых левых идеалов. Они являются Ф-идеалами. Следовательно, кольцо 21 полупросто в силу предшествовавшей теоремы.
Из теории колец матриц получаем также
Следствие. Полупростое Ф-кольцо удовлетворяет обоим условиям обрыва цепей для левых (правых) Ф-идеалов.
Это следствие показывает, в частности, что условия, наложенные в определении полупростого кольца на левые идеалы, выполняются также и для правых идеалов. Мы можем также начинать с условий, наложенных на правые идеалы. Тогда мы получим, что *41г является прямой суммой колец матриц над телами. Следовательно, кольцо 21 обратно изоморфно кольцу, имеющему описанную структуру; а так как кольцо, обратно изоморфное кольцу матриц над телом, является также кольцом матриц над телом, то мы получаем, что кольцо 21 полупросто. Любой теореме, справедливой для левых (правых) идеалов полупростого кольца, соответствует дуальная теорема о правых (левых) идеалах. Например, из вышеприведенного следствия получаем, что правые идеалы кольца 21 являются главными.
Если 21 является простым Ф-кольцом, удовлетворяющим условию обрыва убывающих цепей для левых Ф-идеалов, и кольцо 21 не полупросто, то 21 нильпотентно. Так как 212 cz 21 является двусторонним Ф-идеалом, то мы получаем, что 212 = О. Таким образом, любой элемент ЬфО порождает двусторонний идеал, и, следовательно, все кольцо 2(, т. е., каков бы ни был отличный от нуля элемент 6, 21 ={'’}, Где через {&} обозначено множество элементов вида 2 ^а1а2 • • • ат> причем а$£Ф или «<= + 1, и У2=о. Кольцо такого вида называется Ф-нуль-кольцом. Следовательно, если простое кольцо 21 удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей и не является Ф-нуль-
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
129
кольцом, то оно полупросто. Применяя вышеприведенную теорему, находим, что имеет место
Теорема 20. Простое Ф-кольцо, в котором выполнено условие обрыва убывающих цепей для левых Ф-идеалов, является либо Ф-нуль-кольцом, либо кольцом матриц Р„ над Ф-телом Р, и обратно. Если ЭД = Рп — где Ф‘ — также тело, то п — т, и тела Р и Ф изоморфны.
«Прямая» часть этой теоремы является непосредственным следствием теоремы о полупростых кольцах. «Обратная» часть и единстсенность п и Р с точностью до изоморфизма были доказаны в главе 2.
Любопытно отметить, что соответствующее утверждение для колец, удовлетворяющих условию обрыва возрастающих цепей левых идеалов, не имеет места. В самом деле, пусть Р ~ PQ ($) является полем рациональных функций одного неизвестного над полем Ро характеристики 0 и ЭД = P[t,'] — кольцом дифференциальных полиномов над Р, т. е. полиномов по t, где at = ta -ф- о/, причем а' является обычной производной функции а. ЭД является кольцом главных идеалов и, следовательно, удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей. Легко показать, что в ЭД нет собственных двусторонних идеалов и потому кольцо ЭД просто. Тем не менее, так как ЭД не является телом, оно не имеет вида Фи, где Ф— тело.
Если мы используем результаты § 9 и предыдущих теорем, то получим следующую теорему.
Теорема 21. Структура двусторонних Ф-идеалов полупростого Ф-кольца ЭД вполне приводима. Если ЭД = ЭД, ф ... фЭД;. = 23, ф ...	являются разложе-
ниями кольца ЭД на неприводимые двусторонние ф-иде-алы. то s = t, и при подходящем упорядочивании идеа-лов^имеем^—^.
Предположим, что ЭД = ЭД, ф ... фЭД#, где являются неприводимыми двусторонними Ф-идеалами. Тогда для любого двустороннего Ф-идеала 33 кольца ЭД будет иметь место разложение 23 = 53, ф ... ф23г, где 23< = 23 П ЭД$ являются двусторонними Ф-идеалами кольца ЭД. Следова-
9 Зак. <48. Н. Джакобооа,
ISO
ГЛАВА 4
тельно, либо 23^ = Ж^, либо 53f = 0, Таким образом, 23 —Ж^ф • ♦ • ©5lfr> и потому существует 2г двусторонних Ф-идеалов кольца %.
Рассмотрим теперь связь между разложениями кольца 51 в прямую сумму левых Ф-идеалов и прямую сумму двусторонних Ф-идеалов. Если. 3 является неприводимым левым Ф-идеалом, то мы видели, что 3 содержится в одном из ЯЦ, например, в Если — другой левый Ф-идеал и ЗГ ~ 21з, то 3 и У не будут Ж}-изоморфны, так как для 1р единицы кольца Жр мы имеем lj 3 — в то время как l/c/ —0. Таким образом, если S3 является объединением всех неприводимых левых Ф-идеалов, Жг-изоморфных с 3, то 23 £ Ж]. Покажем, что 53 будет двусторонним идеалом. В самом деле, если 6 £33, то # ~У1 + • • • + где У* лежат в неприводимых изоморфных с 3 Ф-идеалах $г. Тогда для произвольного элемента а идеал ^а либо равен нулю, либо Ж0-изоморфен идеалу 3-Следовательно, у^а^23 и Ьа £ S3, и потому 23 является как правым, так и левым идеалом. Так как идеал неприводим, то 53 = Жх. Итак, нами получена
Теорема 22. Если кольцо 21 полупросто и 21 = Ж1ф ••• ф —его разложение на неприводимые двусторонние Ф-идеалы, то каждый идеал Ж.г является объединением неприводимых левых (правых) Ф-идеалов, Жг-(ЖГ-) изоморфных данному неприводимому левому (правому) Ф-идеалу.
Следствие. Число t неприводимых двусторонних компонент равно числу %г-неизоморфных (соответственно %,г-неизоморфных) классов левых (правых) идеалов.
Для произвольного левого Ф-идеала 3 кольца Ж определим Зг(3)> как множество таких элементов £>£Ж, что 2$ = 0. 3/3) является правым Ф-идеалом. Подобным же образом для правого Ф-идеала мы можем получить левый Ф-идеал Зг(ЗГ)> состоящий из таких элементов с, что с% = 0. Если кольцо Ж полупросто, то мы можем считать, что у = Же, и тогда Ж = ЖефЖ<Л где е2 = е, ег* — е\ ее' = е'е = 0. Тогда мы имеем также Ж = сЖ ф е'Ж.
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
131
Покажем, что 3?- (ЭДе) = е самом деле, е'$( Зг(^е) и если £(~3г(^)> т0 eb — Q и, следовательно, Ь — =(е -[- е') b = e'b ^-е'ЭД. По симметрии имеем 3i (е'ЭД) = ЭДе. Таким образом, ЗгСЗг (3)) = S и> подобным же образом, Зг(ЗгШ) = 3/- Соответствия $->Зг(3) и 3'Зг (S') взаимно обратны и являются взаимно-однозначными отображениями структуры левых Ф-идеалов на структуру правых Ф-идеалов, и обратно. Очевидно, что если — Зэ> то 3r (Si) — ЗгСЗа)- Этот результат выражается следующей теоремой.
Теорема 23. Если ЭД является полу простым кольцом, то соответствие З^ЗгСЗ) является обратным изоморфизмом между структурой левых Ф-идеалов и структурной правых Ф-идеалов кольца ЭД.
Пусть (5, будет центром полупростого кольца ЭД = = ЭД1ф...фЭД^ -^Ь1 видели, что & является Ф-подколь-цом. Если с£(£, то с = сх -ф- ... -ф- ct, где с^У^. Так как а — где и ас = са\ Т0 мы имеем aici = Кроме того, = ciai = 0 при j ф1. Следовательно ct £ £ и & == Оф ф ... ф &#, где Оф ==» (£ Г) ЭД< является центром кольца ЭД^. В самом деле, если и то и, следовательно, Так как ЭД$ = Р(<),Ч, где р(О — тело, то центр кольца ЭД^ содержится в PW и является поэтому полем.
Теорема 24. Если ЭД является полупростым Ф-кольцом и ЭД = ЭД^®. . . ф ЭДМ где — простые двусторонние идеалы кольца ЭД, то его центр 3 будет Ф-кольцом и (5. =«(£j ф . . . ф Оф, где ^ = ОЭД^ будет полем.
12. Представления полупростых колец. Предположим сначала, что ЭД является произвольным кольцом, a 2R — ЭД-модулем. Если — правый идеал в ЭД, то множество хЗ элементов вида хд, где х фиксировано и b пробегает идеал % будет ЭД-подмодулем модуля 9)i. Соответствие b -> xb является ЭД-гомоморфизмом между $ и х^. Следовательно, если идеал неприводим, то либо
9*
132
ГЛАВА 4
ЭД-изоморфен хЗ, либо хЗ= 0. Если модуль ЗЯ неприводим, то хЗ при любом элементе х и любом правом идеале 2$ либо равно нулю, либо совпадает с ЗЯ. Если теперь ЭД. является полупростым кольцом, то ЭД = 31Ф • • • фЗ«> где Зу — неприводимые правые Ф-идеалы. Тогда, если модуль ЗЯ неприводим и ЗЯЭДгДО, то существуют такой элемент x£2)t и такой идеал Зу. что х^фО. Отсюда следует, что 2Я = хЗу и потому ЭД-изоморфно идеалу Зу-Предположим теперь, что кольцо ЭД полупросто и что х 1 = х для всех элементов х из 9?С. Тогда каждый элемент х = х 1 £хЭД = x3i~Ь ••Ч-Х3и- Так как подмодули хЗу либо неприводимы, либо равны 0, то 2)1 является объединением своих неприводимых подмодулей. Если в ЗЯ выполнено условие обрыва возрастающих цепей или, что эквивалентно этому, если модуль ЗЯ обладает конечным числом образующих, то ЗЯ =	-ф- . .. ф-ЗЯ* для со-
ответствующих неприводимых подмодулей ф 0. Отсюда следует, что ЗЯ — ЗЯ*^ . . . ф2Я*г В самом деле, если ЗЯф^ЗЗф^ ЗЯ^, то найдется такой наименьший индекс j=t^ что ЗЯ^ЗЯ^. Тогда ЗЯ^ П ЗЯ*3=О и ЗЯ' =ЗЯг ф-... ф-ф-2Я*3 = ЗЯ^фЗЯ^. Если ЗЯ' ф ЗЯ, то пусть i3 является таким наименьшим индексом, что ЗЯ*3 ф ЗЯ'. Тогда ЗЯ" = ПЯ1 -j- . . . ф- ЗЯ*3 — ЗЯ^ф 2Я*3 ф 2Я#3. Этот процесс приводит, как легко видеть, к желаемому разложению. Таким образом, мы показали, что ЭД-модуль ЗЯ вполне приводим и удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей.
С другой стороны, предположим, что выполнено условие обрыва убывающих цепей, и пусть ЗЯ* с 2Яас:. .. является возрастающей цепью ЭД-подмодулей. Если xt является элементом из 3)1*+1, не лежащим в ЗЯ*, тох*ЭДс с ЗЯ* ц. Так как х{ £ х*ЭД = x*3i ф... ф х$и, то хотя бы один из неприводимых подмодулей х*3у отличен от нуля и лежит в ЗЯ*+1, но не лежит в ЗЯ*. Выберем один из таких подмодулей х*3у и обозначим его через ЭЯ*. Рассмотрим цепь (2?1 + 3?а+...)5(^2 + ^з + ---)9---> где (ЭЯЛ ф- ф- ...) обозначает объединение всех ЭЯ* при
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
133
i^k. Покажем, что -ф-3i2 -ф- • • •)=>(9% -f-9is -f- • • •)• В самом деле, если (9^ -|- 9l2 -ф- ...) = (9t2 4- 9£3 + • • •)> то для любого элемента уг £ имеем у\ ~у% -ф- . . . -ф-ут> где у{ £ причем мы можем считать, что ут ф 0. Таким образом_уот =_У1—_у2 —. 	_yTO-i£(^i+  • -+^w-i)9
Следовательно, у^сЗ)^, чт0 невозможно, так как _ym9l является отличным от нуля 31-модулем в 5)фв, и потому _ут31 == 3?м. Таким образом, мы получаем включения
(^ + ^2 + ...)o(^2+9i34-...)=3...
В силу условия обрыва убывающих цепей, эта цепь имеет конечную длину, и, следовательно, первоначальная возрастающая цепь DJii cz 9Jf2 с... также конечна.
Теорема 25. Пусть 31 является полупростым Ф-кольцом^ а 9)?— таким ^-модулем, что при всех имеем х 1 = х. Тогда, если в 2R выполнено какое-либо из условий обрыва цепей для ^-подмодулей, то модуль $1 вполне приводим, и в нем выполнено и другое условие обрыва цепей. Каждый неприводимый модуль У[-изоморфен неприводимому правому идеалу кольца %. Число неизоморфных между собою ^[-модулей равно числу неприводимых двусторонних идеалов 31/ в разложении 9l = 3h®...®3l,.
Имеет место частичное обращение этой теоремы. Для того чтобы это доказать, нам нужно сделать следующие общие замечания. Предположим, что 9R является ^-модулем и что 33 является двусторонним идеалом в 3(, аннулирующим в том смысле, что xb = 0 для всех и всех Если мы обозначим смежный класс а-ф-33 через а, то очевидно, что функция ха ==. ха является однозначной функцией элементов х и а £ 31=31/93. Отсюда следует, что является 31-модулем относительно этого умножения. Очевидно, что 31-подмодули модуля 9)1 являются 31-подмодулями, и обратно, и что 31-приводимость, 31-разложимость и т. д. эквивалентны 31-приводимости, 31-разложимости и т. д.; нетрудно также видеть, что если 3)£ и являются двумя аннулирующимися идеалом 33 31-моду-
134
ГЛАВА 4
лями, то 21-гомоморфизмы и 21-изоморфизмы между НИМИ являются в то же время ЭХ-гомоморфизмами и 21-изоморфизмами, и обратно.
Пусть теперь 21 является Ф-кольцом, удовлетворяющим условию обрыва убывающих цепей для левых Ф-идеалов, a ЭХ— радикалом . кольца 21. Тогда для любого элемента х неприводимого 21-модуля ЭЛ хЛ будет подмодулем, и потому либо хЛ — 0, либо хЛ = ЭЛ. Если х!)Х — ЭЛ, то ЭЛ !== хЛ = хЛ2 = ...== 0. Следовательно, Л аннулирует модуль ЭЛ, и ЭЛ является 21-модулем, где ЭХ = 2X/SL Если 21 — 2X1 ф  т0 либо 2Л2Х — О, либо ЭЛ изоморфно некоторому правому идеалу, содержащемуся в одном из 21,;. Отсюда следует, что ЭЛ будет 2Х$-модулем. Подобным же образом, если ЭЛ является объединением неприводимых подмодулей^ то %Л==0 для всех х, и 9)1 будет ^.-модулем.
Теорема 26. Пусть ЭХ является Ф-кольцом, удовлетворяющим условию обрыва убывающих цепей для левых Ф-идеалов и пусть ЭЛ является таким %-моду-лем, что ЭЛ2Х ф 0. Если модуль ЭЛ неприводим, то ЭЛ будет ^-модулем, где через ЭЦ обозначен один из неприводимых двусторонних идеалов фактор-ко лъца 2Х ~ ЭХ/Л. Если ЭЛ является объединением неприводимых 21-жобу-лей, то ЭЛ будет ^.-модулем.
Другой формой этого результата является следующая
Теорема 27. Пусть 21 является отличным от нуля Ф-кольцом эндоморфизмов группы ЭЛ, причем в 21 выполнено условие обрыва убывающих цепей левых Ф-идеалов. Тогда, если группа ЭЛ неприводима, то кольцо 2( просто, а если ЭЛ является объединением неприводимых %-групп, то кольцо ЭХ полупросто.
В самом деле, в этом случае ЭЛ будет ЭХ-модулем, и представление кольца ЭХ в самом кольце 21 будет, очевидно, взаимооднозначным.
Предположим теперь, что ЭХ является любым кольцом эндоморфизмов группы ЭЛ, содержащим единичный эндоморфизм, и пусть 2Х = 2Х1ф.. .фЭХ{ будет разложением
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
135
кольца ЭД на двусторонние идеалы. Тогда 9К==ЖЭД14' 4*... 4~ 2W*, где Ш1ЭД* обозначает наименьший подмодуль, содержащий все элементы вида х«* при а*£ЭД*. Если 1 = lt 4- . . . где	т0 Ъ является еди-
ницей в кольце ЭД*, так как ЭД* — ЭД1 * = 1*ЭД. Следовательно, если	то xi\i = xi, и так как 1*1^ —О, то
х* 1= 0 при i ф j. Если xt -f-    + xt — 0, где х* £ Ш1ЭД*, то (Xj -j- •   г 4 =	= Xi — 0- Таким образом,
ад = Ш1ЭДгф...®^ЭД#.
Предположим снова, что кольцо ЭД полупросто, и пусть в модуле 9R выполнены оба условия обрыва цепей. Тогда ЗЯЭД* является объединением неприводимых подмодулей, каждый из которых изоморфен правым идеалам кольца ЭД*. Как мы видели в § 5, кольцо ЭД-эндоморфиз-мов модуля 2R имеет вид S3 = S3* ф .. . ф23*, где 331 состоит из эндоморфизмов, получаемых из ЭД-эндоморфиз-мов Z>* подмодуля 5^* = ЗЭДЭД* при помощи такого распространения их на весь модуль что 2Л*ду = 0 при Таким образом, ЭН* = Ш1®*. Если подкольцо ЭД* является кольцом матриц над телом, то и кольцо эндоморфизмов, индуцированных эндоморфизмами из ЭД в ®1*, имеет ту же структуру. Из наших результатов о кольцах матриц х) следует тогда, что если ЭД* = Р^, то ®* = Р^, где через р(д обозначено тело, обратно изоморфное телу Р®, и ЭД является совокупностью всех 53-эндоморфизмов модуля 9R.
Теорема 28. Пусть ЭД является полупростым Ф-кольцом эндоморфизмов модуля 5R, содержащим единичный эндоморфизм, и пусть в 2R выполнено одно из условий обрыва цепей для %,-подмодулей. Если ЭД = == Р% ф... ф Рп> > где Р'п. является двусторонним идеалом и Р(г) — телом, то кольцо ^-эндоморфизмов 53 имеет вид S3 =Р®®. • • ф , где Р^ является двусторонним идеалом и тело обратно изоморфно телу Р^\ 21 будет кольцом ^-эндоморфизмов модуля
(i См. главу 2, § 6,
136
ГЛАВА 4
13. Кольца, удовлетворяющие условию обрыва убывающих цепей. Из результатов предыдущего отдела вытекает интересная
Теорема 29. Если ЭД является Ф-кольцом с единицей, удовлетворяющим условию обрыва убывающих цепей для правых {левых) Ф-идеалов, то ЭД удовлетворяет также условию обрыва возрастающих цепей для правых (левых) Ф-идеалов.
Пусть St является радикалом кольца ЭД и (J?s’+3 =0. Si'4 ф 0. Тогда ЭД го St zd .. . =э Я?® гэ 0 является убывающей цепью ЭД-модулей (ЭДг-групп). Фактор-модули St/St, St/St2,... отображаются в нуль элементами из Si и, следовательно, могут рассматриваться как (ЭД/St)-модули. Так как кольцо ЭД удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей, то и фактор-модули ЭД/St, St/St3, .. . также должны удовлетворять этому условию. Так как кольцо ЭД = ЭД/St полупросто, и его единица является единичным эндоморфизмом в ЭД/St, Si/Si2, то эти модули удовлетворяют условию обрыва возрастающих цепей и, следовательно, облачают композиционным рядом. Например; ЭД/St =St — З-з 23 • • • => Sw == °? где фактор-модули t ЭД-неприводимы. Следовательно, ЭД = 31	. • о Sm =9i, где 3/ является правым
Ф-идеалом, отображающимся в 0 при гомоморфизме кольца ЭД на ЭД/St. По первой теореме об изоморфизме, модуль 1 ЭД-изоморфен модулю Зу/Зуы и, следовательно, он ЭД-неппиводим. Таким же образом получаем St=Xi =>.  	?)=Si2, где являются правыми ф-идеа-
лами, и факторы	неприводимы, и т. д. Следова-
тельно, ЭД обладает композиционным рядом, и поэтому для правых Ф-идеалов кольца ЭД имеют место оба условия обрыва цепей.
Эта теорема позволяет непосредственно применять наши результаты о кольцах эндоморфизмов к абстрактным кольцам. Таким образом, следствием доказанного в § 6 является следующая теорема.
Теорема 30. Если ЭД является Ф-кольцом с единицей, удовлетворяющим условию обрыва убывающих
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
137
цепей для левых {правых) Ф-идеалов, то любое его ниль-подкольцо 33 нильпотентно.
Рассмотрим кольцо 23 тех правых умножений в 21, которые соответствуют элементам из 23. Элементы из 23 будут 21г-эндоморфизмами. Следовательно, если s — длина композиционного ряда для 21г-группы 21, то bt...hs=zQ для любых элементов Ь1 из 23. Таким образом, xbt. .. ' bs = 0 для любого х£21 и <\-£23. Следовательно, 23s+I = 0.
Отметим также следующую теорему, непосредственно вытекающую из результатов § 8.
Теорема 31. Если 21 является Ф-кольцом, удовлетворяющим условию обрыва убывающих цепей для левых {правых) Ф-идеалов, то следующие свойства кольца 21 эквивалентны между собой:
1.	21 является прямой суммой 21{-(^г-) изоморфных между собой неразложимых левых {правых) Ф-идеалов.
2.	Фактор-кольцо 21/fft, где St является радикалом кольца 21, просто.
3.	21 = 23м, где 23 является вполне примарным кольцом.
Если какое-либо из этих условий выполнено, то 21 является примарным кольцом,
14.	Регулярные представления. Пусть 21 является произвольным Ф-кольцом с единицей, удовлетворяющим условиям обрыва убывающих цепей для односторонних идеалов. Предположим, что 21 — «ц21 ф . . . ф ем21 является разложением 21- в прямую сумму отличных от нуля правых идеалов,, причем
=	= если i=£j.	(4)
Если 31—-какой-либо нильпотентный двусторонний идеал кольца 21 и ei = ег ф- 3t, то в кольце 21 = 2l/3t имеем
= если i^j, (5)
и потому 21 — et 21 ф. - . ф е„2( является разложением кольца 21 в прямую сумму правых идеалов. Так как ^=£0,
138
ГЛАВА 4
то е$,	0. Мы хотим показать, что любое разложение
ЭД в прямую сумму правых идеалов может быть получено таким образом. Для этого нам нужна
Лемма. Если et, . . , ev являются отличными от нуля идемпотентными элементами кольца ЭД, для которых et e,j = 0 при i ф j, то возможно выбрать в смежных классах такие элементы eit что е$ — е^ и eiej ~ О*
Предположим, что для / = 1,.т уже определены элементы е^ с требуемыми свойствами. Выберем в em+i любой элемент и и образуем элемент v = и-—ей — т
— ие -}- еие, где е = У еР Тогда при i = 1, т имеем
1
ер) = vet = 0 и v = и (mod 9?). Следовательно, v2 = v -ф- г, где z является нильпотентным элементом, например, zs — 0. Очевидно, что zv — vz. Постараемся теперь определить элемент w =f(z) v ф-g(г) таким образом, чтобы ду2— ед и / (z) и g (г) являлись полиномами от z с целыми коэффициентами. Это приводит к рассмотрению уравнений
/24~2/g = /, g*-\-pz = g.	(6)
Мы решим сначала эти уравнения при помощи степенных рядов от неизвестного t. Исключая g, мы получаем __________________1	1
/ (f) = (1 ф-40 2 и^(0=2- [1—/(0]. Рассмотрим
теперь разложение функции / (0 = (1 ф- 4/) 3 . Нетруд-дно видеть, что
/(0 = 1 + 2 (—О” i2" .
\ /г /
и таким образом все коэффициенты в разложениях для f (0 и g (f) являются целыми числами. Формальные тождества
I/ (01’ + 2/(0 g (0 = f (0.	(01’ + 1/ (01 °-1 = g (0
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
139
выполнены. Отсюда следует, что если f8 (f) и gs (/) являются s-ми частными суммами рядов соответственно для / (г) и g (/), то функции /=Д (г) и g = gs ® удовлетворяют уравнениям (6). Следовательно, w=fv-irg является идемпотентным элементом. Так как eiv = vei = О, то •wei — eiw — 0. Формула, полученная нами для w, показывает, что w == *v (mod 9t) и, следовательно, w = и (mod 5R). Таким образом, w может служить элементом еот+1, и по индукции лемма доказана.
Замечание. Вышеприведенное доказательство сохраняет силу и в случае, когда алгебра 51 не содержит единицы. В самом деле, мы можем присоединить к единицу и строить вышеуказанным образом идемпотентный элемент ет+1, начав с элемента м(Д. Нетрудно видеть, что тогда И ^m+1 С ЭД’ ______	_
Если в лемме 2 ei = 1 > то 2 et= 1 Ч-У> где .У € Так как 2 е* является идемпотентным элементом, то (1 ф ф_у)2 = 1 Следовательно, _у2-1-у = О. Таким образом у — —у? = у3 = . .. = 0 и потому 2 ei = 1 • Отсюда следует, что если 51 = ^/ЭДф •• -ф^ЭД является разложением 51 в прямую сумму отличных от нуля правых идеалов, причем элементы удовлетворяют условиям (5), то 51 — г?Д ф... ф е?Д, где элементы ei £ ei удовлетворяют условиям (4). Из леммы и из теоремы Крулля-Шмидта следует также, что идемпотентные элементы примитивны тогда и только тогда, когда примитивны элементы е,-ь. Таким образом, идеал сД неразложим тогда и только тогда, когда неразложим идеал еД. Если 9? является радикалом кольца 51, то фактор-кольцо 51 полупросто, и, следовательно, идеал ^51 неразложим тогда и только тогда, когда он неприводим. Нами доказана тем самым
Теорема 32. Пусть 51 является Ф-кольцом с единицей, удовлетворяющим условиям обрыва убывающих цепей для односторонних идеалов, и пусть (Л — его радикал. Если 51 = е Д ф... ф гД, где элементы ei удовлетворяют условиям (4), то 51 s=5lД ~ еД'ф.. • фегД.
140
ГЛАВА 4
Идеал eflt неразложим тогда и только тогда, когда идеал лД неприводим.
Рассмотрим модуль == е$ = *?ЭД, <? = ^-ф-Так как ЭД ——е)ЭД, то определенные этим разложением проекции Е и Е' являются левыми умножениями соответственно на элементы е и е' == 1—е. Так как ЭДг является кольцом ?(г-эндоморфизмов аддитивной группы кольца % (см. § 4), то Е%гЕ является кольцом ^-эндоморфизмов Ж. Таким образом кольцо ЭДг-эндоморфизмов модуля 2R обратно изоморфно кольцу е%е. Следовательно, согласно § 8, еД и г?Д ЭД-изоморфны тогда и только тогда, когда кольцо е%е примарно. Но
eKejffi п е%е) (еЭДе -{- 9?)/9t = ё % 7 , и кольцо е%е обратно изоморфно кольцу ^-эндоморфизмов модуля ЙК = е 51. Так как модуль ШС вполне приводим, то кольцо еЭДе полупросто. Отсюда следует, что 9i f| е%е = е$1е и е9?е, которое, очевидно, содержится в радикале кольца еЭД<?, совпадает с этим радикалом. Следовательно, кольцо е^{е примарно тогда и только тогда, когда кольцо сЭДе просто, и нами получена поэтому следующая
Теорема 33. Пусть 51, ЭД и т. д. имеют тот же смысл, что и в предыдущей теореме, и идемпотентные элементы ег .примитивны, ^{-модули йД и еД ЭД-изо-морфны тогда и только тогда, когда еД и еД ^[-изоморфны.
Так как = йД Q 91, то ЭД-модуль йД/йД изоморфен модулю (еД -ф Я) /9?. Этот последний является, в сущности, ЭД-модулем йД. Следовательно, модуль йД/йД неприводим, и потому йД является максимальным подмодулем модуля еД, а йД будет первым композиционным фактором модуля йД. С другой стороны, если 9ЭД— максимальный подмодуль модуля йД, то фактор-модуль йД/'Д неприводим, и потому этот модуль аннулируется радикалом 91. Отсюда вытекает, что еДс:>Д и, следовательно,
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
141
еД = ЭК. Таким образом, еД будет единственным максимальным подмодулем 91-модуля еД. Это составляет первую часть следующей теоремы.
Теорема 34. Если. 3 является неразложимым правым идеалом, встречающимся в прямом разложении кольца 91, то существует только один максимальный в 3 правый идеал кольца 91. Если 3 и 3' — неразложимые правые идеалы, встречающиеся в прямых разложениях кольца 91, то для того, чтобы идеалы 3 и 3' были ^-изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы их первые композиционные факторы были ^-изоморфны.
Вторая часть этой теоремы следует из теоремы Крулля-Шмидта и из теоремы 33. В самом деле, по первой из них идеал 3 91-изоморфен одному из правых идеалов 3i> встречающихся в том прямом разложении 91, в которое входит 3’- По теореме 33 идеалы 31 и 3' изоморфны тогда и только тогда, когда их первые композиционные факторы изоморфны. Следовательно, это же имеет место и для идеалов 3 и 2/-
Для того, чтобы получить связь между разложением кольца 91 в прямую сумму неразложимых правых идеалов и разложением его в прямую сумму неразложимых двусторонних идеалов, нам нужна следующая
Лемма. Пусть 31 и 31' являются ^-модулями, обладающими композиционными рядами. Предположим, что 3t обладает только одним максимальным подмодулем ЭК и что 31 ^[-гомоморфно отображается на подмодуль 3i* модуля 36. Тогда любой композиционный ряд модуля ЭГ содержит 31-изоморфный модулю 31)3)1 фактор.
Отметим сначала, что любой истинный подмодуль 3 модуля -Jt содержится в ЭК. В самом деле, фактор-модуль SR/З содержит максимальный подмодуль 59ii, и соответствующий ему подмодуль 5Kt модуля 31 является максимальным и содержит 3- Так как ЭК — единственный максимальный подмодуль модуля Э?, то ЭК = ЭК1. Пусть теперь 3 будет подмодулем, состоящим из элементов, отображающихся
142
ГЛАВА. 4
в 0 при гомоморфном отображении модуля 3? на Тогда модуль ЭД-изоморфен фактор-модулю 3t/3- Так как (3?/3)гэ(2)1/3)5^> т0 W3 обладает композиционным фактором (%/3)/(^/3), который ЭД-изоморфен фактор-модулю Следовательно, ЗТ!;, а тогда и 3t', обладает композиционным фактором, ЭД-изоморфным
Ограничимся теперь только такими неразложимыми идеалами кольца ЭД, которые встречаются в прямых разложениях кольца ЭД. Они имеют всегда вид еЭД, где е является примитивным идемпотентным элементом. Наоборот, всякий идеал такого вида неразложим и принадлежит некоторому прямому разложению кольца ЭД. Мы будем говорить, что два таких идеала еЭД и е'ЭД принадлежат одному и тому же блоку, если существует последовательность таких неразложимых идеалов <?ЭД = сдЭД, е2ЭД, . . ., £ЙЭД = е'ЭД, что е^ = ei и каждый идеал еД обладает композиционным фактором, ЭД-изоморфным одному из композиционных факторов идеала ^+1ЭД. Это отношение между идеалами еЭД и а'ЭД обладает, очевидно, всеми свойствами эквивалентности. Последовательность идеалов {еД) называется последовательностью, связывающей идеалы йЭД и е'ЭД. При этих определениях мы имеем следующую теорему.
Теорема 35. Пусть ЭД = ЭД1ф...фЭД# является разложением кольца ЭД в прямую сумму неразложимых двусторонних идеалов. Два неразложимые идеала е% и е'ЭД принадлежат одному и тому же блоку тогда и только тогда, когда они содержатся в одной и той же компоненте ЭДг. Следовательно, ЭД.г- является объединением множества неразложимых идеалов еЭД, принадлежащих к одному и тому же блоку.
Мы видели в § 9, что любой неразложимый идеал содержится в одном и только одном идеале ЭД^. Если идеалы еЭД и е'ЭД принадлежат одному и тому же блоку, то они содержатся в одной и той- же двусторонней компоненте. В самом деле, предположим, что еЭД и е'ЭД лежат в различных компонентах, скажем, соответственно в ЭД! и ЭДд. Если h является единицей в ЭД1, то (еЭД) 11 = й
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
143
и (е'ЭД) 11 = 0, а потому еЭД не обладает композиционными факторами, ^-изоморфными какому-либо из композиционных факторов е'ЭД. Таким образом, если {«?$ЭД) является последовательностью, связывающей идеалы еМ и е'ЭД, то каждая пара е$, и	содержится в одной и той же
компоненте, что остается поэтому справедливым и для идеалов еЭД и е'ЭД. Если идеалы и е'ЭД принадлежат различным блокам, то еЭДе'ЭД = 0. В противном случае, найдется элемент Ь — еае'фО, и тогда левое умножение, определенное элементом Ь, будет ЭД-гомоморфизмом междуеД и отличным от нуля подмодулем модуля еЭД. Следовательно, в силу леммы, как е'ЭД, так и еЭД обладают, вопреки предположению, композиционными факторами, изоморфными е ?(. Пусть теперь ЭД^еДф. .. фемЭД является разложением кольца ЭД в прямую сумму отличных от нуля неразложимых правых идеалов. Предположим, что элементы е$ удовлетворяют условиям (4). Пусть идеалы егЭД, ..., е.П]ЭД принадлежат к одному блоку, идеалы еИ1+1ЭД, ..., принадлежат также к одному блоку, но отличному от блока, содержащего идеал еД, и т. д. Положим 231 = = бД ф • • • ф	= eni+-t • •©	•  • Тогда
еДе$ЭД = 0 при Z^/Zi и j > пх. Следовательно, ЭД(«?$ЭД)£ ^231 (е$ЭД) с: 231, и SBi является двусторонним идеалом. Подобно этому каждый из идеалов 23$ будет двусторонним и, так как 23$ представляет собою объединение идеалов одного и того же блока, то он содержится в одном из ЭД8. Следовательно, мы можем считать, что 23t = 2li, .... 23$ = ЭД$. Предположим теперь, что идеалы еЭД и е'ЭД принадлежат к различным блокам. Мы можем считать, что еЭД = $?1ЭДс:ЭД1. Как мы видели, е$ЭДе'ЭД=0 при Следовательно, найдется такое j > «1, что еДе'ЭД 0, и потому еД и е'ЭД лежат в одной и той же компоненте, т. е. еЭД и е'ЭД принадлежат разным компонентам.
Полученный выше результат справедлив, конечно, и для левых идеалов. Следующая теорема дает связь между прямыми разложениями на правые и на левые идеалы.
Теорема 36. Если ЭД = С1ЭДф.. .феД, где эле~ менты e,t удовлетворяют условиям (4), то ЭД = ЭДе1ф
144
ГЛАВА 4
ф... ф Идеал неразложим тогда а только тогда, когда неразложим идеал 0$.. Если идеалы. гД и еД неразложимы, то они ^-изоморфны тогда и только тогда, когда идеалы Ые{ и ^[-изоморфны.
Первая часть этой теоремы очевидна, так как условием неразложимости в обоих случаях является примитивность идемпотента Для того, чтобы доказать вторую часть, предположим сначала, что кольцо )( полупросто. Тогда для того, чтобы идеалы и еД были изоморфны, они должны лежать в одном неприводимом двустороннем идеале 33 кольца 31. Так как гДссЧ) тогда и только тогда, когда 31г, с Q), то теорема в рассматриваемом случае справедлива. В общем же случае она вытекает из теоремы 33.
Отметим, что нам удалось получить обобщение всех основных теорем о структуре полупростых колец, за исключением теоремы, устанавливающей обратный изоморфизм между структурой левых идеалов и структурой правых идеалов. Класс колец, в которых имеет место эта теорема, явился объектом весьма интересных исследований Накаямы. Мы отсылаем читателя к его работам ([10], [14]) по этим вопросам.
15.	Кольца главных идеалов. В этом и следующем параграфах мы покажем, следуя Асано, что основные результаты главы 3 справедливы для колец главных идеалов, в которых выполнены условия обрыва убывающих цепей для односторонних идеалов. Эти результаты будут играть важную роль в мультипликативной теории идеалов, которую мы рассмотрим в главе 6.
Под кольцом главных идеалов мы понимаем здесь кольцо с единицей, в котором каждый левый идеал является главным левым идеалом и каждый правый идеал является главным правым идеалом. Ради простоты предположим, что множество Ф эндоморфизмов пусто. Докажем сначала следующую теорему.
Теорема 37. Если в кольце с единицей ?(, удовлетворяющем условиям обрыва убывающих цепей для односторонних идеалов, каждый двусторонний идеал
СТРУКТУРА КОЛЕИ ЭНДОМОРФИЗМОВ
145
является главным правым и главным левым идеалом то кольцо 9( будет прямой суммой двусторонних идва лов, каждый из которых является примарны и кольцом обладающим теми же свойствами, что и кольцо 91.
Пусть 911 будет минимальным ненильпотентным двусторонним идеалом кольца 91. Тогда при соответствующих элементах с и с 9(1 — 91с = с'9( и 9(с2 = (сД-9( является содержащимся в 9(i двусторонним идеалом кольца 91. Так как (9(c)2 —91(с90с<^9((йс)с —9(с“, то идеал 9(с2 не является нильпотентным. Следовательно, в силу минимальности 9(1., имеем 9(с- = 9(с = с'9( = (с')29(. Так как условие обрыва возрастающих цепей имеет место в 9(1, если рассматривать его как 9Д-группу, то 9(г-эндоморфизм х->хс взаимооднозначен в 911. Следовательно, единственным элементом z из 9(1, для которого zc = 0, является z = О Таким образом, если обозначить через 91* совокупность таких элементов а1- £ 91, что a :'c = Q, то 91* будет левым идеалом, причем 9(* f] 9(L = 0. Для любого элемента х кольца 91 найдется такой элемент у, что хс=уД. Следовательно, х = (х—ус) Д-_ус£9(* Д- 91п и потому 9(=9(1©9Г*. Таким же образом получим, что 91 = 9(1(Д 91", где 9Г будет правым идеалом, состоящим из таких элементов а", что с' cl' = 0. Если cl' является произвольным элементом из 91", то а” = Д- а*, где Д 9(t и а* £91*. Тогда О — cra" — ca-i Д-с'а*£9(1ф9(* и cat = 0. Следовательно, <Zi = 0 и а" = ц*£9(*. Таким же образом, если ад£9(*, то д:*£9(", и потому 91* = 91" является двусторонним идеалом. Отсюда следует, что идеал 9(t примарен. В противном случае в 9(1 найдется ненильпотентный двусторонний отличный от 9(1 идеал 9Д, что противоречит минимальности идеала 9U. Для того, чтобы закончить доказательство, нам понадобится
Лемма. Пусть 91 является кольцом с единицей, а 9( = 9(1ф... ф9(г—разложением его на двусторонние идеалы. Для того, чтобы каждый правый (левый, двусторонний) идеал кольца 91 был главным правым (левым, левым и правым) идеалом, необходимо и достаточно, чтобы это имело место в каждом из идеалов 9(<.
Ю Зак. 748. Н. Джекобсов.
146
ГЛАВА 4
Если Si является правым идеалом в то Он будет и правым идеалом в ЭД, так как ЭДД;=0 при ij:j. Следовательно, так как ^£ЭДО то Si = ^$ ==	С ДРУ’
гой стороны, любой правый идеал S кольца ЭД имеет вид S = S1(D- • .©Si, где 3i = ^nS является правым идеалом кольца ЭДг. Если Si ~ с/ЭДг, где c^Si, то S = = Г1ЭД1 © . • • Ц-сД^=сЭД, причем элемент с = Ci Ц- .. . -j- ct лежит в S.
Из этой леммы вытекает, что определенные выше кольца ЭД1 и ЭД* удовлетворяют тем же самым условиям, что и кольцо ЭД. Если кольцо ЭД* не примарно, то мы можем повторить этот процесс и получить разложение ЭД* = ЭД3©ЭД"> где ЭД2 и ЭД" являются двусторонними идеалами кольца ЭД' и, следовательно, кольца ЭД, причем идеал ЭД2 примарен. После конечного числа повторений этого процесса мы получим ЭД = ЭД; © . .. ф ЭД(, где идеалы ЭД7 примарны и удовлетворяют условиям теоремы.
Теорема 38. Пусть ЭД.==93Н, где 33— вполне при-марное кольцо, и ЭД удовлетворяет условиям обрыва цепей для односторонних идеалов. Предположим, что радикал 31 кольца ЭД является главным правым идеалом и главным левым идеалом. Тогда для любого элемента w, принадлежащего 91 f) 33, но не принадлежащего 312 А 93, имеем 91 = даЭД = ЭДду.
Если 91 fl 33 = ® и eljfj являются такими матричными единицами, что ЭД = 2^23 и е^Ь = Ьг^ для 6£33, то 91 = 2©®- Тогда З!* = и = 91fe [") 93. Отметим далее, что если и и о являются такими элементами кольца ЭД, что «ц=1 (mod 91), то uv—1—г, где r©3i, и, следовательно, если Н = 0, то цц (1г © г2 © • •  . . . ф — ио — 1. Очевидно, что ц =s w (mod 91). Так как ЭД/31 является кольцом матриц над телом, то и vu~ 1 (mod 31). Следовательно, найдется такой элемент о', что б и = 1 и б == о (mod 91). Отсюда следует, что б —о, и и является обратимым элементом, обратным для которого будет элемент о.
Структура колец эндоморфизмов
147
После этих предварительных замечаний мы можем перейти к доказательству теоремы. Пусть та £ (5, но таг 4 S’-Тогда w = ги, где 91 = г$1. Будем рассматривать элемент и по модулю 91. Так как 9l/9t является кольцом матриц над телом, то существуют такие обратимые по модулю 91 элементы г»х и v2, что ц = (mod 91), где ₽в = 2е«-1
Мы можем считать, что элементы z>1 и v2 обратимы в самом кольце 91. Таким образом, и — viesva -|- г, где г £ 91 и та = г (x»ieeva -j- г), тац^-1 = (г^) es	Сле-
довательно, таг» Г1 = (zUi) es (mod 9i2). Если мы представим таг»^-1 как 2 где ®»;С23, т0 из доказанного следует, что при j>s элементы та^ лежат в ®2. Если = —	где т0 ПРИ J>s каждый из элементов
Vij лежит в ®. В противном случае элемент был бы обратим, и так как wtj = то мы получили бы, что, вопреки нашему предположению, та £ ®2. Мы доказали поэтому, что^-sO (mod®) при j>s. Так как элемент г* обратим по модулю 9t, то это невозможно, за исключением того случая, когда s = n, т. е. когда и =г-^^(mod 91). Так как элементы vL и v2 обратимы, то отсюда следует, что и элемент и также обратим, и 9t = zty = = та$1. Подобно этому показываем, что 91 = 91та.
Теорема 39. При предположениях предыдущей теоремы идеалы ®*, £ = 0,1,..., (®° — 25) являются единственными правыми (левыми) идеалами в кольце SB, идеалы 91*— единственными двусторонними идеалами кольца 91, и ®* будет главным правым (левым) идеалом.
Пусть b является любым отличны и от нуля элементом кольца SB. Если то элемент b обратим. Предположим теперь, что но Ь(£ ®*+1,£>0. Тогда b £ 91*, но 6^91*1’1 и, следовательно, й = та*м, где та£®, но та (£ ®2. Если мы представим и в виде м = 2 eijaip то < получим, что b = •w^u^ и w^Ufj = 0. Следовательно, мы можем заменить элемент и элементом uz = ии и получить,
10*
148
ГЛАВА 4
что Z>==w/c«i, где «i£23. Тогда элемент их обратим. Рассуждая подобным же образом, мы можем доказать, что b = где элемент и} обратим в 23. Если теперь b является произвольным элементом из<5*, то найдется такое /)>А, ЧТО Ь£&, НО + И ПОТОМУ 6 — U>'h2 = где с £23 и, подобно этому, b — cw^, где с £23. Итак, мы доказали, что & = W&23 == 23-кА Пусть теперь является правым идеалом в кольце 23. Предположим, что 3 но	и [,УСГ1> b является элементом из идеала
не лежащим вфы-1. Тогда b — ’W^u^ где элемент и{ обратим. Следовательно, -wfc£^ и = Так как любой двусторонний идеал 23j кольца 21 имеет вид S etj^, где 3 является двусторонним идеалом кольца 23, то 23 j должен быть одним из идеалов 2 eij^k == 3ti:.
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 40. Если 23 является кольцом главных идеалов, то и 2( = 23м, кольцо матриц над 23, также является кольцом главных идеалов.
Пусть $ обозначает свободный 23-модуль с и образующими. Элементами модуля 3 являются последовательности из и элементов (bY, ... , bu), где ^£23. Сопоставим с любым правым идеалом кольца 21 множество ЗцЗ) элементов модуля которое состоит из столбцов матриц, входящих в идеал 3- Очевидно, что ^(5) является подмодулем модуля § и потому, в силу доказанного на стр. 86, 3(3) имеет т(-^и) образующих. Пусть этими образующими являются элементы (Z^-, b2j,   • , buj)’ j~ = 1, ... m, и пусть Zr является матрицей (Z^), где bij — = 0 при j~>m. Докажем, что у = Заметим для этого, что если с = 2%%’ является элементом идеала 3, то и сер<1 также лежит в X причем <?-ым столбцом матрицы сер(1 будет р-ый столбец матрицы с, а все остальные ее столбцы состоят из нулей. Так как столбцы матрицы b встречаются в матрицах из 3- т0 матрицы ^e^bij входят в 3 при j = 1, .. . , и и, следовательно,
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
149
=	также лежит в 3- «3 матриц Ьем содержат
*, j
столбцы матрицы b на всех возможных местах, и, так как эти столбцы образуют базис модуля $ (3), то любой элемент из 3 имеет вид bv при подходящем выборе элемента ^£31. Подобные же рассуждения справедливы и для левых идеалов.
Пусть теперь 31— любое примарное кольцо с единицей, в котором выполнены условия обрыва убывающих цепей для односторонних идеалов. Предположим, что радикал кольца 31 является главным правым и главным левым идеалом. Тогда, по теореме 39, 31 = 33а, где 33 — вполне примарное кольцо главных идеалов. Следовательно, по теореме 40, кольцо 51 само будет кольцом главных идеалов.
Теорема 41. Если в примарном кольце 51, удовлетворяющем условиям обрыва убывающих цепей односторонних идеалов, радикал ЭТ является главным левым и главным правым идеалом, то 31 является кольцом главных идеалов.
Из этой теоремы и из теоремы 37 вытекает
Теорема 42. Если в кольце с единицей 31, удовлетворяющем условиям обрыва убывающих цепей односторонних идеалов, каждый двусторонний идеал является главным левым и главным правым идеалом, то 31 является кольцом главных идеалов.
16.	Модули над кольцом главных идеалов. Мы хотим определить структуру 31-модулей с конечным числом образующих, если кольцо 31 имеет вид, описанный в § 15. Как обычно, мы предполагаем, что х1~х для всех х из модуля £0£, где через I обозначена единица кольца 31. Так как 31 = 31х ©... ф 31,. то ЭД = ЭД31 j Ф... ® ЭД^. Далее,
= 0 при i ф j, и, следовательно, З^-подмодуль из ЭД31»-является 31-подмодулем и 31^-изоморфизм подмодулей из подмодуля ЭД31,- влечет за собой их 31-изоморфизм. Следовательно, мы можем считать, что t= i, т. е., что кольцо 31 примарно. Рассмотрим сначала случай, когда кольцо
150
ГЛАВ А 4
ЭД = 23 вполне примарно. Тогда, если <5 является его радикалом, и -ш £ <3, но ад <$2, то, как мы видели, каждый элемент из 23 имеет вид uwk = ад^а', где элементы а и и' обратимы. Следовательно, если (йу) является матрицей из 23т, то мы можем при помощи элементарных преобразований (стр. 83—84) привести ее к диагональной форме. Таким образом, существуют такие обратимые элементы ир и к2 из 23т, что
адЬ1 ад^’»
“1 (aij)
О
о
где 0	< k2 < ... < Z, если & = 0, и &-1 ф. 0. Как
мы видели в главе 3, отсюда следует, что любой 23-модуль с конечным числом образующих разлагается в прямую сумму циклических 23-модулей, изоморфных 23-модулям 23/ад*23 = = 23/<5fc. Так как отображение х -> адг-лх является 23-гомоморфизмом между 23 и отображающим элементы из <&к, И ТОЛЬКО их, В нуль, ТО ф-к и 23/<5fe изоморфны. Но кольцо &-к неразложимо, ибо в противном случае мы имели бы = где были бы правыми отличными от нуля идеалами из 23, что невозможно, так как каждый из идеалов является степенью идеала <3. Таким образом, и циклические модули 23/ад*23 неразложимы.
Пусть теперь ЭД==23М = где 33 —вполне при-марное кольцо главных идеалов. Если 9JI является некоторым ЭД-модулем, с образующими хх, ха, ... , хп, то образующими элементами Ш1, рассматриваемого как 23-модуль, будут элементы х^к. Таким образом 2R имеет конечное число образующих относительно 23. Множества
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
151
ЭКе^ являются 33-модулями, так как eub = beit для всех b £ ЗВ, и эти модули 33-изоморфны, ибо, как легко проверить, соответствие х -> хец является 33-изоморфизмом между и ЭКе^-. Очевидно, что ЭК = 9Кеп ф ... ф ФЭКемм. Рассмотрим подмодуль 2К₽П. Так как 33 является кольцом главных идеалов, то ЭКеи является 33-модулем с конечным числом образующих. Следовательно, по нашему предположению, мы можем написать: ЭК(?П = ЭК® © ... ф ф ЭК®, где ЭКСЯ является 33-модулем, порожденным элементом у^. В силу отмеченного изоморфизма, мы имеем ЭКе^ — ЭКФеи®. . . ФЭК®е^, где модуль ЭК^еи цикличен и порождается элементом у^ц- Отсюда следует, что элементы являются образующими элементами модуля 3)1 относительно 21. Предположим теперь, что ф-... -f--^-yrar — 0 при =	Так как у^п =Уу, т0 мы
имеем:
О =	~г~ • • • Н~Ув^ц^в) брр==
=	 • • 4~ У.^1р)е1р> р=1,2, ...
Отсюда следует, что = 0 и, следовательно, ygag — 0. Таким образом, ЭК — (уф ф.. . ф (yg), где через (у?) обозначен циклический 31-модуль, порожденный элементом у^. Тем самым доказана
Теорема 43. Если 21 является кольцом главных идеалов, удовлетворяющим условиям обрыва убывающих цепей односторонних идеалов, то каждый ^-модуль с конечным числом образующих является прямой сум-мой циклических ^-модулей.
Наши рассуждения показывают также, что если 2R является неразложимым 31-модулем, то ЭКа^ является неразложимым 33-модулем. В самом деле, если ЭКеи = ЭК' Ф ФЭК", то мы можем разложить ЭК' и ЭК" на циклические модули ЭК®, ] = 1, 2, . ., , g, g^>2, и тогда получится разложение ЭК на g циклических 21-модулей. С другой стороны, предположим, что 2Кец является неразложимым 23-модулем. Если ЭК = ЭК'ФЭК", то мы можем записать, что ЭК' = ЭК'еи ®. .. Ф ЭК'еигр ЭК" * ЭК"еп ф. . . ф ЗЛ%И
152
ГЛАВА 4
и получить прямое разложение модуля 5)1 на 2« компонент. Однако, так как 5К — 5>len Ф.. .	и модули
неразложимы, то мы приходим к противоречию с теорией Крулля-Шмидта.
Если 5)? = (У() является неразложимым ©„-модулем, то можно предположить, что ууи =_у, и что yt порождает неразложимый ©-модуль. Тогда, рассматривая множество элементов а из 5t = 5%, аннулирующих элемент yt, получаем, что (^Д 51-изоморфен 51/^, где 3 обозначает правый идеал, порожденный элементами е^ при z>l и элементами е^.уМк Если мы применим 5(-гомо-морфизм хе^уУ-Ьх, то сможем доказать, что модуль 51/3 и, следовательно, Су,) изоморфен идеалу
Теперь так же, как и в главе 3, назовем границе!} некоторого 51-модуля 5)? двусторонний идеал кольца 51, состоящий из таких элементов d, что xd = 0 для всех х £ УЯ. Для модулей граница может обращаться в нулевой идеал. Легко видеть, что границей (_уД (или	является
Следовательно, если кольцо 51 примарно, то для того, чтобы два неразложимых 51-модуля были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы они обладали одинаковыми границами. Из разложения 5К = 5R5ll © . . . ©5J?5^ видно, однако, что этот результат справедлив для произвольных колец главных идеалов 51 и, наконец, по теореме Крулля-Шмидта, мы получаем следующий общий критерий:
Теорема 44. Если 51 является кольцом главных идеалов, то для 51-изоморфизма двух ^-модулей с конечным числом образующих необходимо и достаточно, чтобы совокупность границ неразложимых компонент, которые встречаются в разложении одного из модулей, совпадала с совокупностью границ, встречающихся при разложении другого модуля.
Большинство результатов главы 3 может теперь быть доказано для рассматриваемых здесь колец. Упомянем, например, следующую теорему, которая нам позже понадобится.
Т е о р е м а 45. Если является неразложимым 51-.мо-дулем и Q — его границей, то 5( = 5l/Q является при-
С1РУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
153
мирным кольцом. Если е является показателем радикала кольца ЭД, то ЭК имеет длину е. Неразложимый ^{-модуль обладает только одним композиционным рядом.
Доказательство предоставляется читателю.
Отметим, что если о является произвольной областью главных идеалов, а 3 — отличным от нуля двусторонним идеалом кольца с, то будет кольцом главных идеалов, в котором выполнены оба условия обрыва цепей односторонних идеалов. Следовательно, если - ограниченный р-модуль в смысле главы 3 и —граница для ЭК, то ЭК будет (f ^-модулем, и потому результаты, касающиеся ограниченных о-модулей, являются следствиями развитой нами сейчас теории. Впрочем, проще обратиться к результатам главы 3.
17.	Проективные и аффинные представления группы. В заключение этой главы мы рассмотрим некоторые приложения развиваемой до сих пор теории. Мы начнем с проблемы представлений групп.
Хорошо известно, что проективное пространство размерности («--1)^-3 может рассматриваться как система одномерных подпространств { ха } соответствующим образом выбранного «-мерного векторного пространства ЭК над телом Ф. й-мерные подпространства в ЭК соответствуют (k—1)-подпространствам в Известно также, что коллинеации, или, как их иначе называют, проективные преобразования пространства т. е. сохраняющие инцидентности взаимнооднозначные преобразования пространства индуцируются невырождающимися полулинейными преобразованиями прос1ранства над Ф. Два полулинейных преобразования 7\ и Т2 дают один и тот же результат в ф тогда и только тогда, когда Т< = Т2 у, где у £ Ф. Полная проективная группа изоморфна поэтому 'S/Ф*, где через <5 обозначена группа новырождающихся полулинейных преобразований, а через Ф* — совокупность отображений вида х ху, где у yt 0 и лежит в Ф Ч.
!) Так как здесь групповая опе рация обозначаемся как умножение, то мы будем употреблять термины произведение, степень и т. д.
154
ГЛАВА 4
Напомним также, что коллинеации, которые порождаются перспективами, являются единственными коллинеациями, для которых соответствующие полулинейные преобразования индуцируют внутренние автоморфизмы в Ф. Мы будем называть такие коллинеации специальными.
Рассмотрим следующую проблему: Даны группа g = (l,s, t, ..,) и проективное пространство определить гомоморфные отображения $ в группу коллинеаций пространства ^5. Такие гомоморфизмы называются проективными представлениями группы д. Два представления s-+c8 и a -> da называются эквивалентными (строго эквивалентными), если существует такая коллинеация (специальная коллинеация) «-»«', что (ис^' ~ u'ds, или, если обозначить и -»• и' через /, ds = f~lc8f.
Если перенести это на пространство 2R, то мы получим следующую формулировку: Проективное представление группы g соответствует такому отображению s-+ Т8, где Т8 является невырожденным полулинейным преобразованием в 5)?, что
TaTt = T'st?S,tl ?3,t С Ф»
Если $ обозначает автоморфизм тела Ф, определенный преобразованием Т8, то
ts t — р-1 tstr
’	• S.t * I 8,t
(8)
для всех $ £ ф. Таким образом, (называя фактор-группу группы всех автоморфизмов тела Ф по нормальному делителю, состоящему из внутренних автоморфизмов, группой внешних автоморфизмов тела Ф), мы видим, что соответствие s -* s определяет гомоморфное отображение группы g на подгруппу группы внешних автоморфизмов тела Ф. Отсюда следует, что подмножество 1), состоящее из тех элементов h группы д, для которых Th является специальной коллинеацией, является нормальным делителем группы д. Множество р — {} мы будем называть системой факторов представления. Из ассоциативного закона вытекают условия:
Ре, (иPt, и ~ Pet, u?8,t’	(9)
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
155
Проективные представления s -> Т8 и s -> Us эквивалентны, если существует такое невырождающееся полулинейное преобразование А, автоморфизмом которого является а, и элементы что
и, = а-‘	‘ (Т, <;-) А.
Мы получим строгую эквивалентность, если преобразование А может быть выбрано линейным. Если s' является автоморфизмом, определенным преобразованием Us, a8,t— —системой факторов представления Ust то мы получаем необходимые условия для эквивалентности:
s’^a-'sa^	=	(Ю)
где в первом равенстве р8 обозначает внутренний автоморфизм £рг-Чр-д. Необходимыми условиями для строгой эквивалентности являются
s' = s^> ^,# = ^74.^^-
(11)
Если тело Ф коммутативно, то единственным внутренним автоморфизмом является тождественное отображение. Следовательно, соответствие у -> у будет гомоморфным отображением группы fl на подгруппу группы автоморфизмов поля Ф. Строго эквивалентные представления обладают одинаковыми автоморфизмами в Ф.
Важный класс проективных отображений образуют отображения, для которых система факторов имеет вид ps f=l, В этом случае мы имеем T8t=TaTt, и соответствие s->s является гомоморфизмом. Мы назовем представления такого типа аффинными представлениями и будем определять эквивалентность двух таких представлений условием Ua = A~lTsA, где А является линейным преобразованием (т. е р8 =1). Наконец, мы можем наложить добавочное условие, предположив, что s является тождественным автоморфизмом для всех s. Тогда Т8 будет линейным преобразованием. Если при
156
ГЛАВА 4
этом тело Ф коммутативно, то мы получаем классический случай, которому посвящена весьма обширная литература.
В дальнейшем будем предполагать, что группа Д конечна. Пусть г является ее порядком и р характеристикой Ф. Мы хотим доказать следующую теорему.
Теорема 46. Если р{г*\ то любое проективное представление группы q вполне приводимо.
Под полной приводимостью мы понимаем полную приводимость ЗЭД относительно множества эндоморфизмов {Ф, Г15 Tg,Пусть ЭД является подпространстьом пространства инвариантным относительно всех преобразований Гя, и пусть ЭД*— его любое дополнительное подпространство, т. е. пусть ЗЭД = ЭДрР!ЭД*. Мы хотим показать, что можно выбрать ЭД* таким образом, чтобы оно также было инвариантно относительно всех преобразований Т8. Если х £ ЭД, то мы можем представить его в виде х = у4~ф*, где и у*£ЭД*. Отображение т-->у —.1'6, определенное этим разложением, является тогда таким идемпотентным линейным преобразованием, что 9)iD = 91. Но любое линейное преобразование, отображающее в ЭД и являющееся тождественным преобразованием в ЭД, идемпотенгно. Следовательно, если преобразования £)п . .., Dm обладают этим свойством, и р / т, то и — (D1 -ф . . . -ф-Г>,№) обладает этим свойством.
Таким образом, и £ =	обладает этим же
свойством, так как отображения T~rDTa линейны, WT-'DT^HT, = 9i и .1>Д-’ОД = .у'при всех у^Ш. Но
Tr'ETt = у S тг'т,->от,т, =
=72^'ot«I’m = s>
8
*) р не делит г, (Прим ,пер.)
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
157
так как T~^DT . коммутирует с р8 f, и st пробегает всю группу д, когда s пробегает ее. Таким образом, £, а, следовательно, и 1—Е коммутирует со всеми Ts. Тогда ЭД = ЭДй'ЭДЭД (1 —• Е) =з ЭДЭД ЭД, и St' остается инвариантным относительно всех Ts.
18.	Скрещенные произведения. Предыдущая теорема может быть усилена, если заменить предположение, р / г более слабым р /у, где q обозначает порядок нормального делителя I), состоящего из таких элементов //, для которых автоморфизм h является внутренним. Для того, чтобы доказать это, а также и для других целей, введем некоторое кольцо 51, определенное при помощи д, ф, соответствия $ —>s- = s11 и системы факторов р. Нам нет необходимости предполагать, что $ и р получаются из проективного представления, а достаточно лишь считать, что они удовлетворяют условиям (8) и (9), что р8?^ЭД0. Элементами кольца 51 == Ф (g, Я, р) будут выражения вида У, вей
где пробегают Ф. Мы считаем, что — тогда и только тогда, когда для всех s $8 = т]8, и определяем
2 tjis 4- 2 ^эд 2 &+эд),
(2	(2 ЭДф) s 2 ЭДра, t&\t-
s, t
Легко проверить, что 51 действительно будет кольцом. Мы будем называть его скрещенным произведением тела Ф и группы g при соответствии Н и системе факторов р.
Из условий, наложенных на р, следует, в частности, что ps, ipi,i = ps,1p3д. Следовательно, Р*Л==Р1(1, P|,i =
Т
= р t и ps,1 = plil. Таким же образом получаем, что p1₽==pfr Отметим также, что ^“PJ^Pi.r Отсюда следует, что элемент /ур—J является единицей! в кольце 51 и что элементы 1; образуют подало кольца 51, кото
158
ГЛАВА 4
рое мы можем идентифицировать с телом Ф. Можно считать, что f8 = /gl, где 1 является единицей тела Ф. Тогда любой элемент кольца ЭД имеет вид 2 гДе теперь t£s обозначает произведение ts на элемент из Ф. Кольцо ЭД является векторным пространством над Ф относительно эндоморфизмов х—Так как каждый элемент кольца ЭД. может быть единственным образом представлен в виде т0 (Я:Ф)=Отметим, что
lta — t8&, iett = tgfig, t-
Подобно этому, эндоморфизмы	образуют обратно
изоморфное телуф тело Ф', и мы имеет также (ЭД: Ф') = г. Тах как правые (левые) идеалы кольца ЭД являются подпространствами над Ф(Ф'), то в кольце ЭД выполнены оба условия обрыва цепей правых (левых) идеалов.
Если Т8 является проективным представлением группы g в пространстве 9ЭД над Ф с соответствием s —> s и системой фактороз р, то соответствие	Ts£s
является представлением кольца ЭД при помощи эндоморфизмов модуля 2R, при котором 1 отображается в единичный эндоморфизм. Если два ЭД-модуля, определенных таким образом, будут ЭД-изоморфны, то соответствующее проективные представления строго эквивалентны. Обратно, если мы имеем такое представление кольца ЭД эндоморфизмами в что 1 -> 1, то может рассматриваться как векторное пространство относительно эндоморфизмов из ФСЭД. Если (ЭД(: Ф) конечно и элементу ts соответствует преобразование Тд, то мы получим проективное представление s—>Ts группы д, имеющее то же самое соответствие и ту же систему факторов, чго и ЭД. Таким образом, теория представлений кольца ЭД тесно связана с теорией проективных представлений группы д, обладающих тем же соответствием и той же системой факторов.
Пусть SB обозначает подкольцо кольца ЭД, состоящее из элементов вида 2 бЛг Тогда 33 является скрещенным ъЛЪ
произведением тела Ф и группы (; с системой факторов
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
159
pft, ft и соответствием h —> h. Пусть элементы 1,	и»
будут представителями смежных классов из д/^. Тогда, если s £ д, то s — uh, где (у Следовательно,
— Mftpib л = ЛА r^e b С S3- Отсюда следует, что элементы кольца ЭД могут быть представлены в виде ^iubu, где ^£23 и суммирование производится по представителям 1, «, . . . Это представление единственно. В самом деле, если	= т0 МЬ1 подставим iw = 26&>« и получим	ft$ftw = 0. Так как г элементов uh различны
между собою, то р«,л^л,«= 0> ?л,« = 0 и, следовательно, Ь,и~0, Теперь, t~ 1 = (ръ1р _t )—Ча~i и потому 8	8	»8
ts	1 1 а)
 (?	> в)	J-~ 17(.sP S — 1 ’	8 -1/4 ==
=	\s. ( р f? lfcp С W" Ч-ift, sp * _Xj ft
-1. fp® l^08 ^18 л4'1,1	1 в-1,8.
лежит в 23. Следовательно, отображение b -> t~rbis = bs является автоморфизмом в 53. Используя этот автоморфизм, мы можем написать:
(ЛА) = Ли>?гП А'
Мы можем теперь доказать следующую теорему.
Теорема 47. Для того, чтобы. ЭД было полупро-стым кольцом, необходимо и достаточно, чтобы кольцо 23 б ыло полу прост ым.
Пусть <5 является радикалом кольца 23. Так как автоморфизм b -> t~4)ts отображает нильпотентный идеал в нильпотентный идеал, то	Отсюда следует,
что совокупность элементов вида ^tusu, где su £ (®, образует двусторонний идеал в ?1. Так как	т0
он содержит и ЭД5ЭД. С другой стороны, по определению, с: ?[®. Следовательно, = ЭД® = 210ЭД. Тогда = ЭД®*, и потому идеал -ft нильпотентен. Следовательно, если ® ф 0, то радикал 5R кольца ЭД отличен от нуля. Предпо
IGO
ГЛАВА 4
ложим теперь, что <3 — 0. Мы хотим показать, что если 3 является любым отличным от нуля двусторонним идеалом кольца 21, то (23ПЗ)~ДО. Пусть z = tltbu -j- . .. является отличным от нуля элементом идеала 2$, который имеет наименьшее число не равных пулю коэффициентов Ьи. Если Z>£23, то элементы zb — tubub -ф-... и bz== ~tub’l'btl-\-... лежат в 3 Отметим какой-либо индекс и, для которого Ьи-р^. Так как элементы Ьи' пробегают все кольцо 23, то коэффициенты си элементов tucu-\- . . . идеала 3, имеющих тот же вид, что и г1), образуют двусторонний отличный от нуля идеал Так как кольцо 23 полупростое, то идеал 2Ф обладает единицей еи, и еи лежит в центре кольца 23. Мы можем теперь предположить, что г = /(^г(4- • ... Покажем, что z — tueu. В самом деле, предположим, что z = ttleu Ц- ^Ь,кф. . , где bvф 0. Для любого; из Ф элемент lz— z\u = tv (ф'Ье— Ьф1) . лежит в 23 и обладает меньшим числом отличных от нуля членов, чем z. Этот элемент отличен от нуля, когда Ъ'ЬрфЬф1. Теперь, если bv = ^th$h, то
л, - ip = рр - р,Л“).
Так как ЬгфО, то найдется ^, /0, и потому = = нГ1'	 Это справедливо для всех ф и отсюда выте-
кает, что и получается из v умножением на внутренний автоморфизм, вопреки нашему предположению, что и и v принадлежат различным смежным классам по 1} в группе д. Следовательно, z = tlten и tplz = еи является отличным от нуля элементом из 23П^- Если положить 3 = 9?, то мы получаем, что № = 0, так как (23 П 9?) является нильпотентным идеалом в 23.
Мы видели, что если р / q, где q является порядком то любое представление кольца 23, при котором 1 —> 1, вполне приводимо. Если мы применим этб к регулярному представлению в 23,., то увидим, что структура правых идеалов кольца 23 вполне приводима. Следовательно, кольцо 23 полупрЬсто, и мы доказали следующие теоремы.
х) Т. е. такие, что с„ = 0, если bv — 0.
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
161
Теорема 48. Скрещенное произведение 5t полупро-cmoi если p/q, где q является порядком
Теорема 49. Проективное представление s -* Ts конечной группы вполне приводимо, если р / q, где q обозначает порядок подгруппы, состоящей из таких элементов h, для которых Th является специальной коллинеацией.
Из доказательства главной теоремы следует также
Теорема 50. Если ^=(/), то кольцо % просто.
В самом деле, в этом случае 33 ~ Ф, и потому 5 — 0. Тогда, если 3 является отличным от нуля двусторонним идеалом кольца 31, то Ф П 3 является отличным от нуля идеалом тела Ф, и потому Ф П^ = Ф. Таким образом, 3 содержит 1, и потому J = 51.
Предположим, что fy=(i). Тогда, если для всех $ имеем	т0 = Следовательно,
если Ps^tO, то £8 = Ps^71. Таким образом, $ = 1, и мы доказали, что все элементы кольца 31, коммутирующие со всеми элементами тела Ф, лежат в Ф. Следовательно, центр кольца 31 лежит в центре Г тела Ф. Если -у £ Г, то из того, что для всех 5 = t8y, вытекает, что -[ £ Го, где через Го обозначено подполе поля Г, состоящее из элементов, остающихся инвариантными при всех автоморфизмах 5. Отсюда следует, что Го является центром кольца 51. Если Ф = Г, т. е., если Ф является полем, то как известно, (Г : Го) = гк). Следовательно, (51: Го) = г2.
Предположим теперь, что не только = (1), но и pfi)# = 1. Так как кольцо 51 просто, то 51 = 31®- • где 3» являются между собой 5(-изоморфными неприводимыми правыми идеалами. 51-изоморфизм между правыми идеалами будет, в частности, взаимнооднозначным линейным отображением этих идеалов друг на друга, если рассматривать их как подпространства векторного пространства 51 над Ф. Следовательно, Ф) =(2^ ;Ф) —т и г = (51: Ф) = ат. Пусть теперь 3 будет правым идеалом,
О Это будет доказано в следующем отделе.
11 Зак. 743, Н. Джеаобсон.
09
162
ГЛАВА 4
состоящим из кратных еа элемента e = ^ts. Так как ^8 =< то еа = еа при соответствующем а £ Ф. Следовательно (3 :Ф) = 1, и потому идеал 3 неприводим. Тогда
: Ф) = (3 : Ф) = 1, и г = и, Отсюда следует, что 31 = ФГ, где Ф является телом. Тело Ф содержит центр Го кольца 31, и так как (31:Ф) = г2, то отсюда следует, что если Ф = Г, то Ф = Го.
Теорема 51. Если 31=Ф	1) и lj=l, то
31 = Фг, где Ф является телом, и степень г равна порядку группы д. Если при этом тело Ф — Г коммутативно, то 31 = ГОг, где через Го обозначен центр кольца 31.
19. Теория Галуа чел. Пусть Ф является произвольным телом, а ® = (1,S,. . .,U)—конечной группой, состоящей из г внешних автоморфизмов тела Ф. Подмножество инвариантных элементов (т. е. таких элементов, что as = а) образует подтело Фо тела Ф. Обозначим множество левых (правых) умножений в Ф, соответствующих элементам из Фо, через Фо' (Фо), а множество эндоморфизмов вида 2^5, (2^^*), где (£.$') является правым (левым) умножением на элемент из Ф, через (Ф, ®) ((Фг, ®)). Отметим, что $5 = St8. Следовательно, если 31 является скрещенным произведением тела Ф и абстрактной группы д, изоморфной группе ®, определенным при помощи изоморфизма а—>5 и системы факторов = 1, то соответствие 2^»->2^# будет представлением кольца 51 эндоморфизмами аддитивной группы тела Ф. Так как кольцо 31 просто, то это представление взаимно однозначно. Следовательно, в силу последней теоремы, кольцо (Ф,®) = Ф„ где Ф является телом.
Если а ф. О и [3 лежат в Ф, то найдется такой элемент £ из Ф, что <х£ = р. Отсюда следует, что (Ф, ®) = ФГ является неприводимым множеством эндоморфизмов и, следовательно, в силу 31-изоморфизма любых двух неприводимых 31-групп, существуют г таких элементов . .,аг тела Ф, что каждый элемент из Ф может быть представлен одним и только одним образом в виде -ф- .. . а/.рг, где
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
163
Для того, чтобы доказать это еще раз непосредственно, предположим, что Е.ц образуют матричный базис в и выберем ЕРр и а таким образом, чтобы аЕррфО. Тогда нетрудно видеть, что элементы аг = <*Ер,.. ,,аг = =аЕрг независимы над У7. Так как любой элемент £ представим в виде р =	ПРИ соответственно вы-
бранных то мы имеем £ == Н~ • • 
Пусть ф' будет кольцом линейных преобразований У аддитивной группы тела Ф над ЧР*, определенных равенствами ар/ = а^. Мы видели в главе 2, что Ф является r-мерным пространством над W', Т'— совокупностью всех эндоморфизмов, коммутирующих с эндоморфизмами из Ф’г, и — совокупностью всех линейных преобразований Ф над ФТ
Напомним теперь, что Фг —(Ф, ®). Если А является эндоморфизмом, коммутирующим со всеми эндоморфизмами из Ф, то А будет левым умножением, например, $—►(!'== $а'. Если при этом А коммутирует со всеми элементами из ®, то (а$)5 =	= a$s и а’ Фо'. Таким
образом, Ф” = Фо'. Подобным же образом мы можем рассмотреть Фо и (Ф', ®) и получить следующую теорему.
Теорема 52. Пусть Ф является произвольным телом, ® — конечной группой, состоящей из г внешних автоморфизмов тела Ф, и Фо — подтелом, состоящим из инвариантных элементов. Тогда размерность Ф над Фо' (Ф над Фо) равна г, и (Ф, ®) ((Ф', ®)) будет полной совокупностью линейных преобразований Ф над Ф/ (Ф надФ0).
Предположим, что V является любым автоморфизмом в Ф, оставляющим неизменными эяементы из Фо. Тогда V будет линейным преобразованием пространства Ф над ф/ и, след вательно, V = Для каждого эндоморфизма д] мы имеем -qV—^^=0. Тогда, и, если	то	Так как ни один из авто-
морфизмоз 5 не является внутренним, это может иметь место только для одного S, и потому V = S5. Так
11*
161
ГЛАВА 4
как V является автоморфизмом, то 5=1, и V = S£®. В частности, для любого элемента у из Ф, коммутирующего со всеми элементами из Фо, внутренний автоморфизм к]—>	лежит в ® и, следовательно, является тожде-
ственным отображением. Таким образом, * лежит в центре тела Ф.
Если •§> является подгруппой группы (S), то мы обозначим подтело, состоящее из элементов, остающихся инвариантными при преобразованиях из £>, через Ф (§), а, если £ — подтело, лежащее между Фо и Ф, то мы обозначим подгруппу группы ®, оставляющую элементы из 2 неподвижными, через ® (2). Отметим, что Ф0Е $(£>), Ф(®)=Фо, Ф(1)=Ф. Следующая теорема является фундаментальной в теории Галуа.
Теорема 53. Соответствия §—»-Ф (£>) и Е->® (£) являются взаимно обратными. Каждое из них является взаимнооднозначным соответствием между подгруппами группы ® и телами Е, лежащими между Фо мФ. Размерность (Ф : Е) = (Ф :£') равна порядку группы ®(Е), и (Е : ф0) = (Е : Фо') равна индексу ®(Е).
Пусть § является подгруппой группы и Ф (ф) — множеством инвариантных элементов. Если автоморфизм S £ ® оставляет неподвижными элементы из Ф (ф), то, как мы видели, S £ ф. Таким образом, ® (Ф (ф)) = ф. Предположим теперь, что задано тело Е, Ф0<^Ес:ф5 и пусть Д является множеством линейных преобразований в Ф над Е'. Тогда Дс=(ф, ф). Если £ А, и р/ является любым элементом из Е', то
= (2эд и-'=
где p/s обозначает левое умножение, соответствующее элементу p.s. Следовательно, E5(p.,s — p/)£s = 0. Если 5^®(Е) = ф, то p/s~p/. Предположим теперь, что З^ф. Мы утверждаем, что тогда 5g = 0. В самом деле,
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
165
пусть ф 0. Так как 5 (£ ф, то найдется такой элемент и, что р.® ф р. С другой стороны,
+	... =0.
Очевидно, что это соотношение не может быть приведено к 5 (у/5'—p>')$s = O, и поэтому мы можем предположить, что Ъуф 0 и — {л/ ф 0, так что Т также не лежит.в ф. Тогда, умножая слева на эндоморфизм и справа на	и вычитая, мы получаем
№ _ р')	4-... = 0.
Так как автоморфизм Т8~х не является внутренним, то мы можем выбрать таким образом, чтобы т^з»—
не равнялось нулю. Если мы продолжим этот процесс, то получим, наконец, один член — pO£tr = 0, причем и Ср-4=0. Так как это исключено, то мы доказали, что £я = 0 при всех S, не входящих в ф. Следовательно, А состоит из преобразований вида Tj S$s, и S' является совокупностью всех эндоморфизмов, коммутирующих с эндоморфизмами из А. С другой стороны, форма элементов, входящих в А, показывает, что эти преобразования являются в точности такими С, что С£Ф(ф). Следовательно, Ф(® (£)) = £. Соотношения, касающиеся размерностей, следуют из теоремы 1.
Если S = Ф (§), то Е® = Ф	Следовательно,
§ будет нормальным делителем тогда и только тогда, когда S преобразуется в себя всеми элементами из ®. Если 1, S, ... являются представителями смежных классов по •£>, то преобразования, индуцированные в S этими элементами, различны между собой и зависят лишь от смежных классов. Их совокупность образует группу Элементы 5, не лежащие в индуцируют внешние автоморфизмы в В самом деле, если S является внутренним автоморфизмом тела £, то существует такой внут
166
ГЛАВА 4
ренний автоморфизм А тела Ф, что оставляет элементы тела Е инвариантными. Тогда SA = H £&(£)=£> и S~1H = A является внутренним автоморфизмом, вопреки нашему предположению.
Если тело Ф коммутативно и $£Ф, то пусть . .., являются всеми сопряженными с £ элементами поля Ф. Коэффициенты при степенях t элемента
(t— Е).. \l-V)
остаются инвариантными при автоморфизмах из ® и потому принадлежат подполю Фо. Таким образом, каждый элемент из Ф удовлетворяет сепарабельному уравнению * с коэф, фициентами из Фо. Так как, £,..., лежат в Ф, то отсюда следует, что Ф является нормальным сепарабельным полем над Фо. Для того, чтобы дополнить теорию Галуа конечных расширений полей в этом направлении, было бы необходимо доказать обратную теорему: если Ф является конечным нормальным сепарабельным расширением поля Фо> то элементы из Фо будут единственными элементами, остающимися инвариантными при автоморфизмах из группы Галуа поля Ф над Фо.
20. Конечные группы полулинейных преобразований. Рассмотрим такое проективное представление конечной группы, что р = 1 и группа = Таким образом, кольцо Ф (<}, Н, l) = *Fr полулинейных преобразований Tg образует группу, и автоморфизмы 5^Ф, связанные с преобразованиями Тя, различны между собой и являются внешними. Пусть 9)1 —	® • • <ф 9)£ш будет разложением
векторного пространства на неприводимые Цфмодули. В каждом из 9)^ мы можем выбрать такой вектор xit что у{ ~	х{(2г8) ф 0. Тогда у{Т№=у^ и так
как каждый элемент из 9)^ имеет вид yf^T^e) —уф то 9)?4 имеет размерность 1 над Ф. Следовательно, элементы Уь •••> Ут образуют базис модуля 9)1 над Ф.
* = уравнению первого рода. (Прим, пер.)
СТРУКТУРА КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ
167
Пусть 3R0 является множеством векторов из 2R, остающихся инвариантными при всех преобразованиях Т8. 3R0 будет векторным пространством над Фф где через Фо обозначено подтело тела Ф, состоящее из элементов, остающихся инвариантными при всех автоморфизмах s. Если у =	£
£ 5R0, то В® = 5{ 6 Фо и> следовательно, элементы уь.,., ут образуют также базис 9)?0 над Фо.
Теорема 54. Пусть 3)1 является т-мерным векторным пространством над телом Ф, и 7'1=1, Ts, ..., Ти — конечной группой полулинейных преобразований, причем индуцированные ими автоморфизмы 1, в, ..., и различны между собой и являются внешними автоморфизмами. Если 2)10 состоит из множества векторов, остающихся инвариантными при всех преобразованиях Те, а Фо является подтелом, инвариантным относительно всех s, то ЗК0 будет векторным пространством размерности т над Фо, и расширение ЭДЬФ = 9Л.
Если мы применим соответствие между полулинейными преобразованиями и матрицами, то можем сформулировать эту теорему также следующим образом:
Теорема 55. Если ® является конечной группой внешних автоморфизмов 1,5, ..., и тела Ф, a ts — такими матрицами с элементами из Ф, что = 1 и т#т* = т то cyuliecm8ye,,t такая невырождающаяся матрица а, что —а-1а® для всех s.
Глава 5
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
1. Прямое произведение алгебр. В предыдущей главе мы интересовались главным образом абсолютными свойствами колец. Роль множества эндоморфизмов Ф была скорее второстепенной, его единственной функцией было ослаблять пр°дголожение, что в совокупности идеалов кольца выполнены условия обрыва цепей. Полученные результаты применялись, в частности, к алгебрам. С другой стороны, большая часть теории алгебр посвящена их «относительным» свойствам — существенно зависящим от того поля Ф, над которым определена алгебра. Эта часть теории является предметом настоящей главы. Мы рассмотрим сначала теорию простых алгебр, а позже снова займемся изучением произвольных алгебр.
Рассмо1 рения главы 4 были в значительной мере посвящены аддитивным разложениям кольца в прямую сумму его идеалов, В теории простых алгебр основную роль играет один тип мультипликативных разложений — прямое произведе> ие. Пусть является алгеброй над полем Ф, и (51: Ф) = п < со 1>. Мы будем говорить, что 51 является прямым произведением 5lt X 513 подалгебр 5lt и 513, если выполнены следующие условия:
1.	Элементы из 51г коммутируют с элементами из 513.
2.	51 = 5(^2 = 5l35li.
3.	(5(:Ф) = (511 :Ф)(513 :Ф).
1) В этой главе мы предполагаем, что наши алгебры имеют конечную размерность. Некоторые из результатов справедливы и при менее ограничительных условиях, но, ради простоты, мы не будем указывать на эти обобщения теории.
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
169
Очевидно, что в этих условиях можно поменять местами 5(L и 512, так что если 51 = X 512, то и 51 = = 5l2X^i- Ввиду условия 3, ясно, что это понятие существенно зависит от поля Ф. Так, например, если В является собственным подполем поля Ф, и 51 — 5lt X если рассматривать их как алгебры нал Ф, то 51^5^ X5U, если рассматривать их как алгебры над Е. В самом деле, тогда (% : Е) (ф : Е) = (5Ц: Е) (%2 : Е).
Пусть элементы^, ..., у„ образуют базис алгебры 5Ц над полем Ф с таблицей умножения уг-у/= ^УР^^„ и элементы	zn^ образуют базис алгебры 512 над Ф
с таблицей умножения =	где и
лежат в Ф. Тогда каждый элемент h из имеет вид 2л?г> и каждый элемент с из 5(2 имеет вид 2	® силу Усл°-
вия 2, каждый элемент а кольца 51 является суммой вида гДе а<к € 51/• Следовательно, а —	В силу
условия 3, элементы х^=>у^^ г = 1, ..., п^, j = 1, . . ., /г2, линейно независимы и потому образуют базис алгебры 51 над полем Ф. Таблица умножения х^у = 2х1»дф'^/-этого базиса определяется выбором базисов у{ и подалгебр 5lj и 5(3, Следовательно, если 53 является второй алгеброй над Ф, 23 = X $2 и ai	ai~>	являются
изоморфизмами над Ф, соответственно, между алгебрами 511 и ©!, 512 и 232, ТО 2лШ/-> где
будет изоморфизмом между алгебрами 51 и 23 над полем Ф. В этом смысле алгебра 51 = 5(1Х^2 определяется своими компонентами 5lt и 512. Более обще, если 23 является некоторой алгеброй, содержащей такие две подалгебры 23t и 232, что Ь^ — Ь^ для ^£23*, и если а-ь~> al является гомоморфным отображением 51< на 23,,, то 2xiy?ij> xfj—yiZj, будет гомоморфным отображением 5Q X 512 на ЗЗ^ = 23223t.
Если л = 2^^, то a=j/ia(12) + ... -j-y^a^, где af^5l2, и так как элементы у^ линейно независимы,
170
ГЛАВА 5
то из а = 0 вытекает, что все а$2) = 0. Теперь, если Уи--.,уг является любым множеством линейно независимых элементов из 9115 мы можем добавить к ним элементы ... , уП1 так, чтобы получить базис алгебры 9(t над Ф. Таким же образом, если элементы г., ..., z8 из 912 линейно независимы, то мы можем присоединить к ним еще элементы и получить базис алгебры 912. Отсюда следует, что элементы y{Z-, i = 1, ..., г; j — 1, . . . , s линейно независимы. Как частный случай этого мы получаем, что если Я3< является подалгеброй в 91/, то 3^9% = ЕслиЗС^—91п Х9112,то91=(9[п х адх X 91а = 91и X (9ti2 х Таким образом, для прямого умножения имеет место ассоциативный закон. Отметим также, что размерность пересечения 9li Q 9(2 над полем Ф не больше 1. В самом деле, если а и b являются элементами из 912, то элементы я2, ab, Ьа и 62 линейно зависимы, так как ab ~ Ьа. Если подалгебры 9^ и 912 обладают единицами 1г и 12 соответственно, то 1==1J2 будет единицей алгебры 91. Но 1г = Ц(IJg) = 11Ц= 1 и также 12=1. Следовательно, 9tL П 9С состоит из кратных 1а, где а £ Ф.
Пусть теперь 91j и 912 являются произвольными алгебрами с единицами. Предположим, что = 115 у2, .. ., ущ и = 12, г2, .. . , являются базисами этих алгебр, а W и V/ = S гА ~~ таблицами умн°-жения этих базисов. Определим алгебру 91, воспользовавшись базисом Ху, z = l,..., /т, /=1,..., п2, подчиненным таблице умножения x{jxirj. ~	Легко
проверить, что подмножество элементов алгебры 91 вида где 6 Ф> образует подалгебру 9lj с9(, изоморфную 91х, а подмножество элементов вида 2 образует подалгебру 912, изоморфную алгебре 912. Из таблицы умножения мы получаем, что х{{х^ = x{j = х^х^ и (хйх1<?) (x^Xj/) = (x^x/JfxyXjy). Из последнего соотношения и из выполнения ассоциативного закона в алгебрах 9(; и 9(2 следует, что в алгебре 91 также выполнен
АЛГЕБРЫ НАД ГОЛЕМ
171
ассоциативный закон. Очевидно, что 91 —911ХЭДз' Мы сконструировали, таким образом, алгебру 91, которая является прямым произведением алгебр, изоморфных данным алгебрам 9(t и 91а. Как мы видели выше, 91 является единственной с точностью до изоморфизма алгеброй, обладающей этим свойством. Мы будем идентифицировать алгебры 91^ и 9Q и называть 91 прямым произведением (91 —9lt X ^з) алгебр 91± и 913. В этом рассуждении не является существенным сделанное нами ограничение, что алгебры 9Q обладают единицами. В самом деле, мы можем присоединить единицу 1г- к алгебре 9С, получая при этом алгебру ©^ Мы образуем ©t X ©2 и будем считать подалгебру 911 X прямым произведением алгебр 9^ и 913.
2. Расширение поля. Алгебра, тесно связанная с прямым произведением, получается следующим образом. Пусть 91 является алгеброй с базисом ..., хп над полем Ф, а © — алгеброй с единицей над Ф. Рассмотрим множество выражений вида х{1х-±-... -\-хпЬп, где ^£©. Два таких выражения 2-Ч'^г и 2Х^» будем считать равными тогда и только тогда, когда bi — 6'. Определим
2 Х<Ь< + 2 xib'i= 2 xi (bi +
(2*Л)(2*?;) = 2Ш%г
если XiXj = 2iXkfup где Тиу € $• Нетрудно видеть, что определенная таким образом система является кольцом. Оно не зависит от выбора базиса х, в том смысле, что кольца, определенные при помощи различных базисов, изоморфны между собой. Следовательно, мы можем обозначить это кольцо через 91®.
Так как кольцо © содержит единицу, то оно содержит изоморфное с Ф подполе 1Ф, состоящее из элементов вида 1а. Кольцо 91® содержит подмножестго элементов вида 2 хг (1 аД которые образуют подкольцо, изоморфное кольцу 9(. Мы идентифицируем это кольцо с 9(. Теперь определение 2 (^\) b = 2-Ч(М) превращает кольцо 91®
172
ГЛАВА 5
в ©-модуль. Из этого определения мы получаем, что « 1 = а, (пи) Ь = и (тО), (ub)x = (их) b
для всех и, v из 51®, всех х из 51 и всех b из ©. Таким образом, операция в модуле коммутирует с левыми и с правыми умножениями на элементы из 51. Так как 51® является ©-модулем, и ©^1Ф, то 51® является Ф-модулем (мы полагаем па = «(1а)). Если а£Ф и элементы и и о произвольны, то (uv) а = zz(tia) = («а) у. Следовательно, 51® является алгеброй над Ф. Если элементы ..., ут образуют базис алгебры © над полем Ф, то тп элементов х^ образуют базис алгебры 51® над Ф.
Эти свойства характеризуют 51®. В самом деле, предположим, что Я? является такой алгеброй, что
1.	SB содержит 51.
2.	SB является ©-модулем, где © — алгебра с единицей 1, и ua = u(la) для всех и £ SB и всех а£Ф. SB порождается алгеброй 5( в том смысле, что наименьший ©-подмодуль модуля SB, содержащий 51, совпадает с самим SB.
3.	(uv) b — и (vb), (ub)x = (ux)b для всех и, всех х£51 и всех 6£©.
4.	(SB : Ф) = (51: Ф)(©:Ф).
Тогда, если х1} . . хп образуют базис алгебры 51 над Ф, то элементы из Я могут быть одним и только одним образом представлены в виде 2 х^, где 6t- £ ©. Если то
(2	(2 -W) = 2	=2 (cw
== 2 ((•’Q-'j) bi)bj === 2	= 2 "(kty
Следовательно, SB изоморфно 51®.
Если кольцо 51 обладает единицей 1, то (2x^0 1 = =2(*Ж-2(*< 1)^ = 2^А'> и> ПОДОбнО ЭТОМу, 1 (2xi^i) = 2Х^*- Следовательно, 1 является единицей алгебры 51®. Множество элементов вида 1Ь образует подалгебру, изоморфную ©. Отметим, что a (16) = ub и что (16) х = xb = х (16), если м£51® и jc£51. Следовательно, если идентифицировать алгебру, состоящую из элементов вида 16 с ©, то мы можем написать, что 51® = 51Х©.
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
173
Если является подалгеброй алгебры то можно предположить, что элементы	, хг образуют
базис алгебры 2lt, причем	хп образуют базис
Г
алгебры 51. Элементы 2 xiPi образуют алгебру, и мно-1
жество таких элементов является наименьшим 23-модулем, содержащим 21Р Ясно, что эта алгебра изоморфна алгебре 211® и поэтому может быть обозначена через 51]®. Если 211 является идеалом (нильпотентным идеалом) в 2(, то и будет идеалом (нильпотентным идеалом) в 21®. Следовательно, если кольцо 21® просто (полупросто), то и кольцо 21 просто (полупросто).
Предположим теперь, что 23 = Р является полем Тогда (и#) р = « (г»р) = (ар)г! для всех и, v из 2tp и всех р из Р. Следовательно, мы можем рассматривать 2(р как алгебру над полем Р. Если не оговорено другое, то мы и будем на самом деле рассматривать 21р таким образом. Очевидно, что (21р : Р) = (21: Ф). Могут быть отмечены следующие правила:
= 21]Р ф 21зв,
(2l1®2ta)p = 2l1pX2l3P,
(2lp)s = 2U,
если Е является содержащим Р полем.
3. Представления матрицами и пространства представлений. Вторым важным средством в нашем изучении алгебр является теория представлений алгебры 21 матрицами. В обычной теории мы интересовались представлениями алгебры матрицами с элементами из поля Ф. Для исследования простых алгебр нам понадобится обобщение,
*) Следует отметить, что в определении 91® не используется сделанное нами предположение о конечности базиса алгебры 91®. Абстрактная характеристика дается в общем случае условиями 1., 2., 3., и 4': если элементы хь ..хг линейно независимы в 91 hj/j, .. ,,у\. линейно независимы в 91, то rs элементов линейно независимы в 91й. Расширения 91р, когда поле Р является бесконечным расширением, имеют много важных приложений.
174
ГЛАВА 5
при котором элементы матриц берутся в независимой от 2( простой алгебре Тем не менее, прежде, чем рассмотреть этот общий случай, мы хотим подробнее исследовать более простой.
Как и в случае представления эндоморфизмами, существуют два типа представления матрицами. Во-первых, определим (обычное) представление матрицами алгебры 21 над Ф, как гомоморфное отображение а —+ А алгебры 21 на подалгебру алгебры матриц Фу: если а —* А и b -^В, то a -J- b —+ А	В, да —♦ Аа, ab-^AB.
Таким же образом определим обратное представление матрицами, как обратно гомоморфное отображение 21 на подалгебру алгебры матриц. Предположим теперь, что 9? является коммутативной группой, удовлетворяющей следующим условиям:
1.	91 является таким Ф-модулем, что для всех и для единицы 1 из Ф имеем х1 — х, и кроме того, (9t: Ф) = N.
2.	Э? является левым 21-модулем.
3.	(да) х = (ах) а — а (ха) для всех а £21, всех а£Ф и всех x£SR.
Тогда 9% будет М-мерным векторным пространством над Ф, и эндоморфизмы, соответствующие элементам а, будут линейными преобразованиями. Так как О? является левым 2(-модулем, то соответствие между элементом а и преобразованием а будет обратно гомоморфным отображением кольца 21 в кольцо линейных преобразований. В силу условия 3, линейное преобразование, соответствующее да, является произведением линейного преобразования а и умножения на скаляр а. Следовательно, это соответствие будет обратно гомоморфным отображением алгебры 21 на подалгебру алгебры линейных преобразований. Напомним, что соответствие между линейными преобразованиями векторного пространства и матрицами, которые они определяют относительно некоторого фиксированного базиса, является обратным изоморфизмом между этими алгебрами. Отсюда следует, что если хп ..., Ху является этим базисом и дх< = = 2x^0^, то соответствие между а и матрицей А ~ (а^.) будет представлением алгебры 21 матрицами из Фу. Мы
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
175
можем также обратить порядок рассуждения и ассоциировать, таким образом, с каждым представлением алгебры ЭД матрицами группу 91, удовлетворяющую условиям 1.,2. и 3. Будем называть такую группу пространством представления алгебры ЭД. Подобные рассуждения справедливы и для обратных представлений. В этом случае модули должны удовлетворять условию 1. и условиям:
2'. 91 является ЭД-модулем;
3'. х (tza) = (ха) а = (ха) а, где а£ЭД, а£Ф, х£91. Будем называть 91 пространством обратного представления алгебры ЭД. Мы ограничимся только случаем обычных представлений, так как изменения, необходимые для рассмотрения обратных представлений, будут очевидны.
Напомним, что если элементы ...,ук образуют второй базис пространства представления 91 иyt — ^х^, то матрицей для а относительно этого базиса будет ЛТ-’Л/И, М — (p-ij). Представление а —» /И_14Л4 называется подобным представлению а->4. Таким образом, пространство представления определяет класс подобных представлений матрицами. Мы будем называть два пространства представлений и 912 изоморфными, если между ними существует взаимнооднозначное соответствие, являющееся в одно и то же время Ф-изоморфизмом и ЭД-изо-морфизмом. Если U является таким изоморфизмом и элементы х(, ..., ху образуют базис над Ф, то элементы = xJJ,..., zjf = xjjO образуют базис 912 над Ф. Кроме того, если =	то и a~i — 2 zjaji‘ Таким обра-
зом, изоморфные пространства представления определяют одинаковые классы подобных представлений матрицами. Обратное также справедливо.
Будем называть представление приводимым, разложимым, вполне приводимым, если группа 91 относительно эндоморфизмов из Ф и из ЭД является соответственно приводимой, разложимой, вполне приводимой. Из рассуждений § 8 главы 2 ясно, что представление приводимо тогда и только тогда, когда оно подобно представлению вида
176
ГЛАВА 5
Представление а -> соответствует истинному подпространству <5, остающемуся инвариантным относительно эндоморфизмов а. Условием для того, чтобы 9? разлагалось в прямую сумму 91 — 9t1®9t2, где — инвариантные отличные от нуля подпространства, является подобие представления, определенного пространством 91, представлению вида
Д1 0 \
О /
(2)
Здесь а —> Ai является представлением, определенным пространством представления 91,-. Напомним также, что если 91 = 91а —>	о . .. о 91{ 0 является цепью инвариант-
ных относительно преобразований а подпространств, то наше представление подобно следующему
Ai	*
Да
. О	А
(3)
где представления связаны с пространствами 91г/91г-_ Р Цепь подпространств будет композиционным рядом тогда и только тогда, когда все представления а -► At неприводимы. Условием полной приводимости является подобие представления представлению вида (3), в котором ящички * выше «диагонали» состоят из нулей и представления а -> А{ неприводимы.
Наши рассуждения приобретают гораздо более простую форму, если алгебра 91 обладает единицей 1 и 1 отображается в единичную матрицу. Отсюда, разумеется, следует, что \х = х для всех х£91. Тогда (1а)л; = л:а. Таким образом, в этом случае достаточно рассматривать 91 как левый 91-модуль. С другой стороны, если 91 является произвольным левым 91-модулем, в котором для всех х 1х — х, то 91 будет левым Ф-модулем относительно операции ax = (la).v. Так как Ф коммутативно, то 91 может также
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
177
рассматриваться как Ф-модуль, если положить = Кроме того, если размерность (9t: Ф) конечна, то 91 является пространством представления. Отметим, что условие конечности 0R: Ф) эквивалентно требованию существования конечного числа образующих в 9t над 51. В самом деле, если элементы J'i, . являются образующими модуля 9t над 51, а элементы аХ) ..., ап—образующими в 51 относительно Ф, то пг элементов будут образующими в 91 относительно Ф. Следовательно, конечность (91: Ф) доказана.
Если 51 обладает единицей 1, но 1 не отображается в единичное преобразование, то мы представляем 91 в виде 91 = <5ф3, где (5 является совокупностью элементов вида 1х, а 3—совокупностью элементов вида х—1х, которые аннулируются единицей. Если мы выберем базис у., .. .,ух для 91 таким образом, чтобы элементы _у1э ...,уг образовывали базис для <£, а элементы уг+1, .. .,уу —базис для 3, то матрицей, соответствующей элементу а из 51 относительно этого базиса, будет
/ А 0 \
\ О О/'
В представлении а А, связанном с пространством <3, мы имеем 1 -* 1, что позволяет нам и в этом случае свести исследование к исследованию левых Ф-модулей.
4.	Приложение теории 51-модулей. Пусть 9? будет каким-либо пространством представления алгебры 51. Множество 3х векторов вида Ьх, где х—фиксированный элемент из 9i, а b пробегает левый Ф-идеал 3» является инвариантным подпространством в 91. Подобно этому, пространство 3® векторов b1xi -j- . • • + brxr, где пробегают множество <3 и bi пробегают идеал 3, является инвариантным подпространством. Принимая во внимание рассуждения § 12 главы 4, мы можем доказать, что, если пространство 91 неприводимо и 9i является радикалом алгебры 51, то 9191 — 0. Следовательно, в этом случае JR будет пространством представления полупростой алгебры 51=51/91.
12 Зав. 748. Н. Джекобсов.
178
ГЛАВА 5
Кроме того, ввиду неприводимости пространства либо ЭДЭД = о, либо единица алгебры ЭД является тождественным преобразованием в ЭД. В первом случае пространство ЭД одномерно, а во втором (глава 4, § 12) пространство ЭД ЭД-изоморфно неприводимому левому идеалу алгебры ЭД. Если ЭД = ЭД1ф...фЭДг, где ЭД^ — неприводимые двусторонние идеалы, то 91 аннулируется всеми идеалами 9Q, за исключением, скажем, идеала ЭДР Таким образом, St является левым ЭД^-модулем. Но число таких неприводимых ЭД-модулей 91, что ЭДЭД ф 0, равно числу t компонент ЭД^ алгебры ЭД, и мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 1. Пусть 91 является радикалом алгебры ЭД, и ЭД = ЭД/'ЭД = %! ф.. . ф 9lf, где ЭДг — простые идеалы. Тогда любое неприводимое представление а-+ А или является нулевым представлением (а —> 0), или подобно представлению, получаемому при использовании одного из неприводимых, левых идеалов алгебры ЭД в качестве пространства представления. Число классов подобных отличных от нуля неприводимых представлений равно числу компонент ЭДР
Напомним также, что если алгебра ЭД полупроста, то любой ЭД-модуль, в котором для всех х 1х — х, вполне приводим. Если теперь ЭД является произвольным пространством представления алгебры ЭД, то мы можем представить ЭД в виде ЭД = <5фЗ, где 1_у=_у для всех_у£® и 1г = 0 для всех г£$. Так как <5 является левым ЭД-модулем, в котором 1у=:у, то <5 вполне приводимо. Кроме того, 3 мы можем разложить на одномерные подпространства. Тем самым доказана
Теорема 2. Каждое представление полупростой алгебры вполне приводимо.
Специальным случаем этой теоремы является полная приводимость представления матрицами любой простой ненулевой алгебры ЭД. Все неприводимые отличные От нуля представления такой алгебры подобны между собой.
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
179
Если, в частности, 51=ФГ, то все отличные от нуля неприводимые представления подобны первоначальному представлению А ->Л. Это может быть также получено, если отметить, что Фг«п является неприводимым левым идеалом (через обозначены матричные единицы). Ф-базисом для этого идеала будет = etl, ..xr = erl, и если А = 2 eijaip т0 — "S Следовательно, представление, определенное этим идеалом, является первоначальным представлением А-+ А.
5.	Представление алгебры матрицами с элементами из простой алгебры. Если 33 является произвольной алгеброй, то мы определим представление {обратное представление) алгебры матрицами с элементами из 33, как гомоморфное (обратно гомоморфное) отображение алгебры 31 на подалгебру алгебры матриц 33jy. Как и в том специальном случае, когда 23 = Ф, мы называем представления а -> At и а -> Л2 подобными, если существует такая независимая от а матрица Л4, что Л2== М-^М. Представление а -> А приводимо, если оно подобно представлению вида (1), и разложимо, если оно подобно представлению вида (2). Оно вполне приводимо, если оно подобно представлению вида (3), где ящички * равны нулю и представления а -> А{ неприводимы. Мы ограничимся изучением представлений алгебр с единицей матри-дами с элементами также из алгебры с единицей. Кроме того, мы предположим, что единица алгебры 51 отображается в единичную матрицу. Как мы увидим, в этом случае теория обратных представлений в некотором отношении более естественна, чем теория обычных представлений. Поэтому мы будем иметь в виду главным образом первую из них, указывая лишь там, где это нужно, изменения, необходимые для обычной теории.
Мы хотим сформулировать при помощи модулей проблему представлений. Для этой цели необходимо вспомнить теорию свободных модулей, рассмотренную в главе 3, § 3. Мы будем теперь называть 33-модуль 91 ^-пространство и, если 91 является прямой суммой конечного числа свободных модулей. Так как 33 удовлетворяет усло
12*
180
ГЛАВА 5
вию обрыва возрастающих цепей идеалов, то ранг /V пространства 91 является инвариантом. Если Xj, ..ху и уjf являются двумя базисами для 9i, тоу< = 2xj^ xj— 2лс*;> где матрицы B—(fy{j) и С=(сц) лежат в 23у. Тогда ВС=СВ = 1, так что С = В~Х. Обратно, если элементы xt, ..ху образуют базис и матрица В обратима в 23у, то элементы yi = 2 xfi^ образуют второй базис.
Пусть теперь а является 23-эндоморфизмом в 91, х^а == 2 XjUji, и А == (afj) лежит в 23у. Тогда матрица А единственным образом определяется эндоморфизмом а. Таким образом, мы получаем однозначное соответствие между алгеброй 2 23-эндоморфизмов пространства 91 и множеством матриц из 23у. Как и в том случае, когда 23 является телом, мы можем показать, что это соответствие является обратным изоморфизмом между алгеброй 23-эндоморфизмов и алгеброй 23у.
Определим теперь ^-пространство обратного представления алгебры 21 как коммутативную группу 91, удовлетворяющую следующим условиям:
1.	91 является 23-пространством.
2.	91 является таким 21-модулем, что для всех х£9? и для единицы 1 алгебры 21 имеем х 1 = х.
3.	(ха) b == (х£) а, если х£91, а £ 21 и 6 £23.
4.	1 а из 21 отображается в тот же эндоморфизм, что и 1 а из 23.
Теперь, в силу условия 3., эндоморфизм, соответствующий элементу а, является 23-эндоморфизмом. Следовательно, если элементы xt ... , xN образуют 23-базис для 9? и aXi = JP. XjUji, то соответствие между а и матрицей А == (atj) из 23у является кольцевым обратным гомоморфизмом. В силу условия 4., элементу аа = а(1 а) соответствует матрица Д(1а) = Ла, и потому мы получаем обратно гомоморфное отображение алгебры 21 на подалгебру алгебры 23^. Отсюда следует, что каждое 23-пространство обратного представления алгебры 21 определяет обратное представление, и обратно. Снова,
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
181
как и в случае, когда S = Ф, другой базис пространства 91 определяет обратное представление, подобное обратному представлению а -+ А. Пространства обратных представлений fRi иШ2 будут (31,33)-изоморфны тогда и только тогда, когда они определяют одинаковые классы подобных обратных представлений.
Рассмотрим теперь алгебру 91^ = 91X^3* Мы видели, что если элементы х1 ... , хп образуют базис пространства 31 над Ф, то каждый элемент из 3L может быть единственным образом представлен в виде л^-1- • ♦ • ~Ь -ф- xnbnf где Z^£S. Таким образом, 31й является 33-пространством ранга п относительно правого умножения х-+хЬ, как операции модуля. Алгебра 91а является также 31-модулем относительно правого умножения. Следовательно, 91э является 23-пространством обратного представления алгебры 31. Покажем далее, что любое S-пространство 91 обратного представления будет 31а-модулем. В самом деле, пусть 21 обозначает совокупность эндоморфизмов, соответствующих элементам из 91, и S3 — совокупность эндоморфизмов, соответствующих элементам из 33. Так как соответствия а->а£91 и b —> b £ S являются гомоморфизмами, то соответствие, отображающее элемент	алгебры 9ls на эндомор-
физм из 9133 = 93 21, будет гомоморфным отображением. Таким образом, 9? является 91щ-модулем. С другой стороны, каждый 91й-модуль, являющийся, если его рассматривать относительно 93, 93-пространством, будет S-пространством обратного представления алгебры 91.
Подобным же образом можно показать, что теория обычных представлений эквивалентна теории S-пространств представлений, которые определяются условиями 1., 4., и 2'. 9t является таким левым 91-модулем, что для всех х и для единицы 1 алгебры 91 имеем 1 х — х.
3'. (ах) b = a (xb), если x£9t, и i(S.
Введем обратно изоморфную с 9( алгебру 91'. Тогда мы можем рассматривать 9i как 91'-модуль относительно
182
ГЛАВА 5
произведения ха = ах (ач—> а' является обратным изоморфизмом). Таким образом 91 является ^-пространством обратного представления алгебры 21' и потому будет 2Ц-модулем. Обратно, любой 9Ц -модуль, являющийся 23-пространством, будет 23-пространством представления алгебры 91.
Предположим теперь, что алгебра S простая. Напомним, что в этом случае 23 будет прямой суммой, например, т 23-изоморфных неприводимых правых идеалов и чт0 93 = где © — некоторое тело. Само 23 будет свободным циклическим модулем, базисом которого будет 1. Любой 23-модуль Di, в котором х 1 — л для всех х, будет прямой суммой неприводимых модулей, S-изоморфных неприводимым правым идеалам Следовательно, 91 будет свободным циклическим модулем тогда и только тогда, когда он является прямой суммой т неприводимых подмодулей, и 92 будет S-пространством тогда и только тогда, когда он является прямой суммой h = Nm неприводимых S-модулей. Тогда, если <5 является произвольным подпространством в 9?, то Я = ® ф где также является подпространством. Таким образом, если элементы у,, ... ,уи образуют базис для <5, то найдется базис пространства 91, включающий элементы yt. Применяя этот результат, мы можем доказать, что, как и в случае, когда S = Ф, условием приводимости обратного представления является существование в пространстве 9i обратного представления истинного S-подпространства, инвариантного относительно эндоморфизмов а. Условием разложимости обратного представления является возможность представить 91 в виде 91 = 91х ф 9?2, где 91* будут подпространствами обратного представления в пространстве 91. Для полной приводимости представления достаточно,чтобы 91 было вполне приводимым 21^-модулем. Как мы видели в главе 4, если алгебра полупроста, то любой 91^-модуль, в котором х1=х для всех х, будет вполне приводим. Следовательно, если алгебра 9(а. полупроста, то любое обратное представление алгебры 91 матрицами с элементами из S вполне приводимо.
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
183
Если S = © является телом,* * то любой такой неприводимый ©-модуль, что 91© ф 0, будет свободным циклическим модулем, ©-пространства, определенные в этом параграфе, будут просто векторными пространствами над©, которые мы рассматривали ранее. Следовательно, в этом случае любой 91ф-модуль 9i, в котором х 1 — х для всех х и (91 :©) конечно, является ©-пространством обратного представления алгебры 91. Как и выше, условие конечности (91 :©) эквивалентно условию существования конечного числа образующих для 9t относительно 91в. В частности, неприводимые 91э-модули являются ©-пространствами обратных представлений. Эти модули будут поэтому неприводимыми ©-пространствами обратных представлений алгебры 91. Как мы видели, любой неприводимый 91ф-модуль ^-изоморфен неприводимому правому идеалу $ алгебры 91^/91, где 91—радикал алгебры 91э. Порядок матриц, определенных идеалом 3, равен размерности (или рангу) идеала 3 наД Число неизоморфных неприводимых 91^-модулей, в которых xl—x для всех х, и, следовательно, число классов неприводимых отличных от нуля обратных представлений равно числу простых двусторонних идеалов в алгебре 9ls/9i.
6.	Прямые произведения и композиты полей. В качестве приложения развитой выше теории изучим теперь структуру 91й для того случая, когда 91 является сепарабельным полем, а 23 — произвольным полем над Ф. Предположим сначала, что 23 содержит подполе, изоморфное наименьшему нормальному расширению поля Ф, содержащему 91. Тогда, если (91: Ф) — /г, то, как хорошо известно, существует в точности п различных изоморфизмов а -* aW),i = 1 ,... , п, между 91 и подполями поля 23 !). Таким образом, мы получили п обратных гомоморфных отображений 91 в алгебру матриц с коэффициентами из 23,
* На протяжении этой главы мы понимаем под телом алгебру с делением. (Прим, пер.)
*) См. Ван-дер-Варден, Современная алгебра, том 1,стр. 1JG.
184
ГЛАВА 5
и, так как эти матрицы имеют порядок 1, то все обратные гомоморфизмы неприводимы и не подобны между собой. Из общей теории следует, что 21ЙД, где через 21 обозначен радикал, является в этом случае прямой суммой, по меньшей мере, п идеалов. Так как размерность этих идеалов над 25 ^>1 и (21а :23) — п, то отсюда следует, что 3? = 0 и что существует в точности п простых идеалов в 21^, каждый из которых имеет над 2В размерность. 1. Если теперь поле 23 произвольно, то мы берем поле К, содержащее как 23, так и наименьшее нормальное расширение поля 21 над Ф. Так как (2(Й)<£ = 21(Ь то алгебра 2ls полупроста.
Теорема 3. Если поле 21 является сепарабельным расширением поля Ф, причем (21: Ф) = п, и поле 23 является произвольным расширением поля Ф, то алгебра 2lffi полупроста. Если 23 содержит подполе, изоморфное наименьшему нормальному полю, содержащему 2(, то все неприводимые представления поля 21 матрицами с элементами из 23 имеют порядок 1.
По структурной теории полупростых колец, 21ю является прямой суммой полей, например ф .. . ф^- Если 1 = et -f~ • • • Ц- et является соответствующим разложением единицы алгебры 21^ на единицы полей то множество еД элементов вида eyi, где а £ 2(, будет подполем поля изоморфным полю 21. Подобным же образом, $4 содержит подполе ^23, изоморфное полю 23. Так как (МО (<зД)== 64212364 = ^4, то поле $4 порождается этими двумя полями.
Предположим теперь, что мы имеем произвольные два поля 21 и 23 над Ф и два изоморфных отображения а -> as и b _> ЬТ полей 21 и 23 соответственно в подполя 2lS и 237 третьего поля Тогда мы назовем систему (5, 5, 7) композитом полей 21 и 23, если только <5= [21s, 23Т], где через [21s, S37] обозначено наименьшее подполе поля g, содержащее 21s и 2371)- Мы будем
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
185
рассматривать два композита ф, 5, Т,) и (g', S', Т') как эквивалентные, если изоморфизмы а8 -> а8' и Ьт-> Ьт' могут быть продолжены до изоморфизма между § и Очевидно, что такое продолжение, если оно возможно, однозначно определено.
Мы видели, что если 21 является сепарабельным полем, то 2ls = i§i ф • • • ®3s- Отображения а -> aSi== aeit где а £ 31, являются изоморфизмами между 31 и подполями 31s® полей Подобно этому, b-+bTt =-bei будет изоморфизмом между 23 и 23гг. Кроме того, = (2ls*) (23Гг') = [3ls< ,23^ ], и поэтому (^, Sit Ti) является композитом полей 31 и 23.
Мы хотим доказать следующую теорему.
Теорема 4. Композиты (^, Sif Tt) i =
не эквивалентны между собой. Любой композит сепарабельного поля 21 и поля 23 эквивалентен одному из (&, Sh т<).
Для того, чтобы доказать, что (&, S{, Т{) и (^, Sjt TJ) не эквивалентны при I z/z j, заметим, что е имеет вид а1Ь1 Д- • • • Д- arbr, где а1с £ 31 и ф £ 6 и, так как е? — еь то ei = (а^) (Ь&) Д- ... -j- (аге£ (Ьге^ = а8^* Д-ф ,., Д- arSibrTi. Если бы Sit Т{) было эквивалентно , S?-, ТА, то требуемый изоморфизм отображал бы
в а^э ф ... ф a8i brT3 = ф... arbr) = О, что невозможно. Предположим теперь, что ($, S, Г) является любым композитом полей 21 и 23. Тогда отображение 2 S aSbT будет гомоморфным отображением Зф на подалгебру 21s 23Т поля Так как единственными идеалами алгебры 21а являются идеалы вида • • • ф&г» и так как поле $ не имеет делителей нуля, то идеалом, отображающимся при этом гомомофизме в нуль, будет идеал вида & ф ... ф&_! ф&+t ф ...	= £<•
Следовательно, алгебра 3(8232’ изоморфна §/2f, и потому она
г) Если'оба поля 51 и 5В содержат трансцендентные элементы, то это определение требует некоторого изменения. См. Che-valley [9].
186
ГЛАВА 5
изоморфна Отсюда вытекает, что является полем и потому 9ls23r = [91s, б7] = <5. Кроме того, изоморфизм, определенный нашим гомоморфным отображением, является соответствием	Следовательно, ком-
позиты ($, S, Т) и (^, Sf, 7\) эквивалентны.
Мы видели, что если 23 содержит поле, эквивалентное наименьшему нормальному расширению поля 91, то t—n, и каждое из полей одномерно над S3. Следовательно, поле ^i = ^Si изоморфно полю 23.
Теорема 5. Если поле 91 является сепарабельным расширением поля Ф, (91 : Ф) = п и 23 содержит поле, изоморфное наименьшему нормальному расширению поля 91 над Ф, то 9(s = ф ... ф 23п, где 23^23.
Из следующего примера видно, что эта теорема перестает быть справедливой для случая несепарабельных полей. Пусть 91 = Ф (х), где Ф является полем характеристики р, и xv — t лежит в Ф, причем х не лежит в Ф. Предположим, что 23 является полем Ф(у), где.уР = $. Тогда 9ls содержит отличный от нуля нильпотентный элемент z~x—у. Так как алгебра 91^ коммутативна, то z порождает нильпотентный идеал, и потому алгебра 91^ не будет полупростой.
7.	Центральные простые алгебры. Вернемся теперь к основной теме этой главы, а именно к теории простых алгебр. Во всех наших рассуждениях мы будем исключать из рассмотрения тривиальные нуль-алгебры. При этом условии мы можем следующим образом сформулировать фундаментальную структурную теорему.
Теорема 6. (Веддербарн [Wedderburn]). Любая простая алгебра 91 над Ф является прямым произведением Фто X	где ©—тело, и обратно, любая алгебра
такого вида простая. Если 91 = Фш X ® = Фж' X где $ является также телом, то т = т' и тела 5) и $ изоморфны.
Нам понадобится также
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
187
Теорема 7. Фгз. = Фг X Ф5.
Она является непосредственным следствием вычислений, проделанных в § 6 главы 2.
Простая алгебра называется центральной, если ее центр совпадает с совокупностью элементов вида 1 а, где а^Ф1 * * * *)- Например, Ф„, будет простой центральной алгеброй. Понятие центральной алгебры является в известном смысле противоположным понятию коммутативной алгебры, и мы увидим, что теория прямых произведений таких алгебр значительно проще, чем изложенная в предыдущем отделе теория прямых произведений коммутативных алгебр.
Если 51 = Ф,п X ® = £>«», где ® является телом, то центр (5, алгебры 51 содержится в 2). Следовательно, алгебра 51 будет центральной тогда и только тогда, когда тело © центрально. Если 51 является любой простой алгеброй, то ее центр (Е будет полем, и алгебру 51 можно рассматривать как алгебру над этим полем (S. Очевидно, что 51 центральна над (L
Предположим теперь, что 51—произвольная алгебра с единицей, а 23—центральная простая алгебра. Мы хотим показать, что двусторонние идеалы алгебры 51g могут быть поставлены во взаимооднозначное соответствие с двусторонними идеалами алгебры 51. Пусть Зо является двусторонним идеалом алгебры 51. Тогда 3 = So® = So® бУдет двусторонним идеалом в 51®. Пусть элементы х,, ..., хп образуют такой базис алгебры 51 над Ф, чтол^, ..., хг являет-п
ся базисом идеала So над Тогда, если £51, то
1 п
= где Р,- лежит в Ф. Если 2XA6S> то br+i = 1
= ... =bn — 0. Следовательно, 51 pS состоит из эле-
1) Я обязан профессору Алберту за предложение этого тер-
мина, вместо имеющего слишком много значений термина «нор-
мальный», употреблявшегося ранее в этом смысле. Термин
«централизатор», которым мы будем далее пользоваться, также
принадлежит Албеоту.
188
ГЛАВА 5
Г
ментов вида 2* А 11 ЭДрЗ — Зо' Отсюда следует, что
Зой=Зоэ тогда и только тогда, когда Зо = 3о-
Пусть теперь 3 является произвольным двусторонним идеалом в 31X 53, Зо = 51 р 3, и пусть элементы , хп образуют такой базис алгебры 31, что х15 . .., хг образуют базис для Зо- Очевидно, что % будет двусторонним идеалом алгебры 31 и 3os с 3. Предположим, что Зо® 3, и пусть -j- ... xnbn будет не содержащимся в Зо® элементом из 3- Тогда и элемент хг+16г+1 4 • • •, 4 хпЬп также обладает этим свойством, и потому, по крайней мере, один из элементов bp j — = r-f- 1, . .., п отличен от нуля. Пусть теперь 4 • • • 4	Ф 0, = г 4 1, • • • , «, будет элемен-
том из 3, Для которого а имеет наименьшее положительное значение. Элементы
ь (xhbh 4 •  • 4	(х^ 4 • • • 4 xisbia) b
лежат в 3 Для любого элемента b алгебры SB. Отсюда следует, что первые компоненты Ь.^ этих элементов, включая и нуль, образуют отличный от нуля двусторонний идеал алгебры 33, и, следовательно, так как алгебра 33 является простой, bit может быть любым элементом из 53. Таким образом, идеал 3 содержит элемент х.(1 4 Х^Ь% 4 • • • 4 xig^s и> следовательно, он содержит элемент
b 4 х^Ь* 4 • • • 4 xisb6') ~ (х^х^л' 4 ... 4
8
4 xisbs') Ь = 2 Xi (Щ - Ь!Ь\ j = 2
Так как индекс а минимален, то все bb j = b$b, и потому, в силу центральности алгебры 53, bj = £ ф. Таким образом, идеал 3 содержит элемент xi±4-^4 а"И •••4 4 который, очевидно, лежит в 31- Это противоре
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
189
чит тому, что элементы , хг образуют базис идеала Зо = (ЭД.пЗ)- Следовательно, нами доказана
Теорема 8. Если 31 является алгеброй с единицей, а 23 — центральной простой алгеброй, то соответствие Зо-будет взаимооднозначным соответствием между двусторонними идеалами алгебры 21 и двусторонними идеалами алгебры 21®.
Следствие 1. Если алгебра 21 простая, а алгебра 23 центральная простая, то и алгебра 21® простая.
Если Заявляется радикалом алгебры 21®, то Э?о = 21 будет нильпотентным идеалом алгебры 21 и потому содержится в радикале алгебры 21. С другой стороны, будет нильпотентным идеалом в 21®, и потому %* Следовательно, 9?0' = У10. Отсюда вытекает, в частности,
Следствие 2. Если алгебра 21 полупроста и алгебра 23 является центральной и простой, то алгебра 2ls полупроста.
Пусть теперь c = z1^14- ••• + хпРп является элементом алгебры 21® = 21 X 23, коммутирующим со всеми элементами b из $8. Тогда	— ^) = 0, и bbi — bib.
Следовательно, £ Ф и с £ 21. Отсюда следует, что центр алгебры 21X23 совпадает с центром алгебры 21. Если 21 является центральной простой алгеброй, то и алгебра 21 X® также является центральной и простой.
Теорема 9. Элементами прямого произведения 21X 23 алгебры с единицей 21 и центральной простой алгебры 23, коммутирующими со всеми элементами из 23, могут быть лишь элементы алгебры 21. Если алгебра 21 центральная простая, то и алгебра 21X 23 центральная простая.
8.	Представление полупростой алгебры матрицами с элементами из центральной простой алгебры. Как и ранее, мы ограничиваемся такими представлениями алгебры 21, при которых единица алгебры 21 отображается в единичную матрицу. Если 21 — полупростая алгебра и 33 —
190
Г Л А В А~ 5
центральная простая алгебра, то алгебра полупроста. Как мы видели в § 5, отсюда вытекает следующая
Теорема 10. Если 31 является полупростой алгеброй, то любое обратное представление (обычное представление) алгебры 21 матрицами t элементами из центральной простой алгебры вполне приводимо.
Предположим теперь, что алгебра 21 простая. Пусть 23 будет прямой суммой т изоморфных неприводимых правых идеалов. Таким образом, © — где Т) является телом. Мы видели, что алгебра 21® проста. Следовательно, 21® будет прямой суммой г изоморфных неприводимых правых идеалов, и	где ® является телом. Лю-
бой неприводимый правый идеал алгебры 21® является 23-модулем и поэтому будет прямой суммой, например, h ©-изоморфных неприводимых ©-модулей. Отсюда следует, что. 21s разлагается в прямую сумму rh неприводимых ©-модулей. С другой стороны, если (21: Ф) — п, то 21® будет ©-пространством ранга п. Так как любое ©-пространство ранга 1 является суммой т ©-изоморфных неприводимых ©-модулей, то 21® будет прямой суммой тп неприводимых ©-модулей. Таким образом, rh — mn.
Пусть теперь 91 является произвольным неприводимым ©-пространством обратного представления алгебры 2(. Тогда 9?==<5j(J) ... где будут изоморфными неприводимыми 2(®-модулями. Каждый из модулей разлагается в прямую сумму h изоморфных неприводимых ©-модулей. Следовательно, 9? разлагается в прямую сумму mh неприводимых ©-модулей. Так как 91 является ©-пространством, то отсюда следует, что Нт== 0 (mod т). Если теперь т" будет таким меньшим чем т целым числом, что hm" == 0 (mod т), то прямая сумма т" модулей будет ©-пространством. Она совпадает поэтому с 9t. Отсюда следует, что т" — т, так что hm = mh является общим наименьшим кратным h и т. Равенство hm = mh показывает, что ранг 91 над © равен h. Следовательно, порядок матриц, определенных пространством 9?, равен h. Если 91' является другим неприводимым ©-пространством
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
131
обратного представления алгебры 51, то 31' также будет прямой суммой т = h~l [h, т] неприводимых ^-модулей. Отсюда следует, что пространства 91' и 91 51®-изоморфны. Таким образом, все неприводимые обратные представления алгебры 51 матрицами подобны между собой. Любое обратное представление алгебры 51 вполне приводится на неприводимые части, каждая из которых подобна представлению, определенному пространством 91. Эти результаты могут быть сформулированы в виде следующей теоремы:
Теорема 11. Пусть 51 является простой алгеброй, а S3— центральной простой алгеброй. Пусть (51 :Ф) = = п, S3 —= где © и К являются телами. Тогда rfmn, и если тп — hr и [h, т] = hm = hm, то алгебра 51 обладает обратным представлением в 53# тогда и только тогда, когда h/N. Любые два представления алгебры 51 в одной и той же алгебре матриц 23# подобны между собой.
Подобным же образом мы можем доказать следующую теорему.
Теорема 11'. Пусть 51 и 23 имеют тот же смысл, что и в теореме 11, и пусть 51® = 6Г', где алгебра 51' обратно изоморфна алгебре 51, и является те-лоМу Тогда r'/тп, и если mn — h'r' a [hr, m]=h'm = *=*h'm, то алгебра 51 обладает- обратным представлением в 6# тогда и только тогда, когда h'jN. Любые два представления алгебры 51 в одной и той же алгебре матриц 23# подобны между собой.
Мы можем получить несколько более точную форму теоремы 11, рассматривая сначала ее специальный случай, когда 23 = ® является телом, и распространяя потом полученный таким образом результат на общий случай, когда 53 = Если S3 =©, то т=1 и [h, m\=h. Мы получаем
Следствие. Пусть 51 является простой алгеброй и © — центральным телом. Положим (51: Ф) == и и
192
ГЛАВА 5
31э = (£8. Тогда n = hs, и 01 тогда и только тогда обладает обратным представлением в ©у, когда hlN.
Если теперь 31® = ®8, то 01® = ^в»» Д;!Я 23 = £>m. Следовательно, целое число г из теоремы 11 равно sm и п — hs. Этим доказана
Теорема 12. Пусть 31 и 33 имеют тот же смысл, что и в теореме 11, и пусть 0l© = <Ss, где является телом. Тогда sjn, и если n = sh и [h, т\ =hm~hm, то алгебра 01 обладает обратным представлением в^ц тогда и только тогда, когда h] N.
Теорема 12'. Пусть 01 и 53 имеют тот же смысл, что и в теореме 11, а пусть 31® — где (S является телом. Тогда s'jn, и если п == s'hr и \h', т\ — h'm' = = Нт, то алгебра 31 обладает представлением в тогда и только тогда, когда h'[N.
Предположим теперь, что 31 является телом, и 53 ~ ® является центральным телом. Мы можем рассматривать 51Х® = ®8 как 01-пространство. Тогда, повторяя рассуждения, приведшие нас к теореме 11, мы можем доказать, что s]d, где d — (© : Ф). Проведение детального доказательства предоставим читателю.
Теорема 13. Пусть 01 является телом и © —- центральным телом. Тогда, если 31X S) = ®s, где @ является телом, то s будет общим делителем чисел п = (31: Ф) и d = (©: Ф). Если (d, я) = 1, то 31 X © будет телом.
9.	Простые подалгебры центральной простой алгебры.
Теория представлений может быть применена к изучению подалгебр простой центральной алгебры 31. В самом деле, если S3 является подалгеброй, то отображение b —> b будет представлением алгебры 53 матрицами первого по- ц рядка с элементами из 31. Если S3 является простой алгеброй с единицей, то мы можем применить теоре- с
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
193
му 12'1) Пусть 21 = ®}И, где,® является ^центральным телом, (23 : Ф) = q и 23' X®	где является телом.
Тогда q = s'h' и, если hf — т-1 [Л', т], то 23 обладает представлением лишь в таких 21#, для которых Л'/М Так как 23 обладает представлением матрицами первого порядка с элементам: из 21, то й'=1.Следовательно,///яг, и если положить т = h'l, то мы получим, что ms' = ql. Таким образом, qjms'.
Теорема 14. Если. 23 является простой содержа-щей единицу подалгеброй центральной простой алгебры 21 = ®от, где ®— тело, то 23'X®==:^s\ где (£' является телом, причем s'jq a q/ms1.
Следствие. Если 23 является содержащей единицу подалгеброй центрального тела ®, то 23' X ® = = где является телом и q = (23 : Ф)
Если 23х и 23а являются изоморфными подалгебрами алгебры 21, то мы можем рассматривать их как изоморфные образы одной и той же алгебры 23. Если отображение Ьх —> Ь2 является изоморфизмом между 23х и 232, то отображения b -* &х и Ь->Ь2 будут представлениями алгебры 23 матрицами первого порядка с элементами из 21. Эти представления подобны. Итак, нами получена следующая
Теорема 15. Если 28х н„23а являются изоморфными содержащими единицу простыми подалгебрами центральной простой алгебры 2(, то любой изоморфизм между ними может быть продолжен до внутреннего автоморфизма алгебры 21.
Отсюда, очевидно, следует
Теорема 16. Любой автоморфизм центральной простой алгебры является внутренним.
г) Следует отметить, что начиная с этих пор мы будем применять обозначения, отличные от употреблявшихся в § 8. Здесь обозначает центральную простую алгебру, а 23 — простую алгебру, которая может не быть центральной. Это представляется желательным, так как в наших приложениях 33 будет обычно подалгеброй алгебры 21.
13 Зак. 748. Н. Джекобоон.
194
Глава б
1 10. Дифференцирования, В теории дифференцирований алгебры существуют теоремы, весьма похожие на теоремы § 9. Если 23 является подалгеброй алгебры 51, то дифференцированием D подалгебры Ж в 51 называется отображение 23 на часть алгебры 21, удовлетворяющее следующим условиям:
=	+	(>а) £> = (££>) а,
Если 23 = 51, то мы просто говорим о дифференцировании в алгебре 2(. Нетрудно вицеть, что если Z)2 £ ф, где § обозначает совокупность дифференцирований в алгебре 51, то Da и	Так как
(Ма) = (^Z>3) (63DX) +	+
4“	^2 ~Ь (^1А) (^2^2)’
то не будет, вообще говоря, дифференцированием. Однако,
(^d2)(DxD2-DaD1) =
b\	--^2^)4) 'Г (^1 (^1^2 —' ^2^1)) ^2»
так что [DltD2] =	является дифференци-
рованием. Для любого элемента d из 21 мы можем определить дифференцирование при помощи соответствия х -> [х, d]—xd — dx. Дифференцирования подобного типа называются внутренними. Как и для обычного дифференцирования справедливо правило Лейбница:
(Ьфэ) & = Ь> (й30*) + ( J ) (bxD)	+ ... +
Следовательно, если поле Ф имеет отличную от нуля характеристику р, то
(^А) dp = bi (bpp) 4- (bp?') bs,
АЛГЕБРЫ НАД. ПОЛЕМ
195
так что Dp является дифференцированием. Таким же образом мы доказываем при помощи индукции, что
(А \
1 dk-*b' + ...
где £'=[&,</], b" = [[>, rf], d\ и т. д. Таким образом, для полей Ф характеристики р ф. О мы имеем:
[b, dPl = [... [[£>], d]P,7^~d\.
Теория дифференцирований обладает далеко идущим параллелизмом с теорией изоморфизмов. Например, справедлива следующая теорема:
Теорема 17. Если S3 является полупростой содержащей единицу подалгеброй центральной простой алгебры 91, то любое дифференцирование 93 в 91 может быть продолжено до внутреннего дифференцирования всей алгебры 91.
Рассмотрим множество матриц из 912, имеющих вид
М bD\
\0 b
где b пробегает 93. Это множество образует алгебру, изоморфную алгебре 93, и, следовательно, определяет представление 23 матрицами с элементами из 91. Пусть 9i будет соответствующим 91-пространством этого представления. Соответственно форме матриц, 91 обладает таким базисом х2, что 91-пространство 9ti=x19l инвариантно относительно эндоморфизмов b из 93. Так как 23и-модуль 01 вполне приводим, то существует второе пространство 9t3=y9[, также инвариантное относительно эндоморфизмов b и такое, что 91 ==	Пусть у =
= х1а1 ф- х2д2, где £ 91. Так как при соответствующих элементах а/ и из 91 х2 =	ф-уа2', то а2 обла-
дает в 91 обратным элементом а% . Мы можем заменить у элементом уа<^. Следовательно, можно предположить, что х2 — ххд-\-у и у = х2—xyl. Матрицей, переводящей
13*
196
Г Л АВ л 5
91-базис xt,y в 91-базис xlsx2, будет Q /1 d\
для этой матрицы будет К 1 . Так как
то матрицей эндоморфизма b относительно
г (bi	п
будет I о I . Следовательно,
.. Обратной
JV — Ji! Ui2, базиса xn у
1 d\(b bD\/l—d\ !bi О
О 1 / \0 b До	1 /	\0 Ь*
Простое вычисление показывает что#1 = 62=£» и bD = = [Ь, £>] для всех Ь.
Как следствие теоремы 17 получаем следующую теорему.
Теорема 18. Каждое дифференцирование простой центральной алгебры является внутренним.
11. Перестановочные подалгебры. Если Ж является подалгеброй алгебры 9(, то мы назовем подалгебру алгебры 91, состоящую из элементов, перестановочных с элементами из 93, централизатором 91 (93) подалгебры 23 в 91. Как обычно, мы обозначаем алгебру правых умножений в 91 через 9(г и алгебру левых умножений в 91 — через 91г. Пусть 23,. (23z) будет алгеброй правых (левых) умножений ^r(^z) в 51» определенных элементами b из 93. Напомним, что если алгебра 91 обладает единицей, то 9tj является алгеброй 91г-эндоморфизмов и 91г является алгеброй 91г-эндоморфизмов. Тогда алгеброй эндоморфизмов, перестановочных с эндоморфизмами из 91г и из 6,., будет 91 (23)г. В самом деле, если С является таким эндоморфизмом, то С—сг будет правым умножением. Так как 91г изоморфно алгебре 91 при изоморфизме а —> аг, отображающем элементы из 23 на элементы из 33г, то отсюда следует, что с с 91(23). Если подалгебра 23 содержит единицу, то алгебра эндоморфизмов 91г25г = 23г91г содержит 91г и ЯЗГ.
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
197
Следовательно, в этом случае 21 (23)г может быть охарактеризована как алгебра действующих в	эндо-
морфизмов.
Предположим теперь, что 21 является центральной простой алгеброй, а S3 — простой подалгеброй, содержащей единицу алгебры 21. Алгебра 21г23г будет гомоморфным образом алгебры 2Г X 23, где алгебра 21' обратно изоморфна алгебре 21. Мы видели, что алгебра 21' X 23 проста. Следовательно, эта алгебра имеет вид ®г, где ® — тело. Отсюда следует, что алгебра 21г23г изоморфна и 214®г = 21г X 23г = где тело ® изоморфно телу ®. Так как 121г = 21, то 21 обладает конечным числом образующих относительно Следовательно, в силу доказанного в § 6 главы 2, алгебра ®г-эндоморфизмов имеет вид ®/, где ®' обратно изоморфно ®, и размерность алгебры 21 над ® равна rs. Таким образом, 21(2Э)Г = ®/ и 21(23) = ®/, где ®'^>.
Определим теперь 21(21(23)). Очевидно, что 2321 (21 (23)). С другой стороны, если с £ 21 (21 (23)), то сг является ®/-эндоморфизмом. Так как ®8'-эндоморфизмы принадлежат ®г=21г23г, то гг£21г Х23г. Так как сг коммутирует с элементами из 21г, то, по теореме 9, сг£23г. Следовательно, с £23, и потому %(21 (23)) = 23. Из этого равенства следует, что 23 П 21 (23) будет как центром алгебры 23, так и центром алгебры 21 (23).
Пусть (21 :Ф)=/г, (®: Ф) = е. Тогда п = (21: ®)(®: Ф) — = rse. Так как 21(23) = ®/, то (21 (23): Ф) = es2. Кроме того, 2Г X 23 = ®г, так что (21' X 53 : Ф) = п (23: Ф) = ег2. Следовательно, п (23 : Ф) (21 (23): Ф) = «W = п2 = (21: Ф)2 и (23: Ф) (21 (23): Ф) = (2(: Ф).
Теорема 19. Пусть 21 является центральной простой алгеброй и 23 — простой подалгеброй, содержащей единицу. Тогда, если 21(23) является централизатором подалгебры 23 zz 21' — алгеброй, обратно изоморфной алгебре 21, имеют место следующие утвер* ждения:
198
ГЛАВА 5
1. Подалгебра 91(28) проста и содержит единицу. 2. 91 (91 (8)) = 8.
3. Если 8Х51' = ®Г, где <& — тело, то 91(8) = ®/, где является телом, обратно изоморфным телу ®.
4. (91: Ф) = (8 : Ф) (91 (8): Ф).
12.	Подполя и поля расщепления. Предположим, что в предыдущей теореме 8 = является полем. Тогда 9105) = & так что (91:Ф) = 05:Ф)(9105):Ф)>05:Ф)2. Предположим далее, что 91 = © является центральным телом. Тогда мы можем включить g в такое поле что ® (3) = g. В самом деле, если © 05) о <5> то мы можем выбрать элемент Ь, лежащий в 05), но не в <5, и получить поле t5i = $0)> содержащее $ как правильную часть. Если Я) 05J <5ь то мы повторяем этот процесс. В конце концов, мы получим поле § с искомым свойством. Наши рассуждения показывают также, что если ©05)э?5> т0 <5 не будет максимальным подполем в 2). Обратно, если поле <5 не является максимальным, то лежит в большем поле и, следовательно, 2) 05)=э$-Так как © 05) = то (© : Ф) = 05 : Ф)э. Тем самым доказана
Теорема 20. Размерность любого центрального тела © является квадратом. Если (© : Ф) = 82, то 8 будет размерностью любого максимального подполя тела ©.
Если (©: Ф) = 82, то 8 называется степенью или индексом тела ©, и если 91 = ©ет, то 8 называется индексом алгебры 91. Очевидно, чго размерность алгебры 91 являете квадратом /г = (3да)2. Если теперь g является таким содержащим 1 подполем алгебры 91, что 05: Ф) — — Ьт, то 9l05)=g, и потому § будет максимальным подполем алгебры 91-
Применим теперь теорему 14 к 8 = § Согласно этой теореме, g' X © — (V, где (£' является телом и <7 = 8тп является делителем ms'. Таким образом, 8/$' и 8' Х5С = ®в’»я гДе bmls'm. Мы видели, что центром
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
199
алгебры	будет и что с®'. Следова-
тельно,
(($' X ЭД) : Ф) = $  Ф) (8w)2 “ (&' = Ф) (Jm)*.
Так как / и (®': Ф) > (^ : Ф), то из предыдущего равенства следует, что s' = 3 и (®': Ф) = (§ :Ф). Следовательно, в' = §' и ^'ХЭД = 3/- Так как g является полем, то мы можем также написать, что g у ЭД = ЭД$ =%п-
Будем называть поле $ полем расщепления центральной простой алгебры ЭД«фм, если 9l$ = $w. Так как (8»)я = ®п» если	т0 любое поле, являющееся
расширением пол»? расщепления, само будет полем расщепления. Если £)g = ®s, то ЭД5 =	= ®8m- Сле-
довательно, в силу той части теоремы Веддербарна, в которой говорится об однозначности, мы получаем, что. если является полем расщепления для ЭД, то оно будет им и для ©. Очевидно, что и обратно, поле g расщепляет ЭД, если оно расщепляет В самом деле, если = то ЭДд = <5зт* Результаты, полученные нами в предыдущем абзаце, доказывают достаточность условий следующей теоремы:
Теорема 21. Для того чтобы поле $ было полем расщепления центрального тела £> степени 8, необходимо и достаточно, чтобы /=($:Ф) было кратным тЪ числа 8 и чтобы § было изоморфно содержащей единицу подалгебре алгебры ^т.
Для доказательства необходимости этих условий применим следствие теоремы И. Так как ®й = 5Х^ = = ga==^s, то f=m§ и ,5 обладает обратным представлением в ^>т. Так как g является полем, то $ изоморфно содержащему единицу подполю алгебры
Из существования поля расщепления центральной простой алгебры вытекает
Теорема 22. Если ЭД — центральная простая алгебра и поле Г — любое расширение поля Ф (не обязательно конечной размерности), то алгебра ЭДГ будет центральной и простой.
200
ГЛАВА 5
В самом деле, пусть $ является полем расщепления конечной размерности. Тогда существует поле содержащее поля g и Г1*, и 51s = (5lg)s = Sw Следовательно, (9lr)i — Sn- Так как расширение любого идеала алгебры 51г будет идеалом в (5lr)s, то алгебра 5(г проста. Подобным же образом доказываем, что алгебра 51г центральна.
13.	Группа Брауера. Мы видели, что прямое произведение любых двух центральных простых алгебр является центральной простой алгеброй. Рассмотрим структуру прямого произведения 51' X 51, где 51 является центральной простой алгеброй и алгебра 51' обратно изоморфна алгебре 51. Для этой цели применим теорему 14 к случаю, когда 23 = 51- Мы получим тогда, что 51'X X5l = ®s'tt> причем л = (51:Ф) является делителем числа srm. Из сравнения размерностей над Ф мы получаем, что s'т п и = Ф. Следовательно, нами доказана
Теорема 23. Если 51 является центральной простой алгеброй и 51' является алгеброй, обратно изоморфной алгебре 51, то 51' X 51 = Фп-
г Второе, более прямое доказательство этой теоремы проводится следующим образом: пусть 51г и 51г обозначают, соответственно, алгебры правых и левых умножений в 51. Рассмотрим 5(Дг=51г51г. Элементами этой алгебры будут линейные преобразования алгебры 51, рассматриваемой как /z-мерное векторное пространство над Ф. Отметим также, что алгебра 51' X 51 гомоморфно отображается на 5lt5lr, и так как алгебра 51'X 51 проста, то эти алгебры изоморфны. Отсюда следует, что алгебра 51ДГ содержит п2 линейно независимых элементов. Следовательно, 5lj5lr изоморфна Фп, и это же справедливо для 51' X 51.
Этот результат позволяет нам определить замечательную группу, открытую впервые Р. Брауером. Рассмотрим совокупность <5 центральных простых алгебр над фикси
*) Точнее говоря, содержащее подполя, изоморфные полям S и Г.
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
201
рованным полем Ф. Два элемента 91 и 93 множества S называются подобными (21 со S3), если в их представлениях 21 = ©от, 33 = ©- тела ©и © изоморфны. Так как тело © определяется алгеброй 21 с точностью до изоморфизма, то отношение подобия вполне определено. Очевидно, что это отношение обладает свойствами эквивалентности и, следовательно, определяет разложение <5 на непересекающиеся множества {21}, {93}, ... ({21} обозначает совокупность алгебр, подобных данной алгебре 21). Элементами группы Брауера ® (Ф) являются множества [21}. Умножение определяется следующим образом: {21} {33} = = {21X23}. Это определение однозначно. В самом деле, если 21 = ©2 1 = ©Й, и _33=©?vd® = ©S> т0 21X 23 = (©О) X ©(2)ДМ, и 21 X ® = (Ф® ХФ®)^-Центральные простые алгебры ©(1)ХФ® и ©®ХФ® изоморфны, и, следовательно, соответствующие им тела также изоморфны. Класс алгебр матриц (21 со 1) является единицей в группе ®. В силу предшествующей теоремы, {21} {21'} = {1}, и потому {21'} = {2I}-1. Так как прямое умножение коммутативно и ассоциативно, то ® (Ф) будет коммутативной группой.
Если Р является полем над Ф, то отображение {21} -> {21р} будет гомоморфным отображением ® (Ф) на подгруппу группы ®(Р). В самом деле, (21X23)? = = 21р X 93р.
Нашей главной целью в §§ 14 — 16 будет доказательство теоремы о конечности порядка каждого элемента группы ® (Ф). До сих пор нам приходилось ссылаться лишь на результаты, полученные в этой книге. Теперь, однако, мы должны изложить часть теории коммутативных полей. В частности, нами будут использованы результаты § 6, которые до сих пор служили лишь иллюстрацией к теории прямых произведений.
14.	Сепарабельные подполя. Предположим, что поле Ф имеет характеристику 0 и что © является центральным телом степени р. Если а является любым элементом тела ©, не лежащим в Ф, то Ф (а) будет под-
202
ГЛАВА 5
полем тела 5), имеющим размерность р над Ф, и если b является не лежащим в Ф(а) элементом из ®, то алгебра, порожденная элементами а и Ь, будет совпадать с ©. Предположим теперь, что элемент а не будет сепарабельным элементом над Ф, так что а^=а£Ф. Рассмотрим дифференцирование х -> х' = [х, а]. Если х(£Ф(а), то х' ф 0. Однако, х^ = [х, а№] = 0. Следовательно, существует такое целое число	что х^фО, но
x(fc+i)=o. Если мы положим Ь =>х&~^ (х^)"1 и с = = ab> то получим, что Ь' = 1 и с'— а. Таким образом
1—р—-|
[с₽, а] = [с [ ... [с, а] ...]]= а.
Следовательно, [ср— с, а]=0 и др = с-|-g (а), где g (а) £ Ф(а). Очевидно, что g (а) коммутирует с элементами с и а и, следовательно, g (а) = у £ Ф, и с является сепарабельным элементом.
Лемма. Если центральное тело 5) степени р и характер истина р содержит элемент, несепарабельный над Ф, то © содержит также и сепарабельный элемент, не входящий в Ф.
Отметим, что элемент b удовлетворяет уравнению вида Ьр — р, так как [^, а] = 0. Элементы Ь'аз, i, j — 0,..., р—1, образуют базис тела ©, и умножение определяется следующими соотношениями:
= йр = Р, Ьа — ab=\.
Таким же образом мы можем использовать в качестве образующих элементы а и с, связанные следующими соотношениями:
аР = а, —	а-1са = с-\-1.
Так как элементы с -]-1, Ц-2,..., д -|- (р — 1) удовлетворяют уравнению tP = t , то Ф (с) будет циклическим полем над ф с образующим автоморфизмом с—>сЦ-1.
Предыдущая лемма может быть применена при доказательстве следующей теоремы:
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
203
Теорема 24. Любое центральное над полем Ф тело © содержит максимальное сепарабельное подполе.
Если Ф имеет характеристику нуль, то теорема очевидна. Предположим, что характеристика р поля Ф не равна нулю. Пусть является сепарабельным элементом из © и (Ф (fli) : Ф) = Г1>0. Если 23 является алгеброй, состоящей из элементов, коммутирующих с элементами из Ф (aii), то (© : Ф) = S2 = (Ф (tfi) : ф) (23 : Ф) = г^Ь, где b — (23 : Ф). Поле Ф(а,) будет центром алгебры 23. Если 23 содержит сепарабельный над Ф (aj элемент аа и (Ф(«1, аа) : Ф («1)) = г2> 0, то Ф(«1, а2) будет сепарабельным полем размерности rtra над Ф. Этот процесс приводит или к максимальному сепарабельному подполю над Ф, или к центральному телу, все подполя которого, содержащие цейтр как собственное подмножество, чисто несепарабельны. Пусть © будет таким телом и Ф — его центром. Если $ = Ф (ai, аа,..., является максимальным подполем тела ©, то каждый из элементов а{ удо-влетворяет уравнению вида г = Следовательно, $ со-держит такое подполе $0, что ($:$0)=Р и $ = т5о(а)’ где	Элементы, коммутирующие с элементами из
^0, образуют центральное тело S3 степени р над ^0. Так как 23 содержит такой элемент а, что а^ ^50, но т0 ® содержит такой элемент с, что ср — с = = g (a)CSo’ но с g0. Тогда элемент
/ „	\„т	„т~г1	Л"'1 г „ г
(ср— с)Р — ср —ср — (ср )Р—(ср ) = g (а)Р
лежит в Ф, если т достаточно велико. Следовательно, сРт будет сепарабельным элементом над Ф, причем ср Ф, так как из ср *= ср g (а)Р , ср =* „т—2 । z ч 2	/ „т „ х
= ср + S (а)р , • • • следует, что Ф (ср , $0) = = Ф(с,	Таким образом, предположение, что ©
содержит лишь чисто несепарабельные подполя, приводит к противоречию, и, следовательно, теорема доказана.
204
ГЛАВА 5
15.	Скрещенные произведения. Пусть © является центральным телом степени 5; обозначим через $ максимальное сепарабельное подполе тела ©. Тогда $ может быть расширено до нормального сепарабельного поля размерности v = 8лг над Ф. Мы видели, что является полем расщепления и, следовательно, содержится в центральной простой алгебре ©то, подобной телу ©. Кроме того, будет максимальным подполем алгебры ©иг. Пусть 1, 5,..., V являются элементами группы Галуа ® поля $ над Ф. Так как автоморфизм k -► ks поля может быть продолжен до внутреннего автоморфизма алгебры ©та, то существует такой обратимый элемент	что
Us lkas = ks или, иначе, kus — u$ks для всех k0\!. Элемент Ust и$ит перестановочен со всеми элементами k и, следовательно, и3ит~ ust[js т, где В силу ассоциативного закона получаем
о о — О 0^ ШТ, V	Г ST, U'S, Г
и потому р = {ps г| образуют систему факторов. Рассмотрим теперь скрещенное произведение $ (®, р) поля $ С его группой Галуа ®, имеющее в качестве системы факторов |ps Ч Очевидно, что оно гомоморфно отображается на подалгебру S3 алгебры состоящую из элементов вида 2 us&s- Так как алгебра Я1 (®, р) проста, то она изоморфна алгебре 53, и так как (St (®, р) : ф) = v9, то Ж = '©т.
Теорема 25. Любая центральная простая алгебра подобна некоторому скрещенному произведению Я(®, р).
Эта теорема позволяет нам применить теорию скрещенных произведений к центральным простым алгебрам. Напомним, что, по определению, системы факторов р^ 7 и аЯ; Т ассоциированы, если существуют такие элементы что pg г==з5 Т—^Т—  Следовательно, если -ид 1 PgPr
*) Так как соответствие здесь является тождественным, то мы можем применить это упрощение обозначений главы 4,
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
205
является другим множеством таких элементов из = = SB(®, р), что vsxkvs~ks, то u^lvs£& и vs = «shs-Тогда, если vgVr — 'Vsi^s, г» то системы р и <з ассоциированы (рсоа). При этих определениях мы имеем следующую теорему.
Теорема 26. SB (®, р) со 1 тогда и. только тогда, когда р со 1.
Если р со 1, то мы заменяем элементы, и$ элементами -ng = «sp.g и получаем ‘Vsvj- =s vsr. Из § 18 главы 4 следует, что SB (®, р) изоморфно ф„. Обратно, предположим, что SB (®, р) со 1. Тогда SB (®, р) изоморфно Я(®, 1) и, следовательно, SB(®, р) содержит такое поле SB[, изоморфное полю SB, и такие элементы v$t, что каждый его элемент имеет вид 2 ksl, где A^SBi, и
А^, = vSlk^ s‘, vSlVj\ = vSi7\,	(4)
где Sj лежит в группе Галуа поля St\. Мы можем предположить, что SL является автоморфизмом
где А -> А} — некоторый заданный изоморфизм между Я и SBV Этот изоморфизм может быть продолжен до некоторого автоморфизма а -> aL алгебры SB (®, р). Если ngi==(«s)15 то мы имеем
A(1^.Si ==	S1->	— «FizyPs/r-
Если мы сравним это с (4), то получим, что рб) и 1 н, следовательно, pool.
Рассмотрим теперь скрещенные произведения SBi (®1} pj) и Яа(®2, аа), где SBi ~ SBa и изоморфизмом между SBt и SB2 является соответствие At -> А2. Пусть St и Sa будут соответствующими автоморфизмами из групп Галуа ®х и в том смысле, что А11—>Аэа. Мы хотим найти, чему равно ЯЛ®!, pi) X SB2(®a, а2).
Очевидно, что SBi (®!, pi) X SB3 (®3,<з2) содержит SBt X SB2. Последнее произведение является прямой суммой v полей, изоморфных полю Яг Если ef будет единицей одной из его компонент, то элементы этой компоненты имеют вид eiA3, где А3 £ Я3, т. е. SB1XSBa =
206
ГЛАВА 5
= е1^аФ-•• Подобно этому — Соответствие k{ —> k2\ получающееся из равенства etkx =
= &ik{i \ является (обратным) представлением $4 в и мы видели, что таким образом получаются все (с точностью до подобия, которое в этом случае совпадает с идентичностью) неприводимые представления в ®а. С другой стороны, мы имеем v различных представлений
-> где 52 пробегает группу ®2. Следовательно, k-2 ’ — и идемпотентные элементы стоят во взаимнооднозначном соответствии с элементами группы ®2. Мы можем поэтому обозначить через е®2; тогда
2в£, = 1, е^ет, = О, если S2 =£ Т2, fst — ^sv	— &f*) = 0.
Отображения x —> Фт^хфт* и x —> йт^хи^ являются автоморфизмами в X $2- Так как простые компоненты полупростой алгебры однозначно определены, то элементы и ит^е^ит! снова являются элементами е^. Так
как Фт* коммутирует с k{ и 'От11^2‘Пт, = k^2, то
— ^Тг) = о.
Следовательно,	= еад и подобно этому
и2’11в?1«т1 = е?* 151.
Мы определяем теперь es, т =	и проверяем,
что
es.T^zr, v = ST, &es, у, 2 es, s = 1 •
Эти матричные единицы могут быть использованы для представления^! (®!, рх) X ^’2(®э» оз) в виДе (®ь Pr) X Х^а(®2> °2) = ®v> гДе S является совокупностью элементов, коммутирующих со всеми элементами es, т, и изоморфна С б!,!^!®!, pi) Х^2(®2,°2))^,1 = ^- В СИЛУ
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
207
отмеченных выше соотношений, имеем	=Ug1Vste^ 1=
— ws £23 и = kLe^± = k2Cij 1 ==&3 £ S3. Тогда
Ws	~ ^ST P1S1, T^aSj.Ta, ~k™8 = Wgjfe®,
где k == kv и ks — kf\ Мы показали, что 23 содержит скрещенное произведение St (®, р: а2), а так как его размерность над Ф равна v2, то 23 совпадает с этим скрещенным произведением. Следовательно, нами доказана следующая
Теорема 27. Пусть поля и S£a являются изоморфными сепарабельными нормальными расширениями поля Ф и —изоморфизмом между ними. Тогда
(®i, pi) X Яа (®а, ca)coSB(®, рь а2), где изоморфно и ki~> 1гг является таким изоморфизмом между и $, что = Аа.
Эта теорема имеет следующее значение: пусть р,?л т и □s, т являются системами факторов. Произведением их назовем систему факторов -с^ т — ps, та$, т- Множество систем факторов образует относительно этого умножения коммутативную группу. Системы факторов вида р „ =
_____обра3уЮТ подгруппу, и две системы факторов, принадлежащие одному и тому же смежному классу по этой подгруппе, ассоциированы между собой. Если является фактор-группой, элементами которой будут классы ассоциированных систем факторов, и ®^(Ф)—подгруппой группы Брауера поля Ф, состоящей из таких классов центральных простых алгебр, которые имеют Я полем расщепления, то, по нашей теореме, группы и (Ф) изоморфны.
Теорема 28. Если алгебра SB (®, р) имеет индекс 8, то р5со 1.
Пусть $ (®, р) = £)w, где Т> — центральное тело. Тогда £),» = 3i®- • -©Зш, где 3,- являются изоморфными неприводимыми правыми идеалами, имеющими, следова
208
ГЛАВА 5
тельно, одну и ту же размерность, если рассматривать их как векторные пространства над SL Так как : St) = у и (Ж  Ф) = v2 = то (Sf: т = v и (&: St) = S. Элементы us определяют полулинейные преобразования пространства 3» над Следовательно, если элементы a:1,...,x8 образуют базис пространства над SB и
= 2 где	т° матрицы Ms — (^s)
удовлетворяют уравнениям МтМ? = Msrps, т- Если мы положим det/W.s = и..?, то получим, что р^тря, т== Следовательно, p^col.
16.	Экспонент центральной простой алгебры. Из результатов предыдущего параграфа вытекает
Теорема 29. Если 51 является центральной простой алгеброй индекса 6, то (51}? = 1, т. е. прямое произведение 8 алгебр, изоморфных алгебре 51, имеет вид Фто3.
В самом деле, мы видели, что 51со$(®, р) и Р*)> если = Так как р5оо1, то 5lj X  • • X ^а00 Е Таким образом, порядок каждого элемента группы Брауера конечен. Порядок е класса алгебр {51} назовем экспонентом центральной простой алгебры 51. Предыдущая теорема показывает, что экспонент является делителем индекса алгебры 51.
Теорема 30. Каждый простой делитель р индекса алгебры 51 является делителем экспонента этой алгебры.
Если § является полем, содержащим поле Ф, то, как мы видели, соответствие между {51} и {51g} будет гомоморфным отображением группы Брауера над Ф на подгруппу группы Брауера над Следовательно, экспонент ед алгебры 51g является делителем экспонента алгебры 51. Пусть теперь 51оо$(®, p)=®w, где (St: Ф) == v = Ьт. Пусть ps будет наибольшей степенью простого числа р, делящей v, и силовской подгруппой порядка ря группы Для соответствующего группе подполя g поля имеем ($:^)=ps. Рассмотрим (®, p)3l, где§х^§.
430
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
209
Так как полем расщепления для p)g будет — и (Sfi: &) = ps, то степенью $ (®, p)3i будет pf, где и, следовательно, е^—ри, где Таким образом, e = 0(mode31), e^O(modp), за исключением
того случая, когда и — 0.
4Л (®, p)gi со 1 и, следовательно, Так как (& : ф) и , р}
Если же и = 0, то (Si : $) делится на 3.
= 1, то это невозможно.
Докажем, наконец, следующую теорему, позволяющую
во многих исследозаниях о центральных телах сводить проблему к случаю степени вида рп, где р — простое
число.
Теорема 31. Если © является центральным телом 8.	8,
степени 3 = р к ... р^, где Pi — различные простые числа, то © = ©j X ... X ®г> г^е алгебра ©^ имеет степень р8^ и определена алгеброй © с точностью до изоморфизма.
t. t.
Пусть е = pt ... рг, 0 < ti ^Si является экспонентом ©. В силу обычных теоретико-групповых рассуждений, имеем {©} = {©J ... {©г}, где {©<}^^ = 1. Мы можем предполагать, что ©j является телом, Тогда его степень равна 8 /
р* , где X Ц. Так как степени тел ©< взаимно просты, то их прямое произведение ©t X • • • X будет телом, и так как оно подобно телу ©, то © ^ ©х X •.. X и $/ = sf. Если теперь © = ©t X • • • X ®j = Л X •• • X где имеет степень рД то ©^*qo@J*, если qi = epi г. Так как (^, р*г) = 1, то существуют такие целые числа ait bt, что 9А + рХ=1- Тогда
и так как обе эти алгебры являются телами, то ^ = 6^
17.	Центральные тела над специальными полями. Любой элемент а алгебры ЭД удовлетворяет некоторому уравнению ф (а) = 0, где ф (7) является отличным от нуля полиномом из Ф [/]. В самом деле, положим а° = 1, если ЭД обладает единицей, и <z° = 0 в противном случае,
14	748. Н. Джекобсов.
210
ГЛАВА 5
и рассмотрим последовательность а0, а1, а2,... Она содержит лишь конечное число линейно независимых элементов. Следовательно, найдется такое т, 0<т^п, где через и обозначена размерность алгебры 21, что а™ = ат~1а1	а°ат. Таким образом, ср (а) = 0 для
ср (/) = р'» — fm- 1Я1 — . г..— «f°aOT, где Z0 = 1 или 0 соответственно тому, равно ли а0 = 1 или 0. Пусть теперь т минимально. Тогда элементы а4 при 1<,т линейно независимы, и потому элементы ait необходимые для выражения ат через а{, i<jn, однозначно определены. Отсюда следует, что соответствующий полином ср (/) = }*а (/) является единственным полиномом степени т со старшим коэффициентом 1, для которого а будет корнем. Кроме того, ясно, что т является наименьшей степенью всех таких полиномом ср (/) =/= 0, что ср («) = 0. При помощи деления мы можем показать также, что р.я (/) является делителем любого такого полинома ср (f), что ср (а) = 0. Назовем полином (0 минимальным полиномом элемента а.
Если 21 является телом, то полином рья(/) неприводим. В самом деле, если р,я(/)	(^) рЛ2)(/),то	(a) ji(2) (я) =0,
и потому либо pi6) = о, либо р.(2) (а) — 0. В силу минимальности степени полинома	либо	либо
[а(2) (/) имеет степень нуль. Если теперь поле Ф алгебраически замкнуто, то все неприводимые полиномы линейны, и потому для любого элемента а имеем а—1а = О или «=1а. Итак, доказана
Теорема 32. Единственным телом над алгебраически замкнутым полем Ф будет само поле Ф.
Предположим, что Ф является действительно замкнутым полем. Хорошо известно, что единственными алгебраическими расширениями поля Ф являются само Ф и Ф(1), где I2 = — 1. О Пусть 21т£ Ф будет центральным телом над Ф. Если (21: Ф) = т2, где от>1, то существует такое максимальное подполе Г тела 21, что (£ : Ф) — т. Следовательно, Е = Ф(г) и т — 2. Так как поле Ф (/)
1)^См. В а н-д е р-В а р д е н, Современная алгебра, том 1,
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
211
нормально, то 51 является скрещенным произведением, и потому существует такой второй элемент j тела 51, что j~lij = —/, y2=ip. Элемент [3 отрицателен, и j может быть нормирован таким образом, чтобы У2 =—1. Следовательно, тело 51 обладает базисом, состоящим из элементов 1, /, у, k = ij, причем
Z2 = — 1, У2 = — 1, ij = —Ji,
и 51 будет кватернионной алгеброй Гамильтона. Как известно, алгебра 51 такого вида является телом. Если 51 — нецентральное тело над Ф, то центром алгебры 51 будет алгебраически замкнутое поле Ф(/). Следовательно, в силу теоремы 32, 51 = Ф(«).
Теорема 33 (Фробениус). Единственными телами над действительно замкнутым полем Ф являются Ф, Ф(г) и алгебра кватернионов Ф (Z, У).
Пусть теперь Ф является конечным полем и 51 — центральным телом над Ф. Обозначим мультипликативную группу отличных от нуля элементов тела 51 через 51'. Если - является максимальным подполем, то совокупность Е' отличных от нуля элементов из S будет подгруппой группы 51'. Любой элемент b =?= 0 может быть включен в максимальное подполе, и так как любое максимальное подполе имеет вид и~1^и, то b £ и-^'и при соответствующем элементе и. Таким образом 51' является теоретикомножественным объединением сопряженных с подгрупп. Но объединение всех подгрупп конечной группы, сопряженных с данной подгруппой, может совпадать со всей группой лишь тогда, когда эта подгруппа совпадает со всей группой. Следовательно, Е' — 51', и тело 51 коммутативно. Таким образом, 51 = Ф.
Теорема 34. (Веддербарн). Единственным центральным телом над конечным полем Ф является само поле Ф.
Этим также доказано, что любое тело над конечным полем коммутативно. Кроме того, так как любое тело может рассматриваться как алгебра над своим центром, то эта теорема справедлива для произвольных конечных тел.
14*
212
ГЛАВА 5
18.	Минимальный полином алгебры. В дальнейшем в этой главе мы будем рассматривать алгебры, которые могут не быть простыми. Мы определим специальный класс полупростых алгебр, называемых сепарабельными, и дадим конструктивный критерий принадлежности алгебры к этому классу. Если поле Ф имеет характеристику нуль, то каждая полупростая алгебра сепарабельна, так что в этом случае критерий сепарабельности совпадает с критерием полупростоты. Мы получим также, следуя Вед? дербарну, структурную теорему, которая в некотором смысле сводит изучение произвольных алгебр к изучению полупростых и нильпотентных алгебр.
Рассмотрим сначала теорию минимального полинома элемента а произвольной алгебры $(. Предположим, что мы имеем взаимнооднозначное представление х-+Х алгебры 51 матрицами из алгебры матриц Фу, причем, если алгебра 51 обладает единицей, то эта единица отображается в единицу алгебры Фу1). Пусть 51 обозначает совокупность матриц, представляющих 51, и пусть А является матрицей, соответствующей элементу а. Мы утверждаем, что тогда минимальный полином рь0(Л элемента а будет также и минимальным полиномом матрицы А, рассматриваемой как элемент алгебры Фу. В самом деле, очевидно, что [*о(7) является минимальным полиномом матрицы А, рассматриваемой как элемент алгебры 51. Из наших предположений следует, что если 51 обладает единицей, то эта единица является единицей алгебры Фу. Следовательно, в этом случае минимальный полином матрицы А в 51 совпадает с минимальным полиномом в Фу. Предположим теперь, что 51 не обладает единицей, и пусть (0 — 1т— —	.. — 1«да_1 будет минимальным полиномом А
в Фу. Тогда элемент 1ат~Ат — А”1-1^— ...—.4«ra.i принадлежит к 51 и поэтому должен равняться нулю. Таким образом, постоянный член в (t) равен нулю и, следовательно, р-а (Z) будет минимальным полиномом
*) В этом рассуждении мы можем употреблять вместо обычных представлений обратные представления алгебры 31.
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
213
элемента А в Д. Напомним теперь, что минимальный полином матрицы А равен последнему инвариантному множителю лежащей в Ф [Z]y матрицы (11—Л). Следовательно, и pa(t) равен последнему инвариантному множителю матрицы (1t—Л), и если/(/) является характеристическим полиномом, равным det(l/—Л), то p.e(f) будет делителем полинома f(t). Так как f(f) равен произведению всех инвариантных множителей, а каждый инвариантный множитель является делителем последнего из них, то каждый неприводимый делитель полинома f(t) будет делителем полинома
Пусть элементы *i,. .., хп образуют базис алгебры $ над полем Ф и пусть Р = Ф ($1,..., Sw) будет полем, полученным из Ф присоединением неизвестных С/. Образуем алгебру %> и назовем элемент Si	xnSn этой
алгебры общим элементом алгебры 31. Предположим теперь, что -> Xi является взаимнооднозначным представлением алгебры 51 в Фу. Тогда 2 х^ -> где Ч» € ?> бу-дет взаимнооднозначным представлением %> в Ру, удовлетворяющим условию 1 —> 1, если обладает единицей1). Поэтому можно применить вышеприведенные рассуждения к	Мы видим, что/п (/,£)—последний инвариантный множитель матрицы (1/—2	— является мини-
мальным полиномом элемента и делителем характеристического полинома
= fl—fl-1,,, (Е) + ... + (_ 1)»¥лг (Е).
Так как коэффициенты полинома f(t, S) являются полиномами от Sf, то из леммы Гаусса следует, что коэффициенты полинома т (t, S) также будут полиномами от
г) Если некоторое расширение 8СР алгебры 5С обладает единицей, то и St обладает единицей. Это следует из известной теоремы о том, что система линейных уравнений с коэффициентами из Ф имеет решение в поле расширения Р тогда и только тогда, когда она имеет решение в Ф, Детали доказательства предоставляются читателю.
214
ГЛАВА 5
Мы показывали также, что полиномы m(t, $) и /(7, £) обладают одинаковыми неприводимыми множителями в Р И, отличаясь самое большее кратностями этих множителей. Из определения тп(^,5) как минимального полинома для 2 * Л в следует, что т (t, $) зависит лишь от 2 а не от использованного частного представления. Мы будем называть этот полином минимальным полиномом алгебры 31.
Пусть элементы yh..., уп, где = 2 образуют второй базис алгебры 31 и пусть т' (t, т;) будут минимальным полиномом, определенным общим элементом 2>'<71г  Если мы используем поле Е = ф (£,т]), то мы можем сравнить т (/, $) и т' (У, ?]). Напомним теперь, что если элементы а\,..., аг линейно независимы в алгебре 51, то они остаются линейно независимыми в любом расширении 3ls этой алгебры. Из этого следует, что минимальный полином элемента алгебры не изменяется, еслирасширить поле, над которым определена алгебра. Следовательно, m(t, Е) и т' будут минимальными полиномами соответственно элементов 2 и 2j'<7l< в алгебре 3lj. Так так _уг- = 2 Xjfyo то 2wii= 2 Г^е S у = 2 Pjrti-Следовательно, т (/,£') = т' (t, т|). В этом смысле полином т (t, $) является инвариантом алгебры 31. Мы пишем
=	^-1rl$) + ... +(—l)rW)-
Если заменить некоторыми элементами из Ф, например, = то мы получим политом та (/) = т (t, а), называемый главным полиномом, связанным с элементом a = ^Plxiai алгебры 31. Применяя соотношение /«(/,£') = т' (t, тр, мы видим, что полином та (f) не зависит от выбора базиса. Следовательно, это же имеет место и для функций 7(fl) Т (а) и ?/(а) ==/V(a), называемых соответственно главным следом и главной нормой элемента а. Равенство т (х ($),$)= 0 эквивалентно п
1) См. Albert, Modern Higher Algebra, стр. 37.
алгебры над полем
215
полиноминальным тождествам (£) = 0, получающимся при представлении т (х (£),£) в виде	Таким обра-
зом, мы имеем т (а, а) = 0. Отсюда следует, что ma(t) делится на р>а(0’ ^ак как полиномы /(/, а) и имеют одинаковые неприводимые множители, то и полиномы ma(f) и p-a(Z) имеют одинаковые неприводимые множители.
Матрица (Т (xtXj)) называется дискриминантной матрицей алгебры 21. При изменении базиса эта матрица заменяется коградиентной (М'ТМ, где матрица М невы-рождающаяся). det(T(XfXj)) называется дискриминантом алгебры 31. Дискриминанты алгебры 31 отличаются друг от друга не равными нулю множителями, являющимися квадратами элементов из Ф.
Рассмотрим теперь вопрос о вычислении минимального полинома m(t,%). Предположим сначала, что 21 = ФГ. Применим здесь представление 31 в самом себе. Если являются неизвестными, то полином f(t, £) = det (И—($у)) неприводим в Р[£], где Р = ф(^.)1), Следовательно, m(t, £)= f (t, $). Подобным же образом изучается алгебра 3( = ф(])©.. .фФ’Ч где Ф(») — Ф. Общим элементом алгебры 21 будет
S(1)
*7
Применяя это представление, мы получаем, что m(t, £) = -Па (А где Д является характеристическим полиномом элемента (1£—(£<й))).
Пусть теперь 21 является произвольной алгеброй. Заметим, что m(t,\) не изменится, если заменить алгебру 21 алгеброй 21г, где Г—расширение поля Ф; в самом деле, 2 x£i будет также общим элементом для 21г- Следовательно, достаточно определить m(t,$) для 21г, где поле Г
См. L. Е, D1 с k s о и, Algebras and Their Arithmetics, стр. 115.
216
ГЛАВА 5
является алгебраическим замыканием поля Ф. Предположим, что х -> X является таким взаимнооднозначным представлением алгебры 21г, что 1 —> 1, если алгебра 21г обладает единицей. Мы можем считать, что это представление имеет вид
(5)
О
Х&
где х —> ХЮ являются неприводимыми представлениями, из которых некоторые могут быть нулевыми. Если 91—радикал кольца21г, то 51г/31 = Ф.. .ф Г^, где являются телами. Так как поле Г алгебраически замкнуто, то из теоремы 32 следует, что Г(*)~ Г. Представление х —> ХЮ будет представлением одного из Гг . Следовательно, если это представление не является нулевым, то множество матриц ХЮ будет совокупностью всех матриц, имеющих то же число строк и столбцов, что и матрица ХЮ. Следовательно, возможно выразить матричные единицы eW Zt-ro «ящичка» в виде линейной комбинации матриц Хш. Отсюда вытекает, что характеристический полином Д(/, Е) элемента (1/—неприводим и, следовательно, m(t,E) = Па ?. (£,$) — произведению некоторых из полиномов . Так как m(t, Е) является последним инвариантным множителем элемента (1£—X), то т(i, В) делится на каждый из полиномов fH. Мы хотим теперь показать, что представления х —>	содержат
все неприводимые ненулевые представления алгебры 21щ Для этой цели напомним, что если 3^ является некоторым неприводимым левым идеалом в то представления алгебры Sip, определенные при помощи s идеалов
s, образуют полную систему неэквивалентных неприводимых отличных от нулевого представлений алгебры 21г. Если обозначает двусторонний идеал алгебры 91г, отображающийся в то представление идеала 21 ’ к
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
217
определенное при помощи идеала где 1фк, является нулевым представлением. Следовательно, если определенное идеалом 3^ представление не встречается среди составляющих представлений х -> X(h\ то элементы идеала 51-/г) представляются в (5) матрицами, все диагональные «ящички» которых состоят из нулей. Очевидно, что такие матрицы образуют нильпотентную алгебру, и так как представление ’ идеала 5l(fe) взаимнооднозначно, то идеал 51® нильпотентен, вопреки соотношению, 51(^ /Л П 51® ~ Г®. Отметим наконец, что если алгебра обладает единицей, то ни одно из представлений х—> Х^ не может быть нулевым. Следовательно, т (/, £) делится на t тогда и только тогда, когда 51 не обладает единицей.
Если /Л(/Д) = А—№ г® ф+- • •+(—
то	Т(^ (I) является следом матрицы 2Л,
a	($) — детерминантом этой матрицы. Очевидно, что
Г (£) = 2 G) и =Um*/ (£). Используя свой-i
ства и и тот факт, что отображение 2 xiai —гомоморфно, мы получаем следующие важные соотношения для главного следа и главной нормы:
Т (а Ь) = Т (а) + Т (b), Т (аа) =Т(в)«, Т (а&)=Т(дд), N(ab) = N(a)N(b), ДГ(аа) = TV (a) ar.
Конечно, если алгебра 51 не обладает единицей, то N (а) = 0.
Примеры. 1) Пусть 51 является сепарабельным полем и поле Р — наименьшим нормальным расширением поля 51. Тогда 5lp = p(J) ф. .. фР<и), где п — (51: Ф). Следовательно, полином m (t, $) имеет степень п и поэтому совпадает с характеристическим полиномом матрицы общего элемента в регулярном представлении.
2) Пусть 51 будет чисто несепарабельным полем характеристики р ф 0 вида Ф (хр ...» хт), где xf = £ Ф и (51 :Ф) =--рт. Тогда элементы xj\ .. х^га, образуют базис поля 51, и если х — 2 лй1 • • 
то т(f,$) = tp— 2Ъ* •. •	• • - 1{т-
218
ГЛАВА 5
19. Сепарабельные алгебры. Если 51 является конечным сепарабельным расширением поля Ф, то, как мы видели, алгебра 51г будет полупростой для любого поля расширения Г поля Ф. Пусть теперь поле 5( несепарабельно и имеет характеристику р, а — несепарабельный элемент и <р (i) = (ф)г -f-	. Д- — его
минимальный полином. Так как элементы 1, а, ..., линейно независимы в 51, то они будут линейно независимы в 51г. Следовательно, при любых элементах из Г b — ar -ф- аг~ф + . ,. -fr ф 0. Предположим, что поле Г алгебраически замкнуто, и выберем в качестве эле-
менты pf. Тогда Ь>> = 0, и потому алгебра 5(г не будет полупростой. Этот факт приводит нас к определению сепарабельной алгебры над полем Ф как такой алгебры 51 над Ф, для которой алгебра 51г будет полупростой, каково бы ни было поле расширения Г поля Ф. Обобщением нашего результата о полях будет следующая
Теорема 35. Для того, чтобы, алгебра 51 была сепарабельной над полем Ф, необходимо и достаточно, чтобы 51 = 51L Ф.. • Ф 51г, где алгебра 51$ проста и обладает центром сепарабельным над Ф.
Необходимость. По определению, если алгебра 51 сепарабельна, то она полупроста и, следовательно, 51 = = 5lj Ф,.. Ф 5lf> где каждая алгебра 5(г проста. Центр (5f алгебры 51< сепарабелен. В самом деле, в противном случае одно из полей (5г-, например @.1? содержало бы несепарабельный элемент, и, следовательно, если Г является алгебраическим замыканием поля Ф, алгебра (5,^ содержала бы нильпотентный элемент b ф 0. Так как элемент b лежит в центре алгебры 51г, то главный идеал b 51г был бы нильпотентным вопреки предположению.
Достаточность. Так как 51г = 5lir Ф • •  Ф ^г, то достаточно рассмотреть случай, когда алгебра 51 — 51! проста и ее центр сепарабелен. Пусть поле Р изоморфно наименьшему нормальному расширению поля (5,. Мы видели, что ЙХР = Ф... Ф Р(г), где РС^ является полем, изоморфным полю Р, и г=и$;Ф). Пусть
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
219
1 = eL	ег, где ej £ Р<А Тогда ~Р&> = еуР, и потому
для любого элемента с из (5. мы будем иметь etc = е^^, где pW £ Р и где соответствия с -> р<0 являются различными неприводимыми (обратными) представлениями поля (5 в Р. Пусть теперь элементы .. ., хп (ra = v9) образуют базис алгебры & над (5, и
xixi = 2 хкСкнч	(6)
где	Тогда, если элементы cL, . . . , сг образуют
базис поля над Ф, то элементы x^Cj образуют базис алгебры ЭД над Ф. Таким образом, каждый элемент из ЭД X Р имеет вид 2 xicjfij> где "tij € Р- Если мы выразим элементы cj через ej, то получим однозначное представление вида 2-*дйД^ Для каждого элемента из ЭДХР. Так как е^ек = 0 при jф k, то ЭД X Р = ЭД, ®.. . ® ЭДГ, где ЭД^ является двусторонним идеалом с базисом —	. . ., х$ =
— хпе^ над Р. В силу(6), имеем х^х^ = 2хк}"{кЫ • Таким образом, ЭД^ является центральной простой алгеброй над Р, изоморфной, как алгебра над Ф, алгебре (ЭД над 6)р. Если теперь Г — любое расширение поля Ф, то образуем расширение £, содержащее поля Р и Г. Тогда ЭДе = = (ЭДр)г — ЭД1Е ® • • • ® ЭДге, где алгебры ЭД^ простые и центральные. Так как ЭД? = (ЭДг)т, то алгебра ЭДГ полу-простая.
Второй критерий сепарабельности алгебры дается следующей теоремой.
Теорема 36. Для того чтобы алгебра ЭД была сепарабельной, необходимо и достаточно, чтобы ее дискриминант А был отличен от нуля.
Отметим сначала, что А — det (Т (х^У) = 0 тогда и только тогда, когда существует такой отличный от нуля элемент л'^ЭД, что Т (га) — О для всех а. В самом деле, если Д = 0, то система уравнений 2 Т (xixj)^i — О обладает решением ($х, ..., $w), отличным от (0, ..., 0), и, следовательно, элемент г=^х^фО удовлетворяет уравнениям Т (хрг) — Т (zXi) — 0 для i = 1, Отсюда следует, что Т(га) = § для всех а. Обратное очевидно;
220
ГЛАВА 5
если T(za) = 0 для всех а, то Т(х{г) =0, и поэтому система уравнений Т (xpcj) — 0 обладает нетривиальным решением. Тогда Д = 0. Предположим теперь, что алгебра 31 несепарабельна. Тогда существует такое поле Г, что алгебра 31г обладает радикалом 91. Если г£9?, то для всех а из 31г. Пусть теперь х-+Х будет взаимнооднозначным представлением алгебры 91г матрицами. Тогда если г -> Z и а -> Д, то матрица ZA = X нильпотентна. Если мы применим матрицы вида (5), то увидим, что каждая матрица нильпотентна, и, следовательно, все Т& (X) = 0. Тогда и Т (X) = 2
а поэтому Т (za) — 0 для всех а и д = 0. Пусть теперь алгебра 91 сепарабельна, и пусть поле Г является алгебраическим замыканием поля Ф. Тогда 91г =	. ® Г^,
где Г^^Г, и потому 91г является алгеброй матриц вида
где элементы $ произвольны; как мы видели, Т(X) будет обычным следом элемента х. Если мы используем базис 1к,}к= 1„.. ., пк; k = 1, ... , t, для алгебры 91г, где 4М является матричным базисом для Г«,\ то полу-л*>	л	*
чим простым вычислением, что det (Т (4*^4,^)) — ==±1.
20. Теорема Веддербарна
Теорема 37. Пусть 91 является алгеброй с радикалом Тогда если алгебра 91 = 91/9? сепарабельна, то существует такая подалгебра <5 алгебры 91, что 91 = 9? + ®, 9? П e = oJ).
J) Эта теорема дама Веддербарном для полей Ф характеристики 0; доказательство в общем случае является тривиальным изменением рассуждений Wederburn’a [8] или Dickson [2J;
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ
221
Предположим сначала, что SR2 ^О^Тогда (51/SR2: Ф) < < (51: Ф). Так как 5l/SR2/SR/SR2 51, то SR/SR2 будет радикалом алгебры 51/SR2, и эта алгебра удовлетворяет условиям теоремы. Мы можем предположить, что теорема уже установлена для алгебр размерности меньшей, чем (51: Ф). Следовательно, существует такая содержащая подалгебра ©, алгебры 51, что
51/SR2 = ©i/SR2 4- SR/SR2, (©j/SR2) П (SR/SR2) = 0.
Эти равенства эквивалентны следующим;
5( = ®г4-Я Л SR = SR\	(7)
Так как 51/SR = (©i + WR= П SR.= 61/SR2, то радикалом алгебры будет SR2, и <5i удовлетворяет условиям теоремы. Так как 5ц П SR ~- SR2, то (<5i:Ф) < < (51: Ф), и потому существует такая подалгебра 5 алгебры <51, что <51 = <5 4~^а и 5HSR2 = 0. Тогда, в силу соотношений (7), 51 = 5 + SR и 5 Л У1 — 0.
Предположим далее, что 51 = Ф«,ф.. .фФи\ где ФМ=Ф> и пусть ик является единицей в Ф„\ Мы можем выбрать идемпотентные элементы ик в ик так, чтобы «й«г = 0 при k ф I. Тогда	П SR) = (ий51«й Ц- SRJ/SR =
= Ф^. Следовательно, алгебра	примарна, и ее
радикалом является ик%ик П SR = икУ1ик. Отсюда следует, что ик%ик содержит подалгебру ~ Ф^. Так как икиг = 0 при кф1, то 5й@г = 0, и потому алгебра <5 = ©i 4" ... ... 4~®f = 5i ®... © <5# полупроста, и ее размерность равна S/ifc2. Следовательно, <5 (1SR=O, и, сравнивая размерности, мы видим, что <5 4"SR=.5l.
Наконец, пусть 51 будет любой алгеброй, удовлетворяющей условиям теоремы, причем SR2 = 0. Если поле Г является любым расширением поля Ф, то 51r/SRrS(5l)r и последняя алгебра полупроста. Следовательно, SRp будет радикалом алгербы 51г- Если поле Г является алгебраическим замыканием поля Ф, то 5lr/SRr Г^,1, ф.. .фГя^
222
ГЛАВА 5
где — Г. Матричные единицы простых компонент алгебры 21г могут быть выражены при помощи базиса У1, . . , уг алгебры 21 в виде где Так как существует лишь конечное число элементов входящих в эти выражения, и каждый из элементов •w алгебраичен над ф, то они порождают конечное расширение Р поля Ф. Очевидно, что 21р будет представлять собою прямую сумму алгебр матриц над Р и 21р/31р = р£, Ф -  • Ф Рч*> а тогда, как мы уже показали, 2tP = 3£i> -|- © и ® А Лр = 0, где <5 является подалгеброй 21р. Пусть элементы р0=1, pi, .. . , ps образуют базис поля Р над Ф, и элементы Xi, . . ., хп образуют такой базис алгебры 21 над Ф (Р), что элементы хг+1, ..., хп будут базисом радикала 31 над Ф(Р). Тогда xi=yi— Zi, гдеу4£<5 и г^Э1р. Элементы ji, ... , уг образуют базис алгебры ® и = х^ ф- S^jpj, где ^-^31. Положим х/ — х* ziQ. Тогда элементы х/, ,. х/, xr+i, .. . , хп образуют базис алгебры 2( над
Ф и y{ = xt' -^z/, где	Следовательно,
А = 1
х/х/ =	Т- где	и	Отсюда
следует, что ЛУ, ==	где	и так
как у&&, то	Если мы подставим в эти соот-
ношения вместо элементов yf их выражения х/ z/, то они примут вид:
хг- Ху Xi Zj -j- Z$ Xj ~ 2 (_xJc Ч- % к ) IА'г/
Если мы представим каждый член в виде £а,р^ и сравним коэффициенты при р0 = 1, то получим, что х/х^' = =	Следовательно, совокупность всех элементов
вида £х/а$, где а£Ф, образует искомую алгебру <5.
Глава 6
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
1.	Кольца отношений. Эмми Нетер показала, что основная теорема разложения для идеалов максимальной области алгебраических чисел может быть выведена из некоторых весьма простых свойств этой области. Эти требования содержатся в теореме: Если о является коммутативной областью целостности, то отличные от нуля и от о идеалы разлагаются одним и только одним способом на произведение простых идеалов тогда и только тогда, когда область о удовлетворяет следующим условиям:
N 1. о целозамкнута (в своем поле отношений).
N 2. Выполнено условие обрыва убывающих цепей для идеалов, содержащих любой фиксированный, отличный от нуля, идеал.
N 3. Для всех идеалов выполнено условие обрыва возрастающих цепей.
В настоящей главе мы рассмотрим обобщение этого результата на некоммутативные кольца. Теория эта принадлежит главным образом Шпайзеру, Брандту, Артину, Хассе и Дейрингу; аксиоматическое же обоснование ее — Асано. Многие из результатов этой главы были уже изложены в наших исследованиях об областях главных идеалов. Нам понадобятся также ссылки на теорию колец главных идеалов, развитую нами в §§ 15—16 главы 4.
Начнем с колец, обладающих единицей. Элемент а кольца в называется регулярным, если он не является
224
ГЛАВА 6
ни правым, ни левым делителем нуля. Первое ограничение, которое мы наложим на кольцо, состоит в том, что кольцо в обладает (правым) кольцом отношений, т. е. таким содержащим о кольцом 51, что 1) каждый регулярный элемент кольца 0 обладает в 31 обратным элементом, и 2) каждый элемент кольца 91 имеет вид ab~x, где а и b лежат в о. Весьма просто получить условия, при которых для в существовало бы подобное кольцо 91. Для этой цели рассмотрим любую пару элементов а и b кольца в, причем элемент b регулярен. Тогда Ь~х лежит в 91 и, следовательно, Ь~^а имеет вид где av и лежат в о. Тогда bat==abc Поэтому для существования кольца 91 необходимо, чтобы для любой пары элементов а и b кольца о, где элемент b регулярен, существовало общее правое кратное m = abt~ = bav с регулярным элементом bv.
Обратно, предположим, что это условие выполнено. Как и в главе 3, рассмотрим такие пары (а, Ь) элементов а и b кольца в, что элемент b регулярен. Если (с, d) является другой парой этого вида и т—любым таким кратным вида db± == bd±, что элемент Ьу (а, следовательно, и элемент dx) регулярен, то мы будем считать пары (а, Ь) и (с, d) эквивалентными ((а, Ь) — (с, d)), если adx=cbt. Отметим, что если это условие выполнено для какого-либо т, то оно выполнено и для любого n = dd3 = #da, для которого элементы да и d2 регулярны. В самом деле, мы можем найти такие регулярные элементы и elt что Ь^е2 = Ь^. Тогда d.te2^ d^ey и ad2~ cb2. Отсюда непосредственно следует, что соотношение ~ симметрично, рефлексивно и транзитивно. Как обычно, мы обозначаем совокупность пар, эквивалентных паре (а, £), через ajb.
Если m — dbL — t)dx и элементы bv и dL регулярны, то определим а[Ь Ц- c/d как (adj -ф- cd^jm и, если n=s bci=cbi, где элемент регулярен, то определим (afb) (cjd) — acjdbv Определенные таким образом функции однозначны и превращают множество 91 «дробей» alb в кольцо. Предоставляем проверку этих фактов читателю. Кольцо 91 обладает единицей 1/1 и содержит
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЁОРИЯ ИДЕАЛОВ
225
изоморфное кольцу о подкольцо, состоящее из элементов с/1. Идентифицируем это подкольцо сои будем писать а вместо а/1- Тогда если элемент а не является делителем нуля, то он обладает в кольце обратным элементом
= Так как любой элемент кольца 91 имеет вид (a/l)(l/Z>) = аЬ~1, то 91 является правым кольцом отношений кольца о.
Отметим далее, что кольцо отношений определено однозначно с точностью до изоморфизма. В самом деле, легко проверить, что если кольца о и о' изоморфны, причем а—ki является изоморфизмом между ними, то их кольца отношений 91 и. 91' также изоморфны, причем изоморфным соответствием для них будет ab~l —> a' Наконец, заметим, что если 91 является кольцом отношений кольца о, то всякий регулярный элемент из 91 обладает в кольце 91 обратным элементом.
2.	Порядки и идеалы. Поскольку условия для того, чтобы кольцо о обладало кольцом отношений, уже установлены, более удобно изучать вместо кольца а его кольцо отношений 91. Таким образом, предположим, что 91 задано как любое кольцо с единицей, в котором каждый регулярный элемент обладает обратным. Например, 91 может быть любым кольцом, удовлетворяющим условию обрыва убывающих цепей правых и левых идеалов1). Рассмотрим подкольца с кольца 91, определяемые следующим образом.
Определение 1. Порядком о кольца 91 называется содержащее 1 подкольцо, обладающее тем свойством, что каждый элемент из 91 имеет вид ab~x при некоторых элементах а и b из о.
!) В самом деле, в этом случае если а не является левым делителем нуля, то отображение х —» ах будет 2Гу-изоморфиз-мом между 91 и правым идеалом й?Г. В силу условия обрыва убывающих цепей для правых идеалов, «31 = 31. Следовательно, существует такой элемент Ь, что ab — 1. Подобно этому, существует такой элемент Ь', что Ь’а = 1. Отсюда следует, что b в Ь'.
15 Зак. 748. Н. Джекобоон.
226
ГЛАВА 6
Следует отметить, что это определение имеет односторонний смысл, и мы не должны предполагать, что элементы кольца % представимы в виде Ь^а, где b и а лежат в о. Последнее условие будет, однако, выполнено в порядках, с которыми мы будем главным образом иметь дело в дальнейшем.
Порядки и о2 называются эквивалентными, если существуют такие регулярные элементы аг, Ьх, а2, #2 кольца $[, что	и	Очевидно, что
это соотношение симметрично, рефлексивно и транзитивно. Ограничимся рассмотрением лишь таких порядков, которые эквивалентны фиксированному порядку оо, и для простоты будем употреблять термин «порядок» вместо «порядок, эквивалентный порядку оо». Для доказательства того, что подкольцо о', содержащее единицу, является порядком, достаточно показать существование такого порядка с и таких регулярных элементов а, Ь, а! и Ь', что aob^f) и а'о'Ъ'его. В самом деле, если z является любым элементом кольца то существуют такие элементы р, q из о, что a~lza = pq~l и потому z = (apt)} (aqb}-1.
Определение 2. Подмножество й кольца 31 называется (дробным) правым о-идеалом, если 1) йо^й, 2) я содержит регулярный элемент и 3) в кольце % существует такой регулярный элемент а, что ей^о.
Левый о-идеал определяется подобным же образом. Если а является одновременно правым о-идеалом и левым о-идеалом, то а называется двусторонним о-идеалом. Если а — любой регулярный элемент, то множество а=ао будет правым о-идеалом. В самом деле, выполнение условий 1) и 2) очевидно, а условие 3) выполнено, так как а-1о = о. Идеал такого вида называется главным. В этих терминах условия 2) и 3) могут быть заменены соответственно условиями:
2') а содержит главный правый о-идеал и
3') а содержится в главном правом о-идеале.
Пусть теперь о будет некоторым порядком, а й — правым о-идеалом. Рассмотрим множество ог таких
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЙОРИЯ ИДЕАЛОВ
227
элементов х, что хлсд1), Очевидно, что является содержащим единицу подкольцом кольца 9(. Так как существуют такие регулярные элементы а и Ь, что бдСяСао, то boa-1 oh и так как ог (бо)сао, то огбсдо и о^саоб-1. Таким образом, ог является порядком. Так как й-'чтсо, то яа_1я^я, и потому ла-1 с ог,
Наконец, b лежит в а, так что 0г&сд. Это показывает, что а является левым вг-идеалом.
Подобным же образом, если а является левым о-идеалом, то совокупность ог таких элементов у, что «уса, является порядком, и а будет ог-идеалом. Следовательно, начиная с правого о-идеала, мы можем определить сначала ог и потом, рассматривая я как левый ог-идеал, доказать, что множество ог таких элементов у, что яуся, является порядком, а я—правым аг-идеалом. Очевидно, 0С()г,
Теорема 1. Если я является правым (левы и) идеалом, то совокупность таких элементов х, что хяс я, будет порядком ог, а совокупность таких элементов у, что яуся, — порядком ог. Множество я является левым о г идеалом и правым о г-идеалом.
Порядки ог и сг называются соответственно левым порядком и правым порядком идеала я. Если я^ог, то ясог и обратно. В этом случае идеал я называется целым. Если я является главным с-идеалом ао, то аогсао и потому or=so. Подобно этому вг = а0а-1.
Если я — правый идеал с правым порядком ог и левым порядком ег, то пусть я-1 обозначает совокупность таких элементов z кольца %, что лея с я. Очевидно, что элементы z могут быть также охарактеризованы либо соотношением az с рг, либо соотношением za с 0Г. Если с и d — такие регулярные элементы, что doraagcor, то а(огс-1)а = (яог)(с-1й)^(аог)вг = а и a~ldcor. Тогда 0гс-* cj-1 с ord~x, и так как я-1
х) К сожалению, наше обозначение совпадает здесь с обозначением для кольца левых умножений. Поэтому мы не будем в этой главе употреблять старое обозначение для этого кольца.
15*
228
ГЛАВА 6
является левым о-модулем, то я-1 будет левым ^-идеалом. Подобно этому, д-* будет правым ог-идеалом.
Теорема 2. Если я является идеалом с правым порядком ог и левым порядком ог, то совокупность таких элементов z кольца а, что ягя с а, будет левым ог-идеалом и правым vt-идеалом.
Идеал а"1 называется обратным идеалу я. Так как а-1 представляет собой совокупность таких элементов z, что	то для любого другого идеала Ься с пра-
вым порядком ог (левым порядком oz) мы будем иметь iHcH. Если я = ас, то ог = о, и если z лежит в я-1, то za = b лежит в п. Следовательно, z — ba-1 и и я-1 == яа-1.
3.	Ограниченные порядки. Мы увидим далее, что основным понятием излагаемой теории является, как и для областей главных идеалов, понятие ограниченного идеала. Правый (левый) о-идеал я называется ограниченным, если он содержит двусторонний о-идеал. Следует отметить, что это определение применимо к любому идеалу,’ как целому, так и к нецелому, и что нет необходимости оговаривать, что двусторонний идеал отличен от нуля, так как это требование содержится в нашем новом определении идеала; Если все идеалы порядка о ограничены, то мы назовем сам порядок с ограниченным. В этом параграфе мы исследуем некоторые свойства ограниченных порядков.
Так как любой идеал содержит главный идеал, то для того чтобы порядок о был ограниченным, достаточно, разумеется, чтобы каждый главный о-идеал содержал двусторонний о-идеал. Предположим, что порядок о является максимальным в том смысле, что не существует порядка (эквивалентного о), содержащего о как собственное подмножество1). Тогда мы имеем следующую теорему.
3) Примеры ограниченных максимальных порядков будут даны далее.
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
229
Теорема 3 Следующие условия, налагаемые на максимальный порядок о, эквивалентны: 1) порядок о ограничен, 2) каждый целый правый (или левый) о-идеал содержит двусторонний ь-идеал, 3) для любого регулярного элемента с осо является двусторонним о-идеалом и 4) для каждого регулярного элемента а существует такой регулярный элемент Ь, что ob^ao (или Ьо^-ае).
Предположим, что для любого регулярного элемента а из о идеал ао содержит двусторонний о-идеал а. Так как порядок о максимален, то оба порядка идеала ci совпадают с о. Следовательно, (до)-1 — оа-1 с а-1 и оа-’осд-1. Отсюда следует, что оа-1!? содержится в правом (левом) главном о-идеале и потому оа-1о является двусторонним о-идеалом. Если с — произвольный регулярный элемент, то с имеет вид Ьа~\ где b и а лежат в о. Тогда осо = оба-1о с ра-^ и рср является двусторонним о-идеалом. Мы доказали, что из условия 2) следует условие 3). Предположим теперь, что выполнено условие 3). Если а является произвольным регулярным элементом, то двусторонний о-идеал а —рй_1р содержит как оа-1, так и а-1о. Следовательно, с (од-1)-1 = ао. Так как д-1 является двусторонним о-идеалом, то он содержит главный левый о-идеал оЬ. Подобно этому, ой содержит д-1, а также соответствующий идеал Ь'о, где элемент Ь' регулярен. Таким образом из условия 3) следуют условия 1) и 4). Так как условие 2) является очевидным следствием условия 1), то условия 1), 2) и 3) эквивалентны. Докажем, наконец, что из условия 4) следует условие 1). Пусть ао будет произвольным главным идеалом и b таким регулярным элементом, что ар^рб. Тогда ао^обо и обо будет правым о-идеалом. Так как порядок о максимален, то левый порядок идеала обо совпадает сои потому обо является также и левым о-идеалом. Это показывает, что условие 1) выполнено, и теорема доказана полностью.
Следующая теорема показывает, что если о является ограниченным максимальным порядком, то условие, что каждый элемент х. кольца ЭД, имеет вид аб-1, может быть
230
ГЛАВА 6
заменено дуальным требованием, что каждый х имеет вид с-^-где с и d лежат в с.
Теорема 4. Если в -— ограниченный максимальный порядок, то каждый элемент х из Ус имеет вид c~1d, где cud лежат в й.
Мы знаем, что каждый элемент х из Ус может быть записан в виде ab-1, где а и b лежат вс. Так как элемент b регулярен,, то	где а является дву-
сторонним о-идеалом и элемент с регулярен. Так как порядок о максимален, то левый и правый порядки идеала а совпадают сои, следовательно, од-1 с а~1сдс-10. Таким образом, ад-1 — c~ld для соответствующего d из 0.
Теорема 5. Предположим, что о является максимальным ограниченным порядком, о' — любым порядком и SR — таким множеством, что а'УНЬ' се' для соответствующих регулярных элементов а!, Ь'. Тогда существуют такие регулярные элементы cud, что cSOt.qo и Ш<=о.
Так как порядок о' эквивалентен порядку о, то существуют такие регулярные элементы а и Ь, что аУКЬ^у. Следовательно, аУЛ с од-1 с оЬ-1^ с: б о. Таким образом, cz со для с~а-1с'. Подобно этому, 2R«=orf для подходящего регулярного элемента d.
Мы применим этот результат для доказательства следующей теоремы.
Теорема 6. Каждый максимальный порядок о', эквивалентный ограниченному максимальному порядку о, сам ограничен.
Пусть а является любым регулярным элементом из о', а b и с такими регулярными элементами, что досСо'. Тогда йО/Р(а^)ос и	для некоторого регуляр-
ного элемента д'. Следовательно, ао'^од'с. Если мы применим предыдущую теорему к 9К = о', то получим существование такого регулярного элемента с1, что о'с' ^о. Тогда ао' 2 о'с'Ь'с и, вследствие теоремы 3, порядок о' ограничен.
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ теория ИДЕАЛОВ
231
4.	Аксиомы. Наложим теперь следующие условия hi наш порядок о.
I.	Порядок » максимален.
II.	Условие обрыва убывающих цепей выполнено для целых односторонних с-идеалов, содержащих любой фиксированный целый двусторонний о-идеал.
III.	Для целых двусторонних о-идеалов выполнено условие обрыва возрастающих цепей.
IV.	Порядок о ограничен.
Если 91 является полем, то любой отличный от нуля идеал в старом смысле будет идеалом и в том смысле, который мы придали ему в этой главе. Следовательно, условия II и III эквивалентны соответственно нётеровским условиям N2 и N 3. Напомним теперь смысл условия N 1. Предположим, что 21 является алгеброй с единицей, конечной-размерности над лежащим в ней полем Ф, и пусть g будет некоторым порядком в Ф. Тогда g будет некоторым содержащим единицу подкольцом поля Ф, имеющим поле Ф своим полем отношений. Элемент а из 91 называется %-целым, если он является корнем полинома из g [£J со старшим коэффициентом 1. При 91 = Ф порядок о = g называется целозамкнутым, если любой о-целый элемент из 91 лежит в с. Для того, чтобы изучить связь между этим свойством и условием I, мы нуждаемся в следующем общем условии.
Теорема 7. Если в порядке g выполнено условие обрыва возрастающих цепей идеалов, то для того чтобы элемент а из 91 был Q-целым, необходимо и достаточно, чтобы все степени а* содержались в одном ^-модуле из 91 с конечным числом образующих.
Если элемент а целый, то ат ~	. .. -ф- l-f®,
где лежат в д. Отсюда следует, что все а^ принадлежат g-модулю (1, а, ..., а™-1) с образующими элементами а*,	—1. Обратно, пусть 2R является
g-модулем с конечным числом образующих, содержащим все элементы а*. Так как для идеалов из g выполнено условие обрыва возрастающих цепей, то ЗЛ удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для д-модулей.
232
ГЛАВА 6
Следовательно, для цепи (1)с(1, а)с(1, а, а9) с ... существует такое целое число /га, что (1, а, а™-1) — = (1, а, ..., ат). Тогда ат =	-ф-••. lfm для
некоторых элементов из
Мы можем теперь показать, что если в порядке о поля ЭД — Ф выполнено условие ill, то условия I и N 1 эквивалентны. В самом деле, пусть элемент а целый. Тогда все степени а и, следовательно, множество о [га] полиномов от а с коэффициентами из о принадлежат некоторому О'модулю (аъ . .., tzr), порожденному элементами at из ЭД. Мы можем представить их в виде	где
Ь,- и d лежат в о. Следовательно, о [а] с: od-1 и потому г [я] является порядком (эквивалентным порядку о). Так как о [а] Р, то из условия I следует, что о [а] = о, т. е. <з£о. Таким образом, порядок о целозамкнут. Обратно, предположим, что порядок о целозамкнут. Тогда для любого порядка У найдется такой элемент	что
о'с cb. Следовательно, элементы из о' о-целые и потому о'ссщ Мы доказали поэтому, что порядок о максимальный. Таким образом, если % является полем, то условия I, II и III эквивалентны условиям Nl, N2 и N 3.
Вернемся к общему случаю произвольного кольца ЭД и рассмотрим некоторые следствия наших аксиом. Заметим сначала, что любой идеал из о в старом смысле, содержащий двусторонний о-идеал а, является целым о-идеалом. Так как эти идеалы находятся во взаимнооднозначном соответствии с идеалами фактор-кольца о/a, то условие И эквивалентно условию II': В фактор-кольце о/a кольца о по целому двустороннему о-идеалу а выполнено условие обрыва убывающих цепей для (обычных) односторонних идеалов.
Напомним, что для любого кольца с единицей условия обрыва возрастающих цепей односторонних идеалов являются следствием условий обрыва убывающих цепей. Следовательно, первые из них выполнены в о, и, таким образом, мы имеем:
V.	Условия обрыва возрастающих цепей выполнены для целых односторонних о-идеалов, содержащих любой фиксированный целый двусторонний с-идеал.
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
233
Очевидно, что отсюда следует условие III. Тем не менее мы предпочли выделить III, как отдельное предположение, так как во многих важных случаях оно выполнено, в то время как условие II не выполняется.
Если а и b являются целыми правыми (левыми, двусторонними) о-идеалами, то, очевидно, что будет идеалом того же типа. Если а и b являются целыми двусторонними о-идеалами, то ab содержит регулярный элемент, и потому аЬ будет целым двусторонним о-идеалом. Так как пересечение аПБ содержит аЬ, то аПБ— также целый двусторонний о-идеал.
Определение 3. Целый двусторонний отличный от о о-идеал р называется простым идеалом, если для любой пары таких целых двусторонних о-идеалов а, Б, что дБ е= 0(mod р), мы имеем либо а = О (р), либо Б = 0 (mod р).
Если аБ == 0 (mod р), то д'Б' == 0 (mod р) для а' = а 4- V и Б'=Б -|- р. Так как из д'==0 (mod р) следует .1=0 (mod р), то для того, чтобы установить, является ли идеал р простым, достаточно проверить целые идеалы а', Б', содержащие р. Таким образом, если идеал р максимален в том смысле, что не существует отличного от о двустороннего е-идеала, лежащего между о и р, то идеал р простой. Это замечание составляет тривиальную часть следующей важной теоремы:
VI.	Целый двусторонний отличный от о о-идеал р будет шестым тогда и только тогда, когда он максимален. Если это условие выполнено, то о/p является кольцом матриц над полем.
Свойство максимальности эквивалентно свойству простоты фактор-кольца в = в/р. Предположим теперь, что р — простой идеал. Так как в а выполнено условие обрыва убывающих цепей левых идеалов, то оно обладает радикалом г, и потому существует такой двусторонний е-идеал г кольца о, что г = г/р. Кольцо в/r изоморфно кольцу в/r. Следовательно, кольцо в/r полупросто. Тогда при соответствующем s гч = 0. Следовательно, Г'~0(mod р), и, так как идеал р простой, то i==0(modp). Это
234
ГЛАВА 6
показывает, что кольцо а полупросто. Если о — непростое кольцо, то существуют такие два двусторонних отличных от нуля идеала а и 6 кольца с, что = Но в этом случае существовали бы такие лежащие в о двусторонние о-идеалы а, Ь, что ab = 0(modp), но ни а, ни Ь не лежат в р. Следовательно, кольцо о простое, и идеал р максимальный. Вторая часть теоремы является следствием фундаментальной структурной теоремы теории простых колец.
Если о/р — Ьд, где Ь — тело, то k называется емкостью простого идеала р.
5. Порядки в алгебре. Пусть 91 является сепарабельной алгеброй над Ф, (21 :Ф) = я, и пусть g—-порядок в Ф. Рассмотрим вопрос о включении g в порядок с алгебры 91 *). Если о — какой-либо из этих порядков, то пусть 23 = иФ будет наименьшей содержащей о подалгеброй алгебры 21. Тогда, если b является некоторым регулярным в 91 элементом из с, то b будет регулярным в SB, и потому его обратный элемент лежит в SB. Из определения порядка следует, что SB = 91, и потому о содержит базис «lt алгебры 91 над Ф. С другой стороны, если о является любым содержащим g и базис «п .. ., ип алгебры 91 подкольцом в 91, то о будет порядком. В самом деле, любой элемент из 91 имеет вид (2	где "f15 у ле-
жат в д, и так как 2 лежит в а, то этот элемент имеет вид ^т-1, где *[ и Ъ лежат в о.
Теорема 8. Для того чтобы содержащее порядок g подкольцо алгебры 91 являлось порядком, необходимо и достаточно, чтобы оно содержало базис алгебры 91 над Ф.
Мы можем, очевидно, считать = 1 одним из элементов базиса. Допустим теперь, что порядок g удовлетворяет условиям I и III (или N 1 и N 3), и предположим,
9 Здесь слово „порядок" понимается в первоначальном смысле. Выбор эквивалентных классов порядков будет сделан позже.
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
235
что с является порядком, состоящим лишь из g-целых элементов. Для того, чтобы изучить порядки такого типа нам понадобятся следующие теоремы.
Теорема 9. Сумма а-'^Ь и произведение ab коммутирующих (ab~ba) §-целых элементов будут также целыми элементами.
т—1	т’-1
В самом деле, если ат = 2 а*Чг и Ьт' — 2 гДе о	о
элементы ft и лежат в д, то все степени (а у-бу содержатся в g-модуле с образующими а’-bJ, O^i-^m—1, —1. Следовательно, по теореме 7, элемент (a -j- целый. Подобные же рассуждения применимы к ab.
В качестве непосредственного следствия получаем, что в коммутативной алгебре ?! совокупность g-целых элементов образует подкольцо. Это замечание, может быть применено для доказательства следующей теоремы.
Теорема 10. Если порядок g удовлетворяет условиям I и Ш, то минимальный, полином главный полином та (/) и характеристический полином fa (t) ^-целого элемента а при любом взаимнооднозначном представлении алгебры 21 лежат в g[f].
Пусть старший коэффициент лежащего в д [/] полинома ®(0 равен 1, а является корнем <p(f) и 33 — полем разложения над Ф полинома	Тогда в 23 [f] полином
щ(/) = П(/—««), и так как pa(f) является делителем <с (t), то {Аа(0==П'(/—aj) будет произведением некоторых из множителей (t—а^). Элементы будут g-целыми в 33 и, следовательно, коэффициенты полинома (/) будут g-целыми. Так как порядок g целозамкнут, то u.a (f) лежит в gif]. Утверждение относительно та (/) и fa(t) следует из того, что корни этих полиномов совпадают, с точностью до кратности, с корнями pa(f).
Предположим, как и ранее, чао о является содержащим g порядком, состоящим из g-целых элементов. Пусть
1) ЗУ = Ф (<2Р ..дда), где <р (/) = II (/ -- в SB [/j. см. В а н-дер-Варден. Современная алгебра, ч. I, стр. 101.
236	Г Л А В A 6
элементы iy = 1, и2. ..., ип образуют содержащийся в и базис алгебры 21. Тогда, заменив элементы г> 1, их некоторыми кратными и{^{, где у £ д, и вернувшись к первоначальным обозначениям, мы можем предположить, что константы умножения 77 в = 2 “fcTwj лежат в д. Отсюда следует, что совокупность элементов 2 где р^Сд, является порядком Oq^c1). Предположим, что d — 2 ui^i лежит в о. Тогда, по предыдущей теореме, главные следы Т (а^ и Т лежат в д. Уравнения
показывают, что, так как Д = det (Т (и^) ^ЕО, элементы 8- содержатся в дД-1. Таким образом, о является подмодулем g-модуля ОоД"1 с конечным числом образующих. Так как для идеалов порядка g выполнено условие обрыва возрастающих цепей, то любой подмодуль д-модуля с конечным числом образующих имеет конечное число образующих2). В частности, это имеет место для о. Обратно, если о является любым содержащим g порядком и о имеет конечное число образующих над д, то, по теореме 7, все элементы порядка о будут д-целыми.
Теорема 11. Для того чтобы порядок »(=> д) состоял лишь из д-целых элементов, необходимо и достаточно, чтобы о был ^-модулем с конечным числом образующих.
Если теперь ЙХ является любым д-модулем, порожденным конечным числом элементов ..., vr, то мы можем написать = (2 u»vy) где vij и v лежат в & Тогда 'Jli с CqV-1 с о?-3. В частности, если с' будет любым порядком, состоящим из g-целых элементов и содержащим порядок д, то о' с ov-1 при подходящем элементе v. По
J) Одновременно это рассуждение показывает, что порядки рассматриваемого здесь типа существуют. В самом деле, мы можем начать рассуждение с любого базиса щ, «t= 1, для которого константы умножения лежат в д, и взять совокупность ап элементов вида - где рг £ д, Тогда с® является порядком*
2) Глава 3, теорема 3.
Мультипликативная теория идеалов
237
симметрии, существует такой элемент и. из р, что р'и.-1 о, и, таким образом, нами доказана следующая
Теорема 12. Если два порядка о и о' состоят из целых элементов и содержат порядок д, то они эквивалентны.
Если мы вернемся к доказательству теоремы 11, то увидим, что элемент А зависит не от порядка с, а только от базиса «lf..., ип. Следовательно, наши рассуждения показывают, что если г»' является любым порядком, содержащим порядок о и состоящим лишь из g-целых элементов, то о'^ОоА-1. Кроме того, если а' — любой порядок, эквивалентный порядку о, то о' причем д-модуль аоЬ обладает конечным числом образующих, и потому все элементы порядка о' будут д-целыми. Таким образом, любой порядок о', содержащий порядок о и эквивалентный ему, содержится в OqA-1; отсюда следует, что существует максимальный порядок 1/, эквивалентный порядку о и содержащий его.
Теорема 13. Если п имеет то же значение, что в предыдущей теореме, то о можно включить в максимальный порядок о', эквивалентный порядку о.
Пусть ® обозначает кольцо д-целых элементов центра (5, алгебры 21. Тогда, если о является порядком, состоящим лишь из д-целых элементов, то, по теореме 9, в® будет содержащим кольцо ® (а, следовательно, и д) порядком, состоящим лишь из д-целых элементов. Если сам порядок е содержит д, то, как мы видели, порядки о и с® эквивалентны. Следовательно, если при этом порядок и, максимален, то о = о® и о содержит ®.
Теорема 14. Любой максимальный порядок о, содержащий д и состоящий лишь из д-целых элементов, содержит все д-целые элементы, лежащие в центре кольца 21.
Пусть порядок а', эквивалентный порядку а, содержит д и состоит лишь из д-целых элементов. Тогда, как мы видели, в' содержится в д-модуле ас>Ь с конечным числом образующих, и, следовательно, все элементы порядка а'
238
Глава 6
будут g-целыми. Предположим теперь, что алгебра 51 коммутативна, и о является совокупностью всех g-целых элементов. Тогда о будет порядком; все элементы любого порядка о', эквивалентного порядку о, будут g-целыми, и потому Усо.
Теорема 15. Если алгебра Л коммутативна, то совокупность с всех целых элементов алгебры 51 является максимальным порядком. Любой порядок, эквивалентный порядку о, содержится в о.
Если о' с а&Ь и о является порядком, содержащим д, то также и о'дсаад. Следовательно, если порядок о’ эквивалентен порядку о, то и порядок о'д эквивалентен о, а если порядок о' максимален, то о' — о'д. Подведем итог: если порядок д удовлетворяет условиям I и III, то порядки о, обладающие свойствами 1) о содержит д и 2) е содержит лишь д-целые элементы, принадлежат к одному классу эквивалентных порядков; все порядки этого класса обладают свойством 2), а все максимальные порядки этого класса обладают обоими свойствами. Далее на протяжении этого параграфа мы будем предполагать, что д удовлетворяет условиям I и III ио удовлетворяет условиям 1) и 2).
Любой правый идеал а лежит в главном о-идеале «о, и потому а является д-модулем с конечным числом образующих. Так как идеал а содержит регулярный элемент б, то он содержит базис ~ди1, ..., vn = bun алгебры 51. Единица 1=2%, ГД® рг-£Ф, и, следовательно, существует соотношение вида т] = 2 где Ч и "Л/ лежат в д. Таким образом, т; лежит в пересечении а П д, иаПд^О. Очевидно, что й П д является д-идеалом. Отметим также, что идеал гр? == oiq является двусторонним о-идеалом, содержащимся в л, и потому идеал а ограничен.
Теорема 16. Любой порядок о алгебры 51 ограничен.
Предположим далее, что а — целый двусторонний О-идеал. Рассмотрим д-фактор-модуль о/a и отметим, что он имеет конечное число образующих. Так как он анну
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
239
лируется идеалом а0 = а П д, то его можно рассматривать как (д/а0)-модуль. Мы видели, что аоу^О. Следовательно, если g удовлетворяет условию II, то в д/а0 выполнено условие обрыва убывающих цепей идеалов, и потому в о/а выполнено условие обрыва убывающих цепей (д/а0)-подмодулей. Отсюда следует, что для целых о-иде-алов, содержащих идеал д, выполнено условие обрыва убывающих цепей.
Теорема 17. Если порядок g удовлетворяет условию II, то любой, порядок о алгебры также удовлетворяет этому условию.
Специальным типом областей д, в которых выполнены наши условия, являются области главных идеалов. В самом деле, мы видели в главе 3, что для этих областей выполнены условия N 2 и N 3, а выполнение условия N 1 может быть доказано, как и в случае целых чисел, при помощи теоремы об однозначном разложении на простые множители. Пусть о является порядком алгебры 51, содержащим порядок g и состоящим лишь из g-целых элементов. Тогда, если элементы ..., ип образуют содержащийся в о базис алгебры 51, таблица умножения для которого имеет лишь целые коэффициенты, то мы видели, что о содержит свободный g-модуль с базисом и о содержится в свободном g-модуле, базисом которого является п^Д-1, где Д ==det(7’(«#«y)). Отсюда следует, что о будет свободным g-модулем с базисом из п элементов.
Теорема 18. Если g является областью главных идеалов, то любой порядок о обладает свободным базисом, состоящим из п = (51: Ф) элементов.
6. Разложения двусторонних идеалов. Вернемся теперь к общему случаю произвольного кольца 51 и некоторого порядка о из 51, удовлетворяющего условиям I—IVJ). Нашей ближайшей целью является доказательство существования и единственности разложения любого двусторон
i) На самом деле, нам понадобятся в этом параграфе лишь условия I, III, IV и VII: любой простой о-идеал максимален.
240
ГЛАВА 6
него целого идеала в произведение простых идеалов. Если мы рассмотрим рассуждения § 5 главы 3, то увидим, что решающим шагом являлась теорема о том, что двусторонний е-идеал а содержится в двустороннем v-идеале b тогда и только тогда, когда существует такой двусторонний целый с-идеал с, что я = cb. Этот факт вытекает из нижеследующей теоремы.
Теорема 19. Если я является двусторонним о-идеалом и я о, то я-1 о.
Нам понадобятся две леммы.
Лемма 1. Любой двусторонний целый о-идеал я содержится в простом идеале.
Это следует из условия обрыва возрастающих цепей и к. итерия VI.
Лемма 2. Любой двусторонний целый о-идеал Я содержит произведение простых идеалов.
Если идеал я простой, то лемма справедлива. В противном случае существуют такие два содержащих я двусторонних целых о-идеала я' и я", что я'я" = 0 (mod я), но я'ф 0 и я" ф 0 (mod я). Тогда я’=>я, я"=>я. Если мы повторим этот процесс с иделами я' и я" и с идеалами, получающимися из них, то получим нашу лемму в качестве следствия условия обрыва возрастающих цепей.
Доказательство теоремы. Пусть р является простым идеалом, содержащим л. Тогда, если я-1 = о, то р-1 = о. Пусть а будет регулярным элементом из р, и рассмотрим содержащийся в р правый о-идеал ао. В силу условия ограниченности, ао содержит двусторонний о-идеал, и потому, по лемме 2, до содержит произведение pj...p?. простых идеалов р^. Предположим, что идеалы р4 выбраны таким образом, что их число г минимальное, т. е. идеал ао не содержит произведения г—I простых идеалов. Так как p^^o^pj. ..рг, то один из идеалов р}- равен р и pj. .. рг == Ьрс. Тогда д-1Ьрссдо и а-1Ь с(рс)"1. Так как (рс) (рс)"1 о, то р(с (рс)1) с о и с (рс)- 1 с р-1 = = о. Таким образом, (рс)“1^с“1, а так как (рс)-1 5 с-1, то мы имеем (рс)-1 =сч. Отсюда следует, что
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
241
^с"1,	и Ьс^ао. Так как Ьс является произве-
дением г—1 простого идеала, то мы получаем противоречие с минимальностью г. Важным следствием из этой теоремы является следующая
Теорема 20. Если а—правый (левый) о-идеал, то а'41 — о (aa“i = о).
Множество а-1а содержится вей потому является целым двусторонним о-идеалом. Так как порядок 0 максимальный, то порядки идеала й-1а совпадают с а. Теперь (а'1а)'1(а’1а)£о) и потому	Следова-
тельно, (й-1^-1^© и, в силу предыдущей теоремы, а~1а = 0.
Теперь может быть доказана важная
Теорема 21. Если правый о-идеал а содержится в двустороннем о-идеале Ь, то существует такой целый правый о-идеал с, что а = cb.
Так как ась, то саэяб"1 cbb-I== о, и с является целым правым ©-идеалом. Так как b-1b = ©, то cb — = аЬ-1Ь = й.
Мы можем теперь повторить рассуждения § 5 главы 3 и получим тогда: 1) коммутативность умножения целых двусторонних о-идеалов и 2) однозначное разложение любого целого двустороннего идеала в произведение простых идеалов. По теореме 20 двусторонние о-идеалы образуют относительно умножения группу О(р) с единицей 0, причем обратным элементом для а будет Г1. Если теперь а—'Любой двусторонний ©-идеал, то в © найдется такой регулярный элемент а, что аа^О, или (ао) «со 1). Идеал ао содержит некоторый целый двусторонний о-идеал 6, и потому Ьа = С^о. Таким образом, а = Ь-1с, где идеалы b и с целые, и группа G(o) порождается содержащимися в ней целыми идеалами. Отсюда следует, конечно, что группа G(o) коммутативна. Каждый элемент а из G(o) имеет единственное представление
*) В самом деле, существует такой регулярный элемент b — = а-*с, где а а с лежат в о, что п^Ьо. Следовательно, ас СДд-Лс© с: а-io и да с о.
16 Ьак. 748. Н. Джекобсов.
242
ГЛАВА 6
в виде pi*...pfe, где	и р4— различные простые
идеалы. Следовательно, нами доказана фундаментальная Теорема 22. Двусторонние о-идеалы образуют группу д(о) относительно умножения. G{6) является прямым произведением бесконечных циклических групп, порожденных простыми идеалами порядка а.
7. Структура фактор-кольца о/a. Пусть ci = pf‘... ... p®s, где р4— различные простые идеалы, и все ef>0. Тогда, положив а4 = йр^~% мы получим, что 0 = ^4“ 4* • •  4“ ds и а* П («! -ф-... -j- di.t 4" <4+i 4~ • • • + ав) ~ а-Это непосредственно следует из теоремы 21 и из однозначности разложения на простые множители. Следовательно, о/а = (Ц®.. .Фа8, где = rrf/ct. Очевидно, что о/р®< = (а4 4“ Р4О/Р^' =	А Р*') = аг- Отметим так-
же, что если а — рв, где р— простой идеал, то о = о/а содержит нильпотентный идеал р = р/ре, и фактор-кольцо й/р изоморфно простому кольцу с/р. Отсюда следует, что р является радикалом кольца о и с — примарное кольцо.
Мы хотим доказать, что для любого идеала а фактор-кольцо с/й будет кольцом главных идеалов. В силу полученного нами прямого разложения кольца о/а, нам достаточно рассмотреть случай а = р®, и, по теореме 41 из главы 4, наша теорема будет доказана, если мы покажем, что радикал р=р/ре кольца е/р® будет главным правым и главным левым идеалом. Но идеалы кольца о имеют вид b = b/p®, где b — целый о-идеал, содержащий ре. Следовательно, по теореме 21, любой правый (левый) идеал Ь кольца о, содержащийся в идеале р, имеет вид ср (рс), где с является правым (левым) идеалом. Наша теорема следует поэтому из следующей теоремы.
Теорема 23. Если каждый содержащийся в радикале 5JJ правый {левый} идеал примарного кольца £> может быть представлен в виде ©р (^S), где ®— пра
Мультипликативная теория идеалов
243
вый (левый) идеал, то радикал ф является главным правым (левым) идеалом.
Напомним, что О является матричным кольцом ОоА над вполне примарным кольцом £>0. Радикалом кольца £)0 будет £>0 П ф = ф0, и ф = 2 ^-Фо> где элементы е^ образуют матричный базис кольца С = 2 Предположим сначала, что ф3 — 0. Возьмем в ф0 отличный от нуля элемент w и рассмотрим правый идеал одО. Очевидно, что ‘йЮсф, и потому w£) = ®ф, где & — некоторый правый идеал. Так как (® -ф- ф) ф = ®ф, то мы можем предположить, что ®^эф. Рассмотрим простое кольцо £>=~£>;ф и в нем правый идеал ® = ®/ф. Мы знаем, что & имеет вид и&, где и является отличным от нуля идемпотентным элементом. Но смежные классы =
-ф ф образуют матричный базис кольца О, и О == 2 e<j О», где £)0 а= (£)0 ф)/ф является телом, изоморфным телу £)0/ф0. Отсюда следует существование такого регулярного элемента q из О, что и = q~1^je{iq. Любой элемент q 1
из смежного класса q регулярен в О, и, вследствие .вида идеала ®, идеал® состоит из элементов вида (q~1etq) х t
>	-j-a*, где	и е1~^леи- Следовательно,
В	1
1	= где л£ф, и ^ = 2^- Если мы пРед-
В 3
1 ставим q в виде	где	то из этого
|Е равенства будет следовать, что <^уда=0 при / =
S	. .. , п. Так как каждый необратимый элемент кольца
Е	О0 содержится в ф0, то эти элементы q^ лежат в ф0<
При tzfc.n это противоречит регулярности элемента q-t I отсюда следует, что и=1. Тогда ® = D, & = £> и ф== Ж	—wQ является главным правым идеалом. Если ф2^:0,
I	то рассматривается фактор-кольцо О/ф2. Оно удовле-
Ц творяет условиям теоремы, и, кроме того, квадрат его ради-if. кала ф* = ф/фа равен нулю. Следовательно, идеал ф/ф9 м
16*
244
ГЛАВА 6
является главным, т. е. = w£)^3. Тогда	-|-
®ф3,	== ауф’3 4-• • > 11 потому ^ = ^0. Таким же
образом доказываем, что является главным левым идеалом.
Отсюда следует
Теорема 24. факпюр-кольцо оДт кольца В по целому двустороннему о-идеалу й является кольцом главных идеалов.
8.	Ограниченные о-модули. Предыдущая теорема позволяет нам получить структуру о-модуля 2)1 с конечным числом образующих, ограниченного в том смысле, что аннулирующий его идеал содержит регулярный элемент. Аннулирующий идеал а будет тогда целым двусторонним о-идеалом, и 2ft может рассматриваться как о-модуль, где о — о/a. Так как в кольце главных идеалов о выполнено условие обрыва убывающих цепей, то к нему непосредственно приложимы результаты §§ 15—16 главы 4. Мы получаем, таким образом, что 24 = 2)^®... ...®2ЯМ, где являются неразложимыми циклическими о-модулями (или о-модулями).
Назовем аннулирующий идеал а границей модуля 2ft. Для того чтобы модуль 2ft был неразложим, необходимо, чтобы его граница была степенью простого идеала. Это непосредственно следует из разложения о = 0/й = а1ф ф.. .Фя8, где (ij = ар7в*/а, и а = p®t. .. р^ является разложением идела а в произведение степеней различных простых идеалов. Очевидно, что если модули 2ft и 3ft ограничены и v-изоморфны, то они имеют одну и ту же границу. С другой стороны, если модули 2ft и 9ft неразложимы и имеют одинаковую границу ре, то оба эти модуля можно рассматривать как (о/ре)-модули. Следовательно, в силу результатов § 16 главы 4, модули 2ft и 21(0/ре)'изомоРФны> а тогда они и о-изоморфны. Напомним также, что неразложимый ограниченный о-модуль 2ft обладает лишь одним композиционным рядом, и его длина равна показателю е простого идеала р в границе
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
245
модуля 99?. Любой подмодуль и фактор-модуль модуля 99? неразложимы .
Пусть теперь 99? будет произвольным модулем, и пусть 5)? = 99?! Ф... Ф 99?м, где модули 99?/ неразложимы и отличны от нуля. Если границей модуля 99?/ является где р{ — простой идеал, то из теоремы Крулля-Шмидта видно, что идеалы ... , будут инвариантами модуля 99?. Инварианты двух в-изоморфных ограниченных модулей 99? и 9? совпадают. Обратно, если 99? и 9? имеют одинаковые инварианты, то мы можем предположить, что индексы их неразложимых компонент выбраны таким образом, чтобы модули 99?/ и 9?/ имели одинаковую границу. Тогда 99?/ и 9?/, а, следовательно, и 99? и 9? о-изо-морфны.
Для приложений к теории идеалов более удобно иметь дело с дуальным разложением нуля в прямое пересечение. Здесь мы рассматриваем такие отличные от 99? подмодули 99?/, что 0 = 99?/ Л ... П 99?/, 29?/ ф (99?/ Л ... Л Л 99?(—i Л 9Э?;+1 Л ... А 99?/) = 99? и модули 99?/99?/ неразложимы. Напомним, что если 99? = 99?t Ф... Ф ®?w, где модули 99?^ неразложимы, то мы получаем дуальное разложение нуля, полагая 99?/' = 99?t ф .. . ф 99?/_t ф 99?/+1 ф ф ... ф 99?м. Обратно, любое множество подмодулей 99?/' описанного типа приводит к множеству подмодулей 99?/, если положить 99?/ = 99?/ Л ... Л 99?i-i Л 99?/н Л .. . Л Л 99?/. Из доказанного следует, что модуль 99? вполне определяется с точностью до о-изоморфизма границами модулей 99?/99?/ (о-изоморфных модулям 99?/), где 99?/ являются компонентами дуального разложения.
9.	Разложение целых о-идеалов. Теперь нетрудно увидеть важность предположения об ограниченности целых правых (левых) идеалов. Из ограниченности целого правого о-идеала b вытекает, что о-модуль 99? = о/b огра-
1) Вообще любой подмодуль (фактор-модуль) ограниченного о-модуля 90? ограничен. Его граница является делителем границы модуля ЗЯ.
246
ГЛАВА 6
ничен. В самом деле, если а является содержащимся в b двусторонним о-идеалом, то я содержится в аннуля-торе модуля Граница модуля 9R будет объединением, всех содержащихся в b двусторонних о-идеале в. Мы будем называть этот о-идеал также (правой) границей идеала Ь. Таким же образом определяется левая граница целого левого о-идеала.
Соответственно дуальному разложению модуля 9Л == о/Ь мы получаем такие правые о-идеалы q* (Z = 1, ..., и), что qxn ... OqM = b, (1«-Н<Т1П ... Bq^iOqi+1n ... HqM) = o или, если применять обычное обозначение [, ] для пересечения и (,) для объединения, то [qn..,qj=b.	q<-i. Qf+i, = (1)
Дуальными компонентами модуля будут модули ЭЛ/ = = Так как модуль 9Л/9Л/ неразложим, то и модуль o/q^, о-изоморфный модулю o/b/b/qi = 9R/2R/, неразложим. Граница модуля ЭЛ/ЭЛ/ является границей идеала qz. Очевидно, что справедливо также и обратное утверждение: любое разложение идеала 6 в прямое пересечение <в смысле равенства (1)) таких идеалов, что o/qj являются неразложимыми о-модулями, приводит к разложению нуля в ЭЛ = o/b в прямое пересечение таких подмодулей ЭЛ/, что модули 9Л/9Л/ неразложимы. Из общей теории следует, что если Ь является вторым целым правым о-идеалом и Ь =	q2, ... ] — такимего разложе-
нием в прямое пересечение, что модули о/q,- неразложимы, то для того! чтобы модули о/Ь и о/b были о-изо-морфны, необходимо и достаточно, чтобы границы pi1, р2*, • • • идеалов qp q2, ... совпадали с точностью до порядка с границами идеалов qn q2, ... Как и в случае областей главных идеалов, мы называем идеалы Ь и b подобными (справа), если модули о/Ь и о/Ь о-изоморфны. Тогда мы имеем следующую теорему.
Теорема 25. Если 6= [qb q2, .. .] и b = Iqt, q2, ...] являются разложениями целых правых о-идеалов b а $
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
247
в прямое пересечение таких идеалов qf a qf, что модули o/q< и неразложимы, то для того чтобы идеалы 6 и Ь были подобны, необходимо и достаточно, чтобы совокупности границ у идеалов Qi и q4 совпадали.
Если а = pi1...	— целый двусторонний о-идеал и
р$ — различные простые идеалы, то « = [pf‘, ..., р®»] и
[р®1, . .., р*£г/, р/^, ...]) = о. Кроме того, о==о/р®, где р — простой идеал, будет примарным кольцом с радикалом р == р/р®. Так как о/р = bfc, где b является телом и k — емкостью идеала р, то о будет прямой суммой k изоморфных между собой неразложимых правых идеалов. Отсюда следует, что в любом разложении идеала р® в прямое пересечение [qp qa, ..., q^], где модули o/qf неразложимы, содержится точно k идеалов, и все идеалы q^ подобны между собой. Таким образом, все идеалы qe- имеют одну и ту же границу, которой будет поэтому идеал рв. В общем случае произвольного целого двустороннего с-идеала а == р®1 ... р ®s мы получаем разложение а=[р®*, ..., р®8] в прямое пересечение, разлагая описанным образом идеалы р%
Теорема 26. Пусть о.= р®1 ... pjs является целым двусторонним о-идеалом и ру— простым идеалом емкости ki, причем	если 1ф]. Тогда а будет пря-
мым пересечением [qn, ..., qAn; ...; qls,..., qvL где модули o/qy неразложимы, и при фиксированном j любые два идеала q^ и подобны и имеют границу ф
Непосредственным следствием теории модулей является также следующая
Теорема 27. Если q — такой целый правый о-идеал, что модуль o/q неразложим, то o/q имеет лишь один композиционный ряд, и его длина равна е, если границей идеала q будет ре, где р—простой идеал, Все компози
248
ГЛАВА 6
ционные факторы модуля e/q о-изоморфны между собой. Если ф — любой содержащий q целый .правый 0-идеал, то модуль о/ф также неразложим.
Из теорем 26 и 27 мы получаем
Следствие: Простой идеал р емкости k представим в виде прямого пересечения [q15 .. ., qfcJ максимальных правых подобных между собой о-идеалов qf а будет границей этих идеалов.
10.	Нормальные идеалы. Для того чтобы получить удовлетворительную теорию разложения односторонних идеалов, необходимо рассматривать одновременно все максимальные порядки о, эквивалентные фиксированному порядку. Это важное замечание было впервые сделано Брандтом для порядков в алгебрах. В дальнейшем мы будем предполагать, что все максимальные порядки удовлетворяют условиям II, III и IV. Следует отметить, что условие IV справедливо для всех максимальных порядков, если оно выполнено для одного из них.
Определение 4. Идеал называется нормальным, если как его левый порядок о*, так и его правый порядок ок максимальны.
В следующих двух параграфах мы изложим теорию разложений нормальных идеалов. Здесь же мы установим нормальность любых правых (левых) о-идеалов максимального порядка о, для которых развиваемая ниже теория будет поэтому иметь место.
Лемма 1. Для любого целого правого отличного от о о-идеала Ь, границей которого является простой идеал р, существует такой целый левый о-идеал с с (левой) границей р, что р — сЬ.
Рассмотрим правый идеал Ь/р = Ь простого кольца о = о/р. Так как 6 ф о, то левый идеал с, состоящий из левых аннуляторов элементов идеала Ь, отличен от нуля. Пусть идеалу с соответствует целый левый о-идеал С, тогда с #= р, и р2ссрср. Так как cb является двусторонним о-идеалом, то либо cb = p9, либо cb = p. Если бы было справедливо первое равенство, то для каждого
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
249
элемента у из с мы имели бы Vp^p2, и, умножая на р"1, получили бы уоср. Это противоречит тому, что в идеале с существуют элементы у, не лежащие в р. Следовательно, сЬ — р.
Лемма 2. Если целый правый о-идеал b строго содержится в о, то
Пусть q является таким максимальным правым о-иде-алом, что o=>q=>6. Тогда граница р идеала q будет простым идеалом. Если а — регулярный элемент из р, то «о = Ср, где с — правый о-идеал. По предыдущей лемме p = bq, где b— некоторый левый о-идеал, содержащий р, но отличный от него. Следовательно, «о = cbq, о — a-1cbq, и потому a-kbc,]-1. Если q-1 = o, то zz"icb<=o, cb^ao = cp и cbp-1c=c. Таким образом, Ьр~* содержится в максимальном порядке о. Отсюда следует, что bс(р-1)”1 — р- Это противоречие показывает, что q"1 => о и, следовательно,
Лемма 3. Если b является правым о-идеалом, причем порядок о максимален, то Ь-1 будет нормальным идеалом.
Пусть о' является левым"порядком идеала b, о"— правым порядком идеала Ь-1 и о*—любым порядком, содержащим о". Очевидно, что	Рассмотрим
множество Так как (b-1n*b) (b-1o*b) ^b-1o*o'o*b— = Ь-10*6, то Ь-1о*Ь будет подкольцом кольца 31. Оно содержит о, так как b-Io*b5b_1b = с. Если теперь а и b являются регулярными элементами соответственно из идеалов Ь-1 и Ь, то <то*ЛсЬ_1о*Ь и Z>(b-1o*b)a^ с	со'о*оА = о*. Это показывает, что Ь-1о*6
будет порядком, и потому, в силу максимальности порядка о, Ь-10*Ь = 0. Отсюда следует, что Ь-1е* £^Ь-1, и так как о" является правым порядком идеала Ь-1, то о*—о". Это доказывает максимальность порядка о" и нормальность идеала Ь-1.
Теорема 28. Если порядок о максимален, то любой правый (левый) о-идеал Ь будет, нормальным^ идеалом.
250
ГЛАВА 6
Пусть сначала b будет целым идеалом и пусть о гэ Ь, =>. .. Ьте = b будет цепочкой правых 0-идеалов. соответствующих композиционному ряду модуля о/Ь. Тогда Ь-^о и, следовательно, (Ь-1)”1 cz о. Так как fc-ibb-1 = bb-1 = Ь-1, то (Ь-1)-1. Следовательно, если /Пг=1, то Ь = (Ь~1)-1> в силу максимальности Ь. Тогда теорема следует из Леммы 3. Допустим теперь, что теорема доказана для целых идеалов 6', длина модуля о/b' которых меньше т. Тогда Ьот_] будет нормальным идеалом, а левый порядок о' идеала	—максимальным поряд-
ком и bOT_jb"2_i= ° - хотим Доказать, что с' => bmb“2_t и что идеал	максимален в о',Очевидно, что о'=
=6}Й-1Ь„Г113М^11 и’ если °,=:M«1vto 0'bw_i = =	1 = М = Ьт вопреки неравенству b^ => Ьт,
Далее, пусть с будет таким правым а'-идеалом, что о —* с ЬтоЬда2-1’ Тогда о Ьда—1 =	cbOT-15и
либо l1m_i = cbTO_[, либо cbm—1== Если сЬто_ц то о’ = со' = с. Следовательно, cbOT_1 = Ьши с = bmb~l_b Это доказывает, что bOTb”^_j является максимальным правым о'-идеалом, содержащимся в о', и, согласно ранее доказанному, идеал bmb~l1 будет нормальным. Как легко видеть, левый порядок идеала bmb~£1 совпадает с левым порядком идеала Ьот, и потому идеал ЬТО = Ь нормален. Если идеал b не является целым, то существует такой регулярный элемент а, что аЬ с о. Так как правый о-идеал ab целый, то его левый порядок максимален. Если теперь о* будет левым порядком идеала Ь, то ао*а-1 будет левым порядком идеала ab. Так ’как ао*а~* является максимальным порядком, то и порядок о* максимальный.
И.Группоид Брандта. Для того чтобы получить обобщение теоремы 22, применимое к односторонним идеалам, нам понадобится понятие группоида, которое мы теперь и определим. Система G называется группоидом, если для некоторых пар элементов этой системы определено умножение, удовлетворяющее следующим условиям;
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
251
1.	Для каждого элемента а^- существуют такие однозначно определенные элементы et и е.; системы О, что произведения е{а^ и а^ определены, и е^^ — а^ = а^. Эти элементы называются соответственно правой и левой единицами, элемента а^.
2.	Если е является единицей для любого элемента из G, то е является своей собственной левой единицей и своей собственной правой единицей.
3.	Произведение ab определено тогда и только тогда, когда правая единица элемента а совпадает с левой единицей элемента Ь.
4,	Если произведения ab и Ьс определены, то и произведения (ab) с и а (Ьс) определены, причем (аЬ)с —а (Ьс).
5.	Для любого элемента а^ с левой единицей et и правой единицей е^ найдется такой элемент я"1 с левой единицей и правой единицей eif что aija~1 = ei и а~1а^ = ер Мы назовем элемент а^1 обратным элементу Пу.
6.	Для любой пары единиц е{ и найдется элемент ал-, для которого будет левой, а е^— правой единицей *).
Пример. Пусть Go будет произвольной группой и G — совокупностью матриц порядка п (где п—конечное число или бесконечность), один из элементов которых лежит в группе Go, а остальные являются нулями. Обозначим матрицу, в которой элемент а из Go стоит в f-fl строке и у-м столбце, через ау и положим = (ab)^. Легко проверить, что Q является группоидом. Единицами группоида G будут элементы et = ltt, и обратным элементу а будет элемент (а-1)^.
Нетрудно видеть, что в произвольном группоиде О элемента-1, обратный элементу а, определен однозначно. Отметим также, что (а-1)~1 = а и что, если ab определено, то и ^-’а-1 определено, причем (ab)~x — Ь~га~г.
*) Следует отметить, что к любому группоиду G можно присоединить элемент 0, определив Оа = ( = аО и ^ = 0, если аЬ не определено в О. Расширенная система будет специальным типом полугруппы, называемой вполне простой (см А. Н. Clifford [3]). Для нужных нам приложений данное в тексте определение представляется более удобным.
252
ГЛАВА 6
Если ab определено и е является левой единицей элемента а, то е будет левой единицей элемента ab. В самом деле, е (ab) — (еа) b = ab.
Обозначим через G(c) совокупность элементов из G, для которых е является левой и правой единицей. Легко проверить, что G(e) будет группой относительно умножения, определенного в О. Если е и е' являются единицами ис — элементом, для которого они будут соответственно левой единицей и правой единицей, то отображение х~с~1хс будет изоморфным отображением G(e) на G(e'). Если группа 0(e) коммутативна, то этот изоморфизм не зависит от выбора элемента с. В самом деле, если d будет другим элементом с левой единицей е и правой единицей <?', то cd~x лежит в G(e). Следовательно, (cd-1)x = x(cd-1) при любом элементе х из G (е), и потому c~lxc = d~xxd. В этом случае мы назовем элементы х из G(c) и x' — c~ixc из G (<?') сопряженными.
Рассмотрим теперь совокупность G нормальных идеалов. Пусть а и b лежат в G и пусть о' будет левым порядком идеала а, а о — правым порядком идеала Ь. Тогда найдутся такие регулярные элементы а и Ь, что а^с'а и b^Z’D. Следовательно, аЬ^р'а^г, и так как по теореме 5 существует такой регулярный элемент с, что о'ссрс, то Мы видели, что есаЬе является двусторонним е-идеалом, и потому существует такой регулярный элемент rf, что de ecabe э ab. Этим показано, что аб является правым о-идеалом. Подобным же образом докапывается, что ab левый о'-идеал. Так как порядки в и о' максимальны, то они будут порядками для ab, и, следовательно, ab нормальный идеал.
Назовем произведение ab нормальных идеалов а и b собственным^ если для любых двух таких идеалов а' и Ь', что а'2<Ь и либо либо Ь'оЬ, имеет место строгое включение a'b'zoab. Мы хотим показать, что множество G нормальных идеалов образует группоид относительно собственного умножения. Условие 1 выполнено для любого нормального идеала и его левого и правого порядков ог- и Ру. Выполнение условия 2 очевидно. Выполнение условия 3 показывает следующая
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЙАЛОВ
253
Лемма. Произведение ab двух нормальных идеалов а и b будет собственным тогда и только тогда, когда правый порядок идеала а совпадает с левым порядком идеала Ь.
Пусть о будет правым порядком идеала й и в' — левым порядком идеала Ь. Если о' =# о, то си/ — нормальный идеал, причем ас ао'. Так как (ао') b— а (о'Ь) == аЬ, то аЬ не будет собственным произведением. Обратно, предположим, что о = о7, и пусть а7 будет нормальным идеалом, содержащим а, причем аЬ==а'Ь. Тогда а'ЬЬ-1 = аЬЬ-1 или а'о = ао —а. Таким образом, а^^, и потому а7 = а-
Выполнение условия 4 теперь очевидно.
Для нормального идеала положим а^ — агг1, и тогда, в силу теоремы 20, выполняется условие 5. Произведение о'о двух произвольных порядков о и о7 будет нормальным идеалом, для которого о' и о будут его порядками. Тем самым доказано, что условие 6 выполняется, и, следовательно, справедлива следующая
Теорема 29. Нормальные идеалы образуют группоид Q относительно операции собственного умножения. Максимальные порядки будут единицами, а идеал а-1 обратным элементом для а. в группоиде G.
Докажем далее справедливость следующего усиления условия 6.
Теорема 30. Если о и о' являются максимальными порядками, то (оо')-1 будет целым идеалом с правым порядком о и левым порядком о7. Идеал (оо7)-1 содержит любой целый идеал а, для которого о является правым порядком и о1 — левым порядком.
Так как оо7— нормальный идеал, то (оо7)-2 будет нормальным идеалом с левым порядком о' и правым порядком а. Так как о (оо') (оо')~2 (оо7)-1, то (оо7)-1— целый идеал. Пусть теперь а является любым целым идеалом с правым порядком с и левым порядком о7. Тогда оо7а с оа с о, и потому ас(оо7)-2.
Идеал (оо')-1 называется идеалом расстояния от о до о7.
254
ГЛАВА 6
Напомним, что группа G (с) двусторонних идеалов коммутативна. Следовательно, если С является идеалом с левым порядком о и правым порядком с', то отображение а->с"хас = а' будет изоморфизмом между (?(о) и d (o'), причем этот изоморфизм не зависит от с. Как и в случае абстрактного группоида, мы будем называть идеалы а и а' сопряженными. Очевидно, что а будем простым идеалом р или степенью простого идеала тогда и только тогда, когда а'=р' или р'е, где р' — простой идеал порядка о'.
12. Необходимость условий I—IV. Пусть будет кольцом с единицей, в котором всякий регулярный элемент обладает обратным. Пусть далее G будет множеством аддитивных подгрупп а, Ь... кольца 01, образующих группоид относительно композиции, совпадающей с обычным умножением аддитивных подгрупп, если оно определено . Мы предполагаем, что выполнены следующие условия:
1.	Каждая подгруппа я из G содержит регулярный элемент.
2.	Каждая единица о из G является порядком в 01.
3.	Для любой единицы о из G каждый правый (левый) целый о-идеал принадлежит G, причем о будет его правой (левой) единицей.
4.	Для любой пары единиц о и о' найдется содержащаяся в о П о' подгруппа а, для которой о будет правой, а о' левой единицей.
Отметим, что если подгруппа а принадлежит Ойо является ее правой (левой) единицей, то а будет правым (левым) о-идеалом. В самом деле, а является правым с-мо-дулем, и если а — регулярный элемент из а, то а содержит ас. Так как a“’a = c, то	для регулярного
элемента Ь-1 из й"1, и потому «с/>с.
Теорема 31 (Асано). Если выполнены вышеприведенные условия 1—4, то единицы группоида G образуют совокупность эквивалентных порядков, удовлетворяю
1) Напомним, что произведением аБ двух аддитивных подгрупп а и Ь будет наименьшая аддитивная подгруппа, содержащая все элементы ab, где а £ а и b £ Ь.
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
255
щих условиям I—IV. Множество единиц группоида О содержит все максимальные порядки, эквивалентные этим порядкам. Группоид Q состоит из нормальных идеалов, относящихся к этим порядкам, причем композицией в группоиде является собственное умножение. Эквивалентность. Пусть с и о' являются двумя единицами в G, а — идеалом, для которого о будет правой, а о' — левой единицей. Тогда, если а будет регулярным элементом в а и b — регулярным элементом в а-1, то о" = аод-1 ^aob. Подобно этому o^co'd при соответствующих элементах с и d.
Ограниченность целых идеалов. Если а лежит в о, то идеал ао целый и, следовательно, принадлежит G. Пусть о' будет левой единицей для идеала ао в G и пусть а является содержащимся в о П о' идеалом, для которого с будет левой, а о' — правой единицей. Тогда ао = о1 (ао) а (ао), причем а (ао) будет двусторонним принадлежащим G о-иде-алом.
Максимальность. Предположим, что о является единицей в G, и пусть порядок о* эквивалентен порядку о и содержит его. Тогда существуют такие элементы а и Ь, что o*<^aob. Если b~dc~r, где d и с лежат в о, то о* сд аос Е Мы видели, что ос содержит некоторый целый правый идеал go, и потому g-’ос^о и g- ’о^ос"1. Следовательно, о*саос~1^а§-1о. Таким образом, если h~1=ag~1, то йо* содержится вой потому является целым правым о-идеалом. В силу условия 3, йо* принадлежит G, и о является его правой единицей. Если а обозначает элемент группоида G, обратный элементу йо*, то айо* = о. Так как (о*)2 = о*, то отсюда следует, что оо* — о и о* ср Следовательно, о* = о.
Условие обрыва возрастающих цепей. Пусть ai S а2• • • является возрастающей последовательностью целых правых о-идеалов. Объединение а идеалов будет целым правым о-идеалом и, следовательно, принадлежит О. Мы имеем тогда	с а у1 S • • •	= o', где
о' — левая единица идеала а. о' будет объединением идеалов (ЦД-1. Так как 1 лежит в о', то она лежит в одном из идеатов М-1, например, вуг1. Тогда o' — ama~1 =
256
глава 6
== аЯ1+1й"1 = ... Умножая на а, получаем, что == ®т+1 == • » •
Ослабленное условие обрыва убывающих цепей. Пусть ... будет убывающей цепью целых правых о-идеалов, каждый из которых содержит двусторонний е-идеал ft. Идеалы bf и а принадлежат группоиду G, и мы имеем соотношение о^ЬГ^а* Следовательно, Ь^1 = оЬГ^1^ЬГ"1о' эЬГ1, где через 0' обозначена левая единица для Ь2. Таким образом,	... сС1
и	••• будет возрастающей цепью целых
левых о-идеалов. Отсюда следует, что при некотором индексе т дЬ^"1 = ftbm^-i — ..., а тогда Ь^1 = Ьда + 1 = = ... и bm — bOT+i = ... . Так как любой целый 0-идеал ограничен и порядок 0 максимален, то любой 0-идеал ограничен. Следовательно, каждая единица о удовлетворяет условиям I—IV. Любой элемент а группоида G будет идеалом относительно своих единиц, а так как эти единицы максимальны, то они будут порядками идеала ft. Отсюда следует, что элемент, обратный а в группоиде G, будет обычным обратным идеалу я идеалом. Следовательно, операция в группоиде G совпадает с ранее определенной. Остается показать, что каждый максимальный порядок 0', эквивалентный какому-либо порядку 0 из G, принадлежит О и каждый нормальный идеал, порядки которого принадлежат G, сам принадлежит О. Пусть порядок 0' максимален и о'ссйоб. Тогда oo'^-oaob ^ос при соответствующем элементе с, и потому 00' будет левым о-идеалом. Его порядками будут, очевидно, максимальные порядки о и 0'. Так как обратный идеал (00') 1 состоит из таких элементов х, что (оо')хс о, то (оо')_1 лежит в 0. Отсюда следует, что (00') 1 принадлежит G, и так как его левая единица в группоиде G является его левым порядком, то о' £ G. Наконец, пусть b будет любым правым о-идеа-лом (о принадлежите), a ft — содержащимся в Ь двусторонним о-идеалом. Так как ft = ftjfta, где сц и а.» являются целыми двусторонними о-идеалами, то я принадлежит G. Тогда с = b_1ft содержится вой, следовательно,
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
257
принадлежит О. Следовательно, b-1 = ca-1^G и
Пример. Пусть о является областью главных идеалов и ЭД—ее кольцом отношений. Рассмотрим множество G аддитивных подгрупп вида aob, где элементы а и b отличны от нуля. Если х является таким элементом из ЭД, что (aob) х = aob, то (ob) х с: ob и bx=yb, где у £ с. Следовательно, х£Ь~ЧЬ, и, обратно, если х будет любым элементом из Ь~*оЬ, то (ао£) x^aob. Отсюда следует, что, если aob — a'ob', то Ь-хоЬ ~ (Ь') ^'. Следовательно, „правая единица" b~1ob элемента aob однозначно определена в группоиде G. Подобным же образом „левая единица" аоа-1 элемента & = aob не зависит от выбора а в представлении идеала а. Мы будем рассматривать лишь такие произведения (aob) (cod), для которых правый порядок Ь~гоЬ элемента aob совпадает с левым порядком сое-1 элемента cod. Тогда too = obc, и (aoZ>) (corf) = abcod лежит в G. Множество b~1oa~1 может быть охарактеризовано как совокупность таких элементов х, что (под) х лежит в левом порядке аоа-1. Следовательно, если мы определим (aob)-1 как Ь~1оа-1, то (ао#)-1 однозначно определяется элементом aob и удовлетворяет равенствам (aob) (aob)-1 — аоа-1, (aob)-1 (aob) = Ь~гоЬ. Каждый правый или левый а-^оя-идеал (как целый, так и дробный) будет главным идеалом и, следовательно, лежит в G. Наконец, для любой пары единиц а~]оа и b^ob множества G найдется элемент Ь-гоа, для которого они будут соответственно правой и левой единицами. Таким образом, G является группоидом, удовлетворяющим условиям 1, 2 и 3. Покажем теперь, что если каждый целый о-идеал ограничен, то и условие 4 выполняется. В этом случае, если а = Ьс~1, где b и с лежат в о, будет любым элементом из ЭД, то в о найдется такой элемент с*, что с*о = ос* и с-’с* лежит в о. Это очевидно, так как со содержит двусторонний о-идеал с*о = ос*, и потому с* = сс', где с'£о и с~1с* = с'. Отсюда следует, что аос* == ас*о будет целым идеалом с левым порядком аоа-1 и правым порядком о. Так как порядок д~1о/' изоморфен порядку о, то в нем выполнены те же условия, что и в о,
17 Вак. 743. И. Джекобооя.
258
ГЛАВА 6
и пЬтому подобными же рассуждениями мы можем показать, что для любой пары порядков а~'$а и b-xob найдется а-^а-левый, 6-Ч'/?-правый идеал, содержащийся в их пересечении. Это показывает, что наши рассуждения непосредственно применимы к областям главных идеалов, в которых каждый целый идеал ограничен.
13- Разложение нормальных идеалов. Рассмотрим теперь вопрос о разложении целых элементов группоида G. Будем обозначать через йу,Ьу,... нормальные идеалы, для которых максимальные порядки и Oj из Q являются соответственно левым и правым порядками. Следующая лемма будет основной в дальнейших рассмотрениях.
Лемма. Для того чтобы	(f^ тз , необходимо а достаточно, чтобы ~ Cikbkj (tty ==	,
где идеал cfk (cki) целый. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда cik — (си = ofc).
Если a<j — где	T0	В силу пре-
дыдущей леммы, йу = Ьн лишь в том случае, когда k = i и cifc = or Обратно, если bkj^atJ, то Лц =
где cik = Тогда cfk с а^йк/ = ог-, и потому идеал са целый
Предположим, что йу—целый идеал и Яуссй^. Пусть последовательность oz- a^j zs йу => ... => й<— йу состоит из целых правых (^-идеалов, соответствующих членам композиционного ряда модуля Композиционные факторы этого ряда будут тогда о^-изоморфны модулям
По лемме мы получаем, что йу =	й<А1/,
и, следовательно, &{j =	= «у)-
Целые идеалы	будут максимальными в своих
порядках. В противном случае, мы имели бы где S1—целый идеал, отличный от ой, И Зь-, .—целый идеал, отличный от Di, .. Тогда мы 11	*к—1	к-1
х) Вообще, если 647Эву, то мы имеем = с»йбй?Ьу, Где идеалы cik = ay (о^ау)-1 и by = целые.
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ	259
получили бы, что	_t й/ /:□ я^-> вопреки пред-
положению о неприводимости модуля а» 3- / iukj. Отсюда следует, что граница идеала pikik_l в а также его левая граница в являются простыми идеалами. Очевидно также, что мы можем обратить порядок вышеприведенных рассуждений: Если ai; = Vi* .bi <	*•.&<,*
J т—г т— 1 т—2
является разложением идеала «у в произведение максимальных целых идеалов i „ то цепь о„.-
. • • дэ dij соответствует композиционному ряду модуля Oj/Cly.
Для того чтобы изучить связь между различными разложениями идеала ntj, нам понадобится одно обобщение понятия изоморфизма, применимое к модулям относительно различных порядков кольца 91. Пусть и SKfc будут соответственно Dj- и сл-модулями, каждый из которых имеет конечное число образующих и ограничен. Мы будем говорить, что модули -Kj и сопряжены, если инварианты этих модулей можно таким образом поставить в соответствие друг с другом, чтобы соответствующие инварианты были сопряжены. Если j = k, то, в силу доказанного в § 8, сопряженность эквивалентна обычному изоморфизму.
Теорема 32. Если Су — целый, a 6^—любой идеал, то модули SJly — Ojltij и = bjjJtijbjk сопряжены.
Заметим сначала, что эти модули структурно изоморфны. В самом деле, любой подмодуль модуля 3R; соответствует такому идеалу Ьу, что Oj => by о	Тогда
и, умножая на мы получаем, что равенство может иметь место во второй совокупности соотнЬшений лишь тогда, когда оно имеет место в первой. Кроме того, любой подмодуль модуля имеет вид utt/Cybjfc, где и№ является содержащимся в о^-модулем. Но тогда будет правым о^-идеалом, и потому будет нормальным идеалом. Следовательно, по лемме, и/А = = ЬуЬуй, где by — целый идеал. Таким образом, наше соответствие между подмодулями модулей и взаимнооднозначно, а так как оно сохраняет порядок, то оно бу-
17*
260
ГЛАВА б
дет структурным изоморфизмом. Если с^- является границей Wtj, то легко видеть, что границей будет сопряженный идеал =	Следовательно, если мы
представим с^- как прямое пересечение таких в^-правых идеалов с»^,..с$ 3-, что модули Ojltikj неразложимы, то границы модулей Djfcirj будут сопряжены с границами модулей	Напомним, что границы модулей
являются инвариантами модуля С другой стороны, в силу структурного изоморфизма, нуль модуля ЯЛк будет прямым пересечением модулей Шф = C^jb^/c^bjfc, причем фактор-модули	неразложимы. Так как модуль
изоморфен модулю bjk/c^bjk, то его граница сопряжена с границей модуля OjfCt j, и потому инварианты модуля SQtj сопряжены с инвариантами модуля 3Rk.
Разумеется, такое же рассуждение может быть проведено для левых модулей. Назовем теперь целые идеалы и екг подобными справа (подобными слева), если модуль (левый модуль ojb^) сопряжен с модулем Oi/Cki (ле‘ вым модулем ок/скг). В следующем параграфе мы покажем, что два идеала подобны справа тогда и только тогда, когда они подобны слева. Мы можем поэтому опускать определения «правый» и «левый» в этих терминах. Сформулируем теперь основную теорему о разложениях.
Теорема 33. Любой целый идеал может быть разложен в произведение Р«т_1Р*т„1*т_2" • • максимальных целых идеалов. Если а.ц = ]р\к ,,
V г п-1Т kn_1Kn_i
является другим разложением такого типа, то число сомножителей в обоих произведениях равно, и они могут быть поставлены в соответствие друг другу таким образом, что соответствующие сомножители подобны.
Мы видели, что разложение	идеала Яу
соответствует композиционному ряду модуля Oj/fly, причем композиционные факторы этого ряда изоморфны модулям Я*.	,4 J - По предыдущей теореме, эти модули
К ь* К А — 1 гС “ 1*
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
261
сопряжены с модулями	Наша теорема является
поэтому непосредственным следствием теоремы Жор-дана-Гельдера.
Теорема 34. Для того чтобы модуль Ojffyj был неразложим, необходимо и достаточно, чтобы идеал единственным образом разлагался в произведение максимальных целых идеалов. Если это условие выполнено, то все максимальные множители идеала qy подобны между собой.
Необходимость условия непосредственно вытекает из теоремы 27. Для того чтобы доказать достаточность, предположим, что qy^= [q^j, q^J и (q^, q<23) = fy. Тогда q*j=	где являются целыми идеалами.
Следовательно, если q< jф qy и qy^fcqy, то мы получим два различных разложения идеала qy.
Отсюда вытекают очевидные следствия.
Следствие 1. Если модуль ' неразложим и идеал является делителем qy, то модуль ty/q^ неразложим.
Следствие 2. Модуль Ojlq{j неразложим тогда и только тогда, когда неразложим левый модуль
Напомним, что если модуль o^/qy неразложим, то его (правая) граница имеет вид ру, где идеал простой, и е равно длине композиционного ряда модуля o</qy. Очевидно, что е может быть охарактеризовано как число максимальных множителей в разложении идеала qy. Отсюда и из соответствующего результата относительно левых модулей вытекает
Следствие 3. Если модуль неразложим и границей идеала qy является ру, где y-j— простой идеал, то левая граница идеала qy имеет вид р«, где р^—также простой идеал.
Если ру является простым идеалом, то Vjltyj будет простым кольцом, и, следовательно, все композиционные факторы модуля Oj/py изоморфны между собой. Отсюда вытекает следующая
262
ГЛАВА 6
Теорема 35. Все максимальные множители простого идеала fyj подобны между собой.
Покажем, наконец, что порядок классов подобия ма-
ксимальных идеалов, появляющихся при разложении любого целого идеала, может быть выбран произвольно,
т. е. если а4; = р44 й* t в... й<где й— максималь-ные идеалы, и если	принадлежит к классу подо-
бия Ск, то найдется такое разложение а^- = р'7.
что соответствующие классы подобия С',..., С'т образуют любую перестановку классов б?!,...., Ст. Очевидно,
что для доказательства этого достаточно показать справедливость следующей теоремы:
Теорема 36. Если tptJ и являются максимальными целыми идеалами, то = P4iP4fc, где идеалы u р77., а также и идеалы p.-ft и р'.г подобны между собой.
Если модуль OklViftjk неразложим, то идеалы и подобны справа. Следовательно, мы можем положить р4г== = ру и р4Л —рд. Если же этот модуль разложим, то мы
имеем
PijVjk [Р^Я:’ Р^Л-] » (P^fe’ P*20 = Pfc‘
, подобен ру7£. Так как положить
Тогда мы можем предположить, что идеал идеалу а идеал р' подобен идеалу =то мы можем
Pu = P^ и Р« = Ц-
14. Подобие нормальных идеалов. Граница любого целого идеала ау будет Оу-идеалом вида b^aijf, где — целый идеал, являющийся делителем любого идеала такого вида. Таким же образом можно охарактеризовать левую границу Таким образом а44 будет делителем идеала Qitjbji, и число максимальных множителей идеала я44 не должно превосходить числа максимальных множителей идеала а тем самым и числа максимальных множи
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
263
телей идеала а^. По симметрии, число максимальных множителей идеалов a<f и ал- одинаково» и потому
f Тогда идеал ait =	сопряжен с идеалом а^. Мы
I	можем использовать этот факт для доказательства следую-
X	щей леммы.
Лемма. Если идеалы и подобны справа и модуль неразложим, то эти идеалы подобны слева.
Так как и oklbki неразложимы, то достаточно показать, что эти левые модули имеют сопряженные границы, т. е. что левая граница идеала a{j сопряжена с левой границей идеала bAZ. По предположению, правые границы идеалов и сопряжены между собой. Так как обе границы любого идеала сопряжены, то наше утверждение доказано.
Предположим теперь, что левый модуль разло-t жим, и пусть	a2-i;], (_a,-w-, ай;) = ^-. Тогда
	== «мAv = й«Л»г Пересечение aifc = [ai41, a«J содер-
жит Ду, и потому йу-== W;y. Так как
— и подобно этому c.kj 5 то мы получаем, что	т. е. что а^-= [««,, a«t]. Пусть, далее,
йй'О 1— ^-Ц* Тогда Cfj
откуда вытекает, что c(l = о,-. Таким образом, а^- совпадает с прямым пересечением солевых идеалов и
Мы видели, что модули	и
сопряжены. Так как модуль 0;/я^ = (a<w-, a,-v-)/a^ (^-изоморфен модулю а^/[ай? %] = а^-/а^, то отсюда следует, что модули	и ВуАт/ сопряжены. Следова-
тельно, идеалы aixj и а<<, = а<;а^ подобны справа й, по симметрии, эти идеалы подобны также и слева. Анало-g гично доказывается подобие идеалов яг-17- и йце
Рассмотрим теперь общий случай, когда СЦ; =
...»	, причем, если обозначить [а^-, ..., air_17,	.»
..., a#t>] через Ьм,то (airj,	Напишем a^==a»rbw =
= и покажем, что aij будет прямым пересечением волевых идеалов а,-л>. Это было доказано выше для слу
264
ГЛАВА 6
чая s = 2. Следовательно, мы-можем предположить, что утверждение справедливо для разложений, состоящих из s — 1 компонент. Нетрудно видеть, что Ь#г = й^й^у =
• • • ’	> ®fry] Я#гу, • • • j	fyyjl >
и, если мы опустим в последнем выражении член (я^у П airJ) й^у, дфг, то получим Ь^уЯ^. Так как, в силу дистрибутивного закона Дедекинда, (Ьй у, [й^-, Я^у]) = = «Кау, я^у), и (1Цу, Я<з7) = ру, то мы получаем, что CK-gj, ям]) = airj. Следовательно, (Цуй^у, [я^у, Ям'1 Я^у) = Оу, и потому разложение Ъ>'цг на идеалы [ftf , Я;гу] ягуу, дфг, будет прямым разложением. Так как f>« — = й»Ау (Ь;-гуЯ^у), то мы выводим из индуктивного предпо-ложения, что Ъцг является прямым пересечением рулевых идеалов . Так как й<у является прямым пересечением идеалов й^г и то ц,; будет прямым пересечением всех идеалов ац,- . Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 37. Если идеал я^ является прямым пересечением правых ^-идеалов airj и [цу= [я$ у, ..., %+v’	т0 будет прямым пере-
сечением $4-левых идеалов я$уЬ~у = й«-г.
Так как я<у = [йм, Ьм], (йм, Ьад) = Оу, то идеал й^гу подобен идеалу йг-д-г = Я/ybjyj- Отсюда и из леммы вытекает
Теорема 38. Если — [й^у,..., я^у] • [Я^у,..., Я^у] являются прямыми разложениями идеала Лу на такие о^-правые идеалы и о^-левые идеалы, что модули ©уМглу а t>ildijk неразложимы, то делители ail{j и могут быть упорядочены таким образом, что соответствующие члены будут подобны справа и слева.
МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
265
Очевидно, что отсюда следует
Теорема 39. Если два идеала подобны справа (слева}, то они подобны и слева (справа}.
Докажем, наконец, что два двусторонних идеала сопряжены между собой тогда и только тогда, когда они подобны. Для этой цели нам понадобится
Лемм а. Емкости любых двух сопряженных простых идеалов ри и равны.
Разложим идеал р« следующим образом: р« = =	гДе РМг—1 — максимальные
идеалы. Тогда, так как k является длиной композиционного ряда модуля сДфц, то k будет емкостью идеала рй. Мы можем считать, что pjj “ q^P^O}*1» где q^ является максимальным целым идеалом. Рассмотрим теперь идеал РщТд1- Если = то мы имеем, очевидно, p^qj/ — = 0. = д'.т1)/.. где и'.. = л'.. — максимальный целый идеал. С другой стороны, если р^ч^кй то (Рйъ Ял) = = 0О и потому [pfli, q^] будет прямым пересечением идеалов yfli и q;<. Тогда [pilf, qj<] = QWi»» = Рл^«» и потому опять piiiqjf1 = q^j1 Рл;, где р' и q' — максимальные идеалы. Таким образом, '= q^p^^...== = q/iPi/fc — i• • ‘Р<3 <2^2*2	— . . .	Pj7{jfe_t • • • ,
• • • pjjj =	• • Pip = Так как идеал №
максимален, то Гу = q^pjj имеет k' 1 максимальный множитель, если емкость идеала pjj равна k!. С другой стороны, разложение rz, = q'' р'. .	. ..р' ,• показывает, что п,-
J "wVk-i	J
имеет £-|-l максимальный множитель, и потому мы доказали, что k' = k.
Теорема 40. Для того чтобы идеалы ай и были подобны, необходимо и достаточно, чтобы они были сопряжены.
Очевидно, что пересечение Ац правых о^-идеалов будет также и пересечением границ этих идеалов. Следовательно, непосредственно из определения (правого) подо
266
ГЛАВА 6
бия следует, что если идеалы я<{ и подобны, то они сопряжены. Обратно, предположим, что идеалы ац и сопряжены. Тогда входящие в эти идеалы степени р®< и pjj простых идеалов могут быть сопоставлены таким образом, чтобы соответствующие друг другу р®$ и pjj были сопряжены. Но модуль о^/р« разлагается в прямую сумму k изоморфных неразложимых модулей, где k является емкостью идеала р^, причем границей каждого из этих подмодулей будет р«. Следовательно, в силу предыдущей леммы, модуль Oj/p®j будет прямой суммой k неразложимых модулей, границей каждого из которых служит р?®-Таким образом, идеалы р« и p®j, а следовательно, и идеалы и я^- подобны.
БИБЛИОГРАФИЯ
Albert, А. А. [1]: On the rank equation of any normal division algebra, Bull. Amer. Math., Soc. 35 (1929), 335 — 338; [2]: The rank function of any simple algebra, Proc. Nat. Acad. Sci., 15 (1929), 372—375; [3]: On direct products,! tans. Amer. Math. Soc. 33(1931); 690—711; [4]: On the construction of cyclic algebras with a given exponent, Amer. J. Math. 54 (1932), 1—13; [5]: On normal simple algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 34 (1932), 620— 625; [6]: A note on normal division algebras of order sixteen, Bull. Amer. Math. Soc. 38 (1932), 703—706; [7]; Normal division algebras over a modular field, Trans. Amer. Math. Soc. 36 (1934), 388— 394; [8]: On normal Kummrr fields over a non-modular field, Trans. Amer. Math. Soc. 36 (1934), 885—892; (9]: Invo-lutorial simple algebras and real Riemann matrices, Ann. of Math. 36 (1935), 886—964; [i0J: Normal division algebras of degree pe over F of characteristic p, Trans. Amer. Math, Soc. 39 (1936), 183—188; [11]: Simple algebpas of degree pe over a centrum of characterist c p, Trans. Amer. Math. Soc. 40 (1936), 112—126; [IP]: Modern Higher Algebra, Chicago, 1937; [13]: On cyclic algebras, Ann. of Math. 39 (1938), 669—682; [14]: Non-cyclic algebras with pure maximal subfields, Bull. Amer. Math. Soc. 44 (1938), 576—579; [15]: A note on normal division algebras of prime degree. Bull. Amer. Math. Soc. 44 (1938), 649—652; [16]: Structure of Algebras, New York, 1939; [17]: On p-adic fields and rational division algebras, Ann. of Math. 41 (1940), 674— 692; [18]: Non-associative algebras, I. Fundamental concepts and isotopy, Ann. of Math. 43 (1942), 685—707; [19]: Non-associative algebras, 11. New simple algebras, Ann. of Math. 43 (1942), 708-723.
Albert, A. A., and Hasse, H. [1]: A determination of all normal division algebras over an algebraic number field, Trans. Amer. Math. Soc. 34 (1932), 722—726.
Ar tin, E. [1]: Ober einen Satz von Herrn J. H. Maclagan Wcdderburn, Abh. Math. Sem Univ. Hamburg 5 (1927),
268
БИБЛИОГРАФИЯ
245—250; [2]: Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 5 (1927), 251—260; [3]: Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 5 (1927), 261—239; (4): Galois Theory, Notre Dame, 1942.
Artin, E., and Whaples, G. [1]: The theory of simple rings, Amer. J. Math. 65 (1-943), 87-107.
Asano, К. [1]: Ober die DarsteHungen einer endlichen Gruppe durch reels Kollineationen, Proc. Imp. Acad. Tokyo 9 (1933), 574—576; [2]: Nichtkommatative Hauptidealringe. I, Act. Sci. Ind., No. 696, Paris, 1938; [3J: Arithmetische Ideal-theorle in nichtkommutativen Ringen, Jap. J. Math. 15 (1939), 1—36; [4]: Ober verallgemeinerte Abelsche Gruppe mit hyperkomplexem Operatorenring und ihre Anvoendun-, gen, Jap. J. Math. 15 (1939), 231—253; [5]: Ober Ringe mit Vielfachenkettensatz, Proc. Imp. Acad. Tokyo 15 (1939), 288—291.
Asano, K., und N a к ay am a, T. fl J: Ober halblineare Trans-formationen, Math. Ann. 115 (1937), 87—114.
Asano, K., und Shoda, К. [1]: Zur Theorie der Darsiellungen einer endlichen Gruppe durch Kollineationen, Compositio Math. 2 (1935), 230—240.
Baer, R. [1]: A Galois theory of linear systems over commutative fields, Amer. J. Math. 62(1940), 551—588; [2]:Inverses and zero-divisors. Bull. Amer. Math. Soc. 48 (1942), 630—638.
Birkhoff, G. [1]: On the representability of Lie algebras and Lie groups by matrices, Ann. of Math. 38 (1937), 526—532; [2]: Lattice Theory, New York, 1940.
Birkhoff, G., and Mac Lane, S., [1]: A Survey of Modern Algebra, New York, 1941,
Brandt, H. [1]: Idealtheorie in einer Dedekindschen Algebra, Jber. Deutsch. Math. Verein 37(1928), 5—7; [2]: Primideal-zerlegung in einer Dedekindschen Algebra, Schweizerische Naturforschende Gesellschaft. Verhandlungen 28 (1929), 288— 290; [3J: Zur Idealtheorie Dedekindschen Algebren, Comment. Math. Helv. 2 (1930), 13-17; [4]: Ober die Axioms des Gruppoids,Ntexte\]sOM:. Naturforsch. Ges. Zurich. 85 (1940), 95—104.
Brauer, R. [1]: Untersuchungen Uber der arithmetischen Eigen-schaften von Gruppen Hnearer Substitutionen,, I, Math. Z. 28 (1928), 677-696; [2]: ibid., II 31 (1930), 733—747; [3]: Ober Systems hyperkomplexer Zahlen, Math. Z. 30 (1929), 79— 107; [4]; Uber die algebraische Struktur von Schiefkdrpern,
БИБЛИОГРАФИЯ
269
J. Reine Angew. Math. 166 (1932), 241—252; [5]: Ober die Konstruktion der SchiefkOrper, die von endlichen Rang in bezug auf ein gegebenes Zentrum send, J. Reine Angew. Math. 168 (1932), 44-64; [6]: Obe>- den Index und den Exponenten von Diyisionsalgebren, Tdhoku Math. J. 37 (1933), 77—87; [7]: Ober die .Rleinsche Theorie der alge-bratschen Gleichungen, Math. Ann. 110 (1934), 473—500; [8]; Eine Bedingung fiir vollstUndige Reduzibilitat von Darstellungen gewohnlicher und infintesimaler Gruppen, Math. Z. 41 (1936), 330—339; [9]: On algebras which are connected with the semi-simple continuous groups, Ann. of Math. 38 (1937), 857—872; [10]: On normal division algebras of index five, Proc. Nat. Acad. Scl. 24 (1938), 243—246; [11]: On modular and n-adic representations of algebras, Proc. Nat. Acad. Sci. 25(1939), 252—258; [12]; Investigations on group characters, Ann. of Math. 42 (1941) 936—958; [13]: On sets of matrices with coefficients in a division ring, Trans. Amer. Math. Soc. 49 (1941), 502—548; [14]: On the nilpotency of the radical of a ring, Bull. Amer. Math. Soc. 48 (1942), 752—758.
Brauer, R„ Hasse, H., und N[o ether, E. [1]: Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algcbren, J. Reine Angew. Math. 167 (1932), 399—404.
Brauer, R., und Nesbitt, C. [1]: On the regular representations of algebras. Proc. Nat. Acad. Sci. 23 (1937), 236—240; [2]: On the modular representations of groups of finite order. I, Toronto Studies, 19j7; [3J: On the modular characters of groups, Ann. of Math. 42 (1941), 556—590.
Brauer, R. und Noether, E. [1]: Uber minimale Zerfdl-lungskdrper irreduzibler Darstellungen, S. B. Preuss. Akad. Wiss. 32 (1927), 221—228.
Brauer, R., und We у 1, H. [1]; Spinors in n dimensions, Amer. J. Math. 57 (1935), 425—449.
Casimir, H., und van der W a er den, B. L. [1]: Algebraischer Beweis der vollstdni igen Reduzibilitdt der Darstellungen halbeinfacher Liescher Gruppen, Math. Ann. Ill (1935), 1-12.
Che valley, C. [1]: Sur la theorie du corps de classes dans les corps finis et les corps locaux, J. Fac. Sci. Imp. Univ. Tokyo 9 (1933), 366— 476; [2]: La theorie du symbols de restesnormiques.f Reine Angew. Math. 169 (1933), 140—156; [3]: Sur certains idiaux d'une algebre simple, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 10 (1934), 83—105; [4J: Demonstration d’une hypothese de M. Artin, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 11 (1936), 73—75; [5] Generalisation de la thPorie da corps de classes pour les extensions infinies, J. Math.
270
БИБЛИОГРАФИЯ
Pures Appl, Сёр. 9, 15 (1936), 359—371; [tj: L'arithmdtique dans les aigdbres de matrices, Act. Sci. Ind. No. 323, Paris. 1936; [7]: La theorie du corps de classes, Ann. of Math. 41 (1940), 394—418; 18]; An algebraic proof of a property of Lie groups, Amer. J. Math. 63 (1941), 785—793; [9]: on the composition of fields, Bull. Amer. Math., Soc, 48 (1942) 482-487.
Clifford, A. H. [I]: Representations induced in an invariant subgroup, Ann. of Math. 38 (1937), 533—550; [2]: Semigroups admitting relative inverses, Ann. of Math. 42 (1941), И37—104y; [3]: Matrix representations of completely simple semigroups, Amer. J. Math. 64 (1942), 327— 342.
De u ring, M. [1]: Galoissche Theorie und Darstelungstheorie, Math. Ann. 107 (1932), 140—144; [2] Algebren, Ergebnisse der Math. 4, Berlin, 1935.
Dickson, L. E. [1]: Linear Algebras, Cambridge, 1914; [2]; Algebras and their Arithmetics, Chicago, 1923; [3]: Algebren und ihre Zahlentheorie, Zurich, 1927.
Dorroh, J. L. [1]: Concerning adjunctions to algebras, Bull. Amer. Math, Soc. 38 (1932), 85—88; (2); Concerning the direct product of algebras, Ann. of Math. 36 (1935), 882— 885.
Eichler, M. [1]: Bestimmung der Idealklassenzahl in gewissen normalen einfachen Algebren, J. Reine Angew. Math. 176 (1937), 192 — 2,2; |2]: Oher die Einheiten der Divisions-algebren, Math. Ann. 114 (1937), 635—654; [3]: Allgemeine Rongruenzklasseneitfeilungen der Ideate einfacher Algebren Uber algebraischen Zahlkdrpern und inre L-Reihen, J. Reine Angew. Math. 179 (1938), 227—251; [4]: Ober die Idealklassenzahl hyperkomplexer Systeme, Math. Z. 43 (1938), 481—494; [5] Zur Einheitentheorie der einfachen Algebren, Comment. Math. Helv. 11 (1939), 253—272.
E the ring ton, I. M. H. [1]: Genetic algebras, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 59 (1939), 242—258.
Everett, C. J., Jr. [1]: Rings as groups with operators, Bull. Amer. Math. Soc. 45 (1939) 274—279; [2]: Annihilator ideals and representation Iteration for abstract rings, Duke Math. J. 5 (1939), 623—627; [3]; Vector spaces over rings, Bull, Amer Math. Soc. 48 (1942), 312—316; [4j: An extension theory for rings, Amer. J. Math. 64 (1942), 363-370.
Fitting, H. [1]: Die Theorie der Automorphlsmenringe Abelscher Gruppen und ihr Analogon bei nicht kommutativen Grup-pen, Math. Ann. 107 (1932), 514—542; [2]: Ober die dlrekten
БИЙЛИОГРАФИЯ
271
Produktzerle gungen einer Gruppe in direkt unzerlegbar. Faktoren, Math. Z. 39(1935), 16—30; [3]: Primtirkomponen-tenzerlegung in nichtkommutativen Kingen, Math. Ann. Ill (1935), 19—41; [4]: Ober die Existenz gemeinsamer Verfeinerurtgen bei direkten Produktzerlegungen einer Gruppe, Math. Z, v. 41 (1936), 380—395; [5]: Die Determinants nldeale eines Moduls, Jber. Deutsch. Math. Verein, v. 46 (1936), 195—228; [6]: Ober der Zusanimen’tang zwischen dem Begriff der Gleichartigkeit zweier Ideate und dem Aquivalenzbegriff der Elementarteilertheorie, Math. Ann. 112 (1936), 572—58/; [7]: Der Normenbegriff fur Ideate eines Ringes beliebiger Struktur, J. Reine Angew. Math. 178 (1937), 107—122.
Гельфанд, И. M. [1]: Normierte Ringe, Матем. сборник, новая серия. 9 (1941), 3—23; [2]: Ideate und prim tire Ideate in normierten Ringen, Матем. сборник, новая серия. 9(1941), 41-48.
Головин, О. Н. [1]; Множители без центра в прямых разложения, групп, Матем. сборник, новая серия. 6 (1939), 423-426.
Haantjes, J. [1]: Halblineare Transformationen, Math. Ann. Ill (1937), 293-304.
Hall, M. [1]; A type of algebraic closure, Ann. of Math. 40 (1939), 360—369; [2]: The position of the radical in an algebra, Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940), 391—404.
Harrison, G. [1]: The structure of algebraic moduls, Proc. Nat. Acad. Sci. 28 (1942), 410—413.
Hasse, H. [1]: Darsiellbarkeit von Zahlen durch quadratische Formen in einem beliebigen algebraischen ZahlkOrper, J. Reine Angew. Math. 153 «1924) 113—130; [2]: Aquivalenz quadratischer Formen in einem beliebigen algebraischen ZahlkOrper, J. Reine Angew. Math. 153 (1924), 158— 162; [3]: Ober p-adische Schiefkbrper und ihre Bedeutung fur die Arithmetik hyperkomplexer Zahlsysteme, Math. Ann. 104 (1931), 495—534; [4]: The theory of cyclic algebras over an algebraic number field, Trans. Amer. Math. Soc. 34 (1932), 171 — 214; and Additional note to the author's «Theory of cyclic algebras over an algebraic number field», Trans. Amer. Math. Soc. 34 (1932), 727-730; [5]: Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe fiber einem algebraischen ZahlkOrper, Math. Ann. 107 (1932), 731—760; [6]: Ober gewisse Ideale in einer einfachen Algebra, Act. Sci. Ind. No. 109, Paris, 1934.
БИБЛИОГРАФИЯ
, und Schilling, О. F. G. [1]: Die Normen aus r nor male n Divisionsalgebra Uber einem algebraischen ilkOrper, J. Reine Angew. Math. 174 (1936) 248—252.
.ns, C. [1]: NUrings with minimal condition for admissible left ideals, Duke Math. J. 4 (1938), 664—66?; [2]: Rings with minimal conditions for left ideals, Ann. of Math. 40 (19^9), 712—730.
Henke, К. [1]: Zur arithmetischen Idealtheorle hyperkomplexer. Zahlen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 11 (1936), 311—332
Higman, G. [1]: The units of group-rlnge, Proc. London, Math. Soc. 46 (1940), 231—240.
Hoch sc hi Id, G. P. [1]: Semi-simple algebras and generalized derivations, Amer. J. Math. 64 (1941), 677—694.
Ingraham, H. H., and Wolf, M. C. [1]; Relative linear sets and similarity of matrices whose elements belong to a division algebra, Trans. Amer. Math. Soc. 42(1937), 16—31.
Jacobson, N. [1]: Non-commutafive polynomials and cyclic algebras, Ann. of Math, 3 5 (1934), 197—208; [2]: Totally disconnected locally compact rings, Amer. J. Math. 58 (1936), 433—449; [3]: Pseudo-linear transformations, Ann. of Math. v. 38 (1937), 484—507; [4]: Abstract derivations and Lie algebras, Trans. Amer, Math. Soc. 42 (1937), 206—224; [5]: p--algebras of exponent p., Bull. Amer. Math. Soc. 43 (1937), 667—670; [6]: A note on topological fields, Amer. J. Math. 59 (1937), 889—894; [7]: A note on non-assoclaiive algebras, Duke Math. J. 3 (1937), 544—548; [8]: Simple Lie algebras over a field of characteristic zero, Duke Math. J. 4 (1938), 534 — 551; [9): Normal semi-linear transformations, Amer. J. Math. 61 (1939), 45—58; [10]: The fundamental theorem of the Galois theory for quasi-fields, Ann. of Math. 41 (1940), 1—7; [11]: Restricted Lie algebras of characteristic p, Trans, amer. Math. Soc. 50 (1941), 15—25; [12]: Classes of restricted Lie algebras of characteristic p. 1, Amer. J. Math. 63 (1941), 481—515; [13]: ibid., II. Duke Math. J. 10 (1943), 107—121.
Jacobson, N., and Taussky, О. [1]: Locally compact rings, Proc. Nat. Acad. Sci. 21 (1935), 106—108.
Jennings, S. A. [1]: The structure of the group ring of a p-group over a modular field, Trans. Amer, Math. Soc. 50 (1941), 175—185; [2]: Central chains of ideals in an associative ring, Duke Math. J. 9 (1942), 341—355.
J or d a n, P., vo n Ne’umann, J., and Wigner, E. [1]: On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism, Ann. of Maih. 35 (1934), 29—64.
БИБЛИОГРАФИЯ
273
К alis ch, G. К. [IJ: On special Jordan algebras, Dissertation University of Chicago, Chicago, 194'2.
К a wad a, Y. und Kondo, К. [1]: Idealtheorie in nichtkom-mutativen Halbgruppen, Jap. J. Math. 16 (1939), 3,-45.
Kiokemeister. F. [1]: The parasirophic criterion for the factorization of primes, Trans. Amer. Math. Soc. 50 (19411, 140—159.
K.orinek, V. [I]: Maximale kommutative Korper in einfachen Systemen hyperkomplexer Zahlen, Mem. Soc. Sci. Boh&ne, 1932, No. 1. (1933), 1—24; [2]: One remarque cohcernant I’arithmetlque des nombres hypercomplexes, Mein. Soc. Roy. Sci. Boheme, 1932, No. 4 (1933), 1—8; |3J: Sur la decomposition d'un groupe en produit direct des sous-groapes, Casopis Pest. Mat. Fys. 66 (1937), 261—286; исправления 67 (1938), 209—210.
Кое the, G. [IJ: Schiefkorper unendlichen Ranges liber dem Zentrum, Math. Ann. 105 (1931), 15—39; [2]: Verallgemei-nerte Abelsche Gruppen mit hyperkomplexen Operatoren-ring, Math. Z„ 39 (1934). 29—44.
Krull, W. [1(: Ober verallgemeinerte endllche Abelsche Gruppen, Math. Z. 23 (1925), 161—196.
Hypo ш, А. Г. (Ij: Проблемы теории колец, связанные с проблемой Бернсайда о периодических группах, Известия Академии наук СССР, Серия математическая 5 (1941), 233—240.
Landherr, W. (!]; Ober einfache Liesche Ringe, Abh. Math. Setn. Univ. Hamburg. 11 (1934), 41—64; [2]: Liesche Ringe oom Typus A Uber einem algebraischen .ZahlkOrper (Die lineare Gruppe) und hermitesche f-ormen liber einem Schiefkdrper, Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. 12 (1938), 200-241.
Levitzki, J. ![l]r Ober nilpolente Subringe, Math. Ann. 105 (1931), 620—627; [2]: On the equivalence of the nilpotent elements of a semi-simple ring, Compositio Math. 5(1938), 392—402; |3]t On rings which satisfy the minimum condition for the right-hand ideals, Compositio Math. 7 (1939), 214—222.
Mac Duff ее, С. C. [1]: The Theory of Matrices, Erg. der Math. 2, Berlin, 1933; (2]: Matrices with elements in a principal ideal ring, Bull. Amer Math. Soc. 39 (1933), 564—584; [3]: Modules and ideals in a Frobenius algebra, Monatsh. Math. Phys. 48 (1939), 292— 313; [4]: An Introduction to Abstract Algebra, New York, 1940.
Ig Ьак. 748. H. Дтекобсон.
41 \
БИ БЛИОГРАФИЯ
М а с L a n е, S. and Schilling, О. F. G., [1]: A formula for the direct product of crossed product algebras, Bull. Amer. Math. Soc. 48 (1942), 108-114; [2]: Groups of algebras over an algebraic number field, Amer. J. Math. 65 (1943), 299—308.
MaeLda, F. [IJ: Ring-decomposition without chain condition, J. Sci. Hirosima Univ., Ser. A, 8 (1938), 145—167.
Мальцев, А. И. [1]; On the immersion of an algebraic ring into a field, Math., Ann. 113 (1936;, 686—691.
McCoy, N. H. [I]: On the characteristic roots of matric polynomials, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (1936), 592—600; [2]: Quasi-commutative rings and differential ideals, Trans. Amer. Math. Soc. '39 (19o6), lol 116; [3]: Subrings of direct sums, Amer. J. Math. 60 (1938), 3(4—382; [4]: Subrings of infinite direct sums, Duke Math. J. 4 (1°38), 486—494; [5]; Generalized regular rings, Bull. Amer. Maih. Soc. 4> (1939), 175—178; [6] Algebraic propeities of certain matrices over a ring, Duke Math. J. 9 (1942), 322—340.
McCoy, N.H. and Montgomery, D. [1]: A representation of generalized Boolean rings, Duke Math. J. 3 (1937), 455—459.
Moriya, M. [1]: Zur Bewertung der einfache Algebren, Proc. Imp. Acad. Japan 13 (1937), 392 —395.
Murray,.?. J. and von N e u m a n n, J. [1]: On rings of operators, Ann. of Math. 37 (1936), 116—229; [2J: ibid., Ii, Trans. Amer. Math. Soc. 41 (1937), 208—248.
N aka у ma, T. [1]: Ober die Bezlehungen zwischen den Fakto-rensystemen und aer Normklassengruppe eines galoisschen ErweiteningskO-pers, Math. Ann. 112 (1935), 85—91; [2]- Ob°r die direkte Zer/egung einer Divislonsalgebra, Jap. J. Math. 12 (1935), 65—70; [3]: Ober die Algebren ttber einem KO rper von der Primzahlcharakteristik, proc. Imp. Acad. Tokyo 11 (1°35), 305 306; [4]: Ibid II 12 (1936), 113-114; [5|: Bine Bemerkung liber die Summe und den Durctischnitt von zwel Idealen in einer Algebra, Proc. Imp. Acad. Tokyo 12 (1936), 179-182; ]6J- Ober die Kias-siflkation halblinearer Transformationen, Proc. Ph vs. Math. Soc. Japan 19 (1937), 99—Ю7; [?]: Dtvisionsi'gebren ttber diskret bewerteten perfekten KQrpern, J. Reine. Angew. Math. 178 (1937), 11—13; [8]: A note on the elementary divisor theory in non-cvmmutatlve domains, Bull. Amer. Math Soc. 44 (1937), 719—723; (9]: Some studies on regular representations, induced representations and modular representations, Ann. of Math. £9 (19o8), 361—369; [10]: On
БИБЛИОГРАФИЯ
275
Frobeniusean Algebras. I, Ann ofMa.h. 40 (1939i 611—633; [ П ]: A re ’nark on the sum and the intersection of two normal ideals of an algebra. Bull. Amer. Math. Soc. 46(1940), 460 - 472: исправления, v. 47 (1У41», 332; [12]: Note on uniserial and generalized uni-serial rings, Proc. Imp. Acad. Tokyo 16 (1940), 285 289; 113): Normal basis of a quasi-field, Proc. Imp. Acad. Tokyo. 16 (1940); 532—53o; [14]: Qn Frobeni-usean algebras, ll, Ann. of Math. 42 (1941), 1—21 [ 5]: Algebras with anti-isomorphic left and right ideal lattices, Proc. Imp. Acad. Tokyo 17 (1941), 53—56.
Nakayama, T. and Nesbitt, C. [1]; Note on symmetric algebras, Ann. of Math, 39 (1938», 659—668.
Nakayama, T. end S h о d a, K. [’ ] Uber die Darstellung einer endlichen Gruppe durch halblineare Transformationen, Jap. J. Math. 12 (1S36), 109-122.
Nehrkorn, H. fl]: Uber absolute Idealklassengruppen und Ein-heiten in algebruischen Zahlkorpem, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 9 (1933), 318—334.
Nesbitt, C. [11: On the regular representations of algebras, Ann. of Math. 39 (1938), 634—658.
Neuhaus, A. [1]: Products of normal semi-fields, Trans. Amer. Math. Soc. 49 (1941), 106—121.
von Neumann, J. [1]: On regular rings, Proc. Nat. Acad, Sci. 22 (1936), 707—713: [2]: Algebraic theory of continuous geometries. Proc. Nat. Acad. Sci. 23 (1937), 16—22; [3]: Continuous rings and their arithmetics. Proc. Nat. Acad. Sci. 23 (1937), 341-34°; [ ]: On rings of operators, 111, Ann. of Math. 41 (1940), 94—161.
Niven, I. [’]: Equations in quaternions, Amer. Math. Monthly, v. 4a (1941), 654 661; [2]: The roots of a quaternion, Amer. Math. Monthly 49 (1942), 386—388.
Noether, E. [1]: Der Dlskriminantensatz fUr die Ordnungen eines algebraischen Zahl oder Funktione 'kbrpers, J. R.ine Angew. Math. 157 (1927), 82—1 4; [2]: iiyperkomplexe GrOssen und Darstellungstheorie, Math. Z. 30 ( 929), 641—692; [?]: Hyperkomp'exe Systems in ihre i eziehungen zur kommutativen Algebra und Zahlentheorp, Zurich Congress Proceedings, (1932), 189-194; (4); Der H uptge-schlechtsatz filr relativ-galiossche Zahlk&rper. Math. Ann. 108 ( 933), 411—419; [>|: Nichtkonm utativ Algebra, Ma h. Z. 37 (i933), 514—541; [€]: Zerfallende verschmnkte Pro-dukte und inre Maximalordnnngen, Act. Sci. Ind., Paris, 1934.
18*
276
БИБЛИОГРАФИЯ
N о е t h е х, Е. und Schmeidler. W- (1 J; Moduln in nichtkorn-mfitatlven Bereichen, InSbesondere aus Differential- und Dlfferenzenausdrucken, Math. Z. 8 (1920), 1—35.
Ore, 0.4']: Linear equations in non-commutativc fields, Ann. of Math. 32 (1931), 463—477; |2]: Theory of non-commuta-tive polynomials, Ann. -of Math. 34 (1933), 480—508.
О si ma, M. [1]: Uber die Darstellung einer Gruppe dure is halblineare Transformationen, Proc.-Phys. Math. Soc. Japan 20 (1938), I—5.
Perlis. S. [1]: A characterization of the radical of an algebra. Bull. Amer. Math. Soc. 48 (1942), 128—132.
Pickert, G, [1]: Neue Methoden in der Strukturtheorie der kommutaiiv-assozlativen Algebren, Math. Ann. 116 (1938), 217—280.
Rees, D. ft]: On semi-groups. Proc. Cambridge Philos. Soc. 36 (1940), 387— 400; [21: Note on semi-groups, Proc. Cambridge Philos. Soc. 37 (1941), 434 -435.
Rinehart, R. F. [1]: Some properties of the discriminant natrlces of a linear associative algebra, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (1936), 570—576; ]2]: Commutative algebras which are polynomial algebras, Duke Marti. J. 4 (1938), 725—-736; [3J: An interpretation of the index of inertia of the discriminant matrices of a linear associative algebra, Trans. Arrur. Math. Soc. 46 (1939), 307—327.
S c h i f f m a n, M. [1]: The ring of automorphisms of an Abelian group, Drue Math. J. 6 (1940), 579—597.
Schilling, O. F. G. [1]: Ober gevolsse Beziehungen zwlschen der Arlthmetlk hyperkomplexer Zahlsysteme und alge-braischer Zahlkbper, Math. Ann. Ill (1935), 372 —398; $i};Einheitentheurle in ratlonalenhyperkomplexen Systemen, J. Reine Angew. Math., 175 (1936), 246—251; [3]: Ober die Dirste Tungen endlicher Gruppen, J. Reine Angew. Math. 174 (1936). 188; [4J: The structure of certain rational infinite algebras, Duke Math. J. 3 (1937), 303—310; [5J: Arithmetic in a special class of algebras, Ann. of Math. 38 (1937), 116—119: 16]; Units in p-adic algebras, Amer. J. Math. 61 (1939), 883—896.
Schreier, O. (!]: Ober den Jordan-Holderschen Saiz, Abh. Math. Sera. Univ. Hamburg 6 (1928), 300—302.
Ш м и д T, О. Ю. Ill: Ober unendliche Gruppen mlt endlicher Kctte, Math. Z. 29 (1°28). 34-41.
Шяейдмюллер, В. И. [1]: О кольцах с конечными убывающими цепями подколец, Доклады Академии Наук СССР, 28 (1940\ 579-581.
БИБЛИОГРАФИЯ	277
Scii it г, I, [1]; Ober die Darstellung der endlichen Gruppen darch gebrochene lineare SabstitUtionen, J. Reine Angew, Math. 127 (1904), 20—5 >; [2]: Einige Bemerkangen яи der vorstehenden Arbeit des Herrn A. Speiser, Mat. Z. 5 (1919), 7—10.
Scorza, G. [1]: Corpi Numericie Algebre, Messina, 1Г21.
Scott, W. M. |1J; On matrix algebras over an algebraically closed field, Ann. of Math. 43 (1942), 147—160.
Segre, C. [1]: Un nuovo campo di ricerche geometriche, Ati Accad. Sci. Torino 25 (1889), 276—301.
Serb in, H. [!}; Factorization in principal ideal rings, Duka Math., J. 4 (1938), 656—663.
Shoda K. fl]: Ober die Atitomorphismen einer endlichen Abel-schen Gruppe, Math. Ann. 100 (1928), 674—686; (2]: Ober die mit einer Matrix vertauschbaren Matrizen, Math. Z. 29 (1929), 696—712; [3]: Ober die Galoissche Theorie der Halbeinfachen hynerkomplexen Systeme, Math. Ann. 107 (1932), 252—258; [4]: Ober die Aquivalenz def Darstel-lungen endlicher Gruppen durch halblineare Transformationen, Proc. Imp. Acad. Japan. 14 (1938), 278—280; [5]: Ober die fnvarianten der endlichen Gruppen halbllneafer Trans-formationen, Proc. Imp. Acad. Japan 14 (1938), 281—285
Skolem, T. [1]: Zur Theorie der associativen Zahlensysfeme Oslo, 1927.
Speiser, A. [1]: Zahlentheoretische Slitze aus der Gruppen-theorie. Math. Z. 5(1919), 1—6; [2]: Idealtheorie in rationa-len Algebren, Dickson's Algebren, Chapter 13, Zurich, !927; [3J: Zahlentheorie in rationalen Algebren, Comment.' Math. Helv. 8 (1936), 391—406.
Stauffer, R. fl): The construction of a normal basis in a separable normal extension field, Amer. J. Math. 58 (1936), 585—597.
Stone, M. H., [1J: The theory of representations of Boolean algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 40 (1936), 37—111.
T e i c h m fl 11 e r, O. [If; Verschrdnkte Produkte mit Normalrin-gen, Deutsche Math. / (1936), 92—102; |2J: Muitipllkation zyklizcher Normalringe, Deutsche Math. 1 (1936) 197—238; [3]: p-Algebren, Deutsche Math. 1 (1936), 362 - 388: [4]:Zer-fdilende zyklische p-Atgebren, J. Reine Angew. Math. 176 (1937), 157—160; [5J: Der ElementarteilerSatz far hicht-kommutative Ringe, S. — B. Preuss. Akad. Wiss., 1937:
278
БИБЛИОГРАФИЯ
[6]: Ober die sogennante nichtkommutative Galoissche The-orie und die Relatlonen	ж
Deutsche Math. 5 (1940), 138—149.
Tsen, С. C. (Ij: DivisionsalgebrenliberFunktionenkO rpern,tlach Ges. Wiss. Getiingen, 1933, 335—3°9; [2]: Algebren Uber FunktionenkOrpern, Gottingen Dissertation, 1934; (3): Zur Stuf ntheorie der quasialgebraisch-Algeschlossenheit kom-mutativer ROrper, J. Chinese Math. hoc. / (1936), 81—92.
Узкое, А. И. (11: Абстрактное обоснование брандтоеой теории идеалов. Матем. сборник. Новая серия. 6 (1939), 263—281.
Van der Waerden, В. L. [IJ: Moderns Algebra, 1 and 2, Berlin 1931; 2 und ediion 1, 1937, 2, 1940; (2J: Die Ktassi-fikation der einfachen Lieschen Gruppen, Math. Z.37 (1933), 446—462; [3J: Qruppen von linearen Transformationen, Erg. der Math. 4, Berlin, 1935.
Warning E. (Ij: Berner kang zur vorsfehenden Arbeit von He rm Chevalley, Abh. Math. Univ. Hamburg. 11 (1936), 76—83.
Wedderburn, J. H. N. (1): A theorem on finite algebras, Trans. Amer. Math. Soc 6 (19j5) 349—352; (2j: On hyper-complex numbers. Proc. London Math. Soc., Ser. 2, 6 (19 8), -7—1,7; [8J: A type of primitive algebra, Trans. Amer. Meth. Soc. 15 (1914), 162—166; (4j: On division algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 22 (-921), 1'29—135; [5j: Algebrs which do nut possess a finite basis. Trans. Amer. Math. Soc. 26 (1924), 395—426; [6]: A theorem on simple a'gebras, Bull. Amer. Math. Soc. 31 (1925), 11—13; [7]: Noncommutative domains of integrity, J. Relne Angew. Math. lt>7 (1932), 129 — 141; (8J: Lectures on Matrices, New York, 1934; [91: Note on algebras, Ann. of Math. 38 (1937), 854—856.
We у I, H [I J; Note on matric algebras, Ann. of Math. 38 (1937), 477—1^3; [2]: Commutator algebra of a finite group of collineatio s, Duke Math. J. 3 (1937), 20J—212; [3J: The Classical Groups, Princeton, 1939.
Whaples, G [tj: Ncn-anatytic class field theory and Grunwald's theorem, Duke Math. J. 9 (1942), 455—473.
Whitehead, J. H. C. [Ij; On the d<composition of an infinitesimal group. Proc. Cambridge Philos. Soc. v. 32(1936), 229—‘.37; [2]: Certan equations in the algebra of a semisimple Infinites mat group. Quart, J. Math., Oxford Ser. 8 (1937), 22'1—237; (3j: Note on linear associative algebras, J. London, Math. Soc. 16 (1941), 118—125.
Whitney, H. (Ij: Tensor products of abelian groups, Duke Ma.n.,-J, 4 (1938), 495—528.
БИБЛИОГРАФИЯ
279
Witt, Е. (1): Uber die KommutativitUt endlicher SchiefkOrper, Abh. Nath. Sem. Univ. Hamburg 8 (1930), 413; [2]: Zerlegung reeler algebralscher Fundionen in Quadrate SchiefkOrper Uber reelen FunktionenkOrper, J. Reine Angew. Math. 171 H934), 4—11; (3J: Riemann-Rochscher Saiz und ^-Funktion in Hyperkon plexen, Math. Ann. 110(1934), 12—28; [4]:Zteie7 Regeln liber verschrHnkte Products, J. Reine Angew. Math. 173 (19^5), 191 -192; [5]: Theorie der quad atischen Formen in belieblgen Кб pern, J. Reine Angew. Math. 176 (1937), 31—41; [l]: Zyklische Korper und Algebren der Charak-teristik p vom drad pn, J. Reine Angew. Math. 176 (1937), 126—140; (7]r SchiefkOrper liber diskrei bewerteten Кбгрегп, J. Reine Angew. Math. 176 (1937), 153—156; |8]: Irene Darstellung Liescher Ringe, J. Reine Angew. Math. 177 (1937), 152—160.
Wolf, L. A. [1]: Similarity of matrices in which the elements are real quaternions, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (1936), 737—743.
Zassenhaus, H. [1]: Zum Satz von Jordan-HOlder-Schreir, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 10 (1934), 106—108; [2j: Lehrhnch der Qruppentheorie, Leipzig, 1937; [3J: Uber Liesche Ringe mit Primrahlcharakteristik, Abb. Math. Sem. Univ. Hamburg 13 (1939), I—ICO. [4]: Darstellangstheorie nllpotenter Lie-Rtnge bei Charakteristik p>0, J. Reine Angew. Math. 182 1940, 150—155.
Zorn, M. [1]: Theorie der alternatlven Ringe, Abh. Math- Sem. Univ. Hamburg 8 (1930), 123—147; (2): Note zur analy-tischen hypers omplexen Zahlentheorie, Abh. Math. Sem, Univ. Hamburg 9 (1933), 197 - 201; f3]i Alternativkdrper und quad a'ische Systems, Abh. Math. Sem. Univ, Hamburg 9 (1933), 395 - 402; [4]; On a theorem of Engel, Bull. Amer. Math. Soc. 43 (1937), 401—404; [>]: Altemdive rings and related questions, I: Existence of the radical,. Ann. of Math. 42 (1941), 676—686.
предметный указатель
Алгебраическая замкнутость тела кватернионов .................. 73
Алгебра над полем . . .	107
групповая ........... ПО
изоморфизм с алгеброй матриц .....	109
Векторные пространства	37
над различными телами .................. 45
Включение области главных идеалов в тело .	64
Вполне приводимая группа................ 31
Вполне примарное кольцо.............. . . Ш
Вторая теорема об изоморфизме ............. 18
Главные полином, след и норма.............. 214
Группа
Брауера .......	200
конечная полулинейных преобразований .	166
Группоид.............. 250
нормальных идеалов .	253
Я — целый........... .	231
Дискриминант алгебры	215
Дискриминантный при-
знак сепарабельности
алгебры............... 219
Дифференцирование. .	194
Емкость максимального
идеал ,т............91,234
Идеалы
дробные............... 226
нормальные..........	248
обратные.............. 228
ограниченные .... 78,228
сопряженные ....	254
целые ................ 227
Изоморфизм колец матриц .................. 53
Инвариантные множители ................. 97
Инволюционный обрат-
ный автоморфизм .	.	59
Индекс простой алгебры	198
Кольцо
главных идеалов , .	.	144—
149
линейных преобразований ................. 46
матриц.........42 (сноска}
отношений........... 224
с условием обрыва
убывающих цепей . .	136
предметный УКАЗАТЕЛЬ
281
эндоморфизмов впол-
не приводимой группы	ИЗ
Композит полей ....	184
Композиционный ряд .	21
Лемма Фиттинга ....	24
Лемма Шура .....	111
Линейное преобразова-
ние .........	46
Матрицы с элементами из об-
ласти главных идеалов ................... 82
элементарные ....	44
Минимальный полином алгебры.............. .	214
матрицы (теорема
Фробениуса).......	102
элемента алгебры	.	.	210
Модули.............. 32
левые............. 35
ограниченные .	.	.	. 94,244
относительно колец главных идеалов . . 149—153 свободные.............. 66
с конечным, числом образующих .... . 65, 86 сопряженные ....	259
циклические............ 67
Некоммутативные полиномиальные области . 60, 72, 77,81,92
Неразложимые элементы в области главных идеалов............... 72
Нилькольцо.......... 121
Нильпотентное кольцо	.	121
Область главных идеалов .................. 62
Обратные автоморфизмы и автоморфизмы колец линейных преобразований .... 48—50'
Обратный гомоморфизм колец................. 35
2-группа............... 15
Первая теорема об изоморфизме ............. 17
П ерестановочные подкольца кольца линейных преобразований ................... 50
подалгебры простой алгебры............ 196
Подобие идеалов............ 246, 260,
262—266 матриц................ 99
матриц над телом кватернионов .......... 100
элементов ........... 68
Подполя простой алгебры ............... 198
Поле расщепления ...	199
Полная проводимость представления полу-простых алгебр матрицами .......	179
Полный делитель ...	80
Полулинейное преобразование ............. 54,
98—104
Палупростое кольцо	. .	124
Порядок . ............ 225
в алгебре.......... 234-
282
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
идеала .......	228
максимальный ....	228
ограниченный ....	228
эквивалентный , . .	226
элемента модуля ...	67
Представление алгебры матрицами............	174
с элементами из другой алгебры........	179
Представление кольца	.	32
левое регулярное .	.	36
полупростого . . . 131—135 регулярное .....	34,
137-144
Примерное кольцо . . .	137
Проективные предста-
вления групп ....	154
Продолжение изоморфизма между простыми подалгебрами центральной простой алгебры ....	193
подполями тела ...	92
Простая центральная алгебра ............... 186
Простота кольца линейных преобразований.	48
Простые подалгебры в простых алгебрах . .	192
Пространство представления .......	175
Прямые произведения алгебр............... 168
полей ........ 183 скрещенных произве-
дений ............. 207
Прямые суммы групп................. 25
идеалов.............. 120
Радикал
абстрактного кольца .	123
кольца эндоморфизмов	117
Разложение
двусторонних идеалов в области главных идеалов.............. 76
двусторонних идеалов в порядке.......... 239
кольца линейных преобразований на неприводимые правые идеалы............... 48
нормальных идеалов
в ni рядке......... 258
произвольной алгебры 220 тела в прямое произведение тел, степени которых являются степенями простых чисел 209 элементов в области
главных идеалов ...	70
Размерность векторного пространства ....	39
Расстояние между идеалами ................ 253
Расширение основного поля..............	171
Сепарабельные алгебры 208 подполя простой алгебры ..........  .	201—203
Система факторов ...	154
Скрещенное произведе-
ние ................ 157
Степень тела.........	198
Тела над специальными полями............... 209
Тело кватернионов над
ПРЕДМЕТНЫЙ	УКАЗАТЕЛЬ	283
полем действительных чисел	 211 Теорема Веддербарна	 186 Жордана—Гёльдера — Шрейера	 18 Крулля— Шмидта . .	30 дуальная ей	 71 о нормах в телах . . 93—94 Теория Галуа тел . . 162—166 Условия обрыва цепей . 19—20	Ф-кольцо	107 Целозамкнутость . . .	231 Центр кольца	 47 (сноска) Централизатор ....	196 Экспонент простой алгебры 	 208 Элементарные делители	88 Эндоморфизм группы .	11 нормальный	 22	
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.........................................  .	5
Глава 1
Группы и эндоморфизмы
1.	Кольца эндоморфизмов . .............................. 9
2.	Группы с операторами................................ 1+
3.	Теорема об изоморфизме.............................  Пэ
4.	Теорема Жордана—Гельдева. — Шрейера................ 18-
5.	Условия обрыва цепей ............................... 19
6.	Прямые суммы........................................ 25
7.	Теорема Крулля — Шмидта............................. 27
8.	Полная приводимость................................  30
9.	о-модул и........................................... 32
10.	Левые модули.....................................   35
Глава 2
Векторные пространства
1.	Определение......................................  .	37
2.	Изменение базиса........................... .	.	40
3.	Векторные пространства над различными	телами	.	.	45
4.	Кольцо линейных преобразований.................. 45
5.	Автоморфизмы и обратные автоморфизмы	в	Й	.	.	.	.	48
6.	Перестановочные кольца эндоморфизмов............ 50
7.	Изоморфизм матричных колец ......................... 53
8.	Полулинейные преобразования......................  .	.53
ОГЛАВЛЕНИЕ	285
Глава 3
Некоммутативные области главных идеалов
1.	Определения л примеры........................... €0
2.	Элементарные свойства.......................... 6‘2
3,	о-модуль с конечным числом	образующих........... 65
4.	Циклические о-модули............................ 67
5.	Двусторонние идеалы............................. 74
6.	Ограниченные идеалы............................. 78
7.	Матрицы с элементами из о....................... 82
8.	Структура о-модулей с конечным числом образующих ................................................ 86
9.	Ограниченные неразложимые	элементы. 88
10.	Ограниченные о-модули.......................... 94
11,	Инвариантные множители......................... 97
12.	Теория отдельно взятого полулинейного преобразования ..................................... ....	98
Глава 4
Структура колец эндоморфизмов и абстрактных колец
1.	Общая проблема. Специальные	случаи. 105
2.	Алгебры над полем............................. 107
3.	Предварительные результаты..................... НО
4.	Кольца матриц................................. 112
5.	Вполне приводимые группы....................... ИЗ
6.	Нильпотентные эндоморфизмы.................... И4
7.	Радикал кольца эндоморфизмов................... П5
8.	Структура колец эндоморфизмов	произвольной группы 117
9.	Прямые суммы................................... П9
10.	Радикал....................................... 121
11.	Структура полупростых колец................... 124
12.	Представления полупростых колец............... 131
13.	Кольца, удовлетворяющие условию обрыва убывающих цепей.......................................   136
14.	Регулярные представления...................... 137
286
ОГЛАВЛЕНИЕ
15.	Кольца главных идеалов......................... 14Ф
16.	Модули над кольцом главных идеалов............. 149
17.	Проективные и аффинные представления группы . . .	153
18.	Скрещенные произведения ... ...... ....	157
19.	Теория Галуа тел...............•............... 162
20.	Конечные группы полулинейных преобразований . .	166>
Глава 5
Алгебры над полем
1.	Прямое произведение алгебр..................... 168-
2.	Расширение поля.................•..............  171
3.	Представления матрицами и пространства представлений ............................................. 173
4.	Приложение теории 91-модулей.................... 177
5.	Представление алгебры матрицами с элементами из простой алгебры....................................... 179s
6.	Прямые произведения и композиты полей .......... 183
7.	Центральные простые алгебры.................... 186-
8.	Представление полупростой алгебры матрицами с элементами из центральной простой алгебры ......	189
9.	Простые подалгебры центральной простой алгебры .	192
10.	Дифференцирования ............................. 194
11.	Перестановочные подалгебры.................... 196-
12.	Подполя и поля расщепления..................... 198
13.	Группа Брауера...............................   200
14.	Сепарабельные подполя......................... 201
15.	Скрещенные произведения........................ 204
16.	Экспонент центральной простой алгебры.......... 208
17.	Минимальный полином алгебры................... 21.2
18.	Сепарабельные алгебры.......................... 218
19.	Теорема Веддербарна............................ 220
Глава 6
Мультипликативная теория идеалов
1.	Кольца отношений................................ 223
2.	Порядки и идеалы...............................	225
3.	Ограниченные порядки ..... ..................... 223
ОГЛАВЛЕНИЕ	28Г
4.	Аксиомы..................................... 231
5.	Порядки в алгебре.......................     234
6.	Разложение двусторонних идеалов............ 239“
7.	Структура фактор-кольца о/а................  242
8.	Ограниченнее о-модули....................... 244
9.	Разложение целых р-идеалов . ..............  245
10.	Нормальные идеалы.......................... 248
11.	Группоид Брандта.........................   250
12.	Необходимость условий I—IV ................ 254
13.	Разложение нормальных идеалов.............. 258
Библиография..................................  267
Предметный указатель. . . •.................... 289
ОПЕЧАТКИ
Страница	Строка	Напечатано	Должно быть
18	8	св.	ж/st |ад	ад/ад
55	1	сн.	Я/&	ад
56	9	св.		s
139	3	»	g=gs(‘)	g = gs(z)
162	2	*		eta = e
219	11		згхг	St XP
Зак. 748. Джекобсов