/
Author: Тихонов В.И. Горяинов В.Т. Журавлев А.Г.
Tags: электротехника радиотехника статистическая радиотехника
Year: 1970
Text
ВТГОРЯИИОВ
АРЖУРАВЛЕВ
витихонов
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ
РАДИОТЕХНИКЕ
В. Т. ГОРЯЙНОВ, А. Г. ЖУРАВЛЕВ, В. И. ТИХОНОВ
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ
РАДИОТЕХНИКЕ
Под редакцией
профессора В. И. Тихонова
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве учеб-
ного пособия для студентов радиотехнических
специальностей вузов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СОВЕТСКОЕ РАДИО» МОСКВА -1970
Scan AAW
УДК 621.37 : 621.391.519.27
В. Т. ГОРЯЙНОВ, А. Г. ЖУРАВЛЕВ, В. И. ТИХОНОВ, под общей редакцией проф.
В. И. ТИХОНОВА. Примеры и задачи по статистической радиотехнике. Изд-во
«Советское радио», 1970, 600 cip. , т. 24 000 экз., ц. 1 р. 35 к.
Книга содержит примеры и задачи по основным
разделам статистической радиотехники (теории ве-
роятностей и случайных процессов, помехоустойчи-
вости и теории информации). Материал разбит на
15 глав. В каждой главе приведены справочные
теоретические сведения, подробно разобранные
примеры и задачи, снабженные ответами.
Задачи отличаются друг от друга как по слож-
ности их решения, так и практической направлен-
ности. Наряду с простыми задачами, преследую-
щими чисто методические цели, имеются и сравни-
тельно сложные задачи, требующие при их реше-
нии проявления определенной самостоятельности.
В ответах к таким задачам даны методические ука-
зания на способ решения или указаны источники,
где можно найти решения.
Книга может служить учебным пособием по ста-
тистической радиотехнике и в основном рассчита-
на на студентов и аспирантов, специализирующих-
ся в области радиотехники и автоматики. В ка-
честве справочника она полезна также инженерам
и научным работникам.
31 табл., 230 рис., 135 библ. назв.
3-4-1
.4 — 1970
Предисловие
Настоящая книга написана на основе практических занятий по
статистической радиотехнике, которые проводились в течение ряда
лет со студентами. Однако при ее написании круг рассматриваемых
вопросов был расширен, а число примеров и задач в несколько раз
увеличено.
Порядок расположения материала и обозначения в основном
соответствуют принятым в книге В. И. Тихонова «Статистическая
радиотехника» (Изд-во «Советское радио», 1966).
Книга содержит 15 глав, охватывающих все основные разделы
статистической радиотехники. В .начале каждой главы в кратком
виде приведены необходимые теоретические сведения. Методика
применения их для решения конкретных практических задач иллю-
стрируется на ряде подробно разобранных примеров. Затем сформу-
лированы задачи, снабженные ответами, и указана использованная
литература. Для удобства решения некоторых задач, где требуется
получить ответ в виде числа, в конце книги помещен ряд справоч-
ных таблиц.
Всего книга содержит 120 примеров и 670 задач.
При подборе примеров и задач были широко использованы оте-
чественные и иностранные источники, многие примеры и задачи со-
ставлены авторами самостоятельно.
Главы отличаются количеством приведенных в них задач. Это
отчасти объясняется различной значимостью глав, а главным обра-
зом сложностью и громоздкостью решения соответствующих задач.
Задачи в одной и той же главе отличаются по сложности их решения
и практической направленности.
Исходя из целевого назначения, в книгу включены как простые
задачи, преследующие чисто методические цели, так и сравнительно
сложные, требующие при решении проявления определенной само-
стоятельности. В ответах к сложным задачам даны ссылки на ис-
точники, где можно найти решения. Кроме этого, часто приводятся
и методические указания на способ решения.
Книга в основном рассчитана на студентов и аспирантов, спе-
циализирующихся в области радиотехники и автоматики, и пресле-
дует цель оказания им помощи в активном усвоении теоретических
основ статистической радиотехники и в выработке навыков приме-
нения теории к решению практических задач. Однако авторы надеют-
з
ся, что она будет полезна в качестве справочника также инженерам
и научным работникам. Именно поэтому задачи и ответы поме-
щены вместе.
Работа между авторами была распределена следующим образом:
гл. 5, 8, 9, 11 и 12 написаны В. Т. Горяйновым; гл. 1—4, 14, 15 и при-
ложение — А. Г. Журавлевым; гл. 6, 7, 10 и 13 — В. И. Тихоно-
вым, который выполнил также общее редактирование книги.
В подборе и решении задач нам была оказана помощь товари-
щами, с которыми довелось работать в последние годы. Рецензиро-
вание книги выполнено профессором Ю. С. Лезиным и доцентом
В. П. Жуковым. Выражаем им искреннюю благодарность.
Несмотря на сознание своей ответственности перед читателями,
авторы отдают себе ясный отчет в том, что книга не свободна от оши-
бок и недостатков. Мы обращаемся с просьбой ко всем читателям
сообщить нам свои предложения и замечания по адресу: Москва,
Главпочтамт, п/я 693, издательство «Советское радио».
РАЗДЕЛ J
СОБЫТИЯ, ВЕРОЯТНОСТЬ
И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. Теоретические сведения
Событие — всякий факт, который в результате
опыта может произойти или не произойти.
События подразделяются на достоверные, невозможные и слу-
чайные, причем достоверные события обозначаются буквой 67, не-
возможные — V, а случайные — буквами А, В, С, ... Вероятность
достоверного события принимается за единицу, а вероятность не-
возможного — за нуль:
Р(67) = 1, P(V) = 0.
Вероятность любого события А заключена в пределах от 0 до 1:
0<Р(Д)< 1. (1.1)
Если всякий раз, когда происходит событие А, происходит так-
же событие В, то говорят, что событие А влечет за собой событие В,
и обозначают ДсВ. Если ДсВ и в то же время ВсД, то говорят,
что события А и В равносильны, и обозначают А = В. В этом
случае Р(А) = Р(В).
Суммой (объединением) множества событий Л, В, С, ... назы-
вается такое событие, которое происходит тогда и только тогда,
когда происходит по крайней мере одно («хотя бы одно») из этих
событий. Сумма событий Д, В, С, ... обозначается знаком Д + В +
+ С + .... Если события обозначены буквой А с различными индек-
сами k9 то сумма этих событий обозначается 2Дд.
k
Из определения суммы событий непосредственно вытекают сле-
дующие соотношения:
А + А = A; A + U = U\ А + V = Д; А + В = В + Д;
(А + В) + С А + (В + Q. (1.2)
5
Произведением (или совмещением, или пересечением) событий Д,
В, С, ... называется событие, происходящее тогда и только тогда,
когда происходят все события вместе («одновременно»). Для обозна-
чения произведения событий применяются следующие записи:
АВС ..., П Дд — если события обозначены одной буквой А с раз-
k
личными индексами.
Для произведения событий справедливы соотношения:
АА = A\AV - V; AU = Д; АВ - ВА\ (АВ)С - Д(ВС). (1.3)
Для операций умножения и сложения событий, применяемых
совместно, справедлив обычный распределительный (дистрибутив-
ный) закон
(Л + В) С - АС + ВС (1.4)
и, кроме того, так называемый «второй распределительный за-
кон» [1]
АВ + С = (Д + С) (В + С). (1.5)
События Л, В, С, ... образуют полную группу событий, если
в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из
них. Другими словами, сумма событий, образующих полную группу,
является достоверным событием, т. е.
А + В + С + ... - U.
События А и В называются несовместными (или несовместимыми),
если их совместное появление невозможно, т. е. если
АВ = V.
Два несовместных события, образующих полную группу, назы-
ваются противоположными (или дополнительными) событиями.
Событие, противоположное событию Л, обозначается Л.
Для противоположных событий справедливы формулы:
A=A;U=V; V = U; A+A = U; AA = V;
A + B=AB; AB=AiB; A + B = A+AB;
A + B = ^J; AB= A+B.
(1.6)
Когда рассматриваемый опыт имеет Af равновозможных исхо-
дов, которые несовместны и составляют полную группу (схема слу-
чаев), вероятность Р(А) события А равна
(L7)
где п — число исходов, которые приводят к наступлению события А
(благоприятствуют событию Д).
6
При решении задач на непосредственный подсчет вероятностей
с использованием формулы (1.7) общих способов для нахождения
чисел N и п нет. Во многих случаях целесообразно использовать
«комбинаторные» способы, т. е. теорию соединений (размещений,
перестановок, сочетаний). При этом часто приходится вычислять
число сочетаний (см. табл, приложения III)
Ck — п'
п k\(n — k)\ *
(1.8)
Если значения ли& велики, то используют приближенную формулу
Стирлинга
п\ ж ( — У2лп-
(1.9)
Эта формула дает хорошую точность приближения и при сравнитель-
но небольших значениях п. Так, например, относительная погреш-
ность ее не превосходит 0,1 при 1, не превосходит 0,01 при
п > 10 и 0,001 при п > 100.
В некоторых задачах понятие равновозможности событий при-
меняется к опытам с бесконечным числом исходов, когда числа Nun
определить невозможно. Иногда же проще вычислить саму вероят-
ность события ^отношение а не порознь числа исходов п и Af.
В таких случаях пользуются геометрическими вероятностями, ко-
торые определяются формулой
= (1.10)
мера G
где G — геометрическая мера (длина, площадь, объем и т. д.) всей
области; g — геометрическая мера части области G, попадание
в которую благоприятствует событию Л.
Определение вероятности сложного события А через вероят-
ности более простых событий At, А2, Ап базируется на исполь-
зовании основных теорем теории вероятностей (теоремы сложения
и умножения вероятностей и их следствий).
Согласно теореме сложения вероятностей вероятность суммы двух
событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность
их произведения:
Р(Л + В) = Р(Л) + Р(В) — Р(АВ). (1.11)
Если события Л и В несовместны, то
Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (1.12)
Формулы (1.11) и (1.12) обобщаются на сумму любого числа п со-
бытий:
(п \ п n—i п
2 А =2Р(Л)-2 2 P(AhAj) +
k=l / k=l k=l /=А?+1
7
п—2 п—1 п f п \
+ 2 2 2 Р(АА,Л1)-... + Н1)"-'Р П Л1 (1.11а)
k=i /=k±i /=лн и=1 /
(п \ п
2 А = 2 Р(А)- (1.12а)
k= 1 / k= 1
Сумма вероятностей несовместных событий, составляющих пол-
ную группу, равна единице, т. е.
2р(4) = 1- (1-13)
6=1
Сумма вероятностей двух противоположных событий равна еди-
нице:
Р(Л) + Р(Л) = 1. (1.14)
По теореме умножения вероятностей для двух событий вероят-
ность произведения двух событий равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность другого при условии, что
произошло первое:
Р {АВ) = Р(А)Р(В\ А) = Р(В) Р (А | В), (1.15)
где Р(А\В) — условная вероятность события Л, т. е. вероятность
события Л, вычисленная в предположении, что имело место собы-
тие В.
Если событие А статистически не зависит от события В, то
Р(А |В) = Р(А), причем события Л и В называются независимыми.
При независимых событиях Л и В выражение (1.15) принимает вид
Р(АВ) = Р(А)Р(В). (1.16)
Формулы (1.15) и (1.16) обобщаются на п событий Л2, •••> Ап\
р (А, Аг... Ал) = р (А) р (ДI А) Р (А I А)... р (А IА А - А-0
(1.15а)
(п \ п
П А = П Р(А). (1.16а)
£=1 f
Решение многих практических задач требует совместного ис-
пользования теорем сложения и умножения вероятностей. В част-
ности, с помощью этих теорем производится расчет надежности,
например, радиотехнических систем.
Надежностью некоторой системы (или ее элемента) называют
вероятность того, что система (элемент) в течение установленного
времени будет работать без отказов.
При объединении нескольких элементов в систему различают их
параллельное (резервирование) и последовательное соединение. При
параллельном соединении (рис. 1.1) отказ системы возможен только
8
при отказе всех элементов, а при
последовательном (рис. 1.2) отказ
системы происходит при отказе
любого элемента [2].
Надежность Р параллельного
соединения k элементов равна
k
Р=1~П(1-рг), (1.17)
i = 1
где рг — вероятность безотказной
работы (надежность) Z-го элемен-
та. С увеличением числа парал-
лельно включенных элементов на-
Рис. 1.1. Параллельное соедине
ние элементов.
дежность системы возрастает.
Надежность Р последовательного соединения k элементов вычис
ляется по формуле
п
Р = П Pi.
i=l
(1.18)
С увеличением числа последовательно включенных элементов на-
дежность системы убывает.
Во многих реальных ситуациях то или иное событие А может
появиться лишь как случайное следствие одного из несовместных
событий Ht, i = 1, 2, ..., и, которые входят в некоторую полную
группу событий и называются гипотезами. В таких случаях без-
условная вероятность Р(Д) события А при известных вероятностях
гипотез Р(Нг) и условных вероятностях Р(А | Яг) определяется по
формуле полной (или средней) вероятности:
Р(А)= 2 Р(Яг)РИ|Н/).
Ь=1
(1-19)
При этих же данных, т. е. известных вероятностях P(/7f) и
Р(А | Н^, можно найти изменение вероятностей гипотез Ht, если
предположить, что событие А уже произошло. Задачи подобного
типа решаются с помощью теоремы гипотез (или формулы Байеса)
Р(Н |Л)- P(Hi)P(A\Hi) = P(Hi)P(A\Hi) (1 20
v н ; k=n р,Ах • к • /
2 P(Hh)P(A\Hk)
k=\
Рг
2
Рис. 1.2. Последовательное соединение элементов.
9
Вероятность P(Ht) называется априорной (или доопытной), а
— апостериорной (послеопытной) или обратной вероят-
ностью.
В теории передачи сообщений, теории стрельбы, контроле каче-
ства продукции и т. д. часто возникают задачи по определению
вероятности появления какого-то события А в результате серии опы-
тов, в каждом из которых это событие может произойти или не про-
изойти. Проще всего они решаются тогда, когда опыты являются
независимыми, т. е. вероятность того или иного исхода опыта не за-
висит от того, какие исходы имели другие опыты. Способ решения
подобных задач дает теорема о повторении опытов (формула Я. Бер-
нулли).
Вероятность Pn(k) того, что при п независимых опытах (испыта-
ниях) событие А появится ровно k раз, если при каждом опыте ве-
роятность события А одинакова и равна р, определяется формулой
Р„(*) = С‘р‘Г‘- (1.21)
где q - 1 — р.
Формулой (1.21) неудобно пользоваться при больших п. В этом
случае для подсчета вероятности Pn(k) применяют приближенные
формулы.
Если п велико, р мало, а пр = А имеет конечное значение, то
пользуются приближенной формулой Пуассона
Рп(^)«А-.е-\ (1.22)
Приближенное значение относительной погрешности при при-
менении формулы (1.22) вместо (1.21) составляет величину
rn (k) = k~{k~np)* + у kp\ (1.23)
Когда прq не слишком мало, то применяется локальная формула
Муавра — Лапласа
Pn(^) = -7X®(X), (1.24)
У npq
где w (х) — е 2 , х .
V ’ /2л /npq
Приближенное значение относительной погрешности при вычис-
лении вероятности Рп(&) по формуле (1.24) составляет величину
(L25)
10
С помощью формулы (1.21) можно вычислить вероятность
Pn(tn k) того, что при п независимых опытах событие А, имеющее
вероятность /?, появится не менее k раз:
п k—A
Рп(т> k) = 2 С„ рт qn~m =1—2 с'п Рт Яп~’п- (1 -26)
m—k т=0
Вероятность Рп(.т > 1) появления события хотя бы один раз
при п опытах равна
Pn(tn>\)=\-q\ (L27)
Вероятность Рп(т С k) того, что при п независимых опытах со-
бытие А, имеющее вероятность /?, появится не более k раз, опреде-
ляется выражением
k
Pn(m^k) = 2 С pmqn-m. (1.28)
tn—О
Если вероятность появления события в каждом опыте равна р,
то вероятность того, что в серии из п независимых опытов событие
появится от р до v раз включительно, равна
V
Рп (И < k < v) = 2 Сп Рт qn~m.
т=\).
(1-29)
При больших /г, р и v этой формулой пользоваться затрудни-
тельно. В этом случае используют приближенную интегральную
формулу Муавра — Лапласа
(1.30)
где
< у —пр
Упрд ’
У «р?
1 f
Ф(г) = -^- е *dt.
/ 2л J
Количество п опытов, которые нужно произвести для того, чтобы
с вероятностью не меньше Pi можно было утверждать, что данное со-
бытие произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле
п > . (1.31)
log(l-p)
Наивероятнейшим числом kQ появлений события А в п независи-
мых опытах называется такое значение k = kOf при котором вероят-
ность Pn(k) наибольшая. Для его определения служит формула
пр—q < k0<np + p. (1.32)
и
Если число пр — q дробное, то неравенство (1.32) определяет
одно значение наивероятнейшего числа. Если же число пр—q це-
лое, то неравенство (1.32) определяет два значения наивероятней-
шего числа.
Формула (1.21) составляет содержание так называемой частной
теоремы о повторении опытов. Известно несколько обобщений ее.
Одно из них относится к случаю, когда из-за изменяющихся усло-
вий при проведении п независимых опытов вероятность р меняется
от опыта к опыту (общая теорема о повторении опытов). В этом слу-
чае вероятность Pn(k) появления события А ровно k раз определяется
по производящей функции [3]
<₽П (z) = п (qt + Pi z) = 2 Рп (.k) zk,
'=1 6=0
(1.33)
где pi — вероятность появления события в i-м опыте; qt = 1 — рг.
Искомая вероятность Pn(k) равна коэффициенту при z* в разло-
жении производящей функции и может быть определена дифферен-
цированием функции <рп(г):
dzk Jz=O
(1.34)
Второе обобщение формулы (1.21) имеет в виду, что каждый
опыт может иметь не два, а большее число исходов. Если, например,
при каждом повторении опыта может произойти только одно из со-
бытий А2, ...? соответственно с вероятностями рь р2, ...,р7П
(2 р. = 1), то вероятность Pn(kif k2, ...» km) того, что при п незави-
симых опытах событие At появится ki раз, событие А2 появится
k2 раз, ..., событие Ат появится km раз (2 kt = и), определяется
I = 1
формулой полиномиального распределения
Рп k2..............km) = п1 pt' pt.'... (1.35)
«1! «2* • • • ^ГП'
Вероятность Pn(kv k2,, km) является коэффициентом при zf*,
z*2, •••, zmm в разложении по степеням аргументов гк полинома
(pn(zltz2, ...,zm) = (p1z1 + p2z2 + ... + pmzm)", (1.36)
представляющего собой производящую функцию для совокупнос-
ти чисел Pn(kv k2, ...,km).
§ 2. Примеры
Пример 1.1. Доказать справедливость следующего соотно-
шения между событиями: (Л + В)С = АС + ВС.
12
Решение. Заданный распределительный закон можно доказать
путем непосредственного рассмотрения смысла утверждений, выра-
жаемых каждой частью равенства. Левая часть данного равенства
означает событие, состоящее в том, что произошли совместно со-
бытия А или В и событие С. Правая часть означает, что происходят
события А вместе с С или В вместе с С (или и то, и другое). Эти
два утверждения равносильны.
Пример 1.2. Показать, что А + АВ + ВС + АС = А + С.
Решение. Доказательство справедливости заданного равен-
ства’ проведем алгебраическим путем. Используя формулы
(1.2) — (1.6), имеем
А + АВ + ВС + ЛС = (Л(/ + ЛВ) + ВС+ЛС-Л(^ + В)+ЛС +
+ BC = AU + AC + BC= Л+ АС + ВС = А + АС+ АС + ВС-=
= Л + С (Л + Л} + ВС — A + С + ВС — A + С.
Пример 1.3. Две игральные кости бросаются один раз. Найти
вероятность Р(Л) того, что сумма выпавших очков есть простое
число.
Решение. Число всех возможных случаев АГ, т. е. число пар
чисел (/, /), равно W = 62. Число благоприятствующих случаев и
подсчитаем следующим образом. Расположим все возможные ис-
ходы, т. е. пары (/, /) и суммы i + /, в виде таблицы.
1 2 3 4 5 6
/ X. V 4- /)
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Из таблицы видно, что простое число 2 получается один раз,
простое число 3 — два раза, простое число 5 — четыре раза, про-
стое число 7 — шесть раз, простое число 11 — два раза. Таким обра-
зом, число благоприятствующих случаев п равно
п-1+2 + 4 + 6 + 2-15.
Следовательно,
Р(Л) = ~ = —«0,417.
4 7 N 36
13
Пример 1.4. По линии связи в случайном порядке передаются
все 30 знаков алфавита.
Определить вероятность Р(А) того, что на ленте появится после-
довательность букв, образующих слово «радио».
Решение. Число всех равновозможных случаев W (число вы-
боров из 30 букв алфавита по 5) равно числу размещений из 30
по 5 букв, т. е.
Л^ = Лзо = ЗО-29-28-27-26.
Из этих случаев благоприятствующим событию А является только
один (комбинация, образующая слово «радио»), т. е. п = 1. Следо-
вательно,
и 1 i
р (Д) = — = = ---------------
7 7V 30.29.28-27-26
Пример 1.5. Производится прием кодовых комбинаций, со-
держащих пять цифр от 1 до 5.
Какова вероятность Р(Д) того, что в принятой комбинации цифры
образуют последовательность 1 2 3 4 5?
Решение. Число всех равновозможных случаев N равно числу
перестановок из пяти элементов, т. е. N = Р5 = 5!= 120. Из этих
случаев благоприятствующим событию А является только один,
т. е. п = 1. Следовательно,
Р(А) = -= — = —
N 5! 120
Пример 1.6. В партии из N запасных радиоламп предполагается
М нестандартных. Для проверки наудачу выбираются k радиоламп
из этой партии (k < N).
Определить вероятность Р(Д) того, что среди них окажутся
ровно I нестандартных (/ <; Л4).
Решение. Общее число возможных выборов из N радиоламп
по k равно числу сочетаний из N элементов по k, т. е. Благо-
приятствующими поставленному условию являются случаи, когда
из общего числа М нестандартных радиоламп взято ровно I штук,
что можно осуществить См способами. Но каждый из этих случаев
в контрольной партии может быть в различной комбинации с осталь-
ными k — I стандартными лампами. Число таких комбинаций равно
СдД^. Следовательно, общее число благоприятствующих случаев
будет равно произведению СмС^м- В соответствии с определением
вероятности получим
pl pk—l
р (Л) =
rk
14
Пример 1.7. В любые моменты
времени промежутка Т равновозмож-
ны поступления в приемник двух
независимых сигналов. Приемник бу-
дет перегружен, если разность меж-
ду моментами поступления сигналов
будет меньше т.
Определить вероятность Р(А) того,
что приемник будет перегружен.
Решение. Изобразим случайные
моменты поступления сигналов в ра-
диоприемник Ti и т2 как декартовы ко-
ординаты на плоскости. Областью воз-
можных значений Ti и т2 является
квадрат площадью S = Т2 (рис. 1.3).
Рис. 1.3. К вычислению веро-
ятности Р(Л).
Приемник будет перегружен, если | т2 — Ti | < т. Данная область
лежит между прямыми т2 — = т и т2 — Ti = —т. Площадь
этой области s равна
s = T2 — (T~%y.
Следовательно,
р = мера g =s=i_ (Т—т)2
мера G S Т2
Пример 1.8. На отрезок АВ длиной I бросают наугад точки L
и /И, причем вероятность попадания каждой точки в какой-либо
интервал, принадлежащий Л В, не зависит от его положения внутри
АВ и пропорциональна его длине.
Какова вероятность Р того, что площадь прямоугольника со
сторонами AL и AM будет меньше 9Z2, где 0 < 9 < 1?
Решение. Примем точку А
№
Рис. 1.4. К вычислению вероятно-
сти Р.
за начало отсчета и пусть нап-
равление АВ совпадаете поло-
жительным направлением оси.
Изобразим случайные абсциссы
х и у точек L и М как декарто-
вы координаты случайной точки
на плоскости хОу. Областью ее
возможных положений является
квадрат OCDE со стороной I
(рис. 1.4). Но областью возмож-
ных положений случайной точ-
ки при условии, что прямо-
угольник, построенный на от-
резках AL и AM, будет мень-
ше 9/2, является область s, ко-
торая ограничена прямыми х =
15
= 0, х == I, у — 0, у = I и гиперболой ху = 0/2. Так как S—P, а
z
s = 0/./+ f— dx = QP+QP\n-,
9JZ х 6
то
P=—=q( 1 + ln—
s \ е /
Пример 1.9. По статистическим данным ремонтной мастер-
ской в среднем на 100 отказов телевизора приходится: 50% по при-
чине выхода из строя электронных ламп, 15% — конденсаторов,
12% — резисторов, 5% — кинескопов, а остальные по другим при-
чинам.
Найти вероятность Р(А) отказа телевизора по другим причинам.
Решение. По условию примера вероятности выхода из строя
телевизора из-за отказа различных элементов равны:
P(Ai) = 0,5; Р(А2) = 0,15; Р(Л3) = 0,12; Р(Л4) = 0,05,
где Ai — отказ телевизора по причине выхода из строя электронных
ламп; А 2 — отказ телевизора из-за конденсаторов; Д3— отказ
телевизора из-за резисторов; Д4 — отказ телевизора из-за кине-
скопов.
События A, Xi, А2, Аз, Л4 составляют полную группу. Следо-
вательно,
4
Р(Л)=1— 5 Р(Лг) = 1— (0,5 + 0,15 + 0,12 + 0,05) = 0,18.
Z=1
Пример 1.10. В партии из М полупроводниковых триодов
имеется М бракованных. Из партии берется наугад для контроля
и триодов.
Какова вероятность Р(А) того, что среди них будет не более
т бракованных?
Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что среди и
взятых для контроля триодов будет не более т бракованных. Собы-
тие А произойдет тогда, когда среди п взятых на проверку триодов
или не будет ни одного бракованного (событие А 0), или один брако-
ванный (событие Xi), или два бракованных (событие Л2), или...,
или окажется т бракованных триодов (событие Лт), т. е.
т
— Д+А+Д+ •••+ • •• + An — L Л*
k=0
Вероятность Р (ЛЛ) события Ak равна
16
Следовательно, по теореме сложения вероятностей событий имеем
т
V1 rk rn—k
k=Q
__т
Р(Л)=Ур(Лй)
Пример 1Л1« Обнаружение воздушной цели производится
независимо двумя радиолокационными станциями. Вероятность
Р(А) обнаружения цели первой станцией равна 0,7. Вероятность
Р(В) обнаружения цели второй станцией равна 0,8.
Определить вероятность Р(С) того, что цель будет обнаружена
хотя бы одной станцией.
Решение. По условию события А и В независимы, поэтому
вероятность совместного события АВ (цель обнаружена обеими
станциями) равна
Р(АВ) - Р(А)Р(В) = 0,7-0,8 = 0,56.
Тогда согласно теореме сложения вероятностей совместных событий
[см. формулу (1.11)] получим
Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В)—Р(Д В) = 0,7 + 0,8—0,56 = 0,94.
Так как события А и В независимы, то пример можно было бы ре-
шить через переход к противоположным событиям А и В. В этом
случае
Р(С) = Р(Л+В) = 1—Р(Л)Р(В) = 1 —[1—Р(Л)] [1—Р(В)] =
= 1-0,3-0,2 = 0,94.
Пример 1.Д2„ Каждая буква слова «математика» написана на
отдельной карточке, которые тщательно перемешаны. Последова-
тельно извлекаются четыре карточки.
Какова вероятность В (А) получить слово «тема»?
Решение. Пусть А1г А2, А 3, А4 — события, состоящие в после-
довательном извлечении букв т, е, м, а. Тогда соответствующие ве-
роятности равны:
Р(ЛХ) = А-; Р(Л2|Лх) = -1; Р(Л3|ЛХЛ2) = |; Р(Л4|ЛХЛ2Л3) = |.
Применяя формулу (1.15а), получим
Р (Л) = Р (Лх) Р (Л21 Лх) Р (Л31 Лх Л2) Р (Л41 Лх Л2 Л3) =
_ 2 1 2 2-—J-
~ 10 ’ 9 ’ 8 ’ 7 — 420
Пример 1.13. Два стрелка, чередуясь, стреляют по мишени д
первого попадания. Каждый из них имеет право сделать не боле
двух выстрелов. Зная, что при одном выстреле первый стрелок пс
2 Зак. 728
падает в мишень с вероятностью а второй — с вероятностью р2,
найти вероятности того, что: а) первый стрелок попадет в мишень;
б) второй стрелок попадет в мишень.
Решение. Рассмотрим следующие события:
А — первый стрелок попадает в мишень, В — второй стрелок
попадает в мишень, А{ — попадание у первого стрелка при первом
выстреле, Ai — промах у первого стрелка при первом выстреле,
А 2 — попадание у первого стрелка при втором выстреле, А2 — про-
мах у первого стрелка при втором выстреле, Bi — попадание у вто-
рого стрелка при первом выстреле, Вг — промах у второго стрелка
при первом выстреле, В2 — попадание у второго стрелка при вто-
ром выстреле. Тогда
А = Лх + Лх ВЛ; В =• Аг В± + ЛХВХЛ2 ^2*
Так как
Р (А,) = Р (А2) = Р1; Р (Л,) = Р (А2) = 1 -Р1;
Р(В1) = Р(В2) = Р2; Р(ВЭ = 1-Р2,
ТО
а) Р (А) = Р1 + (1 —Р1) (1 — Р3) Pi = Pi [ 1 + (1 —Pi) (1 —Р2)];
б) Р(В) = (1 — pi)p2 + (l — Pi)(l—р2)(1—Р1)Р2 = (1 —Р1)Р2Х
Х[1 + (1- Р1)(1- Рз)].
Пример 1Л4.; Система управления состоит из четырех узлов Л4,
А2, А3 и Л4 (рис. 1.5). Вероятности pt безотказной работы узлов
соответственно равны pit р2, р3, р±.
Рис. 1.5. Блок-схема системы управ-
ления.
Вычислить надежность Р всей системы управления.
Решение. Надежность pi2 цепи из двух последовательно соеди-
ненных элементов Л1 и Л2 согласно формуле (1.18) равна
18
Р12 = П pi = PXP2.
i=l
Надежность p3i цепи, состоящей из двух параллельно соединен-
ных элементов Д3 и А4, определим по формуле (1.17)
Р34=1- П (1_р;)=1_(1_рз)(1-р4).
/—з
Применяя формулу (1.17) еще раз, получим надежность Р всей си-
стемы уравления:
Р=1-П(1-рл) = 1-(1-р12)(1-р31) = 1-(1-р1Рг)Х
Х(1—Рз)(1—р4).
Пусть, например, pi = 0,7; р2 = 0,6; р3 = 0,8; р4 = 0,9. Тогда
Р = 1 — (1 — 0,7-0,6) (1 — 0,8) (1 — 0,9) = 1 — 0,58-0,2х
х0,1 = 0,9884 » 0,99.
Пример 1.15. В двух партиях однотипных изделий содержит-
ся соответственно а и b изделий, причем в каждой партии одно изде-
лие бракованное. Наудачу взятое изделие из первой партии пере-
ложено во вторую, после чего из второй партии наугад выбирается
одно изделие.
Какова вероятность Р(А) того, что это изделие окажется брако-
ванным?
Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что извлечен-
ное из второй партии изделие бракованное. Из первой партии во
вторую может быть переложено бракованное изделие (гипотеза Я4),
либо небракованное (гипотеза Н2), причем вероятности этих собы-
тий равны
Р(Я1) = 1, Р(Н,) = а-^~.
а а
Условная вероятность Р(А | Hi) того, что при гипотезе Hi из вто-
2
рой партии выбрано бракованное изделие равна P(A\Hi) = jqrp
а условная вероятность выбора из второй партии бракованного
изделия при гипотезе Н2 равна Р(А | Н2) = Тогда согласно
формуле полной вероятности (1.19) получим ~
2
а 1 а Ь + 1 а (Ь-}-1)
Пример 1.16. Вероятности того, что параметры одного из трех
блоков радиостанции (антенно-фидерного устройства, приемника
или передатчика) выйдут за время полета из допусков равны соот-
2* 19
ветственно 0,1; 0,2; 0,3. В случае, если из поля допусков вышли
параметры одного блока, связь не будет установлена с вероятностью
0,25, двух блоков — 0,4, трех — 0,5.
Найти вероятность Р(А) того, что связь не будет установлена.
Решение. К интересующему нас событию А ведут три гипо-
тезы:
Hi — за поле допусков вышли параметры одного блока;
Н2 — за поле допусков вышли параметры двух блоков;
Н3 — за поле допусков вышли параметры трех блоков.
Согласно теореме сложения и умножения вероятностей имеем:
Р (HJ = 0,1(1 —0,2) (1 —0,3) + 0,2 (1 —0,1) (1 — 0,3) + 0,3 х
Х(1—0,1) (1—0,2) = 0,398;
Р (//2) = 0,1-0,2(1—0,3)+0,1-0,3(1—0,2)+ 0,2-0,3(1—0,1) = 0,092;
Р(Я3) = 0,1-0,2-0,3 = 0,006.
По условию Р (Л [//0 = 0,25; (Л [/72) = 0,4; Р (А (//3) = 0,5.
Следовательно, по формуле полной вероятности (1.19) получим
з
Р (А) = 2 Р (Hi) Р (Л I Hl) = 0,398 • 0,25 + 0,092 • 0,4 +
z=i
+ 0,006-0,5 «0,139.
Пример 1.17. По каналу связи, подверженному воздействию
помех, передается одна из двух команд управления в виде кодовых
комбинаций 11111 или 00000, причем априорные вероятности пере-
дачи этих команд соответственно равны 0,7 и 0,3. Из-за наличия
помех вероятность правильного приема каждого из символов (1 и 0)
уменьшается до 0,6. Предполагается, что символы кодовых комби-
наций искажаются независимо друг от друга. На выходе приемного
устройства зарегистрирована комбинация 10110. Спрашивается,
какая команда была передана?
Решение. Пусть А — событие, состоящее в приеме комбина-
ции 10110. К этому событию ведут две гипотезы: Hi — была пере-
дана комбинация 11111; Н2— была передана комбинация 00000.
По условию P(Hi) = 0,7; Р(Н2) = 0,3. Условная вероятность
приема кодовой комбинации 10110 вместо 11111 равна
р (Л | Нх) = 0,6 • 0,4 • 0,6 • 0,6 • 0,4 « 0,035.
Аналогично Р (Л | Я2) = 0,4 • 0,6 • 0,4 • 0,4 • 0,6 « 0,023.
По формуле гипотез (1.20) находим
Р(НАР(А\НА 0,7-0,035 „„„
Р (#1 | А) = — — 0 7.0 035+0,3-0,023 ^°’78’
2 P(Hh)P(A\Hh)
k=i
20
0,3.0,023
р(Н2|Л) = ^^ = 0,22.
V 21 7 0,0314
На основании сравнения найденных условных вероятностей заклю-
чаем, что при появлении на выходе комбинации 10110 с вероятно-
стью 0,78 была передана команда 11111.
Пример 1Л8* Имеются две одинаковые на вид урны: в первой—
два белых шара и три черных, во второй — три белых и один чер-
ный. Из первой урны наудачу перекладывают во вторую два шара,
а затем из второй урны наугад вынимают один шар. Этот шар ока-
зался белым. Какой состав переложенных шаров является наиболее
вероятным?
Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что
вынутый из второй урны шар белый. К этому событию ведут три
гипотезы (предположения):
Hi — из первой урны во вторую переложены два белых шара;
Н2 — из первой урны во вторую переложены два черных шара;
Я3 — из первой урны во вторую переложены один белый и один
черный шары.
По условию вероятности гипотез Р(//г) и условные вероятности
Р(А | Ht) имеют следующие значения:
С2 1 с2 Q
(?5 10 С5 10
рИ1я1)=~ = |; РИ|Я2)=|;
Р(Л|Я3) = Ц1 *
6 6
Согласно формуле гипотез (1.20) апостериорные вероятности
гипотез Р | Л) будут равны
1 5^
р(Н |Д) - Р™Р(АШ 10*6 5.
гз 1 5 3 3 6 4 ~ 38 ’
5 Р Р I ю ’ 6 + 10 6 10 6
k= 1
3 3_ 6 _4
60 60
21
Сравнивая значения апостериорных вероятностей, видим, что,
наиболее вероятно из первой урны во вторую переложили один
черный шар и один белый шар.
Пример 1.19. Производится 6 независимых выстрелов по цели.
Вероятность р попадания при каждом выстреле равна 0,75.
Вычислить: а) вероятность ровно пяти попаданий; б) вероят-
ность не менее пяти попаданий; в) вероятность более трех промахов.
Решение.
а) По условию вероятность попадания при каждом выстреле
р = 0,75. Следовательно, вероятность промаха q = 1 — р = 0,25.
Вероятность Р6(5) ровно пяти попаданий по формуле (1.21) равна
Р6 (5) = Clp5ql = 6 (0,75)в • 0,25 « 0,356.
б) Требование, чтобы при 6 выстрелах было не менее пяти попа-
даний, будет удовлетворено, если осуществится или 5 попаданий,
или 6. Эти события несовместны. Поэтому по формуле (1.26) имеем
6
Pe(m>5)= 2 CTPmq6-m = Clp5q'+Ctp6q0^
т—Ь
= 6-(0,75)8-0,25+1 -(0,75)8- 1 » 0,534.
в) Вероятность того, что при 6 выстрелах будет более трех про-
махов, равна вероятности того, что при этих 6 выстрелах будет
меньше трех попаданий (или ни одного попадания, или одно, или
два попадания)'. Используя формулу (1.28), получим
2
Pe(m<2)= 2 C^mt?6-'” = Cgp°Q6 + C^,?5 + C26p2/ =
m=0
= (0,25)6 + 6 • 0,75 (0,25)5 + 15* (0,75)2 * (0,25)4 = 0,0376.
Пример 1.20. Вероятность р появления события А при каж-
дом испытании равна 0,2. Производится 400 независимых испыта-
ний.
Определить вероятность Ptl(k) того, что: а) событие А наступит
ровно 80 раз; б) событие А наступит от 60 до 96 раз включительно.
Решение.
а) Воспользуемся приближенной локальной формулой Муавра—
Лапласа (1.24). По условию п = 400; k = 80; р = 0,2; q — 0,8.
Следовательно,
_ k—np _ 80—400*0,2 _g
~ Vnpq ~ /400*0,2*0,8 ~
Тогда
Р400 (80) = „•;_2___-- W (0).
400 \ / ^/400-0,2-0,8 ' ’
22
По таблице (см. приложение I) находим ау(О) — 0,3989. Оконча-
тельно получим
Р400 (80) = — 0,3989 0,0499.
О
Формула (1.21) приводит примерно к такому же результату:
Р400 (80) = 0,0498.
б) Для ответа на второй вопрос используем приближенную ин-
тегральную формулу Муавра — Лапласа (1.30)
(60 < k С 96) - ф ( ) - Ф I) =
400 \ / ^/400-0,2 0,8 ] \/400-0,2-0,8 J
= Ф(2)—-Ф(—2,5) = Ф (2) — [1— Ф(2,5)].
По таблице (см. приложение II) находим Ф (2) =^0,977; Ф (2,5) =
= 0,994. Следовательно,
Р4оо(6О < k < 96) = 0,977 — 1 + 0,994 = 0,991.
Пример 1.21. Противотанковое орудие ведет стрельбу по тан-
ку. Всего производится 6 выстрелов, причем вероятность попадания
в танк при каждом выстреле равна 0,3.
Рассчитать: а) наивероятнейшее число попаданий в танк;
б) число выстрелов, необходимых для того, чтобы с вероятностью 0,9
поразить танк, если для этого достаточно одного попадания.
Решение.
а) Наивероятнейшее число попаданий kQ находим по формуле
(1.32). По условию п = 6; р = 0,3; 9=1 — 0,3 = 0,7. Следова-
тельно,
6-0,3 — 0,7 < fe0 < 6 0,3 + 0,3,
т. е.
1,1 < kQ < 2,1.
Между числами 1,1 и 2,1 заключено лишь одно целое число —
два. Поэтому наивероятнейшее число k0 = 2.
б) Применив формулу (1.31), получим
„„Л9'~645-
log (1-0,3)
Таким образом, для поражения танка с вероятностью 0,9 достаточно
произвести 7 выстрелов.
Пример 1.22. Производится три независимых выстрела по
одной и той же цели. Вероятность попадания при первом выстреле
0,3, при втором — 0,4 и при третьем — 0,5.
Определить вероятности промаха одного, двух и трех попаданий,
т. е. Р3(0), Р3 (1), Р3 (2), Р3 (3).
23
Решение. По условию п = 3; pi — 0,3; qi — 1 — 0,3 —
= 0,7; р2 = 0,4; q2 = 0,6; р3 = 0,5 и q3 = 0,5. Составляем про-
изводящую функцию, т. е. полином фЛ(г):
3
<Р3 (z) = П (qt + Pi z) = (0,7 + 0,3г) (0,6 + 0,4г) (0,5 4- 0,5г) =
i = 1
- 0,21 + 0,44г + 0,29г2 + 0,06г3.
Искомая вероятность Pn(k) равна коэффициенту при zk. Следо-
вательно,
Р3 (0) = 0,21; Р3 (1) = 0,44; Р3 (2) = 0,29; Р3 (3) = 0,06.
Пример 1.23« На участке обстрела находятся три цели. Ве-
роятности pi попадания в первую, вторую и третью цели соответ-
ственно равны pi = 0,4; р2 = 0,3; р3 = 0,2. По участку произве-
дено 12 выстрелов.
Какова вероятность того, что в первую цель попадет 5 снарядов,
во вторую — 4 и в третью — 2 снаряда?
Решение. По условию п = 12; pi = 0,4; р2 = 0,3; р3 = 0,2;
р4 = 1 — (Pi + р2 + Рз) = 1 — 0,9 = 0,1; ki = 5; k2 = 4; k3 = 2;
^4= 12 — 5 — 4 — 2 = 1. Здесь р4 — вероятность попадания
в область, находящуюся вне целей; k4 — число попаданий в эту
область.
Согласно формуле (1.35) искомая вероятность равна
Р12(5, 4, 2, 1) = -44_ (0,4)5.(0,3)4-(0,2)2.0,0,0276.
§ 3. Задачи и ответы
1.1. Привести примеры двух событий: а) равновозможных и
несовместных, но не образующих полной группы; б) несовместных
и образующих полную группу, но неравновозможных; в) равно-
возможных и образующих полную группу, но несовместных.
1.2. Разведывательная пеленгаторная система состоит из че-
тырех синхронно вращающихся антенн с неперекрывающимися диа-
граммами направленности (рис. 1.6), причем каждая антенна соеди-
нена со своим приемником. Длительность сигнала такова, что он не
может быть обнаружен двумя приемниками.
Пусть Д1, Д2, А3, А4 — соответственно события, состоящие
в обнаружении сигнала первым, вторым, третьим и четвертым при-
емником.
Определить событие А, которое состоит в обнаружении сигнала
пеленгаторной системой.
Ответ: А = Ai + А2 + Д3 + Д4.
24
Рис. 1.6. Диаграммы направленности^антенн.
L3« Безотказная работа радиоэлектронного комплекса (со-
бытие Д) возможна при условии, если отсутствуют отказы в работе
узла 1 (событие Д1), узла 2 (событие Д2), •••, узла п (событие Ап).
Найти связь события А с частными событиями Аь i = 1, 2, ...,
..., и.
Ответ: Д=Д1Д2...Ап= П Д.,
i =1
1.4. Выбирается наугад случайная точка внутри квадрата,
представленного на рис. 1.7. Пусть событие А — попадание случай-
Рис. 1.7. События А и В.
ной точки в круг /, а событие В — попадание случайной точки
в круг 2.
В каких соотношениях с событиями Д и В находятся события С,
D, Е, F, G, Н, изображенные на рис. 1.8?
Ответ: С = Д; D = B; Е = А + В; F = AB\ G = A+^=AB\
Н = дв = д + в.
2В Зак. 728 25
Рис. 1.8. События С, D, Е, F, Gy Н.
1.5. Пусть Ay By С — три произвольных события.
Найти выражения для событий, состоящих в том, что из 4, В, С:
а) произошло только событие А; б) произошли события А и В, но С не
произошло; в) все три события произошли; г) произошло по крайней
мере одно из этих событий; д) произошло по крайней мере два со-
бытия; е) произошло одно и только одно событие; ж) произошли
два и только два события; з) ни одно событие не произошло;
и) произошло не больше двух событий.
Ответ: а) АВС; б) АВС; в) АВС; г) 4-J-B + C; д) АВ+
+АС + ВС; е) АВС + АВС + А'ВС; ж)АВС + АВС + АВС== (АВ +
+АС + ВС)— АВС; з) АВС; и) АВС.
1.6. Производится пуск трех ракет по одной и той же цели.
Пусть события 4Х — попадание при первом пуске, 4Х — промах при
первом пуске, А2 — попадание при втором пуске, А2 — промах при
втором пуске, А3 — попадание при третьем пуске, А3 — промах
при третьем пуске.
Чему равно событие А, состоящее в том, что в цель попадет не
менее двух ракет?
Ответ: А = 4Х А% А& 4Х А2 4g -j-' 4Х 42 4g 4Х 42 4g.
1.7. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех бло-
ков второго типа. События: 4f (i = I, 2) — исправен i-й блок пер-
вого типа, Bj (/ = 1, 2, 3) — исправен /-й блок второго типа. При-
бор работает, если исправны хотя бы один блок первого типа и не
менее двух блоков второго типа.
26
Выразить событие С, означающее работу прибора, через собы-
тия At и Bj.
Ответ [4]: С = (4, + 42) (BiB2 + BiB3 + B2BS).
1.8. Известны события А, В и С, причем А с В.
Определить сложные события АВ, А + В, АВС и А + В + С.
Ответ: АВ = А; А + В = В; АВС = АС; А + В + С =
= В + С.
1.9. Показать, что события:
а) (4 + В) (А + В) + (4 + В) (4 + В)— достоверно; б) (4-{-В)х
X (4 + В) (4 + В) (4 + В) — невозможно.
1.10. Доказать следующие равенства:
а) 4 + В = 4 + 4В; б) 4 + 4В=4 + В; в) 4 + В = 4В; г) 4 +
+ В =4 В; д) 4В = 44-В.
1.11. Упростить выражения:.
а) 4(В4-С) + (4 + В)С; б) (4 +В)(4 +В); в)(4 + В)(4+
+В)(4 + В); г) (4 + B)(4B+C) + C + (4 + B)(D + B).
Ответ: а) АВ + АС + ВС; б) 4; в) АВ; г) 4 + В + С.
1.12. Игральная кость бросается один раз.
Найти вероятность Toto, что выпадет: а) четное число очков;
б) число очков, кратное трем; в) не более пяти очков.
Ответ: а) --; б) ~ ; в) .
1.13. Две однотипные радиостанции, разнесенные в простран-
стве относительно друг друга, предварительно настроены на
10 фиксированных частот, одинаковых у обеих станций.
Какова вероятность того, что при независимом произвольном
выборе рабочих частот обе включенные радиостанции окажутся на-
строенными на одну и ту же частоту?
Ответ: 0,1.
1.14. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти
вероятность того, что: а) сумма выпавших очков равна 6; б) про-
изведение выпавших очков равно 12; в) сумма выпавших очков крат-
на 5; г) на обеих костях выпадет по одинаковому числу очков;
д) 5 очков появится хотя бы на одной грани.
Ответ: а) -А-; б) А-; в) ; г) А-; д) А1.
оо У оо и оо
2В*
27
1.15. В партии полупроводниковых триодов и доброкачествен-
ных и т бракованных. При контроле оказалось, что первые k трио-
дов доброкачественны.
Определить вероятность Р того, что следующий триод будет доб-
рокачественным.
Ответ:
р — п
п-\-т — k
1.16. На пяти одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3,
4 и 5. Две из них наугад вынимаются одна за другой.
Найти вероятность того, что: а) сумма цифр на вынутых карточ-
ках является нечетным числом; б) вторая цифра меньше первой;
в) вторая цифра больше первой ровно на 1.
Ответ: а) — ; б) — ; в) — .
5 2 5
•1.17. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две
цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на-
угад.
Определить вероятность Р того, что набраны нужные цифры.
Ответ:
90
1. 18. Каждая из букв слова «интеграл» написана на одной из
восьми карточек. Карточки перемешиваются.
Какова вероятность Р того, что при извлечении трех карточек
появится (в порядке их выхода) слово «три»?
Ответ:
Р = —= —.
ДЗ 336
Q
1. 19. Каждая из цифр 1, 3, 5, 6 и 8 написана на одной из пяти
карточек. Карточки перемешивают и раскладывают в ряд.
Найти вероятность того, что полученное пятизначное число будет
делиться на четыре.
Ответ: —.
5
1. 20. Из группы, содержащей п карточек, перенумерованных
от 1 до и, извлекают по одной карточке.
Найти вероятность Р того, что при n-кратном извлечении карто-
чек их номера будут идти в возрастающем порядке, если: а) каждая
вынутая карточка после просмотра ее номера возвращается об-
28
ратно и карточки перемешиваются; б) извлеченные карточки обрат-
но не возвращаются.
Ответ: а) Р = ; б) Р = — .
п п!
1. 21. В собираемый радиоблок входят две одинаковые радио-
лампы. Технические условия нарушаются, если обе они окажутся
с пониженной крутизной. У монтажника имеется 10 ламп, из кото-
рых 3 с пониженной крутизной.
Определить вероятность нарушения технических условий при
случайном выборе двух электронных ламп.
Л 1
Ответ: —.
15
1. 22. В мастерской находится а + b блоков от двух различ-
ных радиоприемников, из которых два повреждены.
Какова вероятность Р того, что повреждены блоки разных прием-
ников?
Ответ:
р ________2аЬ_____
~ (a+bj(a+b-l) '
1.23. В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимаются
два шара.
Вычислить вероятность Р того, что: а) оба шара будут белыми;
б) оба вынутых шара будут черными; в) один шар будет белым, а вто-
рой — черным.
Ответ:
а) р='г‘‘~- 6)Р=^-' ‘',р=~^--
^а-\-Ь ^а-\-Ь ьа-}-Ь
1.24. На десяти из двадцати карточек написана цифра 1, а на
остальных десяти — цифра 0. Пять карточек вынимаются наугад.
Найти вероятность Р того, что на двух карточках будет стоять
цифра 1, а на трех — цифра 0 (безразлично, в каком порядке).
Ответ:
р Чо ‘Чо
с5
g20
1.25. В урне а белых, b черных и с красных шаров. Из урны
вынимают три шара.
Найти вероятность Р того, что среди них не будет шаров одина-
кового цвета.
Ответ:
р___ abc
рЗ
29
1.26. В круг радиуса 7? вписан квадрат.
Какова вероятность Ртого, что дочка, брошенная наудачу внутрь
круга, окажется внутри квадрата?
Ответ:
Р = —.
Л
1.27. Во время разговора абонента с телефонисткой продолжи-
тельностью t сек поступил новый вызов.
Определить вероятность того, что к моменту вызова прошла боль-
шая часть разговора абонента с телефонисткой.
л 1
Ответ: —.
2
1.28. На отрезок АВ длиной I наугад бросается точка 7И,
причем вероятность попадания точки в какой-либо подынтервал
отрезка Л В не зависит от его положения внутри АВ и пропорцио-
нальна его длине.
Чему равна вероятность Р того, что: а) точка М упадет не
дальше, чем на расстоянии а от середины отрезка ЛВ?; б) площадь
квадрата, построенного на AM, будет меньше Р/4 и больше /*/9?
Ответ:
а) Р =
— при 2а < I,
1 при 2а > I;
б) р=4-
о
1.29. Найти вероятность Р(А) подрыва корабля при форсиро-
вании минного заграждения в одну линию при интервале между
минами /м, ширине корабля ам и диаметре мины dM. Курс корабля
составляет угол 0 с линией расположения мин.
Ответ: Р (Л) =
и~4~d п • a-4~d
—!— при ft > arc sin —,
Z sin ft r r I
1 при ft arcsin a+d..
1.30. Радиоимпульсы сигнала s(t) и гармонической помехи
n(t) одинаковой частоты заполнения со совпали во времени.
Определить вероятность Р(Л) того, что результирующая ампли-
туда суммы сигнала и помехи окажется меньше произвольно задан-
ного уровня UQ (0<^£/0<;£/з),если сдвиг фаз между высокочастотными
колебаниями импульсов является случайным и может с одинаковой
вероятностью быть равным любому значению из интервала 0~-2л.
30
Ответ [5]:
— arc sin— __Uj^2 при | Us — Un\<Z
P(A) = Я 2 V UsUn F I & nl °’
О при |f/s — t/n|>t/0,
где Us—амплитуда сигнала, Un—амплитуда помехи.
1.31. Посадочная система аэропорта обеспечивает заход на
посадку в сложных метеоусловиях с интервалом между посадками
самолетов не менее 5 мин. Два самолета должны прибыть на аэрод-
ром по расписанию: один в 10 ч, а другой в 10 ч 10 мин.
Какова вероятность того, что второму самолету придется уходить
в зону ожидания, если первый самолет может выйти на аэродром
с отклонением от расписания в пределах ±10 мин, а второй —
в пределах ±5 мин, при условии, что величины отклонений от рас-
писания в указанных пределах равновозможны?
Ответ: 0,25.
1.32. На отрезок АВ длиной I бросают наугад и независимо
друг от друга две точки L и М, причем вероятность попадания
каждой точки в какой-либо интервал, принадлежащий АВ, не за-
висит от его положения внутри АВ и пропорциональна его длине.
Определить вероятность Р того, что: а) расстояние между точ-
ками L и М будет не больше ст, б) точка L окажется ближе к точке А,
чем точка М; в) точка L окажется ближе к М, чем к А.
Ответ: а)Р=1 —(1—у)2; б)Р = у; в)Р = у.
1.33. Искусственный спутник Земли (ИСЗ) движется по ор-
бите, которая заключена между 60° северной и 60° южной широты.
Полагая падение ИСЗ в любую точку поверхности Земли между ука-
занными параллелями равновозможным, найти вероятность того,
что спутник упадет выше 30° северной широты.
Ответ [4]: 0,21.
1.34. Панорамный приемник периодически с постоянной ско-
ростью проходит некоторый диапазон частот (Д, /2), где возможно
появление сигнала, за которым установлено наблюдение. Полоса
пропускания приемника определяется допустимой расстройкой от-
носительно сигнала ±Д/.
Считая сигнал импульсным (изображенным точкой как на оси
времени, так и на оси частот), появление его равновозможным в лю-
бой момент и в любой точке интервала (/х — Д/, f2 + Д/% определить:
а) вероятность Рг обнаружения сигнала; б) вероятность Р2 пеленга
(засечки) передатчика, если известна частота сигнала, а антенна
пеленгатора равномерно вращается, причем угол раствора диаграм-
31
мы направленности антенны р = 18°; в) вероятность Р3 обнаружения
сигнала, если сигнал не является импульсным, а имеет конечную
длительность ти (считая, что регистрация сигнала приемником про-
исходит мгновенно); г) вероятность Р4 определения пеленга, если
сигнал имеет длительность ти, и за время ти антенна пеленгато-
ра поворачивается на угол 0,5 р.
Ответ [6]:
а) Р1==-----; б) Р2=—;
20,
3 (/2-/1+2Д/)Т+2ти(/а-/1) ’
где Т — время прохождения приемником диапазона (Д, /2)1
г) Р4 = 0,075.
1.35. На склад поступили три партии резисторов. В первой
партии 2000, во второй — 2000 и в третьей — 4000 резисторов. Пред-
полагаемый процент брака в партиях составляет соответственно
1, 2 и 3%.
Каков предполагаемый процент брака у смешанной партии?
Ответ: 2,25%.
1.36. Контролер проверяет взятые наудачу изделия из партии,
содержащей а изделий 1-го сорта и b изделий 2-го сорта. Проверка
первых пг изделий (m<zb) обнаружила, что все они второго сорта.
Определить вероятность Р того, что из следующих четырех про-
веряемых изделий по крайней мере два окажутся второсортными.
Ответ:
р___ m ~Ь m ~Ь ^b—m
C4a+b-m
1.37. Из упаковки, содержащей п электронных ламп, взята по
крайней мере одна лампа.
Вычислить вероятность Р того, что взято четное число ламп, если
равновозможно извлечение любого числа ламп из данной совокуп-
ности?
Ответ:
р С^+^+•• + ••• 2П~' — 1
С'п+С2п+... +Спп 2Л—1
1.38. На вход радиоприемного устройства поступают кодовые
комбинации, состоящие из двух знаков: 1 (посылка) и 0 (пауза).
Какова вероятность того, что в первой кодовой комбинации будет
хотя бы один нуль, если появление нуля и единицы равновозможно?
Ответ: —.
4
32
1.39. В упаковке содержится 36 радиоламп, среди которых 4
с пониженной крутизной. Для проверки на испытателе ламп наугад
выбирают 3 радиолампы.
Найти вероятность того, что среди проверяемых ламп будет хотя
бы одна с пониженной крутизной.
Ответ: 0,305.
1.40. Два стрелка независимо один от другого производят по
одному выстрелу в цель. Вероятность попадания в цель для первого
стрелка 0,8, а для второго — 0,9.
Какова вероятность попадания в цель?
Ответ: 0,98.
1.41. Прием радиосигналов производится на два разнесенных
приемника. Вероятность правильного приема на первый приемник
равна р19 на второй — р2. События, состоящие в приеме сигналов
каждым приемником, считаются независимыми.
Определить вероятность Р правильного приема радиосигналов.
Ответ:
Р = 1 - (1 - Рх)(1 - Р,).
1.42. Вероятность ухода частоты принимаемых колебаний за
пределы полосы пропускания приемника из-за нестабильности час-
тоты колебаний передатчика равна 0,1, а из-за нестабильности час-
тоты колебаний гетеродина приемника — 0,2.
Определить вероятность того, что частота принимаемых колеба-
ний не выйдет за пределы полосы пропускания приемника.
Ответ: 0,72.
1.43. Две станции дальней радиосвязи с использованием эф-
фекта рассеяния ультракоротких волн метеорными следами одновре-
менно ведут работу на одного корреспондента. Вероятность «про-
хождения» радиосигналов первой станции, работающей на волне
равна 0,7; вероятность «прохождения» сигналов второй станции,
работающей на волне Х2, равна 0,8.
Определить вероятность «прохождения» связи при одновремен-
ной работе обеих радиостанций.
Ответ: 0,94.
1.44. Вероятность вывода истребителя-перехватчика назем-
ными системами наведения в определенный район около цели равна
0,8. Вероятность обнаружения цели бортовой радиолокационной
станцией "истребителя в этом районе равна 0,9.
Какова вероятность того, что перехват цели будет осуществлен?
Ответ: 0,72.
1.45. В студии имеются три телевизионных камеры. Вероят-
ность того, что каждая камера включена в данный момент, равна 0,6.
33
Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы
одна камера.
Ответ: 0,936.
1.46. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех ору-
дий соответственно равны: 0,8; 0,7; 0,9.
Вычислить вероятность хотя бы одного попадания при одном
залпе из всех орудий.
Ответ: 0,994.
1.47. Для изготовления детали необходимы три основные опе-
рации. Вероятность брака на первой операции равна 0,01, на вто-
рой — 0,02 и на третьей — 0,025.
Определить вероятность изготовления стандартной детали при
условии, что появление брака на отдельных операциях — события
независимые.
Ответ: 0,946.
1.48. При передаче текста 10% букв искажаются и принима-
ются неверно.
Какова вероятность того, что все пять букв данного слова будут
приняты правильно?
Ответ: 0,59.
1.49. Цех в среднем выпускает 2% бракованных деталей. Из
каждой сотни годных деталей в среднем 70 оказываются первого
сорта.
Найти вероятность того, что деталь, изготовленная в цехе, ока-
жется первого сорта.
Ответ: 0,686.
1.50. Вероятность попадания авиабомбы в цель равна 0,2.
Найти вероятность поражения цели тремя бомбами, если 2% сбро-
шенных бомб не взрываются.
Ответ: 0,48.
1.51. По каналу связи передаются два сигнала: нуль и еди-
ница. Из-за наличия помех могут возникнуть искажения: посланный
сигнал подвергается искажению с вероятностью 1/100 и принимается
правильно с вероятностью 99/100 (независимо от того, были ли
переданы предшествующие сигналы с искажением или без иска-
жения).
Зная, что послана комбинация 10110, найти вероятность того,
что: а) она получена без искажений; б) получена комбинация 11110;
в) в полученной комбинации имеется одно искажение.
Ответ: а) 0,995; б) 0,01-0,994; в) 0,05-0,994.
34
1.52. Электрическая цепь подсвета приборной доски состоит
из 8 последовательно включенных лампочек. Вероятность того, что
каждая из них будет гореть в течение 1000 ч, равна 0,9.
Чему равна вероятность Р того, что цепь не выйдет из строя за
этот промежуток времени?
Ответ: Р = 0,98^0,430.
1.53. Радиотехническое устройство содержит ламп, п2 тран-
зисторов и п3 предохранителей. Выход любой детали из строя приво-
дит к неисправности устройства. Вероятность выхода из строя за
время Т одной из ламп qly транзистора предохранителя q3.
Какова вероятность Q того, что за время Т устройство выйдет из
строя?
Ответ: Q = 1 —(1 — q^ (1 — q2)n* (1 — q3)n>.
1.54. Радиорелейная линия связи состоит из m ретрансляцион-
ных станций. Надежность (вероятность безотказной работы) каж-
дой станции одинакова. Станции выходят из строя независимо друг
от друга, причем отказ любой станции влечет за собой отказ всей си-
стемы связи.
Определить вероятность безотказной работы каждой станции
за промежуток времени Т, если надежность всей линии связи за этот
промежуток времени должна быть не менее Р.
1
Ответ: p1'^Ptn.
1.55. Шкала радиоприемного устройства освещается четырьмя
параллельно включенными лампочками. Вероятность того, что
каждая из лампочек будет гореть в течение 1500 ч, равна 0,9.
Какова вероятность того, что шкала будет освещена в течение
этих 1500 ч, если лампочки, которые выйдут из строя за указанный
промежуток времени, не будут заменены доброкачественными?
Ответ: 0,9999.
1.56. Электрическая цепь (рис. 1.9) состоит из п групп, в каж-
дой из которых имеется k параллельных ветвей. Вероятность перего-
рания за время Т одного элемента ветви равна q.
Рис. 1.9. Электрическая цепь.
35
Найти вероятность Р того, что в течение интервала времени
О 4- Т ток в цепи будет отличен от нуля.
Ответ: Р = (1—qk)n.
1.57. Радиоблок состоит из трех параллельных цепей, каждая
из которых включает в себя четыре последовательно соединенных
элемента. Две цепи являются резервными. Надежность элементов
в основной цепи 0,97, в резервных цепях 0,92.
Определить надежность радиоблока.
Ответ: 0,991.
1.58. Разрыв электрической цепи может произойти вследствие
выхода из строя элемента k или двух элементов kr и k2- Вероятность
выхода из строя элемента k равна qk = 0,3, а для элементов kr и
k2 равна qr = q2 = 0,2.
Определить вероятность разрыва электрической цепи.
Ответ: 0,328.
1.59. Система состоит из пяти элементов; надежность р каж-
дого элемента равна 0,8. Работа каждого элемента необходима для
работы системы в целом.
Для повышения надежности системы предлагается три метода:
а) резервирование каждого^элемента (рис. 1.10);
в) резервирование блоками (рис. 1.12).
Вычислить надежность системы при всех способах резервиро-
вания (надежность переключающих устройств считать равной еди-
нице).
Ответ: а) 0,815; б) 0,548; в) 0,663.
36
Рис. 1.12. Система с резервированием отдельных блоков.
1.60. Между корреспондентами М и N происходит обмен ин-
формацией по схеме, приведенной на рис. 1.13, где и k2 — оконеч-
ная аппаратура, a Llt Lit L3 — каналы, взаимно резервирующие
друг друга. Выходы из строя элементов схемы — независимые собы-
тия. Вероятности безотказной работы элементов klt k2, Lv L2, L3
за время T соответственно равны 0,8; 0,7; 0,9; 0,6; 0,5.
Рис. 1.13. Система передачи'информации с тремя парал-
лельными каналами.
Какова вероятность того, что за время Т не произойдет перерыва
связи?
Ответ: 0,549.
1.61. Связная самолетная радиостанция может работать в трех
режимах по мощности: полной, половинной и составляющей 25%
полной мощности. Вероятности работы радиостанции в этих режимах
соответственно равны: 0,7; 0,1; 0,2. Вероятности отказа радиостан-
ции при работе в этих режимах за время Т составляют соответст-
венно величины 0,3; 0,2; 0,05.
Определить вероятность того, что за время Т часов работы радио-
станция не выйдет из строя.
Ответ: 0,76.
1.62. На конвейер поступают для сборки детали, изготовляе-
мые на двух станках, причем с первого станка поступает 40% от
общего количества и со второго — 35%. Вероятности изготовления
нестандартной детали на этих станках равны: на первом — 0,01;
на втором — 0,02.
37
Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется
нестандартной?
Ответ: 0,011.
1.63. Каждое из п орудий наведено на цель. Произвольно вы-
бирается орудие и производится выстрел.
Определить вероятность Р того, что снаряд попадет в цель, если
вероятности попаданий орудий равны рь р2, •••, Рп*
Ответ:
п
1.64. Команда состоит из двух отличных, двух хороших и
четырех посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель
при одном выстреле для отличного стрелка равна 0,9, для хоро-
шего — 0,7 и для посредственного — 0,5. Наугад вызываются два
стрелка, причем каждый из них стреляет один раз.
Какова вероятность того, что оба стрелка попадут в цель?
Ответ: 0,418.
1.65. Три истребителя-перехватчика независимо один от дру-
гого атакуют бомбардировщик противника. Вероятности обнаруже-
ния бомбардировщика первым, вторым и третьим истребителями со-
ответственно равны 0,6; 0,7 и 0,8. Если бомбардировщик обнаружен,
то первый истребитель сбивает его с вероятностью 0,2; второй и
третий — с вероятностью 0,15.
Найти вероятность того, что бомбардировщик будет сбит.
Ответ: 0,345.
1.66. В урне находится два белых и четыре черных шара.
Из урны извлекают два шара, цвет которых остается неизвестным,
и откладывают их в сторону, после чего вынимают третий шар.
Какова вероятность того, что последний шар белый?
Ответ: —.
3
1.67. Радиолампа, поставленная в телевизор, может принад-
лежать к одной из трех партий с вероятностями plt р2 и р3, где
Pi = Рз = 0,25, р2 = 0,5. Вероятности того, что лампа проработает
заданное число часов для этих партий, соответственно равны 0,1;
0,2 и 0,4.
Определить вероятность того, что лампа проработает заданное
число часов.
Ответ: 0,225.
1.68. По каналу связи передаются два сигнала: нуль и едини-
ца. Из-за наличия помех возможны искажения сигналов: единица
38
переходит в единицу с вероятностью р и в нуль с вероятностью 1 — р;
нуль переходит в нуль с вероятностью q и в единицу с вероятностью
1 — q. Наугад отправлен сигнал.
Вычислить вероятность Р того, что: а) на приемном конце будет
получен сигнал 1; б) на приемном конце будет получен сигнал 0.
Ответ: а) Р = у (1 + р — q); б) Р = -^ (l—p + q).
1.69. Вероятности перегорания первой, второй и третьей
радиоламп равны соответственно 0,1; 0,2 и 0,3. Вероятности выхода
из строя прибора при перегорании одной, двух и трех ламп равны
соответственно 0,25; 0,6 и 0,9.
Определить вероятность выхода прибора из строя.
Ответ: 0,16.
1.70. Самолет, вылетающий на задание, создает радиопомехи,
которые с вероятностью 0,4 «забивают» радиосредства системы ПВО.
Если радиосредства «забиты», то самолет проходит к объекту необ-
стрелянным, сбрасывает бомбы и поражает объект с вероятностью
0,8. Если радиосредства системы ПВО «не забиты», то самолет под-
вергается обстрелу и сбивается с вероятностью 0,7.
Найти вероятность того, что объект будет разрушен.
Ответ: 0,464.
1.71. Для повышения надежности и улучшения качества радио-
связи в условиях замираний прием сообщений корреспондента осу-
ществляется на два приемника, пространственно разнесенных друг
относительно друга (пространственно разнесенный прием). Вероят-
ность приема сигнала первым радиоприемником равна 0,8, вторым —
0,7, а при одновременной работе обоих приемников — 0,94.
Определить вероятность приема радиосигнала корреспондента,
если вероятность безотказной работы за время сеанса связи первого
приемника составляет 0,9, второго — 0,85, а радиостанции кор-
респондента — 0,8.
Ответ: 0,708.
1.72. По каналу связи, состоящему из передатчика, ретрансля-
тора и приемника, передаются два сигнала: единица и нуль. За счет
воздействия помех сигналы могут искажаться. На участке передат-
чик — ретранслятор единица переходит в единицу с вероятностью
и в нуль с вероятностью 1 — р^, нуль переходит в нуль с вероят-
ностью qr и в единицу с вероятностью 1 — qv На участке ретрансля-
тор — приемник указанные вероятности соответственно равны р2
1 — р2; <?2 и 1 — р2.
Найти вероятность Р того, что комбинация 10, посланная пере-
датчиком, будет принята приемником без искажений.
Ответ: Р=[Р!р2 + (1 — Pi)(l — qj] [<?i<?2 + (l — ?i) (! —P2)b
39
1.73. Бомбометание с данного типа самолета выполняется на
45% с высоты 30% с высоты й2 и 25% с высоты й3. Вероятности
поражения цели с этих высот при сбрасывании одной бомбы соот-
ветственно равны 0,2; 0,3; 0,4. На цель при заданной высоте сбрасы-
ваются три бомбы. Высота бомбометания заранее неизвестна. Для
поражения цели необходимо не менее одного попадания.
Определить вероятность поражения цели.
Ответ: 0,613
1.74. Группа, состоящая йз трех самолетов-разведчиков, дей-
ствующих независимо один от другого, высылается в район распо-
ложения войск противника с целью уточнить координаты объекта,
который предлагается подвергнуть обстрелу баллистическими раке-
тами. Всего по данному объекту предполагается выпустить три ра-
кеты. Если координаты цели не уточнены, одна ракета уничтожает
объект с вероятностью 0,2; если уточнены — с вероятностью 0,7.
Перед выходом в разведываемый район каждый самолет-разведчик
проходит зону действия ПВО противника; вероятность того, что в
этой зоне он будет сбит, равна 0,6. Координаты объекта сообщаются
разведчиками по радио.
Определить: а) вероятность того, что объект будет уничтожен
баллистическими ракетами с учетом деятельности разведки; б) ве-
роятность уничтожения объекта, при условии, что самолеты не име-
ют радиосвязи со своей базой и для сообщения разведывательных
данных должны вторично пересечь зону действия ПВО.
Ответ: а) 0,868; б) 0,686.
1.75. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна
0,4. Вероятность поражения цели при одном попадании равна 0,1;
при двух попаданиях — 0,3; при трех попаданиях — 0,6. Произве-
дено три выстрела, в результате которых цель была поражена.
Каково наиболее вероятное число попаданий?
Ответ: . два попадания.
1.76. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетво-
ряет стандарту. Упрощенная система контроля признает пригодной
стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а изделия, не удовлет-
воряющие стандарту, пропускает (как годные) с вероятностью
0,05.
Определить вероятность того, что изделие, прошедшее контроль
как годное, действительно удовлетворяет стандарту.
Ответ: 0,998.
1.77. Самолет может выполнять задание на больших, средних
и малых высотах, причем на больших высотах предполагается со-
вершить 25% всех полетов, на средних — 10% и на малых — 65%.
Вероятности выхода самолета на заданный объект на больших,
40
средних и малых высотах соответственно равны 0,75; 0,9; 0,65. Са-
молет вышел на заданный объект.
Определить вероятность того, что полет происходил на малой
высоте.
Ответ: 0,604.
1.78. По двоичному каналу связи с шумами, схематически
изображенному на рис. 1.14, передаются токовая (1) и бестоковая
(0) посылки с априорными вероятностями р(1) = 0,6 и р (0) = 0,4.
Из-за наличия помех возможны искажения сигналов: вероятность
перехода единицы в единицу (вероятность принять единицу при пере-
даче единицы) р (171) = 0,9; вероятность перехода единицы в нуль
р(071) =0,1; вероятность перехода нуля в нуль р(070) = 0,8 и
вероятность перехода нуля в единицу р(170) = 0,2. На выходе
радиоприемного устройства зарегистрирована единица.
Р(1)'-0,6
Рис. 1.14 Двоичный канал связи.
Какова вероятность того, что: а) в действительности была пере-
дана 1; б) на самом деле был передан 0.
Ответ: а) 0,87; б) 0,13.
1.79. Три самолета производят одиночное бомбометание по
некоторой цели. Каждый самолет сбрасывает одну бомбу. Вероят-
ность попадания в цель при сбрасывании одной бомбы для первого
самолета равна 0,1; для второго самолета — 0,2 и для третьего —
0,3. В результате бомбометания в цель попало две бомбы.
Определить вероятность того, что в цель попали бомбы, сброшен-
ные с первого и второго самолетов.
Ответ: —.
46
1.80. В каждой из трех одинаковых упаковок содержится по
10 деталей, причем в первой упаковке 8 стандартных деталей и
2 бракованные; во второй—9 стандартных и 1 бракованная; в треть-
ей одни стандартные. Выбираются наудачу 3 детали из одной упа-
ковки.
41
Определить вероятность того, что извлечение производилось из
второй упаковки, если известно, что среди отобранных оказались
2 стандартные и 1 бракованная детали.
~ 9
Ответ: —.
23
1.81. Из партии в пять изделий наудачу взято одно изделие,
оказавшееся бракованным. Количество бракованных изделий рав-
новозможно любое.
Какое предположение о количестве бракованных изделии наи-
более вероятно?
Ответ: пять бракованных изделий.
1.82. Вероятности того, что при одном выстреле из орудия
получаются недолет, попадание и перелет, равны 0,1; 0,7; 0,2. Для
другого орудия вероятности этих событий равны соответственно
0,2; 0,6 и 0,2. Наугад выбранное орудие стреляет трижды. Отмече-
ны: одно попадание, один недолет и один перелет.
Найти вероятность того, что стреляло первое орудие.
га 7
Ответ: — .
19
1.83. Алфавит источника сигналов состоит из 10 равновероят-
ных кодовых комбинаций, причем каждый раз в линию связи посы-
лается одна из них.
Какова вероятность того, что в результате пятикратной переда-
чи одна и та же кодовая комбинация появится не менее трех раз?
Ответ: 0,00856.
1.84. Для увеличения надежности радиосвязи используется
метод накопления, при котором каждый символ (0 или 1) передается
три раза подряд. На приемной стороне регистрируется тот символ,
который в принятой последовательности из трех символов содержит-
ся не менее двух раз.
Определить вероятность правильного приема по методу накоп-
ления, если вероятность правильного приема каждого символа рав-
на 0,9.
Ответ: 0,972.
1.85. Импульсно-кодовая комбинация образуется с помощью
шести двоичных сигналов 0 или 1, которые случайным образом по-
являются на позициях кодовой комбинации независимо друг от дру-
га. Появление сигналов 0 или 1 на каждой позиции равновозможно.
Вычислить вероятность того, что в кодовой комбинации поя-
вится число нулей меньше двух.
Ответ: — .
64
42
1.86. Из 150 изделий, среди которых 50 штук второго сорта,
отбирается 6 изделий по схеме возвращенного шара (повторная
выборка).
Определить вероятность того, что среди изделий, попавших в вы-
борку, будет не более двух изделий второго сорта.
Ответ: 0,68.
1.87. Транзисторный радиоприемник смонтирован на 9 полу-
проводниках, для которых вероятность брака равна 0,05.
Найти вероятность того, что приемник будет не работоспособным,
если он отказывает при наличии в нем не менее двух бракованных
п о л у п р овод н и ков.
Ответ: 0,073.
1.88. При вращении антенны обзорного радиолокатора за
время облучения цели успевает отразиться 8 импульсов. Для обна-
ружения цели необходимо, чтобы через приемник на индикатор
прошло не меене 6 отраженных импульсов. Вероятность подавле-
ния импульса шумом в приемнике равна 0,1.
Вычислить вероятность обнаружения цели за один оборот антен-
ны радиолокатора.
Ответ: 0,96.
1.89. Прибор выходит из строя, если перегорит не менее пяти
ламп I-го типа или не менее двух ламп П-го типа. В приборе перего-
рело пять ламп.
Определить вероятность того, что прибор будет работать, если
вероятности перегорания ламп I и II типов соответственно равны
0,7 и 0.3.
Ответ: 0,36.
1.90. Радиоэлектронный комплекс самолета-бомбардировщика
включает в себя 10 объектов. Вероятность безотказной работы каж-
дого объекта в течение времени Т равна 0,9. Объекты выходят из
строя независимо один от другого.
Вычислить вероятность того, что за время Т: а) откажет хотя
бы один объект; б) откажут ровно два объекта; в) откажут не менее
двух объектов.
Ответ: а) 0,652; б) 0,194; в) 0,264.
1.91. По самолету производится четыре независимых выстре-
ла. Вероятность попадания в самолет при одном выстреле равна 0,1.
Чтобы вывести самолет из строя, достаточно трех попаданий. При
попадании одного снаряда вероятность вывода самолета из строя рав-
на 0,5, а при попадании двух снарядов — 0,8.
Найти вероятность того, что самолет будет выведен из строя.
Ответ: 0,188.
43
1.92. Пункт А нужно связать с 10 абонентами пункта В.
Каждый абонент в среднем занимает линию 12 мин в 1 ч. Вызовы
любых двух абонентов независимы.
Какое минимальное количество каналов N необходимо для того,
чтобы с вероятностью 0,99 в любой момент обслужить всех або-
нентов?
Ответ [4]: N = 5.
1.93. На ограничитель поступает последовательность из восьми
случайных по амплитуде независимых видеоимпульсов. Вероят-
ность превышения порога ограничения каждым импульсом равна
0,25.
Вычислить: а) вероятность того, что из 8 импульсов не менее 6
видеоимпульсов превысят порог; б) наивероятнейшее число видеоим-
пульсов, превысивших порог.
Ответ: а) 0,00422; б) 2.
1.94. При одном заходе на цель бомбардировщик сбрасывает
одну бомбу. Вероятность попадания в цель при сбрасывании одной
бомбы равна 0,3. Для поражения цели достаточно одного попадания.
Сколько заходов п нужно сделать бомбардировщику, чтобы с ве-
роятностью не менее 0,99 быть уверенным в поражении цели?
Ответ: п>13.
1.95. Вероятность того, что изготовленное изделие удовлетво-
ряет стандарту, равна 0,95.
Найти наиболее вероятное число изделий, не удовлетворяющих
стандарту, в партии, содержащей 400 изделий.
Ответ: 20.
1.96. Вероятность попадания в самолет при одном выстреле
равна 0,01. По самолету производится 100 независимых выстрелов.
Определить вероятность двух попаданий в самолет.
Ответ: • Р100(2)«0,184.
1.97. В передаваемой по каналу связи последовательности зна-
ков, образующих сообщение, любой знак из-за помех независимо
искажается с вероятностью 0,2. Независимым образом передано
10 000 знаков.
Какова вероятность того, что в принятой последовательности бу-
дет от 2000 до 2100 искажений?
Ответ: 0,494.
1.98. Доля изделий первого сорта в продукции завода состав-
ляет 60%.
Какова вероятность того, что из отобранных 500 изделий ока-
жется от 310 до 330 изделий первого сорта?
Ответ: 0,177.
44
1.99. Трехорудийная батарея с вероятностями попадания из
каждого орудия 0,3; 0,4; 0,5 дает залп.
Определить вероятность поражения цели, если для этого доста-
точно: а) одного попадания; б) двух попаданий; в) трех попаданий.
Ответ: а) 0,79; б) 0,35; в) 0,06.
1.100. По объекту производится стрельба ракетами с четырех
позиций; с каждой позиции выпускается по одной ракете. Вероят-
ности попадания при стрельбе с различных позиций равны соответст-
венно 0,3; 0,4; 0,5 и 0,6.
Найти вероятность того, что: а) в объект попадут одна, две, три
и четыре ракеты; б) в объект попадет не менее трех ракет.
Ответ: а) 0,302; 0,380; 0,198; 0,036; б) 0,234.
1.101. Вероятности разрегулировки датчика опорных частот,
передатчика, приемника и антенно-фидерного тракта за время Т ра-
боты радиостанции соответственно равны 0,4; 0,2: 0,3; 0,3.
Определить вероятность отказа радиостанции за время Т, если
из-за разрегулировки одного блока радиостанция отказывает с ве-
роятностью 0,3; двух блоков — 0,5; трех блоков — 0,7; четырех
блоков — 0,9.
Ответ: 0,316.
1.102. По линии связи передано четыре радиосигнала, имею-
щих различные амплитуды. Вероятности приема каждого из сиг-
налов не зависят от приема остальных и соответственно равны
0,2; 0,3; 0,4; 0,5.
Определить вероятность того, что: а) будет принято k сигналов
(k = 0, 1,2, 3, 4); б) будет установлена двухсторонняя радиосвязь,
если вероятность этого события при приеме одного сигнала равна
0,2, при приеме двух сигналов —0,6, а при приеме трех и четырех
сигналов — единице.
Ответ: а) 0,168; 0,394; 0,320; 0,106; 0,012; б) 0,389.
1.103. Какова вероятность того, что при бросании двенадцати
игральных костей каждая грань выпадет дважды?
Ответ [7]: 0,0034.
1Л04.; Девяти радиостанциям разрешена работа на 3 волнах:
М, Х2 и %3. Выбор волны на каждой станции производится случай-
ным образом.
Какова вероятность того, что на каждой из волн будет работать
точно 3 станции?
Ответ: 0,0854.
1.105. Подводная лодка атакует корабль, выпуская по нему
последовательно и независимо одна от другой 4 торпеды. Для от-
41
дельной торпеды вероятность потопления корабля равна 0,5;
вероятность повреждения — 0,25 и вероятность промаха равна 0,25.
Корабль тонет уже от двух повреждений.
Определить вероятность того, что корабль будет затоплен.
Ответ: 0,982.
Литература
1. Я г л о м А. М., Я г л о м И. М. Вероятность и информация. Физ-
матгиз, 1960.
2. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советское
радио», 1966.
3. В е н т ц е л ь Е. С. Теория вероятностей. Физматгиз, 1962.
4. В о л о д и н Б. Г., Ганин М. П., Динер И. Я., Кома-
ров Л. Б., Свешников А. А., Ст а робин К. Б. Сборник
задач по теории вероятностей, математической статистике и теории слу-
чайных функций. Изд-во «Наука», 1965.
5. Каневский 3. М. Вероятностные задачи в радиотехнике. Изд-во
«Энергия», 1966.
6. Емельянов Г. В., Скитович В. П. Задачник по теории
вероятностей и математической статистике. Изд. ЛГУ, 1967.
7. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Изд-во
«Мир», 1964.
2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 1. Теоретические сведения
Случайной величиной называется такая пере-
менная величина, которая в результате опыта может принимать то
или иное заранее неизвестное значение. Различают два основных
типа случайных величин: дискретные и непрерывные. Дискрет-
ная (прерывная) случайная величина X может принимать конечное
или бесконечное счетное множество значений xt (их можно прону-
меровать). Возможные значения непрерывных случайных величин
не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют не-
который промежуток или даже всю ось.
Часто встречаются случайные величины смешанного типа, кото-
рые наряду с непрерывным заполнением некоторого промежутка
могут принимать и отдельные дискретные значения.
Полной статистической характеристикой случайной величины
является закон распределения вероятностей. В случае дискретной
случайной величины X под ним понимается соотношение, уста-
навливающее зависимость между возможными значениями xt ди-
скретной случайной величины и их вероятностями pt = р(х/).
Закон распределения дискретной случайной величины можно
задать в различных формах: табличной (ряд распределения), графи-
ческой (многоугольник распределения), аналитической (в виде
формулы).
Универсальной характеристикой, одинаково пригодной как для
дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является
функция распределения Л(х), определяющая вероятность Р того,
что случайная величина X примет значение меньше некоторого
числа х:
F1(x) = P(X<x). (2.1)
Функцию распределения Fi(x) иногда называют также интег-
ральной функцией распределения или интегральным законом рас-
пределения.
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1) ^( — 00) = iim F1(x) = 0;
со
47
2) F1(4-oo)= lim/^(x) = 1;
X->4-oo
3) Fx(x)—неубывающая функция, т. e. F± (x2) > F± (xx)
при x2 > xx;
4) P (xx < X < x2) = Fx (xJ-Fi (xx). (2.2)
6)
Рис.- 2.1. Функции распределения дискретной (а), непрерывной
(б) и смешанной (в) случайных величин.
Функция распределения дискретной случайной величины пред-
ставляет собой ступенчатую функцию со скачками в точках xif
х2, ... (рис. 2.1, а), непрерывной случайной величины — непрерыв-
ную функцию (рис. 2.1, б), а функция распределения смешанной
случайной величины — кусочно-непрерывную функцию с конечным
числом скачков (рис. 2.1, в).
В прикладных задачах предполагают, что функции распределе-
ния непрерывных случайных величин дифференцируемы во всей
области возможных значений случайных величин. При таком пред-
положении непрерывная случайная величина X чаще всего описы-
вается плотностью вероятности I^i(x), которая иногда называется
48
дифференциальным законом распределения или дифференциальной
функцией распределения. Плотность вероятности определяется как
производная функции распределения:
Wr (х) = . (2.3)
Плотность вероятности обладает следующими основными свой-
ствами.
1. Плотность вероятности неотрицательна, т. е. W"i(x)>0.
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины
в интервал (xi, х2) равна интегралу от плотности вероятности в этих
пределах:
*2
Р (хх < Х< х2) = wi (*)dx = F M—F (*i)- (2-4)
*1
3. Интеграл в бесконечных пределах от функции ITi(x) равен
единице (условие нормировки):
$ W1(x)dx=l. (2.5)
—оо
Очень часто приходится иметь дело с нормальной плотностью ве-
роятности w(x), которая имеет вид
(х—т)«
или
р2 (х—т)2
<2J)
где т — математическое ожидание (иначе, среднее значение) слу-
чайной величины X; ст2 — дисперсия; о = + У а2 — среднее квад-
ратичное (иначе, стандартное) отклонение X; Е = pfA2o — вероят-
ное отклонение (иначе, срединное); р = 0,476936...
Вероятность Р попадания нормально распределенной случайной
величины X в заданный интервал (а, Р) равна
Р(а<Х<6) = Ф —(2.8)
\ а ) \ a J
где Ф(г) — табулированный интеграл вероятности:
1 f -х-
Ф(г) = —е 2 йх,Ф(—z) = l— Ф(г). (2.9)
У2л
Значения интеграла вероятности приведены в приложении II.
3 Зак. 728
49
Плотность вероятности для дискретной случайной величины мож-
но записать так:
(2.10)
1=1
где — возможные значения случайной величины X,
pi — вероятности возможных значений х/,
6 (г— z0)—дельта-функция (импульсная функция, функция
Дирака).
Дельта-функция обладает следующими свойствами:
при
при
г = ?0,
Z =У=
Zo+£
§ 6 (г—z0)dz=l при любом е>0,
zo—£
Zo+e
f(z)8(z—z0)dz^f(z0),
z0-e
Zo Zo+e
6(z—z0)dz= J 8(z—z0)=—, e>0.
%0—® Zo
(2.H)
Систему нескольких случайных величин можно рассматривать
как точку в п-церном пространстве со случайными координатами.
Поэтому систему п случайных величин часто называют п-мерным
случайным вектором или n-мерной случайной величиной. При п=2
система случайных величин может интерпретироваться как случай-
ная точка на плоскости, а при п = 3 — как случайная точка в
пространстве.
Полными вероятностными характеристиками системы случайных
величин являются законы распределения вероятностей, задаваемые
функцией распределения или плотностью вероятности. В статисти-
ческой радиотехнике основное практическое значение имеют сис-
темы непрерывных случайных величин, распределение которых
обычно характеризуют не функцией распределения, а плотностью
вероятности.
Функцией распределения F2(x, у) системы двух случайных ве-
личин X, Y (иначе, совместной или двумерной функцией распреде-
ления) называется вероятность одновременного выполнения двух
неравенств Х<х, Y<y, рассматриваемая как функция переменных
х, у:
F2(x, у) — Р(Х<х, Ycy). (2.12)
В геометрической интерпретации (рис. 2.2) функцию распреде-
ления F2(x, у) можно трактовать как вероятность попадания слу-
50
чайной точки внутрь бесконечного левого нижнего квадранта с вер-
шиной (х, у).
Если функция распределения F2(x, у) непрерывна и обладает не-
прерывной смешанной производной второго порядка, то двумерная
плотность вероятности W2(x, у) определяется формулой
W2 (х, у) = д2р^х’У1.. (2.13)
дх ду
Рис. 2.2. К определению функции
распределения.
Функции F2(x, у) и W2(x, у) обладают следующими основными
свойствами:
1) F2(x, у) — неубывающая функция своих аргументов;
2) F2(x, — oo) = F2( —оо, y) = F2(—оо, —оо) = 0; (2.14)
3) F2(oo, оо)=1; (2.15)
4) F2(x, oo) = F1(x), F2(oo, y) — F1(y), (2.16)
где Fi(x) и Fi(y) — соответственно функции распределения слу-
чайных величин X и У;
5) функция распределения F2(xt у) выражается через плотность
вероятности W2(x, у) при помощи двойного интеграла:
х у
F2(x, У)= $ $ v)dudv, (2.17)
6) W2(x, у) > 0; (2.18)
оо оо
7) § § W2(x, y)dxdy--=\ (условие нормировки); (2.19)
8) вероятность P(R) попадания случайной точки (X, Y) в прямо-
угольник R (рис. 2.3) со сторонами, параллельными осям коорди-
нат, и с координатами вершин A(xit ух}, В(х2, yt), С(х2, у2), D(xi, у2)
равна
р (Р) = Р (-4 < X С х2, у1 < Y < у2) = F2 (х2, у2) —
— F2(x1; y2) — F2(x2, y1) + Fi(x1, ух); (2.20)
3*
si
9) вероятность P(D) попадания случайной точки в произволь-
ную область D (рис. 2.4) определяется формулой
P(D) = glF2(x, y)dxdy. (2.21)
(О)
Рис. 2.3. Прямоугольная область.
Плотность вероятности w2(x, у) для системы двух нормальных
случайных величин (X, У) имеет вид
W2(x, у) =
J [ (х~тх)г t (У-ту)а1
< °* ’*’> + ’у ](
2лояОу у 1—' (2.22)
где тх, ту — математические ожидания X и У; ах, ау — средние
^г(1,у)
Рис. 2.4. Область D.
52
квадратичные отклонения; Rxy — коэффициент корреляции случай-
ных величин X и Y.
Геометрическое место точек, имеющих равную плотность вероят-
ности, есть эллипс (эллипс рассеивания), определяемый уравнением
(х — тх)* 2Rxy(x — mx) (у—ту) (у—ту)* ~
а2 „ „ + „2
а2
ах (Jy
Если Rxy = 0, то оси симметрии эллипса рассеивания парал-
лельны координатным осям Ох и Оу, случайные величины X и Y не
связаны и независимы, а плотность вероятности ш2(х, у) равна
(У~ту)2 '
(х, у) =----------е
2лих иу
,2
2
1
2 ”р:
Р2
—-— е
лВх Еу
-тх)2 (У~ту)2
Е2 Е2
х ьу
(2.24)
где Ея = <тхрУ2, Еу = вурУ2 — соответственно вероятные от-
клонения X и У.
Эллипс, определяемый равенством
(х—тх)* (У—туУ
Е2 + Е2 “ 1 ’
пх су
(2.25)
называется единичным.
Одномерные функции распределения и плотности вероятности
выражаются через двумерные с помощью следующих соотношений:
х оо
F1(x) = F2(x, оо)— § § W2 (х, y)dxdy,
—оо —оо
оо
Ц71(х)=^-= J UZ2(x, y)dy,
—оо
у оо
Fi(y) = f2(°°, у)= $ $ №а(х, y)dxdy,
— оо —оо
(2.26)
оо
^(y)=^-= J W2(x, y)dx.
—оо
Закон распределения системы двух случайных величин X, Y оп-
ределяется распределением каждой из величин, входящих в систему,
53
Законы распределения дискретной
Закон распределения Случайная величина и область ее изменения Аналитическое выражение закона распределения
1. Гипергеомет- рический k=0, 1, 2, ... ..., min (Af, и) pk s^fl—k Pn(k}=^L^L cnN
2. Биномиальный (Бернулли) k=0, 1,2, ... , п Pn(k)^Cknpk(\-p)n-k
>. Полино- миальный St S* . \ • *•: и* О о • ? £^7 II II • ” - гИ сч Pn (^1, ^2» •••, ^m)~ fl! k k k = p ' p 2 ... p m, k2l ... km\ 'l И2 Pl + P2 + • • • + Pm = 1
4. Пуассона k = 0, 1, 2, ... Pn (^) = e
54
Таблица 2.1
случайной величины
Определяющие параметры График закона распределения Характеристическая функция ©1 («)
ЛГ, М, и 0,2 лРп^ 0*20 ill 1111 i 1. .. 112395678910 min (Al, n) rk rn —k yi gai cn-m <jku CN k = 0 N
и, р 0,2 0,1 ( P„(* 1 ) n*1O p‘O,9 k..
0123956769Ю
п и любые m—1 величин из Рь Рй, ---'Рт
X 0,2 0 ЗД .III J ill И 1, . 4 2395678910 eX
55
Закон распределения Случайная величина и область ее изменения Аналитическое выражение закона распределения
5. Геометрический (Фарри) fe = 0, 1, 2, ... Рп {k)=p(\-p)k
« 6. Равномерный k=l, 2, ..., п P(k)=— п
7. Отрицатель- ный биномиальный k = n, n+ 1, . . . или k = 0, 1,2, ... P(k)=C'‘z{pn(\-p)k-n или Р(Й) = С^_! Pn(l-P)k
8. Полна 6 = 0, 1, 2, .. . при a = 0; k= 1, 2, ... при a > 0 f \k \1-гОСЛ / l(l+a)...[l + (fe-l)a] Х k\ a > 0, X > 0, _ _L Po = /3(O) = (l + aX) a
56
Продолжение табл. 2.1
Определяющие параметры График закона распределения Характеристическая функция t’l (и)
Р 01. (XI р-0,4 I *- 2345678910 pll — (I — р) е/и]~’
п , "''ll 01 °(х) п=10 шшж 2345678910 e/“(l-e^n) п (l — e/w)
п, р 0,10 0. . и 01. 7345^ /7=<f . jLLlllx. 676910 рп [I — (I — р) eiu]~n
а, X 0,10 0,05 0 <p(f 112' (£-0.5 Л-б | | [ | | лг ^45676910 * Il + a%(l—е'")]
ЗВ Зак. 728
57
Законы распределения непреры
Закон рас- пределения Область значений случайной величины Аналитическое выражение плотности вероятности U) O g a> sf 2 £ я C3 e 2 5 к Я Д О ч с сх График плотности вероятности ^i(x)
1. Равномер- ный (прямо- угольный) а < х < b 1 Ь — а a, b 1 Ъ-а 6 И ' а '1(^) X ' ь
2. Нормаль- ный (Гаусса) —оо<х<оо (х-т)2 1 2а2 =- е т, а с 0, Л и) (х) т~1,5 / ’Х у , I
0 1 m2
3. Нормаль- ный стандарт- ный — ОО<Х<ОО X2 1 2 е /2тс а 2 II II *“ о 0,8 0/к -2-10 (X) П7^0 <6=7 '12 ~
4. Усечен- ный нормаль- ный а<х<Ь н е £ Ю| Q 1 _ J? 1 1 - ч е “ 1 "7S "li - ' т, а, а, b °,8 3 \ т^1у5 6-0,5 а-т-6 \ Ъ-т+26
' 1 m2 а д
5. Логариф- мически нор- мальный 0<х<оо (log х —m)2 log e e 2<j2 xo V 2tc m = M (log X), a2 = D (log X) т, ст 0}Ю 0.05 - Л т'1 /1,4-^^ f7r^jiZ?’r у)
0 ’ 10 20 30'
58
вной случайной величины
Таблица 2.2
Аналитическое выражение функции распределения Л(х) I График функции распределения Т7! (х) Характеристическая функция ©1 («)
' 0 при х < а, х—а - при а < х < о, Ь — а . I при х > b 7 С F,(x) /1 -Z I 1 а в е/6« _ е/а« /м (Ь — а)
О 1 m2 3
lmu——
е
е 2 at = Ф (х)
^i(x) т=О
и*
Г
е
-1 О 1
О при х < а,
при а < х < Ь,
I при х > b
1,0
0,5
т-1,5
6-0,5
£,(*)
Ь-т+26
О 1 m2 3
’ 0 при х < О,
•(^)
. при х > О
/77=7
С 10 20
ЗВ*
59
Закон распределе- ния Область значений случайной величины Аналитическое выражение плотности вероятности (х) о ~ о «=t $ S % a « е 2 5 К Я J О ч в а График плотности вероятности
6. Хи-квадрат распределение 0<х<оо ч |еч I о 7 е [сч С j СЧ е | сч СЧ п 0,15 0,10 0,05 1 h n*i I Y\J!-1O 1 10 ?0 30^
7. Гамма- распределе- ние 0<х<оо 1 а Р х е Ваф1Г(а4-1) > а> — 1, 3>о 1,0 0,5 W,(x) I fi-1 \ос=7 0 2 Ч 6
8. Хи-рас- пределение 0<х<оо X2 1 п — 1 2 х е Д-1 22 rf—'j \ 2 ) п 0,5 п*1 0 1 2 3
9. Распреде- ление модуля многомерного вектора 0<х<оо X2 п п— 1 ~~~2а2 2х е п (2а’) 2 Г (А) П, ст 1,0 0,5 0 \рг-л= 6^0,5 Л \ _//7=^> 7 1 2 3
10. Распре- деление моду- ля нормаль- ной случайной величины 0<х<оо 1 а /2^ 4-е 2а* , е + (х-)-т)2~1 2о* ст 1 I 6 к б 0 \ /77-2(3 5 26 36 j
60
Продолжение табл. 2.2
Аналитическое выражение функции распределения Л (*) График функции распределения (х) Характеристическая функция 0! (и)
0 при х < 0, \ 2 2 / V 1 ^(Х) /7= Ь У х п (l-2/я) 2
при х > 0 4 ' 5 10'
о при х < о,
-(+" f)
Г(а4- 1)
при х > О
О при х < О,
при х > О
__
Хе 4 D_n( — lu),
где Dp(z) — функция пара-
болического цилиндра [15]
О при х < 0,
при х > О
О 1 2 3
а2
Хе 4 D_n (/но)
' 0 при х < О,
при х > О
о*н2
г
2 cos ти • е
61
Закон распределе- ния Область значений злучайной величины Аналитическое выражение плотности вероятности (х) Опреде- ляющие парамет- ры График плотности вероятности ^i(x)
11. Коши 0<х<оо _1 h Tt 62+(х—х0)2 6, х0 /?3 -2 i W,(x) Ah'1 । \ х°~ ! 9 2 4
12. Бета- распределение 0<х< 1 1 а-1,, 6-1 B(a,6)Z ° Х) ’ B(a,ft)=r(g)r(b) г {а +&) а, Ь\ а>0, 6>0 2,0 \о а.З- а-»-3 ь^2 R. 7 0,5 1,0
13. Релея 0<х<оо х*_ х 2а2 — е о2 0 Z7/ 0,4 0,2 I / 112 3
14. Обоб- щенный закон Релея (Райса) . 0<х<оо х2+а2 х 2а2 г ( ах \ — е /0 О2 \ а2 ) а, а 0,6 0^ 0,2 ^(г) &Ь*7 6 Л /М&Ь*?6 f/A\V=^ г=^ о
15. /л-рас- пределение (Накагами) 0<Х<оо 2 / т \т 2 tn — 1 Г (т) ( о2 ) Х Хе 1 tn > — 2 tn, а 0,5 0 wr(i) //Х\ У7757 7 2 2^ б
62
Продолжение табл. 2.2
Аналитическое выражение функции распределения Л (х) График функции распределения Л (х) Характеристическая функция 01 W
1.1 . х—х0
---1---arctg------°
2 к h
i Л=
1.0 0.5 хо-
'I 1 . X
1
-2 О 2 4
Jxou — h I и\
о при х < о,
—!-----С ‘(I-/)* Xdt
в (a, b) J
О
F'^a-b3
05
О 0.5 1.0
V 0,5 . 11 1 ® . X где / Z V 72( 9 i С* t2 \ W (г)=е (1+~4\е cf/j- ' L 0 ' табулированный интеграл вероятности от комплекс- ного аргумента
0 при х < 0, X2 1 2о« 1 —е при х > 0
• G >12 3'
1 0 при х < 0, (kl)2\ 2а2) k=0 хг(*+'^) при х > 0 1 1,0 0,5 Ъ=^-=1 б
L 1 1 2 з'
0 при х < 0, / . тх2 \ _±2jd Г(т) при х > 0 1,0 0,5 [Ъ<г) m~Z "Г г-^‘ L/\ «2о2 Г (2т) 8т i'— е х пт—1 ч 2 Т(т)
< 0 12 3
63
Закон распределе- ния Область значений случайной величины Аналитическое выражение плотности вероятности (х) v V £ ? sf S £ я «J н 2^- с К Я J5 Очей График плотности вероят ности (х)
16. Макс- велла 0<х<оо а |к> | 1 * гь 1 Ю 1 а 0^- 0^ - - 0 /, ,\г7 1 2 3
17. Стыо- дента (/-рас- пределение) — ОС<Х<ОО Г(У) fe+1 /. , х« \ 2 T+v) k 0у‘>^ к^З \ х -2~' О~2~^
18. Эрланга k-ro порядка 0<х<оо х*+’ k -и х е Г (АН-1) X, k, k—це- лое и 1.Q 1 /К А-7 7 1 2 3
19. Вейбул- ла 0<х<оо а—1 — сх а сах е с>0, а>0 У КО 0,5 1 wf(xj С-1 \l\oC-1 fV&ct-2 £ л: 7 12 3
20. Фише- ра—Снедекора (F-распреде- ление) J<X<oo г + П2\ tli 2 ) / л, \ 2 х ''(тЖГ ' “a (,+^Т 2 п2 10 0,5 6 л г t и |Н Nj
64
Продолжение табл. 2.2
Аналитическое выражение функции распределения Fi (х) График функции распределения Fi (х) Характеристическая функция ©1 («)
0 при х < 0, Ю (l-a’M!)W-7=l+
05 -/ х \/2 )
I \ 2 2о’/ 1/Т
при х > 0 0 1 2 3* +/омг Т
О при х < О,
г (& + 1;
г(*+ О
при х > О
(АН-1)
О при х < О,
__СХ^'
1 — е при х > О
ОО
. , . Г jux— сха .
1-Н и J е dx
О
О 1 2 3
0 12 3
65
Закон распределе- ния Область значений случайной величины Аналитическое выражение плотности вероятности (х) j-Й «V 3* С К с? 3 О Ч Ей График плотности вероятности (х)
21. Лапласа (двусторон- ний экспонен- циальный) —ОО<Х<ОО _2^е —X |х —р.| 2 х, И 1,0 - 0,5 • 7 1 0,5 1,5 2,5
22. Экспо- ненциальный односторонний (показатель- ный) 0<х<оо . — \х X е X 1,3 1,0 0.3 0 W'rW 1л=2 Ча --1 7 2 3^
23. Двойное показательное распределение —оо<х<оо —ах —ах—се Сае с>0, а>0 0,6 /ю,2 -1 О \ г»ос-7 Y-C«7’ol^2 г^^С-2^^ L \ JC 1 1 2
24. Показа-, тельно-сте- пенной 0<Х<оо хт —х т\ е tn V 0,23 1 Wl(T) т* 1 //\?b^s</77=^ х I 2
25. Симпсо- на (треуголь- ный) а<х<Ь 0 при — оо < х < а, 4 (х-а) при а < х < b + а 2 4 (Ь — х) а-\-Ь , — - при —— <х < Ь, (Ь — а)г 2 0 при b < х < оо а, b 2_ Ь-а ^W,(x) 0 a g+b b 2
66
Продолжение табл. 2.2
Аналитическое выражение функции распределения (*) График функции распределения ^i(x) Характеристическая функция 01 (м)
1 —Х(х—|х) — е при — оо < х < lx, 2 ” . 1 —\(х—рь) 1 е ' при 2 ' Р- < X < оо 1,0 о,5 -1 ^(Х) JJ.1 Л-2 0 1 2 X«e/U|t X’ 4- и*
Г 0 при х < 0, 1 1 ~^Х о V 1 — е при х>0 - А/ 1,0 - 0 _Ь । 12 3 X X — ]и
— ах — се е 0, -7 7 £;^=7 л 0 12'
0 при х < 0, Г (/и 4- 1; х) Г (т 4-1) при х > 0 10 0,5 - 0 г, (X) т^2_ . .х 2^6
0 при — оо < х < а, 2 (х — а)* а-\-Ь — — при а < х < —'— , (Ь-а)2 2 . 2 С& — х)2 а+b , 1 — ——»—- при —— <х<Ъ, (Ь—а)2 2 1 при Ъ < х < оо 1,0 0,5 0 /Г"" —/ i 1_Л а а<Ъ b 2 ? X и2 (Ь — а)2 / . b . а \2 /«Т /«у) Х\е —е /
67
Закон распределе- ния Область значений случайной величины Аналитическое выражение плотности вероятности (х) Ct S- S d £ к я 3 О Ч Е й График плотности вероятности W. (х)
26. Закон арксинуса —а<х<а 1 а 1 7
к V а* — хг 1 . J1
-а а 0 а а ~2 2 I
27. Закон sch* х —оо<х<оо а 2 ch’ ах а WAx) У' X
10 1 ~ а а
28. —1t<X<1t 1 D cos х 2к/0 (£>) D IV, (X) У'П^З \j>^J Л^О
-2 0 2 л
29. It 2 7t <х < 2 В (cos x)v *> в = 2"'ггШ v>0 оу JS- v= ДГ u=' 1 3 2 1
X
-1 0- 7
68
Продолжение табл. 2.2
Аналитическое выражение
функции распределения
FiW
График функции
распределения
Fi(x)
Характеристическая
функция
01 («)
О при х < — а,
1.1 . х
---1---arcsin —
2 к а
при — а < х < а,
1 при х > а
F^x)
1,0 - - —-
0,5/ X
а
1 р d их
— I , dx = J„ (аи),
* J /а'-х»
— а
где J0(z) —функция Бесселя
нулевого порядка
первого рода
1 t 1
-----1----th ах
2 2
ип
n u U1t
2а sh-----
2а
-10 1
X В J (cos t)dt it 2 t Л
1 0 ’ 1
69
и зависимостью между ними. Степень зависимости случайных ве-
личин X и Y характеризуется условным законом распределения, под
которым понимается закон распределения одной из случайных ве-
личин, найденный при условии, что другая случайная величина при-
няла определенное значение.
По теореме умножения законов распределения
(х, у) = (X) (у[х) = W. (у) W, (х|у), (2.27)
где
Ш , Г1(х|у) = ^1
оу ох
— условные плотности вероятностей.
Для независимых случайных величин
W2(x, у) = (2.28)
Условие (2.28) — необходимое и достаточное условие независимости
случайных величин.
Условные и безусловные плотности вероятностей связаны между
собой выражениями
1») = ^2(х, у) J W2(x, y)dy ^2 (X, у) ViW ’
^(х|у) = (X, у) J 1Г2(х, y)dx —оо . ^2 (X, у) W'i(y) (2.29)
Условные плотности вероятностей обладают всеми свойствами, ко-
торые присущи безусловным плотностям.
Формулы полной вероятности и Байеса для непрерывных слу-
чайных величин соответственно имеют вид
оо оо
U71(y)= J №2(х, y)dx = $ 1Г1(х)1Г1(у|х)</х,
—оо —оо
(х|у) = —Г1(х) ЯМу|х)_
С W\(*)1>My|x)dx
(2.30)
(2.31)
Выражения (2.12) — (2.31) можно обобщить на многомерные
(n-мерные) функции распределения Fn(xit х2, ...» хп) и плотности
вероятности Wn(xlt х2, ..., хп), которые описывают систему п слу-
чайных величин (n-мерный случайный вектор) [1].
70
В табл. 2.1 приведен ряд законов распределения дискретной
случайной величины и соответствующие им характеристические
функции ©i(w) (см. § 1, гл. 3), а также графики законов при различ-
ных значениях параметров распределений.
Аналогичные данные по законам распределения непрерывных
случайных величин представлены в табл. 2.2 [1—17].
§ 2. Примеры
Пример 2.U По одной и той же стартовой позиции противника
производится пуск пяти ракет, причем вероятность р попадания
в цель при каждом пуске равна 0,8.
Построить: а) ряд распределения числа попаданий; б) много-
угольник распределения; в) функцию распределения Fi(x) числа
попаданий.
Решение. Случайная величина X (число попаданий в цель)
может принять следующие значения: х0 = 0, = 1, х2 = 2,
х3 = 3, х4 = 4, х5 = 5. Эти значения случайная величина X при-
нимает с вероятностями р0, pi, р2, рз, Рь Ра* которые равны:
р0 = (1 —ру = 0,25 = 0,00032,
Р1 = с15р (1 — py = 5 • 0,8 • 0,24 = 0,0064,
р2 = СI р3 (1 — р)3 = 10 • 0,82 • 0,23 = 0,0512,
р3 = Cl р3 (1 — рУ = 10 -0,83- 0,22 = 0,2048,
р4 = Ct pi (1 — р) = 5 • 0,84 • 0,2 = 0,4096,
р6 = р* = 0,8® = 0,32768.
Из вычисленных значений pif i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, видно, что наи-
более вероятно попадание в цель четырьмя ракетами, в то время как
промах всеми ракетами маловероятен.
а) Ряд распределения имеет следующий вид:
0 1 2 3 4 5
Pi 0,00032 0,00640 0,05120 0,20480 0,40960 0,32768
б) в соответствии с рядом распределения вероятностей числа
попаданий в цель построен многоугольник распределения, представ-
ленный на рис. 2.5;
71
0,5
в) по определению функция распределения Fi(x) равна
F1(x) = P(X<x) = 2 Р(Х = х,).
< X
При х<0 4
F1(x) = P(X<0) = 0,
при 0<х< 1
F1(x) = P(X = xo = O) = 0,00032,
при 1 < х < 2
Fx (х) = Р (X = 0) + Р (X = 1) = 0,00032 + 0,00640 = 0,00672,
при 2 <Zx < 3
2
Fx(x) = 2 Р(Х = х;) = 0,00032 + 0,00640 + 0,05120 =
1=0
= 0,05792,
при 3<х<4
з
Fx (х) = 2 Р (X = хг) = 0,26272,
У=0
при 4 < х 5
F, (х) = 2 Р (X = хг) = 0,67232,
/=0
при 5
5 5
F1(x) = 2P(X = xi)=2pi=l.
t= о 1=0
7?
Таким образом, аналитическое выражение функции распреде-
ления имеет вид
О при х<0,
0,00032 при 0<х<1,
0,00672 при 1<х<2,
Р . _ 0,05792 при 2<х<<3,
1W~ 0,26272 при 3<х<4,
0,67232 при 4<х<;5,
1 при х>5.
График функции распределения представлен на рис. 2.6.
1,0
1^(Х)
0,8
о.б
Ofi
0 7 2 3 4 5л-
Рис. 2.6. График функции распреде-
ления дискретной случайной величины.
Пример 2.2. Плотность вероятности W\(x) случайной вели-
чины X имеет вид
W\(x) = Pe~xl *1, (—оо<х<оо),
где Р и X — постоянные величины.
Требуется: а) найти соотношение, которому должны удовлетво-
рять постоянные Р и X; б) вычислить функцию распределения F4(x)
случайной величины X; в) построить графики плотности вероятности
W\(x) и функции распределения Л(х) при X = 2.
Решение. а) Чтобы найти соотношение между постоянными
Р и X, воспользуемся условием нормировки для плотности вероятно-
сти. При этом учтем, что плотность вероятности имеет разные ана-
литические выражения при х<0 и х>0:
оо
(х) dx = р
§ e-xl*ldx = 0
—оо
' 0
§ eXxdx +
—оо
оо
§ е~ Хх dx
о
2P=i
%
73
Следовательно, к = 20.
б) Функция распределения по определению равна:
Fi(x) = J W1(z)dz.
— оо
При х<0
Fr (х) — Р f eXz dz — — eu = — ex*.
J X 2
При x>0
x
F, (x) = — + P f e_ Xz dz = — ------ e-x* =1 — — e~x*.
’ 2 J 2 2 2 2
в) Когда A = 2, to lV'1(x) = e-2lzl, a
-^-e2* при x<0,
Л(*)= - 1 2je
1—— e~2x при x>0.
Графики W'1(x) и Ft(x) при A = 2 соответственно изображены на
рис. 2.7.
о)
Рис. 2.7. Плотность [вероятности (а) и функция распределения (б)
непрерывной случайной величины.
Пример 2.3. Функция распределения Fi(x) случайной вели-
чины X задана графиком (рис. 2.8).
Требуется: а) найти аналитическое выражение для функции рас-
пределения; б) построить график плотности вероятности Wt(x);
в) определить вероятность Р того, что величина X примет значение,
заключенное в пределах от 3,5 до 4,5.
74
Решение. а) Когда значения величины X заключены в преде-
лах от 3 до 5, функция распределения F^x) представляет собой отре-
зок прямой, проходящей через две точки с координатами (3, 0) и
(5, 1). Используя уравнение прямой в виде Х~Х1 =
х2— Х1 У2 — У1
х—3 F^fx) г-, / \ х — 3
получим g—g = i- » т. е- = —2~- Следовательно,
0
Fx(x) =
х — 3
2
1
при х<;з,
при 3<х < 5,
при х>5.
б) По определению (х) = —. Поэтому
Wi(x) =
0 при
Т при
. 0 при
3<х<С5,
х>5.
График плотности вероятности ^(х) представлен на рис. 2.9.
в) Р = Р(3, 5<Х<4, 5) = Fx(4, 5)—FJ3, 5) = ^-^-^
—.3.., 5-3 =0 5
2
Пример 2.4. Случайная величина X удовлетворяет неравенст-
ву — причем в интервале от — 1 до + 1 она распределена
равномерно, а каждое из значений — 1 и + 1 принимает с вероят-
ностью 1/4.
Требуется: а) найти и построить функцию распределения Fi(x)
случайной величины X; б) вычислить вероятность Р того, что слу-
1 . 1
чайная величина попадет в интервал от —у до +-%.
Решение. По условию X — случайная величина смешанного
типа, а) При х <; — 1
Fx(x) = P(X<x) = 0.
При — 1 < х < 1
X X
F1(x)=P(X=-\) + \wi(z)dz = ±-+ $4 =
-1 4 -1 4
_ 1 I *+1 _х+2
4 "Г 4 ~ 4
При х > 1
1
p1(x)=p(x=-i)+f4-+P(x=i)=4-+4+4=i.
J 4 4 2 4
-1
Следовательно,
о при —1,
4-2
— при —1 < х <; 1,
1 при х>1.
Fx(x) =
График функции распределения Fj(x) представлен на рис. 2.10.
Рис. 2.10. Функция распределения.
76
6) p=f, /_J\ = Z±^_ 2 -"'5 __L.
Пример 2.5. Вычислить и построить двумерную функцию рас-
пределения Fz(x, у) независимых дискретных случайных величин X и
Y, если случайная величина X принимает три возможных значения
13 1
О, 1,3с вероятностями s, г и 5, а У — два возможных значения 0 и 1
2 о о
1 2
с вероятностями у и -у.
Решение. По определению
F2(x,y) = P(X<x, У<у) = 2 2 = Y = y}),
xi <х У/< у
где i = 0, 1, 3, а 7 = 0,1.
Так как по условию случайные величины X и Y независимы, то
РЛх, у)= 2 Р(Х=хг) 2 р<Х=у])-
< •» Vj< У
При х^О Р(Х<х) = 0. Следовательно, в этом случае при любом
Y из области его возможных значений Fz(x, у) — 0. Аналогично, при
г/^0 P(Y<.y) = 0. Поэтому при любом X из области его возможных
значений Fz(x, у) = 0.
При 0 < х < 1 и 0 < у 1 имеем
Р2(х,у) = Р(Х = хо = 0)Р(У = уо = 0)=4-4==4-
2 о О
При 0<х< 1 и у > 1
F2(x, у) = Р(Х = хо = О)[Р(У = уо = О) + Р(У = у1=1)] =
=_L/'_L+A)=J_.
2 \ 3 3 J 2
Когда 1 < х < 3 и 0 < у < 1, то
у) = [Р(Х = хо = О) + Р(Х = х1=1)]Р(У = уо = О) =
/ 1 . з \ 1 7
\2 + 8/ 3~ 24'
При 1 < х С 3 и у 2> 1 получим
Fz(x, у) = (— + — } • 1 = — .
2 /7 \ 2 8 / 8
Если х>3 и 0<у<1, то
77
При X > 3 и у > I получим
Таким образом, функцию распределения F3 (х, у) можно запи-
сать в виде
0 при х< со, у« ;о,
1 6 при 0< ;i, о< -УС1-
1 2 при 0< С 3. >1,
у) = 7 24 при 1 < Z. ;з, о< ;у< 1.
7 8 при 1< ; X < ;з, у: >1,
1 3 при х^ >3, о< -у<1,
1 при X' >3, У^ >1.
График функции распределения F2(x, у)
представлен на рис. 2.11.
Рис. 2.11. Двумерная функция распределения.
Пример 2.6. Самолет производит одиночное бомбометание по
автостраде шириной 15 лс. Заход — вдоль автострады, прицелива-
ние — по средней линии автострады. Из-за наличия скольжения
самолета имеется систематическая ошибка — точка попадания сме-
щается от точки прицеливания вправо в среднем на 10 ж. Вероятное
отклонение Е в направлении, перпендикулярном полету, равно
15 м.
7*
Определить вероятность Р попадания в автостраду при нормаль-
ном распределении абсциссы точки попадания.
Решение. Из-за наличия систематической ошибки центр рас-
сеивания (ЦР) не совпадает с точкой прицеливания (ТП). Выберем
начало координат в центре рассеивания (рис. 2.12), ось Оу направим
по полету самолета, ось Ох — в боковом направлении вправо.
Рис. 2.12. К вычислению вероятности Р.
Задача сводится к вычислению вероятности попадания случай-
ной величины X — абсциссы точки попадания — на участок от
— 17,5 до — 2,5.
Полагая в формуле (2.8)
т = 0, а =—17,5, 0= — 2,5, о=—^— =-----------^—^«22,2,
р/2 0,477 /2
получим
Р = Р( — 17,5<Х< —2,5) = ф(=^Н —
v 22,2 )
—Ф ( = ф (°,79) _ф (°,11) ~ 0,241.
Пример 2.7. Плотность вероятности ш2(х, у) нормального рас-
пределения двух случайных величин X и Y выражается формулой
у) =
1 [(х~тх)2 2% (х-тХ)<У-ту) , (У-'”,)2'
9 \ I 9 2
1 — ^ху)|_ °х аУ
2лах<ту 1— R2xy
где тх, ту, сх, ау, Rxy—параметры распределения.
79
Определить:
а) плотности вероятностей w(x) и w(y) случайных величин X и У;
б) условные плотности вероятностей ш(у|х) и w(x\y) величин
X и Y.
Решение. а) Согласно формуле (2.26) имеем
оо
ш (х) = f w2 (х, у) dy =------ 1 - х
~ 1 Г(Х-mx)2 2Rxy (х~тх) (У~ту) (У~ту)2 '
х е 2(‘-^у) I 4 + °У .
—оо
Произведя замену переменных
х — тх
—7=----= и>
/2 ох
получим
W (х) = —---------*..... - <
]/2 пах 1 — /?2у
У —Щу
Via У
2 %, U
v
xydv.
Известно [15], что
00 i/"~ qi
J e-p^±^dx = _Ил е4Р«
— оо
Воспользовавшись этим интегралом, найдем
/ ч 1
w (х) = —=— е
V 7 /2л ах
или
(х~тх)2
1 2
w (х) = —х=— е 2°х
У^2п0х
Таким образом, величина X подчинена нормальному закону с
параметрами тх и ох.
Произведя аналогичные вычисления, получим
(У~ту)2
1 2 о2
w (у) = —=— е у
/2 л 0у
80
б) По формулам (2.29) находим условные плотности вероят-
ности
ш (у I х) =
______1______
СТу J/Al j/1-^у
ш (х I у) =
1
Из этих выражений следует, что w (у | х) и &у(х|у) представ-
ляют собой нормальные плотности вероятности с параметрами:
Шу I х = ту+ Rxy (х—тх),
Gy \х — Gy j/" 1 -Rxy >
тх\у =mx + Rxy — (y—my),
Оу
в* । у = o' х у 1 Rxy .
§ 3. Задачи и ответы
2.1. Привести примеры случайных величин дискретного, не-
прерывного и смешанного типов.
2.2. Какие размерности имеют функция распределения Fi(x) и
плотность вероятности №\(х)?
2.3. Симметричная игральная кость брошена 3 раза.
Найти ряд распределения числа появлений цифры 4.
Ответ:
XI 0 1 2 3
Pi 125 216 75 216 15 216 1 216
2.4. По двоичному каналу связи с помехами передаются две
цифры: единица и нуль. Априорные вероятности передачи этих
цифр равны р(1) = р(0) = у. Из-за наличия помех возможны иска-
жения. Вероятности перехода единицы в единицу и нуля в нуль со-
ответственно равны р(1Л) = р, р(%) = р.
4 Зак. 728 81
Определить закон распределения вероятностей случайной вели-
чины Х-однозначного числа, которое будет получено на приемном
конце в некоторый момент времени.
Ответ:
Xi 0 1
Pi 4-(!-р+?) 4 (!-?+₽)
2.5. Вероятность отыскания малоразмерного объекта в задан-
ном районе в каждом вылете равна р.
Найти ряд распределения числа произведенных независимых
вылетов, которые выполняются до первого обнаружения объекта.
Ответ:
Xi 1 2 3 i ...
Pi р p(l—р) р (1-рУ р (1—р)1—1 ...
2.6. Производятся последовательные испытания k приборов
на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только
в том случае, если предыдущий оказался надежным.
Построить ряд распределения случайной величины X (числа
испытанных приборов), если вероятность выдержать испытания для
каждого из них равна р.
Ответ:
Xi 1 2 3 ... i ... k
Pi (1-р) р (1—р) Р2(1-Р) pl-'v-p) p*-l(l-p)
2.7. Два стрелка стреляют поочередно по мишени, причем
стрельба ведется до первого попадания.
Определить закон распределения вероятностей случайной вели’
чины Х-числа произведенных выстрелов, если известно, что при од-
ном выстреле вероятность попадания первого стрелка равна pi,
а второго стрелка — р2.
82
Ответ:
Р(Х = 2&+1) = Р1(1 —P1)*(l —p2)ft,
Р (X = 2k + 2) = р2 (1 -Р1)*+1 (1 -Р2)\
где k = 0, 1, 2, 3, ...
2.8. Из 25 радиоламп, среди которых 10 бракованных, слу-
чайным образом выбраны 5 радиоламп для проверки их параметров.
Определить и построить: а) ряд распределения случайного числа
X бракованных радиоламп в выборке; б) функцию распределения
Fi(x) случайной величины X.
Ответ: а)
0 1 2 3 4 5
Pi 0,0565 0,257 0,386 0,237 0,0593 0,00475
б) Л(*) =
0 при X < '0,
0,0565 при 0< Z х < 1,
0,314 при 1 < 2,
0,700 при 2< с 3,
0,937 при 3< С х < 4,
0,996 при 4< zx <; 5,
1
при х>5.
2.9. Производится 5 выстрелов по мишени; вероятность по-
падания при каждом выстреле равна 0,4.
Определить и построить: а) ря^ распределения случайной вели-
чины X — числа попаданий в мишень; б) функцию распределения
Fi(x) случайной величины X.
4*
83
2.10. Пуск ракет по одной и той же стартовой позиции против-
ника производится до тех пор, пока не произойдет двух попаданий
в цель. Вероятность р попадания в цель одной ракетой равна 0,5.
Определить закон распределения числа X произведенных пусков
ракет.
Ответ:
P(^)=P(X=/S)==(/J_i)('J_yi
где k = 2, 3, 4..
2.11. Вероятность получения отметки от цели на экране об-
зорного радиолокатора при одном обороте антенны равна р. Цель
считается обнаруженной, если от нее получено п отметок.
Найти закон распределения случайной величины X — числа
оборотов антенны радиолокатора.
Ответ:
Р (*) = Р (X = k) = Сп~\ Рп (1 -Р)к~п,
где & = и, п+1, п + 2,...
2.12. Прибор, состоящий из блоков a, bi и Ь2, дает отказ
в случае осуществления события С = А + BiB2, где А — отказ
блока a; Bi и В2 — соответственно отказы блоков bi и Ь2. Отказы
происходят при попадании в блок хотя бы одной космической час-
тицы.
Определить закон распределения числа случайных частиц X, по-
падание которых в прибор приводит к его отказу, если вероятности
попадания в блоки частицы, попавшей в прибор, равны Р(Л) =
= 0,5, P(Bi) = Р(В2) = 0,25. «
Ответ [18]:
Р(Х = щ) = 1— 2-0,25т
для всех tn > 1.
2.13. Стрельба по подвижной цели ведется до получения пер-
вого попадания. Вероятность попадания от выстрела к выстрелу
не меняется и равна 0,6. На стрельбу отпущено 4 снаряда.
Вычислить: а) ряд распределения случайной величины X рас-
хода снарядов; б) функцию распределения случайной величины X.
Ответ: а)
Xi 1 2 3 4
Pi 0,6 0,24 0,096 0,064
84
б)
Fi(x) =
О при
0,6 при
0,84 при
0,936 при
х 1,
1 < х < 2,
2<х<3,
3<х<4,
1 при х>4.
2.14. Ряд распределения вероятностей случайной величины X
имеет вид
Xi —3 —2 —1 0 1 2 3
Pi 0,05 0,15 0,2 0,2 0,25 о,1 0,05
Найти: а) функцию распределения Fi (х) случайной величины X
и построить ее график; б) вероятность того, что величина X примет
значение, не превосходящее по абсолютной величине 1.
Ответ:
a) Fx(x) =
0 при х< £ —з,
0,05 при —3< Z x<Z—2,
0,20 при —2< Zx < — 1,
0,40 при —1< Сх<^0,
0,60 при 0< с х<; 1,
0,85 при 1< ^х<2,
0,95 при 2< сх<;з,
при
б) Р(Х<|1|) = Р(—1<Х<1) = 0,65.
2.15. Последовательные ускоренные испытания приборов на
надежность производятся до первого отказа, после чего они прекра-
щаются.
Пользуясь понятием плотности вероятности для дискретной
случайной величины, найти плотность вероятности ITi (х) случайной
величины X — числа испытанных приборов, если вероятность отка-
за для всех приборов одна и та же и равна 0,5.
Ответ [18]:
W\(x)= 5 2-/6(х—хг).
• i = 1
2.16. Функция распределения Fi(x) случайной величины X
задана графиком (рис. 2.13, а).
8$
Рис. 2.13. Функция распределения (а) и плотность вероятности (б).
Требуется: а) найти аналитическое выражение для Fi (х); б) по-
строить график плотности вероятности Wi (х); в) определить ве-
роятность того, что величина X примет значение, заключенное
в пределах от 0,2 до 0,8.
Ответ:
а) Л(х) =
0 при х < 0,
-у- при 0<х < 1,
-i- при 1 < х < 2,
X 1 Л ... г,
—-— при 2 < х < 3,
1 при х>3;
б) график Г1(х) приведен на рис. 2.13, б;
в) 0,3.
2.17. Плотность вероятности IFi (х) случайной величины X
графически изображена на рис. 2.14 (закон Симпсона).
Найти: а) аналитические выражения плотности вероятности
U?i(x) и функции распределения Fi(x); б) вероятность того, что
случайная величина X примет значение, заключенное в пределах
от —0,5 до +0,5.
86
Ответ:
О
a) ИЗД
*ЗД =
1—х
О
О
(*+1)2
2
(I-*)2
2
при
при
при
при
при
при
при
при
О,
х > 1;
х
О,
3
4
График плотности вероятности UZ^x) непрерывной слу-
чайной величины X имеет вид, представленный на рис. 2.15.
б)
2.18.
Найти аналитические выражения плотности вероятности Wi (х)
и функции распределения Fi (х) величины X.
Ответ:
0 при XS 2,
x-j-2 А при — -2< х ^0,
иЗД = и Д . у
Ч Л 12 при 0< Z х ^4,
0 при XZ >4;
0 при х —2,
х2 +4х + 4 _____
---— при —2<х^0,
1 при х>4.
87
2.19. Случайная величина X подчинена закону Пуассона с па-
раметром распределения % = 2.
Требуется: а) построить ряд и функцию распределения Л (х)
величины X; б) определить вероятность того, что случайная ве-
личина X примет значение, заключенное в пределах от 2 до 4.
Ответ: а)
0 1 2 3 4 5 i
Pi 0,135 0,271 0,271 0,180 0,0902 0,0361 4^ l\
б) 0,5412.
2.20. Случайная величина X подчинена закону Пуассона
с параметром X:
Рп(^) = ^е-х (£ = 0,1, 2,...).
Доказать справедливость следующих соотношений:
Рп (k > 1) = 1 -е"х; Рп (k > 1) = 1 -(1 + X) е-\
2.21. При фиксированном положении точки разрыва снаряда
в уязвимый агрегат цели попадает случайное число осколков X,
распределенное по закону Пуассона с параметром % = 4. Каждый
осколок, попавший в агрегат, поражает его (независимо от других)
с вероятностью 0,3 и не поражает с вероятностью 0,7.
Определить вероятность того, что агрегат будет поражен.
Ответ: 0,699.
2.22. Случайная величина X имеет нормальное распределение
с параметрами тх = 3, сгх = 2. Как изменится плотность вероят-
ности w(x), если параметры примут значения тх = —3, ох = 4?
2.23. Случайная величина X подчинена нормальному закону
с параметрами тх = —2 и ох = 4.
Требуется: а) написать выражения для плотности вероятности
w(x) и функции распределения Fi(x) величины X и построить их
графики; б) определить вероятность неравенства — 1 < X < 1.
Ответ:
__ (х + 2)2 X
а) W = 4 /2^ 6 32 ’ У^(г)^г = Ф(^7^') ’
— оо
где Ф (г) — интеграл вероятности (2.9).
б) 0,175.
88
2.24. Сообщение передается последовательностью амплитудно-
модулированных импульсов с заданным шагом квантования А
(А — наименьшая разность между двумя импульсами). На сообще-
ние накладываются шумы, распределенные по нормальному закону
с плотностью вероятности
х*
Если мгновенное значение шумов превышает половину шага кванто-
вания Д, то при передаче сообщения возникает ошибка.
Определить, при каком минимально допустимом шаге кванто-
вания вероятность ошибки из-за шумов не превысит 0,1.
Ответ: Д = 3,4<т.
2.25. Случайная величина X распределена по нормальному
закону с парамеграми распределения ах и тх = 0.
Определить вероятности Р2, Рз того, что величина X примет
значение, не превосходящее по абсолютной величине <зх, 2ах, Зож.
Ответ: Pt « 0,683; Р2 « 0,955; Р3 ~ 0,997.
2.26. Стрельба ведется из точки О вдоль прямой Ох. Средняя
дальность полета снаряда равна 120 км.
Предполагая, что дальность полета X есть нормально распреде-
ленная случайная величина со средним квадратичным отклонением
Зкм, найти, какой процент выпускаемых снарядов дает перелет
от 6 до 9 км.
Ответ: 2,14%.
2.27. При массовом изготовлении некоторой детали установ-
лено, что ее длина X распределена нормально с параметрами тх =
= 25 см и ах = 0,2 см.
Какую точность длины детали можно гарантировать с вероят-
ностью 0,95?
Ответ: С вероятностью 0,95 можно гарантировать, что от-
клонение длины детали от среднего значения не превзойдет Д/ =
= 0,392 см.
2.28. Случайная величина X распределена по нормальному
закону с математическим ожиданием т и вероятным отклонением Е.
Определить вероятность того, что |Х — т \ < 4Е.
Ответ: 0,993.
2.29. Возможный результат измерения длительности т видео-
импульса подчиняется нормальному закону распределения. Вероят-
ное отклонение Е метода измерения равно 0,001 сек.
4В Зак. 728
89
Как следует выбрать число е, чтобы с вероятностью 0,997 имело
место неравенство | т — т0| < 8, где т0 — истинное значение дли-
тельности видеоимпульса?
Ответ: 8 = 0,0044 сек.
2.30. Расстояние до объекта измеряют с помощью метода,
вероятная ошибка которого равна 30 м. Предполагается, что воз-
можный результат измерения распределен по нормальному закону.
Найти вероятность того, что измеренное значение расстояния
уклоняется от истинного не более чем на: а) 15 м\ б) 30 м\ в) 60 м.
Ответ: а) 0,264; б) 0,500; в) 0,823.
2.31. Случайная величина X подчинена нормальному закону
с математическим ожиданием тх = 0.
Определить, каким должно быть среднее квадратичное значение
сгх, чтобы вероятность попадания величины X на участок (а, 0)
была наибольшей, если О<а<0.
Ответ:
р2 —а2
2 (In р — In а)
2.32. Случайная величина X — ошибка измерительного при-
бора, распределена по нормальному закону с дисперсией 16 мв2.
Систематическая ошибка прибора отсутствует.
Найти вероятность того, что в пяти независимых измерениях
ошибка X: а) превзойдет по модулю 6 мв не более трех раз; б) хотя бы
один раз окажется в интервале. 0,5—3,5 мв.
Ответ: а) 0,999; б) 0,776.
2.33. В круг радиуса R наудачу бросили точку. Вероятность
попадания точки в любую область, расположенную внутри круга,
пропорциональна площади этой области.
Найти функцию распределения Л(х) и плотность вероятности
Wi(x) расстояния X точки до центра круга.
Ответ:
Fi (*) =
' 0 при х 0,
Y 2
— при 0<Zx^R,
хг
1
0
2х
Я1
0
при
при х^0,
при 0<х^/?,
при
90
2.34. На отрезок АВ длиной I наугад бросают точку М. Ве-
роятность попадания этой точки в любой отрезок, лежащий целиком
внутри АВ, зависит только от длины этого отрезка и пропорциональ-
на ему.
Определить: а) функцию распределения F^x) и плотность ве-
роятности Г1(х) площади прямоугольника со сторонами AM и МВ\
б) вероятность Р того, что площадь прямоугольника будет
З/2
меньше .
1о
Ответ:
при х < О,
а)
при
при
б)
О при х<0,
2 /2
-------- при 0 < х < —,
f-------4?-4
‘•у
I2
О при ;
Р=р(х<-11]=-.
\ 16 J . 2
2.35. На окружности радиусом R и с центром, расположен-
ным в начале координат, берется наудачу точка. Вероятность взять
точку на любой дуге окружности зависит только от длины этой
дуги и пропорциональна ей.
Вычислить: а) функцию распределения Fi(x) и плотность вероят-
ности Wi(x) положения проекции X точки на ось абсцисс; б) вероят-
Р р
ность неравенства — < X <
Ответ:
а) 0 при
Л (х) = < 1 X 1 arccos — л R при -R< <х^ R,
1 при х^ >R;
0 при X < :-R,
Г1(х) = 1 л — х2 при -/?< Zx^R,
0 при х> >/?;
б) — •
' 3
4В*
91
2.36. Функция распределения
величины X задана выражением
Fi(x) непрерывной случайной
О при х^О,
ах2 при 0<х^4,
1 при х>4.
Определить: а) коэффициент а\ б) плотность вероятности IFi(x);
в) вероятность попадания величины X на участок от 1,5 до 3,5.
Ответ:
б)
О
1
— х
8
О
при х^О,
при 0<х^4,
при х>4;
. 1
а) а =;
7 16
5
8
2.37. Случайная величина X подчинена закону Коши с плот-
ностью вероятности
^(х)
с
Л2+х2 ‘
Требуется: а) найти соотношение, которому должны удовлетво-
рять постоянные с и Л; б) определить функцию распределения Fi(x)
случайной величины X; в) построить графики IFi(x) и Fi(x) для слу-
чая, когда h = 1; г) вычислить вероятность неравенства — 1 < X 1
при h = 1.
Ответ:
б) FxW^ + ^arctgf;
7 2
2.38. На электронное реле воздействует случайное напряже-
ние X с релеевской плотностью вероятности
Г1(х) = ^-е"^Г, х>0.
92
Определить вероятность Р срабатывания схемы, если электрон-
ное реле срабатывает всякий раз, когда напряжение на его входе
превышает 2в.
__2
Ответ: Р = е °2.
2.39. При определенных условиях замирания радиосигнала
из-за явления многолучевости можно моделировать распределением
Релея
9/1
W^A^-^-e °, Л>0,
где А — подверженные замираниям мгновенные значения амплиту-
ды огибающей принимаемого сигнала; Aq — квадрат усредненной
за достаточно большое время амплитуды огибающей.
Пусть федингующий сигнал принимается на п антенн, разнесен-
ных друг относительно друга на такие расстояния, при которых скла-
дываемые сигналы можно рассматривать статистически независи-
мыми. г
Вычислить вероятность Р того, что сигнал на всех антеннах
одновременно упадет ниже уровня //.
(Н2 \ га
л2 I
1 — е 0 / .
2.40. Функция IFi(x) задана выражением
^i(x) =
о
А
х4
при
при
X 1,
х> 1.
Определить: а) при каком значении А эта функция будет плот-
ностью вероятности случайной величины X; б) вероятность Р± того,
что величина X примет зйачения в интервале от 1 до 2; в) вероят-
ность Р2 того, что при 3-х независимых испытаниях случайная ве-
личина X ни разу не попадет в интервал от 1 до 2.
Ответ:
а) Л = 3;
6) Л =
2.41. Бомбардировщик может быть атакован истребителем
под различными курсовыми углами; случайная величина X —
курсовой угол — распределена по закону, плотность вероятности
которого имеет вид
при |х |
Найти: а) коэффициент Ао и функцию распределения Fi(x) курсо-
вого угла; б) вероятность того, что атакующий истребитель может
быть обстрелян, если на бомбардировщике имеется стрелковая уста-
новка, позволяющая обстреливать атакующий истребитель, только
когда курсовой угол находится в пределах от —т 3 до + л/3.
Ответ:
а) =
л Л
О при ----—,
1 / • ! 1 \ ЭХ - ЭХ
— (sm х + 1) при------------< х ,
2 2 2
б) 0,866.
2.42. Плотность вероятности IFi(x) случайной величины X
имеет вид
Вычислить: а) постоянную с; б) вероятность Р того, что в двух
независимых наблюдениях случайная величина X примет значения,
меньшие 1.
Ответ [20]:
. 2
а) с — —;
ЭХ
б) Р = (— arctg eY.
2.43. Испытания показали, что срок службы X элементов
радиоэлектронного оборудования можно описать функцией распре-
деления Вейбулла
f 1 (х) = 1 — е~с*“, а > 0, с > 0, х > 0.
Определить плотность вероятности 1Fi(x) случайной величины X.
Ответ: (х) = саха~} е~сх<х.
2.44. Функция распределения F^t) случайного времени без-
отказной работы радиоаппаратуры имеет вид
___t_
т , t>0.
Определить: а) плотность вероятности U^i(Z); б) вероятность без-
отказной работы аппаратуры в течение времени Г.
Ответ:
_ t
а) = 3 ;
б) Р = е-1 да 0,368.
2.45. Напряжения сигнала us(0 и гармонической помехи
«п(0 имеют вид
sin (at + ф0),
ип (0 = Ло sin (at + <р0 + <р),
где ф — случайная разность фаз колебаний сигнала и помехи,
равномерно распределенная в интервале от —л до л.
Определить вероятность того, что амплитуда суммарного ко-
лебания меньше половины амплитуды сигнала.
Ответ [19]: 0,16.
2.46. Группа самолетов производит одиночное и независимое
бомбометание по железнодорожному мосту, ширина которого равна
10 м. Направление захода — вдоль моста. Прицеливание — по
средней линии моста. Вероятное отклонение Е при нормальном
рассеивании в направлении, перпендикулярном полету, равно 25 м.
Систематические ошибки отсутствуют. Каждый самолет сбрасывает
одну бомбу. Для разрушения моста достаточно одного попадания.
Сколько следует послать самолетов, чтобы с вероятностью не
менее 0,9 быть уверенным в разрушении моста?
Ответ: п > 21.
2.47. Самолет производит одиночное бомбометание по ко-
лонне войск противника, ширина которой 8 м. Направление по-
лета — вдоль колонны, прицеливание — по средней линии. Ве-
роятное отклонение при нормальном рассеивании в направлении,
перпендикулярном полету, равно 10 м. Вследствие скольжения
стреляющего самолета имеется систематическая ошибка — центр
??
рассеивания смещается в направлении, перпендикулярном полету,
в среднем на 10 м.
Найти вероятность попадания в колонну.
Ответ: 0,171.
2.48. Производится стрельба ракетами по взлетно-посадочной
полосе, ширина которой 100 м, длина практически не ограничена.
Прицеливание ведется по средней линии полосы, но из-за наличия
ветра средняя точка попадания смещается: вдоль полосы на 200 м
и поперек на 50 м. Вероятное отклонение Е, характеризующее нор-
мальное рассеивание точки попадания в направлении, перпендику-
лярном полосе, равно 100 м.
Найти вероятность того, что из трех выстрелов ракетами хотя бы
один даст попадание во взлетно-посадочную полосу.
Ответ: 0,578.
2.49. Доказать, что для независимых случайных величин X
и Y справедливо равенство
F2(x, у) = Fi(x) Fi(y).
2.50. По цели производятся два независимых выстрела. Ве-
роятность попадания в цель при первом выстреле равна pif при
втором — /?2-
Найти функцию распределения F2(x, у) системы случайных ве-
личин (X, У), где X — число попаданий при первом выстреле,
а У — число попаданий при втором выстреле.
Ответ:
(X, У) =
0 при
(1—Pi)(l—Рг) при
1—при
1—р2 при
1 при
хСО, у СО,
0<х < 1, 0<уС
0<хС 1, У> 1,
х> 1, 0<у < 1,
1, у > 1.
2.51. Система независимых случайных величин (Xt, Х2, ....
Хп) задана плотностями вероятностей IFt(xi), ITi(x2), •••,
Вычислить функцию распределения Fn(xit х2, ..., х„) этой си-
стемы случайных величин.
п
Ответ: Fп (хх, xz....хп) = П $ (уг) dyt.
i = 1 — оо
2.52. Независимые случайные величины X и У распределены
по нормальному закону с параметрами тх— 1, ту = —3, ах = 9,
а2у = 16.
Написать выражение для плотности вероятности w2(x, у) си-
стемы случайных величин (X, Y).
Ответ;
1 (*-0‘ (у+3)»
ю2(х, у) =— е 18 32 .
2v У’ 24л
2.53. Плотность вероятности w2(x, у) нормального распреде-
ления системы двух случайных величин (X, Y) имеет вид
(х+3)« (у-5)»
w2 (х, У) =---е 50 98 •
2V 77 70л
Найти параметры распределения тх, ту, ах, ау.
Ответ: тх =—3, mv = 5, ох = 5, <тм = 7.
X у X у
2.54. Независимые случайные величины X и Y имеют равно-
мерные распределения соответственно в интервалах от 0 до 1 и от
—1 до 1.
Определить функцию распределения F2(x, у) системы случайных
величин (X, Y).
Ответ:
Р2 (X, У) =
0 при х=^0, у^—1,
при 0<х^1, —1<у<1,
х при 0<х<1, у 1,
у при х > 1, — 1 <; у 1,
1 При Х>1, У>1.
2.55. Плотность вероятности W2(x,y) системы двух случайных
величин (X, Y) имеет вид
Ц7 (х, у) =--------------.
2V 1+ха+у24-х2у3
Найти: а) коэффициент 4; б) вероятность Р попадания величины
(X, Y) в квадрат —1 •< х < 1; 0 < у < 1; в) функции распре-
деления F2(x, у), Fi(x), Fi(y); г) плотности вероятностей ITi(x) и
Wi(y) и зависимость случайных величин X и Y.
Ответ:
б) Р = 0,125;
97
в) F2(x, у) = ^-(arctgx + -j') (arctgy + -£-'|,
F1(x) = — (arctgx + — \ F± (y) = — ( arct
r)
№,(x) =----?---,
1V ’ л(1 + х«)
^1(У)
1
л (!+/*)
Случайные величины X и Y независимы.
2.56. Функция распределения F2(x, у) системы двух случай-
ных величин (X, Y) задана выражением
F2(x, у) = 1—е-м—e-^ + e-^-Pi', х>0, у>0.
Определить: а) плотность вероятности W2(x,y) системы (X, У);
б) плотности вероятностей ITi(x) и W\(z/) и зависимость случайных
величин X и У; в) вероятность попадания величины (X, У) в квад-
рат с вершинами: Л(1, 1), В(0,1), С(0,0), 0(1,0).
Ответ:
а) №2 (х> У) — аР
б) IF1(x) = ae-« W\(y) = 0e-₽y.
Случайные величины X и У независимы;
в) Р = (1—е-“)(1—е-₽).
2.57. Плотность вероятности 1Г2(х, у) системы двух случай-
ных величин (X, У) задана выражением
W2 (х, у) = — е-*’ + 6х-у’-2у- 12.
Л
Определить: а) коэффициент Л; б) плотности вероятностей
IFi(x) и Wi(y) соответственно величин X и У; в) являются ли случай-
ные величины X и У зависимыми.
Ответ:
а) Л = ё2;
б) W1(x) = -^e-^1, V1(y) = -^e-(v+»2;
У я У я
в) случайные величины X и У независимы.
2.58. Двумерная случайная величина (Х,У) имеет плотность
вероятности
№2(х, у) = Лз1п(х + у), 0<х^-у-, 0<у^^--
Определить: а) постоянную А, функции распределения F2(x, у),
Fi(x), Fi(y)\ б) вероятность Р выполнения неравенств х< р у < ^.
98
Ответ:
а) Л = 0,5, F2(x, у) = 0,5 [sin х +sin у—sin(x + y)],
(х) = 0,5 (1 — cos х + sin х), (у) = 0,5 (1 — cos у + sin у);
б) P = p(x<-j, У<^ =0,207.
2.59. Двумерная случайная величина (Х,У) имеет равномер-
ную плотность вероятности внутри круга С радиуса R;
№2(х,у) =
при х2 + у2<Р2,
л/?2
0 при х2 + у2 > R2.
Доказать, что случайные величины X и У являются зависимыми.
2.60. Плотность вероятности двумерной случайной величины
(X, У) имеет вид
x9 — 2Rxy 4-у9
Вычислить плотность вероятности случайной величины X.
Ответ:
w (х) = —±=- е 2 •
у 2л
2.61. Плотность вероятности W2(x, у) двумерной случайной
величины (X, У) имеет вид:
^2(х,У) =
1 х2 . у2 1
— внутри эллипса--------к—= 1,
6л J г 9 4
0 вне этого эллипса.
Доказать, что X и У — зависимые величины.
2.62. Двумерная случайная величина (X, У) распределена
по нормальному закону с плотностью вероятности
w2(x, у)=—е-Л2^2+У2).
Требуется: а) найти значение величины h, если известно, что
вероятность попадания в круг х2 + у2 С R2 равна р; б) определить,
при каком значении h вероятность попадания в кольцо г2 < х2 + р2<
< R2 будет наибольшей.
Ответ:
а)
б)
Литература
1. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советское
радио», 1966.
2. У и л к с С. Математическая статистика. Изд-во «Наука», 1967.
3. К р а м е р Г. Математические методы статистики. Изд-во иностранной
литературы, 1948.
4. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д.
Математические методы в теории надежности. Изд-во «Наука», 1965.
5. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. Изд-во
«Наука», 1967.
6. Кендалл М. Дж., Стюарт А. Теория распределений. Изд-во
«Наука», 1966.
7. В е н т ц е л ь Е. С. Теория вероятностей. Физматгиз, 1962.
8. Ш о р Я. Б. Статистические методы анализа и контроля качества и
надежности. Изд-во «Советское радио», 1962.
9. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций
в радиотехнике. Изд-во «Советское радио», 1961.
10. С а а т и Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложе-
ния. Изд-во «Советское радио», 1965.
11. F а г i s о n James. On calculating moments for some common probabi-
lity laws. IEEE Trane. Inform. Theory, 1965, 11, №4.
12. Л e в и н Б. P. Теоретические основы статистической радиотехники.
Изд-во «Советское радио», 1966.
13. А б е з г а у з Г. Г., Тронь А. П., КопенкинЮ. Н., К о -
р о в и н а И. А. Справочник по вероятностным расчетам. Воениздат,
1966.
14. Ф е л л е р В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1 и
2. Изд-во «Мир», 1967.
15. Г р а д ш т е й н И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. Физматгиз, 1962.
16. П а г у р о в а В. И. Таблицы неполной Г-функции. Изд. ВЦ АН СССР,
1964.
17. Б а р к Л. С., Большее Л. Н., Кузнецов П. И. Таблицы
распределения Релея — Райса. Изд. ВЦ АН СССР, 1964.
18. В о л о д и н Б. Г., Ганин М. П., Д и н е р И. Я., Кома-
ров Л. Б., Свешников А. А., Старобин В. Б. Сборник
задач по теории вероятностей, математической статистике и теории слу-
чайных функций. Изд-во «Наука», 1965.
19. Е м е л ь я н о в Г. В., С китов и ч- В. П. Задачник по теории
вероятностей и математической статистике. Изд. ЛГУ, 1967.
20. Ефимочкина Е. П. ,Кожевников Н. И. Задачи по теории
вероятностей. Изд. МАИ, 1963.
3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 1. Теоретические сведения
Во многих практических задачах трудно или
даже невозможно полностью определить функцию распределения
случайной величины. Иногда в ней и нет необходимости. В таких
случаях полное описание случайной величины при помощи закона
распределения может быть заменено более грубым, но зато и более
простым указанием отдельных параметров (числовых характери-
стик) этого распределения.
Наиболее важными числовыми характеристиками случайной
величины X являются математическое ожидание (среднее значение)
тх и дисперсия о*. Вместо тх используют обозначения М(Х), Е(Х),
а вместо —Е>(Х).
Для дискретной случайной величины X математическое ожида-
ние равно
п
тх — М(Х) = 2 Xtpi. (3.1)
i— 1
Если X — непрерывная случайная величина с плотностью вероят-
ности №\(х), то
оо
тх= § xW^xjdx. (3.2)
Формулы для дисперсии имеют вид
о «
в2 = М[(Х—тх)2]==М(Х.2) = 2 (xt—mx)2Pi, (3.3)
/=1
а2= f (x—mxyW1(x)dx, (3.4)
— 00
где Х = Х— тх—центрированная случайная величина, т. е.
отклонение случайной величины X от ее математического ожида-
ния.
101
Обобщением формул (3.1) — (3.4) являются выражения, опрё^
деляющие математическое ожидание и дисперсию произвольной
функции ф(Х) случайной величины X:
М[ф(Х)]= 2фШ (3.5)
i
М [ф (X) ] = § <р (х) W1 (х) dx, (3.6)
— оо
D [ф (X)] = 2 [ф (Xi) -т,]2 Pi, (3.7)
i
Z> [ф (X)] = § lfp(x)—m<e]2W1(x)dx, (3.8)
— оо
где т<р = Л4[ф(Х)]—математическое ожидание функции ф(Х).
Математическое ожидание определяет абсциссу центра тяжести
кривой распределения, а дисперсия — разброс случайной вели-
чины относительно ее математического ожидания. Рассеивание
случайной величины часто характеризуют средним квадратичным
отклонением («стандартом») ах, которое равно
<>х= + /^- (3.9)
Кроме математического ожидания в качестве характеристик
положения случайной величины применяются иногда медиана и
мода.
Медианой Me (иначе, срединным или вероятным значением)
называется такое значение случайной величины X, при котором
Р (X <Ме) = Р(Х >Ме) = у- (3.10)
Для непрерывной случайной величины X медиана находится из
условия
Л(Ме) = А
ИЛИ
$ W1(x)dx= f W1(x)dx.
— оо Me
Для дискретных случайных величин медиана определяется не-
однозначно и практически не употребляется.
Модой М (иначе, наивероятнейшим значением) называется такое
значение случайной величины X, для которого вероятность
102
Р(Х = Л4) или плотность вероятности имеют наибольшее
значение. Если максимум один, то распределение называется
одномодальным (унимодальным), а если несколько — многомодаль-
ным (полимодальным, мультимодальным).
При описании непрерывного распределения используют иногда
квантили. Квантилем, отвечающим заданному уровню вероятности
р, называется такое значение х = xpi при котором функция рас-
пределения Fi(x) принимае! значение, равное р\
?Л*Р) = Р- (3.11)
Общими числовыми характеристиками случайной величины
являются моменты, которые представляют собой неслучайные ве-
личины (числа), характеризующие случайную величину с какой-
либо стороны. Характерная особенность их состоит в том, что мо-
менты более низкого порядка несут в себе больше сведений о слу-
чайной величине, чем моменты более высокого порядка.
Моментом k-ro порядка случайной величины X относительно
произвольной точки а называется математическое ожидание вели-
чины (X — a)k:
mk(a) = M(X—a)k. (3.12)
Момент, рассматриваемый относительно начала координат
(а = 0), называется начальным, а относительно математического
ожидания (а = /пх) — центральным.
В некоторых случаях используются абсолютные и факториаль-
ные моменты, которые соответственно определяются формулами:
РА(а) = М (| X—а\*), (3.13)
m[&](a) = M([X-a]iftJ). (3-14)
где z^ = z(z—l)(z—2)... (z—&4-1).
Факториальные моменты полезны в двух отношениях. С их по-
мощью можно в более компактном виде записать моменты некото-
рых дискретных распределений (типа биномиального) и, кроме
того, в задачах определенного класса, включающих дискретные
случайные величины, часто удобно находить начальные моменты tnk,
предварительно вычислив факториальные.
В табл. 3.1 приведены аналитические выражения различных
моментов для дискретной и непрерывной случайных величин.
Из приведенных данных видно, что математическое ожидание
(среднее значение), определяемое формулами (3.1) и (3.2), пред-
ставляет собой начальный момент первого порядка. Для любой
случайной величины центральный момент первого порядка равен
нулю, а центральный момент второго порядка представляет собой
103
Таблица 3.1
Формулы для определения моментов случайных величин
Наименование момента Аналитическое выражение момента дискретной случайной величины X Аналитическое выражение момента непрерывной случайной величины X
1. Начальный момент k-ro порядка mk=M(Xk) = %xkiPl тк = f xkW1(x)dx —оо
о 2. Центральный момент &-го порядка li& = m(xA)=2 (Xi—mx)kpi j=i оо НА= J (х— tnx)kW1(x)dx —оо
3. Абсолютный начальный мо- мент Рд k-ro порядка i=l оо ₽fe= J | X (X) dx —оо
4. Абсолютный центральный момент V& k-ro порядка vk = M (|x |*)=21 xt— mx\kpt i=l оо vk = f |х—mx\k ЧГх (х) dx —оо
5. Факториальный начальный момент k-ro порядка mw = M(Xw)='^)x^pi оо т[А]~ J —оо
6. Факториальный центральный момент k-ro порядка M -mx)Wp. Н[Л]= J (*—mx)WWi(x)dx — оо
дисперсию. Абсолютные моменты четных порядков совпадают
с обычными моментами.
При решении практических задач наиболее часто используются
начальный момент первого порядка mi (математическое ожидание),
начальный момент второго порядка т2 (средний квадрат случайной
величины), центральный момент второго порядка р,2 (дисперсия),
центральные моменты третьего и четвертого порядков, а также абсо-
лютный центральный момент первого порядка, называемый
средним арифметическим отклонением.
С центральным моментом третьего порядка р,3 связан коэффи-
циент асимметрии характеризующий «скошенность» распреде-
ления, а с центральным моментом четвертого порядка ц4 — ко-
эффициент эксцесса у2, показывающий «крутость» распределения
вероятностей.
Для симметричных относительно математического ожидания
распределений все моменты нечетного порядка (если они суще-
ствуют) равны нулю и асимметрия отсутствует. Эксцесс нормаль-
ного распределения равен нулю. Если кривая плотности вероят-
ности U/i(x) имеет более острую и высокую вершину по сравнению
с нормальным распределением. до(х), то эксцесс положителен;
если более низкую и пологую — отрицателен.
Коэффициенты асимметрии и эксцесса определяются соответ-
ственно формулами
= (3.15)
Т2 = $-3. (3.16)
Моменты — не единственные постоянные, характеризующие рас-
пределение случайной величины. С теоретической точки зрения
более полезна другая совокупность постоянных, называемых семи-
инвариантами (или кумулянтами) Отличие их от моментов отно-
сительно произвольной точки состоит в том, что все семиинварианты
(за исключением первого) инвариантны относительно изменения
начала отсчета. Название «семиинварианты» как раз и обусловлено
их инвариантными свойствами.
Различные моменты и семиинварианты связаны между собой
следующими соотношениями [1—3]:
k
тк= ^Сь^к-1гп\, (3.17)
z=o
k
2 Clkmk-i(—mJ1, (3.18)
z=o
105
^2= Нг + «Ь
т3-= ц3+Зт1ц2 + т3,
m4 = iii + 4m1ii3 + 6tn2i р.24-/П1,
(3.19)
р.2 = /п2 —т2,
Нз — тз—Зт1т2 + 2т3,
|х4 — т4— 4т1т3~[- 6т2т2—3m i,
(3.20)
/П[1] = /П1,
mi2} = m2—mlt
/П[з] = т3—Зт2 4- 2mv
— 6т3 + 11т2—6mlt
........................)
(3.21)
/»1 = /П[1],
/П2 = /П[2]4-/«[1].
тз — т[з] 4- 3/«[2] 4~/И[1ь
/п4 = /П[4] 4-6/п[3] 4-7/П[2] 4-«i[i]>
(3.22)
Нг — х2»
Нз = ^3’
|х4 = х44-Зх2,
(3.23)
х2 = Нг»
хз = Из»
х4 == р,4 Зр»2 >
(3.24)
m2 = x24-xf,
/Пз = Хз4-ЗХ1И24-Х?,
т4 = Н4 + 4«! Х3 4- 3x1 4- 6X1 х2 4- Х1,
(3.25)
106
= ^1»
x2 = /n2—m2,
x3 = m3 — 3m j tna + 2/n?,
x4 - m4—4/Пх/Пз— З/П2 + 12/ni — 6/nf,
(3.26)
В формулах (3.21) и (3.22) предполагается, что возможные значения
случайной величины отстоят друг от друга на единицу.
В случае аналитического задания закона распределения (в виде
формулы) определение моментов сводится к вычислению соответ-
ствующих сумм и интегралов (см. табл. 3.1). Расчет моментов упро-
щается, если воспользоваться аппаратом характеристических функ-
ций.
Характеристическая функция (и) определяется как матема-
тическое ожидание случайной величины е'"х, т. е.
оо
0х(ы) = М(е^) = $ d№xW1(x)dx, (3.27)
<— 00
где и—вещественная величина; j = V — 1.
Используя представление плотности вероятности Wi (х) в виде
суммы дельта-функций, формулу (3.27) можно распространить на
дискретные случайные величины
п
©i(«) = 2 Рь*ахь, (3.28)
k~ 1
где xk — возможные значения случайной величины X; Рь =
= р(Х = хй) — соответствующие им вероятности.
Плотность вероятности Wi(x) однозначно выражается через
характеристическую функцию:
оо
= J (3.29)
— 00
Из (3.27) видно, что при изменении знака у показателя экспонен-
ты, определение характеристической функции совпадает с опреде-
лением спектральной функции. Поэтому для нахождения ©i(«) по
известной плотности W\(x), или ITi(x) по ©i(u) можно пользоваться
таблицами преобразований по Фурье (или по Лапласу с учетом
пределов интегрирования).
Для определения моментов тк случайной величины X нужно
вычислить k-ю производную от характеристической функции по
параметру и и положить и = 0:
т * ^L<fO| . (3.30)
jk duk |и=о
107
Семиинварианты (или кумулянты) xft определяются из соотно-
шения
со
ineju) = 2 if (1иУ-
(3.31)
Вместо характеристических функций ©i(«) часто используют
так называемые производящие функции <pi(«) [1, 3, 4]:
оо
(и) = М (е"х) — еих (х) dx. (3.32)
— оо
Существенное различие между ними состоит в том, что характе-
ристическая функция существует всегда, а производящая функ-
ция — только в случае существования всех моментов.
При решении задач, связанных с совместным изучением несколь-
ких случайных величин, кроме моментов каждой из них в отдель-
ности, пользуются смешанными моментами случайных величин. Так,
например, в случае системы двух случайных величин (X, Y) началь-
ный момент (ki + k2)-го порядка определяется как математическое
ожидание величины Xk‘Yk*:
mkik, = M(Xk>Yk>). (3.33)
При ki = 0 или k2 = 0 формула (3.33) дает моменты случайных ве-
личин X и У по отдельности.
В табл. 3.2 приведены формулы для определения различных
моментов двумерных случайных величин дискретного и непрерыв-
ного типов.
Среди смешанных моментов случайных величин особую роль
играет центральный смешанный момент второго порядка ци, кото-
рый обычно называется корреляционным моментом (иначе «момен-
том связи», ковариацией) случайных величин X, У и обозначается
символом Krv
л у
Ни == Хху = М (X У) = М [(X—/их) (У-/иу)]. (3.34)
Для дискретных случайных величин
Хху = S S (Ъ—тх} (у}—ту) pt}, (3.35)
i i
где
р.; = р(Х = хг, У = у;),
а для непрерывных
00 оо
Кху = $ $ (х—тл)(у—my)W2(x, y)dxdy. (3.36)
108
Таблица 3.2
Формулы для определения моментов двумерных случайных величин
Наименование момента Аналитическое выражение момента двумерной случайной величины (X, Y) дискретного типа Аналитическое выражение момента двумерной случайной величины (X, У) непрерывного типа
1. Начальный момент mk k по- рядка &1+&2 mklki = м =2 2 Х1' У^Рц i j Г Гxklyk‘Wt(x, y)dxdy —оо —оо
2. Центральный момент k порядка ZSi + ^2 = 2 2 (xi~mx)k'(yj—ту)кг Pij i j ^м2= Г f (x-mx)k'(y-my)k‘ х . XF2 (х, у) dxdy
3. Абсолютный начальный мо- мент порядка kr + k2 =221** l*‘ 1У/ lA2Pi7 i i ₽м2= J J \x\k'\y\k‘W2(x,y)dxdy —оо —co
4. Абсолютный центральный момент vk k порядка ^ + ^2 о *© = 2 2 1 xi ~m* I*1 1 yj~ тУ I*2 Pii i ! VMS= Г $ \x-mx\^\y-my\k*X XF2(x, у) dx dy
5. Факториальный начальный момент порядка &1 + &2 m[*d r[*,])= i i = Г .• x[M yCft2] ^2 (X. У) dxdy —oo —oo
6. Факториальный центральный момент порядка &1+ &2 = 2 2 (Xi — (У, — тУ^кгУРц i ! oo oo <Л[*1][4г]= 1 f (x-/nx)[A‘](y-my)[MX XF2 (xty) dxdy
Корреляционный момент Кху представляет собой такую харак-
теристику системы случайных величин, которая описывает, помимо
рассеивания величин X и У, еще и связь между ними. Часто вместо
корреляционного момента Кху пользуются безразмерной величиной,
называемой коэффициентом корреляции Rxy:
<3'37)
ах Оу
где <ух, оу — средние квадратичные значения величин X и У.
Коэффициент корреляции Rxy удовлетворяет условию
(3.38)
и определяет линейную вероятностную зависимость между случай-
ными величинами.
Если X и У независимы, то Кху = 0 и Rxy = 0. Две случайные
величины, для которых коэффициент корреляции равен нулю, на-
зываются некоррелированными. Независимые величины всегда не
коррелированы. Зависимые величины могут быть как коррелиро-
ванными, так и некоррелированными. Для нормальных случайных
величин некоррелированность означает также и независимость.
В некоторых случаях используются условные моменты случай-
ной величины X относительно У. Для условных математического
ожидания и дисперсии случайной величины X относительно У фор-
мулы соответственно имеют вид
~ J xW2(x,y)dx
М(Х\у)= xH71(x|y)dx = -----------(3.39)
—оо J W2(x,y)dx
— оо
D(X\y) =
“ У [х-М(X\y)]2W2(x, y)dx
= [x-M(X|y)]2W'1(x|yMx=^-^---------------------- . (3.40)
-оо J W2(x,y)dx
— оо
При решении задач настоящей главы следует иметь в виду из-
вестные соотношения для основных числовых характеристик
случайных величин:
1) если С — не случайная величина, то
М(С) = С, М(СХ) = СМ(Х); (3.41)
2) для любых случайных величин X и У
М (X ± У) = М (X) ± М (У); (3.42)
110
3) математическое ожидание линейной функции равно
М ( 3 агХ + &)= 3 а.М(Х.) + Ь, (3.43)
\/=1 / /=1
где аг, Ь—не случайные коэффициенты;
4) для любых X и Y
M{XY) = M (X) М (У) + Кху. (3.44)
Если X и У некоррелированы (Хху = 0), то
Л4 (ХУ) = Л4 (X) Л4 (У); (3.45)
5) если С — не случайная величина, то
D(C) = 0;
6) не случайную величину С можно выносить за знак дисперсии,
возводя ее в квадрат:
D(CX) = C2D(X), а (СХ) = | С | а (X); (3.46)
7) для любых случайных величин X и У
D (X ± У) = D (X) + D (У) ± 2Кху. (3.47)
Дисперсия суммы (разности) некоррелированных случайных ве-
личин (Кху = 0) равна сумме их дисперсий:
£»(Х±У) = Р(Х) + Р(У); (3.48)
п
8) дисперсия линейной функции 3 at + b определяется
i= 1
формулой
D\ 3 агХг + &)= 3 а?Р(Хг) + 23 atajKi}. (3.49)
V=1 / z=l KI
Если все величины Хх, Х2, .... Хп не коррелированы, то
D ( 3 atXf + б) = 3 a] D (Хг); (3.50)
V=1 / i=l
9) для независимых случайных величин X и У дисперсия их
произведения равна
D (ХУ) = D (X) D (У) + т2 D (У) + т2 D (X). (3.51)
В табл. 3.3 приведены выражения для основных числовых ха-
рактеристик дискретных законов распределения, а в табл. 3.4 —
для наиболее распространенных непрерывных законов распреде-
ления Ц—13].
111
Таблица 3.3
Основные числовые характеристики дискретных законов распределения
Наимено- вание закона Математичес- кое ожида- ние т Дисперсия о8 Центральный момент р.3, коэффициент асимметрии Центральный момент коэффициент эксцесса у2 Другие соотношения для моментов
1. Гипер- геомет- рический М п • N М (N—M) п (N—n) №(2V— 1) М(УУ —М)(ЛГ —2М) M(N — M)n(N~n)
Из~ №>(#—1)(N—2) Х Xn (N — п) (N—2п)', (JV—2М) (М—2п) (N—2)УМ(Ы—М) n(N—n) И4 ~ Ni (N— 1 )(N—2)(N—3) X {№^+1)-6№п (N—n)+ + 3M (N—M) [№(n — 2) — —Nn2+&n (N—n)]}
2. Бино- миаль- ный пр npq, q=i—p ^3 = npq (q—p)', q—p 71 /«Р<Г p.4= 3n2p2<72+np? (1 —6p0; „ l — 6pq 72 — np? i*k+i=pq(nk?k-i+-^ j
Зак. 728
Наимено- вание закона Математичес- кое ожида- ние т Дисперсия а2 Центральный момент р.3, коэффициент асимметрии
3. Пуас- сона А А |х3 = Х; 1 V1=VT
^3 = 0;
n2—1
12
4. Равно-
мерный
2
Yi = 0
P<3 — X (1 “I- а А») (1 “I- 2ocX) j
5. Полна
A
X(l + aX)
l + 2aX
Yl~ /X(l + aX)
Продолжение табл. 3.3
Центральный момент р.4, коэффициент эксцесса у2 Другие соотношения для моментов
H4 = 3V + X; 1 du-ь "’*4-1=^ + k-i +х 2 crlmn-i i=Q
(п2 — 1) (Зга2—7) и. л — 240 4 ’=- ‘2+^=г
==3а2 (2а+ 1)Х4 + + 6а(2а+1)Х3 + + (7а + 3) Х2 + Х; 1 *у2 = оо^ -4— г ^Х(1 + аХ)
Основные числовые характеристики непрерывных законов распределения
Таблица 3.4
Наименова- ние закона Математи- ческое ожи- дание т Дисперсия а2 Центральный момент коэффициент асиммет- рии Yi Центральный момент ’д4, коэффициент эксцесса р Другие соотношения для моментов
1. Равно- мерный а-\-Ь 2 (Ь-Д)2 12 Из = 0; Vi=0 (Ь-а)> 80 Y2=-l,2 ьй+1_аН-1 /Ль — ’ (6-а)(^ + 1) &*+2—а*+2 fe + 1 bk-\_ak-\ k-\-2 mk
2. Нор- мальный т о2 1^з=0; Ti=0 Р-4 = За4; ?2 = 0 (2*)! ( ‘ 2? H-2fe+i —°; Г-] /1 2y UJ m*~2‘ trih =kl > pi ~ —наибольшее целое чис- k ло, не превосходящее —
3. Норма- льный стан- дартный 0 1 о о II II « гЧ 3- 1 ’ll ° 5? — | <N О -1 e. 11 o' ле 11 еч —* -|_ II И СЧ s
Oi
Наименова- ние закона Математи- ческое ожи- дание т Дисперсия <J2 Центральный момент р.3, коэффициент асиммет- рии Yt
4. Бета- распределе- ние а а + Ь ab (а+Ь)»(а+6+1)
5. Релея 0 1/ 2L У 2 Q 09 1 го | S | е| <х О'? ссГ 1 1 5 к со 'L *
*i Va 6. Вейбул- ла а с X xrfl + —) \ а J 2 “~Г / 2\ с Г 1 + — — L \ а / - Г»(1 + - )1 \ aJ 1А3 а3
Продолжение табл. 3.4
Центральный момент коэффициент эксцесса у2 Другие соотношения для моментов
Г(а + &)Г(а + &) mh~ Г (а) Г(а + 6 + й)
1 з \ р.4 = о4 ( 8 — — л2 ; \ 4 /
- 3 2 у2 = 5—— л2 k PA = S (- 1=0
?2- а4 -3 k « l \ ^k~c г i + — H \ Ot / k Pfe = 2 (— 1)1С^т1тк_1 i=0
Наименова- ние закона Математи- ческое ожи- дание т Дисперсия о8 Центральный момент р.3, коэффициент асиммет- рии
аь °* 7. Лапла- са Р- 2 %2 6 14 = V : 3/2“ ?!= —
8. Экспо- ненциаль- ный одно- сторонний £ X 1 %2 11 £ со
9. Гамма- распределе- ние (<%+!)₽ (а+1)₽2 [л3 = 2 (а+ 1) рз; 2 71 / а + 1
Продолжение табл. 3 4
Центральный момент р.4, коэффициент эксцесса у2 Другие соотношения для моментов
24 ?2 = 3 И] 21 Ц2й = (2^)-'Х-2*, Н 2&4-1 ~ °
9 ?2 = 6 fn^ — k! _LtJ_ mk+l- - mh
^4 = 3(а + 3) (а + + 0Р; 6 V2~a+1 m*+i = (« + *+ l)pm*; xft = (*-l)!(a + l)₽ft, xft+1=fc0xA
§ 2. Примеры
Пример 3.1. Производится стрельба по подвижной цели до
первого попадания. Вероятность р попадания при каждом выстреле
равна 0,4. На стрельбу отпущено 4 снаряда.
Определить: а) математическое ожидание тх случайной'вели-
чины X — числа израсходованных снарядов; б) дисперсию и
среднее квадратичное значение ох величины X.
Решение. Случайная величина X может принять следующие
значения: Xi = 1,> х2 — 2, х3 = 3, х4 = 4. Вероятности принятия
величиной X этих значений соответственно равны:
Р(Х = 1) = рА = р = 0,4; Р(Х - 2) = р2 - (1 — р)р = 0,6 х
X 0,4 = 0,24; Р(Х = 3) = р3 = (1 — Р)2Р = 0,62.0,4 - 0,144;
Р(Х = 4) = р4 = (1 — р)3р + (1 — р)4 - 0,63-0,4 + 0,64 = 0,216.
а) По определению математического ожидания имеем
п 4
тх = 2 xtpt = 2 хгА= 1-0,4 + 2-0,24+3-0,144 +
i = 1 i = 1
+ 4-0,216«2,2 сн.
б) Для дисперсии получим
о2 = 2 (хг—/Пх)2А = (1—2,2)2-0,4 + (2—2,2)2-0,24 +
i = 1
+ (3 — 2,2)2 • 0,144 + (4 — 2,2)2-0,2161,38 сн2,
ох= + уГоГ = /ТД8«1,17 сн.
Пример 3.2. Случайная величина X распределена по закону
Лапласа с плотностью вероятности
Гх(х) = ^- е-М*1, %>0.
Определить математическое ожидание и дисперсию величины X.
Решение. Математическое ожидание тх определяется форму-
лой (3.2)
ОО (73
тх— j xW\(x)dx=~ j хе-х I *1 dx.
Так как плотность вероятности ITi(x) имеет разные аналитические
выражения при х < 0 и х > 0, то
° °°.
тх — -^- J хе, х dxj xe~u dx.
— хХ> 0
117
Сделав в первом интеграле замену переменной х = —у, получим
ГПХ = и оо - Jу^-^У dy + -у- хе~Ух dx = оо \ 0
=-----—J уе~хУ dy + — j xe~'fxdx,
о о
Известно [14], что
r <;+>.
j «“+
Следовательно,
Поскольку mx = 0, то
oo 0 ос
Ох—/тг2= J x2Wr(x)dx — — J x2e,xdx + — J х2 e~lxdx —
— ОО —ОО О
ОО ОС
— — Су2 е-^ dy + — С х2 е-Ъг dx.
2 J 2 «J
о о
Но
о
Поэтому
Пример 3.3. Случайная ошибка измерения дальности импульс-
ным радиодальномером имеет нормальное распределение, причем
среднее квадратичное отклонение равно 50 м.
Найти вероятность Р того, что измеренное значение дальности
будет отличаться по абсолютной величине от истинного не более
чем на 30 м, если систематическая ошибка дальномера равна
+ 20 м.
Решение. По условию случайная ошибка распределена по
нормальному закону. Следовательно, плотность вероятности w(x)
суммарных ошибок имеет вид
1 (х — т)2 (х — 20)2
w(x) =—!—е 2<2 ----^=-е 2*5°2 .
о у 2 л 50 г 2 л
118
Измеренное значение дальности по абсолютной величине нё
превзойдет истинное более чем на 30 м, если выполняется неравен-
ство
IX I <30 м.
Вероятность Р выполнения этого неравенства равна
Зг°- /30—20\
Р=Р(|Х|<ЗО) = Р(—30<Х<30)- w(x)dx-Ф -75“)“
-з ' '
— Ф ( ~3°~2°) = ф (0.2) — [ 1 — Ф(1)] = 0,5793 — 1 +
+ 0,8413 » 0,421,
где Ф (г) — интеграл вероятности (2.9).
Пример 3.4. Случайная величина X описывается биномиаль-
ным законом распределения вероятностей.
Найти математическое ожидание ту и дисперсию ву случай-
ной величины Y = еаХ.
Решение. Случайная величина X может принимать значения
0, 1, 2, ..., п. Вероятность Pn(k) того, что она примет значение k
определяется формулой
PnW = Cknpkqn~\ q=l-p.
Используя формулы (3.5) и (3.7), получим
= 2 <р Pk = 2 yk Рп (k) =
k k = 0
n
— e CnP q —\qpe ) ,
n n
- 2 S C‘(pe‘-)‘ ч'-‘-т2у =
k = 0 6 = 0
= (q 4- pe2a)n—(q + pea)2n.
Пример 3.5. Случайная величина X подчинена равномерному
закону распределения вероятностей в интервале от 0 до 2.
Определить математическое ожидание и дисперсию величины
Y = 6Х2.
Решение. На основании формулы (3.6) имеем
2 2 3 |2
ту = ср (х) (х) dx = 6х2 • -у- dx — 3 |о =8.
119
Дисперсию случайной величины Y находим по формуле (3.8)
2 2
§ [ф U)—my]2 Wi (х) dx = § (6х2)2 dx—ту =
о о
г5 |2
= 18 — —64 = 51,2.
5 |о
Пример 3.6. По каналу связи с помехами передается кодовая
комбинация, состоящая из двух импульсов. В результате независи-
мого воздействия каждый из импульсов может быть подавлен по-
мехой с вероятностью р.
Определить характеристическую функцию 0i(u) случайной ве-
личины X — числа подавленных помехами импульсов.
Решение. Возможные значения дискретной случайной вели-
чины X :Xi = 0, х2 = 1, х3 = 2. Вероятности рАэтих значений соот-
ветственно равны pi = (1 — р)2; р2 = 2р(1 — р); р3 = р2.
Согласно формуле (3.28) имеем
з
(«) = 2 Pk = (1 —Р)2 + 2р (1 — р) е>“ 4- р2 e2ia =
k= 1
= 1 — 2р + Р2 + 2р еу7/—2р2 е>п + р2 е2^и =
= 1 + 2р (е'и — 1) + р2 (е'« — 1 )2 = [ 1 + р (е>“ — 1)]2.
Пример 3.7. Случайная величина X имеет равномерную плот-
р Р
ность вероятности в пределах от —до ~.
Определить характеристическую функцию ©i(w) случайной ве-
личины X и нарисовать ее график.
Решение. По условию нормировки (х) + у = 1. Сле-
довательно, Ц71(х)= —. Тогда
Р
&
оо 2
0i(«)— f eiux W1 (х) dx = f e'"x— dx =
J J 0
— OO 3
~~2
1
/0И
U0
sm —
2
uP
2
Графики плотности вероятности I^i(x) и соответствующей ей ха-
рактеристической функции ©i(u) приведены на рис. 3.1.
ПО
Рис. 3.1. Равномерная плотность"[вероятности (а) и со-
ответствующая ей характеристическая функция (б).
Пример 3.8. Найти плотность вероятности случайной
величины X, характеристическая функция ©i(rz) которой имеет вид
©1 (г/)
1
1+и2’
Решение. Согласно формуле (3.29) имеем
оо оо .
1 р 1 р р— ]ИХ
Г,(х) = — ®1(u)e-'iux du =— -----du =
1V ’ 2л J 1V ’ 2л J 1-f- u2
— oo — OO
oo oo
cos ux— j sin их du ________ 1
1 + u2 2л
— oo — oo
COS UX t
------du —
1+ u2
/
2л
sin ux
1 + u2
du
oo
f COS UX
J I+W2
0
du =— e~ixl,
2
так как
oo
Г cos ax i л
I-----dx = — e~
J l+x2 2
0
Пример 3.9. Случайная величина X распределена по закону
«х^-квадрат» с плотностью вероятности
е 2 при х>0, п>0,
при х^О.
Вычислить характеристическую функцию @i(«) и начальные мо-
менты mh величины X.
5В Зак. 728
121
Решение. Так как плотность вероятности отлична от нуля
только при х > 0, то
Воспользовавшись интегралом (3.52), получим
1 г(т_ +) -1
0‘(“,=Х7ГТм ’
Начальные моменты тк связаны с характеристической функцией
соотношением (3.30):
h jk duk |и = о
В нашем случае:
d&i(u) ; Z1 о. у— 1
«—= (1 — 2iu) 2
du
^^==/M» + 2)(l-2/u) 2 2,
du2
= /3« (n + 2) (n + 4) (1 - 2ju)~n~3,
du9
= j4n (n + 2) (n + 4) (n + 6) (1 -2ju)~^~\ ....
= jkn (n + 2) (n + 4)... (n + 2^-2) (1 -2ju)~n~k.
auK
Таким образом,
mh = n (n + 2) (n + 4)... (n + 2k—2).
Пример 3.10. Случайная точка на плоскости распределена
по закону, приведенному в таблице.
122
Найти: а) математические ожидания случайных величин X и У;
б) дисперсии величин X и У; в) корреляционный момент Кху и ко-
эффициент корреляции Rxy.
Решение. Воспользовавшись соответствующими определения-
ми, получим:
2
а) mx=^^xipij = 2 xip(xi) = 0-0,45 + 1-0,55 = 0,55,
i j Z=1
fny — ^ylPl} = 2 yjp(yj)= —1-0,25 + 0-0,40+1-0,35 = 0,10;
z j i=i
6) <Tz = 2S(*i— mxypu= 2 (+—тх)2р(х^
t i z=i
= (0—0,55)2-0,45 + (1 —0,55)2-0,55 = 0,2475,
= 2 2 (b— = 2 (b—P (yj) =
Z / /=1
= (— 1— 0,10)2-0,25 + (0—0,10)2-0,40 + (1—0,10)2-0,35= 0,59;
2 3
B) Л/ = 2 2(+—tnx) (yj—m )pu = (x1—mx)[(y1~
<=i /=i
~my) Pn + (y2—my) p12 + (y3—my) p13] +
+ (x3—tnx)[(y1—my)p31 + (y3—my)pM + (y3 —
~my) p23] = (0-0,55) [(-1 -0,10) 0,10 +
+ (0—0,10)0,15 + (l—0,10)0,20] + (l—0,55)[(—l —
—0,10)0,15 +(0—0,10)0,25+ (1—0,10) 0,15] = — 0,055,
R ____°’055 — ^_n 144
xy OxOy /0,2475/0,59
§ 3. Задачи и ответы
3.1. Какие размерности имеют математическое ожидание т,
дисперсия о2 и среднее квадратичное отклонение о?
5В* 113
3.2. Закон распределения дискретной случайной величины
задан рядом распределения
Xi —2 0 2 4 6
Pi 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
Найти математическое ожидание тх и дисперсию их случайной
величины X.
Ответ: тх = 2; о2 = 4,8.
3.3. Определить математическое ожидание тх и дисперсию о?
числа приборов X, давших отказ за время испытаний на надежность,
если испытанию подвергается один прибор, а вероятность его от-
каза равна q.
Ответ: mx==q; o2 = q(\—q).
3.4. Стрельба ведется по наблюдаемой цели. Вероятность по-
падания при одном выстреле равна 0,5 и от выстрела к выстрелу не
меняется.
Вычислить математическое ожидание тх и дисперсию о,? слу-
чайной величины X — числа попаданий в цель при пяти выстрелах.
Ответ: гпх = 2,5; о2 = 1,25.
3.5. На вход ограничителя воздействует видеоимпульс со
случайной амплитудой. Вероятность превышения импульсом уровня
ограничения равна р.
Рассматривая событие превышения уровня ограничения импуль-
сом как случайную величину X, принимающую значения 1 (превы-
шение) и 0 (непревышение), определить среднее значение и диспер-
сию величины X. Найти среднее значение и дисперсию числа Y
импульсов-, превысивших порог, при подаче на вход ограничителя
п импульсов.
Ответ: тх = р, о2^р(1—ру ту-=пр, о2 = лр(1—р).
3.6. Вероятность приема позывного сигнала одной радиостан-
ции другой радиостанцией равна 0,2 при каждой посылке. Позыв-
ные передаются каждые 5 сек до тех пор, пока не будет получен
ответный сигнал. Общее время прохождения позывного и ответного
сигналов равно 16 сек.
Найти среднее число переданных позывных сигналов до уста-
новления двухсторонней связи.
Ответ [12]: т = 8.
124
3.7. В партии из 100 изделий имеется 20 бракованных. Из
партии выбираются для контроля 5 изделий.
Определить математическое ожидание и дисперсию числа бра-
кованных изделий, содержащихся в случайной выборке.
Ответ: т = 1; о2 — —
99 .
3.8. Вероятность отыскания малоразмерного объекта в за-
данном районе в каждом вылете равна р.
Определить математическое ожидание и дисперсию числа про-
изведенных независимых вылетов, которые выполняются до первого
обнаружения цели.
Ответ: т = — ; о2 = .
Р Р2
3.9. Производится стрельба по цели до получения k попаданий.
Вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Случайная
величина X — число необходимых выстрелов.
Найти математическое ожидание и дисперсию величины X.
Ответ:
3.10. В партии из п изделий имеется одно бракованное. Чтобы
его обнаружить, выбирают наугад одно изделие за другим и каждое
вынутое изделие проверяют.
Найти математическое ожидание тх и дисперсию их числа про-
веренных изделий.
Ответ: m = n + 1 . g2 п2 —1
х 2 ’ х 12 ’
3.11. Связь с дрейфующей станцией могут поддерживать п
радиостанций. Вступает в двухстороннюю связь та из них, которая
первой примет позывной дрейфующей станции, причем это событие
равновероятно для всех п радиостанций (р = Дрейфующая
станция будет устанавливать связь т раз.
Определить: а) вероятность Р того, что радиостанция № 1 всту-
пит в двухстороннюю связь k раз; б) математическое ожидание тх и
дисперсию ох числа вступлений в двухстороннюю связь этой радио-
станции.
Ответ [12]:
а)Р_с*|.±П~Г‘;
\ п / \ п /
т 9 т(п—1)
б) тх = — ; о2 = —
' X ’ X о
п и?
125
3.12. Найти математическое ожидание тх и дисперсию а* слу-
чайной величины X, распределенной по закону Пуассона:
a k
P(X = k) — -^—e~\ k = 0, 1, 2,...; Х>0.
k\
Ответ: tnx = к, = X.
3.13. Число вызовов на телефонной станции за единицу вре-
мени распределено по закону Пуассона. Математическое ожида-
ние числа вызовов за час равно 30.
Найти вероятность того, что за минуту поступит не менее двух
вызовов.
Ответ: 0,09.
3.14. На радиомаяк-ответчик в среднем поступает 15 запросов
за 1 час.
Считая число запросов случайной величиной, распределенной
по закону Пуассона, определить вероятность того, что за 4 мин:
а) поступит ровно 3 запроса; б) поступит хотя бы один запрос.
Ответ: а) 0,0613; б) 0,632.
3.15. Радиостанция передает информацию в течение времени
т = 10 мксек. Работа ее происходит при наличии хаотической им-
пульсной помехи, среднее число импульсов которой в одну секунду
составляет 104. Для срыва передачи достаточно попадания одного
импульса помехи в период работы станции.
Считая, что число импульсов помехи, попадающих в данный
интервал времени, распределено по закону Пуассона, найти ве-
роятность Р срыва передачи информации.
Ответ [13]: Р - P(k > 0,т) = 0,09516.
3.16. Случайная величина X принимает только целые неотри-
цательные значения с вероятностями
/ X V Ь(1+сс)(1 + 2а)...[1 + (^-1)а]
°\1 + аХ/ k!
где
__L
ро==Р(0) = (1+аХ) а, а>0, Л>0.
Определить математическое ожидание и дисперсию величины X.
Ответ: /пх = Л; ц2 = Х(1+аХ).
3.17. Изменение частоты X генератора из-за самопрогрева
подчинено распределению, график которого изображен на рис. 3.2.
P(kl) = P(X = k) = P
126
Определить: а) выражения для плотности вероятности №i(x) и
функции распределения Ft(x); б) математическое ожидание тх и
среднее квадратичное значение случайной величины X.
Ответ:
а)
Гх(х) =
2х + а
а2
О при
при
а
о при *>-;
Л (х) =
л а
О при ,
4х2 4- 4ах + а2 а а
4а2 * 1 2 2
я
1 при х>-.
б) тх = —
а
3/2 *
3.18. Сообщение передается квантованными импульсами* с ша-
гом квантования А — 1в.
Предполагая, что ошибка квантования равномерно распреде-
лена в пределах интервала квантования и имеет нулевое среднее
значение, определить дисперсию о2 (мощность) шума квантования.
Ответ:
о2 = — в2.
12
3.19. Случайная величина X с математическим ожиданием
тх = 4 и дисперсией о* = 3 распределена равномерно.
127
Найти плотность вероятности Wi(x) величины X.
Ответ:
О при и х>7.
3.20. При измерении напряжения гармонического колебания
и (t) = A sin (со/ + ф)
ламповым вольтметром, проградуированным в эффективных зна-
чениях, стрелка вольтметра из-за наличия помех равномерно
колеблется между значениями at и а2.
Вычислить: а) среднее значение та показаний вольтметра;
б) относительную погрешность А = измерения амплитуды на-
пряжения u(Z), где оа — среднее квадратичное значение.
Ответ:
3.21. Время безотказной работы самолетного радиоэлектрон-
ного оборудования в полете является случайной величиной, рас-
пределенной по экспоненциальному закону.
Определить вероятность безотказной работы оборудования в те-
чение десятичасового полета, если среднее время безотказной ра-
боты по статистическим данным составляет 200 час.
Ответ: 0,951.
3.22. Вероятность того, что станок, работающий в момент
не остановится до момента t0 + /, определяется формулой
Р(/) = е-«'.
Найти математическое ожидание и дисперсию рабочего периода
станка (время между двумя последовательными остановками).
Ответ:
3.23. Линия длиной I обслуживается ремонтной бригадой,
база которой находится у середины линии.
Найти среднее значение и дисперсию расстояния (вдоль линии)
от базы до места очередного ремонта, если известно, что последнее
с одинаковой вероятностью находится в любой точке линии.
Ответ:
3.24. Точка брошена наудачу внутрь круга радиуса Ве-
роятность попадания точки в любую область, расположенную внутри
круга, пропорциональна площади области.
Определить математическое ожидание и дисперсию расстояния X
точки до центра круга.
Ответ:
2 О 2 R2
тт = — R; о2 = —.
х 3 х 18 •
3.25. Радиотехническая система состоит из пяти последова-
тельно соединенных устройств, среднее время безотказной работы
каждого из которых составляет: = 40, Т2 = 60, Т3 = 100,
74 = 80, 75 = 150 час. Распределение времени безотказной работы
устройств экспоненциальное.
Вычислить: а) среднее время 70 безотказной работы системы;
б) вероятность Р безотказной работы системы за время t = 3 час.
Ответ: а) То = 14,1 час; б) Р = 0,811.
3.26. Плотность вероятности случайной величины X имеет
вид
0 при х < 0.
Определить математическое ожидание тх и дисперсию ве-
личины X.
Ответ: тх — о2 = т + 1.
3.27. Плотность вероятности случайной величины X задана
выражением
11 я - я
— cos х при---<х<—,
2 2 2
л
0 при и>у.
Найти математическое ожидание и дисперсию величины X.
Ответ: тх = 0; о2 — —---2.
Л х 4
3.28. Мгновенные значения амплитуды X принимаемого сиг-
нала при замираниях описываются распределением Релея
_ _£L
г 2о2
= > , х>0.
а2
129
Определить среднее значение и дисперсию случайной величины X,
Ответ: °* = °2 — у) *
3.29. Случайная величина R (расстояние от точки попадания
до центра мишени) распределена по закону вида
IT1WJ А'Г"при г>л-
17 ( 0 при г < 0.
Найти: а) коэффициент А; б) моду М, медиану Me, математиче-
ское ожидание тг и дисперсию <з2 величины в) вероятность Р
того, что в результате выстрела расстояние от точки попадания до
центра мишени окажется меньше его моды.
Ответ:
а) Л = 2/12;
и 1 l/ln 2 1Лл 9 4 — л
б) М = —7=, Me — -*------> т. = > о2 =------;
’ hV 2 h r 2/i г 4h2
в) Р = 0,393.
3.30. Интенсивность отказов элемента !(/) определяется функ-
цией вида
М0 =
1
100—/
0
при 0<Zt < 100 час,
при других значениях t.
Определить: а) вероятность Р безотказной работы элемента
в интервале времени 0—10 час, б) среднее время То безотказной
работы элемента; в) плотность вероятности Wi(l) распределения
времени безотказной работы элемента.
Ответ: а) Р = 0,9; б) То = 50 час, в) при 0 <
< /<; 100 .час.
3.31. Ряд распределения случайной величины X имеет вид
xi 0 1 2
Pi 0,2 0,5 0,3
Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной
величины Y = 1 — 2Х2.
Ответ: ту=—2,4; а2 = 9,63.
130
3.32. Доказать, что математическое ожидание центрированной
и нормированной случайной величины
X—тх
равно нулю, а дисперсия — единице.
3.33. Математическое ожидание и дисперсия случайной ве-
личины X равны соответственно тх и
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной вели-
чины Y = —X.
Ответ: т =—т- о2,= о2.
у у X
3.34. Через равные временные интервалы произведено 36 из-
мерений величины тока, при которых получены следующие резуль-
таты:
Значение тока, ма 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Число измере- ний 3 1 5 4 10 4 5 1 3
Определить среднее значение тока mh среднее значение мощ-
ности М(12) на единичном сопротивлении и дисперсию of.
Ответ: = 10 ма\ М(12) = 104,5 ма2', о] = 4,5 ма2.
3.35. Плотность вероятности случайной величины X задана
выражением
~ при 0 < х < 2,
0 при х < 0, х >2.
Определить математическое ожидание и дисперсию случайной
величины У = ЗХ — 1.
Ответ: ту — 3; о2 = 2.
3.36. Случайная величина Ф равномерно распределена в ин-
тервале от 0 до 2л.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины
До cos2 (<о0/ + Ф), где До, <о0, t — неслучайные величины.
д А2
Ответ: т = — ; ст2 ———.
2 8
131
3.37. Случайная величина К дискретного типа распределена
по закону Пуассона
Pn(k) = ^-e~\
Показать, что первые моменты этого распределения вероятностей
выражаются следующими формулами:
mY — Р2 ~ Нз р-4 — (1 Ч- ЗХ).
3.38. Доказать справедливость следующего соотношения меж-
ду центральными и начальными mk моментами:
Hn- i(-1Г‘сМ"‘+НГ'(п- 1)W.
3.39. Показать, что начальный факториальный момент 4-го
порядка Ш[4] случайной величины X связан с начальными момен-
тами следующим соотношением:
/И[4] = т4 — 6т3 + 1 l/?z2—6m1.
3.40. Случайная величина X имеет плотность вероятности
вида
(экспоненциальный односторонний закон).
Определить: а) функцию распределения F^x); б) математическое
ожидание т, дисперсию о2, коэффициенты асимметрии yi и экс-
цесса уг-
Ответ:
О при х < О,
а) Л(*) = . _и
( 1 —е при х > 0.
б) т= —, о2=: —; Vi = 2, у2 = 6.
/ х V 1 2
3.41. Показать, что для распределения Лапласа
W = е“?м, Z>0,
справедливы следующие формулы для моментов случайной вели-
чины X:
^2£-J-l—О, /И2^—
(2^)!
X2" ‘
132
3.42. Найти центральные pZi и центральные абсолютные vk
моменты случайной величины X, распределенной по нормальному
закону
— (х—т)*
/ч 1 2°2 '
w (х) = —е
О у Л
Ответ: При k — нечетном pZi = 0,
2* г ) = | / 2^ ()I Л
При k — четном
* = ’*=/>2¥г(41)-
3.43. Показать, что для одностороннего нормального распре-
деления
среднее значение и дисперсия соответственно равны
. / Т 9 / . 2 \ Q
'"-“Ч Г’ ’
а начальный момент k-ro порядка определяется формулой
mh = о* 2 —-——------.
I л
3.44. Найти для бета-распределения, задаваемого плотностью
вероятности
ГДх) = Г(а+&) ха~' (1—х/'"', 0<х<1, а>0, Ь>0,
1V ’ Г(а)Г(Ь) ’
начальный момент &-го порядка.
Ответ:
т - Г(а + 6)Г(а + ^)
к Г(а)Г(а + Ь + 1г)
3.45. Случайная величина X имеет ^-распределение
X2
UZj (х) = —--?-----х«-> е 2 , х>0.
133
Показать, что начальные моменты tnk величины X определяются
формулой
3.46. Случайная величина X подчинена закону Вейбулла,
плотность вероятности ее имеет вид
W1(x) = caxa~l е~сха, х>0, О 0, а>0.
Показать, что начальные моменты mk определяются выраже-
нием
_ k
mh~c вг(1+£).
3.47. Доказать, что если случайная величина X подчинена
гамма-распределению
\ х>0, а>—1, р>0,
lv ' р”+1Г(а+1)
то характеристическая функция величины X равна
а начальные моменты mh вычисляются по формуле
т _о*Г(£+а+1)
111ъ-р .
Г(а+1)
3.48. Определить характеристическую функцию ©i(u) случай-
ной величины X, принимающей: а) одно единственное значение,
равное с\ б) с одинаковой вероятностью два значения, равные ±с.
Ответ: a) =efuc; б) 01(u) = cosuc.
3.49. Вероятность появления события А при одном испытании
равна р.
Найти характеристическую функцию ©i(u) числа появлений
события А при одном испытании.
Ответ: 0Х (и) = 1 + р (е/и — 1).
3.50. В партии из N полупроводников имеется М бракован-
ных. Для проверки качества произведена бесповторная выборка п
полупроводников (М < п < N — М).
134
Определить характеристическую функцию ©i(u) числа брако-
ванных полупроводников, содержащихся в случайной выборке.
Ответ:
м
ПК пП-----я
@1(ы)=
3.51. Доказать, что для биномиального закона распределения
вероятностей
Pn(k) = Cknpk (l—p)n~k, /г = 0, 1,2,...,/г,
характеристическая функция ©i(u) имеет вид
01(ц) = [1+р(е'“-1)]л.
3.52. Характеристическая функция случайной величины К
равна
e'w)-
Показать, что К является дискретной случайной величиной
с равномерным законом распределения вероятностей:
P(k) = ±t Z>=1.....п.
п
3.53. Найти характеристическую функцию ©i(u) случайной
величины, подчиненной закону Пуассона с параметром %:
Pn(k) = ^e~\
Ответ:
01(«) = еХ(е/°-,).
3.54. Плотность вероятности W\(x) случайной величины X
представляет собой четную функцию.
Доказать, что характеристическая функция 04(ц) величины X
вещественна.
_ «2
3.55. Показать, что если ©i(u) = е 2 — характеристическая
функция случайной величины X, то плотность вероятности пу(х)
этой величины равна
х*
w (х) = —т= е
/2л
135
3.56. Найти плотности вероятности случайных величин,
имеющих следующие характеристические функции:
а) е1(В) = |1^“'п!’"
( 0 при | и | > 1;
б) е1(м) = еЛ’“-Л!“|.
Ответ:
(\ о
X \ w
sin- \
—- ;
X I
~2 /
б)
_________h___________
л [/г2 + (х — х0)2]
3.57. Показать, что характеристической функции
0Х (и) = cos
ли
2(1—и2)
соответствует плотность вероятности
(х) = ~ cos х,
3.58. Определить характеристическую функцию 0i(u) случай-
ной величины X, плотность вероятности которой равна
(х—т.)2
. . 1 2^~
w (х) -- —т=г е
v ' а/2л
Ответ:
W2a2
lUtn--—
0г (и) = е
3.59. Случайная величина X имеет плотность вероятности
= —-—•
1V 1 2 ch2 их
Вычислить характеристическую функцию величины X.
Ответ:
0/ \ ил
1(«)=-------
2а sh —
2а
3.60. Определить характеристическую функцию 0iy (и) слу-
чайной величины Y = аХ + Ь, где а и b — постоянные.
Ответ: 01у (и) = 01х (ай) &Ьи.
136
3.61. Доказать, что характеристическая функция суммы не-
зависимых случайных величин равна произведению характеристи-
ческих функций слагаемых.
3.62. Показать, что если случайные величины X и Y связаны
между собой линейной зависимостью
Y = а + ЬХ,
то коэффициент корреляции Rxy = ±1.
3.63. По одной и той же стартовой позиции противника про-
изводится три независимых пуска ракет, причем вероятность по-
падания в цель одной ракетой равна р. Пусть случайная величина
X — число попаданий в цель, а случайная величина Y — число
промахов.
Определить математические ожидания, дисперсии случайных
величин X и У, а также корреляционный момент и коэффициент
корреляции между ними-.
Ответ: /пж = 3р; my = 3q; <j^<j^ = 3pq-, Rxy=—3pq\ Rxy =
= — 1; p=l—p.
3.64. Изготавливаемые в цехе втулки сортируются по откло-
нению их внутреннего диаметра от номинального размера на че-
тыре группы со значениями 0,01, 0,02, 0,03 и 0,04 мм и по оваль-
ности на четыре группы со значениями 0,002, 0,004, 0,006 и 0,008 мм.
Совместное распределение отклонений диаметра (X) и овальности
(У) втулок задано таблицей
UJ xi 0,01 0,02 0,03 0,04
0,002 0,01 0,02 0,04 0,04
0,004 0,03 0,24 0,15 0,06
0,006 0,04 0,10 0,08 0,08
0,008 0,02 0,04 0,03 0,02
Найти: а) одномерные законы распределения каждой из вели-
чин X и У; б) математические ожидания, средние квадратичные
отклонения X и У и коэффициент корреляции между ними.
Ответ [13]:
а) величины X и У имеют следующие распределения:
*i 0,01 0,02 0,03 0,04
Pi 0,10 0,40 0,30 0.20 1
137
yj 0,002 0,004 0,006 0,008
PJ 0,11 0,48 0,30 0,11
б) /пх = 0,026; m„-=0,00482; ахда 0,0093; av да 0,00159;
/?ху да 0,141.
3.65. Ряд распределения случайной величины X имеет вид
Xi —2 —1 1 2
Pi 1 ~Т 1 4 1 4 1 4
Вычислить коэффициент корреляции Rxy, если Y — X2.
Ответ: Rxy = 0.
3.66. Случайная величина X имеет математическое ожидание
тх и дисперсию <тх; величина Y связана с X соотношением
Y = ЗХ — 2;
величина Z, в свою очередь, связана с X соотношением
Z = 3 — 4Х.
Определить: а) корреляционный момент величин Y и Z; б) коэф-
фициент корреляции Y и Z.
Ответ: a) Kyz = — 12п2; б) = L
3.67. Система случайных величин (X, Y) имеет следующие
характеристики: тх = 0, ту = 2, ох = 2, о2 — 1 и коэффициент
корреляции Rxy — —~^=?.
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной вели-
чины Z = 2Х — ЗУ.
Ответ: т,— —6; о2 = 29.
3.68. Написать выражение для нормальной плотности вероят-
ности до2(х, у) системы двух случайных величин (X, У), если
/пх = 0, —6, J** •
138
Ответ:
1 Г^2__1,2х (у-6) (у-6)>
3.69. В радиолокационной системе с разнесенным приемом
(рис. 3.3) приемники находятся на таких расстояниях друг от друга,
что сигналы X, Y и Z статистически независимы. Законы распре-
Рис. 3.3. Схема разнесенного приема с тремя приемниками.
деления вероятностей для сигналов X, Y и Z нормальные с ну-
левыми средними значениями и дисперсиями = ву = 3,0^ =12.
Найти коэффициент корреляции для напряжений U и V.
Ответ: Ruv = 0,8.
3.70. Плотность вероятности двумерной случайной величины
(X, Y) определяется формулой
1Г2(л-, у) - 0,5 sin (х +у) (0 < х < у, 0 < у < у).
Определить: а) средние значения тх, ту и дисперсии а2,
о2 случайных величин X и Y\ б) корреляционную ||К//|| и нор-
мированную ||/?//|| корреляционные матрицы.
Ответ: а) тх = ту = 0,785; = 0,188;
0,188 —0,04611 ,1р „II 1 -0,245
и II- __0>04б 0,188 Г |—0,245 1
3.71. Доказать, что среднее значение квадрата отклонения
случайной величины X от ее математического ожидания тх меньше,
чем среднее значение квадрата ее отклонения от любого другого
числа с, т. е.
М [(X—тх?] < М [(X — с)2].
3.72. Орудие стреляет по цели, для уничтожения которой до-
статочно двух попаданий.
139
Зная, что при одном выстреле орудие попадает в цель с вероят-
ностью р, найти математическое ожидание числа произведенных вы-
стрелов, если известно, что стрельба прекращается сразу после
уничтожения цели.
Ответ: тх = — .
Р
3.73. Какому условию должны удовлетворять независимые
случайные величины X и У, чтобы D(XY) = D(X)D(Y).
Ответ: тх = ту = 0.
3.74. Производится п независимых измерений некоторой физи-
ческой величины. Результат каждого измерения можно рассматри-
вать как случайную величину Xt с математическим ожиданием т и
дисперсией о2.
Определить: а) математическое ожидание тп и дисперсию On
среднего арифметического п измерений; б) относительную ошибку
Д = — в определении среднего арифметического.
тп
а2
Ответ: а) тп = т, = ;
б) д = ° .
тп ту п
3.75. Найти математическое ожидание тху и дисперсию в2ху
произведения двух независимых случайных величин X и У, равно-
мерно распределенных соответственно в промежутках (а, Ь) и (с, d).
Ответ:
a -f- b с -f- d
mrv= !----!,
xy 2 2
g2 __ (a2 + ab + b2) (c2 + cd + d2) (a + b)2 (c + d)2
x>~ 9 16
3.76. Для определения площади квадрата измеряют две его
стороны с помощью одного и того же инструмента и результаты
измерения перемножают.
С какой относительной средней квадратичной ошибкой Д = —
нужно измерять стороны квадрата для того, чтобы средняя квадра-
тичная ошибка площади была не более 1 %?
Ответ: Д = 0,71%.
3.77. Угол упреждения Y при воздушной стрельбе опреде-
ляется формулой
140
У=—sin X,
V
где U — скорость цели; v — скорость полета снаряда; X — кур-
совой угол цели.
Найти математическое ожидание ту и среднее квадратичное от-
клонение Gy угла упреждения, если X — случайная величина, рав-
номерно распределенная в интервале от 0 до U — случайная
величина, равномерно распределенная в интервале 600—700 км/час,
a v х 1 км/сек и постоянна (U и X независимы).
Ответ [13]: ту = 0,115 рад; вуж 0,056 рад.
3.78. Индикатор кругового обзора радиолокационной стан-
ции представляет собой круг радиусом а. Вследствие помех может
появиться пятно с центром в любой точке этого круга.
Определить математическое ожидание и дисперсию расстояния R
центра пятна от центра круга.
Ответ: m = —а; о2 = —.
г 3 г 18
3.79. Самолет летит прямолинейно и равномерно со скоро-
стью v на постоянной высоте Я над землей. В момент времени t = 0
производится бомбометание. Пусть плотность вероятности W\(Z) слу-
чайного момента Т отделения бомбы от самолета имеет вид, пред-
ставленный на рис. 3.4.
Найти среднее значение и дисперсию расстояния L от места,
над которым самолет находился при t = 0, до места падения бомбы.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ:
VT . _ f 2Н 9
'“' = т + 1’|/ Т; ‘
Л2
18
141
Литература
1. Кендалл AV Дж., Стюарт А. Теория распределений. Изд-во
«Наука», 1966.
2. Т и х о н о в В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советское
радио», 1966.
3. Farison James. On calculating moments fore some commonfproba-
bility laws. IEEE Trans. Inform. Theory, 1965, 11, №4.
4. П p о x о p о в Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей.
Изд-во «Наука», 1967.
5. Г н е д е н к о Б. В. Курс теории вероятностей. Гостехиздат, 1954.
6. В е н т ц е л ь Е. С. Теория вероятностей. Физматгиз, 1962.
7. Ш о р Я. Б. Статистические методы анализа и контроля качества и на-
дежности. Изд-во «Советское радио», 1962.
8. Л е в и н Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники.
Изд-во «Советское радио», 1966.
9. А бе з г а у з Г. Г., Тронь А. П., Копен кин Ю. Н., К о -
р о в и н а И. А. Справочник по вероятностным расчетам. Воениздат,
1966.
10. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Изд-во
«Мир», 1964.
11. Уилкс С. Математическая статистика. Изд-во «Наука», 1967.
12. В о л о д и н Б. Г., Ганин М. П., Д и н е р И. Я-, Кома-
ров Л. Б., Свешников А. А., Старобин К. Б. Сборник за-
дач по теории вероятностей, математической статистике и теории слу-
чайных функций. Изд-во «Наука», 1965.
13. Е м е л ь я н о в Г. В., С к и т о в и ч В. П. Задачник по теории ве-
роятностей и математической статистике. Изд. ЛГУ, 1967.
14. Броншт е'й н<[И. Н., Семендяев К. А. Справочник по мате-
матике. Гостехиздат, 1953.
4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ
§ 1. Теоретические сведения
Теория массового обслуживания (иногда тео-
рия очередей) исследует количественную сторону процессов в си-
стемах массового обслуживания (СМО). Она устанавливает зави-
симость между характером потока заявок (требований), производи-
тельностью отдельного канала (обслуживающего аппарата), чис-
лом каналов и эффективностью обслуживания.
- >пк~ обслуживающие
аппараты
Обслуживающая система
Рис. 4.1. Схёматическое изображение системы массового об-
служивания.
Система массового обслуживания включает в себя три элемента
(рис. 4.1): входной поток, обслуживающую систему с одним или
несколькими обслуживающими аппаратами и выходной поток.
В настоящее время хорошо разработаны две системы обслужи-
вания: система с отказами (иначе СМО с потерями) и система с ожи-
данием. В системе первого типа заявка, поступившая в момент,
когда все каналы заняты, получает отказ, покидает систему и
в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (происходит
потеря заявки). В системе с ожиданием заявка, поступившая в си-
стему и заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ожи*
дает, когда все поступившие ранее заявки будут обслужены.
143
Для практики наибольший интерес представляют системы сме-
шанного типа [1], когда на ожидание накладываются различные
дополнительные условия, как, например, ограничение времени
ожидания в очереди, или общего времени пребывания в системе,
или ограничения числа заявок в очереди.
В зависимости от условий задачи и целей исследования количе-
ственными оценками качества функционирования СМО могут слу-
жить: средний процент заявок, получающих отказ и покидающих
систему необслуженными; среднее время ожидания начала обслу-
живания; средняя длина очереди и ее распределение и т. д.
Так как в общем случае моменты поступления заявок, время их
обслуживания являются случайными, то анализ СМО производится
вероятностными методами. Случайные процессы, протекающие
в системах массового обслуживания, как правило, представляют
собой процессы с непрерывным временем, что связано со случайно-
стью потока заявок. Поток заявок (входной поток) — основной
фактор, определяющий процессы в СМО. В подавляющем большин-
стве случаев рассматривается простейший (или стационарный пуас-
соновский) поток, т. е. такой поток, который обладает тремя спе-
циальными свойствами: стационарностью, отсутствием последей-
ствия и ординарностью [1—3].
Для простейшего потока число заявок в промежутке времени т
распределено по закону Пуассона
P(k, т) = ^е-Л fe = 0, 1,2,..., (4.1)
где v — плотность (интенсивность) потока (среднее число событий
в потоке за единицу времени); % = vr — среднее число событий
в потоке, приходящееся на интервал длительностью т.
В частности, вероятность Р(0, т) того, что за время т не посту-
пит ни одной заявки, равна
Р(0, т)-е~". (4.2)
Пусть случайная величина Т — промежуток времени между про-
извольными двумя соседними заявками в простейшем потоке. Тогда
функция распределения Л(/), плотность вероятности W\(/), мате-
матическое ожидание tnt и дисперсия of величины Т определятся
формулами:
F1(/) = P(T<0= 1—(4.3)
(4.4)
mt = —, (4.5)
V
О?_±. (4.6)
144
В случае нестационарного пуассоновского потока число заявок,
поступающих за интервал времени т, начинающийся в точке t0,
равно
л k _х
P(AFT,Q = Aj-e , (4.7)
где % — математическое ожидание числа заявок на участке от t0
до t0 + т:
/о-Н
1= J v(t)dt; (4.8)
/о
Здесь v(/) — мгновенная плотность потока.
Функция распределения и плотность вероятности промежутка
времени Т между соседними заявками соответственно определяются
выражениями f
/о4-т
- J v(/)d/
Fx(^^)=l—е , (4.9)
- f
ttZi(/,Q = v(/o + Oe ,^>0. (4.10)
Выходные потоки систем массового обслуживания часто пред-
ставляют собой так называемые потоки с ограниченным последей-
ствием (или потоки Пальма). Ординарный поток однородных собы-
тий является потоком с ограниченным последействием, если проме-
жутки времени между последовательными событиями Ti, Т2, ...
представляют собой независимые случайные величины. Простейший
поток, в котором независимые случайные величиныTi, Т2, ... рас-
пределены по показательному закону, является частным случаем
потока Пальма. Если все функции распределения Fi(^), за исклю-
чением, быть может, Fi(6), совпадают, то поток Пальма образует
поток восстановления [2, 4, 5].
Примером потоков с ограниченным последействием являются
потоки Эрланга, которые образуются «просеиванием» простейшего
потока [1].
Плотность вероятности закона Эрланга k-ro порядка имеет вид
k -и 1
f>0, (4I1)
*+1
где Т = 2 Тг — интервал времени между соседними событиями
i = 1
в потоке Эрланга Л-го порядка; 7\, 7\, ..., Tk ^— независимые слу-
чайные величины, плотности вероятностей которых одинаковы
U71(//) = ve-v<«1 /г>0, i = \, 2, ...,k+l.
6 Зак. 728
145
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Т
с плотностью вероятности (4.11) соответственно равны
= (4.12)
V
(4.13)
где v — плотность простейшего потока.
В целях упрощения часто бывает удобно заменить реальный по-
ток заявок с последействием так называемым нормированным по-
током Эрланга k-ro порядка с примерно теми же математическим
ожиданием и дисперсией промежутка между заявками [1]. Плот-
ность вероятности нормированной случайной величины Т, распре-
деленной по такому закону, имеет вид
£4-1
^i(0 = 'T7TXn-(fe+1)ft+1^e-v<ft+»^ />о, (4.14)
1 (Л-f-
где
7-J,. (4.15)
Математическое равны ожидание mt и дисперсия of величины Т
1
mt = —,
v
~2 1
О/ =--------
v2(*+l)
(4.16)
(4.17)
где v — плотность потока, совпадающая при любом k с плотностью
исходного простейшего потока заявок.
Функционирование СМО во многом определяется временем обслу-
живания одной заявки Тоб, которое характеризует пропускную
способность системы. В общем случае Тоб— случайная величина.
При теоретических исследованиях и практических расчетах
чаще всего предполагается, что величина Тоб распределена по пока-
зательному закону, когда функция распределения и плотность ве-
роятности определяются соответственно выражениями
Fx(0 = 1 — е—(4.18)
ГДО^це-^, (4.19)
где. параметр р — величина, обратная среднему времени обслужива-
ния одной заявки:
(4.20)
'об
14Ф
При показательном распределении времени обслуживания задача
допускает простое решение, которое с удовлетворительной для прак-
тики точностью описывает ход процесса в СМО.
Пусть имеется СМО с п обслуживающими аппаратами (п-каналь-
ная система), на вход которой поступает простейший поток заявок
с плотностью v. Время обслуживания одной заявки одним аппа-
ратом подчинено показательному закону с параметром р.
В этом случае основные характеристики эффективности функ-
ционирования СМО с отказами (потерями) определяются следую-
щими выражениями.
1. Вероятность Pk того, что в системе занято k обслуживающих
аппаратов (в обслуживающей системе находится точно k заявок):
Ph = PAk)^(-\k = ^-^k, (4.21)
k\ \ р J k\
где Ро — вероятность того, что все обслуживающие аппараты сво-
бодны:
а — среднее число заявок, приходящееся на среднее время обслу-
живания одной заявки (приведенная плотность потока заявок [1]):
»=7=”»<«• <4-23>
Подставив (4.22) в (4.21), получим
(4-24)
Jd k\
k=0
Формула (4.24) называется формулой Эрланга.
2. Вероятность Ротк отказа очередной заявке в обслуживании: 3 *
3. Среднее число занятых обслуживающих аппаратов
mk=м (К) = 2 kph=2 тйуг (4 26)
6*
147
Система массового обслуживания с ожиданием при ограничен-
ном времени ожидания Тож, распределенном по показательному за-
кону с параметром у, в установившемся режиме обслуживания опи-
сывается следующими выражениями [ 1 ] .
1. Вероятность Рытого, что занято точно k обслуживающих
аппаратов (очереди нет):
CLk
Pk = ^P0, 0<k<n.
(4-27)
2. Вероятность Pn+s того, что все п аппаратов заняты, s заявок
стоят в очереди:
3.
4.
an+s
р _ nl р с
rn + s— s *0» ь
П (п+«Р)
т—\
Вероятность Ро того, что все аппараты свободны:
Ро = ~п-------- 1
п\
1.
(4.28)
6=0
с
2 '1—
s~* П (n+mP)
m=l
(4.29)
Средняя длина очереди
ms:
sas
ms = М (S) = sP„+s
s~l П (л+пф)
т=1
(4.30)
„ °о
и _
п
k = 0
S=1 П(п+О
т=1
5. Вероятность Рн того, что заявка покинет систему необслужен-
ной:
т= 1
as
S
П (п+/лР)
(4.31)
s 1 П (п + n?p)
148
В формулах (4.27) — (4.31) п — число обслуживающих аппа-
ратов в системе,
v
а = — = vmt
р 06
P = f = т^об'
г
(4.31а)
где v — плотность простейшего потока заявок; р — параметр по-
казательного времени обслуживания; у = 1//П/0Ж— параметр по-
казательного времени ожидания (величина, обратная среднему
сроку ожидания).
При Р ->оо система переходит в СМО с отказами, а при р О —
в «чистую» систему с ожиданием, когда заявки вообще не уходят из
очереди. Каждая из заявок рано или поздно будет обслужена.
В последней системе предельный стационарный режим сущест-
вует только при а < п. При а > п число заявок в очереди с течени-
ем времени неограниченно возрастает.
Для СМО с неограниченным временем ожидания при а < п
справедливы формулы:
«Д, ak
fe!+n!(n-a)
(4.32)
(4.33)
(4-34)
(4.35)
Если имеется СМО с ожиданием и на длину очереди наложено
ограничение, то при простейшем потоке заявок и показательном
распределении времени обслуживания формулы для Pk и Рп±8
соответственно имеют вид:
149
ak
(4.36)
(4.37)
где m — число заявок, которым ограничена очередь.
§ 2. Примеры
Пример 4.1. В контрольно-поверочную лабораторию посту-
пает пуассоновский поток измерительных приборов с плотностью
4 прибора в час.
Определить: а) вероятность того, что за час в лабораторию по-
ступит k приборов, где k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; б) вероятность того,
что за время проверки прибора, на которую в среднем затрачивается
30 мин, в лабораторию поступит не менее трех приборов.
Решение. По условию задачи поток приборов, поступающих
в контрольно-измерительную лабораторию, пуассоновский. По-
этому вероятность того, что за время т в лабораторию поступит
ровно k приборов, определяется формулой (4.1):
P(k, r) = ^p-e-v\
а) В данном случае v = 4, т= 1, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Воспользовавшись таблицей (см. приложение IV), получим:
Р (0,1)— у е-4 «0,0183; Р (1,1) --= ^е~4 «0,0733;
Р(2,1) «0,147; Р (3,1)«0,195; Р (4,1) «0,195;
Р (5,1) «0,156; Р(6,1)«0,104; Р (7,1) «0,0595.
б)
Найдя по таблице (см. приложение V) значение суммы
1$0
получим
= 0,677,
где
X = vt = 4 • — = 2.
2
Следовательно,
p(k>3, 1) =0,323.
\ 2 /
Пример 4.2. На вход системы обслуживания поступает про-
стейший поток заявок с плотностью v = 4 заявки в час. Время об-
служивания распределено по показательному закону, причем сред-
нее время обслуживания одной заявки mtoQ = 15 мин.
Определить: а) необходимое количество обслуживающих аппара-
тов, чтобы вероятность отказа в обслуживании заявки не превышала
0,01; б) среднее число занятых аппаратов; в) вероятность Р(£>-3) то-
го, что будет занято не менее трех аппаратов.
Решение. Имеем
^4 а = -
"Чб °’25 И
а) По формуле (4.25) вероятность отказа в обслуживании равна
Необходимо найти такое число п, чтобы вероятность Ротк не превос-
ходила 0,01.
При п = 4 имеем
^отк == / j т г гт~ 0,0154,
4! | 1 + - + - + -+2- I
\ 1Н 2! 3! 4! J
при п = 5 получим
Таким образом, чтобы выполнить условие Ротк<;0,01 необходимо
иметь 5 обслуживающих аппаратов.
б) Согласно (4.26) имеем
151
—1)1 °’368 (Й —1)! —
= 0,368 f 1 + 1 + «0,996.
\ 2! 31 41J
Р (k > 3) = Р3-\-Р4-\-Р6,
Р3 = — Ро = - 0,368 = 0,0614,
3 31 0 31
Р4 = 0,0153, Рб = 0,00306.
Следовательно,
P(k > 3) = 0,0798.
Пример 4.3. Для уничтожения вновь обнаруживаемых воз-
душной разведкой наземных целей выделен наряд из пяти батарей.
Число обслуживаемых целей представляет собой простейший поток
с плотностью v = 8. Время обслуживания подчинено показатель-
ному закону. Среднее время обработки одной батареей одной цели
/П/об — 30 мин.
Определить: а) наличие установившегося режима работы СМО;
б) вероятность того, что при поступлении очередной заявки на об-
стрел все пять батарей будут свободными; в) среднюю длину очереди.
Решение: а) По условию mtoQ = 30 мин. Следовательно,
п=-!- = 2. а = —= 4.
%> •*
Так как а<п, то установившийся режим существует,
б) По формуле (4.32) находим
р —_________!______—_____________!____________ л
° у 4* 4» 1+4+£а+4-+-+-+^ ’
jL й! +51 (5—4) 21 31 41 51 61
в) Используя формулу (4.35), получим
ап+1 4б
=----- а \2 Ро =------- 4-Т2 °-0129 = 2>2-
и-и! I 1 — — I 5-5! ( 1 —— I
\ п / \ '5 J
Пример 4.4 [1]. На станцию текущего ремонта автомашин
поступает простейший поток заявок с плотностью v = 0,5 машины
в час. Имеется одно помещение для ремонта. Во дворе станции могут
одновременно находиться, ожидая очереди, не более трех машин.
Среднее время ремонта одной машины mto6 = 2 час.
152
Определить: а) пропускную способность системы; б) среднее
время простоя станции; в) насколько изменятся эти характери-
стики, если оборудовать второе помещение для ремонта.
Решение. Имеем v = 0,5; ц = 0,5; а = 1; т = 3.
а) По формуле (4.37), полагая п = 1, находим вероятность того,
что пришедшая заявка покинет систему необслуженной:
Рн = р1+3 =----!---= 0,20.
+ 1+1+3
Относительная пропускная способность системы
q = 1 - Ря = 0,8.
Абсолютная пропускная способность
Q = vq — 0,4 машины в час.
б) Среднюю долю времени, которое система будет простаивать,
найдем по формуле (4.36):
Ро = 1 = 0,20.
0 5
в) Полагая п = 2, найдем
1
q = 1 —Рн = 0,979,
т. е. удовлетворяться будет около 98% всех заявок,
Q = vq = 0,49 машины в час.
Относительное время простоя
Ро = —= 0,34,
0 47
т. е. оборудование будет простаивать полностью около 34% всего
времени.
§ 3. Задачи и ответы
4.1. Число самолетов, пролетающих через данную зону, обра-
зует простейший поток с плотностью два самолета в минуту.
Определить закон распределения вероятностей числа пролетаю-
щих через зону самолетов в минуту и изобразить его график.
6В Зак. 728
153
Ответ:
k 0 1 2 3 4 5
P(k, 1) 0,135 0,271 0,271 0,180 0,0902 0,0361
4.2. Написать дифференциальное уравнение для вероятности
Р(0, t) безотказной работы прибора до момента /0 + если он ра-
ботал безотказно в момент t0 и если число отказов прибора образует
простейший поток с интенсивностью v.
Ответ:
^-Р(0, t) = —vP(0, t).
at
4.3. На систему массового обслуживания поступает простей-
ший поток заявок с плотностью v.
Требуется: а) определить, при каком значении t вероятность
поступления в СМО точно k заявок за интервал времени t достигает
наибольшего значения; б) построить зависимость P(k, f) при v = 1
и k = 0, 1,2, 3.
Ответ:
t = ~, k =
V
4.4. Поток отказов радиотехнической системы является про-
стейшим с интенсивностью 0,02 отказа в час.
Найти вероятность того, что за 10 час работы в системе: а) не
появится ни одного отказа; б) появится хотя бы один отказ; в) по-
явится один, два, три отказа.
Ответ: а) />(0,10) - 0,819; б) Р(£>1,10) = 0,181; в) />(1,10) =
= 0,164; Р(2,10) - 0,0164; />(3,10) = 0,00109.
4.5. Число элементарных частиц, попадающих в аппаратур-
ный отсек космической ракеты за время ее полета /, представляет
собой простейший поток с плотностью v. Условная вероятность
для каждой из частиц попасть в уязвимый блок равна р.
Определить вероятность попадания в уязвимый блок: а) ровно
k частиц; б) хотя бы одной частицы.
Ответ [6]:
a) P(k, =
б) P(k> 1, /) = 1— е-^р.
154
4.6. Опыт показал, что в электронной вычислительной маши-
не происходит в среднем одна ошибка за 10 час работы, а поток оши-
бок можно считать простейшим.
Вычислить вероятности неправильного решения задачи на ма-
шине, если продолжительность решения составляет: а) 1 час,
б) 10 час.
Ответ: а) 0,095; б) 0,632.
4.7. На вход обслуживающей системы поступает простейший
поток заявок с плотностью v. Случайная величина Т— промежуток
времени между смежными заявками.
Доказать, что функция распределения, плотность вероятности,
математическое ожидание и дисперсия величины Т определяются
формулами:
Л (0 = 1 — е “ vt, (0 = ve - ,
4.8. Число отказов радиотехнической системы представляет
собой простейший поток с интенсивностью 0,005 Ччас.
Вычислить: а) вероятность безотказной работы системы за t =
= 20 час] б) математическое ожидание и дисперсию времени безот-
казной работы системы.
Ответ: а) Р(0, t) = 0,905; б) mt = 200 час] о2 = 4-Ю4 час2.
4.9. Показать, что поток заявок, у которого интервалы Т меж-
ду заявками взаимно независимы и распределены по одному и тому
же показательному закону
(/) = ve-vZ,
является пуассоновским.
4.10. Проектируемое радиотехническое устройство должно
включать три последовательно соединенных блока. Расчеты показа-
ли, что интенсивности отказов первого и второго блоков составят
Vi = 0,008 Ччас и v2 = 0,032 Учас соответственно. Время безот-
казной работы каждого из блоков распределено по показательному
закону.
Определить необходимую величину интенсивности отказов треть-
его блока, чтобы вероятность безотказной работы устройства в те-
чение времени t = 1 час равнялась 0,95.
Ответ: v3 == 0,0113 х!час.
4.11. Показать, что для нестационарного пуассоновского по-
тока заявок функция распределения и плотность вероятности слу-
чайной величины Т (интервал времени между соседними заявками)
имеют вид:
6В* ~ 155
Fi(Z, t0) = 1—expj— f v(/)dq,
l /о /
(t, t0) = V (t0+ t) exp — J V (t) dt\,
I ^0 J
где tQ — параметр распределения — момент появления первой из
двух соседних заявок.
4.12. Мгновенная плотность v(t) нестационарного пуассонов-
ского входного потока заявок представляет собой линейную функ-
цию времени
v(/) = а + bt.
Определить плотность вероятности случайной величины Т —
промежутка времени между соседними заявками.
Ответ [1]:
W1(t, t0) = [a + b(t0 + t)] exp (j-at—•
4.13. Нестационарный пуассоновский поток вызовов на теле-
фонную станцию имеет мгновенную плотность вида
v(/) = v(l — cos 2а/).
Найти среднюю плотность потока вызовов за промежуток вре-
мени от /0 ДО h + t.
Ответ [2]:
v(t Q = v
sin а (/-/„) cosa(/ + Zo)
а(/—/0)
4.14. На вход обслуживающей системы поступает простейший
поток заявок с интенсивностью v и интервалами между заявками
Ti, Т2, ...» Tk, Tk[i, ..., которые являются независимыми случай-
ными величинами.
Н-1
Показать, что плотность вероятности интервала Т = 2 Т\
i= 1
определяется выражением
/>0.
4.15. Доказать, что при показательном законе распределения
времени обслуживания распределение длительности оставшейся час-
ти работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже
продолжалось.
156
4.16. В результате анализа системы массового обслуживания
установлено, что функцию распределения Fi(t) времени обслужи-
вания Тоб можно описать выражением
где t — время в минутах.
Определить: а) вероятность Pi того, что время обслуживания
заявки не превзойдет 5 мин; б) среднее время обслуживания одной
заявки; в) вероятность Р2 того, что за это время обслуживание оче-
редной заявки будет закончено.
Ответ: а) Рг = 0,972; б) /игоб=1 мин; в) Р2 = 0,75.
4.17. Группа из п самолетов производит поиск малоразмер-
ного объекта. Каждый самолет действует независимо от других.
Поиск прекращается, как только объект будет обнаружен одним
из самолетов.
Пусть закон распределения времени поиска каждым самолетом —
показательный, причем среднее время поиска для каждого самолета
соответственно равно 1/pi, 1/р2, Показать, что: а) функция
распределения времени поиска всеми п самолетами имеет вид
Л (0 = 1—ехр{—(Н1+н2+-+нп) 0;
б) математическое ожидание и дисперсия времени поиска при
Hi = Иг == ••• = Нп = И соответственно равны
mt Л , О/ Л —-----------------
Об П|Л 06 (П|Л)2
4.18. В счетчике Гейгера — Мюллера для подсчета косми-
ческих частиц частица, попавшая в счетчик, вызывает разряд, для-
щийся время т (т постоянно). Попавшие в этот промежуток вре-
мени в счетчик новые частицы счетчиком не регистрируются.
Считая, что распределение числа частиц, попавших в счетчик,
подчиняется закону Пуассона, найти вероятность того, что счетчик
за время сосчитает все попавшие в него частицы.
Ответ [7]:
P(/) = e-vZ
(*+1)1
где v — среднее число частиц, попавших в счетчик за единицу вре-
мени.
4.19. В автопарк, рассчитанный на п мест, прибывает простей-
ший поток машин с интенсивностью v до тех пор, пока имеются сво-
бодные места.
157
Найти дифференциальные уравнения для вероятностей Pk(t)
того, что ровно k мест заняты.
Ответ [8]:
А рк (о = -(v+М Pk (0+vPA-i (О+(k +1) цРА+1 (о,
at
1 •< k < п — 1;
±Рп (0 = -nMPn(/) + vPn-i(0-
at
4.20. Сколько оборонительных комлексов п должна иметь
оборонительная система, чтобы вероятность ее прорыва противни-
ком не превышала 0,02, если на данном направлении действует
простейший поток целей противника с плотностью v = 4, время
обстрела одной цели одним оборонительным комплексом распреде-
лено по показательному закону с параметром р = 2, а вероятность
поражения цели при одном выстреле (залпе) равна единице.
Ответ: п = 6.
4.21. На станции п телефонов-автоматов, обслуживающих
в среднем N человек. Вероятности одновременного разговора k че-
ловек распределены по закону Пуассона
Найти среднее значение числа лиц, стоящих в очередях к ав-
томатам.
Ответ: т = 2 —n) e~VT ~
= Р (п, т) Г УТ . 2(ут)2 . (N — n)(yx)N~n 1 L« + 1 (м-Ь1) («-Ь 2) 1 •" 1 (п+1) (п + 2) ... NJ’
где
p(n>T) = (^ie-Vx.
4.22. Узел связи обслуживает 1 000 абонентов, каждый из
которых в среднем занимает линию связи в течение 6 минут за час.
Какое число каналов п надо иметь, чтобы исключить длительные
ожидания (вероятность того, что максимальное число одновременно
поступивших вызовов превысит число каналов, не должна превы-
шать 0,3 %)?
Ответ: п = 128.
158
4.23. Покупатели приходят в магазин случайно и независимо
друг от друга, причем число покупателей, приходящих в магазин
в течение единицы времени, подчиняется закону Пуассона со сред-
ним т (0<т<1). Покупатели обслуживаются одним продавцом,
который не может заниматься одновременно более чем с одним поку-
пателем. Время обслуживания каждого покупателя — единица
времени. Если в магазине окажется более одного покупателя, обра-
зуется очередь.
Определить: а) производящую функцию <р(г/) распределения
вероятностей длины очереди s и с ее помощью — вероятности Ps
того, что в данный момент очередь имеет длину s = 0, 1, 2, ...;
б) математическое ожидание ms длины очереди и среднее время ожи-
дания /п<ож вновь пришедшим, пока он не достигнет начала оче-
реди.
Ответ [7]:
\ / \ (1— /и)(1 — и\ п 1 Г ds ,
1 — u-ехр [пг (1 — u)} s! L du Jw=o
. tn т
б) тя = 1------, mt =-------------.
7 2 ож 2(1—/и)
4.24. Для охраны района выделено 10 кораблей, ремонт ко-
торых обеспечивают два дока. Каждый док может одновременно при-
нять для ремонта один корабль. В док корабль ставится тогда, когда
он не может нести охрану и нуждается в ремонте. Вероятность того,
что корабль за время t потребует ремонта, равна
Г(/) = 1 — ехр ( — 0,02/),
где t — время в месяцах.
Предполагая, что в среднем на ремонт одного корабля затрачи-
вается 2 месяца, а время ремонта подчиняется показательному за-
кону, определить: а) среднее число кораблей, находящихся в ре-
монте; б) вероятность того, что для охраны района будет не менее
8 исправных кораблей.
Ответ [9J: a) mh = 0,395; б) Р(£>8) = 0,99.
4.25. В систему с одним обслуживающим аппаратом поступает
простейший поток заявок с плотностью v = 9,8 заявки в минуту.
Число обслуженных заявок подчиняется закону Пуассона, причем
среднее число обслуженных заявок в 1 мин равно 10.
Определить: а) математическое ожидание длины очереди; б) ве-
роятности того, что в очереди находится 0,1, 2 заявки; в) вероят-
ность того, что вновь поступившей заявке совсем не придется
ждать; г) среднее время ожидания.
Ответ: a) ms -49; б) Ро = О,О2; Рх = 0,0196; Р2=--0,0192;
в) Ро = 0,02; г) /И/оп< = 4,9 мин.
159
Литература
1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. Физматгиз, 1962.
2. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массо-
вого обслуживания. Изд-во «Наука», 1966.
3 Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советское
радио», 1966.
4. С а а т и Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения.
Изд-во «Советское радио», 1965.
5. Кокс Д., Смит В. Теория восстановления. Изд-во «Советское ра-
дио», 1967.
6. В о л о д и н Б. Г., Ганин М. П., Д и н е р И. Я., Кома-
ров Л. Б., Свешников А. А., Ст а р о би н К. Б. Сборник
задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случай-
ных функций. Изд-во «Наука», 1965.
Емельянов Г. В., С китов и ч В. П. Задачник по теории ве-
роятностей и математической статистике. Изд. ЛГУ, 1967.
8. Ф е л л е р В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. I
и II. Изд-во «Мир», 1967.
9 Розенберг В. Я., Прохоров А. И. Что такое теория массо
вого обслуживания? Изд-во «Советское радио», 1962.
РАЗДЕЛ |J
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
5. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ,
МОМЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПЛОТНОСТИ
§ 1. Теоретические сведения
Случайней процесс £(/)> зависящий от одного
действительного параметра t (времени), считается определенным на
интервале времени [О, Т], если при произвольном числе п и для лю-
бых /1, /2, •••> tn из этого интервала известна n-мерная плотность
вероятности Wn (U g2, •••> 5П) или n-мерная характеристическая
функция
0n(Q1( Q2,...,On) = J...JlFn(U ....Qx
X exp {/Qx gx + /Й2 g2 +... + jQn |n} dgx d^... dln, (5.1)
где gx = i(/x), &a = £(/8),...X = £(Q.
Плотность вероятности должна удовлетворять следующим усло-
виям [1—4]:
1) условию положительной определенности
Fn(l1,l2,....U>0, (5.2)
2) условию нормировки
J... J ^n(l1(^...,UpSi^2...dBn = l, (5.3)
3) условию симметрии — функция Wn (gi, U , 5П) должна
быть симметричной относительно своих аргументов U |2, •••, 1п>
т. е. не должна изменяться при любой перестановке этих аргументов;
4) условию согласованности — при любом tn<Zn
Wm (|х, Ъ,..., U) = J - j Wn (U |2,..., %т, Uh.U dlm+i... d$n.
(5.4)
U1
Поскольку характеристическая функция (5.1) является преобра-
зованием Фурье от соответствующей плотности вероятности, то
для нее также справедливо условие симметрии, а условия нормиров-
ки (5.3) и согласованности (5.4) принимают вид
0П(О, 0, ...,0) = 1, (5.5)
0m(Q1,Q2,...,Qm) = 0n(Q1> Q2>...,Qm,0....0). (5.6)
Для нормального случайного процесса, часто встречающегося
в различных радиофизических задачах, плотность вероятности и
характеристическая функция определяются формулами [1]
X expj --L 2 2 V (М] - Mi tfv)]|, (5.7)
I 2 Л p.==l v=l )
0n(Q1(o2, ...,q„) =
= exp (/ 2 Mr (/,) Q,+ 4 j2 2 S Кг (^, Q, Qv) • (5.8)
I [1=1 [1 = 1 V=1 J
Здесь ^(/p.) — среднее значение случайной величины ^и = ^(^и);
К2 tv)—функция корреляции для = £ (/р.) и = g (/v); А =
|| К2 (tp, tv) ||—определитель n-го порядка, составленный из
функций корреляций; Ap.v — алгебраическое дополнение элемента
К2(/р., tv) этого определителя.
Важным классом случайных процессов являются стационарные
случайные процессы. Случайный процесс |(/) называется стационар-
ным в узком смысле, если все его плотности вероятности Wn (£i,
?2, •••, ln) произвольного порядка и не меняются при одновре-
менном сдвиге всех точек ti9 t2, tn вдоль оси времени на любое т.
Стационарным в широком смысле называется случайный процесс
|(/), среднее значение которого не зависит от времени, т. е. Л11(/р.) =
= т, а функция корреляции К2(^, t) зависит лишь от расстояния
T.1V = | /р. — Л | между двумя рассматриваемыми моментами вре-
мени. Для нормального процесса оба эти понятия стационарности
совпадают, поскольку стационарный нормальный процесс полно-
стью определяется средним значением и корреляционной функцией и
для его плотности вероятности и характеристической функции спра-
ведливы соотношения
(51. •••> U — а„ Х
х ехр|~Нт; 2 2 — m)(gv— т)\, (5.7а)
( и р.= 1 V=1 J
162
®n (^1> Ц......^n) =
= exp//m2 й|х~4°2 2 5 (^v)^v!. (5.8a)
I |1=S 1 p.= i V—1 J
где а2—дисперсия процесса £(/); D —1| R (t|1V ) ||—определитель
n-го порядка из коэффициентов корреляции
/?(Tpv) = /?(|/p-M) = a-2^(Rp-M) =
=a-2 ([g (Q—m] [£ (/v)—m]>.
Здесь и в дальнейшем уголковые скобки < > обозначают операцию
статистического усреднения (т. е. усреднения по ансамблю реали-
заций). Применительно к двумерному случаю формулы (5.7а) и
(5.8а) принимают вид
да2 (?i> £2) =--, 1 ехр (-----------!-----[(L—т)2—
1 2ла2 у/1 —R2 (т) F( 2а2[1 — 7?2(т)] 1
—2/?(т)(?х—m) (^-m) + a2-m)2] j, (5.76)
03 (Qx, Й2) — ехР [jm (^i + Н2) — °2 [И2 + 27? (т) Qj Q2 + ^2] j •
(5.86)
Многомерные плотности вероятностей являются наиболее пол-
ными характеристиками случайных процессов. Однако в ряде слу-
чаев для решения практически важных задач оказывается достаточ-
ным рассмотрение более простых характеристик, в частности мо-
ментных и корреляционных функций [5,6].
Под моментными функциями случайного процесса | (7), задан-
ного на некотором интервале, понимаются функции 7Иг1 (/),
Mlt, h (G> ^г)> ••• > •••. tn (^1, • •• > симметричны относи-
тельно всех своих аргументов, определяемые соотношениями:
оо
Я-х (о = (/)> = J &г‘(5, 0 dl, (5.9)
—30
оо оо
Mit, i,(tlt t2) = < (/,)(t2)) = J J ?!*Г22W2 &,
^2> ^2) 6^2’
G...1п ('1. ^2- -. tn) = <1‘* (G) (Q - V" (/„)>=
оо оо
= J ... J ^^...^"^,^...,^^2.....U^^2-^n
—оо —оо
163
Моментная функция Miit i2.in (tv t2,..., /п), зависящая от n
несовпадающих аргументов tlf t2, ...,tni называется n-мерной мо-
ментной функцией (h + f2+... -Нп)-го порядка. Вместо мОхмент-
ных функций Milt i2t ... лп (^i, /2, •••»^п)> называемых начальными,
можно рассматривать центральные моментные функции, которые
определяются соотношением
Hz 1, .in (^1> ^2» ••• > ^п) “ (^1) (^1)1*1 (^2)
-m1(G)H’-[UG)-aix(G)]G> = J ... J [5(G)—ag(G)1z*x
— 00 — 00
х [S(G)-A4X(G)F' - [5(G)-AGO Mzn(51( 53..5n, tv t2..tn)x
xdl[d^...dln. (5.10)
Если случайный процесс |(Z) задан n-мерной характеристической
функцией, моментные функции удобно вычислять путем ее дифферен-
цирования. Используя определение характеристической функции
(5.1) и раскладывая входящую в (5.1) функцию exp {z} в ряд Тейло-
ра, можно показать, что для n-мерного начального момента спра-
ведливо соотношение [2,3]
Mlt. 1г.....ln(tltt2....../-(z*+z‘+ - +fn’x
+ • -~НП
. dQln ^1’ ^2’
п
2.=0
(5.П)
Корреляционные функции KX(G), K2(G, G), •••, Kn{t\, G, •••, G)
определяются разложением в ряд Маклорена логарифма многомер-
ных характеристических функций. Можно показать [2,6], что для
первых трех корреляционных функций справедливы соотношения:
KX(O=AG(O = <S(O>.
К2(G- G) = < IS (G)-AG(G) ] 15(G)~Ml (G)]> = <1 (G) 5(G)>-
- <£ (G)> <? (G)> = M2 (ti, t2)-Mi (G) M, (G),
K3 (G> G> G) ~ М3 (G> G> G) Mi (G) K2 (G> G) Мг (G) K3 (G> G)
- Mi (G) K2 (G. G) + 2A1X (G) Mi (G) Mi (G). (5.12)
По моментным и корреляционным функциям можно восстано-
вить характеристическую функцию и, следовательно, плотность
вероятности [1]:
0n (Й1( q2, ..., Qn) = 1 +/ 2 Ml (G) 2 2 M2 {tn,
p.= l Zi [1=1 v=l
164
/v)q,; qv+£- 2 2 2 м3 tK) q[1qvQa + ...,
3! p.= l v=l 7 = 1
©„(□,.Q2>....Q„) = exp|/ 2 Ki(W+-£- 2 S
I H=1 2! |i=iv=l
x Qp. Qv ~F ~~ 2 2 2 (^» ^v> + ••• I •
3! p.= i v= 1 x=i J
Особо важную роль в теории случайных функций играют одно-
мерный момент
M1(O = <UO>= J (5.13)
—00
называемый математическим ожиданием (средним значением) про-
цесса £(/), и его корреляционная функция /<2(^1» ^г), совпадающая
с двумерным центральным моментом второго порядка:
(G, Q = <15 ai)-7Wx (G)J [I (/а)]> = (g (G) g (G)> -
-7W1(G)M1(Q = p2(/1,/2). (5.14)
Для стационарных случайных процессов формулы (5.13) и (5.14)
приводятся к виду
Mr (0 = <1 (0> = J (?) di- = т, (5.13а)
—оо
К2 (tv h) = k2 (G, t2) = <[g (tj- m] [? (/2)-mJ) = <? (G) В О -7П2 =
= J J (?1-m)(g2-m)ir2(g1>g2,T)dg1^2 = Z!(T). (5.14a)
—oo —oo
Функция корреляции (5.14) или (5.14a) между значениями одно-
го случайного процесса в два различных момента времени называет-
ся автокорреляционной. Аналогичным образом определяются и вза-
имные корреляционные функции, характеризующие статистическую
зависимость между значениями двух случайных процессов в два
совпадающих или различных момента времени. Так, к примеру,
для двух стационарных случайных процессов £(/) и т](/) со средними
значениями и tnTl взаимные корреляционные функции имеют
вид
(^i, = ([£ (/1) т^] [т) (/2) 15
= <h (*i) ~^] [I (U — ^]>-
165
Если функции корреляции (5.15) зависят лишь от разности т = t2 —
—ti, то процессы |(/) и т](/) называются стационарно связанными
и для них справедливо соотношение
(tlt t2) = kiTl (т) = (—т). (5.16)
Весьма распространенной характеристикой стационарного слу-
чайного процесса является его спектральная плотность S(<o), свя-
занная с корреляционной функцией (5.14а) преобразованием
Фурье:
S(co)= J k(x)e~f^dx, (5.17)
—оо
оо
*(T)=4i f s»e/WTrf®’ (5.18)
—оо
Используя свойство четности автокорреляционной функции k(x),
соотношения (5.17) и (5.18) можно привести к виду
S (со) = 2 J k (т) cos mdx, (5.17а)
о
оо
k (т) = — f S (со) cos cot dco. (5.18а)
л
В формулах (5.17) и (5.18), называемых формулами Винера —
Хинчина, спектральная плотность S(со) определена для положитель-
ных и отрицательных значений круговой частоты со, причем S(co) =
= S( — со). Если же вместо такого спектра, называемого двухсто-
ронним, ввести одностороннюю «физическую» спектральную плот-
ность
S(f) = [S((o) + S(-(o)]=2S(co),
отличную от нуля лишь при />0, то формулы (5.17) и (5.18) будут
иметь вид
S (/) = 4 J k (т) cos 2л/т dx, (5.176)
о
k (т) = J S (/) cos 2л/т df. (5.186)
О
Соотношения, аналогичные (5.17) и (5.18), справедливы и для
взаимных корреляционных и спектральных функций.
Среди различных задач статистической радиотехники наиболее
часто встречаются задачи, связанные с линейным или нелинейным
166
преобразованием случайных процессов. В ряде случаев успешное
их решение связано с возможностью представления плотностей ве-
роятностей случайных процессов в виде быстро сходящегося ряда,
члены которого выражаются через табулированные функции. Рас-
смотрим некоторые из таких разложений, базирующихся на пред-
ставлении соответствующих плотностей вероятностей в виде ряда
по ортогональным полиномам.
Используя соотношение (5.1), представим двумерную нормаль-
ную плотность вероятности £2) в виде обратного преобразова-
ния Фурье от характеристической функции (5.86):
ш2 (L, L) = ——
2 \Ъ1> Ъ2/ (2л)2
ОО оо
J J (^1» ^2) ехР { /(^1 “Ь ^2 ^2)} dQydQz'
—00 —00
Подставляя сюда значение @2(^i, ^2), определяемое соотношением
(5.86), и используя разложение
оо
exp { -о2 Й2} = 2 (о2 Й2)п.
. п=0 п'
получим
In A I Dn
_la2Q2__/Q g рй P2"V
2 j In!
Сделав далее замену переменных Ai = 0Q1, Х2= oQ2, и воспользо-
вавшись интегральным представлением производных от интеграла
вероятности
оо
ф(п+!) (г) = _1 (—jyi J АЛ exp {—-j-Л2 — /ZzjdA,
нетрудно получить следующее выражение для двумерной нормаль-
ной плотности вероятности
ш2 |2) = 0-2 2 Ф(п+1> ( v) ф<"+1) (I) ?Г ’ (519)
называемое разложением Крамера [7]. Аналогичным образом могут
быть получены разложения и для нормальных плотностей вероятно-
стей более высоких порядков [11:
оо
^3 (В1> £2Л) = 2 Ф(*+'+1>
k, I, т=0
ф(Л+/п-Ь 1 )
167
, е. . pk pl pm
ХФ<Ж”+')^Г -
\ a / k\l\ tn\
(5.20)
^(^1,^Л8Л4)=<г-4 У ф(й+/+т+1) /_Ь )ф(Л+п+[1+1)/к\х
kt I, ... , v=o X a / \ a /
x ф«+я+»+о /Л) ф^+^+п /ii) . (5.2i)
\ a / \ a ) k\l\tn\n\ ji! v!
Если воспользоваться выражением производных от интеграла
вероятности через ортогональные полиномы Эрмита
ф(«+1) (г) = (_ 1)«ф' (г) нп (г), (5.22)
где Яп(г)— полиномы Эрмита, определяемые соотношениями
1 5»2 ЛП _____1_ 2 2
2 ,» = 0.1,2....................... (5.23)
— — Z2
Яп(г)Ят(г)е 2 dz =
п\ при т = п>
0 при т=£п,
(5.24)
разложения (5.19) — (5.21) можно представить в виде рядов по орто-
гональным полиномам.
Во многих практически важных задачах приходится иметь дело
с плотностями вероятностей IFi(£), не очень сильно отличающимися
от нормальной. .Характерные особенности таких функций состоят
в следующем:
1) они являются одновершинными (т. е. имеют один максимум),
2) по обе стороны от вершины они имеют ветви, достаточно бы-
стро приближающиеся к нулю по мере роста абсолютного значения
аргумента.
Одномерные плотности вероятностей такого типа обычно ап-
проксимируют при помощи ряда Эджворта [7, 8]:
оо
^1© = ^1(5) (5-25)
п=0 п1 °0 \ ао J
где ^(fc)—нормальная плотность вероятности
(£) = - ехр | — (g~y2 | (5.26)
у 2яа0 ( 2ац j ’ v ’
Нп(г) — полиномы Эрмита (5.23); т0 и а0 — постоянные величины,
а коэффициенты Ьп, называемые квазимоментами, определяются
формулой
оо
bn = on0 f ayi(x)Hnf^2px = aS<Hnf^!b. (5.27)
-оо \ °0 / \ \ a0 J7
168
Практически функцию нужно знать с некоторой конечной
точностью, поэтому вместо (5.25) можно взять конечную сумму,
причем число слагаемых W будет зависеть от требуемой точ-
ности аппроксимации и от выбора величин т0 и Оо- В большинстве
практически интересных случаев наилучшее приближение при
заданном W будет тогда, когда т0 и оо выбраны равными среднему
значению т и дисперсии о2, а разложение производится по поли-
номам При этом
Z?0 — 1, — ^2 ~
в соответствии с чем из (5.25) получаем
(5.28)
Если в формуле (5.28) перейти от полиномов Эрмита к производ-
ным от интеграла вероятности (5.22), то получим разложение IFi(£)
в виде одномерного ряда Эджворта:
Ц7 (В) as — Гф' (§—2?'I— ^-фй) 12_ф(5) (t—m\ ,
1W а | V а / 3! о Г 4! \ а )
(5.29)
где Vi и у2 — коэффициенты асимметрии и эксцесса, определяемые
соотношениями
? А = v ±L = £l-3.
а3 а3 а4 ст4
(5.30)
Для разложения многомерных плотностей вероятностей в мно-
гомерный ряд Эджворта необходимо использовать многомерные
полиномы Эрмита [9 J. В частности, для двумерной плотности вероят-
ности, не очень сильно отличающейся от нормальной, при гщ, = 0
и о\ = 1 справедливо разложение [1]
оо
л=о т\ и
(т+1=п)
(5 ЗГ-
где
I—/?2
169
Gw/(Ii,|2)—двумерные полиномы Эрмита:
Gml (5i, У = (- 1Г+'еХр Ф У j X
д™+1 Г ( 1
x [exp I ~ Iф(и 6J! ]' (5-32>
a —квазимоментные функции, представляющие собой
средние значения сопряженных полиномов Эрмита
Нт1 (5Х, 52) = ( — l)m+z exp (-1 ф (хр х2) j х
дт^~1 Г Г 1 V
Х <5.33)
где после выполнения дифференцирования надо положить
v - h-Rh v .
1 I—/?2 ’ 2 I—/?2
Входящая в Нт1(Ъд, |2) функция ф(Х1, х2) представляет собой поло-
жительно определенную квадратичную форму, сопряженную
с ф(5ь 5г):
ф(хр х2) = Xi + 2/?х1х24-х2.
Для двумерных полиномов Эрмита справедливо соотношение
= (5.34)
Значения некоторых из полиномов, вычисленные по формулам
(5.32) — (5.34), приведены в табл. 5.1 и 5.2.
Если плотность вероятности 1Г1(£) при отрицательных значе-
ниях аргумента равна нулю, ряд Эджворта (5.25) сходится медленно.
В подобных случаях более подходящей является аппроксимация
1^1(5) рядом Лагерра [10—13]:
^1(5)=-2спе-Ч«Цв’(5), (5.35)
п—0
где Lna) (5)—обобщенный полином Лагерра
Ц” (z) = ег— (е-2 гп+а), а > — 1;
п\ dzn
сп — коэффициент разложения, равный
°°
Г(п + а+1)б
170
Полиномы Эрмита Gmt (£ь g2)
Таблица 5.1
\ т 1 X 0 1 2 3
0 1 %1 х2-—!— 1 1—я* ,.3_ 3х1 1 1—Л2
1 *2 , 7? Х1Х2+ 9 2#%! х1хг+ i_^2 х2 1— R2
2 2 1 %2 1-^2 2 2£х2 Х9Х1 + — 2 1Л1—Я2 _ *1 I—/?2
3 Л-3_ 3*2 2 1—7?2
Таблица 5.2
Сопряженные полиномы Эрмита Hmi (§1, g2)
\ т 0 1 2 3
0 1 5i-i 5i -35!
1 5152-R Vi52-2R5i-52
2 Bl- 1
3 Й-3В2
Входящий в (5.35) параметр а представляет собой произвольную по-
стоянную, выбор которой зависит от соотношения между средним
значением пц и дисперсией а2 процесса £(/). Если, к примеру,
== а2, то целесообразно принять а = /па — 1. При этом
171
и разложение (5.35) с учетом первых его трех членов приводится
к гамма-распределению:
(5-35а)
Г (а+1)
§ 2. Примеры
Пример 5.1. Найти одномерную М/(В, t) и двумерную 1Г2(|ь
g2, tt, /2) плотности вероятностей процесса
£ (/) = a cos at 4- р sin at,
где со — постоянная угловая частота; аир — взаимно независи-
мые нормальные случайные величины с нулевыми средними зна-
чениями та = т$ = 0 и дисперсиями Од = = п* 2-
Решение [14]. Случайная величина £ = £,(t) при любом фикси-
рованном значении t представляет собой линейную комбинацию
нормальных случайных величин и в силу этого также является нор-
мальной. Таким образом, для определения плотностей вероятно-
стей VFi(^, t) и VF2(£i, В2, ti, tz) процесса %(t) необходимо определить
его среднее значение и корреляционную функцию.
В соответствии с (5.13) среднее значение равно
Л4Х (/) = <£ (/)> = <а cos to/ -|- р sin a t) = <а) cos at 4- <Р> sin at.
Поскольку по условию примера
<а) = /па = 0, (р>=/пр = 0,
находим, что
Л4Х (/) = 0.
При этом для корреляционной функции (5.14) получаем
/2 (/х, /2) = <[acosto/x4-P sin wx /] [a cos со/2 4-Р sin <о/2]).
Учитывая, что по условию
<ap> = <pa> = 0,
окончательно находим
/<2 (G> t2) — °2 cos ю-1cos 4- и2 sin to/x sin <о/2 = ст2 cos to (/х—/2) =
= /(т), т = /х—/2.
Таким образом, искомые плотности вероятностей имеют вид
и>х (|, /) = --L.— ехр (---------------— I,
1 7 /2л a Ч 2о2 /
,6 £ . 1 ( Б2 — 2gi|2 cos сот4-^1
W2 (51> ^2’ tl> t2) — ---------exp j 0 2/1 2 \ l'
2ла2)/ 1—cos2(dt ( 2a2 (1 — cos2cot) J
1
172
Пример.5.2. Определить характеристическую функцию @i(Q) и
коэффициенты асимметрии у4 и эксцесса у2 для стационарного слу-
чайного процесса £(/) с плотностью вероятности
Решение. На основании (5.1) одномерная характеристическая
функция ©i(Q) равна
оо оо
©Х(Й) = <ехР {№} ) = (£) dl = а f еМ-“Е dl = .
-оо б а-/О
Коэффициенты асимметрии yi и эксцесса у2 определяются форму-
лами (5.30) и для их вычисления необходимо найти среднее значе-
ние mg, дисперсию <т| и центральные моменты р3 и процесса
КО-
Используя (5.13а) и (5.14а), находим
оо оо
/п5= f = |е-“^=1,
п а
—оо и
оо оо
о? = f (l-mtfW№dl= а [ (V- -Ч2 .
h \ а / а2
—ОО и ' '
Аналогичным образом, используя соотношение (5.10), для централь-
ных моментов р3 и р4 получим
2 9
Цо = — ; ц4 = — .
гз а3 Г4 а4
Таким образом, искомые коэффициенты yi и у2 равны
Vi = 2, у2 = 6.
Пример 5.3. Найти корреляционную функцию k(x) и спект-
ральную плотность S(co) для случайного сигнала
U0 = 4n sin (®0 t + ф),
где Ат и со0 — постоянные амплитуда и угловая частота; ф —
случайная начальная фаза, равномерно распределенная на интер-
вале [ — л, л].
Решение. По определению (5.14а) корреляционной функции
имеем
Поскольку
тс
= J Ат sin (®0 / + ф)«71(ф) dtp = О,
173
то
It
k (т) = <£ (0 £ (t +т)><р = J Лот sin (а»0 Z + ф) sin (й0 соо т + ф) X
—It
It
х№х(ф)с(ф=— f Лот8Ш(©0/4-ф)81П(й)о7+®от + ф)(/ф.
2я -к
Учитывая, что
sin а • sin 0 = 1 [cos (а—0) — cos (а + 0)],
находим
А2
£(т) = у COSC00T.
Спектральная плотность вычисляется по формуле Винера-Хин-
чина:
S (со) = J k (т) dx = — J е_/Ът cos соотс/т —
—оо 2 —оо
„9 00
Д 2 л
= I [е/ (<о0-ш) т е-/ (wq+w) Т ]
4
—оо
Так как
е/шт dx = 6 (со),
окончательно получим
л Д
5 = ~2^ + + 6 (®~ио)]-
Пример 5.4. Найти функцию корреляции Аом(т) и спектраль-
ную плотность Som(£°) однополосного амплитудно-модулированного
сигнала с подавленной несущей, имеющего вид
МА МА а
s (0 = А (0 cos [соо t + ф (0] + —г=. А (0 sin [®01 + Ф (0]. (5.36)
у 2 у 2
где Л4д и ®о — постоянные величины; А(0 — преобразование Гиль-
берта от функции А(0 [1]:
оо
А (0 = 1 [ 11^ dx. (5.37)
Я-Ъу—х
Предполагается, что Х(/) и ф(/) — случайные процессы, заданные
уравнениями
^- + аА(0 = щ(0, ^=п?(0. (5.38)
at at
174
Здесь ni(Z) и пф(/) — независимые стационарные нормальные белые
шумы с нулевыми средними значениями и корреляционными функ-
циями
ЛК
knx (^1, /2) = <Ях (*1) Их (/2)> = -у 6 (/2 —
(^1» ^2) “ (^1) Л<р (^г)^ = ~2~ $ (^2 ^1)*
Начальная фаза ф0 = ф(0) считается неизвестной, т. е. случайной,
и равномерно распределенной на интервале [ —л, л].
Решение. Так как среднее значение сигнала (5.36) равно нулю,
то его корреляционная функция &ом(т) в соответствии с (5.14)
равна
м ?
&ом (т)=(s (f)S (/4-т)> =-у- {k\ (0 <COS [О)о t + <р (01 COS [СОо (/ + т) +
+ <р(/ + т)]> + <Х(0 Х(/Ц-т)> (sin [<оо t + ф(0] sin [<оо(* + 0 +
+ ф (/ + т)]> + <% (О Х(/ + т)> <COS [<00 t + ф (0] sin [Wo (f + т) +
+ ф(/ + т)]> + <Х(/ +0 %(0) <cos[соо(t + т)4-ф(t + т)] X
Xsin [o)q / + Ф(0])}-
Учитывая, что для преобразования (5.37) справедливы соотноше-
ния [14]
h (т) = <Х (0 к (i + т)> = <Х (0 X (t + т)> = Ох2 е-“1’1 , (5.39)
(т) = <Х(0Х(/ + т)>=-<Х(0Х(/ + 0>=— £п(0 =
9 ОО
а; р 1
= —\ —— e-^l dy,
я у+т
находим
ком (т) = — { ki (т) <cos [<о0 т+Аф (т)]) +& X X (г) <sin[<oo т+
Л
+Лф(т)]>}, (5.40)
где
Дф(т) = ф(/ + 0—ф(0.
175
Как следует из второго уравнения (5.38), приращение фазы
<р(0 за время т равно
А ср (/) = гц (х) dx.
t
Поскольку по условию задачи иф(/) представляет собой стационар-
ный нормальный белый шум, приращение Аф(т) на фиксированном
интервале т представляет собой нормальную случайную величину,
среднее значение которой равно нулю, а дисперсия аф(т) опреде-
ляется соотношением (см. задачу 8.14)
п¥2(т) = <Д^(т)>=1^|т|. (5.41)
Таким образом, плотность вероятности приращения Дф (т) равна
(Дф (т)) = у=-- ехр —-Ш- .
у2лст<р(т) ( 2о^(т) J
Учитывая, что в соответствии с этим
(з!пДф(т))= § sin Дф (т) (Дф (т)) dAtp (т) = О,
—оо
оо
(cos Л ф (т)> = J cos Дф (т) w1 (Дф (г)) <1Дф (т) = ехр | —- о2 (т) |,
находим
<cos [соо т + Д Ф (*)] > = cos <оо т ( cos Дф (г)> — sin соо r(sin Дф (т)) =
= ехр I —— а<р (т) I cosco0t,
( sin [<оо т + Дф (т)]> = sin <оо т <cos Дф (т)> + cos <о0 т <sin Дф (т)> =
= ехр{—-i- о2 (т) j sin <в0 т. (5.42)
Подставляя (5.42) в (5.40) и учитывая соотношения (5.39) и (5.41),
получаем следующее выражение для функции корреляции однопо-
лосного сигнала (5.36):
, .. 1 2 Г -(“+г v,
&ом(г) = — а а е ' 4 cos(o0T + e 4 X
где
а^ = М1ох2.
(5.43)
17fr
Спектральная плотность Som(®) сигнала (5.36) на основании
формулы (5.17) равна
оо
Sqm (со) = § ком (т) е~^т dx =
—оо
оо
XsincooTdT I е“а,*1 --х
J х + т
Учитывая, что
е—а I* I
dx
х + т
—л (ct -|- В) I-------------—-----------------1, со —(оП1
1(а+₽)2+(®-<»0)2 (а+₽)8+(<в+<%)2]
— л (а -|- Р) [-------------1-----------------1, — соо<со<(до,
V Н71(а+₽)2 + (о)-Шо)а (<x+₽)2 + (o)-Oo)2J
л (а 4- В) Г-----------------------5-------1, со > (оп,
1(а + ₽)2+(®-“о)2 (a + ₽)2+(®+<M2J
получаем следующее выражение для односторонней спектральной
плотности однополосного сигнала (5.36):
Sqm (w) = 2од 1 + 2 а Л . 1 n V |7tt>-(M8 ’ О)>®0’ <5ЛЗа) к1+ 2 a J 0, ©<(д0,
где
D „ = — AL.
т 2а т
Как следует из (5.43а), наличие фазовых флуктуаций ф(/) не
нарушает однополосного характера сигнала (5.36). В частном случае
отсутствия фазовых флуктуаций (Мф = D<p = 0) формулы (5.43) и
(5.43а) приводятся к виду
Лом (т) = —Оа . г “ 7 ОО \ е-«1т| созй)0т+| — 1 e_“l*i-^- )sin<oox \ л J х + т / г > —оо /
7 Зак- 728
177
Sqm (w) =
1
©>©0,
О, © < ®0.
Пример 5.5. Выяснить разницу между спектральными плот-
ностями случайных процессов 51(0 и 1г(0 с корреляционными
функциями
£е2 (т) = о2е~* ।х I,
W - °2 е-а 1 т 1 cos ®0 т.
Решение. Функция корреляции (т) является частным слу-
чаем корреляционной функции &е2 (т). Поэтому вначале найдем
спектральную плотность (<о), соответствующую kit (т), а затем
из S$2 (®) получим Set(®)..
Согласно формуле Винера—Хинчина имеем
оо оо
S$2((o)= § ^2 (т) dx = a2 J е~~а 1 т 1 cos ю0 xdx =
—оо —00
О оо
§ е,х-/<ох cos®0Tdt-f- § е-ах-'шх cos ®0 xdx .
-оо О
Учитывая, что
cos ®0 т = — х + е_/“»х),
получаем
$£,(<*) =
оо оо
_j_ е -[о+/(®-®»)]т dx+ § е_[“+/(<>+®<>)]т£/т
о о
а2+(ш—со0)2 а2+ (а>+<о0)2
Рассмотрим поведение функции S:2 (и).
1. Sjs(©)->0 при | <л | -> оо.
2. При 3®о < а2 у функции (®) нет максимума, она моно-
тонно убывает с ростом |®| (рис. 5.1,а).
3. Если 3©о>а2, функция Se2(«>) имеет максимум в точке
(рис. 5.1, б)
| © | = (а2 + ©g)1^©o-y^+Zf.
178
Рис.
5.1. Спектральные плотности при различных
соотношениях между а и соо.
4. При Зсоо > а2 спектральная плотность S^2 (со) также имеет
максимум в точке | со | » соо (рис. 5.1, в).
Суммирование спектральных плотностей S^2(co) с различными
весами при соответствующим образом выбранных а и со0 позволяет
аппроксимировать сложные спектральные плотности. Так, к при-
меру, путем сложения изображенных на рис. 5.1 функций S^2(co)
можно получить спектральные плотности Si(co) и S2(<o) (рис. 5.2),
совпадающие с энергетическими спектрами распределения скоро-
стей в атмосферном турбулентном потоке.
Рис. 5.2» Сложные спектральные плотности.
7*
179
спектральные плотности.
Полагая в S$2 (о) ®0 = 0, найдем спектральную плотность
(<о), соответствующую корреляционной функции ^(т):
«е,И = <т2-^4-.
а2+<оа
Графики функций k?t (т) и k^t (т) и соответствующих им спект-
ральных плотностей S$t (®) и S$2 (со) приведены на рис. 5.3.
Пример 5.6. Найти функцию корреляции ^(т) стационарного
случайного процесса £(/) со спектральной плотностью (рис. 5.4)
Рис. 5.4. Равномерная в полосе частот спектральная плотность.
180
Рис. 5.5. Корреляционные функции узкополосного (а) и широ-
кополосного (б) случайных процессов со спектральными плотно-
стями, равномерными в полосе частот.
Для частного случая со1 = 0 определить величину интервала
A = f*+i—th, при котором значения t*+i =5(^+0 и = не-
коррелированы.
Решение. По формуле Винера—Хинчина находим
оо
М*) = т" f 5е(®)
231 J
—оо
cos сот d<a
(sin со, т—sin со. т).
2лт
Так как
sin а—sinР = 2 cos sin ——-,
2 2
корреляционную функцию (т) можно представить в виде
(рис. 5.5, а)
k\ (т) = Oi рх (т) cos <оо т,
181
где
Асо
ж „ sin —т ,
_2 AoWo z ч 2 л (О1 + <о2
*=~2Г; Р1(Т) = ^Т; Да>==^-®1’ Ио==---------------2--•
2 Т
Для частного случая = 0 функция корреляции k> (т) имеет
вид (5.5, б)
г, / \ • ЛГп со2 sin со2 т 2 / л
(Т) = 7Г" 510 Ю2 Т = НН- ---------- Q2 Р2 СО»
2лт ' 2л со2 т
где
Величину интервала A = /*^i— tk, при котором значения (отсче-
ты) = £(/*) и g*+i = g(^+i) будут некоррелированы, можно
определить, приравняв нулю значения коэффициента корреляции
р2 (А). Отсюда находим
sin а>2 А п Л____ л __ 1
где F2 = <о2/2л — верхняя частота спектра S^co).
Таким образом, в реализации £(/) длительностью Т содержится
N = Т/А = 2F2T некоррелированных отсчетов.
Пример 5.7. Спектральная плотность Sg(a>) стационарного слу-
чайного процесса |(Z) имеет вид (рис. 5.6)
' 4а
а2 + <а2
со > О,
SE(«>) =
О, со<0.
ской полосы случайного'процесса.
Определить соотношение между энергетической полосой Дсоэ
процесса £(/) и шириной его спектральной плотности Дсо на уровне
0,5SB(0).
182
Решение. Энергетическая полоса Дсоа процесса 5(0 опреде-
ляется соотношением
оо
А(°э= s^oj- f
—оо
После подстановки 5$(ю) находим
Дю = — С ——— d(i> — а • arctg — С = а — .
э 4 J а«+а>« 6 а J 2
о о
Ширина спектральной плотности Дю на уровне 0,5 3^(0) находится
из формулы
= "зТм Ъ = °’5 <°>= °’5 “а ’
аа+(Аш)а а2
откуда
Дсо = а.
Следовательно,
Асоэ __ Af9 _ _л_
Асо А/ 2
Пример 5.8. Найти двумерную плотность вероятности
5г, ti, h) стационарного случайного процесса
& (0 = Лт cos И+ <р),
где Ат ию — постоянные амплитуда и угловая частота, а <р — слу-
чайная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале
( —л, л]. Двумерная характеристическая функция 02(^i, й2)
процесса £(/) имеет вид [151
(^i> ^2)= \*-хр {/Qi Ч- /П2 £2}^ =
= /0(Лго]Лй? + 2О1й2 cos сот + ^2),
где = Лтсо5(ю/х + ф); g2 = Лот cos (®*2 + <р); т = /2—tv
Решение [161. В соответствии с (5.1) можем написать
оо оо
^(li. Ъ, G, ^)=-тЛг f f <Q1’ Q*)ех₽ ASt}dQxdQ2
(2я)4 J J
—оо —ос
Подставляя сюда ©2(^1, й2) и используя теорему сложения для бес-
селевых функций, согласно которой [171
о (Дп “Ь 2^1 ^2 cos сот -р =
183
= 2 1)m £ т Jm (4A) Jm (4» Qa) cos man,
m=0
где £m— множитель Неймана:
_|1 при т = 0,
(2 при /п>1,
находим
^(^1. и =2 (-ire™
т=0
i f
—оо
ОО
J Jm(AmQ2)e~^dQ2
—оо
cos /исот.
Сделав замену переменных
и пользуясь интегральным представлением функций
Т'Г)(2)=Д-(/Г Jjm(X)e-^a,
получим
1^2 (11,12)= 2 6 m COS ток.
т—0 \ЛЯ1/ \Л/п/
Функции Чг^1) (г) могут быть выражены через полиномы Чебы-
шева Тт(г):
^)(2) = (1-^)"^Тт(2),
Тт& = у {[*+i /Г=?]от + [z-j /Г=^]т{.
При этом имеем [16]
т=0 ' лт ' \ '
где
Таким образом, полученное выражение для Т^2(^1, £2) дает раз-
ложение двумерной плотности вероятности гармонического колеба-
ния со случайной начальной фазой в ряд по ортогональным поли-
номам Чебышева.
184
§ 3. Задачи и ответы
5.1. Найти одномерную плотность вероятности процесса
&(Z) = a + pf,
где а и Р — взаимно независимые случайные величины с плотно-
стями вероятностей ТГо(а) и IFp(P).
Ответ [14]:
& 0 = 777 f V* (£-₽) (-f-) <
|Г1 J \ 1 /
—оо
5.2. Найти одномерную характеристическую функцию нор-
мального процесса |(/), имеющего плотность вероятности
о»! (|) = * ехр ( —(^—j.
1 ’ /2ла I 2a2 J
Ответ:
Л /m2----7- ст228
©е(Й)^е 2 .
5.3. Найти одномерную плотность вероятности случайного
сигнала
g(0 = 4(f)sin[<M+<p(0],
в котором случайные функции Л(0>0 и <р(/) предполагаются неза-
висимыми в один и тот же момент времени, причем случайная фаза
ф(0 считается распределенной равномерно на интервале [ —л, л],
а амплитуда A(t) имеет плотность вероятности Wa (Л).
Ответ:
I Е| О
5.4. Найти плотность вероятности случайного сигнала £(/),
указанного в предыдущей задаче, в том частном случае, когда
^(4) = А ехр {-£,), Л:,0.
Ответ:
Wr1(g) = -7=L-exp(—Ц].
17 /2ла ( 2a2/
5.5. Найти одномерную плотность вероятности гармоническо-
го колебания
{ (0 = Ат cos (®0 / + <р),
7В Зак. 728
185
имеющего постоянные амплитуду Ат и угловую частоту ®0, но
случайную начальную фазу, равномерно распределенную на ин-
тервале [ —л, л].
Ответ:
1
при |1|<ЛГО1
о
при- |g|>A„.
5.6. Найти плотность вероятности суммы (разности) £(/) =
= £(/) ± л(0 ДВУХ некоррелированных нормальных стационарных
процессов £(/) и rj(Z), имеющих средние значения и дисперсии, рав-
2 2
ные соответственно и /пп, и ап.
Ответ:
1
г = ехр
/2л (а|+оф
2 (*!+<) )
5.7. Вычислить плотность вероятности суммы ЦТ) двух неза-
висимых случайных процессов: гармонического колебания т](0 =
= Ат cos (®oi + q>) с равномерно распределенной случайной фазой
Ф на интервале [ —л, л 1 и нормального стационарного шума ЦТ)
с нулевым средним значением и дисперсией о2:
t (О = П (0 + со-
ответ:
2л
№.(£) =-----7=^ f ехр (
1W 2л}<2ло J F(
О
(g—Лт cos ф)а
2а2
5.8. Два нормальных некоррелированных случайных процес-
са ЦТ) и т](/) имеют средние значения и дисперсии, равные соот-
ветственно mi и /пп, о| и о^. Записать совместную плотность ве-
роятности 1Г2(^,. т))-
Ответ:
2лсг^
'2*2 .
5.9. Имеется два случайных процесса ЦТ) и т](/) = аЦТ),
где а — постоянный коэффициент. Считая процесс ЦТ) нормальным
с нулевым средним значением и дисперсией о2, записать совместную
плотность вероятности №2(£, т)).
Ответ:
W2 & *1) = vt е 2’’6 (П—а$),
у 2ла
где S(x) — дельта-функция.
186
5.10. Написать совместную плотность вероятности для гармо-
нического колебания со случайной начальной фазой (равномерно
распределенной на интервале [ —л, л])
Ш) = Ат cos(<V + q>)
и его производной £(/) в тот же момент времени.
Ответ:
а) = г„уМ Iе +
2JC у Ат g
+ 6 (t + (00/^-52)], |5|<Лт.
5.11. Требуется записать совместную плотность вероятности
для стационарного процесса Ц1) и его производной £(/) в один и тот
же момент времени. Предполагается, что процесс £(/) является нор-
мальным, имеет нулевое среднее значение и дифференцируемую
функцию корреляции £(т) = о27?(т), где а2 — дисперсия.
Ответ:
о
-----г' ехр
2ла2/—/?"(0)
__Ml
r* (0) = £8j?(T) I .
V ’ dx* |г=0
5.12. Для нормального стационарного шума 5(0 с нулевым
средним значением и функцией корреляции k(x) = o2R(x) записать
двумерный момент вида <52(0?г(^ + т)>.
Ответ:
<52 (0I2 (t + т)) = а4 [ 1 + 2^(т)].1
5.13. Написать выражение четырехмерного момента <n(/i) х
Хп(/2)п(^з)п(/4)> для белого нормального стационарного шума п(0
с нулевым средним значением и функцией корреляции
kn (0 = <п (0 п (t + т)> = S (т).
Ответ:
#2
<n (G) п &) п (/3) п О = Y [6 &-Л) 6 (/4-/3) +
+ S (*3-G) S (*M8)+«(*Mi) в (0М>)1-
5.14. Найти общую формулу для одномерных моментов нор-
мального стационарного процесса с нулевым средним значением
и дисперсией а2.
7В* <87
Ответ:
/f. г,(1-3-5...(и—l)^ при и. четном,
/Пн = <^(0>= А
( 0 при р нечетном.
5.15. Найти общую формулу для двумерных моментных функ-
ций нормального стационарного процесса £(/) с нулевым средним
значением и корреляционной функцией 4(т) = o2R(t).
Ответ [1]:
(т) = (0 g’ (t + т)> = он-Н J kN„, k ,
*=о k'-
где
Nitk= J х*ф(*+1) (x)dx.
— со
Значения коэффициентов Nt>k приведены в табл. 5.3.
Таблица 5.3
Значения коэффициентов Nt^
X k i X. 0 1 2 3 4 5 6
0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 —1 0 0 0 0 0
2 1 0 2-1 0 0 0 0
3 0 —3-1 0 —3-2-1 0 0 0
4 3-1 0 4-3-1 0 4-3-2-1 0 0
5 0 —5-3-1 0 —5-4-3-1 0 —5-4-3-2-1 0
6 5-3-1 0 6-5-3-1 0 6-5-4-3-1 0 6-5-4-3-2-1
5.16. Вычислить трехмерную моментную функцию
/Пр.,1 (тх, т2) = <|Н (0gv (/ + Тх) gX (t + т2)>
для стационарного нормального случайного процесса g(/) с нуле-
вым средним значением и функцией корреляции (т) = о27?(т).
Ответ [1J:
/ПцЛ (Тр т2) = он-Н-Н 2 2 2 4 к+1 N,' k+m X
Л=0 /=0 т=0
х yVx- ‘+т------гтттт;-------•
188
5.17. Вычислить среднее значение, дисперсию, коэффициент
асимметрии yi и коэффициент эксцесса у2 стационарного случай-
ного процесса Д(7), распределенного по закону Релея:
UZ10) = 4exp(——1, Л>0.
7 а2 к ( 2а2/
Ответ:
= = 71 = 0,63; Тг = 0,23.
5.18. По известным вероятностным характеристикам системы
случайных функций x}(t), / = 1, 2...п, определить среднее зна-
чение и функцию корреляции случайного процесса
п
7=1
Ответ:
п п
<* (0) = s <*, (0); К* (G, Q = 2 +
/=1 /=1 '
+ £
Z=l/=1 7
5.19. Определить, при каких условиях случайный процесс
|(0 = Лт cos («М + ф),
где Ат, ®0 — неслучайные, стационарен и нестационарен в узком
смысле.
Ответ. Процесс £(/) стационарен, если случайная фаза <р рав-
номерно распределена на интервале [ —л, л]. В противном случае
процесс нестационарен.
5.20. Случайные величины Л и Ф независимы. Среднее зна-
чение и дисперсия первой из них равны соответственно 0 и о2; вто-
рая подчиняется закону равномерного распределения на интервале
[ —л, л].
Доказать, что случайный процесс — A cos (<оо/ + Ф) ста-
ционарен (соо — неслучайная величина).
Ответ. Процесс £(/) стационарен в широком смысле, так как
его среднее значение постоянно (т% = 0), а корреляционная функ-
ция зависит только от разности т = /2 — ti'-
Ki Q = y °2 cos G) = к (t).
5.21. Показать, что случайный процесс
£ (0 = X cos &t + Y sin &t
189
является стационарным в широком смысле только в том случае,
когда случайные величины X и У взаимно некоррелированы и
имеют нулевые средние значения тх = ту = 0 и равные диспер-
сии 0х = Оу = о2.
5.22. Определить, при каких условиях случайный процесс
g (0 =.Ат cos (®01 + <р) + п (/),
где Ат, ®о — постоянные, п(1) —шум, стационарен в узком смысле.
Ответ: Процесс £(/) стационарен, если стационарен шум n(t)
и случайная начальная фаза ф распределена равномерно в интервале
[ —л, л].
5.23. Имеется стационарный случайный процесс £(/) с нулевым
средним значением и функцией корреляции
(т) = о2 ехр {—а| т |}.
Выполняется ли для такого процесса условие эргодичности?
Ответ: Выполняется.
5.24. Известны средние значения, корреляционные и взаимные
корреляционные функции процессов x(i) и y(t). Определить среднее
значение и функцию корреляции случайного процесса
z(0 = x(/) + y(0-
Ответ:
<z (0> = <х (7)> + <у (0). (G, /2)=Кх (G, Q(G. и +
+Kxy(h, t2)+Kyx(tlt t2).
5.25. Определить автокорреляционную функцию
случайного процесса
Т)(0 = W + т) - g(0,
где £(/) — стационарный случайный процесс с автокорреляцион-
ной функцией
Ответ:
= ^4-т)—K?(G+b U—
-Kith, ^+т)+Ке(/1, /а).
5.26. Доказать, что
а) |М1’ = =
б) Ql<4-(aj21+o^-
Доказать, что
I (^1> ^2) | -С а£1 ^2» = Т12==Т|(^2)-
190
5.27. Найти функцию корреляции сигнала
s (0 = А» 5 (О cos (со01 + <р),
где КО — стационарный случайный процесс с известной функцией
корреляции Ат и соо — постянные величины, а ф — случай-
ная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале
[ —л, п ] и не зависящая от КО-
Ответ:
k3 (т) = -у А2т (т) cos <в0 т.
5.28. Определить автокорреляционную функцию случайного
процесса
я .
i=i
где ®г —постоянная угловая частота, а а1( а2, .... ап— взаимно
некоррелированные случайные величины с нулевыми средними зна-
чениями тг = 0 и дисперсиями of.
Ответ:
М*)=2 a<e/m,T-
»=1
5.29. Решить задачу 5.28 для случая, когда
5(0= 2 («iCosco^+PiSincOiO,
/= 1
где а( и Pf—взаимно некоррелированные случайные величины
с нулевыми средними значениями та. = т^. = 0 и дисперсиями
2 2 2
О«,- = О₽г = О/ .
Ответ:
Я
k (О = 2 cos т-
i=i
5.30. Определить спектральную плотность Sg(co) стационар-
ного случайного процесса КО с корреляционной функцией
мт)=Гп2’ |т|<т°’
I 0 при других т.
Ответ:
5е(®) = 2а2т0-^^ .
<ото
191
5.31. Вычислить спектральную плотность Sg(®) стационар-
ного случайного процесса^(0 с корреляционной функцией (рис. 5.7)
о2 , — т0 < т < —Тр
То Т1
1’1<ъ
a2JHo L( т <т<т0,
То—тх
О при других т.
Ответ:
Sin r£.fa+l?.L sin MTq-^1)
S$ (CO) = O2 (t0 -|- Tj)-r-------7--;---- .
v ’ ' 0 1 v «>(to+ti) o(t0—Ti)
5.32. Определить спектральную плотность стационарного
случайного процесса £(£) с корреляционной функцией
Мт) =
|т|>е.
Ответ:
(olr, 08 \2
Sin --- \
——
(08 ]
~2~ /
5.33. Решить задачу 5.32 для процесса с корреляционной
функцией
п 2
MT)= S cFt;C°SO)fT-
z=i
192
Ответ:
$5 (<0) = я I6 (® + ®i) + б (®—®г)].
»=1
5.34. Показать, что физическая спектральная плотность слу-
чайного сигнала
1(0 = 2 А8*п(<М+ф«).
z=i
у которого случайны лишь фазы <ра причем <р; и <pft при i k неза-
висимы и равномерно распределены на интервале [ —л, л], равна
। "
S(Z)=t2
5.35. Найти физическую спектральную плотность случайного
процесса
В (0 = Ат п. (о cos (®01 + <р),
где n(t) — стационарный белый шум с функцией корреляции
АП(Т) = -^6(Т),
Ат — постоянная амплитуда, а <р — случайная начальная фаза,
равномерно распределенная на интервале [ —л, л].
Ответ:
= f>0.
5.36. Найти энергетическую ширину физического спектра
случайного процесса с функцией корреляции
k (т) = о2 ехр { — а |т|}.
Ответ:
А/э-у
5.37. Пусть стационарный нормальный шум £(/) имеет равно-
мерную спектральную плотность в низкочастотной полосе ши-
риной F:
S(f) = lN при
4 (о при /<0, f>F.
Доказать, что значения случайной функции в точках отсчета, от-
стоящих друг от друга на интервал времени Atn = n/2F, где п —
= 1, 2, 3, ..., статистически независимы.
193
Ответ: Функция корреляции нормального шума 5(0
у г . л те* sin 2лРт
k (т) = NF-------
v ' 2nFr
обращается в нуль в точках т = A/n = n/2F.
5.38. Показать, что для нормального стационарного шума
5(0 с ограниченным, но неравномерным спектром вида
C-cos2n/C при 0<;/<;£ = —,
4С
S(f) =
о
значения в точках отсчета А/п =2пС, п — 1, 2, 3,..., зависимы.
Ответ: Из выражения для функции корреляции
__лт
COS —-
2С
2п 1-ф’
& (т) = j S (f) cos 2л/т df =
о
следует, что k(&tn)=f*O.
5.39. Найти корреляционную функцию kx(x) стационарного
случайного процесса
х (t) = A (i) cos со01,
где о>о — постоянная угловая частота, а Л(0 — стационарный слу-
чайный процесс, определяемый соотношением
л^и4*141-^ при
I 0 при |51>1.
Здесь 5(0 — стационарный нормальный случайный процесс с ну-
левым средним значением и функцией корреляции
^(т) = <т»Я(т).
Ответ [1]:
J __1_ оо
^(Т) = — Л^о“2е °*cos<b0tS 22"Т2 ( т + -±- I х
10 т=0 \ 2 )
2; J-)
\ 2 2а» / (2т)!
5.40. Вычислить корреляционную функцию стационарного
случайного процесса
t
1](*) = A„COS ®о t + X J В (0 dt ,
о
194
представляющего собой гармоническое колебание, модулированное
по частоте стационарным нормальным шумом £(/) с нулевым сред-
ним значением и корреляционной функцией ^(т) = о2/?(т).
Ответ:
Д2
мт)=-£-ехр
R(x—у) dxdy
cos соо т.
5.41. Решить задачу 5.40 для случая, когда корреляционная
функция модулирующего стационарного нормального шума
£(/) равна:
1) 6Е(т) =-<т2ехр{ — а|г |}.
2) ^(т) = а2ехр{—а2т2}.
Ответ:
1) ^(т) = —— ехр |—^-^-(а|т| + е~а ।х 1 — 1 )1 cos соо т,
2 ( о&2 J
2) ^W = vexP (—^-r(4le-a’T’— 11 + а|т| /л X
2 ( а2 \2
X [ф(|/2а|т|)--1-])}.
5.42. Определить корреляционную функцию &дм(т) и одно-
стороннюю (со >» 0) спектральную плотность Здм(со) амплитудно-
модулированного сигнала
s (0 = [Ат + МАк (/)] cos [<оо t + ф (01,
где Ат, Ма и со0—постоянные величины.
Предполагается, что Х(0 и ф(/) — случайные процессы, заданные
уравнениями
+ а% (0 = пх (0, (t). (5.44)
Здесь щ.(/) и п<р(0 — независимые стационарные нормальные белые
шумы с нулевыми средними значениями и корреляционными функ-
циями
^пх (^1» — ^гах (^1) пх (^г)> — 2 $ (^2 ^х)>
(5.45)
knv (h, Q = <n?(/j) пф(/2)> = S (t2-G).
Начальная фаза ф0 = ф(0) считается случайной и равномерно рас-
пределенной на интервале [ —л, л].
195
Ответ:
ЙАм(т) = -уЛт (1 +m2e-“ iTl)e 4 'V'f Mcosco0t,
AL
SA^) = —
a
D<? ~ 2aN(f’
Графики функции SamC0*) приведены на рис. 5.8.
Рис. 5.8. Спектральная плотность амплитудно-модулированного сигнала.
196
5.43. Решить задачу 5.42 для частного случая отсутствия в сиг-
нале s(t) фазовых флуктуаций (N9 = 0).
Ответ:
^Ам(т) = -^-Лт(1 +m2e-al"l) cosco0t,
5.44. Найти корреляционную функцию йдм(т) и односторон-
нюю спектральную плотность 5дм(®) двухполосного амплитудно-
модулированного сигнала с подавленной несущей
S (/) = МА X (t) cos [со01 + <р (t)],
где Л4а и <о0 — постоянные величины, а Х(/) и ф(/) — случайные
процессы, заданные уравнениями (5.44).
Начальная фаза ф0 = ф(0) считается случайной и равномерно
распределенной на интервале [ —л, л].
Ответ:
£дм(т) = — Оде (а+ 4 W<p^Hlcos®0T, Ga = —NxMa‘,
2 4а
Графики функции 5дм(®) представлены на рис. 5.9.
5.45. Вычислить корреляционную функцию &фм(т) и одно-
стороннюю спектральную плотность 5ФМ(<») фазо-модулированного
сигнала
s(t) = Лтсоз + МфЦ1) + <р(0],
где Ат, ®о и Мф — постоянные величины, а %(/) и ф(/) — слу-
чайные процессы, заданные уравнениями (5.44).
Начальная фаза ф0 = ф(0) случайна и равномерно распределена
на интервале [ —л, л].
197
рованного сигнала с подавленной несущей.
Ответ:
/гФМ(т) = -у- Атехр { — Оф(1— е~а1Ч)—1-^|т|} cos®0r =
= — е_а(л+^О<р)и1] coso>0t
2 L «=1 nl J
= D. = — Nv-,
4а 2а
Графики функции 5фм(®) приведены на рис. 5.10.
5.46. Решить задачу 5.45 для частного случая отсутствия
в сигнале s(t) фазовых флуктуаций (Nq = 0).
Ответ:
£фм(т) = -^- Л«ехр { — Оф(1— e-“HI)J cos®0r =
198
Рис. 5.10. Спектральная плотность фазо-модулирован-
ного сигнала.
- 1 А2 Г0'
~ — Ате
cos (оот;
оо
V? Пф .I
7, —-е-“«М
п\
п=1
5.47. Определить функцию корреляции &чм(т) и односто-
роннюю спектральную плотность 5чм(®) частотно-модулированно-
го сигнала
19»
8 (0 = Ат cos
t
соо t + 7ИЧ J % (t) dt Ц- <p (/)
о
где Am, (o0 и ТИч — постоянные величины, Х(/) и ф(/) — случай-
ные процессы, заданные уравнениями (5.44).
Начальная фаза ф0 = ф(0) случайна и равномерно распределе-
на на интервале [ —л, л].
Ответ:
£чм(т) =-у ехр /рчм(1 — e-ot'xl) —/p^M-|_^-D(p)a|T||cos®0T=
- —Л2 е
- 2 лте
2 /2 1 \
^ЧМ-( нчм+-2* a 1 Х *
д 2 2
S4M(®) = —e₽4M
a
oo
2-
л=о n!
Рчм = ~7Л4ч, D(? = — N^
a2 2a
( — 1)Л₽ЧМ (я+ Рчм+ 2 D<f]
\ £ f
Графики функции Зчм(со) даны на рис. 5.11.
COS (% T,
(o> 0.
Рис. 5.11. Спектральная плотность частотно-модули-
рованного сигнала.
200
5.48. Определить корреляционную функцию ^афм(т) ампли-
тудно-фазо-модулированного сигнала
$ (/) = МА X (0 COS [С00 t + Мф I (0 + Ф (01,
где Ма, Мф и соо — постоянные величины, а %(/) и ф(/) — случай-
ные процессы, заданные уравнениями (5.44).
Ответ:
ЛафмСО =-^-Л4а<*л [Л4ф of+ 0—2Л1ф Ox)e~aJxl +
+ Мф охе~2аЫ] ехр{—-^-Л^|т| — Мф Ох (1— е~а1Ч) j cosсоот,
of = -у— Л^х.
4а
5.49. Вычислить корреляционную функцию ^ачм(т) ампли-
тудно-частотно-модулированного сигнала
t
s (/) = МА % (0 COS COo<+ Af4J Х(х)б/х + ф(0 ,
О
где Ма, Мч и (Оо — постоянные величины, а %(/) и ф(/) — случай-
ные процессы, заданные уравнениями (5.44).
Начальная фаза ф0 = ф(0), как и в предыдущих задачах, пред-
полагается случайной и равномерно распределенной на интервале
[ —л, л].
Ответ:
&ачм (т) = ох Ма е 4 ф 1 1 <
а? Мц
——ч_(1'_е-«Н|)2
а2
е-а]т|
X
ах = -7- Wx,
4а
Хе 4н- cos®0т>
а2
LI =------------
4а? « I т I
Л
1
5.50. Дана двумерная плотность вероятности
,е .. 1 / S?-2RM2+Sil
оу, (L, £») =-r ... _exp {------------}
2V1 2/ 2ла2/1—R2 *4 2a2(l —R2) J
стационарного нормального случайного процесса £(/) с нулевым
средним значением и функцией корреляции ^(т) — о27?(т).
Найти разложение в ряд по ортогональным полино-
мам Эрмита
Як(х) = (- l)"eT** ~^~ехр{—Г х2}-
201
Ответ [16]:
5.51.
v
п=0
( Ъ'\Хп (т)
п I а / п!
’ ~ 2ло2 6
Дана двумерная плотность вероятности Релея [15]
BiE* C„J $+% L (
O4(l_fl2) р( 2а2 (1 — Я2)) °ко2<1 — R*))
Найти ее разложение в ряд по ортогональным полиномам
Лагерра
1 dn ,
Ответ [16]:
2<j*
vi,
п=0
Литература
1. Тихонов В. И. Воздействие электрических флуктуаций на нелиней-
ные радиотехнические устройства. Докторская диссертация. ВВИА
им. Н. Е. Жуковского, 1956.
2. Т и х о н о в В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советское
радио», 1966.
3. Л е в и н Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники.
Изд-во «Советское радио», 1966.
4. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи, т. I. Изд-во
«Советское радио», 1961.
5. Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихонов В. И.
Прохождение некоторых случайных функций через линейные системы.
«Автоматика и телемеханика», 1953, т. 14, № 2.
6. Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихонов В. И.
Прохождение случайных функций через нелинейные системы. «Автома-
тика и телемеханика», 1953, т. 14, № 4.
7. К р а м е р Г. Математические методы статистики. Изд-во иностранной
литературы, 1948.
8. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распре-
деления для сумм независимых случайных величин. Гостехиздат, 1949.
9. Appell Р., Kampede Feriet I. Fonctions hypergeometri-
ques et hyperspheriques. Polynomes d’Hermite. Paris, 1926.
10. Лез и н Ю. С. О распределении случайных напряжений на выходе
некогерентного накопительного устройства с экспоненциальной весовой
функцией. «Известия вузов», Радиотехника, 1960, № 6.
11. Marcum J.I. A Statistical Theory of Target Detection by Pulsed Ra-
dar. IRE Trans, on Inform. Theory, 1960, v. IT-6, № 2.
12. Б о p о д и н В. С. Приближенный расчет функции распределения нор-
мального процесса на выходе типового радиотехнического звена. «Радио-
техника», 1961, т. 16, № 2.
202
13. Деч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов. Изд-во
«Советское радио», 1965.
14. Р а р о u 1 i s A. Probability, Random Variables and Stochastic Processes.
McGraw-Hill, New-York, 1965.
15. Rice S. O. Mathematical Analysis of Random Noise. «Bell Syst. Tech.
Journ», 1945, \\ 24, № 1.
16. В a r r e t t J. F., Lampard D. G. An Expansion for Some Se-
cond-Order Probability Distributions and Its Application to Noise Prob-
lems. IRE Trans, on Inform. Theory, 1955, IT-1, № 1.
17. В а т с о н Г. H. Теория бесселевых функций. Изд-во иностранной ли-
тературы, 1949.
6. ИМПУЛЬСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 1. Теоретические сведения
Импульсный случайный процесс £(/) представ-
ляет собой последовательность импульсов в общем случае разной
формы, следующих друг за другом через некоторые промежутки вре-
мени. Если форма импульсов известна, то случайными могут быть
отдельные параметры импульсов: высота или «амплитуда» Ait дли-
тельность тг, время появления tt и др. (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Случайная последовательность неперекрываю-
щихся (а) и перекрывающихся (б) импульсов.
Рассмотрим какую-либо реализацию импульсного случайного
процесса £(/) на временном интервале (—Т/2, Т/2), содержащем
(2N + 1) импульсов. Пронумеруем отдельные импульсы в порядке
их следования на оси времени. Если tt — момент времени начала
i-го импульса, то
—T/2<t-N<Zt ...< <...<; t(N—i)<ZtN-^.T/2.
204
Произвольный одиночный импульс последовательности обозна-
чим через Atf(t — tt, тг), где
f(t—tt, гг) = tl<t
1 1 I 0,
(6.1)
Предполагается, что максимальное значение /тах(Л Tz) = 1.
Случайные импульсы могут быть неперекрывающимися и пере-
крывающимися. Под перекрытием импульсов понимается возмож-
ность частичного наложения разных импульсов друг на друга.
Если в случайной импульсной последовательности никакие два
импульса не налагаются друг на друга, то это есть последователь-
ность неперекрывающихся импульсов (рис. 6.1, а). В последова-
тельности неперекрывающихся импульсов отдельные импульсы
должны иметь конечную длительность тг. Условие отсутствия пере-
крытия импульсов можно определить неравенством
ti—1 4-Т/—1 ti, (6.2)
где i = — N, —(N—l), ..., —1, 0, 1, ..., (N—1), N.
Очевидно, что если неперекрывающиеся импульсы воздействуют
на какую-либо инерционную систему, то на выходе системы, как
правило, получаются перекрывающиеся импульсы.
В случайной последовательности перекрывающихся импульсов
(рис. 6.1, б) для всех или для части импульсов условие (6.2) не вы-
полняется, т. е.
ti—k + ^i-k Z>ti, k<Z i. (6.3)
При рассмотрении импульсных случайных процессов форму
отдельных импульсов часто предполагают известной. При этом ста-
тистическое исследование неперекрывающихся импульсов обычно
сводится к решению двух задач:
1) нахождению плотностей вероятностей для отдельных пара-
метров импульсов («амплитуд», длительностей, моментов появ-
ления),
2) вычислению спектральной плотности (функции корреляции).
Применительно к перекрывающимся импульсам в дополнение
к указанным двум задачам часто рассматривают еще третью задачу—
вычисление плотностей вероятностей для мгновенных значений ре-
зультирующего процесса, представляющего сумму налагающихся
импульсов. Основные результаты решения этой задачи будут при-
ведены лишь для пуассоновских импульсов.
Решение первой задачи обычно связано с физическим анализом
конкретного устройства или механизма, генерирующего случайную
последовательность импульсов. В дальнейшем эта задача не рас-
сматривается. Предполагается, что необходимые статистические
характеристики заранее известны.
30$
Спектральная плотность стационарной последовательности не-
перекрывающихся импульсов. Если не пользоваться интегралом
Фурье — Стильтьеса, то спектральную плотность стационарной
случайной последовательности неперекрывающихся импульсов сле-
дует вычислять согласно формуле [1, 2]
S (со) = lira — < | F (со) |2>, (6.4)
F(<o) — спектральная функция усеченной реализации £(/), т. е.
реализации %(t) на конечном интервале времени (— Т/2, Т/2):
Т/2
F (<>))= j l(t)e~lwtdt. (6.5)
— Т/2
Статистическое усреднение в формуле (6.4) должно выполняться
по всем случайным параметрам, от которых зависит спектральная
функция F(<o).
Представим рассматриваемую реализацию £(/) случайных не-
перекрывающихся импульсов в виде суммы
N
1(0 = s 4/М-4 (6.6)
i=-N
Подставив (6.6) в (6.5), имеем
Т/2 N N
F(<d) = j ^Aif(t—ti,ri)e-iatdt='^iAiF1((d,ri)e-f,oti. (6.7)
— Т/2 — N — N
Здесь F1((o) тг) — спектр типового импульса последовательности
Л(®,тг) = $ /(/—0, тг)е-мЛ= $ /(х, тг)е-/шх^ (6.8)
— оо — оо
Очевидно, что квадрат модуля спектральной функции F (<о)
равен
о * N N
|F(co)|2=F(co)F (®) = 2 2
Z= — N k= — N
xFx(®, тА)е,ш('«-Ч (6.9)
где F* и F*i — функции, комплексно-сопряженные F и Ft.
Запишем двойную сумму (6.9) иначе. Обозначим i — k — п.
Для рассматриваемых усеченных реализаций At и Ah равны нулю
при | i |, | k | > N. Поэтому
2N N
|F(<0)|2= 2 2 ЛАЛ+пГ1((1),.тА)Г;(®>тА+„)е/“^+”-'О.
—N ^2(ft+n) < N (6.10)
204
В правой части этого равенства общее число слагаемых равно
(2Л/ + I)2, а число слагаемых с каким-либо фиксированным индек-
сом п равно (2М + 1).
До сих пор на случайную импульсную последовательность не
накладывалось никаких ограничений. Предположим теперь, что
случайный импульсный процесс является стационарным. Это озна-
чает, что средние значения отдельных слагаемых, входящих
в <| F(g>) |2>, зависят только от разности индексов п. При каждом
фиксированном значении п в двойной сумме будет (2N + 1) одина-
ковых слагаемых, соответствующих разным значениям индекса k.
Поэтому для стационарной последовательности можем написать
2N N
<IF((b)I2>= 2 2 <ЛЛ+пЛ(®. ч)х
n= — 2N k= — N
xFita, Tk+n)al^<k+n-tk'>') =
2N
= (22V+ 1) 2 • (®, (<b, Tft+„)e/M('*+«-^)>. (6.11)
n= —2W
Здесь в результате суммирования по «должно получиться (2М + 1)
членов.
При подстановке выражения (6.11) в основную формулу (6.4)
учтем следующее обстоятельство. Для рассматриваемой стационар-
ной последовательности неперекрывающихся импульсов число им-
пульсов (2ЛГ + 1) растет с увеличением Т и, следовательно, нельзя
независимо и произвольно задавать величины Т и N. Если считать
число случайных импульсов (2W + 1) фиксированным, то при ста-
тистическом усреднении в общем случае необходимо учитывать раз-
личные длительности Т разных реализаций. Наоборот, если задать-
ся постоянной длительностью реализаций Т = const, то будет слу-
чайным образом изменяться число случайных импульсов (2N +1).
Будем считать число импульсов (2N + 1) постоянным. Имея
в виду, что в дальнейшем нас интересует предельный переход при
Т-> оо, в формуле (6.4) интервал Т можно заменить его средним
значением <Т>, которое определим следующим образом 13].
Выделим из всего множества рассматриваемых реализаций лишь
те, для которых на интервале (—Т/2, Т/2) появляется точно
(2N + 1) случайных импульсов. Пусть для выделенных реализаций
W2r (tt, ti +1) есть совместная плотность вероятности моментов
времени и tt + г, вне интервала ( —Т/2, Т/2) плотность вероятно-
сти W2r(.ti, ti +1) равна нулю.
Обозначим интервал между началами двух соседних импульсов
через
Q( = ti+i-tt. (6.12)
207
Плотность вероятности для &г равна
ОО
WT(&f) = $ W2T(ti, ti + ^dh.
— 00
Выразим теперь величину (Т> через средний интервал между
соседними импульсами (Я). В каждой из выделенных реализаций
число импульсов, имеющих интервал от & до & + d$, в среднем
равно (2W + 1) Wt (&)d&, а суммарная длительность всех таких
интервалов составляет (2N + 1)<ИГт (&)d&. Поэтому средняя дли-
тельность реализаций равна
<Т> = (2W + 1) $ (&) = (2М + 1) <М-
о
Переходя здесь к пределу при Т -*• оо (т. е. N -*• оо) и учиты-
вая стационарность случайной импульсной последовательности,
можем написать = <&}. Следовательно, почти для всех
Т ->ос
реализаций множества можно приближенно полагать
<Т> = (27V-j-1) <&), N-+OO. (6.13)
С учетом соотношений (6.11) и (6.13) формула (6.4) принимает
вид
S (а>) = —1- V ^Ak+nFt (<о, t,)FJ (<о, rk+n)e,a> (6-14)
<V>
П =----оо
Таким образом, задача нахождения спектральной плотности све-
дена к вычислению суммы, фигурирующей в правой части формулы
(6.14). Эти вычисления могут быть выполнены, если заданы конк-
ретные статистические характеристики случайной импульсной по-
следовательности.
Рассмотрим три важных, но частных вида случайных последова-
тельностей импульсов: апериодических, периодических и квази-
периодических.
1. Апериодические взаимно независимые импульсы. Пусть в рас-
сматриваемой импульсной последовательности отсутствуют какие-
либо периодичности, а амплитуды, длительности и моменты появ-
ления разных импульсов независимы, т. е. случайные величины
Аь xif и Afe, rfe, tk при i ф k взаимно независимы.
Выразим разность между моментами появления (k + и)-го
и 6-го импульсов через интервалы & между импульсами, Нетрудно
убедиться (см. рис. 6.1, а), что
208
ik+n—tk =
ZH-n — 1
ft»,
n > 1
0 , n = 0,
4-1
— 2 ft». n<—1.
v=Zs-f-n
(6.15)
Чтобы в выражении (6.14) расщепить независимые сомножители
с разными индексами, введем следующие обозначения:
«4(<о) = ЛйЛ(®,тй)е/тЧ
6*+п(<в) = Л*+„Г1 (со, т4+„), 0(со) = <е/ш<*>- (6.16)
Здесь 0(со) — характеристическая функция для интервалов меж-
ду началами двух соседних импульсов.
Теперь сумму (6.14) можно записать в виде трех слагаемых,
соответствующих п =?= О, п>1 и —1:
S (со) = So (CD) + Sx (CD) + S_! (CD), (6.17)
где
S0(o) = -A-<a(o)&*(®)e-'w>.
<V>
S-i (co) = -i- V <a* (co)> <6 (<o)> 0*‘-‘ (co).
<a> n-l
При записи двух последних выражений использовано известное
положение, что характеристическая функция суммы независимых
случайных величин равна произведению характеристических функ-
ций отдельных слагаемых. Кроме этого, при написании S-i(co) было
учтено, что
а (со) = ЛА+„ F*t (со, Tft+n) e“M*+n, b (со) = Ak Ft (со, тй).
Если подставить соотношения (6.18) в (6.17) и просуммировать
получающуюся геометрическую прогрессию, то при 0(со)=/=1 придем
к формуле
S(co)
1
<»>
{а (со) b* (со) е~ + 2Re
<а (со)> </>* (<о)>~
1 — 0 (со)
(6.19)
где Re z обозначает действительную часть комплексного числа г.
Эта формула неприменима в тех случаях, когда характеристи-
ческая функция интервалов ©(со) = 1. В большинстве случайных
импульсных последовательностей, встречающихся на практике,
8 Зак. 728
209
& > 0. Для таких последовательностей в отсутствие каких-либо пе-
риодичностей 0(о) = 1 лишь при <в = 0. Следовательно, формула
(6.19) не позволяет получить интенсивность дискретной линии на
нулевой частоте. Эта дискретная линия обусловлена возможным
наличием в рассматриваемой случайной последовательности £(/) по-
стоянной составляющей. Последнюю можно выразить через спектр
типового импульса (6.8), который входит в формулу (6.19).
Действительно, полагая в выражении (6.5) о = 0 и статисти-
чески усреднив обе части получающегося равенства, с учетом ста-
ционарности процесса и соотношения (6.7) можем написать
1 1 N
<^(0>=7</г(0)> = у 2<4Л(0, т‘)>-
Подставив сюда значение Т из (6.13), получим
<£(0> = -^-<ЛЛ(0,т)). (6.20)
\v>
Очевидно, что дискретная спектральная линия на нулевой часто-
те равна
<^(0>26(/) = <и0>22л6(со). (6.21)
Следовательно, суммируя выражения (6.19) и (6.21), получаем
окончательную формулу для спектральной плотности стационарной
последовательности неперекрывающихся апериодических взаимно
независимых импульсов
ЭД [<а>) (о) е“М)+2Re +
+ <ЛЛ(0, т)>®2л6 ((о). (6.22)
Рассмотрим случай прямоугольных импульсов и вместо интер-
вала & введем промежуток между импульсами
(6.23)
Тогда формула (6.22) примет следующий вид:
ЭД =
2
со2 <т + Д>
<Л2Ие(1- e/mt)> +
+ Re ! _<Лт>2
1 __ (еЭД.е/шД) J <т+Д>2^ v '
Если в дополнение к условиям (стационарность и взаимная не-
зависимость параметров разных** импульсов), при которых спра-
ведлива формула (6.22), предположить, что случайные величины
210
Ait т; и А, для одного импульса также взаимно независимы, то
из (6.24) получим следующий частный результат [41:
X Re ег(а>) 11-01 (0)1(0! (й>)-1] ) д 2 /-£t>---у 2лб (б 25)
/ \ <т> + <Д> ; V ' V '
Здесь 61(со) = — характеристическая функция длительно-
стей прямоугольных импульсов; 02(со) = <е/(пЛ) — характеристи-
ческая функция промежутков между двумя соседними импульсами.
В том частном случае, когда независимые прямоугольные им-
пульсы имеют одинаковую амплитуду (Аг = Ло = const), справед-
ливы равенства <Л2> = (А)2 = Ло. При этом формула (6.25)
упрощается и оказывается симметричной относительно характери-
стических функций 01(со) и 02(со):
S (а} = 2Л0 Re [1-01(0)1(1-02(0)1 ,
V ’ <0*(<Т> + <Д» 1 - 0! (О) 02 (<0)
|ЛЦ;ТХ;Д Г2;,6И. (6.26)
2. Периодически повторяющиеся импульсы. Рассмотрим случай,
когда импульсы заданной формы f(t, т0) имеют постоянный период
повторения & = &0 = const, постоянную длительность т = т0 =
= const (то<&о), но случайные и коррелированные амплитуды At
(рис. 6.3, а).
Такое задание параметров импульсов характерно для амплитуд-
но-импульсной модуляции. При амплитудно-импульсной модуляции
периодически, через тактовый интервал 40, берутся выборки —
— &о), —N N, случайного процесса которые затем пре-
вращаются в периодическую последовательность импульсов AJ(t —
—^о>то) со случайными амплитудами = £(/ — $о) (рис. 6.2).
Считаем, как и ранее, /тах (/, т0) = 1.
Предположим, что случайный процесс £(/) является стацио-
нарным, имеет среднее значение т-= <£(/)> и функцию корре-
ляции kQ (т) = о? (т), где R/(t)—коэффициент корреляции.
Рис. 6.2. Модулирующие случайные импульсы
при амплитудно-импульсной модуляции.
8!
211
Применительно к данному случаю в основной формуле (6.14)
нужно положить
Т£ = Т£-|_п = То, И = Фр, tk-\-n —
Ak = Ut-k%), Ak+n = ^(t-(k + n)%), (6.27)
<Ak Ak+n) = kz (n&0) + tn[ .
При этом получим
S(a>) = jm2 2 e^’ + oj 2 ЯсН0)е,а>пЧ. (6.28)
I n= — OO rt= —oo J
Первую сумму в фигурных скобках можно выразить через сумму
дельта-функций. Известно [5], что разложение в ряд Фурье перио-
дической последовательности дельта-функций
8(х—ml), т = 0, ± 1, ±2, ..., с периодом I имеет вид
2 8(х-т1) = - 2 ^ПХ“’
т= — со п——оо
Полагая здесь I = 1/&0, получаем
2 е/2^= 2encos2ji^o=T 2 б(х“т)’(6,29)
п= —оо п = 0 ° т— — оо 0
где 80 = 1, 8Л == 2 при л =# 0.
Используя это соотношение, формулу (6.28) можно представить
в следующем окончательном виде:
2 г»/ 2 00
+ то>1_ 2 R.(nb0)e,an\ <s> = 2nf. (6.30)
п=-оо
В этой формуле можно перейти от функции корреляции
(т) — (т) процесса £(/)кего спектральной плотности Sj(®).
Подставив известное соотношение
ОО
= f Ss(«')e/<u'^o)'
212
Различные формы импульсов f(t) и их спектры F(<o, т)
Таблица 6.1
Тип импульса f(O = — f Fi (<u, -t) efmt d<o 2 тс J —oo F (со, т)= J f (t)e-/Midt — оо
График Математическая запись Математическое выражение спектра
Прямо- угольный /а) t н н -Н | СЧ -н j сч V А ° ( 1 \ sin — шт — шт 2
Г M/J7 Л
-т/20 т/2 * ~
Треуголь- ный ZN—г X 1 £ o' Н V V/ V/ V/ • А р о ZT 1 'р4 "р + 2 " '—'О Jl н *1 р 1 / ШТ \ 2 / sin — \ Л/пЧ , | 1 toT 1 1 \ 2 /
-Г 0 \/2
Трапе- цеидальный - f(t) Ат Г, . Z1 . ч Т I И + (1 + а)— , ат [ 2 J -(1 + а) Y < *< — О—а)“|-’ „ т / шт \ . ( ашт \ Sin(~) S1\ 2 ) / \ ^ / \ / шт \ / ашт \ J \ 2 )
/Е \ 1 ~ т у |Г • / — (1 + а) — .
-4ctk.fi 1 й И ьэ | н X /А + А £ Q 1 , + ю £ Н ьэ | н
Продолжение табл. 6.1
Тип импульса оо f(t)=—L. ? F (со, Т) e/W du 2tz J — оо F (to, т)= j НО е l^dt —оо
График Математическая запись Математическое выражение спектра
Гауссов ]f(v О ^т/2 Г /2 1 Лт ехр — 4 (1п2) —— , — оо < t < со L т2 J Л“’ ( 4ln2 1 2 Х / (02Т2 \ Хехр1 16 1П2 )
1 л Г Р . И
2 Ат Lerf а \ т + 2
. l' * —'Я
— erf —— I — — 9 ,
ОС у Т> 2 IJ
Функция
ошибок
f (0) = Атerf =* Ат,
Различные плотности вероятности (х)
Таблица 6.2
Тип Математическая запись (х) График W\(x) Среднее значение oo mx= J xWt (x) dx —00 Дисперсия 02= —00 X Wi(x) dx
«Синусо- идальная» [л ]/*о—f*—т*)2]~1> I*—mxl<xo> 0, |х—тх\>х0 1 71 Хо С I x » I L-Z. 1 2 2 x°
Нормальная 1 Г (х — тж)2] о]/2л еХР [ 2о2 J —оо< х<оо О wi(x) /1 \ *1 / ! mx o’
Равномерная 1 , |х — тх 1 < х0> 2х0 0, | х — тх | > х0 (x) t—X<r-1 -rq I X mx 1 2 3 *°
Сумма двух дельта-функ- ций Лх6 (х — хх) + (1 — Лх) 6 (х — * Х2) "W’W iA,tf(x-X,) 0 x, хг "x А1(х1 — хг)+хг Л1(1-Л1)(х1-х2)2
во второй член в правой части (6.30), можем написать
оо оо оо
ае2 2 J Sc(a>')rfco' 2 е/(ш'+ш)п9’.
п = —оо —оо п =— оо
Но согласно соотношению (6.29)
Поэтому
оо
2 Ri^
П= — ОО
оо оо
ем, = 1 j 2 6 I®'+ (0 — d<0'=
— ОО
Здесь учтено, что спектральная плотность S^(co) является четной
функцией.
Следовательно, формулу. (6.30) можно записать в следующем
виде:
5(®) = &721Л(о>,т)|2|/п£2 У У Sc(®
ч ( /72 = ОО /72 =— ОО
__ 2л/П \1
(6.30а)
Формулами (6.30) часто пользуются при вычислении спектраль-
ных плотностей импульсных случайных процессов, получаемых из
непрерывных стационарных процессов при помощи квантования по
уровням и периодического «квантования» по времени.
Из формулы (6.30) видно, что спектр состоит из непрерывной
части и дискретных спектральных линий при частотах f = т/$о- Эти
дискретные линии имеются только в том случае, когда тг =/= 0. Они
обусловлены периодическим стробированием постоянной состав-
ляющей процесса. При = 0 спектр является сплошным.
Если период &0 велик по сравнению с временем корреляции xk
процесса £(/), то в последней сумме в правой части (6.30) будет
отличным от нуля лишь одно слагаемое при п = 0. В данном случае
формула (6.30) упрощается:
3(»)
(6.31)
216
Запишем эту формулу иначе:
(6.31а)
где
2 2
sd (<0) = v-1Л (©, ТО) I2; Sc(®) = ^-|F1(©,T0)|2. (6.316)
Здесь Sd(co) — интенсивность дискретных спектральных линий;
<Sc(co) — непрерывная часть спектральной плотности.
В табл. 6.3 приведены результаты вычислений по формулам
(6.316) для нескольких видов импульсов, указанных в табл. 6.1,
и для разных распределений амплитуд импульсов, приведенных
в табл. 6.2 [6].
Таблица 6.3
Спектральная плотность при модуляции импульсов по амплитуде (АИМ)
Плотность
вероятности
амплитуды
импульсов
«Синусои-
дальная»
Дискретные спектральные линии
(О>) б (СО — П(О0), со0 = —,
п = О, ±1, ±2,...
т2 I («>. ^о) I2 5 («»-п<оо)
а2 х
о
Непрерывная часть спектра
«С <“)
Нормальная
2тс Q
— тл I Fl (со, То) 12 б (со — псо0)
я2 х
о
Равномерная
т2 | Fi (со, т0) р б (со — псо0)
$2 х
о
Сумма двух
дельта-функ-
ций
Xi Fi (со, т0) | 2 б (со —псо0)
Л1 (1 ~ (со, т0) |2
&в я
3. Квазипериодические случайные импульсы. Последователь-
ности квазипериодических случайных импульсов встречаются в раз-
личных видах импульсно-временной модуляции. Различают четыре
главных вида такой модуляции.
1. Импульсно-фазовая модуляция (ИФМ), когда импульсы имеют
постоянную длительность, а их положение от периода к периоду
меняется в соответствии с передаваемым сообщением (рис. 6.3, б).
На рис. 6.3 показаны «низкочастотные» импульсы, соответствую-
щие разным видам модуляции, до того, как они воздействуют на
колебание несущей частоты. Для простоты изображены прямоу-
гольные импульсы одинаковой амплитуды.
8В Зак. 728
217
Рис. 6.3. Различные виды импульсной модуляции: а—
амплитудно-импульсная модуляция (АИМ); б — импульс-
но-фазовая модуляция (ИФМ); в — односторонняя мо-
дуляция длительности импульсов (ОДИМ); а, д—двух-
сторонняя модуляция длительности импульсов (ДДИМ-1,
Д ДИМ-2).
2. Односторонняя модуляция длительности импульсов (ОДИМ),
при которой все импульсы начинаются в моменты времени, отстоя-
щие на постоянный период &0, а длительность их изменяется в пре-
делах некоторого интервала (0, тт), меньшего &о (рис. 6.3, в).
3. Двухсторонняя модуляция длительности импульсов (ДДИМ-1),
когда интервал времени между серединами любых двух соседних им-
218
пульсов одинаков (&0 = const), а длительности импульсов случайно
изменяются в обе стороны от середины (рис. 6.3, г).
4. Двухсторонняя модуляция длительности импульсов
(ДДИМ-2), когда изменяются как длительность, так и положение
переднего фронта импульса таким образом, что они не выходят за
пределы тактового интервала (рис. 6.3, д).
Во всех четырех видах модуляции не допускается перекрытия
импульсов, а положение самих импульсов ограничивается полови-
ной тактового интервала $0/2.
Рассмотрим несколько обобщенный вариант импульсно-фазовой
модуляции. Пусть длительность каждого типового импульса
f(t, То), где То) = 1, постоянна тг = То = const, а амплиту-
ды At и смещения переднего фронтаeft случайны,стационарный не-
зависимы как для одного импульса (т. е. при i = k), так и для им-
пульсов в разных тактовых интервалах (при i=/=k). Для устранения
перекрытия импульсов считаем, что сумма длительности импульса
т0 и максимального смещения етах не превышает $0/2.
Применительно к данному случаю в формуле (6.14) нужно поло-
жить
< Ak Ла-|-п> = — Т44-П — т0,
<»> = »о, Zft = ^o + eA,
“ П^о “1“
0 (<o) = ем» (е/и (s*+n-s*)> = емо 103 (®) |2,
где ©з (<о) = (е/<0£> — характеристическая функция смещения е.
Выделяя члены с п = О, n > 1 и п С — 1, получив
S ((й) = _L | ((й> То)| 2 <Д2> + <Л>2 | 0з ((0) |2 х
X 2 (е/<в"а“ + е"/и^)! = V IFх (®, т0) |2 X
п=1 J
X | [<Л2>-<Л>2|03 (®) |2] + <д>2| ©з И I2 s Gcoswtfo), (6.33)
где С о = 1 > 6 п --= 2 ПРИ п Ф 0.
Воспользовавшись вторым равенством (6.29), окончательно
получим
S (®) = 4- | (о), т0) |2 < Л2> - < Л>2103 (®) |2 +
«о I
(6.34)
219
Отметим, что при е4 = е0 = const рассматриваемая последо-
вательность импульсов будет периодической. В данном случае
|63(ю)| = 1 и формула (6.34) переходит в (6.31).
Из формулы (6.34) видно, что при <Л) 0 спектр является ди-
скретно-сплошным. Дискретные спектральные линии исчезают при
<Л)=0.
Для импульсно-фазовой модуляции с постоянной амплитудой
импульсов Ai = А о = const (рис. 6.3, 6) формула (6.34) принимает
вид
Л2 ( 1
5(<•>) = -- | Л(<>, т0)Р 1-|03(<й)Р + -2-|03((о)рХ
^0 I ^0
(6.35)
Спектр по-прежнему остается дискретно-сплошным/
Запишем эту формулу аналогично (6.31а):
5(<о) = ЗД 2 6(f-
tn= — оо
V +5с(<0),
^0 /
(6.35а)
где
Л2
т0) р I е3 И р,
Л2
5c(®) = -^|F1(«>,To)p{l-|03(a>)P}.
«о
(6.356)
В табл. 6.4 приведены результаты расчетов по формуле (6.356)
для разных форм импульсов (см. табл. 6.1) и разных плотностей
вероятностей для смещений моментов появления импульсов е = х
(см. табл. 6.2) [6]. Амплитуды импульсов считаются одинаковыми,
равными Ао.
Спектральная плотность стационарной последовательности пе-
рекрывающихся независимых импульсов. Рассмотрим стационар-
ную последовательность перекрывающихся случайных импульсов
(рис. 6.1, б). Как и прежде, запишем какую-либо реализацию £(/) на
интервале (О, Т), содержащем достаточно большое число импульсов
N(T), в виде суммы
ЛГ(Т)
В(0= 2 (6.36)
Здесь f(t — tit тг) — форма типового импульса, который обращает-
ся в нуль вне некоторого интервала хт<^Т, fm^t, xt) = 1.
220
Таблица 6.4
Спектральная плотность при модуляции импульсов по положению (ИФМ)
Плотность вероятности смещения Дискретные спектральные линии Sd («>) 8 (со — п«0), со0=—, ^0 п = 0, ±1, ±2,... Непрерывная часть спектра 5С<ш)
«Синусои- дальная» л070 1 *’х % Х8 (со — лсоо) Ло1Л(“. т.)|« г ,2, .1 1—^0 Яо L и J
Нормальная Яо ехр (-а*и*) 1 F, (ш, т.) |«х 90 X 8 (со — пш0) Лп 1 Fi (<“. Ч) 1’ [1 — ехр (— а2и>2)] &о
Равномерная 2" л2рй^12|л(ш тв)|гх X д(оо —псоо) 2 Лр 1 (со, т0) |« г /sin 1 21 L i / J
Сумма двух дельта-функ- ций 2тс Г 1_4Л1(1-Д1) X »0 L xsin^!^iz^)p2|F1 «о.мгх X 8 (со — пш0) Ло 1 Ft (а>, М 1* — 4Л, (1 — Л,) X &0 Г . • 1<ах1—(.ох2 \ 1 X sin2 —5 L \ 2 Л
Отметим, что поскольку в данном случае отдельные импульсы
неразрешимы (индивидуально ненаблюдаемы), то нумерация им-
пульсов от i = 0 до N(T) имеет теперь условный характер.
С учетом выражения (6.9) запишем исходную формулу (6.4):
Г->00 т \ £Г0 /
Поскольку число импульсов N(T) является случайной величиной,
то операция статистического усреднения должна распространяться
и на нее. Поэтому можем написать
л/ <т) лГ(п
S(co) = lim -1 V У <Лг Ab F\ (ф, т(.) F (ф, тй) е'ю ('*-**)>, (6.38)
т
где N(T) = <N(T)).
Выделим из суммы (6.38), содержащей [Af(T)]2 слагаемых, N(T)
слагаемых с одинаковыми индексами (i = k) и остальные AZ'(T) х
X [A^(T) — 11 слагаемых с разными индексами (i =# k)
221
S(a>) = lim
T-> oo
T
N(T)
2 <Л?|Г1(со,т/)|2> +
i=Q
N (T) N (T)
+ 2 2 <At Ak F\ (®, Tj F (co, тй) e'“
i=0 k=0
(6.39)
(i^k)
Предположим, что амплитуды Ait длительности x( и моменты
появления для разных импульсов независимы, причем случайные
величины Лг, тг и стационарны, т. е. соответствующие средние
значения не зависят от номера индекса [см. условие (6.43) ]. При
выполнении этих условий формула (6.39) несколько упрощается
S (w) = ( lim lim g<ntg<7-)-.n х
у Г -> оо Т j \Т -> оо Т J
X <Лр; (со, т) ем*> <ЛРХ (со, т) (6.40)
Дальнейшие упрощения этой формулы возможны при конкрети-
зации статистических характеристик последовательности перекры-
вающихся импульсов. Так, например, для случайных импульсов,
следующих во времени по закону Пуассона, существуют пределы
= Um g<nl«(n-U = (64|)
T-oo Т Т-+ОО Г2 ’
где X — среднее, число импульсов в единицу времени.
Кроме этого, если в дополнение к взаимной независимости и ста-
ционарности импульсов предположить, что амплитуда Лг и длитель-
ность xt данного импульса не зависят от времени tt его появления
в интервале (О, Т), то формула (6.40) примет вид
S (©) = X <Л21 Fj, (©, т) |2) + %2 <Л | Fr (<о, т) | >2 lim Т | <е/ш'«> |2. (6.42)
Т ->оо
Примем, что моменты появления tt рассматриваемых импульсов
распределены равномерно в интервале (О, Т), т. е. имеют плотность
вероятности
Г(/;)=±, (6.43)
Тогда
|<е/ш/г>|2= —
\ / I гр2
1 — COS СОТ
со2 Т2
, СОТ х 2 СОТ к 2
/ 2sin-— \ I 2sin—— \
НтТ ---------=lim -----------------2 =2лб(со). (6.44)
Т->оо \ СО? / т->оо Т \ СО /
222
Последнее соотношение (6.44) написано на том основании, что
функция (sin -у 1 /а2Т при Т-> оо всюду равна нулю, за исключе-
нием точки со=О, однако интеграл от нее имеет конечное значение:
— f (--------— ) da =2 f ^idx = 2n.
T J \ <o / J x2
— oo — oo
Введем величину
у = %<т>, (6.45)
где <т> — средняя длительность одного импульса.
Величина у характеризует «густоту» или плотность импульсов
во времени, т. е. число импульсов, приходящихся в среднем на дли-
тельность одного импульса. Чем больше у, тем больше перекрытие
импульсов и наоборот.
С учетом соотношений (6.44) и (6.45) формулу (6.42) можно за-
писать в следующем окончательном виде:
S (<о) = -±- <Л* | F. (а, т) |*> + <Л | Г, (®, т) | >2 2nd (ш). (6.46)
<т> <т>2
Следует иметь в виду, что полученная формула (6.46) справед-
лива лишь при оговоренных выше допущениях относительно стати-
стических характеристик последовательности перекрывающихся
импульсов. При других условиях спектральную плотность нужно
вычислять самостоятельно, отправляясь, например, от общей фор-
мулы (6.39).
Плотность вероятности пуассоновских импульсов [31. Так как
фактическое вычисление многомерных плотностей вероятностей
в большинстве случаев оказывается довольно сложным, ограни-
чимся рассмотрением одномерной плотности вероятности.
Пусть процесс £(/) является результатом линейного наложения
взаимно независимых случайных импульсов AJ(t—tt, тг). Из
всего множества реализаций процесса £(/) выделим подмножество,
которое на достаточно большом интервале (io, + Т) содержит
точно N импульсов:
N
t0<t<t0 + T. (SAT)
z=o
Кроме статистической независимости моментов появления разных
импульсов, предположим, что они распределены равномерно на ин-
тервале (/0, /о + Т). При этих условиях вероятность появления
импульсов в интервале длительностью Т определяется законом
Пуассона [7]
223
p (N, Т) = е-хг, (6.48)
где X — среднее число импульсов в единицу времени.
Пусть есть условная вероятность того, что значение
случайного процесса £ = t(t), где to<t<.to + Т, попадает в интер-
вал (£, £ + dZ) при условии, что на всем интервале (/0, to + Т)
имеется точно N импульсов. Иначе говоря, есть плотность
вероятности для выделенного подмножества.
Перейдем к безусловной плотности вероятности. Очевидно, что
значения процесса, заключенные в интервале (£, £ + d%), могут
быть получены в разных подмножествах, соответствующих различ-
ным N. Так как подмножества «не пересекаются», то разным значе-
ниям N соответствуют несовместимые события. Применяя формулу
полной вероятности, находим безусловную плотность вероятности
© = 2 Р (N, Wi £ IЮ- (6-49)
N=0
Для независимых импульсов легче сначала вычислить характе-
ристическую функцию, а затем по ней найти плотность вероятности.
Поэтому целесообразно перейти от плотностей вероятностей к со-
ответствующим характеристическим функциям.
Беря от обеих частей равенства (6.49) преобразование Фурье,
получаем соотношение между безусловной и условной характери-
стическими функциями
(и) = J Р Т) (u\N). (6.50)
N=0
По определению условная характеристическая функция равна
IЛГ) = <ехр[ju%N(<)]> = (fexp /« tit тг)Г) .
\ L z=o J /
Здесь статистическое усреднение должно выполняться по всем слу-
чайным параметрам (в нашем случае Ait rif
Так как в рассматриваемой последовательности отдельные им-
пульсы взаимно независимы, то характеристическая функция сум-
мы N импульсов равна произведению характеристических функций
отдельных импульсов, которые для стационарной последователь-
ности одинаковы. Поэтому
©5 (Ы | N) = п <ехр [juAi f (t—ti, Ti)] > = <exp [/«Лг f т,) ] >w.
/ = 0
224
Обозначим совместную плотность вероятности для амплитуды Лг
и длительности тг типового импульса через Wz(A, т). Тогда с уче-
том равномерного закона моментов появления (6.43) можем написать
оо оо /о+Т' N
05(и|У)= J да2(Л,т)^Л j у- ехр [juAf (t—tt, x)]dtt. .(6.51)
O—oo
Подставив выражения (6.48) и (6.51) в формулу (6.50) и восполь-
зовавшись при суммировании ряда известным соотношением
00 k
<6-52)
Л = 0 к
находим безусловную характеристическую функцию
(оо оо fo-f-T \
h^dx § u>z(A,x)dA {exp[juAf(t — tit т)]—l}dtt j .
0 —°0 to /
(6.53)
Пусть интервал времени T значительно превышает среднюю
длительность импульса <т>, и форма импульсов является такой,
что фигурирующий в (6.53) интеграл по tt сходится при любых Т.
В практических задачах последнее условие выполняется всегда
вследствие конечности энергии отдельных импульсов.
При этих условиях пределы интегрирования по tt можно расши-
рить до ±оо. Правда теперь будет вноситься ошибка из-за невер-
ного учета небольшого числа импульсов, которые появляются у кра-
ев интервала (t0, t0 + Т) на расстояниях порядка средней длитель-
ности импульса. Однако при достаточно больших Т эта ошибка
будет исчезающе малой.
Учитывая это и переходя в (6.53) от tt к новой переменной ин-
тегрирования v = (t — t^/(x), получим
(оо оо оо \
у dx w2(A,x)dA {ехр[/«Л/((т> v, т)] — l)dvl,
О — оо —оо /
(6.54)
где у — величина, определенная соотношением (6.45).
Из физических соображений ясно, что параметр у должен влиять
определяющим образом на характеристическую функцию (плот-
ность вероятности) пуассоновских импульсов. Действительно, значе-
ние случайного процесса |(/) в момент времени t слагается из тех
импульсов, которые в основном возникли в интервале времени от
t — (т) до t, так как более ранние импульсы успеют «затухнуть»
к моменту времени t. Если импульсы редкие (малое значение у),
225
то между последовательными импульсами будут заметны «пустые»
промежутки. Поэтому наиболее вероятными будут небольшие зна-
чения процесса £(/) и отдельные всплески, определяемые амплиту-
дами наиболее часто встречающихся импульсов. Следовательно, при
малых у плотность вероятности будет существенно зависеть от фор-
мы отдельных импульсов.
Если параметр у велик, то значение процесса £(/) в момент
времени t Qyjmr определяться большим числом импульсов. При
этом согласно центральной предельной теореме теории вероятно-
стей процесс £(/) должен быть близок к нормальному, независимо
от формы отдельных импульсов и вида плотности вероятности
и>2(Л, т).
Подкрепим эти качественные соображения вычислениями. С этой
целью возвратимся от характеристической функции к плотности ве-
роятности, для чего предварительно преобразуем выражение (6.54).
Логарифмируя (6.54), имеем
оо оо оо
1п0г(ы) = dr § &у2(Л, r)dA § {exp [/иЛ(((т>, v, т)]— l}dv.
О —оо —оо
Разложим экспоненту в последнем интеграле в ряд вида (6.52). По-
меняв местами операции интегрирования и суммирования, получим
оо
1П0£(«) = 2 ’g-(/«)*, (6.55)
где хА—кумулянты (семиинварианты):
оо оо оо
xft = y§ dr § A&w2(A, r)dA § t) dv =
0 —oo —oo
oo oo oo
— % § dr § Ak w2 (Л, t) dA § fk (z, r) dz.
0 —oo — oo
(6.56)
Известно [4], что первый кумулянт щ есть среднее значение
mg процесса l(t), а второй х2 — его дисперсия о|. Они равны
/п£ = Xi = А § dr § Aw2 (Л, т) dA § f (z, т) dz,
° ~°° “°° (6.57)
оо оо оо
а£ = к2 = А § dr § Л2 w2 (Л, т) dA § р (z, г) dz.
О —оо —оо
На основании (6.55) можем представить характеристическую
226
функцию в следующем виде:
(ы) = ехр
2 =*• и»)*
4=1 К!
(6.58)
Заметим, что нас интересуют большие значения у (или X), когда
плотность вероятности lFi(£) близка к нормальной. Такие плотно-
сти вероятности обычно записывают в виде ряда Эджворта [4]. Для
этого достаточно знать кумулянты. К этому же результату можно
прийти следующим образом.
Плотность вероятности есть преобразование Фурье от характе-
ристической функции (6.58)
оо
А7ХЙ) = — С 0£(M)e-/«edu =
2л J
—оо
—jul + jum.—
оо
А=3 *’
du.
(6.59)
В выражении (6.59) теперь нужно выполнить следующие опе-
рации:
1) разложить каждый из экспоненциальных сомножителей (при
k>3) в степенной ряд
оо
ехр (/и)**] = (/«)* > 3);
2) получающиеся ряды перемножить и сгруппировать члены
с одинаковыми степенями и\
3) воспользоваться известными интегралами [8] и выполнить
интегрирование.
После этого придем к следующему результату:
«м£)=4-
(Е—т. \ / Е—tnt \
-----L ]---ф(‘) ’----1 ] _1_
у 3! \ /
+ т^гф(5)
4! о?
(6.60)
где
х 1
Ф<"> (х) = Ф (х); Ф (х) = J е“ т ‘2 dt.
В формуле (6.60) первый член дает нормальное распределение,
а остальные учитывают отклонения от него. Из (6.56) следует, что
227
кумулянты пропорциональны X. Второй член в квадратных
скобках имеет относительно X порядок третий — и т. д.
Ясно, что с увеличением «частоты» следования импульсов X роль
всех остальных членов по сравнению с первым уменьшается и плот-
ность вероятности IFi(£) приближается к нормальной.
Выше мы ограничились приближенным вычислением одномерной
плотности вероятности. Все приведенные рассуждения с необходи-
мыми обобщениями применимы также к нахождению многомерных
плотностей вероятностей (двумерной, трехмерной и т. д.). Естест-
венно, что при этом все соотношения оказываются более громоздки-
ми и сложными [3].
Можно получить точное интегральное уравнение для одномер-
ной плотности вероятности Wi (£) случайного процесса £(/), пред-
ставляющего сумму пуассоновских импульсов [9]. Однако решение
уравнения во многих практически интересных случаях оказывается
сложным.
Отметим, что выражения для кумулянтов существенно упро-
щаются, если пуассоновские импульсы имеют одинаковое значение
параметра т = т0 = const, характеризующего длительность им-
пульсов. В этом частном случае
оу2 (Л, т) = (Л) 6 (т—т0) (6.61)
и из формулы (6.56) получим
хд = Х<ЛА) § f(z, rQ)dzt (6.62)
—оо
где — k-н начальный момент случайной амплитуды импуль-
сов:
оо
<А*>= $ Akw1(A)dA.
—оо
(6.63)
§ 2. Примеры
Пример 6.1. Получить выражение спектральной плотности
стационарной последовательности неперекрывающихся импульсов
постоянной амплитуды А = А о и постоянной длительности т = т0,
если временной интервал между началами соседних импульсов
О > То изменяется случайно и независимо от импульса к импульсу.
Рассмотреть частный случай прямоугольных импульсов.
Решение. В данном примере выполнены все условия, при ко-
торых справедлива формула (6.22). Применительно к рассматривае-
мому случаю в ней нужно положить
т = т0, а (®) = Ло Fj (со, тй)^, b (®) = AoFJ®, т0).
228
Подставив эти выражения в (6.22), получим
5W-^IF1«o,T.)P{l+2ReT^} +
+ ^F?(0. ,„)2Л8М = ^-|Л(». to)PRe[1 + T^_] +
+ — F2 (0, т0)2лб (со) = | Fx(со, т0)|2 Re 1 + е((о). _|_
<»>2 ’ <»> 0 1-0 (со)
4- F2 (О, т0) 2л6 (со) = 1 Fj (со, т0) |21~|в(<0)|2 4-
<&>2 IV 07 V ’ <0> ' 1 v ’ 07 1 I 1 — в (СО) |а
А2
4--^ F| (°, т0)2л6(со). (6.64)
<»>а
Для прямоугольного импульса в (6.64) нужно положить
Fx(co, т0) = 4-(1— е~'“'»), |Fx(co, т0)|2 =
/со
= Sin2 (?)’ ^0’ т») = тв-
Тогда получим
S(co) = -^-sin2(-^>) 1-|0(со)|* +/.АМ22л6(со). (6.65)
v ' со2 <»> \ 2 7 11-0 (со) |2 к <»> У v / v )
Пример 6.2. При передаче двоичных сигналов (телеграфия)
применяются случайные импульсы с детерминированным тактовым
интервалом следующего вида (рис. 6.4, а). Пауза «О» и посылка «1»
независимы, а вероятности их появления на каждом тактовом ин-
тервале равны соответственно р0 и рх (обычно р0 = = 0,5).
Найдем спектральную плотность подобной последовательности
импульсов, сформулировав задачу так.
Периодически следующие импульсы (с периодом Оо) имеют детер-
минированную форму f(t—«Оо, т0), где т0 = const (рис. 6.4,6).
Амплитуды импульсов At на разных тактовых интервалах незави-
симы; на каждом интервале амплитуда может принимать лишь два
значения: Дг — Uo с вероятностью р0 и Аг = Ut с вероятностью plt
причем ро + Pi = 1.
Решение. Применительно к данной задаче формула (6.14)
принимает вид
S(co) = |FUm--^)|a 2 <ЛЛ+п>е/“ла». (6.66)
п==_оо
229
------г1-=---1------
Случайный телеграф-
ный сигнал
О)
6)
8)
г)
8)
е)
ж)
з)
и)
\Биимпульсы
। \Биимпульсы | |
| [прямоугольные радиоимпульсы । ।
г L. I । I ! I । I
I Однополярные импульсы •
Рис. 6.4. Виды сигналов при разных способах передачи двоич-
ной информации.
Из условия задачи находим
{Ak Ак+п~> =
(Л1>= <зI 2А + т2А
<Ак)2 = т2А
при п = О,
при п =]= О,
где
тА ^оРо~Ь^1Р1> ° а — ^о)2Ро Pi-
230
(6.67)
Подставив эти выражения в формулу (6.66) и учтя соотношение
(6.29), получим
о оо
SW.liW . (6.68)
*0 L ао т^-оо \ М]
Это выражение по виду совпадает с формулой (6.31).
Пример 6.3. Из нормального стационарного процесса £(/)
с нулевым средним значением и функцией корреляции о|/?^(т)
берутся периодически (с периодом О'о) отсчеты £(/— i^o), i —0, 1,
г ’/Л _ТУе отсчеты ПРИ помощи нелинейной ступенчатой функции
ь (0 — g(s(O ) подвергаются квантованию по уровням на четыре
уровня^£т = 1, 2, 3, 4, причем пороги квантования равны
(РИС‘ б’®)' ФУНКЦИЯ предполагается нечетной,
т- е- g(l) = g(—I). Получающаяся случайная последовательность
значении Qm превращается (кодируется) в последовательность пря-
моугольных импульсов фиксированной длительности т0 <; со
случайными амплитудами ^п. Нужно вычислить спектральную
плотность импульсной последовательности т)(0, полученной из слу.
231
чайного процесса £(/) при помощи квантования по времени и по
уровням.
Решение,, К данному примеру применима формула (6.30).
При этом получение импульсного процесса ?](/) целесообразно рас-
сматривать в обратном порядке, а именно, как периодическое (с пе-
риодОхМ й0) временное стробирование прямоугольными импульсами
длительностью т0 процесса Щ), полученного из исходного про-
цесса Z(f) при помощи нелинейного преобразования g (£(/)).
Так как среднее значение процесса 1(f) равно нулю и функция
g(£) нечетная, то среднее значение процесса £(/), очевидно, тоже рав-
но нулю, т. е. = 0. Поэтому формула (6.30) упрощается
оо
(ш) = -i-1 Fx (ft), т0) |2 Of 2 (n^o) X
«=-оо
(CDTp \ 2
sin----- \ 00
-----— V h (6.69)
Q J n=—oo
где ^(r) — функция корреляции процесса Щ).
При написании последнего равенства было учтено, что для пря-
моугольного импульса единичной высоты и длительности т0
|Fi(co, то)|2 = то
Для определения спектральной плотности Sn((o) остается вы-
числить функцию корреляции процесса £(/). Анализируя нели-
нейное безынерционное преобразование g(%) известными методами,
можно показать (см. пример 9.7), что
оо Г 3
k=l L<n=l
(6.70)
где Ф<*>(х)— производные от интеграла вероятности; Дто = £т+1 —
— и, т=\, 2, 3.
Подставив (6.70) в
(6.69), получаем окончательный ответ
/ . ®То \ 2
J2 / Sin —— \
то / 2
СОТО
2
е/“ла» x
Л=—ОО
%
оо Г 3 “12
Х2 2 AmW»
k=\ Lm=l \ /
Ri
kt
(6.71)
232
Пример 6.4. Вычислить спектральную плотность стационар-
ной последовательности неперекрывающихся импульсов при одно-
сторонней модуляции их по длительности (рис. 6.3, в). Предпо-
лагается, что амплитуда импульсов фиксирована (Л4 = До =
= const), моменты появления следуют периодически через интер-
вал $о, а длительности импульсов случайны и независимы. Рас-
смотреть случай прямоугольных импульсов с равномерным распре-
делением длительностей
№1(т) =
(6.72)
Решение. Полагая в основной 'формуле (6.14) Ak — Ak-\-n =
= Л0, <6') = 6’0, tk+n — tk = nft0, имеем
Д2 00
S (©) = -^ 2 тл) F1 (®> т*+«)> elan% =
0 п~— оо
Д2 I 00
= 1 <1Р1 (®> T)l2) + 5 <F 1 (®, та) F1 (®> г*+п)>е/шп8« .
VO I п=—оо
1 (П^О)
Так как длительности разных импульсов статистически неза-
висимы и случайная импульсная последовательность стационарна,
то
5(<о)
<1^1(®. т)|2> + |<Л(®, т)>|2 1-1+ 2
Vq П=—оо
1 L (л^О)
Д2 ( оо Ч
=— т)>Р+|<Л((о, т)>|2 2 еМ. .
Vo ( Л=— оо J
Воспользовавшись формулой (6.29), окончательно получим
Л2
л о
S(<o) = V
< | Fx(®, т) |2> —|<FX (со, т» |2+
OO 1
+ -^|<F1(co, т)>|2 2 • <6’73)
*о т=-со \ "о / J
По аналогии с (6.31) запишем эту формулу иначе
оо
S((o) = Sd((o) 2 Ф~+ НМ®). (6.73а)
m=-oo V *о /
233
где
^4 2 ^2
Sd(ffl) = -§-|<F1(<o, т)>р; Sc((o) =--{<| Л (и, т)12>-
&0
-|<Л(О),Т)>Р}. (6.736)
Результаты вычислений по формулам (6.73) для нескольких форм
импульсов при различных распределениях длительностей импуль-
сов приведены в табл. 6.5.
Таблица 6.5
Спектральная плотность при односторонней модуляции длительности
прямоугольных импульсов (ОДИМ-1)
Плотность вероятности длительности импульсов Дискретные спектральные линии Sd (со) 6 (со —/1соо), <о0 = -^-, /1—0, i 1, i 2, ... Непрерывная часть спектра Sc («)
«Синусоидальная» 2 — 2J0 (сох0) cos шх] & — исо0) 3^ сч о 7 1 4 сч о <*> ”=1 3
Нормальная « „2 2тсЛ0 г 1 4- ехр (— а2со«) — . ш2«2 L 0 — 2 ехр a2<o2j cos <oxj б (co —nco0) ло —— [I — ехр (—о2со2)] со2»0
Равномерная Л2 ___2_ Г j s*n* (ю*о) _ m2»2 L — 2 ~cos ml S (<a — шх9 J л2 ^0 Г j sin2 (сох0)1 о>2Я0 [ (<ох0)2 J
Сумма двух дельта-функций 4M0 r 2 2 2 L1—Л1 + Л1 “ Л1со8 (<°xi)- co 00 — (1 — 4i) cos (cox2) 4- Л1 (1 — Л1)х XCOS (co (*1— *«)}] S (co —n<00) 2Ло !1-Л1(1-Л1)Х (О2Я0 х[1 —COS (со (Х1 — х2)}]
Для прямоугольного импульса с учетом (6.72) можем написать:
2т0
Г1(й), т) = -2-(1—е~/шх), <Fi(co, T))=-i- f Fjw, r)dr =
/ш 2т0 J
234
zGj Tq
i/d i w i« 1 r< i sin2coTo 0sin(i)To
<F. (co, t)) 2 = — 1 H------------------- —2------------ cos (ot0
1 v > //I co2 [_ (ШТо)2 WTo °
<| Fx (co, t)|2> = [ 1 — SinMT° cos <oto
(0 L COTq
Подставив эти выражения в (6.736), получим
(<в’%)2 L
Sd(<o)
sin2 mo _2?in.^o.COSft)Tol
(сото)2 сото J
Пример 6.5. Найдем спектральную плотность стационарной
последовательности неперекрывающихся импульсов при двух-
сторонней модуляции их по длительности (рис. 6.3, г). Будем счи-
тать, что амплитуда импульсов постоянна (Лг = Л о = const),
интервал времени между срединами любых двух соседних импуль-
сов постоянен и равен Оо, а длительности импульсов случайны и не-
зависимы. Выполним вычисления для импульсов прямоугольной
формы, когда их длительности распределены по нормальному за-
кону
<’>=ГГйгхр [ -“ « *"/2' <6'74’
Решение. Применительно к рассматриваемому примеру в фор-
муле (6.14) следует положить Лй = Ла+п = Л0, tk+n—tk — n% +
4- Ъ~ТГк+"> #==#о + 7 тл~7т*+ь <0> = #о-
Тогда получим
А2 00
S (<о) = S <fi (®> та) Р* (®> т*+п) е/“^*_т*+л)/2> е/шп8«.
Так как длительности разных импульсов независимы и импульсная
последовательность стационарна, то
А2 00
S (®) = -5- (| Fx (®, т) |2> + |(FX (®, т) е/-/2> |2 2
VQ П=— ОО
(п=^0)
235
Выполнив те же преобразования, что и в предыдущем примере,
получим окончательную формулу
S (©) = $» 2 sf/--(6.75)
m=-oo \ /
где
Д2
Sd И = -4 КЛ (<*, *) е^/2 >|2; (6.75а)
А2
Sc (со) = {<| F, (со, т)|2> - (о, т) еW2)|2}. (6.756)
Здесь Sd(co) определяет интенсивность дискретных спектральных
линий при частотах f = т/^о', Sc(co) — непрерывная часть спек-
тральной плотности.
Для прямоугольного импульса находим
Fi(w, т) = —(1 — e~/W), ^(со, т)е^х/2 = —sin-^-,
/со ® 2
| Fi (со, т) |2 = -^ (1 — cos сот).
Воспользовавшись при статистическом усреднении с плотностью
вероятности (6.74) известным интегралом [8]
оо
J е-М cos bxdx = ± ехр ( , Re р > О,
получим
(F-l(со, т)е/“т/2) = — sinехр ( —°2®2) > (l^i(®> т)|2> =
со 2 \ 8 /
2 Г / 1
= — 1 — cos сото ехр I —— о2 со21 .
Подстановка этих соотношений в формулы (6.75) дает выражение
спектральной плотности независимых прямоугольных импульсов
при двухсторонней модуляции их по длительности
(( . °>То \2
sin о» /1 \ 2 А«
----— ехр (—-о2©2 Y Sc(©) =-------------х
2 /
X 1 —ехр — у- °2 ®2j cos ®то — 2 ехр о2 co2j sin2 .
Результаты вычислений для нескольких форм импульсов при
разных распределениях длительностей приведены в табл. 6.6 [6].
236
Таблица 6.6
Спектральная плотность при двухсторонней модуляции длительности импульсов (ДДИМ-2)
Плотность вероят- ности импульсов Дискретные спектральные линии (<о) S(w—шо0), <о0=-^- , п=0,± 1, ±2... Непрерывная часть спектра Sc (Ш)
«Синусоидальная» ПрямоугольЕ sin1 1 0 т \2 \ 2 / ,2 / сох, X 2 ^0 а 1 Л) I 5 (ш псо0) \ &0 / (ПТ ^2 \ 2 ) гый импульс 2 ш.»0 [‘ 2М 2’)Sin’( 2 )]
Нормальная 2Sin2(—) 2яЛл f—V — ехр ( —5 (со—псо0) \&oJ (_21L)2 \ 4 / 2Л0 Г. ' / 1 1 , ч 1 —ехр о2а>2 I COS (сот) — CD^&o L \ 2 / _2еХр(-±0»т») sin’(v)]
Равномерная sin. Sin» (—V LlZ L 2... ' 5 (ш-пф.) \ &o / сот ^2 <лх9 j2 2А20 (О^о Sin» 1 —sln<.^> cos (Mx)-2 sin» pn <OX0 COX, j2 \ 2 /
Сумма двух дельта- функций 2 Гл i sin Г——\ 4- (1 — Л|) sin /Al2 6 (<d —n<o0) co2»2 L V 2 ) ' 2 /j А >.2
Продолжение табл. 6.6
Плотность вероят- ности импульсов Дискретные спектральные линии Sd (<о) 3 (со — ПО)0), соо , П = 0, ±1, ±2,... *0 Непрерывная часть спектра 3С(М)
Нормальная 2 „2 2 Дру Г 2 2&0 In 2 L Гауссов 1 8 In 2 13 ( wM \ ехр х а,ф» 4-8 In 2 J \ а2<о2 4» 8 In 2 / X 8 (со — псо0) ямпульс .2 2 тсЛд т 4&0 In 2 |1+21(1+-2^1 ( ~2\ 41n2/J / о>2т: > ехр Л . \8Л \ 2°***+* \ 4 1п2/ 1 / \ ( 1 4- q8co* V СХР \ з2о>2 4- 8 In 2/ \ 8 In 2/ • Ип 2)
Равномерная 2к *0 ' л2 te Ддтс! 6 <о4Х Xsh2 In 2 ( <»2|х24-ж^|\ 2 ехР\ 8 In 2 )* 0 \ 8 In 2/ Д2п 2 ехр { — Ьг (х24-х2)} |т sh (2д2тх0)— 2<о2^0хв [ 1 4 °/J 1 -*.ch(26»«<,)} + ^{erf ("“ГО}" — ехр { —b* (х2 4- х2)} sh2 (Ь2тх0) j , b* =: (D*/8 1п2
Сумма двух дельта-функций 2п +(1- Г Л2 1 71 л0 L4 In 2J -Д1Н1 [Л*х*ехр( 161‘2) + / 2 2 \1 ( ш х2 | ехр\ 16 Ш 2/J s (“ П<°») X — (—— )4t(l-4t)X »о \4 1n2j / и24 \ / Л2 VI2 ИеХР\ 16 In 2/ Х’еХР\ 16 In 2/J
Пример 6.6. Найти спектральную плотность стационарной
последовательности модулирующих импульсов постоянной ампли-
туды (At = А о = const) при двухсторонней модуляции длитель-
ности импульсов (ДДИМ-2, см. рис. 6.3, д). Предполагается, что
длительности импульсов и смещения ег моментов их появления
относительно тактового интервала О0 независимы для любых пар
импульсов, причем 0 тг + ег + О’о (отсутствие перекрытия).
Рассмотреть частный случай прямоугольных импульсов, у которых
смещения и длительности независимы и распределены равномерно
в интервале ^0, ^0\ т. е.
^1(т) = —, ^(е) = —, то = 8о=|^о- (6-76)
Решение. Воспользуемся основной формулой (6.14). С уче-
том равенств (6.32) и сформулированных условий эта формула при-
нимает вид
А2
S (<>)=— 2 4)F'(<0, тА+„)е/м(^+^>=
V0 и_ ЛЛ
и П=—ОО
л2 f 00
-А <1Л(®. *)l2>+ 2 <FX (со, тЛ)е"/мел>х
VQ П—~ ОО
(П^О)
X<Fj(co, тА+„) е/<и*+»)
< I Pi (<*>, т) |2> 4-
+1 <Fj (со, т)е/ШЕ)|2
1 — 1+ 5 е/шп8° 1 =
п=— оо
(П^О) JJ
л2
Л0
%
<|Л(®. т)|2>- Kf7(со, т)е/->Г +
+ |<F;(<o, т)е/->|24 У
#0 -*" \ VQ /
(6.77)
Здесь при переходе к сумме дельта-функций была.использована фор-
мула (6.29).
Если длительности и смещения eft независимы не только для
любых двух разных (i k) импульсов, но и для одного и того же
импульса (т. е. при i = k), то формула (6.77) упрощается
• <1 Pl (©, т) |2) — |<Fj (со, т)> @3 (со) I2 +
Л2
U9
oo
+i<f; (®, T)> @8 и i2 2 6 (f- v)
*0 m=_oo \ *0 /
(6.78)
где 03 (co) = (e/<oe) — характеристическая функция смещения e.
Для прямоугольного импульса с учетом (6.76) можем напи-
сать
Fi (со, т) = — (е/(т— 1), (Fi (со, ?)) = —(*F*i (<о, т) dx =
То J
= (1 + /®т0—е^т«),
й)а То
2 г 1
|<Fi((0, т)) |2 — 4 2 р + у (0)То)2 — COS 0)Т0 — G)T0sin(0T0 ,
(| Fx (co, т) I2) = (<or0—sin coto).
or To
Зная плотность вероятности (6.76) для смещения е, находим
характеристическую функцию
е0
03 (со) = — f е/ШЕ d& = —-— (е/ше<> — 1), 103 (со) |2 = —-— (1 — cos сое0).
80 /й)80 (СО8О)2
Известно, что квадрат модуля произведения двух комплексных
величин равен произведению квадратов модулей сомножителей.
Если учесть, что т0 = во = W2 и подставить написанные соотно-
шения в (6.78), то получим выражение для спектральной плотности
случайной последовательности независимых прямоугольных им-
пульсов
Д 2 Q. С
S (<о) = 2° 1х3 (х—sin х)— (х2+2— 2 cos х—2х sin х) х
X (1—cos х) + (х2 + 4—4cosx—x2cosx—2xsinx) х
ОО 1
х 4- 2 s Р--
*0 m=-00 \ *0 /J
Укажем, что при записи сомножителя перед суммой дельта-
функций было учтено, что дельта-функции отличны от нуля лишь
в точках f = т/'&о, т. е. при <о$0 = 2л/п. В этих точках 2cos2x +
+ 2х sin х cos х = (1 + cos 2х) — х sin 2х = 2.
Пример 6.7. Требуется найти функцию корреляции и спек-
тральную плотность случайного телеграфного сигнала ^(/), прини-
мающего с одинаковыми вероятностями, равными 1/2, лишь два
240
значения: + а и — а (рис. 6.6). Моменты скачков (перемен знака)
распределены по закону Пуассона, т. е. вероятность получения N
скачков в интервале (О, Т) равна
Решение [1]. Очевидно, что среднее значение рассматривае-
мого импульсного процесса равно нулю (<£(/)> = 0), а среднее
значение произведения ( £ (Z) £(/ + т) > равно а2, если £(/) и
| (/ + т) одного знака, и равно —а2, если они противоположного
знака. В первом случае в интервале (/, t + т) будет четное число
перемен знака (включая и нуль), а во втором случае — нечетное
число. Поэтому
^(х) = а2Рчет—а2Рнеч,
где Рчет и Рнеч — вероятности четного и нечетного числа скачков
за время т > 0.
Согласно (6.79) имеем
Рчет = Р(0. т) + Р(2,т) + ... =е-^[1+^(Лт)2+...' =
- е~Хт ch (Хт),
Рнеч = Р(Ь т) + Р(3, т) + ...=е->фт+4-(М3+---
о!
= е~Хт sh (Хт).
Следовательно,
(т) = а2 е~х' [ch (Хт) — sh (Хт)] — а2 е~2Хг, т > 0.
Так как процесс £(/) стационарен, то
(т) =^а2 е~2ХМ.
Зная функцию корреляции, находим
5$ (со) = 2 J (т) cos coxdx
о
(6.80)
спектральную плотность
4а2 А,
со2 + 4А,2
9 Зак. 728
241
§ 3. Задачи и ответы
6.1. Случайная функция образована последовательностью
примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов, амплитуды
и длительности которых случайны и независимы (рис. 6.7). Плот-
ности вероятности для амплитуд и длительностей заданы:
Рис. 6.7. Случайная последовательность примыкающих
прямоугольных импульсов.
Вычислить спектральную плотность и корреляционную функцию
случайного процесса £(/).
Ответ:
5 (<в) = о2а + ml 2л 6 (со), k (т) = ale- “ N.
а2 + со2
Указание. Следует воспользоваться формулой (6.25),
положив А = 0.
6.2. Найти спектральную плотность стационарной последова-
тельности прямоугольных импульсов с постоянной амплитудой
А = До, когда импульсы и промежутки между ними имеют одина-
ковый закон распределения.
Ответ:
е/ ч Л0 D 1—01 (СО) . 1 л2 с / х А0 1-1 01 (со) |2 ,
S (со) = -2-7— Re----Н— До ло (со) = ч ।
1 + 01(со) 2 ®2<т) H + 0i(co)i2
—— До лд (со).
Указание. Нужно воспользоваться формулой (6.26).
6.3. Вычислить спектральную плотность стационарной после-
довательности независимых прямоугольных импульсов с постоян-
242
ной амплитудой А = Ло и постоянной длительностью т = т0, если
промежутки между соседними импульсами имеют показательный
закон распределения
Г1(Д)-₽е-^, Д>0.
Ответ:
5(о) =
2Aq р (1—cos сото)
со2 (Ц-₽т0)
р\2 / Р
— (1 — COS СОТо)2+ 1 + ~ sin СОТо)
СО / \ со
+ /'.Л Рт».Л22л6 (о).
\ 1 +рт0 )
6.4. Найти спектральную плотность стационарной последо-
вательности независимых прямоугольных импульсов с постоянной
амплитудой А A q и постоянной длительностью промежутков
между импульсами Д — До, когда длительности импульсов распре-
делены по показательному закону
U7i(T)=ae^‘ax, т>0.
Ответ:
5(о>)
2аДц (1 —cos (оДо)
®2 (1 +аД0)
(—V(1 — cos ®Д0)24~
\а> /
-|- (14— sin соДр
\ ю
. / аЛрДр
\ 1 + аДр
2
2л6 (со).
6.5. Вычислить спектральную плотность и функцию корре-
ляции стационарной последовательности независимых импульсов
прямоугольной формы с постоянной амплитудой А == A q9 когда
длительности импульсов и промежутки между соседними импуль-
сами имеют показательные законы распределения:
W\(T) = ae-a\ т>0; W\(A) = ₽e-₽A Д>0.
Ответ:
s м=—!—+2яв (ш),
k (т) — ——|т|.
(а+Р)2
6.6. Периодические выборки (с периодом tt0) стационарного
случайного процесса £(/), имеющего среднее значение и функ-
цию корреляции е“а1т1, превращаются в прямоугольные
импульсы постоянной длительности То — const (см. рис. 6.2).
9*
243
Определить спектральную плотность получающейся периодиче-
ской последовательности прямоугольных импульсов со случайными
амплитудами At = Щ — ^о)-
Ответ:
(оо
1+2 2
п=
e-n^o COS (0/г$0 I +
6.7. Независимые одинаковые импульсы треугольной формы
(см. табл. 6.1)
(/ + т0)/т0,
(т0 /)/Т0,
0
/(/ —г&о» *о) =
г&0—т0< t С Z'O’o,
о<^ <Ж + То>
при других /,
*0
следуют периодически с периодом Фо- Плотность вероятности ампли-
туды импульсов имеет вид
| Д —тл|<х0,
| Д—тл|>х0.
Найти спектральную плотность такой случайной импульсной
поеледов ател ь ности.
Ответ: (см. табл. 6.3)
6.8. Получить результаты, приведенные в табл. 6.3.
Указание. Следует воспользоваться формулами (6.31).
6.9. По каналу связи передается двоичная информация. Неза-
висимые посылки и паузы равновероятны и передаются периодичес-
ки с тактовым интервалом -ft0. Посылке соответствует прямоугольный
импульс постоянной амплитуды До и постоянной длительности т0,
а паузе — отсутствие импульса (рис. 6.4, в).
Найти спектральную плотность последовательности импульсов.
244
Ответ:
Указание. Следует воспользоваться формулами (6.68)
и (6.67).
6.10. Решить задачу 6.9 для случая, когда посылке соответ-
ствует импульс в виде дельта-функции Лобр—(i + а паузе —
отсутствие импульса (рис. 6.4, г).
Ответ:
Указание. Дельта-функцию 6(/) можно рассматривать как
бесконечно узкий симметричный прямоугольный импульс (т0 0)
высотой 1/т0 и длительностью т0. Поэтому в ответе к задаче 6.9
нужно вместо Ао подставить А (А о и затем перейти к пределу
при т0->0.
6.11. Независимые и равновероятные посылки и паузы пред-
ставляют собой прямоугольные импульсы постоянной длительности
т = Фо и постоянной амплитуды Ао, но противоположной поляр-
ности (посылке соответствует + Ао, паузе соответствует — Ао).
Посылки и паузы следуют периодически через постоянный интер-
вал времени Фо (рис. 6.4, е).
Вычислить спектральную плотность и функцию корреляции та-
кого случайного телеграфного сигнала.
Ответ [1]:
6.12. Пусть посылке соответствует сигнал Aof(t — /Фо, Фо),
а паузе соответствует сигнал — A of (t — ТФ0, Фо), где
— 1 при (i + < t<(i+ 1)^0.
245
Посылки и паузы независимы, равновероятны и следуют во време-
ни периодически с периодом Фо (рис. 6.4, ж).
Требуется вычислить спектральную плотность указанной слу-
чайной последовательности биимпульсов.
Ответ:
5((о) = Д^о ———
— со%
6.13. На линейное устройство (рис. 6.8), состоящее из линии
задержки на время Фо, вычитающей схемы и идеального низкочас-
тотного усилителя с коэффициентом усиления воздействует слу-
Линия задержки
Рис. 6.8. Схема линейного устройства.
чайная последовательность двоичных сигналов, указанная в задаче
6.9 (рис. 6.4, в).
Определить спектральную плотность случайной последователь-
ности импульсов на выходе устройства (см. рис. 6.4, д).
Ответ:
СОТр . cofy)
3(со) = ЖХ
\ ^0 /
Указание. Передаточная функция рассматриваемого
устройства равна
6.14. Напряжение случайно появляющихся дельта-функций
Лобр—^°]’ Указанных в заДаче 6.10 (рис. 6,4 г), воз-
действует на интегрирующую цепочку RC, причем RC < Фо.
Найти спектральную плотность напряжения в виде случайной
последовательности неперекрывающихся экспоненциальных им-
пульсов на конденсаторе С.
246
Ответ:
л 2 I <*>
S(a>) =-----------5-------Ь+— 2 ——'j
v 1 М1 + (®ЯС)21 I »0 m±.oo V
6.15. Двоичный сигнал в виде случайно следующих дельта-
функций Аобр — + ^о], указанных в задаче 6.10, воздействует
на фильтр нижних частот с гауссовой передаточной функцией
ХО) = Ко ехр [-? ], где g « Фо.
Найти спектральную плотность случайной последовательности
гауссовых импульсов на выходе фильтра.
Ответ:
S((o) = -V-.exp
л
4
— У б
Л, АякА
^0т——со
S(co)= А2Ф0
6.16. Двоичная информация передается при помощи детер-
минированных сигналов с фазовой манипуляцией. Независимые
и равновероятные посылки и паузы передаются периодически в те-
чение всего тактового интервала Фо = const. Посылке соответствует
прямоугольный радиоимпульс Asin со0^ длительностью Фо, а паузе
соответствует радиоимпульс — Asin (оо^ той же длительности
(рис. 6.4, з). Амплитуда А и частота со0 — постоянные величины.
Считая со0Ф0 = 2шг, где п— любое целое положительное число,
найти спектральную плотность случайной последовательности
прямоугольных радиоимпульсов.
Ответ:
2т sin (со&о/2) I2
(со&о)2 — (2лп)2
6.17. Передача двоичной информации осуществляется при
помощи импульсно-фазовой манипуляции. Посылка передается
прямоугольным видеоимпульсом с амплитудой Ао = const, дли-
тельностью т0 = const и временным положением относительно так-
тового интервала 8 = 8! = const (рис. 6.4, и). Пауза передается тем
же прямоугольным импульсом, но его положение относительно
тактового интервала равно 8 = 82 = 8t + 80, где 80 = const.
Каждый из импульсов не выходит за пределы своего тактового ин-
тервала, т. е. О < 8i < Фо — 'Го, 0 < 82 < Фо — т0. Посылки и
паузы независимы и равновероятны.
Найти спектральную плотность такой случайной последователь-
ности прямоугольных импульсов.
247
Ответ:
/ (ОТ0 \ 2
/ sin —— |
SW = A||)’ х
1_COS2^L + ±CO^^- У 6(f—
2 «о 2 I »0 !
Указание. Следует воспользоваться формулой (6.35).
В данном случае плотность вероятности для смещения 8 равна
Г1(8) = -1б(е-е1)+±6(е-е2).
6.18. В квазипериодической стационарной последовательности
независимых импульсов, имеющих одинаковую форму, но случай-
ные амплитуды Aif смещения 8 моментов появления импульсов от-
носительно тактового интервала, равного Фо, распределены по нор-
мальному закону
Г (е) = —1— ехр /--------
оеУ2л у 2of
где сг£ <<С Фо (отсутствие наложения импульсов).
Вычислить спектральную плотность импульсного случайного
процесса. Рассмотреть частный случай, когда амплитуды импульсов
постоянны (Ai = До = const).
Ответ [10]:
S(“) = V то>|2 1<Л2> —<Л>2ехр(—<J52co2) +
+ ехр (-<,?«?) 2
т=-оо \ п0 /)
А2
5 (®) = V-1 ^1 (®> То) |2 1 —ехр ( — ст? со2) +
VQ
+ vexp (—°2®2) Z 8{f—v)
т=-оо V ^0 /
6,Д9Я Получить результаты, приведенные в табл. 6.4.
Указание. Нужно воспользоваться формулами (6.35).
6*20я Независимые периодически повторяющиеся (с • перио-
дом Фо) прямоугольные импульсы с постоянной амплитудой Ло
имеют плотность вероятности длительности импульсов
(т) = Лх 6 (т—Tj) + (1 —6 (т—т2).
248
Найти спектральную плотность импульсного случайного про-
цесса.
Ответ:
5 (®)=^4
4 ’ О)2
— Лг COS СОТ1 — (1 —Лх) COS С0Т2 +
+ Л1(1— Л1)созсо(т2— тх)] 2j
т==—оо
2Д 2
н----5-Дх(1 — Лх)[1— cosco(r2—тх)].
(О2 Во
Указание. Следует воспользоваться формулами (6.73).
6«21в Получить результаты, приведенные в табл. 6.5.
Указание. Нужно использовать формулы (6.73).
6<22* Найти спектральную плотность стационарной последо-
вательности неперекрывающихся импульсов при двухсторонней
модуляции их по длительности (рис. 6.3, г). Амплитуда импульсов
постоянна Л о — const, интервал времени между серединами любых
двух соседних импульсов также постоянен и равен Фо, а длитель-
ности импульсов случайны, независимы и имеют плотность вероят-
ности
№х(т) =
Ответ:
[л]/\о —(т—т0)2] ', |т—т0|<х0
о,
|т — Т0|>х0.
где — функция Бесселя нулевого порядка.
6.23. Получить результаты, приведенные в табл. 6.6.
Указание. Нужно воспользоваться формулами (6.75).
6.24. Найти спектральную плотность стационарной последо-
вательности независимых перекрывающихся пуассоновских импуль-
сов прямоугольной формы, длительность которых т распределена
по показательному закону
(т) = ае_ at, т > 0.
ЭВЗак. 728
249
Амплитуда импульса Аг- и его длительность — независимые слу-
чайные величины. Среднее число импульсов, появляющихся в еди-
ницу времени, равно X.
Ответ [3.11]:
s (ю) = .2Т«<Л2> + 2лТ2 <л>2 8 (ю)) т==Х/а.
а2 + со2
Указание.. Нужно воспользоваться формулой (6.46) и
учесть, что 6(со) 0 только при со = 0.
6.25. В плоскопараллельном диоде, работающем в режиме
насыщения, моменты вылета электронов с катода независимы и
описываются законом Пуассона. Пренебрегая начальными скоро-
Рис. 6.9. Элементарный импульс анодного тока (а) и
спектральная плотность дробового шума (б).
стями вылета электронов из катода, можно считать, что пролет каж-
дого электрона от катода до анода наводит в анодной цепи треуголь-
ный импульс тока (рис. 6.9, а)
I _ f 2^/то, 0 < t < т0,
е" I 0 при других С
где е — заряд электрона; т0 — время пролета электрона от катода
до анода. Среднее значение анодного тока равно /а = ек, где % —
среднее число электронов, попадающих на анод в единицу времени.
Вычислить и построить график спектральной плотности дробо-
вого шума. Определить значение непрерывной части спектра 5с(со)
при нулевой частоте.
Ответ [7]:
S (со) = 2л/а 6 (со) + еЛ —-— [(сото)22 (1 —coscot0 — сот0 sin сото)],
L (сото)4
250
Sc(O) = e/a.
График спектральной плотности изображен на рис. 6.9, б.
6.26. Показать, что для треугольных пуассоновских импуль-
сов, указанных в задаче 6.25, в правой части формулы (6.60) можно
пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым при условии
(3lTo)~,/s < 1, т. е. когда за время пролета электрона т0 на анод по-
ступает большое число электронов.
Ответ [12]:
-лг=^Ь=гй-(Хт°)“1/2« L
3! о? 3!х2/2 3/2
Указание. При вычислении коэффициента при втором сла-
гаемом в формуле (6.60) следует воспользоваться соотношениями
(6.62) и учесть, что в данной задаче А = 2е/т0 = const.
Литература
1. R i се S. О. Mathematical analysis of random noise. BSTJ, 1944, t. 23,
№ 3; 1945, t. 24, № 1.
Райс С. Теория флуктуационных шумов. В сб. «Теория передачи
электрических сигналов при наличии помех». Пер с англ. Изд-во иност-
ранной литературы, 1953.
2. Б е н д а т Дж. Основы теории случайных шумов и ее применения.
Пер. с англ. Изд-во «Наука», 1965.
3. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи, т. 1. Пер.
с англ. Изд-во «Советское радио», 1961.
4. Т и х о н о в В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советское
радио», 1966.
5. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математичес-
кой физики, Гостехиздат, 1951.
6. Kaufman Н., King Е. Н. Spectral power density functions in
pulse time modulation. IRE Trans., Information theory, 1955, IT-1, № 1.
7. Д а в e н п о p т В. Б., P у т В. Л. Введение в теорию случайных
сигналов и шумов. Пер. с англ. Изд-во иностранной литературы, 1960.
8. Г р а д ш т е й н И. С., Р ы ж и к И. М. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. Физматгиз, 1962.
9. G i 1 b е г t Е. N., Pollak Н. О. Amplitude distribution of shot
noise. BSTJ, 1960, u. 39, № 2.
10. M a c f a r 1 a n e G. G. On the energy spectrum of an almost periodic
succession of pulses. Proc. IRE, 1949, u. 37, № 10.
11. Левин Б. P. Теоретические основы статистической радиотехники.
Изд-во «Советское радио», 1966.
12. Р ы т о в С. М. Введение в статистическую радиофизику. Изд-во «Наука»,
1966.
9В*
251
7. УЗКОПОЛОСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ
ПРОЦЕССЫ
§ 1. Теоретические сведения
Стационарный случайный процесс £ (/) назы-
вается узкополосным, если ширина полосы Д/ той области частот,
где спектральная плотность S(f) практически отлична от нуля, мала
по сравнению с некоторой средней частотой f0 этой области (рис. 7.1),
т. е.
о-
Рис. 7.1. Спектральная плотность уз-
кополосного процесса.
(7.1)
Корреляционная функция узкополосного случайного процесса
всегда может быть представлена в виде [ 1 ]
k (т) = а2 [рс (т) cos 2л/от + ps (т) sin 2л/0т] = а2р (т) cos [(%? + у (т)],
(7.2)
где
P(t) = /p?(t) + ps2(t); tg?(T)=-£^; т(0) = 0; (7.3)
Pt СО
fo fo
а2рс(т) — j* 5 (/о—v)cos 2nvxdv; o2ps (т) = J S (f0—v) sin 2nvxdv.
— oo —oo
(7.4)
252
функции рс(т), р8(т), как и р(т), у(т), являются медленно изменяю-
щимися по сравнению с cos (оот.
В том частном случае, когда спектральная плотность S(f) сим-
метрична относительно центральной частоты fQ, функция корреля-
ции узкополосного процесса имеет вид
оо
k>. (т) = ст2р (т) cos <вог — cos <оот J S (/0—v) cos 2nvrdv. (7.5)
— oo
По виду реализации узкополосного процесса напоминают моду-
лированное гармоническое колебание. Поэтому часто используют
представление узкополосного процесса в следующем виде:
l(t) = Л(Осо8[со0/—<р(ОЬ Л(0>0, (7.6)
где A(t) и ср(/) — медленно изменяющиеся функции времени (по
сравнению с cos(o0/); их называют соответственно огибающей и
фазой процесса.
Можно также ввести понятие мгновенной частоты, определив ее
равенством
,,ч * лп 4 (О Л.(/)—ЛГ(Л As (I) .
М(о-ш.-ф(о=- (?.?)
где точкой сверху обозначены производные по времени.
Форма представления узкополосного процесса (7.6) не един-
ственная; узкополосный процесс можно представить иначе:
£ (/) = Ас (t) cos (dQt + As (t) sin cooZ, (7.8)
где
Ac (/) = A (t) cos <p (/); Д (0 = A (t) sin <p (/). (7.9)
Отсюда следует, что
Рис. 7.2. Геометрическое пред-
ставление узкополосного процесса.
253
Формулы (7.10) позволяют интерпретировать огибающую A(t)
как длину вектора, проекции которого на оси прямоугольной си-
стемы координат равны Д8(/) и Ас (/). Угол между осью абсцисс и
направлением вектора равен ср(/) (рис. 7.2). Длина вектора и его
фазовый угол изменяются во времени случайным образом.
Пользуясь математическим определением огибающей, можно
показать, что если исходный стационарный узкополосный процесс
£(/) является нормальным, то вспомогательные случайные процессы
Ac(t) и 4S(/) являются также нормальными и стационарными с нуле-
выми средними значениями = Ms(0) = 0» а их авто-
и взаимно корреляционные функции равны
(Лс(/1)Лс(/2)>=<л8(^л8(/2)> = ^(/2-^. | ,7 .
<лса1)л3(/2)>=-<лса2)Ао=^Рза2-/1)./ 1 • '
Если спектр S(f) узкополосного процесса симметричен относи-
тельно частоты /о, то нормальные стационарные процессы Ac(ti)
и As(t2) не коррелцрованы и, следовательно, независимы.
Соотношения (7.11) позволяют сравнительно просто находить
различные совместные плотности вероятности огибающей, фазы и
их производных, отправляясь от известной многомерной нормаль-
ной плотности вероятности стационарно связанных процессов Ac(t)
и Xs(0 и переходя затем в ней к огибающей A(t) и фазе ср(/) согласно
соотношениям (7.10).
Если имеется сумма узкополосного нормального стационарного
шума £(/) = A(f) cos[(o0/ — ср(/)] и детерминированного гармони-
ческого сигнала $(/) = Дтсозсо0^ то можно определить огибающую
и фазу такой суммы при помощи соотношений
s (/) + £(/) =V(Z) cos [соо/—ф(01, V(/)>0, — л<ф(0<л, (7.12)
где
У(0 = /[Лт+лс(01а+ЛЬО;' tgi|)(O= • (^лз)
лт~глс \Ч
При этом остается в силе геометрическая интерпретация, аналогич-
ная приведенной выше (см. рис. 7.2).
Одномерные плотности вероятности огибающей V(/) и случайной
фазы ф(/) для суммы сигнала и узкополосного шума определяются
формулами
W (V) = £ ехр ( —/о (^), V > 0, (7.14)
IF W е~а2/2 [1 +]/2ласо8фФ(асо8ф) efl2cos2—лсфсл.
2л
(7.15)
IM
Здесь а = Ат/о — отношение сигнал/шум, /0 (х) — функция Бес-
селя нулевого порядка от мнимого аргумента, Ф(х) — интеграл
вероятности (2.9).
Полагая в формулах (7.14) и (7.15) Ат = 0, получаем соответ-
ствующие плотности вероятности для огибающей и фазы одного узко-
полосного шума
Г(Л) = Аехр(--11), А,О, (7.16)
(7-17)
Среднее значение и дисперсия огибающей V(t) определяются
формулами
о2 = 2о*(1Ч-1а*)-/п2, (7.19)
гдехГ1 (а; 0; х) — вырожденная гипергеометрическая функция; ’
/п(х) — функция Бесселя /z-го порядка от мнимого аргу-
мента [2].
Функции корреляции огибающей А(/) и квадрата огибающей
А2(0 узкополосного процесса £ (/) равны соответственно
=v °2 [(4')2р2 +(тт)2р4 +
+( tvM’p6 (т)+•••]- т g2p2 (т) ’' <7 • 2°)
\ Z • 4 • о / J б
/гЛ2(т) = 4о4р2(т). (7.21)
Аналогичные формулы для огибающей ]/(/) суммы детерминиро-
ванного гармонического сигнала и узкополосного шума имеют вид
kv (т)
— о2 р1
8 г
^PW 1 + ^Р(Т)] > а > !>
(7.22)
а2 р (т) , а С 1,
1Мт) = 4стЧр2(т) + а2р(т)]. (7.23)
Укажем, что в дальнейшем, при формулировке отдельных задач,
предполагается, что огибающие А(/) и V(t) с некоторым коэффи-
2Н
циентом пропорциональности воспроизводятся на выходе линейного
амплитудного детектора огибающей, квадраты огибающих А2 (О
и V\t) — на выходе квадратичного амплитудного детектора огиба-
ющей, косинусы случайных фаз <р(/)и ф(/) — на выходе фазового
детектора и случайные частоты ср(/) и ф(/) — на выходе частотно-
го детектора.
§ 2. Примеры
Пример 7.1. Найти совместную плотность вероятности
Ц/4(1/, V, ф, ф) огибающей !/(/), фазы ф(/) и их первых производ-
ных 1/(7), ф(/) в один и тот же момент времени для суммы (7.12)
гармонического сигнала и узкополосного нормального стационар-
ного процесса £(/) с функцией корреляции
(т) = о2р (т) cos(оот, р(0)= 1. (7.24)
Решение^ Согласно (7.5) спектральная плотность рассматри-
ваемого узкополосного процесса £(/) симметрична относительно
частоты /о = ®0/2л. Поэтому вспомогательные нормальные стацио-
нарные процессы Ac(t) и ЛД/) независимы, причем их автокорреля-
ционные функции равны
<Л (О Ас (/ + т)) = <Д (О As (t + т)> = а2р (т). (7.25)
Известно, что производная (скорость) нормального стационар-
ного процесса есть также нормальный стационарный процесс; зна-
чение производной не зависит от значения самого процесса в тот же
момент времени. Поэтому случайные переменные Ac(t), As(t), Ac(t),
As(f) взаимно независимы, причем каждая из них нормально рас-
пределена. Дисперсии этих переменных равны
<Л2 (0> = <А2 (0) = о2,
«v;. <о. (7-26)
ах* |-=о
На основании известного выражения нормальной плотности
вероятности записываем совместную плотность вероятности
: (Д. Д, Д, Я.) - “Р Х
X [-рЖ + ДНИ+Д)]}. (7.27)
Перейдем в (7.27) от переменных Ас, As, Ас, As к новым пе-
ременным V, V, i|?, тр при помощи соотношений, следующих из
(7.9), (7.12) и (7.13):
Ж
Ac = V cos ip—Am, 4s = Vsini|),
AC = Vcosip—ipV sin ip, As = Vsinip + ipVcosip.
Нетрудно убедиться, что модуль якобиана преобразования пере-
менных равен
d (Ас, 4s> Лс, Л?) __
д (V, V, ip, ip)
Поэтому получим
(V, V, ip, ip) =------ехр f-----z-J--x
4лМ(-Р;) 2a2 (-p0)
X [ - Po (V2 + A2m - 2ЛтУ cos ip)+P + Pip2] j. (7.28)
Проинтегрировав (7.28) по V и ip в пределах от —oo до oo,
получим совместную плотность вероятности для огибающей и фазы
в один и тот же момент времени:
W2(V, ip) = J Jr4(V, V, ip, ip)dipdV =
—oo —oo
= JLexp{—2-(У2 + Л^-2ЛтУсо51р)}, V > 0. (7.29)
Из (7.29) следуют приведенные ранее формулы (7.14) — (7.17).
Если выражение (7.28) проинтегрировать сначала по ф в пре-
делах от —оо до оо, а затем по ф в пределах от — л до л, то получим
совместную плотность вероятности для огибающей и ее производной
W2(V, V)= J dtp Jr4(V, V, ip, ip)dip = r (V)UI(V), (7.30)
—тс —oo
где плотность вероятности W(V) дается соотношением (7.14),
a u»(V) является нормальной плотностью вероятности:
te>(V) = —7-1-.....ехр[— „.1. (7.31)
а/2л(—р") [ 2а (—Ро).
Пример 7.2. Пусть на вход радиоприемника, упрощенная
функциональная схема которого приведена на рис. 7.3, воздейст-
Рис. 7.3. Упрощенная функциональная схема радиоприемника.
257
вует сумма детерминированного гармонического сигнала s(/) =
= Ат cos 2rtf0t и нормального стационарного белого шума n(t) со
спектральной плотностью Sn (f) = No. Квадраты модулей передаточ-
ных функций усилителя промежуточной частоты (УПЧ) и усилителя
низкой частоты (УНЧ) имеют вид гауссовых кривых
|А\(ДО|2 = /С| ехр — л
= Ki ехр Г—л ( \/° VI, Afi«/0, <в = 2л/,
L \ Afi / J
I(ДО I2 = «I ехр Г - vGt П -
где А/1 и А/2 — энергетические полосы усилителей.
Нужно вычислить среднее значение и функцию корреляции на-
пряжения £(/) на выходе УНЧ при больших и малых отношениях
сигнал/шум.
Решение. Очевидно, что сигнал на выходе УПЧ равен
si(0 = A'i^ni cos2nf0t,
а спектральная плотность шума на выходе УПЧ определяется из-
вестным соотношением
5i (f) = No I (ДО I2 = «Ж ехр Г - л (-LA
Такой спектральной плотности соответствует функция корреля-
ции
k± (т) = J (f) cos 2nfxdf = о? exp [—л (Д/уг)2] cos 2л/0т, (7.32)
Нормальный стационарный шум на выходе УПЧ при условии
/о А/ч является узкополосным, причем его спектральная плот-
ность симметрична относительно центральной частоты f0. Поэтому
сумма гармонического сигнала и узкополосного шума на выходе
УПЧ может быть записана в виде (7.12).
Введем отношение сигнал/шум на входе линейного детектора
огибающей
а = К1Ат/о1 = Am/Y .
Пользуясь результатами решения задачи 7.1, а именно, соотноше-
ниями (7.43) и (7.44), находим среднее значение напряжения на
выходе детектора
+^г)> а>3’ ^ = ст1]/ +7а2)> а<1>
(7.33)
258
Для интересующих нас случаев больших и малых отношений
сигнал/шум функция корреляции напряжения на выходе линейного
детектора огибающей дается формулой (7.22), которая примени-
тельно к рассматриваемому случаю принимает вид
о2ехр[ — jt (A/iT)2] Г1 + -^-ехр[ —л (А^т)2]), а>3, (7.34)
— о2|ехр[—2л(А/1т)2]+^—Va2 ехр [—л (Д/уг)2]!» а<1. (7.35)
8 1 \л/ I
Воспользовавшись известным интегралом [2]
00 1 Г , и» \
е~Рх‘cos bxdx = — |/ jexp(——£ > О,
(7.36)
находим спектральные плотности, соответствующие корреляцион-
ным функциям (7.34) и (7.35):
Sv (f) = 4 J ky (т) cos 2nfxdx =
о
Так как коэффициент усиления УНЧ при f = 0 равен то
среднее значение напряжения на выходе УНЧ, очевидно, равно
—
1
4а2
(7.37)
Спектральная плотность напряжения £ (/) на выходе УНЧ опре-
деляется соотношением
Sc (/) = Sy (/) |/С2 (/о>) |2. (7.38)
Согласно известной формуле по спектральной плотности находим
функцию корреляции
fe; (х) = J St; (f) cos 2nfxdf.
о
(7.39)
259
Выполнив вычисления при помощи (7.36), получим
/2АМ)2 ) ।
l + 4v2 }
(2АМП1
h (т) =
1
2 /2а «
1 /
------ехр —
l_f_4V2
1 /
------ехр — л . ,
l+2v2-\ l+2v2 Л
я (2ДЛт)2
l+2v2
я (2АМ)2
l+4v2 *\ l + 4v2
(7.40)
где
v = ^2/Af1. (7.41)
Можно рассмотреть разные частные случаи формулы (7.40).
В частности, можно убедиться, что при v > 1 справедливо соотно-
шение
йс(т)~^^(т), v»l. (7.42)
Этому результату можно дать следующее пояснение. Если поло-
са пропускания усилителя низкой частоты значительно больше по-
лосы пропускания усилителя промежуточной частоты (т. е. v > 1),
то низкочастотный спектр напряжения на выходе линейного детек-
тора огибающей воспроизводится усилителем низкой частоты прак-
тически без искажений; все спектральные составляющие усили-
ваются в одинаковое число К2 раз.
§ 3. Задачи и ответы
7.1. Установить разный характер изменения среднего значе-
ния и дисперсии огибающей V(f) от отношения сигнал/шум а =
= Ат/в для малых и больших значений а.
Ответ [1]:
^=°|/ у(И--^а2), av = a|/ ^(1 + -М, а < 1, (7.43)
+ ~т — Ат( 1 + —\ а,. = о, а>3. (7.44)
V т |/ 2а2 4а2 л v
Указание. Нужно в формуле (7.18) воспользоваться сле-
дующими асимптотическими представлениями функций Бесселя:
260
/п(х)~-^= 14
у 2лх L
1—4п2
8%
(7.46)
X» 1.
7.2. Найти среднее значение и дисперсию квадрата огибаю-
щей V(/).
Ответ:
тиг = 2о2 (1 + — а2'), а2 — 4о4 (1 4- а2).
7.3. Показать, что при больших отношениях сигнал/шум слу-
чайную фазу ф (/) и ее производную ф (/) можно приближенно счи-
тать стационарными нормальными процессами.
Ответ:
ф(/)~Л(0 , a»i.
Ат Ат
Указание. Во второй формуле (7.13) при больших отно-
шениях сигнал/шум можно пренебречь Ac(t) по сравнению с Ат и,
учитывай преобладающую роль малых значений ф (/), положить
tg ф (/) ~ ф (/).
7.4. Стационарный случайный процесс В (0 с корреляцион-
ной функцией
^(т)=о2е а|т| (cosсоот-f-—- sin<оо|т| | (7.47)
\ (Оо /
записан в виде
£ (/) — Ас (t) cos со0/ + As (t) sin <о0/.
Определить автокорреляционные функции <ЛС(/) Ac(t 4-т)>,
(Д, (/) Аа (t Н-т)) и взаимную корреляционную функцию <Лс(/)х
хЛ,(Цт)).
Ответ:
<4(0Дс(/ + т)> = <А(/) Д8(/ + т)> = о2е-аИ,
<Дс(0 д8(/ + т)> = —о2е a,xl sgnx,
(Оо
где sgnx — специальная ступенчатая функция, определяемая соот-
ношением
sgnx =
1 при х>0,
О при х = 0,
— 1 при х<0.
261
Указание. В данном случае функцию корреляции (7.47)
целесообразно представить в виде
^(т) = о2е~Мх| (cosg)0t +— s^nTsincooT ). (7.48)
\ (00 J
7.5. Решить задачу 7.4 для случая, когда корреляционная
функция стационарного процесса £(/) имеет вид
kc (т) = о2 sin cos 2л/0т.
лД/т
Ответ:
(Ас (О Ас (/ + т)> = (Л (/) A8 (t + т)> = о2 .
<ЛС(ОЛ(*+Ф = о.
7.6. На рис. 7.4 приведена слема, представляющая собой по-
следовательное соединение перемножителя и идеального низко-
частотного фильтра, пропускающего практически без искажений
Рис. 7.4. Функциональная схема «син-
хронного» детектора.
низкочастотную часть спектра и не пропускающего высокочастотную
часть. На один вход перемножителя подается гармонический сиг-
нал s(t) — At sin aot, а на другой — узкополосный случайный
шум КО с функцией корреляции
/г; (т) = о2 е—а'т| (cos®от +— sin®0 |т|), а <о0.
\ (Оо /
Определить функцию корреляции &(т) на выходе фильтра.
Ответ:
й(т) = ±Д?о2е-“^'.
4
7.7. Найти отношение сигнал/шум на выходе фильтра схемы
рис. 7.4, когда на один вход перемножителя воздействует сумма сиг-
нала и шума s(t) + КО» а на другой — сигнал s(t). Сигнал s(0
и шум КО те же, что и в задаче 7.6.
Ответ:
а^А^о.
262
7.8. На два разных входа перемножителя подаются два неза-
висимых узкополосных процесса ^(/) и |2(0- Показать, что мощ-
ность (дисперсия) выходного процесса £(/) = распре-
делена поровну между низкочастотной и высокочастотной областями
спектра.
Указание. Для решения задачи можно воспользоваться
представлением корреляционной функции узкополосного процесса
формулой (7.2) и учесть, что у(0) = 0.
7.9. На «синхронный» детектор (рис. 7.4) воздействует сумма
сигнала и шума
х(0 - $(/) + £(/),
а также опорное гармоническое колебание у(/) ~ Ат cos (о0/. Сигна-
лом s(f) является модулированное по случайному закону гармо-
ническое колебание s(t) = A(t) cos со0Д где A(t) — независимый
от £(/) стационарный случайный процесс со спектральной плотно-
стью
5д(/) = ! s° при Q^f^F/2>
| 0 при других /.
Стационарный шум £(/) имеет нулевое среднее значение и спектраль-
ную плотность
при /о—+ уF,
0
при других Д
Амплитудно-частотная характеристика фильтра низких частот по-
стоянна и отлична от нуля лишь при частотах 0 < f < F.
Найти отношение мощности (дисперсии) сигнала of к мощности
(дисперсии) шума о2 на выходе фильтра.
Ответ:
Zt=_L ( s<> А
о2 2 [ No / ‘
7.10. Спектральная плотность узкополосного случайного про-
цесса имеет вид
s=(/) =
No
о
при /о— + у А/,
при других /.
Найти корреляционную функцию огибающей этого процесса.
Ответ:
/ / \ я »г дг/ sin яДГт \2
8 \ яДДс /
263
7.11. Корреляционная функция узкополосного случайного
процесса равна
& (т) = о2 е~а 1'1 cos ®от.
Определить корреляционную функцию квадрата огибающей
процесса.
Ответ:
кл* (т) = 4о4 е~2“1 т 1.
7.12. Вычислить плотность вероятности квадрата огибающей
нормального узкополосного процесса, имеющего дисперсию о2.
Ответ:
^(тО=~е"’1/20', П = Л2>0.
7.13. Найти плотность вероятности косинуса фазы ф (/) суммы
гармонического сигнала s(/) = Ат cos со0/ и нормального узкопо-
лосного шума |(/) = A(t) cos [о>о^ + ф(0 ] с дисперсией о2.
Ответ [1]:
№(z) =—Д=е-а!/2 1+)/2^агФ(аг)еТа!г> ,
л / 1 —г2
а = .—lCz = cosi|><^l.
7.14. Имеется два нормальных независимых стационарных
случайных процесса x(t) и у(/), имеющих одинаковые дисперсии
Ох — Оу = о2, но разные средние значения тх и ту.
Найти плотность вероятности случайного процесса
г(/) = /х2(/) + у2(/)>0.
Ответ [1].:
= = (7.49)
7.15. Имеется сумма двух детерминированных гармонических
колебаний и нормального узкополосного шума (с дисперсией о2):
cos<o0/-]-^2cos (aot + <Ро) + А (/) cos [<о0£—ф(/)] =
= V (t) cos [<оо/ — ф (/)].
Используя результат решения предыдущей задачи (7.49), найти
плотность вероятности огибающей У(/). Вычислить среднее значение
tnv и дисперсию оу огибающей.
264
Ответ:
W (V) = X ехр (- Io(^\,v> 0;
а2 \ 2о2 / \ а2 )
т = V Л1 + А% + 2AjA2 cos ф0;
1;
7.16. Определить плотность вероятности огибающей V(/)
суммы двух гармонических колебаний
st(/) = A sin (®0/ + (fi), s2(0 = Л 2 cos (aot + <р2)
и нормального узкополосного шума КО = A(f) cos [<о0^ — ф(0 ]
с нулевым средним значением и дисперсией о2:
sM) + s2(0 + КО = V(t) cos [®0/ — Ф (01.
Случайные начальные фазы ф1 и ф2 предполагаются равномерно
распределенными в интервале (—л, л).
Ответ:
Указание. Для решения задачи
интегральным представлением функций
следует воспользоваться
Бесселя [2]
In(x) = — Cexcosecosn0dO, « = 0,1,2,..., (7.51)
л J
о
и частным случаем «теоремы сложения» бесселевых функций
/0 (т У а2 + Ь2—2ab cos 0) = /0 (та) /0 (mb) 4-
+ 2 2 In (та) In (mb) cos «0,
п=\
где а>0, Ь>0 и 0>0.
(7.52)
26$
7.17. Пусть |(/) = H(/)cos [<о0/ — <р(/)] — стационарный узко-
полосный нормальный процесс. Рассмотрим новый случайный
процесс
П (/) = В (0 cos <f>st=A (t)cos[(a>0—(i)s)t — ^(t)] +
+ j А (/) cos l(coo + ws) t — <р (/)],
где частота cos мала по сравнению с частотой соо, но значительно
превышает ширину спектра процесса |(/).
Спектр процесса т](/) расположен в двух практически неперекры-
вающихся полосах, причем нижней боковой полосе соответствует
процесс
’ll (О = у А (/) COS [((Оо —И3) t — <Р (ОЬ
а верхней боковой полосе — процесс
Л 2 (0 = ± А (0 cos [(®0 + ®8) t — <Р (01.
Показать, что процессы т]1(/) и ЛгСО являются стационарными,
хотя их сумма есть нестационарный процесс.
Убедиться, что процессы т]^/) и т]2(0 не являются независимыми.
Указание. При доказательствах целесообразно восполь-
зоваться соотношениями (7.11).
7.18. - На линейный детектор огибающей воздействует сумма
S (0 + £ (0 = Ат cos (<оо/ + Фо) + А (0 cos [О)о/— <р (/)] =
— V (0 cos [®0/ — ф (/)],
где $(/) — гармонический сигнал с постоянными амплитудой Ат,
частотой со0 и начальной фазой <р0; £(/) — узкополосный нормальный
шум с нулевым средним значением и функцией корреляции
ki (т) = о2 е-*" cos(d0t.
Полагая, что отношение сигнал/шум велико (а = Ат/в 1),
определить приближенные выражения для среднего значения
и функции корреляции kr.(x) напряжения на выходе детектора
т)(0 = V(t).
Ответ:
т, = Лт(1+-Аг), ^(T) = o2e-M’(l+1ire-”,)t а»1.
7.19. Решить задачу 7.18 при условии, что отношение сиг-
нал/шум мало (а < 1).
266
Ответ:
171^ = 0
Л
— a2
8
—2 ат 2
e
2
a2e-"’
7.20. На приемное устройство, схема которого изображена на
рис. 7.5, воздействует стационарный белый шум n(t) со спектраль-
Рис. 7.5. Упрощенная функциональная схема радиоприемника.
ной плотностью S„(co) = N0/2. Передаточная функция усилителя
промежуточной частоты (УПЧ) задана выражением
K(J<*) = K0 272-------a«<oo,
2аш+ ] (Oq)
а импульсная переходная функция G(/) интегрирующего фильтра
RC равна
6(0 = уе~<
Определить: а) плотность вероятности Ц7(т|) процесса т|(/) на
выходе квадратичного детектора огибающей; б) среднее значение тТ|,
функцию корреляции ^(т) и дисперсию о2 ; в) среднее значение т^,
функцию корреляции ^(т) и дисперсию af процесса £(/) на выходе
фильтра RC в стационарном состоянии.
Ответ:
2
а) U7(n) = -i-e~’1/2aS n>0; a2 = laW02;
2аа 2
б) т, = 2ое2, ^(т) = 4о^е-2а|х|, °2 = 4о^о;
в) mz = aNoKo,
у2—4а2
X (уе~2а 1 т—2ae~Y 1 т
Литература
1. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советское
радио», 1966.
2. Г р а д ш т е й н И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. Физматгиз, 1962.
267
РАЗДЕЛ П1
ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ НА ЭЛЕМЕНТЫ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ
УСТРОЙСТВ
8. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ НА ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1. Теоретические сведения
При рассмотрении преобразований случайных
сигналов линейными системами можно пользоваться аппаратом
дифференциальных уравнений, импульсными характеристиками и
передаточными функциями.
В общем случае, когда интересуются как нестационарным, так
и стационарным режимами работы системы и начальные условия
в системе не нулевые, целесообразно пользоваться аппаратом диф-
ференциальных уравнений. При нулевых начальных условиях удоб-
нее пользоваться импульсными характеристиками. С функциями
передачи обычно оперируют в том случае, когда интересуются лишь
стационарным состоянием линейной системы.
Типовые задачи, связанные с преобразованием случайных про-
цессов линейными системами, можно разбить на две группы:
1) задачи, требующие определения средних значений, корреля-
ционных функций и энергетических спектров процессов на выходе
линейных систем;
2) задачи, требующие определения функций распределения
выходного случайного процесса.
Очевидно, что из решения задач второй группы может быть полу-
чено решение задач первой группы. Однако, за исключением того
важного, но частного случая, когда воздействующий на линейную
систему процесс |(/) является нормальным, не существует метода,
который позволял бы находить непосредственно плотности вероят-
ностей для процесса i)(0 на выходе системы. В общем же случае
задачи второй группы приходится решать путем вычисления корре-
ляционных функций выходного процесса т](/) с последующим опре-
делением характеристических функций и соответствующих им плот-
268
ностей вероятностей Wn (т^.т)л). Ниже приводятся формулы, по
которым находятся корреляционные (или моментные) функции
процесса на выходе линейной системы цри известных корреляцион-
ных функциях процесса на входе.
Рассмотрим систему, описываемую линейным дифференциальным
уравнением с постоянными или зависящими от времени коэффициен-
тами:
an(0^F + •••+01 (О^ + «о(О*1(О =
dtri at
= ьт+ • • • + МО(О- (8.1)
ас ас
Здесь £(/) — процесс на входе системы, характеризуемый средним
значением и корреляционной функцией /2); л(0 — вы-
ходной процесс.
Вводя оператор р = d/dt и операторы А(р, t) и В(р, t), опреде-
ляемые равенствами
п т
A(p,t)=^lai(t)pi, (8.2)
Z=0 i—О
дифференциальное уравнение (8.1) можно привести к следующему
операторному соотношению [11:
Л(р,ог](/) = в(р,оио. (8.3)
Из (8.3) формально следует равенство, определяющее сигнал на
выходе системы в явном виде:
л (О=4тЧг®=1 & g (8 • 4)
А (р, о
Оператор
£(М) = 4тЧг (8‘5)
А (р, t)
называется линейным однородным оператором системы. Динамиче-
ская система с оператором (8.5) линейна, так как для решения диф-
ференциального уравнения (8.1) справедлив принцип суперпозиции.
Линейным неоднородным оператором Li(p, t) называется сумма ли-
нейного однородного оператора и некоторой заданной функции
/(0:
£1(р>0 = Ь(р,0 + /(0. (8.6)
Путем вычитания из (8.6) функции f(t) любой неоднородный опера-
тор может быть приведен к однородному.
Из (8.4) можно получить следующие соотношения, определяющие
среднее значение и корреляционную функцию процессов на выходе
269
линейных систем через их операторы и статистические характе-
ристики входных процессов [2]
= (8.7)
. К^ь ti) = L(p,tJ)L(p,QK-dt1,t2). (8.8)
Неоднородность оператора системы на величине корреляционной
функции не отражается, а при нахождении математического ожи-
дания должна быть учтена добавочным слагаемым.
При заданном операторе линейной системы принцип суперпози-
ции позволяет свести исследование реакции системы на произволь-
ное воздействие к исследованию реакции системы на типовое воз-
действие. В качестве типовых обычно используется единичное им-
пульсное воздействие в виде дельта-функции или гармоническое
колебание.
Реакция предварительно невозбужденной линейной системы на
воздействие в виде дельта-функции называется импульсной пере-
ходной функцией системы (импульсной характеристикой) G(/).
Если оператор системы определяется формулой (8.5), то эта реак-
ция может быть установлена путем решения линейного дифферен-
циального уравнения
&n di" b ' ’ ’ fli (0 h «о (0 (0 —
= bm (0 + • • • + b, (0 + b0 (t) 6 (t) (8.9)
при нулевых начальных условиях. При этом процесс на выходе ли-
нейной системы определяется интегралом Дюамеля
t t
т)(0 = J G(t—т)|(т)(/т = jG(x)g(( — x)dx. (8.10)
о 0
Используя (8.10), получим следующие формулы для среднего
значения и корреляционной функции на выходе системы [31:
t
(8.11)
о
—т2) Кг (тх, ts) dxxdxv
(8.12)
Для высших корреляционных функций имеем
Кз. (^i, tg) == J J f G (G—Ti) G (^2—*2) G (ts t3) X
0 0 0
X ^зe Ch, t2, t3) dxt dx2dx3, (8.13)
270
(?1> • • •» in) — j* • • • J (^1 Ti) G (^2— ^a) • • • ^ (/л. Tn) X
b о
X Kni(*!. <2...Tn) dr1dr2...drn. (8.14)
Применительно к стационарным входным процессам £(/) форму-
лы (8.11) и (8.12) принимают вид
(8.11а)
t t
Мц (t) = nit J G (t— r)dr = m^ J G (x) dx,
о о
t, it
(?i> ^) = J j* G (fi—Ti)G({2~тг) (T2—*1)dr1dx2. (8.12a)
о b
В случае линейных пассивных систем с затуханием по истечении
достаточно большого времени от момента t = 0 случайный процесс
будет приближаться к стационарному. Для стационарного процес-
са т](<) формулы (8.11)—(8.13) преобразуются к виду [3,4]:
оо
тп — m^G (х) dx,
о
(8.116)
kT) (т) = j G (х)dx J G(t-|-x—z)ki(z)dz, (8.126)
О —оо
оо 'Ч+я тг+*
^^(Тр Тг) = jG(x)dx J j G(x1 + x—y)G(x2 +
О —оо —оо
Н-х—z)k3i(y, z)dydz. (8.13а)
В заключение укажем, что функция взаимной корреляции между
процессом | (/) на входе линейной системы и выходным процессом
т](0 равна
Ki^ (tv t2) = J G (t2—x) (tlt т) dr. (8.14a)
O'
Если процесс %(t) стационарен, то
it
Kill (ti> Q — f G (t2—r) ki (Zj—t) dr.
(8.146)
Подавая на вход линейной системы гармоническое колебание
х (t, ©) = ехр {jaat} и решая уравнение
K1(t/co)=4r4e/,oZ’
А (р, О
(8.15)
271
определяющее работу системы, установим, что решение (8.15) пред-
ставляет собой в общем случае комплексную функцию действитель-
ных аргументов /, со. Выделим из функции Лл(/, /со) множитель
ехр {/со0, т. е. представим решение в виде
д-J/, /®) = K(t /co)e/W = |X(Z, jo))\eiArsK^/a}-efat, (8.16)
наглядно показывающем изменение амплитуды и фазы воздействия
ехр {/©0 при его прохождении через линейную систему. Функцию
K(t, /со) называют передаточной функцией; в общем случае она
зависит не только от частоты со, но и от времени t. При помощи пере-
даточной функции легко вычисляется спектральная плотность 5ч(со)
процесса т](/) на выходе линейной системы:
Sn (со) = S; (со) | К (t, j<i>) |2 = (co, t). (8.17)
Здесь Sn(co) — спектральная плотность воздействующего на систему
случайного процесса £(/).
В заключение отметим, что передаточная функция и импульсная
характеристика связаны друг с другом преобразованием Фурье:
G(t) = — [ К (/со) ew с/со, (8.18)
— ОО
К (fa) = ^G(t) e~,wt dt. (8.19)
о
Выражения K(jey) и G(t) для некоторых простейших линейных си-
стем с постоянными параметрами приведены в табл. 8.1.
§ 2. Примеры
Пример 8.1. На вход дифференцирующего устройства посту-
пает случайный процесс £(/) с математическим ожиданием =
= sin Ли корреляционной функцией
^(Л, /2) = 4е-в(^*>\
Определить математическое ожидание и дисперсию на выходе
системы.
Решение. Случайный процесс т](/) на выходе системы (реакция)
связан с воздействием £(/) оператором дифференцирования:
t](0 = L(p, =
at
Применяя формулы (8.7) и (8.8), имеем
Л4. (0 = -^-/We(0 = cosZ,
272
10 Зак. 728
Таблица 8.1
Передаточные функции и импульсные характеристики простейших схем
Схема K(M = J G (/) e- fat di oo G(/)=— t K(/m)e/w<f«> 2tc J — oo
9 .....д *1 J 7!t) R R + /<ot D f ъ L
2- Ж crj—. Г\ Я 4 \?у /coL R+jaaL Of 1-4 oj| -4 <o
3 "233 S~”7(t) 1 1 + jaRC _L_e RC 1 RC
W) jaRC 1+ j(i)RC
Продолжение табл. 8.1
Схема К (/<«) = J G^e-i^dt 0 OO G(0 = — f К (/<O) e/^a» 2k J — oo
‘(frjl, 1 + яЛ 1 + /иТ ’ Т = (R-\-Ri) С, T^RiC Л RC
6. , , 1 + МТ-! , 1 + /®Т ’ Г= R(C + CJ, T\=RCi Л . RC -r‘ -у6(()-—е T
7- !ft) *— —1 S ю st ? Х?П’ “2 TZ(t) мо <0q — co2 + j2a<o 1 R ““-/LC* “-Si/ ©o e a/ sin ©o^ too > a, a2/e~ ai t ©0 = a, ..2 —r -°- -—- e~ ai sh Уa2-<og t, У a2-®2 a>o < a
о
Продолжение табл. 8.1
Схема
K(/<o) = J G(/) e~/w dt
О
оо
G U) = — f К
2~ J
— оо
______/2асо7?_____
со2 — со2 + /2асо
1 1
СОо = —7=“» СС =------
VLC 2RC
т] (0= —~ f е i а (/ } sin со0 (t — х) X
ю0С J
о
Xg(x)dx, со0^ а
9. Гауссов фильтр
Дю < со0-
Да>2
Дсо - (/-Л.)2 +
л /2 е
10. Идеальный полосовой фильтр
11. Идеальный интегратор
_ ; — mW Дсо Дю
е '< о)/о, <в0 — — - «в«0о+ —,
Дсо Дсо
—, <0 > <0о + —
О, со
sin — 2 . т
соТ 2 е
. Л<0 (t-t0)
4 sin ---------------
Дю 2 е/со0/
2л Дсо(^ —/р)
2
0 , t < 0, t > Т
Продолжение табл. 8.1
Схема к (/m)=J G (Г) dt 0 оо 2тс J —оо
12. Идеаль (ft) <s ный инте / гратор 7ft) 1 м | 1, 0 < t < оо, to, t < 0
13. Идеаль щая це (№1 ная дифф !ПЬ ►еренцирую- ' Z(tl —> 6'(0
14. Интегрально-дифференцирую-
щая цепь
= -^7 Ъ = 2ofae-a(/*-/*,‘[l -2а (/2 —0)2].
С/4 j(/*2
Полагая
t^t^t,
находим
a2(0 = 2aa2 = o2.
Пример 8.2. На цепочку RC (рис. 8.1) воздействует белый
шум | (/), имеющий среднее значение т<_ и функцию корреляции
*5(т)=^6(т).
Определить среднее значение и функцию корреляции напряже-
ния т](/) на емкости С.
Рис. 8.1. Интегрирующая
цепочка RC.
Решение. Дифференциальное уравнение для исследуемой схе-
мы имеет вид
^ + аП(0 = а£(0, a = ±. (8.20)
al KU
Будем считать, что в начальный момент времени емкость С раз-
ряжена, т. е. т](0) = 0. В общем же случае т](0) может быть отлич-
ным от нуля и носить как детерминированный, так и случайный
характер. При нулевых начальных условиях общее решение урав-
нения (8.20) имеет следующий вид:
t
T)(0 = ae“a' §eax%(X)dx, (8.21)
о
в соответствии с чем среднее значение случайного процесса
т](0 на выходе цепочки RC равно
t
(0 = <т] (0> = ae-aZ J eaJC (g (x))dx =
о
= ae~at j*eaxmidx = пцe“a/ [ea/ — 1 ].
b
277
Таким образом,
М. (0 = /пН1-е-о/].
График этой зависимости приведен на рис. 8.2.
Функция корреляции случайного сигнала т](/) на выходе цепочки
RC согласно определению равна:
(t, =<h (oi [л (Q-м, (/,)]) =
f /t
Рис. 8.2. Нарастание среднего зна-
чения.
Учитывая, что по условию задачи
находим
(t, = а2 А. (Ж1) J J еа (Л+У)6 (у—х) dxdy.
о о
(8.22)
При вычислении интеграла
о о
еа (Я-у)
6 (у — х) dxdy
(8.23)
необходимо иметь в виду, что формула
*о4-е
J /(z)6(z0—z)dz = f(z0)
z0—6
справедлива лишь при 8>0, т. е. когда особая точка z = z0 ле-
жит внутри пределов интегрирования.
278
Области интегрирования в (8.23) при т >> б и т < б изображены
соответственно на рис. 8.3, а и б.
Дельта-функция 6(у — х) обращается в бесконечность, как это
следует из рис. 8.3, лишь на том участке биссектрисы координатного
угла плоскости переменных х и у, который определяется наименьшим
из пределов t или ti. Поэтому при вычислении интеграла (8.23) оба
предела нужно полагать одинаковыми и равными наименьшему.
Рис. 8.3. Области интегрирования.
Так, при т > 0 наименьшим из пределов интегрирования яв-
ляется t (ti = t + т и, следовательно, > t). Поэтому
I — J J е“(*+у)д (у—х) dxdy = j" eaXdx J eay 6 (у—x) dy =
oo bo
= ye2“^x = JL[e2°'-l]. (8-24)
0
Подставляя (8.24) в (8.22) и производя замену t± = (т>0),
имеем:
^(/, r) = -^e“at [1—е-2а/], т>0. (8.25)
При т< 0 наименьшим из пределов интегрирования является /х
и, следовательно,
I = J J е"(*+у) 6 (у—х) dxdy = -1- [е2я/* — 1 ]. (8.26)
оо 2а
Подставляя (8.26) в (8.22) и заменяя / на /х—т (т<0), находим
/^(/1)Т) = Д^еат[1-е-2а'*], т<0. (8.27)
279
Объединяя (8.25) и (8.27), получаем следующее выражение для кор-
реляционной функции /С//,т) случайного процесса т](/) на емкости
С:
= е~2а']. (8.28)
Полагая в (8.28) т = О, найдем дисперсию о2 (/) случайного
процесса т](/):
0;ю=^> [1-е-!“].
График этой зависимости приведен на рис. 8.4.
Рис. 8.4. Нарастание дисперсии.
В стационарном режиме (I ->• оо)
(/) = = пгп,
_2 /А aJVe 2
<М0=—= °п-
Пример 8.3. Работа пропорционально-интегрирующего фильтра
(рис. 8.5) описывается линейным дифференциальным уравнением
первого порядка:
Л (0 = = L (р) g (0. (8.29)
• р-Н
Для фильтра, изображенного на рис. 8.5,а, коэффициенты Г и Л
соответственно равны (см. табл. 8.1)
Т = C(R + ЯЛ, = RiC,
280
а для фильтра рис. 8.5, б
Т = R(C + CJ, Л - RCi.
На вход фильтра поступает стационарный нормальный белый шум
£ (/) с нулевым средним значением = 0 и функцией корреляции
hb) = ^б(т).
Определить спектральную плотность Зл(<о) и корреляционную
функцию &ч(т) процесса т](/) на выходе фильтра.
Рис. 8.5. Два варианта схемы пропорционально-интег-
рирующего фильтра.
Решение. В соответствии с (8.29) передаточная функция про-
порционально-интегрирующего фильтра равна
К (jco) = L(p = ’
1 + /СОТ
а квадрат ее модуля определяется соотношением
(8.30)
1 u ' 1 + (®Т)2 v 7
Подставляя в (8.17) соотношение (8.30) и спектральную плотность
входного шума Se(co) = Nq/2, находим спектральную плотность
процесса т](/) на выходе фильтра
Sr (ш) = -^2.1 + ((оГ1)г. (8.31)
2 1 + (соТ)а v ’
График спектральной плотности 5^(40) на выходе пропорциональ-
но-интегрирующего фильтра представлен на рис. 8.6. Видно, что
при со -> оо и =# Т спектральная плотность S,(co) стремится
к некоторому постоянному уровню, равному М0Г1/2Г2. Если по-
стоянные времени Т и Ti равны друг другу, S^(co) = N0/2, т. е.
процесс на выходе фильтра в этом случае равен входному белому
шуму. При Ti = 0 пропорционально-интегрирующий фильтр ведет
себя как обычная интегрирующая цепь RC.
ЮВ Зак. 728 281
Для вычисления корреляционной функции £Г)(т) воспользуемся
формулой Винера — Хинчина
оо
де пропорционально-интегрирующего фильтра.
После подстановки (8.31) в (8.32) имеем
Мт)
=i± fi + WeMdM
2 2л J
— оо
Производя далее замену
= cos сот + j sin сот,
находим
k (X)=J^-L
1 2 2л
Г1 + (й)Тг)»
J 1 + W
1 + (шТ)2
sin (D-tdo)
cos огайо+ /
(8.33)
Второй интеграл в (8.33) в силу нечетности подынтегральной
функции и симметричности пределов интегрирования равен нулю.
В соответствии с этим (8.33) приводится к виду
Мт)
Я, 1
2 2л
dco-j-
J 1 + (<вЛ2
— оо
Г cos (ОТ
J 1 + ((07у
dco
282
Учитывая, что [3]
— J coscoTdco = 6(r),
— оо
f C0SMT-
J 1 + (мТ)2 T
— oo
окончательно получаем
. M No / Л\2 n0 T2-T? -y-KI
'MT) = ~ Hr) °(T' + "fF — л— ’ <8-34)
При T = 7\ из (8.34) имеем
k^) = ^-6(r) = k^r).
В случае Tj^ — Q
М„ 7" IT I
что согласуется с результатом примера 8.2. График корреляцион-
ной функции (8.34) приведен на рис. 8.7.
Рис. 8.7. Корреляционная функция на выходе
пропорционально-интегрирующего фильтра.
Пример 8.4. На цепь, составленную из последовательно соеди-
ненных индуктивности L и сопротивления 7? (рис. 8.8), воздействует
флуктуационное напряжение |(/), представляющее белый шум со
спектральной плотностью
$е(®)=^. (8.35)
10В*
283
Найти спектральную плотность напряжения т](/) на сопротив-
лении 7? и функцию корреляции &т/т).
Решение. Передаточная функция исследуемой цепи опреде-
ляется соотношением (см. табл. 8.1)
7?
7? + /coL
а квадрат ее модуля равен
(8.36)
R2
/?2+(coL)2
Рис. 8.8. Цепочка RL,
Подставляя (8.35) и (8.36) в (8.17), находим спектральную плот-
ность напряжения т](/)
$,(<0) = ЭД|/<(/о))|2==
R2
R2 + (o>L)2
По спектральной плотности согласно формуле Винера — Хинчина
вычисляем функцию корреляции
оо R
-- OQ
Аналогичным образом решаются все задачи, связанные с воз-
действием на линейные системы белого шума. В табл. 8.2 приводятся
результаты решения задач подобного вида для случая воздействия
на некоторые простейшие линейные системы стационарного нормаль-
ного белого шума с нулевым средним значением. В таблице даны
нормированные корреляционные функции и соответствующие им
спектральные плотности процессов на выходе.
Пример 8.5. Определить функцию корреляции процес-
са £ (I) на входе линейной цепи RL (рис. 8.8) при условии, что
выходное напряжение т](/) представляет собой стационарный нор-
мальный случайный процесс с функцией корреляции
(т) = о2 е“ах2. (8.37)
284
Таблица 8.2
Корреляционные функции и спектральные плотности на выходе простейших линейных систем
Линейная система оо jfe(T)=— Vs («)) eMrfa) 2тс J —оо
Аналитическое выражение | График
4. Пропорциональ- но-интегри- рующий фильтр ji2 уг6(т) + 7*2 m2 М + L_n_e-- 2Т3 О Г
5. Гауссов низко- частотный фильтр е~ ах* 0 т
6. Идеальный низкочастотный фильтр sin Асрт А сот 1 1
Продолжение табл. 8.2
Г"/*0* dz
S(o)) =
Аналитическое выражение График
1+W8 1 + (соТ)2
О и
7|S| ф 1 «Iе.
0
л —, | ® 1 < Ай) <Ай) 0 > | й) | < Ай)
-Л(л) О Ш
Линейная система оо £(Т)=— f s (со) e/^rfco —оо
Аналитическое выражение График
7. Идеальный высокочастотный фильтр л е ч sin Дсот ।
Дсо 1 Дсот
8. Высокочастот- ный /?£-фильтр 0
9. Колебательный COS СО0т + лллЛТ j
контур + — sin со01 т| ) е~а,х1 COq / -с
Продолжение табл. 8.2
оо
S(O))= С k (z) е~
Аналитическое выражение
График
О , I со | < Дсо,
л
-—, I со | > Дсо
Дсо
□J j
“44? О &U) U)
(М2 B = _L
1 + (₽<»)«’ р R
ы
4а (а2 + <0q)
[а2+(<о— ©о)2] [а2 + («о + <о0)2]
Решение. Случайный процесс £ (/) на входе рассматриваемой
линейной системы
= +п(0 = у(0 + т)(0>
/? at
в соответствии с чем
fea (т) = (t(/) i (t + т)> = <[у (0 + п (01 [у а + т) + П (/ + т)]>=
= ^(т) + ^(т), (8.38)
где кружочком сверху обозначены центрированные процессы.
Учитывая, что
у (/) = — AW.
7 v R dt
находим
=2«а2(4У(1-2ат2)е“ат’- (8-39)
После подстановки (8.37) и (8.39) в (8.38) получаем
й5(т) = а2 е-ат’
I 2
1+2а-^-(1 — 2ат2)
Пример 8.6. На цепочку RC (рис. 8.1) воздействует стацио-
нарный шум %(f) с нулевым средним значением = 0 и функцией
корреляции
1ц (т) = о? е~31 т 1.
Определить функцию корреляции напряжения т](/) на емкости С.
Решение. Процесс т](?) на выходе цепочки RC (см. решение
примера 8.2)
t
il(0 = ae~“' feMg(x)dx, а=—,
J дЬ
о
в соответствии с чем его среднее значение
Л4,(0 = /п{ [1—е_а/].
Так как по условию задачи /n^ = 0, то
Al, (0 = 0.
Функция корреляции Kn(t, tj) процесса ц(/) (см. пример 8.2)
t G
{t, = а2 е~а (t + Л) $ $ еа(*+у) h (у—х) dxdy.
о о
Так как в нашем случае
fee(r) = a2e 3|т| ,
то
/1) = аМе~“(Ж,)5 $ еа(* + ),)“т-*1 dxdy. (8.40)
о о
Сделаем в интеграле
I^^<x + y>~'i]y-x'dxdy (8.41)
О о
замену y = z + x. При этом (8.41) преобразуется к виду
t ' t i—x
I = ^2axdx $ ea2~p|21dz. (8.42)
0 —x
Так как в подынтегральном выражении аргумент г берется по мо-
дулю, необходимо определить области интегрирования так, чтобы
в пределах каждой из них аргумент г имел бы только один знак.
Области интегрирования для случая, когда ti = t + т t (т. е.
когда т > 0), и для случая, когда tY = t + т < t (т. е. т < 0),
показаны на рис. 8.9.
Таким образом, при т>0 и интегрировании по г в пределах
[—х, 0] аргумент г<0, а^при интегрировании^ пределах [0, h—х]
Рис. 8.9. Области интегрирования.
199
аргумент z > 0. В соответствии с этим при т > 0 интеграл (8.42)
можно представить в виде
о
e(a+0)zdz+ $ e<a-p)zdz
о
dx.
(8.43)
Подставляя (8.43) в (8.40) и учитывая, что — t = т, получаем
следующее выражение для корреляционной функции ДД/.т)
при т>0:
2 2
(Л т) = (А [1 _е-2а/] е-“х+ [е“(“+3) z-e~ 2“'] -
— [1—е~(“+3)/]е“рх}, т>0. (8.44)
Аналогичным образом можно найти, что при т<0
+ [е-(« + ₽)< _e-2«g е« _[i_e-(« + wqe^jF т<о. (8.45)
Объединяя (8.44) и (8.45), получаем выражение для корреляци-
онной функции 7G/Z, т) случайного процесса т](/):
2
+ а [е~<«+₽> <_е-2«q е-“1 х 1 —а [1 -е“(а + Р) z] е~:₽ 1 ''}. (8.46)
Полагая в (8.46) t оо, находим корреляционную функцию
для стационарного режима:
k (T) = _^±_[pe-«i^_ae-₽Hi].
11 ' ’ р2 — а2 LK J
Дисперсия а2 в стационарном режиме равна
Пример 8.7. На линейную систему с импульсной характери-
стикой G(/) воздействует стационарный нормальный белый шум
£(/) с корреляционной функцией
^(т) = -^6(т).
290
Определить: а) взаимную корреляционную функцию (т) про-
цесса !(/) на входе системы и выходного процесса я(0» б) дисперсию
процесса я(0 на выходе.
Решение. Подставляя в (8.14) значение корреляционной функ-
ции, находим
о
при
при
0</х<72>
Zi<0,
(8.47)
Из (8.47) следует, что с точностью до постоянного множителя
импульсная характеристика линейной системы совпадает с функ-
цией взаимной корреляции между входным стационарным белым
шумом, воздействующим на систему, и выходным случайным про-
цессом. Этим результатом часто пользуются для эксперименталь-
ного определения G(Z) неизвестной линейной системы при помощи
коррелометров.
Значение дисперсии в стационарном режиме можно определить
при помощи формулы (8.126). Подставляя в (8.126) функцию (т),
имеем
оо
^(t) = -^jG(x)G(|t| + x)dx.
о
(8.48)
Полагая в (8.48) т = 0, находим
о
2
2
dx.
Пример 8.8.
ния собственного
Найти спектральную плотность S^(f) напряже-
теплового шума на параллельной цепочке RC
Рис. 8.10. Цепочка RC.
(рис. 8.10) и построить график зависимости S%(f)/4kT от величины
R для трех частот: / = 100 гц\ 1,5 и 15 кгц при С = 100 пф. Вычис-
лить дисперсию напряжения шума в полосе частот [Д, и пока-
зать, что во всей полосе частот она равна kT/C.
W1
Решение. Известно, что спектральная плотность напряжения
собственного теплового шума любой пассивной линейной электри-
ческой цепи определяется формулой Найквиста
S5(/) = 46TRe{Z},
где kT = 4-10-21 вт/гц, Re {Z} — действительная часть комплекс-
ного сопротивления цепи Z.
Для параллельной цепочки RC имеем
Z = R = R — • aR2C
l + ia>RC 1 + (<оКС)г 1 + (<о/?С)2
Поэтому
S^f) = 4kT-----------.
W 1 + (<oRC)2
Графики зависимости величины Si(f)/^kT от R для трех частот при
С = 100 пф представлены на рис. 8.11. Из графиков видно, что спек-
тральная плотность зависит от частоты и параметров цепочки. Дис-
персию шума в полосе частот l/1( [2] находим по формуле
- 4/<™ J irsfer- ’ [arctg arcte (2"'‘RC>1'
Полагая здесь f1 = 0, получим
292
§ 3. Задачи и ответы
8.1. На вход линейной системы с постоянными параметрами,
описываемой дифференциальным уравнением
0^+...+01«>+ад(^
-e-^-+-+^ + b.W).
воздействует стационарный случайный процесс £(/) со средним
значением, равным ггц.
Найти математическое ожидание реакции системы т](/).
Ответ:
Z>0
= — т^.
aQ
8.2. Угловое отклонение рамки гальванометра 0(/) от положе-
ния равновесия определяется уравнением
1 + +00(0 = 1(0.
где / — момент инерции рамки; г — коэффициент трения; D —
коэффициент жесткости нити, на которой подвешена рамка; £(/) —
внешнее возмущающее воздействие.
Определить спектральную плотность и корреляционную функцию
угла 0(/), если спектральная плотность возмущения £(/) постоянна
на всем диапазоне частот — оо < со < оо, причем of = kT/D, где
k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура среды.
При решении задачи полагать
Ответ [5]:
h (т) = of е“а 1 т 1 ( cos со0т + — sin со01 т | j,
\ (Оо /
где
[а2 — (co2 — co2)]2 + 4а2 co2
8.3. Пусть случайные процессы x(t) и y(t) связаны соотноше-
нием
t
у (0 = G (t—т) х (т) dr,
— оо
293
где функция 0(0 абсолютно интегрируема на положительной полу-
оси.
Доказать, что
Kxy{t,ty)- $ G(t,-x)Kx(t,x)dx,
— оо
где /Сяу(/, ti) — взаимная корреляционная функция процессов x(t)
и y(t), a Kx(t, ti) — автокорреляционная функция процесса x(i).
Предполагая, что процесс x(t) стационарен, доказать, что функ-
ция kXy(t, ii) зависит только от разности аргументов, и выразить
взаимную спектральную плотность Sxy (со) процессов х(/) и y(t)
через спектральную плотность Sx(co) процесса x(t).
Ответ:
оо
5Жу(<о) = 5ж(со)$ G(x)^dx.
о
8.4. Пусть x(t) и xr(t) — случайные процессы и
t t
у (t) — G(t—x)x(x)dx, yi(t)== Gitt—x)x1(x)dx.
— oo — oo
Доказать, что
* G
Kyjl(t^i) = $ G(t — x)dx 5 б^—xJKXXi(x, xjdxdx^
— oo — oo
где Kxx, (t, /x) — взаимная корреляционная функция процессов
y(t) и y^t), aKxxl(t’ti)—взаимная корреляционная функция
процессов x(f) и хг(1).
8.5. На вход дифференцирующей цепи (рис. 8.12) воздействует
стационарный нормальный случайный процесс £(/) с нулевым сред-
ним значением = 0 и функцией корреляции
k (т) =-- а® е-”1 х| (1 + <х| т |).
Определить корреляционную функцию процесса т) (t) == — * (/)
dt
на выходе.
d
dt
Рис. 8.12. Идеальная диф-
ференцирующая схема.
294
Ответ:
&,](т) = о2а2е “1 х 1 (1 — <х|т|).
8.6. Решить задачу 8.5 при условии, что
1) ks-tr) — о2е-|х|т| ^cos<B0T4--^-sinco0|r|^ ,
2) М*) = о|е~*‘х*.
Ответ:
1) kti (г) = о2 (а2 + соо) е~ “1 ’ *(cos со0т-- sin а>01 т|) ,
\ ©0 /
2) kn (т) = 2а2а2 е~а’х2 (1 -2а2т2) = 2а2 (I — 2аЧ2)^ (т).
8.7. На вход радиотехнического устройства, состоящего из
линии задержки на время /зад = tQ и дифференцирующей схемы
Рис. 8.13. Дифференцирующая
схема и линия задержки.
(рис. 8.13), воздействует стационарный случайный процесс %(t)
с нулевым средним значением /тц = 0 и функцией корреляции
k (т) = о2 е- “1 х 1 (1 + а ] т |).
Определить взаимную корреляционную функцию k^(x) процес-
сов %(t — tQ) и £(/) на выходе устройства.
Ответ:
^(т)=-аЧ2(т-/о)е-“|х-'01.
8.8. Функция корреляции процесса £(/) имеет вид
£,(т) = е_“,т‘.
Найти корреляционную функцию процесса
п (о=5 (о+4-5 (*)•
at
295
Ответ:
(т) = [1 + 2а2 (1 —2аЧ2)] е“а \
8.9. Корреляционная функция #$(т) случайного процесса £(/)
имеет вид
(т) = of е“а 1 т 1 / 1 + а | т | + — а2 т2 'j .
\ 3 j
Найти взаимокорреляционную функцию процессов £(/) и
Ответ:
^(т)=------1-о2а2е“а|т (1 + а|т|—а2т2).
О
8.10. Пусть случайные стационарные процессы £(/) и т] (/)
имеют непрерывный спектр и г] (t)= £(/).
d t
Доказать, что Sn(co) = co2Ss((o), где 5Дсо) и (со) — спектраль-
ные плотности данных процессов.
8.11. На вход интегрирующего устройства (рис. 8.14) воздей-
ствует стационарный случайный процесс £(/) с корреляционной функ-
цией ^а(т).
Рис. 8.14. Идеальный
интегратор.
Определить дисперсию процесса т](/) на выходе интегратора и
взаимную корреляционную функцию для входного и выходного
процессов.
Ответ [5]:
t
о2 = О2 (<) = 2 $ (I—т) (т) dr,
о
^2
(^, t2)= (G~x)dx*
о
296
8.12. Вычислить дисперсию случайного процесса Винера
t
о
где п(/) — стационарный белый шум с функцией корреляции
Ответ:
8.13. На вход интегрирующего устройства воздействует
стационарный случайный процесс |(/) с корреляционной функ-
цией ^(т).
Определить корреляционную функцию k^(x) процесса
1 т
т](/) = — l(x)dx
2Д J
t—д
на выходе интегратора.
Ответ:
2Д
Мт) = -^- J(1— *>dX'
-2Д '
8.14. Случайный процесс <р(/) задан уравнением
-£-ф(0=МФ
at
где — стационарный нормальный белый шум с нулевым сред-
ним значением и функцией корреляции
N
Определить дисперсию Одт(/, т) приращения
Аф(/, т) = ф(/ + т) — ф(0
в стационарном состоянии.
Ответ:
ОДср (Л -ф -> оо = <[ф (t + т) — ф (012>, -оо = X.
8.15. Вычислить дисперсию <тдх(/, т) приращения
A%(t т) = %(* + *)—МФ
297
Где Х(/)—случайный процесс, заданный уравнением
-А-Л(0 + аЛ(0 = Лх(0- (8.49)
at
Здесь щ(0 — стационарный нормальный белый шум с нулевым
средним значением и функцией корреляции
Ответ:
4x(t = <[% (t + т)-X (О]?>,_«, = ~ (I - е-“1 т ’).
8.16. Определить дисперсию т) процесса
/-В
т] (/) = % (х) dx
t
при >-оо. Здесь А,(/)—случайный процесс, заданный уравнени-
ем (8.49).
Ответ:
г)/~>оо =2^г [а1т1—(1—е а|т|)]-
8.17. На конденсатор С действует флуктуационный ток £(/),
представляющий собой белый шум с функцией корреляции
Ш = ^б(т).’
Найти дисперсию о^(/) напряжения т](/) на конденсаторе
(рис. 8.15).
Рис. 8.15. Воздействие слу-
чайного тока на емкость.
Ответ:
8.18. Для уменьшения уровня шума в усилителе использует-
ся интегрирующая цепочка RC (рис. 8.1).
Предполагая, что входной сигнал есть белый шум с энергети-
ческим спектромS(®) = No = 2-10-6 в2-сек, определить, при какой
298
Наименьшей постоянной времени действующее значение шума на
выходе не превысит 50 мв.
Ответ:
Т —/?С = 0,4 мсек.
8.19. На вход дифференцирующей цепочки (рис. 8.16) по-
ступает ограниченный по частоте шум, энергетический спектр
которого
(со) =
Af0, 0<со<со1,
0, СО<0,
Рис. 8.16. Дифференци-
рующая Цепочка RC.
Найти дисперсию шума т](/) на выходе цепочки.
Ответ:
= — (<°1-----ir arc tg •
Л \ /
8.20. На вход схемы RC (рис. 8.17) воздействует ограничен-
ный по частоте шум £(/), энергетический спектр которого
• г Дсо .Дсо
Зе («.)="• +
. 0 для всех других со.
Рис. 8.17. Схема RC.
Найти энергетический спектр
Ответ:
Я2 + (соЯ,Я2С)2
7) (®) = No (У?1+/?2)2+((в/?ЛС)2
процесса т](/) на выходе.
“о
Дсо
2
299
8.21. На вход пропорционально-интегрирующего фильтра
(рис. 8.5) поступает стационарный случайный процесс со сред-
ним значением и корреляционной функцией
(т) = <$ е“а 1 т '•
Определить среднее значение тъ, спектральную плотность ST|(co)
и дисперсию процесса r](z) на выходе фильтра.
Ответ:
с , . 2 2а 1 + (<оЛ)2
mTl — S-r, (<о) — <т:--------------------,
1 ’ 4 а2 + <о2 1 + (оТ)2
2 2 г+^а
о = а с------.
Т(1 + аТ)
. 8.22. Напряжение на входе фильтра, изображенного на
рис. 8.1, представляет собой случайный стационарный процесс.
Определить отношение дисперсии выходного напряжения к диспер-
сии входного напряжения, если спектральная плотность входного
процесса равна:
a) Soexp{—рсо2},
б) Soexp{—0|со|} (So и р—положительные постоянные).
Ответ:
СГ х ___
а) —— = 2а
°*
где
2___1_
а = —, Ф (?) = )— f е 2 dx,
RC ’ A J
—оо
2 г ар ар -
б) —^-=ар si пар J -cos* dx—cosap J 3in--dx .
8.23. Напряжение на входе 7?С-фильтра, изображенного на
рис. 8.16, представляет собой случайный стационарный процесс,
нормированная корреляционная функция которого равна
R(x) = ехр {— р|т |}.
Определить нормированную корреляционную функцию выход-
ного напряжения.
Как следует выбрать параметры R и С для того, чтобы отношение
дисперсии выходного процесса к дисперсии входного процесса было
меньше данного числа 8?
300
Ответ: Нормированная корреляционная функция равна
а Р>
а = р,
где а = 1/RC. Для того, чтобы отношение дисперсий было меньше
е, должно выполняться неравенство 7?С^е/Р(1 — е).
8.24. На вход двух параллельных цепочек RC (рис. 8.18) дей-
ствует один и тот же белый шум £(/) с нулевым средним значением и
функцией корреляции
^(т) = -^6(т).
Рис. 8.18. Две параллельные цепочки RC.
Найти функцию взаимной корреляции между выходными напря-
жениями Т](/) и р(/).
Ответ:
^2) —
«1^2^ О
2 (di + aa)
е~«» I G—G 1__е— «1*1 —<4*2
1
/?2^2
8.25. На схему, изображенную на рис. 8.19, действует флук-
туационный ток £(/) в виде белого шума с нулевым средним значе-
нием и функцией корреляции
Лс(т) = -^-6(т).
Рис. 8.19. Воздействие на интегрально-
дифференцирующую схему случайного тока.
301
Найти функцию корреляции йт/т) и спектральную плотность
St/co) для напряжения т](/) в стационарном состоянии.
Ответ:
Мт) = ₽2^е-»'Ч М<о) = р^—L-,
где
« _ 1 „ _ Ci+Ca
р —------, ОС —-------.
7?i Ci R2C1C2
8.26. К схеме, изображенной на рис. 8.20, приложено флук-
туационное напряжение £(/) в виде белого шума с нулевым сред-
ним значением и функцией корреляции
k (г).
Рис. 8.20. Воздействие на интегрально-диф-
ференцирующую схему случайного напряже-
ния.
Определить функцию корреляции и спектральную плотность
S^(®) для напряжения т](/) в стационарном состоянии.
Ответ:
(т) =
и2 А
а% 8
___ а 4-Х । । а— X
(а + X) е 2 — (а — X) е 2
--------------------------------,
7 2 со4 + (а2 —2у)со2 + у2
где
а = —( —+ р+П, Р = —, у = —— , |1 = ——,
Л \ Л н / Ri ЛЛ и Л
Ti = /?iC1( Т2 = 7?2^'2» = а2—4у.
8.27. На схему, представленную на рис. 8.21, действует флук-
туационное напряжение £(/) в виде белого шума с нулевым средним
значением и функцией корреляции
^(т) = 4б(т).
6
302
Рис. 8.21. Интегрирующая схема.
Найти функцию корреляции и спектральную плотность для на-
пряжения т](/) в стационарном состоянии.
Ответ:
(Т) = ±1^е-“'х|, Sr» = -^—
а 4 2 а2 + со2
где
’ t^r.c, а^А.ф + 1), р =
J * А2
8.28. Найти дисперсию сц тока £(/) в линейной цепи, изобра-
женной на рис. 8.22, при условии, что напряжение т](/) на выходе
Рис. 8.22. Воздействие слу-
чайного тока на параллельную
цепочку RC.
является случайным процессом, спектральная плотность Sr,(co) ко-
торого имеет вид
при
при
о со ©j,
со<0, СО>»СО1.
Ответ:
of
<О1Л/р
6лЯ2
(6л + со27?2С2).
8.29. На вход цепочки RC (рис. 8.23) воздействует стационар-
ный случайный процесс £(/) со спектральной плотностью
S?(®)
4а
а2+со2
303
Определить спектральные плотности ST1(®) и ЗДго) выходных
процессов т](/) и р.(/) и их взаимную спектральную плотность 81р.(<й).
чайного напряжения на схему
RC.
Ответ [6]:
3,(»)_-----4" ,
14 ’ (4а2+<в2) (4(32+©2) 1 ’ (4а2+©2) (4Р2+©2)
S ((0) =---М(Р + »— p==_L.
’ (4а2+©2) (4Р2+со2) r RC
8.30. Вычислить корреляционную функцию Аь/т) случайного
процесса т)(/) на выходе цепочки RL (рис. 8.8) при условии, что
R = 0,2 ома, L = 0,1 гн, а спектральная плотность воздействую-
щего стационарного шума £(/) имеет вид
Sj(<o) =-------—------- [в2-сек].
— 24<о2 +400
Ответ:
(?) = —L- е~21 ’ ’(cos 4т + 3 sin |4т| + 5) [в2].
128
8.31. На последовательную цепочку RL (рис. 8.24) действует
флуктуационный ток £(/), имеющий равномерную спектральную
плотность S5(®) = No/2 в области частот — ®1<со<со1.
Найти дисперсию напряжения т](/) на индуктивности.
Ответ:
2_ (<oxL)2 -V0«i
итп------------.
1 3 2л
8.32. На последовательную цепочку RL (рис. 8.24) действует
флуктуационнй ток £(/), функция корреляции которого
304
Найти дисперсию напряжения на индуктивности L.
Ответ:
о* = 2а2 Put
Рис. 8.24. Последователь-
ная цепочка RL.
8.33. Напряжение £ (/) на входе фильтра, изображенного на
рис. 8.8, представляет собой случайный стационарный процесс,
среднее значение и корреляционная функция которого равны соот-
ветственно т- и &е(т) = ехр {—а |т| }.
Фильтр включают в момент времени t = 0.
Определить среднее значение MVi(t) и дисперсию (у2(/) выходного
напряжения т](/) и найти их предельные значения при /->оо-
Ответ:
Г
A4Tj(Z) = —e ],
u*(0 =
Г « t i
a? R 1 _ a L I aL+R l* 2R -at
\a.L — R aL—R ,
Mn (oo) = mi, u* (oo) = —A— a|.
(X>L -j- /<
8.34. На вход цепи, изображенной на рис. 8.25, воздействует
белый шум £ (t) со спектральной плотностью (со) = Nq.
Рис. 8.25. Схема RL.
11 Зак. 728
305
Найти спектральную плотность, автокорреляционную функцию
и среднеквадратичное значение выходного напряжения т](/).
Ответ:
54©) = —а=—, Т =---------------------,
4,(т)=^г
1 2Т У 2Т
8.35. Напряжение на входе фильтра, изображенного на рис.
8.26, представляет собой белый шум £ (/), спектральная плотность
которого равна S^(co) = NOf 0 < <d оо.
Рис. 8.26. Последовательная цепь RLC.
Определить корреляционную функцию напряжения на выходе.
Как следует выбрать параметры фильтра для того, чтобы диспер-
сия выходного напряжения не превосходила заданного числа D?
Ответ:
(т) =
где соо= 1/]/ LC, o = R/2L.
Для того чтобы дисперсия выходного напряжения не превосхо-
дила заданного числа D, должно выполняться неравенство RC
> Nq/2D.
8.36. Напряжение £(/) на входе фильтра, изображенного на
рис. 8.27, представляет собой белый шум, спектральная плотность
которого равна S^(co) = NQi 0 < со < оо.
6
Определить корреляционную функцию &л(т) напряжения т](/) на
выходе фильтра.
Как следует выбрать параметры фильтра для того, чтобы диспер-
сия о2 напряжения на выходе не превосходила заданного числа D?
Рис. 8.27. Фильтр RLC.
Ответ:
(т) =
cosJAjq—ф2 т-
]/
—ifsinj/^coo — ф2|т|], ®0 > ф;
Л/Оф е_ *1 z 1 (1—ф | т |), ®0 = ф,
, — е- *1 х 1 []/ф^Г ch
У Ф2 -®о
—фзЬу^ф2 — Wo I т |], ®0<Ф>
где ©о = l/^LC и ф = 1/2 RC.
Для того чтобы дисперсия выходного напряжения не превосхо-
дила заданного числа D, должно выполняться неравенство RC
> N0/2D.
8.37. Колебательный контур, составленный из параллельно
соединенных конденсатора С и индуктивности L с омическим со-
противлением R, включен в анодную цепь лампы. Анодный ток
ja(0=/a+m
где £(/) — белый шум.
Найти функции корреляции и энергетические спектры тока
т](/) в индуктивной ветви контура и напряжения u(t) на контуре
(рис. 8.28).
Ответ:
(т) — --0(О° е “'х 1 (®i cos ©j? + a sin®! | т |),
4а®1
_ NqL а>0 а 111 ( cos —а sjn | т
4аш>1
11
307
где
(со) —
2^о
2асо2
(со2 — g)q)2+ 4а2 со2
2_ ^owo
Qr< — -,
4а
a==~2L’ Ю°=УТ6
Su (со) =-----------------------
(со2 — со2)2-|-4а2со2
2 Wo^2<BO
а« = —:--------’
4а
Рис. 8.28. Резонансный усилитель.
8.38. Стационарный случайный процесс £ (/) со спектральной
плотностью 3^((о) воздействует на линейный фильтр с передаточной
функцией К (/®) — (1 —е~/ш? )”•
Определить спектральную плотность SJco) выходного процесса
nW-
Ответ:
SJe>) = Se(®) ^2sin-^-^2".
8.39. На колебательный контур с передаточной функцией
К (/«>) = Ко
2асо
2а©+;(со2 —со2)
воздействует случайный процесс
х(/) = s(/) + п(0,
где s(t) — отрезок (импульс) квазигармонического шума длитель-
ностью Т:
s(t) = A(t) cos [<о0£ + <р(/) ], 0 < t < Т,
со средним значением tns = 0 и функцией корреляции
ka (т) = of ехр {—р | т |} cos ®от,
308
a n(0 — стационарный белый шум с функцией корреляции
Лп(т) = -^6(т).
Определить: а) корреляционную функцию т) процесса т] (/)
на выходе контура; б) отношение сигнал/шум в конце импульса
где —дисперсия составляющей выходного случайного про-
цесса т) (I), обусловленная воздействием процесса s(/); —дис-
персия выходного шума.
Ответ [7]:
a) Kr^ (I, т) = Кф (t, т) + k-^n (т);
<*’ т) = 4г4? Кае~МХ1 -Ре"а 1 г ') + (“ + ₽)
— р
—а (е~ат-|- е—|5т) е—<а+^z] cos <о0 т, / > О,
®ЛГ„ К?,
kTln (т) = —— е~“ Iх I cos и0 т;
6) р(Г) = 2,-(|+ е
«(1—1*1)
309
0* Т „ ft
? = ——, а = аТ, рх = —.
Ло а
График функции p(T)/q — f (а, р/ дан на рис. 8.29.
8.40. Решить задачу 8.39 при условии, что
ks (т) = а, ехр {—у2 т2} cos ®0 т.
Ответ [7]:
a) KriS (/, т) = /л е £ /Ф _ф /«~2УДТ1
2у I у/2 ) \ т/2
+ [ф f а~212 * I ф /а-2т2<-2т2т
L \ Т/2 J
Гф /«+2/ <+ 2тат
Л к 4^2
е-2«/ .j.
е2« 1111 e—«1 x । cos
б) р(7’) = 2д-И^е4н. ф
ДЦ2 I \ Ц» /2
. / 1 2 Др, о \ / 1
+ Ф ------Д —ф (——
L \ р2 у2 / к [Х2 /2
1
Нг/2
e-2a
Q = ^~’ a = aT, fi2 = ^, Ф(г) = —-Lr- fe ’2 X'dx.
No a, У 2л J
— co
Графики функции p(T)!q приведены на рис. 8.30.
Рис. 8.30. Отношение сигнал/шум на выходе контура
при гауссовой функции корреляции входных квазигар-
монических флуктуаций.
310
3.41. Решить задачу 8.39 при условии, чтО
1 / ч 2 sin 6т _
Ais(t) = Os —--COS®0T.
6т
Ответ [7]:
а)
= ao[K(|lj-leaxS_inSx^
2 [J* 6х
sin 6х
6х
dx + J еах
о
sin 6х , 9я/ .
------dx е~2а/ +
6х
। е2«/^1 I еах —— dx / е~а /z । C0S соftr, / > 0;
_Л бх
~а а .
б) р(Т)=:^. С g —2а Г
а [о Из* о Из*
Рис. 8.31. Отношение сигнал/шум на выходе колебатель-
ного контура при прямоугольной спектральной плотно-
сти входных квазигармонических флуктуаций.
311
8.42. На вход линейного нешумящего четырехполюсника
с передаточной функцией модуль которой определяется соот-
ношением
|К(/о>)| = ( 1 ПРИ ®о — Д®1<©<®0+Д®2,
1 v 7 ( 0 при других со,
воздействует собственный шум £(/)^параллельного колебательного
контура с резонансной частотой со0 (рис. 8.32).
Вычислить дисперсию напряжения т](/) на выходе четырех-
полюсника в зависимости от его полосы пропускания А со = Acox +
+ А(02*
Ответ: а) для случая апериодических колебаний в контуре
(со2 — а2 < 0, со2 = 1 /ЛС, а = R/2L, добротность контура Q =
= co0L//?< 1/2):
2 C00Q3V2" ( I С . D\
at == 4kTR —. — arctg---------arctg — —
2nVl-4Q2 U \ A A J
_ arctg--arctg- ,
D \ D D J J
A = У1—2Q2 —/1—4Q2 , В = У1—2Q2 + ]/]—4Q2,
с=(1+^?)<г^
б) для случэя периодических колебэний в контуре (соо—а2>0,
при этом Q >1/2):
2 _ kTR&orQ ______1
71 я 2>4(?2 — 1
312
При Q » 1 последнее выражение приводится к виду
л
Дон
а =—-
ю0
2 kTR($QQ Г 1 < ab . . QB6 — Qaa
о+ =------— — In----h arctg —----arctg —-—
1 " 1 2Q ₽а Б1 + р s 1—а _
р = а = 2—а, 6 = 2 + ₽.
®0
Рис. 8.32. Линейный четырехполюсник.
Если полоса пропускания четырехполюсника симметрична от-
носительно соо (т. е. если Да»! — Д®2 = Дсо/2), то для случая Q > 1
имеем
о
2_°f
я
4+6
4—6
{-arctg
06(4+6) _
2(2 + 6)
arctg
-Q6(4-6)
2 (2—6)
Если к тому же
то
6 = —« 1,
(О0
с^ = о| —arctg QS.
Л
Здесь — дисперсия собственных шумов контура, равная (см.
пример 8.8) .
8в43ж Случайный процесс £ (/) с функцией корреляции
к (т) = <j2 ехр {—а I т|}
воздействует на фильтр нижних частот, амплитудно-частотная
характеристика которого приведена на рис. 8.33.
Найти дисперсию выходного напряжения т](/).
ИВ Зак. 728 313
OJ
Рис. 8.33. Модуль передаточной
функции фильтра нижних частот.
Ответ:
2 2 2 i СОп
Отп = о^ - arctg —.
л а
8.44. На усилитель с частотной характеристикой (по напряже-
нию)
= 0</<оо,
где /о — средняя частота полосы пропускания усилителя, а —
параметр, определяющий ширину полосы пропускания, воздей-
ствует узкополосный стационарный случайный процесс £ (/), спек-
тральная плотность которого имеет вид
Saf) = S0e-^f~fc)2.
Определить дисперсию а* сигнала т](/) на выходе усилителя.
Ответ:
U 7) — . —- V •
2/л(2а+₽)
8.45. Линейная система имеет амплитудно-частотную харак-
теристику, равную постоянной Ко в интервале (со0 — Дсо; ®о + А со)
и нулю вне этого интервала. На вход системы подается белый шум
со спектральной плотностью S(co) = No, 0 < со <; оо.
Найти корреляционную функцию процесса на выходе.
Как следует выбрать Дсо, чтобы дисперсия выходного процесса
не превосходила заданного числа £)?
Ответ:
kTi (т) = 4Ко No Дсоsin Ам- cos соо т, Дсо < —у— .
’ 0 Дсот 0 4К^0
8.46. Случайный стационарный процесс £ (/) с энергетическим
спектром
S5 (со) =-------------- ,
х ' Дсо2+4 (со—со0)2
314
где соо — средняя частота спектра, Дсо — ширина спектра на уров-
не 0,5, So — произвольная постоянная, воздействует на идеальный
безынерционный усилитель с коэффициентом усиления K(j<*>) = Ко,
0 < со < оо.
Найти энергетический спектр S^co) и корреляционную функ-
цию процесса т](/) на выходе усилителя.
Ответ:
V ’ Д©«+4(®-®о)2 М ' 2Дсо 0
8.47. Определить энергетическую шумовую полосу пропуска-
ния интегрирующей цепочки RC (рис. 8.1).
Ответ:
Л£ 1
Д/э =------
8 2RC
8.48. Фильтр состоит из двух последовательно соединенных
однонаправленных линейных систем, частотные характеристики
которых равны соответственно 1/(1 + /®7\) и 1/(1 + /<оТ2) (Л и
Тг — положительные величины).
Найти корреляционную функцию и дисперсию процесса на вы-
ходе фильтра, если спектральная плотность процесса на входе
фильтра равна S0/(a2 + <о2).
Ответ: Пусть (т) ио2 — корреляционная функция и ди-
сперсия выходного процесса, Pi = 1/Ti, р2 = 1/Т2. Тогда
k (x) — S _________-_______е-«|г|_|_
2 [а(р2_а2)(р2_а2) е +
J----------!------ е — 31 I т I I----!------- е— р2 \ т |
Р1 (р2-₽2) (а2—р2) + р2 (а2 — р2) (Р2-Р2) J ’
^2 _ 01 02 ^ + 01 + 02
°Г' ~ (а+Pi) (а+р2) (Pi + P2) ’
8.49. Показать, что взаимная корреляционная функция для
случайного стационарного процесса £ (/), воздействующего на ли-
нейную систему с импульсной переходной функцией G(/), и реакции
т](/) системы на это воздействие равна
оо
(т) — j* G (х) (т—х) dx.
8.50. Определить среднее значение и корреляционную функ-
цию процесса
н(0 = 5(0+п(0
пв*
315
на выходе суммирующего устройства, где g (/) и т](/) — случайные
процессы со средними значениями Mi(t) и M^t), корреляционными
функциями /2) и Кг, (ti, /2) и взаимной корреляционной функ-
цией К^ (h, t2).
Ответ:
Ми (0=^(0+^(0,
К»у» Q = K^tlt Q+K^h, Q + K^tti, Q+K^V t2).
8.51. Решить задачу 8.50 для случая
МО=2 МО-
1=1
Ответ [5]:
ЛШ=2ЛМ0;
/=1
п п п
К» (Л. h) = 2 (G. Q + 2 2 Ke. L (ti, t2).
Z=1 »=! Л=1 l »
(l^k)
8.52. Выразить корреляционную функцию ^(т) процесса на
выходе фильтра (рис. 8.34) через корреляционную функцию kt(x)
процесса на входе.
Рис. 8.34. Схема фильтра.
Ответ [5]:
kn (т) = 2kt (т) + k, (х—Т) + (х + Т).
8.53. На вход линии задержки, имеющей N отводов через
временные интервалы 0 (рис. 8.35), воздействует стационарный слу-
чайный процесс £ (/) с корреляционной функцией k^(x).
Определить корреляционную функцию kv(x) и энергетический
спектр Sr, (о>) процесса t)(Z) на выходе сумматора.
Ответ [8]:
N-1 .
^(т) = ^-^(т) + -1- 2 (JV-i)^(t + i0) +
/V ।
316
Рис. 8.35. Суммирующее устройство с линией
задержки.
. /sin"0 оЛ2
Stq (со) = S, (со) 1 ~ I .
\ sin — со /
2 /
График функции S7](<o)/S^(a)/2) = /(0<х>) приведен на рис. 8.36.
Рис. 8.36. Энергетический спектр процесса на вы-
ходе сумматора.
317
8.54. На вход фильтра, функциональная схема которого пред-
ставлена на рис. 8.37, поступает случайный процесс g(/) с корре-
ляционной функцией
^(т) = а^е-<
Найти дисперсию процесса т](/) на выходе фильтра.
Рис. 8.37. Вычитающее устройство с линией за-
держки.
Ответ:
^ = 2of(l+e-“r*)-
8.55. Найти энергетический спектр процесса т](/) на выходе
фильтра (рис. 8.37), если энергетический спектр процесса % (/) на
входе
- 5г(<о) = Ле-°‘г1“2 + В6 ,
где 6(х) — дельта-функция, Т — время задержки в линии.
Ответ:
ST|(co) = 4/le-’2'"2sin2y .
8.56. Найти корреляционную функцию ^Г((т) процесса т](/) на вы-
ходе фильтра, функциональная схема которого представлена на
Рис. 8.38. Функциональная схема фильтра.
318
рис. 8.38, через корреляционную функцию процесса на
входе.
Ответ:
(т) = h (Т)—4^ (т — Т) - 4k> (т + Т) +
+ ki(r—2T) + k^ (Т4-2Г).
8.57. На вход радиотехнического устройства, состоящего из
последовательно соединенных дифференцирующих устройств и сум-
матора (рис. 8.39) воздействует стационарный случайный процесс
£ (/) с нулевым средним значением и корреляционной функцией
Рис. 8.39. Последовательное соединение дифференци-
рующих устройств и сумматора.
Определить корреляционную функцию k^r) процесса т](0 на
выходе сумматора.
Ответ:
d2 d*
kr, (т) - ki (Т) + k, (Т) + h (т).
ах& ат*
8.58. Решить задачу 8.57 при условии, что на вход устройства
воздействует стационарный случайный процесс £ (/) с нулевым
средним значением и корреляционной функцией
kt (t) = ое e-“lxl f 1 + а | т | — а2 т2 V
\ 3 /
Ответ:
(т) — of е a' “ 1 Г1 + « I т I + — а2 т2 +
L з
Ь^(а2т2—а|т| — 1) + -^ (а2т2—5а|тЦ-3)
О о
8.59. Определить энергетическую шумовую полосу пропуска-
ния системы, функциональная схема которой представлена на
рис. 8.40.
319
Рис. 8.40. Функциональная с-хема линейного устройства.
Ответ:
8.60. Указать вариант схемы, при помощи которой можно
получить стационарный шум с функцией корреляции
k (т) = — aN0 (1 + а | т|)е“а 1Х1.
8
Ответ: Нужно пропустить стационарный белый шум через
две электрически изолированные одинаковые интегрирующие це-
почки RC, причем а = 1/RC.
8.61. Передаточная функция структурной схемы лине-
аризованной системы фазовой автоподстройки частоты (ФАП)
(рис. 8.41) имеет вид
2
Иф (/®) to
*<'“>= —^>7
1+ц —-----&
где |i — коэффициент передачи фазового детектора, /<ф(/со) —
передаточная функция фильтра низких частот, Q//co — коэффи-
Рис. 8.41. Структурная схема линеаризованной
системы ФАП.
На систему воздействует стационарный шум £(/) со спект-
ральной плотностью
(Nn при 0 < со <оо,
— | о при со < 0.
320
Определить шумовую полосу
оо
А(ОШ = f I к (/®) 12 da
О
системы ФАП для следующих случаев:
а) ФАП без фильтра нижних частот;
б) ФАП с /?С-фильтром нижних частот, для которого
1 .
1 + /оТ ’
в) Ф А П с пропорционально-интегрирующим фильтром нижних
частот (см. пример 8.3):
КФ (/<>) =
1+>Л .
1 + /<оТ ’
г) ФАП с интегратором:
Ответ [9]:
а) Д®Ш = Й; б) Д®ш = й;
в) Д®ш = Й —------- ; г) Дсош = Й ( 1 4- В" V
' ш 1+р.йЛ 7 ш \ о /
8.62. Вычислить одномерную плотность вероятности
напряжения и(/) на конденсаторе С в стационарном состоянии, когда
на последовательную цепочку RC воздействует случайный телеграф-
ный сигнал (рис. 8.42). Сигнал £(/) с одинаковыми вероятно-
стями, равными 1/2, принимает лишь два значения: +1 и —1. Мо-
менты перемены знака (нулей) распределены по закону Пуассона,
т. е. вероятность получения п нулей в интервале (/, t + т) равна
Р(л,т)=^е-х’,
v ’ nl
где X — среднее число нулей в единицу времени.
Рис. 8.42. Случайный телеграфный сигнал (а) и интегри-
рующая цепочка RC (б).
321
Ответ [10]:
r(v+j)
/л Г (XT)
(1—Ы2)«-1,
0 при других и.
и<1,
(8.50)
Здесь Т = RC, Г (х) — гамма-функция.
8.63. Получить из (8.50) асимптотические выражения и по-
строить графики плотностей вероятностей Wi(u) для следующих
пяти частных случаев:
1) КТ 1; 2) КТ = 2; 3) КТ = 3/2; 4) КТ = 1; 5) КТ < 1.
Ответ приведен в табл. 8.3 [10].
8.64. Электрическая цепь состоит из источника постоянного
напряжения Е, индуктивности L и сопротивления R (рис. 8.43).
ч Рис. 8.43. Электрическая цепь.
Источник напряжения подключается и выключается в моменты
времени tK = Т + £0, где k = 0, ±1, ±2, ..., 0 — фиксированный
интервал времени, Т — случайная величина, не зависящая от k
и равномерно распределенная на интервале [0, 0]. Вероятность
того, что источник включен или выключен в интервале времени от
tK до равна 1/2 для всех k.
Определить среднее значение, корреляционную функцию и
спектральную плотность тойа /(/).
Ответ:
£«£ Г -rle+H , -г
---- е L 4-е L
80/?3 L
йДт)
Е
т; =—;
1 2R
-2е~14 +^.(|0 + т| + |е-т|
= 1—coscoO
м 7 20 со2 (Я2-рсо2/,2)
322
Таблица 8.3
Плотность вероятности (и) при различных значениях кТ.
График
Аналитическое выражение
Значение
параметра
ХТ
хт »1 и
г = «У 2А.Т+1 0
ХТ = 2 4 1 и 1 < 1 \ и
•1 0 7
li ьэ | со W'1(u) = V1—о1 2 3 *, зх I м | < 1 \ и
-7 0 1
«71(«)=у, 1«1<1
и
-1 0 1 ~
ХТ« 1 Ц7, (И)=%Г(1—м2)ХГ-1, 1«1 < 1 |\ 1 i 1 J\ У г 1
-1 О 1 и
Литература
1. Скляревич А. Н. Операторные методы в статистической динамике
автоматических систем. Изд-во «Наука», 1965.
2. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функ-
ций. Судпромгиз, 1961.
3. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советское
радио», 1966.
323
4. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники.
Изд-во «Советское радио», 1966.
5. В о л о д и н Б. Г., Ганин М. П., Д и н е р И. Я., Кома-
ров Л. Б., Свешников А. А., Старобин К. Б. Сборник
задач по теории вероятностей, математической статистике и теории слу-
чайных функций. Изд-во «Наука», 1965.
6. Р а р о u 1 i s A. Probability, Random Variables and Stohastic Proces-
ses. McGraw-Hill, New-York, 1965.
7. Г о p я и н о в В. Т. Воздействие отрезка квазигармонических флук-
туаций в смеси с белым шумом на линейные системы. «Радиотехника»,
1966, т. 21, № 6.
8. Чайковский В. И. Энергетический спектр суммы запаздываю-
щих стохастических сигналов. «Известия вузов», Радиотехника, 1965,
т. VIII, № 1.
9. Т е п л я к о в И. М. Радиотелеметрия. Изд-во «Советское радио»,
1966.
10. Wohman W. М., Fuller А. Т. Probability Densities of the Smoo-
thed «Random Telegraph Signal». Journ. Electronics and Control, 1958,
v. 4, № 6.
9. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1. Теоретические сведения
Среди нелинейных преобразований случайных
процессов простейшим является такое преобразование (рис. 9.1),
при котором значение выходного процесса т](/) в любой момент
времени определяется только значением входного процесса £ (/)
в тот же момент времени
n(0=gI&(0L (9-1)
где gTg]— некоторая нелинейная функция. Такое нелинейное
преобразование называют безынерционным или функциональным.
Рис. 9.1 Нелинейный безынерционный преобразователь.
К безынерционному сводятся также нелинейные преобразования,
при которых входной и выходной процессы § (/) и т](/) подвергаются
дополнительной трансформации линейными системами (рис. 9.2),
Рис. 9.2. Типовое радиотехническое устройство.
не оказывающими реакции на нелинейный элемент. Такое преобра-
зование можно записать в форме
где Li и L2 — линейные операторы, описывающие поведение линей-
ных систем.
325
Поскольку правила преобразования характеристик случай-
ных процессов линейными системами известны (см. гл. 8), для изу-
чения указанных нелинейных преобразований достаточно рассмо-
треть преобразование (9.1).
Общее правило. В общем виде принципиальное решение зада-
чи о нелинейных безынерционных преобразованиях случайных
процессов дается известным свойством инвариантности дифферен-
циала вероятности. Пусть известна n-мерная плотность вероят-
ности ауп(|1, •••> U случайных величин |2, ..., и нужно
найти плотность вероятности Wn (t]i, т]2, •••> Л71) Для случайных ве-
личин
Л! —S1 (В1> £2> •••» £п)>
(9.2)
Лп ~ Sn (^1» В2> •••» Bn)» J
где функции gi — кусочно-непрерывные.
Если существуют однозначные обратные функции
В1 = Мт)1> Л2.......Пп)>
g2 = /i2(T)i, п2> •••> Лп)>
Вп = Мт)1, Т)2, ---Пп).
то интересующая нас плотность вероятности определяется фор-
мулой
Wn (’ll- Л2. П„) = 1^1 011- П2..Пп).
Ла(П1, Л2. П2. •••.%)] (9.4)
где Dn — якобиан преобразования от переменных |х, £2, ...Дп
к переменным 1]!, т]2,..., т]п:
В тех случаях, когда обратные функции hi неоднозначны, в правой
части формулы (9.4) следует взять сумму по каждой из подобластей.
Рассмотрим следующий частный случай. Пусть
=gi (Bi) = Bi, th = n=gi (Bi, B2),
причем обратные функции
Bi = = T]i, B2 = Л2(т]1, Пг)
326
однозначны. Якобиан преобразования (9.5) в данном случае равен
^2 =
1
dh2
дф
вероятности Л) случайных величин
о
dh2
dr)2
_ dh2 __ dh2
дт]2 dr]
а совместная плотность
т)! и т] в соответствии с (9.4) определяется формулой
dh2
dr]
^2 (П1. Л) = ^2 I’ll- ^2 (’ll- П)1
(9.6)
Интегрируя (9.6) по т)1, получим одномерную плотность вероят-
ности для случайной величины rj:
С ^^2 Л
^(T))=J I’ll. h2 (гь n)l dTlr (9.7)
—oo
Последняя формула позволяет получить следующие выражения
для плотностей вероятностей суммы, разности, произведения и част-
ного двух случайных процессов:
Гх(т]) = J ^2(В1, л—Bi)^i. n = — оо (9.7а)
^(т)) = J ^2(?1. n+£i)^i. п = — оо (9.76)
Г1(п) = J^2 (Л’ &Г) ihi ’ *1 = ^ (9.7в)
^1(п) = J ш2(В1,^1)111ИВ1, т1 = у- — оо (9.7г)
При применении формулы (9.4) к практически интересным не-
линейным преобразованиям могут возникнуть трудности. Так, если
функции gt являются полиномами выше третьей степени, то в общем
случае затруднительно найти функции hi9 т. е. аналитически раз-
решить систему нелинейных уравнений (9.2) относительно Ана-
логичные трудности возникают и при трансцендентных функциях gt.
При кусочно-линейной аппроксимации функции gt оказываются
разрывными и производные dhi/dgi во многих типовых случаях
в некоторых точках могут быть равными бесконечности.
Ввиду сложности непосредственного вычисления плотностей
вероятностей часто ограничиваются нахождением более простых,
но менее полных статистических характеристик выходного про-
цесса, например, среднего значения и функции корреляции. Приме-
нительно к разным видам нелинейных преобразований для опреде-
ления этих характеристик можно указать несколько методов.
327
Полиномиальное преобразование [1]. Пусть характеристика
нелинейного элемента т] = g(g) является аналитической функ-
цией в окрестности некоторой точки С. Тогда ее можно разложить
в ряд Тейлора:
n=g (?) = а0 4-fli (?- С) + ... +an (S-C)", ak = ± (9.8)
число членов которого определяется требуемой точностью аппрок-
симации.
Обозначим начальные моментные функции процесса g(/) через М,
а т](/) — через М. Статистически усредняя левую и правую части
равенства (9.8), получим
(0 = <П (0) = + ar <g (/) - О + ... + ап <[g (0- С]">. (9.9)
Перемножив левые и правые части равенства (9.8) для двух моментов
времени /2, и выполнив операцию статистического усреднения,
получим выражение для двумерного момента
(^1» ^2) = 4- ао ai l^i (^1) + М} (t2) — 2C] +
+ а?[Мп(/1; /2)-СМ1(/1)-СМ1(/2) + Сг] + „. (9.10)
... + ^([Ш-С1" [?(Q-cp>.
Аналогичным образом находятся выражения для высших моментов.
Для получения явного выражения моментных функций про-
цесса т](/) через моментные функции процесса g(/) нужно восполь-
зоваться формулой бинома Ньютона
Й-с)‘-2т7^Р-'С‘,
раскрыть члены вида
[В (*i) - Ср [| (/2) - Ср [g (Z3) — C]m..., fe, /, m < n,
и затем выполнить статистическое усреднение. При этом, если про-
цесс g(/) задан своими моментами, сразу получаем нужный резуль-
тат. Если же процесс g(/) задан плотностями вероятностей или ха-
рактеристическими функциями, то по ним необходимо предвари-
тельно вычислить его моменты.
Моменты сравнительно просто находятся для нормального ста-
ционарного процесса g(/). Пусть среднее значение процесса равно
нулю; обозначим его дисперсию через о2, а коэффициент корреля-
ции (нормированную корреляционную функцию) — через 7?(т).
Нетрудно убедиться [2], что одномерные моменты такого процесса
определяются формулой
1-3-5- ...’(р— Г)ай при четном р,,
0 при нечетном р,
= <^(0) = {
328
а для двумерных моментов справедливо соотношение
(т) = (О (t + т)) = он+v N»k Nvk Rk (г),
k—Q
где
00 1 2 1 «
Nlh = f ^<D<*+«>(g)dg; Ф(г) = ^ J e~xtdx, (9.11)
— oo —oo
Ф(п+1)(г) = £(ИТТуФ(2), n = 0,1,2,...
Совокупность коэффициентов Nik образует матрицу, приведен-
ную в табл. 5.3.
Трехмерные моменты нормального процесса определяются ана-
логичным способом [3]. Общее правило вычисления многомерных
моментов установлено в работах [4,5].
Из формул (9.9) и (9.10) видно, что моментные функции процесса
т](/) линейно выражаются через моментные функции процесса £(/),
однако формулы для моментных функций выходного процесса вклю-
чают более высокие моментные функции входного процесса. В этом
состоит одна из характерных особенностей любого нелинейного пре-
образования (в том числе и полиномиального) по сравнению с линей-
ным.
Кусочно-разрывные и трансцендентные преобразования. При
рассмотрении воздействия достаточно сильных сигналов и помех
на нелинейные устройства часто применяют аппроксимацию их
характеристик кусочно-разрывными или трансцендентными функ-
циями g’(g), поскольку они позволяют лучше передать существен-
ные свойства большого участка нелинейной характеристики. Вы-
числение моментных (корреляционных) функций выходного про-
цесса для нелинейных преобразований (9.1) такого вида можно
выполнять двумя тесно связанными методами: прямым методом и
методом характеристических функций [6].
В прямом методе используются сами нелинейные характеристики
и статистическое усреднение выполняется при помощи плотностей
вероятностей. При этом одномерные моментные функции находятся
согласно очевидной формуле
оо
Мп(0 = (Пп(0>= f
— оо
а для двумерного момента Л4П (t19 t2) справедливо" соотношение
оо оо
^n(G,Q=<n(G)nO= J J g^g&^&^d^d^, (9.12)
329
330
Характеристики нелинейных устройств
Таблица 9.1
Тип нелинейного устройства g (В) F(ju) L
аналитическое выражение график
1. Устройство с ха- рактеристикой v-й сте- пени Т) = ag (v —целое) 7 avl Положительная петля вокруг u = 0
0 С (/•«)’+1
2. Устройство с харак- теристикой v-й степени со смещением (v — целое) \ ‘ i \ X - av! e-/»s To же
/ ЦиУ + 1
3. Однополупериодный линейный выпрямитель о Й. >» • 1 (/те Л V о о (!ч)2 i Действительная ось и от ос до —оо, вырез вниз при z/ —0
0 f
4. Выпрямитель с ха- рактеристикой v-й сте- пени и с ограничением П ( 0, & в (v—положительное) р-/«в То же
0 8 f
Тип НРПиИАЙНЛГЛ «(£)
Л Ш1 Г1 Ci/ixlП vxlxl <J1 U устройства аналитическое
выражение
5. Линейный выпрями- тель с ограничением П = - aD, 1>D, а^, 0<l<D, . 0, g<0
6. Однополупериодный выпрямитель Т] = fg(£), £>0, I 0, g<0
7. Идеальный ограни- читель о О A V _2 II
8. Сглаженный огра- ничитель "-/М J' 11 0
Продолжение табл. 91
F (ju) L
график
1 ? 7Г g(l —е~/цО) (/«)® То же
0 О £
2 . 0 То же
0 1
j 1 ± — и То же
О г -1
и2 1е 2 Я То же
0 г
где
5i = 5(G). 5г = 5(G)-
В методе характеристических функций нелинейная характери-
стика представляется при помощи преобразования Лапласа или
Фурье:
П = g (I) = A f F (ju) е'иЧи,
где L — соответствующим образом выбранный контур интегриро-
вания в комплексной области и.
Вид контура интегрирования и выражение функции F(ju), пред-
ставляющей собой прямое преобразование Лапласа нелинейной
функции g(g):
со
f(/«) = Jgr(5)e-^dg,
О
приведены в табл. 9.1 [7]. Нетрудно убедиться, что в данном слу-
чае двумерный момент 7Иц(/1, /2) определяется формулой
MU(G. G) = A f f f (/°1) F (“1> ua) du! du* (9-13)
J J
L L
где 02(И1, u2) — двумерная характеристическая функция входного
воздействия g(Z).
Из (9.12) и (9.13) следует, что как метод характеристических
функций, так и прямой метод требуют одних и тех же априорных
сведений о входном случайном процессе £(/), ибо характеристиче-
ские функции и плотности вероятностей, как известно, связаны
преобразованием Фурье. При выборе того или иного из рассмотрен-
ных методов решающее значение имеют не столько теоретические
соображения, сколько трудности, связанные с вычислениями. В за-
ключение отметим, что если £(/) является нормальным случайным
процессом, то естественным результатом прямого метода является
выражение ответа через табулированные производные от интеграла
вероятности [8], а при использовании метода характеристических
функций ответ чаще выражается через гипергеометрические функ-
ции [9]. Однако это не имеет существенного значения, так как про-
изводные от интеграла вероятности и вырожденная гипергеометри-
ческая функция связаны друг с другом известными соотношениями
[8].
Если на вход рассматриваемого нелинейного элемента воздей-
ствует нормальный стационарный процесс £(/) с нулевым средним
значением, дисперсией о2 и нормированной корреляционной функ-
цией 7?(т), то процедура вычисления интегралов в правых частях
332
формул (9.12) и (9.13) может быть упрощена применением специаль-
ных приемов. Применительно к формуле (9.12) один из таких при-
емов, названный методом дельта-функции, был развит в работах
[10, 11]. Позже аналогичный метод, называемый методом Прайса
[12], был применен к вычислению интегралов вида (9.13).
Метод дельта-функции базируется на представлении двумерной
плотности вероятности нормального стационарного процесса £(/)
с нулевым средним значением
w & г ? ) =_______!_______ехо !— ~*~^21 (9 14)
2 2 гло2^!— /?2(т) е р1 2оа [1—7?2 (т)] J '
в виде ряда [2]
оо
у=о~2 5 — ф(п+1) (М ф(п+1) (—1 /?п(т).
S «! к ° / \ ° /
На основании этого разложения формулу (9.12) можно представить
в виде
оо оо
Л4ц(т) = /п2 + о-2 2 J г(В)Ф("+1)(|)^
П—1 1—00
2
Rn(x)t (9.15)
где среднее значение тп выходного процесса т](/) определяется фор-
мулой
оо
— оо
1
(9.16)
Из (9.16) следует, что функция корреляции выходного процесса
равна
оо
^(т) = Л4и(т)—т2=о~2 2
п— 1
оо
— оо
2
/?л(т)
nl
(9.17)
Применяя к (9.17) интегрирование по частям v раз и используя
известные свойства функций Ф<п)(г) [8], получим
оо / сю
^(t) = o2v-2 V j
п = 1 I — оо
2
Rn(x)
п!
(9.18)
Применительно к различным кусочно-разрывным характеристикам
нелинейных элементов следует выполнять интегрирование по частям
такое число v раз, чтобы v-я производная g(v)(£) превратилась
в 6-функцию или сумму 6-функций.
Формула (9.18) устанавливает связь между функцией корреля-
ции выходного процесса и коэффициентом корреляции входного
333
процесса и, следовательно, позволяет найти спектр выходного про-
цесса по известному спектру процесса на входе нелинейного эле-
мента. Наличие в (9.18) членов с п > 2 приводит к искажению и
расширению спектра выходного процесса по сравнению со спектром
входного процесса. В этом, в частности, состоит вторая характерная
особенность нелинейных безынерционных преобразований.
При вычислении интегралов вида (9.13) можно продуктивно ис-
пользовать тот факт, что для характеристической функции стацио-
нарного нормального процесса
02 («р и2) = (ехр {/«!+ /и2 g2}> =
—-ехр |—i-a2 [и?4-27? (t)«i'm2 + w2]| (9-19)
справедливо соотношение
^ = (-1)‘(а2Ы1и2)‘02(Ы1>М2),
в соответствии с чем (9.13) можно представить в следующем виде:
—^(т) F dUl fa'"®)* F 02 <M1’ du*-
dR* 4л2 J J
L L
Подставив £юда исходное определение характеристической функции
(9.19) и изменив порядок интегрирования и статистического усредне-
ния, получим [12]
оо оо
р2* f f (9.20)
oRK J J
— oo —oo
так как
2л J dt*
L
При вычислении функции корреляции процесса на выходе не-
линейных элементов с кусочно-разрывными характеристиками по
формуле (9.20) нужно брать такое значение k, при котором
обращается в сумму дельта-функций. Тогда интеграл в правой части
(9.20) всегда вычисляется и, следовательно, находится &-я произ-
водная функции 7Ии(т). Что касается последующего интегрирова-
ния по коэффициенту корреляции R с целью определения 7Ии(т),
то оно особенно легко выполняется в частном случае, когда g(^(g) =
= ± 6(g) и воздействующий нормальный стационарный процесс
£(/) имеет нулевое среднее значение.
Полезные обобщения формулы (9.20) можно найти в работах
[12—17].
Нелинейные инерционные преобразования. Значительно слож-
нее решаются задачи, связанные с воздействием случайного
334
процесса £(/) на инерционные нелинейные устройства, описы-
ваемые нелинейным дифференциальным уравнением вида
П + I (0> П. (9.21)
Здесь f и g — некоторые детерминированные функции, вид которых
определяется заданными параметрами системы; t](Z) — интересую-
щий нас процесс, протекающий в системе.
Дифференциальное уравнение, содержащее случайные функции
времени, часто называют стохастическим. Если функции f и g не-
линейны относительно rj, то (9.21) есть нелинейное стохастическое
дифференциальное уравнение первого порядка.
Очевидно, что при случайном воздействии £(/) интересующий
нас процесс г](/) будет иметь также случайный характер. Предпола-
гая характеристики случайного воздействия £(/) известными,
а функции fug — заданными, нужно найти статистические харак-
теристики процесса yj(Z). Решение этой задачи связано с решением
дифференциального уравнения (9.21).
Метод решения уравнения (9.21) зависит от интенсивности слу-
чайного воздействия £(/) и отношения его времени корреляции тк
к характерной постоянной времени систем тс. При этом, говоря об
интенсивности случайного воздействия, следует иметь в виду не
фактическую величину той или иной статистической характеристики
случайной функции |(/) (например, величину ее дисперсии), а вы-
зываемый ею в системе эффект (флуктуационный разброс).
В зависимости от этих двух факторов можно указать следующие
частные случаи и соответствующие методы их рассмотрения.
1. Случайное воздействие малой интенсивности. В данном слу-
чае, независимо от соотношения тк и тс, применим метод линеариза-
ции. Он заключается в том, что уравнение (9.21) линеаризируется
относительно малых флуктуационных отклонений от невозмущен-
ных значений и делается пренебрежение нелинейными членами,
содержащими эти флуктуационные отклонения. Метод линеариза-
ции позволяет сравнительно просто вычислить среднее значение и
корреляционную функцию процесса т](/) в стационарном и неста-
ционарном состояниях и тем самым определить его плотность вероят-
ности при воздействии на нелинейную систему нормального про-
цесса £(/). Однако при негауссовом возмущении £(/) нахождение
даже одномерной плотности вероятности для yj(Z) сопряжено с боль-
шими трудностями.
2. Случайное воздействие большой интенсивности. В этом слу-
чае нельзя указать единого и универсального метода решения;
выбор метода зависит от соотношения между тк и тс.
а) Если тк тс, то применим аппарат марковских процессов и,
в частности, уравнение Фоккера — Планка, согласно которому
искомая одномерная плотность вероятности процесса т](/) опре-
деляется уравнением в частных производных
335
= - Д [Ki (n) W (я, 0] + | ~ 1К2 (я) W (я, 01. (9.22)
Здесь
Кп (я) = lim = lim <(Tk~n)n>, (9.23)
т - О Т т - О Т
причем при статистическом усреднении в (9.23) величина я = я(0
рассматривается как фиксированная, а % = т](/ + т) считается
случайной, т. е. усреднение должно выполняться с соответствующей
вероятностью р (тк, t + т | я> t) перехода я = я(0 в %= т](/ + т):
оо
<(Я* —я)л> = J (Я*~n)”pGM + 'd'n> t)di]x. (9.24)
Указанный случай весьма часто встречается в задачах автома-
тики и измерительной техники. Наиболее характерным для данного
метода является то, что даже в существенно нелинейных задачах он
позволяет достаточно просто находить одномерные плотности вероят-
ностей для стационарных процессов т)(0- При этом dW(r\,t)/dt = 0 и
уравнение (9.22) приводится к линейному дифференциальному урав-
нению
d
(я) w (п)]—2К/ (я) W (я) = —G, (9.25)
где постоянная G определяется граничными условиями. При нуле-
вых граничных условиях G = 0 и из (9.25) получаем
Т [Кз (п) W (Я)] - 2КХ (я) W (я) = 0.
ат|
Общее решение этого уравнения дается выражением
(9.26)
с
W М = F7T ехр
Аг (л)
*1(х)
К2(х)
dx
(9.27)
где постоянная интегрирования С определяется из условия норми-
ровки плотности вероятности И7(я).
Если (9.21) представить в виде
Я(0 = -ПШ Ш (9.21а)
то структурные числа Ki (я) и Кг(я) могут быть вычислены по фор-
мулам
Ki(n) = (/7h,g]>, (9.23а)
К2(я) = J «ЛпЛ]ЛЯг. £т]>-К?(я)Мт.
336
Для нелинейного стохастического дифференциального уравнения
n(0=/h(0]+^[r)(0H(0 (9.216)
структурные числа равны
KiOl) = /blb 1 (9.236)
к2(п)=ад[п1,1
где
оо
— оо
Для нестационарных процессов т](/) решение уравнения (9.22)
удается получить лишь в некоторых частных случаях.
При решении практических задач методом уравнения Фоккера —
Планка встречаются трудности в двух случаях: во-первых, когда
в правую часть дифференциального уравнения (9.21) аддитивно и
линейно входит производная по времени от случайной функции £(/),
и, во-вторых, когда функция g на интересующем нас интервале из-
менения £(/) является разрывной. В этих случаях иногда удается
продуктивно воспользоваться явлением нормализации случайного
процесса на выходе инерционной нелинейной системы [18, 19].
При этом заранее предполагается, что одномерная стационарная
плотность вероятности Ц7(т]) является нормальной с малой диспер-
сией. Поэтому дисперсия определяется из линеаризованного урав-
нения (9.21), а среднее значение — из нелинейного уравнения
(9.21) [20, 21 ]. Кроме того, во втором случае для вычисления средне-
го значения и дисперсии применяют также квазилинейный метод,
часто называемый методом статистической линеаризации [22],
который фактически базируется на том же явлении нормализации
[23].
б) При тк^> тс можно ограничиться квазистатическим приближе-
нием. Оно характеризуется тем, что в первом приближении делается
пренебрежение производной т] = dx\(t)/dt в уравнении (9.21), после
чего задача сводится к рассмотренному ранее безынерционному не-
линейному преобразованию f [т](/) ] = £[т)(0, I (0, В некоторых
случаях [24] при сведении инерционного нелинейного преобразова-
ния к безынерционному целесообразно воспользоваться методом
усреднения [25, 26].
в) Случай промежуточных времен корреляции (тк ж тс) яв-
ляется наиболее сложным. Для ряда нелинейных систем этот слу-
чай можно анализировать, используя функциональное представле-
ние Вольтерра нелинейных дифференциальных уравнений [27].
Аналогичная по существу, но несколько отличная по форме мето-
дика выполнения соответствующего анализа была независимо пред-
ложена Н. Винером [7] и в работе [1].
12 Зак. 728
33/
В заключение отметим, что области применения перечисленных
методов анализа принципиально не ограничиваются порядком нели-
нейного стохастического дифференциального уравнения. Однако
с повышением порядка этого уравнения существенно возрастает
трудоемкость вычислений.
§ 2. Примеры
Пример 9.1. На безынерционный двухсторонний квадратич-
ный детектор с характеристикой (рис. 9.3)
воздействует стационарный нормальный шум £(/) с плотностью ве-
роятности
<9-28)
Определить плотность вероятности IFi(q) процесса т](0 на вы“
ходе детектора.
Рис. 9.3. Характеристика двух-
стороннего квадратичного детек-
тора.
Решение. При а > 0 случайная величина т) не может быть
отрицательной, поэтому Wr (rj) = 0 при т) < 0. Для т) > 0 имеем
S = AW = ±]/y
в соответствии с чем модуль якобиана преобразования (9.5) равен
=1^
dr\
Учитывая, что в рассматриваемом примере функция £ = й(т]) дву-
значна, по формуле (9.4) находим
^1(П)=
о, п < 0.
(9.29)
338
Т а б л и ц а 9.2
КЗ
Плотности вероятностей (-q) на выходе типовых безынерционных нелинейных устройств
Тип нелинейного устройства g (£) Wi (£) (^1>
аналитическое выражение график
1. Двухсторонний квад- ратичный детектор т] = а£2, а > 0 '7^
О £ 1 ° * 0 ч
2. Односторонний квад- ратичный детектор Л (О, g <0 ‘7 у Л5
0 £ ° 0 Ч
W «о 3. Односторонний огра- ничитель 1 II СО О tfro (Лг* (П* Л V 17 / ^^1 ^**4 к5
0 CL f 0 Л
о ч
Тип нелинейного устройства g(5)
аналитическое выражение
4. Двухсторонний огра- ничитель п = 8 V/ со. 1 V 8 V °?- Л WJ) 1 ОЛР * *4? «
5. Квантователь на два уровня о о А V у -
6. Квантователь на три уровня Г) = а, а, 0, -b, £<-₽
7. Ограничитель Л ~ | « 8 ~ V V СО- JJLP JJLP jjj) 1 V/ V V « V СО. со д W-р 1 1 JJJ) о «Ь в
Продолжение табл. 9.2
Если среднее значение процесса £(/) равно нулю (т = 0), то
формула (9.29) приводится к виду
Г1(П) =
z VA М <------
а V 2лат) [ 2ао2.
о, Т)<О.
График этой функции приведен в табл. 9.2.
Пример 9.2. На вход безынерционного ограничителя с харак-
теристикой (рис. 9.4)
— Ь
£
а
П = £(&) =
при £<—₽,
при —р <£<а,
при |>а
(9.30)
воздействует стационарный нормальный случайный процесс %(f)
с плотностью вероятности (9.28).
341
Определить плотность вероятности 1Fi(t]) процесса т](/) на выходе
ограничителя.
Решение. На интервале [—Ь, а} преобразование rj = g (£ )
в данном примере является линейным: т] = s£. Поэтому внутри
этого интервала
(л) = , —b < rj < а.
\ S ) S
Вероятность того, что rj < —Ь или rj > а, равна нулю, а ве-
роятность того, что т] заключено в интервале [—&, а], равна
Все значения £, для которых £ > а, преобразуются ограничи-
телем в одно значение т] = а (рис. 9.4). Аналогично, все значения
% < —₽ преобразуются в значение т] = —&. Следовательно, ве-
роятность
оо
Si = J (g) dl
преобразуется для т] в дельта-функцию, расположенную в точке
т) = а. Множитель при этой дельта-функции 6(т] — а) пропорцио-
нален Si. Вероятность
-3
S2 = J w^dl-
преобразуется для ц в дельта-функцию, расположенную в точке
Я = —Ь, множитель при этой дельта-функции 6(т) + Ь) пропор-
ционален S2. Таким образом, искомая плотность вероятности равна
— Wi f —4-lSx 6(т]—a)4-^S2 б(т] + ^), —b < я < а,
S \ s J
о, — Ь, Т)>а.
Здесь Л — коэффициент пропорциональности, определяемый из
условия нормировки плотности вероятности №\(г]):
а
X(Sx + S2)+— f wr рфт]=1.
s ±ь ^s'
Очевидно, при s = 1 коэффициент Л = 1.
График плотности вероятности l^i(r]) приведен в табл. 9.2. Там
же представлены плотности вероятностей на выходе неко-
торых безынерционных нелинейных устройств при воздействии на их
342
вход стационарного нормального случайного процесса £(/) с нуле-
вым средним значением.
Пример 9.3. Определение дальности до цели сопровождается
систематической и случайной ошибками дальномера. Первая из
них представляет собой стационарный случайный процесс g (/), рав-
номерно распределенный на интервале [—а/2, а/2], а вторая —
нормальный случайный процесс ?](/) с плотностью вероятности
^(т1)=т4=-ехр (9-31)
У 2ла ( 2a2J
Полагая процессы £(/) и т](/) независимыми, определить вероят-
ность того, что суммарная ошибка
р(/) = £(/)+п(0
будет находиться внутри интервала [—г, г].
Решение. Искомая вероятность Р(—г < р < г) равна
р (_2<p<z)= J иМиИи. (9.32)
— 2
где IFi (р,) — плотность вероятности процесса ц(/), для вычисления
которой можно воспользоваться формулой (9.7а).
Учитывая, что по условию процессы £ (/) и т](/) статистически
независимы, имеем
оо
^1(р)= $ ^-4)^4. (9-33)
— оо
Подставляя в (9.33) плотность вероятности (9.31) и
(9-34)
находим
Р-+2-
= JL Гф / JL \ _ф( ____L'j
а [ \ а 2a / \ а 2а/
(9.35)
Здесь Ф (х)—интеграл вероятности (2.9). Графики плотности вероят-
ности Wi (р) для нескольких значений a/a приведены на рис. 9.5.
После подстановки (9.35) в (9.32) и ряда несложных преобразо-
ваний получаем [28]
Р(—и<р<г) = + —+
\ а ) \ a 2a /
343
z а
а 2о
’ Ф'(г) = ^-Ф(г).
(9.36)
Значения этой вероятности представлены на рис. 9.6.
Точное выражение (9.36), определяющее вероятность того, что
суммарная ошибка измерения не выйдет за пределы допустимого ин-
тервала, мало удобна для практического использования в силу своей
Рис. 9.5. Плотность вероятности суммы нормального
и равномерно распределенного случайных процессов.
сложности. Однако, в тех случаях, когда отношение среднеквадра-
тичного значения о случайной ошибки к ширине а распределения
систематической ошибки превышает величину о/а = 0,3, оно может
быть с высокой степенью точности аппроксимировано интегралом
вероятности:
Р(—?<ц<г)«2ф(—) — 1.
\ а1 /
(9.37)
Здесь равна сумме дисперсий систематической и случайной
ошибок:
о? = —+ о2.
12
344
При 0,2 < ст/а < 0,3 формула (9.37) дает хорошее совпадение для
вероятностей, превышающих 0,85. Для сг/а < 0,2 не удается по-
добрать хорошую аппроксимацию и приходится пользоваться точ-
ным выражением (9.36).
Рис. 9.6. Вероятность нахождения суммарной
ошибки внутри заданного интервала.
Пример 9.4. На нелинейный элемент с параболической харак-
теристикой
n=g(£) = М + а2 В2
воздействует стационарный случайный процесс
В(0 = s(t) + n(t),
где s(t) — гармонический сигнал
,s(t) = Am cos (®01 + <р)
с постоянной амплитудой и частотой и случайной начальной фазой ср,
равномерно распределенной на интервале [—л, л], а п(/) — нор-
мальный стационарный шум с нулевым средним значением и функ-
цией корреляции
А:„(т) = </г(0/г(^ + т)) = ^7?(т).
Определить среднее значение пц и функцию корреляции бДт)
процесса т)(0 на выходе элемента при условии статистической неза-
висимости сигнала и шума. Для частного случая
12В Зак. 728 Э45
/?(т) = е-^Ч a<o)0,
Определить физическую спектральную плотность S^) выходного
процесса т)(/).
Решение. По условию примера
П (0 = ar [s (0 + п (/)] + а2 [s (t) + п (Z)]2 =
= ах s (t) + atn (t) + а2 s2 (t) + 2a.2 s (t) n (t) + a2 n2 (t). (9.38)
Производя статистическое усреднение соотношения (9.38) и учиты-
вая, что в рассматриваемом примере
<s(0>=0, <п(0)=0, <$(/)п(/)> = 0,
получаем следующее выражение для среднего значения процесса
П(0-
/Л2 \
= <Т) (0> = ^2 + а2у •
Перемножив равенства (9.38) для моментов времени t и t + т
и выполнив статистическое усреднение результата перемножения,
вычислим второй момент процесса т](£):
Мц (т) = <11 (0 п (t + т)> = а 1
+ ^2
'А2
YCOSCD0t+ сг2Я(т) +
Л4 / 1 \
~ ( 1 + "COS 2(Оо Т Н- 2Лт ст2 R (т) COS tt»0 Т +
-I-0 +2о47? 2(т)
Отсюда находим корреляционную функцию:
2 2 ^fn 2 А/п
(т) = М1г (т) — m^ — ai — cos <л0 т + а2 — cos 2®0 т -|-
2 8
+ а2 о2 R (т) + 2а1 о4 R2 (т) + 2а1 А„ о2 R (т) cos соо т. (9.39)
Для вычисления спектральной плотности Sn (/) следует восполь-
зоваться формулой (5.176):
оо
-Зц (/) = 4 (т) cos 2nfx dx. (9.40)
о
После подстановки в (9.40) корреляционной функции (9.39) при
/?(т) = ехр{—а | х |), находим
Д 2 д 4
(0 = 6 (/-f0) + 4 6 (f-2f0) + 4а2 (а? + & о2) х
2 8
346
a
(9.41)
ОС , . о „О о
X ---------- _|_ 4^2 /4ZW О
d2+4^P a2 + 4Ji2(f-f0)a
Из (9.41) следует, что спектр STj(/) является дискретно-сплошным
(рис. 9.7). Он состоит из двух дискретных спектральных линий
при f = fQ и f = 2/о, обусловленных наличием на входе параболи-
Fec. 9.7. Дискретно-сплошной спектр.
ческого элемента гармонического^'сигнала s(/), низкочастотного
сплошного спектра, обусловленного только шумом, и сплошного
спектра, расположенного в окрестности частоты f = Последний
обусловлен взаимодействием сигнала s(t) и шума n(t) в результате
нелинейного преобразования.
Пример 9.5. На вход перемножителя (рис. 9.8) воздействуют
стационарные случайные процессы ^(/) и £2(/) с энергетическими
^)0---------1
Г7П n(t)
X ------0
’
Рис. 9.8. Перемножитель.
спектрами Sj((o) и S2(co), соответственно равными
Nu А — Cik < 1 2 (0 , А -“i+ Y'
sx (<»)=. А 1 2 со < »,+А. (М2) 1 2
0 при других cd;
А — (02 2 2 (0 , А -»=+—
^2 (W) = n2, А . (02 < (0 < 2 2 «l+A, (М3) 2 2
0 при других (0.
12В*
347
Определить энергетический спектр З^со) случайного процесса
Т|(О = £1(0 ыо
на выходе перемножителя.
Решение. Энергетический спектр S^(co) случайного процесса
*П(0 = £1(0 Ы0 определяется формулой
1 Г
S’i(®)=4^S Si(v)S2(®—v)dv, (9.44)
где Si(v) — энергетический спектр процесса £i(/), a S2 (<о — v) —
спектр, сдвинутый на частоту со относительно энергетического спект-
ра S2 (—v) процесса g2(/).
Графическое изображение спектров S4(v) hS2(v) дано на рис. 9.9.
Там же показан спектр S2(co — v).
Интеграл (9.44) отличен от нуля только в том случае, когда
отлична от нуля подынтегральная функция, т. е. когда спектры
*1
д д о д д
~"Г2 “i'2 “l*2
/v2
OJ + O)2
Л
ы'ыг2
СО
ы'шг2
Рис. 9.9.
Спектральные плотности процессов на вхо-
дах перемножителя.
348
Si(v) hS2(w — v) перекрываются. Как следует из рис. 9.10, при из-
менении со от —оо до оо, т. е. при перемещении спектра S2 (® — v)
слева направо относительно спектра Si(v), такое перекрытие имеет
место в четырех случаях, первый из которых соответствует перекры-
тию составляющей спектра Si(v) в области v<0 с составляющей
Рис. 9.10. Области интегрирования.
спектра S2(w — v) в области со — v > 0. Этот случай перекрытия
Si(v) и S2(co — v) имеет место при. значениях частоты со, удовлетво-
ряющих неравенствам (рис. 9.10)
<0 + 0)2 + “>—<в + <в2---------------— (9-45)
Объединяя неравенства (9.45), находим область значений <о, соот-
ветствующую первому случаю перекрытия спектровSi(v) hS2(co—v):
—wc—Д<со< — ис + Д,
где <ос = g>i + tt»2 — суммарная частота.
При дальнейшем увеличении со и выполнении неравенств
। . А А । А , А
<° + <°2 + — > --(0-j- (02-----+
наступает перекрытие составляющей спектра S4(v) в области v > 0
с составляющей спектра S2(co — v) при (о — v > 0. Соответствую-
щая этому случаю область значений со определяется соотношением
(Ор—Д <(о<(ор + А,
где о)р = (о1—со2— разностная частота.
Аналогичным образом для третьего случая (перекрытие состав-
ляющих Si(v) в области v < 0 и S2((o — v) в области (о — v < 0)
находим
—(ор — А < (о < —(Ор + А,
а для четвертого (перекрытие составляющих Si(v) в области v > 0
и S2((o — v) в области со — v < 0) имеем
(ос —Д< (о < (ос + Д.
349
Подставляя теперь в (9.44) значения Si (v) и S2 (ю — v), опре-
деляемые соотношениями (9.42) и (9.43), и производя интегрирова-
ние в указанных выше областях, получаем
—юс—А < ю < — юс,
Si) (ю) —
' So (^с + ^Н-®)’
S«(—®с + Л—®).
S0(®p +Д+ ®)>
so(—сор + А—и),
So (—(Op + А + (о),
So (Юр 4-А—со),
So(—®с 4-А 4-ю),
So (юс4-А—ю),
О
—юс < ю < — <ос + А,
—юр—А <ю< —<ор,
— юр<ю< — ®р + А,
®р—А<(о<(ор,
Юр < ю < юр 4- А,
юс—А<ю<юс,
юс<ю<юс + А,
при других ю,
где So = Л\М2/4л. График функции S^co) представлен на рис. 9.11.
~ь)р~Л cjp~A cjp*A шр-Д
Рис. 9.11. Спектральная плотность на выходе пере-
множителя.
Пример 9.6. На безынерционный ограничитель с характери-
стикой (9.30) воздействует стационарный нормальный случайный
процесс £(/) с нулевым средним значением и функцией корреляции
^(т) = о27?(т).
Вычислить среднее значение и корреляционную функцию про-
цесса т](/) на выходе ограничителя.
Решение [3 ]. В соответствии с определением среднее значение
на выходе ограничителя равно
ОО — 3
— b +
— ОО —00
а оо
4-8 5 (1)^4- «5
-0 а
где ^1(5) — нормальная плотность вероятности (9.28) при т = 0.
350
Таблица 9.3
Значения коэффициентов ап
Симметричное ограничение а/а=/3/а==-[/о
ап 1/а 0,1 0,3 0,5 0,7 1,0
0,646 0,735 0,789 0,837 0,901
а2 0 0 0 0 - 0
а3 0,114 0,114 0,112 0,103 0,072
ал 0 0 0 0 0
0,050 0,048 0,042 0,033 0,015
а9 0 0 0 0 0
<h 0,030 0,027 0,021 0,013 0,003
а» 0 0 0 0 0
Несимметричное ограничение 0/0 — О
а/а
а п 0,3 0,5 1 ,0 1 ,5 2,0 оо
а2 а3 а* а3 ач а3 0,681 0,007 0,107 0,007 0,045 0,004 0,026 0,004 0,704 • 0,021 0,099 0,015 0,037 0,011 0,019 0,009 0,736 0,078 0,062 0,042 0,012 0,025 0,003 0,015 0,739 0,142 0,025 0,052 0,001 0,020 0 0,008 0,740 0,193 0,007 0,043 0 0,010 0 0,002 0,733 0,233 0 0,020 0 0,006 0 0,003
Несимметричное ограничение
₽/0
0,3 0,5 0,7 1 ,0
1,0 | 1,5 3,0 1,0 | 1,5 3,0 1,0 | 1,5 3,0 1 ,5 2,0 3,0
0,809 0,819 0,821 0,840 0,859 0,864 0,871 0,893 0,902 0,930 0,939 0,944
а2 0,036 0,085 0,154 0,018 0,054 0,110 0,006 0,031 0,075 0,010 0,025 0,038
а3 0,081 0,043 0,006 0,087 0,050 0,01 1 0,086 0,053 0,014 0,049 0,029 0,015
0,019 0,029 0,013 0,009 0,014 0,007 0,003 0,008 0,003 0,002 0,002 0
0,021 0,005 0,001 0,023 0,007 0,002 0,021 0,008 0,003 0,005 0,002 0,002
0,011 0,010 0,002 0,004 0,005 0 0,001 0,002 0 0 0 0
0,007 0,001 0,001 0,008 0,001 0,002 0,005 0,001 0,002 0 0 0,001
а3 0,006 0,003 0,001 0,002 0,001 0 0 0 0 0 0 0
После подстановки Wi(%) в пц и несложных вычислений получим
m. = so(—Г1— Of ——O'f —Ц1_ф/1_у|4-ф'( JLU.
( а [ \°/J \ с / о L \ о /] \ о /)
Для вычисления корреляционной функции #т/т) воспользуемся
формулой (9.18). После двухкратного дифференцирования нелиней-
ной характеристики g(|) ограничителя имеем
О) = (£ + ₽)-б (В-а)],
в соответствии с чем из (9.18) находим [3]
^(r) = (sar f Гф<п-1)
П « 1 L
«') ф(п-в( МРПт),
а / \ а / J и!
оо
= о, 5 anRn(T),
п— 1
(9.46)
где
ф(п-1) / И_ф(«-1) /'—₽_\1211?)_ .
\ а / \ о J] л!а^
Значения коэффициентов апдля различных случаев ограничения
даны в табл. 9.3, откуда, в частности, следует, что определяющую
роль в формуле (9.46) играет первый член с коэффициентом at.
Сумма всех остальных коэффициентов даже при сильном ограничении
(например, симметричное ограничение с у/о = 0,1) составляет при-
мерно 35% от суммы всех коэффициентов. Поэтому иногда ограни-
чиваются учетом в (9.46) только первого члена, что по существу
соответствует линейному преобразованию процесса £(/).
Пример 9.7. На вход квантующего устройства с характеристи-
кой (рис. 9.12)
352
Л=£(В) = аг. аг<£<а|+ь
где i — 1, 2, 3 N—1, воздействует стационарный нормаль-
ный случайный процесс £(/) с нулевым средним значением = Ои
функцией корреляции
^(т) = о2/?(т).
Предполагается, что функция g(|) нечетна, т. е. —g(—5) = g(£),
а общее количество уровней квантования а,- равно четному числу.
Определить среднее значение пц и функцию корреляции ^(т)
процесса т](/) на выходе квантователя .
Решение [19]. Среднее значение процесса т](/) равно
оо
^ = <П(0>= $
— оо
Подставляя сюда плотность вероятности a>i(B), определяемую фор-
мулой (9.28) при т = 0, и учитывая нечетность функции g(£),
находим
т^ = 0.
Корреляционная функция процесса т](/) на основании формулы
(9.17) равна
оо ( оо
$ £(&)Ф<"+1>
п = 1 (— оо
Выполнив интегрирование по частям, получим
а /
Для рассматриваемого примера
£'(&)= *2 Лгба-аД
I = 1
где Дг = a,-_|_i—cq — расстояние между соседними уровнями кван-
тования.
Таким образом, находим
оо t N
\ g(£)<D(n+,)|-Md& = удгФ<п>(-^
J \ a J \ а
— оо i — 1
Подставляя это выражение в£п(т), получаем формулу для функции
корреляции
а / и!
g(B)Q(«+»
353
сс р- 1 12 „ .
n=i L < = 1 .
Пример 9.8. Найти функцию корреляции feq(x) на выходе
безынерционного сглаженного ограничителя с характеристикой
(рис. 9.13)
П = g(В) = а4—\ е-2^dx,
Y у 2л J
о
где а и у — постоянные величины, при воздействии на вход огра-
ничителя стационарного нормального шума с двумерной плотно-
стью вероятности (9.J4).
Решение. Для определения воспользуемся формулой
(9.20). Подставив в нее первые производные
, /t\ 2а ( В2 )
г®=у&7ех₽(НУ’
находим
ЭМп(т) 2аа &а— da
dg(t) nya ’ 1 — Яа(т)
X exp
ОО ОО
f f_______1_____
J J 2л/ба —da
(9-47)
где
b = yaga {уа+аа [1—^?a (t)]). d = ya bR (T)
(Ya+oa)a—<т*яа(т) ’ T2+aa[l—7?а(т)1’
Двухкратный интеграл в правой части равенства (9.47) равен
единице, поскольку он представляет собой интеграл от двумерной
зм
нормальной плотности вероятности по всей области изменения пере-
менных. Следовательно,
дМп(т) 2а2!/ Ь2 —d2
07? (т) “лу2 V 1—/?2(т)
2а2 а2
Я(а2+ 72)
Отсюда находим
' а« + т2
z ч 2а2 f dx . п 2а2 . /?(т) п
Л4ц(т) = — —=г + С = — arcsin--------+
п J J/1-х2 я 1+Ш
0 \ О /
где С — произвольная постоянная интегрирования. Она опреде-
ляется из условий
lim/?(x) = 0; lim Мп(т) —С = пг^ = а2.
т->оо т—>оо
Таким образом, искомая функция корреляции fe^(x) равна
(т) = — arcsin —vvyr • (9.48)
1+(i)
Если воспользоваться разложением
I 1 Ч I 1*3 Е .
arcsinx = x-4------------х54-...,
2-3 2*4-5
функцию (9.48) можно представить в виде ряда
k 4т)= ——-------[gg/?(T)+t<Taj?-^]-- +...Т
л(а2+?2)1 2-3(у2+а2)2 J
Пример 9.9. На один из входов перемножителя упрощенной
схемы фазовой автоподстройки частоты (рис. 9.14) подается адди-
тивная смесь гармонического сигнала
«с (0 = Ат cos “о t = Ат COS фх (О
Рис. 9.14. Упрощенная 'схема
фазовой автоподстройки частоты.
355
и квазигармонического шума
п (/) = A (t) cos Ф (/) = А (/) cos [й0 t + 0 (/)] =
= Ас (/) cos со01 + As (t) sin co01
co спектральной плотностью, симметричной относительно средней
частоты сигнала ®0> и функцией корреляции
kn (т) = о2 р (т) cos со0 т.
Здесь Ат — постоянная амплитуда сигнала; А(1) — огибающая
шума; 0(/) — случайная фаза.
На второй вход перемножителя подается гармоническое колеба-
ние от местного гетеродина
мг (/) = Аг cos cor t = Аг cos Ф2 (/),
где Аг — постоянная амплитуда; <ог — средняя частота колебаний
гетеродина. Предполагается, что коэффициент преобразования пе-
ремножителя равен р, коэффициент передачи фильтра нижних час-
тот (ФНЧ) равен единице в пределах его полосы пропускания и
нулю — вне ее, а крутизна линейного участка характеристики
управляющего элемента (УЭ) равна з.
Определить дисперсию о2 разности фаз сигнала ис (t) и колеба-
ний гетеродина ur(t)
<p(0 = ®t(0-<D2(0
при условии, что отношение сигнал/шум на входе системы ФАП
Am/o > 1.
Решение. Поведение разности фаз ф(/) определяется следую-
щим нелинейным стохастическим дифференциальным уравнением
первого порядка [29, 301:
•ii- * . ГДС(О . As(t) 1
<р + A sin <р = До—A с v z sin ф-соэф ,
L ААт
(9.49)
где А = 0,5psAmAr — полоса удержания; Ао = (ог0 — со0 — на-
чальная расстройка.
По условию задачи отношение сигнал/шум на входе системы
ФАП велико (Am/o^> 1). Из физических соображений ясно, что в ста-
ционарном режиме работы ФАП малый шум n(t) будет вызывать не-
большие случайные колебания разности фаз ф(/) около некоторого
устойчивого состояния равновесия ф0, значение которого можно
определить, положив в (9.49) ф = 0 и Ac(t) = As (t) = 0:
Фо = (ф (0> = arcsin
А
Поэтому для решения задачи применим метод линеаризации урав-
нения (9.49).
356
Введем в рассмотрение случайные колебания разности фаз
ф(/) = <р(/) —<р0 (9.50)
и, учитывая их малость, в дальнейшем будем полагать sin ф a ф,
cos ф a 1. После подстановки (9.50) в (9.49) получим
ф +]Уд2—Д^ф =
= — д
~Лс(0
(ip cos <р0+ sinqp0) —
(cos ф0 — ф sin ф0)
Согласно (7.11) дисперсия функций Ac(t) и As(t) равна а 2. По-
этому в правой части последнего уравнения случайными составляю-
щими с фДс(/)Мгп и фД5(0М7П, как имеющими второй порядок ма-
лости по сравнению с остальными, можно пренебречь. Таким обра-
зом, в линейном приближении приходим к следующему линейному
дифференциальному уравнению флуктуаций разности фаз:
ф + рЛД2_Д2ф=_Д^(0, (9-51)
где
лс(0 ДНО
£ (/) = S1 п ф0---cos ф0.
Случайная функция £ (t) представляет собой нормальный ста-
ционарный процесс с нулевым средним значением и функцией корре-
ляции
Поскольку флуктуации ф (/) определяются линейным дифференци-
альным уравнением, в правую часть которого входит нормальный
случайный процесс, то они будут распределены также по нормаль-
ному закону. Среднее значение этих флуктуаций можно получить,
выполнив статистическое усреднение обеих частей уравнения (9.51):
/Пф = <ф (/)> =0.
Для вычисления дисперсии о2 = о2 следует воспользоваться фор-
мулой (8.126), положив в ней т = 0:
2 2 АгС -уГД2-Д„-« , С , , . — У Д2 —Д2(*-у) ,
—о?=Д^е f ° dx } (у) е ' 0 dy.
0 — оо
Пример 9.10. Определить одномерную плотность вероятности
^(ф) разности фаз ф(/) = Ф1(/) — Ф2(0 в примере 9.9 при усло-
вии, что корреляционная функция воздействующего на систему
ФАП (рис. 9.14) квазигармонического шума n(t) имеет вид
kn (т) = о3 р (т) cos соо т = о2 е-*1 т 1 cos со0 т.
357
Время корреляции т1( шума п(/) считается много меньше по-
стоянной времени системы ФАП (тк « 1/а 1/А).
Решение [20]. Представим уравнение (9.49) в следующем
виде:
Ф =—A sin ср-|-Ао —(Z, ср), (9.52)
где
£ (Л ф) — sin ф— cos ф.
Ап Д/П
При каждом фиксированном значении ф случайная функция
£ (/, ф) представляет собой стационарный нормальный процесс
с нулевым средним значением и функцией корреляции
^^) = (^Гр(т) = (у-Ге-а|т1- (9.53)
\Ат/ \Ат/
Из соотношения (9.53) следует, что время корреляции процесса
£ (t, ф) также много меньше постоянной времени ФАП, в соответ-
ствии с чем к уравнению (9.52) применим аппарат марковских про-
цессов, и, в частности, уравнение Фоккера — Планка (9.22).
Применительно к нелинейному стохастическому дифференци-
альному уравнению (9.52) и корреляционной функции (9.53) коэффи-
циенты К„(ф), входящие в уравнение (9.22), равны
-К1(Ф) = АО—Л sin ф, /<2(Ф) = 2 f-J-У —-
Поэтому в рассматриваемом случае уравнение Фоккера — Планка
имеет вид
д-^^- =-4- КД0 — A sin ф) (ф, 01 +
01 Оф
\4/ а д<р2
Получить математически строгое решение этого уравнения в об-
щем случае затруднительно, поэтому в дальнейшем будем интере-
соваться лишь стационарным распределением, которое характери-
зуется тем, что плотность вероятности №\(ф) не зависит от времени.
Для этого случая Э1Г1(ф, t)/dt = 0 и уравнение (9.54) упрощается:
[(Do—D sin ф) W. (ф)] = 0, (9.55)
ау* аф
где
D — f V р — /
0 \ a J Д2’’ \ a / Д ’ D Д *
Параметр Do характеризует величину начальной расстройки, aD —
величину отношения сигнал/шум на входе системы.
358
Общее решение уравнения (9.55) можно записать в виде
<р
Wz1((p) = C1e£)o^+£)cos^ § e-£>o<p-0cos<pdty.
с2
Оно содержит две постоянные интегрирования Ci и С2, которые опре-
деляются из двух условий:
1) условия периодичности плотности вероятности 1Г1(ф):
UMT±2n) = W\((p),
2) условия нормировки плотности вероятности U^i(qp) на каждом
периоде:
J №1(ф)Жр = 1-
О
После вычисления постоянных интегрирования получим [31, 32]
№1(Ф)= 4Н2-|7^-(5)|2 J e-^-ocos<p
Здесь IjDt (£)) — функция Бесселя мнимого индекса и мнимого аргу-
мента [331. При нулевой начальной расстройке (Do — 0) имеем
№ (т) =---------eD cos f .
2n/0(D)
Пример 9.11. Для измерения дисперсии стационарного флук-
туационного тока £(/) часто применяют термоэлектрические при-
боры, состоящие из гальванометра (Г) и «квадратичной» термопары
(Т) (рис. 9.15). Если постоянная времени гальванометра много
меньше постоянной времени термопары (это условие обычно выпол-
359
няется на практике), то отклонение <р(/) стрелки гальванометра опи-
сывается уравнением [34]
.^ + аф(0 = ат (9-56)
at
где коэффициент а характеризует чувствительность, а а — инер-
ционные свойства прибора.
Требуется определить плотность вероятности №1(ф) для откло-
нения стрелки прибора ф(/) и оценить относительную погрешность
измерений S = Оф//Пф, где /пф и оф — среднее и средне-квадратичное
значения отклонений стрелки гальванометра. Предполагается, что
- нормальный флуктуационный ток £(/) имеет нулевое среднее зна-
чение и функцию корреляции
^(T) = ah-3lT|> Р»а. (9.57)
Решение [34]. Поскольку по условию примера 0 ^>а, для
его решения можно применить уравнение Фоккера — Планка.
С этой целью преобразуем уравнение (9.56), выделив из его правой
части среднее значение в явном виде.
Введем в рассмотрение центрированную случайную функцию
U0 = B2(0-^2- (9.58)
Воспользовавшись результатом задачи (5.12), найдем корреляцион-
ную функцию процесса £ (/):
^(т) = 2о|е“2р|т|.
Подставив (9.58) в (9.56), получим следующее уравнение:
Ф = —а<р 4- ао2 + at, (t). (9.59)
Уравнение (9.59) является частным случаем нелинейного стоха-
стического дифференциального уравнения (9.216). Поэтому коэф-
фициенты /<1(ф) и /С2(ф) находим по формулам (9.236):
9 2а2 al
(Ф) = -аф + aal, К2 (Ф) = —1< (9.60)
₽
Подставив (9.60) в (9.27), окончательно получим
(y-m<p)2
^х(ф)
V 2л а?
где
аа?
/n<f = —
а
2 . а20£
Оф= —-
? ар
360
Относительная погрешность измерений равна
Таким образом, точность измерения увеличивается с ростом отно-
шения постоянной времени прибора к времени корреляции тока £(/).
§ 3. Задачи и ответы
9.1. На вход двухполу пер иодного квадратичного детектора
с характеристикой (рис. 9.3)
т) =g(D = а > О,
воздействует стационарный нормальный процесс £(/) со средним
значением mt и дисперсией о^.
Найти плотность вероятности W\(t]), среднее значение и
дисперсию о^ выходного процесса т](/).
Ответ:
^(Т1) =
2 Y 2лат)
т)<0;
О, т] <0;
т = a (of + ml); о2 = 2а2 of (of Ц- 2mf).
9.2. Огибающая Л(/) узкополосного случайного напряжения
£ (/) на входе квадратичного детектора огибающей распределена
по закону Релея
Л ( Л2 'i
rx(4) = A ехр , А>0.
о2 ( 2a2J
Найти плотность вероятности, среднее значение и дисперсию на-
пряжения т](/) на выходе детектора, если
Ответ:
W\(t]) = —”е аа\ т]>0; т^—ао2; о2 = а2о4.
361
9.3. На цепь, состоящую из последовательно соединенных по-
лупроводникового диода Д и сопротивления 7? (рис. 9.16), воздей-
Д
а
W) I—U -*l J |
I Рис. 9.16. Нелинейная
I электрическая цепь.
ствует стационарный нормальный шум с нулевым средним значением
и дисперсией о2.
Характеристика диода имеет вид
(su, гг > О,
i = g (и) = < Л
s v 7 ( s1u) и<0,
где
1 1
s =-------, s, =-----------,
#inp+# #io6p+#
/?£пр — внутреннее сопротивление диода в прямом направлении,
7?г-обр — внутреннее сопротивление диода в обратном направлении.
Определить среднее значение mt тока /(/) в цепи и его дисперсию
Of.
Ответ:
<s —si); = 1)(s2 + si) + 2sis]-
9.4. Найти плотность вероятности IFi(r]) напряжения ?](/) на
выходе однополупериодного линейного детектора, характеристика
которого представлена на рис. 9.17, если на вход детектора воздей-
ствует нормальный случайный процесс £(/) с нулевым средним зна-
чением и дисперсией о2.
Ответ:
1 i ______3L
= —5(Т])+ 1/7Г п е 2а,0\ П>0.
2 у 2л ао
362
9.5. Найти плотность вероятности напряжения т](/) на выходе
двухполупериодного линейного детектора, характеристика которого
представлена на рис. 9.18. На вход детектора воздействует гауссов-
детектора.
ский случайный процесс £(/) с нулевым средним значением и диспер-
сией о2.
Ответ:
Ч>°-
9.6. Найти одномерную плотность вероятности напряжения
т](£) на выходе однополупериодного квадратичного детектора, ха-
рактеристика которого изображена на рис. 9.19, если на вход детек-
Рис. 9.19. Характеристика од-
нополупериодного квадратичного
детектора.
тора воздействует гауссовский случайный процесс £(/) с нулевым
средним и дисперсией о2.
Ответ:
1 1 ___
И7! 01) = -9-6 (л) + - 1<5— е 2а°г, Т]>О-
z 2 у 2лат] о
9.7. На квантующее устройство с характеристикой (рис. 9.20)
П = g(£) = asgnfc
363
воздействует стационарный нормальный случайный процесс |(/)
с нулевым средним значением т? = 0 и дисперсией о^.
Определить: а) средний квадрат е2 разности процессов %(f)
и т](/) на входе и выходе квантующего устройства; б) значение
-----------а
Рис. 9.20. Характеристика кванто-
вателя на два уровня.
а — aopt, минимизирующее е2, и соответствующую этому значению
величину минимального среднего квадрата e2min.
Ответ:
a) 82 = <[ii(0-B(0]2> = ^-2)/^-aac + a2;
б) aopt = emin = (1 — —) of•
9.8. На вход квантователя (рис. 9.20) воздействует стационар-
ный нормальный случайный процесс со средним значением и
дисперсией о|.
Определить плотность вероятности, среднее значение и диспер-
сию процесса т](/) на выходе квантователя.
Ответ:
№ (-4) =ф( 6(а — T]) + (I)f—-J-) 6(а + т));
\ / \ 5 /
о / т^\ /
ст! = 4а2Ф — Ф|----------
’i I I I
9.9. На симметричный ограничитель, характеристика кото-
рого представлена на рис. 9.21, воздействует стационарный гауссов
шум с нулевым средним значением и дисперсией
Найти одномерную плотность вероятности для напряжения т](/)
на выходе ограничителя.
364
Ответ:
___ч*
- 1 2 а2
— а < Л < а>
где Ф (z) — интеграл вероятности (2.9).
9.10. Найти одномерную плотность вероятности, среднее зна-
чение и дисперсию напряжения т](/) на выходе идеального ограни-
чителя с характеристикой
В
Л = £(В)={о
если на вход
с плотностью
ограничителя подается случайное напряжение £(/)
вероятности
Ответ:
_L и*] ^+Н)2
1 — е 2 1 6 (?]) + (т] + ti) е 2 , т] > 0;
—— £2
^1(Л) =
= /2л[1 — Ф (Az)];
о^=2^е 2Л —hm-ri) — т\.
9.11. Положение отметки цели на экране индикатора типа
«дальность — азимут» определяет истинные координаты цели с не-
которой ошибкой, случайно изменяющейся во времени. Величина
этой ошибки складывается из погрешности £(/) измерения даль-
ности до цели, и погрешности т](/) установления азимута цели
36$
(рис. 9.22, а). Предполагается, что £(/) и -q(0 представляют собой
нормально распределенные коррелированные стационарные случай-
ные процессы, совместная плотность вероятности которых равна
ау, (В, г]) --------1. ехр
2V 17 2ло- /1- R2 Н
1 гц
2(1- Я2) о?
<|г
Здесь % = £(/), л = т)(f), и — дисперсии процессов Ц1)
и т](/), R — коэффициент корреляции между ними.
Вычислить вероятность Р того, что отметка цели относительно
ее истинного положения не выйдет за пределы эллипса
1 /I2 2/%Л
= ;.2,
где К — некоторая постоянная величина (рис. 9.22, б).
X Цель
—-f~—Г
5 I Отметка
f----Г
г*~
' I I
---------1 » J,
Азимут
О)
Рис. 9.22. Отметка цели на экране индикатора (а) и эллипс
рассеяния (б).
Ответ:
~хг
Р=1—е
9.12. Суммарная нестабильность Л/(/) частоты кварцевого
генератора радиостанции равна
АДО = в(0 + л(0.
где £(/) — случайное изменение частоты, обусловленное старением
кварца, ?](/) — изменение частоты, обусловленное влиянием тем-
пературы окружающей среды.
Стационарные случайные процессы £(/) и т](/) статистически
независимы и равномерно распределены соответственно на интер-
валах [— а, а] и [— b, М (рис. 9.23, а).
366
Найти плотность вероятности Wi(&f) суммарной нестабильности
А/(0-
Ответ:
a+& + Af
8а2 b
1
4аЬ ’
Af—а— b
8а*1>
О
— а — 6<;Д/<;а — Ь,
а—Ь < А/< b — а,
b — а А/ <z а -|- Ь,
при других А/.
График плотности вероятности приведен на рис. 9.23, б.
Рис. 9.23. Плотность вероятности суммы двух
равномерно распределенных случайных процессов
с нулевыми средними значениями.
9.13. Решить задачу 9.12 при условии, что плотности вероят-
ностей процессов !(/) и т](0 соответственно равны (рис. 9.24, а):
^1(В) =
Ь—а Ц7х(г]) —
О,
1
d —с
о,
Предполагается, что (d—£)>(&—а).
367
Ответ:
Л/— а—с
(b — a) (d — c)
_____1 ____
(b — a) (d — c)
b-j-d—
(b—a) (d — c)
0
а + с<Д/<& + с,
b -f- c Af < a + d,
ct -Г d А/ b ~f~ d,
при других А/.
График плотности вероятности W71(A/) представлен на
рис. 9.24, б.
Рис. 9.24. Плотность вероятности суммы
двух равномерно распределенных процессов
с ненулевыми средними значениями.
^(А/) =
9.14. Вычислить одномерную плотность вероятности IFi(x)
процесса
х(0 = 4- Т)(0,
где £(/) и г](/) — независимые стационарные случайные процессы,
первый из которых распределен равномерно на интервале [— 2А; 0],
а второй — по закону Симпсона (рис. 9.25, а):
2L
A2 ’
2А —т)
Д2 ’
0
о т) < л,
Л<Т]<2Л,
при других Т|.
368
Ответ:
(х+2А)*
4Д3 ’
2Л2—х2
4Д3
(х—2Л)2
443
О
— 2Л< х<_ —А,
— Л<х<Л,
А С х <Z 2А,
при других х.
График плотности вероятности 1Fi(x) показан на рис. 9.25,6.
i)
Рис. 9.25. Плотность вероятности суммы
равномерно распределенного процесса и слу-
чайного процесса, распределенного по закону
Симпсона.
9.15. Определить плотность вероятности процесса
Ф(О = М)±02(О.
где 01(0 и 9г(0 — независимые стационарные случайные процессы,
равномерно распределенные на интервале [—л, л] (рис. 9.26, а).
13 Зак. 728
369
Ответ:
^(Ф) =
<р + 2л
4л2 ’
. 2 л — (р
4л2
О
— 2л < (р С О,
0-<ф<2л,
при других ф.
График плотности вероятности IFi(ф) представлен на рисЛГ26, б.
Рис. 9.26. Плотность вероятности
суммы двух случайных процессов, рав-
номерно распределенных на интерва-
ле [ — л, л].
9.16. . Напряжение u(t) на выходе фазового детектора (ФД)
(рис. 9.27)состоящего из перемножителя и фильтра нижних
Рис. 9.27. Фазовый детектор.
370
частот (ФНЧ), равно
и (/) = cos <р (/) = cos [6Х (/) — 02 (/)].
Определить плотность вероятности Wi(u), если 0t(/) и 02(О
представляют собой независимые стационарные случайные процессы,
равномерно распределенные на интервале [—л, л].
Ответ:
л у 1— и2
9.17. На радиотехническое устройство, состоящее из квадра-
тичного детектора огибающей, линии задержки и преобразователя
(рис. 9.28), воздействует нормальный стационарный квазигармони-
ческий случайный процесс
= cos[<о01 +<р (0J
с нулевым средним значением и функцией корреляции
kr (т) — о2 р (т) cos <о0 т.
Определить одномерную плотность вероятности Wi(y), началь-
ный момент n-го порядка тп, среднее значение ту и дисперсию о2
Рис. 9.28. Квадратичный детектор огибающей, линия задерж-
ки и преобразователь.
процесса y(t) на выходе преобразователя, осуществляющего сло-
жение процессов u(t) и u(t + т):
y(t) = u(t) + u(t + т),
где w(/) — процесс на выходе детектора, равный квадрату огибаю-
щей входного шума
и(1) = АЦ1).
Ответ:
. Г_____________________у _____у
W (у) = _— е 2а«(1+р)_е 2а»(1-р)
4О2 pL J
/ия=2пп! l1+P)n+1-<1-P)n+1.
л 2р
у > 0;
13*
371
ту = 4о2; Оу = 8(1 + р2) о4; р=-р(т).
График функции Wt(y) приведен на рис. 9.29.
Рис. 9.29. Плотность вероятности суммы квадратов огибаю-
щей квазигармонического шума.
9.18. Решить предыдущую задачу при условии, что процесс на
выходе преобразователя равен
= м(/ + т).
Ответ:
/и2й = 2*^!(1—р2)*?*; /пу = 0; о2 = 2о4 (1 — р2).
График функции lFi(i/) приведен на рис. 9.30.
9.19. Решить задачу 9.17 для случая, когда преобразователь
представляет собой перемножитель, т. е.
у (f) = и
Ответ:
п/ zv\ — 1 I I у К I _______________V > 0‘
«'iW- 2о*(1— р2) У°\а2(1—-р2)о2(1—р2) )’
XT / р2
/ип = 22" («I)2 0 — р2)2 (ft|)2(n —fe)! ( 1— р2) °
й=0
ту = 4о4 (1 +р2); = 16а8(3 + 14р2 + 3р4);
372
/0(z) и /Co(z) — модифицированные функции Бесселя соответствен-
но 1-го и 2-го рода.
График функции Wi(y) приведен на рис. 9.31.
9.20. Решить задачу 9.17 при условии, что процесс y(t) на
выходе преобразователя равен
y(Z) = Z_(l+L>.,
у u(t)
Рис. 9.30. Плотность вероятности разности квадратов оги-
бающей квазигармонического шума.
Ответ:
у>0-.
[1 + 2(1-2р")Г+у>р
2
тп, ту и ву элементарно не вычисляются.
График плотности вероятности Wi(y) приведен на рис. 9.32.
9.21. На радиотехническое устройство, состоящее из линей-
ного детектора огибающей, линии задержки и преобразователя
(рис. 9.33), воздействует нормальный стационарный квазигармониче-
ский случайный процесс
£ (0 = А (/) cos [(Оо t + ф (/)]
с нулевым средним значением и функцией корреляции
(т) = о2 р (т) cos а)0 т.
373
wt(y) 1
0,3
0,2
п 1
Ч'
0 2 > 6 L ? 1L 7 К ? у/^
Рис. 9.31. Плотность вероятности произведения квадратов
огибающей квазигармонического шума.
374
Вычислить одномерную плотность вероятности Wi(y), началь-
ный момент n-го порядка тп, среднее значение ту и дисперсию
процесса y(t) на выходе преобразователя, осуществляющего опе-
рацию суммирования:
у (/) = и (t) + и (t + т), и (/) = A (t).
Рис. 9.33. Линейный детектор огибающей, линия задержки
и преобразователь.
Ответ:
^(У) = Уге + е 4о‘ +
2о ( о \2о2 / [ \ о / 2 JJ
__у2
-f-р2 — е 8а2, у >0;
4о2
тп ^(l-p2)(/2a)n 2
+ р2(2 /2а)"Г^1 +у);
ту = )/2ло; Оу = (4 — л) (1 + р2) о2.
График функции W\(у) приведен на рис. 9.34.
9.22. Решить предыдущую задачу при условии, что процесс
на выходе преобразователя равен
Ответ:
W, (у) —/*"" 1 • - ехР I------У~—гЬ
1V7/ о/2л(1- р2) 2о2(1 —p2)J
m2k (2/г— 1)!! (1 — р2)* о2*; ту - 0; о2у « а2 (1 — р2).
График плотности вероятности Wi(y) приведен на рис. 9.35.
9.23. Решить задачу 9.21 для случая, когда преобразователь
представляет собой перемножитель, т. е.
y(t) = u(t)u(t+%).
375
Рис. 9.34. Плотность вероятности суммы огибающих квази-
гармонического шума.
Рис. 9.35. Плотность вероятности разности огибающих
квазигармонического шума.
376
Ответ:
WT (у) =-у---/0 [--&---) Кп (--у----1, У > 0;
а4(1_р2) °^а2(1_р2)/ ° ( СТ2 ([ _ р2) ) ?
/п„ = 2"р(1+^(1-рТ+2Л(1+^; 1+-^; 1; р2)<^;
тпу = у (i—p2)22Fi^y; у; 1; р2); о2=т2—/и2.
График 1^1(у) дан на рис. 9.36.
9.24. Решить задачу 9.21 при условии, что процесс y(t) на
выходе преобразователя равен
и(1)
Ответ:
117,(у) +У> з , у>0.
[l + 2(l-2p>)j."+y42
ту — Е(р), E(z) — полный эллиптический интеграл 2-го рода.
График плотности вероятности Wi(y) приведен на рис. 9.37.
9.25. На вход радиотехнического устройства, состоящего из
сумматора и линейного детектора огибающей (рис. 9.38), воздей-
ствует нормальный стационарный квазигармонический шум
^(/) = 4(0 cos[<»o^ + ф(01
13В Зак. 728
377
Рис. 9.37. Плотность вероятности Г частного огибающих
квазигармонического [шума.
с нулевым средним значением и дисперсией а2 и гармоническое коле •
бание
u0(t) = Uо cos + ip).
В некоторый момент времени t = tQ на третий вход сумматора по-
дается сигнал .
us(f) = Us cos (dot.
Определить отношение
(my)o + s-(mpo
Р (ay)o + s
где (ту)о — среднее значение процесса y(t) на выходе устройства
при воздействии на его вход процессов £(/) и u0(t), a (my)o+s и
(aj/)o+s — соответственно среднее и среднеквадратичное значения
при воздействии процессов g(/), u0(t) и us(t).
Рис. 9.38. Сумматор и линейный детектор оги-
бающей.
378
Ответ:
где
U2 = U2s + lA + 2UsU0tO^.
При £72/2о2 < 1 и ^о/2а2 < 1
1 / п \Г ,j2s + 2Usu0cos^ .
4 \ 4— л / а2 ’
при t/2/2o2^>l и t/o/2o2> 1
Р
и-и0
а
Рис. 9.39. Относительное приращение среднего значения на выходе
линейного детектора огибающей.
al, 1>0,
О, £<0,
9.26. На вход безынерционного однополупериодного линей-
ного детектора с характеристикой (рис. 9.17)
П = =
воздействует стационарный нормальный шум £(/) с нулевым средним
значением и функцией корреляции k^r) = о27?(т).
Определить среднее значение tnr. и функцию корреляции ^(т)
выходного процесса т)(/). -ч
13В* «9
Ответ:
kr‘(Т) 2л
2
— пи Л
да
пи =
1 У 2л
а2°2([1 — Я2(т)р + R(x) arccost — R(t)]} —
а2
4
/г? (т)
М*) -I- -Ц1
по2
О* = — а2 о2.
1 2
Указание. Следует воспользоваться разложениями в ряд
arccos(—z) = ^- + z + -^z34-..., (1—г2)2 =1— -—fl — --
I' o Z Z • *
9.27. Применительно к условию задачи 9.26 определить спек-
тральную плотность STj(co) процесса т](/) на выходе однополупериод-
ного детектора, если спектральная плотность входного процесса
£(/) равна
(М,
0
(02,
при других СО.
Ответ:
а2М> /1 а
2Л \ 0>2 — 0)! /
а2М)
4 ’
О со < С02 — СОр
(Ojt со <; со2,
•М®) =
cPNq й) — 2(di
4л со2 — о/
a2 Nq 2со2 — со
4л со2—<а>1
О
2сог со сог 4- со2,
cOi + co2< со < 2со2,
при других со.
График функции S^co) представлен на рис. 9.40.
Рис. 9.40. Спектральная плотность процесса на
выходе однополупериодного линейного детектора.
380
9.28. На вход безынерционного двухполупериодного линей-
ного детектора с характеристикой (рис. 9.18)
W® = | “l "ри 1>0’
I — at- при ё<0,
воздействует стационарный нормальный шум l(t) с нулевым средним
значением и функцией корреляции
^(Т) = а2/?(т).
Определить среднее значение пц процесса т](/) на выходе детек-
тора и его функцию корреляции ^(т).
Ответ:
"h = (т) = kf (т).
9.29. Спектральная плотность воздействующего на двухполу-
периодный линейный детектор (рис. 9.18) процесса l(t) равна
с/. J М). С01<(0<(02,
Ss (со) = \ п
( 0 при других со.
Вычислить спектральную плотность S7](co) выходного процесса
Т](0.
Ответ:
, 0^со^со2—со1?
a2 со—2coj
ЗТ СО2 — COj
a2 No 2со2 —со
ЗТ С02 — COi
=
2cOj ^со ^сох+ со2,
сох +со2<со^2со2,
О при других со.
График функции S^co) представлен на рис. 9.41.
9.30. На вход квадратичного элемента с характеристикой
(рис. 9.3)
П = g(l) = а > 0,
воздействует стационарный нормальный случайный процесс l(t) со
спектральной плотностью S^(co).
Найти спектральную плотность S^(co) выходного процесса т](/).
381
Рис. 9.41. Спектральная плотность {^процесса на
выходе двухполупериодного линейного детектора.
Ответ:
п 00
а2 г*
(со) = — Se (х) Sj (®—х) dx.
— оо
9.31. Определить спектральную плотность S7.((o) процесса
т](0 на выходе квадратичного устройства с характеристикой
П = 8 (Ю = I*
при воздействии на его вход нормального случайного процесса
£(/) со средним значением пи и корреляционной функцией
/ ~2 л — аН1
«г (т) = е
Ответ:
^2
__4
ш2+4а2 ‘ й)2 + а2;
9.32. На вход дифференцирующей схемы (рис. 9.42) воздей-
ствует стационарный нормальный случайный процесс £(/) с нулевым
средним значением и корреляционной функцией
kt (т) = о2 е~а ।т । ( cos со0 т + — sin со0 т
Определить энергетический спектр 3^((о) процесса т](/) на выходе
квадратичного элемента.
Рис. 9.42. Дифференцирующая схема и квад-
ратичное устройство.
382
Ответ:
, х 4«<°0 °2 ’
cos2 у <о2 + 4а2
1 , ___________4 (а2 + <Од)_________~
(<о2 + 4а2— 4сод)2 + 16а2 со2 _
. а
у = arc tg —.
(О0
9.33. Ha логарифмическое устройство с нелинейной харак-
теристикой вида
л=§(Ю-{1п(10Ь“Ю’
§>о,
1<о,
воздействует стационарный нормальный случайный процесс £(/)
с нулевым средним значением т% = 0 и функцией корреляции
^(т)-ог2/?(т).
Вычислить корреляционную функцию ^(т) и дисперсию о2
процесса т)(0 на выходе .
Ответ [35]:
^(т)=—у|Г1п(14-ах)е 2 £)„(x)dx| /?"(?),
у Я 72 = 1 10 )
где а = «0 1/2; Dn(x) — функция параболического цилиндра [36],’
1 г
о2 = kti (0) = е-*2 In (1 4-ах) dx—А2,
у о
Л = <1п(1- <xg)>.
9.34. На вход симметричного ограничителя с характеристикой
Рис.9.43. Характеристика симметричного сглаженного ограничителя.
383
1=®®'’/^; J e dx~a
воздействует нормальный стационарный шум £(/) с нулевым
средним значением и функцией корреляции
k (т) = о| R (т).
Определить одномерную плотность вероятности и корреляцион-
ную функцию процесса т](/) на выходе ограничителя.
Ответ [37]:
W\(ri) =
1 ( п2 1
— ехр {----Нт’ ,
~[/2naVi [ 2<j2 J
1
2a
< or o’
0'S = OiQ,
-pl6(n + «) + S(n—«)], O;»or0;
. i№\
arc sin ----
k-ц (t) =-- t 4
arc sin I---I
\ 1-f-a /
9.35. На вход безынерционного нелинейного устройств
(рис. 9.44) воздействуют стационарные случайные процессы xi(Z)
Рис. 9.44. Безынерционное нелиней-
ное устройство с двумя входами.
х2(/) с нулевыми средними значениями и дисперсиями о2 = =
= 1. Совместная плотность вероятности процессов и х2(0 имеет
вид
(x‘'’ wbpехр
X]— 2рХ] х2 + х% |
2(1— р2) /’
где р — коэффициент корреляции.
Процесс на выходе нелинейного устройства определяется соот-
ношением
У(0 = g^i(0^2(01-
394
Доказать, что n-я производная от среднего значения <у(/)
по р равна [141
dn<y(t)> _= / x2(Q] ч
дрп ' \ дпх1дпхг / '
9.36. Используя результат задачи 9.35, определить среднее
значение процесса y(t) на выходе безынерционного нелинейного
устройства с характеристикой
У (!) = g [-«i (О, Ч (01 = I (0 + *2 (01 — [*i (t)~*2 (t) l>
где xi(Z) и х2(0 — стационарные случайные процессы с нулевыми
средними значениями, дисперсиями = о22 = 1 и совместной
плотностью вероятности
2„у‘_р.ехр
Ответ:
х|—2рх1х2 + хЦ
2(1—р2) Г
<у(0>=^-[/1+р-/1-р].
у Л
9.37. На входы перемножителя (рис. 9.8) подаются незави-
симые стационарные случайные процессы |i(Z) и В2(0 со средними
значениями тц и и корреляционными функциями ^i(t) и
Мт)-
Доказать, что: а) при = 0 процесс т](/) на выходе
перемножителя некоррелирован с любым из входных процессов;
б) при =^= 0, т^2 ф 0 взаимные корреляционные функции вы-
ходного и входных процессов соответственно равны
(т) = /Щ2 (т), = ^2 (т).
9.38. Найти функцию корреляции ^(т) и спектральную плот-
ность Si/co) случайного процесса
где £(/) и р(0 — независимые стационарные нормальные процессы
с нулевыми средними значениями и автокорреляционными функция-
ми
£;(т)с=е“а |т|, ^(т) = е-^|х|.
Ответ:
JfeTj(T) = e-<a+?)Ki,
((О)
2(а+Р)
(а + Р)2 + соа
9.39. На вход радиотехнического устройства, состоящего из
дифференцирующей схемы и перемножителя (рис. 9.45), подается
385
Рис. 9.45. Дифференцирующая схема и перемножитель.
нормальный случайный процесс £(/) с нулевым средним значением
и корреляционной функцией
^g(r) = aje“a*Tl ( cosco0t + — sinco0|r|).
\ ©о /
Определить спектральную плотность S^/co) процесса т](0 на
выходе устройства.
Ответ:
4a| a (a2 + <Qq) го2 (<о2 + 20а2 + 4rojj)
11 (<о2-|-4а2) [(<в2 + 4а2-|-4<Вр)2— 16«>q а»2]
9.40. На входы перемножителя (рис. 9.8) подаются незави-
симые стационарные случайные процессы |(/) и р(/) со средними зна-
чениями mi и /Пр. и корреляционными функциями
Л£(т) = о| е-HI, А!р(т)= Qpe-PHI.
Вычислить спектральную плотность 573(0)) процесса т](/) на вы-
ходе перемножителя.
Ответ:
s to)- 2(a+p)g2g2 2p/ng2a^ 2amga|
’ (a+P)2+(o« ’Г Р3+<вг a2+wa
9.41. На вход радиотехнического устройства, состоящего
из дифференцирующих схем и перемножителя (рис. 9.46), подаются
независимые стационарные случайные процессы |i(/) и |2(0 с ну-
левыми средними значениями тц = = 0 и корреляционными
функциями
4(t)
Рис. 9.46. Две дифференцирующие схемы и перемножитель.
386
k%\ (т) = crfi e~ai IхI f cos(Ojт + — sin®! | r l') ,
\ wi
&£2 (T) = (j^e“a*1 xl (cosg)2t + —sinco2|T| ) .
Определить корреляционную функцию ^(т) и энергетический
спектр ST[ (со) процесса т) (t) на выходе перемножителя.
Ответ:
k^(x) = k^ (т)^2(т) = о|1 a|2(af+ <о|) (a2 + ®2)e~<ai+a*> Iх ’X
X ( cosco1t —— sin 04 | т| | ( cosco2t—— sin co21 т | ];
\ / \ ®2 /
~ a ( a cos 6i + (co—coc) sin 6i a cos di + (co + ^c) sin ।
73 { (co—coc)2+a2 (co+coc)2+a2
a cos d2+ (co—cop) sin d2 a cos 62+(ю + юр) sin d2 ]
(co—cop)2+a2 ” (co + cop)2+a2 J’
где
of 1 a|2 W2
—s—s-----------;
2 COS3 71 COS3V2
Vi = arctg ; y2 = arctg — ; a = ax + a2;
COi co2
61 = V1 + T2; 62 = 7!—y2; a^Wj + a).,; (op = (o1—w2.
9.42. На линейный детектор огибающей ЛД04 одного из кана-
лов двухканального приемника (рис. 9.47) воздействует стационар-
ный квазигармонический шум
£1 (0 = Л (0 cos [®01 + <рх (0J,
Рис. 9.47. Двухканальный приемник.
а на второй детектор ЛДО2—колебание
«(0 = B2(0 + s(0,
где |2(/) — квазигармонические флуктуации
(0 = (0 cos [<о01 + ф2 (01,
387
a s(t) — некоррелированное c g2(/) гармоническое колебание
s(t) = Am cosw0/.
Коэффициент взаимной корреляции процессов £i(/) и |2(0 в совпа-
дающие моменты времени равен р.
Определить значение коэффициента взаимной корреляции p[XV
процессов р(0 и v(t) на выходах каналов приемника в совпадающие
моменты времени.
Ответ:
где
а*
оо со
Л = 2(1 —pf)e 2 2 (—
k = Q Щ=0
i 3 \
r*(m+*+— р.2<ш+А) r
—A----------------5-- a2TFi m + k + — .
(/n+*)!fe!(m!)2(l —р|)ш L 2
£ = ~e ^(i+aV^^+a2/^)];
1 + a2—j- exp (—a2]
Здесь a2 — отношение сигнал/шум на входе ЛДО2:
а2
<т| —дисперсия процесса £2(0,
ре=/р! + р?.
рк—коэффициент взаимной корреляции случайных процессов ?i (/)
и |2(0> взятых в квадратуре по отношению к входным шумам
МО и МО,
(1 при т = 0,
(2 при
iFi(a, Р, х ) — вырожденная гипергеометрическая функция.
9.43. На вход двухканальной системы (рис. 9.48) воздействует
нормальный стационарный шум £(/) с нулевым средним значением.
388
С?1(7)’и G2(0 — импульсныё’переходные функции линейных звеньев
системы.
РисЛ9.48. Двухканальная схема.
Найти функцию взаимной корреляции ^2) —
= Т(^)> на выходе каналов при К = const.
Ответ:
(^i> ^2) — О’
9.44. Найти спектральную плотность процесса y(t) на выходе
умножителя синхронного детектора (рис. 9.49), если воздействую-
щее на детектор колебание x(t) равно
x(t) = s(t) + n(/),
где входной шум n(t) представляет собой стационарный нормальный
процесс с нулевым средним значением и спектральной плотностью
(Ж.)21
, a«f0.
о2 Г (f-fo)2 _____
S„(0 =-------- е’ 2“2 +е 2*2
w 2а/2л L
а полезный сигнал s(t) имеет вид
s(O = ^mcos(<oo/4-0).
Здесь Ат — постояшчая амплитуда; 0 — равномерно распределен-
ная в интервале [—л, л] случайная фаза, не зависящая от шума.
Рис. 9.49. Синхронный детектор.
389
Ответ:
Sy(f) = Sys(f) + Syn(f),
где Sy8(f)— спектральная плотность сигнала на выходе умножи-
теля, равная
Sys (/) = -1- А2т U4 (/) + -L л2т U* [6 + 6 (/ -F 2/0)],
О 10
Syn(f)— спектральная плотность шума на выходе умножителя:
а2и2 Г_____р (f-2f,)» (f+2f,)»-
^=^К2'+е’ 2аг +е“ J-
9.45. Используя результаты задачи 9.44, определить отноше-
ние сигнал/шум на выходе фильтра нижних частот (ФНЧ), выразив
его через полосу пропускания фильтра и отношение сигнал/шум на
входе, если в качестве фильтра нижних частот используется простая
интегрирующая цепь RC с полосой пропускания по половинной мощ-
ности А/ <^а.
Ответ:
/ сигнал \ / сигнал \ 1/га2А/
\ шум /вых ~ \ шум Jвх ' 2л
9.46, На вход радиотехнического устройства (рис. 9.50),
состоящего из линейного фильтра (Ф) с импульсной переходной
функцией
G(/) = (o0e“a/sin(o0/,
квадратичного детектора огибающей (КДО) и интегратора за
время Т, воздействует стационарный нормальный белый шум n(Z)
с нулевым средним значением.
Рис. 9.50. Приемник с интегратором.
Определить коэффициент асимметрии у процесса £(/) на выходе
устройства.
Ответ:
4 1
аТ F (аТ)
е — 2аТ
F(aT)
где
F(aT) = l--l-(1-e-2°0.
390
9.47. На вход схемы рис. 9.51, состоящей из линейного детек-
тора огибающей (ЛДО), устройства выборки и накопителя, воздей-
ствует стационарный нормальный квазигармонический шум
ЦО = A (t) cos [<оо t + <р (0]
с нулевым средним значением mi — 0 и дисперсией о| . Выборочные
значения At = A(tt) взаимно некоррелированы.
Рис. 9.51. Дискретный накопитель.
Вычислить среднее значение ту, дисперсию о2 и плотность ве-
роятности IFi(F) случайной величины Y на выходе накопителя, если
Ответ:
Ъ(У)
1 /л 2 4 — Л 2.
ту=|/у^;
9.48. На систему «ограничитель — фильтр» (рис. 9.52) воздей-
ствует стационарный нормальный шум с корреляционной функ-
цией
&g(T) = o2e"Tl4
Рис. 9.52. Система «ограничитель — фильтр».
Найти корреляционную функцию процесса р,(/) на выходе
системы в предположении, что амплитудная характеристика огра-
ничителя имеет вид (рис. 9.4)
П = £(Ю =
— Ь,
si,
&<-₽,
£>а,
391
а импульсная переходная характеристика фильтра равна
1 —-1 1 —- t
G(t) = — e ъ--------е ,
Tj Т2
причем тх 1/у, т2> 1/у.
Ответ [39]:
/г1Х(т) = 2ст^ 2^-
ф(п)(г) — п-я производная от интеграла вероятности (2.9).
9.49. На приемное устройство, схема которого изображена на
рис. 9.53, воздействует стационарный белый шум £(/), спектраль-
ная плотность которого S^(co) = Afo/2. Передаточная функция
линейной системы
К - 7<0 ---2V >
2аа> + / (аг—cog)
а импульсная переходная функция G(t) фильтра RC
G (/) = ye~v<
Определить: а) плотность вероятности IFi(z) процесса ?(/) на
выходе двухстороннего квадратичного детектора огибающей,
б) среднее значение tnz процесса z(/), в) функцию корреляции
kz(x) и дисперсию о^, г) среднее значение ти процесса u(t) на выходе
фильтра RC, д) функцию корреляции ku(x) и дисперсию на выходе
фильтра RC.
392
Ответ:
а) ^(г) = ^2-ехр(------
2оу ( 2 У J
где о2 = aN° %0 , 2(f) — У2 (t), У (0—огибающая процесса у (t);
б) mz = 2оу — aN0 Ко',
в) kz (т) = a2 N2o Кое-2-1-1, о2 = а2 N2 К40;
г) ти — аКоКо',
V -------------тгСЛ Y I
y(t)=Yft)COS((i>0t+p)
Рис. 9.53. Радиоприемное устройство.
9.50. На приемное устройство, схема которого изображена
на рис. 9.53, воздействует случайный процесс
x(t) = ut) + n(0,
где КО — стационарный белый шум со спектральной плотностью
S;(co) = NJ2, а т)(0 — квазигармонический шум
//) = М (/) cos [CDO f Н-ф (0Ь *>0,
u I о, /<0,
с нулевым средним значением и функцией корреляции
&я(т) = о2 е-р 1 т 1 cos <о0 т.
функция линейной системы, как и в задаче 9.49,
Передаточная
имеет вид
К(» = А'о -Г----------2V •
2асо + j (от — cdq)
плотность вероятности IFi(z, t) процесса z(Z), его
Вычислить
среднее значение Mz(t) и функцию корреляции Kz(tt т) для t > 0.
Ответ:
(г, /) =-------ехр /------f----1, z > 0;
2^(0 Н| 2<т2(0 j
393
Mz (0 = 2<J2 (0; Kz (t, т) = 4o2 (0 p* (t, t);
.. ._Ky (t, t)
Py(,t)~ a2(0 •
Здесь
^(0 =
(/) = <j£ + av2 {f),
2 “'VO ^0
а°^_ [(а—Р) + (а + р) е-ы — 2ае-<=1+₽)t > О,
а2 —р2
К,(/,т) =
0, /<0;
Ky(t, т) = ^р.(т)+КД/, t),
aJVn Kn , ,
(t) —---—— e_“1 x 1 cos <o0 r,
ao^
—f(ae~₽ 1т l —pe_“l Tl) (a + P)e-aT-'2a< —
a2 —P2
— a(e~aT + e~>'T)e_(a+₽)/] cos<o0t, t 0,
0, /<0.
9.51. Используя условие и результаты задачи 9.50, опреде-
лить среднее значение Mu(t) процесса и(1) на выходе фильтра с им-
пульсной переходной функцией
G(t) — ye~ V.
Ответ:
ми{1^аы,к},+Г + (^2-----------_ iti.
а2 —р2 [ у \ у—a — р у 7— 2а
X е-^ 4 —е —2а/--?? е — (а+З)/
у — 2а у — а — р J
9.52. На радиотехническое устройство, состоящее из интегри-
рующей цепочки RC, двухполупериодного безынерционного квад-
ратичного элемента с характеристикой £ = ат]2 и фильтра нижних
частот (ФНЧ) (рис. 9.54), воздействует стационарный нормальный
белый шум £ (/) с нулевым средним значением и спектральной плот-
ностью S^(co) = ^o, 0 < со < оо.
Рис. 9.54. Радиотехническая схема.
394
Определить корреляционную функцию k^(x) и спектральную
плотность S^(co) процесса £ (/) на выходе нелинейного элемента.
Ответ:
4 (RC)2
Г ~ — 1 il
[1+2е J,
a2 Nq
S?(p) =--------*—
4(/?С)2
4
4 + (cd/?C)2
9.53. Используя условие и результаты задачи 9.52, опреде-
лить среднее значение и дисперсию о2 процесса v(/) на выходе
фильтра нижних частот с импульсной переходной функцией
ае“а/
О
при о <; t < т,
при других Л
Вычислить отношение
и его предельное значение при
Ответ:
аа2
2RC
IRC L a.RC + 4.
ыс
----------c
(а/?С)2—4
1 । 1 e -2аГ
aRC — 2
а
lim —1
tn.
а/?С + 2 *
h (т)
9.54. Используя условие и результаты задачи 9.52, опреде-
лить среднее значение и дисперсию о2 процесса v(t) на выходе
фильтра нижних частот с импульсной переходной функцией
G(/) = P при
(0 при других t.
Ответ:
т,
аЛГ0 Т . 2 _ «2 No
« V -
2RC 4
9
RC
9.55. На приемник (рис. 9.55) воздействует сигнал
x(f) = A(t) cos
где Д(/)—стационарный нормальный случайный процесс с нуле-
вым средним значением и спектральной плотностью
5л(/) = Р ПрИ 0 । Н < °-05 ^о.
(0 при других f.
395
Рис. 9.55. Схема радиоприемника.
Сигнал на выходе смесителя равен
£(0 = [1 +х(0 ]£(/),
где g(t) — периодическая функция времени, изображенная на
рис. 9.56.
9(i)
----7 “ ~1---------
kN
i I ____।_________1--g-L»
r Jt о JT ЗЛ ,, ± 5ыс +
~T г T €
Рис. 9.56. Модулирующая функция.
Передаточные функции полосового фильтра и фильтра нижних
частот (ФНЧ) соответственно равны
КПФ(/<») = Р при
(О при других Л
КфнчМ-С ”р" 0 '
(О при других Л
Найти: а) спектральную плотность Sz(f) на выходе смесителя,
б) среднее значение ту, дисперсию с? и спектральную плотность
Sy(f) процесса y(t) на выходе фильтра нижних частот.
Ответ:
a) (f) = Sx б) my = 2 a\F, о2 = 8а2 AF2,
где AF—энергетическая полоса процесса A(t);
Sy (0 =-- 4а2ЛР6 (/) + 4а2 (AF— | /|).
9.56. На рис. 9.57 приведена упрощенная схема двухканаль-
ного коррелятора. На один из его входов поступает колебание
M0 = M0+«i(0,
• а на второй—
|2(0 = «2(0+«2(0-
396
Здесь sz(0 — гармонические колебания с частотой со0 различными
амплитудами и начальными фазами:
(/) =Л1СО5 соо/,
s2 (0 = А2 cos (u)0 t + 0),
a nt(f)— квазигармонические флуктуации:
nx (t) = %! (О cos соо t + У! (О sin соо t,
п2 (О = [*1 (0 + kx2 (/)] COS <о01 + [ух (0 + ky2 (OJ sin <001.
Квадратурные составляющие xt(t) и y^t) являются независимыми
стационарными случайными процессами с нулевыми средними зна-
Рис. 9.57. Двухканальный коррелятор с
фильтром нижних частот.
чениями и дисперсиями о? для хх(/), yt(t) и о22 для х2(/), Уг(0- Ко-
эффициент k определяет степень коррелированности флуктуаций
«1(0 и п2(/):
<«i(0 «г(0> = М-
Определить среднее значение пц и дисперсию процесса т](/)
на выходе фильтра нижних частот.
Ответ:
= Лх Л2 cos 0 + 2feoi,
<т2 = 4k2(J>i 4- о? (Л2 4~ Л2 fe2 2&ЛХ Л2 cos 0 4“ Ai ^2 4~ ^су2 сгг)*
9.57. Применительно к условию задачи 9.56 определить ха-
рактеристическую функцию ©^(Q) процесса т](/) на выходе фильтра
нижних частот.
Ответ [40]:
1
(М+^) + 2/а&2] 2’
®”(Й) = a^(aB4-Q2) в
о! a2 \a₽ 4“ Q /
где
4 a = Лх; b = Л2 cos 0 4- A k\
397
1
с = Л2 sin 0; а = —
ai
°2
9.58. Используя результат задачи 9.56, вычислить плот-
ность вероятности IFi(tj) процесса rj(/) на выходе фильтра нижних
частот для частного случая воздействия на коррелятор идентичных
колебаний ^(/) = g2(0, т. е. при Ai = А2 = а, 0 = 0, k = 1
и = 0.
Ответ:
1 ( п + а2
^(л)^рехр'|
о,
9.59. Решить задачу 9.58 для случая отсутствия шума п2(0
на втором входе коррелятора.
Ответ:
где
1 ( (П—"Ц)2)
— ехр _ -------,
}^2no^ ( 2q2 )
пц = Ar А2 cos 0, и? Л1.
rjn)
9.60. Решить задачу 9.58 для случая воздействия на корре-
лятор идентичных сигналов Si(/) = s2(/) и некоррелированных про-
цессов ni(/) и п2(1) с равными дисперсиями, т. е.^при At =*А2 = а,
tfi2 = <^22 = о2, 0 0 и k = 0.
398
Ответ [40]:
1 —---s
— e212 , ti<0,
4a2 '
1П °o
_L ~^~sy J_f jlV
4a2 e 2i n! \ a2 }
I n=0 4 7
T) >0.
Здесь s = cfl'ltf- — отношение сигнал/шум на входе коррелятора,
о « «а 1
е^ = 1+^ + 4+-+(Ьт)1-
График плотности вероятности IFi(tj) приведен на рис. 9.58.
9.61. На вход автокоррелятора, состоящего из линии задержки
(ЛЗ) с временем задержки /зад = т, перемножителя и фильтра ниж-
них частот (ФНЧ) (рис. 9.59), поступает стационарный случайный
процесс п(0 с нулевым средним значением тп = 0 и функцией кор-
реляции
kn (т) = q2P (т) cos юо т-
Фильтр нижних частот пропускает без искажений только низко-
частотные составляющие процесса на выходе перемножителя.
Рис. 9.59. Автокоррелятор.
Определить плотность вероятности ^(ц) процесса т](£) на выходе
коррелятора.
Ответ [41]:
i_______HJ___
Й71(Т])= — е 2аЧ1-р(т)].
>4аа
9.62. На один из входов двухканального коррелятора
(рис. 9.60) поступает колебание
Xi(0 = Si(0 + tii(t),
а на второй —
х2(0 = s2(0 + n2(t).
Здесь Si(t) — прямоугольный радиоимпульс длительностью Т:
sJ0 = p=cos(M + 1h), 0<7<7, i=l,2,
3W
a tii(t) и /г2(/) — независимые стационарные нормальные белые
шумы с нулевыми средними значениями и функциями корреляции
kni W = V 6 = V2 6
<«1(0 «2 (0> = 0-
В качестве входных фильтров (Ф) коррелятора используются
колебательные контуры с импульсными переходными функциями
Gi(/) = 2aie~“z/cos<o0/,
Рис. 9.60. Двухканальный корре-
лятор с интегратором.
Вычислить среднее значение mTj(/) и дисперсию <j^f) процесса
т)(/) на выходе коррелятора в момент времени t = Т.
Ответ:
Щ (Л = ^2 Ег cos (ф2—Ф1) Т7! (av a2);
где
а1 = а1 ' > а2 а2 Л
Л? Ло
Е± = ~ Т, Е2= — Т,
1 2 2 2
Fz(a1F а2) = 1---L (j _е-а.)-----L (1 _е-«.) +
-|----1----(1__е-<в*+°‘>);
а1 + а2 *
_,2 /ГП\ тп / \ I ^“2^1 п
(Т) — ~ а2 Р2 а2^ Н F3 (ах, а2) -|-
+ аг аг Ft (alt а2).
4
400
Здесь
F2(ai, fl2) = -L-(a2—1 +е-°’) —-1-Г—(1—е-°>) —
2а2 2а2 L «1
----!---(1 _е-(“.+“»>) 4 1
2(ai + a2)
1
(е~д2— е—а
2(^2 — ^)
1 /1 __.J
«2 'J
-^(1—е-«2)
_L(l-e-ax)-----!_(1_е-Ог)_
4(а2 — «1.) |_
1 Г 1
4 («г + а1) _ а1
— (1 —e_a‘)--— е
а,' ' о?
----?---Г_1_ (1 _е-2аЛ--------!----(1_е-(а.+аг>)
4 (д2—#i) _2#i tZj.-|-tz2 _
----!---Г—(1—е—2а*) — е-а» (е-ах —е-а*)
4 (#1~|“Я2) _2&i а2—
F3 (alt а2) = Г2 (а2, а^, т. е. F3 (av а2) получается из F2 (ар а2)
путем замены а1 на а2 и а2 на af,
F4 (alt а2) —
----------------------(1 — е—(ai4'a2>^t
ai+аг (в1 + °г)2
9.63. На вход инерционного детектора (рис. 9.61, а) воздей-
ствует стационарный нормальный случайный процесс £(/) с нулевым
средним значением mj — 0 и функцией корреляции
^(т)=ог^(т).
Нелинейная характеристика диода (Д) имеет вид (рис. 9.61, 6)
»=йг(«) = ‘ое““>
а постоянная времени цепи RC много больше времени корреляции
процесса |(/).
Определить плотность вероятности IP'iO]) напряжения т](/)
на нагрузке RC детектора.
Рис. 9.61. Инерционный детектор.
14 Зак. 728
401
Ответ [42]:
(4) = Af • ехр | 2ат) Ц- — (ш0 R)~2 е
I Тк
, — v атЯ—а2 ° 2
+ 2 (at0 7?) е 2
где N—нормировочный множитель, определяемый из условия
оо
$ ^(11)^= 1;
—оо
оо оо
rK = 2S
п—\ ’о
Литература
1. Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихонов В. И.
Прохождение случайных функций через нелинейные системы. «Авто-
матика и телемеханика», 1953, т. XIV, № 4; 1954, т. XV, № 3.
2. К р а м е р Г. Математические методы статистики. Изд-во иностранной
литературы, 1948.
3. Т и х о н о в В. И. Воздействие электрических флуктуаций на нели-
нейные радиотехнические устройства. Докторская диссертация. ВВИА
им. Н. Е. Жуковского, 1956.
4. Ч е р е н к о в А. П. Прохождение квазинормальных флуктуаций
через детектор с фильтром низких частот. «Вестник МГУ», 1957, № 3.
5. Л е о н о в В. П., Ширяев А. Н. К технике вычисления семиин-
вариантов. «Теория вероятностей и ее применения», 1959, вып. 3.
6. R i с е S. О. Mathematical Analysis of Random Noise. BSTJ, 1944,
v. 23, № 3; 1945, v. 24, № 1.
7. Д e ч P. Нелинейные преобразования случайных процессов. Изд-во
«Советское радио», 1965.
8. «Таблицы функции ошибок и ее первых двадцати производных». Пер.
с англ. Барк Л. С. и Большева Л. Н. Изд. ВЦ АН СССР, 1965.
9. Tabulation of Selected Confluent Hypergeometric Functions. Harvard
University Press, Cambridge, Massachusets, 1952.
10. А м и а н т о в И. H., Тихонов В. И. Воздействие нормальных
флуктуаций на типовые нелинейные элементы. «Известия АН СССР»,
ОТН, 1956, №.4.
11. Тихонов В. И., Амиантов И. Н. Воздействие сигнала и шума
на нелинейные элементы (прямой метод). «Радиотехника и электрони-
ка», 1957, т. II, № 5.
12. Price R. A Useful Theorem for Nonlinear Devices Having Gaussian
Inputs. IRE Trans, on Inform. Theory, 1958, v. IT-4, № 2.
13. Price R. Comment on «А Useful Theorem for Nonlinear Devices
Having Gaussian Inputs». IEEE Trans, on Inform. Theory, 1964, v. IT-10,
№ 2.
14. McMaho n E. L. An Extansion of Price’s Theorem. IEEE Trans, on
Inform. Theory, 1964, v. IT-10, № 2.
15. Blachman N. M. Band-Pass Nonlinearities. IEEE Trans, on
Inform. Theory, 1964, v. IT-10, № 2.
402
16. Р а р о u 1 i s A. Comment on «An Extansion of Price’s Theorem». IEEE
Trans, on Inform. Theory, 1965, v. IT-11, № 1.
17. N u t t a 1 A. H. On the Envelopes of Zonal Filter Outputs of Memo-
ryless Distortions of Narrow-Band Processes. IEEE Trans, on Inform.
Theory, 1965, v. IT-11, № 2.
18. Кузнецов П. И., Стратонович P. Л., Тихонов В. И.
Прохождение некоторых случайных функций через линейные системы.
«Автоматика и телемеханика», 1953, т. XIV, № 2.
19. Т и х о н о в В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советское
радио», 1966.
20. Тихонов В. И. Работа частотной авто подстройки частоты при на-
личии шумов. «Электросвязь», 1962, № 9.
21. Т и х о н о в В. И. Специальные случаи применения уравнения Фок-
кера — Планка — Колмогорова. «Радиотехника и электроника», 1962,
т. VII, № 8.
22. К а з а к о в И. Е. Приближенный вероятностный анализ точности
работы существенно нелинейных автоматических систем. «Автоматика
и телемеханика», 1956, т. XVII, № 5.
23. П я т н и ц к и й Г. И. Воздействие стационарных случайных процес-
сов на системы автоматического регулирования, содержащие сущест-
венно нелинейные элементы. «Автоматика и телемеханика», 1960, т. XXI,
№ 4.
24. Т и х о н о в В. И. Воздействие электрических флуктуаций на детек-
тор (метод огибающей). «Известия АН СССР», ОТН, 1955, № 10.
25. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в мате-
матической физике. Изд-во АН УССР, 1945.
26, Б а кае в Ю. Н., Кузнецов П. И. Метод усреднения и его
применение к некоторым нелинейным задачам радиотехники. «Радио-
техника», 1956, т. И, № 10.
27. V a n Trees Н. L. Functional Techniques for the Analysis on the
Nonlinear Behavior of Phase-Locked Loops. Proc. IRE, 1964, v. 52, № 8.
28. R a 1 s t о n G. Addition of Uniform and Gaussian Distributions-Exact
and Approximate Solutions. Proc. IEEE, 1966, v. 54, № 7.
29. T и x о н о в В. И. Влияние шумов на работу системы фазовой авто-
подстройки частоты. «Автоматика и телемеханика», 1959, т. 20, № 9; 1960,
т. 21, № 3.
30. Тихонов В. И. Влияние флуктуаций на точность работы устройств
синхронизации. «Успехи физических наук», 1964, т. 28, вып. 4.
31. Стратонович Р. Л. Синхронизация автогенератора при наличии
помех. «Радиотехника и электроника», 1958, т. 3, № 4.
32. С т р а т о н о в и ч Р. Л. Избранные вопросы флуктуаций в радио-
технике. Изд-во «Советское радио», 1961.
33. М о г g a n S. Р. Tables of Bessel Functions of Imaginary Order and
Imaginary Argument. Institute of Technology, California, 1947.
34. T и x о н о в В. И. К вопросу об измерении электрических флуктуаций
при помощи термоэлектрических приборов. ЖТФ, 1955, т. XXV, вып. 5.
35. Билык М. Г. Корреляционная функция случайного нормального
процесса на выходе логарифмического устройства. В сб. «Проблемы пере-
дачи квазистационарных сигналов». Изд-во АН УССР, 1967. t
36. К р а т ц е р А., Франц В. Трансцендентные функции. Изд-во
иностранной литературы, 1963.
37. В a u m R. F. The Correlation Function of Smoothly Limited Gaus-
sian Noise. IRE Trans, on Inform. Theory, 1957, v. IT-3, № 3.
38. Д а н и л e н к о В. M. К вопросу о нормализации случайного процесса
при последетекторном интегрировании. «Известия вузов», Радиоэлектро-
ника, 1967, т. 10, № 3.
14*
403
39. Д а н и л о в Б. В., Михайлов Ю. П. Воздействие флуктуаций
на систему ограничитель — инерционная цепь RC. «Известия вузов»,
Радиотехника, 1966, т. 8, № 6.
40. Cooper D. С. The Probability Density Function for the Output of
a Correlator with Band-Pass Input Waveforms. IEEE Trans, on Inform.
Theory, 1965, v. IT-11, № 2.
41. Л e з и н Ю. С. О распределении шума на выходе автокорреляционного
устройства. «Радиотехника», 1965, т. 20, № 3.
42. Т и х о н о в В. И. О воздействии флуктуаций на инерционный детек-
тор. НДВШ. «Радиотехника и электроника», 1959, № 2.
10. ВЫБРОСЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 1. Теоретические сведения
Рассмотрим какую-либо реализацию непрерыв-
ного (дифференцируемого) случайного процесса |(0 длительностью Т
(рис. 10.1). Такая реализация на конечном интервале Т имеет ко-
нечное число максимумов и минимумов с различными значениями Н,
причем в момент времени tm реализация имеет абсолютный (наи-
больший) максимум Нт.
Реализация Z(t) может несколько раз пересекать фиксирован-
ный уровень С снизу вверх (с положительной производной), причем
в момент времени т0 впервые происходит такое пересечение (т. е.
первый раз снизу достигается граница С).
Когда случайный процесс £(/) пересекает уровень С снизу вверх,
будем говорить, что имеет место положительный выброс. Если же
уровень С пересекается сверху вниз, то можно говорить об отрица-
тельном выбросе. Тогда можно сказать, что реализация £(/) дли-
тельностью Т имеет п (рис. 10.1) положительных (отрицательных)
выброса на уровне С, причем указанные на рисунке величины т и 0
можно назвать соответственно длительностями положительных и
отрицательных выбросов. Часто величину 0 называют длительностью
интервалов между выбросами.
Величины т, 0 и Н в пределах одной реализации могут принимать
несколько значений (в зависимости от уровня С и интервала Т) и
405
Вместе с величинами п, т0 и Нт изменяются случайным образом от
одной реализации к другой.
При статистическом описании этих случайных величин можно
интересоваться их средними значениями, дисперсиями, плотно-
стями вероятности и другими характеристиками. Ниже в справоч-
ном виде приведены окончательные формулы в основном для средних
значений, так как вычисление других характеристик, как правило,
связано с выполнением численного интегрирования, что выходит
за пределы целевого назначения данной книги. Другие характе-
ристики затрагиваются лишь попутно тогда, когда они могут быть
найдены без сложных математических вычислений.
£(t)
дб—j----------
—I------------
Рис. 10.2. к определению
первого времени достиже-
ния границ а, Ъ.
1. Для недифференцируемых одномерных марковских процессов
известен рецептурный метод вычисления начальных моментов вре-
мени первого достижения границ [1].
Пусть случайный процесс x(t) задан дифференциальным урав-
нением первого порядка
*£ = х=/(х,«(/)), (10.1)
at
где f — заданная функция аргументов, причем n(t) входит в нее
линейно и аддитивно, n(t) — белый шум с нулевым средним значе-
нием и функцией корреляции
<«(^«(^> = 1^6^-^). (10.2)
Предположим, что в начальный момент времени £о=О коорди-
ната х0= х(/0) точно известна и находится внутри интервала (а, Ь)
(рис. 10.2), т. е. плотность вероятности координаты х в момент вре-
мени t0 = 0 является дельта-функцией
№0(х) = 6(х—х0), а<х0<&. (10.3)
406
Обозначим через т(а, х0, Ь) случайное время первого достиже-
ния границ а или b точкой, первоначально находящейся в х0, & через
Тп(а, xOf b) = < т" (а, х0, Ь)) — соответствующие начальные мо-
менты этого времени.
Моменты Тп определяются цепочкой линейных дифференциаль-
ных уравнений
(То=1). (10.4)
^^0 ах§
Коэффициенты /G(xo) и Кг(хо) находятся из исходного уравнения
(10.1) по формулам
оо
К1(Хо)=</(Хо,п(О)>. К2(х0)= $ k(f,fz)dr, (10.5)
—оо
где через k (f, fx) обозначена корреляционная функция правой
части уравнения (10.1):
k (f, A)=<lf (Хо, п (х0, П (/))>] [/ (хо, п (t +т))—(/ (хо, п (t + т))>1).
(10.6)
Уравнения (10.4) должны решаться при краевых условиях
Tn(a,a,&) = Tn(a,fe,6) = 0, (10.7)
причем по физическому смыслу все моменты Тп должны быть поло-
жительными величинами, т. е. Тп (а, х0, Ь) 0.
Система уравнений (10.4) в принципе решается сравнительно
просто, так как при помощи замены zn = dTn/dxQ каждое уравнение
сводится к линейному уравнению первого порядка, и решение мо-
жет быть записано в квадратуре. Начиная решение с п = 1, после-
дующие моменты Тп можно выразить в квадратуре через предыду-
щие Тт, пг < п. В частности, при п = 1 и и = 2 из (10.4) соответ-
ственно получим
у К2 По) (О ^+1=0, (10.8)
2 uXq ах0
1 к2 (х0) ^4 + (ХО) АН + 27\ = 0. (10.9)
л ах q ах0
Найдя решения этих двух уравнений, можно вычислить диспер-
сию первого времени достижения границ:
Or (а, х0, b) = Т2 (а, х0, Ь) — Т1 2\ (а, х0, Ь). (10.10)
При краевых условиях (10.7) решение уравнения (10.8) имеет вид
Т\ (а, х0, Ь) =
J е-? (у)
х0
“ У
f —— dz
407
e—? <s>ds
где
ф(г) = 2
J Аг
(10.12)
(10.11)
2. Среднее число пересечений дифференцируемым случайным
процессом £(/) непрерывной кривой a(t) снизу вверх (рис. 10.3) на
интервале (tOt t0 + Т) вычисляется по формуле
t0 + T оо
Nt(T) = ^ + (10.13)
t, b
Здесь t (0) — совместная плотность вероятности для про-
цесса |(0 и его производной | (t) в тот же момент времени.
Аналогичное число пересечений процессом |(/) сверху вниз
кривой a(t) равно
/„+T о
N~a(T) = -^ dt $ t(0r2(a(Z),a(0 + t(0)4. (10.14)
tQ —oo
Пусть на интервале (/0, to + Т) заданы две непрерывные кри-
вые a(t) и b(t), удовлетворяющие неравенству a(t) <z b(t). Среднее
число раз, когда процесс выйдет из границ a(t) < £(/) < b(t) на
интервале (t0, to + Т), определяется формулой
Л>+Тоо
Nab (0[r2 (b (0, b (0 + i (0) + (a (0, a (0-| (0)]dg.
/о о
(10.15)
В том частном случае, когда рассматриваются пересечения про-
цесса £(/) с горизонтальной прямой, т. е. a(t) = С = const, фор-
мулы (10.13) и (10.14) принимают соответственно вид
408
у+(с,т^=$ dt^i(t)w2 (Ю.16)
/о о
/о+Г О
N~(C,T) = -\ dt J‘ |(or2(c,uo)4- (10-17)
t0 —OO
Применительно к стационарным в узком смысле процессам g(i)
внутренние интегралы в формулах (10.16) и (10.17) не будут зави-
сеть от времени, и целесообразно ввести среднее число пересечений
в единицу времени. Для среднего числа пересечений в единицу вре-
мени стационарным случайным процессом |(/) фиксированного
уровня С снизу вверх и сверху вниз из (10.16) и (10.17) получаем
простые формулы
Nt(C)^N+(C,\) = ]iW2(C,l)dl, (Ю-18)
о
NT(C) = N-(C,1)=- $ iw2(c,l)di. (10.19)
—00
Для ряда стационарных процессов (например, нормальных)
значения процесса £(/) и его производной £(t) в совпадающие мо- ,
менты времени оказываются статистически независимыми, т. е.
W2 (С, I) =Г1(С)ш(|). (10.20)
При выполнении этого условия формулы (10.18) и (10.19) еще более
упрощаются:
Aft (С) = W, (С) J lw (I) dt, NT (С) = (Q $ U (|) dt. (10.21)
0 оо
Применительно к нормальному стационарному дифференцируе-
мому процессу В(0 со средним значением т и функцией коореляции
^(т) = а2Я(т) (10.22)
формулы (10.21) принимают вид
(10.23)
Для огибающей V(t) суммы гармонического колебания s(t) =
= Ат cos (со0^ + фо) и нормального квазигармонического (узко-
полосного) случайного процесса g(Z), имеющего нулевое среднее
значение и функцию корреляции
(т) = о2 р (т) cos соо т, (10.24)
14В Зак. 728
409
получается следующая формула:
и+(С) = ?Vr(C) = j'72 / —ехр Г—(Лт + С2)1х
\ 2л / уст / L 2а2 J
X/of^r) > Ро= d2.P2T) I >О°- (Ю-25)
\ а2 / dx2 |т=о
Здесь IQ(x) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргу-
мента. При Ат = 0 формула (10.25) определяет число выбросов
огибающей Д(/) одного квазигармонического процесса £(/)
Nt (С) = NT (С) f ( —'j ехр С >0. (10.26)
\ 2л / \ а / [ 2 \ а / J
3. Среднее число максимумов дифференцируемого процесса
l(t) на интервале (Zo, t0 + Т) определяется формулой
/о+Г 0
^max(T) = -J di f i(t)W2 (O.UOMt (10.27)
/0 —OO
где W2(i (/), t (0) — совместная плотность вероятности для первой
и второй производных процесса £(/) в один и тот же момент времени.
Для среднего числа минимумов процесса справедлива формула
/е+Г оо
tfmin (Г) - $ dt $ 1 (0 W2 (0, I (0) 4- (10.28)
t0 0
Среднее число максимумов на интервале (Zo, to + Т), превышаю-
щих фиксированный уровень С, равно
/о-ЬТ оо 0
Nmax (Н>С,Т)=-^ dt \ dl $ l(t) W3 (| (0,0, t (/)) di, (10.29)
to C —* OO
где IF3(£(/),£ (/), I’ (/)) — совместная плотность вероятности само-
го процесса и его первых двух производных в один и тот же момент
времени.
Применительно к стационарным процессам можно интересо-
ваться средним числом максимумов в единицу времени. При этом
из формул (10.27) и (10.29) имеем
о
max-Afmax (1)=-.J IW^'^di, (10.30)
—оо
max (Н > С) = Nmax (Н > С, 1) = dl $ W8 (g, o.t) di.
C —oo
(10.31)
410
Формулы (10.30) и (10.31) для нормального стационарного про-
цесса £(/) с нулевым средним значением и функцией корреляции
(10.22) принимают соответственно вид
N1 max — “Т-
2л
С* у^<4) _ d* R (т)
-R"o ’ ° dt*
(10.32)
М1тах(Я>О==У1тах|ф(--L\ + /l-V2e2’Ca Ф( И-Y2, й (
(10.33)
где Ф(х)—интеграл вероятности,
С (
с = -, . (10.34)
4. Средняя длительность выброса стационарного эргодического
процесса 1(f) над фиксированным уровнем С вычисляется по формуле
оо
г(С) = -|Х(1)^-
Nt(C)d
Средний интервал между выбросами на уровне С равен
с
ё(С)=—— f
(10.35)
(10.36)
Применительно к нормальному стационарному процессу со
средним значением т и функцией корреляции (10.22) формулы
(10.35) и (10.36) принимают вид
*(Q = —^=r[l-0(v)]ev‘/2, т = -^, (10.37)
6(С) = -7^Ф(у)ет2/2. (Ю.38)
V-Ro
Для огибающей Л(/) квазигармонического процесса £(/), имею-
щего функцию корреляции (10.24), справедливы следующие соот-
ношения:
= у = £>0, (10.39)
ё(С)= — , /"ZjKFexp f——1] . (Ю.40)
V |/ -Ро L Н \ 2 7 ) J
14В*
411
Средняя длительность интервала между минимумом и следую-
щим за ним соседним максимумом тт, а также между максимумом и
последующим соседним минимумом 0т находится по формулам
оо О
\п = 1Г~ f w^d^> N~±~ f (10-41)
yv 1 min % 2V 1 max J
0 —oo
Для нормального стационарного процесса
5. В радиотехнических приложениях рассмотрение выбросов
часто связывают с анализом действия полезных регулярных импульс-
Рис. 10.4. Смещения моментов срабатыва-
ния реле из-за шума.
ных сигналов u(t) совместно с помехами £(/) на электронные реле и
другие пороговые устройства. В том случае, когда детерминирован-
ный полезный сигнал складывается с «гладкими» помехами малой
интенсивности, помехи вызывают случайное дрожание момента
срабатывания реле и момента окончания его работы.
Пусть в отсутствие помех реле срабатывает от полезного импульса
u(f) в некоторый момент времени и затем через промежуток вре-
мени т, т. е. в момент t2 = ti + т, скачком возвращается в перво-
начальное состояние (рис. 10.4). При наличии слабых помех £(/)
эти моменты времени будут смещены на малые случайные величины
и Аг, т* е- — h + At, t2 — ^2 + А2.
В линейном приближении смещения равны
Л2 = ^1,
1 s(/i) 2 sW
(10.43)
du (О I
где s(Zf) = —— —крутизна
dt
срабатывания С.
полезного импульса на уровне
412
Если стационарный шум £(/) имеет нулевое среднее значение и
функцию корреляции &(т) = о2 /?(т), то дисперсии момента сраба-
тывания реле и момента окончания работы равны соответственно
Из равенства
т'=/2—1\ =т+(Д2—Дх)
по известным правилам находим дисперсию длительности импульса
на выходе реле
= 2s-^U(r) + ^1
sa(G)L s(/a) s2(fa)J
(10.45)
§ 2. Примеры
Пример 10.1. Пусть случайный^процесс x(t) задан дифферен-
циальным уравнением
-^-4-ах = п(/), х(О) = хо, (10.46)
di
где п(0 — белый шум с нулевым средним значением.
Вычислить среднее время первого достижения границ интервала
(а, 6), причем а < х0 < Ь.
Решение. Воспользуемся формулой (10.11). Предварительно
найдем коэффициенты /С1(х0) и Кг(х0) согласно (10.5). Укажем,
что при выполнении статистического усреднения в (10.5) х0 счи-
тается фиксированной, а не случайной величиной.
Применительно к уравнению (10.46) имеем /(х0) = — ахо + п(/).
Поэтому
К1(*о) = (^о)> =
k (ft ft) = (*о) (Л'о)] Ift (Xo) (*o)]> =
= (n (f) n (t 4- t)> = ±N0 6 (t),
ОС
f 6(T)dx = 4^0.
z v z
— oo
Подставив найденные значения коэффициентов в (10.12), имеем
ф(г) = 2 dz=— —= —
44 ' J No 2а\
где а2 = Na/4a — дисперсия процесса х(/) в стационарном состоя-
НИИ.
413
Теперь по формуле (10.11) находим среднее время 7\(а, х0, Ь)
первого достижения границ интервала (а, Ь) точкой, первоначально
находящейся в х0,
л
Т1 (п, х0, Ь) = ——
- У 6
a J х0
е№/2 dy +
Ф(у) —Ф
где Ф(х)— интеграл вероятности,
(10.47)
Х2
J (хх, х2) = § е*2/2 dx.
Рассмотрим несколько частных случаев формулы (10.47). Пусть
х0 = 0 и границы расположены симметрично, т. е. а = —Ь. Тогда
с учетом соотношения Ф (—х) = 1 — Ф (х) из (10.47) получим
Ь/<з
Тх (—Ь, О, b) = - 1/v С [2 Ф (у) — 1 ] еу2/2 dy. (10.47')
“ Г 2 Jo
Предположим, что а—*—оо. Так как Ф( — оо)=0 и
1 im J _"W —, — - 1,
а->_оо \а> О ) \ о * а/
/ а/а
lim J-1 (—, Ф (у) еУг/Чу = 0,
а->—оо О> Q / J
Х0/а
то формула (10.47) принимает вид
__ b/<j
Т1(—со, х0, Ь) f Ф (у) еу2/2 dy.
a J ,
хо h
(10.47")
414
Пусть b-^oo. Нетрудно убедиться, что
limJ-11—, -Vf—. -1 = 1, Нт J-1 (- , -lx
ь->оо \ a a J \ a a / ь-оо \ a a /
b/a
xf Гф(у) — фГ—1]e’’’/2dy=l — ф(-1.
Поэтому из (10.47) получим
7\ (a, x0, oo) = 1—? § [1— Ф(у)]еУг/2(1у. (10.47"')
a a/o
Пример 10.2. Требуется определить число положительных
выбросов на уровне С — За во временном интервале Т = 100 мксек
нормального стационарного процесса £(/), имеющего нулевое среднее
значение (tn — 0) и спектральную плотность
1 Г _(щ—що)2 (м-|-що)2 ~
S (со) = у Nq е 4а + е 4а ,
если f0 = й)0/2л = 60 Мгц и энергетическая ширина спектра Д/э =
= 2 Мгц.
Решение. Обозначим среднее число интересующих нас вы-
бросов через Af+(C, Т). Так как процесс £(/) стационарен, то
N+(C,T) = TNt (С).
Для рассматриваемого примера среднее число положительных вы-
бросов в единицу времени определяется формулой (10.23) при
m = 0, т. е.
ЛН-(С.7>±гГ=йехр[-4(£)Г
Пользуясь формулой (5.18), можем написать
оо
—оо
где а2—дисперсия процесса | (/), равная
оо
5<т>л»=л'«1/Т
Следовательно,
оо
Ro = R"(O) =-----1- [ ®®S(«>)d®.
2ло2 J
415
Подставив сюда выражение спектральной плотности и выполнив
интегрирование, получим
R о — — (о) о 4" 2а). t
Поэтому
W+ (С, Т) = Т -I /1 + 2^ е-4-5 ~ А, 1 + ДД е-*А
У % V юо /
На основании определения энергетической ширины спектра
А/э
1
2л50
оо
fs(®)d®= -1- No
t/ 4Ло0
п (<L>-W
je--^
0
находим a = лД/2 . С учетом этого соотношения получаем оконча-
тельную расчетную формулу
лщс, T)^f.T
11 _|_ J_ е-4-5 = 60 • 106.100 • 10-6 х
Пример 10.3. Определить относительный уровень С7сг, при
котором огибающая 'А (/) квазигармонического процесса £(/), имею-
щего постоянную и отличную от нуля спектральную плотность
только при частотах \f — f0\ < Д//2 = 0,5 Мгц, на интервале
Т — 1000 мксек превышает уровень С в среднем один раз.
Решение. Воспользовавшись формулой (10.26), можем на-
писать
tf+(C,T)=7Wt(C)==r|/
у \ и j l z» \ V
В данном примере
sin (я Д/т)
Г V 7 л Д/т
и
о
Поэтому
W+ (С. Т) _ Д/т/i ехр [-1
После подстановки сюда отдельных значений приходим к транс-
цендентному уравнению относительно С7а
416
приближенное решение которого дает следующий ответ:
С/о ~ 4.
Пример 10.4. Найти среднее число максимумов в единицу
времени над уровнем С = 2о нормального стационарного процесса
с коэффициентом корреляции
(т) = е~ат’, а = 4л Д/э2.
Решение. Ответ на данный пример дается формулами (10.32)
и (10.33). Так как R”o = —2а, Rtf* — 12а2, то v = ]/2/3. Подста-
вив отдельные величины в формулу (10.33), получим
й/1гаах(Н>2а)=]Л ^Д/8[ф(-]/ у) + ]/ |е-2ф(/з)]~0,256Д/3.
Пример 10.5. Вычислить средний интервал времени между
максимумом (минимумом) и соседним минимумом (максимумом) нор-
мального стационарного процесса с коэффициентом корреляции
R (т) = р (т) cos (оо т, р (0) = 1.
Рассмотреть частный случай, когда р(т) = ехр( — лЛ/2т2), при-
чем <^fQ = <o0/2ji.
Решение. Для рассматриваемого коэффициента корреляции
находим
Ro= —(g>0 — Ро), —6й)о Ро + рЕЛ
Подставив эти величины в формулу (10.42), получим
I
-----^—741 ' (Ю.48)
* 6 2 •" 4 /
“о /
Для
р (т) = ехр ( — л Д/э т2)
имеем
Р; = -2лДГэ, ро4> = 12л2 Д/э.
Поэтому
£/ДДЛ2 Т/2
417
Пример 10.6. На «безынерционное» электронное реле воз-
действует сумма сигнала в виде импульса гауссовой формы
и (/) = Ло ехр
— 2,8 f—У
\ ти / .
и дифференцируемого флуктуационного шума с малой дисперсией
о2 =
Определить возможную наименьшую нестабильность момента
срабатывания реле, обусловленную шумом.
Решение. Первая из формул (10.44) показывает, что при за-
данной дисперсии шума о2 наименьшая нестабильность момента
срабатывания будет при пороге срабатывания реле, соответствую-
щем максимальной крутизне импульса.
Из равенства и" (/) = 0 находим момент времени при котором
гауссов импульс имеет максимальную крутизну: 5, 6.
Максимальное значение крутизны равно
s и' (01 t=h = Ло /5Д е-о-5 — = 1,435 Л0/ти.
Подставив отдельные величины в первую формулу (10.44), на-
ходим наименьшую нестабильность момента срабатывания реле
1,435Л0 '
§ 3. Задачи и ответы
10.1 . Случайный процесс x(f) задан дифференциальным урав-
нением
x = an(/), x(0) = xo,
где n(t) — белый шум с нулевым средним значением.
Найти среднее время первого достижения границ a, Ъ точкой,
находящейся в х0 при t = 0, и вычислить дисперсию этого времени.
Ответ [1]:
a2W0
or (a, х0, b) = % [ — 2xq + 4 (a -|-6) Хо — 3 (a + &)2 х<> +
3a4 Nq
+ (а + Ь)3 х0—ab (а2 + &2)].
Указание. Для вычисления о2 нужно сначала решить
дифференциальное уравнение (10.9) при краевых условиях (10.7) и
затем воспользоваться формулой (10.10).
418
10.2 . Пусть остаются в силе все другие условия задачи 10.1,
за исключением того, что начальное значение xQ случайно и равно-
мерно распределено в интервале (с — h, с + Л), где h >> 0, причем
а <2 с — h, b > с + h.
Найти среднее время первого достижения границ интервала
(а, 6).
Ответ:
Л(а^) = ^[-^ + с(а+&)-'С2-| А2]-
10.3 . Сравнить аналогичные результаты решения задач 10.1
и 10.2 для случая х0 = с = (а + Ь)/2 и дать физическое пояснение.
Рассмотреть частный случай, когда h = (b — а)/2.
Т‘(а-Х^ = ^ ~6) I'1’
10.4 . Поведение системы описывается дифференциальным
уравнением
x = K1 + n(t)t а<.х (0) = х0<.Ь,
где Ki — постоянный коэффициент, n(t) — белый шум.
Вычислить среднее время первого достижения границ а, Ь. Рас-
смотреть частный случай, когда а = —b, xQ = 0.
Ответ:
Ti (а, Х0) Ь) — Ха —е~ХХ|>) — (х0 — д) (е х*° —е Х6)
^i(e“Xa —е“х6)
N„
Т, (—6,0, b) = — th (- kb
1 ’ Ki \2
10.5 . На вход взаимокорреляционного приемника (рис. 10.5)
в течение большого интервала времени (0, Т) воздействует сумма
белого шума п(0 и детерминированного сигнала в виде одиночного
прямоугольного радиоимпульса
s (/) = sin ®0 f, 0</0<7 </0 + ти<Т (сооТ> 1),
где /о — момент времени, соответствующий началу импульса,
ти — длительность радиоимпульса.
419
S(t)*n(V
0---------
S(t)
p
Рис. 10.5. Простейшая схема взаимокор-
реляционного приемника.
Нужно найти среднее время первого достижения выходным
шумом
t
(t) = s (т) п (т) dx
о
границ интервала (—&, &), где b — максимальное значение выход-
ного сигнала.
Ответ:
Т / А Л М 4^2 ^тти , 1 j2
T1(—bfOfb) = —------=-------, &=-Дтти.
A2mNQ No 2
Указание. Рассматриваемый процесс х = периоди-
чески нестационарен и не охватывается уравнением (10.1), в правую
часть которого время входит только через шум n(t). В данном слу-
чае коэффициент /Ci = 0, а коэффициент /С2 должен вычисляться
по формуле
А/А/
К2 = lim 4-J J s (Xj)s (т2) < п (тх) п (т2)> dTx dx2 =
Д/_>° ej J
А/
= 1 im -i- С -i No s2 (t) dr = у No.
M->o Д/ J 2 4
Формально это можно учесть, если в задаче 10.1 положить
а = Ат/2. Полагая затем в ответе к этой задаче х0 = 0, —а = b =
= Л^ ти/2, получим требуемый результат.
10.6 . Найти среднее число положительных выбросов в еди-
ницу времени на уровне С < Ат для гармонического колебания
s(t) = Лтсо8(®0^ + ф), начальная фаза которого случайна и распре-
делена равномерно в интервале (—л, л).
Ответ:
^t(C)=70=^-, С<Ат.
420
Указание. Так как производная по времени от процесса
равна
s (t) = — (оо Ат sin (<оо t + <р) = ±ш0/' А2т—s2 (О,
то совместная плотность вероятности определяется формулой
r2 (s (О, S (0) =W\(s)w (s^s) = 1 [6 (s —й0 l/A2—s2 ) +
2л У 4^— s2L v r 1
+ 6(s +<о0‘|Л A2m—s2'^^^1(s)w(s),
где 6(x) —дельта-функция.
В данном случае условие независимости (10.20) не выполняется
и поэтому следует применять формулу (10.18).
10.7 . Найти на интервале Т дисперсию числа нулей сг^ (Т) гар-
монического колебания s(t) = Ат sin (2nfot + ф), у которого слу-
чайная начальная фаза распределена равномерно в интервале
(—л, л).
Ответ [1]:
<$(Т) = (2/о Т-[2f0 Т]) (1 —2f0 Т + [2f0Т]),
где [2/оТ ] — целая часть числа 2f0T.
10.8 . Получить явные выражения N+ (С) для нормальных ста-
ционарных процессов с нулевыми средними значениями, одинако-
выми дисперсиями и тремя разными коэффициентами корреляции
^(т) = (1 + а|т|)е-« 14, ед = е-«‘, А>3 (т) =-.
Сравнить полученные результаты при одном и том же значении
уровня С и одинаковой энергетической полосе спектров Д/э.
Ответ:
(С)= ± Л/8ехр = 0,63662ДА,ехр
Nt.2(C) = -^ Af3exp Г—-(-VI = 0,38894 Д/9 ехр
у2л [ 2 \ а / J
^з(С) = ^= ДА, ехр [-{(f)8] = 0,28867 Д/э ехр [-1 (у)2],
Nb(C)>Nt2(C)>Nt,3(C).
10.9 . Даны два нормальных стационарных узкополосных
процесса с корреляционными функциями
1(£ 2
2 \ о/ J
_1 (C.Y
2 \ G / .
421
kx (т) = a2 e-“ ।TI (cos <oo r + — sin <o01 r |),
\ %
£2 (0 — °2 e-a 1 x 11 cos ®oT-----— sin <o01 т |).
Какой из двух процессов является дифференцируемым? Вычис-
лить для него среднее число положительных выбросов (С).
Ответ: первый процесс дифференцируем, второй — нет;
^t(Q —/о Г1+ ±f^yi1/2exp(-C2/2o2), А/э~ |<х.
L я \ fo ) J 2
10.10 . Найти среднее значение полного числа пересечений
Afi(C) уровня С для суммы
п(0 = Ы0 + Ы0,
где |i(0 и £2(0 — два независимых нормальных стационарных
дифференцируемых процесса, имеющих нулевые средние значения
и функции автокорреляции
(О = °2i Ri (0. k2 (т) = a2 Ri (О-
Ответ:
N (С) - 1 ( g-^o+g2^o Y/2
П \ CT1+ a2 /
Ru>
_d2Rj (t)|
dx2 | t=o
С2
2 (a2+a2)
10,11.
Решить задачу 10.10 для случая, когда
Ответ:
п(0 = Ш - £2(0-
V (П 1 ( g^'o+^oY/2_
^i(Q = - --I ех₽
С2
2(al+al)
10.12 . В задаче 10.10 найти среднее число «положительных»
нулей N+ (0) процесса т](/), когда
ki (0 = Р1 (О cos т, k2 (т) = о2 р2 (т) cos ®2 т, рх (0) = р2 (0) = 1.
Ответ:
^<°) = 2Т
» d2 Pi (т) I
Р,’° - </т2 I т=0
10.13 . Требуется найти на интервале (t0, t0 + Т) среднее
число превышений уровня С суммой нормального стационарного
422
процесса £(/) и прямой линии a(i) = а0 + где а0 и щ — по-
стоянные коэффициенты. Процесс £(/) имеет нулевое среднее зна-
чение и дважды дифференцируемую функцию корреляции &(т) =
= о2/?(т).
Ответ:
где Ф(х) — интеграл вероятности.
Указание. Нужно предварительно найти совместную
плотность вероятности lF2(r)(0» Л(0 ) Для нормального нестацио-
нарного процесса rj(/) = а0 + + £(/) и его производной
Л(0 — ai + t (0, а затем следует воспользоваться формулой
(10.16).
10.14 . Вычислить среднее число нулей на интервале [0, тТ о\
где т — целое положительное число, для периодически нестацио-
нарного нормального процесса
Л(0 = £(0 cos (о0^, Tq = 2л/(о0.
Здесь %(t) — нормальный стационарный процесс с нулевым средним
значением и функцией корреляции &(т) = о2/?(т).
Ответ:
Л/(0>/пТ0) = ^(о0 + }/^).
10.15 . Найти среднее число нулей в единицу времени Ni(0)
процесса т](/) = gi(/)g2(/), где gi(Z) и £2(0 — Два нормальных
стационарных независимых дифференцируемых процесса с нуле-
выми средними значениями и автокорреляционными функциями
(т) = °i Ri (т)> (т) = 02 Ri W-
Ответ:
л»-|,=0•
Указание. Поскольку независимые процессы |i(/) и
£2(0 дифференцируемы, то их реализации представляют собой плав-
но изменяющиеся функции времени. Вероятность совпадения нулей
двух таких функций практически равна нулю. Поэтому число ну-
лей произведения двух функций равно сумме чисел нулей каждой
из перемножаемых функций.
423
10.16 . Вычислить среднее число выбросов Л/+ (С) квадрата
стационарного случайного процесса £(/), имеющего нулевое среднее
значение и функцию корреляции &(т) = о2/?(т).
Ответ:
Nt (С) = ]/ -Ro ехр (- С/2о2), С > 0.
10.17 . Найти среднее число выбросов AG1' (С) случайного про-
цесса т)(0 = У£2(/) = |£(01» если нормальный процесс £(/) имеет
корреляционную функцию &(т) = о2Л(т).
Ответ:
Nt(C)^t.y — Roехр(- С2/2о2), С>0.
10.18 . Получить выражение N+ (С) для стационарного процесса
ti(0=/gi(0+O(0>
где £1(0 и |2(0 — два независимых нормальных стационарных
процесса с нулевыми средними значениями и одинаковыми авто-
корреляционными функциями
ki(r) = &2(т) = о2/?(т).
Ответ:
оо.
10.19 . Имеется линейный фильтр (рис. 10.6), согласованный
с детерминированным импульсом гауссовой формы
s (0 = Лоехр Г-2,8 ( —0 <т0 < Т, Т » ти,
L \ ти / J
где т0 — момент времени, соответствующий середине импульса;
ти — длительность импульса на уровне 0,5; Т — интервал наблюде-
ния.
Согласованный
линейный
филыпр
K(ja>)
Рис. 10.6. Воздействие суммы сигнала и
белого шума на согласованный фильтр.
424
Функция передачи согласованного фильтра имеет вид
К(/0>) = Ао ти /2^ехр [- -/<0 (А>-т0)
где to — момент времени, соответствующий наибольшему значению
выходного сигнала s6max = sd(t0) = Е = А? ти Ул/5,6.
Найти среднее число положительных выбросов N+(C, Т) выход-
ного шума £(/) на уровне С, равном наибольшему значению выход-
ного сигнала.
Ответ:
N+(C,T) = ^-( — } ехр (------
' ' л \ ти ) н \ No J
10.20 . Получить явные выражения Л/+ (С) для нормальных
стационарных узкополосных процессов с нулевыми средними зна-
чениями, одинаковыми дисперсиями и тремя разными коэффициен-
тами корреляции
(т) = (1 + «| т | ) ।х 1 cos со0 т, R2 (т) = е-ах2 cos со0 т,
/1 \
sin — Лепт
\ 2 /
7?з (т) =--------------— cos соо т.
— Л сот
2
Сравнить полученные результаты при одном и том же значении
уровня С и одинаковой энергетической полосе спектров Д/э.
Ответ:
Atf! (С) ~ А, [1 + £ №У]ехр (~С2/2о2), /о = <о0/2л„
\ /о / J
Nt.2 (С) ~ /о [1 + (77 )2] ехр <-С2/2а2)’
^з(С)~/о[1 +^- (т£)2] ехр (-CW), А/ = А0)/2л.
NtdQ>Nt2(C)>Nt3(C).
10.21 . Получить формулу для среднего числа положительных
выбросов в единицу времени на уровне С нормального стационар-
ного процесса с функцией корреляции
£(t) = o2P(t)cos[(o0t-|-y(t)], р(0)= 1.
Ответ:
Л^+(С)=
""11/2
exp(-CW-), у'о=
425
10.22 . Определить среднее число выбросов АН (С, Т) огибающей
A(t) квазигармонического шума, спектральная плотность которого
постоянна в интервале частот \f — f0\ < А/72 и равна нулю вне
этого интервала. Рассмотреть случай, когда Т = 1000 мксек,
Af = 1 Мгц и С = За.
Ответ:
N+ (С, Т) = TNt (С) = ТAf ( ^ ) ехр (—С2/2а2), С > 0,
N+(3a, 10 ”3)~ 24 */сек-
10.23 . На вход системы, представленной на рис. 10.7, воз-
действует белый шум п(/), односторонняя спектральная плотность
которого равна Sn(f) = No, f > 0.
Рис. 10.7. Простейшая схема амплитудного ра-
диоприемника с электронным реле.
Определить число срабатываний «безынерционного» электрон-
ного реле от шумовых выбросов при порогах срабатывания С4 = 2а
и С2 = За за время Т = 1000 мксек, если квадрат частотной харак-
теристики усилителя промежуточной частоты (УПЧ),имеет вид
X2tf) = K0exp|-2,8(-^yi, А/«/о,
L \ л/ / J
где fo — резонансная частота; А/ — полоса пропускания УПЧ
на уровне 0,5. Вычисления выполнить для А/ = 2 Мгц.
Ответ:
(С, Т) = TNt (С) = т А/э ехр (^(?/2а2), А/э = А/.
N+ (2а, 10~3) ~ 540 Чсек, N+ (За, 10-3) ~ 66
Указание. На выходе линейного детектора огибающей
воспроизводится огибающая A(t) квазигармонического шума £(/),
воздействующего на входе детектора.
10.24 . Пусть на схему рис. 10.7 воздействует сумма гармониче-
ского сигнала s(/) = Am cos (со0/ + фо) и квазигармонического
шума £(/) с функцией корреляции
(т) = д2 ехр (—л Д/э т2) cos (Оо т<
Найти среднее число срабатываний реле за фиксированное время
Т при пороге срабатывания реле С = За, если отношение сигнал/шум
а = Ат/о = 2.
426
Ответ:
N+ (С, Г) = TNt (С) = TAfa~ ехр
Г 1 La I CL t I c\
~ 0,37 A/o.
Указание. На выходе линейного детектора огибающей
воспроизводится огибающая 7(/) суммы сигнала и шума.
10.25 . Решить задачу 10.24 для случая, когда функция
корреляции шума £(/) имеет вид
9 sin (л Д/д)
О2------— COS (On т
лД/д 0
k (t)=
и сравнить ответы.
Ответ:
N+ (С,Т) =Т £ ехр [-1 (а* + g-)] /о ( 0,2274/.
10«26« Вычислить средние числа максимумов в единицу вре-
мени Afimax нормальных стационарных процессов с коэффициентами
корреляции
/?2(т) = е-«’, /?3(T)=sin(^A/T)
л Д/т
Сравнить полученные результаты при одинаковой энергетической
полосе спектров.
Ответ:
4^1.2 max = 4^6а= / 4Д^=1’382А^’
tfl,3max= |j/|A/ = 0,387A/3<^1,2max.
10.27. Для процессов, указанных в задаче 10.26, вычислить
средний временной интервал между максимумом (минимумом) и
соседним минимумом (максимумом).
Ответ:
?2т = л / /fa = -J- 1/^ = 0,362/А/э,
г 6
= y=1-29W>T2m, Д/ = А/Э.
10»28ti Найти среднее число максимумов в единицу времени
Afimax нормального стационарного процесса с коэффициентом корре-
ляции
R (т) = р (т) cos (о0т, р (0) = 1.
427
Ответ:
(" (4) . 1/2
1 fi Р° . ±о_ \
* — О 2 "г ф \
------ю° „ ю° I
1--^- /
“о '
10.29. Решить задачу 10.28 для коэффициента корреляции
R(t)^ /"WLcOS^T,
v 7 лД/т 0
считая А/« f0 = <оо/2л.
Ответ:
, /0 = %/2л.
-]1/2
№I max — fo
Решить задачу 10.28 для коэффициента корреляции
R (т) = ехр (— лА/эТ2) cos (о0т, А/э < f0 = ©0/2л.
Ответ:
10.30.
N1 max — /о
з /Д/э V з /
л к f<J 4яЦ
2л \ f0 /
4”11/2
4я \ fo ) .
Выразить через энергетическую ширину спектра АД»
среднее время между двумя соседними положительными выбросами
на уровне С для нормальных стационарных процессов с нулевыми
средними значениями и коэффициентами корреляции
R,(T) = (l + a|t|)e—=
л A fr
Сопоставить полученные ответы с результатами решения задачи 10.8.
Ответ:
тх(С) п
10.31.
1 —Ф
4Afa L
exp (C2/2a2),
T.
Ts (Q -
2/3 [i
1—ф(— 'Я ехр (С W).
\ п / J
—Пехр^/го2).
428
10.32. Для нормальных процессов, указанных в задаче 10.31,
найти средний интервал времени между соседними нулями.
Ответ:
= {’Л- 1/тйГ = °'6267W>'
Z оА/э Z f Z ZA/g
(°) = 4г=1,732/ЛЛ
10.33. Определить средний интервал между положительными
выбросами на уровне С нормального стационарного процесса с ну-
левым средним значением и коэффициентом корреляции
R (т) = р (т) COS (ОоТ, (£»о » — Ро, р (0) = 1.
Ответ:
/о \ 2<в0 /,
с_
а
ехр (С2/2а2).
10.34. Пользуясь ответом к задаче 10.33, определить средний
интервал между соседними нулями процессов с функциями корре-
ляции
R2 (т) = ехр (— nAfg т2) cos <о0т,
Я,(т)~ ,!.МИ cosm>T
лД/эт
Ответ:
___Lf ДМ2-
4л \ /о А .
10.35. Определить средний интервал между соседними поло-
жительными и отрицательными выбросами огибающей Л (7) на неко-
тором уровне С > 0 для нормальных стационарных процессов с ко-
эффициентами корреляции, указанными в задаче 10.34.
Ответ:
е2 (С) = -L ( -2-Ъехр (С2/2о2)—1],
А/э \ О /
03 (С) = 4- l/ — (4) [ехр (С2/2о2) -1J.
У л V С )
10.36. Найти наибольшую точность определения положения
то центра видеоимпульса гауссовой формы (рис. 10.8)
429
где ти — известная длительность импульса на уровне 0,5, в двух
случаях: 1) для определения т0 используется пороговое устройство,
реагирующее только на передний фронт импульса, и 2) момент т0
определяется пороговым устройством, реагирующим как на перед-
ний, так и на задний фронт импульса.
Указанный импульс принимается на фоне аддитивного флуктуа-
ционного шума малой интенсивности с функцией корреляции
k (т) = о2 ехр (-j- А^т2 ) , А/э ~ 1 /ти.
Ответ:
1 \ _ _
7 ° 1,435Л0
<гти_
1,435/2 Ло
2) Ъ, =
/1 +ехр (-лА/Ы/5,6) ~
1,435Л 0
Указание. Рассматриваемый гауссов видеоимпульс имеет
максимальную крутизну фронтов ^ax(^i,2) = ± До 1^5,6 е-0’5/ти
в точках Zi,2=^o ±ТИ/К5,6, отстоящих друг от друга на т=ти/уТд
Пороговые устройства должны иметь порог срабатывания С =
= Д0е-0’5. Центр импульса во втором случае определяется из ра-
венства
*о =
10.37. Определить временную нестабильность положения ка-
кого-либо нуля суммы гармонического колебания s(t) =
= Ат cos (со0/ + Фо) и плавно изменяющегося флуктуационного
шума с нулевым средним значением и малой дисперсией о2<^ Д2.
Ответ:
о
430
10.38. Найти плотность вероятности временного интервала т
между соседними нулями суммы гармонического колебания $(/) =
= А т cos (со0^ + фо) и нормального стационарного шума (малой
интенсивности) с нулевым средним значением и дифференцируемой
функцией корреляции к(т) = о27?(т).
Ответ:
"г "•
2/л 1+ Я -----)
L \ wo /]
а=Ат/в.
Указание. Как следует из (10.43), в линейном приближе-
нии плотность вероятности интервала времени между соседними
нулями будет нормальной. При этом среднее значение интервала,
очевидно, равно л/со0, а для вычисления дисперсии нужно восполь-
зоваться формулой (10.45).
Литература
1. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. Изд-во «Наука», 1970.
РАЗДЕЛ IV
ТЕОРИЯ
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ
11. ОБНАРУЖЕНИЕ И РАЗЛИЧЕНИЕ
СИГНАЛОВ
§ 1. Теоретические сведения
При рассмотрении помехоустойчивости различ-
ных радиотехнических систем следует различать две группы задач.
1. Заданы статистические характеристики сигналов и помех и
структурная схема приемного устройства. Требуется определить
количественные характеристики помехоустойчивости приема дан-
ных сигналов данным приемником.
2. Заданы статистические характеристики сигналов и помех и
характер их взаимодействия. Требуется определить структуру
устройства,' осуществляющего оптимальную, по определенному
критерию, обработку смеси сигнала и шума, и вычислить соответ-
ствующие количественные характеристики помехоустойчивости
оптимального приема данных сигналов.
Задачи первой группы по существу сводятся к анализу воздей-
ствия на данное радиотехническое устройство заданной смеси сиг-
нала и шума. Конечной целью анализа является вычисление стати-
стических характеристик случайных процессов на выходе прием-
ника, необходимых для последующего определения требуемых коли-
чественных характеристик помехоустойчивости. Задачи этой группы
решаются рассмотренными в предыдущих главах методами анализа
воздействия случайных процессов на линейные и нелинейные звенья
радиотехнических устройств.
Для решения задач второй группы необходимо использовать
аппарат теории статистических решений [1—12]. Основные резуль-
таты этой теории для рассматриваемого случая обнаружения и раз-
личения сигналов приводятся ниже.
Предположим, что на вход приемного устройства поступает
смесь сигнала и шума
x(t) = fls(t), &(0J, (11.1)
432
где s(t) — полезный сигнал; £(/) — помеха. Функция f[s, £1, т. е.
характер взаимодействия сигнала и помехи, а также статистиче-
ские характеристики шума £(/) и сигнала s(t) предполагаются из-
вестными.
Применительно к случаю различения т сигналов, принимаемых
на фоне помех, входящий в (11.1) сигнал s(t) можно представить
в виде суммы
s(t) = s(t, Х)= 2 l(i\ (11.2)
где — параметр, определяющий, какой из сигналов S[(t) =
=sf(/, /ф, /(р,..., 1^) присутствует на входе приемника в данный
момент времени; — параметр сигнала Параметр пред-
ставляет собой случайную величину, принимающую на интервале
наблюдения [О, Т] значения = 0, либо = 1,
причем, если = 1, то все остальные входящие в (11.2)
параметры с индексами j i равны = %J0 = 0. Приемник,
осуществляющий различение т сигналов, должен определить, какой
из коэффициентов %г- равен единице, т. е. какой из сигналов sz(/)
присутствует в принятом колебании х(1).
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь случая
различения двух сигналов $i(Z) и s2(/), принимаемых на фоне помех.
При этом сигнал (11.2) может быть представлен в виде
s(t) = s(t, %) = Xs1(/,/(i1), zV’)+
+ <1-X)sa(t i\2\ 42)......№). (H-З)
Здесь % — параметр, случайным образом принимающий два зна-
чения: % = = 1, что соответствует наличию в принятой реали-
зации x(t) сигнала sA(Z), или 1 = Хо = 0, когда в реализации x(t)
присутствует сигнал s2(/). Представление сигнала $(/) в форме
(11.3) характерно для различных систем передачи двоичной инфор-
мации, широко используемых в связи, телеметрии, телеуправлении
и т. п.
Применительно к случаю обнаружения сигнал s(t) представ-
ляется в виде
5(/) = 8(^Х) = Ч(Л/1>/21..., lk). (11.4)
Значение параметра % = = 1 соответствует наличию на входе
приемника смеси сигнала и шума, X = Хо = 0 означает, что на входе
приемника имеется только шум. Приемник, предназначенный для
обнаружения сигналов, должен определить, какое значение на дан-
ном интервале наблюдения [0, Т] имеет параметр %, т. е. должен
решить, представляет ли принимаемое колебание x(t) только шум
или смесь сигнала и шума.
В соответствии с теорией статистических решений принятие
гипотезы 1 = 1! или % = Хо должно основываться на результатах
анализа отношения правдоподобия. При дискретной обработке реа-
15 Зак. 728
433
лизации x(Z) это отношение имеет вид
А [х (/)] = -У,д(Х1’ for. , (Ц.5)
П (*1> X2t • • • > ХП | М
где х2, •••, *П|М и Wn (*ь *2, •••, *п\ ^о) — n-мерные плот-
ности вероятностей выборок xk = x(tk) процесса x(t) соответственно
при гипотезах X = и 1 = Хо. Рассматриваемая как функция
параметра X, условная .плотность вероятности Wn (xlf х2, ...» хп X)
обозначается через ЦК) и называется функцией правдоподобия.
В случае непрерывной обработки реализации x(t) отношение правдо-
подобия
A [X (01 = р1* %’?! > (И -6)
[х (/) |Xq]
где F[x(/)| X]—так называемый функционал плотности вероят-
ности
F[x (0|%]= .... хп|Х). (11.7)
П —>со
Д->0
Здесь А — временной интервал А =1^1 — tk между соседними вы-
борками xk = х (tk, К) и =x(tk+it К). Рассматриваемый как
функция от параметра К, он называется функционалом правдоподо-
бия и обозначается через F(K).
Следует отметить, что конечный предел, определяемый соотно-
шением (11.7), не существует. Можно показать [7], что в правую
часть равенства (11.7) входит множитель k = &(А), не зависящий
от выборки xif х2, ...» хп, но зависящий от А так, что при А -> 0
множитель k -> оо. Однако в результате того, что неопределенный
множитель k не зависит от xif х2, ..., хп, имеется возможность вы-
числить конечный предел отношения (11.5):
1 j гп п (Х1> । ^i) __ F Iх (О I ^11 (118)
п ->00 Wn (хь х2, ... ,хп | Хо) F [* (О I ^о]
Д->0
Наиболее просто функции правдоподобия Wn(xlf х2, ...,хп|Х) =
= ЦК) вычисляются в том случае, когда х(/) представляет собой
аддитивную смесь сигнала $(/, К), зависящего только от одного слу-
чайного параметра К9 и шума g (t):
x(t) = s(t,K) + l(t). (U.9)
В этом случае [7]
(Хр х2, ..., хп I %) = £(Х) = Wni [xr—sx (1),
Х2 s2(^)> •••> хп (11.10)
где Wne, (£х, ^2, ..., £п)—n-мерная плотность вероятности шума
g(0; xh = x(th)-, sh^) = s(thA).
Переходя в (11.10) к пределу при A = /*+i — ^ft->0, получаем
F[x(O|%] = F(Z) = Fdx(O-s(£X)]. (Н.П)
434
В более общем случае полезный сигнал может зависеть не толь-
ко от параметра X, называемого существенным, но и от ряда несуще-
ственных случайных параметров Z2, lk. При этих условиях и
функционал плотности вероятности F^[x(t) — s(t, X, llt Z2, lh)]
оказывается зависящим от несущественных случайных параметров
и для определения функционала правдоподобия F[x(t) | X] требуется
его усреднение по несущественным параметрам:
F[x(Z)|%]=F(%) = jj ... $Fe[x(Z) — s(Z, К
lh)}Wh(lJl2,...?lh)dlldl2...dlh.
(11.11a)
Здесь Wk(li, lz, lk) — совместная плотность вероятности несу-
щественных параметров Zb Z2, ..., ZA. Если % (Z) представляет собой
нормальный случайный процесс с нулевым средним значением
и функцией корреляции Z2,) = <£ (Zi)g (Z2)>, то его
n-мерная плотность вероятности определяется формулой
£2,
^ia2 • • • °nV(2л;)л D
Хехр
1 п п t ?
_L V V п ——
2D и а
|Х==1 V=1 Iх И
Здесь = — дисперсия случайной величины = g (/z); D —
определитель n-го порядка, составленный из коэффициентов кор-
реляции (Z|x, Zv) = <^v>/oixo/.
Rj.2 •••
Rm
/?21 1 ••• Rin
D =
X
(11.12)
Rni Rn2 ••• 1
— алгебраическое дополнение элемента определителя D.
Переходя в (11.12) к пределу при А = Z^+i — th -> 0, получим сле-
дующее выражение для функционала плотности вероятности нор-
мального случайного процесса £(Z):
IT т
о о
(11.13)
где 0(Zi, Z2) определяется интегральным уравнением
т
т)0(т, Z2)dr=6(/2—Zx). (11.14)
о
Иногда удобно преобразовать (11.13), введя функцию
т
(p(Z) = $x(Z1)0(Z, ZjdZp (11.14а)
6
15=
435
При этом получим
1 ; i
F£[g(0] = 6-exp---------%(t)<p(t)dt ,
о J
(11.13а)
где функция ф(/), как это следует из (11.14) и (11.14а), удовлет-
воряет интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода
т
т)ф(т)йт = ^(О, 0</<7\ (11.146)
О
Предположим, что £(/) представляет собой нормальный белый
шум с нулевым средним значением и функцией корреляции
KdO, = (Н.15)
Подставляя (11.15) в (11.146), находим, что
<р(о=тМ(о.
No
в соответствии с чем для функционала плотности вероятности белого
шума получаем следующее выражение:
Fs. [В (01 = 6-ехр
т
(и.16)
Аналогичным образом находится функционал плотности вероят-
ности для нормального процесса В(0 с функцией корреляции
/^(МгН^е-’1*’-**1. (Н.17)
В этом случае [7]
т
г т
Л1В(01 = 6-ехр—-2-
4аа
2 -
dt -f-
-4 [?2(0Ж2 (ЛЬ-
4оа
(11.18)
Для нормального процесса %(t) с функцией корреляции
Ke (tlt t2) = о2 е“я 1 *г~‘11 [cos 0)! (t2 — 0) + 4-sin ®11 f2—Gl] (11-19)
имеем [7]
Fi [B(0] = 6-exp
1 И
4°2«о®о
+ ®о $ В2 (0 dt + 2®Ц g (0В (0 dt + а0о»о [В2 (0) + В2 (Л1 +
О о
т
436
+ ао[|2(О)+|2(Т)]
(11.20)
где
«о = со? + а2; а0 = 2аР
Если в результате дискретной обработки принятой реализации
x(t) окажется, что отношение праводоподобия (11.5) превышает не-
которую величину С, т. е.
Л 1х (/)] = (Х1' *2...х”1 Х1) = > с, (11.21)
Wn(xlt х2, ... , x„|W L(M
принимается решение 1 В противном случае принимается
X == X/Q.
Принятие решения означает разбиение всей области изменения
выборок Xi, х2, ..., хп, обозначаемой через Г, на две области Гх
и Го. При попадании принятой выборки xif х2, ...» хп в область Го
принимается решение X = Хо, а при попадании xi9 х2,хп в область
Г1 принимается решение % = Так как Wn (хь х2, хп\ Xi) и
l^n(xi, х2, •••, *п| М определены во всей области Г, всегда имеется
вероятность того, что при % = Хо выборка хь х2, ..., хп попадает
в область Г1, или, наоборот, при X = выборка хь х2, ..., хп по-
падает в область Го. Таким образом, при приеме реализации x(t)
всегда имеется вероятность принять ошибочное решение X = М,
тогда как в действительности X = и наоборот. Эти условные ве-
роятности называются соответственно вероятностями ложной тре-
воги Fi и ложного отбоя Fq и определяются соотношениями
Л = ^(^11Ч) = х2.............Xnl^dx^... dxn, (11.22)
Ti
^o = ‘P(^olM = \wn(xv х2, ..., xn\K1)dx1dx2... dxn. (11.23)
г.
Вероятности принятия правильных решений 1 или % = %0
называются мощностью решения и обозначаются соответственно
через Di и Do:
D1 = P(X1\k1)=^Wn(x1, х2, ..., xn\K1)dx1dx2...dxn, (11.24)
Do = р(ЧI\>) = $№„(*1, х2,..., xn\k0)dx1dx2 ...dxn. (11.25)
г.
Следует отметить, что условные вероятности Fi и Fo еще не пол-
ностью характеризуют ошибки решения. Относительная важность
последних зависит от априорных вероятностей p(hi) и р(Х0),
т. е. от того, насколько часто априори на входе решающего
устройства появляется сигнал, соответствующий 1 или X = Хо.
437
Поэтому в ряде случаев ошибки решения характеризуются полными
вероятностями ошибок первого рода Pi и второго рода Р2-
Pr = Р Рч) = Р PJ Р (*о I U (11-26)
p2=pwf1=pwp(W а1-27
Величина вероятностей ошибок зависит от правила принятия
решения (11.21) и определяется значением постоянной С. Естествен-
но выбрать такую константу С, при которой правило (11.21) оказа-
лось бы в определенном смысле оптимальным. В задачах связи, теле-
метрии и телеуправления в качестве критерия оптимальности обычно
используют критерий идеального наблюдателя (критерий Котель-
никова — Зигерта), совпадающий с Байесовым критерием мини-
мального среднего риска при простой функции потерь, когда оши-
бочному решению приписывается вес, равный единице, а правиль-
ному — равный нулю. Согласно этому критерию оптимальным
считается соотношение (11.21), минимизирующее суммарную
вероятность ошибок первого и второго рода
Р = р (Хх) Р (%0 |Л) + р (Хо) Р (Хх | Хо). (11.28)
Можно показать [7], что это условие выполняется при С =
= Р(^о)/р(Ч)> в соответствии с чем оптимальное по критерию идеаль-
ного наблюдателя правило принятия решения X = Xi принимает вид
£ (^i) Р (Хо) л । 29)
ММ ИМ*
В случае непрерывной обработки реализации x(t) правило (11.29)
преобразуется к виду
Р(М) > р(Хо)
ММ Р (Xi) ‘
В задачах радиолокации широко используется другой крите-
рий оптимальности, называемый критерием Неймана — Пирсона.
Согласно этому критерию оптимальным считается правило (11.21),
максимизирующее вероятность правильного решения Di (т. е. мак-
симизирующее мощность решения) при заданной вероятности лож-
ной тревоги Fi. Можно показать [7], что это условие выполняется
при С = hf где h определяется по наперед заданной вероятности
ложной тревоги Таким образом, оптимальное по критерию Ней-
мана — Пирсона правило принятия решения X = Xt имеет вид
-^->Л (11.30)
L (Хо)
или
(11.30а)
F (Хо)
438
В двух рассмотренных выше критериях предполагалось, что ре-
шение принимается в конце фиксированного интервала наблюде-
ния [О, Т]. Однако в отдельных случаях принимаемая реализация
x(t) может оказаться настолько благоприятной, что надежное обна-
ружение или различение сигналов можно произвести значительно
быстрее, чем в случае приема менее благоприятной реализации. По-
этому, если заранее не фиксировать длительность Т наблюдения,
можно получить в среднем значительную экономию во времени
обработки принимаемых реализаций x(t). Такое наблюдение, при
котором длительность обработки x(t) заранее не фиксируется, а опре-
деляется самим ходом эксперимента, называется последовательным
наблюдением (последовательным анализом) [13, 14].
При последовательном наблюдении производится непрерывный
анализ отношения правдоподобия и сравнение его с двумя порогами
hi и h0 <Z h^ Если отношение правдоподобия меньше h0, прини-
мается гипотеза 1 = Хо. Если же отношение правдоподобия
Л [*(/)] > hlf принимается гипотеза X = М. В том случае, когда
отношение правдоподобия находится между нижним hQ и верхним hi
уровнями, считается, что полученная в результате обработки реали-
зации x(t) статистика недостаточна для принятия решения, и испы-
тание продолжается.
Таким образом, решение сформулированных выше задач второй
группы сводится к отысканию оптимального устройства, осуще-
ствляющего обработку принимаемой смеси x{t) в соответствии с пра-
вилами (11.29) или (11.30), и вычислению соответствующих им ве-
роятностей ошибочных решений.
§ 2. Примеры
Пример 11.1. На вход радиоприемного устройства поступает
колебание
х(0=ч(^ 4°, №.........Z^>)+(1—X)s2 (z, zi2>,
^2>,.... 42))+В(0, (11.31)
где В(0 — стационарный нормальный белый шум с нулевым средним
значением и функцией корреляции
^(т) = -у-6(т), (11.32)
а «Д/, l\‘\ , I'm)—детерминированные узкополосные ра-
диосигналы вида
St(t, l\l\ Ip.../^) =-/(/, /(1°.. /V))cos[co/ +
+ Фг(Л l(4i..... /<?)], /= 1,2. (11.33)
439
Здесь coz — несущие частоты; ff(Z) и (/) — функции, отображаю-
щие законы амплитудной и угловой модуляции; Цр — априорно
известные параметры сигналов st (t, l\^9 ..., 1$) = s^t).
Предполагается, что ширина спектров сигналов s±(f) и s2(Z)
много меньше их несущих частот и, кроме того, |со2 — <*>i| =
= Лсо<^(о^, а сами сигналы sz(Z) полностью определены на интер-
валах времени длительностью Т и равны нулю вне этого интервала.
Параметр % представляет собой случайную величину, принимающую
на фиксированном интервале [kTf (k + 1)Т], k = 0, 1, 2, ...,
значение 1 = 1, что соответствует наличию в принятом коле-
бании х(/) сигнала Si(Z), или % = Хо = 0, когда в колебании x(t)
присутствует сигнал s2(/). Априорные вероятности p(s4) = p(Xi)
и p(s2) = р(Х0) присутствия сигналов (11.33) в колебании (11.31)
считаются известными.
Определить структуру приемного устройства, осуществляющего
оптимальную по критерию идеального наблюдателя обработку реали-
зации x(t) и вычислить соответствующую ей минимальную суммар-
ную вероятность ошибочного приема детерминированных сигналов
Si(/) и s2(Z).
Решение^ Как следует из (11.11) и (11.16), в случае приема
детерминированных сигналов sz(/, l^f ..., Z<p) = st(t) на
фоне белого шума £(Z) функционалы правдоподобия F(Xi) и F(X0)
определяются соотношениями
F (\) = k • ехр
F(A,0) = &-exp
1 ?
-U[x(Z)- ,
Wo J
1 ?
N*
(11.34)
(11.35)
Подставляя (11.34) и (11.35) в (11.29а) и логарифмируя полу-
ченное выражение, найдем, что оптимальный приемник для разли-
чения двух детерминированных сигналов s; (t) (t = l; 2) на фоне
белого шума должен сформировать величину (рис. 11.1)
т т
U = х (t) st (t) dt —(j x (t) s2 (t) dt
о о
и сравнить ее с порогом Н, равным
Н = — IX—Е2 + М) In -^-1.
2 L 1 2 0 Pfo) J
(11.36)
(11.37)
Здесь Ег и Е2 — энергии сигналов s±(Z) и $2(/), соответственно рав-
ные
440
т т
Е, = $ [Si (Ol2 dt, E2 = J [s2 (Z)]2 dt. (11.38)
o 0
Решение % = 1 принимается при U > Hy в противном случае при-
нимается решение % = 0.
В соответствии с (11.36) и (11.37) искомое оптимальное прием-
ное устройство должно состоять из двух перемножителей, интегра-
Рис. 11.1. Оптимальные устройства для различения двух де-
терминированных сигналов.
торов и порогового устройства с порогом Н (рис. 11.1, а). Перемно-
жители и интеграторы можно заменить согласованными фильтрами
(СФ) [15, 16] с импульсными переходными функциями
Gj'.(0 = si(T~-O. (11.39)
при этом блок-схема оптимального приемника преобразуется к виду,
изображенному на рис. 11.1,6.
Предположим, что колебание (11.31) на входе приемного устрой-
ства имеет вид x(t) = st(/) + |(0, а сформированная приемником
величина U <_ Н. В этом случае будет иметь место ошибка (прини-
мается решение X = 0, когда в действительности X = 1), вероят-
ность которой равна
и
^ = P(S1)P(S2|S1) = P(S1) $ №1(£/|Х= l)d£/. (11.40)
Здесь lFi(t/| X = 1) — условная плотность вероятности случайной
величины U при наличии на входе приемника сигнала Sj(/).
15В Зак. 728
441
Из (11.36) следует, что U является нормальной случайной вели-
чиной с плотностью вероятности
1 ( 1 / U — т, \ 2)
r^|X)=v^rexp ~ihr- 1 (1L41)
среднее значение тх и дисперсия которой зависят от параметра %.
Подставляя, в частности, в (11.36) колебание х(/) = s^/) + £(/),
после несложных вычислений находим
m\=i=E1—Bs, CTx2=1=J^(£1 + £2-2Bs),
где
Bs = J 51 (О S2 (t) dt.
о
(11.42)
Таким образом, вероятность принятия ошибочного решения А = О
равна
________________Р («1)
2|/ -y-(£i+£2-2Bs)
(11.43)
где Ф (z) — интеграл вероятности (2.9).
Пусть U > Н, a x(t) = s2(t) + £(/). В этом случае также имеет
место ошибка (принимается решение А = 1, когда в действитель-
ности А = 0), вероятность которой равна
Л = Р (S2) р (SX | S2) = Р (S2) J Wr(U | А —0) dU. (11.44)
н
В данном случае
mx=o = Bs—£2, + (11.45)
и формула (11.44) принимает вид
Ba = p(s2)
Ex+Eg-ZBH-AMn-^-
P(S1)
(Ex+E2-2Bs)
(11.46)
Подставляя (11.43) и (11.46) в (11.28), находим следующее выраже-
ние для суммарной вероятности ошибок при оптимальном приеме
детерминированных сигналов:
442
P = p(s1)
+ p(s2)
Ei + Eo-2BS-No\n^-
_____________PiS!)
^(Е^Ег-ЧВ^
£1+£2-2В,+УУ01п -^4
P fa)
-^-(Е^Ег-2В3)
(11-47)
При p (sj — p (s2) — 1/2 формула (11.47) значительно упрощается
P=l-o(|/^^(l + 6-2Psi)), (11.48)
где
Рг = ^-; 6 = 4-; рл = 4* (1L49)
No Ei Ei
Для большинства применяемых в системах радиотелеграфии
сигналов характерным является. равенство их энергий: Et = Е.
При этом условии из формулы (11.48) получим [4]
Р = 1-ф(|/’ 4<7(1-Р,) ) > (11.50)
где ps — коэффициент взаимной корреляции сигналов st(/) и s2(/)
т
pg = -^- = -^fsi(0s2(0^. (11.51)
Е £ J
О
Из (11.50) следует, что определение потенциальной помехо-
устойчивости для случая оптимального приема детерминированных
сигналов сводится к вычислению коэффициента их взаимной корре-
ляции. Учитывая монотонно возрастающий характер функции
Ф (г), приходим к выводу, что при одинаковых отношениях сиг-
нал/шум q—2E/No наиболее помехоустойчивыми являются сигналы
s,(/), для которых коэффициент ps минимален. Значения Р =
~/(<7> Ps), вычисленные по формуле (11.50), представлены на
рис. 11.2.
Пример 11.2. На вход радиоприемного устройства поступает
колебание
х (/) = As (/, /2, .... Zm) + g(O, (11.52)
где £(/) — стационарный нормальный белый шум с нулевым средним
значением и функцией корреляции (11.32), a s(t, 4, /2.Zm) —
детерминированный узкополосный радиосигнал:
s(t, 11, lt, .... 11../А)СО8К/ + Ф(/, lk+i../го)]. (11.53)
15В*
443
Здесь (»о — несущая частота; f(t) и Ф(/) — функции, отображающие
законы амплитудной и угловой модуляции, lk — априорно известные
параметры сигнала s(t, /ъ /2,"'---» lm) =Л(0- Предполагается, что
ширина спектра сигнала s(t) много меньше’Гего несущей часто-
ты, а сам сигнал полностью определен на интервале длитель-
ностью Т и равен нулю вне этого интервала. Параметр % представ-
ляет собой случайную величину, принимающую на фиксированном
интервале наблюдения [О, Т ] значение % = 1 или А = 0.
Рис. 11.2. Зависимость суммарной вероят-
ности ошибочного приема детерминированных
сигналов от коэффициента взаимной кор-
реляции.
Определить структуру приемного устройства, осуществляющего
оптимальную по критерию Неймана — Пирсона обработку реали-
зации x(t), и вычислить характеристики обнаружения детермини-
рованного сигнала s(/) на фоне белого шума.
Решение. В соответствии с (11.11) и (11.16) для рассматривае-
мого случая
444
F (kJ = k exp
F(kJ = k- exp
-M lx(t)-s(t)rdt ,
N* о
1 ?
— V x2(t)dt .
(11.54)
(11.55)
Подставляя (11.54) и (11.55) в (11.30a) и логарифмируя получен-
ное выражение, находим, что оптимальный приемник для обнару-
i)
Рис. 11.3. Оптимальные устройства для обнару-
жения детерминированного сигнала.
жения детерминированного сигнала s(/) должен сформировать ве-
личину
т
U = ^x(t)s(t)dt (11.56)
о
и сравнить ее с порогом
H0=-~-(E + N0\nh), (11.57)
где Е — энергия сигнала s(t):
т
E — ^s2(t)dt. (11.58)
о
При U > Но принимается решение X = 1, в противном случае при-
нимается % = 0.
На основании (11.56) и (11.57) искомый оптимальный приемник
должен состоять из перемножителя, интегратора и порогового
устройства с порогом Но (рис. 11.3, а). Как отмечалось ранее, пере-
множитель и интегратор можно заменить согласованным фильтром
с импульсной переходной функцией
445
G(t) = s(T—t), (11.59)
при этом блок-схема оптимального обнаружителя преобразуется
к виду, изображенному на рис. 11.3,6.
Найдем характеристики обнаружения. Вероятность ложной тре-
воги Fi равна вероятности того, что U > Но при условии X =
= 0, и определяется формулой
F1 = ^W1(U\K = 0)dU. (11.60)
Здесь = 0) — плотность вероятности случайной величи-
ны U при % = 0, т. е. при наличии на входе приемника только
шума.
Как следует из (11.56), U представляет собой нормальную слу-
чайную величину с плотностью вероятности (11.41). При % = 0
т
U = ^(t)s(i)dt,
о
откуда находим
/Пх=о = О, aLo = ^-. (П.61)
Подставляя (11.41) в (11.60) и учитывая соотношения (11.61), полу-
чим
F1==l—ф/------(11.62)
1/—
\ V No /
где Ф (г) — интеграл вероятности (2.9),
Л0 = -^=~ + 1пй. (П-63)
No No
Вероятность правильного обнаружения (мощность решения)
Di равна вероятности U > Но при условии X = 1:
D1 = J U71(^|X=l)di/. (11.64)
Но
Подставляя в (11.64) плотность вероятности (11.41) и учитывая,
что при X = 1 среднее значение и дисперсия случайной величи-
ны U равны
/Их=1=Е, ох2=1=-ф, (11.65)
446
находим
о1=1-ф/——1/4FY <1к66)
/ 2Е_ V
\ V No /
Формулы (11.62) и (11.66) показывают, что как вероятность лож-
ной тревоги Fit так и вероятность правильного обнаружения Di
однозначно определяются пороговым уровнем h0 и отношением
сигнал/шум q = 2E/N0. Задаваясь значением вероятности ложной
тревоги^!, по формуле (11.62) можно вычислить зависимость
Рис. 11.4. Характеристики обнаружения детерминирован-
ного сигнала (сплошные линии), сигнала со случайной началь-
ной фазой (пунктир) и сигнала со случайными амплитудой и
начальной фазой (штрих-пунктир).
ho = fi(q), а затем определить функцию Di = /2(?), называемую
характеристикой обнаружения. Значения Di = /2(<у), вычисленные
по формуле (11.66) для нескольких значений вероятностей ложной
тревоги, представлены на рис. 11.4 (сплошные линии).
Пример 11«3« Решить пример 11.2 при условии, что процесс^/)
в (11.52) представляет собой стационарный нормальный шум с ну-
левым средним значением = 0 и функцией корреляции /О.(Л, /2).
Решение [7]в В соответствии с (11.11) и (11.13) функционалы
правдоподобия для рассматриваемого примера определяются соот-
ношениями
F(X0) = Z?-exp
1Г т
-ни
о о
/2) х (tjx (/2)
(11.67)
447
F (AJ = k exp
т т
------- У У 0 (^1> ^2) I* (G) 5 (^l)l I* (^2) S (^2)1 ^1^2 >
0 0
(11.68)
где функция 0(Zi, /2) удовлетворяет интегральному уравнению
(11.14). Подставляя (11.67) и (11.68) в (11.30а), находим
Л[х (/)] = ехр
-^-$JS(G) 5(^)0^, t^d^dt^
о о
ГТ
+ х (G) S (^а) 0 (^, Q dti dt2
о о
Здесь учтено, что вследствие симметрии функции 0 (tlr t2)
т т т т
$ $ X (fi) s (t2) 0 (/Р t2) dtt dt2=\\x (t2) s 0 (tv t2) dt1 dt2.
0 0 oo
Вводя далее функцию
т
ф (0 = $ 9 (Л t2)s (Q dt2>
о
удовлетворяющую интегральному уравнению Фредгольма 1-го
рода
т
§ /Q (/, т) ср (т) dx = s (t),
о
окончательно получаем
|т г
—$ s (0 ф (0 dt + $ х (/) ф (0 dt . (11.69)
о о J
Согласно критерию Неймана—Пирсона решение %=1 при-
нимается при
Л[х(/)]>й. (11.70)
После логарифмирования это условие приводится к виду
т
U^= \x(t)y(t)dt>hQ, (11.71)
о
где
т
h0 = lnh+-^- $ s(t)<p(t)dt. (11.72)
О
448
Соотношение (11.71) определяет структуру оптимального" обна-
ружителя, осуществляющего интегрирование реализации x(t) с ве-
сом ф(/), зависящим как от вида сигнала $(/), так и от корреляцион-
ной функции /2) шума £(/). Результат интегрирования срав-
нивается с порогом h0, величина которого определяется по заданной
вероятности ложной тревоги Ft. Если окажется, что U > Ло, при-
нимается решение 1 = 1, в противном случае принимается ре-
шение X = 0.
Определим характеристики обнаружения. Вероятность ложной
тревоги определяется формулой (11.60), где = 0) — плот-
ность вероятности случайной величины U, которая при % = 0
равна
т
и = £(0<Р(0^ (11.73)
о
и, следовательно, представляет собой нормальную случайную ве-
личину с плотностью вероятности (11.41), нулевым средним значе-
нием znx=o = 0 и дисперсией
т т т
Ох=о = § § Ki (tv ф (ti) ф (/2) dt2 dt2 = \s (t) Ф (t) dt = о2.
о о 0
После подстановки (11.41) в (11.60) получаем
F. = l —ф(-М
\ «о J
Вероятность правильного обнаружения равна
£>1==1—а \
\ °0 J
Пример 11.4. Входящие в(11.31) сигналы st (t, l\‘\
имеют вид
sdt, /(Л 4°../^) = S/(t Ф/) =
= ft (t) cos [<0i 1(/) + фг], i = 1, 2, (11-74)
причем все параметры /<f> таких сигналов, кроме начальных фаз ф;,
априори известны, а начальные фазы фг представляют собой случай-
ные величины, равномерно распределенные на интервале [—л, л ],
и считаются несущественными параметрами. Сохраняя в силе
остальные условия примера 11.1, определить структурную схему
оптимального по критерию Котельникова — Зигерта приемника
сигналов «г(Х фг) со случайными начальными фазами и вычислить
суммарную вероятность ошибочного приема.
Решение [17]. В этом случае функционалы правдоподобия
F(M) и F(X0) следует вычислять по формуле (11.11а), осуществляя
усреднение по случайным фазам фг как несущественным параметрам;
449
F (lx) = — x
v 1 2л
т
— J Iх (0—fl (f) cos (cox t +11?! (0 + Ti)]2 dt
0
2л
т ?
“ J [* (0 - f2 (0 cos (co21 +ф2 (t) + <p2) ]2 dt
0
d<pv (11.75)
d<p2. (11.76)
Введем обозначения
т
Xt = § x (!) fi (0 cos [co. t + ipi (01 dt,
°. (11.77)
Y} = $ x (0 ft (0 sin [co; 14- ifc (0] dt,
0
и учтем, что
тс
— f ехр {/? cos 0} d0 = Io (R),
2л J
---TC
где /0(₽) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргу-
мента. Тогда после подстановки (11.75) и (11.76) в (11.29) и ряда не-
сложных преобразований найдем, что оптимальный приемник для
различения двух сигналов (11.74) с неизвестными начальными фа-
зами должен сформировать величину
и сравнить ее с порогом Н, равным
Я = (11.79)
М) Р (si)
Здесь Е1 и Е2 — энергии сигналов Si(t, q>i) и s2(t, <р2)> определяемые
формулами (11.38), а величины Rt определяются соотношениями
R^VXJ+Y^O.
Физически величины представляют собой значения огибающих
суммы сигнала st(t, <рг) и шума (в моменты времени t = kT) на вы-
ходе согласованных фильтров с импульсными переходными функция-
ми ОД/) = sf(T — /).
Структурная схема такого приемника представлена на
рис, i 1.5, а. Принятое колебание х(1) воздействует на два согласо-
450
ванных фильтра с импульсными переходными функциями Gf(/).
На выходе каждого из фильтров стоят детекторы, выходные напря-
жения которых вычитаются и разность (11.78) подается на порого-
вое устройство с порогом Н. При U > Н принимается решёние
X = 1, при U < Н — принимается X = 0.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь симметричных
систем передачи двоичных сигналов, для которых Et = Е2 — Е,
P(Si | s2) = P(s2\ и p(Si)=p(s2) = x/2. Для таких систем, как это
следует из (11.79), порог Н = 0 и выражение (11.78) приводится
к виду
Т / _ Т ( \ Г ( 2/?2 \
mJ’
Следует отметить, что при сделанных здесь предположениях за-
кон детектирования не имеет существенного значения. Важно лишь,
Рис. 11.5. Оптимальные устройства для различения двух сиг’
налов со случайными начальными фазами.
чтобы выходное напряжение детектора было монотонной функцией
огибающей R^t). Если, например, в оптимальном приемнике при-
менить линейное детектирование огибающей (рис. 11.5, 6), то с ну-
левым порогом нужно сравнивать величину
U = R1^R2.
Суммарная вероятность ошибок при этом определяется формулой
Р= $ dRt $ W2(RV R2)dR2, (11.80)
б /h
451
где №2(^1, R2) — совместная плотность вероятности случайных ве-
личин /?1 и /?2, равная
1 «?+*!
И72(7?х. R2) = е 2 4 20’<,-р’) X
Здесь q = IEINq — отношение сигнал/шум на входе приемника (на
входе согласованных фильтров); о2 = ENq/2 — дисперсия шума на
выходе каждого из фильтров; р — коэффициент, имеющий смысл
коэффициента взаимной корреляции между огибающими сигналов:
p=±|/7f771|> о<р<1, (и.82)
Е
1 Г
bt = V \ л (0 /2 (О COS [(<оа—©х) t + ф2 (0—фх (0 ] dt,
О
1 С
= Т J 5’П f (О — (01
о
Подставив (11.81) в (11.80) и выполнив интегрирование, получим
следующее выражение для суммарной вероятности ошибок при
приеме сигналов s^t, <рг) с неизвестными начальными фазами:
\ « л /
“Те~^/о(т9Р)’ (11-83)
где Q(v, и)—функция распределения Релея— Райса [18,19]
с ( х2Н-г»2)
Q (v, и) = х-ехр ।-------g—} /0(vx)dx. (11.84)
и
Пример 11.5. Решить пример 11.2 при условии, что входящий
в (11.52) сигнал s(t, llt /2.1т) имеет вид
s(t, /1( l2, .... lm) = s(t, y) = f(t) со5[®0/ + ф(0 + ф], (11.85)
где q> — случайная начальная фаза, равномерно распределенная на
интервале [ — л, л].
Решение. Функционалы правдоподобия для рассматриваемого
случая в соответствии с (11.11а) равны:
~т
$ x^ttydt+E
.0
452
F(X0) = fe.exp —x*(t)dt • (11.87)
I 0 J
После подстановки (11.86) и (11.87) в (11.30а) получаем следующее
правило принятия решения X = 1 (рис. 11.6,а):
(Н-88)
ИЛИ
/0(^)>й0 = й-Д, (11.88а)
\ No/
где
/? = |/ Х2 + У2|,
т
Х = $ х(0/(Осоз[о0г + ф(ОЖ (11.89)
о
т
У = $ x(t)f (t) sin [соо t + ф (01 dt.
0
Так как функция /0(2) является монотонной, решение о наличии
или отсутствии сигнала $(/, (р) на входе приемника можно принимать
на основании сравнения с некоторым порогом любой монотонной
функции аргумента R, представляющего собой, как отмечалось
в примере 11.4, значения огибающей R(t) на выходе согласованного
фильтра с импульсной переходной функцией G(t) = s(T — f) в мо-
мент времени t = Т. Если сравнивать с порогом Н саму огибающую
/?(/), то правило принятия решения X = 1 принимает вид
R>H. (11.886)
Соответствующая этому правилу структурная схема оптимального
приемника приведена на рис. 11.6, б.
На основании (11.886), (11.22) и (11.24) вероятности ложной
тревоги и правильного обнаружения определяются формулами
F1= J !F1(Z?|X = 0)d7?, (11.90)
н
D1 = lwi(R\K=\)dR. (11.91)
н
Нетрудно показать, что входящие в (11.90) и (11.91) плотности ве-
роятностей равны
W7 /ni'i i\ R ( R2+E\ г fRE\
Г1(/?|Х=1) = -у ехр------X-Uo( —).
ао 1 ’ 2ао ) )
453
IV7 ZD I 1 _ Л\_ R _ 2 _ ^^0
Uzi(Z?|X —0)— 2 exp) TzyL a° ~~7~*
a0 ( z<J0 I z
После подстановки W^R | A, = 1) и W±(R | X = 0) в (11.90) и (11.91),
находим
Л=е~Ц Ло = ^2Я=^> (Ц.90а)
у EN0 Oq
D^d(Vq, h0),
где функция Q(v, и) определена соотношением (11.84). Значения
Di = f(q), вычисленные по формулам (11.90а) для заданных значе-
ний вероятности ложной тревоги Flt представлены на рис. 11.4
(пунктирные линии).
а)
6)
Рис. 11.6. Оптимальные устройства для обнаружения сигнала
со случайной начальной фазой.
Пример 11.6. На вход приемного устройства поступает коле-
бание
х (0 = ХМ1 (0 + (1 -%) и2 (0 4- 5 (0, (11.91а)
где £(0 — стационарный нормальный белый шум с нулевым сред-
ним значением и функцией корреляции (11.32), «£(0 — федингую-
щие сигналы вида
ui(t) = a-e~i9sl(t). (11.92)
Здесь st(f) — детерминированные узкополосные радиосигналы,
равные
st (0 = fi (t) ехр {/ [ш£ t + ф£ (0]}, 0 < t < Т,
а и 0 — независимые случайные величины, характеризующие мед-
ленные изменения амплитуды и фазы сигналов st(i).
4S4
Принимаемые сигналы ut (/) состоят из детерминированной и
случайной составляющих:
и. (/) = s. (/) [ае-/5 + ре-/£], (11.92а)
т. е.
ае_/6 — ае_/’5 + (11 -93)
где а и 6 представляют собой амплитудный коэффициент и фазовый
сдвиг детерминированной составляющей сигнала щ (/) (а и 6 —
постоянные величины), а Р и 8 — амплитудный множитель и фазовый
сдвиг случайной компоненты, постоянные на интервале наблюде-
ния [О, Т]. В дальнейшем будем предполагать, что 0 и 8 представ-
ляют собой независимые случайные величины, причем 0 распределе-
на по закону Релея, as — равномерно на интервале [ — л, л],
вследствие чего их совместная плотность вероятности имеет вид
0
2лоФ
ехр
_
2<
ОС°о,
— я 8 л,
О
при других 0 И 8.
При сделанных предположениях совместная плотность вероятности
случайных величин а и 0 определяется законом Райса: 1
а
W2(a, 0) =
ехр
а2 4-а2 — 2аа cos (0—д)
2°ф
0<Са< оо,
—
О при других а и 0, (11.94)
а средние энергии сигналов
т
Et = <£oj> = ( $ «1 (0 dt )
О
= 2o£eJ1 -
и( (t) равны
00
= Esi § а2 (а) da =
о
V2 \
где у = а/Оф характеризует соотношение между детерминирован-
ной и случайной составляющими сигнала ^(/).
Параметр X в колебании (11.91) может принимать значение
X = = 1 или X = Хо = 0 с априорными вероятностями р(Хх) =
= P(ui) = р(М = Р(^г) == х/2- По принятой реализации x(t) тре-
буется решить с минимальной суммарной вероятностью ошибок
(11.28), какое значение имеет параметр X на данном интервале на-
блюдения [О, Т].
Решение [20]. При решении сформулированной задачи сле-
дует различать два частных случая:
1. Среднее значение 6 фазового сдвига 0 принимаемых сигналов
(11.92) априори известно.
2. Среднее значение фазового сдвига 0 на приемной стороне
неизвестно.
455
Подставляя в (11.1 la) вместо сигналов $г (/, /<*>, сигналы
ut (/) = ut (t, а, 0), определяемые соотношением (11.92), и осущест-
вляя усреднение по несущественным параметрам а и 0 с плотностью
вероятности (11.94), находим, что оптимальный по критерию идеаль-
ного наблюдателя приемник сигналов (11.92) с равными энергиями
Ёт = Ё2 = Ё, равными априорными вероятностями =
= р(«2) = 112 и известным средним значением S их фазового сдвига
0 должен сформировать величину
+ Re{''ie-/S}
а?
-£lGl2 + Re{r2e-/S)
(11.95)
и сравнить ее с порогом Н = 0. При U<iH выносится решение
Z = 0, при U^>H принимается X = 1.
Рис. 11.7. Квазикогерентное (а) и некогерентное] (б) устройства
для различения двух медленно федингующих сигналов.
Входящие в (11.95) величины rt = rt (0) представляют собой зна-
чения комплексных взаимокорреляционных функций сигналов
(11.92) и принятого колебания (11.91), равных
1
rt W = у j х* W ui (*—т)dt-
456
Здесь х* (/) — функция, комплексно сопряженная с x(t). Используя
условие узкополосности сигналов ^(/), можно показать, что дей-
ствительная часть функции rt (т) представляет собой взаимную кор-
реляционную функцию для действительных частей колебаний
и х(/):
т
Re {rt (т)} = § Re {х (/)} Re {ut (t —т)} dt,
о
а значения | rt (т) | совпадают со значениями огибающей этой кор-
реляционной функции. В соответствии с этим структурная схема
оптимального приемника для рассматриваемого случая может быть
представлена в виде, изображенном на рис. 11.7, а. При этом сум-
марная вероятность Р ошибок квазикогерентного приема медленно
федингующих сигналов (11.92) подсчитывается по формуле
Р = Q (ас, Ьс) —1 +
нИ-р1
/ 1—р,2р2
е 2 (а,+ьг)сг I0(abc2), (11.96)
где
(11.97)
1/ ?2 [(1~ Р2)°ф? + 2(1—р^)| 2Оф д = 2Е_
V 4^ф?(1— Р2) ’ 2о£<7+4’ No’
а коэффициенты ps и р определяются соотношениями (11.51) и
(11.82).
Если среднее значение 6 фазового сдвига 0 принимаемых сигна-
лов (11.92) неизвестно, оптимальный приемник для различения двух
федингующих сигналов должен выносить решение о приеме
или u2(t) на основе анализа следующего простого выражения
(рис. 11.7, 6):
i/ = |G|—kzl-
При (7<0 принимается решение А, = 0, в противном случае прини-
мается А, = 1. Отметим, что при некогерентном приеме не требуется
знания отношения a^/aN0.
Суммарная вероятность ошибок при некогерентном приеме под-
считывается по формуле (11.96), в которой
/(1- р2) (1- н2 Р2)
1— ИР2
/ (1-р2) (1-|Х2 р2)
1-РР2
(11.98)
1—ИР2
1-и2Р2
457
Пример 11.7. На выходе УПЧ приемника амплитудно-мани-
пулированных радиосигналов, блок-схема которого представлена
на рис. 11.8, имеет место смесь сигнала и шума
х(/) = Xs^t, <рх) + (! — %) s2(t, ф2) + 1(f),
где %,(t) — нормальный квазигармонический шум
£(/) = X(/)cos<o0^ + y(Osinco0/
с нулевым средним значением и функцией корреляции
(j) — о| р (т) COS ®0 т,
s; (/, Фг)—амплитудно-манипулированные радиосигналы:
Si (t, Ф1) = ^т cos (®0 f + qjj)!
s2(t, ч2)=0 /’ "" ""
Начальная фаза q>x случайна и равномерно распределена на интер-
вале [ — л, л]. Параметр X представляет собой случайную вели-
Рис. 11.8. Блок-схема приемника AM сигналов со случайной начальной
фазой.
чину, принимающую на интервале [О, Т] значение X = Хх = 1 или
X = Хо = 0 с априорными вероятностями p(XJ = p(sx) = р(Х0) —
— Р(5г) = 1/2- Решение X = Xj принимается в тех случаях, когда
значение огибающей U — U(T), выделяемой линейным детектором
огибающей, превышает порог Н. В противном случае принимается
X = Хо.
Определить оптимальный порог Но, минимизирующий сум-
марную вероятность ошибочных решений (11.28), и вычислить со-
ответствующую ему суммарную вероятность ошибок.
Решение. По формуле (11.28) суммарная вероятность оши-
бок приема амплитудно-манипулированных сигналов равна
Н. оо
Pam=p(sx) $ W\(^|X = W+P(s2) $ TF1(t7|X = O)dt7, (11.99)
о ".
где W^U | X = 1) — плотность вероятности огибающей суммы сиг-
нала Si(Z) и квазигармонического шума t,(t):
(4/1 Х= 1) =ехр | — ^>0,
1 1 ’ а2 ( 2о2 J 0 \ а2 /
a WZ1(^7|X =0) — плотность вероятности огибающей только шума
4fY.
458
U7, (£/1X » 0) _ £ ехр [-£-J}, i/>0.
Подставляя W\ (U | Хг) в (11.98), находим
(11.100)
Взяв производную по Но от выражения (11.100) и приравняв ее
нулю, получим уравнение, связывающее оптимальный порог Но
с отношением сигнал/шум
§ 3. Задачи и ответы
11.1. На вход приемного устройства, оптимального по крите-
рию идеального наблюдателя, воздействует аддитивная смесь
X (0=Xsx (/) + (1 -X) 32 (0+g (0, (11.101)
где g(0 — стационарный нормальный белый шум с нулевым сред-
ним значением и функцией корреляции (11.32), a sf(Z) — детермини-
рованные амплитудно-манипулированные сигналы:
Sl(0=^mCOS(®1/ + (P1) |
s2(0 = O I’ *
Параметр X принимает значение X — Хх — 1 или X = Хо = 0 с ве-
роятностями p(Kj) = р(Х0) ~ 1/г-
Вычислить суммарную вероятность ошибочного приема сигна-
лов sx(0 и s2(0.
Ответ:
рам=1-ф(]/г2-? ),
z !
Ф(г) = —= [ e~*x‘dx,
/2л J
л2тт
2Ег
Я=Я1 = —
71 No No
График функции РАм = f(q) приведен на рис. 11.9.
11.2. Решить задачу 11.1 для случая оптимального приема
детерминированных частотно-манипулированных сигналов
Si(0 = ^mcos(®1/ + <p1) 1 o<f<7,
S2(0 = 4nCOS((M + <P2) Г
459
При условии, ЧТО I®! — со2|7’^>1.
Ответ:
Рчм=1—2
_А2тТ 2Е
q No
No
График функции ГЧм = /(<?) приведен на рис. 11.9.
от отношения сигнал/шум при оптимальном
различении детерминированных сигналов.
11.3. Решить задачу 11.1 для случая оптимального приема
фазо-манипулированных сигналов
(0 ~ cos (®о 4“ Фо) 1 о < I < т
S2 (О = COS (®0 t + ф0 + Л) J ’
Ответ:
РФМ = 1-ф (У?).
График функции РФМ = f(q) дан на рис. 11.9.
460
11.4. На вход оптимального по критерию Котельникова —
Зигерта приемника воздействует колебание (11.101), где st(t) —
детерминированные тонально-манипулированные сигналы вида
AM — AM:
s1(0 = Am[l+m1cosQZ] cos(co0Z+ Ф1) j
s2 (Z) = Am [1 4- m2 cos QZ] cos (coo Z + q>2) /’ ""
Вычислить суммарную вероятность ошибочного приема таких
сигналов при условии равенства априорных вероятностей сигна-
лов s^Z) и s2(Z). Предполагается, что период тональных колебаний
Та = 2л/£2 и Q<^coo.
Ответ:
d 1 I f 1 (tfii— m2)2\
Рам—am —1—Ф (у — qx j, q-q^ —
Значения Рдм-ам = f (q) для случая Шх — 1 и т2 = 0 приведены на
рис. 11.9.
11.5. Решить задачу 11.4 для случая оптимального приема де-
терминированных тонально-манипулированных сигналов вида
ЧМ — AM:
si (0 = Ат f 1 + т cos t ] cos (coo t + <pT) 1 о < Z < T
MO = An[l+/»cosQ2/]cos(co0Z4-(p2) f ""
Предполагается, что тональные частоты Qt- и> кроме того,
период тональных колебаний Та = 2л/йг много меньше длитель-
ности Т сигналов s£(Z).
Ответ [21]:
РЧМ-АМ=1— 2Т^)’
Значения Рчм-ам = f(q) при т = 1 приведены на рис. 11.9.
11.6. Решить задачу 11.4 для случая оптимального приема
детерминированных тонально-манипулированных сигналов вида
ФМ — AM:
si(0 =Ат [1 4-/ncos QZ] cos (w01 + 44) 1 0< t T
s2 (Z) = Am [ 1 — m cos QZ] cos (coo Z + <p2) j ’
Ответ [21]:
Рфм-ам=1—
Значения Рфм-ам = f(q) для случая т = 1 приведены на рис. 11.9.
11.7. Определить суммарную вероятность ошибки при опти-
мальном по критерию идеального наблюдателя приеме на фоне бе-
461
лого шума детерминированных тонально-манипулированных сигна-
лов вида АМ-— ЧМ :
s1(0 = ^TOcos[(D0< + p1cosQ/ + <p1] j о < < <Т
«2 (0 = Ат cos [®01 + Рг cos й t + <р2] Г
Ответ:
^ам-чм = 1—Ф <7 [1 — Л(Рг—Р1)1) •
где J0(z) — функция Бесселя нулевого порядка первого рода.
11.8. Решить задачу 11.4 для случая оптимального приема
детерминированных тонально-манипулированных сигналов вида
ЧМ — ЧМ :
Si(0==^mCOs[®0/ + pcosQ17+<p1]| 0<Z
s2(0 = 4nCos[«>0/ + PcosQ2/ + <p2]J ""
Ответ [21]:
Рчм-чм = 1 — Ф ? t1 ~ <₽)]) •
11.9. Решить задачу 11.4 для случая приема детерминирован-
ных тонально-манипулированных сигналов вида ФМ — ЧМ:
s1(0 = Amcos[®0/ + pcosQ/ + <Pi] j
s8(0 = Amcos[q>of—- 0 cos й /-]-<p2] J’
Ответ [21]:
Рфм-чм = 1 —Ф Я [1 — -^0 (2Р)]
11.10. На вход радиоприемного устройства поступает коле-
бание
х(0 = Xst (t, Ф1) + (1 -X) s2 (t, Фг) + g (0, (11.102)
где — стационарный нормальный белый шум с нулевым сред-
ним значением и функцией корреляции (11.32), a st(t, Фг)— амп-
литудно-манипулированные сигналы:
Si(/, Ф1) = Атсо5 (®0/ + Ф1) 1 о</<Т
S2^> Ф2)=° Г
Начальная фаза Ф1 сигнала s^t, Ф1) является случайной, равномерно
распределенной на интервале [ — л, л] и считается несуществен-
ным параметром. Предполагается, что входящий в (11.102) пара-
метр % представляет собой случайную величину, принимающую
значение X = Хх = 1 или X = Хо = 0 с равными априорными ве-
роятностями p(XJ = p(Sj) = р(10) — p(s2) — х/2.
462
Определить структуру оптимального по критерию Котельнико-
ва — Зигерта приемника амплитудно-манипулированных сигналов
с неизвестными начальными фазами и вычислить суммарную ве-
роятность ошибочного приема.
Ответ: Оптимальный приемник должен состоять из согласо-
ванного фильтра с импульсной переходной функцией G(/) = s^T —
— t), линейного детектора огибающей и порогового устройства с
порогом ft0, определяемым соотношением
/Vo /Vo
Суммарная вероятность ошибочного приема амплитудно-манипули-
рованных сигналов при этом вычисляется по формуле
Рлм = у[1+ e-H-Q(/^, й0) •
Значения Рдм = f(q) приведены на рис. 11.10.
Рис. 11.10. Зависимость вероятности ошибок от отношения сигнал/шум
при оптимальном различении сигналов со случайной начальной фазой.
463
11.11. Вычислить суммарную вероятность ошибок при опти-
мальном по критерию идеального наблюдателя приеме априори
равновероятных частотно-манипулированных сигналов
MO = A»cos(©if + q>i) }
s2 (0 = Ат cos (с»21 + Фг) Г
на фоне стационарного нормального белого шума с нулевым средним
значением и функцией корреляции (11.32). Случайные начальные
фазы фх и ф2 сигналов s^t, фг) и s2(t, ф2) равномерно распределены
на интервале [ — л, л] и считаются несущественными параметра-
ми. Предполагается, что |со2— со1|7"^>1.
Ответ:
Рчм = — е 4 •
Значения Рчм = f(q) приведены на рис. 11.10.
11.12. Решить задачу 11.11 для случая оптимального приема
тонально-манипулированных сигналов вида ЧМ — AM
Si(0=^m[l+/ncosQ1ncos(©0< + T1) ) о <7 <Т
$2 (/) = Лт [1cosQ2/] cos (®0/+ Фг) Г
начальные фазы которых случайны и равномерно распределены на
интервале [ — л, л]. Предполагается, чтой{<^®0 и Ts = 2л/йг<^Т.
Ответ:
P4m-am = Q(v, «)— q Л
где
Ъ(1 — 1>.2-+-”?4Л и =
V 4Ч\ 2 + /П2 ) V 4 2 + /П2 /
Значения Рчм-ам = f(q) для т=1 приведены на рис. 11.10.
11.13. Решить задачу 11.12 для случая оптимального приема
тонально-манипулированных сигналов вида ФМ — AM
Si(0 = 4n[l+/ncosQflcos(©0* + Ti) 1 Q<t<T
—m cos Q/] cos (coo t + Ф2) J
Ответ;
n i \ 1 ~ Гq t / 1 2 — m2\
P<t>M-iM = Q(v,u)—-e 4 /о 2 ’
2 \ 4 2 + /П2/
где
v-\f 1 z,fi 2/2/n\. 0-1/ 1 /'i,2/fm\.
v~l/ V тЛ1+'2+^У
464
График функции Рфм-ам — f(<?) Для случая т= I приведен на
рис. 11.10.
11.14. На вход приемного устройства поступает колебание
х(/) = + (1 - X)//2(Z) + £(/),
где £(/) — стационарный нормальный белый шум с нулевым сред-
ним значением и функцией корреляции (11.32), a ut (/) — медленно
федингующие амплитудно-манипулированные сигналы:
M(0 = a-s1(0 = a4rocos(®0< + <p1) 1
Здесь а — амплитудный множитель, принимающий на интервалах
[0, Т] случайные значения с плотностью вероятности
Начальная фаза <рх сигнала sx(Z) является случайной, равномерно
распределенной на интервале [ — л, л] и считается несущественным
параметром. Параметр X принимает значение X = Хх = 1 или X ~
= Хо = 0 с априорными вероятностями р(Хх) = р(Хо) 1/2-
Определить структурную схему приемника, осуществляющего
оптимальную по критерию идеального наблюдателя обработку ко-
лебания х(/), и вычислить соответствующую ей суммарную вероят-
ность ошибочного приема.
Ответ: Оптимальный приемник должен состоять из согласован-
ного фильтра с импульсной переходной функцией G(/) = s1(T — /),
линейного детектора огибающей и порогового устройства с порогом
/г0, определяемым из уравнения
При этом вероятность ошибочного приема вычисляется по формуле
Для частного случая приема амплитудно-манипулированных
сигналов, федингующих по закону Релея (у^О), имеем
2
2 + <7
Рак — ~
где й0 определяется из уравнения
1 А 2 Q
е 2 0 2+7 — 2_
2 + 9
16 3#К. 728
465
Здесь
/V о 4*о
Графики функций Рак = fi(<7, у) и /г0 = Т) приведены со-
ответственно на рис. 11.11 и 11.12. Через ~q обозначено отношение
Рис. 11.11. Суммарная вероятность * оши-
бочного приема AM сигналов со J случайными
амплитудой и началыюй^фазой.
сигнал/шум, равное отношению удвоенного среднего значения
(ЕИ1> энергии сигнала u^t) к спектральной плотности шума §(/):
А о \ /
11.15. На вход приемного устройства поступает колебание
X (/) = XUj (0 + (1 —Р) «2 (/) +£ (0>
466
Рис. 11.12. Зависимость оптимального
порога от отношения сигнал/шум при прие-
ме AM сигналов со случайными амплитудой
и начальной фазой.
где £(/) — стационарный нормальный белый шум с нулевым сред-
ним значением и функцией корреляции (11.32), a — медлен-
но федингующие частотно-манипулировапные сигналы
и1(0 = аЯгосо8(®1^ + 6)| о</<Т
и2 (t) = аАт cos (со21 + 9) J
Здесь а и 0 — амплитудный множитель и фазовый сдвиг, прини-
мающие на интервалах [О, Т] случайные значения с плотностью
вероятности
№2(а, 0)-
а
-----ехр
2яоф
а2
— —+ т2
2 °
°ф
2aycos6~lj ( 0<;а<оо,
аФ J I—л<6<;л;,
при других а и 0.
о
Параметр X принимает значение А, = = 1 или X = Ло = 0 с ап-
риорными вероятностями р(Лх) = р(к0) = х/2.
Приемное устройство осуществляет оптимальную по критерию
идеального наблюдателя обработку принимаемого колебания x(t).
Вычислить соответствующую ей суммарную вероятность ошибочного
приема для случаев априори известного среднего значения< 0 >
фазового сдвига 0 (квазикогерентный прием) и неизвестного среднего
значения<0>(некогерентный прием) при условии |со2—сох|
16*
467
Ответ:
Рчм = Q (ас, be) — е 2 +Ь *с /0 (abc2),
где для случая квазикогерентного приема
4 , 2(2 + 7) । / 4 + 7
а = —— , b = v с = у I/ —+J.,
4 + 7 4 + 7 У 47
а для некогерентного приема
а = 0, Ь = У2, с = у]/ .
у Y V 2(4+7)
Графики функции Рчм =Л?> Y) для случаев квазикогерентного
и некогерентного приема медленно федингующих частотно-мани-
пулированных сигналов приведены соответственно на рис. 11.13, а
и 11.13, б.
11.16. Решить задачу 11.15 для случая оптимального приема
медленно федингующих фазо-манипулированных сигналов
иг (t) = аАт cos (<oJ + 0)
ы2 (0 = аАт cos (®01 + л + 9)
Ответ. При квазикогерентном приеме
при некогерентном приеме РФм =
График функции РФМ =f(q, у) для случая квазикогерентного
приема приведен на рис. 11.14.
11.17. Решить задачу 11.15 для случая оптимального приема
медленно федингующих тонально-манипулированных сигналов вида
ЧМ — AM
ых(/) = аЛт[1 + coscos(<<V +9) 1
iz2 (t) = aAm [1 + cos Q2 /] cos (®01 + 0) ) ""
при условии < w0, T.> = 2л/Ц < T.
Ответ. При квазикогерентном приеме
п гч/ г. ч If. -4-(а2+6’)с!
Рчм-лм = Q (ас, be) — -be 2 I0(abc2),
где
j/9(4 + 7)2-472 /э(4+7)2-4?2
468 .
469
Рис. 11.13. Зависимость суммарной вероятности ошибок от отношения сигнал/шум при квазикогерент-
ном (а) и некогерентном (6) приеме медленно федингующих ЧМ сигналов.
с = V
при некогерентном приеме
Рчм-am = Q (ас, be) - 1 [1 + у-9(Д-^5_4-^
е~с' /0 (abc2),
где
j /5]/9(4+9)2-4?2
9(4 + <? ) —4?
/5/9(4 + 9)г-492
9(4+9 )—4?
Рис. 11.14. Зависимость суммарной ве-
роятности ошибок от отношения сигнал/шум
при квазикогерентном приеме медленно фе-
дингующих ФМ сигналов.
470
Рис. 11.15. Зависимость суммарной вероятности ошибок от отношения сигнал/шум при квазикогерентном (а) и
некогерентном (б) приеме медленно федингующих ЧМ — AM сигналов.
c = v1/ Lq 9(4 + 7)-4?_ .
Т |/ 2 q 9(4+7)2-4^
Графики функций Рчм-ам = Kq, ?) для случаев квазикогерент-
ного и некогерентного приема медленно федингующих тонально-ма-
нипулированных сигналов вида ЧМ — AM приведены соответствен-
но на рис. 11.15, а и 11.15, б.
11.18. Решить задачу 11.17 для случая оптимального приема
медленно федингующих тонально-манипулированных сигналов вида
ФМ — AM
ur (t) = аАт f 1 + cos й/] cos (<в0 i + 9) J о t <Т
u2(t) = aAm[l—cos Й/] cos (®0/4-0) j ’
Ответ. При квазикогерентном приеме
Рфм.--мл = Q (ас, be) — ~ be 2 (а +b >с 70 (abc2),
где
а_1------------; 6=1+-—
/9 (4 + 7)2 - 72 _________/9 (4 + q )2 - ?2
с = Y 1 / -7^ (.Я + 3):
F 4?
при некогерентном приеме
Рфгл-ам =- Q (ас, be) — у
где
Я 2/2
/9 (4 + д У-q 2
е~с‘ /0 (abc2),
1 9(4 + 7)2-72
2 ' 9 (4 4- q)-q
Графики функций Рфм-ам = /(7» Аля случаев квазикогерентного
и некогерентного приема приведены соответственно на рис. 11.16, а
и 11.16, 6.
11.19. Командный блок (рис. 11.17) беспилотного объекта сот
держит пороговое устройство, срабатывающее от сигналов u>h.
Координатор, управляющий работой этого блока, вырабатывает
472
6В Зак. 728
Рис. 11.16. Зависимость суммарной вероятности ошибок от отношения сигнал/шум при квазикогерепт-
ном (а) и некогерентном (б) приеме медленно федингующих ФМ — AM сигналов.
дискретные сигналы, которые вследствие влияния помех являются
случайными величинами, распределенными по нормальному закону.
Пусть — сигналы левого разворота, и2 — сигналы правого
разворота, причем средние значения mt и среднеквадратичные зна-
чения напряжений и и2 соответственно равны тг= U19 т2 = U2,
Qi = о2 = Порог срабатывания
h =
2
Определить вероятность Рлк ложных команд, если'(/2 — Ur =
= Зо, а априорные вероятности обеих команд одинаковы: р(иг) =
= р(и2) = х/2.
Ответ:
Дчк = 0,07.
11.20. На выходе УПЧ синхронного приемника (рис. 11.18)
имеет место колебание
х(/) = XS1(0 + (1 - X)s2(/) + £(/),
где |(Z) — квазигармонический нормальный шум с нулевым сред-
ним значением = 0 и функцией корреляции
= ог2р(т) COS(00T,
a s^t) — детерминированные амплитудно-манипулированные сиг-
налы
siW = AnC°s(®o*+<Pi)) o<z<t
s2(0 = 0 J’
На второй вход синхронного детектора подается колебание от ме-
стного гетеродина
ur(t)^Ur cos (соо t + (pj.
Если напряжение (/(/) на выходе синхронного детектора превышает
некоторый порог Но, принимается решение о приеме сигнала
(Л = 1), в противном случае принимается решение о приеме сигнала
s2(/) (Х = 0). Априорные вероятности p(sf) присутствия на выходе
УПЧ приемника сигналов sf(/) равны между собой: p(sr) =
474
Определить суммарную вероятность ошибочного приема при
условии, что порог Но выбран оптимальным по критерию идеального
наблюдателя.
Рис. 11.18. Блок-схема синхронного приемника.
Ответ:
р = 1—н0=^-.
\2а / 0 2
11.21. Решить задачу 11.20 для случая приема фазо-манипу-
лированных сигналов
SiW=4xCos((00Z + (p1) 1
Ответ:
p = i— но=о.
\ CF /
11.22. На выходе УПЧ приемника, блок-схема которого пред-
ставлена на рис. 11.8, имеет место колебание
х (/) = (0 4- (1 — А) и2 (0 + % (/),
где £(/) — квазигармонический нормальный шум с нулевым сред-
ним значением и функцией корреляции
(т) = о2 р (т) cos со0 т,
a ti} (t)—амплитудно-манипулированные сигналы
ui (0 = U (0 cos (юо t + Ф)
и2 (0 = 0
Сигнал u^f) представляет собой отрезок квазигармонических флук-
туаций, огибающая которых распределена по закону Релея:
(0=4ехр(-~\. ^>о,
°C I 2ас2 /
а случайная начальная фаза — равномерно на интервале 1 — л, л].
Параметр X принимает значения А = = 1 или X = Хо = 0
16В*
475
с априорными вероятностями p(Xj) = р(А0) = 1/2. Если процесс
U(t) на выходе линейного детектора огибающей превышает неко-
торый порог //0, принимается решение X = 1, в противном случае
принимается X = 0.
Определить суммарную вероятность ошибок при условии, что
порог Но выбран оптимальным по критерию идеального наблюда-
теля.
Ответ:
где
н° 2(°2+°2)1п
д2+ос2
а2
11.23. Найти структурную схему приемного устройства, осу-
ществляющего оптимальную по критерию Неймана — Пирсона
обработку колебания
%(/) = МО + Ж
где 5(0 — стационарный нормальный шум с нулевым средним зна-
чением и функцией корреляции
k^tv ^2) = а2е-а 11,
a s(/) — детерминированный сигнал, определенный на интервале
[0, Т] и равный нулю вне его.
Ответ [7]. Оптимальный приемник должен сформировать
величину
т
ij I ОС х-(У
о
и сравнить ее с порогом Ло, определяемым заданной вероятностью
ложной тревоги
\ ао /
где
т
а°2=й f [s2 (/)+7s2 (Z)]dt+i[s2 (0)+s2 (Г)]-
о
Если U > /г0, принимается решение % = = 1, в противном слу-
чае принимается X = Хо = 0. Вероятность правильного обнаруже-
ния вычисляется по формуле
476
Ог = 1 — Ф —aJ .
\ ао J
11.24. Решить задачу 11.23 для случая, когда функция корре-
ляции шума £(/) имеет вид
ki (tt, /2) — a2e-al 1 (cosco (t2—ti) + ~ sin co 1t2— /j) .
\ <0 J
Ответ [7]. Оптимальный приемник должен сформировать ве-
личину
т
U =-----!--( [х (t) + ах (0 + «о х (0] [ s (0 + as (О + юо $ (О] dt +
2aocooa2 J
о
, x(O)s(O) , х (0) s (0) 2_,Л2 , „2 „
H---------1--2~2—> (o0 = co +a , a0 = za,
a2 g>o a
и сравнить ее с порогом Ло, определяемым заданной вероятностью
ложной тревоги
F-1—ф(_М (
\ Оо /
где
<70 = -^-+^+---------[s(0+aos(0 + <oh2(0]2^.
о2 “о ° 2а0«цО2 J
О
При U > Ло принимается X = Хг = 1, в противном случае прини-
мается X = Хо = 0. Вероятность правильного решения вычисляется
по формуле
р1==1_ф/'А_0оу
11.25. На вход оптимального по критерию Неймана — Пир-
сона приемника поступает колебание
x(Z) = Xw(/) + £(/),
где |(/) — стационарный нормальный белый шум с нулевым средним
значением и функцией корреляции (11.32), а и(/) — медленно
флуктуирующий сигнал:
„ = (аАш c°s (®о t + 6), 0<7<Т,
1 0 при других t.
Здесь Ат и ®0 — постоянные величины; 6 — случайная началь-
ная фаза, равномерно распределенная на интервале [—л, л];
477
a — амплитудный множитель, принимающий на интервале [О, Т]
случайные значения с плотностью вероятности
Вычислить вероятность ложной тревоги и правильного обнару-
жения.
Ответ:
1 2 0 д2 т
Fi = e 2 °, D1==e 2 + ? , q = 2olq, q = — = -?—
No No
График функции Dr = f(q) приведен на рис. 11.4 (штрих-пунктир-
ные линии).
11.26. Найти структуру оптимального по критерию Неймана—
Пирсона приемника, предназначенного для обнаружения случай-
ного полезного сигнала в собственном шуме приемника. При этом
считать, что:
1) полезный сигнал и собственный шум приемника взаимно
независимы, стационарны и распределены по нормальному закону
с нулевыми средними значениями и дисперсиями и of соответ-
ственно:
2) выборки xt из входного процесса, представляющего собой
либо один шум, либо сумму полезного сигнала и шума, осуществля-
ются через такой интервал А, что &S(A) ~ О, ^(А) ~ 0, где
^s(t) и &g(T) —^©ответственно корреляционные функции сигнала и
шума. Число выборок п велико.
Ответ. Приемник должен вычислять сумму U = 2 Х1 и
t= 1
сравнивать полученный результат с порогом
Л0 = [7И+ А 1п(1 +д2)
2
а2
а
Постоянная М выбирается из условия получения заданного
значения вероятности ложной тревоги.
11.27. Определить, как изменится структура оптимального
приемника, если в условии задачи 11.26 считать, что выборочные
значения сигнала и выборочные значения шума коррелированы.
Для простоты принять, что число выборок /2 — 2.
Ответ. Приемник должен вычислять сумму
U = ЬГХ\ 4- ~Г Ь2х^Х2
и сравнивать полученный результат с порогом
1 1 — р?
h0 = M — ~ In------------------,
2 (l+a2)2_(a2ps + p^)2
479
где
ps и — коэффициенты корреляции между выборочными значе-
ниями сигнала и шума соответственно; а2 = о2 /сг| —отноше-
ние мощности сигнала к мощности шума.
11.28. Найти структуру оптимального по критерию Неймана—
Пирсона приемника, предназначенного для обнаружения неслу-
чайного сигнала
s(0=An COS (% t + ф),
где Ат, со0 и ср — полностью известны, в стационарном нормальном
шуме с нулевым средним значением и дисперсией о|.
Выборочные значения xt = x(/f) входного процесса х(/), пред-
ставляющего собой либо шум, либо сумму сигнала и шума, отби-
раются через такой интервал Д, что значение корреляционной
функции шума ^(Д) 0.
п
Ответ. Приемник должен вычислять сумму U = 2 xi si и
/=1
сравнивать полученный результат с порогом
п 1
hQ = Mo^ + ~ s?,
z = 1
где
5f = s(^) = 4/ncos(co0Zf + q));
М выбирается из условия получения заданного значения вероят-
ности ложной тревоги.
11.29. Определить, как изменится структурная схема опти-
мального приемника, если в условии задачи 11.28 принять, что
выборочные значения шума коррелированы. Для простоты считать,
что число выборок п = 2.
Ответ. Приемник должен вычислять сумму U = Ь^ +
+ Ь2х2, где весовые коэффициенты bi равны:
Ьу = Sj — ps2, b2 = s2 — ps,,
479
и сравнивать полученный результат с порогом
h0 — M [ст2 (1— р2)] + [s? + s2 — 2psxs2] -
Здесь обозначено:
s. =.cos(®0/г + <р), i = l, 2,
p — коэффициент корреляции между выборками хг и х2. По-
стоянная М выбирается из условия получения заданного значения
вероятности ложного обнаружения.
11.30. Найти оптимальную по критерию Неймана — Пирсона
процедуру обработки сигналов на выходе детектора, если на вход
детектора с усилителя промежуточной частоты поступает п им-
пульсов, представляющих выборки или стационарного гауссовского
шума с нулевым средним значением и дисперсией о2, или суммы
этого шума и неслучайного гармонического сигнала с ампли-
тудой Ат.
Период следования "импульсов Тп много больше интервала кор-
реляции шума. Одномерные плотности вероятностей напряжения
(/(/) на выходе детектора огибающей в случае одного шума и суммы
сигнала и шума соответственно равны
W\(£/|X = 0) = -^-ехр{ — , 0<67<оо,
// ( U2-j-A2 1 / tja \
W1(U\K = 1) - — ехр------_Н/ РМ , 0<f/<oo.
1 ' а2 I 2а2 J 0 V 'а2 )
Ответ. Оптимальный приемник должен вычислять сумму
/ j j \
У, 1п/с( а ) и сравнивать полученный результат с порогом h0 —
i-i \ ст J
= М + па2/2, где а2 = Л^/о2 — отношение мощности сигнала
к мощности шума.
11.31. Производится радиолокационное наблюдение на фикси-
рованной дальности (вточке i экрана индикатора). На данной даль-
ности сигнал- от цели может появиться с вероятностью р = 0,4.
На другой дальности (в смежной точке j экрана) вероятность появ-
ления цели практически равна нулю.
Яркость свечения точек на экране пропорциональна напряже-
нию на управляющем электроде индикатора. Плотности вероят-
ностей этого напряжения, обусловленного одной помехой (в точке у)
или суммой помехи и случайного сигнала (в точке /), соответственно
равны:
Wj(x) = x • ехр f — -+2
№г(х) = 4Цехр[
1 4- а2 I
х2 )
2(1+а2) Г
0<х< оо,
оо,
где а2 — отношение мощности полезного сигнала к мощности по-
мехи на входе приемника.
Решение о наличии сигнала цели в точке i принимается опера-
тором в том случае, если яркость в точке i в 3 раза превышает яр-
кость в смежной точке j.
Найти вероятность Dx обнаружения цели на данной дальности,
если а2 = 10.
Ответ: Dr = 0,16.
11.32. На вход приемника РЛС поступает один импульс, со-
ответствующий либо одной помехе, либо сумме помехи и шумоподоб-
ного полезного сигнала.
При поступлении на вход приемника помехи амплитуда импуль-
са на выходе приемника распределена по закону
(х | % = 0) = х • ехр | — у*2}’ 0<;х<оо.
При поступлении на вход приемника суммы помехи и полезного
сигнала амплитуда импульса на выходе приемника имеет плотность
вероятности
W . (х IX = 1) = ехр (---------—
1V 1 ’ 1 + а2 Ч 2(1 +а2)
где а2 — отношение мощности полезного сигнала к мощности по-
мехи на входе приемника.
На выходе приемника имеется пороговое устройство с регули-
руемым уровнем (порогом) срабатывания Ло.
Определить величину порога Ло, при котором вероятность пре-
вышения его напряжением помехи (вероятность ложного обнару-
жения) Fx = 10-5. Найти величину а2 такую, чтобы при заданном
значении Ло вероятность превышения порога напряжением, соот-
ветствующем сумме полезного сигнала и помехи (вероятность обна-
ружения полезного сигнала), £)х = 0,9.
Ответ:
ft0 = /23, а2 = 100.
11.33. На устройство обнаружения, состоящее из интегратора
и порогового устройства (рис. 11.19), с выхода приемника посту-
пает последовательность из 30 периодически повторяющихся слу-
чайных по амплитуде независимых видеоимпульсов.
0 < х < оо,
Рис. 11.19. Устройство обнаружения.
481
Эта последовательность импульсов может представлять либо
одну помеху, либо сумму помехи и случайного полезного сигнала.
Если импульсы соответствуют помехе, то амплитуда каждого
импульса распределена по закону
Wr (х | % = 0) = х • ехр { —г*2}’ 0 Х < °° '
Если импульсы представляют сумму помехи и полезного сигнала,
го плотность вероятности амплитуды имеет вид
Г1(х|Х=1) = —— ехр/----------—L 0<х<оо,
1V 1 ' 1 + а« Ч 2(1+а2)/
где а2 — отношение мощности полезного сигнала к мощности по-
мехи на входе приемника.
Найти выражение, связывающее вероятность обнаружения по-
лезного сигнала Dr (вероятность превышения порога напряжением,
соответствующим сумме полезного сигнала и помехи) и вероятность
ложного обнаружения F1 (вероятность превышения порога напря-
жением, соответствующим одной помехе). Вычислить D’v если
а2 = 0,75; F± = 10~3.
Примечание. При решении задачи считать, что число
импульсов п = 30 достаточно для применения предельной тео-
ремы теории вероятностей.
Ответ:
301 /21 (1 -/г+^) + I/ 30------------1----
о1=1-ф ' 2___________ _2 ,
р/зО^+а2)
где
0(2) = -^ е 2 dx-, Di =0,575.
f 2л J
— оо
11.34. На вход приемника, функциональная схема которого
представлена на рис. 11.20, поступает последовательность из п^>1
периодически повторяющихся случайных импульсов. Эта после-
довательность импульсов может представлять либо одну помеху,
либо сумму неслучайного полезного сигнала и помехи.
Если последовательность импульсов представляет одну помеху,
то плотность вероятности амплитуды любого импульса последова-
тельности на выходе усилителя равна
Wr (х|%--0) — х-ехр J — Т х2 j, 0<х<оо.
Если последовательность соответствует сумме полезного сигна-
ла и помехи, то плотность вероятности амплитуды имеет вид *
Г1(х|Х=1) = х(1 — -у)ехр{ — — -у)}’
где а2 — отношение мощности полезного сигнала к мощности по-
мехи на входе приемника.
Решающее устройство принимает решение о наличии полезного
сигнала в том случае, если из п импульсов не менее k0 превысят
порог ограничения й0 (т. е. если показания счетчика будут не ме-
нее k0).
Рис. 11.20 Блок-схема приемника.
Рассчитать вероятность ложного обнаружения F± и вероятность
правильного обнаружения сигнала D±. Получить выражение, свя-
зывающее F19 D19 число импульсов на входе п и отношение мощно-
стей полезного сигнала и помехи а2. Найти вероятность обнаруже-
ния полезного сигнала £>J, если п = 100, а2/2 = 0,01, F± = 10~3,
Ло =2.
Ответ:
где
_______La2
р = е 2 °;
D\ =0,85.
11.35. На вход устройства обнаружения сигналов, блок-
схема которого представлена на рис. 11.21, поступает последова-
тельность из 6 периодически повторяющихся (с периодом слу-
чайных некоррелированных импульсов. Эта последовательность
* Приведенная формула получена из обобщенного закона Релея в пред-
положении, что а2<С1.
493
импульсов может представлять либо одну помеху, либо сумму
полезного сигнала и помехи.
Если последовательность представляет помеху, то плотность
вероятности каждого видеоимпульса (на входе ограничителя) равна
(х | X —-0) =х-ехр |— у х2|, оо.
Если последовательность представляет сумму помехи и полезного
сигнала, то плотность вероятности задается выражением
W±(x | %= 1) = х-ехр | 0 х < °°»
где а2 — отношение мощности полезного сигнала к мощности по-
мехи на входе приемника.
Рис. 11.21. Блок-схема обнаружителя импульсных сигналов.
Решающее устройство принимает решения о наличии сигнала
в том случае, если из 6 импульсов 4 или более подряд следующих
импульсов превысят порог.
Написать выражения для вероятности обнаружения полезного
сигнала Dr и вероятности ложного обнаружения Fr.
Ответ:
F, =₽; [1 +2(1 -р,)], D, -PJ |1 +2(1-р2)|,
где
__L^2 ~ _±(Х2 . а2}
р± = е • 2 0 ; р2= \ хе 2 /0 (ах) dx — Q (a, hQ).
Литература
1. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости.
Госэнергоиздат, 1956.
2. Wald A. Statistical Decission Functions. J. Wiley and Sons, New-York,
1950.
3. В у д в о p д Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с при-
менениями в радиолокации. Изд-во «Советское радио», 1955.
4. М i d d 1 е t о n D., Van Meter D. Detection and Extraction of
Signals in Noise from the Point of View of Statistical Theory. Journ. Soc,
Industr. and Appl. Math., 1955, v. 3, № 4; 1956, v. 4, № 2.
484
5. Van Meter D., Middleton D. Modern Statistical Approaches
to Reception in Communication Theory. Trans. IRE on Inform. Theory,
1954, v. IT-4, № 9.
6. Middleton D. Statistical Theory of Signal Detection. Trans. IRE
on Inform. Theory, 1954, v. IT-3, № 3.
7. А м и а н т о в И. H. Применение теории решений к задачам обнару-
жения сигналов и выделения сигналов из шумов. Изд. ВВИА им.
Н. Е. Жуковского, 1958.
8. Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на
фоне помех. Изд-во «Советское радио», 1960.
9. Т и х о н о в В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советское
радио», 1966.
10. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Изд-во «Со-
ветское радио», 1962, т. 2.
11. Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. Изд-во
иностранной литературы, 1963.
12. Ф а л ь к о в и ч С. Е. Прием радиолокационных сигналов на фоне
флуктуационных помех. Изд-во «Советское радио», 1961.
13. Вальд А. Последовательный анализ. Физматгиз, 1962.
14. Б а ш а р и н о в А. Е., Ф л е й ш м а н Б. С. Методы статистиче-
ского последовательного анализа и их приложения. Изд-во «Советское
радио», 1962.
15. Turin G. L. An Introduction to Matched Filters. Trans. IRE. on'Inform.
Theory, 1960, v. IT-6, № 3.
16. Л e з и н Ю. С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных сиг-
налов. Изд-во «Советское радио», 1963.
17. Н е 1 s t г о m С. W. The Resolution of Signals in White Gaussian Noise.
Proc, of the IRE, 1955, v. 43, № 9.
18. M a r c u m J. I. A Statistical Theory of Target Detection on Pulsed Ra«
dar. Trans. IRE on Inform. Theory, 1960, v. IT-6, № 2.
19. Б a p к Л. С., Большее Л. H., Кузнецов П. И., Черен-
ков А. П. Таблицы распределения Релея — Райса. Изд. ВЦ АН
СССР, 1964.
20. Turin G. L. Error Probabilities for Binary Symmetric Ideal Reception
through Nonselective Slow Fading and Noise. Proc, of the IRE, 1958, v. 46,
№ 9.
21. К о н с т а н т и н о в П. А. Помехоустойчивость систем связи с то-
нальной манипуляцией при идеальном приеме. «Радиотехника», 1961,
т. 16, № 11.
12. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ
ФИЛЬТРАЦИЯ
§ 1. Теоретические сведения
В общем виде задачу оптимальной фильтрации
сигналов из шумов можно сформулировать следующим образом.
Пусть колебание %(/), принятое на некотором интервале времени,
является функцией от сигнала $[/, %(/)] и шума п(/):
х (t) = F{s[t, X(OL n(f)}. (12.1)
Сигнал s[/, Х(/)] в общем случае может зависеть не от одного, а от
нескольких параметров Xz(/), причем либо сам сигнал $[/, Х(/)]
либо его параметр Х(/) являются случайными процессами. Вид
функции F{s, п), т. е. способ комбинирования сигнала и шума, и
некоторые статистические характеристики сигнала и шума пред-
полагаются априорно известными. Используя эти априорные дан-
ные, необходимо определить устройство (рис. 12.1), решающее
оптимальным образом, какая реализация самого сигнала $[/, %(/)]
или его параметра Х(/) содержится в принятом колебании (12.1).
Из-за наличия шума п(/) и случайного характера сигнала
s[/, %(/)] оценка реализации сигнала sI/, К (/)] или его параметра
Х(/) не будет совпадать с истинной реализацией, т. е. будут иметь
место ошибки фильтрации. Для количественной характеристики
качества фильтрации можно использовать различные критерии [1].
Наиболее часто в задачах фильтрации используются критерий ми-
нимума среднеквадратичной погрешности, критерий максималь-
ного отношения сигнал/шум и критерий максимума апостериорной
вероятности.
В зависимости от дополнительных предположений о характере
сигнала и шума сформулированная выше задача решается методами
Оптинальный $№>3ft
фильтр
-^0
*(t)
Рис. 12.1. Оптимальный фильтр.
486
Линейной или нелинейной фильтрации. В дальнейшем мы ограни-
чимся рассмотрением лишь задач линейной фильтрации. Кроме
этого, будем предполагать, что сигнал и шум взаимодействуют адди-
тивно, т. е.
x(f) = s[t, Х(0] + п(0- (12.1а)
Оптимальная линейная фильтрация по критерию минимума
среднеквадратичной ошибки [1 — 14]. Предположим, что входящие
в (12.1а) сигнал §[/, Х(/)] = $(/) и шум n(f) представляют собой
стационарные нормальные случайные процессы с известными
корреляционными функциями
ks (т) = <s (О S (t + Т)> = Os Rs (т),
kn (т) = <« (0 п(* + т)> = Rn (Т),
ksn (r) = <s(/)/i(Z4-T)>.
Требуется определить систему, которая из принимаемой смеси
x(0=s(0 + n(0 (12.16)
с минимальной среднеквадратичной ошибкой выделяет не параметр
А(/), а сам полезный сигнал s(t). Таким образом, искомая оптималь-
ная система должна минимизировать величину
82 = <[s(0-s(/ + A)]2>. (12.2)
60(t)
K0(ju)
Рис. 12.2. Линейный фильтр.
В (12.2) для общности введен временной сдвиг Д. При Д > О
оценка s(/) на выходе системы должна предсказывать (прогнозиро-
вать) значение входного сигнала s(/) на Д вперед, при Д = 0 задача
сводится к выделению (сглаживанию) сигнала s(/) из колеба-
ния x(t).
Строгое математическое решение сформулированной задачи для
случая полубесконечного интервала наблюдения (— оо , /) было
дано А. Н. Колмогоровым [2] и Н. Винером [3]. Ими, в частности,
было показано, что оптимальное по критерию минимума средне-
квадратичной ошибки устройство в данном случае относится к
классу линейных фильтров с постоянными параметрами. Основные
результаты теории Колмогорова — Винера заключаются в следую-
щем.
487
Предположим, что на вход физически реализуемой линейной
системы (рис. 12.2) с импульсной переходной функцией (импульс-
ной характеристикой)
g(o=|G(/)’
(о,
t >0,
/<0,
(12.3)
воздействует стационарный случайный процесс x(t). При этом ста-
ционарный случайный процесс y(t) = s(/) на ее выходе будет опре-
деляться соотношением
со
у (t) — s (t) — § G (т) x(t—т) dr.
о
(12.4)
Подставляя (12.4) в (12.2), получаем следующее выражение для
среднеквадратичной^ ошибки фильтрации:
е2 =
оо
§ G(x)x(t—x)dx—
о
которое после несложных преобразований приводится к виду
е2 = ks (0)—2 G (т) ksx (т + Д) dx +
о
+S SG G kx dXi о2-5)
о о
Здесь ksx(x)— взаимная корреляционная функция процессов s(t)
и x(f):
ksx (т) - (s (t) х (t + т)>, (12.6)
a kx (т) — корреляционная функция случайного процесса х (t):
kx(x) = (x(t)x(t + x)). (12.7)
Для того чтобы определить импульсную характеристику Go(/)
оптимального фильтра, минимизирующего среднеквадратичную
ошибку (12.5), воспользуемся известным приемом вариационного
исчисления. Пусть
G(0 = Go(0 + ^(O, (12.8)
где р — параметр, не зависящий от /, a g(f) — произвольная функ-
ция. При этом условие минимума среднеквадратичной ошибки при-
нимает вид
—I =0. (1.9)
dp lu-=0
488
После подстановки (12.8) в (12.5) условие (12.9) принимает вид
оо Г оо
\g(x) G0(v)kx(r—v)dv — ksx(r + &)
0 L о
dx = 0.
Поскольку это соотношение должно выполняться при произвольной
функции g(/), то отсюда следует, что импульсная переходная функ-
ция Go(/) должна удовлетворять интегральному уравнению Фред-
гольма первого рода
§ Go (v) kx (х — v) dv = ksx (т-р Д), x > 0. (12.10)
о
Это интегральное уравнение является основным уравнением теории
линейной фильтрации и называется уравнением Винера — Хопфа
[4].
Таким образом, задача нахождения оптимального сглаживаю-
щего (Д = 0) или прогнозирующего (Д > 0) физически реализуе-
мого фильтра сводится к решению интегрального уравнения (12.10).
Решение этого уравнения в общем случае встречает известные труд-
ности, обусловленные главным образом требованием физической
реализуемости оптимального фильтра. Однако в частном, но весьма
важном с практической точки зрения случае дробно-рациональной
спектральной плотности Sx (со) входного процесса %(/) из (12.10)
можно получить следующее выражение для передаточной функции
Хо(М
ОО оо
К„(/«>) =----5--С e_/‘“'dr f e/a(x+A>dQ. (12.11)
0 v ’ 2nF (/©) J J F* (/Й) v 7
0 —~oo
Здесь
oo
Sx(®)= $ ^(T)e_/wxdT,
— oo > (12.12)
oo
Ssx(®) = $ ksx(x)e~,mx dr.
— oo
При этом минимальная среднеквадратичная ошибка фильтрации
равна
оо
4,п=-!- f [Ss(®)-|X0(/W£*(«>)]d®, (12.13)
2л J
— оо
где
оо
se (©)=-- $ ks(r)e~!a,x dr. (12.14)
489
Для частного случая сглаживания аддитивной смеси взаимно
независимых стационарных случайного процесса $(/) и белого шума
п(/) с функцией корреляции
^П«=^6(Т)
формула (12.11) упрощается [141:
No
(1211а)
S, <«> + *-
* J4-
Индекс «+» у выражения в квадратных скобках означает, что если
это выражение разложить на простые дроби, то в разложении долж-
ны быть оставлены только те из них, которые соответствуют полю-
сам, расположенным в верхней полуплоскости. Все простые дроби
функции F(<o) = Ss(co) + соответствующие полюсам в нижней
полуплоскости, а также целая часть ^(со) должны быть отброшены.
Минимальная среднеквадратичная ошибка для рассматриваемого
случая может быть вычислена по формуле [14]
f и, (1+^^.
2 J \ No / 2л
— оо
(12.13а)
Практические вычисления по формуле (12.11) оказываются до-
вольно громоздкими. Значительное упрощение получается, если не
накладывать на оптимальный фильтр требования физической реали-
зуемости (12.3), т. е. полагать в (12.4) и последующих формулах
нижний предел равным — оо. При этом вместо уравнения (12.10)
получаем интегральное уравнение
оо
$ G0(v)^x(t—v)cfv = ^sx(T + A),
— оо
(12.15)
решение которого приводит к следующему выражению для переда-
точной функции физически нереализуемого оптимального фильтра:
Ко (/©) = ^ (м). е/шД . (12.16)
8Х (со)
Минимальная среднеквадратичная ошибка и в этом случае вычис-
ляется по формуле (12.13). Для частного случая статистически неза-
висимых сигнала $(/) и шума п(/), имеющих нулевые средние зна-
чения, формула (12.16) приводится к виду
^о(/®)=VTTTTTT е'“Л> <12Л6а)
(to) + Sn (со)
490
Хотя соотношения (12.16) и (12.16а) соответствуют физически
нереализуемым оптимальным фильтрам, они весьма полезны, так
как любой физически реализуемый фильтр не может дать меньшей
среднеквадратичной ошибки, чем фильтры, определяемые (12.16)
и (12.16а). Объясняется это тем, что наложение на фильтр условия
физической реализуемости (12.3) сужает возможности выбора опти-
мальной характеристики фильтра и по этой причине может привести
лишь к ухудшению конечного результата.
Обобщение результатов теории Колмогорова — Винера на слу-
чай конечного времени наблюдения дано в работе [5]. В работах
[6, 7] рассмотрена задача линейной фильтрации нестационарных
процессов.
Оптимальная линейная фильтрация по критерию максимума
отношения сигнал/шум [1,9,10, 15—19]. Предположим, что на
вход линейного фильтра с передаточной функцией/<(/со) поступает
аддитивная смесь
x(i) = s(t) + n(t), (12.17)
где п(/) — стационарный случайный процесс со спектральной плот-
ностью Sn(co); s(/) — статистически независимый с n(f) полезный сиг-
нал, форма которого, т. е. спектр S(/co), заранее известна. При
этих условиях процесс у(/) на выходе фильтра равен
У (0 = звых(0 + пвых(0> (12.18)
где sBbIX(/) и пвых (/) — результаты преобразования сигнала и помехи
линейным фильтром. Сигнальная составляющая sBblx (/) определяется
соотношением
оо
W(0=~ f S(/«)/<(»(12.19)
2л J
— оо
а дисперсия выходного шума пвых(0 вычисляется по формуле
оо
ов2ых = -!- С Sn (®)| л (»|Мсо. (12.20)
2л J
— оо
Введем в рассмотрение отношение
д = 1 Sbmx (Г) 1 , (12.21)
авых
представляющее собой отношение мгновенного значения сигнала на
выходе фильтра в некоторый момент времени t — Т к среднеквадра-
тичному значению выходного шума. В соответствии с (12.19) и
(12.20) это отношение равно
491
a
-i- C S (j<a) К (ja>) е/шТ Ao
2Л J
— oo
1 00
— f Ss(®)|K(»|*<to
2Л J
(12.22)
2
Линейный фильтр, максимизирующий отношение (12.22), назы-
вается фильтром, оптимальным по критерию максимума отношения
сигнал/шум. Можно показать [14, 15], что передаточная функция
такого фильтра равна
Ко (/со) = с e-/“r, (12.23)
(со)
где С — некоторая постоянная, a S*(/co) — функция, комплексно
сопряженная со спектром S(jсо) входного сигнала $(/).
Если входящий в (12.17) случайный процесс и(/) представляет
собой стационарный нормальный белый шум с энергетическим
спектром Sn((o) = А/о/2, то формула (12.23) приводится к виду
Ко О) = kS* (12.24)
Таким образом, в случае приема аддитивной смеси сигнала и бе-
лого шума передаточная функция фильтра, оптимального по кри-
терию максимального отношения сигнал/шум, полностью опреде-
ляется спектром входного сигнала. В соответствии с этим опти-
мальные фильтры с передаточными функциями (12.24) называют
согласованными.
Определим импульсную переходную функцию согласованного
фильтра:
оо
Go(O = ^- J К0(/о)е/“>4<». (12.25)
2Л v
— 00
После подстановки (12.24) в (12.25) получаем
G0(t) = ks(T — /), (12.26)
где k — некоторая постоянная величина, имеющая смысл коэффи-
циента усиления.
§ 2. Примеры
Пример 12.1. Имеется аддитивная смесь
х(0 = s(/) + п(0,
где п(/) — стационарный нормальный белый шум со спектральной
плотностью
5„(и) = ^, —оо<®<оо, (12.27)
492
a s(t) — статистически независимый от п(/) стационарный случай-
ный процесс со спектральной плотностью
S (со) = —!—, —оо^ах^оо.
sV 7 1 + со2
Требуется определить передаточную функцию 7<о(/(о) физически
реализуемого прогнозирующего фильтра, минимизирующего средне-
квадратичную ошибку
e2 = ([y(0-s(/ + A)l2>.
Решение. В соответствии с (12.11) можем написать
^o(/“)=2iiAMje_WT J 7^e/2(x+A)dQ>
О —оо
где
F (j(d) F* (j(d)= \F(j(d)\2 = Sx((o).
Поскольку по условию задачи s(t) и n(t) статистически незави-
симы, то
S.W-s.w»^,
s,W-s,W+s„W= N,^X'
Отсюда следует, что
f/foj^AW+faVX
><2(1 + /®) ’
F* Ню) = T^o~l~2—fa f^o
V^l-fa)
Таким образом, искомая передаточная функция определяется
соотношением
оо
Ко (/“) = —/ г- ------7=г- f / (т) dx,
n(VNa+2+ja> VNo) J
где
СЮ
/(т)= Г ------. г 1-----—— e/^+A)dQ.
J (1 + /Й) (/ЛГ0+ 2- /Й ]/ Wo)
— оо
Учитывая, что [20]
J (Р + /х)“21Х(?—jx)-2ve-iPxdx =
493
= 2n(p + T)-'-v( 1 е 2 Р ^_p_v(-₽P-YP), Р<0,
где Дг)—функция Уиттекера, находим
/ г---\-1 , Л.
7(t) = -^(/;V2±2 + 1) е X
V' УУо \ /У» /
, //Уо+|±К^? (т 4- Л) \ —— е—<т+Д>.
2-\ VN0 ) Vn.+2+Vn,,
После подстановки /(т) в Ко(/со) и ряда несложных преобра-
зований окончательно получим
К0(/<о)=К0—,
1 + /шГ0
X -
где
2
К =___________f_________е-д
0 |/#о + 2(/УУо+2+/ЛГо)
Т —1/ ____—
1 0 “ V No + 2 •
Таким образом, искомый прогнозирующий фильтр может быть
представлен в виде последовательного соединения усилителя с ко-
эффициентом усиления /Со и интегрирующей цепочки RC с постоян-
ной времени RC = То (рис. 12.3).
-—0
—0
Рис. 12.3. Прогнозирующий фильтр.
Пример 12.2. На вход фильтра воздействует аддитивная
смесь
%(/) = s(/) + п(/),
где и(/) — стационарный нормальный белый шум со спектральной
плотностью (12.27), a s(/)—статистически независимый от n(t) ста-
ционарный случайный процесс с нулевым средним значением и
функцией корреляции ks (т) = of е”а 1 т' cos ш0 т.
Определить передаточную функцию физически нереали-
зуемого сглаживающего линейного фильтра и вычислить соответ-
ствующую ему минимальную среднеквадратичную ошибку
s2 = <[y(Z)—s(Z)I2>.
494
Решение. В соответствии с (12.16а) искомая передаточная
функция равна
Ко (/<») = Ss(a>)-----.
04 sn<o) + sn(<o)
Энергетический спектр процесса s(/) равен
оо
ss (®) = J ks (т) е= a<rs [a2_)_(a)_(0(j)2 + a2+((o+(Bo)2 ] •
— оо
Подставляя Ss(co) в /<0 (/<»), находим
2aa2 (А+В)
К» = 2aa2 (Л+В) + N0AB ’
где А = а2 Ц- (® — ®о)2> В = а2 + (® + ®0)2.
Значение среднеквадратичной ошибки находим из (12.13):
Р2, _п2 /
[/ . aW0+2af
Пример 12.3. На вход /?С-фильтра (рис. 12.4) поступает
аддитивная смесь
x(/) = s(Z)4-n(Z),
где s(f) — стационарный нормальный случайный процесс со спек-
тральной плотностью
А2
Ss (со) =-----, — оо < со < оо,
sV 7 a2+co2
а п(/) — статистически независимый от s(/) стационарный нормаль-
ный белый шум со спектральной плотностью (12.27).
0-.—LZ3—t—----0
R
x(t) С = y(t)
0-------- —0
Рис. 12.4. Интегри-
рующая цепочка RC.
Найти оптимальное значение постоянной времени Т = RC, ми-
нимизирующее среднеквадратичную ошибку
е2 = <[у (0-s(012>.
и определить величину e2mfn.
495
Решение. Обозначим импульсную переходную функцию
/?С-фильтра через б(/). Тогда разность
= У(0 - s(0
можно представить в виде
t t
?(/) — J G(t— x)x(x)dx— J s(t)S(/—x)dx = s1(t) + n1(t),
— oo — oo
где
t t
Si(0= J [G(^—t) — 8(t—x)]s(x)dx= J G1(t—x)s(x)dx;
— OO —00
t
ni (0 = J G (t—T)(T) dx.
— oo
По условию задачи процессы s(/) и п(/) взаимно некоррелирова-
ны, вследствие чего взаимно некоррелированы и процессы sx(Z)
и их(/). Таким образом, спектральная плотность процесса |(/) равна
St (со) = Ssl (со) Ц- Snl (со),
где SsX(co) и SnX(co) — энергетические спектры процессов sx(/) и
ni (О» равные
5sX(o)) = Ss((o)|K1(/(o)p,
Snl(®) = S„(®)IK(/®)l2.
Здесь
Д' (/со) = J G(u)e~imudu,
— оо
Ki (/®) = J [G (ы) — d (u)J е - >ши du,
— оо
Следовательно, дисперсия процесса £(Z) равна
оо оо
<*?=е2 = ^- f S5(<o)d(o = ± J [SS(®)|K(»-1P +
— оо —оо
+ sn (<о) |К(» p]d(D.
По условию задачи
ГУ / • \ Р 0 1 1
К (/со) = —, В =------- .
4 ’ р + /<в н RC Т
496
Таким образом,
CXJ
£2 _ J_ Г (________________, Ьо, _
2л J U<x2 + «2) (₽2 + «2) 1 2(P + «2)'
— оо
1 / Л2 , JV, g\
2 ka+Р ' 2 ,/ ’
Для нахождения оптимального значения р = 1/7" составим
производную от е2 по
б/е2„_1 / Л^о Л2 \
б/р ~ 2 \ 2 (а + Р)2/ ’
Отсюда следует, что при N0<^2A2/a2 оптимальное значение по-
стоянной времени 7?С-фильтра
1 Nо
а соответствующая минимальная среднеквадратичная ошибка сгла-
живания равна
Р2 . _ л 1/^7 aNa
tmin — у ~2 4 *
Если же Л^о > 2Д2/а2, то оптимальное значение TQ = х/а -> оо,
а среднеквадратичная ошибка
Пример 12.4. Сохраняя условия примера 12.3, найти опти-
мальное значение постоянной времени Т = RC, минимизирующее
среднеквадратичную ошибку
е2 = <[у (0 —s(Z +А)]2>.
Решение. В данном примере
£ (t) = У + А) = S1 (/) 4- П1 (t),
где
t
8^)= J [G(Z — т) — 6(t + A — T)]s(r)dr,
— оо
t
ni (i)= J* — т) п (т) dx.
— оо
Поскольку процессы и n-^f) взаимно некоррелированы, спек-
тральная плотность процесса £(/) равна
$е(®) = 581(®)+$п1(Ч
17 Зак. 728 497
где
Ssl(<0)=Ss(G>)|tf1(/<0)|2;
Snl(®)-Sn(®)|K(/<o)l2.
Учитывая, что
^iG®)= f G1(u)e-/““d«= J [G(«)—S(«4-A)]e-/<““dtz=
— oo —oo
= /C(/(o)—е'юД,
находим
St (co) = Ss (co) I к (/(0) - е/ЪД |2 + Sn (co) I к (>)I *.
Отсюда дисперсия процесса |(/) равна
2 2
(Ь — 8
= Л f 15з(<°ЖО)-e^|2+S„(®)|K(/®)|2Jd<0=
2л J
= _L f Г # j/юД
2л J L«2+®2 ₽ + /«
— oo
No P2
2(P2+®2)
= M—(l-e-»A)
2» ОС
— (1 — 2e_“A)-f-0 — .
cc+P 2 J
Анализируя зависимость 82 от 0, нетрудно установить, что
при А > In 2/а .наименьшее значение среднеквадратичной ошибки
Smin имеет место при 0 = 1/Т = 1/RC = O и равно
2
ЬГП1П --~
2а
Если А < In 2/а и
— (2е-“д— 1) 2 — а<0,
Nt J
то наименьшее значение е2 также имеет место при 0 = 0. В слу-
чае Л < 1п 2/а и
Г— (2е-“д— I)]"2 — а > 0
минимальное значение е2П1;п обеспечивается при
0 = 1 = Г— (2е-“д— 1)1т—а.
Т [ No 'J
Пример 12.5. На вход линейного фильтра воздействует адди
тивная смесь
х (/) = s (/) 4- п (/),
498
где n(t) — стационарный нормальный белый шум, а $(/) — стати-
стически независимый от шума п(/) экспоненциальный видеоимпульс
(рис. 12.5):
t^T,
S (t) = I 0 /
Определить передаточную функцию /СоО^) фильтра, максимизи-
рующего отношение сигнал/шум на выходе.
Решение. Вычислим спектр сигнала s(t):
оо Т
J dt = A&~AT j
— oo —oo
__d_e-/“r
4—/co
Используя соотношение (12.24), находим искомую передаточную
функцию:
4+/(о
Таким образом, фильтр, согласованный с данным сигналом, может
быть реализован в виде цепочки RC (рис. 12.4), у которой RC =1/А.
Пример 12.6. Определить передаточную функцию фильтра,
согласованного с сигналом
_/2М2
з(/) = Ле ’
где ти — длительность импульса s(/) на уровне Ale.
Решение. Вычислим спектр видеоимпульса s(Z):
оо
Г ( Р
S(j<o) = J s(t)^-!wtdt = b ехр| —
— оо
где Д/ = 2,25/ти — ширина спектра S(jcd) на уровне Ые. Исполь-
зуя (12.24), находим
Ко О) = Кое
17*
499
Пример 12.7. Найти фильтр, согласованный с прямоуголь-
ным видеоимпульсом
(А, 0 < t < ти,
s (/)
v 7 (0 при других /,
и вычислить отношение сигнал/шум на его выходе.
Решение. Спектр прямоугольного видеоимпульса равен
S(/w)= f s (t) е~imi dt — А = —
Линия
задержки
гм
Рис. 12. 6. Фильтр, согласованный с прямоугольным ви-
деоимпульсом.
Таким образом, передаточная функция K(j^) фильтра, согласован-
ного с прямоугольным видеоимпульсом длительностью ти, имеет вид
Ко (» = kS* (» (е/юхи_ 1) е-/<оГ.
/ш
Если интервал наблюдения совпадает с длительностью импульса,
т. е. Т == ти, то
/СО
Блок-схема такого фильтра приведена на рис. 12.6.
Определим сигнал на выходе фильтра, имея в виду, что в соответ-
ствии с (12.26) его импульсная переходная функция
Следовательно,
t t
«вых (0 = f G0 W s (*—*) dx = Кй f S (ти—T) s (t—t) dx.
0 0
Нетрудно видеть, что максимальное значение [звых (Z)]max имеет
место при t = ти и равно
15вых (Oltnax — Ко А2 Ти = Kq Е,
где Е = А2 ти — энергия сигнала $(/)•
500
Вычислим дисперсию шума на выходе согласованного фильтра,
полагая, что спектральная плотность входного шума равна
—ОО<С0<0О.
Тогда
oLx - J Sn(a>) | К (/®) |М® = j (1 - cos ®ти) d® = .
— оо — оо
Следовательно, максимальное отношение сигнал/шум равно
[$вых (Oltrax - / 2Е
авых * М)
Пример 12.8. На вход интегрирующей цепочки RC (рис. 12.4)
воздействует аддитивная смесь статистически независимых ста-
ционарного нормального белого шума и(/) со спектральной плот-
ностью (12.27) и прямоугольного видеоимпульса
0 < f < ти,
( 0 при других t.
Под выходным отношением сигнал/шум а понимается отношение
максимального значения сигнала на выходе к среднеквадратичному
значению выходного шума:
[sbux (dmax
а =-----------.
авых
Требуется: а) вывести соотношение, связывающее отношение
сигнал/шум на выходе цепочки RC с длительностью импульса ти
и энергетической шумовой полосой Д/э цепи 7?С; б) определить,
в каком соотношении должны находиться длительность импульса и
оптимальная энергетическая шумовая полоса (Af3)opt, при которой
на выходе 7?С-цепи имеет место максимальное отношение сиг-
нал/шум.
Решение. В соответствии с теоремой Винера — Хинчина
дисперсия а2вых стационарного шума на выходе цепочки RC равна
оо оо
Ствых = | $„ых (®) d® = -Г f Sn (®) I к (/®) |2 d«.
— оо — оо
Подставляя в это выражение
501
находим
<?вых —
___ М о д с
4RC 2 °’
где Д/э = 1/2RC — энергетическая шумовая полоса цепи RC.
Полезный сигнал на выходе рассматриваемого фильтра равен
t
8Вых(0 = SG(t — T)S(T) dt,
О
где
G(t) =
— ехр (----— Л , 0 < Л
RC Ч RC J
О при t<zO-
В результате несложных вычислений находим
где 10(/) — единичная функция:
П, 1>0,
lo(O = (o, t <0.
Максимальное значение [sBbIX (/)]max имеет место при t — ти,т. е.
в момент окончания входного импульса, и равно
/ __i_ \
Isbhx (0]max = SBbIX (ти) “ U т\ 1 е ) *
В соответствии с этим максимальное отношение сигнал/шум на выхо-
де равно
__ [5вых (Olmax V 2 Um q__— 2Д^ти).
авых У^оД/э
Для определения зависимости между длительностью импульса
ти и оптимальной энергетической шумовой полосой (A/3)Opt необ-
ходимо вычислить производную от а по А/э:
da
d у N9
1 1 3
2т„Д/э 2е-2ДЧи + 1 Д/э 2 (l_e-2Af8V
Приравняв эту производную нулю, получим
(Af3)opt == -J In [4ти (Д/a)opt + 1 ],
502
откуДй
.... 0,628
(Afa)opt
Ти
При этом максимальное выходное отношение сигнал/шум равно
а _O91Z^^-=°>91/— -
amax — у Nq Т Nq
где Е — (72тти — энергия входного видеоимпульса.
§ 3. Задачи и ответы
12.1 . На вход фильтра поступает аддитивная смесь
x(t) = s (0 + ^(0,
где п(/) — стационарный нормальный белый шум со спектральной
плотностью (12.27), а $(/) — взаимно некоррелированный с n(f)
стационарный нормальный случайный процесс со спектральной
плотностью
ос
—со
(ОС
I О
—®с < © < о,
о < © < ©с,
при других ©.
Найти передаточную функцию /Со(/©) физически нереализуемого
линейного сглаживающего фильтра, минимизирующего средне-
квадратичную ошибку фильтрации
е2 = <[у (/) —з(/)]2>.
Ответ:
|©|<®с.
12.2 . На вход фильтра поступает аддитивная смесь статисти-
чески независимых случайного процесса $(/) со спектральной плот-
ностью
___1
14-W2 ’
— оо <©< оо,
и стационарного нормального шума с энергетическим спектром
(12.27).
503
Определить передаточную функцию оптимального физически
реализуемого линейного сглаживающего фильтра и вычислить соот-
ветствующую минимальную среднеквадратичную ошибку
4in = < [у (0-з(0]2>-
Ответ:
К 2 -41
o l l-b/wr’ m'n 2|_ 1 + Т 2Т ]’
где
'Р _ 1^0 . ZZ _ __=------------------
V М) + 2’ Л° ' VNo + 2 [ 2+ /М)] •
12.3 . Случайный сигнал имеет корреляционную функцию
£s(r) = exp{— | т |}.
Найти для такого сигнала импульсную переходную функцию
Go(/) линейного физически реализуемого прогнозирующего фильтра,
если энергетический спектр шума равен
sn (со) = —L-.
’ 4 + со2
Ответ:
G0(t)=
1 + /2
где Л — время прогнозирования.
12.4 . Решить задачу 12.2 при условии, что спектральные плот-
ности сигнала и шума соответственно равны
S (со) — —1—- , Sn (со) = ——— , — оо < со < оо.
7 1 -[_W2 J ь2 + со2
Ответ:
Ко (/<>)=--,
л i/W+D
Т Nb*+1 •
12.5 . На вход оптимального прогнозирукщего линейного
фильтра с передаточной функцией минимизирующей средне-
квадратичную ошибку
s2 = <[y(0-s(H-A)]2>,
воздействует аддитивная смесь взаимно коррелированных стацио-
нарного шума n(f) и сигнала s(Z):
%(/) = s(Z) + «(/)
504
Определить взаимную спектральную плотность Sxy (со) процесса
%(/) и выходного процесса у(/) = s(t).
Ответ:
SXy (О) = [S, (£0) -ь S5„ (to)] е'“Л.
12.6 . Определить передаточную функцию оптимального физи-
чески реализуемого прогнозирующего фильтра, на вход которого
поступает аддитивная смесь стационарного нормального белого
шума п(/) со спектральной плотностью (12.27) и стационарного
случайного процесса s(/) с энергетическим спектром
Л2
Ss (со) = —---, — оо < со < оо.
sV 7 р2 + со2
Ответ:
К Н<л\ -2А* е~^ ,, - l/242+M>fP
(р+7)(7+/ш) ’ V- у
12.7 . Вычислить передаточную функцию оптимального физи-
чески реализуемого линейного сглаживающего фильтра при поступ-
лении на его вход аддитивной смеси взаимно некоррелированных
сигнала s(/) и помехи п(/), спектральные плотности которых соответ-
ственно равны
а2 Q / ч Ь2
(°) = Ч L 2 ’ Sn = --2 ’
S\ / a2_|_w2 Р24-СО2
— оо <со<оо.
Ответ:
к||1г,„ . <P+w ,
c8(a+d)(d + /w)
где
с = Ya2 + b\ ]/a2p2 + Z>2a2.
12.8 . Применительно к условиям задачи 12.8 определить
передаточную функцию оптимального прогнозирующего фильтра.
Ответ:
'•fr+iixin-w е_.»т
<2 (a-M) Х + /Ш)
где А — время упреждения;
с^у^ + Ь2, d = y/a2p2 + 62a2.
12.9 . На вход оптимального линейного фильтра с передаточной
функцией Ко(/®)> минимизирующего среднеквадратичную ошибку
17В Зак. 728
505
воздействует аддитивная смесь
x(t) = s(t) + n(/),
где s(/) и n(/) — взаимно коррелированные стационарные случай-
ные процессы со спектральными плотностями Ss(co) и Sn(co).
Определить взаимную спектральную плотность 5хг/(со) входного
процесса %(/) и процесса у(/) на выходе фильтра.
Ответ:
SXJ)(<0)=/£0[Ss(CO) + Ssn(®)],
где Ssn(co) — взаимная спектральная плотность процессов s(f) и
n(t).
12.10 . Применительно к условию задачи 12.8 вычислить зна-
чение среднеквадратичной ошибки.
Ответ [21]:
оо
f {®2Ss(a>)-]Ss(co) + Sn(®) + Ssn(®) +
2л J
+ Ssn (co)] | Ko (ja) I 2} da.
12.11 . Ha вход физически реализуемого линейного фильтра,
минимизирующего среднеквадратичную ошибку
e2 = /[y(/)_^S(0]2\,
воздействует аддитивная смесь статистически независимых стацио-
нарных случайного процесса $(/) со спектральной плотностью
S. (со) =------------, — оо <; ю <; оо,
sV S. * 7 4у2-|-(2р2 —со2)2
и нормального белого шума п(/):
(®) = ~> — 00<®<ОО.
Определить оптимальную передаточную функцию Ko(j&) фильтра
и вычислить минимальное значение e2min.
Ответ [21]:
K0(j(n) /а2 f______tn + in____________(o+tn—jn__________
2mNQ j[/n + j (n + ni)]2 — m\ (to+mt — jn,!)
_______—/n + jn_____ ш—m—jn 1
[tn — j (n + ^i)]2—(co — Hl!—jnt) (co + ^l—Pl) ]
где
506
га*“]//Р‘ + т‘+®; + 1,г' " = )/ v‘ +^,—₽=;
е<=± (1_ ±±Г1АГ +1m (^1- -j II
4 | п m2Ne L п \ fn-\-jn /]/
Az=__________m + jn_______
[т2 — т2{ — (n + nj2] +2jm(n + n1) *
12.12 . Процесс y(/) представляет собой аддитивную смесь
взаимно некоррелированных стационарных случайных процессов
s(0 и п(0:
у (0 = a [s (0 + ^(0].
Найти значение постоянной а, минимизирующей среднеквадра-
тичную ошибку
е2 = <[у (0- s(t + А)]2),
и вычислить величину e2min* Спектральные плотности процессов
s(t) и п(0 соответственно равны
2aas _ 2Pan
s (со) =-------; sn (to) =--------
s / аз_|_юа ’ ' 02 + Ш2
Ответ:
°s -аД
а р-----п-е
(2
1 е-2аД
as+an
12.13 . На вход фильтра, изображенного на рис. 12.4, посту-
пает аддитивная смесь взаимно некоррелированных процессов
s(0 и п(0:
х(0 = s(0 + и(0.
Спектральные плотности процессов $(/) и n(t) равны
9+со3 сек
5п(<о)
25
19+со2
й2 -
сек,
Определить значение постоянной Т = RC, минимизирующее
среднеквадратичную ошибку
Ответ:
s2 = <[y(0-s(0I2>.
Т = RC = 1 сек.
17В*
S07
12.14 . На вход линейного фильтра с передаточной функцией
поступает аддитивная смесь взаимно некоррелированных процессов
s(/) и /г(/), спектральные плотности которых соответственно равны
& И = /1 J5 ; S„((o)=O,4; —оо<©<оо.
(1 СО2)2
Пусть y(f) — процесс на выходе фильтра. Как следует выбрать
параметр Т, чтобы дисперсия разности
at
была бы минимальной.
Ответ:
Г = 0,25.
12.15 . На вход когерентного приемника амплитудно-модули-
рованных сигналов, состоящего из перемножителя и фильтра ниж-
них частот (рис. 12.7), поступает аддитивная смесь
x(t) = з(/) + n(t),
где n(/) — стационарный нормальный белый шум со спектральной
плотностью (12.27), a s(t) — статистически независящее от и(/)
амплитудно-модулированное колебание с подавленной несущей:
s (f) = Y2Рпг (/) sin + q>).
Здесь <о0 — угловая частота несущей, ф — случайная начальная
фаза, равномерно распределенная на интервале [—л, л], a rn(t) —
стационарный нормальный случайный процесс со спектральной
плотностью
$т (со) = ———, — оо < со < оо.
mV ' а2+<о2
Рис. 12.7. Когерентный приемник.
На второй вход перемножителя подается опорное колебание
“он (О = /281п(©о/4-ф;.
508
Определить передаточную функцию фильтра нижних частот,
минимизирующего среднеквадратичную ошибку
и вычислить величину 8^in.
Ответ [22]:
Ко(/®)- а =
аа + /со
4Р
aN0 ’
импульсную
12.16.
сованного
Найти
фильтра для сигнала
Л,
о,
переходную функцию G0(t) согла-
0 t < оо,
/<0.
S (0 =
Ответ:
12.17.
GoW М, 0««»,
} 0 при /<0.
Определить импульсную переходную функцию Go(/)
согласованного фильтра для сигнала s(/) = Am sin сооЛ если на
интервале * ~
Ответ:
(0, Т) укладывается нечетное число полупериодов.
12.18.
q ( ^msina)0/, 0</<оо,
° | 0 при /<0.
Найти согласованный фильтр для трапецеидального
видеоимпульса (рис. 12.8)
[('+!) M'+fH'+vW'+Tb
$09
где lo(0—единичная функция:
| 1, t >0,
lo^ = i о, /<0.
Ответ [18]:
X )+(<—г) !<,(«—т)].
\ 2 / J т —?!
к Г
^о(/“) = 77-7г[1-е JU — е 1-
(усо)2
12.19. Найти импульсную переходную функцию Go(/) для видео-
сигнала $(0, имеющего параболическую форму:
5(0 =
при ld>y-
Ответ [18]:
Со(о=-^[-4-1о(/)+тЛ1о^+4-(/-т)21«(/“т)+
т2 L 2 2 2
+ у Т(/—т) 10(/—т) .
12.20. Видеоимпульс s(/) (рис. 12.9) описывается функцией,
составленной из трех отрезков парабол таким образом, чтобы пер-
вая производная s(t) была непрерывной:
5(0 =
___£2
Т(Т—Т1)
при t <0, t >т.
$10
Определить согласованный фильтр для такого импульса.
Ответ [18]:
Go (0 =
8А
Т(Т —Tj)
12.21. На вход оптимального линейного фильтра, максимизирую-
щего отношение сигнал/шум на выходе, воздействует полезный сиг-
нал
s(/) =
t,
2а— t,
О,
о< t
а t < 2а,
/<0, О 2а,
и белый шуме энергетической спектральной плотностью (12.27).
Найти передаточную функцию /С0(/ш) и импульсную переходную
функцию G0(Z) фильтра.
Ответ:
t — (T — 2a), T—2a^.t^.T — a,
Go(0 =
Т—t,
О
Т—а
при t>T, t<zT—2a;
Ко
CD2
(1—е-Ла)2е-/шГ.
12.22. Найти сигнал s2(0 на выходе фильтра, согласованного
с входным сигналом
s, (t) =
А, 0 < / < ти,
О, /<0, />ти.
511
Ответ:
s ,n I kA*(t-T+xJ, T-xa<t<T,
2U | -kA*(t-T-%a), Т</<Т + ти.
12.23. На вход линейного фильтра воздействует аддитивная
смесь
х (/) = s (/) + «(/),
где s(/) — прямоугольный видеоимпульс длительностью ти:
S (/) = / А’
(О, /<0, />ти,
а n(t)— стационарный нормальный шум со спектральной плот-
ностью
Sn(co)= 2aa ,
Их/ О! о '
а2 + со2
Найти передаточную функцию фильтра, максимизирующего вы-
ходное отношение сигнал/шум.
Ответ [18]:
Ко (/®) = Ко (- /«>) (1 —•е~/ШТи).
\ л» J
12.24. Решить задачу 12.23 для случая приема прямоуголь-
ного видеоимпульса на фоне стационарного шума со спектральной
плотностью
S„» = - - , 0<©<оо.
Il \ / Qi 0 1
аа + со2
Ответ [18]:
Ко (М)=Ко - Г1 --^-1 (1 -е-^и).
/ш L (/®)а J
12.25. Найти передаточную функцию Ко(/®) и импульсную
характеристику Go(/) оптимального фильтра, максимизирующего
отношение сигнал/шум на выходе, если на вход фильтра поступает
сигнал
«(/) —Лехр{ —
и шум со спектральной плотностью
Sn(co) = /V0exp{ — р2(о2},
причем Р а.
Ответ:
Ko(/®) = Koe-(a,-₽,)m*-z“r,
512
r if. t7 1 ( (t — T) 1
Go (t) = Ko — exp |----------J------1.
0V ' °/a«-P2 4(a2_p«)J
12.26. Найти передаточную функцию Ко(/®) оптимального
линейного фильтра, обеспечивающего максимально возможное от-
ношение сигнал/шум на выходе, если на вход фильтра поступает
Рис. 12.10. Последовательность прямоугольных
видеоимпульсов.
полезный сигнал в виде последовательности из т прямоугольных
видеоимпульсов (рис. 12.10) и белый шум со спектральной плот-
ностью (12.27)
Ответ:
J 1 — е п
12.27. Найти передаточную функцию Ко(/О)) оптимального
фильтра, максимизирующего отношение сигнал/шум, если в качестве
полезного сигнала принять радиолокационный сигнал, представ-
ляющий собой пакет из т прямоугольных импульсов, амплитуда
которых изменяется в соответствии с формой диаграммы направлен-
ности РЛС (рис. 12.11), а в качестве шума — белый шум со спек-
тральной плотностью NOI2.
Рис. 12.11. Последовательность видеоимпульсов, мо-
дулированных по амплитуде.
513
Ответ:
= [а1 + а2е/шГп+ ... 4-аше/ш(т-1)Гп](е/шти—l)e-/u,r,
/(О
12.28. Определить максимальнее значение отношения сиг-
нал/шум на выходе устройства, изображенного на рис. 12.12, при
Рис. 12.12. Согласованный фильтр.
воздействии на него аддитивной смеси белого шума п(/) со спектраль-
ной плотностью N0/2 и сигнала s(7), имеющего вид изображенной
на рис. 12.13 последовательности элементарных фазоманипулиро-
Рис. 12.13. Последовательность би-
полярных прямоугольных видеоимпуль-
сов.
ванных прямоугольных видеоимпульсов с равными амплитудами Ат
и длительностями ти:
s(0 —^т[1о(О“~2-10(/ —Зти) + 2-10(/ —4ти)—10(/ —5ти)].
Выходной фильтр согласован с элементарным импульсом и имеет
импульсную переходную функцию
q (ty __ f (*и О’ 0 <С / С Ти,
I 0 при других t.
514
Ответ:
__[$вых (О]шах
авых
где Е = 5Л^ти — полная энергия сигнала.
12.29. На вход линейного фильтра, изображенного на
рис. 12.14, подается аддитивная смесь стационарного нормального
белого шума со спектральной плотностью (12.27) и сигнала $(/),
Рис. 12.14. Неоптимальный фильтр.
представляющего собой пять следующих друг за другом элементар-
ных прямоугольных импульсов с равными амплитудами Ат и дли-
тельностями ти (рис. 12.15). Отводы от линии задержки сделаны на
Рис. 12.15. Последовательность
примыкающих прямоугольных видео-
импульсов.
расстояниях, соответствующих временным задержкам /зад = 0;
4ти; 5ти; 9ти; 10 ти и 14 ти. Выходной фильтр согласован с элементар-
ным импульсом (см. задачу 12.28).
Определить максимальное значение отношения сигнал/шум на
выходе фильтра.
Ответ:
1$вых (Olmax 1 / 36 2ЕИ
<*вых * 28 2V0
где Еи = А2т ти — энергия элементарного импульса.
515
12.30. На вход одиночного колебательного контура с переда-
точной функцией
К (/W) = —-----—-------2“
2асо + j (со2 —cog)
воздействует аддитивная смесь
x(/)=s(0 + n(0,
где п(/) — стационарный нормальный белый шум, s(/) — прямо-
угольный радиоимпульс длительностью ти, несущая частота кото-
рого совпадает с резонансной частотой контура cd0.
Определить оптимальное значение полосы пропускания A/opt
контура, при котором выходное отношение сигнал/шум достигает
максимума.
Ответ:
Д/opt = —, Яшах = 0,9 V?,
где Д/ — полоса пропускания на уровне 0,5 по мощности; q =
= 2EIN0 — входное отношение сигнал/шум.
12.31. Решить задачу 12.30 для случая воздействия аддитив-
ной смеси прямоугольного радиоимпульса и белого шума на идеаль-
ный фильтр с прямоугольной амплитудно-частотной и нулевой фазо-
вой характеристиками:
/<(/«>) =
Ответ:
Дсо .
— ©О----~ ® — “о 4-
Дсо . Дсо
----— «О-Ь--
при других О).
Дсо
2 ’
ка,
о
Д/opt = ~
ти
12.32. Решить задачу 12.30 для случая воздействия аддитив-
ной смеси прямоугольного радиоимпульса и белого шума на гауссов
фильтр с передаточной функцией
/С(»=-^е\р [—1,4 —/Ъ'Н.
( \ Дю ; )
Ответ:
Д/ор1 = ~, flIIlilx = 0,94 Vq.
ти
12.33. Вычислить максимальное значение отношения сиг-
нал/шум на выходе фильтра с прямоугольной амплитудно-частот-
ной характеристикой
516
/ . Дсо — «о — ' ® S — «о -1- ~,
к. (/©) = /<0, Дсо . Дсо ®о 2 < 0) < <О0 + 2 ,
0 при других (0,
при воздействии на его вход аддитивной смеси белого шума и гаус-
сова радиоимпульса
/ t \2
—2,8 I ——I
$(/) = Де И/
Определить оптимальное значение полосы пропускания фильтра.
Ответ:
Afopt = —, атах = 0,94]/^.-
ти
12.34. Решить задачу 12.33 для случая воздействия аддитив-
ной смеси белого шума и гауссова радиоимпульса на гауссов фильтр.
Ответ:
opt » ^max V
Ти
12.35. На вход фильтра, согласованного с прямоугольным ра-
диоимпульсом s(f) длительностью ти:
s (/) = Ат cos соо/, 0 < t < тп
(Л/7г, соо и тп — постоянные величины), воздействует аддитивная
смесь сигнала s(/) и стационарного белого шума n(t).
Определить отношение сигнал/шум
где (/(/) — огибающая сигнала на выходе фильтра, а о(/) — средне-
квадратичное значение выходного шума, в конце импульса (/ = тп)
для следующих случаев:
а) сигнал s(t) и шум п(/) начинают воздействовать на фильтр
одновременно с момента t = 0 (случай точного временного строби-
рования импульсного сигнала, принимаемого на фоне белого шума);
б) шум n(t) начинает воздействовать на фильтр с некоторым опере-
жением А/ по отношению к сигналу s(/);
в) шум п(/) воздействует на фильтр с момента t -> — оо, а сиг-
нал s(/) — с момента I 0 (случай отсутствия временного строби-
рования).
517
Ответ:
г— 2Е
a) а(хи) = ]/q, q--=^-, Е = -^-хи-,
/Vo л
б) а(ти) = /^;
в) a(x„) = Yq.
12.36. На вход колебательного контура с передаточной функ*
цией
(А°) — 2aw + j (cd2 __
воздействует аддитивная смесь прямоугольного радиоимпульса
s(/) длительностью ти и стационарного белого шума n(t).
Рис. 12.16. Отношение сигнал/шум на выходе
колебательного контура.
Определить отношение сигнал/шум а(ти) в конце импульса для
случаев, указанных в задаче 12.35. Для случая отсутствия времен-
ного стробирования определить оптимальное значение полосы про-
пускания Д/opt, При которой а(ти) = Птах*
Ответ:
У nAfxa у 1 — ехр {— 2лД/ти}
518
6) -<TJ-1Z7]/ 2 • 1-ехр{-пД/ти) .
\f лД/ти — ехр { —2nAf (ти+А/)}
в; а (ти) = У q I/ —[ 1 — ехр { — лД/ти}], A/Opt = —.
V лД/ти Р ти
Графики функции а (ть) = /(А/ти; A/AZ) приведены на рис. 12.16.
12.37 . Решить задачу 12.36 для случая воздействия аддитив-
ной смеси сигнала $(/) и белого шума на идеальный полосовой фильтр
с передаточной функцией
/С (/О)) =
Ответ:
г, Дсо .Дсо
Ло> — с,)о--— <0)<— со0Ч—-
,, Дсо , Дсо
Ко, «о----— < (О < <00 + —,
О при других (О.
а)
aW = Vq
i
— лЬ}т:и
где Si (z)—интегральный синус:
= - y-^-Si
л / bfxa
/ лД/ти \
П Г
^fopt
1,37
ТИ
в)
Графики функции а(ти) = /(Д/ти; AfAf) представлены на
рис. 12.17.
S19
Рис. 12.17. Отношение сигнал/шум на выходе
идеального фильтра.
12.38 . Решить задачу 12.36 для случая воздействия адди-
тивной смеси сигнала s(t) и белого шума на фильтр с переда-
точной функцией
Ответ:
£
~2
б) а(тц)-/^/ВЬ[ф(-4=Гф(-
11 4 /Ь L V2/2; 2 J L \2
1
лД/Д/ \ 1 р .
/0М7 / 2 J
В)
а (ти)
лД/тц д с 0,72
/67347’ 'opt ти
Значения а(ти) приведены на рис. 12.18.
12.39 . На вход фильтра, согласованного с прямоугольным
радиоимпульсом s0(/) длительностью тп:
$0 (/) = Ат cos (о0Л 0 < t < ти
520
Рис. 12.18. Отношение сигнал/шум на выходе
гауссова фильтра.
(Лт, (о0 и ти— постоянные величины), воздействует аддитивная
смесь
x(i) = s1 (t) + n(t),
где n(t)—стационарный белый шум, a s^/) — прямоугольный
радиоимпульс длительностью ти:
(/) = Ат cos 0 < t < ти,
частота которого отлична от частоты сигнала s0 (/) ([о)х—соо| =
Асор < со0).
Определить отношение сигнал/шум a(t) на выходе фильтра
в конце импульса sr(/).
Ответ:
Si! AQP
а (U = V? —AQp = а®рти-
AQp
График функции а (ти)/]/д =/(AQp) представлен на рис. 12.19
(пунктирная линия).
521
12.40 . На вход колебательного контура С передаточной
функцией
/<(/«) = -------2“М2 2-
2асо + / (coz—
воздействует аддитивная смесь
X(/)=Si (/)+«(/),
где n(t)—стационарный белый шум, a sr(/)— прямоугольный
радиоимпульс длительностью ти:
81(0=ЛтСО5(О1^ 0</<Ти,
частота которого (ох отлична от резонансной частоты контура
(| «j—<о01 = Д(ор < <о0).
Определить отношение сигнал/шум a (t) на выходе контура
в конце импульса sx(/).
Ответ:
/ „ Л ~ —2ат„
/ \ 1/-1/ п 1—2е HcosAQn + e и
а (ти) = У q I/ 2ати-----------—---------.
' (ати)2 + ДЙр
Значения функции а (т:и)/Уq = / (AQp; ати) приведены на рис. 12.19.
Рис. 12.19. Зависимость отношения сигнал/шум
на выходе согласованного фильтра и колебатель-
ного контура от обобщенной расстройки.
522
12.41 . Решить задачу 12.40 в случае воздействия суммы
x(t) на фильтр с передаточной функцией
Асо .Дсо
— ®о---— <— ®о+ —
Дсо
Т’
при других (О.
Ответ:
— s' f АйПи
Д^р \ । г - / Дсоти AQp
"j/ Д Qp
Графики функции а q А<оти) представлены на
рис. 12.20.
Рис. 12.20. Зависимость отношения сигнал/шум на
выходе идеального фильтра от обобщенной расстройки.
12.42 . Решить задачу 12.40 для случая воздействия суммы
х(1) на фильтр с передаточной функцией
К(/ш)=/<0[е
(со—соо)2
(со4-со0)2 '
02
523
Ответ:
а (тп) =
4 fb г—'
cos (AQpX) dx.
я
Графики функции -/(AQp; ртп) приведены на рис. 12.21.
Рис. 12.21. Зависимость отношения сигнал/шум на вы-
ходе гауссова фильтра от обобщенной расстройки.
Литература
1. Д а в е н п о р т В. Б., Рут В. Л. Введение в теорию случайных
сигналов и шумов. Изд-во иностранной литературы, 1960.
2. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование ста-
ционарных случайных последовательностей. «Известия АН СССР», сер.
математическая, 1941, № 5.
3. Wiener N. Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary
Time Series. John Wiley, 1949.
4. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных си-
стем автоматического управления. Физматгиз, 1960.
5. Zadeh L., R agazzi ni J. An Extension of^Wiener’s Theory of
Prediction. Journ. Appl. Phys., 1950, v. 21, № 7.
6. В о о t о n R. C. An Optimization Theory for Time Varying Linear Sys-
tems with Nonstationary Statistical Inputs. Proc. IRE, 1952, v. 40, № 8.
7. Davis R. C. On the Theory of Predication of Nonstationary Stochastic
Processes. Journ. Appl. Phys., 1952, v. 23, № 9.
8. Л э н и н г Дж. X., Бэтти н Р. Г. Случай ные процессы в задачах
автоматического управления. Пер. с англ. Изд-во иностранной литера-
туры, 1958.
524
9. Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на
фоне случайных помех. Изд-во «Советское радио», 1960.
10. Ми дд л то п Д. Введение в статистическую теорию связи, т. 2. Пер. с
англ. Изд-во «Советское радио», 1962.
11. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к зада-
чам автоматического регулирования. Гостехиздат, 1957.
12. Б е н д а т Дж. Основы теории случайных шумов и ее применения. Пер.
с англ. Изд-во «Наука», 1965.
13. Р а р о u 1 i s A. Probability, Random Variables and Stochastic Proces-
ses. McGraw-Hill, 1965.
14. V a n Trees H. L. Detection, Estimation and Modulation Theory.
Pt. 1. John Wiley, 1968.
15. N о r t h D. O. Analysis of Factor Which Determine Signal-to-Noise
Discrimination in Pulsed Carrier Sistems. Rep. PTR-6c, RCA Princeton,
1943 (см. также «Труды института инженеров no электронике и радиотех-
нике», пер. с англ., 1963, № 7).
16. Van Vleck J. Н., Middleton D. A Theoretical Comparison of
Visial, Aural and Meter Reception of Pulsed Signals in Presense of Noise.
Journ. Appl. Phys., 1946, v. 17, № 11.
17. T u r i n G. L. An Introduction to Matched Filters. Trans. IRE on Inform.
Theory, 1960, v. IT-6, № 3.
18. Л e з и н Ю. С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных сиг-
налов. Изд-во «Советское радио», 1969.
19. Г у т к и н Л. С. Теория оптимальных методов радиоприема при флук-
туационных помехах. Госэнергоиздат, 1961.
20. Г р а д ш т е й п И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. Физматгиз, 1962.
21. В о л о д и н В. Г., Ганин М. П. и др. Сборник задач по теории
вероятностей, математической статистике и теории случайных функций.
Изд-во «Наука», 1965.
22 V i t е г b i A. J. Optimum Coherent Demodulation for Continuous Modu-
lation Systems. Proc, of the Nat. Electronics Conference, 1962, v. XVIII.
23. Г о p я и н о в В. Т. Отношение сигнал/шум на выходе линейной си-
стемы при расстроенном входном сигнале. «Радиотехника», 1966, т. 21,
№ 6.
13. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА
§ 1. Теоретические сведения
Пусть в нашем распоряжении на некотором вре-
менном интервале (О, Т) имеется реализация т](/) суммы полезного
сигнала s(t, An А2, •••>)> зависящего от нескольких параметров Ах,
А2, и нормального стационарного шума £(/):
п(0=«(Л- *1. Ч-) + Ж (13.1)
Предполагается, что нормальный стационарный шум имеет
нулевое среднее значение и известную функцию корреляции
<|(0> = 0, (ШШ) = ^2-^)- (13.2)
Кроме этого, вид сигнала s(t, Aj, А2, ...) считается заданным и сигнал
полностью расположен на интервале наблюдения (0, 7). Поэтому
значения сигнала и его производных на концах интервала (О, Т)
равны нулю.
Нужно путем обработки принятого колебания т](/) найти пре-
дельную точность оценки одного или нескольких параметров Аг.
Пусть истинное значение параметра Аг постоянно и равно Аго,
а его оценка по принятой реализации есть А!. Оценка А* из-за
наличия шума будет случайной величиной, изменяющейся от одной
реализации к другой. Оценка X* называется несмещенной, если
<А* > — А/о в противном случае « А* >=/= Аго) оценка называется
смещенной. Оценка, имеющая наименьшую дисперсию а2 =
= ( (к* — Xf0)2 > = min, называется эффективной. Конечно,
всегда желательно получить несмещенную и эффективную оценку.
Имеется несколько методов получения оценок [1, 2]. В настоя-
щее время для нахождения оценок широко применяется метод мак-
симума апостериорного распределения или функции правдоподо-
бия.
Пусть случайные величины |2, •••» %п имеют совместную плот-
ность вероятности £2, ..., £п; Х2, ...), где %1Д2, оце-
ниваемые параметры, априорно равномерно распределенные в задан-
ных интервалах значений. Если xlf х2, ..., хп— результаты наблю-
526
дений случайных величин К, g2, • ••, соответственно, то функция
правдоподобия определяется равенством
Lл2,«. J = VZn (хх, х2,..., хп\ Хр Х2,...). (13.3)
Те значения параметров %*, для которых функция правдоподобия
достигает максимума, называются правдоподобными значениями
параметров. Согласно методу наибольшего правдоподобия в каче-
стве оценок для истинных значений параметров Х/о выбирают правдо-
подобные значения X*; они определяются из условия получения
максимума функции £(Хх, Х2, ...).
Оценка по методу максимума функции правдоподобия совпадает
с оценкой по минимуму среднеквадратичной погрешности, если функ-
ция правдоподобия обладает свойствами симметрии. Кроме этого,
если эффективная оценка существует, то она может быть найдена
методом максимума функции правдоподобия.
Поскольку точка максимума функции правдоподобия инвари-
антна к произвольному взаимно однозначному преобразованию, то
обычно вместо самой функции правдоподобия оперируют с логариф-
мом от нее, т. е. вместо L(Xi, Хо, •••) оперируют с In Х2, ...) =
= In Wn (К, ...ЛЛ; Хп Х2,...).
Не приводя здесь обоснование метода максимума функции правдо-
подобия (логарифма функции правдоподобия) [1, 2], перечислим
исходные условия, выполнение которых предполагается в дальней-
шем, и в справочном виде укажем основные конечные результаты
[3, 4], относящиеся к случаю обработки непрерывной реализа-
ции т](7).
1. В реализациях т](/), подлежащих обработке, отношение сиг-
нал/шум настолько велико, что неоднозначность оценки практи-
чески исключена.
2. Рассматривается оценка лишь одного какого-либо неизвест-
ного параметра X. сигнала s(t, Хь Х2, •••)• Априорная плотность ве-
роятности этого параметра Xf принимается равномерной в некото-
ром интервале значений. Остальные параметры сигнала считаются
или все известными (так называемый полностью известный сигнал)
или же радиосигнал s(0 Хь Х2, ...) имеет случайную начальную фазу,
равномерно распределенную в интервале ( — л, л) (сигнал со слу-
чайной начальной фазой). В дальнейшем рассматривается в основ-
ном случай полностью известного сигнала. Однако ряд полученных
результатов остается справедливым и для радиосигналов со случай-
ной начальной фазой.
Параметры Xf (амплитуда, длительность импульса), от которых
зависит энергия сигнала, называются энергетическими; остальные
параметры (частота, фаза и др.) — неэнергетическими. $
3. Исходя из математической простоты решения, в дальнейшем
рассматриваются три частных вида нормального стационарного
шума |(0:
527
— белый шум с функцией корреляции
k?i (^2 ^1) = (^2 ^1)>
— экспоненциально коррелированный шум
~ Q = о2 ехр (—а | /2—tr |),
— узкополосный шум с функцией корреляции
&2 — ^i) = а2ехр (—а | t2 — tr |) [coscdi (t2 — tr) -f- —sin 112
(13.6)
При оговоренных выше условиях оценки неэнергетических пара-
метров сигнала, а также амплитуды оказываются несмещенными.
Дисперсия оценки неэнергетического параметра X полностью
известного сигнала s(t, X) определяется формулой [4]
а2= —
(13.4)
(13.5)
~d2S(X)
(13.7)
d№
(13.8)
где Хо — истинное значение оцениваемого параметра;
т
S(X) '= fs(t, X0)v(t, K)dt.
о
Для нормальных стационарных шумов с корреляционными функ- .
циями (13.4) — (13.6) функция v(t, X) соответственно равна
vn(tA)=£s(t,K), (13.9)
No
1 rf2s (t, Ky
v^tA) = -^—
4a©QG
* 2 Я/2
а2 dt2
cols (I, X) + 2 (со?—2а2) 4-
° V ’ / ' V ° 7 dt2 1 dtl
(13.10)
G)2=G)2 + a2. (13.11)
Дисперсия оценки «амплитуды» а полностью известного сигнала вида
s(/,a) = asQ(t)f где so(O — нормализованный сигнал, равна
т
[ 80 (/) v0 (0 dt
_b
(13.12)
Здесь функция t>0(0 определяется прежними формулами (13.9) —
(13.11) с заменой в правых частях s(t, X) на s0(/, X).
528
§ 2. Примеры
Пример 13.1. Случайная величина £ имеет нормальную плот-
ность вероятности
/t\ 1 Г 1 /IS—т VI
w (S) = —?= ехр-------------
а]/2л |_ 2 \ a J J
с неизвестным средним значением т и неизвестной дисперсией о2.
В результате наблюдений получены п независимых значений
g2, •••, случайной величины
Каковы правдоподобные значения т и о2?
Решение [2]. Совместная плотность вероятности п независи-
мых результатов наблюдений равна
1 Г 1 п
ъ....ехр [-2<5~т)>
Согласно (13.3) записываем функцию правдоподобия
L (т, о2) =-----ехр
V 7 оп(2л)п/2 н
1
2а2
и логарифм функции правдоподобия
11 п
\nL(m, <т2) = — у 1п(2л) —nlno— (13.13)
i = 1
Отсюда дифференцированием по т находим точку т* максимума
правой части
п п
= = (13Л4)
/=1 Z=1
Следовательно, оценкой значения т является среднее арифме-
тическое результатов наблюдений.
Если т* подставить в (13.13) и затем продифференцировать
(13.13) по о, то получим
я 1 п
/ lnL(/n*, <т2)= —— +± у (g._/n*)2.
аа а а3
Эта производная обращается в нуль при
п(о2)* = ]?(£; —т*)2, (о2)*== — /п*)2- (13.15)
м п м
18 Зак. 728
529
Пример 13.2. Вычислить дисперсию оценки амплитуды а пря-
моугольного радиоимпульса
s(/, a) = acos(co/-j-<р0), 0 < /0 <; t < t0 + тп < Т, соТ 1, (13.16)
принимаемого на фоне нормального стационарного шума с функцией
корреляции (13.5).
Решение. Рассматриваемый радиоимпульс равен нулю на
концах интервала наблюдения (О, Т). Для пего функция вхо-
дящая в формулу (13.12), определяется выражением (13.10) и равна
а Г 1 d2s0(/, а /« । со3 \ / * \ \
V. (/) =--- sn (Л X)--------——' == — 1 Н---------cos (со/ 4- ф0).
° V / 2о2 0 V 7 а8 dt* J 262 \ а2 / V °'
Подставив эту функцию v0(t) в формулу (13.12) и выполнив интег-
рирование, при условии соТ^>1 получим
‘'И А । о
\ a3 J
где А/э = а/4 — энергетическая ширина спектра шума; А/ —
ширина основного лепестка спектра радиоимпульса.
Пример 13.3. Определить дисперсию оценки разности т —
= Xi — т2 временных положений двух неперекрывающихся радио-
импульсов
si —Ti) — А/ —Ti)cos (®^ + *Pi)>
s2 (t—т2) = A,f (/—т2) cos (ю/ + ф2),
принятых на фоне белого шума п(/) в интервале времени (0, Т), при-
чем ®Т^>1. Функция f(t — г,) описывает огибающие радиоимпуль-
сов.
Решение. Если обозначить через 61 и 62 соответственно случай-
ные ошибки определения Tj и т2, то дисперсия оценки разности
6 = — б2 определяется соотношением
а? •= <б2> = (6?) + <б2> -2 <дД> = о?, + <-2<гч<г2/?12,
где о2 ио2 — дисперсии раздельных оценок Tj и т2; /?12 — коэф-
фициент корреляции совместной оценки Ti и т2.
Так как импульсы не перекрываются, то T?i2 = 0 и
(13.17)
Слагаемые в правой части (13.17) находим по основной формуле
(13.7), причем для белого шума в (13.8) нужно подставлять функцию
и(Стг), определенную соотношением (13.9).
J30
Следовательно, можем написать
Можно показать [3], что этот результат приводится к следую-
щему виду:
о2 =--------!-----,
(2Ei/N0)f>3
где энергия радиоимпульса s^t—т4):
|Т
Е, = Js2 (t-xt) dt-,
о
со21F (jut) |а dio;
(13.19)
(13.20)
(13.21)
F(/со) — комплексный спектр огибающей f (f):
со
Е(/©) = $f(t)elw‘dt.
—оо
(13.22)
Вычисления по формуле (13.21) для огибающей гауссовой формы
/(/) = ехр ( — 2,8 /2/т2), где ти — длительность импульса на уровне
0,5 от максимального значения, приводят к следующему результату:
Р2 = 2,8/т2.
Применительно к гауссовым радиоимпульсам формула (13.17) при
Ai = Л2 — А принимает вид
о2 =-----------, Е -1/ — ^- = 0,37Л2ти. (13.23)
* 1,4(2£/М) Г 5,6 2 и \
§ 3. Задачи и ответы
13.1. Имеется последовательность N независимых испытаний,
в каждом из которых интересующий нас исход наступает с постоян-
ной, но неизвестной вероятностью р. Пусть п — наблюдаемое число
положительных исходов.
Каково наиболее правдоподобное значение р?
Ответ:
in
13.2. Показания и2, ...» nN каждого из N счетчиков распре-
делены по закону Пуассона. Известно, что средние значения равны
<nz.> = Wz, 2,..., N,
где X — неизвестная интенсивность; / — отдельные временные
интервалы счета.
Найти оценку интенсивности X.
Ответ [5]:
13.3.
Найти дисперсию оценки амплитуды а гауссова импульса
s(t а) = а ехр
Го)2
Ти
О < т0 < Т,
принимаемого на фоне нормального стационарного шума с экспонен-
циальной функцией корреляции (13.5).
Ответ:
ог = _ 4°2__________= 2 67 аТи<т2 .
а / 2я / 2,8 X . ’ 2,8 + (ати)2'
I/ 7Т ати+--------
у 2,8 \ ати /
13.4. На фоне одного и того же белого шума n(t) раздельно
принимаются прямоугольный и гауссов радиоимпульсы
(/, а) = a cos (со/ + ср0), 0 < t <С/ + ти < Т,
$2 (/, а) — cos [со (t — т0) + Фо]» 0 < т0 < 7\
Найти предельную точность измерения амплитуды а таких радио-
импульсов, считая, что они практически полностью расположены
внутри интервала (О, Т). Сравнить результаты при равенстве энер-
гий радиоимпульсов, т. е. при условии
Т оо
j* $2 (/, d)dt= J s% (/, d) dt.
0 —oo
Ответ:
а2а=М)|/ = при
13.5. Вычислить дисперсию оценки параметра tn радиосигнала
s(t, m) = Ао(1 + m cos й/) cos + ф0), 0<7<Т,
*32
принимаемого на фоне белого шума и(/).
Ответ:
9 2N0 Г1 sin2Q7’l—1
€TZ =------ 1 ч-------
т AqT L 2QT Г
13.6. Прямоугольный радиоимпульс (13.16) принимается на
фоне узкополосного шума (13.6).
Найти дисперсию оценки амплитуды а. Рассмотреть частный слу-
чай, когда со = (о0 = l/co^ + а2.
Ответ:
g9 _ 8a(oga2
а (<B2-(O2)2 + 4a2<o2’
<y2 = 2a2/a при со —(оо.
13.7. На фоне белого шума n(t) принимается радиосигнал
s(t, ф) = t/(/)cos [со/ + ф(0 + ф],
где U(t) и ф(/) — законы амплитудной и фазовой модуляции.
Определить дисперсию оценки неизвестной начальной фазы ф.
Ответ:
<т2 =---?-, E^-{U^(t)dt (coT^l).
? (2E/N0) 2 J v" 1
13.8. Вычислить дисперсию оценки временного положения т0
гауссова импульса
s (/, т0) = а ехр
to)2
ТИ
при оптимальном приеме на фоне белого шума. Предполагается, что
весь импульс практически находится внутри интервала наблюде-
ния (О, Т).
Ответ:
т2 р /-----
О-2л =------2, Е = s2(/, т:0) dt =1/ а2ти = 0,75а2т]
х0 2,8(2E/N0) J V 5,6 и '
— оо
13.9. Решить задачу 13.8 для случая, когда прием гауссова
импульса производится на фоне экспоненциально коррелирован-
ного шума (13.5). При каком условии ответы к задачам 13.8 и 13.9
совпадают?
Ответ:
533
13.10. На фоне белого шума и(/) принимается прямоугольный
радиоимпульс
s (/, Q) = acos [(<о + Q) t + <р0], 0 < t < ти.
Найти предельную точность измерения смещения частоты Q.
Ответ:
т
о* = , Е = f s2 (t, Q)di=— а2т„ (со7> 1).
2 т2 (2Е/Н0) J 2 11 v ’
13.11. Решить задачу 13.10 для гауссова радиоимпульса
s(Z, Q) = aexp
[9 о
--р(^—Vs cos [(со + Q) (Z — т0) + ф0], 0<т0<7\
Т2
Сравнить результаты для прямоугольного и гауссова радиоим-
пульсов при равенстве их энергий.
Ответ:
су ft __ П >2 , = 3 7 [ Ти 2
2 “ t?(2E/N0) ’ а2 ~ \ т J ’
13.12. Решить задачу 13.10 для случая, когда прямоугольный
радиоимпульс принимается на фоне экспоненциально коррелирован-
ного шума (13.5), считая возможные значения Q много меньше со.
Ответ:
02 ~_______________
2 2ат2£ [1+ (<о/а)2] ’
13.13. Вычислить дисперсию оценки параметра р радиосиг-
нала
s (t, Р) = a cos (ast + р cos QZ + <р0), 0 < t < Т,
принимаемого на фоне белого шума. Предполагается, что возмож-
ные значения р много меньше со и соТ;>>1.
Ответ:
= f1 +-Sin2?rr'^——Е= С s*(t, ^dt^ — a^T.
3 2E/Na L 2QT J 2£/.V0 5 2
13.14. Определить дисперсию оценки небольшого смещения
частоты Q прямоугольного радиоимпульса
s (/, Q) = a cos [(со Q) t + ср0], 0 < t < тп,
534
принимаемого на фоне флуктуационного шума с корреляционной
функцией (13.6), в которой со± = со(<>>«• Предполагается, что допу-
стимые значения Q значительно меньше со.
Ответ:
ти
о2 = 1^. (—£ — f s2 (t, Q)dt - - а2тп , ®ти» 1.
~ xlE I ш2-^ / J 2
11 \ ° / о
Литература
1. Крамер Г. Математические методы статистики. Изд-во иностранной
литературы, 1948.
2. В а н дер Варден Б. Л. Математическая статистика. Изд-во ино-
странной литературы, 1960.
3 Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советское
радио», 1966.
4. К у л и к о в Е. И. Вопросы оценок параметров сигналов при наличии
помех. Изд-во «Советское радио», 1969.
5. Я н о ш и Л. Теория и практика обработки результатов измерений.
Изд-во «Мир», 1968.
РАЗДЕЛ V
ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ
14. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ СВЯЗИ
§ 1. Теоретические сведения
Дискретные (цифровые) системы связи — сис-
темы, в которых как реализации сообщения, так и реализации сиг-
нала представляют собой последовательности символов алфавита,
содержащего конечное число элементарных символов [1].
Пусть xif i = 1, 2, и, —совокупность возможных различ-
ных независимых элементарных символов алфавита на входе систе-
мы, а уj, j = 1, 2, ..., т — совокупность символов на ее выходе;
р(хг) — априорная вероятность символа х-; р(у7) — вероятность
появления символа у у на выходе системы; p(xf, у у) — совместная
вероятность появления на выходе системы символа уу, если на входе
был символ х{.; p(xj уу) — апостериорная вероятность символа
xf; p(yj\xt ) — условная вероятность появления на выходе системы
у У при условии, что на входе был символ xt. Для этих вероятностей
выполняются соотношения
P(xi)^flp(xi,yj); р^-^р^у^р^^ p(yj)=A.
f=l i=l i=l /=1 (14.1)
Тогда собственная информация символа xt (количество информации,
доставляемое самим символом хг или любым другим однозначно с ним
связанным) определяется формулой
/(хг) = —logp(x;.). (14.2)
Другие понятия информации определяются следующими соотно-
шениями:
— условная собственная информация 7(хг|уу) символа xt при
известном у у
1 (Xi | У,) = — log р (х> I yj); (14.3)
— взаимная информация /(хг; у,) двух случайных символов от-
носительно друг друга (количество информации относительно сим-
вола xit доставляемое yj)
Г , . , P(*i\yj) P(xit у}) .
I (хг; у.) = log —у—— — log —т—;—> (14.4)
' ” 6 p(Xi) 6 P(Xi)p(yj)
536
— собственная информация I(xt у/) совместного события xL уj
I (xt yj) = — log р (Xi yj); (14.5)
— среднее количество информации /(X; у,), доставляемое при-
нятым символом yj относительно множества всех передаваемых
символов X = {xj, i = 1, 2, и,
п п 'Р (Xi I Vi)
ЦХ; yj)= 2 У/)Р(^1Ъ)= 2 P(xt |y7-)log^-^- ; (14.6)
— среднее количество взаимной информации /(хг; Y) по мно-
жеству символов Y = {yj}, /= 1, 2, ..., т, при фиксированном хг
7(хг; У)= 2 z(^; = 2 PtoW log-^TV^; (14-6а)
/=1 /=1 P(yj)
— полное среднее количество взаимной информации /(X; Y)
в множестве символов Y относительно множества символов X
пт 'р (х; I Vi) т
I (X; У) = 2 2 Р (xi’ Уд °® = 2 Р (Ь-)1 (X; у}). (14.7)
z=l/=l Р \xi) /=1
При решении большинства задач, связанных с построением сис-
тем передачи и преобразования информации, наибольший интерес
представляет величина /(X; У).
Если символ xt статистически связан не только с символом у7-,
но и с третьим символом k = 1, 2, ..., /, то при известных вероят-
ностях р(хь yj, zk) условная взаимная информация равна
7/ 1X1 P(xi\yjzh) . P(Xi‘,yj\zk)
(хь yj\zk)— °S p(Xi\zk) ~ og p(Xi\zk)p (yj\zk) ’ ( • )
где 7(xf; y7-| zk)— количество информации, доставляемое yj отно-
сительно xi9 когда предварительно известен символ zk.
Единица количества информации определяется выбором основа-
ния логарифмов. Когда используются логарифмы при основании
два, то количество информации I измеряется в двоичных единицах
(дв. ед., бит). Переход от одной системы логарифмов к другой рав-
носилен простому изменению единицы измерения информации. Этот
переход осуществляется по формуле \ogbk = logba-\ogak.
Для количества информации справедливы соотношения:
Уд = Ну у, XiY, I(Xi, yjXI(Xi)-, I(Xi, yj)</(b); (14.9)
I(Xi, yjzk) = I(xl- yj) + I(xi-, zk\yj) = /(xt-, гк) +
+ /(хг; yj}zk), (14.10)
(Xi, yj) = I (xt) — I(xt\ yj) = I (y>.) — I(yj \xt) = I (xt) +
+ ЦУ]) — I(xtyj), (14.11)
18В Зак. 728
537
t (xt yj) = / (xt) + I (yj) — l (xy, yj),
ЦХ-, y,)>0, I(xt-, У)>0,
/(X; У) = /(У; X)>0,
7(X; YZ) = I(X; Y) + I(X; Z\Y),
I(YZ; X) = I(Y; X) + I(Z-, X\Y).
(14.12)
(14.13)
(14.14)
(14.15)
(14.16)
По аналогии co средней взаимной информацией, средняя собст-
венная информация определяется формулой
7 (X) = £ р (хг) I (хг) = - 2 Р (*i) log Р (х>) = Н W- (14.17)
i=i i=i
где 77(Х) — энтропия дискретной случайной величины X, опреде-
ляющая количественную меру неопределенности о сообщении до
его приема.
Для энтропии справедливы следующие выражения:
н (YIX) = - 2 s Р (х«’ b-)>g Р IХР =
7=1 /=1
= 1 p(y7|x/)logp(yJ.|xJ=/(y|X)> (14.18)
Z=1 /=1
/7(Х IY) = — '2 2 Р (xt> yj) log Р (Xi I yj) =
i=i/=i
= - 2 PW 2 p(xi\yj)\ogp(xi\yj) = I(X\Y)! (14.19)
/=1 Z=1
H(XY) — —2 S P(xi,yj)\Qgp(xl,yJ}, (14.20)
i=ij=i
H(XY) = H(X) + H(Y\X) = H(Y)+H(X\Y), (14.21)
где 77(У|Х) — условная энтропия множества событий Y при данном
множестве событий X; H(X\Y) — условная энтропия множества
событий X при данном множестве У; H(XY) — энтропия множества
совместных событий ХУ.
Когда множества X и У независимы, то H(Y\X) = H(Y),
H(X\Y) = ЩХ). При этом
Н (ХУ) = И (X) +Н (У). (14.21а)
Средняя взаимная информация 7(Х; У) связана с энтропией со-
отношениями
‘ 7(Х; Y)=H(X)-H(X\Y)=H(Y) — H(Y\X)=H(X) + H(Y)—H(XY),
(14.22)
538
ЦХ; Y)^H(X), I(X-f Y)^H(Y). (14.32)
Энтропия H — удобная мера неопределенности законов распреде-
ления вероятностей, особенно в тех случаях, когда распределения
являются асимметричными,, многовершинными и когда использо-
вание таких числовых характеристик, как среднее значение, дис-
персия и моменты высших порядков, теряет всякую наглядность и
удобство.
Значения энтропии некоторых дискретных законов распределе-
ния вероятностей приведены в табл. 14.1.
Таблица 14.1
Энтропия Н (X) некоторых дискретных законов распределения
Н аименование закона рас- пределения Аналитическое выражение закона распределения Энтропия Н (X) закона распределения
1. Бино- миальный Рп (k) = Pn(X = k) = [0, Х<0, = Cknpkqn~k, 0<Х<п, (О, Х>п Н (X)=—n[p\ogp+q log?]— -"% Cknpkqn~k\OgCkn, k= 1 ?=1 —р
2. Пуас- сона Рт <! р и > ? . >< и * л II V о S о - || tf(X)=Mog-^ + + У -^7 е-х log (fc!) & kl
3. Равно- мерный р (Л) = Р(Х = Й) = 0, X < 1, —, 1 < X < п п H(X) = \ogn
4. Полна 8 II 1 S' х S J « + - о 7 - Л а. <=> 8 X II V + 8 оГ £ - о х II H (X) = — A. log Л, ф 1+aX + log (1+aA) — a 00 / a \ k -2,4+J x l(l+a)...[l+(fe-l)a] y X kl X , l(l+a)...[l + (fe~l)«] X log #|
18В*
539
Таблица 14.2
Относительные частоты появления букв в русском алфавите
Буква * о е, ё а и т н с р в л
Частота 0,175 0,090 0,072 0,062 0,062 0,053 0,053 0,045 0,040 0,038 0,035
Буква к м Д п У я ы 3 ь, ъ б г
Частота 0,028 0,026 0,025 0,023 0,021 0,018 0,016 0,016 0,014 0,014 0,013
Буква ч й 1 х 1 1 ж ю ш Ц щ э Ф
Частота 0,012 0,010 0 , ооэ|о , 007 0,006 0,006 0,004 0,003 0,003 0,002
♦ Промежуток между словами.
Таблица 14.3
Относительные частоты появления букв в английском тексте
Буква — Е Т О А N I R S Н
Частота 0,2 1 0,105 0,072 0,0654 0,063 0,059 0,055 0,054 0,052 0,047
Буква D L С F и М Р Y W G
Частота 0,035 0,029 0,023 0,0225 0,0225 0,021 0,0175 0,012 0,012 0,01 1
Буква В V К X J Q Z
Частота 0,0105 0,008 0,003 0,002 0,001 0,001 0,001
Т а б л и ц а 14.4
Значения энтропий Нг
Энтропия £ дв. ед.1 буква J н0 Я2* Я8 Н6
Русский текст 5,00 4,35 3,52 3,00 — —
Английский текст 4,75 4,03 3,32 3, 10 2,16 1 ,86
* Н2— энтропия на букву текста при учете вероятности появления двухбуквепных
сочетаний.
540
Для характеристики величины, на которую удлиняются сооб-
щения на данном языке по сравнению с минимальной длиной, по-
требной для передачи той же информации, вводят специальный па-
раметр — избыточность
А'-- ' 'к
где W — число различных букв используемого алфавита; —
энтропия, приходящаяся на одну букву смыслового текста при
учете всех многобуквенных сочетаний; Но = log N — максимальная
энтропия, приходящаяся на букву, когда буквы независимы и рав-
новероятны; р — коэффициент сжатия текста.
Избыточность наиболее распространенных европейских языков
превышает 50%.
Некоторые данные о статистической структуре различных язы-
ков приведены в табл. 14.2, 14.3 и 14.4 [1—31. Так, в табл. 14.2
приведены относительные частоты появления отдельных букв в рус-
ском тексте, в табл. 14.3 — в английском тексте, а в табл. 14.4 —
значения энтропий, приходящихся на одну букву с учетом различ-
ных буквенных сочетаний.
Во многих случаях выгодно первоначальное сообщение источ-
ника представить при помощи другого алфавита, что осуществляется
с помощью кодирования.
Характеристиками кода являются значность кода и его основа-
ние. Значность кода п — число символов в кодовом слове (кодовой
комбинации), а основание L — число различных символов кода.
Наиболее распространены двоичные (бинарные) коды с основанием
L = 2. Равномерным является такой код, у которого значность кода
для всех кодовых слов одинакова (например, код Бодо).
При кодировании сообщений, передаваемых по каналам связи
без помех, необходимо выполнить следующие два условия.
1. Кодовые слова должны быть различимы и однозначно связа-
ны с соответствующими сообщениями.
2. Применяемый способ кодирования должен обеспечить макси-
мальную экономичность (краткость) кода, при которой на передачу
данного сообщения затрачивается минимальное время.
Код, удовлетворяющий второму из этих условий, называют оп-
тимальным.
Если {^}, i = 1, 2, ..., N, — ансамбль взаимно независимых
сообщений с априорными вероятностями р^), а {у;}, / = 1, 2, ...,
...,L, — ансамбль символов кода и L<Z.N, то число кодовых слов по п
символов в каждом слове равно
M = Ln.
При N, где п — наименьшее целое число, для которого выпол-
541
няется это неравенство, ансамбль сообщений {щ} можно однознач-
ным образом закодировать при помощи N различных кодовых слов
по п символов в слове.
Среднее число <п> символов кода, приходящихся на одно со-
общение, равно
(«)= 2 ntP(ui)>
:_______ t
(14.25)
причем
H(U)
log L
log L
(14.26)
где
ЛГ
H(U) = — 2 p(ut)logp(ut)
— энтропия ансамбля сообщений.
При кодировании целых «блоков», а не отдельных сообщений
(14.27)
log L 4 7 log L V
где v — число статистически независимых символов в блоке.
Для двоичного кода (L = 2)
Я(0 + —.
V
(14.28)
Примерами двоичных кодов, близких к оптимальным, являются код
Шеннона — Фано и код Хаффмена [1—5].
Наиболее экономное кодирование сообщений — одна из сторон
работы системы связи. Другими ее характеристиками являются
скорость передачи, пропускная способность и т. д.
Пусть имеется дискретный, стационарный канал связи без па-
мяти с заданными характеристиками (рис. 14.1), причем все
символы xt закодированного сообщения и соответствующие им
Рис. 14.1. Канал связи с помехами.
542
элементарные сигналы у,- имеют одинаковую длительность т, где
F = 1/т — частота посылки символов.
Канал без памяти (без последействия) полностью описывается
априорными вероятностями р(хг) и условными вероятностями
P(yj\xi)- Вероятности p(xf) характеризуют структуру закодирован-
ных сообщений, a pty^x^ определяются характеристиками канала.
Скорость передачи Vh — среднее количество информации, полу-
чаемое за единицу времени:
Vk = FI(X; Y) = F[H (Х) — Н (X\Y)] = F[H[(Y) — H (Y\X)]. (14.29)
При отсутствии помех X и Y статистически полностью взаимо-
зависимы, т. е. H(X\Y) = H(Y\X) = 0. Следовательно,
Vkmax = F Н (X) = FH (Y). (14.29а)
Пропускная способность канала связи С — максимальная ско-
рость передачи информации, которая может быть достигнута вы-
бором оптимального распределения вероятностей передачи p(xt)
символов сообщения:
С = Max FI (X; У) = Max F [Н (Х)—Н(Х | У)] =
₽(*,) p(xi)
' " 1 1> (14.30)
= МахГ[Я(У)—Я(У|Х)).
p(xi)
При отсутствии помех [Н (X | У) = H(Y | X) = 0]:
С = Ст= Max FI (X; У) = Max FH (Х) = Max FH(Y). (14.30а)
P(xi) p(xi) p(xi)
Для двоичного симметричного канала связи
C = F[l+(l-Pe)log(l-Pe)4-PJogPj, (14.31)
где Ре — вероятность ошибочного приема,
logPe = log2 Ре.
При отсутствии помех (Ре = 0)
C = Cm = F. (14.31а)
На рис. 14.2 приведены зависимости относительной пропускной
способности от отношения сигнал/шум при оптимальных методах
приема радиотелеграфных сигналов [1], причем сплошные кривые
относятся к детерминированным сигналам, а пунктирные — к сиг-
налам со случайной начальной фазой;
Е — энергия сигнала, NQ — спектральная плотность белого
шума.
Чтобы повысить достоверность приема дискретной информации,
используют корректирующие коды (коды с обнаружением ошибок и
коды с обнаружением и исправлением ошибок). Методы помехо-
543
устойчивого кодирования основаны на введении в код некоторой
избыточности, достаточной для компенсации помех 16—12].
Рис. 14.2. Пропускная способность различных
систем радиотелеграфии при приеме детерминиро-
ванных сигналов (сплошные кривые) и сигналов со
случайной начальной фазой (пунктирные кривые)
на фоне белого шума.
Оценками экономичности и эффективности кодов с обнаружением
ошибок служат коэффициент избыточности 7?изб и коэффициент
обнаружения Кобн [6]:
^ИЗб = 1
log
log М
(14.32)
/<обн
Q
Q+Qi ’
(14.33)
где М = 2п — общее число кодовых слов, которое можно получить
в я-элементном коде; /И1 — количество используемых комбинаций;
Q — общее количество искаженных комбинаций, ошибка в которых
может быть обнаружена; общее число искаженных комбинаций,
ошибка в которых не поддается обнаружению.
544
§ 2. Примеры
Пример 14*1* В партии 100 радиоламп, из которых 5% брако-
ванных. Из партии выбираются наудачу 5 радиоламп для контроля.
Какое количество информации содержится в сообщении о том, что
в случайной выборке оказалось ровно 3 бракованных радиолампы?
Решение* Случайная величина X — число бракованных радио-
ламп в выборке из пяти радиоламп — может принять значения
Xi = 0, х2 — 1, *з == 2, х^ = 3, х5 =4, х6 = 5. Распределение
вероятностей величины X подчинено гипергеометрическому закону
(см. табл. 2.1):
В нашем случае N = 100, п = 5, М = 100-0,05 = 5, k — 3.
Следовательно, вероятность Р5 (3) того, что в случайной выборке
будет ровно три бракованные радиолампы, равна
рЗ с5-з 5! 95•
г> __ 5 100-5 _ 3!2! 2! 93! __ 95-47 п nnnor-Q
Р5(3)— & — 100! 99-98-97-8 ~°’°00953.
С10° 5!95?
Используя формулу (14.2) и приложение VI, получим
/ (х4) = — log р (х4) = — log Р5 (3) 10,7 дв. ед.
Пример 14*2* По двоичному симметричному каналу связи
с помехами (рис. 14.3) передаются сигналы х{ и х2 с априорными ве-
Рис. 14.3. Двоичный симметричный
канал связи с помехами.
3 1
роятностями p(Xi) = -4 и р(х2) = -4-. Из-за наличия помех вероят-
ность правильного приема каждого из сигналов (Х{ и х2) уменьшается
7
до у.
545
Найти: а) условную собственную информацию 1(х2\у^\ б) взаим-
ную информацию 1(х2\ уг); в) средние количества информации
/(X; у2), I(X), I(X\Y), I(X-, Y).
Решение. По условию
p(^i)=4-. р(^2)=^-. р(У11*1)=р(У2|-*2) =4~>
4 4 8
Р(У11*2) = Р(У2|*1)=4--
о
Вычислим вероятности p(yj), p(xlt у7) и р(хг|у;):
Р (У1) =Р (Х^р (У11 Xi) + р (х2) Р (У11 х2) = -i-._L_|_2_._L = _|1 ;
4 о 4 о oZ
Р (у2) = Р (Хг) Р (Уг | х2) + р (Х1) р (у2 | xj = -J- ’ V + "Г V = ’
4 о 4 о oZ
p(xv У1) = р(х1)р(У1|х1)=р(У1)р(х1|У1) = -^--4-==-^-;
4 о oZ
Р(Х1- Уг) = Р (Xi) р (у2| Xi) = .-Т = JL ;
4 О (5Zf
р(х2, У1) = р(х2)р(У1|х2) = -|-.-|- = ^-;
4 о oZ
p(x2. У2) = Р(х2)р(у2|х2) = ^-.4- = -^-.
Так как
' . . P(Xi)P(yj\Xt)
—•
то
3 7
Р (Xi) Р (У1 | ХХ) Y’Y 21
~ 22 “ ~22 ’
32
J____1_
Р (x2 I У1) = 22 = 22 ’
32 ~32
J____7_
/IX 4 ’ 8 7
Р(х2|у2) =—-JQ—- =
32
а) На основании (14.3) имеем
I (х21 у2) = — log р (х21 у2) — log % 0,515 дв. ед.
Р(уд
J____1_
/ I . 4*8 3
Р(Х!|У2) = —10—= -,
546
б) Используя формулу (14.4), получим
7
Р (М IУ2) 77
/ (х2; у2) = log-----= log —j— sss 1,485 дв. ед.
Р М —
4
в) Согласно (14.6) находим
I (X; У2) = 2 Р (xi I log р(х‘]У2) = р (хх | Уг) log р 1У +
,•=1 р№) рМ
. , . 3 7
Р(^1у2) з — 7 -77-
+ Р (х21 у2) log------= log -1—h 4 log Ц— » 0,644 дв. ед.
рм 4 10 4-
4 4
Применив формулу (14.17), получим
/ (X) = — 2 р (Xi) log р (xt) = — [р (хх) log р (Xj) +
i = 1
+p (x2) log p (x2)j=—(4- i°g 4+4log 4) ~0>811 de-ed-
\ 4 4-4 4 /
Для вычисления информации /(Х|У) воспользуемся форму-
юй (14.19):
I (X । У) = — 2 2 р (xi< [osp(xt I у? =
»=11=1
= — [р (*х, У1) log р (Хх | ух) 4~ Р (х2, ух) log р (х21У1) 4-
+ Р (-4. У2) log Р (Хх | у2) 4- Р (х2, у2) log р (х21 у2)] =
/21. 21 . 1.1 . З.з . 7 . 7 \
= — -----log----------log-------log---------log — ]
\ 32 22 32 22 32 10 32 10 J
^0,459 дв, ed.
Согласно, формуле (14.7) находим
I (X; Y) = £ 2 P У^ l°g^4r
i= i /= i P(x0
= P (xv У1) log p(Xliy + p (x2, У1) log p(Xzly 4
P (X1) p (X2)
4- P (Xi, y2) log S-(X11У 4- p (x2, y2) log =
P(X1)
21 1 3
21 . 22 , 1 . 22 , 3 . 10
= — log —-----(• — log —j—-----log
32 _3_ 32 J_ 32
4 4
« 0,352 дв. ed.
p(x2)
7
7 ! _ 10
з-т-tog -r-
4 4
547
Пример 14.3. Источник сообщений генерирует множество
кодовых комбинаций, одна из которых имеет априорную вероят-
ность р(х) = а апостериорные вероятности, соответствующие по-
следовательному приему символов у = 1, z = 0 и и = 1, равны
р(х\у) = Р (х| 1) =
р(х\уг)=р(х\ Ю) = у , р(х\уги) = р(х\ 101)-= 1.
Определить увеличение информации о сообщении х в процессе
приема символов у, z и и.
Решение^ После приема первого символа у = 1 информация
/(х; у) равна
I У) = 1) = log —= log — 0,415 дв.ед.
pW з
Второй принятый символ z = 0 на основании (14.8) доставит сле-
дующую дополнительную информацию:
1
I (х; z\y) = I(x; 011) = log -?-(х|10)- = log — = log 3^ 1,585 дв.ед.
р(х\1) 1
6
Аналогично, третий символ и = 1 доставит о сообщении х инфор-
мацию
I (х\ и | уг) = I (х\ 1 | 10) = log - । 1Q1- = log 2 = 1 дв. ед.
р(х\ 10)
Полная информация I(x\ yzu) о сообщении, х после приема всех трех
символов составит величину
/ (х\ yzu) = I (х; у) + / (х; z\y)-\-I (х\ u\yz)^=
= Цх; 1) + 1(х\ 0| 1) + Цх; 1 110) = 0,415 + 1,585 + 1 =3 дв. сд.
Пример 14.4. Источник сообщений вырабатывает ансамбль
символов X = {xj, i = 1, 2, 3, 4, с вероятностями p(xi) = 0,2;
р(х2) = 0,3; р(х3) = 0,4 и р(х4) = 0,1. Корреляционные связи
между символами отсутствуют.
Вычислить энтропию источника.
Решение: Запишем условие в виде таблицы:
*1 *1 х2 х3 х4
Pi 0,2 0,3 0,4 0,1
548
Применив формулу (14.17) и воспользовавшись данными прило-
жения VII, получим^
Я (X) = — 2 Р (Xi) logp (Xi) = — [р (хх) logр (хх)+ р (х2) log р (х2) +
i= 1
+ p(xs) log p(xs) + р(х4) log р (x4)J = — 0,2 log 0,2 — 0,3 log 0,3 —
— 0,4 logO,4 —0,1 logO.l = 0,4644 + 0,5211 + 0,5288 + 0,3322 «
» 1,847 дв. ed.
Пример 14.5. Определить энтропию случайной величины X,
распределенной по биномиальному закону: а) в общем случае;
б) при р = у и п = 5.
Решение* По условию случайная величина X распределена по
биномиальному закону. Следовательно,
Pn(X = k)=Cknpkqn~k, q = l-p.
а) Н (X) = - 5 Ckn pk qn~k log Ск pk qn~k =
k = 0
n ‘ n
= - % cknpk qn~k \^Ck -%Скрк qn~k log pk-
k = $ &=0
n
— Cn p 7 log q
k = 0
Так как при k — Q и k — n logC* = 0,
n n
2л P Q — I > 2л kCn p q — tip,
TO
fl— 1
Я(Х) = —n (p logp + p logp)— 2 Cknpk qn~k\ogCkn.
k= 1
б) При p = q и n = 5 с помощью приложения VII по-
лучим
«ГО=-5(~1о8^+у1оеу)-Дс'(тГ(тГ‘1огС'“
\ £ J К~\ \ L J \ L I
= 5-^2 Ctlog = 5 - ^_°g -5-+-101о^-0- « 2,198 de. ed.
6zk=l 16
Пример 14.6. Алфавит состоит из четырех букв xit х2, х3,
х4. Численные значения вероятностей р(^) появления отдельных
букв и условных вероятностей р(х7| xt) приведены соответственно
в табл. 14.5 и 14.6.
549
Таблица 14.5
Вероятности р(хд появления отде^дьных букв
Xi Xl х2 Хз
p(Xi) 0,5 0,25 0,125 0,125
Таблица 14.6
Вероятности p(xj\ Xi) появления j-й буквы при условии, что ей
предшествовала Z-я буква
xi Х1 Х2 х» Х4 4 Р(х/ \Xf)
Х1 • • • 0 0,2 0,4 0,4 1
х2 ... 0,2 0,2 0,3 0,3 1
Хз . • • 0,25 0 0,25 0,5 1
х4 . . . 0,2 0,4 0,4 0 1
Найти избыточность источника сообщений при статистической
независимости букв и избыточность R2 при учете зависимости между
буквами.
Решение. На основании (14.24) имеем
«о
Так как
f/0 = logAf = log4 = 2 дв. ед.,
#1 = — 2 p(xt)logp(Xi) = — f-1- log -i-+-А_ log -i- +
__ i \ " Z 4 4
+ 2 — log —A = 1,75 de. ed„
8 8/
TO
R 1= l — bZ5 = 0,125.
1 2
При учете статистической зависимости между буквами
. где Н2 — энтропия на букву при учете двухбуквенных сочетаний.
Энтропия Н(Х\Х2) двухбуквенного текста равна
Н (Хх Х2) = Н (XJ + Н (Х21 X,) = Нх + Н (Х21 XJ -
550
= \,7Ь + Н(Х2\Х^
где Н(Х2\— условная энтропия второй буквы, определяемая
формулой (14.18):
Н (Х2 I *1) = — 2 Р 2 Р I Xi> 10S Р (XJ I Xi) =
f=l /=1
= —0,5 (0,2 log0,2 + 2-0,4 log0,4) —0,25 (2-0,2 log0,2 +
+ 2-0,3 log0,3)—0,125 (2-0,25 log0,25 + 0,5 log0,5) —
— 0,125(0,2 logO,2 + 2-0,41og0,4)^ 1,62 de. ed.
Средняя энтропия на одну букву Н2 имеет величину
Н2 = И (Хг Х2) = 1’7^+1’62.. = 1,685 de. ed.
Следовательно,
1__Н685 _0,16.
2 2
Пример 14.7. Закодировать двоичным кодом Шеннона — Фано
ансамбль сообщений X = {xj, i = 1, 2, ..., 7, 8, если все кодируе-
мые сообщения равновероятны. Показать оптимальный характер
полученного кода.
Решение. При кодировании по методу Шеннона — Фано все
сообщения записываются в порядке убывания их вероятностей и
разбиваются на две группы так, чтобы суммы вероятностей сооб-
щений в каждой из групп были бы по возможности близкими к у.
Всем сообщениям, входящим в верхнюю группу, приписывается
цифра «0» в качестве первой цифры двоичного кода, а сообщениям,
входящим в нижнюю группу, — цифра «1». Затем каждая из групп
аналогичным образом разбивается на подгруппы по возможности
с одинаковыми суммарными вероятностями, причем верхним под-
группам в обеих группах опять приписывается цифра «0» (вторая
цифра кода), а нижним — цифра «1». Деление повторяется до тех
пор, пока в каждой подгруппе не останется по одному сообщению.
Процесс кодирования приведен в табл. 14.7.
Среднее число двоичных знаков, приходящихся в данном случае
на одно сообщение, равно
8 1111
<«>= 2 +р(+)=з.4-+з.4-+з.4-+з.4+
I __ 1 О о о О
+ 3 . — + 3 - — + 3 - — + 3 •—= 3 de. ed.
8 8 8 8
Энтропия Н(Х.) ансамбля кодируемых сообщений
Z/(X) = logW = log8-3 дв. ед.
551
Таблица 14.7
Так как средняя длина кодового слова <п> равна энтропии Н(Х),
то код оптимален.
Пример 14.8. Показать, что энтропия Н(Х) алфавита {xj
с конечным множеством символов xit i = 1, 2, ..., /г, достигает мак-
симума
Н (Х) = Hm(X) = \ogtl,
когда все символы равновероятны.
Решение. Обозначив р(хг) = pit
Pil°SPi’
имеем
п
множителей Лагранжа, най-
Пользуясь методом неопределенных
дем экстремум функции
п п
Ф= — S Pi Х 2 Pi-
Дифференцируя это выражение по pif ..., рп и приравнивая про-
изводные нулю, получим систему уравнений
log Pi + log е + X = 0, i = 1, 2
552
и,
или
logp. = —X—loge = const, i = 1, 2, n.
n 1
Так как ^Pi = i, то = ••• —Pn = —• Следовательно,
z= i n
H (X) ~ Hm(X) = \ogn.
Иное решение задачи дано в И, 4].
Пример 14.9. Вычислить пропускную способность С двоичного
симметричного канала (рис. 14.4) при условии, что все символы х-
сообщения и соответствующие им элементарные сигналы у7 имеют
одинаковую длительность т, где F = ~ — частота посылки сим-
волов.
(j
Построить график зависимости -р— — f(Pe), где Ст— максималь-
ная пропускная способность (при отсутствии помех), а Ре — вероят-
ность ошибочного приема.
Рис. 14.4. Двоичный симметричный канал связи.
Решение.^ Согласно (14.30) имеем
С = F Мах [Н (У) — Н (У | X)].
В нашем случае
н (У) = — 2 р <ь) 1о§ р (т>)>
/=1
Я (VIX) = — 2 Р (х.) 2 Р (yj I xi) log Р (Уз I xt).
i=l /=1
Так как
Р (У1) = Р (*i) Р(У1 \Xi) + p (х2) р (ух | х2) = р (1 — Ре) +
+ (1 — Р) Ре = Р + Ре~ 2РРе<
Р (У2) = Р (х2) Р (у2 IХ2) + Р (Xi) р (у2 | Xi) = (1 — р) (1 — Ре) +
+ Рре = 1 — Р — ре +
553
то
//(У)= -[(р ]-Р-2рРе) log (р + Ре-2рРе) + (1-р-Ре 4-
+ 2рРе) log (1 — р—Ре + 2рРе)],
Н (У | X) = — р (хх) [р (yj | хх) log р (ух | хх) 4 р (у21 хх) х
х log р (у21 Хх)1 — р (х2) [р 041 х2) log р 041 х2) 4-
+ Р (У21 х2) log р (у21 х2)] = — Ц1 — Ре) log (1 — Ре) + Ре log Ре].
Из выражения для H(Y\X) видно, что ввиду симметрии канала связи
условная энтропия H(Y\X) не зависит от вероятности передачи р.
Поэтому максимальное значение /(X; Y) достигается просто макси-
мизацией /7(У).
Рис. 14.5. Зависимость
пропускной способности
двоичного симметричного
канала от вероятности оши-
бочного приема.
Максимум H(Y) достигается тогда, когда сигналы и у2 неза-
висимы и равновероятны (см. пример 14.8), что, в свою очередь,
имеет место при равновероятных передаваемых символах. Следова-
тельно,
C = F [l + (l^Pe)log(l-Pe) + P<?logPj.
При отсутствии помех (Ре = 0)
C = Cm = F.
Поэтому
= f (Ре) = 1 + (1 -Ре) log (1 -Ре) + Ре log Ре.
Зависимость -относительной пропускной способности С!Ст от ве-
роятности ошибочного приема Ре изображена на рис. 14.5.
554
§ 3. Задачи и ответы
14.1 . * Самолет противника с равной вероятностью может на-
ходиться в одной из 1024 зон воздушного пространства.
Какое количество информации получает оператор радиолокацион-
ной станции, когда он фиксирует наличие самолета в одной из зон?
Ответ:
/ (xz) — 10 дв. ед.
14.2 . Радиостанция состоит из 16 равноценных с точки зрения
надежности блоков и имеет устройство контроля и индикации
исправности блоков.
Определить минимальное число проб k, которые необходимо вы-
полнить этому устройству, чтобы отыскать любой неисправный
блок.
Ответ: &>4.
14.3 . Определить количество информации, которое содержит-
ся в сообщении о том, что сумма выпавших очков на двух под-
брошенных игральных костях равна семи.
Ответ: /(х6) = 2,585 дв. ед.
14.4 . По каналу телекодовой связи передаются пять команд
X ={xf}, i = 1, 2, 3, 4, 5, с вероятностями p(*i)=0,3; р(х2) = 0,1;
р(х3) = 0,25; р(х4) = 0,2; р(х5) = 0,15.
Определить среднее количество информации, приходящееся на
одну команду.
Ответ: /(X) = 2,228 дв. ед.
14.5 . Символы алфавита азбуки Морзе появляются в сообще-
нии с вероятностями: для точки — 0,51, для тире — 0,31, для про-
межутка между буквами — 0,12 и для промежутка между сло-
вами — 0,06.
Определить среднее количество информации в сообщении из
500 символов данного алфавита, считая, что связь между символами
отсутствует.
Ответ: /(X) - 236 дв. ед.
14.6 . Напряжение изменяется в пределах (72 — (Л = 8я. При
равномерном квантовании датчик регистрирует приращения напря-
жения Д£7 = 0,1 в.
Вычислить максимальное количество информации за 5 отсчетов.
Ответ: 7(Х) = 31,61 дв. ед.
14.7 . Найти количество информации, которое содержится
в квантованном телевизионном сигнале, соответствующему одному
кадру развертки изображения, если:
— в кадре 625 строк;
— сигнал, соответствующий одной строке развертки изобра-
жения, представляет собой последовательность из 600 случайных по
амплитуде импульсов* каждый из которых может с равной вероят-
ностью принять любое значение в интервале отк0 до 8 в\
555
— каждый импульс квантуется по величине с шагом кванто-
вания 1 в;
— импульсы изображения между собой некоррелированы.
Ответ: /(X) = 1,125-106 дв. ед.
14.8 . Вычислить среднее количество информации /(X; у2)
о переданных командах X={xJ, f=l, 2, 3, доставляемое принятым
сигналом у2 ансамбля сигналов Y = {у7}, j = 1, 2, 3, если объ-
единенная система (X, Y) характеризуется распределением вероят-
ностей, приведенным в следующей таблице:
Х1 х2 Хг Р(Уу)
У1 • ’ 0,05 0,2 0 0,25
У2 . 0 о,з о,1 0,4
Уз • 0,05 0 0,3 0,35
Р(Х{) 0,1 0,5 0,4 —
Ответ: /(X; у2) = 0,268 дв. ед.
14.9 . Радиостанция противника может работать на волне
(событие 41) или на волне Х2 (событие А2), причем в импульсном
(событие Bi) или непрерывном (событие В2) режимах. Вероятности
совместных событий имеют следующие значения: p(4i, Bi) = 0,7;
p(4i, В2) = 0,15; р(42, Bi) = 0,05; р(42, В2) = 0,1.
Вычислить количество информации, получаемой относительно
режима работы станции, если станет известной длина волны стан-
ции.
Ответ: /(В; 4) = 0,102 дв. ед.
14-10. Найти максимальную энтропию черно-белого изобра-
жения с двумя градациями, содержащего 5-Ю5 независимых эле-
ментов.
Ответ: Нт (X) = 5-105 дв. ед.
14.11. Распределение вероятностей случайной величины X
имеет вид: p(xi) = 0,1; р(х2) = 0,1; р(х3) = 0,1; р(х4) = 0,7.
Определить число п значений случайной величины, при котором
энтропия Нр(Х) равномерного распределения будет равна энтро-
пии Н(Х) заданного распределения.
Ответ: п = 2,56.
14.12. Вероятность появления события 4 при одном испыта-
нии равна р. Испытания повторяются до первого появления собы-
тия 4.
Найти энтропию числа испытаний X и выяснить характер из-
менения энтропии с изменением р.
Ответ: И (X) = - Р »<>g (1 — Р) log (1 — р) ед.
р
556
При уменьшении р от 1 до 0 энтропия монотонно возрастает
от 0 до оо.
14.13. Для повышения достоверности каждое сообщение мо-
жет передаваться по каналу связи k раз, причем вероятность неис-
каженного прохождения сигнала при каждой передаче рх = 0,2.
После k повторений решающее устройство сравнивает
все k принятых сигналов и при их совпадении выносит решение
о правильном приеме, после чего на передающий конец посылается
команда о прекращении посылки данного сообщения и о передаче
следующего сообщения.
Определить значение коэффициента дублирования k из условия
максимума количества информации, обеспечиваемой решающим
устройством.
Ответ: k = 3.
14.14. Показать, что при аппроксимации распределения ве-
роятностей событий убывающей ступенькой (рис. 14.6) энтропия
Рис. 14.6. Аппроксимация распределения
вероятностей убывающей ступенькой.
Н(Х) источника сообщений на одно событие имеет вид [14]
//(X)-logAf —
-----₽— log-------’----
P4-(l —р)а s p + (l-p)
log---------_____I,
P+(1-P)a sp + (l —p)a]
где N — общее
события:
число возможных
событий, Pi — вероятность г-го
при
при
1 < i < k,
k<i<N\
а и p — параметры, характеризующие относительную форму оги-
бающей распределения:
а = — , ₽=—, a<l, р< 1.
р' N
$57
14.15. Реальное распределение вероятностей событий ап-
проксимируется геометрической прогрессией (рис. 14.7).
Рис. 14.7. Аппроксимация распре-
деления вероятностей геометрической
прогрессией.
энтропию
распределения.
1
1-^
1 — <7
log? ,
Определить
Ответ [14]:
н(Х) = - (log -IqL
I i-г
где N— общее число событий, pt — вероятность Лго события,
определяемая из условия нормировки — 1-
L
Pi=P^‘~\ * = 1,2.....N,
1 — q
q — знаменатель аппроксимирующей геометрической прогрессии.
14.16. Используя условие и результат задачи 14.15, получить
приближенную формулу для энтропии Н' (X) = — X Pi
°° z=i
(случай очень быстрого убывания вероятностей).
Показать, что ошибка Д// при использовании приближенной
формулы составляет величину
\Н = Н (X)- HJX) = log (1 -?") + ?"10gf
1-^
14.17. Показать,
деления вероятностей
что при аппроксимации реального распре-
геометричсскими прогрессиями вида
Plj^pnrt 1
S*9
на частных интервалах изменения номера события (рис. 14.о),
энтропия соответствующая /-му интервалу номеров, может
быть определена по формуле
(i Г Ni
Н( (Х)=—ГТ
1 — qt (l — qty l-Qi
где Nt — число событий в z-м интервале, — знаменатель гео-
метрической прогрессии, аппроксимирующей распределение в z-m
интервале, pti — вероятность первого события z-ro интервала.
Рис. 14.8. Аппроксимация распределения вероятно-
стей геометрическими прогрессиями на частных интер-
валах.
14.18. Ансамбли событий X и Y объединены, причем вероят-
ности совместных событий равны: p(xi,yi) = 0,1; p(xlt у2) = 0,25;
P(-v2, г/i) = 0,2; р(х2, </г) = 0; р(х3, yj = 0,3; р(х3, у2) = 0,15.
Определить: а) энтропии ансамблей X и У; б) энтропию объеди-
ненного ансамбля; в) условные энтропии ансамблей.
Ответ: а) Н(Х) - 1,512 дв. ед., H(Y) = 0,971 дв. ед.;
б) Я(ХУ) = 2,228 дв. ед.; в) H(X\Y) = 1,257 дв. ed.f H(Y\X) =
= 0,716 дв. ед.
14.19. Источник сообщений создает последовательность букв,
выбранных из набора букв А, В, С, Д с вероятностями т» 4’ 4’ S’’
причем очередная буква выбирается независимо.
Вычислить избыточность текста.
Ответ: R — 0,125.
14.20. Для передачи сообщений используется код, состоящий
из трех символов, вероятности появления которых равны 0,6; 0,2;
0,2. Корреляция между символами кода отсутствует.
Определить избыточность кода.
Ответ: R = 0,139.
559
14.21. Ансамбль сообщений {xj, i = 1, 2, 7, 8, и вероятно-
сти сообщений заданы следующей таблицей:
Xi *1 x2 x4 *5 x6 x7 x8
1 1 1 1 1 1 1 J
Pi 4 4 8 8 16 16 16 16
Построить код Шеннона — Фано для данного ансамбля и по-
казать его оптимальный характер.
Ответ: Xi— 00; — 01; *з—100; х4— 101; х5 —1100;
х6 — 1101; х7 — 1110; х8 — 1111. Н(Х) = (п) = 2,75 дв. ед.
14.22. Сообщения xlf х2, х3, х4 появляются соответственно
1111
с вероятностями — , _ , _, _ и кодируются четырьмя дво-
ичными кодовыми словами 0, 10, ПО, 111.
Требуется: а) показать, что если сообщения статистически неза-
висимы, то в получающейся последовательности кодовых слов сим-
волы 0 и 1 появляются с равными вероятностями, и что символы
в такой последовательности независимы; б) найти среднее зна-
чение <п> числа двоичных символов на сообщение.
Ответ: б) <и> = Я(Х) = 1,75 дв. ед.
14.23. Ансамбль сообщений {xj, i = 1, 2, 3, ..., 8, 9, и их
вероятности заданы следующей таблицей:
Xf Xl *2 *3 x4 4 x6 x7 *8 x9
Pi 0,20 0,15 0,15 0,12 0,10 0,10 0,08 0,06 0,04
Произвести кодирование двоичным кодом по методу Хаффмена
(метод вспомогательных группировок) и вычислить энтропию со-
общений Н(Х) и среднюю длину <ц> кодового слова.
Ответ: Xi — 10; х2— 001; х3 — 010; х4—ОН; х5 —НО;
х6 — 111; х7 — 0001; х8 — 00000; х9 — 00001.
Я(Х)^3,04 дв. ед.; <п) ^3,08 дв. ед.
14.24. Ансамбль сообщений состоит из двух букв Xi и х2, при-
чем вероятности p(xt) появления букв соответственно равны p(xi) =
= 0,89, р(х2) = 0,11.
Определить среднее число символов кода, приходящееся на одну
букву, если кодирование осуществляется: а) по одной букве; б) бло-
ками по две буквы; в) блоками по три буквы.
Ответ [51: a) Xi — 0, х2 — 1, <и> = 1 дв. ед.; б) XiXi — 0,
XiX2—10, x2Xi — 110, Х2Х2—111; (n) ^0,66 de.ed.;B)XiXiXi — 0,
560
Х1Х1Х2 — 100, xix2xi — 101, Х2Х1Х1 — ПО, xix2x2 — 11100, x2xix2 —
11101, x2x2xi — 11110, х2х2х2 — 11111; (п) = 0,552 дв. ед.
14.25. Определить пропускную способность С двоичного сим-
метричного канала со стиранием (рис. 14.9), если символы и
имеют одинаковую длительность т, где F = — — частота посыл-
ки символов.
Ответ:
С = F I(1 —q) 11 -log (1 -q))+(1 -P-q) log (1 -Pe-q) + Pe log Pe}.
14.26. На вход канала связи (рис. 14.10) поступает ансамбль
сигналов X = {%,), <=1,2, ..., N, с вероятностями p(xt) и час-
P(Xf)
Р(хг)
I
i
I
•
P(XN)
Рис. 14.10. Канал связи.
тотой посылки F = 1/т, где т — длительность сигналов. Вероятно-
сти перехода равны
Р (У) I Xi) = 1 — ре при /= i и р (У; I хг) = при j=£i.
Определить пропускную способность канала связи.
Ответ:
С= log N + Ре log + (1 -Ре) log (1 - .
14.27, На вход дискретного канала связи поступает ансамбль
сигналов (xj, i = 1, 2, 3, следующих с частотой F. Сигнал х4 зна-
19 Зак. 728 561
чительно отличается от двух других и всегда принимается правиль-
но. Априорные вероятности p{xt) и вероятности перехода
имеют значения, показанные на рис. 14.11.
Рис. 14.11. Дискретный троичный канал.
Найти пропускную способность канала связи.
Ответ }15]:
c=Fin
0
где
₽ = е‘; а = - [Ре \п1\ + (1 - Ре) In (1 - Ре)].
14.28. По каналу связи, состоящему из передатчика, ретранс-
лятора и приемника (рис. 14.12), передаются сигналы и х2с ча-
стотой следования F = —, где т — длительность сигналов.
т
Значения априорных вероятностей и вероятностей перехода
на участках передатчик — ретранслятор и ретранслятор — прием-
ник указаны на рисунке.
Передатчик Ретранслятор Приемник
Рис. 14.12. Канал связи с ретранслятором.
Определить пропускную способность канала связи.
Ответ:
C = F[l + (l-2Pe+2Pe2)log(l-2Pe + 2P?) +
+ 2Ре (1 -Ре) + 2Ре (1 - Ре) log Ре (1 - Р,)] •
562
14.29. Вычислить пропускную способность канала связи
(рис. 14.13), по которому передаются сигналы х19 х2, х3 с частотой
посылки F = —, где т — длительность сигналов,
т
Ответ:
С = F[log 3 + Ре log Ре + (1 - Ре) log (1 - PJ].
14.30. По каналу связи передается ансамбль сигналов
X = {xj, i = 1, 2, 3, с частотой следования F = где т — дли-
тельность сигналов.
Определить пропускную способность канала, если условные ве-
роятности имеют следующие значения:
Р (У11 *1) = Р (У21 *г) = Р (Уз I Хз) = 1 — Pl-р2’
Р(У2|х1) = р(у8|х2) = р(у1|х3) = р1>
Р (Уз I xj = р (У! | х2) = р (у2 I х3) = р2.
Ответ:
С = F [log 3 4- pt log Pl 4- p2 log p2 4- (1—Pl—Pi) log (1 — Pl — p2)J.
14.31. Определить пропускную способность канала связи,
по которому передаются сигналы хъ х2, х3, х4 с частотой следования
F = 1/т, где т — длительность сигналов. Влияние помех характе-
ризуется условными вероятностями p(yj\xt), величины которых
равны:
Р(У1|Х1) = р(у2|х2) = р(у8|х3) = р(у4|х4)= 1 — Ре,
Р(У2|Х1)=р(У1|х2) = р(у4|х3) = р(у3|х4) = Ре,
Р (Уз I Хх) = р (у41 Хх) = р (у81 х2) = p(yt1 х3) = р (ух | х3) =
= Р (У21 х3) = р (У11 х4) = р (у21 х4) = 0.
Ответ:
С = F[2 4- Ре log Ре 4- (1 - Ре) log (1 - Pe)J.
19»
563
Литература
1. Т и х о н о в В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советское
радио», 1965.
2. Я г л о м А. М. и Я гл ом И. М. Вероятность и информация Физ-
матгиз, 1960.
3. Бриллюэн. Л. Наука и теория информации. Физматгиз, 1959
4. Ф а н о Р. Передача информации. Изд-во «Мир», 1965.
5. Тарасенко Ф. П. Введение в курс теории информации. Изд. Том-
ского университета, 1963.
6. Шляпоберский В. И. Элементы дискретных систем связи.
Воениздат, 1962.
7. X а р к е в и ч А. А. Борьба с помехами. Изд-во «Наука», 1965.
8. Мешковский К. А., Кириллов Н. Е. Кодирование в тех-
нике связи. Изд-во «Связь», 1966.
9. К о т о в П. А. Повышение достоверности передачи цифровой инфор-
мации. Изд-во «Связь», 1966.
10. 3 а р е н и н Ю. F. Корректирующие коды для передачи и переработки
информации. Изд-во «Техн1ка», Киев, 1965.
11. Шастова Г. А. Кодирование и помехоустойчивость передачи теле-
механической информации. Изд-во «Энергия», 1966.
12. «Коды с обнаружением и исправлением ошибок». В сб. ст. под ред.
А. М. Петровского. Изд-во иностранной литературы, 1956.
13. В о л о д и н Б. Г., Ганин М. П., Д и н е р И. Я., Кома,
ров Л. Б., Свешников А. А., С т а р о б и н К. Б. Сборник
задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных функций Изд-во «Наука», 1965.
14. Б а х м е т ь е в М. М. О вычислении энтропии для некоторых спе-
циальных распределений вероятностей. «Радиотехника и электроника»,
1956, т. 1, вып. 5.
15. III е н н о н К. Статистическая теория передачи электрических сигна-
лов. В сб. «Теория передачи электрических сигналов при наличии помех».
Изд-во иностранной литературы, 1953.
15. НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ СВЯЗИ
§ 1. Теоретические сведения
Непрерывные системы связи — системы, в кото-
рых как реализации сообщения, так и реализации сигнала на
конечном временном интервале (О, Т) представляют собой неко-
торые непрерывные функции времени [1, 2].
Пусть %(/) — реализация непрерывного сообщения на входе
схемы связи, y(t) — реализация выходного сообщения (сигнала),
U^i(x) — одномерная плотность вероятности ансамбля входных со-
общений, — одномерная плотность вероятности ансамбля
выходных сообщений, №2(х, у) — совместная плотность вероятно-
сти, W\(x|y) — условная плотность вероятности значения х = x(f)
при известном значении у = y(t), U^Q/lx) — условная плотность
вероятности у при заданном х. Тогда для количества информации
справедливы следующие соотношения [1—5]:
11 \ 1 ^2 (х, у) 1 (х I y)I ! tt7! (у I X) ч /1С
/ (х; у) = log —* = log = log ———- =/ (v; x), (15.1)
V У! & W\(x) S Гх(у) V’ h V
/(X; y) = $/(x;y)lF1(x|y)dx, (15.2)
x
/(X; Г)= ^x(y)/(X; y)rfy = $$r2(x,y)x
Г Y X
X /(x; y) dxdy = I (У; X), (15.3)
/(Х;У) = $$Г2(х, y)log^^xdy = -^J^logrjxMxH-
YX W X
+ ^W2(x, y) log (x| y) dxdy, (15.4)
XY
I(X; y)>0, /(X;K)>0. (15.5)
Здесь /(x; y) — взаимная информация между каким-либо значением
х входного и значением у выходного сообщений, /(X; у) — среднее
значение условной информации, I(X; Y) — полная средняя взаим-
ная информация.
19В Зак. 728 565
Формулы для энтропии Н непрерывных сообщений получаются
путем обобщения формул для энтропии дискретных сообщений.
Если Ах — интервал квантования (точность измерения), то
при достаточно малом Ах энтропия Н^Х) непрерывных сообщений
равна
оо оо
(X) = — § Wx (х) log (х) dx — log Ах § (х) dx—
— оо —оо
оо
= 77(Х)—logAx= — $ri(x)log[U71(x).Ax]dx, (15.6)
—оо
где
оо
Я(Х)= — J U71(x)logri(x)dx.
—оо
(15.7)
Из (15.6) видно, что информативность сообщений, обусловленная
статистикой состояний элементов сообщения, целиком определяется
величиной Н(Х), которая называется дифференциальной [3, 6],
а иногда приведенной [4] энтропией.
Величина — log Ах зависит только от выбранного интервала Ах,
определяющего точность квантования и при Ах = const есть вели-
чина постоянная, которую иногда исключают из рассмотрения
[7—9]. При определении полной взаимной информации Z(X; Y)
величины log Ах и log Ay взаимно компенсируются, так что Z(X; Y)
от выбора координат не зависит.
По аналогии с (15.7)
H(Y)= -$^1(y)logri(y)dy= -Jrj^logrjy)^, (15.8)
Н (X | Y) = - $ $ W2 (x,y) log (x | y) dxdy =
XY
.= — J §1F2(x, y) log №x(x|y) dxdy, (15.9)
H (Y | X) = - J $ W2 (x, y) logW, (y | x) dxdy =
XY
= — f J W2(x, y) log W\(y|x) dxdy. (15.10)
—oo —oo
Когда X и Y статистически связаны между собой, то
Я(ХУ) = Я(Х) + Я(У|Х) = Я(У) + Я(Х|У). (15.11)
При независимых X и Y
H(XY) = H(X) + H(Y). (15.12)
566
Полная средняя взаимная информация /(Х;У) определяется фор-
мулой
/(X; Y) = H(X)—H(X\Y) = H(Y)—H(Y\X), (15.13)
а пропускная способность непрерывного канала—выражением
C = lim Мах Г—/(X; У)1, (15.14)
Т-+00 (х) L Т J
где максимум /(X; У) достигается выбором оптимального распре-
деления W\(x) входного сигнала х(/) при достаточно большом ин-
тервале времени Т.
В случае канала связи с ограниченной полосой частот пропуск-
ная способность определяется формулой Шеннона [2]
(2 \
1+^7 > (15.15)
N9F)
где F — полоса пропускания канала; No — постоянная спектраль-
ная плотность нормального стационарного шума n(t) в полосе
0<Zf<F; сг2 — (х2^)) = const — ограниченная средняя мощность
сигнала х(/), представляющего собой стационарный нормальный
процесс с равномерной спектральной плотностью в полосе 0<f<F,
у (l) = x(t) + n(t),
причем x(t) и n(t) — статистически независимы.
^2
Если уу » 1 (отношение сигнала к шуму велико), то
2
C«F log(15.16)
NqF
о2
При —— < 1
Н N0F
а2
С ж 1,443 . (15.17)
[ М)
Когда спектральная плотность нормального случайного сиг-
нала х(/) есть5(/), а спектральная плотность аддитивного нормаль-
ного шума n(t) равна X(f), то формула (15.15) имеет вид
f2
C = Jlog[l+^-]d/. (15.18)
В табл. 15.1 приведены значения энтропии Н(Х) некоторых не-
прерывных законов распределения [1—11].
19В* J67
Таблица 15.1
Энтропия Н (X) некоторых непрерывных законов распределения
Закон распре- деления Аналитическое выражение плотности вероятности Wi(x) Энтропия Н (X) закона распре- деления оо Н(Х) = - J log (x)dx — 00
1. Равномер- ный (прямо- угольный) И71(х) = , , а < х < Ь, = b — а 0, х < а, х > b tf(X) = log (b—a) = = log(a2 f*3)
2. Нормаль- ный (гауссов) 1 (х-ту w (х) — — е 2а oJ'T’n H (X) = 1 og (о V2jie)
3. Xs (хи-квадрат) 1ся 1 и о S А £ «1^ * с1^ II tf(X) = logr log2 + , Г n I n Л (n\] i +LT~(j М2)]10g e’ d где ib (г) = — In Г (г)—пси- dz -функция Эйлера [12]
4. Гамма-рас- пределение * V II о " + ? § - 1 ± S - X II А — ° С» J V го| * о tf(X) = logr(a+l)- —a log е-ф (a4-1)4- 4-(a4-l) loge4-logp, где ф(а-|-1) — пси-функция Эйлера
5. Коши _ 1 h 1(Х)_ л /124-(х—Хо)8 //(X) = log4n/j
6. Релея W'1(x)=-^e 2з‘, х>0 Я(Х) = (у+1)1о§е’ где с = 0,5772 ... число Эйле- ра [12]
7. Максвелла 1 — — X— х2 е 2з’, х > 0 о3 1 2ЛО1 (Х) = — log f-cloge, 2 е где с = 0,5772...—число Эйле- ра
568
Продолжение табл. 15.1
‘Закон распре- деления Аналитическое выражение плотности вероятности (х) Энтропия Н (X) закона распре- деления оо W, (л) Icgir.U) dx — оо
8. Лапласа (двухсторонний экспоненциаль- ный) (*) = у е-х1*-’х1 Я(Х)=1об~ Л = log (ое /2)
9. Экспонен- циальный одно- сторонний И71(х) = Ле_и, х>0 е Я (Х) = log — = log (ое) Л
10. Показа- тельно-степен- ной е-ж, х>0 т\ Н (X) = log т\—т log е X Г т 1 х 2 ~Т~С +1о£е’ |_й = 2 * где с = 0,5772...—число Эйлера
11. Симпсона (треугольный) =• 1Fi(x) = 0, х < а, 4(х~ а) Ь-\-а (Ь—а)2’а<Х< 2 ’ aJ±<x<bt (b—a)2 2 0, х> b tf(X)=log(fe~^e = =log (о ]/бе)
12. Закон арксинуса II о H о * | X a V а * Д || ° Л 1 ~ I * * а Л “ а Н (X) = log я+ 1 С log (а8—х2) л J У а2—х2 0
§ 2. Примеры
Пример 15.1. На вход приемного устройства воздействует
колебание y(f) — x(t) + n(t), где сигнал x(t) и помеха n(t) — не-
зависимые нормальные случайные процессы с нулевыми средними
значениями и дисперсиями, равными соответственно Os и .
569
Определить: а) количество информации /(х; у), которое содержит-
ся в принятом колебании у(/) о сигнале х(/); б) полную среднюю
взаимную информацию /(X; У).
Решение. По условию задачи
w(x) =
Так как x(t)
X* _ (у—х)1
1 2а2 1 2°п
----==- е х , w (у | х) =-----== е —
ах у2л 1 оп /2лГ
п2
1 2з2
= —-7=-е п =w(n).
оп у 2л
2 2 2
и n(t) — независимы, то оу = ох+од, причем
, ч 1
w (y) =--r==- e
Gy V2л
а) По формуле (15.1) находим
2а2
У
п2
2 а 2
п
1
w (у I х) 1 .
/(х; у) = log---------= —-In
v z/ W(y) In 2
1 i Qy
= — In —e
ln2 art
/(x;rt__LinK±tfL+.
V ln2 art 1
п2
2а2
п
1
---TrF=re
ву у 2л
+ _ZL
+ 2а2
у2
2a2
1
ln2
У2
n2
2^
б) Согласно (15.3) имеем
I (X; Y) = § ау2 (x, у) I (x; y) dxdy = < [I (x; y)] > =
x Y
=log _i_ 1 г <y2>________=
On In 2 |_2(a2-|-a2) 2a2
-log + | 1 Г ______________A' .
In2[2(a2+o2) 2a2
Таким образом,
Z(X; Ю= log = l log fl+ —) {дв. ed.].
°n 2 \
570
Пример 15.2. По линии связи передаются непрерывные амп-
литудно-модулированные сигналы x(f), распределенные по нор-
мальному закону со средним значением тх = 0 и дисперсией о*2 =
= 8 в2.
Определить энтропию Н^Х) сигнала при точности его измерения
Ах = 0,2 в.
Решение. По условию плотность вероятности w(x) сигнала
имеет вид
_ X2
/ \ 1 2о2
(х) =---т— е х .
ох 2л
По формуле (15.6) имеем
X2 X2
оо ----— ----—
H^X)^ — f---------i°g—17^-е 2’х dx~log Ах =
J оху 2л охУ 2л
— оо
ха
оо-------—
=--------т=- f е 2°x I—log о,. У2л-------— loge\dx—log Ах =
V 2л J | 2о2г /
— оо \ Л /
оо х2
— log ох У2л Н----log^_ f х2е 2о* dx— log Ах.
а®У2л J
о
Так как
оо ___
f х2е~а‘х‘ dx = ,
J 4а«
о
ТО
j-f / 1 г* 2л । 1 < 1 2ле
//i(A) = log --------Н- loge = log --------- •
Ах 2 Ах
Подставляя числовые значения, получим
Hr (X) = log )/8o^2lte 5,87 дв. ед.
Пример 15.3. Непрерывная случайная величина X имеет плот-
ность вероятности tt^i(x). Величина Y есть однозначная функция
случайной величины X
Y = f(X).
Показать, что
571
где Я(Х), H(Y) — соответственно дифференциальные энтропии ве-
личин X и У; D — якобиан преобразования от х к у.
Решение. Так как
1Г1(у) = Г1(х)1о f-'j I, dy = |D PMIdx,
I \ У ’ I I \ x J I
то по формуле (15.8) получим
H (У) = - J W. (у) log Wх (у) dy = - J W, (х) | D
У X
: 1ое[11Мх)1р (-Ml Id f zMdx= — (V(X)
У
x |d (-0|logw\(x)dx—Jri(x)|D(y) ID (7) I loS ID (j) Idx-
x
Ho
I D (y) ||d (2.) =1, JlTx(x) log |d ^^|dx — / ’log|D^]|'V
Следовательно,
H(Y) = H(X) —
Пример 15.4. Средняя мощность передаваемых сигналов со-
ставляет величину Ох = а2. Найти распределение, которое при дан-
ном ограничении обладает максимальной энтропией, равной
Н (X) = 1 In (2лео2).
Решение. Решим задачу с помощью вариационного исчисле-
ния [7] (иной метод использован в [1—2]).
Если требуется найти максимум (или минимум) интеграла
ь
/ = ^F [xJW1(x)]dx
а
при дополнительных условиях
ь
<рх [х, (x)J dx = k1 — const,
а
b
5 Фг Iх, W-l (х)] dx = k2 = const,
а
(15.19)
(15.20)
ь
$ Фп (X, (x)] dx = kn = const,
a
572
то функция W^x), обеспечивающая максимум (или минимум) ин-
теграла (15.19), находится с помощью решения уравнения
+ 1 х2-^+ -^- = 0, (15.21)-
51Г1 1 dWj. dWi dWi х '
где Х2, ...» — некоторые константы (неопределенные множи-
тели Лагранжа), которые определяются подстановкой W\(x), яв-
ляющейся решением уравнения (15.21), в равенства (15.20).
В данном случае требуется найти такую функцию w (х), при
которой
оо
Н(Х) = -г- § w (х) In w (х) dx
достигает максимума, причем максимум следует искать при усло-
виях
ос
§ х2 w (х) dx = о2,
— оо
оо
w(x)dx= 1.
— оо
(15.22>
Функции F, (pv <р2 имеют вид
F [х, w (х)] — —w (х) In w (х),
Cpj [X, W (х)] = Хг W (х),
(р2[Х, щ(х)] = w(x).
Следовательно,
^- =—[1-f-1пш(х)], — х2,
oto dw
d<Pz = j
dw
Подставив значения производных в (15.21), получим
— 1 — In Ш (х) + ^1 х2 + %2 = 0-
Из этого соотношения следует, что
In w (х) = Х2— 1 + %! х2
или
ш(х) = ех2~! ex‘x\ (15.23)1
Для исключения неизвестных и Х2» подставим найденное
значение ш(х) во второе равенство (15.22). Тогда
оо оо оо
§ ay(x)dx= § еХг-1 ex‘x2dx = 2e>2~1 ex>-v’dx= 1.
— оо —оо о
573
Отметим, что должно быть отрицательным, ибо в противном
оо
случае интеграл § dx расходится. Так как
о
оо
[ e~a’*!dx = -^,
J 2а
о
оо ____
2еЛ--1 J ех«х' dx = 2ех>-1 ± у -у- -- '
ИЛИ
Тогда (15.23) примет вид
W(x) = j^ 5геХ1*г’ (15.24)
Подставим (15.24) в первое соотношение (15.22):
Следовательно,
=------------------------------------ •
1 2а2
Подставив значение в выражение (15.24), окончательно получим
w (х) — —^=- е 2<Jt.
а У 2л
Таким образом, при ограничении сигналов по их средней мощ-
ности максимальной энтропией обладают сигналы с нормальным
распределением.
Вычислим величину энтропии нормально распределенной слу-
чайной величины:
Н (X) = — w (х) In w (х) dx =
—е 202 dx =
a Y 2л
574
— J w(x) In ]/r2no2dx+ J dx.
— oo —oo
Имея в виду ограничивающие условия (15.22), найдем
Н (Х) = Нт(Х) = 1п /2^ + -^- = In/2^+4- •
2а2 2
Так как у= Inj^e, то окончательно получим
Н (X) = In У2леа2 = In (2леа2).
Пример 15.5. Определить полосу пропускания канала переда-
чи телевизионного черно-белого изображения с 5-106 элементами,
25 кадрами в секунду и 8 равновероятными градациями яркости
а2 Р
для отношения___= -=£- = 15 при условии, что изображение мо-
N0F р п
жет принимать наиболее хаотичный вид — вид «белого шума».
Решение. Изображение принимает вид белого шума, если все
его элементы как в одном кадре, так и в различных кадрах незави-
симы. Энтропия Hk(X) такого изображения при указанных усло-
виях равна
Hk(X) = 5* 105 log8= 1,5-IO® дв. ед.
Ввиду независимости кадров общее максимальное количество ин-
формации, которое должно быть передано в 1 сек, составит
Я(Х) = 25.1,5.10б дв. ед.
Приравнивая это значение пропускной способности кана-
ла (15.15), получим
25-1,5-IO® = р iog(l + 15),
откуда
F = 9,375-106 гц « 9,4 Мгц.
Обычные телевизионные изображения имеют сильную как прост-
ранственную, так и временную корреляцию. Поэтому практически
необходимая пропускная способность может быть существенно
меньше приведенного здесь максимального значения.
Пример 15.6. Найти спектральную плотность сигнала S(f),
которая при заданных значениях его полной мощности Ps = J S(f)df
и спектральной плотности нормальной помехи обеспечит макси-
мальную скорость передачи информации.
Решение. Согласно (15.18) имеем
575
В задаче требуется найти максимум этого интеграла при условии
ft
Ps=\S(f)df.
h
На основании (15.21) имеем
—+% дч. = _L in [1 + —|+л — = о,
as as as L n as
где
S = S(/); N = N(f).
Так как
д . fi , 5 1 1
— In 11 —I— — — >
as L M J . A N
+
TO
$(f)+W)
Следовательно,
Искомый энергетический спектр сигнала S(f) должен быть таким,
чтобы, будучи добавленным к спектру помехи N(f), он обеспечил
постоянство этой суммы и независимость ее от частоты. Величина
X выбирается так, чтобы общая мощность полезного сигнала рав-
нялась заданной мощности Ps.
§ 3. Задачи и ответы
15.1 Информация передается путем изменения амплитуды сигнала
X, распределенной по нормальному закону с парамет-
рами тх = 0 и 0*2 = 15. Величина X измеряется регистрирую-
щим устройством с погрешностью Z, не зависящей от амплитуды
сигнала, и также распределенной по нормальному закону со сред-
ним значением тг = 0 и дисперсией = 9.
Определить количество информации /(X; У) о величине X,
заключенное в случайных результатах измерений У = X + Z.
Ответ:
/(X; У)»0,71 дв. ед.
576
15.2 . Информация передается с помощью частотно-модулиро-
ванных синусоидальных сигналов, рабочая частота которых f из-
меняется с равной вероятностью в пределах от = 10 Мгц до
/2 = 50 Мгц.
Определить энтропию сигнала если точность измерения час-
тоты составляет величину А/ — 2 кгц.
Ответ:
(0—14,28 дв. ед.
15.3 . Вычислить дифференциальную энтропию нормального
закона с дисперсией о*2 и равномерного распределения с той же дис-
персией.
Ответ:
HH(X) = log(a]/2ne);
Hp(X) = log(o2/3).
15.4 . В результате полной дезорганизации управления, п са-
молетов летят с произвольными курсами. Управление восстановлено
и все самолеты взяли общий курс со среднеквадратичной ошибкой
с = 3°.
¥ и «
Наити изменение энтропии, считая, что в первом состоянии имеет
место равномерное распределение вероятности, а во втором —
нормальное.
Ответ:
АЯ = Яр(Х) —tfH(X) = 4,86 п дв. ед.
15.5 . Плотность вероятности случайного процесса x(t) имеет
вид
^(^-Хе-Ч х>0.
Найти дифференциальную энтропию процесса х(/).
Ответ:
tf(X) = log^.
Л
15.6 . Найти энтропию Н(Х) случайного процесса х(/), функ-
ция распределения которого
0
Fi (х) = х-
1
при х < 0,
при 0<х<1,
при х>1.
Ответ:
tf(X) = log(lre).
577
15.7 . Показать, что если система с нормальным распределе-
нием координаты переходит из состояния, в котором о*х = о1г
в состояние, при котором вх = о2, то приращение энтропии кН
равно
ДЯ = Я2(Х)-Я1(Х) = 1оё-^-.
15.8 . Найти дифференциальную энтропию случайной величины
X=?lsin(o/, где t равномерно распределено в промежутке от—до
—; А и со — положительные постоянные величины.
(О
Ответ [10]:
Я (X) = In ~
15.9 . Определить условную дифференциальную энтропию
Н(Х\у) и среднюю условную дифференциальную энтропию H(X\Y)
случайной величины X относительно У, а также H(Y\x) и H(Y\X)
случайной величины Y относительно X для системы (X, У) нормаль-
ных случайных величин.
Ответ [11]:
Я(Х|у) = Я(Х|У) = 1оё[<тяК 2ле(1-Я^)];
Я(У|х) = Я(У|Х) = 1о§[^/2ле(1-^у)],
где огх и <уу — средние квадратичные значения; Rxy — коэффици-
ент корреляции между X и У.
15.10 . Найти дифференциалоную энтропию Н(Х) равномерно-
го распределения на отрезке (0,2) и энтропию суммы двух независи-
мых случайных величин X и У, равномерно распределенных на
указанном интервале.
Ответ [10]:
Я(Х).= 1 дв. ед.\ H(XY) = 2 дв. ед.
15.11 . Показать, что если У = X ± с или У = — X, то
Я(У) = Я(Х).
15.12 . Измерительное устройство вырабатывает случайный
сигнал х(/) с нормальной плотностью вероятности и корреляцион-
ной функцией вида
kx (т) = Стх е~ “,т| .
Определить энтропию сигнала и его избыточность, вызванную
йаличием корреляции, если ох = 6в.
578
Ответ [6]: H(X\Y) = 4,52 дв. ед.; R = 0,024.
15.13 . Ансамбль сигналов, проходящих через усилитель, имеет
значения, ограниченные сверху величиной х = b и снизу — вели-
чиной х = а.
Определить: а) максимальную энтропию Нт (X); б) энтро-
пию Н(Х) на единицу времени, если ширина полосы пропускания
усилителя равна F.\
Ответ:
Hm(X)~\og(b — a) дв. ед»
H(X) = 2F\og(b — а) дв. ед.
15.14 . Передаваемые сигналы ограничены по пиковой мощ-
ности. Найти распределение, которое приданном ограничении об-
ладает максимальной энтропией, а также вычислить величину энт-
ропии при этом распределении.
Ответ:
UZ1(x)=-4==; Н(Х) = 1п2/Р;,
где Рт — пиковая мощность.
15.15 . Сигнал со средним значением тх может принимать толь-
ко положительные значения [W\(x) = 0 при х<0].
Найти распределение, которое при данных ограничениях обла-
дает максимальной энтропией.
Ответ:
X
15.16 . Показать, что при заданной энтропии нормальное
распределение вероятностей
w (х) = ——; е 2а2
аУ 2л
имеет наименьшую из всех одномерных распределений дисперсию.
15.17 . Определить максимально возможную скорость передачи
информации по радиотехническому каналу связи пункта управле-
ния с телеуправляемой ракетой, если полоса пропускания канала
связи равна 3 Мгц, а минимальное отношение сигнал/шум по мощ-
ности в процессе наведения ракеты на цель равно 3.
Ответ:
С = 6-106 дв. ед.jсек.
15.18 . Определить пропускную способность канала связи,
если средняя мощность сигнала равна Ps, полоса пропускания ка-
579
•нала F, а помехами являются только тепловые шумы приемного
устройства. Качественно построить график зависимости пропускной
способности от полосы частот F.
' Ответ:
C = F log + ,
kTF J
где k — постоянная Больцмана; Т — температура приемного уст-
ройства в ° К.
15.19 . При стрельбе неуправляемыми ракетами по подвижным
целям возникает рассеивание ракет относительно центра цели, выз-
ванное маневром цели. При каждом выстреле величина отклонения
зависит от нормального ускорения цели и времени полета ракеты.
Распределение значений нормального ускорения подчинено закону
равной вероятности. При заданном времени полета такому же закону
распределения подчинено рассеивание неуправляемых ракет, выз-
ванное маневром цели. Пусть отклонения ракеты от центра цели,
вызванные маневром и измеренные в одной плоскости, заключены
в пределах — a<Z.l<Z. + а, где а = 1600 м.
Вычислить скорость передачи информации Vk в системе управ-
ления движением управляемой ракеты, которая обеспечивает на-
ведение ракеты на цель со средним квадратичным отклонением, рав-
ным о = 4 м. Рассеивание управляемой ракеты подчиняется нор-
мальному закону. Время наведения Т = 10 сек.
Ответ:
х Vk = 0,754 дв. ед./сек.
15.20 . Сравнить пропускные способности двух каналов связи,
если в первом действует белый нормальный шум в полосе F с дис-
персией сг2 = 1 в2, а во втором — белый шум, равномерно распреде-
ленный в интервале ± 1,5 в с полосой 2F. Считать, что мощность
передаваемого сигнала^ велика по сравнению с мощностью шумов.
Ответ:
д/2 g
сх—C2 = Flog —, ЛГ8 = —е*1^3 ,
1 Ps 2ле
где Cj — пропускная способность первого канала; С2 — пропускная
способность второго канала.
Литература
1. Ф а н о Р. Передача информации. Изд-во «Мир», 1965.
2. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. Изд-в© «Советское
радио», 1965.
.3. Тар'асенко Ф. П.1 Введение в курс теории информации. Изд.
Томского Гос. университета, 1963.
580
4. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. Изд-во «Наука», 1964.
5. В у д в о р д Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с при-
менениями в радиолокации. Изд-во «Советское радио», 1955.
6, С о л о д о в А. В. Теория информации и ее применение к задачам
автоматического управления и контроля. Изд-во «Наука», 1967.
7. Голдман G. Теория информации Изд-во иностранной литературы,
1957.
8. Л е в и н Б. Р. Теория случайных процессов и ее применение в радио
технике. Изд-во «Советское радио», 1960.
9. Клюев Н. И. Информационные основы передачи сообщений. Изд-во
«Советское радио», 1966.
10. Е м е л ь я н о в Г. В., С к и г о в и ч В. П. Задачник по теории ве-
роятностей и математической статистике. Изд. Ленинградского Гос.
университета, 1967.
11. Володин Б. Г., Ганин М. П., Динер И Я., Кома-
ров Л. Б., Свешников А. А., бтаробин К. Б. Сборник
задач по теории вероятностей, математической статистике и теории слу-
чайных функций. Изд-во «Наука», 1965.
12. Г р а д ш т е й н И. С. и Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. Физматгиз, 1962.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ I
1
Значения функции ^(х) = е ?
у
X 0 1 2 3 4 5 ь 7 8 9
0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973
0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918
0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825
о,з 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697
0,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538
0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352
0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144
0,7 3123 3101 3079 3056 3034 ЗОН 2989 2966 2943 2920
0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685
0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444
1,о 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203
1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965
1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1824 1804 1781 1758 1736
1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518
1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315
1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127
1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957
1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804
1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669
1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551
2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449
2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0388 0379 0371 0363
2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290
2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229
2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180
2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139
2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 ОНО 0107
2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081
2,8 0079. 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061
2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046
3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034
3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025
3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018
3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013
3,4 0012 0012 0012 ООН ООП 0010 0010 0010 0009 0009
3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006
3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004
3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003
3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002
3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001
582
Значения интеграла вероятности
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Ф(2)
- J е 2 dx для 0.00<z<4,99; Ф(-г)=1 — Ф(?)
—оо
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0.07 0.08 0.09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
о,з 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 . 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90147
1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774
1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922. 0,93056 0,93189
1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408
1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449
1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327
1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062
1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670
2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169
2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574
2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899
Продолжение
2 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0.05 0, 06 0,07 о.оь 0,09
2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,9*0097 0,9*0358 0,920613 0,920863 0,9*1106 0,921344 0,9*1576
2,4 0,921802 0,922024 0,922240 0,922451 0,922656 0,922857 0,9*3053 0,923244 0,923431 0,9*3613
2,5 0,923790 0,923963 0,934132 0,924297 0,9*4457 0,924614 0,9*4766 0,924915 0,925060 0,9*5201
2,6 0,9*5339 0,925473 0,925604 0,925731 0,9*5855 0,925975 0,9*6093 0,926207 0,926319 0,9*6427
2,7 0,926533 0,926636 0,9*6736 0,9*6833 0,9*6928 0,927020 0,9*7110 0,927197 0,927282 0,9*7365
2,8 0,927445 0,9*7523 0,927599 0,9*7673 0,9*7744 0,927814 0,9*7882 0,927948 0,928012 0,9*8074
2,9 0,928134 0,928193 0,928250 0,9*8305 0,9*8359 0,928411 0,928462 0,928511 0,928559 0,9*8605
3,0 0,9*8650 0,928694 0,9*8736 0,9*8777 0,9*8817 0,928856 0,9*8893 0,928930 О,928965 0,9*8999
3,1 0,9*0324 0,930646 0,930957 0,9*1260 0,9*1553 0,94836 0,9*2112 0,9*2378 0,932636 0,9*2886
3,2 0,933129 0,933363 0,933590 0,933810 0,9*4024 0,934230 0,9*4429 0,934623 0,934810 0,9*4991
3,3 0,9*5166 0,935335 0,935499 0,935658 0,9*5811 0,935959 0,9*6103 0,9*6242 0,936376 0,9*6505
3,4 0,9*6631 0,936752 0,936869 0,936982 0,9*7091 0,937197 0,9*7299 0,9*7398 0,937493 0,937585
3,5 0,9*7674 0,937759 0,937342 0,9’7922 0,9*7999 0,938074 0,9*8146 0,9*8215 0,938282 0,9*8347
3,6 0,9*8409 0,938469 0,938527 0,9*8583 0,9*8637 0,938689 0,9*8739 0,9*8787 0,938834 0,9*8879
3,7 0,9*8922 0,938964 0,940039 0,9*0426 0,9*0799 0,941158 0,9*1504 0,9*1838 0,942159 0,9*2468
• 3,8 0,9*2765 0,943052 0,943327 0,9*3593 0,9*3848 0,94094 0,9*4331 0,9*4558 0,944777 0,9*4988
3,9 0,9*5190 0,945385 0,945573 0,9*5753 0,9*5926 0,946092 0,9*6253 0,9*6406 0,946554 0,9*6696
4,0 0,9*6833 0,946964 0,947090 0,9*7211 0,9*7327 0,947439 0,9*7546 0,9*7649 0,947748 0,9*7843
4,1 0,9*7934 0,948022 0,948106 0,9*8186 0,9*8263 0,948338 0,9*8409 0,9*8477 0,948542 0,9*8605
4,2 0,9*8665 0,948723 0,948778 0,9*8832 0,9*8882 0,948931 0,9’8978 0,9’0226 0,950655 0,9’1066
4,3 0,9’1460 0,94837 0,9^2199 0,9’2545 0,9®2876 0,9^3193 0,9’3497 0,9’3788 0,954066 0,9’4332
4,4 0,9’4587 0,94831 0,955065 0,9’5288 0,9’5502 0,955706 0,9’5902 0,9’6089 0,956268 0,9’6439
4,5 0,9’6602 0,956759 0,956908 0,9’7051 0,9’7187 0,957318 0,9’7442 0,9’7561 0,957675 0,9’7784
4,6 0,9’7888 0,957987 0,958081 0,9’8172 0,9’8258 0,958340 0,9’8419 0,9’8494 0,958566 0,9*8634
4,7 0,9’8699 0,958761 0,9^8821 0,9’8877 0,9’8931 0,958983 0,9’0320 0,9’0789 0,961235 0,9’1661
4,8 0,9’2067 0,9*2453 0,9*2822 0,9’3173 0,9’3508 0,963827 0,9’4131 0,9’4420 О,964696 0,9’4958
4,9 0,9’5208 0,965446 0,965673 0,9’5889 0,9’6094 0,966289 0,9’6475 0,9’6652 0,9*6821 0,9’6981
Пример: Ф(3,57) = 0,9*8215 = 0,9998215
ПРИЛОЖЕНИЕ III
k п 11 12 13 1 4 15 16 17 18 19
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2 55 66 78 91 105 120 136 153 171
3 165 220 286 364 455 560 680 816 969
4 330 495 715 1001 1 365 1 820 2 380 3 060 3 876
5 462 792 1 287 2 002 3 003 4 368 6 188 8 568 11 628
6 462 924 1716 3 003 5 005 8 008 12 376 18 564 27 132
7 1 716 3 432 6 435 11440 19 448 31 824 50 388
8 6 435 12 870 24 310 43 758 75 582
9 24 310 48 620 92 378
10 92 378
Продолжение
k . п 20 21 22 23 24 25
1 2,01 2,1* 2,2* 2,3* 2,4х 2,5*
2 1,902 2,10s 2,31s 2,53s 2,762 3,00s
3 1,1403 1,330s 1,540s 1,771s 2,0243 2,300s
4 4,8453 5,985s 7,315s 8,855s l,06264 1,2650*
5 1,55044 2,0349* 2,6334* 3,3649* 4,25044 5,3130*
6 3,8760* 5,4264* 7,4613* 1,00947s 1,345965 1,77100s
7 7,75204 1,16280s 1,70544s 2,45157s 3,461045 1,80700s
8 1,259705 2,03490s 3,19770s 4,90314s 7.354715 1,081575’
9 1,679605 2,93930s 4,97420s 8,17190s 1,307504е 2,042975»
2 Зак. 728
585
Продолжение
k п 20 21 22 23 24 25
10 1,847565 3,52716s 6,466465 1,1440666 1,961256е 3,268760е
11 3,52716s 7,054325 1,3520786 2,496144е 4,457400е
12 1,3520786 2,704156е 5,200300е
13 5,200300е
Примечание. Индекс (т) у некоторых чисел в таблице означа-
ет, что это число (и все числа, расположенные ниже,—до числа с
индексом ) нужно умножить на 10т. Например, 1,902 означает
число 190.
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
Значения функции gy е
k X 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
0 0,904837 0,818731 0,740818 0,670320 0,606531 0,548812
1 0,090484 0,163746 0,222245 0,268128 0,303265 0,329287
2 0,004524 0,016375 0,033337 0,053626 0,075816 0,098786
3 0,000151 0,001091 0,003334 0,007150 0,012636 0,019757
4 0,000004 0,000055 0,000250 0,000715 0,001580 0,002964
5 0,000002 0,000015 0,000057 0,000158 0,000356
6 0,000001 0,000004 0,000013 0,000035
7 0,000001 0,000003
Продолжение
k X 0,7 0,8 0,9 1,0 2,0 3,0
0 0,496585 0,449329 0,406570 0,367879 0,135335 0,049787
1 0,347610 0,359463 0,365913 0,367879 0,270671 0,149361
2 0,121663 0,143785 0,164661 0,183940 0,270671 0,224042
3 0,028388 0,038343 0,049398 0,061313 0,180447 0,224042
4 0,004968 0,007669 0,011115 0,015328 0,090224 0,168031
5 0,000695 0,001227 0,002001 0,003066 0,036089 0,100819
6 0,000081 0,000164 0,000300 0,000511 0,012030 0,050409
7 0,000008 0,000019 0,000039 0,000073 0,003437 0,021604
8 0,000002 0,000004 0,000009 0,000859 0,008101
9 0,000001 0,000191 0,002701
10 0,000038 0,000810
11 0,000007 0,000221
12 0,000001 0,000055
13 0,000013
14 0,000003
15 0,000001
586
Продолжение
k X 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
0 0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123
1 0,073263 0,033690 0,014873 0,006383 0,002684 0,001111
2 0,146525 0,084224 0,044618 0,022341 0,010735 0,004998
3 0,195367 0,140374 0,089235 0,052129 0,028626 0,014994
4 0,195367 0,175467 0,133853 0,091226 0,057252 0,033737
5 0,156293 0,175467 0,160623 0,127717 0,091604 0,060727
6 0,104194 0,146223 0,160623 0,149003 0,122138 0,091090
7 0,059540 0,104445 0,137677 0,149003 0,139587 0,117116
8 0,029770 0,065278 0,103258 0,130377 0,139587 0,131756
9 0,013231 0,036266 0,068838 0,101405 0,124077 0,131756
10 0,005292 0,018133 0,041303 0,070983 0,099262 0,118580
11 0,001925 0,008242 0,022529 0,045171 0,072190 0,097020
12 0,000642 0,003434 0,011262 0,026350 0,048127 0,072765
13 0,000197 0,001321 0,005199 0,014188 0,029616 0,050376
14 0,000056 0,000472 0,002228 0,007094 0,016924 0,032384
15 0,000015 0,000157 0,000891 0,003311 0,009026 0,019431
16 0,000004 0,000049 0,000334 0,001448 0,004513 0,010930
17 0,000001 0,000014 0,000118 0,000596 0,002124 0,005786
18 0,000004 0,000039 0,000232 0,000944 0,002893
19 0,000001 0,000012 0,000085 0,000397 0,001370
20 0,000004 0,000030 0,000159 0,000617
21 0,000001 0,000010 0,000061 0,000264
> 22 0,000003 0,000022 0,000108
23 0,000001 0,000008 0,000042
24 0,000003 0,000016
25 0,000001 0,000006
26 0,000002
27 0,000001
ПРИЛОЖЕНИЕ V
Значения функции
m
Йо fe!
т X 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
0 0,904837 0,818731 0,740818 0,670320 0,606531 0,548812
1 0,995321 0,982477 0,963063 0,938448 0,909796 0,878099
2 0,999845 0,998852 0,996390 0,992074 0,985612 0,977885
3 0,999996 0,999943 0,999724 0,999224 0,998248 0,997642
4 1,000000 0,999998 0,999974 0,999939 0,999828 0,999606
5 1,000000 1,000000 0,999999 0,999996 0,999986 0,999962
6 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999997
7 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000
20*
587
Продолжение
т 0,7 0.8 0,9 1 .0 2,0 3,0
0 0,496585 0,449329 0,406570 0,367879 0,135335 0,049787
1 0,844195 0,808792 0,772483 0,735759 0,406006 0,199148
2 0,965858 0,952577 0,937144 0,919699 0,676677 0,423190
3 0,994246 0,990920 0,988542 0,981012 0,857124 0,647232
4 0,999214 0,998589 0,997657 0,996340 0,947348 0,815263
5 0,999909 0,999816 0,999658 0,999406 0,983437 0,916082
6 0,999990 0,999980 0,999958 0,999917 0,995467 0,966491
7 0,999998 0,999999 0,999997 0,999990 0,998904 0,988095
8 9 10 11 12 13 14 15 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 1,000000 0,999763 0,999954 0,999992 0,999999 1,000000 0,996196 0,998897 0,999707 0,999928 0,999983 0,999996 0,999999 1,000000
Продолжение
m X 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
0 0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123
1 0,091579 0,040428 0,017352 0,007295 0,003019 0,001234
2 0,238105 0,124652 0,061970 0,029636 0,013754 0,006232
3 0,433472 0,265026 0,151205 0,081765 0,042380 0,021228
4 0,628839 0,440493 0,285058 0,172991 0,099632 0,054963
5 0,785132 0,615960 0,445681 0,300708 0,191236 0,115690
6 0,889326 0,762183 0,606304 0,449711 0,313374 0,206780
7 0,948866 0,866628 0,743981 0,598714 0,452961 0,323896
8 0,978636 0,931806 0,847239 0,729091 0,592548 0,455652
9 0,991867 0,968172 0,916077 0,830496 0,716625 0,587408
10 0,997159 0,986205 0,957380 0,901479 0,815887 0,705988
11 0,999084 0,994547 0,979909 0,946650 0,888077 0,803008
12 0,999726 0,997981 0,991173 0,973000 0,936204 0,875773
13 0,999923 0,999202 0,996372 0,987188 0,965820 0,926149
14 0,999979 0,999774 0,998600 0,994282 0,982744 0,958533
15 0,999994 0,999931 0,999491 0,997593 0,991770 0,977964
16 0,999998 0,999980 0,999825 0,999041 0,996283 0,988894
17 0,999999 0,999994 0,999943 0,999637 0,998407 0,994680
18 0,999999 0,999998 0,999982 0,999869 0,999351 0,997573
19 0,999999 0,999999 0,999994 0,999955 0,999748 0,998943
20 21 22 23 1,000000 0,999999 1,000000 0,999998 0,999999 0,999999 1,000000 0,999985 0,999995 0,999998 0,999999 0,999907 0,999967 0,999989 0,999997 0,999560 0,999824 0,999932 0,999974
588
Продолжение
т X 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
24 0,999999 0,999999 0,999990
25 1,000000 0,999999 0,999996
26 1,000000 0,999998
27 0,999999
28 1,000000
ПРИЛОЖЕНИЕ VI
Значения двоичных логарифмов целых чисел от 1 до 100
X log2x X log2x X 10g2X
1 0,00000 36 5,16993 71 6,14975
2 1,00000 37 5,20945 72 6,16992
3 1,58496 38 5,24793 73 6,18982
4 2,00000 39 5,28540 74 6,20945
5 2,32193 40 . 5,32193 75 6,22882
6 2,58496 41 5,35755 76 6,24793
7 2,80735 42 5,39232 77 6,26679
8 3,00000 43 5,42626 78 6,28540
9 3,16993 44 5,45943 79 6,30378
10 3,32193 45 5,49185 80 6,32193
И 3,45943 46 5,52356 81 6,33985
12 3,58496 47 5,55459 82 6,35755
13 3,70044 48 5,58496 83 6,37504
14 3,80735 49 5,61471 84 6,39232
15 3,90689 50 5,64386 85 6,40939
16 4,00000 51 5,67242 86 6,42626
17 4,08746 52 5,70044 87 6,44294
18 4,16993 53 5,72792 88 6,45943
19 4,24793 54 5,75489 89 6,47573
20 4,32193 55 5,78136 90 6,49185
21 4,39232 56 5,80735 91 6,50779
22 4,45943 57 5,83289 92 6,52356
23 4,52356 58 5,85798 93 6,53916
24 4,58496 59 5,88264 94 6,55459
25 4,64386 60 5,90689 95 6,56986
26 4,70044 61 5,93074 96 6,58496
27 4,75489 62 5,95420 97 6,59991
28 4,80735 63 5,97728 98 6,61471
29 4,85798 64 6,00000 99 6,62936
30 4,90689 65 6,02237 100 6,64386
31 4,95420 66 6,04439
32 5,00000 67 6,06609
33 5,04439 68 6,08746
34 5,08746 69 6,10852
35 5,12928 70 6,12928
589
ПРИЛОЖЕНИЕ VII
Значения функции —р log2p
р —Р log2p р -р iog2p р -Р iog2p р —Р log2p
0 0 0,26 0,5053 0,51 0,4954 0,76 0,3009
0,01 0,0664 0,27 0,5100 0,52 0,4906 0,77 0,2903
0,02 0,1128 0,28 0,5142 0,53 0,4854 0,78 0,2796
0,03 0,1518 0,29 0,5179 0,54 0,4800 0,79 0,2687
0,04 0,1858 0,30 0,5211 0,55 0,4744 0,80 0,2575
0,05 0,2161 0,31 0,5238 0,56 0,4685 0,81 0,2462
0,06 0,2435 0,32 0,5260 0,57 0,4623 0,82 0,2348
0,07 0,2686 0,33 0,5278 0,58 0,4558 0,83 0,2231
0,08 0,2915 0,34 0,5292 0,59 0,4491 0,84 0,2112
0,09 0,3126 0,35 0,5301 0,60 0,4422 0,85 0,1992
0,10 0,3322 0,36 0,5306 0,61 0,4350 0,86 0,1871
0,11 0,3503 0,37 0,5307 0,62 0,4276 0,87 0,1748
0,12 0,3671 0,38 0,5305 0,63 0,4199 0,88 0,1623
0,13 0,3826 0,39 0,5298 0,64 0,4121 0,89 0,1496
0,14 0,3971 0,40 0,5288 0,65 0,4040 0,90 0,1368
0,15 0,4105 0,41 0,5274 0,66 0,3957 0,91 0,1238
0,16 0,4230 0,42 0,5256 0,67 0,3871 0,92 0,1107
0,17 0,4346 0,43 0,5236 0,68 0,3784 0,93 0,0974
0,18 0,4453 0,44 0,5210 0,69 0,3694 0,94 0,0839
0,19 0,4552 0,45 0,5184 0,70 0,3602 0,95 0,0703
0,20 0,4644 0,46 0,5153 0,71 0,3508 0,96 0,0565
0,21 0,4728 0,47 0,5120 0,72 0,3412 0,97 0,0426
0,22 0,4806 0,48 0,5083 0,73 0,3314 0,98 0,0286
0,23 0,4877 . 0,49 0,5043 0,74 0,3215 0,99 0,0144
0,24 0,25 0,4941 0,5000 0,50 0,5000 0,75 0,3113 1,00 0
Предметный указатель
А
Абсолютный момент 103
— максимум 405
Апостериорная вероятность 10
Априорная вероятность 10
Б
Белый шум 187
Безынерционный ограничитель
342
Бета-распределение 62
Биномиальный закон 54
Бит 537
В
Вероятное отклонение 49
Вероятность события 5
— условная 8
— ложной тревоги 437
— правильных решений 437
Вероятности ошибок 438
Время обслуживания заявки 146
— первого достижения границ
406
Входной поток СМО 143
Выходной поток СМО 143
Г
Гамма-распределение 60
Геометрические вероятности 7
Геометрический закон 56
Гипергеометрический закон 54
Гипотеза 9
д
Двоичная единица информации
537
Двоичный симметричный канал
связи 543, 546
Двойное показательное распре-
деление 66
Двумерная функция распреде-
ления 50
Двухсторонняя модуляция дли-
тельности импульсов 218
Дельта-функция 50
Дискретная случайная величина
47
Дискретные системы связи 536
Дисперсия 49, 101
— длительности импульса 413
— огибающей 255
— оценки 528
— первого времени достижения
границ 407
Дифференциальная энтропия 566
Дифференциальный закон рас-
пределения 49
Длительность выброса 405
Дробовой шум 250
Е
Единица количества информации
Единичный эллипс 53
3
Закон распределения 47
— арксинуса 68
— Вейбулла 64
— Гаусса 58
— Коши 62
— Лапласа 66
— Максвелла 64
— многомодальный 103
— Накагами 62
— Полна 56
— Пуассона 54
— Райса 62
— Релея 62
— Симпсона 66
— Стьюдента 64
— унимодальный 103
— условный 70
— Фарри 56
— Фишера — Снедекора 64
— Эрланга 64
Значность кода 541
И
Избыточность 541, 550
Импульсно-фазовая модуляция
217
591
Импульсная характеристика 272
Интеграл вероятности 49
— Дюамеля 270
Интегральная формула Муавра —
Лапласа 10
Интегральное уравнение Фред-
гольма 436
Интегральный закон распреде-
ления 47
Информация взаимная 536
— собственная 536
— условная 536
К
Канал связи без памяти 542
— — со стиранием 560
Квазимоментные функции 170
Квантиль 103
Квантование 231
Код Бодо 541
— Хаффмена 542
— Шеннона — Фано 542
Кодовая комбинация 541
Кодирование 541
Количество информации 536
Корреляционный момент 108
Корректирующие коды 543
Коэффициент асимметрии 105
— избыточности 544
— корреляции 53, 110, 443
— обнаружения 544
— сжатия текста 541
— эксцесса 105
Критерий Байеса 438
— идеального наблюдателя 438
— Неймана—Пирсона 438
Кумулянты 105
Л
Линейная фильтрация 487
Локальная формула Муавра —
Лапласа 10
Логарифмически нормальный за-
кон 58
Логарифм функции правдоподо-
бия 527
М
Математическое ожидание 49, 101
Медиана 102
Метод дельта-функции 334
— максимума функции правдопо-
* добия 526
— квазилинейный 338
— линеаризации 336
— Прайса 334
— - прямой 330
— характеристических функций
330
Минимальная среднеквадратич-
ная ошибка 489
Многоугольник распределения 47
.Мода 102
Моментные функции 164
Момент связи 108
Моменты начальные 103
— факториальные 103
— центральные 103
т-распределение 62
Н
Надежность системы 8
— параллельного соединения 9
— последовательного соединения
9
Начальный момент 103
Нелинейное безынерционное пре-
образование 326
Неперекрывающиеся импульсы
205
Непрерывная случайная вели-
чина 47
Непрерывные системы связи 565
Несущественные параметры 435
Нормальный закон 58
— стандартный закон 58
Нормированный поток Эрланга
146
О
Обобщенный закон Релея 62
Обслуживающий аппарат СМО
143
Односторонняя модуляция дли-
тельности импульсов 218
Огибающая узкополосного про-
цесса 253
— суммы сигнала и шума 254
Оптимальный приемник 440
— фильтр 492
Основание кода 541
Отношение правдоподобия 433
Отрицательный биномиальный за-
кон 56
Оценка несмещенная 526
— эффективная 526
П
Параметры неэнергетнческие 527
— энергетичес кие 527
Передаточная функция 272
592
Перекрывающиеся импульсы 205
Плотность вероятности 48
---- двумерная 51
---- нормальная 49, 52
----огибающей 254
----произведения 328
----разности 328
---- суммы 328
---- условная 70
----фазы 254
---- частного 328
— потока заявок 144
Показательный закон 66
Показательно-степенной закон 66
Полиномиальное распределение
12, 54
Полная группа событий 6
Полиномы Эрмита 170
Поток восстановления 145
— заявок 143
— Пальма 145
— Эрланга 145
Преобразование кусочно-разрыв-
ное 330
— нелинейное инерционное 335
— полиномиальное 329
— трансцендентное 330
Помехоустойчивое кодирование
544
Приведенная энтропия 566
Произведение событий 6
Производящая функция 12, 108
Пропускная способность 543
Простейший поток заявок 144
Р
Равномерный закон распределе-
ния 56
— код 541
Различение двух сигналов 433
Распределительный закон 6
Ряд Крамера 167
— Лагерра 170
— распределения 47
— Эджворта 168
С
Сглаженный ограничитель 355,
384
Семиинварианты 105, 108
Система массового обслуживания
с отказами 143
-------с ожиданием 143
-------смешанная 144
Скорость передачи 543
Случайная величина 47
Случайный телеграфный сигнал
240, 321
Смешанная случайная величина 47
События независимые 8
— несовместные 6
— противоположные 6
Согласованный фильтр 441, 492
Спектральная плотность 166
Среднее значение 49, 101
— квадратичное отклонение 102
— количество информации 537
— значение огибающей 255, 270
— число максимумов 410
---минимумов 410
— — пересечений 408
Средний интервал между выб-
росами 411
Средняя длительность выброса
411
Стандартное отклонение 49
Структурные числа 337
Сумма событий 5
Т
Теория соединений 7
— Колмогорова — Винера 487
— массового обслуживания 143
— очередей 143
Теорема гипотез 9
— о повторении опытов 10
— сложения вероятностей 7
— умножения вероятностей 7
^-распределение 64
Треугольное распределение 66
Троичный канал 562
У
Узкополосный случайный про-
цесс 252
Уравнение Винера — Хопфа 489
— Фоккера — Планка 336
Усеченный нормальный закон 58
Условие нормировки 49, 51, 161
— симметрии 161
— согласованности 161
Условная вероятность 8
— плотность вероятности 70
Условный закон распределения 70
Ф
Фаза узкополосного процесса 253
Факториальный момент 103
Формула Байеса 9
— Винера — Хинчина 166
— Бернулли 10
— полной вероятности 9
— Пуассона 10
593
— Стирлинга 7
— Шеннона 567
Функция автокорреляционная
165
— взаимокорреляционная 165
— корреляции огибающей 255,
270
---узкополосного процесса 252
— правдоподобия 434
— производящая 12
— распределения 47
Функционал плотности вероят-
ности 434
Функциональное представление
Вольтерра 338
X
Характеристическая функция 55,
71, 107
--- нормальная 163
^-распределение 60
%-квадрат распределение 60
Ц
Центральный момент 103
Центрированная случайная ве-
личина 101
Ч
Число перестановок 14
— размещений 14
— сочетаний 14
Числовые характеристики 101
Ш
Шаг квантования 89
Э
Экспоненциальный односторон-
ний закон 66
Эллипс рассеивания 53
Энтропия 538
Я
Якобиан преобразования 327
Оглавление
стр.
Предисловие .................................................. 3
РАЗДЕЛ I. СОБЫТИЯ» ВЕРОЯТНОСТЬ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1. О СНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ............... 5
§ 1. Теоретические сведения ............................. 5
§ 2. Примеры.............................................12
§ 3. Задачи и ответы.....................................24
Литература................................,..............46
2. Р АСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ... 47
§ 1. Теоретические сведения..............................47
§ 2. Примеры.............................................71
§ 3. Задачи и ответы.....................................81
Литература..............................................100
3. Ч ИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН........Ц)1
§ 1. Теоретические сведения ...........................101
§ 2. Примеры...........................................117
§ 3. Задачи и ответы...................................123
Литература.............................................142
4. Э ЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.....143
§ 1. Теоретические сведения.............................143
§ 2. Примеры............................................150
§ 3. Задачи и ответы....................................153
Литература . ......................................160
РАЗДЕЛ II. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
5. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, МОМЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ И
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПЛОТНОСТИ.............................161
§ 1. Теоретические сведения ..........................161
§ 2. Примеры..........................................172
§ 3. Задачи и ответы..................................185
Литература............................................202
6. ИМПУЛЬСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ ...................204
§ 1. Теоретические сведения ..........................204
§ 2. Примеры..........................................228
§ 3. Задачи и ответы..................................242
Литература............................................251
595
7. УЗКОПОЛОСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ...................252
§ 1. Теоретические сведения............................252
§ 2. Примеры...........................................256
§ 3. Задачи и ответы ..................................260
Литература.............................................267
РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
8. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ЛИНЕЙНЫЕ
СИСТЕМЫ...............................................268
§ 1. Теоретические сведения ...........................268
§ 2. Примеры ..........................................272
§ 3. Задачи и ответы...................................293
Литература.............................................323
9. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ
СИСТЕМЫ...............................................325
§ 1. Теоретические сведения ...........................325
§ 2. Примеры...........................................338
§ 3. Задачи и ответы...................................361
Литература.............................................402
10. ВЫБРОСЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ....................405
§ 1. Теоретические сведения............................405
§ 2. Примеры...........................................413
§ 3. Задачи и ответы...................................418
Литература.............................................431
РАЗДЕЛ IV. ТЕОРИЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ
11. ОБНАРУЖЕНИЕ И РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ.................432
§ 1. Теоретические сведения ...........................432
§ 2. Примеры...........................................439
§ 3. Задачи и ответы...................................459
Литература............................................ 484
12. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ..................486
§ 1. Теоретические сведения............................486
§ 2. Примеры...........................................492
§ 3. Задачи и ответы...................................503
Литература.............................................524
13. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ........................526
§ 1. Теоретические сведения ...........................526
§ 2. Примеры ..........................................529
§ 3. Задачи и ответы...................................531
Литература.............................................535
РАЗДЕЛ V. ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ
14. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ СВЯЗИ . . . ...................536
§ 1. Теоретические сведения ...........................536
§ 2. Примеры .................................... 545
596
§ 3. Задачи и ответы..................................555
Литература............................................564
15. НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ СВЯЗИ .......................565
§ 1. Теоретические сведения...........................565
§ 2. Примеры .........................................569
§ 3. Задачи и ответы..................................
Литература............................................
приложения............................................... 582
Приложение I. Приложение II. 1 ~~~ Значения функции w (х) ~ е 2 Значения интеграла вероятности Ф (г) 582 583
Приложение III. Числа сочетаний (биномиальные коэффици- енты) ckn = Cn~k \k -X 585
Приложение IV. Значения функции е 586
Приложение V. ГП A h О А V “Х Значения функции X уг е 587
Приложение VI. Значения двоичных логарифмов целых чисел от 1 до 100 589
Приложение VII. Значения функции — plog2p 590
Предметный ука- затель 591
ВЛАДИМИР ТИМОФЕЕВИЧ ГОРЯЙНОВ
АНДРЕЙ ГЕОРГИЕВИЧ ЖУРАВЛЕВ
ВАСИЛИЙ ИВАНОВИЧ ТИХОНОВ
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ РАДИОТЕХНИКЕ
Редактор К. И. К у ч у м о в а
Художественный редактор В. Т. Сидоренко
Технический редактор Г. 3. Шалимова
Корректоры Л. И. Кирильченко, Н. Н. Поспелова
Сдано в набор 19.IX-1969 г.
Подписано в печать 7/VII-1970 г. Т 08750
Формат 60X90/16. Бумага типографская № 2
Объем 37.5 усл. п. л. 32,8 уч.-изд. л.
Тираж 24 000 экз. Зак. 728
Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, п/я 693.
Цена 1 р. 35 к.
Московская типография № 4 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Б. Переяславская, 46
ГОТОВЯТСЯ К ВЫПУСКУ В СВЕТ
в издательстве
«СОВЕТСКОЕ РАДИО»
Амиантов И. Н. Избранные вопросы статистической тео-
рии связи.
Книга содержит основные результаты применения теории
передачи сообщения к радиолокации. Изложены способы, кото-
рыми в радиолокации извлекается информация о параметрах
целей; обсуждаются схемы соответствующих устройств и про-
анализированы ошибки их работы. Рассматривается теория дис-
криминаторов и сглаживающих цепей (измерителей координат,
теория зондирующих сигналов, применяемых в радиолокации
характеристики обнаружения радиолокационных сигналов, эле-
менты теории формирования диаграмм и управления диаграм-
мами направленности.
Книга рассчитана на радиоинженеров, студентов, аспирантов
и научных работников, специализирующихся по радиолокации.
В и г л и н С. И. Переходные процессы в системах с пере-
менными параметрами.
Предлагается оригинальный интегральный метод, который
позволяет сравнительно просто исследовать переходные процес-
сы во многих параметрических системах. На основе этого мето-
да изучаются общие свойства параметрических систем. Наи-
большее внимание уделяется избирательным системам, для ко-
торых получены укороченные интегральные уравнения, позво-
ляющие при помощи стандартных приемов найти форму коле-
баний в системе любого порядка. Подробно исследуются про-
цессы нарастания колебаний в типовых системах второго по-
рядка и их частотные характеристики. Результаты исследования
доведены до простых расчетных соотношений.
Книга предназначена для специалистов, занимающихся раз-
работкой параметрических систем, а также для студентов стар-
ших курсов радиотехнических специальностей.
Замеченные опечатки
о. ? Строка или формула Напечатано Должно быть
е[-а-/ (ю-®0)] г
о
с[а-/ «>-<•>.)] rdT
— сю
178 10 снизу
I
183 । 5 сверху
202 9 сверху
216 2 снизу
217 4 сверху
со f
а arctg — | = . ..
а J
о
x[ib2"(T)-
•h)
оо
W |
сс arctg — =
а I
о
ml I F1(M’ To)i2
Го £0 Q = Строка или формула Напечатано
253 16 сверху (числитель дроби) 4(0 4 (0-4 (04(0
294 9 снизу Кхх1(*. 0)
317 1 снизу sn(w)/ss (<o/2)=f(0e>)
353 1 сверху а. < а1+1,
0
409 12 снизу Л/Г(С)=~^1(С) J ...
оо
472 7 снизу
513 8 снизу (числитель дроби) 1 _е'“п7п
516 10 снизу 1.37 Д/opt — ~ °тпах~-••• ти
539 1 сверху (14.32)
Зак. 728
Продолжение
Должно быть
ЛДОЛДО- лс(04(/)
КуУ1{1> G)
Sn(<o)/S5 (®)=/(0®)
«/-П < £ < %
о
Wj-(C)=-r1(C) J ...
— оо
с = т/ ...
1_е/<отГп
.. . 1.37 _
opt — » amax — • • •
(14.23)