В. К. Качурин
РАСЧЕТ
БЕСШАРНИРНЫХ
СИММЕТРИЧНЫХ
СВОДОВ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
„Советская наука*
Москва 1942
ВВЕДЕНИЕ
Вопросу о расчете бесшарнирных сводов, или арок*, с давних
времен уделялось большое внимание. К настоящему времени ко-
личество авторов, посвятивших свои труды этому вопросу, на-
считывается сотнями. Такое обилие работ можно объяснить неко-
торым видимым противоречием между конструкцией и расчетом.
При исключительной простоте конструкции расчет получается
громоздким и трудным. Невольно напрашивается мысль об изыс-
кании новых простых способов расчета. Отсюда десятки ориги-
нальных работ и сотни компилятивных.
В настоящей работе также предлагается новый способ расчета
сводов. Способ этот, по нашему мнению, логически вытекает из
того, что было сделано раньше. Поэтому необходимо привести
краткий обзор существующих приемов расчета.
В замечательной работе проф. С. А. Бернштейна „Очерк ис-
тории расчета свода" ** указывается, что метод расчета бесшар-
нирного свода как упругого тела впервые дал Бресс ***. К сожале-
нию, работа С. А. Бернштейна распространяется только до этого
момента, и дальнейшая эволюция методов расчета не освеще-
на. Между тем вопрос представляет большой интерес, и необ-
ходимо осветить некоторые этапы этой эволюции.
Метод Бресса, конечно, не отличался совершенством. Бресс,
как указывает С. А. Бернштейн, прежде всего установил величи-
ну деформации элементарного отрезка свода, затем от этой де-
формации перешел к относительному перемещению двух сечений
сводов. А отсюда один шаг до определения статически неопреде-
лимых величин. При таком решении, без применения специаль-
ных искусственных приемов, в каждое из уравнений для лиш-
них неизвестных входят все лишние неизвестные, и уравнения
необходимо решать совместно. Это, конечно, усложняет задачу.
С. А. Бернштейн указывает на довольно частое в истории яв-
ление, происшедшее и с работой Бресса: „Расчет Бресса остался
незамеченным. Двадцать лет должно было пройти, прежде чем
Мор дал свой расчет бесшарнирной арки, который был всеми
* Оба эти термина с точки зрения строительной механики можно рассмат-
ривать как синонимы.
** Исследования по теории сооружений. Со. статей, ОНТИ, 1936.
*** Bress> Rccherches analitiques sur la flexion et la resistance des pieces
courbes, 1854.
1*	3
сочтен за последнее слово науки и получил общее при-
знание" *.
Не останавливаясь на первоначальных формах методов расче-
та сводов, перейдем к следующему этапу.
Мюллер-Бреслау в раб ,те „Die neueren Methoden der Festig-
keitslehre" (1893 г.) дал уже более совершенный способ расчета.
Он превращает арку в кривую балку, заделанную одним концам,
и для того, чтобы разделить лишние неизвестные, приделывает
к свободному концу жесткий рычаг, а неизвестные силы при-
кладывает к этому рычагу в так называемом „упругом центре*.
Такой способ уже представляет несомненный шаг вперед.
Однако, он либо нс был оценен, либо не был замечен.
Так, в книге Н. А. Белелюбского „Строительная механика14
(1897 г.) бесшарпирная арка решается без использования приема
для разделения липших неизвестных. В работе Н. А. Белелюбско-
го вообще нет выделения основной системы и не дано понятия о
липших неизвестных. Работа построена своеобразно. Автор на-
чинает с построения кривой давления и показывает, что для пос-
троения ее необходимо знать, во-первых, величину распора и, во-
вторых, две точки, принадлежащие веревочному многоугольнику.
Эти три неизвестных величины (распор и две ординаты вере-
вочной кривой) Н. А. Белелюбский находит на основании усло-
вий деформации бруса. Таким образом, липшими неизвестными
как бы являются две координаты и одно усилие.
Несомненно, способ, изложенный в книге Н. А. Белелюбского,
нельзя назвать совершенным и даже нельзя считать шагом впе-
ред. Тем не менее, не безынтересно отметить, что один из новей-
ших методов расчета рам — метод фокусов — принимает по су-
ществу за лишние неизвестные именно координаты.
То, что Н. А- Белелюбский не использовал преимуществ,
даваемых „упругим центром*, кажется несколько странным. Труд-
но предположить, что такой специалист, как он, бывший предсе-
дателем Международного общества испытания материалов, вид-
нейший русский инженер, хорошо известный и за границей, пе
был знаком с работой Мюллер-Бреслау. Очевидно, он либо не
учел преимуществ способа Мюллер-Бреслау, либо не счел полез-
ным усложнять идею. Идея, впрочем, у него все же довольно
сложна **.
Значительно проще идея в книге Ф. С. Ясинского „Устойчи-
вость деформаций и статика сооружений" (1902 г.). Здесь также.
Здесь проф. С. Л. Бернштейн не совсем прав. В работе, па которую ок
cci.in.ie гея (Zcitschriit d. Arch. und Ung. Vereines zu Hannover, 187-!), Мор дает
p.'U 'ier i тер'-кпепых. двухщариярных арок, а нс сплошных' споро;'..
СтеД'ег oirierim,, чго п книге нпж. II. С. Морозова „ 1 ’асет бсипарипр-
ui.it лше । г > ш .1 х ino.io'’.", и ".,'i.ai 11 :< >ii к I '.138 г. (Tp.i ncaa-.T.i ;:pii.i,i а I), л и шине пепзвест-
111.Н' iiik.kc не i>,i.i,:e.ii'iIi.i
<1
не выделена в явной форме основная система. Но все же опа есть—
это кривой брус с одним заделанным и другим свободным концом.
Однако, и в этой работе ни о каком разделении лишних неиз-
вестных речи не идет. Опять „упругий центр" не использован.
Думается, что здесь уже с очевидностью можно говорить об
игнорировании преимуществ разделения лишних неизвестных.
Работа Мюллер-Бреслау, виднейшего специалист;; того вре-
мени, была напечатана в 1893 г. Работа Ясинского окончена в
1899 г. (напечатана в 1902 г.). Едва ли есть хотя бы малейшее
вероятие, что за шесть лет Ясинский не познакомился с работой
Мюллер-Брослау.
Таким образом, работа Ясинского, давшая ценный по тому
времени материал в отношении очертания оси свода, самый рас-
чет свода вперед по продвинула..
Теперь несколько слов о выборе, основной системы. В книге
Г. Г. Кривошеина „Расчет сводов1' (1918 г.) указывается, что Мерт
в качестве основной системы берет кривой стержень, заделанный
одним концом. Мюллср-Бреслау и Ясинский* разрезают арку на
две полуарки в замке. Шепгофер превращает арку в балку па
двух опорах. Это три общеизвестных и весьма распространенных
приема. Последний прием используют “Я. Риттер**, Д. Я- Акимов-
Перетц*** и Штрасснер в своей замечательной работе „Neuere
Methoden zur Staiik der Rahmeiilragwerke mid das Elastischenbogcn-
lriiger,“ Band II (1927 r.)****.
Этот прием следует считать наименее удачны?л, так как он,
несомненно, менее нагляден, чем два предыдущих. Наибольшим
распространением пользуется способ рассечения своди в замке.
Однако, все упоминавшиеся приемы обладают одним общим
недостатком, который Г. Г. Кривошеин в своей работе „Расчет
сводов" характеризует так:
„При этом от изгибающих моментов в простой балке, весьма
топкой по сравнению с пролетом, получаются условные напряже-
ния от изгиба внешними заданными силами, в несколько десятков
раз превосходящие напряжения от сжатия в сводах. После вы-
числения реакций приходится прибавлять напряжения от этих
реакций. Эти напряжения имеют другой знак и почти равны по
величине напряжениям от изгиба внешними силами; таким обра-
тим, действительные напряжения получаются как небольшие раз-
ности больших чисел, что является, как известно, самым невы-
годным случаем вычислительной практики".
’’> книге Г. Г. Кривошеина дается способ, обходящий указан-
।> несколько нс соответствует имеющимся и пашем распоряжении данным.
I.; переводе на ругекпп язык Л. Л. Самойлова: „Теория и расчет каменного
или желе.юбе тонного арочного мост.Г', 1016.
। a i ni,a coo[>y;KTiiiui, 1. отд. Теория н расчет арок, Кубуч, 1926.
"•aa..:. J 1;| русском Я.Н.1КС и переводе II. Я. Ка.менцсва п В. Н. Дудинского:
.,1 M-ciu.ipiiiipiiBic арочные мосты", Траисиечать, 1928.
5
ное затруднение. Автором этого способа является Н. Г. Кривошеин,
предлагающий обращать бестарифный свод в свод же, но
толь::о трехшарпирный. Решение, несомненно, правильное. Усилия
будут получены не в виде малых разностей больших величин, а
в виде, разностей (а иной раз и сумм) величин одного порядка.
Вычислительные затруднения будут избегнуты.
Таким образом, Н. Г. Кривошеин в качестве основной системы
предлагает трехшарннрную арку. Однако, в качестве лишних
неизвестных взяты не моменты в местах постановки шарниров.
Если взять моменты, их, повидимому, было бы трудно отделить
друг от друга и пришлось бы решать систему из трех уравнений
с тремя неизвестными. В силу этого (а может быть, и других сооб-
ражений) в качестве лишних неизвестных взяты следующие вели-
чины:
1)	разность между распором бесшарпирпой и трехшарнирной
арки;
2)	разность между одной из вертикальных составляющих
реакций бесшарпирпой и трехшарнирпой арки;
3)	момент в одной из пят.
Однако, и при таком выборе липших неизвестных, они не раз-
делились, и-пришлось вводить некоторые дополнительные услож-
нения присоединением к арке жестких стержней и приложением
соответствующих сил в „упругом центре1'. При этом вместо одно-
го— двух жестких стержней, свойственных перечисленным выше
приемам, Г. Г. Кривошеин прикрепляет их к арке шесть. Вслед-
ствие этого способ в значительной мере утрачивает свою
простоту и наглядность. Тем нс менее способ И. Г. Кривошеина более
рационален, чем все приведенные выше, па первый взгляд кажется
несколько странным, что он не завоевал себе положения, соответ-
ствующего его достоинствам.
Объяснение, думается, можно найти пои изучении примера,
приведенного в книге Г. Г. Кривошеина. Обычно при расчете сво-
дов все вычисления производился с точно-'тью до пяти шести
значащих цифр. При такой точности результирующие величины—•
маленькие разности больших величин — нс теряются. Точность их
оказывается вполне достаточной. Казалось бы, если обычные спо-
собы требуют вычислений с точностью до пятой — шестой значащей
цифры, то способ Н. Г. Кривошеина может дать возможность
ограничиться третьей-—четвертой, т. е. точностью логарифмиче-
ской линейки. При таких условиях способ сразу завоевал бы
соответствующее положение.
Что мы видим в примере?
Точность вычислений сплошь идет до восьмого (!) знака, а в
отдельных случаях достигает и девятого (вычисление АН). Точ-
ность совершенно ненужная, способная скомпрометировать пре-
красную по существу идею.
Насколько неумело пользовался Г. Г. Кривошеин в своей ра-
боте цифрами, видно хотя бы в таблице на стр. 33 (второй части
6
работы). Здесь, например, при перемножении четырехзначных чисел
на шестизначные, результат записан с точностью до седьмого
знака, между тем ручаться за шестой знак уже безусловно нельзя,
да и пятый сомнителен.
Таким образом, неумелым пользованием цифрами можно легко
бросить тень даже и на прекрасную идею.
Чтобы пе возвращаться к этому вопросу коснемся еще другой
крайности. В книге А. Л'.шци „Графический новейший и кратчайший
способ расчета каменных н бетонных мостов" (1908 г.), где между
прочим трактуется не о расчете мостов, а исключительно о рас-
чете сводов, в качестве основной системы принята кривая балка
с одним заделанным концом. Пои этом указывается, что, иомилю
аналитического способа, липни влияния для лишних неизвестных
могут быть найдены графически, путем построения веревочных
многоугольников.
Это безусловно так. Но следует иметь в виду, что несмотря
па то, что вообще графические способы расчета могут гаранти-
ровать точность порядка 0,5—-1" (), в данном случае ошибка легко
может составить величину порядка десяти процентов, а, если
ошибки в двух линиях влияния лишних неизвестных будут на-
кладываться, то не исключена возможность погрешности и поряд-
ка 2О--зо";О.
В такую же ошибку впадает Н. Митропольский в работе
„Графический расчет несимметричного свода" *. Считая способ
приближенным, Н. Митропольский находит возможным пренебре-
гать влиянием на деформации нормальных сил. Это в высокой
степени усугубляет ошибку, которая в пологих сводах легко
может достигнуть величины 40—50%-
Переходим к предлагаемому в настоящей работе способу.
Принципиальные установки Кривошеина вполне правильны, и
мы ограничимся лишь выводом: в качестве основной системы,
следует брать трехшарпирпую арку.
Эта основная система нами взята с той лишь разницей..
Ч1о боковые шарниры расположены не в пятах, как у Криво-
шеина, а несколько вынесены в пролет (фиг. 1). Насколько они
пыпесепы, это будет показано ниже в выводах. Здесь отметим лишь,
ц.тя чего это сделано.
Дело в том, что при соответствующем выборе расстояния с
лишняя неизвестная сразу же отделяется от двух других. В
н'чметрической интерпретации это можно охарактеризовать так:
при приложении в замковом шарнире момента АД в точках А и В
ш' будет переломов. Это — точки перегиба бесшарнирного свода,
пидобные фокусам неразрезной балки или рамы- В дальнейшем
пи гички названы фокусами.
Таким образом, при помещении боковых шарниров в фокусных
гичках сразу отделяется одна лишняя неизвестная. Разделить
Tpj дм.Московского института инженеров транспорта, вып. III, 1927.
1
неизвестных выбраны
Л\ и X-j, при этом
все они разделились,
лишние неизвестные 7Иа и/Иа не удалось. С другой стороны, усло-
жнять схему прикреплением жестких рычагов мы не сочли жела-
тельным, но одновременно с этим было необходимо избежать
решения совместных уравнений. Эти соображения привели к
следующему решению. В качестве лишних
не величины 7И1( Л1а и Л43, а величины АД
Х^Щ;
Алу--.м,1-Ж;
X Z-.Z /Л2 — Ж3.
При таком выборе липших неизвестных
и необходимость в совместном решении уравнений отпала.
Детально все эти положения будут освещены ниже; предвари-
тельно остановимся па вопросе о необходимой точности.
Постановка этого вопроса
практически неизбежна. Ко-
нечно, задачу можно решить
по всем правиласл строитель-
ной механики с учетом всех
факторов, влияющих па де-
формации кривого стержня.
Однако, это приводит к не-
вероятно громоздким вычи-
слениям. Например, в книге
С. А. Прокофьева* дано в
общем виде такое решение
для несимметричного свода,
необходимо найти несколько
эти интегралы надо брать
акое решение практически

— г
Ф[1Г. 1.
Оказывается, что для решения задач
десятков интегралов и притом все
путем численного интегрирования,
совершенно неприемлемо.'
Пренебрежение влиянием различных факторов па точность рас-
четов подробно освещено проб- С. П. Тимошенко в его работе
„Расчет упругих арок" (1933 г.), и касаться 'его здесь не будем.
Постараемся подойти к вопросу лишь с практической точки зре-
ния. Для того, чтобы осветить эту практическую сторону, доста-
точно сказать несколько слов относительно Обуховского моста
через р. Фонтанку в Ленинграде. Этот мост стоит, и до послед-
него времени по нему происходило очень интенсивное дви-
жение f :.
Между тем, согласно правилам строительной механики мост
стоять не может. Объясняется это несовершенством применяемых
лама методов строительной механики. Свод, в противоречие вся-
ким расчетам, стоит благодаря наличию щековых стенок и забут-
ки. Может быть, следовало бы рассчитывать всю эту систему
J\. Прокофьев, Теория расчета сплошных упругих арок, 1912.
I: п.тстоя|цес время уже построен новый мост (ноябрь 1940 г.).
8
как одно целое. Но для этого строительная механика недоста-
точно совершенна. В результате—-кажущееся противоре-
чие.
Из сказанного, однако, не следует, что расчеты вообще бес-
смысленны и ненужны. Без расчетов, конечно, было бы невозможно
осуществление таких замечательных сооружений, как Московский
метрополитен, как Дворец Советов, как Днепрогэс, как знаме-
нитый мост через Золотые ворота с пролетом в километр с четвер-
тью. Расчеты необходимы, ио переоценивать их значение не сле-
дует.
В упоминавшейся уже работе Кривошеина есть такая фраза:
.„При изучении всех существующих способов, описанных у проф.
Ясинского, Мюллер-Бреслау, Ландсберга, Мартенса и др., неволь-
но поражает желание во что бы то пи стало учесть все встре-
чающиеся факторы, например, влияние поперечной силы, что толь-
ко загромождает теорию11.
Этой фразе нельзя не отдать должного. Таким образом, до-
пущениям необходимо поставить какие-то определенные гра-
ницы.
Нами принимаются обычные в таких случа$?х границы. Влия-
нием кривизны бруса на распределение напряжений считан-.: воз-
можным пренебречь. Влиянием перерезывающих сил пренебрегаем.
Моменты играют первостепенную роль, пеэюму о них речи не
может быть. Пренебрежение нормальными силами считаем невоз-
можным. В пологих сводах такое пренебрежение может повлечь
ошибку порядка 20—30% и выше.
Теперь несколько слов о содержании настоящей работы. Проек-
тировщику при расчете сводов приходится решать следующие
задачи:
1)	по заданным на основании архитектурных или габаритных
соображений размерам (речь идет главным образом об очертании
внутренней кривой свода) произвести возможно точны;; расчет;
2)	произвести быстрый и точный расчет и дать рациональные,
с топки зрения прочности, размеры свода;
3)	произвести приближенный ориентировочный расчет свода.
В соответствии с этими тремя задачами мы и стремимся дать
решения в настоящей работе.
Первый раздел—решение для свода любой формы при лю-
:>|>м законе изменения сечения. Это практически точный способ,
ниощий ту точность, какую можно получить при численном ин-
тегрировании. Другими словами, точность его соответствует обыч-
ному понятию о точном расчете сводов.
Второй раздел—-то же самое решение, но в открытой форме.
• гот способ уже нельзя назвать вполне точным, но все же практи-
чески его следует считать точным, так как ошибка по отношению
н обычному понятию о точном расчете получается порядка 2—3%.
Происхождение этой ошибки будет указано ниже.
'Гретин раздел — приближенные методы. Этот раздел имеет
две части. В первой части даются способы для вычисления пло-
щадей отдельных участков основных линий влияния. Эти площади
можно получить с относительно хорошей точностью порядка 5—
10°J,. Во второй части даются формулы для определения тех же пло-
щадей, по с значительно большей ошибкой; полагаем, что оконча-
тельные результаты могут быть определены с отклонением от
точных па величину п >рядка 10—15%.
Наконец, в том же разделе дан вывод формул для самых гру-
бых расчетов. На основании этих формул результаты можно по-
лучать с ошибкой до 20—25(,.о.
Кроме этих трех разделов, дан еще четвертый — графический
способ расчета.
I. РАСЧЕТ СВОДА АНАЛИТИЧЕСКИЕ СПОСОБОМ
1. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ВЫБОР ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ
В настоящем разделе работы мы поставили себе задачей дать
прием общего расчета, случая, когда геометрические размерь,
свода не подчинены никаким математическим закономерностям.
Цель — дать возможно более простые и быстрые приемы расче-
та, не требующие применения арифмометра, а следовательно,
дающие значительную экономию времени.
Как уже было сказано, свод надо превращать в систему, воз-
можно к нему близкую---!; свод же, по только статически опре-
делимый, трехшарнирный.
Вопрос в том, где расположить шарниры и какие величины
ваять за лишние неизвестные.
На фиг. 1 показана основная система с приложенными к вей
внешними силами и статически неопределимыми усилиями
(/И,, М, и /И.,), направленными в положительную сторону.
Положение среднего шарнира ясно: па оси симметрии свода,
Положение боковых шарниров пока неясно (будет рассмо-
трено ниже). Сейчас только заметим, что они расположены сим-
метрично.
В обычных способах расчета очень удачным является прило-
жение липших неизвестных в так называемом „упругом центре".
Благодаря такому приему неизвестные разделяются и не при-
ходится решать систему из трех уравнений с тремя неиз-
вестными.
Для каждой неизвестной получается независимый ответ уже
в буквенном виде.
Ш:лы в предлагаемой системе за лишние неизвестные взять
ветчины Лф, AJ., и /И.,, они не разделятся и, следовательно,
o\','ict необходимо решать три уравнения с тремя неизвестными.
11<||гому в качестве липших неизвестных взяты три такие ве-
'! 11  । ины:
А’1 = Л11;
X = М., 4- 7И3;
М3.
11", .и.п рим, какие преимущества имеет такая система лишних
ll'li UH I I |||,| S
11
Для этого напишем в общем виде канонические уравнения для
случая трех лишних неизвестных:
। - А\г'р,-+-Jij = 0;
Д?.Ц-|А"и ~Г A°3:i “А = 0.
В этих уравнениях буквой
них нагрузок. Индекс при Д
Фиг. ‘2.
пс у е м I < о же ни и симметричных
. обозначены перемещения от внеш-
показывает, в направлении какой
из лишних неизвестных проис-
ходит перемещение. Буквами S
обозначены перемещения от
лишних неизвестных (единич-
ных). При этом первый индекс
доказывает направление пере-
мещения, второй — причину.
Величины о1(, й13 и т. д., как
известно, могут быть найдены
помощью интеграла Мора. При
этом эпюры моментов и нор-
мальных сил от приложения
единичных сил (фиг. 2, а)
будут, очевидно, симметрич-
ны. Точно также будут симме-
тричны эпюры от нагрузки по
фиг. 2, L. Если же обратиться
к нагрузке по фиг. 2, с, уви-
дим, что она „обратно симмет-
рична" (или „КОСОСИММОТрИЧ'
на“), в силу этого и эшоры бу-
дут обратно симметричны. При
эпюр на обратно симметричные,
очевидно, должны получаться величины, равные нулю.
Такими величинами в написанных выше канонических урав-
нениях будут й1;;, о.,.,, й:!1 и у.;,; с л е д о в ате л ь но, кая о ни че с кие урав-
нения примут более простой вид:
Неизвестная Ах3 отделилась.
Если бы мы каким-либо способом сумели добиться того, чтобы
величина й13 (а следовательно, по взаимности и й2]) сделалась
равной нулю, у нас разделились бы все неизвестные. Оказыва-
ется, что путем удачного выбора положения боковых шарниров
(величины с на фиг.1) можно добиться того, чтобы перемещения
й13 и о31 были равны нулю.
.12
Величины 812 и В21 могут быть найдены на основании теоремы;
Мора, согласно которой
З13 = й21
Г , j-JW'dL
J F.J	ЕЕ ~
Оба интеграла должны быть распространены на всю систему.
Величины АГ и N' должны быть взяты из системы по фиг. 3, «,
величины М" и Л/'1 — по фиг. 3, b\ Е, J, Е—соответственно
модуль упругости, момент инерции, площадь сечения.
Все эти величины для
сечения с координатами х
и у (начало координат в
среднем шарнире), имею-
щего наклон к вертикали,
равны:
М'^М^-Н'у-^1 — ^;
N' — Н' cos а = — cos у;
• с т
Н"у=~-
с
N” =— Н costp = — — cos <р.
Тогда формула Мора при-
нимает вид:
Каждый интеграл должен быть распространен на полусвод.
Постараемся, чтобы величины 312
.Но можно сделать при определенном
'),'м это расстояние, исходя именно
0, т. е. из условия:
и о.л превратились в нуль,
выборе расстояния с. Най-
из того условия, что —
2
1 1 /
— cos a )cls
Е---------0.
("кращая на постоянные величины и производя некоторые
и гените преобразования, получим:
С vf/.s 1 Г v-V/.v 5 Г c,os2st/s
--	- -	-	----- --------_л_ _0>
13
отсюда:
Напомним, что 'все три интеграла должны быть распространены
на полусвод.
При выборе такого расстояния с, т. е. при вполне определен-
ном расположении боковых шарниров, величины 612 и о21 превра-
тятся в нуль, и канонические уравнения примут окончательный
.вид с полностью разделенными лишними неизвестными:
'~-0;
Л2о2.Я-Ла--0;
Л £3» + ‘Vs:0.
Выражение для "с может быть написано в несколько более
удобном виде. Заметим, что	Кроме того, величину х.
I ‘
можно заменить величиной г • ~2~; для удобства письма величину
полупролета будем обозначать буквой г/;тогда
сать х — zd и dx- ~-d • dz. Следовательно, ds—
ние для с (после сокращений) примет вид:
можно будет папи-
d • f/z
и выраже-
р у" dz	Г1 cos <рrZz
) 0 Jcosy Jo f
Г1 ydz
J 0 Jcos 7
(1)
2. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
Таким образом, установлено, что при выборе расположения боко-
вых'шарниров в расстоянии от замка по вертикали, равном с,
.все Дри неизвестных разделяются и могут быть написаны так:
.	х3==_*?.
у - — д"
.! ~ « •
°зз
Дальнейшая задача не представляет никаких принципиальных
трудностей и сводится к определению величин Д,, и т. д.
Поставим себе задачу построить линию влияния. На основании
теоремы о взаимности перемещений можем утверждать, что вели-
чины Д1; Д.. и A:j будут ординатами линии прогиба от единичных сил
соответственно Х„ Х2 и Х3. Перемещения Др Да и Д3 будем счи-
14
тать положительными, если они происходят вниз (по направлению
действующей вниз единичной внешней силы) и отрицательными
в противном случае. Величины on, о22 и о;!3 всегда положительны
и, как уже сказано, равны перемещению от единичной неизвест-
ной силы (Х1; X, X.,} по направлению этой силы.
Посмотрим в первую оче-
редь, какими приемами удоб-
нее всего определить величи-
ны Ар Это, как установлено,
есть ордината линии прогиба
от сил, показанных па фиг. 4, о.
В силу симметрии ясно, что
если построить линию прогиба
для одной половины арки, то
тем самым будем знать и ли-
онию прогиба для другой. Мо-
жем рассматривать, следова-
тельно, одну полуарку.
Следует обратить внимание
на следующее обстоятельство.
Величина о.д, как установлено
выше, равна нулю. Это значит,
что при приложении парного
момента М\~1 в замке в бо-
ковых шарнирах не будет вза-
имного поворота соседних сече-
ний. Это в свою очередь дает
возможность рассматривать деформации полуарки как деформацию
простой кривой консоли, не прерывающейся никакими шарнирами
(фиг. 4, в). Определение этих деформаций не представляет особых
।ру.ностей, но задачу удобнее всего рассматривать, изучая от-
дельно влияние изгибающих моментов и отдельно влияние нор-
мальных сил.
1 Рассмотрим сначала влияние изгибающих моментов.
1>удем считать, что нам надо определить перемещение сечения
। абсциссой х0.
Предположим, что в сечении с координатами хну вырезан эле-
М' иг длиной ds (фиг. 4, в). Предположим, что в этом сечении воз-
никает изгибающий момент, равный Мх. Тогда концы элемента
и..рпутся на угол
Mxds
(iv —---- •
EJ
I'' ли будем считать, что момент Мх положителен, то все се-
I'liini apiui, расположенные правее данного, поднимутся. При
'|"'| < •ченпс с абсциссой х0 поднимается на величину:
I А' | - [d^x~x0)] =	.
15
Мы условились перемещения вверх считать отрицательными;
следовательно, в алгебраической форме величина элементарного
перемещения сечения с абсциссой х0 будет равна:
,. , Мх (х— хо} ds
На перемещение сечения с абсциссой х0 будут влиять дефор-
мации всех элементов, расположенных левее данного сечения.
Для того чтобы определить суммарную величину перемещения,
необходимо взять интеграл в пределах от хо до d, где d величи-
на полупролета.
Тогда перемещение сечения с абсциссой х0 (от влияния момен-
тов) будет равно:
i	.Wt (х— х0) ds
' ~ “ Jx0 EJ '
Имея в виду, что
л — z-d,
x0^z0-d,
ddz
ds — --,
COS <p
/ (1-4) ^-z^dz
получим:	A =— d2 I__________-—
’	I	EJ cos о
J *o
Влияние нормальных сил учтем аналогичным образом
(фиг. 4, Ь).
Элемент ds под влиянием возникающей в нем продольной силы
Л/х (будем считать ее растягивающей) удлинится на величину
Nx ds
Элемент с абсциссой х0 поднимется (отрицательное пе|н-чеще-
ние) на величину:
,, „	sm в Л
dl, — — do -sin to ----------------
i	•	рр
Учитывая деформации всех элементов на участке меж чу сече-
нием С аОСЦНССОЙ Хо И ПЯТОЙ И Принимая ВО ВННМанИе, ЧО>
_ ,	,,	cos ®
N — И cos и = -----,
Л	»
, d-dz
ds— —
cos у
15
получим:
„	__ d Г’ set ? dz
1 е JZ„ FE "
Окончательно будем иметь, что перемещение сечения с абсцис-
сой xu~z„d под влиянием моментов и нормальных сил равно:
А; ~-Л 1 - j— Л 1-
Величина о,; — взаимный угол поворота соседних сечений в
замке (фиг. 4, а)— может быть определена как удвоенный угол
поворота конца кривой консоли, показанной па фиг. 4, в. Величина
его, на основании теоремы Мора, может быть написана:
У Q I'd Mxds . Cd Nvds
6 ii - - z	z	•
J о	J о EF
Подставляя принятые выше обозначения, получим:
------с^~~
Jo EJ cos у
dz
с2 ЕЕ ccs
о

О
Простейшие преобразования дадут:
_dz_______________2 П ydz
J CCS 'f с Jo J CCS Y
1 ..V'7'7-- _[ Pcos ¥til
о J COS y C2 J q F J
нахождении величины с, мы имели уравнение:
Cyds 1 i" y"ds
Выше, при
0.
Г
Имея з виду, что интегрирование здесь производится па
полунролет, выразим эту формулу в новых обозначениях (через г).
Получим:
Г1 ydz d ।1 у-d/, d С1 cos -zdv. _
d (	---------1 ----------I ------t;— — 0,
Jo J cos у г? Jo 4 ccs f cjo c
или, умножая все члены на —	, можем написать:
са
yd'Z | 1	y^-d/ J 1 /1 COS Y dz
cJo^cosy c2J04cos-y 1 c2Jo F
Из трех последних слагаемых, стоящих в скобках выраже-
ния ?<и , можно выделить как раз такой трехчлен. Так как он равен
нулю, то для ?п получим простое выражение.
П К» Knuypitfi.
(3)
17
Заметим, между прочим, что выражение для угла сп получи-
лось независящим от нормальных усилий.
Теперь нахождение ординат линии влияния для лишней неиз-
вестной Зц сводится уже к чисто вычислительной операции. На
ней остановимся ниже в примере. Сейчас напишем необходимые
формулы для построения л и я и и
Фиг. 5.
В этом выражения:
влияния лишней неиз-
вестно й Х.х.
также надо будет
рассмотреть влияние, изги-
бающих моментов и влияние
нормальных сил, но удобнее
будет несколько изменить
порядок. Именно, начать с
о п р е ,’j е л с к я в е л и чи-
lii,! С..,. Величина не что
иное. к,:к взаимный угол
поворота, сиселнчх се1"щи
в одном из б-жосих гарни-
ров под влиянием нагрузки,
показан1 oii на фиг й, а.
В силу симметрии можем
рассматривать сечения од-
ной полуарки (фиг. 5, и) и
интересующий нас угол по-
ворота. определять к; осно-
вании теоремы Мора:
(' /И v ds , С Nx ds
о„„ - I — - - -1----•
.) 1:J J ЛС

M.--=/7coso	-
С
Подставляя эти значения в формулу Мора и делая ряд уже
встречавшихся замен, получим:
°*	С1 У-.'Лг . d Г1 I'iiS-:d.r
Он О - I	—	|	*
'"Jo K'/ccso cjo
Выше мы имели уравнение:
_ фр?М£ _l Lp у’^г 1 Р ‘'С1'' о
cJoA’OSS 1 С-Рсб i'as-j. с-,; и
Сравнивая эти два уравнения, можем написать:
I ____ rf Г' J/ilz_
I ~~ ^-'CJ О J cos f i	,	’J)
18
Заметим, что величина 3.22, так же как оп, не зависит от нор-
мальных сил.
Теперь, имея величину й2„ можем перейти к определению
величин а...
Рассмотрим вначале влияние моментов и временно пред-
положим, что в боковом шарнире (фиг. 5,») никакого перелома
tiC ‘Э^ЛСТ.
Тогда величина Л., подчинится тому ке самому выражению,
которому было подчинено выражение для А,, т. е.
(Д /о
А./   : — I - -, -   — -
Разница только в том, что изгибающий момент будет иной
<	ф.
/Дсла.я соответствующие, подстановки, получим
А ..
В л и я н и е
же выражением,
А,. Разница будет
нормальная сила.)
и направлении.
Следовательно, влияние
л, ни
нормальных сил выразится в точности тем
что было написано при нахождении величины
только в знаке, так как распор (единственная
1
в другом случае равен у с разницей
и в том и
нормальных сил выразится форму-
ЛЛ'
slu 7 rf;
А., Д2 )- А2 с
<)днако, не
IIJII •ли< 1ЛОЖСИИИ
I , -in мы учтем
 ни- дн-жду боковым н средним шарнирами изменят свое
,h4iiK , следовательно.
.1 полная величина персмсчцепия будет равна
И- С । у (г - г„) tlz	</
lie .5 z,i J ecs ®	/:<’.! zy F
забывать, что формула была получена и
отсутствия угла поворота в боковом шарнире,
этот поворот, то увидим, что все точки на уча-
поло-
для них величина А3 будет иметь иное
и-, :в-. Тем не менее, полученная формула не теряет своего
в пня. Поворот в боковом шарнире нисколько не изменит
. ния точек между этим шарниром и пятой и, следователь-
н пин анное выражение для этого участка будет действитель-
I in участка же между боковым и средним шарнирами надо
' । нвестп поправку (прогиб вниз--знак плюс):
*(>) —^22^\2«
19
Таким образом окончательно получим:
для участка между боковым шарниром и пятой
д ____________________ d- i'1 y(z — z^dz , d Д siiitfrfz
^Jz’o 7cOS = -^Cj2o
для участка между боковым и средним шарнирами
Остается найти выражение для построения линии влияния
третьей лишней неизвестной А’;|.
Начнем так же, как в предыдущем случае, с определения о.,.
Все предыдущие рассуждения останутся действительными. В си-
лу обратной симметрии на-
грузки можем рассматривать
Пол} пр ег (фиг. 6). Тогда:
где:
о
Му. vx — lzd,
'	а
N.. - v sin (с - - sin и.
	 а
Делая эти и другие принятые выше подстановки, получим:
f1 dz 4б' p ? d~ I
j61:::;	»2/;.i0Jccs э 1 c'-7:Jo /'e<so ' |
Следует заметить, что величина о.„ уже. зависит от влияния
нормальных сил. Однако, значение второго члена, характеризую-
щего именно влияние нормальных сил, очень мало, особенно для
пологих сводов. Так как этот член вносит лишь небольшое
усложнение, пока сохраним его.
Перейдем к определению величии Д3. Здесь будем рассуждать
совершенно так же, как в предыдущем случае. Во-первых, на-
ходим величины Д_, для одной (левой) половины (фиг. 6, е). Для
правой будем иметь картину обратно симметричную. Во-втооых.
так же, как в предыдущем случае, будем вначале предполагать,
что в боковом шарнире нет взаимного поворота частей. Тогда от
влияния моментов получим:
у___ CdAdy(x—хп) ds
3~ J.v0	‘
20
9
Так как М- v>-	~~х>
а
ТО
____2^’f-l z (г — г„) rf;
3 aEjzo J cos у
Влияние нормальных сил выразится:
"	Г11 !\'у siu - ds
2 sin ::
Так как АЛ. = v-sin z—z ,
.1	.	г/
получи м:
д,"_2//_ f * l sil12 у ,!z
(il: J?o /•’ cos 7
Рассуждая совершенно так же, как. в предыдущем случае,
получим:
для участка между пятой и боковым^шарниром (левым)
Д3^Д/-НА/
2rfS’i z ( г — Z:)} dZ 2d р sill'- y dZ- .
аВ.’гу ./ cosy	c/:J Е cos ? ’
для участка между боковым (левым) и средним шарниром
2(£—
аЕ J^o 7 cc s о
2d Г1 sin- 7 dz
ab J 2,| /'cosy
~H:i3
- 0
i(7)
i
Таким образом установлены приемы нахождения ординат ли-
ний влияния для липших неизвестных. Остается еще показать,
каким образом строятся линии влияния для моментов н нормаль-
ных сил в любом сечении арки. Однако, ввиду принципиальной
простоты соответствующих приемов, не будем здесь на них ос-
танавливаться. На примере проследим и нахождение ординат
названных линий влаяния. Учет влияния изменения температуры
рассмотри?.! ниже.
Пример. 1. Основные данные и линии влияния для лишних
неизвестных. Возьмем железобетонную арку. Данные следующие:
пролет Z—33,48 л?.;
нолупролет а ~~ —j- = 16,74 м;
: трелка /=3,6о0 м\
момент инерции арки в замке Уо~0,0210 ш1;
т|. арки подчинена уравнению:
, |. п 0,966;
21
закон изменения сечения подчиняется формуле:
J cos ф, |	2	~ С' !' 1 ’
1д’Ч-
х=^~ 1,671,
р - ~ 1,019;
ширина арки	о — 0,6 м;
высота сечения в замке /г—-0,75 м.
Сечение прямоугольное.
Вообще говоря, для изучения приемок вычислений предлага-
емым способом и для проверки результатов способа безразлично,
какой именно выбрать пример. Подчинение очертания и сечения
арки написанным формулам позволяет решить задачу в открытой
форме, и она ниже для указанных данных решена.
Вычисленные для заданной арки основные геометрические
данные приведены в табл. 1.
В этой таблице замечаем один недостаток рассматриваемого
примера: высота сечения па двух ближайших к няте участках
несколько падает. Это противоречит общепринятым приемам
проектирования арок. Однако, с одной стороны, такое падение
не велико (высота, сечения падает на 3 см, г. е. меньше чем на
3°,;ф. С другой стороны, как уже сказано, для изучения приемов
расчета и результатов нет необходимости в строгой конкретности
примера. Кроме того, мы располагаем расчетом конкретной арки,
размеры которой чрезвычайно близки к рассматриваемым, н<>
без падения высоты к пяте. Интересно, вообще говоря, сравнить
результаты для конкретной арки с результатами, полученными,
при принятой замене очертания. Этот вопрос ее. входит, впрочем,
в задачи настоящей работы и его касаться щ- будем. Заметим,
только, что результаты получились достаточно близкие*.
В первых шести графах табл- 1 даны основные интересующие
нас геометрические данные.
Основная величина, на которой зиждется весь способ, это ве-
личина с. С ее вычисления и необходимо начать. Для этого необ-
ходимо найти распространенные на полупролет интегралы
f-v3,fe	{y,iz 	l>Clls'r i7-
J -/cos у ’	J ^':;s ? ’	J
Данные, необходимые для вычисления этих интегралов, приво-
дятся в графах 8, 9 и 10 табл. 1.
*0тмстия еще, что § 308 ТУ НКПС 1938 г. дает следующее укюипне.
„Расхождение в гоопюшеппи моментов инерции сечений арок или сеидов,
принятых в расчете н полученных но конструктивным чертежам, доауиюетсп
не более чем на 20%; в противном случае должен быть произведен повторный
расчет конструкций".
22
h
м
4
0	0	0,450	0,7.5
0,1	0,035	0,477	0,79
0,2	0,141	0,505	0,84
0,3	0,318	0,537	0,89
0,4	0,565	0,570	0,93
0,5	0,886	0,606	1,01
0,6	1,2ь0	0,636	1,05
0,7	1,749	0,660	1,10
0,8	2,296	0,676	1,14
0,9	2,923	0,675	1,13
1,0	3,650	0,663	1,11
to
У	У2	£ OS z
J cos 9		/•’
8	9	10
0	0	2,22
1,4	0	2,10
4,7	0,7	1,97
8,9	2,8	1,84
13,3	7,6	1,73
17,6	15,7	1,61
22,2	28,5	1,52
27,6	48,2	1,45
34,4	76,7	1,40
44.8	130,9	1,37
60,2	2.19.0	1.3/
Таблица 1
Л 41 ср ')	CCS'у 6	__1 __ J COS ср
		7
0	1,000	47,6
0,0422	0,999	40,1
0,0843	0,996	33,6
0,1247	0,992	28,1
0.1679	0,986	23,6
0,2.79	0,978	19,9
0,2504	0,968	,17,4
0,2910	0,957	' 15,8
0,3324	0,943	15,0
0,3746	(,927	15,3
0.4173	0,909	16,5
Продолжение табл. 1
-		Z- J VC'S ср	siti2 9 F cos ср
	11	12
	0 0,4 1,6 2,5 8,8 5,0 6,3 7,7 9,6 12,4 16,5	0 0,00 0,01 0,03 0,05 0,07 0,10 0,13 0,17 0,22 0.29
Кроме трех указанных интегралов, для определения величин
;1, о22 и о;в необходимо иметь еще три интеграла, распростра-
ненных также на полупролет, именно:
Г dz -/dilz pin" zdz
,]J COS 'y > J COS Y ’ J r cos о
Данные для их вычисления приведены в графах 7, 11 и 12.
Четыре из шести интегралов, связанных с влиянием моментов
и имеющих существенное значение, вычислены по формуле Симп-
сона.
Два, связанных с нормальными силами и играющих второсте-
(COS'-fde f sillS eifz
пенную роль, а именно I—~— и1д~~, найдены по формуле
трапеции.
Результаты получены такие:
24,00 -'г
I
20,35 —т .
1
41,35 “у .
м-
l’6S i 
5,703- — .
л/'1
0,093 —-
.и1-’ ‘
Имея эти интегралы, сразу же можем найти величину с.
41,35 ЧД.,68
’40,35
Величины и тоже мои,-ем сразу же подсчитать. Все не-
обходимые для этого данные имеются. Но величину подсчитать
не можем, так как в выражение для нее входит значение а— рас-
стояние между боковыми шарнирами, которое нам пока неизвест-
но. Необходимо, следовательно, определить ::ту величину.
Здесь мы встречае.мся с некоторым затруднением. Если ось
арки задана уравнением, как в нашем случае, определить значе-
ние « нетрудно. Действительно, величина ~ есть абсцисса боко-
вого шарнира, величина г’—его ордината. Ордината пав- ihw-crua
и, следовательно, имея уравнение, мы не встретим особы', pun
2 ч
ципиальных затруднений в определении абсциссы, а следователь-
но, и величины а. Несколько хуже, если ось арки не задана
уравнением, а очерчена, скажем, по какой-то коробовой кривой.
В этом случае, если арка пологая и, следовательно, на участке
между двумя соседними сечениями близка к прямой, величину а
(вернее %-) можно найти путем простой линейной интерполяции.
Если арка подъемистая, простая линейная интерполяция, невиди-
мому, может дать нежелательные погрешности.
Однако, благодаря предложенному выбору основной системы,
не нужна такая точность в определении геометрических размеров,
как при обычных способах. Поэтому оказывается возможным ве-
личине а. брать непосредственно с чертежа. Масштаб при этом,
1 1
по нашим соображениям, желателен--:.-——-г- .
2э оО
В рассматриваемом случае ось арки задана, уравнением
- y==fl^ uy+(1	’
где /---3,65 м, ц = 0,666, у~-с — 2,12 л/, а величина должна
а
быть заменена интересующим нас значением 2_.
d
Тогда формула получит вид:
с = /Г (	;1)рЛЛ
[/ \ 2rf / 1 v 2<М i
или:
а	>
Величину определяем путем последовательного приоляже-
иия. Так как второй член, стоящий в скобках, несомненно, мал
и<> сравнению с пеовым, можем ио первому приближению написать:
-
Подставляя значения с и ц, получим:
...	а
I споро можем определить величину “ точнее, уже не пре-
ш'|ipeiati членом уравнения с J а придавая этой величине
и1 'лучеиное по первому приближению значение:
25
Подставляя соответствующие значения, получим:
4-2,12
0,966-3,65
0~,034
6-0,966
(1,534/’— 1,540.
Toil же формулой можем воспользоваться для третьего прибли-
жения:
=1,5-10.
8 V Л
Таким образом, по второму и третьему приближению получа-
ем одну и ту же цифру. Следовательно,
<1=1,540	1,540-16,71 =25,78 лг.
Теперь, имея величину а, можем найти не только 4П и Т,2, но
и S„a;
2г/ Г f ilz 1 pi _y(fc Л 33,48 Г	20,35'1	482
О — -- I ---------— — I  - — —------------ ; 4,00  ---- I ex ;
11	cj„Jn>s T J I- L	2,12 j Ц
(l П ydz 16,71	160,5
= - —— I ------- -----20,35 =------
/:c ,’,/cos1X2X2	г,
4 <P < 1 tfidz	4d r’shi-frfj'	4.16,74
J33 a"i: Jo Jcoss	<?"/: j„ 1- cos <p	23,8v,J-r.
i	1	0,1006 ('	'i	160,7
1 i6,7o'-.-,,703-L-0,095 =-- 1598-p 0,093 =-------.
L	J I.	J b
Следует заметить, что при вычислении значения 433 второе
слагаемое оказало исчезающе малое влияние. Другими словами,
влияние нормальных сил на величине £.м ир.1ктически совершен-
но не. сказалось. На величинах и fi„., оно не сказалось и тео-
ретически. Правда, это замечание требует оговорки: в выражения
Sj|, <,,, и входят величины а и с. Так как эти величины зави-
сят от влияния нормальных сил, то, строго говоря, величины он,
%., и З3,( от этого влияния не вободны.
Теперь переходим к более трудной задаче — к вычислению
величин 1, и
Величина как установлено, равна
Это выражение для вычислений удобнее представить в таком
виде:
26
В табл. 2 сведены результаты подсчетов величин У для
сечений через одну десятую полупролета.
При этом величины:
обозначены в таблице соответственно буквами и, v и та. Первые
шесть граф табл. 2 пояснения не требуют. Цифры графы 7 полу-
чаются путем интегрирования величин, помещенных в графе С.
Для примера, цифра 0,28 в графе 7 в строке, соответствующей г
(или г„) равному 0,5, найдена путем использования при интегри-
ровании величин графы б, начиная со строки, соответствующей z
= 0,5 вниз до конца, т. е. 11,6; 6,9; 2,8; - ;,2;•— 5,8 и—•• i 1,9.
Интегрирование производилось по формуле Котеса. Интервал
интегрирования Az--0,1. Цифра 1,70 графы 7 получена путем
интегрирования величии графы б, начиная с величины 17,3 шшз
до конца и т. д. Таким образом, для составления цифр графы 7
пришлось путем численного интегрирования взять десять инте-
гралов.
Данные графы 8 получены путем перемножения взятых
из соответствующей строки цифр граф 1 и 7. Цифры графы V
получены подобным же образом из цифр граф i и 6, а цифры
графы 10—из цифр графы 9 подобно тому, как цифры графа;
7 из цифр графы б, т. е. каждая цифра найдена путем численно-
го интегрирования нижележащих.
Цифры граф И —15 пояснений не требуют. Цифры графы 16
получеиы из цифр графы 15 путем интегрирования, подобного
лпум предыдущим случаям. Разлива только в том, что цифры
|р<|фы 16 имеют очень малый удельный вес, поэтому иитегри-
pniiiimie произведено не по формуле Котеса, а по более простой.
|><> для данного случая достаточно точной формуле трапеций.
Цифры графы 18 представляют не что иное, как произведение
цг.шчины Aj на модуль упругости, т. е. Л,/;. Из полученного
раньше мы можем извлечь величину Ф, f~', опа равна 482.
I лк как Лу-——L, то, осознании буквой ^ординаты линчи
щ
и ।пиния для неизвестной 2ф, получим:
Гоним образом, чтобы получить ординаты линии влияния, ваде
цифры графы 18 разделить на — оиД, т. е. на — 482. Результаты
/в < ....‘аны в графе 19.
1 и- io' и i nn-одно замечание к табл. 2. Мы стремились к тому,
...oil ...... in'.hi ч<-тах пользоваться логарифмической линейкой.
z иди Zo	У M	у c		J (4.S у		<' J CUS a	Г (HQ ^zl)
1	2	3	~ 4	5	6	7
0	0	0	1,000	47,6	47,6	14,42
0,1	0,035	0,016	0,984	40,1	39,4	10,06
0,2	0,141	0,007	0,933	33,6	31,4	6,51
0,3	0,318	0,150	0,850	28,1	23,9	3,76
0,4	0,.)G5	0,210	0,734	23,6	17,3	1,70
0,5	0,886	0,418	0,582	19,9	11,6	0,28
0,G	1,280	0,604	0,396	17,4	6,9	— 0,65
:\7	1,749	0,825	0,175	15,7	2,8	— 1,13
	2,290	1,082	—0,03.1	15,0	-1,2	— 1,21
	2,928	1,381	— 0,381	15,3	— 5,8	— 0,89
	3.050	1,721	—0,721	16,5	— 11,9	__
'Г а б л и ц а 2
...с 1 >- J COS *- -°	- и	1- - с- J Eos -2 z	“1 ^1"y^Z</Z Jz0 ^COS? =v
8	9	10
0	0	2,51
1,01	3,9	2,30
1,30	6,3	1,79
1,13	7,2	1,10
0,68	6,9	0,38
0,14	5,8	- 0,26
— 0,39	4,1	- 0,75
-0,79	2,0	— 1,07
— 0,97	-1,0	— 1,12
— 0,80	— 5,2	— 0,86
0	— 11,9	0
- -	(к - i’) ,Г-		Sin 'f	Л ЛР	sin cp F’
- .	12	13	14	15
- 2,51	— 7,03	0	0,450	0
— 1,29	- 3,61	0,042	0,477	0,089
— 0,49	— 1,37	0,084	0,505	0,167
0,03	8	0,125	0,537	0,232
0,30	84	0,168	0,570	0,293
0,10	112	0,208	0,656	0,343
0,36	101	0,250	0,636	0,394
t',28	78	0,291	0,660	0,441
0,15	. 42	0,332	0,676	0,491
0,06	17	0,375	0,675	0,555
0	0	0,417	0,663	0,630
П род о л же н и е табл. 2
f 1 si:l f dz	(l Г1 sin dz	(u — v) d2 —	Ek,
Jzo	F	C	F	— w =: EAj	Г‘1~~
	W		
16	17	18	19
0,33	3	— 706	1,47
0,33	3	— 364	0,76
0,32	3	— 140	0,29
0,30	9	6	— 0,01
0,27	-	82	-0,17
0,'4	2	110	— 0,23
0,20	2	99	- 0,21
0,16	1	77	— 0,16
0,11	1	41	— 0,09
0,03	0	17	-0.04
0	0	0	0
Во .чиогих случаях точность логарифмической линейки далеко нс
использована (например, при вычислении цифр граф 8, 9, 16).
Одиткэ повышать точность нельзя, так как в этом отношении мы
ограничены точностью цифр графы 5. В результате ординаты ли-
нки влияния получаются всего с двумя десятичными знаками и,
шш;шме.р, максималыкш ордината получилась с ошибкой порядка
'одного процента (см. ниже). ?/?о обстоятельство ле должно сму-
щать, в силу самой сущности предлагаемого способа. При вычис-
лении ординат других линий влияния мы не буддл иметь мадень-
ки < разностей больших величин и, следовательно, ошибка в один
ярэ>’-.‘-гг ио может вырасти в десятипроцентную. Она останется
я лла других линий влияния такого же порядка •• 21’ф, а такую
точное!’>  рактически следует считать вполне приемлемой.
Д. г я В!.;числеиий ординат линии влияния лишней неизвестной
X.., которые будем обозначать буквой необходимо подсчитать
значе:!-« А.. Для этой величины имеем формулы:
для участка между боковым шарниром и пятой
</-(’ у	d ~ , d (' shisrfz
l	------------ I ----------------2
I:c .. J '.'os у l:c _ r
дли участка между боковым и средним шарниром
,	d'- l’1 v(z — zj./c I d ?' sins :!/. , „ J а \
A;, I -	|	..........-ro22rf| --- cl
he ]. J cns у he J. ./	\ 2d I
Эти выражения удобнее всего гаписать в таком виде:
В табл. 3 приведены резул.ьтаты подсчетов по этим формулам
величин А.,. Цифры граф !, 2 и 3 не требуют пояснений. Цифры
граф -1 а й найдены подобно тому, кг;к находились аналогичные
величины в табл. 2 (графы 7 и 10). Цифры графы б найдены по
цифрам графы о, умножением на величину г„, взятую из соответ-
стиую'цей строки. Нахождение цифр граф 7 и 8 не представляет
затруднений, а цифры графы 9 взяты из табл. 2 (графа 2 7). С}’м-
мир'.'еанне цифр граф 8 и 9 дают цифры графы 10.. Эти цифры
дают величины ЕХ, однако, нс на всем протяжении иолупролета,
а лишь па участке между пятой и боковым шарниром (строки
таблицы от £„“1,0 до -0,77). На протяжении остальной части
таблицы (от г„ —0,77 до £й —0) необходимо ввести слагаемое
Это слагаемое подсчитано в графах II и 12.
30
Ecj?h цифры граф 10 и 12 просуммировать, получим величины
Е\., щ> всей длине полупролета. Эти величины помещены в графе 13.
Если их поделить на ЕЕ,2.---160,6, получим ординаты линии
влияли;! Ординаты псмеи'епы в графе 14.
В табл. 3 введена строка, для г,. •-•-.(),77. Эта строка необходима
для того, чтобы найти ординату линии влияния в боковом шарнире.
; Ijnpi'.a эта подсчитай;', не вполне точно, ио, по нашему мне-
нию, ..гос'лтгочпыи приближением. Ввиду того, что цифры графы
10 вырщ-х;; .•','••• собой плавную кривую, мы считаем возможным
цифру э/’'го столбца для го-”О,77 взять но интерполяции между
двумя соседними цифрами. Это обстоятельство освобождает от
неэбхо:?'дviocti-t производить соот'лстстзуюпдие, довольно кропот-
ливые подсчеты для с„-= 0,77 в графах 2- 9. В графах 11 —14
подсчеты по своему характеру ничем по отличаются от подсчс-
гос; в других графах таблицы.
Еще одно важное замечание. Ввиду того, что точность под-
счетов :;аходится, так сказать, на пределе, величины, помещенные
а траф';.< 3 и 12, необходимо вычислять возможно точнее. При
подсчете этих цифр мы были вынуждены отказаться от польза-
Ь‘?Р/?.»СЙ'КОЙ.
Вьг1;г',::?ние ординат линии влияния для третьей липшей не-
известной Х., которые будем обозначать буквой y:j, требует вы-
4И1’л='ния величин А... Эти величины выражаются формулами:
для участка между пятой и боковым шарниром
.	'2<Р ф г (z — z0) dz 2d С' twszdi
,ДГ, . —.	\	~	s
J cos? а/:’.!.-,, /'cos?
для участка между боковым и средним шарнирами
2<Р Г1 z(z z„)rfz 24 1 sin2?4~ , p ,/ о
cZ; J J cose	al:) - /-’cost. ' "" \ ‘2d
Как и в предыдущих случаях, эти формулы удобнее выразить
в таком, виде:
.	‘2d' i1 x'dz ‘2d-’> Г' 7.dx ‘2d (' siii2-4z
al: J . 7'.'os ? al:	j. J ces a al:	Feos?
, _	24-: Г* z’-dv. , 24" i” zdv. "2d f' svf-' c4z ,	, / a \
Д3 • . — i	\ —---------- I 4- r->-Md • — г„ .
nt: ф A'os? al:	]Yeos? и : ] F cos?	\ 2</	'
Результаты вычисленья по этим
формулам приведены в табл. 4,
припции составления которой совершенно тот же, что и табл.
Надо обратить внимание на следующие обстоятельства.
24 Г зЫ'-ЧЩ/
о-.—I-------— (графа 12) настолько мал по сравнению с
е ; . Feos?
Член
дру-
гимн слагаемыми (графы 8 и 14), что практически никакой роли
не сыграл. В силу этого считаем возможным вообще этот член
выбросить из формулы для Д=.
31
Т а б л и ц а 3
сс
to
				11				И				II Q ^4^		II fa		
				1 о i		-.1-	n:	9- СЛ		_L		+		с-1 еО	4-	
																
				?"i S	N)						\п 1			N		
		П’	uh	L{ 1				о N		1	о N	1	t . 1	1	г,	
				1 с		о						\ _✓* **	1	i	A |	
			-Ъ	г N "—;				О ы	1 I	.	*7: i «о	-о				"ci
1	2		3	4	5			6	7	8	9	10	1	12	13	1 н
0	0		0	14,63	20,36			0	— 14,63	-1934	3	-1951	0,770	207-)	139	-0,87
0,1	1/1		0,1	1 4,62	20,30		2,03		— 12,59	-1665	3	— 1662	0,670	1801	139	—",87
0,2	4,7		0,9	14,59	20,02		4,00		- 10,59	—1400	3	—1397	0,570	1532	135	-0,84
0,3	8,9		2,7	14,41	19,33		5,80		- 8,61	1139	2	-1137	0,470	1263	126	—0,79
0,4	13,3		5,3	14,03	18	z 3	7,29		— 6,74	- 891	2	- 889	0,370	994	105	—0,65
0,5	17,6		8,8	13,32	16,67		8,34		— 4,93	— 65<	2	— 656	0,270	725	69	-0,43
0,6	22,3		13,4	12,23	14,70		8,82		— 3,41	- 451	2	। — 449	0,170	456	7	— 0,04
0,7	27,6		19,3	10,59	12,19		8,53		— 2,06	— 272	1	— 271	0,070	188	-83	0,52
0,77				—				—	—	—	—	— Г. 3	0	0	-173	1,08
0,8	34,4		27,5	8,30	9,13		7,30		— 1,00	- 132	1	-- 131	__	—	-131	0,82
0,9	41,8		40,3	5,01	5,25		4,73		— 0,28	— 37	0	— 37	—	—	— 37	0,23
1,0	60,2		6Л2	0	0		С		0	0	0	0	—	.—	0	0
*11ифры граф 8 и 19 должны быть подсчитаны с точностью, превышающей точность
логарифмической лппенки.
** Вторая половина линии влияния т]? симметрична.
Следует заметить, что вычисления, произведенные при состав-
лении табл. 4, довольно чувствительны к неточностям. В силу
этого все подсчеты необходимо производить возможно тщательнее.
Фиг. 7,
Линии влияния для лишних неизвестных показаны па фиг. 7.
Здесь ординаты таблиц 2, 3 и 4 показаны сплошными линиями.
Небезынтересно проследить, как на величинах этих ординат
сказывается учтенное в табл- 2, 3 и 4 влияние нормальных сил-
3 П. К. Качурин
Т а б л и ц а 4
Z или -0	2-3 J COS ©	С1 z"d~ Jz0^cos <f = Q	z	Г1 z dz 1 - J COS 'Z - =.R	Г1 zdz Ли ”, сЫ/ COSS	- Q 7?	2rfS /	\
			J COS Cf				
1	2	3	4	О	6	7	
0	0	5,68	0	9.41	0	— 5,68	— 2067
0.1	0,4	5,68	4,0	9,21	0,92	— 4,76	— 1730
0,2	t,3	5,59	6,7	8,66	1,73	— 3,85	— 1402
0,3	2,5	5,41	8,4	7,'.O	2,37	— 3,'14	- 1105
0,4		5,10	9,4	7,03	2,81	- - 2,29	— 832
0;5	5,0	4,65	10,9	6,04	3,02	— 1.63	— <>'.)£
0,6	6,3	;	‘*,08	10,4	5,01	3,00	— 1.08	— 303
0,7	7,7	3,39	11,0	3,95	2,77	— 0,62	— 226
0,77				—	—	—	.—	— 14’
0,8	9,6	i 2,52	12,0	2,79	2,23	— 0.29	— 104
0,9	12,1	1,45	13,8	1,52	1.37	— 0,08	— 29
1,0	16,5	°	16,5	0	0	0	0
Продолжение табл. 4
o-l Cl ! L,	n- c>	F cos s	jJ	1 » 1'COS a J	’	11 4S| °- 0 ^1 £ CO -1 l( sb'	1	II co 		 N 11 1	„ 1 S| s 1 II S' F? Ы 0- 1	
9 ,!	10		11		12	13	14	15	16
0	0		0,094		0,12	0,770	2067	0	0.
0,004	0,004		0,094		0,12	1 0,570	1799	69	— 0,43
0,014	0,014		0,093		0,12	0,570	1530	128	— 0,80
0,029	0,029		0,091		0,12	0,470	1262	157	— 0,98
0,050	0,051		0/87		0,11	0,370	993	161	— 1,00
0,071	0,072		0,081		0,10	0,270	725	132	— 0,82
0,099	0,101		0,072		0,09	0,170	456	63	— 0,39
0,128	0,134		0,060		0,08	0,070	188	— 38	0,24
—					—	0	0	— 141	0,88
0,157	0,167		0,045		0,06	—	—	— 104	0,65
0,208	0,224		0,026		0,03	—	—	— 29	0,18
0,263	0,290		0		0		—	0	0
е Данные графы 2 взяты пз графы 11 табл. 1.
** Во второй половине линии влияния симметричные ординаты имеют
те же абсолютные значения, но обратный знак.
34
Дело в том, что пренебрежение этим влиянием, несомненно, облег-
чило бы все вычисления и упростило бы решение задачи. Если
ущерб точности будет невелик, с ним можно будет помириться
и тем упростить всю технику построения линий влияния.
Уже отмечалось, что па ординатах т|;| влияние нормальных сил
практически совершенно не сказывается. Им можно игнорировать,
и тем самым в табл. 4 выбросить графы 9, 10, 11 и 12.
Что касается ординат двух других линий влияния, то здесь
влияние нормальных сил значительно существеннее и возмож-
ность пренебрежения ими требует соответствующего анализа.
На фиг. 7 пунктиром показаны ординаты линий влияния к
т;., подсчитанные без учета влияния нормальны?; сил. Соответ-
ствующие цифры показаны и в табл. 5. Наиболее существен-
ная ошибка получена в средней части липин влияния Однако.,
она получилась порядка 2°/0, т. е. величины, практически вполне
приемлемой. Есе же сейчас еще преждевременно говорить о до-
статочности такой точности. С ошибкой в 2%, конечно, можно иг
считаться, но возможно, что при построении линий влияния для
моментов и нормальных сил в различных сечениях арки эта ошиб-
ка превратится в десяти- или пятпадцатипроцентную, что ужа
будет неприемлемо. Отсюда вытекает, что анализ ошибки в слу-
чае пренебрежения влиянием нормальных сил необходимо продел-
жить и на дальнейшие подсчеты.
Таблиц а 5
^0	Т1		Г12			
	ТОЧИ.	лрибл.	ТОЧИ.	нрибл.	точи.	крнбл.
0	1,47	1,46	-0,87	— 0,85		Э
0,1	0,76	0,Л5	— 0,87	— 0,85	— 0,43	
0,2	0,20	0,28	- 0,84	— 0,82	— 0.80	
0,3	— 0,01	— 0,02	— 0,79	— 0,77	— 0,98	
0,4	— 0,17	— 0,17	— 0,65	' — 0,64	—	1,00
0,5	— 0,23	— 0,23	— 0,43	— 0,42	— 0,'-2	
0,5	— (',21	— 0,21	— 0,01	— 0,03	-0,39	
0,7	— 0,16	— 0,16	0,52	0,52	0,24	
0,77	—	—	1,08	1,08	0,88	
0,8	— 0,09	— 0,09	0,82	0,82	0,65	
0,9	— 0,04	— 0,01	0,23	0,23	0,18	
1,0	0	0	0	0	0	
2. Линии влияния для моментов и нормальных сил в лю-
бом сечении арки, а) Линия влияния для момента в
сечении ~о = 0,77. Выше получены линии влияния для лишних
неизвестных. Теперь при построении линий влияния для усилия в
любом сечении арки подходим к ней как к статически определимой.
Посмотрим прежде всего, как построить линию влияния для
момента в том сечении, где у нас получились боковые шарниры
;г	За
(фокусные точки) арки, т, е. в сечении с абсциссой, величина
которой равна 0,77 полупролета (~р — 0,77).
Ординаты линий влияния ть, и rJ:! мы можем представить тек:
7]3 — /И. - /И..,
где М, и /Ну — моменты соответственно в левом и правом фокусе.
Отсюда момент в левом фокусе
М.,
2
или, если вместо Ж мы примем для ординат линии влияния
моменты в левом фокусе обозначение т;0,77,
^2 ' b Ч?
ТЮ’77  — б/ '
Вычисление ординат дано в табл. 6. В этой же таблице даны орди-
наты, подсчитанные приближенно, исходя из приближенных зна-
чении т12, данных в табл. о. Сравнение приближенных и точных
значений показывает, что ошибка получается небольшой, едва
превышающей (на больших ординатах) 1°0.
Т а б л к ц а 6
Zo		Т(.»	60’77	
			точи.	прнб.г.
1,0	0	0	е	0
0,9	0,23	0,18	0.21	0,21
0,8	0,82	0,65	0,74	0,74
0,77	1,04	0,88	0,98	0,98
0,7	0,52	0,24	0,38	0,38
0,6	—0,04	—0,39	-0,22	—0,21
0,5	—0,13	—0,82	—0,63	-0,62
0,1	- 0,65	— 1,00	—0,83	—0,82
0,3	—0,79	—0,1-8	- -0,89	-0,88
0,2	—0,84	—0,80	-0,82	—0,81
0,1	—0,87	—0,43	—0,65	—0,64
0,0	- 0,87	0	--0,44	—0,43
-0,1	-0,87	0,43	-0,22	—0,21
—0,2	-0,84	0,80	—0,01	-0,03
-0,3	—0.79	0,98	0,10	0,11
—0,4	—0,65	1,00	0,18	0,18
—0,5	—0,43	0,82	0,20	0,20
—0,6	—0,04	0,39	0,18	0,18
-0,7	0,52	—0,21	0,14	0,14
—0,77	1,08	-0,88	0,10	0,10
—0,8	0,82	0,65	0,09	0,479
-0,9	0,23	—0,18	0,03	0,03
— 1,0	0	0	0	0
В этой и последующих		таблицах ве	ЛИЧИНЫ ,С'„ С	положитель-
ними знаками	относятся	< левой половине свода, с		отрицатель-
ными — к правой.				
36
Ь)	Линия влияния для момента в левой пяте. На-
хождение ординат линии влияния для момента в пяте требует
значительно большего количества вычислений, чем для предыду-
щего сечения. На фиг. 8 показана наша теперь уже статически
определимая система со всеми действующими на нее усилиями.
Момент в пяте будет слагаться из четырех величин.
Во-первых, момент от силы Р=Л. Этот момент обозначим,
на основании
соображений
буквой /И„;
простейших
отметим, что при положении
груза в точках Л, Д и Е мо-
мент будет равен пулю, т. е.
При положении груза в
точке В момент в пяте будет
равен:
Фиг. 8.
= — 1
°	2
При положении груза в
точке С получим (вертикальная сила в точке В равна U----
а
а распор п
, Мп I — а М.> (f — с)
Ж'^Ж +-^~г + ~----------
3 а 2	2с
М с	=а е 1
4с	2 2	------ 
4
Затем от влияния момента Ж, приложенного в точке В, в:
пяте будем иметь (вертикальная сила в точке В, направленная
а
М.,	М„\
вверх, будет V^~-	, распор
МЛ МД
‘2а 2с
Далее, от влияния момента TWj (распор/7 = —) имеем:
М}	°
М' = — с {f-c)-
Наконец, от влияния момента Ms (вертикальная сила в точ-
n	М-.	А4-! \
В равна V— ~-~и направлена вниз, распор /7=~ ):
МД —а МД \	М,1 МД
^'=-т-2- + ^Ч/-с)=~^+17-
37
Таким образом, суммарный момент в левой пяте будет:
„	„	М.1 , M.f A^(f-c)
м" = Mr -= Я -!- /И"	/И' + М'" = М, -|-	+ -,Л -	-
М-.1 . МД
'2а 2с
Эта формула может быть преобразована к виду:
Mr - < ч- 2~ (М -м3у\-^{м.2у м3) - -^-с— 
Но
Ж фМ3^;, Д=-т(1;
следовательно:
Mr	। ~ М М- "I М М>-
Ь'	11 с 2с - 2а 13 и
Ординаты линии влияния для левой пяты, подсчитанные по
этой формуле, приведены в табл. 7.
В этой таблице величина ЛГ0 определялась следующим обра-
зом. По формулам, написанным выше, были определены моменты
в пяте при положении груза Р- -1 поочередно в трех шарнирах
(точках В, С и JI, фиг. 8). Эти значения в табл. 7 составляют
соответственно—3,85; 2,73 и 0. Так как при определении /Ио
мы имеем дело с статически определимой системой, между точ-
ками В и С, С и Д будут прямые линии. Прямая будет и между
точками А и В. Имея в виду, что в точках Д и В ординаты ли-
нии влияния равны пулю, нетрудно по интерполяции определить
ординаты всех промежуточных точек. Это и сделано в соответ-
ствующей графе табл. 7.
В предпоследней графе таблицы даны ординаты линии влия-
ния, найденные по соответствующим значениям ‘G>, и опре-
деленным с учетом влияния нормальных сил. В последней графе
приведены приближенные значения, подсчитанные без учета вли-
яния нормальных сил. Ошибка (на больших ординатах) получается
порядка 2%.
с)	Линия влияния для момента в любом сечении.
Для построения линии влияния изгибающего момента в любом
сечении неудобно пользоваться той основной схемой, которой мы
пользовались до сих пор. Сейчас мы имеем возможность перейти
к другой, более удобной системе: к трехшарниркой арке с шар-
нирами, не вынесенными в пролет, а расположенными в пятах.
Моменты в этих сечениях (в пятах) нам уже известны, и мы
имеем возможность пользоваться ими для дальнейших вычислений.
Допустим, что нам надо построить линию влияния для сече-
ния В арки, показанной на фиг. 9.
Момент этот так же, как и в предыдущем случае, слагается
из четырех величин: влияния момента от единичной силы (7И0).
влияния моментов в левой пяте, в правой пяте и в замке.
38
6g
T а б л и п а
При положении груза 1 в точках Л илиД получим 7H0 = q.
При положении груза в точке В (вертикальная составляющая
/ — и ,, .. I »____________________________________и \
левой опорной реакции V — 1 [ ;распор ы -	;
2
При
I — и	и
---- и — ~ № — и
I 11 2f ~U
положении гр} за
« I
М, Г ' 4/
л;
Фиг. 9.
От молтента в сечении Р> будет изгибающий момент (вер-
тикальная реакция на левой опоре, направленная вниз, равна
/,Г;	,/>	Мл \
/7	U I   //
V —	. распор Л—
..л	л
«Н ri Ми ,-\лл /1	11 w \
/И —п I 11	<2f	\ I 2f )~
Н— Л'1
От момента (распор п— у”>’вертикальная сила равна
нулю)
М‘ ® •
Л/!ГГР
От момента в правой пяте (вертикальная, направленная
вверх реакции левой опоры V — ——-распор п — ~у~ j
М"
М!,Р Al 'Р	[ “
U------W М1’Р 7
I	2f	“ \1
40
Момент в рассматриваемом сечении будет:
Д< = т1Л.	- {- мп + м 4- м'"	д, 4-
к I 2f,
1
r f 	" \i
W \
2/)’
или, имея в виду, что	— <т(], A4// = rjf/ и обозначая M!i,p через
i$\ получим:
В качестве примера подсчитаны ординаты линии влияния дли
20 — 0,5. Для этого сечения и — 0,25 Z, те» = /—_у0,5 = 3,650 — 0,885 - .
- - 2,764 м (см. табл. 1 или 2).
Все подсчеты сведены в табл. 8. Таблица эта пояснении не
требует, так как величины Д определены совершенно так же,,
как подобные величины определялись в табл. 7.
Т а б л цца 8
- = 0,754; 1 —	= 0.371; - — - = — 0,129; и ( 1 — “ — ® А
/ •’	I 2f ' I ‘2f	\ I 2f J
= 3,10; -A = — 2,16
2\ I 2fJ
z<>	11	i/;	..up	IV J) — I /	4-4	w\ ~“2/J	пр	W.\ \ I ‘2f/	Al0	
1,0	0	0	0	0	0		0	0	0
0,9	—0,04	-1,32	0,11	—0,03	— 0,49		—0,01	0,62	0,09
0,8	-0,09	-2,14	,35	-0,07	-- 0,80		— 0,05	1,24	(’,32
0,7	-0,16	—2,5!	0,66	-0,12	— 0,93		— 0,09	1,86	0,72
0,6	0,21	-2,53	0,97	--0,16	— 0,94		— 0,12	2,48	l,'->6
0,5	—0,.:3	—2,27	1,9	-0,17	-0,84		— 0,17	3,10	1Д2
0,4	—0,17	— 1,78	1,52	-0,13	— 0,66		— 0,20	2,05	1, 6
0,3	-0,01	— 1,14	1,64	-0,01	-0,12		— 0,21	0,99	0,35
0,2	0,29	-0,43	1,61	0,22	— 0,16		— 0,21	-0,06	-0, 1
0,1	0,76	0,30	1,34	0,58	0,11		— 0,17	--1,11	—0.59
0	1.47	0,92	0,92	1,11	0,34		— 0,12	—2,16	—0,83
- 0,1	0,76	1,34	0,3 i	0,58	0,52		— 0,04	— 1,94	—0,88
— 0,2	0,29	1,61	—0,43	0,2.	0,60		0,06	— 1,73	—0,85
— 0,3	—0,01	1,64	-1,14	-0,01	0,62		0,15	--1,51	-0,75
— 0,4	-0,17	1,52	-1,78	—0,1.5	0,57		0,23	-1,30	—0,83
— 0,5	-0,23	1,29	- 2,27	0,17	0,48		0,29	-1,08	-0.48
— 0,f	-0,21	0,97	—2,53	-0,16	0,35		0,33	-0,86	-0,33
— 0,7	—0,16	0,66	—2,52	—0,12	0,24		0,33	-e,65	- 0. ?0
— 0,8	—0,09	0,35	-2,14	—0,07	0,13		ОД8	—0,43	—0,09
-0,9	—0,01	0,11	—1,32	-0,03	0,04		0,17	—0,22	-0,74
— 1,0	0	0	0	0	0		0	0	0
41
В табл. 8 не дано приближенных значений величин 7(),3. Объяс-
няется это тем, что в пределах принятой точности вычислений
приближенные значения не отличаются от точных. Иными слова-
ми, разницу едва ли можно ожидать свыше 0,5—1% (на больших
ординатах).
d)	Линия влияния для распора. Линию влияния для
распора опять удобнее всего строить, исходя из основной систе-
мы, показанной на фиг. 9.
Распор сложится из четырех слагаемых — влияние внешнего
единичного груза и влияние трех моментов
М^, Мг и .
При положении груза Р--1 в точках Л и D распор равен
нулю. При расположении груза в точке С
4/'
момента имеем
' 2/'
/И|
от момента Л'11 имеем ----------->
от момента Мц” имеем	—
тогда ордината линии влияния распора будет:
Н ~ <],' = Но + Н’
r
1 ' 2/	/ '	2/ ’
или, делая соответствующую замену обозначений, получим:
J
Л г !7р
2/
I тЛ/'7
’ 2
В табл. 9. для полупролета (ввиду симметрии) дан подсчет
ординат линии влияния. Пояснений эта таблица, ввиду ее просто-
ты, не требует. Из табл. 9 видно, что разница между точными
и приближенными значениями не превышает 0,5%.
е)	Линия влияния для перерезывающей силы
в з а м к е. За основную примем опять систему, показанную на
фиг. 9.
От груза Р — 1 перерезывающая сила будет изменяться со-
вершенно так же, как в случае простой балки. Обозначим эту
перерезывающую силу Qo.
42
Таблица 9
— =: 2,30
4/
	''л	,е ,4 i .. Пр f‘ а « S//	151 + “ - 2	7 л 1 Пр ,	'и+'ч1 ~ 'Ду	2_	 /		^11	
						точп.	прибл.
1,0	0	0	0	0	0	о	0
0,9	— 0,04	- 1,21	— 0,57	— 0,16	0,23	0,07	0,07
0, >	— 0,09	— 1,79	— 0,81	— 0,22	0,46	0,24 0,48	0.21
0,7	-0,16	— 1,86	— 0,77	— 0,21	0,69		0,48
9.6	— 0,21	— 1,56	— 0,57	— 0,16	0,92	0,76	0,76
0,5	- 0,23	— 1,08	— 0,31	— 0,08	1,15	1,07	1,07
0,4	- 0,17	— 0,26	0,04	0,01	1,38	1,37	1,37
0 3	- 0,01	0,50	0,26	0,07	1,61	1,68	1,69
0,2	0,29	1,18	0,30	0,08	1,84	1,92	1,9:;
0,1	0,76	1,64	0,06	0,02	2,07	2,09	2,10
0	1,47	1,84	— 0,55	- 0,15	2,30	2,15	2,16
От момента на левом конце перерезывающая сила будет
равна:
от момента в середине
от момента на правом конце
тогда
— m'Jp
q = 7)(3 =Q0 + Q' -|- Q" + Q"' = ---------------п-^-
или
Подсчеты ординат даны в табл. 10.
Влияние деформаций от нормальных сил на линии влияния
для перерезывающей силы в замке отражения не имеет. В силу
этого здесь совершенно нет нужды в определении приближен-
ных значений ординат линии влияния.
/) Линия влияния для нормальной силы в любом
сечении. Для определения нормальных сил в сечении арки
воспользуемся еще одной новой статически определимой схемой.
Схема эта показана на фиг. 10 (полуарки раздвинуты).
43
Таблица 1G
	пр л 11	—р, П	11	ПР ,г Л IlL. —!Р 1	1 Qo	>	{:Q
1,0	0	0	0	0
0,9	1,-13	0,04	-0,05	-0,-' 1
o,s	2,19	(',07	—0,10	—0,03
0,7	3,18	0,09	—0,15	— 0,< 6
0,6	3,50	0,1!)	—0,20	— 0,10
0,5	3,56	0.10	—0,25	—0,15
0,4	3,30	0,10	—0,30	—0,20
0,3	2,78	0,08	—0.35	-0,27
0,2	2,04	0/6	—0,40	—0,34
0,1	1,04	0,03	—0,45	-0,43
0	0	0,60	0,50 ~	— 0,50 0,50
-0,1	— 1,01	- 0,03	0,45	0,43
—0,2	—2,04	-0,06	0,40	0,34
—0,3	-2.78	—0,08	0.35	0,27
—0,4	—3,30	—0,10	0,30	0,20
—0,5	—3,56	—0,10	0,25	0,15
— 0,6	-3,50	—0,10	0,20	0,10
—0,7	—3.18	—0,09	0,15	0,06
-0,8	—2,19	—0,07	0,10	0,03
-0,9	—1,43	- 0,04	0,0п	0,01
—1,0	0	0	0	0
Нормальная сила в сечении А может быть определена по
одной из двух формул: если сила Р — 1 вне пределов участка
АВ, то
= Н cos о Q sin э,
или
7j;v =• tiji cos cs TjQ.sin <c;
если же сила P — 1 в пределах
участка АВ, то
Af = Н cos а Q sin -5 Psin s,
или
t)n — V/ с°5 ¥ ~rYi Q '? +
-|- 1 - sin (0.
В качестве примера возьмем сечение в четверти пролета. Для
него (см. табл. 1) cos — 0,978, sin а = 0,20.
Подсчеты ординат линии влияния сведены в табл. 11.
Приближенных значения не дано, так как совершенно ясно,
что ординаты Ду зависят только от tIq, которая определяется со-
вершенно точно, и от Др которая приближенно определяется с
сшибкой не более 0,5%.
В силу этого в ординатах полученной линии влияния ожидать
ошибку более 0,5—1,0% едва ли возможно.
44
Таблица 11
	'О//	т1(2	Ti/Z COS '4		1 - Sin у	T,.v
1,0	0	0	0	0		0
0,9	0,07	— 0,01	0,07	0	—.	0,07
0,8	0,21	— 0,03	0,23	0	—	0,23
0,7	0,48	— 0.06	0,17	— 0,01	—.	0,46
0,6	0,76	— 0,10	0,74	— 0,02	- -	0,74
0,5	1,07	— ОД 5	1,05	- 0,03	0,20	1,02/1.22
0,4	1,37	— 0,20	1,34	— 0,01	0,20	1,50
0,3	1,68	— 0,27	1,64	— 0,0.1	0,20	1,79
0,2	1,92	— 0,34	1,88	— >7	0,20	2,01
0,1	2,09	— 0,43	2,04	— 0,09	0,20	2,15
0	2,15	— 0,50/0,50	2,10	- 0, i 0 0,10	0,20	2,20
— 0.1	2,09	0,43	2,04	0,09	—.	2,13
0,2	1,92	0,31	1,38	0,07	—.	1,95
- - 0,3	1,68	0,27	1,64	0,05	—	1,69
— 0,4	1,37	0,20	1,31	0,01		1,38
-0,5	1,07	0,15	1.05	0.03	—.	1,08
— 0,6	0.76	0.10	0,71	0,02	—.	0,76
-0,7	0,48	0,06	0,47	0,01	—.	0,4.8
- -0.8	0,24	0,93	0,23	0		0,23
- - 0,9	0,07	0.01	0,07	0	—	0,07
- 1,0	0	0	0	1	0	—	0
Этим построение линий влияния может быть закончено и мо-
жет быть дан следующий вывод.
Пренебрежение влиянием нормальных сил при нахождении
ординат линий влияния дает ошибку. Эта ошибка для ординат
одной из лишних неизвестных достигает величины порядка 2-3'’^,.
Однако, эта линия влияния для свода не является „расчетной",
и ошибка в ней на 2-3°.!0 еще не показывает, что напряжения в
своде будут определены с такой же ошибкой.
Ординаты линий влияния, которые можно назвать „расчетными"
(моменты в пяте, в четверти и других сечениях, нормальные силы),
дают ошибку, достигающую или немного превосходящую 2° 0.
Ошибку в 2% даже для такого материала, как металл, нельзя
считать ошибкой. При расчете сводов с заделанными пятами речь
идет о камне, бетоне или железобетоне. Эти материалы гораздо
менее однородны, чем металл и, следовательно, здесь тем более
ошибка в 2°Д-, никакой роли сыграть не может.
Эти результаты получены для пологого железобетонного свода
с отношением стрелы к пролету -у— — . Как известно, влияние
нормальных сил в пологих сводах сказывается значительно замет-
нее, чем в подъемистых, поэтому можно быть совершенно уверен-
ным, что для подъемистых сводов ошибка будет еще меньше. Для
них соответствующею анализа не производится. Но есть другой
фактор, от которого также зависит удельный вес влияния нормаль-
45
ных сил. Этот фактор — толщина свода. В рассмотренном случае
она относительно не велика. Отношение толщины свода в замке
Ло
к пролету равно у
44,8
Между тем есть примеры автодорож-
ных мостов с отношением
1
/	25
а в железнодорожных это стнс-
1
шение в отдельные случаях достигает даже — .
20
Для оценки этого фактора произведен подсчет ординат линии
влияния лишних неизвестных для свода, совершенно подобного
предыдущему, с той только разнице!:,
«гена в 1,5 раза, т. е. тол паша в замде
что толщина свода увели•
доведена до — 1.
а О
Результаты (здесь не приводятся) показали, что пренебреже-
ние норм.!льпы'ми силами дает для липшей неизвестной Хг ошибку
порядка 1';-„ (па больших ординатах), для X..— ошибку в В1';,,,
для X.,— ничтожную. Другими словами, ошибка с увеличением
толщины свода возрастает. Однако, суди по результатам преды-
дущего примера в „расчетных" лшшях влияния, сшибку можно'
ожидать небольшую чем в лиш-шх влияния для лишних неизвест-
ных, т. с. порядка 3°,0.
Надо еще заметить, что принятые размеры свода представляют
собой исключительно неблагоприятную комбинацию. Выше указы-
1 1
валось на своды с отношением толщины к пролету в------------.
однако эти цифры относятся к очень подъемистым сводам. Прак-
тика показывает, что пологим сводам свойственна относительно
меньшая толщина, подъемистым—большая. В итоге расстлотрен-
.	f	1 fin 1
ную комоинацию с отношением -- — —- и у — - — следует рас-
сматривать как крайне неблагоприятную. В этом случае тем не
менее можно ожидать ошибку порядка 3%.
В итоге мы считаем всегда возможным при подсчете ординат
линий влияния совсршенпопренебрегать влиянием нормальных сил.
Это освободит от необходимости делать ряд подсчетов. Так, в табл. 2
выпадут графы 13, 14, 15, 16, 17, а цифры графы 18 будут равны
цифрам графы 12. Вычисление таблицы сокращается па 20—25%.
Б табл. 3 можно выбросить графы 9 и 10; в табл. 4 — графы
9, 10, 11, 12, но ни в коем случае нельзя сокращать
т а б л. 1. Здесь также учитывается влияние нормальных сил, и этот
учет необходимо сохранить полностью.
Дело в том, что предлагаемым способом, как уже ясно из
предыдущего, нормальные силы учитываются дважды — при
определении величины с (табл. 1) и при построении линий влия-
ния (табл. 2, 3 и 4). Оказывается, что вычисление величины с
с учетом влияния нормальных сил почти полностью покрывает это
влияние и дальнейший неучет нормальных сил грубой ошибки
не дает- Если же ве учесть нормальных сил при определении с,
46
ошибка может быть весьма значительной, особенно для пологи?.:
сводов.
Для того, чтобы ясно представить, какую ошибку даст пре-
небрежение влияние?/! нормальных сил, даны два графика (фиг. 1
Фиг. 11.
и 12). На обоих этих графиках сплошными показаны линии вли-
яния, полученные при учете всех факторов, пунктирными — при
пренебрежении нормальными силами.
На первом графике (фиг. 11) ординаты подсчитаны с учетом
влияния нормальных сил при определении величины с, на втором
47
(фиг. 12), где даны только линии влияния для лишних неизвест-
ных, нормальными силами пренебрежено совершенно.
Картина настолько ясна, что не требует особых пояснений.
В т ) время, как на первом графике ошибка достигает 1 -2°/0, на
втором ошибка местами превышает 300/0. Даже в линии влияния
Фиг. 12.
для лишней неизвестной Д3 ошибка (на больших ординатах) полу-
чается до 12п;0.
Таким образом, безусловно необходимо учитывать влияние
нормальных сил при определении положения фокусных точек
(величины с), в то же время вполне возгложпо пренебрежение нор-
мальными силами при всех дальнейших вычислениях.
3. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
Для определения внутренних усилий от равномерного измене-
ния температуры свода составим канонические уравнения, выбрав
за липшие неизвестные те же величины Х\, X., и Д3, которыми
мы пользовались раньше.
Тогда канонические уравнения в общем виде можно будет
написать так:
4“	~ 0;
XS‘yi +	4_^з^з A2Z 0;
A'j831-f-zYa83.j4-^r3''33 + дзг — °-
48
Здесь Ап, Аа; и A,t;— перемещения от изменения температуры
по направлению неизвестных усилий Az,, и Az3. Остальные
обозначения прежние.
Заметим, что Аз; отвечает лишней неизвестной А3, т. е.
разности моментов ЛЕ и ЛЕ, возникающих в боковых шарнирах
(фокусах) арки.
В силу того, что при равномерном изменении температуры
симметричная система будет симметрично деформироваться, раз-
ность углов поворота в фокусах будет равна пулю, т. е. А:|/ — 0.
Кроме того, при сделанном выборе основной системы и лиш-
них неизвестных
8jn — G„
и канонические уравнения
примут вид:
Ar/4l + A1(=-O;
Х'3о33 — 0.
Отсюда сразу: А, —0.
Для определения вели-
чин А, и Аа необходимо знать
величины А1( и Д2/. Величи-	Фиг. 13.
ны же Sn и 5.J3 нам известны.
На основании простейших геометрических соображений (фиг. 13)
можно утверждать, что
(Л1() — (Ааг).
Это явствует из того, что если каждая из половинок трех-
шарнирной части свода повернется на угол (3, то величина Аи, т. е.
взаимный угол поворота половинок в замке, будет равна 23. Ве-
личина A2f будет равна сумме углов поворота в боковых шар-
нирах, т. е. тоже будет равна 2[3.
При этом под влиянием повышения температуры (положитель-
ного значения изменения температуры) в замке поворот будет
происходить по направлению положительного действия неизвест-
ной А15 а в боковых шарнирах, наоборот, в сторону отрицатель-
ного направления действия неизвестной Аа, иными словами,
Ап будет положительна, а А.,,— отрицательна:
Alf = 23,
Даг = 2(3.
Остается выяснить абсолютную величину угла 23. Сделаем
это на основании метода возможных перемещений. Если система
находится в равновесии, то работа сил этой системы на всяких
возможных (достаточно малых) перемещениях равна нулю. В ка-
4 В. К. Качурин.	49
честве таких перемещении возьмем интересующие нас темпера-
турные перемещения, а в качестве системы сил возьмем показан-
ную па фиг 13 нагрузку- парным моментом в замке. Распор од
этой нагрузки будет равен:
1.
с с
Предоставим первоначально своду под влиянием температуры
свободно /деформироваться бея какизьлиЗо ;??,аинпых поваритол
от,дел иных частей систем:.;'. Тогда расстояние между точка jiit
ли/:’ увеличится га. щмпщипу Ф-.t, где — коафидиепт л мне/щи.ь
раенлреняы a t — в лхщг-щ) изменен»-:.. температурь' ’ :;овы;пе.я:.е;.
«..Г-	n.:pcc?:i:!c;. 1.С .уны
-• /	.'Л'т_ -------
I '.оло'."-: п”1 сое, И'?:'
yr: -i Л.! о 1!ои.сii:>;о
раб-.-у (a „..in .гедь.ау.;.;
L \1	’ КТ/’ >1'(Го '•'<
пли:
’щети свода повернутой оа. .'заимчы';
с сретктгд щдт-уе г. и'менты ироиз.щлу"
I/ — ; \
;:с :т<г;<иы': перемещои!’:! имеем’
V -   I 	V.} - - v's
-1.W-L. А^О;
50
Возьмем рассмотренный выше свод и примем повышение те?,!-
пературы па £=16°. Коэфицисит линейного расширения будем
считать и. — 0,000012. Моду.ть упругости Е — 2100000
Пролет I — 33,48 м.
Величина с~ 2,12 м.
л Lai-?,  ней,
Слз ов'.-те.чч’ш.,
'"и
	I'.--	Ucii.T?'	-.о ; . ;/ ;;	.'I. C.’ulu Г» Л’
CO-!?;-.!/.!.
i :1н;-.г'-'р, ria	о п.'.'..;-; .ш-ч с.-:.е;ш гни так г.; ио
•:?.асжевм гы с а ыытр 	: ы.л.: пд г;:и*;;, мч
jre.-.e ;г'; = 1.-'.йть к№.т.т в in.ire (г-г_• ”. :: ", ?:• а' . Од'еоазл!?--о'
рас и р
4*
П. РАСЧЕТ БЕСШАРНИРНЫХ СВОДОВ В ОТКРЫТОЙ
ФОРМЕ
1 .ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РАЗМЕРЫ СВОДА
Расчет бесшарнирных сводов оказывается либо достаточно
простым, либо очень громоздким. Зависит это от того, можно ли
взять необходимые интегралы в открытом виде или приходится
производить численное интегрирование. В первом случае реше-
ние достаточно просто, во втором оно тяжело и громоздко.
Интегрирование в открытой форме возможно в том случае,
если некоторые функции, характеризующие размеры свода, под-
чинены определенным математическим зависимостям. Если такого
подчинения нет, приходится производить громоздкое, тяжелое
численное интегрирование.
В силу таких обстоятельств естественно стремление многих
авторов к решению в открытой форме, а следовательно, к под-
чинению некоторых закономерностей математическим выражениям.
Однако, такие приемы зачастую вместо пользы могут принести
нред. Дело в том, что такие упрощенные (или, наоборот, усо-
вершенствованные) приемы требуют иной раз подчинения гео-
метрических размеров сводов таким формам, которые по сущности
своей не подходят к данному сооружению, не соответствуют
силам, действующим на сооружение. Неискушенный расчетчик
этого не замечает и применяет предлагаемые приемы к своему
случаю. В результате получается полное несоответствие между
работой внешних сил и внутренними взаимодействиями.
Наиболее резко бросается в глаза широкая распространенность
приема, который можно найти почти в любой книге, посвященной
расчету сводов, почти в любом справочнике. Этот прием заклю-
чается в том, что кривую оси свода подчиняют закону параболы*,
а изменение сечения — так называемому закону косинуса. При
таких условиях необходимые интегралы легко взять в открытой
форме. Не вдаваясь в подробности этого способа, сделаем не-
сколько замечаний.
Подчинение кривой оси свода закону параболы совершенно
не обосновано. В настоящее время можно считать общепризнан-
ным, что очертание оси свода должно следовать кривой давления
от постоянной нагрузки, если нет каких-либо специальных ар-
* Ниже мы также пользуемся этим приемом, по лишь для вывода грубо
приближенных формул и притом лишь для временной нагрузки.
52
хитектурных требований* *. Парабола, как известно, является кри-
вой давления только для равномерно распределенной нагрузки.
Нагрузка сводов никогда не бывает равномерно распределением':.
Следовательно, ось свода никогда не может быть параболой;
Таким образом упомянутый прием для практических целей нс
пригоден. Применение его возможно лишь для сугубо эскизных,
грубых подсчетов.
Ценность приема чисто историческая. Это, невидимому, пер-
вая попытка решения задачи в открытом виде, — попытка, дав-
шая толчок развитию ряда других, более совершенных способов.
К таким более совершенным способам можно отнести прием,
предлагаемый Риттером Риттер подчиняет уравнение оси свода,
кривой давления и кривую давления находит для постоянной на-
грузки как для трехшарнирного свода, но делает несколько ус-
ловное допущение, что постоянная нагрузка по длине свода под-
чиняется закону параболы.
Что касается момента инерции, то Риттер его подчиняет сле-
дующему закону:
—5— Г 1 — С (---V ,
J cos о	Jo L \ d / J
где:
./0— момент инерции сечения в замке;
С—некоторый постоянный коэфициепт;
d — полу про лет;
л—расстояние от оси пролета до данного сечения (по гори-
зонтали). В дальнейшем условимся всег/ia отсчитывать
абсциссу л от замка;
<р — угол наклона касательной к оси свода с горизонтом.
Предлагаемый Риттером прием следует считать большим ша-
гом вперед. Однако, закон изменения нагрузки по длине свода,
получаемый этим приемом, как ниже будет показано, далеко не
соответствует действительному. Что касается закона изменения
моментов инерции, то он поставлен в слишком тесные рамки.
Проектировщику не предоставлено никаких возможностей, за
исключением выбора коэфициента С, или, что то же, выбора
соотношения между моментами инерции в замке и в пяте.
Способ Маннинга, с нашей точки зрения, отнюдь не является
шагом вперед, особенно имея в виду, что он был предложен после
способа Штрасснера. Тем более кажется странным, что он поль-
зуется у нас незаслуженной популярностью ***.
* Инж. П. С. Морозов в работе: .Расчет бесшарнирных мостовых сводов"
(1938) указывает на необходимость подбирать ось свода по кривой давления нс
от постоянной нагрузки, а от другой, несколько исправленной.
?*М. Риттер, Теория и расчет каменного или железобетонного моста, пер.
А. А. Самойлова,1916.
*** См., например, ироф.. Н. И. X о м у т и п н и к о в, Расчет свода по Ман-
нингу, Кубуч, 1933; И. В. Урбан. Теория расчета статически неопределимых
конструкций, Траисжелдориздат, 1937, и др.
53
Маннинг вообще не заботится о совпадении оси свода с кри-
вой давления. Уравнение оси по Маннингу:
Здесь у— ордината оси, считая начало координат в заднее; f —
стрелка свода, А и В — коэфициепты. Соответствующим выбо-
ром этих коэфициентов можно заставить ось свода пройти через
центры сечениа пяты и четверти пролета (через центр замка кри-
вая проходит при любых коэфициентах <4 и В). В остальных се-
чсе:1.,х свода совпадение оси свода с кривой давления но гаран-
тируется.
Закон изменения моментов инерции Машчииг подчиняет выра-
жению:
т. е. выражению, аналогичному Риттера. Разница лишь в том, что
гдссь величина - в иер.юи степени ;там о ;а оы.да во второ;.) и
к.хюшциеи-г D имеет иное •..иачеаие. Недостатки те же, что и у
Сит гора. 
Инженер 3. С. Блинов* уравнение оси свода подчиняет (рэр-
?;у.щ, которая в упрощенном, виде может быть план сака так:
У7
:.дг , ' п /V—соотзетстве-шо подобранные козфициепты. Апзло- ичное
уравнение дано П. С. Морозовым в упоминавшейся ды е работе.
Ниже мы увидим, что это выражение значительно лучат.: от-
вечает кривой давления, чем со ггветствующие величины, полу-
ченные ио Риттеру и Маннингу.
Не касаясь других работ по интересующему нас вопросу (Нейман,
Лагей, Ксглер и др.), скажем несколько слов о общеизвестном
способе Штрасснера.ф* Этот способ следует считать наиболее со
вершенным. JUrpaccHCp уже не строит догадок о том, каким должно
быть уравнение очертания оси свода, а выводит это уравнение.
Оно получает вид:
у — —Ices h [ x~ln (т f- 1/ /«J — 1) 1-11,
m — 1 Г I и	J 7
где m — отношение погонных нагрузок в пяте и в замке.
* В. С. Б л и и о в, К вопросу о рациональном очертании сводов, „Сб рник
Ленинградского института инженеров путей сообщения" вьш. ХС1Х, 19:9.
s® См. упоминавшуюся выше книгу П. Я- Каменцев и Б. Н. Д у ч п я с к и й,
Бссшарпириые арочные мосты; К. С. Заврисв, Статика сооружения, Закгпз,
1933; И. В. Урбан, Теория расчета статически неопределимых конструкций,
Трансже.тдориздат, 1937; И, В. Не репс чин, Теория арок, Трапсжслдорпздат,
1937 и др.
54
Не давая вывода этого уравнения, заметим следующее: оно
-основано на предположении, чю нагрузка по длине свода подчиня-
ется закону:
'К — /Гл-
где j— нагрузка в данном сечении, /у. — нагрузка в замке, /,д.—
.нагрузка в пяте; / и у имеют те же значения, что и выше.
Закон изменения мом :нта инерции Штрассиер предлагает тот
же, что и Маннинг. Напоминаем, что мы считаем такое предполо-
жение неудачным. Ниже об этом будет сказано подробнее.
Возврат имея к закону изменения нагрузки ио длине свода.
Интересно прежде всег-т проверить, насколько нредноложспие
Штрасенера о распределении нагрузки по длине свода правдо-
подобно. Для такой проверки нами были сделаны год-гчегы ча
часпю.м примере. Выл нредпо.тожеи свод со стрелкой 5,72 .и. Ши-
рина скола предполагалась 5 «. Над сводом две стенки i чир-д ч< >ii
ио i .и, а между ними засыпка. Полунролет делился на 10 ра’г.-
пых ио длине пролета частой. Соответствующие ординаты осн
свода дччы во второй графе табл. 12. 13 третьей графе даны вы-
соты вер г.; кальных сечении своди. Все кладки поедао щгался
равным единице, а вес засыпки рассматривался в трех иредщ-ло-
жещщх: 7 -1,	0,75 и у —Эф. Для этих трех предположений
была подсчитана интсисизность нагрузки через одну десятую мо-
лупродета. i 1олученные величины помещены в табл. 12 под буклей
Q,)- Под буквой Q,,, помещена соответствующие нагрузка, чодсчл-
такные ио lilrpacci.epy, а под буквой О, — по Риттеру*.
Таблиц.-; 1. :
'.7 cP1 Cj	v	h '	-- 1			= 0,75			7	0,5		
		Qo	QJ!r	Qp	Qo	Q Ш	Qp			
1	| 2 Г'Г		5	6 "	'7	8	9	10	u	12
0	i I 1 С 1 0,6'1	8,2;)	8,20	8,21	6,95	6,95	6,95	5,70	5,70	5,7‘)
1	0,03 0,63	8,45	8,48	8,52	7,15	7,17	7,20	0 * %! 0	5,87	5,89
Zz	0,:7 9,67	9, 15	’1-3	9,17	7,70	7,70	7,96	6,23	6,2/	6,46
3	0,41 0,70	10,40	1 \48	11,07	4,6/	8,77	9,23	6,95	7,07	7,-11
4	0,75 0,78	12,35	12,37	13,29	10,26	10,28	11,01	8,18	8,20	8,74
L)	J,20 0,88	14,85	14,87	15,15	12,26	12,28	13,30	9,68	9,70	10,46
6	1,78 1,0)	18,90	18,09	19,63	14,75	14,85	16,09	11,50	11,61	12,55
7	2,54 1,16	22,33	22,31	23,79	18,20	18,23	19,38	P,08	14,17	15,02
8	3,35 1,31	26,90.	26,81	28, Ж	21,85	21,8,3	23,20	16,80	16,87	17,88
9	4,41	1,57	32,751	32,70	33,95	26,5/>	/6,54	27,59	20,30	20.-10	21,12
10	5,72 1,90	10,00|	4),00	40,00	32,35	32,35	32,35	24,75	24,73	24, ”5
« Qp = Se Ф (gK — g.s) -
55
Изучение табл. 12 показывает почти точное совпадение цифр,
найденных по Штрасснеру (QUi) с действительными (Qo). Цифры,
подсчитанные по Риттеру (Qp), местами довольно резко отлича-
ются от действительных.
Эти обстоятельства заставили нас отказаться от простого приема
Риттера и дальнейшие изыскания строить на базе более соответст-
вующих действительности предположений и формул Штрасснера*.
Как делались эти построения, будет сказано ниже.
Несколько слов о целях настоящей работы и о недостатках
способа Штрасснера.
Основным недостатком этого способа мы считаем подчинение
моментов инерции закону:
—-	1 + D—] ,
.7 cos ®	,/о [	d J
или
Это выражение недостаточно гибко и ставит зачастую неже-
лательные ограничения. Например, предлагаемому ШтраСснером
закону никак нельзя подчинить подъемистый свод постоянного
сечения, а между тем такие своды могут быть вполне рацио-
нальны. Для того чтобы свод имел постоянное сечение, необхо-
димо соблюдение условия:
у- cos а 0 -[•- D —-- 1.
В табл. 13 для частного примера очертания оси свода** даны
величины cos а.
Таблица 13
X d	У м	COS <р	'.J ' — —cos с X		-0,33-* d	1,2б(Х, Y \d /	г 1-0,33^+ +1,2б(^у	Г = [ 1-0.33?-+-
								
1	о	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1,000	1,00	1,00	0	0	1,000	1,00
0 1Ю.03		0,992	1,09	1,08	—0,033	0,013	0,980	0,97
0,2.0,17		0,980	1,19	1,17	-0,066	0,050	0,984	0,97
0,3'0,41		0,955	1,28	1,22	—0,099	0,113	1.014	0,97
О.4|0,75		0,915	1,38	1,26	—0,132	0,202	1,070	0,98
0.5	1,20	0,568	1,47	1,28	—0,165	0,315	1,150	1,00
0,6; 1,78		0,818	1,56	1,28	—0,198	0,453	1,255	1,03
0.7 2,54		0,761	1,66	1,26	—0,231	0,616	1,385	1,05
0,8|3,35		0,700	1,75	1,22	—0,264	0,806	1,542	1,08
0.94,41		0,612	1,85	1,13	—0,297	1,020	1,723	1,06
1,0	5,72	0,516	1,94	1,00	—0,330	1,260	1,930	1,00
* Конечно, для сводов со сквозным надсводным строением прием Штрас-
снера также не даст таких благоприятных результатов, какие получены в табл. 12.
** Пример взят из книги проф. Г. П. Передерия „Железобетонные мосгы“,
Гострансиздат, 1931. Очертание оси очень близко к штрассперовскому.
56
Для пяты cos <?n —0,516.
Если мы хотим, чтобы момент инерции в пяте равнялся мо-
менту инерции в замке, необходимо удовлетворить условие:
cos ?ll (I +D-1)- 1,
откуда, так как cos ?„== 0,516, имеем:
,+° = -<ЫГ”,да-
а следовательно, D —- 0,9-1.
Теперь выражение cos<H	1
может быть переписано так:
cos и (1 -ф-0,94-0.
Для свода постоянного^ сечения необходимо, чтобы это выра-
жение при любом значении -j-и соответствующем значении cos т
равнялось единице. Однако, цифры графы 5 табл. 13 показывают,
что для значений cos 01D 0 отклонение от единицы дости-
гает 28и;0.
Таким образом, формула Штрасснера ни в какой'мере не может
удовлетворить постоянному сечению.
Не может она удовлетворить и многим другим случаям. Напри-
мер, на фиг. 14 для одного из существующих в СССР мостов показана
1	о
кривая изменения величин ууу-дд по длине пролета. Здесь же по-
казана штрасснеровская прямая, ничего общего не имеющаях дей-
ствительной. В отдельных точках разница соответствующих ор-
динат достигает 6О°/о.
57
Эти два примера не порочат, конечно, способа Штрасснера
з мелом, но показывают его недостаточную гибкость. В то время
как уравнение оси свода, с нашей точки зрения, дано Штрасспе-
:.:ол удачно, закон изменения момента инерции требует поправок.
Теперь можно сказать о целях настоящего раздела работы,
/.’ели бы способ Штрасснера был более гибким, этот раздел
был бы почти бесцелен, так как способ Штрасснера с его широко
у.-гитымн таблицами, в смысле эффективности, дает прекрасные
результаты. В этом отношении предлагаемый способ ни в коей
не может конкурировать со штрасснеровским. Дальнейшая
•ад;;ча, таким образом, заключается в расширении возможных форм,
.г р-нпииреиии диапазона, в увеличен*!и творческих возможностей,
это можно получить очень просто. Надо только для зако-
на изменения момента инерции принять формулу несколько более
сложного чем у Штрасснера вида:
I У cos у Уп I <1	\ У |
(9)
, ’а уд метры а к в этой формуле попходится определять из -•-.аст-
,:ых условий. Мы предлагаем определять их из условий для чет-
о:ыч’ж пролета и опоры.
Д.-я этого обозначим моменты инерции в четверти пролета и
с.. сш'.ре соответственно через Д,и J.,. Точно так же соответству-
косинусы углов обозначим cos с, и соз .
Т>д-да -гожем написать:
дш четверти пролета (где^-
5 Л
2?
Л cos n "yj1 iL¥’!"4'
ж: я споры (^где ~ — 1J
Решая совместно эти уравнения относительно « и р, найдем:
я —. 4-Ai _________	__
ф COS 9]	72coSf>
g_	2Уо________ фф_
'	y2COS®2	yiCOS^1
(10)
Посмотрим, какие результаты даст предлагаемая формула для
арок постоянного сечения, т. е. предположим, что 70=</1=Л.
•5S
Тогда получим:
4
а =--------
COS
о 2
- 1 —3;
C()S<P>	’
— +2.
В частности, для свода, который рассматривался выше, в третьей
графе табл. 13, имеем:
cos^j —0,803, сс?то2 — 0,513.
Тто-да:
л I
1 — 3 = —0,33;
С,8Ь8 У,.>16
Формула (9) для рассиагриваекого частного случая приоб-
ретет вид:
1	. _ 1 Г1 л '?'» х \ 1 о t -Сх О2 I
ттозГ-'/я1  мо; ''1’2ои; ]•
Так как мы предполагаем, что момент инерция ;пд;.ине ьсстэ
пролет;: постоянен, должно сыть удонлетоорево условие:
М!~!,’33то!МзЛ
и последних четырех графах табл. 13 подсчитаны по этой фор-
муле величины -J’ • Отклонения от единицы лежат в пределах
__О<)  м _ 1 ОО ‘
° ; I) И 1 О .О’
Конечно, это не идеал. Полученные результаты нельзя приз-
нать Еполие пригсдыами для точных расчетов (п случае свода нос-
тоянного сечения)*. Однако, по cpa..-непию с формулой Iii-грассне-
ра предлагаемая формула имеет большие преимущества. 'Гам
отклонения до 28°/0 и но всей длине пролета в одну сторону.
Здесь она доходят до —[—8°/0 и по длине пролета меняют знак.
Следует еще заметить, что данным свод очень подъемистым
^— = 5,72, при пролете /=18,3.. Для пологих сводов, где,
несомненно, более возможно постоянное сечение, ошибка определя-
ется долями процента. Однако, главное пев этом. Если даже считать,
что ошибка в 8г>[0 не приемлема,** то придется только отказаться от
’ Согласно § 308 ТУ НКПС 1938 г. эти результаты можно считать вполне
пригодными и для точных расчетов.
,!«Мы считаем такую ошибку приемлемой хотя бы по следующий сообра-
жен ням: ошибка на 8е/> в моменте инерции соответствует ошибке в высоте сече-
ния (прямоугольного) 1,08 — 1] 100 = 2,6"/о- Иными словами, при высоте се-
чения в 1 м ошибка получается 2,6 см. Для свода из бутовой кладки ошибка
более чем возможная при производстве работ. Такие отклонения возможны
и в железобетонных сводах.
59
расчета предлагаемым способом сводов постоянного сечения. Широ-
та способа все же сохраняется. Он полностью охватывает область
применимости способа Штрасснера, но развертывает еще, кроме того,
весьма широкие возможности. Следует, правда, заметить, что своды,
у которых пяты имеют сечение значительно меньшее, чем замок, не
подчиняются предлагаемой формуле. По сделанным нами подсче-
там, уравнение дает удовлетворительные результаты тогда, ког-
да у- не меньше чем 0,5; однако, при этом и величина не дол-
hi
жна быть слишком большой. Это обстоятельство заставляет в
каждом частном случае делать подсчеты, подобные сделанным в
табл. 13.
Здесь будет уместно еще следующее замечание относитель-
но предлагаемого способа. У Штрасснера два параметра: один
параметр очертания оси свода, другой параметр закона измене-
ния сечения по длине свода (он обозначен выше буквой D).
Это обстоятельство позволило Штрассперу для решения сволок
дать таблицы. Мы имеем три параметра. Один параметр нагруз-
ки (о нем речь идет впереди) и два параметра закона изменения
момента инерции. Это обстоятельство исключает возможность
составления соответствующих таблиц.
Штрасспер дает таблицы для 11 параметров т при девяти
параметрах D для каждого т. Итого 9 X 11 — 99 комбинациям. Нам
пришлось бы, повидимому, на каждую из этих 99 комбинаций дать
по десятку комбинаций отношений параметров а и т. е. до тыся-
чи комбинации. Это слишком громоздко, да и едва ли целесооб-
разно. Поэтому наша цель в конечном итоге заключается не в
составлении таблиц для расчета, а в выводе соответствующих
расчетных формул. В этом отношении, конечно, предлагаемый способ
уступает способу Штрасснера. Пользование таблицами, несомнен-
но, проще и удобнее пользования формулами. Преимущество
предлагаемого способа прежнее: он может быть применен к кон-
струкции, имеющей почти любые соотношения размеров.
Теперь остается еще установить окончательно уравнение оси
свода. Уравнение, предлагаемое Штрасспером, было написано
выше в виде
У= “ш{С03 Л[51п(от-1-/^4^)] -1).
В дальнейшем необходимо будет брать интегралы $yxndx и
[y^dx, причем степень п первого из этих интегралов достигает 3..
При написанном выражении у интегралы эти легко берутся.
Однако, получающиеся в результате интегрирования выражения
очень громоздки, включают в себя по два — три гиперболических
синуса и гиперболических косинуса. Обращение с такими выра-
жениями громоздко, требует наличия соответствующих таблиц, сло-
вом, имеет ряд весьма существенных неудобств. Это обстоятель-
ство заставило нас искать решение в форме, предложенной
60
Риттером, Маннингом и Блиновым. В результате мы предложили
уравнение вида
Мл(?)’+ва)’]-
Маннинг предлагает во втором члене своего уравнения третью
степень. Блинов и Риттер — четвертую. Оказывается, что третья
и четвертая степень дают отклонение от штрасснеровской кри-
вой (которую будем считать точной) в одну и ту же сторону.
При этом кривая четвертой степени ближе к точной, чем кривая
Маннинга. Мы сделали попытку еще приблизить эмпирическую
кривую к точной и дать уравнение пятой степени. Такая по-
пытка увенчалась успехом. В конечном итоге уравнение приня-
ло вид:
гГ л / х \- , , / х \51
л . "I
L \ л /	\ <z / J
или:
L \ 7 v 4\d) \	(и)
Уравнение это при всяком значении р удовлетворяет условию
прохождения оси через центры замкового и пятового сечения.
Коэфициент [1 подбирается из условия прохождения оси через
третью точку, а именно, через центр тяжести сечения в четверти
пролета.
Если ординату в этой точке обозначить через v1; получим
(для четверти пролета —:
d Ч )
4 '	32 J ’
откуда, решая относительно р, получим:
32^-1
Здесь необходимо сделать следующее замечание. П. С. Морозов
в упоминавшейся работе ,Расчет бесшарнирных мостовых сводов“
математическим путем доказывает, что уравнение оси свода в
общем виде может быть написано так:
v = а-ус2- -|- a,,xi -J-
Предлагаемое уравнение сводится к виду
У- — by х“-{-Ь«хг->.
Это уравнение теоретически не обосновано и является эмпириче-
ским (на теоретическое обоснование оно и не претендует).
61
П. С. Морозов окончательно принимает формулу вида
О-
пренебрегая слагаемыми с высшими степенями. Очевидно, это
преиебрезх'ппс дает некоторые отклонения от точной кривой (з.ч
точную кгшвуто пр шита !:г?расс!;с роиста я). 3 результате, как бу-
дет видно ниже, п.-.едлг-гаеs<H:iip,riecK::;i .кривая дает несколы.,.о
лучшее пе-ультлты, чем ТгЮузст ичсскн обоснованная крпгги
IL Моров-
1;0<а'7СН, ЧТО /-МУТОНТО." ОНГ) у/МЗГ.ППЮ ПЯТОЙ СТОП Hill лучг г
cv..пае? ;?-,.М !• г,-р.->с~шч?<:, ч^'. уу-’.г.’.иг.i. j: третьей и чет;;.?о-;?.'--.
СТ? г:о;о;.
 ;се эт1' т;--л у.:;пои-ы мох-ут быть гапкеапы так:
здесь Jy — ордината, оси свода в чстаегтн и po.vera.
L’jTpc.ccuop почазыгсст, что практичс-С'-;--- сшеннм эт.ч: ор-
дчиоты к стро-д 'о «;.йг?:9 от 0,15 до О.”<5.
Зг.мгтггл, что прз одной-сипи в-~ 0,:’М оелнчвиы у, у’ и (?.'
о что.;-,.-потея р?.г.-д,ии ед'вигпе. В-д-е ••!•.'.	•.) всей трек у олт -
нет; ь ироладкют, и все три урс. т s. > 
то:-:, лхттсди^л вид паоабо,'.', С соо: :• .• -'зую' Д;: крч.юй ohyic-
Ciic.ia иол"чтется по педч трем ут.iв.;;-г;•  полное слвптдечие-
1-аиЗое/Диего раскодсдени:', естосс..;*.-:;,;.ожидать иди уруг.'д
куММем сначопии, а ядезиз, прд-'у._М\г'. Л табл. 14 для этого
заечснил д.--пы отноглойип через одну ,-г:-.ч’а,чцатугэ полупрс.лета,
подс'г тлипие по веек тлен формулам (--; - и '—) я по Штрас-
\ / У f /
CEGOy.
Начлупш.ео совпадение со Штрасснерсз: (то есть с достаточно
точным решением) дала предлагаемая формула (11), Другие
две формулы дали соответствие значительно худшее, особенно
формула Маннинга.
6S
Таблице
1-	} ! i i	У	i				у” !	V	
	/ по !! 1т|';1С- ;	ПО	(h'jp \! V   'Ф С	У 7		1'0	ДО ф-
j	0		0	G	о	11	
1	с,0^';Д		, У ;		и	1	
|	0,01-г.					с/,- •. ч > ‘	.
1 ‘ ’	с,		<*. .:	1 о,Г5в		G"'. ,. Г 1 "	1
	о		V ) 1 •	1	’-Ул-			
	•> J - • • -ч		Р ’Ф,	: о 1 -t		/5-1	{ ' - 	’ о  •
'г					4/.J .		
	0,2:77		0,<1 j	' > • - •'••'	оу.е;			f  - i
> т?,	0,3053		0 % 3	; 0,3 > 3	O..327		0,3- 71	; °,'-
д 10	О/ЮД		(\ ДО	; 0,73 '	0/(53		' (; ;
	0, ДД	1			'-д.L	г-	i		(V
1 . ! ')	(РУСО/	I		,7J ?	(V.-7	i!)	1	Г: 
	r V ' 1 -			: {1 i *)	i	i ЯРКО	-V1 у. •	-
‘ А	\Jji- .1< Л;>О			. • - /•		!. от:-*;: д'.m	
З.".ссь лроизве.',оно		ср	! Ч’ ’ 1 '	величин,ИСЗР'Я		.В;:?• {'/	)	±->, j . !
со г.трг	гсгнер-эв-:!'.	у V 7		••дгн-ьг до.:тг'г<‘1’		,<:?, всею	( ‘У ' 
пне (i1/	СЧ1ТТ;}СД		•5 С»'/: 'i	' I;		,сгтве око.	
уравнения оси сияла.
Теперь надо региегь сн;е такого р~да второстепенный вс£?.>)с.
Величина «< иолуччзга как ф-j'.vi д и я отпоп:а. кя Д- Это неудобие-.
Необходимо сигнала ягйтк ог.-л-ятату в четверги пролета и зяте?'-
каиксать уравнение оси. Одчо без д, утего невозможно. сел и яс
дать какого-либо упроп-;еипог<; приема- Для решении мы Ойл?;-
пользуемся работой I;’трассьера. У Штрасснера дано отзешсияе
у в функции соотношения нагрузок в пяте (g;.) и в замке (д.)
Таблица 15
— m gs	У1 f	y.
1,000	0,25	1,000
1,347	0,24	0,954
1,756	0,23	0,909
2,240	0,22	0,863
2,814	0,21	0,817
3,500	oyo	0,772
4,324	0,19	0,726
5,321	0,18	0,680
6,536	0,17	0,631
8,031	0,16	0,589
0,889	0,15 .	0,543
У нас коэфициент у является
функцией отношения -у. Если эти
две связи объединить, получим
зависимость между величиной р
и отношением (обозначенным т).
gs
Такая зависимость установлена
в табл. 15 и на фиг. 15 (сплош-
ной линией). Кривая, нанесенная
на фиг. 15, может быть с доста-
точной степенью достоверности
выражена уравнением'.
1>. = 1Д3543 — 0,150//г—Ц2)
- j- 0,01519m3 — 0,000617 m3.
На фиг.
таточное.
до-
Еще одно второстепенное замечание. Для того, чтобы написать
уравнение закона изменения моментов инерции по длине свода,
"необходимо знать величины cos^ и cos?2, где и — соот-
ветственно углы наклона касательной к горизонту в четверти
пролета и на опоре. Углы эти могут быть найдены по их тангенсам,
а тангенсы, в свою очередь, могут быть найдены, как соответству-
ющие значения первой производной от уравнения (11):
dy
dx
- 2р —
d L d

В частности, для четверти пролета (где-- — 0,5 J, получим:
(13)
(19
Имея значения тангенсов, нетрудно найти величины cos о, и
cose».,, а следовательно, и коэфициенты а и [3.
Кроме очертания оси и закона изменения момента инерции
по длине свода, необходимо знать еще закон изменения площади
поперечного сечения.
Надо заметить, что этот фактор имеет очень небольшой удель-
ный вес, поэтому мы считаем возможным для него написать
весьма простую формулу:
cos с 1 _____/1 cos \ х
~Т~'~ И,	Лг
(15?
Правильнее, несомненно, было бы подчинить этот фактор па-
раболическому закону, но, имея в виду, с одной стороны, малое
его влияние, а с другой — желательность наиболее простых вык-
ладок, можно принять написанное выражение.
В дальнейшем, при рассмотрении примеров, будет видно, что
погрешность получается чрезвычайно малой.
Подведем итог. Порядок написания полученных уравнений
(стрела, пролет, сечение в замке, четверти и пяте предполагают-
ся известными) должен быть таким:
1)	выясняем нагрузку в замке (gs) и нагрузку в пяте (gz.) к
находим их отношение in;
2)	имея это отношение, находим р по формуле (12);
3)	по формулам (13 и 14) находим величины tgo, и tga._,, апо
этим величинам определяем cos tpj и cos -л.3;
4)	по формуле (10) находим величины а и 3;
5)	пишем формулу (9), подставляя в нее значения а и
6)	пишем формулу (11), подставляя в нее значение р;
7)	пишем формулу (15), подставляя в нее значение costp.,.
2, ОСНОВНАЯ СИСТЕМА И ВЫБОР ЛИШНИХ НЕИЗВЕСТНЫХ
В качестве основной системы принята та же, что в преды-
дущем разделе. Лишние неизвестные те же. При выборе рассто-
5 в: К. Качурин	6,.
слия с (фиг. 1) по формуле (1) для лишних неизвестных получим
следующие выражения:

Д|_.
sn
&2_.
0п9
Аз
Дз ’
В результате задача определения лишних неизвестных сво-
дится к нахождению шести деформаций:	Л3, 5П, и З33,
3. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
Теперь наша задача заключается в построении линий влияния
для величин Хг, Х.: и Xv
" Начнем с Х±. Для построения этой линии влияния необходимо
знать величины и оп. Эти величины найдены в предыдущем
разделе. В этом разделе установлено, что влияние нормальных
сил в выражениях для лишних неизвестных играет второстепен-
ную роль. Поэтому напишем:
Ах
Подставив в это выражение значения величии и У по
формулам (9 и 11), произведя интегрирование и некоторые простей-
шие преобразования, получим:
। «в—р-ме _|_ф(_1 — :>.)
"Г"	56	'	72	>
Эта формула довольно громоздка для вычислений, но она
единственная. Все остальные выражения значительно проще.
Далее пишем:
1	/ L Jo ^C0S9 с J «/cos и J
;5о
1
Подставляя вместо у и -------- их значения, получим:
J cos 9
Если величину, стоящую в фигурных скобках, обозначим буквою
V, т. е.:
V=
1 2	3
s	2/
получим’.
Тогда ордината линии влияния выразится:
Дня второй лишней неизвестной имеем:
8.„=4.[’л^.
c/:J о Л cos <р
Делая подстановку величину и —- — , получим:
/cos 9
s===-JyHI Д-Н)-К’-!’№+7+>
Величина Д,, выразится:
для участка между боковым шарниром и пятой
Д ' — _ Г-Н* — гс) Лг .
Ес Jr0 J cos 9	’
для участка между боковым и средним шарниром
А/ Г	+ d (~ .
1-с J<, /cos9	" \ 2/	/
5*	67
Сделав подстановки и произведя интегрирование, получим:
получим выражения для о.,., в новом виде:
d р ydz
J о J cos 1
'!/ - W.
с/:./,,
Тогда можно будет написать прямо уравнение линии влияния:
au.zS 3u.Zfi (1 — 1Л) Z7 a (1 —и.) 2 s	й (1 — и.) 7? А
1 о I "* о ______1 ' о I__2___17 о I 1 4__t7 о j _
20 “Г" 30 "Г 42 “С 56	“1”	72	(
a	da
2 ~	'	9
W
68
Заметим, что выражение, стоящее в фигурных скобках обеих
формул (19), полностью соответствует такому же выражению вто-
рой части формулы (17) для тщ Это обстоятельство в значитель-
ной степени облегчает арифметические подсчеты. После того как
будут вычислены значения т(1, вычисление величин и т]" уже
не представляет никаких затруднений. Необходимо только при
вычислении величин выяснить отдельно величины первого и
второго слагаемых.
Для третьей лишней неизвестной имеем:
„____4</з Г1 z"dz
О Q о ' 1	,
а-Е J о J cos
для участка между пятой и боковым шарниром (левый полупролет)
д, 2rf:i fl Z (z— /:!) llz
3 aE J„-o Jcoscp
для участка между боковым и левым шарниром
В результате выражения для ординат линии влияния после
соответствующих сокращений примут вид:
69
Теперь для определения величин с, т(|,-Г|.2 и т. д. у нас есть все
данные, за исключением того, что не выяснен вопрос о том, как мы
будем определять величину а, т. е. расстояние между боковыми
шарнирами, и не взяты некоторые интегралы, именно:
fl у-d/	fl yil?,	fl COS Srtfz
J o J cos ? ’	Jo У cos?’	Jo F
Так как после подстановки величин у и —1— по формулам
J cos о
(11 и 9) все эти интегралы берутся чрезвычайно просто, напишем
готовые результаты:
Что касается определения величины а, то опа может быть оп-
ределена, как и в предыдущем разделе, путем последовательного
приближения на основании формулы (11).
Пример. Железобетонная арка. Данные следующие:
Расчетный пролет арки I — 33, 48 я (полупролет d= 16,74 л-г);
расчетная стрелка /—3,65 м;
момент инерции арки:
в замке........................  />---0,0210	_н4;
в четверти пролета................./--0,0512	я'1;
в пяте ............................/	— 0,0665 л/4;
площадь сечения арки:
в замке........................../')> — 0,450 м~;
в пяте ...........................//	 - 0,660 я2;
постоянная нагрузка на 1 ног. я арки:
в замке........................gs	— 8,00 т.н;
в пяте ........................gK	— 10,52 тя;
отношение ............................щ	— — = 1,315.
ffs
Сделаем ряд предварительных вычислений. Прежде всего по
формуле (12) находим величину р.:
р = 1,13543 — 0,150 т 0,01519 /и3 — 0,000617 т3 = 1,13543 — 0,150-
• 1,315/-0,01519 • 1,315= — 0,000617 • 1,315у = 0,966.
70
Теперь, имея величину р, по формулам (13 и 14) определяет-',
тангенсы углов наклона оси свода к горизонту в четверти про-
лета и в пяте:
— - 0,966 1 = 0,213:
1G I
J.	f
а
ter	-
I _ _ 3,65 ' 5
j “' 16,74 L 16
3,65 Г -
ч =------- О
1 16,74 L
По тангенсам определяем сначала углы с, и 'р.2, а затем косину-
сы этих углов:
сд = 24° 40'
cos а1 = 0,978	ccs = -0,909.
Теперь у нас есть все данные для определения по формулах
(10) величин 'J. и 3. Вычисления дают
_4_Л________Л_ _ з _ 4 ~
~ Jjcoscj Лс.=;	“ 0,0512 • 0,978
____ 2,/0 чЛ ' 2 - 2 * D4121
‘ Л cos Jj cos =; 1	0,0665-0,900
Таким образом, все необходимые для
ния данные у нас имеются.
Вот их сводка:
о.ои
—	-	- - 3 = - 1 ,(и 1
0,06135  0,909
.. ±34---------1.2= 1,019
0,0512 - 0,978
построения линий влия
F„ — 0,660 М;
/=3,65 Л;
J(,= 0,02I0 л/1;
cos С., = 0.909;
у. = 0,965:
Fo = 0,450 л2.
3 = 1,019;
Прежде чем переходить к самым вычислениям, предваритель-
но надо подсчитать некоторые величины, входящие в ряд после-
дующих уравнений, именно:
1 ±-±- =0,50417;
1	2	3
— ±—± — =0,19775;
2	3	4
—0,11938;
3	1 4 1 5
-±-±-'-=0,08563;
4	5	6
±_j__l L —0,06707;
5	6	7
±+2Т '-1 = 0,05533;
6	7	8
= 0,04720;
- = — 0,27850;
6
1 = 0,08492;
12
— =0,08333;
12
0,08355;
7	8
-4- - 'Л — 0,04123;
8	9	10
-+--1-1 = 0,03004;
И 12	13
20
= = 0,03397;
30
— — 0,02381;
42
а
56
1 = 0,01415;
72
0,02984;
0,13925;
12
— = 0,05095
20
И
Заметим, что вычисление этих величин следует производить
с точностью, превышающей на один—два знака точность лога-
рифмической линейки.
Теперь найдем значения трех интегралов по формулам 21:
= Г 0,966 • 0,11938 -|- 0,034  0,05533 1 = 20,371 -1-
0,021 |	J	мз 
Г1 cosetfz ___ 1 , cos;»______	1 j 0,909	. Qn„ 1
Jo Л 2/-0	2Л,	2  0/130	2 • 0,669	st-
Имея значение этих интегралов, по формуле 1 легко получим
fl y-dv. , f1 COS if «3
r _vrfz '	29,371	’	" .,i.
J 0 J COS Y
Теперь необходимо определить величину а-, определяем ее
путем последовательных приближений. Напишем первое прибли-
жение:
А ==1/1с=-т/ 4-2,1229	2)4084 —^55^.
\с//1 Г /<1.	'	3,65-0,966	'
Второе приближение получим по формуле:
= \f--------2,4084 — 0,034 -1,5519’= 1,539.
\ d Л F f,.	8;j. \d/1 V	8-0,966
По этой же формуле, заменяя соответствующие индексы, по-
лучим третье приближение:
=1/- — 12,4084
\ cl /з у /л 8;j. \ d Д F
0,034 -1,539'
8-0,966
1,540.
Второе и третье приближения дали практически одинаковые
результаты, следовательно — = 1,540, откуда:
d
а = l,540-d= 1,540-16,74 = 25,780 м.
72
Вычислим еще две необходимых нам вспомогательных вели-
чины (формулы 16 и 18):
1/^1 + --
2
Го,966-0,11938 [ 0,034-0,05533
2,123 L
0,30267;
0,50117
U7= : U ( - 4- ~	\ 4 (1 — ->.) ( - 4- " -I- \ X.-Z 0,966 -0,11938-4
\ 3	4 1 5 J 1 '	' 7 \ 6 ' 7 1 8 /	'
0,034-0,05533 — 0,11720.
Таким образом имеем:
<? -• -2,123 м,
«--25,780 м,
И —0,30267,
14^0,11720.
Теперь пишем уравнение линии влиянии для усилия XY:
В этом выражении
16-74 = 27,655;	— — —1б?74:3-65 - — 47,546.
2К 2-0,30267	2cV 2-2,123-0,30267
Подставляя эти величины и коэфициенты, подсчитанные выше,
получим:
-/)! — 27,655 (0,19755-- 0,50417?0 4 0,50000?; — 0,27850?; 4-
4- 0,08492?;) — 47,546 {0,966 • 0,08563 + 0,034 - 0,04720 — [ 0,966 
- 0,11938 -1 - 0,034 - 0,05533] ?0 -j- 0,08333 • 0,966?; — 0,08355• 0,966?} 4-
+ 0,03397 • 0,966?; + 0,02381 • 0,034?J — 0,02984 • 0,034?« 4- 0,01415 
•0,034?;}.
Произведя некоторые простейшие преобразования, получим:
7)1 — 27,655 (0,19775 — 0,50417?0 -4 0,50000?б — 0,27850?3 +
О,О8492?о) — 47,546 (0,08432 — 0,11720?о 0,08050? о— 0,08071 ?б 4-
4- 0,03281 ?; 0,00081 ?5— 0,00101 ?5+ 0,00048?ц)	27,6554 —
— 47,546В.
73
Дальнейших упрощений производить не следует, так как вы-
ражение, стоящее в скобках второго слагаемого и обозначенное
в нижней строчке буквой В, целиком входит в уравнения для д.,;
после вычислений легко и удобно будет воспользоваться этим
выражением, сохранив его именно в написанном виде.
Все вычисления величин тц произведены в первых семнадца-
ти графах табл. 16. Подсчеты, по соображениям симметрии, лапы
для одной половины свода. Уравнение линии влияния для второй
липшей неизвестной, т. е. для величины	М{ выражается
формулами (19), которые в сокращенном виде могут быть напи-
саны так:
для учас I ка между пятой и боковым шарниром
т^’ — ---В;
W
для участка между крайним и средним шарниром
При этом величина В здесь та же, что входит в формулу
для тц и в табл. 16.
В графах 18—20 табл. 16 подсчитаны ординаты тГ2.
Ординаты линии влияния для величины А'., —	— Л7., опре-
деляются сравнительно простыми формулами (20):
для участка между пятой и боковым шарниром
1 2‘I I g2 о _1 "j .
~r 6 ' 12 ‘ 20 J ’
для участка между
боковым шарниром и серединой пролета
Подставляя в первую из этих формул числовые значения,:
получим:
[0,11938 - О,19775го-г 0,16667zg —0,13925г? ~г	\
3	2-0,11938	01’	1
+ 0,05095zoj = 12,890 — 21,352z(,+ 17,997,cg — 15,035г?-1-
-J- 5,5OU8 = D.
74
Т а б а и ц а 16
ОПРЕДЕЛЕНИЕ О Р Д И II А Т тц
го	— 0,50417 г0	0,50500	— 0,27850	0,^8492 z$	А	— 0,11720 г0	о.озо'о zi
1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0,19775	0	6
0,1	— 0,05042	0,00500	— 0,00028	0,00001	0,15206	— 0,01172	0,00001
0,2	— 0,10083	0,02000	— 0,00223	0,00014	0,11483	— 0,02344	0,00013
0,3	— 0,15125	0,04500	— 0,00752	0,00069	0,08440	— 0,03516	0,00065
0,4	— 0,20167	0,08000	-0,01782	0,00217	0,06043	— 0Д4688	0,00206
0,5	— 0,25208	0,12500	— 0,03481	0,00531	0,04117	— 0,05860	0,0.. 503
0,6	— 0,30250	0,18000	— 0,06016	0,01101	0,02610	— 0,07032	0,01043
0,7	- 0,35292	О,245ОЭ	— 0,09553	0,02039	0,01469	— 0,08254	0,019с 3
0,770	— 0,33821	0,29645	— 0,12714	0,0298 >	0,00830	— 0,09024	0,02539
0,8	— 0,40334	0,32000	— 0,14259	0,03478	0,00660	— 0,09376	0,03297
0,9	— 0,45375	0,40500	— 0,20303	0,05572	0,00160	— 0,10548	0,05281
1,0	— 0,50417	0,50000	— 0,27850	0,08492	0	— 0,117120	0,08050
i'j родо л ж e н п с т а б я. 16
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРДИНАТ'^
— 0,08071 arg	0,03281	0,00081 zl	-0,00101 zos	0,00048 zj	Б	27,655 А	1 j 47,545 В	
9	10	И	12	13	14	15	i	16	17
0	0	0	0	0	0,08432	5,469	1 !	4,009	1,460
0	0	0	0	0	0,07261	4,205	3,452	0,753
— 0,00003	0	0	0	0	0,06098	3,176	2,899	0,277
— 0,00020	0,00002	0	0	0	0,04963	2,3.34	2,330	— 0,026
— 0,00082	0,00013	0	0	0	0,03881	1,671	1,845	— 0,174
— 0,00252	0,00051	0,00001	0	0	0,02875	1,139	1,367	- 0,228
- 0,00628	0,00153	0,00002	— 0,00002	0	0,01968	0,722	0,936	— 0,214
— 0,01356	0,00386	0,00006	— 0,С0..06	0,00002	0,01193	0.406	0,567	— 0,161
— 0,02185	0,00684	0,00013	— 0,00012	0,00035	0,00743	0,230	0,353	— 0,123
— 0,02645	0,00860	0,03017	— 0,00017	0,00003	0,00574	0,183	0,273	— 0,090
— 0,04766	0,01744	0,00039	— 0,00043	0,00019	0,00158	0,047	0,075	- 0,028
— 0,08071	0,03281	0,00081	— 0,00101	0,00048	0	0	0	0
Продолжение табл. 16
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРДИНАТ т;			О п	РЕДЕ	Л Е 11 И	Е 0 Р	ДИНА	Т Дз
Ав U7 = = 142,833 В	а	Т;2	— 21,352 го	17,997 z®	— 15,035 z*	5,501 z5	D	53
18	19	20	21	22	23	24	25	26
12,044	12,890	— 0,846	0	0	0	0	12,890	0
10,371	11,216	— 0,845	— 2,135	0,018	— 0,002	0	10,789	- 0,427
8,710	9,542	— 0,832	- 4,270	0,144	— 0,024	0,002	8,742	— 0,800
7,089	7,868	- 0,779	- 6,406	0,483	-0,122	0,013	6,861	- 1,007
5,543	6,194	- 0,651	— 8,541	1,152	— 0,335	0,056	5,172	— 1,022
4,106	4,520	-- 0,414	— 10,676	2.2.50	— 0,940	0,172	3,696	— 0,824
2,811	2,846	— 9,035	— 12,811	3,887	— 1,949	0,428	2,445	— 0,401
1,704	1,172	— 0,532	— 14,946	6,173	— 3,610	0,925	1,432	0,260
1,061	0	1,061	— 16,441	8,216	— 5,285	1,489	0,869	0,869
0,820	—	0,820	- 17,082	9,214	— 6,158	1,803	0,667	0,667
0,226	—	0,226	— 19,217	13,120	— 9,864	3,248	0,177	0,177
0	—		— 21,352	17,997	- 15,035	5,501 1	0	0
Величины D подсчитаны в графах 21—24 и даны в графе 25
табл. 16. Для участка от пяты до бокового шарнира эти величи-
ны и будут ординатами линии влияния. Для других же сечений
ординаты равны:
Величины -~
2
z^d даны в графе 19, а в графе 26 — оконча-
тельные ординаты линии влияния т13.
Эти величины, так же как величины тц и даны для левой
половины арки. Для правого полупролета цифры будут симмет-
ричны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.
Все вычисления данных, входящих в табл. 16, значительно об-
легчаются, если иметь готовую таблицу различных степеней ве-
личины г0. Такая таблица значений г0 для степеней от 1 до 9,
вычисленных с необходимой степенью точности, дана в прилож. 1.
4. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
Для выяснения усилий от изменения температуры в предыду-
щем разделе получены формулы:
Входящие в эти выражения величины оп и могут быть полу-
чены на основании выведенных выше формул:
....2rf,,
cI:J0
Подставляя значения 8П и;3„ вшыражепия для и X.,, получим:
v __ litEJn .
1	c2<lV
___ latcF.Jft
2	~ ~с7/у w
Так как 2d = l, получим окончательно:
.  a.tEJa
1 ~ eV
а~ JW~
(22)
78
В качестве примера рассмотрим ту же арку, которая была рас-
смотрена выше. Предположим при этом
/^16°	)
ZT—2 100000 п';.„4 Е«^403
а —0,000012	j
Остальные величины из примера:
Д =^0,021 (момент инерции в замке);
/= 3,65 м (стрелка свода);
с— 2,123 л/)
V—0>30267|- вычислены в примере.
1F—0,11720)
По этим данным находим:
atEJ0
eV
^EJ_t
~fW~
403-0,0210	191_
--------------___]зду тм.
2,123-0,30267
2-403-0,0210	_
- ' - - — 39,о тм.
3,63-0,11720
Теперь нетрудно получить моменты и нормальные силы в
любом сечении. Для этого можно воспользоваться выведенными
выше формулами для определения ординат линий влияния момен-
та в пяте, распора и т. д. Надо только в этих формулах отбро-
сить члены, соответствующие влиянию единичной нагрузки, а
внутренние усилия заменить такими же усилиями, возникающими
благодаря изменению температуры.
Например, для момента в пяте получим:
М =~
И 2с
— е 39,5-3,65 , 1О,_3,65—2,123	•
— —----------—	13,17 —-------= 43,о тм\
с 2-2,123	2,123
для распора:
„г	. М„ 13,17-4-43,5	1Г_
Н1 —-------L Н----=---------!-----— 15,0 т и т. д.
f f 3,63
5. О ВЫРАВНИВАНИИ НАПРЯЖЕНИЙ В СЕЧЕНИЯХ СВОДОВ
В работе инженера П. С. Морозова „Расчет бесшарнирных
мостовых сводов" рассматривается вопрос о выборе очертания оси
свода, дающем некоторое выравнивание напряжений в различных
сечениях но длине пролета. Некоторые указания о том же дает
проф. С. П. Тимошенко *. Метод по существу один и тот же. Идея
его заключается в следующем.
* С. П. Тимош енк о, Расчет упругих арок, Госстройиздат, 1933; см. также
К с г л е р, Таблицы для расчета сводов, ПГГИ, 1931.
79
Вообразим себе арку, очертание которой подобрано по кривой
давления от постоянной нагрузки. При таких условиях от этой
самой постоянной нагрузки благодаря обжатию свода получает'
ся положительный момент в замке и отрицательный в пяте.
П. С. Морозов показывает, что путем некоторого изменения
очертания оси свода можно уменьшить абсолютную величину
расчетного (отрицательного) момента в пяте. Сама техника приема,
подробное описание которой можно найти в названной работе,
заключается в следующем.
Для того чтобы улучшить работу свода в пятовом сечении
(по сравнению со сводом, очерченным по кривой давления от
постоянной нагрузки), достаточно несколько приподнять очерта-
ние свода в четвертях. П. С. Морозов предлагает такое изменение
производить очень простым и удобным способом: подбирать очер-
тание для несколько большего отношения нагрузки в пяте к наг-
рузке в замке, чем это имеет место в действительности. При
удачном выборе этого отношения нагрузки выравниваются.
Мы считаем, что несмотря на все остроумие предлагаемого
ипж. П. С. Морозовым способа, он особо серьезного практическо-
го значения не имеет.
Дело в следующем. Для того чтобы при выборе очертания
свода иметь полное решение, необходимо учитывать влияние из-
менения температуры. Это обстоятельство заставляет уже при
выборе очертания оси свода задаться каким-то определенным
температурным режимом в момент раскружаливания. Предусмо-
треть заранее этот режим чрезвычайно трудно (и вряд ли возмож-
но), а если раскружаливание будет произведено не при той тем-
пературе, которая вводится в расчет, все предложения будут
нарушены и исправление оси свода ни к чему не приведет.
Таким образом, надо иметь какие-то возможности регулиро-
вать усилия не в процессе проектирования, а па месте работ, в
процессе постройки.
Такие возможности дает хорошо известный прием Фрейсине*
или постановка временных шарниров. Если шарниры сконструиро-
вать так, чтобы в момент раскружаливания иметь возможность
несколько регулировать их положение по высоте сечений свода,
температурный режим в момент раскружаливания может быть учтен.
Таким образом, метод, изложенный в работе П. С. Морозова,
по нашему мнению, не представляет большой самостоятельной
ценности. Возможно, что в комбинации с искусственным регулиро-
ванием усилий в процессе постройки он может дать еще неко-
торое улучшение работы свода. Однако, этот вопрос настолько
громоздок, что решать его здесь мы не предполагаем. Это — область
самостоятельного исследования.
* См. интересную работу: К. С. 3 а в р и е в. Расчет брсшарнирных мостовых
сводов при условии раскружаливания их способом Фрейсине.
80
III. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ
В БЕСШАРНИРНЫХ СИММЕТРИЧНЫХ СВОДАХ
1. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ТАБЛИЦ
Прежде чем приступить к определению ординат линий влия-
ния или других видов усилий, необходимо выяснить величину с.
Эта величина, как было показано, выражается формулой:
При этом отдельные интегралы этого выражения, после под-
становки значений у, ./cos? и Ли интегрирования, могут быть напи-
саны:
Пользование этими выражениями может быть значительно
упрощено, если заранее, в табличной форме, подсчитать отдел1 * * * * 6 -
ные коэфициенты, зависящие от величины р. Тогда два первых
выражения получат значительно более простой вид:
7 I 1	11
I о J cos 9
р ydz
) о J cos «	./0
где А, В, С, D, Е и F—коэфициенты, зависящие от р. Эти коз-
фициенты даны в табл, 17 для величии р, меняющихся в пре-
делах от 0,5 до 1,00 через 0,025.
6 В, К, Качурии	8J
Таблица 17
	л	В	С	D	Е	F
9,500	0,13523	9,11806	0,10494	0,25000	0,19613	0,16250
0,525	0,13598	0,12016	0,10662	0,25417	0,19911	0,16438
0,5а0	0,14079	0,12229	0,10829	0,25833	0,20179	0,16625
0,375	0,14364	0,12447	0,11000	0,26250	0,20446	0,16813
о,«оо	0,14655	0,12666	0,11174	0,26667	0,20714	0,17000
0,625	0,14950	0,12891	0,11348	0,27083	0,20982	0,17188
0,650	0,15252	0,13119	0,11528	0,27500	0,21250	0,17375
9,675	0,15557	0,13349	0,11710	0,27917	0,21518	0,17563
0,700	0,15868	0,13584	0,11892	0,28333	0,21786	0,17750
0,725	0,16185	0,13822	0,12078	0,28750	0,22054	0,17938
•0,750	0,16506	0,14063	0,12268	0,29167	0,22322	0,18125
0,775	0,16832	0,14308	0,12158	0,29583	0,22589	0,18313
0,800	0,17164	0,14556	0, ;2651	0,30000	0,228,>7	0,18500
0,825	0,17500	0,14807	0,12847	0,30417	0,23125	0,18688
0,850	0,17843	0,15062	0,13044	0 30833	0,23393	0,18875
0,875	0,18189	0,15322	0,13246	0,31250	0,23661	0,19063
0,900	0,18541	0,15;>83	0,13448	0,31667	0,23929	0,19250
0,925	0,18898	0,15850	0,I'J654	0,32083	0,24196	0,19438
0,950	0,19261	0,16119	0,13862	0,32500	0,24464	0,1962.»
0,975	0,19628	0,16391	0,14068	0,32917	0,24732	0,19813
,1,000	0,20000	0,16667	0,14286	0,33333	0,25000	0,20000
Пользуясь возможностью выразить интегралы через коэфици-
енты А, В, С и т. д., получим простое выражение для с:
1	, cos'
275,	27
(23)
После определения с для решения задачи необходимо будет
выяснить значения вспомогательных коэфициентов V и W, вхо-
дящих в формулы для линий влияния лишних неизвестных.
Они равны:
fi yd/.
Выше написано два выражения для интеграла L yc~os7
Если сравнить их правые части, увидим, что
р.
| + 7+т) + М(1+7+|)=0+£’+';?
82
Подставляя это выражение в значения V и W, получим:
1/^1 -|- ± ц- А _	4.. рр
«2	3 с \
Ж^П4-£а4-/^.
(24)
Таким образом, коэфициенты, входящие в выражения V и W,
должны быть взяты также из табл. 17.
В дальнейшем, будем ли мы определять ординаты линий вли-
яния или находить усилие от постоянной нагрузки, или площади
линий влияния, — нам необходимо будет знать расстояние между
боковыми шарнирами, т.е. величину а. Определить ее можно из
уравнения оси свода:
Для бокового шарнира Qt =У ~с) получаем связь меж-
ду а и с.
В табл. 18 даны величины—в функции отношения-у для раз-
личных р.. Этой таблицей можно путем интерполяции пользоваться
для нахождения величин — при данном отношении —. Пользова-
1	f
ние табл. 18 несколько проще и удобнее, чем написанной выше
формулой, так как в этой формуле ~~ не выражено в явном виде
с
через-у и его приходится определять путем последовательных
приближений.
Следующая задача — табличное определение ординат линии вли-
яния лишних неизвестных. Ординаты линии влияния для Х± выра-
жаются формулой:
Таблица 1
1А		—--		С f при			а				
	0,675	0,700	0,725	0,750	0,775	0,800	0,825	0,850	0,875	0,900
0 500	0,29789	0,32904	0,36292	0,39990	0,44011	0,48381	0,53141	0,58311	0,63928	0,70025
0,525 0,550 0,575 0,600 0,625 0 650	0/30377	0,33708	0,37111	0,40803	0,44813	0,49165	0,53887	0,59007	0,64559	0,70573
	0,31366	0,34513	0,37924	0,41617	0,45616	0,49946	0,54633	0,39705	0,65191	0,71122
	0,32155	0,35318	0,38737	0,42429	0,46418	0,50726	0,55379	0,60402	0,65823	0,71671
	0,329-13	0,36123	0,39550	0,43212	0,47221	0,51507	0,56125	0,61098	0,66454	0,72220
	0,33732	0,36928	0,40364	0,44055	0,48023	0,52288	0,56871	0,61795	0,67086	0,72768
	0,34521	0,37732	0,41177	0,44869	0,48.^26	0,53069	0,57617	0,62493	0,67718	0,73317
0,675 0,70) 0,725 0,750 0,775 0,800 0,825 0 850	0,35309	0,38537	0,41990	0,45631	0,19529	0,53850	0,58364	0,63189	0,68350	0,73866
	0 36Л98	0,39342	0,42803	0,46194	0,50431	0,54630	0,59109	0,63886	0,68981	0,7 4415
	0 36887	0,40147	0,43617	0,47307	0,51234	0,55411	0,59856	0,64583	0,69613	0,74963
	0,37675	0,40952	0.44430	0,15121	1,52037	0,56192	0,60652	0,65281	0,70245	0,75512
	0 33461	0,11757	0,15243	0,48933	0,52840	0,56973	0,61348	0,65977	0,70876	0,76061
	0,39253	0,42561	0,-16056	0,49746	0,53642	0,57754	0,62094	0,66674	0,71508	0,76610
	0 40041	0,13366	0,45869	0,50559	0,54445	0,58534	0,62840	0,67371	0,72140	' 0,77159
	0,40839	0,44171	0,47684	0,51373	0,55248	0,59315	0,63587	0,68069	0,72773	0,77707
0,875 0,900 0,925 0,950 0,975 1,000	0,41620 0 42408	0,44976	0,48197	0,52185	0,56050	0,60096	0,64332	0,68765	0,73404	0,78256
		0,45781	0,49310	0,52998	0,56853	0,60877	0,65079	0,69462	0,74036	0,78805
	0 43197	0.46386	0,-0123	0,53811	0,57655	0,61658	0,65824	0,70159	0/4668	0,79354
	0,43986	0,4739'9	0,50937	0,54625	(1,58-158	0,62438	0,66571	0,70857	0,75300	0,79902
	0 4 1774	0,48195	0.51750	0,55437	0,59260	0,63219	0,67316	0,71553	0,75931	0,80451
	0,45363	0,40000	(\52563	0,56255	0,60063	0,64000	0,68063	0,72250	0,76563	0,81000
Если величины н-иг0 дать в таблицу в качестве не зависимых пере
менных уравнение линии влияния можно представить в таком виде:-

(25)
Коэфициенты G, Н, J, К, L и М в функции у. и z0 даны в табл. 19.
Определение ординат линии влияния лишней неизвестной Ха
уже не требует составления каких-либо новых таблиц, так как
соответствующие выражения почти полностью входят в выраже-
ние ординат -г]!-
Для участка между пятой и боковым шарниром
для участка между боковым и средним шарнирами
Принимая во внимание
ния выражения 7]1; и имея
обозначения, введенные для упроще-
в виду, что
получим:
а
2 __ я
d~ I ’
< =	+ Za + М3) -d^-z^.
(26)
Для лишней неизвестной Х3 ординаты линии влияния выража-
ются следующими формулами:
85
Таблица 19
	=: 0			z0 =: 0,1			z0 = 0,2			1Л
	G =z 0,50000, г! = 0,33333, J = 0,25000			G ~ 0,40509, H = 02’8350, J= 0,21638			G- 0,32000, II = 0,23166, J = 0,18347			
	К		41	К	1	Л4	*		/1-1	
0,500	0,19613	0,162’0	0J0S69	0,17143	0,14286	0,12264	0,11650	0,12322	0,10639	0,500
0,525	0,19911	0,15438	0,14028	0,17369	0,14147	0,11,384	0,14835	0,12456	0,10749	0,525
0,550	0,20179	0,16625	0,11167	0,17596	0,14607	0,12500	0,15019	0,12590	0,10142	0,550
0,575	0,20446	0,16313	0,14305	0,17821	0,14708	0,1.624	0,15204	0,12724	0,10943	0,575
0,600	0,20714	0,17000	0,1 1411	0,18047	0,14929	0,12742	0,15389	0,1.858	0,11045	0,600
0,625	0,20982	0,17188	0,14584	0,18275	0,15090	0,12865	0,15573	0,1.992	0.11146	0,625
0,650	0,21250	0,17374	0,14722	0,18500	0,15250	0,12985	0,15759	0,13126	0,11247	0,650
0,675	0,21518	0,17563	0,14861	0,18727	0,15411	0.1:2.05	0,15944	0,13260	0,1134 j	0,675
0,709	0,21786	0,17750	СД-чиОО	0,18954	0,15572	0,13225	0,16128	0,13394	0,11450	0,700
0,725	0,22054	0,17938	0,15138	0,19180	0.15733	0,1.3345	0,16313	0,13528	0,11552	0,725
0,750	0,2.322	0,16 11'5	0,15278	0,’0405	0,15893	0,13166	0,16499	0,13362	0,11653	0,750
0,775	0,22589	0,18313	0,15417	0,19632	0,16054	0,13.586	0,16682	0,13796	0,11754	0,775
0,890	0,22857	0,18500	0,15555	0,19357	0,16214	0,13706	0,16868	0,13930	0.11856	0,800
0,825	0,23115	0,18688	0,15694	0,20084	0,16375	0,13826	0.17053	0,14064	0,11957	0,825
0,850	0,23393	0,18875	0,15834	0,20311	0,16536	0,13946	0,17237	0,14198	0,12059	0,«50
0,875	0,23661	0,19063	0,15972	0,20537	0,16697	0,14066	0.17424	0.14332	0, 2160	0,875
0,900	0,23929	0,19-50	0,16111	0,20763	0,16357	0,14186	0,17608	0,1-1466	0,12261	0,900
0,925	0,24196	0,19438	0,16250	0,20989	0,17018	0,14307	0,17791	0,14600	0,12363	0,925
0,950	0,24464	0,19625	0,16389	0,21215	0.17179	0.14427	0,17977	0,14734	0,12464	0,950
0,975	0,24732	0,19813	0,16528	0,21441	0,17340	0,14547	0,18162	0,14868	0,12566	0,975
1,000	0,25000	9,20000	.. 0,16667	0,21658	0,17500	0,11667	0.1 <346	0,15092	0,12667	1,000
Продолжение табл. 19
	ZQ — 0,3			г0 = 0,4			— 0,5			ZQ — 0,6			
р-	G = 0,24500, Н =		0,18783,	G = 0,18090, // =		0,14400	0 - 0,12500, II ~		0,10416,	G = 0,08000, 11 - 0,06933,			а
	J	0,15067		J	= 0,1188	0	J	- 0,18854		J	= 0,06080		
	К	L	М	К	L	Л1		1 1	М	К	1	Л1	
0,500	0,12176	0,10363	0,09015	0/9752	0,9841.0	9,07396	0,07412	1 0,06509	0.05791	0,05216	0,04673	0,04224	0,500
0,525	0,12321	0,10470 0,09098		0,09858	0,98502	0,07469	0,07 184 j	0,06556	0,05837	0,05259	0,04709	0,04254	0,525
0,55 )	0,12465	0,10573	0,09180	0,09965	0,08583	0,07526	0,07556	0,06624 :	0,05884	0,05302	0,04745	0,04284	0,550
0,575	0,12610	0,10685 !	0,09233	0,10 71	0,08665	п, 07558	0,0762 ;	0,06681 '	0,05? 30	0,0-j346	0, 4780	0,04311	0,575
0,605	0,12754	0,10793 ;	0,09346	0,10177	0,08746	0,0767)3	0,07699 1 0,0673'8 ,		0, 5977	0,) 5389	0,04816	0,04344	0,690
0,625	0,12899	0,10900 j 0,09129		0,10283	0,08328	(1,07717	0,07773	0,0о”9б I	0,0602 3	0,05432	0,04852	0,04374	0,625
0,650	0,13043	0,11008 I 0,09511		0,10390	0,089Г’>	/07781	0,978 15	0,038-3	0,06069	0 05475	0,04888	0,01404	0,650
0,675	0,13188	0,11115	0,09594	0,10496	/08991	0,07854	0,07917	0,06010 j	0,06116	0,05518	0,01924	0,04435	0,675
0,700	0,13332	0,11223	0,09677	0,10603	0,09072	0,07909	0,0799 )	0,06968 ।	0,06162	0.0 л 562	0,04959	0,04164	0,700
0,725	0,13477	0,11330	0,09759	0,10709	0,09154	0,07973	0,08032	0,07025 1	0,06209	0,05605	0,04995	",04494	0,725
0,750	0,13622	0,11438	0,09842	0,10816	0,09233	0,03038	0,08134	0,07083	,03255	0/5648	0,05031	0,04521	0,750
0,775	0,13766	0,11545	0,09925	0,1 922	0,09317	0,08102	0,08203	0,07140	0,06301	0,05691	0,05067	0,04553	0,775
0,800	0,13911	0,11652	0,10007	0,11029	0,09399	0,08166	0,08278	О/>7197	0,06348	0,05734	0,05103	0,04583	0,800
0,825	0 14055	0,11760	0,10090	0,11135	0,09480	0,08230	0,083 19	0,07255	0,06394	0,05778	0,05138	0,04613	0,825
0,850	0,14200	0,11867	0,10173	9,11242	0,01562	0,08294	0,03422	0,07312	0,06441	0,05821	0,05174	0,04643	0,850
0,875	0,14344	0,11975	0,10256	0,11347	! 0,096 13	0,08358	0,08194	0,07360	9,06487	0,1'5864	0/5210	0,0,673	0,875
0,900	0,14489	0,12082	0,10338	0,11454	0,09725	0,08122	0,08566	0,07427	0,66533	0,05907	0,05246	0,01703	0,909
0,925	0,14633	' 0,12190	0,10421	0,11560	0,00806	0,03487	0,08637	0,074'21	0,06580	0,05950	0,05282	0,047 73	0,925
0,950	0,14777	0,12297	0,10504	0,11666	0,09^88	0,08551	0,0,71 и	0,07541	0,06626	0,05994	0,05317	0,0 763	0,950
0,975	0,14922	। 0,12105	0,10586	0,11773	0,09369	0,08615	0,08781	0/7599	0,06675	0,06037	0/'5353	0,04793	0,975
1,000	0,15067	'0.1	1 0,10669	0,11881	0,1 000 1	0,08679	! 0.0- 3-51	0,076-6	0,06719	0,06080	0.05389	0,04823	1,000
CJO
При д о л с н и и т а б л. 19
р-	z0 — 0,7			z0 =: 0,8			zq = 0,9			ZQ = 1,0			р-
	G = 0,04500, // ~ 0,04050, J = 0,03668			G ~ 0,02090, Н = 0,51866, 7 = 0,01746			G - 0,00500, II = 0,00483, J = 0,00467			С = 0, /7=0, 7 = 0			
	к 1	L I	М	К	L	м	К	L	М	К	1 L	I м	
0,500	0,03241	0,02971	0,027 39	0,01600	0,01505	0,01419	0,00446	0,00431	0,00419	0	0	0	0,500
0,525	0,03262	0,02989	0,02755	0,01607	0,01512	0,01425	0,00447	0,00432	0,00420	0	0	0	0,525
0,550	0,03284	0,03008	0,02771	0,01615	0,01518	0,01431	0,00448	0,00433	0,004.1	0	0	0	0,550
0,575	0,03305	0,03026	0,02787	0,01622	0,01525	0,01437	0,00449	0,00434	0,00422	0	0	! 0	0,575
0,600	0,03326	0,03045	0,02803	0,01629	0,01532	0,01443	0,00450	0,00435	0,00423	0	0	0	0,600
0,625	0,03348	0,03063	0,02819	0,01637	0,01538	0,01450	0,00451	0,00437	0,00424	0	0	0	0,625
0,650	0,03369	0,03082	0,02835	0,01644	0,01545	0,01456	0,00452	0,00438	0,00425	0	0	0	0,650
0,675	0,03390	0,03100	0,02851	0,01651	0,01552	0,01462	0,00453	0,00439	0,00426	0	0	0	0,675
0,700	0,03412	0,03119	0,02867	0,01658	0,01552	0,01468	0,00454	0,00440	0,00427	0	0	0	0,700
0,725	0,03433	0,03137	0,02883	0,01666	0,01565	0,01474	0,00456	0,00441	0,00427	0	0	0	0,725
0,750	0,03455	0,03156	0,02899	0,01673	0,01572	0,01480	0,00457	0,С0442	0,00428	0	0	0	0,750
0,775	0 03476	0,03174	0,02915	0,01680	0,01578	0,01486	0,00458	0,00443	0,00429	0	0	0	0,775
0,800	0,03497	0,03192	0,02931	0,01688	0,01585	0,01492	0,00459	0,00444	0,00430	0	0	0	0,800
0,825	0,03519	0,03211	0,02947	0,01695	0,01591	0,01498	0,00460	0,00445	0,00431	0	0	0	0,825
0,850	0,03540	0,03229	0,02963	0,01702	0,01598	0,01504	0,00461	0,00446	0,00132	0	0	0	0,850
0,875	0,03561	0,03248	0,02979	0,01710	0,01605	0,01511	0,00462	0,00447	0,00433	0	0	0	0,875
0,900	0,03583	0,03266	0,02995	0,01717	0,01611	0,01517	0,00463	0,00448	0,00434	0	0	0	0,900
0,925	0,03604	0,03285	0,03011	0,01724	0,01618	0,01523	0,00464	0,00449	0,00435	0	0	0	0,925
0,950	0,03625	0,03303	0,03027	0,01731	0,01625	0,01529	0,00465	0,00450	0,00436	0	0		0,950
0,975	0,03647	0,03322	0,03043	0,01739	0,01631	0,01535	0,00466	0,00451	0,09437	0	0	1 0	0,975
1,000	0,03668	0,03340	0,03059	0,01746	0,01638	0,01541	0,00467	0,00452	0,00438	0	0	1 0	1,000
для участка между пятой и боковым шарниром
ХГ1 ьл+1_/±+ -+2к+	;
L 3	4 1 5	\213J47O	6l12120j
для участка между боковым и средним шарнирами
В упрощенном виде эти выражения могут быть написаны так:
\ 3	4 1 5 )
=	---7Т bV+Az + Q!3]-4y-z0
Коэфициенты N, Р и Q даны в табл. 20.
Таблица 20
Zo		Р	Q
0	0,33333	0,25000	0,20000
од	0,28350	0,21668	0,17500
0,2	0,23466	0,18346	0,15002
0,3	0,18783	0,15067	0,12512
0,4	0,14400	0,11&80	0,10051
0,5	0,10416	0,08854	0,07656
0,6	0,06933	0,06080	0,05389
0,7	0,04059	0,03668	0,03340
0,8	0,01866	0,01746	0,01639
0,9	0,00483	0,00467	0,00452
1,0	0	0	0
В дальнейшем для решения ряда задач необходимо иметь еще
зависимость между коэфициентами р и т. Эта зависимость опре-
деляется уравнением (12):
р. = 1,13543— 0,150/п — 0,01519/п3— 0,000617/п3 и приведена
в табл. 21.
89
Табл и ца 21
[Л	ill	8-	in	a	m
0,509	11,0394	0,675	5,3142	0,850	2,4531
0,7.25	10,3527	0,700	4,7486	0,875	2,1785
6,550	9,5782	0,725	4,2573	0.900	1,9229
0,575	8,6; >53	0,760	3,8227	0,925	1,6743
0,600	7,677 1	0,775	3.4303	0,950	1,4331
0,625	6,7650	0,800	3,0772	0, 75	1.2116
0,650	5,9727	0,82d	2,7575	1,000	1,0000
Приведенных	данных	вполне достаточно для			того, чтобы ПОС
троить липни влияния для лишних неизвестных.
Для того, чтобы яснее был весь ход операций, рассмотрим пример.
Пример. Железобетонная арка. Данные следующие:
Расчетный пролет арки /--33,48 м (цолупролет d= 16,74 м);
расчетная стрелка /—3/35 м;
момент инерции арки:
в замке Д —0,0210 л/.'1;
в четверти пролета .Д— 0,0512 л/1;
в пяте J.,=0,0665 М'1;
площадь сечения арки:
в замке г/--0,:л0 лР;
в пяте Д —0,660 ш2;
постоянная нагрузка арки:
в замке gy = 8,00 /?Ь7;
в кяте gl;“-10,52 тм;
отношение т = Sk- —1,315.
g
Порядок расчетов следующий.
Прежде всего по табл. 21 выясняем, чему равен коэфициент у.
Оказывается, что при /’=1,315 коэфициент у равен какой-то
величине между 0,950 и 0,975. Для нахождения его можно восполь-
зоваться интерполяцией. Однако, этого делать мы не рекомендуем,
тык как при этом значительно усложнится пользование таблицами.
В то же время точность мало пострадает, если мы просто возьмем
ближайший коэфициент. Ближайшей цифрой к т — 1,315 будет
т-- 1,21.16. Этому значению т соответствует у-= 0,975. Его и.
принимаем.
Имея коэфициент у, находим:
tg а, = - I	5—3	у. |	= й’—°	Г5—3• 0,9751 = 0,45243	,
d [	]	16,74	[	J
= “ I 3-1-11	.л ]	=	-- Гз-f-H -0,975 I	-0,21429,
167 |	J	16-16,74 L	J
'j., -24° 21',	'^L —- 12" 16',
cos 13 = 0,91104,
cos'Yi =0,97779.
an
Далее определяем коэфициенты а и р:
4.7О Д о 4 0,0210	0,0210	„	,
Jjcosej Л cos	0,0512-0,97779	0,0665-0,91104
3 =—-J"----------4J"----2-=1,0153.
Л cos =._> Д cos -Jj
Вычислим еще величину:
.-1____L .cos _______!_ _|_ TU121 — 1 go
2/-’o	2/<.	2-0,450	2-0,660
Далее имеем формулу для определения величины с:
J2 [' л < п I	I	1	; COS'.;,
~ Л-г В?.-}-€> 4-  ------1-----J-
f._4L_	2/-u____24 . у_4П;44с4 1
^D-i-^z + Apj
, cos
, 4 24" ~ Ta 2
f D + I^-\-ry
Подставляем значения. При этом коэфициенты /1, В, С, D, В
и F берем в табл. 17 из строки, соответствующей р = 0,975.
Сначала определяем величину D LB. - j - Пр,- /)-|-На-|-ДЗ=-
0,32917 — 0,24732  1,6687 -- 0,19813 • 1,0153 - - 0,11764;
о „.0,196.8 - 0,16391-1,66'17-1-0,14068-1,0153 ,
откуда с —3,оэ-------------------- ------------------г-
0,11761
' <40210	1,8	,9Ч1 ,,
;	3,65 ' 0,11764 "
Далее определяем коэфициенты V и W:
1,0153
3
1,668.7
v^~-14- -•
1 2
2
определение отяо-
-(О-ф£а-г/4) = 1—-
с
о, 11764--=0,3024;
2,1231
W --= D	Пт -I- F3 ==о,1176.
Последняя вспомогательная операция—это
шения у ио табл. 18.
Сперва находим значение отношения у:
с 2,1831	„ -
—-----—-0,а81о7.
f 3,65
Для |i= 0,975 в табл. 18 имеются цифры у—0,55437 и ему
соответствует у-0,750 и Л = 0,59260, которому соответству-
J
91
ет-р— 0,775. По интерполяции находим значение ~ соответству-
ющее у ==0,58167.
Получим:
у = 0,76785,
откуда
« = 0,76785-33,48 = 25,708 м.
Теперь по формуле для и табл. 19 можем найти ординаты
линии влияния для Ху.
Подставляя известные величины, уравнение для ординат ли-
нии влияния получим в следующем виде:
Г С7 — 1,6687/7 + 1,01537 ]-.16^±.¥+_ х
2-0,3024 L	J 2-2,1231-0,3024
X [лг— 1,66877.4- 1,015344 ,
или:
vil = 27,671 [6— 1,6687/7+1,01537] —
— 47,585 [/€—1,66877 +1,015344].
Подсчеты ординат, произведенные по этой формуле, даны в
табл. 22.
В той же табл. 22 даны ординаты т(, для лишней неизвестной
X.,. Это не трудно сделать, так как в таблице уже сосчитаны ве-
личины K-\~a.L—^44 (равные в данном случае /€— 1,66877 +
+ 1,015344), входящие в формулу для т^-
Их надо помножить на	142,347.
W 0,1176
Затем для среднего участка (в данном случае от z0 = 0 до
-о~-О,7) ввести слагаемое — d — г0^). Это сделано в двух пред-
последних строках таблицы, а в последней даны ординаты
Одним из недостатков построения линий влияния при помощи
предлагаемых таблиц является то обстоятельство, что ординаты
линий влияния JV, и Л, в боковом шарнире при помощи этих
таблиц не могут быть определены. Дело в том, что таблицы
составлены для сечений через одну десятую полупролета. Боковой
шарнир (фокус) только в редких случаях может попасть как раз
на деление. В нашем случае, например,-у = 0,7691, т. е. шарнир
попадает в сечение между zo = O,7 и 0,8. По таблицам соответ-
ствующую ординату сосчитать невозможно.
Впрочем, это не существенно. Дело в том, что при построении
линии влияния моментов и нормальных сил в любом сечении,
расположенном на одном из делений (через одну десятую полу-
пролета), нет необходимости интересоваться ординатами лишних
неизвестных в боковом шарнире. Следовательно, невозможность
S2
Данные	0	0,1	0,2	1	0,3 1
G	0,500'0	0,40500	0,32000	0,24500
II	0,33333	0,28350	0,23463	0,18783
J	0,85000	0,21668	0,18347	0,15067
— 1,6687 Н	—9,65623	—0,47308	-0,39157	-0,31343
1,0153/	0,25383	0,22000	0,18628	0,15298
G—1,6687/74-1,0153/	0,19760	0,15191	0,11471	0,08455
27,671 [0—1,6687/7+				
+1,0153 J]	5,468	4,204	3,174	2,340
К	0,24732	0,21441	0,18162	0,14922
/	0,19813	0,17340	0,14868	0,12405
м	0,16528	0,14547	0,12566	0,0'586
—1,6 87/,	—0,33061	—0,28935	—0,24810	—0,20700
1,0153 /И	0/6781	0,14770	0,12758	0,10748
+—1,6687 7,+	0,08452	0,0727'6	0,06119	0,04970
+1,0153 Л-1				
47,535 [+-1,6687/ +	4,022	3,462	2,907	2,365
-Н,01гЗ/И] 7],	1,446	0,742	0,267	-0,025
142.347 [+-1,6637/ +	12,031	10,357	8,697	7,075
+ 1,0153 М]				
а j—	0,7679	0,6679	0,5679	0,4679
dQal-g\)	—12,855	—11,180	—9,507	-7,832
712	— 0,824	— 0,823	—0,810	-0,757
Таблица 22
0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
0,18000	0,12500	0,08000	0,04500	0,0200.9	0,00500	0
0,14400	0,10416	0,06933	0,04050	0,01865	0,00483	0
0,11880	0,08854	0,06080	0,03668	0,01746	0,00467	0
-0,24029	—0,17381	—0,11569	-0,06758	-0,03114	—0,00806	0
0,12062	0,08989	0,06173	0,03724	0,01773	0,00474	0
0,06033	0,04108	0,02604	0,01466	0,00659	0,00168	0
1,669	1,137 '	0,721	0,406	0,182	0,046	0
0,11773	0,08781	0,06037	0,03647	0,01739	0,00466	0
0,09969	0,07599	0,05353	0,03322	0,01631	0,00451	0
0,08615	0,06673	0,04793	0,03043	0,01535	0,00437	0
—0,16635	-0,12680	—0,08933	- 0,05543	—0,02722	—0,00753	0
0,08747	0,06775	0,0-1866	0,03090	0,015аЗ	0,00444	0
0,03885	0,02876	0,01970	0,01194	0,00575	0,00157	0
1,849	1,369	0,937	0,568	0,274	0,075	0
-0,18)	—0,232	—9,216	-0,162	—0,092	-0,029	0
5,539	4,094	2,804	1,700	0,818	0,223	0
0,3679	0,2679	0,1679	0,0579	(—0,0321)	—	—
-6,159	—4,485	-2,811	—1,136	(-j-0,537)	—	—
—0,629	-0,391	—0,007	0,564 (1,700)	0,818 (1,335)	0,223	0
определить соответствующую ординату отражается лишь на том,
что нельзя точно нанести соответствующую ординату на линии
влияния самой лишней неизвестной. Однако, с достаточной сте-
пенью точности эта величина может быть определена, если ветвь,
расположенную левее шарнира, продолжить на одно деление
вправо, и наоборот, как это показано на фиг. 16. На этой фигуре
около соответствующих точек поставлены ординаты, взятые из
табл. 22. Цифры для дополнительных точек (расположенные на
продолжении ветвей) подсчитаны в табл. 22. Подсчеты, относя-
щиеся к этим цифрам, и сами цифры поставлены в скобках.
Теперь остается еще вычислить ординаты линии влияния лиш-
ней неизвестной Х3. Подставляя в формулу 27 известные величины,
получим формулы в таком виде:
V- 7----------®r-IWK	1.01530),
v=7----------тай-пдах «*- ‘•6687Р+ ‘°153 Q)~
2 0,33333 —	)
-44-0
или:
т!3'--107,«26 (А/— 1,6687Т*-|- 1,0153 Q),
107,826 (А/ — 1,6687Т* -ф 1,0153Q) — d(j- — z^.
94
Подсчеты ординат по этим формулам произведены в таол. 2о.
Здесь так же, как и в предыдущем случае, ордината в боково?л
шарниое непосредственно не определяется, поэто?лу в табл. 23
подсчитаны и даны ординаты на продолжении ветвей (см. также
фиг. 17).
Таким образом, ординаты линий влияния для лишних неизвест-
ных нами получены. Вопрос о построении линий влияния для
Фиг. 17.
усилий в различных сечениях освещен выше и здесь останавли-
ваться на нем не будем.
Заметим еще, что при решении задачи мы отказались от
интерполяции и вместо /и —1,315 взяли /«“1,2116. Интересно
было бы установить, как это отражается на результатах. Соот-
ветствующие цифры приведены в табл. 24.
Сравнение цифр табл. 24 с очевидностью показывает, что
отказ от интерполяции и непосредственное пользование таблич-
ными данными приносит ущерб точности порядка I-—2%.
Надо к этому добавить, что /«~ 1,315 (действительное т)
почти одинаково отстоит как от ближайшей меньшей (1,2116),
которая и была принята в расчете, так и от ближайшей большей
(1,4331). Другими словами, цифры табл. 24 дают если не наиболь-
шие возможные отклонения, то во всяком случае близкие к ним.
95
Данные	0	0,1	0,2	0,3	0,4	
	0,33333	0,28350	0,23466	0,18783	0,14400	
Р	0,75000	0,21668	0,18346	0,15067	0,11880	
Q	0,20000	0,17500	0,15002	0,12512	0,10051	
— 1.6687Р	-0,41718	- 0,36157	— 0,30614	— 0,25142	— 0,19824	
1,0153 Q	0,20306	0,17768	0,15232	0,12703	0,10205	
N— 1,6687 Р+1,0153 Q	0,11921	0,09961	0,08084	0,06344	0,04781	
107,826 07— 1,6687 Рф- + 1.0153Q)	12,855	10,741	8,717	6,840	5,155	
“Кт"2»)	—12,859	— 11,180	— 9,507	— 7,832	— 6,159	
Тз	0	— 0,439	— 0,790	— 0,992	— 1,004	
Таблица 24
	тд при т ~		г12 при т =:		Т]> при т —	
	16	1,315	1,2116	1,315	1,2116	1,315
0	1,446	1,460	—0,824	-0,846	0	0
0,1	0,747	0,753	—0,823	—0,845	—0,139	—0,427
0,2	0,267	0,277	—0,810	-0,832	- 0,790	-0,800
0,3	—0,025	—0,026	—0,757	—0,779	—0,992	-1,007
0,4	- 0,180	-0,174	—0,623	—0,651	—1,004	— 1,922
0,5	—0,232	—0,2:.’8	—0,391	—0,414	—0,8 >4	—0,;s24
0,6	—0,216	—0,214	—0,007	—0,035	—0,375	— 0,401
0,7	—0,162	—0,161	0,564	0,532	0,298	0,260
0,8	-0,092	-0,090	0,818	0,820	0,664	0,667
0,9	—0,029	—0,028	0,223	0,226	0,176	1,177
1,0	0	0	0	0	0	0
Таким образом, повторяем, непосредственное пользование циф-
рами таблиц, без всякой интерполяции мы считаем вполне допус-
тимым. Надо иметь в виду, что настоящий раздел работы пресле-
дует цель дать приближенные приемы расчета и требования к
точности здесь могут быть понижены.
Несомненно, если коэфициенты А, В, С и т. д. считать по интер-
поляции для значения т- =1,315, то полученные результаты мож-
но будет поставить наряду с точными.
Таким образом, ординаты линий влияния для лишних неизве-
стных получены. Однако, определение усилий по этим линиям
влияния потребует значительных затрат энергии и времени..
96
Табл п ца 23
	0,5	I	0.6 1 ।	0,7	0,8	0,9	1,0
	0,10416	0,06933	0,0-1050	0,014(55	0,00183	0
	0,08354	0.06080	0,03663	0,01746	0,00567	
	0,07656	0,0.5389	0,03340	0,01639	0,00452	0
	— 0,14775	— 0,10115	--0,06121	— 0,02914	— 0,00779	0
	0,07773	0,05471	0,03391	0,01664	0,004э9	0
	0,03414	0, (2259	0,01320	0,00616	0,00163	0
	3,081	2,436	1,433	0,664	0,176	0
j	— 4,485	— 2,811	— 1,136	- 0,537	—	—
1	— 0,804	( 1	— 0,375	0,298 (1,433) i	0,664 (1,201)	0,176	0
В частности, таких затрат потребует выяснение влияния постоян-
ной нагрузки. Постараемся дать для выяснения усилий от пос-
тоянной нагрузки более простые и удобные приемы.
2. УСИЛИЯ ОТ ПОСТОЯННОЙ НАГРУЗКИ
Вопрос о влиянии постоянной нагрузки принципиально ника-
ких затруднений не представляет. Выражения для ординат линий
влияния hij и для постоянной нагрузки в любом сечении но
длине свода (g) у нас имеются. Следовательно, если возьмем ин-
теграл вида
\g\dx
и распространим его на весь пролет, получим соответствующее
усилие от постоянной нагрузки.
Затруднение, однако, встречается, но чисто техническое. Дело
в том, что выражения для ординат линий влияния получились
довольно сложными и производить интегрирование этих величии,
да еще умноженных на величину нагрузки, кропотливо и гро-
моздко. Обойти эту операцию не удалось, приводим ее ниже.
Уравнение для нагрузки может быть написано
так:
или:
g^g. + ^У,
f
Здесь:
gu — нагрузка на единицу длины в пяте;
gs—нагрузка в замке;
g —нагрузка в любом сечении.
7 В. К, К чурин
97
Отношение^- нами обозначено, буквой /га.
[1 । in — 1 . Л
1 Ц- у |.
Величина у у нас выражена уравнением:
0у+ (1 _,)( «)]’	 „х + 0 _,,у ] .
Если это значение v подставим в выражение для g, получим:
g 1  г ( т — 1 ) -л z -j- f /га — 1	1 — р. V J 
Постараемся выяснить значение при постоянной нагрузке лиш-
не!': неизвестной .А",. Ординаты линии влияния для этой величи-
ны выражаются уравнением (вместо зг() пишем г):
Г‘! ~	~2 (‘ 3'~ 0 + 2 + 3? + Г Н ~ у +
"!"V ; т) :'( 1-!Л)(7+7+т)~[^7 + 7"(4) ’’
Г! _ . W1 + п + IV г □. +	+	_ы +
/Кб 7 1 8 /	' 12	20	30 '	42	'	56	'
+ у(А-2)П-
72	7
Усилие от постоянной нагрузки в силу симметрии может быть
выражено интегралом:
AV=2f2T,lglyc
J о
J I J
или, так как dx- -- — dz, можем переписать интеграл в таком
виде:
Х^п ~ I Г Тц gdz = 2 d С' Тд gdz.
v о	«) о
Не приводя здесь интегрирования, нанишем готовый результат:
98
Ордината линии влияния для лишней неизвестной АЕ может
быть написана:
для участка между пятой и фокусной точкой
для участка между фокусной точкой и замком
!)+(*--“)(b-;-+D>+£+? !<+
l О1 .О (1 “	j . р • ' у " I
-12	'	56	:	72	)	2	
Если величину, стоящую в фигурных скобках того и другого
выражения, обозначить временно буквой г, можем написать:
12 W
Усилие от постоянной нагрузки может быть выражено:
Два первых интеграла могут быть объединены в один.
Получим:
/	а
X'.' — 2 урС 2 гgdx Д- 2 С V _	- .с тЛ gdx,
Jo	Jo'*	'
i:
i	<i
A7 = 2j 2	2	gdx.
7*
99
Иначе это выражение может быть написано так:
/—~4-zd\ gdz—l f7|'£rt’c4-2'*3\ ' f— --	'£<&•
Jo Jo V	' Jo	Jo \	1
Подставляя сюда выражение для т'2 и g и произведя интег-
рирование, получим:
Третья лишняя неизвестная в силу симметрии нагрузки и об-
ратной симметрии линии влияния равна нулю:
I А'?	О ! •
i “_______I
Пользуясь полученными выражениями, можно получить вели-
чины липших неизвестных от постоя: пой нагрузки. Однако, эти
выражения получились очень громоздкими. Правда, практически
их можно считать вполне точными, но наша задача заключается
в получении хотя бы и не вполне точных, но удобных выраже-
ний. Такие удобные для практики выражения можно получить,
исходя из следующих соображений.
В выражения для Л? и Л" входят величины in. и р, связан-
ные друг с другом зависимостью, данной в табл. 21.
Можем поступить следующим образом: будем задаваться раз-
личными величинами а. Имея эти величины, можем определить
значения z/л, а имея значения т, можно определить в цифрах
ряд коэфиг.иентсв, входящих в выражения для JVf и X? . Этик
выражениям тогда можем придать достаточно простой вид:
Коэфициенты /?, S, Гит. д. подсчитаны для ряда частных
значений р и сведены в табл. 25.
109
Т а б a it ц а 25
	hi	!	5	1 Г  и 1	I	i				I 1 "	w	У	7
0,500	11,0391	0,26497	0,20800	0,17171	0,14262	0,12431	0,11034	0,83661	0,23903
0,525	10,3527	0,26173	0,20495	0,16953	0,14173	0,12330	0,10929	0,81837	0,21155
0,550	9,5782	0,25579	0.20074	0,16536	0,13994	0,12150	0,10754	0,78933	0,18382
0,575	8,6553	<-,24971	0,19474	0,16015	0,13676	0,11847	0,10-165	0,78365	0,15193
0,6О()	7.6774	0,24 i 39	0,18770	0,15406	0,1328)	O.i 1469	0,10113	0,60773	0,12719
0,625	6,7650	0,23315	0.18075	0,1 1875	0,12872	0,11091	0,09759 ।	0,60052	0,10295
0,650	5,9727	0,22572	0,17449	0,14262	0,12513	0,10756	0,09444	|	0,53371	0,08288
0,275	5,3142	0,21938	0,16916	0,13801	0,12220	0,10179	0,09183 j	0,-18535	0,05677
0,700	4,7'186	0,21375	0,16441	0,13392	0,11968	0,10237	0,08958	1	0,43733	0,05355
0,725	4,2573	0,20870	0,16017	0,13025	0,11718	0,10028	0,08758	|	0,39358	0,04266
	3,822/	0,20105	0,15627	0,12688	0,11552	0,09839	0,08578	!	0,35283	0,03360
0,77-5	3,430,3	0,19969	0,15261	0,12372	0,11971	0.09663	0,08-111	0,31392	0,02604
0,800	.3,07/2	0,19561	0,14918	0,12077	0,11204	0,09501	0,08256 1	0,27697	0,01978
0,825	2,7575	0,191 75	0,11595	0,11799	0,11059	0,09349	0,08111	1	0,24165	0,01465
0,850	2,-1531	0,18791	0,1427.3	0,11522	0,10393	0,09197	0,07964	|	0,20585	0,01038
0,875	2,1785	0,13430	0,13971	0,11263	0,10747	0,09055	0,07328	0,17187	0,00701
0,900	1,9229	0,13079	0,13660	0,11011	0,10616	0/-S918	0,07696	।	0,13843	0,00440
0,925	1,6743	0,17722	0,13379	0,10755	0,10457	0,08773	0,07559 j	0,105115	0,00241
0,950	1,4831	0,17359	0,13078	0,10495	0,10300	0,08622	0,07416	[	0,06863	0,60098
0,975	1,2116	0,175'13	0,12788	0,10247	'',10151	0,08478	0,07280	0,03138	0,00025
1,000	1,0007	0,166,7	0,12500	0,10600	0,10000	0,08333	0.07143	! i 1	0	0
О том, как пользоваться данными табл. 25, скажем ниже в при-
мере. Сейчас будем считать, что лишние неизвестные A'f и
найдены и, пользуясь ими, определим нормальную силу и
изгибающий момент (от постоянной нагрузки) в любом сечении
Ординаты этой линии влияния могут
а х
Т( 4с 2с '
саода.
Для этого прежде все-
го определим распор сво-
да. Величина распора со-
ставляется из двух вели-
чин: из распора как для
статически определимой
системы и из распора, за-
y/S I
висящего от величин Ai
и Х% (от величины Хл не
зависит, так как эта ве-
личина равна нулю).
Выясним прежде всего
распор как для статиче-
ски определимой системы.
На фиг. 18 показало:
а — распределение посто-
янной нагрузки, которое,
как указано, выражается
формулой:
£ = gs [1 + (»l — l) Р
l)(l--p)z5|;
Ь—основная (статически
определимая) схема и
с — линия влияния рас-
пора для этой схемы,
быть выражены формулой:
Распор для основной системы может быть найден путем интегри-
рования:	„
рТ
Но  = 2 I т, gdx 
Jo
Подставляя сюда значения и g, получим:
Нго ~ 2 f ч\ ~ — * ) £* Г1 4- ("I — 1) -г ("I — 1) (1 — Ю I Ах =
\ g~X~l'(у — z ) f 1 + (Л1 — 1) pzJ + («г — 1) (1 — р).
4с in \ I / L	J
102
После интегрирования получим:
Г!п _...Л>2 Г1 i("z — i) I-'/17 V I	1
4c^L^	12	\l)	42 {lj ]'
От лишних неизвестных (.Vf — Л41 и X” -- М? Л4:>, см. фиг. 19)
получим распор
уП х"
с 1 2с
Суммарный распор от постоянной нагрузки будет:
Теперь, имея распор от постоянной
нагрузки, самую нагрузку и момент в
замке (перерезывающая сила в силу
симметрии равнг! нулю), можем найти
нормальную силу и момент в любом
Фиг. 20.
сечении. Положим (фиг. 20), что это сечение имеет координаты х.
и j/j и угол наклона с вертикалью -у
Тогда:
N" Нп COS О + V^sin cs,
М" ~НИ у^Х1? \ * g(zi — x\dx.
Jo \	/
Здесь V" — сумма вертикальных сил, лежащих правее рассмат-
риваемого сечения (фиг. 20).
V"
Jr
_ / Г г
\ g(kc~—
Jo 2 Jo
1 -ф- (in — 1) [IZ2 -ф
-ф(/и — 1)(1 -р)г’
Sdz — ~
dz.
103
Интегрирование дает
т (-'Л I' j (w — 1) и.?/’ J (w— T) П — ”) е, !
v ” 2 г1'1'—Г^“ г 6	~1 .]•
Таким образом получается:
аг!!__[<’2 „1’1 I (.ill— 1) ;л /К V , (w- 11(1 - ;л) / "Y’l ,
N ' 14с I. ~ А1) ”	Ы J
<-АГ"1 f , г	J
+ Ц -’-Jcos	+
Впрочем, мы считаем более удобным отдельно вычислять вели-
чины Н!! и V1' и подставлять их в написанную выше формулу:
ДГ" cos W -J- yl! si il 2 .
Так же удобнее всего поступать и с выражением для момента:
Mf/ -=- Нпу, - 'г Х" — I ё (Л — х) dx .
Jo
В последнем выражении величины Нп и X" нам уже известны.
Величина j»i также известна или может быть определена по вели-
чине Xi из формулы:
vi^/|p (5) ч-(1-р) Q) ]•
Остается найти интеграл! .^(лд— x)dx.
Jo
Он может быть написан так:
i 'g (л( — Л-) dx	-- I g (z, — z) -:I.Z = l- g, f j 1 -{- (/?: — 1) a z1 -|-
Jo	4 Jo	4 JoL
Интегрирование даст
p- ,	.	, Z3 t- (M —l)a . ,	- ])(1 - .,.1
g^—x) dxr~~-g:i\	---- ---.
fl	< I.	u	J
Все написанные формулы в случае точного подчинения гео-
метрических размеров свода нашим предположениям могут счи-
таться практически вполне точными. Однако, они слишком гро-
моздки и неудобны для обращения.
104
Постараемся найти более простой, но все же достаточно точный
путь. Прежде всего надо сказать следующее: если бы свод не
претерпевал обжатия, кривая давления совпадала бы с осью
свода, а моменты в любом сечении были бы равны нулю, Это
явствует из того, что ось свода была предположена очерченной
по кривой давления.
Благодаря обжатию кривая давления слегка отходит от оси
свода и претерпевает даже некоторые повороты. Пренебречь тем,
что кривая давления отходит от оси, ни в коем случае нельзя,
но пренебрежение ее поворотами даст ничтожную ошибку. В силу
этого величины нормальных сил могут быть определены в пред-
положении, что направление кривой давления совпадает с осью
свода, т. е.
(30)
Этой формулой мы рекомендуем пользоваться для определения
нормальных сил.
Что касается изгибающих моментов, то здесь рассуждения
могут быть такими: если бы нс было обжатия, не было бы и мо-
Кривач давления совпадала бы с осью свода и, следователь:.о,
никаких моментов в сечениях не возникало бы. Отсюда следствие:
vn
Л 2	„//
——	-г <
эти моменты являются функцией величин Х\' и ЛН== --------------
с
и будут равны:
,.п
. I )
(31)
Эта формула так же, как и предыдущая, не может считаться
вполне строгой по той причине, что подобранное уравнение оси
свода не пполис точно соответствует кривой давления. Однако,
мы считаем, что практическая точность ее вполне достаточна и
рекомендуем для применения.
Пример. Предположим свод с расчетным пролетом I---
— 33,48 .и (лГ—— 16,74 лг), стрелкой — -3,650 м, нагрузкой в замке
g,. 8,оо тм и нагрузкой е пяте .у к -- 10.52 тм
,,	gk , о,-
Следсвательно т — - — 1.31о.
105
Начнем с подсчета величины X и X . Для этого восполь
зуемся табл. 25. Значения т = 1,315 в таблице нет. Подобно преды-
дущему, берем ближайшую строку, для которой /и =-1,2116,
а у. = -0,975. Величины а, 3, V, W, с, а были подсчитаны и оказа-
лись равны:
а— 1,0687; 3=1,0153, У=0,3024;	= 0,1176;
с = 2,1231 .и; а = 25,708 м; ~= 0,76785.
По табл. 25 для //г—— 1,2168 получим:
/? = 0,17013; 5 = 0,12788; 7’ = 0,10247;
it = 0,10151; v - = 0,084 78; ® = 0,07280;
7 = 0,03438; Д = 0,00025.
Вычислим предварительно некоторые величины:
д- 8-16.743	_.1О ,
(г - =-----— = 7413,4 тм;
V 0,3024
J.J192;
с 2,1231
^=Л±^==38Ш тм;
W 0,1176
d-gs = 16,743-8 = 2241,82 тм;
‘1 y==z (0,76785)3 = 0,58959;
0,34762;
4 у J -- 0,26692 (понадобится ниже);
(уУ=. 0,15737.
Теперь:
У [ R s?. 4- 77 - (и. -ь т 4- W?)
= 7413,4 х
X [0,17013 — 0,12788 • 1,6687 + 0,10247 • 1,0153 — 1,7192 (0,10151 —
— 0,08478  1,6687 4-0,07280-1,0153)] = 17,85 тм;
х'' =	(//. -4- т. 4- w3) -	[ ( " У 4 7 (у) ‘ Z (у У ] =
= 38126 [0,10151 — 0,08478 -1,66874-0,07280- 1,0153] — 2241,82 X
X [0,58959 -У 0,03438 • 0,347624- 0,00025 • 0,15237] = — 54,25 тм.
Для проверки полученных формул был произведен подсчет
лишних неизвестных графическим способом путем умножения веса
отдельных клиньев на ординаты линий влияния. Так как такое
перемножение нельзя считать достаточно точным, результаты при-
водим в круглых цифрах:
АУ =17,6 тм.
105
Неточность составляет около 1,5"'о, Х9 — — 58,4 шм. Неточ-
ность 7";0.
Оба результата следует считать вполне удовлетворительными,
особенно имея в виду, что подсчеты произведены для //<'- -- 1,21J 6
в то время как в действительности т~ 1,315. Применение ин-
терполяции при определении коэфициентов поставит предложен-
ный способ наряду с точными.
Теперь распор от постоянной нагрузки равен:
0,212 -0,025- 0,267
49
27,1 — 17,9
-----------= 297111.
2,123
0,212-0,975-0,589
12
Посмотрим, как определить нормальную силу и изгибающий
момента каком-либо сечении. Для примера возьмем сечение в пяте.
Для этого сечения cos <р2 — 0,9036, J/ —3,650 м. Получим нор-
мальную силу .
~	— 329 т.
cos ®-г 0,9з36
Момент
у II
л., уП
М" — — --------------у 4- Х" г-., ———--------• 3,65 4 17,9 — 59,1 «глг.
с	z,lzo
Определение той же величины по линии влияния дало М'1 ~
— 61,7 m.ii. Ошибка порядка 4" ().
Заканчивая на этом вопрос о постоянной нагрузке, сделаем
еще следующие замечания. Пример расчета дан по предлагаемым
формулам. Если считать правильным исходные формулы для
ординат линий влияния, все формулы для постоянной нагрузки
практически вполне точны. При таких условиях, казалось бы, нет
необходимости в проверке. Однано, мы ее дали, опасаясь, что
непосредственное пользование табличными коэфициептами может
привести к значительным ошибкам, тем более, что интервалы
таблицы не так уж малы. Подсчет на частном примере показал,
что ошибка не превышает 4—7(’.о. Такая точность вполне доста-
точна. Для приближенных способов, которые в настоящем разделе
исследуются, мы считаем вполне приемлемой ошибку до 10” 0.
Еше одно замечание. При определении величин Х{‘ и Х!‘г ре-
зультаты получаются как малые разности больших величин. Это
обстоятельство требует относительно большой точности подсче-
тов как самих величин Х!{ и так и величин с, V, W и др. Точ*
ность логарифмической линейки во всяком случае недостаточна-
107
3. УСИЛИЯ ОТ ВРЕМЕННОЙ НАГРУЗКИ
Вопрос о влиянии временной нагрузки может решаться и той
или иной градации точности. Постараемся дать ниже различные
градации, причем начнем с низшей, т- е. дающей наименьшую
точность.
Здесь надо сказать следующее: приближенные методы расче-
та во всяком случае должны базироваться на более простых
принципах загружечшя. Поэтому мы сразу отказались от загруже-
ния сосредоточенными силами и дальнейшие выводы делаем в
предположении эквивалентной нагрузки, т. е. нагрузки сплошной,
равномерной, тем более что в настоящее время технические ус-
ловии как для мостов автодорожных, так и для железнодорож-
ных дают значения эквивалентных нагрузок для линий влияния
криволинейного очертания. Таким образом установим, что в
дальнейшем будем пользоваться сплошными равномерно распре-
деленными нагрузками и, следовательно, интересоваться будем
лишь площадями липни влияния.
Загружение полугролета. Наиболее грубое приближенное
решение, но для известны?; стадий проектирования приемлемое
получим вугем загружепия полупролета. При этом получим почти
наибольшее ио абсолютной величине значение изгибающего
момента в пяте, т. е. в решающем сечении. Таким образом, задача
будет заключаться в определении площадей линий влияния
лишич.х неизвестных па половине пролета. Другими словами, надо
будет для неизвестных Л',, Лб н А'.. найти интегралы вида
Но давая здесь самого интегрирования ввиду его принци-
пиальной простоты, напишем готовые результаты, т. е. площади
линии влияния £1Л и -'и соответственно для неизвестных
А",, и X...
Эти формулы могут быть немного упрощены, если опять, как
было сделано выше, подсчитать некоторые коэфициенты, завися-
щие от величины и свести их в таблицу.
’08
Формулы приобретают вид:
L1	~ (о, 16667+0,125а + 01,3 —' (Л< + За + Л?) );
(Л<-Г3а + Л3)-^;
о ------------АЛ--------(0 125 + о, i а + 0,083333) - -.
2(0.33333 + 0,25а -Н',2?)	S
Коэфициенты 7/0, 3 и Л даны в табл. 20.
Т а б . ; и ц а 26
9-	Ж		л
				— 				.— .. . —	—
0,500	6,08125	0,06799	0,CG071
0,<)25	0,08219	0,06876	0,<;6125
0,-50	0,08313	0,0695.2	0,06178
0,375	0.08466	0,07029	0,06232
0.600	0,08560	0,..-7Ю6	0,< 6285
0,625	0,0859-1	0,07153	0,06339
0/50	0,08688	0,07259	0,06393
6,67а	0,08781	0,07336	0,064-16
0,700	0,08875	6,07-113	0,06560
0,725	0,08959	0,97459	0,06553
0,750	0,09063	0,0/.)66	0,06607
0,775	0,09156	0.07643	0,06661
0,800	0,09'256	0,07719	0,06714
0,825	0,693-11	0,07796	0,06768
0,850	6,09-188	0,67873	0,06821
0,875	0,09531	0,07950	0,0б87о
0,900	О,О962.->	0,08026	0,06929
0,925	0,09719	0,68b.i3	0,06982
0,9.'0	0,09813	0,08180	(1.07036
0,7 5	0,0'Л'Об	0,08255	0,07089
1,000	0,10000	0,08353	0,07143
Рассмотрим тотюке пример.		При ЭТОЛ!.	таи же как и раньше
интерполяцией не убудем пользоваться, а предположим р—-3,975.
Остальные интересующие нас данные будут:
d= 16,74 М;
а— — 1,6687;
а — 25,708 м\
3 = 0,08180;
У=0,3024;
3 = 1,0153;
— = 1,7192;
с	’
Л = 0,07036.
W — 0,1176;
г—.2,1231 м-
7/7 = 0.09813;
10j
Дополнительно вычислим:
rf3 16 743
'	— 463,34 ле-
чу 2 0,3024
---	2382,8 М-;
W ~ 0,1176
"' I'.'.’iTM — 82,613 ЛГ-,
8	8
2 (0/13:133-|-Д;25-^“б,~У)~1805’02 м~-
Тогда:
 Д - : 163,34 {0,16667 -0,125  1,6687 + 0,1 • 1,0153 — 1,7192 X
X (0,09906-0,08256-1,6687 -I 0,07089-1,0153)} = 1,126 лг\
г-.2382,8 (0,09906 — 0,08256-1,6687 Д 0,07089-1,0153) — 82,613 =
——:  3,361
д, = 1805,2(0,125 — 0,1 • 1,6687-ДО,08333-1,0153) —82,613 =
----- 5,477 м".
Если эквивалентную нагрузку обозпачить^буквой /г (шаг), ве-
личины лишних неизвестных будут:
Имея нагрузку и затруднений найдем	X^L^k^ 1,126 /г; Х,_^,. Ji = — 3,361 k-, Х5 = Xk — — 5,477 k. величины лишних неизвестных, без особых моменты и нормальные силы в любом сечении. Начнем с распора. Его *^***4.	величина равна,- у/	Х--Х от внешней нагрузки
. • -># ~*	 ! \ 	 й-		 Фиг. 21, эт неизвестных Х2 и Х3 (фиг. 21) И‘^^2с +‘2сГ-^ 4с^' Полный распор (сжатие) равен: 1бс с г2	16с от неизвестной Xt L Ьх	_ х2 ’’Г 4с	~~~2с ’ -•	(33) с	v
ПО
Перерезывающая сила в среднем шарнире при загружении
л.вой половины пролета равна:
от внешней нагрузки
Q =—.k-n--;
8
от неизвестной
от неизвестных Х2 и (фиг. 21)
Полная перерезывающая сила равна:
(34)
Изгибающий момент равен:
в сечении с координатами л и у в загруженной части пролета
I М , Ну — Qx + Xt- * -;
।____________________L
(35)
в сечении с координатами х и v незагруженной части пролета
(н ’.поминаем, что х для правого полупролета отрицателен)
| М-„р — Ну — Qx -j- X j.
(36)
Нормальная сила (сжимающая) равна:
в загруженной части пролета, сечение которого образует с
вертикалью угол наклона
| N[ -|- //cos 'о Q sin a -j- kx si.i з ;
i__'__________________J---------X.
(37)
в незагруженной части пролета (т для правого полупролета
отрицательно)
N,ip =- Н со s 7 -|- Q s *11 ? •	(38)
Продолжим пример, начатый выше.
Распор
ku-
Тёс
Г.	.	Л.,	15,7083	1,126	.	3,361	,	,Q1.,
с	1	2.с	16-2,1231	2,1231	2-2,1231
111
Перерезывающая сила в замке
/-j	kd	. д;	25,708 ; 1 5,477 ,	г, оттат ь
~ R + 57708 к - °’С00° L
Для того чтобы показать, как определяется момент, возьмем
опять сечение в пяте. Для этого сечения у 3,65 м; х= 1.6,74 м.
Момент в пяте загруженного нолудролета (будем считать ле-
вого) равен:
ДД.п. - - Ну—Qv -! - Xj, — ~ = 18,14 • 3,65 k Д- 3,0005 •
• 16,74 /с -' -1,126 k — k	— 22,549 к,
1	л
а в пяте незагруженного (правого) полупролета:
/Д.п.	Ну — Qx Д -KL — 1 /, 109 7г.
В качестве примера определения нормальной силы возьмем
сечение в пяте. Соответствующие тригонометрические величины
пятового сечения равны:
cos	cos 24 ДГ = 0,9110; sin = sin 24”2Г = 0,4125.
Тогда для пяты загруженного полупролета
М.п. — 71 cos у Д Q sin о Д- £,rsin о — 18, 14-0,9110 /г — 3,0005 
 0,4125 к С -16,74  0,4125 k — 22,20 к,
а для пяты незагруженного (правого) полупролета (синус у для
правой пяты отрицателен)
TV,,..,.— /7 cos у Д Q sin у	18,14 • 0,9110 5 -[-3,0005• 0,4123 k =- -17,77 /г.
Посмотрим еще, чему равны моменты в четверти пролета. Для
этого сечения (г —0,5; х —-8,37 л; у — / [пДД-Д— v.)2r‘l—--
— 3,65 [0,975 • 0,5:-Д 0,025-0,3''] — 0,894 .п). *
Момент в загруженном полупролете равен:
Л4 (/ {у — Qx д д;. .-	-_=
= ( 18,14 • 0,894 Д- 3,0005 • 8,37	1,126 —	= 7,43 Д
а в незагруженном полупролете:
/И,,.! Ну - - Qx	=-_ — 7,76 k.
Таким образом, мы получили моменты в пяте и в четверти про-
лета при загрз жснии полупролета. В табл. 27 даны эти величины,
112
а также соответствующие значения, найденные графически по
линиям влияния. Разница между м ..ментами, определенными по
предлагаемым формулам и по линиям влияния, не превосходит
4,5%. Имея в виду, что линии влияния построены для т~~ 1,315
и что в формулах мы пользовались значением т = 1,2116, ошибку
в 4,5% надо считать очень небольшой.
Эта ошибка (-1,5%) характеризует точность предлагаемых
приемов. Интересно еще установить, какая получается разница
между полученными моментами при загружении полупролета и
максимальными и минимальными возможными, т. е. полученными
при загружении положительного или отрицательного участка линии
влияния. Соответствующее сравнение приводится в правой поло-
вине табл. 27.
Т а б л п ц а 27
Мо-	Нри загружении нолупролета		Ошиб- ка	1 । Мо-	При за груже- нии иолупро- лста (но ире.1-	При затру же- нин положи- тельного ИЛИ	Раз- ница
	Ио предла-	По лини-					
мент	гаемым	ЯМ влня-	(в %)	1 мент |	лагасмын фор- мулам)	от рицате ч иного участка линии	(в %))
	формулам	пня		i 1		влияния	
М	-22,55 /г*	-22,7 k	0,7		—22,55 к	—23,8 k	&
Л. п.				' Л.П.			
Л'1	17.11 k№-	1S,S k	2,0	\m.	17,11 /г	17,8 /г	4
п.п.				ПЛ1.			
/И 1	7,43 &***	7,1 /г	4,5	LW	7,43 k	9,2 k	19
'“л /И ;	—7,76 к	— 7,9 k	1,6	। a.— |/’Л 1	1	—7,76 k	- 9,9 /г	22
				; n.—			
У				1	4			
Сравнение показывает, что если для пяты результаты получа-
ются достаточно удовлетворительные, то для четверти пролета
ошибка настолько велика, что с нею можно мириться только при
самых грубых подсчетах. Это обстоятельство заставляет внести
® При приближенном решении, которому посвящен настоящий раздел, экви-
валентную нагрузку можно брать для длины загружешш 0,375/ в предположении
параболического очертания линии влияния. Однако, в подобных случаях, как
известно, ошибка может получиться довольно значительной, особенно имея в
виду, что панряжения определяются не to.ti.ko моментами, но и нормальными
силами. Точный результат может быть получен только ио линиям влияния для
ядровых моментов. Анализ точности при пользовании эквивалентными нагрузкам,ч
дли центральных моментов памп не производился.
*	* Эквивалентная нагрузка может быть взята как для параболической линии
длиной 0,625/.
*	** Эквивалентная нагрузка может быть взята как для линии влиянии тре-
угольного очертания с вершиной в середине при длине
8 |:. К. Качгрии	113
некоторые поправки в полученные Формулы. Поправка может
быть внесена на основании следующих соображений. Точки раз-
дела линий влияния для моментов в пяте, четверти и середине
отстоят от конца соответствующих линий влияния примерно на
расстоянии 0,ба—0,85 полупролета. Если в среднем считать, что
эти точки находятся на расстоянии 0,75 полупролета, получится,
что загружение для момента в пяте м четверти следует промз'
водить по фиг. 22, н, а для середины пролета — по фиг. 22, а. Для
пяты при подъемистых сводах может оказаться невыгодное
загружение по фиг- 22, с.
2. Загружение па наибольший момент в замке. Рассмотрим
сначала загружение по фиг. 22, д, т. е. невыгоднейшее для сече-
ния в замке. Для определения лишних неизвестных мы должны
рода Д.
будем, следовательно, взять интегралы вида I qdx,
J о
/ Г0’25
или, что то же, -9 \ т^х.
z Jo
Следует обратить внимание, что в пределах интегрирования ве-
личина z колеблется от 0 до 0,25. При малых значениях эти
величины, возведенные в высокие степени, дают ничтожно малые
ошибки, выражающиеся долями процента. В силу этого мы счи-
таем возможным при нахождении интегралов вида^ тДх пре-
небрегать степенями z выше третьей. Иными словами при на-
114
хождении этих интегралов можно для ординат линий влияния
пользоваться упрощенными формулами:
После подстановки и интегрирования полупим:
£2/ : 2 j0’25 J2~rfidx = ~ {0,09635 -}- 0,06787а -L 0,052083 —
 [у (0,05208 Н- 0,04219а + 0,03542(1 — у) (0,03051 4-
-4 0,02679а 4~ 0,02387?)]};
£2/	‘2С'1’ ''^dx---2~[<>. (0,052034-0,04219а-J-0,03542?) 4-(1 — у) X
Jo	w
X (0,03051 4-0,026793- 40,023873)] -- G,25000«rf-[- 0,062500rf2;
<4'^0.
Этим формулам, как это было сделано выше, может быть придан
немного более простой вид:
>4^ ~ <0,09635 4- 0,06787 а 4- 0,05208 3 — П Та. -к Ф sVi;
11 ; — 2 (77 -4 Та 4- ФЗ) — 0,25000 ad 4- 0,06250 d”~;
; 14=0.
Коэфициенты П, Т и Ф приведены в табл. 28 в функции у. Пло-
щадь (заштрихованная) загруженного участка этой линии влияния
равна:
£2 = ~( а —	.
16 с\ 8 /
Имея все эти данные, можем написать:
и, 1 (	zYi । ^44- М3
~~ 16 с (. а ~ 8 г ~~ С 4“	2 с
8*	115
или:
Н'~~(а — 4 \'г
16 с \	8 /
+
2 с
С
Рассмотрим пример, уже. разобранный пыже, предполагая
допрежнему
/«--=1,2116,
а ". 0,975.
Т а б л и ц а 28
	/7	Т	
0,520	0,04130	0,03149	0,02961
0,525	0,04184	0,03488	0,02993
0,550	0,04238	0,03526	0,03022
0,575	0,04292	0,03565	0,03051
0,600	0,04346	0,03603	0,03080
0,625	0,04400	0,03642	0,03108
0,650	0,04453	0,036:0	0,03’37
0,6’5	0,04507	0,03718	0,03166
0,700	0,0-1561	0,03757	0,03195
0,720	0,04615	0,03796	0,63224
0,750	0,04669	0,0383 !	0,03253
0,775	0,04723	0,03872	0,03282
0,800	0,01777	0,03911	0,03311
0,825	0,04831	0,03950	0,03340
0,850	0,04885	0,03988	0,03369
0,875	0,04939	0,04026	0,03398
0,900	0,04992	0,04065	0,03426
0,925	0,05046	0,04104	0,03455
0,950	0,05100	0,04142	0,03484
0,975	0,05154	0,04180	0,03513
1,000	0,05208	0,04219	0,03542
Имея величины площадей линий влияния для лишних неиз-
вестных, нетрудно будет перейти к определению самих липших
неизвестных. Обозначим их для данного случая нагрузки теми
же буквами, что я выше, но со значком ('), подобно тому, как
•это сделано и для площадей линий влияния:
x..’=xx,'k-,
X,' о
Собственно говоря, из этих трех величин непосредственный
интерес представляет только Х^, так как при данной нагрузке
нас интересует только момент в середине пролета (в замке), а
величина X/ и есть этот момент. Однако, для расчета необхо-
димо знать и соответствующую нормальную силу (в данном
случае распор). Эта сила, в свою очередь, может быть опреде-
ли
лена только при условии предварительного выяснения величин
и Х3'. Посмотрим, как это может быть сделано. На фиг. 23, а
показаны все неизвестные нам нагрузки и их положение, а на
фиг. 23, в — линия влияния для распора основной системы:
(1 = 25,708 л; d— 16,74 -И; —3= 926,68 лг;2 —=4765,6 л/2;
V	W
— = 1,7192; а = — 1,6687; ,1 = 1,0153; 0,2500«(/= 107,59 Л'2;
0,0625d2 = 17,51 м\ 77=0,05154; Т= 0,04180; Ф = 0,03513;
Z=33,48 м-, с = 2,1231 м.
Фиг. 23.
Тогда:
• ?/ = 926,68 {0,09635 — 0,06787  1,6687 + 0,05208 -1,0153—1,7192-
[0,05154 — 0,04180 -1,6687-ф-0,03513-1,0153]}== 5,52 м-;
3' = 4765,6 (0,05154 — 0,04180-1,6687 + 0,03513  1,0153) — 107,59
17,51 =— 6,87 .и3;
О/ = 0.
Теперь zY,' = 5,52 k- Х/ = —6,87£, Х;!' = 0.
Нормальная сила в рассматриваемом сечении (распор) равна:
г,,	33,48 zoc тп0 33,48. ,	5,52 ,	6.87	, icnor
Н' =— ------(25,/08------) k----—к-------------k = 16,92 k.
16-2,1231	8	2,1231	2-2,1231
117
В табл. 29 дана оценка полученных результатов с точки зре-
ния их точности.
Т а б л п ц а 29
Усилие	При загружении 0,25 1		Оишб-;		При загру- жении 0,25 1 (по предла- гаемым фор- мулам)	При загру-1 женин ноло-!Раз11И	
						житель ного учасч ка ли- нии влияния момента	ца (в°/Э
	по пред* латаемы м форму- лам	по лини- ям влия- ния	к а (в °/о)	Усилие			
Мср—.\\	5,52 /г®	5,57 k	1,0		5,52 k	5,63 А	2,0
11	16,92 Л®	17,0 /г	».з	11	16,92 k	;9,06 k	11,2
В левой половине таблицы дано сравнение величин, получен-
ных по предложенным формулам, и тех же величин, полученных
по линиям влияния. Здесь ошибка не превышает и объяс-
няется главным образом той же причиной, что и выше, — отка-
зом от интерполяции.
В правой половине таблицы полученные величины сравнены с
величинами, получаемыми в случае загружении на максимум мо-
мента. Разница в моменте п лучилась небольшой (2" 0). Разница
в нормальной силе (распоре) довольно значительна (11,2%). Одна-
ко, это не должно смущать, главным образом, потому, что влияние
нормальных сил на напряжения, как известно, сказывается относи-
тельно слабо.
К этому нужно добавить, что вообще загруженис по лшшн
влияния момента принципиально не правильно. Следует загружать
по линиям влияния ядровых моментов. Однако ввиду того, что
речь идет о приближенных способах и преследуется точность
до 10° принятый прием со всеми вытекающими последствиями
следует считать приемлемым.
3. Загружении для пяты и четверти пролета. Теперь рассмот-
рим загружение по фиг. 22, а. В этом случае необходимо будет
д dx. Эти интегралы удобно взять в
Р Л
-itdx. Такой прием представления
таком виде \
Jo, 25-2-
интегралов удобен по ряду причин, из которых самая существенная
* Эквивалентная нагрузка может быть взята как для треугольной симмет-
ричной линии влияния длиной 0,25 I. См. также первую сноску к табл. 27.
118
заключается в том,
ралов I 'ijdx взято
Jo
что интегралы 1 't]dx уже взяты, а из интег-
Jo
/•О, 25 —	рО,25—
два^ 7lt dx и \ rr,dx. Остается взять только
J о	J о
г>0,2"Д-
интеграл \ ;,3dx.
Jo
Первые из этих двух интегралов равны соответственно поло-
винам найденных выше значений О/ и H.J. Третий, имея форму-
лу для т13, нетрудно определить. Приводим результаты:
т(1 dx =	10,09635 ф 0,06787а ф 0,052083 -ф -{П\- То. ф ФЗ)} ;
3	‘	с	)
а 0,25--
Si r13 dx	— <П	73 -ФЗ) — о, 1250 ad ф- 0,03125 d\
J о	1Т
ф25-'-
\ т,., dx ------ — (0,05787 -[ - 0,05208а ф- 0,04219,3) —
J п	1 СС	. j
ф--.;-ф
— 0,12500 ad ф 0,03125<Г.
Интегралы \х(1х равны (ф, О2 и Q3—см. выше):
Jo
i
i	\
1 т,, rfjc — —— j 0,16667 ф 0,125a ф 0,1 ? — -f- (Ж Ч  За Л $)\
Jo	с	/
L
\ 2dx {Ж Н- 3 а. -ф Л S) — 0,125а2;
I
\ “ т,3 dx =---------— (0,125 -ф 0,17. -! - 0,083333) — 0,125а2.
П	1 я 3
‘ °	2 (Ф 4-—J-т-)
- :;г4  □ >
Теперь интересующие нас разности интегралов
т. е. площади линий влияния будут равны’-
г	i
Т 2	Г0'25 2
( 7, dx — ( т; dx,
<Л)
0/= --/о,07032 ф 0,05713а ф0,047923 —ф- р/С — П-ф
.д(,3 —Г)яф(Л _--Ф)8р ;
119
Q3"^	Z7-;-(3— Т)Я-^(Л ~ Ф)?] — 0,125rt3 +
-|- 0,12oad — 0,03125d2;
^'“-mSSTpUhmF »»+М«+мииВ-
— 0,125«= + 0,125<i<Z — 0.03125A
Для удобства обращения с этими формулами представим их
в таком виде:
L\" = — (о,07032	0,05713а Д- 0,04793? — (Ц-J- Шт Д- Ш£)\:
1	‘)\Г\		1	с 1	у
о2" Д1 щ . ща _ о,125 а2 Д 0,12bad — 0,03125rZ2;
Q," =____________‘12L--------(0,05713 4- 0,04792а Д-0,041143)--
J 0,66667 4- о,5а 4- 0,4)3
— 0,125а3 Д- 0,125ad — 0,0312od2.
(40)
Коэфициенты Ц, Ш и Щ дапы в табл. 30.
Таблица 30
	Ц	Ш	ш.
0,500	0,03995	0,03350	0,03107
0,525	0,04035	0,03388	0,03132
0,550	0,04075	0,03426	0,03156
0,575	0,04115	0,03465	0,03181
0,600	0,04154	0,03503	0,03206
0,625	0,04194	0,03541	0,03231
0,650	0,04234	0,03579	0,03255
0,675	0,04274	0,03617	0,03280
0,700	0,04314	0,03656	0,03305
0,725	0,04354	0,03694	0,03329
0,750	0,04394	0,03732	0,03354
0,775	0,04433	0,03770	0,03379
0,800	0,04173	0,03808	0,03403
0,825	0,01513	0,03847	0,03428
0,850	0.04533	0,03885	0,03453
0,875	0,04593	0,03923	0,03178
0,900	0,0413.3	0,03961	0,03502
0,925	0,04672	0,03999	0,03527
0,950	0,04712	0,04038	0,03552
0,975	0,04752	0,04076	0,03576
1,000	0, 4792	0,04114	0,03601
Имея величины площадей линки влияния, нетрудно перейти к
самим лишним неизвестным.
:;.ДД Х" = 1Д"£, X3" = .U3"£.
Не давая пока цифрового примера, выясним некоторые внут-
ренние усилия.
120
Например, распор будет равен:
Н" = Я0"—
С
1 2с ’
где Но'' — распор от заданной нагрузки в основной системе (фиг. 24),
Площадь загруженной (заштрихованной) части линии влияния
для основной системы равна:
Перерезывающая сила в замке
Q" = Q0"- где Q;1- пере-
а
резывающая сила в замке основ-
ной системы.
Она может быть определена
по фиг. 24. Величина ее такая
же, как для балки, имеющей
пролет а-.
Фиг. 24.
Тогда перерезывающая сила в замке будет:
. Q"=_A-----------А-
8а	а
Изгибающий момент в сечении с координатами хну в загружен-
ной части пролета (загружена часть левого полупролета)
М"ЗОгР = Н"У - Qx - L	- A il—,
а в незагруженной части пролета (безразлично левого или пра-
вого полуцролетаФ.
' Мне^Н'.'у-~$х-\--Х‘>.
* Следует иметь в виду, что для величин Х|" и Х«" эквивалентная наг-
рузка берегся та же, что для 7/с. См. сноски к табл. 27 и 29.
121
Напомним, что х для правой половины свода отрицателен.
Нормальная сила в сечении загруженной части пролета, если
принять угол наклона сечения с вертикалью равным 'f, будет:
^заг0 — И" cos » -j" Q" sin ? k ( х — sin if-,
а в сечении незагруженной части(пролета:
Н'' cos ? 'Г Q" sin .
Напомним, что угол » для привой половины пролета отрицателен.
Теперь можем перейти к примеру. Пример опять возьмем тот
.же, что и раньше. Повторим некоторые необходимые величины:
м —0,975;	---463,34 м2;	- = 2382,8 м2 	— =1,7192;
2 И	’ W	с
d = 1G,74 .IZ; с = 2,1231 М\ а =- 25,703 М; а =—1,668?; 3=1,0153;
/13 = 660,90 м-; iZ2 = 280,23 м2; ad = 430,35 .и3; £/ = 0,04752;
Ш = 0,04076; Щ = 0,03576.
Подставляя эти величины в соответствующие формулы, полу-
чим загруженные площади линий влияния для лишних неиз-
вестных:
. ..= 463,34 {0,07032 — 0,03713-1,6687 + 0,04792  1,0153 —
— 1,7192 (0,04752 — 0,04076-1,6587 + 0,03576-1,0153) } = — 1,640 М-;
И/ = 2382,8 (0,04752 — 0,04076 • 1,6687 - 0,03576 • 1,0153) —
— 0,125  660,90 + 0,125 • 430,35 — 0,03125- 280,23 = 0,96 м2;
____________ 430/35________________
0,66667 — 0,5  1,6687 п- 0,-1 • 1,0153
..:3
(0,05713 — 0,04792 -1,6687 +
+ 0,0 4114  1,0153) — 0,125 • 660,90 + 0,125 • 430,35 — 0,03125 • 280,23 =
= — 3,392
Следовательно, находим:
+" = — 1,640 /г; +" = 0,096 k-, + " = —3,392 £;
распор:
Н"
(25,708-8,37)2 , , 1,640 ,
—--------— k -4-------------/г
16-2,1231	1 2,1231
-A09-6 k =. 9,644 k-
2-2,1231
перерезывающая сила:
(25,708-8,37)2	3,392
8-25,703	'25,708
1,330 k.
Момент в пяте загруженного полусвода, где у =/=3,65 м,
ал' = —=16,74 имеет наибольшее отрицательное значение.
122
Обозначим его Л411Н у
= 9,666’3,65 £-'г 1,330-16,74 £ — 1,640 А — L1^7^18^ =
= — 22,99 /г.
Если сравнить эту величину с моментом при загружении, по-
лупролета, увидим, что момент увеличился по абсолютной вели-
чине на (22,99—22,55) k = 0,44 h.
Наибольший положительный момент можно найти, прибавив
эту же величину к моменту незагруженного полупролета:
= (17,110,44) k =17,55 k.
Для сечения в четверти пролета имеем л —- 8,37 м, _у = 0,894 м.
В этом сечении при загружении левого полусвода будет наи-
больший положительный момент, равный
Л4Д,.) = ^9,644-0,894-'- 1,330-8,370 — 1,640 —	=
= 9,33 /г.
При загружении полупролета этот момент был равен 7,43 /г.
Следовательно, он увеличился на 1,90 k. Если бы мы загружали
отрицательный участок линии влияния, он увеличился бы ровно
на такую же величину и стал бы равным:
ЛИ)-) = (— 7,76 — 1,90) k = — 9,66 k.
Определение нормальных сил при данном загружении принци-
пиальных затруднений не представляет. С другой стороны, влия-
ние нормальных сил не играет такой значительной роли, как
влияние моментов. В силу этого анализа точности по нормальным
силам не дается; точность по моментам приведена в табл. 31.
Данные этой таблицы показывают вполне достаточную точ-
ность, которая может быть еще несколько повышена, если необ-
ходимые табличные коэфициенты определять интерполяцией.
Таблица 31 *
	Моменты		
		максимальные	
	определенные	или мппи.далЪ'	о
	по формулам	пые, по линиям	
		влияния	
41ср( •;)	=	5.52 k	5,57 k	1,0
/И» (	.. 17,55 k	17,8 k	1,5
Мп (-)	= — 22,9 k	— 23,8 k	3,3
/И4-(Т)	' = 9,33 k	9,2 k	1,5
М\~ (-)	- — 9,66 k	~ 9,9 k	2,5
См. сноски к табл. 27 и 29.
121
Здесь еще надо отметить, что по приведенным выше форму-
лам для наивыгоднейшего загружения мы можем определить лишь
подчеркнутые в табл. 31 величины.
Величины не подчеркнутые могут быть определены лишь в
том случае, если известны соответствующие значения для загру-
жения полупролетарии путем комбинирования нагрузок по фиг. 22,
а п в.
4. Загружение на положительный момент в пяте. Так как в
случае подъемистых сводов положительный момент в пяте может
оказаться решающим, необходимо дать соответствующие формулы
для загрузки по фиг. 22, с. Эти формулы могут быть легко полу'
чены на основании того соображения, что загрузка по фиг. 22, с
есть суммарная двух нагрузок (по фиг. 22, а и 22, б). Так как
усилия при загружении по фиг. 22, а и 22, в все равно необхо-
димо определять, то легко можно будет получить лишние неиз-
вестные для загрузки по фиг. 22, с.
Точно так же можно будет определить распор.и перерезыва-
ющую силу:
Н"’ =Н' + Н"; Q"’ = Q' -j- Q ”.
Имея распор и перерезывающую силу, не трудно на основа-
нии соображений, подобных предыдущим, определить положитель-
ный момент в пяте.
Соответствующих выводов здесь не даем, они просты. На-
пишем готовые результаты.
Распор:
цт = 1б„2 + 8Д/-/2 k _ Х£ х2'" *
256с	 с 1 2с
Перерезывающая сила в замке:
Положительный момент в пяте:
Эквивалентные нагрузки для все:; членов, входящих в каждую из этих
формул, конечно, одинаковы. Последнюю формулу было бы правильнее написать
так:
ЛГ = Hf—Q
(-г)
— kF-
124
Проверки этих формул на частном примере не производим,
так как она, по существу, уже сделана.
В заключение считаем необходимым рекомендовать следующую
схему хода приближенного решения, имея в виду, что основные
размеры свода (пролет, стрелка, моменты инерции и площади се-
чении в замке, четверти и середине пролета) известны; известны
также постоянные нагрузки:
1)	определяется величина ш;
2)	по табл. 21 определяется величина
3)	определяются величины tg у., и tg 'yg
4)	определяются величины <с., и ад
5)	определяются величины cos щ и cos еу (величины косину-
сов могут быть определены непосредственно по тангенсам без
определения углов у);
G) определяются коэфициенты ?. и 3;
1	, COS =.,
/) определяется величина ---------
2	/  у	2 К
8)	при помощи коэфициеатов табл. 17 определяется вели-
чина с;
9)	определяются величины V и V7;
10)	определяется отношение у ;
И) по табл. 18 при помощи интерполяции определяется отно-
а
шение — :
I
12)	определяется величина а;
13)	ио формулам (28) при помощи коэфициентов табл. 25 опре-
деляются лишние неизвестные от постоянной нагрузки;
14)	определяются усилил и моменты в середине четверти про-
лета и пяте от постоянной нагрузки;
15)	ио формула?,! (39) при помощи коэфнциентов табл. 23 опре-
деляются лишние неизвестные для загружения средней части
пролета;
16)	определяются момент и нормальная сила в замковом
сечении;
17)	по формулам (40) при помощи коэфициеитов табл. 30 опре-
деляются лишние неизвестные при одностороннем невыгоднейшем
для пяты и четверти загружении;
18)	определяются моменты и нормальные силы в пяте и чет-
верти пролета;
-19) определяются лишние неизвестные по формулам (41);
20) определяется положительный момент в пяте.
125
4. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
Лишние неизвестные ври повышении температуры на могут-
быть, как установлено выше, выражены формулами:
1-___ '’itl'Jn .
"11 ~ ’
v 2y/.'V0
'	~fW"'
В этих формулах величины с, V и W могут быть выражены
написанными выше уравнениями:
ГД • ]- Да + С 31 4- -L  + - -
с==	____ 2/-\. .
к-1+0,57 4-
\V = D	-'г F3.
Коэфициснты А, В и т. д. берутся из табл. 17.
5. РАСЧЕТЫ СВОДОВ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
I. Влияние вертикальных нагрузок. Предложенный выше
способ определения усилий в сводах ведет к цели довольно бы-
стро, по все же требует относительно больших затрат времени..
В силу этого при составлении вариантов моста, когда надо бы-
стро выяснить усилия в целом ряде различных сводов, решение
может оказаться слишком громоздким. Возникает необходимость
иметь хотя и более грубые, но быстро ведущие к цели приемы.
Для того чтобы выработать такие упрощенные приемы, необ-
ходимо пойти на целый ряд допущений.
Нами сделаны следующие допущения.
1.	Свод очерчен по кривой давления от постоянной нагрузки.
2.	Сечение свода прямоугольное и отношение высоты свода
1
в замке к величине пролета равно —.
3.	Необходимая для выводов величина т~ --получена па ос-
й’>
новании предположений, что нагрузка в замке сводов со сплош-
ным надсводным заполнением может быть выражена формулой
— 1 „
&s~ 20 ‘ ’
а нагрузка в пяте:
126
В этих формулах: I — пролет свода,/—его стрелка, а у — удель-
ный вес кладки свода.
Тогда отношение нагрузки в пяте к нагрузке в замке (харак-
теризующее очертание свода) равно:
gi; 20/ ,
gs /
4.	Для сводов со сквозным надсводным заполнением величина.
т может быть выражена формулой:
5.	Для сводов постоянного сечения закон изменения моментов
инерции подчиняется предложенной формуле:
•/cos ? J0L <1	\ ‘I J J
а для сводов переменного сечения этот же закон'выражается фор-
мулой Штрасснера:
1 И 1 । х "|
------- - 1 Д-а .
J cos 9 Д L й J
6.	Загружение временной нагрузкой то же, что и выше; для
получения наибольшего момента в замке свод загружается симме-
тричной относительно середины нагрузкой 0,25 I. Для получения
наибольшего отрицательного момента в пяте и наибольшего по-
ложительного в четверти пролета загружается 0,375 I от опоры,
со стороны данного сечения. Для получения наибольшего положи-
тельного момента в пяте загружается 0,625 I от опоры со сторо-
ны, противоположной данной пяте.
На базе этих предположений были составлены таблицы, в ко-
торых выяснены значения изгибающих моментов и нормальных
сил в сечениях свода при различных соотношениях пролета к
стрелке -0 . Такие таблицы были составлены для сводов, имею-
щих различные соотношения моментов инерции в пяте и в замке,
а именно:-^— 1,	— = 3 и -*=- 8. Ввиду того, что таблицы
•А Л) А
получились очень громоздкими (шесть таблиц, имеющих пример-
но от 100 до 130 граф), их здесь не приводим, а даем получен-
ные результаты в виде графиков (фиг. 25—30). На графиках да-
ны кривые изменения изгибающих моментов и нормальных си.';
как для постоянной, так и для временной (эквивалентной)плр\ >
ки. Чтобы от цифр графика перейти к цифрам модп-шоп, и, ю
полученные по графикам цифры (ордппл гы) мнннш । i. ни и.....
ной нагрузки—на	. Д'11 Щ" ....Пнищ,.........i л.
где k - п|><-м।я।и.।и nuiHK । ч<о11 h oi 1Ы1|1\ и. >
Точно так же для получения нормальных сил величины, полу-
ченные из графиков, умножаются соответственно на gs — и k — .
Интересно отметить следующие характерные положения. На
графиках нормальных сил верхние кривые соответствуют постоян-
фиг, 25.
— &20 —о>7
Фиг. 26
ной нагрузке, нижние—
временной. Эти нижние
кривые даны, собствен-
но говоря, не в виде
кривых, а в виде за-
штрихованных площа-
док. Объясняется это
тем, что кривые очень
близко совпадают, а не-
которые из них даже
переплетаются. В силу
этого на графиках по-
казаны только те очер-
тания, из пределов ко-
торых кривые се выхо-
дят. Характерно, что
такая картина близкого
совпадения кривых на-
блюдается как для зам-
ка, так и для двух дру-
гих сечений. При этом
кривые практически не
отличаются от прямых.
По поводу этих кри-
вых сделаем еще сле-
дующее замечание. По-
мимо подсчетов, на i с-
128
новании которых составлены приведенные графики, нами были
произведены подсчеты для отношения /л1,2 при различных
соотношениях стрелки к пролету. Соответствующие кривые также
достаточно хорошо укладываются в пределах заштрихованных
площадок.
Интересны кривые нормальных сил от постоянной нагрузки
для пятового сечения сводов, имеющих сплошное надсводное
заполнение (самые верхние кривые на фиг. 30). Эти кривые по
Фиг. 27.
мере уменьшения пологости понижаются, так как уменьшается
распор. Однако, такое понижение происходит лишь до известных
пределов, после которых опять начинается повышение. Объясне-
ние такого явления заключается в значительном увеличении вер-
тикальной составляющей опорной реакции при увеличении стрел-
ки свода.
Что касается графиков моментов, то здесь интересно отме-
тить следующее. Моменты в четверти пролета от временной на-
грузки выражаются линиями, мало отличающимися от горизон-
тальных прямых. Иными словами, момент в четверти пролета
почти не зависит от пологости свода. Моменты от постоянной
нагрузки на всех графиках с уменьшением пологости соответ-
ственно уменьшаются, так как падает влияние обжатия свода.
При этом кривые по характеру очень близки к параболам, име-
ющим вершину в начале координат. Это, правда, не совсем спра-
ведливо для четверти пролета, но относительно этого сечения
можно отметить, что здесь вообще моменты от постоянной на-
грузки чрезвычайно малы.
Наиболее интересны кривые моментов для пятовых сечений
(фиг. 29). Здесь особо следуст отмстить, что кривые отрицатель
9 в. к u.i'ivpuii	1
должны всегда являться отрицательные
..-----------6*7
Фиг. 28.
ных моментов от временной погрузки по мере уменьшения пол -
гости свода падают, а кривые положительных моментов, наобо-
рот, возрастают. Б силу этого для пологих' сводов решающими
моменты, а для подъеми-
стых, нтмуд, поло-
жительные.
Из графиков ясно,
что мсае.тти от по-
стоянней нагрузки в
случае поло;их сводов
(особенно со сплошным
надсводным заполне-
нием—-I одетые кри вые)
могут оказаться очень
большими и для авто-
дорожных мостов с от-
носительно легкой вре-
менной нагрузкой мо-
гут во много раз пре-
восходить влияние по-
следней. В силу этого
именно в пологих мос-
тах и, невидимо?,iy, осо-
бенно под автомобиль-
ную дорогу, важно при-
менение искусст итого
регулирования усилий.
В мостах подъемистых
искусственное регули-
р ванне усилий не мо-
жет дать столь боль-
шого эффекта.
(. делаем еще сле-
дующее последнее за-
мечание. Вопрос о целесообразности увеличения сечений к пятам
едва ли можно считать безоговорочно решенным, особенно для
относительно пологих сводов и при отсутствии искусственного
, тг	/1
регулирования усилии. Например, при пологости у = у увеличе-
ние^ от I до 8 увеличивает изгибающие моменты от постоянной
Jo
нагрузки в 3--4 раза. Для сводов со сплошным надсводным запол-
нением (толстые кривые) положительные моменты от временной
нагрузки увеличиваются примерно в полтора раза, а отрицатель-
ные — на величину порядка 25°/п.
Правда, увеличению момента инерции в 8 раз соответствует
увеличение момента сопротивления в 4 раза. Изгибающие момен-
ты во столько раз, повидимому, не увеличатся. Тем не менее,
130
вопрос о постоянном сечении
и экономичном, как правило,
как конструктивно более простом
с л еду ст рассматривать*.
<«--=« 8-20 /:с;.
----0-7 сшрща/г-с. -ib/fus	2ик;,/
лту-ттт S = 7 полШшлелй.ч&е имеим
Фиг. 29. .
* Возможно, что ссчснпе к пятам целесообразно даже уменьшать, как >т<>
сделало, например, в мосту La Roche Guyon (Gen. Civ., 1!)3э). по пре.т.тожепик'
нпж. Валетт.
д*	КЧ
Интересно еще отметить, что изгибающие моменты в замке
от постоянной нагрузки с увеличением момента инерции в пяте
не уменьшаются, как это можно было бы предполагать, а уве-
личиваются.
Таким образом, полученные графики представляют некоторую
ценность уже по той причине, что дают довольно наглядную
картину изменения уси-
лий в сводах с измене-
нием их геометрических
размеров. Тем не менее,
как уже сказано, поль-
зуясь графиками, мож-
но осветить и количе-
ственную сторону. Од-
нако, использование
для этой цели приве-
денных графиков, к<чк
использование всяких
графиков, .че вполне
удобно. Формула удоб-
нее хотя бы потому, что
ее можно быстро выпи-
сать в записную книж-
ку, в то время как за-
пись графика сложна.
В силу этих соображе-
ний полученные кри-
вые выражены соответ-
ствующими формула-
ми. При этом с той или
иной степенью точ-
ности удалось уравне-
ниями выразить не
только отдельные кри-
вые, но и семейства
кривых. Ниже будут
даны полученные фор-
мулы, сейчас несколько слов относительно преследуемой точ-
ности. Во-первых, заметим, что влияние нормальных сил па на-
пряжение имеет, как известно, второстепенное значение. Это об-
стоятельство позволило семейство кривых постоянной нагрузки
для разных значений отношения — выразить одним уравнением,
/)
не зависящим от величины этого отношения. Влияние временной
нагрузки выражено уравнениями прямой, не зависящими от отно-
Л
шения — и даже не зависящими от того, имеем ли мы дело со
Л
сводом со сплошным или сквозным надсводным заполнением.
132
Все же мы стремились к тому, чтобы линия, выраженная соот-
ветствующим уравнением, отклонялась от заменяемых ею кривых
не более определенной величины. Таким пределом мы поставили
себе отклонение и-рядка 10%.
К такой же примерно точности мы стремимся и при подборе
соответствующих уравнений для изгибающих моментов. Здесь,
правда, есть некоторые исключения. Например, изгибающие мо-
менты от постоянной нагрузки в четверти пролета не велики.
В данном случае отклонения больше 10°10 не дадут суще-
ственной ошибки в полном моменте, и такие отклонения здесь
имеются.
С кривыми для постоянной нагрузки в двух других сечениях
мы поступили следующим образом. Влияние постоянной нагрузки
на моменты тем больше, чем больше пологость свода. Поэтому
соответствующие уравнения подобраны так, чтобы отклонения для
пологих сводов не превышали величин порядка 10%. Для подъ-
емистых сводов эти отклонения больше. Далее, решающими
в пятах пологих сводов являются отрицательные моменты, а в пя-
тах подъемистых — положительные. Поэтому мы старались, чтобы
уравнения возможно лучше соответствовали отрицательным момен-
там при пологих сводах и положительным при подъемистых.
В этих случаях мы также стремились к тому, чтобы предельная
ошибка нс превышала 1о%.
В результате подбора уравнений получены некоторые выра-
жения для усилий.
Эти выражения составлены для сводов со сплошным надсвод-
ным заполнением или, правильнее, для сводов, у которых отно-
шения нагрузок в пяте и замке выражаются формулой:
/?г--;207- 4-1.
I 1
Полученных формул не приводим по изложенным ниже со-
ображениям.
При выводе их мы полагали, что формулы, полученные при
отношении нагрузки в пяте к нагрузке в замке, подчиненном
уравнению т~ 20-~ —1, удовлетворят всем сводам со сплош-
ным надсводным заполнением, а формулы, выведенные при
т - 7 у 4-1, удовлеттрят сводам со сквозным надсводным за-
полнением. Это предположение не оправдалось. Оказывается, не-
обходимо иметь какие-то промежуточные уравнения. Для получе-
ния их можно было, конечно, подсчитать соответствующие кри-
вые, выразить их уравнениями и получить новые выражения
для моментов и нормальных сил при новых значениях т.
Однако, такая задача слишком громоздка. Мы подошли к реше-
нию иначе.
133
Вообрази* 1 * * *.:, что отношение —=//z выражено в общем виде
такой формулой:
ш — о - — J - ].
I '
Для 8 — 20 и для 8 —. 7 нами получены формулы (не приводите};),
имеющие совершенно аналогичны’! вид, и лишь численные коэфи-
циенты в них меняются в зависимости от величины 8. Положим,
что при 8“—20 некоторый коэфициент равен Л20, а при ^~7 он
равен А-. Тогда при произвольной величине о тот же коэфициепт
можно принять равным.
д, - А, + (/ч - Л)	=А 4- (Л„ А) •
Пользуясь этим новым допущением, мы получили об пие фор-
мулы, уже относящиеся не к сводам со сплошным или сквозным
надсводным заполнением, а к сводам с определенной (любой)
величиной 8. Эти окончательные формулы имеют вид:
а)
момент в замке:
7И= [4,5 — Д- [ / 0,0937
д°-	-4-/о,0313
0,0187 \ 8 -
-	/ОД 98 -
10030	’
4 ,
4-0,0279 --
I •»	1
0,313 — 0,1209
Л
1000) ’
соответствующая нормальная сила:
Лк--^ 0,0575— k + I 0,2 + 0,2 -—< + 0,105 —
f I.	13	1 f
б) момент в четверти пролета:
М ----- <90 —
7,25 А- - 0,41	—-b-/2*---L
Д	< Jo У J 13 > 10000 '
- + <0,10 — 0,07-^ У~-7- ]-------
, к	д У 13 J f 10 :00
соответствующая нормальная сила:
N= 0,035 — k-У Г 0,25-’-0,2 °—7 +0,1—1 1g-
f L '	13	/ J s *
13 4
, е) отрицательный момент б пяте:	I
;	/И(_)=- /102+[5,1+0,75^-0,325	 -’/-V-J X
 X—----/0,169 + 0,2989=- — О,01785 ( -- Y2 -Г 0,110
:	10000 V	Ja	к j„ J ' L
+ 0,0921-- —0,0018f--Y’'l—-'if—Y-^-,
y0	к Л, J J 13 ) к j 7 loooo
i соответствующая нормальная сила:
M_) =-(o,3—0,015 j-)//г-;-(1,03-0,004^-V-|-
I + [ 0,75 — 0,07	+0,0015
. г) положительный момент в пяте'х
;	/188,6+16,88=- — ( 3,69 + 2,18-=Л + .
X к	Л> к f 1
'	+ [51,4 + 14,12	— < 2,06 + 0,52 -Y_+L'I1z+\x
।	1 L	/0 к 1 X У f J 13 7
।	X^—------/о, 169 + 0,2989 =-• -0,01785 Г^з_У_к
;	10000	'	./,>	к j0 J
i + [o,no +0,0921 Yi_Oooi8<Yi_yilziL\2!£L_>
	1 L 1	7n	к J 1 13 ; loooo '
; соответствующая нормальная сила:
i .r) = o,O875 — k + /1,0 + 0,004 ([-Yy+ [ 0,75 —
I	- 0.07 J- + 0,0Ш5(+У ]++
В силу того, что полученные формулы выведены не на основа-
нии строгих математических данных, а на основании ряда при-
ближенных соображений, необходима проверка полученных ре-
зультатов на частных примерах.
Надо оговориться, что здесь следует ожидать ошибки уже не
порядка 1О°;о, как выше, а доходящую до 15’—20у/(„ а в отдель-
ных случаях даже до 25l,.;u.
Пример 1. Возьмем тот же пологий свод со сквозным надсвод-
ным заполнением, который неоднократно фигурировал уже раньше.
Данные такие:
7 = 33,48 ж; 3,65 М-, — =9,16=?- — 3,10; £, = 8м.
f	Jo
* Правильнее было бы этот момент назвать моментом, соответствующим
загружснию временной нагрузкой положительного участка линии влияния.
135
Кроме этих данных, необходимо знать еще величину 3. Из
формулы т — о —pi находим:
'	I	1
О	(111 — 1) — .
В данном случае т~ 1,31, следовательно, 8 — 2,44.
Теперь имеются все данные для вычисления интересующих
нас величин- Остается проделать арифметические подсчеты. Вви-
ду их простоты приводим готовые результаты. При этом даем
усилия отдельно от временной и отдельно от постоянной нагруз-
ки. Для оценки точности полученных цифр приводим и точные
результаты и ошибки в процентах (табл. 32).
Из табл. 32 видно, что для нормальных сил цифры получи-
лись вполне укладываютиеся в пределы ошибки до 10n;(,!S. Не-
сколько хуже обстоит дело с моментами, особенно с моментом
в замке от временной нагрузки и в пяте при загружении отри-
цательного участка. Здесь ошибка достигает 21°'о. Однако, такой
результат за неимением лучшего можно признать удовлетвори-
тельным. Удобные формулы для прикидки усилий в сводах даст
проф. Г. П. Передерий в курсе железобетонных мостов. Приво-
дим цифры, подсчитанные на основании этих формул, и сравне-
ние их с точными (табл. 33).
Здесь мы видим очень хорошие результаты для нормальных
сил. Ошибка в моменте от постоянной нагрузки в замке и от
временной в пяте получилась того же порядка, что в табл. 32
(—19° 0)- Н° ошибка для момента в пяте от постоянной на-
грузки оказалась равна Это уже, пожалуй, цифра не-
приемлемая.
Для момента в замке от временной нагрузки не дано процент-
ной ошибки. Дело в том, что проф. Г. П. Передерий дает мо-
мент в замке при загружении временной нагрузкой всего проле-
та. Соответствующая цифра в графе „точных" значений дана для
невыгоднейшего загружения. Следовательно, цифры по существу
не сравнимы.
Однако видим, что по данным, приведенным в книге Г. П. Пе-
редерия, вообше нельзя приближенно подсчитать наибольший мо-
мент в замке. Предлагаемые формулы, правда, с большой срав-
нительно ошибкой (21°,о), все же дают возможность найти эту
цифру.
Этим мы считаем оправданными полученные ошибки**.
® Поэтому в таблице п не даны для сравнения некоторые из точных значений.
** Приближенные приемы даны в целом ряде работ. См., например, упоминав-
шиеся выше книги: Д. Я. Л к п м о в - П с р с т ц, Статика сооружений, II отд.;
Н. В. Перспечин, Теория арок, а также So г, Verejnfachte Berechnung von
eiiigespannten Gewolben nach der Elastizttatstheorie, В. u. E., 1909. В u. E, 1911;
Widhalm, Naherungsweise Berechnung des flachen emgespannten Bogens fiir
Einzellasten В. u E., 1912; M c s n a g e г, Приближенный метод расчета сводов.
Geni Civil, 1915 и др.
136
Сечение		М 0 м с н г		ы	Ошибка (В °/о)
		М	Приближенное значение	Точное зн|чепие	
	( 7		С,85 k	5,63 k	4-21
Замок					
		Мпост	20,3 [тм)	17,6 Od	4-15
Четисрть	(	Мер	10,75 k	9,20 k	4-17
пролета	1	М по'.-т	1,7 (шл)	—	—
	(	М(-)	Р,75 к	- 23,8 /г	-21
Пя га	1	/И(	11,65 k	17,8 к	- 18
		Мност	61,1(HIM)	— 6! ,7 (///.!/'	— 1
f		М о м. е и т ы		Ошибка (в " о)
Сечен. ;е	Л1	Лрпб.жжегшое значение	Точное значение	
( Замок	Мер	1,77 к	5,63 к	—
1	МиоПП	14,2 (тм)	17,6 (игр	-19
Г1МТ.1	Мкр	— 19,3k	- 23,8 (к)	- 19
^4	М пост	— 28,5 (ffi.u)	— 61,7(т.ч'\	-56
Таблица 32
Соответствующие нормальные силы			Ошибка (в р о)
N	Приближен- ное зилчсиис	Точное значение	
up	17,65 k	19,06/г	- 7
Л !h,cm	294 ( и)	297(.'л)	— 1
Лир	12,4 k	—	—
Л пост	296 (ш)	ЗЭ4(и)	--3
У(-)	14.65 /е	—	—
А'( )	26,8 k	—	—
Л not tn	33  (р	328:ш;	1-3
'Г а б л и ц а 33
г.	О'чпал/.пые сн.	ы	Ошибка
	I [риблиЖСП-	Точное	
			(в °и)
	ное значение	значение	
Лир	36,9 k	19,66 k	
А пост	295 (/«)	Ml (in)	— 1
Хпр	18,5 k	—	
Л ПОПП	324 (///)	32.8 (in)	— 1
Пример 2. Свод подъемистый со сквозным надсводным за-
полнением. Данные такие:
/--18,30 М; Т-д,72 м; — =3,20,	—’ = 4,16.
/ л
Рассматриваемый пример взят из книги проф. Г. П. Передерия
„Железобетонные мосты". Величины gk и gs непосредственно в
книге не даны, поэтому на основании приведенных данных ками
б; ла вычерчена кривая распределения постоянных нагрузок но
длине свода и с графика взяты величины gk и
11олучено:
— 12,5 тм; g/; ---23,5 тм; т- 1,88; о- -2,82.
На основании выведенных формул находим:
а)	Момент в замке:
/И — 1,78 k -L 1,36,
соответствующая нормальная сила:
М=3,36 ЛН- 108;
б)	положительный момент в пяте:
Л4(,.) = 6,25 k — 4,09,
соответствующая нормальная сила:
= 5,12 £ + 238;
в)	отрицательный момент в пяте:
—	£ — 4,09,
соответствующая нормальная сила:	
Л/(_)---6,37 £ + 238.
Для четверти пролета подсчетов не даем, так как для этого ;
сечения в книге проф. Г. П. Передерия нет полных данных.
Для сравнения полученных результатов с точными данными,
приводимыми в книге проф. Г. II. Передерия, нами проделаны
следующие операции. По имеющимся ординатам линий влияния
были подсчитаны соответствующие площади. Имея усилия, при-
водимые в книге проф. Передерия, и площади линий влияния,
можем определить эквивалентные нагрузки.
Пользуясь этими эквивалентными нагрузками, можно получить
моменты от временной нагрузки, в результате суммарные моменты
получились следующими (в тму.
	У нас	У проф. Пе- редерия	Ошибка (в *7о)
В замке ........	24,3	29,98	19,0
В пяте:			
отрицательный . . .	- 61,1	— 76,19	20,0
положительный . . .	73,4	96,6	24,0
138
Полученные отклонения еле чует считать приемлемыми. Мо-
менты от постоянной нагрузки отдельно не проверялись по сле-
дующим соображениям. Так как свод подъемистый, эти моменты
очень малы, поэтому относительная ошибка в их определении по
предлагаемым формулам велика. Однако, это существенного зна-
чения не имеет, так как суммарные величины, как видно из при-
веденных цифр, имеют удовлетворяющую пас точность.
Не даем также проверки нормальных сил от временной на-
грузки. Эти величины играют не такую существенную роль в
полных нормальных усилиях, а усилия (в т) от постоянной на-
грузки равны:
В замке...............
Г) IDIIC
У пас
108
188
У проф. 11е-
редерия
113,8
201,2
Ошибка
(Ь °ш)
.3,0
9,0
Пример 3. Свод подъемистый * со сплошным надсводным запол-
нением. Проверяем только нормальные усилия от постоянной
на грузки.
Данные такие:
/•=21,0 лг; /---6,6щ; -^.=3,18;	~ 19,1 тм;
/№4,85;	12,25®*.
После подсчетов получены следующие нормальные усилия
(в tn) от постоянной нагрузки:
V ,пг У 11Р°Ф- Ошибка
Передерия (в
В замке .................. 247	23 ,5	3,5
В пяте.................... 506	520,7	3,0
2. Влияние изменения температуры. Влияние изменения тем-
пературы на напряжения в своде обычно рассматривается в пос-
леднюю очередь. Рассматривается оно в последнюю очередь и в
настоящей работе.
Однако, это не совсем правильно. В действительности влия-
ние изменения температуры играет часто первенствующую роль
в напряжениях бссшарннрного свода. В этом можно убедиться,
рассматривая результаты различных расчетов.
Так например, для арки пологого железобетонного моста с
пролетом 33,48 м и стрелкой 3,65 м (мост под обыкновенную до-
рогу) максимальные отрицательные моменты в пяте, которыми
в данном случае и решается сечение, равны:
1)	момент от постоянной нагрузки Мп=-— 36,0 тм,
2)	момент от временной нагрузки 2ИЛ-- — 62,0 тм,
3)	момент от изменения температуры Mt =—63,6 тм.
Пример взят из книги проф. Г. II. Передерия „Мосты малых пролегов“.
Три последние цифры иоде читаны памп.
139
К этому следует добавить момент от усадки бетона, равный
= — 26,4 тм.
В итоге температура вместе с усадкой дает момент M/+v —
— 90,0т.м, а момент от временной и постоянной нагрузки
УИЯ4_„ — 98,0 тм. Величины равноценные.
В примере, рассмотренном проф. Г. П. Передерием в курсе
железобетонных мостов, имеем мост под железную дорогу, очень
подъемистый с пролетом 18,3 м и стрелкой 5,72 м. Цифры имеем
такие (решающим моментом оказывается положительный):
ЛЦ —0,97 тм-, Мв=- 108,8 тм; Mt= 113,2 тм.
Усадка отдельно не учитывалась. В данном случае влияние
температуры превышает суммарное влияние других факторов.
В каменном своде, рассмотренном в книге проф. Г. П. Переде-
рия „Мосты малых пролетов", имеем картину, значительно более
благоприятную. Это мост под железную дорогу пролетом 21 м
при стрелке 6,6 м. Здесь момент от совместного действия посто-
янной и временной нагрузки определяется величиной порядка
Л4,г4-в—111 тм, а момент от температуры величиной Л4/ —43/плг.
Влияние температуры составляет 40();(| от влияния остальных
факторов. Относительно низкое влияние температуры в данном
случае определяется низким коэфициентом линейного расширения
а = 0,000007.
Таким образом, в бетонных и железобетонных мостах -влияние
температуры, особенно усугубленное усадкой, является одним из
решающих факторов; в каменных мостах роль ее относительно
невелика. Так или иначе, влияние температуры должно учиты-
ваться при определении усилий в сводах с таким же вниманием,
как и влияние других факторов.
Для приближенных расчетов сводов при эскизном проектирова-
нии сделаны подсчеты, аналогичные произведенным для верти-
кальных нагрузок. Все те допущения, которые были сделаны там,
имеют место и здесь, поэтому повторять их не будем. Подсчеты
так ле сделаны для соотношении моментов инерции: — 1;
J	J
— =3 и -=8. Законы изменения нагрузки взяты такими же,
Л)
т. е. 3 = 20 и 3 = 7 (напоминаем, что о = (/л —г) 1-— коэфици-
ент, зависящий от величины	Результаты подсчетов ланы
gs
в виде графиков (фиг. 31 и 32), на первом из них приведены
моменты в пятах и в замке, па втором — распоры.
По поводу этих графиков сделаем следующие замечания.
Величина распора очень мало зависит от коэфициеита о. Раз-
ница настолько мала, что кривые почти сливаются и па графике
нанесены общие кривые. Это допустимо тем более, что влияние
140
изменения изгибающих моментов в замке
пролета соответствующих вычислений
---f-20
Фиг. 31.
"Ж <3 п о к
рмальпых сил от изменения температуры, как известно, невелико.
По поводу кривых распора ^начерченных в функции отношения-;
можно еще заметить, что они имеют характер парабол с верши-
ной в начале координат.
Что касается законов
и в пятах (для четверти
не делалось, так как
известно, что здесь
влияние температуры
играет второстепенную
роль), то здесь следует
отметить, в первую
очередь, резкое увели-
чение изгибающих мо-
ментов в пятах с увели-
чением момента инер-
ции в пяте. Это увели-
чение в равной мере
сказывается и в поло-
гих и в подъемистых
сводах.
Если свод с отно-
шением момента инер-
ции в пяте к моменту
инерции в замке -f- —8
•'о
сравним со сводом по-
стоянного сечения, то
увидим, что изгибаю*
щий момент в пя-
тах увеличивается в
3,3—3,9 раза. Так как
увеличению момента
инерции в 8 раз соответствует увеличение момента сопротивле-
ния в 4 раза, то увеличение
турных напряжений почти
свода постоянного сечения
сечений к пятам величину темпера-
не уменьшает. В случае перехода от
к своду, имеющему отношение
более резкой. Изгибающие моменты
картина получается еще
увеличиваются в 2,0—2,1 раза, а моменты сопротивления в 2,1 раза-
Напряжения от изменения температуры фактически совершении
не снижаются.
Эти обстоятельства подтверждают ныеиа laninx- иыпи* < омш-пш-
относительно целесообразности п шчонорых ijiyn.nix у ч  > i и и
свода к пятам. Полагаем, что . полы по. i < > и и ы< > i < > < i'>i<4iiin до .инны
быть весьма pannoiiaJii.iii.i и < луч.ни шнин пх но'лг пкчстонных
сводов (io.ii.Hhiv Про чг I мН. о,,,(кип   , ,11|,| к Ц, me UI1 у и i л.орш \ .
где влияние временной нагрузки относительно мало. Применение
искусственного регулирования усилий должно, невидимому, своды
постоянного сечения ст?вить в относительно еще более благо-
п р и я та ые у с л ов и я.
Обращаясь к графику моментов, заметим, что увеличение момен-
Фпг. 32.
тов инерции в пятах увеличивает -изгибающие моменты не только
в пятах, но и в замке. При 'этом в случае перехода от свота
Л о
постоянного сечения к своду, имеющему отношение — о, уве-
личение изгибающих моментов получается в Г/?—2 раза.
Последнее замечание, касающееся графика моментов, следующее.
Значение о на момент в замке почти совершенно не влияет
и для моментов на графике нанесены общие кривые независимо
от S. На моменты в пятах значение о влияет, но влияние это
не велико, порядка 8—1О°;о. В силу этого в дальнейшем при под-
боре уравнений мы пользовались более высокими кривыми, соответ-
ствующими 8 — 20.
142
Уравнения полуиены следующие (для повышения темне;,ai у pi/
на 1°):
а)	момент в замке:
>о = - 7L':H [j ,37(j 4. о,844 = — 0,0586 (J'- Y1 --;
i L	Ф	U) 1 i
б)	момент в пяте:
M : . —Л4б,9 __ 19,9 _4 + 1,537(
i 0,64-4-10,35 - — 0,586 ( У I-7- +
|	L	-4	\ / I /
।	-н| о/ю;7 - 0,296 -у - 0,01 н>)3](у)2} ;
I в) распор (сжатие):
j	Н^- -'‘•'•У1£з,о5 -1-6,00-Y —0,362 0-уу
Пример 1. /=33,48 л/; t —3,60л/;	9,15; 7„ = 0,021 л?;
--= 3,16; 2 = 0,000012; £= 164 £Г -2100000 т'м\
/|
Величина a//.V(!, входящая во все три формулы, равна:
HEJq = 0,000012  (—16) -2100009  0,021 — — 8,46 т\мм
Момент в замке:
М/ ^2,376-^0,884-3,16 — 0,0586-3,163 9,16=10,6 тм..
Момент в пяте:
Л4ф = — ^-4 6,9 — 19,9  3,16 -ф-1,537 • 3,163 -И [ 0,64 +
4- 10,35-3,16 -0,586-3,16'^ 9,164-[у,097 — 0,296-3,16-ф
4- 0,0116-3,163 9,16- 1= —38,2/щщ
распор:
Ih
— Г5,56 4- 6,00-3,16 -0,362-3,16'2 1 = —13,55 т.
3,652 L	J
(Ipaniieiiiie. полученных результатов с точными показывает:
Полученное Точное Ошибка
значение значение (в 0/п)
И.', . .	.......	10,6 тм	13,2/w.ir	70,0
,U'  ................... 33,2 тм	43,5 тм	12,0
Hf...................... -13,6 т	—15,5 т	12,0
14с
Пример 2 (из курса железобетонных мостов преф. Пере-
дери i).
1--^ 18,3 м- /=5,72 ш; - =3,2;/, = 0,1266 м1, у = 4,16; а =
= 0,0000135, t = ' 2 0”, Е = 1400000 т м";
HEJ„ = i 0,0000135 • 20  1400000  0,1236 = i 47,8 т\м2-, M.t‘ =
= 4--—[2,376 -I-0,884-4,16 —0,0586-4,16s] 3,2 = -42,1 тм-,
— 18,3 L	J
21/,=	8 16,9—19,9-4,16-1-1,537-4,163-|-[o,64 2- 10,35-4,16 —
-	18,3 	L
-	0,586 • 4,16s J 3,2-]J 0,097 — 0,296-4,16 Д- 0, 0116-4,16^ 3,2sU -=
= - 118,6m.if;
//,= -e IL8 [ 5,56-I-6,00-4,16 — 0,362-4,16a]= 35,6 m.
5, 2-'	1	J —
Сравнение с точными результатами дает:
Полученное Точное Ошибка
значение значение (в и/,,)
Ml ....	42,! тм	38,1 тм	10,5
Мц ....	118,6 тм	113,2 тм	о,О
Для распора процентной ошибки не даем. Она велика, но прак-
тической роли не играет, так как распор от температуры на-
кладывается на полный распор небольшим процентом, порядка
15—16. Ошибка даже на 50°/0 на эту величину даст окончатель-
ную ошибку в 7—8° (). В действительности ошибка значительно
меньше 50°j,. Приближенное значение получено 35,6 т, действи-
тельное—26,4 т.
3. Точность расчетов по предлагаемым формулам. В заклю-
чение заметим следующее. При помощи предлагаемых приближен-
ных решений получены результаты с ошибками, доходящими до
21 и даже до 24".(1. Однако ошибки для суммарных, т. е. расчет-
ных, усилий будут меньше. Для некоторых усилий по первому
и второму примерам (одинаковые номера примеров при изучении
влияния вертикальных нагрузок и температуры соответствуют
одному и тому же объекту) подсчитаны суммарные величины. При
этом по первому примеру временная эквивалентная нагрузка не-
сколько условно была принята 1,5 тм (мост под обыкновенную
дорогу). Рез/льтаты подсчетов (в тм} сведены в табл. 34.
Наибольшая ошибка, по данным табл. 34, составляет 8,5° 0.
Эта величина и определяет точность предлагаемого приема. Мы
полагаем, что в случае неблагоприятного стечения обстоятельств
ошибка будет превышать эту величину; однако едва ли можно
ожидать, что ошибка будет более 12—15°/0.
.14-1
T :i 5.1 и и. -i
Приближенное ре и и nine
Усиане | 1 паи /;	; i	ОТ Ьре.аСП’ЮН нагрузки	ОТ	постоянной narj)y:;4k	ст темпе- ратуры	суммарное
,! г	10,3		11 [Hi м 20,3	е р 1 10,0	41,2
-Vi С’п)	26,5		204	13,0	331
'All (m.i:)	28,2		— 01,1	—38,2	— 127,5
y-llfm)	32		338	11,6	372
	24,3		11 р 11 Л	е р 2 42,1	53,4
	72	/1		118,6	192
				Про ;i. о а ж с	и е т а б л . 3 •
		Точнее р	миенн.с		
Усни не					Ошибка
/11 паи 1J	от Бремснпой	ст постояп-	от тег.ше-	суммарное	(в '>.;0)
	на гру .ж.!	ноя пагрузкп	ратуры		
А-!	8,5	[	17,6	При м е р 1 j 13,2	.30,3	-г 5
Лз (ill}	28,6	!	297	;	15.5	311	— 2
ii	 - 25,7	| —61,7	— -13,5	— 130,9	- - 2,5
AT? (т)	25	328	12,8 Прим с р 2	366	-I- 1,5
(w.;z)	|	30.0		38,1	68,1	— 2.5
л-1п (игл)	96,6		113,2	299,8	— 8,5
При выводе полученных формул, как указывалось выше, сде-
л in ряд .опущений. Из них самое существенное то, что свод очер-
....... кривой давления от постоянной нагрузки. Если рассчитыва-
емый riii) I. не отвечает этому условию, полученные формулы нс
ля и у г д.тть удовлетворительного результата. Второе, менее суще-
ст11‘‘|||ц>(•, н-> нее же важное предположение — это то, что свод
имеет и (tn м< । у г 01 ыь;н сечение и что отношение его высоты к про-
лету p.iHiiii 1 . Чем ближе удовлетворены эти условия, тем более
точных результатов можно ожидать.
10 в. к. Ка пурин	145
6. ДРУГОЙ ПРИЕМ ПРИБЛИЖЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ
Профессор С. П. Тимошенко в своей работе „Расчет упругих
арок“ (1933 г.) приходит к выводу, что па определение усиляйу[в
своде от временной нагрузки очертание свода влияет относительно
мало, и указывает на возможность в этом случае (только для
временной нагрузки) в качестве первого приближения принимать
ось арки за параболу. Если к тому же предположить, что из-
менение сечения подчиняется закону ./cos— Jo, можно получить
довольно простые результаты, которые и приводятся ниже без
подробных выводов.
Так как в этом разделе мы имеем в виду дать лишь очень
грубое решение и так как влияние нормальных сил относительно
не велико, вводим еще предположение (см. раздел II):
1 _! cos о2 _ 1
2К0 Г" IK “ 4’
При этих предположениях имеем р— 1, а = 0, р — 0.
Тогда получим:
с = -f-f 3-4.
5 ' fl-'о
Если предположить, что сечение арки прямоугольное и имеет
высоту в замке h, получим:
-/+ -•
5	4/
Кроме того,
V=l — 4,
Зе 5
w=-. 4.
з
Формулы для ординат линий влияния лишних неизвестных" да-
вать не будем, а сразу дадим их площади при двух различных
загружеииях.
Площади линий влияния для лишних неизвестных при загру-
жспии средней части пролета (0,25 Z) равны:
Й; = ~у 0,09635 — 0,05208
<4^0,375^ — 0,25^;
йз--0.
Распор при этом будет:
Н' а— -4 k — 4'.' + -4
Юс \	8 7 с 2с
и XJ через й/ к и й./ k.
или, замен,
Z чер
- •4'0,15625 -
L.	с
143
Такны образом, расчетные '	1
замка будут:	р (
/И =^-Г 0,096	/	?)
V L
Н=~- Г0,015625 f0,09635 — 0,05208
L	с У<Д
н.п 11у и. 11
I ч и
Для неоднократно рассмотренного выше примера, где:
/— 3,65 м; d —	и h — 0,75 лг, получено: с — 2,23 ас;
V--= 0,454;	6,83 k- //=--16,5 k.
При загружении положительного участка линии влияния мо-
мента имеем точные цифры:
-----5,63/г; Н~ 19,06 k.
Ошибка в моменте 21°/0 (г, запас), в распоре 13°’о.
При загружении полупролета, т. е. когда получается почти наи-
больший момент в пяте,
—Г1------LI. Й.,0,3d3--0,125а9;	Q.,= — da — 0,125а3.
2К L 6	10с J “	° 16
Момент в пяте загруженного полупролета после некоторого
преобразования полученных выше формул равен:
м= Го,15^3	1V.1- —1 d21 k,
с 2V	J \ 6 Юс/ 16
соответствующая нормальная сила равна:
n~ /Го, 15	-0.1	1 k.
L с 2ГгДб Юс /1 У “ (12 )
Последняя формула написана в грубом предположении, что
К = П-
cos 7 •
Для того же рассмотренного выше при»: :рл эти формулы дают:
= — 19,5/г, М—20,1 /г.
Точное значение момента при загружении отрицательного
уч.-s -т'-'я лип/Ш вллиння будет — 23,8/д сшибка около
злаченцс для кормаликоё силы не определялось, по ш
пхя :;;,г-::е дапных можно думать, что ошибка
Ii 41”.! Д..Т, -Омеьтэз.
1 -.  ' '	 1   д । Л.0.1 ‘-в к о	темпещ’7''I’;л у. ci':.!'>:-
I' '•	'	Н|...	I.. 	‘	Н:-’,.'	[•; и и	lif)' На
<	•1 ;1 ’ 1 г 1 1 1	। ч. । и . t , •.:., г. ’ . у ‘ г;П‘. д !>'о11 ; и
; • 11'; i;
11/
6. ДРУГОЙ ПРИЕМ ПРИБЛИЖЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ
Профессор С. П. Тимошенко в своей работе „Расчет упругих
арок" (1933 г.) приходит к выводу, что на определение усилийу1в
своде от временной нагрузки очертание свода влияет относительно
мало, и указывает па возможность в этом случае (только для
временной нагрузки) в качестве первого приближения принимать
ось арки за параболу. Если к тому же предположить, что из-
менение сечения подчиняется закону ./costs — J„, можно получить
довольно простые результаты, которые и приводятся ниже без
подробных выводов.
Так как в этом разделе мы имеем в виду дать лишь очень
грубое решение и так как влияние нормальных сил относительно
не велико, вводим еще предположение (см. раздел И):
1	, c(,st?2_ 1
2?0	~Ё0'
При этих предположениях имеем р--1> а = 0, р = 0.
Тогда получим:
3 -°-.
fF0
арки прямоугольное и имеет
Если предположить, что сечение
высоту в замке h, получим:
Кроме того,
Лз
4/
3
5
V- :1— < ,
Зе 5
W = —.
3
Формулы для ординат линий влияния лишних неизвестных'да-
вать не будем, а сразу дадим их площади при двух различных
загружеииях.
Площади линий влияния для лишних неизвестных при загру-
жепии средней части пролета (0,25 I) равны:
2; d‘[r | 0,09635 — 0,05208 -1;
V L	С J
92=^0,375^ —0,25«zf;
Распор при этом будет:
или, за мен ля АГ/ и А7* через 2/ k и <>„' k, & также ’ через 2
получим:
#' = ГО, 15625	— --<0,03633 —0/0529П
1,	с vi\	1	с)\
143
Таким образом, расчетные усилия от временной нагрузки для
замка будут:
М = - Г 0,09635 — 0,05208—1 k;
v L	- с J
Н= Го,О15625 - — — (0,09635 —0,05208 Л] k.
L	С Vc v	с / J
Для неоднократно рассмотренного выше примера, где:
/= 3,65 ж; d = 16,74 и h~ 0,75 м, получено: с = 2,23 м;
V—0,454; Л4= 6,83/г; Я= 16,5 й.
При загружении положительного участка линии влияния мо-
мента имеем точные цифры:
/И ==5,63 Л; Н— 19,06 k.
Ошибка в моменте 21°/0 (в запас), в распоре 13°'о.
При загружении полупролета, т. е. когда получается почти наи-
больший момент в пяте,
— Г------Q., = 0,3<i3 —0,125а3;	Q„ — — da — 0,125а3.
‘IV L 6	10с j "	°	16
Момент в пяте загруженного полупролста после
преобразования полученных выше формул равен:
—- d1
lOc.J 16
ОШ2 ----{L
с 2V < с
некоторого
к,
соответствующая нормальная сила равна:
Последняя формула написана в грубом предположении, что
Л7=
COS ср *
Для того же. рассмотренного выше прим ipa эти формулы дают:
/И = — 19,5/г, Д7—20,1Л.
I'-’iH-.	к- момента при загружении отрицательного
..... |'|.!	||- > । '-ле-'-у;?'г /14'• - —- 23,3 Л; ошибка около io".'.,.
1.11 • • . .	.1; । •	'м' ’ д и •: i (,i 1.
- -	• ।	: 11 .< I I .4 ! .n i (
< >1 I Hl
предположению Jens щ----->0, то и результаты должны получиться
неудовлетворительными.
Поэтому, оставляя предположение о параболическом очертании
оси свода, для учета ьждия температуры введем закон изме-
нения моментов инерция Штрасснера:
где:
Тогда коэфицленты ’/ и W, которые для этого случая будем
обозначать Vf и WL, будут равны:
Изгибающие моменты будут:
в замке
в пяте
эаспор равен
1 , 1 ,
er L Vl Ш ’Г cVt J '
Здесь а0 — коэффициент линейного расширения.
Для рассмотренного выше примера, где Jo ~ 0,021 м\ J2 —
—0,0665 .к'1, имеем а—- — 0,656; тогда: V,— 0,395; Wt — 0,169;
/%=-; 9,57 /нм, /1%.—28,6 /нм, Н~10,4 т.
Точные значения: 7% ~ 13,2/ищ; ЛД/—43,6 тм; Н— 15,6 т.
Ошибки в данном случае получаются большие: для момента
в замке — 28%, для момента в пяте — 34%, для распора — 33%.
Тем не менее, для грубых прикидок формула годится. При подчи-
ис'.чин закона изменения рассматриваемого свода предположениям
Штрасснера ошибка должна быть невелика.
Наиболее трудным оказался вопрос о влиянии постоянной на-
грузки. Он решен подобно тому, как трактуется на стр. 385 в книге
проф. Г. П. Передерия „Железобетонные мосты". Проф. Г. П- Пе-
редерий уподобляет влияние обжатия свода влиянию изменения
температуры. При этом считает свободное относительное укоро-
чение свода, как для простого стержня постоянного сечения.
_ Н_
Е
где Н— распор свода.
148
Если в формулах для усилий от изменения темиературы ih*.iн
чипу относительной температурной деформации at заменим im'.ih
чиной s—(с обратным знаком),-' получим соответству »>><>••.
величины усилий;
момент в замке:

HnJ0 _
cVJ-ц \‘2cVt ’
момент в пяте:
М==-^Р-.._
12с М'-Д ' cVt J
Величину Hn предполагается определять по выведенной в
предыдущем разделе формуле (см. усилия в замке):
№ =
0,2-1- 0,2 - -- -|-0,105 —] lgs
'	13	1	/ J
Усилие в пяте может быть написано:
N"=^f,"V1+4 (У)
Приводим результаты расчетов по
в сравнении с точными значениями:.
11 pi;> г. । -  м I ,i м формулам
Полученное	.|
ЗЫ1 -ICHILC.	lll.l'H II 	<>>'/,)
Пп .........	29-! t:i	I
^’-ч	..........	1> //.'1/	I . /г/ и ’’
............ ни	' in	ii
......... —	in ' 	 I., ч' и	.
Таким образом, для нi-1>и.чг.।ч.> n.iu.i •
НОЖНЫМ ПредЛОЖИТЬ СЖ-ду lolnu- ф"р.ч', -II
11 р 111 । i i - -
। чит.п-ы воз-
149
Тогда полные усилия в двух сечениях — замке и пяте — от
временной нагрузки, постоянной нагрузки и температуры могут
быть выражены следующими формулами:
а) момент в замке:
М. =	(0,09635 — 0,052208 Л k	—	,
“ Н	cj Г 12cVt cVt
соответствующая нормальная сила:
M^-Jo,15625- — - (0,09635— 0,05208	-4-
L с Кс <	с / J
I	п cf \Vt Wt 1 cVt J
I б) момент в пяте:
Напомним обозначения: I — пролет свода; d — полупролет;
/—стрелка; h — высота сечения в замке; gk—нагрузка в пято;
т~ ~—-отношение нагрузкив пяте к нагрузке в замке; /0—мо-
мент инерции в замке; Л — то же в пяте; k — эквивалентная
нагрузка; а0— коэфициент линейного расширения;/—-изменение
(повышение) температуры; Е~ - модуль упругости материала.
Примечание. Эквивалентная нагрузка для сечения в
замке может быть взята как для симметричной треугольной ли-
нии влияния при длине ее равной 0,25/, а для пяты — как для
параболической липин влияния при длине 0,5/.
При применении данных формул можно ожидать ошибку
(в полных усилиях) порядка 20—25°/0.
150
IV. ГРАФИЧЕСКИЙ ПРИЕМ РАСЧЕТА СВОДОВ
Из изложенного ясно, что усовершенствование расчета сводов
может иттн по двум путям. Один путь— это усовершенствование
методов, подобных методам Штрасснера, Кеглера и др.; другой---
усовершенствование классических приемов расчета, позволяю-
щих рассчитывать любой свод, не подчиняющийся каким-либо
определенным геометрическим зависимостям.
Первый путь кратчайший, но приводит к цели лишь в отдель-
ных случаях, второй, наоборот, приводит к цели во всех слу-
чаях, но несколько сложнее.
В настоящем разделе мы задались целью насколько возможно
сократить эти пути-
Сокращение может быть осуществлено применением графи-
ческого интегрирования. Так как предлагаемый прием не треоует
нахождения каких-либо значений в виде маленьких разностей
больших величин, графическое решение вполне уместно.
Напомним некоторые основные положения.
При принятом решении, если боковые шарниры <>rii<)i:in«й » гл-
тическп определимой системы расположить в расстоянии (по пер
тикали) от замка, равном с, где
i	i
f 2 y°dx । Г 2 coso dx
c _ Jo J cos ? Ip /-
p
J 0 J cos 7
то лишние неизвестные разделятся, п мы mni ,п > и ппч
v
В результате задача , и<> чи । > । о h.i  i. ч>.. in.-iin in извест-
ных деформаций.
Поставим себе ll'-.'ll.io l.i t I, iiouiili |П>| Ip,>1-1111,1 липин ПЛНИНИЯ.
Тогда ПОД Величинами А 11:1 111 llnlp.l 1\ |\|| ll.il I. Il I' р< ’ Ml' II |,(' II11Я по
151
направлению той или иной неизвестной от вертикальней силы
Р—1, перемещающейся по пролету.
Однако, было бы слишком громоздко ставить силу Р— 1 в
различные точки и определять перемещения.
Пользуясь теоремой о вза-
।	. .. 7	имности перемещений, можно
решить задачу гораздо проще.
Величины Af—это вертикаль-
ные перемещения соответству-
ющих точек арки под влиянием
силы XL — 1.
Задача, таким образом, сво-
дится к построению линий про-
гиба от единичных сил Ху, А’,,
и Ху Деля ординаты линий
прогиба соответственно на £и,
£2„, о.;3, получим линии влияния.
О нахождении трех послед-
них величин скажем несколько
ниже. Сперва посмотрим, как
найти соответствующие линии
прогиба.
Начнем с линии прогиба от
силы zVj1, или, что то же,
от момента Л4, ~ i (фиг. 33,лф
В силу симметрии можем,
рассматривать одну половину
арки. Вертикальные перемеще-
ния точек этой половины нам
необходимо найти. Мы можем
рассматривать эту половин/
так, как это показано на
фиг. 33,в, т. е. рассматривать
ее как консоль, не имеющую
никаких шарниров. Действи-
тельно, положение точки А
выбрано так. что под влия-
нием приложенных в замке
моментов /А—1 в этой точке
никаких взаимных поворотов
частей полуарки нс произойдет. Следовательно, полуарку под
нагрузкой 1 можем рассматривать как одно целое.
Таким образом, задача сводится к построению линии прогиба
кривой консоли, показанной на фиг- 33, в, под влшшием показан-
ных на этой же фигуре нагрузок.
Это построение слагается из двух частей: учет влияния из-
гибающих моментов и учет влияния нормальных сил. Однако, как
уже ясно из предыдущего, влиянием нормальных сил во всех
152
случаях можно пренебречь. В силу этого дальни- :t,iiir,n-jn-n г<>.ц.
ко изучением влияния изгибающих моментов.
На фиг. 33, с показана половина оси арки с эпюрой нзгно.чоп.п 
моментов на ион (отложенной со стороны растянутого в<>л<sг.ч)
Если в некотором сечении арки имеем изгибающий момен т /|.<
и момент инерции J, то концы бесконечно короткого участии
длиной ds, вырезанного в этом месте, имеют относительный nor.opoi
Mds Edx
(IQ —	•
I-J	1: J COS =
Под влиянием такого поворота конец арки спустится на величину
Mtlx
di—-~--------x.
Если бы мы имели дело с прямой балкой, заделанной одни?:,
концом, соответствующее выражение было бы
Mdx
Cl(j . .---у »
EJ Л
Другими словами, мы можем находить прогиб кривой балке
совершенно теми же способами, что прямом, но величину в этом
,, /VI	..
случае надо заменить величиной----------. В случае прямой (>ал к и мь:
J CCS D
можем линию прогиба найти графическим способом, принимая эз
фиктивную нагрузку величины — . За полюсное р.-н-г п опии- пре
этом надо взять Е, В случае кривой балки надо будит т.>,'н.|щ в
,	„	/И	’.И
качестве фиктивной нагрузки взять ------------ вместо
J cos О	.1
11а фиг. 33,d показана фиктивная балка, пагр\ai-iniaii т.ш.ч.
нагрузкой. Эта фиктивная балка имеет только одщ- <>н..|>у, р.п
положенную в середине. Действительно, только п м. < i<-
жет быть перелом упругой кривой. Следовитгльно, in.'ii.io, и >юм
месте возможен перелом эпюры моментов <>т фокинп............ п,и py.tui!.
Отсюда вытекает, что только в этом ме< т<- ।гиг.  ,i.iг- >>-iu инь-
сосредоточенной силы па фиктивную юлл 1 .и н.пп, игпн,
что только здесь фиктивная балка молот и .н и. фик । пищ и> <пшру.
Имея фиктивную балку, строим tiptt и. .щ. инн to j>  .-ш-> мно-
гоугольника эпюру изгиба гоп ио. Kio.Hl-ll I  01 ll'il Ip. illll.- > i <  11II K.I К II ч
затруднений не представляет. 11	.\. и. ।।. ш >. । р.., чии н> -.пу чается
линия прогиба, показанная ни фш ж. г
Эта линия прогиба не что ни. , t,.n линии или-,ниш .л.тя п:п и
бающего момента в замк.- .ipin. i<i h.ii>  nir не и нужном мас-
штабе. Для того чтобы по i\'uni. .'iihhhii ik'iihiiihh, надо ii< <• орди-
наты линии прогиба ниш >nii. u.i ,
Предлагаемый пни '.о i.i.n, 't.i । • л, и нм, hid е. ы я с i i ।  и i к  величины
никаких /l.ullo.'lllll I I . I l.ltt.l nl.HIHi .'leltttil IK' треиует. 1'едь Ojj —
15.:-
это относительный угол поворота сечений в замке под влиянием
па риого момента	1.
На фиг. 33, в имеем линию прогиба, следовательно, имеем и
угол 3ц, показанный на этой фигуре.
Деля ординаты линии прогиба на величину оп, получим орди-
наты линий влияния.
Технику решения рассмотрим ниже на примере, сейчас же
перейдем к построению линии влияния для
Здесь, собственно говоря, все сказанное выше приходится по-
вторить.
На фиг. 34, а показана арка с действующими на нее силами.
Распор при этом получается Л7 —— — (сжатие). На фиг. 3-1, в
показана эпюра изгибающих моментов для арки; на фиг- 34,
с — фиктивная балка, нагруженная фиктивной нагрузкой _~—
Фиктивная балка имеет опоры только в точках А и В, так как
здесь возможны перелови упругой линии арки. В точке D пере-
лома не будет и, следовательно, в фиктивной балке здесь не
должно быть опоры.
Дальше, совершенно так же, как в предыдущем случае, стро-
ится веревочная кривая (фиг. 34, d), которая в известном мас-
штабе определяет линию прогиба (АД.
Переход от линии прогиба, изображенной на фиг. 34, d, к линии
влияния осуществляется путем деления всех ординат фиг. 34, d
на о32.
Величина же о3, подобно тому, как это делалось для Зн, оп-
ределяется из той же фигуры 34, d. Эта величина отмечена на
фиг. 34 d буквой о23.
Совершенно аналогично строится линия влияния для
— ЛД — М3.
Схема построения линии влияния показана па фиг. 35; на фиг.
35, а, представлена арка с действующей на нее нагрузкой. Пере-
2
резывающая сила в среднем шарнире равна V=-------
а
На фиг. 35, в показана эпюра изгибающих моментов, на фиг.
35, с — фиктивная балка с фиктивной нагрузкой. Балка по тем
же причинам, что и в предыдущем случае, имеет опоры лишь
под боковыми шарнирами.
На фиг. 35, d дана линия прогиба (А3), построенная с помощью
веревочного многоугольника. Деление ординат этой линии прогиба
на З.|3 дает ординаты линии влияния для величины Д'3 = /И2— М,;
величина .о,,3 находится по той же фиг. 35, d.
Пример (взят из книги проф. Г. П. Передерия „Железобетон-
ные мосты"). Расчетный пролет свода I — 18,3 лг; расчетная стрел-
ка fм; очертание коробовое, описанное из трех центров.
.154
Имея координаты этих центров и радиусы кривых, было бы
нетрудно подсчитать интересующие нас геометрические данные
(ординаты относительно горизонтальной оси, проходящей через
центр тяжести замкового сечения).
Однако применительно к предла-
гаемому приему такую работу мож-
но считать излишней.
Мы рекомендуем вычертить ось
.	1 г
свода в масштабе— (для менее точ-
Фиг. 35.
Фпг. 34.
Ji.ix подсчетов достаточно иметь масштаб -	] и взять коорди-
илы но м.|гнг1и1>у. I l.i фиг .'ill вычерчена такая ось (i piir.an у).
I | (.\ц-1 и । и.। io' M.iiiiii.ioy 1' 11 11111 a t ы осн через одну jiei n I \ го
 I у 111 >1 > H > ’ <. I II 111.I Hill .Illi.I 11.1 io.il 111 I Ч1'р|е)Ц1'. Надо :ta i\n II I П-, 4 li i
полусвод (правильнее, горизонтальную проекцию полусвода)
можно рекомендовать делить на 10—12 равных пастей. Деление
па мевылее количество частей не даст достаточно точных резуль-
татов. В делении па большее количество частей нет, по на-
шему мнению, необходимости, так как точность едва ли повы-
сится.
0,316
аогзо
UJv-2
0.785
0.700
0.720 \
0,0078
а; 0.138
6,35\0,Ю2
0.098:
П,0.3К
0
1,000
0.7.35
0,0293
0
V30\ a
0.86'3 0.816\17.:А5Р\
О. ООО


На той же фиг. 36 нанесены кривые моментов инерции сече-
ний свола (Д, площадей (Л) и косинусов и синусов углов наклона
к горизонту касательных к оси свода* **. Здесь же выписаны по
масштабу величины у, cosy, J, FyFi я
Надо отметить, что в примере проф. Г. П. Передсри.я ось свода
разделена па 8 равных частей. В рассматриваемом случае, как
указано, произведено деление не оси свода, а ее проекции на
горизонталь. Кроме того, деление не па 8 частей, а на 10.
* Каждая из кривых начерчена, конечно, в своем масштабе. Масштабы
показаны па фиг. 36.
** Кривая sin ю, собственно говоря, нс понадобится, и ее можно было ш
давать,
156
!> результате пч одно делепш: не совпадает с делениям!! проф.
Передерия и готовыми цифрами воспользоваться оказалось I'eno?,-
•нож'лым. Впрочем, это как раз иоззолит на примере удостоверить-
ся, достаточно ли зсе геометрические данные брать просто ta>
масштабу.
Следует сделать еще одно замечание: кривые фиг. 33 имеют
довольно иеари,зычное очертание. Это объясняется тем, что свод
железобетона.ьш и при расчете моменты инерции и площади при-
нимались приведенными с у-.атом армирования.
Имея все эти данные, переходим к самому расчету. Прежде
всего, необходимо определить положенно боковых шарниров
основной системы, т. е. величину
Г
J о J CCS о
Необходимые данные для вычисления соответствующих инте-
гралов выписаны в табл. 35.
Таблица 35
1	СС:1СТ‘НЯ,1 С ЧП 1ПЯ ОТ | 1 SclMKO	1	У м		CCS О	J	1 J C(.S = 1 м’1	I' Л12	у-	_ фф. a CCS 1 1	— § м-	7 сна? 1 лй	CHS ? 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0 0,05 0,17 0,41 0,75 1.20 1,78 .:,-54 3,35 4,41 5,72		1,000 0,992 0,980 0,955 0,915 0,868 0,818 0,761 0,700 0,612 с,516	0,0298 0,0314 i),033S 0,0367 0,0403 0,0469 0,0550 0,0622 0,0678 0,0824 0,1239	33,6 32,2 30,2 28,5 27,1 1:4,6 22,2 21.1 21,1 19,7 15,7	0,733 0, '50 0,767 0,785 0,809 0,846 0,890 0,928 0,9 9 1,024 1,285	0 0,0025 0,029 0,168 0,561 1,44 3,16 6,44 11,20 19,4 32,6	0 0 1 5 15 35 70 136 236 382 511	0 1,6 5,1 11,7 20,3 29,о зд,з 70 \1 86,8 89,8	1,4 1,3 1,3 1 2 1’1 1,0 0,9 0,о 0,7 0,6 0,4
					Но Симпсону .		• • • -	| 1129 1	| 564,6 1	10
Интегралы в этой таблице подсчитаны по формуле Симпсон:;. При этом множитель А х, равный расстоянию между сечениям:; (0,!)13	во всех трех интегралах опущен. 1 Случено: !	7 1 - •	: 1129 Ал-;	\ 1 		г. .10 Да-. J» J с<»s	J 0	1’										
Наконец, при загружении по фиг. 35, а в замке будет пере-
резывающая сила V =	. Следовательно, в сечении с абсциссой х
момент будет:
М'" = ~х.
а
Моменты в правой части полусвода для этой нагрузка будут
отрицательными.
Само построение линии прогиба для неизвестной
i
(J ---------364,6 Ах.
Jo J COS о
Отсюда:
1129 -|- 10	о ч г»
с-~~—— 3,12 м.
Зо4,о
В дальнейшем надо будет знать не только с, но и а, т. е.
расстояние, между боковыми шарнирами.
Нахождение величины а можно взять по масштабу из того
же чертежа (фиг. 36). Получается я —14,2 я.
Следующим этапом решения задачи будет вычерчивание вере-
,	44
вочных многоугольников для фиктивных нагрузок “jcose -
Для определения этих фиктивных нагрузок необходимо произ-
вести соответствующие подсчеты. Такие подсчеты даны в табл. 36.
Табл и ц а 36
Р.2 сечения	X я	Я	_1__ J CCS Y	У с	М =г = 1--^ С	_Л4'_ /COS о	М"	И , । II	лг -
							J cos 9 ~ У		
									Jcost
							cJ COS <р		
1	2	3	4_	5	_6_ _		7 _		8 _ _	9_	
»	0		33,6	0	1,000	33,6	0	0	0
1	0,915	0,05	32,2	0,016	0,984	<31,7	0,5	0,129	4,16
2	1,830	0,17	30,2	0,055	0,945	28.5	1,7	0,258	7,79
3	2,74 >	0,41		0,131	0,869	24,8	3,7	0,387	11,02
4	3,6’50	0,75	27,1	0,240	0,760	20,6	6,5	0,5,6	1-1,00
5	4,573	1,20	24,6	0,385	0.515	15,1	9,5	0,645	15,8‘г
6	5,49:.	1,78	22,2	0,571	0,429	9,5	12,7	0,774	1 /, 12
7	6,493	2,54	21,4	0,815	0,185	3,9	17,2	0,903	19,8 -
8	7,320	' 3,35	21,1	1,072	0,072	— 1,5	22,6	1,030	1 5 / ;
9	8,73..	, 4,41	19,7	1,415	0,41 о	— 8,2	27,9	1,160	£•) .°<?
10	9,159	i 5,72 1	! 1ч,7 1	1,833	C.S33	-13.1	23,8	1,238	20 ДО
" т пехот		op ые	пояснения к тхбл. 36. При				загружен	Ш 11G ф	’:Л.
m; i щязем в за?щ.е момент А-Л — .. и	11	*
Ill
р.И
I 
I 111 и .11 11 \ .1. । ini ii iii । <|ч11. i.	i. I । 1 " i 11 11 i '' ] J' |
//	1 (имин). C jiiji.o!;<iti-.ii i.ru i, i ; i i:' ; i к > n' 11 ii Mioniri h ii'i.iri
c • оординатами x и у-будет:
Фиг. 37.
X, —	= 1 показано па фиг. 37. Здесь множитель равный од.нэГ
части полупролета (0, 915 м), и модуль упругости Е как величины
постоянные опущенм. Что касается самого построения, то оно в
сп ty симметрии сделано для одной тю лопины свода. Произведс-Ер
гн) следующим образом. На фиг. 37, а по горизонтали отло/сеиа
нрш-пция полусзода, разделенная на 16 равных частей. Мисигсаб
npini.iT I ~~ 0,5 л;. Ст этой горигтглгали отложе-гпя кз.-гг-'.-з
и; i.i'i.'i. вскнчикы —~—• Полтчсппап эпюра n>ivaeтот
у с оз»
1111' г.|.  |\|- HT1 С: 01. ,;н ТО .10 U ' ТрДГ'ДИ-л К тротrO.T.r".;L'IКД. 1 : i: О'-' к  .
1.1  I I  11 -  II.', 11' И Т; У О : . : ‘'10 О,О З'Т''/ J-3 ТОЙ Ж О ф|; '.Д', .
! '| и '1.'.< .иг; iii'.'i'-	i.npj	с'м;- i..3ii-i..’?. .
как величина постоянная опущен. Графически найдены центры
тяжести трапеции. В этих точках приложены фиктивные силы,
равные площадям, а затем для этих фиктивных сил самым обыч-
ным образом построен многоугольник сил (фиг. 37, в) и вере-
вочный многоугольник (фиг. 37, г.)
Номера соответствующих лучей показаны ина многоугольнике
сил и на веревочном многоугольнике. При построении рекомендуем
луч о проводить горизонтально, ибо от него будут отсчитываться
ординаты. Последнее депо из того соображения, что поворота в
•тяте не будет и, следовательно, замыкающая для нашей линии
прогиба должна быть касательной в пяте (левый конец) к веревочной
кривой. При построечки многоугольника сил в одном миллиметре
.то вертикали откладывалась единица площадей трапеций.
В качестве .полюсного расстояния мы должны были бы отложить
величину 27, но мн условились опустить ее как величину постоян-
ную. При таких условиях полюсное расстояние должно быть взять
разным единице. Оно отложено равным 50мм (50 единиц). Следова-
тельно, полюсное расстояние преувеличено в 50 раз (не говоря об
опущенных множителях Дх и Е).
На основании таких соображений о масштабе подсчитаны
ординаты линии прогиба. Напри?лео, максимальная ордината в се-
редине пролета по масштабу оказалась равной 9,55 см. Но, так
как для горизонтального масштаба фиг. 37, а принято 1 см * м,
то и здесь мы должны считать тот же масштаб; следовательно,
ордината линии прогиоа в середине пролета будет равна =-1,775
единиц*. Но, как установлено, масштаб линии прогиба, благо-
даря соответствующему выбору полюсного расстояния, преумень-
шен в 50 раз; значит, ордината будет равна 4,775-50 —238,5 еди-
ниц. Если учесть опущенные величины Дх и Е, ордината может
быть написана 238,5	.
/:
Подобным же образом были подсчитаны и все остальные выписан-
ные на фиг. 37, с ординаты. Это и есть ординаты ДР
Из фиг. 37 надо извлечь еще величину оп. Это сделать чрез-
вычайно просто. Половина этого угла равна углу между лучом 11 и
горизонталью (фиг. 37. с). Но этот угол, взятый на фиг. 37, с, равен
такому же углу, взятому с фиг. 37, в. Таким образом, интересую-
щий пас угол (в радианах) равен:
о Л Л
о 11 = 2 .
1J
Но И — полюсное расстояние — равно единице (на фиг. 37, в
оно отложено равным пятидесяти единицам), а АВ равно алгебраи-
* ?)то именованные единицы. Размерность их, если считать, что момент
л2
выражен в тоинометрах, .
160
ческой сумме всей фиктивной нагрузки, р.п «к>и hi пччу
пролете АВ= 134,05.
Следовательно, 2 — =---— — 209,3.
Если ввести опущенные множители Дх и /:’, получим
269,3—.
Z?
Подсчеты ординат линии влияния сведены в табл. 37, причем
величины Дх и Е, также как и в предыдущих случаях, опущены.
Следующая задача—построе-
ние линии влияния для Х2=
— Л42-|- Л43. Здесь уже, конечно,
не будем давать таких подроб-
ных пояснений, как в предыду-
щем случае.
На фиг- 38, а эпюра приве-
денных моментов—фиктивная на-
грузка—взята по данным графы 8
табл.36. Опора фиктивной балки—
под шарниром (см. выше). В силу
симметрии балки и нагрузки мо-
жем утверждать ,что реакция фик-
тивной опоры равна плошади всей
эпюры, соответствующей полу-
пролету R = 116,7. На много-
угольнике сил (фиг. 38, в) силы
Т а 6 я и ц .1 37
№ сечения	А х	г Д| rii — « оц
0	238,5	0,887
1	129,6	0,482
'2	51,0	0,1 У0
3	— 1,3	0,000
4	—31,5	—0,117
э	—43,5	-0,162
6	—42,0	—0,156
7	-31,5	-0,117
8	—17,5	—0,065
9	— 5,0	—0,019
10	0	0
откладывались слева направо в последовательном порядке, пилю
чая и силу R. На фиг. 38, с-—линия прогиба, ординаты которой
подсчитаны совершенно так же, как н предыдущем случае (щ<-
масштабы тс же,)
Таблица 3 8
№ сечения	Дз_Е Д х	Ай "5з 	 _ °22
0	—42,8	-0,365
1	—42,7	-0,366
2	—42,5	-0,364
3	—40,0	—0,342
4	“34s5	-0,295
5	-22,7	-0,194
6	— 3,0	- 0,026
7	29,5	0,253
Боковой шарнир	63,7	0,545
8	60,8	0,433
9	12,7	0,109
10	0	0
следовательно, замыкающая
Величина о.,2 есть угол между лучом 3 и 4 (фиг. 38, с), или
отрезок АВ (фиг. 38, в), или, наконец, фиктивная опорная ре-
акция.
116,7 Де *.
Ооо “-------
Е
В табл.38 дан подсчет ординат линии влияния.
Теперь остается построить
ЛИНИЮ ВЛИЯНИЯ ДЛЯ X,—/И.у-М).
На фиг. 39, а приведена эпюра
фиктивных нагрузок для полу-
пролета, построенная по данным
цифр графы 10 табл. 36. Это —
нагрузка для левого полупролета;
для правого она имеет совершен-
но те же величины, но с обрат-
ными знаками. Величину реакции
фиктивной опоры предварительно
не отыскиваем. Положение же ее
известно —оно соответствует по-
ложению бокового шарнира. Ве-
ревочный многоугольник строим
без учета опорной реакции. Он
показан на фиг. 39, <?, много-
угольник сил показан на фиг. 39, в.
Фиктивную реакцию опреде-
ляем графически путем проведе-
ния соответствующих замыкаю-
щих. Условия для проведения этих
замыкающих имеются. Левый
конец полуарки (пята) заделан;
:жна совпадать с крайним левым
лучом (АВ, на фиг. 39, с). Эта замыкающая идет до шарнира.
Положение замыкающей в шарнире (точка В) нам, таким образом,
известно. Известно еще, что в силу симметрии системы и обрат-
ной симметрии нагрузка, середина пролета (точка с) по вертика-
ли не перемещается. Следовательно, и через эту точку должна
пройти замыкающая. В точке В она будет иметь перелом.
Масштабы при вычерчивании фиг. 39 были приняты те же, что
в предыдущих случаях. Поэтому переход к величинам прогибов
производится совершенно так же. На фиг. 39, с показаны получен-
ные величины прогибов для левой полуарки. Для правой они
будут иметь совершенно те же значения, но с обратными знаками.
* Величина 622 может быть определена также следующим^ образом: о23==
2 (”с~)2Цх —	-- [ 2 — —- , а интеграл С 2 у\1х_ был iiail-
о Tt’Tcoso	Ес2 Jo 3cos?	J 0 Лоз у
ден руше при определении с и равен 1129_Д*.
162
Величина S.!3 определяется как угол между двумя отрезками
замыкающей АВ и ВС. Если направление замыкающей ВС пере-
нести на фиг. 39, в • (пунктир), отрезок DB даст величинуЗфик-
тивиой реакции или угла 833.
Таким образом
В табл. 39 приведены под-
счеты ординат линии влияния для
левого полупролета. Для правого
полупролета будем иметь совер-
шенно те же цифры, ио с обрат-
ными знаками.
Теперь имеем линии влияния
для лишних неизвестных. Имея
их, можем легко построить линии
влияния для любого интересую-
щего нас усилия. Так как ход по-
добных вычислений дан нами в
первом разделе, повторять их нет
основания. Скажем лишь несколь-
ко слов о точности полученных
результатов, не приводя даппых
более подробного анализа. I l.i
11*
Таблица 39
№? сече- пни	Дх	A.; = "Г
0	0	О
1	— 24,2	(>,‘ ’i>;.
2	- -45,8	
3	— 58,7	(> ! .11 1
4	— 62,2	1 ’.  ’
6	‘J1)..’!	
7	IP. .1	
Hoh'oHoii | >		•
1 И >	 1	
фиг. 40 приведено сравнение ординат линии влияния для момента
в замке. Сплошными линиями показаны кривые, нанесенные по
данным проф.^Г. П. Передерия, пунктирными—'полученные гра-
фически. Соответствие, как видно, вполне удовлетворительное.
Линии влияния для нормальных сил получаются с еще большей
точностью, а^линии влияния для моментов в других сечениях

Фиг. 40.
(не в замке) — примерно с теми же или немного большими рас-
хождениями, чем на фиг. 40.
Таким образом, точность полученных результатов можно при-
знать вполне достаточной.
Не останавливаясь подробно на влиянии изменения темпера-
туры, заметим, что для определения лишних неизвестных от изме-
нения температуры у нас все данные уже имеются. Формулы для
лишних неизвестных при увеличении температуры на t° имеют вид;
1	<>I! С
v	lat
zA « 	*
J	°22с
Так как величины он и 822, не говоря о геометрических раз-
мерах (/ и с), нам известны (для рассмотренного выше примера
8ц = 269,3	= 116,7—определение величин Хг и Х„
не представит никаких принципиальных затруднений. Имея же
эти величины, не трудно определить температурные усилия для
любого сечения свода, подобно тому, как это делалось в первом
разделе работы.
164
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. ТАБЛИЦА СТЕПЕНЕЙ г
Z	Z3	z3	z± 1	z«	z6	z"	zs	^9
0	0	1 0	0	0	0	0	! о	0
6,1	0,01000	0,00100	0,00010	0,00011	0	0	0	O'
0,2	0,04000	0,00800	0,00160	0/ 0032	0,00001	0,00001	0	0
0,3	0,09000	0,02700	0,60810	0,00043	0,60073	0,00022	0,60007	0,00002
0,4	0,16000	0,06400	0,02560	0,01024	0,60410	0,00164	0,00066	0,00026
0,5	0,25000	0,12500	0,06250	0,03125	0,01563	0,00781	0,00391	0,00195
0,6	0,36000	0,21609	0,12960	0,07776	0,04666	0,02800	0,01680	0,61008
0,7	0,49000	0,34360	0,24010	0,16807	0,11765	0,08236	0,05765	0,04035
0,8	0,64000	0,51200	0,40960	0,32768	0,26214	0,20971	0,16777	0,13422.
0,9	0,81000	0,72900	0,65610	0,59049	0,53144	0,47830	0,43047	0,38742
1,0	1,00000 1 i	1,00000 i	1,000 0	1,00000	1,05000	l,0r000	1,00000	1, OOOO
2. О РАСЧЁТЕ ОДНОШАРНИРНЫХ АРОК
Одноичарпирные арки у нас не пользуются распространением,
однако, суля по некоторым данным *, могут дать неплохие резуль-
таты, особенно, если учесть влияние изменения температуры, ко-
торое значительно мепьа;е сказывается в однотар пирных арках,
чем в двухшарнирпых **. Не давая соответствующего исследования,
которое хотя бы уже по своему объему должно быть выделено
в специальную работу, скажем несколько слов о применении
предлагаемого способа к расчету одношарнирпых арок.
По своей сущности этот способ к расчету одношарнирпых
арок может быть приложен целиком. Одношарнирный свод есть
система, дважды статически-неопределимая.
J3 качестве основной системы можно, так же как это делалось
для бесшарнирных арок, взять арку трехшарнирную. В качестве
липших неизвестных можно взять величины X, и X,, подобные
тем, что брались выше. Если при этом и боковые шарниры рас-
положить подобно тому, как это делалось выше, т. с. на рассто-
янии по вертикали от замка
Г7 f-dx , Г T_cys
„ _ Jo ./cos? 1 Jo F
с--	- ,
I
ydx
Jo /cGS'jl
получим, что при положении комбинированных сил или в
среднем шарнире никаких переломов не будет. Следовательно,
линии влияния для этих неизвестных будут выражаться совер-
шенно так же, как в случае бесшарнирных сводов.
Таким образом, разница в расчете одношарнирного свода по
сравнению с бесшарнирным будет заключаться лишь в том, что
неизвестная A'j будет равна нулю. Все остальные соображения
построения и формулы остаются совершенно теми же.
Это обстоятельство позволяет не останавливаться более под -
робно на расчете одношарнирных арок.
* См. пример: Burgdorfer, Dor EingeJcnkbogpn, 1924; V i <• ю-г, Der
Eingelenkbogen, Arm. Betoil, 1914.
** Например, для случая, приведенного в первом разделе рабоиа, момент в
пяте от изменения температуры равен 43,6 тм. В случае o;uioiii;ipiriipti<nо свода
>.тот момент был бы равен 34,1 тм.
1 i,i >
СОДЕРЖАНИЕ
Стр,
Введение . . . ,..........................................    3
1.	Расчет свода аналитическим способом..........................  11
1.	Общие соображения. Выбор основной системы...............  11
2.	Построение липин влияния...............................  14
3.	Влияние изменения температуры............................ 48
II.	Расчет бесшарнирных сводов в открытой форме.................. 82
1.	Геометрические размеры свода............................. 52
2.	Основная система и выбор лишних неизвестных............. 65
3.	Пос троение линий вл.няиия............................... 66
4.	Влияние изменения температуры ..........................  78
5.	О выравнивании напряжений в сечениях свода .............. 79
III.	Приближенные методы определения усилий в бесшарнирнытс симме-
тричных сводах .........................................      .	81
1.	Построение линий влияния при помощи таблиц............... 81
2.	Усилия от постоянной нагрузки........................... 97
3.	Усилия от иремеппой нагрузки............................ 108
4.	Влияние изменения температуры............• •............ 126
5.	Расчеты сводов по первому приближению................... 126
6.	Другой прием приближенного определения усилий .......... 146
IV.	Графический прием расчета сводов........................... 151
Приложения-.
1.	Таблица степенен z.................................   165
2.	О расчете одно нарнирпых арок ...............	166
Редактор В,. Т. Байков
.'IS3841 Подписано в печать 30IIX 1942 г. П. л. 10>/2 Авт. л. 8,94
Зак. № 661	Цена 9 р.	Тираж 3i
Ремесленное училище № 3, Москва. Хохловский ц., 7,
СПИСОК ЗАМЕЧЕННЫХ ГЛАВНЕЙШИХ ОПЕЧАТОК
/гра- ница	Стро- ка	Сверху Снизу	Напечатано	Должно О 1,1 | 1,
к	20	снизу	несколько десятков	58
11	4	сверлу	расчета, случая	случая расчета
?|)	5	»	а Р-е.	d Ес
21) 71	фиг. 2	6 сверху	И	Направление моментов М-, должно быть изменено на обратное «и
21	15	снизу	5,703	5,703 —г
л. Н	5 графа	сверху 13	1 -- u Z а ~\ 8ч-	\ d у.2 Д'Д2 = /< |- ДШ	1 — р- с _« 8р < d. _) о 7:A2 = ?C+2V
11	гибл. 4	графа 5	С1 zdz ) . .1 cos ~ - R	1J1 zdz \ J cos у V ‘•-и	*
к	iiiO.'i. 4	графа 6	fl z dz г° J-, / COS c	i’i z dz
1/	14	сверху		v={
1’1	 >		/ — c	I 1	I	1 c - 0,7227^ 0,650;
			c -M. 0,/2z |	—- v,Gu(J	
			/	I I — a.	I = 0,861 1 — 2— = 3,85 J	1	I —a ^- = 0,861; —y- =3,85;
			f , a-- — I — 2 73	a — I —		= 2.73 'i
			4	’’"	
II	(		<0 71v7	5i J
	11	снизу	, ~ 5i + 7/+	Л 1 .. up ill 'ill
			+	2	-M-	2
			/	/
и	/	-	X, = ®n	Y — _ Л11 ' 1	°:t
п	11		V - -AC- г2?	V
1	pl	1 |И рч \	x. = J'-L соц	X, =
;-и	1	'	> нм 1 	7 3.72	J =	:.t
н	j J	i - ” Г’ '	/ ~	2 	
Стра- ! пица	Стро- ка	Сверху Снизу |	Напечатано	| 1	Должно быть
61	14	снизу	1 через	i	через у/.
61	О	*	V = Й1Л'2 . . .	у ~ akx2 . . .
64	2	сверку		— m
66	7	снизу	+ 1 |/ (.4	.. Я'_ (ГЯ 1 ' Я l-:Jac l.L <4  5 6? 
69	7		, М2	1	, _4^
			«ЗЛ7,;	a2l-.j,}
77	5		— 0,532	0,532
78	2		v _ 7//:7о	jY" 		
			' 1	eV	1	eV
79	13	 сверху	v _			
			1	i:V	1	eV
81	12	снизу	(1 -• рЛ)	l-d-p-r
86	9	»	0,16868	0,16848
86	6	»	0,23661	0,23601
87	4	сверху	J = 0,18854	J = 0,08851
87	4	снизу	0,04773	0,04733
92	. 20	»>	-J.L. —	з/. |  37W
96	23	и	i	15	1,2116
97	4	сверху	।	0,00567	0,00467
97	10	»	1	—0,537	0,537
97	20	снизу	i	(Ci)	(T,)
98	4	сверку	КЯМ-	О-ОСУНИ
99	1 6		7(1— ?) z8	3 (1 — p.)
			56	1	56
103	.5	снизу	<lx	— U	X)dx I 1 Jo
106	6	сверху	a. - 1,6687	3 = — 1 ,6687
103	8		m — 1,2168	m = 1,2116
109	6	снизу	p. ~ 0,975	p. = 0,950
113	5	сверху	m = 1,2116	m - 1,4331
			( p),2>	I C 0,25
114	7	снизу j	9'	T|'/V 2 J о	9 \ 2 J o
		1	I	pnj.s	co. 25
114	2	!	Я	7//Л !	Jo	I J
115	5	j сверху 1	r L + J 7-1 C6r7 ’ 8 J J J	\6 ' 7 8 7 .1 z ;
СПИСОК ЗАМЕЧЕННЫХ ГЛАВНЕЙШИХ ОПЕЧАТОК
Стра-	Стро-1	Сверху	Напечатано	Должно быть
ница	ка |	Снизу		
8	20	снизу	несколько десятков	58
11	4	сверху	расиста, случая	случая расчета
20	5		<1	d
			Ес	Ес
20	фиг.	6		Направление моментов М, должно быть изменено па
				обратное
24	2	сверху	]]	8ц
24	15	снизу	5,703 ^	5,703 ~ М-1
26 1	5	сверху	1 — и. Z а > 8р. \ d J 2	1 — р f«л5
				8и. < d J2
32	графа	13	e^_-k + ne	ДД, = K+N
		графа 5	г1 zdz	( 1 zdz
31	табл. 4		1	р	
			Vros:?	\ J COS 'S J '-0	T
	табл. 4	графа 6	р z dz	p z dz
34				
			cos-f	) J c°s т 4
			1	1
37	19	сверху	?7= 2	v= 1
39	2			t — c	I c - 0,722; Frt_0,6O0;
		м	с — и,/22 | (уа — и,ООО |	
			t	I 1 — а	I £ = 0,861 | - 2- = 3,85 |	i	i — a £ = 0,861; —2-=3,8.o;
			f	i
			и — — 1	a - — I
			с	— 2 73	— 2.73
			4	4
			(0	(O
41	6	’’	7)>- 7	7,1 7
	11		— 'll + Г‘П +	..Л , v//p •7/ “T 7/7
		снизу		
			+	2	Td-r-	2
				
			/	+ /
50	7	*	Д1/ А, = -8— °и	у — X' ~ ~ 7,
50	6	я	у — _Д1/_ Л‘2~ 82,	До/ X, = —
51	10	сверху	х, = J±L '71	- —1 e-Joo
59	12	снизу	- - 5,72 /	 J = 5,72 .if
61	3	! сверху	и ~	/ —
I
Стра-1 нпца j	Стро- ка	Сверху | Снизу 1	Напечатано	Должно быть
61	14	снизу	через Г|	через
61	О		Ч! — а ±х2 . . .	у ~ a,x~ . . .
64	2	сверху	к т	ё-Ь- = m
66	1 7	снизу	, / и и,л,-л + ...j + t L С 4 > 6/	му. WU Vi 5П аУ"
69	7		,	4/1-	, 4«H
			П2Д70	
77	5		— 0,532	0,532
78	2		v _ 'ithJa		 'lil.Jtf
			1	с V	'	eV
79	13	сверху	,, _ atkJa	у 	 Л1 ~ — —ГГ
			1	eV	eV
81	12	снизу	+ (1 ~ 1-)	
86	9	»	0,16868	0,16848
86	6	п	0,23661	0,23501
87	4	сверху	,/ = 0,18854	.7 - 0,08854
87	4	снизу	0,04773	0,04733
92	20	♦»	1	-J.L — W	7/. -p (3/l4
96	23		1 i	15	1,2116
97	4	сверху	i	0,00567	0,0046/
97	10	»	i	—0,537	0,537
97	20	снизу	Си)	(П
98	4	сверху		('"ОСЛМ
99	6		l	a(l- y)<8	a (p_
			!	56	56
103	5	снизу	I A;'J У(-П — ЛИХ	Г Д(П-л-)Дх- 1 Jo
106	6	। сверху	.7. = 1,6687	7 = — 1 , 6687
108	8		tn = 1,2168	m ~ 1,2116
109	6	снизу	и. = 0,975	•j. = 0,950
ИЗ	5	1 сверху	tn = 1,2116	/и = 1,4331
			I i’i>.25	/ f 0.25
114	1	| снизу-	9	Т^Л 2 J 0	9 2 J 0
		1	1	C0.23	1	1
114	2	I	l	1 j„
115	ь	' сверху	i/Wo+Dir. | Й •- xO? 7 -o J- J )	 V  7 '8У J-/
				k