А. С. Байбиков, В. К. Караханьян
Гидродинамика
вспомогательных
трактов
лопастных
машин
МОСКВА «МАШИНОСТРОЕНИЕ> 1982

ББК 31.56
Б18
УДК 621.671.035
Рецензент д-р техн. наук О. В. Байбаков
Байбиков А. С, Караханьян В. К,
Б18 Гидродинамика вспомогательных трактов лопастных
машин. М.: Машиностроение,-1982. — 112 с, ил.
40 к.
Книга посвящена течению во вспомогательных (не входящих в состав проточных
частей) трактах лопастных машин— центробежных насосов, компрессоров, турбин.
Приведены методы расчета элементов вспомогательных трактов и составленных из
них внутренних гидравлических цепей, а также гидродинамических сил,
действующих на детали вспомогательных трактов, в частности осевых сил, возникающих на
рабочих колесах. Изложены методы экспериментального определения характеристик
вспомогательных трактов и гидродинамических сил, а также теория их
моделирования.
Книга предназначена для специалистов, занимающихся проектированием,
исследованием, изготовлением и эксплуатацией лопастных машин.
Б 2305020000-144 ББК 31.56
038@1)-82 ' 6П2.3
ИБ J* 3150
АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ БАЙБИКОВ
ВЛАДИМИР КАРПОВИЧ КАРАХАНЬЯН
Гидродинамика вспомогательных трактов
лопастных машин
Редактор Н. П. Ошерова
Художественный редактор И К. Капралова
Технический редактор Н. Н. Чистякова
Корректоры В. А. Воробьева, Л. Л. Георгиевская
Обложка художника А. В. Разумова
Сдано в набор 23.07.81. Подписано в печать 23.10 81. Т-23685
Формат 60X907ie. Бумага типографская № 2.
Гарнитура литературная. Печать высокая.
Усл. печ. л. 7,0. Уч -изд. л. 7,65.
Тираж 1800 экз. Заказ 2096 Цена 40 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Машиностроение», 107076, Москва, Б-76,
Стромынский пер., 4
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Хохловский пер.» 7.
Издательство «Машиностроение», 1982 г.

Введение
Лопастные машины — насосы, компрессоры,
турбины—применяются во многих областях народного хозяйства.
Основными требованиями, предъявляемыми к ним, являются
максимально возможная при данных условиях экономичность и
надежность работы при минимальных стоимости, размерах и
металлоемкости.
Достижение высокой экономичности во многом определяется
совершенством преобразования энергии в проточной части
машины (лопаточных аппаратах, отводах, подводах и т. п.).
Проектированию и исследованию проточных частей лопастных машин
посвящено много работ. Однако во всех этих машинах помимо
проточных частей имеются заполненные жидкостью полости и каналы,
необходимые для нормального функционирования машин. Эти
гидравлически связанные элементы (полости и каналы) образуют
вспомогательные тракты лопастной машины. Потоки в них в основном и
определяют надежность работы машины, а часто и ее
экономичность. Особенно существенно влияние вспомогательных трактов на
экономичность лопастных машин низкой быстроходности и
герметичных насосов на гидростатических подшипниках, в которых
расходы жидкости в проточных частях и во вспомогательных трактах
одного порядка по величине.
Вспомогательные тракты состоят из разнообразных элементов,
гидравлически связанных между собой и с проточной частью
лопастной машины. Автономные гидравлические тракты, не
связанные с проточной частью и включающие некоторые полости в
корпусе, такие, как масляные системы, системы регулирования, в данной
работе не рассматриваются.
Типовыми элементами вспомогательных трактов являются:
1) боковые полости между дисками рабочих колес и корпусом;
2) щели уплотнений ротора: 3) полости между ротором и корпусом;
4) каналы и отверстия в корпусе и роторе; 5) щели между
неподвижными и вращающимися деталями гидростатических и
шариковых подшипников.
На рис. 1 показан электронасосный агрегат, включающий эти
основные элементы. Перечень их непрерывно расширяется и
детализируется по мере появления новых конструкций лопастных
машин и изменения функций вспомогательных трактов.
Каждый из перечисленных выше элементов в реальных
конструкциях имеет много разновидностей.

/ 2
Ik
гь
10 19 18 t
Рис. 1. Конструктивная схема насосного агрегата:
/—сечение отбора охлаждающей жидкости; 2—вход в трубопровод охлаждающей жидкости;
3 и 4—концы змеевика; 5 и 6—границы канала питания гидростатического подшипника; 7—
сечение входа жидкости в полость гидропяты; 8 и 9—границы рабочей щели гидропяты;
10 и 12—границы рабочей щели гидростатического подшипника; //—вход дросселя
гидростатического подшипника; 13— периферийная граница полости якоря; 14 и /5—границы
щели между якорем и статором; 16 и 18—границы рабочей щели гидростатического
подшипника; /7—выход дросселя гидростатического подшипника; 19 и 2/—внутренние границы
боковых полостей; 20 и 24—сечения выхода потоков из рабочих колес; 22 и 23—граничные
сечения рабочей щели торцового уплотнения
В качестве общих расчетных моделей течения в элементах
вспомогательных трактов используются течения в канале или полости
с вращающимися или неподвижными стенками с
соответствующими граничными условиями, а специфические отличия реальных
элементов учитываются введением индивидуальных для каждой
разновидности экспериментальных коэффициентов.
Для удобства рассмотрения предполагают, что течение в
каждом элементе при заданных условиях на входе и выходе не зависит
от течения в других элементах. Эти граничные условия
определяются гидравлическими связями между элементами.
Потерями при слиянии или разделении потоков, как правило,
можно пренебречь. В редких случаях, когда эти потери
значительны, их условно относят к потерям в примыкающих элементах.
Гидравлическую связь между элементами наиболее
целесообразно изображать в виде графа — гидравлической схемы
вспомогательного тракта без специальных обозначений типов элементов.
Элементы на графе изображаются ребрами графа, а места
соединения элементов между собой и с проточной «астью — вершинами.
На рис. 2 дан граф вспомогательного тракта электронасосного
агрегата, показанного на рис. 1, причем вершины и соответствующие
места соединения отмечены одинаковыми индексами.
В большинстве случаев анализируются характеристики тракта
и его элементов при известных геометрии и режиме работы ло-

пастной машины. Реже
решается задача определения
оптимальной геометрии элементов
вспомогательных трактов,
отвечающих заданным условиям.
Эта задача в основном сводится
к решению вариантов
вспомогательных трактов,
отличающихся геометрическими
размерами элементов. Это
объясняется отсутствием общего под-
хода к оптимизации элементов
И СЛОЖНОСТЬЮ разработки ме- Рис. 2. Граф—гидравлическая схема на-
ТОДИК ДЛЯ каждого конкретно- сосного агрегата, показанного на рис. 1
го случая.
Основными задачами при исследовании и расчете
вспомогательных трактов являются: 1) определение расходов жидкости во всех
элементах; 2) определение давлений жидкости во всех элементах;
3) определение гидравлических потерь в элементах, в том числе
потерь на трение жидкости о вращающиеся поверхности; 4)
определение сил, действующих на поверхности, ограничивающие элементы
вспомогательных трактов; 5) расчет теплообмена через
поверхности, ограничивающие элементы вспомогательных трактов.
В результате решения этих задач можно разрешить ряд важных
для практики вопросов, возникающих при создании и отработке
лопастных машин, таких, как определение снижения экономичности
из-за паразитных потоков во вспомогательных трактах (уточнение
объемного КПД) и из-за потерь на трение (уточнение
механического КПД), расчет осевых сил, действующих на ротор, и диапазона
работы разгрузочных устройств, определение потерь энергии
жидкости на работу разгрузочных устройств и опор машины, выявление
влияния технологических и эксплуатационны> допусков размеров
деталей на энергетические л силовые характеристики машины, рас-
I чет охлаждения нагретых деталей.
Решению задачи исследования систем охлаждения газовых
турбин посвящена обширная специальная литература [37J, поэтому
охлаждающие тракты, как и течение в их элементах, не рассмотрены
в данной работе.
Для элементов вспомогательных трактов газовых и воздушных
лопастных машин характерно в основном течение с небольшими
числами М (менее 0,3), и поэтому сжимаемостью рабочего тела в
них можно пренебречь.
Поверочный расчет вспомогательного тракта лопастной машины
целесообразно производить в следующем порядке.
Вначале выделяют типовые элементы вспомогательного тракта
и в соответствии с гидравлическими связями чертят граф
вспомогательного тракта.
После этого определяют гидравлические характеристики всех
элементов тракта в ожидаемом диапазоне изменения параметров.

Затем производят совместный расчет тракта в соответствии с гра
фом и характеристиками отдельных его элементов, в результат
которого определяют давления и расходы жидкости во всех эл^
ментах.
В соответствии с задачей, используя известные давления и рас
ходы, определяют вторичные параметры: осевые силы, действующи
на отдельные элементы ротора, потери на трение и теплоотдачу ч^
рез поверхности, ограничивающие отдельные элементы, и т. п.
В большинстве лопастных машин наибольшее влияние на пота
ки во вспомогательных трактах оказывают боковые полости меж
ду дисками рабочих колес и корпусом, поэтому рассмотрим наибо
лее подробно гидродинамику потоков в этих элементах.

ГЛАВА 1
Течение в боковой полости
лопастной машины
1. ФИЗИЧЕСКАЯ КАРТИНА ТЕЧЕНИЯ
Определяющим элементом вспомогательных трактов
лопастных машин является боковая полость, т. е. пространство между
боковой поверхностью рабочего колеса и корпусом (рис. 3).
В зависимости от назначения машины, ее конструктивных и
технологических особенностей боковые полости могут быть различной
радиальной протяженности, постоянной (а) и переменной (б)
ширины, открытые (а), не имеющие на периферии твердых границ в
радиальном направлении, и закрытые (б), ограниченные
неподвижными или вращающимися поверхностями в периферийном сечении.
Для уменьшения протечек (объемных потерь) на границах
могут устанавливаться различные контактные 4 бесконтактные
уплотнения. В зависимости от лх типа и направления действующего на
них перепада давления через полости может протекать жидкость
как от периферии к центру (б), так и наоборот (а). Как торцовые,
гак и цилиндрические твердые границы полостей могут иметь
различную шероховатость.
Выбранное конструктивное исполнение полости, наряду с
заданной частотой вращения рабочего колеса, свойствами рабочей
среды и ее параметрами на границах, определяет течение в полости,
т. е. распределение скоростей и давлений.
Расчет течения в боковой полости лопастной машины с учетом
реально действующих факторов
является весьма сложной задачей. Чтобы
решить ее, рассмотрим основные виды
течения в боковых полостях лопастных
машин (рис. 4, а—д).
Прежде всего рассмотрим течение
в полости без радиального расхода.
Как видно из рис. 4, в, при вращении
диска рабочего колеса частицы
жидкости, находящиеся на его поверхности,
движутся со скоростью диска, а
частицы на боковой стенке корпуса
неподвижны. Таким образом, окружная и
радиальная составляющие скоростей
жидкости на поверхностях диска и
стенки имеют соответственно равные
с ними составляющие скорости.
При некотором удалении от поверх- рис. 3. Боковые полости

д)
Рис. 4. Течения в боковых полостях (сплошные линии — окружные скорости,
штриховые — радиальные скорости)
ностей диска и корпуса скорости изменяются за счет трения слоев
жидкости. Так, окружная составляющая скорости на данном
радиусе резко меняется под действием вязкого трения в узких
пограничных слоях, относительно мало изменяясь в середине полости. При
относительно больших зазорах, как показали многочисленные экс-
перименты и теоретические работы, при отсутствии протечки
жидкость в средней части полости («ядре») вращается с постоянной по
радиусу угловой скоростью, меньшей угловой скорости диска.
Кроме того, частицы жидкости под действием центробежных
сил движутся вдоль диска от центра к периферии и вследствие
перепада давления возвращаются к центру вдоль неподвижной
стенки. Таким образом, помимо вращательного движения основной
массы жидкости («ядра») в меридианной плоскости боковой полости
существует циркуляционный поток. Его наличие характеризуется
знакопеременным по ширине полости значением радиальной
составляющей скорости жидкости. Однако для большинства боковых
полостей реальных конструкций лопастных машин характерны
радиальные протечки, связанные с наличием уплотнений разных
типов на границах полостей.
Радиальные протечки существенно меняют картину течения в
полости. Так, при протечке жидкости от периферии к центру (см.
рис. 4, г), имеющейся практически во всех лопастных машинах, в
боковой полости циркуляционный поток может сохраняться лишь в
области, примыкающей к периферийной части вращающегося
диска. Остальная часть полости заполнена радиальным потоком
одного знака. При этом течение становится подобным потоку вблизи*
вихрестока , рассматриваемого в теории идеальной жидкости:
радиальная и окружная составляющие скорости увеличиваются с
уменьшением радиуса, хотя трение и снижает их величину.
При дальнейшем увеличении протечки к центру (см. рис. 4, д)
циркуляция жидкости практически полностью исчезает, погранич-
ные слои теряют первоначальные четкие очертания, радиальная
составляющая скорости становится знакопостоянной по всему
объему полости.
8

При радиальной протечке от центра к периферии жидкость,
увлекаемая вращающимся диском, оттесняет циркуляционную зону
к периферийной части неподвижной стенки. При этом сохраняется
знакопеременный профиль радиальной составляющей скорости (см.
рис. 4, б).
Дальнейшее увеличение протечки ведет к полному исчезновению
циркуляционной зоны, постоянному знаку радиальной скорости по
всей полости и уменьшению окружной составляющей скорости на
больших радиусах, подобно течению около вихреисточника (см.
рис. 4. а).
Говоря о видах течения в боковой полос]и лопастной машины,
следует отметить влияние ьа них цилиндрических границ. Если эти
твердые или жидкостные гряницы движутся с окружной скоростью
большей, чем окружная скорость жидкости в прилегающей к этой
границе части полости, то происходит передача энергии жидкости,
находящейся в полости, и соответствующее увеличение ее окружной
скорости.
Если же эти границы неподвижны или вращаются со скоростью,
меньшей скорости жидкости в прилегающей к ним части полости, то
уменьшается энергия жидкости, находящейся в полости, и ее
окружная скорость.
Влияние наружных цилиндрических границ боковой полости
особенно существенно при отсутствии протечки в полости или при
ее наличии от периферии к центру, так как импульс, полученный
на наружной границе, переносится радиальным расходом через всю
полость. При протечке противоположного направления влияние
периферийной границы на течение в полости весьма слабое, а при
значительных протечках очо практически исчезает, за исключением
случая значительного превышения окружной скорости на внешней
границе периферийной скорости вращающегося диска,
ограничивающего полость.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
На течение в боковой полости существенно влияют как
инерционные силы, так и напряжения трения в жидкости. Для
исследования такого течения необходимо поэтому использовать наиболее
общие уравнения гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости —
уравнения в напряжениях [14].
Для установившегося осесимметричного течения, характерного,
например, для расчетного режима работы центробежного насоса,
эти уравнения в цилиндрических координатах могут быть
представлены в следующем виде:
тгг —
vrv9 _ 1 [dx9z
дг ¦ z дг ' r Q \ dz { г2 дг

дг
r dr \9
где о — усредненные абсолютные скорости жидкости; т —
напряжения трения в жидкости; г, <р, z — координаты в цилиндрической
системе и индексы проекций величин на соответствующие оси
координат, причем первый индекс означает направление проекции
напряжения трения, второй — направление нормали площадки, на
которую оно действует.
Учитывая турбулентный характер течения в полости, а также
большие радиальные размеры по сравнению с поперечными,
можно пренебречь непосредственным влиянием вязкости на
напряжение трения, нормальными турбулентными составляющими
напряжения трения (xrn х99, xzz), напряжением трения в плоскости,
перпендикулярной направлению основного потока (тг<р), что
подтверждается экспериментальными исследованиями б каналах [25, 47].
На этом основании уравнения A) применительно к боковой
полости можно записать в следующем виде, отбрасывая для
упрощения вторые индексы в напряжениях трения:
т дг ~ г dz r Q дг т с дг
±7, _ J L
дг ^Vz дг ~ Т дг + Qr дг
++u
где xr—Qv'rv'z и x9=QVfv'r — напряжения трения, определяемые пульса-
ционными составляющими скоростей v'r, v'^ v'z.
Далее преобразуем уравнение B) в интегральную форму,
подобно преобразованию дифференциальных уравнений пограничного-
слоя в интегральные уравнения импульсов [47].
Умножим уравнение неразрывности на v9 и сложим
полученное произведение со вторым уравнением системы B)
— C)
v f
г 9 дг ^ ' дг ^ 9 dz U dz to L dz
Сгруппируем члены в выражении C)
2 . d(vvz) i дх
Проинтегрируем обе части последнего равенства от 2=0 до 2 = s-
(где s — ширина полости), приняв во внимание, что составляющие
10

екорости vz и vr на колесе и корпусе равны нулю, и после преобра-т
зований получим следующее интегральное уравнение:
S S
-j- J vrv9dz+l- \ v,vJz=-L{x*-XiA)9 D)
о о
где индексы с и д соответствуют параметрам при z=s и 0.
Для получения уравнения, определяющего изменение давления в
боковой полости, проведем следующие преобразования. Сложим
тфодифференцированное по г первое уравнение системы B) с его
первоначальной формой, деленной на г, и вычтем из суммы третье
уравнение этой системы, продифференцированное по z. В
результате получим
d2v'
/ dvr \2 / дуг \2 / &2yf l дУг d2yz \
[ дг I [ дг ) г\ дг2 •" г дг дгдг /'
"" г дг д*2 ) г дг Qr дг [ дг /02* '
дг-дг
В этом уравнении заменим член ("ч-) н^ выражение, полученное
из возведенного в квадрат уравнения неразрывности, а множители
при vr и vz — на выражения, полученные дифференцированием
уравнения неразрывности соответственно по г и z:
2jur дуг 1 *(ф ^г о^ ^ж =
т
дг г дг т д?-дп
q dz* Qr
Далее используем следующие допущения: 1) изменение осевой
составляющей скорости vz в цилиндрическом сечении боковой nor
-лости пренебрежимо мало (величина vz = 0 на корпусе и диске и в
некоторой точке между ними); 2) давление в
цилиндрическомгсечении постоянно.
Первое допущение справедливо для узких полостей (s[r2<.0,5)
вследствие малой (по сравнению с vr и v?) составляющей скорости
*>z. Второе допущение, принимаемое в работах по гидродинамике
течений в каналах, подтверждено для боковых полостей
специальными экспериментами [46]. Учитывая эти допущения,
проинтегрируем обе части уравнения E) от г=0 до z=s. Полученное
уравнение, предварительно умноженное на г, проинтегрируем по г, в
результате получим
5 S
о
Ц-dz, F)
дг
учитывая малое изменение ? по радиусу.
Сложив уравнение неразрывности, умноженное на vr, и первое
Уравнение системы B), а затем проинтегрировав обе части полу-
11

ценного равенства от 2=0 до z = st получим второе уравнение
гидродинамики жидкости в боковой полости
-L. fa+± jV-L jV_-\± Д.Л+J-^-^j.
оооо G)
Сложим уравнения F), деленное на г, и G), исключая таким
образом член, неиосредетаенно зависящий от давления, и после
алгебраических преобразований получим следующее интегральное
уравнение:
5
о
J ф{п,Л (8)
о
Уравнения D), F) и (8) после интегрирования и группировки
можно записать
-L ^/^г) = ±(г9с-х9А); A0)
о
Приведем данную систему к безразмерному виду. В качестве
основного линейного масштаба целесообразно использовать
максимальный размер полости (наружный диаметр диска), а осевые
координаты любой точки удобнее отнести в ширине полости на
данном радиусе. В качестве масштаба скорости в большинстве работ
используют окружную скорость на наружном диаметре диска или
среднерасходную радиальную скорость! Однако для того, чтобы
в общем решении масштаб не обращался в ноль в крайних случаях
(при невращающихся обеих стенках полости или отсутствии
радиальной протечки), целесообразно использовать среднюю
суммарную скорость. В данном случае примем в качестве масштаба
среднюю скорость в характерном сечении, проходящем через
максимальный (при протечке к оси) или минимальный (при протечке от
оси) радиус,
Vo =
где V2 — средняя суммарная скорость; U2 — среднерасходная
скорость; со и <ос — угловые скорости диска и стенки. Разделив обе ча-
12

d + 4 ^ d
V2S 2
сти равенства D) и (8) на » а равенства F) на Кгз,
уравнения (9) — A1) можно привести к виду
A2)
V"—ff' Л- V ""
дг i r 9 r j
о
A4)
где черточкой сверху обозначены относительные величины.
В большинстве случаев ширина боковых полостей в лопастных
машинах изменяется по радиусу плавно, поэтому в уравнениях
A2) и A3) можно пренебречь изменением Ins по радиусу. Тогда
их форма несколько упростится
1 1
—=- \ Vfdz -\- -=- \ Vrdz=-=- (trc — тгд); A5)
о о
о о.
Уравнения A5) и A6) при заданном виде функции vr и v9,
известных законах трения жидкости о твердые границы полости и при
определенных условиях течения на ее цилиндрических границах
определяют поле скоростей в боковой полости при постоянной или
плавно изменяющейся ее ширине.
3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Для решения системы уравнений Рейнольдса в интегральной
форме зададимся общим видом зависящей от параметров функции
связи между составляющими скорости жидкости и координатами в
любой точке боковой полости, т. е. семейством профилей окружных
и радиальных составляющих скорости. Затем эту общую функцию
связи подставим в уравнения A5) и A6) и по заданным граничным
значениям указанных параметров найдем их распределение по всей
полости, а следовательно, и значения составляющих скоростей
жидкости в любой точке.
Этот метод решения аналогичен методу интегрирования
уравнения ламинарного пограничного слоя, предложенному Польгаузеном
[26]. Большинство исследователей для расчета течений вблизи
твердых поверхностей используют степенной закон распределения
скорости, который при переменном показателе степени аппроксимиру-
13

ет экспериментальные профили скорости с такой же точностью, как
универсальный (логарифмический) закон.
Так, Карман [47] получил хорошо подтвержденную опытом
формулу для расчета течения около диска, вращающегося в
безграничном пространстве, использовав степенной закон с показателем
степени vv.
С помощью метода интегральных соотношений, близкого к
рассматриваемому, и степенных зависимостей Хирсом [41, 42] показана
удовлетворительная сходимость расчетов с экспериментом для
одиннадцати различных течений.
Однако, как показано в работах [3, 14], наилучшее согласование
с экспериментом можно получить при использовании переменного
показателя степени в зависимости от числа Рейнольдса.
Для решения рассматриваемой задачи расчета течения в
боковой полости с подвижными и неподвижными стенками профили
составляющих скоростей должны удовлетворять следующим
граничным условиям.
1. На твердых боковых поверхностях (диска и корпуса)
скорость жидкости равна скорости соответствующей поверхности
(условия прилипания)
при г=0 vr==0, v9=uAr; A7)
при z=\ vr=0, v9=ucr> A8)
где йд(С)Г — безразмерная окружная скорость на радиусе г. На не-
вращающихся поверхностях ?*=0, т. е. нд или пс соответственно
равны нулю.
2. Радиальная протечка через любое цилиндрическое сечение,
полости имеет одну и ту же Йеличину (условие неразрывности)
5
G=Q2nr j vrdz
или в безразмерном виде
° "r'v5. A9)
О
3; Вблизи твердых поверхностей распределения относительных
скоростей подобны степенным профилям скоростей с переменным
показателем, зависящим от числа Re:
при z->G
xv~?71; w9-^>zm\ w9=v9—li^r; B0)
при г-»1
— — JL __ _ JL _
где w9 — окружная составляющая относительной скорости потока
в полости.
14

Уравнениям A7), A8), B0), B1), а также условиям
симметричности относительно твердых границ удовлетворяют следующие
однопараметрические степенные профили:
^ j_ j_ _
v^az" (l-z)" [адг*+&+йсгA-*)]; B2)
l i i_2
[1 -A - z)m']> B3)
где b — постоянная.
Рассмотрим подробно конструкцию этих функций, которые
являются простейшими при заданных ограничениях и не меняют вид
при замене переменных нд на пс и пс на нд, z на A—г) и A—г)
на z. Это свойство является необходимым, так как при перемене
мест вращающейся и невращающейся торцовых стенок вид
профилей не должен изменяться при соответствующем изменении начала
координат.
Выполнение условий A7) и A8) подтверждается прямой
подстановкой в выражения B2) и B3) z = 0 и z = l.
Величину Ь можно определить, подставив зависимость B2) в
выражение A9)
Используя свойства бета-функции В (р, q) *, получаем из
последнего равенства значение Ь:
гаВ\—+ I, — 4-1)
\ т т )
B4)
Подставив это выражение в B2), получим распределение
радиальной составляющей скорости
vr=alm{\-z)'» [u^rz^
7аВ
j
[ — + 1, —
B5)
При г->0 и z-+\ предельные распределения составляющих
скорости и полную относительную скорость можно записать в следующем
виде:
при
В данном выводе используются следующие свойства бета-функции или
эйлерова интеграла II рода: 1) В (р, q)=B(q, р); 2) ?(р+1, q)=-?— В (р,
Р » Я
Я), где р и q — переменные.
15

- -'
vr=zm a
B6)
_ _ _L_
=1;,, —#дг = — zm [tijr — k)= — zmw?Jk; B7)
при z —»1
J'c; B9)
+ ,
m m
___ _ _ _
w9=v?-uc7= -A -г)" (исг-Л)= - A -zf1 w9c; C0)
\(9\
Из последних равенств видно, что в соответствии с уравнениями
B0) и B1) скорости вблизи твердых поверхностей
пропорциональны расстоянию до них в степени 1/т. При невращающихся стенках
профили скоростей близки по форме к профилям турбулентного
течения в канале.
Рассмотрим предельные формы этих функций между
вращающейся и неподвижной стенками (пдф0 и мс = 0), одновременно
выяснив физический смысл коэффициентов k и а.
При k = 0 функция B3) приобретает вид
V=0-iW. C2)
Если принять s равной толщине пограничного слоя (при z^l
окружная составляющая скорости равна нулю), то при т = 7
выражение C2) в точности совпадает с хорошо согласующимся с
экспериментом профилем скорости Кармана для диска, вращающегося в
неограниченном пространстве [14].
Сравнивая функцию C2) с первоначальной формой B3),
можно сделать вывод, что коэффициент k является характеристикой
потока в окружном направлении, возникающего при ограничении
потока невращающейся стенкой полости.
16

При радиальной протечке через полость, равной нулю (? = 0),
профиль радиальной составляющей скорости преобразуется в
форму
vr=zm(l — z)n
—- )аилг.
C3)
Этот профиль при а<0 имеет максимум скорости вблизи
вращающегося диска (насосное действие) и равный по абсолютной
величине минимум скорости около неподвижной стенки (обратное
циркуляционное течение около корпуса), величина которого зависит от
произведения окружной скорости диска на коэффициент а.
Сравнивая профиль C3) с первоначальной формой B2),
можно сделать вывод, что коэффициент а является характеристикой
влияния окружной скорости диска (т. е. циркуляционного потока в
полости, возникающего под действием центробежных сил) на
расходную радиальную протечку, описанную выше.
Правильность выбранных функций подтверждается сравнением
их, например, с экспериментальными профилями скоростей при
протечке между вращающимся и неподвижным дисками [40, 50] и в
безлопаточном диффузоре центробежного компрессора [45], т. е.
между неподвижными дисками при начальной закрутке потока (рис. 5;
6, 7). На рис. 6 радиальные и окружные составляющие скорости
отнесены к соответствующей средней по сечению относительной
скорости vcv и шср, а на рис. 7 — к окружной составляющей, умножен-
0,2 0.4 0,6
Рис. 5. График распределения
окружной составляющей скорости
жидкости по ширине полости в
зависимости от параметра k[uj~(l и
2—по данным работы [40], 3 и 4 —
1.4
1,2
10
0,8
0,6
0.41
0,2}
/77
l/lanu
тек
7 J
/
\
норное^
ение) /
о- ;
¦ -Z
v-j
• -и
Ш- 5
/77 = 7
r_ #i
0,2
0J
0,4
Рис 6. График распределе
ния радиальных (/ — по
данным работы [40]) и
окружных B—5 — по данным
[45]) составляющих скорости
жидкости по ширине
полости
17

альной составляющей скорости
жидкости по ширине полости_в
зависимости от параметра augr2/G (экспери
ментальные точки по данным рабо
ты [50])
ной на параметр а, так как
средняя скорость, по данным работы
[50], равна нулю.
Рассматриваемые
теоретические профили полностью
согласуются с физическими
представлениями о разновидностях течений
в боковых полостях. Причем
экспериментальные данные,
полученные при больших числах Рей-
нольдса, например, ближе к
степенным профилям с показателем
1/7, а при низких — к профилям с
показателем 1/4. Профили сое-
тавляющих скоростей по уравне-
Рис. 7. График распределения ради- ниям B2) и B3) соответствую^
развитым турбулентным течениям,,
т. е. в сечениях, где начальная
неравномерность несущественна,,
такой профиль особенно быстро
устанавливается в наиболее
распространенных спиральных
течениях, в которых окружная составляющая скорости намного
превышает радиальную.
Уравнения B2) и B3) являются универсальными и при т=1
описывают также ламинарные профили скоростей. Так, при ид=
= мс = 0 выражение B2) преобразуется в известное параболическое
распределение скорости Пуазейля для течения между двумя
пластинами. При uc=k = 0 выражение B3) представляет собой
линейный профиль скорости ламинарного течения Куэтта между
движущейся и неподвижной пластинами. Таким образом, формально
изменяя показатель степени т от 1 до 12—15 в зависимости от числа
Рейнольдса, можно перейти от ламинарного течения к
турбулентному, используя одни и те же выражения. Однако так как в
боковых полостях лопастных машин ламинарный режим практически не
встречается, в дальнейшем будем рассматривать только
турбулентные течения.
Для решения уравнений A5) и A6) необходимо определить в
их правых частях напряжения трения между жидкостью и
твердыми поверхностями. Для этою воспользуемся фундаментальной
взаимосвязью между профилем скорости жидкости около данной
поверхности и напряжением фения на ней. Имеется ряд конкретных:
зависимостей, выражающих эту взаимосвязь и справедливых в тех
или иных условиях. Так, например, следствием степенного закона
с показателем 1/7 для профиля скорости в канале является широка
известная формула Блазиуса, связывающая сопротивление трения
жидкости о стенки канала с ее средней скоростью [47]. Эта
зависимость использовалась, например, в работе [4] для расчета течения
18

между гидравлически гладкими стенками в определенном
диапазоне чисел Рейнольдса.
Для течений с гладкими стенками в более широком диапазоне
чисел Рейнольдса выведена аналогичная взаимосвязь между
степенным профилем скорости с переменным показателем степени и
средней скоростью [47] и успешно использована в работе [3].
Однако в реальных конструкциях на течение в боковых
полостях влияет также шероховатость стенок. Поэтому в общем случае
целесообразно использовать в качестве связи между напряжением
трения и средней скоростью в потоке зависимости работы [2],
справедливые, в отличие от других формул, как при гидравлически
гладких, так и при шероховатых стенках, а также в переходной
области. Эти зависимости хорошо согласуются с многочисленными
экспериментальными исследованиями каналов и труб с естественной
шероховатостью и переходят в крайних случаях при гидравлически
гладких поверхностях в известные формулы Блазиуса. Общую для
шероховатых и гладких стенок формулу Альтшуля для
коэффициента сопротивления трения жидкости можно представить
C4)
Re
где Re= -— C5) — приведенное число, Re учитывающее ше-:
Reriu
роховатость поверхности (линейный размер ш).
Гидравлическое число Рейнольдса Rer или число Рейнольдса
без учета шероховатости определяется как обычно по среднерасход-
ной скорости wG данного профиля, гидравлическому диаметру dTt
кинематически вязкости v:
Rer=^. C6)
V
Среднерасходная скорость для степенных профилей типа B6) —
B8) может быть вычислена по формуле
' 1
dz=——7 **W> C7)
m + 1
где дотах — максимальное значение профиля скорости.
Как показано в работе [2J, среднерасходная скорость
логарифмического профиля почти не отличается от рассчитанного по формуле
C7) при соответствующем выборе показателя степени т.
Гидравлический диамегр dT для течения между двумя
поверхностями независимо от направления скорости равен по определению
удвоенному расстоянию между ними:
dr=2s. C8)
Линейный размер ш, характеризующий влияние шероховатости
поверхности на течение, непосредственно связан со средней высотой
19

V микронеровностей поверхности с эквивалентной песочной
шероховатостью.
Последние три величины связаны между собой, зависимостью
*»= Л-ттпг. . C9)
4,с
Эквивалентная песочная шероховатость различных каналов и
труб приведена в справочнике [17], где она определена путем
замера гидравлического сопротивления, или может быть рассчитана по
эмпирическим формулам [7]
у/Дск=ЮуС1С/Л при A/Vck>3 и v/Vck=0,33(A/vckJ при A/vCK<3,
где VCK — среднеквадратичная высота выступов микронеровностей;
h — среднее расстояние между выступами.
Подставляя в уравнения C5), C6) выражения C7) — C9),
можно определить гидравлическое и приведенное числа Рейнольдса
Re=-g— Wmax2s ; Re= ! . D0)
1 ш
т + \ v 1 ш
Rer 145
По коэффициенту сопротивления X можно определить напряжения
трения на стенке по известной зависимости [2, 47]
или в безразмерном виде
i/ m
D
qV22 8 \ V2 ) 8
Проекции напряжений трекия на оси координат, пропорциональные
соответствующим составляющим скорости, как это принято в
работе [47], можно записать в следующем виде:
8 W + 1/
X / т \2
— а («, i I I
о \т + 1 /
Т max 8 U + 1
\2-
Используя максимальные значения предельных профилей
скоростей около диска (при 2 = 1) и неподвижной стенки (при z=0),
можно определить проекции напряжения трения на граничных
поверхностях (с учетом направления сил трения и внешних нормалей
к поверхностям, на которые они действуют)
20

«сг--А); D4)
где
D5)
т +
т
т +
1
1
V
V
- + ¦
ш
145
ш
Rec= ! . D6)
m + 1 v ш
m wcV22s 14s
Далее следует остановиться на связи числа Рейнольдса и
показателя степени с условиями точения в полости. Во многих
исследованиях даны рекомендации лля выбора этого показателя. Наиболее
обоснованной, полученной г привлечением весьма обширного
экспериментального материала является зависимость между показате-
21

лем степени и коэффициентом сопротивления трения жидкости о
твердую стенку [2]
Определяя коэффициент сопротивления по формулам C4)—C6),
можно найти зависимость показателя степени от числа Рейнольдса.
Параметры, необходимые для нахождения этой зависимости,
можно определить так, как показано выше, кроме среднерасходнои
скорости wG. Эта скорость в общем случае должна быть найдена в
соответствии со степенной эпюрой скорости в данном сечении (т. е.
с использованием wR или сгс). Но так как распределение скорости
слабо зависит от числа Рейнольдса, вместо точных значений
скорости можно, практически не ухудшая точности расчета, использовать
при определении показателя степени приближенное значение
средней скорости в данном сечении
Следовательно, при определении показателя степени профиля
скорости число Рейнольдса без учетз шероховатости можно
рассчитать по формуле
а с учетом шероховатости по формуле D0). :
Таким образом, найдены все зависимости, входящие в
уравнения A2), A3) или A5), A6).
Для решения уравнении A5), A6) предварительно найдем
некоторые интегральные выражения, входящие в них, используя
зависимости B3), B5):
1 '
71Г
52 — + 1, —+1
V т т ]
'.' ' _L _Lf__. a
\vrvfdz=\azm(l-z)m uxrz+ _ . j
22

(i 2
+ 1.
' ¦] • 2C
2C+2m)
=(*. D8)
Подставив выражения D7) и D8) в уравнения A5), A6), после
преобразований и дифференцирования получим следующую
систему нелинейных дифференциальных уравнений относительно
функций а и k:
da = 2(тгг — _
dr _,--.. 2 -2 / 2 2 \ г '
\ т т J
ак
\/и т )
X
m
2^
— +1,-4-1
где напряжения трения тгс, тгд, t9c, т?д определяются по формулакс
D1)-D4).
Эта система уравнений при заданном профиле скоростей на
каком-либо радиусе или начальных значениях параметров а и Л,
заданных радиальном расходе, угловых скоростях, шероховатости
поверхностей боковых стенок и геометрических размерах полости
позволяет рассчитать поле скоростей жидкости.
Начальные значения параметров а и k обычно задаются на
максимальном или минимальном радиусах полости и
определяются из условия взаимодействия жидкости в полости с внешними
потоками (например, с потоком в проточной части лопастной
машины).

4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Распределение скоростей в боковой полости, непосредственно
сообщающейся с проточной частью лопастной машины,
определяется не только взаимодействием жидкости со стенками полости, но
и полем скоростей потока в проточной части. Течение в этой
области имеет весьма сложный характер, так как вблизи рабочего
колеса поток нестационарен в абсолютном движении. Кроме того,
практически отсутствуют работы, в которых исследовалась бы
гидродинамика потока в непосредственно примыкающих к
наружному диаметру рабочего колеса частях боковых полостей.
Для исследования течения в полости необязательно иметь
точное решение, так как влияние особенностей начальных условий
может быть ограничено весьма небольшой областью по радиусу,
например, из-за спирального характера течения. По этой же причине
некоторое влияние на поток в полости оказывают в основном лишь
средние величины в ее периферийном сечении.
Учитывая эти обстоятельства, рассчитаем взаимодействие
потока из рабочего колеса насоса с потоком в открытой на
периферии боковой полости при протечке в ней к оси вращения при
следующих предположениях:
а) изменение окружной составляющей в сечении отвода на
выходе из рабочего колеса по ширине 5 полости такое же, как в
пограничном слое толщиной s со скоростью на внешней границе,
равной окружной составляющей скорости ify потока на выходе из
рабочего колеса, т. е.
эта скорость близка к средней скорости окружной составляющей
скорости потока в начальном сечении отвода, однако в некоторых
случаях может уменьшаться до 0,8 этой величины;
б) профили скоростей в периферийном сечении полости
описываются зависимостями B5) и B3) при г=1 и пс = 0
—?- Ь (И)
V m m ]
v2<P=uJl[l—zm )-\-kzm {\ — z)m, E3)
и показатель степени m зависит от числа Рейнольдса в
периферийном сечении полости (для упрощения соотношений).
Схематизируя действительную картину течения, предположим,
что профиль E1) преобразуется в форму E3) в бесконечно
тонком слое при сохранении количества движения и радиальной
составляющей скорости, т. е.
24
f QV2?v2r2nr2dz = f Qv29v2r2nr2dz. E4)
6 6

После подстановки выражений E1) —E3) и преобразований
уравнение E4) примет вид
' [т т
* в(± + и± +
L \ т т
— аи*
т т
т т
2C+2т)
* \ т т ) I —2 \ /п
/I 1 \1 Д О /Q 1 <
/ 1 1 ill ^ VV •" '
к /я /я /
т
т т
Из последнего уравнения можно найти граничное значение
параметра k\
А=-
m
X
W uA j 2C+2m)G
m
m
При радиальной протечке к оси вращения общий характер
течения — конфузорный, так как поперечная площадь сечения
полости уменьшается по мере приближения к оси. Известно,
например, что вблизи входного сечения конфузора профиль скорости
изменяется незначительно [47]. В связи с этим в качестве граничного
значения параметра а радиальной скорости в периферийном
сечении боковой полости используем значение а (при г=1), при
котором изменение его (или производная по г) равно нулю, т. е.
корень следующего уравнения, полученного преобразованием
уравнения D9),
0=-
— -сгдJD+3т)
т Шж — i
где Тгс и тГд определяются по формулам D1) — D6) при г=1 и
Для расчета граничного значения параметра k профиля
окружной составляющей скорости на минимальном радиусе боковой по-
25

лости при радиальной протечке от оси вращения рассмотрим
условия взаимодействия течений в полости и в примыкающем к ней
щелевом уплотнении.
При малых расстояниях между ограничивающими щель
поверхностями (б«Сг) профиль осевой скорости симметричен
относительно средней поверхности щели, а окружной составляющей — линии
пересечения этой поверхности с плоскостью, перпендикулярной
оси вращения (течение Куэтта), т. е. эти профили описываются
зависимостями
v'zy=Uyfz(y) и v9y=uyf9(~y), E5)
где fz(y)=fz(l-y) и Л(у)=1~/Л1-У); У -безразмерное рас-
стояние от внутренней поверхности щели, изменяющееся от 0до1.
Кроме того, из уравнения расхода можно вывести следующие
зависимости:
1 _ _
Q=Q2KrybUy=Qh \Uyfz(yJnrydy,
\
где <6 — зазор в щелевом уплотнении,
или
fzG)dy=\. E6)
Предварительно докажем следующее равенство:
1
'" '" =4-. E7)
Используя зависимости E5), найдем значение следующего
интеграла:
6 6
В правой части равенства заменим переменную у на 1—у
\
i
После перемены мест пределов интегрирования видно, что первый
член в правой части равен левой части уравнения с
отрицательным знаком, а второй член — единице, согласно уравнению E6).
Отсюда следует равенство E7).
Аналогично предыдущему случаю используем уравнение
сохранения момента количества движения при переходе жидкости из
уплотнения в боковую полость, пренебрегая потерями на трение
26

и разницей минимальных радиусов полости и щелевого
уплотнения:
S
f
о
E8)
После подстановки выражений B3) и B5) при ыс = 0 и г=гу в
уравнение E8) и интегрирования, используя равенство E7), можно из
уравнения E8) найти граничное значение параметра k и,
следовательно, соответствующий профиль составляющей скорости
— + 1,— + 1
т т J
J* ( '
+ 4GC
Форма профиля радиальной скорости на минимальном радиусе
боковой полости при радиальной протечке от оси вращения в
характерных случаях, как показывают расчеты, мало влияет на
характер течения. Приближенно ее можно определить из сравнения с
формой профиля, возникающей при лобовом натекании потока из
канала на вращающийся экран.
С одной стороны, радиальная скорость должна увеличиваться
около угловой точки при повороте потока вокруг кромки на
выходе щели. С другой стороны, профиль радиальной скорости должен
иметь максимум около вращающегося диска вследствие действия
центробежных сил. Можно полагать поток равномерным (т. е. а
близко к нулю).
При а«0 формула E9) принимает вид
т I 2 V тт
т т
При т=5^-8 значение k/Uy составляет 0,495—0,494, т. е.
практически равно 0,5.
5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ В БОКОВОЙ ПОЛОСТИ
Решая уравнения D9), E0) при заданных начальных
условиях, можно определить поле скоростей, а по нему найти
распределение давления по радиусу в боковой полости, интегрируя по г
уравнение A1) после подстановки выражений B3) и B5):
&]? F0)
-А-~Р= { \\ C+3)<&]?
о Lo J
27

j.i)
0,8
0,6
0,4
0
1,0
0,8
0,6
Oft
0
1,0
0,8
Ofi
OA
1
N.
4-
\
x>
X
x-1
о-2
к\
a)
>-
v
Л
4
4
4
u
ч
0,1 0,2 0,3 Ofi 0 0,1
0,2
6)
0,3 OJ 0 0,1 0,1 0,3 Ap
Рис. 8. Графики распределения давления по радиусу при протечке к оси
вращения для и2<рк = 0,38, 71 = 0,059, ?2 = 0,0042, ^3 = 0,0021:
а—1-0,0173; б—s"=0,0347; e-T=0,0694; сплошные линии — по формуле F0), штриховые
линии—по данным работы [4]; штрихпунктирные—[10]; экспериментальные точки: /—из
работы [31; 2—по данным работы [4]
Если задано давление на минимальном радиусе, то
распределение давления по полости можно рассчитать по формуле
Р-Р\ =
dr
r
На рис. 8 и 9 приведены данные распределения давления вдоль
радиуса рабочего колеса при различных относительных протечках
<7=—тг- в полости. На рис. 8 для протечки к оси вращения нане-
сены экспериментальные точки и расчетные кривые по формуле
F0) и из работ [4, 10], а также экспериментальные точки из
работы [4, 3]. Сравнение этих данных показывает, что лучшее
согласование с экспериментом дают названные методы при
относительно больших протечках, ширине полостей и Re= 106-M07. При малых
28

'.о
0,8
0.6
0,3
1
t
1
\
\
\
\
\
\
\
\
ч
\
\
\
\
\
\
\
1
1
1
\
\
\
\
\
\
0,8
0,6
0,4
03
1
1
\
\
\
\
\
л
\
ч
0)
\
\
\
\
\
л
\
0,05 0,10 Ар
О 0,05 0,10 О
0,05 ОЮйр
)
Рис. 9. Графики распределения^давления по радиусу при протечке от оси
вращения для полости шириной s=0,085 (экспериментальные точки — по дачным
работы [10]; расчетные кривые: штриховая — без протечки, сплошная—с про-
гечкой):
а—д= +0,00237; б—д= +0,00473; в—<7- +0,0071; г—q- +0,00948; д—д= +0,01182
значениях протечки расчеты по эмпирическому методу работы [10]
дают завышенные коэффициенты Ар, что объясняется неучетом
влияния ширины полости, числа Re и использованием расчетных
данных по влиянию протечки в зоне экстраполяции.
Предложенный в работе [4] метод, основанный на использовании
зависимостей для выражения профилей скорости с постоянным показателем
степени, равным 1/7, также согласуется с экспериментом, однако
именно ввиду использования постоянного показателя степени
также дает завышенные значения Др во всем диапазоне исследуемых
параметров. Что касается экспериментальных даннн-, то они
хорошо согласуются между собой почти во всех рассмотренных
вариантах.
Теоретическая оценка влияния протечки на распределение
давления в полости и осевую силу впервые сделана А. А. Ломакиным
[27]. Однако последующие эксперименты показали существенные
расхождения с расчетными данными, кроме предельных случаев.
29

Приведенный в работе [12] метод расчета хорошо согласуется с
экспериментом при очень узких полостях малой радиальной
протяженности, не характерных для большинства лопастных машин.
При протечке от оси вращения, более редко встречающейся
в лопастных машинах (см. рис. 9), перепад давления по радиусу в
полости снижается, и поэтому влияние относительной ошибки в
определении этого перепада становится меньше.
6. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ
Движение жидкости в непроточных полостях. В некоторых
случаях радиальная протечка через полость равна нулю, т. е.
полости являются непроточными. Аналогично случаю с радиальной
протечкой, не равной нулю, можно рассчитать гидродинамические
параметры потока, используя уравнения импульсов при заданных
граничных профилях скорости. Однако нахождение этих граничных
профилей связано с определенными трудностями. Поэтому в
данном случае воспользуемся более простой моделью течения,
справедливой лишь для этого частного случая, но значительно
упрощающей расчет и в большой степени снимающей трудности
определения граничных условий.
Как установлено рядом экспериментов [14, 51] и отмечено в
п. 1, при отсутствии протечки в боковой полости между
вращающимся диском и корпусом выделяется так называемое «ядро»
потока, вращающееся по закону твердого тела (рис. 10). Для
ламинарного течения выделение ядра потока при больших числах Re
доказано теоретически [14].
Заметное изменение окружной составляющей скорости, а
также радиальные токи наблюдались лишь в пограничных слоях
между ядром потока и ограничивающими твердыми поверхностями.
Условие динамического равновесия установившегося движения
ядра можно записать в следующем виде [5] (см. рис. 10):
MA-\-Mc-\-Ali-\-MH = 0y F1)
где Мд, jWc, Мг и Мн — моменты, действующие соответственно со
стороны вращающегося диска, боковой стенки корпуса, по
цилиндрической поверхности минимального и максимального радиусов
ядра.
я;
Рис. 10. Непроточные полости (/ — ядро потока)
30

Моменты Мл и Мс, действующие на ядро со стороны боковых
стенок полости, можно определить, используя обобщенные
формулы Хасегавы [14] при степенном распределении скорости вблизи
стенки с показателем 1/7:
здесь m = j
;^+8) f
1799^—4-1582
L 0) J
X
X
17995— ч-1582
(О
где со и (Ос — соответственно угловые скорости диска и стенки; ? —
отношение угловых скоростей диска и ядра.
Вывод зависимостей при переменном показателе степени 1/т,
зависящем от числа Re и шероховатости, можно выполнить так
же, как в п. 3, следуя ходу рассуждений, приведенному в работе
[14]. При вращении стенки с угловой скоростью, равной скорости
лротиволежащей стенки (диска), <ос = со
F — =
При неподвижной торцовой стенке, сос=
/=•@)^-0,02089/—)
1 №/5
Для расчета воздействия вращающихся цилиндрических стенок,
ограничивающих полость, на ядро потока можно использовать
экспериментальные данные из работы A4] по определению
коэффициента трения вращающегося цилиндра. Как следует из работы [14],
профиль скорости в пограничном слое, а следовательно, и
напряжение трения при достаточно больших числах Рейнольдса
определяются течением жидкости, непосредственно примыкающем к
пограничному слою, и поэтому результаты Теодорсона и Регира можно
перенести на рассматриваемый случай. Аппроксимируем степенной
функцией эти результаты измерения трения в диапазоне чисел Re
от 103 до 106, характерном для большинства лопастных машин.
Обобщая их на движение в системе координат, вращающейся с
угловой скоростью, равной скорости вращения ядра, получим сле-
31

дующее выражение для коэффициента трения между
цилиндрической стенкой радиуса г\ и ядром:
0,063
2/9
где сое — угловая скорость цилиндрической поверхности; а>/? —
угловая скорость ядра (или вращающегося потока) жидкости около
этой цилиндрической поверхности. Из последнего равенства
определим моменты трения, действующие со стороны цилиндрических
поверхностей на ядро потока (с учетом направления действия
сил):
момент, действующий по цилиндрической поверхности
минимального радиуса ядра,
/ г2<о \2
момент, действующий по цилиндрической поверхности
максимального радиуса ядра,
/ г2* \2/9
F3)
В формулах F2) и F3) при вращающейся с ротором
цилиндрической поверхности (о)с = (о) следует полагать (ос/а)=1, а при
неподвижной (о)с = 0) — (Ос/со = 0. Для упрощения считаем, что
наружный диаметр ядра равен диаметру периферийного сечения
полости, что справедливо, если пренебречь толщиной пограничного
слоя. Последний случай наиболее исследован (рис. 10,а).
При «открытой» на периферии лопасти, т. е. соединяющейся в
этом сечении с проточной частью лопастной машины (рис. 10, в),
напряжение трения между внешним потоком и ядром определяем,
используя теорию взаимодействия турбулентной струи со спутным
потоком [1]. Считая ядро спутным потоком, скорость которого в
периферийном сечении равна — гн, напряжение трения можно
рассчитать по формуле
где v29— средняя скорость на периферийной цилиндрической
границе полости.

Тогда момент трения в наружном цилиндрическом сечении
полости будет (с учетом направления относительного движения
потока)
-^ rl7.
Приведем уравнение F1) к безразмерному виду после
подстановки соответствующих выражений для моментов, разделив его на
jtQSn(d2rB4 (при sH=s{). Тогда в наиболее характерных случаях
получим следующие безразмерные равенства:
открытая на периферии полость между неподвижной и
вращающейся торцовыми стенками и вращающимся валом (см. рис. 10, в)
/
/2=0,063?(l --L)| 1 -
полость между неподвижной и вращающейся торцовыми стенками
и двумя вращающимися цилиндрическими поверхностями (см.
где /5=0,063^1—
Графики функций fb ]ъ I /5 даны на рис. 11 и 12.
zo-w-
Рис. 11. Зависимость /i, /2, U от \ Рис. 12. Зависимость fi и fз от 5
(сплошные линии — /ь штриховые сплошные линии — fit штриховые—fz)
линии — f2 и /5)
2096 33

Используя эти зависимости, складываем графически fa и /3
согласно уравнению F4) для открытой на периферии полости прр
вычисленных значениях комплексов Е и г>2«р и совмещаем
полученную сумму с графиком функции f\. Абсцисса точки пересечения
кривых является корнем ? этого уравнения. В случае закрытой
на периферии полости корнем уравнения F5) является абсцисса
точки пересечения функций f\ и /5.
Во многих случаях можно пренебречь моментом трения Mi на
цилиндрической поверхности. Тогда для полости, открытой на пе<
риферии, уравнение F4) может быть приведено к более простом>
виду
Л=/з, где /^-[^
Зависимость ? от параметров v^ и Re1/5s, полученная из
решения этого уравнения, дана на рис. 13.
Если полость образована диском рабочего колеса и торцовой
стенкой корпуса центробежного насоса и в периферийной части
непосредственно сообщена с отводом, окружную составляющую
скорости v29 можно определить, используя рекомендации п. 4. В этом
случае из зависимости E1) при т=7 можно непосредственно
определить величину средней по сечению окружной составляющей
скорости
г 1 1
_7_ /
8
о
Если же полость ограничена в периферийном сечении
вращающейся или неподвижной цилиндрической поверхностью, уравнение
F1) примет вид
——г) Н • F6)
и
2,0
1,6
1А
17
\V4
\
-^
0,5
16
Ю
1,6
0 (
о
У
ис=о
о ^^
О
1
0.1 0.1
Рис. 13. Зависимость
Re 1/^5 И V2<p
5 от
Рис. 14. Зависимость 6 от
относительной ширины
полости s (кружки —
экспериментальные точки)
34

При ограничивающей вращающейся цилиндрической стенке
следует принимать (ос = со, а при неподвижной — сос = 0.
Решение этого уравнения (при о)с = (о и сос = О) в зависимости
от параметра s дано на рис. 14. При Re=104-M09 корень
уравнения F6) практически не зависит от числа Re, степень которого
близка к нулю, и поэтому кривые приведены для Re=106.
Теоретические результаты достаточно хорошо согласуются с
экспериментальными данными работ [20, 40, 51]. По найденному отношению
угловых скоростей диска и ядра потока, используя условие
радиального равновесия жидкости в ядре под действием сил давления
и центробежных сил, можно рассчитать распределение давления в
полости по формуле
/>-А=|^-(г2-г?) F7)
при заданном давлении на внутреннем радиусе Т\ или по формуле
р*-р-Щ~кЛ-ъ F8)
при заданном давлении на наружном радиусе гн.
Движение жидкости в ступенчато изменяющейся по радиусу
полости. В реальных конструкциях лопастных машин значительное
(ступенчатое) изменение расстояния между торцовыми стенками
полости (т. е. на конечную величину в пределах одного радиуса)
встречается редко. Однако при наличии резкого изменения
ширины полости вблизи угловых точек возникают застойные зоны, в
которых происходит диссипация энергии жидкости. В таких
случаях предложенный в пп. 3 и 4 способ решения уравнений
движения не пригоден. При небольших изменениях ширины полости
застойные зоны невелики и мало влияют на характер течения.
Кроме того, для расчета течения в полости с изменяющейся по
радиусу шириной можно приближенно заменить ее примыкающими по
радиусу полостями — зонами постоянной ширины. В последнем
случае застойные зоны в реальной полости отсутствуют, и можно
применить внутри каждой зоны способ, разработанный в пп. 3 и
1.4, а граничные условия найти, решая уравнения движения в
сечениях резкого изменения ширины полости.
Для того чтобы вывести связь между распределениями
скоростей в осевом направлении при конечном изменении расстояния
между торцовыми стенками полости в пределах одного радиуса от
sx до sz, примем, что при таком переходе сохраняется количестве
движения жидкости в радиальном направлении и момент
количества движения относительно оси вращения:
Si St
f QV2r2nrdz= f (
О о
Si St
f Qvrv92nr2dz= f Qvrv92nr2dz.
2*

После приведения этих уравнений к безразмерному виду получш
2 = s2Vlh2raz; F9
i_ __ ' l _
sx V\ f vrv^lz=s2Vl f vrv^dz, G0]
где V\ и \?2 — масштабы скорости.
Если принять, что профили радиальной и окружной составляю^
щих скоростей жидкости остаются подобными при таком переходе,
то можно получить из уравнений F9) и G0) следующее
соотношение между масштабами скорости:
Таким образом, если на одном участке масштаб скорости
можно выбирать произвольно, то при резком изменении сечения
масштаб скорости должен быть изменен в соответствии с
уравнением G1).
7. МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Решение нелинейных дифференциальных уравнений D9) и
E0), определяющих поле скоростей в полости, возможно только
численными методами. Для проведения расчетов по наиболее
распространенным методам (Эйлера, Рунге—Кутта) составлены
программы, имеющиеся практически во всех библиотеках стандартных
программ ЭВМ.
Особенностью решения данной системы является способ
задания функции s по радиусу, т. е. области, в которой определяется
поле скоростей жидкости. Так как ширина полости s в общем
случае изменяется по произвольному закону, то она обычно задается
в виде дискретной функции в определенных точках по радиусу. Для
проведения расчета возможны два способа задания функции s:
аппроксимация дискретной функции гладкой (например,
многочленом, проходящим через заданные точки) и заменой
действительного плавного профиля ступенчатым по радиусу с постоянной
шириной в пределах каждой ступени. В данной работе использован
второй способ, так как он позволяет учесть, например, изменение
шероховатости твердых поверхностей по радиусу или физических
свойств среды.
В пределах каждой ступени справедливы уравнения D9) и E0),
и решение их находят обычными способами, а на границах их
решение претерпевает разрыв. Переход через разрыв можно
осуществить, используя зависимости для ступенчато изменяющейся
полости. При достаточно близко расположенных сечениях, в которых
задана функция s, оба метода приводят к практически одинаковым
результатам.
36

Программа, текст которой приведен ниже, позволяет
рассчитывать распределение скоростей и давления жидкости по радиусу в
полости между вращающимися с разными угловыми скоростями
дисками (в частности, между вращающимся и неподвижным
дисками) при протечке, отличной от нуля, и осесимметричных
граничных условиях, а также гидродинамические осевые силы и
коэффициент момента трения вращающегося диска. Программа написана
на языке АЛГОЛ 60 применительно к транслятору ТА-1М с
использованием стандартных программ интегрирования
дифференциальных уравнений методом Рунге — Кутта с постоянным шагом
(Р0745), вычисления интегралов методом Симпсона (Р0655),
нахождения корней функции (Р1053),. а также ввода (Р0042) и
вывода на печать (Р1041). Абсолютная погрешность интегрирования
0,0001. Отличие функции от нуля при нахождении корней 0,001.
Для повышения точности интегрирования дифференциальных
уравнений можно также использовать соответствующую программу с
переменным выбором шага.
Программа состоит из блоков: ввода исходных данных,
расчета граничных условий, определения полей скоростей и
распределения давлений, осевой силы и коэффициента момента трения
диска.
Исходными данными для расчета являются:
ОМЕГА — частота вращения ротора, с*1;
DYG — диаметр внутренней цилиндрической границы
полости, м;
PYG1 — давление на внутренней границе полости (при
протечке, направленной к оси, задается произвольно),
Н/м2;
D\ — наружный диаметр полости, м;
CU1K—'Средняя окружная составляющая скорости внешнего
течения на наружной цилиндрической границе
полости (при протечке, направленной от оси вращения,
задается произвольно), М'С;
IIIG— средняя приведенная высота микронеровностей
(шероховатость) поверхности диска, м (=10 ш«у);
ОМЕГАС — угловая скорость торцовой стенки, противоположной
диску, с-1;
Р1К — давление на наружной цилиндрической границе
полости (при протечке, направленной от оси задания
произвольно) , Н/м2;
НЮ1К— кинематическая вязкость жидкости, м2-с-!;
РО1К — плотьЛсть жидкости, кг/м3;
SG — массив осевых размеров полости в одиннадцати рав
ноотстоящих друг от друга по радиусу цилиндричес
ких сечениях полости, начиная с ее наружной грани
цы, м?
GK— массив из пяти не равных нулю массовых протечек че
рез полость (при направлении к оси вращения созна
ком минус, от оси вращения — плюс), кг-с-1.

В результате расчета на печать выводятся:
а) в соответствующих одиннадцати сечениях полости: давленж
параметр радиальной составляющей скорости, параметр окружно
составляющей скорости;
б) интегральные значения: безразмерная осевая сила; коэффи
циент момента трения диска; осевая сила без учета изменения дав
ления по радиусу (удобна для сравнительной оценки влияния н;
реальные значения осевой силы таких факторов, как например
вращение диска и протечки); безразмерная осевая сила без учет;
изменения давления по радиусу; осевая сила, действующая на диск
Так как рассмотренный метод расчета не учитывает тренш
жидкости о внутреннюю цилиндрическую стенку, то для компенса
ции этих потерь целесообразно принять, что при радиальной про
течке к оси вращения градиент давления вблизи внутренней грани
цы полости не изменяется.
Следует учесть, что при уменьшении протечки и резком изме
нении ширины полости по радиусу повышаются требования к
точности вычисления программы, и поэтому необходимо вносить
соответствующие изменения в заданную точность вычисления
интегралов и решения нелинейных уравнений, а также переходить к
интегрированию дифференциальных уравнений с переменным шагом.
При протечках, близких к нулю, можно использовать зависимости,
справедливые для течения в полости без протечки.
8. ТЕКСТ ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
В ПОЛОСТИ
'BEGIN"REAL"DYG, TYG1, Т>1, 'СШК, IIIG, ОМЕГАС,
Т1К, НЮ1К, РО1К, €AG;
'ARRAY'
'GK[1 : 5],
ГВ[1:2];
•REAL1 TAYOHG,
4W4J, TAY4G;
•ARRAY' C[l : 2];
•REAL' TAY4C;
•ARRAY' ЭТА{1 :3];
•REAL' % CF, TYG2, 'AGM, 'АСДЕЛЬТАЧ, •АйДЕЛЬТА, *MG,
ОМЕГА
•Ф1, Z, TJ, RJ, 4SJ, TJ, POJ, HK)J, 'V,
•REV, M, 'V2, 4.104, 'GK4, Y, 'BM11, 'UG4,
'BM12. ЪМ22, 'Л, ТЧ, 4W4, 4REW, X,
•UC41, ТВ, ТВЧ, ТФИ, TAYRG, •UGMl, TAYRC,
ГАУФИС, ДЕЛЬТА *M4J, ДЕЛЬТА •MJ, ДЕЛЬТА T4J, 'S,
•SQKJ;
'ARRAY' T, IY, 4ТП, D *M4[1 : 2], *Ф[1 :2],
1N[1 : 4], A[l : 6], 4KU, •SG, Yl@ : 10],
•TG, 4PG, •SQK, 4A4[0 : 10], АЛЬФАЦ : 12],
IB, 'РП, DT4[1 :2];
38

«INTEGER U I, J, Л, J2;
P0042 (ОМЕГА,'DYG);
pi041 (ОМЕГА,'DYG);
P042 ('PYG1, 'Dl, 'CU1K, mG, ОМЕГАС);
pi041 ('PYG1, 'Dl, 'CU1K, mG, ОМЕГАС);
P0042 ('P1K, НЮ1К);
P0042 (P01K);
P1041 ('P1K, НЮ1К),Р01К);
P042 ('SG, ЧЗК);
PI 041 ('SG.'GK);
;
INA]: =0.0001; INI2]: =0.9999; IN[3]: =0.05; IN[4] : =0.0001;
'MG: =0;
Ц:=1;
'IF"GK[I]>0THEN' 'BEGIN'
'PJ : =PYG1; RJ : ='DYG/2; 'SJ : ='SG{9];
'END' 'ELSE' 'BEGIN'
<PJ : ='P1K; RJ : ='Dl/2; 'SJ: ='SG[0]; 'END';
'Ф1 : =RJ; 'ME12: POJ : = P01K; HKXJ: =НЮ1К;
•V : = SQRT (('GK[I]/6.28/P0J/RJ/
ЪЗ) \2+ ((ОМЕГА+ОМЕГАС) XRJ/2) |2);
'REV : =2X'VX'SJ/Hraj/(l+0.1XUIGx2X'V/14/HIOJ);
M : = 1.002 X LN ('REV/7) — 1;
'IP Ц<2 'THEN' 'V2: ='V;
'UG4: = ОМЕГА X'O1/'V2;
'UC4: =OMErAGX<l>l/'V2;
'GK4 : ='GK[I]/6.28/POJ/'Ol/'V2/'SJ;
'BM11 : =P0655(Z, Y, IN[1], 'ME13, 'ME14); 'GO TO' 'ME15;
'ME13:Y: = Zf(l/M)X(l— Z)f(l/M); 'ME14:; 'ME15:
'BM12: =P0655(Z, Y, IN[1], 'ME16, 'ME17); 'GO TO' 'ME18;
'ME16:Y: = Zf(l/M)X(l— Z)fB/M); 'ME 17:; 'ME 18:
'BM22: =P0655 (Z, Y, IN[1]; 'ME19, 'ME20); 'GO TO' 'ME21;
'ME19: Y: =ZfB/M)X(l— Z)fB/M); 'ME20:; 'ME21;
'Л:=0.125Х(М/(М+1))|2;
•IF'U'HE_MEHbIIIE'2'THEN"GO TO"
4>MY7'ELSE"BEGIN'
'IF<'GK[I]>0'THEN"BEGIN'AЛЬФAl2]: =0.001;
АЛЬФАC]: ='UG4/'BM22X ('BM12—'BM11/2+6.2832X
X'UG4X'V2XPOJX'DYGX
•ЗОЦ0]ХАЛЬФА{2]х'ВМ12Х'ВМ11/4/'ОКЦ]/C+2хМ));
J: =10'END"ELSE"BEGIN'
АЛЬФА[1]: =—3,о+1; АЛЬФА[2]: =—,o—7; АЛЬФА[3]: =3;
АЛБФА14]: =,0—3;
P1053(АЛЬФА, С, A, 'MY2, 'MY3, 'TRUE'); 'GO TO 'MY4;
*MY2 : T[2]: = 'UG4/'BM22X (A —'CU1 K/'UG4/'V2) X
(Cil]X'UG4X'BM12X'BMll/'GK4/2/C+2xM)

)+'BM12X(H-'CUlK/'UG4/'V2)—')
J2 : =1; 'UG41 : ='UG4; 'UC41 : = 'UC4; 'ЛИС2:
•W4J: =SQRT(C[l]t2X('GK4/qi]/'BMll +
('UC41—'UG41)/2)t2+('UGl—Ti2])f2);
'REW: =2XMX'V2X'W4JX'SJ/(M+ 1)/HK)J/
A+0.1 XMXmGX'W4JX'V2/(M+ l)/7/HK)J);
ТВ : ='Л X'W4J/A.8XLN CREW/7)/2.303) f2;
ТВЧ: =TBXC[1]X('GK4/C[1]/'BM11 + ('UC41—
4JG41)/2);
'IF'J2=1THEN"BEGIN'
TAY4G : =TB4; 4JG41 : ='UC4; UC41 : ='UG4;
J2 : =2; 'GO_TO'7IHC2'END"ELSE"BEGIN'
TAY4C : =—ТВЧ;
C[2]: = (TAY4C—TAY4G) X2XD + 3xM)/M/
('UG4—'UC4) t2/'BM22/'SJxRJ—2XC[l]f; 'END';
'MY3:. 'MY4: АЛБФА12]: =A[1]; АЛЬФАC]: =
'UG4/"BM22X (A —'CU1 K/'UG4/'V2) X АЛ ЬФ A[2] X 'UG4 X
<BM12X'BMll/'GK4/2/C+2xM)+'BM12X(l+'CUlK/'UG4/'
•V2)— 'BM11); J: =0; 'END';
АЛЬФА[1]: = 1; ТЧ : =0.05x ('Dl—'DYG)/^1;
I'B[1]: =SIGN('GK[I]XT4; I'B[2]: =0.001;
ЭТА[1] : =,<r-3; ЭТАC]: =,0—3; ЭТА[2]: =10—5;
'lF'GI<fI]>O'THEN"BEGIN'
'PGI10]: ='PJ; 'SOK[9J: ='SJ; Yl[10]: = 6,28x'PJXRJ'END4
•IF"GK[I]<OTHEN"BEGIN" PG(O]: ='PJ; '5СЖ10]: ='SJ;
Y1[O]: =6,28XPJXRJ'END';
Ц : =2; 'MY5 : Jl : =2; 'GO TO"ME12; 'END'; 'MY7:
'Я : =P0665(Z, Y, IN[1], 'MY8, 'MY9); 'GO TO"MY10;
'MY8- Y: =(('иСЧХАЛЬФА[1]ХA— Zf(l/M))+АЛЬФА[3]Х
XZf(l/M)X
+ АЛЬФА{1]Х'иСЧХA—A— г)|A/М)))|2+АЛЬФА[2]
f2xZfB/M)X
A—Z)fB/M) X ('иОЧХАЛЬФАA]хг + 'иСЧхАЛЬФАП]Х
X(l—Z)—АЛЬФА[1]Х
('UG4 + 'UC4) /2 + 'GKH/АЛ ЬФА[1]/АЛ ЬФ А{2]/'ВМ 11) f2)
/АЛЬФА[1]; 'MY9:; 'MY10:
D'P4[J1]: ='Я:
W4J : =(АЛЬФА[2]|2Х(<ОКЧ/АЛЬФАA]/АЛЬФА[2]/'ВМ1Ц-
О.ЬХСиСЧ—'UG4)X
АЛЬФА[1]) |2+ ('UG4X АЛЬФА[1]-АЛЬФА[3]) \2) |0,5;
'REW: =2XMX'V2X'W4JX'SJ/HK>J/(M+1)/A+O.2X
X'V2/14/Hraj/(M+l));
D'M4[J1]: =F.28хЛ
AЛЬФA[3])XAЛЬФAil]t2)/A.8xLN('REW/7)/2.303)t2;
40

<IFJ1=2THEN"BEGIN'
РО745(ГВЦ], АЛЬФА [1], 'Ф[1], 'MY11, 'MY12, ЭТАП]
«UY13,'MYl4, 3, 1,0);'GO_TO"MY15;
<MY11 :J2: =1; 'UG41 : ='UG4; 'UC41 : ='UC4; 'ЛИС1-
<W4J : =5дЕТ(('ОКЧ/АЛЬФА[4]/'ВМ1Ц-('иСЧ1—'UG41)V
АЛЬФА[4]хАЛЬФА[5]/2) |2+ ('иОЧ1ХАЛЬФА[4]—АЛЬФАГб]) 12) •
¦REW: =2XMX'V2X'W4JX'SJ/(M+1)/HIOJ/
A+0,1XMxIUGX'W4JX'V2/(M+1)/7/HK)J);
ТВ : =7IX'W4J/A.8XLN('RE\V/7)/2,303)f2;
ТВЧ : ТВХАЛЬФА[5]Х ('ОКЧ/АЛЬФА[4]/АЛЬФА15]/'ВМ11
+ ('UC41—'UG41)/
2ХАЛЬФА[4]);
ТФИ: = ТВХ(АЛЬФА[6]—'1ЮЧ1хАЛЬФА[4]);
'IF'J2 = l'THEN"BEGIN'
TAY4G : =ТВЧ; ТАУФИй : =ТФИ; 'UG41 : =4UC4;
'UC41 : ='UG4; J2 : =2; 'СО_ТО"ЛИС1; 'END';
'IF'J2=2THEN"BEGIN'
TAY4C : =—ТВЧ; ТАУФИС : =—ТФИ; X : =1;
Y: = (TAY4C—TAY4G)X2X D+3XM)/M/('UG4—*UC4)
+2/('ВМ22хАЛЬФА[4]|2хАЛЬФА[5]Х'5Л)Х'Ф1—2ХАЛЬФА{5]
/АЛЬФАМ;
Z= (ТАУФИС—TAYФИG) ХАЛЬФА[4]Х'ВМ11/'ВМ22/'ОКЧ/
'SJX<(I>1 + ('UG4—'иСЧ)|2ХАЛЬФА[4]Х'ВМ11Х'ВМ12Х
АЛЬФА[4]/2/C+2ХМ)/'ОКЧ/'ВМ22Х(УхАЛЬФА14]+Ч
ХАЛЬФА[5])—2Х
('UG4+'UC4)X('BM11—'BM12)/
'ВМ22—АЛЬФА[6]/АЛЬФА[4];
АЛЬФА[4]: =Х; АЛЬФА[5]: =Y; АЛЬФА[6]: =Z; 'MY12:;
'MY13: 4Ф[1]: =l + SIGN('GKiI]xT4x6+T4XE—J)—АЛЬФА[1];
'MY14:; 'MY15:J1 : =1; 'GO_TO"MY7; 'END';
'IF'Jl = l'THEN"BEGIN'
ДЕЛЬТА'МЧЛ : = (D'M4{2]+D'M4il])XT4/2;
ДЕЛЬТА'МЛ : =ДЕЛЬТА'МЧЛХРОЛХ^2|2х'Ф1|3;
'MG : ='МО+ДЕЛЬТА'М.1; ТП[2]; ='PJ;
ДEЛЬTA'PЧJ: = (D'P4[2]+D'P4il])/2XT4XSIGN('GK[I]);
ФП[1] : ='РП[2]+ДЕЛЬТА'РЧЛХР(ЫХ'У2|2;
'IF"GK[I]>O'THEN"BEGIN'
J : =J—1; 'SJ : ='SG[J— 1]; 'SCXJ : ='SGtJ]; 'END';
*IF"GK[I]<OTHEN"BEGIN'
J : =J+1; 'SJ : ='SG[J]; 'БСЖЛ : ='SG[J—1]; 'END';
*A4[J]: =АЛЬФА[2]; 'KU[J]: =АЛЬФА[3];
'5СЖИ : ='SCXJ; 'PJ : ='РЩ1]; 'РОД : ='РП[1];
*V2: ='V2XSQRT('SCXJ/'SJ);
Ю: =RJ + SIGN('GK{I]) ХТЧХ'Ф1;
Y1[J}: =6.28X'PJXRJ; 'END';
P1041('PG);'IF'J>0'AND'J<10'THEN"GO^TO"MY5;
4S : = (Yl{0]—Yl[10])/2; J : = 1;
'MY16:'S: ='S+2xYl{J]+Yl[J+l]; J: =J+2;
'IF.'J'HE_БOЛЬШE'9'THEN"GO_TO"MY16;

•AG:=(*D1— T>YG)X'S/30;
'AG4 : = 16X<AG/P01K/OMErAf2/<Dlf4;
CF: =32X<MG/P01K/OMErAf2/<Dlt5;
4АСДЕЛЬТА:=3.14Х(<01|2—<DYGf2)X<PG[0]/4;
•АСДЕЛЬТАЧ: =16
X 'АСДЕЛЬТА/POl К/0МЕГА|2/'Э114;
Р1041('АЧ, *KU, 'AG4, CF, 'АйДЕЛЬТА, 'АвДЕЛЬТАЧ, *AG);
I: =1+1; 'IF P< THEN"GO_TO"ME;
STOP 'END4
ГЛАВА 2
Гидродинамические характеристики
типовых элементов
вспомогательных трактов
Типовой элемент может быть определен как конструктивно
обособленная часть вспомогательного тракта, гидравлическое
сопротивление которой однозначно определяется геометрическими
размерами, скоростями граничных поверхностей, а также
физическими свойствами и скоростями жидкости, входящей в
рассматриваемый элемент. К элементам вспомогательных трактов относятся,
помимо описанных выше полостей между дисками рабочих колес ю
корпусом, щели внутренних уплотнений ротора, полости, входящие
в разгрузочные устройства, примыкающие к подшипникам и
уплотнениям, зазоры в опорах ротора, использующих перекачиваемую*
жидкость, соединительные каналы и отверстия. Здесь не
рассматриваются щели с капельной протечкой, например в концевых
торцовых или сальниковых уплотнениях, несущественно влияющих наг
потоки во вспомогательных трактах. Как правило, для каждого*
элемента определяют зависимость перепада давлений от расхода
жидкости через элемент.
1. ЩЕЛЕВЫЕ УПЛОТНЕНИЯ
Цилиндрические уплотнения. В лопастных машинах часто для
предотвращения значительных перетечек жидкости из зон
повышенного давления в зоны пониженного давления используются
щелевые цилиндрические уплотнения, образованные специально
выполненными поверхностями рабочих колес, валов и других
элементов ротора совместно с неподвижными или плавающими
ограничивающими элементами корпуса.
Как правило, щели этих уплотнений имеют поперечные
размеры от 0,1 до 2 мм, и поток жидкости в них турбулентный. При та-
42

ки размерах существенно влияние шероховатости и окружной
скорости граничных поверхностей.
Рассмотрим стабилизированное турбулентное течение между
концентричными неподвижным и вращающимся цилиндрами
достаточно больших, по сравнению с зазором между ними, радиусов
(r»s) (рис. 15) [6]. Из симметрии канала и граничных условий,
^сли пренебречь действием центробежных сил, следует
симметричность профиля осевой скорости жидкости относительно средней
линии зазора в каждом сечении, проходящем через ось цилиндров,
и профиля окружной скорости относительно точки пересечения этой
средней линии с поперечным сечением канала. Поэтому окружная
составляющая скорости на средней линии равна половине
окружной скорости вращающегося цилиндра, и в дальнейшем
рассматривается поток между неподвижным наружным цилиндром и
средней линией (аналогичный течению Куэтта).
Используя зависимость между коэффициентом гидравлического
трения и напряжением трения на стенках зазора (т=0,125ру2Л),
можно определить проекции напряжения трения,
пропорциональные соответствующим составляющим скорости:
G2)
G3)
где vz — среднерасходная осевая составляющая скорости потока
в щели; v9 — среднерасходная окружная составляющая скорости
потока между наружным цилиндром
и средней поверхностью щели.
Для расчета коэффициента
сопротивления л воспользуемся
формулой C4), в отличие от других
зависимостей справедливой как для
гидравлически гладких
поверхностей, так и для квадратичной и
переходной областей течения, в
которой линейный размер ш
определяется по формуле C9), приведенное
число Рейнольдса по формуле D0),
а гидравлическое число Рейнольдса
удобно представить в виде
G4)
Большинство экспериментальных
точек, полученных разными
исследователями при vf = 0, ближе всего груп-
Рис. 15. Схема течения в
цилиндрической щели

L9(W0A)
12
4,S 5,0 LgRe
Рис. 16. Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления кольцевого
зазора с (неподвижными стенками от числа Re (оплошные линии—до формуле
C4), штриховые — по формуле Блазиуса); /, 2, 3, 4 — экспериментальные точки
по данным работ соответственно [15, 22, 53, 9]
пируются вокруг зависимости Блазиуса B5], соответствующей
гидравлически гладкому каналу (рис. 16).
Однако часть экспериментальных результатов, относящихся к
особо малым зазорам, характерным для щелевых уплотнений, в
которых неровности поверхности должны оказывать наибольшее
влияние на поток, ближе к зависимости C4), соответствующей
определенной относительной шероховатости. К сожалению, в
данных экспериментах высота неровностей не измерялась.
При иФО среднерасходную окружную скорость потока до
средней поверхности зазора можно определить согласно работе [2], ис-
нользуя коэффициент гидравлического трения, следующим образом:
0,5а /7Сх
v9= —т^ • G5)
Поэтому коэффициент гидравлического трения рассчитывают по
формулам C4), G5) методом последовательных приближений,
предварительно полагая и<р«0,5и. Используя значение X из
приведенных выше зависимостей и выражение G2), можно вывести
формулу для расчета коэффициента гидравлического трения
осевого потока щели
8% \ 1 / 1
.(*-
4A+I.3/XLi
G6)
Если использовать степенное распределение скорости потока с
показателем, равным 1/7, соответствующим согласно той же работе
[2] коэффициенту X «0,015 или более точно зависимости Х=
= 0,316Re-°'25, то для зазоров с гидравлически гладкими стенками
можно получить из выражений G2) — G6) более простую формулу,
близкую к зависимости работы [53]:
где индекс 0 означает отсутствие вращения.
44

Если же учесть
увеличение окружной скорости
на средней линии зазора
до 0,8и из-за
интенсификации процессов переноса
вихрями Тейлора,
развивающимися в достаточно
больших зазорах под
действием центробежных сил,
то из формулы G6)
можно получить выражение,
близкое к выведенному в
работе [23]:
0,375

4 u/v2
Рис. 17. Зависимость коэффициента
гидравлического сопротивления Хг от u/vt:
('Oj Л 2. 3, 4—экспериментальные точки по данным
работ соответственно [53, 22, 9, 16]
Влияние вращения внутреннего цилиндра и осевого расхода на
коэффициенты гидравлического трения осевого течения представлено
на рис. 17. Необходимо отметить, что основная часть
экспериментальных результатов на этом рисунке получена при относительно
больших зазорах, не характерных для щелевых уплотнений, в
которых возникают вихри Тейлора, увеличивающие среднерасходную
окружную скорость потока в зазоре и, следовательно, влияние
вращения. Вместе с тем, согласно работам [9, 52], эти вихри не
появляются при s/r<0,0004 или при определенном осевом расходе
жидкости, поэтому в большинстве случаев характеристики
щелевых уплотнений следует рассчитывать по формуле G6).
По известному коэффициенту гидравлического трения можно
рассчитать гидравлическую характеристику уплотнения
где ? = 1-М,5 — коэффициент потерь на входе и выходе
уплотнения, причем близкие к единице значения характерны для входящих
потоков, предварительно закрученных диском или валом насоса,
Е=1,5 — для потока, входящего в щель из большого объема с
неподвижными стенками; L — длина щели; г — радиус уплотнения.
При максимальном эксцентриситете внутреннего цилиндра
относительно наружного возможно увеличение расхода максимально на
30%.
При линейном изменении поперечного размера щели перепад
давления на стабилизированном участке течения можно
рассчитать по формуле
16jl2Qr2(s2
п
— Si) J
S3
ds=

/\
Г . G9)
где 5, и s2— зазоры на входе и выходе щели; 5 = 5^S2~Sl z—по-
перечный размер щели; ?=
параметр, характеризующий от-
ношение циркуляционного потока к осевому; X рассчитывается по
параметрам в среднем сечении щели.
Если осевая составляющая скорости жидкости намного больше
,окружной скорости стенки (?«0), то формула G9) приводится к
виду
_
Р
Конические и радиальные уплотнения. Эти элементы, помимо
ограничения перетечек с целью сокращения объемных потерь,
используются в ряде конструкций в качестве дросселирующих для
регулирования давлений в гидропятах при уравновешивании
осевых сил. Как правило, течение в них турбулентное. Ламинарный
режим течения в радиальных микронных щелях торцовых
уплотнений рассмотрен ниже (см. с. 70).
Схема течения в конической щели и основные обозначения
даны на рис. 18.
Условия равновесия элементарного объема единичной ширины,
вращающегося со средней угловой скоростью, равной половине
угловой скорости ротора, на стабилизированном участке течения в
щели между концентрическими поверхностями могут быть
записаны в следующей форме:
(Jrfr, (80)
где индекс / относится к проекциям составляющих на среднюю
линию щели. Это выражение строго справедливо при симметричном
распределении осевой составляющей
скорости и соответственно
напряжений трения xi относительно оси
щели. Это выполняется при больших
осевых расходах по отношению к
расходу в окружном направлении,
т. е. —^-=— <^'1. В противном
случае для радиальных щелей
необходимо использовать общую теорию,
приведенную в гл. 1.
Напряжение трения xi
определяется, исходя из линейного закона
изменения поперечного размера
зазора по длине щели и зависимости
G6), полагая коэффициент гидрав-
Рис. 18. Схема
ской щели
течения в кониче-
46

лического сопротивления Kz постяонным по длине и равным егозна-
(Г\ 4- Го S\ 4- So \
при г=-*—— и s= * 1
2
— S2ri + (S2 — 50 Г]2
Пренебрегая длиной начального участка, после интегрирования
уравнения (80) с учетом выражения (81) можно получить закон
изменения давления по длине щели
QaJ (Г2 _ r2) iL '
где ,=
S2 —Si
Для постоянной по длине щели (si=52=s) уравнение
преобразуется к виду
рЪ^Р-Ъ Ь2к
fJ—11. (82)
Полную потерю давления в зазоре с учетом потерь на входе
и выходе можно рассчитать по формуле
I _^_ Vr2 ' 2е
G2
где ?вых = 1 — коэффициент потерь на выходе щели; ^„«О-ьО.б-
то же, на входе в щель.
Для радиальной постоянной по радиусу щели L=r2—Г\ фо{
мула (83) преобразуется к виду
Дальнейшее уточнение этих формул возможно путем введени
коэффициента потерь на расширение потока в щели. Однако дл
реальных щелей эта поправка незначительно влияет на результа

Лабиринтные уплотнения. Это-
вид уплотнений представляет собой
как бы совокупность отдельных ше-
левых уплотнений, разделенных ка.
мерами.
Преимущества лабиринтных
уплотнений (рис. 19) по сравнению,
Рис. 19. Лабиринтное уплотне- например, с цилиндрическими состо-
те ят в большем коэффициенте
сопротивления, т. е. в меньших протечках.
Однако при малых осевых размерах и больших зазорах между
неподвижной и вращающейся частями они малоэффективны.
Надежной методики расчета гидравлических характеристик
лабиринтных уплотнений, работающих в жидкости, нет. Это связано
не только со сложностью процессов течения в отдельных
элементах, но и с взаимным влиянием потоков в них.
Для приближенных расчетов лабиринтов с прямоугольными
канавками на валу можно использовать эмпирическую формулу из
работы [31]
где z и t — число и ширина канавок на валу; 5 — минимальный
радиальный зазор.
2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ РАДИАЛЬНЫЕ УПЛОТНЕНИЯ
Эти элементы используют для разгрузки рабочих колес от
осевых сил, защиты от высоких давлений и попадания твердых
частиц. Такие уплотнения поддерживают при заданном числе
оборотов определенный перепад давления или разделяют жидкую и
газообразную фазы.
Уплотнения разнообразны по конструкции. Они могут быть
выполнены в виде заключенного в специальную полость диска с
торцовыми лопатками на одной стороне (автономный узел, рис. 20)
или в виде торцовых лопаток, расположенных прямо на диске
рабочего колеса (совмещенное уплотнение). Торцовые лопатки могут
быть тонкими или толстыми (в виде выступов между пазами) и
снабжены кольцевыми перемычками как на периферии (бандаж),
так и на промежуточных радиусах. Иногда они закрываются
специальным диском, что резко снижает их эффективность, хотя и
уменьшается потребляемая мощность. Такое уплотнение
целесообразно рассматривать как малорасходный насос, работающий при
нулевой подаче, и соответственно рассчитывать как замкнутый
контур вспомогательного тракта, состоящий из лопаточного канала,
полости около покрывного диска и щели уплотнения бурта
покрывного диска.
Распределение давления по радиусу части диска
гидродинамического уплотнения, находящейся в жидкости (см. рис. 20), описы-
48

Fhc. 20. Гидродинамическое радиальное уплотнение
вается зависимостью (перепад давления на части диска,
находящейся в газе, пренебрежимо мал из-за большой разности
плотностей жидкости и газа) [24]:
Полный перепад давления на диске подсчитывается по формуле
где гг — радиус границы раздела жидкой и газообразной фаз или
внутренний радиус диска rit если отсутствует граница раздела фаз;
р„ — давление жидкости на наружном радиусе диска rH; g —
отношение угловой скорости диска к средней угловой скорости
жидкости в осевом зазоре между диском и корпусом.
Для стороны диска с торцовыми лопатками, если их больше
восьми, осевой зазор s между торцовыми лопатками и корпусом
меньше 3—4 мм и гг<0,8гн, как показали опыты М. М. Краева
[24], ?=1,03-т-1,08, а при r;>0,8rH g примерно линейно
увеличивается до 1,25 при ri=0,9rH. При осевом зазоре больше 3 мм g
уменьшается до значения g гладкого диска примерно пропорционально
h/(h+s—3). Перепад давления, создаваемый торцовыми
лопатками в реальном диапазоне изменения радиального расхода, не
зависит от величины его.
Для гладкой стороны диска отношение g зависит от окружной
составляющей скорости потока в полости над диском (как былс
показано выше). Эта закрутка в значительной мере определяете
вихрями, генерируемыми торцовыми лопатками. Поэтому для глад
кой стороны диска при торцовых лопатках, ограниченных банда
жом, ?=1,8-7-2,1, а при открытых лопатках g= 1,5-МД
4

Следует заметить, что при наличии границы раздела фаз
гидродинамическое радиальное уплотнение может быть не полностью
герметичным. Так, при отсутствии бандажа на торцовых лопатках
при радиусах границы раздела, больше 0,6 наружного наблюдался
барботаж газовой фазы по радиальным осям вихрей,
образующихся при обтекании концов торцовых лопаток. Для торцовых
лопаток с бандажом, перекрывающим осевой зазор, барботаж
наблюдался лишь при радиусах поверхности раздела фаз, превышающих
0,9 наружного радиуса лопаток.
Кроме того, капли жидкости, срываясь с границы раздела фаз,
могут проникать в газ. Количество утечек жидкости через
границу раздела можно определить по полуэмпирической формуле [24]
5- 12,5- 10-з
Л / J Рж \ Qr
где [лж и [ir— динамическая вязкость жидкой и газообразной фаз
рабочего тела; рж и Qr—* плотность жидкой и газообразной фаз;
линейные размеры приведены на рис. 20.
3. ПОЛОСТИ МЕЖДУ РОТОРОМ И КОРПУСОМ
Помимо боковых полостей между дисками рабочего колеса и
корпусом, в лопастных машинах обычно имеются также
примыкающие к валу кольцевые полости в корпусе. Эти полости
расположены около разгрузочных дисков и поршней, торцовых и
гидродинамических уплотнений, подшипников и т. п. Для них характерно
большое отношение ширины к наружному радиусу. Ввиду этого на
течение в полости значительно влияет трение на цилиндрических
поверхностях и в меньшей степени протечка, и поэтому в
большинстве случаев целесообразно использовать для расчета
характеристик таких потоков зависимости из п. 5, не учитывающие
радиальную протечку. Реальная полость приближенно заменяется
кольцевой полостью прямоугольного сечения и затем в зависимости от
граничных условий на периферии из уравнения F5) п. 5 или
графиков на рис. \\—13 определяется отношение |. Затем по
известному g по формулам F7) или F8) можно рассчитать перепад
давления.
4. ПЕРЕПУСКНЫЕ ТРУБОПРОВОДЫ И КАНАЛЫ КОРПУСА
Эти элементы служат для подвода и отвода жидкости из
разгрузочных устройств, подшипников, промежуточных камер
уплотнений и т. п. Для их расчета можно использовать зависимости
работы [17], причем коэффициент гидравлического сопротивления
можно определять по формуле C4). Следует также учитывать
длину начального участка, которую можно рассчитать по
формуле [7]
/н=0,52</гД.
56

Если длина канала /
меньше /н, то следует
увеличить коэффициент
гидравлического трения
согласно зависимости [7]
I
Рис. 21. Каналы в роторе, параллельные оси
вращения
В каналах часто
устанавливают
регулировочные шайбы, фильтры и
другие элементы, которые
учитываются
соответствующим коэффициентом
гидравлического
сопротивления.
Отверстия в роторе служат, как правило, для сброса
жидкости из разгрузочных устройств, уплотнений. Если их ось
совпадает с осью вращения ротора, то уменьшенный коэффициент
гидравлического трения вследствие подавления турбулентности в поле
центробежных сил может быть рассчитан по формулам [49]
= 0,25^-0,95;
=0,95-4-10.
4G
( *»4q \
-0,535
Если ось отверстия не совпадает с осью вращения, то основные
потери возникают при резком повороте и отрыве потока на входе
вращающегося отверстия. Целесообразно такое течение
рассматривать в относительном движении вместе с ротором. Наиболее
общий способ расчета этого потока, основанный на решении задачи
истечения идеальной жидкости из отверстия в стенке канала
приведен в работе [24] (рис. 21).
По известному перепаду давления Ар и скоростям стенки и с
отверстием и жидкости v определяется теоретическая скорость
жидкости в отверстии
w=
Далее определяется отношение k расхода жидкости между
подвижной ^и неподвижной стенками шириной s к расходу в канале
шириной d в результате приближенного решения системы
трансцендентных уравнений (с параметром {$):

d
s
я
cos ft
-5"
я sin
/ 1 \2
1-- +cos2|
cosp i 1 4- cos p ,
"~~ k 1 — cosB~^
In
— — cos?
1-^-cosP
Используя найденные значения k, можно определить коэффициент
расхода \i через отверстие и расход через него G0T:
1 и — v
W
Для приближенных расчетов при d/s<0,6 можно использовать
экспериментально подтвержденный расчетный график в работе
[24] (рис. 22)
\
5. ПОДШИПНИКИ НА ПЕРЕКАЧИВАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Применение подшипников, работающих на перекачиваемой
жидкости, позволяет упростить и удешевить агрегат, повысить его
надежность за счет отказа от дополнительных систем смазки.
Шарикоподшипники. В некоторых лопастных машинах
используются погруженные в перекачиваемую среду шарикоподшипники.
Их применение ограничена низкой коррозионной стойкостью мате-
0.5
0.3
0.1
\
\
ч
—
1,0 2,0 3,0
"^
Рис. 22. Зависимость
коэффициента расхода от
отношения скоростей
Ашпв
Рис. 23.
Шарикоподшипниковая опора
52

риалов, повышенной потерей мощности на трение, меньшей долго*
вечностью по сравнению с подшипниками других типов.
Оценку перепада давлений в зависимости от расхода жидкости
через зазоры в шарикоподшипнике с массивным сепаратором (рис.
23) можно произвести по формуле
** ш.п
где dcu и dm — средний диаметр сепаратора и: шариков
подшипника; Fma — суммарная площадь проходных сечений между
сепаратором и обоймами подшипника.
Гидростатические и гидродинамические подшипники можно
представить в виде системы каналов простой формы (кольцевых,
круглых, плоских и т. п.), гидравлически связанных между собой
специфично для каждого типа подшипника. Если подшипники
работают на маловязкой жидкости, подобной воде, то для всех их
элементов характерен турбулентный режим течения.
Гидравлические характеристики отдельных элементов подшипников можно
рассчитать по приведенным выше зависимостям или подобным им,
если элемент является специфичным. Суммируя гидравлические
характеристики отдельных элементов по правилам, описанным ниже,
можно получить зависимость перепада давлений от расхода
жидкости через подшипник. Такой подход является общим для
получения гидравлических характеристик подшипников независимо от
их конструктивных особенностей. Часто для расчета общих
характеристик вспомогательных трактов целесообразно включать их i
общую гидравлическую схему, как систему гидравлически связан
ных между собой каналов разной формы.
6. РАСЧЕТ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ТРАКТОВ
По известным гидравлическим характеристикам всех элемен
тов можно выполнить совместный расчет распределения давлени]
и расходов во вспомогательном тракте. При этом предполагают
что слияние и разделение потоков на границах между элементам
тракта происходит без потерь. Если эти потери существенны, то и
относят к потерям в одном из этих элементов.
Методы расчета распределения потоков в сложных гидравличес
ких цепях основаны на использовании двух сетевых законов Кир:
гофа: равенства сумм всех втекающих и вытекающих расходов
каждом узле (вершине графа) и равенства нулю суммы перепадо
давлений в элементах, входящих в каждый замкнутый контур ги;
равлической системы (цикл графа). Решение системы нелинейны
уравнений, составленных на основании этих двух законов, позволз
ет рассчитать расходы и перепады давлений во всех элемента:
Вспомогательные тракты, как правило, можно представить
виде графов с небольшим числом циклов, и поэтому для решен»

соответствующих нелинейных систем уравнений наиболее пригодны
итеративные методы с релаксацией.
Как отмечено во введении, гидравлические связи между
элементами вспомогательных трактов можно изобразить в виде графа
(гидравлической схемы), т. е. структуры, состоящей из конечного
числа вершин (соответствующих местам гидравлического
соединения элементов тракта между собой или с другими
гидравлическими системами), связанных между собой ребрами
(соответствующими элементами вспомогательного тракта). Пример графа дан во
введении. Такое представление гидравлических систем и методы
расчета графов на ЭВМ широко распространены в общей теории
расчета водопроводных сетей [39], которая используется в
настоящем разделе.
В соответствии с этими методами информация о графе должна
быть представлена в цифровой форме. Одним из наиболее
компактных и удобных способов такого представления является
специальная индексация остова данного графа.
Остов образуется исключением минимально возможного числа
ребер (называемых в этом случае хордами), замыкающих циклы
графа 1. В качестве корня остова2 выбирают одну из вершин3
графа (в основном первой или второй степени), которая
соответствует сечению вспомогательного тракта с предполагаемым
наибольшим расходом рабочей жидкости. На рис. 2 один из вариантов
остова показан сплошной линией.
Индекс 1 присваивают одной из наиболее удаленных от корня
вершин первой степени. Двигаясь от этой вершины по цепи в
направлении к корню, присваиваем вершинам индексы из
последовательных чисел возрастающего натурального ряда при условии,
что все ребра, выходящие из этих вершин, кроме ребер данной
цепи, ограничены индексированными вершинами. В противном
случае эту вершину вначале не индексируют (нарушение порядка
индексации) и, двигаясь от нее по цепи с неиндексированными
вершинами (исключая цепь, ведущую к корню) до вершины первой
степени, присваивают очередной индекс этой вершине. Двигаясь от
нее в обратном направлении, индексируют вершины по описанному
выше правилу. Порядок индексации нарушается только в
вершинах со степенью выше второй, за исключением корня остова. В
последнюю очередь индексируют вершины в цепи, идущей к корню.
Корень остова имеет индекс, равный числу вершин графа.
Информация о топологической структуре графа задается
таблицей нарушения индексации вершин, таблицей вершин,
ограничивающих хорды, числами вершин и ребер графа.
В каждой строке таблицы нарушений первое число является
индексом вершины, после которой нарушился порядок индексации,
1 Циклом графа называется замкнутая цепь. Цепь — непрерывная лилия на
графе, не проходящая ни по какому ребру более одного раза.
2 Корень остова — любая вершина, выбираемая за начальную точку остова.
3 Вершины могут быть первой, второй и более высокой степени,
определяемой числом сходящихся в ней ребер.
54

.второе число — индекс вершины, перед которой произошло это*
нарушение. Строки в этой таблице целесообразно располагать в
порядке возрастания чисел. Если первое число в каждой строке
таблицы нарушений увеличить на единицу, то получим индексы
всех вершин первой степени, за исключением первой.
В каждой строке таблицы вершин, ограничивающей хорды,
первое число является индексом той вершины, которая обозначает
предполагаемый вход рабочей жидкости в соответствующий
элемент вспомогательного тракта, второе — выходу жидкости из
этого элемента.
Каждому ребру остова присваивают индекс, равный меньшему
из двух индексов, ограничивающих данное ребро вершин. Хорды
индексируют в произвольном порядке последовательными числами
натурального ряда, начиная с индекса корня остова.
В последнюю очередь все вершины первой степени и корень ос-
това графа объединяют незамкнутой цепью, состоящей из
дополнительных хорд, которые индексируют, как и основные хорды.
Данный способ индексации не предполагает, что две вершины графа
соединяются более чем одним .ребром. В противном случае эти ребра, кроме одного,»
разбивают условными дополнительными вершинами. Таким образом, вводят
условные элементы с нулевым перепадом давлений, соответствующие ребрам,
ограниченным с одной стороны дополнительными вершинами. Иногда целесообразно*
заменить все ребра с одинаковыми граничными вершинами одним ребром.
Соответствующий элемент будет иметь гидравлическое сопротивление, равное
суммарному сопротивлению параллельно соединенных элементов.
В последующем изложении
расходам жидкости через
элементы вспомогательного тракта
присвоены индексы соответствующих
ребер графа.
Пример графа,
проиндексированного описанным способом,
приведен на рис. 2. Информация
о топологической структуре графа
дана в следующей таблице.
Перед расчетом вспомогательного тракта гидравлические харак*
теристики всех элементов его должны быть представлены в
единообразной форме в виде квадратичного трехчлена
A/?=sign О {SO2 + В \Q\ +C),
где S, В, С — постоянные коэффициенты.
В общем случае это можно сделать, вычисляя для данного эле
мента перепады давлений, соответствующие заданным значения!
расходов в некотором диапазоне, а затем аппроксимируя эту дис
кретную функцию квадратным трехчленом наилучшего приближе
ния. Такая программа имеется в библиотеках большинства совре
менных ЭВМ (например, в трансляторе ТА-1М ЭВМ М-220 эта про
грамма имеет номер Р0704).
Для дополнительных хорд гидравлическая характеристика
A/?=sign(G)C,
Таблица
нарушений
индексации
6—11
18—24
19—24
Таблица хорд
6-7
7—13
19-18
24-17
24—15.
24—11
24—20

где С — разность заданных давлений, ограничивающих
дополнительную хорду.
Для расчета распределения расходов и давлений необходимо
решить систему алгебраических уравнений первого и второго
порядка. Обычно используют итеративные («увязочные») методы.
Вначале рассчитывают начальное приближение для расходов во всех
элементах, удовлетворяющие только первому закону Кирхгофа
(материальному балансу) во всех вершинах. Это легко выполняется
для остова, если заданы расходы в вершинах первого порядка и в
корне. Расходы задаются путем назначения расходов в хордах.
По этим расходам и гидравлическим характеристикам отдельных
элементов вычисляют отличия от нуля («невязки») суммарных
перепадов давлений во всех независимых циклах (в соответствии со
вторым законом Кирхгофа сумма перепадов давлений во всех
элементах, входящих в цикл, должна быть равна нулю). Для каждого
цикла ищут так называемый увязочный расход, отвечающий
невязке по давлению. Полученные увязочные расходы алгебраически
суммируют с расходами, принятыми в начальном приближении или
на предыдущей итерации. Новые расходы используют в качестве
очередного приближения для следующей итерации.
Такой метод решения реализован в программе для ЭВМ на
языке АЛГОЛ 60 (применительно к транслятору ТА-1М ЭВМ типа
БЭСМ-4). Она разработана на основе программы [39],
модифицированной с учетом задания характеристик в форме квадратного
трехчлена и давлений в вершинах первой степени. Увязочный
расход в каждом контуре определяется методом Лобачева — Кросса
по формуле
2 +C)signG
с последовательным внесением увязки во все циклы. Программа
также вычисляет давления во всех вершинах, для чего задается
давление в корне остова.
Исходными для расчета являются (в порядке ввода в ЭВМ):
NN — число строк в таблице нарушений;
NK — число циклов графа;
ND — число ребер графа, включая хорды;
М — число вершин графа;
Z — число членов в массиве АК;
EPS — допустимая «невязка» в циклах;
НВ — давление в корне остова;
DK[1 : NK] — массив, состоящий из NK положительных чисел,
каждое из которых равно числу ребер в циклах
графа;
AKi[l :Z]— массив, состоящий из NK груп чисел, каждая из
которых состоит из последовательно
расположенных индексов ребер соответствующих циклов
графа; группы расположены в том же порядке,
56

в каком числа в массиве DK; индексу ребра
присваивают знак плюс, если при обходе цикла по
часовой стрелке движение вдоль данного ребра
происходит от вершины с большим индексом, в
противном случае индексу присваивают знак
минус;
S, В, С[1 : ND]—массивы коэффициентов гидравлических
характеристик элементов; коэффициент С имеет знак
плюс, если давление в направлении расхода
снижается, и минус — в противном случае;
N1A: NN]—массив, состоящий из индексов вершин остова,
после которых нарушился порядок индексации
(первые числа в строках таблицы нарушений);
N2[l : NN]—массив, состоящий из индексов вершин остова,
перед которым нарушился порядок индексации
(вторые числа в строках таблицы нарушений);
QS — массив приближенных значений расходов в
хордах графа, уточняемых в процессе счета;
NF[1 • NK, 1:2]— массив, состоящий из NK пар индексов вершин,
ограничивающих хорды графа, причем первым в
каждой паре является индекс вершины, через
которую предположительно втекает жидкость в
элемент, соответствующий данной хорде.
В результате расчета печатаются первоначальное
распределение расходов Q (первое приближение) во всех ребрах, число
итераций U при решении уравнений, погрешности Н при определении
давления в каждом цикле графа, рассчитанные расходы QN во всех
ребрах графа, удовлетворяющие заданной точности, значения
давлений 'Н в вершинах. Текст программы приведен ниже (в отладке
и разработке программы принимал участие А. В. Митрофанов).
7. ТЕКСТ ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ
ТРАКТОВ НА ЭВМ
'BEGIN4
4INTEGER4NK,ND,'Z,U,N,M,P; NN.K1.K2;
4REALEPS,HB;
P0042(NN, NK, ND,M, 4Z);
P1041(NN, NK, ND, M, 4Z);
P0042(EPS); P1041(EPS);
'BEGIN4
4INTEGER"ARRAY4N1, N2[l : NN], NF[1 : NK, 1 : 2], ZND : ND];
4ARRAY'4H[1 :M];
4INTEGER4I,J,K,4ZN;ZK,L,MDK,RK,R1,R2;
4REAL'S1, S2, MAX;
4NTEGER"ARRAY"DK[1 : NK], 'AK, 'AKRfl: 4Z];
4ARRAY1 QO, QN, S[l : ND], D, H[l : NK];
4ARRAY' B, C[l : ND];
P0042(HB, 4DK, 'AK); P1041(HB, 4DK, 'AK);
P0042(S, B, C); P1041(S, В, С);
57

"BEGIN'
•FOR'!: =1'STEPTUNTIG'ND'DO'ZN[I]: -1;
'BEGIN'
"INTEGEK'N;
P:— ND; N: =NK;
"BEGIN'
•REAL'F; 'ARRAY"Qil : M], QS[1: N], Q[l : P];
P0042(Nl,N2); P1O41(N1, N2);
P0042(QS, NF); P1041(QS, NF);
'FOR'I: =1'STEPTUNTIL'M'DO'Q[I]: =0;
¦FOR'I: =rSTEPTUNTIL'N'DO'
-BEGIN'
Kl:=NFiI, 1];K2:=NF(I.2];
*Q{Kl];=*QiKl}+QS[I];
^QlK2].='Q[K2]-QS[I];
'END'
"FOR'J: =l'STEP'rUNTIL<NN'DO<
'BEGIN'Kl : =N1[J]+1; K2: =N2[J];
<ЛК1]; =-1; QIK2]: = 1; 'END'; Q[l]; =-1;
'FOR'I = l'STEP'l'UNTIL'P—N'DO'
"BEGIN'
4IF'Q[I]<0THEN'Q{I]: ='Q(I]<ELSE<
4IF'Q[I]=0'THEN'Q[I]: =Q[I—l]+'QtI]'ELSE'
'BEGIN'F: =0;
'FOR'J : =l'STEP'rUNTIL'NN'DO*
4F'I = N2[J]'THEN"BEGIN4K1 : =N1[J];
F: =F+Q[K1]'END';
Q[!] F'QII]Qil
Q[]
'END';
•FOR'I: = P—N+1'STEP'l'UNTIL'P'DO'
'BEGIN'
J: =1—P+N;
Q[I]:=QS[J1;
IF'NF[J, 1]<NF(J, 2]THEN'Qt"I]: =— Q[I]'ELSE'
Q[I]: =QS[J];'END';
P1041(Q);
'F0R'I; = l'STEP'l'UNTIL'P'DO'
'BEGIN"IF'Q[I]<O'THEN"BEGIN'
'FOR'J: = 1 'STEP' 1 'UNTIL"Z'D0'
•IF'ABS('AK(J]) =I'THEN"BEGIN'
'REAL'K1;K1: -ABSCAKlJDrAKiJ]^—'AK[J];
•END';
'END';
'END';
•FOR'I: = 1 'STEP' 1 'UNTIL'ND'DO'
'BEGIN'
'IF'QU]<0THEN'ZN[I];=— ZN[I]'END';
'FOR'I: =1'STEP'1'UNTIL'P'DO'
Q0[I]:=ABS(Q[I]);
58

'END';
'END';
'GO TO"M1;
'MlT'FOR'J : = 1'STEPTUNTIL'Z'DO'
•AKR[J]: ='AKiJ];
MDK:=ABS('DK[1]);
FOR'J: = 'ZN'STEPTUNTIL"ZK'DO'
'IPMDK< ABS ('DKIJ]) 'THEN'MDK:=ABS ('DK[J]);
'BEGIN"INTEGER"ARRAY'R{1 : MDK];
'PROCEDURE'NAK(K);
'VALUE'K; 'INTEGER'K;
'BEGIN"INTEGER'J;
•ZN:=1;
'FOR'J : = 1'STEPTUNTIL'K—l'DO'
'ZN: ='ZN+ABS('DK(J]);
'ZK: ='ZN+ABS('DK(K])—1;
'FOR'J ; = 'ZN'STEPTUNTIL"ZK'DO'
R[J—'ZN + 1]: ='AK{J]; 'END'NAK;
'PROCEDURE'D'H(K, SI, H);
'VALUE'K;
'REAL'S 1,H; 'INTEGER'K;
BEGiN'Sl: =H: =0; RK: =ABS('DK[K]);
'FOR'J; = rSTEPTUNTIL'RK'DO"BEGIN'
'REAL'P'
Rl : =ABS(R{J]). R2 : =SIGN(R[J]);
P : =S{Rl]XQN[Rl]+B[Rl]/2; SI: =S1 + P;
H: =H + R2x(S[Rl]XQNtRl]t2 + B[Rl]XQN[Rl]+C[RlI)
'END4;
SI : =2XS1*
D{K]: =—H/Sl r'END'D'H;
'PROCEDURE'NOQ(K);
'VALUE'K; INTEGER'K;
'BEGIN"NTEGER'J; RK: =ABS('DK[K]);
'FOR'J: =1'STEP'1'UNTIL'RK'DO"BEGIN'
'REAL'V; Rl : =ABS(R{J]); R2 : =SIGN(R[J]);
V : =QNfRl] + D[K]XR2; 'IF'R2xD[K]<0 'AND'QN[R1]<
ABS(D[K])
THEN"BEGIN"FOR'I : = l'STEP'i'UNTIL"Z'DO
'IF'Ri=ABS('AKtI])'THEN"AK[I]: =—*AK[I]
'END';
QN[R1]: =ABS(V);
'END';
'END'NOQ;
'FOR'J : = rSTEP'rUNTIL'ND'DO*
QN[J]: =QO[J];
'FOR'J: = 1 'STEP' 1 "UNTIL "Z'D0"AK [JJ: = 'AKR[J];
U: =0;
START: U: =U+1;
'FOR'K: =rSTEP'l'UNTIL'NK'DO"BEGIN*NAK(K>;

D'H(K,S1,H[K]);
4END';
MAX; = ABS(H[1]);L: =1;
'FOR'K: =2'STEPTUNTIL'NK'D0'
4F'MAX<ABS(H[K])THEN"BEGIN'MAX: =ABS(H[K]);
L: =K; 'END4;
'IPMAX<EPS THEN"G0_ TO'FINISH'ELSE'
LOZ : 'FOR'K: =PSTEPTUNTIL'NK'DO"BEGIN'NAK(K);
D'H(K,S1,H(K]);NOQ(K);
'END';
"GO_ TO'START;
FINISH;
P1041(U);
Р104ЦН);
P1041(QN);
TOR'I : = l'STEPTUNTIL'ND'DO-
'BEGIN'
'FORM: =rSTEPTUNTIL"Z'DO'
'BEGIN'
'IF'I=ABS ('AKtJ]) 'AND"AKtJ]X'AKRtT|<O'THEN<
•BEGIN'
ZN[I]: ZN[I]; P1041('AK[J]); J : ='Z; 'END';
'END';
'END';
'BEGIN'
'REAL'MAX;'INTEGER'K1,K2;'INTEGER'L;
K2: =M;
'H(K2]: =HB;
'FOR'I: = 1'STEPTUNTIL'K2—l'D0"H[I]: =0;
•FOR'J: = 1'STEP'1'UNTIL'NN'DO'
'BEGIN'
Kl : =N1[J];'H[K1]: =1; 'END';
'FOR'I : =K2—l'STEP'—laJNTILTDO4
'BEGIN'
'IF"H[I] = OTHEN"H[I]: ='H{I+1]—S[I]XZN[I]XQN[I]f2
-ZN[I]X (B[I]XQN[I]+С [ I]) 'ELS E'
'BEGIN'
'FOR'J; = l'STEPTUNTIL'NN'DO'
'IF'N,[J]=rTHEN"BEGIN'Kl : =N2[J];
•H[l] . ='H(Kl]-ZN[I]X(S[I]XQN[I]t2+B[I]xQN[I]+QI]);
'END';
'END'
'END'
'END'
P1041('H);
'END';
'END';
'END';
'END';
STOP'END'

ГЛАВА 3
Осевые силы, действующие на ротор,
и методы их уравновешивания
При определенном положении вращающегося ротора
относительно корпуса сумма осеаых сил, действующих на отдельные
элементы ротора, равна нулю. Обычно эта сумма делится на два
равных по величине и разных но знаку слагаемых: силы, действующей
со стороны подшипника (или гидропяты при отсутствии
подшипника или нулевой нагрузке на нее), и суммарной гидродинамической
силы.
Первое слагаемое — нагрузка на подшипник. Эта величина
нормируется условиями надежности работы опоры и ограничивает
максимальную величину второго слагаемого.
Гидродинамическая сила, действующая на ротор, является
суммой осевых сил, действующих со стороны жидкости на отдельные
части ротора. Ввиду разнообразия конструктивных форм и
компоновок современных лопаточных машин возможен только
поэлементный метод расчета сил, действующих на отдельные части ротора, с
последующим суммированием для получения общей
равнодействующей. В ряде случаев, например, для определения напряжений в
отдельных узлах, необходимо рассчитать составляющие осевой
силы. Как правило, для расчета осевых сил, действующих на
элементы ротора, необходимо предварительно рассчитать (или измерить)
распределение давлений и расходов в проточной части и во
вспомогательных трактах агрегата. Кроме того, часто необходимо знать
скорость жидкости в некоторых точках.
Осевые гидродинамические силы являются результирующими
сил давления жидкости, действующих на торцовые поверхности,
ограничивающие проточную часть и элементы вспомогательных
трактов, а также сил, возникающих вследствие изменения количества
движения жидкости через элемент ротора. Основными элементами,
на которые действуют осевые силы, являются: 1) рабочие колеса
лопастных машин; 2) вращающиеся поверхности уплотнений;
3) разгрузочные устройства/ 4) втулки, бурты и уступы ротора;
5) подшипники.
1. РАБОЧИЕ КОЛЕСА
Для расчета осевой силы определяются по общим уравнениям
механики изменение количества движения протекающей жидкости
и силы давления на замкнутую поверхность, окружающую рабочее
колесо (на рисунках она показана штриховой линией). Как
правило, рассматривается стационарное, близкое к осесимметричному
течение без обраткых токов во входном и выходном сечениях
проточной части, что соответствует режиму, близкому к номинальному.
61

При определении осевой силы
исключаются силы, действующие
на втулки рабочих колес и части
рабочего колеса, входящие в
состав других элементов ротора
(например, разгрузочных устройств,
гидродинамических радиальных
уплотнений с торцовыми
лопатками). Кроме того, не
рассматриваются пренебрежимо малые для
большинства агрегатов
подъемные архимедовы силы, а также
гидродинамические силы,
возникающие вследствие вибрации
ротора.
Закрытое радиальное колесо»
Осевое усилие А, действующее на
такое колесо, является суммой сил давления на входе в колесо Лвх,
силы Лл, возникающей при повороте потока из осевого в
радиальное направление, сил давления, действующих на наружные
поверхности ведущего Аъ и ведомого Аи дисков рабочего колеса, сил Лб>
действующих на поверхности буртов или уплотнений на колесе
(рис. 24):
Рис. 24. Закрытое радиальное
колесо
где ^вх.ср — среднерасходная скорость на входе в колесо.
Следует отметить, что Лвх, Ал и Aq обычно малы по сравнению
с силами, действующими на диски колеса в боковых полостях.
Последние необходимо определять на основании методов, описанных в
гл. 1, с учетом радиальной протечки через полости или без нее.
Осевая сила при наличии протечки, действующая на торцовую
стенку (на рис. 24 сила Лп, действующая на ведомый диск колеса),
является интегралом от распределения давления по радиусу,
определяемого выражением F0). Если давление задано на наружном
радиусе, то
А= j p2nrdr
(84)
'Уп
или в безразмерном виде
, где ДЛ= -2 j (pH — p)rd~r.
62

Рис. 25. Зависимость осевой силы от
протечки к оси насоса _ при ширине
полости 5 = 0,0173 (/), s=0,0347 B)
и 5=0,0694 C) (кружки — расчетные
точки)
0,2 0,3
Если давление задано на внутреннем радиусе, то безразмерную
осевую силу определяют по формуле
Л=2
_ 1 _ _
, где АА=2 j (p-.pi)rd7.
'уп
Расчет осевой силы производится одновременно с расчетом
распределения давления в полосой но программе для ЭВМ, приведенной
в п. 8 гл. 1.
Следует обратить внимание на особенности некоторых
зависимостей, используемых при определении осевой силы.
Давление жидкости в данном сечении полости, как следует из
выражения F0), в основном зависит от средних по сечению
окружной и радиальной составляющих скорости. Важно поэтому
точное определение именно средних величин скорости в каждом
сечении. Менее заметно на рассчитываемое давление влияют местные
отклонения в профиле скорости. Как следует из формулы (84),
поскольку осевая сила является интегралом от распределения
произведения давления на радиус, ее величина в основном определяется
областью, где это произведение имеет наибольшее значение, т. е.
периферийной частью полости. Распределение же давления
жидкости в областях, близких к минимальному радиусу, в меньшей
степени влияет на осевую силу, действующую на торцовую стенку.
Сравнительный анализ результатов расчета и эксперимента [3]
показал хорошее согласование во всем диапазоне исследованных
параметров.
Результаты расчетов по предложенной методике и
экспериментальные данные (кривые /—3) при разных значениях протечки от
периферии к центру для окружной составляющей скорости
жидкости на наружной цилиндрической границе полости i^,, =0,38 и
относительного внутреннего радиуса полости гуп = 0,497 даны на рис
25. Осевая сила без радиальной протечки или при ее незначитель
ной величине (в большинстве конструкций одноступенчатых лопа
стных машин в соответствии с рис. 24 такой силой является сил«
Ав) определяется с учетом предпосылок, изложенных в п. 6 гл. 1, ка;
6

интеграл от распределения давления по формуле F7)
ном давлении на радиусе г:
;
при
задан(85)
Ув
Если же давления рк и рув известны на цилиндрических границах
полости, то зависимость (85) можно привести к более простому
виду
Следует заметить, что погрешность в расчете осевой силы по
приведенным выше методикам, действующей на диск при наличии
протечки через полость или без протечки, составляет 3—5%, что
определяет погрешность расчета результирующей силы максимально,
например, у насосов быстроходностью ns = 40—15%. Широко
применявшийся метод расчета осевой силы, основанный на
предположении о постоянстве угловой скорости в полостях и ее равенстве
половине угловой скорости рабочего колеса независимо от
протечек, приводит к погрешностям по результирующей силе до 200—
300% и более в зависимости от быстроходности машины и ее
размера.
Закрытое радиальное колесо с двойным входом (рис. 26)
обычно считается полностью уравновешенным от действия осевых сил.
Однако практика показала, что неравенство зазоров 6i и б2 в щеле- <
вых уплотнениях и ширины sux и s^ боковых полостей вследствие
неодинакового износа и колебаний размеров этих элементов даже
в пределах допусков на изготовление приводит к появлению
неуравновешенной осевой силы, которую можно рассчитать по формуле
А=Ат—Лп2, где Ап1 и Лд2 - силы, действующие на покрывные
диски колеса, определяются по формуле (84).
Рис. 26. Закрытое радиальное колесо
двойного входа
64
Рис. 27. Полуоткрытое радиальное ко-
лесо

Полуоткрытое радиальное
колесо. Осевая сила, действующая
на такое рабочее колесо (рис. 27),
является равнодействующей силы
давления, действующего на вход
колеса Лвх, силы Лл,
возникающей при повороте потока из
осевого в радиальное направление,
силы Лв, действующей на
наружную поверхность ведущего диска,
и результирующей сил давления
потока Аи, действующей с внут- Рис. 28. Осевое колесо (шнек)
ренней стороны ведущего диска.
Первые три силы рассчитывают так же, как для закрытого
радиального колеса. Последняя составляющая зависит от закона
профилирования проточной части колеса. Приближенно ее можно
оценить, принимая линейное изменение по радиусу давления
жидкости в колесе:
J J
rdr=
(86)
Открытое радиальное колесо. На открытой радиальной части
лопаток осевые усилия уравновешиваются. Полуоткрытую часть
рассчитывают по формуле (86).
Осевое и диагональное колеса. Осевая сила, действующая на
эти колеса, в основном определяется потоком в проточной части
(рис. 28) и является результатом взаимодействия следующих сил:
силы Лл, зависящей от изменения осевой составляющей среднерас-
ходной скорости потока через колесо, сил Лвх и ЛВЬ1Х, возникающих
в результате действия давления жидкости на поверхности
входного и выходного сечений колеса; силы Л б, зависящей от
распределения давления в зазоре между бандажом (покрывным диском)
колеса и корпусом или давления в периферийном сечении проточной
части, проходящей через концы рабочих лопаток, не ограниченных
бандажом, а также силы Лв, действующей на наружную поверх-»
ность ведущего диска:
Л I Л Л 1 Л А
Г1н
j
или
Г2н
n j Plrdr-2n
r2i
Г2н
4-2я f prdr—AB.
Г1Я
2096

Следует заметить, что для расчета осевой силы в таких колесах
необходимо знать распределение давления по радиусу в сечениях
на входе и выходе колеса, а также в зазоре между бандажом и
корпусом или в периферийном сечении рабочих лопаток.
В первой ступени насоса распределение давления на входе
может быть с достаточной точностью заменено средним давлением
Picp на входе в насос, и тогда второе слагаемое можно выразить в
виде я/?1ср(г?н — Ai). Четвертое слагаемое часто приближенно
определяется в предположении линейного изменения давления на
корпусе по формуле
2л
Для определения третьего слагаемого часто достаточно
рассчитать распределение давления, используя простейшие уравнения
радиального равновесия идеальной жидкости без учета
искривления линий тока.
Последним слагаемым для осевых колес можно пренебречь
ввиду его малости по сравнению с остальными членами.
Влияние режима работы лопастной машины на осевую силу
Все перечисленные выше зависимости по расчету осевых сил,
возникающих н.а рабочих колесах разных типов, относились к
расчетному режиму работы лопастной машины (т. е. к точке рабочей
характеристики, соответствующей осесимметричному течению в
отводе). Зависимости, выражающие гидродинамику потока в боковой
полости, представляют собой довольно сложные системы
дифференциальных уравнений даже для такого режима течения.
Однако в реальных условиях лопастная машина может
работать и на режимах, отличных от расчетного, что резко осложняет
аналитическое решение задачи. Именно этим и объясняется отсут
ствие теоретического решения на основании общих уравнений гид^
родинамики и, как следствие, решение отдельными исследователя-
•ми частных задач экспериментальными и эмпирическими
способами.
Необходимость определения величины осевой силы, хотя бь
оценочно, вызвана тем, что, как показали эксперименты, значенш
¦результирующей осевой силы для режимов, отличных от расчетно
го, могут намного превосходить значения, соответствующие расчет
ной точке.
Результирующая осевая сила зависит от разности площадей ве
дущего и покрывного дисков, находящихся под давлением жидко
сти, от величины статического давления на выходе из рабочего ко
леса, геометрических размеров и форм боковык полостей, скоросте)
на их цилиндрических тверлых или жидкостных границах, а такж
протечек по полостям. Составляющую осевой силы вследствие из
менения количества движения при прохождении потока по канала]
66

рабочего колеса в данном случае рассматривать не будем, так как
она мала по сравнению с силами, действующими на диск.
Из перечисленных факторов от режима работы лопастной
машины зависят статическое давление, окружная составляющая
скорости жидкости на выходе из рабочего колеса, которая может играть
весьма существенную роль в случае открытой на периферии
полости и, как следствие действия первых двух факторов, — протечка.
Среднюю скорость потока на выходе из рабочего колеса
центробежного насоса или компрессора можно представить в виде суммы
радиальной и окружной составляющих, причем первая определяет
подачу насоса, а вторая — напор.
Центробежные лопастные машины проектируются таким
образом, чтобы угол потока на выходе из рабочего колеса для расчетной
точки совпадал с углом спирального отвода. В этом случае
гидравлические потери минимальны и распределение скоростей и
давлений на выходе из рабочего колеса равномерное. При отклонении
от данного режима в пределах рабочей характеристики угол потока
отличается от угла спирального отвода, что приводит к
деформации потока стенками отвода и нарушению осевой симметрии
распределения скоростей и давлений на выходе из насоса. В связи с
возникающими при этом потерями меняются в зависимости от
режима работы машин и средние по окружности скорости и давления.
Отсутствие осевой симметрии распределения статического
давления в спирали на режимах, отличных от расчетного, влечет за
собой нарушение осевой симметрии потока в открытых на периферии
полостях на всех радиусах вплоть до внутреннего! Это приводит к
тому, что участки по окружности уплотнения, находящиеся под
большим перепадом давленля, пропускают большую протечку
(если такая имеется), и наоборот. Средняя же по окружности
величина протечки меняется по режиму работы машины соответственно
изменению среднего по окружности перепада давления на уплотнен
НИИ.
В работе [18] анализ измерений давлений, утечек и осевых сил
на различных режимах работы центробежных насосов со
спиральными отводами быстроходностью 40—120 позволил разработать
метод замены неосесимметричных течений эквивалентными им по дейт
ствию усредненными осесимметричными. Расчет таких течений
приведен в гл. 1.
Представляет интерес влияние режима работы насоса на
среднюю угловую скорость жидкости при отсутствии протечки в
полости, основанное на наличии перетоков из зон повышенного в зоны
пониженного давления, характерные для нерасчетных режимов. Эти
перетоки приводят к замедлению средних относительных углоеых
скоростей <ож#Ср. На рис. 29 показано распределение давления,
действующего на диск рабочего колеса на радиусах Ri и R2 при
подачах меньше расчетной (а), расчетной (б), больше расчетной (в). •
На расчетном режиме работы насоса при подаче Q/Qp=l (рис.
<*0) отношение угловых скоростей ЮжДод жидкости и диска меняет-
** 67

I !
I 1
Рис. 29. Влияние режима работы иасоса на среднюю угловую скорость жидкости
в полости (п,=9С, <7=0, 5=0,01/5, /?i=0,596, /?2=0,952):
a-Q/Qp-0; 6-QIQp-l; e-Q/Qp-l,6; /-^—сечения спирали
0,3
0,2
0,5
О,*
0,3
0,2
п$=90
ns=izo
Л
0,5
1,0
1,5 0 0,5 1,0 Q/qp
Рис. 30. Зависимость относительной средней угловой скорости жидкости от
режима работы насоса дри ширине боковых полостей s=0,0175 (штриховая
линия), 5=0,Э35 (сплошная), s = 0.070 (штрихлунктирная)
ся слабо в зависимости от быстроходности насоса, что объясняет
ся значениями относительных окружных составляющих скорости
v2u, близкими к 0,5, в то время как на других режимах работы
большая быстроходность приводит к более значительным измене
ниям угловых скоростей. Это, в свою очередь, объясняется углол*
раскрытия спирали, который у насосов большей быстроходности —
больший, что приводит к относительно большим неравномерностя^
давлений на нерасчетных режимах и, следовательно, к больший
перетокам и замедлению вращения жидкости в полости.
Расширение боковых полостей приводит к более свободному i
интенсивному перетоку из областей повышенного в области пони
женного давления и, следовательно, к большему замедлению вра
щения жидкости в полостях.
Указанные закономерности носят частный характер и могу]
быть полезны либо при достаточной близости к конкретным уело

виям, либо в качестве методической основы для соответствующих
исследований. Однако ввиду важности рассматриваемой проблемы
можно сделать несколько общих выводов, которые следует
учитывать в процессе проектирования лопастной машины.
1. Так как результирующая осевая сила является разностью сшг,
действующих на боковые поверхности ведущего и ведомого дисков
рабочего колеса, то зависимость ее изменения от режима работы
насоса может принимать в частных случаях самые разнообразные
формы при различных законах изменения каждой из составляющих
результирующей силы.
2. Сила, действующая на каждый диск, может быть
представлена как разность силы, возникающей от действия статического
давления насоса, и силы, возникающей из-за изменения давления
жидкости в полости от вращения диска. Каждая из этих составляющих
зависит от режима работы насоса.
3. При отсутствии протечки меньшей быстроходности
соответствует меньшая результирующая осевая сила, а большей — большая,
что объясняется различием площадей со стороны ведущего и
ведомого дисков рабочего колеса, находящихся под действием
давления.
4. При наличии протечки от периферии к центру
результирующая осевая сила больше в насосах малой быстроходности, чем
большой, так как в первом случае за счет протечки происходит
падение давления на большей площади.
5. Изменение результирующей осевой силы по режиму работы
насоса при отсутствии протечки у насосов большой быстроходности
больше, так как у них большая разница в площадях ведущего и
ведомого дисков, что приводит к большей разнице в наклонах кри-
• вых сил, действующих на каждый из дисков.
У насосов малой быстроходности наибольшее внимание при
расчете следует уделять учету протечки, так как результирующая
осевая сила, вызванная ее влиянием, может р 3—4 раза
превосходить силу без учета протечки, в то время как ее изменение по
режиму работы насоса не превысит 25%.
Напротив, у насосов большой быстроходности основным
фактором при расчете результирующей осевой силы должен являться
режим работы насоса, который может приводить, например, у
насосов с п8=120 к изменению осевой силы вдвое, тогда как влияние
протечки составит всего 30 %.
2. ВРАЩАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ УПЛОТНЕНИЯ
Расчет осевых сил, действующих на вращающиеся
поверхности уплотнений, выполняется без учета эпюры давления на
начальном участке при входе с щель.
Конические и радиальные уплотнения. Осевое усилие на
торцовые поверхности щелей этих уплотнений можно определить,
интегрируя распределение давления по радиусу (84). Для постоянного
69

по длине шели поперечного размера интегрирование
распределения давления приводит к зависимости
- +__
,Г1)
Гидродинамические радиальные уплотнения. Осевое усилие,
действующее на поверхность диска с торцовыми лопатами,
определяется также интегрированием распределения давления
где рг —давление на внутреннем радиусе уплотнения или радиусе
раздела фаз (гг).
Осевое усилие ABi действующее на гладкую сторону диска,
определяется по формуле (85).
Торцовые уплотнения относятся к механическим контактным и,
как правило, используются в качестве концерых, для которых
допускается лишь капельная утечка. Однако между рабочими
поверхностями есть тонкая пленка жидкости, давление в которой
изменяется по радиусу.
Осевую силу, действующую на вращающуюся кольцевую
поверхность с радиусами гн и ги при заданных давлениях до и после
уплотнения можно приближенно рассчитать по формуле
А = лА^ [(г* - r?)/(ln rl - In г?) - г„2] + при (г* - г]).
3. ТОРЦОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОПОР,
ИСПОЛЬЗУЮЩИХ ПЕРЕКАЧИВАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ
Гидростатические и гидродинамические упорные подшипники.
Расчету осевых сил, действующих в этих опорах, посвящена
специальная литература [36]. Наиболее общим методом расчета
стационарных сил в гидростатических подшипниках является метод,
приведенный в данной работе (см. с. 73), который учитывает
существенное влияние подводящих и отводящих канялов на
характеристики подшипников.
Если гидростатические опоры более сложны, чем гидропяты, то
их делят на более простые элементы типа камер, каналов и т. д.,
которые гидравлически связаны между собой.
Шарикоподшипники, погруженные в жидкость. Гидравлические
осевые силы, действующие на торцовые поверхности сепараторов и
обойм шарикоподшипников, работающих в жидкости, могут быть
определены после расчета распределения давлений и сил в
полостях, примыкающих к этим поверхностям, по зависимостям,
приведенным в гл. 1. Чаще всего достаточна оценка этого распределения
без учета протечки через полость.
Суммарная сила на такой подшипник может быть рассчитана
как алгебраическая сумма осевых сил Лщдв и Лщпн (см. рис. 23).
Если осевой размер полостей около подшипников соизмерим с его
70

шириной или эти полости одинаковы, то осевая сила равна
разности давлений на каком-либо радиусе по обе стороны подшипника,
умноженной на площадь его торцовых поверхностей. Следует
отметить, что осевая сила, действующая на сепаратор подшипника, су-
шественно влияет на долговечность сепаратора и всего
подшипника (при большом усилии сепаратор быстро изнашивается).
4. РАЗГРУЗОЧНЫЕ УСТРОЙСТВА
В мощных агрегатах осевые силы значительно превышают
предельную грузоподъемность упорных подшипников. В связи с
этим разгрузочное устройство конструируют таким образом, чтобы
осевое усилие в нем было противоположно по направлению и
близко к величине суммарной осевой силы, действующей на остальные
части ротора, т. е. уравновешивало бы эту силу.
Разгрузочные устройства представляют собой упорные
гидростатические подшипники, работающие на перекачиваемой
жидкости. В большинстве насосов фактически имеются два параллельно
или последовательно работающих упорных подшипника, один из
которых работает на перекачиваемой жидкости и воспринимает на
основных режимах большую часть нагрузки. Основным параметром
разгрузочного устройства является грузоподъемность, т. е. осевое
усилие, действующее на диск или поршень со стороны окружающей
жидкости, уравновешивающее внешнюю осевую нагрузку на
разгрузочное устройство.
Используют устройства двух типов: с постоянной
грузоподъемностью, не зависящей от перемещения ротора, — разгрузочные
поршни (думмисы), которые в случае выполнения их в единой
конструкции с рабочим колесом образуют так называемые
разгрузочные полости, и переменной грузоподъемностью, зависящей от
осевого сдвига ротора, — гидропяты (автоматические разгрузочные
устройства).
Эти типы разгрузочных устройств можно представить
следующим образом: разгрузочный поршень — гидростатический
подшипник с гидравлической жесткостью *, равной нулю; гидропята —
гидравлический подшипник с гидравлической жесткостью,
отличной от нуля, или, с другой стороны, регулятор давления в полости
около поршня с обратной связью.
Следует отметить, что i идродинамические и в особенности
шариковые опоры имеют большую жесткость в осевом направлении.
Разгрузочные поршни и полости. Разгрузочный поршень (рис.
31) представляет собой часть ротора, разделяющую полость
высокого давления, обычно соединенную с отводом насоса, и полость
низкого давления, связанную с входом в насос. В случае
выполнения его в единой конструкции с рабочим колесом полостью
высокого давления является проточная часть колеса, а разгрузочная по-
1 Гидравлическая жесткость устройства определяется как отношение
изменения уравновешивающего усилия к соответствующему сдвигу ротора или первая
производная от величины усилии по перемещению.
71

F-ис. 31. Разгрузочные поршни:
а—автономный; б—совмещенный с рабочим колесом (разгрузочная полость)
лость (низкого давления) соединяется с входом насоса
отверстиями в роторе или перепускными трубопроводами с подводом насоса.
Характерной особенностью разгрузочного поршня является
уплотнение его цилиндрической наружной поверхности, не меняющее
характеристику при осевых сдвигах ротора, и большое отношение
гидравлического сопротивления этого уплотнения, даже в
неблагоприятных условиях эксплуатации, к гидравлическим
сопротивлениям трактов, соединяющих полости высокого и низкого давлений
с соответствующими полостями насоса.
Для расчета действующей на поршень осевой силы необходимо
определить давление жидкости в полостях, примыкающих к нему.
Для этого нужно рассчитать часть вспомогательного тракта,
включающую эти полости, а также цилиндрическое уплотнение поршня.
Обычно предполагают, что давление по радиусу поршня
постоянно из-за относительно малого отношения внутреннего и
наружного диаметров и больших осевых размеров полостей. Однако, как
показали эксперименты, в ряде случаев жидкость в этих полостях
закручивается, что вызывает изменение давления по радиусу.
Приближенно при расчете эпюры давления можно не учитывать
влияние расхода через полости, примыкающие к разгрузочному
поршню, так как эти полости обычно ограничиваются цилиндрическими
поверхностями, трение которых о жидкость слабо зависит от
расхода через полость. Тогда можно воспользоваться моделью (см.
п. 6 гл. 1) течения потока в полости без протечек с «ядром»,
вращающимся по закону твердого тела.
При известном отношении угловых скоростей поршня и ядра
потока I в полости осевую силу Ал или Ав, действующую на одну
сторону поршня, можно рассчитать по формуле
А кп
A=nPl
Если полости с обеих сторон поршня имеют одинаковые осевые
размеры s, то при расчете осевых сил можно не учитывать эпюру
давления.
72

Рис. 32. Гидроляты:
а—автономная; б—совмещенная с рабэчим колесом
Нагрузка на поршень является разностью осевых сил,
действующих со стороны жидкости на обе торцовые поверхности поршня:
Гидропята (автоматическое разгрузочное устройство)
отличается от разгрузочного поршня тем, что давление в ее полостях
регулируется в зависимости от сдвига ротора под действием осевой
нагрузки таким образом, чтобы уравновесить эту нагрузку. В
характерной конструкции гидропяты (рис. 32) полости высокого в и
низкого н давления соединены г помощью каналов и щелей с
постоянным или реже — регулируемым гидравлическим сопротивлением с
проточной частью насоса. Эти полости разделяются регулирующим
(коническим или радиальным) уплотнением с, гидравлическое
сопротивление которого изменяется при сдвиге ротора. Если осевая1
нагрузка в направлении от полости низкого давления к полости
высокого давления увеличивается (см. рис. 32, а), то ротор
сдвигается, уменьшается щель в регулирующем уплотнении, и давление
в полости в возрастает до тех пор, пока равнодействующая сил Лп,
^в и Ау давления жидкости не уравновесит эту нагрузку.
Соответствующее падение давления в полости н увеличивает эту
равнодействующую силу. Так же как и разгрузочные поршни, гидропята
может конструктивно совмещаться с рабочим колесом (рис. 32, б).
При этом полость с регулируемым давлением ограничивается
диском рабочего колеса, регулирующими щелями и корпусом насоса.
В качестве регулирующего уплотнения используются
радиальные, конические, реже—специальные щелевые (золотниковые)
уплотнения.
Основной характеристикой гидропяты является зависимость ее
грузоподъемности А от сдвига S ротора относительно корпуса —
нагрузочная характеристика гидропяты (рис. 33).
Определяющими точками на нагрузочной характеристике
являются: верхняя граница 2 рабочего диапазона, соответствующая
максимальной осевой нагрузке, уравновешиваемой гидропятой,
73

Рис. 33. Нагрузочная характеристика
тидропяты:
7—предельная нагрузка; 2—верхняя
граница; 3—номинальная точка; 4—нижняя
граница; 5—гидравлическая жесткость в
.номинальной точке
определяемой обычно минимальным допустимым зазором в
регулирующем уплотнении;
нижняя граница 4 рабочего диапазона, соответствующего
минимальной осевой нагрузке, уравновешиваемой гидропятой, обычно
определяемой максимальным допустимым зазором в регулирующем
уплотнении;
номинальная точка 3, соответствующая нагрузке при
номинальном положении ротора;
предельная точка /, соответствующая нагрузке при
соприкосновении поверхностей регулирующего уплотнения.
Обычно начало отсчета сдвига ротора совпадает с неподвижной
в осевом направлении поверхностью щели регулирующего
уплотнения, т. е. с предельной точкой.
В этих точках, т. е. при заданных положениях ротора и
соответственно сечениях регулирующего уплотнения, рассчитываются
осевые силы, действующие на отдельные части гидропяты, таким же
образом, как и разгрузочного поршня. При необходимости
рассчитываются осевые силы и при других положениях ротора, а также
гидравлическая жесткость гидропяты в этих же точках. Вследствие
недопустимости касания неподвижных и вращающихся частей
увеличение гидравлической жесткости, в особенности вблизи границ
рабочего диапазона, необходимо для повышения надежности
работы. Вместе с тем наименьшие потери энергии жидкости .высокого
давления характерны для малых зазоров в регулирующем
уплотнении, т. е. вблизи границы.
Конструкции гидронят насосов отличаются большим
разнообразием элементов и схем соединения их между собой. Для некоторых
типов гидропят, используемых в питательных насосах, разработаны
номограммы, облегчающие расчет [29, 43].
Однако общая методика расчета нагрузочной характеристики
гидропяты заключается в определении давлений и расходов в ее
элементах при фиксированных положениях ротора и
соответственно зазорах в регулирующие уплотнениях методами, приведенными
в гл. 2. Далее при известных давлениях и расходах рассчитывают
соответствующие осевые силы Ап и А* так же, как и для разгрузоч-
74

пых поршней, и силу в регулирующем уплотнении Лу. Такая
методика позволяет.сравнивать нагрузочные характеристики гидропят
разных типов, а не только оптимизировать их размеры и выявлять
песта потерь энергии давления.
В частности, такой анализ показывает, что отбор жидкости на
питание гидропяты с входного участка отвода, а не из напорного
патрубка насоса приводит к уменьшению грузоподъемности
гидропят некоторых типов.
Также целесообразно репулировать давление в полостях
гидропят не только изменением щели в регулирующем уплотнении, но и
изменением в зависимости от сдвига гидравлического
сопротивления каналов, соединяющих их с выходом и входом насоса.
Следует отметить, что для повышения грузоподъемности
гидропят в высокооборотных насосах целесообразно использовать не
только гидростатические, но и гидродинамические силы,
развивающиеся при Специальной форме зазоров в регулирующих щелях.
Уступы и бурты ротора. Торцовые поверхности уступов и
буртов, а также консольных концов ротора имеют малые радиальные
размеры, и поэтому давление жидкости незначительно изменяется
по радиусу этих элементов. Это давление определяют в результате
расчетов проточных частей и вспомогательных трактов агрегата.
Осевую силу, действующую на уступ или бурт, рассчитывают по
формуле
где Гн и Гх — наружный и внутренний радиусы кольцевой
поверхности.
Эти силы необходимо учитывать при высоком давлении около
уступа (бурта). Более редко бурты имеют достаточно большие
радиальные размеры. Тогда рассчитывают распределение давления
в полости, примыкающей к бурту, по зависимостям гл. 1, не
учитывающим радиальную протечку. Затем, интегрируя давление в
полости по радиусу бурта, можно рассчитать осевую силу,
действующую на бурт, по Соответствующим формулам.
5. ПОРЯДОК РАСЧЕТА ОСЕВЫХ СИЛ,
ДЕЙСТВУЮЩИХ НА РОТОР
Исходными данными в большинстве случаев являются режим
работы насоса и положение ротора относительно корпуса. После
этого рассчитывают распределение давлений и расходов во
вспомогательных трактах агрегата. Далее рассчитывают осевые силы,
действующие на отдельные элементы ротора. Этим силам
присваивают знак, причем обычно положительным направлением силы
считают направление потока жидкости на входе в первую ступен*
машины. Далее в зависимости от задачи отдельные составляющие
суммируют с учетом знаков. Например, для определения нагрузм
на упорный подшипник суммируют все силы на роторе, за исклю
чением сил, непосредственно возникающих в подшипнике. Если эт<*

сила не равна силе, воспринимаемой упорным подшипником при
данном положении ротора относительно корпуса, то ротор сдвига-
ется в другое положение. В насосах с гидропятой расчет обычно
проводят при нескольких положениях ротора (соответствующих
определяющим точкам характеристики гидропяты, см. рис. 33). При
одном из них достигается равенство силы, воспринимаемой
гидропятой, и остальных сил на роторе, что соответствует статическому
в осевом направлении положению ротора.
Разность между грузоподъемностью в равновесном положении
и грузоподъемностью на нижней и верхней границах рабочего
диапазона гидропяты является запасом по грузоподъемности. Если при
этом учитывать некоторую допустимую нагрузку на подшипник, то
соответственно на эту величину увеличивается и запас. Он
необходим для компенсации износа деталей во время работы,
производственных отклонений при их «зготовлении, а также сил,
возникающих при запуске и остановке насоса, а также изменении режима
его работы.
ГЛАВА 4
Потери на трение ротора
о жидкость
На границе между жидкостью и поверхностями ротора, не
входящими в проточные часги агрегата, возникают большие
касательные напряжения. Они вызывают дополнительные затраты
мощности на привод насосов и обычно не совсем точно относятся к
механическим потерям в агрегате. В насосах существенную роль
играют потери на трение^как наружных поверхностей рабочих колес,
так и других частей ротора (уплотнений, разгрузочных устройств и
т. п.). Трение ротора о жидкость определяется потоками в
элементах вспомогательных трактов, ограниченных поверхностями ротора,
поэтому перед определением потерь на трение в большинстве
случаев необходимо рассчитать распределение расходов во
вспомогательных трактах.
1. НАРУЖНЫЕ БОКОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ДИСКОВ
РАБОЧИХ КОЛЕС
Обычно потери на трение в этих элементах рассчитывают,
используя экспериментальные коэффициенты, полученные при
вращении диска в безграничном пространстве или замкнутой полости.
Однако в реальных машинах в полости, примыкающей к диску, как
правило, имеется радиальная протечка, существенно изменяющая
напряжение трения на поверхности диска.
76

Элементарный момент трения на кольцевую площадку диска
представить в следующем виде:
dM=2nr%Adr.
Определяя напряжение трения х9я на поверхности диска по
зависимости гл. 1, можно найти потери мощности на трение
(87)
где
8 \т +
(88)
— коэффициент момента сопротивления диска или дискового
трения.
Практически этот коэффициент дискового трения С/д
рассчитывается одновременно с полем скоростей в общей программе,
приведенной в гл. 1. Как показывает анализ формул (87) и (88), потери
мощности растут примерно в пятой степени от радиуса диска.
Поэтому в большинстве случаев их величину можно рассчитать,
используя напряжение трения в периферийной части поверхности
диска (до 0,7 диаметра). Следует отметить, что в открытых и
полуоткрытых рабочих колесах потери на трение жидкости, текущей
через проточную часть, о корпус, как и потери на перетекание по
концам лопастей, нужно относить к потерям в рабочем колесе.
2. БОКОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ РАЗГРУЗОЧНЫХ УСТРОЙСТВ,
погруженных в жидкость шарикоподшипников,
ПОЛОСТЕЙ БЕЗ ПРОТОКА
Эти поверхности ограничивают полости с достаточно большим
отношением их ширины к радиусу, поэтому во многих случаях
можно рассчитывать напряжение трения в них, как в полостях без
протока. Для гладких боковых поверхностей методами, описанными
в гл. 1, необходимо предварительно рассчитать отношение угловых
скоростей диска и «ядра» потока | в зависимости от граничных
условий на цилиндрических поверхностях полости. Затем потери
мощности на трение можно рассчитать ,
по формулам, являющимся следст- ?Jr
вием зависимостей п. 6:
где
с/л=
1.0
0,5
I A
t-109
0'\s
0*
ZIO'
1.
to
to'
й
Rt-0,5-
Э*—
&*—'
3---
t,Z 1Л 1,6 1.9 2.0 U
JFA) рассчитывается При заданной Рис м Зависимость коэффидиен-
величине |. та трения диска от I и Re
77

На рис. 34 приведены графики изменения коэффициента
момента трения диска С/д в зависимости от параметров ? и Re
(кружки — эксеприментальные точки по данным работы [51]).
3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ДИСКОВ
РАБОЧИХ КОЛЕС И РАЗГРУЗОЧНЫХ УСТРОЙСТВ
Обычно противолежащие цилиндрические поверхности
корпуса расположены на расстоянии более 3—5 мм от наружного
диаметра ротора, и поэтому трение на этих поверхностях
определяется главным образом окружной составляющей скорости потока
относительно поверхности, ограничивающей его.
Если цилиндрическая поверхность ограничивает относительно
широкую замкнутую полость, то как и "в предыдущем случае,
предварительно рассчитывают отношение угловых скоростей ротора и
«ядра» потока методами, описанными в гл. \. Затем потери
мощности на трение определяют по формуле
A \ 2
— j f а Су—коэффициент момента сопротивления
цилиндрической поверхности, рассчитываемой по формуле из гл. 1
(см. с. 32).
Потери на трение наружной цилиндрической поверхности
дисков рабочих колес также можно оценивать по этим формулам,
принимая угловую скорость внешнего потока равной окружной
составляющей скорости потока, выходящего из колеса v'2?, деленной на
радиус колеса г2 или отношение g по формуле I=^r2/v'7f.
Из этого следует, что потери на трение наружных
цилиндрических поверхностей рабочего колеса при балансовых испытаниях
насоса по общепринятой методике существенно выше, чем при
нормальной работе насоса, тал как относительная скорость жидкости и
поверхности в последнем случае ниже. При закрытом напорном
патрубке круговой поток в отводе, возбуждаемый рабочим колесом,
в зависимости от направления его может в той или иной степени
тормозиться лопаточным диффузором или языком спирального
отвода, поэтому потери на дисковое трение существенно зависят от
направления вращения колеса, что подтверждают эксперименты
[21]. Для наружных цилиндрических поверхностей разгрузочных
устройств, ограничивающих относительно широкие полости
прямоугольного сечения, во многих случаях можно полагать 1=2.
4. ПОВЕРХНОСТИ ЩЕЛЕВЫХ УПЛОТНЕНИИ
Цилиндрические уплотнения. Потери на трение в
цилиндрической щели с малым поперечным размером, пренебрегая начальным
участком течения, можно рассчитать по известной окружной
составляющей напряжения трения, определяемой по формуле
78

где С/ц
С/ц=
=—-Х<р —коэффициент момента сопротивления;
16
^~ 16A+1.3/XJ
здесь Я — коэффициент тречия, определяемый по формуле C4).
Так же как в гл. 2, определяя X по формуле Блазиуса или с учетом
увеличения окружной составляющей скорости в щели из-за
интенсификации процессов переноса вихрями Тейлора, из последней
формулы можно вывести зависимости, близкие к полученным в
работах [23, 53]:
0,375
где С/о — коэффициент момента трения при отсутствии расхода
через щель.
Зависимость коэффициента момента трения от расхода при
разных числах Рейнольдса Rea=—— и шероховатости поверхностей
дана на рис. 35 (кружки — экспериментальные данные из
работы 153]).
Небольшая диффузорность или конфузорность щели
незначительно изменяет потери на трение. Надо отметить, что потери на
трение велики лишь при больших окружных скоростях граничныл
поверхностей, и поэтому в
реальных конструкциях
они учитываются только в
уплотнениях буртов
рабочих колес насосов.
Конические и
радиальные уплотнения.
Элементарный момент трения
вращающейся кольцевой
площадки комической
поверхности шириной dl
выражается зависимостью
(89)
•гЧг,
где гх и г2 — радиусы
входа и выхода щели.
Окружную
составляющую напряжения трения
Рис. 35. Зависимость коэффициента момент
треиия от расхода через щелевое уплотнение

tp на стабилизированном участке течения можно определить по
формуле, аналогичной G3), учитывая, что средняя окружная
скорость в зазоре равна половине скорости вращающейся
поверхности:
где
— коэффициент, принятый постоянным по длине щели, равный
значению в среднем сечении г=(г!+Г2)/2.
Из выражений (89) и (90) можно получить формулу для
определения потерь на трение
*¦ С г5 — г5
[ ш!М=!ъ<*Ч1(91)
5 Г2 — Г\
где C/=^-V
Для радиальной щели L=r2—Т\ формула (91) преобразуется к
виду
Более точно величину потерь для относительно широких
радиальных щелей, турбулентное течение в которых зависит от
условий на входе, можно определить, используя формулу (87) и
программу, описанную в гл. 1.
5. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ РАДИАЛЬНОЕ УПЛОТНЕНИЕ
Мощность, потребляемая гидродинамическим уплотнением
или дисками с торцовыми лопатками, может достигать
значительной величины.
Для торцовой лопаточной стороны диска с полностью залитыми
торцовыми лопатками эту мощность можно рассчитать по
формуле^]
где С/л = 0,005-^0,0027 — коэффициент момента трения, близкий к
значению аналогичного коэффициента для гладкого диска; | —
отношение угловой скорости диска к средней угловой скорости
жидкости в зазоре (см. с. 49) или, принимая моменты трения на
диске и корпусе одинаковыми, по формулам гл. 1, в которых функция
F A) рассчитывается при найденном ранее |.
Для торцовых лопаток, закрытых на периферии бандажом, не-
80

рекрывающим осевой зазор при появлении границы раздела на
радиусе /?г, расчет мощности может быть произведен по той же
формуле с заменой г* на гГ.
Для дисков с открытыми на периферии торцовыми лопатками
потери с увеличением радиуса границы раздела уменьшаются в
меньшей степени, и при #г/#н<0,95 их можно рассчитать по
эмпирическим формулам работы [24]
где N — потери на трение при полностью залитых торцовых
лопатках.
Потери на трение о цилиндрическую част^ корпуса можно
рассчитать по формуле
где L=a + h + s — для открытых на периферии торцовых лопаток
(см. рис. 20); ?=/1+. I—) —для закрытых бандажом торцовых
лопаток A\ — осевое расстояние между бандажом и корпусом).
Потери на трение гладкой стороны диска гидродинамического
уплотнения также можно рассчитать по формуле (92). Однако
ввиду увеличения скорости поiока в полости между диском и корпусом
вихрями, переносимыми потоком в эту полость из зазора между
торцовыми лопатками и корпусом, коэффициент ? следует брать
равным 1,3—1,5 для открытых торцовых лопаток и 2,1 —1,8 для
торцовых лопаток с бандажом на периферии. Потери на трение в
динамических уплотнениях других типов можно найти в рабо-
те [И].
6. КОНТАКТНЫЕ УПЛОТНЕНИЯ
В торцовых уплотнениях потери на трение существенно
зависят от режима их работы: жидкостного, полужидкостного или
сухого трения в контактной паре.
Как правило, потери нг трение в торцовом уплотнении
составляют небольшую долю общих механических потерь. Их можно
приближенно оценить по формуле из работы [28]
где D2 и Dx — наружный и внутренний диаметры контактной пары;
р — среднее давление в контактной паре, равное силе прижатия,
деленной на площадь контакта; со — частота вращения; / —
коэффициент трения пары @,005 — жидкостное; 0,005-^-0,03 —
полужидкостное; 0,15—0,8 — сухое).
В сальниковых уплотнениях потери на трение, как правило,
относительно малы и зависят от шероховатости поверхности вала и
4 2096 81

силы прижатия к нему сальниковой набивки. Для оценки потерь на
трение в сальниках можно рекомендовать зависимость [27]
Р
где s и / — толщина кольца и общий осевой размер набивки; р —
уплотняемое давление; |mi — коэффициент трения набивки по
поверхности вала (~0,02); \л2 — коэффициент трения покоя
набивки по поверхности корпуса (~0,05).
7. ПОДШИПНИКИ
Потери на трение в подшипниках составляют, как правило,
незначительную долю общих потерь. Для гидродинамических и
гидростатических подшипников, работающих при турбулентном
режиме течения рабочей жидкости, обычно отбираемой
непосредственно из проточной части, потери могут быть рассчитаны так же, как
для цилиндрических щелей. Оценке потерь на трение в
подшипниках, использующих масло, посвящена специальная обширная
литература.
Существенно выше потери на трение в подшипниках
полусухого трения, использующих перекачиваемую жидкость. Эти потери
должны учитываться при расчете охлаждающего тракта. Однако в
настоящее время надежное определение их возможно только
экспериментальным путем. В процессе эксплуатации в подшипниках с
механическим контактом поверхностей потери на трение
изменяются, что также должно учитываться при расчете отвода тепла от
подшипника. Резкое изменение потерь на трение вызывает нагрев
охлаждающей жидкости, текущей через подшипник, что является
признаком повреждения опор.
8. БАЛАНС ЭНЕРГИИ В ЛОПАСТНОМ НАСОСЕ
Для большинства лопастных машин помимо гидравлических
потерь в проточной части характерны большие потери на трение
ротора о жидкость, а также потери энергии давления во
вспомогательных трактах, обеспечивающих функционирование агрегата.
Эти потери превышают гидравлические в таких машинах, как
герметичные электронасосы, центробежные насосы низкой
быстроходности. Очень важно выделить источники потерь и их долю в общих
потерях, а также определить рациональные пути их уменьшения.
На рис. 36 представлен подробный баланс энергии в лопастном
насосе.
К насосу подводится через входной патрубок энергия жидкости
?Вх и по валу механическая энергия привода EN. В подвоце часть
энергии ?гвх преобразуется в тепло вследствие гидравлических
потерь. В случае отсутствия обратных потоков в подводе эту потерю
энергии можно выразить через перепад средних полных давлений
82

Fhc. 36. Баланс энергии лопастной машины
на входе и выходе подвода и расход на входе или разность энергии
жидкости в этих сечениях
Однако при подачах, меньших оптимальной, в выходном сечении
подвода часто возникают обратные токи, и в соответствии с
условиями применения теоремы о среднем такое усреднение по сечению
потока некорректно (нельзя выполнять операцию усреднения
произведения функций, если хотя бы одна из них знакопеременна в
интервале усреднения). Поэтому выделим из переменной по
площади осевой составляющей скорости в выходном сечении подвода
среднюю по площади скорость и представим эту составляющую в
следующем виде:
где G и Fx — расход и площадь выходного сечения подвода.
Тогда гидравлическую потерю энергии в подводе можно
представить в интегральной форме
zdF,
4*

где Явх и Я* — средние полные давления во входном и выходном
сечениях подвода; P\z — переменное давление в выходном сечении
подвода.
Первое слагаемое соответствует обычному определению
гидравлических потерь в подводе. Однако второе слагаемое при подачах,
близких к нулю, по абсолютной величине может намного
превышать первое. Механическая мощность привода, прежде чем
передается рабочему колесу, частично расходуется на трение в местах
контакта со статорными узлами (в опорах, уплотнениях) и на
трение ротора о жидкость в разгрузочных устройствах, бесконтактных
уплотнениях и т. п. Величнаэтих механических потерь Емс = Ммсы
может быть экспериментально определена путем прокрутки ротора
со снятыми рабочими колесами при поддержании нормального
режима работы перечисленных узлов. Однако обеспечить такой
режим достаточно сложно, так как необходимо поддерживать
номинальные давления жидкости в узлах, а также осевые и радиальные
нагрузки на опоры. Кроме того, механическая энергия расходуется
на трение наружных поверхностей дисков рабочих колес (включая
бурты) о жидкость (дисковые потери Емк). Вместе с
предыдущими они являются механическими потерями в насосе
Эти потери можно приближенно определить экспериментально
прокруткой ротора с колесами, заглушёнными в выходном и
входном сечениях, в корпусе с перекрытым начальным сечением отвода
[38]. Даже при исключении потерь заглушённых цилиндрических
частей колеса о жидкость при этом возникают большие
погрешности вследствие отличия условий течения в боковых полостях,
которые весьма трудно имитировать как по протечкам, так и по
граничным скоростям в периферийном сечении. Механические потери
колеса более точно можно определить, помещая колесо в специальный
корпус со стандартными замкнутыми боковыми полостями, в
которых потери на трение дисков о жидкость известны в результате
расчетов или специальных экспериментов. После этого испытывают
колесо в нормальном корпусе при таких же условиях работы
колеса; путем сравнения затраченных мощностей выделяются
механические потери колеса.
После вычитания этих потерь мощность подводится к
поверхностям проточной части рабочего колеса (лопастям, дискам и т. п.).
Они передают энергию жидкости, повышая ее при отсутствии
обратных токов на входе и выходе колеса на величину HT-GK, где Нт
и GK — теоретический напор и расход рабочего колеса. Однако при
этом в колесе возникают гидравлические потери Егк, и поэтому на
выходе из колеса энергия жидкости имеет меньшую величину
E2K = HKGK+EiKt гле ЯК(<ЯТ)—действительный напор колеса;
Е1к — энергия жидкости на входе в колесо.
Теоретический напор можно определить в результате измерения
подробного поля скоростей на входе и выходе из рабочего колеса,
84

что весьма сложно, или же измеряя усредненные окружные
составляющие скорости жидкости на входе и выходе колеса с помощью
специальных подвижных непрозрачных лопастных решеток [30].
Для определения среднего действительного напора колеса
необходимо также измерение средних статических давлений на входе и
выходе колеса. Таким образом, гидравлические потери в колесе при
отсутствии обратных токов на выходе и входе его можно
определить по формуле
Е„=(НТ-НК)ОК.
Однако при появлении обратных токов, например на выходе
колеса, такое усреднение некорректно, поэтому выделим из
переменной по выходному сечению колеса радиальной скорости среднюю
радиальную составляющую скорости на выходе колеса и
представим эту переменную скорость в следующем виде:
где GK и FK — расход и площадь выходного сечения колеса. При
этих условиях уравнение гидравлических потерь в колесе можно
записать
Первое слагаемое представляет собой выражение для
гидравлических потерь в колесе, рассчитанное по средним параметрам.
Второе слагаемое мало при отсутствии обратных токов и сравнимо
по величине с первым слагаемым при расходах через колесо
ниже номинальных, при которых возникают обратные токи в
колесе. Аналогично можно учитывать увеличение гидравлических
потерь при появлении обратных токов на входе в колесо. Второе
слагаемое, называемое обычно потерями на гидравлическое
торможение колеса, имеет чисто гидравлическую природу и не может быть
отнесено к механическим потерям. Особенно существенны эти
потери в насосах с высоким коэффициентом быстроходности при
подачах, меньших оптимальной. Для определения их необходимо
знать подробные поля скоростей в выходном и входном сечениях
колеса.
Гидравлические потери возникают также при преобразовании
кинетической энергии жидкости в энергию давления в отводе. При
отсутствии обратных токов они могут быть рассчитаны по формуле
где Zfic— энергия жидкости на входе в отвод, близкая по величине
к энергии на выходе колеса; Еъых— энергия жидкости на выходе
насоса.
8!

При наличии обратных токов дополнительные потери отвода
учитываются так же, как в колесе и подводе. Суммарные
гидравлические потери в подводе и отводе можно объединить как общие
гидравлические потери в статорных частях
где Нк'— напор колеса с учетом изменения энергии на входе и
выходе колеса; Н — напор насоса.
К сожалению, в большинстве насосов не вся энергия жидкости
направляется в отвод к потребителю; часть энергии превращается
в тепловую вследствие перетечки жидкости высокого давления
через боковые полости уплотнения с выхода на вход колеса. Эту
часть потерь, обозначаемую как объемные потери колеса, можно
рассчитать по формуле
Еок = ?Ок2 — ?<ж1 = Е2к — ?2к — (Е 1к — Е 1к) = Як {^к ~ Нк) »
где <7к — расход через уплотнения, который может быть определен
по измерению перепада давлений в уплотнениях, если они
предварительно протарированы при рабочих давлениях и числах
оборотов, как описано в работе [31]. Следует заметить, что энергия
жидкости, перетекающей на вход колеса, может частично полезно
использоваться путем соответствующей передачи ее основному
потоку, входящему в колесо (например, специальными устройствами,
направляющими поток утечки параллельно основному потоку). По
этой причине энергия жидкости на входе в колесо может быть
выше, чем энергия на выходе подвода (как показано на рис. 36).
Остальные потери энергии, связанные с отбором жидкости
высокого давления из проточной части для обеспечения
функционирования разгрузочных устройств, опор, перетечками жидкости
между ступенями в насосе и т. п., с общим расходом qCy
обозначаются как объемные потери статорных частей Еос\
^ос = ^освх Т~ ^-освых Г ^о:2 I ^о:1'
где Еос вх и Еос вых — энергия, отбираемая в результате отвода
жидкости на функциональные узлы из подвода и отвода (если
жидкость, наоборот, подмешивается, то соответствующее слагаемое
имеет знак минус); Еос2 и Еос1 — энергия жидкости, отбираемой
или подводимой в боковые полости, которая также может входить
в состав объемных потерь энергии колеса. Определение их
специфично для каждого агрегата. Следует отметить, что для конкретной
ступени это могут быть не только потери, но и приращения энергии,
например, вследствие подвода на вход жидкости из разгрузочных
устройств, питаемых последующими ступенями ?гвх. К объемным
потерям также следует относить и потери на разделение и
смешение потоков вспомогательных трактов и проточной части машины.
Выделим из объемных потерь энергии статорных частей
изменения энергии, связанные с циркуляцией жидкости из отвода в
боковую полость и обратно в отвод. Как было описано в гл. 1, в
большинстве боковых полостей насосов жидкость течет около непод-

вижной стенки от периферии к оси вращения и затем возвращается
вдоль вращающегося диска под действием центробежных сил в
проточную часть, смешиваясь с потоком, выходящим из рабочего
колеса; жидкость, отбираемая из пристеночного слоя отвода,
обладает низкой энергией Еоц. В результате же взаимодействия с
вращающимся диском колеса жидкость приобретает значительную
удельную энергию, превышающую в некоторых случаях даже
удельную энергию жидкости, прошедшей проточную часть рабочего
колеса. Эта жидкость при смешении с основным потоком может
повысить общую энергию (напор) потока в начале отвода на
величину ?ц. С другой стороны, так как это превращение энергии
(отрицательные потери!) возникает вследствие трения наружных
поверхностей дисков рабочих колес о жидкость, можно
рассматривать его как возврат части энергии дискового трения Емт.
Повышение напора насоса вследствие увеличения циркулирующих масс
жидкости в особенности заметно в насосах низкой быстроходности
и с колесами с торцовыми лопатками на дисках. Например, как
следует из рис. 41, при увеличении зазора между концами торцовых
лопаток и корпусом, вызывающим возрастание циркуляционных
потоков в боковой полости, увеличивается напор насоса. Однако это
увеличение напора часто не сопровождается повышением
экономичности насоса, так как преобразование механической энергии в
энергию жидкости за счет трения наружных поверхностей рабочих
колес сопровождается большими потерями. Однако не следует
допускать потери этой возвращаемой энергии. Таким образом, при
расчете суммарных объемных потерь статорных частей Noc нужно
учитывать не только потери, но и приращения энергии.
Из этого примера следует, что различные виды потерь не
являются полностью независимыми друг от друга. Так, величина
объемных потерь в некоторой степени связана с величиной
механических потерь колеса; увеличение объемных потерь, если оно
связано с отбором жидкости низкой энергии из пограничного слоя
отвода, может привести к снижению гидравлических потерь в отводе.
В соответствии с этим подробным разделением потерь
целесообразно уточнить и систематизировать номенклатуру КПД насосов, в
особенности тех, для которых существенны потоки во
вспомогательных трактах.
Полный КПД насоса (отношение полезной мощности к
потребляемой) обычно выражают произведением механического,
гидравлического и объемного КПД
Механический КПД насоса — отношение мощности, подводимой
к поверхностям проточной части ротора, к потребляемой мошности;
его можно представить в виде произведения механических КПД
статорных частей и колеса
Лм =='Пмс'Пмк== ~ ~ "Z •
87

Механический КПД статорных частей зависит от потерь
энергии, возникающих вследствие контактного и жидкостного трения на
всех поверхностях ротора насоса, за исключением потерь на трение
наружных поверхностей рабочих колес насоса. Потери на трение
наружных поверхностей рабочих колес отражены в механическом
КПД колеса, который иногда называют дисковым КПД. Учитывая,
что потребляемая насосом энергия за вычетом механических потерь
равна энергии, передаваемой к поверхностям проточной части
рабочего колеса Nr, механический КПД колеса можно представить
также в следующей форме:
„
где EK = Hr-GK — максимальная гидравлическая энергия,
передаваемая колесом.
Гидравлический КПД насоса — отношение энергии жидкости,
передаваемой проточной частью насоса, к энергии, подводимой к
поверхностям проточной части рабочего колеса. Его можно пред*
ставить также в виде произведения гидравлических КПД колеса
и статорных частей
Гидравлический КПД колеса — это отношение энергии
жидкости, передаваемой колесом, к энергии, подводимой к поверхностям
проточной части рабочего колеса. В случае отсутствия обратных
токов его можно рассчитать по формуле
"* р р s*> ZJ шш
^гк = ~"~ —= К К =~77~ '
Гидравлический КПД статора зависит от гидравлических потерь
в подводе и отводе. Если пренебречь влиянием жидкости, вносимой
или отбираемой из проточной части во вспомогательные тракты, та
гидравлический КПД статора
„ _Ек-Егк-Егс_ HKGK-(HK-H)G _ HGK+(HK-H)(GK-G) _
Чгс р р ' ' м п !_, п
ак-а
як
Во многих случаях второе слагаемое намного меньше первого, и
тогда формула принимает вид
п ~ И
чгс •—'~77 •
88

При таких условиях выражение для гидравлического КПД
приобретает традиционный вид
Нк Н Н
Л г = ЛгкЛгс = -ТГ — = — •
Если насос содержит несколько одинаковых ступеней, то в
последней формуле можно использовать общий напор насоса Н и
суммарный теоретический напор всех ступеней Ят.
Объемный КПД насоса — отношение полезной энергии насоса
к энергии, передаваемой жидкости в проточной части насоса. Его
можно представить также в виде произведения объемных КПД
колеса и статорных частей
Чо ЧокЧос—
р
Объемные потери колеса ?"ок могут быть в общем случае рассчи-.
таны по формуле
где Чк — массовый расход утечек через боковые полости и
уплотнения на вход колеса; Еу — приращение энергии жидкости, входящей
в колесо, вследствие подмешивания к ней жидкости из уплотнений
колеса.
Если энергия не возвращается, а теряется, то перед вторым
слагаемым знак плюс. Если же пренебречь этим слагаемым, то
объемный КПД колеса можно выразить в следующем виде:
Et
<
HG
HGK
i — ?r
EK-
+ ЯК
г(Як
— Еок ,
Er
(GK-G-
:-Я)(Ок
HKGt
с-(Як-A
якок — (як
G i
Як)
-G);
Ok»."
ы я
1 -f-
/) G — Як^к
— H)G
HK GK-G-
H GK
к — И GK —
Я GK
G
Если пренебречь вторыми слагаемыми в числителе и
знаменателе, что справедливо для ряда насосов, то последнюю формулу
можно упростить
Остальные объемные потери в насосе отражает объемный КПД
статорных частей. Для расчета его можно использовать формулу
Ек-Ег-Еок HG +HK(GK-G-qK) Ик GK -G-qK
И G

1
Чт
Пи
1
1
1
1
1
"Чгк
1
1
II
Вспомогательные тракты
Рис. 37. Классификация КПД лопастной машины
Проточная часть
СО
6
Если на функционирование разгрузочных устройств через
уплотнение не отбирается жидкость, то величина (GK—G—qK) равна
нулю и Лос= 1-
Таким образом, в этом случае общий объемный КПД насоса
можно рассчитать по формуле
G
°~ Ок
В общем случае для расчета всех КПД необходимо использовать
приведенные полные формулы. Входящие в них величины
определяют либо в результате детальных экспериментов, либо по
зависимостям, приведенным в предыдущих главах. Детальные расчеты КПД
позволяют оценить эффективность применяемых конструкций.
Например, в многоступенчатых насосах установка торцовых лопаток
на рабочем колесе для регулирования осевых усилий увеличивает
механические потери колеса (т. е. уменьшает т]Мк). Однако
одновременно уменьшается давление около вала и, следовательно, утечка
жидкости, что повышает объемный КПД. Таким образом,
произведение этих КПД может изменяться незначительно. Установка же
торцовых лопаток на корпус снижает как механический, так и
объемный КПД.
Номенклатура всех КПД может быть представлена в виде
следующей диаграммы (рис. 37). На ней горизонтальной штриховой
линией отделены величины, относящиеся к колесу и статорным
частям, а вертикальной — величины, относящиеся к вспомогательным
трактам и проточной части.
90

ГЛАВА 5
Экспериментальные исследования
характеристик
вспомогательных трактов
Экспериментальные исследования вспомогательных трактов
лопастных машин необходимы для совершенствования
теоретических методов исследования, подтверждения заложенных при
проектировании методов расчета, корректировки методов расчета с
учетом особенностей реальных конструкций машин и условий их
работы, подтверждения эффективности доводочных работ.
Кроме того, в ряде случаев экспериментальные исследования
выполняют для определения разброса параметров от экземпляра к
экземпляру, а также контроля качества изготовления деталей.
Эксперименты следует проводить и обрабатывать таким
образом, чтобы их результаты можно было распространить на подобные
машины и режимы работы. Следует отметить, что при
несоблюдении подобия при постановке экспериментов и обработке
результатов могут быть получены лишь эмпирические соотношения,
справедливые только для данной конкретной установки в исследованном
диапазоне параметров. Таким образом, ставится задача изучения
физически подобных явлений в модельных условиях или на модели.
1. ПОДОБИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ
Для подобия физических явлений в натуре и модели
достаточно, чтобы они описывались одинаковыми дифференциальными
уравнениями с одинаковыми краевыми условиями, причем
безразмерные параметры, входящие в эти уравнения, должны быть равны.
Так как в большинстве случаев силы тяжести незначительно
влияют на потоки в лопастных машинах, но определяющими
критериями подобия для них являются Re, Л1, &, Рг.
Моделирование потоков в лопастных машинах с соблюдением
всех критериев и граничных условий встречает практически
непреодолимые препятствия. Поэтому важно выяснить условия, при
которых можно обеспечить приближенное, то удовлетворяющее
практическим потребностям подобие.
При малых числах М, характерных для большинства элементоЕ
вспомогательных трактов, эффект сжимаемости выражен слабо, v
течение газа можно рассматривать как течение несжимаемой жид«
кости, в связи с этим при рассмотрении гидродинамики потоко!
влиянием критериев М и k пренебрегают.
Часто при больших числах Re, в особенности при большой шеро
доватости стенок, этот критерий не влияет на течение. Особо следу
ст отметить, что это явление, называемое автомодельностью, насту

пает не одновременно во всех частях лопастной машины, что
требует раздельного рассмотрения критического числа Re в разных
условиях.
Подробнее остановимся на менее исследованных условиях
соблюдения подобия безразмерных граничных условий.
Первым условием подобия является геометрическое подобие
границ модельных и натурных полостей. Иногда допускаются
специально оговоренные нарушения этого условия. Например, в
замкнутых полостях, ограниченных вращающимся диском, с большим
отношением периферийного и минимального диаметров
допускается без большой ошибки существенное изменение формы границ,
вблизи минимального диаметра при экспериментальном
определении коэффициента трения диска, осевых сил, действующих на диск,
так как параметры потока определяются в основном областью
течения вблизи периферийного диаметра. В это условие включается
также соблюдение подобия микрогеометрии или шероховатости
граничных поверхностей . Так как значительная часть элементов
вспомогательных трактов имеет относительно небольшие проходные
сечения, то соблюдение этого условия весьма важно и должно быть
специально оговорено. К сожалению, в ряде исследований не
указывается шероховатость поверхностей (даже при опытах на весьма
малых щелевых уплотнениях).
Вторым условием подобия является подобие профилей
скоростей жидкости, а также распределение давления на жидких
границах элементов. Эти профили скорости существенно влияют на
формирование течения, если жидкая граница составляет заметную
долю всей границы элемента или расположена в области
максимальных скоростей. Обычно граничные профили скорости определяются
в основном потоком вне элемента. Граничное же распределение
давления определяет абсолютный уровень давления жидкости в
элементе, независимо от относительной площади жидкой границы.
Отношение скоростей на границе к характерной скорости должна
быть одно и то же для натурных и модельных экспериментов. Для
большинства элементов при определении гидравлических
характеристик достаточно знать не полный граничный профиль скорости,
а отношение проекций средних по расходу или площади скоростей
на границе к характерным скоростям, приближенно предполагая
подобие полей скоростей. Неопределенность условий на близких:
границах элемента в значительной степени обесценила результаты
ряда экспериментов и не дала возможность использовать их в
условиях, отличных от исследованных. Так, например, эмпирическая
формула из работы [40], учитывающая увеличение коэффициента
сопротивления при протечке, но не учитывающая закрутки потока
на границе, может приводить к ошибке вплоть до знака. Как
следует из описания экспериментальной установки, эта формула
справедлива лишь при отсутствии закрутки потока на периферии
полости. Эмпирические формулы для распределения давления I*
полости [15] пригодны лишь для узкого класса лопастных машин.
По этой же причине отличаются экспериментальные параметры по-
92

тока в полостях, полученные при испытаниях в замкнутом корпусе,
при вращении закрытого колеса в корпусе насоса и на
номинальном режиме работы насоса [21].
2. БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Наряду с определяющими критериями важную роль при
обобщении результатов играют безразмерные гидродинамические
характеристики, а также масштаб величин. Рациональный выбор
их позволяет упростить обработку результатов эксперимента и
проводить сравнение результатов исследований, полученных на
разных установках или в разное время.
В качестве масштаба скорости для элементов, ограниченных
вращающимися стенками, обычно используется максимальная
скорость на стенке и.ав элементах, ограниченных неподвижными
стенками, среднерасходная скорость потока V в начальном сечении.
При общем рассмотрении течений, для которых обе скорости
существенны, целесообразно использовать общий масштаб, включающий
обе скорости,
который не обращается в нуль при U = 0 или и = 0.
В качестве масштаба длины для течения в каналах и полостях
наиболее часто используется поперечный размер в каком-либо
сечении, а точнее, гидравлический диаметр (отношение учетверенной
площади характерного проходного сечения к его периметру).
Для плоской или кольцевой щели он равен удвоенному
расстоянию между поверхностями. Если же элемент ограничен
вращающейся поверхностью, то начиная с работы [47] в качестве масштаба
использовался максимальный радиус этой поверхности, который
являлся единственным определяющим размером только для диска,
вращающегося в безграничном пространстве. Однако этот размер
вряд ли целесообразно использовать для расчета течений в
ограниченных полостях.
В качестве масштаба давления, зависящего от поля скоростей,
обычно используется удвоенное динамическое давление в
характерном сечении элемента qVz, где V — средняя скорость в этом
сечении; q — плотность. Однако в несжимаемой жидкости или при
низких числах М от поля скоростей зависят не сами давления, а
разность между давлениями в данной и характерной точках. В
качестве характерной точки обычно используется граничная точка,
поэтому целесообразно использовать критерий Эйлера в форме
Для элементов типа канала, если Ар — разность статических
давлений на входе и выходе потока, то он равен удвоенному коэф-
93

фициенту потерь давления, а если Др—разность полных давлений,
то он представляет собой коэффициент потери полного давления.
Для течения в полостях, ограниченных вращающимся диском,
используются безразмерные критерии.
Интегральный параметр граничного поля скорости — отношение
среднерасходной радиальной скорости к окружной скорости
вращающейся поверхности в данном сечении
вместо которого при большой ширине полости можно использовать
G 2лО7
коэффициент дискового трения (если внутренний радиус полости
составляет значительную долю наружного радиуса, то вместо гь
точнее использовать разность пятых степеней этих радиусов)
С — М —- М
fg Qtt2r3 Qo>2r5
Осевая сила, действующая на торцовую поверхность, так же как
абсолютное давление в полости, является суммой двух слагаемых
Первое слагаемое ДЛ зависит от поля скоростей и, следовательно,
разности давлений в отдельных точках полости. Оно является
производным от критерия Эйлера. Второе слагаемое Ар зависит от
уровня давления на жидкой границе полости. В соответствии с
этим в качестве масштаба первого слагаемого целесообразно
использовать произведение удвоенного характерного динамического
напора на площадь торцовой поверхности полости
А^г АЛ АЛ
Если в качестве характерной скорости использовать окружную
скорость и2 на наружном радиусе диска, то с точностью до множителя
в квадратной скобке безразмерную составляющую осевой силы
можно представить в форме
Для второго слагаемого могут использоваться как указанные
выше масштабы, если граничное давление связано с граничными
скоростями, так и произведение заданного давления на жидкой
границе на площадь торцовой поверхности
л А"
94

Для оценки осевой силы, действующей на ротор лопастной машины
в целом, целесообразно также использовать значения АЛ или
учитывая пропорциональность напора Н квадрату окружной скорости
интегральный критерий *
Этот критерий должен использоваться, конечно, после исключения
осевых сил, зависящих от заданного внешнего давления, например
давления на входе в центробежный насос. Если же эти силы не
исключать, то при модельных испытаниях внешнее давление должно
принудительно изменяться пропорционально квадрату частоты
вращения.
3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИИ
Для определения гидродинамических параметров потоков в
элементах вспомогательных трактов — давлений, расходов, полей
скоростей и т. п. — используют известные методы и приборы [35].
Затруднения вызывают лишь малые размеры натурных каналов,
что требует миниатюризации чувствительных элементов во
избежание нарушений потока. Эта причина в ряде случаев требует
модельных исследований на элементах, увеличенных по сравнению с
натурными.
Специфичными и менее известными являются измерения
интегральных характеристик, таких, как гидродинамические осевые
силы. Рассмотрим их подробнее.
Гидродинамические осевые силы, действующие в лопастной
машине, экспериментально определяют двумя способами:
интегральным (непосредственным измерением осевого усилия с помощью си-
лоизмерителя) или дифференциальным (по измерениям
распределений статического давления и скорости жидкости, воздействующей
на данную поверхность).
При непосредственном измерении осевые усилия, действующие
на отдельные элементы ротора, передаются на вал агрегата и
воспринимаются силоизмерителем. Основные трудности при этом
возникают при передаче усилия или полученного сигнала с
вращающегося вала на неподвижные элементы без потери точности
измерения. Преимуществом метода является непосредственное измерение
величины силы и простота обработки результатов измерения,
недостатком — сложность выявления степени влияния элементов
ротора на суммарную осевую силу. Затруднительно также выделить
основные факторы, определяющие осевые усилия, и, следовательно,
изменять их в нужном направлении. Наиболее часто
непосредственное измерение осевого усилия на роторе используется для
окончательной оценки суммарной осевой силы, передающейся на
подшипник, подтверждения эффективности внесенных в конструкцию
изменений и определения разброса осевых сил от экземпляра к
экземпляру конкретного типа лопастной машины.
91

Для расчета осевого усилия по распределению статического
давления и скорости измеряются подробные поля статических
давлений в жидкости, непосредственно омывающей поверхности
исследуемого элемента. Затем эти распределения давлений
интегрируются по площади торцовых поверхностей для получения суммарной
силы. Кроме того, к этой силе необходимо прибавить разность
интегралов распределения квадратов измеренных осевых
составляющих скорости на плотность жидкости по площади входа и выхода
потока в рассматриваемый элемент. Однако в большинстве
элементов последняя динамическая составляющая силы намного меньше
статической, и ею можно пренебречь или приближенно
теоретически оценить, не производя весьма сложные замеры полей скоростей.
Так как полости вспомогательных трактов реальных машин
достаточно узкие, то часто измерения статических давлений
производятся через отверстия в стенках корпуса. Для достижения
необходимой для практики точности измерения силы нужны подробные
эпюры давлений, в особенности при неосесимметричных течениях в
полостях.
Основные трудности этого способа определения осевых
усилий — необходимость выполнения в корпусе машины большого
числа каналов для отбора статического давления, параллельное
использование большого числа приборов при кратковременном
испытании или поддержание постоянства режима работы машины при
последовательном подключении приборов, сложность обработки
большого объема измерений. Последние два препятствия
исчезают в связи с разработкой точных датчиков давления, магнитной
регистрацией показаний и обработкой результатов измерений на
ЭВМ. Однако трудности выполнения каналов в серийных машинах,
а также связанное с этим ослабление корпуса и снижение
надежности машины ограничивают применение этого способа главным
образом экспериментальными установками. Преимуществом его
является получение детальной картины нагружения осевыми силами
отдельных элементов ротора, определение эпюры давлений около
наиболее нагруженных элементов, необходимое для регулирования
осевых усилий в нужном направлении, возможность переноса
результатов исследований на другие конструкции машин и элементов
ротора. Этот способ исследования применяется для прямого
подтверждения теоретических методов.
Часто используют комбинацию этих методов: в наиболее
важных полостях измеряют полностью или частично распределение
статического давления. Эта детальная картина дополняется
непосредственным измерением усилия на валу.
Другой важной интегральной характеристикой является трение
вращающихся дисков и цилиндрических поверхностей лопастных
машин о жидкость.
Как правило, трение гладких дисков о жидкость измеряется
путем прокрутки дисков в замкнутом корпусе в специальных
установках [51] или заглушённых рабочих колес в корпусе [21] при
радиальной протечке через боковые полости или ее отсутствии. Однако,
96

как указано выше, условия на периферии полостей существенно
влияют на момент сопротивления, о чем, в частности,
свидетельствует прокрутка дисков в различных корпусах [21]. К сожалению, до
сих пор не проводили эксперименты с имитацией или
непосредственным измерением этих важных граничных условий. В работе
[30] потери на дисковое трение выделяются косвенным путем из
полной мощности насоса путем замера гидравлической мощности и
объемных потерь в насосе. Как указано в этой работе, уточнение
определения потерь на дисковое трение весьма важно для насосов
низкой быстроходности. Практически отсутствуют
экспериментальные установки для исследования потерь на трение дисков
достаточных размеров с торцовыми лопатками или разгрузочными
отверстиями.
4. УСТАНОВКИ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ОСЕВЫХ СИЛ
Измерения осевых сил относят к числу специальных в
испытаниях лопастных машин из-за их сложности и необходимости в
особой измерительной аппаратуре. Поскольку измеряемые силы
являются производными от действия скоростей и давлений
жидкости на поверхности ротора, чрезвычайно важно иметь возможно
более полную связь между внешними характеристиками лопастной
машины и характеристиками ее вспомогательных трактов и этим
важным интегральным параметром.
В связи с этим рассмотрим прежде всего комплексную,
наиболее универсальную установку, разработанную во ВНИИгидрома-
ше[19] (рис 38).
Она представляет собой опытный насос консольного типа,
приводящийся во вращение балансирной машиной с регулируемой
частотой вращения, замкнутый трубопровод с системой вентилей и
задвижек, сборный бак и измерительные приборы. Вся эта
совокупность средств позволяет измерять осевые силы в насосах разных
быстроходностей в зависимости от подачи, величины и направления
протечек в полостях, ширины полостей. Подача насоса
регулируется задвижкой 15 на напорном участке трубопровода и измеряется с
помощью диафрагмы 21 и ртутного дифференциального манометра
20, давление нагнетания — образцовым манометром 16, давление
всасывания — ртутными вакуумметрами 19 и частота вращения —
счетчиком числа оборотов /.
Опытный насос состоит из опорной стойки 29, к которой
присоединяют исследуемые корпуса 28 и рабочие колеса 10.
Ротор насоса вращается в двух роликоподшипниках 30,
допускающих свободное перемещение вала 37 в осевом направлении.
Торцовое уплотнение вала 8 является унифицированным для всех
исследуемых вариантов.
Вращение ротора насоса передается от балансирной машины 2
через шариковую муфту 3, обеспечивающую свободное осевое
перемещение вала.
97

8
о
сз
X
о
2.
А
S
X
со
о
X
X
98

Для исследования влияния на осевую силу ширины боковой
полости боковые стенки 9 корпусов насосов выполнены раздвижными
и имеют по восемнадцать точек замера давления, которые через
специально спроектированное переключающее устройство 14
подведены к одному образцовому манометру 18.
При определении влияния протечек по полостям на величину
осевой силы применена схема с произвольно устанавливаемой в
широких пределах утечкой. Для этого щелевые уплотнения расточены,
а в качестве уплотнения рабочего колеса со стороны всасывания
используется торцовое уплотнение 23. При протечках от периферии
к центру жидкость отводится из полости по специальным каналам
в корпусе насоса и по трубопроводу 26 перепускается во
всасывающий патрубок 27 насоса, при протечках от центра к периферии —
подается в полость от напорного патрубка // насоса. Для
организации направления протечек по полостям, а также регулирования
их величины имеются регулировочные вентили 25. Для измерения
протечек установлены диафрагмы 27 с ртутными
дифференциальными манометрами 24. Тарировка диафрагм осуществляется
объемным способом с последующим взвешиванием замеренных
объемов.
Для измерения осевой силы на опытном насосе установлена
динамометрическая головка, которая представляет собой кронштейн,
закрепленный на опорной стойке насоса. На радиально-упорном
подшипнике 33 вала 37 закреплен корпус 34 подшипника, имеющий
на наружной поверхности кольцевую проточку, в которую входят
два сухаря 32, вставленные в гнезда вилки двуплечего рычага 6
с шарниром 5 в виде сферического шарикоподшипника.
Противоположный вилке конец двуплечего рычага имеет
шарообразную форму и с минимальным зазором помещен между
планками 7, связанными с помощью шпилек и регулировочных гаек с
подвижным фланцем динамометра 13 типа ДОСМ, а неподвижный
фланец при помощи болтов скреплен с кронштейном
динамометрической головки. Перпендикулярность продольной оси двуплечего
рычага оси вала насоса устанавливается перемещением
регулировочных планок 7. Таким образом, осевая сила передается с вала 37
через грузовой подшипник 33, корпус 34 подшипника, сухари 32,
двуплечий рычаг 6, планки 7 на динамометр 13, между фланцами
которого имеется рычажное устройство, передающее деформацию
динамометра в пятикратном увеличении на показывающий
прибор — индикатор 12 часового типа.
Для того чтобы не было зазоров между элементами,
передающими усилие, динамометр 13 предварительно нагружается
пружиной 36.
В связи с тяжелыми условиями работы грузового подшипника
в его корпусе выполнена охлаждающая камера, в которую подается
проточная вода.
Для установки рабочего колеса в определенном положении
относительно отвода на динамометрической головке предусмотрено
устройство 4, позволяющее перемещать всю головку, а с ней и вал
99

насоса в осевом направлении. Это же устройство используется как
компенсирующее для возвращения вала в нулевое положение, что
является весьма существенным при проведении экспериментов с
колесами с торцовыми лопатками, с открытыми или полуоткрытыми
рабочими колесами, а также с закрытыми колесами с узкими
боковыми полостями. В целях фиксации этого осевого положения
ротора опытный насос имеет для грубой оценки миллиметровую шкалу
3/, а для точной — индикатор 35 часового типа. Тарировка
динамометрической головки проводится многократно непосредственно
на насосе при максимальной имитации его работы. При этом
отсоединялся входной патрубок и вместо гайки, удерживающей рабочее
колесо, устанавливался удлинитель вала с грузовым подшипником,
через который передавалось тарировочное усилие при рабочей
частоте вращения ротора. В результате этих операций получают тари*
ровочный график, используемый в последующих измерениях. Опыт
работы на данной установке и анализ результатов измерений,
выполненных на ней, показывают, что наряду с универсальностью,
стабильностью и надежностью в работе установка является одной
из наиболее точных.
Тем не менее следует остановиться на основных источниках
погрешности измерения осевой силы, в большей или меньшей степени
характерных для любой установки:
1) погрешность силоизмерителя; 2) трение при передаче усилия
с вала; 3) трение в уплотнениях вала; 4) сопротивление осевому
сдвигу в опорных подшипниках; 5) сопротивление осевому сдвигу
в муфте, передающей мощность от привода к лопастной машине.
В качестве силоизмерителей используют весовые устройства,
гидравлические месдозы, вибрационно-частотные датчики, тензо-
метрические или тензорезисторные датчики.
Устройства первых трех типов обеспечивают высокую точность
измерения усредненной осевой силы, причем
вибрационно-частотные датчики удобны для магнитной записи и последующей
машинной обработки. Тензометрические или тензорезисторные датчики
имеют несколько меньшую точность, однако они позволяют
регистрировать высокочастотные колебания осевой силы, которые
несут дополнительную информацию. Эти датчики легко встраиваются
в экспериментальные установки. Трение при передаче усилия с
вала на силоизмеритель можно уменьшить, используя такие
встроенные датчики. В
экспериментах работ [33, 34] осевое усилие
передается с наружной обоймы
упорного подшипника / на
упругий измерительный элемент
3 с наклеенными тензодатчика-
ми 2 (рис. 39), а в
экспериментах работы [13], например, ра-
Рис. 39. Установка для измерения осе.ых Диально-упорный^ ПОДШИПНИК
сил в центробежном компрессоре с помо- встроен в упругий элемент,
щью тензодатчиков Для измерения силы на ва-
100

5 5
Рис. 40. Установка для измерения осевых сил в насосе с помощью специальных
шариковых опор
лу можно выполнить чувствительный элемент с тензодатчиками,
как часть вала. Однако при этом возникают трудности, связанные
с передачей электрического сигнала с вращающегося вала на
неподвижный регистратор. В некоторых конструкциях поршень мес-
дозы, на которую передается сила, вращается вместе с валом.
В этом случае около вращающегося поршня давление жидкости-
неодинаково по радису, и поэтому необходимы замеры полей
давлений жидкости в полости около поршня или для повышения
точности нужна специальная тарировка при рабочей частоте вращения.
Фактически такой способ измерения силы эквивалентен
определению силы по замеру давления в полости высокого давления
гидропяты Для определения силы с достаточной точностью и здесь
нужна специальная установка для тарировки гидропяты в зависимости
от частоты вращения.
Для того чтобы избежать сопротивления осевому перемещению
в уплотнениях, целесообразно использовать щелевые и лабиринтные
уплотнения на валу. Если все же необходимо использовать для
уплотнения манжеты, то их следует изготовлять из материалов с
малым коэффициентом трения, таких, как фторопласт, максимально
удлиняя уплотнительные губки для увеличения эластичности.
Сопротивление осевому сдвигу в опорном подшипнике можно
исключить, применяя жидкостные опоры. Однако при этом
возникают трудности с их уплотнением. Вместо роликовых опор,
препятствующих осевому сдвигу, в особенности при статической тарировке
установки, можно применить шариковые опоры с цилиндрической
внутренней поверхностью наружной обоймы или наружной
поверхностью внутренней обоймы [А.с. № 493672 (СССР)] (рис. 40). Такие
подшипники 2 могут быть получены из обычных шариковых
подшипников путем шлифовки соответствующих обойм. В этой же ус-
101

J U 5 6
Рис. 41. Установка для измерения осевых сил в центробежном насосе с помощью
упругой мембраны
тановке усилие передается с ротора / с помощью упорной
гидростатической пяты 3, подвешенной на мембране 4 с фигурными
вырезами а. Эти вырезы позволяют корпусу пяты самоустанавливаться
при угловом смещении ротора и выравнивают давление по обе
стороны мембраны. С корпуса пяты усилие передается струной или
тонким стержнем на силоизмеритель 6, укрепленный в корпусе 7
насоса. Болты 5 служат для ограничения сдвига корпуса пяты.
Вращение ротору передается от привода через специальную муфту S,
не препятствующую осевому перемещению ротора.
Для уменьшения сопротивления осевому перемещению в муфте,
передающей крутящий момент к лопастной машине от двигателя,
для повышения точности замера силы вместо шлицевого соединения
в ряде установок использовались шариковые муфты с передачей
момента через шарики. Однако это снижало трение недостаточно.
В установке, описанной в работе [8], для передачи крутящего
момента используется упругая мембрана, деформация которой под
действием осевого усилия измеряется специальным датчиком.
На рис. 41 приведена схема этой установки с упругой
мембраной 8 для восприятия и одновременного измерения осевого усилия
через полумуфту насоса с ротора, вращающегося в двух роликовых
подшипниках 7. Здесь же показано весовое тарировочное
устройство этой мембраны с эталонным грузом /, подвешенным на тросе
через блок 2 для перевода усилия на ось вала насоса, грузовой 6 и
вспомогательный 5 подшипники, рычаг 4 фиксации осевого
положения ротора и индикатор 3. Специальные исследования этой
установки показали существенное повышение точности и стабильности
из-мерений по сравнению со шлицевон
муфтой. Некоторые неудобства
вызывает необходимость точного замера
деформации на вращающейся муфте.
Независимость перемещения валов
привода и лопастной машины можно
также обеспечить с помощью
специальной эластичной муфты (рис. 42), в
которой момент от полумуфты /
привода к полумуфте 2 лопастной машины
Рис. 42. Муфта с гибкими тро- передается гибким тросом 3, натяну-
сами гым особым образом на пальцы полу-
102

муфт. Наконец, сам корпус привода, обычно электромотора, мо;
но подвесить на упругих элементах или специальных опорах, чтЫ
он не препятствовал осевому смещению вала ((подобно тому к
подвешивается корпус балансирных машин в подшипниках,
препятствующих окружному перемещению корпуса).
Совместное использование перечисленных способов позволя
существенно повысить точность измерения осевых сил в лопастш
машинах.
5. ВЛИЯНИЕ ОТКЛОНЕНИЙ РАЗМЕРОВ ЭЛЕМЕНТОВ
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ТРАКТОВ
НА КАЧЕСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ МАШИНЫ
Выше элементы вспомогательных трактов рассматривали
при фиксированных геометрических размерах их деталей. В реал
ных условиях каждая деталь вспомогательного тракта имеет откл
нения от номинального размера, влияние которых на течение
этих трактах, а следовательно, и на качественные показатели м
шины нужно учитывать.
Отклонения от номинальных размеров деталей вспомогательн!
трактов бывают двух видов: технологические, связанные с особе
ностями изготовления деталей, и ограниченные соответствующи!
допусками, и эксплуатационные, обусловленные износом детал
в результате работы машины в реальных условиях.
Технологические отклонения определяются допусками, назнач
емыми исходя из трех основных предпосылок: обоснованной т[
буемой точности изготовления той или иной поверхности, технолог
ческих возможностей и стоимости данной операции.
Рассмотрим в качестве примера основной элемент вспомогател
ного тракта — боковую полость обычного водяного насоса. К<
правило, боковые поверхности рабочего колеса обрабатывают с д
вольно высокой степенью точности, а корпуса насоса — только з
чищают, хотя известно, что точность и чистота обработки обе]
поверхностей влияет на режим течения, дисковые потери, осев!
силы и экономичность машины. Это объясняется технологически!
трудностями обработки внутренних боковых поверхностей сложн<
конфигурации и удорожанием всей конструкции.
По этой же причине, а также ввиду менее значительного i
сравнению с другими факторами влияния, нет необходимости уст
навливать специальные допуски у этих деталей на ограничение ш
рины боковой полости и осевое расположение рабочего колеса.
В то же время, если боковая полость образована диском коле
с торцовыми лопатками и стенкой корпуса, то последняя долж!
весьма точно обрабатываться для получения заданного зазора,
осевое расположение рабочего колеса строго фиксироваться. Р
зультаты экспериментальных исследований влияния торцового з
зора между лопатками и стенкой корпуса на основные характер
стики, осевую силу и давление перед уплотнением вала для насо<
Ф125-8-200 (рис. 43) показывают, что для данного элемента всп
1

5 1С 15 20 25 JO Qjtifc
Рис. 43. Зависимость энергетических параметров, давления перед уплотнением
вала и осевой силы от подачи насоса С125-80-200 при различных зазорах sB:
0,5 мм; О 1.0 мм; —•—1,5 мм; 2,0 мм; —X—3,0 мм; D2-210 mm, D,-
— 100 мм, Л-5 м, sa~7 мм, бп-0,3 мм
могательного тракта с выбранной высотой лопаток необходимы
повышенные требования к осевым размерам деталей,
составляющих размерную цепь. Кроме того, необходимы дополнительные
требования по контролю указанного зазора в пределах
технологических возможностей его обеспечения (например, ±0,1 мм). При этом
в качестве расчетной величины осевой силы следует принимать
максимальное значение, соответствующее допустимому отклонению
осевого зазора.
Аналогичное можно сказать о радиальных размерах щелевых
уплотнений рабочих колес, ограничивающих боковые полости,
которые должны выполняться с высокой точностью, во-первых, из-за
малости абсолютных значений размеров щелей, во-вторых, из-за
сильного влияния на качественные показатели машины протечек,
обусловленных этими щелями. При назначении таких допусков
следует исходить из размера насоса и его быстроходности.
Естественно, при уменьшении размера насоса следует более внимательно
относиться к учету влияния допусков на качественные показатели
машины, так как при этом величины допуска часто становятся
104

соизмеримыми с номинальными значениями зазоров в щелях. Еще
в большей степени сказанное относится к машинам малой
быстроходности, у которых доля мощности, идущей на дисковые и
объемные потери, соизмерима с полезной мощностью.
Все сказанное можно отнести к другим элементам
вспомогательных трактов, таким, как гидростатические подшипники, гидропяты
гидродинамические уплотнения и др.
Эксплуатационные отклонения. Оценка влияния этих отклоне
ний, возникающих вследствие износа поверхностей деталей
вспомогательных трактов при работе машины, чрезвычайно важна, та*
как она позволяет определить динамику изменения экономичности
надежности машины, установить межремонтные сроки и на основа
нии этого обоснованно судить о ее реальном ресурсе работы.
В оценке этого влияния есть две задачи: определение пределы
но допустимых значений эксплуатационных отклонений деталей
вспомогательных трактов на основании ухудшения экономически!
показателей машины и увеличения ее силового нагружения и
определение срока появления этих предельно допустимых значений
отклонений в реальных условиях работы.
Первая задача может решаться как теоретическим, так и
экспериментальным путем, вторая в большинстве случаев —
экспериментально-статистическим. В качестве теоретических методов опре
деления предельно допустимых значений эксплуатационных
отклонений размеров деталей можно использовать приведенные выше ре*
зультаты по расчету вспомогательных трактов, потерь мощности i
осевых сил, сопоставляя полученные результаты с заданными пре
дельными значениями КПД и выбранной несущей способностьк
опорных узлов проектируемой машины.
В случаях, выходящих за рамки рассмотренных выше вопро
сов, необходимы специальные экспериментальные исследования ш
отдельных элементах вспомогательных трактов или в составе мо
дельных макетных или опытных образцов будущих машин.
На рис. 44 даны экспериментальные зависимости напора, мощ
ности, КПД, осевой силы и давления перед уплотнением вала от по
дачи при искусственном увеличении радиальных зазоров в щелевы:
уплотнениях рабочего колеса, которое может возникнуть вследст
вие изнашивания при эксплуатации опытного образца насоса К100
65-250.
Для взятого в качестве примера консольного насоса для воды
как показывает обширная практика, наиболее быстро изнашивав
мыми узлами являются щелевые уплотнения, уплотнения вала 1
подшипники ротора.
Если обратиться к рис. 44, то легко видеть, что увеличение ще
левых уплотнений от 0,25 до 1,0 мм в результате изнашивания при
водит к изменению всех параметров машины. Однако разные пара
метры изменяются неодинаково. Так, в зависимости от подачи из
менились: напор на 5—8%, потребляемая мощность на 12—30°/(
КПД на 5—7%, давление в полости перед уплотнением вала н
50—150%, а осевая сила на 400—700%.
К

Рис. 44. Зависимость энергетических параметров, давления перед уплотнением
вала и осевой силы от подачи насоса К100-65-250 при различных зазорах
б„=б3:
0,25 мм; 0,3 мм; 0,4 мм; О 0,72 мм:—'X— 1,0 мм; D2=250 мм,
?>уп = 115 мм, DyB = 134 мм, 5п = 20 мм, sb-5 mm, D0-68 mm, rf-8,0 мм, г-6 отв.
Следует заметить, что в большинстве случаев в процессе
эксплуатации насосов о их пригодности к дальнейшей работе судят по
сохранению их основной характеристики — зависимости Q—Я.
Однако на самом деле эта зависимость меняется довольно слабо от
износа щелевых уплотнений и практически не может являться
критерием технического состояния эксплуатируемого экземпляра хотя
бы потому, что в большинстве стандартов на центробежные насосы
допустимое отклонение на величину напора равно 5%. В большей
мере критериями технического состояния могут служить
потребляемая мощность и давление в полости перед уплотнением. Однако в
реальных условиях эксплуатации эти параметры, как правило, не
контролируются. Влияние же зазоров в щелевых уплотнениях на
осевые силы так велико, что оно, пожалуй, и определяет необходи-
106

мость постановки в ремонт насоса по истечении определенного врс
мени его работы, так как дальнейшая эксплуатация приведет :
еще большему нагружению конструкции, выходу из строя ее onoji
ных узлов и даже к аварии. Однако такое влияние может быть вы
явлено специальными измерениями и также не может наблюдатьа
во время работы машины.
Из рассмотренного примера видно, что в результате появлени;
эксплуатационных отклонений размеров деталей таких элементе^
вспомогательных трактов, как щелевые уплотнения рабочего коле
са, существенно ухудшаются экономичность, ресурс и надежное?,
работы машины в целом. Для устранения указанных недостатков
следует определить предельно допустимые отклонения, по достиже
нии которых машину следует снять с эксплуатации и направить ]
ремонт. Для назначения межремонтных сроков, числа ремонтов 1
установления ресурса работы машин необходимо знать сроки появ
ления предельно допустимых отклонений.
Определение сроков появления предельно допустимых отклоне
ний размеров элементов вспомогательных трактов производится н;
основании экспериментально-статистических данных, получении
на ранее созданных аналогичных машинах, а в случае отсутствие
таковых — при помощи специально поставленных экспериментов
возможно с использованием ускоренных методов испытаний и об
работки результатов методами математической статистики.
6. МЕТОДИКА ОТРАБОТКИ НОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ЛОПАСТНЫХ МАШИН
Процесс создания лопастной машины состоит из нескольки:
стадий:
1) отработка отдельных гидравлических модельных элемен
тов будущей машины; 2) создание из этих элементов макета и en
испытание; 3) изготовление и испытание опытного образца; 4) изго
товление опытной партии и контрольная эксплуатация; 5) освоение
серийного производства.
Первой стадии обычно предшествуют расчеты, с большей ил!
меньшей степенью точности согласующиеся с результатами экспе
риментов. В дальнейшем первая стадия включает введение коррек
тирующих коэффициентов в расчет или внесение изменений в гео
метрические размеры отдельных элементов с целью достижениз
расчетных гидравлических параметров.
На второй стадии в макете (т. е. функциональном прототипе бу
душей машины), составленном из отдельных основных принципи
ально важных гидравлических элементов (проточной части и эле
ментов вспомогательных трактов), исследуется их взаимодействи)
и влияние на энергетические показатели машины и силовое нагру
жение (радиальные и осевые силы, действующие на опоры ротора)
Третья стадия включает создание опытного образца будуще!
серийной машины, в котором в реальной конструктивной форм<
воплощены все функциональные узлы, отработанные на макете
10

В результате испытания опытного образца возможна
корректировка деталей и узлов и даже компоновки машины.
Четвертая стадия базируется на результатах завершения
третьей и выявляет недостатки или достоинства машины,
изготовленной в условиях серийного производства в период длительной
работы под периодическим контролем разработчика и изготовителя. На
этой стадии также возможны корректировки, которые
обеспечивают последнюю стадию — стадию серийного производства.
Объем работ по стадиям создания зависит от наличия
расчетных методик, модельных элементов, общих или специальных
требований по условиям работы и показателям качества, а также
технологических особенностей и серийности будущей машины. Так,
например, при создании консольных насосов общепромышленного
назначения в соответствии с требованиями Международного
стандарта JSO 2858—75 на первой стадии велись только расчетные
разработки гидравлических частей насосов.
Отсутствие надежных методик по расчету вспомогательных
трактов и силовых факторов на различных режимах работы насоса,
необходимость получения высокой степени точности этих расчетов,
вызванная требованиями стандартов в части уменьшения размеров
и масс насосов, а также требование улучшения всех остальных
показателей качества, обусловленное большой серийностью, привели
к необходимости проведения на второй стадии детальных
экспериментальных исследований вспомогательных трактов с
оптимизацией силовых факторов и исследованием влияния в пределах допус-
сков технологических и полученных имитационно эксплуатационных
отклонений размеров деталей.
Эти работы проводились на специальных приборах —
кронштейнах и стендах, позволяющих получить все гидравлические и
силовые параметры машины.
Большой объем работ по второй стадии значительно упростил
работы по следующим стадиям и уменьшил объем корректировок.
Так, по выявленной и оптимизированной картине нагружения,
дополненной внешними характеристиками насоса с учетом всех
рассмотренных отклонений, выбранная конструкция опорной стойки в
составе опытного образца полностью подтвердила на третьей
стадии свою работоспособность в условиях реального производства.
Четвертая стадия давала небольшие корректировки
конструкции машины, однако она, как правило, была связана с уточнением
допустимых величин эксплуатационных отклонений размеров
деталей и времени их появления, а на этой базе уточнения
межремонтных сроков, номенклатуры и объема запчастей, ресурса работы
машины.
Как отмечено выше, возможны и другие соотношения объемов
работ по стадиям, однако важно отметить основную тенденцию
исследования лопастных машин и особенно их вспомогательных
трактов: чем выше требования к условиям работы и показателям
качества, тем большая доля расчетных
экспериментально-исследовательских и доводочных работ требуется при создании таких машин.
108

Работы непременно должны проводиться комплексно при
одновременном контроле всех параметров машины и анализе их
взаимовлияния.
Дальнейшие исследования течений во вспомогательных трактах
и силовых факторов неизбежно приведут к созданию более
совершенных методов расчета, сокращению объемов дорогостоящих
экспериментальных и доводочных работ и ускорению разработки и
освоения новых более экономичных, долговечных и надежных
конструкций лопастных машин.

Список литературы
1. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1969. 421 с.
2. Альтшуль А. Д. Гидравлические потери на трение в трубопроводах. М.—Л.:
Энергия, 1963. 256 с.
3. Байбиков А. С, Караханьян В. К. Метод расчета осевой силы в
центробежном насосе с учетом утечки. — Теплоэнергетика, 1973, № 9, с. 85—88.
4. Байбиков А. С, Шнепп В. Б., Евгеньев С. С. Исследование турбулентного
течения жидкости между вращающимся диском и корпусом при радиальном
расходе. — Компрессорное и холодильное машиностроение, 1970, № 4.
ЦИНТИхимнефтемаш, с. 5.
5. Байбиков А. С. К расчету потерь на дисковое трение в турбомашинах. —
Изв. вузов. Энергетика, 1971, № 1, с. 115—119.
6. Байбиков А. С. Гидродинамические характеристики щелевых уплотнений
роторов турбомашин. — Вестник машиностроения, 1974, № 9, с. 19—21.
7. Боровков В. С, Майрановский Ф. Г. Аэрогидродинамика систем вентиляции
и кондиционирования воздуха. М.: Стройиздат, 1978. 116 с.
8. Белоногое Л. Б., Якимов В. В., Моисеев В. И. К вопросу определения
величины осевой силы в лопаточных машинах. Труды Пермского
политехнического института, 1970, № 83, с. 30—34.
9. Васильев Э А., Невелич В. В. Герметические электронасосы. Л.:
Машиностроение, 1968, 260 с.
10. Вербицкая О. А. О факторах, влияющих на распределение давления в
боковых пазухах центробежного насоса. Доклады научно-технической
конференции по итогам НИР за 1964—1965 гг. М.: МЭИ, 1965, с. 134—148.
11. Голубев А. И. Торцовые уплотнения вращающихся валов. М.:
Машиностроение, 1974. 212 с.
12. Ден Г. Н. Механика потока в центробежных компрессорах. Л.:
Машиностроение, 1973. 270 с.
13. Доброхотов В. Д., Клубничкин А. К. Влияние некоторых геометрических
факторов на усилия, действующие на ротор центробежного нагнетателя. —
Энергомашиностроение, 1966, № 9, с. 16—19.
14. Дорфман Л. А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача
вращающихся тел. М.: Физматгиз, 1960. 260 с.
15. Дью X. Ф. Эмпирический метод расчета радиального распределения
давления на вращающихся дисках. — Энергетические машины и установки.
Груды американского общества инженеров-механиков, 1966, № 2, с. 61—79.
16. Захаренко С. Е. Экспериментальное исследование протечек через щели. —
Труды ЛПИ, 1953, вып. 2. Л.: Машгиз, 67 с.
17. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. М.: Гос-
энергоиздат, 1960. 464 с.
18. Караханьян В. К. Метод расчета осевой силы в центробежном насосе с
учетом режима его работы. — Теплоэнергетика, 1977, № 8, с. 60—65.
19. Караханьян В. К. К расчету осевой силы в центробежном насосе. Труды
ВНИИгидромаша, 1972, № 43, с. 83—98.
20. Кетола Д., Мак Грью. Распределение давления, сопротивление трения и
расходные характеристики для частично смоченного вращающегося диска. —
Проблемы трения и смазки, 1968, № 2, с. 86—101.
21. Ким Я. А. Методика экспериментамимого определения дисковых потерь
мощности центробежного насоса. — Энергомашиностроение, 1963, № 10, с. 45—47.
ПО

22. Кожевников Е. И. Исследование гидравлических сопротивлений узких ще
лей. — Труды ВИГМ. М.: Машгиз, 1959, вып. 24, с. 77 92
23. Костсрин С. И., Кошмаров Ю. А. Экспериментальное исследование гндроди
намкки турбулентного потока воздуха в зазоре между вращающимися коак
сиальными цилиндрами. — В кн.: Тепломассообмен. Минск, 1963 т 3
с. 405—413.
24. Краев Н. В., Овсянников Б. В., Шапиро А. Г. Гидродинамические радиальньн
уплотнения высокооборотных насосов. М.: Машиностроение, 1976. 104 с.
25. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 845 с.
26. Лойцянский Л. Г. Универсальные } равнения теории ламинарного погранич
ного слоя и параметрические методы их интегрирования. Труды Л ПИ, 1967
№ 280, с. 5-26.
27. Ломакин А. А. Центробежные и осевые насосы. М.— Л.: Машиностроение,
1966. 364 с.
28. Майер Э. Торцовые уплотнения. М.. Машиностроение, 1976. 288 с.
29. Марцинковский В. А. Гидродинамика и прочность центробежных насосов.
М.: Машиностроение, 1970. 210 с.
30. Менделеев И. С, Андреев В. А., Шамлиев В. К. Измерение осевых усилий
на спорный подшипник погружных электронасосов. — Изв. вузов.
Энергетика, 1969, № 1, с. 114—117.
3'. Михайлов А. К., Малюшенко В. В. Лопастные насосы. М:.
Машиностроение, 1977. 288 с.
32. Михайлов А. К., Малюшенко В. В. Конструкции и расчет центробежных
насосов высокого давления. М.: Машиностроение, 1971. 303 с.
33. Михайлов Ю. А., Язик А. В., Рудич И. Б. Измерение осевых сил в
турбокомпрессоре. — Труды Украинского НИИ природных газов, 1970, вып. 5,
с. 14—18.
34. Намитоков К. К. Исследование осевого давления на подпятник погружных
электродвигателей от гидравлической нагрузки центробежного насоса. —
Вестник машиностроения, 1959, № 9, с. 19—23.
35. Пешехонов Н. Ф. Приборы для измерения давления, температуры и
направления потока в компрессорах. М.: Оборонгиз, 1962. 184 с.
36. Проектирование гидростатических подшипников. Под ред. Гарри Риппела,
Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1967. 135 с.
37. Ратнер Ф. 3., Хинич Л. Н., Малышев Ю. Н. Расчет гидравлики
охлаждающих трактов газовых турбин с применением ЭЦВМ «Урал-2». — Трудь
ЦКТИ. Вып. 68. Л.: ЦКТИ, 1966, с. 5—19.
38. Руднев С. С, Байбаков О. В., Кириловский Ю. Л. Гидравлика, гидравпиче-
ские машины, гидравлические приводы. М.: Машиностроение, 1970. 235 с
39. Расчет водопроводных сетей/Н. Н. Абрамов, М. М. Поспелова, В. Н. Водо-
паев и др. М.: Стройиздат, 1976. 306 с.
40. Седач В. С, Неспела А. Н. Момент сил трения на полотне диска при
течении жидкости в аксиальном зазоре от периферии к центру. —
Теплоэнергетика. 1961, № 7, с. 32—35.
41. Хирс Г. Г. Применение теории интегральных характеристик пространственно
го течения к турбулентным пленкам. — Проблемы трения и смазки, 1973
№ 2, с. 27—34.
42. Хирс Г. Г. Систематическое изучение турбулентных течений в пленках —
Проблемы трения и смазки, 1974, № 1, с. 129—139.
43. Чегурко Л. Е. Разгрузочные устройства питательных насосов тепловых эле
ктростанций. М.: Энергия, 1978. 160 с.
44. Швец И. Т., Дыбан Е. П. Воздушное охлаждение деталей газовых турбин
Киев.: Наукова думка, 1974. 488 с.
45. Шерстюк А. Н. Турбулентный пограничный слой. М.: Энерг::л, 1974. 272 с
46. Шершнева А. Н. Влияние осевых зазоров между дис^-змч колеса и корпус*
на осевые усилия одноступенчатого центробежно1 о нагнетателя. — Тепло
энергетика, 1965, № 9, с. 80—83.
47. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969. 742 с.
48. Шнепп В. Б., Евгеньев С. С. Экспериментальное исследование усилия, дейст
вующего на вращающийся диск. — Химическое и нефтяное машиностроение
1970, № 6, с. 10—12.
11

49. Щукин В. К. Теплообмен и гидродинамика внутренних потоков в полях
массовых сил. М.: Машиностроение, 1970. 276 с.
50. Altaian D. Beitrag zur Berechnung der turbulenten Stromung im Radseiten-
raum von Radialpumpen. — Pumpen und Verdichter. Information, 1973, N 2,
s. 21—32, s. 52—55.
51. Daily I. W., Nece R. C. Chamber dimension effects in induced flow and fric-
tional resistanse of enclosed rotating discs. — Transactions of tre ASME. S. D.,
1960, vol. 82, N 1, pp. 217—232.
52. Macken W. A., Saibel E. A. Turbulence and inertial effects in bearings. —
Tribology, 1972, vol. 5, N 4, pp. 154—160.
53. Jamada J. Resistance of flow through annular with an inner rotating
cylinder. — Bulletin of JSME, 1962, vol. 5, N 18, pp. 302—310.

Оглавление
Введение 3
ГЛАВА 1. Течение в боковой полости лопастной машины 7
1. Физическая картина течения 7
2. Основные уравнения движения жидкости 9
3. Решение уравнений движения жидкости 13
4. Граничные условия 24
5. Распределение давления в боковой полости 27
6. Особые случаи решения уравнений движения 30
7. Метод численного решения уравнений движения 36
8. Текст программы расчета течения жидкости в полости ... 38
ГЛАВА 2. Гидродинамические характеристики типовых элементов
вспомогательных трактов 42
1. Щелевые уплотнения 42
2. Гидродинамические радиальные уплотнения 48
3. Полости между «ротором и корпусом 50
4. Перепускные трубопроводы и каналы корпуса 50
5. Подшипники на перекачиваемой жидкости 52
6. Расчет вспомогательных трактов 53
7. Текст программы расчета вспомогательных трактов на ЭВМ . . 57
ГЛАВА 3. Осевые силы, действующие на ротор, и методы их
уравновешивания 61
1. Рабочие колеса 61
2. Вращающиеся поверхности уплотнений 69
3. Торцовые поверхности опор, использующих перекачиваемую
жидкость 70
4. Разгрузочные устройства 71
5. Порядок расчета осевых сил, действующих на ротор .... 75
ГЛАВА 4. Потери на трение ротора о жидкость 76
1. Наружные боковые поверхности дисков рабочих колес ... 76
2. Боковые поверхности разгрузочных устройств, погруженных в
жидкость шарикоподшипников, полостей без протока .... 77
3. Цилиндрические поверхности дисков рабочих колес и разгрузеч-
ных устройств 78
4. Поверхности щелевых уплотнений 78
5. Гидродинамическое радиальное уплотнение 80
6. Контактные уплотнения 81
7. Подшипники 82
8. Баланс энергии в лопастном насосе ч . 82
ГЛАВА 5. Экспериментальные исследования характеристик
вспомогательных трактов 91
1. Подобие и моделирование гидродинамических процессов ... 91
2. Безразмерные характеристики 93
3. Экспериментальные методы исследований 95
4. Установки для измерения осевых сил 97
5. Влияние отклонений размеров элементов вспомогательных
трактов на качественные показатели машины 103
6. Методика отработки новых конструкций лопастных машин . . 107
Список литературы ПО