/
Author: Стретт Дж.В. (Лорд Рэлей)
Tags: физика колебания звуковоспроизведение акустика звуки
Year: 1955
Text
*."¦*¦.
Дж. В. СТРЕТТ (Лорд РЭЛЕЙ)
ТЕОРИЯ ЗВУКА
ТОМ I
Перевод с третьего английского издания
П. Н. УСПЕНСКОГО и С. А. КАМЕНЕЦКОГО
Издание второе
под редакцией и с предисловием
С. М. РЫТОВА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1955
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора *«».... р . 9
Предисловие автора к первому изданию ^ . 20
Предисловие автора ко второму изданию .............. 21
Глава I. Введение 23
Звук создается колебаниями. Конечная скорость распро-
странения звука. Скорость звука не зависит от высоты.
Опыты Реньо. Распространение звука в воде Опыт Уитстона.
Ослабление звука при увеличении расстояния Ноты и
шумы. Музыкальные ноты создаются периодическими коле-
баниями Сирена Каньяр де ла Тура Высота тона зависит
от периода Соотношения между музыкальными нотами. Одно
и то же отношение периодов соответствует одинаковым
интервалам во всех частях гаммы. Гармонические шкалы.
Диатоническая гамма. Абсолютная высота. Необходимость
темперации. Равномерная темперация. Таблица частот. Анализ
нот. Ноты и тоны Качество звука зависит от гармонических
обертонов. Ненадежность разложения нот на составляющие
только при помощи уха Простые тоны соответствуют колеба-
ниям маятника
Глава II. Гармонические колебания 40
Сложение гармонических колебании одинакового периода
Гармоническая кривая. Сложение двух колебаний с при-
близительно равными периодами. Биения. Теорема Фурье.
[Биения приближенно консонирующих тонов.] Колебания во
взаимно перпендикулярных направлениях. Цилиндр Лиссажу.
Фигуры Лиссажу. Маятник Блэкберна. Калейдофон. Оптиче-
ские методы сложения и разложения. Микроскоп для наблю-
дения колебаний. Прерывистое освещение. [Результирующее
колебание, получающееся от сложения большого числа ко-
лебаний, фазы которых распределены сч>чайно ]
Глава III. Системы с одной степенью свободы 64
Независимость амплитуды и периода Сича трения, про-
порциональная скорости. Вынужденные колебания. Принцип
суперпозиции. Биения, получающиеся при суперпозиции выну-
жденных и свободных колебании. Различные степени затухания.
Струна с нагрузкой. Метод размерностей Идеальный камертон
Камертоны дают приблизительно чистые тоны Камертоны как
стандарты высоты тона. [Зависимость от температуры. Ред-
кие и частые биения]. Метод настройки Шейблера. Тоно-
метр Шейблера. Сложный маятник. Камертоны, приводимые
в действие при помощи электромагнетизма. [Фоническое
1*
* СОДЕРЖАНИЕ
колесо.] Камертонный прерыватель. Резонанс. [Прерывистые
колебания.] Общее решение для одной степени свободы.
[Неустойчивость.] Члены второго порядка вызывают появле-
ние производных тонов. [Поддержание колебаний. Методы
определения абсолютной высоты тона.]
Глава IV. Колебательные системы в общем случае 111
Обобщенные координаты. Выражение для потенциальной
энергии. Статические теоремы. Начальное движение. Выра-
жение для кинетической энергии. Теорема взаимности.
Теорема Томсона (Кельвина). Уравнения Лагранжа. Дисси-
пативная функция. Сосуществование малых движений. Сво-
бодные колебания без трения. Нормальные координаты.
Периоды свободных колебаний удовлетворяют условию ста-
цишарности. Всзрастание инерции увеличивает периоды
свободных колебаний. Ослабление упругости увеличивает
периоды свободных колебаний. Наибольший период свобод-
ных колебаний является абсолютным максимумом. Гипотети-
ческие типы колебаний. Пример струны. Приблизительно про-
стые системы. Струна переменной плотности. Нормальные
ф>нкции. Свойство сопряженности. [Введение одной связи.
Несколько связей.] Определение постоянных для произволь-
ных начальных условий. Теорема Стокса.
Глава V. Колебательные системы в общем случае (продол-
жение) 153
Случаи, когда три функции Т, F, V одновременно приво-
дятся к суммам квадратов. Обобщение теоремы Юнга об
узловых точках струн. Статическая теория. Системы, начав-
шие совершать колебания из состояния покоя, получив от-
клонение под действием силы, приложенной в одной точке.
Системы, начавшие совершать колебания из равновесной
конфигурации вследствие импульса, приложенного к одной
точке. Системы, начавшие совершать колебания из состоя-
ния покоя, получив отклонение под действием равномерно
распределенной силы. Влияние малых сил трения на коле-
бания системы. Решение общих уравнений свободных коле-
баний. [Теоремы Рауса. Неустойчивость.] Приложенные силы.
Принцип постоянства периодов. Незатухающие движения.
Теорема взаимности. Применение к свободным колебаниям.
Установление теоремы взаимности для гармонических сил.
Приложения. Распространение на случаи, когда структура
системы есть функция периода. [Реакция в ведущей точке.]
Уравнения для двух степеней свободы. Корни характери-
стического уравнения. Перемежающиеся колебания. Ход
периодов по мере постепенного возрастания инерции. Реакция
зависимой системы.
Глава VI. Поперечные колебания струн 193
Закон растяжения струны. Поперечные колебания. Реше-
ние задачи для струны, масса которой сконцентрирована
в равноотстоящих точках. Вывод решения для непрерывной
струны. Дифференциальное уравнение в частных производ.
ных. Выражения для V и Г. Наиболее общий вид про-
стого гармонического колебания Струны с закрепленными
концами. Движение струны периодично в общем случае.
СОДЕРЖАНИЕ 5
Законы Мерсенна. Сонометр. Собственные частоты колебания.
Определение постоянных для произвольных начальных
условий. Случаи струны, возбужденной щипком. Выражения
для Т и V в нормальных координатах. Нормальные уравне-
ния движения. Струна, возбужденная щипком. Теорема Юнга.
Струна, возбужденная ударом. Задача о фортепианной
струне. Трение, пропорциональное скорости. Сравнение
со статической теорией. Периодическая сила, приложенная
в одной точке. Изменения, обязанные податливости кон-
цов. Доказательство теоремы Фурье. Влияние конечной
нагрузки. Поправка на жесткость. Задача о скрипичной
струне. Струны, натянутые на кривые поверхности Решение
для случая сферы. Поправка на неправильности в распреде-
лении плотности. [Произвольное смещение для каждого
Периода.] Теоремы Штурма и Лиувилля для струн перемен-
ной плотности. [Плотность, пропорциональная х~2. Узлы при
вынужденных колебаниях.] Распространение волк вдоль не-
ограниченной струны. Положительная и отрицательная вол-
ны. Стационарные колебания. Отражение от неподвижной
точки. Вывод решения для конечной струны. Графический
метод. Распространение волн при наличии трения. [Отраже-
ние от точки соединения двух струн. Постепенный переход.
Влияние несовершенной гибкости струны.]
Глава VII. Продольные и крутильные колебания стержней. . 264
Классификация колебаний стержней. Дифференциальное
уравнение продольных колебаний. Численные значения постоян-
ных для стали. Решение для стержня, свободного на обоих
концах. Вывод решения для стержня с одним свободным и
другим закрепленным концом. Стержень с двумя закреплен-
ными концами. Влияние малой нагрузки. Решение задачи для
стержня с прикрепленной к нему большой нагрузкой. [От-
ражение в точке соединения.] Поправка на поперечное дви-
жение. «Хриплый звук» Савара. Дифференциальное уравнение
для крутильных колебаний. Сравнение скоростей продольной
и крутильной волн.
Глава VIII. Поперечные колебания стержней 277
Потенциальная энергия изгиба. Выражение для кинетиче-
ской энергии. Вывод дифференциального уравнения. Гранич-
ные условия. Общее решение для гармонического колебания.
Свойство сопряженности собственных функций. Значения инте-
гралов от квадратичных величин. Выражение для V в нормаль-
ных координатах. Нормальные уравнения движения. Определе-
ние постоянных, соответствующих начальным условиям. Случай
стержня, возбужденного толчком. Стержень, выведенный из
состояния покоя отклонением поперечной силой. Нарушение
сходимости рядов собственных функци i. Вид собственных
функций для стержня, свободного на обоих концах. Законы
зависимости частоты от длины и толщины стержня. [Число-
вые формулы для камертонов.] Случай, кмда оба конца за*
креплены. Собственные функции для случая, когда один
конец стержня закреплен, а другой свободен. Вычисление
периодов. Сравнение высоты тона. Наиболее низкая частота
колебаний стержня, свободного на обоих концах. Три узла.
* СОДЕРЖАНИЙ
Четыре узла. Основная частота стержня с одним закреп*
ленным и другим свободным концом. Положение узлов.
Подпертый стержень. Вычисление периода колебаний стержня
с одним закрепленным и другим свободным концом, исходя
из гипотетического случая. Решение задачи для стержня
с нагруженным концом. Влияние добавлений к стержню.
Влияние неравномерной плотности. Поправка на инерцию
вращения. Корни функций, представляющих линейные ком-
бинации собственных функций. Составление уравнений движения
для случая, когда имеется непрерывное натяжение. Особые
граничные условия. Результирующая двух последовательностей
волн с почти одинаковыми периодами. Решение Фурье для
сл>чая бесконечного стержня [Круговое кольцо.]
Глава IX. Колебания мембран 326
Натяжение мембраны. Уравнение движения. Закрепленная
прямоу! ольная граница. Выражения для V и Т в нормаль-
ных координатах. Нормальные уравнения колебаний. При-
меры приложенных сил. Частота удлиненного прямоугольника
зависит в основном от ширины. Случаи, когда различные
1ипы колебаний имеют одинаковую частоту. Производные
типы колебаний, возникающие в последнем случае. Влияние
небольшой неоднорэдности. Неоднородность может устранить
неопределенность собственных частот. Решения, применимые
к треугольнику. Вид общего дифференциального уравнения
в полярных координатах. Одна из двух функций, входящих
в решение, исключается условием для полюса. Выраже-
ние бесселевых функций; относящиеся к ним формулы.
Таблица первых двух функций. Закрепленная круговая
граница. Свойство сопряженности собственных функций без
ограничения, налагаемого границей. Значения интегралов от
квадратичных величин. Выражения для Т и V через собственные
функции. Н рмальные уравнения колебаний для круговой
мембраны. Частный ыгучай свободных колебаний. Колебания,
создаваемые равномерно распределенной гармонической си-
лой. [Сила, приложенная в центре.] Высота различных про-
стых тонов. Таблица корней бесселевых функций. Узловые
фигуры. Круговая мембрана С одним неподвижным радиу-
сом. Бесселевы функции дробного порядка. Влияние малой
нагрузки. Колебания мембраны с приближенно круговой гра-
ницей. Возможность во многих случаях вычислить высоту
гона мембраны, исходя только из ее площади. Круговая
мембрана обладает наинизшим тоном из всех мембран оди-
наковой площади. Высота тона мембраны, границей которой
является эллипс с малым эксцентриситетом. Метод получе-
ния пределов для случаев, которые невозможно строго рас-
считать. Сравнение частот для различных случаев мембран
одинаковой площади. История задачи. Экспериментальные
исследования Бурже. [Литавры. Узловые кривые для выну-
жденных колебаний.]
Глава \. Колебания пластинок 371
Потенциальная энергия изгиба. Преобразование bV. Диф-
ференциальное уравнение поверхности. Граничные условия.
Свойство сопряженности нормальных функций. Преобразо-
вание к полярным координатам. Вид общего решения, непре»
СОДЕРЖАНИИ 7
рывного в полюсе. Уравнения, определяющие периоды коле-
баний свободной круговой пластинки. Вычисления Кирхгофа.
Сравнение с наблюдениями. Радиусы узловых окружностей.
Обобщение решения. Неравномерности вызывают биения.
[Колебания узлов.] Случаи защемленной или подперт )й гра-
ницы. [Телефонная мембрана.] Возмущение хладниевых фи-
гур [Движение песка.] История задачи. Критика Матьё.
Прямоугольная пластинка с подпертой границей. Прямо-
угольная пластинка со свободной границей. Граничные усло-
вия. Частный случай (|i = 0), допускающий математическую
трактовку. Исследование узловых фигур. Применение метода
Суперпозиции Уитстоном. Сравнение фигур Уигстона с дей-
ствительно применимыми к пластинке в случае (* = 0. Собствен-
ная частота квадратной пластинки. Вычисление периода для
гипотетического типа. Узловые фигуры, рассматриваемые на
основании соображений симметрии. Шестиугольник. Сравне-
. ние круга и квадрата. Закон, связывающий высоту тона и
частоту. В случае защемленной границы всякое сокращение
границы повышает тон. Отсутствие основного тона у сво-
бодной пластинки заданной площади. Периоды подобных
пластинок относятся как их линейные размеры. Опыты Уит-
сгона с деревянными пластинками. Опыты Кёнига. Колебания
цилиндра или кольца. Движение — тангенциальное и нор-
мальное. Соотношение между тангенциальным и нормаль-
ным движениями. Выражения для кинетической и потенциаль-
ной энергий. Уравнения колебаний. Частоты тонов. Сравне-
ние с Хладни. [Наблюдения Фенкнера.] Тангенциальное трение
возбуждает тангенциальное движение. Экспериментальная
проверка. Биения вследствие неоднородностей. [Стеклянные
колокольчики. Церковные колокола.]
Глава Ха. Изогнутые пластинки или оболочки 412
[Колебания растяжения. Частота не зависит от толщины.
Колебания изгиба без растяжения. Частота, пропорциональная
толщине. Общие условия отсутствия растяжения. Поверхность
второго порядка. Приложение к сфере. Главные растяжения
цилиндрической поверхности. Потенциальная энергия. Часто-
ты колебаний растяжения. Плоская пластинка. Другие част-
ные случаи цилиндра. Потенциальная энергия изгиба. Сфера.
Плоская пластинка. Потенциальная энергия для цилиндри-
ческой оболочки. Статические задачи. Частота колебаний
изгиба цилиндрической оболочки. Колебания растяжения
сферической оболочки. Колебания изгиба сферической обо-
лочки. Собственные частогы. Потенциальная энергия. Кине-
тическая энергия. Частоты для случая пол> сферы. Сегмент
в 120°. Литературные ссылки.]
Глава Хв. Электрические колебания '..... 451
[Вычисление периодов. Вынужденные колебания. Введение
конденсатора эквивалентно отрицательной самоиндукции.
Начальные токи во вторичном контуре. Обратная пропорцио-
нальность числу витков. Реакция вторичного контура. Ряд
контуров. Начальные токи, попеременно противоположные по
знаку. Сопротивление и самоиндукция для параллельно со-
8 СОДЕРЖАНИЕ
единенных проводников. Крайние значения частоты. Не-
сколько проводников, соединенных параллельно. Индукци-
онные весы. Теория простых гармонических токов. Два
условия, необходимые для равновесия. Мостик Уитстона.
Обобщенное сопротивление. Ток в мостике. Приближенное
равновесие. Схема Юза. Прерыватели. Индуктометры. Сим-
метричная схема. Электромагнитное экранирование. Цилинд-
рический проводящий сердечник. Постоянная затухания
свободных токов. Индуцированные токи в проволоке. Формулы
Максвелла. Импеданс. Теория кабеля Кельвина. Обобщение
Хевисайда. Ослабление и искажение сигналов. Телефон
Белла. Теория «притяжения и отталкивания». Опыт с биполяр-
ным телефоном. Минимальный слышимый ток. Микрофон].
Добавление. О бегущих волнах 493
Алфавитный указатель 500
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Со времени издания первого русского перевода «Теории звука»
Джона Вильяма Стретта (лордаРзлея*),A842—1919) прошло немно-
гим более десяти лет**). За этот небольшой срок литература по
колебаниям чрезвычайно разрослась. Но годы научного прогресса
не старят «Теории звука». Эта книга, как и большинство трудов
Рэлея, принадлежит к тем классическим произведениям, которые
навсегда сохраняют свое значение. К ней вновь и вновь обращаются
все, работающие не только по акустике, но и в любой области
физики, имеющей дело с колебаниями и волнами.
Естественно, что в «Теории звука» главное место и внимание
уделены проблемам акустики и механическим колебаниям. Но основ-
ное и непреходящее значение этой книги состоит в том, что она
является первым развернутым и систематическим изложением
общего учения о колебаниях. Она подытожила предше-
ствующие достижения в этой области и наметила ряд проблем и
направлений для дальнейшей разработки теории колебаний. В на-
стоящее время, когда эта разработка далеко продвинулась вперед,
роль «Теории звука», как определенной вехи в развитии уче-
ния о колебаниях, стала вполне ясной и может быть оценена в
должной мере.
В рецензии в Nature на первый том первого английского
издания A877 г.) Гельмгольц **•), отдавая должное ясности и систе-
матичности освещения Рэлеем вопросов общей теории колебаний,
подходил все же к «Теории звука» как к книге прежде всего по
акустике. Он писал:
«По форме уравнений и способу обозначений авгор близко сле-
дует Natural Philosophy Томсона и Тэта; действительно, весь
подход к математическим задачам столь тесно соответствует при-
нятому в упомянутом труде, что книга лорда Рэлея может рас-
сматриваться как акустическая часть блестящего учебника
двух названных знаменитых физиков». И в другом месте: «Благо-
даря чрезвычайно целесообразному и систематичному расположению
*) Правильней — Рэйли.
**) Первый том вышел в 1940 г., второй — в 1944 г.
***) Н. Helmholtz, Na*we, гом 17, стр. 237, 1878.
*0 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
материала автор добился того, что труднейшие проблемы а к у»
с т и к и могут быть теперь изучены с гораздо большей легкостью,
чем прежде». (Подчеркнуто мною. — Ред.)
Заметим, что современное значение учебника Томсона и Тэта,
сыгравшего в свое время большую роль, не может идти ни в какое
сравнение со значением, которое сохранила «Теория звука».
Гельмгольц считал желательным написание третьего тома,
посвященного вопросам физиологической акустики и возбуждению
незатухающих акустических колебаний. Рэлей не последовал этому
совету и, можно полагать, не случайно. Физиологическая акустика
слишком уклоняется от общеколебательных вопросов в сторону
узко специальных задач. Что же касается — как мы скажем
теперь — автоколебательных акустических систем, то Рэлей,
несомненно, яснее, чем кто бы то ни было из его современников,
понимал всю трудность и преждевременность попытки построения
достаточно полной и удовлетворительной их теории.
В комментариях к американскому изданию 1945 г. значение
«Теории звука» также отражено лишь по отношению к акустике.
Между тем, о чем уже было сказано выше, эта книга необходима
и оптику, и радиофизику, и специалисту по общей теории колебаний.
Вряд ли имеется надобность анализировать построение «Теории
звука». Тщательно продуманная структура книги полностью ясна
из подробного оглавления, составленного самим автором. Первый
том посвящен общей теории линейных колебательных систем,
в особенности механических, второй — распространению волн
в упругой среде.
Но, не вдаваясь в пересказ и обсуждение всего обширного
содержания книги, следует остановиться на отдельных вопросах,
в которых Рэлей либо делает фундаментальный вклад в учение
о колебаниях, либо — если даже он ограничивается немногими
словами — выступает в качестве пионера. Разумеется, нижесле-
дующие замечания никоим образом не являются исчерпывающими.
Для того чтобы проследить дальнейшее развитие всех затраги-
ваемых Рэлеем вопросов (а они без преувеличения касаются любых
разделов теории колебаний), потребовалась бы большая исследо-
вательская и библио1 рафическая работа. Цель последующих кратких
замечаний состоит лишь в том, чтобы обратить внимание читателя
на некоторые места книги.
Рэлею принадлежит ряд фундаментальных теорем линейной
теории колебаний, которые были получены им в процессе подго-
товки к написанию «Теории звука» и опубликованы в большой
работе «Некоторые общие теоремы, касающиеся колебаний»
в 1873 г. *). Их развернутое изложение (а в некоторых случаях —
*) Proc. Math Soc, том 4, стр. 357, 1873; Sclent. Papers, том I,
стр. 170 (Кембридж, 1899),
предисловие гад*кт<#А Н
обобщение) дано и в «Теории звука». Сюда относятся теоремы
о собственных частотах колебательной системы со многими сте-
пенями свободы (§§ 88—91) и прежде всего теорема о стацио-
нарности собственных частот при наличии связей (§ 88), распро-
страненная позднее A885 г.) на вырожденные диссипативные
системы.
Опираясь на этот «принцип стационарности», Рэлей устанавли-
вает ряд общих положений качественного характера о поведении
собственных частот при изменениях масс и коэффициентов упру-
гости или при наложении связей (например, при увеличении массы
ни один из собственных периодов не уменьшается и т. п.). Общее
доказательство этих качественных теорем (сразу для не малых
изменений параметров) было дано впоследствии Р. Курантом *),
с именем которого их иногда теперь связывают.
На основе того же принципа стационарности собственных
частот Рэлей дает способ приближенного их вычисления, в част-
ности способ оценки наинизшей собственной частоты (§ 89),
который неоднократно использован в «Теории звука» примени-
тельно к неоднородным струнам, стержням, мембранам, пластинкам
и трубам. Наконец, для нахождения собственных частот и типов
колебаний системы, мало отличающейся от какой-либо простой
невырожденной системы, для которой нормальные частоты и типы
колебаний известны, Рэлей развивает количественный метод воз-
мущений (§ 90) и далее в ряде случаев им пользуется (§§ 91,
135, 209, добавление к главе V)**).
В упомянутой работе 1873 г. Рэлей ввел также свою извест-
ную и широко теперь используемую диссипативную функцию (§81),
которая чрезвычайно проясняет и упрощает формулировку энерге-
тических соотношений для колебательных систем с силами трения
иязкого типа (сюда относятся, конечно, и электрические цепи
с омическими потерями).
Необходимо далее указать на теорему взаимности, играющую
с голь большую роль в вопросах излучения и приема колебаний.
Рэлею принадлежит ее доказательство **•) для систем со многими
степенями свободы в самом общем случае — при наличии диссипа-
тивных сил и при явной зависимости квадратичных форм 7',
V и F (кинетическая и потенциальная энергия, диссипативная
*) Р. Куранг и Д. Гнльберг, «Меюды математической физики», том I,
главы 1 и 6 (Гостехиздат, М.—Л., 1951)
**) Общая теория, включающая распространение метода на случаи
вырожденной невозмущенной системы, была по предложению
Л. И, Мандельштама разработана С. П. Шубиным в работ' «Некоторые
проблемы теории возмущений линейных колебатечьных систем > (Журнал
прикладной физики, том 7, вып. 2, 69, 1930).
***) Первоначально также опубликовано в уже цитированной работе
-1874 г.
12 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
функция) от периода колебаний (§§ 107—111а. См. также
§§ 294, 334).
Различие между фазовой и групповой скоростями распростра-
нения волн, на которое впервые обратил внимание Г. Стоке, находит
у Рэлея исчерпывающее разъяснение. В сущности, именно Рэлей
ввел самое понятие (и название) групповой скорости — одно из
основных понятий всякой волновой теории, играющее столь важную
роль и в теории распространения радиоволн, и в оптике, и в аку-
стике, и в волновой механике. Рэлей не только получил из кине-
матических соображений формулу для групповой скорости (§ 191),
носящую его имя, но и связал групповую скорость с соотноше-
нием между плотностями энергии и ее потока (добавление «О бегу-
щих волнах», стр. 493)*).
Рэлей особо отмечает специфические особенности систем, спо-
собных генерировать незатухающие колебания. Уже при описании
камертонного прерывателя Гельмгольца и обсуждении его действия
(§ 64) Рэлей подчеркивает существенно неконсервативный характер
системы и роль разности фаз между током в электромагните и
положением ножек камертона**). В § 68а он снова возвращается
к такого рода устройствам и перечисляет ряд примеров акусти-
ческих и механических систем, которые ныне, следуя А. А. Андро-
нову, мы называем автоколебательными и общая теория которых
была развита за последние десятилетия. Можно констатировать,
что еще задолго до возникновения самих проблем, вызвавших
к жизни современную теорию колебаний, Рэлей с полной ясностью
представлял себе все самые существенные черты автоколебатель-
ных систем и прежде всего нелинейность тех дифференциальных
уравнений, которые способны дать адэкватное описание их
поведения.
Кратко рассматривая в § 68а нелинейное уравнение B), Рэлей
указывает как на необходимость определенных условий для возник-
новения автоколебаний и для их устойчивости, так и на незави-
симость в широких пределах их амплитуды от начальных условий
(в отличие от линейных систем, у которых амплитуда опреде-
ляется именно начальными условиями). Говоря о поддержании
незатухающих колебаний струны при помощи смычка (§ 138),
Рэлей отчетливо отделяет эти колебания от свободных и вынуж-
*) Рэлей много раз возвращался к вопросу о групповой скорости,
см. Sclent. Papers, том I, стр. 537; том IV, стр. 41, а также статью для
Encyclopaedia Britannica «Волновая теория света» A888), русский перевод
которой издан отдельной книгой под редакцией и с примечаниями М. А. Ди-
вильковского (Гостехиздат, М.—Л., 1940). В качестве дополнений в этой
книге помещены и переводы указанных выше работ Рэлея.
**) Эти качественные соображения были по предложению Л. И. Ман-
дельштама развиты М. А. Леонтовичем в работе «К теории электромаг-
нитного прерывателя» (ЖРФХО, ч. физ., том 59, вып. 3—4, стр. 261, 1927).
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА 13
денных колебании. Они «...хотя и являются вынужденными, все же
в известном смысле свободны. Поддержание их зависит целиком
от энергии, которая сообщается им смычком, и тем не менее
смычок нисколько не определяет и даже не изменяет заметно их
периодов. Это положение напоминает автоматический электри-
ческий прерыватель, движение которого в техническом смысле
действительно вынуждено, но который все же обладает свободой
в том отношении, что он (целиком или частично) сам определяет,
под каким воздействием он будет находиться» (стр. 231). Трудно
дать лучшее представление об автоколебательной системе, не при-
бегая к теории предельных циклов.
Рэлей указывает, что причиной автоколебаний струны является
падающая характеристика трения смычка, и приводит другой пример
такого же механизма возбуждения незатухающих колебаний — маят-
ник Фроуда (стр. 235)*).
Вопросу о возбуждении незатухающих колебаний в трубах
посредством дутья или подвода тепла посвящены §§ 322 а — k.
И здесь, в качестве основного принципа, Рэлей выдвигает соот-
ношение фаз между колебанием и переменной частью воздействия
со стороны источника энергии.
В § 68? Рэлей, рассматривая специальную форму уравнения
Матьб, отмечает, что системы с периодически меняющимися пара-
метрами также представляют большой интерес. Рэлей первый
обратил внимание на ряд физических задач как по колебаниям,
так и по распространению волн, для которых аппарат линейных
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
находит себе естественное применение. Между работой Матьё
A868 г.), в которой уравнение, носящее имя автора, появилось
в связи с колебательной задачей (эллиптическая мембрана), и
исследованием Рэлея «О поддержании колебаний силами двойной
частоты и о распространении волн через среду, наделенную перио-
*) Теория автоколебаний маятника Фроуда была развита С. П. Стрел-
ковым по предложению Л. И. Мандельштама (ЖТФ, том 3, стр. 563, 1933).
Было бы вообще интересно проследить во всей полноте связь между
задачами, поставленными в области теории колебаний Рэлеем, и работами
Л. И. Мандельштама. Ряд проблем, либо только намеченных Рэлеем, либо
в какой-то мере им разрешенных, нашел затем исчерпывающий ответ
в исследованиях Л. И. Мандельштама, его сотрудников и учеников. Эгу
связь можно обнаружить не только в отношении общих проблем (теория
автоколебаний, теория параметрических систем), но и на отдельных частных
вопросах. Из числа таких вопросов, затронутых в «Теории звука», можно
назвать — кроме уже упомянутого исследования по теории возмущений,
задачи об электромагнитном прерывателе и задачи о маятнике Фроуда —
еще вопрос о возбуждении и форме автоколебаний скрипичной струны,
рассмотренный А. А. Виттэм (ЖТФ, том 6, стр. 1459, 1936 и том 7,
стр. 542, 1937), и вопрос о поведении собственных частот мембраны при
закреплении отдельных ее точек (§ 213а) исследованный А. А. Виттом
и С. П. Шубиным (ЖТФ, том 1, стр. 428, 1931).
И ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОР
дической структурой» *), на которое он ссылается в § 68 *
•«Теории звука», было опубликовано всего две (правда, фунда-
ментальные) работы по уравнениям с периодическими коэффи-
циентами.
Одна из них была стимулирована астрономической проблемой **),
другая, повидимому, оставшаяся неизвестной Рзлею, содержала
общую математическую теорию**1*).
Значение, которое приобрели уравнения с периодическими
коэффициентами в современной теории колебаний, достаточно хо-
рошо известно. Радиотехника сталкивается с ними не только
тогда, когда речь идет о возбуждении колебаний (параметриче-
ский резонанс), но и в вопросах модуляции. Кроме систем с за-
данным периодическим изменением параметров, к таким же уравне-
ниям приводится исследование устойчивости по Ляпунову перио-
дических режимов в автоколебательных системах. Конечно, подобные
применения были еще скрыты от Рэлея, но современные ему воз-
можности этого направления исследований в задачах о колебаниях
и волнах сразу же привлекли его внимание.
Особо следует отметить рэлеевское решение задачи о сложе-
нии колебаний со случайными фазами, содержащееся в § 42 а,
добавленном при втором издании «Теории звука» A894 г.). В этот
параграф Рэлей включил результаты своей работы «О результи-
рующей большого числа колебаний одинаковой высоты и произ-
вольной фазы» ****), развив при этом существенно новый подход
к вопросу. В одномерном случае, когда складываемые колебания
различаются только случайным знаком, нахождение средней интен-
сивности сводится к классической задаче Бернулли в ее простей-
шей формулировке. Однако и здесь, проведя элементарный под-
счет средней интенсивности и высказав чрезвычайно четкое пред-
остережение против неправильного понимания закона больших
чисел (стр. 57), Рэлей ставит и решает задачу по-новому. Он
вводит функцию распределения /(я, х) для результирующей ампли-
туды х при наличии п колебаний, составляет для /(«, х) разно-
стное уравнение и затем переходит от него к дифференциальному
уравнению E). Если образование результирующего колебания пред-
ставлять себе как итог последовательного добавления единичных
колебаний со случайной амплитудой (-f 1 или —1), то /(я, х)
представляет собой распределение х после п сложений, или, как
говорят в задаче о случайных блужданиях частицы, после п. шагов.
Иными словами, /(я, х) представляет собой то, что теперь назы-
*) Phil. Mag., том 24, стр. 145, 1887; Sclent. Papers, том III, стр. 1,1902.
**) G. W. Hill, Ada Math., том 8, стр. 1, 1886.
***) G. Floquet, Ann. de VEcote normale supirieure, том 12, стр. 47,1883.
****) См. Phil. Mag., том 10, стр. 73, 1880; Sclent. Papers, том I,
стр. 491, 1899.
ПРВДИСЛОВИВ РВДАКТ01М t5
дается вероятностью перехода. Таким образом, Рэлеем сделан-
первый шаг в развитии аппарата дифференциальных уравнений
для вероятностей перехода.
Рэлей вновь возвращается к этому методу в работе «Динами-
ческие задачи, иллюстрирующие теорию газов» *), но и после нее
проходит еще много лет, прежде чем аналогичный подход полу-
чает применение в связи с теорией броуновского движения — в pat
ботах А. Эйнштейна, А. Фоккера, Ф. Цернике и других авторов—»
и дифференциальные уравнения дпя вероятностей перехода при->
обретают известность под именем уравнений Эйнштейна — Фок-
кера. Весь этот аппарат получил затем исчерпывающее обоснова-
ние в трудах А. Н. Колмогорова**).
Переходя в том же § 42 я к двумерной задаче (сложение слу-
чайных векторов на плоскости), Рэлей использует тот же прием,
что и для одномерного случая, получает двумерное диффузионное
уравнение и находит в качестве решения функцию распределения
для результирующей амплитуды [уравнения A3) или A6)], назы-
ваемую теперь распределением Рэлея.
Рэлей принадлежит к тем — в настоящее время сравнительно
редким — физикам, которые, чувствуя себя одинаково свободно
и в области математической теории и в области эксперимента,
имеют в каждой из этих областей выдающиеся результаты. Отсюда
проистекает чрезвычайно поучительное тесное переплетение теории
и опыта в его произведениях. Отчетливо видя границу, на кото-
рой кончается возможность или целесообразность теоретического
расчета, Рэлей без труда переходит к фактически наблюденным
результатам, к обсуждению обнаруженных на опыте уклонений
и их истолкованию, вникая в детали экспериментов так, как это
может делать только человек, производивший опыты своими
*) Phil. Mag., том 32, стр. 424, 1891; Sclent. Papers, том III, стр. 473,
1902. Задача о сложении случайных колебаний неоднократно привлекала
внимание Рэлея и после второго издания «Теории звука». Укажем на
работу «О теореме Якова Бернулли о вероятностях», Phil. Mag., том 47,
стр. 246, 1899; Sclent. Papers, том IV, стр. 370, 1903. Здесь рассмотрены
предельные выражения биномиального закона распределения, несколько
исправлен вывод диффузионного дифференциального уравнения и дано
его обобщение на случай неравновероятных амплитуд ± 1. Далее- «Задача
о случайных блужданиях», Nature, том 72, стр. 318, 1905; Sclent. Papers,
том V, стр. 256, 1912 — замечание о тождественности этой задачи Пирсона
с задачей о сложении колебаний со случайными фазами. См. также
«К задаче о случайных колебаниях и о случайном полете в одном, двух
и трех измерениях» Phil. Mag., том 37, стр. 321, 1919; Sclent. Papers,
том VI, стр. 604, 1920 и «О результирующей некоторого числа единичных
колебаний, фазы которых распределены случайно в интервале, не ограни-
ченном целым числом периодов», Phil. Mag., том 37, стр. 498, 1919; Sclent.
Papers, том VI, стр. 627, 1920.
**) А. Н. Колмогоров, «Об аналитических методах в теории вероят-
ностей». Успехи матем. наук, том 5, стр. 5, 1938.
16 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
руками *). Для экспериментального стиля Рэлея, так же как и для
его теоретических работ, характерна глубина подхода, умение
видеть все тонкости исследуемых проблем, будь то конкретное
физическое явление или же вопрос познавательного характера,
касающийся взаимоотношения теории с экспериментом, анализа
употребляемых понятий и т. п. Это исключительное проникнове-
ние в самую суть вопроса, в сочетании с ясным и поныне вполне
современным изложением, делает произведения Рэлея замечатель-
ной школой физического мышления, особенно ценной для молодежи.
Можно было бы привести множество примеров, дающих пред-
ставление о тонкости и глубине рэлеевского хода мысли. Выше
уже говорилось о релеевской трактовке автоколебательных систем
и о его подходе к статистическим задачам теории колебаний.
Укажем еще лишь на один пример — вопрос о том, какие перио-
дические колебания дают простой, неразложимый тон. «Более
важного вопроса в акустике быть не может», замечает Рэлей
(стр. 38).
Как известно, зачастую еще и теперь первичность синусо-
идальных колебаний сводят к «простоте» круговых функций. Рэлей
отлично знает эту аргументацию (§ 27), но никоим образом ею
не ограничивается. Он приводит гораздо более существенные и
убедительные соображения, связанные с теоремой Фурье и свой-
ствами реальных анализаторов звука, давая тем самым основы
современного понимания роли спектрального аппарата в вопросе
о разложении колебаний. Неразложимость простого тона связана
с тем, является ли сама физическая система, на которую действует
колебание, гармонической. Поэтому Рэлей здесь же указывает:
«Мы, однако, не доверяемся целиком общим соображениям, подоб-
ным вышеизложенным. В главе о колебаниях струн (см. стр. 193.—
Ред.) мы увидим, что теория во многих случаях заранее осведо-
мляет нас о природе колебания, совершаемого струной... Здесь
мы уже располагаем решающим критерием» (стр. 39).
*) В «Теории звука» читатель найдет немало ссылок Рэлея на его
собственные опыты . И в дальнейшем, после первой публикации «Теории
звука», Рэлей систематически печатал сообщения о своих опытах в области
акустики, в большинстве продолжающих «Теорию звука». В их числе
можно указать, например, на исследование восприятия направления на
источник звука, на опыты по влиянию диффракции волн вокруг головы
наблюдателя, на вопрос о концевой поправке у органной трубы, на опыты
с чувствительными пламенами, акустическими тенями и т. д. Эти сообще-
ния об акустических опытах печатались в Phil. Mag., том 3, стр. 456, 1877;
том 7, стр. 149, 1879; том 9, стр. 278, 1880; том 13, стр. 340, 1882; том 17,
стр. 188, 1884; том 2, стр. 280, 1901 (в Sclent, Papers соответственно том I,
стр. 314, 402, 468; том II, стр. 95, 268; том IV, стр. 550). К вопросу
о восприятии направления на источник звука см. также Nature, т. 14, стр.
32, 1876 {Scient. Papers, том I, стр. 277) и Phil, Mag., том 15, стр. 214,
1907 (Scient, Papers, том V, стр. 347).
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА 17
В еще более отчетливой форме значение свойств анализатора
колебаний было подчеркнуто Рэлеем позднее, в статье «Волновая
теория света» и в полемике со Стоксом и Дж. Дж. Томсоном по
вопросу о характере колебательного процесса в рентгеновских
лучах*).
Вряд ли нужно повторять, что отмеченные выше фундамен-
тальные результаты Рэлея являются достоянием не одной только
акустики, а всего учения о колебаниях **). Это, разумеется, ни-
сколько не должно заслонять значения «Теории звука» с точки
зрения чисто акустических проблем. Акустика была одной из из-
любленных областей для Рэлея. Кроме «Теории звука» он посвя-
тил ей более 120 работ, которые он публиковал почти ежегодно
на протяжении всей своей творческой деятельности.
Отдавая должное множеству тонких экспериментов и наблюде-
ний, содержащихся в этих работах, следует все же признать осо-
бенно важными теоретические исследования Рэлея, благодаря кото-
рым существенно прояснилось понимание некоторых наиболее
сложных акустических явлений и был расширен фундамент для
современной теоретической акустики.
Анализ вклада, внесенного «Теорией звука» специально в аку-
стику, лежит в стороне от цели настоящего предисловия. Отме-
тим только, что в «Теории звука» содержится много оригиналь-
ных результатов по колебаниям стержней и оболочек (в част-
ности, глава Ха), причем, как замечает Ляв, колебания стерж-
ней (главы VII и VIII) были изучены Рэлеем с исчерпывающей
полнотой ***),
Рэлею принадлежит ряд исследований по теории диффракции и
рассеяния звука (см., в частности, § 292 и главы XVII и XVIII) ****),
по теории акустических излучателей (§ 302, глава XVII), по влия-
нию вязкости и теплопроводности при распространении в узких
трубах и в пористых телах (§§ 350, 351) *****).
*) См. заметку «Лучи Рентгена и обыкновенный свет», Nature, том 57,
стр. 607, 1898. Sclent. Papers, том IV, стр. 353, 1903.
**) Вклад Рэлея в общую теорию колебаний, конечно, не исчерпы-
вается теми результатами, которые содержатся в «Теории звука». Ряд важ-
ных работ относится к более позднему периоду. Укажем, в частности, на
статью «Некоторые общие теоремы относительно вынужденных колебаний
и резонанса», Phil. Mag., том 3, стр. 97, 1902; Sclent. Papers, том V,
стр. 8, 1912.
***) См. А. Ляв, «Математическая теория упругости», М.—Л„
стр. 445,1935.
****) Кроме того: «Диффракция звука», Proc. Roy. Inst., том 12,
стр. 187, 1888; Sclent. Papers, том III, стр. 24. Более поздняя работа —
«Об акустической тени сферы», Phil. Trans., том 203 А, стр. 87, 1904;
Sclent. Papers, том V, стр. 149.
***##) см, работу «Пористые тела по отношению к звуку», Phil. Mag.,
том 16, стр. 181, 1883; Scient. Papers, том II, стр. 220.
18 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
В промежутке между первым и вторым изданиями «Теории
звука» Рэлеем был открыт особый вид волн *), которые могут
распространяться по поверхности раздела упругих сред со ско-
ростью, не зависящей от частоты и меньшей, чем скорость двух
известных ранее объемных видов волн — волн сжатия и волн вра-
щения без изменения объема. Хотя эти волны Рэлея не имеют
непосредственного отношения к акустике и не освещены в «Тео-
рии звука», их большое значение дчя сейсмологии (которое Рэлей
предвидел) и их интерес с точки зрения общей теории волнового
движения оправдывают упоминание здесь об этом вопросе.
Рэлей существенно продвинул разработку вопросов о давлении
ввука **), о волнах конечной амплитуды (§§ 251—253), о дей-
ствии конического рупора (§§ 280,291)***) Им введено важное и
широко используемое теперь понятие акустической проводимости
канала и отверстия (§§ 304—308) •••»*).
В последних ив указанных параграфов Рэлей широко исполь-
зует электрические аналогии — прием, ставший теперь в акустике
рабочим и повседневным. Электрические аналогии являются лишь
частным выражением принципа «изоморфизма закономерностей»,
на который сознательно опирается современное учение о колеба-
ниях и который если и не был явно сформулирован Рэлеем, то
уже отчетливо пронизывал его творчество. Это замечание лишь
еще раз подчеркивает роль Рэлея, как одного из основоположни-
ков общей теории колебаний.
Как известно, в трудах советских ученых эта область достигла
большого развития и вполне оформилась как самостоятельная
научная дисциплина. До 1930 г. в высшей школе еще не суще-
ствовало специального курса теории колебаний. Впервые такой
курс был прочитан Л. И. Мандельштамом в Московском универ-
ситете в 1930—1932 гг. и оказал существенное влияние на препо-
давание теории колебаний. В настоящее время курс теории коле-
баний входит в учебные планы многих вузов и втузов. Круг лиц,
нуждающихся в углубленном изучении теории колебаний, непре-
рывно расширяется. Несмотря на то, что у нас имеется теперь
довольно большая и разнообразная литература в этой области,
*) «О волнах, распространяющихся вдоль плоской поверхности
упругого тела», Proc. Math. Soc, том 17, стр. 4, 1885; Sclent. Papers,
том II, стр. 441.
**) См. «О давлении колебаний», Pklt. Mag., том. 3, стр. 338, 1902;
Sclent. Papers, том V, стр. 41.
***) «О получении и распределении звука» (первый раздел — теория
конической трубы), Phil. Mag., том 6, стр. 289, 1903; Sclent. Papers,
том V, стр. 126. «Конус как собиратель звука», Advisory Committee for
Aeronautics, том 618, 1915; Sclent. Papers, том VI, стр. 362.
****) Акустическая проводимость введена Рэлеем в одной из самых
первых его работ; см. «О теории резонанса», Phil. Trans., том CLXI,
стр. 77, 1870; Sclent. Papers, том I, 33.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА 19
«Теория звука» Рэлея остается одним из лучших класси-
ческих руководств. Ее повторное издание, несомненно, будет
с удовлетворением встречено нашими научными работниками,
аспирантами и студентами, разрабатывающими и изучающими
самые различные области физики и техники, в которых приходится
иметь дело с колебаниями и волнами.
Настоящее издание заново сверено с третьим английским из-
данием «Теории звука» *). Главы I—VI и XI—XVI переведены
П. Н. Усненским, главы VII—Хв, XVII—ХХ1П и добавления —
С. А. Каменецким.
С, М, Рытое
*) Третье английское издание 1926 г. (перепечатанное в 1929 и 1937 гг.)
равно как и первое американское издание 1945 г. (в одном томе), повто-
ряет без изменений второе издание A894—1896 гг.), которое было суще-
ственно дополнено Рэлеем по сравнению с первым A877—1878 гг.).
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В том труде, частью которого является настоящий том, моим
стремлением было дать читателю связное изложение теории
эвука, которое включало бы наиболее важные из современных
ее успехов, достигнутых математиками и физиками. Важность
цели, которую я имел в виду, думаю, не будет оспариваться
теми, кто компетентен об этом судить. Многие из наиболее цен-
ных вкладов в науку сейчас можно найти только в журналах и
в трудах научных обществ, изданных в разных частях света
и на нескольких языках и часто практически недоступных тем,
кто не живет в соседстве с большими публичными библио-
теками. При таком положении вещей технические помехи
изучению предмета требуют затраты излишнего труда и со-
здают для развития науки препятствия, которые нельзя недо-
оценивать.
Со времени хорошо известной статьи о звуке в Encyclopaedia
Metropolitana, принадлежащей Джону Гершелю A845), не было
опубликовано ни одного полного труда, где предмет трактовался
бы математически. Преждевременная смерть проф. Донкина
лишила научный мир человека, математические познания кото-
рого в соединении с практическим знанием музыки являлись
особенно ценными качествами для того, чтобы писать о звуке.
Достаточно первой части его «Акустики» — хотя она и является
немногим более, чем фрагментом, — чтобы показать, что моя
работа не была бы необходима, если бы профессор Донкин про-
должал жить и завершил свой труд.
В выборе вопросов, которые нужно было рассмотреть в труде
о звуке, я следовал по большей части примеру своих предше-
ственников. В своей значительной части теория звука, в обычном
ее понимании, охватывает ту же область, что и теория колеба-
ний вообще; однако, если не ввести некоторых ограничений, то
в рассмотрение пришлось бы включить такие вопросы, как мор-
ские приливы, не говоря уже об оптике. Мы, как правило, будем
ограничиваться теми классами колебаний, для которых наши уши
оказываются готовым и удивительно чувствительным инструментом
исследования. Не обладая слухом, мы едва ли много больше
интересовались бы колебаниями, чем без глаз — светом.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ 21
Настоящий том заключает в себе главы о колебаниях систем
в общем случае, в которых, я надеюсь, читатель встретит неко-
торую новизну трактовки предмета, и затем некоторые резуль-
таты, вытекающие из более подробного рассмотрения специальных
систем, таких, как натянутые струны, стержни, мембраны и
пластинки. Второй том, значительная часть которого уже напи-
сана, будет начинаться воздушными колебаниями.
Я должен выразить мою глубокую благодарность г-ну
Г. М. Тэйлору из Тринити-Колледжа (Кэмбридж), который был
настолько любезен, что прочел корректуру книги. Благодаря его
содействию было устранено несколько ошибок и неясностей, и
весь том вообще оказался менее несовершенным, чем это могло
бы быть без его помощи.
Всякие исправления или предложения, касающиеся улучшения
книги, которые любезно будут указаны моими читателями, будут
в высокой степени для меня ценны.
Тэрлинг Плэйс, Уитхэм
Апрель, 1877.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании приняты во внимание все имеющие какое-
либо значение поправки: новый материал или дан в виде новых
разделов (например, § 32а), или же заключен в квадратные
скобки [ ]. Введены две новые главы Ха и Хв, посвященные
изогнутым пластинкам или оболочкам и электрическим колеба-
ниям. Значительная доля нового материала касается более труд-
ных частей теории и может быть пропущена читателем при
первом чтении.
В математических исследованиях я обычно пользовался мето-
дами, которые представляются наиболее естественными для
физика. Чистый математик будет недоволен, и иногда (нужно
сознаться) справедливо, недостаточной строгостью изложения.
Однако в этом вопросе имеются две стороны. Действительно,
как ни важно в чистой математике постоянно придерживаться
высокого уровня строгости изложения, для физика иногда пред-
почтительнее удовлетвориться аргументами, вполне достаточными
и убедительными с его точки зрения. Его уму, воспитанному на
идеях иного порядка, более строгие приемы чистого математика
могут показаться не более, а менее доказательными. Далее,
настаивать на самой высокой строгости во многих более трудных
случаях означало бы вовсе исключить их из рассмотрения ввиду
чрезмерности требующегося для этого объема.
В первом издании много труда было положено на установле-
ние методом Лагранжа общих теорем, и теперь я более чем
22 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
когда-либо убежден в преимуществах этого приема. Нечасто
случается, чтобы теорему можно было доказать во всей ее
общности с математическим аппаратом, меньшим, чем тот, кото-
рый требуется для рассмотрения частных случаев специальными
методами.
При просмотре корректур я вновь воспользовался любезным
сотрудничеством г-на Г. М. Тэйлора, который впоследствии был,
к сожалению, вынужден оставить эту работу. Ему и некоторым
другим друзьям я благодарен также за ценные указания.
Июль, 1894.
ГЛАВА Г
ВВЕДЕНИЕ
1. Ощущение звука есть особое, sut generis ощущение, не-
сравнимое ни с каким другим из наших ощущений. Никто, напри-
мер, не может выразить соотношение между звуком и цветом
или ввуком и запахом. Прямо или косвенно, но все вопросы,
связанные со звуком, должны решаться ухом как органом слуха;
оспаривать заключения, которые даются ухом, уже не приходится.
Однако не следует отсюда заключать, что все акустические
исследования выполняются с помощью невооруженного уха. Если
однажды мы открыли физические явления, квторые составляют
основу звука, то наши исследования в значительной мере пере-
носятся в другую область, именно, в область механики. Этим
путем получены важные законы, с которыми не могут не согла-
соваться слуховые ощущения.
2. Часто достаточно самого беглого наблюдения для того,
чтобы показать, что звучащие тела находятся в состоянии колеба-
ния и что звуковые явления и явления колебаний тесно связаны
друг с другом. Если прикоснуться пальцем к звучащему коло-
кольчику или к струне, то звук прекращается в тот же самый
момент, когда заглушено колебание. Но чтобы воздействовать
на орган слуха, недостаточно одного колеблющегося инструмента:
между инструментом и ухом должно существовать также свобод-
ное от всяких помех сообщение. Колокольчик, звучащий в вакууме,
если приняты необходимые меры предосторожности, предупре-
ждающие передачу движения, остается неслышным. Напротив,
в атмосферном воздухе звуки находят универсальный проводник,
способный беспрепятственно передавать их слуховому каналу от
самых разнообразных источников.
3. Распространение звука не происходит мгновенно. Если где-
нибудь вдалеке произведен выстрел из орудия, то оказывается,
что звук выстрела отделен от вспышки очень заметным проме-
жутком времени. Этот промежуток представляет собой время,
потребное звуку для того, чтобы пройти расстояние от орудия
до наблюдателя; запаздыванием вспышки, обязанным конечной
величине скорости света, можно полностью пренебречь. Первые
тщательные опыты этого рода были сделаны в 1738 г. несколькими
24 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
членами Французской академии. В этих опытах измерялось
запаздывание звука выстрела на различных расстояниях от ору-
дий. Главная предосторожность, которую необходимо здесь
соблюдать, это — попеременно оборачивать направление, в кото-
ром распространяется звук, чтобы исключить влияние движения
воздуха в целом. В направлении ветра, например, звук распро-
страняется относительно земли быстрее, чем со свойственной
ему скоростью, так как скорость ветра при этом складывается
с собственной скоростью звука в спокойном воздухе. Французские
наблюдатели нашли, что в спокойном сухом воздухе при тем-
пературе 0° С скорость звука равна 337 метрам в секунду.
Наблюдения такого же характера были произведены в 1822 г.
Араго и другими, затем голландскими физиками Моллем, ван-
Беком и Кюйтенброуэром в Амстердаме, наконец, Браве и Мар-
тэном (между вершиной Фаульгорна и расположенной ниже
станцией) и другими. Общим результатом всех этих наблюдений
является несколько меньшее значение скорости звука — около
332 метров в секунду. Что касается влияния изменения темпе-
ратуры и давления на распространение звука, то его лучше
рассмотреть в связ^ с механической теорией.
4. Из наблюдений непосредственно следует, что скорость
звука в широких пределах не зависит или по крайней мере
почти не зависит от его интенсивности, а также от высоты.
Если бы дело обстояло иначе, то быстрый музыкальный отрывок
уже на небольшом расстоянии, был бы слышен безнадежно сбив-
чиво и нестройно. Впрочем, если возмущения чрезвычайно сильны
и внезапны, так что возникающие при этом изменения плотности
воздуха сравнимы со значением самой плотности, то могут иметь
место отступления от этого простого закона.
5. Серия тщательных опытов по распространению звука
в длинных трубах (водопроводные трубы) была произведена
Реньо J). Он воспользовался автоматическим устройством, в прин-
ципе сходным с тем, которое применяют для измерения скорости
снарядов. В тот момент, когда на одном конце трубы стреляет
пистолет, отдача разрывает проволоку, по которой течет электри-
ческий ток. Это вызывает отход в сторону острия, вычерчивав-
шего до этого линию на вращающемся барабане. На другом
конце трубы натянута мембрана, устроенная таким образом, что
когда звук достигает ее и сообщает ей некоторый импульс,
то контур, который был разомкнут в течение всего времени
прохождения звука, снова замыкается. В этот момент пишущее
острие падает обратно на барабан. Пустое пространство на бара-
бане, оставшееся незачерченным, соответствует времени, которое
потребовалось звуку, чтобы проделать весь путь, и если ско-
Regnault, Memoires de I'Academie de France, том XXXVIL
8J ИНТЕНСИВНОСТЬ ЗВУКА 25
рость вращения барабана известна, то оно позволяет определить
это время. Длину пути между проволокой и мембраной находят
непосредственным измерением. Скорость звука в этих опытах
оказалась несколько зависящей от диаметра трубы, который
менялся от 0,108 до 1,100 м. Это расхождение обусловлено,
возможно, трением, влияние которого должно быть сильнее
в узких трубах.
6. Хотя на практике передатчиком звука является обычно
воздух, — звук способны проводить и другие газы, жидкости и
твердые тела. В большинстве случаев средств для прямого изме-
рения скорости звука не имеется, рассматривать же косвенные
методы мы здесь не в состоянии. В этом отношении дело обстоит
лучше только для воды. В 1826 г. Колладон и Штурм исследо-
вали распространение звука в Женевском озере. При этом на
одной станции одновременно с ударом колокола происходила
вспышка пороха. Наблюдатель, находящийся на второй станции,
измерял промежуток времени между вспышкой и приходом звука,
прикладывая ухо к трубе, другой конец которой был опущен
под поверхность воды. Этим путем было найдено, что ско-
рость звука в воде при температуре 8° С равна 1435 метрам
в секунду.
7. Передачу звука твердыми телами можно иллюстрировать
при помощи красивого опыта, предложенного Уитстоном. Один
конец металлической проволоки прикрепляется к деке форте-
пиано, а другой через перегородки или полы проводится в дру-
гую часть здания, где, конечно, уже ничего не может быть
слышно. Если привести теперь в соприкосновение с проволокой
резонансный ящик (такой, как у скрипки), то тон, издаваемый
фортепиано, будет хорошо слышен, причем звук будет казаться
исходящим из резонансного ящика. [На этом принципе был
построен механический телефон, введенный в практическое упо-
требление для передачи речи],
8. В открытом пространстве интенсивность звука, по мере
того как расстояние от источника звука возрастает, очень быстро
падает. Одно и то же движениг должно распределяться по все
возрастающей поверхности, пропорциональной квадрату расстояния.
Все, что ограничивает звук в пространстве, ведет к замедлению
спадания его интенсивности. Так, например, над гладкой поверх-
ностью спокойной воды звук распространяется дальше, чем над
неровной почвой; еще лучше, если его распространение происхо-
дит в пределах угла, образованного гладкой мостовой и верти-
кальной стеной; но наиболее эффективным является трубообразное
ограничение, полностью предупреждающее рассеяние. Хорошо
известно употребление разговорных труб, имеющих целью облег-
чить сообщение между различными частями здания. Если бы не
некоторые эффекты (эффект трения и другие), обусловленные
26 введения 1гл. i
стенками трубы, то звук мог бы передаваться таким образом
с незначительными потерями на очень большие расстояния.
9. Прежде чем следовать дальше, мы должны рассмотреть
одно подразделение, которое имеет очень большое значение,
хотя и не свободно от трудностей. Звуки можно классифициро-
вать на музыкальные и немузыкальные; для удобства первые
могут быть названы нотами, вторые — шумами. Крайние случаи
споров не вызовут: каждый обнаружит разницу между нотой
фортепиано и скрипом обуви. Однако провести границу между
этими двумя категориями звуков не так легко. Во-первых, не-
многие ноты свободны от всякого немузыкального сопровождения.
Это относится в особенности к органным трубам: кроме собствен-
ной ноты трубы, здесь можно слышать свист потока воздуха,
когда он выходит из устья трубы. Во-вторых, многие шумы
имеют настолько музыкальный характер, что им можно приписать
определенную высоту. Это легче всего обнаружить не на от-
дельном случае, а на последовательности звуков, дающей, напри-
мер, простой аккорд. Опыт можно проделать, вытаскивая пробки
из бутылок, предварительно настроенных приливанием в них
воды, или же бросая на стол деревянные палочки подходящих
размеров. Но хотя шумы иногда и не являются целиком не-
музыкальными, а ноты обычно не вполне свободны от шумов,
нетрудно все же установить, какое из этих двух явлений являетоя
более простым. Музыкальные ноты отличаются тем, что имеют
ровный и непрерывный характер; кроме того, заставив звучать
несколько нот сразу, — например при одновременном ударе по
нескольким соседним клавишам фортепиано, — мы получим неко-
торое подобие шума, между тем как никакая комбинация шумов
никогда не смогла бы слиться в музыкальную ноту.
10. Нам целесообразно, таким образом, направить свое вни-
мание главным образом и в первую очередь на музыкальные
звуки. Эти звуки естественным образом располагаются в опреде-
ленном порядке соответственно высоте — качество, которое до
известной степени может оценивать.каждый. Опытное ухо может
различить в пределах человеческого голоса громадное число
градаций, вероятно, больше тысячи. Эти градации, однако, в от-
личие от градусов термометрической шкалы связаны друг с дру-
гом особыми соотношениями. Музыканты, взяв за отправной
пункт какую-либо данную ноту, могут выделить некоторые
другие, находящиеся в определенных отношениях к первой и
известные под названиями ее октавы, квинты и т. д.
Соответствующие разности высот называются интервалами;
при этом для одинаковых отношений высот всегда употребляются
одинаковые наименования. Так, какая-либо .нота и ее октава,
в каком бы месте шкалы они ни встречались, всегда разделены
интервалом в одну октаву. Позднее мы объясним, насколько
12] высота ноты 27
это будет возможно, природу и происхождение консонирующих
интервалов, теперь же мы должны обратиться к рассмотрению
физической стороны вопроса.
Так как звуки образуются колебаниями, то естественно пред-
положить, что более простые звуки, именно, музыкальные ноты,
соответствуют периодическим колебаниям, т. е. колебаниям,
которые по истечении некоторого промежутка времени, называе-
мого периодом, повторяются с идеальной правильностью. Оказы-
вается— с ограничением, которое будет отмечено теперь же,—
что это действительно верно.
11.'Для того чтобы иллюстрировать образование музыкальной
ноты, может быть предложено много различных приспособлений.
Одним из простейших является вращающееся зубчатое колесо,
к краю которого прижимается игральная карта. Каждый зубец
колеса при встрече с картой дает легкий удар; регулярное
повторение этих ударов при вращении колеса производит ноту
определенной высоты, причем высота ноты с увеличением ско-
рости вращения колеса возрастает. Но самым подходящим при-
бором для основных опытов с нотами является, несомненно,
сирена, изобретенная Каньяр де ла Туром. Она состоит в основ-
ном из жесткого диска, который может вращаться вокруг оси,
проходящей через его центр; диск имеет один или несколько
рядов отверстий, расположенных через равные интервалы по
окружностям кругов, концентрических с диском. Перпендику-
лярно к диску располагается соединенная с мехами воздушная
насадка, открытый конец которой помещается против одной из
окружностей с серией отверстий. Когда меха работают, струя
воздуха выходит свободно, если против конца насадки оказы-
вается отверстие; в противном случае струя застопоривается.
Когда диск вращается, через него проходит последовательность
воздушных толчков, пока, наконец, при достаточной скорости
вращения эти толчки не сливаются в одну ноту, высота которой
по мере учащения толчков непрерывно увеличивается. Позднее
мы еще будем иметь случай описать более совершенные формы
сирены; для нашей же ближайшей цели будет достаточно и этого
простого приспособления.
12. Сирена позволяет познакомиться с одним из наиболее важ-
ных фактов во всей изучаемой нами науке, именно, с тем, что
высота ноты зависит от периода соответствующего ей колеба-
ния. Размеры и форма отверстий, сила, с которой продувается
воздух, и другие элементы, встречающиеся в этой проблеме,
могут меняться, но если число пульсаций в заданное время,
скажем, в одну секунду, остается неизменным, то неизменной
остается и высота ноты. Мы можем даже обойтись совсем без
струи воздуха и получить ноту при помощи той же игральной
карты, заставляя ее при вращении диска ударяться уголком
28 введение [гл. I
о края отверстий; высота звука будет та же, что и раньше. К этому
же заключению приводят наблюдения и над другими источниками
звука (такими, как колеблющиеся твердые тела), хотя трудности
здесь часто столь велики, что оказывается необходимым прибег-
нуть к довольно тонким методам наблюдения.
В утверждении, что высота зависит от периода, таится, однако,
известная неопределенность, которая заслуживает внимательного
рассмотрения, поскольку это приведет нас к заключению боль-
шой важности. Если переменная величина является периодической
во времени с некоторым периодом •:, то величины 2т, Зт, ...
также будут для нее периодами. Обратно, повторение в пределах
данного периода ¦: не исключает более быстрого повторения
в пределах периодов, являющихся целыми частями т. Таким об-
разом, колебание, повторяющееся в действительности, например
через время -к, казалось, можно было бы рассматривать как
имеющее период т н, следовательно, в силу только что устано-
вленного закона, дающее ноту с высотой, определяемой т. Это
рассуждение не утрачивает полностью свою силу и в том слу-
чае, если мы определим период как наименьшее время, требую-
щееся для повторения колебания. Во-первых, сама необходимость
такого ограничения почти уже свидетельствует о том, что мы не
проникли в корень вопроса; в самом деле, хотя за •: и можно
отрицать право считаться периодом колебания, которое повто-
ряется в точности через время ¦=-, но это нужно допустить
для колебания, сколь угодно мало отличающегося от первого. Пред-
положим, что в опыте с сиреной в одной из окружностей, содер-
жащей четное число отверстий, каждое второе отверстие сме-
щено относительно предшествующего вдоль по дуге окружности
на одно и то же расстояние. Смещение может быть сделано на-
столько малым, что в получаемой ноте нельзя будет заметить
никакого изменения, однако же время повторения, от которого
зависит высота ноты, теперь удвоилось. Во вторых, из природы
периодичности очевидно, что наложение на колебание с перио-
дом -z других колебаний, имеющих периоды -о "з" к т" д'* не
нарушает периода ¦:, хотя предположить, что присоединение но-
вых элементов оставило качество звука неизменным, все же не-
возможно. Кроме того, поскольку присутствие этих элементов не
влияет на высоту, можем ли мы быть уверены, что элементов
с более короткими периодами не было в рассматриваемом коле-
бании с самого начала?
13. Эти рассуждения заставляют нас ожидать замечательных
соотношений между нотами, периоды которых относятся как
числа, обратные натуральным числам. Нет ничего легче, чем исследо-
15] МУЗЫКАЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ 29
вать этот вопрос с помощью сирены. Представим себе две окруж-
ности с отверстиями: внутреннюю, содержащую какое-нибудь
подходящее их число, и наружную — с вдвое большим числом.
Тогда, с какой бы скоростью диск ни вращался, период колеба-
ний, возникающих при продувании воздуха через первую группу
отверстий, обязательно будет вдвое больше периода, соответствую-
щего второй группе. Производя эксперимент, мы находим, что
две эти ноты стоят друг к другу в отношении октавы, и заклю-
чаем отсюда, что при переходе от какой-либо ноты к ее октаве
частота колебания удваивается. Аналогичный эксперимент по-
казывает, что отношению периодов 3:1 соответствует интервал,
известный музыкантам под названием дуодецимы и получающийся
из октавы и квинты; отношению 4:1—двойная октава и отно-
шению 5:1—интервал, получающийся из двух октав и большой
терции. Чтобы получить интервалы квинту и терцию, отношения
следует сделать равными соответственно 3:2 и 5:4.
14. Из этих экспериментов вытекает, что если какие-нибудь
две ноты находятся в определенном соответствии между собой,
то в какой бы части шкалы они ни были расположены, их пе-
риоды будут в определенном постоянном отношении, характер-
ном для этого соответствия. То же самое можно сказать и об их
частотах1) или числах колебаний, которые они совершают в не-
которое заданное время. Так, отношение 2:1 является характе-
ристикой интервала октавы. Если мы желаем соединить два ин-
тервала, — например, отправляясь от какой-нибудь заданной ноты,
сделать сначала шаг в октаву, а затем в том же направлении
второй шаг в квинту, — то соответствующие отношения должны
быть перемножены:
2 3 3
yX-g-—у.
12
Двенадцатая часть октавы представляется отношением у 2:1, так
как это — тот шаг, который, будучи повторен двенадцать раз,
приводит к ноте, лежащей октавой выше исходной. Если мы хо-
тим установить меру для интервалов в собственном смысле этого
слова, то мы должны взять не само характеристическое отноше-
ние, а его логарифм. Тогда, и только тогда, мерой сложного ин-
тервала будет сумма мер его компонент.
15. Из интервалов октавы, квинты и терции, рассмотренных
выше, можно получить другие известные музыкантам интервалы.
Разность октавы и квинты называется квартой; соответствующее
отношение для нее 2:8/2 = 4/3. Этот прием вычитания из октавы
!) Определенный термин для обозначения числа колебаний, совер-
шаемых в единицу времени, необходим; я не знаю лучшего слова, чем
«частота», которое употреблялось в этом смысле Юнгом. Это же самое
слово применялось и проф. Эвереттом в его превосходном издании
Натуральной философии Дешанеля.
SO ВВЕДЕНИИ [ГЛ. I
какого-либо интервала называется инверсией последнего. Инвер-
сией большой терции мы получаем малую сексту. Вычитанием
большой терции из квинты мы получаем малую терцию, а из нее
путем инверсии — большую сексту. Следующая таблица дает назва-
ния интервалов и рядом с ними соответствующие отношения частот:
Октава 2:1
Квинта 3:2
Кварта 4:3
Большая терция 5:4
Малая секста 8:5
Малая терция 6:5
Большая секста 5:3
Это — все консонирующие интервалы, заключающиеся в пределах
октавы. Можно заметить, что все соответствующие отношения
выражаются посредством малых целых чисел, и это в особенности
имеет место для более консонирующих интервалов.
Ноты, частоты которых являются кратными частоты какой-либо
данной ноты, называются ее гармониками, а весь ряд их образует
гармоническую шкалу. Как хорошо известно скрипачам, все эти
ноты можно получить от одной и той же струны, слегка прикасаясь
к ней пальцем в определенных точках во время движения смычка.
Установление связи между музыкальными интервалами и опре-
деленными отношениями частот — фундаментальный вопрос
в акустике — является заслугой Мерсенна A636). Грекам, правда,
было известно, в каких отношениях нужно изменять длины струн,
чтобы получить октаву и квинту, но только Мерсенн установил
закон, связывающий длину струны с периодом ее колебания, и
сделал первое определение действительного темпа колебания для
известной музыкальной ноты.
16. От любой ноты, взятой в качестве ключа или тоники,
может быть построена диатоническая гамма, способ получения
которой мы сейчас объясним. Если тоника, какова бы ни была
ее абсолютная высота, названа через do, то квинта выше, или
доминанта, есть sol, а квинта ниже, или субдоминанта, fa. Про-
стой аккорд для какой-нибудь ноты получается сочетанием этой
ноты с ее большой терцией и квинтой, дающим отношения частот
1 : ъи '• bU или 4:5:6. Если теперь мы возьмем простой аккорд
для тоники, для доминанты и для субдоминанты и переставим их,
когда это необходимо, в октаву, лежащую непосредственно выше
тоники, то мы получим ноты, частоты которых, расположенные
в порядке величины, таковы: ,
do re mi fa sol la si do
, 9 6 4 3 5 15 „
1 T T T ?
_ « *• -
Простой аккорд для do есть do — mi — sol, с отношением ча-
стот 1:&/4:3/а. аккорд для sol: sol — si — re, с отношением ча-
18] ДИАТОНИЧЕСКАЯ ГАММА Si
стот 8/2 :16/8:2 X % = 1 = 6U '¦ 3/а- и аккорд для fa: fa —la —do,
все с тем же самым отношением частот. Гамма завершается по-
вторением этих нот вверх и вниз через интервалы в октаву.
Если мы возьмем в качестве нашего do или тоники нижнее с
голоса тенора, то диатоническая гамма будет такая:
cdefgabc'.
Различные октавы на практике обозначаются несколько раз-
личным образом; в дальнейшем я принимаю обозначение Гельм-
гольца. Октава, расположенная ниже той, о которой мы только
что говорили, записывается большими буквами С, D и т. д.; сле-
дующая ниже нее С,, D, и т. д.; октава, расположенная еще
ниже этой, — теми же буквами, но с двумя штрихами Си, Du
и т. д. Напротив, индексы сверху обозначают повышение на ок-
таву с', с" и т. д. Ноты четырех струн скрипки напишутся в этом
обозначении так; g — d' — а' — е". Среднее с фортепиано есть с'.
[Во французской записи с' обозначается через «?,.]
17. Что касается абсолютного стандарта высоты, то здесь
единообразия не существует. В 1834 г. на штуттгартской конфе-
ренции было рекомендовано принять / = 264 полным колебаниям
в секунду. Это соответствует а' = 440. Во французской системе
полагают а' = 435. Во времена Генделя эта высота была много
ниже. Если с' принять равным 256, или 28, то все с будут иметь
частоты, выражающиеся последовательными степенями 2. Эта вы-
сота обычно принимается физиками и изготовителями акустиче-
ских инструментов и имеет за собой преимущество простоты.
Определение частоты какой-либо данной ноты ab initio является
операцией, требующей некоторой осторожности. В принципе про-
стейшим методом является определение частоты с помощью сирены,
которая приводится во вращение с такой скоростью, чтобы она
давала ноту, звучащую в унисон с данной. Число оборотов диска
в секунду дается счетчиком, который можно включать в начале
и выключать в конце измеряемого промежутка времени. Произве-
дение числа оборотов в секунду на число наличных отверстий
дает искомую частоту. Рассмотрение других методов, позволяю-
щих получить большую точность, пока должно быть отложено.
18. Пока мы придерживаемся диатонической гаммы, построен-
ной от с, ноты, написанные выше, — все, какие требуются для
музыкальной композиции. Часто, однако, бывает желательно из-
менить тонику. При таких условиях певец с хорошим естествен-
ным слухом, привыкший к исполнению без аккомпанемента, берет
совершенно новую отправную точку, строя, таким образом, но-
вую диатоническую гамму на новой тонике. После нескольких
таких изменений тоники первоначальная гамма будет совершенно
оставлена и бесчисленное множество нот окажется в употребле-
нии. На инструменте с фиксированными нотами, таком, как рояль
32 ВВЕДЕНИЕ {ГЛ. I
или орган, это неосуществимо, и для того чтобы позволить одной
и той же ноте выполнять различные функции, необходим некото-
рый компромисс. Здесь не место обсуждать в какой-либо мере
этот вопрос; мы возьмем поэтому в качестве иллюстрации самый
простой и вместе с тем самый обычный случай — модуляции
в тональность доминанты.
По определению, диатоническая гамма с состоит из простых
аккордов, основанных на с, g и /. Аналогичным образом гамма g
состоит из аккордов, основанных на g, d и с. Аккорды, основан-
ные на с и g, являются, таким образом, общими обеим гаммам,
но терция и квинта d вводят новые ноты. Терция от d, записы-
ваемая через /#, имеет частоту % ^ 6/4 = 4б/33 и значительно
удалена от любой ноты гаммы с. Напротив, квинта от d, с ча-
стотой 9/8 X 3/а = alT/i6> очень мало отличается от а с частотой б/а.
В инструментах, настроенных обычным образом, интервалом между
этими двумя нотами, который представляется отношением 81/80 и
называется коммой, пренебрегают, и обе ноты, в результате соот-
ветствующего компромисса или темперации, отождествляются.
19. Применялись различные системы темперации; простейшей
и всего чаще применяемой в настоящее время или по крайней
мере такой, к которой чаще всего стремятся, является равномер-
ная темперация. Обращаясь к таблице частот для диатонической
гаммы, можно видеть, что интервалы от do до re, от re до mi,
от fa до sol, от sol до 1а и от 1а до si приблизительно оди-
наковы, так как выражаются отношениями 9/8 или 10/9; между
тем интервалы от mi до fa и от si до do, выражаемые отноше-
нием 16/16, составляют приблизительно половину первых. При
равномерной темперации трактуют эти приближенные отношения,
как точные, разделяя октаву на двенадцать равных частей, назы-
ваемых средними полутонами. Из этих двенадцати нот можно вы-
делить диатоническую гамму, принадлежащую к какому-либо ключу,
по следующему правилу: взяв первую ноту в качестве тоники,
надо заполнить ряд третьей, пятой, шестой, восьмой, десятой,
двенадцатой и тринадцатой нотами, считая вверх. Таким путем
удается избежать всех трудностей, связанных с модуляцией, так
как данные двенадцать нот служат одинаково хорошо во вся-
ком ключе. Это преимущество приобретается за счет верной
интонации. Так, темперированная терция, будучи третьей частью
октавы, выражается отношением р :1 или, приближенно, 1,2599,
тогда как истинная терция равна 1,25. Темперированная терция,
таким образом, выше истинной на интервал 126:125. Отношение
для темперированной квинты можно получить, приняв во внима-
ние, что семь полутонов образуют квинту, а .двенадцать полуто-
нов соответствуют октаве. Эго отношение равно, таким образом,
2'/ls:l, или 1,4983. Следовательно, темперированная квинта ниже
20]
РАВНОМЕРНАЯ ТЕМПЕРАЦИЯ
33
истинной в отношении 1,4983 :1,5 или, приближенно, в отношении
881 :882. Эта ошибка несущественна, а при быстрой игре на
инструментах, подобных фортепиано, не имеет большого значения
даже и ошибка в терции. Но когда ноты выдерживаются, как в
фисгармонии и органе, консонанс аккордов существенно нарушается.
20. Следующая таблица, дающая двенадцать нот хроматиче-
ской гаммы, соответствующей системе равномерной темперации,
будет удобна для справокг). Принятый в ней стандарт есть
а' = 440; чтобы приспособить таблицу к любой другой абсолют-
ной высоте, нужно лишь умножить все приведенные в ней дан-
ные на соответствующую постоянную.
D%
Е,
/\
Р$
Gu
G#
Аа
А%
В
16,35
17,32
18,35
19,44
20,60
21,82
23,12
24,50
25,95
27,50
29,13
30,86
с,
32,70
34,65
36,71
38,89
41,20
43,65
46,25
49,00
51,91
55,00
58,27
61,73
С
65,41
69,30
73,42
77,79
82,41
87,31
92,50
98,00
103,8
110,0
116,5
123,5
с
130,8
138,6
146,8
155,6
164,8
174,6
185,0
196,0
207,6
220,0
233,1
246,9
с'
261,7
277,2
293,7
311,2
329,7
349,2
370,0
392,0
415,3
440,0
466,2
493,9
с"
523,3
544,4
587,4
622,3
659,3
698,5
740,0
784,0
830,6
880,0
932,3
987,7
с'"
1046,6
1108,8
1174,8
1244,6
1318,6
1397,0
1480,0
1568,0
1661,2
1760,0
1864,6
1975,5
с"''
2093,2
2217,7
2349,6
2489,3
2637,3
2794,0
2960,1
3136,0
3322,5
3520,0
3729,2
3951,0
Отношения интервалов для равномерно темперированной гаммы
следующие (Цамминер):
Нота Частота
с = 1,00000
с$ 212 =1,05946
d 212 = 1,12246
_в_
rf# 212 = 1,18921
е 213 = 1,25992
ь_
/ 212 = 1,33484
</ = 2,000
Нота
/ft
g
а
в
212
7
212
8
212
2i2
10
212
li
2vi
Частота
= 1,41421
= 1,49831
= 1,58740
= 1,68179
= 1,78180
= 1,88775
Ц Zammlner, Die Muslk and die muslkalischen Instrumente, Gles-
sen, 1855.
3 Зак. 1774. РэлеО, I
34 Введение |гл. i
21. Возвращаясь теперь на время к физической стороне во-
проса, мы предположим (впоследствии мы докажем, что это спра-
ведливо в широких пределах), что когда два или большее число
источников звука возбуждают колебания воздуха одновременно,
то результирующее возмущение в любой точке во внешнем воз-
духе или в слуховом проходе является простой суммой (в рас-
ширенном геометрическом смысле слова) тех возмущений, кото-
рые вызывались бы каждым источником, действующим в отдель-
ности. Рассмотрим возмущение, обязанное одновременному зву-
чанию какой-либо ноты и одной или всех ее гармоник. По
определению, весь этот комплекс образует ноту, имеющую тот же
самый период (и, следовательно, высоту), что и его самый низ-
кий элемент. Сейчас у нас нет критерия, с помощью которого
можно было бы различить два таких комплекса или обнаружить
присутствие высших гармоник. И тем не менее их обычно не-
трудно обнаружить на слух—-по крайней мере в случае, когда
составляющие звуки имеют независимое происхождение — с тем,
.чтобы произвести разложение смешанного звука. Это означает,
что строго периодическое колебание в состоянии вызвать ощу-
щение, не являющееся простым, но допускающее дальнейшее раз-
ложение. Фактически музыкантам давно было известно, что при
некоторых условиях вместе с нотой можно слышать и ее гармоники,
даже тогда, когда нота издается единичным источником звука, на-
пример колеблющейся струной; смысл этого факта был, однако,
непонятен. После того как этот вопрос привлек к себе внимание,
было доказано (главным образом работами Ома и Гельмгольца),
что почти все музыкальные ноты чрезвычайно сложны и состоят
в действительности из нот гармонической шкалы, один или не-
сколько членов которой в отдельных случаях могут отсутствовать.
Мы сейчас коснемся причин несовершенства и трудности анализа.
22. Те ноты, которые ухо не может разлагать далее, названы
Гельмгольцем (по-немецки) «тонами». Тиндаль и другие совре-
менные авторы сочинений по акустике приняли термин «тон»
также и в качестве английского эквивалента, чему будем следо-
вать и мы в настоящем труде. Рассматриваемый пункт настолько
важен, что выбор подходящего термина является почти что
вопросом необходимости. Ноты, таким образом, складываются
в общем случае из тонов: высотой ноты является высота наи-
низшего содержащегося в ней тона.
23. Строго говоря, то качество звука, которое называется
его высотой, должно быть отнесено в первую очередь только
к простым тонам; в противном случае возникает трудность, свя-
занная с нарушением непрерывности, о чем упоминалось выше.
Малейшее изменение в природе ноты может, как это было по-
казано на примере сирены, понизить ее высоту на целую октаву.
Мы могли бы сказать теперь, что эффект незначительного смеще-
24] ноты и тоны 35
ния чередующихся отверстий в этом опыте заключался в том, что
вводился новый слабый тон октавой ниже, чем любой из имев-
шихся ранее. Этого достаточно, чтобы изменить период всего
целого, однако главная масса звука остается здесь почти той же
самой, что и раньше.
В большинстве музыкальных нот основной или самый низкий
тон присутствует с достаточной интенсивностью, чтобы сообщить
свой характер всему целому. Эффект гармонических обертонов
сказывается тогда в изменении качества или тембра ноты {cha-
racterI) независимо от ее высоты. Хорошо известно, что такое
различие действительно существует. Ноты скрипки, камертона
или человеческого голоса с его различными гласными звуками
и т. д. — все могут иметь одинаковую высоту и тем не менее
отличаться друг от друга помимо громкости; хотя частично это
различие получается вследствие сопровождающих шумов, которые
чужды природе этих звуков как нот, но для полного объяснения
имеющегося различия этого обстоятельства недостаточно. Музы-
кальные ноты могут быть, таким образом, рассматриваемы как
изменяющиеся по трем признакам: во-первых, по высоте — это
признак, который мы уже рассмотрели достаточно подробно;
во-вторых, по тембру, зависящему от пропорций, в каких гармо-
нические обертоны сочетаются с основным тоном, и, в-третьих,
по громкости. Этот признак должен быть рассмотрен в послед-
нюю очередь, потому что ухо неспособно сравнивать (сколько-
нибудь точно) громкость двух нот, которые сильно отличаются
друг от друга по высоте или по тембру. Мы, правда, определим
в следующей главе механическую меру интенсивности звука,
заключающую в одной системе все градации высоты, но это не
имеет никакого отношения к вопросу, которым мы занимаемся
сейчас. Нас интересует здесь интенсивность ощущения звука,
а не величина, измеряющая его физическую причину. Разница же
в громкости сразу оценивается как большая или меньшая, так
что едва ли нам остается что-либо другое, как считать ее зави-
сящей caeteris paribus от величины соответствующих колебаний.
24. Мы видели, что музыкальная нота, как таковая, обязана
своим возникновением колебанию, которое необходимым образом
периодично; но обратное, очевидно, не может быть справедливо
без всяких ограничений. Периодическое повторение какого-нибудь
шума с интервалами в секунду — например тиканье часов — не дает
музыкальной ноты, как бы совершенно это повторение ни было.
В таком случае мы можем сказать, что основной тон лежит за
пределами слышимости, и хотя некоторые из гармонических обер-
тонов могли бы оказаться в этих пределах, они дали бы не
1) По-немецки «Klangfarbe», по-французски «timbre». Слово «chara-
cter» употребляется в этом смысле Эвереттом.
3»
36 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
музыкальную ноту и даже не аккорд, а просто шумную массу
звуков, подобную той, которая получается при одновременном
возбуждении всех двенадцати нот хроматической гаммы. Опыт
можно проделать с сиреной, распределяя отверстия по окружности
круга совершенно неупорядоченным образом и вращая диск
с умеренной скоростью. Благодаря конструкции инструмента после
каждого полного оборота все повторяется.
25. Главная трудность, которая еще остается в теории нот и
тонов, это — необходимость объяснения того, почему ноты иногда
разлагаются ухом на тоны, а иногда нет. Если данная нота дей-
ствительно сложная, то почему этот факт не воспринимается
непосредственно и определенно и почему компоненты не разде-
ляются сразу? Причиной этого не может являться слабость гар-
монических обертонов, потому что они, как мы увидим на более
позднем этапе нашего исследования, часто бывают поразительно
громки и играют в музыке важную роль. С другой стороны,
если нота иногда воспринимается как одно целое, то почему же
этого не происходит всегда? Эти вопросы, со сравнительно удо-
влетворительным результатом, были подробно рассмотрены
Гельмгольцем*). Трудность их, как таковая, не является специ-
альной особенностью акустики, аналогичную трудность можно
указать в родственной науке — физиологической оптике.
Знание внешних вещей, которое мы извлекаем из указаний
наших органов чувств, есть большей частью результат умозаклю-
чения. Когда перед нами находится какой-нибудь предмет, то
в сетчатых оболочках наших глаз возбуждаются определенные
нервы и возникают определенные ощущения, которые мы при-
выкли связывать с предметом; мы сразу поэтому заключаем
о его присутствии. В случае незнакомого предмета процесс почти
тот же. Мы истолковываем испытываемые нами ощущения так,
чтобы создать достаточно правильное представление о возбуждаю-
щей их причине. Из несколько различных перспективных видов,
получаемых обоими глазами, мы заключаем, часто путем весьма
сложного процесса, о действительном рельефе и о расстоянии пред-
мета, представления о которых мы иначе не могли бы иметь Эти
умозаключения делаются чрезвычайно быстро и совершенно бес-
сознательно. Вся жизнь каждого из нас есть непрерывный урок
истолковывания получаемых нами знаков и выведения заключений
о вещах, расположенных вне нас. И лишь в той степени, в какой
нам удается это делать, наши ощущения оказываются полезными
для нас в обыденной жизни. В связи с этим неудивительно, что
изучение наших ощущений самих по себе отходит на задний
план и что субъективные явления, как их называют, оказываются
исключительно трудными для наблюдения. - В качестве примера
1) Н. Helmholtz, Tonempftndungen, 3-е изд., стр. 98.
26] ноты и тоны 37
этого достаточно упомянуть о «слепом пятне» на сетчатке, кото-
рое, как можно было бы ожидать a priori, должно было бы
обнаружиться само собой как поразительное явление; в дей-
ствительности же, вероятно, вряд ли один человек из ста мил-
лионов обнаружил бы его у самого себя. Связь этих замечаний
с интересующим нас вопросом достаточно ясна. При повседневном
пользовании нашим слухом нашей задачей всегда является выде-
ление из всей массы звуков, какая может достигать до нас, тех
частей, которые приходят от источников, могущих интересовать
нас в данный момент. Когда мы слушаем речь собеседника, мы
останавливаем наше внимание на звуках, идущих от него, и ста-
раемся схватить их как одно целое, игнорируя в то же время,
насколько это возможно, все другие звуки, рассматриваемые как
помехи. Обычно имеется достаточно признаков, помогающих
нам осуществлять это частичное выделение. Когда человек гово-
рит, то весь звук его голоса повышается и понижается в целом,
и нам нетрудно распознать единство этого звука. Было бы от-
нюдь не преимуществом, а, напротив, источником большой пута-
ницы, если бы мы продолжали этот анализ и дальше и разла-
гали бы всю доходящую до нас массу звука на составляющие
ее тоны. Что касается ощущений, то, хотя и можно было бы
ожидать, что они будут разлагаться на тоны, наши потребности
и наш жизненный опыт побуждают нас остановить этот анализ
в этом пункте, за которым он перестал бы служить для расши-f
фровки наших ощущений, рассматриваемых как знаки от внешних t
предметов 1).
Иногда может, однако, случиться, что, как бы мы ни желали
образовать определенное суждение о предмете, материалов для
этого оказывается совершенно недостаточно. Когда какая-нибудь
нота и ее октава звучат вместе и идеально ровно, в наших
ощущениях нет ничего, что позволило бы установить, имеют ли
ноты независимое или общее происхождение. В смешанном ре-
гистре органа надавливание на каждую клавишу допускает струю
воздуха к группе труб, дающих ноту и ее первые три или четыре
гармоники. Трубы каждой группы всегда звучат вместе, и резуль-
тирующий звук обычно воспринимается как одна нота, хотя -он
исходит не из одного источника.
26. Способность разлагать ноты на составляющие тоны в зна-
чительной степени различна у разных индивидуумов. Требуется
большое усилие внимания, особенно вначале, и пока не образо-
валась привычка, очень желательна некоторая посторонняя помощь
в виде указаний, к чему следует прислушиваться.
1) Всего вероятнее, что внимание к важной и игнорирование мало-
важной части наших ощущений являются в значительной степени на-
следственными, однако до какой степени — мы, может быть, никогда
не узнаем.
38 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
Эта трудность очень похожа на ту, с которой сталкиваются
при изучении рисования. Механизм зрения, казалось бы, позволяет
ожидать, что нет ничего проще, чем изобразить на плоскости
окружающие твердые тела; опыт, однако, показывает, что это
требует, вообще говоря, большой практики.
Мы возвратимся к вопросу о разложении нот позднее, после
того как рассмотрим колебания струн, с помощью которых он
разъясняется лучше всего. Здесь можно, однако, описать очень
поучительный опыт, проделанный впервые Омом и усовершен-
ствованный Гельмгольцем. Гельмгольц1) взял две склянки, имеющие
форму, показанную на фиг. 1, из которых одна
была вдвое больше другой. Поперек горлышка
каждой из склянок продувался поток воздуха,
выпускаемый из гуттаперчевых трубок, концы
которых были размягчены и затем сплющены
так, чтобы отверстия приобрели форму узких
щелей; обе трубки были соединены с одними и
теми же мехами. Приливая в склянку воду, если
нота была слишком низка, или закрывая частично
горло склянки, если нота оказывалась слишком
высокой, можно было заставить склянки издавать
Фиг 1. ноты с интервалом точно в одну октаву, напри-
мер Ь и V. Большая склянка, когда воздух
продувался только над ней одной, издавала несколько приглу-
шенный звук, похожий по своему характеру на гласную «У»,
когда же воздух продували над обеими склянками одновременно,
тембр результирующего звука становился резче, напоминая скорее
гласную «О».
Спустя короткое время после того, как обе ноты были про-
слушаны в отдельности, Гельмгольц мог различать их и при
совместном звучании, но когда память о впечатлениях от
каждой из них в отдельности ослабевала, более высокая нота
постепенно сливалась с более низкой, которая в это же самое
время становилась громче и приобретала более резкий тембр.
Это слияние двух нот может происходить даже тогда, когда
высокая нота является более громкой.
27. Убедившись в том, что ноты обычно являются сложными
и что только один особый их вид, называемый тонами, недосту-
пен для дальнейшего анализа, мы должны выяснить, что же
является физической характеристикой тонов, определяющей их
своеобразие? Какого рода те периодические колебания, которые
дают простой тон? В соответствии с какой математической
функцией времени меняется давление в слуховом проходе? Более
важного вопроса в акустике быть не может. -
Helmholtz, Tonempfindungen, стр. 109,
27] КОЛЕБАНИЯ, ИЗОБРАЖАЕМЫЕ КРУГОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 39
Простейшими периодическими функциями, с какими знакомы
математики, являются круговые функции, выражаемые с помощью
синуса и косинуса; в самом деле, других функций, которые при-
ближались бы к ним по своей простоте, нет. Они могут обладать
любым периодом и, не допуская никакого другого изменения
(за иск точением величины), представляются вполне подходящими,
чтобы образовывать простые тоны. Кроме того, Фурье доказал,
что наиболее общая однозначная периодическая функция может
быть разложена в ряд по круговым функциям, периоды которых
целое число раз содержатся в периоде данной функции. Таким
образом, следствием общей теории колебаний является то, что
только тот частный их тип, который мы склонны теперь рассма-
тривать как соответствующий простым тонам, способен сохранять
свою целостность среди превратностей, каким он может подвер-
гаться. Всякий другой вид колебаний, поскольку одна его часть
затрагивается в иной степени, чем другая, доступен какому-либо
физическому анализу. Если бы анализ внутри уха происходил
по принципу, отличному от того, который имеет место в согла-
сии с законами неживой материи вне уха, следствием этого
было бы то, что звук, первоначально простой, мог бы превра-
титься в сложный на своем пути к наблюдателю. Однако нет
никаких оснований полагать, что в действительности происходит
что-либо подобное. Если принять, что в согласии с теми пред-
ставлениями, какие мы можем создать об интересующем нас пред-
мете, анализ звука внутри уха должен осуществляться физическим
механизмом, подчиняющимся тем же законам, какие господствуют
и снаружи, то все говорит за то, что и тоны следует считать
обязанными колебаниям, выражаемым круговыми функциями Мы,
однако, не доверяемся целиком общим соображениям, подобным
этим. В главе о колебаниях струн мы увидим, что теория во
многих случаях заранее осведомляет нас о природе колебания,
совершаемого струной, и, в частности, о том, является ли его
компонентой какое-нибудь определенное простое колебание или
нет. Здесь мы уже располагаем решающим критерием. Экспери-
ментальным путем установлено, что всякий раз, когда согласно
теории имеет место какое-либо простое колебание, можно слы-
шать соответствующий тон, всякий же раз, когда такое колеба-
ние отсутствует, тона слышать нельзя. Мы вправе поэтому при-
нять, что простые тоны и колебания кругового типа неразрывно
связаны друг с другом. Этот закон был открыт Омом.
ГЛАВА II
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
28. Колебания, выражаемые с помощью круговых функций вре-
мени и называемые простыми или гармоническими, настолько важны
для акустики, что прежде чем перейти к динамической стороне
нашего предмета, мы считаем наиболее целесообразным посвятить
их рассмотрению специальную главу. Величиной, изменение кото-
рой составляет «колебание», может быть смещение частицы,
измеряемое в некотором заданном направлении, давление в не-
которой фиксированной точке жидкой среды и т. п. Обозначая
эту величину во всех случаях через и, мы «имеем
— ej, A)
где а — амплитуда или максимальное значение и; т — период,
т. е. промежуток времени, по истечении которого значения и
повторяются, а е — величина, определяющая фазу колебания
в момент времени, от которого отсчитывается t.
Несколько имеющих один и тот же период гармонических
колебаний какой-либо величины складываются в новое колебание
того же типа; элементы этого колебания определяются следую-
щим образом:
vi lirt \ 2r.t VI . . 2ri VI
а = V a cos I в] = cos — V a cos s -\- sin — V a sin s =
= ,cos(^-8), B)
где
г—{Bflcoit)» + (Se«tae)»}* C)
- D)
Пусть, например, имеются две компоненты:
cos (— eh
29] ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 41
тогда
r=={a* + a'* + 2aa' cos (е — е')}1*. E)
fl sin s + «'sins' 6
ь a cos е + п cos г '
Можно отметить некоторые частные случаи. Если фазы обеих
компонент совпадают, то
и = (а-\- a) cos I — sj.
Если фазы отличаются на половину периода, то
так что, если а' = а, то и обращается в нуль. В этом случае
о колебаниях часто говорят, что они интерферируют, однако
такое выражение, пожалуй, может привести к недоразумениям.
Вполне уместно сказать, что два звука интерферируют, когда
вместе они дают тишину, называть же так простое наложение
(суперпозицию) двух колебаний (возникает ли при этом состоя-
ние покоя или нет) собственно еще нельзя. Во всяком случае,
если бы это было интерференцией, то было бы трудно сказать,
в каких же случаях нет интерференции. В дальнейшем будет
показано, что когда интенсивность колебаний превосходит неко-
торый предел, их совместное действие уже не является просто
аддитивным; это взаимодействие колебаний с большим основа-
нием можно было бы назвать интерференцией, но это — явле-
ние совершенно другой природы, чем то, которое нас сейчас
интересует.
Если, наконец, фазы колебаний отличаются на четверть или
на три четверти периода, то cos (а—з')=0, и
Гармонические колебания заданного периода можно изобра-
жать с помощью отрезков прямых, проводимых из некоторого
полюса. Длины этих отрезков берутся пропорциональными ам-
плитудам колебаний, а их наклоны—фазам. Результирующая не-
скольких колебаний представляется при этом геометрической
суммой соответствующих отрезков. Если, например, последние
располагаются симметрично вокруг полюса, то их результирую-
щая, а следовательно, и результирующая колебаний, равна нулю.
29. Если мы будем откладывать по оси х расстояния, про-
порциональные времени, и примем и за ординату, мы получим
гармоническую кривую или синусоиду
12-кх \
а = a cos \-j ej,
42
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. II
где вместо t написана А —так называемая длина волны; обе эти
величины указывают область изменения независимого переменного,
соответствующую полному повторению значений функции. Гармо-
ническая кривая представляет собой, таким образом, траекторию
точки, совершающей одновременно прямолинейное равномерное
движение и гармоническое колебание в перпендикулярном на-
правлении. В следующей главе мы увидим, что простым гармо-
ническим колебанием является колебание камертона; таким образом,
если передвигать возбужденный камертон с постоянной скоростью
параллельно оси его ручки,
то указатель, укрепленный
на конце одной из его вет-
вей, будет описывать сину-
соиду, которую можно за-
писать, заставляя указатель
при своем движении слегка
Фиг. 2. касаться листа закопченной
бумаги. На фиг. 2 сплош-
ные кривые представляют собой две гармонические кривые
с одинаковыми длиной волны и амплитудой, но с различными фа-
зами; пунктирная кривая представляет собой половину их ре-
зультирующей, являясь геометрическим местом точек, лежащих
посредине между точками пересечения двух первых кривых лю-
бой ординатой.
30. Если одновременно существуют два гармонических коле-
бания с разными периодами, то
Результирующая здесь уже не может быть представлена как
простое гармоническое колебание с какими-либо другими эле-
ментами. Если периоды гит' несоизмеримы, то значения и
вообще никогда не повторяются; но если t и т' находятся
в отношении двух целых чисел, то и повторяется по истечении
времени, равного общему наименьшему кратному т и t', од-
нако колебание здесь уже не является простым гармониче-
ским. Когда, например, звучат вместе какая-нибудь нота и
ее квинта, то колебание повторяется по истечении времени,
равного удвоенному периоду более низкого из составляющих
колебаний.
Один случай сложения гармонических колебаний заслуживает
особого рассмотрения, именно, случай, когда разность периодов
мала. Если мы будем следить за положением вещей в течение
интервала времени, охватывающего лишь несколько периодов,
мы увидим, что оба колебания почти одинаковы, как если бы их
периоды были абсолютно равны; в последнем случае они были
301 СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ 43
бы, как мы знаем, эквивалентны некоторому другому простому
гармоническому колебанию того же периода. Для нескольких
периодов результирующее движение будет поэтому приблизительно
гармоническим, однако представлять его в течение долгого вре-
мени одна и та же гармоника не может. Колебание с более
коротким периодом все время опережает другое, изменяя тем
самым разность фаз, от которой зависят элементы результирую-
щего движения. Примем для простоты, что обе компоненты имеют
одинаковую амплитуду, частоты колебаний обозначим через т
и я, где т — я мало, и примем также, что в тот момент, когда
мы начинаем наблюдать колебания, фазы их совпадают. В этот
момент влияние последних еще не сказывается, и амплитуда
результирующего колебания вдвое больше амплитуды каждой из
компонент. Однако по истечении времени в 1 :\2{т—я)] коле-
бание с частотой т опередит второе на половину периода, и,
расходясь теперь полностью, колебания нейтрализуют друг друга.
После того как снова пройдет точно такое же время, колебание т
опередит второе уже на целый период, и между колебаниями
снова восстановится полное согласие. Результирующее движение,
таким образом, будет приблизительно простым гармоническим,
но не с постоянной амплитудой, а с меняющейся от нуля до
удвоенного значения амплитуды каждой из компонент; частота
этих изменений равна т — п. Если возбудить одинаково два ка-
мертона с частотами 500 и 501, то каждую секунду будет проис-
ходить усиление и ослабление звука, соответственно совпадению
и расхождению их колебаний. Это явление называется биениями.
Мы не будем здесь рассматривать полностью вопрос о том, как
ведет себя ухо в присутствии колебаний, имеющих почти одина-
ковые частоты, но очевидно, что если движение вблизи уха
в течение значительной доли секунды почти совсем прекращается,
то звук должен ослабевать. Биения слышны лучше всего тогда,
когда интерферирующие звуки являются простыми тонами. С при-
чинами этого мы познакомимся впоследствии. Указанное явление
очень хорошо наблюдать на последовательных нотах закрытого
диапазона органа, по крайней мере в нижних частях гаммы. Дли-
тельную интерференцию двух нот можно получить, установив на
одних и тех же мехах рядом две одинаково построенные закры-
тые органные трубы, дающие тон одной и той же высоты. Коле-
бания этих двух труб сами собой устанавливаются полностью
противоположно, так что на небольшом расстоянии, кроме свиста
выходящего воздуха, слышать ничего нельзя. Если бы можно
было устранить один из звуков, помещая между трубами твердую
перегородку, то другой звук при этом мгновенно возник бы.
Равновесие, от которого зависит тишина, можно нарушить также,
приложив к уху трубку, другой конец которой помещен вблизи
устья одной из труб.
44 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. II
С помощью биений можно настроить две ноты в унисон с очень
большой точностью. Задача заключается в том, чтобы сделать
биения возможно более медленными, так как число биений в се-
кунду равно разности частот нот. При благоприятных условиях
можно различить такие медленные биения, как одно в 30 секунд;
это указывало бы на то, что более высокая нота опережает
более низкую только на два колебания в минуту. Может так-
же оказаться желательным найти лишь разность частот двух нот,
звучащих приблизительно в унисон; в этом случае нужно только
сосчитать число биений. Вспомним, что разность частот не опре-
деляет собой интервала между двумя нотами, последний зависит
от отношения частот. Поэтому частота биений, даваемых двумя
нотами, звучащими в унисон, удваивается, если обе ноты взять
в точности октавой выше.
Аналитически
и = a cos Bnmt—s) -|- a' cos Bicnt—е7),
где т.— п мало.
Но cosBi:nt—в') можно написать так:
cos [2i:mt—2ж(т— n)t—в'},
и мы имеем
и их г cos Bnmt—9), A)
где
& = a* + a'z-\-2aa'cosBK(m~ n)t-\-&' — в}, B)
. fi a sin s + a'sin {2n(m — n)t + e'} ._.
* ecoss + e'cos{27t(« — n)t+eT}m W
Результирующее колебание можно, таким образом, рассматри-
вать как гармоническое с элементами г и 9, которые, однако,
являются не постоянными величинами, а медленно меняющимися
функциями времени с частотой т — п. Амплитуда г имеет макси-
мальное значение, когда
cos { 2тг(т — n)t-\-г' — е) = + 1,
и минимальное, когда
cos {2те(/и — n)t-\-s.r — в} = — 1;
эти значения будут соответственно равны а-\-а'- и а — а'.
31. Другим очень важным случаем является сложение коле-
баний, соответствующих какому-либо тону и его гармоникам.
Известно, что наиболее общая однозначная конечная периодическая
функция может быть выражена посредством ряда простых гармо-
нических функций:
(^) A)
81] СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ 45
теорема, обычно цитируемая как теорема Фурье. Аналитические
доказательства ее можно найти в Интегральном исчислении Тод-
гентера и в Натуральной философии Томсона и Тэта а); и тут,
и там ход доказательства почти, если не целиком, совпадает
с ходом того, которое будет дано позднее в этой книге. Здесь
же потребуется лишь несколько замечаний.
Теорема Фурье не является очевидной. Вообще говоря, не
является необычным смутное представление о том, что безгра-
ничность числа произвольных постоянных в ряде неизбежно на-
деляет последний способностью представлять произвольную пе-
риодическую функцию. Ошибочность этого станет ясной, если мы
обратим внимание на одинаковую приложимость тех же самых
соображений к случаю, когда один из членов ряда был бы опу-
щен, т. е. к случаю, когда разложение вообще не было бы воз-
можно.
Заслуживает внимания другая сторона вопроса, именно, что
простые гармонические функции — не единственные функции, по
которым можно разложить произвольно заданную функцию в ряд.
Вместо простого элементарного члена
мы могли бы взять член
2imt \ , 1 (Aunt
е) + 2" C0S (— Ч
полученный путем добавления аналогичного члена с той же самой
фазой, но с вдвое меньшими амплитудой и периодом. Очевидно,
что эти члены будут служить так же хорошо, как и другие;
действительно,
f2v.rU \ I /2лл* \ , 1
cos (___ enJ = | cos ^__ 3ftj +_. cos
— ... ad infm.,
так что каждый член ряда Фурье, а следовательно, и сумма ряда,
могут быть выражены посредством только что указанных двойных
элементарных членов. Это обстоятельство упомянуто здесь потому,
что изучающий, не будучи знаком с другими типами разложения,
может представить себе, что простые гармонические функции
по самой своей природе — единственные, могущие служить эле-
l) Todhunter, Integral Calculus; Thomson and Tait, Natural Philosophy.
46 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ И
ментами разложения периодической функции. Тот факт, что для
акустики ряды Фурье имеют преобладающее значение, объясняется
механической причиной, которая упоминалась в предыдущей главе
и которая будет подробнее разъяснена в дальнейшем, именно
тем, что, вообще говоря, простые гармонические колебания —
единственные, которые передаются колебательной системой без
разложения.
32. Как и в других случаях аналогичного характера (напри-
мер, в случае теоремы Тэйлора), коэффициенты ряда, если возмож-
ность разложения известна, можно определить путем сравни-
тельно простых операций. Мы можем написать уравнение A)
§ 31 так:
n-1 П-Х
Умножая на cos Bтг«^/т) или на sin Bгс/г?/т) и интегрируя по
полному периоду от t—О до t = -z, мы находим
Ап:
B)
2
-с
2
/
и cos
и sin
2ял<
t
2u/tf
t
Л,
Непосредственное интегрирование дает
C)
показывая тем самым, что Ло есть среднее за период значение и.
Степень сходимости разложения и зависит вообще от непре-
рывности функции и ее производных. Ряды, полученные после-
довательным дифференцированием A), сходятся все менее и менее
быстро, но все еще остаются сходящимися и представляют ариф-
метически производные от и, до тех пор пока эти последние
являются повсюду конечными. Таким образом (Томсон и Тэт,
§ 77), если ни одна производная до т-Я включительно не обра-
щается нигде в бесконечность, то ряд для и сходится быстрее,
чем ряд с коэффициентами
1 _L _L _L
' 2т ' 3m ' 4m '
32c. Общее объяснение биений, слышимых; когда два чистых
тона звучат одновременно почти в унисон, было рассмотрено
в § 30. Появление биений не ограничивается, однако, случаем
33] КОЛЕБАНИЯ ВО ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ 47
приблизительного унисона, по крайней мере когда мы имеем
дело со сложными нотами. Предположим, например, что интер-
валом является октава, В этом случае более низкая нота обычно
содержит тон, совпадающий по высоте с основным тоном более
высокой ноты. Если интервал будет нарушен, то первоначально
совпадавшие тоны отдалятся друг от друга и дадут биения такой
частоты, как если бы тоны существовали отдельно. Наблюдать
эти биения обычно нетрудно; но если один или оба составляю-
щих тона будут очень слабы, то может оказаться необходимой
помощь резонатора.
Вообще мы можем считать, что каждый консонирующий
интервал характеризуется совпадением некоторых составляющих
тонов, и если интервал будет нарушен, то первоначально совпа-
давшие тоны дадут биения. В каком-нибудь частном случае мо-
жет, конечно, оказаться и так, что тоны, которые совпадали бы
по высоте, в той или в другой из нот отсутствуют. Тогда нару-
шение интервала, согласно развитой выше теории, не сопрово-
ждалось бы биениями. На практике слабые биения обычно ока-
зываются слышимыми; рассмотрение этого явления, в отношении
которого мнения авторитетов пока еще расходятся, следует,
однако, отложить.
33. Другой класс сложных колебаний, интересных благодаря
легкости, с какой их можно наблюдать оптическим способом,
встречается, когда два гармонических колебания, совершаемых
одной и той же частицей, происходят в перпендикулярных на-
правлениях и в особенности, когда их периоды не только соиз-
меримы, но находятся в отношении двух малых целых чисел.
Движения тогда полностью периодические с периодом, не во
много раз превышающим периоды компонент, а кривая, описы-
ваемая колеблющейся точкой, — замкнутая. Если и и v — коорди-
наты, то мы можем принять
и = a cos B*nt — в), v = b cos2itn't. A)
Предположим сначала, что периоды равны, так что п' = п; исклю-
чение t дает для уравнения описываемой кривой
Ж + -б1--^гСО8е-5Ш е = 0' <2>
что, вообще говоря, представляет эллипс, положение и размеры
которого зависят от амплитуд начальных колебаний и от раз-
ности их фаз. Если фазы отличаются на четверть периода, то
cos з = 0, и уравнение принимает вид:
В этом случае оси эллипса совпадают с осями координат. Если,
48
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. n
далее, компоненты имеют одинаковые амплитуды, то траектория
вырождается в круг:
который описывается с постоянной скоростью. Это показывает,
как равномерное круговое движение может быть разложено на
два прямолинейных гармонических движения, направления кото-
рых перпендикулярны друг другу. Если фазы компонент совпа-
дают, то г = 0, и эллипс вырождается в две совпадающие пря-
мые линии:
или, если разность фаз достигает половины периода, — в прямые*
Когда унисон двух колебаний вполне точен, эллиптическая траек-
тория остается идеально устойчивой; однако на практике почти
Фиг. 3.
всегда оказывается, что между периодами имеется некоторая не-
большая разница. В результате этого, хотя описываемая коле-
блющейся точкой траектория и представляется с достаточной
для нескольких периодов точностью одним эллипсом, этот эллипс
постепенно изменяется в соответствии с изменением величины е.
В связи с этим интересно исследовать систему эллипсов, пред-
ставляемых уравнением B), предполагая, что а и Ь-—постоянные
величины, а е — переменная.
Так как крайними значениями а и v являются соответственно
-*-.а и ±д, то во всех случаях эллипс вписан в прямоугольник
со сторонами 2а и 1Ь. Начиная со случая, когда фазы совпадают,
т. е. s = 0, мы имеем эллипс, совпадающий с диагональю прямо-
34]
ЦИЛИНДР ЛИССАЖУ
49
угольника: — }=0. При возрастании з от 0 до я/2 эллипс
расширяется, пока его уравнение не примет вид:
А'
Начиная с этого момента, он снова суживается и, наконец, совпа-
дает с другой диагональю: —Ь-г=0; это изменение соответ-
О, ' и
ствует возрастанию е от я/2 до я. После этого, при возраста-
нии s от я до 2я, ход изменения
эллипса повторяется до тех пор,
пока эллипс снова не совпадет с
первой диагональю. Последователь-
ность изменений представлена на
фиг. 3.
Эллипс, для которого заданы
четыре касательные, полностью
определяется своей точкой касания
Р с линией v = Ъ (фиг. 4). Чтобы
связать это с е, достаточно заме-
тить, что когда v = b, соз2яя?=1 и поэтому a=aacos3. Таким
образом, если эллиптические траектории являются результатом
суперпозиции двух гармонических колебаний с почти совпадаю-
щей высотой, то е будет непрерывно изменяться с течением
времени, так что сама точка Р будет совершать гармоническое
колебание вдоль АА' с частотой, равной разности двух заданных
частот.
34. Лиссажу а) показал, что эту систему эллипсов можно рас-
сматривать как различные проекции одного и того же эллипса,
описанного на поверхности прозрачного цилиндра. На фиг. 8
Фиг. 4.
Фиг. 5.
Фиг. 6.
АА'В'В изображает цилиндр, плоским сечением которого
является АВ'. Если смотреть с бесконечного расстояния в напра-
влении общей касательной к плоским сечениям, проведенной
1) Lissajous, Anna'es de Chlmie C), LI, стр. 147, 1857.
4 Зак 1774. Рэлей, !
5D ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ (ГЛ. I!
в точке А, то цилиндр проектируется в прямоугольник, а эллипс —
в его диагональ. Предположим теперь, что цилиндр вращается
вокруг своей оси вместе с рассматриваемым плоским сечением.
Его собственная проекция сохраняет форму неизменного прямо-
угольника, в который вписана проекция эллипса. Фиг. 6 изобра-
жает положение цилиндра после поворота на прямой угол.
Можно, таким образом, видеть, что при полном повороте ци-
линдра мы получаем последовательно все эллипсы, соответствую-
щие траекториям, описываемым точкой, совершающей два гармо-
нических колебания с одинаковым периодом и с постоянными
амплитудами. Если при этом цилиндр вращается все время с по-
стоянной скоростью, обеспечивающей гармоническое движение
точке Р, то это даег нам весь ход изменения орбиты, описываемой
точкой, когда периоды двух компонент немного отличаются
друг от друга; каждый полный оборот будет отвечать при этом
приобретению или потере одного колебания х). Обороты цилиндра
должны быть, таким образом, синхронны с биениями, которые
возникли бы при сложении двух колебаний, если бы они проис-
ходили в одном и том же направлении.
35. Колебания рассмотренного здесь типа легко осуществить
на опыте. Тяжелая чечевица, подвешенная к какой-нибудь непо-
движной точке на длинной проволоке или струне, описывает под
действием силы тяжести эллипсы, которые в частных случаях,
в зависимости от условий проектирования, могут переходить
в прямые линии или в окружности. Для особенно отчетливого
наблюдения орбит необходимо, чтобы они описывались настолько
быстро, чтобы впечатление, создаваемое на сетчатой оболочке
движущейся точкой на каком-нибудь участке ее траектории, не
успевало значительно ослабляться, пока точка не обойдет орбиту
снова и не возобновит своего действия. Это условие выполняется
при колебаниях посеребренного шарика (дающего благодаря
отражению светящуюся точку), укрепленного на прямой метал-
лической проволоке (например, на вязальной спице), нижний
конец которой прочно зажат в тиски, когда система приведена
в колебание, светящаяся точка описывает эллипсы, которые
представляются в виде тонких светящихся линий. Под действием
трения эти эллипсы постепенно уменьшаются по своим размерам,
пока, наконец, не обращаются в неподвижную яркую точку. При
этом они не подвергаются никаким другим изменениям. Если же
явление протекает иначе — по всей вероятности в результате
известной несимметричности, — то это значит, что для различных
плоскостей колебаний проволока имеет несколько различные
периоды. При этих условиях можно наблюдать, что орбита
1) Под колебанием в этой книге всегда будет пониматься полный
цикл изменений.
36) ч
ФИГУРЫ ЛИССАЖУ
S1
испытывает тот цикл изменений, который уже был рассмотрен
выше.
36. До сих пор мы предполагали, что периоды составляющих
колебаний в точности пли приблизительно равны; следующий по
простоте случай тот, когда один период вдвое больше другого.
Мы имеем тогда
и — a cos ($Ttnt—е), v s= b cos 2%nt.
Уравнение, • получаемое путем исключения t, может быть напи-
сано так:
—p- 0)
Для всех значений е оно изображает кривую, вписанную в прямо-
угольник со сторонами 2а и 2Ь. Если е = 0 или я, то мы имеем
— уравнение парабол. Фиг. 7 показывает различные кривые для
интервалов октавы, дуодецимы и квинты.
Фиг. 7.
Ко всем этим системам применим метод изображения Лис-
сажу посредством прозрачного цилиндра, причем когда разность
фаз изменяется либо от различных условий проектирования
в различных случаях, либо непрерывно, благодаря незначитель-
ному отклонению отношения периодов от точного значения, то
цилиндр должен поворачиваться с тем, чтобы представлять глазу
4*
52 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. II
различные проекции одной и той же линии, нанесенной на его
поверхности.
37. Нетрудно построить колебательную систему так, чтобы
движение точки состояло из Двух гармонических колебаний во
взаимно перпендикулярных плоскостях, с периодами, находящи-
мися в любом заданном отношении. Простейшая из этих систем
известна под названием маятника Блэкберна. Проволока АСВ укре-
плена в А и В, двух неподвижных точках, расположенных на
одном уровне. Чечевица Р подвешивается к ее средней точке
на другой проволоке СР. Для колебаний в плоскости рисунка
точкой подвеса, при условии, что проволоки натянуты достаточно
хорошо, служит практически С; напро-
тив, в движении, перпендикулярном к
этой плоскости, чечевица колеблется
вокруг D, увлекая с собой проволоку
АСВ. Периоды колебаний в главных
плоскостях находятся в отношении квад-
ратных корней из СР и DP. Таким
образом, если ?>С=ЗСР, то чечевица
описывает фигуры октавы. Чтобы полу-
чить последовательность кривых, отве-.
чающую приблизительному унисону, АСВ
г- °- следует натянуть так, чтобы CD было
относительно мало.
38. Другое устройство, названное калейдофоном, было изо-
бретено Уитстоном. Прямой тонкий стальной стержень, несущий
на своем верхнем конце шарик, укрепляется, как было описано
в одном из предыдущих параграфов, в тисках. Если сечение стержня
квадратное или круглое, то период колебания не зависит от
плоскости, в которой оно совершается. Предположим, однако,
что сечение — прямоугольник с неравными сторонами. Жесткость
стержня — сила, с которой он сопротивляется сгибанию, — будет
тогда больше в той плоскости, которой соответствует большая
толщина, и колебания в этой плоскости будут иметь более корот-
кий период. Соответствующим выбором толщин можно привести
периоды колебаний в любое требуемое соотношение и получить
соответствующую кривую.
Недостаток этого приспособления заключается в том, что
один и тот же стержень дает только одну серию фигур. Чтобы
устранить это неудобство, было придумано следующее видоизме-
нение опыта. Берется стальная полоса с очень удлиненным прямо-
угольным сечением; ее жесткость по отношению к сгибанию
в одной плоскости настолько велика, что практически ее можно
считать твердой. Стержень разрезается на две части; разрезанные
концы затем снова соединяют, поворачивая оба куска друг отно-
сительно друга на прямой угол, так что в плоскости, содержа-
40] ОПТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 53
щей меньшую сторону поперечного сечения одного стержня,
содержится большая сторона другого. Когда составленный таким
образом стержень зажат в тиски в точке ниже места соединения,
то период колебаний в одном направлении, зависящий почти
целиком от длины верхней части, приблизительно постоянен; во
втором же направлении период можно изменять, меняя место, где
зажата нижняя часть.
39. В этом опыте светящаяся точка сама совершает колеба-
ния, которые можно наблюдать; напротив, в той форме опыта,
которую предложил Лиссажу\ светящаяся точка остается в дей-
ствительности неподвижной, в то время как в видимое движение
приводится ее изображение последовательным отражением от двух
колеблющихся зеркал. Небольшое отверстие в непрозрачном
,экране, помещенном около пламени лампы, дает светящуюся
точку, которая наблюдается после отражения света от зеркал
с помощью небольшой зрительной трубы. Зеркала, сделанные
обычно из полированной стали, укрепляются на ножках массив-
ных камертонов, и все это располагается так, чтобы светящаяся
точка в результате угловых перемещений отражающих поверх-
ностей при колебании камертонов представлялась описывающей
гармонические колебания во взаимно перпендикулярных напра-
влениях. Амплитуды и периоды этих гармонических колебаний
зависят от амплитуд и периодов соответствующих камертонов
и могуг быть подобраны так, чтобы получить любую из фигур,
обычно получаемых с калейдофоном, и притом более ярко.
С помощью аналогичного приспособления фигуры можно проек-
тировать также и на экран. И в том и в другом случае они
постепенно сжимаются, так как колебания камертонов замирают.
40. Принципы этой главы нашли важное применение при
исследовании прямолинейных периодических движений. Когда
какая-нибудь точка, например один из участков струны, коле-
блется с таким периодом, что возникает нота в пределах слы-
шимости, то ее движение слишком быстро, чтобы за ним можно
было следить глазом. Таким образом, если требуется исследовать
характер колебания, необходимо прибегнуть к какому-нибудь
косвенному методу. Теоретически простейшим методом является
соединение исследуемого колебания с равномерным прямолинеГ-
ным движением в перпендикулярном к колебанию направлении,
как это имеет место, когда камертон вычерчивает на закопченной
бумаге гармоническую кривую. Вместо того чтобы перемещать
само колеблющееся тело, мы можем воспользоваться вращаю-
щимся зеркалом, которое дает нам движущееся изображение.
Этим путем мы получаем изображение функции, характеризую-
щей колебание, с абсциссами, пропорциональными времени.
Но часто применение этого метода оказывает! трудным или
неудобным. В таких случаях мы можем заменить равномерное
54 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. П
движение гармоническим колебанием подходящего периода, совер-
шающимся в том же направлении. Предположим для определен-
ности, что точка, движение которой мы хотим исследовать,
колеблется в вертикальном направлении с периодом т, и рассмо-
трим, каков будет результат сложения этого колебания с гори-
зонтальным гармоническим движением, период которого является
некоторым кратным t, скажем, /гг. Возьмем прямоугольный кусок
бумаги и, расположив оси координат параллельно его краям,
начертим на нем кривую, изображающую вертикальное движение
(полагая абсциссы пропорциональными времени) в таком масштабе,
чтобы на бумаге уложилось как раз п повторений, или волн;
согнем затем ее так, чтобы получился цилиндр с обегающей его
кругом замкнутой кривой. Точка, описывающая эту кривую, рав-
номерно вращаясь вокруг оси цилиндра, будет представляться на,
расстоянии одновременно совершающей данное вертикальное дви-
жение, с периодом 1, и горизонтальное гармоническое движение,
имеющее период ni. Поэтому, обратно, чтобы получить кривую,
изображающую вертикальные колебания, надо вообразить, что
цилиндр, несущий на себе кажущуюся траекторию, разрезан
вдоль по образующей и развернут в плоскости Цилиндр и рас-
положение кривой на нем легче представить себе в том случае,
когда указанное соотношение между периодами не вполне точно,
1ак как тогда цилиндр представляется вращающимся и противо-
положные движения позволяют различать части кривой, лежащие
на ближней и на дальней стороне.
41. Вспомогательное гармоническое колебание обычно полу-
чается оптическим путем с помощью инструмента, называемого
вибрационным микроскопом и изобретенного Лиссажу. Одна из
ножек большого камертона несет на себе линзу, оптическая ось
которой перпендикулярна к направлению колебаний, эта линза
может быть использована или сама по себе, или же в ка-
честве объектива микроскопа, образуемого присоединением
отдельно установленного окуляра. И в том и в другом случае
неподвижная точка приводится в кажущееся гармоническое
движение вдоль линии, параллельной направлению колебаний
камертона.
Вибрационный микроскоп можно применить для проверки
строгости и всеобщности закона, связывающего высоту и период.
При эюм обнаружится, что всякая точка колеблющегося гела,
дающего чистую музыкальную ноту, представляется описывающей
замкнутую кривую, если исследование производится с помощью
вибрационного микроскопа, нота которого находится в строгом
унисоне с нотой, даваемой гелом. Таким же методом могу г быть
проверены отношения частот консонирующих интервалов, хотя
для этой последней цели предпочтительнее чисто акустический
способ, который буде! описан в следующей хлаве.
42] ПРЕРЫВИСТОЕ ОСВЕЩЕНИЕ 55
42. Другой метод исследования движения колеблющегося тела
связан с применением прерывистого освещения1). Предположим,
например, что с помощью соответствующего аппарата через пра-
вильные промежутки времени т получается серия электрических
искр. Колеблющееся тело, период которого также равен z, если
его наблюдать при свете искр, должно будет казаться находя-
щимся в покое, так как его можно видеть только в одном поло-
жении. Если, напротив, период его колебаний весьма мало отли-
чается от •:, освещаемое положение изменяется, и тело будет
казаться медленно колеблющимся с частотой, равной разности
частот искры и самого тела Характер колебаний наблюдается
тогда с легкостью.
Серия искр может быть получена от индукционной катушки,
первичный контур которой периодически размыкается колеблю-
щимся камертоном или каким-нибудь другим прерывателем, рабо-
тающим с достаточной регулярностью Лучший результат дает,
однако, освещение солнечным светом, которое делают прерыви-
стым с помощью камертона, несущего на своих ножках две
маленькие металлические пластинки, расположенные параллельно
плоскости колебаний на небольшом расстоянии друг от друга.
В каждой пластинке имеется щель, параллельная ножкам камер-
тона. Щели расположены так, чтобы давать свободный проход,
когда камертон находится в покое или когда он проходит через
среднее положение своих колебаний. На образующемся таким
путем отверстии с помощью линзы концентрируется пучок сол-
нечного света, исследуемый же объект помещается в световом
конусе по другую сторону камертона3) Если камертон с помощью
специального электромагнитного приспособления приведен в ко-
лебание, то предмет освещается, только когда камертон проходит
через положение равновесия или находится вблизи него. Вспышки
света, получаемые этим методом, не так кратковременны, как
электрические искры (особенно, когда со вторичной обмоткой ка-
тушки соединена лейденская банка), но регулярность их, по моему
опыту, более высока. В этом опыте нужно стараться по воз-
можности устранить посторонний свет; эффект тогда очень резок.
Ана тогичного результата можно достигнуть, наблюдая коле-
блющееся тело через ряд отверстий, расположенных по окруж-
ности 1& вращающемся диске. На одном и том же диске можно
поместить нескотько рядов отверстий; наблюдение не даст,
однако, удовлетворительных результатов, если не приняты меры
предосюрожности, обеспечивающие равномерное вращение диска.
За исключением резкости определения, результат одинаков и
в том случае, коыа период освещения является кратным периода
Plateau, Bull de I'Acad Roy. de Belgique, том 111, стр. 364, 18d6
T&pler, Phil. Mag, январь 18G7.
56 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. II
колеблющегося тела. Это обстоятельство должно быть учтено,
когда вращающийся диск применяют для определения неизвестной
частоты.
Когда частота перерывов освещения является точным кратным
частоты колебаний, предмет виден без кажущегося движения, но,
вообще говоря, более чем в одном положении. Это обстоятельство
иногда представляет удобства.
Аналогичные явления наблюдаются и в том случае, когда
частота колебаний и частота вспышек находятся в отношении
двух малых целых чисел. Если, например, число колебаний, совер-
шаемых за некоторое данное время, вдвое меньше числа вспышек,
то тело будет казаться неподвижным и, вообще говоря, двойным.
42а. Мы видели (§ 28), что результирующая двух изоперио-
дических кочебаний с одинаковой амплитудой полностью зависит
от соотношения их фаз. Интересно исследовать, чего мы можем
ожидать от сложения большого числа (п) одинаковых колебаний
с амплитудой, равной единице, с одним и тем же периодом, но
со случайно распределенными фазами. Интенсивность результирую-
щей, представляемая квадратом амплитуды (§ 245), будет, конечно,
зависеть от точного распределения фаз и может изменяться от
Ф до нуля. Но существует ли какая-либо определенная интен-
сивность, которая становилась бы все более и более вероятной
при беспредельном возрастании га?
Характер поставленного здесь вопроса удобнее всего иллю-
стрировать на частном случае, в котором число всех возможных
фаз ограничивается двумя взаимно противоположными. Мы можем
тогда с удобством отбросить представление о фазе и рассматри-
вать амплитуды как произвольным образом положительные или
отрицательные.
Если все знаки одинаковы, то интенсивность будет равна я2;
если, напротив, отрицательных столько же, сколько положитель-
ных, то в результате получится нуль. Но хотя интенсивность и
может меняться от 0 до /г2, меньшие ее значения все же более
вероятны, чем большие.
Простейшей частью проблемы является вычисление величины,
которая в теории вероятностей называется «математическим ожи-
данием» интенсивности, т. е. средней интенсивности, которой
следует ожидать после большого числа испытаний, в каждом из
которых фазы взяты совершенно произвольно. Вероятность того,
что все колебания положительны, равна A/а)и, и, следовательно,
математическое ожидание, соответствующее этому случаю, есть
(]/а)п * я2. Аналогичным образом математическое ожидание, со-
ответствующее случаю, когда число положительных колебаний
равно я—1, выражается числом
-2)а
42а] произвольное распределение фаз 57
и т. д. Полное математическое ожидание интенсивности равно,
таким образом,
Но сумма п -\-1 членов этого ряда равна просто п, как это
можно проверить сравнением коэффициентов при х'2 в двух экви-
валентных выражениях:
Математическое ожидание интенсивности равно, следовательно, п
независимо от того, велико га или мало.
Это же заключение остается в силе и тогда, когда фазы не
ограничены. Из уравнения C) §28, если a1 = e3=s ... = 1,
следует
га — (cos sx -|- cos за -f-.. .)9-f-(sin ej + an 6j, + ...)9 =
= « + 2^cos(s.2 —Sl), B)
где под знаком суммы должны быть написаны косинусы 1/а«(/г— 1)
разностей фаз. Когда фазы случайны, сумма будет с одинаковой
вероятностью положительной или отрицательной, и, следовательно,
среднее значение г2 равно я.
Читатель должен здесь остерегаться заблуждения, в которое
впадали некоторые выдающиеся авторы. Наши рассуждения до-
казали вовсе не то, что у отдельной комбинации при большом п
имеется тенденция давать интенсивность, равную га; мы доказали
совершенно иное предложение, именно, что при большом числе
испытаний, в каждом из которых фазы распределены случайно,
средняя интенсивность все более и более стремится к значению я.
Правда, даже в отдельной комбинации не имеется никаких осно-
ваний для преобладанил положительных или отрицательных косину-
сов. Мы можем заключить отсюда, что, когда я возрастает, сумма
членов стремится стать исчезающе малой по сравнению с числом
членов; но так как число членов порядка п2, то мы ничего не
можем заключить о значении суммы ряда по сравнению с п.
До сих пор мы не встретились с трудностями; однако полное
исследование этого предмета включает оценку относительных
вероятностей результирующих, значения которых лежат в задан-
ных пределах. Мы должны, например, быть в состоянии ска-
зать, какова вероятность того, что интенсивность для боль-
шого числа равных компонент (я) меньше, чей 1/%п. Эта задача
68 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. И
вполне может быть рассмотрена здесь, хотя элементарные методы
оказываются для нее, естественно, недостаточными, Мы начнем
наше исследование при ограничении, что имеются фазы только
двух противоположных видов.
Принимая статистический метод рассмотрения, предположим,
что имеется громадное число N независимых комбинаций, со-
стоящих каждая из п единичных положительных или отрицатель-
ных колебаний, комбинируемых случайным образом. Когда N
достаточно велико, статистика становится регулярной; число
сочетаний, в которых амплитуда найдена равной х, может быть
обозначено через Nf(n, х), где /—определенная функция п и х.
Предположим теперь, что каждая из N комбинаций получает
случайное приращение dr 1, и выясним, сколько из них будет
обладать после этого результирующей х. Ясно, что это могут
быть только те комбинации, которые первоначально имели ампли-
туды х — 1 или х-\-1. Половина числа первых и половина числа
вторых приобретут амплитуду х, так что искомое число будет
Но это должно быть идентично с числом, соответствующим значе-
ниям п-\- 1 их, так что
4 1 C)
Эго разностное уравнение справедливо для всех целых значений х
и для всех положительных целых значений п. Если /(я, х) будет
задана для одного значения я, то этого уравнения достаточно,
чтобы определить /(я, х) для всех более высоких целых значе-
ний п. В нашем случае начальным значением п является нуль.
Мы знаем в этом случае, что f(x) = Q для всех значений х, от-
личных от нуля, и что, когда х = 0, /@, 0)= 1.
Задача, предложенная в такой форме, вполне определенна,
но для нашей непосредственной цели будет достаточно, если мы
ограничимся предположением, что п велико, и будем рассматри-
вать /(я, х), как непрерывную функцию непрерывных переменных
я и х, в известной мере аналогично сходной задаче в §§ 120,
121, 122.
Написав уравнение C) в форме
/(л-М, *)—/(«,*) =
—j/(». x—\)-\-jf(n, x+D— /(я. х), D)
мы видим, что левая его часть может быть отождествлена с ^,
42а] произвольное распределение фаз 59
а правая с -1>7Гъ> так чТ0 уравнение C) приводится к хорошо
известному дифференциальному уравнению
a/ I ay
дп 2 дх2 ч '
Аналогия с теплопроводностью действительно очень близкая;
мы можем поэтому сразу же применить методы, развитые Фурье
для решения проблем теплопроводности. Особым условием здесь
является то, что вначале, когда п = О, / должно обращаться
в нуль для всех значений х, отличных от нуля. Как это можно
проверить дифференцированием, частным решением уравнения E)
является тогда
ж»
*)«=;АГ, F)
где А — произвольная постоянная, которая определяется из усло-
вия, что полное число комбинаций равно N. Таким образом,
если dx велико по сравнению с единицей, то число комбинаций,
которые имеют амплитуды между х и x-\-dx, равно
AN - —
^Le *ndx,
Уп
между тем как
+оо ар
e~^dx = N,
— оо
так что в силу известного равенства
+ОЭ
+ 0
AN С
/л J
J e-
имеем
Таким образом, для числа комбинаций, которые имеют ампли-
туды между х и х -\- dx, получается в качестве окончательного ре-
зультата
N --
е ^dx G)
Средняя интенсивность выражается, как и прежде, через
60 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. П
Мы перейдем теперь к более важной задаче, в которой рас-
пределение фаз п единичных колебаний в пределах целого периода
является случайным. Результирующая амплитуда в каждой комби-
нации обозначается через г, фаза (относящаяся к некоторому
данному моменту времени) через 6, прямоугольные координаты
взяты так, что
Таким образом, какая-нибудь точка (х, у) в плоскости коорди-
нат изображает колебание с амплитудой г и фазой 9, вся же
система колебаний изображается некоторым распределением точек,
определить плотность которого и является нашей целью.
Так как ни одну фазу ничем нельзя выделить среди других,'
то мы знаем наперед, что плотность распределения будет незави-
сима от 0.
Мы предполагаем, что из бесконечно большого числа N точе'к
Nf(n, х, у)dxdy
точек будут найдены в пределах бесконечно малой площадки dxdy,
мы исследуем, как и прежде, как изменилось бы это число при
добавлении к я составляющим колебаниям еще одного единичного
колебания со случайной фазой. Какое-нибудь колебание, которое
после присоединения нового представляется точкой х, у, должно
было перед этим соответствовать точке
х' = х-—cos <р, у'—у — sincp,
где <р представляет собой фазу дополнительного единичного
колебания. Если рассматривать <р на один момент как заданное,
то площадке dxdy соответствует равновеликая ей площадка dx'dy'.
То обстоятельство, что все значения ср равновероятны, необходимо
влечет за собой появление множителя d<p/2n. Таким образом, пол-
ное число точек, которые будут найдены в dxdy после наложе-
ния дополнительного единичного колебания, есть
Ndxdy J* /(я, х1, /)<*р/2«;
о
это выражение следует приравнять выражению
Ndxdyf(n-\-l, х,у),
так что
2я
f(n + 1, х, у) = J f(n, x'r /14<Р/2*. (8)
42а] произвольное распределение фаз 61
Выражение /(и, х', у') находится подстановкой выражений ж' к у'
и разложением в ряд:
так что
2в
С . , 1 д2/
о
Кроме того, так как я очень велико,
/(я+1, х, у)—/(п, х, У) = %,
и уравнение (8) приводится к
— обычному уравнению теплопроводности для двух измерений.
В дополнение к уравнению (9) / должно удовлетворять спе-
циальному условию, а именно — обращаться в нуль при я = 0
во всех точках плоскости, за исключением начала координат.
Соответствующее решение необходимо симметрично относительно
начала координат и имеет вид:
f(n, х, у) = Ап~ е~^[у п, A0)
как это можно проверить дифференцированием. Постоянная А
должна быть определена из условия, что полное число равно N.
Таким образом,
00
N*= NAn-^f J е~(хЧ и/йdx dy = NA2m~1j e'"*1 rdr = tzAN,
о
и число колебаний в пределах площадки dxdy оказывается рав-
ным
— в их ay • ^ х 1 у
Если мы хотим найти число колебаний, которые имеют ампли-
туды между г и r-\-dr, то мы должны ввести полярные коорди-
наты и проинтегрировать по Ь. Интересующее нас число есть,
таким образомг),
A2)
1) Phil. Mag., август 1880.
62 Гармонические Колебания (гл. и
Полученный результат можно выразить следующим образом:
вероятность того, что результирующая амплитуда лежит между
г и r-\-dr, когда складывается случайным образом большое
число п единичных колебаний, равна
A3)
Средняя интенсивность, как и следовало ожидать, равна
о
Вероятность результирующей амплитуды, меньшей чем г, равна
г
е rar=l—е , (it)
о
яли, что то же самое, вероятность амплитуды, большей чем г,
равна
<Г"/Я. A5)
Следующая таблица дает вероятности интенсивное/пей, мень-
ших чем доли п, указанные в первом столбце. Так, вероятность
для интенсивности, меньшей чем «, есть 0,6321.
0,05 0,0488 0,80 0,5506
0,10 0,0952 1,00 0,6321
0,20 0,1813 1,50 0,7768
0,40 0,3296 2,00 0,8647
0,60 0,4512 3,00 0,9502
Можно видеть, что как бы велико ни было п, имеется неко-
торая возможность значительных относительных колебаний интен-
сивности в различных комбинациях.
Если амплитуда каждой компоненты есть а, а не единица, как
это мы предполагали до сих пор для краткости, то вероятность
того, что результирующая амплитуда лежит между г и r-\-dr,
равна
2 --г*/»»". j_ (лр\
—з" е г or. \ i v)
Результат зависит, таким образом, от л и я только через лаа
и не изменится, если, например, амплитуда сделается равной у я,
а число колебаний 4л. Отсюда следует, что закон не изменяется,
если даже компоненты имеют различные амплитуды, при условии,
что общее число колебаний каждого вида всегда очень велико;
таким образом, если имеется и компонент с амплитудой а,
42а] Произвольное распределение фаз 63
п' с амплитудой C и т. д., то вероятность результирующей аы-
плитуды, заключенной между г и r-\-dr, равна
е
В аом, что это действительно так, можно, пожалуй, убедиться,
рассмотрев частный случай. Предположим в первую очередь, что
складываются случайным образом п-\~4п' единичных колебаний.
Соответствующий закон сразу же дается уравнением A3) после
замены я на п-^Ап', т. е.
2 (я -f- 4О-1е-'"#»-Н"'> г dr. A8)
Но комбинацию n-j-4n' единичных колебаний можно рассматри-
вать как результат соединения некоторой случайной комбинации и
единичных колебаний со второй случайной комбинацией 4и'
единичных колебаний, причем вторая комбинация одинакова с той,
которая возникла бы при случайном соединении п' колебаний
с амплитудами, равными 2. Таким образом, уравнение A8) одина-
ково хорошо прилагается и к случайной комбинации (ii-\-nr)
колебаний, из которых п имеет амплитуду, равную единице, и
п' — амплитуду, равную 2.
Следует отметить (хотя этот результат и не имеет примене-
ния в теории колебаний), что подобный же метод приложим
к сложению случайно направленных единичных векторов в трех
измерениях. Уравнение, аналогичное (8), дает здесь взамен (9)
дп 6 \ дх*
Соответствующее решение, аналогичное A3), есть
оно выражает вероятность того, что результирующая амплитуда
лежит между г и r-\-dr.
И за.есь среднее значение г2, какого следует ожидать для
большого числа независимых комбинаций, есть п.
ГЛАВА Ш
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
43. Материальные системы, колебаниями которых интересуется
акустика, обычно весьма сложны и в состоянии совершать коле-
бания весьма разнообразного вида, из которых несколько или
даже все могут существовать в какой-нибудь момент времени
вместе. Действительно, для некоторых из наиболее важных му-
зыкальных инструментов, как, например, для струн и органных
труб, число независимых видов колебаний теоретически безгра-
нично, и рассмотрение нескольких из них является необходимым
для самых практических вопросов, относящихся к природе кон-
сонирующих аккордов. Часто представляются случаи, в ко-
торых величайшую важность имеет один какой-либо вид колеба-
ний, но если бы даже это было и не так, то все же рассмотре-
ние общей проблемы целесообразнее начать с простейшего слу-
чая— со случая одной степени свободы. При этом нет нужды
предполагать, что рассматриваемый вид колебаний является един-
ственно возможным, так как пока колебания других видов
отсутствуют, возможность их при других условиях не имеет
значения.
44. Состояние системы, обладающей одной степенью свободы,
определяется значением одной координаты и, начало для которой
можно взять так, чтобы оно соответствовало положению равно-
весия. Кинетическая и потенциальная энергии системы для любого
данного ее положения пропорциональны соответственно и2 и «1<!:
Т=\тк>, V^^vu*, A)
где т и jx, вообще говоря, являются функциями и. Но если мы
ограничимся рассмотрением положений в непосредственной бли-
зости от положения, соответствующего равновесию, то к будет
малой величиной, а /те и \>—практически постоянными. Мы про-
должим наше рассмотрение, исходя именно из этого условия.
Если сил, возникающих вследствие внутреннего трения или
вязкости или приложенных к системе извне, нет, то полная энер-
гия остается постоянной. Таким образом,
451 диссипативные силы 65
Подставляя значения Т и V и дифференцируя по времени, мы
получаем уравнение движения:
ти -\- [Ш = 0, B)
общее решение которого имеет вид:
и = a cos (nt—я), C)
где rfl == jx//re; оно представляет собой гармоническое колебание.
Мы увидим, что только период определяется природой самой
системы, амплитуда же и фаза зависят от побочных обстоя-
тельств. Если бы дифференциальное уравнение было точным, т. е.
если бы Т было строго пропорционально и'а, а V—и9, то коле-
бания системы около ее положения равновесия были бы, без вся-
кого ограничения, строго гармоническими. Однако в большинстве
случаев эта пропорциональность лишь приближенная и обусло-
влена допущением, что смещение и всегда мало (насколько — это
зависит от природы рассматриваемой системы и от степени тре-
буемого приближения); поэтому мы должны, конечно, остерегаться
применять полученное решение вне соответствующих границ.
Принцип, согласно которому период колебаний системы около
положения равновесия зависит только от структуры, но не от
частных особенностей колебаний, имеет (хотя он установлен и
не без ограничений) громадное теоретическое и практическое
значение. Если бы высота и громкость ноты, издаваемой музы-
кальным инструментом, не были в широких пределах независимы
друг от друга, то искусство исполнения на многих инструментах,
подобных скрипке и фортепиано, было бы совершенно револю-
ционизировано.
Период колебания равен
2 tn ...
7' tD)
так что увеличение m или уменьшение ц удлиняет продолжи-
тельность копебания. Придавая более широкий смысл выраже-
ниям, употребляемым в том случае, когда материальная частица
притягивается к положению равновесия пружиной, мы можем
назвать величину m инерцией системы, а величину |х— силой
эквивалентной пружины. Таким образом, увеличение массы или
ослабление пружины увеличивает период колебания. С помощью
втого принципа мы сможем иногда находить пределы для значе-
ния периода, когда он не может быть вычислен точно или когда
вто нельзя сделать просто.
45. Отсутствие всяких сил трения является идеальным слу-
чаем, который осуществим на практике только приближенно.
Первоначальная энергия колебания всегда рано или поздно рас-
( Зак 1774 Ролей, I
66 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
ч
сеивается в результате превращения в теплоту. Но есть и другой
источник потерь, который хотя и не вызывает собственно рас-
сеяния энергии, однако дает результаты в основном того же
характера.
Рассмотрим случай камертона, колеблющегося в вакууме.
Внутреннее трение со временем остановит движение, и первона-
чальная энергия превратится в теплоту. Предположим теперь, что
камертон перенесен в открытое пространство. Строго говоря,
камертон и окружающий его воздух составляют одну систему,
различные части которой нельзя трактовать отдельно. Однако
при попытке найти точное решение такой сложной задачи нас
вообще остановили бы математические трудности; поэтому во
всяком случае было бы желательно решить ее приближенно.
Влияние воздуха в течение нескольких периодов совершенно
незначительно и оказывается существенным только в результате
накопления. Это побуждает нас рассматривать влияние воздуха
как возмущение того движения, которое имело бы место в ва-
кууме. Возмущающая сила является периодической (с тем же
приближением, что и сами колебания) и может быть разделена
на две части: пропорциональную ускорению и пропорциональную
скорости. Первая дает такой же эффект, как и изменение массы
камертона, и нам с ней сейчас делать больше нечего. Вторая сила
арифметически пропорциональна скорости и действует всегда
против движения; она дает поэтому эффект того же характера,
что и трение. Во многих аналогичных случаях потерю движений
путем передачи можно считать одинакового рода с потерей,
обязанной собственно рассеянию, и представлять ее в дифферен-
циальном уравнении (со степенью приближения, достаточной для
акустических целей) членом, пропорциональным скорости. Таким
образом,
« + «а« —0 A)
есть уравнение колебания для системы с одной степенью свободы
при наличии сил трения. Решение его имеет вид:
и = Ae-xW cos 11/ n*—jv? t _ Л. B)
Если трение настолько велико, что V4x2 > я9, т0 решение изме-
няет свою форму и уже не соответствует более колебательному
движению; однако во всех акустических вопросах х — малая ве-
личина. При этом условии можно считать, что уравнение B) вы-
ражает гармоническое колебание, амплитуда которого не постоян-
на, но уменьшается, если ее рассматривать через равные интервалы
времени, в геометрической прогрессии. Разность логарифмов двух
последовательных крайних отклонений лрибчизительно постоянна
46] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕНАНИЯ 67
и называется логарифмическим декрементом колебания. Он вы-
ражается через х/4 ус, где •: — период колебания.
Частота, зависящая от яа — V**8» содержит лишь вторую
степень х, так что в первом приближении трение на период не
влияет — принцип, имеющий очень широкое применение.
Рассмотренное здесь колебание называется свободным колеба-
нием. Это значит, что оно совершается системой, выведенной
вначале из равновесия, а затем предоставленной самой себе.
46. -Мы должны теперь направить наше внимание на другую,
не менее важную, задачу: поведение системы под действием
внешней силы, изменяющейся как гармоническая функция времени.
Чтобы избежать повторения, мы сразу же возьмем более общий
случай, включающий трение. Если трение отсутствует, то в наших
результатах нужно лишь положить х = 0.
Дифференциальное уравнение имеет вид:
и -\- -ш + пЧ = Е cos pt. A)
Примем
и = а cos (/»/—в) B)
и подставим
а (ла — /»а) cos {pt — s) — ipa sin (pt — s) =»
== E cos г cos (pt — a) — E sine • sin (pt — г),
откуда, приравнивая коэффициенты при cos (pt—а) и при sin (pt—s)
а(«2 — р*) — Е cost,
/as
a p x = E sin 3, j
так что решение может быть написано следующим образом:
cos (pt—в), D)
Г"
где
tg с __ Р*- E)
Такое колебание называется вынужденным; оно является ответом
системы на силу, наложенную на нее извне, и поддерживается
непрерывным действием этой силы. Амплитуда колебания про-
порциональна Е — амплитуде силы, а период тот же, что и пе-
риод силы.
Предположим теперь, что Е задано, и проследим на некоторой
данной системе, к чему приводит изменение периода силы. Дей-
ствия, производимые в различных случаях, не будут строго оди-
наковыми, потому что частота возникающих колебаний всегда
та же самая, что и частота силы, и, следовательно, является
5*
68 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ш
переменной величиной в том сравнении, которое мы сейчас
проведем.
Мы можем, однако, сравнивать энергию системы в различных
случаях в момент прохождения через положение равновесия.
Необходимо, таким образом, в каждом отдельном случае указы-
вать момент, для которого вычисляется энергия, так как полная
энергия не является неизменной в продолжение колебания. В те-
чение одной части периода система получает энергию от дей-
ствующей на нее силы, в течение остальной — отдает ее обратно.
Из уравнения -D) следует, что если и = 0, то энергия про-
порциональна и2 или sin9s и является поэтому максимальной,
когда sin8=1 или, согласно уравнению E), когда р = п. Если
обозначить максимальную кинетическую энергию через То, то мы
имеем
r=r0sin2a. F)
Кинетическая энергия движения будет, следовательно, иметь наи-
большее возможное значение тогда, когда период силы равен
периоду, с которым система колебалась бы свободно под влия-
нием ее собственной упругости (или других внутренних сил),
без трения. Колебание в силу D) и E) имеет тогда вид:
« = — sin nt,
п%
и если х мало, то его амплитуда очень велика. Фаза колебания
отстает на четверть периода от фазы силы.
Случай, когда р = п, можно трактовать также и независимо.
Так как период действительного колебания здесь тот же, что и
собственный период системы, то
так что дифференциальное уравнение A) сводится к уравнению
хи = ? cos pt,
откуда в ревультате интегрирования
¦? Г
j^ sin pt,
как и прежде.
Если р меньше л, то отставание фазы колебания по отноше-
нию к силе лежит между нулем и четвертью периода, если же
больше п, то между четвертью и половиной периода.
В случае системы, свободной от трения, решением будет
46] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 69
Когда р меньше п, фаза колебания совпадает с фазой силы,
когда же р больше п, знак колебания изменяется. Изменение
фазы от полного совпадения до полного расхождения, которое
совершается постепенно, когда действует трение, здесь происхо-
дит мгновенно при переходе р через значение п. В это же самое
время выражение для амплитуды становится бесконечным. Разу-
меется, это означает только, что в случае равных периодов тре-
ние должно быть принято во внимание, как бы мало оно ни было
и как бы ни был незначителен его результат, когда р и и не
равны приближенно друг другу. Необходимо также постоянно
иметь в виду ограничение, касающееся амплитуды колебания,
которому мы всюду подчинены.
То обстоятельство, что отклонение будет иметь максимум
в одном направлении, а действующая сила в противоположном, —
как это имеет, например, место в каналовой теории приливов, —
рассматривается иногда как парадокс. Затруднение, которое здесь
может ощущаться, будет устранено, если взять крайний случай,
когда «упругость» исчезает, так что собственный период стано-
вится бесконечно большим. В самом деле, достаточно только
взглянуть на силу, действующую на чечевицу обычного маятника,
колеблющегося свободно, где отклонение в одну сторону имеет
наибольшую величину тогда, когда действие тяжести имеет
максимум в прямо противоположном направлении. Когда, на-
против, очень мала инерция системы, мы имеем другой край-
ний случай, в котором оказывается приложимой так называемая
статическая теория и где сила и отклонение находятся в одина-
ковой фазе.
Когда период силы больше собственного периода колебания
системы, то эффект возрастающего трения состоит в том, что
появляется запаздывание в фазе смещения, которое изменяется
от нуля до четверти периода. Если, напротив, больше период
собственного колебания, то первоначальное запаздывание в пол-
периода уменьшается несколько меньше, чем на четверть периода;
иначе говоря, эффект трения заключается в том, что ускоряется
фаза смещения, оцениваемая относительно той, которая соответ-
ствует отсутствию трения. И в том и в другом случае влияние
трения сводится к тому, что оно приближает колебание к поло-
жению вещей, которое господствовало бы при первостепенной
роли трения.
Если сила с периодом, приблизительно равным периоду сво-
бодных колебаний, медленно увеличивается до максимума, а затем
медленно же уменьшается, то смещение достигнет своего макси-
мума только после того, как сила начнет уменьшаться. Когда
сила еще действует в момент своего максимума, колебание про-
должает возрастать, пока не достигнет некоторого предела; это
возрастание продолжается в течение некоторого времени, хотя
70 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ГЛ. III
сама сила, пройдя через свой максимум, начинает уменьшаться.
Этим путем было объяснено запаздывание сильных приливов
после новолуния и полнолуния х).
47. Из линейности уравнений вытекает, что движение, возни-
кающее в результате одновременного действия нескольких сил,
является простой суммой движений, обязанных силам, взятым
в отдельности. Каждая сила вызывает соответствующее ей коле-
бание, независимо от наличия или отсутствия других сил. Таким
образом, особенности силы некоторым образом переносятся на
движение системы. Если, например, сила периодическая, с перио-
дом т, то таким же будет и возникающее колебание. Каждый
гармонический элемент силы будет вызывать соответствующее
гармоническое колебание в системе. Однако ввиду того, что
отставание по фазе г и отношение амплитуд а:Е для различных
компонент неодинаковы, результирующее колебание хотя и бу-
дет обладать тем же периодом, но будет отличаться от силы по
своему характеру. Может случиться, например, что одна из ком-
понент силы изохронна или приблизительно изохронна со свобод-
ным колебанием; в этом случае она проявится в движении вне вся-
кого соответствия со своим первоначальным значением. В качестве
другого такого примера мы можем рассматривать случай систе-
мы, находящейся под действием двух сил почти одинакового пе-
риода. Возникающее здесь колебание, складываясь из двух колеба-
ний, находящихся почти в унисоне, согласно принципам, изло-
женным в предыдущей главе, имеет перемежающийся характер.
Если желательно получить самое общее решение, то к дви-
жениям, которые являются непосредственным эффектом внешних
сил, всегда должен быть присоединен член, выражающий свобод-
ные колебания. Так, в случае одной внешней силы
Е sin
ръ
cos(^-8) + Лг"''2 cos 1 у я2 — |n« t— ai, A)
где Ana произвольны.
48. Различие между вынужденными и свободными колебаниями
очень важно и должно быть ясно понято. Период первых опре-
деляется исключительно силой, которая, как предполагается,
действует на систему извне, между тем как период вторых зави-
сит только от свойств самой системы. Другое различие между
ними состоит в том, что вынужденное колебание, пока внешняя
сила продолжает действовать, остается неизменным и все время
строго представляется гармонической функцией, свободное же
колебание постепенно затухает, и по истечении некоторого вре-
мени им- можно пренебрегать. Предположим, например, что си-
стема находится в покое, когда на нее начинает действовать
Airy, Tides and Waves, § 328.
49] РАЗЛИЧНЫЕ СТЕПЕНИ ЗАТУХАНИЯ 71
-сила Ecospt. Постоянным А и а в уравнении A) § 47 следует
дать такие конечные значения, чтобы и и и в начальный момент
были равны нулю. Тогда вначале свободное колебание имеет не
меньшее значение, чем соперничающее с ним, однако спустя неко-
торое время трение делает его совершенно незначительным, и
поле действия остается полностью за вынужденным колебанием.
Это положение вещей сохраняется все время, пока действует
сила. Когда же сила устраняется, значения и и и, конечно, не
испытывают разрыва, однако вынужденное колебание сразу же
превращается в свободное, и период силы заменяется собствен-
ным периодом системы.
В начальной стадии движения, когда существуют еще оба
колебания, в случае, если их периоды разнятся очень незначи-
тельно, может возникнуть любопытное явление биений. Действи-
тельно, так как пир очень близки друг к другу, а ч мало, то
начальные условия приближенно удовлетворяются выражением
и = a cos (pt — г) — ae~xt'2 cos iy я2 — ^ x21—sj.
Таким образом, пока «-»*/а еще остается заметной величиной,
происходит попеременное усиление и ослабление колебаний. Это
явление очень заметно на ранних стадиях колебания камертона,
возбуждаемого электромагнитным путем (§ 69); [если желательно,
им можно воспользоваться для того, чтобы привести в совпаде-
ние пир. Первоначальные биения делаются все медленнее и
медленнее, пока, наконец, не перестают ощущаться совершенно.
Колебание тогда непрерывно усиливается до максимума].
49. Колебательные системы с одной степенью свободы могут
изменяться двояко, в соответствии со значениями постоянных п
и х. Различие по высоте достаточно понятно; представляет, однако,
интерес исследовать ближе результаты большей или меньшей
степени затухания Наиболее очевидный из них — это более или
менее быстрое затухание свободного колебания. Эффект в этом
направлении можно измерять числом колебаний, которые должны
произойти, пока амплитуда не уменьшится в заданном отношении.
Вначале амплитуду можно взять равной единице, по истечении
же времени t пусть она будет равна 9. Таким образом, b=e~xt/2.
2
Если t = xz, то мы имеем х = In 9. В системе с небольшим
затуханием мы можем принять приближенно
так что
*=-?|п6- со
72 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ГЛ. til
Это дает число колебаний, которые произойдут, пока амплитуда-
не уменьшится до значения 8.
Влияние затухания ощущается очень сильно также и в выну-
жденном колебании, при достаточном приближении к изохронизму.
В случае точного равенства р и п затухание является единствен-
ной причиной, не позволяющей движению стать бесконечно боль-
шим. Мы легко могли бы предвидеть, что когда затухание мало,
уже сравнительно небольшое отклонение от идеального изохро-
низма вызвало бы значительное уменьшение величины колебаний,
но что при большем затухании такая же точность настройки не
потребовалась бы. Из уравнений
."Г Т „in!. irr ш "*-Р
' — 'о а'и "' 1ь " „а лз
мы получаем
да—р _
ч.р
B)
так что, если х мало, то, чтобы получить движение, не сильно,
уклоняющееся от максимального, р должно быть с большой точ-
ностью равно л.
Два главных эффекта затухания можно сравнить, исключая х
из уравнений A) и B). Результат имеет вид:
где знак квадратного корня должен быть выбран так, чтобы сде-
лать правую часть отрицательной.
Если система колеблется свободно и если после х колебаний
амплитуда уменьшается в отношении 6, то, когда на нее дей-
ствует некоторая сила (р), энергия этого движения будет меньше
энергии в случае полного изохронизма в отношении Т: То. При
этом совершенно безразлично, будет ли более высоким выну-
жденное или свободное колебание; все зависит от интервала.
В большинстве случаев, представляющих интерес, этот интер-
вал мал; поэтому, полагая р = п -J- 8л, можно написать фор-
мулу C) так:
In в 2иЬп Г Т (лЛ
Следующая таблица, вычисленная по этим формулам, была дана
Гельмгольцем 1).
Tonempfindungen, 3-е изд., стр. 221.
601
СОБСТВЕННЫЙ ПЕРИОД И ЗАТУХАНИЕ
73
Интервал, соответств} ющий
снижению резонанса до
Г: 7",,= 1:10
¦ т тона
тона
~2 тона
3
-г тона
4
Целый тон -*л, ¦
5 »
Хтона
6
¦j тона = малая терция
7
J тона
Два целых тона = большая терция .
Число колебаний, по
истечении которого
интенсивность сво-
бодных колебаний
снижается до
38,00
19,00
9,50
6,33
4,75
3,80
3,17
2,71
2,37
Формула D) показывает, что когда Ьп мало, оно изменяется
caeteris paribus, как 1/х.
50. Из наблюдения вынужденных колебаний, происходящих
под действием известных сил, можно определить собственный
период и затухание системы. Соответствующая формула имеет вид:
?sin
— cos (pt — е),
где
По статической теории мы имели бы
и = -^ cos pt.
Отношение действительной амплитуды к этой последней есть
?sin« E_
rfi sin s
pt.
74 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ш
Если статическая теория известна, то сравнение амплитуд дает
нам значение Л-3^П8, скажем:
ръ
я2 sin e
Р*-
Откуда, поскольку г также известно,
,_,.:(
, _=•
а—coss
A)
51. Как уже было сказано, различие между вынужденным и
свободным колебаниями очень важно; можно, однако, заметить, что
большинство вынужденных колебаний, которые мы будем рассма-
тривать как навязанные системе, в конечном счете берут начало
в движении некоторой другой системы, которая воздействует на
первую и в свою очередь сама находится под ее воздействием.
Колебание, таким образом, можно рассматривать как вынужденное
по отношению к системе, пределы которой установлены произ-
вольно, даже тогда, когда последняя сама частично ответственна
за период действующей на нее силы. С более широкой точки
зрения, охватывающей обе системы, данное колебание будет рас-
сматриваться как свободное. Следующий пример может пояснить
сказанное. Камертон, колеблющийся в воздухе, есть часть слож-
ной системы, включающей в себя воздух и камертон, и по отно-
шению к этой сложной системе колебание является свободным.
Но хотя на камертон и влияет реакция воздуха, эффект ее очень
мал. Для практических целей движение камертона удобно рас-
сматривать как заданное, а движение воздуха — как вынужденное.
Ошибки не будет сделано совершенно тогда, когда за основу
вычислений будет взято действительное (т. е. с учетом влияния
окружающей его среды) движение камертона. Особые преимуще-
ства рассматриваемого приема обнаруживаются, однако, в том
случае, когда требуется приближенное решение. Действительное
движение достаточно тогда заменить тем движением камертона,
какое имело бы место в отсутствии воздуха, а впоследствии, если
это необходимо, ввести поправку.
52. Иллюстрации положений этой главы могу г быть взяты из
всех отделов акустики. Мы дадим здесь несколько применений,
которые заслуживают быть приведенными в первую очередь ввиду
их простоты или важности.
Между двумя неподвижными точками А и В натянута струна
или проволока ABC; ее центр несет на себе массу М, которая
предполагается настолько значительной, чтобы массой самой
струны можно было пренебречь. Когда масса М выведена в сто-
52J
МЕТОД РАЗМЕРНОСТЕЙ
75
рону из своего положения равновесия, а затем отпущена, она
совершает колебания вдоль линии СМ. Эти колебания и являются
предметом нашего исследования.
АС—СВ = а. СМ = х. Натяжение
струны в положении равновесия за-
висит от степени растяжения, кото-
рому она была подвергнута. Во вся-
ком другом положении натяжение
струны больше; мы ограничимся, од-
нако, случаем, когда колебания на-
столько малы, что дополнительное
растяжение представляет собой ни-
чтожную долю начального. При этом
условии натяжение струны может трактоваться как постоянное.
Мы обозначим его через Т.
Таким образом, кинетическая энергия массы М равна
Фиг. 9.
- Мх*.
а потенциальная энергия равна
Уравнение движения (которое может быть выведено также и не-
зависимо) есть поэтому
+ ^ = 0, A)
откуда мы заключаем, что масса М совершает гармонические
колебания, период которых
Амплитуда и фаза зависят, конечно, от начальных условий,
будучи произвольными, поскольку это касается дифференциального
уравнения.
Уравнение B) показывает, как изменяется х с изменением
каждой из независимых величин Т, М, а — результат, который
можно получить из рассмотрения размерностей (в техническом
смысле слова) всех относящихся к данному вопросу величин.
Выводы на основании размерностей часто настолько важны для аку-
стики, что имеет смысл рассмотреть этот первый пример подробно.
В первую очередь мы должны убедиться в том, что из всех
величин, от которых может зависеть т, единственные, имеющие
отношение к трем основным единицам длины, массы и времени —
это о, М и Т. Напишем решение задачи в такой форме:
т = /(а, М, Г). C)
Это уравнение должно сохранять свою форму неизменной, каковы бы
76 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
ни были основные единицы, через которые выражаются чис-
ленно четыре входящие в него величины; это станет ясным, если
принять во внимание, что при выводе уравнения не было сделано.
никаких предположений относительно величины основных единиц.
Из всех величин, от которых зависит функция /, Т—един-
ственная, которая содержит время, а так как ее размерность есть
(масса) • (длина) • (время)-2, то от-
сюда следует, что когда а и М
постоянны, т~ Т~'1', иначе измене-
ние единицы времени необходимо
Г нарушило бы уравнение C). Если
принять это, то легко видеть, что
для того чтобы C) могло не за-
ф 10 висеть от единицы длины, мы должны
иметь т~ Т~1/*а'', когда М посто-
янно, и, наконец, чтобы обеспечить независимость от единицы
массы, нужно принять
т~ 7~''М4 V'.
Чтобы определить эти показатели, мы могли бы поступить еще
так: предположим, что
х~ Г»М V;
тогда для размерностей относительно времени, пространства и
массы мы получаем соответственно
1= — 2х, 0 —* + «, 0 — х+у,
откуда, как и выше,
„ 1 v_l -_ 1
Здесь следует остерегаться ошибочного суждения о том, что это
рассуждение доказывает и чего не доказывает. Мы предположили,
что имеется некоторое определенное время (период), не завися-
щее ни от каких других величин, имеющих размерность в про-
странстве, времени и массе, кроме названных выше. Мы, напри-
мер, не доказали, что и не зависит от амплитуды колебания. Это
является следствием (пока это вообще верно) линейности прибли-
женного дифференциального уравнения.
Ввиду необходимости полностью перечислить все величины, от
которых может зависеть требуемый результат, метод размерно-
стей несколько опасен; если, однако, применять его с должной
осторожностью, то он неоспоримо обладает большой силой и
ценностью.
53. Решение настоящей задачи могло бы послужить осно-
вой метода абсолютного измерения высоты. Главным препятствием
для точности здесь, вероятно, была бы затруднительность сделать
551
ПРУЖИНА С СГРУЖЁННЫМ КОНЦОМ
77
массу М достаточно большой в сравнении с массой проволоки,
не понижая в то же время чрезмерно самую ноту.
Проволока может быть натянута с помощью груза М', под-
вешенного к ее свободному концу за мостиком или блоком в В
(фиг. 10). Период в этом случае вычислялся бы по формуле
X = .
2gM''
A)
Отношение М': М измеряют с помощью весов. Если а измеряется
в футах и ? = 32,2, то период выражается в секундах.
54. В обычной музыкальной струне
вес, вместо того чтобы быть сосредото-
ченным в центре, распределен равномер-
но по всей ее длине. Тем не менее на-А
стоящая задача дает некоторое пред-
ставление о природе самого низкого
колебания такой струны. Сравним оба
случая ближе, предполагая, что ампли- Фиг. 11.
туды колебаний в средней точке одинаковы.
Когда однородная струна распрямлена, т. е. в момент прохо-
ждения через положение равновесия, ее различные части обла-
дают неодинаковой скоростью, возрастающей от каждого из кон-
цов к центру струны. Если мы припишем всей массе струны
скорость центра, то очевидно, что кинетическая энергия будет
значительно преувеличена. С другой стороны, в мо-
мент максимального отклонения однородная струна
натянута сильнее, чем та, которой мы ее заменяем и
которая имеет прямые участки AM и MB; таким обра-
8ом, потенциальная энергия при рассматриваемой за-
мене уменьшается. Сосредоточение массы в средней
точке увеличивает кинетическую энергию, когда х = О,
и уменьшает потенциальную энергию, когда х «= О,
и поэтому согласно принципу, изложенному в § 44,
удлиняет период колебания. Для струны, следователь-
но, период колебания меньше того, который вычис-
ляется по формуле предыдущего параграфа в предпо-
Флг. 12. ложении, что М означает массу струны. Позднее будет
видно, что для получения правильного результата мы
должны были бы взять вместо М только D/я2)М. Более значи-
тельная часть в коэффициенте 4/я3, именно 1/а, обязана различию
кинетических энергий.
55. В качестве другого примера системы, обладающей прак-
тически только одной степенью свободы, мы рассмотрим коле-
бание пружины, один конец которой зажат в тиски или вообще
как-либо прочно закреплен, между тем как другой несет на сеОе
тяжелую массу (фиг. 12).
78 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
Строго говоря, эта система, подобно предыдущей, обладает
бесконечно большим числом независимых видов колебаний, однако,
когда масса пружины относительно мала, значение того из коле-
баний, которое почти не зависит от ее инерции, становится
настолько преобладающим, что остальными можно пренебречь.
В пределе мы можем рассматривать пружину исключительно как
источник силы, влекущей укрепленную на ней массу к положению
равновесия, и если не перейдена некоторая граница, просто про-
порциональной смещению. Результатом этого является гармони-
ческое колебание, с периодом, зависящим от жесткости пружины
и от массы груза.
56. Вследствие колебания центра инерции у колеблющейся
системы имеется постоянное стремление сообщать движение опо-
q q рам; чтобы быть в состоянии сопротивляться этому,
последние должны быть очень прочными и массив-
ными. Чтобы избегнуть этого неудобства, на одной
и той же опоре можно укрепить симметрично две
совершенно одинаковые пружины с одинаковыми же
грузами. Если оба груза совершают колебания с
равными амплитудами так, что их движения всегда
направлены противоположно, или, как еще можно
выразиться, с разностью фаз в половину периода, то
центр инерции всей системы остается в покое и
стремление приводить опору в колебание исчезает.
В одной из следующих глав мы увидим, что это особое
Фиг. 13. соотношение между фазами быстро устанавливается само
собой, каково бы ни было первоначальное возмуще-
ние. В самом деле, часть движения, которая не удовлетворяет
условию неподвижности центра инерции, вскоре исчезает бла-
годаря затуханию, если только опоры системы не бонее жестки,
чем обычно.
57. В нашем первом примере мы имели грубую иллюстрацию
основного колебания музыкальной струны, здесь же мы можем
сравнить с пружиной, несущей на себе груз, однородную полосу
или стержень из упругого материала, один конец которого прочно
закреплен, подобно, например, язычку у язычкового инстру-
мента. Масса у стержня, правда, не сосредоточена на одном
конце, а распределена по всей длине, но, ввиду малости движения
вблизи места закрепления, инерция этой части будет иметь лишь
небольшое значение. Мы заключаем отсюда, что основное коле-
бание однородного стержня не может очень сильно отличаться
по своему характеру от того, которое рассматривалось выше.
Конечно, для целей, требующих точного вычисления, эти две
системы достаточно отличны друг от друга, но там, где речь идет
о создании ясных представлений, точностью часто выгодно пожерт-
вовать ради простоты.
58] камертон 79
В этом же духе мы можем рассматривать соединение двух
стержней с грузами как модель камертона. Этот инструмент,
который за последние годы был очень значительно усовершенство-
ван, является незаменимым для исследователя-акустика. В боль-
шом размере и для грубых целей камертон можно сделать, при-
варив вдоль середины стального стержня поперечную полосу так,
чтобы в сечении образовалась буква Т, а затем согнув его в форме
подковы. На рукоятке может быть сделана нарезка. Однако, чтобы
получить камертоны лучшего качества, их предпочтительнее де-
лать целиком из одного куска стали. Сначала стержень с одного
конца разрезается посредине, затем обе части выгибаются так,
чтобы образовать ножки камертона, и всему с помощью молотка
и напильника придается требуемая форма. Ножки камертона
должны быть строго симметричны относительно плоскости, про-
ходящей через ось рукоятки, чтобы при колебании центр инерции
мог оставаться неподвижным (в том направлении, в каком коле-
блются ножки).
Настройка камертона осуществляется следующим образом.
С одной стороны, чтобы сделать ноту выше, нужно уменьшить
эквивалентную инерцию системы. Это делается либо подпилива-
нием концов ножек, либо уменьшением их толщины, либо прост
укорочением их. С другой стороны, чтобы понизить высоту ноты,
можно снять с ножек некоторое количество материала вблизи
сгиба; это уменьшает упругую силу, оставляя практически неиз-
менной инерцию; можно также увеличить инерцию ножек (метод,
предпочтительный для временных целей), нагружая концы их
воском или каким-нибудь другим материалом. Большие камертоны
иногда снабжают передвижными грузами; эти грузы скользят вдоль
ножек и могут закрепляться в определенных положениях винтами.
Когда их приближают к концам ножек (где скорость наибольшая),
эквивалентная инерция системы возрастает. Этим путем можно
получить значительный интервал высот от одного камертона. Число
колебаний в секунду для каждого положения грузов можно отме-
тить на ножках.
Соотношение между высотой ноты и размерами камертона за-
мечательно просто. В одной из следующих глав будет доказано, что
период колебания камертона, если материал и форма остаются не-
изменными, пропорционален его линейным размерам. Так, если линей-
ные размеры камертона удваиваются, его нота понижается на октаву.
58. Звук, издаваемый камертоном, представляет собой почти
чистый тон. Правда, непосредственно после того как камертону
сообщили удар, еще можно слышать более высокие тоны, соот-
ветствующие видам колебаний, природа которых будет рассмо-
трена впоследствии; они, однако, быстро замирают; впрочем, даже
и тогда, когда эти тоны существуют, они не смешиваются с соб-
ственным тоном камертона, частью из-за своей большой высоты,
80 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ {ГЛ. Itt
частью же потому, что они не принадлежат к его гармонической
шкале. В камертонах, исследованных Гельмгольцем, первые из-
этих обертонов имели частоту, в 5,8 до 6,6 раз большую частоты
основного тона.
В настоящее время камертоны обычно снабжаются резонанс-
ными ящиками, эффект которых выражается в значительном уве-
личении громкости и чистоты звука в согласии с положениями,
которые будут развиты дальше. Чтобы возбудить камертон, про-
водят поперек ножек, в направлении колебания, хорошо натертым
канифолью смычком от скрипки или виолончели. Полученный этим
путем звук будет длиться с минуту или больше.
59. В качестве стандартов высоты звука камертоны неоце-
нимы. Действительно, у органных труб высота звука быстро
меняется с температурой и давлением в струе воздуха, у струн —
с натяжением, которое никогда долго не остается постоянным,
тогда как камертон, если его содержать в чистоте и не подвер-
гать резким изменениям температуры или намагничению, сохраняет
свою высоту с большим постоянством.
[Не нужно, однако, думать, что колебания камертона совер-
шенно не зависят от температуры. По наблюдениям Мак-Леода
и Кларка1) частота колебаний уменьшается на 0,00011 своего
вначения при повышении температуры на каждый градус Цельсия.]
С помощью биений можно получить с очень большой точ-
ностью копию стандартного камертона. Число биений, слышимых
в течение секунды, равно разности частот тонов, издаваемых двумя
камертонами; таким образом, если биения удается сделать на-
столько медленными, что каждое из них будет занимать полми-
нуты, то частоты будут отличаться только на 1/80 колебания. Еще
большую точность можно получить оптическим методом Лиссажу.
Очень медленные биения неудобны для наблюдения, так как
трудно решить, обязано ли наблюдаемое ослабление ввука интер-
ференции или же постепенному замиранию колебаний. Шейблер
принял поэтому несколько измененную схему. Он брал камертон,
немного отличающийся по высоте от стандартного — выше и пи
ниже, это несущественно, скажем, ниже, — и считал число биений,
когда оба камертона звучали вместе. Всего удобнее примерно
четыре биения в секунду, и считать их можно хотя бы в тече-
ние минуты. Изготовленный камертон делается тогда несколько
выше вспомогательного и настраивается так, чтобы он давал то
же самое число биений, что и стандартный. Этим путем со-
впадение его со стандартным камертоном обеспечивается наибо-
лее точным образом. Чтобы облегчить счет биений, Шейблер
пользовался маятниками, периоды колебаний которых можно было
подбирать.
Me Leod a. Clarke, Phil. Trans., стр. 12, 1880.
60] ТОНОМЕТР ШЕЙВЛЕРА g]
[Вопрос о том, следует ли брать медленные или быстрые
биения, решается различно в каждом отдельном случае. Иногда
полагают, что преимущество быст'рых биений заключается в боль-
шей относительной точности их счета. Но простое рассуждение
показывает, что при сравнении частот мы заинтересованы не
в относительной, а в абсолютной точности счета. Если мы оши-
бемся при счете на одно биение в минуту, то в результате это даст
одну и ту же ошибку, будет ли общее число биений 60 или 240.
Когда звуки представляют собой чистые тоны и когда их сила
сохраняется постоянной, желательно пользоваться биениями, зна-
чительно более медленными, чем четыре в секунду. Выбором
соответствующего положения часто возможно уравнять для уха
интенсивности обоих звуков, и тогда фаза тишины, соответствую-
щая равным и противоположным колебаниям, заметна исключи-
тельно хорошо. Этим преимуществом мы можем воспользоваться
для того, чтобы определять с большой точностью медленные
биения, наблюдая время, протекающее между повторениями ти-
шины. При благоприятных условиях полное число биений, укла-
дывающихся в период наблюдения, можно определить до одной
десятой или до одной двенадцатой одного биения — степень точ-
ности, которая недостижима в том случае, когда биения быстрые.
Этим путем можно с превосходным результатом пользоваться
биениями с периодами, превосходящими 30 секунд1).]
60. Шейблер воспользовался методом биений также для опре-
деления абсолютной высоты своих стандартов. Два камертона
настраивались в октаву, а некоторое число других камертонов
заполняло интервал между двумя первыми столь малыми ступе-
нями, что каждый камертон давал со своими непосредственными
соседями в этом ряде легко сосчитываемое число биений. Раз-
ности частот, соответствующие отдельным ступеням, определялись
со всей возможной точностью. Сумма их, будучи равна разности
частот для интервала в октаву, была равна частоте колебаний
того камертона, который образовывал ьшало этого ряда. На
основании этого можно было вывести высоту других камертонов.
Если последовательные камертоны дают четыре биения в се-
кунду, то, чтобы заполнить интервал от с' B56) до с" E12), их
потребуется всего 65. Это делает метод очень трудоемким, хотя
он является, повидимому, наиболее точным для первоначального
определения высоты, так как не подвержен никаким ошибкам,
помимо тех, которые можно устранить осторожностью и повто-
рением. Можно заметить, что необходимым здесь является изме-
рение разности частот двух нот, для которых отношение частот
известно независимо от этого. Октаву можно было бы заменить
интервалом в одну квинту, кварту или даже в большую терцию,
Acoustical Observations, Phil. Mag., стр. 342, май 1882.
Зак 1774 Рэлей, 1
82 системы с одной степенью свободы (гл. ш
если бы только мы могли быть уверенными в их точности; это
имело бы то преимущество, что число необходимых интерполяций
уменьшилось бы. При участии оптических методов этим приемом
можно было бы, вероятно, пользоваться с большим успехом, так
как соответствующие фигуры Лиссажз? распознать легко, а их
постоянство является очень строгой проверкой для точности отно-
шения, которого удалось добиться.
[Для успеха этого метода существенно, чтобы высота каждого
из многочисленных применяемых в нем звуков была строго опре-
деленной и в особенности чтобы колебания любого камертона
происходили с одной и той же скоростью независимо от того,
звучит ли вместе с ним его сосед сверху или снизу. Нет ника-
ких оснований сомневаться в том, что это условие достаточно
соблюдается в случае независимых друг от друга камертонов,
но, если попытаться заменить камертоны серией язычков, по-
мещгнных рядом друг с другом на общих мехах, то это приве-
дет к ошибке, являющейся результатом взаимного возмущения их
высоты !).]
Частоту колебаний больших камертонов можно определить,
заставляя и? вычерчивать гармоническую кривую на закопченной
бумаге, которую удобно укрепить на поверхности вращающегося
барабана. Число волн, записанных последним в течение одной се-
кунды, дает частоту камертона.
Во многих случаях удобным методом определения неизвестной
частоты может явиться применение прерывистого освещения, опи-
санного в § 42.
61. Серия камертонов, заполняющих через малые интервалы
целую октаву, очень полезна для определения частоты музыкаль-
ных нот и называется тонометром Шейблера. Тонометр Шейблера
может быть также применен для настройки ноты на любую же-
лаемую высоту. Частота ноты определяется при этом во всех
случаях по числу биений, которые она дает с камертонами, нахо-
дящимися ближе всего к ней (по обе стороны) по высоте.
Для настройки фортепиано или органов можно пользоваться
серией из двенадцати камертонов, дающих ноты равномерно тем-
перированной хроматической гаммы или любой другой системы.
Ноты, соответствующие тем, которые издаются камертонами, на-
страиваются в унисон, настройка же остальных производится окта-
вами. Лучше, однако, подготовить камертоны так, чтобы они давали
на четыре колебания в секунду меньше, чем только что упомя-
нутые. Каждая нота настраивается тогда немного выше, чем соот-
ветствующий камертон, таким образом, чтобы они, звуча вместе,
давали в точности четыре биения в секунду. Следует иметь
в виду, что прибавление к частотам (или вычитание из них) не-
Nature, XVII, стр. 12, 26, 1877.
62} МАЯТНИК С ДВИЖУЩЕЙСЯ ТОЧКОЙ ПРИВЕСА 83
которого постоянного числа не равносильно простому смещению
гаммы по абсолютной высоте.
В обычной практике настройщиков а' берется по камертону,
остальные же ноты определяются оценкой квинт. Вспомним, что
двенадцать истинных квинт несколько больше семи октав, так что
при равномерной темперации каждая квинта немного сжата. На-
стройшик идет вверх от а' последовательными квинтами, опу-
скаясь октавой ниже примерно после каждого второго шага вверх,
для того чтобы оставаться приблизительно в одной и той же
части шкалы. Двенадцать квинт должны привести его обратно
к а. Если эго не достигнуто, работу нужно проверять снова,
пока все двенадцать квинт не будут уменьшены на одну и ту же
малую величину настолько точно, насколько об этом можно
судить. Неизбежная при этом ошибка распределяется равномерно,
становясь тем самым наименее заметной. Все октавы, конечно,
настраиваются точно. Следующие номера указывают порядок,
в котором могут браться ноты:
а% ь с' Ad' Л' / /'V g4a' Л' с" Ad" d"$e"
13 5 16 8 19 11 3 14 6 17 9 1 12 4 15 7 18 10 2
На практике равномерная темперация достигается только при-
близительно, но это, может быть, и не имеет большого значения,
если принять во внимание, что та
система, достижение которой является .
целью настройки, сама никоим обра-
зом не является совершенной.
Скрипки и другие инструменты
этого же рода настраиваются истин-
ными квинтами, начиная с а'.
62. Рассмотрим в качестве иллю-
страции вынужденных колебаний слу-
чай маятника, точка привеса которого
совершает малое горизонтальное гар-
моническое движение. Пусть Q — груз, подвешенный на тонкой
проволоке к подвижной точке Р. ОР = х0, PQ=l", х — гори-
зонтальная координата Q.
Ввиду того что колебания предполагаются малыми, можно пре-
небречь вертикальным движением и приравнять натяжение про-
волоки весу груза Q. Отсюда для горизонтального движения
X-\-yLX-\-j-(x —JCq) = 0.
Но л;0 пропорционально cos pt; таким образом, если положить
gjl = да, наше уравнение примет уже рассматривавшуюся форму,
именно
X -f- ** -f" »9* = Е cos pt,
6*
84
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОВОДЫ
[гл. in
т
Если р равно п, то движение ограничивается только тре-
нием. Предположенное горизонтальное гармоническое движение Р
может быть осуществлено с помощью второго маятника массив-
ной конструкции, который увлекал бы при своем движении
точку Р. Удобное устройство показано на фиг. 15. А и В — же-
_ лезные кольца, ввинченные в пере-
кладину или в какую-нибудь дру-
гую неподвижную опору; С и D —
такие же кольца, привинченные к
прочному стержню, несущему вбли-
зи каждого из своих концов по
одинаковому тяжелому грузу Е и
F и поддерживаемому в горизон-
тальном положении под прямым
углом к перекладине с помощью
проволоки, проходящей через эти
четыре кольца указанным на рисун-
ке образом. Когда маятник приво-
дится в колебание, точка стержня,
расположенная посредине между
кольцами С и D, совершает гармо-
ническое движение в направлении,
параллельном CD, и эту точку можно сделать точкой привеса
другого маятника PQ. Если грузы Е и F очень велики в сравне-
нии с Q, то верхний маятник колеблется почти в точности со
своим собственным периодом и вызывает в Q вынужденное ко-
лебание того же самого периода. Когда длина PQ подобрана
так, что собственные периоды колебаний обоих маятников почти
одинаковы, груз Q будет приведен в очень сильное движе-
ние, хотя бы колебание точки Р обладало совсем незначительной
амплитудой.
В этом случае.разность фаз колебаний составляет около чет-
' верти периода; на эту величину верхний маятник опережает ниж-
ний. Если периоды очень значительно отличаются друг от друга,
то колебания или совпадают по фазе, или оказываются в прямо
противоположных фазах согласно уравнениям D) и E) § 46.
63. Очень хороший пример вынужденного колебания дает ка-
мертон, находящийся под действием прерывистого электрического
тока, период которого очень близок к его собственному. АСВ —
камертон, Е — небольшой электромагнит, состоящий из обмотки
изолированной проволоки на железном сердечнике, имеющем
форму, показанную на рисунке (подобную той, которая известна
под названием «сименсовской арматуры»); этот электромагнит
помещается между ножками камертона. Когда через обмотку
электромагнита посылается прерывистый ток, на камертон дей-
ствует периодическая сила. Эту силу нельзя выразить простой
63] СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ АМПЛИТУДОЙ И ФАЗОЙ 85
круговой функцией, но по теореме Фурье она может быть раз-
ложена в ряд таких функций, имеющих периодами х, 1/q%, 7зт> • • •
Если одна из этих функций, не слишком малой амплитуды, при-
близительно изохронна с камертоном, то она заставит его зву-
чать; в противном случае эффект будет незначителен. В дальней-
шем мы будем предполагать, что с периодом камертона прибли-
зительно совпадает именно полный период ? и будем, следова-
тельно, считать, что ряд, выражающий указанную периодическую
силу, сводится к своему первому члену.
Чтобы получить максимальное колебание, камертон следует
тщательно настроить, пользуясь маленьким грузом, скользящим
вдоль ножки, или вое-
ком, пока собственный I | /-~ ¦
период колебания (без СЧ i—Д. ^
трения) не станет равным I I II <л
периоду силы. Лучше
всего это достигается пу- -«г р»
тем проб. Когда мы при- *иг- 1(*р -=? !ь=»
близились к желаемому
совпадению, и камертон удается приводить в колебания из состоя-
ния покоя, то сила и дополнительное свободное колебание имеют
приблизительно одинаковые амплитуды и частоты и поэтому
(§ 48) в начале движения дают биения, медленность которых
и является мерой точности настройки. Движение не приобретет
неперемежающегося характера до тех пор, пока свободные коле-
бания не затухнут.
Колебания надлежащим образом сделанного и монтированного
камертона подвержены очень малому затуханию; в силу этого
малейшее отклонение от точного изохронизма вызывает заметное
падение интенсивности резонанса.
Амплитуду вынужденных колебаний можно наблюдать с доста-
точной точностью глазом или определять на слух, но экспери-
ментальная проверка указанных теорией соотношений между фа-
зой колебания и фазой вызывающей его силы требует видоиз-
мененного устройства.
Два одинаковых электромагнита, действующих на одинаковые же
камертоны и включенных в один и тот же контур, возбуждаются
одним и тем же прерывистым током. Ясно, что при этих условиях
обе системы, поскольку на них действуют равные силы, будут
приведены в одинаковые и по фазе, и по амплитуде колебания.
Предположим теперь, что колебания происходят в двух взаимно
перпендикулярных направлениях и складываются оптически по-
средством одного из методов Лиссажу\ Результирующая фигура
необходимо окажется прямой линией. Будем исходить из случая,
когда амплитуды колебаний максимальны, т. е. когда собствен-
ные периоды колебаний обоих камертонов одинаковы с периодом
86 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. П1
силы. Расстроим немного один из камертонов. Следует помнить, что
каковы бы ни были собственные периоды камертонов, оба они
колеблются в полном унисоне с силой, а следовательно, и друг
с другом. Главный эффект различия их собственных периодов
выразится в нарушении синхронизма фаз. Прямая линия, пред-
ставлявшая раньше сложное колебание, перейдет в эллипс, кото-
рый останется совершенно неизменным, пока к камертонам не
прикоснутся вновь. Вначале оба камертона отстают от силы на
четверть периода. Когда высота одного из них несколько пони-
жается, то он еще больше отстает по фазе от силы, и в то же
время амплитуда его колебаний уменьшается. Пусть разность фаз
камертонов будет е', а отношение амплитуд колебаний а: а0.
Тогда в силу уравнения F) § 46
а = а0 cos в'.
Следующая таблица показывает одновременные значения отно-
шения а : а0 и «'.
а:ао с' а: ао &'
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0
25°50'
36°52/
45°34'
53°7'
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
60°
66°25'
72°32'
78°27'
84°15'
Таким образом можно получить значительное изменение фазы
в любом направлении, не уменьшая очень сильно амплитуды.
Когда амплитуда колебания одного из камертонов максимальная,
можно сделать так, что другой будет отличаться от него по фазе
в ту или другую сторону до 60°, теряя не больше половины
своей амплитуды, или до 45°, теряя не больше половины своей
энергии. Заставляя один камертон колебаться с опережением
в 45°, а другой с отставанием в 45° относительно фазы, соот-
ветствующей случаю максимального резонанса, мы получим раз-
ность фаз в 90° при равенстве амплитуд колебаний. Фигура Лис-
сажу1 оказывается при этом окружностью.
Прерывистым электрическим током можно воспользоваться
также для регулирования скорости вращения какого-либо тела.
фоническое колесо, изобретенное независимо друг от друга
Лакуром и автором этой книги2), оказывается очень полезным
при акустических исследованиях. Оно может иметь различную
форму, но существенной чертой его является то, что магнитный
контур электромагнита, питаемого пульсирующим током, перио-
дически сближается с одним или с несколькими якорями из мяг-
5) Tonempfindangen, 3-е изд., стр. 190.
*) Nature, май 23, J878,
64] КАМЕРТОННЫЙ ПРЕРЫВАТЕЛЬ 87
кого железа, расположенными симметрично по окружности несу-
щего их колеса. Если при вращении колеса ближайшее прохождение
совпадает с серединой времени возбуждения, то электромагнитные
силы, действующие на якорь при его приближении и удалении, урав-
новешивают друг друга. Если же колесо немного отстает, то
силы, способствующие его движению, приобретают перевес над
силами, его задерживающими, и, таким образом, в целом магнит-
ные силы ускоряют вращение. В обратном случае перевес при-
обретают силы, задерживающие движение. Вращение при этом
автоматически приобретает такую фазу, при которой вращающие
силы в точности уравновешивают сопротивления. Когда колесо
вращается не быстро и приложенные электрические силы уме-
ренной величины, принудительное вращение может оказаться не-
нужным. В этом случае фаза ближайшего прохождения должна,
конечно, следовать за той, которая отвечает середине времени
намагничивания. Если же, как это иногда рекомендуется, имеется
независимое принудительное вращение, то фаза ближайшего про-
хождения может как опережать намагничивание, так и следовать
за ним.
В некоторых случаях колебания движения около той фазы,
в которой оно должно установиться, оказываются очень стойкими
и мешают пользоваться инструментом. Устранить этот недостаток
позволяет кольцо, содержащее воду или ртуть и вращающееся
концентрически вместе с колесом. Когда вращение равномерное,
жидкость в кольце вращается, как твердое тело, и не оказывает
тогда никакого влияния. Когда же скорость вращения по какой-
нибудь причине меняется, жидкость в течение некоторого вре-
мени сохраняет свое прежнее движение, что приводит к возник-
новению сил, стремящихся уничтожить колебания.
64. Прерывистый ток лучше всего получать с помощью камер-
тонного прерывателя, изобретенного Гельмгольцем. Этот преры-
ватель может состоять из камертона и электромагнита, монти-
рованного, как прежде. Один из концов обмотки электромагнита
соединяется с одним из полюсов батареи, другой конец—с ча-
шечкой, в которую налита ртуть. Второй полюс батареи соеди-
няется со второй чашечкой со ртутью. На нижней ножке камер-
тона, как раз над чашечками со ртутью, помещается U-образный
рейтер из изолированной проволоки, при этом на такой высоте,
чтобы при колебании электрический контур попеременно замы-
кался и размыкался одним концом рейтера через какую-нибудь
из чашечек со ртутью. Другой конец может все время оставаться
погруженным в ртуть. Полученная этим путем периодическая
сила компенсирует эффект трения, и колебания камертона под-
держиваются непрерывно. Чтобы привести в вынужденное колеба-
ние другой камертон, соединенный с ним электромагнит можно
включить или в этот же контур, или во второй, периодически»
83 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ С1ЕПЕНЫО СВОБОДЫ [ГЛ. Ill
перерывы тока в котором осуществляются с помощью другого
рейтера, погруженного в чашечки со ртутью1).
Modus operandi автоматических инструментов этого рода часто
понимается недостаточно ясно. Если бы сила, действующая на
камертон, зависела только от его положения, т. е. от того, замк-
нут контур или разомкнут, то работа, совершенная при прохо-
ждении через какое-нибудь положение, была бы отдана обратно
при возвращении, так что по истечении полного периода не оста-
лось бы никакого излишка, который мог бы компенсировать
эффект сил трения. Поэтому всякое объяснение, не учитывающее
запаздывания тока, совершенно не заслуживает внимания. При-
чин запаздывания существует две: несовершенный контакт и са-
моиндукция. С одной стороны, когда острие рейтера впервые
прикасается к ртути, электрический контакт несовершенен, ве-
роятно, за счет адсорбированного воздуха. С другой стороны,
когда рейтер выходит из ртути, контакт удлиняется благодаря
прилипанию жидкости, содержащейся в чашечке, к амальгамиро-
ванной проволоке. И то и другое ведет к тому, что ток запазды-
вает в сравнении с тем, который соответствовал бы только по-
ложению камертона. Но если бы даже сопротивление контура
определялось только положением камертона, ток все равно за-
паздывал бы в силу самоиндукции. Как бы ни был совершенен
контакт, ток конечной силы может возникнуть только по исте-
чении некоторого конечного времени, несколько большего, чем
в обычной механике, где инертному телу можно внезапно сооб-
щить некоторую конечную скорость. Во всяком случае, какие бы
причины ни вызывали2) запаздывание тока, эффектом его будет
то, что ббльшая работа получается камертоном при выходе рей-
тера из ртути, а меньшая работа теряется при погружении, и, та-
ким образом, баланс позволяет компенсировать потери на трение.
!) Я построил описанным путем несколько прерывателей, все части
которых были домашнего изготовления. Камертоны были сделаны сель-
ским кузнецом. Чашечки состояли из железных наперстков; каждый из
них был припаян к одному концу медной полоски; другой конец по-
лоски привинчивался к основной доске инструмента. Необходимо, чтобы
имелась возможность получить нужную высоту уровня ртути. В пре-
рывателе Гельмгольца применяется подковообразный электромагнит, охва-
тывающий камертон, но я склонен предпочесть настоящее устройство —
по крайней мере, когда звук низкий. В некоторых случаях ббльшая дви-
жущая сила получается с помощью подковообразного электромагнита,
действующего на якорек из мягкого железа, расположенный горизон-
тально па верхней ножке и перпендикулярный к ней. В качестве бата-
реи обычно оказывалось достаточно одного элемента Сми.
2) Любое требуемое запаздывание можно получить, при отсутствии
других средств, с помощью рейтера, помещаемого, однако, не на самую
ножку, а на другой конец легкой прямой пружины, которую помещают
на ножке и которая приводится в вынужденное колебание движением
точки ее прикрепления.
65] резонано 89
Бели бы магнитная сила зависела только от положения ка-
мертона, то можно было бы считать, что фаза ее первой гар-
монической компоненты опережает на 180° фазу собственного
колебания камертона. Однако в результате рассмотренного выше
запаздывания это опережение уменьшается. Если разность фаз
уменьшается до 90°, то сила действует в наиболее благоприятных
условиях и вызывает наибольшие возможные колебания.
Важно отметить, что действительная высота прерывателя (за
исключением только что упомянутого случая) несколько отли-
чается от собственной высоты камертона. Зависимость между
ними выражается уравнением E) § 46, причем г в данном случае
является предписанной разностью фаз, зависящей от свойств кон-
тактов и от величины самоиндукции. Если прерывистым током
пользуются для возбуждения второго камертона, то максимальное
колебание возникнет тогда, когда частота этого камертона совпа-
дает не с собственной, но с измененной частотой прерывателя.
Уклонение высоты камертонного прерывателя от его собствен-
ной практически очень мало, однако самый факт, что такое
отклонение возможно, кажется на первый взгляд несколько уди-
вительным. Объясняется это (в случае малого запаздывания тока)
тем, что в течение той половины колебания, когда ножки камер-
тона раздвинуты всего больше, электромагнит действует согласно
с собственной возвращающей силой камертона, обусловленной
его упругостью, и тем самым естественно увеличивает высоту.
Каково бы ни было соотношение фаз, силу, создаваемую маг-
нитом, можно разделить на две части, пропорциональные соот-
ветственно скорости и перемещению (или ускорению). За счег
первой части исключительно и поддерживаются колебания, вто-
рая же вызывает увеличение высоты.
65. Общее явление резонанса, несмотря на то, что его нельзя
рассмотреть исчерпывающе на примере систем с одной степенью
свободы, может быть сведено в основном к тем же самым общим
принципам. Когда в какой-нибудь части системы возбуждается
вынужденное колебание, то это влияет также и на все остальные
ее части, в которых возбуждаются колебания того же самого
периода, причем амплитуды этих колебаний зависят от свойств
системы, рассматриваемой как целое. Нередко, однако, случается
так, что интерес сосредоточивается на колебании какой-нибудь
удаленной части системы, связь которой с остальными частями
очень слаба. В подобном случае положение данной части (в пред-
положении, что не превзойден некоторый предел для амплитуды)
будет очень близко к положению системы, обладающей одной
степенью свободы и находящейся под действием силы, которую
можно рассматривать как заданную, независимо от собственного
периода колебания. Колебание, таким образом, управляется зако-
нами, которые мы уже исследовали. В случае приблизительно^
90 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ГЛ. III
равенства периодов, к которому, вообще говоря, и относится
название резонанса, амплитуда колебания может быть очень зна-
чительной, хотя в других случаях она может быть настолько
малой, чтобы ею можно было без большой погрешности прене-
бречь; точность совпадения периодов, требуемая для достижения
максимального эффекта, зависит от степени демпфирования
системы.
Из числа тел, которые резонируют без особенно точной
настройки, можно упомянуть мембраны и струны, соединенные
с деками, как в фортепиано и скрипке. Когда вблизи этих тел
звучит их собственная нота, они приходят в заметное колебание.
Опыт можно проделать, пропев в фортепиано ноту, издаваемую
какой-нибудь из его струн, и приподняв перед этим соответ-
ствующий демпфер. Если оттянуть пальцем (как у арфы) одну
из струн, принадлежащих какой-нибудь ноте, и заставить ее таким
путем зазвучать, то в колебание придут и две другие струны;
это можно проверить непосредственно, остановив первую струну.
Явление резонанса проявляется, однако, наиболее резко в тех
случаях, где для получения полного эффекта необходимо очень
точное равенство периодов. Яркий пример этого представляют
собой камертоны, установленные на резонансных ящиках. Когда
унисон идеальный, колебание одного камертона может быть вос-
принято другим через всю комнату, но достаточно небольшого
отклонения в высоте, чтобы явление стало почти незаметным.
Обычно пользуются камертонами, совершающими 256 колебаний
в секунду; при этом найдено, что уже при отклонении от уни-
сона, дающем всего лишь одно биение в секунду, явление совер-
шенно меняется. Когда камертоны хорошо настроены и поме-
щены близко друг к другу, колебание может несколько раз
переходить от одного камертона к другому, если их попеременно
заглушать прикосновением пальца.
Примеры могущественных эффектов изохронизма знакомы
каждому. Они часто имеют большое значение в областях, весьма
далеких от тех, которыми интересуется акустика. Так, например,
немногое является для судна в открытом море более опасным, чем
действие волн, период которых близок к его собственному периоду
для бортовой качки.
65а. Выше (§ 30) уже было объяснено, каким образом нало-
жение двух колебаний с одинаковыми амплитудами и с прибли-
зительно одинаковыми частотами дает результирующее колебание,
в котором звук усиливается и ослабляется в форме биений. Если
мы представим компоненты выражениями cos 2яи^ и cos 2ima*, то
результирующее колебание будет иметь вид:
2cosu(«1 — n^t cos ir^-j-rea)* A)
и может рассматриваться как колебание с частотой J/3 (nt -\- «„)
65fl] ПЕРЕМЕЖАЮЩИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ 91
и с амплитудой 2 cos it (nt — n.2)t. При переходе через нуль
амплитуда изменяет знак, что эквивалентно изменению фазы
на 180°, если амплитуду считать всегда положительной. Это изме-
нение фазы легко обнаруживается путем измерения на диаграм-
мах, вычерчиваемых приборами для сложения колебаний, и
является очень важной чертой явления. Если сила такого харак-
тера действует на систему, собственная частота которой есть
Va(wi4~waI T0 эФФект сравнительно мал. Если система выходит
из состояния покоя, то вначале последовательные импульсы дей-
ствуют согласно, спустя же некоторое время более поздние
начинают уничтожать эффект более ранних. Всего сильнее система
отвечала бы на силы с частотой пг и яа, но не на силу с часто-
той VaOi + ^a)-
Если, как в некоторых опытах проф. А. М. Майера г), какой-
нибудь звук постоянной силы делают прерывистым, путем перио-
дического включения некоторого препятствия (экрана), то резуль-
тат будет совершенно другим. В этом случае фаза возобновляется
после каждого периода тишины без обращения. Если сила такого
характера действует на изохронную систему, то ее эффект будет
действительно меньше, чем при отсутствии прерывистости; но
так как все импульсы действуют здесь в одном и том же напра-
влении, без всякого антагонизма, система отвечает на это воз-
действие чрезвычайно сильно. Один из типов пульсирующего
колебания, или силы, представляется следующим выражением:
2A4- cos 2ir mt) cos 2imt, B)
где я — частота колебания, а т — частота пульсаций3). Ампли-
туда здесь всегда положительна и изменяется в пределах между
0 и 4. С помощью обычного тригонометрического преобразова-
ния B) может быть приведено к виду
2 cos 2 tmt-\- cos 2ir(n-\-m)t~\- cos 2ic(n — m)t, C)
который показывает, что рассматриваемое пульсирующее коле-
бание эквивалентно трем простым колебаниям с частотами п,
п-^-т и и — т. Это и является объяснением вторичных звуков,
которые наблюдались Майером.
Выражение B) является, конечно, только частным случаем.
Другое выражение, в котором интенсивность пульсирующего
звука возрастает до максимума более резко, имеет вид:
4 cos4 vmt cos 2vnt; D)
l) A. M. Mayer, Phil. Mag., май 1875.
3) Crum Brown a. Tail, Edtn. Proc, июнь 1878; Acoustical Observa-
tions, II; Phtl. Mag., апрель 1880.
92 системы с одной степенью свободы [гл. ш
его можно преобразовать так:
¦j cos 2mt -f- cos 2тс (в -|_/»)*+ cos 2и (д — т
+^ cos 2it (« + 2m) f -f- j cos 2it (n — 2m) t. E)
Здесь имеются четыре вторичных звука, причем частоты двух
новых отличаются на вдвое большую, чем прежде, величину от
частоты первичного звука.
Теория пульсирующих колебаний хорошо иллюстрируется
камертонами, приводимыми в звучание электрическим путем.
Камертонный прерыватель с частотой 128 дает периодиче-
ский электрический ток; пропуская этот ток через электрома-
гнит, можно возбудить колебания той же высоты у второго
камер! она.
Действие этого тока на второй камертон можно сделать преры-
вистым путем периодического короткого замыкания электромаг-
нита, которое можно осуществить с помощью другого прерыва-
теля с частотой 4, работающего на независимом токе от элемента
Сми. Главный ток берется от элемента Грове. Когда контакт
второго прерывателя все время разомкнут, так что главный ток
непрерывно идет через электромагнит, камертон звучит всею
сильнее, конечно, тогда,
когда он настроен на 128.
Когда же его высота изме-
няется до 124 или до 132,
наблюдать какой-либо эф-
фект едва ли возможно. Но
Фиг. 16а. если заставить действовать
второй прерыватель и пре-
вратить периодический ток, текущий через электромагнит, в
прерывистый, го камертон будет отвечать, когда он настроен
на 124 или 132, так же хорошо, как и при настройке на 128
колебаний, но не будет отвечать при настройке на промежуточные
высоты, например 126 или 130.
Легко понять, каким образом прерывистость звука создает
чувствительность, которой иначе не существовало бы. Когда
камертон с частотой 124 выходит из состояния покоя под дей-
ствием силы с частотой 128, то вначале импульсы действуют
согласно, но спустя Vs секунды новые импульсы начинают про-
тиводействовать более ранним. Спустя 1/1 секунды начинается
другая серия импульсов, эффект которой одинаков с эффектом
первой серии, и т. д. Если таким образом позволить действовать
всем этим импульсам, результирующий эффект будет незначите-
лен, если же каждая вторая серия буцет устраняться, то нако-
пится сильное колебание,
66] ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 93
Наиболее общее выражение для колебания с частотой я,
амплитуда и фаза которого медленно изменяются с частотой т,
следующее:
(Ао -j- At cos 2titnt -j- A g cos 4nmt -4- A9 cos 6v.mt-\- ... 1
\ -\-B± dn 2 runt-\-B% sin 4 vmt-{-В^ sin 6 Kmt-{-...)_ ~"~
SC0-\-C1 cos 2ътг-\-Сгcos4rcw/-|-C3cos67tff^-}-.. Л
+ ( ... J
~ \ -f- Dt sin 2 т:т.(-\- Da sin 4nmt-\-Da sin
Это выражение приложимо как к случаю биений (если, напри-
мер, конечным является только Ах), так и к случаю, когда пре-
рывистость звука достигается с помощью соответствующего
экрана. Это колебание во всех случаях эквивалентно, следова-
тельно, комбинации простых колебаний с частотами
га, п-\-т, п — т, «4-2от, п— 2т и т. д.
Здесь уместно, может быть, подчеркнуть, что простое коле-
бание предполагает бесконечную продолжительность и не допу-
скает изменений фазы или амплитуды. Предположение, которое
иногда делается в оптических рассуждениях, что последователь-
ность простых волн может начинаться в некоторый данный момент
времени, продолжаться в течение некоторого времени, заключаю-
щего, может быть, очень большое число периодов, и, наконец,
прекращаться, находится в противоречии с определением.
66. Решению уравнения свободных колебаний, именно, уравнения
можно придать другую форму, выразив произвольные постоянные
интегрирования А и а через начальные значения и а а, которые
можно обозначить через и0 и и0. Мы получаем сразу
B)
где
Если
трения
нет,
то
х =
0
"о
и
Sin At
п
Н c°s «*¦ C)
Этими результатами можно воспользоваться для того, чтобы
получить решение полного уравнения
и + ш + п*ц*»и, D)
94 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ГЛ. It)
где U есть некоторая явная функция времени; действительно, из
уравнения B) мы видим, что в момент времени t эффект ско-
рости 8й, сообщенной в момент ?, есть
Эффект U выражается в том, что за время df возникает ско-
рость Udtf, результатом .чего к моменту времени t будет
e-V.»(*-")sin га' (t— f).
Решение уравнения D) будет, таким образом, иметь вид:
t
и = ^ J e-V.*<*-*'> sin n' {t — f) Udf. F)
Вели трения нет, мы имеем просто
t \
и = ^-( sinn(t—f)Udf, F)
где U—сила в момент if.
Нижний предел интегралов до сих пор оставался произволь-
ным, но вообще его удобно положить равным нулю.
При этом предположении ana, даваемые уравнением F),
при ^ = 0 обращаются в нуль, и общее решение имеет вид:
^-f sin n'
t
W J e~VtAt-tr)sin n'(t— f) Udf, G)
или, если трение отсутствует,
t
&nn(t — f)Udf. (8)
i J
Когда t достаточно велико, дополнительные члены, за счет
множителя e~ll*%t, стремятся к нулю и могут быть отброшены.
66а. В § 66 мы ограничились обсуждением случая, имеющего
наибольшее акустическое значение, т. е. мы предположили, что
и' действительно, как это имеет место при л'3 положительном,
х не слишком большом. Однако не лишена интереса и более
общая трактовка проблемы свободных колебаний. Каковы бы ни
были значения ла и х, решение уравнения A) § 66 всегда может
быть представлено в форме
^ ^ A)
671 неустойчивость 96
где (ij и (Аа — корни уравнения
|*я + х[х + «9 = 0. B)
Случай, уже рассмотренный нами, тот, когда значения \>.—
мнимые. Мы имеем тогда колебательное движение с амплитудой,'
которая убывает, если х положительно, но возрастает, если у.
отрицательно.
Если, однако, и2, хотя бы и будучи положительным, меньше
чем 1/4x3i или если п2 отрицательно, п' становится мнимым,
т. е. [1 становится действительным. В этом случае движение,
выражаемое уравнением A), уже не является колебательным,
причем будет ли оно с течением времени уменьшаться или уве-
личиваться, зависит от знака j*. Из решения уравнения B),
именно
очевидно, что если гаа положительно (и меньше V**8)' то оба
значения [t имеют одинаковый знак, обратный знаку и. Отсюда,
если у. положительно, оба члена в уравнении A) с течением
времени убывают, так что система, какое бы возмущение ей ни
было сообщено, снова возвращается в состояние покоя. Если х,
напротив, отрицательно, движение беспредельно возрастает.
Нам остается рассмотреть еще случай отрицательного »а.
Действительные значения [t имеют тогда противоположные знаки.
Систему можно так вывести из смещенного положения, что она
будет асимптотически приближаться к состоянию покоя в кон-
фигурации равновесия; но если только не удовлетворено спе-
циальное соотношение между смещением и скоростью, движение
стремится беспредельно возрастать. При этих условиях равнове-
сие должно рассматриваться как неустойчивое. В этом смысле
устойчивость требует, чтобы обе величины яа и х были поло-
жительными.
Нелишне упомянуть здесь об эффекте, который дает внеш-
няя сила, действуя на статически неустойчивую систему. Если
в §46 мы примем х = 0, то решение, выражаемое уравнением G),
не изменяет своей формы потому, что »а становится отрицательным.
Тот факт, что система может быть способна к чисто периоди-
ческому движению под действием некоторой периодической силы,
еще не свидетельствует поэтому об ее устойчивости.
67. Для большинства акустических целей достаточно рас-
сматривать колебания тех систем, с которыми мы будем иметь
дело, как бесконечно малые или, скорее, как близкие к беско-
нечно малым колебаниям. Это ограничение является основой
важных законов изохронизма для свободных колебаний и постоян-
ства периода для вынужденных колебаний.
96 Системы с одной степенью свободы (гл. т
Существуют, однако, явления подчиненного, но не маловаж-
ного значения, которые зависят в основном от квадратов и более
высоких степеней величин, определяющих движение. Мы посвятим
поэтому оставшуюся часть этой главы рассмотрению такого дви-
жения системы с одной степенью свободы, которое не настолько
мало, чтобы можно было совершенно пренебречь квадратами и
более высокими степенями соответствующих величин.
Приближенные выражения для кинетической и потенциальной
энергий будут иметь в этом случае форму:
Если сумму Т и V продифференцировать по времени, то мы най-
дем уравнение движения, которое имеет следующий вид:
mou -j- |xou -j- щаа -f- -я- ml и9 -J- -к- Н4«9 =» внешняя сила.
Это уравнение можно решать методом последовательных при-
ближений. Для простоты мы можем взять случай, где % = () —
предположение, которое ни в какой мере не может повлиять
на существо вопроса.
Инерция системы, следовательно, постоянна, между тем как.
восстанавливающая сила является сложной функцией смещения,
частью пропорциональной самому смещению, а частью его квад-
рату и, следовательно, несимметричной относительно положения
равновесия. Таким образом, для свободных колебаний наше урав-
нение имеет форму:
й-\-пЧ-\-аи*=0 • A)
с приближенным решением
а = A cos nt, B)
где А — амплитуда, которую следует рассматривать как малую
величину.
Заменяя в последнем члене уравнения A) а его выраже-
нием B), мы находим
a-j-пЧ = — а^A -|_ cos 2ft/),
откуда во втором приближении мы получаем для а выражение:
gag C)
показывающее, что собственный тон («) системы сопровождается
«го октавой Bл), относительное значение которой возрастает
67) ЧЛЕНЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА 97
вместе с амплитудой колебания. Тренированное ухо вообще
в состоянии обнаружить октаву в звуке камертона, приведенного
в интенсивное колебание с помощью смычка, а соответствующие
приспособления, которые будут описаны позднее, позволяют убе-
диться в существовании октавы каждому желающему. Следуя
этому же самому методу, приближение можно продолжить дальше;
однако мы перейдем теперь к случаю системы, где восстанавли-
вающая сила симметрична относительно положения равновесия.
Уравнение движения будет тогда приближенно следующим:
й + »а« + Ра3 = 0. D)
Это уравнение можно отнести к колебаниям тяжелого маятника
или груза, помещенного на конце прямой пружины.
Если мы возьмем в качестве первого приближения и — A cos nt,
что соответствует р = О, и подставим это выражение в член,
содержащий р, мы получим
и + пЧ = — ^ cos 3nt—^- cos ntt
В соответствии с последним членом этого уравнения мы должны
были бы получить в решении член вида t sin га*, безгранично воз-
растающий вместе с t. Этот результат, как и в аналогичном слу-
чае в теории движения Луны, указывает, что принятое нами
первое приближение в действительности вообще не является
приближением или по крайней мере не остается все время та-
ковым. Но если мы возьмем в качестве нашей отправной точки
выражение и — A cos mt с соответствующим значением т, то мы
найдем, что решение может быть образовано из одних только
периодических членов. В самом деле, как это заранее очевидно,
мы вправе предполагать лишь то, что движение является прибли-
женно простым гармоническим, с приблизительно тем же периодом,
какой имел бы место, если было бы [3 = 0. Достаточно самого по-
верхностного исследования, чтобы показать, что член, содержащий и3,
не только может, но и должен влиять на период. В то же самое
время очевидно, что решение, в котором принят неверный период,
независимо от величины ошибки, должно в конце концов пере-
стать представлять с какой бы то ни было степенью точности
действительное движение.
Мы возьмем, таким образом, в качестве приближенного урав-
нения
| ^ (б)
решением которого является
%АЪ cos Zmt /й-.
F)
+ f 9mi_n3,
7 Зав. 1774. Рмсй, 1
98 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II»
при предположении, что т удовлетворяет соотношению
или
4
Член с коэффициентом {3 сказывается, таким образом, в двух от-
ношениях. Во-первых, он меняет высоту основного колебания,
во-вторых, в качестве необходимого добавления он вводит его
дуодециму. Изменение высоты, зависящее от квадрата амплитуды,
в большинствг случаев крайне мало, но оно не является совер-
шенно незаметным. По мере того как колебания камертонов за-
тухают, высота звука, вообще говоря, хотя и очень мало, но
все же несколько увеличивается. Можно отметить, что такая же
слабая зависимость высоты от амплитуды имеет место и в том
случае, когда восстанавливающая сила имеет форму я2и -\- ан3;
это можно видеть, если продолжить приближение к решению
уравнения (I) на один шаг дальше, чем C). Результат в этом
случае следующий:
Разность та — и2 в обоих случаях одного и того же порядка
относительно Л; заслуживает, однако, быть отмеченным, что
в выражении (8) та всегда меньше я2, между тем как в выра-
жении G) эффект — понижение или повышение тона — зависит
от знака р. Однако в большинстве случаев, принадлежащих к не-
симметричному классу, изменение высоты будет зависеть частью
от члена вида аа2, частью от второго члена вида $и6, и тогда
[Во всех случаях, где период зависит от амплитуды, он является
необходимо ее четной функцией, и изменение знака амплитуды
просто эквивалентно изменению на 180" фазы колебания.]
68. Мы переходим теперь к рассмотрению вынужденных ко-
лебаний, вызываемых в несимметричной системе двумя гармони?
ческими силами;
Е cos pt и F cos (qt—в).
Уравнение движения имеет вид:
и-\-пи — — аи2 + Е cos pt-\-F cos (qt — e). A)
i) [Здесь сделано исправление, на необходимость которого мне было
указано д-ром Бёртоном.]
68а] поддержание колебаний 99
Чтобы найти первое приближение, мы пренебрегаем членом, со-
держащим а. Таким образом,
и = е cos pt-\-f cos (qt— s), B)
где
Подставляя это в член, содержащий а, мы получаем
Ц _|_ яац _ ? cos pt + f cos (qt—г) — a {-^y^- + у cos 2 pt-j-
откуда во втором приближении мы имеем для и:
Дополнительные члены представляют колебания, имеющие
в качестве частот удвоенные первичные частоты, их сумму и
разность. Для двух последних амплитуды пропорциональны про-
изведению начальных амплитуд; это показывает, что относитель-
ное значение производных тонов возрастает с увеличением интен»
сивности исходных.
68й. Если в некоторой изолированной колебательной системе
имеет место рассеяние энергии, то колебания не могут оста-
ваться неизменными, так как они зависят от начального запаса
энергии, который здесь постепенно уменьшается. Чтобы движение
можно было поддерживать, колеблющееся тело должно быть свя-
зано с источником энергии. Мы уже рассматривали случаи этого
рода в связи с вопросом о вынужденных колебаниях, где система
находится под действием сил, амплитуды и фазы которых пред»
писаны независимо от поведения системы. Такие силы могут
осуществляться с помощью вращающихся механизмов (таких, как
электрические альтернаторы), регулируемых так, чтобы их ско-
рость была постоянна. Чаще, однако, рассматриваемые силы зави-
сят от колебаний других систем, и тогда встает вопрос о том,
как поддерживать сами эти колебания.
Хороший пример этого дает уже рассмотренный нами слу-
чай (§ 63, 65) камертона, колебания которого поддерживаются
7*
100 системы с одной степенью свободы Тгл. ш
электрическим током, управляемым с помощью камертонного
прерывателя. Выше было указано, что работа последнего зависит
от магнитных сил, действующих на камертон прерывателя и от-
личающихся по фазе от колебаний самого камертона. Вместе
с прерывателем сюда можно отнести почти все акустические и
музыкальные инструменты, способные издавать звук, силу кото-
рого можно поддерживать постоянной. Достаточно упомянуть
колебания, сила которых поддерживается продуванием воздуха
(органные трубы, язычки фисгармонии, эолова арфа и т. д.),
с помощью тепла (поющие пламена, трубки Рийке и т. д.), с по-
мощью трения (скрипичные струны; бокалы, звучащие от трения
пальцем), и более медленные колебания маятника простых и балан-
сира карманных часов.
Выясняя, какие силы нужны для поддержания или усиления
колебания, часто удобно рассматривать их как сведенные к импуль-
сам. Чтобы взять простой случай, предположим, что на чечевицу
колеблющегося маятника действует малый горизонтальный поло-
жительный импульс. Эффект зависит, конечно, от фазы колеба-
ния в момент действия импульса. Если в этот момент чечевица
движется в положительном направлении, то колебание усиливается,
и этот эффект будет максимальным тогда, когда скорость дви-
жения в положительном направлении наибольшая, т. е. когда
чечевица проходит в положительном направлении через положе-
ние равновесия. К этому всегда и стремятся при конструировании
часового механизма, так как тогда действие силы, в смысле уси-
ления движения, оказывается наибольшим и всего меньше влияет
на период (в первом приближении это влияние, равно нулю).
Конечно, если импульс будет сообщен на полпериода раньше
или позже, чем это было предположено выше, то результатом
будет ослабление колебания, которое также не сопровождается
изменением периода. Аналогичным путем мы можем устано-
вить, что когда импульс сообщается в момент максимального
отклонения маятника, эффект его сосредоточивается целиком на
периоде, само же колебание при этом ни усиливается, ни ослаб-
ляется.
В большинстве случаев силу, действующую на колебательную
систему вследствие ее связи с источником энергии, можно рас-
сматривать как гармоническую. Ее можно разделить на две части,
из которых одна пропорциональна смещению а (или ускорению и),
а другая — скорости а. Включение этих сил не меняет формы
уравнения колебания:
й+хи + иан = 0. A)
За счет первой части (пропорциональной и) изменяется высота
звука, за счет второй — коэффициент трения. Если измененное
68ft) ПОДДЕРЖАНИЕ КОЛЕБАНИЙ 101
значение х все же положительно, то колебания постепенно за-
тухают, если же, в результате включения данных сил, х стано-
вится отрицательным, колебания стремятся, напротив, возрастать.
Единственный случай, в котором согласно уравнению A) воз-
можно колебание постоянного характера, это — тот, когда полное
значение х есть нуль. Если это условие удовлетворено, колеба-
ние любой амплитуды продолжает оставаться неизменным.
Когда х отрицательно (так что малые колебания стремятся
возрастать), вскоре, конечно, достигается момент, за которым
приближенные уравнения перестают быть справедливыми. Мы
можем составить себе представление о том, как будет обстоять
дело в этом случае, если прибавим к уравнению A) член, про-
порциональный более высокой степени скорости. Возьмем урав-
нение
и + хй-4-х'«3 + «9и = 0, B)
где /их' предполагаются малыми. Приближенное решение урав-
нения B) имеет вид:
и = A sin nt+—?- cos bnt, C)
где А дается уравнением
1 0. D)
Из уравнения D) мы видим, что стационарные колебания не-
возможны, если х и х' не имеют противоположных знаков. Если
х и х' одновременно положительны, то колебание во всех слу-
чаях затухает, если же х и х' одновременно отрицательны, коле-
бание [согласно B)] безгранично возрастает. Если, наконец, х от-
рицательно, а х' положительно, колебание приобретает стацио-
нарный характер; амплитуда его определяется уравнением D).
Более слабые колебания усиливаются до этой границы, более
сильные до нее уменьшаются. Если, напротив, v. положительно,
а х' отрицательно, то стационарное колебание, вообще возмож-
ное, является неустойчивым и всякое отклонение (и в том и в дру-
гом направлении) от амплитуды, даваемой уравнением D), стре-
мится всегда возрастать J).
686. Мы рассмотрим теперь коротко другой очень любопыт-
ный вид сохранения постоянной интенсивности колебаний, осо-
бенностью которого является то, что сила, поддерживающая
колебания, действует с частотой, вдвое большей частоты самого
колебания. Лучшим примером этого является, повидимому, разно-
видность опыта Мельде, в которой поперечные колебания тонкой
струны поддерживаются тем, что один из ее концов связан с ко-
леблющейся ножкой масси того камертона; движение точки,
!) On Maintained Vibrations., PM. Mag., апрель 188а
102 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ш
в которой закреплена струна, происходит при атом парал-
лельно длине струны. Эффект этого движения тот, что натяже-
ние струны оказывается периодически изменяющимся; однако на
первый взгляд ничто не заставляет струну отклоняться от ее
равновесного положения. Но известно, что при этих условиях
равновесие может сделаться неустойчивым и что струна может
притти в сильные стационарные колебания, период которых вдвое
больше периода камертона.
В качестве простого примера, с одной только степенью сво-
боды, мы можем взять маятник, представляющий собой стержень
из мягкого железа, колеблющийся на ножках. Ниже маятника рас-
полагается симметрично вертикальный электромагнит, через ко-
торый пропускается электрический ток, прерываемый с частотой,
вдвое большей частоты маятника. Магнитные силы не стремятся
вывести маятник из его положения равновесия, но дают такой
эффект, как если бы интенсивность силы тяжести испытывала
периодические изменения.
Аналогичный результат получается тогда, когда точку привеса
маятника заставляют колебаться в вертикальном направлении.
Если мы представим это движение уравнением т) = j3 sin 2pt, то
его эффект будет тот же самый, как если бы изменение силы
тяжести выражалось членом 4/>ар sin 2pt.
Ту же сам/ю природу имеет рябь на поверхности воды, ко-
торую наблюдал Фарадейх) и другие; эта рябь образуется
в том случае, когда вода совершает вертикальные колебания;
Фарадей на основании экспериментов пришел к заключению, что
каждому полному колебанию жидкости соответствуют два полных
колебания, которые совершает дно сосуда.
В дальнейшем исследованииа), относящемся к случаю одной
степени свободы, мы начнем с предположения, что стационарное
колебание существует, и выясним, при каких условиях это воз-
можно.
Если восстанавливающая сила, или «упругость» тела, совер«
шающего колебания, испытывает периодическое изменение, то
дифференциальное уравнение принимает форму
«_|_хи-)-(яа— 2а sin 2/и?)« = 0, A)
где х и а предполагаются малыми. Подобное же уравнение было бы
справедливо приближенно в случае периодического изменения
эффективной массы тела. Движение, выражаемое решением урав-
нения A), можег быть регулярным только тогда, когда оно про-
исходит строго синхронно с наложенными колебаниями. Очевидно,
M. Faraday, РЫК Trans., стр. 299, 1831.
W. Rayleigh, Phil. Mag., апрель 1883.
ПОДДЕРЖАНИЕ КОЛЕБАНИЙ 103
что строго удовлетворить необходимым условиям каким-либо
простым гармоническим колебанием нельзя; мы можем, однако,
принять
а = Лх sin pt -j- Вх cos pt -f-
+ A6 sin bpt -f- 5j cos Zpt-|- A5 sin bpt + ..., B)
где не обязательно включать синусы и косинусы от четных крат-
ных pt. Если данное допущение законно, то решение B) должно
быть сходящимся. Подставляя его в дифференциальное уравнение
и приравнивая нулю коэффициенты при sin pt, cos pt, ..., мы находим
— JO2) ~
— fP) ~\-
— Ъ;рВА—
4- aAt — оАъ = 0;
Вь (и2 — 25jt>2) -f- 5vpA& -f аАъ — аЛ, = 0;
Эти уравнения показывают, что Аг и В6 порядка а относительно At
и Вх; Аъ и В5 порядка а относительно А3, Вя и т. д. Если мы
опустим Л3, Bs в первых двух уравнениях, то в качестве первого
приближения найдем
At (иа — jt?2) — (ур +¦ а) Вг = 0,
откуда
(„2 _ ^9)9 = а9 _ Х9^, D)
Таким образом, если а задано, значение р для регулярного дви-
жения будет определенным; при этом значении р регулярным дви-
жением является
где е, равное arctg (BJA^, также является определенным. Наряду
с этим из линейности исходного уравнения сразу же следует, что
амплитуда колебания ничем не ограничен.
Эти особенности сохраняются, как бы далеко ни было нужно
продолжить приближение. Если величинами А.2т+1, Я3от+1 можно
пренебречь, то первые т пар уравнений определяют отношения
всех коэффициентов, оставляя абсолютные их значения неопреде-
104 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 1П
ленными; они дают далее уравнение, связывающее р и а, т. е.
определяющее высоту.
Для второго приближения вторая пара уравнений дает
откуда
и = Р sin (pt + е) + ij?_ п% соз C^ + «)> E)
и из первой пары уравнений
} F)
между тем как р определяется уравнением
Возвращаясь к первому приближению, мы видим из уравне-
ния D), что решение возможно только при условии, что а не
меньше, чем у р. Если a = vp, то р = п; это значит, что частота
наложенного изменения «упругости» должна быть в точности
вдвое больше частоты собственных колебаний тела при отсут-
ствии трения. Из уравнения C) следует, что в этом случае е=зО;
этот результат указывает на то, что упругость имеет минимум
спустя одну восьмую периода после того, как тело прошло через
свое положение равновесия, и максимум — за одну восьмую
периода перед этим моментом. При этих условиях системе сооб-
щается наибольшее возможное количество энергии; в рассматри-
ваемом случае его как раз достаточно, чтобы компенсировать
потери на рассеяние, причем этот результат, очевидно, не зависит
от амплитуды.
Если а < v.p, то, каково бы ни было соотношение фаз, при-
ток энергии недостаточен для поддержания движения, если же
а > ър, то баланс между притоком энергии и рассеянием энергии
может быть достигнут с помощью такого изменения фазы, кото-
рое уменьшило бы в нужной степени первую величину. Изменять
фазу для этой цели можно в любом направлении; но если е поло-
жительно, то мы должны иметь
между тем как при отрицательном в
Если а много больше, чем ур, то г = г? -т л, что указывает Щ
то, что в тот момент, когда система проходит через свое поло*
>кение равновесия, упругость имеет максимум или минимум,
66с] АБСОЛЮТНАЯ ВЫСОТА 105
Вытекающее из уравнения заключение, что для стационарных
колебаний совпадение высот должно быть абсолютно строгим,
на практике подвергается некоторому изменению, иначе экспе-
римент не мог бы удаться. В большинстве случаев и2 является
до некоторой степени функцией амплитуды; поэтому, если гР
Очень близко к требуемому значению, полного совпадения можно
достигнуть, взяв амплитуду большой и определенной величины
и не производя никаких других изменений в условиях системы.
Читатель, желающий продолжить изучение этого предмета,
отсылается к статье автора: «On the Maintenance of Vibrations
by Forces of Double Frequency, and on the Propagation of Waves
through a Medium endowed with a Periodic Structure» *), в кото-
рой к данной проблеме применяется анализ Хилла 2).
68с. Об определении абсолютной высоты с помощью сирены уже
упоминалось выше (§ 17). Если принять соответствующие меры,
обеспечивающие равномерность вращения (например, с помощью
фонического колеса), то этим методом можно было бы, по всей
вероятности, получить первоклассные результаты. За последние
годы несколькими экспериментаторами были получены различными
методами превосходные результаты; мы вынуждены ограничиться
здесь лишь кратким замечанием относительно них.
Одно из наиболее прямых определений принадлежит Кбнигу 6),
которому научный мир обязан конструкцией многих превосход-
ных аппаратов. Это определение производится с помощью спе-
циального инструмента, состоящего из камертона, дающего
64 полных колебания в секунду, движение которого поддержи-
вается часовым механизмом на анкерном ходу. Циферблат дает
обычное время и служит, таким образом, для определения числа
колебаний. Действие камертона испытывается сравнением инстру-
мента с хронометром, дающим точное время. Стандартный камер-
тон, дающий 256 полных колебаний в секунду, сравнивался
с камертоном инструмента путем наблюдения фигуры Лиссажу,
соответствующей двойной октаве.
Кёниг исследовал также влияние резонаторов на высоту камер-
тонов. Так, без резонатора камертон, дающий в секунду 256 колеба-
ний, звучал удовлетворительно около 90 секунд. Вблизи него был
затем помещен резонатор, высоту которого можно было изменять;
высота резонатора, бывшая вначале много ниже высоты камер-
тона, при этом постепенно повышалась. Небольшое уменьшение
продолжительности звучания и в то же самое время увеличение
частоты приблизительно на 0,005 наблюдались даже тогда, когда
!) Phil. Mag., август 1887.
2) Hill, «On the Part of the Motion of the Lunar Pengree, which is
a Function of the Mean Motions oi the Sun and Moon», Acta Mathematica,
8, 1, 1886. Работа Хилла была впервые опубликована в 1877 г.
e) Konig, Wied. Ann., IX, стр. 394, 188а
106 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ш
резонатор был ниже камертона еще на малую терцию. По мере
того как собственная нота резонатора приближалась к собствен-
ной ноте камертона, уменьшение времени и увеличение частоты
становились все более резко выраженными вплоть до момента
непосредственной близости к унисону; однако в момент, когда
унисон устанавливался, изменение частоты внезапно исчезало, и
частота становилась точно такой же, как и в отсутствии резо-
натора. В то же самое время звук чрезвычайно усиливался; но эта
повышенная интенсивность быстро спадала, и через 8 или 10 секунд
колебание замирало. Если высота резонатора снова немного увели-
чивалась, звук камертона начинал изменяться в противоположном
направлении, будучи теперь настолько же ниже, насколько он был
выше перед достижением унисона. Смещение частоты по мере
дальнейшего увеличения высоты резонатора постепенно падало,
продолжительность же звучания также постепенно возвращалась
к своему первоначальному значению, т. е. примерно к 90 сек.
Максимальное изменение частоты, наблюденное Кёнигом, соста-
вляло 0,035 полного колебания. Объяснение этих результатов
см. в § 117.
Температурный коэффициент был найден Кёнигом равным
0,000112, так что высота камертона с 256 колебаниями падает
при повышении температуры на 0,0286 на каждый градус
Цельсия.
В определениях абсолютной высоты '), произведенных автором
этой книги, для поддержания колебаний камертона с частотой 128
употреблялся электрический камертонный прерыватель, частота кото-
рого могла, например, быть равной 32. Когда аппарат в порядке,
между двумя частотами существует постоянное отношение; так,
для приведенных данных одна из частот в точности в четыре раза
больше другой. Более высокую частоту легко, конечно, сравнить
по методу биений или оптическим путем со стандартным камер-
тоном с частотой 128, точность которого должна быть предвари-
тельно проверена. После этого остается только определить частоту
камертона самого прерывателя.
С этой целью прерыватель сравнивается с маятником стан-
дартных часов, скорость которых известна. Сравнение можно
сделать или непосредственно, или с помощью фонического колеса
{§ 63). И в том, и в другом случае маятник часов снабжается
посеребренным шариком, на котором и концентрируется свет
лампы. Непосредственно перед маятником помещается экран,
в котором проделана достаточно узкая вертикальная щель. Яркая
световая точка, отражаемая шариком маятника, видима при этсм
с перерывами либо поверх ножки камертона, либо через отвер-
1) W. Raj leigh, Nature, XVII, стр. 12, 1877; Phil. Trans., часть I, стр. 316,
1Ш.
68с) абсолютная высота 107
стие в диске фонического колеса. В первом случае световая
точка будет видна 32 раза в секунду; во втором, благодаря
применению фонического колеса, это число уменьшается. В на-
званных экспериментах одному обороту колеса соответствовало
четыре полных колебания прерывателя, и поэтому световую
точку маятника вместо 32 раз в секунду можно было видеть
только 8 раз. Всякое отклонение периода маятника от точного
кратного периода прерывателя обнаруживается в форме цикла
изменений в появлении пятна света; наблюдение продолжитель-
ности этого цикла доставляет данные для точного сравнения
частот.
Результаты вычисляются очень просто. Предположим сперва,
что часы правильны; пусть а будет число циклов между коле-
сом и часами в секунду (например, l/i0). Так как период цикла
является временем, которое требуется для того, чтобы колесо
отстало на один оборот от часов или на один оборот их опере-
дило, то частота его вращения есть 8±:а.
Частота вспомогательного камертона точно в 16 раз больше
этой, т. е. составляет 128 ± 16а. Если b есть число биений
в секунду, даваемых вспомогательным камертоном со стандартным,
то частота последнего равна
Ошибку в средней скорости часов учесть легко; необходимо,
однако, быть осторожными, когда мы принимаем, что действи-
тельная скорость со времени наблюдения не отличается заметно
от средней. Для полной гарантии было бы необходимо повто-
рять определения через некоторые интервалы в течение всего
времени, необходимого для установки часов наблюдением по звез-
дам. В этом случае, вероятно, было бы удобно присоединить
к фоническому колесу счетчик.
В методе Мак-Леода и Кларка J) время, указываемое часами,
отмечается автоматически на вращающемся барабане хронографа,
который поддерживается в равномерном вращении с помощью
соответствующего механизма. На окружности барабана нанесена
сетка эквидистантных линий, параллельных его оси; сравнение
барабана со стандартным камертоном осуществляется путем наблю-
дения волнистого рисунка, видимого тогда, когда на вращаю-
щуюся сетку смотрят мимо краев вибрирующих ножек. Эти
наблюдатели произвели специальное исследование действия
смычка на камертон, уже совершающий колебания. Согласно их
заключению в случае ненагруженных камертонов никакого замет-
ного изменения фазы не происходит.
*) Me Leod a. Clarke, PhU. Trans., часть I, стр. 1, 1880.
108 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 1ГЛ. III
В хронографическом методе проф. А. М. Майера ') к иссле-
дуемому камертону прикрепляется тонкая металлическая пластинка
в форме треугольника, весом в один миллиграмм, которая и вы-
черчивает свои колебания в форме синусоидальной кривой на
закопченной бумаге. Время регистрируется небольшими электри-
ческими разрядами or индукционной катушки, под контролем
часов; эти разряды проходят через то оке самое пишущее ост-
рие. Хотя возмущение, которое вносит указатель, как будто и
очень мало, но все же сомнительно, чтобы этот метод мог
конкурировать в отношении точности с описанными выше, где
сравнение со стандартом производится оптическим или акустиче-
ским путем. У него есть, однако, то преимущество, что в нем
не требуется равномерного вращения барабана и что самый
аппарат легко применить для определения малых интервалов
времени по способу, впервые предложенному Т. Юнгом8).
68rf. Методы определения абсолютной высоты, описанные
выше, за исключением метода Шейблера, можно рассматривать
скорее как механические; все они связаны большей частью
с применением некоторых специальных аппаратов. Высоту можно,
однако, определить с прекрасной точностью с помощью обычной
фисгармонии и часов; ввиду того что этот прием чрезвычайно
поучителен с точки зрения теории обертонов, здесь будет дано
его краткое описание в).
Основным принципом этого метода является то, что абсолют-
ные частоты двух музыкальных нот могут быть выведены из
интервала между ними, т. е. из отношения их частот, и из числа
биений, которые они дают за некоторое определенное время,
когда звучат вместе. Если, например, х и у обозначают частоты
двух нот, интервал между которыми есть равномерно темпериро-
ванная большая терция, то мы знаем, что у = 1,25992л;. В то же
время число биений в секунду, зависящее от степени отклонения
терции от правильной интонации, равно 4у — Ъх. В случае нот
фисгармонии, которые богаты обертонами,' эти биения легко
сосчитать; таким образом получаются два уравнения, из которых
сразу же находятся значения х и у.
На практике нельзя, конечно, считать строго верной точность
темперированной терции, однако возникающую в силу этого
трудность легко преодолеть путем включения в счет всех трех
больших терций, которые вместе дают октаву. Предположим,
например, что частоты нот с, е, g§, с' соответственно равны
х, у, z, 2х и что число биений в секунду между х и у есть а,
») А. М. Mayer, National Academy of Sciences, Washington, Memoirs,
том III, стр. 43, 1884.
2) Т. Young, Lectures, том I, стр. 191.
8) W. Rayleigh, Nature, январь 23, 1879,
АБСОЛЮТНАЯ ВЫСОТА 109
между jj/ иг есть Ь и между г и 2* есть с. Тогда
4у — 5лр = а, 42 — 5у = й, 8л: — 5г = г,
откуда
ж B
г *=i D0a+ 32*-+- 25с).
В предыдущих рассуждениях октава с — с' для простоты
предполагалась истинной. Действительную ошибку, если бы это
потребовалось, легко было бы учесть; однако на практике поль-
зоваться с' вовсе не необходимо, так как третью серию биений
можно одинаково хорошо сосчитать и между g§ и с.
Главное возражение против метода в такой форме то, что
он предполагает абсолютное постоянство нот; так, например,
предполагается, что у будет одним и тем же, звучит ли эта нота
в соединении с х или в соединении с г.
Этому условию ноты фисгармонии удовлетворяют очень несо-
вершенным образом.
Чтобы с успехом применять основной принцип, необходимо
иметь возможность проверить точность интервала, который предпо-
лагается известным, сделав это в то самое" время, когда произ-
водится подсчет биений. Если интервалом является мажорный
тон (9 :8), то его точность доказывается отсутствием биений
между девятой компонентой более низкой ноты и восьмой
компонентой более высокой, а подсчет биений между деся-
той компонентой более низкой и девятой более высокой
восполняет данные, необходимые для определения абсолютной
высоты.
Равномерно темперированный целый тон A,12246) является
средним между малым (минорным) тоном A,11111) и большим
(мажорным) тоном A,12500), но лежит значительно ближе к по-
следнему. Если его рассматривать как возмущенный мажорный
тон, то он дает медленные биения, если же рассматривать как
возмущенный минорный тон, то быстрые. Обе группы биений
можно слышать одновременно, и если они сосчитаны (двумя на-
блюдателями), то это дает средства для определения абсолютной
высоты обеих нот. Если х и у— соответственно частоты двух
нот, а и b — частоты медленных и быстрых биений, то
9х — 8у = а, 9у—10х = Ь,
откуда
x=*9a-{-8b, y~ 10a + 9*.
ПО СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ш]
Применение этого метода никоим образом не предполагает
точности равномерно темперированного целого тона; в действи-
тельности предпочтительнее даже несколько выровнять интервал
таким образом, чтобы он лежал ближе к середине между мажор-
ным и минорным тонами. Благодаря этому скорость более быст-
рых биений уменьшается, что облегчает их счет.
Эксперимент производится тогда следующим образом. Когда
ноты С ц D звучат вместе, по данному сигналу наблюдатели
начинают счет биений, расположенных около d" и е". По окон-
чании измеренного промежутка времени дается второй сигнал,
и затем записывается число биений для обеих серий.
Что касается дальнейших деталей метода, то мы должны со.
слаться на оригинальный мемуар; здесь же можно привести один
пример его результатов. При промежутке времени в 10 минут
были получены числа биений в 2392 и 2341, что дает х — 67,09
в качестве высоты С.
ГЛАВА IV
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
69. Мы довольно подробно исследовали колебания системы,
обладающей одной степенью свободы; результаты, к которым мы
пришли, имеют очень широкое применение. Однако материальные
системы располагают вообще более чем одной степенью свободы.
Чтобы определить их конфигурацию в какой-нибудь момент вре-
мени, необходимо указать, каковы значения нескольких незави-
симых переменных величин, которые в развитие терминологии»,
примененной первоначально к точке, называют координатами
системы; число независимых координат есть число степеней сво-
боды системы. Строго говоря, перемещения, какие способна
совершать действительная система, бесконечно разнообразны, и
их невозможно представить как результат конечного числа пере-
мещений определенного типа. Элементарным частям твердого тела
могут быть сообщены любые произвольные перемещения, подчи-
ненные лишь условиям непрерывности. Только благодаря опре-
деленному процессу абстракции, так часто применяемому в нату-
ральной философии, твердые (в обычном смысле этого слова)
тела трактуются как абсолютно твердые, жидкости как несжи-
маемые, и вводятся другие упрощения, так что положение системы
становится зависящим от конечного числа координат. Мы, однако,
вовсе не намерены исключить из рассмотрения системы, обладаю-
щие бесконечным многообразием степеней свободы, напротив,
некоторые из наиболее интересных приюжений результатов этой
главы будут сделаны именно в этом направлении. Однако такие
системы всего удобнее рассматривать как предельные случаи
других, свобода которых более ограниченного характера. Мы
начнем поэтому с такой системы, положение которой опреде-
ляется конечным числом независимых координат tyt, ty2, <Ji3, ...
70. Главная проблема акустики состоит в исследовании коле-
баний системы около положения устойчивого равновесия; однако
удобнее будет начать со статической части предмета. Ecih мы
отсчитываем координаты tyv ^2> ... от конфи1 урации равновесия, то
согласно принципу виртуальных скоростей потенциальная энергия
какой-нибудь другой конфигурации, при условии, что перемеще-
ние системы достаточно мало, будет однородной квадратичной
112
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
[ГЛ. IV
функцией координат. Эта величина, обозначаемая через V, -пред-
ставляет собой работу, которая может быть получена при
переходе системы из данной конфигурации в конфигурацию рав-
новесия. Мы можем написать
(D
Так как по предположению равновесие вполне устойчивое, то
величины сп, с2а, с1а, ... должны быть таковы, чтобы V было
положительно для всех действительных значений координат.
71. Если система выведена из нулевой конфигурации действием
заданных сил, то новая конфигурация может быть найдена на
основании принципа виртуальных скоростей. Если работа, совер-
шенная заданными силами при гипотетическом перемещении Щг
8^а равна
то это выражение должно быть эквивалентно bV; таким образом,
новое положение равновесия, благодаря тому, что 8^, 8^а, ...
независимы друг от друга, определяется уравнениями
B)
г
и пи в силу уравнения A) § 70
«ai+i + «Wb + «авФв + • • •
C)
где значение crs не отличается от значения csr.
Из этих уравнений могут быть определены координаты через
заданные силы. Если V обозначает определитель:
си,
с13,
¦С
D)
то решение уравнений C) может быть написано следующим
образом:
Эти уравнения определяют tyv 4»9, ... однозначно, так как опре-
делитель V не равен нулю; это вытекает из того соображения, что
иначе уравнениям тг = 0 и т. д. можно было бы удовлетворить
73] СООТНОШЕНИЕ ВЗАИМНОСТИ 113
конечными значениями координат при том лишь условии, что от-
ношения их обладают соответствующими значениями, а это про-
тиворечит предположению, что система вполне устойчива в нуле-
вой конфигурации.
72. Если bv ..., Wv ... и ^{ W[, ...—две группы
перемещений и соответствующих сил, то мы имеем следующее
соотношение взаимности:
ЧМ* + Ч^+ ... =у[ь + <Ь+---> (О
как это можно видеть, если подставить сюда значения сил; каж-
дая часть уравнения A) принимает при этом форму
Предположим, что в уравнении A) все силы, за исключенигм
Ч/а и Wv исчезают; тогда
Щ'2 = W'^i. B)
Если силы >F2 и *Fi одинакового рода, мы можем предположить,
что они равны; тогда очевидно, что действующая в отдельности
сила какого-нибудь типа производит перемещение некоторого
второго типа, равное перемещению первого типа, обязанному
действию некоторой равной силы второго типа. Если, например,
А и В— две точки стержня, который каким-нибудь образом
поддерживается в горизонтальном положении, то вертикальное
отклонение в точке А, когда груз W подвешен в точке В, будет
тем же самым, что и отклонение в точке В, когда груз № подве-
шен в точке А 1).
73. Так как V является однородной квадратичной функцией ко-
ординат, то
«"•!?¦¦+!?*+•••• A)
или, если Wv W3, ...—те силы, которые необходимы для со-
хранения перемещения, представляемого tyt, <J»a, ..., то
.. B)
Если 4*1 +Mi- ^2 + ^2' • • ¦ представляют другое перемещение,
для которого необходимые силы суть ^-j-A^, Wa-{-Wa, ...,
г) Относительно этого см. Rayleigh, Phil. Mag., декабрь 1874 и
март 1875.
8 За*. 1774. Ралей, I
114 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. IV
то соответствующая потенциальная энергия выражается следующим
образом:
2 (V + AV) = OF, + Щ) (<W + Аф,) + • • • = 2 V+ВД^ +
так что мы можем написать
где AV есть разность потенциальных энергий для этих двух слу-
чаев; мы должны, в частности, заметить, что в силу соотношения
взаимности, § 72 A),
Из уравнений C) и D) мы можем вывести две важные тео-
ремы, касающиеся значения V для системы, которой сообщаются
заданные перемещения или которая подвергается действию задан-
ных сил.
74. Первая теорема говорит о том, что если заданные пере-
мещения (сами по себе недостаточные, чтобы определить конфи-
гурацию системы) сообщаются системе силами соответствующих
типов, то результирующее значение V для системы, перемещенной
таким образом и находящейся в равновесии, является самым
малым, какое только может быть для данного перемещения; теорема
говорит, далее, что значение V для любой другой конфигурации
превосходит это значение на потенциальную энергию конфигурации,
являющейся разностью двух названных. Единственное, что является
затруднительным в этой формулировке, это вопрос о том, как
нужно понимать выражение «силы соответствующих типов». Пред-
положим, например, что системой является натянутая струна и
что данной ее точке Р сообщено некоторое совершенно опре-
деленное перемещение; силой соответствующего типа здесь
является сила, приложенная в самой точке Р. И вообще силы,
с помощью которых должно быть осуществлено предлагаемое
перемещение, должны быть таковы, чтобы они не совершали
работы над системой, если только данное перемещение не
осуществлено.
Соответствующим выбором координат условия заданного пере-
мещения можно выразить, приписывая заданные значения первым
г координатам &1( йа, ..., V> условия, касающиеся сил, будут
представлены тогда в требовании, чтобы силы остальных типов
Фг+1> ^V+2> ••• исчезали. Если координаты ^ —|— Д4* относятся
к какой-нибудь другой конфигурации системы и если Ф" -J- Д*Р —
соответствующие им силы, то мы должны принять, что Дф1(
Д^а Д'||у все обращаются в нуль. Таким образом, для первых г
индексов обращаются в нуль ДО, для остальных же индексов
75] статические теоремы 115
обращаются в нуль ч7. Таким образом, ^^Д^ равно нулю, а по-
этому и 2^^ также равно нулю. Отсюда
2A^ = 2^^A<P A)
есть соотношение, доказывающее, что если данные перемещения
сделаны каким-либо путем, отличным от предписанного, то потен-
циальная энергия системы возрастает на разность энергий двух
конфигураций.
С помощью этой теоремы мы можем проследить за тем, как
сказывается на величине V всякое уменьшение жесткости системы,
подчиненной заданным условиям перемещения. Действительно,
если рассмотреть после изменения жесткости первоначальную
равновесную конфигурацию», то значение V будет по предполо-
жению меньше, чем ранее; кроме того, когда система перейдет
в положение равновесия при измененных условиях, произойдет,
как мы только что видели, дальнейшее уменьшение значения V.
Мы заключаем отсюда, что уменьшение значения V, как функции
координат, ведет также к уменьшению действительного значения V,
когда системе сообщены заданные перемещения. В отдельных
случаях это уменьшение может, конечно, и не произойти г).
Если, например, точке Р стержня, оба конца которого зажаты,
сообщено приложенной к ней силой некоторое малое поперечное
смещение, то потенциальная энергия деформации уменьшится при
уменьшении (хотя бы даже и локальном) жесткости стержня.
75. Вторая теорема относится к системе, которой сообщено
перемещение заданными силами; она утверждает, что в этом
случае значение V в положении равновесия больше, чем
во всякой другой конфигурации, в которой система могла бы
удерживаться в покое заданными силами под действием одних
лишь связей. Мы покажем, что удаление связей увеличивает зна-
чение V.
Координаты могут быть выбраны так, что условия, налагаемые
связями, представятся в следующей форме:
Ф1==о. +9 = 0. •••> 4v«o. (О
Мы должны, следовательно, доказать, что при заданных Wr+1,
4?V+a, . .. значение V будет наименьшим тогда, когда имеют
место условия A). Если вторая конфигурация обозначена, как и
прежде, через tyj + Д^ то мы видим, что для индексов до г
включительно равны нулю <!/, для более высоких индексов равны
нулю Дч7. Таким образом,
1) См. статью автора об общих теоремах относительно равновесия и
начального и установившегося движений, Phil. Mag., март 1875.
8*
116 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. IV
и, следовательно,
2ДК=2Д^Дф. B)
а это показывает, что увеличение V, вызываемое удалением свя-
зей, равно потенциальной энергии разности двух конфигураций.
76. Мы переходим теперь к исследованию начального движе-
ния системы, когда она выходит из состояния покоя под дей-
ствием заданных импульсов. Движение, приобретенное таким
путем, совершенно не зависит от потенциальной энергии, какой
система может обладать, когда она действительно получила опре-
деленное перемещение; это объясняется тем, что в силу природы
импульсов мы должны иметь дело только с самой начальной
конфигурацией системы. Начальное движение системы в этих
условиях совершенно не зависит от каких бы то ни было сил
конечной величины, будут ли они приложены извне или же будут
обязаны вязкости.
Если Р, Q, R — компоненты импульса, параллельные осям
координат, и если этот импульс сообщается частице с массой т
и прямоугольными координатами х, у, z, то по принципу Далам-
бера мы имеем
2m(JUx+j/8y + z8z)==2(P8* + Q8y + /?5z), A)
где х, у, z обозначают скорости, приобретаемые частицей под
действием импульсов, а Ьх, Ьу, Ьг соответствуют всякому произ-
вольному перемещению системы, которое не нарушает связи ее
частей. Уравнение A) требуется преобразовать в уравнение
в независимых между собой обобщенных координатах.
Для левой части уравнения A) получаем
51+-". B)
где предполагается, что Т— кинетическая энергия системы, выра-
женная в функции tyj, фа, ...
77] импульсы 117
Для правой части уравнения A) имеем
= 5А + Л+ .... C)
если ввести обозначения
Таким образом, преобразованное уравнение будет иметь вид:
где Ы/г, 8<J»2, ... теперь полностью независимы друг от друга.
Отсюда для определения движения мы имеем
ит-
где tp $2, ... могут рассматриваться как обобщенные компоненты
импульса.
77. Так как Т— однородная квадратичная функция обобщен-
ных координат, то мы можем взять
откуда
* дТ
B)
где значения afs и agr одинаковы.
Попрежнему, в силу природы Т,
Теория начального движения системы во многом аналогична
теории перемещения системы из конфигурации устойчивого рав-
новесия под действием постоянно приложенных сил. В настоя-
щей теории начальная кинетическая энергия Т стоит в таком же
118 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАВ [ГЛ. IV
отношении к скоростям и импульсам, в каком в прежней теории
потенциальная энергия V стояла соответственно к перемещениям
и силам. Но в одном отношении теория начальных движений
полнее, поскольку Т есть действительно однородная квадратичная
функция переменных, между тем как для V это справедливо
вообще лишь приближенно.
Если iflt <|».2, .. ., lv ?2, ... обозначают одну группу скоростей
и импульсов для системы, вышедшей из состояния покоя, а <К,
фа «1, «2. - •. — вторую группу, то мы можем доказать,
как в § 72, следующее соотношение взаимности:
$& + $»+ • • • = 5$+ Ы*+ • • • DI)
Эта теорема допускает интересное применение к движению жидко-
сти. Известно (это будет также и доказано позднее в настоя-
щем труде), что движение идеальной (лишенной трения) несжи-
маемой жидкости, которая вначале покоилась, таково, что
компоненты ее скорости в какой-нибудь точке являются соответ-
ствующими частными производными некоторой определенной
функции, называемой потенциалом скоростей. Пусть жидкость
приведена в движение посредством предписанной произвольной
деформации поверхности 5 некоторого замкнутого пространства,
выделенного внутри жидкости. Возникающее здесь движение
жидкости определяется нормальными скоростями элементов S;
эти скорости, воспринимаемые жидкостью, соприкасающейся с S,
ди
равны -j-, где и — потенциал скоростей; последний, если его
истолковывать физически, имеет смысл — при плотности, принятой
за единицу, — импульсивного давления. Таким образом, если v
есть потенциал скоростей для второго движения, соответствующего
другой группе произвольных скоростей на поверхности -^, то
согласно теореме
JJ
-S*
— уравнение, непосредственно вытекающее из теоремы Грина,
если, кроме 5, имеются только неподвижные твердые тела, погру-
женные в жидкость. Предлагаемый здесь метод позволяет придать
этой теореме значительно большую общность. Так, погруженные
в жидкость твердые тела вместо того, чтобы быть неподвижными,
свободно могут воспринимать целиком или частично движение,
сообщаемое им давлением жидкости.
1) Thomson a. Tait, § 313 </).
79] ТЕОРЕМА КЕЛЬВИНА 119
78. Один частный случай общей теоремы заслуживает быть
особо отмеченным. Пусть в первом движении
а во втором
«К = 0, ^ = Д, ?=»? — ?—...=0;
тогда
*! = ? A)
т. е. если посредством подходящего импульса соответствующего
типа системе сообщается некоторая заданная произвольная ско-
рость изменения одной координаты, то импульс, отвечающий
второй координате и необходимый для того, чтобы не позволить
ей изменяться, равен тому, который потребовался бы для первой
координаты, если бы данная скорость была сообщена второй.
В качестве простого примера возьмем случай двух погружен-
ных в жидкость шаров А и В, центры которых могут свободно
перемещаться вдоль некоторых линий. Если А приводится
в движение с некоторой заданной скоростью, то при этом начи-
нает, конечно, двигаться и В. Теорема утверждает, что импульс,
необходимый для того, чтобы не допустить движения шара В,
равен тому, который был бы необходим, если бы функции шаров А
и В были обменены местами; и это имеет место даже в том
случае, когда в жидкости находятся другие твердые тела С,
D, ..., неподвижные или частично либо полностью свободные.
Описанный случай в точности подобен случаю электрических
токов, влияющих друг на друга путем индукции. Пусть, например,
имеются два контура А и В, в соседстве с которыми может
находиться любое число других проволочных контуров или твер-
дых проводников. Если в контуре А внезапно возникает единич-
ный ток, то импульс электродвижущей силы, который возбудится
в В, будет точно таким же, какой возник бы в А, если бы ток
был принудительно вызван в В.
79. Движение системы, которой посредством нужных импуль-
сов соответствующих типов сообщены заданные произвольные
скорости, обладает замечательным свойством, открытым Томсо-
* ном. Условия здесь таковы, что 4/v ty2, ^3 4/г заданы, между
тем как ;г+1, 5,+а, ... равны нулю. Пусть i/v <j»a Slf ^ ...
соответствуют действительному движению, а
другому движению, удовлетворяющему тем же самым условиям
относительно скоростей. Для каждого из индексов равно нулю
120 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. IV
или Дф или S. Но для кинетической энергии предполагаемого дви-
жения мы имеем
2G+Д7-) =
Но в силу соотношения взаимности D) § 77
левая же часть этого равенства по предположению есть нуль,
так что
2Д 7=^^1-4-^9+... A)
Это соотношение показывает, что энергия предполагаемого дви-
жения превосходит энергию действительного движения на энер-
гию того движения, которое нужно было бы сложить со вторым,
чтобы получить первое. Таким образом, энергия движения, дей-
ствительно вызываемого в системе, меньше энергии всякого
другого движения, удовлетворяющего тем же самым условиям
относительно скоростей. В следующей главе мы воспользуемся
этим свойством, чтобы найти верхний предел для энергии системы,
приведенной в движение с предписанными скоростями.
Если уменьшить инерцию какой-нибудь из частей системы,
то движение, соответствующее предписанным условиям относи-
тельно скоростей, вообще подвергнется некоторому изменению.
Значение Т будет здесь необходимо меньше, чем прежде, так
как Т уменьшилось бы даже и тогда, когда само движение оста-
лось бы неизменным, а следовательно, a fortiori тогда, когда по
условиям движения Т должно быть абсолютным минимумом.
Обратно, всякое увеличение инерции системы увеличивает началь-
ное значение Т.
Эта теорема аналогична теореме § 74. Для начальных движе-
ний теоремой, аналогичной теореме § 75, которая относится
к потенциальной энергии системы, смещенной из положения
равновесия заданными силами, является теорема Бертрана. Ее
можно формулировать так: если система выходит из состояния
покоя под действием заданных импульсов, то кинетическая энер-
гия действительного движения превосходит кинетическую энергию
всякого другого движения, какое систему можно было бы заста-
вить принять при помощи одних только связей, на кинетическую
энергию разности этих движений1).
1) Thomson a. Tait, § 311; Rayleigh, Phil. Mag., март 1875.
80] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 121
[Теоремы Кельвина и Бертрана представляют различные стороны
одной и той же истины. Предположим, что заданный импульс
целиком первого типа \г. Тогда 7"= 1/211ф1, независимо от того,
будет ли движение свободным или на него будет наложена связь.
Далее, при любых заданных особенностях связи, ^ пропорцио-
нально \v а отношение Et% может рассматриваться как момент
инерции, так что
Теорема Кельвина утверждает, что наложение связи может только
увеличить значение Т, кО1"да фх задано. Отсюда следует, что
независимо от того, будет ли ^ задано или нет, связь может
только увеличить отношение 2Т к <j^ или ^ к %. Обе теоремы
содержатся в утверждении, что при наложении связи момент
инерции системы увеличивается.]
80. Мы не будем более подробно заниматься механикой
системы, на которую действуют импульсы, а перейдем к исследо-
ванию уравнений Лагранжа для непрерывного движения. Мы будем
предполагать, что связи, действующие между частями системы,
не являются явными функциями времени; мы покажем особо, что
те случаи вынужденного движения, которые нам придется рас-
сматривать, не выходят за пределы исследования.
Согласно принципу Даламбера в соединении с принципом
виртуальных скоростей
'%т(хЪх-{-уЬу + zbz) = 2l(Xbx-\-Yby-lrZbz), A)
где 8л;, Ьу, Ъг служат для обозначения перемещения системы наи-
более общего вида, какое возможно без нарушения связей ее
частей. Ввиду того, что перемещения индивидуальных частиц
системы взаимно связаны, величины tx, Ьу, ... не являются не-
зависимыми между собой. Нашей целью является теперь преобра-
зовать это уравнение к другим переменным tyv фа, ..., которые
должны быть взаимно независимыми. Мы имеем
так что
(хЪх -{-у by-\-zbz) = ~ Jт(х8дг-\-уЪу + гЬг) — ЬТ.
Но (см. § 76) мы уже нашли, что
122 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. IV
между тем как
если Т выражается в форме квадратичной функции tyv фа
коэффициенты которой являются вообще функциями tj^, i^, ...
Точно так же
так как
d ( дТ s \ d I дТ\%. , дТ s-
Следовательно,
m (* Ьх + jTSy + г Щ =
Ji(*LjiZL\ /il(j?L)iLl4-... B)
Таким образом, если преобразованная правая часть уравне-
ния A) имеет вид:
а+...> C)
то мы получим уравнения движения в следующей форме:
Так как Wty означает работу, совершенную над системой
в течение перемещения 8ф, то W может рассматриваться как
обобщенная компонента силы.
В случае консервативной системы удобно отделить от W те
части, которые зависят только от конфигурации системы. Таким
образом, если V означает потенциальную энергию, мы можем
написать
l(«L)__^+--v. E)
dt\д'!<> I дф d*t ¦ }
где W теперь ограничено лишь теми из сил, действующих на
dV
систему, которые не учтены в члене -тр.
81. Существует также другая группа сил, которые часто
бывает удобней рассматривать особо, а именно силы, возникаю-
щие благодаря трению или вязкости. Если мы предположим, что
каждая частица системы задерживается при своем движении силами,
пропорциональными компонентам ее скорости, то эффект этого
81] ДИССИПАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ . 123
выразится в основном уравнении A) § 80 появлением в левой
его части членов
где *.,., уу, f-г — коэффициенты, не зависящие от скоростей, но,
возможно, зависящие от конфигурации системы. Преобразование
к независимым координатам <bv фа, ... выполняется аналогично
преобразованию выражения
рассмотренному выше (см. § 80), и дает
где
М
Можно заметить, что F, подобно Т, является однородной квадра-
тичной функцией скоростей, положительной для всех действитель-
ных значений переменных. Функция F представляет собой поло-
вину скорости, с которой рассеивается энергия.
Данное исследование относится к силам сопротивления, про-
порциональным абсолютным скоростям; не менее важно, однако,
рассмотреть и те силы, которые зависят от относительных
скоростей частей системы, что, к счастью, можно сделать, ни-
сколько не усложняя рассуждений. Если, например, на частицу х1
действует сила, пропорциональная (л^— ха), то в этот же самый
момент будет существовать равная ей и противоположно напра-
вленная сила, действующая на частицу х2. Добавочные члены
в основном уравнении будут поэтому иметь форму:
v ( v v \ Ry _l_ v I v v- 1 7\v
л V 1 й/ ¦'"i I '•д) \ 9 1/ ^•^'9*
что может быть написано так:
1 а * <*К
и т. д. для любого числа пар взаимодействующих частиц. Един-
ственным эффектом существования сил указанного характера
является то, что к функции F, которая все еще сохраняет
форму BI), прибавляются новые члены. Мы увидим теперь же,
х) Разности, упомянутые в тексте, в случае непрерывно деформируемого
тела могут переходить, конечно, в производные.
124 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАВ [ГЛ. IV
что существование функции F, которая может быть названа дис-
сипативной функцией (или функцией рассеяния), предполагает
некоторые соотношения между коэффициентами обобщенных ура-
внений колебания, влекущие за собой важные следствия1).
Уравнения движения можно теперь написать в следующей
форме;
dt V «Эф ) di> ~ <$ ~ dif
82. Мы можем ввести теперь условие, что движение системы
имеет место в непосредственном соседстве с конфигурацией
вполне устойчивого равновесия; тогда Т и F—однородные
квадратичные функции скоростей с коэффициентами, которые сле-
дует рассматривать как постоянные, а V— аналогичная функция
самих координат, при условии (которое мы предполагаем выпол-
ненным), что нулевое значение каждой координаты соответствует
конфигурации равновесия. Кроме того, все три функции суще-
ственно положительны. Члены вида -гг— второго порядка мало-
сти, если их опустить, то уравнения движения станут линейными
и примут форму:
где в W должны быть включены все те силы, которые действуют
на систему, но не охватываются производными от F и V.
Три квадратичные функции представятся следующим образом:
B)
где коэффициенты a, b, с являются некоторыми постоянными.
От уравнения A) мы можем, конечно, вернуться к прежним
результатам, предположив, что F и V или F и Т обращаются
в нуль.
Третью группу теорем, представляющих интерес в применении
к электричеству, можно получить, опуская в уравнениях 7 и V,
но сохраняя F; однако эта группа теорем не необходима для
интересующего нас предмета.
!) Функция рассеяния встречается впервые, насколько я знаю, в статье
об общих теоремах относительно колебаний, опубликованной в Procee-
dings of the Mathematical Society за июнь 1873.
82]
ДИССИПАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ
125
Если мы подставим в уравнения движения значения Т, F и V
и введем для оператора -ц символ D, то мы получим систему
уравнений, которую можно представить в такой форме:
C)
D)
E)
где егв обозначает квадратичный оператор
Следует, в частности, заметить, что
так как
, = a»,, br,
[Теория сил, возникающих при движении, т. е. сил, пропор-
циональных скоростям, была развита далее во втором издании
Natural Philosophy Томсона и Тэта A879). В самом общем случае
уравнения могут быть написаны -в следующей форме:
dV
F)
где
и и
"Г8 "8Г>
Г8Г'
(?)
Члены с коэффициентами b в этих уравнениях могут быть полу-
чены из диссипативной функции
Напротив, члены с коэффициентами р не связаны с рассеянием и
называются гиростатическими членами.
Если мы умножим первое из уравнений F) на ^lf второе на
4>2 и т. д., а затем сложим результаты, то мы получим
d(T+V)
at
(8)
126
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАВ
[ГЛ. IV
В этом уравнении первый член левой части представляет со-
бой скорость, с какой в системе накапливается энергия; IF есть
скорость рассеяния энергии; обе эти величины вместе позволяют
судить о работе, совершаемой над системой внешними силами.]
83. Прежде чем итти дальше, мы можем вывести одно важ-
ное заключение из факта линейности наших уравнений. Если со-
ответственно двум группам сил Wv Tg, ... и W[, Фг, ... воз-
можны два движения, обозначаемые через фр ty2, ... и фь
4<2, .... то должно быть возможно также и движение 'fi + 'i'b
Фа-Ь'Ь» •••• соответствующее силам Wj-j-Wi, Ч^-]-^. ...
В частном случае, когда внешние силы отсутствуют, наложение
(суперпозиция) двух свободных колебаний системы также пред-
ставляет собой некоторое собственное колебание системы. Это и
есть знаменитый принцип сосуществования малых движений,
впервые ясно высказанный Даниилом Бернулли. Следует иметь
в виду, что справедливость этого принципа зависит вообще от
того, насколько справедливо предположение о малости движе-
ния, которое позволяет пренебрегать квадратами соответствую-
щих величин.
[Если система находится под действием постоянных сил Wv
W,2 которые перемещают ее в новое положение равновесия,
то колебания, которые могут возникнуть около нового положе-
ния равновесия, совпадают с колебаниями, которые могли раньше
происходить около старого положения.] »
84. Чтобы исследовать свободные колебания, мы должны при-
равнять Wv W%, . .. нулю. Мы начнем с системы, на которую не
действуют никакие силы трения и для которой поэтому коэффи-
циенты егв, ... являются четными функциями символа D. Мы
имеем
Исключим из этих уравнений,' число которых т равно числу
степеней свободы системы, все переменные за исключением одной.
Результат, который будет иметь одинаковую форму, независимо
от того, какая из переменных оставлена, можно записать так:
V<> = 0, B)
где V обозначает определитель
C)
85] возможные значения к 127
который (если трение отсутствует) является четной функцией
степени 2т от символа D. Пусть ±kt, ±Ха ±кт — корни
уравнения V = 0, рассматриваемого как алгебраическое уравне-
ние относительно D. Согласно теории дифференциальных уравне-
ний наиболее общим выражением для <|» является тогда
(Ji = ДзМ -f" Д'е-М -f- Вгх>* -f- S's"M + . .., D)
где 2т величин А, А', В, В' и т.д. — произвольные постоян-
ные. Эта форма справедлива для каждой из координат, но
постоянные, которые войдут в различные выражения, не будут
независимы друг от друга. Действительно, если одним из частных
решений будет
то отношения At: Л9 : Аь .. . полностью определяются уравне-
ниями
л А I а А 1 л Л I ---• Г\
~11Л1 I е12Л2П^е18Л3 i • ** — "»
а А _1_ а А -4- Р А 4- = О (ЬЛ
где в каждом из коэффициентов ert D заменено на Аг Уравнения E)
необходимо совместны в силу условия, что Ах есть корень уравне-
ния V = 0. Отношения Ах : А2: As..., соответствующие корню —kv
те же самые, что и отношения Ах: А2 '¦ Аъ ..., но для других
пар корней: Ха, —Х2 и т. д., системы отношений будут
иными.
85. Природа системы, которой мы занимаемся, налагает одно
важное ограничение на возможные значения л. Если бы kt было
действительным, то или kv или —^ было бы действительным и
положительным, и мы получили бы частное решение, для кото-
рого координаты, а вместе с ними и кинетическая энергия, выра-
жающаяся через
беспредельно возрастают. Но для консервативной системы, полная
энергия которой никогда не может отличаться от суммы потен-
циальной и кинетической энергий, имевшихся у нее вначале,
такое движение, очевидно, невозможно. Этого заключения нельзя
избегнуть и взяв к± отрицательным, потому что мы вправе про-
следить движение сколь угодно долго как вперед, так и назад.
Так же как верно то, что движение никогда не било бесконеч-
ным, так же верно и то, что оно никогда таким не будет. Это
же самое рассуждение исключает возможность и комплексного
значения А.
128 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. IV
Мы приходим, таким образом, к заключению, что все значе-
ния А чисто мнимые и соответствуют действительным отрица-
тельным значениям л3. Аналитически тот факт, что корни урав-
нения V = 0, -рассматриваемого как уравнение относительно D,
все действительны и отрицательны, должен быть следствием
соотношений, существующих между коэффициентами ап, а12
сп, с12, ... в силу того, что для всех действительных значений
переменных величины Т и V положительны. Случай двух степе-
ней свободы будет позднее рассмотрен во всей полноте.
86. Форму решения теперь удобно изменить, написав шг вме-
сто ax, ... (где i = Y—1) и взяв новые произвольные постоян-
ные.
Таким образом,
A)
= А1 cos (л^ — a) -J- Bl cos (n^t—(ty^-C^ cos
= A% cos (n^ — a) -(- B% cos (n%t — P)-J-C3 cos (nj—
= Ai cos (V — «) + вз cos W — P)"f C8 cos
где n\, tii, ••¦ —"t корней уравнения степени m относительно па,
которое мы найдем, написав —л3 вместо D3 в V = 0. Для
каждого значения л отношения Л, :Л9:Л3 ... определенны и
действительны.
То, что мы сейчас получили, является полным решением
задачи о свободных колебаниях консервативной системы. Мы
видим, что все движение системы может быть разложено на тп
нормальных гармонических колебаний с вообще различными
периодами, причем каждое из этих колебаний совершенно не
зависит от других. Если движение, зависящее от начального воз-
мущения, таково, что оно само по себе сводится к одному из
этих колебаний (хотя бы я^, то мы имеем
tyl = ^1 C0S (П1( — a)> ^9 — ^2 C0S (Й1* a) B)
где отношения Ах : Ла: Л3 ...¦ зависят от свойств системы и
произвольными являются только абсолютная амплитуда и фаза.
Различные координаты все время находятся в одинаковых (или
противоположных) фазах, а в конфигурации равновесия система
во всех своих частях оказывается в один и тот же момент
времени.
Мы находим здесь механическое обоснование того, что гар-
монические колебания имеют господствующий характер. Если
движение достаточно мало, то дифференциальные уравнения ста-
новятся линейными, с постоянными коэффициентами; между тем
круговые (и показательная) функции являются единственными,
которые сохраняют при дифференцировании свой тип.
871 нормальные координаты 129
87. т периодов колебания, определенных уравнением V = О,
являются внутренними параметрами системы; они должны всегда
оказываться одинаковыми, какие бы координаты ни были выбраны
для определения конфигурации системы. Но есть одна система
координат, которая особенно подходит для этой цели, это — та
система, в которой нормальные типы колебаний определяются
каждый раз условием обращения в нуль всех координат, кроме
одной. В первом типе колебания начальные координаты <j*lt
фд, ... имеют заданные отношения; пусть величина, определяющая
их абсолютные значения, есть <pt, так что в этом типе колебания
каждая координата представляет собой некоторое известное
кратное yv Во втором типе колебания каждую координату можно
будет рассматривать как некоторое известное кратное второй
величины <р2 и т. д. Если определить соответствующим образом т
величин - <sv <pa то всякую конфигурацию системы можно
рассматривать как образованную соединением т конфигураций
этих типов, и поэтому сами величины <р — как координаты, опре-
деляющие конфигурацию системы. Они называются нормальными
координатамиг) системы. 7 и V, будучи выражены через нор-
мальные координаты, сводятся к суммам квадратов; в самом
деле, легко видеть, что если бы в их выражениях имелись также
и произведения координат, то получаемым уравнениям колебания
нельзя было бы удовлетворить, приравняв в них нулю какие-
нибудь т — 1 координат и сохранив для остающейся координаты
конечное значение.
Мы могли бы начать с этого преобразования, основываясь на
известной теореме алгебры, в силу которой всякие две одно-
родные квадратичные функции могут быть приведены с помощью
линейных преобразований к суммам квадратова). Таким образом,
<*<P +
v=4
A)
где коэффициенты (двойные индексы у них больше уже не нужны)
необходимо положительны, если равновесие устойчиво.
Уравнения Лагранжа приобретают теперь вид:
= 0. аа<Рз + «а?а = 0, ... B)
и решением их является
<pt =x= A cos {nxt— а), <р2 = В cos (nQt — 0) C)
J) Thomson a. Tait, Natural Philosophy, 1-е изд., § 337, 1867.
a) Cm. Routh, Rigid Dynamics, стр. 408.
9 Зак 1774. РэлеО, I
130 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОВЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. '»V
где А, В, ..., а, р, ... —произвольные постоянные, и
*-% «*-!•¦¦• <4>
[Колебания, выраженные через различные нормальные коорди-
наты, совершенно независимы друг от друга, и энергия всего
движения является простой суммой частей, соответствующих этим
нескольким нормальным колебаниям, взятым в отдельности. Дей-
ствительно, в силу уравнения A)
r+K=4<v4?+ivl2 + ... E)
i *. s
В силу природы данного случая коэффициенты а необходимо
положительны. Но если равновесие неустойчиво, некоторые из
коэффициентов с могут быть отрицательными. При отрицательном
значении с п становится мнимым, и место круговых функций
времени занимают показательные.
Если некоторое движение пропорционально еи, то возмущение
за одинаковые промежутки времени возрастает в одинаковое
число раз, и поэтому величину к можно рассматривать как меру
степени неустойчивости. Если бы имелось более одного неустой-
чивого вида движения, то их относительная значимость опреде-
лялась бы главным образом соответствующими значениями л.
Так, если
где Xj > Аа, то каким' бы ни было конечное отношение А: В,
первый член в кснце концов получит перевес, так как
Вообще, когда состояние неустойчивого равновесия беско-
нечно мало возмущено, дальнейшее отклонение от него осущест-
вляется в форме того движения, которое наиболее неус/пой~
чиво, т. е. для которого л имеет наибольшее значение. В следую-
щей главе мы встретимся с интересными применениями этого
принципа.
Приведение к нормальным координатам позволяет нам легко
проследить за тем, что происходит в случае, когда два из зна-
чений па становятся равными друг другу. Очевидно, что форма
решения здесь не изменяется. В качестве простого примера слу-
чая равных корней можно рассматривать сферический маятник.
Замечательно, что и Лагранж и Лаплас впали в ошибку, пред-
положив, что равенство корней необходимо предполагает члены,
88] ПЕРИОДЫ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ 131
содержащие множителем /'). Аналитическая теория общего случая
(где координаты не являются нормальными) была разобрана
Сомовым а) и Раусом s).]
88. Интерпретация уравнений движения приводит к одной
чрезвычайно важной теореме, которую можно формулировать
следующим образом4): период консервативной системы, колеблю-*
щейся при наличии связей около положения устойчивого равно- *
весия, имеет стационарное значение, если колебание нормально^'
типа. Мы могли бы доказать это положение, исходя из первана* *
чальных уравнений колебания, но более удобно воспользоваться
нормальными координатами. Связь (пусть ее характер будет
таков, что у системы остается только одна степень свободы)
можно выразить, взяв в заданных отношениях величины о.
Если положить
«Pi = M <р3 = А>е (О
то 8 — переменная величина, a Av А3, ... для данной связи
являются заданными.
Выражения для Т и V приобретают при этом следующий
вид:
откуда, если 6 изменяется пропорционально cos pt,
9 cHl ~Г C2^2 + • • • ~r em^m
p
Это дает период колебания при наличии связи; очевидно, что
период действительно является стационарным, когда все коэффи-
циенты Alt Аа, . .., за исключением какого-нибудь одного, обра-
щаются в нуль, т. е. когда данный тип колебания совпадает
с одним из собственных нормальных типов системы и когда не
нужно никакой связи.
[В предыдущей формулировке предполагается, что состояние
равновесия системы вполне устойчиво, так что все величины с
положительны. Но теорема справедлива даже и тогда, когда
хотя один или все коэффициенты с отрицательны. Однако при этом
период, если само р2 отрицательно, окажется мнимым. В этом
случае стационарный характер будет присущ коэффициентам
*) Thomson a. Tait, 2-е изд., § 343 т.
а) Somoff, St. Petersb. Acad. Sci. Mem., I, 1859.
s) Roufh, Stability of Motion (Adams Prize Essay, 1877); см. также
Routh, Rigid Dynamics, 5-изд., 1892.
*) Rayleigh, Proceedings of the Mathematical Society, июнь 1873.
9*
132 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. IV
при t в показательных членах, т. е. тем величинам, которые
измеряют степень неустойчивости.
Соответствующие теоремы, важные для других отраслей
науки, могут быть формулированы для таких систем, у кото-
рых заметной величиной обладают только Т и F или только
V и F1).
Свойство стационарности корней определителя Лагранжа § 84
C) подсказывает общий метод отыскания их приближенных зна-
чений. Начав с предположенных грубых приближений для отно-
шений Аг\А%:А.А, ..., мы можем вычислить первое приближение
для р% из уравнения
СА1 + "о"
2
~п СПА1 + "о"
22
.
aAl +
C)
С этим значением р% мы можем заново вычислить значения
отношений Аг:А2... из каких-нибудь (от—1) уравнений E)
§ 84 и затем, снова применяя уравнение C), определить улуч-
шенное значениг р1 и г. д.]
С помощью этой же самой теоремы мы можем доказать, что
увеличение массы какой-нибудь части колебательной системы
сопровождается увеличением всех ее собственных периодов ко-
лебаний или во всяком случае, что ни оди№ из периодов при
этом не может уменьшиться. Предположим, что приращение
массы бесконечно мало. После изменения массы типы свободных
колебаний вообще изменятся, однако с помощью подходящей
связи можно добиться того, что система сохранит один какой-
нибудь из прежних типов. Но если это сделано, то можно быть
уверенным, что период колебания, предполагающего движение
той части системы, масса которой была увеличена, также увели-
чится. Только в частном случае (например, когда груз помещен
в узле колеблющейся струны) период может остаться неизменным.
Эта теорема позволяет нам утверждать, что удаление связи и
последующее изменение типа колебания могут изменить период
только на величину второго порядка и что, следовательно,
в пределе собственный период колебания не может быть меньше,
чем он был перед изменением. Суммируя эффекты бесконечно
малых изменений, мы заключаем, что конечное увеличение массы
должно удлинить период каждого колебания, которое предпола-
гает движение подвергшейся изменению части, и что ни в коем
случае период не может уменьшиться; однако, чтобы посмотреть,
каково соответствие между двумя группами периодов, нужно
предположить, что изменение делается шаг за шагом.
W. Raylelgh, Brit. Ass. Rep., стр. 911, 1885.
89J периоды свободных колебаний
Обратно, удаление части массы колебательной системы должно
укорачивать периоды всех ее свободных колебаний.
Аналогичным путем мы можем доказать, что если система
подвергается изменению, при котором потенциальная энергия
данной конфигурации уменьшается, между тем как кинетическая
энергия заданного движения остается неизменной, то периоды
всех свободных колебаний увеличиваются, и наоборот. Этим
предложением можно иногда воспользоваться для того, чтобы
проследить за эффектом связи; действительно, если мы предпо-
ложим, что потенциальная энергия какой-нибудь конфигурации,
нарушающей условие, налагаемое связью, постепенно возрастает,
то мы приблизимся к такому положению вещей, когда данное
условие наблюдается с любой желаемой степенью полноты.
В течение каждого шага процесса каждое свободное колебание
становится (вообще) более быстрым, и часть свободных периодов
(в количестве равном числу потерянных степеней свободы) ста-
новятся бесконечно малыми. Практически того же самого резуль-
тата можно достигнуть без изменения потенциальной энергии,
предположив, что кинетическая энергия какого-нибудь движения
нарушающего условие, налагаемое связью, беспредельно возра-
стает. В этом случае один или несколько периодов становятся
бесконечно большими, но конечные периоды оказываются в конце
концов теми же самыми, к каким мы приходим, увеличивая по-
тенциальную энергию системы, несмотря на то, что в одном
случае периоды только возрастают, а в другом только убывают.
Этот пример показывает, насколько необходимо делать изменения
последовательными шагами; в противном случае нам не уда-
лось бы понять соответствия между двумя группами периодов.
Дальнейшие иллюстрации будут даны для случая двух степе-
ней свободы.
С помощью принципа, согласно которому значения периодов
свободных колебаний стационарны, мы легко можем вычислить
поправки, вызываемые каким-нибудь отклонением в системе от
теоретической простоты. Если мы примем за гипотетический тип
колебания тот, который свойствен простой системе, то найден-
ный этим путем период будет отличаться от истинного на вели-
чины, зависящие от квадратов отклонений. Несколько примеров
таких вычислений будет дано в дальнейшем.
89. Остается отметить еще один важный вопрос, касающийся
периода системы, совершающей колебания какого-либо произ-
вольного типа. Из уравнения B) § 88 следует, что период коле-
бания, соответствующий некоторому гипогегическому типу,
заключается между наибольшим и наименьшим собственными
периодами колебаний системы. В случае систем, подобных стру-
.нам и пластинкам, которые трактуются как способные к непре-
рывной деформации, наименьшего собственного периода не
134 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. IV
существует; тем не менее мы можем утверждать, что период,
вычисленный на основании какого-либо гипотетического типа,
не может превзойти того, который соответствует самому низкому
колебанию нормального типа. Поэтому когда нашей целью
является оценка с помощью вычислений, основывающихся на
каком-либо гипотетическом типе самого длинного периода, какой
только свойствен системе, то мы знаем a priori, что результат
получится преуменьшенным.
При выборе гипотетическою гипа колебания нужно стара 1ься
как можно ближе подойти к истинному положению вещей, в то
же время не слишком жертвуя простотой. Так, для струны,
тяжело нагруженной в одной точке, было бы целесообраз-
но исходить из предельного случая бесконечно большой на-
грузки, когда обе части струны представляются прямолинейными.
Как пример вычисления этого рода, результат которого известен,
мы возьмем случай однородной струны длины / с натяжением Tt
и выясним, каков будет период при некоторых определенных
предположениях относительно гипа колебания.
Поместим начало координат в середине струны; пусть на
положительной стороне оси д:-ов кривая колебания есть
A)
•
и на отрицательной стороне — зеркальное изображение этой
кривой относительно оси у, п здесь не меньше единицы. Эта
форма удовлетворяет условию, чтобы у обращался в нуль,
когда х = =t i/g/. Мы должны теперь образовать выражения для Т
и V, причем достаточно будет рассмотреть одну только поло-
жительную часть струны. Таким образом, если р — линейная
плотность,
V у
f
2 J
о
(
vIt ((Xdx
V— 2 м J \dx) dX
о
Отсюда
„»_ 2(я + 1) B/1
Если «= 1, то струна колеблется так, как если бы вся масса-
была сосредоточена в ее средней точке, и
90] приблизительно простые системы 13В
Если я = 2, то форма параболическая, и
Истинное значение /;9 для самого низкого колебания есть
, так что предположение о параболической форме дает период,
который преуменьшен в отношении u: V^IO или 0,9936 : 1, Мини-
мум р*, по уравнению B), имеет место при « =
ее 1,72474; он равен
= 9,8990
^-
Период здесь преуменьшен в отношении
it: 1^9,8990 = 0,99851 : 1.
Мы видим, что в выборе типа колебания имеется значитель-
ная свобода, и даже невероятное предположение, что струна
колеблется как два прямолинейных отрезка, дает период с ошиб-
кой меньше десяти процентов. Какой бы тип колебания мы ни
выбрали, период, вычисленный из него, не может быть больше
истинного.
[В предыдущих рассуждениях предполагалось, что неустойчи-
вые виды колебаний отсутствуют. Когда же они существуют, то
при наличии связей устойчивый вид колебания обладает частотой,
меньшей частоты самого высокого нормального колебания, не-
устойчивый же — степенью неустойчивое i и, меньшей, чем у наи-
более неустойчивого нормального колебания.J
90. Строгое определение периодов и типов колебания какой-
либо данной системы обычно представ 1яет большие трудности
в связи с тем, что функции, необходимые для представления форм
колебаний большинства сплошных тел, до сих пор еще неизвестны
анализу. Необходимо поэтому часто прибегать к приближенным
методам, сопоставляя предложенной системе некоторую другую,
более доступную для анализа, и вычисляя поправки в предполо-
жении, что разница между двумя системами мала. Проблема при-
близительно простых систем явпяется, таким образом, проблемой
большой важности, особенно в связи с тем, что в действитель-
ное [н осуществить тс простые формы, относительно которых мы
всею легче можем рассуждать, невозможно
Предположим, что колебания некоторой простой системы нам
вполне известны и что требуется исследовать колебания той си-
стемы, коюрая получается из первой в результате внесения малых
изменений в механические функции. Если <fv <ft, ... — нормальные
136
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
*
[ГЛ. IV
координаты первой системы, то
Г
-j- у
а для вариированной системы, отнесенной к тем же самым коор-
динатам, которые являются теперь нормальными лишь прибли-
женно,
Г+8Г=1(а1Н-8а11)^.
(О
где 8аш 8а1а, Ьсп, 8с1а, ... должны быть рассматриваемы как
малые величины. В некоторых случаях могут появиться новые
координаты, но при этом их коэффициенты должны быть малы.
Из A) мы получаем Для уравнений движения Лагранжа
(а,
Cl -f
B)
В исходной системе основными типами колебаний являются
те, которые соответствуют изменению во времени только одной,
координаты. Остановим наше внимание на каком-нибудь из них,
предполагающем, скажем, изменение <р,. между тем кад все осталь-
ные координаты равны нулю. Всякое изменение в системе влечет
за собой, вообще говоря, изменения в основных или нормальных
типах колебаний; однако при рассматриваемых нами условиях
это изменение будет малб. Новый нормальный тип выражается
в одновременном изменении других координат в добавление к из-
менению <?г, но отношение всякой из этих координат <ps к <fr
малб. Если эти отношения известны, то нормальное колебание
измененной системы можно определить.
Так как все движение в целом является простым гармониче-
ским, мы можем предположить, что каждая координата изме-
няется, как cos prt, и заменить в дифференциальных уравнениях ?>*
через —/?2. В s-м уравнении координата <ps встречается с кон.е.4
ным коэффициентом
.
90] приблизительно простые системы 137
Коэффициент при <fr имеет вид:
Остальными членами в первом приближении можно пренебречь,
так как в каждом из них и координата и ее коэффициент (срав-
нительно с <fr) — малые величины. Отсюда
<?8-Ъ= ~Ъ •
Но
и, таким образом, требуемый результат имеет вид:
Если изменению подвергается одна кинетическая энергия, то
Исправленное значение периода определяется r-м уравнением
системы B), которым мы до сих пор еще не воспользовались.
Мы можем написать его так:
Ъ- (—А «г—Р2Мгг + сг + Ьс,г) + 2 <Р« (— P2Mrs + 8с»-з) = 0.
Заменяя отношение <р8: срг его выражением из уравнения D), мы
получаем
Первый член правой части дает значение р^, вычисленное
без учета изменения типа колебания; он достаючен, как мы уже
доказали, в том случае, когда квадратом изменения, внесенного
в систему, можно пренебречь. Члены под знаком 2 > где сумми-
рование распространяется на все значения s, отличные от г, дают
поправку, связанную с изменением типа колебания, и являются
величинами второго порядка. Так как ав и аг положительны, знак
всякого члена зависит от знака р*—/??. Если /^>/>?, т- е-
если колебание s выше, чем колебание г, то поправка отрица-
тельна и делает вычисляемую ноту более низкой, чем прежде;
если же колебание s ниже, чем г, то поправка делает ногу более
высокой. Если г относится к самому низкому тону системы, то
вся поправка в целом отрицательна, если же г относится к самому
высокому тону, поправка будет положительна, как мы это уже.
установили другим методом,
138 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. IV
91. В качестве примера применения этих формул мы можем
взять случай колеблющейся струны, у которой линейная плот-
ность р не вполне постоянна. Если х отсчитызается от одного
из концов струны, а у есть поперечное смещение, то конфигура-
ция в любой момент времени t представляется выражением:
..., A)
где /—длина струны, <pj, <р3, •••—нормальные координаты для
р = const; хотя р здесь не строго постоянно, конфигурация си-
стемы все же еще может быть выражена с помощью этих же ве-
личин. Так как потенциальная энергия всякой конфигурации оди-
накова с энергией для р = const, то SKraO. Для кинетической
энергии мы имеем
о
Если бы р было постоянно, произведения скоростей исчезли бы,
так как yv <p.3> ... по предположению представляют собой нор-
мальные координаты. В данном случае интегральные коэффициенты
хотя и не обращаются в нуль, но являются малыми величинами.
Пусть р = Ро -j~ 8p; тогда в наших прежних обозначениях
i i
аг = ± /Ро, Ьагг «= J 3Р sina ™ dx, Ьагв = [ Ц sin -^ sin ~ dx.
о о
Таким образом, интересующее нас колебание выразится уравне-
нием
Рг
xzjTJ
г в Уг "О о
или, гак как р\: р\ = г1:
snx ,
0 (
Воспользуемся этим результатом, чтобы вычислить смещение
узловой точки второго колебания (г = 2), .которая находи пась 6U
91] примерь» 139
посередине, если бы струна была однородной. В соседстве с этой
точкой, если х — -п1-\-Ъх, приближенное значение у будет
у
=?l sin -j4-<pasin -^ + <Pssin-j--{-. .. -f-
2te 2n
— ?cos
Отсюда, когда у = 0, приближенно
8х = -х-— (<Pi — ? j
где
г
4
Чтобы показать применение этих формул, мы можем предполо-
жить, что имеющаяся у струны неправильность состоит из не-
большой нагрузки с массой р0Х, расположенной в точке д: = 1/4/;
самый результат, впрочем, было бы много легче получить не-
посредственно. Мы имеем уравнение
S,v= ^_ ( 2 ? _2 2 , \
т; У 2 112 — 4 32 — 4 52 — 4 ' 72 — 4 '•'¦)'
которое позволяет вычислить приближенным путем значение §л\
Действительное значение Зле, однако, очень пэосто. Ряд, заключен-
ный в скобках, может быть написан следующим образом:
, _1__ 1 1, \_ , _1_
что равно интегралу
Значение определенного интеграла есть
и, таким образом,
я : 4 sin -т,
2к
что может быть легко доказано также путем приравнивания пе-
риодов колебания двух частей струны [ период нагруженной части
140 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАВ {ГЛ. IV
вычисляется приближенно в предположении неизменного типа
колебания.
В качестве примера формулы (б) § 90 для периода мы мо-
жем взять случай струны, несущей небольшую нагрузку р0А,
а своей средней точке. Мы имеем
lU Ч РЛ sin3 "X» Ня = Ро* sln "у sta "X'
и, таким образом, если Рг есть значение, соответствующее к *= О,
мы получим для г четного рг = Р,, а для г нечетного
где суммирование должно быть распространено на все нечетные
значения s, отличные or г. Если г= 1, то
но
i V
где s имеет значения 3, 5, 7, 9, ... Таким образом,
«а —1 — 4'
и уравнение
2Х ЗХ
дает высоту самого низкого тона, с точностью до квадрата отно-
шения к: I.
В общем случае значение р%г, с точностью до первого по-
рядка величины 8р, будет
92. Теория колебаний проливает яркий свет на разложения
произвольных функций в ряды других функций специальных типов.
Наиболее известным примером таких разложений является разложе-
ние, называемое обычно разложением Фурье, где произвольная
периодическая функция разлагается в ряд гармонических функ-
ций, причем период заданной функции кратен периодам последних.
Хорошо известно, что трудность этого вопроса заключается в до-
казательстве возможности разтожения; если предположить, что
она существует, то само определение коэффициентов является
92а] нормальные функции 141
довольно легким делом. Сейчас я хотел бы привлечь внимание
к тому факту, что как в нашем, так и в бесчисленном множестве
аналогичных случаев, о возможности разложения можно заклю-
чить из физических соображений.
Рассмотрим, для определенности, малые колебания струны,
натянутой между двумя неподвижными точками. Из общей тео-
рии мы знаем, что любое движение, каково бы оно ни было,
может быть разложено на ряд составляющих движений, каждое
из которых представляется гармонической функцией времени и
способно существовать само по себе. Если мы сможем установить
эти нормальные типы, то мы будем в состоянии представить са-
мое общее возможное колебание путем их комбинации, приписы-
вая каждому произвольную амплитуду и фазу.
Принимая, что движение является гармоническим относительно
времени, мы получаем для определения типа колебания уравнение
следующего вида:
откуда следует, что нормальными функциями здесь являются
. пх . Зжх , Ых
у — sin -у-, у «= sin -j-, У = sin —j-
Мы приходим в связи с этим к выводу, что самое общее по-
ложение, какое может принять струна, можно представить рядом
вида:
а • it* | . . 2ъх | . , Зкх .
Ах %va-j--\-A^%\xv—-( ^-Л3 sin ——f- ....
что является частным случаем теоремы Фурье. Не представляло бы
затруднений доказать теорему и в самом общем ее виде.
До сих пор струна предполагалась однородной. Но достаточно
ввести переменную плотность или даже одну единственную на-
грузку в какой-нибудь точке струны, чтобы полностью изменить
разложение, о возможности которого можно заключить из дина-
мической теории. Останавливаться сейчас на этом вопросе для
нас нет необходимости, так как мы встретимся с дальнейшими
примерами в главах, посвященных колебаниям специальных систем,
таких, как стержни, мембраны и ограниченные массы воздуха.
92а. В § 88 мы имеем формулу для частоты колебания, при-
ложимую в том случае, когда у системы в результате наложения
заданных связей остается только одна степень свободы. Предста-
вляет интерес проследить также и за эффектом менее полных
связей, таких, которые могут быть выражены линейными соотно-
шениями между нормальными координатами, когда число этих
соотношений меньше (первоначального) числа степеней свободы
142 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАВ [ГЛ. IV
по меньшей мере на два. Таким образом, мы можем предполо-
жить, что
/i?i +/Л +/з?з+• • • = <Ч
&?i + й?я + «#а + • • • = 0, A)
Если число уравнений (г) меньше числа степеней свободы на
единицу, то отношения ©x: о2: <Рз- ¦ • полностью определены, и
данный случай есть случай одной степени свободы, который был
рассмотрен в § 88.
Интересующую нас проблему можно трактовать различным
образом, но наиболее поучительно проследить эффект на допол-
нительных членах в Т и V. Мы предположим, что уравнения A)
§ 87 переходят в следующие:
^ |4+---)9. B)
и что F, ранее не существовавшее, теперь равно
^-.)а. D)
Связь с интересующей нас проблемой можно установить, пред-
положив, например, что а = 0, р = 0, тогда как if = оо. В силу
уравнения C) потенциальная энергия какого-либо перемещения,
нарушающего условие
+...=0, E)
будет тогда бесконечно большой, а это как раз и равноценно
наложению связи, представляемой уравнением E).
Уравнения Лагранжа, если мы заменим в них D на А., примут
теперь следующий вид:
F)
Если мы умножим первое из них на Д/^а3 + q), второе
на /а/(в2^2 ~\~ са) и т- д" затем сложим результаты и разделим
полученное уравнение на (/1?1+/9<Рз~Ь • • •)> то определитель
примет форму:
¦
92a J ОДНА связь 143
Если одна из величин a, J3, ¦{ становится бесконечно боль-
шой, между тем как другие остаются конечными, то эффект
этого эквивалентен наложению связи E), и результат может
быть записан так:
Это уравнение, если избавиться ат знаменателей, имеет сте-
пень (т — 1) относительно А2; одна степень свободы, следова»
тельно, потеряна.
Если мы полагаем р = 0, то G) есть уравнение степени т
относительно X2, и коэффициенты а и if входят в него совершенно
так же, как и av сг\ аа, са; ...
Чтобы подойти более непосредственно к случаю колебаний около
положения устойчивого равновесия, мы напишем р% вместо — А.2.
Значения р'А, соответствующие неизмененной системе, именно л*,
п\ даются, как и прежде, уравнениями
ct — axftf = 0, с2—а^п] = 0, ...; (9)
мы напишем также
т —ava = 0, A0)
где v2 соответствует предположенным дополнительным членам
в Т и V, которые рассматриваются как принадлежащие некото-
рому независимому вибратору. Пусть порядок этих величин будет
я2 и2 я2 ч3 и2 п2 пп
Мы увидим, что между каждыми двумя соседними, величи-
нами A1) заключен корень уравнения G).
Наше уравнение может быть написано так:
— aj?) ... +
/^2) ... 4-
+ * +
+ («!—V)(<!» — «aP3) =0. A2)
Когда pq совпадает с одной из величин A1), то все члены
в уравнении A2), за исключением одного, обращаются в пуль,
и знак всего выражения совпадает тогда со знаком остающегося
члена. Когда jt?2 < n\, все члены положительны, так что корни,
меньшие чем «*, отсутствуют. Когда jt?Q = re2, выражение A2)
приводится к положительной величине
ft <Л — оnl) (са — аая2) (с3 — а.Лп1)...
Routh, Rigid Dynamics, 5-е изд., § 67, 1892,
144 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. IV
Когда р9 возрастает до п\, уравнение A2) приобретает
форму
f\ (ч — ant) (сх — а^) (с& — i
а это выражение отрицательно, так как теперь отрицателен
множитель (сх — a^l). Отсюда следует, что между /t| и 4
заключен корень уравнения A2). Когда р1 = п2ъ, выражение снова
положительно, и, следовательно, между п\ и п\ также заклю-
чен корень. Это рассуждение, которое можно продолжить, дока-
зывает, что между каждыми двумя последовательными из
(m-j-1) величин A1) заключен корень уравнения A2). Таким
образом, т корней уравнения A2) теперь указаны, и среди них
нет ни одного, который был бы больше пгт. Сравнивая значения
корней до и после изменения, мы видим, что влияние последнего
сказывается в смещении корней и притом всякий раз в напра-
влении к v2!). Если рассматривать это смещение по абсолютной
величине, то оно происходит в одном направлении для тех кор-
ней, которые больше va, и в противоположном направлении для
корней, меньших v2. Таким образом, после изменения интервал
от п2г до n2f+l, в которбм лежит va, содержит два корня, по одному
с каждой стороны от va.
Если v2 меньше каждой из величин геа, как это имеет место
при т = 0, то один корень лежит между № и п\, один между п\
и п\ и т. д. Каждый корень при этом, следовательно, умень-
шается; напротив, если v2 > n?m, каждый корень увеличивается.
Это происходит в том случае, если а = 0 (§ 88).
Результаты, к которым мы сейчас пришли, нисколько, конечно,
не зависят от того, что мы пользовались при исследовании
специальным аппаратом нормальных координат. Если к некоторой
части системы (п^, п\, ...) присоединить вибратор (v2), имеющий
одну степень свободы, то эффект присоединения выразится в сме-
щении всех величин n2v п\, ... в направлении к v2.
Предположим теперь, что произведено второе изменение
в самом вибраторе, благодаря чему а превращается в а-\~а',
a f в f-f-if'. 'Каждый корень изучаемого уравнения смещается
в направлении к •/ , где Y — aVJ = 0. Если мы предположим,
что -v'3 = v3, то смещения во всех случаях будут происходить-
в тех же самых направлениях, что и прежде. Возвращаясь теперь
назад к исходной системе и предполагая, что а и у возрастают
от нуля до их действительных значений таким образом, что va
остается постоянным, мы видим, что в течение всего этого про-
!) Следует иметь в виду, что в частных случаях это смещение мо^жет
исчезать.
92«] одна связь 146
цесса корни перемещаются без всякой регрессии в направлении
более тесного сближения с v9.
Когда а и if становятся бесконечно большими, то один корень
уравнения A2) стремится к совпадению с va, между тем как
остальные (т—1) корней, соответствующих системе со связями,
даются уравнением
и не зависят от значения v2.
Частные случаи получаются, если предположить, что v2 = О
или va = оо. При этом для остающихся колебаний безразлично,
осуществляется ли связь таким образом, что при ее нарушении
обращается в бесконечность кинетическая энергия какого-либо
движения или же потенциальная энергия какого-либо перемеще-
ния. В первом случае одно колебание становится бесконечно
медленным, во втором — бесконечно быстрым. Как бы ни была
осуществлена связь, (от—1) частот колебаний системы, на кото-
рую наложены связи, разделяют *) т частот исходной системы.
Можно придумать без всякого затруднения любое число при-
меров этой теоремы. Рассмотрим хотя бы случай однородной
натянутой струны, закрепленной обоими концами и колеблю-
щейся в поперечном направлении. Пусть это будет исходная
система. Наложим теперь на эту систему связь тем, что будем
удерживать в покое точку струны, делящую последнюю в отно-
шении, скажем, 3 :2. Обе части струны колеблются при этом
независимо друг от друга, и частоты для каждой части образуют
свою арифметическую прогрессию. Если частоты для всей струны
в целом равны 1, 2, 3, 4 то для двух ее частей они будут
соответственно равны Б/а • A, 2, 3, ...) и б/3 • A, 2, 3, ...). Начало
каждого ряда представлено в следующей схеме:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
19/8
I- 5
5Ve '-10 11»/,
Здесь действительно можно видеть, что между любыми двумя
последовательными числами в верхнем ряду заключено некоторое
число, которое можно найти или во втором, или в третьем ряду.
Для 5 и 10 мы имеем дело с крайними случаями, однако уже
самое незначительное смещение точки, в которой наложена связь,
сдвигает одну из пятерок, десяток и т. д. влево, а другую вправо.
Совпадения можно избегнуть, разделяя струну несоизмеримым
образом. Так, если х есть некоторое иррациональное число,
а) В частных случаях «разделение» может, однако, исчезать. Теорема
в тексте была доказана для двух степеней свободы в первом издании
этой книги. Во всей своей общности она была дана Раусом.
10 Зак 1774 Ps.ieu, i
146 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАВ [ГЛ. IV
меньшее единицы, то можно ваять один из двух рядов величин т\хк
/и/A—х), где т — целое число; каждое число, принадлежащее
к тому или другому ряду, и только оно одно, будет заключено
между любыми двумя заданными последовательными целыми числами.
Предположим теперь, что система отнесена к координатам,
которые не являются нормальными (§ 84); пусть на нее будет
наложена связь, представляемая уравнением ^ = 0. Определитель
измененной системы образуется из определителя V исходной путем
вычеркивания в последнем первой строки и первого столбца. Его
можно обозначить через Vx; аналогичным путем из Vx можно обра-
зовать новый определитель Va и т. д. Эти определители образуют
ряд функций /г'2, степени которых последовательно убывают; мы
заключаем отсюда, что корни каждого последующего уравнения раз-
деляют корни уравнения, непосредственно ему предшествующего J).
Здесь можно заметить, что хотя для простоты мы и предпо-
ложили равновесие начальной системы (так же как и колебание,
связанное с ним) вполне устойчивым, можно было бы легко обой-
тись -и без этих ограничений. В каждом случае группу положи-
тельных и отрицательных величин п\, п\, . .. и va можно располо-
жить в алгебраическом порядке; влияние вибратора скажется в том,
что он вызовет смещение каждого значения р* в направлении к va.
Чтобы расширить данную теорию, мы предположим теперь,
что дополнительной частью Т является выражение
+ -J
а дополнительной частью V
\ V(/i?i+/a(P9+ • • .)a + yTe(ft<P1 + ?Yfa+ • • -)а+ • • • A5)
Если мы положим
V9+T/=^'. Va + Te = G'. ..- Об)
и т. д., то уравнения Лагранжа примут следующий вид:
+/а?„+ ...) +
••• =0, A7)
.. =0 A8)
и т. д.; число этих уравнений равно числу m координат <qv <pa
l) Routh, Rigid Dynamics, 5-е изд., часть II, § 58.
92я1
несколько связей
147
число дополнительных членов г, соответствующих буквам f,g,h,...,
предполагается меньшим т.
Образуем из полученных выше т уравнений г новых следую-
щим образом. Во-первых, умножим уравнение A7) на /1/(й1А.я-j- c^,
уравнение A8) на /я/(ааХа-j- с2) и т. д. и результаты затем сло-
жим. Затем проделаем то же самое, но только с множителями
gJiaJf-j-Cj), fia/(°9^a~bca) и т. д. Далее то же самое для буквы h
вместо g и т. д. Этим путем мы получим г уравнений, которые
могут быть написаны так:
4 o'(&?i
.-. =0, A9)
и т. д., где для сокращения введены обозначения
+ сО. Ft = /1/(а^2 + с3), .
0 B0)
B1)
Характеристическое уравнение (порядок определителя равен г)
будет, таким образом, иметь вид:
Если, например, у Г и V имеются два дополнительных члена
указанного выше типа, то характеристическое уравнение будет
и здесь
iOii —^ОхУ- B4)
Уравнение B3), вообще говоря, степени от относительно X2;
оно определяет частоты колебания. В предельном случае, когда F'
10*
148
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАВ
[ГЛ. 'V
и О' делаются бесконечно большими, система оказывается огра-
ниченной двумя связями:
B5)
и уравнение1), дающее (/и —2) остальных корней, есть.
Вообще, если на систему наложено г связей A), характери-
стическое уравнение будет иметь вид:
FF
FO S 00 2 ОН ...
¦ О.
B7)
Если г меньше /и, то этот определитель можно разложить на сумму
квадратов определителей того же самого порядка г. Таким обра-
зом, если имеются три связи, то первый из этих квадратов есть
ох
Нх
B8)
остальные определители находятся посредством образования всех
возможных комбинаций из т индексов по три. Чтобы возвра-
титься к первоначальному обозначению, мы должны только заме-
нить в уравнении B8) буквы F, О, ... на /, g, .,. и ввести
знаменатель
Мы нашли, таким образом, характеристическое уравнение
для системы, имевшей вначале от степеней свободы, движение
которой ограничено г связями. Форма этого уравнения опреде-
ляется главным образом тем, что оно должно оставаться неиз-
менным при перестановке как любых букв, так и любых индексов.
Можно было также предвидеть, что оно теряет свой смысл, если
два из условий, выражающих связи, совпадают. Если г = от—1,
1) Этот результат дан Раусом, loc. cit., § 67.
93]
НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
149
система приводится к системе с одной степенью свободы, и
соответствующее уравнение будет
/я /з Л • •
Als А*-
к /в/*."'
А 5з ft • • •
B9)
в согласии с § 88.
Существуют теории, аналогичные предыдущей, для систем,
у которых заметными значениями обладают только Т и F или
только V и F. В этих случаях, если данные функции существенно
положительны, нормальные движения пропорциональны показа-
тельным функциям времени, таким, как е~^. Величины zv
ij,, ... называются постоянными времени движений; каждая из
них представляет собой время, в течение которого движение
затухает в отношении е: ]I. Новые значения постоянных вре-
мени после введения связи будут разделять первоначальные
значения.
Лучшие иллюстрации этой теории принадлежат к области
электричества, где движения не ограничиваются требованием их
малости. Предположим (чтобы взять пример из электромагнетизма),
что в одну из ветвей сети проводников введена катушка с по-
стоянной времени (когда она замкнута на себя), равной -J, при-
чем первоначальные постоянные времени сети равны vv та, .. .
Новые постоянные времени во всех случаях лежат ближе к rf
и разделяют величины ?', %v za, ... Если мы сделаем %' бес-
конечно большим, например безгранично увеличив самоиндукцию
добавочной катушки, или уменьшим его до нуля, разомкнув ветвь,
то результатом этого явится наложение связи и новые значения
постоянных времени будут разделять прежние.
93. Определение коэффициентов, имеющее цель удовлетворить
произвольным начальным условиям, всегда может быть легко
выполнено с помощью основного свойства нормальных функций;
соответствующий процесс здесь удобно описать схематически
для систем, подобных струнам, стержням, мембранам, пластинкам
и т. д., где нужно рассматривать только одно зависимое пере-
менное С. Если uv и.л, ... — нормальные функции, a <?v <?a, ...—
соответствующие координаты, то
A)
Уравнения свободного движения имеют вид:
*& = О,
B)
150 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. IV
решения этих уравнений следующие:
<pt = Л1 sin n1t-{-Bl cos nxt,
<pa = Ла sin nj -\- Ba cos nj,
Начальные значения Си С выразятся поэтому так:
j
to = М^ + /гаЛаи.2 -f- я3
и задача заключается в определении Av Аа Bv В.л, ... так,
чтобы они соответствовали произвольным значениям Со и Со-
Если pdx — масса элемента dx, то из уравнения A) мы имеем
7=4
Но выражение Т, данное через <pt, <pa не может содержать
произведений нормальных обобщенных скоростей, и поэтому вся-
кий интеграл соответствующего типа
O. (б)
Отсюда, чтобы определить Вг, мы должны лишь умножить пер-
вое из уравнений D) на риг и проинтегрировать по всей системе.
Мы получаем, таким образом,
f j F)
и аналогично
nrAr J ?4dx *= J риД dx. G)
Процесс здесь совершенно одинаков, будет ли dx элементом
линии, площади или объема.
Свойство сопряженности*), выраженное уравнением E), свя-
зано с тем фактом, что функции и являются нормальными. Если
этот факт известен, в результате ли решения дифференциального
уравнения или каким-либо иным путем, мы можем заключить об
этом свойстве без дальнейших доказательств, но само оно тесным
образом связано с основным вариационным уравнением движе-
ния § 94.
*) Рэлей называет свойством сопряженности (the conjugate property)
то, что теперь принято называть свойством ортогональности.. Мы сохра-
няем всюду терминологию Рэлея. (Прим. ред.)
95J СВОЙСТВО СОПРЯЖЕННОСТИ 151
94. Если V есть потенциальная энергия деформации, С — сме-
щение и р — плотность (линейная, поверхностная, объемная) эле-
мента dx, то уравнение виртуальных скоростей дает сразу же
В этом уравнении 8V является симметрической функцией С и К,
как это легко доказать, пользуясь выражением V в обобщенных
координатах. В самом деле, если
то
81/=
Предположим теперь, что ? относится к движению, соответствую-
щему некоторой нормальной функции иг, так что t-\-n% = Q,
между тем как К тождественно с другой нормальной функцией ив;
тогда
bV=nl j purusdx.
Если же мы предположим (что мы одинаково вправе сделать),
что С меняется, как ав, и 8С, как иг, мы получим для той же
самой величины §У
«V —1Й jpuruadx,
и поэтому
4 % fx = 0, B)
откуда и вытекает свойство сопряженности, если движения,
представляемые соответственно функциями иг и ав, имеют раз-
личные периоды.
Хороший пример связи двух указанных методов рассмотрения
встретится в главе о поперечных колебаниях стержней.
95. Профессор Стоке1) привлек внимание к одному очень
общему закону, устанавливающему связь между теми частями
свободного движения, которые зависят от начальных смещений
системы, не подвергающейся воздействию сил трения, и теми,
которые зависят от начальных скоростей. Если системе, находя-
щейся в покое, сообщена скорость какого-либо типа, а затем,
через некоторый малый промежуток времени, ей сообщается
противоположная скорость, то в результате система, в пределе,
остановится, но со смещением соответствующего типа. Отсюда
*) Stokes, «Dynamical Theory of Diffraction», Cambridge Trans., том IX,
стр. I, 1856.
162 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАВ [ГЛ. IV]
мы легко можем доказать, что, для того чтобы вывести движе-
ние, зависящее от начальных смещений, из движения, зависящего
от начальных скоростей, нужно только выполнить дифференциро-
вание по времени и заменить произвольные постоянные (или
функции), которые выражаются через начальные скорости, теми,
которые выражаются через соответствующие начальные смещения.
Таким образом, если <р — какая-нибудь нормальная координата,
удовлетворяющая уравнению
а<р = О,
то решение, выраженное через начальные значения <р и <р, имеет
вид
<р = <ро cos nt + - <р0 sin tit; A)
первый член может быть в нем получен из второго по правилу
Стокса.
ГЛАВА V
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
{Продолжение)
96. Когда на систему действуют диссипативные силы, то
характер движения оказывается, вообще говоря, более сложным.
Если из трех функций Т, F и V конечными являются только
какие-нибудь две, то путем соответствующего линейного преоб-
разования мы можем освободиться от произведений координат
и получить нормальные типы движения. В предыдущей главе мы
рассмотрели случай /7=0. Та же самая теория, с очевидными
изменениями, применима и тогда, когда Г=0 или V=0, но
эти случаи, хотя они и важны для других отделов физики, таких,
как теплота и электричество, вряд ли относятся к рассматри-
ваемому нами предмету.
Наличие трения не будет препятствовать приведению Г и V
к суммам квадратов; однако преобразование, подходящее для этих
двух функций, вообще не удовлетворяет соответствующим требо-
ваниям в отношении F. Общее уравнение можно привести в этом
случае только к виду
но не к более простой форме, приложимой к системе с одной
степенью свободы, т. е.
Мы можем, однако, выбирать, для какой пары функций мы
будем осуществлять это приведение, хотя в акустике выбор почти
всегда падает на Т и V.
97. Необходимо, впрочем, заметить, что существует довольно
значительный класс случаев, когда приведение можно выполнить
для всех трех функций одновременно; теория приобретает тогда
исключительную простоту. Наиболее важные среди них, пови-
димому, те, в которых F имеет ту же самую форму, что и Г
или V. Первое встречается часто, по крайней мере в книгах,
когда движению каждой части системы препятствует сила*
154 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. V
пропорциональная массо, и скорости данной части. Такое же исклю-
чительное приведение возможно в том случае, когда F является
линейной функцией Т и V или когда само Т имеет ту же форму,
что и V. В каждом из этих случаев уравнения движения имеют
ту же самую форму, что и для системы с одной степенью сво-
боды; теория здесь обладает некоторыми особенностями, которые
делают ее заслуживающей отдельного рассмотрения.
Уравнения движения получаются сразу же из Т, F и V:
координаты в них разделены.
Для свободных колебаний мы должны только положить
Ф1 = 0, Фа = 0, ...; решение здесь имеет следующую форму:
B)
где
я ?о и ?о — начальные значения <р и <р.
Все движение можно, следовательно, разложить на составляю-
щие движения, каждое из которых соответствует изменению во
времени только одной какой-либо нормальной координаты. Коле-
бания для каждого из этих видов вполне аналогичны поэтому
колебаниям системы с одной только степенью свободы. Спустя
некоторое время, большее или меньшее в зависимости от степени
рассеяния энергии, свободные колебания становятся совершенно
незаметными, и система практически возвращается в состояние
покоя.
[Если F имеет ту же форму, что и Т, то все значения х
равны между собой, т. е. все колебания затухают с одинаковой
скоростью.]
Одновременно со свободными колебаниями, но совершенно
независимо от них, могут существовать колебания вынужденные,
зависящие от величин Ф. Совершенно так же, как в случае одной
степени свободы, решение уравнения
может быть написано в форме
t
= -i. f «-¦*•<*-«')sin»'(*—О*Л'» D)
99] ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЮНГА 155
где, как и выше,
Чтобы получить полное выражение для ?> мы должны при-
бавить к правой части уравнения D), где начальные значения <р
и «в обращаются в нуль, члены, содержащиеся в уравнении B)
и представляющие то, что осталось ко времени t от начальных
значений <р0 и <?0. Если трение отсутствует, то значение <р в урав-
нении D) приводится к
t
<р=- f sinn(t — t')$dt\ • E)
о
98. Полная независимость нормальных координат поиводит
к интересной теореме, касающейся связи последующего движения
с начальным возмущением. Действительно, если силы, действую-
щие на систему, имеют такой характер, что они не совершают
работы при перемещении, обозначенном через 8^, то Фх = 0.
Силы такого характера, как бы долго они ни действовали, не
могут оказать никакого влияния на движение срх. Если это дви-
жение существует, то они не могут уничтожить его; если же оно
не существует, то они не могут его создать. Наиболее важ-
ное применение эта теорема находит в том случае, когда силы,
приложенные к системе, действуют в узле нормальной компо-
ненты ®1г т. е. в точке, которую рассматриваемая компонента
колебания не стремится привести в движение. Можно отметить
особо два крайних случая таких сил: 1) когда сила имеет импуль-
сивный характер и выводит систему из состояния покоя, 2) когда
сила действовала настолько долго, что система снова оказывается
в покое под ее воздействием, в возмущенном положении. Как
только действие си™ прекращается, возникают свободные коле-
бания, которые в отсутствии трения продолжались бы неопре-
деленно долго. Мы заключаем отсюда, что, каков бы ни был
в других отношениях характер силы, она не содержит никакой
компоненты типа <рх. Это заключение ограничивается теми слу-
чаями, где Т, F и V допускают одновременное приведение,
включая, конечно, и случай отсутствия трения.
99. Формулы, приведенные в § 97, применимы при силе любого
вида, нам же часто нужно заниматься только эффектом внешних
сил гармонического аипа; мы можем тогда с удобством восполь-
зоваться более специальными формулами, применимыми именно
для таких сил. Применяя нормальные координаты, мы должны
сперва вычислить силы Ф1? Фа, ..., соответствующие каждому
периоду, и затем вывести отсюда значения самих координат.
156 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. V
Если среди собственных, периодов (вычисленных без учета тре-
ния) найдутся близкие к периоду внешней силы, то соответствую-
щие составляющие колебания будут ненормально большими, если
только сама сила не окажется в предварительном разложении
очень малой. Предположим, например, что поперечная сила гар-
моническою типа и заданного периода действует на какую-нибудь
точку натянутой струны. При этом буду] возбуждены, вообще
говоря, все нормальные виды колебаний, но не с их собствен-
ными периодами, а с периодом приложенной к струне силы; но
всякая нормальная компонента, имеющая узел в точке иричоже-
ния силы, возбуждена не будет. Интенсивность каждой компо-
ненты зависит, гаким образом, ог двух обстоягельсгв: 1) от рас-
положения ее узлов относительно точки, в которой приложена
сила, и 2) от степени близости ее собственного периода к периоду
силы. Важно вспомнить, что в отвег на действие простой гар-
монической силы в системе будут возбуждены вообще все коле-
бания, хотя в частных случаях можно иногда останавливаться
только на одном из них, имеющем преобладающее значение.
100. Когда периоды действующих сил очень велики по срав-
нению с периодами свободных колебаний системы, иногда ока-
зывается пригодной статическая теория, но в подобных случаях
решение вообще легче найти без применения нормальных коор-
динат. Сюда относится, например, теория приливов Бернулли,
которая исходит из предположения, что периоды свободных коле-
баний масс воды, находящихся на земном шаре, малы по сравне-
нию с периодами действующих сил, благодаря чему инерцию
воды можно не принимать во внимание. В действительности же
это предположение является очень грубым и приложимо лишь
частично. В силу этого нам все еще неизвестны многие важные
моменты, касающиеся приливов. Основные силы имеют полусуточ-
ный период, который недостаточно велик в сравнении с соот-
ветствующими собственными периодами, чтобы можно было пре-
небречь инерцией воды. Но если бы вращение Земли было
много медленнее, статическая теория при швов могла бы быть
вполне достаточной.
Исправленная статическая теория полезна в тех случаях,
когда период внешней силы достаточно велик по сравнению
с большинством собственных периодов колебаний системы, но
не тогда, когда это справедливо лишь по отношению к одному
или двум из них. Достаточно будет рассмотреть случай, когда
нет трения. Предположим, что в уравнении
ау-\-су = Ф или в -j- я3<р = Ф/а
внешняя сила меняется пропорционально cospt. Тогда
101] СТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 157
Статическая теория пренебрегает р% по сравнению с л9 и
принимает
!
Предположим теперь, что этот прием законен по отношению
ко всем нормальным координатам, за исключением координаты <pj.
Нам нужно тогда только прибавить к результату статической
теории разность между истинным значением <?г и значением, при-
нимаемым в последней, именно
- *!Ф1 Р2 *1 «ч /Зч
Необходимо отметить также и другой крайний случай. Если
вынужденные колебания чрезвычайно быстры, то они могут стать
почти независимыми от потенциальной энергии системы. Вместо
того чтобы пренебрегать р2 по сравнению с ге2, мы должны
теперь пренебречь и9 по сравнению с /?а, что дает
* D>
Если имеются одна или две координаты, к которым этот прием
неприложим, то мы можем дополнить результат, — вычисленный
в предположении, что потенциальной энергией V можно совер-
шенно пренебречь, — поправками для этих особых координат.
101. Прежде чем перейти к общей теории колебаний для
системы, в которой имеет место рассеяние энергии, целесо-
образно, пожалуй, указать на некоторые особенности свободных
колебаний сплошных систем, приводимых в движение силой, при-
ложенной в одной точке. При предположениях и в обозначе-
ниях § 93 конфигурация в любой момент времени определяется
уравнением
C + + <)+-"> )
где нормальные координаты удовлетворяют уравнениям вида:
агуг-\-сгч>г = Фг. B)
Предположим теперь, что система удерживается в покое силой,
приложенной в точке Q. Значение Фг определяется из того со-
ображения, что ФгЗ<р, представляет собой работу, совершенную
над системой внешними силами при гипотетическом перемещении
8С = 8<р/и„ т. е.
Г Zar dx;
Г
*) Здесь исправлена опечатка, допущенная в оригинале. {Прим. ред.)
158 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. V
следовательно,
так что аначаяе В силу уравнения B)
C)
Если система была выведена из этой конфигурации при t — О,
то для всякого последующего момента времени t мы имеем
?r==cosV 1 -COSV nl^dx , D)
и в точке Р
. у ar(P)ur(Q){Zdx
С = S cos nrt yj—~ . E)
n2r$Pa2rdx
В отдельных точках иг(Р) и ur(Q) обращаются в нуль, но в це-
лом выражение
ur(P)ur(Q)
ли сходится, ни расходится вместе с г. Ряд для С поэтому схо-
дится вместе с «~2.
Предположим теперь, что система выводится из конфигурации
равновесия некоторым импульсом. В этом случае вначале
F)
откуда в момент времени t
sin tift ((-
9r artir U>{*
Это дает
— G)
— уравнение, показывающее, что в этом случае ряд сходится вместе
с иР, т. е. медленнее, чем в предыдущем случае.
Можно заметить, что в Обоих случаях выражение С симметрично
относительно Р и Q, а это доказывает, что смещение в момент
времени t для точки Р, когда сила или импульс приложены в Q,
такое же самое, какое было бы в Q, если бы сила или импульс
были приложены в Р. Это является примером очень общей теоремы
взаимности, которую мы подробно рассмотрим несколько ниже.
В качестве третьего случая мы можем предположить, что
тело выводится из состояния покоя, будучи деформировано силой,
102] малые диссипативные силы 159
равномерно распределенной по его длине, поверхности или объему.
Мы легко найдем, что
cos Hft 8 f •' . (8)
'-2
Ряд для С будет сходиться быстрее, чем в том случае, когда
сила сосредоточена в одной точке.
Точно таким же путем мы можем трактовать случай сплош-
ного тела, движение которого сопровождается рассеянием энер-
гии, предполагая при этом, что три функции Т, F и V приво-
димы одновременно; выписывать, однако, соответствующие фор-
мулы нет необходимости.
102. Если три механические функции Т, F и V не приводимы
одновременно, то собственные колебания системы (как это уже
было замечено) имеют более сложный характер. Однако, когда
рассеяние мало, метод приведения все еще остается полезным;
этот класс случаев, представляющий интерес и сам по себе,
является, кроме того, хорошим введением в более общую теорию.
Мы предположим, таким образом, что Т и V выражаются, как
суммы квадратов:
х ' A)
тогда как F имеет все еще более общую форму: '
1
«?!?„+ • • • B)
Уравнения движения будут, следовательно,
• • ¦ 4- Ci?i = °.
где коэффициенты blv ?12, ... следует рассматривать как малые
величины. Если бы трение отсутствовало, то данная система
уравнений удовлетворялась бы при предположении, что одна из
координат, скажем уг, определенным образом изменяется, между
тем как остальные равны нулю. Этому решению в действитель-
ности будет соответствовать случай, когда значение всякой дру-
гой координаты <р8 будет мало по сравнению с %. Следовательно,
если мы опустим члены второго порядка, то r-е уравнение при-
мет вид:
?r = 0, D)
К0ЛЕБ4ТРЧЫ1ЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАВ [ГЛ. V
откуда мы заключаем, что уг изменяется приблизительно так,
как если бы никакого изменения в характере колебания благо-
даря трению не произошло. Если <рг изменяется, как е^1, то для
определения рг мы получаем следующее уравнение:
0
^0. E)
Корни этого уравнения комплексные, однако их действитель-
ная часть мала по сравнению с мнимой частью. [Характер дви-
жения, представляемого уравнением E), уже обсуждался ранее
(§ 45). Скорость, с которой затухают колебания, пропорцио-
нальна Ьи, а период, если член с Ъ,г имеет еще допустимую
величину, приблизительно тот же, что и в отсутствии рассеяния ]
Из 5-го уравнения, если предположить, что все координаты
изменяются по закону е^, мы получаем, опуская члены второго
порядка:
(р\ + с8) <pg + Ь, арг% = 0;
таким образом,
а .« — Ь„рг ЪгаРг „
Это уравнение приближенно определяет измененный тип коле-
бания. Мы видим, что, поскольку главная часть рг — мнимая, ко-
ординаты <р« находятся приблизительно в одинаковой фазе, но
эта фаза отличается на четверть периода от фазы %•• Отсюда
следует, что, когда функция F не приводится к сумме квадра-
тов, характер элементарных видов колебаний будет менее про-
стым, чем в противоположном случае, и различные части системы
при этом уже не будут находиться одновременно в одной и
той же фазе.
Мы доказали выше, что, когда трение мало, значение рг можно
вычислить приближенно без учета изменения типа колебания;
с помощью уравнения F) мы можем, однако, получить более
точное приближение, в котором удержаны квадраты малых вели-
чин. Уравнение r-е системы C) дает
^ S=0. G)
В связи с тем, что основная часть членов, стоящих под зна-
ком 2. действительна, поправка не окажет влияния на действи-
тельную часть рг, от которой зависит скорость затухания.
102а. Следуя электрической аналогии, силы, выражаемые
через F, удобно описывать как силы сопротивления. В § 102
мы видели, что если сопротивления малы, то периоды от них
не зависят Мы можем поэтому распространить на этот случай
теоремы, касающиеся влияния дополнительных членов в выраже-
103] ОБЩИЕ УР\ВНЁНИЯ 1G1
ниях Т и V и доказанные в предположении, что сопротивления
отсутствуют.
В силу уравнения E) § 102, если силы сопротивления воз-
растают, то скорости затухания всех нормальных движений, во-
обще говоря, также возрастают вместе с ними; в отдельных
случаях может, однако, оказаться, что изменения скорости зату-
хания не происходит.
Вполне естественно задаться вопросом, ограничивается ли это
заключение только малыми сопротивлениями, так как на первый
взгляд кажется, что оно справедливо и в общем случае. Сообра-
жения, достаточные, чтобы решить этот вопрос, могут быть
обоснованы на частном случае. Рассмотрим систему, образован-
ную поперечно колеблющейся натянутой струной, к которой
в каких-нибудь двух точках подвешены два груза. Если массой
самой струны можно пренебречь, то налицо две степени свободы
и два периода колебания, соответствующие двум нормальным
ею видам. Оба груза могут вообще совершать каждое из этих
колебаний. Предположим теперь, что вводится некоторая сила
сопротивления, задерживающая движение одного из грузов, и что
эта сила постепенно возрастает Эффект этого, во-первых, тот,
что оба вида колебаний затухают и что это происходит с воз-
растающей скоростью, однако впоследствии закон меняется.
Действительно, если сопротивление становится бесконечно боль-
шим, то оно эквивалентно связи, удерживающей в покое тот
груз, на который она действует. На другое колебание сопроти-
вление тогда не влияет, и оно продолжается неопределенно
долго. Таким образом, скорость затухания одного из нормальных
колебаний уменьшилась до нуля, несмотря на непрерывное воз-
растание сил сопротивления F. Этого случая, несомненно, доста-
точно для того, чтобы опровергнуть предположенную общую
теорему.
103. Мы возвращаемся теперь к рассмотрению общих уравне-
ний § 84.
Если фх, фа,... — координаты, a Wv W2. ... — силы, то мы имеем
где
Для свободных колебаний Wv f а, . . . обращаются в нуль. Если
V — определитель
еп,
C)
И Зак 1774 Рэлей, 1
162 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. V
то результатом исключения из A) всех координат, кроме одной,
явится уравнение
Ц = 0. D)
Так как V содержит теперь нечетные степени D, то 2т кор-
ней уравнения V = 0 уже не встречаются больше попарно рав-
ными по величине, положительными и отрицательными, но содер-
жат как действительную, так и мнимую части. Общее решение,
однако, все еще может быть написано в виде
^1 + ..., E)
где парами сопряженных корней являются jx1, |x^; jx2, ji^; ... Соот-
ветственно каждому корню имеются частные решения вида:
в которых отношения А1: Л2 : А.А : ... определяются уравнениями
движения и только абсолютные значения остаются произволь-
ными. Впрочем, в настоящем случае (где V содержит нечетные
степени D) эти отношения вообще не являются действитель-
ными, благодаря чему изменения координат tyv ф2, ... не син-
хронны по фазе. Если мы положим ^ = at -\- i$lf jx^ = a1— i$v ...,
то мы увидим, что ни одна из величин а не может быть поло-
жительной, так как в этом случае энергия движения со временем
возрастала бы, что, как мы знаем, не может иметь места.
103а. Раус1) придал более строгую математическую форму
общему доказательству (§ 85, 103), касающемуся природы кор-
ней характеристического уравнения и исходящему из энергети-
ческих соображений (Томсон и Тэт, Natural Philosophy, 1-е изда-
ние, 1867 г.). Его исследование относится к наиболее общей
форме уравнения, где не предполагаются справедливыми соотно-
шения § 82:
«« = ««¦• brs = bs,, с,я = сьг. A)
Все же для краткости мы будем здесь предполагать — поскольку
это предположение является достаточным почти для всех акусти-
ческих проблем—эти соотношения справедливыми.
Рассмотрим два решения, соответствующие двум корням (i и v
характеристического уравнения. Для первого мы имеем
^ = М/-\ % = М^\ fc = М.Ае^, .... B)
а для второго
Ъ = N**, Ф2 = N^, % = Ntf*. ... C)
В каждом из этих решений, например в B), отношения
Мх: М% : Мъ : ..., когда (i выбрано, являются вполне определен-
Routh, Rigid Dynamics, 5-е изд., гл. VII.
103л] теоремы рауса 163
ными. Они имеют действительные значения, когда ц действи-
тельно; когда же jx является комплексным (а±ф), они принимают
форму Pz+ztQ.
Если мы теперь подставим значения ty из уравнений B) в урав-
нения движения, мы получим
... =0,
• • • = 0.
Первый результат получается путем умножения этих уравне-
ний по порядку на Mv уИ3, ... и последующего сложения. Его
можно записать в такой форме:
0, E)
где
А = i ОцЛЙ + j ппМ\ + ouAf!Л1, + ..., F)
В = у йи^!2 +1 feAJl + *12Af!Ad, + ..., G)
С = ~ CuMl + \ СпМ\ + с12М1М2 -{- • • •; (8)
функции Л, В, С, как можно видеть, совпадают с теми, которые
мы уже обозначили соответственно через 7", F, и V; однако изме-
ненное обозначение, пожалуй, полезнее в том отношении, что
оно напоминает об отсутствии каких бы то ни было ограничений,
касающихся природы этих квадратичных функций.
Раус делает из уравнения E) следующие выводы:
(а) Если А, В, С являются или нулями, или однозначными
функциями одинакового знака, то основной определитель не может
иметь действительного положительного корня. В самом деле,
если бы {а было действительным числом, то действительными
были быи коэффициенты Mv AJa, .. . Мы имели бы, таким образом,
сумму трех положительных величин, равную нулю.
(Р) Если сил сопротивления нет, т. е. если член В отсутствует
и если А к С являются однозначными функциями, имеющими
одинаковые знаки, то основной определитель не может иметь дей-
ствительного корня как положительного, так и отрицательного.
(т) Если А, В, С—однозначные функции, но знак В проти-
воположен знаку А и С, то основной определитель не может
иметь действительного отрицательного корня.
Второе уравнение получается, как и раньше, из уравнений D),
с той только разницей, что множителями теперь являются вели-
чины Nv N.2..., соответствующие корню v. Результат может
быть написан в такой форме:
А (у., v) ^ + В (|*. v) ц + С(|*. v) = 0. (9)
11*
164 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. V
где
ЧА (|1, v) = виВД + OaMJI* + • • • +
... A0)
и аналогично для B(\i, v) и C(jj., v). Л(ц, v) является, следова-
тельно, симметричной функцией М и N, так что
Л(ь v) = i4(v, |i). A1)
Можно заметить, что при этом обозначении Л(ц, ц) совпадает
с Л в уравнении F).
Аналогичным образом
*, v) = 0, A2)
а это показывает, что ц и v являются корнями квадратного урав-
нения, коэффициентами которого служат A([i, v), В (p., v) и С({а, v).
Следовательно,
Мы предположим, что jx и v — два сопряженных комплексных
корня, так что
где а и р — действительные числа. При этих условиях, если Mv
yW2, ... равны соответственно Pj-f-jQj, Pa-j-^Qa, ..., то Nv
Nq, ... будут равны соответственно Р1 — iQlt Р2 — iQ2, ..., где
Р и Q — действительные числа. Таким образом, в силу уравне-
ния A0)
2Л(ц, у) = а
+ 2ап (РгР2 + ОД,,) + . . . = 2А (Р) + 2A (Q). A4)
В уравнении A4) А(Р) и A(Q) являются функциями действи-
тельных переменных, аналогичными F). Из уравнений A3) мы
теперь находим
„ B(P)+B(Q)
Z A(P)+A(Q)>
Из этих уравнений Раус выводит следующие заключения:
(8) Если А и В — однозначные функции и имеют одинаковые
знаки, то (независимо от того, будет ли С однозначной функ-
цией или нет) действительная часть а каждого комплексного
корня должна быть отрицательной, но не равной нулю. Если же
В отсутствует, действительная часть каждого комплексного корня
равна нулю.
103*] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 165
(г) Если А и С—однозначные функции и имеют противопо-
ложные знаки, то независимо от характера В мнимых корней
существовать не может.
Заметим, что если В отсутствует и если [ха и v2 являются
различными корнями определителя, то из уравнений (9) и A2)
следует, что
( v) = C(ji, v) = 0. A7)
Когда число степеней свободы конечно, основной определи-
тель может быть разложен по степеням р, что дает уравнение
f(p) = 0 степени 1т. Условие устойчивости требует, чтобы все
действительные корни и действительные части всех комплексных
корней были отрицательными. Если, как это делается обычно,
представить комплексные числа точками, координаты которых
суть х и у, то условие устойчивости требует, чтобы все точки,
представляющие корни, лежали влево от оси j;-ob. Раус очень по-
дробно рассмотрел применение правила Коши относительно числа
корней внутри некоторого контура; в качестве контура бралась
полуокружность бесконечно большого радиуса на положительной
стороне оси j;-ob. Раусу1) удалось придать результатам форму,
удобную для практического применения к частным случаям.
1036. Теоремы § 103с не исчерпывают всех тех общих меха-
нических принципов, которые позволяют нам судить о характере
корней основного определителя (характеристического уравнения),
и поэтому рассмотрение вопроса, пожалуй, следует продолжить
немного дальше. Мы всюду будем предполагать, что А одно-
значно и положительно.
Если В и С одновременно однозначны и положительны, то
мы видим, что равновесие вполне устойчиво; действительно,
из («) следует, что положительных корней здесь быть не может,
а из (8), что ни у одного комплексного корня, действительная
часть не можег быть положительной.
Уравнения § 103а достаточны равным образом и для того
случая, когда С однозначно и положительно, а В однозначно и
отрицательно. В силу уравнения E) каждый действительный
корень положителен, а в силу уравнения A5) положительна
действительная часть каждого комплексного корня. Стедовательно,
равновесие неустойчиво для всех видов колебаний.
Когда С однозначно и отрицательно, все корни действи-
тельны (г); уравнение E), однако, не говорит нам, будут ли они
положительными или отрицательными. Когда В = 0, корни встре-
чаются, как мы знаем (§ 87), попарно с одинаковыми численными
значениями и с противоположными знаками. В этом случае
имеется, следовательно, т положительных и т отрицательных
*) Routh, Adams Prize Essay, 1877; Rigid Dynamics, § 290
166 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ (ГЛ. V
корней. Мы докажем, что В не может нарушить это положение
вещей. В самом деле, если представить определитель в разверну-
том виде, то коэффициент при \ь2т оказывается дискриминантом А,
а коэффициент пци |а° — дискриминантом С. Согласно предполо-
жению, ни одна из этих величин не равна нулю и поэтому
все корни уравнения могут быть только конечными. Отсюда,
когда В возрастает как функция переменных от нуля до своей
действительной величины, ни один корень уравнения не может
изменить свой знак; поэтому все время остается т положитель-
ных и т отрицательных корней. Заметим, что в этом рассужде-
нии нет никаких ограничений относительно характера В.
В случае действительного корня значения Mv 7Иа, ... дей-
ствительны и, следовательно, характер движения таков, как если бы
оно происходило при наличии связи, оставляющей у системы
всего одну степень свободы. Если бы, однако, эта связь была
действительно наложена, то существовали бы два соответствую-
щих значения jj.; это были бы значения, даваемые уравнением E).
К рассматриваемому же вопросу применимо вообще только одно
из них. В противном случае можно было бы определить т раз-
личных связей, одна из которых была бы совместима с любым
из 2т корней. Но это могло бы случиться только тогда, когда
все три функции А, В, С одновременно сводимы к суммам квад-
ратов (§ 97).
Когда В = О, имеется т видов движения, и для каждого вида
имеется два корня. В приложении к случаю, где С однозначно и
отрицательно, каждый из т видов движения для В = 0 дает
один положительный и один отрицательный корень. Положитель-
ный корень означает неустойчивость, и, хотя отрицательный
корень дает движение, которое беспредельно уменьшается, харак-
тер неустойчивости свойственен всему движению в целом; по-
этому и все т видов движения следует считать неустойчивыми.
Но когда В конечно, существуют вообще 2т различных видов
движения, причем каждому из них соответствует один корень.
Из 2т видов т неустойчивы, т же остальных должны считаться
устойчивыми. В целом, однако, равновесие неустойчиво, так что
влияния В, даже когда оно положительно, недостаточно, чтобы
устранить неустойчивость, обязанную характеру С.
На этом можно было бы закончить наше исследование не-
устойчивых систем, но существует одна теорема, касающаяся
действительных корней и имеющая столь фундаментальное зна-
чение, что остановиться на ней представляется необходимым.
Эту теорему можно рассматривать как расширение соответствую-
щей теоремы § 88.
Значение р, соответствующее заданной связи Mt: 7Н3: ....
является одним из корней уравнения E), из уравнения же D)
следует, что значение ]х стационарное, когда связь, наложенная
103*] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 167
на систему, совпадает с одним из видов свободного движения.
Эффект малых изменений в А, В, С можно, таким образом, вы-
числить из уравнения E) без учета происходящего при этом из-
менения самого типа движения.
Пусть С, будучи отрицательным для рассматриваемого вида
движения, численно возрастает, тогда как А и В как функции
координат остаются неизменными. Последнее условие требует,
чтобы корни уравнения E), один из которых положителен и
один отрицателен, перемещались одновременно в направлении
к нулю или от нуля, предшествующее же условие первую воз-
можность исключает. Мы заключаем, что данное изменение,
будет ли корнем определителя положительный или отрицательный
корень уравнения E), заставляет этот корень перемещаться
в направлении от нуля.
Равным образом, если возрастает А, тогда как В к С остаются
неизменными, смещение корня (безразлично положительного или
отрицательного) происходит необходимо в направлении к нулю.
Если же заданы А я С, между тем как В как функция пере-
менных алгебраически возрастает, то смещение корня определи-
теля должно происходить в отрицательном направлении.
Таким образом, в каждом виде движения алгебраическое воз-
растание В либо увеличивает устойчивость, либо уменьшает не-
устойчивость. С другой стороны, численное возрастание С или
уменьшение А повышает устойчивость устойчивых видов движе-
ния и неустойчивость неустойчивых.
Нам не остается здесь ничего другого, как сослаться на тео-
рему относительно влияния одной единственной связи на систему,
для которой С однозначно и отрицательно. Каков бы ни был
характер В, (т — 1) положительных корней определителя, при-
надлежащих системе после того как связь наложена, будут раз-
делять т положительных корней первоначального определителя;
аналогичное предложение будет справедливо и для отрицательных
корней. Основываясь на этом, мы можем обобщить предшествую-
щие заключения аналогично тому, как это было сделано в § 92а.
Рассмотрим некоторый независимый вибратор с одной степенью
свободы, для которого С положительно, и пусть vlf v2 будут
корнями уравнения частот, положительным и отрицательным. Если
мы рассматриваем вибратор как часть системы, то мы имеем всего
Bm-j-2) корней. Эффект связи, которая связывает две части
системы, состоит в том, что число B/и-(-2) сведется обратно
к 2т. Из них т положительных корней будут разделять (т-\-\)
величин, представляющих собой т положительных корней пер-
воначального уравнения вместе с (положительным) \>а; аналогич-
ное предложение будет справедливо и для отрицательных корней»
Таким образом, влияние вибратора на исходную систему состоит
в том, что он заставляет смещаться положительные корни
168 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ V
в направлении к va, а отрицательные корни в направлении к vt. Этот
вывод охватывает все прежние заключения относительно влияния
изменений в Л, В, С на значения корней.
Мы уже достаточно подообно рассмотрели вопрос о свобод-
ных колебаниях системы в общем случае. Дальнейшие иллюстра-
ции, которые могут потребоваться, будут даны при рассмотрении
случая двух степеней свободы (§ 112), а также колебаний струн
и других особых тел, которыми мы вскоре будем заниматься.
Мы обратимся сейчас снова к уравнениям A) § 103 с целью
исследовать далее приэоду вынужденных колебаний.
104. Чтобы исключить из уравнений все координаты, кроме
одной (tyt), произведем над ними последовательно операции
С минорами основного определителя
дУ дУ дУ
де
2Х
а затем сложим результаты; выполним то же самое и для других
координат. Мы получим таким путем в качестве эквивалента
первоначальной системы уравнений следующую:
е21
е13
A)
в которой дифференцирование V следует выполнять, не принимая
во внимание равенства ers и е^.
Силы Wv TFa,... произвольны, но, конечно, подчинены тре-
бованию не производить настолько больших перемещений или
движений, чтобы квадраты малых величин стали заметны. Если,
как это часто имеет место, действующие силы складываются из
двух частей, одной постоянной во времени и другой периодиче-
ской, то производимые ими эффекты удобно мысленно разделить
на два класса. Эффект постоянных сил в точности такой же, как
если бы действовали только они одни; он находится путем ре-
шения статической проблемы. Поэтому вообще достаточно пред-
полагать силы периодическими, влияние же постоянных сил, таких,
например, как сила тяжести, выразится только в изменении кон-
фигурации, около которой совершаются колебания. Мы можем,
таким образом, не теряя общности, ограничиться периодическими
и поэтому, в силу теоремы Фурье, гармоническими силами.
Мы могли бы, следовательно, принять в качестве выражений
для U71, W,.. . круговые функции времени; однако, как мы уже
104] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 169
часто имели возможность убедиться в ходе изложения, обычно
удобнее пользоваться комплексными показательными функциями,
такими, как Ее*?1, где Е—'Постоянная, которая может быть и
комплексной. Когда соответствующее символическое решение
получено, его действительная и мнимая части могут быть разде-
лены и будут принадлежать соответственно действительной и
мнимой частям исходных данных. Этим путем анализ значительно
выигрывает в краткости в связи с тем,' что эффекты дифференци-
рования и изменения фазы выражаются исключительно в изме-
нении комплексного коэффициента, без всякого изменения формы
функции. Мы напишем поэтому
Миноры типа -j— являются целыми рациональными функциями
символа D и действует на Wv ч73,... по закону
/ (D) е*Р*=/ (ip) е1Р*. B)
Наши уравнения принимают поэтому форму:
Vyi = A^etP*, V tya = А%егР{,..., C)
где Av Aq,... — некоторые комплексные постоянные. Символиче-
ские решения будут иметь вид:
или в силу уравнения B)
где V(ip) означает результат подстановки ip вместо D в V.
Рассмотрим сначала случай системы, свободной от трения,
V и производные от V являются здесь четными функциями D.
так что V (ip) действительно. Написав Rxe1^ вместо Аг и т. д.
и отбрасывая мнимую часть решения, мы имеем
Если мы предположим, что все силы Wv ч?9,... (в случае
более чем одной обобщенной компоненты) находятся в одина-
ковой фазе, то их можно выразить следующим образом:
?t cos (pt -f- a), E3 cos (pt -\- a),...,
а тогда, как легко видеть, сами координаты будут совпадать по
фазе с силами:
*i=vtW «* 0*4-«).... F)
170 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. V
Амплитуды колебаний зависят, помимо всего прочего, от
величины V(ip). Если же период сил совпадает с периодом одного
из свободных колебаний, то V(//?) = 0, и амплитуда становится
бесконечной. Это, конечно, как раз тот случай, где существенно
ввести в рассмотрение трение, от которого в действительности
не свободна никакая реальная система.
Если трение существует, то V (ip) компексно; его можно,
однако, разделить на две части — одну действительную, а другую
чисто мнимую, зависящую целиком от трения. Таким образом,
если мы положим
ip), G)
то Vv Va будут четными функциями ip и будут поэтому дей-
ствительны. Если, как и прежде, Al = Rlei^, то наше решение
примет форму:
или, отбрасывая мнимую часть
1 [
где
Мы указывали, что Va(//?) зависит целиком от трения; это,
однако, не значит, что Vx(ip) в точности таково, каким оно
должно было бы быть при отсутствии трения. Но если трение
мало, то приближенно это имеет место, так как часть V(/p),
зависящая от первых степеней коэффициентов трения, будет не-
обходимо мнимой. Всякий раз, когда период силы совпадает
с периодом одного из свободных колебаний, Vx (ip) обращается
в нуль, и мы имеем tg^ = — оо, а поэтому
что свидетельствует о колебании большой амплитуды, ограничи-
ваемой только трением.
В силу гипотезы о малости трекия, 6, а следовательно, и f
вообще малы, за исключением случая приблизительного равенства
периодов. Поэтому движение за некоторыми исключениями нахо-
дится почти в одинаковой (или противоположной) фазе с силой,
которая его возбуждает.
Когда на систему действует сила, выражающаяся гармони-
ческим членом, то возникающее движение всегда гармоническое
и сохраняет первоначальный период, конечно, при условии, что
106] НЕЗАТУХАЮЩИЕ ДВИЖЕНИЯ 171
квадратами перемещений и скоростей можно пренебречь. Этот
важный принцип был высказан Лапласом и применен им к теории
приливов. Его большая общность была также обнаружена Джо-
ном Гершелем, которому мы обязаны формальным доказательством
его справедливости а).
Если сила не является гармонической функцией времени, то
типы колебаний в различных частях системы вообще отличаются
и друг от друга и от типа колебания силы. Гармонические функ-
ции являются, таким образом, единственными, которые сохраняют
свой тип неизменным, что и служит, как было отмечено во вве-
дении, сильным доводом в пользу предположения, что они соот-
ветствуют простым тонам.
105. Мы обратимся теперь к несколько иному виду вынужден-
ных колебаний, где вместо заданных сил, как до сих пор, пред-
писываются некоторые обязательные движения.
Если мы предположим, что координаты tyv tya tyr являются
заданными функциями времени, между тем как силы, соответ-
ствующие остальным типам колебаний, т. е. Wr+V Wr+a,..., Wm,
равны нулю, то уравнения движения сами собой распадутся на
две группы, именно:
B)
+ ««А + • • • + етп&т — 0.
В каждом из т — г уравнений второй группы первые г членов
являются известными явными функциями времени и дают такой же
эффект, как и известные силы, действующие на систему. Уравне-
ния этой группы, следовательно, достаточны для определения
неизвестных величин; после этого, если требуется, из первой
группы могут быть определены силы, необходимые для того,
чтобы поддерживать предписанное движение. Очевидно, что между
двумя классами проблем вынужденных колебаний существенной
разницы нет.
106. Движение системы, свободной от трения и совершающей
простые гармонические колебания вследствие предписанных изме-
нений некоторых из координат, обладает особенностью, аналогичной
1) 1. Hershcl, Encyc. Metrop., § 323; см. также его Outlines of Astro-
nomy, § 650.
172 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЯ [ГЛ V
той, которая была рассмотрена в § 74, 79. Пусть
фх = Ах cos pt, i3 = Аа cos pt, ...,
где величины Av .. „, Аг рассматриваются как заданные, тогда
как остальные произвольны. Мы имеем из выражений, для Т и
V, § 82:
2(Г+ V) = 1 (cu+p*au)Al-\- ... +(с1а+р%19)ЛИа+ • • •
Из + • • •} cos 2pt,
откуда видно, что условие, выражаемое уравнениями движения,
заключается в том, что Е, переменная часть Т-\- V, пропорцио-
нальная
i (cu - р*ап) А\ + .. . + (с18—рЧ^ A,At + ..., A)
должна иметь стационарное • значение для всех изменений вели-
чин Ar+V .... Am. Пусть j»'a есть значение /?а, свойственное
системе, когда она колеблется, будучи ограничена связью, опре-
деляемой отношениями
А • Л • А • Л • А •
тогда
так что
= (Р'*-Р*){ ^ aaAl+ ... +а13>1И9+ • ¦ • }• B)
Отсюда мы видим, что если ра определенно меньше, чем р'2,
т. е. если предписанный период больше всякого из периодов,
свойственных системе при частичной связи, представляемой через
то Е необходимо положительно, и стационарное значение — оно
здесь может быть только одним — является абсолютным мини-
мумом. По такой же причине, если предписанный период меньше
всякого из периодов, свойственных частично связанной системе,
то Е является алгебраически абсолютным максимумом, арифме-
тически же — абсолютным минимумом. Но когда р* лежит в области
возможных значений р'\ Б может быть положительным или
106а] незатухающие движения 173
отрицательным, и истинное значение не является ни наибольшим,
ни наименьшим возможным. Всякий раз, как некоторое собствен-
ное колебание системы окажется совместимым с наложенными
условиями, мы и будем иметь предположенное колебание. Пере-
менная часть Т-\- V тогда равна нулю.
Для удобства трактовки мы рассматривали два больших класса
колебаний — вынужденные и свободные колебания — порознь, но,
конечно, нет никаких причин, которые могли бы предотвратить
их совместное существование. По истечении достаточного проме-
жутка времени свободные колебания всегда исчезают, как бы ни
было мало трение. Случай абсолютного отсутствия трения является
чисто идеальным.
Для случая, когда система вынуждена совершать заданные
движения, не лишне будет сделать одно предостережение. Пред-
положим, как и прежде, что координаты typ ^a, ..., % заданы.
Тогда свободные колебания, существование или несуществование
которых безразлично, поскольку дело касается вынужденного
движения, должны пониматься как такие, к которым система
способна, когда координатам tyv .... tyr не позволяют уклоняться
от нуля. Чтобы помешать их изменению, нужно ввести силы
соответствующего типа, так что с известной точки зрения данное
движение может рассматриваться как вынужденное. Но прило-.
женные силы имеют исключительно природу связей, и их
эффект — тот же самый, что и ограничение свободы движения.
106а. Принципы, изложенные в последних разделах, показы-
вают, что если «jij, <JK, .... фг — заданные гармонические функции
времени Аг cos pt, A^zospt,... и если силы других типов отсут-
ствуют, то движение определено, если только р не выбрано так,
что совпадает с одним из значений, свойственных системе, когда
<i/v tygi ..., 4v удерживаются на нуле. В качестве примера рас-
смотрим случай мембраны, которая может совершать поперечные
колебания. Если смещение ф в каждой точке контура задано
(пропорциональным cos pt), то вообще определены значения и
внутри; исключением являются только случаи, когда р имеет
одно из значений, какими обладает мембрана, колеблющаяся
с контуром, удерживаемым в покое. Эта проблема изучена Дюге-
момг) на основе специального аналитического исследования
Шварца. Нетрудно видеть, что ее можно рассматривать как
частный случай значительно более общей теоремы.
Аналогичный результат можно формулировать для упругого
тела, для которого задано движение (пропорциональное cos pt)
в каждой точке его поверхности. Конечно, движение на границе
достаточно задать лишь частично. Так, для массы воздуха мы
') P. Duhera, Cours de Physique Mathematique, том II, стр. 190,
Paris, 1891.
174 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАВ [ГЛ. V
можем предположить, что задано движение, нормальное к за-
мкнутой поверхности. Внутреннее движение тогда определено, если
только для частоты не выбрано одно из тех значений, какие
свойственны данной массе, когда ограничивающая ее поверхность
сделана неподвижной.
107. Между силайи и движениями различных типов существуют
весьма замечательные соотношения взаимности, которые могут
рассматриваться как расширение соответствующих теорем для
систем, где рассматривалось только V или Г (см. § 72 и 77, 78).
Если мы предположим, что все компоненты силы, за исключением
двух — Ч\ и Ч?"а, — равны нулю, то мы получим из § 104
Рассмотрим теперь два случая движения для одной и той же
системы: первый, когда ЧР"д обращается в нуль, и второй (буквы
со штрихом), когда Ч?[ обращается в нуль. Если Ч|"а = 0,
ф—у-1!^-!',. B)
~* два
Аналогично, если fi = 0,
В этих уравнениях V и производные от V являются целыми
рациональными функциями символа D, а так как в каждом
случае еп = esr, то V есть симметричный определитель, и поэтому
Мы видим отсюда, что если на систему действует сила Wv
то координата 4>9 стоит к ней в таком же отношении, в каком
стоит координата tyi к силе Тг. когда предполагается, что на
систему действует одна эта последняя сила.
В дополнение к рассмотренному здесь движению могут суще-
ствовать свободные колебания, зависящие от возмущения, уже
имеющегося в момент, после которого в х? включаются все новые
источники возмущения; сами эти колебания являются, однако,
эффектом сил, которые действовали ранее. Как бы мало ни было
рассеяние, должен существовать некоторый промежуток времени,
после которого замирают свободные колебания и вне которого
не нужно принимать в расчет сил, действовавших ранее на
систему. Поэтому если мы включаем в Ч1' достаточно отдаленные
силы, то независимых колебаний для рассмотрения не остается;
этим путем теорему можно распространить на случаи, которые на
108] теорема взаимности 175
первый взгляд показались бы не охватываемыми ею. Предположим,
например, что система находится вначале в покое в своем поло-
жении равновесия, а затем на нее начинает действовать сила
первого типа, постепенно возрастающая по величине от нуля до
некоторого конечного значения Wv после чего это увеличение
прекращается. Если теперь в некоторый заданный момент времени
сила внезапно уничтожается и далее все время остается равной
нулю, то при этом возникнут свободные колебания системы; они
продолжаются до тех пор, пока не будут уничтожены трением.
В какое-нибудь время t, следующее за, данным моментом, коор-
дината ^а имеет значение, зависящее от t и пропорциональное Х1\.
Теорема позволяет нам утверждать, что это значение <^а нахо-
дится в том же отношении к W1, в каком находилось бы в этот же
самый момент времени ^ к W,, если бы первоначальной при-
чиной колебаний была сила второго типа, возрастающая посте-
пенно от нуля до ^ и затем внезапно исчезающая в заданный
момент времени. Мы уже имели пример этого в § 101; анало-
гичный результат получается и тогда, когда причиной перво-
начального возмущения является некоторый импульс или, как
в проблеме фортепианной струны, переменная сила конечной
хотя и короткой длительности. В этих применениях нашей тео-
ремы мы получаем результаты, относящиеся к свободным коле-
баниям, рассматриваемым как остаточный эффект сил, фактиче-
ское действие которых могло иметь место много ранее.
108. В одном важном классе случаев силы Wt и w'2 являются
гармоническими и имеют одинаковый период. Мы можем предста-
вить их при помощи выражений Axe%pi', А^егрг, где Ах и а'>
могут предполагаться действительными, если силы в сравнивае-
мые моменты времени находятся в одинаковой фазе.
Результаты можно записать тогда в следующей форме:
• д In V (ip) ipt
A)
где вместо D написано ip. Таким образом,
Ajfy.2 = A$i. B)
Так как отношение А%: Л2 по предположению действительно,
то действительно и отношение фх: ^а, а это означает, что движе-
ния, представляемые данными символами, находятся в одинаковой
фазе. Переходя к действительным величинам, мы можем формули-
ровать теорему так: Если сила W1 = A1 cos pt, действующая на
систему, дает движение ^а = ЬАХ cos {pt — е), то сила 12=
= At cos pt даст движение fy, = ЬА± cos (pt — s).
176 Колебательные системы в общем случае (гл. v
Если трение отсутствует, то t равно нулю.
Если Л1 = Л2> то •bi = <i/2. Следует, однако, помнить, что
силы \Ft и W% необязательно сравнимы, во всяком случае не
больше, чем координаты соответствующих типов, одна из которых
может, например, представлять собой линейное, а другая угловое
перемещение.
Теорему взаимности можно формулировать различным образом,
но прежде чем перейти к этой формулировке, мы дадим другое
исследование, не требующее знания теории определителей.
Если Wv Wv ...; ^ «fo. ... и Чь < .... tf. «|?, ... —
две группы сил и соответствующих перемещений, то уравнения
движения, § 103, дают
Если, далее, все силы изменяются пропорционально е*?*, то
действие такого символического оператора, как егй, на любую из
величин <|» сводится просто к умножению ее на постоянную, нахо-
димую подстановкой ip вместо D в егь. Предполагая, что эта под-
становка сделана и принимая во внимание соотношения ers = esr,
мы можем написать
^ 4- ¦ • • = *nMi+*Mf2 4- • • • 4-
H
Отсюда в силу симметрии
4^4-^+ •. • =4^+9^+ .... D)
что и является выражением соотношения взаимности.
109. В приложениях, которыми мы намерены заняться, везде
будет предполагаться, что силы всех типов, кроме двух (которые
мы можем назвать первым и вторым), равны нулю. Таким образом,
4^1 + 4^ = 4^+^ A)
Следствия этого уравнения могут быть показаны тремя различ-
ными путями. Во-первых, мы предположим, что
Та=0, < = 0,
откуда
4-a:«Ft = ^:< B)
Это показывает, как и прежде, что отношение <J)a к Ч^ в первом
случае, когда (F2=:0, таково же, каково отношение ij( к Ч^
во втором случае, когда Wt = 0; идентичность соотношения рас-
пространяется одинаково на фазы и на амплитуды.
Несколько примеров могут помочь пониманио закона, чрезвы-
чайная общность которого, возможно, вызывает впечатление
неясности.
109] приложений 1/7
Если Р и Q — две точки горизонтального стержня, поддержи-
ваемого каким-либо образом (например, один конец стержня
зажат, а другой свободен), то заданная поперечная гармоническая
сила, приложенная в Я, даст в Q во всякий момент времени
такое же вертикальное отклонение, какое было бы обнаружено
в Я, если бы сила действовала в Q.
Если вместо линейных перемещений мы возьмем угловые, то
теорема будет гласить: некоторая заданная гармоническая пара
в Я даст такое же вращение в Q, какое пара в Q дала бы в Р.
Если, наконец, одно перемещение линейное, а другое угловое,
то результат может быть формулирован так: предположим для
первого случая, что гармоническая пара действует в Я, и для
второго, что вертикальная сила с теми же периодом и фазой
действует в Q; тогда линейное перемещение в Q в первом слу-
чае имеет в каждый момент времени ту же самую фазу, что и
вращательное перемещение в Я во втором, амплитуды же двух
перемещений относятся друг к другу так, что максимальная пара
в Я совершила бы ту же работу, действуя в течение максималь-
ного вращения в Я, сообщенного силой Q, какую максимальная
сила в Q совершила бы, действуя в течение максимального пере-
мещения в Q, сообщенного парой в Я. В этом случае формули-
ровка сложнее, так как силы, будучи разнородными, не могут
быть взяты равными друг другу.
Если мы предположим, что период сил чрезвычайно велик, то
мгновенное положение системы стремится совпасть с тем, в кото-
ром она поддерживалась бы в покое действующими в этом случав
силами; при этом оказывается приложимой статическая теория.
Наша теорема приводится тогда к статической, доказанной в § 72.
В качестве второго примера предположим, что в некотором
пространстве, занятом воздухом и целиком или частично окру-
женном твердыми границами, находятся две сферы А и В, центры
которых имеют одну степень свободы. Тогда периодическая сила,
действующая на А, даст то же самое движение в В, как и в том
случае, когда мы поменяли бы роли А и В, и это независимо от
того, какие именно способные колебаться тела — мембраны,
струны, камертоны на резонансных ящиках или другие — нахо-
дятся в соседстве с А и В.
Если же А и В представляют собой две точки упругого
твердого тела какой-нибудь формы, то сила, параллельная ОХ
и действующая в А, даст такое же движение точки В парал-
лельно OY, какое равная сила, параллельная OY и действующая
в В, дала бы в точке А параллельно ОХ.
Пусть, наконец, А и В—две точки пространства, занятого
воздухом, между которыми расположены какого-нибудь рода
препятствия. Тогда звук, возникающий в А, воспринимается
в В с такой же интенсивностью, с какой одинаковый звук,
12 Зак 1774. Реле», 1
178 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. V
возникающий в В, воспринимался бы в Л х). Препятствие может
состоять, например, из твердой стенки, в которой проделано
одно лли несколько отверстий. Этот пример соответствует опти-
ческому закону, говорящему, что если рдна точка видима при
помощи некоторой комбинации отражающих или преломляющих
поверхностей из некоторой второй точки, то и вторая также
может быть видима из пгрвой. В акустике звуковые тени обычно
лишь частичные, вследствие того, что длина волны не является
незначительной в сравнении с размерами обычных препятствий;
соотношение взаимности представляет поэтому здесь значитель-
ный интерес.
Следующий пример может быть взят из электричества. Пусть
имеются два контура из изолированной проволоки А и В, и
в соседстве с ними какая-нибудь комбинация проволочных кон-
туров или твердых проводников в соединении с конденсаторами.
Периодическая электродвижущая сила в контуре А вызовет в В
такой же ток, какой был бы возбужден в А, если бы электро-
движущая сила действовала в В.
Последний пример мы возьмем из теории теплопроводности
и теплового излучения, принимая в качестве основы закон охла-
ждения Ньютона. Температура в какой-нибудь точке А прово-
дящей и излучающей системы, возникающая в результате действия
постоянного (или гармонического) источника тепла в В, та же
самая, что и температура в В, обязанная одинаковому с первым
источнику тепла, помещенному в А. Кроме того, если в какой-
нибудь момент времени источник в В будет удален, то весь по-
следующий ход температуры в А будет таким же, каким он был
бы в В, если бы В и А обменялись ролями.
ПО. Ко второй формулировке теоремы взаимности мы придем,
полагая в A) § 109
^ = 0, ^ = 0.
откуда
*$«*&. О)
или
*»:¦,«*;:*! B)
— уравнение, показывающее, что отношение 4?t к ^а в первом слу-
чае, когда ^ = 0, равно отношению Ф2 к ^ во втором случае,
когда 4"з = 0.
Так, если в примере со стержнем точка Р удерживается в по-
кое, между тем как в Q налагается (с помощью приложенной
там силы) некоторое заданное колебание, то реакция в Р и по
!) Helmhoftz, Crelle, том LVII, 1859. Звуки должны быть таковы,
чтобы в отсутствии препятствий они распространялись одинаково во всех
направлениях.
Ill] теорема взаимности 179
амплитуде, и по фазе совпадает с той, какая имела бы место в Q,
если бы в покое удерживалась эта точка, а заданное колебание
бы то приложено в Р.
Так, если Л и В—-два электрических контура, помещенных
вблизи некоторого числа других контуров С, D, .... замкнутых
или кончающихся конденсаторами, и если в Л с помощью соот-
ветствующей электродвижущей сипы возбужден заданный перио-
дический ток, то индуцированная в В электродвижущая сила
равна той, какая возникла бы в Л, если бы Л и В обменялись
ролями.
Третью формулировку теоремы мы получим, полагая в урав-
нении A) § 109
^-о. 4-2 = 0.
откуда
*ft + W& = 0. C)
или
чем доказывается, что отношение ^ к '{/3 в первом случае, когда
действует одна сила Ч\, равно взятому с обратным знаком отно-
шению Ч7? к Ч7[ во втором случае, когда силы находятся в таком
соотношении, что <J»g сохраняется равным нулю
Так, если точка Р стержня удерживается в покое, в то время
как в Q действует некоторая периодическая сила, то реакция
в Р находится в таком же численном отношении к силе в Q,
в каком перемещение в Q находилось бы к перемещению в Р,
если бы стержень заставили колебаться с помощью силы,-при-
ложенной в Р.
111. Теорема взаимности была доказана для всех систем, в ко-
торых силы трения могут быть представлены с помощью функции F,
но она допускает и дальнейшее важное обобщение. В самом деле,
мы доказали существование функции F для большого класса
случаев, где движению противодействуют силы, пропорциональные
абсолютным или относительным скоростям; существуют, однако,
другие источники рассеяния энергии, которые не входят в эту
категорию, но эффект которых в одинаковой степени важно
учесть; таково, например, рассеяние энергии, обязанное тепло-
проводности или тепловому излучению. Хотя силы в этих слу-
чаях не для всех возможных движений находятся в постоянном
oi ношении к скоростям или перемещениям, все же во всяком
действительном случае периодического движения (i) они необхо-
димо являются периодическими и поэтому, независимо от их
фазы, могут быть выражены с помощью суммы двух чпенов:
одного — пропорционального перемещению (абсолютному или
12*
180 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОВЩЕМ СЛУЧАЕ (ГЛ. V
относительному) и другого — пропорционального скорости соответ-
ствующей части данной системы. Если коэффициенты одинаковы —
не обязательно для всех вообще движений, но для всех движе-
ний с периодом с, — то функция F существует в единственном
смысле, требующемся для нашей настоящей цели. В самом деле,
поскольку теорема касается исключительно движений с периодом •:,
то, очевидно, безразлично, зависят ли функции 7", F, V от ¦: или
нет. Будучи расширена таким образом, теорема, пожалуй, яв-
ляется достаточно общей, чтобы охватить всю область диссипа-
тивных сил.
Важно помнить, что принцип взаимности ограничивается
системами, которые колеблются около положения равновесия, и
поэтому не может прилагаться без оговорок к такой проблеме,
как проблема распространения звуковых волн через атмосферу,
возмущенную ветром. Кроме того, колебания должны быть такого
характера, чтобы квадратами соответствующих величин можно
было всюду пренебречь; в противном случае наше доказательство
не было бы справедливо. Другие кажущиеся исключения связаны
с непониманием самого принципа. Необходимо тщательно следить,
чтобы между силами и перемещениями соблюдалось правильное
соответствие, определяемое правилом, что действие силы на дан-
ном перемещении должно представлять собой совершенную здесь
работу. Так, пари соответствуют вращениям, давления—увели-
нениям объема и т. д.
111а. Содержание предыдущих разделов взято из статьи ав-
тора :), в которой действие диссипативных сил было рассмотрено,
повидимому, впервые. Теоремы взаимности частного характера
и без учета диссипации были даны ранее другими авторами. Одна
из них, принадлежащая Гельмгольцу, уже цитировалась выше.
Следует указать также на теорему взаимности Бетти а), относя-
щуюся к однородному изотропному упругому телу, на которое
действуют поверхностные и объемные силы. Лэмб 3) показал, что
эти результаты и более современные результаты Гельмгольца4)
могут быть выведены из одного очень общего уравнения, уста-
новленного Лагранжем в его Mecanique Analytique.
111&. Во многих практически интересных случаях внешняя
сила, в ответ на которую система колеблется гармонически,
бывает приложена в одной только точке. Эта точка может быть
названа ведущей точкой, и очень важно оценить реакцию системы
на нее. Когда заметные значения имеют только Т и F или F и V,
то можно формулировать некоторые общие заключения, образец
!) W. Rayleigh, «Some General Theorems Relating to Vibrations», Proe,
Math. Soc, 1873.
2) Betti, // Nuovo Cimenfo, 1872.
Lamb, Proe. Math. Soc, том XIX, стр. 144, январь 1888.
H. Helmholtz, Crelle, том 100, стр. 137, 213, 1886.
lllb] РЕАКЦИЯ В ВЕДУЩЕЙ ТОЧКЕ 181
которых будет дан здесь. Интересующихся дальнейшими деталями
отсылаем к статье автора х).
Рассмотрим систему, лишенную потенциальной энергии, в ко-
торой координату ф1 заставляют изменяться, действуя гармони-
ческой силой Wv пропорциональной е*РК Другие координаты
могут быть выбраны произвольно; в частности, удобно выбрать
их так, чтобы их произведения не входили в выражения Т и F.
Эти координаты действительно были бы нормальными координа-
тами системы, если предположить, что фх принуждена (с помощью
подходящей силы ее же собственного типа) оставаться равной
нулю. Выражения Т и F принимают, таким образом, следующую
форму:
(О
* + *i АФ* + • • • B)
Следовательно, уравнения для силы 4?v пропорциональной
таковы:
Aрап 4- Ьп) ф, 4- (!pati 4" *1а)Фа + ('/«Не + V 4*з +¦¦¦
(lpat9 4- *ia) 4 4- С/^аа + *аз) Фа = °>
(tpal$ 4- *1ч) <К + ('Рвзч + * л) Фч = 0.
С помощью второго и следующих уравнений фа, ф3, ... выражаются
через ifj. Подставляя эти выражения в первое уравнение, мы
получаем
lpan 4- »„ -{lpa* + М" - №Д» + М' - ¦. ¦ C)
Отношение Ф1^^ есть комплексная величина, действительная
часть которой соответствует работе, совершенной силой за пол-
ный период и рассеянной в системе. Применяя электрическую
терминологию, мы можем назвать ее сопротивлением системы и
обозначить буквой R'. Другая часть отношения мнимая. Если
!) W. Rayleigh, «The Reaction upon the Driving-point of System Exe-
cuting Forced Harmonic Oscillations of Various Periods», Phil. Mag.,
««аи 1ЯВВ
май 1886.
182 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. V
мы обозначим ее через lpL\ или Lf'iv то V будет соответство-
вать моменту инерции, или самоиндукции в электрической теории.
Мы напишем поэтому
Vi = (R' + tpLf)\1\ D)
выражения /?' и V находятся разделением действительной и мни-
мой частей правой части уравнения C). Этим путем мы получаем
игч 22 у14,'
Таково выражение для сопротивления, определяемое устройством
системы и частотой наложенного колебания. Каждая компонента
последнего ряда (который один только содержит р) имеет форму
аР91Ф "Ь ЧР*)< гДе а' ?< Т все положительны, и (что легче всего
видеть, рассматривая обратную величину) непрерывно возрастает
при возрастании р2 от нуля до бесконечности. Мы заключаем
отсюда, что, когда частота колебания растет, значение R' непре-
рывно возрастает вместе с ней. На нижней границе движение
определяется в основном «нько величинами Ъ (сопротивления),
и соответствующее результирующее сопротивление R' является
здесь абсолютным минимумом, значение которого есть
I- <•>
У верхней границы движение определяется инерцией частей си-
стемы без учета сопротивлений, и значение R' есть
! — «22*12 f
или
Когда р очень велико или очень мало, все координаты нахо-
дятся в одинаковой фазе и выражения F), G) могут быть ото-
ждествлены с 2Fj^\.
Аналогичным образом,
2
В последнем ряду каждый член попожителем и непрерывно умень-
шается, когдарч возрастаем Отсюда — всякое увеличение частоты
сопровождается уменьшением момента инерции, который стре-
мится в конце концов к минимуму, соответствующему исчезно-
вению диссипативных членов.
Если р очень велико или очень мало, то (8) тождественно
с 27$.
112] КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 183
В качестве простого примера возьмем вопрос о реакции на
первичный контур электрических токов, возбужденных в соседнем
вторичном контуре. В этом случае в качестве координат (вернее—
скоростей возрастания координат) должны быть взяты, естественно,
сами токи, так что фх есть первичный, a ty.2 вторичный ток. Поль-
зуясь обычными электрическими обозначениями, мы представляем
коэффициенты самоиндукции через L, N и коэффициент взаимоин-
дукции через М, так что
сопротивления обозначаются через R и 5. Таким образом,
an—L, ап — М, а9а = N;
bn = R, bl% = 0, b.22 = S,
и E) и (8) приобретают сразу же следующий вид:
— S* + p*N* ' * '
Эти формулы были даны впервые Максвеллом, который заме-
тил, что реакция токов вторичного контура имеет результатом
увеличение эффективного сопротивления и уменьшение эффектив-
ной самоиндукции первичного контура.
Если скорость изменения очень мала, то вторичный контур
не оказывает влияния. Напротив, если скорость очень велика, то
Rr = R-\- дог 1 L =L jgr.
112. В главе III мы рассмотрели колебания системы с одной
степенью свободы. Остальная часть настоящей главы будет посвя-
щена некоторым деталям случая двух степеней свободы.
Если хну обозначают две координаты, то выражения Т и V
имеют форму:
i' )
)
J
так что в отсутствии трения уравнения движения имеют вид:
\
J
184 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАВ [ГЛ. V
Когда внешних сил нет, то для собственных колебаний си-
стемы мы имеем
(Ш> + А) х + (МЕР +?)у - 0,
х + (ЛШа + С) у
- 0, \
= О, J
где D—символ дифференцирования по времени.
Если решение C) есть X = lext, у = те1*, то А.3 является од-
ним из корней уравнения
(Ш + А) (М«+С) — (ЛШ 4- Я)9 = 0, D)
или
k*(LN— M*)-\-k*(LC + NA — 2МВ) + АС — Я» = 0. (б)
Постоянные L, M, N; А, В, С не являются полностью произ-
вольными. Действительно, поскольку Г и V существенно поло-
жительны, то должны быть удовлетворены следующие неравенства:
LN > Ж3; АС > S9. F)
Кроме того, сами величины L, N, А, С должны быть положитель-
ными Проследим влияние этих ограничений на корни уравнения E).
Прежде всего три коэффициента в уравнении положшельны.
Что касается первого и третьего коэффициентов, то это очевидно
из F). Коэффициент при Xй равен
(]/ Тс — |/Ш)а 4- 2 YLNAC — 2MB,
где, как это видно из F), Y^NAC необходимо больше чем MB.
Мы заключаем отсюда, что оба значения Ха, если только они
действительны, являются отрицательными.
Остается доказать, что корни в самом деле действительны.
Условие, которому нужно удовлетворить, заключается в том, что
величина
(ZC + NA — 2MB)* — 4(LN— М*) (АС — В3)
не должна быть отрицательной. Это выражение можно привести
к форме
В — УАС-МР+ *
УШ)* {(/Ш—/Ш)9 + 4 {VWac — мв)),
которая показывает, что условие удовлетворено, так как
YLNAC — MB положительно. Это — аналитическое доказатель-
ство того, что оба значения X3 являются действительными и отри-
цательными; этот факт можно было бы предвидеть и без всякого
анализа на основании физических свойств системы, колебания
которой эти величины предназначены выражать.
Ц2] КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 185
Два значения X3 различны, если только одновременно не
имеют места уравнения
УШв—V"acm = q,
j/Zc-i
которые требуют, чтобы
Обычный сферический маятник является примером этого
случая
С помощью подходящей силы Y можно не допустить изме-
нения координаты у. Система тогда теряет одну степень сво-
боды, и период, соответствующий одной остающейся, будет
вообще отличен от каждого из тех периодов, какие были воз-
можны до введения Y Предположим, что типы движений, полу-
ченных путем поочередного предупреждения изменения у и х,
будут соответственно e*J и ef«*. Тогда \>^, j*? являются корнями
уравнения
которое мы получаем из D), полагая равными нулю Ж и В.
Отсюда самому уравнению D) можно придать форму:
Ш(л« —|х«)(л« —ф^СЛ^ + ДI1. (8)
которая сразу же показывает, что ни один из корней ла не мо-
жет заключаться между ji| и |а|. Небольшое дальнейшее иссле-
дование покажет, что один из корней больше, а другой меньше,
чем обе величины jij, ji|. Действительно, если мы положим
/ (А") = LN (л« — ?*) (а« — ф — (Ж л* + В)»,
то увидим, что когда X8 очень мало, / имеет положительное зна-
чение (АС — 53); когда X9 убывает (алгебраически) до ji^, /ме-
няет знак и становится отрицательным. Между 0 и jj.^ имеется
поэтому корень; аналогичное рассуждение показывает, что корень
имеется также между р| и —оо. Мы заключаем отсюда, что
тоны, получаемые в том случае, когда на систему налагают ука-
занным путем два вида связи, по своей высоте являются проме-
жуточными между тонами, даваемыми собственными колебаниями
системы. В частных случаях jj.J, j»| могут быть равны и тогда
jt= ==
Это предложение может быть обобщено. Всякий вид связи,
которая еще оставляет системе одну степень свободы, может
186 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ V
рассматриваться как установление между координатами опреде-
ленного соотношения, такого, как
Если теперь в качестве новых переменных взять алг-]-(Зу и
какую-либо другую однородную линейную функцию х и у, то
такое же рассуждение доказывает, что для системы после вве-
дения связи возможен единственный период, промежуточный по
своему значению между теми двумя, с которыми совершались
раньше свободные колебания. Обратно, два периода, которые
становятся возможными, когда удалена связь, лежат по обе сто-
роны от первоначального периода.
Если значения ла одинаковы, что может случиться только,
когда
L:M:N = A:B:C,
то введение связи не оказывает влияния на период; таково, на-
пример, ограничение сферического маятника одной вертикальной
плоскостью.
, . 113. В качестве простого при-
мера системы с двумя степенями
Фиг. 17. свободы мы можем взягь натяну-
тую струну длины /, саму по
себе лишенную инерции, но несущую на расстояниях а и Ь от
одного ее конца две равные массы т (фиг. 17). Натяжение струны
равно Tv
Если хну обозначают перемещения, то
Так как Г и V не имеют одинаковой формы, то два периода
колебания во всех случаях не равны друг другу.
Если грузы помещены симметрично, то характер двух соста-
вляющих колебаний очевиден. В первом, которое будет иметь
более длинный период, оба груза движутся вместе, так что хну
остаются равными в продолжение всего колебания. Во втором
х и у численно равны, но противоположны по знаку. Средняя
точка струны остается тогда в покое, а обе массы должны
всегда находиться на одной прямой линии, проходящей через
нее. В первом случае х~у = 0, во втором х-\-у — 0; таким
образом, х—у и х-\-у являются новыми переменными, которые
следует принять, чтобы привести функции Т и V одновременно
к суммам квадратов.
114] ПЕРЕМЕЖАЮЩИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ 187
Если, например, массы помещены так, что делят струну на
три равные части, то
откуда мы получаем в качестве общего решения
B)
где, как обычно, постоянные А, а, В, $ должны быть опреде-
лены из начальных условий.
114. Если два собственных периода колебания системы очень
близки друг к другу, то иногда очень любопытным образом
обнаруживается явление перемежающегося колебания. Чтобы
иллюстрировать это явление, мы можем возвратиться к нагружен-
ной струне; мы предположим теперь, что равные массы поме-
щены на струне на расстоянии одной четверти ее длины от кон-
цов. Если бы средняя точка оруны была абсолютно неподвижна,
то две одинаковые системы по обе стороны от нее были бы пол-
ностью независимы друг ог друга, или, если рассматривать все
как одну систему, оба периода колебания были бы равны. Пред-
положим, что средняя точка струны, вместо того чтобы быть
абсолютно неподвижной, соединена с пружинами или с каким-
нибудь другим механизмом, лишенным инерции, и поэтому спо-
собна незначительно смещаться. Оговорка относительно инерции
сделана с целью избегнуть необходимости вводить третью сте-
пень свободы.
Из симметрии очевидно, что основными колебаниями системы
являются те, которые представляются с помощью х-\-ук х—у.
Их периоды немного различны, так как благодаря податливости
центра потенциальная энергия смещения, когда х и у равны,
меньше, чем в том случае, когда х и у противоположны по
знаку; кинетическая же энергия для обоих видов колебания оди-
накова. В решении
х-\-у = А cos(ftt/-f-a)>
х—у = В cos(n3t-}-fL)
мы должны поэтому рассма1ривать «t и п3 как почти, но не
вполне, равные. Предположим теперь, что вначале дг и х равны
нулю. Отсюда вытекают условия:
A cos a -{- В cos р = О,
пхА sin a -j- n2B sin
-0.1
-о. J
188 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. V
которые дают приближенно
А-\-В = 0, а = р.
Таким образом,
B)
Координата х выражается здесь приближенно гармоническим
членом, амплитуда которого, пропорциональная sin VgCwg —/ij)*,
является медленно изменяющейся функцией времени. Колебания
координат оказываются, следовательно, перемежающимися и про-
текающими так, что каждая амплитуда обращается в нуль в тот
момент, когда другая максимальна.
Это явление можно прекрасно показать с помощью тяжело
нагруженного на концах камертона очень низкого тона, ручка
которого ввинчивается в массивную подставку. Когда камертон
колеблется нормальным образом, жесткость или недостаток жест-
кости его ручки не играют роли; но если смещения обеих ножек
происходят в одном направлении, то незначительная податли-
вость ручки влечет за собой небольшое изменение периода. Если
камертон возбуждается ударом по одной ножке, то колеба-
ния будут перемежающимися и будут представляться передаю-
щимися поочередно от ножки к ножке. Но если подставка не
очень прочна, то ненормальное колебание, которое вызывает дви-
жение центра инерции, вскоре затухнет и тогда колебание оказы-
вается, конечно, стационарным. Если камертон держать просто
в руке, то интересующего нас явления получить вообще нельзя.
115. Натянутая струна с двумя прикрепленными к ней мас-
сами может служить для иллюстрации некоторых общих прин-
ципов. Так, например, период колебания, который остается воз-
можным, когда одна масса удерживается в покое, является про-
межуточным между двумя свободными периодами. Увеличение
каждой из нагрузок уменьшает высоту обоих собственных коле-
баний и обратно. Если в какой-нибудь точке струны, не совпа-
дающей ни с теми местами, где расположены другие грузы, ни
с узлом одного из бывших ранее возможными колебаний (другое
не имеет узла) помещен новый груз, то эффект все еще выра-
зится в увеличении обоих уже имеющихся периодов. Что касается
третьего, конечного периода, который становится возможным
впервые после добавления нового груза, то его можно считать
получающимся из одного из периодов бесконечно малой вели-
чины, неопределенное число которых может быть приписано
системе. Поучительно проследить влияние введения новой на-
Пб] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 189
грузки и ее постепенного возрастания от нуля до бесконечности,
но для этой цели проще взять случай, где имеется только одна
исходная нагрузка. Вначале имеется один конечный период xt и
другой период бесконечно малой величины та. По мере того как
нагрузка возрастает, та становится конечным, и оба периода xt
и т3 непрерывно увеличиваются. Посмотрим теперь, что про*
изойдет, когда нагрузка станет очень большой. Один из перио-
дов необходимым образом велик и способен беспредельно воз-
растать. Другой, напротив, должен приближаться к определенному
конечному пределу. Первый принадлежит движению, в котором
ббльшая масса колеблется почти так, как если бы другая отсут-
ствовала; второй есть период колебания меньшей массы, ведущей
себя почти так, как если бы ббльшая масса была неподвижна.
А так как тх и т2 никогда не могут быть равны друг другу, то
zt всегда должно быть больше т.а. Мы заключаем отсюда, что,
когда нагрузка непрерывно становится больше, беспредельно воз-
растает именно период tv а период та приближается к некото-
рому конечному пределу.
Мы переходим теперь к рассмотрению вынужденных коле-
баний.
116. Общие уравнения для системы с двумя степенями сво-
боды при учете трения имеют вид:
(ID3 4- <*?> + Л) х 4- (MD* -\-§D-\-B)y=*X,
В дальнейшем мы будем предполагать, что У«0 и что
Решение для у есть
„_(В- *'
у
Если связь между дг и у слаба, то постоянные М, р, В малы,
так что членом (В—/АИ 4"'Р/0а в знаменателе можно вообще
пренебречь. Когда это допустимо, то координата у такова, как
если бы изменение х было невозможно и была введена сила
Y, величина которой независима от N, у и С. Но если вслед-
ствие приближенного изохронизма между силой и одним из дви-
жений, которые становятся возможными, когда х или у заста-
вляют оставаться равными нулю, либо А—p^L-^-iap, либо
С — p*N-\-tfp мало, то член знаменателя, содержащий коэффи-
циенты взаимодействия, должен быть сохранен, так как отно-
сительно он уже более не является незначительным; решение
в этом случае имеет, следовательно, более сложный характер.
Симметрия показывает, что если бы мы приняли Х= О,
У = е<р«, то нашли бы для * такое же выражение, какое сейчас
190 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ [ГЛ. V
получено для у. Это — пример применения теоремы взаимности
§ 108 к системе, способной совершать два независимых движе-
ния. В качестве примера снова могут служить струна и два груза.
117. Все сказанное до сих пор относится к случаю заданной
силы. Теперь же мы предположим, что предписано движение
для одной координаты (х = е*Р*), в то время как Y = 0; для
большей простоты мы ограничимся случаем, когда C = 0. Значе-
ние у дается выражением
<*
Исследуем теперь, какова реакция этого движения на х. Мы
имеем
с_
Если действительная и мнимая части коэффициента при elPf суть
соответственно А' и ia'p, то мы можем положить
и (АШа + В) у = А 'х -\- а'х C)
А' - —
~ (С —
(
(С —
Отсюда ясно, что эффект реакции у (сверх того, что мы полу-
чили бы, полагая у~0) выражается в изменении А в А-\-А' и
а в a -j- а', где А' и а' имеют только что указанные значения;
он эквивалентен поэтому эффекту изменения коэффициентов упру-
гости и трения. Эти изменения являются, однако, не постоян-
ными величинами, «о функциями периода данного движения,
к исследованию характера которых мы теперь и перейдем.
Пусть п есть значение р, соответствующее собственному пе-
риоду у в отсутствии трения (л: сохраняется равным нулю), так
что С —rtW = 0. Тогда
F)
В большинстве случаев, с которыми мы имеем дело на прак-
тике, 7 мало, и интерес сосредоточивается главным образом на
значениях р, не сильно отличающихся от п. Мы оставим поэтому
без внимания изменения положительного множителя (В — Mjp3J,
а в малом члене fa/>a заменим р его приближенным значением п.
Когда же р не очень близко к л, данный член не имеет значения.
117] РЕАКЦИЯ ЗАВИСИМОЙ СИСТЕМЫ 191
Как и можно было ожидать на основании общего принципа
работы, а' всегда положительно. Максимум а' имеет место, когда
р = п с большой точностью; это максимальное значение а.' про-
порционально тогда величине l/f«3, которая изменяется обратно
пропорционально -у. На первый взгляд это могло бы быть и не-
ожиданным, так как кажется скорее парадоксом, что чем больше
трение, тем меньше его результат. Нужно, однако, вспомнить,
что f является только коэффициентом трения и что, когда f мало,
максимальное движение возрастает настолько сильно, что вся
работа, совершенная против трения, оказывается больше той, кото-
рая была бы совершена, если бы у было более значительным.
Главный интерес представляет, однако, зависимость А' от р.
Если р меньше, чем п, то А' отрицательно. Когда р переходит
через значение п, А' обращается в нуль и затем меняет знак.
Когда А' отрицательно, влияние у состоит в уменьшении восста-
навливающей силы колебания х. Мы видим, что это происходит
тогда, когда вынужденное колебание медленнее того, которое
свойственно у. Колебание у стремится, таким образом, замедлить
колебание х, если последнее с самого начала было более медлен-
ным и, напротив, ускорить его, если оно с самого начала было
более быстрым; эта тенденция исчезает только в критическом слу-
чае идеального изохронизма. Попытка заставить х колебаться со
скоростью, определяемой п, связана со своеобразной трудностью,
аналогичной той, с которой встречаются, когда хотят привести
в равновесие тяжелое тело с центром тяжести, расположенным
выше опоры. В какую бы сторону при этом ни была незначительно
нарушена точность установки, влияние возникающего колебания
всегда увеличивает ошибку. Примеры неустойчивости тона, сопро-
вождающего сильный резонанс, встретятся нам в будущем, но
несомненно, что наиболее интересно применение результатов этого
раздела к объяснению аномальной рефракции в веществах, обла-
дающих сильно выраженным селективным поглощением света двух
длин волн, расположенных (в нормальном спектре) непосредственно
по обе стороны полосы поглощенияг), Христиансен и Кундт, кото-
рые открыли это замечательное явление, заметили, что среда
такого рода (например, раствор фуксина в алкоголе) преломляет
луч непосредственно ниже полосы поглощения аномально с избыт-
ком, а выше ее с недостатком. Если бы мы предположили—это
естественно сделать по другим основаниям, ¦— что интенсивное
поглощение есть результат согласного действия колебаний света
и некоторого колебания, свойственного молекулам поглощающего
агента, то наша теория указывала бы, что для света несколь-
ко большего периода эффект должен быть такой же, какой
1) W. Rayleigh, Phil. Mag., май 1872; см. также Sellmeier, Pogg. Ann.,
том CXLIII, стр. 272, 1871.
192
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
[гл.. v
получился бы в результате ослабления естественной упругости
эфира, обнаруживающегося в замедленном распространении света и
в увеличенной преломляемости. По другую сторону от полосы
поглощения влияние последней должно сказываться в противопо-
ложном направлении.
Чтобы проследить закон, связывающий А' и р, положим для
краткости in = a, Л^(р9^ла) = лг; таким образом,
At Х
JC3 + в2
Когда знак х изменяется, А' также меняет знак, но сохра-
няет свое численное значение. Когда х = О или ± оо, А' обра-
Y ща^тся в нуль Отсюда
следует, что начало ко-
ординат лежит на кри-
вой, графически изобра-
жающей данный закон
(фиг. 18), а ось дг-ов
является ее асимптотой.
. .. Максимальное и мини-
иг' ' мальное значения А'
имеют место, когда х соответственно равно +а или —а> и
тогда
Соответствующие значения р даются уравнением
G)
Отсюда, чем меньше значение а или f. тем больше будет ма-
ксимальное изменение А и тем больше и больше соответствующее
значение р будет приближаться к п Целесообразно, пожалуй,
повторить, что применительно к оптике уменьшение i сопро-
вождается увеличением максимального поглощения. Когда периоды
подобраны так, чтобы возможно более благоприятствовать А',
соответствующее значение о' равно потовине его максимума.
ГЛАВА VI
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН
118. Среди колеблющихся тел ни одно не занимает такого
выдающегося положения, как натянутые струны. С давних пор
они применяются для музыкальных целей, да и в настоящее
время они все еще являются существенной частью таких важных
инструментов, как фортепиано и скрипка. Для математика они
всегда должны представлять особый интерес, ибо именно вокруг
них разыгрывались споры Даламбера, Эйлера, Бернулли и Лагранжа
относительно природы решений дифференциальных уравнений в част-
ных производных. Для изучающих ак)сгику струны вдвойне
важны. Благодаря сравнительной простоте их теории они являются
основой, которая облегчает рассмотрение трудных или неясных
вопросов, таких, как вопросы, связанные с природой простых
тонов; с другой стороны, в форме монохорда или сонометра
струны дают исключительно удобное средство для сравнения
высот.
«Струна» акустики — это идеально ровная и гибкая нить из
твердого материала, натянутая между двумя неподвижными точ-
ками; это, конечно, — идеальное тело, никогда не реализуемое на
практике, хотя большинство струн, применяемых в музыке,
являются очень хорошим приближением к нему. Впоследствии
мы увидим, как следует учитывать малые отклонения от полной
гибкости и однородности.
Колебания струн можно разделить на два различных класса,
которые, если амплитуды колебаний не превосходят известных
пределов, практически независимы дэуг от друга. В колебаниях
первого класса смещения и движения частиц являются продоль-
ными, так что здесь струна всегда остается прямой. Потенциаль-
ная энергия смещения зависит не от полного натяжения струны,
а только от изменений натяжения, происходящих в различных
частях струны в результате увеличения или уменьшения ее растя-
жения. Чтобы вычислить ее, мы должны знать связь между растя-
жением струны и силой натяжения. Приближенный закон (дан-
ный Гуком) гласит, что растяжение изменяется пропорционально
13 34К 1774 РиаЛ, I
194 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
натяжению, так что, если / означает нормальную длину струны,
/'—длину растянутой струны, а Т—ее натяжение, то
A)
где Е—постоянная, зависящая от материала и от поперечного
сечения струны; ее можно истолковать как то натяжение, кото-
рое понадобилось бы для растяжения струны до двойной длины,
если бы закон был приложим при таких больших растяжениях,
что вообще далеко не справедливо.
119. Колебания, принадлежащие ко второму классу, — это
поперечные колебания, т. е. при них частицы струны движутся
заметно только в плоскостях, перпендикулярных к струне.
В этом случае потенциальная энергия смещения зависит от общего
натяжения струны, и поэтому малые колебания натяжения, сопро-
вождающие добавочное растяжение, можно не учитывать. Здесь,
таким образом, предполагается, что натяжением струны, возникаю-
щим при ее движении, можно пренебречь по сравнению с тем,
которому она уже была подвергнута в положении равновесия.
Убедившись однажды в том, что это условие выполняется, мы
в наших исследованиях поперечных колебаний струн не будем
интересоваться дальнейшими подробностями, касающимися закона
растяжения.
НаибО1ее общее колебание поперечного, или латерального,
характера можно, как это мы сейчас докажем, разложить на
две группы составляющих нормальных колебаний, происходящих
во взаимно перпендикулярных плоскостях. Поскольку существен-
ное для задачи различие между какими-нибудь двумя плоскостями
может сказываться только в начальных условиях, то для боль-
шинства целей достаточно считать, что движение совершается
в одной единственной плоскости, которая проходит через линию
струны.
При изложении теории струн обычно принято начинать с двух
частных решений дифференциальных уравнений в частных произ-
водных, представляющих распространение волн в положительном
и отрицательном направлениях; эти решения соединяют так, чтобы
приспособиться к случаю конечной струны, концы которой удер-
живаются в покое; ни одно из решений в отдельности не сов-
местимо с существованием узлов или мест постоянного покоя. Эта
сторона вопроса очень важна, и мы рассмотрим ее полностью;
однако, едва ли было бы желательно основывать решение сразу же
на таком свойстве, характерном для однородной струны, как не-
возмущенное распространение в<уш. Мы будем следовать более
общему методу, принимая (в согласии с тем, что было доказано
в предыдущей главе), что движение может быть разложено на
1201 МАССА, СОСРЕДОТОЧЕННАЯ В ОТДЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ 195
нормальные компоненты гармонического типа, и определяя их
периоды и характер из специальных условий данной системы.
В качестве первого шага в осуществлении этого плана было
бы естественно исследовать те дифференциальные уравнения в част-
ных производных, которым подчиняется движение непрерывной
струны. Однако, чтобы пролить свет на ту сторону вопроса,
которая является наиболее важной для ясного понимания, именно
на связь между конечным и бесконечным числом степеней сво-
боды и на соответствующий переход от произвольных постоян-
ных к произвольным функциям, мы начнем изложение несколько
иначе.
120. В главе III было отмечено, что основное колебание струны
не изменит полностью своего характера, если масса струны будет
сосредоточена в ее средней точке. Исходя из этой мысли, мы
видим, что если бы вся струна была разделена на значительное число
небольших участков и если бы масса каждого такого участка была
сосредоточена в его центре, то, увеличивая в достаточной степени
число этих участков, мы могли бы притти к системе попрежнему
с конечным числом степеней свободы, но уже способной пред-
ставлять с любой желаемой точностью однородную струну, по
крайней мере, поскольку
это касается более низких '|'|«|«|»1«|«|-
составляющих колебаний.
Если бы аналитическое ре- фш щ
шение можно было получить
при любом числе делений струны, то в пределе оно дало бы
результат, соответствующий однородной струне. Это — как раз
тот метод, которому следовал Лагранж.
Пусть /—длина струны, р/—общая ее масса, так что р озна-
чает массу, приходящуюся на единицу длины, 7\ — натяжение
струны.
Струна разделяется на т -J-1 равных частей (я), так что
(т+1)« = /. A)
В т точках деления предполагаются сосредоточенными равные
массы (|л), представляющие массы участков (а) струны, которые
они делят пополам. Массы крайних участков длиной 1/2 а пред-
полагаются сосредоточенными в крайних точках струны. При этих
условиях мы имеем
(я+1)ц=-р/. B)
Мы исследуем колебания струны, лишенной сама по себе инер-
ции, но нагруженной в каждой из т точек, равноотстоящих друг
от друга и от концов струны, массой |*.
Если обозначить через tyv tya, ..., <{iTO+3 поперечные смещении
нагруженных точек, включая начальную и конечную точки струны,
13*
196
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН
то мы имеем следующие выражения для Т и V:
[ГЛ. VI
C)
с условиями, что ^i и фт+з обращаются в нуль. Из этих выраже-
ний получаются по методу Лагранжа т уравнений движения:
О,
где
27\
E)
F)
Предполагая теперь, что рассматриваемое колебание есть
колебание нормального типа, мы примем, что смещения C/v tya, ...
все пропорциональны cos (nt—е), где остается определить п.
А к В можно тогда рассматривать как постоянные, подставив — яа
вместо ?>а.
Если мы положим для краткости
С_ п i
_ —__,
G)
то характеристическое уравнение, которое дает значения «а, при-
мет форму:
С, 1, 0, 0, 0 (то строк)
1, С, 1, 0, 0
О, 1, С, 1, 0, .... =0.
О, 0. 1, С, 1. .... (8)
О, 0, 0, 1, С, ....
Из этого уравнения можно было бы найти значения корней.
Можно показать, что если C=2cos6, то написанный определи-
тель эквивалентен sin (m -j- 1) 6/sin 6; мы достигнем, однако, нашей
цели с большей легкостью непосредственно из уравнений E),
действуя по аналогии с результатами, известными для непре-
рывной струны и беря в качестве пробы колебание некоторого
частного типа.
120] МАССА, СОСРЕДОТОЧЕННАЯ В ОТДЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ 197
Пусть, таким образом, решение имеет вид:
^,. = Р sin (г — 1) р cos (nf -r- в) (9)
— форма, удовлетворяющая условию ^ = 0. Чтобы могло обра-
щаться в нуль ^от+2> должно быть
-«*. A0)
где s — некоторое целое число. Подставляя принятые для <|>
выражения в уравнения E), мы найдем, что последние удовле-
творяются при условии
0, A1)
так что выражение я через ^ есть
"g. A2)
Нормальное колебание представляется, таким образом, выраже-
нием
Ь = Р* si"('~+Гcos(V-Ь). A3)
где
а Я, и I, обозначают произвольные постоянные, не зависящие от
общих свойств системы; т допустимых значений п находятся из
уравнения A4), для чего s последовательно приписываются значе-
ния 1, 2, 3, .... от; все значения л различны. Если взять
s = m-(-l, то <Jv обращается в нуль, так что это значение не
соответствует возможному колебанию. Ббльшие значения s дают
снова те же самые периоды. Если /и-f-l—четное число, то
одно из значений я, соответствующее s = 1/i(tn-{-l), то же
самое, какое было бы найдено в случае единственного груза
(от = 1). Смысл полученных результатов очевиден. При колеба-
ниях рассматриваемого типа каждая вторая частица остается
в покое и, следовательно, промежуточные частицы движутся так,
как если бы они были укреплены в центрах струн длиной 2а,
закрепленных на концах.
Наиболее общее решение мы найдем, суммируя все возмож-
ные частные решения нормального типа:
?f os(V-8e). A5)
3 = 1
Если давать соответствующие значения произвольным постоянным,
то это общее решение может быть отождествлено с колебанием,
возникающим при произвольных начальных условиях.
198
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН
[ГЛ. VI
Пусть дг означает расстояние частицы т от конца струны,
так что (г—1)а = х; тогда, заменяя jt и а их выражениями из
уравнений A) и B), мы можем написать наше решение в такой
форме:
A6)
T.X
P, sin s -j- cos (nst — a,),
'¦V4
Sitl
Чтобы перейти к случаю однородной струны, мы должны
только принять т бесконечно большим. Первое уравнение при
этом сохраняет свою форму и определяет смешение в каждой
точке х. Предельная форма второго уравнения будет просто
h
Р
откуда для периода
¦?-?/*•
A8)
A9)
Таким образом, период самого низкого тона, который мы на-
ходим, полагая s=l, является кратным периодам составляющих
тонов. Все движение в целом во всех случаях периодическое
с периодом 21 у —¦. Эту формулировку не нужно, однако, по-
нимать в том смысле, что более короткие периоды исключаются
вообще, так как в частных случаях некоторое число более низ-
ких тонов может отсутствовать. Здесь утверждается лишь то,
что упомянутый выше интервал времени достаточен для полного
повторения движения. Дальнейшее обсуждение важной формулы A9)
мы пока отложим; интересно, однако, проследить за переходом
к пределу в формуле A7), когда т постепенно возрастает. Для
этой цели достаточно взять самый низкий тон, для которого
s=l, и, таким образом, проследить за изменением выражения
Следующие данные представляют собой ряд соответствующих
значений этой функции и переменной т:
2(ж +
1)
т
sin-^
к
1
0,9003
2
0,9549
3
0,9745
4
0,9836
9
0,9959
19
0,9990
39
0,9997
121J МАССА, СОСРЕДОТОЧЕННАЯ В ОТДЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ 199
Можно видеть, что значение функции оказывается близким
к предельному уже при очень умеренных значениях т. Так как т
есть число (способных перемещаться) грузов, то случай т = 1
соответствует задаче, исследованной в главе III; при сравнении ре-
зультатов следует, однако, помнить, что там мы предполагаем всю
массу струны сосредоточенной в центре. Здесь же нагрузка в цент-
ре вполовину меньше; остальная часть предполагается сосредо-
точенной на концах струны, где она не дает никакого эффекта.
Из того факта, что наше решение является общим, вытекает,
что любая первоначальная форма струны может быть предста-
влена выражением:
cos e)»sIn s "т"* B0)
А так как всякая форма, возможная для струны вообще, может
рассматриваться как начальная, мы заключаем, что всякая конеч-
ная однозначная функция х, которая обращается в нуль при
х = О и х = /, может быть разложена в ряд синусов аргумента
^j- и ег0 кратных, что является одним из случаев теоремы Фурье.
Мы покажем теперь, как может быть получена более общая форма.
121. Мы могли бы определить постоянные для одноэодной
струны теперь же путем интегриэования, как в § 93, однако по-
учительнее решить проблему сначала в общем случае (для конеч-
ного т), а затем уже перейти к пределу. Начальные условия
гаковы:
«Ко) «Л, «In-у + A%An2^j- + • • •-М„ »ta ж-у-,
sin 2 ™+ Л9 sin А— + ... -\-Ат sin 2m ™,
<]> {та) — At sin т -у -j- А3 sin 2m у -J- ... -J- Am sin mm -j,
где для краткости положено Лв = Ряcosв§ и <j*(fl), <[<Ba),...
..., ty(ma) представляют собой начальные смещения т частиц.
Для определения постоянной А, умножим первое уравнение
на sins-^, второе на sin 2s ^- и т. д., а затем сложим резуль-
таты. Тогда согласно формулам тригонометрии коэффициенты при
всех постоянных, за исключением As, обращаются в нуль, коэффи-
циент же при At равен -^{т-\-\) 1). Отсюда
1) Todhunter, Int. Calc, стр. 267,
800 ПОПЕРЕЧНЫ! КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
Нам не нужно здесь выписывать значения Ва (равные Pt sin 8g)
в зависимости от начальных скоростей. Когда а становится бес-
конечно малым, га под знаком суммы меняется бесконечно ма-
лыми ступенями от нуля до /. В то же время —ХТ==Т»
так что, написав ra = x, a = dx, мы имеем окончательно
I
^--jj ¦(*).*! (^)rf*. B)
о
что дает выражение Ая через начальные смещения точек струны.
122. Мы исследуем теперь независимо от предыдущего диффе-
ренциальное уравнение в частных производных, определяющее
поперечное движение идеально гибкой струны, предполагая, 1) что
натяжение струны может считаться постоянным, 2) что квадра-
том наклона какого-нибудь участка струны относительно ее перво-
начального направления можно пренебречь. Как и прежде, р обозна-
чает линейную плотность в какой-либо точке, a Tt — постоянное
натяжение. Пусть оси прямоугольных координат расположены,
соответственно, параллельно и перпендикулярно струне, так что
координата дг дает положение любой частицы в состоянии равно-
весия, а х, у, z — ее смещенное положение в момент времени t.
Силами, действующими на элемент dx, являются натяжения
на его концах и какие-либо внешние силы Fp dx, Zp dx. Согласно
принципу Даламбера они образуют систему, находящуюся в равно-
му д3г ~
весии с реакциями на ускорения — р ~, — ?~ш • ° точке дг
компоненты натяжения равны
ду т дг
«ели пренебречь квадратами -Д и ^ ; таким образом, силы, дей-
ствующие на элемент dx и возникающие за счет натяжения
струны, равны
х т\
Отсюда получаем уравнения движения
EL=*lk д2У I у
Р р дх*<~*
из которых видно, что зависимые переменные у и z совершенно
не зависят одно от другого.
123] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ УРАВНЕНИЯ 201
Изучающему следует сравнить эти уравнения с соответствую-
щими уравнениями в конечных разностях § 120. Последние можно
написать так:
В пределе, когда а становится бесконечно малым,
ф (* - а) + ф (ж + а) - Ц (*) = Ф* (*) оа.
где (i = pa; уравнение окончательно принимает следующую форму:
что согласуется с уравнением A).
Аналогичным образом предельные формы выражений C) и D)
§ 120 имеют следующий вид:
<<*¦
f (§)"
что также можно проверить непосредственно.
Первое ясно из определения Т. Чтобы доказать второе, доста-
точно заметить, что потенциальная энергия в каком-либо поло-
жении есть та работа, которую нужно совершить для получения
требуемого растяжения против натяжения Tv Если производить
отсчет от положения равновесия, то мы имеем
ду
а с точностью до квадрата -j-
ds ,
123. В большинстве приложений, с которыми мы будем иметь
Д'-ло, плотность р постоянна, внешние силы отсутствуют, и, кроме
jro, можно предполагать, что движение происходит в одной
плоскости. Мы вправе поэтому написать
¦?-* A)
дифференциальное уравнение примет тогда следующий вид:
202 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
Если мы предположим теперь, что у изменяется пропорцио-
нально cos mat, то наше уравнение преобразуется в
0 ^ = 0, C)
наиболее общим решением которого является
у == (A sin mx-\-C cos mx) cos mat. D)
Это, однако, еще не есть самое общее гармоническое движе-
ние для данного периода. Чтобы получить последнее, мы должны
принять для у следующее выражение:
у=ух cos mat-\-y% sin mat, (б)
где yt и у% — функции х, при этом не обязательно одинаковые.
Подставив выражение для у в уравнение B), мы видим, что yt
и уа в отдельности удовлетворяют уравнениям вида C), так что
окончательно
у = (A sin mx-{-C cos mx) cos mat -\-
-f- (J3 sin mx -\- D cos mx) sin mat F)
— выражение, содержащее четыре произвольные постоянные. Для
всякого участка струны, непрерывно удовлетворяющего дифферен-
циальному уравнению, это — наиболее общее возможное решение,
при условии, что движение в каждой точке будет простым гармо-
ническим Всякий же раз, когда струна является частью некото-
рой системы, колеблющейся свободно и без рассеяния, все ее
части, как мы знаем из предыдущих глав, находятся одновре-
менно в одьоЛ и той же фазе. Последнее требует, чтобы
A:B = C:D, G)
и тогда самым общим колебанием простого гармонического типа
будет
у = (ос sin mx -f- p cos mx) cos (mat — e). (8)
124. Самой простой и вместе с тем самой важной задачей,
связанной с настоящим нашим предметом, является исследование
свободных колебаний струны конечной длины /, закрепленной на
своих концах. Если мы поместим начало координат х на одном
конце струны, то условия на концах будут таковы, что когда
х = 0 и х = 1, у обращается в нуль для всех значений t. Пер-
вое из этих условий требует, чтобы в уравнении F) § 123
С=0, D = 0, A)
а второе, — чтобы
dnw/=eO B)
124] ЗАКРЕПЛЕННЫЕ КОНЦЫ 203
или чтобы ml = sn, где s — целое число. Мы устанавливаем, та-
ким образом, что возможны только такие гармонические колеба-
ния, для которых
« = -, C)
и тогда
«(^ ^) D)
Но мы знаем a priori, что каково бы ни было движение, его
всегда можно представить в виде суммы простых гармонических
колебаний; мы заключаем поэтому, что наиболее общим решением
для струны, закрепленной в 0 и в /, будет следующее:
в=оо
у = 2^sin—\A*cos ~i—\~B»sin ~i~r E)
e=i
Самым медленным колебанием является то, которое соответствует
s==l. Его период (тх) дается формулой:
Другие компоненты имеют периоды, которые являются целыми,
частями \\
так что, как уже указывалось выше, движение в целом при всех
обстоятельствах будет периодическим с периодом т1. Издаваемый
звук образует вообще музыкальную ноту— согласно нашему
определению этого понятия,—высота которой определяется xv т. е.
периодом самой низкой ее компоненты. В отдельных случаях
может, однако, оказаться, что наинизшее колебание отсутствует,
но в то же время движение в целом не является периодическим
с более коротким периодом. Такое положение вещей возникает
тогда, когда /li-j-Bi обращается в нуль, между тем как, на-
пример, Лз + 52 и Л^-j-Bs конечны. В подобных случаях звук
едва ли можно называть нотой; на практике, впрочем, бывает
большей частью так, что, когда самый низкий тон отсутствует,
то его место, как основного тона, занимают другие, и звук все
еще образует ноту в обычном смысле этого слова, хотя, конечно,
более высокую. Простой случай получается, когда отсутствуют
все нечетные компоненты, начиная с первой. Движение в целом
будет тогда периодическим с периодом Va Ti> и если вторая ком-
понента налицо, то звук нисколько не будет казаться неесте-
ственным.
Высота ноты F), издаваемой струной, и характер основного
колебания были впервые исследованы с механической точки
204 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. IV
зрения Бруком Тэйлором в 1715 г.; однако общим решением, ко-
торое выражается уравнением E), мы обязаны Даниилу Бернулли
A755). Бернулли получил его, как это сделали и мы, путем син-
теза частных решений, позволительного с точки зрения его прин-
ципа сосуществования малых движений. В его время вопрос об
общности результата, полученного таким путем, оставался откры-
тым; действительно, мнение Эйлера, а также, что довольно странно,
и Лагранжах) было таково, что ряд синусов в уравнении E) не
в состоянии представлять любую произвольную функцию; с дру-
гой стороны, и доказательство Бернулли, исходящее из факта
наличия в нашем распоряжении бесконечно большого числа по-
стоянных, было, конечно, неудовлетворительным %
Большая часть закономерностей, заключающихся в формуле
Тэйлора F), была много ранее A636 г.) открыта эксперимен-
тальным путем Мерсенном. Эти закономерности можно формули-
ровать так:
1. Для данной струны и для данного натяжения период ме-
няется пропорционально длине струны.
Это положение является основным принципом монохорда и,
повидимому, было известно уже древним8).
2. Когда длина струны задана, период меняется обратно про-
порционально корню квадратному из натяжения.
3. Струны с одинаковыми длиной и натяжением колеблются
с периодами, пропорциональными корням квадратным из их ли-
нейных плотностей.
Все эти важные результаты могут быть получены методом
размерностей, если принять, что т зависит только от /, р и Tv
Действительно, если обозначить единицы длины, времени и массы
соответственно через [/.], [Т], [М\, то размерности названных
выше величин выразятся следующим образом:
/= Щ, р = \ML~4, Тх = [MLT-%
!) См. Riemann, Partielle Differentiaigleichangen, § 78.
2) Д-р Юнг в своем мемуаре от 1800 г., ювидимому, вполне пра-
вильно понимал этот вопрос. Он говорит: «Вместе с тем, как правильно
заметил г. Бернулли, поскольку каждую кривую можно сколь угодно
точно аппроксимировать, рассматривая ее ординаты как образованные из
ординат бесконечно большого числа трохоид различной величины, можно
доказать, что все эти составляющие кривые вернутся в свое началь-
ное состояние в то же самое время, в какое однородная струна, кото-
рой придана форма трохоидальной кривой, совершит одно колебание;
это — в некоторых отношениях удобный и сжатый метод рассмотрения
задачи».
*) Аристотель «знал, что труба или струна двойной длины дает звук,
в' котором колебания занимают вдвое большее время, и что свойства
созвучий зависят от отношений времен, занимаемых колебаниями от-
дельных звуков* (Young, Lectures on Natural Philosophy, том I, стр. 404).
125] законы mepcehih 205
и, следовательно (см. § 52), единственная их комбинация, способ-
ная представлять время, есть Т['!' • р • /. Неопределенным
остается при этом числовой множитель.
125. Законы Мерсенна иллюстрируются всеми струнными ин-
струментами. При игре на скрипке различные ноты получаются
от одной и той же струны путем укорачивания ее эффективной
длины. При настройке скрипки или фортепиано нужная высота
достигается, при постоянной длине струны, изменением ее натяже-
ния; следует, однако, помнить, что р здесь не вполне постоянно.
Чтобы получить со струной из данного материала нужную
высоту, требуется лишь удовлетворить определенному соотноше-
нию между длиной, толщиной и натяжением струны; однако на
практике такая большая свобода обычно отсутствует. Длина
часто ограничивается из соображений удобства, а в то же время
ее сокращение не всегда может быть компенсировано увеличе-
нием толщины, так как, если натяжение не возрастает пропор-
ционально сечению струны, имеет место потеря гибкости; между
тем при таком возрастании натяжения ничто не способствует
понижению высоты звука. Эту трудность в низких струнах фор-
тепиано и скрипки избегают тем, что навивают на них тонкую
проволоку, которая сообщает струне дополнительную инерцию
и в то же время не слишком ухудшает ее гибкость.
Для количественного исследования законов колебания струн
служит сонометр. Кишечная струна или металлическая проволока
натягивается поперек двух подставок, расположенных на резонанс-
ном ящике, с помощью груза и блока. Подвижная подставка, по-
ложение которой определяется по шкале, идущей параллельно
проволоке, дает возможность укорачивать эффективную длину
проволоки до желаемой величины. Колебания сонометра можно
возбуждать щипком, как на арфе, или же смычком (хорошо на-
тертым канифолью), как на скрипке.
Если поместить подвижную подставку на половине расстояния
от неподвижных, то нота повышается на октаву, если же струна
укорочена до одной трети, получаемая нота является дуодецимой.
С помощью закона длин Мерсенн впервые определил частоты
известных музыкальных нот. Он подбирал длину струни до тех
пор, пока ее нота не оказывалась одной из тех, которые занимают
определенное положение в музыкальной гамме, а 8атем увеличи-
вал длину струны при неизменном натяжении до тех пор, пока
колебания не становились настолько медленными, что их можно
было сосчитать.
Для экспериментальных целей удобно иметь две или несколько
струн, расположенных рядом, и изменять при этом поочередно
их длины, массы и натяжения. Так, чтобы две струны одинако-
вой длины могли давать интервал в одну октаву, их натяжения
должны находиться в отношении 1 :4 при одинаковых массах;
206 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН (ГЛ. VI
если же у них одинаковые натяжения, то в обратном отношении
должны находиться их массы.
Сонометр очень полезен для численного определения высоты.
Изменяя натяжение, струну настраивают в унисон с камертоном
или с каким-нибудь другим стандартом известной частоты, а за-
тем, перемещая подвижную подставку, определяют ту длину, при
которой струна колеблется в унисон с нотой, высоту которой
предложено измерить. Закон длин дает при этом средство вы-
полнить желаемое сравнение частот.
Важно другое применение этого закона, служащее для опре-
деления абсолютной высоты и принадлежащее Шейблеру. Принцип
здесь тот же самый, какой был1 изложен в главе III, а самый ме-
тод основан на определении абсолютной высоты двух нот, когда
известны одновременно отношение и разность их частот. При
этом тщательно измеряется длина струны сонометра, когда она
звучит в унисон с камертоном и когда она дает с ним четыре
биения в секунду. Отношение длин струны для этих двух случаев
равно обратному отношению частот, разность же частот равна
четырем. Из этих данных может быть вычислена абсолютная вы-
сота камертона."
Число колебаний струны можно также вычислить из механи-
ческих элементов системы по формуле Тэйлора, однако, чтобы
обеспечить точность, здесь необходимы большие предосторож-
ности. Натяжение осуществляется с помощью груза, массу кото-
рого (выраженную в тех же самых единицах, что и р) можно
обозначить через Р, так что Tt = gP, где ?=32,2, если за еди-
ницы длины и времени принять соответственно фут и секунду.
Чтобы на колеблющийся участок струны действовало полное натя-
жение, следует отказаться от применения подставок—условие,
которому можно удовлетворить, только подвесив струну вертикально.
После того как груз подвешен к струне, выделяют определенный
участок струны, прочно зажимая ее в двух точках, а затем изме-
ряют длину этого участка. Масса единицы длины р относится
к натянутой струне; ее можно найти косвенным путем, наблюдая
удлинение при натяжениях того же порядка, что и Tv затем
вычисляя удлинение, соответствующее Tv по закону Гука и взве-
шивая определенный кусок струны в ее нормальном состоянии.
После того как зажимы закреплены, необходимо старательно
избегать колебаний температуры, которые могут серьезно по-
влиять на натяжение струны. Эгим путем Зеебек получил очень
точные результаты.
126. Когда струна колеблется с самой низкой своей собствен-
ной частотой, то отклонение в любой момент времени пропорцио-
нально sin -j-, численно возрастая от каждого из концов к се-
редине; ни одна ив промежуточных точек струны не остается
1271 СОБСТВЕННЫЙ ЧАСТОТЫ 207
постоянно в покое. Иначе обстоит дело в случае более высоких
нормальных компонент. Так, если мы имеем колебание типа, выра-
жаемого уравнением:
то отклонение пропорционально величине sin-,-, которая обра-
щается в нуль в s — 1 точках, делящих струну на s равных частей.
Эти точки, в которых нет движения, называются узлами; к ним
можно прикасаться или даже закреплять их, нисколько не нару-
шая колебания. Образование «обертонов» с помощью легкого при-
косновения к струне в точках целочисленного деления является хо-
рошо известным приемом скрипачей. Все другие составляющие типы
колебаний, которые не имеют узла в точке прикосновения, тем
самым исключаются; таким образом, в отношении высоты эффект
здесь такой же, как если бы струна в точке прикосновения была
закреплена.
127. Постоянные, встречающиеся в общем выражении у,
§ 124, зависят от частных особенностей колебания и могут быть
выражены через начальные значения у и у. Полагая ? = 0, мы
находим
в=1 8=1
Умножая эти выражения на. sin — и интегрируя от 0 до /,
получаем
г г
i с\ fl _____ /У V (fy\
Эти результаты являются примером применения закона Стокса,
§ 95, так как та часть у, которая зависит от начальных скоро-
стей, есть
в=» '
v= V sin—^sin—-г- vnsin—тйх,
e=i о
и по ней можно сделать заключение о части, зависящей от
начальных смещений, производя дифференцирование jio времени
и заменяя у0 на у0.
Когда состояние струны в некоторый момент времени вполне
известно, то эти формулы позволяют вычислять движение для
всего последующего времени. Пусть, например, струна вначале
208
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН
(гл. vt
находится в покое и смещена так, что образует две стороны
треугольника (фиг. 20). Тогда Вв*=0, и
ь i
после интегрирования.
Мы видим, что As обращается в нуль, если sin-j-*=O, т. е.
если узел данной компоненты > колебания расположен в точке Р.
Р
Y
-В
Фиг. 20.
Более отчетливое представление о предмете можно создать
с помощью решения иного вида, которое будет сейчас дано.
128. В выражении у коэффициенты при sin^ представляют
собой нормальные координаты главы IV и V. Мы обозначим их
поэтому через <рв, так что конфигурация и движение системы
в каждый момент времени определяются значениями ср, и ср4 со-
гласно уравнениям:
A)
Мы образуем теперь выражения для Г и V, ,что позволит
получить нормальные уравнения колебания.
Выражение кинетической энергии есть
—+ ?9 sin —
о s=i
0 «=1
так как произведение каждой пары членов равно нулю по об-
щеиу свойству нормальных координат. Отсюда
128]
Аналогичным
образом
0
ТЕОРЕМА
ЮНГА
1 .-«
0 g=l
я=оо
209
8 = 1
Эти выражения не предполагают определенного частного движе-
ния, свободного или какого-либо иного; тем не менее мы можем
применять их для вычисления полной энергии свободно колеблю-
щейся струны, а именно, если М есть полная масса .струны (р/),
а вместо 7\ подставляется эквивалентная величина (а^>), то для
суммы энергий мы находим
e=i
или, выражая через Аа и В8 § 126,
e=l ^
Если движение струны не ограничено плоскостью ху, то нам
нужно только прибавить к полученному выражению энергию
колебаний в перпендикулярной плоскости.
Метод Лагранжа дает непосредственно уравнение движения,
которое уже было рассмотрено в § 66, именно
Если начальными значениями ср и «р являются <р0 и <р0, то общее
решение дается выражением
/
где вместо —г- написано л.
По определению Фв таково, что Ф88<р<, представляет собой
работу, совершенную внешними силами при перемещении 8<рь.
Отсюда, если сила, действующая в момент времени t на элемент
струны pdx, есть pY dx, то
i
14 Зак 1774. Рэлей, I
210 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
В этих уравнениях <рв, как мы можем видеть из уравнения- A),
есть линейная величина, и поэтому Фв представляет собой силу
обычного типа.
129. В тех приложениях, которыми нам предстоит заняться,
будет предполагаться, что на струну действует единственная
внешняя сила в непосредственной близости от точки х = Ь; ее
можно обычно рассматривать как нечто целое, так что
Ф8=8Ш^ \pYdX. A)
Если точка приложения силы совпадает с узлом колебания (s),
то Ф, = 0, и мы заключаем, что эта сила совершенно не оказы-
вает никакого влияния на данную компоненту. Этот принцип
очень важен; он показывает, например, что если струна нахо-
дится в покое в положении равновесия, то никакая сила, при-
ложенная в ее центре, в форме ли щипка, удара или движения
смычка, не может образовать ни одной из четных нормальных
компонент1). Если, после того как сила подействовала, точку
ее приложения остановить хотя бы прикосновением пальца, то
все движение немедленно прекращается: это объясняется тем, что
компоненты, не имеющие узла в данной точке, уничтожаются
в результате прикосновения к струне, а те, которые имели бы
его здесь, отсутствуют в движении с самого началаа). В более
общей форме это можно высказать так: заглушая движение
в какой-нибудь точке звучащей струны, мы устраняем все ком-
поненты колебания, которые не имеют узла в этой точке, и
оставляем совершенно незатронутыми компоненты, которые его
здесь имеют.
Что касается случая струны, оттянутой в одну сторону и
затем выведенной из покоя, то можно считать, что он охваты-
вается предыдущими формулировками. Полное решение может
быть получено следующим образом. Пусть движение начинается
в момент времени ? = 0, начиная с которого Ф8 = 0. Значение ср«
в момент времени t есть
9а = (?Л C0S nt + 7Г (?s)o Sitl nt> B)
где (<psH, (<pgH означают начальные значения величин с индек-
сом s. Но в настоящей задаче (<р8H = 0, а (срьH определяется
уравнением
1) Наблюдение, что гармоника не возбуждается, если оттянута одна
из ее узловых точек, принадлежит Юнгу.
2) Аналогичный результат получается в том случае, когда задержи-
ваемая точка находится на таком же расстоянии от одного конца струны,
на каком находится от другого конца точка возбуждения.
129) НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ 211
если Y' означает силу, с которой струна удерживается в сме-
щенном положении в точке Ь. Отсюда в момент времени t
и в силу уравнения A) § 128
8=1
где
л ——
Симметрия выражения E) в отношении х и Ь является при-
мером положения, высказанного в § 107.
Задача определения последующего движения струны, при-
веденной в колебания импульсом, сообщенным ей в точке Ь,
может быть рассмотрена аналошчным образом. Интегрируя выра-
жение F) § 128 по продолжительности импульса, мы находим
окончательно в тех же обозначениях, что и прежде:
(?*)<>= 17 sln— Yv
где через Kt обозначен )Y'd(- В то же время («pgH = 0, так
что в силу уравнения B) в момент t
8=1
Ряд из составляющих колебаний, как показывают предыдущие
выражения, при возбуждении струны щипком сходится быстрее,
чем при возбуждении ударом. Причина заключается в том, что
в первом случае начальное значение у непрерывно и разрыв терпит
dv
только -j-, между тем как в последнем внезапный скачок де-
лает само у (см. § 32, 101).
Проблема струны, приведенной в движение импульсом, может
быть решена также с помощью общих формул G) и (8) § 128.
Сила находит струну в состоянии покоя в момент f = 0 и дей-
ствует на нее в течение бесконечно короткого времени от t = 0
до t = x'. Таким образом, здесь (<pgH и (cpgH равны нулю, и уравне-
ние G) § 128 сводится к следующему:
14*
212 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
между тем как в силу уравнения (8) § 128
ГФ8df = sin ^~ Г Y'df = sin Z±Yt.
6 о
Отсюда, как и прежде,
Фв = Л Y< sin~slant. G)
До сих пор мы предполагали, что возмущающая сила сосредо-
точена в одной точке. Если же она распределена на некотором
протяжении р с каждой стороны от Ь, то нам нужно только про-
интегрировать выражения F) и G) по Ь, подставив, например,
в уравнение G) вместо KjSin-^-:
I
x sin -j- db.
Если величина Y[ постоянна между пределами интегрирования,
то это выражение сводится к следующему:
Kl^Sln —sit1-- (8>
Главный эффект распределения силы по некоторому участку
струны заключается в улучшении сходимости ряда для у.
130. Ближайшая задача, которая займет наше внимание,—
это задача о фортепианной струне. Причиной, вызывающей
колебание, здесь является удар молоточка, который падает на
струну и после удара отскакивает. Мы были бы неправы, пред-
полагая, как в предыдущем параграфе, что взаимодействие струны
и молоточка происходит в течение столь короткого времени, что
его продолжительностью можно пренебречь. С обыденной точки
зрения продолжительность соприкосновения действительно очень
мала, однако здесь ее надо оценивать, сравнивая с собственными
периодами струны. Фортепианные молоточки покрываются не-
сколькими слоями сукна со специальной целью сделать их более
податливыми и тем самым увеличить время соприкосновения.
Строгая трактовка этой задачи представляет большую трудность,
и ее решение, если бы его удалось получить, оказалось бы,
вероятно, слишком сложным, чтобы им можно было воспользо-
ваться; вводя, однако, некоторые упрощения, Гельмгольц получил
решение, передающее все существенные черты явления. Он
замечает, что, поскольку действительное смещение струны должно
быть незначительно в сравнении с деформацией покрова моло-
точка, закон изменения силы, развивающейся при соприкос-
новении, должен быть приблизительно таким, как если бы струна
130J ФОРТЕПИАННАЯ СТРУНА 213
была абсолютно неподвижна, — а в этом случае сила изменялась
бы по закону, выражающемуся с большой точностью круговой
функцией. Мы предположим поэтому, что в момент времени t = Q,
когда скорости и смещения равны нулю, в точке х = b на струну
начинает действовать сила F sin pt и что ее действие продол-
жается в течение половины периода круговой функции, т. е. до
момента времени t = п/р, после которого струна сразу же ста-
новится свободной. Значение р будет зависеть от массы и упру-
гости молоточка и лишь в малой степени от скорости, с какой
молоточек ударяется о струну.
Требуемое решение получается сразу же, если мы подставим
в общую формулу G) § 128 для силы Фд ее выражение
^бш/*'; A)
пределами интегрирования служат 0 и —. Мы находим (t > —)
п/р
j
. n%
4/>coss-
окончательное выражение для у получается, если мы заменим п
и р их значениями:
sin T Sltl / К
Мы видим, что все компоненты, имеющие узел в точке воз-
буждения, отсутствуют в этом выражении; этот результат, однако,
не зависит от частного закона силы.
Интерес настоящего решения лежит в тех сведениях, которые
оно может дать нам относительно зависимости возникающих
колебаний от продолжительности соприкосновения молоточка со
струной. Если мы обозначим отношение этой величины к основ-
ному периоду струны через ч, так что v = -ка : 2pl, то выражение
для амплитуды компоненты s будет иметь вид:
8/7 v cos (s%v) . snb ..
Мы придем обратно к случаю импульса, если положим v=s»Q
p
и Гх=
о
214 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
Когда v конечно, то исчезают те компоненты, периоды которых
составляют 2/3, 2/Б, 2jv ... продолжительности соприкосновения,
а когда s очень велико, ряд сходится как s~s. Следует принять
еще во внимание конечную ширину молоточка, которая также бу-
дет благоприятствовать сходимости ряда.
Законы колебания струн могут быть проверены, по крайней
мере в главных чертах, оптическими методами: при помощи ви-
брационного микроскопа или следящей точки, регистрирующей
особенности колебания на вращающемся барабане. Эти особенности
зависят от двух моментов: от способа возбуждения и от выбора
точки, движение которой наблюдается. При наблюдении не будет
видно компонент, имеющих узлы в точке возбуждения или
в точке наблюдения. Первые вообще не образуются, вторые же
не обнаруживаются наблюдением. Наиболее простое движение
получается тогда, когда струна возбуждается (щипком) посре-
дине, а наблюдается одна из точек, которые разделяют струну
на три одинаковые части, или наоборот. В этом случае первым
обертоном, нарушающим чистоту главного колебания, является
пятая компонента, интенсивность которой обычно недостаточна для
того, чтобы дать большое возмущение.
[Динамическая теория колебания струн может служить для про-
верки законов слуха; необходимые для этого эксперименты легко
выполняются на рояле. Освободим какую-нибудь струну, скажем
струну с, от ее демпфера нажатием клавиши и возбудим ее щипком
на одной трети ее длины. По теореме Юнга третья компонента
тогда не возбуждается, и ухо в согласии с этим действительно не
в состоянии обнаружить компоненту g'. Небольшое смещение точки
возбуждения снова дает g1; если при этом в помощь уху приме-
няется резонатор (g'), то лишь с трудом удается найти эту точку
с такой точностью, чтобы совершенно уничтожить тон. Экспери-
менты этого рода показывают, что ухо разлагает звук, издавае-
мый струной, в точности на те же самые составные части, какие
находятся путем избирательного резонанса, т. е. на простые тоны,
согласно определению этого понятия, данному Омом. Такиг экспе-
рименты позволяют также с большим удобством показать, что
когда мы слышим обертоны, это не является простой игрой во-
ображения, как думают многие, слыша их впервые1).
Если к струне, после того как она была сичьно возбуждена
ударом по клавише, прикоснуться пальцем в одной из точек,
делящих ее на три равные части, то все компоненты, за исклю-
чением 3-й, 6-й и т. д., которые останутся, таким образом, изо-
лированными, будут устранены. Неискушенный наблюдатель бывает
обычно поражен громкостью остающегося звука и начинает оце-
нивать ту большую роль, какую играют обертоны.]
Helmholtz, гл. IV; Brandt, Pogg. Ann., том СХП, стр. 324, 1861.
131) ТРЕНИЕ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ СКОРОСТИ 215
131. Случай периодической силы содержится в общем реше-
нии § 128, но мы предпочитаем следовать иному методу, чтобы
сделать дополнение в другом направлении. До сих пор мы не
принимали в расчет диссипативных сил, теперь же предположим,
что движение каждого элемента струны тормозится силой, про-
порциональной его скорости. Уравнение в частных проиводных
приобретает тогда следующий вид:
5+»*-*&+* а»
это уравнение позволяет рассмотреть интересующий нас во-
прос. Проще, однако, воспользоваться результатами предыдущей
главы, заметив, что в настоящем случае функция рассеяния F
имеет ту же самую форму, что и Т. Действительно,
8=1
где <pt. <Рз> • ¦ ¦ —нормальные координаты, с помощью которых Т
и V приводятся к суммам квадратов. Уравнения движения будут
поэтому иметь вид:
?. + *<Рв + «2?8=|-Фв. C)
т. е. тот же самый вид, что и для систем с одной степенью
свободы. К тому, что сказано в главе III, необходимо только
добавить следующее: так как х не зависит от s, то собствен-
ные колебания затухают так, что амплитуды сохраняют свои отно-
сительные значения.
Если периодическая сила F cos pt действует в одной точке,
то мы имеем
Фа= F sin —cos pt D)
и (§ 46)
2/rsins . snb . . . .-.
*•e -Т&Г sm -7- cos (p/—e), E)
где
Если бы среди собственных колебаний имелось колебание,
почти изохронное с cos pt, то возбудилось бы интенсивное коле-
бание этого типа, если бы, конечно, точка возбуждения не оказа-
лась вблизи узла этого колебания.
При точном совпадении данная компонента колебания исчезает,
так как никакая сила, приложенная в узле колебания, не может
216 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [гЛ VI
возбудить его при данном законе трения; следует, впрочем, заме-
тить, что последний имеет очень специальный характер. Если
трение отсутствует, то х = 0, и
^^ G)
что в случае полного изохронизма повело бы к бесконечно
большим колебаниям, если только sin у- не равен нулю.
Значение у здесь, как обычно, дается выражением:
^ ^ ^-... (8)
132. Приведенное выше решение служит примером примене-
ния нормальных координат в проблеме вынужденных колебаний.
Несомненно, что они в особенности применимы к свободным ко-
лебаниям и что вообще ими можно пользоваться с удобством всюду,
где система после воздействия различных сил остается в конце
концов предоставленной самой себе. С примерами этого мы уже
встречались.
В случае колебаний, вызванных периодическими силами, одно
из преимуществ применения нормальных координат заключается
в легкости сравнения результатов с результатами статической
теории; вспомним, что последняя представляет собой теорию
движения системы, основанную на предположении, что инерцию
системы можно не принимать во внимание. Если значение нор-
мальной координаты ср8 согласно статической теории есть Ascospt,
то действительное значение будет даваться уравнением
A)
так что если известен результат статической теории и если
его легко выразить через нормальные координаты, то истинное
решение, с учетом влияния инерции, может быть сразу же
написано.
В настоящем примере, если сила F cos pt с очень большим
периодом действует на струну в точке Ъ, результатом статиче-
ской теории, согласно которой струна в любой момент времени
состояла бы из двух прямых частей, будет
/pT.-^sln^cos/rf; B)
действительный результат для всех значений р получается отсюда
простой заменой я2 на (я9 — р"*).
1331 СРАВНЕНИЕ СО СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИЕЙ 217
Выражение для у в этом и в аналогичных случаях можно, одна-
ко, представить в конечной форме; задача получения такого выра-
жения для у обычно не труднее задачи нахождения вида нор-
мальных функций, когда система свободна. Так, предположим,
что в уравнении движения
Y изменяется по закону cos mat. Вынужденные колебания будут
тогда удовлетворять уравнению
Если же К = 0, то исследование нормальных функций требует
решения уравнения
& = о
и последующего определения т, чтобы удовлетворить граничным
условиям. В задаче вынужденных колебаний т задано, и нам
нужно только прибавить к какому-нибудь частному решению
уравнения C) дополнительную функцию, содержащую две про-
извольные постоянные. Эта функция, если отвлечься от значе-
ния да и от отношения постоянных, имеет ту же самую форму,
что и нормальные функции, и все, что остается сделать, — это
определить две постоянные в согласии с предписанными гранич-
ными условиями, которым должно удовлетворять полное реше-
ние. Аналогичные приемы рассуждения приложимы в случае
любой сплошной системы.
133. Если периодическая сила приложена в одной точке, то
представляются две различные задачи: первая задача получается,
если в точке х =b действует заданная периодическая сила, и
вторая, если заданным является действительное движение точки Ь.
Их удобно будет, однако, рассматривать вместе.
Обычное дифференциальное уравнение
удовлетворяется для любой точки обеих частей, на которые
ci-руна делится точкой Ь, но нарушается при переходе от одной
части к другой.
Чтобы учесть это изменение в произвольных постоянных, мы
должны, следовательно, принять различные выражения для у,
а затем ввести два условия, которые должны быть удовлетво-
рены в точке соединения. Эти условия следующие:
1) у не должно испытывать разрыва;
218 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
2) результирующая натяжений, действующих в точке Ь, урав-
новешивает внешнюю силу.
Таким образом, если сила равна F cos pt, то второе условие
дает
. / cliA ду
где Д(-г^-) означает изменение значения -?-, происходящее при
переходе через точку х = Ь ъ положительном направлении.
Мы найдем, однако, что более удобно заменить cos pt ком-
плексной показательной функцией е***, чтобы впоследствии, когда
символическое решение будет готово, отбросить мнимую часть.
Если предположить, что у изменяется по закону е*Р(, то дифферен-
циальное уравнение примет вид:
где X9 — комплексная постоянная:
Наиболее общее решение уравнения C) состоит из двух чле-
нов, пропорциональных соответственно sin кх и cos кх; однако
условие, которое должно быть удовлетворено в точке х = О,
показывает, что cos Xx здесь встречаться не может. Отсюда,
если feipt есть значение у в точке х = Ь, то
есть решение дифференциального уравнения для первой части
струны от х = 0 до х = Ь, Очевидно, что для второй части мы
будем иметь
Если f задано, то эти уравнения представляют собой символи-
ческое решение задачи, но если задана сила, нам нужно знать
еще соотношение между силой и -у-
Дифференцирование уравнений E) и F) и подстановка резуль-
татов в уравнение, аналогичное B), дают
P sin \b sin A. (/ — b)
1\ X sin W
133] ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИЛА, ПРИЛОЖЕННАЯ К ОДНОЙ ТОЧКЕ 219
Таким образом,
Р sin Xjc sin 1A — ft) ._,
y 7"i XsinW e
(8)
от х = 0 до х = b,
F sin X (/ — x) sin Xft ^ ^
:77^ XsinX/ e
от л; = b до jc == /l).
Эти уравнения представляют собой пример общего закона
взаимности, доказанного в предыдущей главе, так как из них
видно, что движение, возникающее в точке х под действием
силы, приложенной в точке Ь, такое же, какое возникло бы
в точке Ь, если бы сила действовала в точке х.
При исследовании решения мы возьмем сначала случай, когда
трение отсутствует. Коэффициент х тогда равен нулю, между тем
как X действительно и равно pja. Действительную часть решения,
соответствующую силе F cospt, мы найдем просто, заменив
в уравнении (8) е*Р* на cos pt; переписывать эти уравнения со
столь малым изменением едва ли необходимо. Это же самое заме-
чание справедливо и в отношении возбужденного движения, выра-
женного через f-
Очевидно, движение становится бесконечно большим в том
случае, когда сила изохронна с одним из собственных колебаний
всей струны, если только ее точка приложения не является
узлом; на практике, однако, нелегко устроить так, чтобы на
струну действовала сила заданной величины. Пожалуй, наилучшим
способом было бы прикреплять к струне небольшой кусочек
железа, периодически притягиваемый электромагнитом, через
обмотку которого течет прерывистый ток. Если, однако, не пред-
приняты некоторые меры компенсационного характера, то эта
масса должна быть очень мала, чтобы ее инерция не внесла
новых осложнений.
Лучшее приближение можег быть получено, если струна обя-
зана совершать некоторое определенное движение. Массивный
камертон низкого тона, возбуждаемый смычком или поддержи-
ваемый в непрерывном действии с помощью электромагнита,
совершает колебания приблизительно независимо от реакций каких-
либо легких тел, могущих быть связанными с ним. Поэтому, чтобы
заставить какую-нибудь точку струны совершать некоторое опре-
деленное поперечное движение, необходимо лишь прикрепить ее
к концу одной из ножек камертона, плоскость колебаний кото-
рого перпендикулярна к длине струны. Этот метод возбуждения
Donkin, Acoustics, стр. 121.
220 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
вынужденных колебаний струны впервые использован, повиди-
мому, Мельде1).
Другое устройство, лучше приспособленное для слухового
восприятия, применялось Гельмгольцем. Конец ручки мощного
камертона, приведенного в колебание с помощью смычка или
каким-нибудь другим путем, прижимается к струне. Поверхности,
по которой он соприкасается со струной, целесообразно придать
соответствующую (седлообразную) форму, чтобы предупредить
соскальзывание и дребезжание струны.
Обращаясь к уравнению E), мы видим, что если бы sin kb
обратился в нуль, то движение (согласно этому уравнению) сде-
лалось бы бесконечно большим; это может служить доказатель-
ством того, что в рассматриваемом случае движение действительно
может сделаться большим — настолько большим, что поправки,
ранее несущественные, приобретут значение. Но sin kb обращается
в нуль в том случае, когда сила изохронна с одним из собствен-
ных колебаний первой части струны, если предположить, что эта
часть закреплена в точках 0 и Ь.
Когда камертон помещен на струну монохорда или какого-
нибудь другого инструмента, снабженного соответствующим резо-
натором, то путем проб легко найти места максимального резо-
нанса. Очень незначительное смещение в ту или в другую сторону
влечет за собой значительное падение силы звука. Определенные
таким путем точки разделяют струну на несколько равных частей
такой длины, что собственная нота какой-нибудь из этих частей
(если предположить, что оба ее конца закреплены), как это легко
проверить, совпадает с нотой камертона. Важные применения
резонанса, которые принадлежат Гельмгольцу и имеют целью
освобождение простого тона от посторонних примесей, займут
наше внимание позднее.
134. Возвращаясь теперь к общему случаю, когда к — ком-
плексная величина, мы должны получить действительные части
выражений E), F) и (8) § 133. Для этой цели синусы, встречаю-
щиеся в этих выражениях в качестве множителей, необходимо
привести к виду Re**. Пусть, таким образом,
sin kx = Rj'x A)
при аналогичном обозначении для других синусов. Из уравнения E)
§ 133 мы получим
^-zb) B)
от * = 0 до л=я*, а из уравнения F) § 133
1) Melde, Pogg. Ann., CIX, стр. 193, 1859.
134)
fPEHHE, пропорциональное Скорости
221
от х = Ъ до х = /; оба эти выражения соответствуют принуди-
тельному движению у = f cos pt в точке b.
Аналогичным путем из уравнения (8) § 133, если
Х-« + /р, C)
мы получили бы
от лс = О до x — b,
D)
от х ах* ft до х = /, что соответствовало бы внешней силе F cos pt
в точке &. Остается найти выражения Rx, sxt ...
Значения аир определяются уравнениями
E)
тогда как
sin Хх = sin ax cos /|3;e -f- cos ax sin
since*
|_/cos ax я
так что
tg** =
между тем как
F,
(8)
Это соотношение завершает решение.
Если трение очень мало, то выражения могут быть упрощены.
Например, в этом случае с достаточным приближением
так что при принудительном движении в точке by = if cos pt ампли-
туда движения между х = 0 и х = ? будет приближенно равнаJ)
sin* ^—
а
cos3 ^1-
4я2
(9)
!) См., например, работу Morton and Vinycorab, Phil. Mag,, ноябрь
1904. {Ред. англ. изд.)
222 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. Vt
рЬ
когда sin ^- = 0 или когда точкой приложения является узел,
это движение становится большим, но все-таки не бесконечно
большим.
Если внешняя сила или наложенное движение не выражаются
одним гармоническим* членом, то их следует сначала разложить
на такие члены. Предыдущее решение можно применить тогда
к каждой компоненте в отдельности, а результаты затем сложить.
Распространение решения на случай более чем одной точки
приложения внешних сил также очевидно. Чтобы получить самое
общее решение, удовлетворяющее поставленным условиям, следует
еще добавить выражение для собственных колебаний, но эти
колебания, после того как движение уже происходило в течение
достаточного времени, становятся совершенно незаметными.
Закон трения, принятый в предыдущем исследовании, — един-
ственный, результаты которого легко проследить дедуктивным
путем; он достаточен для того, чтобы дать общее представление
о влиянии диссипативных сил на движение струны. Однако в дру-
гих отношениях заключения, выводимые из него, обладают фиктив-
ной простотой; последнее связано с тем, что F— функция рас-
сеяния— по своей форме одинакова с Т, благодаря чему нормаль-
ные координаты оказываются независимыми друг от друга. Почти
во всех других случаях (например, когда только одна точка струны
подвергается задерживающему действию трения) никаких нормаль-
ных координат, в собственном смысле этого слова, не существует.
Существуют, правда, некоторые элементарные типы колебаний, на
которые может быть разложено движение и которые совершенно
независимы, однако по своему характеру они существенно отли-
чаются от тех, которыми мы занимались до сих пор, так как
здесь различные части системы (участвующие в одном элементар-
ном колебании) не находятся одновременно в одной и той же фазе.
За исключением отдельных случаев, никакие линейные преобразо-
вания координат (с действительными коэффициентами) не могут
привести Т, F и V одновременно к суммам квадратов.
Если мы предположим, что струна не имеет инерции, так что
Т= 0, то Fa V можно привести к суммам квадратов. Для аку-
стики эта задача не имеет значения, однако она представляет
интерес, так как в математическом отношении она аналогична
задаче о распространении тепла путем теплопроводности и
излучения в стержне, оба конца которого поддерживаются при
постоянной температуре.
135. До сих пор мы предполагали, что в двух определенных ,
точках, х = 0 и х = /, струна удерживается в покое. Так как
абсолютной неподвижности на практике, однако, достигнуть
нельзя, не лишено интереса исследовать, в какой степени
может влиять на колебания струны известная податливость точек
135] податливость концов 223
закрепления; эта задача доставит нам, кроме того, случай сде-
лать одно или два важных замечания. Для простоты мы предпо-
ложим, что система симметрична относительно середины струны
и что каждый конец струны присоединен к массе М (мы считаем,
что эти массы не распределены в пространстве) и притягивается
пружиной ([*) к положению равновесия. Если никаких сит трения
нет, то движение необходимо должно разлагаться на нормальные
колебания. Положим
у = (a sin mx ~\- C cos mx) cos {mat — a). A)
Условия на концах струны следующие:
ДЛЯ Х — {
B)
что дает
а_ р tg ml — в ц —
J
Ш\
•—два уравнения, достаточные для определения величины т и
отношения р к i. Исключая из них последнее отношение, мы
находим
а — Мс&т2
где для краткости написано ч вместо =,—.
Уравнение C) имеет бесконечно большое число корней,
которые можно найти, приняв ч за tg 0, так что tg m/ = tg 26.
Результат сложения всех соответствующих частных решений,
каждое из которых содержит по две произвольные постоянные а
и s, необходимо является самым общим решением, какое вообще
возможно для данной задачи, и поэтому в состоянии представить
движение, возникшее в результате произвольного начального рас-
пределения смещений и скоростей. Мы приходим, таким образом,
к заключению, что любая функция от х может быть разложена
между х = О и х = 1 в ряд членов
<pt {\ sin mtx ~\- cos mtx) -f- <pa (va sin m%x -j- cos m^x) -j- ..., E)
где mv m2,*...—корни уравнения C), a tv \2, ...—соответ-
ствующие значения ч. Величины yv cpa, ... являются нормальными
координатами системы.
Из симметрии системы следует, что в каждом нормальном
колебании численные значения у в точках, одинаково отстоящих
от середины струны, совпадают (например, на концах струны,
224 Поперечные колебания струй [гл. vi
где х = О и х = I). Таким образом, ча sin mj-j- cos mj= dzl, как
это можно доказать и на основании уравнения D).
Кинетическая энергия Т всего движения складывается из
кинетической энергии струны и кинетической энергии масс М.
Таким образом,
г
Т= ур Г | V <p(v sin mx-f- cos mx) \ dx-f-
o
+ \ M(?i + Ъ + . • • )a+ 4"M H>i (*i sin щ!+ cos V)+ ...]*.
Но в силу характерного свойства нормальных координат члены,
содержащие их произведения, в действительности не могут встре-
чаться в выражении Т, так что
р Г (\ sin ntfX -f- cos mrx) (vg sin max -f- cos msx) dx -f-
o
+ M -f- M (yr sin mrl + cos m,I)(ча sin ntj + cos mat) = 0, F)
если г и s различны.
Эта теорема подсказывает нам, как следует определить произ-
вольные постоянные, чтобы ряд E) мог представлять любую
произвольную функцию у. Возьмем выражение
' г
Р Г У (Уa sin msx + cos msx) dX -\- My0 -j-
sin mJ + cos mat) G)
и подставим в него ряд E), представляющий у. Результатом этого
явится ряд, состоящий на членов типа
i
Р Г 9г ("V s*n mrX ~\~ COs Щ*) ("'g s'n max H" cos я1вЛ:) ^ ~Ь
О
уг-\-Мч>г(уг sin wr/+ cos mrl)(ya sin ma/-j- cos ras/);
все эти члены, за исключением одного, для которого г = s в силу
уравнения F), исчезают. Отсюда следует, что <ра равно выраже-
нию G), деленному на
г
р Г (у3 sin max + cos /Kjje)9 dx + AJ + Ж (vs sin msl -j- cos /и^)9, (8)
0
и, таким образом, коэффициенты ряда определены. Когда М =0
(хотя бы [>¦ при этом было даже и конечным), то процесс,
конечно, много проще, однако без ограничений проблема очень
поучительна. На самые доказательства рядов Фурье и Лапласа
135) теорема фурьё 225
часто затрачивается столько труда, что изучающий в состоянии
приобрести лишь чрезвычайно узкое представление о сущности
этих важных результатов анализа.
Мы покажем теперь, как из нашего настоящего исследования
можно получить теорему Фурье в ее общей форме. Пусть М = 0,
тогда, если \i = оо, концы струны неподвижны, и уравнение,
определяющее т, приобретает вид tg/re/=O или tnl — stt, что,
как мы знаем, и должно быть. В этом случае ряд для у приобре-
тает вид:
^-=>l1sin^ + ^9sln^+^8sin^+ .... (9)
который должен быть достаточно общим, чтобы представлять
любую произвольную функцию х, обращающуюся в нуль при
лг = О и х = 1, между этими пределами. Предположим теперь,
что [л равно нулю {М попрежнему равно нулю). Можно предпо-
ложить, что концы струны способны скользить по двум гладким
направляющим, расположенным перпендикулярно к ее длине:
краевым условием здесь является обращение в нуль -^-. Уравнение
для т остается тем же самым, что и прежде; оказывается,
таким образом, что всякая функция у', скорость изменения кото-
рой при л = 0 и х = / равна нулю, может быть разложена в ряд:
у' = Bt cos —+ Bacos -t—\-B9 cos —-h ».f > A0)
Этот ряд остается без изменения, когда изменяется знак х, пер-
вый же ряд изменяет только свой знак без изменения своей
численной величины. Поэтому, если у' есть четная функция х,
ряд A0) представляет ее в интервале от — / до-j-/. Аналогично,
если у есть нечетная функция х, то ряд (9) представляет ее между
теми же пределами.
Но какова бы ни была функция <о(х), ее можно разложить
на две части: четную и нечетную; таким образом,
?(¦*) + ?(—-«) i T(*) — ?(—*).
g 1 § »
следовательно, если функция <р(лс) такова, что <р(—/) = <р(-|-/)
и ср'(—/) = <р'(-[-/)¦ то ее можно представить между преде-
лами ±1 смешанным рядом
+ flCOe+48ln^fflCOS^+ A1)
Этот ряд периодический, с периодом 2/. Отсюда, если у(х)
также обладает этим свойством — независимо ох ее особенностей
15 Зак 1774 Рэлей, I
$26 поперечные колебания струн (гл. vt
в других отношениях, — то данный ряд ей вполне эквивалентен.
Это и есть теорема Фурье а).
Перейдем теперь к исследованию эффекта незначительной
податливости зажимов струны в том случае, когда ее концы
приблизительно неподвижны. Величина ч может быть большой
либо за счет ft, либо за счет М. Мы ограничимся двумя основными
случаями: 1) когда [а велико, а М обращается в нуль, 2) когда
I* обращается в нуль, а М велико.
В первом случае
и уравнение для т приближенно имеет вид:
2 2Т,т
-?
Примем ml=SK-{-x, где х мало; тогда приближенно
l
(l -f1). A2)
До этого порядка приближения тоны еще не перестают образо-
вывать гармоническую гамму, хотя высота целого слегка пони-
жается. Эффект податливости зажимов одинаков с эффектом
/ 2Т \
увеличения длины струны в отношении 1:11 -j—j I, как это и
можно было предполагать.
Результат будет иным, если равно нулю [*, в то время как М
велико. Здесь
МсРт
и приближенно
Отсюда
Эффект, таким образом, эквивалентен уменьшению / в отно-
шении
1) Лучшей «системой» для доказательства теоремы Фурье на осно-
вании динамических соображении является бесконечная цепь, натянутая
вокруг гладкого цилиндра (§ 139), или тонкий замкнутый столбик воз-
духа, заключенный в кольцеобразную трубку.
1S6] КОНЕЧНАЯ НАГРУЗКА 227
здесь, следовательно, имеет место увеличение высоты, тем боль-
шее, чем ниже составляющий тон. Можно было бы думать, что
всякая податливость понизит высоту звука, издаваемого струной,
однако предыдущее исследование показывает, что этого не про-
исходит. Повысится или понизится высота, — зависит от знака v,
а это в свою очередь зависит от того, будет ли собственная нота
массы М, притягиваемой пружиной ja, ниже или выше, чем нота
рассматриваемого составляющего колебания.
186. Задача об однородной струне, несущей конечную нагрузку М
в точке х =а Ь, может быть решена с помощью формул, исследо-
ванных в § 133. Действительно, если сила F cospt возникает как
результат реакции на ускорение массы М, то
F=*ip*M, A)
что в соединении с уравнением G) § 133 дает для определения
возможных значений X (или р:а)
йаМХ sin U sin X (/ — *) = 7\ sin X/. B)
Значение у для какого-либо нормального колебания, соответствую-
щего X, есть
у = Р sin Хлг sin X (/— *) cos (a\t — в) |
от # = 0 до x = b, \ C)
у ¦= Р sin X (/—д:) sin \b cos (aXt — в) )
от х = Ъ до х = /; Я и в — произвольные постоянные.
Не нужно прибегать к анализу, чтобы доказать, что на все
нормальные компоненты, которые имеют в точке, где помещена
масса М, узел, эта нагрузка нисколько не влияет. Если, напри-
мер, к струне, в ее середине, подвешен груз, то составляющие
колебания четных порядков остаются неизменными, между тем
как высота всех нечетных компонент понижается. Этим эффектом,
даваемым нагрузкой, иногда удобно воспользоваться, если для
какой-нибудь цели желательно нарушить гармоническое соотноше-
ние составляющих тонов.
Если масса М очень велика, то самая низкая компонента
будет очень значительно удалена по своей высоте от всех осталь-
ных. Мы возьмем случай, когда нагрузка находится в центре, так
что & = /-ч& = 1/а/. Уравнение для X принимает тогда вид:
где р/:М, т. е. отношение массы струны к массе нагрузки, есть
малая величина, которую можно обозначить через оа. Первый
15»
22Й
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН
[гл. vt
корень, соответствующий самому низкому тону, получается,
когда 1/аХ/ мало, так что приближенно
= а»,
откуда
период при этом дается уравнением:
Второй член представляет собой поправку к грубому значе-
нию, полученному раньше (§ 52) в результате полного пренебре-
жения инерцией струны. Что поправка будет аддитивна, можно
было ожидать заранее; действительно, данную формулу можно
получить из того соображения, что в фактическом колебании
две части струны являются почти прямыми и при вычислении
кинетической и потенциальной энер-
гии их вполне строго можно считать
таковыми, не внося заметной ошибки
в вычисляемый период. При этом
предположении благодаря тому, что
учитывается инерция струны, ки-
нетическая энергия, соответству-
ющая некоторой данной скорости
нагрузки, возрастает в отношении
М: (М -f- 1/8p/); это и приводит к
предыдущему результату. Этот ме-
тод имеет преимущество в том отно-
шении, что его можно применять в
случае, когда р непостоянно или приблизительно постоянно. Все,
что здесь необходимо, — это, чтобы нагрузка М была в доста-
точной мере преобладающей.
Других корней уравнений D), помимо тех, что даются урав-
нением
Фиг. 21.
нет; это уравнение дает вторую компоненту колебания струны —
колебание, не зависящее от нагрузки. Корни его, вслед за пер-
вым, следуют чрезвычайно тесными парами; первая группа кор-
ней дается уравнением 1/aW = sit, вторая, приближенно, — уравне-
нием 1l2kl = sir -f- -Ars, в котором второй член мал. Эти два типа
колебаний для s=l показаны на фиг. 21.
Общей формулой B) можно воспользоваться также для исследо-
вания влияния малой нагрузки на высоту различных компонент.
137] ПОПРАВКА НА ЖЕСТКОСТЬ 229
137. Действительные струны и проволоки не являются идеально
гибкими. Они оказывают некоторое сопротивление сгибанию; это
сопротивление можно разделить на две части, дающие различ-
ный эффект. Первая часть сопротивления называется вязкостью
и обнаруживается в затухании колебаний. Эта часть не влияет
чувствительно на периоды колебаний. Вторая часть имеет кон-
сервативный характер и увеличивает потенциальную энергию,
тем самым укорачивая периоды. Полное исследование вопроса
здесь не представляется уместным, но один случай, который
наиболее интересен в приложении к музыкальным инструментам,
допускает сравнительно простую трактовку.
Если во внимание принимается жесткость струны, то для
определения условий на концах струны недостаточно уже одного
указания, что у обращается в нуль. Здесь следует отметить
в особенности два случая:
1) Когда концы струны закреплены, так что на концах
Й-»-
2) Когда направления на концах совершенно свободны, так
Мы рассмотрим именно этот последний случай. Если бы
струна была лишена жесткости, то колебание было бы следую-
щего типа:
. sv.x
3»— sin -у,
что удовлетворяет второму условию.
Наличие жесткости могло бы слегка нарушить тип колебания,
но независимо от наличия подобного эффекта период, вычислен-
ный из кинетической и потенциальной энергий в предполо-
жении, что данный тип колебания не изменяется, необходимо
будет правильным с точностью до малых величин первого
порядка (§ 88).
Потенциальная энергия, обязанная жесткости струны, выра-
жается следующим образом:
Ь <¦>
где В — величина, зависящая от природы материала и от формы
сечения" струны; характерч этой зависимости мы сейчас опреде-
лить не в состоянии. Форма 8V очевидна, так как сила, которая
нужна для того чтобы изогнуть элемент ds, пропорциональна
ds
ds и уже достигнутому прогибу, т. е. —. Общая работа, ко-
торую нужно затратить, чтобы получить кривизну — для ds^
230 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
пропорциональна поэтому -|-; но при том приближении, с кото-
1 1 д
рым мы имеем дело, as = ах, а — = т
Таким образом, если
и период <р дается выражением:
В
где через т0 обозначен период для случая, когда струна обладает
идеальной гибкостью. Мы видим, что влияние жесткости быстро
возрастает с порядком составляющих колебаний, которые уже
перестают принадлежать к гармонической шкале. Впрочем, у струн,
применяемых в музыке, натяжение обычно достаточно велико,
чтобы сделать влияние жесткости незначительным.
Метод, которым мы только что пользовались, нельзя приме-
нять без изменения к другому случаю граничных условий,
именно, к случаю, когда концы струны закреплены. В непосред-
ственной близости от них тип колебания должен отличаться от
того, который соответствует идеально гибкой струне, на вели-
чину, которая уже не мала и квадратом которой поэтому нельзя
пренебречь. Мы возвратимся к этому вопросу при рассмотрении
поперечных колебаний стержней.
188. Существует одна проблема, касающаяся колебаний струн,
которую мы еще не рассматривали, но которая представляет
некоторый практический интерес, именно, характер движения
струны скрипки (или виолончели) под действием смычка. В этой
проблеме modus operandl смычка недостаточно ясен, чтобы по-
зволить нам следовать исключительно априорному методу; ука-
зания теории должны быть дополнены здесь специальными
наблюдениями. Искусным сопоставлением сведений, почерпнутых
из обоих источников, Гельмгольцу удалось выяснить главные
черты этого явления, хотя некоторые его детали остаются неяс-
ными еще и до сих пор.
Так как нота хорошего инструмента, находящегося в искус-
ных руках, музыкальна, то мы заключаем, что колебания
являются здесь строго периодическими или, по меньшей мере,
что строгая периодичность является идеалом. Кроме того, — и это
очень важно — нота, извлекаемая с помощью смычка, имеет почти,
или совершенно, ту же самую высоту, что и собственная нот
138] скрипичная струил 231
струны. Таким образом, колебания хотя и являются вынужденными,
все же в известном смысле свободны. Поддержание их зависит
целиком от энергии, которая сообщается им смычком, и тем не
менее смычок нисколько не определяет и даже не изменяет
ваметно их периодов. Это положение напоминает автомати-
ческий электрический прерыватель, движение которого в тех-
ническом смысле действительно вынужденно, но который все же
обладает свободой в том отношении, что он (целиком или ча-
стично) сам определяет, под каким воздействием он будет нахо-
диться.
Из того факта, что струна колеблется со своими собствен-
ными периодами, однако, непосредственно не следует, что здесь
имеют место нормальные типы колебаний. Если коэффициенты
разложения Фурье
взяты в качестве независимых координат, которыми определяется
в любой момент времени конфигурация системы, то мы знаем,
что (в отсутствии трения или когда оно таково, что F ~Т)
собственные колебания выражаются так, что каждая координата
является простой гармонической (или квазигармонической) функ-
цией времени; между тем во всех рассматривавшихся до сих пор
вопросах каждая координата могла быть, напротив, любой, функ-
цией времени с периодом т. Небольшое исследование покажет,
однако, что колебания в основном должны иметь хаэактер нор-
мальных как в отношении их типов, так и в отношении пе-
риодов.
Сила, с которой смычок действует на струну в точке его
приложения, может быть представлена выражением
так что уравнение движения для координаты <рв есть
2 . snb
sln
где b — точка приложения. Каждая из компонент Ф3 даст в ре-
шении соответствующий член со своим собственным периодом,
но при §том одна из них, период которой совпадает с собствен-
ным периодом <р«> относительно чрезвычайно сильно возра-
стает. Тогда, если затухаьие мало, нам нужно практически
удержать в решении только ту часть <р8, которая вависит от
Аа cos (— ег\, т. е., другими словами, мы можем рассматри-
вать типы данных колебаний как собственные.
232 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
Другой факт, который находит поддержку как в теории, так
и при слуховом восприятии, следующий. Все составляющие коле-
бания, имеющие узел в точке возбуждения, отсутствуют. «Однако,
для того чтобы уничтожить эти тоны, совпадение точки прило-
жения смычка с узлом должно быть очень точным. Уже при
очень малом отклонении отсутствовавшие тоны появляются вновь
со значительной силой» х).
Остальные факты, на которых покоится теория Гельмгольца,
были получены путем прямых наблюдений с помощью вибрацион-
ного микроскопа. Как было объяснено в главе II, этот инстру-
мент дает кривую, представляющую движение наблюдаемой
точки такой, какой она представлялась бы, будучи нанесена на
поверхность прозрачного цилиндра. Чтобы получить кривую,
представляющую движение в ее обычной форме, нужно пред-
ставить себе, что воображаемый цилиндр раскатан или развернут
в плоскости.
Наиболее простые результаты получаются тогда, когда смычок
приложен в узле одной из более высоких компонент, а в качестве
наблюдаемой точки взят один из остальных узлов этой же системы.
Если смычок работает в со-
вершенстве, так что основ-
i—JL ной тон получается чистым
l и сильным, то соответствую»
щая кривая имеет вид, по-
Фиг. 22. казанный на фиг. 22, где
по оси абсцисс отложено
время (АВ — полный период колебания), а ординаты представляют
смещение. Здесь обнаруживается замечательный факт: оказы-
вается, что весь период т можно разделить на две части т:0 и
т — х0, в течение каждой из которых скорость наблюдаемой
точки постоянна; однако значения скорости для ? и ?— х0, вообще
говоря, не равны.
Мы должны теперь представить эту кривую при помощи ряда
гармонических членов. Если начало отсчета времени соответствует
точке А и AD = FC = i, то теорема Фурье дает
Что касается значения т0, то мы знаем, что все компоненты у,
для которых sin s%Jf° в 0 (х0—наблюдаемая точка), должны
исчезнуть, потому, что при данных условиях смычок не может
их возбудить. Мы имеем поэтому основания полагать, что
») Donkln, Acoustics, стр. 131.
138] СКРИПИЧНАЯ СТРУНА 233
т0 : т — х0:1; действительно, наблюдения доказывают, что отно-
шение АС: С В (на рисунке) равно отношению двух частей, на
которые струна делится точкой наблюдения.
Но свободные колебания струны представляются вообще
выражением:
в=оо
Sin — < Аа COS — f- ?Jg Sin —— > ,
8=1
и это выражение для точки х = х0 должно совпадать с A). Для
удобства сравнения мы можем написать
Aacos ——j-^s^11 ~^~ =Cgcos -^-[t—¦&)~^~^*^п~№ —
(t
и тогда очевидно, что Св = 0.
Мы находим также для определения De:
откуда
если только sin^p не равен нулю.
В противоположном случае сравнение оставляет Da неопре-
деленным, но из других оснований мы знаем, что De здесь обра-
щается в нуль. Для простоты мы, однако, предположим на этот
раз, что De всегда дается выражением B). Если точка приложе-
ния смычка не совпадает с узлом какой-нибудь из более низких
компонент, то ошибка, которую повлечет за собой это предпо-
ложение, не даст больших последствий.
При этом условии полное решени'е задачи имеет вид:
8 = 1
Амплитуды компонент пропорциональны, таким образом, s~2.
В задаче о струне, возбуждаемой щипком, мы нашли для соот-
ветствующей функции выражение s~q sin ~-, несколько похожее
на предыдущее. Если оттянуть струну посредине, то четные
компоненты исчезают, но нечетные следуют тому же самому за-
кону, какой получается для скрипичной струны. Уравнение C)
указывает, что струна всегда имеет форму двух прямых, встре-
чающихся под некоторым углом. Чтобы показать это более просто,
переменим начало отсчета времени и постоянный множитель так,
234 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
чтобы форма струны для любого момента времени определялась
уравнением
Мы знаем (§ 127), что уравнение пары прямых, проходящих
ч€рез закрепленные концы струны и встречающихся в точке,
координаты которой а и {3, есть
Таким образом, уравнение D) представляет, для момента времени t,
пару прямых, встречающихся в точке, координаты которой за-
даны уравнениями:
«(/-а)
Эти уравнения показывают, что проекция точки пересечения пря-
мых на ось лг-ов движется равномерно взад и вперед между х = О
и х = 1 и что сама точка пересечения находится на одной из
двух параболических дуг, для которых положение равновесия
струны служит общей хордой. Движение струны, как таковое,
определяется движением точки пересечения двух ее прямолиней-
ных частей и не связано как-либо особо с х0 (точкой наблюде-
ния). Отсюда следует, что согласно этим уравнениям такого же
рода движение можно наблюдать и в любой другой точке струны.
И это приблизительно верно. Однако следует помнить, что тео-
ретический результат был получен только в предположении,
что налицо имеются в некоторых пропорциях составляющие ко-
лебания с узлами в х0, хотя в действительности законы механики
требуют, чтобы они отсутствовали. Вопрос о том, имеются эти
компоненты или нет, совершенно несуществен в том случае,
когда точкой наблюдения является узел, в других же случаях
это не так. При отходе от узла кривая колебания обнаруживает
рябь, возникающую благодаря отсутствию данных компонент.
Некоторые дальнейшие подробности относительно этого можно
найти у Гельмгольца и Донкина.
Способность смычка поддерживать колебания струны связана
с тем, что трение между твердыми телами при средних скоростях
меньше, чем при малых, так что, когда часть струны, на которую
действует смычок, движется вместе со смычком (не исключено,
что с той же скоростью), их взаимодействие сильнее, чем тогда,
когда струна движется в противоположном направлении с боль-
шей относительной скоростью, Ускоряющий эффект первой части
139] СТРУНА, НАТЯНУТАЯ НА КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 236
движения, таким образом, не нейтрализуется целиком последую*
щим отставанием, и избыток ускорения оказывается в состоянии
поддерживать колебание, несмотря на другие потери энергии.
Любопытный эффект, обязанный этой же самой особенности
трения твердых тел, был наблюден В. Фроудом, который нашел,
что колебания маятника, качающегося на валу, можно поддержи-
вать и даже увеличивать, заставляя вал вращаться.
[Другим случаем, в котором колебания струны поддержи-
ваются извне, является эолова арфа. Часто высказывалась мысль,
что действие ветра на струну аналогично действию смычка; не-
состоятельность этой аналогии доказывается, однако, наблюде-
нием а), что колебания струны происходят в плоскости, попереч-
ной к направлению ветра. Правильного объяснения этого эффекта
на основании гидродинамики еще не получено.]
139. Струна, натянутая на гладкой кривой поверхности, в по-
ложении равновесия будет расположена вдоль некоторой геоде-
зической линии и, будучи подчинена определенным условиям
устойчивости, при смещении начнет колебаться около этой кон-
фигурации. Самый простой случай, который можно себе пред-
ставить, — это тот, когда поверхность представляет собой цилиндр
какой-либо формы и когда положение равновесия струны перпен-
дикулярно к образующим. Изучающий легко покажет самостоя-
тельно, что движение не зависит от кривизны цилиндра и что
колебания во всех существенных чертах таковы же, как если бы
данная поверхность была развернута в плоскость. Заслуживает
внимания случай бесконечной струны, образующей кольцевую
обмотку вокруг цилиндра.
Чтобы иллюстрировать характерные черты этого класса про-
блем, мы возьмем сравнительно простой пример струны, натяну-
той на поверхности гладкой сферы и лежащей при равновесии
на дуге большого круга сферы. Координатами, к которым всего
удобнее отнести данную систему, будут широта 8, измеряемая
от большого круга, принятого за экватор, и долгота <р, измеряе-
мая вдоль него. Если радиус сферы равен а, то мы имеем
Г= j Jp(a6>ad<p = -^- J 62tf<p. A)
Растяжение струны выражается следующим образом:
J <*-
Но
dsa = (a rf6)* + (я cos
' W. Rayleigh, Phil. Mag., стр. 161, март 1879,
236 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
Таким образом J),
так что приближенно
ds t
1
JI-аЪ J
о
Если концы струны закреплены, то
и уравнение виртуальных скоростей имеет вид:
2 2
j M(^j. + e)dT —о.
о о
откуда, ввиду произвольности 88,
(S+e); (8)
это и есть уравнение движения.
Если мы примем Ь пропорциональным cospl, мы получим ура-
внение
JJ ^-O. D)
решением которого, подчиненным условию, что 9 обращается
в нуль вместе с <р> будет
6 = A sin | р. р* + l}V' ? cospt. E)
Остается еще удовлетворить требованию, чтобы 6 обращалось
в нуль, когда ау — 1, или <р=а, если а=у.
Это дает
где /и есть некоторое целое число.
W. Rayleigh, Cambridge Mathematical Tripos Examination^ 1876,
14ft1 переменная плотность 237
Нормальные функции имеют, следовательно, такую же форму,
как и для прямой струны, именно
6 = Л sin-Ep-cos Д. G)
однако ряд периодов здесь иной. Влияние кривизны выражается
в том, что каждый тон становится ниже соответствующего тона
прямой струны. Если а > я, то по крайней мере одно из значе-
ний jt?3 отрицательно; это указывает на то, что соответствующие
типы колебаний неустойчивы. Если а = я, то pt = 0, и струна
в смещенном положении имеет ту же длину, что при в = 0.
Аналогичный метод можно применить для вычисления движе-
ния струны, натянутой вокруг экватора на любой поверхности
вращения 1).
140. Приближенное решение проблемы колеблющейся струны,
обладающей почти, но не вполне, одинаковой линейной плот-
ностью, было подробно рассмотрено в главе IV, § 91 как удоб-
ный пример общей теории приближенно простой системы. Здесь
будет достаточно повторить результат. Если плотность есть po-f-Sp,
то период ¦:,. r-го составляющего колебания дается следующим
выражением:
Если неправильность в распределении массы принимает форму
малой нагрузки с массой т в точке х = Ь, то формулу можно
написать следующим образом:
Эти выражения для ta правильны с точностью до первых сте-
пеней малых величин Sp и от и дают средство вычислять поправки
для таких незначительных отклонений от однородности, какие
всегда должны встречаться на практике.
Как и следовало ожидать, влияние нагрузки исчезает в узлах
и возрастает до максимума в точках, расположенных посредине
между каждыми двумя последовательными узлами. Когда жела-
тельно сделать только грубую оценку эффективной плотности
для почти однородной струны, то формула показывает, что вни-
мание нужно уделять главным образом участкам, граничащим
с пучностями, а не с узлами.
*) [Более общую трактовку этого вопроса см. у Michel!, Messenger
of Mathematics, том XIX, сгр. 87, 189а]
238 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [гЛ. VI
[Влияние малого изменения плотности на период не зависит
от того, встречается ли оно на расстоянии х от одного конца
струны или на таком же расстоянии от другого. Все, что нам
нужно рассматривать, — это среднее изменение плотности в точ-
ках, одинаково отстоящих от середины струны; мы нисколько
поэтому не потеряем в общности, если предположим, что плот-
ность распределена симметрично относительно середины струны.
Мы можем, следовательно, написать
где
/
2 Г 8р /,
В этом уравнении 5р можно разложить в пределах от 0 до г/а/
в ряд:
8р , , , 2пх , , . 2пгх ¦ /вч
где .
4 j
о
J Ро
Таким образом,
аг = А0-±Аг. (8)
Это уравнение выражает изменения периода через изменения
плотности, которые предполагаются известными. А это показы-
вает, что, обратно, всегда можно найти изменение плотности,
которое сообщит предписанные произвольные смещения всем
периодам. Это чрезвычайно интересный момент.
Чтобы обеспечить достаточную непрерывность плотности, не-
обходимо предположить, что а1? а2, ... заданы так, что аг при
возрастании г до бесконечности принимает в конечном счете
некоторое постоянное значение. Если это условие удовлетворено,
то мы можем взять Ао — ат, и тогда, по мере того как г воз-
растает, Аг стремится к нулю.
В качестве простого примера предположим, что плотность
струны требуется изменять так, чтобы при изменении высоты
основного тона все остальные тоны оставались неизменными.
Условия дают
а9 = а8 as а4 = ... а а,ю =в 0.
141] ПЕРЕМЕННАЯ ПЛОТНОСТЬ 23d
Следовательно,
Ао = Aq = Л8 = ... = О,
и
Таким образом, в силу уравнения E),
141. Дифференциальное уравнение, определяющее движение
струны с переменной линейной плотностью р, имеет вид
Фу _ г Фу т
-ш^^ш A)
Если принять у пропорциональным cos pt, то из A) мы получим
для определения нормальных функций следующее уравнение:
0 ^ = 0, B)
где вместо р*\Тх написано v2. Это — линейное уравнение второго
порядка, однако в конечном виде оно до сих пор решено еще
не было. Если его рассматривать как уравнение кривой, форму
которой принимает струна при данном нормальном типе колеба-
ния, то оно определяет кривизну для каждой точки струны и,
следовательно, заключает в себе правило, с помощью которого
указанную кривую можно построить графически. Так, в прило-
жении к струне, закрепленной обоими концами, если мы начинаем
с одного из концов при произвольном наклоне и с нулевой кри-
визны, уравнение всегда будет нам указывать, с какой кривизной
нужно следовать дальше, и этим путем мы можем вычертить
всю кривую.
Если принятое значение v9 правильно, то кривая пересечет
ось дг-ов на требуемом расстоянии, и закон колебания будет
полностью определен. Если же ч2 неизвестно, то можно испыты-
вать различные значения, пока кривая не будет заканчиваться
правильно; достаточного приближения к значению va обычно можно
достигнуть путем вычисления, основывающегося на каком-либо
предположенном типе колебания (§ 88, 90).
Независимо от того, постоянна линейная плотность или нет,
период какого-либо простого колебания меняется caeteris paribus
пропорционально корню квадратному из плотности и обратно
пропорционально корню квадратному из натяжения, при котором
происходит движение.
Обратная задача определения плотности, когда заданы период
и тип колебания, всегда разрешима. Для этой цели необходимо
только подставить заданное выражение у и выражение второй
240 поперечные "колебания струн [гл. vt
производной от ji в уравнение B). Если только плотность не
бесконечно велика, концы струны являются точками с нулевой
кривизной.
Когда данная струна укорачивается, то высота каждого ее
тона увеличивается. Действительно, можно считать, что новое
положение вещей получено из старого путем введения в пред-
положенной точке закрепления пружины (без инерции), упругость
которой постепенно возрастала бы до бесконечности. При каждом
шаге процесса потенциальная энергия некоторой данной дефор-
мации увеличивается, и поэтому (§ 88) высота каждого тона воз-
растает. Равным образом увеличение длины струны понижает
высоту каждого тона, хотя бы при этом новый участок струны
был лишен инерции.
142. Хотя общее интегрирование уравнения B) § 141 лежит
за пределами наших возможностей, мы можем применить к данной
проблеме некоторые из многочисленных интересных свойств реше-
ния линейного уравнения второго порядка, которые были уста-
новлены Штурмом и Лиувиллем *). В настоящей работе сколько-
нибудь полное изложение их исследований представляется совер-
шенно невозможным, однако беглый очерк, включающий основные
черты последних, окажется не лишенным интереса; он прольет
к тому же свет на некоторые вопросы, связанные с общей
теорией колебаний сплошных тел. В этом очерке я не счел нуж-
ным придерживаться очень близко методов, принятых в ориги-
нальных мемуарах.
Ни в одной точке кривой, удовлетворяющей'уравнению
0 + ^ = 0, A)
у и -?- не могут одновременно обращаться в нуль. Последова-
тельным дифференцированием уравнения A) легко доказать, что
ду
если у и -4- одновременно обращаются в нуль, то в этой точке
должны обращаться в нуль также и все высшие производ-
(fiv дау т
ные ~дл&' Их* ' • • • • и поэтому кривая, по теореме Тэйлора, должна
совпасть с осью лг-ов.
Какое бы значение ни было приписано va, кривая, удовлетво-
ряющая A), синусообразна и всюду обращена вогнутостью
к оси лг-ов, так как р везце положительно. Если в начале коорди-
нат у равен нулю, а -р- положительно, то ордината будет оста-
ваться положительной для всех значений * ниже некоторого
i) Мемуары этих ученых содержатся в первом томе Journal de Ltoti-
villa A836).
142] 1ко1»емл штурма 241
предела, зависящего от вначения, приписанного v9. Если v9 очень
мало, то кривизна незначительна, и кривая будет оставаться на
положительной стороне оси на большом расстоянии. Мы должны
теперь доказать, что когда v2 увеличивается, то все значения л:,
которые удовлетворяют уравнению y=*Q, постепенно умень-
шаются.
Пусть у'— ордината второй кривой, удовлетворяющей как
уравнению
так и условию, чтобы у' обращалось в нуль в начале коорди-
нат; предположим при этом, что V3 несколько больше, чем чл.
Умножая B) на у и A) на у', вычитая B) из A) и интегрируя
по х между пределами 0 и х, мы получаем, ввиду того что .у а у'
обращаются в нуль вместе с х,
Если мы предположим, далее, что х соответствует точке, в ко-
торой у обращается в нуль, и что разность между /9 и va очень
мала, то окончательно получим
Так как правая часть уравнения D) существенно положи-
, ду
тельна, то мы находим, что / и ^- имеют одинаковые внаки и.
что, следовательно, будет ли Д положительно или отрицательно,*
у' уже имеет тот самый знак, на который изменяет свой знак у,
или, другими словами, значение х, при котором у' обращается,
в нуль, меньше того, при котором обращается в нуль у.
Если мы остановим наше внимание на части кривой, лежащей
между х = 0 и х = /, то увидим, что ордината остается всюду
положительной, когда значение v9 возрастает, пока не достигается
некоторое определенное значение, которое мы назовем -v*. Функ-
ция у оказывается теперь идентичной по форме с первой нор-
мальной функцией их струны с плотностью р, закрепленной в О
и /, и не имеет корней нигде, кроме этих точек. При дальней-
шем возрастании va первый корень движется внутрь отх = /, пока,
наконец, не будет достигнуто второе особое значение 4. и кри-
вая снова не пересечет ось в точке х-=1\ она представляет тогда
вторую нормальную функцию % Эта функция имеет, следова-
тельно, 'один и только один внутренний корень. Аналогичным
1& 3«к 1774 Р.лей, 1
242 * поперечные Колебания струи [гт. vl
путем для более высокого значения ^ мы получаем третью нор-
мальную функцию и3 с двумя внутренними корнями и т. д. Таким
образом, л-я функция имеет в точности («—1) внутренних корней,
а так как ее первая производная никогда не обращается в нуль
одновременно с самой функцией, то она меняет знак всякий раз,
когда переходит через корень.
Из уравнения C) следует, что если аг и ив — две различные
нормальные функции, то
i
вАс«0. (б)
Изящная теорема относительно числа корней функции, обра-
вованной сложением некоторого конечного числа нормальных
функций, была открыта Штурмом. Если ит — компонента самого
низкого, а ап — компонента самого высокого порядка, то функция
/(*) = ?»«« + ?m+lMm+l + • • • + ? А- F)
где <pm. qWi» • • • —произвольные коэффициенты, имеет самое мень-
шее т — 1 и самое большое п —• 1 внутренних корней. Крайние
точки при х = 0 и х = 1, конечно, во всех случаях соответствуют
корням. Следующее доказательство имеет некоторое сходство
с доказательством, данным Лиувиллем, однако оно значительно
проще и, я думаю, не менее строго.
Если мы предположим, что f{x) имеет в точности р. внутрен-
них корней (некоторые из них могут быть равными), то первая
производная /' (х) не может иметь меньше р. -\-1 внутренних
корней, так как между каждыми двумя последовательными кор-
нями f(x) должен находиться по крайней мере один корень /' (х),
а полное число интересующих нас корней f(x) есть jj. -j— 2. Со-
вершенно также мы видим, что здесь должно иметься по край-
ней мере р. корней f'{x), кроме крайних точек, которые сами
необходимо соответствуют корням; таким образом, невозможно,
чтобы при переходе от f(x) к f"(x) могли быть потеряны какие-
нибудь корни. Но, как мы видим на основании A),
и, так как р всегда положительно, мы заключаем, что многочлен
имеет по крайней мере (i корней.
Так как, далее, выражение (8) того же самого вида, что
и f{x), то аналогичное рассуждение показывает, что многочлен
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ПО НОРМАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ
имеет по крайней мере у. внутренних корней; этот процесс можно
продолжать сколько угодно. Таким путем мы получаем ряд
функций, каждая из которых имеет по меньшей мере |* внутрен-
них корней; =»ти функции отличаются от исходной функции f(x)
постепенным возрастанием относительного значения компонент
более высоких порядков. Когда процесс будет продолжен доста-
точно далеко, мы придем к функции, вид которой отличается
сколь угодно мало от вида нормальной функции самого высокого
порядка, именно ип, и которая имеет поэтому п—1 внутренних
корней. Отсюда следует, что число внутренних корней /(jc) не мо-
жет превосходить п— 1, так как при переходе в обратном направле-
нии по ряду функций не может быть потеряно никаких корней.
Другая половина теоремы доказывается аналогичным образом
путем образования ряда функций вниз от f(x). Этим путем мы
получаем:
+ Pm+l«»»+l-f- ••• +?««„.
и приходим в конце концов к функции, совпадающей близко пс
своему виду с нормальной функцией самого низкого порядка,
именно ат, и имеющей поэтому т — 1 внутренних корней. Так
как при переходе вверх по ряду от этой функции к f(x) не
может быть потеряно никаких корней, то отсюда следует, что
/(jc) не может иметь менее чем т — 1 внутренних корней; нужно,
однако, иметь в виду, что некоторое число корней из т—1 мо-
гут быть равными.
Мы докажем теперь, что /(jc) не может быть тождественно
равна нулю, если не равны нулю все коэффициенты ср. Предположим,
что fr не равно нулю. Умножим F) на рмг и проинтегрируем ре-
зультат по х между пределами 0 и /. Тогда в силу E)
(9)
откуда, поскольку интеграл на правой стороне уравнения конечен,
мы видим, что f(x) не может обэащаться в нуль для всех зна-
чений jc, лежащих в области интегрирования.
Лиувилль воспользовался теоремой Штурма для того, чтобы
показать, как можно образовать ряд нормальных функций,
имеющий произвольный знак во всех точках, которые лежат
между х=зО и * = /. Его метод в основном заключается в сле-
дующем.
16*
244 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕВАНИЯ СТРУИ (ГЛ. VI
Мы можем предположить, не теряя общности, что значения х,
а, Ь, с, ..., для которых функция должна менять знак, все раз-
личны. Рассмотрим теперь ряд определителей:
и^а), аг{Ь), аг(х)
яа(а),
а9(а), я9(дс) ' и3 (а),
Первый определитель является линейной функцией ut(x) и иа(х)
и поэтому по теореме Штурма имеет самое большее один вну-
тренний корень; этот корень, очевидно, равен а. Кроме того, этот
определитель не равен тождественно нулю, так как коэффициент
при и%(х), именно их(а), не обращается в нуль, каково бы ни
было значение а. Мы получили, таким образом, функцию, которая
меняет знак в некоторой произвольной точке а, и только там.
Второй определитель обращается в нуль, когда х = а и когда
х = Ь, а так как он не может иметь больше двух внутренних
корней, он меняет знак, только когда переходит через эти зна-
чения, и более нигде. Коэффициент при и.д(х) равен значению,
принимаемому первым определителем, когда х = Ь, и поэтому
конечен. Отсюда следует, что второй определитель не равен тож-
дественно нулю.
Аналогично, третий определитель в ряде обращается в нуль и
меняет знак, когда х = а, когда х = b и когда х = с, и только
в этих внутренних точках. Коэффициент при Я4(х) конечен, так
как он является значением второго определителя для х = с.
Очевидно, что, продолжая этот процесс, мы можем получить
функции, образованные из нормальных функций; эти новые
'функции будут обращаться в нуль и менять знак для любых про-
извольных значений х, и только в этих точках, или, другими
словами, мы можем образовать функцию, знак которой произво-
лен во всей области от х = 0 до х = /.
На этой теореме Лиувилль основывает свое доказательство
возможности представления произвольной функции между х = О
и х = / посредством ряда нормальных функций. Если мы пред-
положим, что данное разложение возможно и возьмем
(*) + <PA(*) + We(*)+ •••• (Ю)
то необходимые для этого значения <pv <pa. • • • определяются урав-
нением (9), и мы находим
1 i
/(*)-2{яг(*)/риг(*)/(*)<**: f?4(x)dx\. (П)
о о
Бели ряд, стоящий справа, обозначить через Fix), то нам остается
только установить тождество f(x) и F (х).
142] ПЕРЕМЕННАЯ ПЛОТНОСТЬ 245
Бели правую часть уравнения A1) умножить на pur(x) и
проинтегрировать по х от х = О до х = I, то мы увидим, что
i г
J риг (х) F(x) dx^f Pur (*)/(*) dx,
о о
или, как мы можем написать это еще и следующим образом:
Г У(*)—fix)] par (х) dx = О, A2)
о
где иг(х) есть любая нормальная функция. Из A2) следует, что
i
A (х) + Ai4 (х)
-\-А3и3(х)+ ...]pdx = 0,A3)
где коэффициенты Av A9, ... произвольны.
Если теперь F(x) —f(x) не равно тождественно нулю, то постоян-
ные Av А9, ... будет возможно выбрать так, чтобы Axtix (х) -\-
-|-Л2ма(лL- ••• имело всюду тот же самый знак, что и
F(x)—f(x), но тогда каждый элемент интеграла был бы поло-
жителен, и уравнение A3) не могло бы быть верным. Отсюда
следует, что F(x)—f(x) не может отличаться от нуля или что
ряд нормальных функций, образующий правую часть уравне-
ния A1), совпадает с f(x) для всех значений х от х = 0 до х = I.
Рассуждения и результаты этого раздела приложимы, конечно,
и к частному случаю однородной струны, для которой нормаль-
ными функциями являются круговые функции.
[В качестве частного случая переменной плотности заслужи-
вает внимания предположение, что р = од:~а, § 148 Ь. В принятых
там обозначениях
*9 + Т = »а = Р9^ 04)
и общее решение есть
у = Ак'/.+<1» 4- В*'*-*». A5)
Если струна закреплена в двух точках, абсциссы которых хх
и х2 находятся в отношении г к 1, то уравнение частот имеет
вид r2im = 1 или
где s означает некоторое целое число. Собственные частоты зависят,
таким образом, только от отношения абсцисс концов. Предполо-
246 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
жив, что г почти равно единице, мы можем возвратиться к обыч-
ной формуле (§ 124), приложимой к однородной струне.
Общая форма нормальной функции есть
142а. Точки, где струна остается в покое, или узлы, конечно,
определяются корнями нормальных функций, когда колебания
свободны. В этом случае частота ограничивается некоторыми опре-
деленными значениями; но когда колебания вынужденные, они мо-
гут быть любой частоты, и становится возможным проследить за
движением узловых точек, когда частота непрерывно возрастает.
Предположим, например, что внешняя сила действует в одной
единственной точке Р струны АВ, плотность которой может быть
переменной. Пока частота меньше каждой из частот двух частей
АР, РВ, на которые разделена струна (если их предположить
удерживаемыми в покое на обоих концах), не может быть ника-
кого (внутреннего) узла (Q). В противном случае та часть струны
AQ, между узлом Q и одним из концов струны (А), которая не
заключает Р, колебалась бы свободно и притом медленнее, чем
это возможно для более длинного отрезка АР, заключающегося
между точкой Р и тем же самым концом. Когда частота увели-
чивается и совпадает, наконец, с меньшей из частот, свойствен-
ных АР и РВ, скажем, с частотой АР, то в Р появляется узел,
который затем перемещается в направлении к А. Каждый раз,
когда частота совпадает с одной из собственных частот всей
струны, колебание оказывается тождественным с соответствую-
щим свободным колебанием, а при каждом совпадении частоты
с одной из собственных частот АР или РВ, у Р появляется но-
вый узел, который в первом случае перемещается в направлении
к Л, а во втором — в направлении к 5. И в продолжение всей
этой последовательности событий все узлы движутся в стороны
от Р в направлении к А или В.
Так, если струна однородная и делится в точке Р пополам,
то узла не появится до тех пор, пока высота не достигнет
октавы (с') ноты (с) струны. На этой стадии в Р появляются
два узла, которые затем движутся симметрично наружу. Когда
достигается высота ноты g1, вид колебания становится таким же,
как и у свободного колебания той же высоты, и узлы распола-
гаются в двух точках, делящих струну на три равные части. При
с" эти узлы оказываются раздвинувшимися настолько далеко, что
делят в этот момент пополам части АР и РВ, а в Р возникают
два новых узла.
143. Когда колебания струны не ограничиваются одной пло-
скостью, то обычно их всего удобнее разложить на две группы
колебаний, происходящих во взаимно перпендикулярных плоскостях,
144] БЕСКОНЕЧНАЯ СТРУНА 247
которые можно трактовать независимо друг от друга. Есть, впро-
чем, один случай этого рода, заслуживающий некоторого внима-
ния, где движение легче всего представить и трактовать бе8
такого разложения.
Предположим, что
2sid
,y = sin — cos —
. тх . 2snt
z = sin -г- sin .
Тогда
V5 J?? B)
C)
— соотношения, показывающие, что вся струна в каждый момент
времени находится в одной равномерно вращающейся плоскости
и что каждая точка струны описывает круг радиуса sin ?—¦,
Действительно, вся система вращается без относительных пере-
мещений около ее положения равновесия, совершая один оборот
в течение времени xfs. Механика этого случая так же проста,
как и в случае, когда движение ограничено одной плоскостью;
результирующая натяжений, действующих на концы какого-нибудь
малого участка длины струны, уравновешена при этом центро-
бежно.й силой.
144. Общее дифференциальное уравнение для однородной
струны, именно
¦ SBK л,е ... . ill
может быть преобразовано заменой переменных в следующее:
Ш7 = °> <2>
где а=*х— at, v = x-\-at. Общее решение уравнения B) имеет
вид:
-И0. C)
где / и F—две произвольные функции1).
Рассмотрим сперва случай, когда F обращается в нуль. Если t
имеет какое-нибудь частное значение, то уравнение
y=f(x — at), D)
[Уравнения A) и C) даны Даламбером A750).]
248 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕВАНИЯ С1РУН [ГЛ. VI
выражающее соотношение между х и у, представляет форму
струны. Изменение в значении t эквивалентно простому измене-
нию начала отсчета х, так что уравнение D) указывает на рас-
пространение некоторой формы вдоль струны в положительном
направлении с постоянной скоростью а. Каково бы ни было зна-
чение у в точке жив момент t, то же самое значение у будет
иметь место в точке х-\-аМ в момент t-\-kt.
Распространяющаяся таким путем форма может быть какой
угодно, лишь бы она не нарушала ограничений, с которыми связано
уравнение A).
Когда движение заключается в распространении волны в поло-
жительном направлении, то между наклоном и скоростью в каждой
точке существует определенное соотношение. Дифференцируя
уравнение D), мы находим
Вначале -? и ¦? могут быть заданы произвольно, но если преды-
дущее соотношение не удовлетворено, то движение не может
быть представлено уравнением D).
Аналогичным образом уравнение
y=*F{x + af) F)
указывает на распространение волны в отрицательном напра-
влении, а соотношение между -? и -Л, соответствующее E),
на этот раз есть
4 Й
В общем случае движение состоит из одновременного рас-
пространения двух волн со скоростью а — одной в положитель-
ном, другой в отрицательном направлениях; эти волны совершенно
не зависят друг от друга. В первой -57 = — ° ;р > в0 второй
J~ = а -р. Начальные значения -? и -Л следует представить
разделенными на две части, которые удовлетворяли бы соответ-
ственно соотношениям E) и G). Первая составляет волну, кото-
рая будет перемещаться без изменения формы в полэжительном
направлении, вторая — отрицательную волну. Таким образом, вначале
144] вьсконечная струна 249
откуда
1 W ~ "о \ JZ — ~ 7) >
(8)
— уравнения, которые определяют функции f и /" для всех
значений аргумента от х = — оо до лг = оо, если начальные значе-
ду ду
ния -f- и — известны.
ojc at
Если возмущение первоначально ограничивается конечным
участком струны, то положительная и отрицательная волны раз-
деляются через промежуток времени, какой требуется каждой
волне, чтобы пересечь половину возмущенного участка.
Фиг. 23.
Предположим, например, что АВ есть участок струны, возму-
щенный в начальный момент. Точка Р на положительной стороне
остается в покое до тех пор, пока положительная волна не
пройдет расстояние от А до Р; при прохождении волны она
возмущается, а после этого уже все время остается в покое.
Отрицательная волна вообще никогда не действует на Р. Анало-
гичные выводы, mutatis mutandis, справедтавы и для точки Q на
отрицательной стороне АВ. Если характер первоначального воа-
ду ду
мущения таков, что а -^ — -^ вначале равно нулю, то поло-
жительная волна отсутствует, и точка Р вообще никогда не
подвергается возмущению; если же вначале равно нулю a j- -f-
i ду „
-\- -jrr, то отсутствует отрицательная волна. Если вначале равно
ду
нулю —, то положительная и отрицательная волны одинаковы и
равны, и ни одна из них затем не может исчезнуть. В тех слу-
чаях, когда та или другая волна отсутствует, ее исчезновение
можно рассматривать как результат взаимного уничтожения двух
составляющих волн: одной, зависящей от начальных перемещений,
и другой — от начальных скоростей. На одной стороне эти две
волны действуют согласно, на другой же уничтожают друг друга.
Этим объясняется кажущийся парадокс, что Р рано или поздно,
после того как АВ было возмущено, может не подвергаться воз-
действию.
Последующее движение струны, которая смещена вначале без
ркорости, легко проследить графическими методами. Так
250 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
положительная и отрицательная волны равны, то нужно только
разделить первоначальное возмущение на две равные части,
переместить одну из них вправо, другую влево на расстояние,
равное at, а затем соединить их вновь. Мы применим этот метод
к случаю струны конечной длины, приведенной в колебание
щипком.
145. Колебания называются стационарными, когда движение
каждой частицы системы пропорционально некоторой функции
времени, одинаковой для всех частиц. Если мы хотим удовлетво-
рить уравнению
принимая у = ХТ, где X обозначает функцию одного х, а Т
функцию одного t, то мы получим
1 д*Х „ . ч
Т Щг = J Ш = m (-a — постоянная);
так что
Т~А cos tnat-^-В sin mat, \
Х — С cos mx -\-D sin mx; J ^
эти уравнения показывают, что колебания должны быть простыми
гармоническими, хотя и произвольного периода. Выражение у
может быть написано следующим образом:
у «= Р cos (от at — в) cos (mx — а) =
= -g- P cos (от at-\- mx — г — а) -\~ -^ P cos (m at — mx — s -f- a); C)
это выражение показывает, что наиболее общий вид стационар-
ного колебания можно рассматривать как результат суперпозиции
одинаковых бегущих колебаний, направления распространения
которых противоположны. Обратно, два стационарных колебания
можно соединить в одно бегущее.
Решение у = /(х — at) -f- F (x -\- af) прилагается в первую
очередь к бесконечной струне, но его можно истолковать и так,
чтобы оно давало в некоторых случаях решение проблемы и для
конечной струны. Предположим, например, что струна оканчивается
в х = 0 и здесь закреплена, простираясь в бесконечность только
в положительном направлении. До тех пор пока точка х = 0 дей-
ствительно остается в покое, безразлично, продолжается струна
в отрицательную сторону или нет. Это дает нам возможность
рассматривать данную струну как часть вдвойне бесконечной
струны и выяснить, можно ли вообще и как именно выбрать
начальные скорости и перемещения на отрицательной стороне
145]
ОТРАЖЕНИЕ В ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКЕ
251
Фиг. 24
так, чтобы в целом в л; = 0 в течение всего последующего дви-
жения не было никакого перемещения. Начальные значения у
и у на положительной стороне определяют соответствующие части
положительной и отрицательной волн, на которые, как мы знаем,
может быть разложено все движение. Первая волна не оказывает
никакого влияния в точке л: = 0.На отрицательной стороне поло-
жительная и отрицательная волны вначале находятся в нашем
распоряжении, однако вторая нас не интересует. Задача заклю-
чается в определении положительной волны на отрицательной
стороне так, чтобы, в
соединении с заданной У
отрицательной волной на
положительной стороне,
она оставила эту точку
невозмущенной.
Пусть OPQRS ...
(фиг. 24) есть линия (ка-
кой угодно формы), пред-
ставляющая волну в ОХ, которая перемещается в отрица-
тельном направлении. Очевидно, что требованиям данного случая
можно удовлетворить, взяв по другую сторону от О то, что
может быть названо обратной волной; точка О будет, таким
образом, геометрическим центром, делящим пополам каждый
отрезок (например, РРГ), который проходит через нее. Аналити-
чески, если y = f(x) есть уравнение OPQRS ..., то—у —/(—х)
есть уравнение OP'Q'R'S' ... Когда, спустя время t, кривые
перемещаются соответственно влево и вправо на расстояние at,
координаты, соответствующие х = 0, будут необходимым образом
равны и противоположны и поэтому при сложении дадут нулевое
результирующее переме-
щение.
Эффект связи в О
можно поэтому предста-
вить, предположив, что
отрицательная волна про-
ходит через О совершен-
но свободно, но что в
положительная волна. Эту
отраженную волну можно в любое время найти из падающей
волны по следующему правилу:
Пусть APQRS... (фиг. 25) — положение падающей волны.
Тогда отраженная волна дается положением, которое приняла
бы падающая волна, если бы она была повернута на два прямых
угла, сперва вокруг ОХ, как оси вращения, а затем на тот же
самый угол вокруг OY. Другими словами, обратная (отраженная)
волна является изображением APQRS ,.,, полученным в резу ль-
Фиг. 25.
то же самое время из О исходит
б
252 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [РЛ. VI
тате последовательного оптического отражения от ОХ и OY, рас-
сматриваемых как плоские зеркала.
Тот же самый результат может быть получен с помощью
приема более аналитического характера. В общем решении
функции f(z) и F (z) определяются начальными условиями для
всех положительных значений z. Условие для х = О требует,
чтобы
f(—at)-\-F(at) = Q
для всех положительных значений t, или
/(-*) = — F(z)
для всех положительных значений z. Функции / и F определены,
таким образом, для всех положительных значений х и t.
Не представляет труда проследить теперь за ходом событий
в том случае, когда закреплены две точки струны А и В. На-
чальное возмущение в АВ само разделяется на положительную
и отрицательную волны, которые отражаются в том и другом
направлениях между закрепленными точками, изменяя при каждом
отражении свой характер из положительного в отрицательный,
и vice versa. После четного числа отражений первоначальная
форма и движение в каждом случае полностью повторяются.
Этот процесс легче всего проследить мысленно, когда начальное
возмущение ограничивается малой частью струны, в частности,
когда его характер таков, что возникает волна, распространяю-
щаяся только в одном направлении. Импульс перемещается с по-
стоянной скоростью а вдоль струны туда и обратно; когда он
вернется к своей исходной точке во второй раз, первоначальное
положение вещей в точности восстанавливается. Период этого
движения, таким образом, есть время, которое нужно импульсу,
чтобы пересечь длину струны дважды, или
Этот закон, очевидно, имеет силу, независимо от характера
первоначального возмущения, и только в общем случае может
оказаться, что самым коротким периодом повторения будет не-
которая целая часть ?.
146. Метод, описанный в последних разделах, удобно приме-
нить к случаю струны, приведенной в колебание щипком. Так
как начальная скорость равна нулю, то половина возмущения
принадлежит здесь положительной и половина — отрицательной
волне. На фиг. 26 показано, каким образом должны быть сло-
жены эти волны, чтобы они давали эффект, одинаковый с эффектом
147) графический метод 253
связи. Верхняя кривая изображает положительную, а нижняя
отрицательную волну в их начальных положениях. Чтобы найти
конфигурацию струны в любой последующий момент времени,
кривые нужно наложить друг на друга, предварительно сдви-
нув верхнюю из них вправо, а нижнюю влево на расстояние,
равное at.
Результирующая кривая, подобно ее компонентам, состоит
из прямолинейных участков. Последовательность шести ее по-
ложений через интервалы в одну двенадцатую периода, показы-
вающая ход колебания, дана на рисунке (фиг. 27), взятом
у Гельмгольца.
Из О струна переходит обратно к А
через те же самые стадии х).
В-
?-
• р р .
* * » в*
Фиг. 26.
Фиг. 27.
Можно заметить, что наклон струны в двух крайних точках
колеблется между двумя постоянными значениями.
147. Если точке х бесконечной натянутой струны в момент t
сообщено некоторое малое возмущение, то эффект этого обна-
ружится в О только спустя время —, причем он будет во всех
отношениях таким же, как если бы подобное возмущение было
сообщено точке х-\-Ь.х в момент t —. Предположим, что по-
добные возмущения сообщаются струне через интервалы времени х
в точках, расстояние которых от О увеличивается каждый раз
на abt; тогда очевидно, что результат в О будет таким же, как
если бы все вти возмущения сообщались струне в одной и той
же точке, при условии, что интервалы времени'увеличены от х
до >:-|-2ix- Это замечание заключает в себе теорию изменения
высоты вследствие движения источника возмущения; этот вопрос
1) Этот метод исследования колебания струны, возбуждаемой щипком,
принадлежит Юнгу (Young, Phil. Trans., 1800). Читателю рекомендуется
освоиться с ним, построив самостоятельно вс* кривые рис. 27.
284 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН (ГЛ. VI
в дальнейшем еще раз окажется предметом нашего внимания
в связи с воздушными колебаниями.
148. Когда одна точка бесконечной струны совершает выну-
жденное колебание, от нее распространяются в обоих направле-
ниях, по законам, которые легко исследовать, серии волн. Мы
предположим, что точкой возбуждения является начало координат
и что струна совершает здесь вынужденное движение у = AeW;
достаточно будет рассмотреть одну положительную сторону. Если
движение каждого элемента ds встречает сопротивление в виде
силы трения ypyds, то дифференциальное уравнение движения
имеет вид:
или, так как у пропорционально eipt,
если для краткости мы обозначим коэффициент при у через X9.
Общее решение есть
yBS(Ce'^-j-De+la>)elPt. C)
Так как предполагается, что у на бесконечно большом расстоянии
обращается в нуль, то D должно быть равно нулю, если действи-
тельная часть X берется положительной. Пусть
где а — положительно.
Тогда решение имеет вид:
у = дв-(«+#)а>+Ф* D)
или, отбрасывая мнимую часть,
у = Ае -*» cos (pt — $х), (б)
что соответствует вынужденному движению в начале координат
у = A cos pt. F)
К t может быть, конечно, прибавлена произвольная постоянная.
Для определения а и р мы имеем уравнения:
Если мы предположим, что х мало, то приблизительно
148] ЗАТУХАНИЕ БЕГУЩИХ ВОЛН 255
у = Ае~2а cos (pt — ~ х\. (8)
Это решение показывает, что вдоль струны распространяется
волна, амплитуда которой за счет показательного множителя
медленно уменьшается. Если х = О, то этот множитель исчезает,
и мы имеем просто
(^) (9)
Этот результат стоит в противоречии с общим законом, согласно
которому вынужденные колебания системы (являющиеся резуль-
татом одной простой гармонической силы) в отсутствии трения
должны быть всюду синхронны по фазе. Согласно же уравне-
нию (9) фаза, напротив, непрерывно изменяется, при переходе
вдоль струны от одной точки к другой. Дело здесь заключается
в том, что мы не вправе предполагать в (8) х = 0, так как это
уравнение было получено в предположении, что действительная
часть X в C) положительна, а не равна нулю. Как бы ни была
длинна конечная струна, коэффициент трения можно взять настолько
малым, что колебания не затухнут раньше, чем достигнут другого
конца. Благодаря этому обстоятельству отраженные волны на-
чинают усложнять результат, и когда трение беспредельно
уменьшается, в расчет должен быть принят бесконечный ряд
таких волн, что и даст результирующее движение с одинаковой
всюду фазой.
Для струны, масса которой предполагается сосредоточенной
в равноотстоящих друг от друга точках, эта проблема может
быть решена методом § 120. Координату tyx можно предполагать
заданной (—Hew*); мы найдем, что систему уравнений E) § 120
можно будет удовлетворить, полагая
где 6 — комплексная постоянная, определяемая квадратным урав-
нением. Результат для непрерывной струны можно будет получить
впоследствии.
[В обозначениях § 120 квадратное уравнение напишется в виде
В6а + Л9 + В = 0, A1)
где
^ = _^ + HIt, B = -^. A2)
Корни A1) даются выражением
25
256 поперечные колеёания струн (гл. vi
они мнимые, если 4В* > А%, т. е. если
— условие, которому всегда можно удовлетворять, переходя к пре-
делу, где а и |* бесконечно малы. Всякий раз, когда условие A4)
удовлетворено, модуль 6 равен единице, так что A0) представляет
распространение волны.
Если же условие A4) не удовлетворено, то значения 8 дей-
ствительны. В этом случае все движения находятся в одинаковой
фазе, и никакая волна не распространяется. Колебание, наложен-
ное на фх, воспроизводится в уменьшенном масштабе координа-
тами ^а> 'fe» • • • с амплитудами, которые образуют геометрическую
прогрессию. В первом случае движение распространяется на бес-
конечное расстояние, во втором же оно практически сосредоточено
в ограниченной области около источника.]
148а. Пока условия (§ 144) удовлетворены, положительная
или отрицательная волна распространяется без возмущений.
Если, однако, однородность сколько-нибудь нарушена, хотя бы
тем, что к одной точке струны прикреплен некоторый груз, то,
когда эта точка будет достигнута, в ней произойдет отражение.
Самая интересная задача этого рода,—это задача двух струн
с различной линейной плотностью, соединенных друг с другом
и колеблющихся в поперечном направлении при общем натяжении Tv
Если рассматривать подобную струну как одну, то можно предпо-
ложить, что плотность меняется прерывно от одного постоянного
аначения (pt) к другому (р.2). Если at и Oj означают соответствую-
щие скорости распространения, то
а* =• -¦* . а2 я ?& (U
1 о- ' 2 л. v '
Условия, которые должны быть удовлетворены в точке соеди-
нения двух частей струны, сводятся: 1) к непрерывности смещения,у
и 2) к непрерывности -Д. Если бы две эти части соединялись
под конечным углом, то на бесконечно малый элемент струны
в точке соединения действовала бы конечная сила.
Предположим, Что положительная волна гармонического типа,
распространяющаяся в первой части (рх), переходит во вторую (ра).
В этой последней движение будет ацэкватно представлено поло-
жительной волной, в первой же мы должны принять в расчет
i486] ОТРАЖЕНИЕ ОТ ТОЧКИ СОЕДИНЕНИЯ 257
отрицательную отраженную волну. Таким образом, мы можем
взять для двух частей соответственно
у =
у =
где
так что
ftjflj = кф.л. E)
Условия в точке соединения (х = 0) дают
H-\-K=L, F)
откуда
JL ?it —h , Р--1 /о\
Так как отношение К!И действительно, мы можем предполо-
жить, что обе величины действительны; если мы отбросим теперь
в C) и D) мнимые части, то в качестве решения, в действительных
величинах, мы получим
у = Я cos кг(а^ — *) + /Ccosft1(e1^-f~x), (9)
oskt(a.3t--x). A0)
Отношение амплитуд отраженной и падающей волн, выражае-
мое уравнением (8), было впервые получено Т. Юнгом для соот-
ветствующей проблемы оптики.
1486. Выражение для интенсивности отражения, установленное
в § 148й, связано с допущением, что переход о г одной птотносги
к другой — внезапный, т. е. занимает расстояние, которое мало
в сравнении с длиной волны. Можно ожидать, что если переход
будет постепенным, то отражение уменьшится и в пределе исчез-
нет совсем.
Проблема постепенного перехода, конечно, заключает в себе
проблему переменной среды и в общем случае должна быть со-
пряжена с большими трудностями. Есть, впрочем, один случай, где
решение получить легко; мы предполагаем рассмотреть его в на-
стоящем разделе. Предположим, что линейная пвдтность изме-
няется обратно пропорционально квадрату абсциссы. Если у,
означающее поперечное смещение, пропорционально е*Р*, то урав-
нение, которому оно Д01ЖН0 удовлетворять как функция х,
следующее (§ 141):
% + *х'*у = 0. A)
17 Зак 1774 Рэлей, I
238 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
где геа — некоторая положительная постоянная, являющаяся отвле-
ченным числом.
Решение A) есть
у = Ax'^im-\-Bx'/»-im, B)
где
та = иа_1. C)
Если т действительно, т. е. если я > -к. то мы можем по-
лучить, полагая А = О, в качестве окончательного решения,
в действительных величинах:
у = Сх1/" cos (pt — /и1пл:-}-е). D)
что представляет потожительную бегущую волну, во многом по-
хожую на те, которые распространяются в однородной среде.
Преапоиожим теперь, что влево от точки х — хг переменная
среда заменена средой однородного состава, но так, чтобы в точке
перехода не было разрыва плотности, исследуем, каког отраже-
ние испытает положительная бегущая волна в однородной среде
по приходе к среде переменной. Достаточно будет рассмотреть
случай, где т действительно, т е. где изменение плотнорти
происходит с умеренной скоростью
По предположению, отрицательная волна в переменной среде
отсутствует, так что в уравнении B) А = 0 Таким образом,
у = ?*¦„-<», g-
и, когда х = xv
У дх
Общее решение для однородной среды, удовлетворяющее
F)
р
уравнению -г^-\-п^х~гу = Q, может быть написано в виде
отсюда, когда x = xv
L*L in H~K G\
у дх = хх нл-v О
В уравнении F) Н представляет собой амплитуду падающей
положительной волны, а К—амплитуду отраженной отрицатель-
ной волны. Условие, которому необходимо удовлетворить для
1 ду
х в xv сводится к тому, что значения — ~, даваемые уравне-
I486) ПОСТЕПЕННЫЙ ПЕРЕХОД 259
киями E) и G), должны быть равны. Таким образом, мы полу-
чаем уравнение
которое дает, в символической форме, отношение амплитуды
отраженного колебания к амплитуде падающего
Приняв во внимание уравнение C), мы можем написать (8)
в следующем виде:
77 = W
так что амплитуда отраженной волны составляет 1/%(п~\-т)~1
амплитуды падающей. Таким образом, как этого и следовато ожи-
дать, когда лит велики, т. е. когда плотность в переменной
среде меняется медленно, отражение мало. Что же касается фазы,
то результат, содержащийся в (9), можно предс1авить, предпо-
ложив, что отражение происходит в точке х = xt и сопрово-
ждается изменением фазы, достигающим четверти периода
Переходя теперь к более важной задаче, мы предположим,
что переменная среда простирается только до точки х = х%, за
которой пютность сохраняет то значение, которое она имеет
в этой точке. Положительная волна, распространяющаяся сперва
в однородной среде с плотностью, пропорционачьной х~2, пере-
ходит в точке х — хх в переменную среду с плотностью, про-
порциональной х~*, а затем снова, в точке х = х2, в однородную
среду, на этот раз с плотностью, пропорциональной х~2. Ско-
рости распространения волны обратно пропорциональны квадрат-
ным корням из плотностей, так что, если fi есть показатель
преломления между крайними средами, то
Толщина («О переходного слоя равна
d = x2-xx. A1)
Длины волн в двух средах даются выражениями:
так что
Для первой среды мы возьмем, как и прежде,
._a>-a»i , ._ д-ат,
у = Не' п ~Ъ~ + Ке ~, F)
17*
260 ¦ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
дающее для хж*хх
1 ду _ inH — K /лв пл
у дх~ H + K ~~
если для краткости обозначить и_г% через 9.
Для переменной среды
у = АхЧш+ы + ВхЧг'ш, B)
что дает для х =
ydx~Xi Ax*m + Bx-im ' U)
Отсюда условие, которое должно быть удовлетворено при
= xv дает
откуда
А и
В — Xi
Условие, которое должно быть удовлетворено при х = х.л,
можно вывести из A4), заменяя х1 через х.2 и полагая в то же
время 6=1 в силу того, что во второй среде отрицательная
волна, по предположению, отсутствует. Отсюда, приравнивая
друг другу два выражения А: В, мы получаем уравнение
у-ц» 1т - '"е - Уз _ ..-и» im -in - Уз
1 /яг + /пв + i/a ~ 2 /« + /л + '/з '
из которого должна быть найдена отраженная волна в первой
среде. Принимая во внимание уравнение C), мы получаем
*™ (т — л
так что
77 ^ 2 (от + л) + 2[*^т (т — пУ
Это — символическое решение. Чтобы истолковать его в действи-
тельных величинах, мы должны различать случай, когда т дей-
ствительно, и случай, когда т мнимо. Если переход не слишком
внезапный, то т действительно, и решение A6) может быть
переписано в виде
К_==± — 1 + cos Bm In ц) + / sin Bm In jx)
H 2 m + n -\- (m — n) cos Bm In jj.) + / (m — n) sin Bm In |л)'
Таким образом, выражение для отношения интенсивностей отра-
148*1 постепенный переход 261
женной и падающей волн после приведения имеет следую-
щий вид:
sin2(mln[j.) _
4m2 + sin2 (m In fi) ' u '
Если т мнимо, то мы можем написать Ш = л»'; уравнение A6)
дает тогда для отношения интенсивностей
или, вводя обозначения гиперболической тригонометрии § 170,
shs (of In tt)
sh-i( m'In [i) + 4«/*'
Для критического значения /и = 0 мы получаем из A7) или A9)
¦ (In [aJ *
Эти выражения позволяют нам проследить за эффектом более
или менее постепенного перехода между средами с данными
показателями преломления. Если переход абсолютно внезапный,
то, в силу A2) « = 0, так что mr = iy. В этом случае уравне-
ние A8) дает нам (§ 148а) хорошо известную формулу Юнга
B1)
Л Г" I * /
Так как —— непрерывно увеличивается от х = 0, то отноше-
ние A9) увеличивается непрерывно от от' = 0 до т' = -^, т. е.
непрерывно уменьшается, начиная с внезапного перехода т' = -„ ,
когда его значение дается B1), до критического случая т' = 0,
когда его значение дается B0), после чего эта форма уже не
соответствует действительности. Когда я»' = 0, то « = -^,
и в силу (\2)d = (\.2 — Xt) 4тг.
Когда п > Va> соответствующей формой является A7). Из
этого уравнения мы видим, что с увеличением п отражение умень-
шается, пока, наконец, не исчезает при тЫр — к, т. е. при
1 . я2
При еще более постепенном переходе отражение снова возро-
ждается, достигает некоторого максимума, снова исчезает при
wtlnix = 2it и т. д.1).
!) W. Rayleigh, Proc. Ma*h. Чос, том XI, февраль 1880; там можно
найти также численный пример, иллюстрирующий оптические условия.
262 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН [ГЛ. VI
148<?. В задаче о соединенных струнах, колеблющихся под
действием общего натяжения, скорость в каждой однородной
части не зависит от длины волны и поэтому здесь нет ничего, что
соответствовало бы оптической дисперсии. Это положение вещей
нарушится, если мы введем в рассмотрение жесткость; нам ка-
жется не лишенным интереса исследовать на простом случае, на-
сколько сильно изменится вследствие этого проблема отражения.
Как и в § 148а, мы будем предполагать, что в х = 0 плотность
изменяется прерывно от pt к р2, но теперь мы считаем, что коле-
бания второй части происходят также и под влиянием заметной
жесткости. Дифференциальное уравнение, которое приложимо
в этом случае, имеет вид (§ 188):
или, если у пропорционально eint,
так что, если у пропорционально eika>,
О)
_«•=» 0. B)
Благодаря жесткости, выражаемой множителем J33, скорость
распространения отклоняется от а.2, и ее следует находить по-
этому из уравнения B). Два значения к'2, которые дает это
уравнение, действительны; одно из них положительно, другое
отрицательно. Четыре допустимых значения k суть, следовательно,
rt&a, dszlh.3, так что общее решение уравнения A) будет иметь
вид:
*c, C)
где йа, &й действительны и положительны. Скорость распростра-
нения равна rc/fe-j.
В том приложении, которое мы имеем в виду, возмущение
не идеально гибкой второй части обязано положительной волне,
входящей в нее из первой части. Когда х велико и положительно,
выражение C) должно приводиться к своему второму члену. Та-
ким образом,
Л = 0, D = 0,
и мы остаемся с выражением
у = Be - <*•* + Се - **». D)
Это выражение справедливо, когда х положительно. Когда х от-
рицательно, что соответствует идеально гибкой первой части,
мы имеем
у = He-ih& + Keik&, E)
148с] НЕСОВЕРШЕННАЯ ГИБКОСТЬ 263
где
*! = ?• F)
«Показатель преломления» дается выражением:
* = %• W
Условиями в точке соединения являются, во-первых, непрерыв-
ду
ность у и -g-. Далее, в этом месте должно обращаться в нуль
—^ в D), так как кривизна предполагает пару сил (§ 162), а эта
последняя не могла бы передаваться первой частью. Отсюда
(8)
ih.fi. (9)
. A0)
Из этих уравнений мы получаем
Н~К
Я "
и отсюда для интенсивности отражения, которая равна mod9 (К}Н)
u ;
Если вторая часть, так же как и первая, идеально гибка, то
C = 0, Л3 = оо, и мы снова возвращаемся к формуле Юнга.
Вообще интенсивность отражения дается этой формулой неточно,
даже если воспользоваться в ней значением показателя прело-
мления, соответствующим действительно распространяющимся
волнам.
ГЛАВА VII
ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
149. Следующей в порядке возрастания сложности системой
после струны является стержень; этим термином в акустике
обычно называют материальную массу однородного состава и
удлиненной цилиндрической формы. Концы цилиндра, обрезаны
плоскостями, перпендикулярными к образующим. Центры инер-
ции поперечных сечений расположены на прямой линии, назы-
ваемой осью.
Колебания стержней бывают трех видов — продольные, кру-
тильные и поперечные. Из них важнейшими являются последние,
но в то же время теория их наиболее трудна Эти колебания
будут рассмотрены особо в следующей главе, здесь же они затро-
нуты лишь постольку, поскольку это необходимо для сравнения и
противопоставления их другим двум видам колебаний.
Продольными колебаниями называются такие, при которых ось
остается неподвижной, между тем как поперечные сечения
колеблются в направлении, перпендикулярном к их плоскостям.
Движущей силой при этом является упругое сопротивление, ока-
зываемое стержнем растяжению или сжатию.
Одна особенность этого класса колебаний непосредственно
очевидна. Так как сила, необходимая для того, чтобы вызвать
данное растяжение в стержне, пропорциональна площади сечения,
а масса, которая приводится в движение, находится в таком же
отнолении, то отсюда следует, что для стержня данной длины
и из данного материала периоды и род колебания не зависят от
площади и от формы поперечного сечения. Подобный же закон
имеет место, как мы вскоре увидим, и в случае крутильных
колебаний
Иначе обстоит дело, если колебания поперечные. Правда,
периоды не зависят от толщины стержня в направлении, перпен-
дикулярном к плоскости изгиба, но движущая сила в этом слу-
чае, т. е. сопротивление изгибу, возрастает быстрее, чем толщина
в плоскости изгиба, и потому увеличение толщины в этом напра-
влении сопровождается повышением тона.
В случае продольных и поперечных колебаний механическими
константами, с которыми приходится иметь дело, являются плот-
150] ОБЩЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 265
ность материала стержня и модуль Юнга. Для малых растяжений
(или сжатий) соблюдается закон Гука, согласно которому натя-
жение изменяется пропорционально удлинению Если удлинение,
действительная длина — естественная длина ,
т е. отношение ———— ——— — обозначить
естественная длина
через е, то будем иметь Т = дг, где q — модуль Юнга, а Т—на-
тяжение на единицу площади, необходимое для того, чтобы
произвести удлинение е. Поэтому модуль Юнга можно опреде-
лить как силу, которую нужно было бы приложить к стержню
единичного сечения для того, чтобы удвоить его длину, если бы
закон Гука продолжал соблюдаться для столь больших удлине-
ний. Соответственно этому размерностью модуля Юнга является
сила, деленная на площадь.
Крутильные колебания зависят еще и от второй упругой
постоянной [j, смысл которой будет рассмотрен в соответствую-
щем месте.
Хотя теоретически все три класса колебаний, зависящих
соответственно от сопротивления удлинению, сопротивления кру-
чению и сопротивления изгибу, совершенно различны и, поскольку
можно пренебречь квадратами деформаций, независимы один от
другого, все же в действительных опытах со стержнями, которые-
никогда не бывают ни строго однородными по материалу, ни
точно цилиндрическими пэ форме, часто оказывается невоз.можиым
возбудить продольные или крутильные колебания без того, чтобы
они не сопровождались в той или другой мере движением в попе-
речном направлении. В стержнях обычных размеров наиболее низ-
кая частота поперечного колебания значительно ниже, чем самая
низкая частота продольного или крутильного колебания и вслед-
ствие этого обычно случается, что основной тон какого-либо из
последних видов колебаний совпадает по высоте более или менее
точно с каким-нибудь обертоном колебания первого вида. При
таких обстоятельствах правильные типы колебаний становятся
неустойчивыми, и небольшая неправильность может вызвать боль-
шой эффект. Трудность возбуждения чисто продольных колебаний
в стержне аналогична трудности получения колебаний струны
в одной плоскости.
После этих объяснений мы можем приступить к рассмотрению
трех классов колебаний независимо друг от друга, начиная с про-
дольных колебаний, которые по существу не ставят никаких
математических задач, помимо уже рассмотренных в преды-
дущих главах.
150. Если стержень растягивается силой, параллельной его
длине, то растяжение, вообще говоря, сопровождается попереч-
ным сжатием, так что действительное увеличение объема меньше,
чем оно было бы в том случае, если бы смещение каждой
частицы было параллельно оси. В случае короткого стержня и
266 ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. УП
частицы, расположенной вблизи цилиндрической граничной по-
верхности, это поперечное движение сравнимо по величине с про-
дольным движением и им нельзя пренебречь без риска сдела1ь
значительную ошибку. Но если стержень, длина которого велика
по сравнению с линейными размерами его сечения, целиком по i,-
вергается растяжению одного знака, то продольное движение
накапливается, и поэтому в случае обычных стержней, совершаю-
щих медленные продольные колебания, инерцией поперечного
движения можно пренебречь. Кроме того, ниже мы увидим, как
в случае необходимости можно ввести поправку
Пусть jc —расстояние слоя частиц, составляющих некоторое
сечение, от положения равновесия одного конца, когда стержень
не растянут ни постоянным натяжением, ни в результате коле-
баний, и пусть \ — смещение, так что действительное положение
сечения будет х -\- \. Так как положение равновесия и действи-
тельное положение соседнего слоя будут соответственно jc-j-Sjc и
х-\-Ьх -\- %-\--f- $х, то элонгация равна -р-, и поэтому, если Т—на-
тяжение на единицу площади, действующее на поперечное сече-
ние, то
Рассмотрим теперь силы, действующие на элементарный слой,
ограниченный сечениями х и л; —|— 8лг. Если <о— площадь попе-
речного сечения, то натяжение в сечении х в соответствии с A)
равно q<a -r~ и действует в отрицательном направлении, в сечении же
jc-[-8je натяжение равно
и действует в положительном направлении; таким образом, сила,
действующая на элементарный слой со стороны прилежащих
частей, равна
3
Если начальная плотность равна р, то масса элемента равна
З а потому, обозначая через X ускоряющую силу, действую-
щую на этот элемент, мы получим уравнение равновесия в виде
В дальнейшем нам не понадобится рассматривать действие
приложенной силы. Чтобы найти для этого случая уравнение
движения, нам достаточно заменить X реакцией против уско-
151) СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ 267
рения — Ь Следовательно, принимая — = а9, имеем
дП ~а дх* ' W
Это уравнение одинаково по виду с уравнением для поперечных
смещений натянутой струны и указывает на невозмущенное рас-
пространение волн любого типа в по тожительном и отрицатель-
ном направлениях Скорость а найдена относительно стержня
в нерастянутом состоянии; истинная скорость, с которой воз-
мущение распространяется н пространстве, будет больше в отно-
шении, равном oi ношению растянутой и нерастянутой длин про-
извольной части стержня. Это различие существенно только
в случае постоянного натяжения.
151. Для действительной величины скорости распространения
мы имеем
а9 — q : р = qo>: р<о,
что представляет собой оiношение полного натяжения, необхо-
димого (согласно закону Гука) для удвоения длины стержня,
к линейной плотности. Если бы тот же стержень был гибким и
был растянут с общим натяжением Т, то скорость распростра-
/~~Т~
нения волн вдоль него была бы равна у —. Таким образом,
чтобы скорость была одинакова в обоих случаях, необходимо,
чтобы Т было равно очо, или, другими словами, чтобы натяжение
было таким, какое теоретически необходимо для удвоения длины.
Следовательно, тоны стержней, совершающих продольные коле-
бания, очень высоки по сравнению с гонами, получаемыми от
струн той же длины.
Для стали значение q приблизительно равно 22 ¦ 1ОЧ граммоз
веса на квадратный сантиметр. Чтобы выразить это значение
в абсолютных единицах силы в системе CGS1), необходимо умно-
жить его на 980. В той же системе плотность стали (тожде-
ственная с ее удельным весом относительно воды) равна 7,8.
Отсюда для стали имеем приблизительно
что показывает, что скорость звука в стали равна приблизи-
тельно 530000 сантиметров в секунду, или примерно в 16 раз
больше скорости звука в воздухе. Скорость звука в стекле при-
близительно такая же, как и в стали.
t) Сантиметр, грамм секунда Эта система рекомендована Комитетом
Британской ассоциации. Brit. ass. Report, 1873.
268 ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. VII
Необходимо отметить, что, строго говоря, значение д, опре-
деленное статическими экспериментами, не является тем значе-
нием, которое должно здесь применяться. Так же как и1 в случае
газов, который будет рассмотрен в одной из следующих глав,
быстрые изменения состояния, связанные с распространением звука,
сопровождаются тепловыми эффектами, одним из результатов
которых является увеличение эффективного значения q выше
значения, получаемого из наблюдений над удлинением, произво-
димых при постоянной температуре. Однако имеющиеся данные
недостаточны точны, чтобы эта поправка имела какое-либо зна-
чение в случае твердых тел.
152. Так как решение общего уравнения продольных коле-
баний стержня неограниченной длины, а именно
точно такое же, как и для струны, то нам нет нужды его здесь
рассматривать.
Когда оба конца стержня свободны, то, конечно, он не испы-
тывает постоянного натяжения, а на самих концах нет и вре-
менного натяжения. Поэтому условием для свободного конца
является
Для того чтобы определить нормальные типы колебаний, необ-
ходимо предположить, что ? изменяется, как гармоническая функ-
ция времени cos nat. Тогда ?, как функция от х, должна удо-
влетворять уравнению
полный интеграл которого есть
I = A cos пх-\- В sin пх, C)
где А и В не зависят от х.
Но так как — всегда обращается в нуль при х = 0, то мы
получаем В — О; далее, так как ~ исчезает также и при х == /,
где /—естественная длина стержня, то sin я/= 0, что показы-
вает, что я имеет вид:
n=-j- , D)
где /—целое число.
В соответствии с этим нормальные типы колебаний даются
уравнениями вида:
^ E)
153) стержень с одним свободным и одним закреплен, концом 269
в которых, конечно, можно при желании прибавить произвольную
постоянную к времени /.
Таким образом, полное решение для стержня с обоими сво-
бодными концами имеет вид:
f V4 fax ( » /«Я* I о • ti4Xt\ ...
i=2jcos—r(AiCOS~i—H^^m-y-j, F)
где А^ и B( — произвольные постоянные, которые можно опреде-
лить обычным способом, если заданы начальные значения I и t
Допустимо также и значение i, равное нулю; оно дает член,
выражающий смещение ?, постоянное как в пространстве, так и
во времени, и в сущности сводящееся только к переносу начала
координат.
Период наиболее низкого колебания в F), соответствующий
значению i=l, равен 21/а; это есть время, необходимое для рас-
пространения возмущения на длину, вдвое превышающую длину
стержня. Другие тоны, получающиеся, если приписывать / целые
значения, образуют полную гармоническую шкалу; таким образом,
согласно этой теории, нота, издаваемая стержнем при продольном
колебании, должна быть всегда музыкальной.
В колебании самой низкой частоты середина стержня, для ко-
торой х = -п-1, является неподвижным местом или узлом; но перио-
дическое удлинение или сжатие -?- в этой точке максимально.
153. Случай стержня с одним закрепленным и одним свобод-
ным концом может быть выведен из общего решения для стержня
с обоими свободными концами, но двойной длины. В самом деле,
каково бы ни было начальное состояние стержня, свободного на
конце х = 0 и закрепленного на конце х = /, всегда можно при-
писать сечениям второго стержня, простирающегося от 0 до 2/ и
свободного на обоих концах, такие смещения и скорости, при
которых движения частей обоих стержней, расположенных на от-
резке от 0 до I, будут тождественными в обоих случаях. Для
этого необходимо только предположить, что на отрезках от / до
2/ и от 0 до / в начальный момент смещения и скорости
в точках, расположенных на равных расстояниях от середины х —/,
равны по величине, но противоположны по направлению. При
этом условии середина стержня, вследствие симметрии, должна
находиться в покое в течение всего времени движения, и тогда
отрезок от 0 до / удовлетворяет всем поставленным условиям.
Отсюда мы заключаем, что колебания стержня, свободного на
одном конце и закрепленного на другом конце, тождественны с ко-
лебаниями половины стержня двойной длины с обоими свобод-
ными концами, при условии, что последний совершает только
колебания нечетных тонов, получаемых, если давать i значения
270 ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. VII
последовательных нечетных целых чисел. Тоны колебаний такого
стержня опять принадлежат гармонической гамме, но четные
тоны (октава основного тона и т. д.) отсутствуют.
Период наиболее низкого тона равен времени, в течение ко-
торого возмущение распространяется на расстояние, вчетверо
большее длины стержня.
154. Если закреплены оба конца стержня, то условия, кото-
рым необходимо удовлетворить на концах, заключаются в том,
что значение i на этих концах должно быть постоянным. При
х = 0 мы можем положить 5 = 0. При х = I \ есть малая посто-
янная величина т, обращающаяся в нуль, если нет постоян-
ного натяжения. Независимо от колебаний, очевидно, имеем
? = -^- и мы могли бы проще всего получить наш результат,
введя с самого начала этот член. Однако, пожалуй, поучительнее
применить общий метод.
Полагая, что \, как функция времени, изменяется по закону
A cos nat-\- В sin nat,
мы видим, что, как функция от х, она должна удовлетворять
уравнению
общее решение которого есть
? = С cos nx-\-D sin гея. A)
Но так как I исчезает вместе с х для всех значений t, то
С = 0, и потому мы можем написать
%=2 s>n пх (л c°s п&+? s*n re°o>
Теперь из условия для х — I получаем
2 sin nl(A cos nat-\~ В sin nat) = я,
откуда следует, что для всякого конечного допустимого зна-
чения п
sin nl ив 0 или п = -у-.
Но для значения а = 0 мы имеем
Ло sin «/ = а,
и соответствующий член в выражении для % имеет вид:
у , , sin пх х
155] СТЕРЖЕНЬ, ЗАКРЕПЛЕННЫЙ С ОБОИХ КОНЦОВ 271
Следовательно, полное значение Е есть
in^). B)
Последовательность тонов образует полную гармоническую
шкалу (причем, однако, любые члены последней могут отсут-
ствовать в реальном колебании), а период слагающего колебания
наиболее низкого тона равен времени, в течение которого воз-
мущение проходит дважды длину стержня, т. е. тот же самый,
что и в случае, когда оба конца стержня свободны. Следует
заметить, что здесь мы имеем дело с длиной не растянутого
стержня и что период при заданной естественной длине не зави-
сит от постоянного натяжения.
Решение задачи о стержне с обоими закрепленными концами
в случае отсутствия постоянного натяжения можно было бы также
вывести из решения задачи о стержне с обоими свободными кон-
цами простым дифференцированием по х. В самом деле, в этой
последней задаче -р удовлетворяет дифференциальному уравнению
поскольку % удовлетворяет уравнению
dt*~~ дх*
и ~ обращается на обоих концах в нуль. Таким образом,
j- в этой задаче удовлетворяет всем условиям, наложенным на Е,
в случае, когда оба конца закреплены. Таким образом, обе после-
довательности тонов тождественны.
155. Эффгкт небольшой нагрузки М, прикрепленной к какой-
нибудь точке стержня, легко рассчитать приближенно, поскольку
достаточно предположить, что тип колебания остается неизмен-
ным (§ 88). Возьмем случай стержня, закрепленного на конце лг = О
и свободного на конце х = 1. Кинетическая энергия пропорцио-
нальна
г
1 Г . „ Ых
1 w . g 1кх
Ж sin9
или
Поскольку потенциальная энергия остается неизменной, мы
видим .на основании принципов, установленных в главе IV, что
211 ПРОДОЛЬНЫЕ Й КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ТЛ. VU
эффект небольшой нагрузки М, помещенной на расстоянии х от
закрепленного конца, заключается в увеличении периода слагаю-
щих тонов в отношении
1
М
Малая величина —{ представляет собой отношение нагрузки
ко всей массе стержня.
Если нагрузка прикреплена у свободного конца, то sina -57"= 1.
и эффект нагрузки состоит в понижении высоты каждого тона
на один и тот же мааый интервал. Следует помнить, что здесь /
равно нечетному целому числу.
Если точка прекрепления М является узлом для какого-
нибудь слагающего колебания, то высота тона этого колебания
остается неизменной при добавлении нагрузки.
156. Другая задача, заслуживающая внимания, возникает
в том случае, если нагрузка на свободном конце велика по
сравнению с массой стержня. В этом случае мы можем допустить,
что тип колебания удовлетворяет условию равномерного растя-
жения вдоль всей длины стержня.
Если ? есть смещение нагрузки М, то кинетическая энергия
равна
=1
j *а J po) ^dx = 1 Ым + jP«/).
о
A)
Натяжение, соответствующее смещению Е, равно ^«у,и гаким
образом потенциальная энергия смещения равна
Уравнение движения имеет вид:
и, если % пропорционально cos pt, то
/>9 = ^:(m+|p<4 C)
Таким образом, поправка, которая вызывается инерцией стержня,
эквивалентна прибавлению к М одной трети массы стержня.
156а. До тех пор пока стержень или проволока однородны,
волны продольных колебаний распространяются вдоль них без
изменения типа, но всякая прерывность или изменение механи-
1571 поправка На поперечное движение 273
ческих свойств, вообще говоря, вызывает отражение Если соеди-
нены две однородные проволоки, то задача об определении
отражения в точке соединения может быть решена так же, как
в § 148 а. Условия, которым необходимо удовлетворить в точке
соединения, следующие: 1) непрерывность 5, 2) непрерывность
Ушдх' ИзмеРЯЮ1Дег0 натяжение. Если р,, р3, u>v <o.2, av йа обо-
значают объемные плотности, площади сечений и скорости в обеих
проволоках, то отношение амплитуды отраженной волны к ампли-
туде падающей дается выражением
Н
Отражение исчезает, т. е. падающая волна проходит через
точку соединения без потерь, в том случае, когда
Pi*» A = Рэ^а- B)
Этот результат показывает, какие трудности встречаются при
осуществлении эффективной передачи звука от воздуха к металлу
или от металла к воздуху в механическом телефоне. Действи-
тельно, значение ра для стали примерно в 100 000 раз больше,
чем для воздуха.
157. Закончим наше математическое рассмотрение продольных
колебаний оценкой ошибки, допускаемой при пренебрежении
инерцией поперечного движения частей стержня, не расположен-
ных на оси. Если обозначить через |х отношение поперечного
сжатия к продольному растяжению, то поперечное смещение
частицы, находящейся на расстоянии г от оси, в случае равновг-
сия будет равно jirs, гдз в— удлинение. Хотя, строго говоря,
это отношение будет изменяться под влиянием инерции попереч-
ного движения, мы можем для нашей настоящей цели считать
его выполняющимся (§ 88).
Постоянная jj. есть число, заключенное между 0 и 1/3. Если бы [*
было отрицательным, то продольное натяжение вызвало бы по-
перечное утолщение, а если бы |х было больше чем 1/а, то по-
перечное сжатие было бы настолько вглико, что преобладало бы
над удлинением, вызывая уменьшение общего объгма. Последнее
положение вещей было бы несовместимо с устойчивостью, пер-
вое же едва ли возможно в обычных твердых телах. Одно время
предполагали, что ц необходимо должно быть равно 1li, так что
принималась лишь одна независимая упругая постоянная, но с тех
пор опыт показал, что |л переменно. Для стекла и латуни Верт-
гейм получил экспериментальным путем значение ц = !/3.
Пусть ч\ означает поперечное смещение частицы, расположенной
на расстоянии г от оси; если сечение круглое, то кинетическая
18 Зак 1774 Рэлей, I
274 ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. VII
энергия поперечного движения равна
0 0 0
Таким образом, полная кинетическая энергия равна
j/
о о
В случае стержня, свободного на обоих концах, мы имеем
. lizx д\ in . Ых
5-cos-p, _~_Tsm —,
и» следовательно,
Т + ЪТ _ . iWri»
У 1- -f- 2 /а •
Поэтому эффект инерции поперечного движения состоит в увели-
чении периода в отношении
Эта поправка почти неощутима для низких частот стержней,
имеющих обычное соотношение длины и толщины.
[Более полное решение задачи, рассмотренной в этом пара-
графе, было дано Похгаммером г), который применил общие
уравнения упругого твердого тела к случаю бесконечно протя-
женного цилиндра круглого сечения. Результат для продольных
колебаний вплоть до члена порядка г9/Р согласуется с получен-
ным выше. Аналогичное исследование было опубликовано Кри 2),
который исследовал также и более общую задачу s) о цилиндре,
сечение которого не является обязательно круглым.]
158. Эксперименты над продольными колебаниями обычно про-
изводят с еловыми или стеклянными стержнями. Колебания воз-
буждаются трением (§ 138) — в случае стеклянного стержня
с помощью сырой ткани, а в случае металлических или деревянных
стержней — с помощью кожи, обсыпанной порошком канифоли.
«Продольные колебания фортепианной струны можно возбудить,
слегка натирая струну в продольном направлении куском резины,
а продольные колебания скрипичной струны—располагая смычок
косо и двигая его вдоль струны таким образом, чтобы он касался
струны все время одной и той же своей точкой. В обоих слу-
чаях получается неприятная пронзительная нота».
1) Pochhammer, Crelle, том 81, 1876.
2) Chree, Quart. Math. Jour п., том 21, стр. 287, 1886.
3) Chree, там же, том 23, стр. 317, 1889.
159] КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 275
«Если повернуть колок на скрипке так, чтобы значительно
изменить высоту тона поперечных колебаний, то можно убе-
диться, что высота тона продольных колебаний изменится лишь
очень незначительно. Это объясняется тем, что в случае попе-
речных колебаний изменение скорости распространения волн
зависит главным образом от изменения натяжения, которое
в данном случае значительно. В случае же продольных колебаний
изменение скорости распространения волн зависит от изменения
удлинения, которое сравнительно невелико» а).
В опытах Савара над продольными колебаниями иногда наблю-
дался специфический звук, названный им хриплым («son rauque»),
высота которого была на октаву ниже тона продольного коле-
бания. Согласно Теркему2), причиной этого звука является по-
перечное колебание, появление которого обусловливается прибли-
женным совпадением собственного периода этого колебания
с периодом субоктавы продольного колебания (§ 68 Ь). Если
этот взгляд правилен, то это — явление второго порядка, кото-
рое, повидимому, следует отнести за счет того факта, что про-
дольное сжатие стержня стремится вызвать его искривление.
159. Второй класс колебаний, называемый крутильными коле-
баниями и зависящий от сопротивления закручиванию, имеет
весьма малое значение. Сплошной или полый цилиндрический
стержень круглого сечения можно закручивать соответствующими
силами, приложенными к его концам, таким образом, чтобы
каждое поперечное сечение оставалось в своей плоскости. Но
если сечение стержня не круглое, то эффект закручивания имеет
более сложный характер, так как закручивание непременно
сопровождается искривлением слоев материала стержня, перво-
начально составлявших нормальные сечения. Хотя эффект искри-
вления, пожалуй, возможно было бы определить в любом частном
случае, если бы встретилась в этом надобность, однако мы здесь
ограничимся случаем круглого сечения, когда нет движения,
параллельного оси стержня.
Сила сопротивления кручению зависит от упругой постоянной,
отличной от q и называемой жесткостью. Обозначив ее через п,
мы можем написать соотношение между д, п и jj. s):
которое показывает, что значение л заключается между у <7 и
1 о 13
-д-<7. В случае если ji = —, п = -тгЦ.
1) Donkin, Acoustics, стр. 154."
2) Terquem, Ann. de Chimie, LVII, 120—190.
3) Thomson a. Tait, § 683. Следует заметить, что это относится только
к изотропному материалу.
18*
276 ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. VIl)
Положим теперь, что мы имеем дело со стержнем в виде
тонкой трубки радиуса г и толщины dr, и пусть в означает
угловое смещение какого-нибудь сечения, расположенного на
расстоянии х от начала. Степень закручивания в сечении х дается
отношением —, а сдвиг материала трубки — величиной г^-.
Сила сопротивления на единицу площади равна nrj-; а так как
площадь сечения равна 2^rdr, то момент относительно оси равен
Таким образом, восстанавливающая сила, действующая на
слой их, имеет момент
2шгьйгйх ^.
Но момент инерции рассматриваемого слоя есть 2i:rdrdxpri,
а потому уравнение движения принимает вид-:
Так как это уравнение не зависит от г, то оно применимо и
к цилиндру конечной толщины или к сплошному цилиндру.
Скорость распространения волны равна у —, и вся теория
в точности подобна теории продольных колебаний; условие для
свободного конца есть g- = 0, а для закрепленного конца 6 =¦ О
или, если рассматривается постоянное закручивание, 9 = const.
Скорость продольных колебаний относится к скорости кру-
тильных колебаний, как |/q :У~п или \^2-f- 2jj. : 1. То же самое
отношение имеет место и для частот колебаний стержней рав-
ной длины, совершающих колебания соответствующих типов при
соответствующих условиях на концах. Если [1=в-к-, то отношение
О
частот будет
/~VHyb ^5= 1,63,
что соответствует интервалу, несколько превышающему квинту.
Во всяком случае отношение частот должно лежать между
1/^:1 = 1,414 и /3:1 = 1,732.
Продольные и крутильные колебания были впервые исследо-
ваны Хладни.
ГЛАВА VIII
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
160. В настоящей главе мы рассмотрим поперечные колебания
тонких упругих стержней, которые в своем естественном состоянии
имеют прямолинейную форму. Вслед за колебаниями. струн этот
класс колебаний является, пожалуй, наиболее существенным
в смысле важности его теоретического и экспериментального
рассмотрения. В этом рассмотрении трудностей достаточно, чтобы
подчеркнуть некоторые важные пункты, связанные с общей теорией,
и мимо которых читатель, вследствие своего хорошего знаком-
ства с круговыми функциями, мог пройти слишком поверхностно
при рассмотрении струн; в то же время трудности анализа не
таковы, чтобы отвлечь внимание, которое следует уделить общим
математическим и физическим принципам.
Даниил Бернулли1), повидимому, первый взялся за решение
задачи. Среди тех, кто значительно подвинул наши знания в этой
области, наиболее выдающееся место занимают Эйлер, Риккати,
Пуассон, Коши, а в более позднее время Штрельке9), Лиссажу8)
и Зеебек4).
161. Задача распадается на три части — в соответствии с на-
личием или отсутствием постоянного продольного натяжения.
Рассмотрение постоянного натяжения вносит дополнительное
усложнение и представляет интерес только в применении к натя-
нутым струнам, жесткостью которых, хотя и малой, нельзя пол-
ностью пренебречь. Поэтому наше внимание главным образом
будет обращено на два крайних случая: 1) когда нет постоян-
ного натяжения и 2) когда натяжение играет главную роль
в колебании.
Что касается сечения стержня, то мы будем предполагать,
что одна его главная ось лежит в плоскости колебаний, так что
изгиб происходит в каждой части стержня в направлении
1) D. Bernoulli, Comment Acad. Petrop., том XIII (Язе. С. Петерб.
Акад. наук, том XIII).
2) Strehlke, Poggend. Ann., том XXVII, стр. 505, 1833.
s) Lissajous, Ann. de Chitnle C), XXX, 385, 1850.
4) Seebeck, Abhandlungend.Math. Phys. Classed.K- Sachs. Gesellsch.
d. Wlssenschaften, Lpz. 1852.
278 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. VIII
максимального или минимального (или стационарного) сопротивления
изгибу. Так, например, поверхность стержня может быть поверх-
ностью вращения, так что сечения представляют собой круги,
хотя и не обязательно одинакового радиуса. При этих усло-
виях потенциальная энергия изгиба для каждого элемента длины
пропорциональна квадрату кривизны, помноженному на некоторую
величину, зависящую от материала стержня и от момента инерции
поперечного сечения относительно оси, проходящей через центр
инерции сечения перпендикулярно к плоскости изгиба. Пусть о> —
площадь сечения, *2<о— его момент инерции, q — модуль Юнга,
ds— элемент длины и dV—потенциальная энергия, соответствую-
щая кривизне 1/R оси стержня. Тогда
W =?<[#*%. A)
Этот результат легко полупить, рассматривая удлинение раз-
личных волокон, из которых, как это можно предположить,
составлен стержень. Пусть ч\ — расстояние от оси проекции
волокна с сечением й?о> на плоскость изгиба. Тогда длина волокна
изменяется при изгибе в отношении
1
- (•+*)¦
где R — радиус кривизны. Таким образом, с той стороны от оси,
для которой 1) положительно, а именно с внешней стороны,
волокно растягивается, в то время как с другой стороны оси
имеет место сжатие. Сила, необходимая для того, чтобы вызвать
удлинение ~, по определению модуля Юнга, равна q~dio.
Таким образом, полная величина пары, сопротивляющейся изгибу,
равна
J
где <о — площадь сечения, а у. — радиус инерции относительно
линии, проходящей через ось и перпендикулярной к плоскости
изгиба. Угол изгиба, соответствующий элементу длины ds оси,
равен -р-; поэтому работа, потребная для того, чтобы изогнуть
. 1
элемент ds до кривизны -=> , равна
1 г, ds
поскольку среднее значение пары составляет половину ее конеч-
ного значения.
162] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ИЗГИБА 279
[Более полное обоснование законности метода расчета, при-
мененного выше, читатель найдет в трудах по теории упругости.
Вопрос о поперечных колебаниях был специально рассмотрен
Похгаммеромг) на основе общих уравнений.]
Для кругового сечения k равно половине радиуса.
Что потенциальная энергия изгиба должна быть, при прочих
равных условиях, пропорциональна квадоату кривизны, заранее
очевидно. Обозначив коэффициент пропорциональности через В,
мы можем положить
— * Г п ds
или, принимая во внимание приблизительную прямолинейность
стержня,
где через у обозначено поперечное смещение той точки оси
стержня, абсцисса которой, измеренная параллельно направлению
стержня в невозмущенном состоянии, равна х. Для стержня,
сечения которого подобны и подобно расположены, В постоянно
и потому может быть вынесено за знак интеграла.
Кинетическая энергия движущегося стержня составляется
частично из поступательного движения элементов, составляющих
стержень, параллельно у и частично из вращения тех же элемен-
тов вокруг осей, проходящих через их центры инерции перпенди-
кулярно к плоскости колебаний. Первая часть выражается в виде
C)
гДе р — объемная плотность. Для того чтобы получить выражение
второй части, следует только заметить, что угловое смещение
. ду дгу
элемента dx равно -^-, а потому его угловая скорость есть т-4-.
Квадрат этой величины нужно умножить на половину момента
инерции элемента, т. е. на -^yfipmdx. Таким образом, получаем
162. Для того чтобы получить уравнение движения, мы можем
воспользоваться принципом виртуальных скоростей. Если для
простоты ограничимся случаем стержня постоянного сечения, то
найдем
1) Pochhammer, Crelle's Journ., том 81, 1876.
280 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕИ\НИЯ СТЕРЖНЕЙ (ГЛ. VH
где члены, не стоящие под знаком интеграла, должны быть взяты
между пределами. Это выражение включает только внутренние
силы, вызываемые изгибом. В дальнейшем мы будем предполагать,
что сил, действующих извне, нет или, точнее, что нет таких*
внешних сил, которые совершают работу над системой. Силы
связи, например силу, необходимую для того, чтобы удерживать
какую-либо точку стержня в покое, нет надобности учитывать,
так как они не совершают работы и потому не могут появиться
в уравнении виртуальных скоростей.
Виртуальный момент ускорения дается выражением:
Таким образом, вариационное уравнение движения имеет вид:
где члены, не стоящие под знаком интеграла, следует брать между
теми же пределами Отсюда мы выводим уравнение, которое
должно удовлетворяться во всех точках вдоль стержня:
тогда как на каждом конце стержня
или, если ввести значение В, а именно qv?®, и положить
и для каждого конца
«¦?•(?)+№-•¦?}*-• <6>
В этих уравнениях Ь означает скорость распространения про-
дольных волн.
Условие E), которое должно выполняться на концах, прини-
мает различный вид в зависимости от условий каждого конкрет-
ного случая. Можно представить себе свяаь такого рода, чтобы
162] ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИ» 281
отношение 8f-^-J:8y имело заданное конечное значение. Второе
граничное условие получается тогда из E), если ввести это отно-
шение. Однако во всех случаях, которые нам придется рас-
сматривать, связь или вовсе отсутствует, или такова, что либо
Мтг)' ли^° ^У обращаются в нуль, и тогда граничные условия
принимают вид:
&*(?)-••
-Теперь нам следует выделить частные случаи, которые могут
возникнуть. Если один конец стержня свободен, то Ьу и
произвольны, и условия принимают вид:
первое из этих условий можно рассматривать как условие отсут-
ствия пары, действующей на свободный конец, а второе—-как
условие отсутствия действующей на него силы.
Если направление оси на конце стержня свободно, но самый
конец вынужден оставаться в покое под действием приложенной
силы необходимой величины (в каковом случае стержень назы-
вают, за отсутствием лучшего термина, подпертым), то граничные
условия имеют вид:
удовлетворяющий E).
Третий случай возникает тогда, когда конец стержня вынужден
сохранять свое направление вследствие действия приложенной
пары соответствующей величины, но может свободно занимать
любое положение. В этом случае мы имеем
&У и* &У __ п /оч
дх дР дх* ~"и# w
В-четвертых, конец стержня может быть вынужден сохранять
как свое положение, так и свое направление; в этом случае
стержень называется закрепленным. Граничные условия в этом
случае сводятся просто к
Из этих четырех случаев наиболее важными являются первый
и последний; третий случай мы рассматривать не будем, так как
нет экспериментальных средств для осуществления подобного вида
.связи. Но даже при таком упрощении остаются для рассмотрения
282 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. VIII
очень разнообразные задачи, так как каждый конец стержня
может быть свободным, закрепленным или подпертым; однако
возникающее вследствие этого усложнение не так велико, как
можно было бы ожидать. Мы увидим, что раз тачные случаи можно
рассматривать совместно и что решение для одного случая можно
иногда вывести непосредственно из решения для другого.
При опытах с колебаниями стержней условие для закреплен-
ного конца можно осуществить при помощи массивных тисков.
Для случая свободного конца, поскольку речь идет о самом конце,
очевидно, трудностей нет; однако, если оба конца свободны,
то возникает вопрос о том, как уравновесить вес стержня. Для
того чтобы возможно меньше влиять на колебания, следует рас-
положить крепление по соседству с узловыми точками. Иногда
достаточно просто положить стержень на ножи или подвесить
его на петле, образованной стянутыми при помощи винтов по
обеим сторонам стержня проволоками. Для более точных опытов,
пожалуй, было бы предпочтительней поддерживать стержень иглой,
продетой через отверстие, просверленное через центр тяжести
стержня в плоскости колебаний.
В случае, когда конец должен быть подперт, можно прижать
его к неподвижной пластине, плоскость которой перпендикулярна
к оси стержня.
163. Прежде чем пойти дальше, мы введем предположение,
которое значительно упростит исследование, не умаляя заметно
ценности результата. Мы предположим, что членами, зависящими
от углового движения сечений стержня, можно пренебречь, что
равносильно предположению, что инерция каждого сечения сосре-
доточена в его центре. Ниже (§ 186) мы исследуем поправку,
учитывающую инерцию вращения, и докажем, что в обычных усло-
виях она мала. Уравнение движения тогда принимает вид:
а граничные условия для свободного конца — вид:
дх*~{)' дх*—"- w
В соответствии с общим планом, следующим шагом нашего
исследования будет допущение гармонического вида изменения у.
Мы положим
{?) C)
где /—длина стержня, т. — некоторое отвлеченное число, значе-
ние которого требуется определить. Подставляя это в A), мы
получаем ' ¦
164] ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 283
ртх
Если и = е 1 есть решение уравнения, то легко видеть, что р
есть один из корней четвертой степени из единицы, т. е. -f-l>
— 1, -J-f или —/; таким образом, полное решение имеет вид:
тх тх
и = A cosm j + В sin т у + Се l -{-De « Dа)
и содержит четыре произвольные постоянные.
[Простейший случай получается, когда движение строго перио-
дично относительно х, так что С и D исчезают. Если обозна-
чить через к длину волны и через ¦: — период колебаний, то
будем иметь
2% т 2я ,т'*
так что
В случае конечного стержня необходимо еще удовлетворить
четырем граничным условиям — по два для каждого конца. Эти
условия определяют отношения A:B:C:D и дают, кроме того,
одно уравнение, которому должно удовлетворять т. Таким обра-
зом, допустим только ряд частных значений т, и для каждого т
соответствующее и определяется с точностью до постоянного мно-
жителя. Мы будем отличать индексами различные функции и,
относящиеся к той же системе.
Значение у в каждый момент времени может быть разложено
в ряд по функциям и (§ 92—93). Если «рх, <ра и т. д. суть нор-
мальные координаты, то мы имеем
= ip. | ф* J и\ dx+ % J u\dx+ ... F)
Мы можем на данной стадии исследования с полным правом
утверждать, что любой интеграл произведения двух функций исче-
зает; поэтому вычисления, проведенные в следующем параграфе,
есть не более, как проверка этого положения. Однако это вычи-
сление необходимо для определения значения интегралов от квад-
ратов функций.
164. Пусть через ит, ит< обозначены две нормальные функ-
ции, определяемые соответственно значениями т и т'. Тогда
_ /и дпт _ т
~~ I* т' дх* ~~ I* m
дх* ~~ I* т' дх* ~~ I*
284 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ (ГЛ. VIII
или, обозначая штрихами дифференцирование по пи у], (tn'j-)t
Вычитая первое уравнение A) из второго после умножения их
соответственно на и^ и ит и интегрируя затем по всей длине
стержня, получаем
— m* Г Г, д*ит,
д*и
дит,
где проинтегрированные члены взяты между пределами.
Но независимо от того, будет ли рассматриваемый конец
стержня закреплен, подперт или свободен1), каждый член обра-
щается в нуль, так как тот или иной из его множителей исче-
зает. Поэтому мы можем сделать заключение, что если ит и ат>
Относятся к двум типам колебаний (соответствующим, разумеется,
тем же граничным условиям), которые свойственны стержню, то
J
umitm> dx = 0, D)
если только т и т' различны.
Внимательный читатель заметит, что проведенное непосред-
ственно перед этим рассуждение повторяет все этапы рассужде-
ния, при помощи которого было выведено само основное дифферен-
циальное уравнение в § 162. Именно это первоначальное вариа-
ционное уравнение имеет непосредственную связь со свойством
сопряженности. Если обозначить у через и и Ьу через v, то
и упомянутое уравнение получит вид:
1) Читатель должен заметить, что рассмотренные здесь случаи являются
частными и что правая часть уравнения C) исчезает, если только
_
т''
дит,
дх ' дх* дх ' дх* '
Эти условия включают, например, случай стержня, конец которого
возвращается в свое положение равновесия силой, пропэрциональной
смещению, например пружиной, не обладающей инерцией.
1641 Свойство сопряженности 285
Предположим теперь, что и относится к нормальной компо-
ненте колебания, так что и-\-п?и = 0, где я— некоторая постоян-
ная; тогда
Если v будет нормальной функцией, а и будет представлять какое-
либо смещение, возможное в системе, то аналогичным рассужде-
нием мы получим
Отсюда мы заключаем, что если и и v являются нормальными
функциями, имеющими различные периоды, то
J
uv dx = 0. F)
Это доказательство, очевидно, удовлетворяет в смысле непо-
средственности и общности всем нашим пожеланиям.
Предоставляем читателю исследовать формулу, соответствую-
щую F) для случая, когда сохраняется член, выражающий инер-
цию вращения.
При помощи формулы F) мы можем показать, что допустимые
значения яа действительны. В самом деле, если бы я2 было
комплексным и и = а —[- г43 являлась нормальной функцией, то
и а — ф, сопряженная с и, также являлась бы нормальной
функцией, соответствующей комплексной величине, сопряжен-
ной с я2, а тогда произведение обеих функций, представляя сумму
квадратов, не могло бы обращаться в нуль при интегриро-
вании J).
Если в выражении C) т и т' равны, то уравнение тожде-
ственно удовлетворяется, и мы не можем сразу заключить о зна-
чении \ u2mdx. Мы должны положить т' равным т-\-Ьт и найти
предельный вид уравнения при Ьт, стремящемся к нулю. [Сле-
дует заметить, что функция ит+§„г не является нормальной функ-
цией системы; предполагается, что эта функция получена из ит варь-
ированием т в Dа) § 163, при сохранении неизменными коэффи-
циентов А, В, С и D.] Таким путем мы находим
4Ttfi I о j и d^u ди d^u | д?и д ди ди о д%и
ц J ит ах ~ и дт дх* дт дх* ~^ дх* дт дх дх дт дх* '
где правую часть следует брать между пределами.
1) Этим методом, насколько я знаю, мы обязаны Пуассону.
286 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ (ГЛ. VIH
Шди т , ди х I
-fa = -fti и т. д., д—•== —и' и т. д., следовательно,
4 т!<ах-3-т^"+^№"-~^ »'»'"+т«'«"
где и""=ч1, так что
Ф^ dx _. зии"' _|_ Т± и* — — и'и'" — и'и" ——(иУ G)
между пределами.
Независимо от того, свободен ли конец, подперт или закреплен
и, таким образом, если взять начало оси х-ов у одного конца
стержня, то
i
J«3rf* = [ | («з_2иV" + и"8) I'=
Вид нашего интеграла не зависит от граничного условия для
х = 0. Если конец х = 1 свободен, то и" и и'" исчезают и, следо-
вательно,
г
«а Ле = -!/««(/), (9)
4
О
т. е. для стержня с одним свободным концом среднее значение
й2 равно четверти его значения на конце, независимо от того,
закреплен, подперт или свободен другой конец.
Если мы теперь предположим, что стержень закреплен на конце
х = /, то исчезают и и в', и соотношение (8) дает
г
4
о
Так как это соотношение должно удовлетворяться, каково бы
ни было граничное условие на другом конце, то мы видим, что
для стержня, один конец которого закреплен, а другой свободен,
i
и? dx = -j la% свободного конца = -у 1а"ъ закрепленного конца.
6
Это показывает, что в данном случае Ф для свободного конца
равно а для закрепленного конца.
1651 нормальные уравнения 287
Приложенная таблица дает значения учетверенного среднего
для и3 в различных случаях:
Закрепленный — свободный
Свободный — свободный
Закрепленный — закрепленный
Подпертый — подпертый
Подпертый — свободный
Подпертый —закрепленный
Ф (свободный конец) или а (за-
крепленный конец)
и2 (свободный конец)
а (закрепленный конец)
— 2u'uf" (подпертый конец) =2д/а
да (свободный конец) или — 2а'ит
(закрепленный конец)
uf'i (закрепленный конец) или
— 2и!и.г" (подпертый конец)
При введении .этих значений выражение для Т приобретает
более простой вид. Например, в случае закрепленного — свобод-
ного или свободного — свободного стержня
где предполагается, что свободным является конец х = /.
165. Можно применить аналогичный метод для исследования
значений Г u'2dx и Г udx. При выводе уравнения G) предыду-
щего параграфа не было сделано никаких предположений, кроме
того, что удовлетворяется уравнение и"" = и, а так как это урав-
нение одинаково справедливо для каждой из производных функ-
ций, то мы вправе заменить и через и' или и". Таким образом,
i
^j- J и'2 dx = Зи'я + ^ й'а — 2 ^ и"а — и"и"' + ~ и' =
J
о
„ Зам'
(правая часть берется между пределами), поскольку член с ни"
исчезает во всех трех случаях.
Для стержня со свободными концами
г
~- j и'2 dx = 3 (uu'h + 3 (а«')о + m (u'\ ==
= 6 (ии')г+ «(«'% A)
поскольку, как мы увидим, значения ии' должны быть равны и
противоположны на обоих концах. Независимо от того, будет ли
и положительно или отрицательно на конце х = I, ии' будет поло-
жительным.
288 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕЙ [гЛ VHt
Для стержня, закрепленного на конце х = 0 и свободного
на конце х = I,
i
% j u'*dx = 3(««'),+««? + («"«'")„.
о
[Мы уже видели, что й^ = ±:и,; кроме того, на основании
формул § 173 можно показать, что
aj, u0 cos m -f- ch m
и\ И; sin rush m
так что
(ц"ц'")о= (co8m+fh/«P_
(а'и), slna«sh2OT "J
Таким образом,
j'*dx = 2(uu')l-\-mu'l2. B)
о
Этим результатом мы воспользуемся ниже.
Применяя то же самое уравнение к вычислению Г
найдем
—- \ и dx = Ъи"и! + ^ м — 2 ^ «"V — и'"« + 5? „Q =
так как и'и" и аи'" исчезают.
Сравнивая полученный результат с выражением (8) § 164, мы
видим, что
fu"idx=tju*dx, C)
каковы бы ни были граничные условия.
К тому же результату мы могли бы притти и более непосред-
ственным путем, интегрируя по частям уравнение
166. Мы можем теперь составить выражение для V в нормаль-
ных координатах:
j} О)
167] 'ПРИВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 289
Если функции и суть те, которые свойственны стержню, сво-
бодному на конце х = 1, то это выражение приводится к
Во всяком случае уравнения движения имеют вид:
а*1* C)
и так как по определению Фг 3<р, есть работа, совершенная при-
ложенными силами при перемещении byv то
D)
где Ypa>dx— поперечная сила, действующая на элемент массы
p<adx. Если нет приложенных сил, то это уравнение перехо-
дит в
! = 0, E)
как и следовало ожидать.
167. Смысл приведения интегралов Г tPdx к виду, завися-
щему от значений функции и ее производных, на концах может
быть несколько разъяснено следующим рассуждением. Для опре-
деленности рассмотрим случай закрепленного в х = 0 и свобод-
ного в х = I стержня, совершающего колебание нормального
типа, выражаемого функцией и. Если удлинить стержень на сво-
бодном конце на некоторую малую величину А/, то вид функции и
(рассматриваемой как функция от х) изменится; однако, в соот-
ветствии с общим принципом, установленным в главе IV (§ 88),
мы можем вычислить период стержня при изменившихся обстоя-
тельствах, не считаясь с изменением типа колебания, если мы
пренебрежем квадратом изменения. Вследствие прямолинейности
стержня в том месте, где производится его удлинение, потен-
циальная энергия не изменится, а потому изменение периода
зависит целиком от изменения Т. Эта величина возрастет в от-
ношении
\u*dx: Г u%dxt
о о
или
это есть также то отношение, в котором увеличивается квадрат
19 Зак. 1774. Рэлей, 1
290 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ |гЛ VttT
периода. Но, как мы сейчас увидим, истинный период изменяется
пропорционально Р, а потому изменение квадрата периода выра-
жается отношением
Сравнение обоих- отношений дает
af: J u^dx = 4:l.
Изложенное рассуждение нельзя считать доказательством,
но оно может служить для объяснения приведения, которому под-
дается интеграл. Другие случаи, в которых встречаются подоб-
ные интегралы, можно рассматривать подобным же способом, но
при этом часто трудно с уверенностью указать, какую прерыв-
ность можно допустить в варьированном типе, не выходя за рамки
того принципа, на котором построено рассуждение. Читателю
предоставляется исследовать случай струны, в середину которой
вставлен небольшой кусок.
168. При исследовании задач, относящихся к колебаниям,
обычно в первую очередь определяется вид нормальных функций,
т. е. функций, представляющих нормальные типы колебаний, а за-
тем исследуются интегральные формулы, при помощи которых
частные решения могут быть скомбинированы так, чтобы они
удовлетворяли произвольным начальным условиям. Я выбрал дру-
гой путь, предпочтительный с точки зрения выявления общности
метода, который не зависит от знания нормальных функций.
Осуществляя этот план, я перейду теперь к исследованию связи
между произвольными постоянными и начальными условиями и
приведу решение одной или двух задач, аналогичных задачам, рас-
смотренным в главе о струнах.
Общее значение у можно написать в вид»
cos %~ m\t 4- Bi sin jj n&i) u
3 cos ~ m\t-\- Ba sin -p m\t} «a-j- .... A)
так что в начальный момент
yo = A1u1 + Aiui+ .... B)
У о = 5г (mlBtUt + mlB2u2 +...)• C)
Умножив B) на иг и интегрируя по всей длине стержня, мы
получим
jyour dx = Arj ?dx D)
169] НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ 291
и, аналогично, из C)
¦J J уоиг их == m\Br J и? rfx. E)
Эти формулы определяют произвольные постоянные Аг, Вг.
Следует заметить, что нет необходимости доказывать аналити-
чески возможность разложения, даваемого формулой A). Если
включены все частные решения, то эта формула необходимо пред-
ставляет наиболее общее возможное колебание, а потому может
быть приспособлена для выражения любого допустимого началь-
ного состояния.
Положим теперь, что стержень находился сначала в покое
в положении равновесия и был приведен в движение ударом,
сообщившим скорость некоторой малой его части. Сначала, т. е.
в момент, когда стержень становится свободным, уо = О, а ^от-
личается от нуля только в соседстве одной точки (х = с).
Из формулы D) следует, что коэффициенты А исчезают, а из
формулы E) получаем
mlBr j 4dx = ~ur(c) |yodx.
Обозначая jyop(adx— полный импульс удара — через Y, имеем
В = w
r %bpw
и в качестве окончательного решения получаем
Применяя полученный результат к случаю стержня, свобод-
ного на конце х = /, мы можем заменить
|
rdx через jl[ur(t)]*.
Если удар произведен в узле одного из нормальных слагающих
колебаний, то это колебание отсутствует в результирующем дви-
жении. Приведенное здесь вычисление есть лишь частный случай
исследования, проведенного в § 101.
169. В качестве другого примера мы можем взять случай
стержня, находившегося сначала в покое, но отклоненного из
своего естественного положения поперечной силой, приложенной
в точке х = с. При этих условиях исчезают коэффициенты В,
а остальные даются формулой D) § 168.
292 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. VIII
Имеем
j
и, интегрируя по частям, получаем
i i
^ дх* дх^ дх дх^ дх^ дх дх^ ** I \
о о
где члены, не стоящие под знаком интеграла, следует брать
между пределами; по самому смыслу задачи, у0 удовлетворяет
тем же условиям на концах, как и иг, а потому все эти члены
исчезают на обоих концах. Если обозначить внешнюю силу, при-
ложенную сначала к элементу dx, через Ydx, то уравнение
равновесия стержня дает
д*Уо v
и, следовательно,
i i
Если предположить теперь, что начальное смещение вызвано
силой, приложенной в непосредственном соседстве с точкой х = с,
то имеем
i
J шч. b m
О г г
и для полного значения у в момент t получаем:
При выводе эгого выражения мы до сих пор не делали ни-
каких специальных предположений относительно условий на
концах; но если мы ограничимся случаем стержня, закрепленного
на конце х — 0 и свободного на конце х = /, то мы можем
заменить
J
uldx через jt[ur(l)f.
Если, далее, мы предположим, что сила, вызвавшая началь-
ное отклонение, действует на конце, так что с = 1, то мы по-
лучим
у в 4 V { /У* cos ^ m2A \Ydx. C)
170] СТЕРЖЕНЬ, СВОБОДНЫЙ С ОБОИХ КОНЦОВ 293
При t = 0 это уоавнение должно выражать начальное смеще-
ние. В случаях подобного рода может возникнуть трудность, за-
ключающаяся в следующем: каким образом ряд, каждый член
которого удовлетворяет условию у'" = 0, может выражать началь-
ное смещение, при котором это условие нарушено? Но дело в том,
что после трехкратного дифференцирования по х ряд перестает
сходиться при л: —/и, следовательно, значение у'" не можег
быть получено, если сначала дифференцировать, а поюм суммиро-
вать члены ряда. Истинность этого утверждения станет нагляд-
ной, если мы рассмотрим точку, отстоящую на расстоянии dl от
конца, и заменим
u'"{l — dl) через u'"(t) — u""(l)dl,
где и""@ равно
яг* ...
Решение этбй задачи в нормальных координатах читатель най-
дет в § 101.
170. Виды нормальных функций для различных частных слу-
чаев можно получить, определяя отношения четырех постоянных
в общем решении уравнения
Если ради краткости обозначить —г- через х\ то решению
можно придать вид:
а = A (cos х' + ch х') -f- В (cos х' — ch x1) -f-
+ С (sin У+ sh Jt')_|_-D (sin*' — shxryt (i)
где chx и shx суть гиперболические косинус и синус х, опре-
деляемые уравнениями:
chjc = у (*» + «-*), sh * = !(*» — е-*), B)
Я применил здесь обычные обозначения, хотя можно было бы
легко избегнуть введения специального символа, так как
ch х = cos lx, sh x = — i sin Ix, C)
где i = Y—1; в этом случае связь между формулами круговой
и гиперболической тригонометрии была бы более наглядной. Пра-
зила дифференцирования выражаются формулами:
—. ch х = sh x, -з-sh x = ch jc ,
294 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. УВД
Если дифференцировать выражение A) любое количество раз,
то четыре составляющие его функции все время воспроизводятся.
Единственная функция, не обращающаяся в нуль вместе с х', есть
cos x' -\-ch x', значение которой при хг = 0 равно 2.
Рассмотрим сначала случай стержня, свободного на обоих кон-
цах. Так как j4 и -s-^ исчезают вместе с х, то В = 0и D=>Q,
так что
я == A (cos х' + ch х') + С (sin x' + sh x'). D)
Нам следует еще удовлетворить необходимым условиям для
х = 1 или х' = т. Это дает
Л( — cos/»-|-ch т)-\-С( — sin ж + sh т) = 0, 1
Л (sin /к -|- sh m) -f- С (— cos от -f- ch от) = 0. /
Условие совместности этих уравнений требует, чтобы
(ch т — cos ttif = sh9 m — sin3 m
или, в силу соотношения
cha/M — sham=l, (б)
чтобы
cos /rc ch /те = 1. G)
Корнями этого уравнения являются допустимые значения от.
Если удовлетворено уравнение G), то два отношения А : С, да-
ваемые уравнениями E), равны, и любое из них может быть под-
ставлено в D). Опуская постоянный множитель, получим для нор-
мальной функции
a = (sinm — sh m)\co$\c\
— (cos m — ch /rc) |sin 2f+sh 2^J (8)
или, если это предпочтительней,
а ш (cos т — ch m) jcos ^-f ch ™\ -+•
(9)
и,простая гармоническая составляющая этого типа выражается
в виде
.у «. Ре cos (J?/»»* + •). A0)
171. Частота этого колебания равна к-Ь^9, где й — скорость,
зависящая только от материала стержня,, а и — некоторое отвле.*
171] СТЕРЖЕНЬ, ЗАКРЕПЛЕННЫЙ НА ОБОИХ КОНЦАХ 295
ченное число. Таким образом, для данного материала и данного
типа колебания частота изменяется прямо пропорционально
х — радиусу инерции сечения относительно оси, перпендикуляр-
ной к плоскости изгиба, — и обратно пропорционально квадрату
длины. Этот результат можно было бы предвидеть, исходя из рас-
смотрения размерностей, если учесть, что частота необходимо
определяется значением / наряду со значением уЬ — единственной
величины, зависящей от пространства, времени и массы, которая
входит в дифференциальное уравнение. Если известны все дан-
ные, касающиеся стержня, за исключением его абсолютных раз-
меров, то частота изменяется обратно пропорционально линей-
ным размерам.
Эти законы находят важное применение в случае камертонов,
ножки которых колеблются, как стержни, закрепленные концами,
в которых они соединяются, и свободные на других концах. Та-
ким образом, период колебаний камертонов, сделанных из одина-
кового материала и имеющих одинаковую форму, изменяется пэо-
порционально их линейным разменам. Пеоиод приблизительно не
зависит от толщины в направлении, перпендикулярном к плоскости
изгиба, но обратно пропорционален толщине в плоскости изгиба.
Если эта толщина задана, то период пропорционален квадрату
длины.
Для того чтобы понизить тон камертона, мы можем (для вре-
менных целей) нагрузить концы ножек мягким воском или снять
немного металла у их основания, ослабляя таким обоазом упру-
гость. Для того чтобы повысить тон, можно спилить концы
ножек, действующих своей массой.
Максимального значения Ь достигает для стали, у которой
оно составляет приблизительно 5237 метров в секунду. Для латуни
скорость меньше в отношении приблизительно 1,5: 1, так что
тон камертона, сделанного из латуни, был бы приблизительно на
квинту ниже, чем стального.
[Полученная теоретическая формула часто бывает удобна для
расчета вибраторов из стали и для грубых определений частоты,
в особенности, когда эта частота ниже порога слышимости. Если
сечение стержня прямоугольно и имеет толщину t в плоскости коле-
баний, то ха = 1/1а<а, и тогда при указанном значении Ъ и при-
веденных ниже значениях т мы получаем для основного тона:
стержень с одним закрепленным и другим свободным концом —
частота = 84 590 щ,
стержень, свободный на обоих концах,
частота = 538 400 jj-,
где / и t выражены в сантиметрах.
296 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. VIU
Пеовая из приведенных величин может служить для расчета
тона стальных камертонов.
Поперечные колебания стержня могут быть возбуждены уда-
ром, как в случае камертона, ударяемого о мягкое тело. Этот же
способ применяется для возбуждения ксилофона — металлических
или стекпянных полосок, закрепленных в узлах, так что впияние
связи на свободные колебания мало. Можно поддерживать колеба-
ние трением, при помощи смычка или действием смоченных паль-
цев на тонкий стеклянный стержень, закрепленный соответствую-
щим образом. Э1ектромагнитный способ поддержания колебаний
камертонов уже был рассмотрен в § 64 Он может быть также
легко применен в случае металлических стержней и даже в слу-
чае деревянных планок, снабженных железной арматурой, сво-
бодных на обоих концах и подпертых в узлах. Можно упомянуть
здесь также колебания язычков в органе и фисгармонии, поддер-
живаемые струей воздуха.
Звук стержня, совершающего поперечные колебания, может
быть усилен настроенным соответствующим образом резонатором,
который можно поместить под средней частью или под концом
стержня. На этом принципе были построены обеденные гонги,
с диапазоном в октаву или более диатонической гаммы.]
172. Решение для случая, когда оба конца стержня закреп-
лены, может быть получено непосредственно из предшествующего
двойным дифференцированием. Так как у на обоих концах удовле-
творяет граничным условиям
то очевидно, что у" удовлетворяет условиям
для закрепленного конца. Кроме того, у" также удовлетворяет
общему дифференциальному уравнению. Таким образом, опуская,
как и выше, постоянный множитель, мы можем положить
и = (sin т — sh m) (cos х' — ch x') —
— (cos tn — ch/ra)(sin*/ — shx'), (I)
тогда как т определяется тем же уравнением, что и раньше,
а именно
cos m ch т = 1. B)
Отсюда мы заключаем, что составляющие тоны имеют один»*
ковую высоту в обоих случаях.
В каждом случае имеются четыре системы точек, определяв-»
мых обращением в нуль у и его производных. В точках, где ^i
173] СТЕРЖЕНЬ, ЗАКРЕПЛЕННЫЙ НА ОДНОМ КОНЦЕ 297
исчезает, находятся узлы; где исчезает у', там находится пуч-
ность, или место максимального смещения; где исчезает у", там
расположена точка перегиба; наконец, где исчезает у'", находится
максимум кривизны. Где в первом случае (стержень с обоими
свободными концами) расположены точки перегиба и максимальной
кривизны, там во втором случае (стержень, закрепленный на
обоих концах) расположены соответственно узлы и пучности; и,
наоборот, точки перегиба и максимальной кривизны для стержня,
закрепленного на обоих концах, соответствуют узлам и пучностям
стержня со свободными концами.
173. Мы рассмотрим теперь колебания стержня, закрепленного
на конце х = 0 и свободного на конце х — /. Возвращаясь к об-
щему интегралу A) § 170, мы видим, что А и С обращаются
в нуль в силу условий на конце х = 0, так что
0)
Остальные условия на конце х — 1 дают
В (cos m -\- ch m) -\- D (sin m -}- sh т) = 0,
В(— sinт + sh rriy-\-D(cos m-\-chm) = 0,
откуда, опуская постоянный множитель,
, . , , . / тх , тх\
a = (sinm-f-sh/»)lcos~T ch -у-1 —
— (cosm+ch/n)(sin^ — sh^), B)
или
a = (cosm-\-chm)(cos^f — ch y4-j-
+ (sin/n — sh/tt)(sin~ — sh^J, C)
где т должно быть корнем уравнения
cos/rach m~\- 1 =0. D)
Таким образом, периоды состазляющих тонов в рассматриваемой
задаче отличны от периодов стержня с обоими свободными или
обоими закрепленными концами, хотя, как мы вскоре увидим,
тесно с ними связаны.
Если дважды продифференцировать а в B) или C), ю резуль-
тат (и"), конечно, будет удовлетворять основному дифференциаль-
ному уравнению. При х = 0 исчезают -з—г> ^г~з> а на конце
хах/ исчезают и"- и -?~. Таким образом, функция и" применима
298 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. Vllt
К стержню, закрепленному на конце х = / и свободному на
конце х = 0; это показывает, что точки перегиба и максимальной
кривизны в первоначальной кривой расположены на таких же
расстояниях от закрепленного конца, как узлы и пучности, соот-
ветственно, от свободного конца.
174. При отсутствии таблиц гиперболических косинусов или
их логарифмов можно вычислить допустимые значения то следую-
щим образом. Обращаясь сначала к соотношению
cos тосЬ то = 1, A)
мы видим, что для больших т. значение его близко к -я- B/ -J-1)я»
где / — целое число. Полагая
то = 1Bг+1)* — (_ 1)<р, B)
получим для C положительные и сравнительно малые значения.
Подставляя в A), находим
или, обозначая в'М2**1)" через а,
atgls = *(-i>V C)
Это уравнение можно решить методом последовательных прибли-
жений, разлагая tg-g и в'-1'*? в ряд по восходящим степеням
малой величины р. В результате получим
что дает достаточно точные значения даже при 1=1.
Вычисляя, получаем
р, = 0,0179666—0,0003228+0,0000082—0,0000002 = 0,0176518.
Ра> Рз> ?4> Рб наити еще легче. После j36 первый член ряда дает р
с точностью до 6 значащих цифр. Приводимая таблица содержит
значения E, значения углов, дуговая мера которых есть р, и зна-
чения sin -^.
!) Этот метод несколько напоминает тот, который был применен
ЦЬрельке.
174] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРИОДОВ 299
Стержень, оба конца которого свободны
1
2
3.
4
5
Р
10-J-0,176518
10"в- 0,777010
10-^.0,335505
10"'-0,144989
10- 0,626556
Р
в градусах, минутах
и секундах
1°(К40,"94
2Ч0,699
6,"92029
0,99062
0/'0129237
sta{
Ю~?'' 0,88258
10"8.0,38850
10 • 0,16775
10"'. 0,72494
10~7 • 0,31328
Значения т, удовлетворяющие A), суть:
т1— 4,7123890 + Pi = 4,7300408
wi9= 7,8539816 —ра= 7,8532046
md= 10,9955743 +ft, = 10,9956078
от4= 14,1371669 — 34= 14,1371655
= 17,2787596
Дальнейшие значения т с точностью до семи десятичных знаков
даются формулой т = уB1 -\- 1) it.
Мы рассмотрим теперь корни уравнения *)
[Полагая
cos m ch т = — 1.
имеем
или
= ctg !
где а имеет значение, определенное выше.
Отсюда, как и в D),
2 / w 4 , 34
112
E)
F)
G)
(8)
e«+i приблизительно равно р4.
Значения а, вычисленные из (8), суть,
аа= Ю-1 • 0,182979, а4 = Ю~* • 0,335527
а8= Ю-8 • 0,775804, а5= Ю~6 • 0,144989
Для дальнейших значений разница между at+1 и Р< исчезает.]
I) В вычисления корней уравнения E), проведенные в первом изда-
нии, вкралась ошибка, на которую указал Грицхилл (Math. Mess., дек. 1886).
$00 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. VIII
Значение 4Х может быть вычислено методом проб иа уравнения
'gctg ~at — 0,6821882 — 0,43429448^ = 0;
оно получается равным ях = 0,3043077. Ниже будет дан другой
метод, при помощи которого можно получить непосредственно т1.
Значения т, удовлетворяющие E), суть
mL= 1,5707963 + 0!= 1,875104
щ = 4,7123890— <х.2 = 4,694098
тл= 7,8539816 + Ч = 7,854757
mi = 10,9955743 — «4 = 10,995541
тб= 14,1371669+ аб = 14,137168
тв = 17,2787596 — а6 = 17,278759
после чего т. = -^Bi—1)тс без ощутимой ошибки. Частоты
пропорциональны да8, и поэтому для высоких обертонов отноше-
ния частот приближаются к отношениям квадратов нечетных чи-
сел. Однако в случае обертонов очень высокого порядка отноше-
ние это может быть несколько изменено влиянием инерции враще-
ния, эффектом которой мы здесь пренебрегли.
175. Так как все составляющие колебания системы, не под-
верженной рассеянию энергии, по необходимости гармонического
типа, то все значения /к2, удовлетворяющие уравнению
cos m ch т == =t 1, A)
должны быть действительными. Далее, мы видим, что если т
является корнем этого уравнения, то корнями будут также —т,
tnY—1, —mY—1. Отсюда, беря сначала нижний знак, имеем
Логарифмируя обе части, разлагая и приравнивая коэффициенты,
получаем
Y I _i yi 1 _ 1 зз ,„ч
Это — для закрепленно-свободного стержня.
Зная значение 2т ~8> можно получить значение тх при по-
мощи приближенных значений /яа, /я8, ... Находим
2/я-8 = 0,006547621
и
mf = 0,000004242
OTJ8 = 0,000000069
m~s = 0,000000005,
177] НАИБОЛЕЕ НИЗКИЙ ТОН СВОБОДНО-СВОБОДНОГО СТЕРЖНЯ 301
откуда
тГ8 = 0,006543305,
что дает
т1 = 1,875104, как и прежде.
Подобным же образом, если оба конца стержня закреплены
или оба свободны,
1 +
откуда
JL
L
S 2.35
и т. д., причем, разумеется, при суммировании исключается
нулевое значение т.
176. Частоты последовательности тонов пропорциональны та.
Интервал между любым тоном и наиболее низким тоном последо-
вательности удобно выражать в октавах и в долях октавы. Этого
можно достичь, деля разность логарифмов /гаа на логарифм 2.
В результате получаем
1,4629 2,6478
2,4358 4,1332
3,1590 5,1036
3,7382 5,8288 и т. д.
Первый столбец относится к тонам стержня, оба конца кото-
рого закреплены или оба свободны, а второй — к тонам стержня,
закрепленного на одном конце, но свободного на другом. Так,
из второго столбца находим, что первьП обертон на 2,6478 октавы
выше самого низкого тона. Дробную часть можно привести
к средним полутонам умножением на 12. Тогда интервал составит
две октавы плюс 7,7736 средних полутонов. Отсюда видно, что
повышение тона здесь значительно более быстрое, чем в случае
струн.
Если стержень закреплен на одном конце и свободен на дру-
гом, то высота наиболее низкого тона равна 2(lg4,7300 —
— Jg 1,8751): lg 2 или на 2,6698 октавы ниже, чем в случае, когда
оба конца закреплены или оба свободны.
177. Для того чтобы исследовать более детально кривую
колебания стержня, преобразуем выражение для и к виду, более
удобному для числового расчета, причем сначала обратимся
к случаю, когда оба конца стержня свободны. Так как
ОТ = -xBi-\-l)K — (—1)% то cosm=smfJ, sin m = cosin cos ?3,
поэтому, поскольку т есть корень уравнения cos m ch m = 1, имеем
802 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. VIII
ch m = cosec р, а также sha« = cha m — 1 == tga m = ctg9p или, так
как ctg р положителен,
sh m г= ctg В.
Таким образом,
sin т — sh от 1 — cos fa sin р
cos m — ch от cos p
COS -jj-P — COS Й1 Sin -g- ft
ex ^ _ =»
(cos 1 p — cos /« sin i- p) (cos -i p 4- cos fa sin 1 p)
cos -g- p cos /n — sin -=- P
=—i r~-
COS -<r P COS Ы -\~ Sin -я- P
Поэтому, опуская постоянный множитель, мы можем написать
а = (cos ^ р cos«n + sin IpV sin ^+ sh ^) —
— cos in cos у 8 e ' , A)
Если, далее, отбросить множитель j/" и положить / = 1, то
можно принять
где
/^«costa sin j/гал;—— ц-}- —(— l^sl,
lg F% =, mx lg e 4- !g sin -^ B — Ig
lg (— ^e) я — mX 'g в + 'g COS -y p -
B)
откуда можно вычислить и для различных значений i и х.
В середине стержня х = -к и Fa> ^ численно равны друг
другу, так как ет = ctg В/2. Когда i четно, то эти члены взаимно
уничтожаются. Для Ft мы имеем /?1=(—l)*'sinfit/2, что равно
нулю для i четного и равно ± 1 для i нечетного. Таким образом,
если / четно, то сумма этих трех членов исчезает и, следова-
тельно, в середине стержня находится узел.
При я = 0 обращается в —2(—1)* sin -j-it — у(—1)'Р
смещение а, что показывает (так как В всегда мало), что ни при
178!
СВОБОДНО-СВОБОДНЫЙ СТЕРЖЕНЬ С ДВУМЯ УЗЛАМИ
303
каких значениях i мы не получим узла на конце. Если слегка
постукивать молотком по длинному стальному стержню (удержи-
ваемому, например, в середине) и при этом гасить колебания паль-
цами в различных точках вдоль стержня, то при приближении
к самому концу стержня можно будет заметить необычную без-
жизненность звука.
178. Рассмотрим теперь некоторые частные случаи.
Колебание с двумя узлами с — \.
Если i = 1, то колебание стержня — наиболее низкого тона,
возможного для данного стержня. Наши формулы принимают вид:
F1^= — sin [*B70°+l°0'40",94)-
lg/^ = 2,054231* + 3,7952391,
lg Fs = — 2,054231л; -j-T.8494681.
¦ 45'--30'20",47],
Нижеследующая таблица, дающая значения и для х, равного
0,00, 0,05, 0,10 и т. д., вычислена при помощи этих формул.
X
0,000
0,025
0,050
0,075
0,100
0,125
0,150
0,175
0,200
0,225
0,250
0,275
0,300
0,325
0,350
0,375
0,400
0,425
0,450
0,475 •
0,500
Pi
+ 0,7133200
0,5292548
о'з*57243
+ 0,0846166
- 0,1512020
0,3786027
0,5849255
0,7586838
0,8902038
0,972'б35
— l'.OOOOOO
Ft
+ 0,0062408
0,0079059
o,oiooi53
0,0126874
О,о'бО726
0,0203609
0,0257934
0,0326753
0,0413934
0,0524376
+ 0,0664285
F9
+ 0,7070793
0,5581572
0,4406005
0,3478031
0,2745503
0,2167256
0,1710798
0,1350477
0,1066045
0,084i519
+ 0,0664282
и
+ 1,4266401
1*0953179
0,7663401
0,445i071
+ 0,1394209
— 0,1415162
0,3880523
0,5909608
0,7422059
0,8355740
— 0,867i433
в:и@,5)
+ 1,645219
1,454176
1,263134
1,072162
0,8837528
0,6969004
0,5133028
+ 0,3341625
4- 0,1607819
— 0,0054711
0,1631982
0,3109982
0,4475066
0,5714137
0,6815032
0,7766629
0,8559210
0,9184491
0,9635940
0,9908730
—1,0000000
Значения м: 0@,5) для промежуточных значений х (в послед-
нем столбце) найдены при помощи интерполяционных формул.
Если о, р, q, r, s, t — шесть последовательных членов, то член,
промежуточный между q и г, равен
304
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. VIII
x = 0.200+о^зо" 0,025=0,22418,
Так как кривая колебания симметрична относительно середи-
ны стержня, то нет необходимости продолжать таблицу дальше
значения х = 0,5. Сама кривая пока-
зана на фиг. 28.
_^__^— Положение узла можно найти при
г >^ помощи интерполяции:
фи-. 2а . _ —"¦"
',1662530
что представляет собой ту часть всей длины стержня, на кото-
рую узел отстоит от ближайшею конца.
Колебание с тремя узлами. /==2.
^==^[D50' —2'40",27)лг —45° + 1'20",135])
lg Fa = 3,410604л; + 4,4338816,
\g (_ F3) — _ 3,410604л: +- Г.8494850.
В таблице, так же как и в предыдущей, значения и вы-
числены. непосредственно для х — 0,000, 0,050, 0,100 и т. д. и
интерполированы для промежуточных значений. Для положения
узла таблица дает при помощи обычной интерполяции х = 0,132.
X
0,000
0,025
0,050
0,075
0,100
0,125
0150
0,175
0,200
0,225
0,250
и: — и @)
•—1,0000
0,8040
0,6079
0,4147
0,2274
— 0,0487
+ 0,1175
0,2672
0,3972
0,5037
0,5847
X
0,275
0,300
0,325
0,350
0,375
0,400
0,425
0,450
0,475
0,500
и: —и@)
+ 0,6374
0,6620
0,6569
0,6245
0,5652
0,4830
0,3805
0,2627
0,1340
0,0000
Вычисляя по вышеприведенным формулам, находим
и @,1321) = — 0,000076,
и @,1322) = + 0,000881,
откуда х =0,132108, что согласуется с результатом, полученным
Штрельке. Точку максимального смещения можно найти из про-
изводной функции. Получим
и' @,3083) => + 0,0006077, и' @,3084) = — 0,0002227,
откуда
и' @,308373) = 0.
J78J СВОБОДНО-СВОБОДНЫЙ СТЕРЖЕНЬ С ЧЕТЫРЬМЯ УЗЛАМИ о Об
Таким образом, максимум и имеет место при х=* 0,308373;
здесь и достигает значения 0,6636; необходимо отметить, что
это значение гораздо меньше смещения на конце.
Получающаяся кривая показана на фиг. 29,
Колебание с четырьмя узлами. f = 3.
F1 = _sin[F30o + 6",92)A; —451 —3",46J,
]g F.2 = 4,775332* -f 5",0741527,
]g Fg = — 4,775332л: -f- Г.8494350.
Отсюда имеем и@) = 1,4]424, иШ = 1,00579.
Положение узлов легко найти при помощи пробных подста-
новок. Так,
и @,3558) = — 0,000037, н @,3559) = -(-0,001047,
откуда а @,355803) = 0; значение х для узла близ конца стержня
равно 0,0944 (Зеебгк).
Положение пучности лучше всего найти из производной
функции. Оказывается, что н' = 0 при я — 0,2200, и тогда
ц=— 0,9349. Пучность
имеется также и в середине
стержня, где, однако, сме-
щение не столь велико, как
в двух других пучностях Фиг, 29.
(фиг. 30).
Мы видели, что в сере-
дине стержня Fq и Fu чис-
ленно равны. Вблизи сере- Фиг. 30.
дины Fu, очевидно, очень
мало, если ; умеренно велико; и, таким образом, уравнение для
узлов приводится приближенно к виду
где п — целое число. Перенося начало в середину стержня и за-
меняя т его приближенным значением -^(Si-j- 1)те. находим
х Tin — I
что показывает, что вблизи середины стержня узлы расположены
равномерно, причем интервал между соседними узлами равен
s . . Этот теоретический результат был подтвержден измере-
ниями Штрельке и Лиссажу.
Приближенные способы определения узлов вблизи концов для
случая, когда ( больше трех, читатель найдет в мемуаре Зеебека,
уже упомянутом в § 160, и в «Акустике» Донкина (стр. 194).
20 Зак. 1774. Рмав, I
306 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. VIII
179. В случае стержня, закрепленного на одном конце и сво-
бодного на другом, вычисления весьма сходны с предыдущими.
Если и пропорционально F и F = F1 -\- F.2 -f- F8, то вообще имеем
^^Z^-tin-ae, Fa = \=r cos — ее-1*».
2 Y2 2 8 1^2 2
При ( = 1 мы имеем для вычисления кривой колебаний наибо-
лее низкого тона
Рх = cos | ^ тх° + 45° — 8°43',0665 J,
lg (— ^а) = mx]ge +1,0300909,
lg (— Fa) = -* тх \g e +1,8444383;
вычисляя, получаем
/=•@) =0,000000, /="@,4) = 0,370625, ^@,8) = 1,169632,
^@,2) = 0,102974, /='@,6) = 0,743452, f A,0)= 1,612224.
Кривая, построенная по этим данным, представлена на фиг. 31.
Фиг. 31.
Расстояния узлов от свободного конца в случае стержня,
закрепленного на другом конце, даны Зеебеком и Донкином:
2-й тон 0,2261
3-й тон 0,1321, 0,4999
4-й тон 0,0944, 0,3558, 0,6439
•й л 1.3222 _4,9820 9,0007 4/— 3 41—10,9993 4/—7,0175
1-Я ТОН 4/_2i 4/—2' 4/—2' 4/—2' 4/ —2 ' 4/—2 *
«Последнюю строку в этой таблице следует понимать в том
4/ — 3
смысле, что л, 2 может быть принято за расстояние у-го узла
от свободного конца, если не считать первых трех и последних
двух узлов».
Если оба конца свободны, то расстояния узлов от ближай-
шего конца равны:
1-й тон 0,2242
2-й тон 0,1321, 0,5
3-й тон 0,0944, 0,3558
1,3222 4,9820 9,0007 4./~3
f-й тон
181]
ПОЛОЖЕНИЕ УЗЛОВ
307
Точки перегиба для стержня с обоими свободными концами
(соответствующие узлам стержня с обоими закрепленными кон-
цами) также даны Зеебеком:
Первый тон
Второй тон
Третий тон
/-Й тон
Первая
точка
Вторая точка
*-я точка
Нет точек перегиба
0,5000
0,3593
5,0175
8,9993
4/ +2
За исключением крайних узлов (для которых нет соответ-
ствующих точек перегиба), узды и точки перегиба всегда рас-
положены в близком соседстве.
180. Случай, когда один конец стержня свободен, а другой
подперт, не нуждается в особом исследовании, так как он может
быть сведен к случаю стержня с двумя свободными концами,
совершающего колебание четного типа, т. е. с узлом в середине.
В самом деле, в центральном узле у и у" исчезают, а это как
раз условия для подпертого конца. Таким же образом колебания
стержня, закрепленного на одном конце и подпертого на другом,
те же, что и колебания половины стержня с обоими закреплен-
ными концами, колеблющегося с узлом в середине.
181. Последняя из шести возможных комбинаций условий на
концах имеет место, когда оба конца подперты. Обращаясь к ре-
шению A) § 170, мы видим, что эти условия при * = 0 дают
/4 = 0, 5 = 0; таким образом,
а = (С 4- D) sin х' -f- (С—D) sh x'.
Так как и и и" исчезают при х' = т, то С—D = 0 и sin m ас 0.
Таким образом, решение имеет вид:
у = sin -j-
cos
t,
A)
где i— целое число. Разумеется, этому выражению можно при-
дать произвольный постоянный множитель и, кроме того, приба-
вить произвольную постоянную к t.
Отсюда следует, что нормальные кривые — те же самые, что
в случае струны, натянутой между двумя закрепленными точками,
но последовательность тонов совершенно иная, так как частота
меняется пропорционально квадрату I. Узлы и точки перегиба
совпадают, а пучности (которые являются также точками макси-
мальной кривизны) делят пополам расстояния между узлами.
20*
308 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЬЙ |гЛ. VIII
182. Теорию колебаний стержня можно использовать для
иллюстрации того общего принципа, что собственные периоды
колебаний системы удовлетворяют условию максимума-минимума
и что наибольший из собственных периодов превосходит любой
период, который может быть получен изменением типа колеба-
ний. Предположим, что кривая колебаний стержня, закреплен-
ного на одном конце и свободного на другом, есть та кривая,
по которой расположится стержень, отклоненный силой, прило-
женной к его свободному концу. За уравнение кривой можно
принять
фу
При этом всюду удовлетворяется равенство ¦— = 0, у и у' исче-
вают при 0, а У исчезает при /. Таким образом, если конфигу-
рация стержня в момент t есть
A)
то потенциальная энергия его, согласноA) § 161, есть QqypiaPcos3pt,
33
а кинетическая энергия -щ ршРр* sin2/?/; таким образом, j»9 равно
140 '/?№
jj-. Ho/>j (истинное значение р для наиболее низкого тона) равно
— .A.8751J,
так что
pt: p = A,8751)а ]/~-щ = 0,98556,
что показывает, что действительная высота наиболее низкого
тона несколько ниже (сравнительно немного), чем вычисленная
из гипотетического типа колебаний. Следует заметить, что упо-
мянутый гипотетический тип колебаний нарушает граничное усло-
вие у" = 0. Это обстоятельство, однако, не отражается на при-
менимости самого принципа, так как взятый тип колебаний может
быть любым из тех, которые допустимы в качестве начальной
конфигурации; но оно ведет к тому, что очень близкого совпа-
дения периодов не получается.
Мы можем ожидать лучшего приближения, если будем осно-
вывать наши вычисления на той кривой, по которой располо-
жился бы стержень, если бы его отклоняла сила, действующая на
небольшом расстоянии от свободного конца, причем между кон-
цом и точкой приложения силы (х = с) стержень оставался бы
прямолинейным и потому лишенным потенциальной энергии. Тогда
потенциальная энергия = бду^юс3 cosa pt.
. Кинетическую энергию легко найти из значения^ интегрированием:
от 0 до с у = — 3cjc2-f-jcs,
И ОТ С ДО / ytssC*(C — 3*),
183) НАГРУЖЕННЫЙ КОНЕЦ 309
что можно усмотреть, если учесть, что у и у' не должны изме-
няться скачком при х = с. В результате имеем
о Г 33 1 1
кинетическая энергия а ра>ра sin2pn -=jr с" —j— -я- с* (/—^(^-(-З/2) ,
откуда
1 1 Г 49 » Т
B)
Максимальное значение 1/р9 имеет место, когда точка при-
ложения силы находится в соседстве с узлом второго
ного составляющего колебания. Если положить с== -j-l, то мы
получим результат, который отклоняется вверх по музыкальной
шкале на интервал, выражаемый отношением 1 :0,9977 и, следо-
вательно, весьма близок к истинному.
Этот пример дает представление о том, с какой точностью
можно вычислить период колебательной системы простыми средствами
без решения дифференциальных или трансцендентных уравнений.
Рассмотренный только что тип колебаний мог бы действительно
иметь место для стержня, лишенного инерции, но несущего на-
грузку М на свободном конце, если только можно пренебречь
инерцией вращения М. В самом деле, тогда мы имели бы
V = 6^ха(в/» cos2 pt, T = 2МРр* sina pt.
так что
Даже, если инерцией стержня по сравнению с М нельзя полностью
пренебречь, мы можем взять этот же тип колебаний в качестве
основы для приближенного вычисления:
V = б^ш/з cosa/rf, 7 = ( 2Ж/в -f- Ц ршГ Vя
откуда
т. е. М должно быть увеличено приблизительно на четверть
массы стержня. Так как этот результат вполне точен, когда М
бесконечно велико, и не очень отличается от истины даже
при М = 0, то его можно считать вообще применимым в каче-
стве приближения. Ошибка всегда будет получаться в сторону
преувеличения высоты тона.
183. Однако в обычных условиях эксперимента пренебрежение
инерцией вращения М не может быть оправдано. Легко предста-
вить себе (но не осуществить) случай, диаметрально противо-
310
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. VHI
положный только что рассмотренному, когда инерцией поступатель-
ного движения можно пренебречь по сравнению с инерцией вра-
щения. Если учесть оба рода инерции массы М, то, даже если
пренебречь целиком инерцией стержня, система будет иметь два
различных и независимых периода колебаний.
Пусть г и в суть значения у и -р при х = /; тогда уравнение
кривой стержня будет
/3
а ,
/6--2*
/8
а кинетическая энергия
A)
B)
где х'— радиус инерции М относительно оси, перпендикулярной
к плоскости колебания.
Поэтому уравнения движения имеют вид:
C)
откуда, если г и 9 изменяются пропорционально cos pt, находим
что соответствует двум периодам, которые всегда различны.
Если пренебречь инерцией вращения, положив х' = 0, то мы
вернемся к нашему прежнему результату
Другое значение ра при этом бесконечно.
Если х': / просто мало настолько, что высшими степенями его
можно пренебречь, то
V 4 /V*
184] ВЛИЯНИЕ ДОБАВЛЕНИЙ 311
С другой стороны, если х'а очень велико, так что вращений нет,
то
J2?^ или ?Л,
МЫ'2' к '
причем последняя величина очень мала. Оказывается, таким обра-
зом, что если воащения нет, тон получается на октаву выше,
чем в случае, если бы совершенно не было инерции воащения.
Это заключение можно вывести и непосредственно из дифферен-
циальных уравнений. В самом деле, если х' = оо, то Й = 0, и
тогда
если же х' = 0, то 6 = ^ на основании второго из уравнений C),
и в этом случае
184. Если стержень удлинить на конце, то период колебаний
увеличится. Если этот конец стержня свободен, то мы предполо-
жим сначала, что добавленный кусок не обладает инерцией. Так
как тогда не будет изменений ни в потенциальной, ни в кине-
тической энергии, то высота тона не изменится; но в той мере,
в какой добавленная часть приобретает инерцию, высота тона
падает (§ 88).
Небольшое продолжение стержня таким же образом за закре-
пленный конец не дало бы никакого эффекта, поскольку доба-
вленный кусок не получил бы движения. Никакого изменения не
последует также, если закрепить и новый конец. Но по мере
ослабления первого закрепления высота тона станет падать вслед-
ствие уменьшения потенциальной энергии заданной деформации.
Случай подпертого конца не так прост. Обозначим первона-
чальный конец стержня через А, и пусть добавленный кусок,
который мы сначала предположим не имеющим инерции, будет АВ.
Пусть сначала конец А неподвижен благодаря тому, что он удер-
живается, как это можно допустить, пружиной бесконечной же-
сткости. Положим далее, что эта пружина, не имеющая инерции,
постепенно отпускается. При этом процессе движение нового
конца В уменьшается и при некотором определенном ослаблении
пружины В приходит в состояние покоя. В течение этого про-
цесса высота тона падает. Так как точка В теперь в покое, то
ее можно тедположить закрепленной, и тогда устранение пру-
жины в точке А приводит к новому падению высоты тона, кото-
рое в дальнейшем увеличивается по мере того, как АВ приобре-
тает инерцию.
312 ПОЛЕРШНЫВ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. VIII
185. Случай не вполне однородного стержня может быть рас-
смотрен общим методом § 90. Применяя обозначения этого пара-
графа, имеем
аг = Г p(o0af dx, bar = Г 8рши^ dx,
откуда, обозначая через Рг неисправленное значение рг, получим
(Если движение строго периодично по отношению к х, то н?
пропорционально иг, и обе величины исчезают в узле. В соот-
ветствии с этим, неоднородность, расположенная в узле такого
рода движения, не оказывает влияния на период.
Подобное же заключение приблизительно справедливо для
внутренних узлов стержня, колеблющегося с большим числом
узлов, даже если движение не строго периодично по отношению
к х, как в случае, когда концы закреплены или свободны.]
Если стержень закреплен в точке х = О и свободен при х = 1,
то
1 г _
/и? J сш„
• о 'о о
Эта же формула применима к стержню с обоими свободными
концами.
Влияние малой нагрузки dM дается, таким образом, формулой
_4 *ЁУ\ B)
где М означает массу всего стержня. Если нагрузка расположена
на конце, то ее влияние такое же, как влияние удлинения стержня
в отношении М : (Ж -J- dM) (ср. § 167).
[В формуле B) предполагается, что dM действует только
своей инерцией; однако, аналогичная формула может быть при-
менена и в случае, когда неоднородность массы dM зависит от
изменения сечения без изменения механических свойств. Так как
В = ^Х^ш, ТО
ЬВ __ Ь (х2щ)
186] ПОПРАВКА НА ИНЕРЦИЮ ВРАЩЫШЯ 313
так что влияние местного утолщения дается формулой
P* 'luj J (^<oH luj * «>„
Если толщина стержня в плоскости изгиба постоянна, то
8хв=0 и
t (хЗа>) _ So)
Далее
С bndx _dM
J к — м •
и, следовательно,
Если же толщина постоянна в плоскости, перпендикулярной
к плоскости изгиба, а в плоскости изгиба она переменна Bf), то
S (хЛа) __ bf __ 3»т _ 36<1)
(*2(°)о То То «о '
и вместо D) имеем
?->+«?*=**•
Если камертон подпиливать (rfAI отрицательно) близ стебля
(закрепленного конца), то тон понижается; если же подпили-
вать его близ свободного конца, то тон повышается. Так как
ajj2 = u\, то влияние снятия одинаковой массы в обоих этих
местах равны и противоположны в случае D), а в случае E)
влияние подпиливания у основания в три раза больше, чем
у свободного конца.]
186. Тот же принцип можно применить для оценки поправки,
учитывающей инерцию вращения однородного стержня. Необходимо
только найти, какой добавок к кинетической энергии следует
ввести, предполагая, что стержень колеблется по тому же самому
вакону, какой имел бы место при отсутствии инерции вращения.
Возьмем, например, случай стержня, закрепленного при 0 и
свободного при /, и предположим, что имеет место колебание
типа
у = и cos pt,
где и — одна ш функций, исследованных в § 179. Кинетическая
энергия вращения по формуле B) § 165 равна
314 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕВАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. VIII
К этому следует добавить
¦y-pasina/tf tfidx или ??~ра sin*ptu*,
о
так что кинетическая энергия увеличивается в отношении
„г „ft
Отношение измененной частоты к частоте, вычисленной без учета
инерции вращения, равно квадоатному корню из величины, обрат-
ной предыдущей. Таким образом,
Пользуясь соотношениями chm= —seem, sh m = cos lit tg я»,
можно выразить и': и при х = I в виде
— sin m cos a
и cos /я + cos /я 1 — cos It. sin a '
если вместо т подставить его значение из соотношения
от = -1B/ — l)it — (—1)'«.
Для наиболее низкого тона а = 0,3043 или, в градусах и
минутах, а= 17°26', откуда
— = 0,73413, 2—+ т ^ = 2,4789.
Таким образом,
что дает поправку на инерцию вращения в случае наинизшего
тона.
Когда порядок Обертона сравнительно невысок, то а очень
мало и тогда без ощутимой ошибки
и': и = 1
C)
это показывает, что роль поправки растет с увеличением порядка
колебания.
Для всех обычных стержней х: / очень мало, и можно, не
делая ощутимой ошибки, пренебречь членом, зависящим от квад-
рата этой величины.
187] корни составных функций 315
187. Если жесткость и плотность стержня изменяются от
точки к точке вдоль него, то нормальные функции не могут быть
в общем случае выражены аналитически, но поведение их можно
исследовать методами Штурма и Лиувилля, изложенными в § 142.
Пусть, как в § 162, В означает переменную жесткость на
изгиб в произвольной точке стержня, p<nrfjc — массу элемента
длины dx; тогда общее дифференциальное уравнение имеет вид:
в котором влияние инерции вращения не учитывается. Если по-
ложить, что ^>~cos^, то для определения вида нормальных
функций мы получаем уравнение
где v3, в силу условий на концах, должно иметь одно из беско-
нечного ряда определенных значений v^, v^, v|...
Допустим, например, что стержень закреплен на обоих концах
так, что у и -J- на концах исчезают. Первая нормальная функ-
ция, для которой v2 имеет наименьшее значение \, не имеет
внутренних корней, так что кривая колебаний расположена це-
ликом по одну сторону от положения равновесия. Вторая нор-
мальная функция имеет один внутренний корень, третья функция
имеет два внутренних корня и вообще г-я функция имеет г—1
внутренних корней.
Любая пара различных нормальных функций сопряжена, т. е.
произведение их, помноженное на pwdx и проинтегрированное
по длине стержня, равно нулю.
Исследуем число корней функции f(x) вида:
fix) = <?тит (х) + <?т+1ит+1 (*)+...+ <рпхп (х), C)
составленной из конечного числа нормальных функций, из кото-
рых функция наинизшего порядка есть ит(х), а наивысшего
порядка ип(х). Если число внутренних корней функции f(x)
равно \i, так что всего имеется ц. + 4 корней, то пооизводная
/' (х) не может иметь меньше чем jju -(— 1 внутренних корней,
кроме двух корней на концах, а вторая пооизводная не может
иметь меньше ji.—|— 2 корней. При умножении последней функции
на В ни один корень не может быть потеоян, и новое двукрат-
ное дифференцирование по х должно сохоанить по крайней меое
у внутренних корней. Следовательно, принимая во внимание B) и C),
мы заключаем, что
316 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЬРЖНЬЙ []Л. V.II
имеет по меньшей мере столько же корней, сколько f(x). Так
как D) — функция такого же вида, как f(x), то мы можем по-
вторить то же самое рассуждение и получить ряд функций,
каждый член которого имеет по меньшей мере столько же кор-
ней, сколько fix). Повторив операцию, при помощи которой мы
получили D) из C), достаточное число раз, мы придем к функ-
ции, сколь угодно мало отличающейся по виду от составляющей
нормальной функции наивысшего порядка ип(х). Отсюда мы
заключаем, что f(x) не может иметь более чем га—1 внутренних
корней. Подобным же образом мы можем доказать, что /(#) не
может иметь менее чем т— 1 внутренних корней.
Применение этой теоремы для доказательства возможности
разложения произвольной функции в бесконечный ряд нормальных
функций можно провести в точности так же, как в § 142.
[Аналитическое исследование некоторых случаев, в которых
сечение стержня предполагается переменным, можно найти в ме-
муаре Кирхгоффа г).\
188. Если стержень, поперечные колебания которого нужно
исследовать, подвержен продольному натяжению, то потен-
циальная энергия всякой его конфигурации состоит из двух
частей, первая из которых зависит от жесткости, с которой
стержень сопротивляется непосредственно изгибу, а вторая — от
сопротивления растяжению, которое обязательно сопровождает
изгиб, если концы являются узлами. Вторая часть подобна потен-
циальной энергии отклоненной струны; первая часть имеет та-
кую же природу, как и в случаях, только что рассмотренных
нами в этой главе, хотя она и не вполне независима от постоян-
ного натяжения.
Рассмотрим растяжение волокна стержня сечения du>, проек-
ция расстояния которого от оси на плоскость колебаний есть ц.
Так как сечения, которые были первоначально нормальны к оси,
остаются нормальными во время изгиба, то длина волокна отно-
сится к соответствующему элементу оси, как (/? + •»)): /?, где R —
радиус кривизны. Но и сама ось удлиняется в отношении
q:(q-\-T), считая от ненапряженного состояния; здесь Тш озна-
чает полное натяжение, испытываемое стержнем. Таким образом,
действительное натяжение волокна равно „ du>, от-
куда мы находим для момента пары, действующей на сечение,
i) Kirchhoff, Berlin. Monatsber., 1879; Collected Works, стр. 339. См.
также Todhunter a. Pearson, History of the Theory of Elasticity, том II,
цасть II, § 1302.
189] ПОСТОЯННОЕ НАТЯЖЕНИВ 317
а для всей потенциальной энергии, связанной с жесткостью,
gfdx A)
— выражение, отличающееся от полученного раньше (§ 162)
заменой q на q -\- Т.
Так как q есть натяжение, необходимое для удлинения стержня
единичного сечения вдвое против его естественной длины, то,
очевидно, что в большинстве встречающихся на практике слу-
чаев можно пренебречь Т по сравнению с q.
Выражение A) дает работу, которая выигрывалась бы при
выпрямлении стержня, если бы длина каждого элемента оси
сохранялась неизменной в течение этого процесса. Но когда
растянутый стержень или струна отпускается из смещенного
положения в естественное, длина оси уменьшается. Величина
уменьшения есть у f gj) dx, и соответствующий выигрыш
в работе равен
Таким образом,
Вариация первой части при гипотетическом смещении дана в § 162.
Для второй части имеем
2 С
Во всех случаях, которые нам придется рассматривать, 8_у исче-
зает на концах. В соответствии с этим общее дифференциальное
уравнение есть
или, полагая
Более подробное исследование этого уравнения читатель най-
дет в сочинениях Клебша1) и Донкина.
189. Если концы стержня или проволоки закреплены, то
0, и условия на концах соблюдены. Если крепление такого
1) Klebsch, Theorle dtr Elast/cititt /ester KOrper, Lpz, 1862.
318 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ (гЛ. VIH
рода, что на конце создается узел, но в то же время нет пары,
действующей на стержень, то -^ должно исчезнуть, т. е. конец
должен быть прямолинейным. Такое предположение " обычно
делается для представления случая струны, натянутой поверх
подставок, как во многих музыкальных инструментах; но, оче-
видно, что часть струны, расположенная за подставкой, должна
принимать участие в колебании и поэтому нельзя считать, что
длина ее не имеет совершенно никакого значения.
Если в общем дифференциальном уравнении мы будем считать
у пропорциональным cos nt, то получим
Это уравнение, очевидно, удовлетворяется при
у = sin i~ cos nt, B)
если определить а подходящим образом. Это решение приводит
также к исчезновению у и /' на концах. Подставив, получаем
для п:
П — 12
откуда определяется частота.
Если предположить, что проволока бесконечно тонка, то
п2 = Рт^а^/Р, —то же, что мы получили в главе VI, исходя из
предположения идеальной гибкости. Если рассматривать х// как
весьма малую величину, то приближенным значением и будет
Are
га — —
Для проволоки кругового сечения радиуса г имеем ха = 1jit*;
заменяя b и а их значениями, выраженными через q, Tap, полу-
чим
что дает поправку на жесткость 2). Так как выражение внутри
скобок содержит /, то оказывается, что гармоническое отношение
составляющих тонов нарушается жесткостью.
190. Исследование поправки на жесткость, когда концы про-
волоки закреплены, не так просто, вследствие изменения типа
колебаний, имеющего место вблизи концов. Чтобы перейти от
случая предыдущего параграфа к рассматриваемому здесь, не-
]) Donkin, Acoustics, Art., 184.
190] жесткость 319
обходимо ввести дополнительную связь, что влечет дальнейшее
повышение тона. Нижеследующее в основном повторяет исследо-
вание Зеебека и Донкина.
Если пренебречь инерцией вращения, то дифференциальное урав-
нение принимает вид:
где вместо д— стоит D. В уравнении
D* ^-Da —— =
одно из значений Da должно быть положительным, а другое
отрицательным. Поэтому мы можем положить
^? B)
а в качестве полного интеграла уравнения A)
у = A ch ax -f- В sh ax + С cos p* + D sin ?*, C)
где а и р — функции от «, определяемые уравнением B).
Теперь необходимо добиться того, чтобы решение удовлетво-
ряло четырем граничным условиям, которые приводят к уравне-
нию, связывающему а, C и /, так как имеются только три от-
ношения, которыми можно воспользоваться. Это уравнение можно
представить в виде
1 — Cha/cosfl/ "ГаЗ — р2""""и<
9rtft On Ун
Значение а_.а, определяемое уравнением B), есть х , так что
sh се/ sin р/ . 2яйу. .
1 — ch a/ cos fi/
Из уравнения B) находим также, что
До сих пор наши уравнения вполне строги или, точнее, столь же
строги, как и дифференциальное уравнение, на котором они осно-
ваны; здесь, однако, мы введем предположение, что наличие
жесткости оказывает лишь незначительное влияние на рассматри-
'320 ПОПЕРЕЧНЫЙ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. VITI
баемое колебание. В таком случае приближенное выражение для
у имеет вид:
у = sto\—j-cos\-jaty
и поэтому приближенно
Р = у t П = -у. G)
Введение этих значений во второе из уравнений F) показы-
вает, что д4 или -щ^ при рассматриваемых условиях пред-
ставляет малую величину, и, следовательно, а2/9 — большая вели-
чина. Так как cha/ и sha/ оба велики, то уравнение E) при-
водится к
или, при подстановке приближенного значения f), полученного
из F),
Приближенное значение — есть Ы. Положив — = Ы -\~ в, полу-
чим
так что
« = 'тA + 2~т)- (8)
Согласно этому уравнению все составляющие тоны повы-
шаются на один и тот же малый интервал, а потому гармо-
ническое отношение не нарушается жесткостью. Было бы, пожа-
луй, иначе, если бы члены, содержащие ха//а, были сохранены;
поэтому отсюда отнюдь не следует, что гармоническое отношение
сохраняется лучше, несмотря на жесткость, когда концы закре-
плены, чем когда концы свободны, а следует лишь то, что в пер-
вом случае нет дополнительной расстройки, хотя абсолютное из-
менение высоты тона значительно больше. Следует заметить, что
b/а или У q -\- T/Y Т представляет большую величину, и если
мы хотим, чтобы наши результаты были правильны, то х// должно
быть достаточно мало, чтобы оставаться малым и после умноже-
ния на Ь/а.
Теоретические результаты, заключающиеся в формуле (8), были
проверены экспериментально Зеебеком, который нашел удовле-
творительное согласие с опытом. Постоянная жесткости была
получена из наблюдений над быстротой колебаний небольшого
куска проволоки, один конец которого был зажат в тиски.
191] ДВЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВОЛН 321
[Для второго приближения Зеебек дает (цит. соч.)
191. В настоящей главе было показано, что теория стержней,
даже упрощенная до крайних пределов путем отбрасывания не-
существенных величин, несомненно, более сложна, чем теория
идеально гибких струн. Объяснения крайней простоты колебаний
струн следует искать в том факте, что волны гармонического
типа распространяются со скоростью, не зависящей от длины
волны, так что любая произвольная волна может распростра-
няться без искажения. Но когда мы переходим от струн к стерж-
ням, то постоянная в дифференциальном уравнении -~ -}- у&№ -~ = О
уже не может быть истолкована как некоторая скорость, и
потому скорость распространения гармонических волн не может
зависеть только от дифференциального уравнения, но должна из-
меняться с длиной волны. Действительно, если допустить, что
гармонические волны вообще могут распространяться, то это само
по себе достаточно для доказательства того, что скорость
должна изменяться обратно пропорционально длине волны. То же
самое можно видеть из решения, применимого к волнам, распро-
страняющимся в одном направлении, именно y = cos-?-(Vt — х),
которое удовлетворяет дифференциальному уравнению при
^ О)
Допустим, что имеются две последовательности волн одинаковой
амплитуды, но различной длины волны, распространяющиеся в од-
ном и том же направлении. Тогда
Xcos*{,(i+^)-*({ + ?)}. B)
Если tf — х, X' — \ малы, то мы имеем волну, амплитуда
которой медленно изменяется от точки к точке между значе-
ниями 0 и 2, образуя ряд групп, отделенных одна от другой
областями, сравнительно свободными от возмущения. В случае
струны или столба воздуха л изменяется пропорционально т, и
тогда эти группы движутся вперед с той же самой скоростью,
что и составляющие их волны, и тип колебаний не изменяется.
Иначе обстоит дело в случае, когда скорость распространения
21 Зак. 1774. Р»лей. 1
322 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ |ГЛ. VH1
является функцией длины волны, как в случае стержня, совер-
шающего поперечные колебания. Положение в момент t середины
группы, которая первоначально находилась в начале, определяется
уравнением
показывающим, что скорость этой группы равна
(т)
Если положить, что скорость V последовательности волн изме-
няется пропорционально л», то мы найдем
41) 4т)
=Ш~——•»--
В нашем случае п = — 1, и соответственно этому скорость групп
вдвое больше скорости составляющих волн J).
192. Вследствие зависимости скорости распространения от
длины волны состояние бесконечного стержня в любой момент
после начального возмущения, имевшего место на ограниченном
участке, отнюдь не будет отличаться той простотой, которая
характеризует соответствующую задачу для струны. Тем не менее,
исследование, проведенное Фурье для задачи о струне, может
быть соответствующим образом применено и здесь.
Требуется определить функцию от х и t так, чтобы удовле-
творить уравнению
и начальным условиям _y
Решение уравнения A) есть
у = cos q^t cos q (х— a), B)
ные, откуда мы заключаем, что
+°О
у= f da/7(о) Г dqcosq*tcosq(х — о),
где q и о — постоянные, откуда мы заключаем, что
+0О
l) В соответствующей задаче для волн на поверхности глубокой
воды скорость распространения изменяется прямо пропорционально
корню квадратному из длины волны, так что п = 7з- Поэтому скорость
группы таких волн равна половине скорости составляющих волн. (См.
заметку о распространении волн, приложенную в конце тома.)
192J РЕШЕНИЕ ФУРЬЕ 323
где F(a) — произвольная функция от а, также будет решением.
Если теперь положить t = 0, то
+ 00 +ОО
(*)da J* cosq(x — a)dq,
откуда видно, что ^(а) должна быть взята равной я—^ (а)> так
как в этом случае, по теореме Фурье о двойном интеграле,
Уо==9 (¦*¦)• Кроме того, у = 0; следовательно, решение
+ СО +00
у = я- \ <p(a)da Г cos q4 cos q (x — a) dq C)
—со —со
удовлетворяет дифференциальному уравнению, причем в начальный
момент
По теореме Стокса (§ 95) или независимо от нее, можем те*
перь написать и остающуюся часть решения, которая должна
удовлетворять дифференциальному уравнению и давать для началь-
ного момента ,у = 0, y = ty(x); она имеет вид:
+00 +СО
J ? sin tf* cos ?(* — «)<(?. D)
Окончательный результат получается сложением правых частей
C) и D).
Интегрирование по q в C) можно провести при помощи
формулы
+ 00 _
J cos 0 cos qzdq= yf \ sin (j + f), E)
— 00
которая может быть доказана следующим образом. Если в хорошо
известной интегральной формуле
+ОЭ
—00
заменить х через х-\-Ь, то получим
+00
21*
+00
a'(ai1+2bx) fix —
—00
324 Поперечные колебания стержней (гл, vat
Положим теперь а2 = / = е''«**, где i = Y—1, и сохраним только
действительную часть уравнения; тогда
+°°
J cos (*а + 2bx) dx a yi sin ($а -f -J- я),
00
—00
откуда
+00
J cos *a cos 2*д; rf* = V~it sin (*a + j к);
—со
из последней формулы выражение E) получается при помощи
простой замены переменной. Таким образом, уравнение C) может
быть написано в виде
+СО
или, полагая * = а,
2У7
+ 00
if —
у =—т= (cos[ta-j-sini*a)«p(A:-|-2i*J^f)</u.. F)
192a. Если ось стержня не прямолинейна, а искривлена, то
получаются задачи, которые можно рассматривать как обобщение
задач настоящей и предыдущей глав. Важнейшим случаем среди них
является случай кругового кольца, сечение которого мы также
будем считать круговым и имеющим радиус с, малый по сравне-
нию с радиусом а круговой оси стержня.
Исследование колебаний изгиба, происходящих в плоскости
кольца, аналогично случаю цилиндра (§ 233) и было впервые
проведено Хоппе *). Если s — число периодов по окружности,
то коэффициент р при времени в выражении колебаний дается
формулой
р 4 1+«а р а*' V'
где q — модуль Юнга, а р — плотность материала стержня. Это
выражение можно сравнить с уравнением (9) § 233. Чтобы вер-
нуться к случаю прямолинейной оси, необходимо только положить s
и а бесконечными так, чтобы — было равно заданному ли-
нейному периоду. Тогда рассматриваемые колебания будут чисто
поперечными.
1) Норре, Crelle, том 63, стр. 158, 1871.
192eJ круговое кольцо 325
В классе колебаний, рассмотренном выше, круговая ось
остается нерастянутой, и (§ 232) периоды сравнительно велики.
Для другого класса колебаний в плоскости кольца Хоппе нашел
P* = (l+s*)f±. B)
Частоты здесь не зависят от с, и колебания аналогичны про-
дольным колебаниям прямолинейных стержней.
При s = 0 в выражении B) мы имеем решение для колебаний,
являющихся чисто радиальными.
Для колебаний изгиба, перпендикулярных к плоскости кольца,
соответствующий A) результат имеет вид х):
Отличие здесь состоит только в том, что знаменатель содержит
отношение Пуассона (ц).
Рамки нашей книги не позволяют нам углубляться далее
в задачи настоящего параграфа. Полное исследование можно
найти в книге Лява «Теория упругости», глава XVIII. Влияние
малой кривизны на поперечные колебания конечного стержня спе-
циально рассмотрено Лэмбом а).
1) Michell, Messenger of Mathematics, XIX, 1849.
a) Lamb, Proc. Lond. Math. Soc, XIX, crp! 365, 188a
ГЛАВА IX
КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН
193. Теоретическая мембрана представляет собой идеально
гибкую и бесконечно тонкую пластинку из твердого вещества,
однородную по составу и толщине и растягиваемую во всех
направлениях натяжением, настолько большим, что оно не изме-
няется ощутимым образом в процессе рассматриваемых колебаний
и смещений. Если провести воображаемую линию по мембране
в любом направлении, то взаимодействие между двумя частями,
разделенными элементами линии, пропорционально длине элемента
и перпендикулярно к его направлению. Если обозначить эту силу
через Ttds, то Тг можно назвать натяжением мембраны; эго —
величина, размерность которой относительно массы равна 1 и
относительно времени —2.
Основной задачей, связанной с мембранами, является иссле-
дование поперечных колебаний мембран различной формы с за-
крепленными краями. Правда, возможно поставить и другие
задачи, но они представляют сравнительно мало интереса; кроме
того, методы, которыми можно решить эти задачи, будут доста-
точно освещены в других частях настоящей работы. Поэтому мы
можем сразу приступить к рассмотрению мембраны, натянутой
внутри неподвижной замкнутой плоской границы.
194. Примем плоскость границы за плоскость ху и обозначим
через w малое смещение от этой плоскости какой-нибудь точки Р
мембраны. Возьмем вокруг Р малую площадку S и рассмо-
трим силы, действующие на эту площадку параллельно оси г.
Рассматриваемая часть натяжения дается выражением
где ds означает элемент границы S, a dn — элемент наружной
нормали к граничной кривой. Это натяжение уравновешивается
реакцией против ускорения, которая измеряется величиной pSw,
где р означает поверхностную плотность, размерность которой по
массе равна 1, а по длине —2. По теореме Грина
Jj ds= J f
V*w dS = V*w«S,
195] прямоугольная граница 327
где V==gja+2P< и> таким обРазом> Уравнение движения имеет
вид:
p
Условие, которому нужно удовлетворить на границе, очевидно,
есть w = 0.
Дифференциальное уравнение движения можно получить также,
исходя из выражения для потенциальной энергии, которое полу-
чим, умножая натяжение на увеличение площади растянутой по-
верхности. Величина измененной площади есть
.и, следовательно,
откуда легко найти 8К интегрированием по частям.
Если обозначить TJp = с2, то с имеет размерность скорости
и дифференциальное уравнение получает вид:
19S. Предположим теперь, что границей мембраны является
прямоугольник, образованный осями координат и прямыми х — а,
у = Ь. Для каждой точки внутри ограниченной ею площади
удовлетворяется уравнение C) § 194, а для каждой точки на
границе w =^= 0.
Очевидно, что частный интеграл уравнения есть
w = sin ~ sin ^f- cos pt, A)
где
a m и n — целые числа. Отсюда можно вывести общее решение.
Таким образом,
ш=оо п=оо
w = 2j aj sin—¦—sin —j^- {^Amn cos jb/— Bmn sin pt). C)
1A = 1 П=1
В том, что этот результат действительно является общим, можно
убедиться a posteriori, показав, что он является достаточным для
выражения произвольных начальных условий.
328 КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН [ГЛ. IX
Какова бы ни была зависимость w от координат, ее можно
выразить для всех значений х между пределами 0 и а при по-
мощи ряда
где коэффициенты Yv Y2 и т. д. не зависят от х. Далее, Какую
бы функцию от у ни представлял любой из коэффициентов Y, он
может быть разложен между 0 и Ь в ряд
где Cj и т. д. — постоянные. Отсюда мы заключаем, что любая
функция от л: и у может быть выражена внутри прямоугольника
при помощи двойного ряда
, , /итиг .
^„sin — sin-^-
tn=l n=i
и что поэтому выражение для w в C) может быть применено
к произвольным начальным значениям w и те». Действительно,
а 6
пку
а
4 f Г . тъх .
о о
а 6
D)
о о
Вид нормальных функций для данного прямоугольника
тих . пку
Sin Sin —-г--
а о
в зависимости от т и п легко истолковать. Если тип оба
равны единице, то w сохраняет один и тот же знак во всем
прямоугольнике, исчезая только на границе; но во всех других
случаях внутри прямоугольника имеются узловые линии, распо-
ложенные параллельно осям координат. Число узловых линий,
параллельных х, равно п — 1, а их уравнения имеют вид:
Ь 2Ь (п-\)Ь
у ~ п' п п
Точно так же уравнения узловых линий, параллельных оси _у,
имеют вид: ,
а 2а (т — \)а
т ' ш ' m '
196] ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ГРАНИЦА 329
причем число их равно т. — 1. Система узловых линий делит пря-
моугольник на тп равных частей, в каждой из которых числен-
ное значение w повторяется.
196. Выражение для w через нормальные функции имеет вид:
sin =jjj=. sin ^, A)
где <ртя и т. д.—нормальные координаты. Образуем теперь вы-
ражение для V в функции от <fmn. Имеем
При интегрировании этих выражений по всей площади прямо-
угольника произведения нормальных координат исчезают, и мы
находим
где суммирование распространяется на все целые значения тип.
Таким же образом можно найти, что кинетическая энергия
дается выражением
откуда мы выводим нормальное уравнение движения
В этом уравнении
а Ъ
Фт„
=| ^Zsini^sin^dxdy, E)
о о
где через Zdxdy обозначена поперечная сила, действующая на
элемент dx dy.
Положим, что начальное состояние есть состояние покоя под
действием постоянной силы Z, например газового давления.
В момент t = 0 приложенная сила устраняется, и мембрана пре-
доставляется самой себе. Сначала уравнение равновесия дается
выражением
330 КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН [ГЛ. IX
откуда можно определить (<pmn)o. Положение системы в момент t
тогда дается уравнением
9тп=(<?тп)о cos (V ¦§" + -J- evtj G)
совместно с уравнением A).
Для того чтобы выразить Фтп, следует просто подставить
вместо Z его значение в E) или, в данном случае, просто
вынести Z из-под знака интеграла. Таким образом,
а Ъ
®mn=z J | sin—sin^d*^=Z—2A—cos/M7t)(l—cos/№).
о о
Мы заключаем, что Фтп исчезает, если только т и п не являются
оба нечетными, причем в этом последнем случае
ф 4ab z
Таким образом, если тип оба нечетны,
Тит = W ~Ш
где
Здесь мы имеем пример применения (8) § 101.
Если мембрана, первоначально находившаяся в покое в своем
положении равновесия, приводится в движение ударом, приложен-
ным к точке (а, C), то решение будет иметь вид:
ттх .
sin
— sin f
J J w0 sin pt dx dy. A0)
[В качестве примера вынужденных колебаний предположим,
что на центр мембраны действует гармоническая сила. За исклю-
чением случая, когда т и п оба нечетны, Фотп = 0, а для остав-
шегося случая
A1)
где Zx — полная сила, действующая в момент t, а знак ± заме-
няет произведение sin -j /wit sin -j mz. Из D) и (9) имеем
± 4Zt cos qt
9~
и тогда значение w дается уравнением A).
В случае квадратной мембраны р представляет собой симме-
тричную функцию т и п. В том случае, когда т и п. не равны,
197] ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 331
члены входят попарно, например
а + а * I Aа)
— комбинация, симметричная относительно л; и у. Разумеется,
колебание расположено одинаково относительно всех четырех
сторон, а также и относительно всех четырех углов квадрата.
Вблизи центра, где приложена сила, ряд перестает быть схо-
дящимся, и смещение w стремится (логарифмически) к беско-
нечности.]
197. Частоты собственных колебаний можно найти, подставляя
различные целые значения т. и п в выражение
2тс ~ 2 V а* ^ №' A)
Для колебания заданного типа высота тона падает при увели-
чении любой из сторон прямоугольника. В случае самой низкой
частоты, когда /п= 1, ге= 1, увеличение длины короткой стороны
оказывает большее влияние; если же пластинка имеет очгнь
удлиненную форму, то увеличение длинных сторон почти не
оказывает влияния.
Когда а2 и № несоизмеримы, то никакие две пары значений т
и л не могут дать одинаковую частоту, и каждый фундаменталь-
ный тип колебания имеет свой собственный характеристический
период. Когда же а9 и й3 соизмеримы, то два или более типа
могут иметь одинаковый период и могут тогда одновременно
существовать в любом соотношении, причем движение все же со-
храняет свой простой гармонический характер. В таких случаях
указание периода не определяет полностью типа колебания. Исчер-
пывающее рассмотрение возникающей здесь задачи требует привле-
чения методов теории чисел; однако для целей, поставленных в на-
стоящем труде, достаточно будет рассмотреть несколько простей-
ших случаев, которые имеют место в случае квадратной мембраны.
Более полные сведения читатель найдет в лекциях Римана по
дифференциальным уравнениям в частных производных.
Если а = Ь, то
i=i/^R. B)
Наиболее низкий тон мы получим, положив тип равными
единице, что дает только один фундаментальный тип колебания:
w = sin-^ sin ^- cos pt. C)
Предположим теперь, что одно из чисел т, п равно 2, а дру-
гое 1. Таким путем мы получим два различных типа колебания
332
КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН
[ГЛ. IX
с одинаковым периодом. Если эти два колебания синхронны по
фазе, то все движение выражается уравнением
—
а
D)
таким образом, хотя каждая часть колеблется синхронно, совер-
шая гармоническое движение, тип колебания до некоторой сте-
пени произволен. Можно особо отметить четыре частных случая.
Первый случай имеет место, когда D = 0, и
w
С sin
sin
cos pt,
E)
что соответствует колебанию с одной узловой линией вдоль пря-
мой х = -~а. Подобным же образом, если С = 0, мы имеем узло-
вую линию, параллельную другой паре сторон. Далее, предполо-
жим, что С и D конечны и равны. Тогда w пропорционально
sin
sin -?-
a a
sin — sin —,
a a '
что можно написать в виде
sin(cos
а а \ а
Это выражение исчезает, когда
а также когда
sin —= 0 или sin-^-
а а
cos—-f-cos-^-= О.
а а
Первые два уравнения дают края, которые, как было первона-
чально предположено, являются узловыми линиями; третье уравне-
ние дает у -\- х = а, что представляет одну из диагоналей квадрата.
J}=U
С-0
?47=0
C*D=Q
Фиг. 32. Частота (отнесенная к самой низкой) 1,58.
В четвертом случае, когда С=—D, мы получаем в качестве
узловых линий стороны квадрата вместе с диагональю у = х. На
фиг. 32 изображены все четыре случая.
197] СЛУЧАЙ РАВНЫХ ПЕРИОДОВ 333
Для других относительных значений С и D внутренняя узло-
вая линия искривлена, но она всегда выражается аналитически
уравнением
Ccos-~ + Dcos^ = 0 F)
и легко может быть построена, если воспользоваться таблицей
логарифмов косинусов.
Следующий случай в порядке возрастания высоты тона имеет
место при т = 2, п — 2. Так как тип равны, то никакого из-
менения при перестановке их не происходит, и никакая другая
пара значений не дает той же частоты колебаний. Поэтому един-
ственный тип колебания, подлежащий рассмотрению,
есть
w = sin sin —=^- cospt;
а а и '
узловые линии этого колебания, определяемые урав-
нением
. юс . «у тис ну n фиг- 33-
sin — sin -^- cos — cos -^- = 0, Частота 2,00.
представляют собой (в дополнение к краям) прямые линии
(фиг. 33)
Следующий случай, который мы рассмотрим, получается, если
приписать ш, п последовательно значения 3, 1 и 1, 3. Получаем
w = {c sin iH sin 2L + D sin 2L sin ^L\ cos pt.
\ a a ' a a ) r
Узловые линии даются уравнением
или, если отбросить первые два множителя, соответствующие
краям,
()(^) G)
1 2
Если С = 0, имеем у —-к а. ^ = -о-°»
1 2
Если D = 0» имеем х = -я- а, х = -^а,
Если С = — D, имеем cos — = ±Ь cos
а
Если С = — D, имеем cos — = ±Ь cos —
откуда
у — х, у~а — х,
что представляет обе диагонали квадрата.
334
КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН
[ГЛ. IX
Наконец, если C=D, то уравнение узловых линий есть
а ' а 2'
или
(8)
или у=
точно
В случае D), если jct=—д, то y = -rt
1 1 3 ~*
так же, если ,у =-к-а, то x=^-ja илил: = — а. Таким образом,
половина каждой из линий, соединяющих середины противополож-
ных сторон, пересекается кривой.
?=0 /7=0
Фиг. 34 Частота 2,24.
[Следовательно, диаметры узловой линии, параллельные сто-
ронам квадрата, равны -^а. Диаметры же, измеренные вдоль
1
III
II
II
I
1
1
1
•--г —
1
1
— т—
диагоналей, значительно меньше и равны -г1/2а или 0,471 а.]
о
Следует отметить, что каково бы ни было отношение между
С и D, узловая линия всегда проходит через четыре точки пере-
сечения узловых линии первых двух
случаев С=О, D = O. Если сложить
с совпадающими фазами колебания,
имеющие место в этих двух случаях,
то очевидно, что в заштрихованных
частях фиг. 35 направления смещений
Фиг. 35. Фиг. 36. будут одинаковыми, а потому в этих
Частота 3,00. частях не будет расположено ни одной
части узловой линии; каково бы ни было
отношение амплитуд, узловая линия должна проходить через неза-
штрихованные части. С другой стороны, если фазы противоположны,
то узловая линия пройдет исключительно через заштрихованные части.
Если т = 3, га = 3, то узловые линии суть прямые, параллель-
ные краям, как показано на фиг. 36.
Последний случай (частота равна 2,55), который мы рассмо-
трим, получается, если положить
т = Ъ, я = 2 или от = 2, «==3.
198] ВЛИЯНИЕ НЕБОЛЬШОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ 335
Система узлов здесь дается выражением
С sin sin —- -4- D sin -—- sin —— = 0
a a ' a a
или, если отбросить множители, соответствующие краям,
0. (9)
Если С или D исчезают, то мы снова приходим к системам узлов
составляющих колебаний, состоящим из прямых линий, парал-
лельных краям. Если C = D, то наше уравнение может быть
написано в виде
^ + cos^Dcos^cos^-lWo. A0)
а ¦ а )\ а а ) ч/
Здесь первый множитель представляет диагональ у -\- х = а, а вто-
рой — гиперболу.
Если С = — D, то мы получаем такую же фигуру относи-
тельно другой диагонали1).
198. Высоту тона собственных колебаний почти, но не совсем
однородной квадратной мембраны можно исследовать общим ме-
тодом § 90.
Положим прежде всего, что тип равны. В этом случае, если
задана высота тона однородной мембраны, то тип ее колебаний пол-
ностью определен. Если теперь мы представим себе, что плотность
непостоянна, то тип собственных колебаний, вообще говоря,
будет изменяться, однако период может быть приближенно вычис-
лен без учета изменений типа колебаний.
Имеем
4 J J
где второй член представляет увеличение Г, вызванное ор. От-
сюда, если w~ cos pt и Р есть значение р до изменения, то
будем иметь
о о
где
Так, например, если прикрепить малый груз М в середине квад-
рата, то
„2 ; pi __ J .— sjn* /И -я- , B)
утт mm a2po 2
х) Lame, Letons sur I'elasticite, стр. 129.
336 КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН [ГД. IX
где sin* у да: исчезает при т четном и равен единице при т
нечетном. В первом случае центр расположен на узловой линии
ненагруженной мембраны, и, следовательно, добавление груза не
оказывает влияния.
Однако в случае, когда т. и п не равны, задача, хотя и под-
чиняется попрежнему тем же самым общим принципам, но
представляет особенность, отличную от всех тех, с которыми мы
встречались до сих пор. Тип собственных колебаний ненагружен-
ной мембраны, соответствующий заданному периоду, является
теперь до некоторой степени произвольным; однако введение на-
грузки вообще устраняет элемент неопределенности. При попытке '
вычислить период, исходя из невозмущенного типа колебаний,
возникнет вопрос, как следует выбрать тип невозмущенных
колебаний, учитывая, что имеется неопределенное количество та-
ких типов, дающих одинаковые периоды для однородной мем-
браны. Ответ таков: следует выбрать такие типы колебаний, кото-
рые бесконечно мало отличаются от действительного типа коле-
баний, совершаемых под действием нагрузки; критерием для
определения такого типа служит тот факт, что вычисленный для
него период должен быть максимальным или минимальным
В качестве простого примера положим, что малый груз М
прикреплен к мембране в точке, расположенной на прямой
x = Ya> и чт0 мы хотим узнать, какие периоды должны быть
подставлены вместо двух равных периодов ненагруженной мем-
браны, получающихся при
т = 2, п=\ или т=1, п — 2.
Ясно, что следует выбрать it нормальные типы колебаний, узлы ко-
торых представлены первыми двумя чертежами фиг. 32. В пер-
вом случае увеличение периода, вызванное нагрузкой, равно нулю,
что представляет собой наименьшее возможное увеличение; во вто-
ром случае увеличение максимально возможное. Обозначим орди-
нату М через Р; тогда кинетическая энергия изменяется в отно-
шении
и, следовательно,
Р\ъ • Из ~ ' Л2р sin а > W
тогда как 2
Таким образом, отношение, характеризующее интервал между двумя
собственными тонами нагруженной мембраны, приближенно равно
Х+Щ. sinsM. D)
199] РЕШЕНИЯ, ПРИМЕНИМЫЕ К ТРЕУГОЛЬНИКУ 337
Если C = 1/г а, то ни один из двух периодов не изменяется при
нагрузке.
В качестве другого примера можно привести случай, рассмот-
ренный в § 197, когда значения /миге равны 3 и 1. Если имеется
нагрузка в середине, то следует выбрать те два нормальных типа
колебания, которые соответствуют последним двум чертежам
фиг. 34, причем в первом из этих случаев нагрузка не оказы-
вает влияния на период.
Задача определения колебаний квадратной мембраны, несущей
сравнительно тяжелую нагрузку, более сложна, и мы не будем
пытаться ее решить. Но здесь, пожалуй, стоит напомнить тот
факт, что действительный период больше, чем любой период,
который может быть вычислен, исходя из гипотетического типа
колебаний, отличающегося от действительного.
199. Изложенная выше теория квадратных мембран заключает
в себе гораздо больше, чем мы первоначально имели в виду.
Коль скоро в колеблющейся системе некоторые части остаются
в покое, можно предположить, что они абсолютно непо-
движны, и, таким образом, получить решение иных вопросов, чем
поставленные вначале. Так, например, в настоящем случае, там,
где диагональ квадрата представляет узловую линию, мы полу-
чаем решение, применимое к мембране, закрепленная граница ко-
торой представляет равнобедренный прямоугольный треугольник.
Более того, всякий тип колебаний, возможный для этого тре-
угольника, соответствует некоторому типу собственных колеба-
ний квадрата, в чем можно убедиться, если представить себе два
треугольника, сложенных вместе так, чтобы колебания каждого
треугольника в точках, являющихся отражением друг друга
в общей гипотенузе, были равны и противоположны. При этих
условиях очевидно, что гипотенуза будет оставаться в покое без
всякого принуждения и, следовательно, рассматриваемое колеба-
ние относится к числу колебаний, возможных для всего квадрата.
Частота наиболее низкого тона треугольника найдется, если
положить т = 1, п = 2 в формуле
?? A)
она равна с -^—.
Следующий тон получается, если положить т = 3, п = 1.
В этом случае
р _
что можно также получить, замечая, что наш треугольник делится
на 2 треугольника (фиг. 37), стороны которых меньше сторон
полного треугольника в отношении 1/2:1.
22 Зак 1774 Рэлей, 1
888 КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН [ГЛ. IX
Теорию колебаний мембраны, граница которой имеет вид
равностороннего треугольника, читатель найдет в книге Ламе
Лекции по теории упругости (Lame, Legons
sur I'elasttclte). Там доказано, что частота наи-
более низкого тона равна c/k, где h — высота
треугольника. Эта частота та же, что и часто-
та наиболее низкого тона квадрата, диагональ
которого равна Л.
Фиг. 37. 200. Когда закрепленная граница мембраны
представляет окружность, первым шагом в ре-
шении задачи является преобразование общего дифференциального
уравнения к полярным координатам. Это можно сделать анали-
тически; однако проще получить полярное уравнение заново,
рассматривая силы, действующие на полярный элемент площади
rdbdr. Так же как в § 194, восстанавливающая сила, действую-
щая на малую площадку мембраны, равна
f dw . _ \ д /dw .Ал.д/дю.Х.Л
+ +
и, следовательно, если Tjp = с9, как прежде, то уравнение дви-
жения имеет вид:
дЧа а /д% , 1 dw ¦ 1 d*w
Дополнительное условие, которому следует удовлетворить на
границе, есть w = 0 при г = а.
Для того чтобы исследовать нормальные составляющие коле-
бания, нам нужно теперь предположить, что w является гармо-
нической функцией времени. Таким образом, если ¦o;~cos(/?/—з)
и если положить ради краткости р/с = к, то дифференциальное
уравнение принимает вид:
дЪо , 1 dw
где k имеет размерность, обратную длине.
Какова бы ни была зависимость w от г и 6, ее можно разло-
жить в ряд Фурье
w = w0 -\- wx cos (в -j- ax) -J- w.2 cos 2 (9 -|- а2) -{- ..., C)
где w0, wt и т. д. суть функции от г, но не от 9. Результат под-
становки C) в B) можно написать в виде
200] полярные координаты 339
где суммирование распространяется на все целые значения л,
Помножив это уравнение на cos re F 4-«„) и интегрируя по в
в пределах от 0 до 2ir, мы видим, что каждый член в отдель-
ности исчезает; таким образом, для определения wn в функции
от г мы получаем уравнение
где совершенно безразлично, предполагается ли множитель
cos»(9-|-<*и) включенным в wn или нет.
Решение уравнения D) содержит две различные функции от г,
причем каждая умножена на произвольную постоянную. Но одна
из этих функций обращается в бесконечность при г = 0, и соот-
ветствующее частное решение должно быть исключено как не
удовлетворяющее условиям, наложенным в начале координат. Это
обстоятельство можно иллюстрировать, обратившись к более про-
стому уравнению, получаемому из D) при k и п, равных нулю,
причем требуемое решение приводится к w = In г; это решение,
однако, не удовлетворяет в начале координат условию Vaiw = 0,
как можно видеть из значения g— as, когда интеграл взят
вдоль малой окружности с центром в начале координат. Подоб-
ным же образом полный интеграл уравнения D) является слиш-
ком общим для нашей нынешней цели, так как он охватывает
и случай, когда центр мембраны находится под действием
внешней силы.
Другая функция от г, удовлетворяющая уравнению D), есть
бесселева функция и-го порядка, обозначаемая через Jn(kf), ко-
торая может быть выражена различным образом. Восходящий ряд
(получаемый непосредственно из дифференциального уравнения)
имеет вид:
„ I ?^
2• Bn + 2) т2.4• Bл +2)Bл+4)
2 • 4 • б• B/г+2) Bл+4) Bл+б)
¦ *'/'
откуда легко вывести следующие соотношения между функциями
последовательных порядков:
•/?(*)—-Ух (*), F)
2/n(z) = Jn_l(z)-Jn+1(z), G)
^Л(*) = ./я_1(г) + 4,1(*). (8)
22*
340 колебания мембран [гл. ix
При п целом Jn(z) может быть выражено определенным ин-
тегралом
Jn (z) в= — cos (z sin со — /too) d<o, (9)
0
который имеет вид, полученный первоначально Бесселем. Из этого
выражения ясно, что У„ и его производные по z всегда меньше
единицы.
Восходящий ряд E), хотя и бесконечный, сходится для всех
значений п и z; однако, когда z велико, сходимость начинается
не скоро, и в этом случае ряд становится бесполезным для
вычислений. В таких случаях выгодно воспользоваться другим
рядом, составленным по нисходящим степеням z. Этот ряд имеет вид:
у 2" / 12_-4п2 A3 — 4/22) (За — 4/г2)E2 — 4д2) , - 1
Xsin(z—\—n {¦). A0)
Этот ряд обрывается, если In равно нечетному целому числу,
в противном случае он бесконечен и в конце концов становится
расходящимся. Тем не менее, если z велико, то можно восполь-
зоваться сходящейся частью для вычислений, так как можно до-
казать, что сумма любого числа членов отличается от истинного
значения функции менее чем на значение последнего взятого члена.
Ниже мы будем иметь случай рассмотреть вывод этого нисходя-
щего ряда в связи с другой задачей.
Так как бесселевы функции имеют большое значение в теоре-
тической акустике, я счел полезным привести таблицу функций
Jo и Jv заимствованную из труда Ломмеля1) и первоначально
вычисленную Ганзеном (стр. 341). Функции Jo и Jt связаны соот-
ношением
201. В соответствии с обозначениями, принятыми для бесселе-
вых функций, выражение нормальной составляющей колебания
может быть написано в виде
W = PJn(kr) cos п(Ъ-\-a) cos(pt-\-e). (I)
Граничные условия требуют, чтобы
0. B)
1) Lommel, Studien liber die Bessetschen Functionen, Lpz., 1868.
o'oooo" o"o"o oo~ o~o 0*00
X
ТОКЦИ
3
03
w
и
и
ы
ш
•S
"?
I
гг
о» o> oTeTcss" о^оГстГоГоГ
o"o"o"o"o"
СО со СО СО СО
O)JN_C^<N CO
l^t^-COCOLO r-t^^THio !OiOW00--< СОЮЮЮ^ ^lOTfc^S
СЧ CO rf -^ ^f -^ CO Ol *—i O5 ЬЮРЭООО ЮС4ФЩСС OWiOXO
CO CO CO CO CO CO СО„со co^CM C^l CS СЧ C^ »-i -^—^OOO OOOO>—
~*'"''' ""~"~ '''"" *>""" """""
o~o*o'"o''o' о"о"о~о"о~
o*o>o"o"o" o"o"o"o"o"
1 +
з со '
3Ct5t-<
ooooo
лот- d> ¦ -i
1 +
ooooo ooooo ooo"oo oo'ooo oo"o"o"o ooo'oo"
lOtDS OO. О •— CS CO ¦*,
оо*о6"осГоооо'
оо"оо"оо"оо"оо'
^2 ^5 ^D »~* »-^ CM CM CO CO '^H ^* ^* ^^ ^Э *O IO lO LO LO tO
MOcOtNS COOKO--IC
COCOCNCN~ .—OOO<
о"о"о"о*о"
ooooo ooooo ooooo ooooo
+
t^ cO CO O^ CO
CO CO OQ '—< CN
o"o"o"o"o~
001С
СО *-* 00
CiO500
»0 СМ СО «—* •—' О5 00^0
> [^ iO O5 *~^ ^^ СО ^-* 1О 00 С
О СО '—| t^- С^ СО г-¦ Ю С5 "
ttCOcOlO Ю^СОС
^~* СО СО ^Р 1О CSJ 00 С
00 Cn СО *—' Ю О "^
Г """"
33 S2S82
^-Го*сГсГо ooooo" o'efoo"©" о"о"о"сГо
Hl»00
3COCO-*- '
too
со»—< oj
5GO С-~ СО т^
СО СО coco
""*""
+
ooooo ooooo ooooo ooooo
lO<Ot--00O5 О.-СЧП* ЮСОг-ООСЛ О—'CSCOtI" ЩСОг^СООЭ O^^
*"ГГ* r*r;* ''''^ """"" ""
Ю<О^0ОО5
со"со"со"со"со
842 КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН [ГЛ. IX
Корни этого уравнения дают допустимые значения k, а следова-
тельно, и р.
Полное выражение для да получается, если сложить охваты-
ваемые A) частные решения со всеми допустимыми значениями к
и п; это выражение является достаточно общим, чтобы удовле-
творить любым начальным условиям, которые можно вообразить.
Мы заключаем отсюда, что любая функция от г и 8 может быть
разложена внутри круга г = а в ряд
w = *22lJn(kr)(<Bcosn$-jrysinnQ). C)
Для каждого целого значения п имеется ряд значений k, опреде-
ляемых формулой B), и для каждого из них постоянные ® и
ty произвольны.
Определение постоянных производится обычным путем. Из
того, что энергия движения равна
а 2л
~ р \ J да
6 о
db dr, D)
J
6 о
и будучи выражена в нормальных координатах, может содержать
только квадраты последних, следует, что произведение любых
двух членов в выражении C) исчезает, если проинтегрировать его
по всей площади круга. Таким образом, если умножить C) на
Jn(kr) cos «8 и проинтегрировать, то найдем
а 2л
J J wJn ikr) cos «Or dr db *= ep J J [Jn (fcr)]a cosa л8г dr db =*
о о
а
j E)
откуда определяется ср. Соответствующую формулу для ty получим,
подставив sinreB вместо cosreS. Способ вычисления интеграла,
стоящего в правой части, будет указан ниже. Так как каждая из
функций о и ty содержит по два члена, из которых один из-
меняется пропорционально cos pt, а другой — пропорционально
sinp?, то очевидно, каким образом следует использовать решение
для того, чтобы удовлетворить произвольным начальным значе-
ниям W И W.
202. Рассмотрим теперь более подробно характер основных
колебаний. Если ге = 0, то w зависит только от г, т. е. движение
симметрично по отношению к центру мембраны. Узлы, если они
имеются, представляют собой концентрические окружности, урав-
нение которых есть
(*0 0 (I)
203] ОБЩАЯ ЗАДАЧА 343
При п целом, отличном от нуля, w есть функция, зависящая не
только от г, но также от 8, и уравнение системы узлов прини-
мает вид:
Jn(kr) cos п(Ь — <х) = 0. B)
Таким образом, система узлов может быть разделена на две части:
одну, состоящую из концентрических окружностей, выражаемых
уравнением
и другую, состоящую из диаметров
?. D)
где т — целое число. Число этих диаметров равно п, и они рас-
положены равномерно вокруг центра; в остальном положение их про-
извольно. Радиусы узловых окружностей будут исследованы ниже.
203. Важная интегральная формула
fjn(kr)Jn(k'r)rdr = Q, A)
о
где k и к' — различные корни уравнения
Jn(ka) «= 0, B)
может быть подтверждена аналитически, если воспользоваться
дифференциальными уравнениями, которым удовлетворяют Jn(kr),
Jn(k'r). Однако проще и поучительнее начать с более общей за-
дачи, когда граница мембраны не обязательно является круговой.
Вариационное уравнение движения имеет вид:
f j
= 0, C)
где
и, следовательно,
Г ( dw dbw
т Г ( } dw dbw
В этих уравнениях w относится к действительному движению,
a bw — к гипотетическому перемещению, совместимому с усло-
виями, которым подчинена система. Положим теперь, что система
совершает одно из нормальных составляющих колебаний так,
что w = и и
= 0, F)
тогда как bw пропорционально другой нормальной функции v.
344 КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН [ГЛ. IX
Так как &«=/>/с, то из C) получаем
Интеграл, стоящий справа, симметричен по отношению к я и о,
откуда следует, что
(ft'2 — к*) J J uv dx dy = 0, (8)
где ft'2 так же связано с v, как fta с и. Соответственно этому,
если нормальные колебания, представленные функциями и и v,
имеют различные периоды, то
\ uv dx dy = 0. (9)
При выводе этого результата мы не делали никаких предполо-
жений относительно граничных условий, за исключением предпо-
ложения об отсутствии реакций против ускорения, существование
которых проявилось бы в основном уравнении C).
Если положить в (8) ft' = ft, уравнение тождественно удовле-
творяется, и мы не можем судить о значении Г Г u*dxdy. Для
того чтобы вычислить этот интеграл, нам придется следовать
другому пути.
Если и и v — функции, удовлетворяющие внутри определен-
ного контура уравнениям V*u-\-k?u = 0, V2f4-/s'2o = 0, то
по теореме Грина мы имеем
л С С С С
(ft' — ft2) \ uv dx dy = (t)Vaa — и
J J ,1 J
Положим теперь, что v получено из а варьированием ft, так что
подставляя это в A0), находим
или, если а исчезает на границе,
Применяя этот результат к площади круга радиуса г, имеем
и = cos nbJn(kr),
v = cos n$Jn(k
r), 1
'г), j { '
204] СПЕЦИАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ 345
и, таким образом, из A0), вводя полярные координаты и интегри-
руя по в, получаем
(k'2-k*)fjn(kr)Jn(k'r)rdr =
= rJn (k'r) ? Jn (kr) - rJn (kr) ± Jn (k'r). A4)
Соответственно этому, если
-Jr Jn (b'r): Jn (k'r) = A Jn (kr): Jn (kr),
а А и ft' различны, то
г
fjn(kr)Jn(k'r)rdr = 0 A5)
о
— соотношение, впервые доказанное Фурье для случая, когда
4(^) = 4(fcV) = o.
Далее, из A1)
= kr*J'2 — krV (j" + -^ Л,
где штрихами обозначено дифференцирование по kr. Но
и, следовательно,
2 Jy^(*r)rdr = /-V;s(fe/-) + ^(l —^)Jl(kr). A6)
6
Полученный результат является общим; если же, как в случае
мембран с закрепленными краями, Jn(kr) = Q, то
г
2 ) 4 (kr) rdr= M'l(kr). A7)
о
204. Мы можем воспользоваться только что полученным
результатом с целью упрощения выражений для Т и V. Из
« = 2 S 1?«Л (^W) cos яв + ^mnJn (bmnr) sin и9] A)
346 КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН [ГЛ. IX
находим
откуда получаем нормальное уравнение движения
и аналогичное уравнение для $тп. Значение Фтп можно найти,
если учесть, что ФтпЪ<?т„ означает работу, произведенную при-
ложенными силами при гипотетическом смещении 8<рти; таким обра-
8ом, если Z означает приложенную силу, отнесенную к единице
площади, то
• Фтп = f jZJn(kmnr) cos пб rdrab. E)
Эти выражения и уравнения не могут быть применены к случаю
п = 0, когда «р и i|i сливаются. В этом случае
(б)
Г7
В качестве примера положим, что начальные скорости равны
нулю, а начальное расположение такое, какое получается под
влиянием постоянного давления Z; таким образом,
-о
но согласно дифференциальному уравнению
rJ9(kf) = - [гЛ (кг) + ±/0 (кг)}
и, следовательно,
а
о
так что
Ф««о = — -j^ ZJo (kma).
204J СПЕЦИАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ 347
Подставляя это в G), мы видим, что начальное значение «р^ есть
2Z
(9>
Для значений п, отличных от нуля, Ф и начальное значение
<отп исчезают. Состояние системы в момент t выражается уравне-
ниями
?mO = (?mo)t=o COS p^J, A0)
¦W = 2 9moJo (kmOr), A1)
где суммирование распространяется на все допустимые значе-
ыыст I?
titin ^тяО*
В качестве примера вынужденных колебаний мы можем пред-
положить, что Z, сохраняя постоянное значение в пространстве,
изменяется как гармоническая функция времени. Это можно принять
при грубом представлении условий для малой мембраны, приво-
димой в колебания воздушными волнами. Положив Z = cos qt, мы
найдем, почти так же как выше,
A2)
Вынужденное колебание, конечно, не зависит от 6. Мы видим, что
хотя ни одно из симметричных составляющих нормальных коле-
баний не отсутствует, их относительное значение в общем колебании
может в значительной степени изменяться, в особенности, если q
приближается к одной из ряда величин рт0. Если эти величины
сближаются очень сильно, то необходимо учитывать влияние дис-
сипативных сил.
[Предположим теперь, что сила приложена в центре. Из E)
имеем
Ф^о^соз^, A3)
где Zj cos qt означает полную силу в момент t. Из выражения G)
L cos qt
значение w дается тогда выражением A1). Ряд сходится для всех
значений г, за исключением л —0.
К этой задаче, однако, естественнее подойти, если ввести
в решения уравнения D) § 200 вторую бесселеву функцию, § 341.
В этом методе k = qjc, и отношение постоянных, на которые
умножаются обе функции от г, определяется граничными усло-
виями. В случае, когда q совпадает с одним из значений р, вто-
рая функция выпадает из решения.]
348 КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН [ГЛ. IX
205. Высоты различных простых тонов и радиусы узловых
окружностей зависят от корней уравнения
Если обозначить их (исключая нуль) в порядке их величины
zn'' ^п' ^п' • • •' ^п* ' • •' т0 Допустимые значения р находятся
путем умножения величин г$ на с/а. Частное решение можно тогда
написать в виде
^ = Jn D8) ^) D? cos иб + f#> sin «8 ) cos {i- i$ t- вЩ. A)
Самый низкий тон из группы п соответствует г№. А так как
в этом случае Jn[zn^j не исчезает ни для какого значения г,
меньшего чем а, то внутренних узловых окружностей не будет.
Если положить 5 = 2, то У„ обратится в нуль при
т. е. при
что дает радиус единственной внутренней узловой окружности.
Аналогичным образом, если мы возьмем корень z^\ то получим
колебание с s—1 узловыми окружностями (не считая границы),
радиусы которых равны
Все корни уравнения Jn(ka) = Q действительны. В самом
деле, положим, что ka = X-\-(jj. является корнем; тогда k'a = к — ip
также является корнем, и в силу соотношения A4) § 203
4% J Jn (kr) Jn (k V) r dr = 0.
Ho Jn{kf) и Jn(k'r) — сопряженные комплексные величины,
произведение которых непременно положительно; таким образом,
из приведенного уравнения следует, что либо X, либо ;х должно
исчезнуть, к не может исчезать, так как при чисто мнимом ka
каждый член восходящего ряда для Jn был бы положительным,
и потому сумма ряда не могла бы обратиться в нуль. Мы прихо-
дим к выводу, что (а = 0 или что k действительно1). К тому же
l) Riemann, Partlelle Differenflalgleichungen, Braunschweig, стр. 260,
1869.
206] КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 349
результату можно притти, если учесть, что в аналитические выра-
жения для нормальных составляющих колебаний могут входить
только тригонометрические функции от времени.
Уравнение Jn (z) = 0 не имеет равных корней (кроме нуля).
Из уравнений G) и (8) § 200 получаем
откуда мы видим, что если Jn и /п равны нулю для одного и
того же значения z, то и Уп+1 также должно исчезнуть для этого
значения. Но в силу (8) § 200 из этого следовало бы, что все
функции Jn исчезают для данного значения z1).
206. Действительные значения zn можно найти при помощи
интерполяции из таблиц Ганзена, в тех пределах, в каких эти
таблицы составлены; или же соответствующие формулы можно
вычислить из нисходящих рядов методом последовательных при-
ближений, выражая корни непосредственно. Для важного случая
симметричных колебаний (п = 0) значения г0 можно найти из
следующей формулы, данной Стоксом8):
4"' 0,050661 0,053041 0,262031
.—- = s —0,25+ 4* —1 — D5-1K + Ds- I)»1 •• A)
Для ге= 1 формула имеет вид:
4а) ,п9к 0,151982 0,015399 0,245270
5 + 025 +
Последний ряд хорошо сходится даже для первого корня, соот-
ветствующего s=l. Ряд A) достаточен для значений 5, боль-
ших единицы, но первый корень должен быть вычислен незави-
симо. Приводимая таблица А взята из работы Стокса с некото-
рым изменением обозначений.
Как из формулы, так и из таблицы можно видеть, что по-
следовательные корни высокого порядка разнятся приблизительно
на it. Это имеет место для всех значений га, как видно из нисхо-
дящего ряда A0) § 200.
1) Bourget, «Memoire sur le mouvement vibratoire des membranes
circulaires», Ann. de I'e'cole normale, том III, 1866. В одном месте Бурже
утверждает, будто он доказал, что никакие две бесселевы функции
целочисленного порядка не могут иметь один и тот же корень, однако
я не нахожу это положение у него доказанным. Тем не менее, сама
теорема, вероятно, справедлива; для случая функций, порядок которых
отличается на 1 или 2, она легко может быть доказана на основании
формул § 200.
2) Stokes, Camb. Phil. Trans., том IX, «On the numerical calculation
of a class of definite Integrals and infinite series».
[В соответствии с вычислениями проф. Мак Магона числитель по-
следнего члена в выражении B) изменен с 0,245835 ка 0,245270.]
350
КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН
Таблица А
[ГЛ. XI
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
— при /<,(*) = 0
0,7655
1,7571
2,7546
3,7534
4,7527
5,7522
6,7519
7,7516
8,7514
9,7513
10,7512
11,7511
Разность
0,9916
0,9975
0,9988
0,9993
0,9995
0,9997
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
-^ при Jfc) = 0
1,2197
2,2330
3,2383
4,2411
5,2428
6,2439
7,2448
8,2454
9,2459
10,2463
11,2466
12,2469
Разность
1,0133
1,0053
1,0028
1,0017
1,0011
1,0009
1,0006
1,0005
1,0004
1,0003
1,0003
•
[Общая формула, аналогичная A) и B), для корней Jn(z)
была исследована проф. Мак Магоном. При т = 4яа и
C)
имеем
&шша т~1 4(/я-1) Gт-31)
_32(/я — 1)(83тЗ — 982т + 3779) , ,..
15(8й)в "Г---W
Эта формула применима не только к целым значениям га, как
1 Ч
вA) и B), но также и к дробным. Случаи, когда п = -~ и п = -~,
рассмотрены в § 207.]
Таблица В
S
1
2
3
4
5
6
7
8
9
п = 0
2,404
5,520
8,654
11,792
14,931
18,071
21,212
24,353
27,494
п = 1
3,832
7,016
10,173
13,323
16,470
19,616
22,760
25,903
29,047
л = 2
5,135
8,417
11,620
14,796
17,960
21,117
24,270
27,421
30,571
л =3
6,379
9,760
13,017
16,224
19,410
22,583
25,749
28,909
32,050
л = 4
7,586
11,064
14,373
17,616
20,827
24,018
27,200
30,371
33,512
л = 5
8,780
12,339
15,700
18,982
22,220
25,431
28,628
31,813
34,983
206)
УЗЛОВЫЕ ФИГУРЫ
351
Бурже в своем мемуаре приводит весьма подробные таблицы
частот различных простых тонов и радиусов узловых окружно-
стей. Таблица В содержит значения z, удовлетворяющие Jn(z)
при й = 0, 1, ..., 5, s=l, 2 9.
Когда я велико, то вычисление первых корней становится
утомительным. Для весьма больших значений п отношение -г^/ге
стремится к единице. В этом легко убедиться, замечая, что высота
наиболее низкого тона очень острого сектора должна стремиться
к совпадению с высотой наиболее низкого тона длинной параллель-
ной полоски, ширина которой равна наибольшей ширине сектора.
4,154
Приводимые рисунки изображают важнейшие нормальные типы
колебаний, причем цифры, стоящие около рисунков, дают частоты,
выраженные через основной наиболее низкий тон, принятый за
единицу, а также радиусы узловых окружностей, выраженные
352 КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН [ГЛ. IX
в долях радиуса мембраны. В случае шести узловых диаметров
указанная частота является результатом грубых вычислений, про-
веденных мною.
Тоны, соответствующие различным основным типам колебаний
круговой мембраны, не принадлежат к гармоническому звукоряду,
но между ними имеется одно или два приблизительно гармонических
отношения, которые следует отметить. Так,
•J. 1,594 = 2,125 як 2,136,
4- 1,594 = 2,657 те 2,653,
О
2 • 1,594 = 3,188^3,156,
следовательно, четыре наинизшие частоты, соответствующие ти-
пам колебаний, имеющим только радиальные узловые линии,
составляют консонирующий аккорд.
Площадь мембраны делится системой узловых линий на части
так, что знак колебаний меняется при каждом пересечении узловой
линии. Для тех типов колебаний, которые имеют узловые диаметры,
центр масс мембраны остается, очевидно, неподвижным. В случае
симметричных колебаний смещение центра масс пропорционально
а а
\ JQ(kr)rdr = — Г \Л(кг)-\-^-/й(кг)\гйг = — ^/й(ка).
о о
Это выражение не равно нулю ни при каком допустимом значе-
нии k, так как Jq(z) и J0(z) не могут исчезать одновременно.
Во всех случаях симметрических колебаний, следовательно, имеет
место смещение центра масс мембраны.
207. До сих пор мы предполагали, что площадь круглой
мебраны свободна и закреплена только круговая граница; очевидно,
однако, что наша теория включает возможные решения и дру-
гих задач, например некоторые случаи мембраны, ограниченной
двумя концентрическими окружностями. Полная теория мембраны,
имеющей форму кольца, требует введения второй функции Бесселя.
Задачу о мембране, имеющей форму полукруга, можно счи-
тать уже решенной, так как всякий тип колебаний, который
может иметь место для полукруга, применим также и к пол-
ному кругу. Для того чтобы убедиться в этом, необходимо
только придать каждой точке дополнительного полукруга движе-
ние, противоположное тому, которое получает его оптическое
изображение относительно граничного диаметра. Эта линия не
нуждается тогда в наложении связи для того, чтобы оставаться
узловой линией. Аналогичные рассуждения можно применить
к любому сектору, угол которого равен целочисленной части двух
прямых углов.
207] ЗАКРЕПЛЕННЫЙ РАДИУС 853
Когда угол сектора произволен, задачу можно решить в функ-
циях Бесселя дробного порядка. Если закрепленными радиусами
являются 6 = 0, 6 = р, то частное решение имеет вид:
¦w = A/vit/p (kr) sin ~ cos (pt — a), A)
где v — целое число. Мы видим, что если р— целочисленная часть я,
то -7г равно целому числу, и решение содержится среди уже рас-
смотренных нами решений для полного круга.
Интересный случай получается, когда р = 2гс, что соответ-
ствует задаче для полного круга, радиус которого 6 = 0 вынуж-
ден быть узловой линией (см. фиг. 38).
Имеем
w = PJlfit (kr) siny vB cos (pt — a).
При v четном это дает, как и следовало ожидать, типы колеба-
ний, возможные и без принуждения; но когда v нечетно, появляются
G
Фиг. 38. Фиг. 39.
новые типы колебаний. Действительно, в последнем случае, нисхо-
дящий ряд для У обрывается, так что решение выражается конеч-
ным числом членов. Так, если n = 1, то
w==p Щ^Г. sln 1 6 cos (pt — а); B)
у kr z
значения k даются формулами:
sin ka = 0 или ka = sir.
Таким образом, узловые окружности делят закрепленный ра-
диус на равные части, а последовательность тонов образует
гармоническую шкалу. При колебании в наиболее низком тоне
вся мембрана в любой момент отклонена в одну и ту же сторону
от положения равновесия. Любопытно, что закрепление радиуса
в = 0 облегчает задачу по сравнению с прежней.
Положив м = 3, получаем решение
w = P-^=(^^- —cos krj siajb cos (pt — e). C)
23 Зак. 1774. Рэлей. I
354 Колебания мембран [гл. ix
В этом случае узловые радиусы суть (фиг. 39)
и возможные тоны даются уравнением
tg ka = ka. D)
Для того чтобы вычислить корни уравнения \gx = x, можно
положить
где у -г- положительная величина, малая при большом х.
Подставляя, находим ctgy = X—у, откуда
3 15 315
Это уравнение можно решить методом последовательных при-
ближений. Получаем
Таким образом, корни уравнения tgx — x даются формулой
где
В первой четверти нет иных корней, кроме нуля, так
как tgx>x, а во второй четверти нет корней потому, что
знаки х и tg лг противоположны. Таким образом, первый корень
после нуля находится в третьей четверти и соответствует s = 1.
Даже в этом случае ряд сходится достаточно хорошо для того,
чтобы можно было вычислить значение корня с значительной точ-
ностью, для больших же значений s этот ряд не оставляет желать
ничего лучшего. Действительные значения — равны 1,4303, 2,4590,
3,4709, 4,4747, 5,4818, 6,4844 и т. д.
208. Влияние на периоды некоторой неоднородности плотности
круговой мембраны можно исследовать общим методом .§ 90, ряд
примеров применения* которого уже был приведен выше. Здесь
достаточно будет рассмотреть случай небольшой нагрузки М,
прикрепленной к мембране в точке, радиус-вектор которой
равен г''.
Возьмем сначала симметричные типы колебаний (я = 0), кото-
рые все еще можно считать применимыми, несмотря на наличие
нагрузки М. Кинетическая энергия Т, по формуле F) § 204 равная
208] ВЛИЯНИЕ МАЛОЙ НАГРУЗКИ 355
переходит в выражение
и потому
pV2(kO) <й + ^
P«0m0^, ()
t™ Jo (kmoa)
где Р^ио есть значение р\л в отсутствии нагрузки.
Несимметричные типы нормальных колебаний не вполне опре-
делены для ненагруженной мембраны, но для нашей цели здесь
их следует брать так, чтобы получающиеся периоды были макси-
мальными или минимальными, т. е. чтобы влияние нагрузки было
наибольшим или наименьшим. Так как нагрузка не может повы-
сить частоту, то, очевидно, что влияние нагрузки будет минималь-
ным, именно равным нулю, тогда, когда тип колебания таков, что
узловой диаметр (безразлично какой) проходит через точку при-
крепления груза. Для ненагруженной мембраны необходимо пред-
положить наличие двух совпадающих периодов, один из которых
остается неизменным при добавлении груза. Другой тип колеба-
ния следует выбрать так, чтобы изменение периода было возможно
большим, что, очевидно, будет в том случае, когда радиус-век-
тор г' делит пополам угол между двумя прилежащими узловыми
диаметрами. Таким образом, если г' соответствует 6 = 0, то сле-
дует принять
w = <?mnJn(.km
причем B) § 204 будет иметь вид:
7 = j рт:а2^тп/п {kmna) +-j
Измененная величина /&» поэтому определяется формулой
Ртп • "тп — » „ ,о • \*)
Разумеется, если г' таково, что груз расположен на одной из
узловых окружностей, то ни один период не будет изменен.
Пусть, например, груз М закреплен в центре мембраны. У„@)
равно нулю, кроме случая, когда га —0; У0@)=1. Нагрузка
в центре влияет поэтому только на высоту тона симметричных
колебаний, но для них по A)
А»о: Plo = 1 w-— . C)
J0 (km0a)Pna
По F) § 200
() ()
так что применение формулы требует только знания значений
когда J0(z) обращается в нуль (§ 200).
23*
356 КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН (ГЛ. IX
Для наиболее низкого тона значение Уо(*я»ов) равно 0,51903 х).
Для больших значений kma приближенно:
таким образом, для высших слагающих влияние нагрузки, сказы-
вающееся в изменении высоты тона, увеличивается.
Влияние небольшой неоднородности, выражающееся в наруше-
нии системы узловых линий, можно вычислить из формул § 90.
Наиболее очевидный эффект — это разрыв узловых диаметров и
превращение их в кривые гиперболической формы благодаря вве-
дению дополнительных симметричных колебаний. Во многих слу-
чаях такое искажение облегчается близким совпадением некоторых
собственных периодов.
209. Рассмотрим теперь, как изменятся собственные колебания
однородной мембраны при небольших отклонениях от точной кру-
говой формы.
Какова бы ни была форма границы, w удовлетворяет уравне-
нию
где k — постоянная, подлежащая определению. По теореме Фурье w
можно разложить в ряд:
где w0, wt и т. д. являются функциями только г. Подставляя
в A), мы видим, что wn удовлетворяет уравнению
решение которого есть
ибо, так же как в § 200, другая функция от г недопустима.
Таким образом, общее выражение для w может быть напи-
сано в виде
w = Vo (И -Ь h (kr) <A cos 6 -f B1 sin 6) + ... +
+ Jn (kr) (An cos «6 -f Bn sin «6) 4- ... B)
Для всех точек границы w должно исчезать.
В случае почти круговой мембраны радиус-вектор приблизи-
тельно постоянен. Мы можем поэтому положить г = a -f- Sr, где
1) Последующие значения равны приблизительно 0,341, 0,271, 0,232,
0,206, 0,187 и т. д.
209] ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО КРУГОВАЯ ГРАНИЦА 357
8л — некоторая малая функция от 6. Отсюда граничное условие
дается выражением
0 = Ао [Уо (ka)+kbr/0 (ka)] + ... +
+ [Jn (ka) + klrfn (ka)] [А„ cos reft + Bn sin пЦ + .... C)
которое должно с достаточной точностью удовлетворяться для
всех значений 6.
Рассмотрим сначала те типы колебаний, которые почти сим-
метричны и для которых поэтому приближенно
Все остальные коэффициенты малы по сравнению с Ао, так
как тип колебаний может лишь незначительно отличаться от того,
который имел бы место, если бы граница представляла собой
точную окружность. Поэтому, если пренебречь квадратами малых
величин, го C) переходит в
[Ja (ka)-\-kbrfo (ka)] + Ух (ka) [A± cos 0 + Bt sin 6] -}- ... -j-
Jn(ka) [An cos ив -f Bn sin nb] + ... = 0. D)
Интегрируя это уравнение по в между пределами 0 и 2«, по-
лучим
2л
или
г г *> \
= 0. E)
что указывает на то, что частота колебания приблизительно равна
той, которая имела бы место, если бы радиус-вектор имел всюду
одинаковое значение, равное его среднему значению.
Этот результат позволяет дать грубую оценку тона мембраны,
контур которой не слишком вытянут. Пусть о означает площадь,
так что ро есть масса всей мембраны; тогда частота наиболее
низкого тона приближенно равна
B.Г1. 2,404- V^1.1) F)
Для того чтобы исследовать измененный тип колебаний, мы можем
[Здесь исправлена численная ошибка.]
358 КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН (ГЛ. IX
умножить D) на cos»9 или на sinnB и затем интегрировать, как
выше. Таким образом,
ЛоЛ (ka) I k or cos я8 йЬ -J- nAnJn (ka) = 0,
о
2it
AqJ'o (ka) j kbr sin гев dO + яВяУя(fea) = 0,
о
откуда определяются отношения Ап:А0 и Вп:А0.
Если 8л = Ьг0 4- S^i + • • • ~Ь ^^п " • • • представляет разложе-
ние в ряд Фурье, то окончательное выражение для w можно запи-
сать в виде
В случае когда колебание не является приближенно сим-
метричным, задача становится более сложной. Нормальные типы
колебаний для мембраны с точно круговой границей являются
в известной мере неопределенными, некоторая же неправильность
границы, вообще говоря, устраняет эту неопределенность. Поло-
жение узловых диаметров должно быть взято так, чтобы полу-
чающиеся периоды имели максимальные или минимальные значения.
Предположим, что тип колебаний приближенно соответствует выра-
жению
w = AJ4(kr) cos мб, (9)
и затем исследуем, как нужно расположить начальную линию,
чтобы эта форма удовлетворяла поставленному условию.
Так как все остальные коэффициенты можно считать малыми
по сравнению с Лч, то из D) получаем
Vo (ka)+ ... + Л, [У, (ka) + kbr/, (ka)] cos n6 +
-\-BJ,(ka)smrf-{- ... -f
-f Jn(ka)[Ancosnb + BncosпЦ-{- ... =0. A0)
Умножая на cos n6 и интегрируя, имеем
¦ni, (ka) + ft/v (ka) J §r cosa v6 db == 0,
или
2it
J 8r
что показывает, что эффективный радиус мембраны равен
210] ФОРМА, СООТВЕТСТВУЮЩАЯ МАКСИМАЛЬНОМУ ПЕРИОДУ 359
Отношения Ап и Вп к Л, можно найти, как и прежде, инте-
грированием уравнения A0) после умножения его на cos nH и
sin «6.
Однако наиболее интересным пунктом задачи является высота
тона. Начальную линию следует взять так, чтобы выражение A1)
было максимумом или минимумом. Если мы возьмем линию, закреп-
ленную в пространстве, подставив 6 — а вместо 6, то нам необхо-
димо будет рассмотреть зависимость от о величины
J 8л cos* n F — <x)db,
которую можно также записать в форме
2к Bit
cos9 v<x Г 8r cosa v9 d6 -4~ 2 cos n« sin va Г Ьг cos n6 sin v9 db -}-
о о
2k
-j- sin3 W Г Ьг sin2 v6 db A2)
0
и которая имеет вид:
A cos2 va -j- IB cos va sin va -{- С sin2 va,
где А, В, С не зависят от а. Соответственно этому имеются два
допустимых положения узловых диаметров, одно из которых
обращает период в максимум, а другое — в минимум. Диаметры
одной группы делят пополам углы между диаметрами другой
группы.
Имеются, однако, случаи, когда нормальные типы колебаний
остаются неопределенными, что получается тогда, когда выраже-
ние A2) не зависит от а. Это случай, когда Ьг постоянно или
пропорционально cos vO. Так, например, если Ьг пропорционально
cos 28 или, другими словами, если граница является слегка эллип-
тической, то система узлов, соответствующая п = 2 (состоящая из
пары перпендикулярных диаметров), будет иметь произвольное поло-
жение, по крайней мере при взятом порядке приближения. Но
единственный диаметр, соответствующий « = 1, должен совпадать
с одной из главных осей эллипса, а периоды будут различны для
обеих осей.
210. Мы видели, что наиболее низкий тон мембраны с при-
ближенно круговой границей почти совпадает с тоном механически
подобной мембраны, имеющей форму круга с тем же самым сред-
ним радиусом или площадью. Если площадь мембраны задана, то,
очевидно, должна существовать такая форма границы, для кото-
рой высота основного тона — наинизшая из возможных, и эта форма
может быть только круговой. В случае приближенно круговой
360 КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН [ГЛ. IX
формы можно дать аналитическое доказательство, которое в общих
чертах имеет следующий вид.
Так как общее выражение для w есть
w = ,y0(Ar)+ ... +./»(fc/-H4»cosre6_j-?sinre8L- ..., (i)
где в рассматриваемом случае мы можем считать коэффициенты
At, Bv ... малыми по сравнению с Ай, то из условия, что w исче-
зает при г==а-\~Ьг, получаем
Vo (ka) + kAoJ'o (*<*)8' + J k2AoSo (ka) • (8лJ + ... +
+ 2 {[¦/„(*«) + kfn(ka)br+ ...] Hncosre6 + Bnsin«e]} = 0. B)
Отсюда, если
8л = at cos Ь -f- pt sin 8 -}- ... + an cos геб -|- pn sin йв -f .... C)
получим, интегрируя по б в пределах от 0 до 2те,
0, D)
откуда, как и прежде, мы видим, что если пренебречь квадра-
тами малых величин, то Jo(ka) = O, или, что при взятом прибли-
жении средний радиус является также эффективным радиусом. Для
того чтобы получить лучшее приближение, определим сначала
Ап:А0 и Вп:А0, помножив B) на cosreQ, sinref) и затем интегрируя
между пределами от 0 и 2it. Это дает
)
Подставляя эти значения в D), получаем
п=1
Так как Уо удовлетворяет основному уравнению
и в вашем случае приближенно У0 = 0, мы можем заменить Л
210] ФОРМА, СООТВЕТСТВУЮЩАЯ МАКСИМАЛЬНОМУ ПЕРИОДУ 361
через —jzA. Тогда уравнение F) принимает вид:
n=l
Положим теперь, что а -\- da есть эквивалентный радиус мем-
браны, так что
Уо [k (а + da)] = Уо (ka) -f Уо (ka) kda = Q,
тогда в силу (8) находим
n=oo j .
da — — jk ^ |(a»-|-pn) [yf+ 2*й]}' ^9)
Далее, если a-\-daf есть радиус точно круговой мембраны рав-
ной площади, то
так что
±"f{^ fe[^g]} (И)
Теперь возникает вопрос относительно знака правой части.
Полагая п = 1 и обозначая ka через г, мы видим, что
1+*
приближенно равно нулю в силу G), так как вообще Jt = — Уо,
а в данном случае приближенно Уо(;г) = 0. Таким образом,
da' — da = Q, как, очевидно, и должно быть, поскольку рассма-
триваемая правая часть представляет просто смещение круга без
изменения его формы. При п = 2 в силу (8) § 200
! -2 / /
•'а — zJi •'с
откуда, принимая во внимание G), находим, что при У„ = 0
и, следовательно,
do' —Л» =^(ai+ ?!)(?—l). A3)
Последнее выражение положительно, так как г = 2,404,
362 КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН [ГЛ. IX
Нам остается еще доказать, что
положительно для целых значений п, больших чем 2, при z = 2,404.
Для этой цели мы можем сослаться на теорему, данную Риманом
в книге Partielle Differentialgleichungen,, согласно которой ни Jn,
ни ]п не имеют корня, меньшего чем я (не считая нуля).
Дифференциальное уравнение для Jn может быть написано в виде
поскольку начальные значения Jn и У» (так же как и ¦¦,. " ) по-
ложительны. Благодаря этому ¦, "- с самого начала возрастает и
продолжает возрастать до значения г = п, откуда ясно, что в пре-
делах между 2 = 0 и z — n ни Jn, ни Jn не могут нигде исче-
зать. А так как Jn и У„ оба положительны до значения z = п,
то отсюда следует, что если п — целое число, большее чем
2,404, то da' — da положительно. Отсюда мы заключаем, что
если только аа, C3, а3, ... не все равны нулю, то da' больше, чем da,
что показывает, что в случае мембраны приближенно круго-
вой формы круг равной площади превосходит круг равной вы-
соты тона.
Мы видели, что для хорошей оценки высоты тона при-
ближенно круговой мембраны можно ограничиться знанием только
ее площади; но при помощи уравнения (9) можно получить
еще лучшее приближение. Мы применим этот метод к случаю
эллипса, большая полуось которого равна R, а эксцентри-
ситет е.
Уравнение границы в полярных координатах есть
_|,9_^е,+ ..- +!*«см26+...}, A4)
так что в обозначениях настоящего параграфа
Соответственно, в силу (9)
е
da =
или в силу A2), так как ki
2,779 iD
~r-e *R.
211] МЕМБРАНЫ С РАВНОЙ ПЛОЩАДЬЮ 363
Таким образом, радиус крута равной высоты тона есть
! а 9,779е«
где член, содержащий е*, еще должен быть точным.
Полученный результат можно выразить также через е и через
площадь о. Имеем
и, следовательно,
откуда мы видим, как мало влияние небольшого эксцентриситета,
если площадь задана.
211. Если закрепленная граница мембраны не является ни
прямолинейной, ни круговой, то определение колебаний мем-
браны представляет трудности, которые, вообще говоря, не мо-
гут быть преодолены без введения новых функций, до сих пор
не изученных и не сведенных в таблицы. Частичное исключение
следует сделать для эллиптической границы; Однако значение
этой задачи для целей настоящего сочинения едва ли оправды-
вает введение более сложных методов анализа. Поэтому мы
отсылаем читателя к оригинальному исследованию Матье J).
[Метод исследования основан на применении сопряженных
функций. Если
f & + A)
то t б
а кривые
кривые tj = const представляют собой софокусные эллипсы,
а кривые Е = const — софокусные гиперболы. Фундаментальное
уравнение (у9-|-А!2)м = 0, будучи выражено через S, yj, имеет
вид:
где k' = ke.
Решение уравнения B) может быть написано в виде
C)
где Е есть функция только ?, а Н—'функция только i\, причем
= 0, D)
i) M. Mathieu, Liouvllle, XIII, 1868; Coars de physique mathematique,
стр. 122, 1873.
364 КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН [гЛ. IX
где а — произвольная постоянная *). Мичелл *) показал, что эллип-
тическое преобразование A) — единственное, приводящее к уравне-
нию, которому удовлетворяют решения вида C).]
Разрешимые случаи можно кайти при помощи общего ре-
шения
w = ,V0 (*/•) + ... +04„ cos пЬ-\-Вп sin nb)Jn(kr)+ ...
Так, например, можно положить
w = Jo (kr) — XJt (kr) cos 9
и, задавая различные значения X, проследить за различными фор-
мами границы, к которым приложимо это решение.
Полезные сведения можно иногда почерпнуть из теоремы § 88,
при помощи которой можно доказать, что любое сокращение закреп-
ленной границы колеблющейся мембраны должно вызывать по-
вышение тона, так как получающееся таким образом положение
вещей можно считать отличающимся от старого только введе-
нием дополнительных связей, осуществляемых, например, лишен-
ными инерции пружинами, которые стремятся возвратить предпо-
лагаемую границу к ее положению равновесия и постепенно
становятся все жестче. Шаг за шагом колебания становятся все
более быстрыми и, наконец, приближаются к пределу, соответ-
ствующему бесконечной жесткости пружин и абсолютной непо-
движности их точек приложения. При этом нет необходимости, чтобы
отбрасываемая часть имела такую же плотность, как и остальная,
и даже вообще имела какую бы то ни было плотность.
Так, например, высота тона правильного многоугольника —
промежуточная между тонами вписанного и описанного кругов.
Однако можно получить более узкие пределы, если подставить
в соответствии с результатами § 210 вместо описанного круга
круг равной площади. В случае шестиугольника отношение ра-
диуса круга равной площади к радиусу вписанного круга равно
1,050, так что среднее между обоими пределами не может отли-
чаться от истинного значения более чем на 2,5 процента. Та-
ким же путем мы можем притти к заключению, что сектор круга
в 60° имеет более низкий тон, чем равносторонний треугольник,
получаемый из сектора при замене дуги круга хордой.
Приводимая ниже таблица дает для некоторых доступных вы-
числению случаев относительные частоты наиболее низких тонов
мембран, находящихся в сходных механических условиях и имею-
1) Pockels, Ober die partlelle Dlfferentialgteichung Да-f Wa
стр. 114.
a) Michell, Messenger of Mathematics, том XIX, стр. 86, 1890,
212] МЕМБРАНЫ С РАВНОЙ ПЛОЩАДЬЮ 365
щих равную площадь о; таблица показывает влияние большего
или меньшего отклонения от круговой формы.
Круг 2,404/^ = 4,261
Квадрат Уя = 4,443
5135 —
Круговой квадрант -!-„— Y n = 4,551
Сектор круга в 60° 6,379 ]/¦?-=* 4,616
/~13
Прямоугольник с отношением сторон 3:2.. 1/ -jr n = 4,624
Равносторонний треугольник 2it /tg 30° = 4,774
Полукруг 3,832 у -| = 4,803
Прямоугольник с отношением сторон 2:1 \ Г~§
Прямоугольный равнобедренный треугольник | V 2 ~~ '
Прямоугольник с отношением сторон 3:1.. и 1/ -д- = 5,736
г О
Из таблицы мы видим, например, что если квадрат и круг
имеют одинаковую площадь, то тон квадрата выше в отношении
4,443:4,261 или 1,043: 1.
Для круга абсолютная частота равна
B*) ¦ 2,404с j/? , где с = / 7\
Для мембран, подобных по форме, частота обратно пропорцио-
нальна линейным размерам.
[Из того положения, что удлинение границы всегда сопрово-
ждается понижением тона, мы можем заключить, что наиболее
медленный тип колебания мембраны любой формы с любым рас-
пределением плотности характеризуется отсутствием внутренних
узловых линий.]
212. Теория свободных колебаний мембраны впервые с успе-
хом была рассмотрена Пуассономг). Его теория для случая
прямоугольника оставляет желать немногого, но его исследование
круговых мембран ограничено симметричными колебаниями. Реше-
ние Кирхгофа для аналогичной, но значительно более труд-
ной задачи колебаний круговой пластинки опубликовано в 1850 г.
и, наконец, «Теория упругости» Клебша A862 г.) дает общую
теорию круговых мембран, включая влияние жесткости и инерции
вращения2). Мы видим, что к 1866 г. оставалось сделать лишь
1) Polsson, Memoire de VAcademle, том VIII, 1829.
а) [Читателю, который пожелает изучить вопрос с математической
точки зрения, рекомендуем превосходное исследование Поккельса
(Leipzig, 1891) о дифференциальном уравнении V2a -(- ^Зи = 0.J
366 КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН [ГЛ. IX
немногое; тем не менее, мемуар Бурже, на которой мы уже ссы-
лались, содержит полезное обсуждение задачи, сопровождающееся
весьма обстоятельными, хотя и не новыми числовыми данными.
213. В своих экспериментальных исследованиях Бурже исполь-
зовал различные материалы, из которых бумага оказалась столь же
пригодной, как и любой другой. Бумага погружается в воду и
затем, после удаления излишней влаги при помощи пропускной
бумаги, натягивается на деревянную раму, смазанную предвари-
тельно клеем. Сжатие бумаги при высыхании вызывает необходи-
мое натяжение, хотя добиться удовлетворительного результата
удается лишь после многих неудач. Даже хорошо натянутая
мембрана требует больших предосторожностей в применении, так
как тон ее подвержен значительным колебаниям вследствие изме-
нения атмосферной влажности. Колебания возбуждаются органными
трубами, причем необходимо иметь ряд труб, отличающихся на
малые интервалы; чтобы сделать колебания видимыми для глаза,
на мембрану насыпается в небольшом количестве песок. При доста-
точно сильных колебаниях песок собирается вдоль узловых линий,
так что форма их оказывается доступной более или менее точному
определению. Любая неравномерность натяжения приводит к тому,
что круги превращаются в эллипсы.
Основные результаты опытов следующие.
Круговая мембрана не может колебаться в унисон со всяким
звуком. Она может звучать в унисон только со звуками, более
высокими, чем те, которые слышны при легком постукивании по
мембране. Теория указывает, что эти возможные звуки разделены
тем меньшими интервалами, чем они выше.
Узловые линии отчетливо получаются только в ответ на неко-
торые определенные звуки. В случае несколько более высокого
или более низкого тона получается беспорядок, и при значитель-
ном изменении высоты тона трубы мембрана остается неподвиж-
ной. Непрерывного перехода от одной системы узловых линий
к другой, как это предполагал Савар, не наблюдается.
Узловые линии представляют окружности или диаметры, или
комбинации окружностей с диаметрами, как это и требуется
теорией. Однако, когда число диаметров превосходит 2, песок
стремится беспорядочно накапливаться возле центра мембраны,
и узловые «!инии обрисовываются слабо.
Те же общие законы были подтверждены Бернаром и Бурже
для случая квадратных мембрана), эти авторы считают теорети-
ческие результаты решительно установленными, в противополож-
ность Савару, полагавшему, что мембрана способна отвечать на
любой звук, независимо от его высоты. Однако я должен заме-
тить, что авторами этих работ, повидимому, недостаточно четко
1) Bernard et Bourget, Ann. de Chlm.s LX. 449—479, 1860.
213] НАБЛЮДЕНИЯ БУРЖЕ 367
было осознано различие между вынужденными и свободными коле-
баниями. Когда мембрана приведена в движение воздушными вол-
нами, выходящими из органной трубы, то колебания, строго говоря,
являются вынужденными. Теория отнюдь не утверждает, что
мембрана вообще способна колебаться лишь с вполне определен-
ными частотами; это положение теории относится лишь к свобод-
ным колебаниям. Однако, когда период действующей силы не
равен приближенно одному из собственных периодов, то получаю-
щееся колебание может быть совершенно незаметным.
В опытах Савара звук трубы был на 2 или 3 октавы выше,
чем наинизший тон мембраны и поэтому никогда не был далек от
унисона с каким-нибудь из обертонов. Бурже и Бернар произво-
дили опыты при болге благоприятных условиях. Когда они заста-
вляли звучать трубу, имевшую тон, несколько более низкий, чем
наинизший тон мембраны, то песок оставался в покое, но он
приходил в сильнейшее колебание при приближении к унисону.
Как только тон трубы становился значительно выше тона мем-
браны, песок снова возвращался к состоянию покоя. Затем опыт
несколько видоизменялся, а именно, труба настраивалась сначала
примерно на терцию выше, чем мембрана в естественном состоя-
нии. Затем мембрана нагревалась до тех пор, пока ее натяжение
не увеличивалось достаточно для того, чтобы ее тон стал выше
тона трубы. В процессе охлаждения высота тона мембраны посте-
пенно падала, и момент совпадения с тоном трубы обнаруживался
по сильнейшему движению песка, который в начале и в конце
опыта находился практически в покое.
Бурже нашел хорошее согласие между теорией и наблюдением
в отношении радиусов узловых окружностей, хотя опыт не был
особенно точным вследствие значительной ширины полос песка;
но относительная высота различных простых тонов значительно
отклонялась от теоретических значений. Комиссия французской
академии, выделенная для доклада о результатах, изложенных
в мемуаре Бурже, выдвинула в качестве объяснения предположе-
ние о недостаточно совершенном закреплении границы. Следует
также иметь в виду, что теория основана на предположении иде-
альной гибкости — условие, которому обычные мембраны, растя-
нутые сравнительно небольшими силами, удовлетворяют далеко
не точно. Однако наиболее существенным возмущающим обстоя-
тельством является, повидимому, сопротивление воздуха, которое
действует на мембрану с значительно большей силой, чем на
струну или стержень, вследствие большей поверхности мембраны.
Весьма вероятно, что влияние сопротивления воздуха на колеба-
ние наинизшего тона, при котором смещение во всех точках
направлено в одну сторону, иное, чем на колебания высших тонов,
которые не требуют столь значительного перемещения воздуха
с одной стороны на другую.
368 КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН (ГЛ. IX
[Для литавр вопрос еще более усложняется благодаря дей-
ствию оболочки, которая ограничивает движение воздуха с од-
ной стороны мембраны. Из того факта, что по литаврам ударяют
не в центре, а в точке, расположенной приблизительно посре-
дине между центром и границей, мы можем заключить, что воз-
буждаемые колебания не принадлежат к классу симметричных.
Действительно, звук литавр изменяется весьма мало, если ка-
саться центра пальцем. При этих обстоятельствах основное ко-
лебание A) есть колебание с одним узловым диаметром и без
узловых окружностей, и к этому типу колебаний относится главная
часть звука, получаемого обычно при пользовании этим инстру-
ментом. Однако слышны и другие тоны, соответствующие
колебаниям B) с двумя узловыми диаметрами при отсутствии узло-
вых окружностей, C) с тремя узловыми диаметрами и без узло-
вых окружностей, D) с одним узловым диаметром и одной узло-
вой окружностью. При наблюдении с резонаторами, проведенном
над литаврами диаметром в 25 дюймов, тон B) оказался прибли-
зительно на квинту выше тона A), тон C) приблизительно на
большую септиму выше тона A) и тон D) еще несколько выше,
образуя неточную октаву с основным тоном. Теоретические ин-
тервалы для соответствующих частот однородной идеально гиб-
кой мембраны, колеблющейся в пустоте, соответствуют отноше-
ниям 1,34, 1,66 и 1,83 !).
Колебания мыльных пленок были исследованы Мельде 9). При
этом частоты для поверхностей одинаковой площади, имеющих
форму круга, квадрата и равностороннего треугольника, оказались
в отношении 1,000 : 1,049 : 1,175. Натяжение у мембран этого рода
обусловлено капиллярностью и не зависит от толщины пленки.]
213а. Вынужденные колебания квадратных и круглых мембран
были далее экспериментально изучены Эльзасом 8), который под-
твердил выводы Савара относительно ответа мембраны на звуки
произвольной высоты. В этих опытах колебания камертона пере-
давались мембране посредством легкой нити, прикрепляемой нор-
мально в центре; положение узловых кривых и максимумов смеще-
ния наблюдалось обычным способом при помощи песка и по-
рошка ликоподия. Мемуар Эльзаса сопровождается рядом фигур,
иллюстрирующих влияние звуков прогрессивно нарастающей
высоты.
Во многих случаях получаемые кривые не обнаруживают сим-
метрии, требуемой теорией при предположенных условиях. Так,
в случае квадратной мембраны все узловые кривые должны быть
1) Rayleigh, Phil. Mag., том VII, стр. 160, 1879.
2) Melde, Pogg. Ann., 159, стр. 275, 1876; Akustik, стр. 131, 1883.
s) Elsas, Nova Ada der Ksl. Leop. Carol. Deutschen Akademle, том XLV,
1, Halle, 1882.
213а] узловые кривые 369
одинаково расположены по отношению к четырем вершинам,
а в случае круговой мембраны все кривые должны быть окружно-
стями. Объяснение этого следует, вероятно, искать в трудности
получения одинакового натяжения. Если в этом отношении допу-
щена некоторая неправильность, то в результате появляются типы
колебаний, которые не могли бы возникнуть при нормальных
условиях, так как они имеют узлы в точке возбуждения. Это
особенно имеет место в случае близкого совпадения периодов.
С другой стороны, неправильность может вызвать нарушение
равновесия между двумя типами колебаний теоретически одина-
ковой частоты, которые должны были бэ1 возбуждаться в одина-
ковой степени. Переход через такую точку изохронизма должен
быть в высокой степени неустойчивым при отсутствии умеренных
диссипативных сил.
Теоретическое решение этих вопросов уже было дано выше
(§ 196, 204), однако это решение требует дальнейшего развития
с целью точного определения узловых кривых для периодов, не
содержащихся среди собственных периодов. Тем не менее, общий
ход явления можно проследить без затруднений.
Если наложенная частота меньше, чем наиболее низкая соб-
ственная частота, то колебание не имеет внутренних узлов.
В самом деле, узловая линия, если она существует, должна делить
мембрану на две части, так как она обязательно либо замкнута,
либо имеет концы на границе х). Тогда из двух частей мембраны
одна должна была бы колебаться свобэдно с частотой меньшей,
чем наиболее низкая собственная частота полной мембраны, что
невозможно (§ 211). Отсутствие узловых линий при вышеупомяну-
тых условиях есть одно из заключений, выведенных Эльзасом из
его наблюдений.
По мере увеличения частоты наложенного колебания сверх
наиболее низкой собственной частоты вокруг точки возбуждения
появляется узловая кривая, которая постепенно расширяется.
Легче всего проследить течение явлений на круговой мембране,
возбуждаемой в центре. В этом случае узловые кривые необхо-
димо должны быть окружностями, и очевидно, что узловая окруж-
ность первоначально должна появляться в центре, иначе суще-
ствовало бы круговое кольцо конечного внутреннего диаметра,
колеблющееся свободно с частотой, лишь на бесконечно малую
величину превышающей частоту колебания всего круга. На пер-
вый взгляд может показаться, что даже бесконечно малая узло-
вая окружность должна приводить к конечному повышению тона,
но рассмотрение решения (§ 204), выраженного в виде комбинации
1) В противном случае граница должна была бы оставаться в покое
под действием составляющих натяжений от окружающих частей, которые
действуют в одном и том же направление.
24 8ак 1774 Р»л«й, I
370
КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН
[ГЛ. IX
бесселевых функций первого и второго рода, показывает, что
это не так. В точке изохронизма вторая функция исчезает и непо-
средственно вслед за этим вновь возникает с бесконечно малым
коэффициентом. Но поскольку эта функция сама бесконечна
при г = 0, то узловая окружность исчезающе малого радиуса
является возможной. В соответствии с этим закрепление центра
колеблющейся круговой мембраны не изменяет высоты тона; это
заключение можно распространить на случай закрепления любого
числа отдельных точек мембран произвольной формы.
Мы можем теперь резюмировать наше исследование влияния
постепенного увеличения частоты на систему узловых линий кру-
говой мембраны следующим образом. Ниже первого собствен-
ного тона внутренних узловых линий нет. При достижении этого
тона колебание совпадает с соответствующим свободным колеба-
нием, и появляется бесконечно малая узловая окружность. По мере
дальнейшего возрастания частоты эта окружность расширяется,
пока не будет достигнут второй собственный тон, при котором
о
Фиг. 39а.
эта окружность совпадет с узловой окружностью второго свобод-
ного колебания. В этот момент появляется новая бесконечно
малая окружность, которая, так же как и первая, непрерывно
расширяется, пока обе окружности не совпадут с системой узлов
свободного колебания в третьем собственном тоне. Этот процесс
продолжается все время по мере повышения тона, причем каждая
окружность непрерывно движется наружу. При каждом совпаде-
нии с собственной частотой система узлов совпадает с узлами
свободного колебания и начинает образовываться новая окружность
в центре.
Проследить в деталях поведение квадратных мембран, конечно,
труднее. Переход от фиг. 34, случай 4, соответствующей т = 3,
я = 1 и /и — 1, я = 3, к фиг. 36, где т = 3, п = 3, можно про-
следить при помощи кривых Эльзаса, имеющих форму, изобра-
женную на фиг. 39а.
ГЛАВА X
КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК *)
214. Для того чтобы получить по методу Грина уравнения
равновесия и движения тонких твердых пластинок постоянной
толщины из однородного изотропного материала, нам необходимо
найти выражение потенциальной энергии изгиба. Легко видеть,
что для каждой единицы площади потенциальная энергия V есть
положительная однородная симметрическая квадратичная функция
от двух главных кривизн. Так, обозначая через pv pa главные
радиусы кривизны, получим для V выражение
?i Р1Р2/
где А и |i — постоянные, причем А должно быть положительным,
a (J. — численно меньше единицы. Кроме того, если материал
пластинки таков, что сделанный из него стержень не испытывает
поперечного сжатия при растяжении, то постоянная [х должна
быть равна нулю. Этих сведений почти достаточно для нашей
цели, а потому мы ограничимся простым приведением соотноше-
ний между постоянными в выражении A) и теми постоянными,
посредством которых обычно определяют упругие свойства тел.
Из §§ 639, 642, 720 «Натуральной философии» Томсона и Тэта
следует, что выражение для V имеет вид:
U? р| pipJ
i ^ п) PiP2 Г
где 2А — толщина пластинки, q — модуль Юнга и ц. — отношение
1) [В настоящей главе рассматриваются только колебания изгиба.
Колебания растяжения бесконечной плоской пластинки вкратце рас-
смотрены в главе Ха как частный случай колебаний растяжения беско-
нечной цилиндрической оболочки. Они не представляют большого инте-
реса для акустики,]
24*
372 КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК [ГЛ. X
поперечного сжатия к продольному удлинению при растяжении
стержня х).
[Уравнение B) дает интерпретацию постоянных в выраже-
нии A) при его применении к однородной пластинке из изотроп-
ного материала. Однако выражение A) само по себе гораздо
шире. Материал, из которого сделана пластинка, может изме-
няться от слоя к слою, причем в отношении упругих свойств
каждый слой не обязан быть изотропным, достаточно только,
чтобы он был симметричным относительно нормали. В частном
случае можно предположить, что средний или какой-нибудь другой
слой физически нерастяжим.
Аналогичные замечания относятся и к исследованиям следую-
щей главы, касающимся кривых оболочек.]
Пусть w — малое смещение в направлении, перпендикулярном
к плоскости пластинки в точке, прямоугольные координаты кото-
рой в плоскости пластинки суть х, у; тогда
1,1
—+ —
и, следовательно, для единицы площади имеем
Эту величину следует проинтегрировать по всей поверхности S
пластинки.
215. Мы переходим к отысканию вариации V, но прежде
следует заметить, что второй член в выражении для V, а именно
, представляет собой полную кривизну пластинки и потому
,' J PlP2
зависит только от условий на границе.
J J
A)
1) Нижеследующее сопоставление обозначений, употребляемых основ-
ными авторами, может облегчить труд тем, кто пожелает ознакомиться
с оригинальными мемуарами:
Жесткость => п (Томсон) = р (Ламе).
9nk
Модуль Юнга = Е (Клебш) = М (Томсон) = -sr-r— (Томсон)
*Рт П) (Томсон) = q (Кирхгоф и Донкин) = 2tf ^р| (Кирхгоф).
Отношение поперечного сжатия к продольному удлинению = у. (Клебш
и Донкин) = о (Томсон) = ^ (Томсон) = - - .- (Кирхгоф) =
— (Ламе).
Пуассон полагал это отношение равным х/*1 Вертгейм
215] вариация V
Таким образом, нам следует рассмотреть две вариации:
J J У W 8да dS и J J
По теореме Грина
373
f J
V%8a»d5
J
J
^-
ds, B)
где ds означает элемент границы, a -j дифференцирование по
внешней нормали к границе.
Преобразование второй части труднее. Имеем
Г Г dS Г П
) ) Тл"" J J \
\ JC
Величина, стоящая под знаком интеграла, может быть пред-
ставлена в виде
д (dbw frw dbw dho
д (dbw дЬш dbw &h& \
Ъ~х \ dx dy* dy dxdy)'
Если F есть некоторая функция от х и у, то
Идр Г ¦ а
dy J
J J j^dxdy= J FcosQds,
C)
где 6 — угол между л и внешней нормалью, а интегрирование
в правой части производится вдоль границы. Воспользовавшись
этим, находим
Г Г d<? Г
=
J J PiPa J
о
Подставляя вместо
dlw
as sin 9
ds cos 6 i ^s?.
dbw
f*
fff>w
их значения, выраженные через
dbw dbw „ , . ...
-g—, -gj- из уравнений (см. фиг. 40):
dbw
cos9-
dbw
sine+ ^j-cos 0,
D)
374
получаем
> Г Г dS
8 1 — ¦¦
КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК
[ГЛ. X
. да
Произведя интегрирование по s по частям во втором инте-
грале, мы можем представить его в виде
находим
8V=
(в)
Теперь мы можем без труда получить уравнения движения.
Обозначим через р объемную плотность и через Z • р • 2/z • dS—
поперечную силу, действующую
Д. на элемент dS; тогда1)
8V — J \2ZphbwdS-\-
+ Г J2рйтаbwdS = 0 G)
представляет общее вариацион-
ное уравнение, которое должно
удовлетворяться независимо от
выбора функции bw (удовлетво-
ряющей структуре взятой си-
стемы). Отсюда по правилам вариационного исчисления в каждой
точке пластинки
Фиг. 40.
— Z-\- <w = Q.
(8)
Если края пластинки свободны, то граничные значения bw
и -Д ничем не ограничены, и потому коэффициенты при этих
величинах в выражении для 5V должны исчезать. Таким обра-
1) Инерцией вращения пренебрегаем,
216] условия у свободного края 375
8ом, условия, которые должны соблюдаться на свободной гра-
нице, суть
д
(9)
Если вся граница пластинки закреплена, то 8-ш = 0, —s— = 0, и
тем самым граничные условия удовлетворены. Если граница
«подперта»1), то bw = 0, но —г— произвольна. В этом случае
второе из уравнений (9) должно удовлетворяться значением w.
216. Граничные условия можно упростить, избавившись от
посторонних элементов, вводимых при пользовании декартовыми
координатами. Направляя ось х-оъ параллельно нормали к гранич-
ной кривой, мы, очевидно, можем написать
Имеем также
d%w
где о — фиксированная ось, совпадающая с касательной в рассма-
триваемой точке. В общем случае -^ отличается от -=rj • Для
того чтобы получить соотношение между ними, поступим следую-
щим образом. Разложим w в ряд Маклорена по восходящим
степеням малых величин я и з и подставим вместо л и а их
вначения, выраженные через дугу кривой s.
Таким образом, вообще
dw , до . I <Э2да ff>w . 1 <Pv „ ,
дп0 ^ д°0 ^2дпга ^дпод°о ^ 2 да> ^
1 сЗ
на кривой же о = s-f-кубичные члены, я = — -к- [-•••• где
р—радиус кривизны. В соответствии с этим для точек кривой
а потому
»} Ср. § 162.
376 КОЛЕВАИИЯ ПЛАСТИНОК [ГЛ: X
и, следовательно, по A):
Мы приходим к выводу, что второму граничному условию
в (9) § 215 можно придать вид:
Таким же образом, полагая 6 = 0, мы убеждаемся, что
&9 .
эквивалентно , > , где оси ге и з следует считать фиксированными.
Первое граничное условие получает теперь вид:
Если применить эти уравнения к прямоугольнику, стороны
которого параллельны координатным осям, то мы получим
в качестве условий, которым необходимо удовлетворить вдоль
краев, параллельных у:
д
В этом случае различие между о и s исчезает, и р — радиус
кривизны — бесконечно велик. Условия для второй пары сторон
получаются путем обмена местами х и у. Эги же результаты
можно получить также из (9) § 215 непосредственно, без пред-
варительных преобразований.
217. Если положить Z = 0 и написать
то общее уравнение принимает вид:
^-j-c*V4W!=0 B)
или, если w ~ cos (pt—в),
^¦w=k*w, C)
где
213] КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА 377
Любые два значения а и v для w, соответствующие одним и
тем же граничным условиям, являются сопряженными, т. е.
0, E)
если периоды различны. Для того чтобы доказать это, исходя из
обыкновенного дифференциального уравнения C), мы должны
были бы повторить шаг за шагом тот путь, которым было полу-
чено уравнение C). Такой метод был применен Кирхгофом для
круглого диска; однако гораздо проще и непосредственнее вос-
пользоваться вариационным уравнением
8V-\- 2ph J J w bw dS = 0, F)
где •w относится к действительному движению, a bw— произволь-
ному перемещению, совместимому со структурой системы. W пред-
ставляет симметрическую функцию от w и bw, как можно видеть
из § 215 или из общего характера функции V (§ 94)
Если мы сначала предположим, что w = и, bw = v, то будем
иметь
8V=2pA/>2J j uvdS.
Аналогичным образом, полагая w = v, lw=*u, что мы также
вправе сделать, получим
8 V = 2рйр'2 Г Г uv dS,
откуда
Эго доказательство справедливо независимо от вида гранич-
ной кривой и от того, закреплена ли граница, подперта или
свободна целиком или частично.
Так же, как в случае мембран в предыдущей главе, уравне-
нием G) можно воспользоваться для доказательства того, что
допустимые значения />2 действительны; но это очевидно уже из
физических соображений.
218. Для того чтобы применить эти результаты к круглому
диску, необходимо выразить уравнения в полярных координатах.
Взяв полюс в центре диска, мы получим общее уравнение, кото-
рое должно удовлетворяться во всех точках площади:
(V4 — k*)w = Q, (Ц
где (§ 200)
та а» , 1 д 1 да
v =
378 КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК [ГЛ. X-
В качестве граничных условий (§ 216) для свободной границы
(г = с) имеем
0 па д Т79 9 I д2® \ д д fdw
где р — радиус кривизны = а; таким образом
JL(<!-!L-L. — —\j- d2 A — Р dw 3 —jx
1 dw , 1 дз™\ - ' ^2^
После выполнения операций дифференцирования г должно быть
положено равным а.
Если разложить w в ряд Фурье:
то каждый член в отдельности должен удовлетворять уравне-
ниям B), а потому, принимая во внимание, что
wn — cos (гей — а),
получаем
Дифференциальное уравнение для поверхности может быть за-
писано в виде
что дает для общего члена разложения Фурье
отсюда видно, что полное значение wn получается путем Сложе-
ния общих решений уравнения
5Ь = 0 D)
с заданными произвольными постоянными.
Если взять верхний знак, то мы получим уравнение, совпа-
дающее с тем, которое мы получили в случае колебаний круг-
лых мембран; так же, как в предыдущей главе, мы заключаем
отсюда, что решение, применимое к данной задаче, tCTbwn~JH(kr),
поскольку вторая функция от г здесь недопустима.
219] полярные координаты 379
Таким же путем мы убеждаемся, что решение уравнения для
нижнего знака есть «>„'--'Jn(ikr), где, как обычно, 1 = Y— 1
(§ 221а).
Таким образом, простое колебание имеет вид:
wn = cos «6 [ajn (kr) -f р/„ (lkr)\ + sin «9 [fjn (kr) + 8Jn (ikr)\.
Оба граничных уравнения определяют допустимые значения k
и значения, которые нужно придавать отношениям а : р и f : 8. Ив
формы этих уравнений очевидна необходимость пропорции
а.: р = f : 8,
а потому wn можно представить в виде
wn = P cos (nb — а) [У„ (Ал) — Un (ikr)] cos (/rf — в). E)
Как и в случае мембраны, система узлов состоит из п диа-
метров, расположенных симметрично вокруг центра, но в осталь-
ном произвольных, определяемых уравнением
cos(re9 —а) = 0, F)
и концентрических окружностей, уравнение которых имеет вид:
0. G)
219. Для того чтобы определить А и k, необходимо ввести
граничные условия. Для свободной границы из C) § 218 получаем
-1) [ kaj'n (ka) — Jn (ka) ] — kWfn (ka)
«3 (H- — 1) [tkaj'n (ika)~Jn (ika)\ + ik4*fn (ika)
j
— 1) [ lkafn (Ika) — nVn (ika) ] + №a?Jn (Ika) ' J
здесь использованы дифференциальные уравнения, которым удовле-
творяют функции Jn(kr), Jn(ikr). В каждой из дробей, стоящих
в правой части, знаменатель можно получить из числителя, заме-
няя k через Ik. Исключая к, получаем уравнение, корни которого
дают допустимые значения k.
При я = 0 результат принимает простой вид, а именно
2 A-^ + ^4^ +*Д-4^ = 0. B)
WT J'(ik)^ /0(ka)
Этот результат можно было бы получить проще, пренебрегая я
с самого начала.
Вычисление наименьшего корня для каждого значения я уто-
мительно и при отсутствии соответствующих таблиц должно
38Q КОЛЕВЛНИЯ ПЛАСТИНОК [ГЛ. X
быть произведено при помощи степенных рядов по возрастающим
степеням для функций Jn(kr), Jn(lkr). Для корней более высокого
порядка можно обратиться к полусходящемуся ряду по обратным
степеням для тех же функций. Кирхгоф нашел, что
где
В = тA_4я2) —8,
С = f A — 4п«) (9 — 4 л*) + 48 A + 4»9),
D = — -г 1[A _4лЗ)(9 — 4я") A3 —4дЗ))+8 (9 + 136»9-|-80л*).
Для больших значений ka
tglka—у
откуда
fte—^«(я + 2А). D)
где А — целое число.
Сравнивая числовые значения, мы видим, что h тождественно
с числом узловых окружностей, а соотношение D) выражает закон,
открытый Хладни и заключающийся в том, что частоты, соот-
ветствующие фигурам с данным числом узловых диаметров, за
исключением основной частоты, приближенно пропорциональны
квадратам последовательных четных или нечетных целых чисел,
в зависимости от того, является ли само число диаметров чет-
ным или нечетным. Мы видим, что в пределах применимости
формулы D) тон остается приближенно неизменным при вычи-
тании любого числа из h, если одновременно к п прибавляется
вдвое большее число. Эгот закон, результаты которого даны
в приводимой ниже таблице, может быть выражен следующим
образом: в отношении повышения тона влияние узловых окружно-
стей вдвое больше влияния узловых диаметров. Возможно, впрочем,
что, строго говоря, никакие два нормальных составляющих колеба-
ния не имеют в точности одинаковой частоты.
Приводимая таблица, заимствованная из мемуара Кирхгофа,
дает частоты наиболее важных обертонов свободной круглой
пластинки, причем за основной тон принят С1). Три столбца,
озаглавленные буквами Хл., П., В., относятся соответственно
к результатам, наблюденным Хладни и вычисленным из тео-
рии пэи помощи значений \t Пуассона и Вертгейма. Знак
плюс означает, что действительный тон несколько выше, а знак
J) Gis соответствует в английском обозначении ОД, a h — натураль-
ному Ь.
220]
ТЕОРИЯ КИРХГОФА
381
минус — что он несколько ниже, чем написанный. Расхождения
между теорией и наблюдением значительны, но, пожалуй, не
настолько, чтобы их нельзя было приписать неправильности пла-
стинки.
Л
0
1
2
h
0
1
Хл.
Qts
п = 0
п.
Gts +
Ь> —
В.
А +
Ы +
п = 2
Хл.
С
П.
С
gis' +
В.
с
а' —
п=1
Хл.
b
П.
ft —
/" +
В.
с —
/й" +
п = 3
Хл.
d
d"-dts»
П.
dis~
dis" +
В.
dis —
<?' —
220. Радиусы узловых окружностей для случая симметричных
колебаний (л = 0) были вычислены Пуассоном; он же сравнил
полученные результаты с экспериментальными результатами Са-
вара. Нижеприведенные числа взяты из работы Штрельке1),
тщательные измерения. Радиус диска принят
который произвел
ва единицу.
Одна окружность,
Две окружности
Наблюдение
0,67815
| 9,39133
0,84149
( 0,25631
Три окружности { 0,59107
I 0,89360
Вычисление
0,68062
0,39151
0,84200
0,25679
0,59147
0,89381
Результаты, полученные вычислением, относятся, повидимому,
к пуассоновскому значению (а, однако они очень мало изменятся,
если подставить значение у. по Вертгейму.
Приводимая ниже таблица сопоставляет значения, полученные
из теории Кирхгофа (п Ф 0), с измерениями Штрельке, произ-
веденными с менее правиаьными дисками.
Самое общее движение однородной круглой пластинки полу-
чается путем суперпозиции рассмотренных выше нормальных
Strehike, Pogg. Ann., XCV, стр. 577, 1855.
382
КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК
[ГЛ. X
колебаний с произвольными амплитудами и фазами. Определение
амплитуд и фаз, соответствующих произвольным начальным
Л = 1, ft =з 1
л *= 2, ft = 1
л = 3, Л = 1
« = 1,А = 2
Радиусы узловых
Наблюдение
0,781
0,79
0,838
0,488
0,869
0,783
0.81
0,842
0,492
0,869
0,781
0,82
—
—
—
0,783
—
—
—
окружностей
Вычисление
ц = — (Пуасс.)
0,78136
0,82194
0,84523
0,49774
0,87057
f* — у(Вертг.)
0,78088
0,82274
0,84681
0,49715
0,87015
смещениям и скоростям, производится в точности так же, как
в случае соответствующей задачи для мембраны, при помощи
характеристического свойства нормальных функций, доказан-
ного в § 217.
221. Если пластинка в точности симметрична, независимо от
того — однородна она или нет, то согласно теории, подтверждаю-
щейся и экспериментально, положение узловых диаметров про-
извольно или, точнее, зависит только от того, как подперта nia-
стинка и каким образом она возбуждается. Путем изменения
точки опоры можно сделать любой диаметр узловым. Вообще
говоря, дело обстоит иначе, если имеется значительное откло-
нение от точной симметрии. Так, два типа колебаний, которые
в первом случае вследствие равенства периодов могли склады-
ваться в любых соотношениях, оставаясь простыми гармони-
ческими, теперь разделены и имеют различные периоды. Но в то
же время положение узловых диаметров становится определенным
или, точнее, ограничивается двумя возможностями. Одна система
диаметров получается из другой путем поворота на половину
угла, заключенного между двумя соседними диаметрами первой
системы. При этом предполагается, что отклонение от однород-
ности мало; в противном случае система узлов уже не будет
состоять приближенно из окружностей и диаметров. Причиной
отклонения может быть либо неоднородность материала, либо
неодинаковость толщины пластинки, либо неправильность гра-
ничной линии. Влияние малой нагрузки в какой-нибудь точке можно
исследовать подобно тому как в случае аналогичной задачи для
мембраны (§ 208). Если точка прикрепления груза не лежит на
узловой окружности, то нормальные колебания становятся опре-
деленными. Система диаметров, соответствующая одному типу
колебаний, проходит через точку прикрепления, и для этого
221] КОЛЕБАНИЯ УЗЛОВ 383
типа период остается неизменным. Период другого типа коле-
баний увеличивается.
[Расхождение между периодами свободных колебаний, вызван-
ное небольшими неправильностями, повидимому, объясняет любо-
пытлые наблюдения Саварах). Если круглая пластинка, колеблю-
щаяся с узловыми диаметрами, находится под воздействием смычка,
которым проводят по ее краю в любом месте, то узловые диа-
метры, указываемые песком, располагаются таким образом,
что смычок оказывается приложенным посредине вибрирующего
сегмента. Однако, если смычок внезапно убрать, то система узлов
начинает колебаться или даже вращается все время, пока продол-
жается движение. Очевидно, подобного перемещения нельзя было
бы ожидать, если бы пластинка была абсолютно симметричной.
То же самое имело бы место даже в случае асимметрии, если
бы смычок был приложен так, чтобы он возбуждал лишь одно из
двух определенных, возможных в этом случае колебаний. Но в об-
щем случае смычок возбуждает оба вида колебаний, и тогда
вопрос усложняется. Казалось бы, что, поскольку длится выну-
ждающее действие смычка, оба колебания должны сохранять
одинаковые периоды и влияние смычка должно быть таким же,
как в случае полной симметрии. Но при отнятии смычка возни-
кающие при этом свободные колебания происходят каждое со
своей собственной частотой, и вскоре появляется разность фаз,
которая и изменяет явление.
Положим, что вершина угла 9 расположена относительно
имеющихся неправильностей так, что типы колебаний соответ-
ствуют cos/гв, sin лЧ. Тогда вообще для свободных колебаний,
получающихся при действии смычка в произвольной точке гра-
ничной окружности, можно принять выражение
cos па sin n9 cos pt— sin па cos я9 cos {pt -\-г), A)
где s — разность фаз, которая накопилась с момента начала сво-
бодных колебаний. В случае полной симметрии s = 0, и выраже-
ние A) принимает вид:
sinn (9 — «) cos pt, B)
что представляет определенную неподвижную систему узлов
а + т, C)
в любом положении зависящую от точки приложения смычка.
Аналогичная неподвижность системы узлов, несмотря на измене-
ние а, получается, если выбрать а так, что cos па =« 0 или
1) Savart, Ann. d. СЫм., том 36, стр. 257, 1827.
384 КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК [ГЛ. X
sin да = 0. В общем же случае неподвижной системы узлов не
получается. В случае, когда s кратно 2тг, т. е. когда оба колеба-
ния возвращаются к одной и той же фазе, получающаяся система
узлов выражается уравнением C). Когда же s становится нечетным
кратным it, так что оба колебания находятся в противоположных
фазах, вместо B) имеем
sin я F+в) cos pt D)
с системой узлов
6 а — а-\-т —. E)
В этих случаях система узлов имеется, и в некотором смысле
можно сказать, что система колеблется между положениями,
определяемыми уравнениями C) и E); но при этом не следует
упускать из вида, что в промежуточные моменты не существует
вовсе подлинной системы узлов. Так, при s = ~-r выражение A)
переходит в
cos na sin «8 cos pt-{- sin na cos пЧ sin pt.
Квадрат амплитуды этого движения равен
cos2 па sin3 nb -}- sin3 na cos9 nb,
т. е. величине, которая не исчезает ни при каких значениях Ь.
В общем случае квадрат амплитуды равен
cos2 no. sin9 пЬ -\- sin3 na cos9 nb — 2 cos na sin na cos »9 sin nb cos в,
что можно записать также и в форме
~ — -¦ cos 2na cos 2л6 — -^ sin 2na sin 2»0 cos 8. F)
Эта величина имеет максимум или минимум при
tg 2я9 = cos з tg 2na. G)
Таким образом, минимум амплитуды колеблется между 6=»-)- а
и Ь = — а; но, как мы видели, только при этих крайних поло-
жениях минимальное значение равно нулю.
Аналогичное явление наблюдается во время свободных коле-
баний круглой мембраны и вообще любого тела вращения, для,
которого положение узловых линий является произвольным по-
стольку, поскольку симметрия является полной.]
Другие два случая — когда граница круглой пластинки за-
креплена или подперта — легче поддаются теоретическому иссле-
дованию; однако они имеют меньший практический интерес вслед-
ствие трудностей экспериментального осуществления предположен-
ных условий. Общий результат, именно, что система узлов состоит
221а) закрепленная граница 385
из концентрических окружностей и симметрично расположенных
диаметров, применим ко всем трем случаям.
221а. Применение в телефоне тонкой круглой пластинки,
закрепленной своей границей, вызывает известный интерес к вы-
числению периодов и типов колебаний подобной пластинки. До-
статочно будет рассмотреть симметричные типы колебаний.
В силу E) § 218 для выражения движения в этом случае можно
принять
w = J0{kr)-Jr\J0(ikr) = J0(kr)-\-U0(kr); A)
откуда
|f = Л (кг) + I'U'o (ikr) = - Л (кг) + X/, фг), B)
гд«
§ ^ . C)
- ... D)
Так как пластинка закреплена по линии г —а, то как w, так
и -г- должны обращаться при этом значении г в нуль. Следова-
тельно, положив ka = z, мы для частоты получим уравнение
В уравнении E) /0 и /t оба положительны, так что Jo и Jt
должны иметь противоположные знаки. Следовательно, по таблице В
§206 первый корень должен лежать между 2,4 и 3,8, второй—
между 5,5 и 7,0 и т. д.. Значения первых корней могут быть по-
лучены без затруднений из рядов для /0 и /г> если воспользоваться
таблицами § 200 для Уо и У^ однако для целей настоящего раз-
дела и для дальнейших целей удобнее будзт привести небольшую
таблицу1) самих функций /0 и 1Х (стр. 386), Для больших значе-
ний аргумента можно воспользоваться рядами по нисходящим сте-
пеням, аналогичными ряду A0) §200.
Первый корень уравнения E) есть г =* 3,20. Это — значение ka
для наинизшего симметричного колебания. Следующее значение z
равно приблизительно 6,3. Так как частота изменяется пропор-
ционально k* (§217), то интервал между тонами равен прибли-
зительно двум октавам.
Возвращаясь к первому корню, имеем для частоты п (§217)
я и р ^ C>2)8с3 *=ч
1) Вычислено А. Доджем, A. Lodge, Brit. Ass. Rep., 1889.
29 зав. itfi. Р*леа, i
386
колебания пластинок
(гл. х
Такова общая формула. При грубых вычислениях {i2 в знамена-
теле можно опустить. Если для железной пластинки принять
р = 7,7, ? = 2,0
то получится
2,4- W-21
Л = - з
где 2Л и
z
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
а выражень
h (z)
1,0000
1,0100
1,0404
1,0920
1,1665
1,2661
1,3937
1,5534
1,7500
1,9896
2,2796
2,6291
3,0493
3,5533
4,1573
i в сантиметрах.
0,0000
0,1005
0,2040
0,3137
0,4329
0,5652
0,7147
0,8861
1,0848
1,3172
1,5906
1,9141
2,2981
2,7554
3,3011
г
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
4,8808
5,7472
6,7848
8,0277
9,5169
11,3019
13,4425
16,0104
19,0926
22,7937
27,2399
32,5836
39,0088
46,7376
56,0381
67,2344
h «
3,9534
4,7343
5,6701
6,7927
8,1404
9,7595
11,7056
14,0462
16,8626
20,2528
24,3356
29,2543
35,1821
42,3283
50,9462
61,3419
Телефонная пластинка, измеренная автором, дала
а ==2,2, 2А = 0,020;
для этих вначений
я=й=991 колебанию в секунду.
222. Мы видели, что, вообще говоря, фигуры Хладни, полу-
чаемые при помощи песка, весьма хорошо согласуются с теоре-
тическими окружностями и диаметрами; однако в некоторых слу-
чаях наблюдаются отклонения, которые обычно приписывают
неправильностям пластинки. Следует все же помнить, что коле-
бания, возбуждаемые смычком, строго говоря, не являются сво-
бодными, а потому периоды их могут несколько изменяться.
Может случиться, что в результате действия смычка будут сосу-
ществовать два или более составляющих нормальных колебания.
Все движение в целом может быть гармоническим вследствие
воздействия внешней силы, хотя собственные периоды могут не-
сколько отличаться от полученного. Такое объяснение подсказывается
правильным характером фигур, получаемых в некоторых случаях.
Другую причину отклонений можно, пожалуй, усмотреть в спо-
собе закрепления пластинок. Часто в действительном экспери-
222] НАБЛЮДЕНИЯ САВАРА 387
менте трудно соблюсти требуемые теорией условия. В таких
случаях приходится удовлетворяться приблизительным соответ-
ствием; следует, однако, иметь в виду, что причина расхождения
может заключаться не только в ошибочности теории, но и в ошиб-
ках эксперимента.
[При обычном пользовании песком для наблюдения колебаний
плоских пластинок и мембран движение песка к узлам носит
неправильный характер. Если поместить зерно в какой-нибудь
точке, не расположенной на узле, то при достаточно сильном
поперечном колебании оно будет прыгать. В результате возникнет
¦движение либо по направлению к узлу, либо от него; но после
ряда прыжков зерно в конце концов находит путь к узлу, как
к единственному месту, где оно может остаться в покое. Зерна,
которые уже достигли узла, остаются там, а другие непрерывно
меняют свое положение.
Савар нашел, что очень тонкий порошок, как, например,
ликоподий, ведет себя отлично от песка. Вместо того чтобы
собираться в узлах, он накапливается в местах максимального
движения. Фарадей1) приписывал это явление влиянию потоков
воздуха, возникающих в результате колебаний. В вакууме всякий
порошок двигается по направлению к узлам.
В некоторых случаях движение песка к узлам или к неко-
торым из узлов происходит более непосредственным образом
в результате трения. Так, при исследовании продольных коле-
баний тонких узких полосок стекла, удерживаемых в горизонталь-
ном положении, Савар3) наблюдал размытость узлов, зависящую,
повидимому, от наличия сопутствующих поперечных колебаний.
Специфической особенностью этого явления было несоответствие
линий, образованных песком на обеих сторонах пластинки при
попеременном их испытании; это обстоятельство в достаточной
мере показывает, что поперечное движение было связано с недо-
статочной однородностью. Вследствие этого образовались попе-
речные колебания той же самой (большой) частоты, которая имеет
место для основного продольного колебания, почему колебания и
сопровождались многими узлами. Конечно, узлы должны быть
одинаковыми, какая бы сторона стеклянной пластинки ни нахо-
дилась сверху, и можно предполагать, что все узлы обнаружи-
лись бы при помощи песка, как это и должно быть в случае,
если имеют место одни только поперечные колебания. Но ком-
бинация обоих видов движения вызывает сползание песка по
направлению к чередующаяся (alternate) узлам, причем движение
песка в соответствующих точках обеих сторон пластинки про-
исходит всегда в противоположных направлениях. С одной
1) M. Faraday, «On a Peculiar Class of Acoustical Figures», Phil.
Trans., cip. 299, 1831.
2) Savart, Ann. d. Chim., том 14, crp. 113, I820L
25*
388 КОЛЕБАНИЯ ПЛ4СТИНОК [ГЛ. X
стороны пластинки, например, направленное внутрь продольное,
движение сопровождается поперечным движением вверх; когда же
пластинка перевернута, то же самое продольное движение, напра-
вленное внутрь, связано с поперечным движением вниз. Если бы
не было поперечного движения, то действующая на частицу про-
дольная сила, вызванная трением, должна была бы при продол-
жительном движении исчезнуть, но вследствие наличия попереч-
ного движения равновесие нарушается, причем различным образом
на каждой из двух сторон пластинки. Приведенные выше рас-
суждения дают, повидимому, достаточную основу для объяснения
замечательного явления, наблюденного Саваром; попытки иссле-
довать вопрос более подробно завели бы нас слишком далеко 1).]
223. Первая попытка решения только что рассмотренной нами
вадачи принадлежит Софи Жермен, которой удалось получить
правильное дифференциальное уравнение; однако она ошиблась
в определении граничных условий. Эта последняя часть задачи
для свободной пластинки представляет, конечно, вначительные
трудности. В своем мемуаре «О равновесии и движении упругих
тел»3) анаменитый математик Пуассон дал три уравнения, кото-
рым должны удовлетворять все точки свободной границы. Но
Кирхгоф доказал, что в общем случае удовлетворить всем трем
уравнениям невозможно. Оказывается, однако, что имеется исклю-
чение для случая симметричных колебаний круглой пластинки,
когда одно из этих уравнений удовлетворяется тождественно.
Вследствие этой особенности теория симметричных колебаний
Пуассона остается правильной, несмотря на его ошибку в опре-
делении граничных условий. В 1850г. Кирхгоф8) подвел итоги
теории этого вопроса и первый указал два уравнения, относя-
щихся к свободной границе, а также завершил теорию колебаний
круглого диска.
224. Правильность граничных уравнений Кирхгофа оспарива-
лась Матье*), который дал другую группу уравнений, не ука-
вывая, однако, в чем заключается, по его мнению, ошибка Кирх-
гофа. Он показывает, что если и и и' — две нормальные функ-
ции, так что w = «cos pt> w = и' cos p't— возможные колебания, то
(р—р'2) Г
uu'dx
1) См. Terquem, С. /?., XLVI, стр. 775, 1858.
a) Poisson, «Sur l'equilibre et le mouvement des corps elastiquee»,
Mem. de I'Acad. de Set. & Paris, 1829.
8) Kirchhoff, «Ueber das Gleichgewicht and die Bewegung einer ela-
stischen Scheibc», Crelle, том XL, стр. 51.
*) Mathieu, Liouville, том XIV, 1869.
225] прямоугольная пластинка 389
Этот результат получается, если допустить, что и, и' удовле-
творяют соответственно уравнениям
Поскольку левая часть равна нулю, то же самое должно иметь
место и для правой части; но это возможно, по Матье, только
в том случае, если во всех точках границы как и, так и и' удо-
влетворяют одной из четырех пар уравнений:
и
du
dn
-0,1
=-0. j
dn
= 0,
= 0.
и
= 0,
. - n
da
= 0,
Вторая пара уравнений как будто бы наиболее подходит для
свободной границы, но, как оказалось, она приводит к невоз-
можным условиям. Так как первая и третья пары уравнений, оче-
видно, недопустимы, то Матье заключает отсюда, что действи-
тельное выражение условий свободной границы дает четвертая
пара уравнений. Его уверенность в полученном результате не
была поколеблена даже тем фактом, что соответствующие усло-
вия для свободного конца стержня будут иметь вид -j— = 0,
dsu
— = 0, причем первое из них противоречит результатам самых
грубых наблюдений колебаний большого камертона.
Дело в том, что хотя любая из четырех пар уравнений при-
водит к исчезновению граничного интеграла в выражении A),
отсюда, однако, не следует, что, обратно, нельзя заставить этот
интеграл исчезнуть никаким иным способом, а такое заключение
отрицается исследованием Кирхгофа. Имеется бесконечное число
других случаев, для которых рассматриваемый интеграл исчезает;
в действительности необходимо только, чтобы крепление границы
либо оставалось в покое, либо не обладало инерцией.
225. Колебания прямоугольной пластинки с подпертыми
краями легко исследовать теоретически, так как здесь нормаль-
ные функции тождественны с теми, которые применимы к мем-
бране такой же формы с закрепленной границей. Положив
A)
мы видим, что во всех точках границы
что обеспечивает выполнение необходимых условий (§ 215).
390 КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК [ГЛ. X
Значение р, найденное при помощи подстановки из уравнения-
™' } = p*w, есть
откуда видно, что аналогия с мембраной не распространяется на
последовательность тонов.
Здесь нет необходимости повторять все рассуждения о пер-
вичной и производной системах узлов, приведенные в главе IX.
Достаточно заметить, что если два собственных колебания A)
имеют одинаковый период в случае мембраны, то они должны
иметь одинаковый период и в случае пластинки. В соответствии
с этим производные системы узлов тождественны в обоих случаях.
Общность значения w, получаемого путем сложения всех воз-
можных частных решений вида A) с произвольными амплитудами
и фазами, не требует дополнительных разъяснений.
Казалось бы нет необходимости говорить о том, что узлы
подпертой пластинки не имеют ничего общего с обычными хлад-
ниевыми фигурами, относящимися к пластинке со свободной гра-
ницей, если бы не было высказано противоположное утверждение.
Осуществление условий для подпертой границы едва ли до-
стижимо на практике. Для этого необходимы приспособления,
которые сохраняли бы границу пластинки в покое и притом так,
чтобы при этом не возникало никаких пар относительно танген-
циальных осей. Мы можем представить себе пластинку удержи-
ваемой на месте благодаря трению о стенки плотно охватываю-
щего ее цилиндра.
226. Задача для прямоугольной пластинки со свободной гра-
ницей представляет большие трудности и до сих пор в значи-
тельной части не поддается решению1).
Если предположить, что смещение w не зависит от у, то
общее дифференциальное уравнение будет тождественно с уравне-
нием, рассмотренным в главе VIII. Если взять решение, соответ-
ствующее стержню со свободными концами, а потому удовлетво-
ряющее уравнениям -^-j = 0, -^-j = 0 при х — 0 и х = а, то мы
получим для w значение, удовлетворяющее как общему дифферен-
циальному уравнению, так и двум граничным условиям
JL
дх
0)
¦ о,
1) [Случай, когда две противоположные стороны свободны, а другие
две стороны подперты, был рассмотрен Фонгтом — Voigt, QQttingen
Nachrichten, стр. 225, 1893.J
226] прямоугольная пластинка 891
которые должны быть применимы к сторонам, параллельным у;
однако второе граничное условие для другой пары сторон,
а именно
0 B)
будет, за исключением случая ц = 0, нарушаться. Это показывает,
что во всех иных случаях свободная прямоугольная пластинка не
может колебаться так, как стержень, если не считать, конечно,
того случая, когда длина одной пары сторон так велика, что при-
ближенно можно считать условия для второй пары сторон несу-
щественными.
Хотя постоянная [а (выражающая отношение поперечного сжа-
тия к продольному растяжению для стержня) положительна для
всех известных веществ, для некоторых веществ—-например для
пробки — она сравнительно очень мала. Поскольку мы можем
судить, нет ничего абсурдного в том, чтобы допустить существо-
вание вещества, для которого \t равно нулю. Поэтому иссле-
дование задачи при таком условии не лишено интереса, хотя
реаультаты его не могут быть в точности применены к обычным
стеклянным или металлическим пластинкам, для которых ja при-
близительно равно -о-1).
Пусть uv иа и т. д. означают нормальные функции для сво-
бодного стержня, рассмотренные в главе VIII, соответствующие
2, 3,.. . узлам; тогда колебания прямоугольной пластинки выра-
жаются уравнениями:
или
В каждом из этих собственных колебаний система узлов со-
стоит из прямых линий, параллельных той или другой стороне
прямоугольника. При b = о прямоугольник превращается в ква-
драт, и так как колебания
ад = й
1) Для того чтобы заставить пластинку из вещества, для которого
fj. ф 0, колебаться подобно стержню, необходимо было бы приложить
сдерживающие пары сил к сторонам, параллельным плоскости изгиба,
чтобы воспрепятствовать появлению нежелательного искривления. Резуль-
татом действия этих пар было бы повышение тона.^а потому вычисле-
ние, основанное на форме колебаний, свойственной ц == 0, дало бы
в результате несколько более высокий тон, чем истинный,
892 КОЛЕВАНИЯ ПЛАСТИНОК [ГЛ. 1
имеют по необходимости одинаковый период, то они могут скла-,
дываться в любых соотношениях, причем движение в целом оста-
нется npjcTbiM гармоническим. Каково бы ни было соотношение
отдельных слагаемых, получающаяся в результате узловая кривая
должна непременно проходить через точки, определяемые урав-
нениями
'4Wo.
¦ш-°-
Рассмотрим теперь более подробно случай я«»»1. Система
увлов основного колебания w — uA—\ состоит ив пары пря-
мых, параллельных у, расстояние которых от ближайшей стороны
равно 0,2242а. Через точки, в которых эти линии пересекаются
с соответствующей парой для w = u1 ( — },во всех случаях должна
проходить узловая кривая составного колебания. Очевидно, что
они расположены симметрично на диагоналях квадрата. Если
взять два собственных колебания с равными амплитудами, но про-
тивоположными фазами (или алгебраически — с равными противопо-
ложными амплитудами), то будем иметь
откуда очевидно, что т исчезает при х = у, т. е.
вдоль диагонали, проходящей через начало коор-
динат. Из симметрии функций следует, что w должна
исчезать также и вдоль другой диагонали; таким об-
фиг. 41. разом, мы приходим к выводу, что система узлов
колебания C) включает обе диагонали (фиг. 41).
Это — хорошо известная форма колебаний квадратной пластинки.
Второй замечательный случай получается тогда, когда ампли-
туды и фазы одинаковы, так что
Наиболее удобным способом графического построения получае-
мых кривых, для которых w = const, является способ, применяв-
шийся в аналогичных случаях Максвеллом. Сначала вычерчивают
обе системы кривых (в данном случае прямых), выражаемых урав-
нениями иД—) = const, Mj f—| =- const, причем значения посто-
янных образуют арифметическую прогрессию с одинаковой раз-
ностью в обоих случаях. Таким способом получается сетка, пере-
секаемая искомыми кривыми по диагоналям. Для выполнения этого
способа построения необходимо произвести обращение таблицы»
226]
КВАДРАТНАЯ ПЛАСТИНКА
393
данной в главе VIII, § 178 и выражающей ход функции uv В ре-
зультате обращения получаем следующую таблицу:
щ.
+ 1,00
0,75
0,50
0.25
0,00
х\а
0,5000
0,3680
0,3106
0,2647
0,2242
Щ
— 0,25
0,50
0.75
1,00
1,25
1,50
х\а
0,1871
0,1518
0,1179
0,0846
0,0517
0,0190
Система линий, представленная приведенными выше_. значе-
ниями х (дополненная симметрично по другую сторону централь-
ной линии), и соответствующая си-
стема для у показаны на фиг. 42.
Отсюда можно получить кривые
равных смещений. В центре квад-
рата w будет иметь максимум, рав-
ный 2 по принятой шкале. Пер-
вая, внешняя кривая представляет
место точек, для которых w — 1.
Следующая за ней кривая пред-
ставляет узловую линию, разделя-
ющую области с противоположно
направленным смещением. Осталь-
ные кривые, взятые в порядке
их расположения, дают смещения
— 1,—2,—3. Наибольшее по
численному значению отрицатель-
ное смещение получается в вершинах квадрата, где смещение
равно 2 X 1.645 = 3,290 *).
Построенная таким образом узловая кривая вполне хорошо
согласуется с наблюдениями Штрельке3). Его результаты, отно-
сящиеся к трем, тщательно сделанным, стеклянным пластинкам,
выражаются следующими уравнениями в полярных координатах":
ч-/*
/
1
\
5
ч
Ч"
Ч '
^ 1- S _.
f
\
\
j
/
ч
/
\
s
ч
\
/
s
S,
S
/
ч
ч
\
\
^ —"
///
\
ч
ч
-^
ч,
¦I"
N
X
ч
/
ч,
\
/
\
S
ч
ч
\
)
ч
\
/
-
j
\
\
1
/
ч
А-
+1
4ч,
\
\
!
f
/
/
Фиг. 42.
0,40143 0,0171
г «0,40143+ 0,0172
0,4019 0,0168
0,00127
cos 4^+0,00127
0,0013
cos
1) W. Rayleigh «On the nodal lines of a square p'ate», Phil. Mag., ав-
густ 1873.
a) Strehlke, Pogg. Ann., том CXLVI, стр. 31Я 1872.
394
КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК
[ГЛ. X
в которых центр квадрата принят за полюс. Отсюда мы получаем,
для радиуса-вектора, параллельного сторонам квадрата (t — Q),
0,41980, 0,41981 и 0,4200, вычисление же дает 0,4154. Радиус -
векгор, измеренный вдоль диагонали, равен 0,3856, 0,3855, 0,3864,
вычисление же дает 0,3900.
Пересекая сетку в другом на-
правлении, мы получаем геоме-
трическое место точек, для кото-
рых Bj ( —) U1 (—J ПОСТОЯННО.
Э го — кривые постоянного сме-
щения для того колебания, при
котором диагонали являются
узлами. Частота колебания (со-
гласно теории) одинакова в обоих
случаях.
Собственные колебания, выра-
=о
можно комби-
способом.
жаемые уравнениями
Фиг. 43. или « = "а (?) •
нировать аналогичным
Фиг. 43 изображает узловую кривую для колебания
— *(т)**(*
E)
Если изменить знак в выражении E), мы получим кривую той же
формы, расположенную таким же образом относительно другой
диагонали.
227. Метод суперпозиции колебаний не зависит от формы
нормальных функций. Каков бы ни был вид этих функций, коле-
бание, которое при ]i==0 переходит в только что рассмотренное,
должно иметь одинаковый период, независимо ог того, будут ли
приблизительно прямые узловые линии параллельны х или у.
Если сложить два синхронных колебания, то результирующее ко-
лебание сохраняет тот же период, и можно проследить за общим
поведением его системы узлов, пользуясь тем соображением, что
ни одна точка пластинки, для которой слагающие колебания имеют
одинаковый знак, не может быть узловой. Для того чтобы точно
определить линию, в которой колебания уравновешиваются, вообще
говоря, необходимо полное знание составляющих нормальных
функций, а не только знание точек, в которых они исчезают.
Юнг и братья Вебер, повидимому, имели представление о том,
что суперпозиция колебаний может вызвать появление разнооб-
разных новых фоэм колебаний, но первое систематическое приме-
нение этого представления к объяснению хладниевых фигур при-
227] фигура уитстона 395
надлежит сэру Чарльзу Уитстону1). Однако результаты, полученные
Уитстоном, применимы к пластинке только в грубом приближе-
нии, вследствие того что вид нормальных функций в неявной
форме предположен заранее. Так, вместо кривой, изображенной
на рис. 42 (которая — не следует этого забывать — сама является
только приближением), Уитстон получил для узла этого сложного
колебания вписанный квадрат, изображенный на фиг. 44. Эга
форма узла действительно применима,
но не к пластинке, колеблющейся вслед-
ствие своей жесткости, а к растянутой
мембране, подпертой так, что каждая
точка ее границы может свободно дви-
гаться вдоль перпендикуляров к плос-
кости мембраны. Граничным условием фиг 44. Фиг 45.
при этих обстоятельствах является
~ = 0. Легко показать, что нормальные функции, содержащие
только одну координату, суть
w = cos I —?-J или w = cos [¦—¦)»
где за начало координат взята одна из вершин квадрата. Таким
образом, для колебания
w cos — [- о а » к)
узлы определяются уравнением
/'Ч
\/
/ V
' \ ''
/ \У
i 1 3 .1
откуда х-\-у = -^а или -^а, или х—у = ±-^а — уравнения,
определяющие вписанный квадрат.
Если 9
^=cos=^_cosif-, B)
то система узлов состоит из двух диагоналей. Этот результат,
зависящий только от симметрии нормальных функций, строго
применим к квадратной пластинке.
При т = 3 „ .
w = cos к- cos —*-, C)
а ' а
и уравнения узловых линий имеют вид:
= |, в.^; х-у = ±±;
соответствующие фигуры показаны на фиг. 45. Если взять другой
знак, то получим фигуру, расположенную подобным образом отно-
сительно другой диагонали.
I) Wheatstone, Phil. Trans., 1833.
396 КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК [ГЛ. X
ПрИ «as» 4
получаем узловые линии
Для противоположного знака
w==Cos^-cos^, (б)
получаем
jc-fj/ш-^, а, ~, х—у=*0, ±j, (фиг. 47)
что определяет систему, состоящую из обеих диагоналей вместе
СО вписанным квадратом.
Эти узловые линии, применимые вполне строго к мембране,
имеют гораздо большее сходство с фигурами, получаемыми при
помощи песка на квадратной пластинке,
чем этого можно было бы ожидать.
Однако последовательность тонов здесь
совершенно иная. Из § 176 мы видим,
что если бы [а равнялось нулю, то
интервал между колебанием D3), полу-
Фиг. 46. Фиг 47. чаемым для трех узлов, и колебаниями
D1) или D2) при двух узлах должен
был бы составлять 1,4629 октавы, а интервал между колебаниями D1)
или D2) и D6) или D7) — 2,4358 октавы. Каково бы ни было значе-
ние [J., колебания D1) и D2) должны иметь в точности одинако-
вый тон; то же самое должно иметь место для колебаний D6)
и D7). Что касается первой из упомянутых пар, то наш ре-
зультат не согласуется с наблюдениями Хладни, который нашел,
что колебание D2) выше, причем разница больше целого тона.
Если, однако, отбросить колебание D2), то сравнение дает более
удовлетворительные результаты. Теоретически (для ja = 0), если
колебание D1) дает тон d, то D3) должно давать тон g' —, а D6)
и D7) — тон g^-f-. Хладни нашел для колебания D3) ^'ft-f-i
а для D6) и D7) g"§ и g"§-\- соответственно.
228. Нам нужно еще рассмотреть колебание наинизшего тона
квадратной пластинки. В этом случае узловые линии представляют
собой две прямые, проходящие через середины противоположных
сторон квадрата. Что такое колебание должно иметь место, можно
показать непосредственно на основании соображений симметрии;
но ни вид нормальной функции, ни высота тона еще не были
определены даже для частного случая ja = 0. Однако грубое вычис-
ление можно дать, исходя из предположенной формы колебаний,,
228] ОСНОВНОЕ КОЛЕБАНИЕ КВАДРАТНОЙ ПЛАСТИНКИ 397
Если принять уаловые линии за оси координат, то функция
w = xy удовлетворяет уравнению \*w = О, а также граничным
условиям для свободной границы во всех точках периметра за
исключением вершин. Как раз такую форму приняла бы пластинка,
удерживаемая в покое четырьмя равными по величине силами,
действующими в вершинах перпендикулярно к плоскости пла-
стинки, причем силы, расположенные у концов одной диагонали,
действуют в одном направлении, а силы у концов другой диаго-
нали— в противоположном направчении. Из этого следует, что
w = xy cos pt является возможным колебанием, если предполо-
жить, что масса пластинки распределена в четырех вершинах
поровну. Из C) § 214 мы видим, что
поскольку
Обозначая через р объемную плотность и через М — дополни-
тельную массу в каждой вершине, получим для кинетической
энергии значение
Т=\ р* sin* pt\ f Г 2?hx*y*dxdy-\-jMai
^^?} B)
откуда
где через М' обозначена масса пластинки без нагрузок. Получен-
ный результат приближается к точному только при сравнительно
большом М; в противном случае в силу § 89 этот результат
значительно ниже истинного. Но даже когда М = 0, ошибка,
вероятно, не очень велика. В этом случае мы имели бы
что дает несколько повышенный тон. Следующая по высоте после
этой собственная частота получается в том случае, когда диагонали
являются узлами; в этом случав при у. = 0 высота тона дается
выражением
(см. § 174).
Мы можем заключить, что если бы пластинка состояла
ив вещества, для которого |ь »== о, то интервал между двумя
398
КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК
[гл. х
в
наиболее низкими тонами был бы несколько больше, чем инг
тервал, выражаемый отношением 1,318. Хладни приравнивает
этот интервал квинте.
229. Существование колебаний, для которых два кратчайших
диаметра являются узлами, вытекает из следующих соображений.
Положим, что GOCH (фи1. 48) представляет собой пластинку, сто-
роны которой НО, GO подперты, а стороны ОС, СН свободны.
Так как эта пластинка стремится к определен-
ному положению равновесия, то она способна
совершать колебания определенных фундамен-
тальных типов. Фиксировав наше внимание на
одной из них, представим себе такое распреде-
ление w в трех остающихся квадрантах, чтобы
в каждых двух соседних квадрантах значение w
в точках, являющихся изображениями друг друга
относительно границы, разделяющей квадранты,
было равно и противоположно. Если вся пла-
стинка колеблется по только что определенному закону, то, для
тою чтобы сохранять неподвижность линий ОЕ, FH, не требуется
особой связи; поэтому можно рассматривать всю пластинку как
свободную. Аналогичным рассуждением можно показать, что суще-
ствуют такие колебания, для которых диагонали являю гея узлами,
а также такие колебания, для которых являются узлами как диа-
гонали, так и только что рассмотренные диаметры.
Принцип симметрии можно применить также к другим формам
пластинок. Таким способом можно доказать возможность суще-
Фиг. 49.
Фиг. 50.
Фиг. 51.
ствования узловых диаметров для круглой пластинки или узло-
вых главных осей для эллипсоидальной. Когда границей пластинки
является правильный шестиугольник, то, как легко видеть, фиг. 49,
50 и 51 представляют возможные формы колебаний.
Интересно проследить за непрерывностью хладниевых фигур
по мере того, как форма пластинки постепенно меняется. Так,
например, в случае круга, у которого узлами являются два
взаимно перпендикулярных диаметра, положение этих диаметров
является безразличным и не влияет на тон и тип колебаний.
2301 ЗАКРЕПЛЕННАЯ ГРАНИЦА 399
Но когда круг путем добавления углов превращается в квадрат,
то положение этих диаметров становится вполне определенным.
Для двух представляющихся здесь возможностей тон колебаний
различен, так как влияние углов неодинаково в обоих случаях.
Колебание квадратной пластинки, представленное на рис. 42, со-
ответствует случаю, когда круговая пластинка имеет одну узло-
вую окружность. Соответствие основных частот колебаний шести-
угольной или эллипсоидальной пластинки частотам круглой
пластинки можно проследить аналогичным способом.
230. Для пластинок неизменной формы, однородных по мате-
риалу и по толщине, период колебаний для любой собственной
частоты изменяется пропорционально квадрату линейных размеров,
если, конечно, граничные уело- q
вия одинаковы во всех случаях.
В случае, когда граница закре-
плена, можно пойти дальше и D
утверждать, что удаление лю- фиг 52.
бой внешней части сопровож-
дается повышением тона, независимо от того, имеет ли пластинка
всюду одинаковую толщину и сделана ли она из однородного
материала или нет.
Пусть АВ (фиг. 52) — часть закрепленной границы (при этом
не имеет значения, закреплена ли остальная часть границы или
нет), и мы удаляем часть пластинки ACBD так, что новая
граница ADB также закреплена. Тон любого собственного колеба-
ния становится выше, чем он был до изменения. Это совершенно
очевидно, так как измененные колебания можно получить для
первоначально взятой пластинки введением дополнительного за-
крепления границы ADB. В результате такого закрепления мы
получим повышение тона любого собственного колебания, и часть
пластинки ACBD, будучи пло-
. „„,,,.,,., 1 cko^ и неподвижнод в продол-
I *^ _ *У &* I жение всего движения, может
* ' быть удалена. Для того чтобы
Фиг. 53. проследить за изменениями с
большей уверенностью в отсут-
ствии возможной ошибки, лучше всего предположить, что линия
закрепления перемещается постепенно от исходного положения АСВ
к конечному ADB. Так, например, тон однородной закрепленной
пластинки, имеющей форму правильного шестиугольника, ниже,
чем тон вписанного круга, и выше, чем тон описанного круга.
Когда пластинка свободна, то не всякое увеличение границы
увеличивает период. Для того чтобы это показать, достаточно
привести один частный случай.
Пусть АВ (фиг. 53) — узкая, тонкая пластинка, не обладаю-
щая сама по себе инерцией, но несущая нагрузку в точках А, В
400 КОЛЕВАНИЯ ПЛАСТИНОК [ГЛ. X
и С. Очевидно, что всякое увеличение ширины пластинки,
вроде отмеченного пунктиром, увеличивает жесткость, а потому
уменьшает период колебаний. Аналогичные рассуждения показы-
вают, что для однородной свободной пластинки данной площади
не существует нижнего предела высоты тона; в самом деле, со-
ответствующим удлинением всегда можно сделать основной тон
ниже любой заданной величины. Если граница закреплена, то
наиболее низким тоном обладает, конечно, пластинка, имеющая
форму круга.
Если изменить в одинаковом отношении все размеры пластинки,
включая толщину, то период меняется пропорционально линей-
ным размерам, как и вообще во всех случаях, когда твердое тело
колеблется вследствие собственной упругости.
Таким образом период изменяется обратно пропорционально
квадратному корню из модуля Юнга, если [л постоянно и прямо
пропорционально квадратному корню из массы единицы объема
вещества пластинки.
231. Экспериментируя с тонкими квадратными деревянными
пластинками, волокна которых были параллельны одной паре
сторон, Уитстон J) нашел, что тон колебаний различен в зависи-
мости от того, будут ли узлы, имеющие приближенно форму
прямых, параллельны или перпендикулярны к волокнам. Это явление
зависит от различия жесткости на изгиб в обоих направлениях.
Так как оба вида колебаний имеют различные периоды, то их
нельзя складывать обычным способом, а потому нельзя заставить
такую деревянную пластинку колебаться с узловыми диагоналями.
Однако неравенство периодов можно устранить, изменяя отноше-
ние сторон, п тогда становится применимым обычный принцип
суперпозиции колебаний, дающий в данном случае расположение
узлов по диагоналям. Это было подтверждено Уитстоном.
Дальнейшее применение принципа суперпозиции принадлежит
Кёнигу 9). Для того чтобы можно было складывать два типа коле-
баний, необходимо только, чтобы совпадали их периоды. Далее,
очевидно, что стороны прямоугольной пластинки могут быть
взяты в гаком отношении, чтобы, например, колебание с двумя
узлами, параллельными одной паре сторон, имело одинаковую
частоту с колебанием, сопровождающимся тремя узлами, параллель-
ными другой паре сторон. В таком случае в результате сложения
двух первичных колебаний появляются новые узловые фигуры.
232. Если пластинки, колебания которых нужно исследовать,
искривлены, то, вообще говоря, трудности исследования сильно
возрастают. Однако имеется случай, когда усложнение, вызванное
кривизной, вполне компенсируется отсутствием свободной границы;
С. Wheatstone, Phil. Trans., 1833.
K Pogg. Ann., СХХИ, стр. 238, 1884»
233J кольцевой цилиндр 4oi
этот случай представляет значительный интерес, так как является
наилучшим представлением колебания колокола и допускает
простую аналитическую трактовку.
Длинная цилиндрическая оболочка кругового сечения И всюду
одинаковой толщины, очевидно, способна совершать колебания,
имеющие характер колебаний изгиба, при которых ось остается
в покое и поверхность сохраняет цилиндрическую форму, движе-
ние же в каждой точке перпендикулярно к образующей. В резуль-
тате эту задачу можно рассматривать как двумерную, и решение
ее связано с рассмотрением потенциальной и кинетической энер-
гий при различных деформациях сечения. Такой же метод при-
годен для анализа колебаний кольца, образованного вращением
небольшой замкнутой площади вокруг внешней оси (§ 192а).
Цилиндр или кольцо могут совершать колебания двух различ-
ных типов, обусловленных соответственно жесткостью на растя-
жение и на изгиб; эти колебания аналогичны продольным и попе-
речным колебаниям прямолинейных стержней. Однако когда ци-
линдр тонкий, силы, сопротивляющиеся изгибу, весьма малы по
сравнению с силами сопротивления растяжению, и точно так же, как
в случае прямолинейных стержней, колебания, вызванные изгибом,
имеют более низкий тон и гораздо более существенны, чем коле-
бания, вызванные продольной жесткостью. В предельном случае
бесконечно тонкой оболочки (или кольца) колебания изгиба ста-
новятся независимыми от растяжения кругового сечения в целом
и могут рассматриваться в преаположении, что каждая часть ок-
ружности сохраняет свою первоначальную длину в течение всего
движения.
Однако, хотя колебания, к рассмотрению которых мы при-
ступаем, аналогичны поперечным колебаниям прямолинейных
стержней в отношении зависимости от сопротивления на изгиб,
не следует думать, допуская общераспространенную ошибку, что
они являются исключительно нормальными. В самом деле, легко
видеть, что движение цилиндра или кольца, при котором каждая
частица смещаетс'я в направлении радиуса, несовместимо с усло-
вием отсутствия растяжения. Для того чтобы удовлетворить этому
условию, необходимо приписать каждой частице окружности как
нормальное, так и тангенциальное движение, относительные вели»
чины которых должны удовлетворять определенному дифферен-
циальному уравнению. Первым шагом по пути к решению по-
ставленной задачи и будет исследование этого уравнения.
233. Пусть первоначальный радиус кругового сечения равен а;
положение равновесия каждого элемента окружности определим
углом 9. Пусть в результате движения полярные координаты
элемента окружности будут
r = a-\-brt <p =
26 Зак 1774 Р»леВ, I
402 КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК [ГЛ t
Обозначив через ds дугу деформированной кривой, соответствую-
щую элементу adb, получим
(<fe)a = (д d9)a = (d S/-J + ra (db + d 86)9;
откуда, пренебрегая квадратами малых величин Ьг, 86, находим
искомое уравнение
Как бы ни была деформирована начальная окружность в момент t,
по теореме Фурье можно разложить Ьг в ряд:
Ьг = а {Ах cos Ь + Bt sin 9 -f-^a cos 29 + B j sin 29+...
ins9 + ...), B)
и соответствующее тангенциальное смещение, необходимое для
того, чтобы не было растяжения, будет равно
89 = — Ах sin e + Sx cos ft+ ... —^ sin sb -f-^-cos s9 — ..., C)
где произвольная постоянная, которую можно прибавить к ЬЬ,
опущена.
Обозначив через oadb массу элемента adb, получим для кинети-
ческой энергии Г всего движения выражение:
D)
произведения координат Аа, Ва исчезают при интегрировании.
Теперь определим вид потенциальной энергии V. Пусть
р — радиус кривизны какого-нибудь элемента ds. Тогда для со-
ответствующего элемента V можно принять -n-jBrfs of —) , где
В — постоянная, зависящая от вещества цилиндра и от толщины.
Следовательно,
Ib. E)
0
Ho
233) ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИИ
" в 7 ~ 1A"" Aicos * ~" Bisin * — • • •).
так как для малых членов можно пренебречь различием между
<? и 6.
Отсюда
8 7 в 7 2 КИ -DM. cos s? + ?,
и
где суммирование распространяется на все целые положительные
значения s.
Член, для которого $=!, не влияет на величину потенциаль-
ной энергии, так как соответствует смещению всей окружности
в целом без деформации.
Мы видим, что если конфигурация системы определяется, как
выше, координатами Av Bt и т. д., то выражения для Т и V
содержат только квадраты; другими словами, эти координаты
являются нормальными координатами, вариации которых выражают
колебания системы.
Рассматривая только члены, содержащие coss9, sins9, и выбрав
соответствующим образом полюс в, получим
8r = a,4ecoss9, 86 = —-^-sin 5Й. G)
s
Уравнение, определяющее зависимость А„ от времени, имеет вид:
= 0, (8)
откуда мы заключаем, что если А, изменяется пропорционально
cos (pt — е), то
а_ В д*(да-1I ,9,
Эгот результат получен Хоппе для кольца и приведен в мемуаре,
опубликованном в журнале Крелля (Crelle, том 63, 1871 г.). Его
метод, хотя и более полный, чем вышеприведенный, менее прост,
так как он не учитывает в явной форме, что рассматриваемое
движение соответствует предположению полной нерастяжимости
окружности.
[Применяя (9) к кольцу, имеем (по § 192а)
26»
404 КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК [ГЛ. X
где q — модуль Юнга, р — объемная плотность, а с — радиус
кругового сечения. Для цилиндрической оболочки по A8) § 2b5g
В
где 1h означает толщину, а т, п — упругие постоянные в обозна-
чениях Томсона и Тэта.]
Согласно Хладни частоты собственных колебаний кольца от-
носятся, как
32:5а:72:99...
Если взять отношение каждого тона к основному тону ряда,
то для отношений, характеризующих интервалы, найдем
2,778, 5,445, 9, 13,44 и т. д.
Соответствующие числа, полученные из вышеприведенной теоре-
тической формулы (9), если подставить в нее вместо s последо-
вательно 2, 3, 4 и т. д., равны
2,828, 5,423, 8,771, 12,87 и т. д.,
что дает хорошее согласие с результатами экспериментов.
[Фенкнер ]) произвел ряд наблюдений над тонами тонких метал-
лических цилиндров, открытых с одного конца. Так как при этом
обнаружилось, что высота тона почти не зависит от высоты
цилиндров, то можно рассматривать эти колебания как прибли-
женно двумерные. В согласии с (9) и A1) Фенкнер нашел, что
частота прямо пропорциональна толщине и обратно пропорцио-
нальна квадрату радиуса. Что касается последовательности тонов
для данного цилиндра 2), то он получил для нее числа 2,67, 5,00,
8,00, 12,00 и т. д., где наинизший тон E = 2) принят за единицу.
Согласие с формулой (9) может быть улучшено, если увеличить
вти числа приблизительно на 1/12, что эквивалентно изменению
высоты основного тона.
БрайанА) исследовал влияние вращения оболочки вокруг ее
оси. Оказалось, что узлы при этом также вращаются, но с мень-
шей угловой скоростью, чем сам цилиндр. Если обозначить угло-
вую скорость вращения цилиндра через <о, то угловая скорость
вращения узлов равна
з1
234. При s = 1 частота равна нулю, как можно было пред-
полагать заранее. Главный тип колебания соответствует s = 2 и
1) Fenkner, Wled. Ann, том 8, стр. 185, 1879.
8) Melde, Akustlk, Leipzig, cip 223, 1883.
B) Bryan, Proc. CamO. Phil. Soc, том VII, стр. 101, 1890.
235] ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 405
имеет четыре узла, отстоящие друг от друга на 90°. Однако
эти так называемые узлы не являются местами абсолютного
покоя, так как тангенциальное движение здесь максимально.
В самом деле, тангенциальное колебание в этих точках составляет
половину максима чьного нормального движения. Вообще для 5-го
члена максимальное тангенциальное смещение равно 1/s максималь-
ного нормального смещения и имеет место в узлах последнего.
Когда колоколообразное тело возбуждается ударом, то точка
приложения удара представляет собой место максимального нор-
мального смещения возникающих колебаний; то же самое имеет
место, когда колебания возбуждаются смычком, как это обычно
делается при экспериментах в аудитории. Впрочем, стеклянные
колокольчики, например рюмки, легче привести в правильное
колебание трением влажного пальца вдоль края. Получаемый
таким образом звук имеет такую же высоту, как и при легком
ударе мягкой частью пальца; но поскольку тангенциальное движе-
ние колеблющегося колокольчика очень часто упускалось из
вида, получение звука таким способом считалось трудно объяс-
нимым. Едва ли необходимо в настоящее время указывать, что
влияние трения в первую очередь состоит в возбуждении танген-
циального движения и что точка приложения трения является
местом, где тангенциальное движение максимально, а следова-
тельно, нормальное движение равно нулю.
235. Наличие тангенциального колебания в случае колокола
было проверено следующим образом. Так называемый колокол
воздушного насоса надежно прикреплялся к столу открытым
концом кверху и приводился в колебательное движение влажным
пальцем. Небольшая зазубрина в ободке, отражающая луч свечи,
давала светлый зайчик, движение которого можно было наблюдать
при помощи соответствующим образом установленной линзы Код-
дингтона. По мере движения пальца вокруг края сосуда, можно
было наблюдать вращение линии колебаний с угловой скоростью,
вдвое большей скорости пальца; величина смещения (определяе-
мая длиной светлой линии) хотя и изменяется, но в любом поло-
жении остается конечной. Наблюдение соответствия между
мгновенным направлением колебания и положением точки возбуж-
дения, однако, оказалось несколько затруднительным. Для того
чтобы произвести такое наблюдение удовлетворительным образом,
оказалось необходимым приложить трение в окрестности одной
точки. Тогда стало очевидным, что зайчик движется танген-
циально в тех случаях, когда колокол возбуждается в точках,
отстоящих от этой точки на 0, 90, 180 или 270°, и нормально,
когда трение приложено в промежуточных точках, соответствую-
щих 45, 135, 225 и 315°. Иногда приходится принимать специ-
альные меры для того, чтобы заставить колокол колебаться в ос-
новном тоне без заметной примеси обертонов,
406 КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК [ГЛ. X
Если прикрепить небольшой груз в какой-нибудь точке крае-
вой окружности, то получается некоторое увеличение периода, при-
чем это увеличение различно, смотря по тому, совпадает ли нагру-
женная точка с узлом нормального или тангенциального движения;
в первом случае оно меньше, чем во втором. Таким образом,
высота получаемого звука зависит от места возбуждения; вообще
слышны оба тона, которые, интерферируя, вызывают биения;
частота последних равна разности между частотами обоих тонов.
Такое явление можно часто наблюдать у больших коло-
колов.
235а. При определении числа узловых меридианов Bs),
соответствующих одному какому-нибудь тону колокола, весьма
удобно воспользоваться биениями, либо вызванными случайными
неправильностями, либо намеренно созданными специальной на-
грузкой (ср. § 208 и 209). Осторожно постукивая вдоль какой-
либо параллели колокола, можно обнаружить места, в которых
биения исчезают благодаря отсутствию одного или другого из
составляющих колебаний. Однако при этом следует остерегаться
поспешных заключений. Отсутствию слышимости биений может
способствовать неудачное положение уха или отверстия резонатора,
используемого вместе с ухом. Обходя колокол кругом, легко найти
'jaKoe положение, при котором наиболее выгодно производить
наблюдение. В соседстве с точкой приложения удара находится
пучность колебания, которое возбуждается сильнее всех, и сов-
падающий с ней узел колебания, возбуждаемого слабее всех.
Когда ухо расположено в точке, лежащей против узла первого
колебания и, следовательно, пучности второго, то первоначальное
неравенство сглаживается, и биения четко слышны, даже если
точка приложения удара расположена весьма близко к узловой
точке. Для нашей цели совершенно необходимо точнее опреде-
лить таким способом две последовательные точки, в которых
биения совершенно не обнаруживаются. Отношение длины всей
параллели к дуге, заключенной между полученными таким обра-
зом точками, равно 4s. Таким образом, если дуга между этими
двумя точками оказалась равной 45°, то отсюда следует за-
ключить, что мы имеем дело со случаем s = 2, для которого
деформация является эллиптической. Для того чтобы по воз-
можности обезопасить себя от ошибки на практике, полез-
но определять большее число точек, для которых биения не
имеют места. Если отклонения от симметрии незначительны, то
эти точки должны быть равномерно распределены вдоль парал-
лели J).
i) Звонки или гонги, как их иногда называют, будильников часто
дают неприятные биения. Избавиться от этого иногда можно соответ-
ствующим поворотом чашечки звонка вокруг ее оси.
235а] колокола 407
В указанном выше способе определения узлов предполагается,
что тон исследуемого колебания явственно слышен. При этом биения
оказываются полезными для направления внимания; однако, когда
мы имеем дело с более сложными объектами, например с церков-
ными колоколами, рекомендуется прибегнуть к помощи резона-
торов. Очень удобны и выпускаемые Кёнигом комплекты резона-
торов, имеющие форму, применявшуюся Гельмгольцем. Следует вы-
брать из резонаторов тот, который настроен на ближайший высший
тон по отношению к исследуемому, и подстроить его, перемещая
палец над отверстием резонатора. Без той уверенности, которая
дается резонаторами, определение октавы является весьма неточным.
Единственная категория колоколов, для которых можно дать
приближенную теорию, это — колокола с тонкими стенками
(§§ 233, 235с). В качестве примера таковых можно рассматривать
следующие стеклянные колокольчики:
I с', е"\>, с'"%,
II а, с"%, Ь",
Ш /'#, Ы.
Значение s для основного тона равно 2, для второго 8 и для
третьего 4.
Аналогичные наблюдения были произведены с так называемыми
полусферическими колоколами приблизительно одинаковой тол-
щины весом около 3 центнеров (английский центнер равен
50,8 кг. Прим. пер). Четыре тона слышны полностью, а именно
еу /'#, е", f/';
высота взята по сравнению с фисгармонией. Основной тон звучит
долго. Если колокол возбуждается ударом твердого тела, то
сначала преобладают высокие тоны, но через некоторое время они
угасают и остается только е\>. Если удар производится мягким те-
лом, то первоначальное преобладание высоких тонов менее заметно.
Применяя описанный метод, нетрудно было показать, что
указанные четыре тона относятся соответственно к значениям
s = 2, 3, 4, 5. Таким образом, для наиболее низкого тона коле-
бание является эллиптическим с четырьмя узловыми меридианами,
следующий тон имеет шесть узловых меридианов и т. д. Посту-
кивая вдоль меридиана, можно было обнаружить, что звуки ста-
новились все менее четкими по мере удаления от края, причем
это происходило непрерывно, без всяких следов узловой окруж-
ности по параллели. Здесь сам собой напрашивается вопрос,
к которому мы еще вернемся в связи с церковными колоколами:
какой из одновременно существующих различных тонов характе-
ризует тон колокола в целом? Таковым, повидимому, является
третий тон, так как литейщики характеризовали звук колокола,
как натуральное Е.
408 КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК [ГЛ. X
В церковных колоколах в «ударном пояске» — в том месте, по
которому ударяет язык, — сконцентрировано большое количество
металла, настолько большое, что едва ли здесь можно ожидать
близкого соответствия с тем, что имеет место в случае тонких
однородных колокольчиков. Однако описанный метод вполне
пригоден для того, чтобы определить число узловых меридианов
для всех наиболее важных тонов. Так, в колоколе Мирса и Стейн-
бэнка весом в 6 центнеров можно было обнаружить шесть тонов,
а именно:
е', с", f+. П. <*'"¦ /"•
D) D) F) F) (8)
Изготовителями указан для атого колокола тон d'", так что
здесь этот тон является пятым в приведенном ряде тонов, харак-
теризующих колокол. Число узловых меридианов для различных
составляющих указано в скобках. Так, в случае тона е' имеется
четыре узловых меридиана. Исследуя колокол вдоль меридиана
подобным же способом, можно было заметить, что у колокола
не существует узловых параллелей. Вместе с тем наблюдалось
различие в интенсивности звука. Наиболее сильно звучал этот
тон в том случае, когда колокол возбуждался приблизительно
в середине между вершиной и краем.
Следующим тоном является с". Наблюдение обнаружило и
для этого колебания также четыре, и только четыре, узловых
меридиана. Однако здесь имеется хорошо заметная узловая
параллель, расположенная приблизительно на расстоянии четверти
промежутка между краем и вершиной колокола, считая от края.
Проверяя этот тон при помощи резонатора, можно обнаружить,
что он исчезает, если улар приложен точно в точке, лежащей
на этой окружности, но вновь возникает при небольшом удалении
от нее в ту или другую сторону. Узловая окружность и четыре
узловых меридиана делят поверхность колокола на сегменты; на
поверхности каждого из них нормальное движение имеет одинако-
вый знак.
Тону f соответствуют шесть узловых меридианов. Здесь нет
заметной узловой окружности. Правда, в тех случаях, когда
место удара значительно удалено от ударного пояска, звук весьма
слаб. Интенсивность звука казалась минимальной при ударе
в точке, расположенной приблизительно на половине пути от края
до вершины.
Три низших тона хорошо слышны при ударе в ударный поясок.
Но следующий четвертый тон Ь"\> в этом случае едва слышен
и заметен только, если ударять по самому краю в касательном
направлении. Максимальный эффект получается на половине путв
по направлению к вершине. Постукивая вдоль окружности сече-
ния, можно обнаружить шесть узловых меридианов-
235а] колокола 409
Пятый тон d'" хорошо слышен при обычном ударе в поясок,
но быстро спадает при изменении места удара, причем в верхних
трех четвертях поверхности колокола он очень слаб. Четкой
узловой окружности нельзя было обнаружить. Постукиванием вдоль
окружности было обнаружено 8 узловых меридианов.
Высший полученный тон f" было не легко наблюдать, и
нельзя было достаточно удовлетворительно определить форму
колебаний.
Аналогичные результаты были получены с колоколом весом
в 4 центнера, отлитым Тейлором из Лафборо для церкви в Амп-
тоне. Номинальным тоном был тон d (не считая октавы). С этим
колоколом получены следующие тоны:
«>-2. <Г-6. /" + 4, Ъ"\,-Ь", d'", g"'.
D) D) F) F) (8)
Цифры рядом с обозначениями нот указывают, насколько частота
данного тона колокола отличалась от частоты тона фисгармонии,
которая применялась в качестве стандарта. Так, низший тон е'\> давая
два биения в секунду и был диссонирующим. В случаях, когда ука-
занное число превосходит 3, оно является результатом приблизитель-
ной оценки, и его нельзя считать совершенно точным. Кроме того,
как уже отмечалось, каждому из указанных тонов, строго говоря,
соответствуют две частоты, которые часто заметно отличаются
друг от друга. Так, для четвертого тона символ Ь"^ — Ь" означает,
что, насколько можно судить, высота тона колокола находится
приблизительно посредине между двумя соответствующими нотами
фисгармонии.
Так как наблюдения в лаборатории над вышеупомянутыми
колоколами привели к определению типов колебаний, соответ-
ствующих пяти низшим тонам, то для других колоколов церков-
ного образца достаточно было для установления типа колебаний
просто определить высоту тона. Результаты собраны в нижесле-
дующей таблице х) и содержат, помимо уже описанных выше,
наблюдения над бельгийским колоколом, принадлежащим Хевису,
и над 5 колоколами набора Терлинг. Что касается номинальных
тонов последних колоколов, то несколько наблюдателей сошлись
на том, что тонами этими являются
(причем октава не принимается во внимание).
Ознакомление с таблицей (стр. 410) обнаруживает замеча-
тельный факт, что для английских колоколов во всех случаях
пятый тон совпадает с номинальным и, за исключением колокола
Терлинг D), никакой другой тон не дает такого согласия а).
1) W. Rayleigh, «On Bells», Phil. Mag., том 29, стр. 1, 1890.
8) P этом сравнении основной тон не рассматривается.
410
КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК
[ГЛ. X
Кроме того, как наиболее ярко обнаруживается для колокола,
отлитого Мирсом и Стейнбэнком, номинальный тон, даваемый изго-
товителями, на октаву ниже единственного совпадающего тона.
t
в о
III
Ill
S2
(.00
К
<ц а.
ни
т
с"
с
Действительная высота тона фисгармонии
е'\> — 2
rf" —6
/" + 4
Ъ"Ь—Ь"
rf"'
rf' —4
с"# — rf"
/" + 1
а" —6
...
?—3
/-4
а'+ 6
rf" —3
/"#-2
а + 3
?'# — 4
&' + 6
rf"# — в"
*"#-6
й# + 3
а'+6
с"# + 4
е" + 6
«"#
rf'—e
я'# —5
rf" + 8
«"#+A0)
6" + 2
е"
Высота тона, отнесенная к пятому тону, принятому за с
4-2
с —6
4 + 4
а(> — в
с
4-з
4-4
4 + 6
ф— 3
с —2
4+з
с—4
4 + 6
^—«#
с —6
с + 3
4 + 6
е)> + 4
/# + 6
с
4—6
Ъ — 5
4 + 8
а + 8
с + 2
4+2
+
4
Весьма сложный и часто диссонирующий звук колоколов объяс-
няет разногласия, обнаруживающиеся иногда в оценке высоты тона.
Симпсон, посвятивший много внимания этому предмету, выдвинул
серьезные аргументы в пользу того мнения, что бельгийские мастера
определяют высоту тона колоколов вторым тоном из приведен-
ного выше ряда, так что, например, высота тона Терлинга C)
должна быть а, а не о#. Во вторую очередь они уделяют вни-
мание ближайшему тону (третьему по порядку), классифицируя
свои колокола по характеру терции, полученной таким образом,
независимо от юго, будет ли это большая или малая терция.
Так, в Терлинге C) интервал между а' и с" составляет большую
терцию. Сравнительное пренебрежение бельгийцев к пятому тону,
на который обращают исключительное внимание английские ма-
стера, может быть, пожалуй, объяснено слабым звучанием этого
тона в бельгийских колоколах и различием обработки. Когда
колокола звучат отдельно или совместно с другими колоколами,
но через сравнительно большие промежутки времени, то, пови-
димому, внимание сосредоточивается скорее на более низких и
235а] колокола 4ll
устойчивых элементах звука, чем на высоких, быстро исчезающих;
обратного можно ожидать в случае, когда колокола звучат один
за другим, как в быстром перезвоне.
Во всяком случае, фальшивые октавы, которыми изобилует
таблица, являются просто наблюденными фактами, и нам кажется,
что исправление их значительно улучшило бы общий эффект.
В особенности следует обратить внимание на правильность октавы
между вторым и пятым тоном. Пожалуй, низшая октава по отно-
шению к основному тону, которую английские литейщики назы-
вают hum-note («гудящий тон»), имеет меньшее значение. То же
самое можно сказать относительно кванты, образуемой четвертым
тоном ряда, которая имеет гораздо меньшее значение. Приведен-
ные в таблице вариации показывают, повидимому, что нет не-
преодолимых препятствий для получения точных гармонических
соотношений между различными тонами.
Что касается формы, принятой для церковных колоколов, то
до сих пор ей не дано удовлетворительного объяснения. Как из
эксперимента, так и из теории тонких оболочек следует, что
эта форма особенно жестка в отношении главного вида дефор-
мации (s = 2) под действием сил, приложенных нормально вблизи
края. Быть может, преимущество такой формы в том, что она
уменьшает роль низшей компоненты звука, упомянутой уже hum-
note.
ГЛАВА ХА
ИЗОГНУТЫЕ ПЛАСТИНКИ ИЛИ ОБОЛОЧКИ
2356. В последней главе (§§ 232, 233) мы рассмотрели сравни-
тельно простую эадачу о двумерных колебаниях цилиндрической
оболочки, по крайней мере в той части, которая относится
к колебаниям изгиба. При этом оболочка предполагалась тонкой,
состоящей из изотропного материала и ограниченной бесконеч-
ными коаксиальными цилиндрическими поверхностями. В настоящей
главе мы рассмотрим задачу о цилиндрических оболочках в более
общем виде и затем дадим теорию колебаний изгиба сферических
оболочек.
При рассмотрении деформаций тонкой оболочки наиболее
важным является вопрос о том, подвергается ли растяжению
средняя поверхность, т. е. поверхность, расположенная посредине
между обеими граничными поверхностями. В первом случае
деформацию можно назвать растяжением, и ее потенциальная
энергия пропорциональна толщине оболочки, которую мы будем
обозначать через 2А. Поскольку инерция оболочки, а следователь-
но, и кинетическая энергия данного движения также пропорцио-
нальны А, то частоты колебаний в этом случае независимы
от h (§ 44). С другой стороны, если никакая линия, проведенная
на средней поверхности, не подвергается растяжению, то потен-
циальная энергия деформации является величиной высшего
порядка по отношению к малой величине А. Если предположить,
что оболочка разделена на слои, то растяжение каждого слоя
пропорционально его расстоянию от средней поверхности, и доля
данного слоя в общей потенциальной энергии пропорциональна
квадрату этого расстояния. Интегрируя по всей толщине оболочки,
найдем, что полная потенциальная энергия пропорциональна А3.
Колебания этого рода можно назвать колебаниями без растяжения
или колебаниями изгиба, и их частоты пропорциональны А(§ 44),
так что по мере уменьшения толщины звуки неограниченно
понижаются.
Таким образом колебания одного класса можно рассматривать,
как зависящие от члена порядка А, а колебания другого класса,
как зависящие от члена порядка /г3 в выражении потенциальной
энергии. В общем случае имеются оба члена, и только в пределе
[238ft] колЕВАния йзгива 413
возможно абсолютное разделение на два класса. Этот вопрос
иногда является источником затруднений. То, что в случае коле-
баний с растяжением можно пренебречь членом порядка А3 по
сравнению с членом порядка А, представляется достаточно обос-
нованным. Но можно ли при рассмотрении другого класса коле-
баний опустить член порядка А, удерживая в то же время член
порядка А3?
Этот вопрос можно иллюстрировать рассмотрением следующей
статической задачи. Согласно общему принципу механики (§ 74),
если в системе, первоначально находившейся в равновесии, соот-
ветствующего типа силами производятся заданные смещения
(недостаточные для определения конфигурации системы), то по-
лучающаяся деформация определяется из условия, требующего,
чтобы потенциальная энергия была минимально возможной. При-
меним этот принцип к случаю упругой оболочки, где заданные
смещения таковы, что сами по себе не предполагают растяжения
средней поверхности. Получающаяся в результате деформация,
вообще говоря, включает как растяжение, так и изгиб, и всякое
выражение для энергии должно иметь вид
Ah (растяжениеK -}- ВА8 (изгибJ. A)
Эта энергия должна быть насколько возможно малой. Следо-
вательно, если толщина беспредельно уменьшается, то действи-
тельное смещение будет сводиться к чистому изгибу, совместимому
с заданными условиями.
На первый взгляд может показаться странным, что из двух
членов, из которых один пропорционален кубу, а другой — пер-
вой степени толщины, приходится сохранять первый и пренебре-
гать вторым. Однако дело в том, что большая потенциальная
энергия, которой должно сопровождаться любое растяжение сред-
ней поверхности, является сама по себе достаточной причиной для
того, чтобы подобное растяжение не происходило. Сравнительно
большая величина коэффициента (пропорционального А) более чем
нейтрализуется малой величиной самого растяжения, квадрату
которого пропорциональна энергия.
Можно взять в качестве примера случай стержня, закреплен-
ного на одном конце А и отклоненного поперечной силой. Тре-
буется проследить влияние непрерывно увеличивающейся жесткости
в части стержня, заключенной между А и соседней точкой В.
В пределе можно рассматривать стержень, как закрепленный
в точке В, и пренебречь энергией в части АВ, несмотря на
то или, скорее, вследствие того, что она имеет бесконечную
жесткость.
Поэтому было бы ошибочным рассматривать пренебрежение
членом порядка А как особенно таинственную операцию. Во всех
случаях связи, .которая предполагается вводимой постепенно
414 ИЗОГНУТЫЕ ПЛАСТИНКИ ИЛИ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. ХА
(§ 92а), колебания стремятся разбиться на два класса, для одного
из которых имеет место связь, между тем как для другого, у ко-
торого связь нарушается, частоты возрастают беспредельно. Ана-
логия с оболочкой постепенно уменьшающейся толщины будет
полной, если мы предположим, что в то же самое время упругие
постоянные увеличиваются в такой пропорции, что сопротивление
изгибу остается неизменным. Тогда сопротивление растяжению
становится бесконечным, и в пределе один класс колебаний будет
чистым колебанием без растяжения, или колебанием изгиба.
В исследовании, которому мы сейчас подвергнем колебания
цилиндрической оболочки, мы рассмотрим раздельно колебания
с растяжением и колебания без растяжения. Более непосредствен-
ным кажется вывести с самого начала общее выражение потен-
циальной энергии с точностью до членов порядка А8, на котором
ложно было бы построить всю теорию. Такое выражение вклю-
чало бы и растяжение и изгиб средней поверхности. Оказывается,
однако, что такой способ трудно применить, поскольку потен-
циальная энергия (с точностью до h6) зависит не только от вы-
шеупомянутых величин, но также от способов приложения нор-
мальных сил, наличие которых, вообще говоря, подразумевается
при наличии растяжений средней поверхности1).
235с. Первым вопросом, который нужно рассмотреть,
является нахождение выражения для условия, в силу которого
средняя поверхность остается нерастянутой; если же это условие
нарушено, то необходимо найти величины растяжений, выражен-
ные через смещения различных точек поверхности. Для начала
предположим, что поверхность представляет собой поверхность
вращения и что точки поверхности определяются цилиндриче-
скими координатами z, r, <р. После деформации координаты этих
точек будут соответственно z-\-bz, г-\-8г,<р4-<*?• Обозначая
через ds элемент дуги кривой, проведенной на поверхности, бу-
дем иметь
(ds 4- d 85)8 = (dz 4- d bz)* 4- (г 4- br)\d<? 4 d 8<pJ -f (dr -f d brf
и, следовательно,
A)
В этом выражении мы рассматриваем z и <р как независимые пе-
ременные, так, что, например,
!) W. Raj ugh, «On the Uniform Deformation in Two Dimensions of a
Cylindrical Shell, with Application to the General Theory of Deformation
of Thin Shells», Proc. Math. Soc, том XX, стр. 372, 1889.
условие нерастянутости 4i5
дг , , дг
dz +
где по предположению -з— = 0. Соответственно этому
\ дх "+" дг
\ di <r dz
где -^— представляет удлинение элемента ds. Если никакая дуга
кривой, проведенной на поверхности, не подвергается растяже-
нию, то выражение B) должно исчезать независимо от соотноше-
ний, имеющих место между dz и й<э. Следовательно,
дг дЬг
D)
E)
Отсюда, исключая Ьг, получаем
дЬг дг д / дЪ?\
~ьт~'дЧИ\г~дТ)
дЬг , „ д8? дг дав?
и затем, исключая Ьг,
±
dz
Если распределение толщины и форма границы симметричны
относительно оси, то нормальные функции системы можно опре-
делить, положив 8<р пропорциональным cos s<f или sin s<?. Тогда
уравнение для 8<р можно представить в виде
Отсюда видно, что условия отсутствия растяжения представляют
собой большой шаг на пути к определению вида нормальных
функций*
41 б ИЗОГНУТЫЕ ПЛАСТИНКИ ИЛИ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. ХА
Простейшее применение только что сказанного представляет
собой случай цилиндра, для которого г постоянно и равно, ска*
жем, а. Тогда C); D), E) и G) получают простой вид:
^-0. (9)
В силу (9), если 89 <— cos s<p» мы можем положить
а 8<р = (Лва -\- Bsz) cos so A0)
и, далее, в силу (8)
01)
8z = —s-iBeo sin so. A2)
Здесь можно, конечно, добавить соответствующие члены с новыми
произвольными постоянными, получаемыми, если написать s^f
вместо s<o. При Вв = 0 смещение имеет место только в двух изме-
рениях (§ 233).
Если к цилиндру приделать нерастяжимый диск в точке z = О
так, чтобы получилось нечто вроде кружки, то смещения Ьг и Ьо
должны исчезать для этого значения г\ исключение составляет
только случай s = 1. Следовательно, Л, = 0 и
аЪ® = В8z cos so, Ьг = sBsz sin so, 82 = — s-1 BBa sin so. A3)
Далее, в случае конуса, для которого r = igf-z, уравнения
C), D), E), G) принимают вид:
дЬг . . дЬг
A4)
Положив, как обычно, 89"- cosscpi получим решение уравне-
ния A5) в виде
8 \-i) cos so A6)
соответствующие выражения
Ьг = s tg f {A bz + 5e) sin s<p. AT)
62 = tg9f [S-1 В, — S (AbZ + вв)] Sin SO. A8)
235с] собственные частоты 417
Если имеем полный конус с вершиной в точке *г = 0, то Ва — 0
и, следовательно,
Ьг =*sAbr sin s<p, B0)
8z = — $Л8 tg fr sin #p. B1)
Для конуса и цилиндоа второй член в общем уравнении G) исче-
зает. Мы получим более широкий класс разрешимых случаев,
предполагая поверхность такой, что
Г li2-==C°nSt- B2)
Этому уравнению удовлетворяют поверхности второго порядка
общего вида. Если
5 + 4 = »• С23)
то мы будем иметь
"?—¦? да»
и, следовательно, уравнение G) принимает вид:
^-^4-0. ,25)
где 8<p~coss<p и а определяется интегралом:
а.=*§ г-* dx B6)
или, в нашем случае,
а=2Р1п1?ГГ1- B7)
Решением уравнения B5) является
Соответствующие значения 8г и 8г можно получить из D) и E).
Если мы возьмем полную поверхность, проходящую через
вершину z = a, то член, содержащий В, должен исчезнуть. Таким
обраэом, мы можем, опуская постоянный множитель, положить
откуда в силу D) и E)
27 »"• УТП. Р»лей, I
418 ИЗОГНУТЫЕ МАСТИНКИ ИЛИ ОБОЛОЧКИ [ГЛ.ХА
Если ы j будем отсчитывать z' от вершины, z'**a — г, то мо-
жем написать
ж Ш i Л
C2)
C3)
+ 1)а — ««'K-T-Jataev. C4)
Для параболы а и Ъ бесконечны, и — = 2а', а г9 = 4а'г/; таким
образом, можно положить1)
&<f = rscoss®, br = srs+1 siuSf, 8z' = — 2 (s -j- 1) e> sin sy. C5)
Теперь рассмотрим важный случай сферы, для которого в урав-
нении B3) Ь = а. Обозначая через Ь угол между радиусом-век-
тором и осью, получим z = a cos 6, г = a sin 6 и, следовательно,
в силу B9), C0), C1) будем иметь
8? = cos s<p tg8 -1 в, C6)
^=»f«lne?slnetg»ie, C7)
i? =, A -}- s cos 6) sin в? tg» у в. C8)
Другие члены полного решения, соответствующего выражению
B8), получаются путем перемены знака у s.
В приведенных выше уравнениях смещения разлагались на
параллельные и перпендикулярные к оси 6 = 0. Обычно более
удобно разлагать смещение по нормали и по меридиану. Обо-
значая компоненты в этих направлениях через w и аЬЬ, будем
иметь
w = Ьг sin в -f- bz cos 6, а 38 = Sr cos в — bz sin в,
так что окончательно получим:
+ Bgctg»lej, C9)
86 =. — sin s<f sin в [ай tg« 1 в — Bs ctg» i в j, D0)
~- = sin «f \as (s + cos 6) tg» j 6 -f Bs (s — cos в) ctg« -j 6J. D1)
i) W. Rayleigh, «On the Infinitesimal Bending of Surfaces of Revolu-
tion», Proc. Math. Soc, том XIII, стр.Ч, 1881.
235rfJ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА 419
К этому еще можно добавить члены, получающиеся при за-
мене 5«р на s<p-j—п * и изменении произвольных постоянных.
235& Мы перейдем теперь к применению уравнений § 235с
к главным растяжениям цилиндрической поверхности, имея
в виду получить выражение для потенциальной энергии. Продоль-
ное и поперечное растяжения мы будем обозначать соответственно
через at, ва, а сдвиг — через ш. Первое из них дается выражением
B) § 235с, если предположить, что л?<р=»О, -^-=1. Так как в слу-
чае цилиндра -j- =з 0, то
и аналогично
Ьг
Величину сдвига можно получить, рассматривая разность растя-
жений для двух диагоналей бесконечно малого квадрата со сторо-
нами dz и ady. Она равна
~ 1 дЬг
0)
Следующая часть задачи, а именно определение выражения
потенциальной энергии через е^ е,, ш, относится к общей теории
упругости и может быть здесь рассмотрена лишь мимоходом.
Однако целесообразно будет привести здесь основные этапы ис-
следования, отсылая читателя за дальнейшими подробностями
к трудам Томсона и Тэта и Лява. В обозначениях Томсона и
Тэта (Natural Philosophy, § 694) общие уравнения для трех из-
мерений имеют вид:
па = S, nb=T, nc = U. D)
E)
где
Энергия w, соответствующая единице объема, дается уравне-
нием
-\-п (а*-{-№-{-с*). G)
1) М — модуль Юнга, о — отношение (коэффициент) Пуассона, л—по-
стоянная жесткости, (то — уап) — коэффициент сжимаемости.
27*
420 изогнутые пластинки или оболочки [гл. ха
В применении к слою, предполагаемому параллельным плоскости
ху, следует принять /? = 0, 5 = 0, Т= 0, так что
Т7 а = 0, А-0. (8)
Таким образом мы получаем значение энергии, выраженной
через удлинения е, /, параллельные х, у, и через сдвиг с:
(9)
Такова энергия, отнесенная к единице объема. Для того чтобы
придать выражению (9) форму, пригодную для наших целей, необ-
ходимо умножить его на 2Л (толщину). Следовательно, для энер-
гии на единицу площади оболочки толщиной 2А в обозначениях,
•принятых в начале параграфа, мы можем принять
Это выражение применимо одинаково как к плоским, так и
к искривленным пластинкам, так как всякое изменение, вносимое
кривизной, должно содержать высшие степени ft. To же самое
справедливо для энергии изгиба.
2350. Теперь мы уже подготовлены к исследованию колебаний
растяжения бесконечной цилиндрической оболочки, причем коле-
бания мы предположим периодическими как по отношению к z,
так и по отношению к «р. Для удобства будем обозначать смеще-
ния, параллельные z, ©, г, каждое одной буквой, положив
bz = u, a8<p = c, br=w. A)
Эти функции следует считать пропорциональными синусам и
косинусам от /г/а и $<р. При этом могут быть различные комби-
нации, например1),
н= Ucossy — , v= Vsins<psin —, w = Wcoss<?sin ?-, B)
так что выражения A), B) и C) § 235rf принимают вид:
яе1 = —JU cos s<? sin — , C)
aefl = (W-\-sV) cos s<f sin -^-, D)
am = (— sU+jV) sin *p cos -?. E)
i) Разумеется, можно произвольно добавлять ]/зп к s? или к jz/a, или
к обеим величинам.
235е] КОЛЕБАНИЯ РАСТЯЖЕНИЯ 421
Таким образом, потенциальная энергия на единицу площади
[см. A0) § 235d] равна
Далее, обозначая через р объемную плотность, получим кине-
тическую энергию на единицу площади:
Д]. ,7)
Интегрируя F) и G) по z и <р, мы получим для среднего
значения квадрата каждого синуса и косинуса -я-1). Теперь мы
можем применить метод Лагранжа, рассматривая U, V, W как
независимые обобщенные координаты. Если колебания — типа
cos pt и /j9 -?- = ft3, то получающиеся уравнения можно написат ь
в виде
— B/V+ 1» V"— 2NJW = 0, (8)
0, (9)
= Q, A0)
где
Уравнением для частот будет условие равенства нулю опреде-
лителя этих трех уравнений. Его можно написать после приведения
в виде2):
0. A2)
Эти уравнения включают, конечно, и теорию колебаний рас-
тяжения плоской пластинки, для которой а = оо. При таком
!) В физической задаче о простом цилиндре пределами интегрирова-
ния по <р являются 0 и 2я; но математически мы не ограничены одним
оборотом. Мы можем представить, что оболочка состоит из нескольких
накладывающихся друг на друга оборотов, и тогда s уже не обязательно
должно быть целым числом.
2) W. Raylelgh, «Note on the Free Vibrations of an Infinitely Long Cylin-
drical Shell», Proc, Roy. Soc, том 45, стр. 446, 1889.
422 ИЗОГНУТЫЕ ПЛАСТИНКИ ИЛИ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. ХА
? /
применении уравнений удобно положить ау =у, — = J3, —= -j; тогда
смещения равны:
и = U cos фу cos ^z, v = V sin $y sin -\z, w= Wcos (tysin fz. A3)
Если а стремится к бесконечности, причем C, f остаются
постоянными, то уравнения A0), (8) и (9) в конце концов при-
нимают вид W = 0 и
У-О. A4)
V=0, A5)
а характеристическое уравнение A2) переходит в
=0. A6)
Как и следовало ожидать, в уравнении A6) &а является функ-
цией от (P9 + ifa). Первый корень ku = 0 относится к колебаниям
изгиба, которые здесь не рассматриваются; второй корень есть
*а = Р2 + Та A7)
или
у О»)
В то же время A4) дает
lU — pK=O. A9)
Эти колебания сводятся только к сдвигу пластинки в ее собствен-
ной плоскости. Так, например, если f = 0, то колебание можно
представить при помощи выражений:
и = cos $y cos pt, v = 0, w= 0. B0)
Третий корень уравнения A6)
^^(ЛН-Офа + ^-^^-И1») B1)
дает
Соответствующее соотношение между U и V есть
pt/ + TK=O. B3)
Простой пример этого случая мы получим, положив в A3)
и B3) р = 0. Мы можем положить
и = cos -(Z cos pt, v = 0, w = 0, B4)
так как движение происходит в одном измерении.
235е] колебания растяжения 423
Возвращаясь к цилиндру, мы рассмотрим подробно несколько
важных частных случаев. Первый из них получается при ] = О,
т. е. когда колебания независимы от г. Тогда три уравнения (8),
(9) и A0) принимают вид:
(sa — kW)U=0, B5)
[2(N-\- l)s* — k*a*]V-\-2(N-\- l)sW**Q. B6)
2{N-\-l)sV-\-[2(N+l) — ft?|B7 = 0. B7)
Этим уравнениям можно удовлетворить двумя способами.
Сначала положим V=W=0. Тогда U должно быть конечным,
если только
s* — k4* = Q. B8)
Соответствующий тип колебаний для и есть
а = cos s<p cos pt, B9)
где
При этом движении материал цилиндра сдвигается без уве-
личения площади или объема так, что каждая образующая ци-
линдра движется вдоль самой себя. Частота зависит от длины
волны, укладывающейся на окружности сечения, а не от кри-
визны цилиндра.
Колебания второго типа — это те, для которых U==0, так
что движение происходит строго в двух измерениях. Исключая
из B6) и B7) отношение V/W, получаем в качестве уравнения
частот:
sa)l = 0. C1)
Первый корень kl — 0 указывает на бесконечно медленное дви-
жение. Колебания при этом принадлежат к типу колебаний изгиба,
для которых, как мы теперь считаем, потенциальная энергия
исчезающе мала. Соответствующее соотношение между V и W
в силу B6) есть
9V+W — 0. C2)
что дает для C), D) и E)
81 = 0, еа = 0. ? = 0.
Второй корень уравнения C1) есть
ft%a==2(W+l)OH-sa) C3)
или
т + п
424 ИЗОГНУТЫЕ ПЛАСТИНКИ ИЛИ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. ХА
а соотношение между V и W имеет вид;
V—sW = 0. C5)
Мы можем принять, что форма движения выражается урав-
нениями
ц = 0, v = s un sf cos pt, w ¦>= cos s<? cos pt. C6)
Когда s очень велико, то колебания изгиба C2) стремятся
стать исключительно радиальными, а колебания растяжения C5) —
только тангенциальными.
Другой важный класс колебаний представляют колебания,
характеризующиеся симметрией относительно оси, т. е. такие
колебания, для которых s = 0. Общее уравнение частот A2)
в этом случае приводится к виду
(Лааа—/О {b*a?[kW — 2 (N-\- 1) (/¦ -f-1)] +
+ 4BЛ/+О/Ч =0. C7)
Для первого корня имеем ?У = О, W=0, в чем легко убе-
диться, обратившись к уравнениям (8), (9) и A0) и положив
в них s = 0. Колебания являются чисто крутильными и выра-
жаются уравнениями
а = 0, v = sin — cos pt, w = 0, C8)
где
Ф = Щ. C9)
Частота зависит от длины волны в направлении, параллельном
оси, но не от радиуса цилиндра.
Остальные корни уравнения C7) соответствуют движениям,
для которых V = 0, или таким, которые происходят в плоско-
стях, проходящих через ось. Общий характер этих колебаний
можно проследить на случае, когда j мало, так что длина волны
во много раз превышает радиус цилиндра. Из квадратного урав-
нения, дающего остальные корни, находим приближенно
или
ка —
Колебания D0) являются почти чисто радиальными. Если
предположить, что у действительно исчезает, то мы снова прихо-
дим к соотношениям:
235в] КОЛВВЛНИЯ РАСТЯЖЕНИЯ 425
пЗ _ 4яШ 1 ц
™ /я 4-л вЗр '*
что можно получить из C3) и C4), введя условие s = 0. Тип
колебаний теперь выражается уравнениями
и = О, г> = 0, w = cos jttf. D4)
С другой стороны, колебания D1) становятся в конечном
счете чисто аксиальными. Тип колебаний определяется уравне-
ниями
и = cos —cos pt, v = 0, w— —<r"-/ sin — cos pi, D5)
где
Обозначая через q модуль Юнга, имеем по § 214
так что
Следовательно, и удовлетворяет уравнению
q д3а
представляющему обычную формулу (§ 150) продольных колеба-
ний стержня; то обстоятельство, что сечение в данном случае
представляет тонкое кольцо, не влияет на результат при этом
порядке приближения.
Другой частный случай, заслуживающий внимания, получается
при s=\, так что A2) принимает вид:
— /3) BN + 1) = 0. D8)
Как мы уже видели, если j равно нулю, то одно из значе-
ний ft2 исчезает. Если j мало, то соответствующее значение №
имеет порядок j*. Уравнение D8) в этом случае дает
1) Это уравнение дано Лявом в статье «On the Small Free Vibrations
and Deformation oi a Thin Elasic Shell», Phil. Trans., том 179, стр. 523,
1888, а также Кри (Chree), Cambridge Phil. Trans., том XIV, стр. 250,
1887.
426 ИЗОГНУТЫЕ ПЛАСТИНКИ ИДЯ ОВОЛОЧКИ [ГЛ. ХА
или, выражая его через р и q,
Тип колебаний определяется уравнениями:
« = 0,
v =¦ sin «p sin 3~ wspt.
а
w = — cos <р sin — cos pt
E1)
и соответствует колебаниям изгиба стержня (§ 163). В уравне-
ниях E1) г» удовлетворяет уравнению
где g-a3 есть квадрат радиуса инерции сечения цилиндрической
оболочки относительно диаметра.
Этим рассмотрением частных случаев мы и ограничимся.
Едва ли следует в заключение добавлять, что самая общая дефор-
мация средней поверхности может быть выражена посредством
ряда, периодичного по отношению к z и у, так что рассмот-
ренная задача представляет действительно самое общее малое
движение бесконечной цилиндрической оболочки.
Колебания растяжения цилиндра конечной длины были рас-
смотрены Лявом в его «Теории упругости» A893I, где можно
найти также полное исследование общих уравнений деформации
растяжения.
235/. Если оболочка деформируется таким образом, что ни
одна линия, расположенная на средней поверхности, не изме-
няет своей длины, то член порядка h исчезает из выражения
для потенциальной энергии; если приравниванием этой функции
нулю нельзя удовлетвориться, то необходимо дальнейшее прибли-
жение. Прежде чем подойти к нему, необходимо сделать заме-
чание о том, что свойство нерастяжимости относится только
к центральному слою. В самом деле, рассмотрим, например, часть
цилиндрической оболочки, изогнутой таким образом, что перво-
начальная кривизна оказывается увеличенной. Очевидно, что в то
время, когда средний слой остается без изменения, слои, распо-
ложенные с внешней стороны, должны быть растянуты, а слои,
расположенные внутри, должны быть сжаты. Величина этих рас-
тяжений и сжатий пропорциональна прежде всего расстоянию от
средней поверхности и затем изменению кривизны этой поверх-
А также в Phil. Trans., том 179 А, 1888.
235/] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ИЗГИБА 427
ности. Определение потенциальной энергии изгиба сводится, таким
образом, к исследованию кривизны средней поверхности. При
этом смещениями, соответствующими поступательному движению
или вращению, которым твердое тело может подвергаться, можно
пренебречь.
Для того чтобы представить вопрос в простейшем виде, отне-
сем начальную поверхность к системе координат, представляющей
нормаль и главные касательные в некоторой точке Р, и предпо-
ложим, что после деформации линии на поверхности, которые
первоначально совпадали с главными касательными, занимают та-
кое же положение, как вначале. Возможность этого станет оче-
видной, если вспомнить, что вследствие нерастяжимости данного
слоя углы пересечения всех линий, проведенных на его поверхности,
остаются неизменными. Уравнение первоначальной поверхности
вблизи взятой точки имеет вид:
а уравнение деформированной поверхности можно написать в виде
Строго говоря,
представляют 'собой кривизны сечений, образованных плоскостями
х, у; но так как главные кривизны являются максимальной и мини-
мальной кривизной, то они представляют в общем достаточно
точно новые главные кривизны, хотя последние и расположены
в несколько смещенных плоскостях. Условие нерастянутости пока-
зывает, что точки, координаты которых х, у в A) и B) совпадают,
являются соответственными точками. Далее, по теореме Гаусса,
мы должны иметь
?& + »?»-О. C)
Pi Ря
Таким образом, энергия изгиба должна вообще зависеть от
двух величин, из которых одна дает изменения главной кривизны,
а другая х зависит от сдвига (в материале) главных плоскостей.
Случай сферической поверхности является в некоторых отно-
шениях исключительным. До изгиба здесь нет плоскостей, которые
можно было бы отметить как главные плоскости, и, следовательно,
положение этих плоскостей после изгиба безразлично. Энергия
зависит только от изменений главной кривизны, а эти изменения
в силу теоремы Гаусса равны и противоположны; таким образом,
428 изогнутые пластинки или оболочки [гл. ха
если а означает радиус сферы, то новые главные радиусы будут
а-\-Ьр, а — 8р. Есчи уравнение деформированной поверхности есть
2г == Ах* + ЧВху + Cf, D)
то мы будем иметь
1 , 1 _и_
АС — В\
J1
_J _
а-\-Ъра — 8р
так что
Теперь мы должны выразить удлинение различных слоев обо-
лочки при изгибе. Мы начнем с того случая, когда г = 0, т. е.
когда главные плоскости кривизны остаются неизменными. Оче-
видно, в эгом случае сдвиг с исчезает, и нам приходится иметь
дело только с удлинениями е и /, параллельными осям (§ 235d).
В сечении, образованном плоскостью zx, обозначим через s, s'
соответсгвующие бесконечно малые дуги средней поверхности и
слоя, отстоящего на расстояние h от нее. Обозначив через ф угол
между нормалями в концах дуг, получим s — p^, s' = (pt -j- h) <j»,
s' — 5 = /Ц|. Для изгиба, при котором s остается неизменным, имеем
следовательно,
Is' . » / 1N
е = —т- *= «о ( —
s' \Pi)
и, аналогично, /=A8|—J. Таким образом, для энергии U на еди-
ницу площади мы имеем
Pi
и, интегрируя по всей толщине BЛ) оболочки, получаем
±y+f8i-y+^?f3-L+s-Lyi. F)
PiJ V psJ ~m + n\ pt~ pa У J* v ;
Этот вывод можно непосредственно применить к получению
результата, пригодного для сферической оболочки. В самом деле,
поскольку первоначально главные плоскости произвольны, их
можно взять так, чтобы они совпадали с главными плоскостями
после изгиба. Следовательно, с==0, и по теореме Гаусса
236/] энергия изгива 429
так что
где 8(—) означает изменение главной кривизны. Так как е =—/,
g=0, то различные слои просто сдвигаются, причем пропор-
ционально их расстоянию от средней поверхности. Таким обра-
зом, энергия представляет собой функцию только коэффициента
жесткости.
Формулу F) можно непосредственно применить к плоской
пластинке. Однако этот случай отличается той особенностью,
что вследствие бесконечности pv ра уравнение C) удовлетво-
ряется без всяких соотношений между Ьог и 5р3. Таким образом,
для плоской пластинки
где 1/pj, 1/ра — две независимые главные кривизны после изгиба1).
До сих пор мы считали, что ¦: равно нулю. Теперь остается
исследовать влияние деформаций, выражаемых соотношением
te = uj/ = {t(Ea-iiS), (9)
где 5, ч\ относятся к новым осям, расположенным под углом в 45°
к осям х, ,v. Кривизны, определяемые соотношением (9), располо-
жены в плоскостях %, г\, равны по численному значению и про-
тивоположны по знаку. Удлинения в этих направлениях для
любого слоя в толще оболочки равны кг, —Лт, а соответствую-
щая энергия (так же, как и в -только что рассмотренном случае
сферы) принимает вид:
^\ A0)
Эту энергию следует прибавить8) к энергии уже найденной
и выражаемой уравнением F). В конечном итоге получаем выра-
жение
Pi/ \ Н> т + п\ н^ Н) J
для полной энергии в случае, когда при деформации средняя
1) Это, как нетрудно показать, совпадает с B) § 214 в других обо-
значениях.
2) Очевидно, что здесь не имеется членов, содержащих произведе-
ния г на изменения главной кривизны 8 (f^1), Ь (ря~1)', в самом деле,
изменение знака при t не может повлиять на энергию деформации,
определяемую соотношением B).
430 ИЗОГНУТЫЕ ПЛАСТИНКИ ИЛИ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. ХА
поверхность остается нерастянутой. Можно выразить ? при помощи
угла ¦/_, на который отклоняются главные плоскости; именно
2Mg. Продолжим теперь наше вычисление потенциальной
энергии изгиба цилиндрической оболочки. Нам предстоит найти
выражение для изменений главной кривизны и смещений главных
плоскостей в некоторой точке P(z, <p) цилиндра через смеще-
ния и, v, w. Так же как и в § 235/, возьмем в качестве не-
подвижных координатных осей главные касательные и нормаль
к недеформированному цилиндру в точке Р, так что ось лг-ов
будет параллельна оси цилиндра, ось у касательна к круговому
сечению, а ось * будет представлять внутреннюю нормаль. Если,
• как это в данном случае удобно сделать, отсчитывать г и <р от
точки Р, то координаты материальной точки Q, соседней с точ-
кой Р до деформации, можно выразить в виде
x — z, у = ау, C = -ia<pa. A)
Координаты точки Q при смещении получат приращения
и, w sin«p-f-t>cos«, —w cos «p + v sin <p,
так что после смещения будем иметь
x=-z~\-u.
— -г,-<Ра),
или, разлагая и, v, w по степеням малых величин г, <?,
ди . ди
.., B)
где через и0, Vo, ... обозначены значения и, v, ... в точке Р.
Эти уравнения дают координаты различных точек деформиро-
ванного слоя. Теперь мы должны предположить, что слой дви-
жется, как твердое тело, так, что положение точек, бесконечно
235$') ПРИМЕНЕНИЕ К ЦИЛИНДРУ 431
близких к точке Р, сохраняется (если ограничиться первыми
степенями малых величин). Чисто поступательное движение, при
котором смещенная точка Р возвращается в начальное положе-
ние, выражается теми же уравнениями B), C) и D), если в них
просто опустить соответственно члены и0, v0, w0, которые не
вависят от z, «. Произвольное вращение выразится прибавлением
к х, у, С соответственно выражений: уш.л— ?<оа, lj»1—ха>я,
хш%—ymv в которых мы здесь предполагаем, что ш1, о>а, шв
являются малыми величинами одного порядка с деформацией, так
что квадратами их можно всюду пренебречь. Прибавив указанные
величины к соотношению B) и т. д., подставив вместо а:, у, С
в члены, содержащие 6, их приближенные значения, мы найдем,
ограничиваясь первыми степенями г, ср:
, ди , ди
r dw
^ = ~ Wo Z -
Далее, поскольку мы считаем слой нерастянутым, можно так
определить coj, <oa, (в3, что при принятом порядке приближения
дг*г, y = av, ? = 0; таким образом,
ди а ди , Л
дгп .Щ,~ 8
dv л ... dv
дг0
VV г.
— <в3=0,
Следовательно, условиями нерастянутости (если отбросить
индексы, которые больше не нужны) будут
ди „ , dv п ди , dv п /к<.
д1 = 0' ™ + ^~°> ^ + °57 = 0' E)
что совпадает с (8) § 235с.
Возвращаясь к соотношениям B) и т. д., измененным прибавле-
нием членов, зависящих от поступательного и вращательного дви-
жений, получаем
х — г -\- члены второго порядка по z и «р
у = а<в •+¦ я , „ „ z и <р
г 1 з I 1 <» 1 <?% 9 дЬа „ 1 дЦц> 9 ,
432 ИЗОГНУТЫЕ ПЛАСТИНКИ ИЛИ ОБОЛОЧКИ ГГЛ. ХА
или, так как в силу E) -дга~ —О и -з— «— «*. то
Уравнение деформированной поверхности после переноса
будет
до 1 Л
Сравнивая это с B) § 235/, иы видим, что
8 — = 0, 8—=»
Pi р2 «а
так что в силу A1) § 236/
Такова потенциальная энергия изгиба, отнесенная к единице
площади. Пользуясь соотношениями E), ее можно при желании
выразить полностью через v v).
Теперь применим выражение (8) для вычисления полной по-
тенциальной энергии полного цилиндра, ограниченного плоско-
стями z = rt/, диаметр которого, если считать его переменным,
является функцией только г. Так как и, v, w периодичны по
отношению к <р с периодом 2тс, то наиболее общими выражениями
для них, в соответствии с E), будут [ср. A0) и т. д. § 235 с]:
¦w = 2 [s(Asa + Bsz) sin s<p -f s(A'$a + B'gz) cos s<p], A0)
к = 21 — s~:Sgo sin s«p ¦— s~aS^ cos scp], A1)
где суммирование распространяется на все целые значения s от
нуля до оо. Но смещения, соответствующие s = 0, s = 1, таковы,
какие может испытывать твердое тело, и не связаны с поглоще-
нием энергии. Если подставить значения и, v, w в (8), то все
члены, содержащие произведения синусов или косинусов с раз-
*) Такой же результат можно получить из общих уравнений, приве-
денных в уже цитированной работе Лява, при введении соответствующих
условий.
СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 43S
личными значениями s, исчезают при интегрировании по <f, так же
как и члены, содержащие cos s« sin s<p. Соответственно
ИН+
До сих пор мы могли считать А функцией от г; теперь мы
будем считать h постоянным. При интегрировании по z нечетные
степени z исчезнут, и мы получим для энергии полного цилиндра
радиуса а, длины 2/ и толщины 2/г выражение:
- f
+ 1 2«
iJ
пде s = 2, 3, 4, ...
Выражения A3) для потенциальной энергии достаточно для
решения статических задач. В качестве примера предположим, что
цилиндр сжат вдоль диаметра равными силами F, приложенными
в точках z = zv 9 = 0, 93=тс> хотя, несомненно, столь точная
локализация силы вряд ли может встретиться в нашем иссле-
довании вследствие растяжения средней поверхности, которое
произойдет в непосредственном соседстве с точками приложения
силы а).
Работа, произведенная силами F над цилиндром при предпо-
ложенном смещении, которую мы обозначаем через ЬАа и т. д.,
в силу A0) равна
Следовательно, уравнения равновесия имеют вид:
dv — 0, — = О,
-^7 — — A + cos stt)saF, r^7 = — A + cos sn)sztF.
dAg дВа
i) Какова бы ни была кривизна поверхности, на ней всегда можно
взять столь малую площадку, что она может рассматриваться как пло-
ская, а потому будет изгибаться (в нарушение условия Гаусса), будучи
подвержена действию силы, столь близкой к разрывной, что она заметно
изменяется в пределах взятой площадки.
28 Зак 1774 Рэлей, I
434 ИЗОГНУТЫЕ ПЛАСТИНКИ ИЛИ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. ХА
Таким образом, для всех значений s
AS = BS = Q,
а для нечетных значений s
а'в = в'в=о.
Когда же * четно, то
mi*
и смещение w в некоторой точке (г, <р) дается выражением
w = 2 (А^а + B'2z) cos 2<p -{- 4 (Л^в -f Б^г) cos 4<р + • • •.
где Л3, fi2i ^4. • • • определяются выражениями A4) и A5).
Более детальное рассмотрение этого решения можно найти
в мемуаре, из которого взяты вышеприведенные результаты *).
Теперь перейдем к вычислению частот колебаний полной
цилиндрической оболочки длины 21. Обозначая объемную плот-
ность через р2), мы получим для кинетической энергии в силу
(9), A0), (И) выражение
=^-2Ар J J(«« + «
A7)
Типы и частоты колебаний можно сразу получить из выраже-
ний A3) и A7) для V и Т. То обстоятельство, что сюда входят
квадраты, а не произведения величин As, Bs, показывает, что эти
величины действительно являются нормальными координатами ко-
лебательной системы. Если А„ или А3 изменяются пропорционально
cospj, имеем
8_ 4 тп W (д»-д)»
г«~~ 3 яг + я ря4 да+1 ' u ;
Это—уравнение частот колебания в двух измерениях (§ 233). Для
1) W. Rayleigh, Proc. Roy. Soc, том 45, стр 105, 1888.
2) Это обозначение едва ли можно смешать с обозначением для кри-
визны в предшествующем изложении.
235ft] СФЕРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА 435
данного материала частота прямо пропорциональна толщине и
обратно пропорциональна квадрату диаметра цилиндра1).
Аналогично, если Ва или Д, изменяются пропорционально
cospst, находим
+ я
,% 4 тп +
Р* *
3 m + n
Если длина цилиндра велика по сравнению с его диаметром,
то разность между ра и pt становится весьма малой. В этом слу-
чае приближенно имеем
или, полагая т = 2«, s =s 2,
ft , , 39вз
235А. Перейдем теперь к рассмотрению сферических оболо-
чек. Общая теория колебаний растяжения полной оболочки была
дана Лэмбом2); но так как этот вопрос не имеет большого зна-
чения для акустики, то мы ограничимся при рассмотрении весьма
простым случаем симметричных радиальных колебаний.
Если нормальное смещение равно w, то длины всех линий,
расположенных на нейтральной поверхности, изменяются в отно-
шении (a-\-w):a. При вычислении потенциальной энергии можно
положить в A0) § 235й?
так что энергия на единицу площади равна
или для всей сферы
Следовательно, для кинетической энергии, если обозначить
через р объемную плотность,
^2А.р.щга. B)
1) В этих законах нет ничего специфического для цилиндров. В слу-
чае подобных оболочек любой формы, совершающих колебания чистого
доиба, частота будет пропорциональна толщине и обратно пропорцио-
нальна соответствующим площадям. Если подобие относится также и
к толщине, то частота обратно пропорциональна линейным размерам
в согласии с общим законом Коши.
з) I amb, Proc. Lond. Math. Soc, XIV, стр. 50, 1882.
28 s
436 Изогнутые Пластинки или оболочки (гл. хл
В соответствии с этим, если w= W cos pt, будем иметь в каче-
стве уравнения для частоты (?-\
« 4л 3m — п .„.
^ = ^^ТГ' (8)
Что касается общей теории, то Лэмб резюмирует полученные
результаты следующим образом: «Основные типы колебаний рас-
падаются на два класса. В колебаниях первого класса движение
в каждой точке оболочки полностью тангенциальное. В п-ы виде
колебаний этого класса линии движения представляют контурные
линии поверхностной гармонической функции Sn (гл. XVII), а ам-
плитуда колебаний в любой точке пропорциональна значению —-&¦,
.где de есть угол с вершиной в центре, стягиваемый линейным
элементом, начерченным на поверхности оболочки под прямым
углом к контурной линии, проходящей через данную точку. Ча-
стота (¦§—) определяется соотношением
(О
где а — радиус оболочки и ft3 = -—, если через р обозначить
плотность, а через п* — жесткость материала».
«В колебаниях второго класса движение частично радиально,
частично тангенциально. В я-м виде этого класса амплитуда
радиальной составляющей пропорциональна Sn поверхностной
гармонике порядка п. Тангенциальная составляющая всюду рас-
положена под прямым углом к линиям контура Sn на поверх-
ности оболочки, а амплитуда ее пропорциональна А -—, где Л—
определенная постоянная, а fife имеет то же самое значение, что
и выше».
Лэмб находит
?За2 4т
Л 1Ь(я + 1)т' (П)
1+0
где к сохраняет прежнее значение и f s= у-J—, причем о пред-
ставляет собой пуассоново отношение.
«Каждому значению я соответствуют два значения й'а9, опре-
деляемые уравнением
kW — ftaaa Цл9 -J- re + 4) -у -f «* + » — 2] -J-
4-4(»»+п — 2)f = 0. (НО
Один из двух корней этого уравнения больше, а другой мень-
ше 4f. Далее, из (II) выясняется, что соответствующие основные
235ft]
ПОЛНАЯ СФБРА
437
типы колебаний имеют совершенно различный характер. Тип
колебаний, соответствующий меньшему корню, всегда имеет боль-
шее значение.
Для п — 1 значения fc3a3 суть 0 и 6«f. Корень, равный нулю,
соответствует поступательному движению всей оболочки в целом
параллельно оси сферической функции Sv В другом типе коле-
баний радиальное движение пропорционально cos О, где 6 — до-
полнительный угол широты, измеренный от полюса поверхности Sv
Тангенциальное движение происходит вдоль меридиана, и его
амплитуда (измеренная в направлении увеличения 6) пропорцио-
нальна -j sin в.
Для п = 2 значения ka, соответствующие различным значе-
ниям о, даются следующей таблицей:
о = 0
1,120
3,570
о=|
1,176
4,391
3
О==10
1,185
4,601
1
о=?
1,190
4,752
1 1
1
1,215
5,703
гая
Наиболее интересно изменение зональной функции. Пола-
.S = yCcosae—1), мы видим, что полярный диаметр обо-
лочки попеременно удлиняется и сжимается, а экватор в то же
самое время соответственно сжимается и расширяется. Для коле-
бания, соответствующего меньшему корню, тангенциальное дви-
жение направлено к полюсам, когда полярный диаметр удли-
няется, и наоборот. Обратное имеет место при втором типе
колебаний. Отсюда мы можем понять большую разницу в частоте».
Лэмб вычислил, что тонкая стеклянная сфера диаметром
в 20 сантиметров должна иметь основную частоту, равную при-
близительно 5350 колебаний в секунду.
Что касается колебаний без растяжения, то форма их уже
была определена [формула C9) и т. д. § 235с] по крайней мере
для случая, когда граничная кривая и толщина симметричны от-
носительно оси; она еще встретится нам в процессе исследования.
Остается еще вычислить потенциальную энергию изгиба, соот-
ветствующую этому случаю, в зависимости от изменений кривизны
средней поверхности. Процесс вычисления аналогичен уже про-
веденному в § 235 g для случая цилиндра и состоит в отыска-
нии уравнения деформированной поверхности, отнесенного к пря-
моугольным осям, расположенным в первоначальной поверхности
и перпендикулярно к ней.
Двумя системами координат, которые надо связать, являются
обычные полярные координаты г, 9, <р и прямоугольные коорди-
438 ИЗОГНУТЫЕ ПЛАСТИНКИ ИЛИ ОБОЛОЧКИ (ГЛ. ХА
наты х, у, С с началом в точке Р, т. е. в точке (а, 80, <р0) на
недеформированной сфере. При этом координата х измеряется
вдоль касательной к меридиану, у— вдоль касательной к парал-
лели и С — вдоль внутренней нормали.
Так как начало <р произвольно, мы можем расположить его
так, чтобы <р0 = 0. Тогда мы получим следующие соотношения
между обеими системами координат:
а: = г [ — sin (в — 60) -|- sin в cos 60 A — cos <p)J, D)
у = г sin 9 sin <p, E)
С = — г [cos (8 — в0) — sin % sin в A — cos <p)| -f a. F)
Если доложить г = а, то эти уравнения дают прямоугольные
координаты точки (а, 6, <р) недеформированной сферы.
Теперь вообразим, что эта точка смещена так, что ее поляр-
ные координаты равны a-\-br, 8-J-86, <р-|-8<р, и подставим эти
значения в D), E) и F), сохраняя только первые степени вели-
чин Ьг, 88, 8<р. Таким образом
х = (a -f 8г) [ — sin F — 60) + sin 8 cos 80 A — cos »)] -f
+ а 88 [ — cos F — 80) -\- cos 6 cos 80 A — cos <p)j |-
4-eS8sin8cos80sin«p. G)
у = (a -f- 8r) sin 8 sin <p -f- a 88 cos 6 sin «p -j- a 3<p sin 6 cos <p, (8)
С = a — (a -f 8r) [ cos (8 — 60) — sin 80 sin 8 A — cos <p)J +
-f a 30 [sin (8 — 80) + sin 80 cos 8A— cos <p)[ -f
-f- a 8<p sin 80 sin 8 sin «p. (9)
Эти уравнения дают координаты произвольной точки Q сферы
после смещения; нам, однако, понадобится применение их только
в случае, когда точка Q расположена в соседстве с точкой Р
или точкой (а, 80, 0), а потому высшими степенями 6 — 0о и <р
можно пренебречь.
Следуя нашему плану, мы должны теперь представить, что
смещенная и деформированная сфера возвращается обратно, как
твердое тело, так, что все части сферы вблизи Р занимают
возможно близкое к прежнему положение. Следовательно, прежде
всего нам с шдует опустить в выражениях G), (8) и (9) члены
(содержащие 8), не зависящие от 9 — 0о и <в. Далее, к каждому
уравнению следует прибавить соответственно члены, выражающие
произвольное вращение, а именно
у<»9 — ?ша, С»! — x<as, лгш9—у^,
определив <ov «8, «8 так, чтобы с точностью до первых степе-
ней 8 — 80 и f начальное и смещенное положения точки Q со-
шщдали,
235A] КОЛЕБАНИЯ ВЕЗ РАСТЯЖЕНИЯ 439
Опуская все члены второго порядка относительно в — 90 и <р
из G) и т. д., получаем
}
4- а 3<р0 sin 60 cos % ¦ <р, (Ю)
у = a sin 80 • «р -j- 8r0 sin % • 9 -f- a 8в0 cos 80 • 9 -|-
oS80(e-e0), A1)
где 8г0 и т. д. представляют значения, получаемые Р, когда
в — 60 и «р исчезают. Поступательное движение деформированной
поверхности, необходимое для того, чтобы возвратить точку Р
в ее прежнее положение, получается, если опустить члены, содер-
жащиеся в квадратных скобках. Произвольное вращение получится,
если прибавить соответственно
a sin 80 • <о • Q>B, a F — 60) a>3, —a (8 — 8о)<о2 — a sin 00 • 9 • <av
Следовательно, уничтожение членов первого порядка требует вы-
полнения следующих условий:
?3
п9ш8 = 0. A4)
v Т
sin 8 ^J 4- cos 8 89 4- о, = 0, A5)
¦— Sit! 0 —f- OD COS О 4— Sin О -~з— == U# lio)
A7)
A8)
l^Z-f sin9 8^
(индексы опущены). Эти шесть уравнений определяют а>1, ю9, <о8
причем получаются три условия нерастянутости:
0, A9)
B1)
440 ИЗОГНУТЫЕ ПЛАСТИНКИ ИЛИ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. ХЛ
Исключая Ьг из A9), B0), B1), получаем
или, так как sin 9 -^- =
86
д Ц
/ <J6 \
Ив B4) и B5) мы видим, что как 3«р, так и -у-^ удовлетво-
ряют уравнению второго порядка одинакового вида, а именно
L?2==o* B6)
Если материальная система симметрична относительно оси,
то и представляет периодическую функцию от <р, которая может
быть разложена по теореме Фурье в ряд синусов и косинусов <р
и его кратных. Кроме того, каждый член ряда должен удовле-
творять уравнениям независимо от других. Таким образом, если и
изменяется пропорционально cosscp, то B6) переходит в
^ ?Л сЗ„ _ о B7)
откуда
>. B8)
где А' и В' не зависят от 8. Положив
Ц ш. cos в? (A, tg» j 6 + В,ctg. ^ в), B9)
получим из B4) для соответствующего значения 86
и затем из B1)
¦у =» sins? [Л(*+ cos в) tg« 18 +Bs(s — cos fl)ctg* iej, C1)
как и в C9), D0), D1) § 235с.
Второе решение (по В8) может быть получено на пер-
вого (по А8) двумя способами, каждый из которых заслуживает
235A] КОЛЕБАНИЯ БЬЗ РАСТЯЖЕНИЯ 441
внимания. Способ получения решения из B7) показывает, что доста-
точно изменить знак s, причем tgs-^6 превращается в ctg8-i-'i,
sini<p превращается в —sins<p. a cos sy остается без изменения.
Второй способ основан на том соображении, что общее решение
должно одинаково относиться к обоим полюсам. Поэтому законно
будет изменить первое решение, написав всюду (it — Ь) вместо О
и изменяя в то же зремя знак №.
Положив s = I, получаем
sin 8 8<р = cos <p [At + Bt — {Ах — Bt) cos %
88 = — sin <s [Ay — Bx — (Ay + B^ cos 9],
Смещение, пропорциональное (At — Bt), представляет вращение
всей поверхности, как твердого тела, вокруг оси 9 = -д-я, <р == 0;
смещение же, пропорциональное (Лх -j- Bt), представляет посту-
пательное движение, параллельное оси 6 = ^ "• ? = ¦«¦*• Под-
ставляя <р-\--кт: вместо <р, получим дополнительное поступатель-
ное движение и вращение по отношению к этим осям.
Два других движения, которые возможны без изгиба, соот-
ветствуют значению s = 0 и могут быть легко получены из урав-
нений A9), B0), B1). Они представляют вращение вокруг
оси 6 = 0, выражаемое уравнениями
86 = 0, 8<р = const, 8r = 0,
и смещение, параллельное гой же оси, выражаемое уравнениями
или
8<р = о, 8в = f sin в, 8r = —f
Если сфера полная, то только что рассмотренные смещения,
соответствующие s = 0, s = 1, являются единственно возможными.
Для больших значений s из C1) видим, что 8г бесконечно на одном
или на другом полюсе, если не исчезают одновременно Аа и Bs.
По теореме Джеллета1) полная сфера не может быть изогнута.
Если ни один из полюсов не включается в поверхность, кото-
рую мы можем предположить, например, ограниченной паралле-
лями, то допустимы конечные значения как А, так и В, а потому
I) Jellet, «On the Properties of Inextetislble Surfaces», frisk,
Trans., том 22, стр. 179, 1855.
442 ИЗОГНУТЫЕ ПЛАСТИНКИ ИЛИ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. ХА
эти значения необходимы для полного решения задачи. Но если,
как это чаще встречается, один из полюсов, например 8 = 0,
включен в поверхность, то следует считать постоянные В рав-
ными нулю. При этих условиях решением будет:
J4etg*-^ Ь cos s<o,
C2)
— АййпЬtga~b sinsv
br *= Afi (s + cos 8) tg* ~ в sin s«p.
К этому решению следует прибавить решение, получаемое при
замене s® через s«p —|—^- те и изменении произвольной постоянной.
Из C2) мы видим, что вдоль тех меридианов, для которых
sins<p = O, смещение тангенциально и направлено только по мери-
диану, а вдоль промежуточных меридианов, для которых cos s<p = 0,
смещения по долготе нет, но имеется смещение по широте и
смещение, нормальное к поверхности сферы.
Вдоль экватора (8 = -5- it) имеем
8<р = As cos s<f, 86 = — Аа sin s<?, —Aas sin s«p,
так что максимальные смещения по широте и долготе одинаковы.
Обращаясь теперь к выражениям для х, у, С в G), (8) и (9)
с добавлением членов, выражающих поступательное и вращатель-
ное движения, посредством которых деформированная сфера воз-
вращается насколько возможно близко в первоначальное поло-
жение, мы видим, что с учетом только членов первого порядка
относительно F — 80) и <р> эти выражения сводятся к
jc = — аF — 0о), ,y = asin60<p, С = 0. C3)
Эти приближения достаточны для значений х ну, но для С
необходимо включить также и члены второго порядка. Вычисления
просты, и для произвольного смещения, подобного 8г в (9), мы мо-
жем написать
Дополнительные вращательные члены в силу A7) и A8) будут
Здесь мы должны сохранить только те члены, содержащие х, у,
235/г] потенциальная энергия изгиба 443
которые являются членами второго порядка и не зависят от 8,
так что можно написать
х = ^«?а sin ео c°s %, у = а(Ъ — 60)<р cos 80.
В полученное таким образом полное выражение для С, как
квадратичной функции от 6 — 60 и <р, мы подставим х и у из C3).
Уравнение деформированной поверхности после упрощения при
помощи A9), B0) и B1) можно окончательно записать так:
_( *?_ 1 &Ъг\ | ху ! 1 Mr , ctg6 дЪг
2а \ а а дЬ а$Ш д^)'
где ненужные теперь индексы опущены.
Взяв значение — из C2), получим
C5)
Для того чтобы получить более полное решение, соответ-
ствующее C1), остается только добавить новые члены, умно-
женные на By и полученные из вышенаписанных путем изменения
знака s. Как и следовало ожидать, значения членов, содержа-
щих s в C5) и C7), равны и противоположны.
Подставляя найденные значения в E) § 235/, получим для
квадрата изменения главной кривизны в произвольной точке
- <38>
Следует заметить, что если As или Вь исчезают, то выраже-
ние C8) не зависит от о, так что изменение главной кривизны
одинаково для всех точек на данной параллели; кроме того,
выражение C8) становится во всяком случае независимым от про-
изведения ASB8 после интегрирования вдоль параллельной окруж-
ности. Изменение кривизны исчезает, если s = 0 или s=l, при-
чем смещение здесь такое, какое возможно для твердого тела.
Уравнения C5) и т. д. показывают, что вдоль меридианов,
для которых исчезает 2ш (cos 59 = 0), главными плоскостями
кривизны являются меридиан и перпендикулярная к нему плоскость,
а вдоль меридианов, для которых исчезает Ьг, главные плоскости
наклонены к меридиану под углами в 45%
444 ИЗОГНУТЫЕ ПЛАСТИНКИ ИЛИ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. ХА
Значение квадрата изменения кривизны, полученное в C8), со-
ответствует предположениям, принятым для смещений в B9) и т. д.,
и в некоторых случаях должно быть обобщено. Мы можем доба-
вить члены с коэффициентами А'е и В'л, соответствующие изменению
етр до s^-\--^-a; кроме того, необходимо рассмотреть суммирова-
ние по s. Обозначая для краткости tg-^-б через t, мы можем
принять в качестве полного выражения для Им—J
+ (Ар+B'at-*) sin (s<p+j «)]}' 4-
+ (A'f — &J-») cos (s<f -f i- *)J}'.
При интегрировании этого выражения по <р вдоль всей окружности
все произведения обобщенных координат Аа, Bs, A's, В'л исчезнут,
так что выражение G) § 235/ будет выражением потенциальной
энергии для поверхности, заключенной между двумя параллелями
V = 2тг ^ (s8 — sf J Н sin -ь Ь \(А2а + А?) Р»+
-{-(BJ-f ?^)*-*"]йЮ, C9)
где
Я=|дй». D0)
В приводимых ниже приложениях к сферическим поверхностям,
включающим полюс 6 = 0, мы можем опустить члены, содержа-
щие В, и, если толщина постоянна, то И можно вынести из-под
знака интеграла. Имеем
., Ш „ It
так что
J sin-»e^ dft =ei- j*
Для полус^феры f=l, и D1) принимает значение
Следовательно, для полусферы, постоянной толщины
). D3)
235ft] СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 445
Если крайнее значение Ь равно 60°, а не 90°, то вместо D2)
получаем
4.38+1(^8— s)
v=т яЯ S3"(e+1> <sS ~s> <8s3 - 4s - з) и;+л;2). Dб)
т
Этих выражений для V вместе с C2) достаточно для решения
статических задач о деформации бесконечно тонких сферических
оболочек под действием приложенных к ним сил заданной вели-
чины. Предположим, например, что струна с натяжением F соеди-
няет две диаметрально противоположные точки границы полусферы,
выражаемые уравнениями» fj = -^it, <p = yit или -~-ъ, и что тре-
буется найти деформацию. Из C2) очевидно, что все величины А'а
исчезают и что работа приложенных сил, соответствующая дефор-
мации ЬА8, равна
/1 3
— bA8as ( sin -;r$iz-\- sin -к sn
\
IF.
При нечетном s это выражение равно нулю, а при четном s
— 2bAsas sin -^sn ¦ F.
Итак, при s нечетном As исчезает, а при * четном в силу D3)
|? = irW(ss — s)Bsa— 1)A, = — 2ossin4-stf F,
откуда
A
Формулы D6) и C2) полностью определяют деформацию.
Если в качестве примера тангенциальной силы мы возьмем
случай, когда полусфера находится в покое, будучи обращена
полюсом вниз, таким образом, что плоскость ее границы является
горизонтальной, причем вдоль диаметра Ь = -^ it положен симме-
трично стержень веса W, то аналогичным способом найдем
. aWsini/2sn ..-
8 ~" 71Я(«2— S) Bs2—1) l >
для всех четных значений s, и Ай = 0 для всех нечетных.
Перейдем теперь к оценке кинетической энергии, определяемой
формулой
1
- i °" J1 [(?)'+(тг)+(?т?иУ]" • * +¦
где о означает поверхностную плотность, которую мы предполо-
жим всюду одинаковой. Если мы возьмем полное значение 8<р
446 ИЗОГНУТЫЕ ПЛАСТИНКИ ИЛИ ОБОЛОЧКИ (ГЛ Х\
из B9) с добавлением членов, содержащих А'а, В'л, то будем иметь
^ » ? [ cos s<p (,4> + В^в) + cos ( s<p + i « ) (A'f+Bf*) ].
При возведении этого выражения в квадрат и интегрировании
по <р вдоль всей окружности, все произведения букв с различ-
ными индексами и все произведения штрихованных букв на не-
штрихованные хотя бы с одинаковыми индексами, исчезнут; следо-
вательно, подставляя вместо cos2s<p и т. д. их средние значения,
равные Va> мы можем положить
(d 8q>\2
~-\ совпадает с только что выпи-
санным, если всюду заменить В через —В, так что мы можем
положить
D9)
как среднее, подходящее для нашей цели здесь. В выражении D9)
произведения символов исчезли, и если бы выражение для кине-
тической энергии было уже полным, то координаты оказались бы
нормальными. Однако нам необходимо еще включить часть кине-
тической энергии, зависящую от -^. В качестве среднего значе-
ния, пригодного для нашей цели, мы имеем из C1)
cos )+
Ж coi«8). E0)
Теперь необходимо сложить выражения D9) и E0). Положив ради
краткости
f tg28 у 6 К* + cos в)» -f 2 sin*8] sin 6 db =/(s) E1)
иди приняв x = 1 -j- cos 6,
2
f(s) = J (i^i)8 [(s - 1)« + 2лг(* 4-1> —
235A] кинетическая энергия 447
получаем
+ 2 2 J (s« — cos* в) sin в db (Л. Bg + А', #)]. E3)
Легко видеть, что в то время как V в C9) можно выразить
только через квадраты координат, в общем случае нельзя утвер-
ждать того же относительно Т. Следовательно, As, Bs и т. д.
вообще не являются нормальными координатами. Этого и нельзя
было ожидать. Если, например, мы возьмем случай, когда сфери-
ческая поверхность ограничена двумя равно отстоящими от эква-
тора параллелями, то из соображений симметрии ясно, что нор-
мальными координатами являются не Л и В, а (А-\-В) и (Л — В).
В этом случае /(— s) = f{s).
Проверка E3) легко может быть сделана в частном случае
s=l, когда рассматриваемая поверхность представляет собой
полную сферу. Опуская штрихованные буквы, получаем
1
E4)
В этом случае мы имеем смещения чисто поступательного и чисто
вращательного типов, уже рассмотренных выше, и справедливость
E4) легко проверить.
Каково бы ни было положение параллелей, ограничивающих
поверхность, истинные типы и периоды колебаний можно опреде-
лить, применяя метод Лагранжа к уравнениям C9) и E3).
Если поверхность содержит один из полюсов, например 6 = 0,
то координаты В исчезают, a Ag, A'6 превращаются в нормальные
координаты. Если опустить штрихованные буквы, то выражение
для Т обратится просто в
12(*)Д;. E5)
Частоты свободных колебаний для полусферы можно непосред-
ственно получить из D3) и E5). Уравнение для Аа есть
s) Bs2 — 1) Aa =- 0, E6)
так что если Ав изменяется пропорционально cos pst, то
//(a8 — s)Bs*— l)_2n/»2 (а» —д)Bда—1)
f(s) '
где значение И взято из. D0), а а выражено через объемную
плотность р.
448 изогнутые пластинки или оболочки frrt ха
Подобным же образом для шарового сегмента в 120° из D4)
имеем
Значения f(s) легко вычислять для различных случаев. Так,
для полусферы
2
/B) =
--12-i = 1,52961,
о
j — 801n2= 1,88156,-
/D) = 2001й 2— 1361 = 2,29609 и т. д.,
так что
В действительности, в условиях эксперимента чаще приходится
иметь дело с интервалами между различными тонами. Находим
^ = 2,8102, ?i = 5,4316. E9)
Рз Pi
Для стеклянных колоколов, подобных применяемым в воздушных
насосах, интервал между двумя низшими тонами обычно несколько
меньше; выражающая его дробь ближе к 2,5, чем к 2,8.
Для шарового сегмента в 120° нижний предел интеграла в выра-
жении E2) есть в/а; отсюда вычислением получаем
/B) = 0,12864, /C) = 0,054884,
что дает
„ г— УЙ . 7 QQ47 n c= -J-1L. . 2П Q11
Р* азуТ ' Л яя/7 ' '
pa:pa = 2,6157.
Таким образом, высота двух наиболее низких тонов существенно
больше, чем в случае полусферы, а интервал между ними меньше.
Имея в виду теорию настройки колоколов, целесообразно рассмо-
треть влияние небольших изменений угла для случая приблизи-
тельно полусферической формы колокола. Вообще говоря,
ь
4ЯE3 —*)а sin -3tg*» 4-6d6
А S ! • F0)
твменив дли чдетотм 44§
Если 6 = -=-*-|-йв. те, обозначив величину ря для точной полу-
сферы через Рв, из предыдущих результатов получим
Таким образом,
f ^^}] Я22A -0,4986),
откуда видно, что увеличение угла понижает частоту. Что касается
интервала между двумя наиболее низкими тонами, то мы имеем
что показывает, что этот интервал возрастает вместе с в. Это
согласуется с результатами, полученными выше для в = 60°.
Тот факт, что вид нормальных функций не зависит от рас-
пределения плотности и толщины, если они изменяются только
с широтой, позволяет рассчитать весьма разнообразные случаи,
и трудности заключаются только в интегрировании. Если пред-
положить, что лишь узкий участок полярного угла 6 имеет доста-
точную толщину, чтобы заметно влиять на потенциальную и кине-
тическую энергии, то вместо F0) имеем просто
ft "~ л<о [{s + cos fiJ 4- 2 sin» 6] ' l >
откуда
~ 6 + 4 cos В — cos3 6 ,-,„.
Il+6cos6 —
Отношение изменяется очень медленно от 3 при в ¦=» 0 до 2,954
при 6 = -=-я.
Если обозначить через 2А толщину для любого полярно-
го угла 6, то Я—Л3, о — h. Я вычислил отношение частот
двух низших тонов полусферы в предположениях: 1) ft~cose
и 2) Л~A -f- cos 6). Использованная при этом формула обозначена
здесь F0), причем Н и о находятся под знаками интеграла.
В первом случае /»3:/»а= 1,7942, что сильно отличается от соот-
ветствующего значения для случая однородной толщины. При вто-
ром, более умеренном предположении относительно закона рас-
пределения толщины
/V/>2 = 2,4591, /v/>9 — 4,4837.
29 Зак 1774. Рэлей, I
450 ИЗОГНУТЫЕ ПЛАСТИНКИ ИЛИ ОБОЛОЧКИ |ГЛ. ХК]
Оказывается, что малая величина интервала между низшими тонами
для обычных стеклянных колокольчиков объясняется в значитель-
ной мере уменьшением толщины с возрастанием 0.
Следует отметить, что кривизна деформации 3(р-1), которая
в силу C8) изменяется пропорционально sin-2 б tg8 у в, равна нулю
на полюсе при s ]> 3, но при s=2 конечна.
Настоящая глава в значительной части опирается на различ-
ные уже опубликованные работы автора 1). Методы, которыми мы
пользовались, не избегли критики, которая, однако, частично отпа-
дает, если принять во внимание, что теория эта не претендует
на строгую применимость к оболочкам конечной толщины, а огра-
ничивается лишь предельным случаем, когда толщина бесконечно
мала. С увеличением толщины может возникнуть необходимость
принимать во внимание определенные «местные возмущения», кото-
рые появляются в непосредственном соседстве с границей и имеют
такой характер, что вызывают растяжение средней поверхности.
Читатель, который захочет ознакомиться с этим значительно
более трудным вопросом, может обратиться к мемуарам Лява2),
Лэмбаs) и Бассета4). С точки зрения настоящей главы, этот
вопрос, пожалуй, не имеет большого значения. В самом деле,
очевидно, что всякое растяжение, могущее иметь место, должно
быть ограничено областью бесконечно малой площади и не влияет
ни на типы, ни на частоты колебаний. Вопрос о том, что в дей-
ствительности происходит вблизи свободной границы, потре-
бовал бы дальнейшего рассмотрения; однако этого едва ли можно
ожидать от теории тонких оболочек. В таких точках, расстоя-
ние которых от границы одинакового порядка величины с тол-
щиной, характерные особенности тонких оболочек, повидимому,
исчезают.
1) Proc. Lond. Math. Soc, XIII, стр. 4, 1881; XX, стр. 372, 1889; Proc.
Roy. Soc, гом 45, стр. 105, 1888; том 45, стр. 443, 1888.
2) Love, Phil. Trans., том 179 (А), стр. 491, 1888; Proc. Roy. Soc,
том 49, стр. 100, 1891; Theory of Elasticity, гл. XXI (есть русский перевод).
e) Lamb, Proc. Lond. Math. Soc, том XXI, стр. 119, 1890.
<) Basset, Phil. Trans., 181 (А), стр. 433, 1890; Am. Math. Journ.,
том. XVI, стр. 254, 1894.
ГЛАВА Хв
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
235/. Введение телефона в практическое употребление и разно*
образные его применения в научных экспериментах приводят
к тому, что переменные электрические токи включаются в рамки
акустики. Это налагает на нас обязанность показать, каким обра-
зом общие принципы, изложенные в настоящем труде, могут быть
наилучшим образом применены к разрешению возникающих задач.
Разумеется, учение об электричестве дает такие прекрасные приме-
ры, что уже выше мы не могли удержаться от изложения некоторых
из них (§§ 78, 92а, 111b). В нижеследующем, впрочем, придется
предполагать знакомство читателя с элементами теории электри-
чества и в значительной мере воздержаться от рассмотрения приме-
нений к колебаниям чрезвычайно высокой частоты, подобных тем,
которые в последнее время получили столь большое значение
в связи с исследованиями Лоджа и Герца. В трудах этих физиков,
а также в трудах Дж. Дж. Томсона1) и Хевисайда2) читатель
найдет необходимые сведения об этой стороне предмета.
Идея включения электрических явлений в число явлений обычной
механики в общем виде содержится в ранних трудах лорда Кельвина;
Максвелл дал систематическое изложение вопроса с этой точки
зрения в своей «Динамической теории электромагнитного поля»
{Dynamical Theory of the Electro-Magnetic FieldK).
235y. Мы начнем с рассмотрения простого электрического
контура, состоящего из электромагнита, концы обмотки которого
соединены с обкладками конденсатора или лейденской банки *)
емкости С. Электромагнитом может служить простая катушка
изолированной проволоки, имеющая сопротивление R и само-
индукцию или индуктивность L. Если катушка имеет железный'
сердечник, то необходимо предположить, что металл распределен
таким образом, чтобы отсутствовало влияние внутренних индуци-
1). J. J. Thomson, Recent Researches in Electricity and Magnetism, 1893.
2) O. Heaviside, Electrical Papers, 1892.
3) J. C. Maxwell, Phil. Trans., том 155, стр. 459, 1865; Collected Works,
том I, стр. 526.
4) Лорд Кельвин одобрил термин «лейден» для конденсатора. («On
a New Form of Air Leyden», Proc. Roy. Soc, том 52, стр. 6. 1892.)
29*
48$ »ЛВКТРИЧвСКИЕ КОЛЕБАНИЯ frVT. Хв
рованных токов и, далее, что полное изменение намагниченности
мало1). В противном случае поведение железа чрезвычайно услож-
нялось бы благодаря гистерезису, и его нельзя было бы пред-
ставить в виде простого увеличения самоиндукции. Здесь мы также
будем пренебрегать гистерезисом, наблюдаемым у многих конден-
саторов.
Если х обозначает заряд конденсатора в момент t, то ток равен х,
так что если приложенная электродвижущая сила равна Ег cos pt,
мы получим уравнение
A)
Решение уравнения A) дает теорию вынужденных электрических
колебаний. Мы, однако, начнем с рассмотрения свободных колеба-
ний, когда Ех — 0. Эта задача уже рассматривалась выше в § 45;
там мы установили, что возникающий ток имеет колебательный
характер, если
/ B)
О том, что разряды конденсаторов часто носят колебатель-
ный характер, догадывались уже Генри и Гельмгольц, но мате-
матическая теория принадлежит Кельвину 2).
Если R значительно меньше критического значения B), то
большое число колебаний происходит без значительного уменьше-
ния амплитуды, а период т определяется формулой
¦: = 2я V~Cl. C)
В формулах B) и C) предполагается, что величины выражены
в электромагнитных единицах COS. Если ввести практические
единицы, обозначив через V, R', С соответственно самоиндукцию,
сопротивление и емкость, выраженные в геири, омах и микро-
фарадах8), то вместо B) будем иметь
]§ B0
а вместо C)
x=2it- 1О-*УС17. C')
При применении обычной аппаратуры значение х весьма мало;
однако, включая катушку больших размеров из изолированной про-
волоки в разрядный контур конденсатора, составленного из боль-
1) Phil. Mag., том 23, стр. 225, 1887.
а) Lord Kelvin, «On Transient Electric Currents», Phil. Mag., июнь 1853.
•) Ом = 109, генри = 109, микрофарада = Ю*.
235/] УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ 453
шого числа стеклянных пластинок, Лодж а) сумел получить коле-
бательный искровой разряд с периодом, равным 1/500 секунды.
Если конденсатор имеет бесконечно большую емкость или,
что то же самое, накоротко замкнут, то уравнение для свобод-
ного движения принимает вид:
= 0, D)
откуда ")
. . Л t
х = хйе L , E)
где х0 есть значение х для t = 0. Величина L/R иногда назы-
вается постоянной времени контура и представляет время, в тече-
ние которого амплитуда свободных электрических колебаний
спадает в отношении е : 1.
Возвращаясь к уравнению A), мы видим, что поставленная
задача относится к общему классу задач о колебаниях с одной
степенью свободы, рассмотренных в § 46. В принятых там обо-
значениях получим яа = -^ ; х=-^-;? = -^-; решение выра-
жается уравнениями D) и E). Нет надобности повторять полностью
все рассуждение, уже приведенное выше, но следует обратить
внимание на случай резонанса, когда собственная частота электри-
ческого вибратора совпадает с частотой приложенной силы
(jPLC = 1). Тогда первый и третий члены компенсируют друг
Друга (§ 46), и уравнение приводится к виду
Rx — Et cos pt. F)
Вообще, если конденсатор замкнут накоротко (С = оо), то
^I (R cos pt+pLslapt), G)
так что, если р значительно превосходит R/L, то ток значи-
тельно ослабляется самоиндукцией. В таком случае введение кон-
денсатора соответствующей емкости, которая компенсирует само-
индукцию, приводит к сильному увеличению тока в). Приложенная
электродвижущая сила может быть получена от катушки, соста-
вляющей часть контура и вращающейся в магнитном поле.
Во всяком контуре, в котором происходят вынужденные или
свободные колебания, пропорциональные cos pt, имеем х = —р^х;
следовательно, члены, зависящие от самоиндукции и от емкости,
1) О. J. Lodge, Proc. Roy. Inst, март 1889.
a) Helmholtz, Pogg. Ann., LX <X11I, стр. 505, 1851.
s) Maxwell «Experiment In Magneto-Ulectric Induction», Pfytl. Mag.,
май 1868.
454 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [гЛ. ХВ
входят в уравнение одинаковым образом. Полученный закон
удобнее формулировать, если вместо емкости ввести электрическую
жесткость [л, равную 1/С. Мы можем сказать, что жесткость |*
компенсирует самоиндукцию L, если \i=p^L, и что введение
добавочной самоиндукции Д1 компенсируется добавочной жест-
костью Д[х, если сохраняется указанная пропорциональность. Это
замечание позволяет упростить полученное уравнение, опуская
прежде всего жесткость конденсатора. Когда решение получено,
его всегда можно обобщить введением L — рр~'2 или L~(p'iC)~1
вместо L. Следуя этому пути, необходимо, однако, примириться
с возможностью появления отрицательных значений L.
235&. Теперь мы предположим, что существует два независи-
мых контура с коэффициентами самоиндукции L, N и взаимной
индукции М, и рассмотрим, каково будет влияние на второй
контур мгновенного возникновения и дальнейшего протекания
тока х в первом контуре. В первый момент вопрос сводится
только к функции Т, где
и по правилу Кельвин*а (§ 79) решение можно получить, найдя
минимум выражения A), при условии, что х имеет заданное
вначение. Таким образом, в начальный момент
Уо = —^х B)
и соответственно (§ 235/) через промежуток времени t
y^-*Lxrs\ C)
где через S обозначено сопротивление контура. Полный инду-
цированный ток, измеренный баллистическим гальванометром,
дается выражением
со
Г • ,, Мх ...
J ydt = — -g-. D)
В это выражение N не входит. Ток, возникающий во вторичном
контуре вследствие разрыва постоянного тока д: в первичном
контуре, имеет противоположное ему направление.
Из теоремы Кельвина или из уравнения B) следует любопытное
свойство начального индуцированного тока. Оказывается, что при
данном М начальный ток тем больше, чем меньше N. Далее, если
вторичный контур состоит в основном из катушки в п витков,
то начальный ток возрастает с уменьшением п. В самом деле,
хотя М — я, однако N—п? и, таким образом, у0—1/и. Действи-
235/»} вторичный контур 455
тельно, меньший ток, проходящий через большее количество
витков, дает такой же эффект в отношении энергии поля, как
больший ток, проходящий по меньшему числу витков. Эта свое-
образная зависимость от я не может быть проверена при помощи
гальванометра, по крайней мере без коммутаторов, которые
могли бы отделить одну часть индуцированного тока от другой;
в самом деле, как мы видим из D), показание гальванометра
подвергается воздействию в обратном направлении. Тем не менее
возможно сделать очевидным увеличение начального тока при
уменьшении п, если наблюдать эффект намагничения на стальных
иголках. Намагничение зависит главным образом от первоначаль-
ного максимального значения тока и в меньшей степени или почти
совсем не зависит от последующей его продолжительности *).
Общие уравнения для двух связанных контуров, влияющих
друг на друга только посредством индукции, можно получить
обычным способом из A), причем
/>»lfli» + ^Sy«. (б)
Таким образом,
Lx + My + Rx=*X, Mx + Ny + Sy=*r, F)
Эти уравнения в более общем виде уже были рассмотрены
в § 116. Если на первый контур действует гармоническая элек-
тродвижущая сила X — eipt, а второй контур свободен от воз-
действия внешней силы (К = 0), то, исключая у, имеем
\ ipt ,7,
что показывает, что влияние вторичного контура на первичный
сводится к уменьшению индуктивности на
и к увеличению сопротивления на
(9J)
Формулы (8) и (9) можно применить к более общей задаче,
имеющей значительный интерес и возникающей (как в некоторых
>) Phil. Mag., том 38, стр. 1, 1869; том 39, стр. 428, 1870.
>) Maxwell, Phil. Trans., том. 155, стр. 459, 1865, где, однако, оши-
бочно напечатано М аместо AR
456 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. ХВ
экспериментах Генри), когда вторичный контур действует на тре-
тий, третий на четвертый и т. д., причем единственным условием
является отсутствие взаимной индукции между контурами ряда,
за исключением взаимоиндукции двух смежных звеньев. Для
простоты мы ограничимся четырьмя контурами.
В четвертом контуре ток, по предположению, возникает
только вследствие индукции третьего контура. Его действие на
третий контур для рассматриваемого колебания дается сразу
формулами (8) и (9), и ее та мы воспользуемся полными значе-
ниями, применимыми к третьему контуру при этих условиях, то
мы можем в дальнейшем игнорировать четвертый контур. Далее
аналогичным образом мы можем определить реакцию на вто-
рой контур. В результате получим сопротивление и самоиндук-
цию второго контура с учетом влияния третьего и четвертого
контуров. Наконец, сделав еще один шаг, мы получим значе-
ния для первичного контура, находящегося под влиянием всех
остальных. Этот процесс имеет, очевидно, общий характер. Но
мы знаем из теоремы §1116, что, какова бы ни была цепь кон-
туров, влияние всех остальных контуров на первый состоит
в том, что они увеличивают его эффективное сопротивление и
уменьшают его эффективную инерцию все в большей и большей
степени по мере возрастания частоты колебаний.
В пределе, когда частота бесконечно возрастает, распределе-
ние токов определяется коэффициентами взаимоиндукции, незави-
симо от сопротивления, и, как мы сейчас покажем, это распре-
деление имеет такой характер, что токи в последовательных
контурах ряда имеют попеременно противоположное направление.
235/. Каково бы ни было число независимых токов или сте-
пеней свободы, общие уравнения всегда имеют вид уравнений,
уже рассмотренных нами в §§ 82, 103, 104, а именно
где Т, F, V—однородные квадратичные функции (§ 82). В урав-
нении A) координаты xt, х3, .,. обозначают полное количество
электричества, протекшее за время t, xv х3 и т. д. обозначают
токи. Если V=0, то проще выразить все явление через токи.
Так, в задаче о постоянном электрическом токе, где все вели-
чины X, представляющие электродвижущие силы, постоянны,
токи определяются непосредственно линейными уравнениями
дР v dF v /n.
irrx" ъгГх*и т< д' B)
С другой стороны, когда рассматриваемый вопрос сводится
к вопросу о начальных импульсах или о вынужденных колеба-
235/] начальные токи 457
ниях весьма высокой частоты, то все зависит от Т, и уравнения
приводятся к
г— = Л,, г- — Ха И Т. Д. C)
dt dxt l dt дха я w
В качестве примера рассмотрим задачу, затронутую в конце
§ ?35fe, — о ряде последовательных контуров, где взаимная индук-
ция существует только между непосредственно соседними конту-
рами, так что
Ге7 %*1 + у °2-2*г + у fl33^ + • • • +
+ aia*i*a 4- вм*я*в + aaixaxi + ...»). D)
В это выражение коэффициенты вида als, au, а24 не входят. Если
хг дано либо в виде внезапно появившегося и затем сохраняю-
щегося тока, либо в виде гармонической функции времени высо-
кой частоты, и никаких внешних сил, действующих в других
контурах, нет, то задача сводится к определению х2, х.А и т. д.
так, чтобы Т было насколько возможно мало (§ 79). Уравнения
очень легко написать; однако будет более поучительным, пожа-
луй, если мы придем к желаемому заключению путем рассмотре-
ния самой функции Т. В самом деле, поскольку Т однородно
относительно xv x% и т, д., мы имеем тождественно
А так как, когда Т принимает минимальное значение, все произ-
дТ дТ
водные -з—, т— и т. д. исчезают, то
0X2 ОХ3
Но, если бы лгй, xs и т. д. были все равны нулю, то 27 должно
было быть равно апх\. Отсюда ясно, что а12х1ха отрицательно,
а так как а1а принято положительным, то знак лг9 должен быть
противоположен знаку xv
Далее, если считать хЛ, х9 заданными, то, когда Т имеет
минимальное значение, мы должны иметь ^—= 0,-з— = 0 и т. д.,
ОХ$ ОХ\
а потому
2 Гт1и =¦ «11*1 + 2вц*1*в + а29*2 + 2033X3^3.
Как и выше, 2Г может быть равно просто a]v*i-|-2ei2*i*3~i~efes*3-
Минимальное значение необходимо должно быть меньше этого,
в соответствии с чем знаки лга и хь противоположны. Это
рассуждение можно продолжить; оно показывает, что как б.ы ни
Точки опущены как ненужны^,
468 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЬБАНИЯ [ГЛ. ХВ
был длинен ряд контуров, индуцированные токи попеременно
противоположны по знаку1) — результат, вполне согласующийся
с наблюдениями намагничения, произведенными Генри.
В некоторых случаях минимальное значение Т может быть
весьма близко к нулю. Это случается тогда, когда катушки,
вызывающие взаимную индукцию, на протяжении всей своей
длины так близко примыкают друг к другу, что могут вызвать
приблизительно равные и противоположные магнитные силы во
всех точках пространства. Предположим, например, что имеются
две подобные катушки А и В; каждая намотана из двойной про-
волоки (Av A.2), (Bv В2); катушки соединены так, что первичный
контур включает обмотку Av вторичный состоит из А2 и Bv
соединенных безиндукционными проводниками, и третий — из В.2,
замкнутой просто сама на себя. Очевидно, что, положив х2 = ~—х1
и х3 = — х2 = xv можно сделать Т приблизительно равным
нулю. Это рассуждение можно распространить на сколь угодно
длинную цепь подобных катушек, а также и на случаи, когда
число витков индуктивно связанных катушек неодинаково.
В обширном классе задач, в которых влияние емкостей
ваметно не ощущается, ход явлений определяется просто Т и F.
В таких случаях обе эти функции могут быть приведены к сумме
квадратов, что приводит к типичному уравнению вида:
= Х. F)
Если Х = 0, т. е. если нет приложенных электродвижущих сил,
то решение имеет вид:
х^хое *. G)
Таким образом, любая система начальных токов, текущих в раз-
дельных или соединенных линейных проводниках или в проводя-
щей массе твердых тел, может быть разложена на «нормальные»
слагающие, каждая из которых экспоненциально затухает по
собственному закону.
Общее свойство постоянных времени, равных ajb, доказано
в § 92а. Например, всякое увеличение проницаемости благодаря
введению железа (рассматриваемого как непроводник) или всякое
уменьшение сопротивления, хотя бы местное, приводит в общем
к повышению значений всех постоянных времени2).
Принимая во внимание рассуждения главы V, нет необходи-
мости останавливаться на решении уравнения A) для случая,
когда X не равно нулю. Теорема взаимности § 109 имеет много
интересных электрических приложений, но после того, что было
сказано в § 109, не представляет никакого труда вывести их.
Phil. Mag., гом 38, сгр. 13, 1869.
Brit. Assoc. Report, crp. 911, 1885
236/tt] ДВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОВОДНИКА 459
235m. В § 111 b уже было дано одно применение общих формул
к электрической системе. В качестве другого примера, также
относящегося к случаю двух степеней свободы, можно обратиться
к задаче о двух проводниках, соединенных параллельно. Здесь
нет необходимости включать влияние проводов за точкой развет-
вления, так как если нет взаимной индукции между этими
частями и остальными проводниками, то их сопротивление и
самоиндукция войдут в общий результат просто аддитивно.
Под действием одного только сопротивления полный ток хх
разделится между двумя проводниками (имеющими сопротивление
R и S) на части 5
и мы можем выбрать вторую координату таким образом, чтобы
токи в обоих проводниках были равны
где хх попрежнему обозначает полный ток в подводящих про-
водниках. Диссипативную функцию можно найти, умножая ква-
драты этих токов соответственно на -^R, -~-3- ®нг равна:
±g^l ± l A)
Далее, если L, М, N—коэффициенты самоиндукции обеих
ветвей, то
1 —
В обозначениях § 1116 получим
В соответствии с E) и (8) § lllfr имеем
RS , pH(L-
., LS2+ 2MRS + NR2
L " (R + Sf (R + S)*(L — 2M-\-N) r
[(LM)S + (MN)RP ,..
460 МВКТРИЧБСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. ХВ
Таковы соответственно эффективное сопротивление и эффек-
тивная самоиндукция комбинаций проводниковх). Следует заме-
тить, что L — 2M-\-N необходимо положительно, так как пред-
ставляет двойную кинетическую энергию системы, когда токи
в проводниках равны +1 и —1.
Выражения для R' и V можно получить в более удобном3)
для многих случаев виде, если привести входящие в эти выраже-
ния дробные члены
n/_ RS(R+S)+p*[R(M-
где LN—Ма положительно в силу физической природы Г.
По мере возрастания р от нуля, как мы знаем из общей
теоремы § 111Ь или из частных выражений C) и D), R' непре-
рывно возрастает, а V непрерывно уменьшается.
Когда р очень мало, то
В этом случае распределение главного тока между обоими
проводниками определяется сопротивлениями, и (§ 111*) значе-
QC ОТ*
ния Rr и V совпадают соответственно с -^ и —%. Сопротивле-
xi xi
ние оказывается таким же, как в случае, если бы токи были по-
стоянными.
С другой стороны, если р очень велико, то
n, R(M-N)*+S(L-M)i „_ LN-M? т
В этом случае распределение токов не зависит от сопроти-
влений и определяется, в соответствии с теоремой Кельвина,
тем, что отношение между токами в обоих проводниках равно
(N—М): (L — М). Так же, как в случае, когда р мало, значения
2F 2Т
в F) совпадают с -g, -j.
xi *i
Если обе проволоки, включенные параллельно, навиты плотно
одна на другую, то энергия поля при высокой частоте может
1) Phil. Mag., том 21, стр. 377, 1886.
»| I J. Thomson, loc. clt., § 421,
235m] смежные проводники 461
быть весьма малой. Здесь следует отметить любопытное различие,
зависящее от способа соединения проводников. Рассмотрим, напри-
мер, случай пучка из 5 проволок, смотанных в катушку, причем
3 проволоки, соединенные последовательно так, чтобы давать
максимум самоиндукции, составляют одну из параллельно соеди-
ненных ветвей, а другие две проволоки, также, соединенные
последовательно, образуют вторую ветвь. При этом остаются
еще две возможности, соответствующие двум способам соедине-
ния обеих ветвей. Если постоянные токи будут протекать в про-
тивоположных направлениях (М отрицательно), то полный ток
делится на две части в отношении 3 :2 так, что более мощный
ток в двойном проводе почти нейтрализует во внешних точках
магнитные эффекты менее мощного тока, протекающего в трой-
ном проводе, и полная энергия системы весьма мала. Теперь пред-
положим, что провода соединены так, что постоянные токи проте-
кают в одинаковом направлении в обеих ветвях (М положительно).
Очевидно, что условие минимума энергии не может быть удовле-
творено, если токи текут в одинаковом направлении; оно требует,
чтобы меньший ток в тройном проводе протекал в противополож-
ном направлении по отношению к большему току в двойном про-
воде. Действительное отношение токов должно быть 3 : (—2).
Таким образом (поскольку в этом масштабе полный ток равен
единице), слагающие токи в обеих ветвях по своему численному
значению больше, чем полный ток, который алгебраически де-
лится между ними. Эта особенность становится все более и бо-
лее резко заметной, по мере того, как L и N приближаются
к равенству1).
Необычное распределение токов в обеих ветвях, конечно,
сопровождается увеличением эффективного сопротивления. В пре-
дельном случае, когда т витков одной ветви предполагаются
геометрически совпадающими друг с другом и с п витками вто-
рой ветви, мы имеем
и в силу F)
/?' _ n*R + nfiS 7
Это выражение безгранично возрастает, когда тип стремятся
к равенству.
Тот факт, что при известных обстоятельствах токи в обеих
ветвях разветвления могут превосходить ток в главном проводе,
был подтвержден прямым экспериментом3). Каждый из трех
Phil. Mag., том 21, стр. 376, 1886.
Phil. Mag., том 22, стр. 495, 1886.
462 ЭЛРКТРИЧЕСКЙЕ КОЛЕБАНИЯ (ГЛ. XI
сравниваемых токов протекал по короткой проволоке из ней-
зильбера, и опыт сводился к определению того, каковы должны
быть длины проволок в различных случаях, чтобы при включении
их между контактами телефона с большим сопротивлением полу-
чить звуки одинаковой силы. Токи переменной силы получались от
батареи и скользящего контакта (§ 235г), непосредственно вклю-
ченных в главный контур.
Общие формулы C') и D') можно упростить, если между
включенными параллельно проводниками нет взаимной индукции.
Так, при М = 0
Далее, если Af = O, то (8) и (9) принимают вид:
Своеобразные особенности такой комбинации проводников
выступают наиболее ярко, когда сопротивление 5 безиндукцион-
ной составляющей велико по сравнению с R. В этом случае, если
ток является постоянным или медленно колеблющимся, то он
главным образом течет по проводнику R, а сопротивление и само-
индукция комбинации проводников приближаются соответственно
к значениям R и L; но, с другой стороны, если ток колеблется
с большой частотой, то он протекает главным образом по про-
воднику S, так что сопротивление комбинации проводников при-
ближается к S, а самоиндукция к нулю. Это заключение находится
в согласии с формулами A0).
Если проводники, включенные параллельно, представляют со-
бой простые электромагниты, то L и N необходимо положи-
тельны, и числитель в (9) не может быть равен нулю. Но, как
мы видели, если включить конденсаторы, то это ограничение
можно устранить. Интересный случай получается, когда вторая
ветвь безиндукционна и в нее включен конденсатор емкости С
так, что N——(Ср*)-1 и в то же самое время R = S. Послед-
нее условие обращает числитель (9) в
Таким образом, Z/ исчезает, во-первых, когда ЬСрР—\, и во-вто-
рых, когда С/?2 = L. Первый случай является условием того, что
замкнутый контур, рассматриваемый сам по себе, изохронен
с наложенными колебаниями. Второй выражает условие равенства
23Ял} ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРОВОДНИКИ 463
постоянных времени обеих ветвей. В этом случае комбинация
проводников должна вести себя как простое сопротивление,
каков бы ни был характер приложенной электродвижущей
силы г).
235». Когда имеется больше чем два проводника, включен-
ных параллельно, то общие выражения для сопротивления и само-
индукции комбинации проводников будут иметь более сложный
вид. Однако и здесь следует особо отметить несколько частных
случаев.
Первый случай получается, когда отсутствует взаимная индук-
ция между отдельными проводниками. Если обозначить вели-
чины, относящиеся к различным ветвям, индексами 1, 2, 3
а через Е обозначить разность потенциалов в точке соединения
всех проводников, то будем иметь
? = 0>?1 + #1)*1 = (^Ia + /?a)xa= A)
так что
1 Е B)
откуда можно определить /?' и Z/. Таким образом, если мы на-
пишем
V # = л V L — я с\\
то из B) будем иметь
г/ Д /л\
~A* + pW K }
у •"
Уравнения C) и D) содержат решение задачи а).
Если /> = 0, то
С другой стороны, когда р очень велико, то
Даже когда нельзя пренебречь взаимной индукцией между
различными ветвями, можно найти достаточно простые выражения
для эквивалентного сопротивления и самоиндукции в крайних
случаях — при р бесконечно малом или бесконечно большом.
1) Chrystal, «On the Differential Telephone», Edln. Trans., том 29,
стр. 615, 1880.
3) Phil. Mag., том 21, стр. 379, 1886.
464 ВЛЙКТРНЧВСКЙЕ КОЛВ&АНИ* \tX. t*
Как уже было показано (§111Ь), вышеупомянутые величины
IF 27"
тогда совпадают по значению с ,„.,,,—л и
и вычисление этих значений легко произвести, поскольку рас-
пределение токов между ветвями определяется в первом случае
целиком функцией F, а во втором — целиком функцией Т. Так,
когда р бесконечно мало, то функция F имеет минимум, и токи
пропорциональны проводимостям различных ветвей. В соответ-
ствии с этим, если обозначить коэффициенты самоиндукции вет-
вей, как в § 1Mb, через аи, а^2, .... о19, о13, .... а сопротивле-
ния— через Rv Я2 и т. д., то будем иметь
¦ • ¦ + 2Дц/^, + 2ац
„,
Аналогичный метод можно применить, когда /»= оо; однако
в последнем случае результат получается менее простым вслед-
ствие сложности отношений между токами, благодаря взаим-
ной индукции1).
235о. Индукционные весы, введенные первоначально Довом
для применения с гальванометром, недавно были приспособлены
Юзом3) к телефону. Юз описал эксперименты, иллюстрирующие
изумительную чувствительность такого приспособления. Суще-
ственными частями здесь являются: первичный контур, содержа-
щий батарею, в котором проходит ток, прерываемый ключом или
простым скользящим контактом, и вторичный контур, содержа-
щий телефон. Соответствующими приспособлениями можно сче-
лать оба контура сопряженными, т. е. добиться того, чтобы
взаимная индукция исчезла и в телефоне не было слышно ника-
ких звуков. Тогда появление в соседстве с этими контурами
третьего контура, состоящего из проволочной катушки или просто
из какой-нибудь проводящей массы, например, монеты, вообще
вызывает появление звука в телефоне.
Уничтожение взаимной индукции в случае двух плоских кату-
шек может быть достигнуто путем расположения катушек в па-
раллельных плоскостях на небольшом расстоянии одна от дру-
гой, так чтобы перекрытие их можно было точно регулировать.
Однако в аппарате Юза уравновешивание достигается более сим-
метрично методом удвоения. В аппарате применяются четыре
подобные катушки. Две из них Av A2 расположены на некото-
ром расстоянии друг от друга в горизонтальной плоскости и
соединены последовательно так, что они образуют первичную
1) J. J. Thomson, loc. cit., § 422.
») Hughes, Phil. Mag., том VIII, стр. 50, 1879.
235о] индукционные весы юза 465
индукционную катушку. Вторичная индукционная катушка со-
ставляется аналогичным способом из катушек Bv B,2, располо-
женных симметрично на небольших расстояниях от Av /12 и
также соединенных последовательно, но таким образом, чтобы
индукция между Ах и В1 стремилась уравновесить индукцию
между Аа и Я2. Если бы все четыре катушки были идеально
подобны, то равновесие получалось бы тогда, когда расстояния
между ними одинаковы. Разумеется, это не так, и на практике
равновесие достигается при помощи плавного изменения рас-
стояния между одной парой, например, At и Bv В ка-
тушки входят деревянные чашки, причем они помещаются так,
что монета, лежащая в какой-либо из них, располагается симме-
трично между соответствующими первичной и вторичной катуш-
ками. При этом первоначальное равновесие, конечно, нарушается
введением монеты с одной стороны; однако, если ввести совер-
шенно подобную же монету также с другой стороны, то баланс
может быть восстановлен. Юз обнаружил, что даже весьма ма-
лые различия между монетами можно заметить благодаря появле-
нию звука в телефоне.
Теория этого прибора для случая, когда первичные токи
имеют гармонический характер, проста *), в особенности если
предположить, что первичный ток х± задан. Пусть xv х2, ...—
токи; bv b.2, ...—сопротивления; atl, o22, a12 — самоиндукции;
тогда уравнения для трех контуров будут иметь вид:
„
Положим теперь, что xv х.2 и т. д. пропорциональны
где р/2п — частота колебания. Тогда
ssx3
откуда, исключая xs, получим
Отсюда следует, что отсутствие равновесия, зависящее от в1а, не
может компенсировать действие третьего контура так, чтобы
привести к молчанию во вторичном контуре, если только Ьь не
исчезающе мало в сравнении с раш, т. е. если постоянная вре-
мени третьего контура не слишком велика по сравнению с периодом
1) Brit. Assoc. Rep., стр. 472, 1880.
30 Зак. 1774. Рэлей, I
466 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. ХВ
колебаний, так как в противном случае эффекты имеют
различные фазы и не могут вследствие этого компенсировать друг
Друга.
Введем теперь четвертый контур и предположим, что первич-
ный и вторичный контуры связаны так, что «12 = 0 в точности
и что взаимной индукцией й34 между третьим и четвертым кон-
туром можно пренебречь. Тогда
= 0.
ipa1&xv
ip (a43*3 + й44лг4) + bixi = — ipauxv
откуда
Следовательно, для равновесия необходимо удовлетворить двум
условиям, так как одинаковыми должны быть как фазы, гак и
интенсивности отдельных эффектов. Первое условие требует,
чтобы постоянные времени третьего и четвертого контуров
были равны, конечно, если они обе не слишком велики и не
слишком малы по сравнению с периодом. Если это условие удо-
влетворено, то равновесие наступает, когда
| ДцДа4 _ Q. /4n
a& ~ «44 w
следует особо подчеркнуть, что эти условия не зависят от ча-
сготы, так что (в силу теоремы Фурье) они достаточны незави-
симо от формы переменных токов, действующих в первичном
контуре.
Что касается положения третьего и четвертого контуров, ко-
торыми при обычных демонстрациях служат монеты, то из сим-
метрии правой части уравнения C) видно, что удобным является
среднее положение между первичной и вторичной катушками,
поскольку произведение a18ad3 имеет стационарное значение при
небольшом перемещении монеты, например, ближе к первичному
и дальше от вторичного контура1). Приблизительная независи-
мость от других смещений достигается геометрической симметрией
катушек относительно оси.
235/>. Для точного сравнения электрических величин обычно
наиболее удобной оказывается схема «мостика» Уитстона. Его
можно применять с гальванометром для измерения постоянных
См. Lodge, Phil. Mag., том 9, стр. 123, 1880.
235p]
ОБОБЩЕННОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
467
или переходных токов и с телефоном для периодических токов.
Подобные же результаты можно получить в большинстве случаев
и без мостика, применяя дифференциальный гальванометр или диф-
ференциальный телефон1).
В обычной практике четыре ветви мостика а, Ь, с, d соеди-
няются в виде четырехсторонней схемы (фиг. 53а) и предста-
вляют собой простые сопротивления. Батарея включается в ветвь /,
соединяющую одну пару противоположных углов четырехугольника,
а измерительный прибор включается
в «мостик» е между другой парой углов.
Равновесие наступает, когда ad = be.
Однако для наших целей следует пред-
положить, что какой-нибудь элемент мо-
ста, например а, представляет не про-
стое сопротивление, и даже не ком-
бинацию сопротивлений. Он может
содержать самоиндукцию и может пре-
рываться конденсатором. Но во всех
случаях, пока ток х строго гармонический и пропорционален
общее соотношение между током и разностью потенциалов V на
концах элемента имеет вид:
v = {al -f- ша) х, A)
где ау и гаа—действительная и мнимая части комплексного
коэффициента а и являются функциями частоты р/2п. В частном
случае простого проводника, обладающего самоиндукцией L, at
представляет сопротивление, а аа равно pL. Вообще аг положи-
тельно; но о2 может быть либо положительным, как в вышепри-
веденном примере, либо отрицательным. Последнее имеет место
тогда, когда сопротивление R прерывается конденсатором
емкости С. Здесь ot = R, а.а = — 1//>С. Если имеется также само-
индукция L, то
" - х B)
Фиг. 53а.
Как мы уже видели в § 235/, аа может для некоторой опре-
деленной частоты равняться нулю, и тогда эта комбинация экви-
валентна простому сопротивлению. Но изменение частоты вызы-
вает появление положительного или отрицательного а9.
Во всех электрических задачах, где нет взаимной индукции,
обобщенные величины а, Ъ и т. д. складываются так же, как и
в том случае, когда они представляют простые сопротивления2).
1) Chrystal, Edln, Trans., loc. cit.
2) Более подробно об этом вопросе см. у Хевисайда (Heaviside, «On
Resistance and Conductance Operators», Phil. Mag., том 24, стр. 479, 1887;
Electrical Papers, том II, стр. 355.
30*
468 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. ХВ
Так, если а, а'—две комплексные величины, соответствующие
двум проводникам, соединенным последовательно, то соответ-
ствующая величина для комбинации их равна а-\-а''. Далее, если
а, а' представляют собой два проводника, соединенных парал-
лельно, то величина, обратная результирующей, получается путем
сложения обратных величин от а, а'. В самом деле, если х, х'—•
токи, соответствующие разности потенциалов V между общими
концами проводников, то
так что
Применяя общую теорию вынужденных колебаний к схеме
Уитстона, мы будем считать, что внешняя сила может находиться
только в ветвях с батареей и с телефоном. Если х, у— токи
в этих ветвях, а X, Y — соответствующие электродвижущие силы,
то, по § 107, между х, у и X, Y существуют линейные соотно-
шения, которые можно представить в виде
причем коэффициент при у в первом уравнении одинаков с коэффи-
циентом при х во втором уравнении вследствие свойства вза-
имности. Три постоянные А, В, С, вообще говоря, являются ком-
плексными величинами, зависящими от р.
Соотношение взаимности можно истолковать следующим обра-
зом. Если F = 0, то Вх-\-Су = 0 и
Подобным же образом, предположив Х=^0, мы получили бы
Это показывает, что отношение тока в одном элементе цепи
к электродвижущей силе в другом не изменяется, если ток и
электродвижущую силу обменять местами.
Теперь нам нужно определить постоянные А, В, С через
электрические свойства системы. Если при соответствующем вы-
боре силы Y, у остается равным нулю, то соотношение между
X и х есть Х — Ах. Поэтому Л означает (обобщенное) сопро-
тивление ветви батареи для любой электродвижущей силы в том
случае, когда ветвь с телефоном разомкнута. Это сопро-
тивление составляется из сопротивления / ветви батареи и из
235р] мостик уитстона 469
сопротивления проводников а -\- с, b-\-d, включенных парал-
лельно. Таким образом,
Подобным же образом
(affV't1) G)
Для того чтобы определить ?, рассмотрим силу К, которая
должна действовать в е для того, чтобы ток, проходящий через
нее, равнялся нулю, несмотря на действие силы X. Имеем Y = Вх.
Полный ток х течет частично через ветвь а-\-с, а частично
через b-\-d. Ток, проходящий через а -|- с, равен
а ток, проходящий через &-j-rf, равен
(а + с) х
a+b+c+d
(9)
Таким образом, разность потенциалов на концах ветви е, которая
предполагается разомкнутой, равна
а + b -f- с + d
и, следовательно,
Соотношения F), G) и A0) полностью определяют связь между
X, Y и х, jr.
Задача о мостике требует, чтобы ток _у был пропорциона1Ь-
ным X, когда F = 0, т. е. когда в самом мостике нет электро-
движущей силы. Решение получается сразу, если ввести в выра-
жение D) значения А, В, С аз F), G) и A0).
Если имеет место приблизительный «баланс», то это выра-
жение упрощается. В самом деле, в этом случае be — ad мало,
и в знаменателе выражения D) можно пренебречь В2 по сравне-
нию с АС. Таким образом, для этого случая с достаточным при-
ближением можно написать
L- ____Ж_
X— АС~~ F)ХG)*
Приводимая ниже интерпретация процесса в мостике легко
приводит к приближенному выражению A1) и не зависит от
общей теории. Посмотрим прежде всего, какая электродвижущая
31 Зак. 1774 Рэлей, I
470 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. ХВ
сила необходима в ветви с телефоном для того, чтобы прекра-
тить прохождение тока по этой ветви. Если действует такая
сила, то внешне условия одинаковы с теми, которые имеют ме-
сто, когда эта ветвь разомкнута; тогда ток х в ветви с ба-
тареей, вызываемый силой X, действующей в этой ветви, будег
Х\А, где через А, ради краткости, обозначена правая часть вы-
ражения F). Если же х известно, то разность потенциалов на
концах ветви е, которая все еще предполагается разомкнутой,
находится непосредственно. Она дается уравнением
где В определяется выражением A0). Таким образом, разность
потенциалов, выраженная через X, равна ВХ/А. Если ветвь е
замкнута, то та же самая дробь выражает силу, которую необхо-
димо приложить в ветви е для того, чтобы не допустить в ней
возникновения тока.
Нам необходимо теперь рассмотреть случай, когда в ветви /
действует сила X, а в ветви с сила отсутствует. Мы вправе
предположить, что в ветви е действуют две противоположные
силы, равные по величине ВХ/А. Одна из этих сил, действуя
вместе с силой X в ветви /, как мы видели, не дает тока
в ветви е; таким образом, поскольку этектродвижущие силы
действуют независимо одна от другой, ток, в действительности
проходящий в ветви е, замкнутой в отсутствии внутренней элек-
тродвижущей силы, просто равен току, вызываемому другой
слагающей. Таким образом, вопрос сводится к определению тока
в ветви е, вызываемого заданной силой в этой ветви.
До сих пор наше рассуждение было вполне строгим; но теперь
мы предположим, что имеет место приближенный «баланс».
В этом случае сила, действующая в ветви е, вызывает весьма
малый ток в ветви /, и при вычислении тока в е мы можем пред-
положить, что ветвь / разомкнута. Полное сопротивление ветви е
выражается тогда просто величиной С уравнения G), а прибли-
женное значение для у получается путем деления — ВХ/А на С,
как мы нашли в A1).
Последовательное применение этого процесса дает у/Х в виде
бесконечной геометрической прогрессии
У. ___*
Х~ А
Это — строгое решение, уже найденное в выражении D). Для
практических целей достаточно будет взять только первый член
ряда.
Вид выражения A1) позволяет непосредственно сравнить влия-
ние возрастания сопротивления и самоиндукции, выражающееся
в нарушении равновесия. В самом деле, пусть ad —be; заменим
235qr] схема k»a 471
затем d на d-\-d', где d'=* d[-\-id'r Величина y/X nponop-
циойальна d', а амплитуда колебательного тока в мостике про-
порциональна modd', т. е. уа'* -}- d'? • Таким образом, если
d[, d', численно равны, то они вызывают одинаковый эффект ').
В большинстве случаев, когда применяется телефон, баланс схемы
более чувствителен к изменению индукции, чем к изменению
сопротивления.
При пользовании мостиком Уитстона для измерительных целей
лучше всего сделать а равным с. Равенство bud тогда можно
проверить, обменяв ролями а и с, независимо от точности до-
стигнутого равенства этих величин. Другое преимущество заклю-
чается в том, что баланс мостика не зависит от взаимной индук-
ции между а к с или между b и d.
2359> В формулах § 235/? предполагалось, что между различ-
ными ветвями схемы нет взаимной индукции. Более общая теория
разработана весьма обстоятельно Хеви-
сайдома), но рассмотрение ее здесь за-
вело бы нас слишком далеко. Однако
целесообразно будет привести в общих
чертах теорию схемы, применявшейся
Юзом, которая обладает известными пре-
имуществами, когда приходится иметь
дело с электрическими свойствами про-
волок небольшой длины 3).
Установка состоит из четырехсторон-
ней схемы Уитстона с телефоном, вклю-
ченным в мостик (фиг. 53Ь). Одной из Фиг. 53Ь.
сторон четырехугольника служит иссле-
дуемая проволока или катушка Р; остальные три ветви являются
частями одной и той же проволоки из нейзильбера, разделенной
двумя скользящими контактами. Если ветвь с батареей В
замкнута, а в ветвь, включающую телефон, введен соответствую-
щий прерыватель, то баланса можно достигнуть, передвигая кон-
такты. Если сам прерыватель не вводит никакой собственной
электродвижущей силы *), то баланс свидетельствует о про-
порциональности четырех сопротивлений. Если Р — неизвестное
сопротивление исследуемого проводника, Q, /? —сопротивления
прилежащих частей разтеленной проволоки, a S — сопротивление
') «On the Bridge Method in its Application to Periodic Electric Cur-
rents», Proc. Roy. Soc, том 49, стр. 203,. 1891.
a) O. Heaviside, «On the Self-induction of Wires», VI; Phil. Mag., фев-
раль 1887; Electrical Papers, том II, стр. 281, 1892.
3) Hughes, Joum. Tel. Eng., том XV, стр. 1, 1886; Proc. Roy. Soc,
том XL, стр. 451, 1886.
4) Условие, не всегда выполняющееся на практике.
472 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 1ГЛ. ХВ
противолежащей части (между двумя скользящими контактами),
то по общему правилу PSs=QR, а между Q, R, S существует
соотношение
где W—постоянная. Если перенести прерыватель из ветви с те-
лефоном в ветвь с батареей, то обычно баланс нарушается
вследствие индукции и уже не может быть вновь восстановлен
передвижением контактов. Для того чтобы компенсировать индук-
цию, необходимо ввести другое влияние подобного же рода.
В этом и заключается особенность рассматриваемой схемы. Одна
катушка (катушки не показаны на чертеже) включается в ветвь
батареи, а другая катушка в ветвь телефона; эти катушки индук-
тивно связаны друг с другом и установлены так, что взаимное
влияние их легко изменять. Обе катушки могут быть концентри-
ческими и поворачиваться друг относительно друга вокруг общего
диаметра. В этом случае действие исчезает, когда катушки рас-
положены перпендикулярно друг к другу. Если одна катушка
значительно меньше другой, то коэффициент взаимоиндукции М
пропорционален косинусу угла между их осями. При помощи
двух настроек — поворота плоскостей катушек и перемещения
контактов — обычно удается достигнуть полного отсутствия звука
в телефоне.
Юз объяснял свои наблюдения, исходя из допущения, что
индукция Р выражается величиной М, независимо от сопроти-
вления, и что сопротивление переменному току (так же как
в случае постоянного тока) можно приравнять QR/S.
Однако дело обстоит не так просто. Тем не менее соответ-
ствующие точные формулы легко получить для случая, когда
только одна из сторон мостика, а именно проводник Р, имеет
заметную индуктивность.
Так как через мостик не течет никакого тока, то в провод-
нике Р и в прилежащей ветви, например в R, должен быть оди-
наковый ток х; по тем же соображениям должен протекать оди-
наковый ток у в Q и S. Разность потенциалов между точкой
соединения Р и R и точкой соединения Q a S в момент t может
быть выражена любой из трех следующих равных величин:
Вводя предположение, что все величины изменяются гармо-
нически с частотой р\2%, и исключая отношение у/х, находим
условия, необходимые для того, чтобы в телефоне отсутствовал
звук:
R SP *ML A)
B)
235/"] ПРЕРЫВАНИЕ ТОКА 473
Здесь мы видим отступление от обычного условия равновесия
в мостике (SP = QR). Рассмотренное здесь изменение свойственно
данной схеме и отнюдь не указывает на действительное измене-
ние сопротивления проволоки. Кроме того, поскольку в формулу
равновесия входит р, возмущение зависит от частоты, так что
в случае обычных смешанных звуков молчание в телефоне
может быть достигнуто только приближенно. Далее, из второго
уравнения мы видим, что вообще М не является точной мерой
значения величины Z.1).
Однако, если Р известно, то применение формулы B) не
представляет затруднений. Во многих случаях мы заранее можем
быть уверены, что Р, т. е. омическое сопротивление проводника
или комбинаций проводников переменным токам, равно сопро-
тивлению их постоянному току, и тогда Р можно рассматривать
как известное. Но бывают случаи — некоторые из них будут
освещены ниже,—когда такого предположения нельзя сделать, и
тогда невозможно определить неизвестные величины L и Р только
из одного соотношения B). Тогда нам снова нужно обратиться
к выражению A). При помощи этих двух уравнений Р и L
всегда можно определить через другие величины. Но в число
этих последних входит частота колебаний; следовательно, этот
метод практически применим только тогда, когда прерыватель
дает абсолютную периодичность. Очень удобные в других случаях
скользящие контакты здесь исключаются; это, конечно, является
дефектом метода.
Если ветвь Р не имеет самоиндукции, но в нее включен кон-
денсатор емкости С, то можно пользоваться теми же формулами,
подставив вместо L величину w,. Тогда уравнение A) дает зпа-
чение С независимо от частоты.
235г. Успех экспериментов с приборами описанного рода
В значительной степени зависит от действия прерывателя, благо-
даря которому токи превращаются в переменные. В тех случаях,
когда периодичность не является необходимой, скользящий кон-
такт, приводимый в движение часовым механизмом или неболь-
шим мотором, весьма удобен. Рекомендуется, однако, следуя
Лоджу и Юзу, полностью прерывать ток на короткие проме-
жутки времени. Слабый шорох, слышимый вблизи положе-
ния компенсации, гораздо легче услышать при таком прерывании.
Однако скользящий контакт неприменим во многих интерес-
нейших экспериментах. Когда измеряемые самоиндукция и сопро-
тивление являются быстро меняющимися функциями частоты, оче-
видно, нельзя получить точных результатов без прерывателя,
1) «Discussion on Prof. Hughes' Address», Journ. Tel. Eng., том XV,
стр. 54, февраль 1886.
474 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ (ГЛ. ХВ
дающего совершенно правильные гармонические электрические коле-
бания. Применяя такие источники, можно достичь абсолютного
отсутствия звука или по крайней мере молчания, нарушаемого
только едва слышной октавой основного тона, в условиях, при
которых, применяя скользящий контакт, нельзя было бы даже
приблизиться к компенсации.
Камертоны, приводимые в движение электромагнитным спосо-
бом, с жидкими или твердыми контактами (§ 64), дают хороший
результат до тех пор, пока применяемая частота не превосходит
(примерно) 300 в секунду; но для экспериментов с телефоном
желательны частоты от 500 до 2000 в секунду. Хорошие резуль-
таты можно получить при помощи прерывателя с язычком фис-
гармонии, который, совершая колебания, замыкает контакт один
раз в течение каждого периода и который можно точно регули-
ровать при помощи винта J).
Однако, пожалуй, наилучший прерыватель для применения
с телефоном можно получить, пользуясь неустойчивостью струи
жидкости. При соответствующем подборе диаметра и скорости
струи можно заставить струю под действием камертона разби-
ваться на капли с идеальной регулярностью, так что каждому
полному колебанию камертона будет соответствовать одна капля.
Можно заставить каждую каплю при падении замыкать электри-
ческую цепь между концами двух тонких платиновых проволочек.
Если электродвижущая сила батареи достаточно высока и если
жидкость подсолена для улучшения проводимости, то получаются
достаточные токи, в особенности если прибегнуть еще к помощи
небольшого понижающего трансформатора. Наконец, можно осуще-
ствить автоматически действующий прибор, воздействуя на камертон
электромагнитом, в обмотке которого протекает тот же самый
прерывистый ток. Такой прибор можно заставить работать с часто-
той до 2000 в секунду; он обладает многими преимуществами,
ив которых можно отметить почти абсолютное постоянство высоты
тона и почти бесшумное действие. Принципы, на которых осно-
вано действие этого прерывателя, будут рассмотрены ниже в одной
из дальнейших глав.
235s. Едва ли меньшее значение, чем прерыватель, имеют
приспособления для измерения индукции — безразлично, взаимной
индукции, как указывается в § 235<7, или самоиндукции. Для
устройства индуктометров, как их называет Хевисайд, удобно
воспользоваться схемой Юза. Небольшая катушка установлена
так, что один из диаметров ее совпадает с диаметром другой,
большей катушки, вокруг которого она может вращаться. Вза-
имная индукция М между этими двумя контурами зависит от
положения меньшей катушки; положение катушки отсчитывается
Phil. Mag., том 22а, стр. 472, 188&
235/] снммвтрнчнля схема 475
по градуированному кругу, по которому движется стрелка, свя-
занная с катушкой. Если считать меньшую катушку бесконечно
малой, то, как уже указывалось, значение М будет пропорцио-
нально синусу углового смещения от нулевого положения (М = 0).
Однако приближение к такому положению вещей нежелательно.
Если средний радиус малой катушки увеличить до 0,55 радиуса
большей катушки, то не только можно достичь большего эффекта,
но, кроме того, шкала для М в пределах почти всего практически
применяемого диапазона оказывается совпадающей со шкалой
углов 1). Абсолютное значение каждого градуса можно определить
различными способами, пожалуй, проще всего, сравнивая взаим-
ную индукцию прибора с эталонами взаимной индукции.
При проведении экспериментов, указанных в§ 235^, одна катуш-
ка включается в ветвь с телефоном, а другая — в ветвь с батареей; но,
когда требуется получить переменную и измеримую индуктивность,
обе катушки соединяются последовательно. Самоиндукция комби-
нации в этом случае равна L -\- 2/И -\- N, причем первый и третий
члены не зависят от взаимного расположения катушек.
2351. Хорошие результаты при применении метода § 235^
были получены Вебером а) и автором 3), применявшими язычко-
вый прерыватель частоты 1050 в секунду. Но то обстоятельство,
что получаемые при измерениях величины зависят как от взаимо-
индукции, так и от сопротивления, представляет значительный
недостаток, хотя бы потому, что интерпретация показаний при-
бора требует длительных вычислений.
Более очевидной схемой является такая, при которой как
самоиндукция, так и омическое сопротивление ветви, содержащей
исследуемый проводник, при каждом измерении дополняется до
определенных значений, необходимых для баланса. Для того
чтобы было удобно достичь этого, необходимо иметь возмож-
ность изменять самоиндукцию, не изменяя сопротивления, и
сопротивление, не изменяя самоиндукции, притом то и другое
в измеримых пределах. Первому требованию удовлетворить легко.
Если вкпочить в схему обе катушки индуктометра, соеди-
ненные последовательно, то общую самоиндукцию можно из-
менять, как уже указано, путем вращения меньшей катушки.
Изменение же сопротивления без изменения самоиндукции не
легко может быть достигнуто с достаточной точностью. В боль-
шинстве случаев, однако, можно достичь достаточно удовлетво-
рительных результатов при помощи реостата со скользящим
контактом из тонкой нейзильберовой проволоки, имеющего форму
почти замкнутой петли.
1) Phil. Mag., том 22, стр. 498, 1886.
2) Weber, Electrical Review, апрель 9, июль 9, 1886.
в) Phil. Mag., loc. cit.
478 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. ХВ
В мостике Уитстона при проведении этих экспериментов при-
лежащие ветви R, S можно сделать из одинаковых нейзильберо-
вых проволок одинакового сопротивления @,5 ома). Будучи
бифилярными, соответствующие ветви дадут малую индуктив-
ность, но точность метода не зависит от этого обстоятельства.
Ветвь Р включает исследуемый проводник или комбинацию про-
водников, индуктометр и реостат со скользящим контактом.
Другая ветвь Q должна иметь сопротивление и самоиндукцию
большие, чем любой из сравниваемых проводников, но возмож-
ность легко определяемых изменений не является обязательной. Для
того чтобы избежать взаимной индукции между этими двумя
ветвями, Р и Q должны быть расположены на некотором рас-
стоянии друг от друга и соединяться с остальной частью уста-
новки подводкой из двойных проводов.
Очевидно, когда прерыватель действует в ветви с батареей,
то достигнуть отсутствия звука в телефоне, включенном в мосгик,
можно только при том условии, что как самоиндукция, так и
сопротивление ветви Р равны соответствующим величинам ветви Q.
Следовательно, когда в ветви Р один проводник заменяется
другим, то изменения, которые необходимо сделать в индукто-
метре и в реостате, определяют соответствующие изменения
самоиндукции и сопротивления, происшедшие вследствие замены.
В такой схеме влияния самоиндукции и сопротивления легко
разделимы, так что результаты можно истолковать без вычисле-
ниЧ. Но подвижные контакты, повидимому, вносят неопределен-
ность в отсчет сопротивления.
Для того чтобы избавиться от мешающего влияния подвиж-
ных контактов, повидимому, неизбежно пожертвовать в известных
пределах простотой теории. Мы не можем более считать полные
сопротивления Р и Q постоянными; но, возвращаясь к хорошо
известной схэме мостика Уигстона, мы переносим сопротивления
из цепи Р в цепь Q и обратно. Переносным сопротивлением
служит отрезок прямолинейной проволоки из нейзильбера. В не-
которой точ<е этой проволоки присоединен подвижный контакт
цепи телефона, положение которого отсчитывается по шкале.
Не,к п эеделенность сопротивления этого контакта не оказывает
влияния на изме >ение.
Схема, изображенная на фиг. 53с, показывает способ соеди-
нения частей. Один из контактов телефона Т связан с точкой
соединения сопротивлений (по 0,5 ома) R и S, другой контакт
соединяется с контактом, скользящим вдоль градуированной
проволоки. Ветвь Р содержит индуктометр (с последовательно
соединенными катушками), исследуемый проводник и часть гра-
дуированной проволоки. Ветвь Q содержит второй индуктометр
(заменяемый обычной катушкой, обладающей соответствующей
самоиндукцией), реостат или некоторое сопротивление, грубо
2351] симметричная схема 477
устанавливаемое время от времени, и остальную часть градуи-
рованной проволоки. Ветвь с батареей В, в которую можно
включить также прерыватель, соединяется одним концом с точ-
кой соединения Р и /?, а другим — с точкой соединения Q и S.
Если желательно применять постоянный ток, телефон, разумеется,
может быть заменен гальванометром.
В
В этой схеме, так же как и в других, ей подобных, для
равновесия необходимо, чтобы ветви Р и Q были одинаковы как
в отношении самоиндукции, так и в отношении сопротивления.
Изменениями самоиндукции, вызываемыми движением скользящего
контакта, обычно можно пренебречь, и поэтому всякое изменение
индуктивности испытуемого объекта (включенного в ветвь Р)
измеряется соответствующим поворотом индуктометра. Что касается
сопротивления, то так как Р и S равны, значение его для какого-
нибудь добавочного проводника, включенного в Р, измеряется,
очевидно, удвоенной величиной смещения скользящего контакта,
необходимого для восстановления баланса.
Подробности описания эксперимента при применении этого ме-
тода к измерениям различных комбинаций проводников дано в статье,
откуда заимствован вышеприведенный обзор а). Из применений
этого метода можно упомянуть проверку формул Максвелла (8)
и (9) § 235й, учитывающих влияние соседнего кон iура, в осо-
бенности в предельном случае, когда эквивалентное индуктивное
сопротивление почти полностью нейтрализовано благодаря этому
влиянию, а также проверку формулы A0) § 235т, относящейся
к поведению индуктивности, шунтированной относительно высоким
омическим сопротивлением. Однако наиболее интересным во мно-
гих отношениях является применение этого метода к явлениям,
рассматриваемым ниже, когда исследуемые проводники уже нельзя
считать приближенно линейными, но следует рассматривать как
некоторые твердые тела с определенным обьемом и массой, рас-
пределение токов внутри которых приходится вычислять при
помощи общей теории электричества.
Как уже было несколько раз указано, конденсатор всегда
можно предположить включенным в контур, причем его жесткость ц
') Phil. Mag., lot cit
478 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. ХВ
(стр. 454) производит эффект отрицательной индуктивности.
Если при действии конденсатора не наблюдается гистерезиса,
то такое представление описывает явление полностью; но
когда в конденсаторе имеется твердый диэлектрик, то, по-
видимому, нельзя избежать рассеяния энергии. Это рассеяние
проявляется в виде увеличения кажущегося сопротивления, ко-
торое нельзя отличить от обычного сопротивления проводни-
ков, если частота не изменяется. Аналогичные рассуждения
можно также применить к электролитическому элементу, жест-
кость и омическое сопротивление которого являются функциями
частоты.
235и. Максвелл доказал 1), что идеально проводящий слой,
образующий замкнутую или бесконечно простирающуюся поверх-
ность, действует как магнитный экран, так что никакие маг-
нитные явления, которые происходят с одной стороны экрана,
не могут вызвать какого-нибудь магнитного эффекта с другой сто-
роны. «На практике мы не можем воспользоваться слоем идеаль-
ной проводимости; но к описанному положению вещей можно
приблизиться в случае периодических магнитных изменений, если
постоянные времени токов в слое достаточно велики по сравне-
нию с периодами изменений.
Эксперименты производились следующим образом: первичный
контур состоял из батареи, микрофона с зуммером (microphone-
clock) и катушки из изолированной проволоки; вторичный контур
содержал параллельную катушку и телефон. При этих обстоятель-
ствах свистящий звук был слышен почти так же хорошо, как
если бы телефон был включен непосредственно в первичный кон-
тур. Однако, если между обеими катушками положить большую
и достаточно толстую медную пластинку, то звук в значитель-
ной степени ослабляется. Соответствующим выбором батареи и
расстояния между катушками нетрудно достичь того, чтобы звук
был заметен в одном случае и не слышен в другом» а).
Одним из простейших применений принципа Максвелла является
случай длинной цилиндрической оболочки, помещенной внутри
коаксиального намагничивающего соленоида. Условие минимума
энергии требует, чтобы в оболочке возникали такие токи, кото-
рые нейтрализовали бы во внутренних точках полости оболочки
действие катушки. Таким образом, если проводимость оболочки
достаточно велика, то пространство внутри оболочки заэкраниро-
вано or намагничивающей силы периодических токов, текущих
во внешнем соленоиде, и проводящие контуры, расположенные
внутри оболочки, должны быть свободны от индуцированных
токов. Очевидный вывод отсюда, что токи, индуцированные в твер-
1) J. С. Maxwell, Electricity and Maene'ism, § 655, 1873.
a) «Acoustical Observations», Phil. Mag.x том 13, стр. 344, 1882,
235а] электромагнитное экранирование 479
дом проводящем сердечнике, должны все более и более прижи-
маться к поверхности по м,ере увеличения частоты электрических
колебаний.
Точка, в которой концентрация тока вблизи поверхности ста-
новится значительной, зависит от отношения значений периода
наложенных колебаний и основной постоянной времени тока в сер-
дечнике. Пусть р — удельное сопротивление материала, р — его
магнитная проницаемость, а — радиус цилиндра; тогда для индук-
ции с параллельной оси в течение спадания свободных токов
нормального типа имеем:
c = eujo(kr), A)
где
Ь»~-^, B)
a ka определяется условием
0. C)
Корни уравнения C), по § 206, равны
2,404, 5,520, 8,654, 11,792 и т. д.,
так что для основного типа с наибольшим значением постоянной
времени
с««».ф,404-?-), D)
где
Для меди в единицах CGS р = 1642, р.= 1 и, следова*
тельно,
Для железа можно взять приближенно значения }л=100, р=10*.
Следовательно, для железной проволоки с диаметром 2а, равным
0,33 см, значение t составляет приблизительно :/2ооо сек., а по-
тому сравнимо с периодами, применяемыми в экспериментах
с телефоном.
С аналитической точки зрения теория вынужденных колебаний
в проводящем сердечнике также проста и была разработана
почти одновременно Лэмбом а), Обербеком 3) и Хевисайдом 4).
В этом случае следует рассматривать X как заданную величину,
1) «On the Duration of Free Electric Currents in an Infinite Conducting
Cylinder», Brit. Assoc. Report, стр. 446, 1882.
2) Lamb, Proc. Math. Soc, том XV, стр. 139, 1884.
3) Oberbeck, Wicd. Ann., том XXI, стр. 672, 1884
4) О. Heaviside, Electrician май 1884; Electrical Papers^ том II, стр. 353.
480 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. ХВ
равную (скажем) 1р, где /?/2я — частота. Если наложенная намагни-
чивающая сила равна 1ё*&, то решением будет
c = -
причем значение к дается формулой B).
«Если период поля велик по сравнению с временем затухания
свободных токов, то приближенно имеем J0(kr)= 1, так что с при-
близительно постоянно и равно |х/ по всему сечению цилиндра.
Но если взять противоположную крайность, когда колебания силы
поля весьма быстры по сравнению с временем затухания свобод-
ных токов, то индуцированные токи распространяются только
на очень малую глубину под поверхностью цилиндра, так что
внутренние слои (так сказать) почти полностью защищены от
электродвижущей силы внешними слоями. Положив &9 = A—0V»
где
4 Р '
имеем приближенно в случае, когда qr велико,
Jo(kr) = const-
Y7 '
и, следовательно,
^ r-o) [e*pt].
Это показывает, что электрическое возмущение в цилиндре пред-
ставляет ряд волн, распространяющихся внутрь с очень быстро
убывающей амплитудой» 1).
Для экспериментальных целей нам более всего необходимо
внать влияние токов в сердечнике на соленоид, в котором мы
только и можем непосредственно измерять электрические эффекты.
Эта задача полностью рассмотрена Хевисайдом а), однако здесь
мы вынуждены ограничиться простым изложением результатов.
Эти результаты удобнее всего выразить через изменение эффек-
тивной самоиндукции L и сопротивления /?, вызываемых наличием
сердечника. Пусть т — число витков соленоида на единицу длины,
8L, bR — кажущиеся изменения L и R, вызванные введением
сердечника и также отнесенные на единицу длины; имеем
1), )
G)
!) Lamb, (oc. eft, где рассматривается также задача о токах, индуци-
руемых при внезапном устранении существовавшего постоянного поля.
8) 1ОС. СИ.
235t>] СОПРОТИВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННОМУ ТОКУ 481
где Р и Q определяются из соотношения
P-lQ-*%, (8)
причем функция <р имеет вид:
?(х) = У0B/^)=1+* + тй-3+...+1гЖ!^+-... (9)
а аргумент х равен
IP^j. (Ю)
Если материал сердечника не является проводником, то х = 0,
а потому
Р=1, Q = 0.
В соответствии с этим
8I = 4«aitaa2((j.— 1), 8/? = 0. A1)
Эти значения применимы, какова бы ни была проводимость сер-
дечника, если частота достаточно мала.
В противоположном случае, когда р = оо, нужно взять пре-
дельную форму для <р7?- Из значения Уо, данного в A0) § 200
(или другим путем), можно показать, что в пределе
Y = *~V). A2)
так что
1 A3)
Введение этих значений в G) показывает, что в пределе, когда
частота исключительно высока,
Ы = — АтЧЧ*, bR = 0; A4)
в чем можно также убедиться, учитывая, что индуцированные
токи в этом случае сконцентрированы в поверхности сердечника.
Пример применения этих формул к промежуточному случаю и
сравнение их с экспериментальными данными можно найти в уже
указанной статье 1).
235е». Применение принципа Максвелла к случаю проволоки,
в которой индуцируется продольный электрический ток, менее
просто; повидимому, Хевисайд 2) первый достаточно ясно высказал
утверждение, что в этом случае ток следует считать распростра-
няющимся извне внутрь. Однако соотношение между электро-
движущей силой Е и полным током С было дано на много лет
1) Phil. Mag., том 22, стр. 493, 1886.
2) О. Heaviside, Electrician, январь 1885; Electrical Papers, том I, стр. 440,
432 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [гЛ. ХВ
раньше Максвеллом 1) в форме ряда. Его результат эквивалентен
следующему:
где через R обозначено полное сопротивление длины / постоян-
ному току, через [х — проницаемость, а через />/2тс — частота.
Функция <р есть функция, определенная выражением (9) § 235и,
а А — постоянная, зависящая от расположения обратного токаа).
Наиболее удобной формой выражения результатов является та,
которой мы уже несколько раз пользовались. Если мы напишем
E = R'C-\-ipL'C, B)
где R' и U действительны, то эти величины представляют эффек-
тивное сопротивление и самоиндукцию проволоки. Если аргумент
в выражении A) мал, т. е. если частота сравнительно низка, то
мы получим
да
+ •¦¦)•>¦ с«
Если р очень мало, то эти уравнения, как и следовало ожи-
дать, дают
( !) E)
Если включить и последующие ближайшие члены, то можно убе-
диться, что в соответствии с общим правилом U начинает умень-
шаться, a R' увеличиваться.
Когда р очень велико, то следует воспользоваться предельной
формой —. Так же, как и в § 235 и, имеем
F)
1) J. С. Maxwell, Phil. Trans., 1865; Electricity and Magnetism, том II,
§600.
2) Простейший случай имеет место, когда диэлектрик, окружающий
цилиндрическую проволоку радиуса а, заключен внутри второй про-
водящеи массы, распространяющейся наружу до бесконечности и огра-
ничешюн изпуфн цилиндрической п >верхц1стг.ю r = b. Тогда имеем
A — 2lg—. См. J. J. Thomson, loc. clt., § 272.
а) Phil. Mag., том 21, стр. 387, 1886. Странно, что Максвелл (loc. clL),
повидимому, считал, что его решение дает поправку к самоиндукции
только проволоки,
235w] сопротивление переменному току 483
и, таким образом, в конечном результате получаем
Первое выражение беспредельно возрастает вместе с р, а второе
стремится к конечному пределу А, соответствующему полному
вытеснению тока из толщи проволоки.
Эксперименты 1), произведенные с железной проволокой, дли-
ной около 18 метров и диаметром в 3,3 мм, привели к заклю-
чению, что сопротивление переменным токам частоты 1050 было
таково, что RIR =1,9. Вычисление, основанное на формуле A),
показало, что этот результат находится в согласии с теорией,
если [1 = 99,5. Таково же приблизительно значение, полученное
из других экспериментов с телефоном.
235гу. Теория электрических токов в проволоках того типа,
который обычно употребляется при экспериментах в лаборатории,
проста главным образом вследствие второстепенного значения
электростатической емкссги. Если влиянием емкости можно пре-
небречь, то ток будет одинаков во всех точках по всей длине
проволоки, так что ток, который входит в проволоку, выходит
из нее без изменений. В этом случае все электрические свойства
проволоки могут быть выражены двумя величинами — сопроти-
влением R и самоиндукцией L, причем эти величины обычно
можно считать постоянными и не зависящими от частоты. Отно-
шение тока к электродвижущей силе при этих обстоятельствах
уже рассматривалось в выражении G) § 235/. В тех случаях,
когда приходится рассматривать только амплитуду тока незави-
симо от фазы, можно считать ее определяемой выражением
'2 -f- P*L?', эта величина была названа Хевисайдом импедансом.
Таким образом, в безъемкостных контурах импеданс всегда воз-
растает при наличии L.
Контуры, употребляемые в практической телефонии, часто
можно рассматривать как удовлетворяющие условиям предыду-
щего описания, в особенное!и когда проволоки полвешены и
имеют небольшую длину. Однако имеются другие случаи, когда
электростатическая емкость является преобладающей. Теория элек-
трических кабелей была разработана много лет назад лордом Кель-
вином 2) для целей телеграфии. Если 5 — емкость и R — сопро-
1) Phil. Mag., том 22, cip. 488, 1886.
2) Lord Kelvin, Proc. Roy. Soc, 1855; Mathematical and Physical
Papers, том II, стр. 61.
81*
484 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. ХВ
тивление кабеля на единицу длины, V и С — потенциал и ток
в точке г, то имеем
SW — §• ^ = "f • «>
vl OZ OZ
откуда следует
Rs S- — ^г? B)
— хорошо известное уравнение теплопроводности, рассмотренное
Фурье. При предположении, что С пропорционально е***, оно
приводится к виду
(PC Г,/ ~^7.п , ...iV- /оч
-т-у = у -<ypRS (I -j- ОI f*- (")
Таким образом, решение для волн, распространяющихся в поло-
жительном направлении, будет
С = Се-* У1]^Ш cos (pt—z ^-jpRS). D)
Расстояние, на протяжении которого ток ослабляется в отно-
шении е : 1, равно
Достаточно беглого рассмотрения величин, входящих в это выра-
жение, чтобы понять трудность телефонирования по длинному
кабелю. Так, например, если частота р/2к несколько выше, чем
октава от средней с, а кабель — такого типа, какой проложен
через Атлантический океан, то в единицах CGS получим
Vp = 60, (RSyl = 2. 1018
и из E) соответственно
z = 3 • 106 см {sa 20 миль.
Таким образом, уже на расстоянии 20 миль сила звука, про-
порциональная квадрату амплитуды, падает приблизительно до х/10;
очевидно, это расстояние не может быть увеличено во много раз
без того, чтобы звук не стал совершенно неслышным. При при-
менении подобного кабеля предельное расстояние, повидимому,
не превысит 50 миль, в особенности, если учесть, что разборчи-
вость речи требует наличия в передаче еще более высоких тонов,
чем взятый в приведенном численном примере J).
1) «On Telephoning through а СйЫе», Brit. Assoc. Report, стр. 632,
1884.'
235л:] теория хевисайда 486
235лг. В приведенной теории предполагалось, что изоляция
совершенна и что можно пренебречь самоиндукцией. Возможно, что
кабель в достаточной степени удовлетворяет этим условиям.
Однако в телефонных линиях другого типа самоиндукция имеет
большое значение. Эта задача была рассмотрена во всей ее об-
щности Хевисайдом, однако рамки нашей книги позволяют при-
вести лишь самое беглое описание его исследования.
Пусть R, S, L, К представляют соответственно сопротивление,
емкость, самоиндукцию и утечку, отнесенные к единице длины,
V и С — разность потенциалов и ток на расстоянии z; тогда
уравнения, аналогичные A) § 235а>, имеют вид:
Отсюда, если токи гармонические, пропорциональные е1**, то
^ B)
аналогичное уравнение получим для V.
Пожалуй, можно было ожидать, что конечная утечка К всегда
будет влиять как усложнение; однако Хевисайдг) показал, что
можно устроить так, что она будет упрощать дело. Такой именно
случай, замечательный сам по себе и проливающий свет на об-
щую задачу, возникает, если *— = -=-, Напишем
где v — скорость порядка скорости света. Тогда в силу A) урав-
нение для V есть
д . \з.. .
или, если ввести переменную U, положив
V=ie-#U, D)
то
— хорошо известное уравнение распространения невозмущенных
волн § 144. «Таким образом, если волна положительна, т. е. рас-
пространяется в направлении возрастающих z, и если начальное
распределение V есть fx{z), будем иметь
V^e-Vf.iz-vt), Ct = -g-. F)
i) О. Heavfeide, Electrician, июнь 17, 1887; Electrical Papers, том II,
стр. 125, 309.
486 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. ХВ
Если Vj, Ca представляют отрицательную волну, распространяю-
щуюся в противоположном направлении, то
V» = «-«'/. (* + <*). Са =--]?-. G)
Таким образом, поскольку начальное состояние характеризуется
суммой Vt и V%, дающих при сложении V, и суммой Ct и Са,
образующих С, разложение произвольно заданного начального
состояния V и С на волны дается выражениями:
V^^V+vLQ, V3=i(K-^C). (8)
«Для того чтобы получить состояние в позднейший момент
времени t, достаточно — если за это время не происходит изме-
нения условий распространения—двигать Vx целиком вправо
со скоростью v и V2 — влево со скоростью v и ослаблять их
в отношении е~3'. Таким образом, полученное решение правильно
для любого последующего момента времени и для бесконечно
длинной линии. Но если достигается конец линии, то обычно
возникает отраженная волна, которую следует добавить, чтобы
получить правильные результаты».
Так же как в § 144, точный характер отражения зависит от
условий на концах. «Один случай исключительно прост. Пусть
в линию включено омическое сопротивление величины vL. Это
сопротивление вводит условие V — vLC, скажем, на положитель-
ном конце линии и условие V — —vLC, скажем, на отрицатель-
ном конце или в начале. Это — характеристики положительной и
отрицательной волны соответственно; отсюда следует, что всякое
возмущение, достигающее этого сопротивления, сразу поглощается.
Таким образом, если задано электрическое состояние линии в на-
чальный момент и нет приложенных сил, то вследствие полного
поглощения обеих волн, на которые можно разложить начальное
состояние, линия будет совершенно свободна от потенциала и
тока, самое большее через промежуток времени Ijv, где /—длина
линии».
«Пусть теперь сопротивление будет иметь величину Rv напри-
мер, на конце В линии; и пусть Vt и V.2 — соответствующие на-
пряжения падающей и отраженной волны. Так как мы имеем
Vt = vLClt V9 = —
то отраженная волна дается выражением
Если Rt больше критического сопротивления полного погло-
щения, то вследствие отражения ток меняет знак, а напряжение
235л;] теория хевисайда 487
не меняет. Если сопротивление меньше, то напряжение изменяется
на противоположное, а ток не меняет знака.»
«Следует особо отметить два случая. Это — случаи, когда не
происходит поглощения энергии. Если /?х = 0, т. е. если имеем
короткое замыкание, то отраженная волна V представляет обращен-
ную и перевернутую падающую волну. Если же R = оо (случай
разомкнутого конца), то обращается и переворачивается С1)».
Последние случаи, очевидно, аналогичны отражению звуковой
воздушной волны, распространяющейся в трубе. Если конец
трубы закрыт, то отражение имеет один характер, в случае от-
крытого конца — другой. В обоих случаях вся энергия отражается
(т. II, § 257). Волны, отраженные на обоих концах электриче-
ской линии, усложняют общее решение, в особенности, когда
не выполняется упрощающее условие B). Однако во многих слу-
чаях, имеющих практический интерес, этими волнами можно пре-
небречь без значительного ущерба для точности. Уже однократное
прохождение волн вдоль длинной линии обычно приводит к зна-
чительному ослаблению их, и потому влияние отраженной волны,
которая должна пройти всю линию трижды, становится незначи-
тельным.
Переходя к общему решению уравнения B) для положитель-
ной волны, введем, следуя Хевисайду, сокращения:
1, -?.„/. ? = g. (И)
После введения этих величин уравнение B) можно записать в виде
где
р* или <га=^(^
Таким образом, если Р и Q положительны, то решение для волны,
распространяющейся в положительном направлении, есть
С == С ое~ ъ cos (pt — Qz), A4)
причем ток в начале есть Со cos pt.
Формула для кабеля, приведенная в § 235да, представляет част-
ный случай, получающийся, если положить в A3) /=оо, g = 0;
тогда уравнение A3) приводится к виду
± A5)
1) О. Heavislde, Collected Works, том II, стр. 312.
488 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. ХВ
Другой частный случай уравнения C) можно получить, положив
/ = #=—. Имеем в этом случае
Если изоляция совершенна, то g"=0, и A3) принимает вид:
Я* или «¦ = ¦j^'Kl+^zpl]. A7)
Для некоторых линий, состоящих из длинных медных прово-
дов высокой проводимости, / можно считать малым при встре-
чающихся в телефонии частотах. Тогда уравнение A7) дает
Более подробное обсуждение могущих возникнуть различных
случаев читатель найдет в уже цитированных трудах Хевисайда.
Основной целью является распространение волн по возможности
без изменения формы. Здесь желательно отличать простое осла-
бление от искажения. Если, как в выражениях A6) и A8), Р не
зависит от р, то амплитуды всех слагающих уменьшаются
в одном и том же отношении и, таким образом, сложная волна
распространяется без искажения. Формула кабеля A5) пред-
ставляет пример противоположного положения вещей, когда волны
высокой частоты ослабляются в иной пропорции, чем волны
низкой частоты. Из расчетов Хевисайда следует, что искажение
уменьшается даже при небольшой индуктивности линии.
Эффективная работа линии требует, чтобы ослабление и иска-
жение не превосходили известных пределов, которые, однако,
трудно точно определить. Довольно значительное искажение
совместимо с разборчивостью речи, благодаря тому, что значи-
тельная часть плохо переданной речи восполняется воображением
слушателя.
235у. Остается рассмотреть передающие и приемные устрой-
ства. На заре телефонии вошло в практику, благодаря Грэхэму
Бэллу, употребление одинаковых аппаратов для обеих целей.
Телефон Бэлла состоит из магнитного стержня или из нескольких
магнитных стержней, снабженных на одном конце коротким
якорем, который служит сердечником катушки из тонкой изо-
лированной проволоки. В непосредственной близости к внешнему
концу якоря расположен круглый диск из тонкого железа, закре-
пленный по окружности. Под влиянием постоянного магнита диск
радиально намагничивается, причем, разумеется, в центре диска
будет полюс, противоположный полюсу, на ближайшем конце
стального магнита.
285у] телефон вэлла 489
Действие этого аппарата в качестве передатчика легко понять.
Когда звуковые волны достигают диска, диск отзывается симме-
тричными поперечными колебаниями, благодаря которым рас-
стояние диска от якоря попеременно возрастает и ^уменьшается.
Когда это расстояние уменьшается, то сквозь якорь проходит
больший поток индукции, и в катушке возникает соответствую-
щая электродвижущая сила. Таким образом, периодическое движе-
ние диска порождает периодический ток в некотором контуре,
связанном с катушкой телефона.
Электродвижущая сила в начальный момент пропорциональна
вызывающему ее постоянному намагничению. Этот закон сохра*
нялся бы все время, если бы поведение якоря и диска соответ-
ствовало поведению «мягкого железа» приближенной теории. Но
с усилением намагничения и приближением к состоянию насы-
щения реакция на периодически изменяющуюся силу становится
слабее, и, таким образом, эффективность прибора падает ниже
той, которая требуется законом пропорциональности. Если пред-
ставить себе, что состояние насыщения действительно достигнуто
якорем, то поток индукции в катушке почти не был бы в со-
стоянии изменяться и сводился бы к потоку, какой имел бы место
при отсутствии железа. Вследствие этого существует предел, за-
висящий от свойств материала магнита, сверх которого вредно
увеличивать постоянное намагничение. Этот предел определяет
максимум эффективности передатчика. Вероятно, в аппаратах,
в которых применяются стальные магниты, максимально благо-
приятные условия полностью не достигаются. Вышеприведенные
соображения могут, однако, объяснить, почему они не заменяются
электромагнитами.
Действие приемного аппарата можно объяснить, исходя из
тех же принципов. Периодический ток в катушке попеременно
то противодействует, то действует совместно с постоянным маг-
нитом, и, таким образом, железный диск подвергается действию
периодической силы, приложенной в центре. Колебания диска
передаются воздуху и таким путем достигают уха наблюдателя.
Как и в случае передатчика, эффективность достигает максимума
тогда, когда намагничение якоря еще очень далеко от насыщения.
Объяснение работы приемника с помощью магнитных сил, при-
тягивающих диск, иногда считают не соответствующим действи-
тельности или даже совершенно лишенным смысла и приписывают
звук «молекулярным возмущениям» в якоре и диске. Разумеется,
есть все основания предполагать, что изменение магнитного
состояния сопровождается молекулярными движениями, но вопрос
заключается в том, как именно действуют эти движения на ухо.
Очевидно, что они могут делать это, только возбуждая поперечное
движение поверхности диска, причем при таком движении не
исключается разбиение диска узлами.
31 Зак. 1774. Релей, I
490 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ (ГЛ. ХВ
Для подкрепления «теории притяжения и отталкивания» по-
лезно упомянуть об эксперименте с биполярным телефоном.
В этом приборе каждый конец подковообразного магнита снабжен
якорем и катушкой, и оба якоря располагаются вблизи диска
симметрично относительно его центра. При обычном пользовании
прибором обе катушки все время соединены так, как в обычном
подковообразном электромагните, но для данного эксперимента
была предусмотрена возможность обращать ток в одной из катушек
при помощи переключателя. Чувствительность телефона в обоих
случаях проверялась путем включения его в цепь элемента Даниеля,
соединенного со скользящим контактом, причем сопротивление из
магазина сопротивлений добавлялось до тех пор, пока звук стано-
вился едва слышным. Сопротивления применялись такие, чтобы
они доминировали над самоиндукцией цепи. Сравнение показало,
что обращение тока в катушке против нормального понижало
чувствительность к току в отношении 11:1. То, что понижение
не было еще более значительным, легко объяснить отсутствием
достаточной симметрии; но с точки зрения теории «молекулярных
возмущений» не видно, почему вообще должно наблюдаться сниже-
ние чувствительности.
Неудовлетворенность обычной теорией действия приемного
телефона могла возникнуть вследствие того, что трудно понять,
каким образом столь малые движения пластинки могут быть
слышны. Но этот вопрос относится уже к чувствительности уха,
которое, как было доказано, способно воспринимать амплитуды
менее 8•10~8 см1). Вопрос о минимальном слышимом звуке
будет подробнее рассмотрен во втором томе этого труда.
Вычислить a priori минимальный ток, который должен быть
слышен в телефон — дело очень трудное; но даже определение
путем прямого эксперимента привело к сильно расходящимся
значениям. В недавних опытах автора употреблялся униполярный
телефон Бэлла сопротивлением в 70 ом. Цепь включала также
магазин сопротивлений и катушку самоиндукции известной кон-
струкции, электродвижущую силу которой можно было вычислить.
До частоты 307 этого можно было достигнуть при помощи
вращающегося магнита с известным моментом, расположенного
на измеренном расстоянии от катушки самоиндукции. Для более
высоких частот вместо этого употреблялись намагниченные камер-
тоны, колеблющиеся с определенными амплитудами. В обоих
случаях сопротивление цепи увеличивалось до тех пор, пока звук
становился едва различимым. Поскольку были приняты меры к тому,
чтобы самоиндукцией цепи можно было пренебречь, ток можно было
определить из сопротивления и вычисленной электродвижущей
силы, действующей в катушке самоиндукции. Ниже приведены
Proc. Roy. Soc, том XXVI, стр. 248, 1877.
МИНИМАЛЬНЫЙ ТОК
491
результаты, причем следует иметь в виду, что отмеченные токи
можно было уменьшить вдвое без полного уничтожения звука.
Частота
128
192
56
307
320
384
512
640
768
Источник
Камертон
Вращающийся магнит
Камертон
Вращающийся магнит
Камертон
»
»
»
»
Токи, 10 8 ампер
2800
250
83
49
32
15
7
4,4
10
Эффект данного тока зависит, конечно, от обмотки катушки
телефона. Если в различных случаях одно и то же пространство
занято медной обмоткой, то ток, который способен произвести
определенный эффект, обратно пропорционален корню квадрат-
ному из сопротивления.
Приведенные в таблице числа, представляющие результаты
экспериментов автора, имеют такой же порядок величины, как
и числа, найденные Феррарисом1), наблюдения которого, однако,
относятся к звукам, не представляющим чистых тонов. Но были
получены и значительно меньшие числа. Так, Тэт2) дает 2 • 10~12 ам-
пер, а Прис (Ргеесе) даже еще меньшую цифру, именно 6 • 10~13.
Но как ни огромны эти расхождения, они были бы еще больше,
если производить сравнение по количеству поглощенной энергии.
Согласно вычислениям автора, приведенная в таблице чувстви-
тельность к периодическому току с частотой 256 примерно равна
той, которую можно было бы ожидать, исходя из теории притя-
жения и отталкивания3). При этой частоте, которая ниже
частоты, свойственной телефонной пластинке (§ 221а), движение
пластинки управляется скорее упругостью, чем инерцией, и в ка-
честве грубого приближения можно принять теорию равновесия
(§ 100). Большая чувствительность телефона при частотах, близ-
ких к 512, объясняется тогда резонансом (§46). Сомнительно,
можно ли согласовать с этой теорией значительно большую чув-
ствительность, указанную Тэтом и Присом.
Повидимому, можно считать установленным, что железную
пластинку телефона можно заменить медной или даже пластинкой
1) Ferraris, АШ delta Accad. d. Sci, di Torino, том XIII, стр. 1024, 1877.
Я) Tait, Edin. Proc, том IX, стр. 551, 1878.
8) Я предполагаю опубликовать эти вычисления в недалеком будущем.
492 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ, ХВ
из непроводящего материала, без абсолютной потери звука; но эти
эффекты, пожалуй, другого порядка величины. В случае меди
необходимые магнитные свойства могут придаваться индуциро-
ванными токами. Описание остроумного приемника, изобретенного
Эдисоном, и другие сведения относительно телефонных приспо-
соблений читатель найдет в «Руководстве по телефонии» Приса
и Стаббса (Preece and Stubbs, Manual of Telephony).
В существующей практике передающий аппарат основан на
действии переменного контакта. Первый угольный передатчик
был сконструирован Эдисоном в 1877 г., но ныне употребляемые
приборы представляют модификацию микрофона Юза г). Ток от
батареи поступает в телефонную цепь через слабо соприкасаю-
щиеся куски металла или угля; на практике употребляется почти
исключительно уголь. Под влиянием звуковых колебаний электри-
ческое сопротивление контактов изменяется, и, таким образом,
ток в линии отображает звук, который должен быть воспроизве-
ден на приемном конце.
То, что сопротивление контакта должно изменяться в зависи-
мости от давления, неудивительно. Если два чистых выпуклых
куска металла прижаты друг к другу, то проводимость места их
соприкосновения измеряется диаметром круга соприкосновения
(§06). Связь между размерами круга соприкосновения и давле-
нием, с которым обе массы прижаты друг к другу, была подробно
исследована Герцом а). Он заключил, что в случае двух равных
шаров куб радиуса круга соприкосновения пропорционален
давлению и радиусам шаров. Однако до сих пор еще не дока-
зано, что действие микрофона можно адэкватно объяснить, исходя
из этого принципа.
1) Proc. Roy. Soc, том XXVII, стр. 362, 1878.
») Н. Herz, Crelle, Journ. Math., XCII, стр. 156, 1882.
ДОБАВЛЕНИЕ
О БЕГУЩИХ ВОЛНАХ
Напечатано в Proceedings of the London Mathematical Society,
том IX, стр. 21, 1877
Часто отмечалось, что при продвижении группы волн в спо-
койной воде скорость группы меньше скорости отдельных волн,
образующих группу; кажется, что волны продвигаются сквозь
группу, затухая на передней границе группы. Это явление было
объяснено, повидимому, впервые Стоксом, который рассматривал
группу, как образовавшуюся в результате наложения двух беско-
нечных последовательностей волн с одинаковыми амплитудами и
приблизительно одинаковыми длинами, распространяющихся
в одном и том же направлении. Мое внимание к этому вопросу
было привлечено два года спустя Фроудом, причем у меня неза-
висимо возникло то же самое объяснение1).
В моей книге Теория звука (§191) я рассмотрел этот во-
прос в более общем виде, причем показал, что если V— ско-
рость распространения волн какого-либо типа, длина волны
которых к, и А = 2ти/Х, то U—скорость группы, состоящей из
большого числа волн и движущейся в сторону невозмущенной
части среды, дается выражением
т т
*) Другое явление, на которое также указал мне Фроуд, допускает
аналогичное объяснение. Паровой катер, быстро движущийся по воде,
сопровождается особой системой расходящихся волн; наиболее порази-
тельной чертой этих волн является наклонное расположение к волновому
фронту линии, на которой расположены гребни последовательных волн.
Такую картину волн можно объяснить наложением двух (или более)
бесконечных последовательностей волн, слегка отличающихся длиной
волны, направления и скорости распространения которых находятся
в таком соотношении, что никакого изменения положения по отношению
к судну не происходит.
Характер наложения волн можно понять, начертив на бумаге две
системы параллельных и равноотстоящих линий, подчиняющихся выше-
указанному условию и изображающих гребни слагающих последователь-
ностей воли. Для случая двух последовательностей, незначительно отли-
чающихся длиной волны, можно доказать, что тангенс угла между линией
максимумов (гребней) и волновыми фронтами равен половине тангенса
угла между волновыми фронтами и курсом судна.
494 О БЕГУЩИХ ВОЛНАХ
или, как можно еще написать,
UiVtmlJL*bV. B)
' d In k *¦ '
Так, если V~kn,
U = (\—n)V. C)
Действительно, если обе бесконечные последовательности
представить в виде coskfVt—х) и cos к'(V't—jc), то их ре-
зультирующая представится в виде
cos к (Vt — x) + cos k'iV't—x),
а это выражение равно
Если k' — k и V—V малы, то мы имеем последователь-
ность волн, амплитуда которых медленно изменяется от точки
к точке, оставаясь в пределах между 0 и 2, и которые образуют
ряд ipynn, отделенных друг от друга областями, сравнительно
свободными от возмущения. Положение в момент t середины той
группы, которая в начальный момент находилась в начале коор-
динат, определяется соотношением
(k'V— kV)t — (k'
которое показывает, что скорость группы равна ., . . В пре-
деле, ко1да число волн в каждой группе бесконечно велико,
этот результат совпадает с A).
Следующие частные случаи заслуживают внимания и при-
водятся здесь для удобства сравнения в следующей таблице:
V~k G = 0 не связанные маятники Рейнольдса
V~k't' ?/ = i/2V гравитационные волны на глубо-
кой воде
V<-^A° U = V воздушные волны и т. д.
V~k~^' U = al2V капиллярные волны на воде
V^A. U — 2V упругие волны изгиба
Капиллярные волны на воде — это волны, длина которых на-
столько мала, что восстанавливающая сила капиллярности значи-
тельно превосходит силу тяжести. Теория их была дана Том-
соном (Thomson, Phil. Mag., ноябрь 1871). Упругие волны изгиба,
для которых U=2V, это — волны, соответствующие изгибу упру-
гого стержня или пластинки (Теория звука, § 191).
В докладе, прочитанном на плимутском съезде Британской
ассоциации (напечатанном затем в Nature, 23 августа 1877), проф.
Осборн Рейнольде- дал динамическое объяснение тому факту, что
О БЕГУЩИХ ВОЛНАХ 495
группа волн на глубокой воде распространяется со скоростью,
равной только половине скорости отдельных волн. Оказы-
вается, что энергия, проходящая через любую точку при рас-
пространении последовательности волн, равна только половине
энергии, необходимой волнам, проходящим в то же самое время;
таким образом, если последовательность волн ограничена, невоз-
можно, чтобы ее фронт распространялся с полной скоростью волн,
так как это означало бы приобретение большего количества энер-
гии, чем то, которое в действительности можно получить.
Проф. Рейнольде не касался случаев, когда распространяется
большее количество энергии, чем то, которое соответствует вол-
нам, проходящим в то же самое время; однако его рассуждение,
в применении к уже полученным результатам, показывает, что
такие случаи также должны иметь место. Отношение распростра-
няющейся энергии к энергии проходящих волн равно U: V;
таким образом, энергия, распространяющаяся в единицу времени,
равна части U/V той энергии, которая имеется на отрезке V,
или в U раз больше той энергии, которая приходится на единицу
длины. Следовательно [в силу A)],
энергия, распространяющаяся в единицу времени d (kV)
энергия, приходящаяся (в среднем) на единицу длины dk '
В качестве примера я возьму случай малых, не обладающих
вращением волн на воде конечной глубины Z1). Если z отсчиты-
вать в направлении от поверхности вглубь, а высоту волны h
выразить через
й = Я cos (/tf— kx), D)
где n — kV, то соответствующий потенциал скоростей <р будет
равен
М1)
<Р = ~VH ет1е-нг sin («*-kx)- (б)
Это значение «р удовлетворяет общему дифференциальному
уравнению для невращательного движения (V2^ = 0) и обращает
в нуль вертикальную скорость -J- при z — /, а — -гг при 2==0.
Скорость распространения дается выражением:
Теперь мы можем вычислить энергию, заключенную в отрезке х,
который предполагается включающим настолько большое число
волн, что дробными частями можно пренебречь.
1) Проф. Рейнольде рассматривает трохоидальную волну Рэнкмна ц
фроуда, включающую молекулярное вращение.
496 О БЕГУЩИХ ВОЛНАХ
Для потенциальной энергии имеем
А
j zdzdx=*±g?j Н*с1х = ±&Н*х. G)
0
Для кинетической энергии из A) и F):
-4 «»"'*¦ (8)
Если, в соответствии с рассуждениями, проведенными в конце
настоящей статьи, предположить, что Vt и Т равны, то значе-
ние скорости распространения определяется полученными выра-
жениями. Следовательно, полная энергия волн, расположенных
по длине х (на единицу ширины)
V1+T=±gpH*x, (9)
где Н—максимальное поднятие.
Теперь нужно определить энергию, проходящую за время t
через плоскость, для которой х постоянно, или, другими словами,
работу (W), которую следует затратить для поддержания дви-
жения плоскости (рассматриваемой как гибкая пластинка), распо-
ложенной навстречу действующему на нее давлению жидкости.
Переменная часть давления (8/?) на глубине z дается выражением
а горизонтальная скорость
так что, интегрируя, имеем
l[^]. A0)
Из выражения F) для V можно доказать, что
__ 1 у<{ j l^ d<kV4\ i Vi{ j
таким образом, подтверждается, что значение W в единицу вре-
мени равно
^р на единицу длины).
О БЕГУЩИХ ВОЛНАХ 497
В качестве примера непосредственного вычисления U можно
взять случай волн, движущихся под совместным действием сил
тяжести и сцепления.
Томсон доказал, что
V»=!+7fc, A1)
где Г—поверхностное натяжение. Следовательно,
Если k мало, то поверхностным натяжением можно прене-
бречь; тогда U = 1/zV, но если, наоборот, k велико, U—alaV,
как уже было установлено.
Когда Tk2 = g, U=V. Это соответствует минимальной скоро-
сти распространения, исследованной Томсоном.
Хотя доводы, основанные на интерференции групп, кажутся
удовлетворительными, желательно независимое исследование соот-
ношения между наличной энергией волны и энергией распростра-
няющейся. В течение некоторого времени я не находил метода»
применимого ко всем видам волн, не видя, в частности, причины,
почему сравнение энергий должно приводить к рассмотрению изме-
нения длины волны. Нижепроводимое рассуждение, в котором
увеличение длины волны мнимое, быть может, удовлетворит этой
потребности.
Допустим, что движение любой части среды встречает сопро-
тивление, причем сила сопротивления весьма мала по величине
и пропорциональна массе и скорости данной части (среды).
В результате сопротивления волны, возникшие в начале коор-
динат, будут постепенно затухать по мере возрастания х. Дви-
жение, которое при отсутствии трения выражалось бы (функ-
цией) cos (nt— kx), при наличии трения выражается в виде
e-v& cos (nt — hx), где [i — малый положительный коэффициент.
Строго говоря, значение к также изменяется в результате трения;
но это изменение второго порядка по сравнению с силами тре-
ния и может быть опущено при тех предположениях, которые
приняты здесь. Энергия волн на единицу длины на любой стадии
затухания пропорциональна квадрату амплитуды; таким образом,
полная энергия, имеющаяся на положительной стороне от начала,
относится к энергии всех волн (приходящихся на единицу длины)
при максимальной их величине (т. е. значении в начале коорди-
оо
нат), как Г e-^dx: 1, или как Bft)-1: 1. Энергия, прошедшая
о
через начало координат в единицу времени, равна рассеянной
энергии. Если сила трения, действующая на элемент массы ш,
498 О БЕГУЩИХ ВОЛНАХ
есть hmv, где v — скорость элемента и А — постоянная, то энер-
гия, рассеиваемая в единицу времени, равна h^mv2, или 2А7,
где Т—кинетическая энергия. Следовательно, принимая, что
кинетическая энергия равна половине полной энергии, находим,
что энергия, проходящая за единицу времени, относится к макси-
мальной энергии, заключенной в единице длины, как h: 2ja.
Остается найти соотношение между h и [х.
Для этой цели удобно рассматривать cos(«f — kx) как дей-
ствительную часть величины eint eikx и исследовать, какое влияние
на k при данном п оказывает введение трения. Действие трения
выражается в дифференциальных уравнениях движения заменой
-р- через -ш-\-Ь-п или, так как движение в целом пропорцио-
нально eint, подстановкой — п?-\-Иш вместо — я2. Следовательно,
введению трения соответствует изменение п на n — x\%ih (квадра-
том h пренебрегаем); соответственно k заменяется на А — -к lh -г-.
Таким образом, решение принимает вид:
е~Т ~Sh ei (nt-he)
или, если отбросить мнимую часть,
е а an cos (nt — kx);
следовательно,
Отсюда отношение энергии, проходящей за единицу времени,
к энергии, приходящейся на единицу длины, выражается через
зт или .. , что и требовалось доказать.
dk ak r
Часто отмечалось для частных случаев бегущих волн, что
потенциальная и кинетическая энергии равны. Но я не могу вспом-
нить ни одного общего исследования по этому вопросу. Эта тео-
рема обычно несправедлива для отдельных частей среды г), и ее
следует понимать как относящуюся либо к целому числу длин
волн, либо к области пространства, настолько значительной, что
можно не учитывать остающиеся дробные части волн. В качестве
хорошего примера, позволяющего проникнуть в сущность вопроса,
приведу случай равномерно растянутой круглой мембраны {Теория
звука, § 200), колеблющейся с данным числом узловых окруж-
ностей и диаметров. Основные типы колебаний не определяются пол-
ностью вследствие симметрии, так как любой диаметр может быть
1) Воздушные волны являются важным исключением.
О БЕГУЩИХ ВОЛНАХ 499
узловым. Для того чтобы избавиться от этой неопределенности,
можно предположить, что мембрана несет малую нагрузку, прикре-
пленную в какой-нибудь ее точке, за исключением точек узловой
окружности. Тогда мы получим два определенных типа колебаний:
для одного нагрузка расположена на узловом диаметре и, таким
образом, не оказывает никакого влияния, а для другого — она нахо-
дится посредине между двумя узловыми диаметрами, оказывая
максимальное влияние (Теория звука, § 208). Если колебания обоих
типов происходят одновременно, то потенциальная и кинетическая
энергии движения в целом могут быть вычислены путем простого
сложения соответствующих энергий слагающих движений. Допу-
стим теперь, что при безграничном уменьшении нагрузки колебания
происходят с одинаковой амплитудой, но отличаются по фазе на
четверть периода. Результатом такого движения будет бегущая.
волна, потенциальная и кинетическая энергии которой представляют
суммы соответствующих энергий стоячих волн, из которых она сла-
гается. Для первой слагающей имеем Vt = Е cos2 tit, Tt = E sin2 nt\
для второй слагающей V% — E$x?ntt Га= ? cos2?^; таким обра-
зом, V, -f- Va = Тг -j- Га = Е, или потенциальная и кинетическая
энергии бегущей волны одинаковы и равны полной энергии каждой
из составляющих. Примененный здесь метод доказательства кажется
достаточно общим, хотя его довольно трудно изложить на языке,
'Пригодном для всех типов волн.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная высота 31, 33, 106
Аккорд 30
Амплитуда 40
Анализ звука при помоши уха 36, 214
Аномальная дисперсия 191
А р а г о 24
Аристотель 204
Бассет 450
Бегущие волны 493; затухание их в случае
струны 2S4
Бериар 366
Б е р н у л л и 126, 156. 193, 204, 277
— принцип 126
Б е р т о н 98
Бертрана теорема 120, 121
Бесселя функции, таблица 339; корни функ-
ции 349, функции мнимого аргумента 385.
Бетти 180
Биения 43, 44, 47, 71; биения звонков 406;
биения колоколов 406; возникновение бла-
годаря оОертопам 80, 81
Биполярный телефон 490
Блэкберна маятник 52
Б р а в э 24
Брайан 404
Брандт 214
Бурже 349, 350, 366
Бурже опыты 365
Бэлла телефон 488
В а и-Б е к 24
В е б е р 344
В е б е р Г. 475
Ведущая точка 180
Вероятности результирующих колебаний 62
В е р т г е й м 372, 380, 381
Взаимности соотношение 113, 118, 120, 174
Вибрационный микроскоп 54
Виртуальных скоростей принцип 111, 279
Возмущающая сила 66
Волна положительная и отрицательная 248
— стоячая 250
Волны распространение 493
Восприятие звука 36, 37, 33
Временные постоянные 149
Вынужденные колебания 67, 70—75, 168, 21S
Высота звука 26, 31, 54, 104
Высоты измерение 76
— стандарт 31, 80
Вязкость 122
Гамма 30; диатоническая 30, 31; темпериро-
ванная 33
Г а н з е н 340, 341
Гармоники 30
Гармоническая кривая 40
— пара сил 283
¦— ишйла 30
Гармонические колебания 40,65; системы 128;
стержня 282
Гаусс 428, 433
Г е л ь м г о л ь ц 34, 36, 38, 72, 80, 87, 178,
180, 212, 214, 220, 230, 232, 234, 253, 407.
452, 453
Гендель 31
Генри 452, 456, 458
Герц 451, 492
Г е р ш е л ь 20, 171
Гистерезис 452
Грйи 371
Гринхилл 299
Грове 92
Громкость 35
Группа воли 321, 493, скорость ее 493
Д а л а м б е р 193, 121, 247
Даламбера решение 247
Движение системы под действием заданных
импульсов 116
— системы в соседстве с конфигурацией
устойчивого равновесия 124
Дешаиель 29
Д ж е л л е т 441
Диатоническая гамма 30, 31
Диссипативная функция 123, 125, 459
Диссипативные силы 65, 122
Длина волны 42
Дов 464
Доминанта 30
Д о н к н н 20, 219. 232. 234, 275. 306, 306,
317. 318, 319, 372
Дуодецима 29
Дюгсм 173
Емкость 450
Жермен Софи 388
Жесткость 872
Заданные движения 171, 190
Запаздывание колебания 68
Затухание звука 25
— колебания 66, 71
3 е е б е к 206, 277, 305, 306, 319, 320, 321
Зельмейер 191
Излучение, эффект 179
Изогнутые пластинки 412
Импеданс 483
Импульс, приложенный в одной точке 158
Импульсы 116
Инверсия интервала 30
Индуктивность 451
Индукционные веси 464
Индуцированные точки 454
Инерция поперечного движения стержня
273
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
501
Интенсивность результирующего колебания
Интервал 26, 27
Интерференция 41
Кабель: формула Кельвина 483; теории Хевя-
сайда 485
Калейдофон 52
Камертон 42, 79, 80; возбуждение электро-
магнитов 84; прерывистое освещение при
помощи его 55
Камертонный прерыватель 87, 106
К а н ь я р де ла Тур 27
Кварта 29, 30
Квинта 29, 30
Кельвин 45, 46, 119, 120, 125, 129, 131,
162, 275, 371, 419, 161, 452, 483, 497
Кельвина теорема 119—121
— формула для кабелей 483
К ё н и г 105. 400, 407
Кинетическая энергия 116
Кирхгофф 316, 365, 372, 377, 880, 381,
388, 339
Кирхгоффа теория колебаний пластинок 381,
388
Кларк 80, 107
К л е б ш 317. 365, 372
Ключ см. Тоника
Коддингтои 405
Колладои 25
Колебания 27; возбуждение их периодически
меняющейся силой 67, вынужденные коле-
бания 67, 70; колебания кратных перио-
дов 28; свободные колебания 67, 70, 1?6,
131, 161
Колокола 405, 406; биения 405; настройка
448; узловые меридианы 406; фальшивые
октавы 411; перковные колокола 407,
408
Колокольчики стеклянные 450
Кольцо 401
— круговое, колебания 326
Комма 32
Координаты нормальные 129
— обобщенные Ш
Корни характеристического уравнения 184
К о ш и 277, 435
Крам Брауп 91
К р н 274, 425
К р и с т а л 463, 467
Крутильные колебания 264
Кундт 191
Кюйтепброуер 24
Л а г р а н ж 130, 132, 193, 195, 196, 204
Лагранжа определитель 132
— метод 196
— уравнения 121, 136
Л а к у р 88
Ламе 335, 337, 372
Лаплас 130, 171
Лапласа принцип 171
Лейденская банка 451
Л и с с а ж у 49, 61, 53, 64, 85, 277, 305
— фигуры 49
— цилиндр 49
Литавры 368
Л и у в н л л ь 240, 242, 243, 244, 315
Логарифмический декремент 67
Лодж 385
Л о ж д О. Дж. 451, 453, 466, 473
Ломмель 340
Л э м б 180, 325, 435, 436, 437, 450, 479. 480
Л я в 325, 419, 425, 426, 432, 450
М а й е р А. М. 91, 103
Майера метод 108
Мак Леода и Кларка метод измерения ча-
стоты 107
Мак М а г о н 349, 350
Максвелл 183, 392, 451, 478, 482
Максвелла принцип 478
Малые днсснпатнвные силы 159
Map та и 24
М а т ь е 363, 388
Маятник с движущейся точкой привеса 83
М е л ь д е 220, 368, 404
Мембрана 173, 326
Мембран колебания 326; вынужденные коле-
бания 341; закрепленный радиус 352, квад-
ратная мембрана 330, 335, круглая мем
брана 338, 342, 370; максимальный перион
358-359, мембраны равной площади 363—
365; наблюдения Бурже 366; нагрузки влия-
ние 354, начальные условия 329; неодно-
родности влияние 335; потенциальная энер-
гия 327; приблизительно круглая мембрана
356, прямоугольная мембрана 327; тре-
угольная мембрана 337; узловые фигуры 351,
368; эллиптическая мембрана 363
Мерсени 30, 204, 205
Мерсенна законы 204
Механический телефон 25
Микроскоп вибрационный 54
Микрофон Юза 492
М и Ч е л л 237, 325, 364
М о л л ь 24
Монохорд 204
Музыкальные и немузыкальные звуки 86
Наблюдение колебаний 55
Наинизший тон свободно-свободного стержня
301
Настройка камертона 79, 80
— колоколов 449
— по квинтам 83
Натяжение в стержне 266
Начальное движение системы 116
Начальные токи 457
— условия 158
^Непрерывное движение 121
Неустойчивость 165
Нормальные координаты 12J
— функции 141, 142
Ноты 26, 38.39
— и тоны 34
— и шумы 26
Ньютон 178
О б е р б е к 479
Обертоны 34, 35; определение абсолютной
высоты 105
Обобщенные координаты 111
Обозначение нот 31
Оболочек колебания 412; колебания растя-
жения 420; кинетическая энергия колеба-
ний 447; коническая оболочка 416; плоская
пластинка 421, 422; полусферическая обо-
лочка 444, 445, 447; потенциальная и кине-
тическая внергии 402, 403, потенциальная
энергия изгиба цилиндрической оболочки
419, 427, 430, собственные частоты коле-
баний без растяжения 417, 418; статиче-
ские задачи 433, 445, сферическая обо-
лочка 418, 428, 435, 438; тангенциальные
колебания 405, 406; уравнение частот 434;
условие нерастянутости 414; Фенкнера на-
блюдения 404; цилиндрическая оболочка
401, 404, 414. 416, 419, 423, эффект вра-
щения 404
502
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Общее уравнение свободных колебаний
161—163
Октавы 76, 29, 30, 31
Ом 34, 38, 39
Оптические методы исследования колеба-
ний 54
Ортогональности (сопряженности) свойство
Ослабление звука на расстоянии 25
Основной тон 34
Отражение от закрепленной точки 251
— от точки соединения 266
Параметрический резонанс 501
Передача звука твердыми телами 25
Перемежающиеся колебания 187
Период 27, 40, 64
— поперечного колебания стержней 299
— свободных колебаний 131—135
Периодические колебания 27
Песок, движение его 387
Пирсон 316
Пластинок колебания 371; граничные усло-
вия 375; закрепленная граница 385; изо-
гнутые пластинки 412; квадратная пластинка
392, 396; колебания изгиба 371; колебание
узлов 382; потенциальная внергия изгиба
372; прямоугольная пластинка 389, 390;
свойство сопряженности 377; система узлов
379, 380; сравнение с опытом 380, 381;
суперпозиция колебаний 394; тангенциаль-
ные колебания 405; теория Кирхгоффа 381,
388; фигуры Уитстона 395; Хладня закон
380; Хладии фигуры 38G, 398
Плато 55
Поддержание колебаний 99, 101
Покельс 364
Полярные координаты 338
Потенциальная энергия 112
— внергия изгиба 443, 1>79, 372, 426, 433
Похгаммер 274, 279
Приблизительно простые системы 135
Принцип виртуальных скоростей Ш, 279
— сосуществования малых движении 126
Природа йот и тонов 38, 44
П р и с 491
Проводники звука 25
Продольныеколебания 264
Простой аккорд 30
Пружины колебания 77
П у а с с о и 285, 365, 372, 380, 381, 388
Пуассона коэффициент 372
Пульсирующие колебания 91, 92, 93, 94
Размерностей метод 75
Рассеяние энергии 100
Раус 131, 143, 145, 146, 148, 162, 163
Рауса теоремы 163, 164
Реакция в ведущей точке 181
— зависимой системы 190
Резонанс 89
Резонаторы 79, 105
— Гельмгольца 407
Рейнольде 494, 495
Реньо 24
Р и к к а т т и 277
Р и м а и 331, 348, 352
Р э л е й 86, 102, 106, 108, 113, 115, 120, 124,
131, 132, 180, 181. 235, 236. 261, 368, 393,
409, 414, 418, 421, 434, 450, 458, 460, 461,
463, 474, 475, 477, 490
Рэлея теорема 131
Р э и к и н 495
С а в а р 275, 366, 368, 383, 387
Свободные колебания 67, 70—74, 126, 131;
общие уравнения 161—163
Связи, наложенные на систему 141—149
Секста 29, лО
Сила, приложенная в одной точке 157
С и м п с о и 410
Сирена 27, 31
Системы колебательные 64, 111, 153; система
без трения 126; две степени свободы 186—
189; дисенпативные силы 153; несколько
связей 148; одна связь 143; одна степень
свободы 64; периодически меняющиеся па-
раметры 101
Скорость звука 24, 25
Сложение колебаний 42,43, 44, 45, 71; взаимно
перпендикулярные колебания 47—50; коле-,
бания неравного периода 51; произвольные
колебания 56
Слуховые трубы 24
Сми элемент 88, 92
Смычок, действие 235
Сомов 131
Сонометр 205
Соотношение взаимности ИЗ, 118, 119
Сопротивление 181
— обобщенное 467
— переменному току 483
Сопротивления силы 160
Сопряженности свойство 150—152, 285
Средняя интенсивность 56
Статическая теория 157
Статические теоремы 114,115
Стационарное колебание 250
Степени свободы Щ
Стержней колебания 78, 264; классификация
колебаний 264
— крутильные колебания 275
— поперечные колебания 277; выражение
для V 289; инерпия вращения 309, 310, 313;
нагруженный конец 309; начальные условия
290; нормальные функции для различных
случаев 293; оба конца закреплены 295; оба
конца свободны 294, 301, 303; общее диф-
ференциальное уравнение 279; один коней
закреплен 297, 306; период, вычисление 298;
положение узлов 307; постоянное натяже-
ние 316;
— продольные колебания 265, нагрузка в
одной точке 271; нормальные типы ко-
лебаний 268; оба конца закреплены 270;
оба кониа свободны 269; общее диффе-
ренциальное уравнение 265, ?68; один
коней закреплен 269; отражение от точки
соединения 273; поправка на поперечное
движение 273; скорость распространения
колебаний 267
Стоке 151, 152, 207, 323, 349, 493
Стокса правило 151, 207
Стоячая волна 250
Струн поперечные колебания 74, 75, 77, 134,
193; бесконечно большая нагрузка 134; воз-
буждение импульсом 211; возбуждение
щипком 210; вынужденные колебания 215;
графический метод 250, 252; жесткость 229,
262; закрепленные концы 202; Зеебека на-
блюдения 206; значения Т и V 201; конеч-
ная нагрузка 227; меняющаяся линейная
плотность 138, 237, 257; нагрузка в виде
двух масс 186; нагрузка, сосредоточенная
в отдельных точках 195; начальные усло-
вия 210; несовершенная гибкость 262; обще-
диффереициальное уравнение 200; отраже-
ние в закрепленной точке 251; отражение
в точке соединения 256; периодическая
сила, приложенная в одной точке 218;
податливость концов 222; скрипичная струна
230; собственные частоты 206, соединен-
ные струны 256, 262; узлы при приложе-
нии силы 256, фортепианная струна 212
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
503
Субдоминанта 30
Суперпозиции принцип 70
Сферический маятник 130
Тангенциальные колебания 405
Тембр ноты 35
Температурный коэффициент камертона 106
Темперации 32
Темперированная гамма 33
Теорема взаимности 174, 178
Т е п л е р 55
Теплопроводность, эффект 179
Т е р к е м 275. 388
Теркин 29, 30
Тиндаль 34
Т о м с о н Дм. Дж. 451, 460, 464, 482
Т о м с о н У. см. Кельвин
Тон 34, 38, 39
Тоника 30
Тонометр 82
Трение 122, 123, 170
Тэ й л ор 46
Тэйлор, Брук 204
Тэт 45, 46, 91. 120, 129, 131. 162. 27Б, 371
419, 491
Узловые линии для квадратной пластинки 392
— линии для мембран 328, 333, 343, 351
Узлы колеблющегося стержня 303, 307
— колеблющейся струны 246
У и т с т о н 25, 52, 395, 400, 466
Уитстона мостик 466
— фигуры 395
Упругость, сравнение обозначений 371
Устойчивость 165
Ухо 23
Фаз произвольное распределение 56
Фаза колебания 40
Ф а р а д е й 102, 387
Ф е н к п е р 404
Феррарис 491
фисгармония 108, 109
ф о й г т 390
Фоническое колесо 86, 106
Ф р о у д 235, 493
Фурье 45, 140, 225, 322, 484
Фурье разложение 140
— решение 322
— теорема 45, 140, 225
— уравнение теплопроводности 484
Характеристического уравнения равные
корни 130
X е в и с а й д 451, 467, 471, 474, 479, 480, 481,
483, 485
Хевисайда теория кабелей 485
Хилл 105
X л а д н и 276, 380, 386, 396, 404
Хладна закон 330
— фигуры 380, 386, 398
X о П D е 324, 403
Христиансен 191
Хроматическая гамма 33
Цамминер 33
Цилиндрические оболочки: колебания в двух
измерениях 401; наблюдения Фенкнера 404;
потенциальная и кинетическая анергия
колебания 402, 403; тангенциальное коле-
бание 400; условие нерастянутостн 416
Частот таблица 33
Частота 29
Частоты измерение 205
Шварц 173
Ш е й б л е р 80, 82, 208
Шейблера тоиеметр 82
Ш т р е л ь к е 277, 298, 304, 305, 881, 393
Ш Т у р м 25, 240. 241, 242, 243, 244, 315
Штурма теорема 240
Шумы 26
Эверетт 29
Э д и с о и 492
Э й л е р 193, 204, 277
Э й р и 70
Электрическая система 149; колебания ее 451;
общее уравнение колебаний 451; период
колебаний 452; свободные н вынужденные
колебания 452
Электричество: биполярный телефон 490, диф-
ференциальный телефон 466; нндуктометр
474; индукционные весы 464; индуцирован-
ные токи 454; микрофон Юза 492; мостик
Уитстона 466; начальные токи 457; обобщен-
ное сопротивление 467; параллельные про-
водники 459; передатчик и приемник Эди-
сона 492; принцип Максвелла 478; свобод-
ные токи в цилиндре 478; связанные кон-
туры 454; смежные проводники 461; сопро-
типление переменному току 483; схемы
Юза 471, 473; телефон 488; телефонный
передатчик и приемник 489; теория кабелей
Кельвина 483; теория кабелей Хеви-
сайда 485; электромагнитное экранирова-
ние 478
Элонгация 266
Эльзас 368,69, 370
Эолова арфа 100, 235
Ю 3 464, 471, 473, 474, 492
Юза схема 471, 474
Ю н г 29, 204, 210, 394
Юнга метод определенна малых интерва-
лов 108
— модуль 372
— теорема 209; обобшеане ее 155.
Дж. В. Стретт (Лорд Рзлей). Теория
звука, т. I.
Редакторы В. А. Грагорова а С. Г. Ткачу».
Техн. редактор Н. #¦ Мурашова.
Корректор Л. О. Сечейко
Сдано в набор 4/XI 1954 г. Подписано к
печати 10/1 1955 г. Бумага 60Х821/,,
Физ печ. л. 31,5. Условн. печ. л. 31,5 +
1 вклейка. Уч.-изд. л. 32,35. Тираж 8 000 экз.
Т-00817. Цена книги 18 р. 20 к. Заказ № 1774.
Государственное издательство технико-
теоретической литературы
Москва, Б. Калужская ул., IS.
Министерство культуры СССР.
Главное управление полиграфической
промышленности. 4-я тип. им. Евг. Соколовой.
Ленинград, Измайловский пр., 29.