/
Author: Лю Б.
Tags: анализ математика программирование оптимизация математическое моделирование математическое программирование теория систем
ISBN: 5-94774-241-1
Year: 2005
Text
Б.ЛЮ
теориям рактика
неопред- енного
программирования
4
i • фшмнрованне
Вы держите в руках первую книгу серии «Адаптивные и
интеллектуальные системы». Серия нацелена на то,
чтобы ознакомить читателя как с проблемами,
связанными с искусственными интеллектуальными системами,
так и результатами их решения.
Китайский математик ), автор книги «
»,
представил замкнутое, подробное и соответствующее
современным требованиям изложение теоретических основ
неопределенного программирования, включая
обсуждение принципов построения соответствующих
оптимизационных моделей, а также алгоритмов, обеспечивающих
решение разнообразных задач с использованием этих
моделей. В числе рассматриваемых прикл-« ■•
проблем: транспортные задачи, моделирование систем
управления запасами, задачи составления кормовых
смесей, моделирование производственного процесса,
проблемы водоснабжения, задача размещения и
распределения оборудования, задача распределения
капиталовложений, задача топологической оптимизации, задача
маршрутизации движения транспорта, оптимизации
резервирования, задача о критическом пути, задача
составления расписания параллельно действующих
машин.
ISBM 5-94774-241-1
АДАПТИВНЫЕ if ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Б. Лю
теория и практика
неопределенного
программирования
Перевод с английского
Ю. В. Тюменцева, Ю. Т. Каганова
под редакцией
Ю. В. Тюменцева
I-
Москва
БИНОМ. Лаборатория знаний
2005
УДК 517.11+519.92
ББК 22.18
Л93
Лю Б.
Л93 Теория и практика неопределенного
программирования / Б. Лю; Пер. с англ. — М.: БИНОМ. Лаборатория
знаний, 2005. —416 с: ил. — (Адаптивные и интеллектуальные
системы)
ISBN 5-94774-241-1 (русск.)
ISBN 3-7908-1490-3 (англ.)
В книге дается замкнутое, подробное изложение аппарата
неопределенного программирования, включая обсуждение принципов
построения соответствующих оптимизационных моделей, а также
алгоритмов, обеспечивающих решение разнообразных прикладных задач
с использованием этих моделей. Рассмотрены: транспортные задачи,
моделирование систем управления запасами, задачи составления
кормовых смесей, моделирование производственного процесса, проблемы
водоснабжения, задача размещения и распределения оборудования,
задача распределения капиталовложений, задача топологической
оптимизации, задача маршрутизации движения транспорта, оптимизации
резервирования, задача о критическом пути, задача составления
расписания параллельно действующих машин.
Книга ориентирована на исследователей, инженеров и студентов,
специализирующихся в области исследования операций, теории
систем, информатики, организационного управления и техники.
УДК 517.11+519.92
ББК 22.18
Научное издание
Лю Баодин
Теория и практика неопределенного программирования
Ведущий редактор И. Маховая
Художник Н. Лозинская
Художественный редактор О. Лапко
Оригинал-макет подготовлен О. Лапко
в пакете 1М^Х2е с использованием
кириллических шрифтов семейства LH
Подписано в печать 16.05.05 г. Формат 70 х 100/16
Гарнитура Computer Modern. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл.печ.л. 33,8. Тираж 2000 экз. Заказ 3121
Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний»
Адрес для переписки: Москва, 119071, а/я 32
Телефон (095)955-0398, e-mail: Lbz@aha.ru, http://www.Lbz.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в полиграфической фирме «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Translation from the English language
edition: Theory and Practice of Uncertain
Programming by Baoding Liu
Copyright © Physica-Verlag Heidelberg, 2002
Springer-Verlag is a company in the
Bertelsmann Springer publishing group.
. . All Rights Reserved
ISBN 5-94774-241-1 (русск.) © ю. в. Тюменцев, Ю. Т. Каганов, 2005
ISBN 3-7908-1490-3 (англ.) © БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005
Оглавление
О серии «Адаптивные и интеллектуальные системы» 12
Предисловие редактора перевода 17
Предисловие 20
Часть I. Теоретические основы 23
Глава 1. Математическое программирование 23
1.1. Линейное программирование 23
1.2. Нелинейное программирование 25
1.3. Многокритериальное программирование 27
1.4. Целевое программирование 29
1.5. Целочисленное программирование 31
1.6. Динамическое программирование 32
1.7. Многоуровневое программирование 33
1.8. На пути к неопределенному программированию 35
Глава 2. Генетические алгоритмы 39
2.1. Структура представления решения 40
2.2. Манипулирование ограничениями 40
2.3. Процесс инициализации 41
2.4. Функция оценки 42
2.5. Процесс отбора 44
2.6. Операция кроссинговера 44
2.7. Операция мутации 45
2.8. Процедура генетического алгоритма 45
2.9. Численные примеры 47
Глава 3. Нейронные сети 51
3.1. Искусственные нейроны 52
3.2. Многослойная сеть прямого распространения .. 53
3.3. Аппроксимация функций 54
3.4. Определение структуры сети 55
3.5. Алгоритм обратного распространения ошибки 55
3.6. Обучение нейронных сетей с помощью генетических
алгоритмов 57
3.7. Численные примеры 58
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть II. Стохастическое программирование 60
Глава 4. Случайные величины 60
4.1. Вероятностное пространство и случайные величины 60
4.2. Оператор математического ожидания 62
4.3. Оптимистические и пессимистические значения 63
4.4. Ранжирование случайных величин 65
4.5. Закон больших чисел 66
4.6. Получение случайных чисел 66
4.7. Статистическое моделирование 77
Глава 5. Стохастические модели ожидаемого значения 81
5.1. Основные модели 82
5.2. Теорема выпуклости 83
5.3. Стохастическое программирование с регрессом 84
5.4. Гибридный алгоритм 84
5.5. Оптимизация резервирования 87
5.6. Размещение и распределение объектов 93
5.7. Составление расписания для параллельно действующих
машин 96
5.8. Всегда ли обоснованно использование моделей ожидаемого
значения? 99
Глава 6. Стохастическое программирование с вероятностными
ограничениями 101
6.1. Вероятностные ограничения 102
6.2. Максимаксное программирование с вероятностными
ограничениями 102
6.3. Минимаксное программирование с вероятностными
ограничениями 105
6.4. Детерминированные эквиваленты вероятностных
ограничений 107
6.5. Теорема эквивалентности ПО
6.6. Статистическое моделирование 111
6.7. Гибридный алгоритм 112
6.8. Задача составления кормовой смеси 114
6.9. Распределение капиталовложений 116
6.10. Открытые сети запасов 118
6.11. Топологическая оптимизация 123
6.12. Задача выбора маршрутов для транспортных средств 125
6.13. Оптимизация резервирования 134
6.14. Размещение и распределение объектов 135
6.15. Задача о критическом пути 136
6.16. Составление расписания для параллельно действующих
машин 140
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
Глава 7. Стохастическое событийное программирование 142
7.1. Неопределенная среда, событие и вероятностная функция
события 143
7.2. Принцип неопределенности. 146
7.3. Однокритериальное событийное программирование 147
7.4. Многокритериальное событийное программирование 149
7.5. Целевое событийное программирование 150
7.6. Гибридный алгоритм 151
7.7. Задача водоснабжения 154
7.8. Производственный процесс 157
7.9. Открытые сети запасов 159
7.10. Распределение капиталовложений 160
7.11. Топологическая оптимизация 161
7.12. Задача выбора маршрутов для транспортных средств 163
7.13. Оптимизация резервирования 165
7.14. Задача о критическом пути 167
7.15. Составление расписания для параллельно действующих
машин 168
7.16. Размещение и распределение объектов... 170
7.17. Лотерея «Выбери шесть номеров» 171
Часть III. Нечеткое программирование 173
Глава 8. Нечеткие величины 173
8.1. Возможностное пространство и нечеткие величины 173
8.2. Нечеткая арифметика 176
8.3. Меры возможности, необходимости и правдоподобия 178
8.4. Оптимистические и пессимистические значения 182
8.5. Оператор ожидаемого значения 184
8.6. Ранжирование нечетких величин 188
8.7. Нечеткое моделирование .. 188
Глава 9. Нечеткие модели ожидаемого значения 192
9.1. Общие модели 192
9.2. Теорема выпуклости 194
9.3. Гибридный алгоритм.. . 194
9.4. Оптимизация резервирования 197
9.5. Составление расписания для параллельно действующих
машин 198
9.6. Размещение и распределение объектов ... 199
Глава 10. Нечеткое программирование с возможностными
ограничениями 202
10.1. Возможностные ограничения 202
10.2. Максимаксное программирование с возможностными
ограничениями 203
8 ОГЛАВЛЕНИЕ
10.3. Минимаксное программирование с возможностными
ограничениями .... 205
10.4. Разновидности моделей программирования с
возможностными ограничениями 206
10.5. Четкие эквиваленты моделей нечеткого программирования
с возможностными ограничениями 209
10.6. Гибридный алгоритм .... 212
10.7. Задача распределения капиталовложений 214
10.8. Оптимизация резервирования 216
10.9. Задача выбора маршрута для транспортного средства 217
10.10. Проблема критического пути 219
10.11. Составление расписания для параллельно действующих
машин 221
10.12. Размещение и распределение объектов 222
Глава 11. Нечеткое событийное программирование 223
11.1. Принцип неопределенности 223
11.2. Событийное программирование 224
11.3. Разновидности задачи событийного программирования .... 226
11.4. Гибридный алгоритм 226
11.5. Оптимизация резервирования 230
11.6. Составление расписания для параллельно действующих
машин 232
11.7. Размещение и распределение объектов.... 233
11.8. Задача выбора маршрута для транспортных средств 233
11.9. Задача о критическом пути 234
Глава 12. Нечеткое программирование с нечеткими решениями 236
12.1. Нечеткие решения 236
12.2. Модели ожидаемого значения 237
12.3. Максимаксное программирование с возможностными
ограничениями 238
12.4. Минимаксное программирование с возможностными
ограничениями 239
12.5. Событийное программирование 240
12.6. Нечеткие нейронные сети ... 242
12.7. Гибридный алгоритм 243
Часть IV. Неточное программирование 250
Глава 13. Неточные величины 250
13.1. Пространство приближений и неточные величины 250
13.2. Неточная арифметика 253
13.3. Мера доверия 254
13.4. Оптимистические и пессимистические значения 256
13.5. Оператор ожидаемого значения 258
ОГЛАВЛЕНИЕ 9
13.6. Ранжирование неточных величин 260
13.7. Неточное имитационное моделирование 260
Глава 14. Неточное программирование 263
14.1. Модели ожидаемого значения 263
14.2. Максимаксное программирование с ограничениями на
шансы 266
14.3. Минимаксное программирование с ограничениями на шансы 267
14.4. Событийное программирование 269
14.5. Гибридный алгоритм.. 271
Часть V. Нечетко-случайное программирование 275
Глава 15. Нечетко-случайные величины 275
15.1. Нечетко-случайные величины 275
15.2. Нечетко-случайная арифметика 277
15.3. Свойства измеримости 279
15.4. Оператор ожидаемого значения 280
15.5. Элементарная мера шансов 281
15.6. Разновидности меры шансов 283
15.7. Оптимистические и пессимистические значения 286
15.8. Ранжирование нечетко-случайных величин 287
15.9. Нечетко-случайное имитационное моделирование 288
Глава 16. Нечетко-случайные модели ожидаемого значения 292
16.1. Модели общего вида 292
16.2. Теорема выпуклости 293
16.3. Гибридный алгоритм.... 294
Глава 17. Нечетко-случайное программирование с ограничениями на
шансы 297
17.1. Ограничения на шансы 297
17.2. Максимаксное программирование с ограничениями на
шансы 298
17.3. Минимаксное программирование с ограничениями на шансы 300
17.4. Разновидности моделей программирования с ограничениями
на шансы ... 302
17.5. Гибридный алгоритм 303
Глава 18. Нечетко-случайное событийное программирование 307
18.1. Принцип неопределенности 307
18.2. Событийное программирование 308
18.3. Разновидности моделей событийного программирования . 310
18.4. Гибридный алгоритм 311
10 ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть VI. Случайно-нечеткое программирование 315
Глава 19. Случайно-нечеткие величины.. 315
19.1. Случайно-нечеткие величины 315
19.2. Случайно-нечеткая арифметика 317
19.3. Оператор ожидаемого значения 318
19.4. Элементарная мера шансов. 320
19.5. Разновидности меры шансов 321
19.6. Оптимистические и пессимистические значения 324
19.7. Ранжирование случайно-нечетких величин. 325
19.8. Случайно-нечеткое имитационное моделирование 325
Глава 20. Случайно-нечеткие модели ожидаемого значения 329
20.1. Модели общего вида 329
20.2. Теорема выпуклости 330
20.3. Гибридный алгоритм .... 331
Глава 21. Случайно-нечеткое программирование с ограничениями на
шансы 334
21.1. Ограничения на шансы 334
21.2. Максимаксное программирование с ограничениями на
шансы 335
21.3. Минимаксное программирование с ограничениями на шансы 337
21.4. Теорема эквивалентности 339
21.5. Разновидности моделей программирования с ограничениями
на шансы 340
21.6. Гибридный алгоритм 341
Глава 22. Случайно-нечеткое событийное программирование 346
22.1. Принцип неопределенности 346
22.2. Событийное программирование 347
22.3. Разновидности моделей событийного программирования . .. 349
22.4. Гибридный алгоритм 349
Часть VII. Общие принципы 354
Глава 23. Многократная неопределенность 354
23.1. Случайно-неточные величины 354
23.2. Неточно-случайные величины 356
23.3. Нечетко-неточные величины 357
23.4. Неточно-нечеткие величины 358
23.5. Бислучайные величины 359
23.6. Бинечеткие величины 361
23.7. Бинеточные величины 362
23.8. Разновидности мер шансов 363
23.9. Ранжирование неопределенных величин 364
23.10. Неопределенные величины с многократной
неопределенностью 364
ОГЛАВЛЕНИЕ 11
Глава 24. Неопределенное программирование 366
24.1. В чем польза от неопределенного программирования? 366
24.2. Модели среднего ожидаемого значения 368
24.3. Максимаксные модели программирования с ограничениями
на шансы 369
24.4. Минимаксные модели программирования с ограничениями
на шансы . 370
24.5. Событийное программирование. 371
24.6. Неопределенное динамическое программирование 372
24.7. Неопределенное многоуровневое программирование 374
24.8. Ф-диаграмма 377
24.9. Имитационное моделирование -f нейронная сеть +
генетический алгоритм 379
24.10. Имитационное моделирование + нейронная сеть +
имитационный отжиг 380
24.11. Имитационное моделирование + нейронная сеть + табу-
поиск 381
24.12. Направления дальнейших исследований 382
Литература 383
Дополнительная литература 398
Перечень часто используемых символов 403
Предметный указатель 405
О серии
«Адаптивные и интеллектуальные
системы»
1. Вот уже более 60 лет, с момента выхода первопроходческой работы
У. МакКаллока и У. Питтса1, не прекращаются попытки математического и
компьютерного моделирования естественных (природных) интеллектуальных
систем, а также работы по созданию искусственных интеллектуальных систем
(ИИС). За прошедшие годы выполнено огромное число проектов, проведены
сотни конференций, изданы тысячи книг и многие десятки тысяч статей на эту
тему. Казалось бы — все прекрасно, успехи налицо. Однако при более близком
рассмотрении результаты всех предпринимавшихся попыток выглядят
достаточно скромными, если сопоставлять их с основной декларированной целью —
создать ИИС, по уровню интеллектуальных возможностей не уступающую
человеку 2.
В самом деле, давайте попытаемся припомнить, много ли известно нам
примеров эффективно действующих «умных» машин и устройств: машин-
секретарей, слушающих своего хозяина-человека, понимающих о чем он
говорит и записывающих его речь в виде текста, разбирающих исчерканные и
переправленные им черновики, помогающих подобрать данные по требуемой
теме с учетом смысловых нюансов и текущих потребностей хозяина-человека;
машин-переводчиков с одного человеческого языка на другой, способных
действовать в любой языковой обстановке, в том числе и в сфере обыденного
языка с его многочисленными неправильностями, неточностями,
недоговоренностями; машин-исследователей, способных не растеряться, оказавшись в
обстановке, которая «и не снилась» их создателям — такой машиной может быть,
например, космический аппарат, попавший на другую планету, или же робот-
спасатель. Этот список может быть продолжен почти неограниченно...
Вообще говоря, налицо тупик. В чем же здесь дело? Почему многолетние,
достаточно широкомасштабные исследования и разработки в области ИИС так
и не привели пока к решающему успеху? 3 Возможен ли вообще успех или же
1 McCalloch W. S., Pitts W. A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity. //
Bull. Math. Biophys., — 1943. — v. 5. — pp. 115-133. Рус. перевод: Мак-Каллок У. С, Питтпс
В. Логическое исчисление идей, относящихся к нервной активности // В сб.: «Автоматы»
под ред. К. Э. Шеннона и Дж. Маккартни. —М.: Изд-во иностр. лит., 1956. —с.362—401
2 Такого рода системы будем далее для краткости именовать ИИС высшего уровня.
3 Еще более многолетними, но не намного более успешными являются попытки понять
природу естественных интеллектуальных систем, предпринимаемые, в основном, в рамках
нейробиологии и психологии.
О серии «Адаптивные и интеллектуальные системы» 13
проблема ИИС выходит за пределы познавательных возможностей человека и
человечества? Ведь до сих пор нет ясности даже в таком кардинальном
вопросе, как принципиальная реализуемость ИИС высшего уровня. Диапазон точек
зрения здесь варьируется от категорического «нет» * до решительного «да» 2.
И если успех все же возможен, то каков должен быть путь, который привел
бы к решению проблемы создания ИИС, сопоставимой с человеком по своим
интеллектуальным возможностям? При этом очевидно, что практически
интересные системы не обязательно должны обладать всем набором функций ИИС
высшего уровня, список реализуемых ими функций может быть и существенно
более скромным. Какими могут быть пути создания подобных систем?
2. Что же представляют собой ИИС? Удовлетворяющее всех определение
искусственной интеллектуальной системы, а также того, что представляют
собой ИИС, по интеллектуальному уровню сопоставимые с человеком, — вряд ли
существует, по крайней мере сейчас, хотя на интуитивном уровне более или
менее ясно, о чем идет речь. Полноценное определение изучаемого понятия — это
обычно итог 3, один из результатов успешно проведенного научного
исследования, но не его стартовая точка. До такого состояния ИИС еще весьма далеко,
вопросов пока еще намного больше, чем ответов на них. Взамен
недостижимого пока «полноценного» определения, можно построить некоторый его
рабочий вариант, пригодный для использования в практических целях. Среди
возможных способов формирования такого рабочего определения —
предъявление серии примеров того, что заведомо можно отнести к требуемому классу
объектов и, возможно, контрпримеров, т. е. перечня объектов, которые
заведомо нельзя отнести к требуемому классу.
Начальное представление о требуемом уровне ИИС непосредственно
вытекает из примеров, упоминавшихся выше. Чтобы яснее представить, о чем
идет речь, рассмотрим в качестве характерного примера один из важнейших
классов ИИС — интеллектуальные автономные системы (ИАС).
И АС — это системы, обладающие высоким «уровнем самостоятельности», в
том числе умеющие:
• достигать поставленных целей в высокодинамичной среде со
значительным числом разнородных неопределенностей в ней;
• корректировать поставленные цели, а также формировать новые цели и
комплексы целей, исходя из заложенных в И АС ценностных и
нормативных установок (мотивации);
• добывать новые знания, накапливать опыт решения разнообразных
задач, обучаться на этом опыте, модифицировать свое поведение (реакции
1 Дрейфус У. Чего не могут вычислительные машины: Критика искусственного разума. —
М.: Прогресс, 1979.
2 McCarthy J. What is Artificial Intelligence?
http://www-formal.Stanford.edu/jmc/whatisai.html
3 Wang P. On the working definition of intelligence // Indiana University, Center for Research
on Concepts and Cognition (CRCC); CRCC Technical Report No. 94, 1994. —32 pp.
http://citeseer.nj.nec.com/wang95working.html
14 О серии «Адаптивные и интеллектуальные системы»
на изменение ситуации) на основе полученных знаний и накопленного
опыта;
• адаптироваться к виду задач, в решении которых возникает
необходимость, в том числе обучаться решению задач, не предусмотренных
первоначальным проектом системы;
• образовывать «коллективы» из ИАС {сообщества ИАС), нацеленные на
взаимодействие их членов при решении некоторой общей задачи; эти
коллективы должны располагать возможностями самоструктуризации
(разнородность элементов коллективов ИАС, разнородность и динамичность
связей между ИАС), исходя из текущей и/или прогнозируемой ситуации;
• осуществлять самовоспроизведение с привлечением местных сырьевых и
энергетических ресурсов, возможно, с изменениями в «геноме» системы
(для поддержки процессов эволюции в сообществах ИАС).
В первую очередь ИАС — это «самодостаточные» системы, на которые
может возлагаться решение определенного комплекса прикладных задач в
полном объеме. Имеется, однако, еще одна важная «ниша» для ИАС —это
интеллектуальные автономные подсистемы в сложных системах, включающих
человека-оператора (пилотируемые самолеты, вертолеты, космические
аппараты, надводные, подводные или наземные аппараты и т.п.). Такие подсистемы
нацеливаются на то, чтобы в максимальной степени самостоятельно решать
поставленные перед ними задачи. Их использование дает возможность
существенно повысить качество реализации критически важных функций,
уменьшить рабочую нагрузку человека-оператора и повысить за счет этого
безопасность и эффективность эксплуатации соответствующих сложных систем
согласно их целевому назначению.
Структурно «деятельность» ИАС в некоторой среде можно разделить на
три сферы:
1. Восприятие текущей ситуации (ситуация = внешняя-ситуация + внут-
ренняя-ситуация) — сенсорные функции.
2. Формирование реакции («ответа») на текущую или прогнозируемую
ситуацию (виды возможных реакций: изменение состояния ИАС в ее
фазовом пространстве, реконфигурация, реструктуризация, адаптация целей,
самообучение, самоорганизация и т. п.) — управляющие функции.
3. Реализация (сформированной) реакции на текущую или прогнозируемую
ситуацию — эффекторные функции.
Заданное сочетание необходимых «умений» ИАС и требуемых конкретных
форм ее «деятельности» определяет состав функций, которые должна реали-
зовывать ИАС того или иного вида (примеры таких функций: зрение в
различных диапазонах электромагнитного излучения, совмещение сенсорных данных
из разных источников в единую информационную картину, выявление
отказов в системах ИАС, компенсация обнаруженных отказов путем
реконфигурации/реструктуризации и т. п.).
О серии «Адаптивные и интеллектуальные системы» 15
3. По аналогии с традиционными автоматическими и
автоматизированными системами будем различать системы-роботы (или просто роботы) и
роботизированные системы. Оба этих класса систем представляют собой наиболее
очевидную сферу применения И АС.
К системам-роботам, которые целесообразно было бы реализовывать на
уровне ИАС, можно отнести самолетыроботы, вертолеты-роботы, космические
аппараты-роботы, надводные и подводные аппараты-роботы, безлюдные
(автоматические) системы, предназначенные для решения сложных комплексов
задач без вмешательства человека и т. п. Разница между
аппаратами-роботами и традиционными автоматическими аппаратами состоит в существенно
более высоком уровне «самостоятельности» поведения роботов по сравнению
с традиционными автоматами, в способности роботов обучаться, накапливать
и использовать опыт в ходе решения поставленных задач.
Примерами роботизированных систем могут служить пилотируемые
летательные аппараты (самолеты, вертолеты, космические корабли), в состав
систем и бортового оборудования которых входят (на правах подсистем)
интеллектуальные автономные системы. Здесь обязательным (и активным)
элементом системы в целом является человек. Совсем необязательно при этом,
чтобы человек находился непосредственно на борту роботизированного
аппарата. Он может осуществлять свои функции (контроль, управление,
целеуказание и т. п.), находясь вне аппарата, в том числе и на значительном удалении
от него. Примером такого рода аппаратов могут служить роботизированные
дистанционно пилотируемые летательные аппараты (ДПЛА), а также другие
дистанционно управляемые аппараты, когда оператор и управляемый им
аппарат разнесены в пространстве.
В качестве примеров систем, роботизация которых позволила бы резко
повысить их эффективность, можно назвать: системы организации
воздушного движения; средства управления энергетическими системами; средства
поддержки процессов контроля и управления производствами традиционных
видов (машиностроительными, химическими и нефтехимическими,
добывающими и т. п.); средства управления в чрезвычайных обстоятельствах —
ликвидация последствий стихийных бедствий, техногенных катастроф и другие, где
ИАС можно было бы использовать как средства поддержки процессов
формирования и принятия решений («интеллектуальные помощники») в человеко-
машинных системах, позволяющие работать в средах со значительным числом
разнородных неопределенностей, в условиях больших потоков данных и
жестких временных ограничений.
Еще одна очевидная сфера применения ИАС — роботизированная бытовая
техника различного назначения, а также сообщества роботизированных
бытовых устройств («роботизированное жилище»).
4. Надо признать, что к созданию полномасштабных ИИС высших уровней
мы пока еще не готовы. Как и куда надо двигаться, чтобы решение этой задачи
стало возможным? При этом следует понимать, что создание систем такого
уровня — дело не сегодняшнего и даже не завтрашнего дня. Нет ответов еще
16 О серии «Адаптивные и интеллектуальные системы»
на многие принципиальные вопросы, без которых такие системы построить
невозможно.
Но ведь кроме гипотетических полномасштабных ИИС существует еще и
целый ряд проблем, важных и интересных с практической точки зрения,
которые уже сейчас поддаются решению средствами, накопленными в арсенале
ИИС. Что это за задачи, как их решать? Какие методы и средства из арсенала
ИИС можно использовать для этих целей?
5. Итак, есть чувство неудовлетворенности тем, как соотносятся
полученные результаты с затраченными на них ресурсами. И неизбежно возникает в
связи с этим целая серия вопросов. Что же все-таки удалось сделать за
прошедшие 60 лет, а что из задуманного не получилось и почему? Разрешима ли
вообще задача создания ИИС? Какими видятся сейчас проблемы, связанные
с созданием ИИС? Каковы пути решения этих проблем? На какой научной и
технической базе следует их решать? Что и когда можно получить в области
создания ИИС, каковы перспективы этой области знаний и есть ли они? Какие
практические задачи можно решать уже сейчас, используя аппарат,
полученный в исследованиях по ИИС?
Чтобы дать развернутый, подробный ответ на эти вопросы, требуется
посвятить им не один десяток обстоятельных монографий, часть из которых еще
только предстоит написать.
6. Серия «Адаптивные и интеллектуальные системы» как раз и
нацелена на то, чтобы попытаться познакомить читателя с проблемами и
результатами их решения в разнообразных областях, связанных с созданием ИИС.
Предполагается издавать как переводные книги, так и книги отечественных
авторов, посвященные таким вопросам как мягкие вычисления (включая
искусственные нейронные сети, нечеткие системы, эволюционные вычисления) и
системы, основанные на знаниях, а также работам из смежных областей (ней-
робиология, нелинейная динамика, теория систем и т. п.), в тех их аспектах,
которые могут быть полезны для решения проблемы создания ИИС. В
прикладном плане должны затрагиваться все элементы жизненного цикла ИИС,
а также все виды их функций — сенсорные, управляющие и эффекторные.
И в заключение — почему серия получила именно такое название.
Адаптивные системы в контексте серии понимаются в широком плане, а именно,
как системы, которые могут модифицировать свое поведение применительно
к меняющимся условиям их существования (среда существования системы,
цели ее существования и т. д., и т. п.) То есть адаптивная система — это система,
которая располагает механизмами, позволяющими ей жить и работать в
условиях разнообразных и, как правило, многочисленных неопределенностей.
Интеллект — хотя и далеко не единственный, но один из важнейших механизмов
такого рода, что и послужило основанием для упоминания его в наименовании
серии.
Ю. В. Тюменцев,
редактор серии
Предисловие редактора перевода
Книга Баодина Лю «Теория и практика неопределенного программирования»
открывает серию «Адаптивные и интеллектуальные системы». Выбор этот не
случаен, поскольку в данной книге идет речь о многих вещах, важных для
тематики искусственных интеллектуальных систем. В частности,
рассматриваются и сопоставляются элементы, принципиально важные для таких
систем: различные виды неопределенности — случайность (randomness),
нечеткость (fuzziness) и неточность (roughness), разнообразные их комбинации, а
также методы работы с ними. Эти вопросы излагаются на примере задач
математического программирования, которые находят широкое практическое
применение. Для решения подобных задач привлекаются средства как
традиционного характера (оптимизационные алгоритмы, имитационное моделирование,
статистические алгоритмы), так и средства менее традиционного плана
(искусственные нейронные сети, генетические алгоритмы, средства нечеткой логики,
средства на основе понятия неточной системы).
Многие из вопросов, затрагиваемых в книге Б. Лю, не освещались или
почти не освещались в литературе на русском языке. К ним относится,
например, тематика неточных величин (rough variables) и неточных множеств (rough
sets)1. Это обстоятельство вызвало ряд трудностей, связанных с используемой
при переводе терминологией. В частности, термин rough переводился, как
правило, как «неточный», хотя в ряде отечественных публикаций использовался
термин «приближенный». Сделано это было по следующим соображениям. Во-
первых, в литературе на русском языке термин «приближенный» скорее
соответствует английскому approximate. Чтобы не возникало нежелательных
ассоциаций, уводящих от сути дела, требовалось воспользоваться другим
термином, менее «нагруженным» уже имеющимися смыслами. Предпочтение было
отдано термину «неточный» в том числе и потому, что тогда соответствующий
1 О неточных множествах совсем кратко (с. 21-22) было сказано в книге Аверкин А.Н.,
Батыршин И. 3., Блишун А. Ф., Силов В. Б., Тарасов В. Б. Нечеткие множества в моделях
управления и искусственного интеллекта / Под ред. Д. А. Поспелова. — М.: Наука, 1986.—
312 с. — (Серия «Проблемы искусственного интеллекта»). Им также посвящена часть
материала (см. разд. 14.3, с. 603-621) недавно вышедшей книги Вагин В.Н., Головина Е.Ю.,
Загорянская А. А., Фомина М. В. Достоверный и правдоподобный вывод в
интеллектуальных системах. Под ред. В. А. Вагина к Д. А. Поспелова. — М.: Физматлит, 2004. — 704 с.
18 Предисловие редактора перевода
вид неопределенности оказывается в одном ряду с прочими «НЕ-факторами»
(нечеткость, недоопределенность, неполнота и т.п.), исследуемыми и
используемыми в рамках мягких вычислений. Именно поэтому rough variable — это
неточная величина, rough set — неточное множество. Однако для rough space
в качестве русского эквивалента принят термин «пространство приближений»
как более отвечающий смыслу соответствующего понятия.
Еще одно решение было связано с терминами expected value и variance.
Применительно к стохастическим задачам термин expected value следовало
бы традиционно переводить как «математическое ожидание». Однако в
данной книге этот термин используется в значительно более широком контексте,
в частности, он употребляется применительно к нечетким (fuzzy), неточным
(rough) и комбинированным (random-fuzzy, fuzzy-random, fuzzy-rough, rough-
fuzzy, random-rough, rough-random, bifuzzy, birough и т. п.) моделям, где термин
«математическое ожидание» не употребляется. Учитывая это, чтобы
обеспечить единообразие терминологической базы в сходных условиях, всем
моделям класса expected value model дано общее наименование «модели
ожидаемого значения», подразумевая при этом — «ожидаемого среднего значения». Как
конкретно понимается в том или ином случае термин «среднее значение» —
зависит от класса моделей. В частности, в стохастических моделях (моделях
стохастического программирования) это будет математическое ожидание. С
термином variance было несколько проще. Для общего случая использовался
вариант «рассеяние», в специальных случаях этот термин может иметь
другой перевод. В частности, для стохастического случая это будет, очевидно,
дисперсия.
Трудности возникли также в связи с понятием «шанс», которое обычно
ассоциируется со случайностью событий. В данной книге, однако, понятие
«шанс» и многочисленные производные от него трактуются значительно
шире — как относящиеся к любому отклонению от жесткой предопределенности,
причем совсем не обязательно это отклонение имеет вероятностный характер.
Один из примеров такого использования данного термина связан с
ограничениями, входящими в рассматриваемые задачи математического
программирования. Эти ограничения в оригинале книги именуются chance constraints.
Если речь идет о задаче стохастического программирования, то это хорошо
известный случай вероятностных ограничений. Когда рассматривается задача
нечеткого (fuzzy) программирования, получаем возможностные ограничения.
В других случаях, когда нет общеупотребительного частного наименования
для рассматриваемого вида ограничений, используется общий термин
«ограничение на шансы».
Наконец, еще одно принципиальное решение связано с наименованием
направления uncertainty programming. Правильным было бы именовать
данную область как «математическое программирование в условиях
неопределенности». Но для краткости, по аналогии с термином «стохастическое
программирование» в переводе чаще всего используется термин «неопределен-
Предисловие редактора перевода 19
ное программирование». Аналогично этому, термины «неопределенная среда»,
«неопределенная функция» и т. п. — это сокращенные варианты для более
полных (и более корректных) выражений «среда, содержащая неопределенности»,
«функция, содержащая неопределенности» и т. п.
Остальные терминологические решения, принятые при переводе данной
книги, оговариваются в соответствующих местах текста в примечаниях
редактора перевода. Кроме того, книга снабжена русско-английским и
англорусским указателями терминов.
Работа по переводу книги распределилась следующим образом:
предисловие и главы с 1 по 7 — Ю. Т. Каганов, главы с 8 по 24 и предметный указатель —
Ю. В. Тюменцев.
Моей жене Цзинъланъ
Предисловие
Принятие решений в реальной жизни обычно осуществляется в условиях
неопределенности. Как мы формулируем задачи оптимизации в
неопределенной среде? Как мы решаем эти задачи? Главная цель этой книги состоит
именно в том, чтобы построить теорию математического программирования (МП)
в условиях неопределенности (неопределенного программирования) как ответ
на эти вопросы.
Под неопределенным программированием будем понимать теорию
оптимизации в неопределенной среде. Основные направления
неопределенного программирования в себя: стохастическое программирование, нечеткое
МП, неточное МП, нечетко-случайное программирование, случайно-нечеткое
программирование, случайно-неточное программирование, неточно-случайное
программирование, нечетко-неточное программирование, неточно-нечеткое
программирование, бислучайное программирование, бинечеткое
программирование, бинеточное программирование и неопределенное программирование
с множественной неопределенностью.
Эта книга дает замкнутое, достаточно полное и современное представление
о теории математического программирования в условиях неопределенности.
В ней рассматривается значительное число вопросов, связанных как
теоретическими аспектами моделирования в условиях неопределенности, так и с
соответствующими прикладными проблемами, в числе которых:
транспортные задачи, моделирование систем управления запасами, задачи составления
кормовых смесей, моделирование производственного процесса, проблемы
водоснабжения, задача размещения и распределения оборудования, задача
распределения калиталовложении, задача топологической оптимизации, задача
маршрутизации движения транспорта, оптимизации резервирования, задача о
критическом пути, задача составления расписания параллельно действующих
машин.
К настоящему времени исследователями из различных областей
разработано большое количество различных алгоритмов, которые принято именовать
интеллектуальными, в частности, генетические алгоритмы, нейронные сети,
алгоритмы типа имитации отжига и табу-поиска. Естественная идея состоит
в том, чтобы объединить эти алгоритмы и получить более эффективные и
мощные гибридные алгоритмы оптимизадии. Значительное число такого рода
Предисловие 21
алгоритмов, позволяющих решать разнообразные задачи, связанные с
моделями неопределенного программирования, рассматривается в данной книге.
Автором поддерживается веб-сайт, на котором представлены исходные
файлы на языке C++, реализующие рассмотренные гибридные алгоритмы. Адрес
этого сайта: http://orsc.edu.cn/~liu/uncertain_prograiiuning
Эта книга состоит из 7 частей. В Части I вводятся основные
концепции математического программирования, генетические алгоритмы и
нейронные сети. Часть II содержит различные методы формирования случайных
чисел и связана с применением закона больших чисел, а также содержит
статистическое моделирование, стохастические модели ожидаемого значения,
стохастическое программирование с вероятностными ограничениями,
стохастическое событийное программирование, гибридные алгоритмы и их
применение для решения различных задач. В Части III книги вводятся
понятия пространства возможностей, нечеткой величины, меры возможностей,
меры необходимости, меры правдоподобия, нечеткий оператор ожидаемого
значения, нечеткое моделирование и теория нечеткого программирования.
Часть IV посвящена понятиям пространства приближений, неточных величин,
меры доверия, неточного оператора ожидаемого значения, а также
неточному программированию. Попутно обсуждается также интервальное
программирование. В Части V рассматриваются нечетко-случайные величины,
соответствующий им оператор ожидаемого значения, мера шансов
нечетко-случайного события, нечетко-случайное имитационное моделирование и
нечетко-случайное программирование. В Части VI обсуждаются
случайно-нечеткие величины, и отвечающий им оператор ожидаемого значения, мера
шансов случайно-нечеткого события, случайно-нечеткое имитационное
моделирование и случайно-нечеткое программирование. Завершает книгу Часть VII,
в которой приводится широкий спектр величин с многократной
неопределенностью, а также дается набросок теории неопределенного
программирования.
Предполагается, что читатель знаком с основными идеями
математического программирования и обладает некоторыми навыками программирования на
языке C++. Для того, чтобы облегчить чтение книги, в нее включено также
изложение ряда основополагающих понятий. Книга ориентирована на
исследователей, инженеров и студентов в области исследования операций,
организационного управления, теории систем, информатики и различных областей
техники. Читатели получают возможность изучить многочисленные новые идеи в
области создания и использования оптимизационных моделей. Материал
книги может послужить для них справочной базой и стимулом для дальнейших
исследований в данной области.
Особую благодарность я хотел бы выразить профессору Chi-fa Ku за то,
что он ввел меня в эту область исследований и за его постоянную
поддержку в процессе работы. Многочисленным коллегам я обязан появлением новых
идей и информации, положенных в основу этой книги. Особенно мне хотелось
22 Предисловие
отметить таких коллег, как К. Iwamura, M. Gen, T. Odanaka, А.О. Esogbue,
К.К. Lai, Q. Zhang, и М. Lu. Я хотел бы поблагодарить также моих студентов
Q. Lii, X. Wang, R. Zhao, J. Zhong, H. Ling, G. Miao, J. Gao, J. Peng, Y. -K. Liu,
J. Zhou, G. Wang, H. Ke, and Y. Jiang, которые проделали огромную
работу и внесли многочисленные исправления. Я также многим обязан грантам,
выделенным Национальным фондом естественных наук, Министерством
образования, а также Министерством науки и технологий Китайской народной
республики. Наконец я выражаю глубокую благодарность профессору Яну-
шу Кацпшику (Janusz Kacprzyk) за предложение опубликовать эту книгу в
его серии, а также редакторскому коллективу издательства «Шпрингер» за
прекрасное сотрудничество и полезные замечания.
Баодин Лю
Университет Циньхуа
(Tsinghua University)
26 февраля 2002 года http://orsc.edu.cn/~liu
Часть I
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
Глава 1
Математическое программирование
Один из наиболее широко используемых подходов в области исследования
операций — математическое программирование (МП). Его можно определить
как средство минимизации (или максимизации) заданного количественного
показателя (иногда нескольких таких показателей), который принято называть
целевой функцией, при наличии набора ограничений, представленных в виде
равенств и неравенств.
Среди известных в настоящее время разделов математического
программирования можно упомянуть следующие: линейное программирование,
нелинейное программирование, многокритериальное программирование, целевое
программирование, целочисленное программирование, динамическое
программирование, многоуровневое (иерархическое) программирование,
стохастическое программирование, нечеткое программирование, неточное
программирование, нечетко-случайное программирование, неточно-случайное
программирование, нечетко-неточное программирование, неточно-нечеткое
программирование, случайно-случайное (бислучайное) программирование, нечетко-
нечеткое (бинечеткое) программирование, неточно-неточное (бинеточное)
программирование, а также математическое программирование в условиях
многократной (трехкратной, четырхкратной и т. д.) неопределенности.
В одной главе рассказать сколько-нибудь подробно обо всех этих
концепциях математического программирования невозможно, поэтому здесь будут
введены лишь основные понятия и средства МП, необходимые для
дальнейшего изложения. Более основательно разобраться в этих концепциях читатель
сможет по мере освоения материала книги \
1.1. Линейное программирование
Один из наиболее важных инструментов оптимизации — линейное
программирование (ЛП) определяется так: имеется линейная функция, которую следует
максимизировать с учетом набора линейных ограничений. Основная (канони-
1 По различным аспектам математического программирования (большей частью —
детерминированного) существует обширная литература. См., например, [1-72] в списке
дополнительной литературы. — Прим. ред.
24 Глава 1. Математическое программирование
ческая) форма задачи ЛП имеет следующий вид:
max Стх
при ограничениях: . .
Ах = В, ^ ' '
х^О,
где С = (сьс2,...,с„)г, х = (хьх2,...,хп)т, А = {а^)тхп и В =
(b\,b2,--■ ,Ьт)Т. В основной задаче линейного программирования (1.1) все
независимые переменные Xj, i = 1,2,..., п, предполагаются
неотрицательными. Это условие выполняется почти для всех реальных задач. Если это не
так, например, переменная Х{ может принимать как положительные так и
отрицательные значения, тогда ее можно заменить выражением х[ — х", где x'i
и х'1 — две новые неотрицательные переменные, т. е. x'i ^ 0 и ж" ^ 0. Таким
способом исходная задача линейного программирования может быть
преобразована в эквивалентную ей задачу ЛП с неотрицательными переменными.
Во многих реальных задачах некоторые ограничения записываются со
знаками неравенства ^ или ^. Каждое неравенство может быть обращено в
равенство добавлением неотрицательной переменной к ограничению типа ^ или
вычитанием неотрицательной переменной из ограничения типа ^. Новые
переменные, добавленные к ограничениям, называются дополнительными
переменными (избыточными переменными). Исходные независимые переменные
называются структурными переменными (основными переменными).
Решение х является допустимым для задачи ЛП (1.1), если оно
удовлетворяет условиям Ах = В и х ^ 0. Набор всех допустимых решений называется
допустимым множеством. Допустимое решение х* называется
оптимальным решением задачи ЛП (1.1), если СТх ^ Стх* для всех допустимых
решений х.
Множество S называется выпуклым, если все точки прямолинейного
отрезка, соединяющего любые две точки из S, также принадлежат S. Другими
словами, S является выпуклым множеством, тогда и только тогда, когда
выпуклая линейная комбинация Аж i + (1 —А) а; 2 € S для любых xi,X2 €. Sи0 ^ X ^ 1.
Легко убедиться в том, что решение Xxi + (1 — A)a?2 также является
допустимым. Следовательно, допустимое множество задачи ЛП всегда выпукло.
Точка х называется угловой точкой выпуклого множества S, если х € S и х
не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации двух
других различных точек из S. Было показано, что оптимальное решение задачи
ЛП (1.1) соответствует угловой точке допустимого множества этой задачи при
условии, что данное множество ограничено. Этот факт лежит в основе
симплексного алгоритма, разработанного Г.Б.Данцигом [53] и представляющего
собой очень эффективный метод решения задач линейного программирования.
Попросту говоря, симплекс-метод проверяет только угловые точки
допустимого множества, не рассматривая все остальные его точки. Вначале симплекс-
метоД выбирает некоторую угловую точку в качестве стартовой. Следующая
угловая точка выбирается таким образом, чтобы увеличить значение целевой
функции в задаче (1.1). Процедура повторяется до тех пор, пока происходит
1.2. Нелинейное программирование 25
увеличение целевой функции. Последняя выбранная угловая точка
является оптимальным решением. Для решения задач линейного программирования
большой размерности или специальной структуры разработан ряд
усовершенствованных методов, в частности, модифицированный симплекс-метод,
двойственный симплекс-метод, прямо-двойственный метод1, метод
декомпозиции Данцига—Вулфа и метод внутренней точки Кармаркара.
1.2. Нелинейное программирование
Существует большое количество реальных задач, которые могут быть
сформулированы как задачи нелинейного программирования (НЛП). В этих
задачах нелинейные члены могут присутствовать как в целевой функции, так и в
ограничениях. В общем виде задача НЛП может быть записана следующим
образом:
{min f(x)
при ограничениях: (1.2)
9з(х)^0, j = 1,2,...,р.
Здесь минимизируется вещественнозначная функция f(x) нескольких
действительных переменных х с учетом ограничений gj{x). Если ограничения
в (1.2) отсутствуют, то соответствующий вариант задачи НЛП именуют
задачей безусловного математического программирования. Если функции /(ж)
и gj(x), j = 1,2,...,р, выпуклы, получаем задачу выпуклого
программирования. Если функция f(x) может быть выражена в виде суммы f(x) =
f\(xi) + /2(^2) +... + fn(xn), тогда о задаче НЛП говорят как о задаче сепара-
белъного программирования. Если /(ж) — квадратичная функция, а все
функции gj{x),j = 1,2, ...,р, линейны, то соответствующая задача НЛП именуется
задачей квадратичного программирования. Задача НЛП называется задачей
геометрического программирования, если функции f(x) и gj(x), j = 1,2,... ,р,
могут быть выражены как 53 ■ aj ПГ=1 х% * > ПРИ этом aj > 0 для всех индексов j.
В задаче НЛП (1.2) вектор х = (х\,Х2, ■ ■ ■ ,хп) называется вектором
независимых переменных (вектором решений). Он состоит из п действительных
переменных х\, хг,... ,хп, именуемых компонентами вектора решений.
Функция / вектора переменных х носит название целевой функции. Система
неравенств gj(x) ^ 0, j = 1,2,... ,р, называется набором ограничений. Множество,
определяемое как
S={x£ri\gj(x)^0,j = l,2,...,p}, (1.3)
называется областью допустимых решений задачи НЛП (допустимым
множеством). Решение х из S называется допустимым решением. Задача
нелинейного программирования (1.2) состоит в поиске решения х* € S такого, что
f(x*)^f(x) VxeS. (1.4)
' В отечественной литературе этот метод обычно именуют методом последовательного
сокращения невязок. — Прим. ред.
26 Глава 1. Математическое программирование
Решение х* называется оптимальным решением и, в случае задачи (1.2),
минимальным решением. Значение целевой функции f(x) при х = х* называется
оптимумом. Задачу максимизации, записываемую в виде
max f(x)
при ограничениях: (1-5)
gj(x)^0, j = l,2,...,p,
можно путем умножения целевой функции на —1 преобразовать в задачу
минимизации, решаемую при тех же самых ограничениях. Иногда множество
ограничений составляют не только неравенства, но также и равенства,
например:
Г gj(x) ^0, j = l,2,...,p,
\ hk(x)=0, k=l,2,...,q.
Если в задаче НЛП имеется q ограничений типа равенства и существует
возможность решить систему уравнений hk(x) = 0, к = 1,2,... ,q, представив q
переменных через остальные, то можно исключить эти переменные из задачи
НЛП, воспользовавшись полученным представлением. Можно также
исключить ограничения типа равенства, используя метод Лагранжа, основанный на
преобразовании задачи с ограничениями в задачу без ограничений.
В ходе развития НЛП было разработано значительное число методов
оптимизации, которые стали классическими. Эти методы учитывали
специфику соответствующих задач НЛП и основывались на математической теории
в сочетании с анализом структуры решаемых задач. Один из выдающихся
результатов в области теории НЛП известен как «условия Куна—Таккера».
Чтобы сформулировать эти условия, дадим вначале некоторые определения.
Говорят, что ограничение типа неравенства gj(x) $C 0, j = 1,2,...,р
является активным в точке х*, если gj(x*) = 0. Точка ж*, удовлетворяющая
условию gj(x*) ^ 0, называется регулярной, если векторы градиентов Vgj(x)
всех активных ограничений линейно независимы. Пусть х* — регулярная точка
ограничений задачи НЛП (1.2). Предположим также, что все функции f(x)
и gj(x),j = 1,2,...,р, дифференцируемы. Если х* является решением типа
локального минимума, то существуют множители Лагранжа Xj,j = 1,2,... ,р,
такие, что удовлетворяются следующие условия Куна—Таккера
v/H + bjV^^o,
\j9j(x*) = 0, j = l,2,...,p, О-7)
. Xj >0, j = 1,2,...,p.
Если все функции f(x) и 9j(x),j = 1,2,... ,р, выпуклы и дифференцируемы,
а точка х* удовлетворяет условиям Куна—Таккера (1.7), можно доказать, что
х* является решением типа глобального минимума для задачи (1.2).
Рассмотрим теперь задачу безусловной оптимизации, заключающейся в
минимизации некоторой вещественнозначной функции, определенной в
области 5J". На практике вычисление первых или вторых производных функции
1.3. Многокритериальное программирование 27
часто бывает сложным или невозможным, в силу чего классические методы
решения этой задачи обычно непригодны. В этой ситуации, независимо от
того, возможно вычисление производных или нет, обычная стратегия состоит
в выборе стартовой точки из такой области в 5R", где скорее всего будет
лежать искомое решение. Если информация, необходимая для этого выбора,
отсутствует, требуемая точка выбирается случайным образом. Для полученной
точки делается попытка построить последовательность точек, каждая из
которых улучшает значение целевой функции по сравнению с предыдущей точкой.
Следующая точка добавляется к последовательности выбранных путем
анализа поведения функции в предыдущих точках. Этот процесс продолжается
до вьшолнения условий некоторого критерия останова. Методы, основанные
на этой стратегии, называются методами подъема \ Их можно разделить на
три класса: прямые методы, градиентные методы и методы, использующие
матрицу Гессе —в соответствии с характером используемой информации о
целевой функции /. Прямые методы требуют только вычисления функции в
каждой точке. Для градиентных методов необходимы значения первых
производных функции /. Методы, основанные на использовании матрицы Гессе,
требуют вычисления вторых частных производных. Среди известных прямых
методов можно назвать такие, как поиск по образцу, покоординатный поиск,
метод Розенброка, метод Пауэлла, метод Брента, метод Стюарта и т. д. К
числу градиентных методов относятся градиентный партан-метод, метод
сопряженных направлений, метод сопряженных градиентов. Методы, основанные
на матрице Гессе, включают в себя метод Ньютона—Рафсона, а также метод
переменной метрики. Следует отметить, что метода, который был бы
наилучшим для всех задач, не существует. Эффективность того или иного метода
во многом зависит от конкретного вида целевой функции. Для решения
задач оптимизации при наличии ограничений используются различные методы,
в частности, метод возможных направлений, метод проекции градиента, а
также метод штрафных функций и метод линейной аппроксимации.
1.3. Многокритериальное программирование
В задачах нелинейного программирования обычно приходится иметь дело с
максимизацией единственной вещественнозначной целевой функции при
наличии системы ограничений. Однако в реальной ситуации при решении
задач, связанных с принятием решений, часто приходится учитывать набор из
нескольких несоизмеримых, противоречивых целевых функций, которые
следует рассматривать одновременно. Расширением нелинейного
программирования с единственной целевой функцией на случай нескольких целевых функций
является многокритериальное программирование (МКП)2. Оно определяется
1 Для задач (1.2) этот тип методов обычно называют методами спуска. — Прим. перев.
2 В качестве синонимов для термина «целевая функция» часто используются термины
«показатель качества», «показатель эффективности», «критериальная функция» — отсюда
«многокритериальная оптимизация», «многокритериальное программирование» как
наименования соответствующего раздела МП. — Прим. ред.
28 Глава 1. Математическое программирование
как средство оптимизации набора различных целевых функций при наличии
системы ограничений, т. е.
max [fi(x), /2(ж),..., fm(x)]
< при ограничениях: (1.8)
gj(x) ^ 0, j = 1,2,...,р,
где х = (х\,Х2,- ■■ ,хп) — n-мерный вектор независимых переменных, fi(x) —
целевые функции, г — 1,2,...,m, Qj(x) ^ 0 — система ограничений, j =
1,2,....р.
Когда цели находятся в противоречии друг с другом, не существует
оптимального решения, которое одновременно максимизировало бы все целевые
функции. В этом случае вводится понятие «эффективное решение», которое
означает, что невозможно улучшить значение любой из целевых функций без
ухудшения значений одной или большего числа других целевых функций.
Решение х* называется эффективным, если не существует допустимого решения
х такого, что
fi(x) > fi(x*), i = l,2,...,m, (1.9)
и fj(x) > fj(x*) no крайней мере для одного индекса j. Множество всех
эффективных решений в непрерывном случае известно как эффективная
граница. Эффективное решение также носит название недоминируемое решение,
неулучшаемое решение или решение по Парето (Парето-оптималъное
решение). Для более детального изучения методов многокритериальной
оптимизации читатели могут обратиться к соответствующим источникам, например, к
книге (Steuer [272]).
Если лицо, принимающее решения, располагает некоторой веществен-
нозначной функцией предпочтения, агрегирующей т целевых функций задачи
МКП, можно максимизировать полученную агрегированную функцию
предпочтения при том же наборе ограничений. Такую модель принято именовать
«компромиссная модель», а ее решение называется «компромиссное решение».
Одна из наиболее известных компромиссных моделей состоит в
агрегировании целевых функций путем придания весов каждому из критериев, т. е.
max J2 Аг/,(ж)
г=1
<
с учетом ограничении:
9j(x) ^0, j = 1,2,...,р,
где веса АьАг, ...,Ат— неотрицательные числа, удовлетворяющие условию
Ai + А2 + ... + Ат = 1.
Второй путь связан с минимизацией функции расстояния между
текущим решением задачи (f\(x),f2(x),...,fm(x)) и идеальным вектором
(1.10)
1.4. Целевое программирование 29
(/i' /21 - • • > /m)> гДе ft — оптимальное значение г-й целевой функции,
полученное без учета других целевых функций, г = 1,2,..., т., соответственно, т.е.
/ m \1/к
тЦ£А*Ш*)-/;|П
4i=1 ' (1.11)
с учетом ограничений:
gj{x) ^0, j = 1,2,...,р,
где к — заданное число, принимающее значения в интервале 1 ^ к < оо, а
Ai, A2,..., Am — коэффициенты выпуклой комбинации, например Aj = 1/m для
г = 1,2,.. .,т.
Третий путь поиска компромиссного решения заключается в реализации
интерактивного подхода, который состоит в последовательном сочетании
фазы принятия решения и фазы вычисления. Были разработаны различные
интерактивные методы, в том числе: метод сжатия допустимой области,
метод сжатия пространства весовых векторов, метод сужения конуса
критериев и метод линейного поиска.
1.4. Целевое программирование
Концепция целевого программирования была разработана Чарнсом и Купером
(Charnes and Cooper [42]) и обстоятельно изучалась многими исследователями.
Целевое программирование может рассматриваться как специальная
компромиссная модель многокритериальной оптимизации. Она широко применялась
для решения различных реальных задач.
При решении многокритериальных задач примем, что лицо,
принимающее решение, в состоянии дать предварительные оценки уровня достижимости
каждой цели и ключевая идея состоит в том, чтобы минимизировать
отклонения (положительные, отрицательные или и те, и другие) от полученных оценок
уровня. В реальной ситуации требуемые цели достижимы только через
затраты на другие цели, причем все эти цели оказываются обычно
несовместимыми. Следовательно, существует необходимость установить иерархию важности
этих несогласованных целей таким образом, чтобы удовлетворить как можно
большему их числу в установленном порядке. В ряде реальных задач
организационного управления требуемый баланс целей может быть получен, если
использовать модель целевого программирования, в котором значения
уровней целей и структура приоритетов устанавливается лицом, принимающим
решения. В общем виде модель целевого программирования записывается
следующим образом
(1.12)
/ m
min 52 Pj52(uijdi + vijd7)
с учетом ограничений:
fi(x)+d--d+=bi, г = 1,2,..
9j(x)^0, j = 1,2,.
df,d->0, г = 1,2,..
.,m,
■,P,
.,m,
30 Глава 1. Математическое программирование
где Pj — коэффициент преимущественного приоритета, который выражает
относительную важность различных целей, Pj ^> Pj+\ для всех j;
utj—весовой коэффициент, соответствующий положительному отклонению от цели г
с присвоенным приоритетом j; Уц — весовой коэффициент, соответствующий
отрицательному отклонению от цели г с присвоенным приоритетом j; df
—положительное отклонение от назначенного уровня цели г, которое определяется
как
di = [fi(x)-bi]WO; (1.13)
d~ — отрицательное отклонение от назначенного уровня цели г, определяемое
как
dr = [k-/i(a:)]V0; (1.14)
/г — функция в целевых ограничениях; gj — функция в системных
ограничениях; bi — назначенный уровень цели, соответствующий значению цели г; I —
число приоритетов, т — число целевых ограничений и р— число системных
ограничений.
Иногда модель целевого программирования (1.12) записывается так:
( т т
lexmin I ^(undf + vndj), ]P(ui2d+ + vi2d^),
I i=l i=l
при ограничениях:
fi(x) + d~ - df = Ь{, г = 1,2,..., m,
gj(x)^0, j = l,2,...,p,
dj,d^ ^0, i = l,2,...,m,
где lexmin представляет собой оператор лексикографической минимизации
вектора целевых функций.
Задачи линейного целевого программирования эффективно решаются с
помощью целевого симплекс-метода. Различные подходы к решению задач
нелинейного целевого программирования описаны в обзоре (Saber, Ravindran [253]).
Эти подходы можно классифицировать следующим образом.
1. Подходы, основанные на использовании симплекс-метода, такие, как
метод сепарабельного программирования, метод аппроксимирующего
программирования, методы квадратичного целевого программирования.
Основная идея здесь состоит в преобразовании модели нелинейного
целевого программирования в набор аппроксимирующих линейных задач
целевого программирования, которые можно решать с помощью целевого
симплекс-метода.
2. Подходы, основанные на использовании прямого поиска, в частности
модифицированный метод поиска по образцу, модифицированный алгоритм
поиска по образцу и градиенту [51]. В этом подходе задача нелинейного
целевого программирования преобразуется в набор однокритериальных
задач нелинейного программирования, а затем задачи решаются хорошо
известными методами поиска для однокритериальных моделей НЛП.
•. ^2(uudt + vudi )
i=i
1.5. Целочисленное программирование 31
3. Подходы, основанные на использовании градиентов [152,253]. В этих
методах градиент ограничений определяет допустимое направление, после
чего решается задача целевого программирования методом допустимых
(возможных) направлений.
4. Интерактивный подход [210,290] позволяет удовлетворительно решать
задачи целевого программирования при относительно небольшом
количестве итераций путем включения лица, принимающего решение, в
процесс получения решения.
5. Генетические алгоритмы [81]. С помощью этих методов можно решать
широкий спектр задач со сложными нелинейными моделями целевого
программирования. Однако эти методы требуют значительного объема
вычислений.
1.5. Целочисленное программирование
Целочисленное программирование (ЦП)— это один из разделов
математического программирования, в котором все переменные принимают только
целочисленные значения. В случае, когда в задачах ЦП имеются не только
целочисленные переменные, но допускаются и непрерывные переменные,
соответствующие таким задачам модели относят к моделям частично-целочисленного
программирования. Если все переменные в задаче ЦП принимают значения
только 0 или 1, такая задача именуется задачей ЦП с булевыми переменными
или задачей булевого программирования.
Хотя в принципе задача ЦП может быть решена полным перебором всех
допустимых решений, такой путь непрактичен для задач ЦП реальной
размерности.
До настоящего времени наиболее успешным средством решения задач
линейного программирования с целочисленными переменными является метод
ветвей и границ, разработанный Баласом и Дейкиным (Balas, Dakin (1965)) \
Метод ветвей и границ вначале решает задачу линейного программирования,
связанную с данной задачей ЦП 2. Если решение задачи ЛП оказывается
недопустимым, тогда решение исходной задачи также недопустимо и,
следовательно, задача ЦП не имеет решения. Если найдено целочисленное решение, оно
является оптимальным решением исходной задачи. Если решение
представляет собой дробное число, оно обозначается как узел 1 (узел ожидания). В узле
ожидания должна быть переменная, скажем х, с дробным значением. Эта
переменная называется переменной ветвления. Затем мы можем положить либо
х ^ [х\, либо х ^ \х\ +1 для текущего решения задачи ЛП, где [х\
представляет собой целую часть х. Две возможности выбора дают два направления ветв-
1 Метод ветвей и границ применительно к задаче линейного ЦП был предложен Лэндом и
Дойчем в 1960 г., однако эта работа вначале заметного влияния на развитие ЦП не оказала.
Популярным метод ветвей и границ стал после выхода в 1963 г. статьи Литтла и др.,
посвященной традиционно трудной задаче коммивояжера. См. также [28] в списке дополнительной
литературы. — Прим. ред.
2 Эта задача, идентична исходной задаче ЦП, но с отброшенным требованием
целочисленное™ переменных. — Прим. ред.
32 Глава 1. Математическое программирование
ления, которые порождают две новые задачи. Эти две новые задачи решаются
раздельно с помощью такого же процесса. Вся процедура заканчивается, когда
перебор узлов ожидания завершается. Наилучшее среди найденных
целочисленных решений является оптимальным целочисленным решением. Если ни
одно из целочисленных решений не найдено, считается, что исходная задача
не имеет допустимых решений.
Другой класс методов целочисленного линейного программирования —
методы отсекающих плоскостей (методы отсечений) разработан Гомори
(1959)1. Методы отсечений могут быть использованы для решения частично-
целочисленных задач ЛП. Они обычно начинают решение задачи линейного
ЦП с ослабления условий целочисленности. Если решение полученной таким
путем задачи ЛП является целочисленным, именно оно и будет оптимальным
решением исходной задачи целочисленного программирования. В противном
случае к исходной задаче систематически добавляются дополнительные
ограничения (т. е. «отсекающие плоскости») и формулируется новая задача. Для
этой задачи, в которой система ограничений расширена по сравнению с
предыдущим шагом, получают новое решение. Указанный процесс продолжается до
тех пор, пока не будет найдено целочисленное решение или будет признано,
что допустимых решений для данной задачи не существует.
В то время как методы линейного программирования позволяют
практически всегда решать задачи с десятками тысяч переменных за разумное время
работы компьютера, подобная ситуация не имеет места для методов линейного
ЦП. Нет фактически ни одного достаточно хорошего алгоритма для решения
широкого класса задач целочисленного программирования. Те алгоритмы,
которые существуют, ориентированы на отдельные виды задач, используя при
этом обычно специфику их структуры.
Исходный алгоритм метода ветвей и границ не позволяет решать
задачи нелинейного целочисленного программирования, поскольку допустимость
правила ветвления связана с предположением о линейности исходной задачи.
Модифицированная версия, предложенная Дейкиным в 1965 году, позволяет
ослабить это требование и делает правила ветвления независимыми от
условия линейности. Кроме того, Таха в 1978 году предложил использовать для
решения задач нелинейного ЦП эвристический перебор.
1.6. Динамическое программирование
Обозначим многошаговый (многоэтапный) процесс поиска решения как
[а, Т(а, х)], где а называется состоянием, Т(а, х) — преобразованием
(функцией перехода), ах — вектором решений (вектором независимых переменных).
Очевидно, функция перехода зависит от переменных состояния а и вектора
независимых переменных х. Пусть имеющаяся степень влияния на процесс
решения достаточна для того, чтобы существовала возможность выбора на
каждом шаге вектора решений х из допустимого множества 5. Пусть Xi — вы-
1 Первая публикация Р. Гомори на данную тему была в 1958 г. (См. также [28] в списке
дополнительной литературы). — Прим. ред.
1.7. Многоуровневое программирование 33
бранный на г-м шаге вектор переменных, тогда получаем последовательность
вида:
di = do, (начальное состояние)
ап = T(an-i,xn-i), n = 2,3,
Будем рассматривать процессы, в которых векторы переменных Xi
выбираются так, чтобы максимизировать критериальную функцию R{ai,a2,... , а^;
Х\,х2, • •., Хм). Решение называется оптимальным, если оно доставляет
максимум данной критериальной функции.
В силу достаточно общего характера принятого определения
критериальной функции R, векторы решений ж„ зависят от текущего состояния системы,
а также от предыдущих и последующих состояний и векторов решений.
Существуют, однако, критериальные функции специальной структуры, в которых
решение зависит только от текущего состояния. В этом особом, но крайне
важном случае оптимальная стратегия определяется принципом
оптимальности Беллмана: Оптимальная стратегия обладает тем свойством, что,
каковы бы ни были начальное состояние и первое решение, последующие
решения составляют оптимальную стратегию по отношению к начальному
состоянию, полученному в результате первого решения. Рассмотрим задачу
максимизации следующей функции специальной структуры
N
R(ai,a2,... ,aN;xi,x2,- - ■ ,xN) = 2_,Sn(an,a;n). (1-15)
n=l
Пусть fn (а) — максимальные значения критериальной функции R, начиная с
состояния а на шаге п, п = 1,2,...,N, соответственно. Тогда принцип
оптимальности Беллмана может быть записан следующим образом:
fN(a) =maxgN(a,x),
< /n(a) = max {gn(a, x) + fn+i(T(a,x))}, (1.16)
n^N-1.
Система соотношений (1.16) называется уравнением Беллмана (основным
функциональным уравнением динамического программирования) [16].
В большинстве практических задач для получения оптимального решения
за разумное время необходима разработка эффективных в вычислительном
отношении алгоритмов. Чтобы ознакомиться с общими алгоритмами
динамического программирования, читатель может обратиться к книге (Bertsekas,
Tsitsiklis [19]), в которой рассматривается целый ряд методов решения задач
динамического программирования.
1.7. Многоуровневое программирование
Многоуровневое программирование связано с исследованием
децентрализованных систем принятия решений, в которых задача верхнего уровня
(называемая ведущим элементом системы) и задачи более низкого иерархического
34 Глава 1. Математическое программирование
уровня (называемые ведомыми элементами системы) могут иметь
собственные независимые переменные и собственные целевые функции. При этом
ведущий элемент может влиять на реакции ведомых элементов только через
собственные независимые переменные. У ведомых элементов остаются
полномочия, позволяющие им решать, каким образом оптимизировать их собственные
целевые функции, учитывая при этом решения ведущего элемента, а также
остальных ведомых элементов.
Предположим, что в децентрализованной двухуровневой системе
принятия решений имеется один ведущий элемент и т ведомых элементов. Пусть
х и Уз — управляющие векторы ведущего элемента и г-го ведомого
элемента, г = 1,2,. ..,т, соответственно. Будем также предполагать, что целевые
функции ведущего элемента и г-го ведомого элемента суть F(x, у1,..., ут) и
fi(x, у1,..., ут), г = 1,2,..., т, соответственно.
Кроме того, пусть 5 — допустимое множество управляющего вектора х
ведущего элемента, определяемое как
5 = {х | G(x) ^ 0} , (1.17)
где G— векторнозначная функция вектора решений х, а 0 — вектор с нулевыми
компонентами. Тогда для каждого решения х, выбранного ведущим
элементом, допустимые управляющие векторы yi для г-х ведомых элементов должны
зависеть не только от ж, но также и от у1,..., уг_j, t/i+1,..., ут и в общем виде
могут быть представлены как
gi{n,y1,y2,---,ym) <о, (1.18)
где 5i — векторнозначные функции, г" = 1,2,..., гп, соответственно.
Предположим, что вначале свой управляющий вектор выбирает ведущий
элемент х € S, а после этого определяется совокупность управляющих
векторов (у1, у2,..., ут) ведомыми элементами. Тогда общая задача
двухуровневого программирования записывается следующим образом:
maxF(x,y1,y2,...,ym)
при ограничениях:
ОД ^ о,
где каждый yt(i — 1,2,..., т)
получается в результате решения
( maxfi(x,y1,y2,. .,ym)
Vi
\ при ограничениях:
I 9i(x,y1,y2,---,ym)^0.
Равновесие по Нэшу для ведомых элементов — это допустимая
совокупность векторов (s/i,S/2,---»S/m)> соответствующая управляющему вектору х,
такая, что
fi(x, J/J,..., J/*_i, J/i, У*+1, ...,Уп)^ fi(x, у{, ■ ■ ■, y*i-v У*, 2/Г+ь • • ■. Ут)
(1.19)
1.8. На пути к неопределенному программированию 35
для любой допустимой совокупности векторов (у{,..., у*_1, у^ У*+х,- ■ ■, Ут) и
г = 1,2, ...,т.
Пусть х* — допустимый управляющий вектор ведущего элемента и
(vhУ%т ••>Ут)~равновесие по Нэшу для ведомых элементов,
соответствующее вектору х*. Будем называть {х*,у\,У2,- ■ ■ ,Ут) равновесием по Сте-
келъбергу—Нэшу для задачи двухуровневого программирования (1.19), тогда
и только тогда, когда
F(x,y1,y2,...,ym)^F(x',y*1,y*2,...,y*m) (1.20)
для любых х € S и имеет место равновесие по Нэшу для соответствующего х.
Исходя из хорошо известной «задачи о ранце», в работе (Ben-Ayed, Blair
[18]) показано, что задача многоуровневого программирования является NP-
трудной задачей. Для решения таких задач был разработан ряд численных
алгоритмов, в частности, неявная перечислительная схема (Candler, Townsley
[38]), k-й наилучший алгоритм (Bialas, Karwan [21]), параметрический
алгоритм главного элемента (Bialas and Karwan [21]), алгоритм одномерного
сеточного поиска (Bard [12,14]), алгоритм ветвей и границ (Bard and Moore [13]),
алгоритм наискорейшего спуска (Savard, Gauvin [259]), генетический алгоритм
(Liu [165]).
1.8. На пути к неопределенному программированию
Рассмотрим классическую транспортную задачу, в которой необходимо найти
план минимальной стоимости для транспортировки некоторого товара одного
наименования из п источников (пунктов отправления) Si (г = 1,2,... ,гг) в т
пунктов назначения Dj (j = 1,2,..., m).
Рис. 1.1. Транспортная сеть
Пусть at — количество товара, которое может быть получено из источника
5г, a bj — количество товара, заказанного для транспортировки в место
назначения Dj, i = 1,2,..., п, j = 1,2,..., m, соответственно.
Пусть также независимая переменная Хц означает количество товара,
доставляемого из источника Si в место назначения Dj, i = 1,2,...,n, j =
1,2,...,m, при стоимости транспортировки единицы товара су. Тогда общая
i=l 2^7=1 cijxij-
36 Глава 1. Математическое программирование
С одной стороны, общее количество товара, поставляемого из каждого
источника, не может превышать некоторого количества товара, доступного из
данного источника. Это условие дает набор ограничений вида: Y^ILi xij ^ °«>
i = 1,2,...,п. С другой стороны, общее количество товара, доставляемого
в каждое место назначения, должно удовлетворять потребность в этом
товаре в данном месте назначения. Отсюда появляется еще одно ограничение:
YZ=i xij ^ Ьз> J = 1,2,. -., m.
Поэтому рассмотренная транспортная задача может быть сформулирована
как следующая задача линейного программирования:
г п т
min £ 52 cijxij
г=1 j=l
при ограничениях:
m
" Лхю <а«. г = 1,2, ...,п,
П
52xij^bj, j = l,2,...,m,
Xij^O, i = 1,2, ...,n, j = 1,2,...,rn
Если все параметры щ, bj и qj (i = 1,2,..., n, j = 1,2,..., m) заданы де-
терминированно, то модель линейного программирования (1.21) будет хорошо
определенной и может быть решена симплекс-методом. Однако, если
некоторые из этих параметров представляют собой случайные или нечеткие
величины, тогда модель (1.21) перестает быть хорошо определенной в
математическом плане, поскольку теперь: (i) требуется минимизировать целевые функции,
выраженные через неопределенные количества; (ii) ограничения не задают
детерминированную допустимую область решений. Чтобы решить подобного
рода задачу, следует определить, как обращаться с неопределенностью.
Для решения различных управленческих задач, в которых необходимо
учитывать случайность, были разработаны соответствующие формулировки
моделей стохастического программирования. Первый вид таких моделей —это
модель среднего ожидаемого значения (модель математического ожидания),
в которой оптимизируются ожидаемые значения целевых функций при
некоторых ожидаемых значениях ограничений. Второй вид, стохастическое
программирование с вероятностными ограничениями, впервые был предложен
Чарнсом и Купером (Charnes, Cooper [41]) как метод управления
неопределенностью путем указания доверительного уровня, при этом вероятность
удовлетворения рассматриваемого ограничения должна быть не ниже данного
уровня. На практике, в сложных стохастических системах принятия решений
обычно приходится иметь дело с многочисленными событиями. Иногда у
лица, принимающего решение, возникает потребность максимизировать
вероятностные функции наступления этих событий. Чтобы обеспечить возможность
создания моделей для такого типа задач, Лю (Liu [160]) разработал
теоретическую базу для третьего класса задач стохастического программирования,
названного стохастическим событийным программированием
(1.21)
1.8. На пути к неопределенному программированию 37
Нечеткое (fuzzy) программирование предлагает мощные средства
решения оптимизационных задач с нечеткими переменными. В прошедшие годы
они нашли широкое применение в самых различных областях. В работе (Liu,
Liu [182]) была предложена концепция оператора среднего ожидаемого
значения для нечетких величин и разработан целый спектр моделей с нечеткими
моделями ожидаемого значения. Следуя идее стохастического
программирования с вероятностными ограничениями, для нечетких систем принятия решений
предполагается, что нечеткие ограничения будут удовлетворяться с некоторым
уровнем возможности. Это приводит к теории нечеткого программирования с
возможностными ограничениями. Аналогичным образом, основываясь на идее
стохастического событийного программирования, Лю (Liu [169]) разработал
теорию нечеткого событийного программирования.
Следуя более общей концепции, Лю (Liu [171]) предложил
унифицированный подход, объединяющий стохастическое и нечеткое программирование и
назвал его математическим программированием в условиях
неопределенности (или, более кратко, неопределенным программированием). Им был
сформулирован также ряд идей, относящихся к моделированию реальных задач с
использованием данного подхода.
Теория неточных множеств (rough set theory), предложенная Павлаком
(Pawlak [233]), уже зарекомендовала себя как прекрасный математический
инструмент для работы с «неясными» (vague) описаниями объектов, т. е.
описаниями, содержащими неопределенность. Основное предположение в теории
неточных множеств состоит в том, что любой объект Вселенной
воспринимается через доступную информацию, а такая информация может быть
недостаточной, чтобы точно характеризовать объект. В этой книге будет
представлено понятие пространства приближений и дано определение неточной
величины как функции с вещественными значениями, определенной на пространстве
приближений. Предлагается также оператор среднего ожидаемого значения
неточной величины и мера доверия для неточного события. Этим самым
сформулирована теория неточного математического программирования.
В работах (Kwakernaak [142,143]) было введено понятие нечетко-случайной
(fuzzy random) величины, которое формулируется как измеримая функция из
вероятностного пространства в некоторый набор нечетких величин. Нечетко-
случайное программирование представляет собой теорию, имеющую дело с
оптимизационными задачами в нечетко-случайных средах. Такого рода теорию
можно построить несколькими способами. В нашей книге даются
теоретические основы нечетко-случайного программирования для моделей ожидаемых
значений (Liu, Liu [189]), нечетко-случайного программирования для задач с
шансовыми ограничениями1 (Liu [178]) и нечетко-случайного событийного
программирования (Liu [179]).
Понятие случайно-нечеткой (random fuzzy) величины было предложено Лю
(Liu [183]). Оно формулируется как функция из возможностного пространства
в набор случайных величин. То есть, случайно-нечеткая величина представля-
1 Вероятностные и возможностные ограничения, упоминавшиеся выше, являются
частными разновидностями шансовых ограничений. — Прим. ред.
38 Глава 1. Математическое программирование
ет собой нечеткую величину, определенную на универсальном множестве
случайных величин. Чтобы можно было решать задачи со случайно-нечеткими
величинами, далее будут введены случайно-нечеткая модель ожидаемого
значения (Liu, Liu [188]), случайно-нечеткое программирование с шансовыми
ограничениями (Liu [183]), случайно-нечеткое событийное программирование (Liu
[184]).
Помимо нечетко-случайных величин и случайно-нечетких величин
существуют также и другие типы многократной неопределенности. В этой книге
будут представлены такие новые понятия, как случайно-неточная (random rough)
величина, неточно-случайная (rough random) величина, нечетко-неточная
(fuzzy rough) величина, неточно-нечеткая (rough fuzzy) величина, бислучай-
ная (birandom) величина, бинечеткая (bifuzzy) величина, бинеточная (birough)
величина. Для них будут введены такие варианты задач
математического программирования, как случайно-неточное программирование, неточно-
случайное программирование, нечетко-неточное программирование, неточно-
нечеткое программирование, бислучайное программирование, бинечеткое
программирование, бинеточное программирование и неопределенное
программирование с многократной (трехкратной, четырехкратной и т.д.)
неопределенностью. В этой книге будут также кратко рассмотрены неопределенное
динамическое программирование и неопределенное многоуровневое
программирование.
Глава 2
Генетические алгоритмы
Генетические алгоритмы (ГА) относятся к методам случайного поиска решения
задач оптимизации. Они основаны на имитации механизмов естественного
отбора и природных генетических механизмов (выживание наиболее
приспособленных). Генетические алгоритмы продемонстрировали значительные успехи
при решении многих сложных задач оптимизации и привлекают все большее
и большее внимание в последние три десятилетия1. Если целевые функции
в решаемых задачах оптимизации являются многоэкстремальными или
пространства поиска частично нерегулярны, требуются алгоритмы, обладающие
высокой робастностью для предотвращения застревания в локальных оптиму-
мах. Достоинством генетических алгоритмов как раз и является способность
получать действительно глобальное оптимальное решение. Кроме того,
применение генетических алгоритмов не связано со сложным математическим
анализом оптимизационных задач, что позволяет программировать генетические
алгоритмы и применять их пользователям, не являющимся специалистами в
математике и теории алгоритмов.
Один из важнейших элементов, используемых при формулировании
генетического алгоритма — хромосома. Обычно это строка символов или чисел.
Хромосома представляет собой некоторый код, поставленный в соответствие
решению оптимизационной задачи, но не обязательно само это решение. Работа
генетического алгоритма начинается с формирования набора сгенерированных
случайным образом хромосом, называемого популяцией. Число элементов-
особей в популяции — это некоторое наперед заданное целое число, называемое
размером популяции. Для всех хромосом вычисляется так называемая
функция оценки, которая является некоторой мерой приспособленности. Новая
популяция формируется с помощью процесса отбора, используя некоторый
механизм выборки, основанный на значениях функции приспособленности. Цикл
перехода от одной популяции к следующей называется поколением. В каждом
новом поколении все хромосомы модифицируются с помощью операций крос-
синговера и мутации. Полученные новые хромосомы называются потомками.
Процесс отбора указывает хромосомы, которые войдут в новую популяцию,
после чего генетическая система входит в следующий цикл (поколение).
После выполнения заданного числа циклов производится декодирование лучшей
хромосомы в полученное решение, которое интерпретируется как оптимальное
решение рассматриваемой оптимизационной задачи.
1 См. также книгу [95] в списке дополнительной литературы. — Прим. ред.
40 Глава 2. Генетические алгоритмы
Генетические алгоритмы (эволюционные программы, эволюционные
стратегии и генетическое программирование) достаточно подробно описаны в
книгах (Holland [96]), (Goldberg [86]), (Michalewicz [213]), (Fogel [70]), (Koza
[137,138]), (Back [10]) и (Mitchell [215]). Генетические алгоритмы нашли
широкое применение для решения различных задач, таких как задачи оптимального
управления, транспортная задача, задача коммивояжера, задачи теории
графов, задача составления расписания, задача планировки и размещения
объектов, статистические задачи, распознавание образов, задача выбора маршрута,
оптимизация сетей.
В цели этой главы не входит дать детальный обзор генетических
алгоритмов. Здесь только предпринимается попытка построить некоторый
эффективный ГА для сложных оптимизационных задач. Причем этот алгоритм
формируется так, чтобы решать не только однокритериальные задачи, но также и
задачи многокритериального программирования и целевого программирования.
Будет также рассмотрено применение ГА для решения задач многоуровневого
программирования. В конце главы эффективность генетических алгоритмов
демонстрируется на ряде численных примеров.
2.1. Структура представления решения
Существует много способов представления решений в оптимизационных
задачах. Два популярных варианта такого представления — двоичный вектор и
вектор чисел с плавающей точкой.
Можно использовать двоичный вектор как хромосому, чтобы представить
действительные значения вектора независимых переменных (вектора
решений), при этом число двоичных разрядов в векторе зависит от требуемой
точности. Однако обязательность применения двоичного кодирования не
бесспорна и часто подвергается критике.
Альтернативный подход к представлению решения состоит в
формировании хромосомы в виде вектора, компоненты которого — числа с плавающей
точкой. Размерность вектора-хромосомы та же самая, что и размерность
вектора решений. В дальнейшем анализе как хромосома, представляющая
решение х = (х\, Х2, ■ ■ ■, хп) оптимизационной задачи, будет использоваться вектор
V = (#i, Х2, ■ ■ ■, хп), где п — размерность этого вектора.
2.2. Манипулирование ограничениями
Основная идея манипулирования ограничениями состоит в следующем: (i) из
набора ограничений исключаются равенства, (Н) тщательно разрабатываются
специальные генетические операторы, гарантирующие удержание всех
хромосом внутри допустимого множества решений.
В моделях математического программирования при наличии ограничений
в виде равенств, например, hk(x) = 0, к = 1,2,...,<?, следует исключить q
ограничений-равенств путем замены q переменных в рассматриваемой задаче
соответствующим представлением их через остальные переменные,
получаемым решением системы уравнений, составленной из ограничений-равенств.
2.3. Процесс инициализации 41
Все новые хромосомы, полученные с помощью генетических операторов,
должны быть проверены, чтобы удостовериться в их допустимости
Соответствующие методы, необходимые для этого, будут рассмотрены позднее. Для
каждой оптимизационной задачи предлагается построить некоторую
функцию, выходное значение которой, равное 1, означает, что хромосома является
допустимой, а значение 0 — недопустимой. В частности, такую функцию
можно построить, анализируя ограничения gj(x) ^ 0, j = 1,2,...,р с помощью
алгоритма следующего вида:
for j = 1 to p do
if (gj(x) > 0) return 0;
endfor
return 1.
Мы настоятельно рекомендуем разработчикам программ обратить особое
внимание на так называемые мягкие ограничения (soft constraints),
указывающие на то, что некоторые точки заведомо не могут быть оптимальными
решениями, даже если они являются допустимыми. Например, допустимым
множеством в модели математического программирования
min х +1
хеш
является вся вещественная прямая 5R. Однако с помощью математического
анализа можно удостовериться в том, что оптимальное решение будет
принадлежать области [—1, +1]. Следовательно, нужно добавить еще одно ограничение
—1 ^ х ^ 1, чтобы уменьшить область поиска для компьютерной
программы. Такого рода мягкие ограничения не очень сложно обнаружить, особенно
в реальных управленческих задачах. Ускорить процесс решения можно,
если следовать такому правилу: Уменьшайте пространство поиска настолько,
насколько это возможно, добавлением мягких ограничений. Итак, не стоит
пренебрегать математическим анализом или опытом при решении вашей
задачи.
Завершая этот раздел отметим, что следует привлекать методы
манипулирования ограничениями и для сокращения времени, затрачиваемого на работу
с недопустимыми хромосомами. Например, когда генетические операторы
порождают недопустимые хромосомы, можно преобразовать их в допустимые.
Методы такого преобразования, однако, существенно зависят от конкретной
решаемой задачи. Из сказанного вытекает, что надо уделять пристальное
внимание как процессу инициализации генетического алгоритма, так и
формированию используемых генетических операторов применительно к специфике
каждой из решаемых оптимизационных задач.
2.3. Процесс инициализации
Определим целочисленную переменную рор_ size (размер популяции) как
число хромосом и зададим для данного количества хромосом случайные
начальные значения. Обычно для сложной оптимизационной задачи получить в яв-
42 Глава 2. Генетические алгоритмы
ном виде допустимые хромосомы довольно трудно. Поэтому будем
использовать один из двух вариантов процесса инициализации, в зависимости от того,
какой информацией располагает лицо, принимающее решение.
Первый случай — когда лицо, принимающее решение, имеет возможность
для набора ограничений решаемой задачи определить внутреннюю точку,
обозначаемую как Vq. Такая ситуация вполне возможна в реальных задачах
принятия решений. Пусть теперь М — некоторое большое положительное число,
обеспечивающее в вероятностном смысле возможность генетическим
операторам порождать весь набор допустимых решений. Разумеется, выбор значения
для М будет зависеть от вида конкретной рассматриваемой задачи.
Формирование требуемого набора хромосом (т. е. популяции размером pop_size)
производится в данном случае следующим образом. Случайно выбирается
направление d в 5R" и хромосома V определяется как Vq + М ■ d, если она является
допустимой для имеющихся в решаемой задаче ограничений типа неравенства.
В противном случае величина М варьируется как случайное число между 0 и
М до тех пор, пока значение Vq + М ■ d не окажется допустимым. Отметим,
что допустимое решение для ограничений типа неравенства может быть
найдено путем подбора нового случайного числа М за конечное число итераций,
поскольку Vq является внутренней точкой. Повторим этот процесс pop_size
раз и получим начальный набор допустимых хромосом Vi, V2,.. -, Vpop stze.
Второй случай —это такой, когда лицо, принимающее решение, может
предварительно определить область, включающую оптимальное решение (не
обязательно это должна быть область всех допустимых решений). Такая
область зависит, конечно, от вида конкретной задачи. Чаще всего лицо,
принимающее решение, имеет возможность указать такую область, хотя она и может
оказаться несколько большей, чем требуется. Обычно эта область
формируется в виде многогранника, например в виде n-мерного гиперкуба, поскольку
из него с помощью компьютера легко выбирать точки. Теперь генерируется
случайная точка из гиперкуба и проверяется на допустимость. Если она
оказывается допустимой, то будет принята в качестве хромосомы. Если же нет,
тогда из гиперкуба повторно выбирается и проверяется случайная точка и так
до тех пор, пока не будет получена допустимая точка. Таким способом можно
получить все pop_size начальных допустимых хромосом V\, V2,..., Vpop в{ге,
повторяя соответствующее число раз описанный процесс.
2.4. Функция оценки
Функция оценки, обозначаемая как Eval(V), устанавливает для каждой
хромосомы V вероятность воспроизведения таким образом, чтобы возможность
быть выбранной для нее была пропорциональна ее приспособленности,
сопоставляемой с приспособленностью других хромосом из данной популяции. Это
означает, что хромосомы с более высокой приспособленностью будут иметь
больше шансов произвести потомство при использовании механизма отбора
типа случайного выбора.
Пусть Vi,V2,...,Vpop Size — набор из pop_size хромосом в текущем
поколении. Одна из наиболее хорошо известных функций оценки основана на
2.4. Функция оценки 43
организации попыток воспроизведения согласно некоторому ранжированию
хромосом, а не фактическим значениям целевой функции решаемой задачи.
Независимо от того, к какому классу задач математического
программирования принадлежит данная задача (однокритериальное МП,
многокритериальное МП, целевое МП), разумно предположить, что лицо, принимающее
решение, может определить отношение порядка для набора из pop_size хромосом
V\, V2, ■ ■ ■, Vpop Size таким образом, чтобы они в упорядоченном наборе
следовали от лучшей к худшей (т. е. лучшая хромосома должна обладать меньшим
порядковым номером, чем худшая). Например, для задачи однокритериальной
максимизации будет лучше хромосома с большим значением целевой функции;
для модели многокритериальной оптимизации для оценки хромосом можно
определить соответствующую функцию предпочтения. В случае модели
целевого программирования имеем следующее отношение порядка для
рассматриваемых хромосом: из двух хромосом, которые имеют одинаковые значения
целевых функций высшего уровня, на данном текущем уровне лучшей будет
та, что имеет меньшее значение целевой функции. Если две различные
хромосомы имеют одинаковые значения целевых функций на каждом уровне, тогда
они считаются неразличимыми и упорядочиваются случайным образом. Ниже
это будет показано на нескольких численных примерах. Пусть теперь в
рассматриваемой генетической системе задан параметр а £ (О,1). Можно тогда
определить так называемую функцию оценки, основанную на ранжировании,
которая имеет следующий вид:
Eval(Vi) = а(1 -o)i_1, г = 1,2,.. .,pop_size. (2.1)
Заметим, что г = 1 означает здесь наилучшую особь, а г = pop_size —
наихудшую.
Второй вид функции оценки строится путем введения механизма
масштабирования, основанного на реальных значениях целевой функции. Пусть
/ъ/г,- --,/рор size обозначает исходные значения функции
приспособленности (т.е. значения целевой функции) хромосом V\, Vi,- ■■, Vpop Sjze,
соответственно. Зачастую пропорционально-репродукционная схема начальной
приспособленности, упомянутая в начале данного раздела, приводит к двум
серьезным трудностям: потере сходимости в ранних поколениях и потере
устойчивости в поздних поколениях. Чтобы преодолеть эти две проблемы, Голдберг
(Goldberg [86]) предложил схему, основанную на линейной функции
масштабирования приспособленности,
f'i = afi + b, i = 1,2, ...,pop_size, (2.2)
где /--новые значения приспособленности, г = 1,2,.. .,pop_size. Параметры
о и 6 обычно выбираются так, что среднее значение приспособленности
отображается на себя, а наилучшее значение функции приспособленности
увеличивается пропорционально среднему значению данной функции. В этом случае
функция оценки определяется как
pop_size
EvaliVi) = f'J Y, fp i = 1,2,...,pop_size. (2.3)
44 Глава 2. Генетические алгоритмы
Однако, подобрать подходящие значения для параметров а и Ъ во многих
случаях бывает непросто.
2.5. Процесс отбора
Процесс отбора основан на случайном выборе pop_size раз. Каждый раз в
новую популяцию выбирается только одна хромосома. Вероятность этого выбора
пропорциональна приспособленности хромосом. Независимо от вида
используемой функции оценки, процесс отбора осуществляется всегда следующим
образом:
Алгоритм 2.1. Процесс отбора
Шаг 1. Вычислить кумулятивную вероятность щ для каждой хромосомы Vi,
i
<7о = 0, Qi = VJ Eval(Vj), i = 1,2,... ,pop_size.
3=1
Шаг 2. Сформировать случайное действительное число г в интервале
(I), Qpop_size\-
Шаг 3. Выбрать г-ю хромосому V* (1 ^ г ^ pop_size) так, чтобы
Qi-i <r t^qi.
Шаг 4. Повторить второй и третий шаги pop_size раз и получить pop_size
экземпляров хромосом.
Отметим, что в рассмотренном выше процессе не требуется
выполнения условия qpop Size = 1. В самом деле, при желании, все величины <&,
i — 1,2,. ..pop_size, можно разделить на qpop Size. При этом получим, что
Qpop size = 1, а новые вероятности будут пропорциональны значениям
приспособленности. На генетический процесс это, однако, не окажет никакого
влияния.
2.6. Операция кроссинговера
Определим параметр Рс генетической системы как вероятность кроссинговера.
Эта вероятность дает ожидаемое число Рс ■ pop_size хромосом, подвергаемых
операции кроссинговера.
Чтобы выявить родительские хромосомы для операции кроссинговера,
выполним следующий процесс, повторяющийся от i — 1 до pop_size:
формируется случайное действительное число г из сегмента [0,1], при этом если г < Рс,
хромосома Vi выбирается как родительская.
Обозначим отобранные родительские хромосомы как V{, V{, V%,... и
разделим их попарно следующим образом:
ОМ), {ViX\ ОМ), •■■
Проиллюстрируем действие оператора кроссинговера на примере пары
(V[, У%). Вначале формируется случайное число с из открытого интервала
2.8. Процедура генетического алгоритма 45
(0,1), затем оператор кроссинговера, действующий на V{ и V^', произведет две
хромосомы-потомка X и У:
X = c-V{ + {l-c)- К,', У = (1 - с) • У/ + с ■ У2'- (2.4)
Если допустимое множество является выпуклым, эта арифметическая
операция кроссинговера обеспечивает допустимость обоих потомков, в случае если
допустимыми были оба родителя. Однако встречаются варианты, когда
допустимое множество не обязательно является выпуклым или не всегда возможно
проверить выпуклость. Тогда следует проверить допустимость каждого
потомка перед тем, как он будет включен в новую популяцию. Если оба потомка
являются допустимыми, тогда родители заменяются этими потомками. Если это
не так, сохраняется допустимый потомок, если он существует, а затем вновь
выполняется оператор кроссинговера с новым значением случайного числа с
до тех пор, пока не будут получены два новых допустимых потомка или не
будет превышено заданное число циклов. В этом случае осуществляется замена
родителей только теми (сохраненными ранее) потомками, которые оказались
допустимыми.
2.7. Операция мутации
Определим параметр Рт генетической системы как вероятность мутации. Эта
вероятность дает ожидаемое число Рт -pap_size хромосом, подвергаемых
операции мутации.
Точно так же, как для процесса отбора родителей в операции
кроссинговера, будем повторять следующие шаги от г = 1 до pop_size: генерируется
случайное действительное число г из сегмента [0,1], при этом если г < Рт,
хромосома Vi выбирается как родительская для операции мутации.
Для каждой выбранной родительской хромосомы, обозначенной как V =
{х\,Х2,■ ■ -,хп), производится мутация, осуществляемая следующим образом.
Пусть М — некоторое большое положительное число, определенное в разделе
«Процесс инициализации». Выберем направление мутации d в 5R" случайным
образом. Если хромосома V+M-d не является допустимой при заданных
ограничениях, тогда значение М выбирается случайным образом между 0 и М до
тех пор, пока не будет обеспечена допустимость. Если с помощью данного
процесса не удается найти допустимое решение за определенное число итераций,
устанавливается значение М = 0. В любом случае будет произведена замена
родителя V его потомком
X = V + M-d. (2.5)
2.8. Процедура генетического алгоритма
После того, как выполнены селекция, кроссинговер и мутация, вычисляются
оценки для элементов полученной новой популяции. Генетический алгоритм
заканчивает работу либо после того, как будет исчерпано заданное число
циклов повторения указанных выше шагов, либо после того, как будет найдено
46 Глава 2. Генетические алгоритмы
подходящее решение. Приведем теперь генетический алгоритм для решения
оптимизационных задач в его полном варианте.
Алгоритм 2.2. Генетический алгоритм
Шаг 1. Инициализировать pop_size хромосом случайным образом.
Шаг 2. Модифицировать хромосомы с помощью операций кроссинговера и
мутации.
Шаг 3. Вычислить значения целевой функции для всех хромосом.
Шаг 4. Вычислить значение приспособленности для каждой хромосомы в
соответствии с полученным для нее значением целевой функции.
Шаг 5. Произвести селекцию хромосом, используя случайный выбор.
Шаг 6. Повторить в соответствии с заданным числом циклов шаги со второго
по пятый.
Шаг 7. Предъявить наилучшую хромосому как оптимальное решение.
Замечание 2.1. Известно, что наилучшая хромосома не всегда обязательно
появляется в последнем поколении. Поэтому следует сохранять лучшую
хромосому с самого начала. Если лучшая хромосома обнаруживается в новой
популяции, тогда она заменяет старую. Эта хромосома может быть представлена
как оптимальное решение после завершения эволюции.
Замечание 2.2. Напомним, что методы подъема1 — это общее название
прямых методов, градиентных методов и методов, основанных на использовании
матрицы Гессе. Работа алгоритмов, основанных на методах подъема,
начинается с выбора начальной точки, расположенной в области, где
предположительно находится оптимальное решение. Затем для данной начальной точки путем
анализа поведения целевой функции находится новая точка. Этот процесс
перехода из точки в точку продолжается до тех пор, пока не будет
удовлетворен критерий окончания. Чтобы разобраться в сути генетического алгоритма,
сравним методы подъема и генетические алгоритмы. Методы подъема — это
методы, основанные на процессе детерминированного поиска, который
генерирует последовательность точек, обычно сходящуюся к оптимальному решению
(иногда к локальному). Генетические алгоритмы — это методы, основанные на
процессе случайного поиска, порождающем случайную последовательность
популяций, обычно включающих удовлетворительное решение. В общих чертах,
главные различия между этими двумя типами методов заключаются в
следующем, (i) Методы подъема имеют только одну начальную точку, которая
обычно задается лицом, принимающим решения; ГА имеют дело с набором
начальных точек, формируемых случайным образом, (ii) В методах подъема
переход от предыдущей точки к новой точке осуществляется путем анализа
поведения целевой функции; в генетических алгоритмах хромосомы случайно
изменяются в текущей популяции с помощью генетических операторов (т. е.
1 Методы спуска — в случае решения задачи минимизации целевой функции. — Прим.
иерее.
2.9. Численные примеры 47
операторов кроссинговера и мутации), а отбор их в следующую популяцию
производится с помощью некоторого механизма выборки.
Замечание 2.3. Для одних и тех же оптимизационных задач генетические
алгоритмы требуют обычно большего машинного времени, чем методы подъема.
Однако ГА могут работать с более сложными оптимизационными задачами,
которые не поддаются решению с помощью методов подъема.
2.9. Численные примеры
В этом разделе рассматривается применение генетических алгоритмов для
решения трех численных примеров со следующими параметрами: размер
популяции равняется 30, вероятность кроссинговера составляет 0.3, вероятность
мутации равна 0.2, параметр а для функции оценки, основанной на
ранжировании хромосом, составляет 0.05. Генетические алгоритмы часто критикуют
из-за необходимости выбора этих параметров. Однако ГА, к счастью, очень
устойчивы по отношению к выбору их значений.
Пример 2.1. Используем генетический алгоритм для решения следующей
оптимизационной задачи:
max {y/xl + у/х2 + у/хз)
при ограничениях:
х\ + 2x1 + Зх| < 1,
xi,x2,x3 $s 0.
Закодируем каждое решение хромосомой V = (х\,Х2,хз)- Тогда функция,
проверяющая допустимость V, может быть записана следующим образом:
// (хг < 0||х2 < 0||х3 < 0) return 0;
If (x\ + 2х\ + 2>х% > 1) return 0;
Return l;
где 0 представляет недопустимое, а 1 — допустимое решение, соответственно.
Легко видеть, что допустимое множество содержится в следующем гиперкубе
Х= {(xi,X2,x3) | 0<a;i < 1, 0 <х2 < 1, 0 <х3 < 1},
который хорошо подходит для компьютерной реализации, поскольку точки,
принадлежащие ему, можно получить очень простым способом. Например, для
получения элементов хромосомы можно воспользоваться такими
соотношениями
a;i=W(0,l), х2=Щ0,1), х3=Щ0,1), (2.7)
где функция U(a, b) порождает значения равномерно распределенной
случайной величины из сегмента [а,Ь]. Более обстоятельно эта процедура будет
обсуждаться в главе 4. Если полученная таким образом хромосома недопустима,
она отбрасывается и производится ее повторное формирование на основе
соотношений (2.7). Если сгенерированная хромосома допустима, она включается
48 Глава 2. Генетические алгоритмы
в состав рассматриваемой популяции. Этим способом можно получить
требуемые в данной задаче 30 допустимых хромосом за конечное время.
В результате выполнения генетического алгоритма на 400 поколениях
получено следующее оптимальное решение
ж* = (0.636,0.395,0.307),
при этом значение целевой функции составляет 1.980.
Пример 2.2. С помощью генетического алгоритма можно также решить
следующую нелинейную задачу целевого программирования:
lexmin {d^, dJ, d% }
при ограничениях:
-v/жГ + ^Г - d* = 3,
\/xi + 2x2 + d^ — d£ = 4,
yjx\ + 2x2 + Зхз + dj — d£ = 5,
x\ + x\ + x\ < 100,
^1,^2,^3 > 0,
df,d~> 0,1 = 1,2,3.
Закодируем каждое решение хромосомой V = (х1,хг,хз). Легко показать, что
допустимое множество содержится в следующем гиперкубе
Х= {(zltZ2,x3) |0<xi <10, 0<х2<10, 0<х3^10}.
Пусть X] = £/(0,10), Х2 = £/(0,10) и Хз = £/(0,10), тогда получаемый вектор
примем как хромосому, если он будет допустимым. Очевидно, что требуемые
30 хромосом можно получить за конечное время.
Выполнение генетического алгоритма на 1000 поколений показывает, что
оптимальным является решение
х* = (9.000,3.500,2.597),
которое удовлетворяет первым двум целям, однако для третьей цели
полученное значение целевой функции составляет 0.122.
Пример 2.3. Пусть имеется следующая модель двухуровневого
программирования
maxF(x,y1,y2,...,ym)
при ограничениях:
ад<о,
где каждое yi (г = 1,2,.. .,т) решает подзадачу /„ g\
( maxfi{x,yx,y2,...,ym)
Уг
\ при ограничениях:
I gdx,y1,y2,...,ym) ^о,
2.9. Численные примеры 49
в которой обозначим
У-г = (У1.---.Уг-1.Уг+1.---.Ут). 1 = 1,2,...,ГП. (2.9)
Для любого решения, выданного ведущим элементом, в случае, когда
г-му ведомому элементу известны стратегии y_i других ведомых элементов,
оптимальная реакция г-го ведомого элемента может быть представлена как
отображение уг = Ti(y_i), которое должно решать подзадачу
xna,xfi(x,y1,y2,...,ym)
< при ограничениях: (2.10)
9г(х,У1,У2,---,Ут) ^°-
Чтобы найти равновесие по Стекельбергу—Нэшу для задачи
двухуровневого программирования, в работе (Liu [165]) был предложен соответствующий
генетический алгоритм. Вначале вычисляется равновесие по Нэшу
применительно к любому решению, выдаваемому ведущим элементом. Очевидно, что
равновесие по Нэшу для т ведомых элементов будет представлять собой
решение (у1, у2,..., ут) системы уравнений вида
У1 = п{у-г), i = l,2 т. (2.11)
Другими словами, требуется найти неподвижную точку векторнозначной
функции (г\, Г2, ■■■, гт). Чтобы решать систему уравнений (2.11), необходимы
достаточно эффективные алгоритмы. Можно выделить следующие три
случая, требующие различных алгоритмов.
(i) Если для всех функций п, г = 1,2, ...,т, имеются явные выражения,
можно получить решение системы (2.11) в аналитической форме. К
сожалению, сделать это на практике почти невозможно.
(ii) Система (2.11) может быть решена с помощью некоторого
итерационного метода, который геперирует последовательность точек ук =
(ук, У2-1 ■ • ■> Ут)> к = 0,1,2,..., используя итеративную формулу
Ук+1 = riivti), г = 1,2,...,т, (2.12)
где yk_t = (ук,...,ук_г,ук+1,-..,Ут). Однако в общем случае при
решении практических задач установить условия сходимости итерационного
метода оказывается непросто.
(iii) Если с помощью итерационного метода найти неподвижную точку не
удается, можно использовать генетический алгоритм, который решает
следующую задачу минимизации:
m
min R(y±, У2,--,Ут) = ^2 \\Уг - Гг(У-г)\\- (213)
г=1
50 Глава 2. Генетические алгоритмы
Если совокупность векторов (у1,У2,■ ■ • ,Ут) удовлетворяет условию
R{Vi,V2>--->Vm) = °» тогДа Vi ~ ri(yli), г = 1,2,...,гп, и,
следовательно совокупность (г/1, у%,..., у*^) должна быть решением (2.11). Если
В.(У1,У2,.. •, Ут) т^ 0, тогда система уравнений (2.11) несовместна.
Иначе говоря, для ведомых элементов в данной модели двухуровневого
программирования равновесия по Нэшу не существует. Этим методом можно
решать достаточно широкий круг задач, однако он является весьма
медленным.
После того как получено равновесие по Нэшу для каждого заданного
вектора управления ведущего элемента, можно вычислить значение целевой
функции ведущего элемента для каждого заданного вектора управления,
соответствующее равновесию по Нэшу. Таким образом, генетический алгоритм может
быть использован для поиска равновесия по Стекельбергу—Нэшу.
Рассмотрим теперь задачу двухуровневого программирования с тремя
ведомыми элементами. В этой задаче ведущий элемент имеет вектор
управления х = {х\,Х2,Хз), а три ведомых элемента имеют векторы управления
Уг = (j/ibJte), г = 1,2,3:
' maxF{x,y1,y2) = J/iiJ/i2sina:i + 2j/2i J/22 sin a:2 + 3j/3ij/32sina:3
при ограничениях:
X\ + X2 + X3 < 10, XX ^ 0, X2 ^ 0, X3 ^ 0,
( maxfi(y1) = yusinyi2+yi2&nyn
< при ограничениях:
I J/11 + J/12 < xi, j/u ^ 0, j/12 ^ 0,
( max /2(1/2) = J/21 sin г/22 + J/22 sin j/21
< при ограничениях:
( J/21 + J/22 < x2, J/21 ^ 0, У22 > 0,
{max /3(1/3) = J/31 sin y32 + j/32 sin y31
при ограничениях:
J/31 + J/32 ^ X3, J/31 ^ 0, J/32 ^ 0.
Выполнение генетического алгоритма на 300 поколениях показывает, что
равновесие по Стекельбергу—Нэшу достигается при
ж* = (0.000,1.936,8.064),
yl = (0.000,0.000), у$ = (0.968,0.968), у3 = (1.317,6.747)
с оптимальными значениями целевых функций
F{x*,y\,y*2,y*3) = 27.822,
/i(l/i) = 0-000, /2(l/5) = 1.595, /з(1/5) = 7.120.
Глава 3
Нейронные сети
Искусственные нейронные сети (НС) своим возникновением обязаны
знаниям, полученным о биологических нейронных сетях. Искусственные нейронные
сети относятся к классу адаптивных систем, состоящих из простых
обрабатывающих элементов, называемых нейронами, которые взаимодействуют друг с
другом в прямом или возвратном направлении. Хотя искусственные
нейронные сети могут выполнять некоторые операции, напоминающие деятельность
мозга, однако до сих пор еще существует огромный разрыв между
биологическими и искусственными нейронными сетями.
Теория НС в настоящее время является плодотворной и быстро
развивающейся областью. Существует значительное число видов нейронных сетей,
созданных и совершенствуемых далее различными исследователями, в том
числе: многослойные сети прямого распространения, сети радиальных базисных
функций, самоорганизующиеся карты Кохонена, сети адаптивной резонансной
теории, сети Хопфилда, сети двунаправленной ассоциативной памяти, сети
встречного распространения, сети типа когнитрона и неокогнитрона.
Искусственные нейронные сети нашли применение для решения задач в
таких областях, как аппроксимация функций, распознавание образов,
обработка визуальной информации и компьютерное зрение, обработка сигналов,
предсказание временных рядов, медицинские приложения, управление,
экспертные системы, энергетические системы, военные приложения, финансовые
системы, искусственный интеллект, оптимизация и т. д.
Важной особенностью НС является способность обучаться выполнению
операций не только для входных сигналов, в точности подобных обучающим,
но также и для новых сигналов, которые могут быть неполными или зашум-
ленными. Еще одно достоинство искусственных нейронных сетей — легкость
их модификации путем повторного обучения на обновленном наборе данных.
В контексте этой книги важной является высокая скорость выполнения
операций сетью, после того как она обучена.
Наиболее популярная и полезная в настоящее время нейросетевая
архитектура — многослойная сеть прямого распространения (называемая также
многослойном персептроном) впервые была предложена Минским и Пейпертом1
(Minsky, Papert [214]). Многослойная сеть прямого распространения широко
1 Создателем персептрона в его исходном (однослойном) варианте был Фрэнк Розенблатт,
который ввел и сам термин «персептрон» (см., например, его книгу «Принципы нейродина-
мики. Перцептроны и теория механизмов мозга», М.: Мир, 1965). — Прим.перее.
52 Глава 3. Нейронные сети
используется для решения задач классификации образов и аппроксимации
функций. Было показано, что такая сеть, содержащая определенное число
нейронов в скрытых слоях, представляет собой универсальную систему
аппроксимации для непрерывных функций (Cybenko [52]; Hornik etal. [97]).
Чтобы обеспечить решение задач, рассматриваемых в книге, в данной главе
для сети прямого распространения вводятся соответствующие понятия и
формируется обучающий алгоритм, который применяется затем для
аппроксимации различных непрерывных функций. Полученная НС будет использована
в дальнейшем для аппроксимации функций, содержащих элементы
неопределенности. Такого рода сеть включается в качестве составного элемента в
генетические алгоритмы, позволяя получать гибридные алгоритмы для
решения задач оптимизации в условиях неопределенности. Эти алгоритмы будут
рассмотрены в последующем тексте книги.
3.1. Искусственные нейроны
Искусственный нейрон имитирует поведение биологического нейрона
выполнением простой операции взвешенного суммирования входных сигналов:
У = W0 + WiXi + W2X2 + ... + WnXn, (3.1)
где Х\,Х2, ■ ■■ ,хп — входные сигналы, wq, w\, wn,..., wn — веса, а у — выходной
сигнал. На рис. 3.1 представлена схема нейрона.
Wo
Wl
W2
Wn
-*~У
Рис. 3.1. Искусственный нейрон
При решении большинства прикладных задач полученная взвешенная
сумма входных сигналов преобразуется в выход нейрона с помощью некоторой
нелинейной функции <т, не обладающей памятью; данную функцию принято
называть активационной:
у = a (w0 + wixi + w2x2 + ■ • ■ 4- wnxn). (3.2)
Выбор активационной функции зависит от специфики решаемой прикладной
задачи. В нашей книге будет применяться сигмоидная функция (сигмоида),
определяемая как
а(х) = — . (3.3)
3.2. Многослойная сеть прямого распространения 53
а(х)
А
0.25
а'(х)
А
0
Рис. 3.2. Сигмоидная функция и ее производная
Производная этой функции имеет вид:
а'(х)
(1+е-*)2"
Графики для сигмоиды и ее производной показаны на рис. 3.2.
(3.4)
3.2. Многослойная сеть прямого распространения
Наиболее популярной нейроархитектурой является многослойная сеть
прямого распространения. Она состоит из нескольких слоев: входного слоя, одного
или нескольких скрытых слоев и выходного слоя, которые связаны между
собой прямыми однонаправленными связями. Каждый из слоев, в свою очередь,
состоит из искусственных нейронов, при этом выходы нейронов предыдущего
слоя являются входами для нейронов последующего слоя (см. рис. 3.3).
Рассмотрим НС с одним скрытым слоем. В ней имеется п нейронов во
входном слое, т нейронов в выходном слое и р нейронов в скрытом слое. Для такой
сети выходные сигналы нейронов скрытого слоя будут описываться выраже-
Выходной слой
Скрытый слой
Входной слой
Рис. 3.3. Многослойная сеть прямого распространения
54 Глава 3. Нейронные сети
ниями вида . .
х1=(т( J2w°jXj+w°0), г = 1,2,...,р. (3.5)
Тогда выходы нейронов выходного слоя задаются как
р
yi = '52wi3Xj+wio> i = l,2,...,m. (3.6)
j=i
В общем случае будем считать, что в НС имеется L скрытых слоев, при этом
входной слой включает п нейронов, в выходном слое содержится m нейронов
и pi нейронов — в 1-м скрытом слое, / = 1,2,..., L. Отсюда следует, что выходы
нейронов в первом скрытом слое будут определяться выражениями
xi=*\it,wiixJ+"%>)> » = l,2,...,Pi. (3.7)
Выходы нейронов в 1-м скрытом слое описываются как
x\ = crlf^w^1xlrl+w^4, i = 1,2,...,jn (3.8)
для I = 2,3,..., L. Тогда выходные сигналы НС будут задаваться следующим
образом:
Vi=:^2wfjxj+W^ г = 1,2,...,т. (3.9)
3.3. Аппроксимация функций
Многослойная сеть прямого распространения представляет собой некоторое
нелинейное отображение заданного входного пространства в заданное
выходное пространство. Доказано, что любая непрерывная нелинейная функция
может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована на ограниченном множестве
многослойной сетью прямого распространения, включающей в себя один или
более скрытых слоев. При этом условием аппроксимации непрерывных
функций с любой степенью точности нейросетью с единственным скрытым слоем
является неограниченное число нейронов в этом слое.
Пусть /(ж) : SR" —» SRm — непрерывная функция. Рассмотрим обучение сети
прямого распространения решению задачи аппроксимации функции /(ж). Для
НС прямого распространения с фиксированным числом нейронов и с заданной
архитектурой веса сети могут быть представлены в виде вектора го. Тогда
выход отображения, реализуемого НС, может быть охарактеризован с помощью
функции F(x, w).
В процессе обучения производится поиск такого вектора го, который
обеспечивает наилучшую возможную аппроксимацию функции /(ж). Пусть
{(хг, yi)\i = 1,2,..., N} — обучающий набор данных. Необходимо выбрать
вектор весов таким образом, чтобы выход F(x, w) был «близок» к желаемому
выходу yt, соответствующему заданным входным значениям ж^. Таким образом,
3.5. Алгоритм обратного распространения ошибки 55
процесс обучения состоит в подборе вектора весов го так, чтобы
минимизировать следующую функцию ошибки:
1 N
Err(w) = - ]Г \\F(xi, w) - yj|2. (3.10)
В некоторых случаях будет полезна оценка осредненной ошибки, определяемой
как: jy
Err(w) = ^^2\\F{xi,w)-yi\\. (3.11)
3.4. Определение структуры сети
Весьма важно определить наилучшую структуру сети, то есть оптимальное
число скрытых слоев и число нейронов в них.
Хотя любая непрерывная функция может быть аппроксимирована с
произвольной точностью нейросетью с единственным скрытым слоем, в котором
имеется неограниченное число нейронов, практически реализовать сеть с
бесконечным числом нейронов в скрытом слое невозможно. Нейросеть с двумя
скрытыми слоями обладает лучшей способностью к обобщению, чем НС с
одним скрытым слоем. Однако в большинстве приложений НС с одним скрытым
слоем оказывается вполне достаточной в качестве универсального аппрокси-
матора непрерывных функций, характерных для этих приложений.
После того, как число скрытых слоев определено, необходимо определить
число нейронов в них. С одпой стороны, слишком малое количество скрытых
нейронов приводит к недостаточной способности сети к обобщению. С
другой же стороны, слишком большое количество скрытых нейронов приводит к
увеличению времени обучения и времени реакции (отклика) обученной сети.
Предложено значительное количество методов, позволяющих определить
число скрытых нейронов. Часть из них основана на том, что скрытые нейроны
добавляются во время процесса обучения, другие методы, наоборот,
используют удаление их в ходе этого процесса.
3.5. Алгоритм обратного распространения ошибки
Память нейросети содержится в значениях ее весов. Во время фазы обучения
НС эти значения непрерывно изменяются обучающим алгоритмом до тех пор,
пока не будет удовлетворен некоторый заранее установленный критерий.
Другими словами, обучение НС является процессом модификации значений весов
таким образом, чтобы отображение, реализуемое НС, в ходе этого процесса
стремилось к желаемому отображению. Обучение НС можно рассматривать
также как оптимизационную задачу, в которой веса выбираются путем
минимизации рассогласования между заданным выходным значением и
действительным выходом нейросети.
Алгоритм обратного распространения ошибки является одним из
эффективных обучающих алгоритмов. По существу он представляет собой миними-
зационный метод градиентного спуска. Рассмотрим алгоритм обратного
распространения ошибки для НС с одним скрытым слоем. Предположим, что
56 Глава 3. Нейронные сети
имеется N исходных примеров'
(Хк,1, хк,2, ■■-, Хк,пш, dk,l,dk,2, ■■-, dk,m), к = l,2,...,N.
Вначале инициализируем вектор весов w случайным образом, зададим
Awjj = 0 для г = 1,2,..., т, j = 0,1,...,р, Aw°j = 0 для г = 1,2, р и
j = 0,1,...,п, а также параметр адаптации А = 1. Теперь будем
осуществлять настройку весов сети с помощью некоторого процесса обучения. Для к-го
примера выходы скрытых нейронов будут определяться выражениями:
xk,i = ° ( Ц wijxkj + w°oU i = 1. • • • ,Р,
а выходы нейросети — выражениями:
р
Ук,% = X! w\jxk,j + wio> i = l,...,m.
3 = 1
Чтобы ускорить процесс обучения, используем улучшенный вариант функции
ошибки
Ек = \1L [А№.' - WM)2 + V- А)ф№.» - Ук,г)] , (3.12)
1=1
где Ф(а;) = \х ■ ln(ch(/3a;))//3, \х и /3 — числовые константы, например, /х = 1,
/3 = 4/3.
В этом случае соотношения для изменения весов могут быть представлены
следующим образом. Для весов связей между скрытым и выходным слоем
wjj,i = 1,..., т, j = 0,1,... ,р имеем:
Ч- <- _QS+*7ЛЧ-= qC7^L + »?Лш« • <3-13)
гДе
С} = X(dk,i - yk,i) + (1 - A) th08(dfcii - ум)), 4,o = 1-
Для весов связей между входным и скрытым слоем w°j,i = l,...,p,j =
0,1,... ,п получим:
Aw% - -а^ + ЧДш°- = aCfxkj + т?А<, (3.14)
г3
гДе
1=1
а и ту — действительные числа между 0 и 1, например, а = 0.05, rj = 0.01.
После одного цикла обучения нейросети на всем наборе примеров
вычисляется полная ошибка сети Е = Y^k=i Ек- Если полученная ошибка Е меньше
некоторого наперед заданного значения Eq, to считается, что процесс обучения
НС успешно завершен. В противном случае задается значение А = ехр(—ц/Е2),
1 Здесь (djt I, dfc.a, • • -, dfc,m) — вектор желаемых (desired) выходов сети, соответствующий
входному вектору (хк,1> хк,2> ■ ■ ■. хк,п)> & = 1, 2,..., TV. — Прим. ред.
3.6. Обучение нейронных сетей с помощью генетических алгоритмов 57
процесс обучения повторяется и так до тех пор, пока не будет выполнено
условие Е < Eq.
Алгоритм 3.1. Алгоритм обратного распространения ошибки
Шаг 1. Инициализировать вектор весов w, задать также \х = 1, (3 = 4/3, а =
0.05, т? = 0.01, Е0 = 0.05, Л = 1 и к = 0.
Шаг 2. fc«- fc+1.
Шаг 3. Подстроить веса w в соответствии с выражениями (3.13) и (3.14).
Шаг 4. Вычислить ошибку Ek согласно (3.12).
Шаг 5. Если к < N, то перейти к шагу 2.
Шаг 6. Вычислить Е = ^2к=1 Е^.
Шаг 7. Если Е > Ео, то к = 0, Л = ехр(—/л/Е2) и перейти к шагу 2.
Шаг 8. Конец.
Несмотря на то, что алгоритм обратного распространения ошибки
достаточно прост и весьма популярен, он обладает целым рядом недостатков. Чтобы
обучить сеть с его помощью, требуются обычно тысячи итераций, кроме того,
характер работы этого алгоритма существенно зависит от выбора начальных
весов.
3.6. Обучение нейронных сетей
с помощью генетических алгоритмов
Обучение НС по существу заключается в нахождении оптимальных весов,
минимизирующих расхождение между заданным и действительным выходом
сети. Генетические алгоритмы (ГА) достаточно хорошо приспособлены для
поиска глобального оптимума в задачах оптимизации. По этой причине ряд авторов
обсуждал проблему формирования значений весов для НС с помощью ГА.
Такое обсуждение содержится, например, в работах (Maniezzo [206]; Kitano [129];
Van Rooij et al [285]).
Алгоритм З.2. Обучение нейронной сети с помощью генетического алгоритма
Шаг 1. Инициализировать случайным образом набор векторов весов w.
Шаг 2. Модифицировать векторы весов w с помощью операций кроссинговера
и мутации.
Шаг 3. Вычислить функцию ошибки Err(w) для всех векторов весов w.
Шаг 4. Вычислить функцию приспособленности для каждого вектора весов в
соответствии с полученным значением функции ошибки.
Шаг 5. Выполнить случайным образом отбор векторов весов.
Шаг 6. Повторить шаги со второго по пятый заданное число раз.
Шаг 7. Выдать лучший весовой вектор для рассматриваемой нейронной сети.
58 Глава 3. Нейронные сети
3.7. Численные примеры
В задачах, рассмотренных ниже, для аппроксимации непрерывных функций
использовались НС, относящиеся к классу многослойных сетей прямого
распространения. В пределах данного раздела все НС имеют один скрытый слой
и структуру, показанную на рис. 3.3.
Пример 3.1. Построим НС прямого распространения, которая
аппроксимирует непрерывную функцию
f(xi,X2,X3,X4J = sinxi + sin £2 +sina;3 + sina:4,
определенную1 на интервале [0,27г]4.
Чтобы аппроксимировать функцию f(x\,X2, Хз, х^) с помощью НС прямого
распространения, было сформировано 3000 пар входных и выходных данных
(обучающих примеров). Затем НС (4 входных нейрона, 10 скрытых нейронов и
1 выходной нейрон) обучалась с помощью алгоритма обратного
распространения ошибки. Суммарная квадратичная ошибка обученной сети составила 0.51,
осредненная ошибка — 0.01.
Пример 3.2. Рассмотрим непрерывную функцию
(Х\ In Х2 + Х2 In Х3^
ж3 In 0:4 + 0:4 In я5
х51пх6 +a;6Ina;iy
определенную на области [1,5]6.
Сформируем для функции f(x) 3000 обучающих примеров. После этого
производится обучение НС прямого распространения (6 входных нейронов, 15
скрытых нейронов и 3 выходных нейрона), которая должна аппроксимировать
данную функцию. После применения алгоритма обратного распространения
ошибки получаем следующий результат: суммарная квадратичная ошибка НС
составляет 6.16, а осредненная ошибка —0.05.
Пример 3.3. Рассмотрим функцию
,/ ч Х\ Х2 Хз Х4
f(Xi,X2,X3,X4) = — h — h — +
1 + Xi 1 + X2 1 + X3 1 + X4'
определенную на области [0,2]4. Пусть пары данных вход-выход для
рассматриваемой функции /(ж) получены случайным выбором ее аргументов как
чисел из сегмента [0,2] с добавлением к значению функции равномерно
распределенного шума,U(—а,а), гдеU(—a,a) представляет собой случайную величину,
равномерно распределенную на интервале [—а, а]. Это значит, что для каждого
входас; выход будет формироваться как у = f(xi,X2,X3,Xi) +U(—a,a).
1 Здесь использована сокращенная запись вида [0,2тг]4 = [0,2я] X [0,2я] х [0,2тг] X [0,2я]. —
Прим. ред.
3.7. Численные примеры 59
Построим 2000 обучающих примеров {{Xi,yi)\i = 1,2,...,2000} с шумом
U(—a, а) для функции /(ж). С помощью алгоритма обратного распространения
ошибки можно получить НС (4 входных нейрона, 6 скрытых нейронов и 1
выходной нейрон), настроенную на решение задачи аппроксимации введенной
выше функции f{x), используя зашумленные данные.
Пусть F(x,w*) является выходом отображения, реализуемого
рассматриваемой НС. Сформируем тестовый набор, состоящий из 1000 элементов,
которые подверглись воздействию шума: {(а^,$^)|г = 1,2,. ..,1000}. Величины
ошибок, полученных на этом наборе, приведены в табл. 3.1.
Таблица 3.1. Суммарные квадратичные ошибки
Шум
W(-0.05,0.05)
W(-0.10,0.10)
W(-0.20,0.20)
W(-0.30,0.30)
W(-0.40,0.40)
ч 1000
|£№,«о-/о»и)12
г i=l
0.362
1.333
4.208
7.306
14.74
1000
г=1
0.389
1.643
6.226
14.01
24.90
Отметим, что ошибки в первом столбце меньше чем во втором. Это
значит, что обученная НС может компенсировать ошибку, вызванную шумом в
обучающих примерах.
Часть II
СТОХАСТИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Глава 4
Случайные величины
Исследования в области теории вероятностей ведутся, начиная с XVII века. К
настоящему времени она нашла много применений в различных областях
науки, техники и организационного управления. Одним из важнейших
инструментов в этих применениях является статистическое моделирование, которое
может быть определено как метод осуществления имитационных экспериментов
с моделями стохастических систем. Оно в значительной степени основывается
на получении значений случайных величин из их вероятностных
распределений.
Статистическое моделирование называют также моделированием методом
Монте-Карло. Данный подход относится к классу приближенных методов и
позволяет получать лишь статистические оценки анализируемых величин, но
не их точные значения. К недостаткам статистического моделирования можно
отнести и то, что это медленный и достаточно дорогой способ решения
проблем. Тем не менее, статистическое моделирование является одним из мощных
средств решения сложных задач в случаях, когда подходящие аналитические
методы отсутствуют.
В этой главе основное внимание будет уделено таким понятиям, как
вероятностное пространство, случайная величина, вероятность случайного события,
усиленный закон больших чисел, построение случайных чисел и
статистическое моделирование.
4.1. Вероятностное пространство и случайные
величины
В данном разделе вводятся определения понятий вероятностного
пространства, случайной величины, математического ожидания и дисперсии.
Определение 4.1. Пусть Q — множество всех исходов случайного
эксперимента. Пусть также имеется некоторый (непустой) класс А
подмножеств (называемых событиями) множества Q, который обладает
следующими свойствами: (a) Q £ А; (Ъ) Если А £ А, тогда Ас € А;
(с) Если Ап € А —счетная последовательность событий, тогда VnAn € А.
Такая система подмножеств А называется а-алгеброй1. Для каждого слу-
1 Здесь сг-алгебра событий (борелевское поле событий) — это некоторый фиксированный
класс А подмножеств (событий) А непустого множества 17 (пространства элементарных со-
4.1. Вероятностное пространство и случайные величины 61
чайного события А существует неотрицательное число Рг{Л}, называемое
его вероятностью, такое, что (i) Рг{0} = 0, Pr{f2} = 1; и (И) Рг{и„Л„} =
5^пРг{Л„} для каждой счетной последовательности попарно несовместных
событий Ап. Тройка (Г2,Л,Рг) называется вероятностным пространством,
а функция Рг именуется вероятностной мерой.
Определение 4.2. Случайная величина на вероятностном пространстве
(П, Л, Рг) представляет собой определенную на О, и принимающую значения
на вещественной прямой 3? функцию £ такую, что для каждого борелевского
множества О из 5R
{w G П | f (w) G О} е Л. (4.1)
Это значит, что множество {и G fi|£(u) G О} является событием.
Определение 4.3. Распределение вероятностей Ф: 5R —» [0,1] случайной
величины £ определяется как , ,
Ф{х) = Рг {w G П | £Н ^ х) , (4.2)
то есть Ф(х) есть вероятность того, что случайная величина £ примет значение
меньшее или равное х.
Определение 4.4. Плотность вероятности (плотность распределения)
<^>.- 3R —> SR случайной величины £ представляет собой кусочно-непрерывную
функцию такую, что для всех х выполняется соотношение:
Ф{х)
Г <Ky)dy. (4.3)
J—оо
Определение 4.5. Говорят, что случайные величины £ь£2, - ■ - ,£п,
определенные на вероятностном пространстве (Я, А, Рг), являются независимыми,
если
п
Рг {w G П | &(w) e Oi,t = 1,2,. ..,n} = JJPr {w e fi | &(w) G Ог] (4.4)
г=1
для любых борелевских множеств Ог из 5R, г = 1,2,..., п.
Определение 4.6. Пусть (П^,Л^,Рг^), г — 1,2, ...,п, —вероятностные
пространства и Q — f!i х Яг х •■■ х £ln, А = Л] хЛг х ... х Ап, Рг =
Pri х Ргг х ... х Рг„. Тогда (П, Л,Рг) называется произведением
вероятностных пространств.
Определение 4.7. Пусть /: 3?" —» Э? — непрерывная функция, а & —
случайные величины, определенные на вероятностных пространствах (0^,Лг,Рг^),
г = 1,2,.,., п, соответственно. Тогда £ = /(£i, £2, • • ■, £п) — случайная величи-
бытий), образующий борелевское поле множеств. Борелевское поле множеств, порожденное
системой множеств Л, представляет собой наименьшую систему множеств, содержащую Л
и замкнутую относительно операций счетного объединения ип-Ап и дополнения Ас (см.,
напр., [20] в списке дополнительной литературы). — Прим. ред.
62 Глава 4. Случайные величины
на, заданная на произведении вероятностных пространств (0,Л,Рг) и
определенная как
f(wi,u>2, ...,шп) = /(6(wi),6(w2), ■ • • ,?пК)) (4.5)
для всех (wi,W2, • •. ,шп) £ Q.
Определение 4.8. Совместное распределение вероятностей Ф: 3?" —» [0,1]
случайного вектора (£i,f2i • • • , £п)> заданного на вероятностном
пространстве (П,Л,Рг), определяется как:
Ф(х1,х2,...,хп) = Pr{w е П | fi(w) ^zi.&M <z2,...,fnM ^ z„}
Совместная плотность распределения вероятностей ф случайного вектора
(£ь£2, • • • i^n) является кусочно-непрерывной функцией такой, что для всех
(х\,Х2,...,хп) € 5R" выполняется соотношение
/XI ГХ2 рХп
I ... I Ф{У1,У2, ■--, 2/n)dyidj/2 • ■ ■ dy„.
-оо J—оо J—oo
4.2. Оператор математического ожидания
Определение 4.9. Пусть £ — случайная величина, заданная на
вероятностном пространстве (Г2, А, Рг). Тогда математическое ожидание для £
определяется как
/.+00 />0
£[£] = / Pr{f ^ r}dr - / Pr{£ ^ r}dr.
JO J-oo
(4.6)
Заметим, что термины «ожидаемое значение», «математическое ожидание»
и «среднее значение» можно считать синонимами.
Теорема 4.1. Математическое ожидание случайной величины £ с
плотностью распределения вероятностей ф(х) есть
/+оо
хф(х)дх. (4.7)
-ОО
Доказательство: Из определения 4.9 следует, что
/•+оо гО
Е[(\ = / Pr{£ ^ r}dr - / Pr{£ ^ r}dr =
JO J—oo
= \ ф{х)йх\ dr- / / ф(х)6х
Jo Ur J J—oo U-oo
p+oo Г px "I pO г /-0
= / / 0(a;)dr da;- / / 0(a:)d
dr =
da; =
/•+00 pO
= I хф(х)6х + I хф(х)йх =
Jo J-00
/+00
хф(х)йх.
-оо
Теорема доказана.
4.3. Оптимистические и пессимистические значения 63
Теорема 4.2. Пусть £ и Т] — случайные величины с конечным значением
математического ожидания. Тогда для любых чисел а и b имеем, что
Е[а£ + Ьп] = аЕ[£] + bE[rj\. (4.8)
Доказательство: Для доказательства этой теоремы достаточно проверить,
что Е[£ + rj\ = Е[£\ + E[q] и Е[а£\ = аЕ[£] для любого действительного числа а.
Для непрерывного случая пусть ф и tp представляют собой плотности
вероятности случайных величин £ и Т], соответственно. Тогда плотность вероятности
суммы f + т] есть
ip(z) = I ф(х)(р(г — x)dx.
J—оо
В этом случае получаем, что
/оо
zip{z)dz =
-ОО
/оо />оо
z / (p(x)ip(z — x)dxdz =
-оо J—оо
/оо />оо
/ (^ + y)<p{x)tp(y)dxdy =
-оо J—оо
/ОО /-ОО /'ОО /»00
/ хф{х)(р{у)йхйу + / j/0(a;)v?(y)da;dy =
-оо J — оо J — оо J—оо
/ОО /-ОО
х0(ж)(1з; + / ytp{y)dy =
-оо >/-оо
Кроме того, плотность вероятности случайной величины а£ есть 0(ж/а)/|а|.
Следовательно,
/оо гоо
rr^(a;/a)dx = a / уфШУ = аЕ[£].
■оо \Щ J-oo
Доказательство для дискретного распределения аналогично. Необходимо
подчеркнуть, что математическое ожидание суммы нескольких случайных
величин должно всегда равняться сумме их математических ожиданий, при этом
неважно, являются ли случайные величины независимыми или нет.
Определение 4.10. Дисперсия случайной величины £ определяется как
V[t}=EKZ-E{W2}.
Определение 4.11. Математическое ожидание случайного вектора £ =
(&.& &,) есть вектор Е[£] = (ВД,ВД,.. .,£[£„]).
4.3. Оптимистические и пессимистические значения
Пусть £— случайная величина. Числовой характеристикой случайной
величины может служить ее математическое ожидание. Альтернативный подход
64 Глава 4. Случайные величины
основан на использовании а-оптимистических1 и а-пессимистических оценок
случайной величины.
Определение 4.12. Пусть £ — случайная величина и а € (0,1). Тогда
W") = SUP ir I Pr {С > г) > «} (4-9)
называется а-оптимистическим значением для величины £.
Это означает, что доля исходов, в которых случайная величина £ достигнет
снизу ее а-оптимистического значения £sup(°0> составляет по крайней мере а.
Отметим, что вполне возможен случай Pr{£ ^ £sup(Q)} > а. Пусть, например,
£ есть случайная величина, которая имеет распределение Бернулли В£(0.5).
Если а = 0.8, тогда fsup(0.8) = 0, что приводит к Pr{£ ^ £sup(0-8)} = 1 > 0.8.
Определение 4.13. Пусть £ —случайная переменная иа£ (0,1]. Тогда
finf (a) = inf {г | Рг {£ $ г} > а} (4.10)
называется а-пессимистическим значением для величины £.
Это означает, что доля исходов, в которых случайная величина £ будет
меньше, чем а-пессимистическое значение £Sup(c*)i составляет не менее а.
Ф
6nf(a) fsup(a)
Рис. 4.1. а-пессимистическое значение и а-оптимистическое значение
Теорема 4.3. Пусть £inf(oO и £sup(Q) —а-пессимистическое и
а-оптимистическое значения случайной величины £, соответственно. Тогда: (г)
£inf {а) — возрастающая функция от a; (ii) ^sup(Q) ~~ убывающая функция от
а; (ггг) если а > 0.5, тогда £inf(oO ^ ^sup(q); (iv) если а ^ 0.5, тогда
finf (a) ^ fSUp(a)-
1 Оптимистическое значение случайной величины в теории вероятностей носит название
«процентиль» (или «перцентиль»). Здесь мы будем использовать не этот термин, а
термине «оптимистическое значение» и «пессимистическое значение» по той причине, что они
более приняты в теории оптимизации (например, оптимистическое или пессимистическое
отклонение в целевом программировании с вероятностными ограничениями).
4.4. Ранжирование случайных величин 65
Доказательство: Случаи (i) и (ii) очевидны. Случай (ш): Если £jnf(a) <
6>uP("), тогда
1 > Pr{£ ^ 6„f (a)} + Pr{£ > 6ир(а)} >а + а>1.
Полученное противоречие доказывает правильность неравенства £inf(o:) ^
бшр(а)- Случай (iv): Предположим, что £т{(а) > 6uP(a)- Пусть f(a) =
(£inf(a) + 6up(a))/2. Из определения £inf(а) следует, что Pr{f ^ £(а)} < а.
Аналогично, из определения £SuP(oO следует, что Pr{£ ^ £(<*)} < а. Тогда
1 ^ Pr{£ ^ 1(a)} + Pr{£ > 1(a)} < а + а ^ 1.
Полученное противоречие доказывает правильность неравенства £inf(oO ^
^SUp(a). Теорема доказана.
Теорема 4.4. Пусть £ и г\ — случайные величины. Тогда для любого a € (0,1]
имеем
(a) если А ^ О, тогда (A£)sup(a) = Afsup(a) и (A£)inf(a) = A£inf(a);
(b) если А < 0, тогда (A£)sup(aO = Afinf(а) и (A£)inf(a) = Afsup(a).
Доказательство: (а) Для А = 0 истинность утверждения очевидна. Если
А > 0, то
(АОвчрИ = SUP(r I Рг{^ > Г> > "} =
= A sup {г/А | Рг {£ 5г г/А} ^ а} =
= A£sup(a).
Подобным же образом доказывается, что (A£)jnf (a) = A£,nf (a).
(Ь) Для того, чтобы доказать эту часть теоремы, достаточно проверить,
что (-f)sup(a) = -£inf(a:) и (-f)inf(a:) = _&шР(а)- В самом деле, для любого
a G (0,1] имеем
(-0«up(o) = sup{r | Рг{-£ ^ г} > а} =
= - inf{-r | Рг{£ ^ -г} ^ а} =
= -finf(a).
Аналогичным образом можно доказать, что (—£)inf(c*) = — £sup(Q)- Теорема
доказана.
4.4. Ранжирование случайных величин
Пусть £ и rj — две случайные величины, определенные на вероятностном
пространстве (П,А, Рг). Существует много способов их ранжирования
(упорядочения). Например, можно говорить, что £ ^ г\ тогда и только тогда, когда
£(и>) ^ т](и>) для всех w£il. Другими словами £ ^ т] тогда и только тогда,
когда Ф(х) ^ Ф(ж) для всех х G Э?, где Ф и Ф — функции распределения
величин £ и 77, соответственно. Однако для практического применения этот способ
явно не подходит. Вместо него можно предложить следующие методы
упорядочения.
66 Глава 4. Случайные величины
(i) Будем говорить, что £ > т] тогда и только тогда, когда Е[£\ > E\rj\, где Е —
оператор математического ожидания случайной величины
(ii) Будем говорить, что £ > т] тогда и только тогда, когда для некоторого
заданного значения доверительного уровня a € (0,1] имеет место
соотношение £sup(a) > %up(a)> гДе £suP(a) и Tjsuv{a) представляют собой
а-оптимистические значения величин £ и tj, соответственно.
(iii) Будем говорить, что £ > т\ тогда и только тогда, когда для некоторого
заданного значения доверительного уровня a € (0,1] имеет место
соотношение £inf(oO > Vint{a)t гДе £inf(oO и Wmt(a) представляют собой а-
пессимистические значения величин £ и tj, соответственно.
(iv) Будем говорить, что £ > г\ тогда и только тогда, когда Рг {£ ^ г} >
Рг {77 ^ г} для некоторого наперед заданного значения г.
4.5. Закон больших чисел
В этой книге часто будет использоваться усиленный закон больших чисел.
Введем понятие сходимости почти наверное, которое позволяет сформулировать
усиленный закон больших чисел. Интересующийся читатель сможет найти
более детальное обсуждение этих вопросов в соответствующей литературе по
теории вероятностей.
Определение 4.14. Предположим, что {£п} —последовательность
случайных величин. Говорят, что последовательность {£„} сходится п. н. (почти
наверное) к постоянной Ь, если
Рг { lim £п = б) = 1. (4.11)
Теорема 4.5. (Усиленный закон больших чисел) Пусть {£п}
—последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с
общим математическим ожиданием, равным /х. Тогда
ft+fc + ...+б, (412)
п
сходится п.н. при п —* оо.
4.6. Получение случайных чисел
Основа статистического моделирования — получение случайных чисел.
Пусть х — случайная величина с кумулятивным распределением
вероятностей Ф(-). Поскольку Ф(-) —неубывающая функция, на [0,1] определена
обратная функция Ф_1(-). Предположим, что и —случайная величина, равномерно
распределенная на интервале [0,1]. Тогда имеем, что
Рг {Ф"» ^ у} = Рг {и ^ Ф(у)} = Ф(у), (4.13)
4.6. Получение случайных чисел 67
откуда следует, что величина
х = ф-\и) (4.14)
имеет функцию распределения Ф(-). Чтобы получить случайную величину х с
распределением Ф(-), можно сформировать равномерно распределенную
случайную величину и, заданную на интервале [0,1], а затем присвоить величине
х значение Ф~г(и). Такой процесс носит название «метод обратного
преобразования» 1.
Однако для основных известных распределений вместо метода
обратного преобразования можно воспользоваться процессами прямого
формирования соответствующих случайных чисел. В этом разделе дается
сводка некоторых вычислительных методов порождения случайных чисел для
ряда распределений, таких как: равномерное распределение,
распределение Бернулли, биномиальное распределение, распределение Коши,
эмпирическое распределение, экспоненциальное распределение, распределение Эрлан-
га, гамма-распределение, бета-распределение, распределение Вейбулла,
геометрическое распределение, отрицательное биномиальное распределение,
логистическое распределение, нормальное распределение, х2-распределение, F—
распределение, i-распределение Стьюдента, логнормальное распределение,
многомерное нормальное распределение, распределение Пуассона,
треугольное распределение и равномерное распределение в сложной области.
Древовидная структура взаимосвязей между процессами порождения этих
случайных чисел представлена на рис. 4.2. Более обстоятельное изложение
данной темы заинтересованный читатель может найти в соответствующей
литературе (Fishman [68]; Law, Kelton [149]; Bratley et al. [27]; Rubinstein [251]
и т. д.)
Равномерное распределение: U{a, b)
Случайная величина х имеет равномерное распределение, если плотность
вероятности для нее определяется выражением:
1
а $ х $ о,
/(а;)={ 6-а' - - ' (4.15)
{ О, х$[а,Ь].
Это распределение обозначается как U(a, Ь), где а и 6 —заданные
действительные числа, причем а < Ь. Равномерному распределению следует уделить особое
внимание, поскольку оно является основой для порождения других случайных
чисел. Фактически такое порождение осуществляется с помощью цифрового
компьютера путем формирования некоторой детерминированной
последовательности, называемой псевдослучайными числами. Эта последовательность
рассматривается в качестве набора случайных чисел, поскольку числа в ней
1В отечественной литературе его принято именовать «метод обратной функции». -
Прим. ред.
68 Глава 4. Случайные величины
Равном.
—>
—>
—>
—>
—>
»|
>
>-
>■
>■
Бернулли
Коши
Эмпирич.
Экспоненц.
Геометрич.
Логистич.
Нормальное
Пуассона
Треугольное
'
1—*■
—>
1—>■
—>
Биномиальное
Эрланга
Гамма
Вейбулла
Отриц. бином.
Хи-квадрат
Логнормальное
Многом, норм.
Бета
1—=»■
'
F
t-Стъюд.
Равном, распределение в сложной обл.
Рис. 4.2. Взаимосвязи между процессами порождения случайных чисел
равномерно распределены и стохастически независимы. Доказательство этого
факта представляет самостоятельный интерес и заинтересованный читатель
сможет найти его в соответствующей литературе.
Наиболее широко используемым методом порождения равномерно
распределенных случайных чисел является метод сравнений (метод вычетов),
который основан на соотношении сравнения по модулю
Xi+i = axi + с (mod m), i = 1,2,... ,n — 1, (4.16)
где множитель а, слагаемое с и модуль т — неотрицательные целые числа, а
п — длина последовательности псевдослучайных чисел. Тогда любое начальное
значение х\ (называемое также порождающим значением, причем 0 ^ х\ < т)
дает последовательность {х\,х2, ■ ■■, хп}, члены которой вычисляются по
формуле (4.16). Используя эту последовательность, равномерно распределенные
числа на интервале [0,1] могут быть получены с помощью соотношения вида
1^ = -^-, г = 1,2,...,п. (4.17)
т— 1
Аналогичным образом, равномерно распределенные числа на интервале [а, Ь]
можно получить из соотношения:
X'
щ = а-\ г—{Ъ — а), г = 1,2,..., п. (4.18)
т — 1
Очевидно, что последовательность псевдослучайных чисел, получаемая с
помощью метода сравнения, полностью определяется числами х\, а, с и т.
4.6. Получение случайных чисел 69
Чтобы получить статистически удовлетворительный результат, следует
тщательно подойти к выбору значений этих параметров. Например, можно задать
такие их значения: а = 27 + 1, с = 1ит = 235. Дело облегчается тем, что для
любого типа компьютеров в библиотеке системы программирования С имеется
процедура генерации псевдослучайных чисел, определение которой выглядит
следующим образом:
#include (stdlib.h)
int rand(void),
С помощью этой процедуры порождаются псевдослучайные целые числа
между 0 и RAND_MAX, где RAND_MAX определяется в файле stdlib.h как
215 — 1. С использованием этих чисел равномерно распределенные случайные
числа на интервале [а, 6] могут быть получены с помощью следующего
алгоритма:
Алгоритм 4.1. Равномерное распределение
Шаг 1. и = rand().
Шаг 2. и *- u/RAND_MAX.
Шаг 3. Вычислить и выдать значение (а + и(Ъ — а)).
Распределение Бернулли: В£(р)
Случайная величина х имеет распределение Бернулли с параметром р (0 <
р < 1), если вероятностную меру (распределение вероятностей) для нее можно
определить следующим образом:
f р, если х = 1, ,
fix) = ;' ' (4.19)
{ 1 —р, если х = 0.
Будем обозначать это распределение как В£(р).
Алгоритм 4.2. Распределение Бернулли
Шаг 1. Получить fi из И(0,1).
Шаг 2. Если ^ ^ р, тогда х — 1; иначе х = 0.
Шаг 3. Выдать найденное значение х.
Биномиальное распределение: ВМ(п,р)
Случайная величина х имеет биномиальное распределение, если
вероятностную меру для нее можно определить как
п
f{x)= , _' .^(l-p)"-*, z = 0,l,2,...,n. (4.20)
Будем обозначать такое распределение через BN(n,p), где п — положительное
целое число, а р — число, заключенное между 0 и 1. Случайная величина с
70 Глава 4. Случайные величины
биномиальным распределением представляет собой число успешных исходов в
п независимых испытаниях, каждое из которых имеет вероятность успешного
исхода, равную р.
Алгоритм 4.3. Биномиальное распределение
Шаг 1. Получить yi, у2,..., уп из В£(р).
Шаг 2. Вычислить и выдать значение {yi +У2 + ■ ■ ■ + Уп)-
Распределение Коши: С(а, /3)
Случайная величина х имеет распределение Коши, если плотность
вероятности для нее можно определить в виде:
Будем обозначать такое распределение как С(а,{3), где а выбирается
произвольно, а /3 > 0. Случайная величина с распределением Коши может быть
получена следующим образом.
Алгоритм 4.4. Распределение Коши
Шаг 1. Получить и из И{0,1).
Шаг 2. Вычислить и выдать значение (а — /3/tg(7ra)).
Эмпирическое распределение
Пусть а\,02,... ,ап — результаты наблюдений над п случайными величинами,
причем а\ ^ 02 ^ ... ^ ап. Под эмпирическим распределением
(распределением выборки) будем понимать функцию
F{x) = {
0, если х < а\,
+ 7 ТТ7 О если 1 ^ а ^ „ 1 t4"22)
п-1 {п- l)(ai+i -сц)' l^i^n-1
1, если ап ^ х.
Случайная величина с эмпирическим распределением F(x) может быть
получена следующим образом.
Алгоритм 4.5. Эмпирическое распределение
Шаг 1. Получить \х из 14(0,1).
Шаг 2. Пусть т — целая часть числа (п — 1)^ + 1.
Шаг 3. Вычислить и выдать значение ат + [(п — 1)^ — т + l](om+i — om).
4.6. Получение случайных чисел 71
Экспоненциальное распределение: SXV{0)
Случайная величина х имеет экспоненциальное распределение со средним
значением В (/3 > 0), если плотность вероятности для нее определена как
{-е~х/е, если 0 < х < со,
В ^ (4 23)
0, в других случаях.
Это распределение обозначается £Л"Р(/3), для него среднее значение,
дисперсия и мода случайной величины х равны В, В2 и 0, соответственно.
Экспоненциально распределенная случайная величина может быть получена следующим
образом.
Алгоритм 4.6. Экспоненциальное распределение
Шаг 1. Получить и из U(0,1).
Шаг 2. Вычислить и выдать значение [—/31n(u)].
Распределение Эрланга: £7Z(k, 0)
Случайная величина х имеет распределение Эрланга с к степенями свободы и
средним значением /3, если она представляет собой сумму к экспоненциально
распределенных случайных величин, каждая из которых имеет среднее
значение В/к. Распределение Эрланга будем обозначать через £!Z(k,B).
~\
Алгоритм 4.7. Распределение Эрланга
Шаг 1. Получить yi, J/2, • • -, У* из £XV(P/k).
Шаг 2. Вычислить и выдать найденное значение (у\ +у2 + ■ ■ ■ + Ук)-
Гамма-распределение: Q(ol,0)
Случайная величина х имеет гамма-распределение, если ее плотность
вероятности определяется как
№
хсх-1е-х/0
—„ ^. .—, если х ^ 0,
РаТ{а) ' (4.24)
0 в других случаях.
Такое распределение обозначается Q{pt, В), где а, /3 > 0, при этом среднее
значение и дисперсия равны а/3 и а/32, соответственно. Отметим, что (7(1,/3)
является также и распределением £XV{B). Учитывая, что а — целое число (т. е.
а = 2,3,4,...), можно получить гамма-распределение следующим образом.
72 Глава 4. Случайные величины
Алгоритм 4.8. Гамма-распределение
Шаг 1. х = 0.
Шаг 2. Получить v из £XV(l).
Шаг 3. х <— х + v.
Шаг 4. а «— а — 1.
Шаг 5. Повторять шаги со второго по четвертый до удовлетворения условия
а=1.
Шаг 6. Вычислить и выдать значение 0х.
Бета-распределение: В(а, /3)
Случайная величина х имеет бета-распределение, если плотность вероятностей
для нее может быть записана в виде:
f{x) = rt£(P)af'~1{1~x)l>~1' °^x^1- (4'25)
Это распределение обозначается как В(а, /3), где а, (3 > 0. Когда а и (3 — целые
числа, процесс получения случайных величин с бета-распределением может
быть представлен следующим образом.
Алгоритм 4.9. Бета-распределение
Шаг 1. Получить yi из G(,a, 1).
Шаг 2. Получить уг из G(/3,1).
Шаг 3. Вычислить и выдать значение [yi/(yi + уг)]-
Распределение Вейбулла: W(a,/3)
В статистической теории надежности часто применяются случайные величины
х с распределением более общим, чем экспоненциальное, а именно, с
распределением Вейбулла, для которого плотность вероятности случайной величины
определяется как
. ^-ха-1е-(-х,0)а, если0<х<оо,
f{x) = { Pa (4.26)
0 в других случаях.
Распределение Вейбулла обозначается W(a, (3), где а, (3 > 0. Величины с таким
распределением можно получить следующим образом.
Алгоритм 4.10. Распределение Вейбулла
Шаг 1. Получить v из £XV(1).
Шаг 2. Вычислить и выдать значение /Зи1 .
4.6. Получение случайных чисел 73
Геометрическое распределение: QS{p)
Случайная величина х имеет геометрическое распределение с параметром р
(О < р < 1), если вероятностная мера для нее определяется как
{р(1 — р)х, если х = 0,1,2,...
0 в других случаях.
Такое распределение обозначается Q£{jp).
Алгоритм 4.11. Геометрическое распределение
Шаг 1. Получить г из 14(0,1).
Шаг 2. Вычислить и выдать значение целой части от [1пг/1п(1 — р)].
Отрицательное биномиальное распределение: ЛГВ(к, р)
Случайная величина х имеет отрицательное биномиальное распределение с
параметрами к и р (к = 1,2,... и 0 < р < 1), если она является суммой к
независимых случайных величин с геометрическим распределением, каждая
из которых имеет параметр р. Такое распределение обозначается как NB(k,p).
Алгоритм 4.12. Отрицательное биномиальное распределение
Шаг 1. Получить у,, i = 1,2,..., к из Q£{p).
Шаг 2. Вычислить и выдать значение (yi + У2 + ■ ■ ■ + Ук)-
Логистическое распределение: £(а,Ь)
Случайная величина х имеет логистическое распределение, если плотность
вероятности для нее определяется как
= ехр[-(*-а)/Ь]
6{1 + ехр[-(х-а)/Ь]}2
При этом среднее значение, дисперсия и мода равны а, (Ьтг)2/3 и а,
соответственно. Логистическое распределение обозначается как С(а, Ь).
Алгоритм 4.13. Логистическое распределение
Шаг 1. Получить \х из 14(0,1).
Шаг 2. Вычислить и выдать значение (о — Ып (1/^ — 1)).
74 Глава 4. Случайные величины
Нормальное распределение: М{ц, о2)
Случайная величина х имеет нормальное распределение, если ее плотность
вероятности определяется следующим образом:
f№ = —7s= ехР
(x-tf
2а2
-со < х < +оо. (4.29)
Нормальное распределение обозначается как ЛГ(ц, а2), где ц — математическое
ожидание, а а2 —дисперсия.
Алгоритм 4.14. Нормальное распределение
Шаг 1. Получить /ц и /<2 ш W(0,1).
Шаг 2. у = [-21n(m)]2 sin(27r№).
Шаг 3. Вычислить и выдать значение (fi + cry).
Распределение хи-квадрат: Х2(к)
Пусть z\,Z2,..-,Zk—нормально распределенные случайные величины из
Л/"(0,1). Тогда величина
к
Z/ = X>2 (4-30)
имеет распределение хи-квадрат с к степенями свободы и обозначается Х2(к).
Плотность вероятности для нее
fix) *(*/2Ь1е*Р[-*/21 х>о (431)
При этом среднее значение и дисперсия равны к и 2к, соответственно.
Процесс получения случайной величины с распределением хи-квадрат может быть
представлен следующим образом.
Алгоритм 4.15. Распределение хи-квадрат
Шаг 1. Получить Zi, i = 1,2,..., к, из Л/"(0,1).
Шаг 2. Вычислить и выдать значение (z? + z\ + ... 4- zf.).
F-распределение: Т{к\,к2)
Пусть случайная величина yi определена через распределение хи-квадрат
X2(ki), а величина уг — через распределение Л^/сг). Тогда величина
*=*1Г (4'32)
У2/«2
4.6. Получение случайных чисел 75
имеет F-распределение с к\ и &2 степенями свободы. Такое распределение
обозначается как Т(к\,к2)-
Алгоритм 4.16. F-распределение
Шаг 1. Получить у\ из Х2(к\).
Шаг 2. Получить уг из Д,2(/сг).
Шаг 3. Вычислить и выдать найденное значение ((2/i/&i)/(2/2/fe))-
^-распределение Стьюдента: S[k)
Пусть z — нормально распределенная случайная величина из N(0,1), в, у —
случайная величина с хи-квадрат распределением Х2(к). Тогда случайная
величина
х = -±== (4 33)
у/У/к
имеет f-распределение Стьюдента с к степенями свободы. Это распределение
обозначается как S(k).
Алгоритм 4.17. ^-распределение Стьюдента
Шаг 1. Получить z из Л/"(0,1).
Шаг 2. Получить у из Х2(к).
Шаг 3. Вычислить и выдать значение (z/y/y/k).
Логнормальное распределение: LOQN(p,, a2)
Пусть х — нормально распределенная случайная величина из Af(fj,,cr2). Тогда
случайная величина у = ехр[а:] имеет логарифмически нормальное
(логнормальное) распределение с плотностью вероятности
__ (Ку)-^)2"1
f(y) = { у/ъНоу
exp
2a2
если 0 ^ у < со,
(4.34)
О в других случаях.
Такое распределение обозначается как COQM(^i,u2), при этом среднее
значение и дисперсия равны ехр[/х+с2/2] и (ехр(с2) — 1)ехр[2/х+<72], соответственно.
Случайная величина с логнормальным распределением может быть получена
следующим образом.
Алгоритм 4.18. Логнормальное распределение
Шаг 1. Получить х из J\f(u,a2).
Шаг 2. Вычислить и выдать значение ехр[х].
76 Глава 4. Случайные величины
Многомерное нормальное распределение: 7V(/x, E)
n-мерный случайный вектор х = (х\,Х2,- ■■,хп) имеет многомерное
нормальное распределение, если его плотность вероятности определяется как
/(x)=(*r)i1|E|*eXP
-±{x-tfir\x-ii.)
(4.35)
где Е — действительная положительно определенная симметрическая матрица.
Заметим, что в этом случае существует обратная матрица Е-1, которая также
является положительно определенной.
Алгоритм 4.19. Многомерное нормальное распределение
Шаг 1. Получить верхнюю треугольную матрицу С таким образом, чтобы Е =
СС'.
Шаг 2. Получить /л, р.2,..., fin из Л/"(0,1).
Шаг 3. Хк = Цк + 53*=i скгЩ, (к = 1,2,... ,п).
Шаг 4. Вычислить и выдать значение вектора (xi, хг,..., х„).
Треугольное распределение: Т(а, b, m)
Случайная величина х имеет треугольное распределение, если плотность
вероятности для нее определяется как
2(х - а)
/(*) = {
(Ь — а)(гп — а)
, если а < х < т,
2(6 -х) ^, (4.36)
— — -, если т < х ^ Ь,
[о — а)(о — тп)
О в других случаях.
Это распределение обозначается как Т(а, Ь, тп), где а <тп<Ь.
Алгоритм 4.20. Треугольное распределение
Шаг 1. с = (гп — а)/(Ь — а).
Шаг 2. Получить и из ЩО, 1).
Шаг 3. Если и < с тогда у = у/сй\ иначе у = 1 — ^/(1 — с)(1 — и).
Шаг 4. Вычислить и выдать значение (о + (Ь — а)у).
Распределение Пуассона: 'Р(А)
Случайная величина х имеет распределение Пуассона со средним значением
Л(Л > 0), если ее вероятностная мера имеет вид
/(*)=< ЦТ* еспиЯ5 = °.1.2.- (437)
0 в других случаях.
4.7. Статистическое моделирование 77
Это распределение обозначается через V(X), причем и среднее значение, и
дисперсия здесь будут равны Л.
Алгоритм 4.21. Распределение Пуассона
Шаг 1. х = 0.
Шаг 2. Ь = 1.
Шаг 3. Получить и из Ъ1(0,1).
Шаг 4. Ь <— bu.
Шаг 5. х <— х + 1.
Шаг 6. Повторять шаги с третьего по пятый до удовлетворения условия
Ь < е~х.
Шаг 7. Вычислить и выдать значение (х — 1).
Равномерное распределение в области,
имеющей сложную геометрию
Представляет интерес получение вектора, равномерно распределенного в
области S, имеющей сложную геометрию в 5R". Чтобы выполнить эту процедуру,
определим вначале простую область X, которая содержит в себе S. Для этой
цели, например, хорошо подходит n-мерный гиперкуб
X = {(xi,X2,...,xn) G 5R™ | at ^xt < bi, i = 1,2,...,n} ,
поскольку с помощью компьютера легко получать значения для вектора,
равномерно распределенного в гиперкубе X. В самом деле, если Xi — равномерно
распределенные случайные величины, заданные на [а»,6^], i = 1,2,...,п,
соответственно, тогда {х\,Х2, ■ ■ ■ ,хп) — равномерно распределенный вектор на
гиперкубе X. Полученный таким образом вектор обрабатывается с помощью
метода включения-исключения, который объявляет данный вектор
допустимым или недопустимым в зависимости от того, находится ли он внутри или
вне области S.
Алгоритм 4.22. Равномерно распределенный вектор
Шаг 1. Задать гиперкуб X, содержащий S.
Шаг 2. Получить Xi из U(ai,bi), г = 1,2,...,п, соответственно.
Шаг 3. Сформировать х = (xi,X2,... ,хп).
Шаг 4. Повторять второй и третий шаги до удовлетворения условия
xeS.
Шаг 5. Выдать найденное значение х.
4.7. Статистическое моделирование
Статистическое моделирование широко применяется в различных областях и
будет также часто использоваться в этой книге. В данном разделе на
численных примерах показано, что статистическое моделирование хорошо работает в
78 Глава 4. Случайные величины
случае стохастических систем. Будут также проанализированы причины такой
работоспособности.
Пример 4.1. Пусть / — интегрируемая функция и Ф —функция
распределения случайного вектора £. Нашей задачей является вычисление
стохастического интеграла
L = [ Дх)с1Ф(х). (4.38)
Предположим, что {£„} — последовательность независимых, одинаково
распределенных случайных векторов с распределением вероятностей Ф. Для
каждого п имеем
Е№п)\ = 1/{х)йФ{х). (4.39)
Из усиленного закона больших чисел следует, что
£ ДО
N
[ Дх)с1Ф(х), п.н. (4.40)
при N —» со. Таким образом, если получить N случайных векторов £„,
п = 1,2,..., N, отвечающих функции распределения Ф, то для
стохастического интеграла при достаточно большом N можно дать следующую оценку:
N
Алгоритм 4.23. Статистическое моделирование
Шаг 1. Присвоить L = 0.
Шаг 2. Получить и в соответствии с функцией распределения Ф.
Шаг 3. L — L + f(u).
Шаг 4. Повторить второй и третий шаги N раз.
Шаг 5. Вычислить и выдать результат: L <— L/N.
В отличие от классических итерационных методов вычисления кратных
интегралов, число пробных точек, требуемых для получения заданной степени
точности, в статистическом моделировании не зависит от размерности задачи.
Вследствие этого, рассматриваемые методы представляются весьма
привлекательными для решения многомерных задач. Пусть £i — нормально
распределенная случайная величина Л/"(2,1), £2 — экспоненциально распределенная
случайная величина £XV(2>) и £з —равномерно распределенная случайная
величина U(0,2). Проведение расчетов с помощью статистического
моделирования при 2000 итераций дает такой результат: £[\/£i + £l + £з] = 4-20.
Пример 4.2. Пусть £ —случайный вектор, a gt — вещественнозначная
непрерывная функция, г = 1,2,...,т. Тогда <?*(£) —также случайные величины при
i = 1,2,..., m. Чтобы получить вероятность вида
£ = РгЫ£К0, г = 1,2,...,т}, (4.41)
4.7. Статистическое моделирование 79
выполним N опытов, получая в каждом из них случайный вектор £„, п =
1,2,..., N. Пусть N' обозначает количество случаев, в которых
удовлетворяются условия gi(^Ti) ^ 0, г = 1,2,..., m; п = 1,2,..., N (т. е. N' — это число
случайных векторов, удовлетворяющих заданной системе неравенств).
Зададим
если gi(£„) < 0, г = 1,2,..., т,
в других случаях,
"«"> = { о
тогда E[h(£n)] = L для всех п, a N' = J2n=i ^(£п)- Из усиленного закона
больших чисел следует, что
сходится п.н. к L. Таким образом, при достаточно большом N вероятность L
может быть оценена как N'/N.
Алгоритм 4.24. Статистическое моделирование
Шаг 1. Присвоить N' = 0.
Шаг 2. Получить и в соответствии с функцией распределения Ф.
Шаг 3. Если gi(u) ^ 0 для г = 1,2,..., т, тогда N'++.
Шаг 4. Повторить второй и третий шаги N раз.
Шаг 5. Вычислить и выдать результат: L = N'/N.
Вычислим методом статистического моделирования следующую
вероятность:
L = Pr{£i+$£3, & + Й<9},
где £i — равномерно распределенная случайная величина 14(2,5),
^-экспоненциально распределенная случайная величина £XV(2>), £3 и £4 — нормально
распределенные случайные величины ^(3,2) и Л/"(1,1), соответственно.
Известное значение вероятности для данного примера составляет L = 0.85.
Проведение вычислений методом статистического моделирования при 1000
итераций показывает, что относительная ошибка составляет менее 1%.
Пример 4.3. Предположим, что £ — случайный вектор с распределением
вероятностей Ф, а д — вещественнозначная непрерывная функция. Задача
состоит в определении максимального значения g такого, что
Pr{5«)^fl}>", (4-42)
где а — заранее заданный доверительный уровень (0 < а < 1). Если £ —
непрерывный случайный вектор, максимальное значение д достигается для
равенства
Pr{fl(0£fl} = a. (4.43)
80 Глава 4. Случайные величины
Пусть {£х, £2) ■ • ■ 1 £n} — последовательность случайных векторов, полученных
для функции распределения Ф. Зададим
и<е ^ J *' если 9(£п) > 9,
{ 0 в других случаях,
для п = 1,2,...,N. Это выражение дает последовательность случайных
величин, причем E[h(£n)] = а для всех п таких, что д удовлетворяет условию
(4.43). Используя усиленный закон больших чисел, получим
Е л«„)
71=1
N
п. н.
при N —> оо. Заметим, что сумма Yln=i M£n) представляет собой в точности
число £п случайных векторов, удовлетворяющих неравенству д{£п) ^ д для
п = 1,2,..., N. Тогда в качестве значения д можно взять N'-й наибольший
элемент последовательности {#(£i)i5(£2)i ■ • ■ >5(£лг)}> гле W —целая часть числа
aN.
Алгоритм 4.25. Статистическое моделирование
Шаг 1. Задать N' как целую часть числа aN.
Шаг 2. Получить d,(2> • • ■ >€n в соответствии с функцией распределения Ф.
Шаг 3. Вычислить и выдать результат как TV'-й наибольший элемент из
последовательности {<?(£ i), ff(f2)> ■ ■ ■, 9(£n)}-
Применим статистическое моделирование для поиска максимального
значения д~ такого, что
Рг {&+£+*!> 5} > 0.8,
где ^i — равномерно распределенная случайная величина £/(1,3), £2 —
экспоненциально распределенная случайная величина £XV(1) и £з — нормально
распределенная случайная величина Л/"(2,1). После выполнения 2000
итераций методом статистического моделирования было найдено, что максимальное
значение д~ составляет 4.74.
Глава 5
Стохастические модели
ожидаемого значения
Первый тип задач стохастического программирования связан с так
называемыми моделями (среднего) ожидаемого значения1 (expected value model —
EVM), в которых оптимизируется среднее значение (математическое
ожидание) некоторой целевой функции с учетом средних значений
(математических ожиданий) некоторых ограничений. Может минимизироваться,
например, математическое ожидание стоимости или максимизироваться
математическое ожидание прибыли и т. п.
Напомним хорошо известную задачу продавца газет. В этой задаче
продавец, работающий в газетном киоске, должен определить количество газет
х, которое ему следует заблаговременно заказать у издателя. Заказ делается
на каждый день при отпускной цене газеты за один экземпляр,
установленной издателем, равной $с. Известно, что в киоске газета будет продаваться по
цене $а за экземпляр. Однако газеты, не распроданные к концу дня, придется
сдать в центр переработки вторичного сырья по небольшой цене $6 за
экземпляр. Предположим, что спрос на газеты составляет £ в день, тогда, очевидно,
число газет, оставшихся нераспроданными к концу дня, составит х — £, если
х > £, или 0, если х ^ £. Тогда прибыль, полученная продавцом, составит
f(xft-l (a_c^' еслих^£,
A,tJ \ (Ь - с)х + (а - %, еслих>£. { '
В реальности ежедневный спрос £ на газеты является обычно случайной
величиной, как и значение функции прибыли /(х,£). Поскольку мы не можем
предсказать, насколько прибыльным на самом деле будет решение заказать х
газет, естественно возникает идея воспользоваться средним ожидаемым зна-
1 Применительно к стохастическим задачам термин expected value следовало бы
традиционно переводить как «математическое ожидание». Однако в данной книге этот термин
используется в значительно более широком контексте, в частности, он употребляется в
последующих главах применительно к нечетким (fuzzy), неточным (rough) и комбинированным
(random-fuzzy, fuzzy-random, fuzzy-rough, rough-fuzzy, random-rough, rough-random, bifuzzy,
birough и т. п.) моделям, где термин «математическое ожидание» не употребляется.
Учитывая это, чтобы обеспечить единообразие терминологической базы в сходных условиях, всем
моделям класса expected value model дадим общее наименование «модели ожидаемого
значения», подразумевая при этом — «ожидаемого среднего значения» (для краткости будем
иногда именовать их «EVM-модели», уточняя при необходимости класс используемой
модели, например, «нечеткие EVM-модели». Как конкретно понимается здесь термин «среднее
значение»—зависит от класса моделей. В частности, в стохастических моделях (моделях
стохастического программирования) это будет математическое ожидание. — Прим. ред.
82 Глава 5. Стохастические модели ожидаемого значения
чением (математическим ожиданием) прибыли, как это показано ниже:
гХ Г+ОО
E\f{x, О] = / [(Ь - с)х + (а- Ь)г] йФ(г) + / (а - с)хйФ(г), (5.2)
JO Jx
где Е означает оператор математического ожидания, а Ф — функция
распределения величины спроса £. Задача продавца связана с определением
оптимального целого числа газет х так, чтобы ожидаемая прибыль достигала своего
максимального значения, т. е.
max £[/(*, О]
при ограничениях: (5.3)
х ^ 0, целые числа.
Это типичный пример EVM-модели.
В данной главе будет рассмотрен ряд EVM-моделей. Для решения задач,
основанных на этих моделях, будем использовать совместно статистическое
моделирование, нейронную сеть и генетический алгоритм. Такой подход
приводит к гибридному алгоритму, эффективность которого будет
продемонстрирована на двух численных примерах. В завершающей части главы EVM-модели
используются для решения задач оптимизации резервирования, составления
расписания работы параллельно действующих машин, а также к задачам
размещения и распределения объектов.
5.1. Основные модели
Если требуется найти решение с максимальной величиной среднего
ожидаемого дохода с учетом средних ожидаемых значений ограничений, то получаем
EVM-модель следующего вида:
max E[f(x,i)\
при ограничениях: (5.4)
E[gj{x,t)}^0, j = l,2,...,p,
где х — вектор решения, £ — случайный вектор, /(ж, £) — функция дохода,
9j(x>£)~" случайные функции ограничений для j = l,2,...,p.
Во многих случаях задача может ставиться как многокритериальная.
Такого рода задачи приводят к многокритериальному математическому
программированию на основе модели ожидаемого значения:
max [E[fi(x,£)],E[f2{x,£)], ■ • •,E[fm(x,£)]]
при ограничениях: (5.5)
^fai(aJ»€)]<0, j = l,2,...,p,
где fi(x, £) — функции дохода для г = 1,2,..., т.
Можно также сформулировать стохастическую задачу выработки
некоторого решения как задачу целевого программирования на основе модели
ожидаемого значения. При этом структура приоритетов и множество значений
5.2. Теорема выпуклости 83
уровней целей определяются лицом, принимающим решения:
I m
min Y,Pj T,iuijdt + vtjd7)
j=i i=i
при ограничениях: , .
E[ft(x,Z)] + d--dt=bi, г = 1,2,...,т; ('}
E[9j(x,£)]^0, j = l,2,...,p;
df,d~ ^ О, г = 1,2,...,m,
где Pj — значения коэффициента преимущественного приоритета,
выражающего относительную важность различных целей, при этом Pj :§> Pj+i для всех
j; Uij —весовой коэффициент, соответствующий положительному отклонению
для г-й цели с присвоенным ей j-ш приоритетом; Vij —весовой коэффициент,
соответствующий отрицательному отклонению для г-й цели с присвоенным ей
j-м приоритетом; d~[ — положительное отклонение от назначенного уровня г-й
цели, определенное как
dt = [E[fi(x>t)]-lH]vO, (5.7)
d~ — отрицательное отклонение от назначенного уровня г-й цели, определенное
как
dr = \bi-E[fi(x,t)]]\/0, (5.8)
ft — функции в целевых ограничениях, gj — функции в реальных
ограничениях, bi — назначенный уровень, соответствующий г"-й цели, I — число
приоритетов, т — число целевых ограничений и р — число реальных ограничений.
5.2. Теорема выпуклости
Одной из интересных проблем в теории оптимизации является проблема
выпуклости. Модель математического программирования называется выпуклой,
если как целевая функция, так и допустимое множество являются выпуклыми.
Для EVM-моделей имеет место следующий результат, касающийся
выпуклости.
Теорема 5.1. Предположим, что для каждой реализации случайного
вектора £ функции /(ж,£) и gj{x,£), j = l,2,...,p, являются выпуклыми. Тогда
EVM-модель , . „,,, ^.,
mm E[f{x, £)]
при ограничениях: (5.9)
ЯЫа:,О]<0, j = l,2,...,p,
будет моделью выпуклого программирования.
Доказательство: Поскольку функция /(ж, £) является выпуклой по ж, для
каждой реализации случайного вектора £ имеем
ДАж! + (1 - А)ж2, О < АДжг, О + (1 - А)/(ж2,0
для любых заданных решений Ж1,ж2 и скаляра А 6 [0,1]. Из определения
оператора математического ожидания следует соотношение
E\f(\x! + (1 - А)ж2,£)] < AS[/(a:i,0] + (1 - А)£[/(ж2,0],
которое доказывает выпуклость целевой функции E[f(x, £)] на множестве ж.
84 Глава 5. Стохастические модели ожидаемого значения
Докажем выпуклость допустимого множества проверкой того, что Хх\ +
(1 — А)ж2 является допустимым для любых допустимых решений х\ и ж2 при
ограничениях E[gj(x, £)] ^ 0, j = 1,2,... ,р, и для любого числа А 6 [0,1]. Если
учесть, что функции gj{x, £), j = 1,2,... ,р, являются также выпуклыми, тогда
gj{Xx! + (1 - А)ж2,£) < А^(жь£) + (1 - А)^(ж2,£), J = 1,2,.. .,р,
и, следовательно,
E[9j{XXl + (1 - А)а2,0] < XElgjixuO] + (1 - А)£[#(ж2,£)] < 0
для j = 1,2,...,р. Отсюда можно заключить, что Аж1 + (1 — А)ж2 является
допустимым. Таким образом, допустимое множество является выпуклым. Тем
самым доказано, что EVM-модель (5.9) является моделью выпуклого
программирования.
5.3. Стохастическое программирование с регрессом
Применительно к стохастической задаче принятия решений вначале может
быть выполнено некоторое действие, направленное на изменение вектора ж,
минимизирующее математическое ожидание целевой функции E[f(x,£)]. Во
многих реальных ситуациях после получения реализации случайного вектора
£ появляется возможность осуществить некоторое дополнительное действие,
связанное с выбором вектора у. Это приводит к появлению слагаемого
(добавочной стоимости) Q(x, £), называемого регрессной функцией1, в целевой
функции задачи. В результате приходим к модели стохастического
программирования с регрессом
mmE[f(x,£) + Q{x,€)]. (5.10)
Очевидно, такая модель представляет собой специальный случай EVM-
модели, в которой регрессная функция может быть выбрана как
Q(aJ,O = ngn{e(i,)|G>(i/|a;,€)<0,i = l,2,...1p}. (5.11)
В этом выражении q(y) — функция стоимости, a Gj(y\x,£) — функции
ограничений от у при заданных значениях решения ж и реализованного значения
вектора £ для j = 1,2,..., р.
Модель стохастического программирования с регрессом можно также
трактовать как модель двухэтапного динамического программирования.
5.4. Гибридный алгоритм
Хотя статистическое моделирование дает возможность вычислять функции,
содержащие неопределенности (в рассматриваемом случае речь идет о
вычислении математических ожиданий),
U:x-+ E[f{x, О], (5.12)
1 Название этой функции происходит от экономического термина, связанного с
перераспределением платежей в ряде специфических ситуаций. — Прим. ред.
5.4. Гибридный алгоритм 85
необходимы также и более простые средства приближенного представления
функций с неопределенностями, поскольку процессы статистического
моделирования весьма трудоемки. Чтобы ускорить процесс решения, для
аппроксимации функций с неопределенностями используются нейронные сети. Это
обусловлено следующими соображениями: (i) нейронные сети способны
аппроксимировать функции с неопределенностями, используя обучающие данные; (ii)
нейронные сети могут компенсировать ошибки обучающих данных
(очевидно, что все входные и выходные данные, получаемые при статистическом
моделировании являются неточными); (iii) нейронные сети обладают высоким
быстродействием после того, как они обучены.
С математической точки зрения не существует каких-либо различий
между детерминистической оптимизацией и EVM-моделями, за исключением того
факта, что в последних приходится неоднократно иметь дело с интегралами.
В данном разделе будет проведено объединение статистического
моделирования, нейронной сети и генетического алгоритма, чтобы получить некоторый
гибридный алгоритм*, позволяющий решать задачи на основе EVM-моделей.
Приведены численные примеры, иллюстрирующие использование этого
алгоритма.
Алгоритм 5.1. Гибридный алгоритм
Шаг 1. Сформировать обучающий набор данных (набор пар «вход-выход»)
для функции, содержащей неопределенность,
U:x^E[f{x,0]
с помощью статистического моделирования.
Шаг 2. Обучить нейронную сеть для аппроксимации функции с
неопределенностью согласно сформированному набору обучающих данных.
Шаг 3. Инициализировать pop_size хромосом, допустимость которых может
быть проверена с помощью обученной нейронной сети.
Шаг 4. Модифицировать хромосомы с помощью операций кроссинговера и
мутаций, в которых допустимость «потомков» может быть проверена с
помощью обученной нейронной сети.
Шаг 5. Вычислить значения целевых функций для всех хромосом с помощью
обученной нейронной сети.
Шаг 6. Вычислить функцию приспособленности для каждой хромосомы в
соответствии с полученными значениями целевых функций.
Шаг 7. Произвести селекцию хромосом, используя случайный выбор.
Шаг 8. Повторить шаги с 4-го по 7-й для заданного числа циклов.
Шаг 9. Предъявить лучшую хромосому как оптимальное решение.
1 Алгоритмы рассматриваемого вида, включающие в себя средства, основанные на
нейронных сетях, генетических алгоритмах, нечеткой логике и т. п., зачастую принято именовать
«интеллектуальными». В оригинале предлагаемый ниже алгоритм назван "hybrid intelligent
algorithm", т. е. «гибридный интеллектуальный алгоритм». Этот термин будет иногда
использоваться в последующем тексте, но чаще применяется его более краткий вариант —
«гибридный алгоритм». — Прим. ред.
86 Глава 5. Стохастические модели ожидаемого значения
Приведенный выше гибридный алгоритм для решения задач на основе
EVM-моделей был реализован на языке программирования С. Чтобы
продемонстрировать эффективность данного алгоритма, с его помощью был решен
ряд численных задач. Полученные результаты могут быть признаны
успешными. Ниже приведены два численных примера, решение которых было
получено с использованием персонального компьютера при следующих значениях
параметров алгоритма: размер популяции 30, вероятность кроссинговера Рс =
0.3, вероятность мутации Рт = 0.2, значение параметра а в функции оценки,
основанной на ранжировании, принято равным 0.05.
Пример 5.1. Рассмотрим следующую EVM-модель:
' min£ [V(*i - б)2 + (*2 - Ы2 + (*з - Ь)2\
< при ограничении:
х\ + х\ + х\ < 10,
где £i — равномерно распределенная случайная величинаU(l, 2), £2 —
нормально распределенная случайная величина ЛГ(3,1), £з —экспоненциально
распределенная случайная величина £XV(4).
Чтобы получить решение для данной модели, сформируем пары «вход-
выход» (т. е. «аргумент-значение») для неопределенной функции
U : (хьх2,х3) -> Е [v/(x! - б)2 + (*2 - Ы2 + (*з - Ь)2] ,
используя статистическое моделирование. Затем выполним обучение
нейронной сети (3 входных нейрона, 5 нейронов в скрытом слое и 1 выходной нейрон)
для аппроксимации неопределенной функции U. После этого обученная
нейронная сеть встраивается в генетический алгоритм и получается требуемый
гибридный алгоритм.
Запуск этого гибридного алгоритма (3000 циклов моделирования, 2000 пар
данных для нейронной сети и 300 поколений для генетического алгоритма)
дает следующее оптимальное решение
х* = (1.1035,2.1693,2.0191).
Значение целевой функции для данного решения равно 3.56.
Пример 5.2. Рассмотрим модель целевого EVM-программирования вида
lexmin {dj~, d^, d% + d£ }
при ограничениях:
E [cos(xi + fi) + sin(x2 + &)] + di - df = 0,
< E [sin(x3 + f3) + cos(x4 + f4)] + d^ - d£ = 0,
E [(61? + £2х|)/(1 + £x3 + £42х4)] + dj - d+ = 1,
0<Xi<2, i = l,2,3,4,
d+,d~>0, t = l,2,3,
5.5. Оптимизация резервирования 87
гДе £ъ£2,£з и ^4 —нормально распределенные случайные величины J\f (1,1),
N(2,1), N(Z, 1) и J\f{4,1), соответственно.
Сформируем вначале пары «вход-выход» для неопределенной функции U :
х ~* (Ui(x), U2(x), U3(x)), где
Ui(x) ~ E [cos(xi + fi) + sin(x2 + f2)],
U2{x) = E [sin(x3 + f3) + cos(x4 + f4)],
Uz{x) = E [(fix? + &а|)/(1 + £32x3 + Й*4)]
получаются путем статистического моделирования. Тогда для каждого х
имеем
d^ =[0-Ui(x)]vO, dz =[0-U2{x)]vO, d£ + dg = \1 - U3{x)\.
Затем проводим обучение нейронной сети (4 входных нейрона, 10 нейронов в
скрытом слое и 3 выходных нейрона), чтобы аппроксимировать
неопределенную функцию U. Далее, встроим обученную нейронную сеть в генетический
алгоритм, получая таким образом некоторый гибридный алгоритм.
Выполнив вычисления с помощью полученного гибридного алгоритма
(5000 циклов статистического моделирования, 3000 пар данных для нейронной
сети, 2000 поколений генетического алгоритма), получим оптимальное
решение
х* = (0.000,1.689,0.000,0.565),
которое может удовлетворить первым двум целям, но для третьей цели
отклонение равно 0.45.
5.5. Оптимизация резервирования
См. также разделы 6.13, 7.13, 9.4, 10.8 и 11.5.
Один из путей увеличить надежность системы состоит в использовании
резервирования, т. е. структурной избыточности для элементов, входящих в нее1.
Существует два способа обеспечить такое резервирование: постоянное
резервирование и резервирование замещением. При постоянном резервировании все
резервные элементы работают одновременно. Этот метод используется
обычно в случае, когда замены элементов в процессе функционирования системы
недопустимы. При резервировании замещением один из имеющихся в системе
резервных элементов начинает работать лишь тогда, когда выйдет из строя
соответствующий основной элемент. Данный метод применяется в случае, когда
замена элементов при работе системы допускается и может быть выполнена
1 Различают два подхода к резервированию систем: общее резервирование, когда
резервируется вся система, и поэлементное резервирование, если резервируются отдельные
элементы системы. Во всех примерах данной книги, относящихся к оптимальному резервированию,
речь будет идти о поэлементном резервировании. — Прим. ред.
88 Глава 5. Стохастические модели ожидаемого значения
немедленно1. Задачи оптимизации для резервирования обоих указанных видов
состоят в нахождении оптимального числа резервных элементов для каждого
из компонентов системы так, чтобы максимизировать некоторую
характеристику системы. Читатель, заинтересовавшийся этими вопросами, может более
подробно ознакомиться с ними по обзорной статье (Kou and Prasad [136]).
Рассмотрим резервированную систему, состоящую из п компонентов.
Предполагается, что для каждого компонента г (г = 1,2,..., п) имеется только один
тип элементов и резервные элементы находятся в одном из двух состояний:
постоянного резерва или резерва замещением. Обозначим число выбранных
элементов г-ro типа2 через Xi, г = 1,2,...,п. Ясно, что все величины Xj будут
целыми и положительными. Задача оптимизации резервирования состоит в
нахождении оптимального значения ж = (х\,Х2,.. . ,жп), которое оптимизирует
некоторую заданную характеристику системы.
Для данного вектора решений ж резервный элемент с номером j,
работающий в составе компонента с номером г, имеет случайный срок службы £у,
j = 1,2,..., Xi, i = 1,2,..., гг. Для удобства записи введем вектор
€ = (£lb£l27 • • • j £lzi)€2b £22, • • • i^2i2i • • • i£nl,£n2i • • • i^m„)i
показывающий сроки службы всех резервных элементов системы. Тогда сроки
службы компонента с номером г и всей системы в целом также будут
случайными величинами, которые обозначим Ti(x,£), г = 1,2,...,п и Т(х,£),
соответственно. Для системы с постоянным резервированием срок службы
компонентов описывается выражением вида
Ti{x,i)= max &J, г = 1,2,...,п.
Для системы с резервированием замещением срок службы компонентов
определяется как
Xi
Tifr,£) = '52Zij> г = 1,2,...,п.
3=1
В задачах оптимального резервирования важнейшую роль играет
функция, описывающая структуру системы (структурная функция системы).
Необходимо хотя бы кратко рассмотреть содержание данного понятия. Пусть yij
1 В резервированной системе принято различать основной элемент и резервные элементы,
которые подключены параллельно основному и берут на себя функции основного элемента
в случае его отказа. При постоянном резервировании резервные элементы подключены к
основным в течение всего времени работы, при этом режимы работы основного и резервных
элементов совпадают. При резервировании замещением резервные элементы подключаются
вместо основного после его отказа и принимают на себя его функции. При включении
резерва замещением резервные элементы до момента включения их в работу могут находиться
в режиме нагруженного резерва, когда условия работы резервных элементов совпадают с
условиями работы основных элементов, и в режиме непогруженного резерва, когда условия
работы резервных элементов таковы, что их ресурсы начинают использоваться только после
включения их на место основного элемента. В тех примерах данной книги, где
рассматривается резервирование замещением, речь идет о ненагруженном резерве. — Прим. ред.
2 В системе обозначений, принятой в данной книге для примеров, относящихся к
оптимальному резервированию, среди элементов Xi, г = 1,2,...,п, элемент х\ — основной, а
элементы Xi, i = 2,3,...,n, — резервные. — Прим.ред.
5.5. Оптимизация резервирования 89
представляет собой состояние j-ro резервного элемента в компоненте с
номером г, a yi — состояние г-ro компонента j = 1,2,..., Xj, i = 1,2,..., п. Будем
предполагать, что состояние yt полностью определяется состояниями yij
резервных элементов1. В дальнейшем для удобства будем использовать запись
у = {у1,у2, • ■ ■ ,Уп) Для обозначения состояний всех компонентов в системе.
Разумно сделать следующее предположение, относящееся к резервированным
системам.
Основная гипотеза: Для любой резервированной системы существует
структурная функция Ф : {0,1}п —» {0,1}, которая определяет состояние системы
Ф(у) 6 {0,1}, отвечающее каждому состоянию ее компонентов у 6 {0,1}П.
Покажем теперь, каким образом можно сформировать структурную
функцию для системы, содержащей единственный компонент (однокомпонентной
системы), системы с последовательным соединением компонентов в ней
(последовательной системы), системы со схемой соединений вида «к из п», а
также для системы с дополнительным резервированием за счет связей между
параллельными ветвями последовательно соединенных элементов (система с
мостиковыми связями, см. рис. 5.1). Рассмотрим однокомпонентную систему, в
которой имеется к параллельно включенных элементов. Структурная
функция для нее будет такой: *
{1, если J2yj ^ 1,
j=i
О в других случаях.
Для последовательной системы порядка п (т. е. содержащей п
последовательно соединенных компонент), функция будет иметь вид
п
Для системы с компонентами, соединенными по схеме «к из п» 2 структурная
функция п
{1, если Y^yi^k,
О в других случаях.
1 Область значений как для ytj, так и для j/j —это двухэлементное множество {0,1}.
Принимается, что уц = 1, если элемент с номером ij, i = 1,2, ...,n, j = 1,2,...,X{ исправен
и 2/ij = 0 — если он неисправен. Аналогичным образом, если yi = 1, это означает, что
хотя бы один элемент с номером ij, входящий в состав i-го компонента, исправен и данный
компонент сохраняет свою работоспособность. Если же yi = 0, это значит, что в i-м
компоненте неисправны и основной и все резервные элементы, вследствие чего он потерял свою
работоспособность. Для уровня системы в целом ее общая работоспособность
характеризуется вводимой ниже структурной функцией Ф(|/) G {0,1}, которая равна 1, пока система
сохраняет работоспособность, и становится равной 0, когда система ее теряет. — Прим. ред.
2 Параллельное и последовательное соединение п элементов являются частными случаями
схемы «fe из п»: параллельное соединение — это соединение вида «1 из п»,
последовательное — вида «и из я». — Прим. ред.
90 Глава 5. Стохастические модели ожидаемого значения
Для системы с мостиковыми связями, показанной на рис. 5.1, структурная
функция принимает вид:
ф(у) = тах{у1у4,г/2г/5,г/2г/зг/4,г/шг/5}-
1
2
3
4
5
Рис. 5.1. Система мостиковой структуры
Одной из характеристик системы является средний срок службы Е[Т(х, £)]
для нее, т. е. математическое ожидание величины промежутка времени, в
течение которого система сохраняет работоспособность \ Понятно, что чем больше
ожидаемый средний срок службы системы Е[Т(х,£)], тем лучше решение х.
Как вычислить средний срок службы системы? Разработать
аналитический алгоритм вычисления этого показателя, вообще говоря, почти
невозможно из-за значительной сложности структуры систем рассматриваемого класса.
Один из возможных путей получения оценки величины среднего срока
службы системы состоит в использовании статистического моделирования. Чтобы
воспользоваться этой возможностью, надо уяснить взаимосвязь между
значением структурной функции системы и величиной срока службы для этой
системы. Вполне разумно предположить, что структурная функция системы
Ф(2/(£)) является убывающей функцией времени t, где y(t) — вектор
зависящих от времени t состояний компонентов системы. Если Ф(у(£)) = 1, тогда
Ф(у(£')) = 1 для любого t' ^ t. Отсюда следует, что Т(ж,£) ^ t. И наоборот,
если Т(х, £) ^ t, тогда система находится в рабочем состоянии в момент
времени t. Следовательно, Ф(у(£)) = 1. Эти рассуждения приводят к следующей
теореме.
Теорема 5.2. Для любой резервированной системы величина срока службы
системы удовлетворяет условию Т(ж,£) ^ t тогда и только тогда, когда
структурная функция системы Ф(2/(£)) = 1.
Для того чтобы вычислить ожидаемый средний срок службы системы
Е[Т(х,£)} с помощью статистического моделирования, следует оценить срок
службы системы Т(х, и) для различных реализаций и вектора £, т. е. для
различных комбинаций значений величин сроков службы отдельных резервных
элементов. Поскольку Ф(у(£)) — монотонно убывающая функция времени t,
для оценки срока службы системы можно использовать поиск методом
деления пополам.
1 Очевидно, что система сохраняет работоспособность, пока значение структурной
функции Ф(|/) для нее будет равно 1. Ниже это положение формулируется в виде теоремы 5.2.—
Прим. ред.
5.5. Оптимизация резервирования 91
Алгоритм 5.2. Оценка срока службы системы
Шаг 1. Задать две границы ti и ti такие, что Ф(з/(^)) = 1 и Ф(у(^2)) = 0 для
некоторого и.
Шаг 2. Установить to = \{t\ + ti).
Шаг 3. Если *(j/(to)) = 1, тогда установить ti = to, в противном случае, ti =
to.
Шаг 4. Повторять шаги с первого по третий до тех пор, пока \t\ — ti\ < e, где
е — заданный уровень точности.
Шаг 5. Выдать результат: Т(х,и) = \(t\ -Мг)-
i : i
Рассмотрим систему жизнеобеспечения космического аппарата,
показанную на рис. 5.2 (Ravi et al. [247]).
ВХОД
— ВЫХОД
Рис. 5.2. Система жизнеобеспечения космического аппарата
Предположим, что каждый из компонентов системы состоит из
элементов единственного типа. Примем также, что все резервные элементы в
каждом из компонентов находятся в состоянии постоянного резерва, а сроки
службы этих элементов являются нормально распределенными
случайными величинами Af(290,212), Af(533,232), Af(312,252), Af(276,232), Af(350,262),
Л/"(291,212), Л/"(271,242). Тогда вектор решений может быть представлен как
х = (xi,X2,... ,хт), где Xi обозначает число выбранных элементов г-го типа,
« = 1,2 7.
Цены для каждого из требуемых 7 типов элементов составляют 56, 50,
64, 60, 79, 45 и 28 единиц, соответственно. Отсюда полная цена всего набора
элементов, включенных в систему, будет равна С(х) = 56xj + 50хг + 64хз 4-
60х4 + 79x5 + 45х6 + 28x7- Если общая сумма доступных средств составляет
600 единиц, получаем ограничение вида С(х) < 600.
Будем считать, что система показанная на рис. 5.2, работает тогда и только
тогда, когда существует путь от входа системы до ее выхода, проходящий
через работоспособные компоненты. Отсюда следует, что структурная функция
системы может быть выражена так:
Ф(у) = шах{у1у4,У1У5,У2У4,У2У5,У2Уе,У2У7,УзУе,УзУ7},
гДе 2/i — состояние г-го компонента, г = 1,2,..., 7.
92 Глава 5. Стохастические модели ожидаемого значения
В случае резервированной системы, если требуется максимизировать
средний срок службы системы Е[Т(х, £)] при наличии ограничения на стоимость,
получаем следующую EVM-модель:
' тахЕ[Т(х,£)}
при ограничениях:
С{х) < 600,
х ^ 1, целочисленный вектор.
Решение задач с использованием моделей данного вида можно
осуществлять при помощи введенного ранее гибридного алгоритма после некоторой
доработки операций инициализации, кроссинговера и мутации, применяемых
в нем. Суть этой доработки состоит в следующем.
В общем случае в качестве хромосомы для представления решения х будем
использовать целочисленный вектор V = (xi,X2,. ..,xn). Здесь х^
—положительные целые числа, i = 1,2,..., п. Вначале зададим всем генам х* значения,
равные 1, i = 1,2,..., п, и сформируем из них хромосому V. Затем случайным
образом выберем целое число i из области значений между 1 и п, после чего
ген х^ в хромосоме V заменим на х* + 1. Этот процесс будем повторять до
тех пор, пока хромосома V не окажется недопустимой. После этого последняя
допустимая хромосома принимается в качестве начальной.
Операцию кроссинговера для хромосом (Vi, V2) будем выполнять
следующим образом. Запишем
И = (*M\...,*W), V2= (x<2U2\...,xi2>)
и сформируем два случайных числа П\ и пг из диапазона между 1 и п, при
этом Tii < П2- Примем эти числа в качестве точек кроссинговера.
Произведем теперь обмен генами между хромосомами. В результате хромосомы V\ и
Vz взаимно поменяются своими сегментами, начинающимися с гена п\ и
кончающимися геном П2- Выполнение операции кроссинговера, организованной
указанным способом, приводит к появлению следующих двух потомков:
у' _ Л_(1) _(1) _(1) _(2) (2) (1) х(1)\
у> _ Л_(2) (2) (2) (1) (1) (2) (2)\
Если потомок V{ оказывается недопустимым, воспользуемся следующей
стратегией его корректировки, позволяющей сделать данного потомка
допустимым. Вначале выбирается случайное число i из диапазона между 1 и п,
затем значение гена Xi в хромосоме V{ заменяется на х^ — 1, соблюдая при
этом условие хг ^ 2. Эта процедура повторяется до тех пор, пока измененная
хромосома V/ не окажется допустимой. Если потомок V{ оказывается
допустимым, то он перерабатывается похожим образом. Случайно выбирается целое
число i из интервала между 1 и п, затем значение гена х^ в хромосоме V{
заменяется на Xi + 1. Этот процесс повторяется до тех пор, пока заменяемая
5.6. Размещение и распределение объектов 93
хромосома не станет недопустимой, после чего последняя хромосома, которая
была допустимой, принимается как V{. Аналогичный процесс корректировки
осуществляется и для хромосомы V{.
Мутация для каждого из выбранных некоторым образом предков V =
(xi,X2,... ,хп) осуществляется по следующим правилам. Случайным образом
выбираются две позиции мутаций щ и Пг со значениями этих величин между
1 и п, причем ni <П2- Затем всем генам Xj, j = щ, ni +1,..., пг, в хромосоме
V присваивается значение 1, что приводит к появлению новой хромосомы
V = \Х\, . . . , Xnj_1, !,...,!, ХП2_(-1, . . . , Хп).
Затем полученная хромосома V модифицируются с помощью следующего
процесса. Случайно выбирается целое число i из диапазона значений между п\
и пг, после чего значение гена хг в хромосоме V заменяется на Xi +1. Данный
процесс повторяется до тех пор, пока хромосома станет недопустимой. После
этого хромосома-предок V заменяется последней допустимой хромосомой.
Чтобы решить рассматриваемую задачу с использованием EVM-модели,
средствами статистического моделирования сформируем обучающие данные
для неопределенной функции U : х —> Е[Т(х, £)]. После этого произведем
обучение нейронной сети (7 входных нейронов, 12 нейронов в скрытом слое
и 1 выходной нейрон), которая будет аппроксимировать функцию U(х).
Затем обученная нейронная сеть встраивается в генетический алгоритм. В итоге
получаем некоторый вариант гибридного алгоритма. Проведя с его помощью
расчет (10000 циклов статистического моделирования, 5000 элементов в
обучающем наборе для нейронной сети и 300 поколений в генетическом алгоритме),
получаем такое оптимальное решение:
х* = (2,1,1,1,3,1,1),
при этом ожидаемый средний срок службы системы составляет Е[Т(х*,£)] =
371.95, а общая стоимость для нее равняется С(х*) = 596.
5.6. Размещение и распределение объектов
См. также разделы 6.14, 7.16, 9.6, 10.12 и 11.7.
Задача размещения-распределения объектов1 состоит в определении
координат размещения новых объектов таким образом, чтобы стоимость
транспортировки от объектов к потребителям была минимальной. При формировании
модели размещения-распределения объектов будем использовать следующие
индексы, параметры и варьируемые переменные:
i = 1,2,..., п: объекты;
1 В самой общей постановке задача размещения-распределения состоит в определении
числа новых объектов и координат их размещения, а также в распределении перевозок между
новыми и существующими объектами. При этом понятие «объект» трактуется очень широко:
объекты могут быть неподвижными или движущимися, точечными или пространственно-
протяженными, иметь самое различное функциональное назначение и т. п. — Прим. ред.
94 Глава 5. Стохастические модели ожидаемого значения
j = 1,2,...,тп: потребители;
(aj,bj): координаты размещения j'-ro потребителя, 1 < j < m;
£_,-: случайный спрос j-ro потребителя, 1 < j < m;
s^. производительность i-го объекта, 1 $J г $J п;
{хиУг)'- варьируемые переменные, представляющие координаты
размещения г-го объекта, 1 < г ^ п;
Zij-. объем поставок от объекта i потребителю j после того, как величины
случайного спроса £,- приняли конкретные значения (реализации), 1 $J г $J п,
1 < j < 771.
Предположим, что вектор спроса £ = (£i,£2, • • • ,£m) определен на
вероятностном пространстве (Q,A, Рг). Для удобства записи введем также
следующие обозначения:
(ж, У) =
Для каждого ш е Г2 вектор £(ш) является реализацией случайного вектора
£. Будем говорить, что размещение z является допустимым тогда и только
тогда, когда
z^ ^0, г = 1,2,..., п, j = 1,2,...,тп,
п
Е ZH = £jM. j = l,2,...,m,
i=l
m
/ j Zij ^ Si, I = 1, /,. . . , 71.
Обозначим допустимое множество размещений объектов как
z^ ^0, г = l,2,...,n, j = 1,2,...,m,
П
I Е*ч =CjM. J =l,2,...,m,
7П
/ - Z%j ^ sij I = 1, A • • • , 71
/ Xi
X2
\ Xn
m \
2/2
2/n У
, z =
1 Zu
Zl\
\ 2nl
212 •
222 •
2n2 •
■ Z\m \
• 22m
■^П7П /
Z{u) = <
(5.13)
Заметим, что для некоторых ш множество Z(lj) может быть пустым.
Для каждого и> G Г2 минимальная стоимость есть стоимость, связанная с
наилучшим размещением объектов z, т. е.
С{х, у\ш) = гшп V J2 Zij fai - aj)2 + (yi - bj)2,
Z€Z(W)
i=l j=l
при этом оптимальное решение z* называется оптимальным размещением.
Если Z(lj) = 0, это означает, что спрос некоторых заказчиков невозможно
удовлетворить. Определим штрафную функцию, отвечающую данной ситуации,
следующим образом:
m
С(х,у\ш) = £ max ^(w)4/(xi - aj)2 + {yt - bj)2.
3=1
l<i<n
5.6. Размещение и распределение объектов 95
Чтобы минимизировать ожидаемую стоимость транспортировки, в работе
(Zhou and Liu [314]) была предложена следующая EVM-модель для задачи
размещения-распределения при случайной производительности объектов:
' ГОО
min / Рг {ш е П | С{х, у\ш) ^ г} дг
Х'У Jo
при ограничениях:
9j{x,y) <0, j = 1,2,...,р,
где 9j(x, у) < 0, j = 1,2,... ,р, представляет возможную область размещения
новых объектов, a Z(u) определяется выражениями (5.13).
Эта модель отличается от традиционных моделей стохастического
программирования наличием в ней подзадачи вида
n m I 2 2
min £ £ ZijyJiXi - Oj) + (j/i - bj)
при ограничениях:
Ё z4 = £j(W)' j = 1, 2, . . . , 771,
(5.14)
i=l
/ . %ij ^ Sj, г — 1, /,..., n,
3=1
Zij^O, i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,77i.
Следует отметить, что в (5.14) параметры ar„j/i и £j(w) являются
фиксированными действительными числами при i = l,2,...,n, j = 1,2,...,т. Это,
очевидно, задача линейного программирования, которая может быть решена
с помощью симплекс-метода.
Для решения задач с использованием представленной модели можно
применить введенный ранее гибридный алгоритм, который будет вычислять
неопределенную функцию
ГОО
U:{x,y)-+l Pr{wen| C{x,y\u)^r}dr
Jo
с помощью следующей процедуры статистического моделирования.
Алгоритм 5.3. Статистическое моделирование
Шаг 1. Присвоить U(x,y) = 0.
Шаг 2. Сформировать ы из Г2 в соответствии с вероятностной мерой Рг.
Шаг 3. Решить задачу линейного программирования (5.14) симплекс-методом
и присвоить оптимальное значение целевой функции переменной с.
Шаг 4. U(x, у) <- U{x, у) + с.
Шаг 5. Повторить шаги со второго по четвертый N раз.
Шаг 6. Выдать результат: U(x,y)/N.
96 Глава 5. Стохастические модели ожидаемого значения
Предположим, что существует 4 новых объекта, производительность
которых составляет (si,S2,S3,S4) = (40,50,60,70) единиц, а также 20
потребителей, чьи запросы представляют собой нормально распределенную величину
Л/\5,1) для j = 1,2,...,10 и равномерно распределенную величину 14(8,12)
для j = 11,12,..., 20. Размещение потребителей (ал-, bj), j = 1,2,...,20, дано в
табл. 5.1.
Таблица 5.1. Размещение 20 потребителей
Потребитель j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ч
28
18
74
74
70
72
60
36
12
18
bj
42
50
34
6
18
98
50
40
4
20
Потребитель j
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
а.
14
90
78
24
54
62
98
36
38
32
bj
78
36
20
52
6
60
14
58
88
54
Проведя расчет с помощью гибридного алгоритма (5000 циклов
статистического моделирования, 300 поколений в генетическом алгоритме), получим
следующее оптимальное расположение указанных 4 объектов:
(xi, ш) = (61-94,59.14), (х2, у2) = (37.97,87.93),
(х3,2/з) = (78.87,20.18), {х4,у4) = (27.39,49.92),
для которого среднее значение ожидаемой стоимости транспортировки
составит 2145 единиц.
5.7. Составление расписания
для параллельно действующих машин
См. также разделы 6.16, 7.15, 9.5, 10.11 и 11.6.
В последние годы теория расписаний привлекает все большее внимание
широтой своих применений. Составление расписания работ * для параллельно
действующих машин связано с нахождением эффективного графика выполнения
определенного набора работ некоторым набором машин в течение некоторого
непрерывного периода времени. В этом разделе будет введена модель
целевого EVM-программирования для задач составления расписания параллельно
действующих машин, предложенная в работе (Peng and Liu [240]).
Примем следующие допущения, касающиеся задачи составления графика
выполнения работ для параллельно действующих машин: (а) каждая работа
1 В отечественной литературе эту задачу часто называют задачей календарного
планирования. — Прим. ред.
5.7. Составление расписания для параллельно действующих машин 97
содержит только одну операцию; (Ь) процесс выполнения операции некоторой
машиной является непрерывным; (с) в некоторый момент времени каждая
машина может выполнять только одну операцию; (d) величины промежутков
времени выполнения операций предполагаются случайными.
Введем вначале следующие индексы и параметры:
i = 1,2,..., п: работы;
к = 1,2,..., т: машины;
&к'- случайная величина промежутка времени, требуемого для выполнения
i-й работы на /с-й машине;
Di~. заданный срок завершения г-й работы, г = 1,2,..., п.
Опишем требуемое расписание (график выполнения работ) с помощью
векторов решений хну, компоненты которых — целочисленные величины.
Вектор х = (х\,Х2,-■ ■ ,хп) представляет п заданий, при этом 1 ^ ij ^ n и
Xi ф Xj для всех i ф j, i,j = 1,2,...,п. Это значит, что последовательность
{xi,X2,--.,xn} является некоторой перегруппировкой набора номеров работ
{1,2,...,п}. Вектор у — (j/i,j/2i• • • i2/m-i) описывает машины, выполняющие
работы, при этом у0 = 0 < у\ < у2 < ... < ym-i ^n = ym.
Отметим, что расписание полностью определяется компонентами векторов
хну следующим образом. Для каждого к (1 < к < т), если у к = Ук-и т0 &~я
машина не используется. Если же ук > Ук-i, тогда /с-я машина обрабатывает
поочередно задания хУк_1+1,хУк_1+2,... ,хУк.
Пусть Ci(x, у, £) — моменты времени завершения заданий г, г = 1,2,..., п,
соответственно. Они могут быть вычислены с помощью следующих уравнений:
^Ук_1+1{х,у,$,) = £хУк1+1к
и
<?*«_,+* (ж' ?/' О = C^-.+i-i (ж' V» О + Z*Vk_1+jk
i
для 2 < j < ук - Ук-i и к = 1,2,..., т.
Обозначим (максимальное) время запаздывания, время выполнения
работы и (максимальное) время простоя для расписания (х,у) как fi(x,y,£),
/2(х,У,£), /з(а:,у,£), соответственно. Тогда
fi{x,y,£)= max{Ci(a:,i/,0-A}VO, (5.15)
/г(а:,2/,0= max Cx {x,y,£), (5.16)
/з{х,у,£)= max Шж, </,£)- V fc* > ■ (5.17)
Чтобы найти компромиссную точку для приведенных выше
противоречивых целевых функций, можно ввести следующий набор целевых уровней и
структуру приоритетов.
98 Глава 5. Стохастические модели ожидаемого значения
Приоритет 1: Математическое ожидание времени запаздывани:
E[fi(x,y,£)] не должно превышать определенного значения bi. Такю
образом, имеем целевое ограничение
Я[Л(ам/,0] + <*Г-# = Ьъ
в котором df должно быть минимизировано.
Приоритет 2: Математическое ожидание времени выполнения работь
E[f2{x, У, £)] не должно превышать определенного значения Ь2. То есть
получаем целевое ограничение вида
E{f2{x,y,i))+dz-d+ = b2,
в котором d% должно быть минимизировано.
Приоритет 3: Математическое ожидание времени простоя E[fs{x, у, £)] не
должно превышать определенного значения Ьз- Тогда получаем
следующее целевое ограничение
E[f3(x,y,0] + da -d+ = h,
в котором должно быть минимизировано значение d£-
В результате приходим к следующей целевой EVM-модели:
lexmin { dj1", d2, d% }
при ограничениях:
E\fi{x, у, О] + d~ - d+ = bu i = 1,2,3,
1 < xt ^ n, i = 1,2,...,n,
Xi^Xj, i=£j,i,j = l,2,...,n,
0 < yi < 2/2 • • • ^ Ут-л < n,
xi,Vj, г = 1,2,...,n, j = 1,2,...,m—1, целые числа,
d+,dr^Q, 1 = 1,2,3.
Решение задачи с помощью этой модели может быть осуществлено с
использованием введенного ранее гибридного алгоритма, в котором
соответствующим образом видоизменены операции инициализации, кроссинговера и
мутации.
Закодируем расписание с помощью хромосомы V = (х,у), где ж, у
—введенные выше векторы решений рассматриваемой задачи. Ген х определим как
последовательность {х\,х2, ■ ■ ■, хп}, при этом Xi = г, г = 1,2,..., п. Для
получения случайной перегруппировки последовательности {1,2,. ..,п} повторим
следующий процесс для значений индекса j от 1 до п. Сформируем случайную
позицию п' между j и п, после чего произведем обмен значениями между Xj и
xni. Для каждого г (1 s$ г $J m — 1) величина rji задается как случайное целое
5.8. Всегда ли обоснованно использование моделей ожидаемого значения? 99
число из диапазона между 0 и п. Затем проводится перегруппировка
последовательности {yi,y2,-- -,2/m-i} от минимального значения до максимального.
В итоге получаем ген у = (уъ 2/2, • • •, Ут-i)- Можно удостовериться в том, что
полученная хромосома V = (х, у) всегда допустима.
Проиллюстрируем действие оператора кроссинговера на паре хромосом
(Уъ Vz)- Обозначим Vi = (xi, у±), i = 1,2. Два потомка V{ и V2 производятся с
помощью операции кроссинговера как V[ = (xi,y2) и V2 = {х2,У\)- Заметим,
что полученные таким путем хромосомы V{ = {х\,у2) и V2 = (a>2,i/i) всегда
являются допустимыми.
Операция мутации производится над предком V = (х,у) следующим
образом. Для гена х случайно формируются две мутационные позиции ni тлп2,
принимающие значения между 1 и п, после чего выполняется перегруппировка
последовательности {х'П1,х'П1+1,... ,х'п }. В результате получаем новый ген
Я- = (^-l j ■ ■ ■ 1 Хщ — li %m i •''ni + li • • • ' ■''па' •cn2+li • ■ • i хп)-
Аналогичным образом для гена у формируются две случайных
мутационных позиции п\ и пг со значениями между 1 и m — 1, затем yi
присваивается случайное целочисленное значение из диапазона между 0 и п для
i = п\,п\ + 1,...,Пг. После этого проводится перегруппировка
последовательности yi,..., уП1 _ 1, у'П1, у'П1+!,..., у'П2, уП2+1,..., г/т_ 1 по возрастанию
входящих в нее элементов. В итоге получаем новый ген у'. На последнем шаге
производится замена предка V потомком V = (х',у').
Предположим, что имеется 20 работ и 3 машины. Продолжительности
выполнения работ на различных машинах задаются следующим образом:
6i~A/'(i,i/10)1 fc2~W(i;i + l), Ы ~T(i,i + l.i + 0.5),
при этом г = 1,2,..., 20. Предписанные сроки завершения для 20 работ,
подлежащих выполнению, составляют 10, 20, 30, 40, 50, 60, 60, 60, 60, 60, 70, 70, 70,
70, 70, 80, 80, 80, 80, 80. Целевые уровни для математических ожиданий
времени запаздывания, времени выполнения работы и времени простоя приняты
в виде (61,62,63) = (0,75,2).
Проведение вычислений с помощью полученного гибридного алгоритма
(10000 циклов статистического моделирования, 1000 поколений в генетическом
алгоритме) дает оптимальное расписание следующего вида:
Машина 1: 1 -> 2 -> 3 — 6 -> 7 -> 10 -» 11 -» 13 -»18,
Машина 2: 4 -» 5 -> 8 -> 16 -» 17 -> 19,
Машина 3: 9 -* 12 -> 14 -» 15 -» 20,
которое удовлетворяет первым двум целям, однако для третьей цели
отклонение будет равно 0.80.
5.8. Всегда ли обоснованно использование моделей
ожидаемого значения?
Несомненно, EVM-модели представляют собой весьма популярный метод
решения стохастических оптимизационных задач. Однако эти задачи не всегда
100 Глава 5. Стохастические модели ожидаемого значения
будут связаны с максимизацией ожидаемой прибыли или минимизацией
ожидаемых затрат. В действительности иногда приходится оценивать степень
надежности (или риска), рассматривая их как вероятность того, что может
произойти некоторое благоприятное (или неблагоприятное) событие.
В случае, если имеются два альтернативных варианта с различными
рисками, но с одинаковой ожидаемой выгодой, некоторые люди (любители острых
ощущений) могут выбрать более рискованный вариант, другие же (более
осторожные) выберут наименее рискованный вариант, в то время как те, для кого
риск безразличен, будут считать, что оба варианта одинаково хороши. EVM-
модели разрабатываются именно в предположении, что отношение к риску
является безразличным.
Существует также множество ситуаций, при которых EVM-модели
оказываются неприменимы. Например, хорошо известно, что существуют люди,
которые получают удовольствие от покупки лотерейных билетов, несмотря на
то, что ожидаемый выигрыш в лотерее всегда отрицателен. В соответствии
с результатами EVM-моделирования, никогда не следует принимать участия
в лотереях. Однако реальная жизнь в точности противоположна таким
рекомендациям. Это означает, что EVM-модели не всегда применимы на практике.
В следующих двух главах будут введены два других типа моделей
стохастического программирования, которые являются в определенном
смысле противоположными EVM-моделям: модели стохастического
программирования с вероятностными ограничениями (chance-constrained programming —
ССР) и модели стохастического событийного программирования (dependent-
chance programming — DCP).
Глава 6
Стохастическое программирование
с вероятностными ограничениями
Второй тип моделей стохастического программирования, разработанный
Чарнсом и Купером (Charnes and Cooper [41]), относится к задачам с
вероятностными ограничениями (chance-constrained programming— ССР)1. Аппарат
стохастического программирования с вероятностными ограничениями 2
представляет собой мощный инструмент для моделирования ряда систем принятия
решений со случайными параметрами. В задачах подобного рода
предполагается, что случайные ограничения, определенные в них, удовлетворяются с
вероятностью не менее а, где а трактуется как предписанный
доверительный уровень, отражающий мнение лица, принимающего решение,
относительно уровня значимости соответствующего ограничения 3.
В этой главе рассматривается теория стохастического программирования
с вероятностными ограничениями применительно к двум обширным классам
моделей: минимаксным моделям и максимаксным моделям. Представлен
широкий спектр ССР-моделей, приводятся некоторые из известных
детерминированных эквивалентов задач с вероятностными ограничениями. Для решения
задач, основанных на моделях с вероятностными ограничениями, формирует-
1 Для краткости записи будем при необходимости использовать термины «ССР-модель»
и «ССР-задача». — Прим. ред.
2 В данной книге рассматриваются не только ССР-модели с вероятностными
ограничениями, но и ряд других: ССР-модели с нечеткими ограничениями, ССР-модели с неточными
ограничениями и т. д. Во всех этих моделях используется понятие ограничения на
шансы (chance constraint). В общей постановке ССР-задач понятия «вероятность»,
«возможность» и т. п. трактуются как частные варианты понятия «шансы». Соответственно, такими
же частными вариантами по отношению к понятию «ограничение на шансы» будут
понятия «вероятностное ограничение», «возможностное ограничение» и т. п. Там, где речь идет
о стохастическом программировании, понятия «ограничение на шансы» и «вероятностное
ограничение» можно считать синонимами. Применительно к стохастическим ССР-моделям
будем пользоваться, в основном, термином «вероятностное ограничение» как более
принятым в стохастическом программировании. — Прим. ред.
3 В задачах стохастического программирования могут быть ограничения, которые
должны выполняться при всех реализациях параметров, входящих в условия задачи. Такие
ограничения принято называть жесткими. Во всех задачах предыдущей главы использовались
ограничения именно этого вида. Если, исходя из содержательного смысла задачи, можно
допустить, чтобы невязки в условиях не превышали заданных значений с вероятностями, не
большими некоторого а > 0, а 6 (0,1], то соответствующие ограничения называют
вероятностными (см.также [20,58]). Иными словами, в задачах с вероятностными ограничениями
каждое ограничение будет удовлетворяться с вероятностью а. Параметры а предполагаются
заданными. Например, значения их может определить лицо, принимающее решение, исходя
из собственных представлений о значимости того или иного ограничения. — Прим. ред.
102 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
ся соответствующий вариант гибридного алгоритма, объединяющего средства
статистического моделирования, нейронные сети и генетический алгоритм.
Далее, чтобы проиллюстрировать идеи ССР-моделирования, рассматривается
решение ряда задач из различных прикладных областей: составление пищевых
смесей, распределение капитальных вложений, управление запасами,
топологическая оптимизация, выбор маршрута движения транспортного средства,
нахождение критического пути, составление расписания параллельно
действующих машин, размещение и распределение объектов.
6.1. Вероятностные ограничения
Пусть х — вектор решений, £ — случайный вектор, f(x, £) — функция дохода,
gj(x,£) — случайные функции ограничений, j = 1,2,... ,р.
Поскольку случайные ограничения gj(x,£) ^ 0,j = 1,2,...,р, не
определяют детерминированную область допустимых решений, естественной
представляется идея задать некоторый доверительный уровень а, показывающий
желаемую степень удовлетворенности имеющихся случайных ограничений.
Реализация этой идеи приводит к вероятностному ограничению
PrfeO^O < 0, j = 1,2,...,р} > а, (6.1)
которое именуется объединенным вероятностным ограничением.
Соответственно, точка х будет называться допустимой тогда и только тогда, когда
вероятностная мера события {gj(x,£) ^ 0,j = 1,2,...,р} будет не менее а.
Другими словами, вероятность того, что ограничения будут нарушены,
составляет не более, чем (1 — а). Вероятностные ограничения могут быть заданы в
ряде случаев в виде набора
Pi{gj(x,t)^0}>aj, j = l,2,...,p, (6.2)
в котором каждое из ограничений использует свое значение доверительного
уровня Qj. Возможен также смешанный вариант, в котором сочетаются
объединенный и раздельный случаи, показанные выше:
' РгЫж,С) < 0, j = 1,2,..., ki} > Ql,
Pr{flf(aj,£) <0, j = fti + l,A:i+2,...,&2} >Q!2, ,. оЛ
(6.3)
. Pi{9j(x,£) < 0, j = kt-i + 1, kt-i + 2,... ,р} ^ at,
при этом 1 ^ к\ < &2 < ... < kt-i < Р-
6.2. Максимаксное программирование
с вероятностными ограничениями
Исследования в области математического программирования с
вероятностными ограничениями были начаты Чарнсом и Купером (Charnes and Cooper [41])
и затем продолжены многими другими исследователями. В данной главе это
6.2. Максимаксное программирование с вероятностными ограничениями 103
направление излагается в его современном варианте, введенном в работе (Liu
[171]). В стохастической среде для максимизации оптимистического значения
дохода для данного доверительного уровня с учетом некоторого
вероятностного ограничения можно воспользоваться следующей ССР-моделью \
max /
при ограничениях:
Рг {/(*,« >/}>/?,
Pr{ft(aj,O<0,i = l,2,...,p}>Q,
(6.4)
где а и (3 — предопределенные заранее доверительные уровни. Модель (6.4)
называется максимаксной, поскольку она эквивалентна модели вида
max max /
х j
при ограничениях:
Рг {/(*,£) >/}>/?,
PT{9j{x,O^0,j = l,2,...,p}^a,
максимаксная форма которой более очевидна. В этой модели max/ является
/0-оптимистической оценкой дохода.
На практике вполне возможны задачи со многими целевыми функциями.
В связи с этим необходимо ввести следующую модель многокритериального
программирования с вероятностными ограничениями:
max \fi,72,---Jm]
при ограничениях:
Pr{/i(aj,0>7i}>ft, i = l,2,...,m)
Pr{pj(a;,£) <0} ^Qj, j = l,2,...,p,
(6.5)
где ctj,j — 1,2, ...,p, Pi,i = 1,2,... ,m — соответствующие доверительные
уровни. При этом ССР-модель (6.5) по существу эквивалентна модели
max
х
max /j, max /2,..., max /„
. /i /2 /„,
при ограничениях:
Pr{/i(aj,0>7i}>ft, * = l,2,...,m,
Рг{р,-(ж,£) <0} ^а^, j = l,2,...,p,
1 Если целевая функция должна минимизироваться (например, если она представляет
собой функцию стоимости), тогда ССР-модель должна принять следующий вид:
min /
при ограничениях:
Рг{/(*■€)£7} £0.
Pr{Sj(*.0 ^ 0, j = 1, 2,... ,р} ^ а,
где min / — это /3-оптимистическая оценка стоимости.
104 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
где max ft представляют собой /^-оптимистические значения для г-х функций
дохода fi(x, £), г = 1,2,..., т.
Иногда можно сформулировать задачу, относящуюся к стохастическим
системам принятия решений, как задачу целевого программирования с
вероятностными ограничениями, в которой структура приоритетов и целевые уровни
назначаются лицом, принимающим решения:
I m
min E рз T,(uijdt + viidT)
при ограничениях:
Pi{fi{x,0-bi^d+} >ff, t=l,2,...,m, (6.6)
Рг{^-Л(ж,£)<^-}^/?-, t = l,2,...,m,
p*{9j(x,0 <0} >ah j = l,2,...,p,
dt,dr ^0, i= l,2,...,m,
где Pj — коэффициент преимущественного приоритета, выражающий
относительную важность различных целей Pj ^> Pj+i, для всех j, щ^ —весовой
коэффициент, соответствующий положительному отклонению от г-й цели с
назначенным j'-m приоритетом, Vij — весовой коэффициент, соответствующий
отрицательному отклонению от г-й цели с назначенным j-м приоритетом, df —
это /^"-оптимистическое положительное отклонение от назначенного уровня
г-й цели, которое определяется как
min {d V 0 | Pr {fi{x, 0-bi^d}>/3+}, (6.7)
dj — это Р~-оптимистическое отрицательное отклонение от назначенного
уровня г-й цели, определяемое как
min {d V 0 | Pr {h - fi(x, i)^d}>/3r}, (6.8)
fi ~ функции в целевых ограничениях, gj — функции в системных
ограничениях, bi — назначенный уровень цели, соответствующий 2-й цели, I — число
приоритетов, m — число целевых ограничений и р — число системных ограничений.
Замечание 6.1. Если случайный вектор £ вырождается в
детерминированный вариант, тогда обе вероятности Pr{/j(a:,£) — bi ^ df} и
Pr {bi — fi(x,£) ^d^} всегда будут равны 1, при условии, что Pf,f3~ > 0,
а из
Pr {fi(x, Z)-bi^d+}>/3+, d+>0,
Pr {bi - fi(x,& <d-}>/37, dr > 0
следует, что
4 = [fi(x, О - h] V 0, dt- = [h - fi{x, £)] V 0.
Это совпадает с детерминированной моделью целевого программирования.
Замечание 6.2. В случае детерминированного целевого программирования
самое большее один из параметров d~ и d£ принимает положительное
значение. Однако для варианта с вероятностными ограничениями возможны
ситуации, когда оба параметра d~ и d* положительны.
6.3. Минимаксное программирование с вероятностными ограничениями 105
Замечание 6.3. Если не наложить некоторых дополнительных условий, во
многих практически интересных случаях, включая равномерное,
экспоненциальное и нормальное распределение, модели программирования с
вероятностными ограничениями будут невыпуклыми.
Замечание 6.4. Если независимые переменные (или некоторые из них) в
рассматриваемых задачах принимают только целые значения, тогда
соответствующая ССР-модель становится моделью целочисленного программирования с
вероятностными ограничениями (или частично целочисленного
программирования с вероятностными ограничениями).
6.3. Минимаксное программирование
с вероятностными ограничениями
В стохастической среде для максимизации пессимистического значения
дохода для заданного доверительного уровня с учетом некоторого вероятностного
ограничения в работе (Liu [173]) была предложена следующая минимаксная
ССР-модель \
max min /
х у
при ограничениях:
Pr{f(x,o^7}>P,
Pt{9j(x,Z)^0,j = 1,2,.
,р} ^а,
(6.9)
Р-
где а и Р — предопределенные заранее доверительные уровни, a min/
пессимистическая оценка дохода.
Если задача является многокритериальной, тогда может быть предложена
следующая минимаксная модель многокритериального программирования с
вероятностными ограничениями:
max
х
min/,, min/2, ..., min/,,
L /, /2 /m
при ограничениях:
Pr{/i(a;,0<7i}^ft, г = 1,2,.
Prte(a>,£KO}^aj, j = l,2,.
(6.10)
,,m,
где dj и Pi — соответствующие доверительные уровни, а min ft представляют
собой /^-пессимистические значения оценки для функций дохода fi(x,£), г =
1,2,..., т, соответственно.
Если целевая функция должна минимизироваться (например, если она представляет
собой функцию стоимости), тогда минимаксная ССР-модель принимает следующий вид:
min max /
х j
при ограничениях:
Pr{Sj(:c,£) •$ 0,j = 1,2,... ,р} 2 а,
где max / — это ^-пессимистическая оценка стоимости.
106 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
Можно также сформулировать задачу, связанную со стохастическими
системами принятия решений, как минимаксную модель целевого
программирования с вероятностными ограничениями, в которой структура приоритетов и
целевые уровни устанавливаются лицом, принимающим решения:
min V Pj V иц ( maxdf V О I + Уц ( maxd~ V 0 1
при ограничениях:
Pr{/i(aj,0-bi >df} >Pt, г = 1,2,...,т,
Pr{bi-fi(x,e)2dr}2Pr, г = 1,2,...,т,
Рг{а(а:,О<0}>а^ J = 1,2, ...р,
(6.11)
где Р^ — коэффициент преимущественного приоритета, выражающий
относительную важность различных целей Pj ^> Pj+i, для всех j, Uij — весовой
коэффициент, соответствующий положительному отклонению от г-й цели с
назначенным j'-m приоритетом, Vij — весовой коэффициент, соответствующий
отрицательному отклонению от г-й цели с назначенным j-м приоритетом, df V О —
это /^"-пессимистическое положительное отклонение от назначенного уровня
г-й цели, которое определяется как
max {d V 0 | Pr {fi(x, £) - h > d} > /3+ } , (6.12)
d^ V 0 — это /0~-пессимистическое отрицательное отклонение от назначенного
уровня г-й цели, определяемое как
max{d V0 | Pr {Ь> - f^x,£) > d} > 0Г } • (6.13)
/i — функции в целевых ограничениях, gj — функции в системных
ограничениях, bi — назначенный уровень цели, соответствующий г-й цели, I — число
приоритетов, т — число целевых ограничений и р — число системных ограничений.
Замечание 6.5. В минимаксной модели целевого программирования
отсутствует условие неотрицательности df ,dj ^ 0, поскольку оно противоречит
целевым ограничениям. Чтобы преодолеть это затруднение, следует заменить
в целевой функции df и d~ на df V 0 и d~ V 0, соответственно.
Замечание 6.6. Если случайный вектор £ вырождается в
детерминированный вариант, тогда обе вероятности Pr {fi(x, £) — bi ^ df} и
Рг{Ьг — fi{x,£) ^ d^} всегда будут равны 1, при условии, что /3^,(3^ > О,
а из
Pr{/i(aj,£)-fti>dt} >#, Pr{fti-/i(aj,0£dr} ^ pr
получаем, что
d+ V 0 = [fi(x, £) - bi] V 0, d~ V 0 = [Ы - fi{x, £)] V 0.
Это совпадает с детерминированной моделью целевого программирования.
6.4. Детерминированные эквиваленты вероятностных ограничений 107
6.4. Детерминированные эквиваленты
вероятностных ограничений
Применение традиционных методов решения требует преобразования
вероятностных ограничений в соответствующие им детерминированные эквиваленты.
Известно, что обычно этот процесс реализовать весьма непросто и успешным
он бывает лишь в отдельных специальных случаях. Рассмотрим вероятностное
ограничение, записанное в следующем виде:
Pr{s(aj,£)<0}>a. (6.14)
Ясно, что
(i) вероятностные ограничения (6.2) представляют собой набор ограничений
вида (6.14);
(ii) стохастическое ограничение на целевую функцию Рг{/(ж, £) ^ /} ^ /0
совпадает с ограничением вида (6.14), если ввести определение д(х, £) =
(iii) стохастическое ограничение на целевую функцию Рг{/(ж,£) ^ /} ^ /0
совпадает с ограничением вида (6.14), если ввести определение д(х,£) =
№ О- 7;
(iv) стохастические ограничения на цели Рг{Ь — f{x,£) ^ d-} ^ /0 и
Рг{/(ж,£) — b ^ d+} ^ /0 совпадают с ограничением вида (6.14), если
ввести определения д(х, £) = Ь — f(x, £) — d~ и д(х, £) = f(x, £) —b — d+,
соответственно и
(v) стохастические ограничения на цели Рг{Ь — f{x,£) ^ d~} ^ /0 и
Рг{/(сс,£) — b ^ d+} ^ /0 совпадают с ограничением вида (6.14), если
ввести определения д(х, £) = f(x, f) + d~ — Ь и д(х, £) = Ь — f(x, £) + d+,
соответственно.
В этом разделе приведена сводка ряда известных результатов.
Теорема 6.1. Пусть случайный вектор £ вырождается в случайную
величину £ с функцией распределения Ф, а функция д(х,£) имеет вид д(х,£) =
h(x) — £. Тогда Рг {д(х, £) ^ 0} ^ а будет в том и только в том случае, если
h(x) ^ Ка, где Ка = sup {K\K = ф-:(1 - а)}.
Доказательство: Предположим, что неравенство Рг {д(х, £) ^ 0} ^ а может
быть записано в следующем виде
Рг {h(x) < £} ^ а. (6.15)
Ясно, что для каждого заданного доверительного уровня а (0 < а ^ 1)
существует некоторое число Ка (таких чисел может быть несколько или даже
бесконечно много) такое, что
Pi{KQ^£} = a (6.16)
108 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
и вероятность Pi{Ka ^ £} будет возрастать, если заменить Ка меньшим
числом. Поэтому Pr{h(x) ^ £} ^ а тогда и только тогда, когда h(x) ^ Ка.
Отметим, что равенство Рг {Ка ^ £} = 1 — Ф(Ка) удовлетворяется всегда.
Следовательно, в соответствии с (6.16),
Ка = ф-1(1-а),
где Ф-1 —обратная функция для Ф. В ряде случаев решение уравнения (6.16)
будет не единственным, что равносильно многозначности функции Ф-1. В
такой ситуации следует выбирать решение, наибольшее из имеющихся, т. е.
Ка = sup {К | К = Ф_1(1 - а)} .
Таким образом, требуемым детерминированным эквивалентом является
h(x) ^ Ка. Теорема доказана.
Предположим, например, что имеются следующие вероятностные
ограничения:
Г Рг {Зх: + 4x2 < &} 7* 0.80,
\ Pr{xf-xi<e2}^0.90, ( '
где £i — экспоненциально распределенная случайная величина £Х"Р(2),
распределение вероятностей для которой обозначим как Ф1} а £г — нормально
распределенная случайная величина -Л/"(2,1), распределение вероятностей для нее
обозначим как Ф2. Из теоремы 6.1 следует, что вероятностные ограничения
(6.17) эквивалентны детерминированным ограничениям вида
Г 3xi + 4х2 < ФГЧ1 - 0.80) = 0.446,
I х? - х^< Ф^(1 - 0.90) = 0.719.
Теорема 6.2. Пусть имеется случайный вектор £ = (ai,a2,.. .,an,b), a
функция д(х, £) принимает вид д(х, £) = а\Х\ + агхг + ... + апхп — Ь. Если а*
и Ь представляют собой независимые нормально распределенные случайные
величины, тогда Рг {д(х, £) ^ 0} ^ а тогда и только тогда, когда
^£[а*]х1 + Ф_1(а)„
^УЫх^ + УЩ^ЕЩ, (6.18)
где Ф — нормированное нормальное распределение.
Доказательство: Вероятностное ограничение Рг {д(х, £) ^ 0} ^ а может
быть записано в следующем виде
Рг \ У ^aiXi ^b}^a. (6.19)
< ^2 dtXi < Ь > ^ a.
Поскольку at и Ь предполагаются независимыми нормально распределенными
случайными величинами, функция
п
у(х) - ^ aiXi ~ Ь
6.4. Детерминированные эквиваленты вероятностных ограничений 109
также является нормально распределенной функцией со следующими
значениями математического ожидания и дисперсии
Е[у(х)\ = £ Е[аг]ц - Е[Ъ],
г=1
V[y{x)]=f:v[ai]i2 + V[b].
г=1
Отметим, что случайная величина
£ diXi - Ь - ( £ ЕЫх, - E[b] )
i=l \i=l )_
Jtvlatlxf + Vlb]
должна быть нормированной нормально распределенной, т. е. иметь вид
-Л/"(0,1). Поскольку неравенство £iLi а*а;» ^ ^ эквивалентно выражению
£ taxi - Ь - ( £) ВДх, - Я[бЛ £) £[о«1х« - Я[Ь]
г=1 \i=l J ~ i=l
^
^У[щ]х1 + У[Ь\
г=1
Tvw^ + vh
вероятностное ограничение (6.19) эквивалентно ограничению
Рг<
Г)^
£ E[ai}xi - £[Ь]
i=l
> ^Q,
(6.20)
где т) — нормированная нормально распределенная случайная величина. Итак,
вероятностное ограничение (6.20) удовлетворяется тогда и только тогда, когда
£ Е{(ц}хг - Е[Ъ]
ф-\а) < - 71 =
rZvMxf + vw
i=l
(6.21)
Отсюда следует, что детерминированным эквивалентом рассматриваемого
вероятностного ограничения является выражение (6.18). Теорема доказана.
Предположим, например, что вероятностное ограничение имеет следующий
вид
Pr {aixi + а2х2 + а2х3 < 6} ^ 0.95, (6.22)
110 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
где а],а2,аз и Ь — нормально распределенные величины Л/"(1,1), -Л/"(2,1),
-Л/"(3,1) и -Л/"(4,1), соответственно. Тогда формула (6.18) позволяет получить
детерминированный эквивалент для ограничения (6.22), который примет вид
xi + 2х2 + Зхз + 1.645фс[+х1+х1 + 1 < 4,
учитывая тот факт, что Ф-1(0.95) = 1.645.
6.5. Теорема эквивалентности
В предыдущем разделе мы обсудили детерминированные эквиваленты
вероятностных ограничений. Здесь же рассмотрим некоторые свойства следующей
специальной ССР-модели:
min E[f(x,0\ (6.23)
при наличии вероятностных ограничений
Pr{ft(aj,0<O,j = l,21...,p}>a> (6.24)
где ж —вектор решений, £ — случайный вектор с плотностью распределения
вероятностей </>(£). Определим новую функцию от (х,и) следующим образом:
ui \ ( а-1, если gj(x, и) < 0, j = 1,2,...,р,
п(х,и) = < (6.25)
(а в других случаях.
Таким образом, для каждого зафиксированного решения х функция h(x, и)
принимает значение а — 1 на области
s= {« \9j(x,u) <0,j = l,2,...,p}
и значение а на дополнении Нс множества Н. Тогда из определения оператора
математического ожидания следует, что
E[h(x,£)]= /h{x,u)<j>(u)du =
= (а — 1) / <p(u)du + a <p(u)du =
= a-Pr{a,(aj,0<O, j = l,2,...,p}.
Поэтому, неравенство E[h(x,£)] ^ 0 удовлетворяется тогда и только тогда,
когда удовлетворяются вероятностные ограничения (6.24). Этот факт
устанавливает взаимосвязь между моделями EVM и ССР, которая может быть
сформулирована в виде следующей теоремы.
6.6. Статистическое моделирование 111
Теорема 6.3. Пусть х — вектор решений, £ — случайный вектор. Тогда
ССР-модель
mm E[f(x, О]
при ограничениях: (6.26)
Pi{gj{xfZ)<0,j = l,2,...,p}>a
эквивалентна EVM-модели
mmE[f{x,£)]
при ограничении: (6.27)
E[h(x,£)}^0,
где функция h(x, £) определяется выражением (6.25).
6.6. Статистическое моделирование
Если вероятностные ограничения могут быть преобразованы в их
детерминированные эквиваленты, тогда можно получить и соответствующие
эквивалентные детерминированные модели. На практике, однако, такие преобразования
обычно провести бывает достаточно сложно. Более удобно с вероятностными
ограничениями оказывается работать средствами статистического
моделирования.
Был разработан метод статистического моделирования, который
позволяет проверить вероятностное ограничение и найти соответствующие /3-
оптимистическое и /3-пессимистическое значения. В моделях целевого
программирования с вероятностными ограничениями необходимо найти /3-
оптимистические отклонения, то есть минимальные неотрицательные
значения d+ и d~ такие, что
Mf(x,O-b<d+}^0+, Pi{b-f(x,0^d-}>p- (6.28)
Они определяются соотношениями вида:
d+ = [min {d | Pr {f(x,0 ^ d} > /?+} - b] V0,
d~ = [b-max{d\ Pi{f(x,£) ^ d} ^ P~}] V0.
(6.29)
Чтобы найти /3-пессимистические отклонения, надо найти максимальные
значения d+ и d~ такие, что
Pi{nx,£)-b>d+}zp+, pr{b-f(x,o>d-}zp-. (б.зо)
Эти величины определяются соотношениями вида:
d+ = max{d | Pi{f(x,£) >d}>P+}-b,
d~ =b-min{d\Pi{f(x,^)^d}^p-}. ('
С помощью данного подхода средствами статистического моделирования
можно работать с любыми функциями, которые содержат неопределенности.
112 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
6.7. Гибридный алгоритм
Для решения задач с использованием ССР-моделей общего вида в этом разделе
будет построен соответствующий вариант гибридного алгоритма,
объединяющий средства статистического моделирования, нейронную сеть и генетический
алгоритм.
Алгоритм 6.1. Гибридный алгоритм
Шаг 1. Сформировать обучающие наборы данных (наборы пар «вход-выход»)
для неопределенных функций вида
Ui : х - Рг{Л(х,4) < 0, j = 1,2,... ,р} ^ а,
U2 : х -> max {/ | Рг {/(х,£) ^ /} ^ /3}
с помощью статистического моделирования.
Шаг 2. Обучить нейронную сеть для аппроксимации неопределенных
функций согласно наборам сформированных обучающих данных.
Шаг 3. Инициализировать pop_size хромосом, допустимость которых может
быть проверена с помощью обученной нейронной сети.
Шаг 4. Модифицировать хромосомы с помощью операций кроссинговера и
мутации, в которых допустимость потомков может быть проверена с
помощью обученной нейронной сети.
Шаг 5. Вычислить значения целевой функции для всех хромосом с помощью
обученной нейронной сети.
Шаг 6. Вычислить функцию приспособленности для каждой хромосомы в
соответствии с полученными значениями целевой функции.
Шаг 7. Произвести селекцию хромосом, используя случайный выбор.
Шаг 8. Повторить шаги с четвертого по седьмой для заданного числа циклов.
Шаг 9. Предъявить лучшую хромосому как оптимальное решение.
Приведем два численных примера, которые были реализованы на
персональном компьютере с использованием следующих значений параметров
моделирования: размер популяции 30, вероятность кроссинговера Рс = 0.3,
вероятность мутации Рт — 0.2, значение параметра а в функции оценки, основанной
на ранжировании, принято равным 0.05.
Пример 6.1. Рассмотрим следующую максимаксную ССР-модель, в которой
имеются три независимых переменных и девять случайных параметров:
max /
при ограничениях:
Pr {£i*i + &z2 + 6,*з > 7} ^ 0.90,
Рг {г\хх\ + щх\ + щх\ < 8} ^ 0.80,
Pr {nx\ + т2х\ + т3х1 < 15} ^ 0.85,
xi,X2,x3 ^ 0,
где £i,771 и т\ — равномерно распределенные величины 1/(1,2), Ы{2,3) и И(3,4),
соответственно; £г,»?2 и тг — нормально распределенные величины Af(l,l),
6.7. Гибридный алгоритм 113
^(2,1) и ^(3,1), соответственно; £3,г]3 и тз — экспоненциально
распределенные величины £XV(1), £XV{2) и £XV(S), соответственно.
Используем статистическое моделирование для того, чтобы
сформировать набор входных-выходных пар для неопределенной функции U : х —»
(Ui{x),U2(x),U3(x)), где
Ui(x) = max {/ | Pr {6*i + 6*2 + 6*3 ^ /} ^ 0.90} ,
U2(x) = Pr {rjixj + r\2x\ + r)3x% ^ 8},
U3(x) = Pr {nxf + т2х\ + т3х1 ^ 15}.
Затем произведем обучение нейронной сети (3 входных нейрона, 15 нейронов
в скрытом слое, 3 выходных нейрона) для аппроксимации функции С/.
Завершая процесс формирования гибридного алгоритма, объединим обученную
нейронную сеть с генетическим алгоритмом.
Произведем вычисления с помощью полученного гибридного алгоритма
(5000 циклов статистического моделирования, 3000 пар обучающих данных
для нейронной сети, 1000 поколений для генетического алгоритма) и получим
оптимальное решение
(x\,X2,xl) = (1.404, 0.468, 0.924),
для которого значение целевой функции / = 2.21. Кроме того, получаем
также, что
Pr{6*i + 6*2 + 6*з > 2-21> ~ °-90'
Pr faxf + rj2xf + rj3xf ^ 8} и 0.80,
Pr {nxf + т2х? + r3xf ^ 15} и 0.85.
Пример 6.2. Решим теперь с помощью введенного выше гибридного
алгоритма задачу целевого ССР-программирования, в которой использована модель
вида:
lexmin {di,d£,d£}
при ограничениях:
Рг {2 - (nxi + х2 + х3) ^ <£[} ^ 0.95,
Рг {4 - {xi + 7-2X2 + х3) < dj } ^ 0.90,
' Рг {5 - {xi + х2 + т3х3) ^ ds } > 0.85,
(ЩХ! + Х2 + Х3 < 6 "J
*i + V2X2 + х3 ^ 6 \ > 0.80,
Xi+X2 + %*3 ^ 6 J
Xi,x2,x3,d^,d2,dz ^ 0,
где параметры т\, т2, т3 —экспоненциально распределенные случайные
величины £XV(1), £XV(2), £XV(3); tji,tj2,tj3 —нормально распределенные
случайные величины Af(l, 1), Af(2,1), Af(S, 1); 6>6>6 — равномерно распределенные
случайные величины U(6,7), U(7,8), U(8,9), соответственно.
114 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
Привлечем вначале статистическое моделирование для формирования
вход-выходных пар данных для неопределенной функции U : х —*
(Ui(x), U2(x), U3(x), U4(x)), где
Ui(x) — max {d | Pr faxi + x2 + x3 ^ d} ^ 0.95} ,
и2(х) = max {d | Pr {хг + r2x2 + x3 ^ d} ^ 0.90} ,
U3(x) — max {d | Pr {xi +x2 + т3х3 ^ d} ^ 0-85} ,
{TjxXi + X2 + X3 ^ £1 }
xi + r]2x2 + x3^b>> 0.80.
xi + x2 + %^з ^ Ь J
В этом случае имеем, что
di =[2-Ui{x)}V0, dz = [4 - U2(x)} V 0, d^ = [5 - U3(x)} V0.
Используя полученный набор вход-выходных пар, обучим нейронную сеть (3
входных нейрона, 18 нейронов в скрытом слое, 4 выходных нейрона) для
аппроксимации функции U. Обученная нейронная сеть встраивается в
генетический алгоритм, что приводит к получению требуемого варианта гибридного
алгоритма.
Проведенные вычисления с помощью гибридного алгоритма (5000 циклов
статистического моделирования, 3000 пар обучающих данных для нейронной
сети, 1000 поколений для генетического алгоритма) показывают, что
оптимальным является следующее решение:
(х1,Х2,Хз) = (2.2429, 0.6733, 1.2127),
которое полностью удовлетворяет первой цели, но дает отрицательные
отклонения для второй и третьей цели, составляющие 0.40 и 1.54, соответственно.
Кроме того, имеем, что
' Рг {2 - (пх* + х\ + х$) ^ 0.00} « 0.95,
Рг {4 - {х\ + т2х*2 + х£) ^ 0.40} « 0.90,
< Рг{5-(^+х^+г3х^)^1.54}и0.85,
{TfrXl + Х$ + Х% ^ 6 "J
xi+mA+xl^b \ и 0.80.
х\+х^Л-щх1 <& J
6.8. Задача составления кормовой смеси
В работе (Van de Panne, Popp [284]) представлена ССР-модель для решения
задачи составления кормовой смеси минимальной стоимости для крупного
рогатого скота. В этой задаче выбираются четыре компонента смеси, причем
полученная смесь должна удовлетворять определенным условиям по
содержанию в ней белков и жиров.
6.8. Задача составления кормовой смеси 115
Пусть х\,Х2,хз и х4 — процентное содержание четырех компонентов в
пищевой смеси. Получаем тогда первое условие
%\ + %2 + хз + %а = 1-
Предположим, что процентное содержание белков в каждом из четырех
продуктов составляет 2.3, 2.3, 5.6, 11.1 и 1.3. Если процентное содержание
белка в корме должно быть не менее 5, тогда получаем еще одно ограничение:
2.3xi + 5.6х2 + 11.1х3 + 1-Зх4 ^ 5.
Содержание жиров в рассматриваемых четырех компонентах
составляет rji,i]2,Tj3 и щ. Предполагается, что щ — это нормально
распределенные случайные величины ЛГ(12.0,0.28092), ЛГ(11.9,0.19362), ЛГ(41.8,20.252) и
Л/'(52.1,0.62412), соответственно. Если содержание жира в пище должно быть
не менее 21% при уровне вероятности 80%, тогда имеет место следующее
вероятностное ограничение:
Рг {771x1 + щх2 + 773X3 + 774X4 ^ 21} ^ 0.8.
Цены рассматриваемых четырех компонентов предполагаются равными
24.55, 26.75, 39.00 и 40.50, соответственно. Тогда общая стоимость единицы
кормовой смеси составляет
/(ж) = 24.55Х! + 26.75x2 + 39.00х3 + 40.50х4.
Таким образом ССР-модель для задачи составления кормовой смеси может
быть записана в следующем виде:
' min 24.55Х! + 26.75х2 + 39.00х3 + 40.50х4
при ограничениях:
^1 + Х2 + Хз + Х4 = 1,
2.3xi + 5.6x2 + И.1хз + 1-3x4 ^ 5,
Рг {т^Х! + 772X2 + 7732:3 + 44^4 ^ 21} ^ 0.8,
Xi,X2,X3,X4 ^ 0.
Чтобы решить задачу с использованием данной ССР-модели, закодируем
решение (xi,X2,X3,X4) в виде хромосомы (г>1,г>2,г>з) следующим образом:
xi=i>i, х2 = v2, хз = г»3, х4 = 1 - г»х - г;2 - г»3.
Формирование набора вход-выходных пар, необходимых для аппроксимации
функции, содержащей неопределенность,
U : {vi,v2,г>3) -» Рг {771X1 + 772X2 + 773X3 + 774X4 ^ 21},
выполним с помощью метода статистического моделирования. После этого
обучим нейронную сеть (3 входных нейрона, 6 нейронов в скрытом слое, 1
116 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
выходной нейрон), которая аппроксимирует функцию U. На последнем этапе
построения требуемого гибридного алгоритма встроим обученную нейронную
сеть в генетический алгоритм.
Проведенные вычисления с помощью полученного гибридного алгоритма
(3000 циклов статистического моделирования, 2000 пар данных в обучающем
наборе для нейронной сети, 400 поколений в генетическом алгоритме)
показывают, что оптимальным является следующее решение:
(х\,хЪ,х%,х\) = (0.2829,0.3749,0.1842,0.1580),
для которого стоимость единицы кормовой смеси равна /(zj, x%, х%, х^) = 30.55
и уровень достоверности того, что содержание жира в корме будет не ниже
заданного, составляет 80%.
6.9. Распределение капиталовложений
См. также разделы 7.10 и 10.7.
Задача распределения капиталовложений в ее первоначальной постановке
была связана с максимизацией суммарного дохода с учетом бюджетных
ограничений путем выбора соответствующей комбинации проектов. Для того, чтобы
можно было решать задачи подобного рода, учитывающие неопределенность
будущего спроса, а также наличие нескольких противоречивых целей, в
работе (Keown and Martin [126]) была введена модель целочисленного целевого
программирования с вероятностными ограничениями, которая использовалась
при решении практических задач контроля и регулирования капитала. В
работе (Keown and Taylor [128]) описывается использование данной модели
применительно к производственной сфере. Кроме того, в (De et al. [54]) показано,
как расширить модель целевого программирования с вероятностными
ограничениями на случай задачи с булевыми переменными и как использовать эту
расширенную модель при решении задач распределения капиталовложений.
Рассмотрим компанию, которая имеет возможность приобрести машины
для предприятия. Предположим, что существует п типов подходящих машин.
Обозначим через Xi число выбранных машин г-го типа, где г = 1,2,..., п. Тогда
все величины Xi — неотрицательные целые числа. Пусть Oj — уровень затрат,
необходимых для приобретения машины г-го типа, а а — суммарный объем
средств, выделяемых для оплаты машин. В таком случае получаем
ограничение вида aixi + а^х?. + ... + апхп ^ а. Оно означает, что общая стоимость
приобретенных машин не может превышать объема отпущенных средств.
Другим ограничением является площадь, максимально доступная для
размещения машин. Предположим, что 6j — площадь, требуемая для машины г-го
типа, где г = 1,2,..., п. Если общая доступная площадь составляет 6, тогда
получаем следующее ограничение biXi + 62^2 + • • • + bnxn ^ 6.
Будем предполагать, что различные машины производят различные виды
продукции. Пусть r]i — производственная мощность машины г-го типа для г-го
вида продукции. Тогда общее количество выпущенного г-го вида продукции
будет составлять rjiXt, il = 1,2,..., п. Предположим также, что будущий спрос
6.9. Распределение капиталовложений 117
на продукцию г-го вида составляет &, i = 1,2,..., п. Поскольку производство
должно удовлетворять будущий спрос, получаем, что rjiXj ^ &, г = 1,2,..., п.
На практике производственные мощности щ и будущий спрос & обычно не
бывают точно известными. Будем предполагать здесь, что они являются
случайными величинами. Пусть ■фг и <f>i — плотности распределения вероятностей
Vi и &! * = 1)2,...,п, соответственно. Тогда ограничения rjjXi ^ & являются
стохастическими. Если менеджер задает величины сч как вероятности
удовлетворения спроса на продукцию г-го вида, где г — 1,2,..., п, тогда получаем
следующие вероятностные ограничения:
Рг{гцхг ^£} ^ au i = 1,2,...,п. (6.32)
Если Cj — чистая прибыль для г-го типа машин, г = 1,2,..., п, тогда общая
чистая прибыль составляет CiXi + С2Х2 + ... + спхп. Предположим, что наша
цель — максимизировать общую чистую прибыль, т. е. max CiXi + C2X2 + ... +
спхп, тогда получаем следующую целочисленную ССР-модель распределения
капиталовложений:
max С1Х1 + С2Х2 + ...+ с„х„
при ограничениях:
aixi +a2X2 + ... +апхп ^ а,
* (о.ЗЗ)
biXi + D2X2 + ... + о„х„ ^ о,
Pl{rjixi ^&} > "i, i = 1,2, ...,71,
Xi,i = 1,2,...,п, неотрицательные целые числа.
Теоретически, если все параметры aj,6j и Cj являются случайными, г =
1,2,...,п, следует назначить доверительные уровни /?ь/?2 и /?з для
ограничений на объем доступных средств и на площади для размещения
оборудования, а также для целевой функции прибыли, соответственно. Если
предполагается максимизировать оптимистическое значение / общей
прибыли CiXi + C2X2 + ... + спхп с вероятностью /Зз при наличии введенных
вероятностных ограничений, тогда имеет место следующая модель целочисленного
программирования с вероятностными ограничениями:
max /
при ограничениях:
Pr {ciXi + С2Х2 + ... + СпХп ^ /} ^ /?3 ,
< Pr {aiXi + а.2Х2 + ... + апхп ^ а} ^ /3i, (6.34)
Pr {b^i + Ь2х2 + ...+ <Ъ}>02,
PrOfcZi ^ &} ^ ац, i-l,2,...,n,
Xi,i = 1,2,..., п, неотрицательные целые числа.
Можно также установить следующие целевые уровни и структуру
приоритетов. Первый уровень приоритета (цель по ассигнованиям) определяет, что
118 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
общая стоимость затрат на оборудование не должна превышать заданного
значения с вероятностью 0i:
Pr {aiXi + a-ix-i + ...+ a„z„ - а ^ df} ^ /?ь
где dl должно быть минимизировано. На втором приоритетном уровне (цель
по требуемой производственной площади) — требование, чтобы общая
используемая площадь не превышала заданного допустимого значения с
вероятностью 02-
Рг {&ixi + b2x2 + ■ ■ ■ + bnxn - Ь ^ d% } ^ 02,
при этом d~2 должно быть минимизировано. Третий уровень приоритета (цель
по прибыли) относится к требованию о том, чтобы общая прибыль достигала
заданного уровня с (если с — некоторое очень большое число, тогда эта цель
означает, что общая прибыль должна быть как можно большей) с
вероятностью /33:
Рг {с - (cixi + с2х2 + ...+ спхп) ^ rig } ^ 0з,
где dj должно быть минимизировано. Будем предполагать, что вероятность
удовлетворения спроса составляет по крайней мере а, т. е.
Pr {mxi ^ &, г = 1,2,..., п} ^ а,
а все величины Xi, г = 1,2,..., п являются неотрицательными
целочисленными. Чтобы удовлетворить как можно большее число целей в заданном порядке,
используем следующую модель целевого программирования с вероятностными
ограничениями:
lexmin { df, d2 , d$ }
при ограничениях:
Pr{aiZi + а2х2 + ... + апхп - a ^ d+} ^ 0г,
Pr{6ixi + 62Z2 + ... + bnxn - b ^ d£} ^ 02 , .„ .
< _ (о.оо)
Рг{с - (cixi + с2х2 + ... + спхп) ^ d3 } ^ 0з ,
Pr {riiXi ^ &, г = 1,2,..., п} ^ a,
dt,d^,d^ ^ О,
xi, г = 1,2,..., тг, неотрицательные целые числа.
6.10. Открытые сети запасов
См. также раздел 7.9.
Обычно сеть описывается с помощью совокупности узлов {1,2,...,р} и дуг
{1,2,..., тг}. Дугу к будем обозначать как к ~ (г, j), указывая, что она
начинается в г-м узле и заканчивается в j-м узле. В качестве расширения
обычной сетевой модели в (Liu and Esogbue [170]) была предложена открытая сеть
6.10. Открытые сети запасов 119
запасов, в которой окружающий мир рассматривается как дополнительный
внешний узел, обозначаемый через оо.
В качестве прототипов для открытых сетей запасов возьмем модели,
используемые при решении стохастических задач управления запасами и
задач управления сетями хранилищ жидких продуктов1. Тогда узлы сети могут
представлять места хранения запасов или резервуары, внешний узел будет
соответствовать рынку или потребителю, а дуги будут отвечать поступлению
заказов, транспортировке запасов или перемещению жидких продуктов.
Для каждого узла i (исключая оо!) пусть а$ — состояние и & — случайный
элемент, соответственно. Далее, пусть & > 0 обозначают входы, а & < 0 —
выходы. Для задачи управления запасами ai представляет уровень запасов, & —
случайный спрос. Для задачи управления резервуарами a,i — объем
хранилища, & — случайный входной поток жидкого продукта.
Для каждой дуги к ~ (i,j) обозначим через Xk связанный с ней поток,
представляющий собой компонент вектора решений. Тогда решение Xk > 0
означает перемещение из узла г в узел j, a Xk < 0 — перемещение из узла j в
узел г. Для задачи управления запасами решением является заказанное извне
или транспортируемое из другого места количество товара, для задачи
управления водохранилищем решение представляет собой объем воды, втекающей в
водохранилище или же вытекающей из него.
Будем именовать сеть, введенную выше, открытой сетью запасов. В ней
дуги соответствуют компонентам вектора решений, узлы —местам
размещения запасов или резервуарам, а внешний узел — окружающему миру. Отметим,
что термин открытая применительно к рассматриваемой системе означает,
что общее количество запасов в ней может изменяться, поскольку в состав
системы введены внешний узел и случайный элемент.
В общем случае сеть обладает неограниченной пропускной способностью,
если —оо < Xk < +оо для всех дуг к, к — 1,2,...,п. Если это условие не
выполняется, то соответствующая сеть имеет ограниченную пропускную
способность. Большинство сетей относится к смешанному типу, в котором есть
дуги как с ограниченной, так и с неограниченной пропускной способностью.
В соответствии с этим будем считать, что на потоки х& наложены
ограничения % ^ Xk ^ Qk, к = 1,2,.. .,тг, соответственно. Поскольку каждый узел г
(исключая оо!) является товарным складом или резервуаром, их состояния сц,
подчиняются физическим ограничениям вида
Vi^ai^Vi, г =1,2,...,р.
Задача управления запасами возникает, когда требуется создать запас некоторых
материальных ресурсов с целью удовлетворения спроса на заданном интервале времени.
Традиционно эти задачи (inventory problems) ориентировались на потребности предприятий
поточно-массового производства, оптовой и розничной торговли и обрабатывающей
промышленности (см., например, [70, 72] в списке дополнительной литературы). Первые системы
управления запасами были разработаны для решения проблемы снабжения оборудования
запасными частями в условиях крупных предприятий. В случае, когда создаются запасы
жидких веществ (вода, нефтепродукты и т. п.) принято говорить о задачах управления
резервуарами (системой резервуаров) типа водохранилищ, нефтехранилищ и т. п. (reservoir
operations). — Прим. ред.
120 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
Например, эти ограничения могут быть такими: Vi = О, Ц — максимальный
объем хранилища.
Пусть а = (ai,a2,... ,ар) — вектор состояний, £ = (Ciibi-■■»£?) —
вектор случайных элементов с функцией совместной плотности распределения
вероятностей $(£), которая может быть сепарабельной или вырожденной, а
х = (xi, х2, ■ ■ ■, хп) — вектор решений, значения которого ограничены
множеством
D= {же 5Rn | q, ^Xi^Qi, i = l,2,...,n}, (6.36)
где qi и Qi не обязательно должны быть положительными и конечными.
Например, в задаче управления водохранилищем, % и Qi представляют собой
величину водопотребления и объем сброса воды, максимально допускаемый
плотиной, соответственно.
Состояние а' после того, как получены значения вектора решений и вектора
случайных элементов, описывается следующим уравнением перехода:
а! = а + t(x) + £, (6.37)
где t — векторнозначная функция: 5Rn —»5RP.
xi ^ ( 1 к — я( 4 1 >■ хя
х7
Рис. 6.1. Открытая сеть запасов
Модель, изображенная на рис. 6.1, включает четыре узла, помеченных как
1, 2, 3, 4, а также внешний узел, показанный здесь в виде пунктирного
эллипса. Кроме того, данная модель содержит девять дуг, список которых можно
представить как (1,со), (1,2), (1,3), (1,4), (2, со), (2,4), (3,оо), (3,4) и (4, со).
Функция t(x) в этой открытой сети запасов записывается следующим образом:
t(x) = (t1(x),t2(x),t3{x),ti(x)),
где ti(x) = -х\ — х2 — х3 - х4, t2(x) — х2 - х5 - хе, t3(x) = х3 - ху — xs, and
t^{x) = Х4 + Хб + Xg — Хд.
В этом разделе вводятся ССР-модели для открытых сетей запасов (Iwamura
and Liu [167]). Поскольку каждый г'-й узел представляет собой место
хранения запасов или резервуар, его состояние a,i должно быть неотрицательным.
6.10. Открытые сети запасов 121
Для системы управления запасами состояние должно удовлетворять условию
Oj ^ 0. Для резервуар ной системы аналогичное условие выглядит как а, ^ vu
где Vi — мертвое пространство хранилища \ представленного г-м узлом. С
другой стороны, значение а» должно быть меньше максимальной вместимости
хранилища VJ. Другими словами, вне зависимости от вида узла всегда имеет
место условие а, ^ V£. Следовательно, требуется найти некоторое решение х из
области D, такое, что состояние а\ после получения значений вектора решений
и случайных элементов удовлетворяет неравенству Vi ^ a\ ^ Vi, т. е.:
Wi<Oi + «i(a:)+&< Vu i = l,2,...,p, (6.38)
где и(х) — вещественнозначная функция, i = 1,2,... ,р. Поскольку в
уравнение (6.38) входит вектор случайных элементов £ = (£1,62,- -i£p), будет ли
данное решение удовлетворять имеющимся ограничениям, можно определить
только после получения реализации данного вектора. Однако, в рамках ССР-
модели имеется возможность задать для случайных ограничений (6.38)
доверительный уровень а и использовать следующее вероятностное ограничение:
Pr{wj <еч+Ь0»0 + 6 < V5.* = 1.2,...,p} ^a. (6.39)
Это вероятностное ограничение может рассматриваться как дополнительное
для включения его в набор ограничений, определяющих множество D. Таким
образом, решение х из области D является допустимым тогда и только тогда,
когда вероятностная мера множества
{i\vi ^ сц + U(x) + 6 < V5,г = 1,2,... ,р}
равняется по крайней мере а.
Сформулированное таким образом объединенное вероятностное
ограничение можно представить в виде набора отдельных вероятностных ограничений:
Pvivi^ai+tiW+ti^VA^ai, г = 1,2,...,р, (6.40)
где at — заранее определенные доверительные уровни для соответствующих
ограничений, i = 1,2,...,р. Следует отметить, что введенный набор
вероятностных ограничений в общем случае будет невыпуклым.
Вернемся к определению множества D. Для некоторого решения х £ D
предполагается, что оно может удовлетворять требованиям потребителей и
каждый из потоков не превышает пропускной способности соответствующей
дуги. Если такого рода решение х удовлетворяет вероятностному ограничению
(6.39), тогда решение обычно рассматривается как допустимое. В соответствии
с этими соображениями, простейшая ССР-модель формулируется следующим
образом:
{Найти вектор х, принадлежащий D
при ограничениях: (6-41)
Рг{Vi ^ сц + U{x) + & < Vi} > аи г = 1,2,... ,р.
'Т.е. объем хранилища, из которого содержимое не может быть извлечено обычными
(штатными) средствами. — Прим. ред.
122 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
Хотя любое решение х, даваемое ССР-моделью (6.41), считается
допустимым, лицо, принимающее решение, обычно интересуют решения более
специального вида, например такие, что минимизируют сумму потоков.
Вернемся к открытой сети запасов (резервуарной системе), показанной на
рис. 6.1. Предположим, что значения вектора пропускных способностей
девяти дуг данной сети формируют детерминированное множество D, в котором
вектор решений х = (xi,x2,... ,хд) подчиняется следующим ограничениям:
10 ^ xi ^ 50, 0 ^ х2 ^ Ю, 0 ^ х3 ^ 10,
0 ^ х4 ^ 15, 15 ^ х5 ^ 60, -5 ^ х6 < 5,
15 ^ х7 ^ 60, -5 ^ х8 ^ 5, 20 < х9 ^ 70.
Предположим, что входные потоки 4 резервуаров представляют собой
величины с логнормальным распределением £OGAf(2.24,1.122), COQAf(1.60,1.282),
COQN'(1.87,1.452) и £О^Л^(1.30,1.342). Будем также считать, что пары
величин (vi,Vi),i = 1,2,3,4 имеют значения (10,120), (20,100), (10,80) и (0,90),
соответственно.
Предположим также, что вероятность удовлетворения ограничениям (6.38)
для данного решения х из D должна быть не менее 0.90, а целью является
минимизация полной суммы потоков. Тогда задача оптимизации работы для
рассматриваемой открытой сети запасов формулируется как ССР-модель
следующего вида:
minflxil + \х2\ + \х3\ + \х4\ + \х5\ + \х6\ + \х7\ + \х8\ + \х9\]
при ограничениях:
10 ^ xi ^ 50, 0 ^ х2 ^ 10, 0 < х3 ^ 10,
0 ^ х4 ^ 15, 15 ^ х5 ^ 60, -5 ^ х6 < 5,
15 ^ х7 ^ 60, -5 ^ х8 ^ 5, 20 ^ х9 ^ 70,
{W^70-x1-x2-x3-x4+Zi ^120,
20 ^ 80 + х2 - х5 - х6 + £> < ЮО,
10 ^ 60 + х3 - х7 - х8 +Ь < 80,
0 < 50 + х4 + х6 + х8 - хд + £4 < 90
где числа 70, 80, 60 и 50 обозначают начальные объемы хранимой воды
(жидкости) в каждом из четырех резервуаров.
Проведение вычислений с помощью полученного выше варианта
гибридного алгоритма (3000 циклов статистического моделирования, 2000 пар данных
в обучающем наборе для нейронной сети, 3000 поколений в генетическом
алгоритме) показывает, что оптимальным является решение вида
х* = (31.8,0.0,0.1,0.1,43.6,1.3,47.0,0.0,20.2),
для которого уровень достоверности оказывается около 0.90, а сумма всех
потоков составляет 144.1.
^0.90,
6.11. Топологическая оптимизация 123
6.11. Топологическая оптимизация
См. также раздел 7.11.
Одной из важных задач, которые приходится решать при создании
вычислительных сетей, является формирование такой их топологии, которая
обеспечивала бы оптимальный компромисс между надежностью и стоимостью
созданной сети. Если показатели надежности узлов сети и ее каналов связи заданы,
тогда надежность системы в целом будет определяться тем, как узлы
соединены между собой каналами связи. Существует два основных подхода к решению
таких задач, один из которых заключается в минимизация общих затрат при
наличии ограничений на надежность, а второй — в максимизации надежности
с учетом ограничений на стоимость.
Пусть S = (V, £,7) — коммуникационная сеть (сеть связи), в которой
обозначения V и £ соответствуют терминалам и связям (каналам связи), а У—
множество значений надежности для каналов связи £. Если существует п
вершин (терминалов), тогда связи £ в сети можно описать посредством их
топологии:
х = {xij : 1 ^ г ^ п — l,i + 1 ^ j ^ п},
где х^ £ {О,1}, причем Xij = 1 означает, что выбрана связь (i,j), в противном
случае принимается xtj = 0.
Если предположить, что терминалы обладают идеальной надежностью, а
связи выходят из строя s-независимо с известными вероятностями, тогда успех
установления связи между терминалами, принадлежащими подмножеству %
множества V, будет случайным событием. Вероятность этого события
назовем ОС-терминальной надежностью и будем обозначать ее ЩХ, х), где через
х обозначена топология связей рассматриваемой сети. Сеть S называется %-
связной, если все вершины в % связаны в S- Таким образом, ЭС-терминальная
надежность определяется как
Д(ЭС, х) = Pr{S является ЗС-связной при топологии х}. (6-42)
Отметим, что если ОС = V, тогда ЗС-терминальная надежность R(0C, x) будет
представлять собой общую надежность рассматриваемой коммуникационной
системы.
Кроме того, для каждого потенциально возможного варианта
топологии сети, описываемого вектором х, общая стоимость будет составлять
Y^=i Y^i=i+i cijxiji гДе Cij —стоимости коммуникационных каналов (г, j), г =
1,2,..., п - 1, j = i + 1, г + 2,..., п.
В случае, если требуется минимизировать общую стоимость
рассматриваемой сети с учетом нескольких ограничений по надежности, получаем модель
следующего вида:
/ п— 1 п
min £ £ с^хц
i=1 ^=i+1 (6.43)
при ограничениях:
R(Xk,x)^Rk, fc=l,2,...,m,
где OCfc — целевые подмножества множества S, ай^ — наперед заданные
значения минимально допустимой надежности для каждого из этих подмножеств,
к = 1,2,..., т. В результате получена, очевидно, ССР-модель.
124 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
Для того чтобы решить задачу оптимизации топологии, основанную на этой
модели, используем гибридный алгоритм, в котором статистическое
моделирование, представление структуры сети, а также операции инициализации,
кроссинговера и мутации модифицированы как описано ниже.
После того как топология связей х задана, следует оценить DC-терми-
нальную надежность ЩОС, х) относительно предписанного целевого
множества DC. Задаче оценки DC-терминальной надежности в последние два
десятилетия было уделено значительное внимание. Разработать аналитический
алгоритм для вычисления ЩОС, х) практически невозможно. Можно, однако,
воспользоваться для решения данной задачи приведенным ниже алгоритмом
статистического моделирования, который состоит в TV-кратном повторении s-
независимых испытаний.
Алгоритм 6.2. Оценка DC-терминальной надежности
Шаг 1. Задать значение счетчика N' = 0.
Шаг 2. Сформировать случайным образом набор работоспособных связей £ ,
основываясь на заданной топологии связей а; и на значениях набора
вероятностей У для коммуникационных каналов.
Шаг 3. Проверить является ли граф S = (V, £') DC-связным. Фактически граф
с п вершинами S = (V, £ ) может быть описан с помощью матрицы
смежности, которая представляет собой п х п матрицу А = (a,ij) с
элементами а^ = 1, если связь (i,j) € £ , или a,j = 0, если это
условие не удовлетворяется. Пусть / есть п х п единичная матрица, at —
наименьшее целое число такое, что 2* ^ п— 1. Если элемент a[j
матрицы (J +■ А)2 является положительным для любых заданных индексов
i,j 6 DC, тогда граф S' будет DC-связным и N' — N' +■ 1.
Шаг 4. Повторить второй и третий шаги N раз.
Шаг 5. R(X,x) = N'/N.
Используем п(п — 1)/2-мерный вектор V = (у\,у2,- ■ ■ iVn{n~i)/2) как
хромосому для представления некоторого варианта топологии сети х, где у,
принимает значения 0 или 1 при 1 ^ г ^ п(п — 1)/2. Тогда соответствие между
топологией сети и хромосомой будет определяться следующим образом:
Xij = 2/(2n-i)(i-i)/2+j-i, l^i<n-l, i + l^j^n. (6.44)
Сформируем начальное значение хромосомы, присваивая компонентам yt,
г = 1,2,..., п(п—1)/2, целочисленные случайные значения из множества {0,1}.
Если полученная хромосома V = (уьуг,■ ■ - ,yn{n-i)/2) оказывается
допустимой, тогда она принимается, в противном случае процесс повторяется до тех
пор, пока не будет получена допустимая хромосома.
Операцию кроссинговера проиллюстрируем на паре хромосом (Vi, V2).
Обозначим
VI — [Ух ,2/2 ' • • • > Уп{п-1)/2) ' У2~\У1 ,У2 i • • • 1 Уп(п-1)/2)
6.12. Задача выбора маршрутов для транспортных средств 125
и сформируем случайным образом две позиции кроссинговера ni и пг,
значения которых будут лежать между 1 и п(п — 1)/2, так, чтобы выполнялось
условие П] < П2- Для хромосом Vi и V2 выполним обмен генами, которые
находятся в позициях между п\ и П2- В результате будут получены следующие
два потомка:
v> = ( W „(1) (2) (2) (1) (1) \
у, _ ((2) (2) (1) (1) (2) (2) \
Поскольку полученные два потомка не обязательно являются допустимыми,
следует проверить допустимость каждого из них, после чего заменить предков
допустимыми потомками.
Чтобы выполнить операцию мутации в хромосоме
V = (3/ЪУ2,---,ЗЛг(7г-1)/2),
сформируем две случайные мутационные позиции щ и пг со
значениями, лежащими между 1 и п(п — 1)/2, так, чтобы удовлетворялось
условие п\ < П2- Затем переформируем случайным образом последовательность
} со значениями ее элементов из множества {0,1}, чтобы
получить новую последовательность {y'ni,y'ni+i,■ ■ ■ ,у'П2}- В результате
получаем новую хромосому
У = (У1, ■ ■ ■, УП1-1,у'П1 ,■■■, у'„2,Уп2+1, - -, Уп(п-1)/2)
и заменяем предка V на потомка V, если он окажется допустимым.
6.12. Задача выбора маршрутов
для транспортных средств
См. также разделы 7.12, 10.9 и 11.8.
Задача выбора маршрутов (задача маршрутизации) связана с поиском
эффективных путей следования для некоторого парка транспортных средств,
обслуживающих определенное число клиентов, обладающих потребностями в ряде
товаров. При этом все маршруты начинаются и заканчиваются на некоторой
центральной станции (см. рис. 6.2).
Задачи маршрутизации исследовались весьма широко благодаря их
большой распространенности и значительной экономической важности. На
практике в задачах подобного рода всегда присутствуют случайные факторы. В
этом случае их принято именовать стохастическими задачами
маршрутизации. Перечень различных потенциально возможных в них неопределенностей,
приведенный в работе (Waters [289]), достаточно обширен и включает:
потребности клиентов; время перемещения между клиентами; перечень клиентов,
которых необходимо посетить; расположение клиентов; вместимость
транспортных средств; количество транспортных средств, пригодных на данный момент
126 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
Рис. 6.2. Граф путей следования транспортных средств
к эксплуатации. Это обстоятельство стимулировало изучение задач
стохастической маршрутизации. Обзор новых результатов в данной области дается в
работах (Bertsimas and Simchi-Levi [20]) и (Gendreau et al. [83]). В статье (Dror
et al. [57]) задача стохастической маршрутизации трактуется в терминах ССР-
моделей и EVM-моделей, а также анализируются некоторые математические
аспекты решения таких задач. В работе (Bastian and Rinnooy Kan [15])
сформулирован ряд ССР-моделей применительно к различным вариантам
постановок задач стохастической маршрутизации. Для одной из таких задач, в
которой случайными являются значения времени, необходимого для
перемещения между потребителями, в (Laporte et al. [148]) построена соответствующая
ССР-модель. Более общий подход представлен в (Liu and Lai [181]), где для
задач стохастической маршрутизации построен ряд моделей стохастического
программирования, а также гибридный алгоритм на основе статистического
моделирования и генетического алгоритма, позволяющий решать задачи с
использованием этих моделей.
В модели стохастической маршрутизации предполагается, что: (а) каждое
транспортное средство снабжено контейнером ограниченной вместимости и
общая загрузка каждого из транспортных средств не может превышать этой
вместимости; (Ь) каждое транспортное средство связывается только с одним
маршрутом, на котором могут присутствовать несколько потребителей; (с)
каждый потребитель посещается одним и только одним транспортным
средством; (d) каждый маршрут начинается и заканчивается в общем для всех
них месте (станции); (е) каждый потребитель устанавливает интервал
значений момента времени, допустимого или предпочтительного для начала
разгрузки доставленного товара; (f) потребности клиентов и значения времени
перемещения между ними предполагаются случайными величинами.
Введем следующие индексы и параметры модели:
i = 0: станция;
i = 1,2,..., п: потребители;
к — 1,2,..., т: транспортные средства;
6.12. Задача выбора маршрутов для транспортных средств 127
qf. случайная потребность г-го клиента;
Qk'- физическая вместимость fc-ro транспортного средства, к = 1,2,..., т;
Dif расстояние между потребителями с номерами г и j, i, j = 0,1,2,..., n;
Tiji случайное время перемещения от г-го потребителя к j'-му, i,j —
0,1,2,...,п;
Si', время разгрузки у г-го потребителя, г = 1,2,..., п;
[a,, bi\: интервал времени, установленный г-м потребителем как
разрешенный для выполнения у него операций с транспортным средством; здесь а, и
6, — начало и конец данного интервала, соответственно, г = 1,2,..., п.
В этой книге план перевозок описывается с помощью трех векторов
независимых переменных (векторов решений) х, у и 4, где:
х = (xi,X2,... ,хп) — целочисленная независимая переменная,
представляющая п потребителей, при этом 1 ^ ж, ^ п и ж, ф Xj для всех г ф j,
г, j = 1,2,..., п; иначе говоря, последовательность {xi, хг,..., хп}
представляет собой перестановку последовательности {1,2,..., п};
У = (l/ii2/2,■ ■■jj/m-i) — целочисленная независимая переменная, при этом
Уо = 0 ^ J/1 ^ J/2 < • • ■ < Ут-i ^п = ут;
t = (£i,£2. • ■ ■ i tm) — каждое tjt представляет собой время старта fc-ro
транспортного средства от станции, fc = 1,2,..., т.
Обратим внимание на то, что план перевозок полностью определяется
независимыми переменными х, у, t и осуществляется это следующим образом. Для
каждого fc (1 ^ к ^ т), если 2/jt = J/fc-ъ тогда fc-e транспортное средство не
используется. Если у к > J/jt-i, тогда fc-e транспортное средство используется
и начинает движение от станции в момент времени tk, при этом маршрут fc-ro
транспортного средства описывается как
О -> %t_,+i -> хУк_1+2 ->...-> а;^ -> 0. (6.45)
Такой способ представления задачи обладает наглядностью, а общее число
независимых переменных в ней составляет п + 2т — 1. Заметим также, что
введенный выше набор независимых переменных x,yut обеспечивает, что: (а)
каждое транспортное средство будет использовано самое большее один раз; (Ь)
все маршруты начинаются и заканчиваются на станции; (с) посещение каждого
потребителя будет выполнено одним и только одним транспортным средством;
(d) в маршрутах отсутствуют подциклы.
Пусть fi(x,y,t) — функция, значения которой представляют собой
время прибытия некоторого транспортного средства к г-му клиенту, при г =
1,2,..., п. Напомним, что значение функции fi(x, у, t) определяется
значениями независимых переменных х, у и 4, г = 1,2,.. .,п. Поскольку разгрузка
может начинаться немедленно по прибытии транспортного средства к
потребителю, либо с некоторой задержкой после прибытия, вычисление fi(x,y,t)
существенно зависит от принятой стратегии поставок. Здесь будет
предполагаться, что потребитель допускает доставку товара к нему только в установленный
им интервал времени. То есть, в случае прибытия до начала этого интервала
транспортному средству придется ожидать разгрузки. Если же транспортное
средство прибыло к потребителю после начала указанного интервала, разгруз-
128 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
ка будет начата немедленно. Для каждого к из диапазона 1 ^ к ^ т, если fc-e
транспортное средство используется (т. е. у^ > yk-i), получаем:
/*„*_! + ! (*> I/' *)=** + Т0Хук_1+1 (6.46)
(6.47)
для 2 ^ j ^ j/fe — j/jt-i, где V означает оператор максимума. Это следует из
стохастичности значения времени Ту перемещения транспортного средства
от потребителя г к потребителю j, в силу чего значения времени прибытия
fi(x,y,t), i = 1,2,...,п являются случайными величинами, которые
полностью определяются выражениями (6.46) и (6.47).
Пусть д(х,у) — общее расстояние, пройденное всеми транспортными
средствами. Тогда имеем
т
S(s. У) = X! 5fe(a;' УЪ (6-48)
fe=i
где
Г Ук-1
п,(т iA - I До*»*-1+' + £ ^«i+i + ^„о, если »* > Wf-ь
дк(Х,у) — < J"=»*_i+1
I 0, если ук = Ук-1,
для fc = 1,2,..., т.
Прежде всего, общее количество требуемых товаров для некоторого
маршрута не может превышать вместимости транспортного средства, приписанного
к этому маршруту. Учитывая стохастичность потребностей qt, для каждого fc-
го транспортного средства следует ввести некоторый доверительный уровень
afe. Он показывает, с какой степенью уверенности заявленный полный объем
потребностей будет удовлетворен fc-м транспортным средством, назначенным
для выполнения соответствующих заявок, т. е.
Рг| J2 qXj^Qk\>ak, к = 1,2,..., т. (6.49)
Предполагается также, что транспортное средство посетит каждого г'-го
клиента в течение заданного интервала времени [а,, 6,] с доверительным
уровнем Pi, i = 1,2,..., п. В результате получаем следующие ограничения:
РгШам/.ОеК &*]}>&, г = 1,2,..., п. (6.50)
Если необходимо минимизировать общее расстояние, пройденное всеми
транспортными средствами, с учетом ограничений (6.49) и (6.50), тогда при-
6.12. Задача выбора маршрутов для транспортных средств 129
(6.51)
ходим к следующей ССР-модели (Liu and Lai [181]):
ming(a;, у)
при ограничениях:
Pi{fi(x,y,t) € [aubi]} ^Pi, i = l,2,...,n,
1 ^ Xi ^ n, i = l,2, ...,n,
Xi tF Xj, I ^ J, I, J = 1,2,..., n,
0 < 2/1 < У2 < • • • < Ут-l < " ,
Г 1/, 1
PM X) fej < Qfe > > oik, k = l,2,...,m,
Xi,yj, г = 1,2,...,n, j = 1,2,...,m- 1, целые.
В ряде случаев управление целями, осуществляемое лицом, принимающим
решение, использует следующую структуру приоритетов.
Первый уровень приоритета определяет, что для каждого клиента
посещение транспортным средством должно укладьшаться в заданный промежуток
времени [а,,6г] с доверительным уровнем /3j, i = 1,2,...,п. Это дает
следующие целевые ограничения:
Рг {fi{x,y,t) -bi^ d+} > A, Pr{oi - fi(x,y,t) ^d-}^0i
при i = 1,2,... ,n, в которых Y17=i i^t + ^Г) Должна быть минимизирована.
Согласно второму уровню приоритета следует минимизировать общее
расстояние, проходимое всеми транспортными средствами. Соответствующее
целевое ограничение имеет вид:
g{x,y) + d-+1-d++1=0.
Здесь d£+1 должно быть минимизировано.
Таким образом, получаем следующую модель целевого программирования
с вероятностными ограничениями для стохастической задачи маршрутизации
(Liu and Lai [181]):
lexmin I £ (d+ + di ), d++1 j
при ограничениях:
Pi{fi(x,y,t)-bi ^d+} >fr, i = \,2,...,n,
Pr{ai - fi(x,y,t) ^ d~} ^ /?,-, i = 1,2,. ..,n,
g(x,y)+d-+1-d++1=0,
1 ^ xi ^ n, г = l,2,...,n,
Xi^Xj, ъфз, г, j = 1,2,..., n,
0 ^ Vl < У2 ^ ■ • • < Ут-1 < П ,
(6.52)
Pr
Ук
I] qXj ^Qk? >&k, к = 1,2,...
df,d~^0, i = l,2,...,n+l,
х,,ад, г = 1,2, ...,n, j = 1,2, ...,m-l,
,m,
целые.
130 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
Для решения стохастической задачи маршрутизации с использованием
ССР-модели применим введенный ранее гибридный алгоритм, в который
внесены соответствующие изменения, касающиеся структурного представления
элементов задачи и их инициализации, а также операций кроссинговера и
мутации применительно к особенностям рассматриваемой проблемы.
Представим план поставок с помощью хромосомы V = (x,y,t), где гены
х, у, t совпадают с независимыми переменными исходной задачи. Без потери
общности можно также принять, что интервал времени, в течение которого
транспортные средства находятся на станции, имеет вид [а, 6]. Это значит, что
ген 4, связанный со значениями стартовых моментов времени для
транспортных средств, будет принимать значения из гиперкуба [а, 6]ш.
Покажем как сформировать случайным образом начальное значение
хромосомы. Для гена х определим последовательность {xi,x2,... ,хп}, в
которой ж, = г, г = 1,2,...,п. После этого повторим п раз (для j от 1 до п)
следующий процесс: формируется случайная позиция п' между j и п и
производится обмен значениями между Xj и хп>. Очевидно, что
последовательность {xi,X2,--.,xn} представляет собой случайную перегруппировку
последовательности {1,2, ...,п}. В результате получаем ген х = {х\,х2,- ..,xn).
Для каждого i из диапазона 1 ^ г ^ т — 1 зададим значение величины у, как
случайное целое из диапазона между 0 и п. Затем выполним упорядочение
последовательности {j/i, j/г, • • ■,Ут-i} по возрастанию значений ее элементов.
Получим в итоге ген у = (j/i, J/2, • • • > J/m-i)- Наконец, для каждого i из
диапазона 1 ^ г ^ т зададим величину tj как случайное число, принимающее
значения из интервала времени [а,6]. Отсюда получим ген t — (ti,<2> - • - ,tm)-
Если сформированная хромосома V = (х, у, t) оказывается допустимой, тогда
она принимается, в противном случае описанный процесс повторяется до тех
пор, пока не будет получена допустимая хромосома.
Действие оператора кроссинговера покажем на паре хромосом (Vi, Vfc).
Обозначим Vi = (xi,yt,ti) при г = 1,2. Вначале сформируем случайное число с из
открытого интервала (0,1) и определим
t\ = С ■ ti + (1 - С) • t2, *2 = С1 - С) • *1 + С • t2.
Выполнение операции кроссинговера дает двух потомков V/ и V2: V[ =
(xi,y2,t[) и V^ = (x2,y1,t'2).
Произведем мутацию хромосомы V = (x,y,t) следующим образом. Для
гена х сформируем две случайных мутационных позиции щ и п2,
принимающие значения из диапазона между 1 и п. После этого проведем случайным
образом перегруппировку последовательности {xni,xni+i,... ,хП2), чтобы
получить новую последовательность {х'П1,х'П1+1,... ,х'П2}. Получаем в результате
новый ген вида
х == (Х\,..., хП1—1,хП1,хП1^_1,... ,хП2,хП2+1,... ,хп).
Аналогично, для гена у формируются две случайные мутационные позиции
rii и П2 со значениями между 1 и т — 1. Значения величин у, задаются как
6.12. Задача выбора маршрутов для транспортных средств 131
случайные целые числа у\ между 0 и п для i = п\, щ + 1,..., пг. После этого
производится перегруппировка последовательности
{г/1, • ■ •, 2/щ-ь у'щ. у'тц+1, • • •. Уп2> 2/П2+11 • ■ • i Ут-i}
для упорядочения ее по возрастанию значений элементов. В итоге получается
новый ген у'. Для гена t случайным образом выбирается мутационное
направление d в пространстве Жт. Если оказывается, что t + М ■ d не принадлежит
требуемой области [a, b]m, тогда будем задавать значение М как случайное
число из диапазона между 0 и М до тех пор, пока указанное выше условие не
окажется выполненным; здесь М — наперед заданная длина шага. Если
рассмотренный выше процесс не приводит к получению гена t из гиперкуба [a, b]m
в течение предписанного числа итераций, тогда устанавливается М = 0. Ген
предка t заменяется геном его потомка t' = t + M ■ d.
Пусть у компании имеется 20 клиентов, помеченных "1,2,...,20" и одна
станция, помеченная "0". Предположим также, что потребности клиентов, а
также значения времени перемещения между клиентами все распределены по
нормальному закону со средним значением ц и среднеквадратическим
отклонением а. Интервалы времени доставки и потребности клиентов представлены
в табл. 6.1. Время перемещения между клиентами и матрица расстояний для
станции и клиентов даются в табл. 6.2 и табл. 6.3, соответственно.
Таблица 6.1. Временные интервалы доставки и потребности клиентов
Клиенты
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Временные интервалы [а, Ь]
[08 : 00,15 : 20]
[08 : 20,14 : 30]
[08 : 40,14 : 40]
[08:20,14:30]
[08 : 00,15 : 20]
[08 : 00,14 : 20]
[08 : 30,14 : 00]
[08 : 00,15 : 30]
[08 : 00,15 : 50]
[08 : 30,14 : 20]
[08 : 40,13 : 20]
[08 : 10,14 : 20]
[08 : 00,15 : 20]
[08 : 20,15 : 30]
[08 : 40,15 : 00]
[08 : 20,14 : 30]
[08 : 00,14 : 10]
[08 : 00,15 : 20]
[08 : 30,15 : 00]
[08 : 30,15 : 20]
Потребности(^)
200
100
140
160
200
60
200
135
160
165
140
100
200
80
60
200
90
200
90
100
Потребности(ст)
100
50
70
80
100
30
100
60
80
80
70
50
100
40
30
100
45
100
45
50
132 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
Таблица 6.2. Матрица времени перемещения^, а)
LCTs 0123456789
1 (50,25)
2 (10,5) (40,20)
3 (50,25) (10,5) (40,20)
4 (15,7) (50,25) (15,7) (45,22)
5 (50,25) (35,17) (35,17) (30,15) (35,17)
6 (50,25) (15,7) (40,20) (5,2) (45,22) (30,15)
7 (25,12) (40,20) (30,15) (35,17) (15,7) (25,12) (35,17)
8 (15,7) (40,20) (10,5) (45,22) (20,10) (35,17) (40,20) (35,17)
9 (50,25) (15,7) (45,22) (10,5) (45,22) (30,15) (10,5) (40,20) (40,20)
10 (20,10) (45,22) (25,12) (45,22) (15,7) (30,15) (40,20) (10,5) (25,12) (45,22)
11 (50,25) (10,5) (35,17) (30,15) (35,17) (10,5) (30,15) (10,5) (35,17) (35,17)
12 (55,27) (35,17) (35,17) (30,15) (35,17) (5,2) (30,15) (15,7) (35,17) (35,17)
13 (10,5) (40,20) (10,5) (40,20) (15,7) (30,15) (35,17) (35,17) (10,5) (40,20)
14 (50,25) (10,5) (40,20) (5,2) (45,22) (30,15) (5,2) (35,17) (35,17) (10,5)
15 (45,22) (10,5) (40,20) (10,5) (45,22) (30,15) (10,5) (35,17) (35,17) (5,2)
16 (15,7) (45,22) (15,7) (45,22) (20,10) (30,15) (45,22) (35,17) (20,10) (45,22)
17 (30,15) (40,20) (25,12) (40,20) (20,10) (25,12) (35,17) (5,2) (25,12) (40,20)
18 (50,25) (10,5) (45,22) (10,5) (50,25) (30,15) (15,7) (35,17) (40,20) (15,7)
19 (30,15) (40,20) (25,12) (40,20) (20,10) (25,12) (35,17) (5,2) (25,12) (40,20)
20 (25,12) (40,20) (25,12) (45,22) (20,10) (30,15) (40,20) (10,5) (25,12) (45,22)
LCTs 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
11 (30,15)
12 (25,12) (15,7)
13 (40,20) (35,17) (35,17)
14 (40,20) (30,15) (30,15) (40,20)
15 (40,20) (30,15) (40,20) (40,20) (5,2)
16 (30,15) (35,17) (15,7) (15,7) (45,22) (45,22)
17 (10,5) (25,12) (25,12) (25,12) (35,17) (35,17) (25,12)
18 (40,20) (30,15) (40,20) (40,20) (15,7) (15,7) (40,20) (40,20)
19 (10,5) (25,12) (25,12) (25,12) (35,17) (35,17) (25,12) (5,2) (40,20)
20 (10,5) (30,15) (20,10) (20,10) (40,20) (40,20) (40,20) (10,5) (45,22) (10,5)
Примем, что величина времени, требуемого для разгрузки (5j,i =
1,2,...,20) в 20 местах расположения клиентов, равняется 20, 10, 15, 10, 13
18, 20, 12, 15, 16, 18, 20, 15, 16, 20, 15, 12, 14, 10, 18, а значения вместимоси-
(Qk,k = 1,2,3,4) четырех используемых транспортных средств составляю!
800, 850, 1000, 1200, соответственно.
Сначала установим значение, равное 90%, для доверительного уровня,
оценивающего степень уверенности в том, что транспортное средство прибудеп
к клиенту в пределах заданного им интервала времени доставки. Это даеп
следующее вероятностное ограничение:
Pr{fax,у,t) G [oi,bi],i = l,2,...,20}> 0.90.
Доверительный уровень, оценивающий степень уверенности в том, что бу
дут удовлетворены все потребности клиентов, устанавливается равным 80%. I
результате получаем такое вероятностное ограничение:
РМ 5Z &j,<Qk,k = 1,2,3,4 \> 0.80.
V J=3/fc—1 + 1 )
6.V2.. Задача таълЬора маршрутов для транспортных средств 133
Таблица 6.3. Матрица преодолеваемых расстояний
LCTs 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
1 90
2 20 70
3 80 30 60
4 30 90 25 75
5 85 65 55 70 75
6 95 25 70 15 85
7 45 70 65 75 35
8 35 80 20 85 40
9 80 35 85 20 75
10 45 85 45 85 25
11 90 20 65 60 65
12 95 65 65 70 55
13 20 80 20 80 25
14 95 20 80 15 85
15 85 20 80 20 85
16 25 85 25 85 40
17 60 80 55 80 40
18 90 20 85 20 95
19 60 70 45 80 40
20 55 80 45 85 40
60
45 65
65 70 65
60 20 90 70
60 80 20 35 85
20 65 20 75 75 60
15 60 25 65 65 45 35
60 75 75 20 80 80 75 75
60 15 75 75 20 80 60 60 80
60 20 65 75 10 80 60 80 80 15
60 75 75 40 85 60 65 30 25 85 85
45 65 15 45 80 20 45 45 45 65 65 45
60 25 75 80 25 80 60 80 80 25 25 80 80
55 65 15 45 80 20 45 45 45 65 75 45 15 80
60 80 20 45 85 20 60 40 40 80 80 80 20 85 20
Если требуется минимизировать общее расстояние, пройденное всеми
транспортными средствами с учетом полученных выше двух вероятностных
ограничений, тогда получаем следующую ССР-модель:
ттд(х,у)
при ограничениях:
Рг {fi(x, у, t) е [о*, bi], * = 1,2 20} > 0.90,
l^Xi<20, г = 1,2,..., 20,
Xi ф Xj, 1ф j, i, j = 1,2,..., 20,
0 ^ 2/i < 2/2 < Уз < 20,
Pr
{Vk
j=j/fc-i+i
■£« 1 Vj !
Xi < Qjt,* = 1,2,3,4 >> 0.80,
г = 1,2,. ..,20, j = 1,2,3, целые.
Проведение вычислений с помощью полученного выше варианта
гибридного алгоритма (4000 циклов статистического моделирования, 1000 поколений в
генетическом алгоритме) показывает, что наилучшим планом перевозок
является следующий:
Транспортное средство 1: станция—» 10 —» 19 —> 17 —> 18 —>станция;
Транспортное средство 2: станция—» 13 —■* 8 —» 2 —»16 —»станция;
Транспортное средство 3: станция—» 1—»14—»6—»7—»4 —»станция;
134 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
Транспортное средство 4: станция—» 3 —> 9 —> 15 —» 11 —» 5 —» 12—>
20 —»станция.
Стартовое время для четырех рассматриваемых транспортных средств
равняется 8:32, 8:05, 8:14 и 8:32, соответственно. Общее расстояние, пройденное
этими транспортными средствами, составляет 915. Кроме того, когда
полученный план перевозок выполнен, имеют место следующие соотношения:
Pr {fi{x*,y*, Г) € [аи Ь], i = 1,2,..., 20} = 0.94,
Рг< Г q*-. ^Qk,к = 1,2,3,4 1=0.80.
6.13. Оптимизация резервирования
См. также разделы 5.5, 7.13, 9.4, 10.8 и 11.5.
Одной из характеристик системы является ее а-долговечность,
определяемая как наибольшее из значений величины Т, удовлетворяющее условию
Рг{Т(а:,£) > Т} > а. В данном разделе рассмотрим модель оптимального
резервирования, основанную на использовании этого показателя.
ВХОД
1 | 1 1 4
3
2 I 1 1 5
-выход
Рис. 6.3. Система с мостиковой структурой
Рассмотрим систему с мостиковой структурой, показанную на рис. 6.3.
Предположим, что для каждого компонента имеется только один тип
допустимых элементов. Сроки службы для 5 используемых в системе типов элементов
предполагаются случайными величинами, распределенными по нормальному
закону: ЛГ(140,202), ЛГ(158,222), ЛГ(165,252), ЛГ(150,232) и ЛГ(135,242),
соответственно. Предположим, что резервные элементы для каждого компонента
подключены параллельно. Вектор решений запишем в виде х = (xi, Х2, ■ ■ ■, £5),
где Xi обозначает число выбранных элементов г-го типа, i = 1,2,..., 5.
Цены на элемент каждого из 5 типов предполагаются следующими: 85,
100, 120, 112 и 95 единиц. Предположим также, что общая сумма доступных
средств составляет 600 единиц. Тогда получаем следующее ограничение на
полную стоимость системы:
С(ж) = 85zi + 100z2 + 120z3 + H2z4 + 95z5 < 600.
Цель решения задачи состоит в определении оптимального числа
резервных элементов таким образом, чтобы максимизировать значение а-
долговечности системы (здесь примем, что а = 0.9) с учетом введенного выше
6.14. Размещение и распределение объектов 135
ограничения на ее полную стоимость. Для этой задачи в (Zhao and Liu [309])
была предложена следующая ССР-модель:
тахТ
при ограничениях:
Рг{Т(ж,£)>Т} ^0.9,
С(х) < 600,
х ^ 1, целочисленный вектор.
Применим гибридный алгоритм для решения задачи с использованием
рассмотренной выше модели. Для каждого наблюдаемого значения вектора £
сроков службы элементов можно дать оценку срока службы Т(х, £) для всей
системы в целом, если воспользоваться соответствующим алгоритмом,
представленным на с. 91. Формирование обучающего набора данных для функции,
которая содержит неопределенность,
U{x) = max {Т | Рг {Т(х, £) > Т} > 0.9} ,
выполним путем статистического моделирования, с использованием
структурной функции для рассматриваемой системы. После этого воспользуемся
полученными данными для обучения нейронной сети (5 входных нейронов, 10
нейронов в скрытом слое, 1 выходной нейрон), которая аппроксимирует функцию
U. На завершающем этапе формирования гибридного алгоритма обученная
сеть встраивается в генетический алгоритм.
Проведенные вычисления с помощью полученного варианта гибридного
алгоритма (10000 циклов статистического моделирования, 5000 пар данных для
нейросети и 300 поколений в генетическом алгоритме) показывают, что
оптимальное решение рассматриваемой задачи имеет вид х* = (2,1,1,1,1). При
этом значение а-долговечности системы (а = 0.9) составляет Т = 130.75, а
срок службы системы равен С(х*) = 597.
6.14. Размещение и распределение объектов
См. также разделы 5.6, 7.16, 9.6, 10-12 и 11.7.
Обратимся опять к задаче размещения и распределения объектов,
обсуждавшейся в разд. 5.6. Если требуется минимизировать а-оптимистические
затраты, тогда получаем ССР-модель следующего вида (Zhou and Liu [314]):
min /
x,y
при ограничениях:
PWweftl min £ £ zij\/(xi - %)2 + (2/i - bj)2 <: f > > a,
I 'z£Z(w)i=iH v J
9з(я,У) <0, j = l,2,...,p,
где / — а-оптимистические затраты, a Z(ui) определяется уравнением (5.13).
136 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
Для решения задачи на основе этой модели с помощью гибридного
алгоритма можно воспользоваться статистическим моделированием, чтобы вычислять
значения функции, содержащей неопределенность
U : (х,у) -» min {/ | Рг{ш G П | С(х,у\и?) < /} > а} ,
где
71 ТП
С(х,у\ш) = min ^ JZ z*i V (^ ~ аз)2 + Ьи ~ ъз)2-
Алгоритм 6.3. Статистическое моделирование
Шаг 1. Сформировать lj\,lj2,- ■ ■ ,^N, принадлежащие вероятностному
пространству Г2, согласно введенной вероятностной мере Рг.
Шаг 2. Для каждого ujj, решить задачу линейного программирования (5.14) с
помощью симплекс-алгоритма и обозначить получаемые оптимальные
значения целевой функции через ct, г = 1, 2,..., N, соответственно.
Шаг 3. Величине N' присвоить значение, равное целой части числа aN.
Шаг 4. Выдать в качестве решения наименьший элемент N' из {ci, сг,..., сдг}.
Воспользуемся данными, приведенными в разд. 5.6. Пусть минимизируются
а-оптимистические затраты (а = 0.9). Проведем вычисления с помощью
соответствующего варианта гибридного алгоритма (5000 циклов
статистического моделирования и 300 поколений в генетическом алгоритме). В результате
получим следующее оптимальное размещение для рассматриваемых четырех
объектов:
(И,й) = (61-50,59.49), (га,2/г) = (37.61,88.17),
(а*, Уз) = (78.12,19.69), (i4,2/4) = (27.00,49.33),
при этом а-оптимистические затраты (а = 0.9) составят 2261 единицу.
6.15. Задача о критическом пути
См. также разделы 7.14, 10.10 и 11.9.
Управление проектом обычно может быть показано в виде ациклического
ориентированного графа, в котором узлы соответствуют определенным ключевым
событиям в процессе выполнения проекта или точкам принятия решений, а
дуги отвечают действиям, которые характеризуются затраченным на них
временем. Одна из важнейших задач состоит при этом в выборе критического пути
в сети, т. е. последовательности действий с наибольшим временем завершения.
Пусть S = (У,Л)—ациклический ориентированный граф, где V =
{1,2,...,п} — множество узлов (вершин графа), Л —множество дуг, (i,j) G
Л—дуга графа S, идущая из узла г в узел j. Известно, что можно выполнить
перестановку индексов узлов в V таким образом, чтобы для всех (i,j) 6 Л
выполнялось условие г < j.
6.15. Задача о критическом пути 137
Чтобы построить математическую модель для задачи о критическом пути,
воспользуемся следующим представлением пути:
х = {xtj | (i,j) £ А} ,
при этом запись Xij = 1 означает, что дуга (i,j) принадлежит
рассматриваемому пути, а х^ = 0 — дуга (г, j) не лежит на данном пути.
Доказано, что х = {xij\(i,j) G .А} является путем, проходящим через узлы
с индексами от 1 до п в ациклическом ориентированном графе, тогда и только
тогда, когда
/ - х*з 7 -
иЗг
(«.Лел
и,г)ел
1,
о,
г-Г
если г = 1,
если i = 2,3,..
если г = п.
.,п
1,
(6.53)
Пусть &J— длины дуг (i,j) 6 А. Введем запись вида £ = {fy|(i,j) 6 Л}.
Тогда выражение для длины пути х можно представить как
Пх,0
7 j <*ijxij-
(i,j)eA
(6.54)
Путь х называется критическим путем, проходящим через узлы от 1 до л
графа 5, если для длины этого пути выполняется условие Т(х, £) ^ Т(х',£),
где х' — любой другой путь, проходящий через те же самые узлы графа S-
В практических задачах некоторые длины дуг (i,j) будут случайными
величинами. Для решения задач подобного рода введем понятие а-критического
пути.
Определение 6.1. {Zhong and Liu [312]) Путь х называется а-критическим
путем, проходящим через узлы с индексами от 1 до п, если
max {Т | Рг {Т(х, £) > Т} > а} > max {Т | Рг {Т(ж', £) > Т} > а}
<?ая любого пути х', проходящим через те же самые узлы, где а — наперед
заданный доверительный уровень.
Для нахождения а-критического пути, проходящего через узлы от 1 до п,
в работе (Zhong and Liu [312]) предложена следующая модель а-критического
пути:
max T
при ограничениях:
Рг
(,
5] ZijXij ^Т> > а,
з)е-л I
5Z xij - 5Z хп
(i.j)e-A Ш)€Л
х.
(i,J)€-A
IJ
(J,i)eA
bjt
1,
= 0, i = 2,3,.
1,
unj
(n,j)eA U<n)eA
x^ £{0,1}, V(i,j)eA.
-1,
138 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
Для решения задач на основе этой модели можно воспользоваться
соответствующим вариантом гибридного алгоритма, в который внесены изменения,
касающиеся структурного представления элементов задачи и их
инициализации, а также операций кроссинговера и мутации применительно к
особенностям рассматриваемой проблемы.
Используем вектор (щ, V2, • • ■, Vk) как хромосому для представления пути,
роходящего через узлы от 1 до п. Отметим, что размер хромосомы не
фиксирован. Обсудим соотношение между (vi,U2,...,ujfc) и {xij\(i,j) 6 А}. Если
хромосома (г>1,г>2,... ,Vk) представляет путь, проходящий через узлы от 1 до
п, тогда имеем (1, v{) € A, (vi, иг) бЛ {Щ-1,щ) 6 A, (vk, n) 6 А. Из этого
следует, что можно дать следующее определение
1, если i — \,j = ы,
_ I 1, если существует I такое, что i =vi,j = vi+i,
гз I 1, если i = Vk, j = n,
О в других случаях,
а;ля всех (i,j) 6 А. Легко показать также, что путь {xij\(i,j) 6 А}, полученный
гаким способом, является решением, удовлетворяющим соотношению (6.53).
Гогда хромосому можно получить с помощью следующего алгоритма:
Алгоритм 6.4. Переход от пути к хромосоме
Шаг 1. Задать I = 0 и ад = 1.
Шаг 2. Найти 771 Такое, ЧТО Xvim — 1*
Шаг 3. I *— I + 1 и vi = т.
Шаг 4. Повторять второй и третий шаги до выполнения условия vi = п.
Шаг 5. Получить хромосому (г>1,г>2, ■ • • ,vi-i).
Для инициализации допустимой хромосомы можно воспользоваться следу-
ощей эвристической процедурой:
Алгоритм 6.5. Инициализация хромосомы
Шаг 1. Установить Z = 0 и ад = 1.
Шаг 2. Выбрать случайным образом индекс т такой, чтобы (vi,m) G А.
Шаг 3. I *— I + 1 и vi = т.
Шаг 4. Повторять второй и третий шаги до выполнения условия vi = п.
Шаг 5. Получить хромосому (v\,V2,-.. ,vi-\).
Пусть (i>i,i>2,---,ffc) и (v^v^,... ,v'k,) — две хромосомы. Будем выполнять
перацию кроссинговера для них следующим образом. Если у этих хромосом
меются общие узлы, тогда случайным образом выбирается один из них, на-
ример, Vi = Vi>. С учетом этого, сформируем следующие две хромосомы
(i;i, v2, ...,vu ?j-,+1,..., v'k,), К,г>2,..., v[,, vi+1,..., vk),
6.15. Задача о критическом пути 139
которые будут, как и исходные хромосомы, также допустимыми, отвечающими
пути, который проходит через узлы от 1 до п. Если общего узла у выбранных
двух хромосом нет, тогда с ними никаких операций не выполняется.
Проведем теперь мутацию хромосомы. Сформируем случайным образом
целое число из множества {1,2, ...,к} и обозначим его как i. Затем
построим путь {v'i+1,...,i/k,), проходящий через узлы от Vi до п аналогично тому,
как это было выполнено для процесса инициализации хромосомы. После этого
построим новую хромосому (vi,V2,---,Vi,v'i+1,... ,v'k,).
Чтобы проиллюстрировать приведенную в данном разделе модель,
рассмотрим проект, граф которого показан на рис. 6.4. Здесь длины дуг являются
случайными величинами, значения которых заданы в табл. 6.4.
Рис. 6.4. Проект энергетической системы
Проведение вычислений с помощью представленного выше варианта
гибридного алгоритма (5000 циклов статистического моделирования, 500
поколений в генетическом алгоритме) показывает, что искомый а-критический путь
при различных заданных значениях доверительного уровня а имеет вид:
0.9-критический путь: 1->2->4->7-> 12->16->22->26->30->32,
0.9-критическая длина пути = 84.6;
0.8-критический путь: 1->2->4->7->12->16->22->26->30->32,
0.8-критическая длина пути = 87.2;
0.7-критический путь: 1->2->4->7->12->16^22->26^30^32,
0.7-критическая длина пути = 89.2;
0.6-критический путь: 1->2->4->7->12->16->22->26->30->32,
0.6-критическая длина пути = 91.0;
0.5-критический путь: 1->2-»4->7->12->16->22->26->30->32,
0.5-критическая длина пути = 92.9.
140 Глава 6. Программирование с вероятностными ограничениями
Таблица 6.4. Длины дуг соответствующих этапов проекта
Дуга
(1,2)
(1,3)
(2,8)
(5,8)
(6,14)
(7,12)
(9ДЗ)
(10,15)
(12,17)
(13,18)
(14,19)
(16,22)
(19,23)
(21,25)
(23,26)
(24,28)
(26,30)
(28,31)
(31,32)
Распределение
Af(14,2)
Af(9,l)
Af(10,l)
Af(7,l)
T(6,15,10)
T(6,13,8)
Т(6,15,9)
£ЛТ(6)
Щ\2,2)
N(11,2)
Т(9,12,11)
Л/"(15,2)
Л/"(15,2)
^(4,9)
£ХГ(6)
Т(9,12,10)
Л/"(10,2)
W(6,13)
Af(8,l)
Дуга
(1,5)
(1,9)
(ЗДО)
(5,9)
(6,10)
(8,12)
(9,14)
(11,21)
(12,16)
(14,18)
(15,19)
(17,25)
(19,24)
(22,25)
(23,27)
(25,29)
(27,30)
(29,32)
Распределение
W(8,16)
W(6,14)
Af(17,2)
£XV{10)
£XV(W)
Т(5,13,9)
£Л"Р(12)
Af(8,l)
Л/"(10,2)
£XV(8)
£ХГ(7)
Af(5,l)
Л/"(15,2)
£ХГ(Щ
W(6,10)
Af(9,2)
Af(ll,2)
W(3,8)
Дуга
(1,6)
(2,4)
(4,7)
(6,9)
(7,П)
(8ДЗ)
(10,14)
(12,21)
(13,16)
(14,23)
(15,20)
(18,26)
(20,24)
(22,26)
(23,28)
(25,30)
(28,30)
(30,32)
Распределение
W(7,14)
Т(5,15,10)
Щ6,Щ
Щ4,9)
£XV{$)
Т(3,15,8)
£ХР(15)
ЩЗ,Ы)
£ХГ(17)
Л^(5,1)
£XV(&)
Щ3,9)
£XV{\2)
W(6,14)
T(6,ll,8)
W(4,12)
Т(4,15,9)
£XV{\2)
6.16. Составление расписания
для параллельно действующих машин
См. также разделы 5.7, 7.15, 9.5, 10.11 и 11.6.
Вернемся к задаче составления расписания работы для параллельно
действующих машин, рассмотренной в разд. 5.7. Пусть имеется следующая структура
приоритетов. Первый уровень приоритета определяет, что время запаздывания
/i(a3, у, О не должно превышать предписанного значения 6i с доверительным
уровнем сц. Таким образом, получаем следующее целевое ограничение:
Рг {fi(x,y,£) - bi < d+} > alt
в котором d|~ должно быть минимизировано.
Второй уровень приоритета устанавливает, что время выполнения операции
/2(аз, у,£) не должно превышать предписанного значения Ьг с доверительным
уровнем Q.2- Это приводит к такому целевому ограничению:
Рг{/2(ам/,д-Ь2<4}>"2.
в котором будет минимизироваться d\ ■
Третий уровень приоритета связан с временем простоя /з(аз, у,£), которое
не должно превышать предписанного значения 6з с доверительным уровнем
6.16. Расписание для параллельно действующих машин 141
аз- Отсюда получается целевое ограничение вида
Рг{/з(х,у>€)-Ь3<4}>0(8.
в котором минимизируется dj.
Имеем тогда следующую модель целевого программирования с
вероятностными ограничениями для составления расписания параллельно действующих
машин (Peng and Liu [240]):
lexmin{di", dj, dj }
при ограничениях:
Рг{Л(я,у,0 -1ц< 4} > en, i = 1,2,3,
1 < Xi < n, i = 1,2,. ..,n,
Xi ±xh i^j, i,j = l,2,...,n,
0 < yi < 2/2 • • • < 2/m-i < n,
Xi,yj, г = l,2,...,n, j = 1,2, ...,m-l, целые,
d+^0, i = 1,2,3.
Пусть имеется 10 заданий и 3 машины. Продолжительности выполнения
работ на различных машинах определим как
&i ~ W, г/Ю), &2 ~ ЛГ(г, г/100), &, ~ ЛГ(г\ (г/10)2),
для г = 1,2,..., 10. Предписанные сроки завершения для каждой из 10
работ, подлежащих выполнению, составляют 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24
Предписанные (целевые) уровни времени запаздывания, времени выполненш
работы и времени простоя составляют (ЬьЬг^з) = (0,20,2), при этом довери
тельные уровни для них будут (а!,а2,аз) = (0.95,0.90,0.85).
Вычисления, проведенные с помощью соответствующего варианта гибрид
ного алгоритма (10000 циклов статистического моделирования, 1000 поколенш
в генетическом алгоритме), показывают, что оптимальным является следую
щее расписание:
Машина 1: 7 —> 1 -» 10,
Машина 2: 4 —> 9 —> 6,
Машина 3: 5 -> 3 -> 2 -> 8,
которое удовлетворяет первым двум целям, однако для третьей цели соот
ветствующее значение целевой функции составляет 2.97. Для этого решени;
получаем также, что
Рг{/1(я\1Л£)<0}ю 0.989,
Рг{/2(я-,у-,0< 20} ю 0.901,
Рг{/з(я',у*,0< 2.97} «0.850.
Глава 7
Стохастическое событийное
программирование
В реальных системах принятия решений, действующих в сложной
стохастической обстановке, приходится иметь дело с многочисленными событиями. В
ряде случаев лицу, принимающему решение, требуется максимизировать
вероятностные функции этих событий (т. е. вероятности наступления определенных
событий). Для моделирования стохастических систем принятия решений
такого типа в работе (Liu [160]) предложено новое направление в стохастическом
программировании, получившее наименование «стохастическое событийное
программирование» (dependent-chance programming — DCP1). Основная идея
данного направления состоит в выборе решения с максимальной
вероятностью2 наступления требуемого события.
Теория событийного программирования отказывается от понятия
«допустимое множество» и заменяет его понятием «неопределенная среда».
Упрощенно говоря, DCP-модель связана с максимизацией функций шансов событий
в неопределенной среде. Детерминированная модель, модель ожидаемых
значений (EVM-модель) и модель программирования с ограничениями на шансы
(ССР-модель) существенно основываются на предположении о том, что
допустимая область после завершения моделирования становится
детерминированной 3. Это значит, что оптимальное решение предполагается существующим
независимо от того, может ли оно быть практически реализовано. Может
оказаться так, однако, что это решение реализовать невозможно, поскольку требу-
1 Для краткости записи будем при необходимости использовать термины «DCP-модель»
и «DCP-задача». — Прим. ред.
2 В данной книге рассматриваются не только стохастические модели событийного
программирования, но и ряд других: нечеткие, неточные и т. д. Во всех этих моделях
используется понятие функции шансов наступления события (chance function of an event). При
этом понятия «вероятность», «возможность» и т. п. трактуются как частные варианты
понятия «шансы». Соответственно, такими же частными вариантами по отношению к понятию
«функция шансов наступления события» будут понятия «вероятностная функция события»,
«возможностная функция события» и т. п. Там, где речь идет о стохастическом событийном
программировании, термины «функция шансов наступления события» и «вероятностная
функция события» можно считать синонимами. Будем в этом контексте пользоваться, в
основном, терминами «вероятностная функция события», «вероятность наступления
события» как более принятыми в стохастическом программировании. — Прим. ред.
3 То есть, в EVM-модели и в ССР-модели неопределенность связана с тем, что заранее
неизвестно, какие значения примут неопределенные функции, входящие в описание области
допустимых решений. После того как в ходе имитационного моделирования получены
реализации этих функций, данная неопределенность устраняется и область допустимых решений
становится детерминированной. — Прим. ред.
7.1. Неопределенная среда, событие и вероятностная функция события 143
емое значение неопределенного параметра по каким-либо причинам является
неблагоприятным. В силу этого в теории событийного программирования
нигде не используется предположение о детерминированности допустимого
множества решений, взамен введено понятие неопределенной среды. Эта
специфическая особенность событийного программирования значительно отличает
его от других направлений стохастического программирования. Реальный мир
дает достаточное число примеров задач, отвечающих идее событийного
программирования .
В этой главе вводятся понятия неопределенной среды, события и
вероятностной функции события. Затем вводится и обсуждается принцип
неопределенности. На этой основе предлагается целый спектр DCP-моделей. Для
решения задач, описываемых DCP-моделями, формируется разновидность
гибридного алгоритма, объединяющего средства статистического моделирования с
нейронной сетью и генетическим алгоритмом. Рассматривается ряд
иллюстративных примеров, показывающих, каким образом формируются DCP-модели
для сложных стохастических систем принятия решений. В числе примеров:
задача водоснабжения, процесс производства, открытые сети запасов,
распределение капиталовложений, топологическая оптимизация, задача выбора
маршрутов для транспортных средств, задача оптимизации резервирования, задача
о критическом пути, составление расписания для параллельно действующих
машин, размещение и распределение объектов, лотерея «Выбери 6 номеров».
7.1. Неопределенная среда, событие
и вероятностная функция события
В этом разделе вводятся понятия неопределенной среды, события и
вероятностной функции события. Дальнейшее изложение будем вести на примере
системы снабжения, представленной на рис. 7.1.
входг >СЗ'^ —^Г J) >■ выходг
^ »- выход2
^^'С^;^^ *■ выходз
входз *\^jT ^^v J *" вых°д4
Рис. 7.1. Система снабжения
В системе, показанной на рис. 7.1, имеется 3 входа, отвечающих трем
местам расположения ресурсов, а также 4 выхода, представляющих запросы
четырех потребителей. Требуется решить следующую проблему снабжения —
каким должно быть сочетание ресурсов, чтобы удовлетворялись заданные цели
снабжения?
144 Глава 7. Стохастическое событийное программирование
Для получения соответствующей комбинации ресурсов в
рассматриваемой задаче снабжения используем вектор решений, отвечающий
некоторому действию и включающий 12 варьируемых компонент 2:1,2:2,... , ххг, где
Х\, Х2, жз, Ж4 — количество ресурсов, направляемых от входа\ к выходам 1,2,3,4
соответственно; 2:5,3:6,2:7,же—от exoc*fl2' x9iXio,xn,xi2—от входаз- При
решении практических задач, с учетом физических ограничений, некоторые из
этих величин могут принимать нулевое значение.
Отметим, что входы представляют собой доступные внешние ресурсы,
обладающие определенными свойствами. Например, объемы ресурсов являются
конечными величинами. Пусть £i,£>,£3 — максимальное количество ресурсов,
поставка которых обеспечивается тремя рассматриваемыми источниками.
Исходя из этого, получаем следующую систему ограничений:
2:^ "Г 2^2 Т" 2?з "Г 2:4 ^: S1 ,
xt + Х6 + Х7 + х8 < Ь , j.
х9 + Х10 + ^11 + х12 < 6 ,
xi^O, «=1,2,....12,
которая означает, что количества ресурсов, получаемых от источников
снабжения — неотрицательные величины и их значения не могут превышать
некоторых максимальных значений. Здесь х/" принимает значение величины Xi при
положительных х$ и обращается в нуль в противном случае.
Если хотя бы одна из величин fi, £> и £з действительно будет случайной,
то ограничение (7.1) является неопределенным, поскольку решение не может
быть получено до того, как станут известны реализации для £i, £> и £з-
Будем называть ограничения такого рода неопределенной средой или, в случае,
рассматриваемом в данном разделе — стохастической средой.
Определение 7.1. Под неопределенной средой будем понимать следующий
набор случайных ограничений:
9з(х,£)^0, j = l,2,...,p, (7.2)
где х — вектор решений, а £ — случайный вектор.
В рассматриваемой системе снабжения следует удовлетворить запросы 4
потребителей, обозначенные как ci, C2, сз и с±. В таком случае имеем
следующие четыре события:
Xi+X5+X9=Ci, Х2 +Х6 +Хю = С2,
ХЗ +Х7 + Хц =С3, Х4 + Хв + Х\2 = С4.
Эти равенства означают, что решение должно удовлетворять запросы
потребителей. В общем случае понятие события определяется следующим образом.
Определение 7.2. Под событием будем понимать систему случайных
неравенств
hk(x,£)^0, k = l,2,...,q, (7.3)
где х — вектор решений, а £ — случайный вектор.
7.1. Неопределенная среда, событие и вероятностная функция события 145
Учитывая неопределенность этой системы, в реализуемости какого-либо
решения нет уверенности до тех пор, пока не станут известны реализации
соответствующих случайных величин. В связи с этим в рассматриваемой задаче
снабжения введем следующие вероятностные функции для четырех событий,
определенных в ней:
/i(a;) = Pr{a;i + х5 + х9 = сг}, f2(x) — Рг{ж2 + х6 + xw = oi),
/3(ж) = Рг{х3 +Х7+ Хц — С3}, f4(x) = Рг{х4 + XS + Х\1 — С4}
с учетом неопределенной среды (7.1).
Определение 7.3. Вероятностная функция события £, которое
характеризуется соотношениями (7.3J, определяется как вероятностная мера данного
события, т. е.
f(x) = Pr {hk(x,© < О,Л = 1,2,....9} (7.4)
с учетом неопределенной среды (7.2).
Обычно мы надеемся максимизировать эти четыре вероятностных
функции fi(x), f2(x), /з(х) и /л(х). Напомним еще раз, что события, подобные
х\ + xs + xg = с\, обладают неопределенностью по той причине, что они
происходят в неопределенной среде. Любое событие является неопределенным,
если оно случается в неопределенной среде\ Это важнейший закон
неопределенного мира. На самом деле случайность события обусловлена случайными
параметрами fi, &> £з и 4ч, входящими в описание неопределенной среды.
Итак, мы сформировали модель стохастического программирования для
задачи снабжения в неопределенной среде следующим образом:
max/i(a;) = Pr{xi +x5+xg = ci} ,
тах/2(ж) = Pi{x2 +х6+ хю = с2},
тах/3(ж) = Рг{ж3 + х7+ хц = с3} ,
тах/4(ж) — Рг{х4 + х& + х\2 = с4},
< при ограничениях: (7.5)
Xj ~г Х2 "Г З^з "■" х4 ^ 4l '
х5 + х6 + Х7 + х8 ^ & >
Xg + Xjq + Хц + Xj2 ^ S3 1
Xi^O, г = 1,2, ...,12,
где 4i, £г и 4з — случайные величины. В этой модели стохастического
программирования некоторые величины (например, xi,x2,X3,Xi) оказываются
стохастически зависимыми, поскольку они связаны с общим неопределенным
ресурсом fi- Это, в свою очередь, приводит к тому, что вероятностные функции
событий также является стохастически зависимыми. Будем называть задачу
вида (7.5) задачей стохастического программирования с зависимыми
функциями шансов событий1 (dependent-chance programming — DCP).
1 Или в более кратком варианте, введенном в начале данной главы, задачей
стохастического событийного программирования. — Прим. ред.
146 Глава 7. Стохастическое событийное программирование
7.2. Принцип неопределенности
Каким образом можно вычислить вероятностную функцию события £ в
неопределенной среде? Чтобы ответить на этот вопрос, дадим вначале
некоторые определения.
Определение 7.4. Пусть r(xi,X2,. ■ ■ ,хп) — функция от п переменных.
Будем говорить, что i-й компонент Xj вектора решений является
вырожденным, если
Т\Х\, . . . , Xj__i, Xj, Xj-f-i, - - - , Хп) = V\X\, . . . , Xj_i, Х^ , Xj-f-i, • - • , Xn)
для любых x'i и х" и невырожденным в противном случае.
Например, r(xi,X2,X3,X4,xs) = (xi + Хз)/ж4 — функция от 5 переменных.
Переменные х\, хз, Х4 в этой функции являются невырожденными, а хг и xs —
вырожденными.
Определение 7.5. Пусть £ — событие hk(x, £) sj 0, к = 1,2,..., q. Носитель
события £, обозначаемый как £*, определяется как множество, состоящее
из всех невырожденных компонент вектора решений в функциях hk{x,£),
k=l,2,...,q.
Пусть, например, х = (xi,X2,-.-,xi2) — вектор решений, а £ — некоторое
событие, определяемое соотношениями х\ + xs + xg ^ с\ и хг + хе + хю ^
С2- Ясно, что xi,X5,xg—невырожденные переменные в функции х\ + х*> +
хд, а хг, Хб, хю — невырожденные переменные в функции хг + Хб + хю- Тогда
искомый носитель £* рассматриваемого события £ — это {хьХ2,Х5,Хб,Х9,хю}.
Определение 7.6. j-e ограничение 9j(x,£) sj 0 называется активным
ограничением для события £, если множество невырожденных компонент
вектора решений в функции gj(x, £) и носитель £* имеют непустое пересечение,
в противном случае оно называется неактивным.
Определение 7.7. Пусть £ — событие hk(x,£) ^ 0, k = l,2,...,q в
неопределенной среде gj(x,£) ^ 0,j = 1,2,...,р. Зависимый носитель события £,
обозначаемый как £**, определяется как множество, состоящее из всех
невырожденных компонент вектора решений в функциях hk(x,£), к = 1,2,..., q и
9j(x,£), входящих в состав активных ограничений для события £.
Замечание 7.1. Очевидно, что удовлетворяется условие £ * С £**.
Определение 7.8. j-e ограничение gj(x,£) ^ 0 называется зависимым
ограничением для рассматриваемого события £, если множество
невырожденных компонент вектора решений в функции 9j(x,£) и зависимый носитель
£** имеют непустое пересечение, в противном случае это ограничение
является независимым.
Замечание 7.2. Активное ограничение должно быть зависимым
ограничением.
7.3. Однокритериальное событийное программирование 147
Определение 7.9. Пусть £ — некоторое событие hk(x,£) ^ О, к = l,2,...,q
в неопределенной среде gj(x,£) ^ 0,j = 1,2, ...,р. Говорят, что событие £
будет согласовано с неопределенной средой, если для каждого вектора
решений х и реализации случайного вектора £ удовлетворяются следующие два
условия:
(i) hk(x, £) < 0, к = 1,2,..., q; и
(и) gj(x,£) sj 0, j G J, где J —множество индексов всех зависимых
ограничений.
Интуитивно ясно, что событие может наступить в результате
выбранного решения при условии, что решение отвечает как самому событию, так и
зависимым ограничениям. Сформулируем высказанные соображения в виде
следующего принципа неопределенности.
Принцип неопределенности: Вероятность наступления случайного
события — это вероятность того, что данное событие согласуется с заданной
неопределенной средой.
Пусть имеется т событий, определяемых с помощью неравенств hik(x, £) sj
0,к = 1,2,...,Qi для г = 1,2,...,т, в неопределенной среде gj(x,£) sj 0,j =
1,2,... ,р. Из принципа неопределенности следует, что вероятностная функция
г-го события £i в неопределенной среде может быть представлена в виде
^Ч*(Й^Г 1' ™
где Ji определяется соотношением
Jj = { j G {1,2,... ,р} | gj(x, £) ^ 0 — зависимое ограничение для £i}
для i = 1,2,... , m.
Замечание 7.3. Принцип неопределенности является основой процедуры
решения DCP-задач, с которыми мы будем встречаться на протяжении всей
оставшейся части книги. Однако принцип неопределенности применим не во
всех случаях. Рассмотрим, например, событие х\ ^ 6 в неопределенной среде
x\—xi ^ fi, X2 — хз ^ &>, хз ^ £з- Как следует из принципа неопределенности,
вероятность данного события определяется соотношением Pr{xi ^ 6, х\ — Х2 ^
£ъ#2 — хз ^ &>}, которое является явно неверным, поскольку должна была
быть учтена реализация хз ^ £з- К счастью такой случай не встречается в
реальных задачах.
7.3. Однокритериальное событийное программирование
В этом разделе мы рассмотрим однокритериальную DCP-модель. Типичная
стохастическая DCP-задача связана с максимизацией вероятностной функции
некоторого события с учетом неопределенной среды:
max Рг {hk(x, £) < 0, к = 1,2,..., q}
< при ограничениях: (7-7)
5j(a:,O<0> j = l,2,...,p,
148 Глава 7. Стохастическое событийное программирование
где х — n-мерный вектор решений, £ — случайный вектор параметров, система
неравенств hk(x,£) sj 0, к = l,2,...,q определяет некоторое событие £, а
ограничения gj(x, £) ^ 0, j = 1,2,... ,р задают неопределенную среду.
Сформулированная DCP-задача (7.7) читается так: «Максимизировать
вероятность случайного события hk(x, £) sj 0, к = 1,2,..., q, с учетом
неопределенной среды gj(x,£) ^ 0, j = 1,2,... ,р».
Вернемся вновь к задаче, связанной с рассмотренной выше системой
снабжения. Предположим, что имеется только одно событие £, состоящее в
исполнении заявки с\ от потребителя выход\ (т. е. х\ +х& +xg = ci). Если требуется
найти решение х, которому соответствует максимальная вероятность
наступления события £, тогда получаем следующую DCP-модель:
max Pr{xi +X5+xg = ci}
при ограничениях:
Ij -г 3^2 ~г Х3 "■" *^4 ^ ^1»
^5 + Х6 + Х7 + Х8 ^ &,
Хд "Г Xjq "Г Хц ~Г 3Tj2 ^ 43)
Xj ^0,г = 1,2,...,12.
(7.8)
Очевидно, что носитель рассматриваемого события £ — это £* = {х1,Х5,хэ}-
Если х\ ф 0, Х5 ф 0, хэ т^ 0, то неопределенная среда задается таким набором
неравенств:
xi + х2 + х3 + х4 ^ 6,
Х5 + Х6 + Х7 + Х8 < &>,
Х9 + НО + 1ц + И2 < 6,
Xi ^0,i = l,2,...,12.
Соответственно, зависимый носитель в данной задаче определяется как £** =
{xi,X2,... ,xi2}, а все ограничения являются зависимыми ограничениями. Из
принципа неопределенности следует, что вероятностная функция события £
имеет вид:
f(x) = Рг«
XI + Х5 + Хд = Ci
Xl + Х2 + Х3 + Х4 < f 1
Х5+Х6+Х7 +Х8 < f 2
Хд + 1Ю + ХЦ + Xi2 < £з
Xi ^0,г = 1,2,..., 12
Если xi = 0, Х5 ф 0, хэ ф 0, тогда неопределенная среда определяется с
помощью неравенств:
0 + Х2 +Х3 +Х4 < 6,
Х5 + Х6 + Х7 + Ж8 < &2,
Х9 + Хю + 1ц + Х12 < Ь,
xt^ 0,1=1,2,...,12.
7.4. Многокритериальное событийное программирование 149
Тогда зависимый носитель имеет вид £** = {x5,X6,...,xi2}- Как следует из
принципа неопределенности, вероятностная функция события £ записывается
так: ,
I Х\ + Х5 + Хд = Ci
f(x) = Рг i Xs +Хб +Х? +Х& ^ ^2
I Хд + Хю + Хц + XJ2 ^ £3
[xi ^0,i = 5,6,..., 12
Аналогично, если xi Ф 0, xs = 0, хэ ф 0, тогда вероятностная функция
события £:
Xi + Х5 +Хд =С\
Xi + Х2 + Х3 + Х4 ^ 6
Хд + Хю + Хц + Х12 < £з
Xi ^ 0, г = 1,2,3,4,9,10,11,121
/(ж) = Рг«
Если х\ ф^^х^ф 0,Х9 = 0, тогда вероятностная функция события £:
f{x) = Рг«
Х\ + Х5 + Хд = С\
Х\ + Х2 + Х3 + Х4 < £ 1
Х5 + Х6 + Х7 + Х8 < &
Xi ^ 0,г = 1,2,...,8
Если х\ = 0, Х5 = 0, хэ ^ 0, тогда вероятностная функция события £:
{Xl + Xs + Хд — Ci
xg+xio+xii +X12 <&
Xi ^ 0, г = 9,10,..., 12
Если х\ = 0,х&ф 0, хд = 0, тогда вероятностная функция события £:
{xi + х5 + хд = ci
Х5 + Х6 + Х7 + Х8 < £>
Xj ^ 0,г = 5,6,...,8
Если х\ ф0,х5 = 0, хд = 0, тогда вероятностная функция события £:
{XI + Х5 + Хд = Ci
Xl + Х2 + Хз + Х4 < 6
яя^ 0,i = 1,2,....4
Отметим, что случай х\ — х*> = хд = 0 невозможен, поскольку с\ ф 0.
Следовательно, DCP-модель (7.8) эквивалентна модели "max/(ж)" без ограничений.
7.4. Многокритериальное событийное
программирование
Поскольку сложная система принятия решений обычно имеет дело с
многочисленными событиями, будет иметь место, несомненно, и случай нескольких
потенциально возможных целевых функций (некоторые из них будут
вероятностными функциями), вовлеченных в процесс решения. Типичную
формулировку задачи многокритериального событийного программирования, можно
150 Глава 7. Стохастическое событийное программирование
представить как задачу максимизации нескольких вероятностных функций с
учетом неопределенной среды:
max
Pi{hik{x,i)^0,k = l,2,...,q1}
Pl{h2k(x,Z)^0,k = l,2,...,q2}
Pi{hmk(x,£) ^0,k = l,2,...,qm}
при ограничениях:
9j(x,£)^0, j = l,2,...,p,
(7.9)
где соотношения Ык(х,£) sj 0,к = 1,2,. ..,д, задают события £j для г =
1,2,..., т, соответственно.
Из принципа неопределенности следует, что можно построить зависимость
между векторами решений и вероятностными функциями событий, вычисляя
вероятностные функции с помощью методов статистического моделирования
или традиционными методами. Если лицом, принимающим решения, задана
полная информация о функции предпочтения, то теперь можно решать
многокритериальную событийную задачу, используя методы теории полезности. При
отсутствии такой информации производится поиск всех эффективных
решений. На практике лицо, принимающее решение, может дать только частичную
информацию. В этом случае следует применять интерактивные методы.
7.5. Целевое событийное программирование
Целевое событийное программирование может рассматриваться как
расширение целевого программирования в сложных стохастических системах принятия
решений. Когда заданы некоторые назначаемые цели, целевая функция может
минимизировать положительное или отрицательное отклонение от цели или и
то и другое вместе с определенной структурой приоритетов, заданных лицом,
принимающим решения. Тогда можно сформулировать стохастическую
систему принятия решений как следующую целевую DCP-модель:
min Ё рз £ (Uijdf + v^ )
при ограничениях:
H>-№*lh*-<-*- *-'•'•■
J = 1,2,.
i = l,2,.
,,m,
■ ,P,
.,m,
(7.10)
где Pj — коэффициент преимущественного приоритета, Uij — весовой
коэффициент, соответствующий положительному отклонению от г-й цели с
присвоенной ей j-м приоритетом, г^- — весовой коэффициент, соответствующий
отрицательному отклонению от г-й цели с присвоенной ей j-м приоритетом, d^ —
положительное отклонение от назначенного уровня г-й цели, d^ —
отрицательное отклонение от назначенного уровня г-й цели, 6, — назначенный уровень г-й
цели, I — число приоритетов и т — число целевых ограничений.
7.6. Гибридный алгоритм 151
7.6. Гибридный алгоритм
В этом разделе для решения задач, основанных на DCP-моделях, получим
гибридный алгоритм путем объединения средств статистического
моделирования, нейронной сети и генетического алгоритма.
Алгоритм 7.1. Гибридный алгоритм
Шаг 1. Сформировать обучающий набор вход-выходных данных для
неопределенных функций вида:
U : х - Pr{hk{x,£) £0,k=l,2,...,q; ffl(x,£) < 0,j G J}
с помощью статистического моделирования.
Шаг 2. Обучить нейронную сеть для аппроксимации неопределенных
функций в соответствии с полученными обучающими данными.
Шаг 3. Инициализировать pop_size хромосом для генетического алгоритма.
Шаг 4. Модифицировать хромосомы с помощью операций кроссинговера и
мутации.
Шаг 5. Вычислить целевые функции для всех хромосом с помощью обученной
нейронной сети.
Шаг 6. Вычислить значения функции приспособленности для каждой
хромосомы в соответствии со значениями целевых функций.
Шаг 7. Произвести селекцию хромосом, используя случайный выбор.
Шаг 8. Повторить шаги с четвертого по седьмой для заданного числа циклов.
Шаг 9. Выбрать наилучшую хромосому как оптимальное решение.
Для иллюстрации использования гибридного алгоритма приведем два
численных примера, решавшихся на персональном компьютере, со следующими
параметрами: размер популяции pop_size — 30, вероятность кроссинговера
Рс = 0.3, вероятность мутации Рт = 0.2, значение параметра а для функции
оценки, основанной на ранжировании хромосом, составляет а = 0.05.
Пример 7.1. Рассмотрим однокритериальную DCP-модель:
max Pr {#1 + 2хг + Зхз + 4x4 — 6}
при ограничениях:
х\ + х\ < & ,
А, + х1 < Ь ,
Xi,X2,X3,X4 ^0,
гДе £i — нормально распределенная случайная величина Л/"(5,1) и £> —
экспоненциально распределенная случайная величина £Л"Р(4), соответственно.
Очевидно, что каждое отдельное событие £ должно удовлетворять
соотношению х\ +2^2 + 3x3+4x4 = 6. Носитель здесь имеет вид £* = {ж1,Х2,жз,Х4},
а зависимый носитель — вид £** = {xi,X2,X3,X4}. Таким образом все
ограничения являются ограничениями, зависимыми от события £. Из принципа
152 Глава 7. Стохастическое событийное программирование
неопределенности следует, что требуемая вероятностная функция в данном
случае имеет вид:
6'
>
и может быть вычислена с помощью статистического моделирования. Таким
образом исходная DCP-модель эквивалентна DCP-модели без ограничений
типа max fix).
Для решения этой задачи закодируем решение в виде хромосомы V =
{u\,V2,Уз)- При этом хромосома может быть декодирована в решение,
соответствующее наступлению события, следующим образом:
xi=vly x2 = v2, x3=v3, ха = (6 - vi - 2v2 - Зг>3)/4.
Ясно, что х\ + 2x2 + Зжз + 4^4 = 6.
Сформируем набор вход-выходных пар данных для неопределенной
функции U : (г>1,г>2,г>з) —> fix) с помощью статистического моделирования. Затем
обучим нейронную сеть (3 входных нейрона, 5 нейронов в скрытом слое, 1
выходной нейрон) для аппроксимации неопределенной функции U. После этого
включим полученную нейронную сеть в состав генетического алгоритма,
чтобы получить гибридный алгоритм, требуемый для решения данной конкретной
задачи.
Расчеты, проведенные с помощью построенного гибридного алгоритма
(5000 циклов статистического моделирования, 3000 пар данных в обучающем
наборе для нейронной сети и 300 поколений в генетическом алгоритме),
показывают, что оптимальным является следующее решение:
{х\,х*2,х1,х\) = (0.9209,1.2729,0.2824,0.4215),
для которого уровень достоверности составляет fix*) = 0.947.
Пример 7.2. Рассмотрим теперь следующую целевую DCP-модель:
lexmin { dj~, d J, d J }
при ограничениях:
Pr{xi + x\ = 4} + d{ - d\ = 0.92,
Pr{a^ + xe = 3} + dj - d% = 0.85,
Рг{ж! + x\ + x% = 2} + dj - d% = 0.85,
xi + x2 + x3 < £i,
X4 + X5 < £2 ,
a* + x7 < £3 ,
df,dr^0, i = 1,2,3,
Xi + 2^2 + Зжз + 4Ж4
fix) = Pr i
x\ + x\ < f i
X% + x\ < f2
Xl,X2,X3,X4 ^0
7.6. Гибридный алгоритм 153
где £i, £2 и £з — равномерно распределенная величина И[3,5], нормально
распределенная величина Л/"(3.5,1) и экспоненциально распределенная величина
£XV(9), соответственно.
В соответствии с первым уровнем приоритета имеется только одно
событие £\, которое будет удовлетворять условию х\ + х\ — 4. Очевидно,
что здесь носитель имеет вид £\ = {х\,Х4}, а зависимый носитель — вид
£" = {х\, х2, хз, Х4, х$\. Тогда ограничения, зависящие от £\, принимают
форму:
Zl+Z2+Z3<6> Ж4+Ж5<62, Х1,Х2,Х3,Х4,Х5 ^ 0.
Из принципа неопределенности вытекает, что вероятностная функция fi(x),
зависящая от события £\, записывается следующим образом:
fi(x) = Рг <
х\ + х2 + х3 < £i
Х4 + Х5 < &
Xi,X2,X3,X4,X5 >0
Для второго уровня приоритета имеется событие £2, которому отвечает
соотношение х\ +хв = 3. Здесь носитель имеет вид £| = {х2,хв}, а зависимый
носитель —вид ££* = {xi,x2,X3,xe,x7}. Таким образом, зависимые
ограничения для события £2 принимают вид:
Xi +X2+X3 <£l, Х6+Х7^£з, Xi,X2,X3,X6,X7^0.
Из принципа неопределенности следует, что вероятностная функция f2 (ж)
события £2 имеет вид:
/2(х) = Рг {
1' х\ + хе = 3
xi + х2 + х3 ^ £i
Х6+Х7 ^ £3
х\,х2,х3,х6,х7 ^ 0
В соответствии с третьим приоритетом существует событие £з,
удовлетворяющее условию х\-\-х\л-х^ = 2. Здесь носитель £% = {хз,Х5,х7} и зависимый
носитель fз* включают все варьируемые переменные. Таким образом все
ограничения являются зависимыми ограничениями от события £%. Как следует из
принципа неопределенности, вероятностная функция /з(ж) события £%
записывается в виде:
/з(х) = Рг -
37о ~|~ 3?5 ~т~ ЯСу
Я1 + Я 2 + ЯЗ < £l
%4 + Х5 < £2
х6+х7 ^ £3
Х1,Х2,Хз,Х4,Х5,Хв,Х7 ^ 0
Закодируем решение в виде хромосомы V = (vi,v2,vs,V4), а
декодирование ее в допустимое решение, удовлетворяющее заданным требованиям, будем
осуществлять следующим образом:
Xi =Vl,
х5 = v4,
Х2
хе
v2,
Ъ-vl
Х3 = V3,
х7 =
х4 = у/4- vi,
yj2-vl-vl
154 Глава 7. Стохастическое событийное программирование
Вначале используем статистическое моделирование, чтобы сформировать
вход-выходные данные для неопределенной функции U : (vi,V2,v$,V/i) —»
(Л 0е)» /г(аО, /з(х)). Затем обучим нейронную сеть (4 входных нейрона, 10
нейронов в скрытом слое, 3 выходных нейрона) для аппроксимации этой функции.
Наконец, встроим обученную нейронную сеть в генетический алгоритм и
получим требуемый вариант гибридного алгоритма.
Вычисления, проведенные с помощью данного гибридного алгоритма (6000
циклов статистического моделирования, 3000 пар данных в обучающем наборе
для нейросети, 1000 поколений в генетическом алгоритме), показывают, что
оптимальным является решение
х* = (0.1180,1.7320,0.1491,1.9703,0.0000,0.0000,1.4063),
которое может удовлетворять первым двум целям, но значение третьей
целевой функции при этом равно 0.048.
7.7. Задача водоснабжения
Рассмотрим задачу водоснабжения, показанную на рис. 7.2. Для решения этой
задачи введем 6 независимых переменных х\,Х2,-..,хе, представляющих
соответствующие действия, где Х\,Х2 —объем воды, поступающей от источника
вход\ к выходам 1,2; хз,х^— от источника вход?, к выходам 1,3, а х$,хь — от
источника входз к выходам 2,3 соответственно.
вход\ *( V=^— ^—-^( у *" eux°di
вход2 *( )<CL J^H ) *" выход?
входз >{ У-"*" ^~~~*\ J >- выходз
Рис. 7.2. Система водоснабжения
Примем, что максимальное количество воды £i,£2,£3j поставляемой
тремя рассматриваемыми источниками, описывается, соответственно,
случайными величинами COQAf (2.1,0.2), COQAf (0.8,0 Л), £СХ/ЛГ(1.5,0.5),
распределенными по логнормальному закону. Имеем тогда следующую стохастическую
среду:
xf + х\ < ft, х£ + х+ < Ь, а£ + х^ < &. (7.11)
Другими очевидными ограничениями являются неравенства а;» ^ 0, г =
1,2,..., 6, означающие, что объем воды, вытекающей из источников, является
неотрицательной величиной.
Цели управления с некоторой структурой приоритетов среди них, а также
назначенные целевые уровни определяются лицом, принимающим решения,
следующим образом.
7.7. Задача водоснабжения 155
В соответствии с первым уровнем приоритета возможность удовлетворения
запросов первого потребителя должна достигать желаемого уровня 95%, т. е.
Рг {xi + х3 = 1} + dj - df = 0.95,
где величина d[ должна быть минимизирована.
Для второго уровня приоритета возможность удовлетворения запросов
второго потребителя должна достигать желаемого уровня 90%, т. е.
Рг {х2 + х5 = 2} + d2
4
0.90,
где величина d2 должна быть минимизирована.
Для третьего уровня приоритета возможность удовлетворения запросов
третьего потребителя должна достигать желаемого уровня 80%, т. е.
Рг {Х4 + Хв = 3} + <£j
4
0.80,
где величина d% должна быть минимизирована.
Тогда целевая DCP-модель для задачи водоснабжения формулируется
следующим образом:
lexmin {c^~, d2 , d$ }
при ограничениях:
Pr{xi + х3 = 1} + di - df = 0.95,
Pr{z2 + х5 = 2} + d2 - 4 = 0-90>
Рг{ж4 + х6 = 3} + d^ - 4 = 0-80,
xf + х\ < f i,
^з + xt < & ,
хt + x£ < f 3,
Xi^O, i = 1,2, ...,6,
df,dj^0, 3 = 1,2,3.
Согласно первому уровню приоритета имеется цель Pr{xi + хз = 1} + dj~ —
4 = 0.95. Обозначим данное событие как £\. В этом случае носитель имеет
вид £{ = {х\,хз}- Если х\ ф 0,жз Ф 0, тогда зависимый носитель может быть
записан в форме £\* = {х\,х2,хз, х4}. Ограничения, зависящие от события £\,
есть х\+х2 ^^1,^3+^4 ^ £г и х\,Х2, Хз, Xi ^ 0. Из принципа неопределенности
следует, что
' х\ Л-хъ = 1
xi + х2 < £i
хз + х4 < &
Xi,x2,x3,x4 ^0
Если Х\ ф0,Хз — 0, тогда зависимый носитель есть £f* = {жьгсг}-
Ограничения, зависящие от события £\, принимают вид х\ + х2 ^ £i и х\,х2 ^ 0. Из
принципа неопределенности следует, что
ЛИ
Л(аО=Рг<
156 Глава 7. Стохастическое событийное программирование
/2(х) = Рг
Если х\ = 0,хз ф 0, тогда зависимый носитель имеет вид £" = {хз,х4}.
Ограничения, зависящие от события £\, записываются как хз + х4 sj £г и
х\,Х2,хз,х4 ^ 0. Из принципа неопределенности следует, что
{х\ + х3 = 1
хз + х4 < Ь
хз, х4^0
В соответствии со вторым уровнем приоритета имеется цель Рг{жг +xs = 2} +
d2 — d2 = 0.90. Обозначим это событие как £2- В этом случае носитель имеет
вид £| = {х2,х&}. Если Х2 ф 0, xs ф 0, тогда зависимый носитель принимает
вид ££* = {х\>х2,Х5,Хб}- Ограничения, зависящие от события £2,
записываются как х\+Х2 < £ъж5 + ^6 < fз и x\,X2,xr,,xe ^ 0. Из принципа
неопределенности получаем, что
т X2 Л- х5 = 2
Xi+X2^ fl
хв+хе^ £з
^х1,х2,х5,х6 ^0
Если Х2 фО,Х5 = 0, тогда зависимый носитель есть £" = {х\,Х2).
Ограничения, зависящие от события £г, принимают вид х\ + Х2 < f i и xi,X2 $: 0. Из
принципа неопределенности вытекает, что
{х2+х5 = 2
xi + х2 < £i
жьж2 ^0
Если Х2 = 0,xs Ф 0
{х$,Хб}. Ограничения, зависящие от события £г, имеют вид хс, + а:6 sj £з и
а^5,^б ^ 0. Из принципа неопределенности следует, что
{Х2 + Х5 = 2
^5,Ж6 ^0
В соответствии с третьим уровнем приоритета имеется цель Рг{ж4 +х^ — 3} +
dj — dj = 0.80. Обозначим данное событие как £з. В этом случае носитель
записывается как £3 = {ж4,Жб}. Если х4 ф0,хе ф 0, тогда зависимый носитель
есть £|* = {хз,Х4,хц,хв}. Ограничения, зависящие от события £з, принимают
форму хз + х4 < &2> ^5 + ^6 ^ £3 и хз, X4,xs, xe ^ 0. Из принципа
неопределенности следует, что
г х4 + хе = 3
хз + х4 ^ &
хь + х6 < £з
^хз,х4,хъ,хъ ^ 0
Если х4 ф 0,хе = 0, тогда зависимый носитель есть £|* = {жз,а;4}.
Ограничения, зависящие от события £з, записываются как Хз + х4 < £г и хз,х4 ^ 0. Из
принципа неопределенности получаем, что
{х4 + хе = 3
х3 + х4^ &
х3,х4 ^0
тогда зависимый носитель записывается как £|* =
/з(х) = Рг
7.8. Производственный процесс 157
Если Х4 = 0,хе ф 0, тогда зависимый носитель есть £3* = {ж5,^б}-
Ограничения, зависящие от события £з, записываются в форме х& +хе < £з и хь, хв ^ 0.
Из принципа неопределенности вытекает, что
{Х4 + хе = 3
^5 + хе < &
х5,х6 ^ 0
Из сказанного следует, что исходная целевая DCP-модель эквивалентна такой
модели без ограничений:
lexmin {d^~, d^, d% }
с учетом функций:
/i(x)+dr ~4 =0.95,
/2(x)+dJ -4 =0.90,
/3(ж) + ^з -4 =0.80,
df,dj^0, j = 1,2,3.
Закодируем решение в виде хромосомы V = (г>1,г>2,г>з), а декодирование
хромосомы в допустимое решение, удовлетворяющее условиям
рассматриваемой задачи, будем выполнять следующим образом:
Ж1=г>1, x2 = V2, жз = 1 —ui, ж4 = v3, хь=2-щ, ж6 = 3-и3.
Сформируем вход-выходные данные для 9 неопределенных функций,
имеющихся в решаемой задаче. Затем обучим 9 нейронных сетей для
аппроксимации этих функций. Наконец, встроим обученные нейронные сети в
генетический алгоритм, чтобы получить вариант гибридного алгоритма.
Вычисления, проведенные с помощью гибридного алгоритма (10000 циклов
статистического моделирования, 3000 пар данных для обучения нейронной
сети, 300 поколений в генетическом алгоритме) показывают, что оптимальным
будет решение
х* = (1.0000,1.5301,0.0000,2.1821,0.4699,0.8179),
при этом удовлетворяются первые две цели, в то время как для третьей
целевой функции отклонение равняется 0.312.
7.8. Производственный процесс
Рассмотрим пример, предложенный в работе (Kail and Wallace [117]). В этом
примере требуется сформировать еженедельный производственный план
работы для нефтеперегонного предприятия. Это предприятие должно получать
из сырой нефти (raw\ и raw2) бензин (prodi) для автозаправочных станций и
топочный мазут (prod2) для теплоэлектростанций.
Известно, что производительности Tr(raw\,prod\) (т. е. выход бензина из
сырой нефти raw\) и Tr(raw2,prod2) (т. е. выход топочного мазута из гагиг) могут
изменяться случайным образом, в то время как производительность получения
158 Глава 7. Стохастическое событийное программирование
других продуктов является детерминированной. Примем, что эти соотношения
заданы следующим образом:
7r(raw\,prod\) = 2 + 771, 7r(raw\, prod.2) = 3,
ir(raW2,prodi) = 6, 7r(raw2,prod.2) = 3.4 — 772,
где f]\ — равномерно распределенная величина U{—0.8,0.8), а 772
—экспоненциально распределенная величина £Л"Р(0.4).
Еженедельные запросы потребителей (автозаправочных станций и
теплоэлектростанций) составляют h\ для бензина и /^ для топочного мазута. Они
также изменяются случайным образом и могут быть представлены в виде:
/ii = 180 + £i, /12 = 162+ &,
где f 1 и £г — нормально распределенные случайные величины Л/"(0,12) и
Л/"(0,9), соответственно.
Пусть Х\ и Х2 — количество сырья raw\ и rau>2, которое необходимо
обработать в течение недели. Стоимость обработки единицы сырой нефти составляет
ci = 2 для raw\ и С2 = 3 для гагог ■ Общая стоимость таким образом будет
равняться 2х\ 4- 3x2- Если общая стоимость производства не может превышать
140, тогда 2Ж1 + Ъх2 < 140.
Предположим, что производственные мощности нефтеперегонного завода
(т. е. максимальное количество сырья, которое может быть переработано в
заданный период времени) составляют 100 единиц. Отсюда следует ограничение
на производственный план предприятия: Х\ + Х2 Sj 100.
Пусть потребители ожидают, что их реальные потребности будут
удовлетворяться в течение соответствующей недели, тогда получаем следующее
неопределенное событие:
(2 + 771 )хг + 6х2 ^ 180 + fi, ЗЖ1 + (3.4 - r)2)x2 ^ 162 + &■
Если требуется максимизировать вероятность удовлетворения запросов
потребителей, тогда получаем следующую DCP-модель:
\3ari + (3.4 - 772)2:2 ^ 162 + f2 J
при ограничениях:
XI + Х2 < 100 ,
2хх + Зх2 < 140,
х\,х2 ^ 0.
Вычисления, проведенные с помощью соответствующего варианта
гибридного алгоритма (3000 циклов статистического моделирования, 2000 пар
данных в обучающем наборе для нейронной сети, 300 поколений в генетическом
алгоритме), показывают, что оптимальным является решение
(arj, x*2) = (34.74, 23.51),
при этом наибольшая вероятность равна 0.84, а соответствующая общая
стоимость производства составляет в точности 140.
7.9. Открытые сети запасов 159
7.9. Открытые сети запасов
См. также раздел 6.10.
Рассмотрим опять задачу, связанную с открытой сетью запасов,
обсуждавшуюся в разд. 6.10. Простейшая DCP-модель, соответствующая оптимизационной
задаче открытой сети запасов, имеет вид:
maxPr{ui < a» +U(x) +& < Vi, i = 1,2,...,p}.
В этой задаче требуется найти решение х из области D, максимизирующее
вероятность того, что это решение может быть действительно получено.
Заметим, что решение х G D может быть получено тогда и только тогда, когда
реализация £ удовлетворяет условию v% < щ + U(x) + & ^ К, г = 1,2,...,р.
Фактически эта модель связана с попыткой найти наиболее надежное решение
(т. е. такое, при котором достигается максимальная вероятность правильной
работы изучаемой системы).
Рассмотрим открытую сеть запасов, представленную на рис. 6.1. Будем
считать, что набор всех значений векторов пропускной способности девяти дуг
определяет некоторое детерминированное множество D, элементы которого
х = (х\,Х2,... ,Хд) подчиняются ограничениям вида:
10 < xi < 50, 0 < х2 < Ю, 0 < ar3 < 10,
0 < Х4 < 15, 15 < хь < 60, — 5 < х6 < 5,
15 < х7 < 60, -5 < х8 < 5, 20 < х9 < 70.
Случайные элементы в данной задаче (т. е. входные потоки) будем
считать величинами с двухпараметрическим логнормальным распределением
COQAf(fii,af) для г = 1,2,3,4. Будем предполагать, что значения
параметров (ni,<Ti) четырех резервуаров равны соответственно (2.24,1.12), (1.60,1.28),
(1.87,1.45), (1.30,1.34). Предположим также, что значения параметров (и», V*)
для четырех резервуаров составляют (10,120), (20,100), (10,80) и (0,90),
соответственно.
Если основная задача лица, принимающего решения, состоит в повышении
уровня надежности системы в целом, тогда цель управления заключается в
поиске допустимого решения х в области D. Для решения этой задачи можно
сформулировать соответствующую однокритериальную DCP-модель
следующего вида: , .
(10 < 70 - X! - х2 - х3 - х4 + & < 120
р I 20 < 80 + х2 - хъ - х6 + & < ЮО
xiv Г | Ю < 60 + х3 - х7 - х8 + & ^ 80
[о < 50 + х4 + х6 + х8 - х9 + U < 90
Проведение вычислений с помощью соответствующего варианта
гибридного алгоритма (5000 циклов статистического моделирования, 1000 поколений в
генетическом алгоритме) показывают, что оптимальным является следующее
решение:
х* = (37.1,2.8,4.6,9.2,54.7,3.4,50.7,3.3,65.3),
160 Глава 7. Стохастическое событийное программирование
для которого уровень достоверности составляет 0.927, а общая сумма всех
потоков равна 231.1.
7.10. Распределение капиталовложений
См. также разделы 6.9 и 10.7.
В разделе 6.9 рассматривалась целочисленная ССР-модель распределения
капиталовложений. Для этой задачи в (Iwamura and Liu [108]) построена серия
DCP-моделей.
Предположим, что имеется 5 типов машин, производящих 5 различных
видов продукции. Случайные величины, соответствующие
производственным мощностям этих 5 типов машин, предполагаются распределенными по
логнормальному закону: СООЩЗ.0,1.02), COQAf(4.0,1.62), СО0Щ5.0,1.62),
СО0Щ4.0,1.22) и £е>£ЛГ(3.0,0.82). Принимается также, что спрос на
указанные 5 видов продукции, представлен в виде случайных величин,
распределенных по экспоненциальному закону: £ХР(10), £XV(15), £XV(20), £ХР(18) и
£ХР{Щ.
Уровни затрат а», необходимых для приобретения машин г-го типа,
составляют в рассматриваемой задаче 300, 800, 700, 900 и 1000, i = 1,2,..., 5,
соответственно, а суммарный объем средств а, выделяемый для покупки машин,
равен 12500. Кроме того, площади bi, требуемые для размещения машин г-го
типа, принимаются равными 30, 50, 30 и 10, i = 1,2,. ..,5, соответственно, а
общая доступная площадь b составляет 500.
Установим следующие целевые уровни и структуру приоритетов для задачи
распределения капиталовложений. Вначале зададим ограничение на
предельную величину площади, доступной для размещения оборудования:
20ж1 + 30ж2 + 50ж3 + 30ж4 + Юа* < 500.
В соответствии с первым уровнем приоритета, уровень вероятности
удовлетворения потребности £i должен достигать 97%, т. е.,
Рг {щж! ^ £1} + dt-d£= 0.97,
где dy должно быть минимизировано.
Согласно второму уровню приоритета, вероятность удовлетворения
потребности £г должна достигать 95%, т. е.
Pr {?72^2 >&} + (%-(% = 0.95,
где d.2 должно быть минимизировано.
В соответствии с третьим уровнем приоритета, вероятность удовлетворения
потребностей £з,£й и £5 должна достигать 90%, т. е.
Рг {гцхг ^ &, г = 3,4,5} + dj - <# = 0.90,
где d^ должно быть минимизировано.
7.11. Топологическая оптимизация 161
Согласно четвертому уровню приоритета, общая сумма средств,
используемых для приобретения машин, не должна превышать 12500, т. е.,
300Ж1 + 800ж2 + 700ж3 + 900ж4 + 1000ж5 + dj - dj = 12500,
где dj должно быть минимизировано.
В соответствии с приведенной выше структурой приоритетов и целевыми
уровнями можно сформулировать следующую целевую DCP-модель:
lexmin {d^, dj, dj, dj }
при ограничениях:
Pr {mx! ^ a} + ^Г - dt = °-97,
Pr {V2X2 > 6} + dz - d% = 0.95,
Pr{r)iXi^(,i,i = 3,4,5} + dj -d% = 0.90,
300a:i + 800z2 + 700z3 + 900ж4 + 1000ж5 + dj - dj = 12500,
20xi + 30ж2 + 50ar3 + 30ж4 + 10ж5 < 500,
dt,d-^0, i = 1,2,3,4,
Xi, i = 1,2,..., 5, неотрицательные целые.
Вычисления, проведенные с помощью соответствующего варианта
гибридного алгоритма (3000 циклов статистического моделирования, 400 поколений
в генетическом алгоритме), показывают, что оптимальное распределение
капиталовложений имеет вид:
(aJ.aS.aS.arJ.arS) = (5,4,2,4,4).
Оно удовлетворяет первым трем целям, в то время как значение четвертой
целевой функции равно 1200. Имеем, кроме того, что:
Pr{iuari>U} = 0.976,
Рг{П2Х% ^&} = 0.953,
Рг{щх* >b,i = 3,4,5} = 0.919,
а общие затраты составляют 13700.
7.11. Топологическая оптимизация
См. также раздел 6.11.
Обратимся вновь к проблеме топологической оптимизации, обсуждавшейся в
разд. 6.11. В ряде случаев возникает задача, в которой необходимо
максимизировать надежность при наличии ограничений на стоимость. На практике
большая сеть состоит из некоторой основной (магистральной) сети и
нескольких локальных сетей. Это приводит к необходимости рассматривать модели
топологической оптимизации с несколькими целями, связанными с
надежностью (Liu and Iwamura [175]).
162 Глава 7. Стохастическое событийное программирование
Рассмотрим 10-узловую полносвязную сеть. Предположим, что надежное
всех связей составляет 0.90, а матрица стоимости для данной сети может бы
представлена в виде:
Узлы Г "2 3 4 5 6 7 8 9 ПГ
1
2
3
4
5
6
7
8
—
30
43
45
50
62
25
15
—
26
76
45
25
46
45
—
38
17
30
30
13
—
35
28
16
20
—
15
25
37
—
38
40
-
36
9 51 15 45 10 34 10 46 42 -
10 45 25 45 15 37 40 16 24 45 -
Предположим также, что общие допустимые затраты составляют 210. 1
ким образом получаем ограничение:
9 10
ЕЕ
i=l j=i+l
(^ij •"ij ^ ^5 JL U •
Можно установить следующие целевые уровни и структуру приоритетов.
В соответствии с первым уровнем приоритета для подсети с узлами DCi
(1,3,6,7), DCi-терминальная надежность R(9Ci,x) должна достигать значен)
99%, тогда имеем еще одно ограничение:
R(Xux) + di -df =0.99,
где dj~ должно быть минимизировано.
На втором уровне приоритета для подсети с узлами %2 = (2,4,5,9), %
терминальная надежность R[%2,x) должна достигать уровня 95%, откуда:
R{%2,x) + dz - d% = 0.95,
где d^ должно быть минимизировано.
В соответствии с третьим уровнем приоритета для подсети с узлами ЗСз
(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10), ЗСз-терминальная надежность Д(ЭСз, х) (в данном ел
чае для надежности всей сети) должна достигать значения 90%. Таким обр
зом имеем, что:
R(DC3, x) + dj - dt = 0.90,
где d3 должно быть минимизировано.
7.12. Задача выбора маршрутов для транспортных средств 163
Тогда получаем следующую топологическую оптимизационную целевую
DCP-модель надежности коммуникационной сети:
lexmin { d^~, d^, dj }
при ограничениях:
R{Xux)+di -df =0.99,
R(0C2, x) + dj - dj = 0.95,
R(0C3, x) + dj - dj = 0.90,
9 10
E E cij*y ^210,
i=l j=i+l
Xjj = 0 или 1, Vi,j,
df,dr>0, г = 1,2,3.
Вычисления, проведенные с помощью гибридного алгоритма (5000 циклов
статистического моделирования, 100 поколений в генетическом алгоритме)
показали, что оптимальная топология связей в рассматриваемой задаче может
быть представлена следующей матрицей:
/-000000100\
- 1 0 0 1 0 0 0 1
х
0
0 0 1
о о
- 1
0 о
1 1
1 1
0 0 0 0
0 0 1
-00
V
о
о
о о
- о
-)
Эта матрица полностью удовлетворяют первой цели, однако отклонение от
второй и третьей цели составляют 0.08 и 0.15, соответственно. Реально уровни
терминальной надежности составляют
Д(ЭСЬ х*) = 0.99, Д(ЭС2, х") = 0.87, Д(ЭС3, х*) = 0.75,
а общая стоимость равна 207.
7.12. Задача выбора маршрутов
для транспортных средств
См. также разделы 6.12, 10.9 и 11.8.
Вернемся к задаче выбора маршрутов для транспортных средств,
обсуждавшуюся в разд. 6.12 и предположим, что цели управления имеют следующую
структуру приоритетов.
164 Глава 7. Стохастическое событийное программирование
В соответствии с первым уровнем приоритета вероятность того, что
транспортные средства посетят всех заказчиков в течение заданных интервалов
времени, должна достигать 95%. Тогда имеем:
Pr {fi(x, у, t) е [<ц, bi], i = 1,2,..., 20} + df - d+ = 0.95,
при этом dj~ должно быть минимизировано.
Согласно второму уровню приоритета вероятность того, что будут
удовлетворены все заявки, должна достигать 90%. Отсюда получаем:
Рг
{Ук
3=Ук-1
qXi ^ Qk,k= 1,2,3,4 }+<%-<% = 0.90,
j=j/fc-i+i
при этом должно быть минимизировано значение d% ■
В соответствии с третьим уровнем приоритета следует минимизировать
общее пройденное расстояние, откуда получаем еще одно условие:
д(х, y)+d,3 -d£ = 0.
При этом должна быть минимизирована величина djj".
Чтобы удовлетворить возможно большее число целей, сохраняя
предписанную их последовательность, в работе (Liu and Lai [181]) была предложена
следующая целевая DCP-модель:
lexmin {dj~, d^, d3"}
при ограничениях:
Рг Щсс, у, t) е [аь 6*], г = 1,2,..., 20} + dj-- d+= 0.95,
Pr
{Ук
Е &,
j=j/ic-i+i
sjQbfc = 1,2,3,4 I+с£ -d+ = 0.90,
g(x, y)+d3 - d£ = 0,
l^Xj^20, г = 1,2,..., 20,
Xi ф Xj, i=£j, i, j = 1,2,..., 20,
0 ^ i/i ^ 2/2 ^ 2/3 ^ 20,
d+,dr ^0, г = 1,2,3,
XuVj, г = 1,2,..., 20, j = 1,2,3, целые.
Предположим, что размер популяции составляет 200, вероятность крос-
синговера Рс = 0.3, вероятность мутации Рт = 0.6, параметр а для функции
оценки, основанной на ранжировании, равняется 0.05. Проведенные с помощью
гибридного алгоритма вычисления (4000 циклов статистического
моделирования, 3000 поколений в генетическом алгоритме) показывают, что наилучшим
планом перевозок является следующий:
Транспортное средство 1: станция—» 14—>18—»11—»8—» станция;
Транспортное средство 2: станция—» 13 —* 5 —» 19 —* 20 —» станция;
<~c~
Транспортное средство 3: станция—» 1—►Ю—>3—>15—>9—> станция;
Транспортное средство 4: станция—> 2—» 4 —*7 —+12-+6—» 17 —»
16 —» станция.
Стартовое время для рассматриваемых четырех транспортных средств
составляет 8:32, 8:09, 8:10 и 8:27. При этом удовлетворяется первая цель, но вторая
и третья цели имеют значения 0.10 и 1170, соответственно. Кроме того, при
исполнении полученного плана перевозок имеем также:
Pr{/i(a;*,y*,r)e[ai,bi],i = l12,...,20} = 0.98,
Рг
\ Е Ях: ^Qk,k= 1,2,3,41=0.80,
а общее пройденное расстояние для всех четырех транспортных средств
составляет 1170.
7.13. Оптимизация резервирования
См. также разделы 5.5, 6.13, 9-4, 10.8 и 11.5.
Имеется три основных типа характеристик системы. Один из них — это
ожидаемый срок службы системы. Второй — это а-характеристика срока службы
системы. Третий — это надежность системы Рг{Г(ж, £) ^ Г0}, которая
представляет собой вероятность того, что срок службы системы составит не менее
заданной величины Г°.
Пример 7.3. Рассмотрим небольшую сеть, предложенную в (Fung [73]),
которую можно преобразовать в блок-схему, показанную на рис. 7.3. В сети
имеется 7 компонентов. Две ее подсистемы определяются следующим образом:
подсистема-1 и подсистема-2. Предполагается, что подсистема-1 может быть
реализована одним из 3 способов (путей на графе системы) 1-4-6, 2-5-6 и 3-7,
в то время как подсистема-2 может быть реализована только одним способом
(путем) 1-5-7.
вход 1
Рис. 7.3. Коммуникационная система
Предположим, что имеется 7 типов элементов. Примем, что срок
службы для этих 7 типов элементов может быть представлен случайными
величинами, распределенными по нормальному закону: Л/"(334,242), Л/"(300,262),
166 Глава 7. Стохастическое событийное программирование
ЛГ(310,242), ЛГ(350,242), ЛГ(307,232), ЛГ(325,242), ЛГ(323,242). Все резервные
элементы задействованы параллельно. Кроме того, стоимость каждого из 7
типов элементов предполагается равной 105, 123, 100, 125, 98, 102 и 85,
соответственно. Вектор решений в данной задаче имеет вид х = (х\,Х2,- ■ -,ху),
где Xi обозначает число элементов г-го типа.
Для подсистемы-1 структурная функция может быть представлена как:
*i(y) = тах{у!у4уб, У2УъУб, УзУ7},
где yi — состояния i-х компонентов, г = 1,2,..., 7, соответственно. Для подсис-
темы-2, структурная функция может быть выражена следующим образом:
фг(у) = У1У5У7-
Можно установить следующие целевые уровни и структуру приоритетов:
Приоритет 1: Для подсистемы-1 надежность системы Pr{Xi(a;,£) ^ 310}
должна достигать значения 0.95, таким образом имеем:
Рг {Г!(ж, £) ^ 310} + dj" - d$ = 0.95,
где следует минимизировать параметр df.
Приоритет 2: Для подсистемы-2 надежность системы Рг{Т2(ж,£) ^ 290}
должна достигать значения 0.90, следовательно имеем:
Рг{Т2(э;,£) ^ 290} + (% - d% = 0.90,
где следует минимизировать параметр d^~■
Приоритет 3: Вероятность того, что общая стоимость С(х) = 105xi+123хг+
ЮОхз + 125x4 + 98x5 + 102x6 + 85x7 не должна превышать общие
допустимые вложения, равные 900, т. е.:
С(х) + d^ -df = 900,
где dj должно быть минимизировано.
Тогда получаем следующую целевую DCP-модель для коммуникационной
сети: (Zhao and Liu [309]):
lexmin{dj~, d^ , dj }
при ограничениях:
Pr{7i(a;, £) ^ 310} +d^ -d{ = 0.95,
Pr{T2(a;, £) ^ 290} +d? -d£ = 0.90,
C(x) +dz -d£ = 900
x ^ 1, вектор целых переменных,
d-,d,+ ^0, г = 1,2,3.
7.14. Задача о критическом пути 167
Для каждого наблюдаемого вектора £, связанного со сроком службы
элементов, можно оценить срок службы системы Т(х, £) с помощью алгоритма
оценки срока службы, предложенного на с. 91. Таким образом, можно
разработать алгоритм статистического моделирования для вычисления надежности
системы Рг{Т(э;,£) ^ Г0}.
Сформируем наборы обучающих данных для неопределенной функции
U : х —* (Ui(x), С/г(а;)) с помощью статистического моделирования, используя
структурные функции системы ФЦу) и Фг(у), где
Ui(x) = PrflUx.O > 310}, U2(x) = Рг{Г2(я!,0 > 290}.
Далее, для каждого х значения отклонений вычисляются следующим образом:
d[ = [0.95 - Ui(x)\ V 0, rig = [0.90 - U2(x)] V 0.
После этого производится обучение нейронной сети (7 входных нейронов, 15
нейронов в скрытом слое, 2 выходных нейрона) для аппроксимации функции
Щх).
Вычисления, проведенные с помощью гибридного алгоритма (10000 циклов
статистического моделирования, 5000 пар данных в обучающем наборе для
нейронной сети, 300 поколений в генетическом алгоритме), показывают, что
оптимальным решением является следующее:
х* = (1,1,1,1,2,1,2).
Это решение может удовлетворить первым двум целям, но для третьей
значение целевой функции равно 25. Кроме того, имеем следующие значения:
Pr{7i(a;"\0 ^ 310} = 0.98, Рг{Т2(х*,£) ^ 290} = 0.90, С{х*) = 925.
7.14. Задача о критическом пути
См. также разделы 6.15, 10.10 и 11.9.
Обратимся опять к задаче о критическом пути, обсуждавшейся в разд. 6.15.
В ряде случаев лицу, принимающему решение, приходится искать ответ на
вопрос, сможет ли проект быть выполнен к назначенному сроку. В этом случае
необходимо ввести понятие наиболее критического пути.
Определение 7.10. (Soroush [270]) Путь х называется наиболее
критическим путем из узла 1 в узел п, если
Рг {Т(х,£) > Т} > Pr {TV, О ^ Т}
для любого пути х' из узла 1 в узел п, где Т заранее определенный предельный
срок.
168 Глава 7. Стохастическое событийное программирование
Для получения наиболее критического пути в (Zhong and Liu [312]) была
построена следующая модель:
max Pr < J2 ZijXij ^ Т \
при ограничениях:
J2 ХИ - J2 ХЛ — 1.
У . %ij ~ 2-i xji == 0, г = 2, о,..., п — 1,
(г,л)ел (з,г)ел
(n,j)eA 0',п)ел
^•e{0,i},V(u)6A
Проведенные вычисления с помощью соответствующего варианта
гибридного алгоритма (5000 циклов статистического моделирования, 500 поколений
в генетическом алгоритме) показывают, что наиболее критическим путем
является:
Предельный срок=130:1->5->9-+13-+16-+22—>25-+29->32. Вероятность=0.075.
Предельный срок=120:1->5->9->13-*16->22->25->29->32. Вероятность^. 123.
Предельный срок=110:1->5->9-*13->16->22->25-*29->32. Вероятность=0.199.
Предельный срок=100:1-*5->9->13->16-*22->25->29->32. Вероятность=0.313.
Предельный срок=90: 1->2-*4->7->12-*16-*22-*26->30->32.
Вероятность=0.654.
Предельный срок=80: 1—2->4->7->12—16-*22-*26->30->32.
Вероятность=0.992.
7.15. Составление расписания для параллельно
действующих машин
См. также разделы 5.7, 6.16, 9.5, 10.11 и 11.6.
Вернемся к задаче составления расписания параллельно действующих машин,
обсуждавшейся в разд. 5.7. Предположим, что цели управления имеют
следующую структуру приоритетов.
В соответствии с первым уровнем приоритета вероятность того, что время
запаздывания fi(x,y,£) не превышает заданного значения bi должна
достигать доверительного уровня ац. Тогда получаем целевое ограничение:
Pr {h{x, у,О ^ h] + di - d+ = аь
в котором dj~ должно быть минимизировано.
На втором уровне приоритета вероятность того, что время выполнения
операции /г(ж,у,^) не превышает заданного значение Ь2 должна достигать
доверительного уровня а2. Таким образом, получаем следующее целевое
ограничение:
Рг {/2(ж, у, £) ^ Ь2} + dz - d% = q2,
в котором d% должно быть минимизировано.
7.15. Составление расписания для параллельно действующих машин 169
На третьем уровне приоритета вероятность того, что время простоя
/з(ж, у, £) не превышает заданного значения Ьз, должна достигать
доверительного уровня аз- Таким образом, получаем следующее целевое ограничение:
Рг {/з(э:, у, £) ^ b3} + dg - с# = а3,
в котором d3 должно быть минимизировано.
Тогда имеем следующую целевую DCP-модель, сформулированную в (Peng
and Liu [240]):
lexmin{d^", с?2~, dg" }
при ограничениях:
Pr{/i(a:,2/,0 ^ Ы} + (1~ -df = аи г = 1,2,3,
1 ^ Xi ^ п, г = 1,2,.. .,тг,
Xi ф Xj, i^j, i, j = 1,2,..., n,
0 ^ 2/i ^ 2/2 • • • ^ 2/m-i ^ n,
Xi,yj, i = 1,2, ...,n, j = l,2,...,m-l, целые,
d+,d"^0, г = 1,2,3.
Рассмотрим задачу составления расписания для 15 заданий и 4 машин.
Продолжительности выполнения работ представляют собой случайные
величины:
Ы~Щг,1/Щ, б2~ЛГ(г,гУ100), &, ~ЛГ(г\г2/100), г = 1,2,..., 15;
£г4~ЛГ(г,г/10), г = 1,3,. ..,15; £« ~Af(i,i2/1002), г = 2,4,.. .,14.
Предписанные сроки завершения для каждого из заданий: 10, 10, 10, 20, 20,
20, 30, 30, 30, 35, 35, 35, 40, 40, 40. Верхние границы времени запаздывания,
выполнения операций и простоя составляют (Ьь^г^з) = (0,33,3), а заданные
целевые уровни равны (01,02,03) = (0.95,0.90,0.85).
Вычисления, проведенные с помощью гибридного алгоритма (10000 циклов
статистического моделирования, 1000 поколений в генетическом алгоритме)
показывают, что оптимальным расписанием является
Машина 1: 1 -► 2 -► 7 -> 8 -> 12;
Машина 2: 3 ->• 4 ->• 11 -> 13;
Машина 3: 5 -^ 6 ->• 9 ->• 10;
Машина 4: 14 —> 15.
Оно может удовлетворять первым двум целям, но для третьей цели отклонение
равно 0.464. Кроме того, имеем
Рг {fi(x*,y*,£)^0} «0.998,
Рг{/2(а;*,у*,0^ 33} «0.919,
Рг{/з(з;*,зДО^З}^ 0.386.
170 Глава 7. Стохастическое событийное программирование
7.16. Размещение и распределение объектов
См. также разделы. 5.6, б.Ц, 9.6, 10.12 и 11.7.
Обратимся вновь к задаче размещения и распределения объектов,
обсуждавшейся в разд. 5.6. Если предполагается максимизировать вероятность того, что
стоимость транспортировки не превысит заданного уровня С, тогда приходим
к следующей DCP-модели (Zhou and Liu [314]):
' ( п т "|
max Рг < u; е fi I min V) V) zij\/(xi ~ ai)2 + (Уг ~ bj)2 ^ С
zez(w) i=1 j=1
при ограничениях:
9з(х'У) ^°. j = l,2,...,p,
>,
где Z{oS) определяется из уравнения (5.13).
Для решения задачи на основе этой модели с помощью гибридного
алгоритма воспользуемся статистическим моделированием для вычисления
неопределенной функции:
{п т "»
Алгоритм 7.2. Статистическое моделирование
Шаг 1. Задать TV' = 0.
Шаг 2. Сформировать ы из П в соответствии с вероятностной мерой Рг.
Шаг 3. Решить задачу линейного программирования (5.14) с помощью
симплекс-алгоритма и обозначить оптимальное значение целевой
функции как с.
Шаг 4. Если с^С, тогда N' = N' + 1.
Шаг 5. Повторить шаги с первого по четвертый N раз.
Шаг 6. Выдать результат: N'/N.
Воспользуемся данными, представленными в разд. 5.6, и максимизируем
вероятность того, что стоимость транспортировки не превысит 2300. Вычисления
с помощью гибридного алгоритма (5000 циклов статистического
моделирования, 300 поколений в генетическом алгоритме) показывают, что оптимальное
размещение четырех объектов будет следующим:
(*i, j/i) = (61.74,59.55), (х2, у2) = (38.05,87.98),
(*з, Уз) = (77.99,19.96), (х4, у4) = (27.42,49.78),
а вероятность его составляет 96.8%.
7.17. Лотерея «Выбери шесть номеров» 171
7.17. Лотерея «Выбери шесть номеров»
Лотерея «Выбери шесть номеров»1 — это азартная игра, разрешенная в
нескольких странах. Рассмотрим как пример игру, которая проводится в
Гонконге, где розыгрыш повторяется дважды в неделю. Лототрон поочередно
выбрасывает шесть пронумерованных шариков и один дополнительный
нумерованный шарик за каждый розыгрыш. Игрок может выбрать шесть номеров от
1 до 47 для каждого билета (цена билета НК$5). При этом выигрыш по одному
билету может быть более HKS30 000 000. Многие люди играют в эту игру уже
более 20 лет. Имеется шесть категорий выигрыша:
1-й Выигрыш
Правильно угаданы все 6 номеров
2-й Выигрыш
Правильно угаданы 5 номеров и дополнительный номер
3-й Выигрыш
Правильно угаданы 5 номеров
4-й Выигрыш
Правильно угаданы 4 номера и дополнительный номер
5-й Выигрыш
Правильно угаданы 4 номера
6-й Выигрыш
Правильно угаданы 3 номера и дополнительный номер
Примем, что закупается х билетов для игры в лотерею «Выбери 6 номеров».
В этом случае мы должны заплатить 5х гонконгских долларов за приобретение
х билетов, в которых будут заполнены номера щ = (an,ai2, ■ ■■ , <^б)- Здесь
Oiii ai2, ■ ■ ■ -i o-i6 — целые числа между 1 и 47, отмеченные игроком заранее, при
этом i = 1,2,. ..,х.
Пусть £ = (£i,£2>- ■ -j&.fr) обозначает результат розыгрыша, где £i,
&2> • • •, £б — шесть выбрасываемых шариков, а £?■ — дополнительное число.
Иначе говоря, шесть категорий выигрышей полностью определяются вектором
£. Ясно, что £— это случайный целочисленный вектор, компоненты
которого принимают значения от 1 до 47 согласно маркировке выпавших шаров.
Таким образом функция прибыли (неопределенная функция, записанная
как разность между доходом и затратами) определяется следующим образом:
f(xi О = Y1 Л(°ь С) - 5х,
(7.12)
где
h(a,i,£)
г=1
30000000, если сц — выигрыш первой категории,
1000000, если щ — выигрыш второй категории,
60000, если сц — выигрыш третьей категории,
4500, если сц — выигрыш четвертой категории,
300, если а, — выигрыш пятой категории,
150, если Oj — выигрыш шестой категории,
0, во всех остальных случаях
для i = 1,2,..., х. Заметим, что функция выигрыша f(x, £) = 0, когда х = 0.
(7.13)
1 Эта лотерея похожа на игру «Спортлото», весьма популярную в 1970-80-е годы в нашей
стране. — Прим. перев.
172 Глава 7. Стохастическое событийное программирование
Если требуется максимизировать ожидаемую прибыль с риском потерять
НК$100, тогда имеем следующую EVM-модель:
( maxE[f(x, О)
при ограничениях:
5а: < 100, ^' '
х ^ 0, целые.
Очевидно, что E[f(x, £)] < 0 при условии, что х > 0 (чего же еще можно
было ожидать?). Однако, если х = 0, тогда имеем E[f(x,£)} = 0. Этот факт
означает, что оптимальным решением задачи по EVM-модели (7.14) является
х* = 0 (т. е. не принимать участия в игре).
Почему же люди все-таки играют в лотерею «Выбери 6 номеров»?
Чтобы ответить на этот вопрос мы должны рассмотреть эту задачу с различных
сторон. Если мы хотим добиться максимального шанса (независимо от суммы
выигрыша) получить НК$10 000 000 или больше с риском потерять HKS100,
тогда мы имеем следующую DCP-модель:
тахРг{/(ж,0 > Ю000000}
при ограничениях:
Ъх < 100, ^ ' '
х ^ 0, целые.
Во всяком случае здесь вероятность Рг{/(ж, £) ^ 10000000} является строго
положительным числом, если х > 0 и 0, если х = 0. Кроме того, очевидно,
что вероятностная функция Рг{/(ж, £) ^ 10000000} возрастает с ростом х.
Следовательно оптимальным решением будет установить ставку $100 (или 20
лотерейных билетов).
Пример лотереи «Выбери 6 номеров» показывает, что различные критерии
для принятия решения (критерии выбора) приводят к различным моделям,
давая таким образом различные (иногда даже прямо противоположные)
результаты.
Часть III
НЕЧЕТКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Глава 8
Нечеткие величины
леория нечетких множеств была предложена Заде в 1965 году (Zadeh [304]) и
[ревратилась за прошедшее время в детально разработанную область с ши-
юким спектром приложений к задачам практического характера1. Термин
нечеткая величина» впервые был введен Кофманом в (Kaufmann [122]), а
атем появился в работах (Zadeh [306,307]) и (Nahmias [225]). Теория возмож-
юстей предложена Заде в работе (Zadeh [307]) и разрабатывалась многими
[сследователями, в частности, Дюбуа и Прадом (Dubois and Prade [62,63])2.
Нечеткое имитационное моделирование было разработано Лю и Ивамурой
Liu and Iwamura [162,163]) и определяется как метод экспериментирования с
моделями нечетких систем. Многими численными экспериментами показано,
гго нечеткое имитационное моделирование прекрасно подходит для работы с
ючеткими ограничениями и для оценки возможностей нечетких систем.
Основное внимание в данной главе будет уделено таким понятиям, как
ючеткое множество, нечеткая величина, нечеткая арифметика, мера возмож-
тости, мера необходимости, мера правдоподобия, оператор ожидаемого значе-
дая и нечеткое имитационное моделирование.
В.1. Возможностное пространство и нечеткие величины
Обычное множество А, выделенное из универсального множества U,
принято определять как коллекцию элементов х £ U. Каждый отдельный элемент
может принадлежать либо не принадлежать множеству А такому, что А С U.
Это множество можно описать несколькими способами: можно перечислить те
элементы, которые принадлежат множеству; можно описать множество
аналитически, с помощью набора равенств и неравенств (ограничений); можно
также определить элементы, принадлежащие множеству, с использованием
арактеристической функции, которая принимает значение 1 для элементов,
принадлежащих рассматриваемому множеству, и 0 —для элементов, не
принадлежащих ему. Во многих случаях, однако, на вопрос о принадлежности
элемента множеству ответить непросто. Например, для множеств, связанных
с понятиями «старый человек», «уважаемый», «подобный»,
«удовлетворительный», «большое число», «примерно равный 10». Множества такого вида не
1 См. также [79-83,85-89,91] в списке дополнительной литературы. — Прим. ред.
2 См. также [84,90,92] в списке дополнительной литературы. — Прим. ред.
174 Глава 8. Нечеткие величины
поддаются истолкованию средствами классической теории множеств или
теории вероятностей. Чтобы иметь возможность работать с объектами подобного
рода, введем вначале концепцию нечеткого множества, предложенную Заде
(Zadeh [304]):
Определение 8.1. Обозначим через U универсальное множество. Тогда
нечеткое подмножество А универсального множества U определяется с
помощью функции принадлежности
fiA: t/-[0,l], (8.1)
которая ставит в соответствие каждому элементу х £ U действительное
число Цд{х) из интервала [0,1], где значение Цд{х) для х представляет собой
степень принадлежности элемента х множеству А. Считается при этом,
что чем ближе значение Цд(х) к единице, тем выше степень
принадлежности элемента х множеству А.
Определение 8.2. Множество элементов, принадлежащих нечеткому
множеству А и имеющих степени принадлежности не менее а, будем
называть множеством уровня а
Аа = {х G U | fiX(x) > а} . (8.2)
Намиас в (Nahmias [225]) предложил теоретическую базу, которая
позволяет построить аксиоматическую теорию для описания нечеткости. Дадим
определение возможностного пространства (Намиас называет его пространством
паттернов).
Определение 8.3. Пусть О — непустое множество, а 3>(G) — множество
всех подмножеств для О. Для каждого А £ 3>(G), существует некоторое
неотрицательное число Pos{A}, называемое его возможностью, такое, что
(i) Pos{0} = 0, Pos{G} = 1; и
(ii) Pos{Ufcj4fc} = supfcPos{.Afc} для некоторого произвольного набора {Аь} в
?(Q).
Тройка (G,3>(Q),Pos) называется возможностным пространством, а
функция Pos трактуется как мера возможности.
Нечеткая величина может быть введена многими способами. В данной
книге мы будем использовать для нее следующее определение.
Определение 8.4. Нечеткая величина определяется как функция из
возможностного пространства (G,T(0),Pos) в вещественную прямую 3?.
Определение 8.5. Пусть £ — нечеткая величина на возможностном
пространстве (G,T(G),Pos). Тогда ее функция принадлежности может быть
получена из меры возможности следующим образом:
ц{х) = Pos{0 € G | £(6>) = x}. (8.3)
8.1. Возможностное пространство и нечеткие величины 175
Замечание 8.1. Для любой нечеткой величины £ с функцией
принадлежности fi имеем supa.^(a;) = supxPos{0 € G|£(0) = x} = Pos{G} = 1. Таким
образом, всякая нечеткая величина, удовлетворяющая определению 8.4, будет
нормализованной.
Замечание 8.2. Пусть £ — нечеткая величина с функцией принадлежности fi.
Тогда можно рассматривать £ как функцию из возможностного пространства
(Q, 3>(G), Pos) в 5?, такую, что Роб{Л} = sup{^(£(0))|0 € А} для любого А €
7(G).
Замечание 8.3. Поскольку G = A U Ас, имеет место соотношение Pos{A} V
Pos{j4c} = Pos{G} = 1, из которого следует, что Роб{Л} ^ 1. С другой стороны,
так как А = AU0, имеем, что Pos{.A} V0 = Роб{Л}, откуда Роб{Л} ^ 0. Отсюда
следует, что 0 ^ Роб{Л} ^ 1 для любого А € 7(0).
Замечание 8.4. Пусть А с В. Тогда существует множество С такое, что
В = A U С. Получаем отсюда Роб{Л} V Pos{C} = Pos{B}, откуда следует, что
Pos{A} < Pos{£}.
Определение 8.6. n-мерный нечеткий вектор £ = (£ь£2, • • • ,£п)
представляет собой п-ку нечетких величин £i,£2, • • • ,£п-
Обсудим концепцию произведения возможностных пространств.
Предположим, что (Gi,35(G»),PoSi) —возможностные пространства, г = 1,2,...,т.
Запишем
G = Gi xG2 x...xGm. (8.4)
Для любого А € 7(0) введем определение меры возможности следующим
образом:
Ров{Л} = sup min Posi{0i}. (8.5)
(0i,02 em)eA1<i<m
Покажем, что (G,3>(G), Pos) —возможностное пространство. Очевидно, что
Pos{0} = 0 и Pos{G} = 1. Кроме того, для любого произвольного набора
{Ak} in 3>(G) имеем, что
Pos{Ufc.Afc} = sup min Роб*{0*} =
(0i.02 em)eukAk i&^m
= sup sup min PoSi{#i} =
k (01,02,-,0m)e^fc1<i«m
= supPos{.Afc}.
k
Отсюда следует, что (О, 3>(G),Pos)— возможностное пространство.
Определение 8.7. (Ыи [180]) Пусть (Gi,T(G»),PoSj),i = 1,2,...,т, —воз
можностные пространства. Произведение возможностных пространств
определяется как (G,3>(Q),Pos), где О и Pos определяются посредством (8.4
и (8.5), соответственно.
176 Глава 8. Нечеткие величины
8.2. Нечеткая арифметика
Пусть Gi —нечеткие величины, определенные на возможностных
пространствах (Gi,?(Gi),PoSi), i = 1,2, соответственно. Тогда функции
принадлежности для них, полученные из мер возможностей, запишутся как
цаЛх) = Posi{6> € Gi | а4(0) = x}, i = 1,2.
Сумма а = ay + 5,2 представляет собой нечеткую величину, определенную на
произведении возможностных пространств (Q,3>(G),Pos) как
fi(0i,02) = fii(0i) + 02(62) V(0b02) € G
с функцией принадлежности, определяемой выражением
^a(z) = sup {vaAxi) *\ №2{Х2) | x = xi + х2}
для любого х £ 3J. То есть, возможность того, что нечеткая величина а = 01+Й2
достигнет значения х € 3J, равняется по величине наиболее возможной
комбинации действительных чисел х\,х% таких, что х = х\ + х2, где значения
переменной о* есть Xi, i = 1,2, соответственно. Произведение о = d\ ■ 0,2
представляет собой некоторую нечеткую величину, определенную на произведении
возможностных пространств (G,T(G),Pos) следующим образом:
о(0ь02) =о1(01)-о2(02) V(0i,02) G G,
а функция принадлежности для этой величины задается выражением
/iu(z) = ■ SUp {fia1(Xl)AHa2{X2) \ X = Xi ■ Х2}
Xl,X2&St
для любого х € 3?. В более общем случае получаем следующую нечеткую
арифметику.
Определение 8.8. Пусть /: 3?" —» 5R — непрерывная функция, а £» —
нечеткие величины на возможностных пространствах (Gi,T(Gi),Posi), г =
1,2,...,п, соответственно. Тогда £ = f(£i,£2,---,€n) представляет собой
нечеткую величину, определенную на произведении возможностных
пространств (G, 3>(0), Pos) следующим образом:
£(01,02, • • • ,0n) = /Kl(0l),6(fc), • • -,U0n)) (8.6)
для любого (0i,02,...,0n) G G.
Теорема 8.1. Пусть а\,а,2, ■■ .,ап—нечеткие величины и /: 3?" —► 3?—
некоторая непрерывная функция. Тогда функция принадлежности /ла от
а = /(ai, Й2,..., ап) строится по функциям принадлежности /xgj, /ia2> • • • 1 Ма„
следующим образом:
t
/xa(z) = sup ^ min ц^(х^) I а; = f{xi,x2,...,хп)\ . (8.7)
и,12,...,1„еэг [K^n J
8.2. Нечеткая арифметика 177
Доказательство: Из определений 8.5 и 8.8 следует, что функция
принадлежности для а = f{cii, а2, • ■ ■, ап) определяется как
к{х)=Ра*{(01,в2,...,вп)ев\х = /{а1{в1),аг{в2),...,ап{вп))} =
= sup \ min Posi{0i} I х =/{а1(в1),а2{в2),...,а.п(вп)) \ =
е;6в;,г=1,2,...,п (,1<г^п J
= sup \ min /Xai(Zi) I x = f(xi,x2,...,xn) \.
xux2,...,х„еэг L1^^" J
Теорема доказана.
Теорема 8.1 совпадает с принципом расширения, сформулированным Заде.
Проиллюстрируем теперь операции с нечеткими величинами. Под
трапецеидальными нечеткими величинами будем понимать нечеткие величины,
полностью определяемые четверкой (г1,Г2,гз,Г4) обычных («четких») чисел таких,
что г\ < г2 ^ гз < г4, а функции принадлежности таких величин
определяются выражениями вида:
ц{х)
X — 7*1
, если г\ ^ х ^ гг ,
1, если гг ^ х ^ гз ,
X - ГА
, если гз ^ х ^ Г4 ,
Г3 -Г4
О в других случаях.
Заметим, что трапецоидальная нечеткая величина будет представлять собой
треугольную нечеткую величину, если г2 = гз, т. е. если она полностью пред-
ставима с помощью тройки (г1,Г2,Г4).
Основываясь на понятии бинарной операции, можно получить сумму
трапецоидальных нечетких величин а = (01,02,03,04) и 6 = (61,62,63,64) как
Va+Uz) = sup{mm{/xa(a;),/xj(!/)} \z = x + y} =
z — (01+bi) , ,
—r-— —т-г, еслио! +bi ^z^a2+b2,
(02+62) - (ai+61)
1, если а2 + 62 < z < a3 + 63 ,
z - (a4 + 64)
7 —— ——, если a3+ 63 ^ z ^ a4 + 64 ,
(a3 + 63) - (a4 + 64)
О в других случаях.
Таким образом, сумма двух трапецоидальных нечетких величин также будет
трапецеидальной нечеткой величиной:
а + 6 = (ai + 61, а2 + Ъ2, аз + 6з, а^ + 64).
= \
178 Глава 8. Нечеткие величины
Рассмотрим теперь произведение трапецеидальной нечеткой величины и
скалярной величины Л. Получим
Мла(г) = sup{ца{х) \ z = Хх} ,
откуда следует, что
Л-
-{
(Aai, Лаг, Лаз, Ха^), если А ^ 0,
(Аа4, Лаз, Лаг, Ха\), если Л < 0.
Итак, произведение трапецеидальной нечеткой величины и скалярной
величины представляет собой снова трапецеидальную нечеткую величину.
Предположим, например, что сц—трапецоидальные нечеткие величины
(a»i,ai2,a,3,ai4), а Ai— скалярные величины, г = 1,2, ...,гг, соответственно.
Если определить
Л+
Xi, если Л* ^ О,
О, в других случаях,
О, если Л* ^ 0,
—Xi, в других случаях
для г = 1,2,... ,га, то A]f" и А~ будут все неотрицательными и удовлетворять
условию Xi = Xf — A^~. Используя операции суммирования и произведения
трапецеидальных нечетких величин, получим
/ п _ \
5D (Vaii - К0**)
а = у Xi ■ hi =
»=i
г=1
Ё (Л+ ai2 - Xi ai3)
»=i
J2 (Vai3 - \ ai2)
»=i
5D (A+ai4-Ai an)
»=i
8.3. Меры возможности, необходимости и
правдоподобия
Пусть а и Ъ — нечеткие переменные на возможностных пространствах
(Gi,T(Gi),Posi) и (G2,35(G2),Pos2), соответственно. Тогда a ^ Ь —
нечеткое событие, определенное на произведении возможностных пространств
(Q,3>(Q),Pos), для которого возможность определяется выражением
Pos{a < 6} = sup {ца{х) Л щ{у) | х < у} ,
где сокращенная запись Pos означает «возможность» ]. Это значит, что
возможность для a ^ Ь представляет собой наибольшую из возможностей того,
1 От английского слова possibility. — Прим. перев.
8.3. Меры возможности, необходимости и правдоподобия 179
что существует по крайней мере одна пара значений х, у £ 5R такая, что х ^ у,
а значения для а и Ъ есть хну, соответственно. Аналогично, возможность для
а = Ь задается выражением
Pos{a = b}= sup {mm(fia(x), ^(x))} .
xest
В более общем случае имеет место следующая теорема относительно
возможности нечеткого события.
Теорема 8.2. Пусть а\,а,2, ■ ■ ■ ,ап — нечеткие величины, a fy. 3?" —> 3? —
непрерывные функции, j = 1,2, ...,m. Тогда возможность нечеткого
события, характеризуемая как fj{ai,a,2, ■ ■ ■, ап) ^ 0, j = 1,2,..., т, определяется
следующим образом:
Pos{fj{ai,a2, ...,а„) < 0, j = l,2,...,m} =
f • i M/7ta,x2l...,j;„K0l (8-8)
SUp < ПИП ЦаЛ^г) \ J i о }■
х1,х2,...,х„еэг\1^<п ' j = 1,2,...,mj
Доказательство: Пусть а* определены на возможностных пространствах
(Gi,35(Gi),Posi), i — 1,2,...,гг, соответственно. Тогда нечеткое событие
fj{o.\, G2,..., йп) ^ 0, j = 1,2,..., m, определено на произведении
возможностных пространств (G,T(G),Pos), а возможность для него задается следующим
образом:
Pos{/j(ai,a2,...,a„) < 0,j = 1,2, ...,m} =
= Pos{(0b02,...,0n)ee /i(fii(*i«fc).-VLM*n))<0| =
= sup ( mm PosR} /i(ai№).a»№),...,a-(J-)) <°\ =
е,бе;,1«««п lK^" j = l,2,...,mj
= sup (minute) /^.^.-.«-X0).
i,^,..!..e!ili«» J = 1,2,. ...m/
Теорема доказана.
Мера необходимости множества А определяется как невозможность
противоположного множества Ас.
Определение 8.9. Пусть (Q, 3>(G),Pos) —возможностное пространство и
А —множество в У{&)- Тогда мера возможности для А определяется
выражением:
Nec{A} = 1 - Pos^c}. (8.9)
Таким образом, мера необходимости двойственна мере возможности, т. е.
Pos{A} + Nec{Ac} = 1 для любого А € T(G).
Правдоподобие нечеткого события определяется как среднее между его
возможностью и необходимостью. Данное понятие играет важную роль в
определении оператора ожидаемого значения.
180 Глава 8. Нечеткие величины
Определение 8.10. (Liu and Liu [182]) Пусть (G,3>(G),Pos) — возможност-
ное пространство и А —множество в У (О)- Тогда мера правдоподобия для А
определяется выражением:
Ст{А} = i (Pos{A} + Nec{A}). (8.10)
Таким образом, мера правдоподобия является самодвойственной, т. е.
Сг{Л} + Ст{Ас} = 1 для любого А € 7(G).
Замечание 8.5. Нечеткое событие может не состояться, даже если его
возможность достигает 1, равно как и состояться, даже когда его необходимость
равна 0. Однако нечеткое событие должно состояться, если его правдоподобие
равно 1, и не может состояться, когда его правдоподобие равно 0.
Теорема 8.3. Пусть (e,3>(0),Pos) — возможностное пространство и А —
множество в 7(0). В этом случае имеет место соотношение
Pos{A} 5г Сг{Л} 5г Nec{A}. (8.11)
Доказательство: Докажем вначале, что Ров{Л} ^ Nec{.A}. Если Pos{A} =
1, то очевидно, что Роб{Л} ^ Nec{.A}. С другой стороны, требуется чтобы
Pos{Ac} = 1, откуда следует, что Nec{.A} = 1 — Pos{.Ac} = 0. Таким образом,
Pos{A} ^ Nec{A} всегда выполняется.
Из определения правдоподобия следует, что значение правдоподобия
заключено между значениями возможности и необходимости. Следовательно,
(8.11) удовлетворяется. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь трапецеидальную нечеткую величину £ = (г у, г2, гз,Г4).
Из определений возможности, необходимости и правдоподобия несложно
получить следующие соотношения:
если гг ^ 0 ,
если п < 0 < г2 , (8.12)
в других случаях,
если Г4 ^ 0 ,
если г3 ^ 0 ^ Г4, (8.13)
в других случаях,
если Г4 ^ 0,
если гз ^ 0 ^ Г4,
если г2 < 0 < г3 , (8-14)
если г\ ^ 0 ^ гг ,
в других случаях.
Pos{£<0}= <
Nec{£ < 0}
Cr{£ < 0} = <
1,
r\
ri-r2y
0
1,
0
1,
2г3 - г4
2(г3-г4)'
1
2'
ri
2(ri-r2)'
0
8.3. Меры возможности, необходимости и правдоподобия 181
Обратимся теперь к доказательству следующей теоремы.
Теорема 8.4. (Lu [196]) Пусть £ = (г1,Г2,гз,Г4) — трапецоидальная
нечеткая величина. Тогда для любого заданного доверительного уровня а при 0 <
а ^ 1, имеем
(a) Pos {£^0}^ а, тогда и только тогда, когда (1 — а)г\+аг2 ^0;
(b) Nec{£ ^ 0} ^ а, тогда и только тогда, когда (1— а)гз+о>г4^0;
(c) если q^1/2, то Сг{£^0}^а, тогда и только тогда, когда (1 — 2а)г\ +
2аг2<0;
(d) если а>1/2, то Сг{£^0}>а, тогда и только тогда, когда (2 — 2а)гз +
(2а-1)г4^0.
Доказательство: Если Pos {£ ^ 0} ^ а, то имеет место либо г2 ^ 0, либо
f\/(ri — г2) ^ а. Если г2 ^ 0, тогда г\ < г2 ^ 0, так что (1 — a)ri + or^ ^ 0.
Если г\/(г\ — г2) ^ а, то r\ ^ a(ri — г2) вследствие того, что г\ < г2. Получаем
отсюда (1 — а)г\ + от2 ^ 0 для всех случаев.
И обратно, если (1 — сх)г\ +ar2 ^ 0, аргументация распадается на 2 случая.
Если г2 ^ 0, имеет место Pos{£ ^ 0} = 1, откуда следует, что Pos{£ ^ 0} ^
а. Если г2 > 0, тогда г\ < 0 и можно переписать (1 — а)г\ + атъ ^ 0 как
г\/{г\ — г2) ^ а. Таким образом, Pos{£ < 0} ^ а.
Часть (а) теоремы 8.4 доказана. Остальные ее части могут быть проверены
аналогичным способом.
Определение 8.11. Распределение правдоподобия Ф: 5R —► [0,1] нечеткой
величины £ определяется следующим образом:
Ф{х) = Сг {6» G 0 | £{6) < х} . (8.15)
То есть Ф(х) — правдоподобие того, что нечеткая величина £ принимает
значение, меньшее или равное х.
Определение 8.12. Функция плотности распределения правдоподобия ф:
3? —► 3? нечеткой величины £ представляет собой кусочно-непрерывную
функцию такую, что
Ф(х) = Г ф{у)Ау (8.16)
J—оо
удовлетворяется для всех х.
Пусть (£i, £2, ■ • ■,£п) — нечеткий вектор. Тогда его совместное
распределение правдоподобия (joint credibility distribution) Ф: 5Rn —» [0,1] определяется
следующим образом:
Ф{Х1,х2,...,хп) = Сг {в G G | &(0) < 11,6(6) < jb2> ... ,£„(0) < хп}
Функция совместного распределения правдоподобия ф нечеткого вектора
(£ъ£2,• ■ • ,£п) представляет собой кусочно-непрерывную функцию, такую что
/XI ГЭС? рХ„
\ ... I ф{у\,у1,...,уп)^у\Ау1..Луп
-ОО J —ОО J — OO
удовлетворяется для всех (жх, Х2, • ■ •, хп) £ 3Rn.
182 Глава 8. Нечеткие величины
8.4. Оптимистические и пессимистические значения
Пусть £— нечеткая величина. Чтобы измерить ее, можно использовать два
критических значения (оптимистическое значение и пессимистическое
значение) с заданным доверительным уровнем.
Определение 8.13. Пусть £ — нечеткая величина и а € (0,1]. Тогда
£sup(q) = sup {г | Pos {£ ^ г} > а} (8.17)
называется а-оптимистическим значением для £.
Это означает, что нечеткая величина £ достигнет снизу а-оптимистического
значения £SUp(o;) с возможностью а. Другими словами, а-оптимистическое
значение £sup(oi) представляет собой супремум (наибольшую верхнюю грань),
возможность достижения которого для £ составляет а. Иногда удовлетворяется
условие Pos{£ ^ £SuP(o;)} > ct. Например, предположим, что
{5 с возможностью 1.0,
6 с возможностью 0.8,
7 с возможностью 0.5.
Если а = 0.7, тогда £sup(0.7) = 6 и Pos{£ ^ £sup(0.7)} = 0.8 > 0.7.
Определение 8.14. Пусть £ — нечеткая величина и а € (0,1]. Тогда
£inf (a) = inf {г | Pos {£ < г} ^ а} (8.18)
называется а-пессимистическим значением для £.
Это означает, что нечеткая величина £ будет меньше а-пессимистического
значения £inf (а) с возможностью а. Другими словами, а-пессимистическое
значение £inf(o;) представляет собой инфинум (наименьшую нижнюю грань),
возможность достижения которого для величины £ составляет а.
Замечание 8.6. Используя различные варианты критерия принятия
решения, а-пессимистическое значение и а-оптимистическое значение нечеткой
величины £ может быть определено как
sup {r|Nec {£ 5? г} > а}, (8.19)
inf {r|Nec {£ < г} ^ а} ; (8.20)
sup{r|Cr{£^r}^a}, (8.21)
inf {r|Cr {£ < г} > а} , (8.22)
или как
£suP(a)
£inf(a)
£suP(a)
£inf(a)
соответственно.
8.4. Оптимистические и пессимистические значения 183
£inf(a) 6uP(q)
Рис. 8.1. а-пессимистическое значение и а-оптимистическое значение
Теорема 8.5. Пусть £inf(a) и £sap{a) — а-пессимистическое и
а-оптимистическое значения нечеткой величины £, соответственно. Тогда t,mf(a) —
некоторая возрастающая функция, a £Вцр(о:) —некоторая убывающая
функция от а и
&up(a) > &>f(a) Vq€(0,1]. (8.23)
Доказательство: Пусть ц — функция принадлежности для £. Очевидно
тогда, что существует число г такое, что (г(Т) = 1. Тогда из определения
для £inf(ci) и Сайр (а) следует, что £inf(o:) ^ г и £sup(a) ^ F. Следовательно,
£sup(a) ^ ^inf(o:). Этот результат показан на рис. 8.1.
Теорема 8.6. (Liu and Liu [188]) Предположим, что £ и Т] — нечеткие
величины. Тогда для любого а € (0,1] имеет место
(a) (£ + 7?)8цр(а) = &ир(о:) + Vsup(a);
(b) {£ + v)inf{a) = £nf(a) + 77inf(a);
(c) если A ^ 0, mo (Af)sup(a) = Afsup(a) и (Af)inf(o:) = Afinf(a);
(d) если \<0, mo (A£)sup(a) = A£inf(a) и (Af)inf(a) = A£sup(a).
Доказательство: (а) Для любых данных а е (0,1] существуют две
последовательности, {sn} и {*„}, такие что sn / £8цр(а), tn / 7jsup(a), Pos{f ^ sn} ^ a
и Pos{7j ^ tn} ^ а. Таким образом, для каждого п имеем, что Pos{£ + rj ^
sn + tn} ^ а, откуда следует, что (f + T])sup(a) ^ sn + tn. Пусть п-юо, тогда
получим
К + V)*up{a) ^ &»P(a) + TkuP{a). (8.24)
С другой стороны, существует некоторая последовательность {гп}, такая что
гп У (£ + v)bup(o) и Pos{£ + Т] ^ гп} ^ а. То есть для любого п существуют
г^ и rj[ такие, что г^ + г^ = rn, Pos{£ ^ rJJ ^ а и Pos{7j ^ r„} ^ а, откуда
следует, что rn ^ £Sup(cO + %ир(а)- Пусть п —» оо, тогда получим
(£ + v)suP{a) «S 6uP(a) + »Лзир(о:).
(8.25)
184 Глава 8. Нечеткие величины
Как следует из (8.24) и (8.25), часть (а) теоремы 8.6 выполняется Часть (Ь)
для нее может быть доказана аналогичным образом.
Если Л = 0, тогда часть (с) удовлетворяется очевидным образом. Если
Л > 0, получим
(AOsup(a) = sup {г | Pos{A£ > г} > а} =
= Л sup {г/Л | Pos {£ > г/А} ^ а} =
= A£SUp(a).
Аналогичным образом можно доказать, что (A£)inf (a) = A£inf(a).
Чтобы доказать часть (d) теоремы 8.6, достаточно проверить, что
(-$)suP(") = -finf(o:) и (-f)inf(o:) = -£suP(a). Фактически, для любого
а € (0,1] имеет место:
(-£)suP(o:) = suPir I Pos{-£ ^ r} ^ qa) =
= - inf{-r | Pos{f < -r) ^a} =
= -^inf(a)-
Аналогичным образом может быть доказано, что (—£)inf(<*) = — £Sup(<*).
Теорема 8.6 доказана.
8.5. Оператор ожидаемого значения
Оператор среднего ожидаемого значения (математического ожидания)
случайной величины играет исключительно важную роль в теории вероятностей.
Соответственно, в (Liu and Liu [182]) была предложена концепция ожидаемого
значения нечеткой величины'.
1 Существует много способов определить среднее значение для нечеткой величины.
Дюбуа и Прад (Dubois and Prade [60]) определили среднее значение нечеткой величины как
некоторый интервал Е[£] = [Е,[£],Е*[£]], где
/оо гоо
xdF'(x), £*[£]=/ xdF.(x)
-оо J—оо
и F*(x) = sup{fi(r)\r ^ x}, F*(x) = inf{l — y.{r)\r > x}. Это определение имеет смысл только
для полунепрерывных сверху нечетких чисел. В работе (Heilpern [94]) дано определение
ожидаемого значения некоторого нечеткого числа через случайное множество:
где / и д — границы непрерывного нечеткого числа £. Кампос, Гонсалес (Campos and
Gonzalez [37]), Гонсалес (Gonzalez [87]) и Ягер (Yager [293,300]) предложили еще
несколько подходов к определению среднего значения для нечетких чисел. Для того чтобы дать
более общее определение ожидаемого значения для нечеткой величины как таковой, так и
для случайно-нечеткой величины, неточно-нечеткой величины (rough fuzzy variable), а
также бинечеткой величины (bifuzzy variable), в (Liu and Liu [182]) предложен другой подход к
формированию оператора ожидаемого значения, который применим не только к
непрерывным нечетким величинам, но и к дискретным нечетким величинам, а также к функциям от
нескольких нечетких величин.
8.5. Оператор ожидаемого значения 185
Определение 8.15. (Liu and Liu [182]) Пусть £ — нечеткая величина на
возможностям пространстве (О, ?(0),Pos). Ожидаемое значение величины £
определяется выражением
г+оо гО
Е[£] = / Cr{£ ^ r}dr - / Cr{£ ^ r}dr. (8.26)
Пример 8.1. Пусть £ — нечеткая величина с функцией принадлежности
„1Х\ = / г» если х G 1°' Ь1 >
1 0 в других случаях.
Ожидаемое значение для этой величины определяется выражением Е[£\ =
|(а + Ь).
Пример 8.2. Ожидаемое значение для треугольной нечеткой величины
{п,г2,г3) есть
Е[£] = -(г1 + 2г2 + г3).
Пример 8.3. Ожидаемое значение для для трапецеидальной нечеткой
величины £ = (n, r2, гз, га) есть
Е[£] = ^(Г1+Г2 + ГЗ + Г4).
Пример 8.4. Введенное определение оператора ожидаемого значения
применимо не только для непрерывного, но и для дискретного случая. Пусть £ —
дискретная нечеткая величина, функция принадлежности которой задается
выражением:
Hi, если х = а\,
ц{х)=\ "*> еслих = а2,
цт, если х = ат .
Без потери общности можно предположить также, что ai ^ а2 ^ • • • ^ сьт. Из
определения 8.15 следует, что ожидаемое значение для £ есть
m
E[t]=Y,wiai> (8-27)
где веса uii, г = 1,2,..., т, задаются соотношениями:
1 ( \
W\ = — I ц\ + max Hj — max [ij I ,
2 \ l^j^m Kj^m )
j = — I max Hj — max (ij + max \ij — max \ij I , 2 ^ г ^ m — 1,
2 \l^J^i I^J<i i^j^7n i<j^m J
1 ( \
— I max щ — max /u,- + /um I .
2 \i^j^m i^j<m /
m
Щ
186 Глава 8. Нечеткие величины
Несложно проверить, что все Wi ^ 0 и
т
EWi = max и, = 1,
г=1
поскольку любая нечеткая величина, определенная на возможностном
пространстве, нормализована.
Пример 8.5. Для некоторых нечетких величин ожидаемое значение может
не существовать. Например, нечеткая величина
1
ц{х) = -
1+х
1
, если х ^ 0,
, если х < 0,
. 1-х
не имеет ожидаемого значения, поскольку оно в данном случае принимает
форму со — со. Следует отметить, что некоторые случайные величины (например,
распределение Коши) также не имеют ожидаемого значения.
Замечание 8.7. Вид оператора ожидаемого значения нечеткой величины
идентичен такому же для случайной величины за исключением того, что Рг
заменяется на Сг (Определение 4.9). Поскольку правдоподобие Сг двойственно
самому себе, оператор ожидаемого значения в точности является интегралом
Шоке.
Теорема 8.7. Пусть £ — нечеткая величина, определенная на
возможностном пространстве (в, y(0),Pos). В этом случае имеет место соотношение
/+оо
хф{х)дх, (8.28)
■оо
где ф — функция плотности правдоподобия величины £.
Доказательство: Из определения оператора ожидаемого значения следует,
что
г+оо гО
Effl = / Cr{£ > r}dr - / Cr{£ ^ r}dr =
Jo J-oo
г+оо г г+оо -| гО г гг
= / / ф{х)Ах\ dr- \ ф{х)Ах
Jo \_Jr J J-oo L-/-00
г+оо г л -] гО г гО
= / / ф(х)дг \дх- I / ф{х)дг
г+оо гО
= / хф(х)йх + / хф{х)дх =
Jo J-oo
/+оо
хф(х)дх.
-оо
Теорема доказана.
dr:
dx =
8.5. Оператор ожидаемого значения 187
Теорема 8.8. (Ыи and Liu [188]) Пусть £ — нечеткая величина с конечным
ожидаемым значением Е[£\. В этом случае имеет место соотношение
E№ = \j [6mP(a)+6nf(a)]da, (8-29)
где £sup(a) и £inf (a) — а-оптимистическое и а-пессимистическое значения
величины £, соответственно.
Доказательство: Поскольку нечеткая величина £ определена на возмож-
ностном пространстве в, она нормализована. То есть существует вещественное
число го такое, что ц(го) = 1. Если го ^ 0, то из определения правдоподобия
следует, что
л-t-OO ли
ЕШ = / Cr{£ ^ r}dr - / Cr{£ ^ r}dr =
Jo J—oo
1 Г Г+°° rro
= - к, + / Pos{f ^ r}dr + r0- Pos{f ^ r}di
^ L Jro J—oo
1 Г1
= 2 / feuP(o:) + £inf(o:)] da.
Аналогичным образом можно доказать результат для случая го < 0.
Следовательно, теорема верна.
Теорема 8.9. (Ыи and Ыи [188]) Предположим, что £ и т] — нечеткие
величины с конечными ожидаемыми значениями. Для любых вещественных чисел
а и b имеет место соотношение
Е{а£ + Ъп] = аЕ[£] + bE[v]. (8.30)
Доказательство: Из теоремы 8.6 следует, что
1 Г1
Е[а£ + Ът]] = - [К + bv)suP(a) + К + Ьц)ш (a)] da =
1 Г1
= 2 / [a&up(o:) + Ьт]вир(а) + afinf(a) + Ьгцп{(a)] da =
= 2 / I&"p(a) + fmf(")] da + - / [7?sup(a) + 7?inf(a)] da =
= aE[Q + bE[rj]
для любых вещественных чисел а и Ь, вне зависимости от того, положительны
они или нет. Теорема доказана.
Определение 8.16. (Ыи and Liu [182]) Пусть £ —нечеткая величина с
конечным ожидаемым значением Е[£\. Рассеяние величины £ определяется как
V№=E[{Z-E[Z])*].
188 Глава 8. Нечеткие величины
8.6. Ранжирование нечетких величин
Пусть £ и 77 — две нечеткие величины, определенные на пространстве
(в, У(0), Pos). Существует много способов ранжировать эти величины.
Например, можно сказать, что £ ^ т?, тогда и только тогда, когда £(#) ^ т](в) для всех
в £ Q. Другими словами, £ ^ т? тогда и только тогда, когда Ф(х) ^ Ф(х) для
всех х € SR, где Ф и Ф представляют собой распределения правдоподобия
величин £ и 77, соответственно. Для практических применений, однако, ценность
этого подхода невелика. Предлагаются следующие методы ранжирования.
(i) Будем говорить, что £ > 77, тогда и только тогда, когда Е[£\ > E[j]], где
Е — оператор ожидаемого значения для нечеткой величины.
(ii) Будем говорить, что £ > 77, тогда и только тогда, когда для
некоторого предопределенного значения доверительного уровня а С (0,1] имеем
£sup(<*) > %ир(а), где £Sup(<*) и 77sup(a) — a-оптимистические значения для
£ и 77, соответственно.
(iii) Будем говорить, что £ > г), тогда и только тогда, когда для
некоторого предопределенного значения доверительного уровня a € (0,1] имеем
£inf(<*) > ^7inf (о:)> где £inf(<*) и 77inf(a) — a-пессимистические значения для
£ и 77, соответственно.
(iv) Будем говорить, что £ > 77, тогда и только тогда, когда Pos {£ ^ г} >
Pos {т? ^ г} для некоторого предопределенного уровня г.
8.7. Нечеткое моделирование
В этом разделе мы введем метод нечеткого имитационного моделирования для
вычисления возможности, нахождения критических значений и расчета
ожидаемого значения.
Пример 8.6. Будем считать, что gi,92,---,9p — вещественнозначные
функции, а £j — нечеткие величины с функциями принадлежности fii,i = 1,2, ...,п,
соответственно. Построим процесс нечеткого имитационного моделирования
для вычисления возможности
L = Ров{й(0 ^ 0,j = 1,2,.. .,р} , (8.31)
где £ = (£1,62, • • • , £п)- На практике в качестве отправной точки берется
оценка снизу для возможности L, обозначаемая через а. Тогда сформируем
случайным образом Ui, U2,..., ип из a-уровневых множеств £i, £2 1 £m
соответственно и обозначим и = {u\,U2,.. -,un). Если a-уровневое множество будет
порождать сложности, связанные с его компьютерным представлением, можно
задать область большего размера, например гиперкуб, включающий в себя а-
уровневое множество. Конечно, чем меньше область, тем более эффективным
будет нечеткое моделирование. Положим тогда
ц = /xi(ui) Л /и2(и2) Л ... Л цп{ип).
8.7. Нечеткое моделирование 189
Если gj(u) ^ 0, j = 1,2,... ,р и L < ц, тогда зададим L = ц. Повторим этот
процесс N раз. Значение L можно трактовать тогда как оценку возможности.
Подытожим сказанное следующим образом.
Алгоритм 8.1. Нечеткое моделирование
Шаг 1. Принять L = а в качестве оценки снизу.
Шаг 2. Получить случайным образом щ из а-уровневых множеств
нечетких величин £i, г = 1,2, ...,п, соответственно, и обозначить и =
(И1,И2,.-.,Ип).
Шаг 3. Принять ц = /xi(ui) Л ^(иг) Л ... Л Цп(ип).
Шаг 4. Если gj(u) ^ 0, j = 1,2,... ,р и L < ц, тогда принять, что L = ц.
Шаг 5. Повторить шаги со второго по четвертый N раз.
Шаг 6. Выдать в качестве ответа L.
Обратим теперь внимание на две нечеткие величины, а и Ь, с функциями
принадлежности
fia{x) = ехр [~{х - 2)2], 1л-ь{х) = ехр [-{х - I)2] ,
соответственно. Известное значение возможности для а ^ b определяется как
Pos{a ^b}= exp(-0.52) = 0.778.
Используем для их нахождения метод нечеткого моделирования. Во-первых,
будем рассматривать интервал [0,3] как гиперкуб, содержащий а-уровневое
множество нечетких величин а и Ь, на основании того, что нас не интересуют
точки со слишком малой возможностью. Зададим теперь два «четких» (crisp)
числа а и Ь, из тех, что равномерно распределены на интервале [0,3]. Если
а > Ь, поменяем их значения так, чтобы выполнялось условие а ^ Ь. Положим
р = min{/Lia(a),A*b(b)}. Опять зададим пару четких чисел атлЪ,
распределенных равномерно на [0,3], и произведем обмен их значений, если а > Ь. Если
р < гшп{/^й(а),Мь(Ь)}, то положим р = min{/iia(a),^(b)}. Повторим
изложенный выше процесс, задавая новые четкие числа а и b до тех пор, пока не
будет выполнено заданное количество циклов. Наконец, выдадим значение р
как возможность Pos{u ^ b}. Запуск нечеткого моделирования с числом
циклов, равным 3000, показывает, что значение возможности равняется 0.760, что
достаточно близко к правильному значению, равному 0.778, поскольку
относительная погрешность составляет 2%.
Рассмотрим теперь более сложный численный пример, в котором требуется
вычислить возможность:
Pos {а2 + be - J-1 ^ 4} ,
где а и b — нечеткие величины с функциями принадлежности вида
/ia(0 = ехр [-£2] , [гъ(0 = ехр [-|£ - 2|],
соответственно, с —трапецоидальная нечеткая величина (—1,1,2,3), a d —
треугольная нечеткая величина (1,2,3). Возьмем гиперкубы, содержащие а-
уровневые множества для а,Ь,с и d как Л = [—1,1], В = [1,3], С = [—1,3],
190 Глава 8. Нечеткие величины
и Т> = [1,3], соответственно. Зададим вначале р = 0 и сформируем четыре
четких числа а, Ь, с, d, по одному из Л, Б, С и Т>, соответственно. Если
а2 + Ьс- (Г1 ^4, р < min {^(а), щ{Ь), /иг(с), nj{d)} ,
тогда зададим р = min {/iia(a), fJ-i{b), /^е(с), /uj(d)} . Повторяем описанный выше
процесс до тех пор, пока не будет достигнуто заданное число циклов.
Значение р соответствует возможности Pos{u2 + be — d~l ^ 4}. В вычислительном
эксперименте с 5000 циклами было получено, что
Pos {a2 + be - dTl ^ 4} = 0.874,
что также достаточно близко к верному значению возможности, равному 0.908,
а относительная погрешность составляет здесь менее 3%.
Пример 8.7. Предположим, что / — вещественнозначная функция, а £$ —
нечеткие величины с функциями принадлежности /х», г = 1,2, ..,п,
соответственно. Найдем максимальное / такое, что неравенство
Pos{/(0>7}>/? (8.32)
удовлетворяется, где £ = (£1,62, • •■ ,£п)- Зададим вначале / = — со.
Сформируем затем случайным образом щ,и2, ■ ■. ,ип из /3-уровневых множеств
для fi,£2i--.ifni соответственно и обозначим и = (щ,и2,-..,ип). Зададим
/ = /(w), потребовав, чтобы / < f{u). Повторим этот процесс N раз.
Значение / будет представлять собой искомую оценку. Подытожим описанный
процесс следующим образом.
Алгоритм 8.2. Нечеткое моделирование
Шаг 1. Задать / = —оо.
Шаг 2. Сформировать случайным образом щ,иг,... ,ип из /3-уровневых
множеств для нечетких величин £i, £2, - • -, £п, соответственно, и обозначить
и = (ui,u2,. .,«„)•
Шаг 3. Если / < f(u), тогда задать / = f(u).
Шаг 4. Повторить второй и третий шаги N раз.
Шаг 5. Выдать значение /.
Положим теперь, что а — некоторая треугольная нечеткая величина
(1,2,3), a b и с — нечеткие величины с функциями принадлежности
^^ = 1 + (х - З)2' Ма^ = 6ХР [~(Х ~ 5^]'
Требуется определить максимальное значение / такое, что
Pos {а + (Ь - с)2 ^ /} ^ 0.8.
Известное максимальное значение величины / равняется 11.035. Нечеткое
моделирование с 1000 циклов дает результат, относительная погрешность для
которого менее 2%.
8.7. Нечеткое моделирование 191
Пример 8.8. Пусть / — вещественнозначная функция, а £$ — нечеткие
переменные с функциями принадлежности Hi, i = 1,2,..., п, соответственно.
Обозначим £ = (£i,£2i ■ • ч^п)- Тогда /(£) —также нечеткая величина, ожидаемое
значение для которой определяется выражением
гоо гО
£[/«)] = / Cr{/(0 ^ r}dr - / Cr{/(£) ^ r}dr. (8.33)
JO J-oo
Можно построить процесс нечеткого моделирования, который позволит
найти оценку E[f(£)]. Сформируем случайным образом величины Uij,U2},■■•,unj
из е-уровневых множеств £1,62. • ■• i£n. 3 = 1,2, ...,m, соответственно, где
е — некоторое достаточно малое число. Пусть Uj = (uij,U2j,- ",Unj) и Mj =
Hi{u\j) A fi2{u2j) A... A/j,n{unj) для j = 1,2,...,m. Тогда для некоторого числа
г ^ 0, правдоподобие Cr{/(£) ^ г} может быть оценено как
0{/(£) > г} = - ( . max {fij\f{uj) > г} + 1 - max {/i>|/(«,-) < г} ) ,
а для любого числа г < 0 правдоподобие Cr{/(£) ^ г} можно оценить как
Сг{/(£) < г} = - ( . max {/г,|/Ю < г} + 1 - . max {^|/Ю > r} ) ,
полагая, что m — достаточно велико.
Алгоритм 8.3. Нечеткое моделирование
Шаг 1. Задать Е = 0.
Шаг 2. Сформировать случайным образом u\j,U2j, ■ ■ .,unj из е-уровневых
множеств для £i,£2,-.. ,£п, обозначить Uj — (uij,u2j,- ■ ■ ,unj), j =
1,2,... ,m, соответственно, где е — некоторое достаточно малое число.
Шаг 3. Задать а = f{ui) Л f(u2) Л ... Л f{um), Ь = /(«i) V /(w2) V ... V /(wm).
Шаг 4. Сформировать случайным образом число г из интервала [а, Ь].
Шаг 5. Если г ^ 0, тогда Е <- Е + Сг{/(£) ^ г}.
Шаг 6. Если г < 0, то Е «- £ - Сг{/(£) ^ г}.
Шаг 7. Повторить шаги с четвертого по шестой N раз.
Шаг 8. £[/(£)] =aV0 + bA0+£-(6- a)/N.
Пусть теперь & = (г, г + 1,г + 6) — треугольные нечеткие величины для
г = 1,2,..., 100. Имеем тогда E[£i +& + ■■■ + fioo] = E[£i] + Е[Ь\ + ■■■ +
■Ё'Кюо] = 5250. Выполнение 10000 циклов нечеткого моделирования показало,
что E[£i + £2 + ■ • • + £100] = 5352. Относительная погрешность в данном случае
меньше 2%.
Пусть & = (1,2,3), & = (2,3,4), £, = (3,4,5) и & = (4,5,6)-треугольные
нечеткие величины. Вычислительный эксперимент с 5000 циклов показывает,
что ожидаемое значение будет равно E[y/£f + £f + £| + £f] = 7.35.
Глава 9
Нечеткие модели
ожидаемого значения
Примем, что ж— вектор решений, £ — некоторый нечеткий вектор, /(ж, £) —
функция дохода, a Qj(ж,£) — функции-ограничения, j = 1,2,...,р.
Проанализируем следующую задачу «нечеткого программирования»:
{тах/(ж,£)
при ограничениях: (9-1)
&(ж,£)<0, j = l,2,...,p.
Аналогично тому, как это имеет место в стохастическом программировании,
модель (9.1) не является вполне определенной вследствие того, что (i)
нельзя максимизировать нечеткую функцию дохода /(ж, £) (точно так же, как
нельзя максимизировать случайную функцию дохода), и (ii) ограничения
9}(х->£) ^ 0,j = 1,2,...,р, не порождают какого-либо четкого (crisp)
множества возможных значений.
К сожалению, задача нечеткого программирования вида (9.1) часто
встречается в литературе. Нечеткое программирование представляет собой один из
классов математических моделей. Независимо от вкусов и от того, каким
образом получена модель, понимание одной и той же модели у всех должно быть
одним и тем же. Другими словами, некоторая рассматриваемая
математическая модель должна иметь ту или иную недвусмысленную, точно выраженную
трактовку. Запись в форме (9.1) не имеет математического смысла, поскольку
не имеет единственной интерпретации.
Для того чтобы можно было строить точно выраженные модели
нечеткого программирования, в работе (Liu and Liu [182]) представлена серия
нечетких моделей ожидаемого значения (EVM-моделей), в основе которых лежит
подход, предполагающий выбор решения с максимальным ожидаемым
доходом. В данной главе вводятся основные понятия, относящиеся к нечетким
EVM-моделям, а также осуществляется интеграция нечеткого имитационного
моделирования, нейронных сетей и генетических алгоритмов для того,
чтобы получить гибридный алгоритм, позволяющий работать с нечеткими EVM-
моделями. В завершение главы нечеткая EVM-модель применяется для
решения таких задач, как оптимальное резервирование, планирование работы
параллельно действующих машин, размещение и распределение объектов.
9.1. Общие модели
Чтобы получить решение, обеспечивающее максимум ожидаемого
значения дохода, можно воспользоваться следующей однокритериальной нечеткой
9.1. Общие модели 193
EVM-моделью:
' maxE\f(x,£)]
при ограничениях:
£fe(x,£)K0, j = l,2,...,p,
(9.2)
где ж —некоторый вектор решений, £ — некоторый нечеткий вектор, /(ж,£) —
функция дохода, а^-(х,()—функции-ограничения,^ = 1,2,...,р.
В ряде случаев приходится иметь дело с набором функций дохода
(критериев). Соответственно, в таком случае имеет место задача многокритериального
программирования с нечетким ожидаемым значением:
( max [E[f1(x,i)]1E\f2(x,i)],...,E[fm{x.iJ,]]
при ограничениях:
-%;(х,ОК0, j = l,2,...,p,
(9.3)
где fi(x, f) — функции дохода, i = 1,2,..., т.
Для того чтобы обеспечить получение компромиссного решения при
многих конфликтующих показателях, можно ввести следующую модель целевого
программирования с нечеткими ожидаемыми значениями:
(9.4)
min J2 Pj Y, (v-ijdt + vtjdi )
j=\ i=l
при ограничениях:
E[fi(x,£)] + d~ -df = bt, г = 1,2,...,m,
%(*.QK0, j = l,2,...,p,
dt,d~ ^ 0, i = 1,2,...,m,
где Pj — заданные некоторым образом коэффициенты преимущественного
приоритета, выражающие относительную важность различных целей, Pj ^> Pj+i,
для всех j; иц — весовые коэффициенты, отвечающие положительному
отклонению для цели i с приписанным ей приоритетом j; Vij —весовые
коэффициенты, отвечающие отрицательному отклонению для цели i с приписанным ей
приоритетом j; d1[—положительное отклонение от назначенного уровня г-й
цели, определяемое как
dt = \E[fi{x,i)]-bi]W0,
(9.5)
а4 —отрицательное отклонение от назначенного уровня г-и цели,
определяемое как
[Ь-.ЕШ*,0]]УО,
(9.6)
/г — некоторая функция в целевых ограничениях; gj — некоторая функция в
реальных ограничениях; bt — назначенный уровень, соответствующий г-й цели;
Z — число приоритетов; т — число целевых ограничений; р —число реальных
ограничений.
194 Глава 9. Нечеткие модели ожидаемого значения
9.2. Теорема выпуклости
В данном разделе будет доказана теорема выпуклости для модели с
нечеткими ожидаемыми значениями. Для этого к целевой функции и ограничениям
модели добавляются некоторые условия выпуклости.
Теорема 9.1. Пусть £ —нечеткий вектор. Предположим, что для
некоторого фиксированного и функции /(ж,и) и gj(x,и) (j = 1,2,... ,р) выпуклы на
х. Тогда нечеткая EVM-моделъ
' min E[f{x,£)\
< при ограничениях: (9-7)
E[gj(x,i)]<0, j = l,2,...,p
есть модель выпуклого программирования.
Доказательство: Согласно предположению о выпуклости для любого
фиксированного и, неравенство
/(Аж1 + (1 - А)х2, и) < А/(Ж1, и) + (1 - А)/(х2, и)
удовлетворяется для любого А € [0,1] и xi,x2. Из теоремы 8.9 следует, что
E[f(\Xl + (1 - А)х2,0] ^ E[Xf(Xl,0] + (I - А)/(х2,£)] =
= А£[/(хьО] + (1 - А)Я[/(х2,0],
откуда вытекает, что целевая функция E\f(x, £)]— это выпуклая функция.
Для каждого фиксированного и из выпуклости gj следует, что
gj(Xxi + (1 - А)х2,м) < A#j(xi,it) + (1 - \)gj{x2,u)
для любого Xi и ж2 и А € [0,1]. Из теоремы 8.9 следует, что
£[ft(Ax! + (1 - А)х2,0] ^ E[\9j(xuS) + (1 - А)^(х2,0] =
= A£[fo(xbO] + (1 - \)E[9j(x2,S)} ^
для j = 1,2,..., р. Отсюда, Axi + (1 — А)х2 также будет некоторым возможным
решением, т. е. множество возможных решений выпукло. Итак, задача (9.7)
является задачей выпуклого программирования.
9.3. Гибридный алгоритм
Для того чтобы решать задачи с использованием EVM-модели, требуется
подготовить множество вход-выходных данных для E[f(x,£)] с помощью
алгоритма 8.3. Затем для аппроксимации неопределенной функции E[f(x, £)]
производится обучение нейронной сети. Обученная сеть встраивается в генетический
9.3. Гибридный алгоритм 195
алгоритм, что приводит к получению мощного гибридного алгоритма,
основные шаги которого могут быть описаны следующим образом.
Алгоритм 9.1. Гибридный алгоритм
Шаг 1. Для функций, содержащих неопределенность, сформировать
обучающий набор пар «вход-выход» вида
U:x^E[f{x,£)]
с использованием нечеткого моделирования.
Шаг 2. Провести с использованием полученного набора данных обучение
нейронной сети, которая будет аппроксимировать функции, содержащие
неопределенность.
Шаг 3. Инициализировать pop_size хромосом, допустимость которых может
быть проверена с использованием обученной нейронной сети.
Шаг 4. Модифицировать хромосомы с помощью операций кроссинговера и
мутаций, с помощью обученной нейронной сети проверить допустимость
потомков.
Шаг 5. Рассчитать целевые значения для всех хромосом, используя обученную
нейронную сеть.
Шаг 6. Вычислить приспособленность каждой из хромосом с помощью
функции оценки, основанной на ранжировании, используя найденные
целевые значения.
Шаг 7. Произвести селекцию хромосом, используя случайный выбор.
Шаг 8. Повторить шаги с четвертого по седьмой заданное число раз.
Шаг 9. Выдать наилучшую из хромосом в качестве оптимального решения.
Рассмотрим теперь несколько численных примеров, чтобы
проиллюстрировать процедуру получения решения с использованием модели ожидаемых
значений и гибридного алгоритма.
Пример 9-1. Рассмотрим вначале следующую EVM-модель:
max E [у/\хг - 61 + \х2 - 61 + 1^3 - 61]
< при ограничениях:
х\ + х\ + х\ ^ 10,
где £ь 6 и 6— треугольные нечеткие величины (1,2,3), (2,3,4) и (3,4,5),
соответственно.
Для того чтобы решить задачу с использованием этой модели,
сформируем вначале набор вход-выходных пар для функции, содержащей
неопределенность
U:x-*E |V|xi- 61 + ^2-61 + ^3-61] ,
с использованием нечеткого имитационного моделирования. Затем проведем
обучение нейронной сети (3 нейрона во входном слое, 5 нейронов в скрытом
слое, 1 нейрон в выходном слое), чтобы аппроксимировать функцию U(x).
196 Глава 9. Нечеткие модели ожидаемого значения
После этого, обученная сеть встраивается в генетический алгоритм, чтобы
получить требуемый гибридный алгоритм.
Запуск данного гибридного алгоритма (6000 циклов процесса
имитационного моделирования, 2000 пар данных в обучающем наборе для нейронной сети,
1000 поколений в генетическом алгоритме) приводит к оптимальному решению
вида
х\ = -1.7809, х\ = -1.8632, х*ъ = -1.8322,
для которого значение целевой функции равняется 3.77.
Пример 9.2. Рассмотрим следующую задачу целевого программирования на
основе EVM-модели:
lexmin {d^ , d^, d% }
при ограничениях:
Я[|а:1-й|] + С-# = 3,
Е[\х2-&\] + <£ -4 = 2,
Я[|а*-&|]+<£-<£= 6,
х\ + х\ + х% ^ 10,
df,d-^0, г = 1,2,3,
где £ь£2 и £3 — треугольные нечеткие величины (0,1,2),(1,2,3) и (2,3,4),
соответственно.
Используем вначале нечеткое моделирование для того, чтобы
сформировать набор вход-выходных пар (обучающий набор) для неопределенной
функции U : х — (Ui(x), U2(x), U3(x)), где
U1(x)=E[\x1-£1\], U2(x) = E[\x2-b\], U3(x) = Е[\х3 - &\].
Тогда отклонения вычисляются следующим образом:
df = [3 - Ui(x)] V 0, d^ = [2- U2(x)) V 0, dg = [6 - U3(x)] V 0.
Обучим нейронную сеть (3 нейрона во входном слое, 10 нейронов в скрытом
слое, 3 нейрона в выходном слое) для аппроксимации функции U. Затем
встроим обученную сеть в генетический алгоритм и получим требуемый вариант
гибридного алгоритма.
Запуск этого гибридного алгоритма (5000 циклов процесса имитационного
моделирования, 2000 пар данных для обучения нейронной сети, 1000 поколений
в генетическом алгоритме) приводит к оптимальному решению вида
х\ = -2.0073, х\ = -0.0965, х% = -2.4416,
которое удовлетворяет первым двум целям, но отклонение для третьей цели
составляет 0.57.
9.4. Оптимизация резервирования 197
9.4. Оптимизация резервирования
См. также разделы 5.5, 6.13, 7.13, 10.8 и 11.5.
Хотя для решения задач оптимизации резервирования с успехом используются
методы стохастического программирования, есть много задач, при решении
которых приходится привлекать суждения субъективного характера по причине
отсутствия требуемых объективных данных, либо из-за крайней сложности
рассматриваемой системы. Это обстоятельство побуждает к попыткам
применения моделей нечеткого программирования для решения задач оптимизации
резервирования, в которых время жизни элементов системы трактуется через
нечеткие величины.
вход
выход
Рис. 9.1. Четырехступенчатая система
Рассмотрим четырехступенчатую систему, показанную на рис. 9.1.
Предположим, что для каждого из компонентов системы существует
единственный тип элемента. Примем также, что время наработки 4 типов
элементов описывается трапецоидальными нечеткими величинами (100,108,112,120),
(158,164,168,173), (165,172,177,185), (150,160,165,178). Вектор решений здесь —
х = (xi,X2,x$,Xi), где Xi обозначают номера г-х выбранных элементов, г =
1,2,3,4, соответственно.
Если цены этих 4 типов элементов суть 46, 55, 50 и 60, а полный объем
доступных средств составляет 400, тогда получаем ограничение на стоимость
вида 46xi + 55^2 + 50хз + 60^4 ^ 400.
Будем считать, что система вида, показанного на рис. 9.1, работоспособна
тогда и только тогда, когда существует некоторый путь, состоящий из
работоспособных элементов, который ведет от входа системы к ее выходу.
Следовательно, функцию, описывающую структуру системы, можно записать в
виде
Ф(Уь У2,Уз,Ул) = У1У2У3У4,
где yi — состояния компонентов г, г = 1,2,3,4, соответственно.
Для такого рода системы, использующей резервирование замещением, если
требуется максимизировать ожидаемую наработку системы Е[Т(х,£)], имеет
место следующая EVM-модель (Zhao and Liu [310]):
' maxE[T(x,$)]
при ограничениях:
46xi + 55х2 + 50х3 + 60х4 ^ 400,
х ^ 1, целочисленный вектор.
198 Глава 9. Нечеткие модели ожидаемого значения
Чтобы получить решение с помощью этой модели, сформируем обучающий
набор данных для неопределенной функции
U: х->Е[Т(х,£)]
с использованием нечеткого моделирования. Обучим теперь нейронную сеть
(4 нейрона во входном слое, 12 нейронов в скрытом слое, 1 нейрон в
выходном слое) для аппроксимации функции U(x). Затем встроим обученную сеть
в генетический алгоритм и получим гибридный алгоритм, соответствующий
решаемой задаче.
Запуск этого гибридного (15000 циклов процесса имитационного
моделирования, 5000 пар данных для обучения нейронной сети, 300 поколений в
генетическом алгоритме) приводит к оптимальному решению вида
х* = (2,2,2,1),
для которого ожидаемое значение наработки системы составляет Е[Т(х*, £)] =
189.7, а общая стоимость равняется 362.
9.5. Составление расписания для параллельно
действующих машин
См. также разделы 5.7, 6.16, 7.15, 10.11 и 11.6.
Обратимся опять к задаче планирования работы параллельно действующих
машин. Пусть имеется 10 работ и 3 машины. Нечеткие величины
продолжительности выполнения работ и предписанных сроков их завершения приведены
в табл. 9.1.
Таблица 9.1. Нечеткие значения времени выполнения и сроков завершения
Работы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Нечеткое время выполнения
Машина 1
(10,11,12,13)
(12,13,14,15)
(13,14,15,16)
(20,21,22,23)
(10,12,13,14)
(13,14,15,16)
(10,11,12,13)
(15,16,17,18)
(10,12,13,14)
(10,11,12)
Машина 2
(12,13,14,15)
(11,12,13,14)
(12,13,14,15)
(21,22,23,24)
(13,14,15,16)
(14,15,16,17)
(10,11,12,13)
(14,15,16,17)
(10,11,12,14)
(11,12,13)
Машина 3
(14,15,16,17)
(12,13,14,15)
(14,15,16,17)
(22,23,24, 25)
(10,12,13,14)
(15,16,17,18)
(10,11,12,13)
(13,14,15,16)
(10,11,13,14)
(12,13,14)
Срок завершения
30
150
105
130
90
30
75
45
60
25
На первом уровне приоритетов ожидаемое запаздывание E[f\(x,у,£)]
должно быть как можно меньшим. В связи с этим получаем следующее
целевое ограничение
в котором требуется минимизировать d
9.6. Размещение и распределение объектов 199
На втором приоритетном уровне ожидаемая величина времени выполнения
работы E[f2(x, у, £)] не должна превышать значения 52, что дает такое целевое
ограничение:
Я[/2(ам/,£)] + <£-4 = 52,
в котором надо минимизировать d^ ■
На третьем приоритетном уровне ожидаемый простой E[f3(x, у, £)] не
должен превышать заданного значения 5. Отсюда следует целевое ограничение
■ВД*,!/,0] + <5"-4=5,
в котором должна минимизироваться величина d£.
Тогда имеем следующую нечеткую модель решения задачи составления
расписания работы для параллельно действующих машин (Peng and Liu [241]):
lexmin{d+, d£, d£ }
при ограничениях:
£[№,!/,€)]+dT-4 = 0,
E\f2(x,y,i))+d^-d+=52,
l<ii<10, i = 1,2,..., 10,
Xi ±Xj, i^j, i,j = 1,2,..., 10,
0^yi^2/2^ 10,
xuVj, г = 1,2,..., 10, j = 1,2, целые,
df,d~>0, i = 1,2,3.
Исполнение гибридного алгоритма (10000 циклов нечеткого
имитационного моделирования, 500 поколений в генетическом алгоритме) дает в качестве
результата следующий оптимальный план:
Машина 1: 10 -* 1 -» 8 -> 9 ,
Машина 2: 4 —> 5 —> 7 ,
Машина 3: 6 -* 2 -» 3 ,
который может удовлетворить первым двум целям, но значение третьего
показателя равняется 1.091.
9.6. Размещение и распределение объектов
См. также разделы 5.6, 6.Ц, 7.16, 10-12 и 11.7.
Выше уже обсуждалась задача размещения и распределения объектов для
случая стохастического спроса. Во многих случаях, однако, получить требуемые
вероятностные распределения непросто вследствие недостатка требуемых для
этого данных. Вместо этого можно использовать для оценки спроса экспертное
знание. В таком случае получим задачу размещения и распределения объектов
200 Глава 9. Нечеткие модели ожидаемого значения
для случая нечеткого спроса. Чтобы найти в этом случае размещение
объектов, минимизирующее стоимость транспортировки от объектов к
потребителям, используются следующие показатели, параметры и компоненты вектора
решений:
г = 1,2,..., п: объекты;
j = 1,2,..., т: потребители;
(cij,bj): координаты размещения j-ro потребителя, j, 1 < j ^ m;
£j-: нечеткий спрос j'-ro потребителя, 1 ^ j < m;
St: производительность г-го объекта, 1 ^ г ^ п;
(xi,Vi)- варьируемые переменные, представляющие координаты
размещения г-го объекта, 1 ^ i $J п;
Zij-. объем поставок от объекта г потребителю j после того, как величины
нечеткого спроса £5- приняли конкретные значения (реализации), 1 ^ i ^ п,
1 ^ з; < гп.
Предположим, что вектор спроса £ = (£ъ£2, • • • ,£т) определен на возмож-
ностном пространстве (Э, ?(0),Pos). Будем писать для удобства
(х, у) =
( Х\
Х2
\ хп
ш ]
2/2
Уп J
, z =
1 -211
*21
\ Zn\
■212 -
^22 •
Zn2 ■
■ Zim \
■ z2m
Z-rvtn J
Для каждого в € 0 вектор £(в) есть реализация нечеткого вектора £.
Размещение z будем называть допустимым, тогда и только тогда, когда
z^ ^0, i = 1,2,..., n, j = 1,2,..., m,
n
T,zij =£j(0), j = 1,2,...,m,
i=l
/ , Z{j ^ Si, I — X, /,. . . ,71.
Обозначим множество допустимых размещений через
Z(6)
z^ ^0, i = 1,2,..., n, j = 1,2,..
n
E ^j = £?(0). i = 1,2,...,m
i=l
/ , Zij $t 5f, I — L, Z, . . . ,71
J=l
,m
(9 8)
Заметим, что Z{6) для некоторых в может быть пустым множеством.
Для каждого в Е 0 минимальные транспортные расходы составляют
С(х, у\в) = min J2 У] ZH\l(xi ~ аз)2 + (Уг - ьз)2,
zez{0) i=1
9.6. Размещение и распределение объектов 201
а оптимальное решение данной задачи z* называется оптимальным
размещением. Если Z{6) = 0, то заявки от некоторых потребителей удовлетворить
невозможно. В качестве некоторого штрафа определим
m
С(х,у\6) = £ max bWy/fa -ajf + (Vi - b,)2.
Чтобы минимизировать ожидаемые транспортные расходы, в работе (Zhou
and Liu [315]) предложена следующая нечеткая EVM-модель для задачи
размещения и распределения объектов:
min / Сг {в € е\С(х, у\в) ^ г} dr
Х*У Jo
<
при ограничениях:
9з(х,у) < 0, j = 1,2,...,р,
где gj(x,y) ^ 0, j = l,2,...,p, представляют потенциальную область
размещения новых объектов, a Z(6) определяется уравнением (9.8).
Примем теперь, что есть 12 потребителей, размещение и заявки для
которых даны в табл. 9.2, а также три вида объектов с производительностью 70,
80 и 90 единиц.
Таблица 9.2. Размещение и заявки 12 потребителей
i
1
2
3
4
5
6
(a,-, bj)
(28, 42)
(18, 50)
(74, 34)
(74, 6)
(70, 18)
(72, 98)
Zi
(14,15,16,17)
(13,14,16,18)
(12,14,15,16)
(17,18,19,20)
(21,23,24,26)
(24,25,26,28)
3
7
8
9
10
11
12
(aj> М
(60, 50)
(36, 40)
(12, 4)
(18, 20)
(14, 78)
(90, 36)
&
(13,14,15,16)
(12,14,16,17)
(13,15,16,17)
(22,24,26,28)
(13,15,16,17)
(11,14,15,17)
Запуск гибридного алгоритма (10000 циклов нечеткого имитационного
моделирования, 500 поколений в генетическом алгоритме) показывает, что что
оптимальное размещение 3 видов оборудования имеет вид:
*1.»Г\ /54.83,43.44 \
*2.»2 = 14-98,33.76 ,
х*3,у*3) \84-39'73-66/
а ожидаемые транспортные расходы для этого варианта составляют 3988.
Глава 10
Нечеткое программирование
с возможностными ограничениями
Аналогично стохастическому программированию с вероятностными
ограничениями, нечеткое программирование с возможностными ограничениями дает в
распоряжение лица, принимающего решения, средства, позволяющие
формулировать целевые функции и ограничения в терминах возможности их
достижения.
В данной главе будет введен в рассмотрение ряд нечетких максимаксных
моделей с возможностными ограничениями, разработанных Лю и Ивамурой в
(Liu and Iwamura [162,163]), а также нечетких минимаксных моделей с
возможностными ограничениями, предложенных Лю (Liu [167]). Будут представлены
четкие эквиваленты возможностных ограничений для некоторых специальных
случаев, предложен метод нечеткого имитационного моделирования,
позволяющий работать с возможностными ограничениями, которые, как правило,
весьма трудно перевести в четкую форму в задачах практического характера.
Для получения решений с использованием нечетких моделей с
возможностными ограничениями будет осуществлена интеграция средств нечеткого
моделирования, нейронной сети и генетического алгоритма в единый гибридный
алгоритм. В завершающей части главы рассматриваются применения
нечеткого программирования с возможностными ограничениями для моделирования
распределения капиталовложений, оптимизации резервирования,
планирования работы параллельно действующих машин, размещения и распределения
объектов, нахождения критического пути, выбора маршрута для
транспортного средства.
10.1. Возможностные ограничения
Пусть ж —вектор решений, £ —некоторый нечеткий вектор, /(ж, £) —
функция дохода, gj(x,£) — функции-ограничения, j = 1,2,..., р. Поскольку
нечеткие ограничения gj(x,£) ^ 0,j = 1,2,...,р, не определяют какого-либо
детерминированного множества возможных решений, вполне естественной
представляется идея использовать желательную возможность а (называемую
доверительным уровнем) удовлетворения нечетким ограничениям. Тогда получим
возможностное ограничение в следующей форме:
Pos{ft(x,0 <0,j= 1,2,...,р} >а.
(10.1)
10.2. Максимаксное программирование с возможностными ограничениями 203
(10.3)
Иногда можно использовать следующие отдельные возможностные
ограничения
Pos {gj(x, £) < 0} ^ ajt j = 1,2,... ,р, (10.2)
где а^ —доверительные уровни для j = l,2,...,p.
10.2. Максимаксное программирование
с возможностными ограничениями
Следуя идеям стохастического программирования с вероятностными
ограничениями, Лю и Ивамура в (Liu and Iwamura [162,163]) предложили ряд моделей
нечеткого программирования с возможностными ограничениями. В тех
случаях, когда требуется максимизировать оптимистическое значение
критериальной функции, получаем следующую формулировку модели нечеткого
программирования с возможностными ограничениями для однокритериального
случая',
max/
при ограничениях:
Pos {f(x, С) >J}> (3,
Pos{gj(x,£) < 0, j = 1,2,...,р} ^ а,
где а и /? —предопределенные заранее доверительные уровни. Модель
программирования с возможностными ограничениями (10.3) называется макси-
максной вследствие того, что она эквивалентна следующей модели:
max max /
х j
при ограничениях:
Pos {/(в, О ^ 7} ^А
Pos{gj{x,£) <0,j = l,2,...,p} ^a,
для которой более отчетливо виден ее максимаксный характер, где max / есть
/^-оптимистическое значение критериальной функции.
Если в решаемой задаче несколько показателей (критериев), то получаем
задачу многокритериального программирования с возможностными
ограничениями : _ _
max [7i,/2.---./m]
при ограничениях:
Pos{/i(aj,0^7i}^A. t=l,2,...,m,
Pos{gj(x,£) < 0} ^ ctj, j = l,2,...,p,
(10.4)
1 Для задачи минимизации (здесь целевая функция может интерпретироваться как
функция стоимости) имеет место следующая миниминная (minimin) нечеткая модель с
возможностными ограничениями
min/
при ограничениях:
Pos{/(x,€K7}£j3,
Pos {gj(x, S)^0,j = l,2,...,p}-2a,
где min / представляет собой /3-оптимистическую стоимость.
204 Глава 10. Нечеткое программирование с возможностными ограничениями
где otj,j = 1,2,...,р, Pi,i = 1,2,.. .,m —предопределенные заранее
доверительные уровни. Задача нечеткого многокритериального программирования с
возможностными ограничениями (10.4) эквивалентна следующей максимакс-
ной задаче:
max
х
max /2, max /2,.
.,max/m
t = l,2,..
г = 1,2,..
j = l,2,.
г = 1,2,..
.,m,
.,m,
■ ,P,
.,m,
при ограничениях:
Pos {Mx,£) ^/J ^ Pi, i = 1,2,...,m,
Pos{gj(x, £) < 0} ^ a,, j = 1,2,... ,p,
где тахД представляют собой /^-оптимистические значения для целевых
функций fi(x, £), i = 1,2,..., т, соответственно.
Для нечеткой системы принятия решений можно также сформулировать
задачу миниминного целевого программирования с возможностными
ограничениями, следуя структуре приоритетов и уровням целевых значений,
установленных лицом, принимающим решение,:
I m
min £ Pj 12(щ4 +Vijdr)
при ограничениях:
Vos{fi{x,£)-bi^ 4} >(3}, i = l,2,...,m, (10.5)
Pos{bi-fi(x,0^d-}^p-,
Pos {gj(x,£) <0} ^aj,
dt,d~Z0,
где Pj — коэффициент преимущественного приоритета, который выражает
относительную важность различных целей, Pj ;» Pj+i, для всех j; Uij —весовые
коэффициенты, соответствующие положительному отклонению для цели г с
присвоенным ей приоритетом j; Vij — весовые коэффициенты,
соответствующие отрицательному отклонению для цели i с присвоенным ей приоритетом
j; df представляет собой /^"-оптимистическое положительное отклонение от
назначенного уровня г-й цели, определяемое как
min {d V 0 | Pos {fi(x, £)-bi^d}> /?+} , (10.6)
d~ представляет собой /?~-оптимистическое отрицательное отклонение от
назначенного уровня г-й цели, определяемое как
min {d V0 | Pos{^ - fi{x,0^d}>(3-}, (10.7)
fi ~ функция в целевых ограничениях; gj — функция в реальных
ограничениях; bi — назначенный уровень, соответствующий i-й цели; I — число
приоритетов; т — число целевых ограничений; р — число действительных ограничений.
Замечание 10.1. Если нечеткий вектор £ вырождается в четкий, тогда две
возможности Pos {fi(x,£) — bi < d+} и Pos {bi - fi(x,£) < d^~} будут всегда
иметь значение 1, при условии что pf ,Р~ > 0, а из
Pos {fi(x, £)-bi< df} > P+, 4>0,
Pos {bi-fl(x,^,)^d-}^p-, d'^0,
10-3. Минимаксное программирование с возможностными ограничениями 205
получаем, что
< = [Л(а, О - bi] V 0, d~ = [bt - fi(x,£)] V 0.
Это совпадает со случаем четкого целевого программирования.
10.3. Минимаксное программирование
с возможностными ограничениями
Фактически, модели максимаксного программирования с возможностными
ограничениями представляют собой разновидность моделей
оптимистического типа, которые максимизируют максимально возможное значение
результата (дохода). В данном разделе рассматривается ряд минимаксных моделей
программирования с возможностными ограничениями, предложенных Лю в
(Liu [167]), в которых производится выбор альтернативы, обеспечивающей
наилучшее из худших значений результата. Отметим также, что для наших
целей различия между миниминной и максимаксной (или между минимаксной
и максиминной) моделями не являются существенными.
Если требуется максимизировать пессимистическое значение получаемого
результата, получаем следующую минимаксную модель программирования с
возможностными ограничениями в однокритериальной постановке1:
max min /
х j
при ограничениях:
Pos{/(b,£X7}^0,
Pos{gj{x,Z)<0,j = l,2,.
(10.8)
.,р] 2 а,
где min/ есть ^-пессимистический доход.
В случае, когда критериев в решаемой задаче несколько, можно
предложить следующую минимаксную модель многокритериального
программирования с возможностными ограничениями:
max
х
,, min/,,
min/!, mm/a,
при ограничениях:
Ро8{Д(в,е)<74}^&. г = 1,2,..
Pos {gj(ж, £) sj 0} 2 а,-, j = 1,2,.
(Ю9)
1 Если целевую функцию требуется минимизировать (например, когда целевая функция
представляет собой функцию стоимости), получаем следующую минимаксную модель
программирования с возможностными ограничениями:
min max/
при ограничениях:
Pos {/(х,о ;> 7} 2 0,
Pos{5j-(a!,0$ 0,7 = 1,2,
.,р} ^а,
где max / представляет собой /3-пессимистическую стоимость.
206 Глава 10. Нечеткое программирование с возможностными ограничениями
где ctj и Pi—доверительные уровни, a min/i представляют собой Д-
пессимистические значения для функций дохода ft{x,£), г = 1,2,...,тп,
соответственно.
Согласно структуре приоритетов и целевым уровням, установленным
лицом, принимающим решение, минимаксная модель целевого
программирования с возможностными ограничениями запишется следующим образом:
п™ Ё рз Е
х
j=i
г=1
Uij I max d* V 0 I + Vij ( maxdj V 0 I
(10.10)
при ограничениях:
Pos {h{x,£)-bi> dt) >Pf, г = 1,2,...,m,
Pos{bi-fi(x,£) ^ d~} ^ P~, i = l,2,...,m,
Pos{gj{x,£) < 0} ^ otj, j = l,2,...,p,
где Pj — коэффициент преимущественного приоритета, который выражает
относительную важность различных целей, Pj ;§> Pj+i, для всех j; Uij —весовой
коэффициент, отвечающий положительному отклонению для цели г с
присвоенным ей приоритетом j; Vij —весовой коэффициент, отвечающий
отрицательному отклонению для цели г с присвоенным ей приоритетом j;df\/0
представляет собой /^-пессимистическое положительное отклонение от назначенного
уровня г-й цели, определяемое как
max{d V0 | Pos{/i(aj,C) -bi^d}^P^}, (10.11)
d~ V0 представляет собой /?Г -пессимистическое отрицательное отклонение от
назначенного уровня г-й цели,, определяемое как
max {d V 0 | Pos{bt - ft(x,Z)^d}^P~}, (10.12)
bi — назначенный уровень, соответствующий г-й цели; I — число приоритетов;
гп — число целевых ограничений.
Замечание 10.2. Если нечеткий вектор £ вырождается в четкий, тогда две
возможности Pos {fi(x,£) -bi^ d+} и Pos {bt — fi(x,£) ^ d~} всегда будут
принимать значение 1, при условии что Р* ,Р~ > 0, а
Pos {fi(x, £)-Ъ> 4} > А+. pos & - fi(x,€) ^ dT} > Pi
дают как следствие
4 v 0 = Шх> О - bi] V 0, d~ V 0 = [bt - fi{x, £)] V 0.
Это совпадает с задачей четкого целевого программирования.
10.4. Разновидности моделей программирования
с возможностными ограничениями
Выше был введен в рассмотрение ряд нечетких моделей программирования с
возможностными ограничениями с возможностной мерой "Pos". Фактически,
эта мера возможности может быть заменена мерой необходимости "Nee" или
10.4. Разновидности моделей программирования 207
мерой правдоподобия "Сг", что порождает серию разновидностей моделей
программирования с возможностными ограничениями. Например, есть три таких
модели подобного рода:
max/
при ограничениях: . .
Pos{/(*,0 £/}£/?, { ]
Pos{gj(x,£) <0,j' = 1,2,...,р} ^a,
max/
при ограничениях: . .
Nee {f(x, О ^7} £/?, ( '
Nee{д,(х,£) < 0, j = 1,2,... ,р) > а,
max/
при ограничениях: .
Cr{^(B,O<0,j = l,21...,p}^Q.
Имеет место следующее соотношение между оптимальными решениями для
этих моделей.
Теорема 10.1. (Lu [196]) Если fp, /дг и fc —оптимальные значения
целевой функции в моделях (10.13), (10. Ц) и (10.15), соответственно, то имеет
место соотношение /лг ^ fc ^ fp-
Доказательство: Используем, для удобства, обозначения Sp, Sn и Sc для
множеств возможных решений моделей (10.13), (10.14) и (10.15),
соответственно. Тогда для любого х G Sn имеет место соотношение Nec{gj(x,£) < 0,j =
1,2,... ,р) ^ а. Из теоремы 8.3 следует, что
Сг{#(ж,£) < 0,j = 1,2,...,р} ^ Nec{ffj(a,0 < 0, j = 1,2,...,р} ^ а.
То есть ж € So- Следовательно, Sn Q Sc- Аналогичным образом можно
доказать, что Sc С Sp. Отсюда получаем Sn Я Sc Q Sp. С другой стороны,
согласно теореме 8.3 имеем, что
/с = max max {/ | Сг {/(в, О ^ 7} > 0} <
< max max{7 | Pos{f{x,t)^7}>0}<
< max max {7 | Pos {/(ж,£) ^ /} ^ P) =
xcSp f
= fp-
С помощью аналогичного процесса можно показать, что /jv < fc-
Следовательно, условия теоремы удовлетворяются.
Вернемся к формулировкам минимаксной и максимаксной моделей
программирования с возможностными ограничениями, в которых имеются два
критических значения: ^-пессимистическое значение /тах и
^-оптимистическое значение /min- Мы показали, что условие /max ^ /min всегда
удовлетворяется для любого заданного решения х и доверительного уровня /?. Таким
208 Глава 10. Нечеткое программирование с возможностными ограничениями
образом, максимаксное решение всегда будет больше, чем минимаксное реш
ние, или же равно ему. Данный результат можно сформулировать следуюгщ
образом.
Теорема 10.2. Рассмотрим максимаксную и минимаксную модели прогрей
мирования с возможностными ограничениями:
max/
при ограничениях:
Pos{f(x,£)>J}>p,
Pos{gj(x,£) < 0, j = 1,2,... ,р) ^ а,
(10.1
max min /
х 7
при ограничениях:
pos{/(B,e) </}£/?,
Pos{5j(:e,£) < 0J = 1,2,...,р} ^ а.
(10.1
Оптимальное значение целевой функции в модели (10.16) больше или paei
значению этой функции в модели (10.17).
Теорема 10.3. Рассмотрим максимаксную и минимаксную модели прогрш
мирования с возможностными ограничениями:
min max /
х 7
при ограничениях:
Pos {/(в, £) ^7}^/?,
Pos{5j(:e,£) <0,j = l,2,...,p} ^ a,
min f
х J
при ограничениях:
Pos {f(x, О < 7} 2Р,
Pos{5j(:e,£) <0,j" = l,2,...,p} ^ a.
(10.11
(10.1!
Оптгшалъмое значение целевой функции в модели (10.18) больше или paet
значению этой функции в модели (10.19).
Замечание 10.3. Очевидно, что как минимаксная, так и максимаксная м(
дели представляют собой крайние случаи. Критерий Гурвица нарушает pai
новесие между крайним пессимизмом и крайним оптимизмом путем введени
соответствующих весов А и 1 — А для данных экстремальных значений, т. е.
A/min + (1 — A)/max,
где параметр А известен как показатель оптимизма: если А = 0, критери
«слишком» оптимистичен, если же А = 1, он «слишком» пессимистичен (Tah;
10.5. Четкие эквиваленты моделей нечеткого программирования 209
[277]). Следуя критерию Гурвица, можно сформулировать модель
программирования с возможностными ограничениями следующим образом:
max A/min + (1 - A)/max
< при ограничениях: (10.20)
Pos/Nec/Cr {д, (х, £) < 0, j = 1,2,... ,р} > а,
где /min и /тах представляют собой ^-пессимистическое и /^-оптимистическое
значения для результата f(x, £), а А — заданное число между 0 и 1. Отметим,
что если А = 0, имеет место максимаксная модель, если же А = 1, то
минимаксная модель.
10.5. Четкие эквиваленты моделей нечеткого
программирования с возможностными
ограничениями
Один из подходов к решению задач с использованием моделей нечеткого
программирования с возможностными ограничениями состоит в преобразовании
возможностных ограничений
Pos/Nec/Cr {д{х, £) ^ 0} ^ а (10.21)
в их четкие эквиваленты, после чего можно работать с с полученной
эквивалентной четкой моделью с использованием традиционных средств получения
решений. Отметим, что
(i) системные ограничения Pos/Nec/Cr{gj(:r,£) ^ 0} ^ aj, j = 1,2,...,р,
представляют собой некоторое множество вида (10.21);
(ii) ограничение на целевую функцию Pos/Nec/Cr{/(x, £) ^ /} ^ (3
совпадает по форме с (10.21), если определить д(х,£) = f — f(x,£);
(iii) нечеткое ограничение Pos/Nec/Cr{/(:r, £) < /} ^ Р совпадает по форме
с (10.21), если определить д(х,£) = f(x,£) — f;
(iv) Pos/Nec/Cr{6 - f(x,£) < d~) ^ P и Pos/Nec/Cr{/(a;,£) - b < d+) ^ P
совпадают по форме с (10.21), если определить д(х, £) = b — /(ж, £) — d~
и д(х, £) = f(x, £) — b — d+, соответственно; и
(v) Pos/Nec/Cr{6 - f{x,£) ^ d~} ^ /3 и Pos/Nec/Cr{/(:r,£) - b ^ d+} > P
совпадают по форме с (10.21), если определить д(х, £) = f(x, £) +d" —b
и д(х, £) = b — f(x, £) + d+, соответственно.
В данном разделе представлен ряд полезных результатов, относящихся к
решению этой задачи.
Теорема 10.4. (Liu [196]) Предположим, что нечеткий вектор £ выродился
в нечеткую переменную £ с функцией принадлежности /i, а функция д(х, £)
210 Глава 10. Нечеткое программирование с возможностными ограничениями
имеет вид д(х, £) = h(x) — £. Имеем тогда:
(a) Pos{g(x, £) ^ 0} ^ а, тогда и только тогда, когда h(x) ^ Ка, где
Ка = sup{K | К = /i-1(a)}; (10.22)
(b) Nec{g(:r, £) ^ 0} ^ а, тогда и только тогда, когда h(x) ^ Ка, где
Ka = mf{K\K = ti-1(l-a)}; (10.23)
(c) Ci{g(x, £) ^ 0} ^ а, тогда и только тогда, когда h(x) ^ Ка, где
( sup{K\K^fj,-1(2a)}, если а < 1/2,
Ка = \ (10.24)
[ Ы{К\К = ц-1(2(1-а))}, если а > 1/2.
Доказательство: Часть (a): Pos{g(:r, £) < 0} ^ а можно переписать в
виде Pos {h(x) ^ £} ^ а. Очевидно, что для любого заданного
доверительного уровня а (0 < а < 1) существуют некоторые значения Ка такие, что
Pos {Ка ^ £} = а. Отметим, что возможность Pos{JfQ < £} будет возрастать,
если число Ка заменить на меньшее число К'а, поскольку
Pos {Ка < £} = sup {/i(a) | Ка < а} <
< sup {ц(а) | К'а < а) =
Таким образом, четкий эквивалент возможностного ограничения
Pos{g(:r, £) < 0} ^ а будет иметь вид h(x) < Ka, где Ка определяется
выражением (10.22).
Часть (b): Nec{g(x, £) < 0} ^ а можно переписать в виде Nec{/i(:r) < £} ^
а, который эквивалентен выражению Pos{h(x) > £} ^ 1 — а. Несложно
проверить, что его четкий эквивалент имеет вид h(x) ^ Ка, где Ка определяется
соотношением (10.23).
Часть (с): Если а < 1/2, то необходимость должна быть равна 0.
Таким образом, выражение Ci{g(x, £) ^ 0} ^ а можно переписать в
виде Pos{/i(:r) ^ £} ^ 2а. Отсюда следует, что его четкий эквивалент есть
h{x) < Ка, где Ка = sup {К\К — /л-1(2а)}. Если а ^ 1/2, то возможность
должна быть равна 1. Тогда Ci{g(x, £) ^ 0} ^ а можно переписать в виде
Nec{/i(:r) ^ £} ^ 2а — 1, откуда получаем выражение для его четкого
эквивалента h(x) < Ка, где Ка = inf {К\К = /i_1(2(l - a))}.
Теорема 10.5. (Ыи [196]) Предположим, что функция д(х, £) может быть
переписана в виде
д(х,£) = /ц(ж)^1 + h2(x)& + ■■■ + ht{x)£t + h0{x),
где ^ — трапецеидальные нечеткие величины (r>i,гуя,т>з, ?"ы). к = 1,2,...,t,
соответственно. Определим две функции, h^(x) — hk(x) V 0 и h^(x) =
—hk(x) Л 0 для к = 1,2,..., t. Имеем тогда:
10.5. Четкие эквиваленты моделей нечеткого программирования 211
(a) Pos{g(x, £) ^ 0} ^ а, тогда и только тогда, когда
t
С1 - а) Е [rkih£{x) ~ rkiK(х)] +
fc=i
t
+ «Е [rk2ht(x) - rfc3/ifc (x)] + h0(x) < 0;
fc=i
(b) Nec{g(x, £) ^ 0} ^ а, тогда и только тогда, когда
t
(1 - а) Е [rtahtix) - rk2h-{x)] +
fc=i
t
+ «E [rfc4/ifc (ж) - rfci/i^(£c)] + h0(x) < 0;
fc=i
(c) npu a < 1/2, Ci{g(x, £) < 0} ^ a, тогда и только тогда, когда
t
(1 - 2a) £ [rfci/i+ (ж) - гм/ife (и)] +
fc=i
t
+ 2aJ2 [гк2К{x) - rfc3/ifc (x)] + ho(x) < 0;
fc=i
(d) при a ^ 1/2, Ci{g(x, £) < 0} ^ a, тогда и только тогда, когда
(2-2q)E [гиЛ+(а)-гиЛк(а)] +
fc=i
+ (2a - 1) Е [гы/iitN - rfciftfc (ж)] + ho(x) < 0.
fc=i
(10.25)
(10.26)
(10.27)
(10.28)
Доказательство: Очевидно, что все функции h^(x) и hk (x) —
неотрицательны и hk{x) = h^(x) — h~^(x). В этом случае имеем
t
д(х,£) = Е hk{x)£k + h0{x) =
fc=l
= £[Л£(аО-М*)]&+Ло(*) =
fc=l
= Е [ht(x)£k+hb(x)ek]+ha(x),
fc=i
где £'k — трапецоидальные нечеткие величины
ffc = (-r-fc4,-rfc3,-rfc2,-rfcl), ft = 1,2,...,*.
Используя операции сложения и умножения трапецеидальных нечетких
величин, получим выражение для функции д(х, £), которая также будет представ-
212 Глава 10. Нечеткое программирование с возможностными ограничениями
лять собой трапецеидальную нечеткую величину, определяемую четверкой
т
9(х,£) =
Ё [rkifib(x) - rk4hk (ж)] + h0(x)
t=i
t
J2 [rk2h'l(x) - rk3hk(x)] + ho (яг)
t=i
t
J2 [rk3h£(x) -rk2hk{x)] + h0(x)
fc=i
t
i £ Vkihl(x) - rkihk (x)] + h0(x)
\ fc=i
Эти результаты имеют место на основании теоремы 8.4.
10.6. Гибридный алгоритм
В этом разделе основное внимание будет уделено сложным моделям
программирования с возможностными ограничениями, которые не поддаются переводу
их в эквивалентную четкую форму. Для того чтобы решать задачи с такого
рода моделями, будет осуществлена интеграция имитационного нечеткого
моделирования, нейронных сетей и генетических алгоритмов, что приводит к
получению соответствующих гибридных алгоритмов.
Г
Алгоритм 10.1. Гибридный алгоритм
Шаг 1. Сформировать набор данных, состоящий из вход-выходных пар для
неопределенных функций вида
Ui : х -» Pos{gj(x,£) ^ 0,j = 1,2,...,р},
1Ь : * -» max {/ | Pos {f(x,Q 7? /} ^ /3} ,
с использованием нечеткого имитационного моделирования.
Шаг 2. Провести обучение нейронной сети для аппроксимации
неопределенных функций, используя полученный на предыдущем шаге обучающий
набор.
Шаг 3. Инициализировать pop_size хромосом, допустимость которых может
быть проверена с помощью нейронной сети, обученной на предыдущем
шаге.
Шаг 4. Модифицировать хромосомы, используя операции кроссинговера и
мутации, в которых допустимость потомков может быть проверена с
помощью обученных нейронных сетей.
Шаг 5. Рассчитать значения целевых функций для всех хромосом с помощью
обученных нейронных сетей.
Шаг 6. Вычислить приспособленность каждой из хромосом, основываясь на
значениях целевой функции.
Шаг 7. Выбрать случайным образом хромосомы.
Шаг 8. Повторить шаги с четвертого по седьмой заданное число раз.
Шаг 9. Объявить лучшую из хромосом оптимальным решением.
1
10.6. Гибридный алгоритм 213
Приведем ниже несколько численных примеров, рассчитанных на
персональном компьютере, со следующими значениями параметров: размер
популяции 30; вероятность Рс кроссинговера 0.3; вероятность Рт мутации 0.2;
значение параметра а в функции оценки, основанной на ранжировании, равняется
0.05.
Пример 10.1. Рассмотрим следующую задачу нечеткого программирования
с возможностными ограничениями в однокритериальной постановке:
max /
при ограничениях:
Pos {aie~Xl + bie~X2 + Cie~X3 ^ /} ^ 0.95,
< (10 29)
Pos {а2х\ + b2xl + с2х% ^ 16} > 0.90,
Pos {a\xi + Цх2 + c\xz ^ 5} ^ 0.95,
х\,х2,хъ ^ 0,
где а,1,а,2 и й3 представляют собой трапецеидальные нечеткие величины
(1,2,3,4), (0,1,2,3) и (—1,0,1,2), 61,62, а Ьз — треугольные нечеткие
величины (2,3,4), (0,1,2) и (—2,-1,0); С1,с2,сз~нечеткие величины с функциями
принадлежности
Wi(0=i^£2. Юа(0 = 1 + ^_2)2' ^3Ш= 1 + ^ + 1j2'
соответственно.
Для того чтобы решить задачу с использованием этой модели, сформируем
обучающий набор вход-выходных пар для неопределенной функции U : (ж) —»
(Ui(x),U2(x),U3(x)),rAe
Ui(x) = max {/ I Pos {a^-*1 + bie~x* + Cie"*3 ^ /} ^ 0.95} ,
U2{x) = Pos {a2x\ + b2x2 + c2x\ < 16} ,
Uz(x) = Pos {Щх1 + b2x2 + c\xz ^ 5}
Теперь проведем обучение нейронной сети (3 нейрона во входном слое, 15
нейронов в скрытом слое, 3 нейрона в выходном слое), аппроксимирующей
неопределенную функцию U. После этого объединим нейронную сеть с генетическим
алгоритмом, чтобы получить требуемый гибридный алгоритм.
Запуск данного гибридного алгоритма (5000 циклов процесса нечеткого
имитационного моделирования, 3000 примеров (вход-выходных пар) в
обучающем множестве для нейронной сети, 1000 поколений в генетическом алгоритме)
показал, что искомое оптимальное решение имеет вид
(xl,x2,x%) = (0.000,2.131,2.651)
—*
со значением целевой функции для него, равным / = 3.447.
214 Глава 10. Нечеткое программирование с возможностными ограничениями
Пример 10.2. Рассмотрим теперь следующую модель целевого
программирования с возможностными ограничениями:
lexmin {d^~, dj, d% }
при ограничениях:
Pos {3 - (zf£i + x2ti + x3Vi) < di} ^ 0.90,
Pos {4 - (x^2 + хЫ + х3т]2) < dg } > °-85> (10.30)
Pos {6 - (ari^| + х2т3 + х%щ) < dg } ^ 0.80,
Xi + X2 + X3 = 1)
xi,x2,x3,di,d2,d^ ^0,
где £ъ£2,£з — нечеткие величины с функциями принадлежности ехр[— \х— 1|],
ехр[—\х — 2|], ехр[—|:г — 3|]; Т1,Т2,тз—треугольные нечеткие величины
(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5); ^i,^2,% — трапецоидальные нечеткие величины
(2,3,4,5), (3,4,5,6), (4,5,6,7), соответственно.
Чтобы решить эту проблему, воспользуемся нечетким имитационным
моделированием, с помощью которого сформируем набор вход-выходных пар для
неопределенной функции U : (х) —* (Ui(x),U2{x), U3(x)), где
Ui{x) = max {d | Pos^ffx + х2П + x3rft ^ d} ^ 0.90} ,
и2{х) = max (d | Pos{xi^2 + x\r^ + x3r)2 ^ d} ^ 0.85} ,
U3(x) = max {d | Pos {хг£% + х2т3 + x\rj3 ^ d} ^ 0.80} .
Теперь проведем обучение нейронной сети (3 нейрона во входном слое, 8
нейронов в скрытом слое, 3 нейрона в выходном слое), которая аппроксимирует
функцию U, содержащую неопределенность. Заметим, что
d- = [3-C/1(x)]V0, d2 = [4 - U2(x)] V 0, dg = [6 - U3{x)] V 0.
Объединим теперь нейронную сеть с генетическим алгоритмом и получим
соответствующий гибридный алгоритм.
Запуск данного гибридного алгоритма (5000 циклов процесса нечеткого
имитационного моделирования, 3000 пар данных в обучающем наборе для
нейронной сети, 3000 поколений в генетическом алгоритме) показал, что искомое
оптимальное решение имеет вид
{xl,xl,x3) = (0.2910,0.5233,0.1857).
Это решение удовлетворяет первым двум целям, но для третьей цели величина
отрицательного отклонения составляет 0.57.
10.7. Задача распределения капиталовложений
См. также разделы 6.9 и 7.10.
Обратимся к задаче распределения капиталовложений, обсуждавшейся в
разделе 6.9. В этой задаче рассматривались вероятностные ограничения
Pi{ViXi 5=&} ^ а», г = 1,2,...,п,
10.7. Задача распределения капиталовложений 215
где т]г и £j — случайные величины, aoj — предопределенные заранее
доверительные уровни для i = 1,2,..., п. Общеизвестно, что вероятностные
распределения формируются путем повторения экспериментов. Во многих случаях,
однако, такие эксперименты организовать нельзя, например, когда
установка оборудования на предприятии только начинается. В таком случае следует
рассматривать т^ и & как нечеткие величины и построить функции
принадлежности для них на основе некоторого экспертного знания.
В данном разделе будем считать, что функции принадлежности для щ и &
уже известны. Если есть основания считать, что возможности удовлетворения
заявок & должны иметь значения не менее оц, i = 1,2,..., п, соответственно,
то получим возможностные ограничения в нечеткой среде в следующем виде:
Pos{rjiXi ^ &} ^ oti, г = 1,2,...,п.
В более общем случае будем считать, что можно одни виды продукции
заменять другими. Например, имеются р классов заявок, обозначаемые через £,-, а
производительность машин типа г для продукции вида j есть щ, г = 1,2,..., п,
j = 1,2, ...,р, соответственно. Тогда требуемые возможностные ограничения
запишутся в виде
Pos{rnjXi + щх2 + ... + rjnjXn ^ £,} ^ aj, j = l,2,...,p,
или же в объединенной форме
Pos{7?1:,xi + T)2jX2 + ... + rjnjXn ^ £р j = 1,2,... ,р} ^ а,
где а — некоторый предопределенный доверительный уровень. Ивамура и Лю
в (Iwamura and Liu [106]) предложили несколько моделей нечеткого
программирования с возможностными ограничениями для задач распределения
капиталовложений.
Предположим, что имеется пять типов машин. Пусть Xi,i = 1,2,..., 5,—
количество выбранных машин каждого из этих типов. Если цель решения
задачи — максимизация суммы общей прибыли, модель распределения
капиталовложений формулируется следующим образом:
max 3xi +Х2+ 2хз + 3x4 + *5
при ограничениях:
2xi +X2 + Зх3 + 6x4 + 4^5 < 50,
7хг + 6х2 + 4х3 + 8х4 + *5 < 100,
рГЧ11*1+421*2+431*3^1] 09
^432*3 + 442*4 + 452*5 > & J
xi,Х2,хз,Х4,Х5 — неотрицательные целые,
где rjn —треугольная нечеткая величина (13,14,15), %i — нечеткая величина <
функцией принадлежности iimi{u) = ехр[—(и — 8)2], щх—нечеткая величине
с функцией принадлежности
если и ^ 10,
если и < 10,
216 Глава 10. Нечеткое программирование с возможностными ограничениями
потребность в первом виде продукции £i — нечеткая величина с функцией
принадлежности ^i£j (и) = ехр[— \и—50|], т]2,2 — трапецоидальная нечеткая величина
(8,9,10,11), т?42 — треугольная нечеткая величина (10,11,12), %2 — нечеткая
величина с функцией принадлежности //^„(и) = ехр[— \и— 10|], а потребность во
втором виде продукции £г —треугольная нечеткая величина (30,40,50).
Запуск гибридного алгоритма (3000 циклов имитационного моделирования,
300 поколений в генетическом алгоритме) показывает, что оптимальное
решение имеет вид
(х?,^,^,^,:^ (10,0,7,0,1),
а сумма общей прибыли для нее равняется 45.
10.8. Оптимизация резервирования
См. также разделы 5.5, б. 13, 1.13, 9.4 и 11.5.
Вернемся к задаче оптимизации резервирования, которая обсуждалась в
разделе 9.4. Если лицо, принимающее решение, хочет максимизировать значение
а-долговечности системы (а = 0.9), используя меру правдоподобия и с учетом
ограничений на стоимость, тогда получаем следующую модель
программирования с возможностными ограничениями (Zhao and Liu [310]):
maxT
при ограничениях:
Cr{T(x,O^T}^0.9,
46xi + 55x2 + 50x3 + 60x4 < 400,
Xi ^ 1, i = 1,2,..., 4 — целые.
Чтобы решить задачу на основе этой модели, сформируем обучающий
набор данных для неопределенной функции
U : х -> тах{Т |Сг{Т(ж,£) ^ Т} ^ 0.9}
с помощью нечеткого имитационного моделирования. Используем затем этот
набор для обучения нейронной сети (4 нейрона во входном слое, 14 нейронов в
скрытом слое, 1 нейрон в выходном слое), которая аппроксимирует указанную
функцию U. Затем, обученная нейронная сеть встраивается в генетический
алгоритм для получения таким способом требуемого гибридного алгоритма.
Исполнение данного гибридного алгоритма (15000 циклов в процессе
имитационного моделирования, 5000 элементов-примеров в обучающем наборе для
нейронной сети, 300 поколений в генетическом алгоритме) приводит к
оптимальном}' решению вида:
ж* = (2,2,1,2),
для которого значение а-долговечности системы (а = 0.9) составляет Г =
166.39, а общая стоимость равняется 372
10.9. Задача выбора маршрута для транспортного средства 217
10.9. Задача выбора маршрута
для транспортного средства
См. также разделы 6.12, 7.12 и 11.8.
Рассмотрим задачу формирования маршрута для транспортного средства,
предложенную в разд. 6.12. Будем теперь, в отличие от предыдущего случая,
считать, что значения времени прохождения участков маршрута представляют
собой нечеткие величины, а не случайные, как это было ранее. Общий объем
заявок на некотором маршруте не должен превышать возможностей
соответствующего транспортного средства. Получаем тогда ограничение вида:
Ук
J2 Qx^Qk, к = 1,2,..., т. (10.31)
3=Ук-1+1
Поскольку время перемещения описывается с помощью нечетких величин,
транспортное средство прибудет к каждому из потребителей в момент
времени, который также является нечеткой величиной. Если потребовать, чтобы
посещение всех потребителей состоялось в пределах установленного каждым
из них временного окна с доверительным уровнем а, тогда получаем возмож-
ностное ограничение вида:
Pos{щ < fi(x,у,*)<Ь,,г = 1,2,...,п}^а. (10.32)
Если требуется минимизировать общий путь, пройденный всеми
транспортными средствами с учетом ограничений (10.31) и (10.32), то получаем
следующую задачу нечеткого программирования с возможностными ограничениями
(Lai et al [147]):
ming{x,y)
при ограничениях:
Pos{aj < fi(x,y,t) < bt,i = l,2,...,n} ^ a,
1 < Xi < n, i = 1,2,. ..,n,
Xi^Xj, 1ф j, i,j = 1,2,...,n,
0 < 2/i < J/2 < • • ■ < 2/m-i < n,
Ук
E 4xt <Qfc, *: = 1,2,...,m,
j=yk-l + l
Xi,yh i = l,2, ...,n, j = l,2,...,m-l, целые.
Предположим теперь, что имеется 20 потребителей, помеченных как
«1,2,...,20» и один склад, помеченный как «0». Примем также, что время
перемещения между потребителями (LCT) описывается во всех случаях
треугольными нечеткими величинами так, как это показано в табл. 10.1, табл. 10.2
и табл. 10.3, временные окна и заявки потребителей даны в табл. 10.4, а
матрица расстояний представлена в табл. 6.3 на с. 133.
Будем считать, что величина времени разгрузки в каждом из 20 мест
составляет 20, 10, 15, 10, 13, 18, 20, 12, 15, 16, 18, 20, 15, 16, 20, 15, 12, 14, 10, 18,
218 Глава 10. Нечеткое программирование с возможностными ограничениями
LCTs
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Таблица 10.1. Матриг
0
(25,50,75)
(5,10,15)
(25,50,75)
(7,15,23)
(25,50,75)
(25,50,75)
(12,25,38)
(7,15,23)
(25,50,75)
(10,20,30)
(25,50,75)
(27,55,83)
(5,10,15)
(25,50,75)
(22,45,68)
(7,15,23)
(15,30,45)
(25,50,75)
(15,30,45)
(12,25,38)
1
(20,40,60)
(5,10,15)
(25,50,75)
(17,35,53)
(7,15,23)
(20,40,60)
(20,40,60)
(7,15,23)
(22,45,68)
(5,10,15)
(17,35,53)
(20,40,60)
(5,10,15)
(5,10,15)
(22,45,68)
(20,40,60)
(5,10,15)
(20,40,60)
(20,40,60)
2
(20,40,60)
(7,15,23)
(17,35,53)
(20,40,60)
(15,30,45)
(5,10,15)
(22,45,68)
(12,25,38)
(17,35,53)
(17,35,53)
(5,10,15)
(20,40,60)
(20,40,60)
(7,15,23)
(12,25,38)
(22,45,68)
(12,25,38)
(12,25,38)
(а времени перемещения - I
3
(22,45,68)
(15,30,45)
(2,5,8)
(17,35,53)
(22,45,68)
(5,10,15)
(22,45,68)
(15,30,45)
(15,30,45)
(20,40,60)
(2,5,8)
(5,10,15)
(22,45,68)
(20,40,60)
(5,10,15)
(20,40,60)
(22,45,68)
4
(17,35,53)
(22,45,68)
(7,15,23)
(10,20,30)
(22,45,68)
(7,15,23)
(17,35,53)
(17,35,53)
(7,15,23)
(22,45,68)
(22,45,68)
(10,20,30)
(10,20,30)
(25,50,75)
(10,20,30)
(10,20,30)
5
(15,30,45)
(12,25,38)
(17,35,53)
(15,30,45)
(15,30,45)
(5,10,15)
(2,5,8)
(15,30,45)
(15,30,45)
(15,30,45)
(15,30,45)
(12,25,38)
(15,30,45)
(12,25,38)
(15,30,45)
6
(17,35,53)
(20,40,60)
(5,10,15)
(20,40,60)
(15,30,45)
(15,30,45)
(17,35,53)
(2,5,8)
(5,10,15)
(22,45,68)
(17,35,53)
(7,15,23)
(17,35,53)
(20,40,60)
а вместимость каждого из четырех транспортных средств равняется 800, 850,
900, 1000. Примем также, что доверительный уровень а составляет 0.90.
Исполнение гибридного алгоритма (5000 циклов процесса
имитационного моделирования, 1000 поколений в генетическом алгоритме) дает
следующий наилучший план действий для рассматриваемых четырех транспортных
средств (ТС):
ТС 1: склад-» 9 -> 15 -> 14 -» 6 -»18 -» 3 -►склад, 8:01;
ТС 2: склад-> 1 -* 11 -» 5 -»12 -» 16 ->склад, 8:12;
ТС 3: склад-» 2 ->• 8 -> 13 -» 4 -►склад, 8:22;
ТС 4: склад-> 7 -> 17 -> 19 -> 20 -> 10 -►склад, 8:18.
Таблица 10.2. Матрица времени перемещения - II
LCTs 7 8 9 10 11 12 13
8 (17,35,53)
9 (20,40,60) (20,40,60)
10 (5,10,15) (12,25,38) (22,45,68)
11 (5,10,15) (17,35,53) (17,35,53) (15,30,45)
12 (7,15,23) (17,35,53) (17,35,53) (12,25,38) (7,15,23)
13 (17,35,53) (5,10,15) (20,40,60) (20,40,60) (17,35,53) (17,35,53)
14 (17,35,53) (17,35,53) (5,10,15) (20,40,60) (15,30,45) (15,30,45) (20,40,60)
15 (17,35,53) (17,35,53) (2,5,8) (20,40,60) (15,30,45) (20,40,60) (20,40,60)
16 (17,35,53) (10,20,30) (22,45,68) (15,30,45) (17,35,53) (7,15,23) (7,15,23)
17 (2,5,8) (12,25,38) (20,40,60) (5,10,15) (12,25,38) (12,25,38) (12,25,38)
18 (17,35,53) (20,40,60) (7,15,23) (20,40,60) (15,30,45) (20,40,60) (20,40,60)
19 (2,5,8) (12,25,38) (20,40,60) (5,10,15) (12,25,38) (12,25,38) (12,25,38)
20 (5,10,15) (12,25,38) (22,45,68) (5,10,15) (15,30,45) (10,20,30) (10,20,30)
10.10. Проблема критического пути 219
Таблица 10.3. Матрица времени перемещения - III
LCTs
15
16
17
18
19
20
14
(2,5,8)
(22,45,68)
(17,35,53)
(7,15,23)
(17,35,53)
(20,40,60)
15 16
(22,45,68)
(17,35,53) (12,25,38)
(7,15,23) (20,40,60)
(17,35,53) (12,25,38)
(20,40,60) (20,40,60)
17 18 19
(20,40,60)
(2,5,8) (20,40,60)
(5,10,15) (22,45,68) (5,10,15)
Таблица 10.4. Временные окна и заявки потребителей
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
[аиЫ]
08 : 00,15 : 20]
08 : 20,14 : 30]
08 : 40,14 : 40]
08 : 20,14 : 30]
08 : 00,15 : 20]
08 : 00,14 : 20]
08 : 30,14 : 00]
08 : 00,15 : 30]
08 : 00,15 : 50]
08 : 30,14 : 20]
Яг
200
100
140
160
200
60
200
135
160
165
i
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
[a.i,bi]
[08 : 40,13 : 20]
[08 : 10,14 : 20]
[08 : 00,15 : 20]
[08 : 20,15 : 30]
[08 : 20,15 : 00]
[08 : 20,14 : 30]
[08 : 00,14 : 10]
[08 : 00,15 : 20]
[08 : 30,15 : 00]
[08 : 30,15 : 20]
4i
140
100
200
80
60
200
90
200
90
100
Общее расстояние, пройденное всеми четырьмя транспортными
средствами, составило 720. Кроме того, если исполнить данный план действий, получим
Ра&{щ < fi{x\y\r) < bt,i = 1,2,...,20} = 0.90.
10.10. Проблема критического пути
См. также разделы 6.15, 7.14 и 11.9.
Вернемся к стохастическим задачам о критическом пути, рассматриваемым в
разд. 6.15 и 12.3. В данном разделе будет рассмотрена проблема критического
пути, в которой длины отрезков пути — нечеткие величины.
Определение 10.1. (Zhong and Liu [313]) Некоторый путь х называется
а-критическим путем из узла 1 в узел п, если
max {Г | Сг {Т(х, £) ^ Т} ^ а} ^ max {Г | Сг {Т(х\ £) ^ Г} ^ а}
для любого пути х' между узлами 1 и п, где а — предопределенное заранее
значение доверительного уровня. Отметим, что «Сг» здесь можно
заменить на <fPos» или «Nee».
220 Глава 10. Нечеткое программирование с возможностными ограничениями
Чтобы найти а-критический путь между узлами 1 и п, в (Zhong and Liu
[313]) была предложена такая модель а-критического пути:
max Г
при ограничениях:
Cr i £ ZijXij >Т}^а,
(ij)e-A ил)ел
/ / %ij 2-1 xji == ^' * := ^i «J, . . . , П — 1,
(г^)ел 0,г)ел
(n,j)£A 0',п)ел
^■€{0,1}, V(i,j)eyi.
Рассмотрим энергетическую систему, показанную на рис. 10.1, в которой 26
узлов и 44 дуги.
Рис. 10.1. Проект энергетической системы
Запуск гибридного алгоритма (8000 циклов в процессе имитационного
моделирования, 1000 поколения в генетическом алгоритме) дает а-критические
пути вида:
а = 0.9: 1 -> 3 -> 8 -> 14 -> 17 -> 19 -> 20 -> 24 -> 25 -> 26 (77);
а = 0.8: 1 -> 3 -> 8 -> 14 -> 17 -> 19 -> 20 -> 24 -> 25 -> 26 (81);
а = 0.7: 1 -> 3 -> 8 -> 14 -> 17 -» 19 -> 20 -> 24 -> 25 -> 26 (85);
а = 0.6: 1 -> 3 -» 8 -> 14 -> 17 -> 19 -> 20 -> 24 -> 25 -► 26 (89);
а = 0.5: 1 -> 3 -> 8 -» 14 -> 17 -> 19 -> 20 -> 24 -» 25 -> 26 (93).
10.11. Составление расписания для параллельно действующих машин 221
Таблица 10.5. Нечеткие значения продолжительности для всех действий
(fj.(x;a,b) = 0, если х ^. а — b; (x + b — a)/b, если а — b < х ^ а; 1/[1 + Ь(х — а)2],
если х > а)
Дуга
(1.2)
(1,9)
(2,6)
(3,8)
(5,11)
(7,12)
(9,14)
(11,16)
(13,20)
(15,17)
(18,22)
(19,20)
(20,23)
(22,26)
(24,25)
Функ.принадл.
р(х;13,2)
р(х;9,1)
»(х; 10,1)
ц(х; 15,1)
(6,10,15,21)
(6,10,13,18)
(6,9,15,19)
/Да:; 6,1)
р(х;22,2)
р(х;11,2)
(9,12,16,20)
/х(х;15,2)
р(х;13,2)
(4,9,15,25)
fj,(x; 7,1)
Дуга
(1,3)
(1,4)
(2,7)
(4,9)
(6,П)
(8,13)
(9,15)
(12,16)
(13,17)
(16,18)
(18,23)
(19,24)
(20,24)
(23,26)
(25,26)
Функ.принадл.
(8,16,20,25)
(5,10,15,20)
р(ж;17,2)
р(х;10,2)
р(х;10,1)
(5,10,16,19)
р(х;12,2)
/Да:; 8,1)
р(ж;9,2)
(8,12,18,23)
(16,22,31,35)
р(ж;5,1)
/Да:; 15,2)
/Да:; 17, 2)
(3,9,10,15)
Дуга
(1,8)
(2,5)
(3,7)
(4Д0)
(6,12)
(8,14)
(10,15)
(13,16)
(14,17)
(17,19)
(18,20)
(19,21)
(21,25)
(24,26)
Функ.принадл.
(7,14,18,23)
/Да:; 6,1)
(6,10,15,21)
(4,9,19,23)
/Да:; 9,2)
(2,3,5,8)
/Да:; 15,3)
(3,7,10,15)
/Да:; 17,4)
/Да:; 5,1)
(6,10,15,21)
(3,9,15,25)
(12,15,20,25)
(6,14,18,23)
10.11. Составление расписания для параллельно
действующих машин
См. также разделы 5.7, 6.16, 7.15, 9.5 и 11.6.
Рассмотрим задачу планирования исполнения 10 работ на 3 машинах,
сформулированную в разд. 9.5. Если требуется минимизировать а-оптимистическое
значение (а = 0.95) времени выполнения /г(а;, у, £), тогда получаем такую
модель нечеткого программирования с возможностными ограничениями (Peng
and Liu [241]):
min /
при ограничениях:
Cr{/2(x,i/>€)<7}^0.95>
1 < xt < 10, г = 1,2,..., 10,
Xi ф Xj, 1фз, г, j = 1,2,..., 10,
0 < yi < у2 < Ю,
Xi,Vj, г = 1,2,..., 10, j = 1,2, целые.
Запуск гибридного алгоритма (10000 циклов в процессе имитационного
моделирования, 1000 поколений в генетическом алгоритме) дает следующий
оптимальный план:
Машина 1: 5 -» 1 -» 10 -» 7
Машина 2: 3 -» 4 -► 9
Машина 3: 2 -> 8 -» 6.
Кроме того, имеем, что / = 53.72 и Cr{f2(x*,y*,£) < 53.72} = 0.97.
222 Глава 10. Нечеткое программирование с возможностными ограничениями
10.12. Размещение и распределение объектов
См. также разделы 5.6, 6.14, 7.16, 9.6 и 11.7.
Обратимся вновь к задаче размещения и распределения объектов,
рассматривавшейся в разд. 9.6. Если требуется минимизировать а-оптимистическое
значение стоимости, то приходим к следующей нечеткой модели
программирования с возможностными ограничениями (Zhou and Liu [315]):
min /
x,y
при ограничениях:
f n m ^
Pos{eee| min E E Wte-%)2 + (и-ьз)2£f}><*,
I zez(0)i=i,-=i J
9j(x,y) < 0, j = l,2,...,p,
где / есть а-оптимистическая стоимость, a Z(6) определяется из
уравнения (9.8).
Используем данные из разд. 9.6, и попытаемся минимизировать а-
оптимистическое значение стоимости (а = 0.9). Запуск гибридного алгоритма
(10000 циклов в процессе нечеткого имитационного моделирования, 500
поколений в генетическом алгоритме) приводит к такому оптимальному
размещению трех объектов:
'х1,у*Л /71.62,97.94^
4,у2* = 21.95,27.70
xl,yl) \ 71.74,21.74,
для которого значение 0.9-оптимистической стоимости составляет 3672.
Глава 11
Нечеткое событийное
программирование
В развитие идеи событийного программирования (dependent-chance
programming— DCP) в стохастической среде в работе (Liu, [174]) была предложена
теория нечеткого событийного программирования, которая основана на
концепции выбора решения с максимальной возможностью появления заданного
события.
В данной главе будут введены понятия неопределенной среды, события,
функции шансов и принципа неопределенности для нечеткого случая. Будет
дан также набросок основных положений событийного программирования в
нечеткой среде. Для решения задач с нечеткими DCP-моделями будет
произведено соответствующее объединение нечеткого моделирования, нейронной
сети и генетического алгоритма, приводящее к получению отвечающего
данному случаю гибридного алгоритма. После этого будет показано применение
нечеткого событийного программирования на примере решения задач
оптимизации резервирования, планирования работы параллельно действующих
машин, распределения и размещения оборудования, планирования маршрутов
для транспортных средств, нахождения критического пути.
11.1. Принцип неопределенности
Неопределенная среда, событие и вероятностная функция события
представляют собой ключевые элементы концепции событийного программирования в
стохастической среде. Переопределим эти понятия применительно к случаю
нечеткой среды.
Определение 11.1. Под неопределенной средой (в данном случае — нечеткой
средой) будем понимать нечеткие ограничения, представляемые как
&-(*.€) < 0, j = l,2,...,p, (11.1)
где х — вектор решений, а £ — некоторый нечеткий вектор.
Определение 11.2. Под событием будем понимать некоторую систему
нечетких неравенств
Л*(а:,О<0, k = l,2,...,q, (11.2)
где х — вектор решений, а £ — некоторый нечеткий вектор.
224 Глава 11. Нечеткое событийное программирование
Определение 11.3. Функция шансов1 некоторого события £,
характеризуемого посредством (11.2), определяется как мера возможности события £,
т. е.
f(x) = Pos{hk(x, £) ^ 0, к = 1,2,..., q}, (11.3)
с учетом неопределенной среды (11.1).
Концепции носителя, зависимого носителя, активного ограничения и
зависимого ограничения — те же самые, что и в стохастическом случае. Таким
образом, для каждого решения х и реализации £, про некоторое событие £
говорят, что оно согласовано с неопределенной средой, если выполняются
следующие два условия: (i) hk{x, £) ^ 0, к = 1,2,..., q; и (ii) gj(x, £) < 0, j e J,
где J — множество индексов всех зависимых ограничений. Чтобы вычислить
функцию шансов нечеткого события, потребуется следующий принцип
неопределенности.
Принцип неопределенности: Шансы некоторого нечеткого события — это
возможность (или необходимость, правдоподобие) того, что событие
согласовано с неопределенной средой.
Примем, что имеется m событий £i, характеризуемых соотношениями
Ык(х,£) ^ О,А; = 1,2,...,gi для г — 1,2,...,т, в неопределенной среде
gj(x,£) ^ 0,j = 1,2,...,р. Из принципа неопределенности следует, что воз-
можностная функция г-го события £i в заданной неопределенной среде
определяется как
^-^{^«Лл1,2 1' <1L4>
где Ji определяется через
Ji = {j £ {1,2,... ,р} | gj(x, £) ^ О — зависимое ограничение для £j} ,
для г = 1,2,... ,тп.
11.2. Событийное программирование
Типичная формулировка задачи событийного программирования в нечеткой
среде может быть записана следующим образом:
max Pos {hk(x, £) ^ 0, к = 1,2,..., q}
< при ограничениях: (11-5)
&(ж>€)^0, j = l,2,...,p,
где х — n-мерный вектор решений, £ —нечеткий вектор, событие £
характеризуется соотношением hk{x,£) ^ 0,к = 1,2,...,q, а неопределенная среда
описывается нечеткими ограничениями gj(x,£) ^ 0, j = 1,2,... ,р.
1 В случае нечеткой среды это возможностная функция события. В материале,
относящемся к нечетким DCP-моделям, чаще будет использоваться именно этот термин. — Прим. перее.
11.2. Событийное программирование 225
max
Задача нечеткого событийного программирования (11.5) читается как
«максимизация возможности нечеткого события hk{x,£) ^ 0, к = 1,2, ...,q
с учетом неопределенной среды gj(x,£) ^ 0,j = 1,2,. ..,р ».
Поскольку сложная система принятия решений обычно работает с целой
совокупностью задач, вне всякого сомнения существует и множество
потенциально возможных целевых функций. Типичная формулировка нечеткой
многокритериальной задачи событийного программирования может быть записана
следующим образом:
Pos {hik(x, О ^ 0, к = 1,2,..., 91}
Pos {h2k(x, £)^0,k=l,2,...,q2}
Pos {hmk(x, 0 ^ 0, к = 1,2,..., qm) J (П.6)
при ограничениях:
9j(x,£)^0, j = l,2,...,p,
где hik{x, £) ^ 0, к = 1,2,..., qi, представляют события 8i для г = 1,2,..., m,
соответственно.
Целевое событийное программирование в нечеткой среде может
рассматриваться как некоторое расширение задачи целевого программирования
применительно к сложным нечетким системам принятия решений. Когда заданы
некоторые цели управления, целевая функция задачи может быть
построена так, чтобы минимизировать отклонения, положительные, отрицательные,
или и те и другие вместе, для некоторой заданной структуры приоритетов.
Тогда можно сформулировать понятие нечеткой системы принятия решений
как задачи целевого событийного программирования согласно структуре
приоритетов и уровням целевых значений показателей качества, установленных
лицом, принимающим решения:
min Ё рз Ё (иц<$ + vijdi )
j=l i=l
при ограничениях:
4*ifd*:}+".--<?=*, '-'•*■■
dt,d->0,
.,т,
j = l,2,...,p,
i = 1,2,... ,m,
(11.7)
где Pj — коэффициент преимущественного приоритета, который выражает
относительную важность различных целей, Pj ^> Pj+i, для всех j; Uij —весовой
коэффициент, отвечающий положительному отклонению для цели г с
присвоенным ей приоритетом j; Vij — весовой коэффициент, отвечающий
отрицательному отклонению для цели i с присвоенным ей приоритетом j; df —
положительное отклонение от назначенного уровня i-й цели; d^ — отрицательное
отклонение от назначенного уровня г-й цели; gj — функция в системных ограни-
226 Глава 11. Нечеткое событийное программирование
чениях; 6j — назначенный уровень г-й цели; I — число приоритетов; т — число
целевых ограничений; р — число системных ограничений.
11.3. Разновидности задачи событийного
программирования
Мы ввели в рассмотрение ряд нечетких DCP-моделей с мерой возможности
«Pos». На самом деле мера возможности может быть заменена мерой
необходимости «Nee» или мерой правдоподобия «Сг», что приводит к появлению
разнообразных DCP-моделей:
maxPos{/ifc(cc,£) ^ 0, к = 1,2,.. .,q}
< при ограничениях: (И-8)
9j(x,€) ^0, j = l,2,...,p,
{maxNec{/ifc(a:,£) ^ 0, к = 1,2,.. .,q}
при ограничениях: (11-9)
9j(x,£) s$0, j = l,2,...,p,
{max Cr {hk(x, £) ^ 0, к = 1,2,..., q}
при ограничениях: (11.10)
gj(x,g) s$0, j = l,2,...,p.
Теорема 11.1. (Lu, [196]) Если fp, /дг и fc —оптимальные значения
целевых функций для моделей (11.8), (11-9) и (11.10), соответственно, то имеет
место соотношение: /дг < fc ^ fp-
Доказательство: Из принципа неопределенности следует, что
fP = maxPos{/ifc(a;,£) ^0,k = 1,2,.. .,q;gj{x,£) ^ 0,j e J},
fN = maxNec{/ifc(a:,£) ^0,k= 1,2,. ..,q;gj(x,£) ^0,j e J},
fc = maxCr{/ifc(a:,£) ^ 0,k = l,2,...,q;gj(x,C) ^ 0,j e J},
где J — множество индексов всех зависимых ограничений. Из теоремы 8.3
получаем, что /дг s% fc ^ fp-
11.4. Гибридный алгоритм
В данном разделе объединим средства нечеткого имитационного
моделирования, нейронные сети и генетический алгоритм в гибридный алгоритм,
позволяющий решать задачи с использованием нечетких DCP-моделей.
11.4. Гибридный алгоритм 227
Алгоритм 11.1. Гибридный алгоритм
Шаг 1. Сформировать обучающий набор вход-выходных пар для
неопределенных функций вида
U : х -> Pos {hk(x,g) ^ О, к = 1,2,...,q; д,(х,£) ^ О, j € J}
с использованием нечеткого моделирования.
Шаг 2. Обучить на полученном наборе нейронную сеть, которая
аппроксимирует указанные неопределенные функции.
Шаг 3. Инициализировать pop_size хромосом для генетического алгоритма.
Шаг 4. Модифицировать хромосомы с помощью операций кроссинговера и
мутации.
Шаг 5. Вычислить значения целевой функции для всех хромосом, используя
обученную нейронную сеть.
Шаг 6. Найти значение приспособленности для каждой хромосомы,
основываясь на значениях целевой функции.
Шаг 7. Произвести селекцию хромосом, используя случайный выбор.
Шаг 8. Повторить шаги с четвертого по седьмой заданное число раз.
Шаг 9. Выдать наилучшую из хромосом в качестве оптимального решения.
Рассмотрим ниже несколько численных примеров, выполненных на
персональном компьютере, в которых были использованы следующие значения
параметров: размер популяции равнялся 30, вероятность кроссинговера Рс
составляла 0.3, вероятность мутации Рт была принята равной 0.2, а параметр а
в функции оценки, основанной на ранжировании, был принят равным 0.05.
Пример 11.1. Рассмотрим вначале следующую DCP-модель:
maxPos {x\ + х2 + х3 = 1}
при ограничениях:
b(xi +x2+ х3) ^ а,
xi,x2,x3 > 0,
где а — треугольная нечеткая величина (1,2,3), а Ь — нечеткая величина с
функцией принадлежности ni(x) = ехр(—\х — 1|).
Очевидно, что единичное событие £ удовлетворяет условию х\+х\+х\ = 1.
Тогда зависимый носитель будет иметь вид £"" = {xi,x2,x3}. И-3 принципа
неопределенности следует, что функция шансов для события 8 будет иметь
вид
b(xi + х2 + х3) ^ а
Xi,X2,X3 > 0
и может быть вычислена с использованием метода нечеткого имитационного
моделирования.
Закодируем решение х хромосомой V = (vi,v2). Декодирование
хромосомы в соответствующее допустимое решение может выполняться в этом случае
228 Глава 11. Нечеткое событийное программирование
следующим образом:
£i=vi, x2=v2, х3 = yj 1 - v\ - v\,
что обеспечивает выполнение условия x\-\-x\-Vx\ = \.
Сформируем теперь набор вход-выходных пар для неопределенной фут
ции U : {v\,V2) —> f[x). Обучим затем нейронную сеть (2 нейрона во входно
слое, 3 нейрона в скрытом слое, 1 нейрон в выходном слое), которая буде
аппроксимировать эту функцию. На завершающем этапе встроим нейронну!
сеть в генетический алгоритм и получим требуемый гибридный алгоритм.
Запуск данного гибридного алгоритма (5000 циклов процесса имитациоь
ного моделирования, 2000 обучающих примеров для нейронной сети, 400 пс
колений для генетического алгоритма) показывает, что искомое оптимально
решение имеет вид
(х{,Х2,Хз) = (0.4935,0.4819,0.7241)
и это решение обеспечивает возможность появления события, равную f(x*) =
0.87.
Пример 11.2. Рассмотрим следующую задачу целевого событийного програм
мирования:
lexmin {d^, d2 , d$}
при ограничениях:
Pos{a;i + х\ — 6} + d~[ -
Pos{z2 + x\ = 5} + d% -
Pos{a;4 + x% = 4} + dl -
< X\ + X2 ^ a,
Хз + X4 ^ Ь,
x5 <c,
xe ^ d,
Xi^O, г = 1,2,..., 6,
d+,dT>0, г = 1,2,3,
где a, 6, с — треугольные нечеткие величины (3,4,5), (2,3,4), (0,1,2),
соответственно, а d— нечеткая величина с функцией принадлежности вида /uj(r) =
1/[1 + (г-1)2].
На первом уровне приоритетов существует единственное событие,
обозначаемое как £i, в рассматриваемой нечеткой среде, которому удовлетворяет
условие Xi + х\ = 6. Очевидно, что носитель здесь £f = {х\,хз}, а зависимый
носитель £{* = {xi,x2,xs,X4}- Как следует из принципа неопределенности,
функция шансов /i(a;) для события £\ имеет вид:
{Х\ + х\ = 6
xi + х2 ^ а
Х3+Х4^Ь
Х\,Х2,Хз,Х4 > 0
dt = 0.95,
d\ = 0.90,
d£ = 0.85,
11.4. Гибридный алгоритм 229
На втором приоритетном уровне существует некоторое событие £%, для
которого выполняется условие х2 + х\ = 5. В этом случае носитель имеет вид
^2 = {х2,х$}, а зависимый носитель — вид £2* = {х1,х2,х§}. Из принципа
неопределенности следует, что функция шансов f2 (х) события £2 запишется
так:
х2 + х\ = 5
х\ + х2 ^ а
хъ ^ с
Х\,Х2,ХЪ ^ О
f2(x) = Pos <
На третьем приоритетном уровне существует некоторое событие £з> для
которого выполняется условие х± + х\ = 4. В этом случае носитель запишется
как £| = {х4,хб}, а зависимый носитель — как £3* = {яз>Я4,^б}- Из принципа
неопределенности следует, что функция шансов /з(ж) события £з примет вид:
/з(а;) = Pos
'х^ + х% =4
хз + х4^Ь
xq < d
^хз,х4,х6 ^ 0_
Закодируем искомое решение хромосомой V = {vi,V2,v$), для которой
декодирование с целью получить допустимое решение выполняется следующим
образом:
хэ, = у/б^щ,
х6 ~ лД~
XI = VI,
Xi =V3,
Х2 =V2,
хь = V5 - v2,
V3,
что обеспечивает выполнение условия xi + х\ = 6, х2 + х\ = 5 и х4 + х\ = 4.
Вначале используем нечеткое имитационное моделирование, чтобы
сформировать набор вход-выходных пар для неопределенной функции:
U : (v!,v2,v3) -» ifi{x),f2(x),f3(x)).
Затем проведем обучение нейронной сети (3 нейрона во входном слое, 8
нейронов в скрытом слое, 3 нейрона в выходном слое) для аппроксимации этой
функции. В завершение, встроим полученную обученную нейронную сеть в
генетический алгоритм, что приводит к соответствующему гибридному
алгоритму.
Исполнение данного алгоритма (5000 циклов процесса имитационного
моделирования, 2000 обучающих примеров для нейронной сети, 1000 поколений
для генетического алгоритма) приводит к получению оптимального решения
вида
х* = (0.2097,3.8263,2.4063,0.6407,1.0833,1.8328),
которое удовлетворяет первой и второй целям, но для третьей из них
отклонение составляет 0.25.
230 Глава 11. Нечеткое событийное программирование
11.5. Оптимизация резервирования
См. также разделы 5.5, 6.13, 7.13, 9.4 и 10.8.
Рассмотрим коммуникационную сеть вида, показанного на рис. 11.1,
содержащую 7 компонент. В данной системе определены три подсистемы: подсистема-1,
подсистем а-2 и подсистема-3. Задано, что подсистема-1 реализуется через путь
1-4-7, подсистема-2 — через путь 2-4-6, а подсистема-3 — через путь 3-4-5.
вход 1 —► 1 5 —-выход 3
1
2
V /
\
\
4
/
^
5
6
вход 2 *| 2 (-^ 4 1*\ 6 [—выход 2
вход 3 А 3 [ 17 I—-выход 1
Рис. 11.1. Коммуникационная сетевая система
Для каждой из компонент существует единственный тип элементов.
Наработка для рассматриваемых 7 типов элементов описывается
треугольными нечеткими величинами вида (130,152,182), (125,150,176), (108,170,178),
(112,138,158), (135,160,191), (121,141,179) и (138,164,182). Кроме того,
предполагается, что стоимость этих 7 типов элементов составляет 105,100,125,120,
95, 85 и 118, соответственно. Вектор решений в рассматриваемом случае
имеет вид х = (х\,Х2,... ,хг), где Xi обозначает выбранное число i-x элементов,
г = 1,2,...,7.
Для трех подсистем рассматриваемой системы соответствующие им
структурные функции могут быть записаны в виде:
*1Ы = 2/12/42/7, Ф2Ы = 2/22/42/6, Фз (у) = 2/32/42/5,
где Hi — состояния компонент г, г = 1,2,..., 7, соответственно.
Требуемые целевые уровни и структура приоритетов могут быть заданы
следующим образом:
Приоритет 1: Надежность подсистемы-1 Cr{Ti(a:,£) ^ 227} должна
достигать значения 0.95. Имеем тогда
Сг {Гх(а;,0 ^ 227} + df - d| = 0.95,
где d[ требуется минимизировать.
Приоритет 2: Надежность подсистемы-2 Cr{T2(a:,£) ^ 125} должна
достигать значения 0.90. Имеем тогда
Сг{Г2(а;, £) ^ 125} + (% - dj = 0.90,
где d2 требуется минимизировать.
11.5. Оптимизация резервирования 231
Приоритет 3: Надежность подсистемы-3 Сг{Тз(а:,£) ^ 140} должна
достигать значения 0.90. Имеем тогда
Сг{Г3(а:,€) > 140} + dj - d£ = 0.90,
где d£ требуется минимизировать.
Приоритет 4: Полная стоимость С(х) = 105а;1+100а;2+125а;з+120а;4+95а;5+
85а;б + 118а;7 не должна превышать 1000. Имеем тогда
С{х) +dl-d% = 1000,
где d% требуется минимизировать.
Для данного случая в (Zhao and Liu [310]) предложена следующая нечеткая
целевая DCP-модель, описывающая рассматриваемую коммуникационную сеть:
lexmin { dj~, d^, dj , d% }
при ограничениях:
&{Ti(x,£) ^ 227} + df - df = 0.95,
Сг{Т2(а:,£) ^ 125} + dj - d% = 0.90,
Cr{T3(a:,€) ^ 140} + dj -d£ = 0.90,
C{x) +d1 - dj = 1000,
a; ^ 1 — целочисленный вектор,
d;,dt^0, j = 1,2,3,4.
Чтобы решить задачу с использованием представленной выше модели,
сформируем обучающий набор, содержащий вход-выходные пары для
неопределенной функции U : х —* (Ui(x),U2(x),U3{x)) с использованием нечеткого
моделирования, основанного на структурных функциях ^fi{y), ^2(у) и Фз(у),
где
U1(x) = Cr{T1(x,$)>227},
U2(x) = Cr{T2{x,Z)>125},
С13(а;) = Сг{Гз(а;,О>140}.
При этом для каждого х значения отклонений рассчитываются следующим
образом:
dj~ = [0.95 - E/i(a:)] V0, е£ = [0.90 - U2{x)] V 0, d^ = [0.90 - U3(x)] V 0.
Проведем теперь обучение нейронной сети (7 нейронов во входном слое, 15
нейронов в скрытом слое, 3 нейрона в выходном слое) для аппроксимации
функции U(x). Встроим затем полученную обученную нейронную сеть в
генетический алгоритм и получим требуемый вариант гибридного алгоритма.
Исполнение полученного гибридного алгоритма (15000 циклов процесса
имитационного моделирования, 3000 обучающих примеров для нейронной
сети, 300 поколений в генетическом алгоритме) приводит к оптимальному
решению вида
х* = (2,1,1,2,1,1,2),
232 Глава 11. Нечеткое событийное программирование
которое удовлетворяет первым трем целям, но для четвертой отклонение будет
равно 91. Для данного решения имеем, что
Сг{Г!(а;*,О^227}«0.95,
Ci{T2(x*,g) ^ 125} w 0.90,
Сг{Т3(а:*,£)^ 140} «0.90.
11.6. Составление расписания
для параллельно действующих машин
См. таксисе разделы 5.7, 6.16, 7.15, 9.5 и 10.11.
Предположим, что заданы две цели управления со следующей структурой
приоритетов.
На первом уровне приоритетов требуется, чтобы значение правдоподобия
выполнения работ до установленного срока их завершения составляло 0.95.
Имеем, таким образом, следующее целевое ограничение:
Ci{fi(x,y,t) ^ 0} + di - d+ = 0.95,
где d~[ должно быть минимизировано.
На втором уровне приоритетов требуется, чтобы значение правдоподобия
того, что продолжительность выполнения работ не превысит 50, составляло
0.85. Имеем тогда такое целевое ограничение
Cr {f2(x, у,О ^ 50} + d2 - d+ = 0.85,
где d,2 должно быть минимизировано.
Для рассматриваемого случая в (Peng and Liu [241]) предложена
следующая нечеткая целевая DCP-модель:
lexmin{c^~,c^r}
при ограничениях:
Сг {Л(ж, у, £) ^ 0} + df - d+ = 0.95,
Cr {f2{x, у, £) ^ 50} + d^ - d+ = 0.85,
l^Xi^lO, i = 1,2,..., 10,
xt ^Xj, i Фз, i,j = 1,2,..., 10,
0^2/1^2/2^ 10,
xt, Vj, г = 1,2,..., 10, j = 1,2, целые,
df,d~>0, г = 1,2.
Исполнение гибридного алгоритма (10000 циклов процесса имитационного
нечеткого моделирования, 1000 поколений в генетическом алгоритме)
приводит к такому оптимальному решению:
11.8. Задача выбора маршрута для транспортных средств 233
Машина 1: 1 -» 10 -> 3 -> 7,
Машина 2: 6 -> 8 -» 3,
Машина 3: 5 -> 4 -> 2,
которое удовлетворяет первой цели, но для второй цели отклонение составляет
0.32. Имеем также, что
Cr{/i(**. у\ О ^ 0} - 0.97, Сг{/2(а:*, 1/*, €) ^ 50} = 0.53.
11.7. Размещение и распределение объектов
См. также разделы 5.6, 6.Ц, 7.16, 9.6 и 10.12.
Вернемся к задаче размещения и распределения объектов, которая
обсуждалась в разделе 9.6. Если надо максимизировать возможность того, что
транспортные расходы не превысят заданного уровня С, то получаем нечеткую
DCP-модель (Zhou and Liu [315]):
г ( п m
max Pos < в e 9 I min J2 X3 zijy/{xi ~ aj)2 + {Ui ~ &j)2 < С
X'V I zzz(fi) i=\ j=\
при ограничениях:
9э(я,У) <0, j = l,2,...,p,
где Z{&) определяется уравнением (9.8).
Используем данные из раздела 9.6 и примем, что С = 3700. Запуск
гибридного алгоритма (10000 циклов процесса имитационного нечеткого
моделирования, 500 поколений в генетическом алгоритме) приводит к получению такого
оптимального распределения 3 видов объектов:
xl,yl\ (19.74,28.29 \
^2. ?/2 = 70.56,89.32 ,
*з,2/з/ V73-93'24-75/
для которого значение возможности составляет 0.97.
11.8. Задача выбора маршрута
для транспортных средств
См. также разделы 6.12, 7.12 и 10.9.
Обратимся вновь к задаче нечеткого выбора маршрутов для транспортных
средств, обсуждавшейся в разделе 10.9. Будем считать, что цели управления
характеризуются следующей структурой приоритетов.
На первом уровне приоритета возможность того, что посещение всех
потребителей состоится в течение установленных ими временных окон, должна
достигать 0.95. В этом случае имеем, что
Pos{ai^fi{x,y,t) $fci,i = l,21...,20} + dr-di"=0.951
где ёг должно быть минимизировано.
234 Глава 11. Нечеткое событийное программирование
На втором приоритетном уровне требуется минимизировать общее
пройденное расстояние, откуда имеем, что
д(х,у) + dz - d% =0,
где d% должно быть минимизировано.
Получаем тогда следующую модель целевого событийного
программирования (Lai et al [147]):
lexmin { c£j~, d J }
при ограничениях:
Pos {Gi < fi{x, y, t) < Ьи г = 1,2,..., 20} + d^ - d~t = 0.95,
g(x, y) + c£ - <# = 0,
l<Xi<20, г = 1,2,..., 20,
Xi^Xj, гф j, i,j = 1,2,...,20,
0 < yi < y2 < уз < 20,
Ук
£ 9*,- ^Qk,k = 1,2,3,4,
i=Vk- i+i
Xj,yj, г = 1,2, ...,20, j = 1,2,3, целые.
Исполнение гибридного алгоритма (5000 циклов в процессе имитационного
моделирования, 1000 поколений в генетическом алгоритме) приводит к такому
значению наилучшего плана действий:
Средство 1: склад—» 16 —> 12 —> 5 —» 14 —> 6 —» 3 —>склад, 7:44;
Средство 2: склад—» 4 —> 10 —» 17 —» 20 —>склад, 7:34;
Средство 3: склад—-> 9 —+ 15 —> 18 —»1 —» 11 —» 2 —->склад, 7:55;
Средство 4: склад—-> 13 —» 8 —+ 19 —+ 7 —>склад, 8:00,
который может удовлетворить первой цели, но для второй цели отклонение
равняется 775. Кроме того, если реализовать полученный план, получим, что
Pos {(Ц < fi(x*, у*, О < bu i = 1,2,..., 20} = 0.95
и полная пройденная дистанция для всех четырех транспортных средств
составит 775.
11.9. Задача о критическом пути
См. также разделы 6.15, 7.14 и 10.10.
Обратимся опять к нечеткой задаче о критическом пути, которая
рассматривалась в разделе 10.10. Иногда лицо, принимающее решение, интересуется
вопросом о том, нельзя ли завершить проект раньше намеченного срока.
Чтобы иметь возможность ответить на этот вопрос, требуется понятие наиболее
критического пути.
11.9. Задача о критическом пути 235
Определение 11.4. (Zhong and Liu [313]) Некоторый путь х называется
наиболее критическим путем из узла 1 в узел п, если
Сг {Т(х,0 >Т}>Ы {Т(х',0 > Т}
для любого пути х' из узла 1 в узел п, где Т — предопределенный заранее
предельный срок завершения работы. Отметим, что Сг здесь можно заменить
на Pos или Nee.
Для того, чтобы получить наиболее критический путь, в (Zhong and Liu
[313]) предложена модель вида:
max Сг < Y^i €ijxij ^T>
при ограничениях:
Yl xij - Yl xji = i.
i (hj)€A 0Д)6Л
/ . xij ~ 2_ xji = 0, г = 2, о,..., n — 1,
(i,])£A U,i)£A
/ , xnj l—i xjn = ■*■»
(n,j)eA 0',")ел
x^ £{0,1}, V(i,j)eA
Запуск гибридного алгоритма (5000 циклов в процессе имитационного
моделирования, 500 поколений в генетическом алгоритме) показывает, что если
предельный срок завершения работы равняется 120, то наиболее критический
путь имеет следующий вид 1 —» 3 —+ 8 —» 13 —» 16 —» 18 —» 20 —» 24 —» 25 —» 26,
причем правдоподобие для него составляет 0.44.
Глава 12
Нечеткое программирование
с нечеткими решениями
Традиционно, модели математического программирования дают ответ в виде
четкого (crisp) вектора решений такого, что некоторые целевые функции на
нем достигают оптимальных значений. Однако иногда в практических
приложениях вместо четкого вектора решений необходимо использовать
нечеткий вектор. Обзор различных подходов к максимизации числовой функции
на нечетком множестве дается в работе (Bouchon-Meunier et al [26]). В
статье (Buckley and Hayashi [32]) приводится нечетко-генетический алгоритм для
максимизации вещественнозначной функции путем выбора некоторого
оптимального нечеткого множества.
В работе (Liu and Iwamura [177]) рассматривается более общий случай,
который приводит к серии моделей максимаксного программирования с
ограничениями на шансы (ССР-моделей) и с нечетким вектором решений. В (Liu
[167]) предложен ряд минимаксных ССР-моделей с нечетким вектором
решений, а в (Liu [169]) построена основа DCP-модели с нечетким вектором
решений. В дополнение к этому, на случай нечеткого вектора решений
распространена также и EVM-модель.
В этой главе вводятся EVM-модели, ССР-модели и DCP-модели с
нечетким вектором решений. Для того, чтобы решать задачи, использующие эти
модели, строится соответствующий вариант гибридного алгоритма,
объединяющего средства нечеткого имитационного моделирования, нейронные сети и
генетический алгоритм. Завершает главу серия численных примеров, которые
демонстрируют эффективность построенного гибридного алгоритма.
12.1. Нечеткие решения
Решения в сфере организационного управления на практике не могут быть
точно реализованы, даже если они представлены четкими величинами. Тогда
разумно предположить, что вместо четких решений более целесообразно
использовать нечеткие решения. При этом каждое из решений может принимать
значения из некоторого опорного набора нечетких множеств (не обязательно
конечных или счетных), который определяется свойствами системы принятия
решений. Например, (а) решение может быть представлено в виде некоторой
лингвистической переменной со значениями large, medium, small, nil; (b)
значением решения может быть нечеткая величина из набора, задаваемого
функцией принадлежности вида 1
Кх) = iTii^i ■ (12Л)
где* 6 [а, Ь]. " "
12.2. Модели ожидаемого значения 237
Примем, что нечеткое решение описывается некоторым n-мерным вектором
х = (xi, X2,. ..,£„), в котором каждой из компонент ii присваивается значение
нечеткой величины Xi, i = 1,2,..., п, входящей в опорный набор. Отметим, что
все опорные наборы являются наперед заданными. В таком случае областью
значений нечеткого вектора решений будет прямое произведение вида
Х = Х1хХ2х...хХп. (12.2)
12.2. Модели ожидаемого значения
Для того, чтобы получить решение с максимальным значением ожидаемого
дохода, можно воспользоваться следующей EVM-моделью с нечеткими
решениями: / TTtt/- All
max E[f{x,€)\
при ограничениях: (12.3)
£[&•(£,£)]< 0, j = 1,2,...,9,
где ж —вектор нечетких решений на опорном наборе X, определяемом
соотношением (12.2), £ — нечеткий вектор, /(х, £) — заданная функция дохода,
<7j(aj, £) — функции ограничений, j = 1,2,..., т.
Если в рассматриваемой задаче несколько функций дохода, можно
воспользоваться следующей моделью многокритериального программирования
на основе модели ожидаемого значения:
' max [£?[/i(i,О],£?[/2(5,€)],...,£[/m(5,€)]]
при ограничениях: (12-4)
%(5,fl]<0, j = l,2,...,p,
где fi{x, £) — функции дохода, i = 1,2,..., т.
В случае, когда в решаемой задаче имеется несколько конфликтующих
целевых функций, для нахождения решения, обеспечивающего баланс
противоречивых требований к системе, можно построить следующую модель целевого
программирования на основе модели ожидаемого значения:
(12.5)
где Pj — значения коэффициента преимущественного приоритета,
выражающего относительную важность различных целей, при этом Pj 3> Pj+i для всех
j; Uij —весовой коэффициент, соответствующий положительному отклонению
для г-й цели с присвоенным ей j-м приоритетом; Vij — весовой коэффициент,
соответствующий отрицательному отклонению для г-й цели с присвоенным ей
j-ы приоритетом; d* — положительное отклонение от назначенного уровня г-
й цели; d7—отрицательное отклонение от назначенного уровня г-й цели; /, —
min Y1 рз £ (V^jdf + vijdi )
j=l г=1
при ограничениях:
Е[Мх,£)]+(1--4=Ьг,
E[gj(x,£)}^0,
at>d7 >о>
i = l,2,..
j = l,2,.
i = l,2,..
.,m,
■,P,
.,m,
238 Глава 12. Нечеткое программирование с нечеткими решениями
функции в целевых ограничениях; gj — функции в реальных ограничениях;
bi — назначенный уровень, соответствующий г-й цели; I — число приоритетов;
т — число целевых ограничений; р — число реальных ограничений.
(12.6)
12.3. Максимаксное программирование
с возможностными ограничениями
Однокритериальная максимаксная ССР-модель с нечеткими решениями
может быть записана следующим образом:
max/
при ограничениях:
Pos{f(x,Z)>J}>f3,
Pos{gj(x,£) < 0,j = 1,2,...,р} ^ а,
где х — вектор нечетких решений из опорного набора X, определяемого
выражением (12.2), £ — нечеткий вектор, f(x, £) — функция дохода, а и /3 — наперед
заданные доверительные уровни. ССР-модель (12.6) фактически эквивалентна
модели вида:
max max /
х f
subject to:
Pos{f(x,Z)>J}>f3,
Pos {&■(£,£) <0,j = l,2,...,p} J? a,
где max / является /3-оптимистической оценкой дохода.
Некоторое нечеткое решение х будет допустимым, тогда и
только тогда, когда мера возможности требуемого нечеткого события
{9з(й,£) < 0, j = 1,2,... ,р} равняется по крайней мере а.
Если в решаемой задаче несколько показателей (критериев), то получаем
задачу многокритериального программирования с вероятностными
ограничениями: _ _
max [7i./2.---./m]
при ограничениях:
Pos{/i(£,0^7i}^ft, г = 1,2,...,т,
Pos{ffj(5,€) <0} Ssaj, j = l,2,...,p,
где fi (x, £) — функции дохода, а.$ и Д — предопределенные заранее
доверительные уровни j = l,2,...,p, i = 1,2,...,т. Задача нечеткого
многокритериального программирования с возможностными ограничениями (12.7)
эквивалентна следующей максимаксной форме:
(12.7)
max
х
тахД, max /2,..., тах/„
. /г U /т
при ограничениях:
Pos{/i(x,0^7i}^A, t = l,2,...,m,
Pos{gj(x,£) < 0} ^ a,-, j = l,2,...,p,
12.4. Минимаксное программирование с возможностными ограничениями 239
где max/j представляют собой /^-оптимистические значения для целевых
функций /г(ж, $), i — 1,2,..., тп, соответственно.
Для нечеткой системы принятия решений можно также сформулировать
задачу миниминного целевого программирования с возможностными
ограничениями, следуя структуре приоритетов и целевым уровням, установленным
лицом, принимающим решение,:
' I тп
min Y, Pj Т,Ыз<1? +Vijd[)
3=1 i=l
при ограничениях:
Pos{Mx,£) -bi^dfj^pf, i = 1,2,...,m, (12.8)
Pos{k - fi(x,£) ^ dr} ^ /3-, i = l,2,...,m,
Pos{gj(x,0 < 0} ^ a.j, j = l,2,...,p,
df,d~^0, i = 1,2, ...,m,
где Pj — коэффициент преимущественного приоритета, который выражает
относительную важность различных целей, Pj 3> Pj+i, для всех j; Uij —весовые
коэффициенты, соответствующие положительному отклонению для цели i с
присвоенным ей приоритетом j; v^ — весовые коэффициенты,
соответствующие отрицательному отклонению для цели г с присвоенным ей приоритетом
j; d* представляет собой /^"-оптимистическое положительное отклонение от
назначенного уровня i-й цели, определяемое как
min {d V 0 | Pos {fi(x, €) - Ь* < d} ^ # } ' (12.9)
d~ представляет собой (3^ -оптимистическое отрицательное отклонение от
назначенного уровня i-й цели, определяемое как
min {d V 0 | Pos {I, - Мх, £) < d} > /J" } , (12.10)
hi — назначенный уровень, соответствующий г-й цели; I — число приоритетов;
m — число целевых ограничений.
12.4. Минимаксное программирование
с возможностными ограничениями
В данном разделе вводится ряд минимаксных ССР-моделей с нечеткими
решениями. Однокритериальная модель такого рода может быть записана
следующим образом:
(max min /
х f
при ограничениях:
Pos{/(5,€)<7}£/?,
Pos{9j(x,Z)^0,j = l,2,...,P}>a,
где а и (3 — доверительные уровни, a min / есть /3-пессимистический доход.
(12 11)
240 Глава 12. Нечеткое программирование с нечеткими решениями
В случае, когда критериев в решаемой задаче несколько, можно
предложить следующую минимаксную модель многокритериального
программирования с возможностными ограничениями и нечеткими решениями:
1 Г — _
max min fl, min /2, ..., min fm
при ограничениях: (12.12)
Ро8{£(ж,£)<7;}^А, i = l,2,...,m,
Pos{gj(x,£) <0} ^CCj, j = l,2,...,p,
где Qj—доверительные уровни для нечетких ограничений gj(x,£) ^ 0, j =
1,2,...,р, а величины min/j представляют собой Д-пессимистические
значения для функций дохода fi(x,£), г = 1,2,..., тп, соответственно.
Согласно структуре приоритетов и целевым уровням, установленным
лицом, принимающим решение, минимаксная модель целевого
программирования с возможностными ограничениями и нечеткими решениями запишется
следующим образом:
( l m
min Yl Pj E
X j=l i=l
u^ I maxdf V 0 I + tfy- I maxdj V 0 I
(12.13)
при ограничениях:
Pos {fi(x, t)-bi2d?}2P?, t = 1,2,..., m,
Pos{6i - Л(а,0 £ dT} ^ /3-, i = 1,2,.. .,m,
Pos{gj(x,0 <0} ^aj, j = l,2,...,p,
где Pj — коэффициент преимущественного приоритета, который выражает
относительную важность различных целей, Pj 3> Pj+i, для всех j; щ^ —весовой
коэффициент, отвечающий положительному отклонению для цели г с
присвоенным ей приоритетом j; Vij —весовой коэффициент, отвечающий
отрицательному отклонению для цели г с присвоенным ей приоритетом j;df\/0
представляет собой /^"-пессимистическое положительное отклонение от назначенного
уровня г-й цели, определяемое как
max {d V 0 | Pos {£(х, £) - ^ ^ d} > j3f) , (12.14)
d^ V 0 представляет собой /?г~-пессимистическое отрицательное отклонение от
назначенного уровня i-й цели, определяемое как
max {d V 0 | Pos {h - /,(ж, £) ^ d} ^ 0~ } , (12.15)
bi — назначенный уровень, соответствующий г-й цели; I — число приоритетов;
m — число целевых ограничений.
12.5. Событийное программирование
В основе событийного программирования лежат такие ключевые понятия, как
неопределенная среда, событие и функция шансов события. В данном разде-
12.5. Событийное программирование 241
ле мы еще раз обратимся к этим понятиям и введем соответствующий
вариант принципа неопределенности, после чего рассмотрим несколько вариантов
DCP-моделей с нечеткими решениями.
Под неопределенной средой будем понимать нечеткие ограничения,
определяемые соотношениями:
<fc(£,€K0, j = l,2,...,p, (12.16)
где х — вектор нечетких решений, а £ — нечеткий вектор. Под событием будем
понимать систему неравенств вида:
М£,€)^0, fc = l,2,...,g. (12.17)
Функция шансов события £, характеризуемого соотношением (12.17),
определяется как мера возможности события £, т. е.,
f(x) = Pos{hk(x,Z)<0, fc = l,2,...,g}, (12.18)
с учетом введенной выше неопределенной среды (12.16). Для каждого решения
х и для каждой реализации вектора £ будем говорить, что событие £
совместимо с рассматриваемой неопределенной средой, если выполняются следующие
два условия: (i) hk(x,g) < 0, к = l,2,...,q; и (ii) gj{x,£) ^ 0, j 6 J, где
J — множество индексов всех зависимых ограничений. Подытожим сказанное,
сформулировав следующий принцип неопределенности.
Принцип неопределенности: Шансы некоторого нечеткого события есть
возможность (или необходимость, правдоподобие) того, что данное событие
согласовано с неопределенной средой.
Примем, что имеется т событий £i, характеризуемых соотношениями
hik{x,£) ^ 0,fc = 1,2,...,qi для г = l,2,...,m в неопределенной среде
gj(3b,£) ^ 0,j = 1,2,...,р. Из принципа неопределенности следует, что воз-
можностная функция г-го события £i в заданной неопределенной среде
определяется как
«*>-tate2e^A"*1,2,"-,e}- <1219)
где Ji определяется через
Ji = {j 6 {1,2,. ..,р} | gj(x,£) < 0 —зависимое ограничение события £j}
для i = 1,2,..., т.
Типичная формулировка DCP-задачи в однокритериальной постановке с
нечеткими решениями может быть записана тогда в виде:
{maxPos{/ifc(a:,£) < 0,fc = 1,2,. ..,q}
при ограничениях: (12.20)
а(а,€К0, j = 1,2,. .,р,
где ж —вектор нечетких решений на опорном наборе X, определяемом
соотношением (12.2), £ — нечеткий вектор; требуемое событие £ характеризуется
соотношениями hk{x,€) ^ 0,fc = 1,2,...,q, а неопределенная среда задается
набором ограничений gj(x, £) < 0, j = 1,2,... ,р.
242 Глава 12. Нечеткое программирование с нечеткими решениями
Типичная формулировка нечеткой многокритериальной DCP-задачи
может быть записана следующим образом:
max
Pos{/iifc(£,O<0,fc = l,2,...,9i}
Pos {h2k(x, £) < 0, к = 1,2,..., g2}
Pos {hmk(x, £) < 0, к = 1,2,..., qm}
(12.21)
при ограничениях:
&(£>£)< 0, j== l,2,...,p,
где события Ег характеризуются соотношениями hik(x,£) < 0,к = 1,2,...,<&
для г = 1,2,..., тп, соответственно.
Можно также сформулировать для нечеткой системы принятия решений
задачу целевого событийного программирования согласно структуре
приоритетов и целевым уровням, установленным лицом, принимающим решение,:
i
min Е Pj Е (.uHdt + viidi )
при ограничениях:
P0S\k = l,2,...J+d>-d>=bi'
&(£,£)< 0,
i = l,2,.
J = 1,2,.
г = 1,2,.
,m,
,m,
(12.22)
где Pj — коэффициент преимущественного приоритета, который выражает
относительную важность различных целей, Pj 3> Pj+i, для всех j;
u^—весовой коэффициент, отвечающий положительному отклонению для цели i с
присвоенным ей приоритетом j; vij — весовой коэффициент, отвечающий
отрицательному отклонению для цели г с присвоенным ей приоритетом j; df ' —
положительное отклонение от назначенного уровня i-й цели; d~ —
отрицательное отклонение от назначенного уровня г-й цели; gj — функция в системных
ограничениях; fcj — назначенный уровень, соответствующий г-й цели; I — число
приоритетов; m — число целевых ограничений; р — число системных
ограничений.
12.6. Нечеткие нейронные сети
Бьш разработан целый ряд нечетких нейронных сетей, в которых каждый
элемент-узел сети осуществляет обработку нечетких величин. Подробный
обзор результатов в этой области содержится в работе (Buckley and Hayashi [33]).
Можно также обратиться к работам (Keller and Tahani [125]), (Ishibuchi and
Tanaka [103]), (Hayashi et al [93]), (Pedrycz [238] [239]) и (Bortolan [25]).
Для того, чтобы формировать набор вход-выходных пар для
неопределенных функций вида
и1:х-*Е\/(х,&\,
U2:x-+ Ров{ф(«,0 < 0,j = 1,2,. ..,р}, (12.23)
U3:x-* max {/ | Pos {f(x, Q > f} > Р} ■
12.7. Гибридный алгоритм 243
Рис. 12.1. Нечеткая нейронная сеть
можно воспользоваться средствами нечеткого имитационного моделирования.
Поскольку процесс такого моделирования является весьма трудоемким,
целесообразно аппроксимировать упомянутые неопределенные функции с
помощью нечеткой нейронной сети.
12.7. Гибридный алгоритм
Чтобы иметь возможность решать задачи нечеткого программирования
общего вида с нечеткими решениями, можно использовать гибридный алгоритм, в
котором соответствующим образом скорректированы применяемая в нем
нейронная сеть, структура представления задачи, процедура инициализации, а
также операции кроссинговера и мутации.
Первое, что требуется сделать, это сформировать набор нечетких вход-
выходных пар данных для неопределенной функции. Для решения данной
задачи воспользуемся средствами нечеткого имитационного моделирования.
Затем на полученном таким образом наборе данных произведем обучение
нейронной сети, аппроксимирующей требуемые неопределенные функции.
Для нечеткого решения необходимо построить соответствующую ему
нечеткую хромосому, в которой каждый ген будет представлять собой нечеткую
величину вместо обычного четкого числа. В качестве хромосомы будем
использовать здесь нечеткий вектор V = (xi,X2,---,xn)- Он будет представлением
нечеткого решения в задачах нечеткого программирования с нечеткими
решениями, где компоненты Xi выбираются из опорного набора нечетких величин
Xi для i = 1,2,..., п, соответственно.
Нечеткие величины будем извлекать из опорного набора величин Xi
случайным образом для каждого нечеткого гена хг, формируя таким образом
244 Глава 12. Нечеткое программирование с нечеткими решениями
нечеткую хромосому V = {х\, Х2, • • -, хп), с проверкой ее допустимости с
помощью ранее обученной нейронной сети.
Оператор кроссинговера для рассматриваемого случая продемонстрируем
на паре (Vi, V2). Вначале сформируем случайным образом целое число из
диапазона между 1 и п, которое обозначим как п' и будем использовать в
качестве точки кроссинговера. Затем между хромосомами V\ и Vi произведем
обмен генами, находящимися после n'-го гена, что приводит к появлению двух
потомков. Если с помощью обученной ранее нейронной сети можно показать,
что полученные потомки являются допустимыми, тогда ими заменяются
родительские хромосомы.
Для каждой выбранной родительской хромосомы V = (х\,Х2, ■ • • i^n)
операция мутации осуществляется следующим образом. Случайным образом
выбирается точка мутации как число п', лежащее между 1 и п. Затем из набора
случайных величин Хп> выбирается новая нечеткая величина, которая
заменяет п'-й ген хромосомы V, что приводит к появлению новой хромосомы V.
Если нечеткая хромосома V оказывается допустимой (это проверяется с
помощью обученной ранее нечеткой нейронной сети), она принимается в состав
набора хромосом решаемой задачи.
Алгоритм 12.1. Гибридный алгоритм
Шаг 1. Сформировать с помощью нечеткого имитационного моделирования
набор вход-выходных пар для неопределенных функций,
используемых в решаемой задаче.
Шаг 2. Обучить нечеткую нейронную сеть, аппроксимирующую
неопределенные функции, с использованием полученного набора нечетких данных.
Шаг 3. Инициализировать pop_size нечетких хромосом, допустимость
которых может быть проверена с помощью полученной ранее нечеткой
нейронной сети.
Шаг 4. Модифицировать нечеткие хромосомы с привлечением операций
кроссинговера и мутации, при этом допустимость потомков может быть
проверена с помощью полученных ранее нечетких нейронных сетей.
Шаг 5. Вычислить значения целевых функций рассматриваемой задачи для
всех нечетких хромосом с помощью полученной ранее нечеткой
нейронной сети.
Шаг 6. Вычислить приспособленность каждой из нечетких хромосом,
основываясь на значениях целевых функций для них.
Шаг 7. Произвести селекцию хромосом, используя случайный выбор.
Шаг 8. Шаги с четвертого по седьмой выполнить заданное число раз.
Шаг 9. Выдать значение наилучшей хромосомы в качестве оптимального
нечеткого решения.
Дадим теперь несколько численных примеров, для решения которых
применялся персональный компьютер. Параметры этих примеров имеют
следующие значения: размер популяции 30, вероятность кроссинговера Рс равняется
0.3, вероятность мутации Рт принята равной 0.2, параметр а в функции
оценки, основанной на ранжировании, был принят равным 0.05.
12.7. Гибридный алгоритм 245
Пример 12.1. Рассмотрим теперь следующую EVM-модель с нечеткими
решениями:
Г maxJS[|ii+u| + |52+6| + |53+&|]
< при ограничениях:
{ Е [a\Xi + а2х2 + й3£3] ^ 40.
где нечеткое решение х = {х\,х2,хз) принимает значения из прямого
произведения Х\ х Х2 хХ3; опорный набор Х\ состоит из всех
трапецеидальных нечетких величин (t, t + l,i + 2,t + 3), для которых t G [0,2]; X2
состоит из всех треугольных нечетких величин (t — l,t,t + 1), для которых
t G [2,4]; Х% состоит из всех нечетких величин с функциями принадлежности
ц2(х) = ехр[— (х — t)2/2], для которых t G [4,6]; треугольные нечеткие
параметры £i = (—2,0,2), £2 = (—4,-2,0), £3 = (—6,-4,-2), трапецеидальные
нечеткие параметры ai = (0,1,2,3), а2 = (2,3,4,5), й3 = (4,5,6,7).
Чтобы решить задачу, в которой используется данная модель, надо
вначале сформировать набор нечетких вход-выходных пар для неопределенной
функции U : (х) -> (Ui(x),U2(x)), где
U^x) = E [\xi + 61 + \х2 + Ь\ + \хз + Ь\].
U2(x) = E [diXi + а2х2 + азх3].
Затем производится обучение нечеткой нейронной сети (3 входных нейрона, 6
нейронов в скрытом слое, 2 выходных нейрона), аппроксимирующей
неопределенную функцию U. В завершение, объединим обученную нейронную сеть
и генетический алгоритм, что приводит к получению гибридного алгоритма.
Исполнение данного гибридного алгоритма (10000 циклов
имитационного моделирования, 4000 пар данных в обучающем наборе для нейронной
сети, 1000 поколений в генетическом алгоритме) показывает, что оптимальное
нечеткое решение имеет следующий вид:
5? = (2,3,4,5),
х*2 = (2.6441,3.6441,3.6441),
И£-3 (х) = exp[-(z - 4)2/2],
а значение целевой функции для него равняется 5.3656.
Пример 12.2. Рассмотрим теперь следующую ССР-модель с нечеткими
решениями:
{max/
при ограничениях:
Pos {cixi + с2х2 + c3z3 ^ /} ^ 0.9,
Pos {агх{ + а2х\ + агх\ ^ 100} > 0.8,
где нечеткое решение х = (xi,x2,xs) принимает значения из прямого
произведения Х\ х Х2 х Хз; опорный набор Х\ состоит из всех треугольных нечетких
величин [t — l,t,t + 1), для которых t G [1,5]; Х2 состоит из всех нечетких
величин с функциями принадлежности ц2(х) = ехр(—\х — t\), для которых
t G [2,10]; Х3 состоит из всех нечетких величин с функциями принадлежности
Из(х) = 1/[1 + (х — t)2], для которых t G [5,8]; треугольные нечеткие величины
246 Глава 12. Нечеткое программирование с нечеткими решениями
ai = (0,1,2), а2 = (1,2,3), из = (2,3,4), нечеткие величины с\, с2 и сз имею!
функции принадлежности ^ci(x) = 1/[1 + \х — 1|], fi£2(x) = 1/[1 + \х ~ 2|] г
№с3{х) = 1/[1 + \х — 3|], соответственно.
Сформируем обучающий набор нечетких вход-выходных пар для
неопределенной функции U : (х) —»(U\(x), U2(x)), где
Ui(x) = Pos {ciii + с2£2 + с3х3 ^ /} ,
U2(x) = Pos {aiij + а2х2 + 0,3X3 ^ 100}.
Обучим теперь нечеткую нейронную сеть (3 входных нейрона, 6 нейронов
в скрытом слое, 2 выходных нейрона), аппроксимирующую неопределенную
функцию U. Объединим затем обученную нейронную сеть с генетическим
алгоритмом и получим требуемый гибридный алгоритм.
Исполнение данного гибридного алгоритма (10000 циклов
имитационного моделирования, 4000 пар данных в обучающем наборе для нейронной
сети, 1000 поколений в генетическом алгоритме) показывает, что оптимальное
нечеткое решение (х\,х.2,Хз) имеет следующий вид:
х\ = (0.000,1.000,2.000),
Мг; (х) = ехр [-\х - 4.191|] ,
^з(а;)=1 + (а._5.517)2-
Значение целевой функции для этого решения есть / = 162.10. Кроме того,
имеем, что
Pos {o!xf + а2х22 + a3xf ^ 100} = 0.8.
Пример 12.3. Пусть нечеткое решение х — (х1,х2,хз) принимает значения
из прямого произведения Х\ х Х2 х Хз\ опорный набор Xi состоит из всех
треугольных нечетких величин (t — 1, t, t +1), для которых t € [1,5]; Х2 состоит
из всех нечетких величин с функциями принадлежности ц2{х) = l/[l + (x—t)2],
для которых t G [3,6]; Х3 состоит из всех нечетких величин с функциями
принадлежности цз(х) = ехр(— \х — t\), для которых t € [2,4].
Предположим также, что на нечеткое решение х = {х\,х2,хз)
накладывается ограничение вида Vos{a\X\ +а2х2 +0,3X3 ^ 100} ^ 0.8, где
вспомогательные коэффициенты ai, а2 и из представляют собой треугольные нечеткие
величины (8,9,10), (6,7,8) и (16,17,18), соответственно.
Максимизируемая функция дохода есть с\ х\ + с2х2 + сзж|, где
коэффициенты с\, с2 и сз представляют собой нечеткие величины с функциями
принадлежности (1сг(х) = 1/[1 + \Х- 3|], ЦсЛх) = 1/[1 + \Х~ 2|] И Цс3(х) = 1/[1 + \х- 1|],
соответственно. Чтобы максимизировать 0.9-оптимистический доход, можно
использовать максимаксную ССР-модель вида:
(max max /
х f
при ограничениях:
Pos {ciX! + с2х\ + сзх% ^ /} ^ 0.9,
Pos{ai^i + а2х2 + азхз ^ 100} ^ 0.8.
12.7. Гибридный алгоритм 247
Если требуется максимизировать 0.9-пессимистический доход, используется
минимаксная модель:
max min /
х f
, при ограничениях:
Pos {cixi + с2х\ + c3xl ^ /} ^ 0.9,
Pos{axf 1 + 0.2X2 + 0.3X3 ^ 100} ^ 0.8.
Исполнение построенного выше гибридного алгоритма (10000 циклов
имитационного моделирования, 4000 пар данных в обучающем наборе для
нейронной сети, 3000 поколений в генетическом алгоритме) показывает, что
оптимальное нечеткое решение {х\,х.2,х^) для максимаксной модели имеет
следующий вид:
х\ = (0.000,1.000,2.000),
Мг;0*0 = 1 + ^-6.000)2'
1щ {х) =exp(-|z- 3.484|).
Для него максимальный доход с возможностью не менее 0.9 есть /тах = 138.35.
Второй запуск используемого гибридного алгоритма (10000 циклов
имитационного моделирования, 4000 пар данных в обучающем наборе для нейронной
сети, 3000 поколений в генетическом алгоритме) показывает, что оптимальное
нечеткое решение {х\,Х2,х%) для минимаксной модели имеет следующий вид:
ж* = (0.000,1.000,2.000),
»Ф)= i + ^-e.ooo)2'
Mi;(z)=exp (-|z-3.476I)
Для этой модели минимаксный доход с возможностью не менее 0.9 есть /min =
99.92.
Пример 12.4. Рассмотрим теперь простую DCP-модель с нечеткими
решениями:
{max Pos {xi + Х2 + Х3 + Х4 = 8}
при ограничениях:
х\ + х\ ^ а,
xl+xl^b,
где а — треугольная нечеткая величина (6,7,8), 6—трапецеидальная нечеткая
величина (7,8,9,10), нечеткое решение (х\,Х2,хз,Х4) принимает значения из
прямого произведения Х\ х Х2 х Х$ х Х^, опорный набор Xi состоит из всех
треугольных нечетких величин (4—1, 4, t+1), для которых 4 G [1,10]; Х2 состоит
из всех нечетких величин с функциями принадлежности /хг(£) = 1/[1 + (^ — *)2]j
для которых 4 G [2,4]; Х3 состоит из всех нечетких величин с функциями
принадлежности /хз(£) = ехР[—|£ — *|]> Для которых 4 G [1,5], а Х$ представляет
собой замкнутый интервал [1,10] (вырожденный случай).
Единичное событие £ состоит в удовлетворении условия х\ + х.2 + хз +
Х4 = 8. Носитель £* и зависимый носитель £** в данной модели включают
248 Глава 12. Нечеткое программирование с нечеткими решениями
все компоненты вектора решений. Из принципа неопределенности следует, что
возможностная функция f(x) события £ имеет вид
/(Й) = POS {х 1 + X2 + Хз + Х4 = 8, X\ + X2 ^ Я, Х% + х\ ^ б} .
Сформируем 3000 пар вход-выходных данных для рассматриваемой в
данной задаче неопределенной функции f(x) с помощью нечеткого имитационного
моделирования. Обучим затем нечеткую нейронную сеть (4 входных нейрона,
8 нейронов в скрытом слое, 1 выходной нейрон), которая аппроксимирует эту
функцию. Включим полученную сеть в состав элементов генетического
алгоритма и получим соответствующий гибридный алгоритм.
Исполнение построенного выше гибридного алгоритма (10000 циклов
имитационного моделирования, 3000 пар данных в обучающем наборе для
нейронной сети, 4000 поколений в генетическом алгоритме) показывает, что
оптимальное нечеткое решение х* = (х\,Х2,х$,х%) имеет следующий вид:
х\ = (0.9473,1.9473,2.9473), М*; (О = 1 + {^2ШГ
Их-3(0 = ехр[-|£ - 2.0878Ц, х\ = 2.1172,
при этом f(x*) = 0.907.
Пример 12.5. Рассмотрим следующую задачу целевого событийного
программирования с нечеткими решениями в нечеткой среде:
lexmin { d j~, d^, d$ }
при ограничениях:
Pos{z2 = 7} + df - df = 0.95,
Pos{^ + x\ = 25} + dz - dt = °-92.
' Pos{z I + 5% = 10} + dz - d^ = 0.90,
^1+52^ Й,
Хз + Xi + X5 ^ 6,
df,dr^0, г =1,2,3,
где а — трапецеидальная нечеткая величина (7,8,9,10), Ь — треугольная
нечеткая величина (4,5,6), а каждый из компонентов Xi нечеткого решения х
принимает значения из опорного набора, составленного из нечетких величин с
функциями принадлежности вида /х(£) = 1/[1 + (£ — t)2} при t S [1,8].
На первом уровне приоритетов существует некоторое событие,
обозначаемое как £\, которому удовлетворяет условие x-i = 7. Очевидно, что здесь
носитель £\ = {яг} и зависимый носитель £" = {х\,Х2\- Как следует из принципа
неопределенности, возможностная функция события £\ имеет вид:
fi(x) = Pos{х2 = 7, х 1 + х2 ^ а}.
На втором приоритетном уровне существует некоторое событие £2, для
которого выполняется условие х2+х% — 25. В этом случае носитель £| = {^4,xs}
и зависимый носитель £|* = {х$,Х4,хъ}. Из принципа неопределенности
следует, что возможностная функция события £г записывается так:
/2(5) = Pos {±1 +х\ = 25, хз + х4 + х5 ^ 6} .
12.7. Гибридный алгоритм 249
На третьем приоритетном уровне существует некоторое событие £з, для
которого выполняется условие х\-\-х\ = 10. Очевидно, что в этом случае
носитель ££ = {^1,^з} и зависимый носитель £%* = {xi,X2, £3, Х4, £5}. Из принципа
неопределенности следует, что возможностная функция события £з принимает
вид:
/з(Й) = Pos {х\ + х\ = 10, X1 + Х2 ^ Й, Xз + Х4 + Х$ ^ Ъ] .
Вначале используем нечеткое имитационное моделирование, чтобы
сформировать набор нечетких вход-выходных пар для неопределенной функции
(/1(й),/2(ж),/з(ж)). Затем проведем обучение нейронной сети (5 нейронов во
входном слое, 11 нейронов в скрытом слое, 3 нейрона в выходном слое) для
аппроксимации этой функции. В завершение, встроим полученную обученную
нейронную сеть в генетический алгоритм, что приводит к гибридному
алгоритму.
Запуск данного алгоритма (10000 циклов процесса имитационного
моделирования, 4000 обучающих примеров для нейронной сети, 8000 поколений для
генетического алгоритма) приводит к получению оптимального нечеткого
решения х* = (х\, Х2, х%, х\, х%), в котором х* — нечеткие величины с функциями
принадлежности /ij(£) = 1/[1 + (£ — t*)2], i — 1>2,3,4,5, соответственно, где
(*1,*5,*з.*;,*5) = (2.2680,6.8139,1.4971,1.0000,4.7034).
Это нечеткое решение может удовлетворить первым двум целям, но для
третьей цели отклонение равняется 0.094. Имеем кроме этого, что
/i(5*) = 0.952, /2(5*) = 0.950, /3(£*) = 0.806.
Часть IV
НЕТОЧНОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Глава 13
Неточные величины
Теория неточных множеств (rough set theory), начало которой было
положено Павлаком в [233], уже зарекомендовала себя как прекрасное
математическое средство для работы с неясными описаниями объектов. Фундаментальное
предположение теории неточных множеств состоит в том, что любой объект
окружающего мира (универсума) воспринимается по той информации,
которая о нем доступна, а такая информация может быть недостаточной,
чтобы точно характеризовать рассматриваемый объект. Один из вариантов
действий в такой ситуации — аппроксимировать множество с помощью других
множеств. Соответственно, в данном случае неточное множество может быть
определено через пару четких (crisp) множеств, называемых нижним
приближением и верхним приближением. Эти множества порождаются отношением
эквивалентности (рефлексивным, симметричным и транзитивным1).
Основное внимание в данной главе будет уделено таким понятиям, как
пространство приближений, неточная величина, неточная арифметика, мера
доверия, оператор ожидаемого значения, неточное имитационное моделирование.
13.1. Пространство приближений и неточные величины
Пусть (/ — универсум. В работе (Slowinski and Vanderpooten [268]) отношение
эквивалентности расширено на более общий случай и предложено бинарное
отношение подобия, которое рефлексивно, но не обладает свойствами
симметричности и транзитивности. В отличие от отношения эквивалентности,
отношение подобия (сходства) не порождает разделения U на части, например,
отношение подобия, определенное на 5R как «х подобно у тогда и только тогда,
когда \х — у\ ^ 1».
Класс сходства х, обозначаемый как R(x), есть множество объектов,
которые подобны х,
R(x) = {у G U | у ~ х}. (13.1)
Пусть Д-1 {х) — класс объектов, которым подобен объект х,
BT1{x) = {y&U\x~y}. (13.2)
1 Некоторое отношение ~, определенное на V, называется рефлексивным, если каждый
объект подобен самому себе, т. е. х ~ я; симметричным, если а; ~ у => у ~ я;
транзитивным, если х ~у, j/~z=>a;~2 для любых x,y,z E U.
13.1. Пространство приближений и неточные величины 251
Тогда верхнее и нижнее приближения для некоторого множества даются
следующим определением.
Определение 13.1. (Slowinski and Vanderpooten [268]) Пусть U — универсум,
а X — множество, представляющее некоторое понятие. Тогда его нижнее
приближение определяется соотношением
X = {x£U\R-1(x)cX}; (13.3)
о верхнее приближение — соотношением
~Х = (J R(x). (13.4)
хех
То есть нижнее приближение — это подмножество, содержащее объекты,
несомненно принадлежащие рассматриваемому множеству, тогда как верхнее
приближение — это надмножество, включающее объекты, возможно
принадлежащие рассматриваемому множеству.
Теорема 13.1. (Slowinski и Vanderpooten [268]) Пусть U — универсум, а X —
некоторое множество в U. Имеем тогда
Xclcl (13.5)
Доказательство: Пусть х £ XL- Так как отношение подобия ~ рефлексивно,
имеет место соотношение х G Д_1(а;). Из R_1(x) С X следует, что х € X.
Отсюда получаем, что ХсХ
Пусть х € X. Поскольку отношение подобия ~ рефлексивно, имеем, что
х £ R(x). Отсюда получаем, что х £ X и X с X. Теорема доказана.
Пример 13.1. Пусть 5R — универсум. Определим отношение подобия ~ таким
образом, что у — х, тогда и только тогда, когда [у] = [х], где [х] представляет
собой наибольшее целое, которое меньше или равно х. Для множества [0,1]
имеют место соотношения [0,1] = [0,1) и [0,1] = [0,2). Все множества [0, г) с
0 ^ г ^ 1 имеют одно и то же верхнее приближение [0,1).
Пример 13.2. Пусть 5R —универсум. Определим отношение подобия ~ такое,
что у — х, тогда и только тогда, когда \у — х\ ^ 1. Для множества [0,3] имеем,
что [0,3] = [1,2] и [0,3] = [—1,4]. Для множества [0,1] имеют место
соотношения ]0Д] = 0 и ]6Л1 = [-1,2].
Определение 13.2. (Pawlak [233]) Пусть U — универсум, а X — некоторое
множество в U. Граница X определяется кок В(Х) = X — Х_.
Если Б(Х) = 0, тогда X — некоторое обычное множество. Если В(Х) ф 0,
то А" — некоторое приближенное множество (approximate set) и его нельзя
охарактеризовать с помощью X и X.
Определение 13.3. (Pawlak [233]) Набор всех множеств, имеющих одни и
те же нижнее и верхнее приближения, называется неточным множеством
(rough set) и обозначается кок (Х_,Х).
252 Глава 13. Неточные величины
Чтобы построить аксиоматическую теорию для описания неточных
величин, дадим определение пространства приближений (rough space)1.
Определение 13.4. Пусть А —некоторое непустое множество, А есть а-
алгебра подмножеств А, а А — некоторый элемент в А и it —
неотрицательная, вещественнозначная, аддитивная функция множеств. Тогда (Л, Д, А, 7г)
называется пространством приближений.
Если информации для определения меры 7г в реальной задаче
недостаточно, воспользуемся критерием Лапласа, согласно которому предполагается, что
все элементы в Л могут появиться с равной возможностью. Для
рассматриваемого случая мера 7г может трактоваться как мощность множества Л. Для
простоты во всех примерах в этой книге будет использован именно этот
критерий.
Кроме того, неточная величина определяется как измеримая функция из
пространства приближений в вещественную прямую.
Определение 13.5. Неточная величина £ на пространстве приближений
(Л, А, А, 7г) есть функция из А в вещественную прямую 9? такая, что для
каждого борелевского множества О из St имеет место соотношение
{A G Л | f (A) G О} G А. (13.6)
Нижнее и верхнее приближения неточной величины £ определяются тогда
следующим образом:
£={£(А)|АеД}, £={£(А)|АеЛ}. (13.7)
Замечание 13.1. Поскольку Д с Л, очевидно, что £ С £.
Замечание 13.2. Возможно также, что Д = 0 или Д = Л. Если Д = 0,
то нижнее приближение £ — пустое множество. Если Д = Л, тогда £ = £ и
неточная величина £ представляет собой обычное множество.
Пример 13.3. Пусть Л = {х\0 ^ х ^ 10} и Д = {х\2 ^ х ^ 6}. Тогда функция
£(х) = х2, определенная на (Л, А, А, 7г), есть неточная величина.
Пример 13.4. Неточная величина ([о, 6], [с, d]), с ^ а ^ 6 ^ d, представляет
собой измеримую функцию из пространства приближений (Л, А,А,тг) в
вещественную прямую, где Л = {х\с ^ х ^ d}, А = {х\а ^ х ^ 6} и £(х) = х для
всех х G Л.
Следует упомянуть понятие интервального числа, определенное Алефель-
дом и Херцбергером (Alefeld, Herzberger [4]) как некоторая упорядоченная пара
действительных чисел. Фактически, интервальное число [а, 6] можно
рассматривать как некоторую неточную величину (0, [а, 6]) или ([а, 6], [а, Ь]).
Дальше будет видно, что неточная арифметика совпадает с интервальной арифме-
1 Пусть Л — некоторое непустое множество, а отношение ~ рефлексивно, симметрично и
транзитивно. Тогда (Л, ~) называется пространством приближений Павлака.
13.2. Неточная арифметика 253
тикой, определенной Алефельдом и Херцбергером в [4], а также Хансеном в
(Hansen [92]) \
13.2. Неточная арифметика
Пусть (Aj,Ai,Ai,7Tj) — пространства приближений, i = 1,2,...,п. Введем
определения
Л = Ai х Л2 х ... х Л„, Д = Ai х Д2 х ... х Д„,
(13.8)
А = Ai х Лг х ... х Ап, ж = ж\ х 7г2 х ... х жп.
Очевидно, что (А, Д, А, 7г) также будет пространством приближений.
Определение 13.6. Пусть (Aj, Дг,Лг,7гг),г = 1,2,... ,п, —пространства
приближений. Тогда (А, Д,Л,7т) называется произведением пространств
приближений, где А, А, А и it определяются соотношением (13.8).
Пусть & — неточные величины, определенные на пространствах
приближений (Aj, Дг,Лг,7Гг), i = 1,2, соответственно. Тогда сумма £ = £i + £2 будет
представлять собой неточную величину, определенную на произведении
пространств приближений (А, Д,Л,7г) как
€(Ai,A2) = 6(Ai) + 6(A2) V(AbA2)GA.
Произведение £ = £i • £г определяется на произведении пространств
приближений (А, Д,Л,7г) следующим образом
€(Ai, А2) = Ci(Ai) • &(А2) V(Ai, A2) е А.
В более общем случае, имеем следующую неточную арифметику.
Определение 13.7. Пусть /: Э?п —* 5R — некоторая непрерывная функция, а
£i —неточные величины на пространствах приближений (Aj,Ai,Ai,iTi), i =
1,2,..., п, соответственно. Тогда £ = /(£i, £г, • • •,£n) — неточная величина,
заданная на произведении пространств приближений (А, Д,Л,7г) как
€(Аь А2,..., А„) = /(6(Ai), &(А2),..., £„(А„)) (13.9)
для любого (Ai, Аг,..., An) G А.
Пример 13.5. Пусть £ = ([<ц, аг], [аз, 04]) и?) = ([6i, 62], [63, М)—Две неточные
величины. Отметим, что аз ^ а\ ^ аг ^ а4 и 63 ^ fci ^ 6г ^ ^4- Из неточной
арифметики следует, что
£ + г) = ([ai + 61, a2 + 62], [a3 + h, a4 + 64]), (13.10)
f-7? = ([ai -62,a2-6i], [аз-64,а4-6з]), (13.11)
1 См. также [97-99] в списке дополнительной литературы. — Прим. ред.
254 Глава 13. Неточные величины
, Г ([кат,, ка2], [ка3, &а4]), если к ^ О,
\ ([ka2,kai], [ка,4,каз]), если /с < О,
f x 77 = ([ai х Ьь а2 х Ь2], [«з х h, а4 х Ь4]), если а3 ^ О, Ь3 ^ О, (13.13)
£-Ь»7= (К -i-b2,a2-r bi],[a3-rb4,a4-e-b3]), если а3 ^ О, Ь3 > 0. (13.14)
В частном случае получаем следующую интервальную арифметику:
[aba2] + [ЬЬЬ2] = [ai + h,a2 + Ь2\, (13.15)
К, «2] - [h, b2] = [ai - b2, a2 - bi], (13.16)
J [/cabfca2], если к > 0, „„-
/c[aba2] = ^ (13.17)
( [/ca2,/caij, если /с < О,
[ai,a2]x[b1,b2] = [ai xbi,a2x b2], если d ^ 0, bi ^ 0, (13.18)
[ai,a2] -=- [bi,b2] = [ai + b2,a2 Ч-bi], если d ^ 0, b\ > 0. (13.19)
13.3. Мера доверия
Определение 13.8. Пусть £ — некоторая неточная величина на
пространстве приближений (Л, Д,Л, 7г), a fji 5R" —» 5R — непрерывные функции, j =
1,2,..., т. Тогда верхняя оценка доверия для неточного события,
характеризуемого как fj(£) ^ 0, j = 1,2,..., т, определяется следующим образом:
1гШ(€) < °> 3 = 1,2,...,т) = jT— .
Определение 13.9. Пусть £ — неточный вектор на пространстве
приближений (Л,Л,Л,7г), a /j: 5R" —+ 5R — непрерывные функции, j = 1,2,...,т.
Тогда нижняя оценка доверия для неточного события, характеризуемого как
/?'(£) ^ 0, j = 1,2,..., т, определяется следующим образом:
11Ш(€) < 0, j = l,2,...,m) = j— .
Если 7г{Д} = 0, тогда определяем
Tr{/J-(O<0,j = lf2,...>m}=Tr{/J-(€)<0,j = l,2,...,m}.
Определение 13.10. Пусть £ — неточный вектор на пространстве
приближений (Л, Л, Л, 7г), a fj-. 5R" —» 5R — непрерывные функции, j = 1,2,..., т.
Тогда оценка доверия для неточного события, характеризуемого как fj(£) ^
О, j = 1,2,..., т, определяется так:
ir\j = l,2,...,m/ 2 Vir\j = l,2,...,m/+ -\j = l,2,...,m/;-
13.3. Мера доверия 255
Замечание 13.3. Оценка доверия может быть определена как некоторая
выпуклая комбинация верхней и нижней оценок доверия, согласно различным
потребностям (решаемым задачам).
Нижняя оценка доверия, верхняя оценка доверия и оценка доверия
принимают значения между 0 и 1. То есть
О < Тг{/,-(£) ^ О, J = 1,2,• • • ,т) ^ 1;
О ^ Тг {/,-(£) < О, J = 1,2,. • • ,m} ^ 1;
0<Ъ-{/>(€К<и = 1,2>...1тХ1.
Замечание 13.4. Неточное событие должно осуществиться, если оценка
доверия для него равна 1, и осуществиться не может, если эта оценка равна 0.
Таким образом, мера доверия (trust measure) имеет такие же свойства, что и
вероятность (probability) и правдоподобие (credibility).
Замечание 13.5. Мера доверия является самодвойственной, т. е.
lV{/i({)<fl, 3 = l,2,...,m}+Tr{/,(£) > 0,3j G {1,2,...,m}} = 1.
Пример 13.6. Пусть £ = ([а, Ь], [с,d])— неточная величина, для которой
выполняется условие с ^ а < b ^ d. Имеем тогда, что
Тг{£ ^ 0} = {
0,
с
2(c-d)'
2ас — ad — bc
2{b-a){d-c)
d-2c
если с ^ 0,
если а ^ 0 ^ с,
, если Ъ ^ 0 ^ а,
если d ^ 0 ^ Ь,
2(d-c)'
1, если 0 ^ d.
В случае, когда неточная величина £ представляет собой некоторое
интервальное число [а,Ь], получаем
Тг{£ < 0}
0, если а ^ 0,
а
-, если о ^ 0 ^ а,
а — Ь'
1, если 0 ^ Ь.
Определение 13.11. Распределение доверия Ф: 5R —» [0,1] неточной
величины £ определяется следующим образом:
Ф(х) = Тг {Л G Л | £(А) ^ х) .
(13.20)
То есть Ф(х) —оценка убежденности в том, что неточная величина £
принимает значение, меньшее или равное х.
256 Глава 13. Неточные величины
Определение 13.12. Функция плотности распределения доверия ф: 5R —+ 3?
для некоторой неточной величины £ представляет собой
кусочно-непрерывную функцию, такую, что
Ф(х) = Г ф(у)йу (13.21)
J—O0
выполняется для всех х £ 5J.
Можно определить также оценку снизу распределения доверия Ф» и оценку
сверху распределения доверия Ф* для неточной величины £:
Ф,(г) = Тг{ЛеЛ|е(А) ^х}, Ф*(:с)=Тг{АеЛ|£(А) <£;с}. (13.22)
Функция плотности оценки снизу распределения доверия ф* и функция
плотности оценки сверху распределения доверия ф* для неточной величины £
представляют собой непрерывные функции такие, что
Ф.(х) = [ Ф*Шу, Ф*{х) = [ ф*(у)йу (13.23)
J—OO J — 00
имеет место для всех х £ 5R. Очевидно также, что
Ф(х) = 1(Ф*(х)+Ф*(х)), zeK. (13.24)
Таким образом, неточная вилчина может быть также представлена
посредством пары функций плотности: функций плотности нижней и верхней оценок
доверия.
Объединенное распределение доверия Ф: 3i —» [0,1] для неточного вектора
(£ь ?2, • • •, fn) определяется посредством соотношений
Ф(г1,а:2,...,а:„) = Тг{АеЛ | fi(A) ^жь^А) ^ х2, ... ,f„(A) ^ хп} .
Функция плотности совместного распределения доверия ф для неточного
вектора (£i, ^2, • • •, £п) представляет собой кусочно-непрерывную функцию такую,
что
/XI гХ2 РХп
/ ••• / Ф{у\,У2,---,Уп)&У1&У2---&Уп
-ОО J — ОО J — OO
выполняется для всех (ц,х2,■■ ■,хп) £ *Rn.
13.4. Оптимистические и пессимистические значения
В данном разделе определим два критических значения (оптимистическое
значение и пессимистическое значение), чтобы иметь возможность ранжировать
неточные величины.
13.4. Оптимистические и пессимистические значения 257
Определение 13.13. Пусть £ — неточная величина и а £ (0,1]. Тогда
£sup(a) = sup {г | TV {£ ^ г} ^ а} (13.25)
называется а-оптимистическим значением £.
Пример 13.7. Пусть £ = ([а, Ь], [с, d])— некоторая неточная величина, для
которой с ^ а ^ b ^ d. Тогда a-оптимистическое значение величины £
определяется соотношениями:
£шр(а)
(1 - 2a)d + 2ac,
2(1-a)d +(2a-l)c,
d(b - a) + 6(d - c) - 2a(b - a){d - c)
(b - a) + (d - c)
если a ^
если a >
d-b
2(d-c)'
2d — а —с
2{d-c) '
в других случаях.
Если неточная величина £ вырождается в некоторое интервальное число [a, b],
то а-оптимистическое значение для него будет равняться
£suP(a) = aa+(l-a)b.
Определение 13.14. Пусть £ — неточная величина и a £ (0,1]. Тогда
&*(a) = inf {г | Тг {^ < г} ^ а} (13.26)
называется а-пессимистическим значением для величины £.
Пример 13.8. Пусть £ = ([а, Ь], [с,d]) —неточная величина, для которой с ^
a ^b ^ d. Тогда a-пессимистическое значение для величины £ равно:
&nf(a)
(l-2a)c + 2ad,
2(1 -а)с+ (2a - l)d,
с(Ь - a) + a(d - с) 4- 2a(b - a)(d - с)
(Ь - a) + (d - с)
если a ^
если a ^
a — c
2(d - c) '
b + d - 2c
2(d-c) '
в других случаях.
Если неточная величина £ вырождается в некоторое интервальное число [а,Ь],
то a-пессимистическое значение для него будет равняться
finf(a) = (l-a)a + ab.
Теорема 13.2. Пусть £inf(a) u £Sup(a) представляют собой а-пессимисти-
ческое и а-оптимистическое значения для неточной величины £,
соответственно. Тогда (i) £inf(a) —возрастающая функция от a; (ii) (,suv{a)
—убывающая функция от a; (iii) если а > 0.5, тогда £inf(a) ^ £sup(a)/ (iv) если
а ^ 0.5, тогда £ш(а) ^ fsup(a).
258 Глава 13. Неточные величины
Доказательство: Случаи (i) и (ii) являются очевидными. Случай (iii): если
finf(a) < 6шр(а), то имеем:
1 5* Tr{£ ^ finf(a)} + Tr{f £ £шР(а)} > а + а > 1.
Полученное противоречие доказывает, что £inf (a) ^ £Sup(a)- Случай (iv):
Предположим, что &nf(a) > 6шр(а)- Пусть f(a) = (finf(a) + fsup(a))/2. Из
определения для £inf(a) следует, что Tr{f ^ £(а)} < а- Аналогичным образом, из
определения для £Sup(a) вытекает, что Tr{£ ^ £(а)} < а- Таким образом,
1 ^ Тг{е ^ £(а)} + Тг{£ £ 1(a)} < а + а < 1.
Полученное противоречие доказывает, что £inf(a) ^ £sup(a)- Теорема доказана.
Теорема 13.3. Примем, что £ и г] — неточные величины. Для любого а £
(О,1] имеем
(a) если А ^ 0, то (Af)sup(a) = A£sup(a) и (Af)inf(a) = A&nf(a);
(b) если А < 0, то (Af)sup(a) = Afinf (a) и (A^)inf(a) = Afsup(a).
Доказательство: (а) Если А = 0, то данная часть теоремы очевидно верна.
Когда А > 0, имеем
(A£)sup(a) = sup {г | Тг{А£ > г} > а} =
= Asup{r/A | Тг{£ ^ г/А} ^ а} =
= Afsllp(a).
Аналогичным путем можно доказать, что (A£)inf(a) = A£inf(a).
(b) Достаточно проверить, что (-f)sup(a) = -finf(a) и (-^)inf(a) =
—£sup(a)- Фактически, для любого a 6 (0,1] имеем
(-Oeup(a) = sup{r | Tr{-£ Zr}^a} =
= - inf{-r | Tr{f ^ -r} ^ a} =
= -finf(a).
Аналогичным способом можно доказать, что (—£)inf(a) = — £шр(оО- Теорема
доказана.
13.5. Оператор ожидаемого значения
Для того чтобы измерять неточные величины, дадим определение оператора
ожидаемого значения.
Определение 13.15. Пусть £ — неточная величина на неточном
пространстве (А, Д,Л, 7г). Ожидаемое значение £ определяется следующим образом:
г+оо />0
Е[£] = / Tr{f ^ r}dr - / Tr{f ^ r}dr. (13.27)
Jo J-oo
13.5. Оператор ожидаемого значения 259
Пример 13.9. Пусть £ = ([а, Ь], [с, d])— неточная величина, для которой с ^
a ^b^d. Имеем тогда:
E[£} = -{a + b + c+d).
В частном случае, когда неточная величина £ вырождается в интервальное
число [а, Ь], имеет место соотношение:
Е[$ = ±{а + Ъ).
Теорема 13.4. Пусть £ — неточная величина на пространстве
приближений (Л, А, А, 7г). Имеем в этом случае
/оо
хф{х)йх,
-оо
(13.28)
где ф — функция плотности распределения доверия для £.
Доказательство: Из определения оператора ожидаемого значения вытекает,
что
da;
/■+00 рО
Е[£] = / Tr{f ^ r}dr - / Tr{f < r}dr =
JO J-oo
r+оо г /-+00 -| f° [ fr
= \ ф(х)<1х\<1г- \ ф(х)<1х
JO Ur J J-oo U-oo
/■+00 Г i-X -I rO Г rO
= / ф(х)дг\ dx- \ ф(х^г
r+oo rO
= I хф(х^х + I xф(x)dx =
Jo J-oo
/+oo
хф(х^х.
-оо
Теорема доказана. Из (13.24) следует, что
/оо
-(ф.(х)+ф'(х))дх.
dr =
(13.29)
Теорема 13.5. Примем, что £ и rj — неточные величины с конечными
ожидаемыми значениями. Тогда для любых действительных чисел а иЪ имеем:
Е\а£ + Щ = аЕ\£] + ЪЕ\т1\.
(13.30)
Доказательство: Поскольку мера доверия Тг имеет те же самые свойства,
что и вероятностная мера Рг, можно доказать линейность оператора
неточного ожидаемого значения способом, аналогичным тому, что использовался для
стохастического оператора ожидаемого значения.
Определение 13.16. Пусть £ — неточная величина с конечным ожидаемым
значением Е[£]. Рассеяние для £ определяется как V[£\ = Е[(£ — Е £])2].
260 Глава 13. Неточные величины
13.6. Ранжирование неточных величин
Пусть £ и 7] — две неточные величины, определенные на пространстве
приближений (Л, А, А, 7г). Существует несколько способов ранжировать эти
величины. Например, говорится, что £ ^ г], тогда и только тогда, когда £(А) ^ rj(\)
для всех А 6 Л. Для практического использования предлагаются следующие
методы ранжирования.
(i) Будем говорить, что £ > rj, тогда и только тогда, когда Е[£\ > Е[г]], где
Е — оператор ожидаемого значения неточной величины.
(ii) Будем говорить, что £ > г], тогда и только тогда, когда для некоторого
заранее предопределенного доверительного уровня а £ (0,1] имеет место
£шр(а) > %ир(а), где £Sup(a) и r]sup(a) — а-оптимистические значения для
£ и г], соответственно.
(iii) Будем говорить, что £ > г], тогда и только тогда, когда для некоторого
заранее предопределенного доверительного уровня а £ (0,1] имеет место
£inf(a) > i]int(ot), где £inf(a) и r}m[(a) — а-пессимистические значения для
£ и г], соответственно.
(iv) Будем говорить, что £ > г], тогда и только тогда, когда ТУ {£ ^ г} >
Тг {77 ^ г} для некоторого заранее предопределенного уровня г.
13.7. Неточное имитационное моделирование
Неточное имитационное моделирование будет играть важную роль в неточных
системах, например при оценке значения доверия, нахождении критического
значения, вычислении ожидаемого значения. Продемонстрируем это на
некоторых численных примерах.
Пример 13.10. Пусть £ — неточный вектор на пространстве приближений
(Л, А, А, 7г), a gi — вещественнозначные непрерывные функции, i = 1,2,..., m.
Тогда <7i(£) также будут неточными величинами для i — 1,2,..., m. Для того
чтобы получить оценку доверия,
L = Ti{gi(£)^0, i = l,2,...,m}, (13.31)
выполним выборку величин Хп, п = 1,2,... ,N, из Л согласно мере 7г. Пусть
N обозначает число вариантов (случаев), для которых 5i(£(A„)) ^ 0, i =
1,2,..., m для п = 1,2,..., N. Тогда имеем верхнюю оценку доверия L = N/N,
получаемую за счет того, что N достаточно велико. Аналогичным путем
можно получить нижнюю оценку L. Таким образом, оценка доверия равняется
L = (L + L)/2.
13.7. Неточное имитационное моделирование 261
Алгоритм 13.1. Неточное имитационное моделирование
Шаг 1. Задать N_ = 0 и 77 = 0.
Шаг 2. Сформировать Л и А из Д и Л согласно 7г, соответственно.
Шаг 3. Если Si(£(A)) < 0 для i = 1,2,..., m, то N++.
Шаг 4. Если Si(£(A)) < 0 для i = 1,2,..., m, то ЛЧ-+.
Шаг 5. Повторить шаги со второго по четвертый N раз.
Шаг 6. L = {K + N)/(2N).
Пусть имеются неточные величины £i = ([1,2], [0,5]) и & = ([2,3], [1,4]).
Чтобы вычислить оценку доверия L = Тг{£^ + £| ^ 18}, выполним неточное
имитационное моделирование с 2000 циклов и получим L = 0.82.
Пример 13.11. Примем, что £ —неточный вектор, определенный на
пространстве приближений (Л, Д,Л,7г), а д — вещественнозначная непрерывная
функция. Воспользуемся здесь неточным имитационным моделированием для
оценки максимального значения д~ такого, что
Tt{g(S)Zg}>a, (13.32)
где а — предопределенный доверительный уровень, для которого 0 < а ^ 1.
Сделаем выборку Ai>A2>---,Aw из Л и \\,\2,.-.,\n из Л согласно мере п.
Для любого v пусть N(v) означает число Ап, удовлетворяющих условию
5(£(АП)) ^ v Для п — 1,2,..., N, a N(v) обозначает число А„, удовлетворяющих
условию д(£(\п)) ^ v Для п = 1,2,...,N. Теперь можно найти максимальное
значение для v такое, что
«^М>«. (13.33)
Это значение представляет собой оценку д~.
Алгоритм 13.2. Неточное имитационное моделирование
Шаг 1. Сформировать А17 А2,..., Aw из А согласно мере 7г.
Шаг 2. Сформировать Ai, Аг,..., Алг из Л согласно мере 7г.
Шаг 3. Найти максимально значение для v такое, что (13.33) выполняется.
Шаг 4. Выдать v.
Пусть имеются неточные величины £i = ([0,1], [—1,3]), £2 = ([1,2], [0,3])
и £з = ([2,3], [1,5]). Вычислим теперь максимальное значение д такое, что
Tr{£i + £2 + £3 ^5} ^ 0-8- Запуск процесса неточного имитационного
моделирования с 2000 циклов показывает, д~ = 12.7.
Пример 13.12. Пусть / — вещественнозначная функция, а £ — неточный
вектор, определенный на пространстве приближений (Л, А, А, 7г). Чтобы
вычислить ожидаемое значение E\f(£)], сделаем выборку А,, А,,..., Ам из Д и вы-
262 Глава 13. Неточные величины
борку Ai,Л2,.. -, Aw из Л согласно мере ж. Тогда ожидаемое значение E[f(£)]
оценивается как
N
£(/(£(Ai)) + /(£(Ai)))/(2iV)
при условии, что N достаточно велико.
Алгоритм 13.3. Неточное имитационное моделирование
Шаг 1. Задать L = 0.
Шаг 2. Сформировать А из А согласно мере 7г.
Шаг 3. Сформировать А из Л согласно мере п.
Шаг 4. L - L + Д£(А)) + /«(А)).
Шаг 5. Повторить шаги со второго по четвертый N раз.
Шаг 6. Выдать L/(2N) в качестве искомого значения.
Пусть имеется неточная величина £ = ([—1,1],[—2,2]). Привлечем
неточное имитационное моделирование, чтобы вычислить ожидаемое значение для
(1 +0/(1 +£2)- Исполнение процесса неточного моделирования с 2000 циклами
позволяет получить результат, равный Е[(1 + £)/(! + £2)] = 0.67.
Глава 14
Неточное программирование
Под неточным программированием будем понимать теорию оптимизации в
неточной среде. В данной главе будут введены модели неточного ожидаемого
значения (неточная EVM-модель), неточного программирования с
ограничениями на шансы (неточная ССР-модель), а также неточного событийного
программирования (неточная DCP-модель). Поскольку интервальное число
можно рассматривать как специальный вид неточной величины, в качестве
побочного продукта будет получен также ряд моделей интервального
программирования.
Чтобы иметь возможность решать задачи общего вида, основанные на
моделях неточного программирования, будет построен гибридный алгоритм,
основанный на объединении средств неточного имитационного моделирования,
нейронных сетей и генетического алгоритма. В завершение главы работа
построенного гибридного алгоритма будет продемонстрирована на серии
примеров.
14.1. Модели ожидаемого значения
Если £ — неточный вектор, тогда функция дохода f(x,£) и функции
ограничений gj(x,£), j = 1,2,... ,р, будут также иметь своими значениями неточные
величины. Для того чтобы ранжировать неточный доход f(x,£), можно
воспользоваться средним ожидаемым значением E[f(x,£)]. Чем больше
ожидаемое значение дохода E[f(x, £)], тем лучше полученное решение х.
Первый вид моделей неточного программирования — это модели
ожидаемого значения (EVM-модели), основная идея которых состоит в выборе решения
с максимальным ожидаемым доходом. В общем виде EVM-модель
формулируется следующим образом:
( m&xE[f(x,Z)}
) при ограничениях: (14.1)
[ £[#(!«:,€)]< О, j = 1,2 р,
где Е обозначает оператор (среднего) ожидаемого значения неточной
величины.
Если в решаемой задаче несколько целевых функций, в таком случае
имеет место задача многокритериального программирования с неточным ожида-
264 Глава 14. Неточное программирование
емым значением:
' max [£?[/i(aJ,0],£;[/2(aJ,0],..., E[fm(x,0}]
< при ограничениях: (14-2)
ЯЫ*,О]<0, j = l,2,...,p,
где /Дж, f) — функции дохода, г = 1,2,..., т.
Можно сформулировать также следующую модель неточной системы
принятия решений как модель целевого программирования с неточными
ожидаемыми значениями, со структурой приоритетов и целевыми уровнями,
задаваемыми лицом, принимающим решения:
min 53 Pj Y,(.uijd? + vtjdi')
при ограничениях:
Е[Мх,£)]+с1--4=Ы, i
£[&-(*.€)]< о, j
df,d-^0, i
где Pj — заданный некоторым образом коэффициент преимущественного
приоритета, выражающий относительную важность различных целей, Pj 3> Pj+i,
для всех j; Uij — весовые коэффициенты, отвечающие положительному
отклонению для цели г с приписанным ей приоритетом j; Vij —весовые
коэффициенты, отвечающие отрицательному отклонению для цели г с приписанным ей
приоритетом j; df—положительное отклонение от назначенного уровня г-й
цели; dj — отрицательное отклонение от назначенного уровня г-й цели; fc —
некоторая функция в целевых ограничениях; bj — назначенный уровень,
соответствующий г-й цели; I — число приоритетов; т — число целевых
ограничений; р— число реальных ограничений.
Теорема 14.1. Примем, что для каждой реализации £ функции f(x,£)
являются выпуклыми gj(x,£), j = 1,2,...,р, по х. Тогда (14-1) представляет
собой задачу выпуклого программирования.
Доказательство: Для каждой реализации £, в силу того, что функция
f(x,£) является выпуклой по х, имеем, что
f(XXl + (1 - А)х2,0 ^ А/(»,, О + (1 - А)/(Х2,0
для любых заданных решений Х\,Х2 и скалярного параметра А € [0,1]. Из
определения оператора ожидаемого значения следует
E[f(\Xl + (1 - А)яв2,0] ^ АЯ[/(х,,0] + (I - \)E[f(x2,t)],
что доказывает выпуклость целевой функции E\f{x, f)] по х.
Докажем выпуклость допустимого множества проверкой того, что Хх\ +
(1 — А)ж2 является допустимым для любых допустимых решений Х\ и ж2 при
1,2,...,т,
= 1,2,...,р,
1,2,...,т,
(14.3)
14.1. Модели ожидаемого значения 265
ограничениях E[gj(x, f)] ^ 0, j = 1,2,... ,р, и для любого скалярного А € [0,1].
В силу выпуклости функций gj(x,f), j = l,2,...,p, имеет место соотношение
gj(Xxi +(1-А)аг2,0 < \gj(xu£) + (1 - А)&(ж2,С), j = l,2,...,p,
из которого вытекает, что
E[9j(\Xl + (1 - А)ав2,0] < А£?[д,-(яв,,0] + (1 - А)£?^(яв2,С)] < 0
для j = 1,2,... ,р. Следовательно, Хх\ + (1 — А)ас2 является допустимым.
Таким образом, допустимое множество является выпуклым. Итак, доказано, что
модель (14.1) является моделью выпуклого программирования.
Теорема 14.2. Неточная EVM-модель с линейными функциями
max E J2([ai,h], [a,di])xi
при ограничениях:
п
"jilt LCJ»)
dji])Xi
Xi^O, i = 1,2,.. .,n
< E[([aj0, bj0], [cjo, dj0])], j = 1,2,... ,p,
эквивалентна следующей задаче обычного линейного программирования:
1 "
max - ]^(ai + h + ct + di)Xi
i=l
при ограничениях:
n
Y^,(a-ji + bji + Cji + dji)Xi < <2j0 + bj0 + Cjo + dj0, j = 1,2,... ,p,
Xi^O, i = 1,2,.. .,n.
Доказательство: Из неотрицательности Zj (г = 1,2,..., n) и линейности
оператора ожидаемого значения следует, что
Е
^2([ai,bi],[ci,di])Xi
i=i
1 "
= - ]Р(а* + bi+ci + di)xi,
i=l
E
Y2([a3^b3i\'[cji^dji])xi
i=l
1 "
i=l
для j = 1,2,... ,p. Таким образом, условия данной теоремы удовлетворяются.
Теорема 14.3. Интервальная EVM-модель с линейными функциями
^Z[ai,bi]xi
i=l
max E
при ограничениях.
Е
7 j l^jii Vjil^i
i=l
^E[aj0,bj0], j = l,2,...,p,
(14.4)
Xi^O, i — 1,2,. ..,n
266 Глава 14. Неточное программирование
эквивалентна следующей модели обычного линейного программирования-
max - 22(а* + bi)%i
i=l
при ограничениях:
п
J2(а-а + bji)xi ^ ajo + bj0, j = 1,2,... ,p,
Xj ^ 0, г = 1,2,..., n.
(14.5)
14.2. Максимаксное программирование
с ограничениями на шансы
Поскольку значениями функций-ограничений gj(x,f), j = 1,2, ...,р,
являются неточные величины, система неравенств gj(x,£) ^ 0,j = 1,2,...,р, не
порождает детерминированного допустимого множества. Естественной идеей
будет задать доверительный уровень а, показывающий желательную степень
удовлетворенности неточным ограничениям. Мы приходим, таким образом, к
шансовому ограничению вида:
Тг {#(*,€) ^ 0J = 1,2,... ,р} > а.
(14.6)
Чтобы максимизировать /3-оптимистическое значение дохода с учетом шан-
совых ограничений, можно построить следующую неточную ССР-модель:
max/
при ограничениях:
Tr{f(x,Z)>J}>(3,
Tr{gj(x,£)^0,j = l,2,...,p}>a,
(14.7)
где а и /3 — предопределенные заранее доверительные уровни, max/ есть /3-
оптимистическое значение неточной функции дохода f(x,£).
Если в решаемой задаче несколько показателей (критериев), то получаем
задачу многокритериального программирования с шансовыми ограничениями:
' maxC/Wa,...,/™]
при ограничениях:
1ЧЛ(а:,0^7Л^А, « = 1,2 m,
Тг{#(яв,О<0}>а,-, i = l,2,...,p,
(14.8)
где aj,j = 1,2,...,р; Pi,г = 1,2,..., т, —доверительные уровни.
Можно также сформулировать для неточной системы принятия решений
задачу миниминного целевого программирования с шансовыми
ограничениями, следуя структуре приоритетов и целевым уровням, установленным лицом,
14.3. Минимаксное программирование с ограничениями на шансы 267
принимающим решение:
I m
min £ Pj Y,(uijdt + Vijdt)
j'=l i=l
при ограничениях:
Ъ{Ых,£)-Ь<^4}>Р+, г = 1,2,..
1V{b*-/i(aJ,C)<rfr}>iar, г = 1,2,..
^{s>,{K0}^aj, j = l,2,..
d?,dr^0, г = 1,2,..
,m,
,m,
■,P,
,m,
(14.9)
где Pj — коэффициент преимущественного приоритета, который выражает
относительную важность различных целей, Pj 3> Pj+i, для всех j; и^ — весовые
коэффициенты, соответствующие положительному отклонению для цели i с
присвоенным ей приоритетом j; Уц — весовые коэффициенты,
соответствующие отрицательному отклонению для цели i с присвоенным ей приоритетом j;
df представляет собой /^"-оптимистическое положительное отклонение от
назначенного уровня г-й цели; d^ представляет собой /^"-оптимистическое
отрицательное отклонение от назначенного уровня г-й цели; /^ — некоторая
функция в целевых ограничениях; gj — некоторая функция в реальных
ограничениях; bi — назначенный уровень, отвечающий г-й цели; I — число приоритетов;
т — число целевых ограничений; р—число действительных ограничений.
Теорема 14.4. Интервальная ССР-модель с линейными функциями
max /
при ограничениях:
TrJEfoA]^/}^, (1410)
TrS T, \aju bjilxi < 0 [ $г atj, j = 1,2,... ,р,
Xi ^ 0, г = 1,2,...,п,
эквивалентна обычной модели линейного программирования вида:
max Y,Wai + (1 -P)bi)xi
i=l
при ограничениях:
п
£ (С1 - aj)<4i + ajbji)xi < 0, j = 1,2,.
Xi ^ 0, г = 1,2,.. .,п.
(14.11)
14.3. Минимаксное программирование
с ограничениями на шансы
В противоположность оптимистическим моделям, есть также ряд
минимаксных ССР-моделей, основная идея которых состоит в выборе альтернативы с
268 Глава 14. Неточное программирование
наилучшим /3-пессимистическим значением. Минимаксная ССР-модель в од-
нокритериальной постановке может быть записана следующим образом:
max min /
х j
при ограничениях:
Tr{f(x,Z)^J}Zl3,
где min/ есть /3-пессимистическое значение функции дохода f(x,£).
Для многокритериального случая можно записать следующую
минимаксную ССР-модель:
(14.12)
max
х
mm/1,mm/2,...,min/T7
. /i /2 /m
(14.13)
при ограничениях:
Tr{fi(x,0^7i}>(3i, i = l,2,...,m,
Tr{gj(,x^)^0}^aj, j = 1,2,...,p.
Согласно структуре приоритетов и целевым уровням, установленным
лицом, принимающим решение, минимаксная модель целевого
программирования с шансовыми ограничениями запишется следующим образом:
гшп £ Pj £
(14.14)
Uij ( maxdt V О I + vi3- (maxdj V 0 )
при ограничениях:
Тт{Мх,£)-Ь^4}>13?, i = l,2,...,m,
TV{bi - Л(яв,О X"} > ^Г. » = 1,2,...,го,
Тг{9](х,£)^0}>а3, j = l,2,...,p,
где df\/0 представляет собой /З^1"-пессимистическое положительное отклонение
от назначенного уровня г-й цели, определяемое как
max {d V 0 | TV {h(x, Z)-bi>Q>ft}, (14-15)
d~ V 0 представляет собой /3~ -пессимистическое отрицательное отклонение от
назначенного уровня г-й цели, определяемое как
max{d V 0 | TV {6* - ft{x,£)>d}>(3-}. (14.16)
Теорема 14.5. Интервальная минимаксная ССР-модель с линейными
функциями
max min/
при ограничениях:
TvjgfeAte^/j^,
(14.17)
Тт j Ё [°Я. M^i ^ ° | >a3i j = 1, 2, . . . ,р ,
^ ^ О, г" = 1,2,.
14.4. Событийное программирование 269
(14.18)
эквивалентна обычной задаче линейного программирования вида:
max 5^((1 - /3)ъ + (3bijXi
i=l
при ограничениях:
п
£((1 -a^dji + ctjbjijXi ^0, j = l,2,...,p,
Xi ^ 0, i = 1,2,...,n.
14.4. Событийное программирование
Неопределенная среда, событие и функция шансов событий — ключевые
элементы при построении неточных DCP-моделей.
Определение 14.1. Под неопределенной средой (в данном случае — неточной
средой) будем понимать неточные ограничения, представляемые в
следующем виде:
&(ж,£К0, j = l,2,...,p, (14.19)
где х — вектор решений, а £ — неточный вектор.
Определение 14.2. Под событием будем понимать систему неточных
неравенств вида
hk(x,£)^0, fc = l,2,...,9, (14.20)
где х — вектор решений, а £ — неточный вектор.
Определение 14.3. Функция шансов некоторого события £,
характеризуемого соотношением (14-20), определяется как мера доверия для данного
события £, т. е.
f(x) = Tt{hk(x, С) < 0, к = 1,2,..., q} (14.21)
с учетом неопределенной среды (14-19).
Для каждого решения х и реализации f про некоторое событие £ говорят
что оно согласовано со средой с неопределенностью, если выполняются
следующие два условия: (i) hk(x,£) < 0, к = 1,2, ...,q; и (ii) gj(x,£) < 0, j € J.
где J —множество индексов всех зависимых ограничений. Чтобы вычислить
функцию шансов нечеткого события, потребуется следующий принцип
неопределенности.
Принцип неопределенности: Шансы некоторого неточного события —
это доверие к тому, что событие согласовано с неопределенной средой.
Примем, что имеются т событий £$, характеризуемых соотношениям*
Ык(я,£) ^ 0,к = 1,2,...,Qj для i = 1,2,...,m в неопределенной сред«
9j(xt£) ^ 0) J' = 1j 2, ■ •. ,р- Из принципа неопределенности следует, что
функция шансов г-го события £i в заданной неопределенной среде определяете?
как
я-'-Ч^ж;-2 *}• (14-22
л iv 1 лава 14. Неточное программирование
где Ji определяется через
Ji = {j e {1,2,... ,р} | gj(x,£) ^ 0 — зависимое ограничение события £,}
для i = 1,2,..., т.
Для того чтобы найти решение с максимальной степенью доверия
относительно наступления требуемого события, можно воспользоваться следующей
DCP-моделью:
maxTr {hk(x, £) ^ 0, к = 1,2,..., q}
при ограничениях: (14.23)
ffiC^.O^O, j = l,2,...,p,
где х — вектор решений, f — некоторый неточный вектор, событие £
характеризуется соотношением hk(x,£) ^ 0, к = 1,2, , д, а неопределенная среда
описывается неточными ограничениями gj(x, f) ^ 0, j = 1,2,... ,р.
Поскольку сложная система принятия решений обычно работает с целой
совокупностью задач, вне всякого сомнения существует множество
потенциально возможных целевых функций. Типичная формулировка
многокритериальной DCP-задачи в неопределенной среде может быть записана следующим
образом:
TV{/nfc(aJ>O<0,fc = l,2,...,9i}
TV{ft2fc(aj,4K0,fc = l,2,...,fc}
max
Тг{Нтк(х,£)^0,к = 1,2,...,дт}
(14.24)
при ограничениях:
9j(x,£)^0, j = l,2,...,p,
где Ык(х, f) ^ 0, к = 1,2,..., qi} представляют события £j для i = 1,2,..., m,
соответственно.
Для неточной системы принятия решений можно также сформулировать
задачу целевого событийного программирования согласно структуре
приоритетов и целевым уровням, установленным лицом, принимающим решение,:
min £ pjJL(uiJdt + vHdi )
j=l i=l
при ограничениях:
4*iuu.*.0}+<r-tf-''-«-'-*--'»-
(14.25)
9j(x,0 <0, j = l,2,...,p,
df,d~ ^0, i = l,2,...,m,
где /j- — коэффициент преимущественного приоритета, который выражает
относительную важность различных целей, Р, 3> Pj+i, для всех j; щ^—
весовой коэффициент, отвечающий положительному отклонению для цели г с
присвоенным ей приоритетом j; Vij — весовой коэффициент, отвечающий
отрицательному отклонению для цели i с присвоенным ей приоритетом j; df —
14.5. Гибридный алгоритм 271
положительное отклонение от назначенного уровня г-й цели; d~ —
отрицательное отклонение от назначенного уровня г-й цели; д^ — функция в системных
ограничениях; 6, — назначенный уровень, отвечающий г-й цели; I — число
приоритетов; т — число целевых ограничений; р — число системных ограничений.
14.5. Гибридный алгоритм
В данном разделе объединим неточное имитационное моделирование,
нейронные сети и генетический алгоритм в гибридный алгоритм, позволяющий
решать задачи общего вида с использованием неточных DCP-моделей.
Алгоритм 14.1. Гибридный алгоритм
Шаг 1. Сформировать обучающий набор вход-выходных пар для
неопределенных функций вида
Ui:x-^E[f(x,t)},
U2 : х -^ Tr{/j(x,0 «S 0, J = 1,2,... ,р},
Щ : х -^ max {/|Tr {/(*,£) > /} S* /9}
с использованием неточного имитационного моделирования.
Шаг 2. Обучить на полученном наборе нейронную сеть, которая
аппроксимирует указанные неопределенные функции.
Шаг 3. Инициализировать pop_size хромосом для генетического алгоритма,
допустимость которых может быть проверена с помощью полученной
нейронной сети.
Шаг 4. Модифицировать хромосомы с помощью операций кроссинговера и
мутации. При этом допустимость получаемых потомков может быть
проверена с помощью полученной нейронной сети.
Шаг 5. Вычислить значения целевой функции для всех хромосом, используя
обученную нейросеть.
Шаг 6. Найти значение приспособленности для каждой хромосомы,
основываясь на значениях целевой функции.
Шаг 7. Произвести селекцию хромосом, используя случайный выбор.
Шаг 8. Повторить шаги с четвертого по седьмой заданное число раз.
Шаг 9. Выдать наилучшую из хромосом в качестве оптимального решения.
Рассмотрим ниже несколько численных примеров, выполненных на
персональном компьютере, в которых были использованы следующие значения
параметров: размер популяции равнялся 30, вероятность кроссинговера Рс
составляла 0.3, вероятность мутации Рт была принята равной 0.2, а параметр а
в функции оценки, основанной на ранжировании, был принят равным 0.05.
272 Глава 14. Неточное программирование
Пример 14.1. Рассмотрим следующую неточную EVM-модель:
max E[y/xT+€i + у/х2 + & + у/хз + £з]
при ограничениях:
xi,x2,x3 ^0,
где неточные величины определяются соотношениями:
6 =([1,2], [0,3]), £, = ([2,3], [1,4]), £з = ([3,4],[2,5]),
Ш =([0,1], [0,3]), 7?2 = ([1,2,],[0,3]), 77з = ([2,3], [0,3]). { ' j
Для того, чтобы решить задачу на основе этой модель, сформируем вначале
набор вход-выходных пар для функции, содержащей неопределенность, U :
х —> (Ui(x), £/2(2;)), используя неточное имитационное моделирование. Здесь
Ui{x) = EyXl + 6 + yjxi + 6 + у/хз + &],
С/2(ж) = Е[т)1 y/xl + щх-z + т]3х1].
Затем проведем обучение нейронной сети (3 нейрона во входном слое, 6
нейронов в скрытом слое, 2 нейрона в выходном слое), чтобы аппроксимировать
требуемую неопределенную функцию. После этого обученная нейронная сеть
встраивается в генетический алгоритм, чтобы получить требуемый гибридный
алгоритм.
Запуск этого гибридного алгоритма (5000 циклов процесса имитационного
моделирования, 2000 пар данных для обучения нейронной сети, 3000 поколений
в генетическом алгоритме) приводит к оптимальному решению вида
х* = (96.2644,0.0519,0.3268),
для которого значение целевой функции равняется 13.41.
Пример 14.2. Рассмотрим следующую неточную ССР-модель:
max /
при ограничениях:
Щ v/(*i + Ы(*2 + Ь)(хз + 6) ^ 7} > 0.9,
THv/(zi + 771)2 + (х2 + т)2 + (хз + т)2 < ю} ^ 0.8,
XUX2,X3~Z0,
где неточные величины ^ъ&.&^ъ^г^з определяются соотношениями
(14.26).
Для того чтобы решить задачу с использованием этой модели,
сформируем вначале набор вход-выходных пар для функции, содержащей
неопределенность, U : х —> (Ui(x), U2{xj), используя неточное имитационное
моделирование. Здесь
U^x) = max {/ | ТУ{ ^/(х1+^1)(х2+Ь)Ы + Ь) >Ъ > 0.9} ,
и2(х) = т^Оп + т)2 + (z2 + т)2 + {х3 + т)2 < ю}.
14.5. Гибридный алгоритм 273
Затем проведем обучение нейронной сети (3 нейрона во входном слое, 6
нейронов в скрытом слое, 2 нейрона в выходном слое), чтобы аппроксимировать
требуемую неопределенную функцию. После этого обученная нейронная сеть
встраивается в генетический алгоритм, чтобы получить соответствующий
гибридный алгоритм.
Запуск этого гибридного алгоритма (5000 циклов процесса имитационного
моделирования, 2000 пар данных для обучения нейронной сети, 1000 поколений
в генетическом алгоритме) приводит к оптимальному решению вида
х* = (4.4633,3.8845,3.6567),
для которого значение целевой функции равняется 6.036.
Пример 14.3. Рассмотрим следующую неточную DCP-модель:
lexmin{df, d^, dj }
при ограничениях:
Tri-sfx'i+tf + v'i > 8} + dj" - d+ = 0.95,
Щу/Х2 + й + V'i > 6} + dz - 4 = 0.90,
Щу/4 + i+vi > 5} + dj - d+ = 0.85,
x\ + x\ + x\ < 100,
где неточные величины Сь&^з^ь^г^з определяются соотношениями
(14.26).
Для того чтобы решить задачу, в которой используется эта модель,
сформируем вначале набор вход-выходных пар для неопределенной функции U :
х —> (Ui{x),U2(x),U3(x)), используя неточное имитационное моделирование.
Здесь
U^x) = Ti{^/xJTW+v! > 8},
U2(x) = Тг{у/ЩТ^Тл2^ 6},
U3(x) = TrWxl + ti+4 > 5}.
Затем проведем обучение нейронной сети (3 нейрона во входном слое, 8
нейронов в скрытом слое, 3 нейрона в выходном слое), чтобы аппроксимировать
требуемую неопределенную функцию. После этого обученная нейронная сеть
встраивается в генетический алгоритм, чтобы получить гибридный алгоритм,
решающий данную задачу.
Запуск этого гибридного алгоритма (5000 циклов процесса имитационного
моделирования, 2000 пар данных для обучения нейронной сети, 3000 поколений
в генетическом алгоритме) приводит к оптимальному решению вида
х* = (7.9386,5.5698,2.4378),
для которого значение целевой функции равняется 0.44.
274 Глава 14. Неточное программирование
Пример 14.4. В качестве некоторого побочного продукта рассмотрим
следующую модель интервального нелинейного программирования:
Г max Е [у/(Х1 + б)2 + (а* + б)2 + (а* + 6)2J
< при ограничениях:
( х2 + х\ + х% < 100,
где интервальные числа есть £i = [1,2], £2 = [2,3] и £3 = [3,4]. Чтобы решить
задачу с использованием этой модели, воспользуемся неточным имитационным
моделированием для формирования набора вход-выходных пар данных для
неопределенной функции:
U : х -» Е [y/(xi + б)2 + (а* + Ы2 + (а* + б»)2] ■
Затем проведем обучение нейронной сети (3 нейрона во входном слое, 5
нейронов в скрытом слое, 1 нейрон в выходном слое), чтобы аппроксимировать
требуемую неопределенную функцию. После этого обученная нейронная сеть
встраивается в генетический алгоритм, чтобы получить соответствующий
гибридный алгоритм.
Запуск этого гибридного алгоритма (5000 циклов процесса имитационного
моделирования, 2000 пар данных для обучения нейронной сети, 600 поколений
в генетическом алгоритме) приводит к оптимальному решению вида
х* = (2.1463,6.0494,7.6680),
для которого значение целевой функции равняется 15.32.
Часть V
НЕЧЕТКО-СЛУЧАЙНОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Глава 15
Нечетко-случайные величины
Нечетко-случайные величины представляют собой математическое описание
нечетко-стохастических явлений. Определение их может быть введено
несколькими способами. Впервые понятие нечетко-случайной величины было
предложено в работе (Kwakernaak [142,143]). Затем величины данного вида
изучались рядом исследователей, в частности, в работах (Puri and Ralescu
[242]), (Kruse and Meyer [139]) и (Liu and Liu [187]).
Чтобы иметь возможность ранжировать нечетко-случайные величины, в
работе (Liu and Liu [187]) было дано определение скалярного оператора
ожидаемого значения и нескольких разновидностей закона больших чисел для
нечетко-случайных величин. В (Liu [178] [179]) предложено понятие
элементарной меры шансов (primitive chance measure) нечетко-случайного события. Еще
ряд вариантов элементарных мер шансов предложен в (Gao and Liu [76]).
Рассмотрение методов нечетко-случайного имитационного моделирования было
начато в статьях (Liu [178,179]). Этот подход к моделированию
рассматривался как средство для изучения нечетко-случайных систем, играющих важную
роль в решении задач с использованием моделей нечетко-случайного
программирования.
Основное внимание в данной главе будет уделено таким понятиям, как
нечетко-случайная величина, нечетко-случайная арифметика, оператор
ожидаемого значения, меры шансов нечетко-случайного события и нечетко-
случайное имитационное моделирование.
15.1. Нечетко-случайные величины
Упрощенно говоря, нечетко-случайная величина представляет собой
измеримую функцию из вероятностного пространства в некоторый набор нечетких
величин. Другими словами, нечетко-случайная величина есть случайная
величина, которая принимает нечеткие значения.
Пусть 3"—некоторый набор нечетких величин, определенных на возмож-
ностном пространстве (0,5'(0),Pos). Для наших целей будем использовать
следующее определение нечетко-случайной величины.
Определение 15.1. (Liu and Liu [187]) Пусть (£l,A,Pr)—некоторое
вероятностное пространство. Нечетко-случайная величина представляет собой
276 Глава 15. Нечетко-случайные величины
функцию £ : £1 —» 3" такую, что для любого борелевского множества В из 5R,
Г(В)М = Р«{£Мев} (15.1)
является измеримой функцией от и>.
Замечание 15.1. Говоря несколько упрощенно, если £1 включает в себя
единственный элемент, тогда нечетко-случайная величина вырождается в нечеткую
величину. Если 3"—набор вещественных чисел (вместо нечетких величин),
тогда нечетко-случайная величина вырождается в случайную величину.
Замечание 15.2. Если нечетко-случайная величина вырождается в
случайную величину, тогда выражение (15.1) становится характеристической
функцией случайного события {и> £ fi|£(u>) £ В} для любого борелевского
множества В из 5R.
Замечание 15.3. Поскольку 3" представляет собой набор нечетких величин,
определенных на возможностном пространстве (Э, З'(в), Pos), для каждого и £
£1, £(ш) есть нормализованная нечеткая величина.
Пример 15.1. Пусть А\,А2,... ,Ат —элементы из A, aui,u2,- ■ ■ ,ит —
нечеткие величины в 3". Тогда функция
ui, если ui £ А\,
,, ч и2, если и £ А2,
£(wj = <
ит, если w £ Ат,
будет, очевидно, нечетко-случайной величиной.
Пример 15.2. Если tj— случайная величина, определенная на вероятностном
пространстве (£1,А, Рг), а и —нечеткая величина, то £ = Т] + и представляет
собой нечетко-случайную величину, определяемую как
£(w) = r)(w) +u Vw £ £1.
Аналогичным образом, £ = т]и, определяемая в виде
£(ш) = г){ш)и Уш £ £1,
также будет нечетко-случайной величиной.
Пример 15.3. В работе (Negoita and Ralescu [227]) приведен следующий
пример нечетко-случайной величины. Предположим, что подбрасывается монета.
Если вьшадет реверс («решка», обратная сторона монеты), то игрок теряет
примерно $10, что обозначим следующим образом:
Ф) =
1-
(х +10)
21
V0;
15.2. Нечетко-случайная арифметика 277
если же выпадет аверс («орел», лицевая сторона монеты), тогда игрок
получает сумму намного больше $100, но не намного больше, чем $1000; будем
обозначать это как
{х - 630)2'
v{x) =
1-
V0.
3802
Тогда прибыль этого игрока представляет собой нечетко-случайную величину
вида:
Г ц, если ui = реверс,
£М = i
I. v, если ui = аверс.
Отметим, что определить ц(х) и v(x) можно не единственным способом.
Пример 15.4. Еще один пример из работы (Negoita and Ralescu [227]) связан
с измерением глубины некоторого озера в совокупности случайным образом
выбранных мест. Возможными значениями таких измерений могут быть такие:
«глубоко», «очень глубоко», «примерно 6 футов», «между 5 и 6 футами» и т. д.
Определение 15.2. Некоторый n-мерный нечетко-случайный вектор
£ = (£i,£2,- ■ • ,£п) представляет собой п-ку нечетко-случайных величин
15.2. Нечетко-случайная арифметика
Пусть £i и £2 — две нечетко-случайные величины, определенные на
вероятностных пространствах (fii,.Ai,Pri) и (Г^-Аг.Ргг)) соответственно. Тогда
£ = £i +£2 — нечетко-случайная величина на произведении вероятностных
пространств (Qi х ^2,-^1 х Лг,Рг1 х Ргг), определяемая следующим образом:
£(wi,w2) = 6(<*>i) +6(u>2) V(wi,w2) eflix fl2.
Пусть /: 5R х 5R —»5R — бинарный оператор над действительными числами.
Расширим его так, чтобы он был определен над нечетко-случайными
величинами. В сущности, £ = /(£i, £2) — это нечетко-случайная величина на
произведении вероятностных пространств (fii x fi2,-^i x -^2,Pri x Ргг), определяемая
как
£(W1,W2) = /(6(^1),6(^2)) V(W1,U2) £ fil X Q.2-
В более общем случае имеем следующее определение операций над нечетко-
случайными величинами.
Определение 15.3. Пусть /: 5R" —» 5R — непрерывная функция, а & —
нечетко-случайные величины, определенные на пространствах (П$,Л*,Рг^),
г = 1,2,..., п, соответственно. Тогда £ = /(£ъ &) •. •, £п) представляет собой
нечетко-случайную величину, определенную на произведении пространств
(ill х Я2 х ■ • •х On, А\ х Л2 х ... х АП1 Pri х Ргг х ... х Ргп) следующим образом:
£(и>1,ыг, ...,и>п) = /(&(wi),6(w2), • ■ .,{n(wn)) (15.2)
для всех (uii,ui2, - - - ,u>„) е Qi х £12 х ... х £1п.
278 Глава 15. Нечетко-случайные величины
Читатель может поинтересоваться, будет ли величина £(u>i,u>2,...,шп)
определяемая выражением (15.2), нечетко-случайной. Ответ на этот вопрос
будет положительным. Имеем место следующая теорема.
Теорема 15.1. (Liu and Liu [187]) Пусть £ = (£i,&2, ■ • • ,£n) — нечетко-
случайный вектор, а /: 5R" —» 5R — некоторая непрерывная функция. Тогда
/(£) является нечетко-случайной величиной.
Доказательство: Из непрерывности / следует, что /_1(Б) —борелевское
множество в 3?" для любого борелевского множества Б в 5R. Таким образом,
для каждого и> £ О. имеем, что
Д£Г(Б)М = Pos{/(£M) еВ}= Pos{£H е Г\В)} = Г {Г\В)) М,
откуда следует, что /(£)*(Б)(ш) является измеримой функцией от ш. То есть,
/(£) представляет собой нечетко-случайную величину. Теорема доказана.
Пример 15.5. Рассмотрим следующие две нечетко-случайные величины, для
которых значения «трапецоидальной нечеткой величины» принимаются в виде
f (аь яг, fl3i cii) с вероятностью 0.3,
_ Г (ai,a2,fl3
64) с вероятностью 0.7,
Г (ci,C2,C3,C4) с вероятностью 0.6,
{ (е?1,е?2,е?з,е?4) с вероятностью 0.4,
тогда сумма для этих двух величин будет иметь вид:
6+6 = <
(а\ + с\, а,2 + С2,аз + сз,см + с^) с вероятностью 0.18,
(ai + di, a-i 4- ^2, «з + d,3i 04 + 0*4) с вероятностью 0.12,
(6i + ci,62 + С2,63 + С3,64 + Ci) с вероятностью 0.42,
_ (6i + di,62 + tfei 63 + d3,64 + 04) с вероятностью 0.28.
Пример 15.6. Пусть ц — функция принадлежности положительной
нечеткой величины, а А — ненулевое четкое (crisp) число. Тогда А-я степень данной
нечеткой величины также будет нечеткой величиной, степень принадлежности
которой определяется выражением:
\, n Г v(xT)< если х > 0,
(О в других случаях.
Если £ — нечетко-случайная величина, определяемая соотношениями
Hi с вероятностью 0.2,
£ = \ № с вероятностью 0.3,
Из с вероятностью 0.5,
15.3. Свойства измеримости 279
то А-я степень величины £ имеет вид
Hi с вероятностью 0.2,
£ = < Ц2 с вероятностью 0.3,
Из с вероятностью 0.5,
при условии, что Ц\,Ц2 и цз —положительные нечеткие величины.
15.3. Свойства измеримости
В этом разделе введем ряд полезных теорем, относящихся к измеримости
нечетко-случайных величин.
Теорема 15.2. (Liu and Liu [187]) Предположим, что £—нечетко-
случайный вектор, a gj — вещественнозначные непрерывные функции для
j = 1,2,... ,р. Имеем тогда, что
(г) значение возможности Pos {<7j(£(w)) ^ 0, j = 1,2,... ,р} является
случайной величиной;
(И) значение необходимости Nec{<7j(£(u>)) ^ 0,j — 1,2,. ..,р} является
случайной величиной;
(Ш) значение правдоподобия Cr {gj(£(tj)) ^ 0, j = 1,2,... ,р} является
случайной величиной.
Доказательство: Запишем Aj ={t£ 5ftm|<7j(i) ^ 0} для j = 1,2,...,р.
Поскольку gj — вещественнозначные непрерывные функции, то Aj —борелевские
подмножества для множества 5Rm, j = 1,2,... ,р. Из определения возможности
следует, что
Pos
{да * Я=р«{«"» ^ п ^}=«• (qa>) и
является измеримой функцией от и>. Таким образом,
Pos {fc-«(w))< 0,j = 1,2,... ,р}
является случайной величиной. Аналогичным образом могут быть доказаны
утверждения (ii) и (ш) из формулировки рассматриваемой теоремы.
Следствие 15.1. Если £ — нечетко-случайная величина, то для каждого г £
5R имеем, что
(г) возможность Pos{£(w) ^ г} является случайной величиной;
(И) необходимость Nec{£(cj) ^ г} является случайной величиной;
(Ш) правдоподобие Cr{£(tj) ^ г} является случайной величиной.
Теорема 15.3. (Liu and Liu [187]) Пусть £ — нечетко-случайная величина.
Тогда ожидаемое значение Е[£(ш)] для этой величины является случайной
величиной.
280 Глава 15. Нечетко-случайные величины
Доказательство: Для доказательства того, что ожидаемое значение £?[£(и>)]
является случайной величиной, необходимо только показать, что £^[^(ш)] —
измеримая функция от ш. Очевидно, что
E[£{w)] = / Cr{£H > r}dr - / Cr{£M ^ r}dr =
JO J—oo
= lim
j'-»oo/
Поскольку Cr {£(w) ^ lj/k} и Cr {£(u>) ^ —lj/k} все являются измеримыми
функциями для любых целых значений j,kul, ожидаемое значение £?[£(и>)]
является измеримой функцией от и>. Доказательство рассматриваемой теоремы
завершено.
Следствие 15.2. Пусть £— нечетко-случайный вектор, a f — веществен-
нозначная непрерывная функция. Тогда рассматриваемое ожидаемое
значение E[f(£(cv))] представляет собой случайную величину.
15.4. Оператор ожидаемого значения
Было дано несколько определений ожидаемого значения нечетко-случайных
величин как некоторого нечеткого числа. Введем скалярный оператор
ожидаемого значения для нечетко-случайных величин.
Определение 15.4. (Liu and Liu [187]) Пусть £ — нечетко-случайная
величина, определенная на вероятностном пространстве (И, А, Рг). Тогда ее
ожидаемое значение определяется соотношением вида:
/•оо /-0
Е[(\ = / Рг {ш G П | E[£(w)] >r}dr- Рг {и £ П | E[£(w)] ^ r} dr.
JO J—oo
Замечание 15.4. Читателя может заинтересовать вопрос: почему оператор
ожидаемого значения Е появляется в обеих частях (левой и правой)
приведенных определений Е[£]. Фактически здесь символ Е употребляется в
различных значениях — используется его переопределение (перегрузка)х. То есть
перегрузка дает возможность использовать один и тот же символ Е для
различных операторов ожидаемых значений, поскольку о его значении можно
судить по типу аргумента.
1 Такое использование символа Е аналогично перегрузке функций в объектно-
ориентированном программировании. Она представляет собой возможность выбора
компилятором различных реализаций одной и той же функции в зависимости от типов ее
параметров в вызове функции, т. е. в зависимости от контекста, в котором употребляется
рассматриваемая функция. — Прим. ред.
15.5. Элементарная мера шансов 281
Замечание 15.5. Если нечетко-случайная величина вырождается в
случайную величину, тогда оператор ожидаемого значения вырождается в такой
вариант:
ГОО гО
Е[£] = / Рг(£ > r}dr - / Pr{£ ^ r}dr,
JO J-oo
что представляет собой в точности обычное среднее ожидаемое значение
(математическое ожидание) случайной величины.
Замечание 15.6. Если нечетко-случайная величина вырождается в нечеткую
величину, тогда оператор ожидаемого значения принимает следующий вид:
Ш = / Cr{£ > r}dr - / Cr{£ ^ r}dr,
JO J-oo
что представляет собой в точности обычное среднее ожидаемое значение
нечеткой величины.
Пример 15.7. Предположим, что £ — нечетко-случайная величина,
определяемая как
С = (р, р + 1, р + 2) при р ~ JV(0,1).
Тогда для каждого w e SI имеем, что £?[£(и>)] = \[р(ь})+2(р(и)+1)+(р(и))+2)] =
р(и) + 1. Таким образом, Е[£\ = Е[р] + 1 = 1.
Теорема 15.4. (Liu and Liu [189]) Предположим, что £ и г) — нечетко-
случайные величины с конечными ожидаемыми значениями. Тогда для любых
действительных чисел а и b имеем, что
Е[а£ + Ьт]} = аЕ[£] + ЪЕЩ. (15.3)
Доказательство: Для любого шеЯ,в силу линейности оператора
ожидаемого значения нечеткой величины, имеем, что Е[а£(ш) + Ьг)(ш)] = аЕ[£(ш)] +
ЬЕ[т](ш)]. Отсюда следует, что
Ща£ + brj\=E [аЕ[£(и)] + ЬЕ[г){и)]] =
= aE[E[£(W)]]+bE[E[V{u)]] =
= аЕ[£] + ЬЕ[г]].
Теорема доказана.
Определение 15.5. (Liu and Liu [187]) Пусть £ — нечетко-случайная
величина с конечным ожидаемым значением Е[£]. Рассеяние для £ определяется
ко* VK] =£[(£-ЯН)2].
15.5. Элементарная мера шансов
Рассмотрим шансы нечетко-случайного события. Напомним, что значения
вероятности случайного события и возможности нечеткого события
определяются как действительные числа. Однако для нечетко-случайного события
понятие элементарных шансов определяется не как число, а в функциональном
виде.
282 Глава 15. Нечетко-случайные величины
Определение 15.6. (Ыи [178]) Пусть £ = (£ъ£2, • • • ,£n) — нечетко-
случайный вектор на вероятностном пространстве (П,А, Рг), a fy. 5ft™ —»
5ft — непрерывные функции, j = 1,2, ...,т. Тогда элементарные шансы
нечетко-случайного события, характеризуемого соотношением fj{£) ^ 0, j =
1,2,..., т, представляет собой функцию из [О,1] в [О,1], определяемую
следующим образом:
Cb{f^()4 0,j = l,2 m)(o) =
= sup{„ | Рг{ш е U | Pes{ . ««£»«} >/»}>■}. <164)
Замечание 15.7. Элементарные шансы показывают, что нечетко-случайное
событие наступает с возможностью Ch {fj(£) ^ 0, j = 1,2,..., m} (а) при
вероятности а.
Замечание 15.8. Очевидно, что Ch {/j(£) ^ 0, j = 1,2,..., m} (а)
—убывающая функция от а (см. рис. 15.1).
Возможность
Вероятность
Рис. 15.1. График элементарных шансов Ch{fj(£) ^ 0, j = 1,2,... ,т}(а)
Замечание 15.9. Если нечетко-случайный вектор £ становится случайным
вектором, тогда шансы Ch{/j(£) ^ 0, j — 1,2,...,т} (а) принимают значения
О или 1. То есть имеет место соотношение:
Ch{/,-(O^O,j = l,2,...,m}0
■>-{;■
1, Pr{/J-(O<0>j = l,...,m}^ttl
в других случаях.
Замечание 15.10. Если нечетко-случайный вектор £ становится нечетким
вектором, тогда шансы Ch {fj(£) ^ 0, j = 1,2,..., т} (а) (при а > 0) в точно-
15.6. Разновидности меры шансов 283
[ равняются возможности рассматриваемого события. То есть имеет место
•тношение:
Cb{fj(£) £0,j = l,2,...,m}(a) = PaB{fj(i) ^0,j = 1,2 m}.
.6. Разновидности меры шансов
дополнение к понятию элементарной меры шансов, определенному в преды-
щем разделе, дадим несколько различных определений шансов нечетко-
^чайного события.
феделение 15.7. (Gao and Liu [76]) Пусть £ = (£ь£2, • • • ,£п) — нечетко-
Ччайный вектор на вероятностном пространстве (£1,Л, Pr), a fj : 3?" —»
— непрерывные функции, j = 1,2, ...,т. В дополнение к определению 15.6,
торое характеризует элементарные шансы нечетко-случайного события
средством fj{£) ^ 0, j = 1,2,..., т, можно также определить следующие
нкции из [О,1] е [0,1]:
СЬГШ£К0,7 = 1,2,...,т}(а) =
= sup {/? | Рг |ы е П | Nee {,. £«И) ^ J > ^ J ^ Q J .
Ch^up {/,-(€) ^ 0, j = 1,2,..., m} (a) =
= зир{,|РГ{.е,|СГ{.^И)^}^}^};
Ch£f {fj{£)£ 0,3 = 1,2,...,m}(«) =
- Ы {/.I P, {И,П| ft. {,*«(^»«} </,}><»};
Chftf {/,-(€) < 0, j = 1,2,..., m} (a) =
= Inf{^|Pr{wen|Nec{^f^}^}^}5
C^f{/>(O<0>j = l>2,...lm}(tt) =
^nf^lP^.^lc^.^n)^}^}^}.
(15.5)
(15.6)
(15.7)
(15.8)
(15.9)
юрема 15.5. (Gao and Liu [76]) Пусть £ = (£i,£2,- ■ • >£n) ~ нечетко-
учайный вектор на вероятностном пространстве (£1,Л,Рг), a fj : 5R" —»
— непрерывные функции, j = 1,2,..., т. Тогда элементарные шансы:
) Ch^p {/j(£) ^ 0, j = 1,2,...,т} (а) — убывающая функция;
\) Ch^p {/j(£) ^ 0, j = 1,2,..., т} (а) — убывающая функция;
li) Ch^p {/j(£) ^ 0, j = 1,2,..., т} (а) — убывающая функция;
и) Chp {fj(€) ^ 0, j = 1,2,...,т} (а) — возрастающая функция;
) Ch£l {/j(£) ^ 0, j = 1, 2,..., т}(а) — возрастающая функция;
i Ch$ {/,(£) ^ 0,j = 1,2,...,т} (а) — возрастающая функция.
284 Глава 15. Нечетко-случайные величины
Доказательство: Докажем здесь только часть (i) этой теоремы. Для любых
данных а\ и а? с 0 < ос\ < а? ^ 1 очевидно, что условие
{Р | Рт{ш G П | Рсв{£(£М) ^ 0, j = 1,2,...,m} ^ 0} > а2} С
С {р | Pr {w G П | Pos {/,-(£((*>)) < 0, j = 1,2,..., го} > /9} ^ ai}
удовлетворяется. Отсюда следует, что
ChsPup {/,-(*) ^ 0, j = 1,2,... ,m} (ai) =
= sup {/9 | Pr {w е П | Pos {/,(£((*>)) ^ 0, j = 1,2,...,ro} > P} > ai} ^
^ sup {/9 | Pr {w e fi | Pce{/,(£(w)) ^ 0,j = 1,2,... ,ro} > /3} > a2} =
= ChsPup {/,-(£) ^ 0, j = 1,2,..., ro} (a2).
Остальные две части рассматриваемой теоремы могут быть доказаны
аналогичным образом.
Теорема 15.6. (Gao and Liu [76]) Пусть £ — (£1,62, • • ■ ,£n) — нечетко-
случайный вектор на вероятностном пространстве (£1,Л, Pr), a fj : 5ftn —->
5ft — непрерывные функции, j = 1,2, ...,го. Для любого заданного а £ (0,1]
имеем, что
ChsPup {/,-(£) < 0, j = 1,2,.... m} (a) >
^СЬ^ирШ£К0,;? = 1,2,...,го}(а)2* (15.10)
^ Chs^p {/,(£) < 0, j = 1,2,..., го} (а)
и
Ch£f Ш£К 0, j = 1,2,..., го} (а) ^
^Ch£f{/J(£K0,j=l,2,...,ro}(a)^ (15.11)
> Ch^f {/,-(£) < 0, j = 1,2,.... го} (а).
Доказательство: Докажем только утверждение (15.10). Для любого
заданного а G (0,1] имеем, что
{/9|Рг{о»еП|Сг{/:,-(€И)<0,7 = 1>2>...,го}^/9}>а}с
С {Р | Рг{ы е П | Poe{/,-(€(w)) £ 0, j = l,2,...,m} >/9} >«}
Отсюда следует, что
ChsPup Ш« < 0, j = 1,2,..., m} (a) =
= sup {p I Pr {w g П I Pos{/,-(€H) < 0,j = 1,2,... ,ro} > /0} > a} >
^ sup {/9 j Pr {w G П j Cr {/,-(£И) ^ 0,j = 1,2,... ,ro} ^ P) > a} =
= Ch£p {Ш < 0, j = 1,2,..., ro} (a).
Неравенство (15.11) может быть доказано аналогичным образом.
15.6. Разновидности меры шансов 285
Теорема 15.7. (Gao and Liu [76]) Пусть £ = (£1,62,■■■ ,£n) — нечетко-
случайный вектор на вероятностном пространстве (Г2,Л, Pr), a fj : SRn —>
Sft — непрерывные функции, j = 1,2,..., т. Для любого данного a £ (0,1]
имеем, что
Ch?B {, . ЙК).7™} <»> + Ch" {i3 6 flif,^} <°> " >• (1512>
«е-{,-й°.:»}<»'+Chb"'{*, < >,«}<°> -L <"•">
Доказательство: Докажем здесь только утверждение (15.14). Из введенного
выше определения следует, что
Ch'cup№(«)< 0,3 = 1,2 т}Ы =
--,{/»|P»{«e0|Or{J««^»_^}B./J}><,} =
=SUP \01 г, {и е о 11 - а {3. е *№» > о j „| „ Q} _
_ - Ь. {l - , | Рг {И 6 П | С, {3 . € « ^} * 1 -0} „ а} =
=l-Ch£f{£(O>0,3je{l,2,...,m}}(a),
что доказывает утверждение (15.14).
Мы ввели 6 видов элементарной меры шансов, определенных через
функции, а не через действительные числа. В ряде случаев, однако,
предпочтительнее иметь меру шансов со скалярными значениями.
Определение 15.8. (Liu [178]) Для любого данного числа а £ (0,1],
определим а-шансы нечетко-случайного события fj(£) ^ 0,j = 1,2, ...,т, как
значение элементарных шансов при а, т. е.,
Ch{/J-(€)<01j = l,2,...,m}(a), (15.15)
где Ch обозначает элементарную меру шансов.
Определение 15.9. (Liu and Liu [190]) Равновесные -шансы нечетко-
случайного события fj(£.) ^ 0, j = 1,2,..., т определяются как
sup {а|СЬ{/,-(0<<и = 1,2,...,т}(а)>а}, (15.16)
где Ch обозначает элементарную меру шансов.
286 Глава 15. Нечетко-случайные величины
Замечание 15.11. Если график элементарных шансов является
непрерывным, тогда равновесные шансы будут представлять собой неподвижную
точку кривой элементарных шансов, т.е. значение а € (0,1] с Ch{/j(£) < 0,
j = l,2,...,m}(a) = a.
Определение 15.10. (Ыи and Liu [193]) Средние шансы нечетко-случайного
события /j(€) ^ 0, j = 1,2,..., т, определяются как
I Ch{/J-(O<01j = l,2,...,m}(a)da, (15.17)
JO
где Ch обозначает элементарную меру шансов.
Замечание 15.12. Средние шансы можно интерпретировать как площадь под
графиком элементарных шансов.
15.7. Оптимистические и пессимистические значения
Пусть £ — нечетко-случайная величина. Чтобы измерить ее, определим два
критических значения: оптимистическое значение и пессимистическое
значение.
Определение 15.11. (Ыи [178]) Пусть £— нечетко-случайная величина и
7,<5€ (0,1]. Тогда
бшР(7,5) = sup (r ICh it> r> (ч) >6) (15Л8)
называется (7,5)-оптимистическим значением для £.
Это означает, что нечетко-случайная величина £ достигнет (7,
^-оптимистического значения £sup(7! <5) с возможностью 6 при вероятности 7-
Определение 15.12. (Ыи [178]) Пусть £— нечетко-случайная величина, а
7,<5€ (0,1]. Тогда
6„f (7. *) = inf {г | Ch {£ < г} (7) > 6} (15.19)
называется (^,6)-пессимистическим значением для £.
Это означает, что нечетко-случайная величина £ будет меньше (7,5)-
пессимистического значения £;nf (7, S) с возможностью 6 при вероятности 7-
Замечание 15.13. Если нечетко-случайная величина £ становится
случайной величиной и 5 > 0, тогда (7, (5)-оптимистическое значение есть £Sup(7) =
sup{r|Pr{£ > г} > 7}> а (7i <5)-пессимистическое значение есть £inf(7) =
inf{r| Pr{£ ^ r} > 7}- Это совпадает со стохастическим случаем.
Замечание 15.14. Если нечетко-случайная величина £ становится
нечетким вектором и 7 > 0, тогда (7, <5)-оптимистическое значение есть £Sup(<5) =
sup{r|Pos{£ ^ r} > 6}, а (7, <5)-пессимистическое значение есть £inf(<5) =
inf{r|Pos{£ ^ г} ^ 5}. Это совпадает с нечетким случаем.
15.8. Ранжирование нечетко-случайных величин 287
Теорема 15.8. (Lu [197]) Пусть £Sup(7> ё) u£inf(7,<5) суть
(^,5)-оптимистическое и {^,ё)-пессимистическое значения нечетко-случайной величины,
соответственно. Имеем тогда, что (i) если^ < 0.5, тогда £jnf (7, ё) < 6шр(7><5)>
(ii) 7 > 0.5, тогда finf (7, ё) + ё* ^ fSUp(7. <5)> г&е
ё* = sup {£(w).up(J) - SHinf (<5)} ,
а £(w)sup(<5) u ^(w)inf (<5) суть 6-оптимистическое и ё-пессимистическое
значения нечеткой величины £(ш) для каждого и>, соответственно.
Доказательство: (i) Предположим, что 7 < 0.5 и fmf(7><5) > £suV{l,e)- Пусть
1(7, ё) = (Cinf(7, <*) + ?suP(7, <5)) /2. Определим
fii = {ш G П | Pos {£(w) > 1(7, <5)} > ё} ,
П2 = {w G П I Pos {£И < 1(7, <5)} > 5} .
Тогда имеем, что f2i U f22 — П, Prlf^} < 7 и Pr{fi2} < 7. Таким образом,
1 = Рт{Щ < Pr{fi!} + Рг{П2} < 7 + 7 < 1-
Полученное противоречие доказывает соотношение £inf(7> ё) ^ £sup(7, <5)-
(ii) Предположим, что 7 > 0.5 и £mf(7><5) + ё* < £SuP(7, ё). Определим
fii = {ш е П | Pos{fH > ^sup(7,<5)} > ё} ,
П2 = {ш G П | Pos{fH < 6„f(7,<5)} > <5} .
Имеем тогда, что f2i П Г22 = 0, Pr{fli} > 7, а Рг{^2} => 7- Таким образом,
1 = Рг{П} > Рг{Пг} + Рг{П2} > 7 + 7 > 1-
Полученное противоречие доказывает соотношение £inf(7i<5) + (5* ^ £sup(7><5)-
Доказательство рассматриваемой теоремы завершено.
15.8. Ранжирование нечетко-случайных величин
Пусть £ и г] — две нечетко-случайных величины. Предлагаются следующие
методы ранжирования для них.
(i) В работе (Liu and Liu [189]) предложено считать, что £ > г), тогда и только
тогда, когда Е[£\ > Е[г]], где Е — оператор ожидаемого значения для
нечетко-случайной величины.
(ii) В работе (Liu [178]) предложено считать, что £ > г), тогда и только тогда,
когда для некоторых предопределенных доверительных уровней 7, ё G
(0,1] имеем, что fSuP(7, ё) > %иР(7, ё), где fSuP(7> <5) и %иР(7, ё) суть (7, ё)-
оптимистические значения для £ и г), соответственно.
288 Глава 15. Нечетко-случайные величины
(iii) В работе (Liu [178]) предложено считать, что £ > т], тогда и только тогда,
когда для некоторых предопределенных доверительных уровней ^,5 €
(0,1] имеем, что &nf(7,<5) > 77^(7, <5), где &nf(7,<5) и Vindl'6) СУТЬ (7.*)-
пессимистические значения для £ и т), соответственно.
(iv) В работе (Liu [179]) предложено считать, что £ > т], тогда и только тогда,
когда Ch{£ > ^}(7) > Ch{7j > r}^) для некоторых предопределенных
уровней г и 7 € (0,1].
15.9. Нечетко-случайное имитационное моделирование
В этом разделе введем метод нечетко-случайного имитационного
моделирования для нахождения критических значений [178], вычисления функций
шансов [179], а также для вычисления ожидаемого значения [189].
Пример 15.8. Предположим, что £ = (£ъ£2, ■ • -i£n) — нечетко-случайный
вектор, a fy. Sft" —> SR — непрерывные функции, j = 1,2,...,m. Для каждого
данного a G (0,1] используем нечетко-случайное имитационное
моделирование, чтобы вычислить а-шансы Ch {/j(£) < 0, j = 1,2,..., m} (a). To есть
необходимо найти супремум /3 такой, что
Рг {«, е П | Pos {,. {if^^) >Л}>«, (15.20)
где и = (wi,w2,... ,w„) и £(w) = (£1(^1)162(^2), ■ ■ • .£п(.шп))- Если £ есть
непрерывный нечетко-случайный вектор, тогда супремум 0 может быть достигнут
в случае выполнения равенства
Pr{.£fi|P„s{.««M)^}^}^. (15.21)
Выберем вначале wi,W2,...,wjv из П в соответствии с вероятностной мерой
Рг и определим
Г 1, WfflPos{/J-(€(w„))<0,i = ll2,...lm}>i5I
Л(^„) = <
I. 0 в других случаях
для п = 1,2,..., JV, что приводит к получению некоторой последовательности
случайных величин (не нечетко-случайных величин!), а E[h(un)] = а для всех
п, при условии, что (3 удовлетворяет соотношению (15.21). Согласно
усиленному закону больших чисел, получаем, что
п=1
N >а п"н-
так как N —> оо. Отметим, что сумма £n=1 ''W есть в точности число
величин и>„, удовлетворяющих условию
Pos{/,-(€(w„)) < 0, j = 1,2,... ,m} > Д
15.9. Нечетко-случайное имитационное моделирование 289
для п = 1,2,...,N. Пусть N' есть целая часть числа aN. Тогда
значение /3 можно взять как N'-тл наибольший элемент в последовательности
{Pi,J32,...,Pn} при
A,=Pos{/j(«w„))<0,j = l,2,...,m}
для п = 1,2,...,N.
Алгоритм 15.1. Нечетко-случайное имитационное моделирование
Шаг 1. Сформировать u»i, u»2, - - -, wn из П согласно вероятностной мере Рг.
Шаг 2. Вычислить возможность Рп = Pos{/j(£(wn) ^ 0,j = 1,2,...,m} для
п = 1,2,..., N, используя нечеткое имитационное моделирование
Шаг 3. Задать значение для N' как целую часть числа aN.
Шаг 4. Выдать полученный N'-й наибольший элемент в наборе
{0i,p2,...,0N}.
Рассмотрим теперь следующие две нечетко-случайных величины:
6 = (Pi.Pi + l,pi +2) npnpi ~ЛГ(0,1),
6 = (Р2, Р2 + 1, Р2 + 2) при р2 ~ ЛА(1,2).
Выполнение 5000 циклов нечетко-случайного имитационного моделирования
показывает, что
Ch{fi + £2 > 2}(0.9) = 0.365.
Пример 15.9. Для некоторых заданных доверительных уровней а и /3
требуется иногда найти максимальное значение / такое, что выполняется следующее
условие:
Ch{/(0>7}(<*)>|9. (15-22)
То есть необходимо вычислить максимальное значение / такое, что
удовлетворяется условие
Рг {и € Q | Pos {/(€И) >1}>/3}^а. (15.23)
Если £ — непрерывный нечетко-случайный вектор, тогда максимальное
значение / должно достигаться в случае удовлетворения равенства
Рг {и е П | Pos {/(£И) > /} > /5} - а. (15.24)
Выберем u>i, u>2, ■ ■ •, <^дг из П согласно вероятностной мере Рг и определим, что
.. . f 1, если Pos{/(«w„)) > 7} > А
п(шп) = <
(. 0 в других случаях
для п = 1,2,..., N, что приводит к получению некоторой
последовательности случайных величин (не нечетко-случайных величин!), a £[/i(wn)] = а для
290 Глава 15. Нечетко-случайные величины
всех п, при условии что / удовлетворяет (15.24). Согласно усиленному закону
больших чисел, получаем, что
£ ft(u„)
п=1
jj >« п.н.,
так как N —> оо. Отметим, что сумма £п=1 ^(шп) есть в точности количество
величин шп, удовлетворяющих условию
Pos{/(€(wn))>7}>/5
для п = 1,2,. ..,N. Пусть N' есть целая часть числа aN. Тогда
значение / можно взять как iV'-й наибольший элемент в последовательности
UiJ2,---Jn} при
/„ = sup {/„|Pos{/(£(Wn)) > /„} > /3}
для п = 1,2,...,iV, которые могут быть получены средствами нечеткого
имитационного моделирования.
Алгоритм 15.2. Нечетко-случайное имитационное моделирование
Шаг 1. Сформировать ы\,Ы2, ■ ■ ■, wjv из П согласно вероятностной мере Рг.
Шаг 2. Найти Jn = sup {/n|Pos{/(£(wn)) ^ /„} ^ 0} для п = 1,2,..., N с
помощью нечеткого имитационного моделирования.
Шаг 3. Задать значение для N' как целую часть числа aN.
Шаг 4. Выдать полученный N'-й наибольший элемент в наборе
l/li 111- ■ • 'JNJ-
Найдем теперь максимальное значение / такое, что Ch{£j + £| => /}(0-9) =>
0.9, где £] и £г — нечетко-случайные величины, определяемые как
6 = (Рь Pi + 1, Pi + 2) при pi ~ W(l, 2),
6 = (Р2, Р2 + 1, Р2 + 2) При /52 ~ Щ2, 3).
Выполнение 5000 циклов нечетко-случайного имитационного моделирования
показывает, что / = 16.39.
Пример 15.10. Предположим, что £ — нечетко-случайный вектор на
вероятностном пространстве (Q,A, Рг), а / — вещественнозначная непрерывная
функция. Одна из задач состоит здесь в вычислении ожидаемого значения
E[f(£)]. Отметим, что для каждого ш € П можно вычислить требуемое
ожидаемое значение Е[/(£(ш)], используя средства нечеткого имитационного
моделирования. Поскольку Е [/(£)] п0 существу представляет собой ожидаемое
значение (математическое ожидание) случайной величины Е[/(£(ш)], можно
объединить методы статистического моделирования и нечеткого
имитационного моделирования, чтобы получить методы нечетко-случайного имитационного
моделирования.
15.9. Нечетко-случайное имитационное моделирование 291
Алгоритм 15.3. Нечетко-случайное имитационное моделирование
Шаг 1. Задать Е = 0.
Шаг 2. Выбрать ы из П согласно вероятностной мере Рг.
Шаг 3. Е <— Е + E[f(£(w))], где E[f(£(w))] может быть вычислено с
использованием нечеткого имитационного моделирования.
Шаг 4. Повторить шаги со второго по четвертый N раз.
Шаг 5. E\f{£)] <- E/N.
Воспользуемся нечетко-случайным имитационным моделированием для
вычисления ожидаемого значения величины £162, где ^и^2-
нечетко-случайные величины, определяемые следующим образом:
6 = (Pi,Pi + l,pi + 2) при pi ~ £XV{1),
Ь = (Р2,Р2 + 1, Pi + 2) при р2 ~ £XV{2).
Выполнение 5000 циклов нечетко-случайного имитационного моделирования
показывает, что -E[£i£2] = 6.34.
Глава 16
Нечетко-случайные модели
ожидаемого значения
Под нечетко-случайным программированием будем понимать теорию
оптимизации в нечетко-случайных средах. Чтобы решать оптимизационные задачи, в
которых содержится нечетко-случайная информация, требуется уметь строить
модели нечетко-случайного программирования.
В работе (Liu and Liu [189]) представлена серия нечетко-случайных
моделей ожидаемого значения (EVM-моделей). Чтобы иметь возможность решать
задачи общего вида с использованием таких моделей, осуществляется
интеграция нечетко-случайного имитационного моделирования, нейронных сетей и
генетических алгоритмов для того, чтобы получить соответствующий
гибридный алгоритм. Эффективность этого алгоритма иллюстрируется на
нескольких численных примерах.
16.1. Модели общего вида
Чтобы получить решение, обеспечивающее максимум ожидаемого значения
дохода при ожидаемых значениях ограничений, можно воспользоваться
следующей однокритериальной нечетко-случайной EVM-моделью:
maxE[f(x,£)]
при ограничениях: (lfi.l)
E\gj(x,t)]^0, j = l,2 p,
где ж —вектор решений, £ —некоторый нечетко-случайный вектор, / —
целевая функция, a gj — функции-ограничения, j = l,2,...,p.
В реальных задачах лицу,,принимающему'решение, может потребоваться
решать задачу, в которой имеется несколько целевых функций.
Соответственно, в таком случае имеет место задача многокритериального
программирования с нечетко-случайным ожидаемым значением:
max [£?[Л(х, £)], E[f2(x,О],..., E[fm(x, £)]]
при ограничениях: (16.2)
E[9j(x,O}^0, j = l,2,...,p,
где fi(x,£) — целевые функции для i = 1,2,...,m, a <?j(x,£) — функции-
ограничения для j = 1,2,... ,р.
16.2. Теорема выпуклости 293
Для того чтобы обеспечить получение компромиссного решения при
многих конфликтующих показателях, лицо, принимающее решение, может задать
иерархию важности для этих несовместимых показателей с тем, чтобы
удовлетворить возможно большему числу целей в заданном порядке. Получаем
тогда следующую модель целевого программирования с нечетко-случайными
ожидаемыми значениями:
I m
при ограничениях: .,„ „.
(lo.o)
E[fi(x,Z)]+dr-df=bi, г = 1,2,...,т,
%(i,OK0, j = l,2,...,p,
df,d~^0, t = l,2,...,m,
где Pj — заданный некоторым образом коэффициент преимущественного
приоритета, выражающий относительную важность различных целей, Pj 3> Pj+i,
для всех j; Uij — весовые коэффициенты, отвечающие положительному
отклонению для цели г с приписанным ей приоритетом j; Vij —весовые
коэффициенты, отвечающие отрицательному отклонению для цели г с приписанным ей
приоритетом j; df — положительное отклонение от назначенного уровня г-й
цели; d~ — отрицательное отклонение от назначенного уровня г-й цели; /j —
функция в целевых ограничениях; gj — функция в реальных ограничениях;
bi—назначенный уровень, соответствующий г-й цели; I — число приоритетов;
т — число целевых ограничений; р — число реальных ограничений.
16.2. Теорема выпуклости
Задача нечетко-случайного программирования будет задачей выпуклого
программирования, если добавить в нее некоторые условия выпуклости.
Теорема 16.1. (Liu and Liu [189]) Пусть £—нечетко-случайный вектор.
Предположим, что для некоторого фиксированного и функции /(ж, и) и
gj(x,u) (j = 1,2,.. .,р) — выпуклы на х. Тогда нечетко-случайная EVM-
моделъ вида
( min £[/(*, О]
при ограничениях: (16.4)
E[ft(a:,€)]<0. j = l,2,...,p,
есть модель выпуклого программирования.
Доказательство: Согласно предположению о выпуклости для любого
фиксированного и, неравенство
/(Аж1 + (1 - А)ж2, и) < А/(жь и) + (1 - А)/(ж2, и)
удовлетворяется для любого А Е [0,1] и Х\,Х2- Из теоремы 15.4 следует, что
E[f(\Xl + (1 - А)я2,0] < E[\f(Xl,Z)} + (1 - А)/(я2,0] =
= авджьО]+а - адяж2,о] -
294 Глава 16. Нечетко-случайные модели ожидаемого значения
откуда вытекает, что целевая функция E[f(x, £)] —это выпуклая функция.
Для каждого фиксированного и из выпуклости gj следует, что
gj(Xxi + (1 - Л)ж2, и) < \gj(xi,и) + (1 - Х)д,{х2,и)
для любого х\ и х2 и Л G [0,1]. Из теоремы 15.4 следует, что
B[#(Aaci + (1 - А)ж2,£)] < Я[А&(ая.€) + (1 - А)а,-(я2,0] =
= АВ[д,-(ая,0] + (1 - A)£fe(x2,0] <
для j = 1,2,... ,р. Отсюда, Xxi + (1 — А)жг также будет некоторым
возможным решением, т. е. рассматриваемое множество возможных решений
выпукло. Итак, задача (16.4) является задачей выпуклого программирования.
16.3. Гибридный алгоритм
Для того чтобы решать задачи с использованием нечетко-случайной EVM-
модели, в (Liu and Liu [189]) осуществлено формирование соответствующего
гибридного алгоритма, который объединяет средства нечетко-случайного
имитационного моделирования, нейронные сети и генетический алгоритм.
Алгоритм 16.1. Гибридный алгоритм
Шаг 1. Для функций, содержащих неопределенность, сформировать
обучающий набор пар «вход-выход» вида
U:x-+E\J(x,t)]
с использованием нечетко-случайного имитационного моделирования.
Шаг 2. Провести с использованием полученного набора данных обучение
нейронной сети, которая будет аппроксимировать функции, содержащие
неопределенность.
Шаг 3. Инициализировать pop_size хромосом, допустимость которых может
быть проверена с использованием обученной нейронной сети.
Шаг 4. Модифицировать хромосомы с помощью операций кроссинговера и
мутаций, с помощью обученной нейронной сети проверить допустимость
потомков.
Шаг 5. Рассчитать значения целевой функции для всех хромосом, используя
обученную нейронную сеть.
Шаг 6. Вычислить приспособленность каждой из хромосом, согласно
найденным целевым значениям.
Шаг 7. Произвести селекцию хромосом, используя случайный выбор.
Шаг 8. Повторить шаги с четвертого по седьмой заданное число раз.
Шаг 9. Выдать лучшую из хромосом в качестве оптимального решения.
Рассмотрим теперь несколько численных примеров, чтобы
проиллюстрировать эффективность данного гибридного алгоритма.
16.3. Гибридный алгоритм 295
Пример 16.1. Рассмотрим следующую нечетко-случайную EVM-модель:
' тахЕ [(ц - ^)2 + (х2 - Ь? + (а* - б)2]
< при ограничениях:
Хл ~Т~ Хъ ~\~ Хп ^ У ,
где £i, £2 и £з — нечетко-случайные величины, определяемые следующим
образом:
& = (р - 1, р, р + 1), with p ~ ЛА(-2,1),
£2 = (р-2,р-1,р+1,р + 2), withp~AA(0,l),
£, = (р - 2, р - 1, р), with р ~ ЩЗ,1).
Для того чтобы решить задачу, в которой используется эта модель,
сформируем вначале набор вход-выходных пар для функции, содержащей
неопределенность
U : х -» Е [(xi - б)2 + {Х2 ~ Ь)2 + (а* - б)2] ,
с использованием нечетко-случайного имитационного моделирования. Затем
проведем обучение нейронной сети (3 нейрона во входном слое, 5 нейронов в
скрытом слое, 1 нейрон в выходном слое), чтобы аппроксимировать
неопределенную функцию U(x). После этого обученная нейронная сеть встраивается в
генетический алгоритм, чтобы получить требуемый гибридный алгоритм.
Запуск этого гибридного алгоритма (5000 циклов процесса имитационного
моделирования, 2000 пар данных для обучения нейронной сети, 200 поколений
в генетическом алгоритме) приводит к оптимальному решению вида
х* = (2.1506, -0.0808, -2.0900),
для которого значение целевой функции равняется 38.99.
Пример 16.2. Рассмотрим следующую нечетко-случайную целевую EVM-
модель:
lexmin {dj^d^d^}
при ограничениях:
E[(xi+ti)*\ + dt-d*; = i,
E[(x2+b)2} + dz-d+=2,
Е[(х3+Ь)2]+с1з-4=А,
х\+х\+Х% < 10 ,
df,d~ >0, г = 1,2,3,
где &, г = 1,2,3 — нечетко-случайные величины, определяемые следующим
образом:
6 = (pi,pi + 1.Р\ + 2) при pi ~ U{1,2),
& = (Р2, Pi + 1, Р2 + 2) при р2 ~ А/"(0,1),
Ь = (рз, Рз + 1, Рз + 2) при рз ~ £XV{2).
296 Глава 16. Нечетко-случайные модели ожидаемого значения
Сформируем вначале с помощью нечетко-случайного имитационного
моделирования набор вход-выходных пар данных для неопределенной функции
£/:*-» (Ui(x),U2(x),U3(x)), где
иг(х) = Е [(а* + б)2] , U2(x) = Е [{Х2 + Ь?] , №) = Е [(а* + б)2] ■
Затем проведем с использованием этих данных обучение нейронной сети (3
нейрона во входном слое, 10 нейронов в скрытом слое, 1 нейрон в выходном
слое), чтобы аппроксимировать неопределенную функцию U. После этого для
каждого х вычисляются значения отклонений:
d+ = [f/i(x) - 1] V 0, 4 = [Ы*) - 2] V 0, d+ = [U3(x) - 4] V 0.
Запуск этого гибридного алгоритма (5000 циклов процесса имитационного
моделирования, 2000 пар данных для обучения нейронной сети, 1000 поколений
в генетическом алгоритме) приводит к оптимальному решению вида
х* = (-1.7290, -0.1593, -2.6429),
которое удовлетворяет первым двум целям, но значение отклонения для
третьей цели составляет 0.8291.
Глава 17
Нечетко-случайное
программирование с ограничениями
на шансы
В этой главе излагаются основы нечетко-случайного программирования с
ограничениями на шансы (нечетко-случайные ССР-модели), первоначально
предложенного в работе (Liu [178]). Хотя для вычисления неопределенных
функций в задачах этого класса и можно было бы использовать методы нечетко-
случайного имитационного моделирования, для ускорения процессов работы
с неопределенными функциями будем использовать нейронную сеть,
которая аппроксимирует эти функции, основываясь на данных, полученных
путем нечетко-случайного имитационного моделирования. После этого будет
осуществлено объединение средств нечетко-случайного имитационного
моделирования, нейронных сетей и генетического алгоритма, что дает возможность
получить эффективный вариант гибридного алгоритма, позволяющего решать
рассматриваемые в данной главе задачи. Эффективность полученного
алгоритма иллюстрируется на нескольких численных примерах.
17.1. Ограничения на шансы
Пусть х — вектор решений, £— некоторый нечетко-случайный вектор,
f(x,£) — функция дохода (критериальная функция), gj(x,£) — ограничения,
j = l,2,...,p.
Поскольку нечетко-случайные ограничения gj(x,£) < 0,j = 1,2,...,р, не
определяют какого-либо детерминированного множества допустимых
решений, вполне естественной представляется идея потребовать, чтобы
рассматриваемые нечетко-случайные ограничения удовлетворялись с возможностью
/3 при вероятности а, где а и /J — заданные доверительные уровни. Тогда
получим ограничения на шансы в следующей форме:
Ch{gj(x,S) < 0,j = l,2,...,p}(a) >/?. (17.1)
Замечание 17.1. Если нечетко-случайный вектор £ вырождается в
случайный вектор и (3 > 0, тогда ограничение на шансы (17.1) вырождается в
ограничение
Pr{«fc(a:,£)<(U = l12,...,p}>a,
которое является обычным стохастическим ограничением на шансы
(вероятностным ограничением).
298 Глава 17. Нечетко-случайное программирование с ограничениями на шансы
Замечание 17.2. Если нечетко-случайный вектор £ вырождается в нечеткий
вектор и а > 0, тогда ограничение на шансы (17.1) вырождается в ограничение
вида
Ров{Л-(х,€) < 0,j = 1,2,...,р} > (3,
которое является обычным нечетким ограничением на шансы (возможностным
ограничением).
Иногда можно использовать следующие отдельные ограничения на шансы:
Ch{fl,(a:,£) <()}(<*,■)>/?,, j = l,2,...,p, (17.2)
где aj и Pj— доверительные уровни для j = 1,2,...,р. Поскольку шансы
Ch{gj(a;,^) ^ 0} есть функция из [0,1] в [0,1], можно также задать две
последовательности доверительных уровней од,а^г,• ■ ■,ctjs и Pji,Pj2,■■ ■ ■>Pjs, a
затем воспользоваться следующими ограничениями на шансы:
Ch{fl,-(*.O<0}(Q,-fc)>/9jfc, k = l,2,...,s,j = l,2t...,p. (17.3)
17.2. Максимаксное программирование
с ограничениями на шансы
В тех случаях, когда требуется максимизировать оптимистическое значение
нечетко-случайной критериальной функции при некоторых ограничениях на
шансы, получаем следующую формулировку нечетко-случайной максимакс-
ной ССР-модели:
max /
при ограничениях: fiy л\
Ch {/(*,£)> 7} (7) £*. ( " '
Ch{fl,-(a:,£)<0} (<*,-)> Ям j = l,2,...,p,
где а и Р — предопределенные заранее доверительные уровни для j =
1,2,...,р. Модель (17.4) называется максимаксной вследствие того, что она
эквивалентна следующей модели
max max /
х у
при ограничениях: (17 5)
Ch{/(x,€)>7}(7)>*,
Ch{flj-(a;,€)<0}(Qj)>/8,-, J = l,2,...,p,
для которой более отчетливо виден ее максимаксный характер, где max / есть
(7,5)-оптимистическое значение функции дохода.
Замечание 17.3. Если нечетко-случайный вектор £ вырождается в
некоторый случайный вектор, тогда модель (17.4) вырождается в модель следующего
вида:
max /
при ограничениях: , .
Рг {/(»,€)> 7} > 7, { '
Рг{&(я.£) <0} ^aj, j = l,2,...,p,
которая представляет собой обычную стохастическую ССР-модель
17.2. Максимаксное программирование с ограничениями на шансы 299
(17.7)
Замечание 17.4. Если нечетко-случайный вектор £ вырождается в
некоторый нечеткий вектор, тогда модель (17.4) вырождается в модель вида:
max /
при ограничениях:
Ров{/(я;,€)^7}>*.
Pos{ffi(x,0 < 0} > (3j, J = 1,2,...,p,
которая представляет собой обычную нечеткую ССР-модель.
В реальных задачах может быть несколько показателей (критериев).
Для этого случая можно воспользоваться следующей максимакснои моделью
нечетко-случайного многокритериального программирования с
ограничениями на шансы:
max [7i,/2.---,7m]
при ограничениях:
Ch{/i(a;,€)>7i}(7i)>*i, г = 1,2,... ,m,
Ch{gj{x,€) < 0} (Q>) > Pj, j = 1,2,... ,p,
где 7i и 6i—доверительные уровни. Такая многокритериальная ССР-модель
(17.8) будет эквивалентна следующей модели:
max
х
max Д, max /2,..., max /„
при ограничениях:
Сп{£(х,0>Л}Ы>й, t = l,2,...,m,
Ch{ffi(x,0 < 0} (aj) > ft, j = 1,2,... ,p,
где тахД представляют собой (7i, ^-оптимистические значения функций
дохода fi(x, £), г = 1,2,..., m, соответственно.
Если лицу, принимающему решение, задана некоторая структура
приоритетов и целевых уровней, тогда можно также построить нечетко-случайную
систему принятия решений на основе целевой ССР-модели:
min Ё pj YKuijdt + vijdi )
при ограничениях:
Ch{fi(x,i)-bl^dt}(1+)^5+,
Ch{bi-/i(aJ>€)<dr}(7r)>*r.
Ch{<&(*,€)<0} («,-)> ft,
dt,d->o,
. = 1,2...
г = 1,2,..
J = 1,2,.
« = 1,2,..
.,m
.,m
■,P,
.,m
(17.9)
где Pj — коэффициент преимущественного приоритета, который выражает
относительную важность различных целей, Р3 ~3> Pj+i, для всех j; utj — весовые
коэффициенты, соответствующие положительному отклонению для цели г с
присвоенным ей приоритетом j; Vij — весовые коэффициенты,
соответствующие отрицательному отклонению для цели г с присвоенным ей приоритетом j:
300 Глава 17. Нечетко-случайное программирование с ограничениями на шансы
df представляет собой (7^,<^)-оптимистическое положительное отклонение
от назначенного уровня г-й цели, определяемое как
min {d V 0 | СЬ{/Дх,i) - h < d} (7+) > 6+} , (17.10)
d~ представляет собой (7г~, S~ )-оптимистическое отрицательное отклонение от
назначенного уровня г-й цели, определяемое как
min {d V 0 | Ch{bt - Ых,£) < d} (7r) > 5~} , (17.11)
6i — назначенный уровень, соответствующий г-й цели; I — число приоритетов.
Замечание 17.5. Если нечетко-случайный вектор £ вырождается в
детерминированный вариант, тогда шансы Ch{/j(x, £) — bi < df} и
Ch{bj — fi(x,£) ^ d~} имеют всегда возможность 1 при вероятности 1, при
условии что 7*) 7Г > 0 и 6f,5~ > 0. Более того,
Ch {/Дх, О - 6i < d+ } (7/) > «5+, d+ > 0,
сь {bi - Mx, 0 < dr }dr)>6-, d~ > 0,
дает, что
4 = lfi(x, О - bi) V 0, dj = [^ - /i(x, £)] V 0.
Это совпадает со случаем детерминированного целевого программирования.
Замечание 17.6. В детерминированном целевом программирования по
крайней мере одна из величин d~[ и df будет положительной. В нечетко-случайном
целевом программировании с ограничениями на шансы вполне возможно, что
положительными будут обе эти величины.
17.3. Минимаксное программирование
с ограничениями на шансы
Если требуется максимизировать пессимистическое значение нечетко-
случайной критериальной функции при некоторых ограничениях на
шансы, приходим к следующей формулировке нечетко-случайной минимаксной
ССР-модели:
max min /
х j
при ограничениях: ,-.„ .. «ч
Ch{/(x>€)<7}(7)>«,
Ch{fl>(a:,£)<0} (<*,■)>/%» j = l,2,...,p,
где а и /3 — предопределенные заранее доверительные уровни для j =
1,2,... ,р, a min / — (7, <5)-пессимистическое значение дохода.
17.3. Минимаксное программирование с ограничениями на шансы 301
Если в задаче несколько показателей (критериев), тогда получаем
следующую минимаксную модель нечетко-случайного многокритериального
программирования с ограничениями на шансы:
max
х
min Д, min/2, ..., min/„
- /l /2 /m
при ограничениях:
Сп{£(х,£)<7ЛЫ>&, г = 1,2,...,т,
СЬ{й(я:,£)<0}(а,-)>&, j = l,2,...,p,
(17.13)
где min/j есть (7i, ^-пессимистические значения функций дохода fi(x,£),i =
1,2,..., m, соответственно.
Для нечетко-случайной системы принятия решений можно также
сформулировать задачу минимаксного целевого программирования с ограничениями
на шансы, следуя структуре приоритетов и целевым уровням, установленным
лицом, принимающим решение:
min Ё Pj E
х t=
j=l i=l
Uij I maxd* V 0 J + Vij I max.dt V 0 I
(17.14)
при ограничениях:
Ch {fi(x,0-Ь>(1+}(ч+)> 5+, г = 1,2,...,т,
Ch{bi - №,£) > dr] (7г) > Д-, г = 1,2,...,m,
Ch {9j{x, £) < 0} (a,-) >/?,-, j = 1,2,... ,p,
где Pj — коэффициент преимущественного приоритета, который выражает
относительную важность различных целей, Pj 2> Pj+i, Для всех j; Uy —весовые
коэффициенты, соответствующие положительному отклонению для цели г с
присвоенным ей приоритетом j; г>ц-—весовые коэффициенты,
соответствующие отрицательному отклонению для цели г с присвоенным ей приоритетом j\
df представляет собой (7/,<5*)-пессимистическое положительное отклонение
от назначенного уровня г-й цели, определяемое как
max {d V 0 | Ch {fi(x, £)-**> d} (7+) > <5+ },
(17.15)
dt представляет собой (7i ,(5^ )-пессимистическое отрицательное отклонение
от назначенного уровня г-й цели, определяемое как
max {d V 0 | Ch {h - /*(х, £) > d} (7r) > дт } , (17.16)
6i — назначенный уровень, соответствующий г-й цели; I — число приоритетов.
Замечание 17.7. Если нечетко-случайный вектор £ вырождается в
детерминированный вариант, тогда шансы Ch{/j(x, £) — 6$ > df} и
Chjbj — /i(x,£) > dj"} имеют всегда возможность 1 при вероятности 1, при
условии что 7^>7г~ > 0 и (5^,(5~ > 0. Более того, из
Ch{£(*,£) - fc > d+} (7+) > «5+, СЬ{6* - Л(х,£) > dr} (7-) > йг
302 Глава 17. Нечетко-случайное программирование с ограничениями на шансы
следует, что
<$ V 0 = [fi(x,О - bi] V 0, d~ V 0 = [bi - fi(x,£)] V 0.
Это совпадает со случаем детерминированного целевого программирования.
17.4. Разновидности моделей программирования
с ограничениями на шансы
Выше был введен в рассмотрение ряд нечетко-случайных ССР-моделей с
элементарными шансами Ch^p. На самом деле, эта мера шансов может быть
заменена на Chs^p, Ch^p, Ch£f, Ch£f и Ch£f. Рассмотрим, например, такие
модели подобного рода:
max/
Chspup {9j(x, 0 < 0, j = 1,2,... ,р} (а) > /J,
(17.17)
(17.18)
(17.19)
при ограничениях:
Chspup{/(x,0>7}(7)><5,
max/
при ограничениях:
Chs7{/(*,0>7}(7)>S,
Chs7 {9j(x, 0 < 0, J = 1,2,... ,р} (а) > 0,
max/
при ограничениях:
Chscup{/(x,0>7}(7)>^,
Chscup {9j(x, €) < 0, j = 1,2,... ,р} (а) > р.
Имеем также следующее соотношение между оптимальными решениями для
этих моделей.
Теорема 17.1. (Lu [197]) Если/р, /дг и fc — оптимальные значения целевых
функций моделей (17.17), (17.18) и (17.19), соответственно, тогда имеет
место соотношение /дг ^ /с ^ /р-
Доказательство: Используем, для удобства, обозначения Sp, Sn и Sc для
множеств допустимых решений для моделей (17.17), (17.18) и (17.19),
соответственно. Тогда для любого х G Sn имеет место соотношение Ch^p{gj(x,£) <
0, j = 1,2,... ,р}(а) > р. Из теоремы 15.6 следует, что
ChcP {j = ?2?.^} И > СЬГ {j = ft0.!p} (Q) > Р-
То есть х £ 5с- Следовательно, Sn С 5с- Аналогичным образом можно
показать, что Sc С Sp. Отсюда получаем Sn Q Sc С Sp. С другой стороны, по
17.5. Гибридный алгоритм 303
теореме 15.6 имеем, что
/с = max max {/ | Chscup {f(x, £) > /} (7) > <5} <
X£bc f
^ max max {/ | Chspup { Дх, £) ^ /} (7) > 6} <
X£Sc f
^ max max {/ | Chspup {/(*,£) > /} (7) > <*} =
= fp-
С помощью аналогичного процесса можно показать, что Дг < /с-
Следовательно, условия теоремы удовлетворяются.
Кроме того, в работе (Liu and Liu [190]) построена серия нечетко-случайных
ССР-моделей с равновесной мерой шансов.
17.5. Гибридный алгоритм
Чтобы иметь возможность решать оптимизационные задачи с использованием
нечетко-случайных ССР-моделей, воспользуемся следующим гибридным
алгоритмом, предложенным в (Liu [178]).
Алгоритм 17.1. Гибридный алгоритм
Шаг 1. Сформировать набор данных, состоящий из вход-выходных пар для
неопределенных функций вида
tfi:x-»Ch{si(x,g<0,j = l)2,...,p}(a),
17а : х -» max {/ | Ch {Дх, £) > /} (а) > 0\
с использованием нечетко-случайного имитационного моделирования.
Шаг 2. Провести обучение нейронной сети для аппроксимации
неопределенных функций, используя полученный на предыдущем шаге обучающий
набор.
Шаг 3. Инициализировать pop_size хромосом, допустимость которых может
быть проверена с помощью нейронной сети, обученной на предыдущем
шаге.
Шаг 4. Модифицировать хромосомы, используя операции кроссинговера и
мутации, в которых допустимость потомков может быть проверена с
помощью обученных нейронных сетей.
Шаг 5. Рассчитать значения целевых функций для всех хромосом с помощью
обученных нейронных сетей.
Шаг 6. Вычислить приспособленность каждой из хромосом, основываясь на
значениях целевой функции.
Шаг 7. Произвести селекцию хромосом, используя случайный выбор.
Шаг 8. Повторить шаги с четвертого по седьмой заданное число раз.
Шаг 9. Объявить лучшую из хромосом оптимальным решением.
Приведем ниже несколько численных примеров, рассчитанных на
персональном компьютере со следующими значениями параметров: размер популя-
304 Глава 17. Нечетко-случайное программирование с ограничениями на шансы
ции 30; вероятность Рс кроссинговера 0.3; вероятность Рт мутации 0.2;
значение параметра а в функции оценки, основанной на ранжировании, равняется
0.05.
Пример 17.1. Рассмотрим следующую нечетко-случайную ССР-модель:
max/
при ограничениях:
Ch {хх + &Х2 + Ьхъ + х4 > /} (0.95) ^ 0.90,
Ch {(£, + xi + х3)(& + х2+ ха) < 100} (0.90) > 0.85,
х\,х2,х3,х4 > 0,
гДе £ъ £2, &! £4 -- нечетко-случайные величины, значениями которых являются
треугольные нечеткие величины
f i = (р - 1, Р, Р + 1) при р ~ N(6,1),
& = (р-2,р,р+2) при р~N(7,1),
£з = (р-3,р,р + 3)прир~ЛА(8,1),
& = (р - 4, р, р + 4) при р - ЛА(9,1).
Для того чтобы решить задачу с использованием этой модели,
сформируем с помощью нечетко-случайного имитационного моделирования
обучающий набор из 2000 вход-выходных пар для неопределенной функции U : х —»
(Ui(x),U2(x)), где
Ui(x) = max {/ | Ch {xx + &х2 + &z3 + *4 > 7} (0-95) > 0.90} ,
£/2(аг) = Ch {(& + zi + x3)(6i + x2 + z4) < 100} (0.90).
На основе полученных данных проведем обучение нейронной сети прямого
распространения (4 нейрона во входном слое, 6 нейронов в скрытом слое, 2
нейрона в выходном слое), аппроксимирующей функцию U, содержащую
неопределенность. После этого объединим нейронную сеть с генетическим алгоритмом,
чтобы получить требуемый гибридный алгоритм. Запуск данного гибридного
алгоритма (6000 циклов процесса нечетко-случайного имитационного
моделирования, 2000 примеров, т. е. вход-выходных пар, в обучающем множестве для
нейронной сети, 400 поколений в генетическом алгоритме) показал, что
искомое оптимальное решение имеет вид
[xl,X2,xl,x%) = (0.0000,0.1881,2.2005,0.0000)
со значением целевой функции для него, равным / = 13.39. Имеем, кроме
того, что
Ch {х$ + ^хЪ + 62S3 + А > 13-39} (0.95) к, 0.90,
Ch {(£, + xi + xs)(& + а;5 + а:3) < 100} (0.90) « 0.85.
17.5. Гибридный алгоритм 305
Пример 17.2. Рассмотрим теперь ССР-модель, которая содержит как
случайные, так и нечеткие переменные:
min/
при ограничениях:
Ch{10 - (£ci + rjx2 + ах3) < 7} (0.95) > 0.90,
Ch{(6 + xi + сх2)(т + х3) < 10}(0.90) > 0.80,
xi,x2,x3 > 0,
где £, 77, г — нормально распределенные величины Л/"(5,1), Л/"(4,1), Л/"(3,1), а а,
Ь, с —нечеткие числа с функциями принадлежности
Ма(х) = 1 + (J-1)2' М6(Х) = t1 - (х - 2)2] v °. ^(х) = ехр[-|х - 3|],
соответственно. Эта модель представляет собой вырожденную нечетко-
случайную ССР-модель.
Для того чтобы решить задачу с использованием этой модели, сформируем
вначале с помощью нечетко-случайного имитационного моделирования набор
из вход-выходных пар для неопределенной функции U : х —♦ (U\(x),U2{x)),
где
Ui(x) = min {/ | Ch{10 - (fan + r?x2 + ax3) < 7}(0.95) > 0.90} ,
U2{x) = Ch{(6 + xi + cx2){t + x3) ^ 10}(0.90).
На основе полученных данных проведем обучение нейронной сети прямого
распространения (3 нейрона во входном слое, 6 нейронов в скрытом слое, 2
нейрона в выходном слое), аппроксимирующей функцию U, содержащую
неопределенность. После этого объединим обученную нейронную сеть с
генетическим алгоритмом, чтобы получить требуемый гибридный алгоритм.
Исполнение данного гибридного алгоритма (5000 циклов процесса нечетко-случайного
имитационного моделирования, 2000 примеров в обучающем множестве для
нейронной сети, 300 поколений в генетическом алгоритме) показал, что
искомое оптимальное решение имеет вид
(х^,х£,хз) = (0.7532,0.0000,0.0276)
со значением целевой функции для него, равным 7.43. Имеем, кроме того, что
Ch{10 - {&{ + г]х*2 + ах$) ^ 7.43} (0.95) к 0.90,
Ch{(6 + х{ + сх*2){т + х%) < 10}(0.90) к 0.80.
Пример 17.3. Рассмотрим следующую нечетко-случайную целевую ССР-
модель:
lexmin [d^, d^, d£ }
при ограничениях:
Ch {10 - (fcxi + £2х2 + £з*з) < <*Г } (°-95) > 0.85,
Ch {8 - (щх\ + ц2х\ + 7?3х|) ^ d2 } (0.90) > 0.95,
Ch {riy/k+ r2jx~i + r3v/xi - 6 < 4} (°-85) > 0.80,
xi,x2,X3,di,d.2,d3 ^ 0)
306 Глава 17. Нечетко-случайное программирование с ограничениями на шансы
где &, щ, Ti (i — 1,2,3) — нечетко-случайные величины, определяемые
следующим образом:
& = (р - 2,р,р + 3) при р ~ Я(2,1),
6 = {р - 3, р, р + 1) при р ~ Л/"(3,1),
& = (р - 1, /о, /о + 2) при р ~ Л/"(4,1),
/*4i (х) = t1 - (х - Р)2] V 0 при /о ~ £Я"Р(5),
/*ча (*) =[!-(*- Р)2] V 0 при р ~ £#7>(4),
/х%(^) = [i - (ж - р)2] v о при /о ~ £ят>(з),
/хп (х) = ехр [-|х - р\] при р ~ W(l, 2),
/хТ2(х) = ехр [-|х - р\] при /о ~ £/(2,3),
Иъ (х) = ехр [-|х - р\) при /о ~ U(3,4).
Для того чтобы решить задачу с использованием этой целевой ССР-модели,
сформируем вначале с помощью нечетко-случайного имитационного
моделирования набор из 2000 вход-выходных пар для неопределенной функции
U : х -* {Ui(x), U2(x)), где
Ui(x) = max {d \ Ch foxi + &x2 + &x3 > d} (0.95) > 0.85} ,
U2{x) = max {d \ Ch {771 x2 + r}2x?, + г)3х% > d} (0.90) > 0.95} ,
U3(x) = min {d I Ch {ti^/xT + r2 v^2 + T3y/xJ < d} (0.85) > 0.80} .
После этого получаем, что
di = [10 - Ui(x)] V 0, dj = [8 - U2(x)] V 0, 4 = [U3{x) - 6] V 0.
Проведем обучение нейронной сети прямого распространения (3 нейрона во
входном слое, 10 нейронов в скрытом слое, 3 нейрона в выходном слое),
аппроксимирующей неопределенную функцию U согласно данным, полученным при
моделировании. После этого объединим обученную нейронную сеть с
генетическим алгоритмом, чтобы провести поиск требуемого оптимального решения.
Запуск полученного гибридного алгоритма (6000 циклов процесса нечетко-
случайного имитационного моделирования, 2000 вход-выходных пар в
обучающем множестве для нейронной сети, 1000 поколений в генетическом алгоритме)
показал, что искомое оптимальное решение имеет вид
(х^,Х2,Хз) = (1.6499,0.0810,2.5043).
Это решение удовлетворяет первым двум целям, но для третьей цели величина
положительного отклонения составляет 2.10.
Глава 18
Нечетко-случайное событийное
программирование
Развивая идею событийного программирования (DCP-моделей), в работе (Liu,
[179]) были введены понятия неопределенной среды, события, а также
функции шансов события для задач принятия решений в нечетко-случайном
варианте. Здесь же была построена теоретическая основа нечетко-случайного
событийного программирования, основная идея которого состоит в выборе решения
с максимальными шансами появления определенного события. В (Liu [179])
также произведено соответствующее объединение нечетко-случайного
имитационного моделирования, нейронной сети и генетического алгоритма,
приводящее к получению отвечающего данному случаю гибридного алгоритма.
18.1. Принцип неопределенности
Неопределенная среда, событие и функция шансов события представляют
собой ключевые элементы концепции DCP-моделирования. Переопределим эти
понятия применительно к случаю нечетко-случайной системы принятия
решений, а также введем соответствующий принцип неопределенности.
Под неопределенной средой (в данном случае — нечетко-случайной средой)
будем понимать нечетко-случайные ограничения, представляемые как
fc-(x,O<0, j = l,2,...,p, (18.1)
где х — вектор решений, а £ — некоторый нечетко-случайный вектор.
Под событием будем понимать такую систему неравенств:
MaJ,O<0, k = l,2,...,q. (18.2)
Функция шансов некоторого события £, характеризуемого соотношением
(18.2), определяется как мера шансов рассматриваемого события £, т. е.,
f(x) = Ch{hk(x, О < 0, к = 1,2,..., q) (18.3)
с учетом неопределенной среды (18.1).
Для каждого решения х и реализации £, про некоторое событие £ говорят,
что оно согласовано с неопределенной средой, если выполняются следующие
два условия: (i) hk{x,£) < 0, к — 1,2,... ,q; и (ii) gj(x,£) < 0, j G J, где J —
множество индексов всех зависимых ограничений. Подведем итог,
сформулировав следующий принцип неопределенности.
308 Глава 18. Нечетко-случайное событийное программирование
Принцип неопределенности: Вероятность некоторого
нечетко-случайного события — это шансы на то, что событие согласовано с заданной
неопределенной средой.
Примем, что имеется т событий £i, характеризуемых соотношениями
hik(x,£) 4 0,к = 1,2,...,Qi для i = 1,2,...,m в неопределенной среде
gj(x, £) < 0, j = 1,2,... ,р. Из принципа неопределенности следует, что
функция шансов г-го события £i в заданной неопределенной среде определяется
t /„\ пъ fhik(x,£) < 0,к = 1,2, ...,<& 1 /1Й,«
Мх) = СЬ\дЛ*.*)*о,Зе* /' (18-4)
где Jj определяется через
Ji = [j G {1,2,... ,р} | gj(a;, £) ^ 0 — зависимое ограничение для £i}
для г = 1,2,..., т.
18.2. Событийное программирование
Чтобы ввести основную идею DCP-моделирования, воспользуемся понятием а-
шансов для измерения нечетко-случайного события. Тогда нечетко-случайная
DCP-модель формулируется следующим образом:
max Ch {hk(x, £) < 0, к = 1,2,..., q) (a)
< при ограничениях: (18.5)
5i(^.0<°. J = 1.2,...,P,
где ж —n-мерный вектор решений, £ —нечетко-случайный вектор, событие
5 характеризуется соотношением hk(x,£) ^ 0, /с = 1,2, ...,д, а
неопределенная среда описывается нечетко-случайными ограничениями gj(x,£) ^ О,
J = 1,2 P-
Задача нечетко-случайной DCP-оптимизации (18.5) читается как
«максимизация шансов нечетко-случайного события hk{x, £) ^ 0, к = 1,2,..., q с
учетом неопределенной среды gj(x, £) < 0, j — 1,2,... ,р ».
Если нечетко-случайный вектор £ вырождается в случайный вектор, тогда
для любого заданного доверительного уровня а имеет место соотношение
Ch{/ifc(x>O<0,A = l,2,...>g}(Q) = l,
если Pr{ft.fc(a;,£) ^ 0,к = 1,2,... ,q} ^ а, и 0 в противном случае.
Упрощенно говоря, максимизация шансов Ch {hk{x, £) < 0, к = 1,2,..., q) (а) влечет за
собой максимизацию вероятности Рг {hk(x, £) < 0, к = 1,2,..., q}. Таким
образом модель (18.5) принимает вид:
max Pr {hk{x, £) < 0, к = 1,2,..., q)
< при ограничениях: (18.6)
£,(ж,£)<0, j = l,2,...,p,
которая представляет собой обычную задачу стохастического событийного
программирования.
18.2. Событийное программирование 309
Замечание 18.1. Если нечетко-случайный вектор £ вырождается в нечеткий
вектор, тогда для любого заданного а > 0 имеет место соотношение
Ch{/ifc(a!.O<0,A = l,2,...,g}(Q)=Pos{/ifc(aj,4)<0,fc = l,2,...,g}.
Таким образом, модель (18.5) принимает вид
max Pos {hk(x, £) ^ 0, к = 1,2,..., q}
при ограничениях: (18-7)
9j(x,£)^0, j = l,2,...,p,
что представляет собой обычную задачу нечеткого событийного
программирования.
Поскольку сложная система принятия решений обычно работает с целой
совокупностью задач, вне всякого сомнения в процессе решений существует
множество потенциально возможных целевых функций. В этом случае можно
воспользоваться такой формулировкой нечетко-случайной
многокритериальной задачи событийного программирования:
Ch{/iifc(x,€)<0,A = l,2,...1gi}(Qi)
СЬ{/12*(х,О<0,А = 1,2,..
><2г} (а2)
,<2m}(am)
(18.8)
Ch{/imfc(x,O<0,A = l,2,.
при ограничениях:
5j(a:,C)<0, j' = l,2,...,p,
где события £i характеризуются соотношениями Ь+к(х, £) ^ 0, к = 1,2,..., <ь,
a cti представляют собой заданные уровни вероятности, г = 1,2,...,т,
соответственно.
Для нечетко-случайной системы принятия решений можно
сформулировать, согласно структуре приоритетов и целевым уровням, установленным
лицом, принимающим решение, нечетко-случайную модель целевого
событийного программирования:
I m
min £ Pj Y,(uijdt + vHd7)
j=l i=l
при ограничениях:
Ch {к =\(,Ж2,° .^} ^ + di ~dt = ^ i = 1.2, •
..,771,
9j(x,£)^0, j = l,2,...,p,
df,d~^0, i = 1,2,..., 77i,
где Pj — коэффициент преимущественного приоритета, который выражает
относительную важность различных целей, Pj S> Pj+i, для всех j; Uij —весовой
коэффициент, отвечающий положительному отклонению для цели г с
присвоенным ей приоритетом j; Vij —весовой коэффициент, отвечающий
отрицательному отклонению для цели i с присвоенным ей приоритетом j; df
—положительное отклонение от назначенного уровня г-й цели; dj — отрицательное
отклонение от назначенного уровня г-й цели; aj — заданный уровень вероятности;
310 Глава 18. Нечетко-случайное событийное программирование
9j — функция в системных ограничениях; bi — назначенный уровень,
соответствующий г-й цели; I — число приоритетов; т — число целевых ограничений;
р — число системных ограничений.
18.3. Разновидности моделей
событийного программирования
В любых задачах принятия решений требуется сформировать порядок
предпочтений таким образом, чтобы рассматриваемые решения можно было бы
ранжировать. Если шансы неопределенного события суть некоторое
действительное число (например, вероятность случайного события и возможность
нечеткого события оба являются действительными числами), тогда достаточно
просто ранжировать их через шансы, поскольку порядок предпочтений здесь
адекватно представляется естественным порядком на множестве действительных
чисел.
Однако в нечетко-случайной среде элементарные шансы
нечетко-случайного события есть функция, а не действительное число. По этой причине
желательно исследовать порядок предпочтений лица, принимающего решение,
решающего данную задачу.
Пусть х\ и Х2 — два решения, а £ — некоторое нечетко-случайное событие.
Основная проблема здесь состоит в том, чтобы определить, какое из этих двух
решений имеет больше шансов обеспечить наступление события £1
Пусть /(ж) — график элементарных шансов рассматриваемого нечетко-
случайного события £, если требуемое решение есть х. Если /(a;i|a) ^ f(x2\a)
для всех a € [0,1], тогда решение х\ имеет больше шансов удовлетворить
событию £, чем решение Х2- Однако для практических целей требуется обеспечить
и более слабый порядок предпочтений при оценке решений. Вообще говоря,
можно построить некоторый вещественнозначный функционал г; такой, что
решение х\ имеет больше шансов удовлетворить событию £, чем решение Х2
тогда и только тогда, когда v(f(x\)) > v(f(x2)). Например, в качестве
порядка предпочтений можно использовать следующие критерии: (i) а-шансовую
меру; (ii) равновесную меру шансов; и (iii) среднюю меру шансов.
Был введен в рассмотрение ряд нечетко-случайных DCP-моделей с а-
шансовой мерой Ch^p. Данная мера шансов может быть заменена также на
Ch^p, Ch£p, Ch£f, Ch£f и Ch£f. Рассмотрим следующие варианты:
maxCh^up {hk(x, £) < 0, к = 1,2,..., q} (a)
при ограничениях: (18.9)
9j(x,£) ^0,j = 1,2 р,
max Chs^p {hk(x, 0 < 0, к = 1,2,..., q} (a)
при ограничениях: (18.10)
gj{x,£) ^0,j = 1,2,...,р,
maxChscup {hk{x, £) < 0, к = 1,2,..., q} (a)
при ограничениях: (18.11)
5;(ж,0 <0,j= 1,2,...,р.
18.4. Гибридный алгоритм 311
Теорема 18.1. (Lu [197]) Пусть fp, /jv и fc —оптимальные значения
целевых функций для моделей (18.9), (18.10) и (18.11), соответственно. В этом
случае имеет место соотношение /w ^ fc ^ fp-
Доказательство: Из принципа неопределенности следует, что
fP = maxChs^p {hk(x,£) < О, А = 1,2,.. ..в; <&(х,0 < 0, j 6 J} (a),
fN = maxCh^p {hk(x,£) $ О, А = 1,2,... ,e;ft-(x,C) < 0, j e J} (a),
fc = maxChscup {/ifc(a:, £) < 0, fc = 1,2,..., g; <fo(x, О < 0, j e J} (a),
где J — множество индексов всех зависимых ограничений. Из теоремы 15.6
следует, что fN < fc < fp.
Кроме того, в работе (Liu and Liu [185]) построена серия нечетко-случайных
DCP-моделей с равновесной мерой шансов.
18.4. Гибридный алгоритм
В работе (Liu [179]) осуществлено объединение нечетко-случайного
имитационного моделирования, нейронных сетей и генетического алгоритма в гибридный
алгоритм, позволяющий решать задачи с использованием нечетко-случайных
DCP-моделей.
Алгоритм 18.1. Гибридный алгоритм
Шаг 1. Сформировать обучающий набор вход-выходных пар для
неопределенных функций вида
U:x-> Ch{hk{x,t) Ц 0, А = 1,2,... ,q; gj(x,£) ^ 0, j e J} (a)
с использованием нечетко-случайного моделирования.
Шаг 2. Обучить на полученном наборе нейронную сеть, которая
аппроксимирует указанные неопределенные функции.
Шаг 3. Инициализировать pop_size хромосом для генетического алгоритма.
Шаг 4. Модифицировать хромосомы с помощью операций кроссинговера и
мутации.
Шаг 5. Вычислить значения целевой функции для всех хромосом, используя
обученную нейронную сеть.
Шаг 6. Найти значение приспособленности для каждой хромосомы,
основываясь на значениях целевой функции.
Шаг 7. Произвести селекцию хромосом, используя случайный выбор.
Шаг 8. Повторить шаги с четвертого по седьмой заданное число раз.
Шаг 9. Выдать наилучшую из хромосом в качестве оптимального решения.
Решим несколько примеров, в которых были использованы следующие
значения параметров: размер популяции равнялся 30, вероятность кроссинговера
Рс составляла 0.3, вероятность мутации Рт была принята равной 0.2, значение
параметра а в функции оценки, основанной на ранжировании, было принято
равным 0.05.
312 Глава 18. Нечетко-случайное событийное программирование
Пример 18.1. В этом примере рассматривается нечетко-случайная DCP-
модель, которая максимизирует функцию шансов с учетом
детерминированных ограничений:
max Ch {(xi sinX2 + x2 cosxi)(x3 + sinxs) > £} (0.9)
при ограничениях:
x\ + x\ + x\ < 4 ,
XbX2,X3 > 0,
где £ — нечетко-случайная величина, определяемая как
^(х) = 1 + (х - Ру при р ~ ^(3'1)-
Сформируем набор вход-выходных пар для неопределенной функции
U : (х1,Х2,хз) -♦ Ch{(xisinx2 + x2cosxi)(x3 + SUIX3) > £} (0.9),
используя нечетко-случайное имитационное моделирование. Обучим затем на
полученных данных нейронную сеть (3 нейрона во входном слое, 6 нейронов
в скрытом слое, 1 нейрон в выходном слое), которая будет аппроксимировать
функцию U. На завершающем этапе встроим нейронную сеть в генетический
алгоритм и получим гибридный алгоритм, требуемый для решения
рассматриваемой задачи. Запуск данного гибридного алгоритма (6000 циклов
процесса имитационного моделирования, 2000 обучающих примеров для нейронной
сети, 800 поколений для генетического алгоритма) показывает, что искомое
оптимальное решение имеет вид
(х{,х*2,х*3) = (0.4804,1.4040,1.3409),
для которого шансы представляют собой возможность 0.92 при
вероятности 0.9.
Пример 18.2. Рассмотрим следующую нечетко-случайную DCP-модель:
' max Ch {xi + х\ + xf = 12} (0.9)
при ограничениях:
<
xi <fi, #2 <£2, хз <£з.
Х1,х2,хз>0,
где £ь£2,£з — нечетко-случайная величины, определяемые следующим
образом:
6 = (р - 1, р, р + 1) при р ~ Af(3,1),
M£2W = [1 - (х - р)2\ V 0 при р ~ N{2,1),
А^з(х) = ехр[—|х — р\] при р ~ U(2,3).
Единичное событие £ здесь должно удовлетворять условию xi+x^+xl = 12.
Носитель £* и зависимый носитель £** будут в данном случае оба иметь один
18.4. Гибридный алгоритм 313
и тот же вид {xi, X2, хз}. Из принципа неопределенности следует, что функция
шансов /(ж|0.9) для нечетко-случайного события £ с учетом рассматриваемой
неопределенной среды будет иметь вид
xi + х\ + х|
12
/(ж|0.9) = Ch { xi < &, x2 < £>, хз ^ &
Х1,Х2,Хз > О
(0.9).
Чтобы решить эту задачу, закодируем решение в хромосоме V = (и^иг).
Декодирование хромосомы в некоторое допустимое решение может
выполняться в этом случае следующим образом:
Х\ = Vi, Х2 = V2, Х3
ч
12
Ы - v\.
Очевидно при этом, что х\ + х\ + х| = 12.
Сформируем набор вход-выходных пар для неопределенной функции U :
(^ъ^г) —♦ /(ж|0.9), используя нечетко-случайное имитационное
моделирование. Обучим затем на полученных данных нейронную сеть (2 нейрона во
входном слое, 6 нейронов в скрытом слое, 1 нейрон в выходном слое), которая будет
аппроксимировать функцию U. Встроим затем обученную нейронную сеть в
генетический алгоритм и получим гибридный алгоритм, требуемый для
решения рассматриваемой задачи. Запуск данного гибридного алгоритма (6000
циклов процесса имитационного моделирования, 2000 обучающих примеров
для нейронной сети, 300 поколений для генетического алгоритма) показывает,
что искомое оптимальное решение имеет вид
(х{,х*2,хз) = (1.4023,0.4857,2.1801),
для которого шансы есть возможность 0.87 при вероятности 0.9.
Пример 18.3. Рассмотрим следующую нечетко-случайную целевую DCP-
модель:
lexmin {dj~, dj, dj }
при ограничениях:
Ch {xx + x4 = 3} (0.9) + dj" - dj" = 0.88,
Ch {x2 + x5 = 3} (0.9) + d~ -d£ = 0.84,
Ch {x3 + x6 = 2} (0.9) + ds -d$ = 0.86,
Xj + X2 $ £l ,
A + A < ?2 ,
Z§ + Z§ < & ,
dt,dj >0, i = 1,2,3,
гДе £ъ£2,£з — нечетко-случайные величины, определяемые следующим
образом:
(1Ь (х) = [1 - (х - р)2} V 0 при р ~ N(6,1),
feW = 1/[1 + (х - Р)2} при р ~ JV(5,1),
М«з(х) = ехр[-|х - р\\ при р ~ Л/"(4,1).
314 Глава 18. Нечетко-случайное событийное программирование
На первом уровне приоритетов существует единственное событие,
обозначаемое как £\, в рассматриваемой нечетко-случайной среде, которому
удовлетворяет условие х\ + Х4 = 3. Очевидно, что здесь носитель £{ = {х1,х4} и
зависимый носитель £{* = {х1,хг,хз,х4}. Как следует из принципа
неопределенности, функция шансов для события £\ имеет вид:
{xi + х4 = 3 I
x? + x|<ei>(0.9).
4+4 <&)
На втором приоритетном уровне существует некоторое событие £2, для
которого выполняется условие Хг +Х5 = 3. В этом случае носитель £% = {x2,xs}
и зависимый носитель ££* = {хьХ2,Х5,Хб}. Из принципа неопределенности
следует, что функция шансов события £2 записывается так:
{Х2 + Х5 = 3 "J
4 + 4 < Ь \ (0-9).
4 + 4 <&}
На третьем приоритетном уровне существует некоторое событие £з, для
которого выполняется условие хз + Хб = 2. В этом случае носитель ££ = {хз, хе}
и зависимый носитель £" = {хз,я;4,Х5,Хб}. Из принципа неопределенности
следует, что функция шансов события £з записывается так:
{хз + Хб = 2 1
4 + 4 < 6 \ (0.9).
4 + 4^Ь)
Для того чтобы решить задачу с использованием данной целевой нечетко-
случайной DCP-модели, закодируем искомое решение хромосомой V =
(^1,^2,^з), для которой отображение из хромосомы в требуемое решение
выполняется следующим образом:
xi=i>i, x2 = v2, х3 = г>3,
x4=3-i>i, x5 = 3-i>2, х6=2-1>з,
что обеспечивает выполнение условий х\ + х4 = 3, хг + х$ = 3 и хз + Хб = 2.
Используем нечетко-случайное имитационное моделирование, чтобы
сформировать набор вход-выходных пар для неопределенной функции: U :
(t>i,t>2,t>3) -♦ (Л(а:[0.9),/2(а:|0.9),/з(а;|0.9)) Затем проведем обучение
нейронной сети прямого распространения (3 нейрона во входном слое, 15 нейронов
в скрытом слое, 3 нейрона в выходном слое) для аппроксимации функции U.
После этого встроим полученную обученную нейронную сеть в генетический
алгоритм, что приводит к гибридному алгоритму.
Запуск данного алгоритма (6000 циклов процесса имитационного
моделирования, 3000 обучающих примеров для нейронной сети, 3000 поколений для
генетического алгоритма) приводит к получению оптимального решения вида
х* = (1.4468,1.6117,1.1578,1.5532,1.3883,0.8422),
которое удовлетворяет первой и второй целям, но отклонение от третьей цели
составляет 0.04.
Часть VI
СЛУЧАЙНО-НЕЧЕТКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Глава 19
Случайно-нечеткие величины
В работе (Liu [183]) было введено понятие случайно-нечеткой величины.
Элементарная мера шансов случайно-нечеткого события определена в (Liu [183])
как функция из [0,1] в [0,1]. Оператор ожидаемого значения для случайно-
нечеткой величины был предложен в работе (Liu and Liu [188]). В решении
задач на основе моделей случайно-нечеткого программирования важную роль
играет случайно-нечеткое имитационное моделирование.
Основное внимание в данной главе будет уделено таким понятиям, как
случайно-нечеткая величина, случайно-нечеткая арифметика, оператор
ожидаемого значения, меры шансов события и случайно-нечеткое имитационное
моделирование.
19.1. Случайно-нечеткие величины
Случайно-нечеткая величина —это нечеткая величина, определенная на
универсальном множестве (универсуме) случайных величин.
Определение 19.1. (Ыи [183]) Случайно-нечеткая величина представляет
собой функцию из возможностного пространства (0,!P(O),Pos) в набор
случайных величин Л.
Пример 19.1. Пусть тд, туг, • • ■,Цт ~~случайные величины, a u\,U2, ■ ■ ■,ит —
действительные числа из интервала [0,1]. Тогда
771 С ВОЗМОЖНОСТЬЮ U\ ,
f. _ \ Щ С ВОЗМОЖНОСТЬЮ U2 ,
г\т с возможностью ит
будет представлять собой, очевидно, случайно-нечеткую величину. Будет ли
она функцией из возможностного пространства (0,5'(0),Pos) в набор
случайных величин Л? Да, будет. Например, определим О = {1,2,...,т},
Pos{i} = щ, i = 1,2,...,т, 3? = {щ,г)2,■■-,г)т}, и функция тогда будет
£(г) = r)i,i = l,2,...,m.
Пример 19.2. Если ту—случайная величина, а а — нечеткая величина,
определенная на возможностном пространстве (О, У(О), Pos), тогда £ = г) + а пред-
316 Глава 19. Случайно-нечеткие величины
ставляет собой нечетко-случайную величину. В действительности, £ также
будет и случайно-нечеткой величиной, определяемой как
£(0) = т] + а(0) Уве в.
Пример 19.3. Во многих статистических задачах распределение
вероятностей полностью известно, за исключением значений одного или нескольких
параметров. Например, может быть известно, что срок службы £ некоторого
современного двигателя представляет собой экспоненциально распределенную
величину с неизвестным средним в:
-е~х'е, если 0 < х < оо,
и
О в других случаях.
В практических задачах обычно имеется некоторая значимая информация.
Это дает возможность определить интервал, в котором скорее всего будет
лежать значение параметра в, или же дать приближенную оценку значения
величины в. Чаще всего дать точную оценку значения для в нельзя. В том случае,
если значение параметра в — нечеткая величина на возможностном
пространстве (0,7(0), Pos), тогда £ есть случайно-нечеткая величина, определяемая
как
£(6>) ~ £XV{6), в ев.
Пример 19.4. Пусть £ ~ ■Л/'Ср, 1), где р — нечеткая величина с функцией
принадлежности рр(х) = [1 — \х — 2|] V 0. Тогда £ — случайно-нечеткая величина,
принимающая значения «нормально распределенной величины М{р, 1)».
Замечание 19.1. Упрощенно говоря, если 0 включает единственный элемент,
тогда случайно-нечеткая величина вырождается в случайную величину. Если
01 — набор действительных чисел (а не случайных величин), тогда случайно-
нечеткая величина вырождается в нечеткую величину.
Определение 19.2. Пусть £ — случайно-нечеткая величина на
возможностном пространстве (0, Зэ(0), Pos). Тогда ее функция принадлежности
выводится из меры возможности Pos согласно соотношению
р(г)) = Pos{6> е 0 | £(6>) =1?}, rje 01. (19.1)
Отметим, что в (19.1) случайную величину ту надо понимать как некий
абстрактный элемент, а £(в) = ту означает, что £(в) и ту представляют собой
независимые, одинаково распределенные величины.
Замечание 19.2. Для любой случайно-нечеткой величины £ с функцией
принадлежности р имеем, что
sup р{п) = sup Pos {6> 6 0 | £(6>) = ту} = Pos{0} = 1.
Ф(х) =
19.2. Случайно-нечеткая арифметика 317
Замечание 19.3. Пусть £ — случайно-нечеткая величина с функцией
принадлежности ц. Тогда £ может рассматриваться как некоторая функция из воз-
можностного пространства (0,5'(0),Pos) в набор случайных величин 3?, при
условии, что Pos{A} = sup{/Lt(£(0))|0 £ А} для любого А £ У(0).
Определение 19.3. Некоторый n-мерный случайно-нечеткий вектор
£ = (6,6, • • • , 6) представляет собой п-ку случайно-нечетких величин
6,6,-- -,6i-
19.2. Случайно-нечеткая арифметика
Пусть 6 — случайно-нечеткие величины из возможностных пространств
(0i,33(0i),Posi) в Oli, i = 1,2, соответственно. Очевидно, что их функции
принадлежности будут определяться соотношениями
»i(v) = Pos {в £ 9i | 6(0) = г]} , г] £ Ki
для г — 1,2. Тогда сумма £ = 6 + 6 представляет собой случайно-нечеткую
величину из произведения возможностных пространств (0,T(0),Pos) в Ж =
{щ +rft\r]i G 3?i,7?2 €3?2}, определяемую как
£(01,02) = 6(00 + б(02) v(0i,02) g е,
для которой функция принадлежности задается соотношением
/•Ф?) = sup {/л (m) Л/^(Ы | V = Vi +V2}
для всех г) £ 3J. Аналогично, С = 6 " 6 также будет случайно-нечеткой
величиной, функция принадлежности которой определяется соотношением вида
ц(т)) = sup {//1(771) Л ^2(г?2) | ту = Vi ■ Vi)
для всех ту G 3? = {771 ■ *72|?д £ CRi,T72 £ З^}- В более общем случае получаем
следующую случайно-нечеткую арифметику.
Определение 19.4. (Liu [183]) Пусть 6,6,---,6 —случайно-нечеткие
величины, а /: 5Rn —» SR — некоторая непрерывная функция. Тогда £ =
/(6,6, • • ■ ,6) — случайно-нечеткая величина на произведении
возможностных пространств (0,35(0),Pos), определяемая как
60ь02,... ,0„) = /(6(0i), 6(02), • • ■ ,6(0п)) (19.2)
<?лл всех (0i, 02, • • •, 0П) S ©■
Теорема 19.1. Пусть 6 — случайно-нечеткие величины с функциями
принадлежности fii, г = 1,2, ...,п, соответственно, a /: SRn —» SR — некоторая
318 Глава 19. Случайно-нечеткие величины
непрерывная функция. Тогда £ = /(£ь£2,... ,£п) — случайно-нечеткая
величина, функция принадлежности которой имеет вид:
»{v)
sup \ mm tufa) | ту = f(m, щ,..., r)n) \ (19.3)
для всех г] G 01, где 3? = {f(r]i,r]2,-■ ■ ,rjn)\r]i 6 3?»,г = 1,2, ...,тг}.
Доказательство: Из определений 19.2 и 19.4 следует, что функция
принадлежности для С = /(6.£г. • • •,Сп) есть
Мч)=Ров{(в1,в2,.--,вп)ее|ч = /Й1(в1),&№),...,Сп(вп))} =
sup { min PoSi{0i} | 7] = /Ki(0iU2(02),...,£n(0n))l =
е;ее4,г=1,2,...,п ^i<*<n. J
= sup ^ min /Xifa) I ?7 = /(?7i,?72,...,T7n)l
для всех г) € Л. Теорема доказана.
Пример 19.5. Пусть £j и £г —две случайно-нечеткие величины, определяемые
следующим образом:
N{u\,c\) с возможностью 0.7,
N(U2,C2) С ВОЗМОЖНОСТЬЮ 1.0,
, N(u3,v"i) с возможностью 1.0,
^2 ^ 1 о
М(и^,а\) с возможностью 0.8.
Тогда сумма этих двух случайно-нечетких величин также будет случайно-
нечеткой величиной:
N(u\ + из, о\ + of) с возможностью 0.7,
Af(ui + U4, о\ + сг|) с возможностью 0.7,
N(U2 + U3, о\ + сг|) с ВОЗМОЖНОСТЬЮ 1.0,
Af(U2 + U4, о\ + сг|) С ВОЗМОЖНОСТЬЮ 0.8.
19.3. Оператор ожидаемого значения
Оператор ожидаемого значения для случайно-нечеткой величины вводится
следующим образом.
Определение 19.5. (Liu and Liu [188]) Пусть £ — случайно-нечеткая
величина, определенная на возмоокностном пространстве (0,!P(0),Pos). Тогда ее
ожидаемое значение Е[£\ определяется соотношением вида:
/•ОО лО
Е[£] = / Сг{<9 е 6 | Е[£{в)\ > r}dr - / Cr{0 е 9 | Е[£{0)] < r}dr.
19.3. Оператор ожидаемого значения 319
Замечание 19.4. Если случайно-нечеткая величина £ вырождается в
случайную величину, тогда оператор ожидаемого значения приобретает вид:
/•оо /-0
Е[£] = / Pr{£ > r}dr - / Рг{£ < r}dr,
JO J-oo
т. е. становится обычным математическим ожиданием случайной величины £.
Замечание 19.5. Если случайно-нечеткая величина £ вырождается в
нечеткую величину, тогда оператор ожидаемого значения приобретает вид:
/•оо лО
ЕЮ = / Cr{£ > r}dr - / Cr{£ < r}dr,
JO J—oo
т. е. становится обычным оператором ожидаемого значения нечеткой
величины £.
Пример 19.6. Предположим, что £ — случайно-нечеткая величина,
определяемая как
£ ~ U(p,p+ 2) при р= (0,1,2).
Без потери общности можно принять, что р определена на возможностном
пространстве (0,5'(0),Pos). Тогда для каждого в G G величина £(в) будет
случайной, а £?[£(#)] = р(в) + 1. Отсюда следует, что ожидаемое значение
величины £ есть Е[£\ = Е[р] + 1=2.
Теорема 19.2. (Liu and Liu [188]) Предположим, что £ и г] — случайно-
нечеткие величины с конечными ожидаемыми значениями. Тогда для любых
действительных чисел а и b имеем, что
Е[а£ + Щ = аЕ[£] + bE\rj\. (19.4)
Доказательство: Для любого в е Э в силу линейности оператора
ожидаемого значения случайной величины имеем, что Е\а£,(в) + Ьг}(6)\ = аЕ\£,(6)] +
ЪЕ[г}(в)\. Из теоремы 8.9 следует, что
Е[а£ + Щ=Е [аЕ{№} + ЬЕ[т}(в)\] =
= аЕ[Е[£(в)]}+ЬЕ[Е[г](6)}] =
= аЕ[£] + ЬЕ[т}].
Теорема доказана.
Определение 19.6. (Liu and Liu [188]) Пусть £ —случайно-нечеткая
величина с конечным ожидаемым значением Е[£]. Рассеяние величины £
определяется как ожидаемое значение случайно-нечеткой величины (£ — i?[£])2, т. е.
какУ[£]=Е1(£-Е[ф2}.
320 Глава 19. Случайно-нечеткие величины
19.4. Элементарная мера шансов
Элементарные шансы для нечетко-случайного события определяются обычно
как функция, а не как число. Аналогичным образом, элементарные шансы
случайно-нечеткого события также определяются как функция.
Определение 19.7. (Liu [183]) Пусть £ = (£ь£2,... ,£п) — случайно-
нечеткий вектор на возможностном пространстве (0,5'(0), Pos), a fy. SRn —>
SR — некоторые непрерывные функции, j = l,2,...,m. Тогда
элементарные шансы случайно-нечеткого события, характеризуемого соотношением
fj(£) < 0, j = 1,2,... ,т, есть функция из [О,1] в [О,1], определяемая как
Ch{fj(a<0J = l,2,...,m}(a)
= Sup{^|PoS{,ee|Pr{.£f^^}^}^},
(19.5)
Замечание 19.6. Элементарные шансы показывают, что «случайно-нечеткое
событие наступает с вероятностью Ch{/j(£) ^0,j = 1,2,.. .,m} (q) при
возможности а».
Замечание 19.7. Очевидно, что Ch {/,-(£) < 0,j = 1,2,... ,m} (а)
представляет собой убывающую функцию от а (см. рис. 19.1).
Вероятность
Возможность
Рис. 19.1. График элементарных шансов Ch{/j(£) ^ 0, j = 1,2,... ,т}(а)
Замечание 19.8. Если случайно-нечеткий вектор £ становится случайным
вектором, тогда шансы Ch{/j(£) < 0, j = 1,2,...,m} (а) (при а > 0) есть в
точности вероятность рассматриваемого события. То есть,
СЬШО < 0,j = l,2 m}(Q)=Pt{/j({)<0,j = l,2 m}.
19.5. Разновидности меры шансов 321
Замечание 19.9. Если случайно-нечеткий вектор £ становится нечетким
вектором, тогда шансы Ch{/j(£) ^ 0, j = 1,2,... ,т} (а) (при а > 0) принимают
значения 0 или 1. То есть,
Ch{/i(O<0,j = l,2,...,m}(Q) = |
1, Poe{/j(O<0,j = l,...,m}>Q
0 в других случаях.
19.5. Разновидности меры шансов
В дополнение к понятию элементарной меры шансов, определенному в
предыдущем разделе, дадим несколько различных определений шансов случайно-
нечеткого события.
Определение 19.8. Пусть £ = (£ъ£2,... ,£п) —случайно-нечеткий вектор
на возмоокностаном, пространстве (0,5'(0),Pos), о fy. SRn —* SR — некоторые
непрерывные функции, j = l,2,...,m. В дополнение к определению 19.7,
элементарные шансы случайно-нечеткого события, характеризуемого
соотношением /j(£) *s 0,j = 1,2,...,m, можно определить также как следующие
функции из [0,1] в [0,1]:
С1#р ШС) < 0, j = 1,2,..., m} (q) =
= sup |/8 | Nee {в € G | Pr {. №W ^} > /в} > a} ;
Chscup Ш& < 0, j = 1,2,... ,m} (a) =
--р{/.|Сг{.ев|й{, «««)«}„}».},
Ch£f {£(£) < 0, j = 1,2,..., m} (a) =
= inf{^|Pos{eee|Pr{.£f(e))^}^}^};
Ch£f Ш0 < 0, j = 1,2,..., m} (a) -
^inf^|Nec{.GG|Pr{.£fW)^}^}^};
Ch£f{/j(0 <0,j = l,2,...,m}(a) =
^|Сг{«ее|Р,{Д««>>^}ЦЦ.
(19.6)
(19.7)
(19.8)
(19.9)
(19.10)
Теорема 19.3. Пусть £ = (£i, £г>•••> £n) — случайно-нечеткий вектор на воз-
можностном пространстве (©, Т(Э), Pos), а fj : SRn —»SR — некоторые мепре-
рывные функции, j = 1,2,... ,т. Тогда элементарные шансы
(i) ChpP {/,■(£) < 0, j = 1,2,..., т} (a) — убывающая функция;
(ii) Ch^p {fj(£) < 0, j = 1,2,... ,т} (a) — убывающая функция;
322 Глава 19. Случайно-нечеткие величины
(Hi) Ch^p {fj(£) < 0, j = 1,2,..., т} (а) — убывающая функция;
(iv) Chp {fj (£) < 0, j = 1,2,..., т} (а) — возрастающая функция;
(v) Ch£ {fj(0 ^ 0, j = 1, 2,.. .,т}(а) — возрастающая функция,
(vi) Ch^f {/j(£) < О, j — 1,2,... ,m} (a) — возрастающая функция.
Доказательство: Докажем здесь только часть (i) данной теоремы. Для
любого данного ct\ и аг при 0 < Qi < аг < 1 очевидно, что условие
{Р | Pos {в G 9 | Рг {/Д£(0)) < 0, j = 1,2,..., m} ^ (3) > q2} С
c{j8|PoB{eee|Pr{/J-(C(e))<0,i = l,2,...,m}^)8}>Qi}
удовлетворяется. Отсюда следует, что
ChsPup Ш£) < 0, j = 1,2,..., т) (qi) -
= sup {0 | Pos {0 G 6 | Pr {£(£(0)) < 0,j = 1,2,..., m} > /3} > ai} >
> sup{,3 | Pos{0 6 6 I Рг{/,-(£(0)) < 0,j = l,2,...,m} > 0} > a2} =
= СЬ8Рир{^(0 <0,j = l,2,...,m}(a2).
Остальные части теоремы могут быть доказаны аналогичным образом.
Теорема 19.4. Пусть £ = (£j, £2, • • •, £п) — случайно-нечеткий вектор на воз-
можностном пространстве (0, Т(Э), Pos), а fj : SRn —»SR — некоторые
непрерывные функции, j = 1,2,..., т. Для любого данного a G (0,1] имеем, что
Chspup {fj (О < 0, j = 1т 2,..., m} (a) >
> Ch^up {/,-(0 < 0, j = 1,2,..., т} (а) > (19.11)
>Сп8;7ШО<0,:/ = 1,2,...,т}(а)
Ch£f{/j(O<0,j = l,2,...,m}(a)<
CChgf {/ЛО ^ 0, j = 1,2,...,т} (а) < (19.12)
<Ch^f{/,(O<0,j = l,2,...,m}(Q).
Доказательство: Докажем только утверждение (19.11). Для любого данного
a G (0,1] очевидно, что условие
{(3 | Сг {0 G 6 | Рг {Ш(в)) < 0, j = 1,2,..., m} > £} > а} С
с{/?|Ро8{0бе|РгШ£(0))<О,;/ = 1,2,...,т}>/?}>а}
удовлетворяется! Получаем, следовательно:
Chspup ШО < 0, j = 1,2,... ,m} (q) =
= sup {/3 I Pos{0 G Q I Рг{/,-(С(в)) < 0, j = 1,2,.. .,m} > /3} > a} >
^ sup{^ j Cr{0 G 9 | Рг{/,-(С(в)) < 0,j = l,2,...,m} > /3} ^ a} =
= Chscup {ftf) < 0,3^ 1,2,..., m} (q).
Неравенство 19.12 может быть доказано аналогичным образом.
19.5. Разновидности меры шансов 323
Теорема 19.5. Пусть £ = (£ь£2,... ,£п) — случайно-нечеткий вектор па
возможностям пространстве (0,5'(0),Pos), a fj : SR" —»SR — некоторые
непрерывные функции. j = l,2,...,m. Для любого a G (0,1] имеет место
°""р {,- _ л®"} w+<& {=« е {l if,™?} w - >• и
°^р{,_и!0*™}и+а» {э,-6(1,2/:к),™5}w-*• (1914>
Доказательство: Докажем здесь только утверждение (19.15). Из введенного
определения следует
СЬУШО <<U = 1.2 ">}(а) =
=-ф {/> I а {.ее |й{,*«да)) «}>/»}>«}-
-ф{/» |&{.е в |Р,{,е ,*<«•)),>;} О-Э}>а}-
-1-«{1-/»|&{.ев|Р»^е*««1)>4}<1-/»}>а}-
-1-Ш{7|Сг{.ев|Р,{ЭДб{««»))>4<7}>0}-
= 1 -Ch£f{/j(0> 0,3je{l,2,...,т}}(а),
что доказывает утверждение (19.15).
Мы ввели 6 видов элементарной меры шансов. В ряде случаев, однако,
предпочтительнее иметь меру шансов случайно-нечеткого события со
скалярными значениями.
Определение 19.9. (Liu [183]) Для любого данного числа a G [0,1] а-шансы
случайно-нечеткого события fj(£) ^ 0, j = 1,2,... ,т, определяются как
значение элементарных шансов при а, т. е.,
Ch{fj{£)^0,j = l,2,...,m}{a), (19.16)
где Ch обозначает элементарную меру шансов.
Определение 19.10. (Liu and Liu [192]) Равновесные шансы случайно-
нечеткого события fj(£) ^ 0,j = 1,2,...,т, определяются как
sup {а | Ch{/,-(£) < 0, j = l,2,...,т}(а)^а}, (19.17)
где Ch обозначает элементарную меру шансов.
324 Глава 19. Случайно-нечеткие величины
Замечание 19.10. Если график элементарных шансов является
непрерывным, тогда равновесные шансы будут представлять собой в точности
неподвижную точку кривой элементарных шансов, т. е. значение a € [0,1] при
СЗД-(£) < 0J = 1,2,.. .,т}(а) = а.
Определение 19.11. (Ыи and Liu [192]) Средние шансы случайно-нечеткого
события fj(£) *s 0, j = 1,2,..., т определяются в виде
[ Ch{fj(t) ^0,j = 1,2,...,т}(а)да, (19.18)
Jo
где Ch обозначает элементарную меру шансов.
Замечание 19.11. Средние шансы — это в точности площадь под кривой
элементарных шансов.
19.6. Оптимистические и пессимистические значения
Пусть £— случайно-нечеткая величина. Чтобы измерить ее, определим два
критических значения — оптимистическое значение и пессимистическое
значение.
Определение 19.12. (Ыи [183]) Пусть ^—-случайно-нечеткая величина, а
-у,бе (0,1]. Тогда
иР(ъ6) = sup {г | Ch{£ > г} (7) > 5} (19.19)
называется (^,6)-оптимистическим значением для £.
Это означает, что случайно-нечеткая величина £ достигнет (7,
«^-оптимистического значения £SUp(7i ^) c вероятностью 6 при возможности 7-
Определение 19.13. (Liu [183]) Пусть £ — случайно-нечеткая величина, а
7,5е (0,1]. Тогда
6nf (7,6) = inf {г | Ch {£ < г} (7) > 6} (19.20)
называется (j, 6)-пессимистическим значением для £.
Это означает, что случайно-нечеткая величина £ будет меньше (7i<^)~
пессимистического значения £inf(7i^) с вероятностью 6 при возможности 7-
Замечание 19.12. Если случайно-нечеткая величина £ становится
случайной величиной и 7 > 0, тогда (7, <5)-оптимистическое значение есть £Sup(<5) =
sup{r|Pr{£ > r} > 6}, а (7, <5)-пессимистическое значение есть £inf(<5) =
inf{r|Pr{£ < r} > 6}. Это совпадает со стохастическим случаем.
Замечание 19.13. Если случайно-нечеткая величина £ становится нечеткой
величиной и 6 > 0, тогда (7, <5)-оптимистическое значение есть £sup(7) =
sup{r|Pos{£ ^ г} > 7}> а (7i <5)-пессимистическое значение есть £inf(7) =
inf{r|Pos{£ < г} ^ 7}- Это совпадает с нечетким случаем.
19.8. Случайно-нечеткое имитационное моделирование 325
19.7. Ранжирование случайно-нечетких величин
Пусть £ и г\ — две случайно-нечеткие величины. Предлагаются следующие
методы ранжирования для них.
(i) В работе (Liu and Liu [188]) предложено считать, что £ > г], тогда и только
тогда, когда Е[£] > E[tj], где Е — оператор ожидаемого значения для
случайно-нечеткой величины.
(ii) В работе (Liu [183]) предложено считать, что £ > г], тогда и только тогда,
когда для некоторых предопределенных доверительных уровней "у,8 £
(О,1] имеем, что £sup(7, 8) > »feup(7. <*), где £sup(7, 8) и 77^(7,8) есть (7, <*)-
оптимистические значения для £ и rj, соответственно.
(iii) В работе (Liu [183]) предложено считать, что £ > г), тогда и только тогда,
когда для некоторых предопределенных доверительных уровней 7,8 £
(0,1] имеем, что £inf{n/,8) > T]-mf{l,8), где £т{{-у,8) и 77^(7,8) есть (7,<*)-
пессимистические значения для £ и г\, соответственно.
(iv) В работе (Liu [184]) предложено считать, что £ > г], тогда и только тогда,
когда Ch{£ ^ ^}(7) > Ch{ij ^ г}(-у) для некоторых предопределенных
уровней г и 7 6 (0,1].
19.8. Случайно-нечеткое имитационное моделирование
Поскольку нет возможности построить какой-либо аналитический алгоритм
для случайно-нечетких систем общего вида, сформируем подход к случайно-
нечеткому имитационному моделированию для нахождения критических
значений, вычисления функций шансов, а также для расчета ожидаемого
значения.
Пример 19.7. Предположим, что & — случайно-нечеткие величины,
определенные на возможностных пространствах (0$, У(0^,Ро!^), a gj— некоторые
вещественнозначные непрерывные функции, г = 1,2,..., п, j = 1,2,... ,р,
соответственно. Пусть (0,5'(0),Pos) — произведение возможностных пространств;
будем также записывать, что £ = (£i, §2) • • ■, £п)- Для любого данного
доверительного уровня а построим процесс случайно-нечеткого имитационного
моделирования для вычисления шансов
L = Ch{a(€K<U = l,2,...,p}(a).
Имеем, что то же самое,
L = sup j/3 I Pos l в G 0 I Pr j M* (2)} ^ °| > /?} > a j . (19.21)
Зададим вначале L = 0. После этого сформируем случайным образом вг
из 0j так, чтобы Posj{0j} ^ а, г = 1,2,...,п, соответственно, и обозначим
326 Глава 19. Случайно-нечеткие величины
€(0) = (6(в1),6(в2), ...,€п(0п)). Вычислим вероятность L* = Рт{д^{в)) <
О,j = 1,2,...,р], используя статистическое моделирование. Если L < L*,
тогда зададим L = L*. Повторяя этот процесс N раз, получим требуемую оценку
для L.
Алгоритм 19.1. Случайно-нечеткое имитационное моделирование
Шаг 1. Задать L = 0.
Шаг 2. Сформировать случайным образом ft из 0j таким образом, чтобы
Pos* {ft} ^ а,г = 1,2, ...,п, соответственно, и обозначим £{в) =
fcl(0l).6(fc),...,t„(0n)).
Шаг 3. Вычислить вероятность L* = Pr {ffj(£(0)) ^ 0, j = 1,2,... ,р} с
помощью статистического моделирования.
Шаг 4. Если L < L*, тогда задать L = V.
Шаг 5. Повторить шаги со второго по четвертый N раз.
Шаг 6. Выдать значение L.
Рассматриваемые случайно-нечеткие величины £ь£2,£з определим
следующим образом:
£i~^(Pi,l) при Р1= (1,2,3),
Ь~ЛГ{Р2,1) при р2 = (2,3,4),
Ь ~ -Л/"(рз, 1) при рз = (3,4,5).
Выполнение 5000 циклов случайно-нечеткого имитационного моделирования
дает следующий результат:
Ch{66 +£з ^ 6} (0.9) = 0.899.
Пример 19.8. Предположим, что /—некоторая вещественнозначная
непрерывная функция, а & — случайно-нечеткие величины, определенные на
возможностных пространствах (9i,T(9i),PoSj), г = 1,2,...,п. Пусть
(в, 7(0), Pos) — произведение возможностных пространств; будем также
записывать, что £ = (£ь£2; - ■ • ,£п)- Для любых данных доверительных уровней
а и /3 требуется сформировать алгоритм случайно-нечеткого имитационного
моделирования для вычисления максимального значения / такого, что
удовлетворяется условие
Ch{/(€)>7}(")£0-
То есть необходимо найти максимальное значение / такое, что
Pos {в G 6 | Рг {Жв)) 2?}^Р}>а.
Зададим вначале / = —оо. Затем выберем 6i из 0j таким образом,
чтобы Posj{0j} ^ а, г = 1,2, ...,п, соответственно, и обозначим £(0) =
(?i (^1)1^2(^2), • • • )£п(#п))- С помощью статистического моделирования ищем
максимальное значение /° такое, что Рг{/(£(0)) ^ /°} ^ /3. Если / < /°,
тогда задаем / = /°. Повторяем описанный выше процесс N раз. Полученное
значение / представляет собой искомое максимальное значение.
19.8. Случайно-нечеткое имитационное моделирование 327
Алгоритм 19.2. Случайно-нечеткое имитационное моделирование
Шаг 1. Задать / = — оо.
Шаг 2. Сформировать случайным образом ft из 0i таким образом, чтобы
PoSi{#i} ^ a,i = 1,2, ...,п, соответственно, и обозначить £(0) =
(fl(0lU2(02),...,M0n)).
Шаг 3. Найти максимальное значение /° такое, что Рг{/(£(0)) ^ /°} ^ Д с
помощью статистического моделирования.
Шаг 4. Если / < /°, тогда задать / = /°.
Шаг 5. Повторить шаги со второго по четвертый N раз
Шаг 6. Выдать значение /.
Для того чтобы найти максимальное значение / такое, что Ch{£j +£|+£з ^
/}(0.9) ^ 0.9, где ^i,^2)?з—случайно-нечеткие величины, определяемые как
£i ~ £XV(pi) при Р1 = (1,2,3),
&~£XV{P2) при р2 = (2,3,4),
& ~ f *7>(р3) при р3 = (3,4,5),
выполним 5000 циклов случайно-нечеткого имитационного моделирования и
получим, что искомое решение имеет вид / = 5.83.
Пример 19.9. Предположим, что /—некоторая вещественнозначная
непрерывная функция, a £j — случайно-нечеткие величины, определенные на
возможностных пространствах (9i,T(9i),PoSi), i = 1,2,...,п. Пусть
(в, Э'(в), Pos) — произведение возможностных пространств; будем также
записывать, что £ = (^i,^2,•• -An)- Тогда /(£) есть случайно-нечеткая величина,
для которой ожидаемое значение определяется как
Е[№] = / Cr{0 G в | E[f(№)} > r}dr-
Jo
- f Cr{0 g e | E[№(6))\ < r}dr.
J—oo
(19.22)
Для вычисления ожидаемого значения £[/(£)] используем случайно-нечеткое
имитационное моделирование. Выберем случайным образом в^ из 0$ так,
чтобы Posi{0jj} ^ е, г = 1,2,.. . ,n, j = 1,2,. ..,m, соответственно, где е —
некоторое достаточно малое число. Обозначим £(6j) = (£i(#ij),^ifaj), • ■ • ,£n(#n.;)) и
запишем /i,- = Posi{01;7} Л Pos2{02j} Л... Л Posn{0nj} для j - 1,2,...,m. Тогда
для любого числа г ^ 0 мера правдоподобия Cr{0 G В|.Е[/(£(0))] ^ г} может
быть оценена следующим образом:
\ (. max {^\Е[т(в^))} > г} + 1 - . max {/^|Я[/(€(в,))] < г}) ,
328 Глава 19. Случайно-нечеткие величины
а для любого числа г < 0 мера правдоподобия Сг{0 е 6|.Е[/(£(0))] < г}
оценивается как:
\ (_ max {н\Щ{№))} <г} + 1- , max {»№/(№))} > г}) ,
Z \7=l,2,...,m 3=1,2,...,т J
при условии, что т достаточно велико, где E[f(£(6j))], j = 1,2,...,m можно
оценить с помощью статистического моделирования.
Алгоритм 19.3. Случайно-нечеткое имитационное моделирование
Шаг 1. Задать Е = 0.
Шаг 2. Выбрать случайным образом 6ij из 0i таким образом, чтобы
Posi{0i;,} ^ e и обозначить £(6j) = (fi(#ij),f2(#2j),... ,£п(впз)), г =
1,2,..., п, j = 1,2,. -., т, соответственно, где е — достаточно малое
число.
Шаг 3. Пусть а = mim^m.E[/(£(0j))] и Ь = max1<j<m£[/(|(0j))].
Шаг 4. Сформировать случайным образом г из интервала [а,Ь].
Шаг 5. Если г ^ 0, то Е <- Е + Сг{0 € G|£[/(£(0))] ^ г}.
Шаг 6. Если г < 0, то £ <- £ - Сг{0 € 0|£[/(£(0))] ^ г}.
Шаг 7. Повторить шаги со второго по четвертый N раз.
Шаг 8. E[f(£)] = aV0 + bA,0 + E-(b-a)/N.
Чтобы вычислить требуемое ожидаемое значение для £i£2£3> где £i, £2, £з —
случайно-нечеткие величины, определяемые как
€i ~^(pi,Pi + 1) при pi = (1,2,3),
& ~ Щ(>2, Р2 + 1) при р2 = (2,3,4),
& ~ ^(рз, Рз + 1) при рз = (3,4,5),
выполним 5000 циклов случайно-нечеткого имитационного моделирования и
получим, что искомое решение имеет вид -Е^бг^з] = 42.59.
Глава 20
Случайно-нечеткие модели
ожидаемого значения
В работе (Liu and Liu [188]) представлено определение оператора ожидаемого
значения для случайно-нечетких величин, а также рассмотрен ряд случайно-
нечетких моделей ожидаемого значения (EVM-моделей). Для оценки
ожидаемого значения случайно-нечетких величин разработана процедура случайно-
нечеткого имитационного моделирования. Чтобы иметь возможность решать
задачи общего вида с использованием случайно-нечетких моделей
ожидаемого значения, осуществляется интеграция случайно-нечеткого имитационного
моделирования, нейронных сетей и генетических алгоритмов для того, чтобы
получить соответствующий гибридный алгоритм. Эффективность этого
алгоритма демонстрируется на двух численных примерах.
20.1. Модели общего вида
Чтобы получить решение, обеспечивающее максимум ожидаемого значения
дохода в случайно-нечеткой среде, можно воспользоваться следующей одно-
критериальной случайно-нечеткой EVM-моделью:
( max£[/0r,O]
< при ограничениях: (20.1)
1 %(i,{)]<0, j = l,2,...,p,
где х — вектор решений, £ — некоторый случайно-нечеткий вектор, / — целевая
функция, а д^ — функции-ограничения, j = 1,2,..., р.
В реальных задачах лицу, принимающему решение, может потребоваться
решать задачу, в которой имеется несколько целевых функций.
Соответственно, в таком случае имеет место задача многокритериального
программирования со случайно-нечетким ожидаемым значением:
( max [£[/!(*, О], E\f2{x, 0], • • •, E[fm{x, £)]]
< при ограничениях: (20.2)
[ Е\д^х,Ц]^0,з = 1,2,...,р,
где fi{x,£) — целевые функции для i = 1,2,...,т, a gj{x,£) — функции-
ограничения для j = 1,2,... ,р.
Для того чтобы обеспечить получение компромиссного решения при
многих конфликтующих показателях, лицо, принимающее решение, может задать
иерархию важности для этих несовместимых показателей с тем, чтобы
удовлетворить возможно большему числу целей в заданном порядке. Получаем
330 Глава 20. Случайно-нечеткие модели ожидаемого значения
тогда следующую модель целевого программирования со случайно-нечеткими
ожидаемыми значениями:
S 1
min Y^ Pj Yl(UiJdt + Viidi )
при ограничениях:
E[fi{x,Z)]+d7-d?=bi, i
где /j- — заданный некоторым образом коэффициент преимущественного
приоритета, выражающий относительную важность различных целей, Pj ^> Pj+i,
для всех j; u^ — весовые коэффициенты, отвечающие положительному
отклонению для цели г с приписанным ей приоритетом j; Vij —весовые
коэффициенты, отвечающие отрицательному отклонению для цели г с приписанным ей
приоритетом j; df — положительное отклонение от назначенного уровня г-й
цели; dj — отрицательное отклонение от назначенного уровня г-й цели; /j —
некоторая функция в целевых ограничениях; д3- — некоторая функция в
реальных ограничениях; 6j назначенный уровень, соответствующий г-й цели; I —
число приоритетов; m — число целевых ограничений; р— число реальных
ограничения.
20.2. Теорема выпуклости
Задача случайно-нечеткого программирования будет задачей выпуклого
программирования, если добавить в нее некоторые условия выпуклости.
Теорема 20.1. (Liu and Liu [188]) Пусть £ — случайно-нечеткий вектор.
Предположим, что для некоторого фиксированного и функции /(ж, и) и
gj(x,u) (j = 1,2,... ,р) — выпуклы на х. Тогда случайно-нечеткая модель
ожидаемого значения (EVM-моделъ) вида
' min £№,€)]
< при ограничениях: (20.4)
%j(l!,{)]«).i = 1.2 Р
есть модель выпуклого программирования.
Доказательство: Согласно предположению о выпуклости для любого
фиксированного и, неравенство
/(Axi + (1 - \)х2,и) < Xf{x!,u) + (1 - X)f(x2,u)
удовлетворяется для любого A G [0,1] и х\, х2. Из теоремы 19.2 следует, что
E{f(\Xl + (1 - \)Х2,£)] ^ E[\f(xlt£)] + (1 - А)/(х2,£)] =
= XE\f(x1,f)]+(l-X)Ef(x2,i)]1
1,2,..., m,
1,2,...,р,
1,2,...,m,
(20.3)
20.3. Гибридный алгоритм 331
откуда вытекает, что целевая функция E[f(x, £)] —это выпуклая функция.
Для каждого фиксированного и из выпуклости д, следует, что
gj(Xxi + (1 - Х)х2,и) < Ад,-(ац,и) + (1 - А)дДаг2,и)
для любого х\ и Ж2 и А € [0,1]. Из теоремы 19.2 следует, что
E[gj(\Xl + (1 - А)ж2,£)] < £[АдЛЖ1,0 + (1 - А)дДж2,^)] =
= АЕ[д,-(Ж1,0] + (1 - А)Е^(я:2,0] ^
<0
для j = 1,2,...,р. Отсюда, Axi + (1 — А)ж2 также будет некоторым допустимым
решением, т. е. множество допустимых решений выпукло. Итак, задача (20.4)
является задачей выпуклого программирования.
20.3. Гибридный алгоритм
Выше уже было рассмотрено применение случайно-нечеткого
имитационного моделирования для оценки величины ожидаемого значения E[f(x, £)] для
каждого данного решения х. Для того чтобы решать задачи с
использованием случайно-нечеткой модели ожидаемых значений, в (Liu and Liu [188])
осуществлено формирование соответствующего гибридного алгоритма,
который объединяет средства случайно-нечеткого имитационного моделирования,
нейронные сети и генетический алгоритм.
Алгоритм 20.1. Гибридный алгоритм
Шаг 1. Для функций, содержащих неопределенность, сформировать
обучающий набор пар «вход-выход» вида
U:x-*E\S{x,i)\
с использованием случайно-нечеткого имитационного моделирования.
Шаг 2. Провести с использованием полученного набора данных обучение
нейронной сети, которая будет аппроксимировать функции, содержащие
неопределенность.
Шаг 3. Инициализировать pop_size хромосом, допустимость которых может
быть проверена с использованием обученной нейронной сети.
Шаг 4. Модифицировать хромосомы с помощью операций кроссинговера и
мутаций, с помощью обученной нейронной сети проверить допустимость
потомков.
Шаг 5. Рассчитать значения целевой функции для всех хромосом, используя
обученную нейронную сеть.
Шаг 6. Вычислить приспособленность для каждой из хромосом, согласно
найденным значениям целевой функции для них.
Шаг 7. Произвести селекцию хромосом, используя случайный выбор.
Шаг 8. Повторить шаги с четвертого по седьмой заданное число раз.
Шаг 9. Выдать лучшую из хромосом в качестве требуемого оптимального
решения.
332 Глава 20. Случайно-нечеткие модели ожидаемого значения
Рассмотрим теперь два численных примера, иллюстрирующих
эффективность предложенного гибридного алгоритма.
Пример 20.1. Рассмотрим следующую случайно-нечеткую EVM-модель:
Г min£ [у/{хх - Ы2 + (*2 - Ь)2 + {хз - &)2J
< при ограничениях:
[ \xi\ + \x2\ + \x3\^4,
гДе £ъ 6г и £з — случайно-нечеткие величины, определяемые следующим
образом:
6 ~ U{p - 1, р) при р = (-2, -1,0),
6 ~ Щр, Р + 1) при р = (-1,0,1),
&~И(р+1,р + 2) при р= (0,1,2).
Для того чтобы решить задачу с использованием этой модели,
сформируем вначале набор вход-выходных пар для функции, содержащей
неопределенность
U : х - Е [Vfa - б)2 + (*2 - Ы2 + (а* - Ы2] ,
с использованием случайно-нечеткого имитационного моделирования. Затем
проведем обучение нейронной сети (3 нейрона во входном слое, 5 нейронов в
скрытом слое, 1 нейрон в выходном слое), чтобы аппроксимировать
неопределенную функцию U. После этого обученная нейронная сеть встраивается в
генетический алгоритм, чтобы получить требуемый гибридный алгоритм.
Запуск этого гибридного алгоритма (1000 циклов процесса имитационного
моделирования, 2000 пар данных для обучения нейронной сети, 400 поколений
в генетическом алгоритме) приводит к оптимальному решению вида
х* = (-1.3140,0.2198,2.4662),
для которого значение целевой функции равняется 1.5059.
Пример 20.2. Рассмотрим следующую случайно-нечеткую целевую EVM-
модель:
' lexmin {dj~, d^, d3 }
при ограничениях:
Е У{Х! - б)2 + 1] + ^Г - 4 =2,
Я[ч/(э:2-&)2 + 1]+<*2"-4=3,
Ey(x3-S3)2 + l]+dz-dZ=4,
CC-t H~ Xn ~r~ 3?q ^ 1 ,
. dr,d+>o, i = 1,2,3,
20.3. Гибридный алгоритм 333
гДе £ъ £г и £з — случайно-нечеткие величины, определяемые следующим
образом:
& ~U{fii,pi +1) при р! = (0,1,2),
& ~ Щр2,1) при р2 = (1,2,3),
£э~£ХР{рг) при рз = (2,3,4).
Сформируем вначале с помощью нечетко-случайного имитационного
моделирования набор вход-выходных пар данных для неопределенной функции
U : х -» (C/i(x), С/2(ж), С/3(ж)), где
СМ*) = £ [v/(xi-£i)2 + lj,
ЕМ*) = £ [v/(^2-6)2 + l] ,
С/з(х) = £ [v/(z3-&)2 + l] •
Затем проведем с использованием этих данных обучение нейронной сети (3
нейрона во входном слое, 10 нейронов в скрытом слое, 3 нейрона в выходном
слое), чтобы аппроксимировать неопределенную функцию U. После этого для
каждого х вычисляются значения отклонений:
d- = [2-C/1(x)]v0, d^" = [3-C/2(x)]vO, ds = [4 - CM*)] V 0.
Обученная нейронная сеть встраивается в генетический алгоритм и получается
вариант гибридного алгоритма, требуемый для решения данной задачи.
Запуск этого гибридного алгоритма (3000 циклов процесса имитационного
моделирования, 2000 пар данных для обучения нейронной сети, 1000 поколений
в генетическом алгоритме) приводит к оптимальному решению вида
ж* = (-0.1905, -0.7858, -0.5884),
которое удовлетворяет первым двум целям, но значение отклонения для
третьей цели составляет 0.1603.
Глава 21
Случайно-нечеткое
программирование с ограничениями
на шансы
В этой главе излагаются основы случайно-нечеткого программирования с
ограничениями на шансы (случайно-нечеткие ССР-модели), первоначально
введенные в работе (Liu [183]). Будет также осуществлено объединение средств
случайно-нечеткого имитационного моделирования, нейронных сетей и
генетического алгоритма, чтобы получить эффективный вариант гибридного
алгоритма, позволяющего решать рассматриваемые в данной главе задачи.
Эффективность этого алгоритма иллюстрируется несколькими численными
примерами.
21.1. Ограничения на шансы
Пусть х — вектор решений, £ — некоторый случайно-нечеткий вектор, /(ж, £) —
функция дохода (критериальная функция), gj(x,£) — ограничения, j =
1,2,...,р.
Поскольку случайно-нечеткие ограничения gj(x,£) < 0,j = 1,2,...,р, не
определяют какого-либо детерминированного множества допустимых
решений, вполне естественной представляется идея потребовать, чтобы
рассматриваемые случайно-нечеткие ограничения удовлетворялись с вероятностью /3
при возможности а, где а и /3 — заданные доверительные уровни. Тогда
получим ограничения на шансы в следующей форме:
Ch{fl,-(a:,€) < 0,j = 1,2,...,р} (а) ^ 0. (21.1)
Замечание 21.1. Если случайно-нечеткий вектор £ вырождается в
случайный вектор и а > 0, тогда ограничение на шансы (21.1) вырождается в
ограничение вида
Рг{ф(я:,€К<и = 1,2>...1р}>0,
которое является обычным стохастическим ограничением на шансы
(вероятностным ограничением).
Замечание 21.2. Если случайно-нечеткий вектор £ вырождается в нечеткий
вектор и /3 > 0, тогда ограничение на шансы (21.1) вырождается в ограничение
Pos{gj{x, £) < 0, j = 1,2,... ,р} ^ а,
21.2. Максимаксное программирование с ограничениями на шансы 335
которое является обычным нечетким ограничением на шансы (возможностным
ограничением).
Иногда можно использовать следующие раздельные ограничения на
шансы:
С11{ф(а:,0<О}(а,-)£#, j = l,2,...,p, (21.2)
где а-,- и Pj — доверительные уровни для j = 1,2, ...,р. Поскольку
элементарные шансы Ch{gj-(a:,£) ^ 0} есть функция из [0,1] в [0,1], молено
также задать две последовательности доверительных уровней Qji,Qj2,...,QjS и
Pji,Pj2, ■■■,Pjs, а затем воспользоваться следующими ограничениями на
шансы:
Ch{gj{x,£) ^ 0} (ajk) > Pjk, k = l,2,...,s,j = 1,2,...,р.
(21.3)
21.2. Максимаксное программирование
с ограничениями на шансы
В тех случаях, когда требуется максимизировать оптимистическое значение
случайно-нечеткой критериальной функции при некоторых ограничениях на
шансы, получаем следующую формулировку случайно-нечеткой
максимаксной ССР-модели:
max /
при ограничениях:
Ch {/(*,€)£/} (7) £Л.
Ch{gj(x,£) ^ 0} (а,-) ^ Ph j = 1,2,... ,р,
(21.4)
где а и р — предопределенные заранее уровни доверия для j = 1,2,... ,р.
Модель (21.4) называется максимаксной вследствие того, что она эквивалентна
следующей модели
тахтах/
х 7
при ограничениях:
Ch{f{x^)^J}(j)^6,
Ch{9j(x,£) < 0}(q,-) > Pj, j = 1,2,....p,
где max/ есть (7, <5)-оптимистическое значение функции дохода.
Замечание 21.3. Если случайно-нечеткий вектор £ вырождается в
некоторый случайный вектор, тогда модель (21.4) вырождается в модель следующего
вида:
max /
при ограничениях:
r*{f(*,e)>7}>6, (2L5)
Pr{gj(x,t) ^ 0} ^ Pj, j = 1,2,... ,р,
которая представляет собой обычную стохастическую ССР-модель.
336 Глава 21. Случайно-нечеткое программирование с ограничениями на шансы
Замечание 21.4. Если случайно-нечеткий вектор £ вырождается в некоторый
нечеткий вектор, тогда модель (21.4) вырождается в модель следующего вида:
max /
при ограничениях:
Pos{/(a:,0^7}^7.
Pos{gj-(a:,£) < 0} ^ otj, j = 1,2,...,р,
(21.6)
которая представляет собой обычную нечеткую ССР-модель.
В реальных задачах может быть несколько показателей (критериев).
Для этого случая можно воспользоваться следующей максимаксной моделью
случайно-нечеткого многокритериального программирования с
вероятностными ограничениями:
max \fi,f2,---,fm]
при ограничениях:
СЬ{Мх,£)>7г}Ы>Ь, г = 1,2,...,т,
СЬ{Л-(я:,0<О}(а^&, j = l,2,...,p,
(21.7)
где 7г и 5i—доверительные уровни. Такая многокритериальная ССР-модель
(17.8) будет эквивалентна следующей модели:
max
х
max fx, max /2,..., max fn
/l /2 /m
при ограничениях:
Ch{fi(x,^) ^ J,} (Ъ)^6и i = l,2,...,m,
Ch {9j(x, £) < 0} (a,-) >Pj, j = 1,2,... ,p,
где max/j представляют собой (ji, ^-оптимистические значения функций
дохода fi(x, £), г = 1,2,..., m, соответственно.
Если лицу, принимающему решение, задана некоторая структура
приоритетов и целевых уровней, тогда можно построить следующую миниминную
целевую ССР-модель для случайно-нечеткой системы принятия решений:
I m
min J2 рз £ (uijdT + vijdT)
j=l i=l
при ограничениях:
Ch {£(*,£)-6* <d+}(7+)^, i = l,2,...,m, (21.8)
Ch{bi - fi(x,£) < d~} (7-) ^ 5~, i = 1,2,...,m,
Chte^KOXa,):^, j = l,2,...,p,
df,d~^0, i = l,2,...,m,
где Pj — коэффициент преимущественного приоритета, который выражает
относительную важность различных целей, Pj S> Pj+i, для всех j; ity —весовые
21.3. Минимаксное программирование с ограничениями на шансы 337
коэффициенты, соответствующие положительному отклонению для цели i с
присвоенным ей приоритетом j; г>у — весовые коэффициенты,
соответствующие отрицательному отклонению для цели г с присвоенным ей приоритетом
j; df представляет собой (7*, <^")-оптимистическое положительное отклонение
от назначенного уровня г-й цели, определяемое как
mm {d V 0 | Ch {fi(x,£)-Ы< d} (7+) >6+}, (21.9)
d~ представляет собой (7г~, £~)-оптимистическое отрицательное отклонение от
назначенного уровня г-й цели, определяемое как
min {d V 0 | Ch {bt - ft(x,t) ^ d} (7Г) >Sr}, (21.10)
bi — назначенный уровень, соответствующий г-й цели; I — число приоритетов.
Замечание 21.5. Если случайно-нечеткий вектор £ вырождается в
детерминированный вариант, тогда шансы Ch {fi(x,£) — bi ^ d*} и
Ch{bj — fi(x,g) ^ d~} имеют всегда вероятность 1 при возможности 1, при
условии, что 7^>7Г > 0 и ^Т^Г ^ 0- Более того,
сь {мх, s-k^dt} (7+) > s+, 4 > о,
Ch {h - fi(x, О ^ dr } (7~) ^ Д-, d~ > 0,
дает, что
dt = [fi(*, О - bi] V 0, и," = [bi - fi{x, £)] V 0.
Это совпадает со случаем детерминированного целевого программирования.
Замечание 21.6. В детерминированном целевом программировании по
крайней мере одна из величин d~ и df будет положительной. В случайно-нечетком
целевом программировании с ограничениями на шансы вполне возможно, что
положительными будут обе эти величины.
21.3. Минимаксное программирование
с ограничениями на шансы
В противоположность максимаксным ССР-моделям, если требуется
максимизировать пессимистическое значение случайно-нечеткой критериальной
функции при некоторых ограничениях на шансы, получаем следующую
формулировку случайно-нечеткой минимаксной ССР-модели:
max min/
х у
при ограничениях: (2Л ЛЛ\
1 Ch{f(x,^)^J}{1)^6,
{ Oifo-foO^O} (a,-) £/?,-, j = l,2,...,p,
где а и р — предопределенные заранее доверительные уровни для j =
1,2,... ,р, a min/ — (7, <5)-пессимистическое значение дохода.
338 Глава 21. Случайно-нечеткое программирование с ограничениями на шансы
Если в задаче несколько показателей (критериев), тогда получаем
следующую минимаксную модель случайно-нечеткого многокритериального
программирования с вероятностными ограничениями:
max
х
min Д, min /2, ..., min /„
L /i /2 /m
при ограничениях:
СЬ{Д(а:,0<7ЛЫ£&. i = l,2,...,m,
Oifo-fa,*) ^ 0} (a,-) ^ /3,-, J = 1.2, • ■ ■ ,Р,
(21.12)
где min Д есть (т», (^-пессимистические значения функций дохода fi(x, £), г =
1,2,..., т, соответственно.
Для случайно-нечеткой системы принятия решений можно также
сформулировать задачу минимаксного случайно-нечеткого целевого
программирования с ограничениями на шансы, следуя структуре приоритетов и целевым
уровням, установленным лицом, принимающим решение:
min £ Pj £
х
j=l i=l
Uij I maxd~l V 0 ) + % I maxc^ V 0 j
(21.13)
при ограничениях:
Ch {fi{x,Z) -bi^d?} (7+) ^ 6+, i = 1,2,.. .,m,
Ch{bi-/i(a;,C)^rfr}(7r)^^r. *=l,2,...,m,
Ch{5j(a:,£) ^ 0} (a,-) ^ ft, j = 1,2,... ,p,
где Pj — коэффициент преимущественного приоритета, который выражает
относительную важность различных целей, Pj 3> Pj+i, для всех j; Uij —весовые
коэффициенты, соответствующие положительному отклонению для цели i с
присвоенным ей приоритетом j; Vij — весовые коэффициенты,
соответствующие отрицательному отклонению для цели г с присвоенным ей приоритетом j;
df представляет собой (7^,^)-пессимистическое положительное отклонение
от назначенного уровня г-й цели, определяемое как
max {d V 0 | Ch{ft(x,£) - h > d} (7+) ^ 6+} ,
(21.14)
dt представляет собой (7i ,Si )-пессимистическое отрицательное отклонение
от назначенного уровня г-й цели, определяемое как
max{dV0 | Ch{bi-fi(x,e) > d}[7r) > 6r} , (21.15)
bi — назначенный уровень, соответствующий г-й цели; I — число приоритетов.
Замечание 21.7. Если случайно-нечеткий вектор £ вырождается в
детерминированный случай, тогда шансы Ch {fi(x, £) — bt ^ df} и
Ch{bi — fi(x,£) ^ d^} имеют всегда вероятность 1 при возможности 1, при
условии, что 7*17Г > 0 и 5+,5~ > 0. Более того, из
Ch {Мх, £)-Ь>> d+ } (7+) >6+, Ch {h - Мх, С) > d~ } (7r) > йг
21.4. Теорема эквивалентности 339
следует, что
4 V 0 = \fi(x, О - Ы] V 0, d~ V 0 = [bi - fi(x,t)] V 0.
Это совпадает со случаем детерминированного целевого программирования.
21.4. Теорема эквивалентности
Пусть £ = (£х, £2)i гДе €i — случайный вектор, а £2 — некоторый нечеткий
вектор с функцией принадлежности ц. Какую из моделей следует использовать
для решения задач этого вида, случайно-нечеткую или нечетко-случайную?
Если желательно, чтобы случайно-нечеткие ограничения gjix,^,^) ^ 0>
j = 1,2,...,р, удовлетворялись с вероятностью /3 при возможности а, тогда
получаем следующее случайно-нечеткое ограничение на шансы:
Ch{gj(x,£1,Z2)^0,j = l,2,...,p}(a)>p. (21.16)
То есть
PoslPrto(я,$!,&,) ^ 0, j = 1,2,.. .,р} ^ Р} > а.
Другими словами, существует некоторый четкий (crisp) вектор г) такой, что
ц(г)) ^а, Pi{gj(x,^1,r)) ^ 0, j = 1,2,.. .,р} ^ /3,
откуда следует, что
Pr{Pos{gj(x,Z1,S2)^0J = l,2,...,p}2a}2P.
Из определения случайно-нечеткого ограничения на шансы следует, что такое
ограничение (21.16) эквивалентно нечетко-случайному ограничению на шансы
вида
Ch{gj(x,^,^2) ^ 0, j= 1,2,...,р}(Р)^ а. (21.17)
Обратим теперь внимание на введенное ранее целевое ограничение. Здесь
(7, £)-оптимистическое значение случайно-нечеткого дохода f(x,£1,£2)
определяется как наибольшее значение /, которое удовлетворяет соотношению
СЬ {f(x,^,^) ^7} (1)>S. (21.18)
То есть существует некоторый четкий вектор г) такой, что
М(Ч)^Ч, Рг {/(а, *1,Ч) £/}£«,
откуда следует, что
Pr {Pos {f(x,^,^2) > /} > 7} > 6.
Это означает, что случайно-нечеткое целевое ограничение (21 18) эквивалентно
нечетко-случайному целевому ограничению
СЬ{/(я:,€1,€2)^7}№^7- (21-19)
Как следует из изложенного выше материала, выполнены условия
следующей теоремы.
340 Глава 21. Случайно-нечеткое программирование с ограничениями на шансы
Теорема 21.1. Предположим, что£х — случайный вектор, а£2 —некоторый
нечеткий вектор. Тогда случайно-нечеткая ССР-модель
max/
при ограничениях:
Ch{5i(a;,^,^2) ^ 0,j = 1,2,... ,р} (а) ^ Р,
эквивалентна нечетко-случайной ССР-модели вида
max/
при ограничениях:
Ch{gj{x,^,^2) ^0, j = 1,2,.. .,р}{Р) > а.
Эта теорема гарантирует возможность формулировать задачи этого вида с
использованием как случайно-нечеткой, так и нечетко-случайной ССР-модели.
Оба этих способа дадут один и тот же результат.
21.5. Разновидности моделей программирования
с ограничениями на шансы
Выше был введен в рассмотрение ряд случайно-нечетких ССР-моделей с
элементарными шансами Ch^"p. На самом деле эта мера шансов может быть
заменена на сь^р, ch£p, ch£f, Ch£f и Ch1^ , что порождает ряд разновидностей
случайно-нечетких ССР-моделей. Рассмотрим оптимальные решения для
следующих моделей:
max/
при ограничениях:
ChsPup {/(*,£) ^/}(7):М,
I Chspup {9j(x,0 < 0, j = 1,2,... ,р} (а) £ /?,
max/
при ограничениях:
Ch~p {/(*,£) ^ /} (7) > 5,
Chs^p {gj(x, О ^ 0, j = 1,2,... ,р} (а)>Р,
max/
при ограничениях:
Chs»p{f(x,Z)>J}(j)>6,
{ Chs»p{gj(x,S)^0,j = l,2,...,p}(a)>p.
(21.20)
(21.21)
(21.22)
21.6. Гибридный алгоритм 341
Теорема 21.2. Если fp, /дг и fc — оптимальные значения целевых функций
для моделей (21.20), (21.21) и (21.22), соответственно, тогда имеет место
соотношение /дг ^ fc ^ fp-
Доказательство: Используем, для удобства, обозначения Sp, Sn и Sc для
множеств допустимых решений моделей (21.20), (21.21) и (21.22),
соответственно. Тогда для любого х G Sn имеет место соотношение Ch^p{gj(a:,£) ^ 0,
j" = 1,2,... ,р}(а) ^ р. Из теоремы 19.4 следует, что
То есть, х € Sc- Следовательно, Sn Q Sc- Аналогичным образом можно
доказать, что Sc Q Sp. Отсюда получаем Sn С Sc Q Sp. С другой стороны, по
теореме 19.4 имеем, что
fc = max max {/ | Chscup {f(x, £) > J} (7) > 6} <^
XGoc f
^ max max {/ | Ch^up {f(x, £) > /} (7) > 6} ^
^ max max {/ | Ch^up {f(x, £) ^ /} (7) > 6} =
X€op f
= fp-
С помощью аналогичного процесса можно показать, что /дг ^ fc-
Следовательно, условия теоремы удовлетворяются.
Кроме того, в работе (Liu and Liu [192]) построена серия случайно-нечетких
ССР-моделей с равновесной мерой шансов и средней мерой шансов.
21.6. Гибридный алгоритм
В данном разделе объединим средства случайно-нечеткого имитационного
моделирования, нейронную сеть и генетический алгоритм, чтобы получить
вариант гибридного алгоритма, позволяющий решать задачи с
использованием случайно-нечетких ССР-моделей. Вначале сформируем обучающий набор
вход-выходных данных для неопределенных функций, используя случайно-
нечеткое имитационное моделирование. Затем с применением полученного
обучающего набора построим нейронную сеть, которая будет аппроксимировать
требуемые неопределенные функции. После этого, встроим полученную
нейронную сеть в генетический алгоритм и получим гибридный алгоритм (Liu
[183]), предназначенный для решения задач рассматриваемого вида. В сжатом
виде данный гибридный алгоритм можно представить следующим образом.
342 Глава 21. Случайно-нечеткое программирование с ограничениями на шансы
Алгоритм 21.1. Гибридный алгоритм
Шаг 1. Сформировать набор данных, состоящий из вход-выходных пар для
неопределенных функций вида
Ut : х -» Сп{Л(х,£) ^ 0,j = 1,2,...,р}(а),
U2 : х - max {/ | Ch {/(х, £) ^ /} (а) 2 Р}
с использованием случайно-нечеткого имитационного моделирования.
Шаг 2. Провести обучение нейронной сети для аппроксимации
неопределенных функций, используя полученный на предыдущем шаге обучающий
набор.
Шаг 3. Инициализировать pop_size хромосом, допустимость которых может
быть проверена с помощью нейронной сети, обученной на предыдущем
шаге.
Шаг 4. Модифицировать хромосомы, используя операции кроссинговера и
мутации, в которых допустимость потомков может быть проверена с
помощью обученных нейронных сетей.
Шаг 5. Рассчитать значения целевых функций для всех хромосом с помощью
обученных нейронных сетей.
Шаг 6. Вычислить приспособленность каждой из хромосом, основываясь на
значениях целевой функции.
Шаг 7. Произвести селекцию хромосом, используя случайный выбор.
Шаг 8. Повторить шаги с четвертого по седьмой заданное число раз.
Шаг 9. Объявить лучшую из хромосом оптимальным решением.
Приведем ниже несколько численных примеров, рассчитанных на
персональном компьютере, со следующими значениями параметров: размер
популяции 30; вероятность Рс кроссинговера 0.3; вероятность Рт мутации 0.2;
значение параметра а в функции оценки, основанной на ранжировании, равняется
0.05.
Пример 21.1. Рассмотрим следующую случайно-нечеткую максимаксную
ССР-модель:
max/
при ограничениях:
< Ch {^ххжз + &х2х4 ^ /} (0-95) ^ 0.90,
Ch{(£3 + xi+ х2)(£4 + х3 + х4) ^ 30} (0.90) ^ 0.85,
Xi,X2,X3,X4 ^ 0,
где ^1,^2,^3^4 — случайно-нечеткие величины, определяемые следующим
образом:
6 - Я{р, 1) при (1р{х) = [1 - {х - I)2] V 0,
& ~ Щр, 1) при (ip(x) = [1 - (х - 2)2] V 0,
& ~ Щр, 1) при р,р(х) = [1 - (х - З)2] V 0,
& - Щр, 1) при Мр(х) = [1 - (х - 4)2] V 0.
21.6. Гибридный алгоритм 343
Для того чтобы решить задачу с использованием этой модели,
сформируем с помощью случайно-нечеткого имитационного моделирования набор вход-
выходных пар для неопределенной функции U : х —> (Ui(x), U2(x)), где
E7i(sc) = max {/ | Ch {£1X12:2 + £2^3X4 ^ /} (0-95) ^ 0.90} ,
U2(x) = Ch {(& + xi + х2)(£4 + хз + х4) ^ 30} (0.90),
На основе полученных данных проведем обучение нейронной сети прямого
распространения (4 нейрона во входном слое, 8 нейронов в скрытом слое, 2
нейрона в выходном слое), аппроксимирующей функцию U. После этого объединим
нейронную сеть с генетическим алгоритмом, чтобы получить требуемый
гибридный алгоритм.
Исполнение данного гибридного алгоритма (5000 циклов процесса нечетко-
случайного имитационного моделирования, 3000 вход-выходных пар в
обучающем множестве для нейронной сети, 600 поколений в генетическом алгоритме)
показало, что искомое оптимальное решение имеет вид
(х1,х1,х$,х1) = (0.000,1.303,0.000,1.978)
со значением целевой функции для него, равным 2.85. Имеем, кроме того, что
Ch {£ix^ + &x*2xl > 2.85} (0.95) ю 0.90,
Ch {(£3 + х\ + x$)(U + х* + х%) < 30} (0.90) ю 0.85.
Пример 21.2. Вернемся к примеру с вырожденной нечетко-случайной ССР-
моделью, рассмотренному в гл. 17. Здесь мы сформулируем данный пример с
использованием случайно-нечеткой ССР-модели:
min/
при ограничениях:
Ch{10 - (£ci + 77x2 + 0x3) ^ /}(0.90) > 0.95,
Ch{(6 + xi + сх2)(т + х3) < 10}(0.80) ^ 0.90,
Xi,X2,X3 ^ 0,
где £, т), т — нормально распределенные величины Л/"(5,1), Л/"(4,1), Л/"(3,1), а а,
Ь, с — нечеткие величины с функциями принадлежности
А<а(д) = 1 + /3._1ч2' ^~ь(х) = [1 - (* ~ 2)2] v 0. Mc(z)=exp[-|x-3|],
соответственно.
Сформируем вначале с помощью случайно-нечеткого имитационного
моделирования набор из вход-выходных пар для неопределенной функции U : х —*
(Ui(x)tU2(x)),r&
Ui(x) = min {/ I Ch{10 - (£xx + щ2 + ax3) < 7}(0-90) > 0.95} ,
U2(x) = Ch{(b + xt+ сх2){т + x3) ^ 10}(0.80).
344 Глава 21. Случайно-нечеткое программирование с ограничениями на шансы
На основе полученных данных проведем обучение нейронной сети прямого
распространения (3 нейрона во входном слое, 6 нейронов в скрытом слое, 2
нейрона в выходном слое), аппроксимирующей функцию U. После этого объединим
обученную нейронную сеть с генетическим алгоритмом, чтобы получить
требуемый гибридный алгоритм.
Применение данного гибридного алгоритма (5000 циклов процесса нечетко-
случайного имитационного моделирования, 2000 примеров в обучающем
множестве для нейронной сети, 300 поколений в генетическом алгоритме)
показывает, что искомое оптимальное решение имеет вид
{х{,х$,хз) = (0.6604,0.0000,0.2523)
со значением целевой функции для него, равным 7.45. Это оптимальное
решение идентично тому, что было получено для нечетко-случайной ССР-модели
в гл. 17. Этот результат совпадает с теоремой 21.1.
Пример 21.3. Рассмотрим теперь применение построенного выше
гибридного алгоритма для решения задачи с использованием следующей случайно-
нечеткой целевой ССР-модели:
lexmin {d+, d£, d^ }
при ограничениях:
Ch {(& + zi)(qi + x2) - 12 ^ d+} (0.95) ^ 0.90,
Ch {(& + z3)(772 + xA) - 20 ^ df} (0.90) ^ 0.85,
Ch {(ff - xix2x3x4/r)3) - 5 < d+} (0.85) ^ 0.80,
xi,x2, x3,X4,df,dJ,d£ ^ 0,
где &, T]i(i — 1,2,3) — случайно-нечеткие величины, определяемые следующим
образом:
6 ~ Щр, 1) при (ip(x) = 1/[1 + \х- 1|],
& ~ Щр, 1) при »р(х) = 1/[1 + \х- 2|],
& ~ Щр, 1) при цр{х) = 1/[1 + \х- 3|],
771 ~ £ХР(р) при fip(x) = [1 - (а; - I)2] V 0,
т?2 ~ £XV{p) при (ip(x) = [1 - (х - 2)2] V 0,
77з ~ £ХР{р) при р,р{х) = [1 - (х - З)2] V 0.
Для того, чтобы решить задачу с использованием этой модели,
сформируем вначале с помощью нечетко-случайного имитационного моделирования
набор из 2000 вход-выходных пар для неопределенной функции U : (х) —>
(U1(x),U2(x),U3(x)),rAe
Ui(x) = min {d | Ch{(£i + a^fo + x2) ^ d} (0.95) ^ 0.90} ,
U2(x) = min {d J Ch {(& + a:3)(»72 + x4) ^ d) (0.90) ^ 0.85} ,
U3(x) = min {d J Ch {£f - хгх^зх^т ^ d} (0.85) > 0.80} .
21.6. Гибридный алгоритм 345
Имеем тогда, что
d+ = [Ui (x) - 12] V 0, d+ = \U2{x) - 20] V 0, 4 = [Из(эв) - 5] V 0.
Проведем обучение нейронной сети прямого распространения (4 нейрона во
входном слое, 15 нейронов в скрытом слое, 3 нейрона в выходном слое),
аппроксимирующей неопределенную функцию U согласно данным, полученным
при моделировании. После этого объединим обученную нейронную сеть с
генетическим алгоритмом.
Запуск полученного гибридного алгоритма (5000 циклов процесса нечетко-
случайного имитационного моделирования, 2000 вход-выходных пар в
обучающем множестве для нейронной сети, 6000 поколений в генетическом алгоритме)
показал, что искомое оптимальное решение имеет вид
(xl,X2,xl,x*4) = (2.0892,1.7405,1.5499,2.3149).
Это решение удовлетворяет первым двум целям, но для третьей цели величина
положительного отклонения составляет 1.57. Имеем, кроме того, также, что
Ch {(& + xDirn + x*2) < 12} (0.95) » 0.90,
Ch{(& +х1){г}2 +х*4) < 20} (0.90) « 0.85,
Ch{f| - х^х^хЦщ < 6.57} (0.85) и 0.80.
Глава 22
Случайно-нечеткое событийное
программирование
В работе (Liu [184]) рассмотрен ряд разновидностей случайно-нечетких
моделей событийного программирования (DCP-моделей), основная идея
которого состоит в выборе решения с максимальными шансами появления
определенного события. В данной главе излагаются теоретические основы случайно-
нечеткого событийного программирования, а также производится
соответствующее объединение случайно-нечеткого имитационного моделирования,
нейронной сети и генетического алгоритма, приводящее к получению
отвечающего данному случаю гибридного алгоритма, позволяющего решать задачи с
использованием случайно-нечетких DCP-моделей.
22.1. Принцип неопределенности
Неопределенная среда, событие и функция шансов события представляют
собой ключевые элементы концепции событийного программирования.
Переопределим эти понятия применительно к случайно-нечеткой системе принятия
решений, а также введем соответствующий принцип неопределенности.
Под неопределенной средой (в данном случае — случайно-нечеткой средой)
будем понимать случайно-нечеткие ограничения, представляемые как
<&(*,€)< 0, j = l,2,...,p, (22.1)
где х— вектор решений, а £ — некоторый случайно-нечеткий вектор.
Под событием будем понимать некоторую систему неравенств
Л*(*,О<0, ft = l,2,...,q. (22.2)
Функция шансов некоторого события £, характеризуемого соотношением
(22.2), определяется как мера шансов рассматриваемого события
f(x) = Ch{hk{x, i) < 0, k = 1,2,..., q} (22.3)
с учетом неопределенной среды (22.1).
Для каждого решения х и реализации £ про некоторое событие £ говорят,
что оно согласовано с неопределенной средой, если выполняются следующие
два условия: (i) hk(x,£) < 0, к = 1,2,.. .,q; и (ii) gj(x,£) < 0, j G J, где J —
множество индексов всех зависимых ограничений.
22.2. Событийное программирование 347
Принцип неопределенности: Шансы некоторого случайно-нечеткого
события — это шансы того, что событие согласовано с заданной неопределенной
средой.
Примем, что имеется т событий £i, характеризуемых соотношениями
hikfaiZ) ^ 0,/с = 1,2,...,qi, для г = 1,2,...,т в неопределенной среде
gj(x, £) < 0, j = 1,2,... ,р. Из принципа неопределенности следует, что
функция шансов г-го события £j в заданной неопределенной среде определяется
как
Л^ = СЧмЙк*о^2 *}■ <22'4>
где Ji определяется через
Ji = {j G {1,2, ...,р} | gj(x,£) ^0 — зависимое ограничение для £{\
для i = 1,2,. ..,т.
22.2. Событийное программирование
Если воспользоваться понятием а-шансовой меры, тогда случайно-нечеткую
DCP-модель можно сформулировать следующим образом:
' maxCh{/ifc(x,O<0,/c=l,2,...,q}(a)
< при ограничениях: (22.5)
9з(х,£)^0, j = 1,2,...,р,
где х — n-мерный вектор решений, £ — случайно-нечеткий вектор, событие £
характеризуется соотношением hk(x, £) < 0, к = 1,2,..., q, параметр а есть
заданный уровень возможности, а неопределенная среда описывается случайно-
нечеткими ограничениями gj(x,£) < 0, j = 1,2,... ,р.
Замечание 1. Если случайно-нечеткий вектор £ вырождается в случайный
вектор, тогда для любого данного a > 0 имеет место соотношение
Ch{/iJt(x1O<0,fc=l,2,...,qf}(Q)=Pr{/iJt(x,O<0,fc=l12,...,q}.
Таким образом модель (22.5) принимает вид:
max Pr {hk{x, £) < 0, к = 1,2,..., q}
< при ограничениях: (22.6)
5j(a;,O<0, j' = l,2,...,p,
которая представляет собой обычную задачу стохастического событийного
программирования.
Замечание 2. Если случайно-нечеткий вектор £ вырождается в нечеткий
вектор, тогда для любого данного а имеет место соотношение
Ch{/iJt(x>O<0,fc = l,2,...,9}(a) = l,
348 Глава 22. Случайно-нечеткое событийное программирование
если Pos {hk(x, £) < 0, к = 1,2,..., q} ^ а, и 0 в противном случае.
Упрощенно говоря, максимизация шансов Ch {hk{x, £) < 0, к = 1,2,..., q} (а) влечет за
собой максимизацию возможности Pos {hk{x, £) < 0, к = 1,2,..., q}. Таким
образом, модель (22.5) принимает вид:
max Pos {hk{x, £) < 0, к = 1,2,..., q}
при ограничениях:
#(а:,£)<0, j = l,2,...,p,
(22.7)
что представляет собой обычную задачу нечеткого событийного
программирования.
Если в рассматриваемой неопределенной среде определено несколько
событий, тогда получаем такую формулировку случайно-нечеткой
многокритериальной DCP-задачи:
Ch{/nJt(x,O<0,fc = l,2)...,9i}(ai)
Ch{/i2fc(x,O<0,fc=l,2,...,q2}(a2)
max
Ch {hmk(x, £) < 0, к = 1,2,..., qm} (am)
(22.8)
при ограничениях:
«fcfoCKO, J = 1,2,.
•iP,
где события £, характеризуются соотношениями hik(x,£) < 0,/с = 1,2, ...,д»,
а а^ представляют собой заданные уровни возможности, г = 1,2,... ,т,
соответственно.
Для случайно-нечеткой системы принятия решений можно
сформулировать, согласно структуре приоритетов и целевым уровням, установленным
лицом, принимающим решение, следующую модель случайно-нечеткого целевого
событийного программирования:
min Ё pj £ (uijd? + v^ )
при ограничениях:
5j(a:,f)<0, j
d?,d->0, i-.
1,2,.
= 1,2,.
1,2,.
(22.9)
,m,
,P,
,m,
где Pj — коэффициент преимущественного приоритета, который выражает
относительную важность различных целей, Pj 3> Pj+i, для всех j; Uij — весовой
коэффициент, отвечающий положительному отклонению для цели г с
присвоенным ей приоритетом j; ^—весовой коэффициент, отвечающий
отрицательному отклонению для цели г с присвоенным ей приоритетом j; d* —
положительное отклонение от назначенного уровня г-й цели; d~ — отрицательное от-
22.4. Гибридный алгоритм 349
клонение от назначенного уровня г-й цели; сц — заданный уровень
возможности; <7j — функция в системных ограничениях; bi — назначенный уровень,
соответствующий г-й цели; I — число приоритетов; т — число целевых
ограничений; р — число системных ограничений.
22.3. Разновидности моделей событийного
программирования
Как и в нечетко-случайном программировании, для задач, рассматриваемых в
данной главе, требуется сформировать порядок предпочтений таким образом,
чтобы рассматриваемые решения можно было бы ранжировать в случайно-
нечеткой среде. Здесь можно использовать, в частности, меры на основе
элементарных шансов, а-шансов, равновесных шансов и средних шансов.
Рассмотрим следующие случайно-нечеткие DCP-модели:
' maxCh^p{/ifc(a;,0 <0,/c= 1,2,.. .,q} (а)
< при ограничениях: (22.10)
9i(x,£)^0,j = l,2,...,p,
' maxCh™p{hk(x,£)^0,k=l,2,...,q}(a)
< при ограничениях: (22.11)
5j(sc,0 <0,j = l,2,...,p,
' maxCticip{hk(x,S)^0,k=l,2,...,q}(a)
< при ограничениях: (22.12)
9j(x,£) <0,j = 1,2,...,p.
Теорема 22.1. Пусть fp, /дг и fc — оптимальные значения целевых
функций для моделей (22.10), (22.11) и (22.12), соответственно. Имеем тогда,
что fN < fc < fp.
Доказательство: Из принципа неопределенности следует, что
fP = maxChsPup{fcfc(a:,0 < O.ft = 1,2,. ..,q;ft-(x,0 < 0,j e J}(a),
fN = maxChs^p {/ijt(x,0 < 0,k = 1,2,... ,q;gj(x,Z) < 0, j G J} (a),
fc = maxCh^up {/ijt(x,0 < 0,fc = 1,2,... ,q;gi{x,£) < 0, j e J} (a),
где J — множество индексов всех зависимых ограничений. Из теоремы 19.4
следует, что fN < fc < fp.
Кроме того, в работе (Liu and Liu [186]) построена серия нечетко-случайных
DCP-моделей с равновесной мерой шансов.
22.4. Гибридный алгоритм
В данном разделе выполним объединение случайно-нечеткого
имитационного моделирования, нейронных сетей и генетического алгоритма в гибридный
350 Глава 22. Случайно-нечеткое событийное программирование
алгоритм, позволяющий решать задачи с использованием случайно-нечетких
DCP-моделей. Вначале сформируем обучающий набор вход-выходных данных
для неопределенных функций, используя случайно-нечеткое имитационное
моделирование. Затем с применением полученного обучающего набора построим
нейронную сеть, которая будет аппроксимировать требуемые неопределенные
функции. После этого встроим полученную нейронную сеть в генетический
алгоритм и получим гибридный алгоритм (Liu [184]), предназначенный для
решения задач рассматриваемого вида. В сжатом виде данный гибридный
алгоритм можно представить следующим образом.
Алгоритм 22.1. Гибридный алгоритм
Шаг 1. Сформировать обучающий набор вход-выходных пар для
неопределенных функций вида
U : х — Ch{hk(x,£) ^ 0,fc = 1,2,... ,g; ffj(x,£) ^ 0, j 6 J} (a)
с использованием случайно-нечеткого моделирования.
Шаг 2. Обучить на полученном наборе нейронную сеть, которая
аппроксимирует указанные неопределенные функции.
Шаг 3. Инициализировать pop_size хромосом для генетического алгоритма.
Шаг 4. Модифицировать хромосомы с помощью операций кроссинговера и
мутации.
Шаг 5. Вычислить значения целевой функции для всех хромосом, используя
обученную нейронную сеть.
Шаг 6. Найти значение приспособленности для каждой хромосомы,
основываясь на значениях целевой функции.
Шаг 7. Произвести селекцию хромосом, используя случайный выбор.
Шаг 8. Повторить шаги с четвертого по седьмой заданное число раз.
Шаг 9. Выдать наилучшую из хромосом в качестве оптимального решения.
Дадим теперь несколько примеров, исполнявшихся на персональном
компьютере. В этих примерах были использованы следующие значения
параметров: размер популяции равнялся 30, вероятность кроссинговера Рс составляла
0.3, вероятность мутации Рт была принята равной 0.2, значение параметра а
в функции оценки, основанной на ранжировании, было принято равным 0.05.
Пример 22.1. В этом примере рассматривается случайно-нечеткая DCP-
модель, которая максимизирует шансы неопределенного события с учетом
детерминированных ограничений:
max Ch {f i^i + &х2 + Сз^з > 5} (0.9)
< при ограничениях:
х\ + х\ + xl < 4 ,
22.4. Гибридный алгоритм 351
где £i, ^2) £з~ случайно-нечеткие величины, определяемые как
& ~ Щр, 1) при цр(х) = 1/[1 + (х - I)2],
& ~ Щр, 1) при /ip(x) = 1/[1 + (х - 2)2],
& ~ Щр, 1) при /ip(x) = 1/[1 + (х~ З)2].
Сформируем набор вход-выходных пар для неопределенной функции
U : (хьх2,хз) -» Chftia;! +6*2 +&яз > 5} (0.9),
используя случайно-нечеткое имитационное моделирование. Обучим затем на
полученных данных нейронную сеть (3 нейрона во входном слое, 5 нейронов
в скрытом слое, 1 нейрон в выходном слое), которая будет аппроксимировать
функцию U. На завершающем этапе встроим нейронную сеть в генетический
алгоритм и получим гибридный алгоритм, требуемый для решения
рассматриваемой задачи.
Запуск данного гибридного алгоритма (6000 циклов процесса
имитационного моделирования, 2000 обучающих примеров для нейронной сети, 500
поколений для генетического алгоритма) показывает, что искомое оптимальное
решение имеет вид
(х1,а%,х$) = (0.6847,1.2624,1.3919),
для которого шансы представляют собой возможность 0.96 при
вероятности 0.9.
Пример 22.2. Рассмотрим следующую вырожденную случайно-нечеткую
DCP-модель:
{max Ch {xx + 2х2 + Зх3 + 4х4 = 12} (0.9)
при ограничениях:
х2+х2<£,
х2, + х2 < а,
где £ —экспоненциально распределенная случайная величина £XV (8), & а —
нечеткая величина с функцией принадлежности р,(а) = [1 — (a — З)2] V 0.
Единичное событие £ должно удовлетворять здесь условию xi + 2а;2 + 3хз +
4x4 = 12. Очевидно, что зависимый носитель £** включает в себя все
компоненты вектора решений. Таким образом, все ограничения в данной задаче
будут зависимыми ограничениями. Из принципа неопределенности следует, что
функция шансов для события £ будет иметь вид
{X! + 2х2 + Зх3 + 4х4 = 121
х2+х!<£ 1(0.9).
х| + х\ < a J
Чтобы решить эту задачу, закодируем решение в хромосоме V = (v\, v2, г>з)-
Декодирование хромосомы в требуемое допустимое решение может
выполняться в этом случае следующим образом:
xi=i>i, x2=ti2, х3 = г»з, х4 = -[12 - (vi + 2v2 + 3г>3)].
352 Глава 22. Случайно-нечеткое событийное программирование
Очевидно при этом, что условие х\ + 2х2 + Зяз + 4^4 = 12 всегда
удовлетворяется.
Сформируем набор вход-выходных пар для неопределенной функции U :
(г>1,г>2,г>з) —» f(xi,X2,X3,Xi\0.9), используя случайно-нечеткое имитационное
моделирование. Обучим затем на полученных данных нейронную сеть (3
нейрона во входном слое, 5 нейронов в скрытом слое, 1 нейрон в выходном слое),
которая будет аппроксимировать функцию U. Встроим затем обученную
нейронную сеть в генетический алгоритм и получим гибридный алгоритм,
требуемый для решения рассматриваемой задачи.
Исполнение данного гибридного алгоритма (6000 циклов процесса
имитационного моделирования, 2000 обучающих примеров для нейронной сети, 600
поколений для генетического алгоритма) показывает, что искомое
оптимальное решение имеет вид
(xl,x%,xZ,xZ) = (0.6356,1.1179,1.0894,1.4651),
для которого шансы есть возможность 0.87 при вероятности 0.9.
Пример 22.3. Рассмотрим следующую случайно-нечеткую целевую DCP-
модель:
lexmin {dJ~, d%, dJ }
при ограничениях:
Ch{a;i+a;5 = l}(0.9)+df
Ch {x2 + x3 = 2} (0.9) + <%
< Ch {xA + x6 = 3} (0.9) + dg
Xl ** f 1 ,
x\ + x\ + x\ < £2 ,
Z§ + *§ < & >
df,d~>0, » = l,2,3,
где $1,^2,^3,^4 —случайно-нечеткие величины, определяемые следующим
образом:
ft ~ £ХР(р) при цр(х) = [1 - (х - б)2] V 0,
6 ~ £XV{p) при цр(х) = [1 — (ас — 30)2] V 0,
& ~ £ХТ>{р) при fip(x) = [1-{х- 18)2] V 0.
На первом уровне приоритетов существует единственное событие,
обозначаемое как £\, в рассматриваемой случайно-нечеткой среде, которому
удовлетворяет условие Х\ + is = 1. Очевидно, что здесь носитель £\ = {х\,хь\ и
зависимый носитель £\* = {х\,Х5,хе}. Как следует из принципа
неопределенности, функция шансов для события £\ имеет вид:
{х\ + х5 = 1 ]
х\ < 6 } (0.9).
- df = 0.88,
- d% = 0.85,
- dt = 0.82,
22.4. Гибридный алгоритм 353
На втором приоритетном уровне существует некоторое событие Ei, для
которого выполняется условие Х2 + х3 = 2. В этом случае носитель £| = {^2,яз}
и зависимый носитель £|* = {x2,xs,Xi}. Из принципа неопределенности
следует, что функция шансов события £2 записывается так:
№lo.9) = ch{g + ^;J<6}(o.9).
На третьем приоритетном уровне существует некоторое событие £з> для
которого выполняется условие х$ + хе = 3. В этом случае носитель ££ = {х^,хе}
и зависимый носитель £|* = {а:2> ^31 Х4,Х5,х^}. Из принципа неопределенности
следует, что функция шансов события £з записывается так:
{х4 + хе = 3 1
zl+zl+^^6 W0.9).
4+4<6 J
Для того чтобы решить задачу с использованием данной целевой случайно-
нечеткой DCP-модели, закодируем искомое решение хромосомой V =
(г>1,г>2,г>з), для которой отображение из хромосомы в требуемое решение
выполняется следующим образом:
Я1=г>ъ х2 = v2, x3 = 2-V2, X4=v3, а;5 = 1-г)1, x6 = 3 — v3.
Используем случайно-нечеткое имитационное моделирование, чтобы
сформировать набор вход-выходных пар для неопределенной функции: U :
(г>1,г>2,г>з) —* (/1(ж|0.9),/2(ж|0.9),/з(а;|0.9)) Затем проведем обучение
нейронной сети прямого распространения для аппроксимации функции U. После
этого встроим полученную обученную нейронную сеть в генетический алгоритм,
что приводит к гибридному алгоритму. Запуск данного алгоритма (6000
циклов процесса имитационного моделирования, 3000 обучающих примеров для
нейронной сети, 1000 поколений для генетического алгоритма) приводит к
получению оптимального решения вида
х* = (0.4005,1.0495,0.9505,1.7574,0.5995,1.2427),
которое удовлетворяет первой и второй целям, но отклонение для третьей цели
составляет 0.05. Имеем также, что
/i(sc*|0.9) и 0.88, /2(ж*|0.9) и 0.85, /3(а;*|0.9) и 0.77.
Часть VII
ОБЩИЕ
ПРИНЦИПЫ
Глава 23
Многократная неопределенность
В этой книге обсуждались три основных вида неопределенности: случайность,
нечеткость и неточность. При этом случайная величина представляет собой
измеримую функцию из вероятностного пространства на вещественную прямую,
нечеткая переменная — функцию из возможностного пространства на
вещественную прямую, неточная переменная — измеримую функцию из
пространства приближений на вещественную прямую.
Все большее и большее внимание привлекает многократная
неопределенность. Нечетко-случайная величина представляет собой измеримую функцию
из вероятностного пространства в набор нечетких величин, в то время как
случайно-нечеткая величина есть некоторая функция из возможностного
пространства в набор случайных величин. В данной книге вводятся также
следующие виды величин с двукратной неопределенностью:
- случайно-неточная величина,
- неточно-случайная величина,
- нечетко-неточная величина,
- неточно-нечеткая величина,
- бислучайная (случайно-случайная) величина,
- бинечеткая (нечетко-нечеткая) величина,
- бинеточная (неточно-неточная) величина,
а также даются определения величин с многократной неопределенностью
более общего вида, таких как трислучайная (trirandom) величина, тринечеткая
(trifuzzy) величина и тринеточная (trirough) величина.
23.1. Случайно-неточные величины
Упрощенно говоря, случайно-неточная величина есть неточная величина,
определенная на универсальном множестве случайных величин.
Определение 23.1. Случайно-неточная величина представляет собой
некоторую функцию £ из пространства приближений (Л, А,Л,7г) в набор
случайных величин такую, что для любого борелевского мноэюества В из SR
Г(В)(А)=Рг{£(А)€В} (23.1)
является измеримой функцией от А.
23.1. Случайно-неточные величины 355
Определение 23.2. Пусть /: SR" —► 5? — некоторая непрерывная
функция, a £i — случайно-неточные величины, определенные на (Ai,Ai,Ai,iTi),
i = 1,2, ...,п, соответственно. Тогда £ = /(£1,62, ■ • ■ An) есть случайно-
неточная величина на произведении пространств приближений (Л, А,А,тг),
определяемая как
€(*!, А2,..., An) = /(6(Ai),6(A2), ■ ■ ■, Сп(А„)) (23.2)
для всех (Aj, A2,. - -, А„) £ Л.
Определение 23.3. Пусть £ — некоторая случайно-неточная величина,
определенная на пространстве приближений (Л, А,Л,7г). Тогда ее (среднее)
ожидаемое значение определяется в виде:
Е[£]= Tr{AGA|Bfc(A)]^r}dr- / Tr {A G Л | £[£(А)] < г} dr.
JO J-00
Определение 23.4. Пусть £ — некоторая случайно-неточная величина с
конечным значением среднего ожидаемого значения Е[£]. Рассеяние величины £
определяется выражением: V[£] = Е [(£ — i?[£])2].
Теорема 23.1. Пусть £ и Т] — случайно-неточные величины с конечными
средними ожидаемыми значениями. Тогда для любых действительных чисел
а и b имеем, что
Е[а£ + Ъг]] = аЕ[£] + ЬЕ[п}. (23.3)
Доказательство: Для любого А £ Л в силу линейности оператора
ожидаемого значения для неточной величины имеем, что Е[а£(Х) + Ьт](Х)] =
аЕ[£(\)] + ЬЕ[т)(\)]. Отсюда следует, что Е[а£ + Ьт]} = Е [аЕ[£(\)\ + ЬЕ[г}(\)]] =
аЕ [£[£(А)]] + ЬЕ \Е\г){\)}} = аЩ] + ЬЕ[т)}. Теорема доказана.
Определение 23.5. Пусть £ = (£1,62,... ,£„) — случайно-неточный
вектор на пространстве приближений (Л, А, А, тт), a fy. Sft" —» Sft —
некоторые непрерывные функции, j = 1,2, ...,т. Тогда элементарные
шансы случайно-неточного события, характеризуемого соотношениями fj(£) <
О, j = 1,2,..., т, представляет собой функцию из [0,1] в [О,1], определяемую
следующим образом:
Ch{fj(^) ^ 0, j = 1,2,...,т} (а) =
Определение 23.6. Пусть £ — некоторая случайно-неточная величина и
7,5 £ (0,1]. Тогда £Sup(7><^) = sup{r|Ch{£ ^ г} (7) ^ 6} называется (j,6)-on-
тимистическим значением величины £, a £inf(7i^) — inf {r|Ch{£ < r}(7) ^ <5}
называется (7,6)-пессимистическим значением величины £.
356 Глава 23. Многократная неопределенность
23.2. Неточно-случайные величины
Упрощенно говоря, неточно-случайная величина есть случайная величина,
определенная на универсальном множестве неточных величин.
Определение 23.7. Неточно-случайная величина есть функция £ из
вероятностного пространства (Q,A,Pi) в набор неточных величин такая, что
для любого борелевского множества В из SR
Г(в)М = Тг№)ев} (23.5)
является измеримой функцией от и>.
Определение 23.8. Пусть /: SR" —> SR — некоторая непрерывная функция, а
£i — неточно-случайные величины, определенные на (fij, Ai,Pr$), i = 1,2,... ,n,
соответственно. Тогда £ = /(£i,£2, • • • ,£n) есть неточно-случайная величина
на произведении вероятностных пространств (£1,А, Рг), определяемая как
£(wi, w2,... ,шп) = Д6(ол),6(^2), • • •,6»(wn)) (23.6)
для всех (cji,и>2,■■■,и>п) е П.
Определение 23.9. Пусть £ — неточно-случайная величина, определенная
на вероятностном пространстве ($7,Л,Рг). Тогда ожидаемое значение для
нее определяется соотношением:
/•оо /-0
Е[{] = Pr {w G П | B[£(w)] ^ г} dr - / Pr {w е fi | Bfc(w)] ^ r} dr.
Определение 23.10. Пусть £—неточно-случайная величина с конечным
ожидаемым значением Е[£]. Рассеяние величины £ определяется как V[£] =
Е[(£-Е[№-
Теорема 23.2. Пусть £ и г) — неточно-случайные величины с конечными
ожидаемыми значениями. Тогда для любых действительных чисел a ub
имеет место соотношение
Е[а£ + bq] = аЕ[£] + bE[rj[. (23.7)
Доказательство: Для любого и> £ П, в силу линейности оператора
ожидаемого значения (математического ожидания) случайной величины, имеет
место соотношение: E[a£(w) + 677(0;)] = а-Б[^(ш)] + ЬЕ[г}(и>)]. Отсюда следует, что
E[a£+bq] = Е [аЕ[£(ы)] + ЬЕ[г](и)}} = аЕ [Е[£(ы)]]+ЬЕ [Е[г](и)}} = aE[Z] + bE[rj[.
Теорема доказана.
Определение 23.11. Пусть £ = (£1,62, •• -,£п) —неточно- случайный
вектор на вероятностном пространстве (fl,A,Pi), a fy. 3?" —> SR —
непрерывные функции, j = 1,2,..., т. Тогда элементарные шансы неточно-случайного
события, характеризуемого соотношениями fj(£) ^ 0,j = 1,2, ...,т,
представляет собой функцию из [0,1] в [0,1], определяемую следующим образом:
Ch{/j(£)*S0,j = l12,...,m}(a) =
-^{0\»{иеа]ъ{,ш™<3>>}>°}- (т)
23.3. Нечетко-неточные величины 357
Определение 23.12. Пусть £— неточно-случайная величина и 7, <5б(0,1].
Тогда ^Sup(7i^) = suP{r|Ch{^^r} (7)^^} называется (j,
6)-оптимистическим значением величины £, a £inf(7i^) = inf {r|Ch{£^r}(7)^<5} называется
(•у, 6)-пессимистическим значением величины £.
23.3. Нечетко-неточные величины
Упрощенно говоря, нечетко-неточная величина1 есть неточная величина,
определенная на универсальном множестве нечетких величин.
Определение 23.13. Нечетко-неточная величина представляет собой
функцию £ из пространства приближений (Л.,А,А,тг) в набор нечетких
величин таких, что для любых борелевских множеств В из SR
Г(В)(А)=Ров{£(А)еВ} (23.9)
есть измеримая функция от А.
Определение 23.14. Пусть /: SR" —» SR — некоторая непрерывная
функция, a £i — нечетко-неточные величины, определяемые как (Ai,Ai,Ai,iTi),
г = 1,2, ...,п, соответственно. Тогда £ = /(£i,£2i • • • >£п) представляет
собой нечетко-неточную величину на произведении пространств приближений
(Л, А,А, 7г), определяемая как
£(АЬ А2,..., An) = /(6(Ai), 6(A2), • • •, £„(А„)) (23.10)
для всех (Ai, A2,..., А„) € Л.
Определение 23.15. Пусть £— нечетко-неточная величина, определенная
на пространстве приближений (Л, А, А, 7г). Тогда ожидаемое значение этой
величины определяется следующим образом:
/•оо /-О
Е[£\= TV {A G Л | Я£(А)] ^ г} dr - / Тг {A G Л | £[£(А)] ^ г} dr.
Определение 23.16. Пусть £—нечетко-неточная величина с конечным
ожидаемым значением Е[£\. Рассеяние для этой величины определяется
соотношением вида: V[£\ = Е [(£ — £[£])2]-
Теорема 23.3. Пусть £ и г] — нечетко-неточные величины с конечными
ожидаемыми значениями. Тогда для любых действительных чисел a ub
имеем, что
Е[а£ + brj] = аЕ[£] + bE[rj]. (23.11)
1 Отметим, что понятие нечетко-неточного множества введено Дюбуа и Прадом в (Dubois
and Prade, [64]). Пусть X— некоторое множество, Ф — некоторое разбиение на множестве X,
a F — нечеткое множество. Введем определение
/**•(*•)№) = sup {nFi(x) Л wOO} , Ht.(F)(Fi) = inf {(1 - HFi 00) V hf(x)}
x x
для возможности и необходимости Fi в F, соответственно. Пара (Ф.ОР1), Ф*0Р)) называется
нечетко-неточным множеством.
358 Глава 23. Многократная неопределенность
Доказательство: Для любого А £ Л, в силу линейности оператора
ожидаемого значения для неточной величины, имеем, что Е[а£(\) + Ьг](Х)] =
аЕ[£(\)\ + ЬЕ[г)(\)\. Отсюда следует, что Е[а£ + Ьг)] = Е [аЕ[£(\)] + ЬЕ[г}(\)]] =
аЕ [Е[£(\)]\ + ЪЕ [Е[г){Щ = аЩ] + bE[rj\. Теорема доказана.
Определение 23.17. Пусть £ = (£i, &, ■ - ■, £п) — нечетко-неточный вектор
на пространстве приближений (Л, А, А, п), а /,-: 9?" —► 9? — непрерывные
функции, j = 1,2, ...,тп. Тогда элементарные шансы нечетко-неточного
события, характеризуемого соотношениями /j(£) ^ 0,j = 1,2, ...,т,
представляет собой функцию из [О,1] в [О,1], определяемую следующим образом:
СЬ{/,-(€К(и = 1,2,...,т}(а) =
Элементарные шансы в данном случае можно определить и так:
sup {/3 | Тг {Л G Л | Nee{/,-(€(А)) ^ 0, j = 1,2,...,т} > 0} > а} ;
sup {Р | Тг {Л G Л | Сг {/,-(£( А)) ^ 0, j = 1,2,...,m} ^ /3} > а} .
Определение 23.18. Пусть £ —нечетко-неточная величина и j,6 € (0,1].
Тогда £sup(7i<0 = sup{r|Ch{£ ^ г} (7) ^ <5} называется (j, ё)-оптимистичес-
ким значением величины £, a £inf(7>^) = inf {r|Ch{£ ^ r}(l) ^ <5} называется
(-у, 6)-пессимистическим значением величины £.
23.4. Неточно-нечеткие величины
Упрощенно говоря, неточно-нечеткая величина1 представляет собой нечеткую
величину, определенную на универсальном множестве неточных величин.
Определение 23.19. Неточно-нечеткая величина представляет собой
функцию из возможностного пространства (0,(P(0),Pos) в набор
неточных величин.
Определение 23.20. Пусть /: SR" —> SR — некоторая непрерывная
функция, а & — неточно-нечеткие величины на возможностном пространстве
(0i, Зэ(в|), Posj), i = 1,2,..., п, соответственно. Тогда £ = /(£i, £г, • • ■, in)
есть неточно-нечеткая величина на произведении возможностных
пространств (e,IP(e),Pos), определяемая следующим образом:
£(0i,fc,...,0„) = /(£i(0i),6(fc),...,£„(0„)) (23.13)
для любого {61,62,..., 6п) G в.
1 Эта концепция отличается от предложенного Дюбуа и Прадом определения неточно-
нечеткого множества (Dubois and Prade, [64]): Пусть U — универсальное множество, R —
отношение эквивалентности на U, a F — нечеткое множество в U. Тогда (R*(F), R,(F))
называется неточно-нечетким множеством, где Я* (F) — верхнее приближение, определяемое
как ftR*(F)(Xi) = sup{/ip-(x)|oj(Xi) = [i]h})3. R*(F) — нижнее приближение, определяемое
соотношением fJ.R,(F)(.xi) = inf{/ip-(x)|ai(Xj) = [х]я}. Здесь u>(Xj) = {x\Xi — имя класса
эквивалентности Ши|.
23.5. Бислучайные величины 359
Определение 23.21. Пусть £— некоторая неточно-нечеткая величина,
определенная на возможпостном пространстве (0,IP(e),Pos). Оператор
ожидаемого значения Е[£\ для такой величины определяется соотношением
вида:
Щ] = / Cr{0 G в | Е[£(6)] > r}dr - / Cr{0 G G | Е[£(в)] ^ r}dr.
JO J-oo
Определение 23.22. Пусть £ — неточно-нечеткая величина с конечным
ожидаемым значением Е[£\. Рассеяние для величины £ определяется как
ожидаемое значение неточно-нечеткой величины (£ — -Е[£])2. То есть V[£] =
E[(t-E[t})2}.
Теорема 23.4. Пусть £ и г] — неточно-нечеткие величины с конечными
ожидаемыми значениями. Тогда для любых действительных чисел а иЬ
имеем, что
Щ°£ + Н = аЕ[£] + bE[rj\. (23.14)
Доказательство: Для любого в G 0, в силу линейности оператора
ожидаемого значения для нечеткой величины, имеем место соотношение:
Е[а£{в) + Ьг]{в)} = аЕ[£(в)] + ЬЕ[г){в)}. Отсюда следует: Е[а£ + brj\ =
Е[аЕЦ{в)}+ЪЕ[г){6)}\ = аЕ[Е[£(6)]] + ЬЕ[Е[г](в)]} = аЕ{£] + ЬЕЩ. Теорема
доказана.
Определение 23.23. Пусть £ = (£i,$2) • • • i£n) —неточно-нечеткий вектор
на возмоэюностном пространстве (0,33(0),Pos), a fy. 3ftn —> 3ft —
непрерывные функции, j = 1,2,.. .,т. Тогда элементарные шансы неточно-нечеткого
события, характеризуемого как fj(£) ^ 0,j = l,2,...,m, есть функция из
[О,1] в [О,1], определяемая соотношением:
Ch{/j(£Kn,j = l,2,...,m}(a) =
=.ц*ЧвбвЧ-та «М- <23Л5)
Элементарные шансы в данном случае могут быть такте определены
следующим образом:
sup{/3 | Nec{6> G e|Tr{/,-(£(0)) ^ 0, j = 1,2,.. .,m} > /3} > a};
sup {/3 I Cr {в G 0|Tr {/,-(£(0)) ^ 0, j = 1,2,... ,m} ^ /3} ^ a} .
Определение 23.24. Пусть £ —неточно-нечеткая величина и 1,8 G (0,1].
7Ьг<?а £sup(7i<0 = sup{r|Ch{£ ^ г} (7) ^ <5} называется (j,
6)-оптимистическим значением величины £, a £inf(7^) = inf {r|Ch{£ ^ r}(7) ^ #} называется
(^, 6)-пессимистическим значением величины £.
23.5. Бислучайные величины
Упрощенно говоря, бислучайная (случайно-случайная) величина — это
случайная величина, определенная на универсальном множестве случайных величин.
360 Глава 23. Многократная неопределенность
Определение 23.25. Бислучайная величина представляет собой функцию £
из вероятностного пространства (П,А,Рг) в набор случайных величин
такой, что для любого борелевского множества В из Ш
Г(В)М=Рг{£МеВ} (23.16)
является измеримой функцией от и>.
Определение 23.26. Пусть /: SR" —> SR — некоторая непрерывная функция,
а & — бислучайные величины, определенные на (fij, Ai, Pit), г = 1,2,..., п,
соответственно. Тогда £ = /(£i, $2) • • ■, £n) — бислучайная величина на
произведении вероятностных пространств (£1,А, Рг), определяемая как
£(wi,иг, ■ ■ ■ ,w„) = /(6(wi),6(w2), • - 4W) (23.17)
для всех (wi, W2i • • • iwn) G fi.
Определение 23.27. Пусть £ — бислучайная величина определенная на
вероятностном пространстве (П,А, Рг). Тогда ее среднее ожидаемое значение
определяется соотношением:
Е[£] = Рг {w G П | £fc(w)] ^ r} dr - / Рг {w G fi | B[£(w)] ^ r} dr.
JO J-oo
Определение 23.28. Пусть £ — бислучайная величина с конечным
ожидаемым значением Е[£]. Рассеяние для величины £ определяется соотношением
V[Z] = E[(Z-E[£]n
Теорема 23.5. Пусть £ и г] — бислучайные величины с конечными
ожидаемыми значениями. Тогда для любых действительных чисел а иЪ имеем, что
Е[а£ + Ы}] = аЕ[£] + ЪЕЩ. (23.18)
Доказательство: Для любого w G П, в силу линейности оператора
математического ожидания случайной величины, имеем, что Е[а£(и>) + 677(0;)] =
aE[£(w)]+bE[ri(uj)]. Отсюда следует, что Е[а£ + Ъг]} = Е [аЕ[£(и)] + ЪЕ[г](и>)}] =
аЕ[Е[£(и)]] + ЬЕ[Е[г}{ш)]] = аЕ[£] + bE[rj\. Теорема доказана.
Определение 23.29. Пусть £ = (£i,&2, • • ■ ,£п) — бислучайный вектор на
вероятностном пространстве (П,А,Рг), a fy. Sft" —* Sft —непрерывные функции
j = 1,2,...,m. Тогда элементарные шансы бислучайного события,
характеризуемого как fj(£) ^ 0, j = 1,2,... ,т, представляет собой функцию из [О,1]
в [О,1], определяемую следующим образом
Ch{/3(O^0,j = l,2,...,m}(a) =
-^{,|r,{B6n|r,{^»^} >,}>,,}. <*»>
Определение 23.30. Пусть £ —бислучайная величина и j,6 G (0,1]. Тогда
£sup(7>^) = sup {r|Ch{£ ^ r} (7) ^ 6} называется (■у, 6)-оптимистическим
значением величины £, a £inf(7>^) — inf {r|Ch{£ ^ г}(-у) ^ 6} называется
(j, 6)-пессимистическим значением величины £.
23.6. Бинечеткие величины 361
23.6. Бинечеткие величины
Упрощенно говоря, бинечеткая (нечетко-нечеткая) величина1 представляет
собой нечеткую величину, определенную на универсальном множестве нечетких
величин.
Определение 23.31. (Liu [180]) Бинечеткая величина представляет собой
функцию из возможностпого пространства в набор нечетких величин.
Определение 23.32. Пусть /: 3ftn —► 3ft — некоторая непрерывная
функция, a £i — бинечеткие величины на возможностных пространствах
(вг,Зэ(вг),Ро5г), г = 1,2,... ,п, соответственно. Тогда £ = /(£ь£2, • • ■ ,£п) —
бинечеткая величина, определенная на произведении возможностных
пространств (0,T(0),Pos) как
£(0Ь02,... ,вп) = /(6(0i),6(fc), • • • ,<£пЫ (23-20)
для любого (61,62,...,6n) G в.
Определение 23.33. (Liu [180]) Пусть £ — бинечеткая величина,
определенная на возможностном пространстве (0,!P(0),Pos). Ожидаемое значение
этой величины Е[£\ определяется следующим образом:
ЕШ = / Cr{0 G в | Е[£(6)\ > r}dr - / Cr{0 G в | Е{£(6)} ^ r}dr.
JO J-oo
Определение 23.34. Пусть £ — бинечеткая величина с конечным
ожидаемым значением Е[£]. Рассеяние величины £ определяется соотношением
V[Z]=E[{£-E№)*]-
Теорема 23.6. (Zhou and Liu [316]) Предположим, что £ и г) — бинечеткие
величины с конечными ожидаемыми значениями. Тогда для любых
действительных чисел а и Ь имеем, что
Е[а£ + brj] = аЕ[£\ + bE[rj]. (23.21)
Доказательство: Для любого 6 £ в, в силу линейности оператора
ожидаемого значения для нечеткой величины, имеем, что Е[а£(6) + Ьг)(6)] =
аЕ[£(6)] + ЬЕ[г){6)}. Отсюда следует, что Е[а£ + Ьт]] = Е [аЕ[£(6)\ + ЬЕ[г](в)}} =
аЕ [Е[£(6)}} + ЬЕ \Е[г){в)}) = аЕ[£] + bE[rj]. Теорема доказана.
Упомянем понятия нечеткого множества типа 2, интуиционистского нечеткого
множества и двукратного (twofold) нечеткого множества. Нечеткое множества типа 2 было введено
Заде в (Zadeh [306]) как нечеткое множество, для которого степени принадлежности также
являются нечеткими множествами. Понятие интуиционистского нечеткого множества было
предложено в работе (Atanassov and Stoeva [8]) как пара функций принадлежности ца+ и
/М_ таких, что
VA+ (я) + ЦА_ (я) ^ 1
для всех х. Двукратное нечеткое множество было получено Дюбуа и Прадом (Dubois and
Prade [61]) из мер возможности и необходимости как пара нечетких множеств А+ и А+, где
А+ представляет собой множество объектов, возможно удовлетворяющих не-неясному (non-
vague) свойству Р, а множество А+ — множество объектов, непременно удовлетворяющих Р.
362 Глава 23. Многократная неопределенность
Определение 23.35. (Liu [180]) Пусть £ — (£i, £2, • • •, £n) — бинечеткий
вектор на возможностном пространстве (©,7(0),Pos), a fy. Sft" —* 3?
—непрерывные функции, j = 1,2,... ,т. Тогда элементарные шансы бинечеткого
события, характеризуемого как fj(£) ^ 0,j = 1,2,...,т, представляют собой
некоторую функцию из [0,1] в [0,1], определяемую следующим образом:
Ch{/J(£)^0,j = l,2,...,m}(a) =
= sup j/З | Pos Iв G 9 | Pos j . fjff]) ^ j > /3 j ^ a}.
Элементарные шансы в данном случае могут быть определены также и
следующим образом [316]:
sup{/3 | Nec{6> G e|Nec{/,-(£(e)) ^ 0, j = 1,2,.. .,m} ^ /3} ^ a} ;
sup{j9|Cr{e€e|Cr{/i(C(e))^01j = l12,...,ro}^j9}^a};
inf {/3 I Pos{6> G 9|Pos{fj(£(6)) < 0, j = 1,2,.. .,m} < /3} ^ a} ;
inf {/3 j Nec{6> G GINec^C^)) ^ 0, j = 1,2,.. .,m} ^ /3} ^ a} ;
inf {/3 I Cr{6> G е\Сг{/^(в)) ^ 0, j = 1,2,.. .,m}< /3} > a} .
Определение 23.36. Пусть £ —бинечеткая величина и j,6 G (0,1]. Будем
тогда называть £Sup(7><^) = sup{r|Ch{£ ^ г} (7) ^ <5} ("f, 8)-оптимистиче-
ским значением величины £, a £jnf(7, <5) = inf {V|Ch{£ ^ г}(-у) ^ 6} — (■у, ё)-пес-
симистическим значением величины £.
23.7. Бинеточные величины
Упрощенно говоря, бинеточная (неточно-неточная) величина представляет
собой неточную величину, определенную на универсальном множестве неточных
величин.
Определение 23.37. Бинеточная величина —это функция £ из неточного
пространства (пространства приближений) (Л, А, А, тт) в набор неточных
величин такая, что для любого борелевского множества В из SR
Г(£)(А) = Тг{£(А)б£} (23.22)
есть измеримая функция от А.
Определение 23.38. Пусть /: SR" —> SR — некоторая непрерывная функция,
а & — бинеточные величины, определенные на пространствах приближений
(Ai,Ai,Ai,iTi), г = 1,2,.. .,п, соответственно. Тогда £ = /(£1,62, •• • ,£п)
—бинеточная величина на произведении пространств приближений (А,А,А,тт),
определенная как
£(Ai>A2,...,An) = /(6(Ai),6(A2),...,6,(An)) (23-23)
для всех (Ai, A2,..., An) G Л.
23.8. Разновидности мер шансов 363
Определение 23.39. Пусть £ — бинеточная величина на пространстве
приближений (Л, А, А, 7г). Тогда среднее ожидаемое значение для нее
определяется выражением:
/•оо гО
Е[£] = TV {A е Л | £[£(А)] ^ г} dr - / TV {A G Л | 2?[£(А)] ^ г} dr.
JO J-oo
Определение 23.40. Пусть £ — бинеточная величина с конечным
ожидаемым значением Е[£]. Рассеяние для величины £ определяется как V[£\ =
Е[(£-Е[®2}.
Теорема 23.7. Предположим, что £ иг) — бинеточные величины с
конечными ожидаемыми значениями. Тогда для любых действительных чисел а и b
имеем, что
Е[а£ + Ьг)\ = аЕ[£] + bE\rj\. (23.24)
Доказательство: Для любого А е Л, в силу линейности оператора
ожидаемого значения неточной величины, имеем, что Е[а£(Х) + Ьт](Х)] =
аЕ[£(Х)] + ЪЕ[г]{Х)}. Отсюда следует, что Е[а£ + brj]=E [аЕ[£(\)] + ЪЕ[г](Х)]] =
аЕ [Е[£{Щ + ЬЕ [Е[г]{Щ = аЕ[£) + ЬЕ[г}]. Теорема доказана.
Определение 23.41. Пусть £ = (£i,£2, • ■ • ,£n) — бинеточный вектор на
пространстве приближений (Л,А,Л,7г), a fy. Sft" —» Sft — непрерывные функции,
j = l,2,...,m. Тогда элементарные шансы бинеточного события,
характеризуемого как fj(£) < 0, j = 1,2, ...,т, представляют собой некоторую
функцию из [0,1] в [0,1], определяемую следующим образом:
Ch{/j(0 ^ 0,j = l,2,...,m}(Q) =
-^{,|^л|*{,/^} >,}>.}. <-)
Определение 23.42. Пусть £ — бинеточная величина и^,6 £ (0,1]. Назовем
тогда £sup(7i<^) = sup{r|Ch{£ ^ г} (7) ^ 5} (-у, 6)-оптимистическим
значением величины £, a £inf(l,8) — inf {r|Ch{£ ^ r}(j) ^ 6} — (-у,
6)-пессимистическим значением величины £.
23.8. Разновидности мер шансов
Для двукратно неопределенных событий выше были определены меры
элементарных шансов. Кроме того, для нечетко-случайных и случайно-нечетких
событий были даны определения равновесной и средней меры шансов.
Вообще говоря, эти меры можно ввести и для других видов событий с двукратной
неопределенностью.
Определение 23.43. Равновесные шансы события с двукратной
неопределенностью fj(£) ^ 0, j = 1,2,..., т, определяются как
sup {а | Ch{/,-(€) ^ 0,j = l,2,...,m}(Q)>a}, (23.26)
где Ch обозначает меру элементарных шансов.
364 Глава 23. Многократная неопределенность
Определение 23.44. Средние шансы события с двукратной
неопределенностью /,(£) ^ 0, j = 1,2,..., т, определяются как
[ Ch {/,(£) < 0, j = 1,2,..., m} (a)da, (23.27)
JO
где Ch обозначает меру элементарных шансов.
Для величины с двукратной неопределенностью общего вида
оптимистическое и пессимистическое значения могут быть переопределены путем замены
элементарных шансов на равновесные или средние шансы.
23.9. Ранжирование неопределенных величин
Пусть £ и г] — две неопределенные величины. В отличие от мира
действительных чисел, в неопределенном мире не существует естественной
упорядоченности. Вследствие этого применительно к неопределенным системам возникает
важная проблема — каким образом ранжировать неопределенные величины.
Для решения этой проблемы были предложены следующие методы.
(i) Будем говорить, что f > т], тогда и только тогда, когда Е[£\ > E[rj\, где
Е — оператор среднего ожидаемого значения для неопределенных
величин. Этот критерий приводит к моделям ожидаемого значения (EVM-
моделям).
(ii) Будем говорить, что £ > г), тогда и только тогда, когда для
некоторого наперед заданного доверительного уровня a € (0,1] имеем, что
£sup(a) > ^sup(o:), где £зир(а) and r)sup(a) — a-оптимистические значения
для величин £ и т], соответственно. Этот критерий приводит к моделям
максимаксного программирования с ограничениями на шансы (макси-
максным ССР-моделям).
(iii) Будем говорить, что £ > т], тогда и только тогда, когда для
некоторого наперед заданного доверительного уровня a € (0,1], имеем, что
£inf(cO > T]in[(a), где £inf(a:) и цп{(а) — a-пессимистические значения для
величин £ и г], соответственно. Этот критерий приводит к моделям
минимаксного программирования с ограничениями на шансы (минимаксным
ССР-моделям).
(iv) Будем говорить, что £ > т], тогда и только тогда, когда Ch {£ ^ г} >
Ch {г) ^ г} для некоторого наперед заданного уровня г. Этот критерий
приводит к моделям событийного программирования (DCP-моделям).
23.10. Неопределенные величины
с многократной неопределенностью
В дополнение к введенным выше разновидностям двукратной
неопределенности, можно также ввести неопределенности трехкратные, четырехкратные
и т. п.
23.10. Неопределенные величины с многократной неопределенностью 365
Определение 23.45. Трислучайная (случайно-случайно-случайная)
величина — это некоторая функция f из вероятностного пространства (VI, Л, Рг) в
набор бислучайных величин такая, что для любого борелевского множество
В из SR, £*(B)(w) = Ch{£(w) € В} является измеримой функцией от w.
Определение 23.46. Тринечеткая (нечетко-нечетко-нечеткая) величина —
это некоторая функция из возможностного пространства (B,T(0),Pos) e
набор бинечетких величин.
Определение 23.47. Тринеточная (неточно-неточно-неточная) величине
представляет собой функцию £ из пространства приближений (Л, Д, А, тт) <
набор бинеточных величин такую, что для любого борелевского множестве
В из 'St функция f*(B) (A) = Ch{f(A) € В} является измеримой функциег
от А.
Можно дать определения также и для других видов трехкратной
неопределенности. Например, нечетко-случайно-неточная величина есть функция и:
пространства приближений в набор нечетко-случайных величин такая, что дун
любого борелевского множества В из 5R функция £*(£?) (А) = Ch{£(A) e В} -
измеримая функция от А.
Глава 24
Неопределенное программирование
Неопределенное программирование было введено в книге (Liu [171]) как подход
к решению оптимизационных задач в условиях неопределенности общего вида.
С точки зрения теории оптимизации между разнообразными видами
неопределенности нет никаких различий, кроме набора арифметических операций
для каждого из этих видов. Этот факт побуждает к разработке некоторого
унифицирующего принципа для таких видов математического
программирования, как
- стохастическое программирование,
- нечеткое программирование,
- неточное программирование,
- нечетко-случайное программирование,
- случайно-нечеткое программирование,
- случайно-неточное программирование,
- неточно-случайное программирование,
- неточно-нечеткое программирование,
- нечетко-неточное программирование,
- бислучайное программирование,
- бинечеткое программирование,
- бинеточное программирование,
а также неопределенное программирование с многократной (трехкратной,
четырехкратной и т. д.) неопределенностью, что ведет к построению общей
теории неопределенного математического программирования. В данной главе
дается набросок такой теории. Здесь также вводится понятие Ф-диаграммы для
классификации моделей неопределенного программирования. Чтобы
обеспечить возможность решения задач на основе этих моделей, предлагается общий
принцип формирования соответствующих гибридных алгоритмов.
24.1. В чем польза
от неопределенного программирования?
В статье Р. Беллмана и Л. Заде отмечается [17] *: «На практике во многих
случаях принятие решений происходит в таких условиях, когда цели, ограничения
и последствия возможных действий точно не известны». То есть мы часто
оказываемся в состоянии неопределенности.
1 См. эту статью в сборнике переводов «Вопросы анализа и процедуры принятия
решений»: Пер. с англ. под ред. И.Ф.Шахнова, с предисл. Г. С. Поспелова. — М.: Мир, 1976.—
с. 172-215. — Прим. ред.
24.1. В чем польза от неопределенного программирования? 367
С другой стороны, чтобы получить решение, удовлетворяющее
практическим потребностям, важно определить тип и точность используемой
информации. Если тот или иной подход к принятию решений требует наличия
полной информации, это означает необходимость израсходовать дополнительные
деньги и время на его осуществление. Если есть метод, позволяющий
получить быстро решение по неполной информации, то возможно в итоге будет
предпринято неоптимальное действие. На самом деле, нельзя обеспечить
требуемый уровень детализации одновременно и для используемой информации,
и для принимаемого решения, поскольку общая стоимость решения
поставленной задачи складывается из двух составляющих: стоимости обеспечения
функционирования целевой системы (т. е. системы, в интересах которой
принимается решение) и стоимости получения решения (см. рис. 24.1). Поскольку
приходится балансировать между преимуществами от получения более
качественного решения и недостатками от необходимости получения более точной
информации, то практически наверняка в реальных задачах принятия
решений придется иметь дело с неполной информацией.
Стоимость
Информация
Решение
>- Точность
Рис. 24.1. Равновесие между информацией и решением
Неполная информация может быть описана с помощью случайных
величин, нечетких величин, неточных величин или же с помощью величин с
многократной неопределенностью.
Если бы все неопределенные параметры в задаче принятия решений
можно было заменить некоторыми детерминированными величинами (например,
средними ожидаемыми значениями неопределенных величин), тогда для
решения как детерминированных, так и неопределенных задач рассматриваемого
вида было бы вполне достаточно методов обычного детерминированного
математического программирования. Однако такой подход порождает ряд
опасностей.
Рассмотрим некоторую систему массового обслуживания, в которой
клиенты (например, люди, грузовики, работы) ждут в одной очереди обслуживания
(например, для проверки, погрузки, завершения) некоторыми серверами (это
могут быть, например, машины или люди-исполнители). Предположим, что:
(i) имеется одна очередь и единственный сервер;
(ii) значения моментов времени поступления клиентов в очередь
распределены по экспоненциальному закону со средним значением, равным 1
минуте;
(iii) время обслуживания каждого клиента является экспоненциально
распределенной случайной величиной со средним значением, равным 0-99
минуты.
Ъ^
368 Глава 24. Неопределенное программирование
Если заменить каждую из перечисленных случайных величин ее средним
значением (т. е. если клиенты прибывают в моменты времени 1 мин., 2 мин., .. .и
если каждый клиент обслуживается точно 0.99 мин.), тогда ни у одного из
клиентов не будет ожидания в очереди.
Однако фактическое среднее время ожидания каждого из клиентов
составит 98.01 минуты! Хотя этот пример и не принадлежит к задачам принятия
решений, он наглядно показывает потенциальную опасность замены
неопределенных параметров каким-либо детерминированными числовыми величинами
и в таких задачах.
24.2. Модели среднего ожидаемого значения
Первый вид моделей неопределенного программирования — это модель
среднего ожидаемого значения (EVM-модель), основная идея применения которых
состоит в выборе решений с наибольшим средним ожидаемым значением.
Имеется стохастическая EVM-модель, нечеткая EVM-модель, неточная
EVM-модель, нечетко-случайная EVM-модель, случайно-нечеткая
EVM-модель, нечетко-неточная EVM-модель, неточно-нечеткая EVM-модель,
случайно-неточная EVM-модель, неточно-случайная EVM-модель, бислучайная
EVM-модель, бинечеткая EVM-модель, бинеточная EVM-модель. В общем
виде EVM-модель формулируется следующим образом:
max E[f(x,£)]
при ограничениях: (24.1)
E[gj(x,Z)}^0, j = l,2,...,p,
где х— вектор решений, £ — некоторый неопределенный вектор, f(x,£) —
функция дохода (результата), gj(x,Q — неопределенные функции
ограничений для j = 1,2,... ,р, а Е обозначает оператор среднего ожидаемого
значения.
Задача многокритериального математического программирования на
основе модели ожидаемого значения имеет вид:
max [E[h(x, £)], E[f2(x, £)],..., E[fm(x, £)]]
при ограничениях: (24.2)
-%;(*,£)]< 0, j = l,2,...,p,
где fi(x, £) — функции дохода для г = 1,2,..., тп.
Можно также сформулировать неопределенную задачу принятия
некоторого решения как задачу целевого программирования на основе модели
ожидаемого значения. При этом структура приоритетов и множество значений
уровней целей определяются лицом, принимающим решения:
I m
min £ рз £К>Ч+ + vijd7)
при ограничениях:
E[fi(x,£)]+dr-dt=bi, i = l,2,...,m, ( >
E[gj(x,$)}^0, j = l,2,...,p,
d+,d~^0, i = l,2,...,m,
24.3. Максимаксные модели программирования с ограничениями на шансы 369
где Pj — значения коэффициента преимущественного приоритета,
выражающего относительную важность различных целей, при этом Pj ^> Pj+i для всех
j; Uij —весовой коэффициент, соответствующий положительному отклонению
для г-й цели с присвоенным ей j-м приоритетом; Vij — весовой коэффициент,
соответствующий отрицательному отклонению для г-й цели с присвоенным
ей j-м приоритетом; df — положительное отклонение от назначенного
уровня г-й цели; d~ — отрицательное отклонение от назначенного уровня г-й цели;
fi— функции в целевых ограничениях; bi — назначенный уровень,
соответствующий г-й цели; I — число приоритетов; т — число целевых ограничений; р —
число реальных ограничений.
24.3. Максимаксные модели программирования
с ограничениями на шансы
В этом разделе приводится спектр максимаксных моделей
математического программирования с ограничениями на шансы (ССР-моделей).
Основная идея, положенная в основу моделей этого вида, заключается в
выборе альтернативы, которая обеспечивает наилучшее оптимистическое
значение функции дохода для заданного доверительного уровня. Чтобы получить
возможность выполнить это, будем измерять неопределенный доход его
оптимистическим значением. Имеем тогда следующие виды моделей:
стохастическая ССР-модель, нечеткая ССР-модель, неточная ССР-модель, нечетко-
случайная ССР-модель, случайно-нечеткая ССР-модель, нечетко-неточная
ССР-модель, неточно-нечеткая ССР-модель, случайно-неточная ССР-модель,
неточно-случайная ССР-модель, бислучайная ССР-модель, бинечеткая ССР-
модель, бинеточная ССР-модель. Одноцелевая максимаксная ССР-модель
может быть сформулирована следующим образом:
max/
при ограничениях:
Ch {/(*,£)>/}>/?,
Ch{gj(x,£)^0,j = l,2,.--,p}>a,
где а и /3 — предопределенные доверительные уровни, a max/ является /3-
оптимистической оценкой дохода.
Многоцелевая (многокритериальная) максимаксная ССР-модель может
быть записана следующим образом:
' max[7i,72.-".7m]
при ограничениях:
Ch{fi{x,0>7i}>Pu t = l,2,...,m,
Ch{gj{x,i)^0}^ajt j = l,2,...,p.
Можно также формулировать проблему принятия решений в условиях
неопределенности как миниминную модель целевого программирования с
(24.4)
(24 5)
370 Глава 24 Неопределенное программирование
ограничениями на шансы. При этом структура приоритетов и множество
значений уровней целей определяются лицом, принимающим решения:
I m
min £ Pj E(uud»+ + viidT)
j=l i=l
при ограничениях:
Cb{fi(x,0-bi^d+}^^' г = 1,2,...,m, (24.6)
Ch{6<-/i(a>0<dr}>i8i-, t = l,2,...,m,
Cb{gi(x,t)^0}>aj, j = l,2,...,p,
dt,dr>o, i = l,2,...,m,
где i^- — значения коэффициента преимущественного приоритета,
выражающего относительную важность различных целей, при этом Pj ~Э> Pj+i для всех
j; Uij —весовой коэффициент, соответствующий положительному отклонению
для г-й цели с присвоенным ей j-м приоритетом; Vij — весовой коэффициент,
соответствующий отрицательному отклонению для г-й цели с присвоенным ей
j-м приоритетом; df —это /3~-оптимистическое положительное отклонение от
назначенного уровня г-й цели; d~ — /3~-оптимистическое отрицательное
отклонение от назначенного уровня г-й цели; fi — функции в целевых ограничениях;
bi — назначенный уровень, соответствующий г-й цели; I — число приоритетов;
m — число целевых ограничений; р — число реальных ограничений.
24.4. Минимаксные модели программирования
с ограничениями на шансы
Закон Мерфи гласит, что «если какая-нибудь неприятность может случиться,
она случается». Если исходить из этого закона, можно выбирать решения так,
чтобы получать наилучший возможный из этих наихудших вариантов. Чтобы
выполнить это, надо в качестве меры неопределенного результата (дохода)
использовать его пессимистическую оценку.
В противоположность оптимистическим моделям, получаем спектр
минимаксных моделей, в основу которых положена идея о том, что надо выбирать
альтернативу с наилучшим пессимистическим значением дохода для нее при
заданном доверительном уровне. Одноцелевая минимаксная ССР-модель
может тогда быть записана в таком виде:
maxmin/
х у
^ при ограничениях: ,у. у\
съ{/(х,о^7}>Р,
Chte(a:,O<0,j = l,21...,p}>a,
где min / является /3-пессимистической оценкой дохода.
24.5. Событийное программирование 371
Если в рассматриваемой проблеме несколько критериев (целевых
функций), тогда можно сформулировать следующую минимаксную модель
многокритериального программирования с ограничениями на шансы:
max
х
min /j, min /2,..., min /„
/i /2 /m
при ограничениях:
Ch{№,e)<7J^ft, i = l,2,...,m,
Ch{gj{x,0 < 0} ^ ajt j = 1,2,... ,p.
(24.8)
Если назначить структуру приоритетов и целевые уровни, тогда можно
сформулировать следующую модель минимаксного целевого
программирования с ограничениями на шансы:
min У" Р, V иц I max d? V 0 I + Уц I max d~ V 0 I
при ограничениях:
Ch{fi(x,0-bi^d+}^P+, i = l,2,...,m,
Сп{б*-/*(а:,£)^г} >j8r, t = l,2,...,m,
Ch {gj{x,i) < 0} ^ a,, j = 1,2,... ,p,
(24.9)
где d^VO представляет собой /3+ -пессимистическое положительное отклонение
от г'-й цели, a d~ V 0 — d~ V 0 /^-пессимистическое отрицательное отклонение
от г-й цели.
24.5. Событийное программирование
Для моделирования задач принятия решений в условиях неопределенности
могут быть привлечены методы событийного программирования (DCP-модели),
основная идея которых заключается в том, что надо выбирать такие решения,
которые максимизируют шансы наступления определенных событий.
Соответственно, можно получить следующие варианты DCP-моделей:
стохастическая DCP-модель, нечеткая DCP-модель, неточная DCP-модель,
нечетко-случайная DCP-модель, случайно-нечеткая DCP-модель,
нечетко-неточная DCP-модель, неточно-нечеткая DCP-модель, случайно-неточная DCP-
модель, неточно-случайная DCP-модель, бислучайная DCP-модель, бинечет-
кая DCP-модель, бинеточная DCP-модель. Типичная DCP-модель в
неопределенной среде формулируется в виде:
maxCh{/ifc(a:,£) < 0, к = 1,2,.. .,q}
при ограничениях: (24.10)
ф(ж,£)<0. j = l,2,...,p,
где х — вектор решений, £ — некоторый неопределенный вектор. При этом
требуемое событие характеризуется соотношением hk(x,£) ^ 0,к = 1,2,...,q, a
неопределенная среда задается ограничениями вида gj(x, £) ^ 0, j = 1,2,... ,р.
372 Глава 24. Неопределенное программирование
max
Поскольку в сложных системах принятия решений обычно
одновременно производится обработка нескольких задач, то, безусловно, существует и
несколько потенциально возможных целевых функций, которые используются
в процессе принятия решений. Для ситуаций подобного рода вводится
многокритериальная событийная модель для случая неопределенной среды:
Cb{hlk{x,£)K0,k = l,2,...,qi}
Ch{h2k{x,£) ^0,к = 1,2,... ,q2]
Ch{hmk(x^)^0,k = l,2,...,qm} J (24-11)
при ограничениях:
9jfa£)<0, j = l,2,...,p.
Можно также рассматривать систему принятия решений в условиях
неопределенности, используя модель целевого программирования с
зависимыми функциями шансов событий, если назначить соответствующую структуру
приоритетов и целевые уровни:
I m
min E pj I2(uijd+ + v^ )
3=1 i=l
при ограничениях:
Ch |fc М».« <0 j + d_ _d+=ft.i t- = i,2 m.
(24.12)
9j{x,£) <0, j = 1,2,...,р,
df,d~ ^ О, i = 1,2,...,m,
где Pj — значения коэффициента преимущественного приоритета,
выражающего относительную важность различных целей, при этом Pj ^> Pj+i для всех
j; u^ — весовой коэффициент, соответствующий положительному отклонению
для г-й цели с присвоенным ей j-м приоритетом; Vij — весовой коэффициент,
соответствующий отрицательному отклонению для г-й цели с присвоенным ей
j-м приоритетом; df — это /3~-оптимистическое положительное отклонение от
назначенного уровня г-й цели; d~ — /3~-оптимистическое отрицательное
отклонение от назначенного уровня г-й цели; fi — функции в целевых ограничениях;
bi — назначенный уровень, соответствующий г-й цели; I — число приоритетов;
т — число целевых ограничений; р — число реальных ограничений.
24.6. Неопределенное динамическое программирование
Рассмотрим iV-шаговую систему принятия решений, в которой о =
(oi, а2,..., о^) представляет собой вектор состояния, х = (х\, х2,..., х^) —
вектор решений, (£ь £2. • • •, £w) — неопределенный вектор. Примем также, что
функция перехода определяется соотношением вида:
ai+1=T(ai,xi,£i), i = 1,2,...,N - 1.
(24.13)
24.6. Неопределенное динамическое программирование 373
Динамическое программирование
с моделями ожидаемого значения
Чтобы максимизировать ожидаемое значение дохода для всего TV-шагового
процесса в целом, можно воспользоваться следующей моделью динамического
программирования для средних ожидаемых значений:
' Ma) = max E[rN(a,x,£N)],
E[gN(a,X^N)]^0
fn(a) = max E[rn{a,x,£n) + 0/n+1(T(a,x,£n)] - (24.14)
£J[g„(a,a;,£„)]<0
П < JV-1,
где Ti — функция дохода для г-го шага, i = 1,2,...,N, в — учетная ставка,
О ^ в ^ 1, Е означает оператор ожидаемого значения. Этот вид задач
неопределенного (в особенности стохастического) программирования широко
используется для решения разнообразных проблем, например, в системах управления
материально-производственными запасами.
Динамическое программирование
для моделей с ограничениями на шансы
Чтобы максимизировать оптимистическое значение дохода для всего N-
шагового процесса в целом, можно воспользоваться следующей моделью
динамического программирования с ограничениями на шансы:
' /w(a) = _ , max rN{a,x,£N),
fn{a) = max, , {rn{a,x,£n) + в/п+1(Т(а,х,£п)} , (24.15)
Ch{g„{a,X,(nKO}^a
П <7V-1,
где функции Ti определяются соотношениями
Ыа, х, &) = sup {г | Ch{n(a, x, &) ^ r} > /?} (24.16)
для i — 1,2,..., N. Если требуется максимизировать пессимистическое
значение дохода для всего TV-шагового процесса в целом, тогда функции г$ надо
определить следующим образом:
п(а, х, &) = inf {г | Ch{n(a, х, &) < ¥} > 0} (24.17)
для i = 1,2,. ..,7V.
Динамическое программирование для событийных моделей
Чтобы максимизировать шансы получения дохода для всего TV-шагового
процесса в целом, введем следующую модель событийного динамического
программирования:
/w(a) = max Ch{hN(a,x,£N) < 0} ,
gN(a,x,£N)^0
fn(a) = max {Ch{hn(a,x,£n) < 0}+в/п+1{Т{а,х,£п)} ,
S„(a,a;,£„K0
П <iV-l,
374 Глава 24. Неопределенное программирование
где hn(a, х, £„) < 0 — рассматриваемые события, а дп(0; ж, £„) < 0 —
неопределенная среда для шага с номером п, п = 1,2,..., N.
24.7. Неопределенное многоуровневое
программирование
Предположим, что в децентрализованной двухуровневой системе принятия
решений имеется один ведущий элемент и m ведомых элементов. Пусть х
и yi — управляющие векторы ведущего элемента и г-го ведомого элемента,
i = 1,2,..., m, соответственно. Будем также предполагать, что целевые
функции ведущего элемента и г-го ведомого элемента суть F(x,y1,...,ym,^) и
fi(x, у!,..., ут, £), i = 1,2,..., m, соответственно, где £ — некоторый
неопределенный вектор.
Многоуровневое программирование
с моделями ожидаемого значения
Пусть допустимое множество управляющего вектора х ведущего элемента
определяется ограничением на ожидаемое значение
£[G(x,OK0, (24.18)
где G — векторнозначная функция, а 0 — вектор с нулевыми компонентами.
Тогда для каждого решения х, выбранного ведущим элементом, допустимость
управляющих векторов yi для г-х ведомых элементов должна зависеть не
только от х, но также и от у1,..., yi_1, j/i+1,..., ут, что в общем виде может быть
представлено следующими ограничениями на ожидаемые значения:
ЕЫх, у1г у2,..., ут, О] < 0, (24.19)
где «ft — векторнозначные функции, i = 1,2,..., m, соответственно.
Предположим, что вначале свой управляющий вектор х выбирает
ведущий элемент, а после этого определяется совокупность управляющих
векторов (у1,у2,-..,ут) ведомыми элементами. Если требуется максимизировать
ожидаемый доход для ведущего элемента, тогда получаем следующую задачу
двухуровневого программирования с ожидаемыми значениями:
I^E[F(x,y1,y2 Ут.01
при ограничениях:
E[G(x,O}^0,
где каждый yt (г = 1,2,..., т)
-
получается в результате решения
( maxE[fi(x,y1,y2,...,ym,£)}
Vi
\ при ограничениях:
I E\gi{x,y1,y2,...,ym,£)\ <0
(24.20)
24.7. Неопределенное многоуровневое программирование 375
(24.21)
Равновесие по Нэшу для ведомых элементов — это допустимая
совокупность векторов (у1,У2,■ ■ -,Ут), соответствующая управляющему вектору ж,
такая, что
E[fi{x,y*1,...,y\_1,yi,y'i+1,...,ym,C)\ ^
<E[fi(x,yl,...,yl_1,yltyl+1,...,yZl,£)]
для любой допустимой совокупности векторов (yl,..., y*_lt Уг, yZ+i, ■ ■ ■, Ут)
и г = 1,2,...,т. Пусть х*—допустимый управляющий вектор
ведущего элемента и (у\,у2,. •■ ,Ут)— равновесие по Нэшу для ведомых
элементов, соответствующее вектору ж*. Будем называть совокупность векторов
(ж*, у\, у2,..., ут) равновесием по Стекельбергу—Нэшу для задачи
двухуровневого программирования (24.20), тогда и только тогда, когда
Е{Р(х,уъу2,...,ут,£)}<Е{Р(х*,у1,у*,...,ут,£)]
(24.22)
для любых ж и имеет место равновесие по Нэшу (ylt y2, ■ ■ ■, ут) для
соответствующего ж.
Многоуровневое программирование для моделей
с ограничениями на шансы
Чтобы максимизировать оптимистическое значение функции дохода с учетом
заданного вероятностного ограничения, можно построить следующую модель
двухуровневого программирования с ограничениями на шансы:
maxF
X
при ограничениях:
Ch{F{x,yi,y2,...,ym,£)2F}2 0,
Ch{G(x,£)<0}>a,
где каждый yi (i = 1,2,..., m)
получается в результате решения
(24.23)
тахД
Уг
при ограничениях:
СЦ/^х^^Уъ... ,ут,£) Ss/J >Pi,
СЬ{&(ж,у1,у2,---,Ут,£) < 0} ^ а»,
где a,0,ai,0i, г = 1,2,..., m, — предопределенные доверительные уровни.
Равновесие по Нэшу для ведомых элементов — это допустимая
совокупность векторов (у\,у2,... ,Ут), соответствующая управляющему вектору ж,
такая, что
/Дж, yl,..., 2/i_!,2/i, Vt+1,. ..,ут)^
< li fa УЬ ■■■.1/Г-1» Vh У*1+1' ■■■. У*т)
ДЛЯ ЛЮбоЙ ДОПУСТИМОЙ СОВОКУПНОСТИ веКТОрОВ (у\, . . . , У*_1,Уг,У*+1, ■ ■ ■ , Ут)
и г = 1,2, ...,т. Пусть ж*—допустимый управляющий вектор ведуще-
(24.24)
376 Глава 24. Неопределенное программирование
го элемента и {у\,у2,- ■ -,2/m)— равновесие по Нэшу для ведомых
элементов, соответствующее вектору ж*. Будем называть совокупность векторов
(ж*, у\, у2, - - -, Ут) равновесием по Стекелъбергу—Нэшу для задачи
двухуровневого программирования с ограничениями на шансы (24.23), тогда и только
тогда, когда
F(x,y1,y2,...,ym)^F(x*,yly^...,y*m) (24.25)
для любого допустимого управляющего вектора ж и имеет место равновесие
по Нэшу {y~i,y2, ■ ■ ■ ,I7m) для соответствующего ж.
Чтобы максимизировать пессимистическое значение функции дохода,
построим следующую минимаксную модель двухуровневого программирования
с ограничениями на шансы:
maxminF
X р
при ограничениях:
Ch{F(x,yi,y2,...,ym^)^F}^0,
Ch{G(x,£)<0}Za,
где каждый yt (г = 1,2,..., т)
получается в результате решения
max min f;
Уг ~U
при ограничениях:
Ch{fi(x,y1,y2,... ,ym,0 </J ^ Pi,
Ch{gi(x,y1,y2,... ,ym,£) <0} ^04.
(24.26)
Многоуровневое программирование для событийных моделей
Пусть Н(х,у1,у2,...,угп,£) < 0 и Ы{х,уъу2,...,ут,$) < 0 —события
ведущего и г-го ведомого элемента, i = 1,2,..., m, соответственно. Чтобы
максимизировать функцию шансов ведущего элемента, можно построить следующую
двухуровневую событийную модель:
тахСЬ{Я(ж,уиу2,... ,ут,£) < 0}
при ограничениях:
С(ж,£К0,
где каждый yt (г = 1,2,..., т)
получается в результате решения
maxCh{hi(x,y1,y2,...,ym,€)^0}
Уг
при ограничениях:
ft(a:,j/1,j/2.---.J/m.C)
недопустимая совокупность векторов {у\,у2, ■ ■.,г/т) называется
равновесием по Нэшу для ведомых элементов, соответствующим вектору ж, если
СЬ{^(ж, у$,..., у?^, yt, у*+1,..., у*т, £) < 0} <
< Ch{hi{x,у\,...,y'_i,yh2/T+i, • • ■,У™,€) < 0}
(24.27)
(24.28)
24.8. Ф-диаграмма 377
для любой допустимой совокупности векторов ($/J,..., y*_i,yt, У*+\, ■■■, Ут) и
г = 1,2,..., т. Пусть х* —допустимый управляющий вектор ведущего
элемента и (2/1,2/2,• ■ ■ ,Ут) —равновесие по Нэшу для ведомых элементов,
соответствующее вектору ж*. Совокупность векторов {х*,у\,у2,■ ■ ■ ,у^) называется
равновесием по Стекелъбергу—Нэшу для двухуровневой событийной модели
(24.27), тогда и только тогда, когда
Ch{H(x,y1,y2,...,ym,Z)<0}<Ch{H(x*,y*1,y*2,...,y*rn,O<0}
для любого допустимого управляющего вектора х и имеет место равновесие
по Нэшу (y~i,y~2, ■ ■ ■ iVm) Для соответствующего х.
24.8. Ф-диаграмма
Существует много возможных способов классификации моделей
неопределенного программирования. Например, можно классифицировать их согласно
характеру знаний о системе, структуре модели и принципам управления
неопределенностью. Дадим краткий перечень аспектов, важных для рассмотрения
при изучении систем с неопределенностью.
1. Характер знаний о системе
a. Стохастические величины
b. Нечеткие величины
c. Неточные величины
d. Нечетко-случайные величины
e. Случайно-нечеткие величины
f. Случайно-неточные величины
g. Неточно-случайные величины
h. Нечетко-неточные величины
i. Неточно-нечеткие величины
j. Билучайные величины
к. Бинечеткие величины
1. Бинеточные величины
т. Величины с многократной неопределенностью
2. Структура модели
a. Одноцелевое (однокритериальное) программирование
b. Многокритериальное программирование
c. Целевое программирование
d. Динамическое программирование
e. Многоуровневое программирование
3. Принципы управления неопределенностью
a. Модель среднего ожидаемого значения (EVM-модель)
b. Программирование с ограничениями на шансы (ССР-модель)
c. Событийное программирование (DCP-модель)
Ф-диаграмма для классификации задач неопределенного
программирования показана на рис. 24.2, где используются следующие обозначения:
378 Глава 24. Неопределенное программирование
Information
Multifold Uncertain -
Birough -
Bifuzzy -
Birandom -
Rough Fuzzy -
Fuzzy Rough -
Rough Random -
Random Rough -
Random Fuzzy -
Fuzzy Random -
Rough -
Fuzzy -
Stochastic -
Single-Objective P/
MOP/
GP/
DP/
EVM CCP DCP
-*- Philosophy
MLP/
Structure
Рис. 24.2. Ф-диаграмма для классификации задач неопределенного
программирования
Information — вид доступной информации: Stochastic — стохастические
величины, Fuzzy — нечеткие величины, Rough — неточные величины, Fuzzy
Random — нечетко-случайные величины, Random Fuzzy — случайно-нечеткие
величины, Random Rough — случайно-неточные величины, Rough Random —
неточно-случайные величины, Fuzzy Rough — нечетко-неточные величины,
Rough Fuzzy — неточно-нечеткие величины, Birandom — бислучайные
величины, Bifuzzy — бинечеткие величины, Birough — бинеточные величины, Multifold
Uncertain — величины с многократной неопределенностью; Structure —
структура модели: Single-Objective P — однокритериальная задача МП, МОР —
многокритериальная задача МП, GP — задача целевого программирования,
DP — задача динамического программирования, MLP — задача
многоуровневого программирования; Philosophy — принципы управления
неопределенностью: EVM — модель среднего ожидаемого значения (EVM-модель), ССР —
программирование с ограничениями на шансы (ССР-модель), DCP
—событийное программирование (DCP-модель).
В системе координат (Philosophy, Structure, Information), вводимой Ф—
диаграммой, можно представить любую задачу неопределенного
программирования. Например, сечение «Р = ССР» этой диаграммы представляет со-
24.9. Нейронная сеть + генетический алгоритм 379
бой модели математического программирования с ограничениями на шансы,
сечение «I = Stochastic» — модели стохастического программирования, точка
«(P,S,I) = (DCP, GP, Fuzzy Random)» отвечает модели нечетко-случайного
целевого событийного программирования.
24.9. Имитационное моделирование + нейронная сеть
+ генетический алгоритм
Для решения различных задач разработаны многочисленные алгоритмы,
включая и так называемые интеллектуальные алгоритмы*. Вполне
естественно возникает идея объединить эти алгоритмы в одном, более мощном и
эффективном, чем отдельные его составляющие. Будем называть такой
комбинированный алгоритм гибридным алгоритмом. Для решения задач, основанных
на моделях неопределенного программирования общего вида, был разработан
целый ряд гибридных алгоритмов. С ними можно познакомиться по адресу:
(http://orsc.edu.cn/~liu/Uncertain_Programming).
Формирование наборов вход-выходных пар для требуемых неопределенных
функций вида
U\ :x^E[f(x,£)],
U2:x^ Ch{/,(-, О < 0, j = 1,2,... ,р},
U3 : х -> max{/ | Ch {/(-,£) > /} > /?}
можно осуществить средствами имитационного моделирования. Эти методы,
однако, требуют весьма значительного расхода вычислительных ресурсов.
Поэтому, для ускорения процессов решения задач неопределенного
программирования целесообразно использовать нейронную сеть, которая обучается на
наборе вход-выходных пар, полученных имитационным моделированием.
После этого обученная нейронная сеть встраивается в генетический алгоритм, что
приводит к получению варианта гибридного алгоритма, соответствующего
решаемой задаче (см. рис. 24.3). Алгоритмы такого рода часто использовались в
данной книге.
Имитационное моделирование
Нейронная сеть
Генетический алгоритм
Рис. 24.3. Гибридный алгоритм
1 См. примечание 1 на с. 85 — Прим. ред..
380 Глава 24. Неопределенное программирование
24.10. Имитационное моделирование + нейронная сеть
+ имитационный отжиг
Метод имитации отжига (имитационный отжиг; Simulated Annealing — SA)
представляет собой эвристический алгоритм для решения оптимизационных
задач, основанный на аналогии с физическим процессом отжига1. В общем
случае шаги процесса, реализуемого алгоритмом имитационного отжига,
приводят к перемещениям типа подъема или спуска в пространстве решений.
Такие шаги направляются температурным параметром Т. Вероятность
выполнения шага с перемещением А типа подъема в задаче минимизации (или
перемещения типа спуска в задаче максимизации) определяется как ехр[—Д/Г].
Очевидно, что вероятность выполнения шага со значительным уменьшением
целевой функции стремится к нулю при уменьшении температуры.
Следовательно, окончательное решение будет оптимальным, когда температура
приближается к нулю, при условии, что шаг уменьшения значения температуры
принят очень малым или же если процесс поиска продолжается неограниченно
долго.
Теоретические результаты показывают, что если реализуемый процесс
отжига протекает достаточно медленно, тогда алгоритм имитационного отжига
в состоянии найти глобальный оптимум. Однако, чтобы получить решение в
разумное время приходится использовать конечный и не слишком маленький
декремент температуры.
Процесс снижения температуры в алгоритме имитационного отжига
принято называть режимом охлаждения. Простейшим является геометрический
режим охлаждения, определяемый соотношением:
Тк+1 = аТк, (24.29)
где а называется показателем охлаждения, который представляет собой
константу со значением меньше 1. Как только температура достигла некоторой
особой точки (особого уровня), алгоритм имитационного отжига не
допускает больших изменений целевой функции. Однако такого рода большие
изменения могут потребоваться, чтобы этот алгоритм смог получить глобальный
оптимум. Для этой цели используется метод повторного нагрева (подогрева),
позволяющий уйти из локального оптимума. Наиболее часто используемым
режимом повторного нагрева является геометрический, определяемый
соотношением:
Тк+1 = Тк/Р, (24.30)
где (3 называется показателем подогрева, представляющим собой константу со
значением менее 1.
1 Отжиг — термическая обработка материалов, например, металлов, заключающаяся в
нагреве до определенной температуры, выдержке и медленном охлаждении. — Прим. ред.
24.11. Нейронная сеть + табу-поиск 381
Алгоритм 24.1. Имитационное моделирование + нейронная сеть +
имитационный отжиг
Шаг 1. Сформировать с помощью имитационного моделирования набор вход-
выходных пар для неопределенных функций.
Шаг 2. Обучить нейронную сеть решению задачи аппроксимации
неопределенной функции на полученном наборе вход-выходных пар.
Шаг 3. Задать начальное допустимое решение ж и значение температуры Т.
Шаг 4. Сформировать случайным образом некоторое решение ж',
находящееся поблизости от ж, где его допустимость может быть проверена с
помощью полученной обученной нейронной сети.
Шаг 5. Пусть / и /' — значения целевой функции для решений жиж',
соответственно, которые могут быть вычислены с помощью соответствующей
обученной нейронной сети.
Шаг 6. Задать Д = /' - /.
Шаг 7. Если Д ^ О, тогда задать ж <— ж'; в противном случае задать ж <— ж' с
вероятностью ехр[—Д/Т].
Шаг 8. Т «- аТ.
Шаг 9. Повторить шаги с четвертого по восьмой заданное число раз.
Шаг 10. Выдать полученное значение ж.
24.11. Имитационное моделирование + нейронная сеть
+ табу-поиск
Алгоритм табу-поиска (tabu search algorithm) был предложен в работах (Glover
[84,85]). Он представляет собой эвристический алгоритм, основанный на
поиске среди соседних решений и предназначенный для решения сложных
оптимизационных задач.
Алгоритм табу-поиска начинает работу с некоторого случайным образом
выбранного стартового допустимого решения х. Формируется множество
решений, соседних по отношению к х, после чего находится лучшее из них,
которое объявляется новым решением х, даже если оно хуже, чем было
предыдущее решение. Рассматриваемый алгоритм повторяет эту процедуру с каждым
вновь полученным решением х до тех пор, пока не будет удовлетворено
некоторое условие завершения процесса поиска.
Описанная выше процедура может, однако, зациклиться. Чтобы
предотвратить зацикливание, решения, которые уже ранее анализировались,
объявляются запрещенными. Алгоритм табу-поиска использует табу-список,
представляющий собой специальным образом организованную область краткосрочной
памяти, которая содержит сведения о ранее встречавшихся решениях.
Длина этого списка носит название протяженность табу. Выполнение шага в
процессе поиска запрещается, если он ведет к решению, включенному в табу-
список, за исключением случая, когда он удовлетворяет критерию
стремления к совершенству, т. е. позволяет получить решение лучше, чем наилучшее
из решений, най енных о этого момента. После того, как шаг процесса поиска
382 Глава 24. Неопределенное программирование
выполнен, он заносится в конец табу-списка, а первый из элементов данного
списка удаляется из него, если превышена заданная длина списка.
Алгоритм 24.2. Имитационное моделирование + нейронная сеть + табу-поиск
Шаг 1. Сформировать с помощью имитационного моделирования набор вход-
выходных пар для неопределенных функций.
Шаг 2. Обучить нейронную сеть решению задачи аппроксимации
неопределенной функции на полученном наборе вход-выходных пар.
Шаг 3. Задать случайным образом начальное допустимое решение.
Шаг 4. Сформировать случайным образом набор допустимых решений-
соседей, не принадлежащих табу-списку, в котором допустимость
решений может быть проверена с помощью обученной нейронной сети.
Шаг 5. Выбрать наилучшее решение-соседа в качестве нового текущего
решения х, применительно к которому вычисление значения целевой
функции может быть выполнено с помощью обученной нейронной сети.
Шаг 6. Повторить четвертый и пятый шаги заданное число раз.
Шаг 7. Выдать полученное значение х.
24.12. Направления дальнейших исследований
Неопределенное программирование представляет собой развивающуюся
область. Перечислим ряд возникающих здесь проблем. Применительно к
математическому аппарату неопределенного программирования требуют
рассмотрения такие вопросы, как анализ чувствительности, получение для решений
оценок сверху и снизу, теоремы двойственности, условия оптимальности и т. п.
С вычислительной точки зрения необходимо создание более эффективных
и мощных численных алгоритмов. Было проведено объединение в рамках
серии разнообразных гибридных алгоритмов таких средств, как статистическое
моделирование, нейронные сети, генетические алгоритмы, имитационный
отжиг и табу-поиск. Можно также разработать алгоритмы классического типа
для некоторых специальных видов задач неопределенного программирования,
опираясь на соответствующие математические особенности этих задач.
С прикладной точки зрения методы неопределенного программирования
могут быть применены для решения любых оптимизационных задач,
которые содержат неопределенные факторы. К числу таких задач можно отнести,
например, системы массового обслуживания, производственные системы,
финансовые системы, энергетические системы, управление сетевыми системами
поставок, инженерное проектирование.
X,
X,
X,
X,
a
a,
e,
У,
У,
У,
У,
Л,
ь,
1,
z
z
z
z
с
с
т
Перечень
часто используемых символов
компоненты вектора решений (decision variables)
компоненты нечеткого вектора решений
(fuzzy decision variables)
векторы решений (decision vectors)
нечеткие векторы решений (fuzzy decision vectors)
нечеткие величины (fuzzy variables)
нечеткие векторы (fuzzy vectors)
неопределенные (случайные, нечеткие, неточные и т. п.) величины
(uncertain (random, fuzzy, rough, etc.) variables)
£, г], т неопределенные (случайные, нечеткие, неточные и т. п.) векторы
(uncertain (random, fuzzy, rough, etc.) vectors)
/i, v функции принадлежности (membership functions)
ф, ф плотности распределения вероятностей
(probability density functions)
Ф, Ф функции распределения вероятностей
(probability distribution functions)
/, fi целевые функции (objective functions)
9i 3j функции-ограничения (constraint functions)
0 пустое множество (empty set)
Pr вероятностная мера (probability measure)
Pos мера возможности (possibility measure)
Nee мера необходимости (necessity measure)
Cr мера правдоподобия (credibility measure)
Tr мера доверия (trust measure)
Ch мера шансов (chance measure)
E оператор среднего ожидаемого значения
(expected value operator)
404 Перечень часто используемых символов
(Г2,Л,Рг) вероятностное пространство (probability space)
(G, 7(G), Pos) возможностное пространство (possibility space)
(Л, Д, A, it) пространство приближений (rough space)
a, (3, 7 доверительные уровни (confidence levels)
d+, d~ положительные и отрицательные отклонения
(positive and negative deviations)
5ft множество вещественных чисел (set of real numbers)
5ftn n-мерное евклидово пространство
(n-dimensional Euclidean space)
V оператор максимума (maximum operator)
Л оператор минимума (minimum operator)
lexmin лексикографическая минимизация
(lexicographical minimization)
Eval функция оценки в генетических алгоритмах
(evaluation function in genetic algorithms)
Err функция ошибки в нейронных сетях
(error function in neural networks)
Предметный указатель
A-Z
a-chance measure (а-шансовая мера)
285, 323
a-level set (множество уровня а) 174
acceptance-rejection method (метод
включения-исключения) 77
almost sure convergence (сходимость
почти наверное) 66
ascent method (метод подъема) 27
Backpropagation algorithm (алгоритм
обратного распространения ошибки)
55
Bernoulli distribution (распределение
Бернулли) 69
beta distribution (бета-распределение)
72
bifuzzy programming (бинечеткое
(нечетко-нечеткое)
программирование) 366
bifuzzy variable (бинечеткая (нечетко-
нечеткая) величина) 361
binomial distribution (биномиальное
распределение) 69
birandom programming (бислучайное
(случайно-случайное)
программирование) 366
birandom variable (бислучайная
(случайно-случайная)
величина) 359
birough programming (бинеточное
(неточно-неточное)
программирование) 366
birough variable (бинеточная (неточно-
неточная) величина) 362
branch-and-bound enumeration (метод
ветвей и границ) 31
Capital budgeting (распределение
капиталовложений) 116, 160, 214
Cauchy distribution (распределение
Коши) 70
chance constraint (ограничение на
шансы) 102, 202, 297
chance function (функция шансов) 145,
145, 224, 241
chance measure (мера шансов) see
primitive chance
chance-constrained programming
(программирование с ограничениями
на шансы)
bifuzzy (бинечеткое) 369
birandom (бислучайное) 369
birough (бинеточное) 369
fuzzy (нечеткое) 203
fuzzy random (нечетко-случайное) 238
fuzzy rough (нечетко-неточное) 369
random fuzzy (случайно-нечеткое) 369
random rough (случайно-неточное)
369
rough (неточное) 266
rough fuzzy (неточно-нечеткое) 369
rough random (неточно-случайное)
369
stochastic (стохастическое) 102
Chi-square distribution (распределение
хи-квадрат) 74
chromosome (хромосома) 39
compromise model (компромиссная
модель) 28
compromise solution (компромиссное
решение) 28
confidence level (доверительный уровень)
101
congruential method (метод сравнений,
метод вычетов) 68
credibility density function (плотность
распределения правдоподобия) 181
credibility distribution (распределение
правдоподобия) 181
406 Предметный указатель
credibility measure (мера правдоподобия)
179
crisp equivalent (четкий эквивалент) 209
critical path problem (задача о
критическом пути) 136, 167, 219,
234
critical value of (критическое значение)
bifuzzy variable (бинечеткой
величины) 362
birandom variable (бислучайной
величины) 360
birough variable (бинеточной
величины) 363
fuzzy random variable (нечетко-
случайной величины) 286
fuzzy rough variable (нечетко-неточной
величины) 358
fuzzy variable (нечеткой величины)
182
random fuzzy variable (случайно-
нечеткой величины) 324
random rough variable (случайно-
неточной величины) 355
random variable (случайной
величины) 64
rough fuzzy variable (неточно-нечеткой
величины) 359
rough random variable (неточно-
случайной величины) 357
rough variable (неточной величины)
256
cutting plane method (метод отсечения,
метод отсекающих плоскостей
(метод Гомори)) 32
Decision vector (вектор решений) 25
dependent-chance programming
(событийное программирование,
программирование с зависимыми
функциями шансов событий)
bifuzzy (бинечеткое) 371
birandom (бислучайное) 371
birough (бинеточное) 371
fuzzy (нечеткое) 224
fuzzy random (нечетко-случайное) 240
fuzzy rough (нечетко-неточное) 371
random fuzzy (случайно-нечеткое) 371
random rough (случайно-неточное)
371
rough (неточное) 269
rough fuzzy (неточно-нечеткое) 371
rough random (неточно-случайное)
371
stochastic (стохастическое) 142
deterministic equivalent
(детерминированный эквивалент) 107
deviation (отклонение) 29,
direct method (прямой метод) 27
distance function (функция расстояния)
28
dynamic programming (динамическое
программирование), 33
dynamic programming (динамическое
программирование)
chance-constrained (с ограничениями
на шансы) 373
dependent-chance (событийное) 373
expected value (на основе модели
ожидаемого значения) 373
Efficient solution (эффективное
(оптимальное по Парето, Парето-
оптимальное, оптимум Парето)
решение) 28
empirical distribution (эмпирическое
распределение) 70
equilibrium chance measure (равновесная
мера шансов) 286, 324, 364
equivalence theorem (теорема
эквивалентности) 110, 339
Erlang distribution (распределение
Эрланга) 71
event (событие) 145, 241
exhaustive enumeration (полный перебор)
31
expected value model (модель (среднего)
ожидаемого значения)
bifuzzy (бинечеткая) 368
birandom (бислучайная) 368
birough (бинеточная) 368
fuzzy (нечеткая) 192
fuzzy random (нечетко-случайная)
292
fuzzy rough (нечетко-неточная) 368
random fuzzy (случайно-нечеткая)
329
random rough (случайно-неточная)
368
rough (неточная) 263
rough fuzzy (неточно-нечеткая) 368
rough random (случайно-неточная)
368
Предметный указатель 407
stochastic (стохастическая) 81
expected value of ((среднее) ожидаемое
значение)
bifuzzy variable (бинечеткой
величины) 361
birandom variable (бислучайной
величины) 360
birough variable (бинеточной
величины) 363
fuzzy random variable (нечетко-
случайной величины) 280
fuzzy rough variable (нечетко-неточной
величины) 357
fuzzy variable (нечеткой величины)
184
random fuzzy variable (случайно-
нечеткой величины) 318
random rough variable (случайно-
неточной величины) 355
random variable (случайной
величины) 62
rough fuzzy variable (неточно-нечеткой
величины) 359
rough random variable (неточно-
случайной величины) 356
rough variable (неточной величины)
258
exponential distribution
(экспоненциальное распределение) 71
F distribution (F-распределение) 75
facility location & allocation (размещение
и распределение объектов) 93, 135,
170, 199, 222, 233
feed mixture problem (задача
составления кормовой смеси) 114
function approximation (аппроксимация
функции) 54
fuzzy arithmetic (нечеткая арифметика)
176
fuzzy chromosome (нечеткая хромосома)
243
fuzzy decision (нечеткое решение) 236
fuzzy environment (нечеткая среда) 223
fuzzy event (нечеткое событие) 224
fuzzy neural network (нечеткая
нейронная сеть) 242
fuzzy programming (нечеткое
программирование) 202
fuzzy random event (нечетко-случайное
событие) 307
fuzzy random programming (нечетко-
случайное программирование)
292
fuzzy random simulation (нечетко-
случайное имитационное
моделирование) 288
fuzzy random variable (нечетко-
случайная величина) 275
fuzzy rough programming (нечетко-
неточное программирование) 366
fuzzy rough variable (нечетко-неточная
величина) 357
fuzzy set (нечеткое множество) 174
fuzzy simulation (нечеткое имитационное
моделирование) 173, 188
fuzzy variable (нечеткая величина) 174
Gamma distribution (гамма-
распределение) 71
genetic algorithm (генетический
алгоритм) 39
geometric distribution (геометрическое
распределение) 73
geometric programming (геометрическое
программирование) 25
goal programming (целевое
программирование) 29
Hessian method (метод, использующий
матрицу Гессе; метод Гессе) 27
hybrid intelligent algorithm (гибридный
алгоритм) 84, 112, 151, 212, 226,
243
Integer programming (целочисленное
программирование) 31
interactive approach (интерактивный
подход) 29
interval arithmetic (интервальная
арифметика) 254
interval number (интервальное число)
252
interval programming (интервальное
программирование) 263
intuitionistic fuzzy set (интуиционистское
нечеткое множество) 361
inverse transform method (метод
обратного преобразования) 67
Kuhn- Tucker conditions (условия Куна—
Таккера) 26
408 Предметный указатель
Laplace criterion (критерий Лапласа)
252
law of large numbers (закон больших
чисел) 66
linear programming (линейное
программирование) 23
logistic distribution (логистическое
распределение) 73
lognormal distribution (логарифмически
нормальное (логнормальное)
распределение) 75
lower approximation (нижнее
приближение) 251
Mark Six Lottery (лотерея «Выбери 6
номеров») 171
mathematical programming
(математическое программирование) 23
maximax model (максимаксная модель)
102, 203
mean chance measure (средняя мера
шансов) 286, 324, 364
membership function (функция
принадлежности) 174
minimax model (минимаксная модель)
105, 205
Monte Carlo simulation (статистическое
моделирование, моделирование по
методу Монте-Карло) 60
multifold uncertainty (многократная
неопределенность) 364
multilevel programming (многоуровневое
(иерархическое)
программирование), 33
chance-constrained (с ограничениями
на шансы) 375
dependent-chance (событийное) 376
expected value (на основе модели
ожидаемого значения) 374
multinomial distribution (многомерное
нормальное распределение)'76
multiobjective programming
(многокритериальное математическое
программирование) 27
Nash equilibrium (равновесие по Нэшу)
34, 375
necessity measure (мера необходимости)
179
negative binomial distribution
(отрицательное биномиальное
распределение) 73
neural network (нейронная сеть) 51
newsboy problem (задача продавца
газет) 81
nondominated solution (недоминируемое
решение) 28
noninferior solution (неулучшаемое
решение) 28
nonlinear programming (нелинейное
программирование) 25
normal distribution (нормальное
распределение) 74
Open inventory network (сеть
управления запасами) 118, 159
optimistic value, see critical value
(оптимистическое значение) see critical
value
overloading (перегрузка (операций)) 280
Parallel machine scheduling
(планирование работы параллельно
действующих машин) 96, 140, 168,
198, 221, 232
Pareto solution (решение по Парето,
Парето-оптимальное решение) 28
percentile (процентиль) 64
pessimistic value, see critical value
(пессимистическое значение) see
critical value
Poisson distribution (распределение
Пуассона) 76
population size (размер популяции) 39
possibility measure (мера возможности)
174, 179
possibility space (возможностное
пространство) 174
preference function (функция
предпочтения) 28
primitive chance measure of
(элементарная мера шансов)
bifuzzy event (бинечеткого события)
362
birandom event (бислучайного
события) 360
birough event (бинеточного события)
363
fuzzy random event (нечетко-
случайного события) 281
Предметный указатель 409
fuzzy rough event (нечетко-неточного
события) 358
random fuzzy event (случайно-
нечеткого события) 320
random rough event (случайно-
неточного события) 355
rough fuzzy event (неточно-нечеткого
события) 359
rough random event (неточно-
случайного события) 356
principle of uncertainty (принцип
неопределенности) 147, 224, 241, 308,
347
probability density function (плотность
распределения вероятностей,
плотность вероятности) 61
probability distribution (распределение
вероятностей, вероятностное
распределение) 61
probability measure (вероятностная мера
(вероятностное распределение,
распределение вероятностей)) 61
probability space (вероятностное
пространство) 61
product possibility space (произведение
возможностных пространств) 175
product probability space (произведение
вероятностных пространств) 61
product rough space (произведение
пространств приближений) 253
production process (производственный
процесс) 157
pseudorandom number (псевдослучайное
число) 67
Ф graph (Ф-диаграмма) 378
Quadratic programming (квадратичное
программирование) 25
Random event (случайное событие) 145
random fuzzy arithmetic (случайно-
нечеткая арифметика) 317
random fuzzy event (случайно-нечеткое
событие) 346
random fuzzy programming (случайно-
нечеткое программирование) 329
random fuzzy simulation (случайно-
нечеткое имитационное
моделирование) 325
random fuzzy variable (случайно-
нечеткая величина) 315
random rough programming (случайно-
неточное программирование) 366
random rough variable (случайно-
неточная величина) 354
ranking method of (метод ранжирования)
fuzzy random variable (нечетко-
случайной величины) 287
fuzzy variable (нечеткой величины)
188
random fuzzy variable (случайно-
нечеткой величины) 325
random variable (случайной
величины) 65
rough variable (неточной величины)
260
uncertain variable (неопределенной
величины) 364
redundancy optimization (оптимизация
резервирования) 87, 134, 165, 197,
216, 230
rough arithmetic (неточная арифметика)
253
rough fuzzy variable (неточно-нечеткая
величина) 358
rough programming (неточное
программирование) 263
rough random programming (неточно-
случайное программирование)
366
rough random variable (неточно-
случайная величина) 356
rough set (неточное множество) 251
rough simulation (неточное
имитационное моделирование) 260
rough space (пространство
приближений) 252
rough variable (неточная величина) 252
Sigmoid function (сигмоидная функция,
сигмоида) 52
similarity relation (отношение подобия)
250
simplex algorithm (симплекс-алгоритм,
симплексный алгоритм) 24
simulated annealing (метод имитации
отжига, имитационный отжиг) 380
soft constraint (мягкое ограничение) 41
Stackelberg-Nash equilibrium (равновесие
по Стекельбергу—Нэшу) 35, 375
stochastic environment (стохастическая
среда) 144
410 Предметный указатель
stochastic programming (стохастическое
программирование) 81
stochastic programming with recourse
(стохастическое программирование
с регрессом) 84
stochastic simulation (статистическое
моделирование) 60, 77
strong law of large numbers (усиленный
закон больших чисел) 66
supply problem (задача снабжения) 154
t distribution (^-распределение) 75
tabu search (табу-поиск) 381
topological optimization (топологическая
оптимизация) 123, 161
transportation problem (транспортная
задача) 35
triangular distribution (треугольное
распределение) 76
trifuzzy variable (тринечеткая (иечетко-
нечетко-нечеткая) величина) 365
trirandom variable (трислучайная
(случайно-случайно-случайная)
величина) 365
trirough variable (тринеточная (неточно-
неточно-неточная) величина)
365
trust density function (плотность
распределения доверия) 256
trust distribution (распределение
доверия) 255
trust measure (мера доверия) 254
twofold fuzzy set (двукратное нечеткое
множество) 361
type 2 fuzzy set (нечеткое множество
типа 2) 361
Uncertain dynamic programming
(неопределенное динамическое
программирование, динамическое
программирование в условиях
неопределенности) 372
uncertain environment (неопределенная
среда) 144, 223, 241
uncertain function (неопределенная
функция, функция с
неопределенностями) 84
uncertain multilevel programming
(многоуровневое неопределенное
программирование) 374
uncertain programming (неопределенное
программирование,
математическое программирование в условиях
неопределенности) 35, 366
uniform distribution (равномерное
распределение) 67, 77
upper approximation (верхнее
приближение) 251
Variance of (рассеяние)
bifuzzy variable (бинечеткой
величины) 361
birandom variable (бислучайной
величины) 360
birough variable (бинеточной
величины) 363
fuzzy random variable (нечетко-
случайной величины) 281
fuzzy rough variable (нечетко-неточной
величины) 357
fuzzy variable (нечеткой величины)
187
random fuzzy variable (случайно-
нечеткой величины) 319
random rough variable (случайно-
неточной величины) 355
random variable (случайной
величины) 63
rough fuzzy variable (неточно-нечеткой
величины) 359
rough random variable (случайно-
неточной величины) 356
rough variable (неточной величины)
259
vehicle routing problem (задача выбора
маршрута) 125, 163, 217, 233
Weibull distribution (распределение
Вейбулла) 72
weighting factor (весовой коэффициент)
30
Zero-one programming (булево
(бинарное) программирование) 31
Предметный указатель 411
А-Я
а-шансовая мера (a-chance measure)
285, 323
F-распределение (F distribution) 75
Ф-диаграмма (Ф graph) 378
^-распределение (t distribution) 75
Алгоритм обратного
распространения ошибки (backpropagation
algorithm) 55
аппроксимация функции (function
approximation) 54
Бета-распределение (beta distribution)
72
бинеточная (неточно-неточная)
величина (birough variable) 362
бинеточное (неточно-неточное)
программирование (birough programming)
366
бинечеткая (нечетко-нечеткая)
величина (bifuzzy variable) 361
бинечеткое (нечетко-нечеткое)
программирование (bifuzzy programming)
366
биномиальное распределение (binomial
distribution) 69
бислучайная (случайно-случайная)
величина (birandom variable) 359
бислучайное (случайно-случайное)
программирование (birandom
programming) 366
булево (бинарное) программирование
(zero-one programming) 31
Вектор решений (decision vector) 25
вероятностная мера (вероятностное
распределение, распределение
вероятностей, распределение,
вероятность) (probability measure)
61
вероятностное пространство (probability
space) 61
верхнее приближение (upper
approximation) 251
весовой коэффициент (weighting factor)
30
возможиостиое пространство (possibility
space) 174
Гамма-распределение (gamma
distribution) 71
генетический алгоритм (genetic
algorithm) 39
геометрическое программирование
(geometric programming) 25
геометрическое распределение
(geometric distribution) 73
гибридный алгоритм (hybrid intelligent
algorithm) 84, 112, 151, 212, 226,
243
Двукратное нечеткое множество
(twofold fuzzy set) 361
детерминированный эквивалент
(deterministic equivalent) 107
динамическое программирование
(dynamic programming)
на основе модели ожидаемого
значения (expected value) 373
с ограничениями на шансы (chance-
constrained) 373
событийное (dependent-chance) 373
динамическое программирование
(dynamic programming), 33
доверительный уровень (confidence
level) 101
Задача выбора маршрута (vehicle
routing problem) 125, 163, 217, 233
задача о критическом пути (critical path
problem) 136, 167, 219, 234
задача продавца газет (newsboy problem)
81
задача снабжения (supply problem) 154
задача составления кормовой смеси
(feed mixture problem) 114
закон больших чисел (law of large
numbers) 66
Интерактивный подход (interactive
approach) 29
интервальная арифметика (interval
arithmetic) 254
интервальное программирование
(interval programming) 263
интервальное число (interval number)
252
интуиционистское нечеткое множество
(intuitionistic fuzzy set) 361
412 Предметный указатель
Квадратичное программирование
(quadratic programming) 25
компромиссная модель (compromise
model) 28
компромиссное решение (compromise
solution) 28
критерий Лапласа (Laplace criterion)
252
критическое значение (critical value of)
бинеточной величины (birough
variable) 363
бинечеткой величины (bifuzzy
variable) 362
бислучайной величины (birandom
variable) 360
неточно-нечеткой величины (rough
fuzzy variable) 359
неточно-случайной величины (rough
random variable) 357
неточной величины (rough variable)
256
нечетко-неточной величины (fuzzy
rough variable) 358
нечетко-случайной величины (fuzzy
random variable) 286
нечеткой величины (fuzzy variable)
182
случайно-неточной величины
(random rough variable) 355
случайно-нечеткой величины (random
fuzzy variable) 324
случайной величины (random
variable) 64
Линейное программирование (linear
programming) 23
логарифмически нормальное (логнор-
мальное) распределение (lognormal
distribution) 75
логистическое распределение (logistic
distribution) 73
лотерея «Выбери 6 номеров» (Mark Six
Lottery) 171
Максимаксная модель (maximax model)
102, 203
математическое программирование
(mathematical programming) 23
мера возможности (possibility measure)
174, 179
мера доверия (trust measure) 254
мера необходимости (necessity measure)
179
мера правдоподобия (credibility measure)
179
мера шансов (chance measure) see
primitive chance
метод ветвей и границ (branch-and-
bound enumeration) 31
метод включения-исключения
(acceptance-rejection method)
77
метод имитации отжига, имитационный
отжиг (simulated annealing) 380
метод обратного преобразования (inverse
transform method) 67
метод отсечения, метод отсекающих
плоскостей (метод Гомори) (cutting
plane method) 32
метод подъема (ascent method) 27
метод ранжирования (ranking method
of)
неопределенной величины (uncertain
variable) 364
неточной величины (rough variable)
260
нечетко-случайной величины (fuzzy
random variable) 287
нечеткой величины (fuzzy variable)
188
случайно-нечеткой величины (random
fuzzy variable) 325
случайной величины (random
variable) 65
метод сравнений, метод вычетов
(congruential method) 68
метод, использующий матрицу Гессе;
метод Гессе (Hessian method) 27
минимаксная модель (minimax model)
105, 205
многократная неопределенность
(multifold uncertainty) 364
многокритериальное математическое
программирование (multiobjective
programming) 27
многомерное нормальное распределение
(multinomial distribution) 76
Предметный указатель 413
многоуровневое (иерархическое)
программирование (multilevel
programming)
на основе модели ожидаемого
значения (expected value) 374
с ограничениями на шансы (chance-
constrained) 375
событийное (dependent-chance) 376
многоуровневое (иерархическое)
программирование (multilevel
programming), 33
многоуровневое неопределенное
программирование (uncertain
multilevel programming) 374
множество уровня a (a-level set) 174
модель (среднего) ожидаемого значения
(expected value model)
бинеточная (birough) 368
бинечеткая (bifuzzy) 368
бислучайная (birandom) 368
неточная (rough) 263
неточно-нечеткая (rough fuzzy) 368
нечеткая (fuzzy) 192
нечетко-неточная (fuzzy rough) 368
нечетко-случайная (fuzzy random)
292
случайно-неточная (random rough)
368
случайно-неточная (rough random)
368
случайно-нечеткая (random fuzzy)
329
стохастическая (stochastic) 81
мягкое ограничение (soft constraint) 41
Недоминируемое решение
(nondominated solution) 28
нейронная сеть (neural network) 51
нелинейное программирование
(nonlinear programming) 25
неопределенная среда (uncertain
environment) 144, 223, 241
неопределенная функция, функция с
неопределенностями (uncertain
function) 84
неопределенное динамическое
программирование, динамическое
программирование в
условиях неопределенности (uncertain
dynamic programming) 372
неопределенное программирование,
математическое
программирование в условиях неопределенности
(uncertain programming) 35, 366
неточная арифметика (rough arithmetic)
253
неточная величина (rough variable) 252
неточно-нечеткая величина (rough fuzzy
variable) 358
неточно-случайная величина (rough
random variable) 356
неточно-случайное программирование
(rough random programming) 366
неточное имитационное моделирование
(rough simulation) 260
неточное множество (rough set) 251
неточное программирование (rough
programming) 263
неулучшаемое решение (noninferior
solution) 28
нечеткая арифметика (fuzzy arithmetic)
176
нечеткая величина (fuzzy variable) 174
нечеткая нейронная сеть (fuzzy neural
network) 242
нечеткая среда (fuzzy environment) 223
нечеткая хромосома (fuzzy chromosome)
243
нечетко-неточная величина (fuzzy rough
variable) 357
нечетко-неточное программирование
(fuzzy rough programming) 366
нечетко-случайная величина (fuzzy
random variable) 275
нечетко-случайное имитационное
моделирование (fuzzy random
simulation) 288
нечетко-случайное программирование
(fuzzy random programming) 292
нечетко-случайное событие (fuzzy
random event) 307
нечеткое имитационное моделирование
(fuzzy simulation) 173, 188
нечеткое множество (fuzzy set) 174
нечеткое мноясество типа 2 (type 2 fuzzy
set) 361
нечеткое программирование (fuzzy
programming) 202
нечеткое решение (fuzzy decision) 236
414 Предметный указатель
нечеткое событие (fuzzy event) 224
нижнее приближение (lower
approximation) 251
нормальное распределение (normal
distribution) 74
Ограничение на шансы (chance
constraint) 102, 202, 297
оптимизация резервирования
(redundancy optimization) 87,
134, 165, 197, 216, 230
оптимистическое значение (optimistic
value, see critical value) см.
критическое значение
отклонение (deviation) 29
отношение подобия (similarity relation)
250
отрицательное биномиальное
распределение (negative binomial
distribution) 73
Перегрузка (операций) (overloading) 280
пессимистическое значение (pessimistic
value, see critical value) см.
критическое значение
планирование работы параллельно
действующих машин (parallel
machine scheduling) 96, 140, 168,
198, 221, 232
плотность распределения вероятностей,
плотность вероятности (probability
density function) 61
плотность распределения доверия (trust
density function) 256
плотность распределения
правдоподобия (credibility density function)
181
полный перебор (exhaustive enumeration)
31
принцип неопределенности (principle of
uncertainty) 147, 224, 241, 308, 347
программирование с ограничениями
на шансы (chance-constrained
programming)
бинеточное (birough) 369
бинечеткое (bifuzzy) 369
бислучайное (birandom) 369
неточно-нечеткое (rough fuzzy) 369
неточно-случайное (rough random)
369
неточное (rough) 266
нечетко-неточное (fuzzy rough) 369
нечетко-случайное (fuzzy random) 238
нечеткое (fuzzy) 203
случайно-неточное (random rough)
369
случайно-нечеткое (random fuzzy) 369
стохастическое (stochastic) 102
произведение вероятностных
пространств (product probability
space) 61
произведение возможностных
пространств (product possibility space)
175
произведение пространств приближений
(product rough space) 253
производственный процесс (production
process) 157
пространство приближений, неточное
пространство (rough space) 252
процентиль (percentile) 64
прямой метод (direct method) 27
псевдослучайное число (pseudorandom
number) 67
Равновесие по Нэшу (Nash equilibrium)
34, 375
равновесие по Стекельбергу—Нэшу
(Stackelberg-Nash equilibrium) 35,
375
равновесная мера шансов (equilibrium
chance measure) 286, 324, 364
равномерное распределение (uniform
distribution) 67, 77
размер популяции (population size) 39
размещение и распределение объектов
(facility location & allocation) 93,
135, 170, 199, 222, 233
распределение Бернулли (Bernoulli
distribution) 69
распределение Вейбулла (Weibull
distribution) 72
распределение вероятностей,
вероятностное распределение (probability
distribution) 61
распределение доверия (trust
distribution) 255
распределение капиталовложений
(capital budgeting) 116, 160, 214
Предметный указатель 415
распределение Коши (Cauchy
distribution) 70
распределение правдоподобия
(credibility distribution) 181
распределение Пуассона (Poisson
distribution) 76
распределение хи-квадрат (Chi-square
distribution) 74
распределение Эрланга (Erlang
distribution) 71
рассеяние (variance of)
бинеточной величины (birough
variable) 363
бинечеткой величины (bifuzzy
variable) 361
бислучайной величины (birandom
variable) 360
неточно-нечеткой величины (rough
fuzzy variable) 359
неточной величины (rough variable)
259
нечетко-неточной величины (fuzzy
rough variable) 357
нечетко-случайной величины (fuzzy
random variable) 281
нечеткой величины (fuzzy variable)
187
случайно-неточной величины
(random rough variable) 355
случайно-неточной величины (rough
random variable) 356
случайно-нечеткой величины (random
fuzzy variable) 319
случайной величины (random
variable) 63
решение по Парето, Парето-
оптимальное решение (Pareto
solution) 28
Сеть управления запасами (open
inventory network) 118, 159
сигмоидная функция, сигмоида (sigmoid
function) 52
симплекс-алгоритм, симплексный
алгоритм (simplex algorithm) 24
случайно-неточная величина (random
rough variable) 354
случайно-неточное программирование
(random rough programming) 366
случайно-нечеткая арифметика (random
fuzzy arithmetic) 317
случайно-нечеткая величина (random
fuzzy variable) 315
случайно-нечеткое имитационное
моделирование (random fuzzy
simulation) 325
случайно-нечеткое программирование
(random fuzzy programming) 329
случайно-нечеткое событие (random
fuzzy event) 346
случайное событие (random event) 145
событие (event) 145, 241
событийное программирование,
программирование с зависимыми
функциями шансов событий
(dependent-chance programming)
бинеточное (birough) 371
бинечеткое (bifuzzy) 371
бислучайное (birandom) 371
неточно-нечеткое (rough fuzzy) 371
неточно-случайное (rough random)
371
неточное (rough) 269
нечетко-неточное (fuzzy rough) 371
нечетко-случайное (fuzzy random) 240
нечеткое (fuzzy) 224
случайно-неточное (random rough)
371
случайно-нечеткое (random fuzzy) 371
стохастическое (stochastic) 142
(среднее) ожидаемое значение (expected
value of)
бинеточной величины (birough
variable) 363
бинечеткой величины (bifuzzy
variable) 361
бислучайной величины (birandom
variable) 360
неточно-нечеткой величины (rough
fuzzy variable) 359
неточно-случайной величины (rough
random variable) 356
неточной величины (rough variable)
258
нечетко-неточной величины (fuzzy
rough variable) 357
нечетко-случайной величины (fuzzy
random variable) 280
416 Предметный указатель
нечеткой величины (fuzzy variable)
184
случайно-неточной величины
(random rough variable) 355
случайно-нечеткой величины (random
fuzzy variable) 318
случайной величины (random
variable) 62
средняя мера шансов (mean chance
measure) 286, 324, 364
статистическое моделирование
(stochastic simulation) 60, 77
статистическое моделирование,
моделирование по методу Монте-Карло
(Monte Carlo simulation) 60
стохастическая среда (stochastic
environment) 144
стохастическое программирование
(stochastic programming) 81
стохастическое программирование с
регрессом (stochastic programming
with recourse) 84
сходимость почти наверное (almost sure
convergence) 66
Табу-поиск (tabu search) 381
теорема эквивалентности (equivalence
theorem) 110, 339
топологическая оптимизация
(topological optimization) 123,
161
транспортная задача (transportation
problem) 35
треугольное распределение (triangular
distribution) 76
тринеточная (неточно-неточно-
неточная) величина (trirough
variable) 365
тринечеткая (нечетко-нечетко-
нечеткая) величина (trifuzzy
variable) 365
трислучайная (случайно-случайно-
случайная) величина (trirandom
variable) 365
Усиленный закон больших чисел (strong
law of large numbers) 66
условия Куна—Таккера (Kuhn-Tucker
conditions) 26
Функцией предпочтения (preference
function) 28
функция принадлежности (membership
function) 174
функция расстояния (distance function)
28
функция шансов (chance function) 145,
145, 224, 241
Хромосома (chromosome) 39
Целевое программирование (goal
programming) 29
целочисленное программирование
(integer programming) 31
Четкий эквивалент (crisp equivalent)
209
Экспоненциальное распределение
(exponential distribution) 71
элементарная мера шансов (primitive
chance measure of)
бинеточного события (birough event)
363
бинечеткого события (bifuzzy event)
362
бислучайного события (birandom
event) 360
неточно-нечеткого события (rough
fuzzy event) 359
неточно-случайного события (rough
random event) 356
нечетко-неточного события (fuzzy
rough event) 358
нечетко-случайного события (fuzzy
random event) 281
случайно-неточного события (random
rough event) 355
случайно-нечеткого события (random
fuzzy event) 320
эмпирическое распределение (empirical
distribution) 70
эффективное (оптимальное по Парето,
Парето-оптимальное, оптимум
Парето) решение (efficient solution)
28